Ein Bestand wächst nach dem Modell \(B(t)=300\cdot1{,}04^t\). Für die Verdopplungszeit wird die Gleichung \(600=300\cdot1{,}04^t\) aufgestellt. Ergänze den nächsten logarithmischen Schritt: \(t=\log_{1{,}04}(\square)\).

Der Graph zeigt ein exponentielles Wachstumsmodell. Die Punkte A, B und C sind markiert. a) Lies die Koordinaten von A, B und C ab. b) Mit welchem Faktor wird der Modellwert von einer Zeiteinheit zur nächsten multipliziert? c) Von A bis C vervierfacht sich der Modellwert. Gib die Logarithmusaussage an, die beschreibt, wie viele Schritte mit dem in b) bestimmten Faktor dafür benötigt werden.

Ein Bestand wird durch das Modell \(B(t)=120\cdot1{,}5^t\) beschrieben. Für den Zeitpunkt, zu dem der Modellwert \(500\) beträgt, wurde bereits \(1{,}5^t=\frac{25}{6}\) erhalten. Welcher logarithmische Schritt bestimmt nun \(t\) richtig? A: \(t=\log_{1{,}5}\left(\frac{25}{6}\right)\) B: \(t=\log_{\frac{25}{6}}(1{,}5)\) C: \(t=\log_{1{,}5}(500)\)

Ein Modell für die von Wasserpflanzen bedeckte Fläche lautet \(A(t)=50\cdot2^t\) mit \(A\) in \(\text{m}^2\) und \(t\) in Wochen. Der gesamte Teich ist nur \(1000\,\text{m}^2\) groß. Das Modell liefert für \(t=6\) den Wert \(A(6)=3200\,\text{m}^2\). Welche Schlussfolgerung ist sachgerecht? A: Der Teich muss nach \(6\) Wochen \(3200\,\text{m}^2\) groß sein. B: Das exponentielle Modell kann spätestens vor diesem Zeitpunkt nicht mehr unverändert gelten. C: Der Modellwert beweist, dass sich die Wasseroberfläche ebenfalls exponentiell vergrößert.

Ein Kapital wird jährlich mit einem konstanten Zinssatz verzinst. Berechne jeweils die Laufzeit \(n\) in Jahren und runde auf eine Nachkommastelle. a) \(K_0=10\,000{,}00\,\text{€}\), \(p=4\,\%\), \(K_n=15\,000{,}00\,\text{€}\) b) \(K_0=500{,}00\,\text{€}\), \(p=6\,\%\), \(K_n=1200{,}00\,\text{€}\)

In einem Naturschutzgebiet wird für eine seltene Wildbienenart ein vereinfachtes exponentielles Modell mit einer jährlichen Zunahme von \(6{,}5\,\%\) verwendet. a) Nach wie vielen Jahren hat sich der modellierte Bestand verdoppelt? b) Der betrachtete Lebensraum bietet Platz für höchstens das Vierfache des aktuellen Bestandes. Nach wie vielen Jahren erreicht das Modell diese Kapazitätsgrenze? Runde beide Zeitangaben auf eine Dezimalstelle.

Ein Industrieunternehmen betrachtet ein Modell, in dem seine jährliche Produktionsmenge jedes Jahr um \(5{,}2\,\%\) und die Materialkosten pro produziertem Stück jedes Jahr um \(2{,}8\,\%\) steigen. Berechne für beide Größen jeweils die Zeitspanne in Jahren, nach der sie sich bei gleichbleibenden Zuwachsraten verdoppelt haben. Runde jeweils auf eine Dezimalstelle.

Ein Forstbetrieb stellt fest, dass der Holzbestand eines Waldstücks jährlich um etwa \(3{,}5\,\%\) wächst. Zu Beginn der Beobachtung beträgt der Bestand \(2000\,\text{m}^3\). Berechne mit einem exponentiellen Modell, nach wie vielen Jahren sich dieser Bestand verdoppelt hat. Runde das Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

In einem vereinfachten Zerfallsmodell nimmt die vorhandene Menge eines radioaktiven Isotops täglich um \(12\,\%\) ab. Ermittle die Zeitspanne in Tagen, nach der nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden ist. Runde dein Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

In einem vereinfachten Modell für den Abbau eines Wirkstoffs verringert sich dessen Konzentration im Blut pro Stunde um \(14\,\%\). Bestimme die Halbwertszeit des Modells, also die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Anfangskonzentration vorhanden ist. Gib das Ergebnis in Stunden an und runde auf zwei Dezimalstellen.

Ein Bestand wird durch das Modell \(B(t)=450\cdot1{,}06^t\) beschrieben, wobei \(t\) in Jahren gemessen wird. Nach welcher Zeit erreicht das Modell den Wert \(600\)? Runde auf eine Dezimalstelle.

Für das Zerfallsmodell \(M(t)=900\cdot0{,}92^t\), wobei \(t\) in Tagen gemessen wird, soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem \(M(t)=700\) gilt. Drei Ansätze werden vorgeschlagen: A: \(t=\frac{\log_{10}(\frac{700}{900})}{\log_{10}(0{,}92)}\) B: \(t=\frac{\log_{10}(0{,}92)}{\log_{10}(\frac{700}{900})}\) C: \(t=\frac{\log_{10}(700)}{\log_{10}(900)+\log_{10}(0{,}92)}\) a) Entscheide, welcher Ansatz korrekt ist, und begründe deine Entscheidung durch Umformen der Modellgleichung. b) Berechne anschließend \(t\) auf eine Dezimalstelle.

Für ein vereinfachtes Wachstumsmodell sind folgende Werte gegeben: <table><tr><td>\(t\) in Tagen</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><td>\(B(t)\)</td><td>\(120\)</td><td>\(150\)</td><td>\(187{,}5\)</td></tr></table> a) Bestimme den konstanten Wachstumsfaktor und stelle ein Modell der Form \(B(t)=B_0\cdot q^t\) auf. b) Nach welcher Zeit erreicht das Modell den Wert \(300\)? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Gegeben ist das Zerfallsmodell \(M(t)=640\cdot0{,}8^t\), wobei \(t\) in Stunden gemessen wird. a) Ergänze die Tabelle. <table><tr><td>\(t\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><td>\(M(t)\)</td><td>\(640\)</td><td>\(512\)</td><td>?</td></tr></table> b) Stelle die Gleichung auf, mit der der Zeitpunkt bestimmt wird, zu dem \(M(t)=300\) gilt. c) Gib die Lösung dieser Gleichung als Logarithmus und auf zwei Dezimalstellen an.

Eine Schule hat insgesamt \(800\) Schülerinnen und Schüler. Für die Verbreitung einer Nachricht wird in den ersten Stunden das Modell \(V(t)=50\cdot1{,}8^t\) verwendet. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(V(t)\) die modellierte Zahl der Personen, die die Nachricht kennen. a) Bestimme mit Logarithmen, nach welcher Zeit das Modell den Wert \(800\) erreicht. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Berechne \(V(6)\) und runde auf zwei Dezimalstellen. Passt dieser Wert noch zur beschriebenen Schule? Begründe.

Für ein vereinfachtes Zerfallsmodell von Wasserstoffperoxid \(\text{H}_2\text{O}_2\) wird angenommen, dass nach jeweils \(10\,\text{min}\) noch die Hälfte der zuvor vorhandenen Menge übrig ist. Nach wie vielen Minuten seit Beginn sind \(90\,\%\) der Ausgangsmenge zerfallen? a) \(18\,\text{min}\) b) \(30\,\text{min}\) c) \(32{,}1\,\text{min}\) d) \(33{,}2\,\text{min}\)

Die Biologin Dr. Nele Brandt vergleicht zwei vereinfachte Modelle für Bakterienkulturen. Kultur A startet mit \(100\) Bakterien und verdoppelt ihre modellierte Anzahl alle \(20\,\text{min}\). Kultur B startet ebenfalls mit \(100\) Bakterien und verdreifacht ihre modellierte Anzahl alle \(30\,\text{min}\). Untersuche rechnerisch, welche Kultur zuerst die Marke von \(1\) Million Bakterien erreicht. Wie groß ist der Zeitunterschied zwischen dem Erreichen dieser Marke bei beiden Kulturen? Runde den Zeitunterschied auf zwei Nachkommastellen.

Ein Sparguthaben wächst jährlich um einen festen Prozentsatz. Die Entwicklung des Kapitals lässt sich durch \(K(t)=K_0q^t\) beschreiben, wobei \(t\) die Zeit in Jahren und \(q\) der Wachstumsfaktor ist. Die Zeitspanne, nach der sich das Anfangskapital \(K_0\) verdoppelt hat, wird als Verdopplungszeit \(t_V\) bezeichnet. a) Zeige allgemein, dass für die Verdopplungszeit \(t_V=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(q)}\) gilt. b) Berechne die Verdopplungszeit für ein Guthaben, das mit einem Zinssatz von \(4{,}5\,\%\) pro Jahr verzinst wird. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Zwei radioaktive Isotope werden durch unterschiedliche Zerfallsmodelle beschrieben. Isotop A: \(N_A(t)=N_0\cdot0{,}92^t\), wobei \(t\) die Zeit in Tagen angibt. Isotop B: Die Halbwertszeit \(t_H\), also die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Anfangsmenge vorhanden ist, beträgt \(5\,\text{Tage}\). a) Berechne die Halbwertszeit von Isotop A auf zwei Nachkommastellen. b) Bestimme den täglichen Zerfallsfaktor \(b\) für Isotop B, sodass der Zerfall durch \(N_B(t)=N_0b^t\) beschrieben werden kann. Runde \(b\) auf drei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe wird die sogenannte „70er-Regel“ als Faustformel verwendet, um die Verdopplungszeit \(d\) in Jahren bei einer gleichbleibenden jährlichen Wachstumsrate von \(p\,\%\) abzuschätzen: \(d\approx\frac{70}{p}\). a) Berechne für \(p_1=2\), \(p_2=5\) und \(p_3=10\) die jeweilige Verdopplungszeit mit dieser Faustformel. b) Bestimme für diese drei Wachstumsraten die Verdopplungszeit im Exponentialmodell mithilfe eines Logarithmus. Runde auf zwei Nachkommastellen. c) Vergleiche die Ergebnisse aus a) und b). Bei welchem dieser Werte von \(p\) liefert die Faustformel die geringste absolute Abweichung?

Für einen Beobachtungszeitraum wird der Bestand einer Vogelart durch ein vereinfachtes Modell mit jährlich \(6\,\%\) Wachstum beschrieben. Zu Beginn werden \(80\) Tiere gezählt. a) Berechne die modellierte Anzahl nach \(15\) Jahren und runde auf ganze Tiere. b) Nach wie vielen Jahren hat sich der modellierte Bestand verdreifacht? Runde auf eine Nachkommastelle.

Ein hochwertiger Laptop kostet neu \(2400\,\text{€}\). Es wird modelliert, dass er am Ende jedes Jahres \(25\,\%\) seines jeweiligen Wertes verliert. a) Bestimme den Wert nach \(3\) Jahren. b) Nach wie vielen vollen Jahren liegt der modellierte Wert erstmals unter \(200\,\text{€}\)?

Die Forstbetriebe Waldquell und Fichtenhain vergleichen ihre Holzbestände. Waldquell verfügt zu Beginn über \(800\,\text{m}^3\) Holz, Fichtenhain über \(2000\,\text{m}^3\). Für einen Modellvergleich wird angenommen, dass Waldquell jährlich um \(4\,\%\) und Fichtenhain jährlich um \(1{,}5\,\%\) wächst. Nach wie vielen Jahren ist der modellierte Holzbestand von Waldquell genau \(75\,\%\) so groß wie der von Fichtenhain? Runde auf eine Dezimalstelle.

Ein Betrag von \(4000\,\text{€}\) wird zu einem festen Zinssatz von \(1{,}5\,\%\) pro Jahr angelegt. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Kapital zugeschlagen. a) Berechne das Kapital nach \(8\) vollen Jahren. b) Nach wie vielen vollen Jahren beträgt das Kapital erstmals mindestens \(5000\,\text{€}\)? c) Berechne die rechnerische Verdopplungszeit des Exponentialmodells einmal mit Logarithmen und einmal näherungsweise mit der Faustregel \(n\approx\frac{70}{p}\). Runde beide Zeiten auf zwei Dezimalstellen.

Für eine Bakterienkultur wird in einem vereinfachten Modell angenommen, dass zu Beginn \(250\) Bakterien vorhanden sind und die Anzahl stündlich um \(8\,\%\) wächst. a) Gib den Wachstumsfaktor \(q\) pro Stunde an und stelle das Modell \(B(t)\) für die Bakterienzahl nach \(t\) Stunden auf. b) Berechne, nach wie vielen Stunden sich die Bakterienzahl vervierfacht hat. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Bestimme die Verdopplungszeit und vergleiche sie mit der Faustregel \(t\approx\frac{70}{p}\). Runde beide Zeiten und ihre Abweichung auf zwei Dezimalstellen.

Die Faustformel \(p\cdot T_H\approx70\) kann verwendet werden, um die Halbwertszeit \(T_H\) bei einem exponentiellen Zerfallsprozess mit einer Abnahmerate von \(p\,\%\) pro Zeiteinheit zu schätzen. a) Ein radioaktives Präparat verliert in einem Modell stündlich \(10\,\%\) seiner Aktivität. Schätze die Halbwertszeit \(T_H\) mit der Faustformel. b) Berechne den Modellwert der Halbwertszeit durch Lösen der Gleichung \(\left(1-\frac{p}{100}\right)^{T_H}=0{,}5\). Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Ermittle die prozentuale Abweichung des Schätzwerts vom Modellwert. Runde auf eine Dezimalstelle.

Ein Sparguthaben wird mit einem festen jährlichen Zinssatz verzinst und verdoppelt sich nach genau \(14\) Jahren. a) Wie hoch ist der jährliche Zinssatz \(p\)? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Ermittle die Zeitspanne, nach der sich das ursprüngliche Guthaben verzehnfacht hat. Runde auf eine Dezimalstelle.

Bei exponentiellen Wachstumsprozessen mit einer Wachstumsrate von \(p\,\%\) pro Zeiteinheit lässt sich die Zeitspanne \(n\), nach der sich ein Bestand verdreifacht hat, näherungsweise mit der Faustformel \(n\approx\frac{110}{p}\) berechnen. 1. Berechne für \(p=4\) und \(p=8\) die genaue Modellzeit bis zur Verdreifachung und runde jeweils auf zwei Dezimalstellen. 2. Berechne die Näherungswerte der Faustformel und bestimme für beide Fälle die absolute Abweichung vom jeweiligen Modellwert. Runde die Abweichungen auf zwei Dezimalstellen.

In einem vereinfachten Modell wird die Wirkstoffmenge eines Schmerzmittels im Körper alle \(3\) Stunden halbiert. Zu Beginn der Beobachtung befinden sich modellhaft \(600\,\text{mg}\) Wirkstoff im Körper. a) Bestimme die verbleibende Wirkstoffmenge nach \(6\), \(9\) und \(12\) Stunden. b) Berechne, nach welcher Zeit die Wirkstoffmenge im Modell auf \(5\,\text{mg}\) gesunken ist. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Welcher Prozentsatz der Anfangsmenge ist nach \(10\) Stunden noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Das radioaktive Edelgas Radon-222 hat eine Halbwertszeit von etwa \(3{,}8\,\text{Tagen}\). a) Wie viel Prozent einer ursprünglichen Radon-Menge sind nach \(14\) Tagen noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Nach wie vielen Tagen ist die Radon-Menge auf \(10\,\%\) des Anfangswerts gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Nach wie vielen Halbwertszeiten und nach wie vielen Tagen ist die Radon-Menge nur noch \(\frac{1}{64}\) der ursprünglichen Menge?

Ein radioaktives Isotop zerfällt in einem Modell so, dass nach \(500\) Jahren noch \(75\,\%\) der ursprünglichen Masse vorhanden sind. a) Bestimme den Zerfallsfaktor \(q\) für den Zeitraum von \(500\) Jahren. b) Berechne den jährlichen Zerfallsfaktor \(a\) auf vier Nachkommastellen genau. c) Ermittle die Halbwertszeit des Isotops auf Jahre genau. d) Nach wie vielen Jahren sind nur noch \(1\,\%\) der Ausgangsmasse im Präparat enthalten? Runde auf ganze Jahre.

Für die Schadstoffkonzentration in einem Klärbecken wird ein vereinfachtes exponentielles Abbaumodell verwendet. Darin sinkt die Konzentration pro Stunde um \(12\,\%\). a) Bestimme den stündlichen Zerfallsfaktor \(a\). b) Berechne, wie viel Prozent der Anfangskonzentration nach \(5\) Stunden noch vorhanden sind. Runde auf eine Dezimalstelle. c) Ermittle die Halbwertszeit der Schadstoffkonzentration in Stunden. Runde auf zwei Dezimalstellen. d) Auf welchen Wert müsste die stündliche prozentuale Abnahme \(p\) steigen, damit sich die Schadstoffkonzentration bereits alle \(4\) Stunden halbiert? Runde auf eine Dezimalstelle.

Ein homogenes lichtabsorbierendes Filtermaterial reduziert die durchgelassene Lichtintensität pro Millimeter Schichtdicke um \(12\,\%\). Das Modell wird für die folgenden Rechnungen als exponentiell angenommen. 1. Berechne, wie viel Prozent der ursprünglichen Lichtintensität \(I_0\) nach \(3\,\text{mm}\) noch vorhanden sind. Runde auf zwei Dezimalstellen. 2. Bestimme die Schichtdicke auf zwei Dezimalstellen genau, bei der die Lichtintensität auf die Hälfte gesunken ist. 3. Bestimme die Schichtdicke auf zwei Dezimalstellen genau, bei der nur noch \(10\,\%\) der ursprünglichen Intensität durchgelassen werden.

Für die Lichtintensität in einem See wird ein vereinfachtes exponentielles Modell verwendet. Darin verringert sich die Intensität pro Meter Tiefe um \(22\,\%\). Die Intensität an der Oberfläche wird als \(100\,\%\) festgelegt. a) Wie viel Prozent der ursprünglichen Lichtintensität sind in \(2\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) Tiefe noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) In welcher Tiefe hat sich die Lichtintensität gegenüber der Oberfläche genau halbiert? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) In welcher Tiefe erreicht der Modellwert \(1\,\%\) der Oberflächenintensität? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Frau Meyer legt ein Startkapital von \(2500\,\text{€}\) bei einer jährlichen Verzinsung von \(4\,\%\) an. Zur gleichen Zeit investiert Herr Schmidt \(2800\,\text{€}\), erhält jedoch eine vierteljährliche Verzinsung von \(0{,}8\,\%\). Nach wie vielen vollen Jahren ist das Kapital von Frau Meyer zum ersten Mal größer als das von Herrn Schmidt?

Für einen biologischen Bestand wird ein vereinfachtes exponentielles Modell verwendet. Zu Beginn sind \(250\) Individuen vorhanden; die modellierte Anzahl wächst stündlich um \(12\,\%\). a) Stelle die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Stunden auf. b) Berechne die Bestandsgrößen für \(t=1\), \(t=3{,}5\), \(t=8\) und \(t=12{,}5\). Runde die modellierten Bestände auf ganze Individuen. c) Ermittle mithilfe von Logarithmen, nach wie vielen Stunden der Bestand \(400\), \(1000\) beziehungsweise \(2500\) Individuen erreicht. Runde die Zeiten auf zwei Dezimalstellen.

Für ein Waldgebiet mit einem aktuellen Holzbestand von \(25\,000\,\text{m}^3\) wird vereinfachend angenommen, dass der Bestand langfristig jährlich um konstant \(2{,}8\,\%\) wächst. a) Berechne den modellierten Holzbestand nach \(10\) und nach \(20\) Jahren. Runde jeweils auf zwei Dezimalstellen. b) Ermittle die Verdopplungszeit des Modells. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Nach wie vielen Jahren hat sich der ursprüngliche Bestand im Modell verdreifacht? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Nadia Kaya vergleicht die Anlagepläne Atlas und Vega. Atlas startet mit \(12\,500\,\text{€}\) und bietet eine jährliche Verzinsung von \(6{,}5\,\%\). Vega startet mit \(20\,000\,\text{€}\), wird aber nur mit \(3{,}8\,\%\) pro Jahr verzinst. Berechne, nach wie vielen Jahren die Guthaben gleich hoch sind, und gib an, ab wann Atlas das Guthaben von Vega übertrifft. Runde den Gleichstandszeitpunkt auf eine Dezimalstelle.

Ein Algenteppich auf einem kleinen Waldsee bedeckt zu Beginn \(4{,}5\,\text{m}^2\). Für ein vereinfachtes Modell wird angenommen, dass sich seine Fläche täglich um \(12\,\%\) vergrößert. Der See hat eine Gesamtfläche von \(1800\,\text{m}^2\). Nach wie vielen Tagen erreicht das ungebremste exponentielle Modell die gesamte Seefläche? Runde das Ergebnis auf eine ganze Zahl.

Für ein Rechenzentrum wird modelliert, dass der belegte Speicherplatz ab Beginn des Jahres 2024 jährlich um \(35\,\%\) wächst. Zu diesem Zeitpunkt sind \(450\,\text{TB}\) belegt; die verfügbare Speicherkapazität beträgt \(15\,000\,\text{TB}\). Für das Modell wird angenommen, dass der Jahresfaktor \(1{,}35\) auch für Bruchteile eines Jahres exponentiell gilt. In welchem Kalenderjahr erreicht der Modellwert die Speicherkapazität, wenn keine neue Kapazität hinzukommt?

Ein spezielles Filtersystem für Industrieabwässer reduziert die Menge eines bestimmten Giftstoffs bei jedem Durchlauf um \(65\,\%\). Berechne, nach wie vielen Durchläufen die verbleibende Giftstoffmenge zum ersten Mal weniger als \(0{,}5\,\%\) der ursprünglichen Menge beträgt.

Für den Wert einer Produktionsmaschine wird vereinfachend angenommen, dass er durch Abnutzung jedes Jahr um \(12\,\%\) gegenüber dem Vorjahr sinkt. Bestimme rechnerisch, nach wie vielen vollen Jahren der modellierte Wert erstmals weniger als ein Drittel des ursprünglichen Kaufpreises beträgt.

Zu Beginn sind \(400\,\text{mg}\) eines Wirkstoffs im Körper. Im Modell nimmt die Wirkstoffmenge pro Stunde um \(15\,\%\) ab. a) Erstelle eine Tabelle für die Restmenge nach \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\) Stunden. b) Bestimme die Halbwertszeit mit Logarithmen und runde auf zwei Dezimalstellen. c) Bestimme mit Logarithmen die Zeit, nach der die modellierte Wirkstoffmenge \(50\,\text{mg}\) erreicht. Runde auf zwei Dezimalstellen und gib zusätzlich an, nach wie vielen vollen Stunden die Menge erstmals unter \(50\,\text{mg}\) liegt.

Für eine Algenart in einem Teich wird unter idealisierten Bedingungen ein tägliches Flächenwachstum von \(18\,\%\) modelliert. Zu Beginn sind \(2500\,\text{cm}^2\) bedeckt. a) Berechne die Verdopplungszeit der bedeckten Fläche. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Welche Fläche ist nach \(12\) Tagen bedeckt? Runde auf ganze \(\text{cm}^2\). c) Nach welcher Zeit erreicht das Modell eine Fläche von \(2\,\text{m}^2\)? Runde den rechnerischen Schwellenzeitpunkt auf eine Dezimalstelle.

Iod-131 (\(^{131}\text{I}\)) besitzt eine physikalische Halbwertszeit von etwa \(8{,}02\,\text{Tagen}\). In dieser Aufgabe wird ausschließlich der radioaktive Zerfall betrachtet; biologische Ausscheidung oder Aufnahmeprozesse werden nicht modelliert. a) Ermittle die tägliche Zerfallsrate in Prozent. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Nach wie vielen Tagen sind durch den radioaktiven Zerfall noch \(10\,\%\) der Anfangsmenge nicht zerfallen? Runde auf eine Dezimalstelle.

In einem vereinfachten Rechenmodell für Strontium-90 wird eine jährliche Abnahme um \(2{,}4\,\%\) angenommen. Die Anfangsaktivität wird auf \(400\) relative Einheiten normiert. a) Berechne die modellierte Aktivität nach \(15\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Um wie viel Prozent nimmt die Aktivität innerhalb dieser \(15\) Jahre insgesamt ab? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Berechne die Halbwertszeit, die sich aus diesem Modell ergibt. Runde auf eine Dezimalstelle.

In einem vereinfachten Rechenmodell zur Radiokarbonmethode wird für Kohlenstoff-14 eine Halbwertszeit von etwa \(5730\) Jahren verwendet. Für eine Probe und ein geeignetes lebendes Vergleichsmaterial seien die Kohlenstoff-14-Aktivitäten auf derselben relativen Skala angegeben: Das Vergleichsmaterial hat den Wert \(12{,}0\), die ausgegrabene Knochenprobe den Wert \(3{,}5\). Für die Rechnung wird angenommen, dass das Verhältnis allein durch radioaktiven Zerfall entstanden ist. a) Bestimme den jährlichen Abnahmefaktor \(b\) und runde auf sechs Dezimalstellen. b) Berechne das ungefähre Alter des Knochenfunds und runde auf ganze Jahre.

Eine Wasserpflanzenkolonie bedeckt zu Beginn modellhaft eine Fläche von \(20\,\text{m}^2\). Solange die Bedingungen unverändert bleiben, wird ihre bedeckte Fläche durch \(A(t)=20\cdot1{,}4^t\) mit \(t\) in Wochen beschrieben. Die gesamte Wasseroberfläche des Teichs beträgt \(600\,\text{m}^2\). a) Nach wie vielen Wochen erreicht das Modell erstmals \(300\,\text{m}^2\)? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Berechne auch den Modellzeitpunkt für \(800\,\text{m}^2\) und runde auf zwei Dezimalstellen. c) Beurteile das Ergebnis aus b) im Sachzusammenhang und nenne eine Grenze des Modells.

Der Graph zeigt das Modell \(B(t)=200\cdot1{,}25^t\) und einen später erhobenen Messwert. a) Lies den Messwert bei \(t=4\) aus dem Graphen ab. b) Berechne den Modellwert für \(t=4\) und die prozentuale Abweichung des Modellwerts vom Messwert. Beziehe die Abweichung auf den Messwert und runde auf eine Dezimalstelle. c) Für die Anwendung gilt eine Abweichung von höchstens \(10\,\%\) noch als akzeptabel. Ist das Modell bei \(t=4\) nach diesem Kriterium akzeptabel?

Untersuche die Zeitspanne \(n\), in der sich eine Größe bei einer jährlichen Wachstumsrate von \(p\,\%\) vervierfacht. 1. Berechne die Zeitspannen für \(p=2\), \(p=5\) und \(p=10\) und runde auf zwei Dezimalstellen. 2. Multipliziere jeweils die Zeitspanne \(n\) mit dem Prozentsatz \(p\). Bestimme \(c\) als arithmetisches Mittel der drei Produkte \(np\) und runde \(c\) auf eine ganze Zahl. Formuliere daraus eine Faustformel der Form \(n\approx\frac{c}{p}\) für die Vervierfachungszeit.

Für einen Sparplan werden zwei mathematische Wachstumsmodelle verglichen. Der Sparplan Kompass startet mit \(6000\,\text{€}\) und hat den effektiven Jahresfaktor \(1{,}025\). Für monatliche Vergleichszeitpunkte wird daraus der Monatsfaktor \(1{,}025^{\frac{1}{12}}\) verwendet. Der Sparplan Horizont startet mit \(5500\,\text{€}\) und wächst monatlich mit dem Faktor \(1{,}004\). Nach wie vielen vollen Monaten übersteigt das modellierte Guthaben von Horizont erstmals das von Kompass?

In einem vereinfachten Vergleichsmodell werden zwei Bakterienkulturen betrachtet. Kultur A startet mit \(1500\) Bakterien und wächst alle \(4\) Stunden um \(15\,\%\). Kultur B startet mit \(2500\) Bakterien und wächst alle \(12\) Stunden um \(35\,\%\). Nach wie vielen Stunden sind beide Kulturen im Modell gleich groß, und ab wann ist die Bakterienzahl in Kultur A größer? Runde den Gleichstandszeitpunkt auf zwei Dezimalstellen.

Der Graph zeigt das Modell \(M(t)=100\cdot1{,}5^t\) und Messwerte einer beobachteten Größe zu mehreren Zeitpunkten. a) Beschreibe, wie gut die Messwerte zu Beginn und später zum Modell passen. b) Berechne, zu welchem Zeitpunkt das Modell den Wert \(500\) erreicht. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Beurteile mithilfe der Messwerte, ob diese Modellvorhersage für den beobachteten Verlauf plausibel ist.

In einer Beobachtungsreihe wurden für einen Bestand die Werte \(B(0)=100\), \(B(1)=150\) und \(B(2)=225\) erfasst. Dazu wurde zunächst das Modell \(B_{\text{alt}}(t)=100\cdot1{,}5^t\) mit \(t\) in Tagen verwendet. Bei \(t=4\) wird jedoch der Wert \(324\) beobachtet. Für diese Modellprüfung gilt: Weicht ein Modellwert um mehr als \(20\,\%\) vom beobachteten Wert ab, soll das Modell überarbeitet werden. a) Berechne \(B_{\text{alt}}(4)\) und die relative Abweichung vom beobachteten Wert \(324\). Beziehe die Abweichung auf den beobachteten Wert und runde auf eine Dezimalstelle. b) Entscheide anhand des vorgegebenen Kriteriums, ob das Modell überarbeitet werden soll. c) Nimm für die Zeit ab \(t=2\) wieder einen konstanten täglichen Faktor \(q\) an. Bestimme \(q\) so, dass die Beobachtungen \(B(2)=225\) und \(B(4)=324\) getroffen werden, und stelle das revidierte Modell auf. d) Berechne mit dem revidierten Modell, wann der Bestand \(500\) erreicht. Runde auf zwei Dezimalstellen. e) Erkläre kurz, warum das revidierte Modell durch die Beobachtungsreihe besser gestützt ist als das unveränderte Fortsetzen des ursprünglichen Faktors.

In einem idealisierten Schulmodell wird die von einer Kultur bedeckte Fläche in einer Petrischale betrachtet. Die gesamte nutzbare Fläche der Schale beträgt \(80\,\text{cm}^2\). Folgende Werte werden verwendet: <table><tr><td>\(t\) in Tagen</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr><tr><td>bedeckte Fläche in \(\text{cm}^2\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td><td>\(48\)</td></tr></table> a) Verwende zunächst nur die Werte für \(t=0,1,2\) und stelle ein exponentielles Modell \(A_1(t)\) auf. b) Berechne mit \(A_1\), wann die gesamte Fläche von \(80\,\text{cm}^2\) erreicht würde. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Vergleiche den Modellwert \(A_1(4)\) mit dem Tabellenwert bei \(t=4\). Bestimme die prozentuale Abweichung des Modellwerts vom Tabellenwert, bezogen auf den Tabellenwert. d) Nimm nun an, dass ab \(t=2\) ein neuer konstanter täglicher Faktor gilt, der den Wert \(48\) bei \(t=4\) genau trifft. Bestimme diesen Faktor und berechne mit dem revidierten Modell den Zeitpunkt für \(80\,\text{cm}^2\). Runde auf zwei Dezimalstellen. e) Beurteile, welcher der beiden berechneten Zeitpunkte für eine Prognose geeigneter ist, und nenne zusätzlich eine grundsätzliche Grenze beider exponentiellen Modelle.