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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Sachaufgaben mit Logarithmen

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55171910
In einem technischen Ablauf wird eine Größe in jeder Stufe mit dem Faktor \(3\) multipliziert. Nach allen Stufen beträgt der Gesamtfaktor \(81\). Ergänze die logarithmische Darstellung für die Anzahl \(n\) der Stufen: \(n=\log_{\ldots}(\ldots)\). Gib anschließend den Wert von \(n\) an.

Denkanstöße

- Welcher Faktor wird in jeder Stufe erneut angewendet? - Der Gesamtfaktor steht als Argument des Logarithmus, der Stufenfaktor als Basis.

Lösung

Aus \(3^n=81\) folgt \(n=\log_3 81=4\).

Antwort

\(n=\log_3 81=4\)
55172010
Ein Filter halbiert bei jedem Durchgang den noch vorhandenen Rückstand. Für einen bestimmten Versuch zeigt der Taschenrechner \(\log_{0{,}5}(0{,}125)=3\). Was bedeutet die Zahl \(3\) in diesem Sachzusammenhang?

Denkanstöße

- Die Basis \(0{,}5\) beschreibt den Faktor pro Durchgang. - Überlege, welche Größe der Logarithmus als Exponent angibt.

Lösung

Der Restfaktor \(0{,}125\) wird nach \(3\) Halbierungen erreicht. Die Zahl \(3\) ist daher die Anzahl der Filterdurchgänge.

Antwort

Es sind \(3\) Filterdurchgänge.
55663210
Ein Getriebe verstärkt ein Drehmoment in jeder Stufe mit dem Faktor \(1{,}8\). Gesucht ist die theoretische Zahl \(n\) der Stufen, die für den Gesamtfaktor \(10\) nötig wäre. Welcher logarithmische Ausdruck beschreibt \(n\) richtig? A: \(\log_{1{,}8}(10)\) B: \(\log_{10}(1{,}8)\) C: \(\log_{1{,}8}(10)-1\) Begründe deine Wahl mit einer Potenzgleichung.

Denkanstöße

- Welche Potenz beschreibt den Gesamtfaktor nach \(n\) gleichen Verstärkungsstufen? - Welche Zahl ist in dieser Potenz die Basis und welche der Zielwert?

Lösung

1. Nach \(n\) Stufen ist der Gesamtfaktor \(1{,}8^n\). 2. Für den Faktor \(10\) gilt deshalb \(1{,}8^n=10\). 3. In logarithmischer Schreibweise ist damit \(n=\log_{1{,}8}(10)\). Also ist A richtig.

Antwort

A; denn \(1{,}8^n=10\).
55172110
Ein verlustbehaftetes Kompressionsverfahren verkleinert eine Datei bei jedem Durchlauf auf \(80\,\%\) ihrer bisherigen Größe. Die Ausgangsdatei ist \(100\,\text{MB}\) groß. Wie viele vollständige Kompressionsdurchläufe sind mindestens nötig, damit die modellierte Dateigröße unter \(35\,\text{MB}\) liegt?

Denkanstöße

- Welcher Multiplikationsfaktor gehört zu „auf \(80\,\%\) verkleinern“? - Bestimme zunächst den nicht ganzzahligen Schwellenwert für die Anzahl der Durchläufe. - Entscheide anschließend anhand von „unter“ und „mindestens“, welche ganze Anzahl tatsächlich funktioniert.

Lösung

1. Nach \(n\) Durchläufen beträgt die modellierte Dateigröße \(100\cdot0{,}8^n\,\text{MB}\). 2. Der Schwellenwert erfüllt \(100\cdot0{,}8^n=35\). Daraus folgt \(n=\frac{\log_{10}(0{,}35)}{\log_{10}(0{,}8)}\approx4{,}70\). 3. Nach \(4\) Durchläufen sind noch \(40{,}96\,\text{MB}\) vorhanden, nach \(5\) Durchläufen \(32{,}768\,\text{MB}\). 4. Daher sind mindestens \(5\) vollständige Durchläufe nötig.

Antwort

Mindestens \(5\) vollständige Kompressionsdurchläufe.
55172710
Eine Kette aus vier gleichartigen Verstärkerstufen erzeugt insgesamt den Verstärkungsfaktor \(16\). Im Modell hat jede Stufe denselben positiven Faktor \(q>0\). a) Bestimme \(q\). b) Wie viele solcher Stufen sind mindestens nötig, damit der Gesamtfaktor mindestens \(100\) beträgt?

Denkanstöße

- Vier identische Faktoren ergeben zusammen \(q^4\). - Bestimme zuerst den Faktor einer einzelnen Stufe. - Der logarithmische Wert in b) ist nicht ganzzahlig; prüfe die benachbarten ganzen Stufenzahlen.

Lösung

1. Für vier gleiche Stufen gilt \(q^4=16\). Daher ist \(q=\sqrt[4]{16}=2\). 2. Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(n\) mit \(2^n\ge100\). 3. Der Schwellenwert ergibt sich aus \(n=\log_2(100)=\frac{\log_{10}(100)}{\log_{10}(2)}\approx6{,}64\). 4. Nach \(6\) Stufen ist der Faktor \(64\), nach \(7\) Stufen \(128\). Daher sind mindestens \(7\) Stufen nötig.

Antwort

a) \(q=2\) b) Mindestens \(7\) Verstärkerstufen.
55252910
Ein idealisiertes Papiermodell startet mit einer Dicke von \(0{,}1\,\text{mm}\). Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke des Stapels. Wie oft muss das Papier mindestens gefaltet werden, damit der Stapel dicker als \(10\,\text{cm}\) ist? Begründe die ganzzahlige Entscheidung.

Denkanstöße

- Bringe zuerst beide Dicken in dieselbe Einheit. - Stelle eine Ungleichung für die Dicke nach \(n\) Faltungen auf. - Was bedeutet der berechnete nicht-ganzzahlige Logarithmuswert für die kleinste mögliche Anzahl von Faltungen?

Lösung

1. Nach \(n\) Faltungen beträgt die modellierte Dicke \(d_n=0{,}1\cdot2^n\,\text{mm}\). 2. \(10\,\text{cm}=100\,\text{mm}\), also muss \(0{,}1\cdot2^n>100\) gelten. 3. Damit ist \(2^n>1000\), also \(n>\log_2(1000)\approx9{,}97\). 4. Daher sind mindestens \(10\) Faltungen nötig. Kontrolle: \(0{,}1\cdot2^{10}=102{,}4\,\text{mm}>100\,\text{mm}\).

Antwort

Mindestens \(10\) Faltungen.
55253610
In einem vereinfachten Modell für musikalische Intervalle wird die Zahl \(n\) der Halbtonschritte zwischen zwei Frequenzen \(f_1\) und \(f_2\) durch \(n=12\log_2\left(\frac{f_2}{f_1}\right)\) beschrieben. Für zwei Töne gilt \(f_1=440\,\text{Hz}\) und \(f_2=660\,\text{Hz}\). a) Berechne \(n\) auf zwei Dezimalstellen. b) Welcher ganzen Anzahl von Halbtonschritten liegt dieses Intervall am nächsten?

Denkanstöße

- Welches Verhältnis der beiden Frequenzen gehört in den Logarithmus? - Falls dein Taschenrechner keine Taste für \(\log_2\) hat, kannst du einen Basiswechsel verwenden. - Unterscheide zwischen dem rechnerischen Dezimalwert und der anschließenden Entscheidung für die nächstgelegene ganze Schrittzahl.

Lösung

1. Das Frequenzverhältnis ist \(\frac{660}{440}=1{,}5\). 2. Mit dem Basiswechsel gilt \(n=12\log_2(1{,}5)=12\frac{\log_{10}(1{,}5)}{\log_{10}(2)}\approx7{,}02\). 3. \(7{,}02\) liegt näher bei \(7\) als bei \(8\). Das Intervall liegt daher am nächsten bei \(7\) Halbtonschritten.

Antwort

a) \(n\approx7{,}02\) b) \(7\) Halbtonschritte
43351210
Der Graph zeigt eine kontinuierliche Modellfunktion \(f\) für die Anzahl unterscheidbarer Fälle in Abhängigkeit von der Zahl \(n\) durchgeführter Prüfschritte. Die Punkte P und Q sind im Diagramm markiert. Für die reale Anzahl der Prüfschritte sind nur ganzzahlige Werte von \(n\) zulässig. a) Lies die Koordinaten der Punkte P und Q ab. b) Bestimme aus den beiden Punkten einen Funktionsterm der Form \(f(n)=a\cdot q^n\). c) Bestimme rechnerisch den Wert von \(n\), bei dem das Modell genau \(50\) Fälle ergibt. Runde auf zwei Nachkommastellen. d) Wie viele vollständige Prüfschritte sind mindestens nötig, um \(50\) Fälle sicher unterscheiden zu können?
Abbildung zur Aufgabe 433512

Denkanstöße

- Die Koordinaten von P und Q sind nur im Diagramm gegeben. - Wie müssen die Koordinaten eines Punktes mit einem Term der Form \(f(n)=a\cdot q^n\) zusammenpassen? - Vergleiche die Beziehungen, die P und Q liefern: Welche unbekannte Größe kannst du zuerst bestimmen, ohne bereits beide Parameter zu kennen? - Prüfe am Ende, was der nicht ganzzahlige Modellwert von \(n\) für eine Anzahl vollständiger Prüfschritte bedeutet.

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man P\((3\mid8)\) und Q\((5\mid32)\) ab. 2. Für \(f(n)=a\cdot q^n\) gilt \(aq^3=8\) und \(aq^5=32\). Durch Division folgt \(q^2=4\). Wegen \(q>0\) ist \(q=2\). Damit ergibt \(a\cdot2^3=8\) den Wert \(a=1\), also \(f(n)=2^n\). 3. Für \(50\) Fälle gilt \(2^n=50\). Daher ist \(n=\log_2(50)=\frac{\log_{10}(50)}{\log_{10}(2)}\approx5{,}64\). 4. Da nur vollständige Prüfschritte möglich sind, werden mindestens \(6\) Prüfschritte benötigt.

Antwort

a) P\((3\mid8)\), Q\((5\mid32)\) b) \(f(n)=2^n\) c) \(n\approx5{,}64\) d) Mindestens \(6\) vollständige Prüfschritte.
55172210
Zwei Prüfverfahren verringern eine Kandidatenmenge in wiederholten Runden. Verfahren A startet mit \(1200\) Kandidaten und lässt pro Runde im Modell \(70\,\%\) der jeweils vorhandenen Kandidaten übrig. Verfahren B startet mit \(800\) Kandidaten und lässt pro Runde im Modell \(78\,\%\) übrig. Nach welcher vollständigen Runde ist die modellierte Kandidatenzahl bei Verfahren A erstmals kleiner als bei Verfahren B? Bestimme zuerst rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Modelle und prüfe dann die benachbarten ganzen Rundenzahlen.

Denkanstöße

- Stelle für beide Verfahren eine eigene Modellfunktion für die verbleibende Kandidatenzahl auf. - Für den Wechsel der Reihenfolge ist zunächst der Schnittpunkt der beiden Modelle entscheidend. - Der rechnerische Schnittpunkt liegt zwischen zwei ganzen Rundenzahlen; prüfe beide Seiten dieses Übergangs.

Lösung

1. Am Schnittpunkt gilt \(1200\cdot0{,}70^n=800\cdot0{,}78^n\). 2. Daraus folgt \(\left(\frac{0{,}70}{0{,}78}\right)^n=\frac{2}{3}\) und damit \(n=\frac{\log_{10}\left(\frac{2}{3}\right)}{\log_{10}\left(\frac{0{,}70}{0{,}78}\right)}\approx3{,}75\). 3. Nach \(3\) Runden liefert Modell A \(411{,}6\), Modell B etwa \(379{,}64\); A liegt noch darüber. 4. Nach \(4\) Runden liefert Modell A etwa \(288{,}12\), Modell B etwa \(296{,}12\). Damit liegt A erstmals darunter.

Antwort

Nach \(4\) vollständigen Runden ist die modellierte Kandidatenzahl bei Verfahren A erstmals kleiner als bei Verfahren B.
55172310
Ein Zugangscode besteht aus \(n\) Dezimalziffern; führende Nullen sind erlaubt. Damit gibt es \(10^n\) verschiedene Codes. Für ein System werden mindestens \(500\,000\) verschiedene Codes benötigt. Felix schreibt: „Dann ist \(n=\log_{500000}(10)\approx0{,}18\), also reicht eine Ziffer.“ Untersuche die Rechnung von Felix, erkläre den Fehler und bestimme die kleinste zulässige Codelänge.

Denkanstöße

- Welche Größe wird bei \(10^n=500\,000\) als Exponent gesucht? - In \(\log_b(a)\) ist \(b\) die Basis der zugehörigen Potenz und \(a\) das Argument. - Prüfe die beiden benachbarten ganzzahligen Codelängen mit Potenzen von \(10\).

Lösung

1. Die Anzahl der Codes wird durch \(10^n\) beschrieben. Für den Schwellenwert gilt daher \(10^n=500\,000\). 2. Der Exponent ist \(n=\log_{10}(500000)\approx5{,}699\). Felix hat Basis und Argument des Logarithmus vertauscht. 3. Da die Codelänge ganzzahlig sein muss und mindestens \(500\,000\) Codes benötigt werden, sind \(6\) Ziffern erforderlich. 4. Tatsächlich gilt \(10^5=100000<500000\) und \(10^6=1000000\ge500000\).

Antwort

Felix’ Rechnung ist falsch: Basis und Argument wurden vertauscht. Es werden mindestens \(6\) Dezimalziffern benötigt.
55172410
Ein automatisches Prüfverfahren startet mit \(1\,000\,000\) möglichen Datensätzen. Nach jedem vollständigen Prüfdurchlauf bleiben im Modell \(65\,\%\) der zuvor noch möglichen Datensätze übrig. Das Verfahren soll die Zahl auf weniger als \(100\) reduzieren. Ein Prüfdurchlauf dauert \(12\,\text{s}\). Bestimme die kleinste nötige Anzahl vollständiger Prüfdurchläufe. Entscheide anschließend, ob das Ziel innerhalb von \(4\) Minuten erreicht werden kann.

Denkanstöße

- Übersetze den verbleibenden Prozentsatz in den Faktor des wiederholten Prozesses und stelle ein Modell für \(n\) Durchläufe auf. - Bestimme zuerst den logarithmischen Schwellenwert und entscheide danach, welche ganze Schrittzahl die strenge Zielbedingung erfüllt. - Wandle für die abschließende Entscheidung die verfügbare Zeit und die Gesamtdauer in vergleichbare Einheiten um.

Lösung

1. Nach \(n\) Prüfdurchläufen beträgt die modellierte Anzahl \(1\,000\,000\cdot0{,}65^n\). 2. Der Schwellenwert erfüllt \(1\,000\,000\cdot0{,}65^n=100\). Daraus folgt \(n=\frac{\log_{10}(0{,}0001)}{\log_{10}(0{,}65)}\approx21{,}38\). 3. Nach \(21\) Durchläufen bleiben modelliert etwa \(117{,}81\) Datensätze, nach \(22\) Durchläufen etwa \(76{,}58\). Deshalb sind mindestens \(22\) vollständige Durchläufe nötig. 4. Die benötigte Zeit beträgt \(22\cdot12\,\text{s}=264\,\text{s}=4\,\text{min}\,24\,\text{s}\). Das Ziel wird also nicht innerhalb von \(4\) Minuten erreicht.

Antwort

Mindestens \(22\) vollständige Prüfdurchläufe sind nötig. Sie dauern \(4\,\text{min}\,24\,\text{s}\), daher wird das Ziel nicht innerhalb von \(4\) Minuten erreicht.
55172810
Für ein technisches Vervielfältigungsverfahren ergibt sich modellhaft folgende Tabelle: <table> <tr><td>Anzahl der Schritte \(n\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td></tr> <tr><td>Gesamtfaktor \(F\)</td><td>\(1\)</td><td>\(1{,}5\)</td><td>\(2{,}25\)</td><td>\(3{,}375\)</td></tr> </table> a) Bestimme aus den Daten den konstanten Faktor pro Schritt und stelle ein Modell \(F(n)\) auf. b) Für welchen rechnerischen Wert von \(n\) erreicht die kontinuierliche Fortsetzung dieses Modells den Gesamtfaktor \(20\)? Runde auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Suche in der Tabelle nach dem konstanten Quotienten aufeinanderfolgender Faktoren. - Setze für b) den Zielwert in das gefundene Modell ein. - Nutze einen Logarithmus, um den Exponenten zu bestimmen.

Lösung

1. Von einem Tabellenwert zum nächsten wird jeweils mit \(1{,}5\) multipliziert. Daher gilt \(F(n)=1{,}5^n\). 2. Aus \(1{,}5^n=20\) folgt \(n=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}5)}\approx7{,}39\). 3. Die kontinuierliche Fortsetzung des Modells erreicht den Faktor \(20\) somit bei \(n\approx7{,}39\).

Antwort

a) \(F(n)=1{,}5^n\) b) \(n\approx7{,}39\)
55172910
In einem technischen Modell wirken zwei Verstärkungsmechanismen gleichzeitig. Nach einer Zeit \(t\) erzeugt Mechanismus A den Faktor \(1{,}2^t\), Mechanismus B den Faktor \(1{,}5^t\). Der Gesamtfaktor ist das Produkt beider Faktoren. a) Vereinfache den Gesamtfaktor zu einer einzigen Potenz. b) Nach welcher Zeit beträgt der Gesamtfaktor \(20\)? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Zeige, dass die Rechnung auch direkt über \(\log_{10}(20)=t\bigl(\log_{10}(1{,}2)+\log_{10}(1{,}5)\bigr)\) zum selben Ergebnis führt.

Denkanstöße

- Wie lassen sich Potenzen mit demselben Exponenten zusammenfassen? - In b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Welche beiden Logarithmusregeln zerlegen in c) den Logarithmus eines Produkts aus Potenzen?

Lösung

1. Es gilt \(1{,}2^t\cdot1{,}5^t=(1{,}2\cdot1{,}5)^t=1{,}8^t\). 2. Aus \(1{,}8^t=20\) folgt \(t=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}8)}\approx5{,}10\). 3. Logarithmiert man das ursprüngliche Produkt, erhält man mit Produktregel und Potenzregel \(\log_{10}(20)=\log_{10}(1{,}2^t)+\log_{10}(1{,}5^t)=t\log_{10}(1{,}2)+t\log_{10}(1{,}5)\). 4. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}2)+\log_{10}(1{,}5)}\approx5{,}10\), also derselbe Wert.

Antwort

a) \(1{,}8^t\) b) \(t\approx5{,}10\) c) Beide Rechenwege liefern \(t\approx5{,}10\).
55253010
Eine Folge ähnlicher würfelförmiger Schachteln wird ineinandergestellt. Jede nächste Schachtel hat nur noch \(80\,\%\) der Kantenlänge der vorherigen. Ab welcher Schachtel beträgt das Volumen weniger als \(10\,\%\) des Volumens der ersten Schachtel? Die erste Schachtel zählt als Stufe \(0\). Begründe die ganzzahlige Entscheidung.

Denkanstöße

- Wie verändert sich das Volumen eines Würfels, wenn jede Kantenlänge mit demselben Faktor multipliziert wird? - Bestimme zuerst den Volumenfaktor von einer Schachtel zur nächsten. - Prüfe die beiden benachbarten ganzen Stufen um den logarithmisch berechneten Schwellenwert.

Lösung

1. Werden alle Kantenlängen mit \(0{,}8\) multipliziert, wird das Volumen mit \(0{,}8^3=0{,}512\) multipliziert. 2. Nach \(n\) Verkleinerungsschritten beträgt der Volumenanteil daher \(0{,}512^n\). 3. Gesucht ist \(0{,}512^n<0{,}10\). Der Schwellenwert erfüllt \(0{,}512^n=0{,}10\), also \(n=\frac{\log_{10}(0{,}10)}{\log_{10}(0{,}512)}\approx3{,}44\). 4. Die kleinste ganze Stufe mit einem Volumenanteil unter \(10\,\%\) ist \(n=4\). Bei \(n=3\) beträgt der Anteil etwa \(13{,}42\,\%\), bei \(n=4\) etwa \(6{,}87\,\%\).

Antwort

Ab Stufe \(n=4\), also bei der fünften Schachtel einschließlich der ersten als Stufe \(0\).
55253710
Ein Springball erreicht nach jedem Aufprall denselben Anteil \(q\) seiner vorherigen Höhe. Nach dem fünften Aufprall beträgt seine Höhe im Modell noch \(32\,\%\) der Ausgangshöhe. a) Bestimme den Faktor \(q\) auf drei Dezimalstellen. b) Nach wie vielen vollständigen Aufprallen liegt die modellierte Höhe erstmals unter \(10\,\%\) der Ausgangshöhe? Verwende für b) den ungerundeten Wert von \(q\).

Denkanstöße

- Welche Potenz von \(q\) beschreibt die verbleibende Höhe nach fünf Aufprallen? - In a) ist der Faktor selbst unbekannt; welche Operation macht die fünfte Potenz rückgängig? - In b) steht die gesuchte Anzahl im Exponenten. Bestimme zuerst den rechnerischen Schwellenwert. - Warum muss der nicht-ganzzahlige Wert anschließend auf die nächste funktionierende ganze Anzahl übertragen werden?

Lösung

1. Nach fünf Aufprallen gilt \(q^5=0{,}32\). Daher ist \(q=0{,}32^{1/5}\approx0{,}796\). 2. Für den Schwellenwert in b) gilt \(q^n=0{,}1\). Mit dem ungerundeten Faktor folgt \(n=\frac{\log_{10}(0{,}1)}{\log_{10}(q)}\approx10{,}10\). 3. Nach \(10\) vollständigen Aufprallen ist die Grenze noch nicht unterschritten; erstmals darunter liegt die modellierte Höhe nach \(11\) Aufprallen.

Antwort

a) \(q\approx0{,}796\) b) \(11\) vollständige Aufpralle
55663310
Ein Verstärkersystem besteht aus gleichartigen Stufen. Nach \(6\) Stufen beträgt der Gesamtfaktor \(50\). a) Bestimme den Verstärkungsfaktor \(k\) einer einzelnen Stufe auf drei Dezimalstellen. b) Wie viele ganze Stufen werden mindestens benötigt, damit der Gesamtfaktor mindestens \(12\) beträgt? c) Nils rechnet für einen Ziel-Gesamtfaktor von \(20\) mit \(n=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(50)}\) und schließt daraus, eine Stufe reiche. Erkläre seinen Fehler und bestimme die tatsächlich nötige Mindestzahl ganzer Stufen.

Denkanstöße

- Welche Potenz des unbekannten Stufenfaktors ergibt nach \(6\) Stufen den Gesamtfaktor \(50\)? - Für b) steht die Zahl der Stufen im Exponenten; beachte anschließend die Ganzzahligkeit. - Prüfe in c), welche Größe in einer Gleichung der Form \(k^n=20\) tatsächlich die Basis sein muss. - Kontrolliere die Mindestzahl durch die beiden benachbarten ganzen Stufenzahlen.

Lösung

1. Für den Stufenfaktor gilt \(k^6=50\). Daher ist \(k=\sqrt[6]{50}\approx1{,}919\). 2. Für den Faktor \(12\) gilt \(k^n=12\). Somit ist \(n=\frac{\log_{10}(12)}{\log_{10}(k)}\approx3{,}81\). Daher werden mindestens \(4\) ganze Stufen benötigt. 3. Nils verwendet fälschlich den Gesamtfaktor nach sechs Stufen als Basis für eine einzelne Stufe. Für den Zielwert \(20\) muss \(k^n=20\) gelöst werden. 4. Damit ist \(n=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(k)}\approx4{,}59\). Es werden also mindestens \(5\) ganze Stufen benötigt.

Antwort

a) \(k\approx1{,}919\) b) mindestens \(4\) Stufen c) Nils verwendet \(50\) fälschlich als Faktor einer einzelnen Stufe; tatsächlich sind mindestens \(5\) Stufen nötig.

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