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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Logarithmen in Wachstumsmodellen

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55172510
Ein Bestand wächst nach dem Modell \(B(t)=300\cdot1{,}04^t\). Für die Verdopplungszeit wird die Gleichung \(600=300\cdot1{,}04^t\) aufgestellt. Ergänze den nächsten logarithmischen Schritt: \(t=\log_{1{,}04}(\ldots)\).

Denkanstöße

- Teile die Gleichung zuerst durch den Anfangsbestand \(300\). - Das verbleibende Verhältnis wird zum Argument des Logarithmus.

Lösung

Nach Division durch \(300\) gilt \(1{,}04^t=2\). Daher ist \(t=\log_{1{,}04}2\).

Antwort

\(t=\log_{1{,}04}2\)
55172610
Der Graph zeigt ein exponentielles Wachstumsmodell. Die Punkte A, B und C sind markiert. a) Lies die Koordinaten von A, B und C ab. b) Mit welchem Faktor wird der Modellwert von einer Zeiteinheit zur nächsten multipliziert? c) Von A bis C vervierfacht sich der Modellwert. Gib die Logarithmusaussage an, die beschreibt, wie viele Schritte mit dem in b) bestimmten Faktor dafür benötigt werden.
Abbildung zur Aufgabe 551726

Denkanstöße

- Lies bei jedem markierten Punkt zuerst die x- und dann die y-Koordinate ab. - Vergleiche die y-Werte zweier aufeinanderfolgender markierter Punkte. - Welche Potenz von \(2\) ergibt den Gesamtfaktor von A bis C?

Lösung

1. Aus dem Graphen liest man A\((0\mid100)\), B\((1\mid200)\) und C\((2\mid400)\) ab. 2. Von A nach B und von B nach C wird der Modellwert jeweils mit \(2\) multipliziert; der Faktor pro Zeiteinheit ist also \(2\). 3. Von \(100\) auf \(400\) wächst der Modellwert um den Faktor \(4\). Gesucht ist die Anzahl der Schritte mit Faktor \(2\). Daher lautet die passende Logarithmusaussage \(\log_2(4)=2\).

Antwort

a) A\((0\mid100)\), B\((1\mid200)\), C\((2\mid400)\) b) Faktor \(2\) c) \(\log_2(4)=2\)
55663410
Ein Bestand wird durch das Modell \(B(t)=120\cdot1{,}5^t\) beschrieben. Für den Zeitpunkt, zu dem der Modellwert \(500\) beträgt, wurde bereits \(1{,}5^t=\frac{25}{6}\) erhalten. Welcher logarithmische Schritt bestimmt nun \(t\) richtig? A: \(t=\log_{1{,}5}\left(\frac{25}{6}\right)\) B: \(t=\log_{\frac{25}{6}}(1{,}5)\) C: \(t=\log_{1{,}5}(500)\)

Denkanstöße

- Welche Zahl ist in der Potenzgleichung die Basis? - Welche Zahl ist das Ergebnis der Potenz und wird damit zum Argument des Logarithmus?

Lösung

1. Die Gleichung hat die Form \(1{,}5^t=\frac{25}{6}\). 2. Nach der Definition des Logarithmus ist deshalb \(t=\log_{1{,}5}(\frac{25}{6})\). 3. Damit ist A richtig.

Antwort

A
55663510
Ein Modell für die von Wasserpflanzen bedeckte Fläche lautet \(A(t)=50\cdot2^t\) mit \(A\) in \(\text{m}^2\) und \(t\) in Wochen. Der gesamte Teich ist nur \(1000\,\text{m}^2\) groß. Das Modell liefert für \(t=6\) den Wert \(A(6)=3200\,\text{m}^2\). Welche Schlussfolgerung ist sachgerecht? A: Der Teich muss nach \(6\) Wochen \(3200\,\text{m}^2\) groß sein. B: Das exponentielle Modell kann spätestens vor diesem Zeitpunkt nicht mehr unverändert gelten. C: Der Modellwert beweist, dass sich die Wasseroberfläche ebenfalls exponentiell vergrößert.

Denkanstöße

- Vergleiche den Modellwert mit der im Kontext möglichen größten Fläche. - Ein mathematisches Modell kann außerhalb seines sinnvollen Bereichs Werte liefern, die sachlich unmöglich sind.

Lösung

1. Die maximal bedeckbare Fläche ist durch die Wasseroberfläche auf \(1000\,\text{m}^2\) begrenzt. 2. Der Modellwert \(3200\,\text{m}^2\) überschreitet diese feste Obergrenze deutlich. 3. Deshalb kann das Modell mit konstantem Verdopplungsfaktor nicht bis zu diesem Zeitpunkt unverändert gelten. Aussage B ist richtig.

Antwort

B
42831610
Ein Kapital wird jährlich mit einem konstanten Zinssatz verzinst. Berechne jeweils die Laufzeit \(n\) in Jahren und runde auf eine Nachkommastelle. a) \(K_0=10\,000{,}00\,\text{€}\), \(p=4\,\%\), \(K_n=15\,000{,}00\,\text{€}\) b) \(K_0=500{,}00\,\text{€}\), \(p=6\,\%\), \(K_n=1200{,}00\,\text{€}\)

Denkanstöße

- Stelle in jedem Fall zuerst das exponentielle Kapitalmodell auf. - Isoliere die Potenz, bevor du logarithmierst. - Die gesuchte Laufzeit steht im Exponenten.

Lösung

1. Für a) gilt \(15\,000=10\,000\cdot1{,}04^n\), also \(1{,}5=1{,}04^n\). 2. Daher ist \(n=\frac{\log_{10}(1{,}5)}{\log_{10}(1{,}04)}\approx10{,}3\,\text{Jahre}\). 3. Für b) gilt \(1200=500\cdot1{,}06^n\), also \(2{,}4=1{,}06^n\). 4. Daher ist \(n=\frac{\log_{10}(2{,}4)}{\log_{10}(1{,}06)}\approx15{,}0\,\text{Jahre}\).

Antwort

a) \(n\approx10{,}3\,\text{Jahre}\) b) \(n\approx15{,}0\,\text{Jahre}\)
42832310
Der Graph zeigt zwei exponentielle Bevölkerungsmodelle: \(f\) für Eichenfurt und \(g\) für Sonnenried. a) Zwischen welchen beiden markierten 5-Jahres-Werten liegt der Schnittpunkt der beiden Graphen? b) Liegt die gemeinsame Einwohnerzahl am Schnittpunkt näher bei \(50\,000\) oder bei \(60\,000\)? c) Welche Stadt hat vor dem Schnittpunkt mehr Einwohner, und welche danach?
Abbildung zur Aufgabe 428323

Denkanstöße

- Suche zuerst nur die Stelle, an der sich die beiden Kurven \(f\) und \(g\) schneiden. - Nutze für b) die waagerechten Gitternetzlinien als Vergleichswerte. - Vergleiche für c) die vertikale Lage von \(f\) und \(g\) links und rechts vom Schnittpunkt.

Lösung

1. Der Schnittpunkt liegt zwischen \(20\) und \(25\) Jahren. 2. Seine Höhe liegt nur wenig über \(50\,000\) und deutlich unter \(60\,000\); sie liegt daher näher bei \(50\,000\). 3. Vor dem Schnittpunkt liegt \(g\), also das Modell für Sonnenried, höher. Nach dem Schnittpunkt liegt \(f\), also das Modell für Eichenfurt, höher.

Antwort

a) Zwischen \(20\) und \(25\) Jahren. b) Näher bei \(50\,000\) Einwohnern. c) Vorher Sonnenried, danach Eichenfurt.
42832910
In einem Naturschutzgebiet wird für eine seltene Wildbienenart ein vereinfachtes exponentielles Modell mit einer jährlichen Zunahme von \(6{,}5\,\%\) verwendet. a) Nach wie vielen Jahren hat sich der modellierte Bestand verdoppelt? b) Der betrachtete Lebensraum bietet Platz für höchstens das Vierfache des aktuellen Bestandes. Nach wie vielen Jahren erreicht das Modell diese Kapazitätsgrenze? Runde beide Zeitangaben auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu einer jährlichen Zunahme von \(6{,}5\,\%\)? - Was bedeutet „verdoppelt“ beziehungsweise „Vierfaches“ für das Verhältnis von Endwert und Anfangswert? - Der Anfangsbestand kürzt sich in beiden Gleichungen heraus. - Welche Beziehung besteht zwischen Verdopplung und Vervierfachung?

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor ist \(q=1{,}065\). 2. Für die Verdopplung gilt \(1{,}065^t=2\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}065)}\approx11{,}01\), also gerundet \(11{,}0\) Jahre. 3. Für die Vervierfachung gilt \(1{,}065^t=4\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(1{,}065)}\approx22{,}01\), also gerundet \(22{,}0\) Jahre.

Antwort

a) \(t\approx11{,}0\,\text{Jahre}\) b) \(t\approx22{,}0\,\text{Jahre}\)
42833010
Ein Industrieunternehmen betrachtet ein Modell, in dem seine jährliche Produktionsmenge jedes Jahr um \(5{,}2\,\%\) und die Materialkosten pro produziertem Stück jedes Jahr um \(2{,}8\,\%\) steigen. Berechne für beide Größen jeweils die Zeitspanne in Jahren, nach der sie sich bei gleichbleibenden Zuwachsraten verdoppelt haben. Runde jeweils auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Bestimme für beide Größen den jeweiligen Wachstumsfaktor. - Was bedeutet Verdopplung für das Verhältnis von Endwert und Anfangswert? - Die unbekannten Anfangswerte kürzen sich bei der Berechnung der Verdopplungszeit heraus.

Lösung

1. Die Wachstumsfaktoren sind \(q_{\text{Produktion}}=1{,}052\) und \(q_{\text{Kosten}}=1{,}028\). 2. Für die Produktionsmenge gilt \(1{,}052^t=2\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}052)}\approx13{,}67\), also gerundet \(13{,}7\) Jahre. 3. Für die Materialkosten gilt \(1{,}028^t=2\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}028)}\approx25{,}10\), also gerundet \(25{,}1\) Jahre.

Antwort

Produktionsmenge: \(13{,}7\,\text{Jahre}\) Materialkosten pro Stück: \(25{,}1\,\text{Jahre}\)
42841710
Ein Forstbetrieb stellt fest, dass der Holzbestand eines Waldstücks jährlich um etwa \(3{,}5\,\%\) wächst. Zu Beginn der Beobachtung beträgt der Bestand \(2000\,\text{m}^3\). Berechne mit einem exponentiellen Modell, nach wie vielen Jahren sich dieser Bestand verdoppelt hat. Runde das Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(3{,}5\,\%\) jährlichem Wachstum? - Was bedeutet Verdopplung für den Endwert im Vergleich zum Anfangswert? - Prüfe, ob sich der konkrete Anfangsbestand aus der Gleichung herauskürzt.

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor ist \(q=1{,}035\). Für die Verdopplung gilt \(2000\cdot1{,}035^t=4000\). 2. Nach Division durch \(2000\) folgt \(1{,}035^t=2\). 3. Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}035)}\approx20{,}15\). 4. Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(20{,}1\) Jahre.

Antwort

Nach etwa \(20{,}1\) Jahren.
42841810
In einem vereinfachten Zerfallsmodell nimmt die vorhandene Menge eines radioaktiven Isotops täglich um \(12\,\%\) ab. Ermittle die Zeitspanne in Tagen, nach der nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden ist. Runde dein Ergebnis auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Faktor bleibt nach einer täglichen Abnahme um \(12\,\%\)? - Welcher Dezimalzahl entspricht ein Viertel? - Der Anfangswert kürzt sich, wenn du nur den verbleibenden Anteil betrachtest. - Welche Logarithmusregel hilft bei einer Unbekannten im Exponenten?

Lösung

1. Der tägliche Abnahmefaktor ist \(q=0{,}88\). 2. Für einen Restanteil von einem Viertel gilt \(0{,}88^t=0{,}25\). 3. Mit der Potenzregel folgt \(t\log_{10}(0{,}88)=\log_{10}(0{,}25)\). 4. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(0{,}25)}{\log_{10}(0{,}88)}\approx10{,}84\). 5. Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(10{,}8\) Tage.

Antwort

Nach etwa \(10{,}8\) Tagen.
42849210
In einem vereinfachten Modell für den Abbau eines Wirkstoffs verringert sich dessen Konzentration im Blut pro Stunde um \(14\,\%\). Bestimme die Halbwertszeit des Modells, also die Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Anfangskonzentration vorhanden ist. Gib das Ergebnis in Stunden an und runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Faktor bleibt nach einer stündlichen Abnahme um \(14\,\%\)? - Welcher Restanteil kennzeichnet eine Halbwertszeit? - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten des Abnahmefaktors.

Lösung

1. Der stündliche Abnahmefaktor ist \(q=1-0{,}14=0{,}86\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}86^t=0{,}5\). 3. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}86)}\approx4{,}59577\). 4. Auf zwei Dezimalstellen gerundet beträgt die Halbwertszeit \(4{,}60\) Stunden.

Antwort

etwa \(4{,}60\) Stunden
55253910
Ein Bestand wird durch das Modell \(B(t)=450\cdot1{,}06^t\) beschrieben, wobei \(t\) in Jahren gemessen wird. Nach welcher Zeit erreicht das Modell den Wert \(600\)? Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Setze den Zielwert für \(B(t)\) in das Modell ein. - Isoliere anschließend die Potenz mit dem unbekannten Exponenten. - Wie kannst du eine Gleichung der Form \(a^t=c\) mithilfe eines Logarithmus nach \(t\) auflösen?

Lösung

1. Setze den Zielwert ein: \(600=450\cdot1{,}06^t\). 2. Division durch \(450\) ergibt \(\frac{4}{3}=1{,}06^t\). 3. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(\frac{4}{3})}{\log_{10}(1{,}06)}\approx4{,}9\).

Antwort

\(t\approx4{,}9\,\text{Jahre}\)
55254010
Für das Zerfallsmodell \(M(t)=900\cdot0{,}92^t\), wobei \(t\) in Tagen gemessen wird, soll der Zeitpunkt bestimmt werden, zu dem \(M(t)=700\) gilt. Drei Ansätze werden vorgeschlagen: A: \(t=\frac{\log_{10}(\frac{700}{900})}{\log_{10}(0{,}92)}\) B: \(t=\frac{\log_{10}(0{,}92)}{\log_{10}(\frac{700}{900})}\) C: \(t=\frac{\log_{10}(700)}{\log_{10}(900)+\log_{10}(0{,}92)}\) a) Entscheide, welcher Ansatz korrekt ist, und begründe deine Entscheidung durch Umformen der Modellgleichung. b) Berechne anschließend \(t\) auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Isoliere zuerst die Potenz \(0{,}92^t\), bevor du logarithmierst. - Welche Logarithmusregel macht den Exponenten \(t\) zum Faktor? - Vergleiche die so entstehende Gleichung mit den drei vorgeschlagenen Brüchen. - Beide Logarithmen im korrekten Bruch sind negativ; welches Vorzeichen muss der Zeitwert deshalb haben?

Lösung

1. Aus \(700=900\cdot0{,}92^t\) folgt nach Division durch \(900\) die Gleichung \(\frac{7}{9}=0{,}92^t\). 2. Mit der Potenzregel ergibt sich \(\log_{10}(\frac{7}{9})=t\log_{10}(0{,}92)\). Daher ist Ansatz A korrekt. 3. Mit Ansatz A erhält man \(t=\frac{\log_{10}(\frac{7}{9})}{\log_{10}(0{,}92)}\approx3{,}0\).

Antwort

a) Ansatz A b) \(t\approx3{,}0\,\text{Tage}\)
55663610
Für ein vereinfachtes Wachstumsmodell sind folgende Werte gegeben: <table><tr><td>\(t\) in Tagen</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><td>\(B(t)\)</td><td>\(120\)</td><td>\(150\)</td><td>\(187{,}5\)</td></tr></table> a) Bestimme den konstanten Wachstumsfaktor und stelle ein Modell der Form \(B(t)=B_0\cdot q^t\) auf. b) Nach welcher Zeit erreicht das Modell den Wert \(300\)? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Vergleiche aufeinanderfolgende Tabellenwerte durch Quotienten. - Ein exponentielles Modell hat bei gleichen Zeitschritten einen konstanten Faktor. - Setze für b) den Zielwert in dein gefundenes Modell ein.

Lösung

1. Von \(120\) auf \(150\) beträgt der Faktor \(\frac{150}{120}=1{,}25\). Auch \(\frac{187{,}5}{150}=1{,}25\), also ist der Faktor in der Tabelle konstant. 2. Das Modell lautet \(B(t)=120\cdot1{,}25^t\). 3. Für den Zielwert \(300\) gilt \(120\cdot1{,}25^t=300\), also \(1{,}25^t=2{,}5\). 4. Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(2{,}5)}{\log_{10}(1{,}25)}\approx4{,}11\) Tage.

Antwort

a) \(q=1{,}25\); \(B(t)=120\cdot1{,}25^t\) b) etwa \(4{,}11\) Tage
55663710
Gegeben ist das Zerfallsmodell \(M(t)=640\cdot0{,}8^t\), wobei \(t\) in Stunden gemessen wird. a) Ergänze die Tabelle. <table><tr><td>\(t\)</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td></tr><tr><td>\(M(t)\)</td><td>\(640\)</td><td>\(512\)</td><td>?</td></tr></table> b) Stelle die Gleichung auf, mit der der Zeitpunkt bestimmt wird, zu dem \(M(t)=300\) gilt. c) Gib die Lösung dieser Gleichung als Logarithmus und auf zwei Dezimalstellen an.

Denkanstöße

- Der Tabellenwert bei \(t=2\) entsteht durch zweimalige Multiplikation mit dem Abnahmefaktor. - Für b) setzt du den gewünschten Modellwert an die Stelle von \(M(t)\). - Isoliere vor der logarithmischen Darstellung die Potenz \(0{,}8^t\).

Lösung

1. Für \(t=2\) ist \(M(2)=640\cdot0{,}8^2=409{,}6\). 2. Für den Zielwert \(300\) gilt \(640\cdot0{,}8^t=300\). 3. Nach Division durch \(640\) folgt \(0{,}8^t=\frac{300}{640}\). 4. Daher ist \(t=\log_{0{,}8}\left(\frac{300}{640}\right)=\frac{\log_{10}(\frac{300}{640})}{\log_{10}(0{,}8)}\approx3{,}40\) Stunden.

Antwort

a) \(409{,}6\) b) \(640\cdot0{,}8^t=300\) c) \(t=\log_{0{,}8}(\frac{300}{640})\approx3{,}40\,\text{Stunden}\)
41008910
Für ein vereinfachtes Zerfallsmodell von Wasserstoffperoxid \(\text{H}_2\text{O}_2\) wird angenommen, dass nach jeweils \(10\,\text{min}\) noch die Hälfte der zuvor vorhandenen Menge übrig ist. Nach wie vielen Minuten seit Beginn sind \(90\,\%\) der Ausgangsmenge zerfallen? a) \(18\,\text{min}\) b) \(30\,\text{min}\) c) \(32{,}1\,\text{min}\) d) \(33{,}2\,\text{min}\)

Denkanstöße

- Welche Modellgleichung beschreibt eine Halbierung in jeweils \(10\,\text{min}\)? - Wenn \(90\,\%\) zerfallen sind, welcher Anteil ist noch vorhanden? - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten; nutze einen Logarithmus, um sie zu bestimmen.

Lösung

1. Mit der Halbwertszeit \(T_{1/2}=10\,\text{min}\) gilt \(N(t)=N_0\cdot0{,}5^{t/10}\). 2. Wenn \(90\,\%\) zerfallen sind, sind noch \(10\,\%\) vorhanden. Daher gilt \(0{,}1=0{,}5^{t/10}\). 3. Mit dem Zehnerlogarithmus folgt \(\log_{10}(0{,}1)=\frac{t}{10}\log_{10}(0{,}5)\). 4. Somit ist \(t=10\cdot\frac{\log_{10}(0{,}1)}{\log_{10}(0{,}5)}\approx33{,}2\,\text{min}\).

Antwort

d) \(33{,}2\,\text{min}\)
42594810
Die Biologin Dr. Nele Brandt vergleicht zwei vereinfachte Modelle für Bakterienkulturen. Kultur A startet mit \(100\) Bakterien und verdoppelt ihre modellierte Anzahl alle \(20\,\text{min}\). Kultur B startet ebenfalls mit \(100\) Bakterien und verdreifacht ihre modellierte Anzahl alle \(30\,\text{min}\). Untersuche rechnerisch, welche Kultur zuerst die Marke von \(1\) Million Bakterien erreicht. Wie groß ist der Zeitunterschied zwischen dem Erreichen dieser Marke bei beiden Kulturen? Runde den Zeitunterschied auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Stelle für beide Kulturen eine Modellfunktion in Abhängigkeit von der Zeit auf. - Setze beide Modelle getrennt mit derselben Zielgröße gleich. - Die gesuchte Zeit steht jeweils im Exponenten; bestimme sie logarithmisch. - Vergleiche erst die beiden Zeiten und bilde anschließend ihre Differenz.

Lösung

1. Für die Zeit \(t\) in Minuten gelten \(N_A(t)=100\cdot2^{t/20}\) und \(N_B(t)=100\cdot3^{t/30}\). 2. Für Kultur A führt \(100\cdot2^{t/20}=1\,000\,000\) auf \(2^{t/20}=10\,000\). Daher ist \(t_A=20\frac{\log_{10}(10000)}{\log_{10}(2)}\approx265{,}75\,\text{min}\). 3. Für Kultur B führt \(100\cdot3^{t/30}=1\,000\,000\) auf \(3^{t/30}=10\,000\). Daher ist \(t_B=30\frac{\log_{10}(10000)}{\log_{10}(3)}\approx251{,}51\,\text{min}\). 4. Kultur B erreicht die Marke zuerst. Der Zeitunterschied beträgt \(265{,}754\ldots-251{,}508\ldots\approx14{,}25\,\text{min}\).

Antwort

Kultur B erreicht die Marke zuerst. Der Zeitunterschied beträgt etwa \(14{,}25\,\text{min}\).
42824510
Ein Sparguthaben wächst jährlich um einen festen Prozentsatz. Die Entwicklung des Kapitals lässt sich durch \(K(t)=K_0q^t\) beschreiben, wobei \(t\) die Zeit in Jahren und \(q\) der Wachstumsfaktor ist. Die Zeitspanne, nach der sich das Anfangskapital \(K_0\) verdoppelt hat, wird als Verdopplungszeit \(t_V\) bezeichnet. a) Zeige allgemein, dass für die Verdopplungszeit \(t_V=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(q)}\) gilt. b) Berechne die Verdopplungszeit für ein Guthaben, das mit einem Zinssatz von \(4{,}5\,\%\) pro Jahr verzinst wird. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Was muss für das Kapital am Ende der Verdopplungszeit gelten? - Kürze zunächst den gemeinsamen Anfangswert aus der Gleichung heraus. - Welche Logarithmusregel macht den Exponenten zu einem Faktor? - Bestimme in b) zuerst den Wachstumsfaktor aus dem Prozentsatz.

Lösung

1. Für die Verdopplungszeit gilt \(K(t_V)=2K_0\). Damit ist \(2K_0=K_0q^{t_V}\) und wegen \(K_0>0\) folgt \(2=q^{t_V}\). 2. Logarithmieren liefert \(\log_{10}(2)=\log_{10}(q^{t_V})\). 3. Mit der Potenzregel gilt \(\log_{10}(2)=t_V\log_{10}(q)\), also \(t_V=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(q)}\). 4. Bei \(4{,}5\,\%\) jährlichem Wachstum ist \(q=1{,}045\). 5. Damit ist \(t_V=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}045)}\approx15{,}75\,\text{Jahre}\).

Antwort

a) Aus \(2=q^{t_V}\) folgt mit der Potenzregel \(t_V=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(q)}\). b) \(t_V\approx15{,}75\,\text{Jahre}\)
42824610
Zwei radioaktive Isotope werden durch unterschiedliche Zerfallsmodelle beschrieben. Isotop A: \(N_A(t)=N_0\cdot0{,}92^t\), wobei \(t\) die Zeit in Tagen angibt. Isotop B: Die Halbwertszeit \(t_H\), also die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Anfangsmenge vorhanden ist, beträgt \(5\,\text{Tage}\). a) Berechne die Halbwertszeit von Isotop A auf zwei Nachkommastellen. b) Bestimme den täglichen Zerfallsfaktor \(b\) für Isotop B, sodass der Zerfall durch \(N_B(t)=N_0b^t\) beschrieben werden kann. Runde \(b\) auf drei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von verbleibender Menge zu Anfangsmenge? - In a) steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - In b) ist dagegen der tägliche Faktor selbst unbekannt; welche Operation macht die fünfte Potenz rückgängig?

Lösung

1. Für Isotop A gilt zur Halbwertszeit \(0{,}5N_0=N_0\cdot0{,}92^{t_H}\), also \(0{,}5=0{,}92^{t_H}\). 2. Logarithmieren liefert \(\log_{10}(0{,}5)=t_H\log_{10}(0{,}92)\). Daher ist \(t_H=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}92)}\approx8{,}31\,\text{Tage}\). 3. Für Isotop B gilt nach \(5\) Tagen \(0{,}5=b^5\). 4. Daher ist \(b=\sqrt[5]{0{,}5}=0{,}5^{1/5}\approx0{,}871\).

Antwort

a) \(t_H\approx8{,}31\,\text{Tage}\) b) \(b\approx0{,}871\)
42831310
Für diese Aufgabe wird die sogenannte „70er-Regel“ als Faustformel verwendet, um die Verdopplungszeit \(d\) in Jahren bei einer gleichbleibenden jährlichen Wachstumsrate von \(p\,\%\) abzuschätzen: \(d\approx\frac{70}{p}\). a) Berechne für \(p_1=2\), \(p_2=5\) und \(p_3=10\) die jeweilige Verdopplungszeit mit dieser Faustformel. b) Bestimme für diese drei Wachstumsraten die Verdopplungszeit im Exponentialmodell mithilfe eines Logarithmus. Runde auf zwei Nachkommastellen. c) Vergleiche die Ergebnisse aus a) und b). Bei welchem dieser Werte von \(p\) liefert die Faustformel die geringste absolute Abweichung?

Denkanstöße

- Wende in a) die vorgegebene Faustformel getrennt auf die drei Wachstumsraten an. - Welcher Wachstumsfaktor gehört jeweils zu \(p\,\%\)? - Für die Verdopplungszeit muss der Wachstumsfaktor hoch \(d\) den Wert \(2\) ergeben. - Vergleiche in c) die absoluten Differenzen zwischen Faustformel und Modellwert.

Lösung

1. Mit der Faustformel ergeben sich für \(p=2\), \(5\) und \(10\) die Werte \(35\,\text{Jahre}\), \(14\,\text{Jahre}\) und \(7\,\text{Jahre}\). 2. Im Exponentialmodell gilt für die Verdopplungszeit \(d=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1+p/100)}\). 3. Für \(p=2\) ist \(d\approx35{,}00\,\text{Jahre}\), für \(p=5\) ist \(d\approx14{,}21\,\text{Jahre}\), für \(p=10\) ist \(d\approx7{,}27\,\text{Jahre}\). 4. Die absoluten Abweichungen betragen gerundet \(0{,}00\,\text{Jahre}\), \(0{,}21\,\text{Jahre}\) und \(0{,}27\,\text{Jahre}\). Von den drei betrachteten Fällen ist die Abweichung bei \(p=2\) am kleinsten.

Antwort

a) \(35\,\text{Jahre}\), \(14\,\text{Jahre}\), \(7\,\text{Jahre}\) b) \(35{,}00\,\text{Jahre}\), \(14{,}21\,\text{Jahre}\), \(7{,}27\,\text{Jahre}\) c) Bei \(p=2\) ist die absolute Abweichung am geringsten.
42831910
Für einen Beobachtungszeitraum wird der Bestand einer Vogelart durch ein vereinfachtes Modell mit jährlich \(6\,\%\) Wachstum beschrieben. Zu Beginn werden \(80\) Tiere gezählt. a) Berechne die modellierte Anzahl nach \(15\) Jahren und runde auf ganze Tiere. b) Nach wie vielen Jahren hat sich der modellierte Bestand verdreifacht? Runde auf eine Nachkommastelle.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(6\,\%\) jährlichem Wachstum? - Setze für a) die gegebene Zeit in das Modell ein. - Was bedeutet „verdreifacht“ für den Endwert im Vergleich zum Startwert? - In b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

Lösung

1. Das Modell lautet \(B(t)=80\cdot1{,}06^t\). 2. Nach \(15\) Jahren gilt \(B(15)=80\cdot1{,}06^{15}\approx191{,}72\). Gerundet sind das etwa \(192\) Tiere. 3. Für die Verdreifachung gilt \(80\cdot1{,}06^t=240\), also \(1{,}06^t=3\). 4. Daraus folgt \(t=\frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(1{,}06)}\approx18{,}85\). Auf eine Nachkommastelle gerundet sind das \(18{,}9\,\text{Jahre}\).

Antwort

a) etwa \(192\) Tiere b) nach etwa \(18{,}9\,\text{Jahren}\)
42832010
Ein hochwertiger Laptop kostet neu \(2400\,\text{€}\). Es wird modelliert, dass er am Ende jedes Jahres \(25\,\%\) seines jeweiligen Wertes verliert. a) Bestimme den Wert nach \(3\) Jahren. b) Nach wie vielen vollen Jahren liegt der modellierte Wert erstmals unter \(200\,\text{€}\)?

Denkanstöße

- Welcher Faktor bleibt nach einem Wertverlust von \(25\,\%\) jeweils übrig? - Berechne für b) zunächst den rechnerischen Zeitpunkt, an dem genau \(200\,\text{€}\) erreicht würden. - Was bedeutet „erstmals nach vollen Jahren“ für das Runden und die Kontrolle benachbarter ganzzahliger Zeitpunkte?

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor ist \(0{,}75\). Daher gilt \(W(3)=2400\cdot0{,}75^3=1012{,}50\,\text{€}\). 2. Für die Schwelle von \(200\,\text{€}\) gilt \(2400\cdot0{,}75^t=200\), also \(t=\frac{\log_{10}(\frac{1}{12})}{\log_{10}(0{,}75)}\approx8{,}64\). 3. Da nur volle Jahre betrachtet werden, werden die benachbarten ganzzahligen Zeitpunkte geprüft: \(W(8)\approx240{,}27\,\text{€}\) und \(W(9)\approx180{,}20\,\text{€}\). 4. Der modellierte Wert liegt daher erstmals nach \(9\) vollen Jahren unter \(200\,\text{€}\).

Antwort

a) \(1012{,}50\,\text{€}\) b) Nach \(9\) vollen Jahren.
42832410
Die Forstbetriebe Waldquell und Fichtenhain vergleichen ihre Holzbestände. Waldquell verfügt zu Beginn über \(800\,\text{m}^3\) Holz, Fichtenhain über \(2000\,\text{m}^3\). Für einen Modellvergleich wird angenommen, dass Waldquell jährlich um \(4\,\%\) und Fichtenhain jährlich um \(1{,}5\,\%\) wächst. Nach wie vielen Jahren ist der modellierte Holzbestand von Waldquell genau \(75\,\%\) so groß wie der von Fichtenhain? Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Stelle zuerst die beiden exponentiellen Modelle auf. - Wie lässt sich „\(75\,\%\) des Bestandes von Fichtenhain“ als Gleichung ausdrücken? - Forme die Gleichung so um, dass nur noch ein Ausdruck mit dem Exponenten \(t\) übrig bleibt.

Lösung

1. Die Modelle lauten \(W(t)=800\cdot1{,}04^t\) und \(F(t)=2000\cdot1{,}015^t\). 2. Gesucht ist \(W(t)=0{,}75F(t)\), also \(800\cdot1{,}04^t=1500\cdot1{,}015^t\). 3. Nach Division folgt \(\left(\frac{1{,}04}{1{,}015}\right)^t=1{,}875\). 4. Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(1{,}875)}{\log_{10}(\frac{1{,}04}{1{,}015})}\approx25{,}83\). 5. Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(25{,}8\) Jahre.

Antwort

Nach etwa \(25{,}8\) Jahren.
42832510
Ein Betrag von \(4000\,\text{€}\) wird zu einem festen Zinssatz von \(1{,}5\,\%\) pro Jahr angelegt. Die Zinsen werden jeweils am Jahresende dem Kapital zugeschlagen. a) Berechne das Kapital nach \(8\) vollen Jahren. b) Nach wie vielen vollen Jahren beträgt das Kapital erstmals mindestens \(5000\,\text{€}\)? c) Berechne die rechnerische Verdopplungszeit des Exponentialmodells einmal mit Logarithmen und einmal näherungsweise mit der Faustregel \(n\approx\frac{70}{p}\). Runde beide Zeiten auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(1{,}5\,\%\) jährlichem Zuwachs? - Bestimme in b) zunächst den nicht ganzzahligen Schwellenzeitpunkt und prüfe anschließend die benachbarten vollen Jahre. - Bei einer Verdopplungszeit kürzt sich der konkrete Anfangsbetrag aus der Gleichung heraus.

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor ist \(1{,}015\). Daher gilt nach \(8\) Jahren \(K(8)=4000\cdot1{,}015^8\approx4505{,}97\,\text{€}\). 2. Für die Schwelle von \(5000\,\text{€}\) gilt \(4000\cdot1{,}015^t=5000\), also \(t=\frac{\log_{10}(1{,}25)}{\log_{10}(1{,}015)}\approx14{,}99\). 3. Nach \(14\) Jahren sind es \(K(14)\approx4927{,}02\,\text{€}\), nach \(15\) Jahren \(K(15)\approx5000{,}93\,\text{€}\). Der Zielwert wird erstmals nach \(15\) vollen Jahren erreicht. 4. Für die Verdopplung gilt \(1{,}015^t=2\), also \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}015)}\approx46{,}56\) Jahre. 5. Die Faustregel liefert \(\frac{70}{1{,}5}\approx46{,}67\) Jahre.

Antwort

a) \(4505{,}97\,\text{€}\) b) Nach \(15\) vollen Jahren. c) Rechnerisch etwa \(46{,}56\) Jahre; mit der Faustregel etwa \(46{,}67\) Jahre.
42832610
Für eine Bakterienkultur wird in einem vereinfachten Modell angenommen, dass zu Beginn \(250\) Bakterien vorhanden sind und die Anzahl stündlich um \(8\,\%\) wächst. a) Gib den Wachstumsfaktor \(q\) pro Stunde an und stelle das Modell \(B(t)\) für die Bakterienzahl nach \(t\) Stunden auf. b) Berechne, nach wie vielen Stunden sich die Bakterienzahl vervierfacht hat. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Bestimme die Verdopplungszeit und vergleiche sie mit der Faustregel \(t\approx\frac{70}{p}\). Runde beide Zeiten und ihre Abweichung auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Wie wird aus einer Zunahme von \(8\,\%\) der zugehörige Wachstumsfaktor? - Was bedeutet „vervierfacht“ für das Verhältnis von Endwert und Anfangswert? - Kannst du die Verdopplungszeit bestimmen, ohne den Anfangswert \(250\) zu verwenden? - Vergleiche für c) die beiden Zeitwerte durch ihre absolute Differenz.

Lösung

1. Bei einer Zunahme von \(8\,\%\) ist \(q=1{,}08\). Damit lautet das Modell \(B(t)=250\cdot1{,}08^t\). 2. Für die Vervierfachung gilt \(250\cdot1{,}08^t=1000\), also \(1{,}08^t=4\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(1{,}08)}\approx18{,}01\) Stunden. 3. Für die Verdopplung gilt \(1{,}08^t=2\). Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}08)}\approx9{,}01\) Stunden. 4. Die Faustregel liefert \(\frac{70}{8}=8{,}75\) Stunden. Die absolute Abweichung beträgt \(9{,}01-8{,}75=0{,}26\) Stunden.

Antwort

a) \(q=1{,}08\); \(B(t)=250\cdot1{,}08^t\) b) etwa \(18{,}01\) Stunden c) Rechnerisch etwa \(9{,}01\) Stunden; Faustregel \(8{,}75\) Stunden; Abweichung etwa \(0{,}26\) Stunden.
42833210
Die Faustformel \(p\cdot T_H\approx70\) kann verwendet werden, um die Halbwertszeit \(T_H\) bei einem exponentiellen Zerfallsprozess mit einer Abnahmerate von \(p\,\%\) pro Zeiteinheit zu schätzen. a) Ein radioaktives Präparat verliert in einem Modell stündlich \(10\,\%\) seiner Aktivität. Schätze die Halbwertszeit \(T_H\) mit der Faustformel. b) Berechne den Modellwert der Halbwertszeit durch Lösen der Gleichung \(\left(1-\frac{p}{100}\right)^{T_H}=0{,}5\). Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Ermittle die prozentuale Abweichung des Schätzwerts vom Modellwert. Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Abnahmefaktor gehört zu einem Verlust von \(10\,\%\) pro Stunde? - Was bedeutet Halbwertszeit für das Verhältnis von Endwert und Anfangswert? - Für die prozentuale Abweichung brauchst du eine absolute Differenz und einen Bezugswert.

Lösung

1. Mit \(p=10\) liefert die Faustformel \(T_H\approx70:10=7\) Stunden. 2. Für das Modell gilt \(0{,}90^{T_H}=0{,}5\). Daher ist \(T_H=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}90)}\approx6{,}58\) Stunden. 3. Die absolute Differenz beträgt \(|7-6{,}58|=0{,}42\) Stunden. Bezogen auf den Modellwert ergibt sich \(\frac{0{,}42}{6{,}58}\cdot100\,\%\approx6{,}4\,\%\).

Antwort

a) \(T_H\approx7\) Stunden b) \(T_H\approx6{,}58\) Stunden c) etwa \(6{,}4\,\%\)
42833410
Ein Sparguthaben wird mit einem festen jährlichen Zinssatz verzinst und verdoppelt sich nach genau \(14\) Jahren. a) Wie hoch ist der jährliche Zinssatz \(p\)? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Ermittle die Zeitspanne, nach der sich das ursprüngliche Guthaben verzehnfacht hat. Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welche Gleichung verbindet den Wachstumsfaktor mit einer Verdopplungszeit von \(14\) Jahren? - Wie hängen Wachstumsfaktor \(q\) und Zinssatz \(p\) zusammen? - Für b) ist nur das Verhältnis zum Anfangskapital entscheidend. - Kannst du die bekannte Gleichung \(q^{14}=2\) beim Logarithmieren erneut nutzen?

Lösung

1. Aus der Verdopplungszeit folgt für den Wachstumsfaktor \(q^{14}=2\), also \(q=\sqrt[14]{2}\approx1{,}05076\). 2. Damit ist \(p=(q-1)\cdot100\,\%\approx5{,}08\,\%\). 3. Für die Verzehnfachung gilt \(q^t=10\). 4. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(q)}=14\cdot\frac{\log_{10}(10)}{\log_{10}(2)}\approx46{,}51\). 5. Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(46{,}5\) Jahre.

Antwort

a) etwa \(5{,}08\,\%\) b) etwa \(46{,}5\) Jahre
42833910
Bei exponentiellen Wachstumsprozessen mit einer Wachstumsrate von \(p\,\%\) pro Zeiteinheit lässt sich die Zeitspanne \(n\), nach der sich ein Bestand verdreifacht hat, näherungsweise mit der Faustformel \(n\approx\frac{110}{p}\) berechnen. 1. Berechne für \(p=4\) und \(p=8\) die genaue Modellzeit bis zur Verdreifachung und runde jeweils auf zwei Dezimalstellen. 2. Berechne die Näherungswerte der Faustformel und bestimme für beide Fälle die absolute Abweichung vom jeweiligen Modellwert. Runde die Abweichungen auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört allgemein zu \(p\,\%\) Wachstum? - Was bedeutet Verdreifachung für das Verhältnis von Endwert und Anfangswert? - Vergleiche für die Abweichung jeweils zwei Zeitwerte mit derselben Einheit.

Lösung

1. Für eine Wachstumsrate \(p\) gilt \(\left(1+\frac{p}{100}\right)^n=3\), also \(n=\frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(1+\frac{p}{100})}\). 2. Für \(p=4\) ergibt sich \(n\approx28{,}01\) Jahre; für \(p=8\) ergibt sich \(n\approx14{,}27\) Jahre. 3. Die Faustformel liefert für \(p=4\) den Wert \(27{,}50\) Jahre. Die absolute Abweichung beträgt \(28{,}01-27{,}50=0{,}51\) Jahre. 4. Für \(p=8\) liefert die Faustformel \(13{,}75\) Jahre. Die absolute Abweichung beträgt \(14{,}27-13{,}75=0{,}52\) Jahre.

Antwort

1. Bei \(4\,\%\): \(n\approx28{,}01\) Jahre; bei \(8\,\%\): \(n\approx14{,}27\) Jahre. 2. Faustformel: \(27{,}50\) Jahre und \(13{,}75\) Jahre; Abweichungen: \(0{,}51\) Jahre und \(0{,}52\) Jahre.
42834310
In einem vereinfachten Modell wird die Wirkstoffmenge eines Schmerzmittels im Körper alle \(3\) Stunden halbiert. Zu Beginn der Beobachtung befinden sich modellhaft \(600\,\text{mg}\) Wirkstoff im Körper. a) Bestimme die verbleibende Wirkstoffmenge nach \(6\), \(9\) und \(12\) Stunden. b) Berechne, nach welcher Zeit die Wirkstoffmenge im Modell auf \(5\,\text{mg}\) gesunken ist. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Welcher Prozentsatz der Anfangsmenge ist nach \(10\) Stunden noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Wie oft hat sich die Menge nach \(6\), \(9\) beziehungsweise \(12\) Stunden halbiert? - Stelle für b) das Verhältnis von Zielmenge zu Anfangsmenge her. - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten des Zerfallsfaktors. - Für c) genügt der Faktor, der den Anteil an der Anfangsmenge beschreibt.

Lösung

1. Das Modell lautet \(N(t)=600\cdot0{,}5^{\frac{t}{3}}\). 2. Es gilt \(N(6)=600\cdot0{,}5^2=150\,\text{mg}\), \(N(9)=600\cdot0{,}5^3=75\,\text{mg}\) und \(N(12)=600\cdot0{,}5^4=37{,}5\,\text{mg}\). 3. Für \(N(t)=5\,\text{mg}\) gilt \(0{,}5^{\frac{t}{3}}=\frac{1}{120}\). Daher ist \(t=3\cdot\frac{\log_{10}(\frac{1}{120})}{\log_{10}(0{,}5)}\approx20{,}72\) Stunden. 4. Nach \(10\) Stunden beträgt der Anteil an der Anfangsmenge \(0{,}5^{\frac{10}{3}}\approx0{,}09921\). Das sind etwa \(9{,}92\,\%\).

Antwort

a) \(150\,\text{mg}\), \(75\,\text{mg}\), \(37{,}5\,\text{mg}\) b) etwa \(20{,}72\) Stunden c) etwa \(9{,}92\,\%\)
42834410
Das radioaktive Edelgas Radon-222 hat eine Halbwertszeit von etwa \(3{,}8\,\text{Tagen}\). a) Wie viel Prozent einer ursprünglichen Radon-Menge sind nach \(14\) Tagen noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Nach wie vielen Tagen ist die Radon-Menge auf \(10\,\%\) des Anfangswerts gesunken? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Nach wie vielen Halbwertszeiten und nach wie vielen Tagen ist die Radon-Menge nur noch \(\frac{1}{64}\) der ursprünglichen Menge?

Denkanstöße

- Setze für die Anfangsmenge den Anteil \(1\) beziehungsweise \(100\,\%\) an. - Wie lässt sich die Halbwertszeit direkt im Exponenten eines Zerfallsmodells darstellen? - Welcher Potenz von \(\frac{1}{2}\) entspricht \(\frac{1}{64}\)? - Wenn du die Zahl der Halbwertszeiten kennst, wie erhältst du daraus die Gesamtzeit?

Lösung

1. Für den verbleibenden Anteil gilt \(A(t)=0{,}5^{\frac{t}{3{,}8}}\). 2. Nach \(14\) Tagen ist \(100\cdot A(14)=100\cdot0{,}5^{\frac{14}{3{,}8}}\approx7{,}78\,\%\). 3. Für einen Restanteil von \(10\,\%\) gilt \(0{,}5^{\frac{t}{3{,}8}}=0{,}10\). Damit ist \(t=3{,}8\cdot\frac{\log_{10}(0{,}10)}{\log_{10}(0{,}5)}\approx12{,}62\) Tage. 4. Da \(\frac{1}{64}=\left(\frac{1}{2}\right)^6\), entsprechen \(\frac{1}{64}\) genau \(6\) Halbwertszeiten. 5. Das sind \(6\cdot3{,}8=22{,}8\) Tage.

Antwort

a) etwa \(7{,}78\,\%\) b) etwa \(12{,}62\) Tage c) \(6\) Halbwertszeiten, also \(22{,}8\) Tage
42834510
Ein radioaktives Isotop zerfällt in einem Modell so, dass nach \(500\) Jahren noch \(75\,\%\) der ursprünglichen Masse vorhanden sind. a) Bestimme den Zerfallsfaktor \(q\) für den Zeitraum von \(500\) Jahren. b) Berechne den jährlichen Zerfallsfaktor \(a\) auf vier Nachkommastellen genau. c) Ermittle die Halbwertszeit des Isotops auf Jahre genau. d) Nach wie vielen Jahren sind nur noch \(1\,\%\) der Ausgangsmasse im Präparat enthalten? Runde auf ganze Jahre.

Denkanstöße

- Welcher Anteil ist nach \(500\) Jahren noch vorhanden? - Wie hängen der Faktor für \(500\) Jahre und der jährliche Faktor zusammen? - Welche Restanteile kennzeichnen die Halbwertszeit und Teil d)? - In c) und d) steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

Lösung

1. Für \(500\) Jahre beträgt der Zerfallsfaktor unmittelbar \(q=0{,}75\). 2. Für den jährlichen Faktor gilt \(a^{500}=0{,}75\), also \(a=\sqrt[500]{0{,}75}\approx0{,}9994\). 3. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}75^{\frac{T_H}{500}}=0{,}5\). Daher ist \(T_H=500\cdot\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}75)}\approx1204{,}71\), also gerundet \(1205\) Jahre. 4. Für einen Restanteil von \(1\,\%\) gilt \(0{,}75^{\frac{t}{500}}=0{,}01\). Daraus folgt \(t=500\cdot\frac{\log_{10}(0{,}01)}{\log_{10}(0{,}75)}\approx8003{,}92\), also gerundet \(8004\) Jahre.

Antwort

a) \(q=0{,}75\) b) \(a\approx0{,}9994\) c) \(T_H\approx1205\) Jahre d) etwa \(8004\) Jahre
42834610
Für die Schadstoffkonzentration in einem Klärbecken wird ein vereinfachtes exponentielles Abbaumodell verwendet. Darin sinkt die Konzentration pro Stunde um \(12\,\%\). a) Bestimme den stündlichen Zerfallsfaktor \(a\). b) Berechne, wie viel Prozent der Anfangskonzentration nach \(5\) Stunden noch vorhanden sind. Runde auf eine Dezimalstelle. c) Ermittle die Halbwertszeit der Schadstoffkonzentration in Stunden. Runde auf zwei Dezimalstellen. d) Auf welchen Wert müsste die stündliche prozentuale Abnahme \(p\) steigen, damit sich die Schadstoffkonzentration bereits alle \(4\) Stunden halbiert? Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Wie wird aus einer prozentualen Abnahme der zugehörige Faktor? - Welcher Anteil kennzeichnet die Halbwertszeit? - Für d) ist zuerst der Faktor gesucht, der nach \(4\) Schritten zum Anteil \(0{,}5\) führt. - Wie lässt sich ein Zerfallsfaktor anschließend wieder in eine prozentuale Abnahme umrechnen?

Lösung

1. Der stündliche Zerfallsfaktor ist \(a=1-0{,}12=0{,}88\). 2. Nach \(5\) Stunden beträgt der Anteil \(0{,}88^5\approx0{,}5277\). Das sind etwa \(52{,}8\,\%\) der Anfangskonzentration. 3. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}88^{T_H}=0{,}5\). Daher ist \(T_H=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}88)}\approx5{,}42\) Stunden. 4. Für eine Halbwertszeit von \(4\) Stunden muss \(a^4=0{,}5\) gelten. Somit ist \(a=\sqrt[4]{0{,}5}\approx0{,}8409\). 5. Die zugehörige prozentuale Abnahme beträgt \(p=(1-0{,}8409)\cdot100\,\%\approx15{,}9\,\%\).

Antwort

a) \(a=0{,}88\) b) etwa \(52{,}8\,\%\) c) \(T_H\approx5{,}42\) Stunden d) \(p\approx15{,}9\,\%\)
42835510
Ein homogenes lichtabsorbierendes Filtermaterial reduziert die durchgelassene Lichtintensität pro Millimeter Schichtdicke um \(12\,\%\). Das Modell wird für die folgenden Rechnungen als exponentiell angenommen. 1. Berechne, wie viel Prozent der ursprünglichen Lichtintensität \(I_0\) nach \(3\,\text{mm}\) noch vorhanden sind. Runde auf zwei Dezimalstellen. 2. Bestimme die Schichtdicke auf zwei Dezimalstellen genau, bei der die Lichtintensität auf die Hälfte gesunken ist. 3. Bestimme die Schichtdicke auf zwei Dezimalstellen genau, bei der nur noch \(10\,\%\) der ursprünglichen Intensität durchgelassen werden.

Denkanstöße

- Welcher Faktor entspricht einer Verringerung um \(12\,\%\)? - Welche Restanteile entsprechen der Hälfte beziehungsweise einem Zehntel? - In den Teilen 2 und 3 steht die gesuchte Schichtdicke im Exponenten.

Lösung

1. Der Abnahmefaktor pro Millimeter ist \(0{,}88\). Nach \(3\,\text{mm}\) bleibt der Anteil \(0{,}88^3=0{,}681472\), also etwa \(68{,}15\,\%\). 2. Aus \(0{,}88^x=0{,}5\) folgt \(x=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}88)}\approx5{,}42\,\text{mm}\). 3. Aus \(0{,}88^x=0{,}1\) folgt \(x=\frac{\log_{10}(0{,}1)}{\log_{10}(0{,}88)}\approx18{,}01\,\text{mm}\).

Antwort

1. etwa \(68{,}15\,\%\) 2. etwa \(5{,}42\,\text{mm}\) 3. etwa \(18{,}01\,\text{mm}\)
42835810
Für die Lichtintensität in einem See wird ein vereinfachtes exponentielles Modell verwendet. Darin verringert sich die Intensität pro Meter Tiefe um \(22\,\%\). Die Intensität an der Oberfläche wird als \(100\,\%\) festgelegt. a) Wie viel Prozent der ursprünglichen Lichtintensität sind in \(2\,\text{m}\), \(5\,\text{m}\) und \(10\,\text{m}\) Tiefe noch vorhanden? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) In welcher Tiefe hat sich die Lichtintensität gegenüber der Oberfläche genau halbiert? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) In welcher Tiefe erreicht der Modellwert \(1\,\%\) der Oberflächenintensität? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher verbleibende Faktor gehört zu einer Abnahme von \(22\,\%\) pro Meter? - Welche Restanteile gehören zur Hälfte beziehungsweise zu \(1\,\%\)? - In b) und c) ist die gesuchte Tiefe der Exponent.

Lösung

1. Pro Meter bleibt der Faktor \(0{,}78\). Damit gilt für die Intensität in Prozent \(I(d)=100\cdot0{,}78^d\). 2. Es ist \(I(2)=60{,}84\,\%\), \(I(5)\approx28{,}87\,\%\) und \(I(10)\approx8{,}34\,\%\). 3. Für die Halbierung gilt \(0{,}78^d=0{,}5\). Daher ist \(d=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}78)}\approx2{,}79\,\text{m}\). 4. Für einen Restanteil von \(1\,\%\) gilt \(0{,}78^d=0{,}01\). Daher ist \(d=\frac{\log_{10}(0{,}01)}{\log_{10}(0{,}78)}\approx18{,}53\,\text{m}\).

Antwort

a) \(2\,\text{m}\): \(60{,}84\,\%\); \(5\,\text{m}\): \(28{,}87\,\%\); \(10\,\text{m}\): \(8{,}34\,\%\) b) etwa \(2{,}79\,\text{m}\) c) etwa \(18{,}53\,\text{m}\)
42842510
Frau Meyer legt ein Startkapital von \(2500\,\text{€}\) bei einer jährlichen Verzinsung von \(4\,\%\) an. Zur gleichen Zeit investiert Herr Schmidt \(2800\,\text{€}\), erhält jedoch eine vierteljährliche Verzinsung von \(0{,}8\,\%\). Nach wie vielen vollen Jahren ist das Kapital von Frau Meyer zum ersten Mal größer als das von Herrn Schmidt?

Denkanstöße

- Stelle für beide Kapitalanlagen ein Modell mit derselben Zeitvariable in Jahren auf. - Beachte, wie viele Verzinsungsintervalle Herr Schmidt pro Jahr hat. - Bestimme zuerst den rechnerischen Gleichstandszeitpunkt. - Was bedeutet „zum ersten Mal nach vollen Jahren“ für die ganzzahlige Antwort?

Lösung

1. Nach \(n\) Jahren gelten die Modelle \(K_M(n)=2500\cdot1{,}04^n\) und \(K_S(n)=2800\cdot1{,}008^{4n}\). 2. Für den rechnerischen Gleichstandszeitpunkt gilt \(2500\cdot1{,}04^n=2800\cdot1{,}008^{4n}\). 3. Daraus folgt \(\left(\frac{1{,}04}{1{,}008^4}\right)^n=1{,}12\). 4. Damit ist \(n=\frac{\log_{10}(1{,}12)}{\log_{10}(1{,}04)-4\log_{10}(1{,}008)}\approx15{,}42\). 5. Da nach vollen Jahren gefragt ist und Frau Meyers Kapital erst danach größer sein soll, ist \(16\) der erste passende volle Jahreswert.

Antwort

Nach \(16\) vollen Jahren.
42848410
Für einen biologischen Bestand wird ein vereinfachtes exponentielles Modell verwendet. Zu Beginn sind \(250\) Individuen vorhanden; die modellierte Anzahl wächst stündlich um \(12\,\%\). a) Stelle die Funktionsgleichung für den Bestand \(B(t)\) nach \(t\) Stunden auf. b) Berechne die Bestandsgrößen für \(t=1\), \(t=3{,}5\), \(t=8\) und \(t=12{,}5\). Runde die modellierten Bestände auf ganze Individuen. c) Ermittle mithilfe von Logarithmen, nach wie vielen Stunden der Bestand \(400\), \(1000\) beziehungsweise \(2500\) Individuen erreicht. Runde die Zeiten auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(12\,\%\) stündlichem Wachstum? - Setze in b) die gegebenen Zeiten in dein Modell ein. - In c) steht die gesuchte Zeit im Exponenten; isoliere zuerst die Potenz. - Runde die Bestandswerte beziehungsweise Zeiten erst am Ende wie verlangt.

Lösung

1. Der stündliche Wachstumsfaktor ist \(1{,}12\). Damit gilt \(B(t)=250\cdot1{,}12^t\). 2. Es ist \(B(1)=280\), \(B(3{,}5)\approx371{,}71\), \(B(8)\approx618{,}99\) und \(B(12{,}5)\approx1030{,}78\). Gerundet sind das \(280\), \(372\), \(619\) und \(1031\) Individuen. 3. Für einen Zielbestand \(y\) gilt \(250\cdot1{,}12^t=y\), also \(t=\frac{\log_{10}(\frac{y}{250})}{\log_{10}(1{,}12)}\). 4. Für \(y=400\) ergibt sich \(t\approx4{,}15\), für \(y=1000\) \(t\approx12{,}23\) und für \(y=2500\) \(t\approx20{,}32\) Stunden.

Antwort

a) \(B(t)=250\cdot1{,}12^t\) b) \(280\), \(372\), \(619\) und \(1031\) Individuen c) \(400\) Individuen nach \(4{,}15\) Stunden; \(1000\) nach \(12{,}23\) Stunden; \(2500\) nach \(20{,}32\) Stunden
42849010
Für ein Waldgebiet mit einem aktuellen Holzbestand von \(25\,000\,\text{m}^3\) wird vereinfachend angenommen, dass der Bestand langfristig jährlich um konstant \(2{,}8\,\%\) wächst. a) Berechne den modellierten Holzbestand nach \(10\) und nach \(20\) Jahren. Runde jeweils auf zwei Dezimalstellen. b) Ermittle die Verdopplungszeit des Modells. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Nach wie vielen Jahren hat sich der ursprüngliche Bestand im Modell verdreifacht? Runde auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(2{,}8\,\%\) jährlichem Wachstum? - Für Verdopplungs- und Verdreifachungszeit ist nur das Verhältnis zum Anfangswert entscheidend. - Welche Gleichungen entsprechen den Faktoren \(2\) beziehungsweise \(3\)?

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor ist \(q=1{,}028\). Damit gilt \(W(t)=25\,000\cdot1{,}028^t\). 2. Es ist \(W(10)\approx32\,951{,}19\,\text{m}^3\) und \(W(20)\approx43\,431{,}25\,\text{m}^3\). 3. Für die Verdopplungszeit gilt \(1{,}028^t=2\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}028)}\approx25{,}10\) Jahre. 4. Für die Verdreifachung gilt \(1{,}028^t=3\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(1{,}028)}\approx39{,}78\) Jahre.

Antwort

a) nach \(10\) Jahren etwa \(32\,951{,}19\,\text{m}^3\); nach \(20\) Jahren etwa \(43\,431{,}25\,\text{m}^3\) b) etwa \(25{,}10\) Jahre c) etwa \(39{,}78\) Jahre
42851010
Nadia Kaya vergleicht die Anlagepläne Atlas und Vega. Atlas startet mit \(12\,500\,\text{€}\) und bietet eine jährliche Verzinsung von \(6{,}5\,\%\). Vega startet mit \(20\,000\,\text{€}\), wird aber nur mit \(3{,}8\,\%\) pro Jahr verzinst. Berechne, nach wie vielen Jahren die Guthaben gleich hoch sind, und gib an, ab wann Atlas das Guthaben von Vega übertrifft. Runde den Gleichstandszeitpunkt auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Stelle für beide Anlagepläne ein exponentielles Modell mit derselben Zeitvariable auf. - Setze die beiden Guthaben für den Gleichstandszeitpunkt gleich. - Kannst du die Gleichung so umformen, dass nur noch ein Quotient der Wachstumsfaktoren potenziert wird? - Welcher der beiden Wachstumsfaktoren ist größer?

Lösung

1. Die Modelle lauten \(K_A(t)=12\,500\cdot1{,}065^t\) und \(K_V(t)=20\,000\cdot1{,}038^t\). 2. Am Gleichstandszeitpunkt gilt \(12\,500\cdot1{,}065^t=20\,000\cdot1{,}038^t\). 3. Daraus folgt \(\left(\frac{1{,}065}{1{,}038}\right)^t=1{,}6\). 4. Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(1{,}6)}{\log_{10}(\frac{1{,}065}{1{,}038})}\approx18{,}30\). 5. Nach etwa \(18{,}3\) Jahren sind die Guthaben gleich hoch. Für spätere Zeiten ist das Guthaben von Atlas wegen des größeren Wachstumsfaktors höher.

Antwort

Nach etwa \(18{,}3\) Jahren sind die Guthaben gleich hoch. Danach übertrifft Atlas das Guthaben von Vega.
42852310
Ein Algenteppich auf einem kleinen Waldsee bedeckt zu Beginn \(4{,}5\,\text{m}^2\). Für ein vereinfachtes Modell wird angenommen, dass sich seine Fläche täglich um \(12\,\%\) vergrößert. Der See hat eine Gesamtfläche von \(1800\,\text{m}^2\). Nach wie vielen Tagen erreicht das ungebremste exponentielle Modell die gesamte Seefläche? Runde das Ergebnis auf eine ganze Zahl.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(12\,\%\) täglichem Wachstum? - Setze die modellierte Algenfläche mit der gesamten Seefläche gleich. - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten. - Die Modellannahme gilt nur bis zum Erreichen der verfügbaren Fläche.

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor ist \(1{,}12\). Damit gilt \(B(t)=4{,}5\cdot1{,}12^t\). 2. Für die gesamte Seefläche gilt \(4{,}5\cdot1{,}12^t=1800\), also \(1{,}12^t=400\). 3. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(400)}{\log_{10}(1{,}12)}\approx52{,}87\) Tage. 4. Auf ganze Tage gerundet sind das \(53\) Tage.

Antwort

etwa \(53\) Tage
42852410
Für ein Rechenzentrum wird modelliert, dass der belegte Speicherplatz ab Beginn des Jahres 2024 jährlich um \(35\,\%\) wächst. Zu diesem Zeitpunkt sind \(450\,\text{TB}\) belegt; die verfügbare Speicherkapazität beträgt \(15\,000\,\text{TB}\). Für das Modell wird angenommen, dass der Jahresfaktor \(1{,}35\) auch für Bruchteile eines Jahres exponentiell gilt. In welchem Kalenderjahr erreicht der Modellwert die Speicherkapazität, wenn keine neue Kapazität hinzukommt?

Denkanstöße

- Stelle das exponentielle Modell mit \(t=0\) zu Beginn des Jahres 2024 auf. - Setze den Modellwert mit der verfügbaren Kapazität gleich. - Runde nicht innerhalb des Logarithmus, sondern erst nach der Berechnung von \(t\). - Ordne die berechnete Zeitspanne anschließend einem Kalenderjahr zu.

Lösung

1. Das Modell lautet \(B(t)=450\cdot1{,}35^t\), wobei \(t\) die Jahre seit Beginn von 2024 bezeichnet. 2. Für die Kapazitätsgrenze gilt \(450\cdot1{,}35^t=15\,000\), also \(1{,}35^t=\frac{100}{3}\). 3. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(\frac{100}{3})}{\log_{10}(1{,}35)}\approx11{,}68\). 4. Der Zeitpunkt liegt etwa \(11{,}68\) Jahre nach Beginn von 2024 und damit im Kalenderjahr 2035.

Antwort

Im Jahr 2035.
42852510
Ein spezielles Filtersystem für Industrieabwässer reduziert die Menge eines bestimmten Giftstoffs bei jedem Durchlauf um \(65\,\%\). Berechne, nach wie vielen Durchläufen die verbleibende Giftstoffmenge zum ersten Mal weniger als \(0{,}5\,\%\) der ursprünglichen Menge beträgt.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Giftstoffs bleibt nach jedem Durchlauf übrig? - Formuliere die Bedingung „weniger als \(0{,}5\,\%\)“ als Ungleichung. - Achte beim Logarithmieren auf das Vorzeichen des Logarithmus einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\). - Gesucht ist eine ganze Anzahl von Durchläufen.

Lösung

1. Der Restfaktor pro Durchlauf ist \(q=0{,}35\). 2. Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(n\) mit \(0{,}35^n<0{,}005\). 3. Nach Logarithmieren gilt \(n\log_{10}(0{,}35)<\log_{10}(0{,}005)\). 4. Weil \(\log_{10}(0{,}35)<0\) ist, kehrt sich beim Dividieren das Ungleichheitszeichen um. Somit gilt \(n>\frac{\log_{10}(0{,}005)}{\log_{10}(0{,}35)}\approx5{,}05\). 5. Die kleinste ganze Zahl mit dieser Eigenschaft ist \(n=6\).

Antwort

Nach \(6\) Durchläufen.
42852610
Für den Wert einer Produktionsmaschine wird vereinfachend angenommen, dass er durch Abnutzung jedes Jahr um \(12\,\%\) gegenüber dem Vorjahr sinkt. Bestimme rechnerisch, nach wie vielen vollen Jahren der modellierte Wert erstmals weniger als ein Drittel des ursprünglichen Kaufpreises beträgt.

Denkanstöße

- Welcher Anteil des Wertes bleibt nach einem jährlichen Verlust von \(12\,\%\)? - Formuliere „weniger als ein Drittel“ als Ungleichung für den Restanteil. - Achte beim Dividieren auf das Vorzeichen des Logarithmus einer Zahl zwischen \(0\) und \(1\). - Gesucht ist eine ganze Anzahl von Jahren.

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor ist \(q=0{,}88\). 2. Gesucht ist die kleinste ganze Zahl \(n\) mit \(0{,}88^n<\frac{1}{3}\). 3. Nach Logarithmieren gilt \(n\log_{10}(0{,}88)<\log_{10}(\frac{1}{3})\). 4. Weil \(\log_{10}(0{,}88)<0\) ist, kehrt sich beim Dividieren das Ungleichheitszeichen um. Somit gilt \(n>\frac{\log_{10}(\frac{1}{3})}{\log_{10}(0{,}88)}\approx8{,}59\). 5. Die kleinste ganze Zahl mit dieser Eigenschaft ist \(n=9\).

Antwort

Nach \(9\) vollen Jahren.
42852910
In einem vereinfachten pharmakokinetischen Modell sind zum Zeitpunkt \(t=0\) genau \(400\,\text{mg}\) eines Wirkstoffs im betrachteten Körperkompartiment vorhanden. Die modellierte Wirkstoffmenge nimmt stündlich um \(15\,\%\) ab. a) Erstelle eine Tabelle für die Restmenge nach \(0\), \(1\), \(2\) und \(3\) Stunden. b) Bestimme die Halbwertszeit des Modells und runde auf zwei Dezimalstellen. c) Nach welcher Zeit fällt die modellierte Wirkstoffmenge unter \(50\,\text{mg}\)? Runde den rechnerischen Schwellenzeitpunkt auf zwei Dezimalstellen und gib zusätzlich an, nach wie vielen vollen Stunden dies erstmals der Fall ist.

Denkanstöße

- Welcher Abnahmefaktor gehört zu einer stündlichen Verringerung um \(15\,\%\)? - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem genau die Hälfte des Anfangswerts übrig ist? - Unterscheide in c) zwischen dem rechnerischen Schwellenzeitpunkt und dem ersten vollen Stundenwert darunter.

Lösung

1. Mit dem Anfangswert \(400\) und dem Abnahmefaktor \(0{,}85\) gilt \(N(t)=400\cdot0{,}85^t\). Damit ist \(N(0)=400\,\text{mg}\), \(N(1)=340\,\text{mg}\), \(N(2)=289\,\text{mg}\) und \(N(3)=245{,}65\,\text{mg}\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}85^t=0{,}5\). Somit ist \(t=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}85)}\approx4{,}27\,\text{h}\). 3. Der Schwellenzeitpunkt für \(50\,\text{mg}\) erfüllt \(400\cdot0{,}85^t=50\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(0{,}125)}{\log_{10}(0{,}85)}\approx12{,}80\,\text{h}\). 4. Für Zeiten größer als \(12{,}80\,\text{h}\) liegt die Modellmenge unter \(50\,\text{mg}\); bei vollen Stunden erstmals nach \(13\,\text{h}\).

Antwort

a) <table><tr><td>Zeit in h</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(3\)</td></tr><tr><td>Menge in mg</td><td>\(400\)</td><td>\(340\)</td><td>\(289\)</td><td>\(245{,}65\)</td></tr></table> b) etwa \(4{,}27\,\text{h}\) c) Schwellenzeitpunkt etwa \(12{,}80\,\text{h}\); bei vollen Stunden erstmals nach \(13\,\text{h}\)
42853010
Für eine Algenart in einem Teich wird unter idealisierten Bedingungen ein tägliches Flächenwachstum von \(18\,\%\) modelliert. Zu Beginn sind \(2500\,\text{cm}^2\) bedeckt. a) Berechne die Verdopplungszeit der bedeckten Fläche. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Welche Fläche ist nach \(12\) Tagen bedeckt? Runde auf ganze \(\text{cm}^2\). c) Nach welcher Zeit erreicht das Modell eine Fläche von \(2\,\text{m}^2\)? Runde den rechnerischen Schwellenzeitpunkt auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Wachstumsfaktor gehört zu \(18\,\%\) täglichem Wachstum? - Für die Verdopplungszeit kürzt sich der Anfangswert heraus. - Achte in c) auf die Flächeneinheiten, bevor du den Zielwert einsetzt. - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten.

Lösung

1. Der Wachstumsfaktor ist \(1{,}18\). Damit gilt \(A(t)=2500\cdot1{,}18^t\) mit \(A\) in \(\text{cm}^2\). 2. Für die Verdopplung gilt \(1{,}18^t=2\). Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(2)}{\log_{10}(1{,}18)}\approx4{,}19\) Tage. 3. Nach \(12\) Tagen ist \(A(12)=2500\cdot1{,}18^{12}\approx18\,218{,}98\,\text{cm}^2\), also gerundet \(18\,219\,\text{cm}^2\). 4. Es gilt \(2\,\text{m}^2=20\,000\,\text{cm}^2\). Für diesen Schwellenwert folgt \(2500\cdot1{,}18^t=20\,000\), also \(1{,}18^t=8\). 5. Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(1{,}18)}\approx12{,}56\), also gerundet \(12{,}6\) Tage.

Antwort

a) etwa \(4{,}19\) Tage b) etwa \(18\,219\,\text{cm}^2\) c) Schwellenzeitpunkt etwa \(12{,}6\) Tage
42853210
Iod-131 (\(^{131}\text{I}\)) besitzt eine physikalische Halbwertszeit von etwa \(8{,}02\,\text{Tagen}\). In dieser Aufgabe wird ausschließlich der radioaktive Zerfall betrachtet; biologische Ausscheidung oder Aufnahmeprozesse werden nicht modelliert. a) Ermittle die tägliche Zerfallsrate in Prozent. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Nach wie vielen Tagen sind durch den radioaktiven Zerfall noch \(10\,\%\) der Anfangsmenge nicht zerfallen? Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher tägliche Faktor muss über \(8{,}02\) Tage insgesamt den Faktor \(0{,}5\) ergeben? - Übersetze den täglichen Faktor anschließend in eine prozentuale Abnahmerate. - Für b) kannst du direkt mit dem Halbwertszeitmodell arbeiten, ohne den gerundeten Tagesfaktor weiterzuverwenden.

Lösung

1. Für den täglichen Abnahmefaktor \(b\) gilt \(b^{8{,}02}=0{,}5\). Daher ist \(b=0{,}5^{\frac{1}{8{,}02}}\approx0{,}917202\). 2. Die tägliche Zerfallsrate beträgt \((1-b)\cdot100\,\%\approx8{,}28\,\%\). 3. Für einen Restanteil von \(10\,\%\) gilt \(0{,}5^{\frac{t}{8{,}02}}=0{,}1\). Daraus folgt \(t=8{,}02\cdot\frac{\log_{10}(0{,}1)}{\log_{10}(0{,}5)}\approx26{,}64\) Tage. 4. Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(26{,}6\) Tage.

Antwort

a) etwa \(8{,}28\,\%\) pro Tag b) etwa \(26{,}6\) Tage
42853710
In einem vereinfachten Rechenmodell für Strontium-90 wird eine jährliche Abnahme um \(2{,}4\,\%\) angenommen. Die Anfangsaktivität wird auf \(400\) relative Einheiten normiert. a) Berechne die modellierte Aktivität nach \(15\) Jahren. Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Um wie viel Prozent nimmt die Aktivität innerhalb dieser \(15\) Jahre insgesamt ab? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Berechne die Halbwertszeit, die sich aus diesem Modell ergibt. Runde auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welcher Faktor bleibt nach einer jährlichen Abnahme um \(2{,}4\,\%\)? - Für die Gesamtänderung kannst du zuerst den nach \(15\) Jahren verbleibenden Anteil bestimmen. - Welche Gleichung beschreibt den Zeitpunkt, an dem genau die Hälfte des Anfangswerts übrig ist?

Lösung

1. Der jährliche Abnahmefaktor ist \(b=1-0{,}024=0{,}976\). Nach \(15\) Jahren gilt \(A(15)=400\cdot0{,}976^{15}\approx277{,}85\) relative Einheiten. 2. Der verbleibende Anteil ist \(0{,}976^{15}\approx0{,}69462\). Die gesamte Abnahme beträgt daher \((1-0{,}69462)\cdot100\,\%\approx30{,}54\,\%\). 3. Für die Halbwertszeit \(T\) gilt \(0{,}976^T=0{,}5\). Somit ist \(T=\frac{\log_{10}(0{,}5)}{\log_{10}(0{,}976)}\approx28{,}53\) Jahre. 4. Auf eine Dezimalstelle gerundet sind das \(28{,}5\) Jahre.

Antwort

a) etwa \(277{,}85\) relative Einheiten b) etwa \(30{,}54\,\%\) c) etwa \(28{,}5\) Jahre
42853810
In einem vereinfachten Rechenmodell zur Radiokarbonmethode wird für Kohlenstoff-14 eine Halbwertszeit von etwa \(5730\) Jahren verwendet. Für eine Probe und ein geeignetes lebendes Vergleichsmaterial seien die Kohlenstoff-14-Aktivitäten auf derselben relativen Skala angegeben: Das Vergleichsmaterial hat den Wert \(12{,}0\), die ausgegrabene Knochenprobe den Wert \(3{,}5\). Für die Rechnung wird angenommen, dass das Verhältnis allein durch radioaktiven Zerfall entstanden ist. a) Bestimme den jährlichen Abnahmefaktor \(b\) und runde auf sechs Dezimalstellen. b) Berechne das ungefähre Alter des Knochenfunds und runde auf ganze Jahre.

Denkanstöße

- Welcher Zusammenhang zwischen jährlichem Faktor und Halbwertszeit muss nach \(5730\) Jahren gelten? - Für die Altersbestimmung genügt das Verhältnis des Messwerts der Probe zum Vergleichswert. - Verwende beim Berechnen der Zeit möglichst den exakten Halbwertszeit-Zusammenhang statt eines gerundeten Jahresfaktors.

Lösung

1. Aus der Halbwertszeit folgt \(b^{5730}=0{,}5\). Daher ist \(b=0{,}5^{\frac{1}{5730}}\approx0{,}999879\). 2. Für das Verhältnis der Aktivitäten gilt \(\frac{3{,}5}{12{,}0}=b^t\). 3. Um Rundungsfehler zu vermeiden, wird \(b=0{,}5^{\frac{1}{5730}}\) eingesetzt. Damit ist \(t=5730\cdot\frac{\log_{10}(\frac{3{,}5}{12{,}0})}{\log_{10}(0{,}5)}\approx10\,185{,}7\) Jahre. 4. Auf ganze Jahre gerundet sind das etwa \(10\,186\) Jahre.

Antwort

a) \(b\approx0{,}999879\) b) etwa \(10\,186\) Jahre
55172910
In einem technischen Modell wirken zwei Verstärkungsmechanismen gleichzeitig. Nach einer Zeit \(t\) erzeugt Mechanismus A den Faktor \(1{,}2^t\), Mechanismus B den Faktor \(1{,}5^t\). Der Gesamtfaktor ist das Produkt beider Faktoren. a) Vereinfache den Gesamtfaktor zu einer einzigen Potenz. b) Nach welcher Zeit beträgt der Gesamtfaktor \(20\)? Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Zeige, dass die Rechnung auch direkt über \(\log_{10}(20)=t\bigl(\log_{10}(1{,}2)+\log_{10}(1{,}5)\bigr)\) zum selben Ergebnis führt.

Denkanstöße

- Wie lassen sich Potenzen mit demselben Exponenten zusammenfassen? - In b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Welche beiden Logarithmusregeln zerlegen in c) den Logarithmus eines Produkts aus Potenzen?

Lösung

1. Es gilt \(1{,}2^t\cdot1{,}5^t=(1{,}2\cdot1{,}5)^t=1{,}8^t\). 2. Aus \(1{,}8^t=20\) folgt \(t=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}8)}\approx5{,}10\). 3. Logarithmiert man das ursprüngliche Produkt, erhält man mit Produktregel und Potenzregel \(\log_{10}(20)=\log_{10}(1{,}2^t)+\log_{10}(1{,}5^t)=t\log_{10}(1{,}2)+t\log_{10}(1{,}5)\). 4. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(20)}{\log_{10}(1{,}2)+\log_{10}(1{,}5)}\approx5{,}10\), also derselbe Wert.

Antwort

a) \(1{,}8^t\) b) \(t\approx5{,}10\) c) Beide Rechenwege liefern \(t\approx5{,}10\).
55253110
Eine Wasserpflanzenkolonie bedeckt zu Beginn modellhaft eine Fläche von \(20\,\text{m}^2\). Solange die Bedingungen unverändert bleiben, wird ihre bedeckte Fläche durch \(A(t)=20\cdot1{,}4^t\) mit \(t\) in Wochen beschrieben. Die gesamte Wasseroberfläche des Teichs beträgt \(600\,\text{m}^2\). a) Nach wie vielen Wochen erreicht das Modell erstmals \(300\,\text{m}^2\)? Runde auf zwei Dezimalstellen. b) Berechne auch den Modellzeitpunkt für \(800\,\text{m}^2\) und runde auf zwei Dezimalstellen. c) Beurteile das Ergebnis aus b) im Sachzusammenhang und nenne eine Grenze des Modells.

Denkanstöße

- Setze für a) und b) die jeweilige Zielgröße in das Wachstumsmodell ein. - Nach dem Isolieren der Potenz kannst du den unbekannten Exponenten mit einem Logarithmus bestimmen. - Vergleiche in c) die berechnete Zielgröße mit der verfügbaren Wasseroberfläche.

Lösung

1. Für \(300\,\text{m}^2\) gilt \(20\cdot1{,}4^t=300\), also \(1{,}4^t=15\). 2. Daher ist \(t=\frac{\log_{10}(15)}{\log_{10}(1{,}4)}\approx8{,}05\). Das Modell erreicht \(300\,\text{m}^2\) nach etwa \(8{,}05\) Wochen. 3. Für \(800\,\text{m}^2\) gilt \(20\cdot1{,}4^t=800\), also \(1{,}4^t=40\). Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(40)}{\log_{10}(1{,}4)}\approx10{,}96\). 4. Eine bedeckte Fläche von \(800\,\text{m}^2\) ist in einem Teich mit nur \(600\,\text{m}^2\) Wasseroberfläche unmöglich. Spätestens bei Annäherung an die verfügbare Fläche kann der konstante Wachstumsfaktor nicht unverändert weitergelten.

Antwort

a) \(t\approx8{,}05\) Wochen b) rechnerisch \(t\approx10{,}96\) Wochen; dieser Modellwert ist im Sachzusammenhang nicht erreichbar c) Das Modell kann nicht unbegrenzt gelten, weil die verfügbare Wasseroberfläche auf \(600\,\text{m}^2\) begrenzt ist.
55663810
Der Graph zeigt das Modell \(B(t)=200\cdot1{,}25^t\) und einen später erhobenen Messwert. a) Lies den Messwert bei \(t=4\) aus dem Graphen ab. b) Berechne den Modellwert für \(t=4\) und die prozentuale Abweichung des Modellwerts vom Messwert. Beziehe die Abweichung auf den Messwert und runde auf eine Dezimalstelle. c) Für die Anwendung gilt eine Abweichung von höchstens \(10\,\%\) noch als akzeptabel. Ist das Modell bei \(t=4\) nach diesem Kriterium akzeptabel?
Abbildung zur Aufgabe 556638

Denkanstöße

- Lies zuerst nur den einzelnen Messpunkt bei \(t=4\) aus dem Diagramm ab. - Setze denselben Zeitpunkt in den Modellterm ein. - Für die prozentuale Abweichung brauchst du die absolute Differenz und den im Auftrag genannten Bezugswert. - Vergleiche erst danach mit der vorgegebenen Toleranz.

Lösung

1. Aus dem Graphen wird für \(t=4\) der Messwert \(450\) abgelesen. 2. Das Modell liefert \(B(4)=200\cdot1{,}25^4\approx488{,}28\). 3. Die absolute Abweichung beträgt \(488{,}28-450=38{,}28\). 4. Bezogen auf den Messwert ergibt sich \(\frac{38{,}28}{450}\cdot100\,\%\approx8{,}5\,\%\). 5. Da \(8{,}5\,\%<10\,\%\) gilt, ist das Modell bei \(t=4\) nach dem vorgegebenen Kriterium noch akzeptabel.

Antwort

a) \(450\) b) Modellwert etwa \(488{,}28\); Abweichung etwa \(8{,}5\,\%\) c) Ja, nach dem angegebenen \(10\,\%\)-Kriterium ist das Modell noch akzeptabel.
42834010
Untersuche die Zeitspanne \(n\), in der sich eine Größe bei einer jährlichen Wachstumsrate von \(p\,\%\) vervierfacht. 1. Berechne die Zeitspannen für \(p=2\), \(p=5\) und \(p=10\) und runde auf zwei Dezimalstellen. 2. Multipliziere jeweils die Zeitspanne \(n\) mit dem Prozentsatz \(p\). Bestimme \(c\) als arithmetisches Mittel der drei Produkte \(np\) und runde \(c\) auf eine ganze Zahl. Formuliere daraus eine Faustformel der Form \(n\approx\frac{c}{p}\) für die Vervierfachungszeit.

Denkanstöße

- Welche Gleichung beschreibt eine Vervierfachung des Anfangswerts? - Betrachte nach der Zeitberechnung die Produkte aus Zeitspanne und Prozentsatz. - Wie wird aus drei nahe beieinanderliegenden Produkten ein gemeinsamer Näherungswert bestimmt?

Lösung

1. Für eine Vervierfachung gilt \(\left(1+\frac{p}{100}\right)^n=4\), also \(n=\frac{\log_{10}(4)}{\log_{10}(1+\frac{p}{100})}\). 2. Für \(p=2\) ergibt sich \(n\approx70{,}01\), für \(p=5\) \(n\approx28{,}41\) und für \(p=10\) \(n\approx14{,}55\). 3. Die Produkte \(np\) sind näherungsweise \(140{,}02\), \(142{,}05\) und \(145{,}50\). 4. Ihr arithmetisches Mittel ist \(c\approx\frac{140{,}02+142{,}05+145{,}50}{3}\approx142{,}52\). Gerundet auf eine ganze Zahl ist \(c=143\). 5. Damit ergibt sich die Faustformel \(n\approx\frac{143}{p}\).

Antwort

1. \(70{,}01\,\text{Jahre}\), \(28{,}41\,\text{Jahre}\), \(14{,}55\,\text{Jahre}\) 2. \(c\approx143\), also \(n\approx\frac{143}{p}\)
42842610
Für einen Sparplan werden zwei mathematische Wachstumsmodelle verglichen. Der Sparplan Kompass startet mit \(6000\,\text{€}\) und hat den effektiven Jahresfaktor \(1{,}025\). Für monatliche Vergleichszeitpunkte wird daraus der Monatsfaktor \(1{,}025^{\frac{1}{12}}\) verwendet. Der Sparplan Horizont startet mit \(5500\,\text{€}\) und wächst monatlich mit dem Faktor \(1{,}004\). Nach wie vielen vollen Monaten übersteigt das modellierte Guthaben von Horizont erstmals das von Kompass?

Denkanstöße

- Verwende für beide Modelle dieselbe Zeitvariable in Monaten. - Bestimme zuerst den rechnerischen Zeitpunkt, an dem beide Modellwerte gleich sind. - Prüfe wegen „erster voller Monat“ die beiden benachbarten ganzzahligen Monatswerte.

Lösung

1. Für \(m\) Monate gilt \(K_K(m)=6000\cdot1{,}025^{\frac{m}{12}}\) und \(K_H(m)=5500\cdot1{,}004^m\). 2. Der rechnerische Gleichstandszeitpunkt erfüllt \(5500\cdot1{,}004^m=6000\cdot1{,}025^{\frac{m}{12}}\). 3. Nach Logarithmieren gilt \(m\left(\log_{10}(1{,}004)-\frac{1}{12}\log_{10}(1{,}025)\right)=\log_{10}\left(\frac{12}{11}\right)\). Daraus folgt \(m\approx44{,}98\). 4. Nach \(44\) Monaten gilt \(K_H\approx6556{,}11\,\text{€}<K_K\approx6568{,}59\,\text{€}\). Nach \(45\) Monaten gilt \(K_H\approx6582{,}33\,\text{€}>K_K\approx6582{,}12\,\text{€}\). 5. Somit ist \(45\) der erste volle Monat, in dem Horizont Kompass übersteigt.

Antwort

Nach \(45\) vollen Monaten.
42851410
In einem vereinfachten Vergleichsmodell werden zwei Bakterienkulturen betrachtet. Kultur A startet mit \(1500\) Bakterien und wächst alle \(4\) Stunden um \(15\,\%\). Kultur B startet mit \(2500\) Bakterien und wächst alle \(12\) Stunden um \(35\,\%\). Nach wie vielen Stunden sind beide Kulturen im Modell gleich groß, und ab wann ist die Bakterienzahl in Kultur A größer? Runde den Gleichstandszeitpunkt auf zwei Dezimalstellen.

Denkanstöße

- Schreibe für beide Kulturen ein Modell mit derselben Zeitvariable in Stunden. - Wie werden die unterschiedlichen Wachstumsintervalle von \(4\) und \(12\) Stunden im Exponenten berücksichtigt? - Setze beide Modelle für den Gleichstandszeitpunkt gleich. - Vergleiche anschließend die effektive Wachstumsstärke beider Modelle.

Lösung

1. Die Modelle lauten \(N_A(t)=1500\cdot1{,}15^{\frac{t}{4}}\) und \(N_B(t)=2500\cdot1{,}35^{\frac{t}{12}}\). 2. Für den Gleichstandszeitpunkt gilt \(1500\cdot1{,}15^{\frac{t}{4}}=2500\cdot1{,}35^{\frac{t}{12}}\). 3. Nach Logarithmieren folgt \(\log_{10}(1500)+\frac{t}{4}\log_{10}(1{,}15)=\log_{10}(2500)+\frac{t}{12}\log_{10}(1{,}35)\). 4. Damit ist \(t\left(\frac{\log_{10}(1{,}15)}{4}-\frac{\log_{10}(1{,}35)}{12}\right)=\log_{10}\left(\frac{2500}{1500}\right)\). 5. Daraus folgt \(t\approx51{,}43\) Stunden. 6. Für spätere Zeiten wächst Kultur A pro Stunde im Modell stärker, daher ist ihre Bakterienzahl dann größer.

Antwort

Nach etwa \(51{,}43\) Stunden sind beide Kulturen gleich groß. Für \(t>51{,}43\) Stunden ist Kultur A größer.
55253210
Der Graph zeigt das Modell \(M(t)=100\cdot1{,}5^t\) und Messwerte einer beobachteten Größe zu mehreren Zeitpunkten. a) Beschreibe, wie gut die Messwerte zu Beginn und später zum Modell passen. b) Berechne, zu welchem Zeitpunkt das Modell den Wert \(500\) erreicht. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Beurteile mithilfe der Messwerte, ob diese Modellvorhersage für den beobachteten Verlauf plausibel ist.
Abbildung zur Aufgabe 552532

Denkanstöße

- Vergleiche die Lage der einzelnen Messpunkte mit der Modellkurve, nicht nur einen einzigen Punkt. - Für b) setzt du den Zielwert in den Modellterm ein und bestimmst den Exponenten. - Prüfe in c), ob die Abweichungen zufällig um die Kurve verteilt sind oder ob sich ein systematischer Trend zeigt.

Lösung

1. Die ersten drei Messpunkte liegen auf oder sehr nahe an der Modellkurve. Die späteren Messpunkte liegen zunehmend darunter. 2. Für den Modellwert \(500\) gilt \(100\cdot1{,}5^t=500\), also \(1{,}5^t=5\). 3. Damit ist \(t=\frac{\log_{10}(5)}{\log_{10}(1{,}5)}\approx3{,}97\). 4. Das Modell sagt also einen Wert von \(500\) kurz vor \(t=4\) voraus. Der Messpunkt bei \(t=4\) liegt jedoch deutlich darunter, und die Abweichungen wachsen bereits vorher. 5. Die Vorhersage wird durch die Messwerte daher nicht gestützt; ein Modell mit dauerhaft konstantem Faktor \(1{,}5\) ist für den späteren Verlauf ungeeignet.

Antwort

a) Anfangs passen die Messwerte gut, später liegen sie zunehmend unter der Modellkurve. b) \(t\approx3{,}97\) c) Nein. Die späteren Messwerte widersprechen der Modellvorhersage deutlich; der konstante Wachstumsfaktor ist für diesen Bereich nicht plausibel.
55663910
In einer fiktiven Beobachtungsreihe wurden für einen Bestand die Werte \(B(0)=100\), \(B(1)=150\) und \(B(2)=225\) erfasst. Dazu wurde zunächst das Modell \(B_{\text{alt}}(t)=100\cdot1{,}5^t\) mit \(t\) in Tagen verwendet. Bei \(t=4\) wird jedoch der Wert \(324\) beobachtet. Für diese Modellprüfung gilt: Weicht ein Modellwert um mehr als \(20\,\%\) vom beobachteten Wert ab, soll das Modell überarbeitet werden. a) Berechne \(B_{\text{alt}}(4)\) und die relative Abweichung vom beobachteten Wert \(324\). Beziehe die Abweichung auf den beobachteten Wert und runde auf eine Dezimalstelle. b) Entscheide anhand des vorgegebenen Kriteriums, ob das Modell überarbeitet werden soll. c) Nimm für die Zeit ab \(t=2\) wieder einen konstanten täglichen Faktor \(q\) an. Bestimme \(q\) so, dass die Beobachtungen \(B(2)=225\) und \(B(4)=324\) getroffen werden, und stelle das revidierte Modell auf. d) Berechne mit dem revidierten Modell, wann der Bestand \(500\) erreicht. Runde auf zwei Dezimalstellen. e) Erkläre kurz, warum das revidierte Modell durch die Beobachtungsreihe besser gestützt ist als das unveränderte Fortsetzen des ursprünglichen Faktors.

Denkanstöße

- Vergleiche zunächst den alten Modellwert bei \(t=4\) mit dem dort beobachteten Wert und verwende den im Auftrag genannten Bezugswert für die Prozentabweichung. - Triff die Entscheidung über eine Revision erst nach dem Vergleich mit der vorgegebenen Toleranz. - Für den neuen Faktor liegen zwischen \(t=2\) und \(t=4\) zwei gleich lange Zeitschritte. - Verankere das revidierte Modell am beobachteten Wert bei \(t=2\); die gesuchte Zielzeit steht anschließend wieder im Exponenten.

Lösung

1. Das ursprüngliche Modell liefert \(B_{\text{alt}}(4)=100\cdot1{,}5^4=506{,}25\). 2. Die relative Abweichung vom beobachteten Wert beträgt \(\frac{506{,}25-324}{324}\cdot100\,\%=56{,}25\,\%\approx56{,}3\,\%\). 3. Da \(56{,}3\,\%>20\,\%\) gilt, verlangt das vorgegebene Kriterium eine Überarbeitung des Modells. 4. Für den neuen Faktor gilt zwischen \(t=2\) und \(t=4\): \(225\cdot q^2=324\). Daher ist \(q^2=1{,}44\) und \(q=1{,}2\). 5. Das revidierte Modell lautet für \(t\ge2\): \(B_{\text{neu}}(t)=225\cdot1{,}2^{t-2}\). 6. Für den Zielwert \(500\) gilt \(225\cdot1{,}2^{t-2}=500\). Somit ist \(t=2+\frac{\log_{10}(\frac{500}{225})}{\log_{10}(1{,}2)}\approx6{,}38\) Tage. 7. Das revidierte Modell berücksichtigt neben den frühen Werten auch die spätere Beobachtung bei \(t=4\); das unveränderte alte Modell überschätzt diesen beobachteten Bestand deutlich.

Antwort

a) \(B_{\text{alt}}(4)=506{,}25\); relative Abweichung etwa \(56{,}3\,\%\) b) Ja, das Modell soll nach dem vorgegebenen Kriterium überarbeitet werden. c) \(q=1{,}2\); \(B_{\text{neu}}(t)=225\cdot1{,}2^{t-2}\) für \(t\ge2\) d) etwa \(6{,}38\) Tage e) Das revidierte Modell berücksichtigt auch die spätere Beobachtung bei \(t=4\) und ist deshalb durch die vorliegenden Daten besser gestützt.
55664010
In einem idealisierten Schulmodell wird die von einer Kultur bedeckte Fläche in einer Petrischale betrachtet. Die gesamte nutzbare Fläche der Schale beträgt \(80\,\text{cm}^2\). Folgende Werte werden verwendet: <table><tr><td>\(t\) in Tagen</td><td>\(0\)</td><td>\(1\)</td><td>\(2\)</td><td>\(4\)</td></tr><tr><td>bedeckte Fläche in \(\text{cm}^2\)</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(27\)</td><td>\(48\)</td></tr></table> a) Verwende zunächst nur die Werte für \(t=0,1,2\) und stelle ein exponentielles Modell \(A_1(t)\) auf. b) Berechne mit \(A_1\), wann die gesamte Fläche von \(80\,\text{cm}^2\) erreicht würde. Runde auf zwei Dezimalstellen. c) Vergleiche den Modellwert \(A_1(4)\) mit dem Tabellenwert bei \(t=4\). Bestimme die prozentuale Abweichung des Modellwerts vom Tabellenwert, bezogen auf den Tabellenwert. d) Nimm nun an, dass ab \(t=2\) ein neuer konstanter täglicher Faktor gilt, der den Wert \(48\) bei \(t=4\) genau trifft. Bestimme diesen Faktor und berechne mit dem revidierten Modell den Zeitpunkt für \(80\,\text{cm}^2\). Runde auf zwei Dezimalstellen. e) Beurteile, welcher der beiden berechneten Zeitpunkte für eine Prognose geeigneter ist, und nenne zusätzlich eine grundsätzliche Grenze beider exponentiellen Modelle.

Denkanstöße

- Prüfe bei den ersten drei Werten, ob die Quotienten aufeinanderfolgender Flächen gleich sind. - Vergleiche eine Prognose mit einem späteren Tabellenwert, bevor du ihr vertraust. - Für die Revision muss derselbe neue Faktor zwei Zeitschritte von \(t=2\) bis \(t=4\) überbrücken. - Beurteile am Ende sowohl die Datenpassung als auch eine sachliche Obergrenze des Systems.

Lösung

1. Aus den ersten drei Werten folgt der konstante Faktor \(\frac{18}{12}=\frac{27}{18}=1{,}5\). Daher ist \(A_1(t)=12\cdot1{,}5^t\). 2. Für \(80\,\text{cm}^2\) gilt \(12\cdot1{,}5^t=80\). Somit ist \(t=\frac{\log_{10}(\frac{80}{12})}{\log_{10}(1{,}5)}\approx4{,}68\) Tage. 3. Das erste Modell liefert \(A_1(4)=12\cdot1{,}5^4=60{,}75\,\text{cm}^2\). Gegenüber dem Tabellenwert \(48\,\text{cm}^2\) beträgt die Abweichung \(\frac{60{,}75-48}{48}\cdot100\,\%\approx26{,}56\,\%\). 4. Für den neuen Faktor \(q\) gilt ab \(t=2\): \(27\cdot q^2=48\). Daher ist \(q^2=\frac{16}{9}\) und \(q=\frac{4}{3}\). 5. Das revidierte Modell lautet \(A_2(t)=27\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{t-2}\) für \(t\ge2\). 6. Für \(80\,\text{cm}^2\) gilt \(27\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{t-2}=80\). Damit ist \(t=2+\frac{\log_{10}(\frac{80}{27})}{\log_{10}(\frac{4}{3})}\approx5{,}78\) Tage. 7. Der revidierte Zeitpunkt ist durch den späteren Tabellenwert besser gestützt als die Prognose des ersten Modells. Dennoch können beide exponentiellen Modelle nicht unbegrenzt gelten, weil die bedeckbare Fläche auf \(80\,\text{cm}^2\) begrenzt ist und sich Wachstumsbedingungen verändern können.

Antwort

a) \(A_1(t)=12\cdot1{,}5^t\) b) etwa \(4{,}68\) Tage c) \(A_1(4)=60{,}75\,\text{cm}^2\); Abweichung etwa \(26{,}56\,\%\) d) \(q=\frac{4}{3}\); \(A_2(t)=27\cdot(\frac{4}{3})^{t-2}\); \(80\,\text{cm}^2\) nach etwa \(5{,}78\) Tagen e) Der revidierte Zeitpunkt ist besser durch die späteren Daten gestützt; beide exponentiellen Modelle sind durch die endliche Schalenfläche und veränderliche Bedingungen begrenzt.

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