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Periodische Modellierung

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43497510
Ein vereinfachtes Modell beschreibt den Tagesverlauf der Außentemperatur \(T\) in \({}^\circ\text{C}\) über \(24\) Stunden. Der modellierte Verlauf ist im Diagramm dargestellt; \(t\) ist die Zeit in Stunden. Bestimme mithilfe des Graphen die maximale und die minimale Temperatur in den folgenden Zeitintervallen: a) \([0;6]\) b) \([6;18]\) c) \([12;24]\)
Abbildung zur Aufgabe 434975

Denkanstöße

- Betrachte für jede Teilaufgabe nur den angegebenen Abschnitt des Graphen. - Prüfe sowohl innere Hoch- oder Tiefpunkte als auch die Intervallgrenzen. - Lies die zugehörigen Temperaturwerte an der vertikalen Achse ab.

Lösung

1. Im Intervall \([0;6]\) steigt der Modellwert von \(8\,{}^\circ\text{C}\) bei \(t=0\) auf \(14\,{}^\circ\text{C}\) bei \(t=6\). Damit sind Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\) und Maximum \(14\,{}^\circ\text{C}\). 2. Im Intervall \([6;18]\) liegt der Hochpunkt bei \(t=12\) mit \(20\,{}^\circ\text{C}\). An beiden Intervallgrenzen beträgt der Modellwert \(14\,{}^\circ\text{C}\). Damit sind Minimum \(14\,{}^\circ\text{C}\) und Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\). 3. Im Intervall \([12;24]\) fällt der Modellwert von \(20\,{}^\circ\text{C}\) auf \(8\,{}^\circ\text{C}\). Damit sind Maximum \(20\,{}^\circ\text{C}\) und Minimum \(8\,{}^\circ\text{C}\).

Antwort

a) Maximum: \(14\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(8\,{}^\circ\text{C}\) b) Maximum: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(14\,{}^\circ\text{C}\) c) Maximum: \(20\,{}^\circ\text{C}\), Minimum: \(8\,{}^\circ\text{C}\)
55342510
Eine synthetische Messreihe enthält ausgewählte, auf eine Dezimalstelle gerundete Werte aus genau einer Periode einer sinusförmigen Schwingung. Die Tabelle enthält ausdrücklich auch den größten und den kleinsten Wert dieser Periode. <table><tr><th>\(t\) in \(\text{s}\)</th><th>\(0\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3{,}5\)</th><th>\(6\)</th><th>\(7{,}5\)</th></tr><tr><th>\(y\) in \(\text{mm}\)</th><td>\(13\)</td><td>\(19\)</td><td>\(15{,}3\)</td><td>\(7\)</td><td>\(10{,}7\)</td></tr></table> Bestimme allein aus dem größten und dem kleinsten Tabellenwert die Mittellage \(d\) und die Amplitude \(A\) eines passenden sinusförmigen Modells. Die Periode soll nicht bestimmt werden.

Denkanstöße

- Welche beiden Tabellenwerte sind laut Aufgabenstellung die Extremwerte der vollständigen Periode? - Die Mittellage ist der Wert genau zwischen Maximum und Minimum. - Die Amplitude ist der Abstand von dieser Mittellage zu einem Extremwert. - Die unregelmäßigen Zeitabstände brauchst du für diese beiden Größen nicht auszuwerten.

Lösung

1. Laut Angabe enthält die Tabelle die Extremwerte der Periode. Der größte Wert ist \(19\,\text{mm}\), der kleinste \(7\,\text{mm}\). 2. Die Mittellage liegt genau zwischen den Extremwerten: \(d=\frac{19+7}{2}\,\text{mm}=13\,\text{mm}\). 3. Die Amplitude ist die halbe Differenz der Extremwerte: \(A=\frac{19-7}{2}\,\text{mm}=6\,\text{mm}\).

Antwort

\(d=13\,\text{mm}\), \(A=6\,\text{mm}\)
55342610
Die folgende synthetische Messreihe folgt genau einem sinusförmigen Verlauf. Aus der kontinuierlichen Messung ist bekannt, dass bei \(t=2\,\text{s}\) und \(t=10\,\text{s}\) zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte liegen. <table><tr><th>\(t\) in \(\text{s}\)</th><th>\(0\)</th><th>\(2\)</th><th>\(4\)</th><th>\(6\)</th><th>\(8\)</th><th>\(10\)</th></tr><tr><th>\(y\)</th><td>\(5\)</td><td>\(9\)</td><td>\(5\)</td><td>\(1\)</td><td>\(5\)</td><td>\(9\)</td></tr></table> Bestimme Amplitude \(A\), Mittellage \(d\) und Periode \(T\). Stelle anschließend einen passenden Funktionsterm der Form \(f(t)=a\sin(bt)+d\) auf und gib den Vorfaktor \(a\) an.

Denkanstöße

- Beginne mit dem größten und kleinsten Tabellenwert. - Für die Periode ist der Zeitabstand zwischen den ausdrücklich als aufeinanderfolgend bezeichneten Hochpunkten entscheidend. - Verknüpfe die gefundene Periode mit dem Faktor vor \(t\) im Sinusargument. - Nutze die Lage bei \(t=0\) und den folgenden Hochpunkt, um das Vorzeichen von \(a\) festzulegen.

Lösung

1. Aus Maximum \(9\) und Minimum \(1\) folgen Mittellage \(d=5\) und Amplitude \(A=4\). 2. Die Hochpunkte bei \(t=2\,\text{s}\) und \(t=10\,\text{s}\) sind laut Angabe aufeinanderfolgend. Daher ist \(T=10\,\text{s}-2\,\text{s}=8\,\text{s}\). 3. Aus \(T=\frac{2\pi}{b}\) folgt \(b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\). 4. Bei \(t=0\) liegt die Funktion auf der Mittellage und steigt zum Hochpunkt bei \(t=2\). Daher ist \(a=4\), und es passt \(f(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)+5\).

Antwort

\(A=4\), \(a=4\), \(d=5\), \(T=8\,\text{s}\), \(f(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)+5\)
43353410
Ein Meteorologe modelliert den Temperaturverlauf an einem Sommertag mit einer Sinusfunktion der Form \(T(t) = a\sin(b(t - c)) + d\). Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit Mitternacht und \(T\) die Temperatur in \(^\circ\text{C}\). a) Bestimme die maximale und die minimale Temperatur sowie die Zeitpunkte, zu denen diese erreicht werden. b) Ermittle die Parameter \(a\) (Amplitude) und \(d\) (Verschiebung in \(y\)-Richtung). c) Berechne den Wert von \(b\), wenn man eine Periodendauer von \(24\,\text{h}\) voraussetzt. d) Bestimme den Parameter \(c\) (Phasenverschiebung) durch Ablesen eines geeigneten Punktes auf der Mittellinie.
Abbildung zur Aufgabe 433534

Denkanstöße

- Wo liegt die „Mitte“ zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert? Das hilft dir bei \(d\). - Wie weit schwingt der Graph von dieser Mitte aus nach oben oder unten? Das ist die Amplitude \(a\). - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Periodendauer \(p\) und dem Faktor \(b\). - Suche den Punkt, an dem der Graph die Mittellinie nach oben kreuzt. Dieser Wert auf der x-Achse verrät dir die Verschiebung \(c\).

Lösung

1. Max/Min ablesen: Das Maximum liegt bei \(T_{\text{max}} = 20\,^\circ\text{C}\) zum Zeitpunkt \(t = 14\) (14:00 Uhr). Das Minimum liegt bei \(T_{\text{min}} = 10\,^\circ\text{C}\) zum Zeitpunkt \(t = 2\) (02:00 Uhr). 2. Parameter \(d\) und \(a\): Die Mittellinie (Ruhelage) liegt genau zwischen Maximum und Minimum: \(d = \frac{20 + 10}{2} = 15\). Die Amplitude ist die Abweichung vom Mittelwert: \(a = 20 - 15 = 5\). 3. Parameter \(b\): Bei einer Periodenlänge von \(p = 24\,\text{h}\) ergibt sich \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{24} = \frac{\pi}{12}\). 4. Parameter \(c\): Der Graph schneidet die Mittellinie (\(T = 15\)) steigend zum Zeitpunkt \(t = 8\). Da eine Standard-Sinusfunktion bei \(0\) steigend beginnt, entspricht dies einer Verschiebung um \(8\) Einheiten nach rechts, also \(c = 8\).

Antwort

a) \(T_{\text{max}} = 20\,^\circ\text{C}\) bei \(t = 14\); \(T_{\text{min}} = 10\,^\circ\text{C}\) bei \(t = 2\) b) \(a = 5\); \(d = 15\) c) \(b = \frac{\pi}{12}\) d) \(c = 8\)
43358611
Die Abbildung zeigt die Funktionen \(f(x)=2\sin(x)\), \(g(x)=\sin(2x)\) und \(h(x)=f(x)+g(x)\). a) Prüfe rechnerisch, ob die Graphen von \(f\) und \(g\) achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung sind. b) Leite daraus ohne erneute vollständige Rechnung die Symmetrie des Graphen von \(h\) her. c) Kontrolliere die Aussage aus b) an den Stellen \(x=\frac{\pi}{2}\) und \(x=-\frac{\pi}{2}\), indem du die drei Funktionswerte bestimmst.
Abbildung zur Aufgabe 433586

Denkanstöße

- Vergleiche für die Symmetrie jeweils den Funktionsterm bei \(x\) und bei \(-x\). - Überlege, welche Vorzeichenänderung der Sinus bei einem negativen Argument hat. - Nutze in b) die bereits gefundenen Beziehungen für \(f(-x)\) und \(g(-x)\), statt beide Terme von vorn auszuwerten. - Die beiden in c) gewählten x-Werte liegen spiegelbildlich zum Ursprung; passende y-Werte müssen bei Punktsymmetrie ebenfalls entgegengesetzte Vorzeichen haben.

Lösung

1. Für \(f\) gilt \(f(-x)=2\sin(-x)=-2\sin(x)=-f(x)\). Für \(g\) gilt \(g(-x)=\sin(-2x)=-\sin(2x)=-g(x)\). Beide Funktionen sind daher ungerade; ihre Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Wegen \(h=f+g\) folgt \(h(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-h(x)\). Also ist auch der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Es ist \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\), \(g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\) und damit \(h\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\). Entsprechend gilt \(f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\), \(g\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0\) und \(h\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2\). Die Werte bestätigen die Punktsymmetrie.

Antwort

a) Beide Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung. b) Auch der Graph von \(h\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. c) Bei \(x=\frac{\pi}{2}\): \(f=2\), \(g=0\), \(h=2\); bei \(x=-\frac{\pi}{2}\): \(f=-2\), \(g=0\), \(h=-2\).
43364011
Die Abbildung zeigt die Funktionen \(f(x)=\sin(x)\), \(g(x)=0{,}5x\) und ihre Summe \(h(x)=f(x)+g(x)\). a) Beschreibe, wie der Graph von \(h\) aus den beiden Teilfunktionen entsteht, und gib den größten vertikalen Abstand zwischen den Graphen von \(h\) und \(g\) an. b) Untersuche das Globalverhalten von \(h\) für \(x\to+\infty\) und \(x\to-\infty\). Nutze dabei, dass \(-1\le\sin(x)\le1\) gilt, und formuliere beide Ergebnisse in Grenzwertschreibweise. c) Begründe mithilfe des Globalverhaltens, warum \(h\) keine periodische Funktion sein kann.
Abbildung zur Aufgabe 433640

Denkanstöße

- Vergleiche \(h(x)\) direkt mit \(g(x)\), indem du die Differenz der beiden Terme bildest. - Für das Globalverhalten musst du den Sinus nicht genau kennen; seine Werte bleiben immer in einem festen Intervall. - Begrenze \(h(x)\) nach oben und unten durch zwei lineare Terme. - Überlege für c), was mit den Funktionswerten einer stetigen Funktion passiert, wenn sich derselbe Graphabschnitt immer wiederholt.

Lösung

1. Für jedes \(x\) gilt \(h(x)-g(x)=\sin(x)\). Daher schwankt der Graph von \(h\) um die Gerade \(g\), und der vertikale Abstand beträgt höchstens \(1\). 2. Aus \(-1\le\sin(x)\le1\) folgt \(0{,}5x-1\le h(x)\le0{,}5x+1\). Beide Randterme wachsen für \(x\to+\infty\) unbegrenzt. Daher gilt \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\). Für \(x\to-\infty\) gehen beide Randterme gegen \(-\infty\), also gilt \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). 3. Eine stetige periodische Funktion wiederholt auf jedem Periodenintervall dieselben Funktionswerte und ist deshalb beschränkt. Da \(h\) nach oben und unten unbeschränkt ist, kann \(h\) nicht periodisch sein.

Antwort

a) \(h\) schwankt im vertikalen Abstand von höchstens \(1\) um die Gerade \(g(x)=0{,}5x\). b) \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty\) und \(\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty\). c) \(h\) ist nicht periodisch, weil ihr Globalverhalten unbeschränkt ist.
43379610
Für einen Nordseehafen wird der Wasserstand während eines Tages durch das vereinfachte periodische Modell \(h(t)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-2)\right)+3\) beschrieben. Dabei ist \(h\) der modellierte Wasserstand in Metern und \(t\) die Zeit in Stunden seit Mitternacht. Der Graph stellt dieses Modell dar. a) Bestimme den modellierten Wasserstand um 4:00 Uhr morgens (\(t=4\)) exakt und zusätzlich auf zwei Dezimalstellen gerundet. b) Für eine sichere Einfahrt ist laut Vorgabe ein Wasserstand von mindestens \(4\,\text{m}\) erforderlich. Bestimme innerhalb der ersten 12 Stunden den Zeitraum, in dem diese Bedingung erfüllt ist.
Abbildung zur Aufgabe 433796

Denkanstöße

- Für a) kannst du den Wert am Graphen ablesen oder den angegebenen Modellverlauf rechnerisch auswerten. - Für b) vergleiche den Graphen mit der waagrechten Schwelle bei \(4\,\text{m}\). - Suche die beiden Schnittzeiten innerhalb der ersten 12 Stunden. - Entscheide anschließend, zwischen welchen Schnittpunkten der Modellwert mindestens so groß wie die Schwelle ist.

Lösung

1. Für \(t=4\) gilt \(h(4)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}(4-2)\right)+3=2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+3=\sqrt3+3\approx4{,}73\,\text{m}\). 2. Für die Einfahrt wird \(h(t)\ge4\) benötigt. Im Intervall \([0;12]\) schneidet der Graph die Höhe \(4\,\text{m}\) bei \(t=3\) und \(t=7\). 3. Zwischen diesen beiden Zeiten liegt der Graph auf oder über \(4\,\text{m}\). Der gesuchte Zeitraum ist daher von 3:00 Uhr bis 7:00 Uhr.

Antwort

a) \(h(4)=3+\sqrt3\,\text{m}\approx4{,}73\,\text{m}\) b) Von 3:00 Uhr bis 7:00 Uhr.
43382010
In einem Physiklabor werden zwei periodische Messsignale auf einem Oszilloskop verglichen. Die Graphen \(g\) und \(h\) zeigen die gemessene Position \(y\) in Millimetern relativ zu einer festen Referenzlinie in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Sekunden. Beide Signale schwingen um die Referenzposition \(2{,}5\,\text{mm}\). a) Ermittle für beide Graphen einen passenden Funktionsterm der Form \(f(t)=a\sin(bt)+d\). b) Vergleiche die beiden Schwingungen hinsichtlich ihrer Amplitude und ihrer Frequenz.
Abbildung zur Aufgabe 433820

Denkanstöße

- Lies für beide Kurven zuerst die gemeinsame Referenzposition und den maximalen Abstand davon ab. - Bestimme jeweils die Zeit für eine vollständige Wiederholung. - Vergleiche die beiden Periodendauern, bevor du eine Aussage über die Frequenzen machst. - Prüfe, ob deine Funktionsterme bei \(t=0\) zur gezeigten Referenzposition passen.

Lösung

1. Beide Kurven schwingen um \(d=2{,}5\,\text{mm}\). 2. Für \(g\) beträgt die Amplitude \(1{,}5\,\text{mm}\) und die Periode \(T_g=4\,\text{s}\). Daher ist \(b_g=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\) und \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\). 3. Für \(h\) beträgt die Amplitude \(0{,}5\,\text{mm}\) und die Periode \(T_h=2\,\text{s}\). Daher ist \(b_h=\frac{2\pi}{2}=\pi\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\). 4. Die Amplitude von \(h\) ist ein Drittel der Amplitude von \(g\). Da \(h\) nur die halbe Periodendauer besitzt, ist seine Frequenz doppelt so groß.

Antwort

a) \(g(t)=1{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)+2{,}5\) und \(h(t)=0{,}5\sin(\pi t)+2{,}5\) b) \(h\) hat ein Drittel der Amplitude von \(g\) und die doppelte Frequenz.
43385210
Für einen Nordseehafen wird der Wasserstand durch ein vereinfachtes sinusförmiges Modell beschrieben. Das Diagramm zeigt den modellierten Wasserstand \(h\) in Metern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Stunden nach Mitternacht. Ein Funktionsterm soll die Form \(h(t)=a\sin(b(t-c))+d\) haben. a) Bestimme die Amplitude \(A\) und den vertikalen Versatz \(d\) aus dem Graphen. b) Ermittle die Periodenlänge \(T\) und berechne daraus \(b\). c) Bestimme \(c\) und gib einen vollständigen Funktionsterm an.
Abbildung zur Aufgabe 433852

Denkanstöße

- Mittellinie und Amplitude lassen sich aus Maximum und Minimum bestimmen. - Für die Periodenlänge kannst du zwei aufeinanderfolgende gleichartige Extrempunkte vergleichen. - Suche für die Sinusform einen ansteigenden Durchgang durch die Mittellinie. - Prüfe den fertigen Term an einem markanten Punkt des Graphen.

Lösung

1. Das Maximum ist \(8\,\text{m}\), das Minimum \(2\,\text{m}\). Daher ist \(d=\frac{8+2}{2}=5\) und die Amplitude \(A=3\). 2. Zwei aufeinanderfolgende Minima liegen bei \(t=0\) und \(t=12\). Damit ist \(T=12\,\text{h}\) und \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\). 3. Die Kurve schneidet die Mittellinie bei \(t=3\) ansteigend. Für die vorgegebene Sinusform ist deshalb \(c=3\). 4. Mit dem positiven Vorfaktor \(a=3\) ergibt sich \(h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+5\).

Antwort

a) \(A=3\,\text{m}\), \(d=5\,\text{m}\) b) \(T=12\,\text{h}\), \(b=\frac{\pi}{6}\) c) \(c=3\,\text{h}\), \(h(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+5\)
43404210
Ein Riesenrad mit einem Durchmesser von \(30\,\text{m}\) dreht sich gleichmäßig. Die Gondeln erreichen an ihrem höchsten Punkt eine Höhe von \(32\,\text{m}\) über dem Erdboden. Eine volle Umdrehung dauert \(4\,\text{min}\). Zum Zeitpunkt \(t=0\) befindet sich die betrachtete Gondel am tiefsten Punkt. Stelle eine Funktionsgleichung der Form \(h(t)=a\cos(bt)+d\) für die Höhe \(h\) in Metern in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) in Minuten auf.

Denkanstöße

- Welche Größe des Riesenrads entspricht der Amplitude der Höhenänderung? - Bestimme aus höchster Höhe und Radius die Höhe der Drehachse. - Nutze die Dauer einer vollen Umdrehung für die Periodenlänge. - Überlege, welches Vorzeichen der Kosinuskoeffizient haben muss, wenn die Fahrt am tiefsten Punkt beginnt.

Lösung

1. Der Radius beträgt \(15\,\text{m}\), also ist die Amplitude \(A=15\,\text{m}\). Weil die Gondel bei \(t=0\) am tiefsten Punkt startet, ist in der vorgegebenen Kosinusform der Vorfaktor \(a=-15\). 2. Die Achse des Riesenrads liegt \(15\,\text{m}\) unter dem höchsten Punkt, also bei \(d=32-15=17\,\text{m}\). 3. Die Periodenlänge ist \(T=4\,\text{min}\). Daher ist \(b=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\). 4. Somit lautet ein passender Funktionsterm \(h(t)=-15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+17\).

Antwort

\(h(t)=-15\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)+17\)
43432910
Ein vereinfachtes Gezeitenmodell beschreibt die Wassertiefe \(h(t)\) (in Metern) in einem Hafenbecken über die Zeit \(t\) (in Stunden). Der abgebildete Graph zeigt den Verlauf ab dem Zeitpunkt \(t=0\). Bestimme eine Funktionsgleichung der Form \(h(t) = a\sin(bt) + d\), die diesen Verlauf beschreibt.
Abbildung zur Aufgabe 434329

Denkanstöße

- Überlege dir, was die physikalischen Größen (Wassertiefe, Zeit) im Koordinatensystem bedeuten. - Die Mittellinie \(d\) entspricht dem durchschnittlichen Wasserstand. - Die Amplitude \(a\) gibt an, wie stark der Wasserstand von diesem Durchschnitt maximal abweicht. - Wie lange dauert es von einem Hochwasser zum nächsten? Das ist die Periode \(p\).

Lösung

1. Ablesen der Mittellinie (durchschnittlicher Wasserstand) aus dem Graphen: \(d = 4\) 2. Bestimmung der Amplitude \(a\): Die maximale Tiefe beträgt \(6\,\text{m}\), die minimale \(2\,\text{m}\). Die Amplitude ist die Differenz zur Mittellinie: \(a = 6 - 4 = 2\) 3. Ablesen der Periode \(p\): Die Dauer eines vollständigen Ebbe-Flut-Zyklus beträgt \(12\) Stunden. Also \(p = 12\) 4. Berechnung des Parameters \(b\): \(b = \frac{2\pi}{p} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}\) 5. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)

Antwort

\(h(t) = 2\sin(\frac{\pi}{6} t) + 4\)
55342710
Eine synthetische Messreihe eines periodischen Vorgangs enthält kleine Messabweichungen. <table><tr><th>\(t\) in \(\text{s}\)</th><th>\(1\)</th><th>\(4\)</th><th>\(6\)</th><th>\(8\)</th><th>\(11\)</th><th>\(13\)</th></tr><tr><th>\(y\)</th><td>\(35{,}9\)</td><td>\(30{,}1\)</td><td>\(24{,}9\)</td><td>\(24{,}8\)</td><td>\(33{,}1\)</td><td>\(36{,}0\)</td></tr></table> Beurteile, ob ein sinusförmiges Modell für diese Daten plausibel ist. Begründe deine Entscheidung anhand von mindestens drei Merkmalen der Messreihe. Ein genauer Funktionsterm ist nicht verlangt.

Denkanstöße

- Suche nicht nach exakt gleichen Zahlen, sondern nach wiederkehrenden Merkmalen trotz kleiner Abweichungen. - Vergleiche hohe und niedrige Messwerte mit einer möglichen Mittellage. - Prüfe, ob weit auseinanderliegende Zeitpunkte ähnliche Werte zeigen und ob Werte um ein vermutetes Extremum annähernd symmetrisch sind. - Ein Näherungsmodell muss die einzelnen Messwerte nicht exakt treffen.

Lösung

1. Die Werte liegen ungefähr symmetrisch um eine Mittellage nahe \(30\): Werte um \(36\) liegen etwa \(6\) darüber, Werte um \(24{,}8\) etwa \(5{,}2\) darunter. 2. Die Werte bei \(t=1\) und \(t=13\) sind nahezu gleich. Das spricht für eine Wiederholung nach ungefähr \(12\,\text{s}\). 3. Die Werte bei \(t=6\) und \(t=8\) sind nahezu gleich und liegen beidseits eines erwarteten Tiefpunkts; auch die Zwischenwerte passen zu einem regelmäßigen Anstieg und Abfall um die Mittellage. 4. Insgesamt sind die kleinen Abweichungen mit Messstreuung vereinbar. Ein sinusförmiges Näherungsmodell ist daher plausibel.

Antwort

Ein sinusförmiges Modell ist plausibel. Dafür sprechen eine annähernd konstante Mittellage nahe \(30\), ungefähr gleich große Ausschläge nach oben und unten, nahezu gleiche Werte nach etwa \(12\,\text{s}\) sowie die annähernde Symmetrie der Werte um einen Tiefpunkt. Die kleinen Abweichungen widersprechen einem Näherungsmodell nicht.
55342810
Eine synthetische Messreihe zeigt ungefähr einen sinusförmigen Verlauf. Aus der kontinuierlichen Aufzeichnung ist bekannt, dass zwei aufeinanderfolgende Hochpunkte ungefähr bei \(t=5\,\text{h}\) und \(t=17\,\text{h}\) liegen. <table><tr><th>\(t\) in \(\text{h}\)</th><th>\(2\)</th><th>\(5\)</th><th>\(8\)</th><th>\(11\)</th><th>\(14\)</th><th>\(17\)</th><th>\(20\)</th></tr><tr><th>\(m\)</th><td>\(18{,}2\)</td><td>\(21{,}9\)</td><td>\(17{,}8\)</td><td>\(14{,}1\)</td><td>\(18{,}0\)</td><td>\(22{,}2\)</td><td>\(17{,}9\)</td></tr></table> Schätze Mittellage \(d\), Amplitude \(A\) und Periode \(T\), indem du diese drei Parameter auf ganze Zahlen rundest. Stelle mit den gerundeten Werten einen einfachen Näherungsterm der Form \(m(t)=a\cos(b(t-c))+d\) auf und gib \(a\), \(b\) und \(c\) an.

Denkanstöße

- Schätze Mittellage und Amplitude aus der Lage der hohen und niedrigen Messwerte. - Für die Periode kannst du die ausdrücklich als aufeinanderfolgend bezeichneten Hochpunkte verwenden. - Ein Kosinusterm mit positivem Vorfaktor hat an seiner Phasenverschiebung einen Hochpunkt. - Verknüpfe die geschätzte Periode mit dem Faktor \(b\) im Argument.

Lösung

1. Die Messwerte liegen ungefähr zwischen \(14\) und \(22\). Daher sind gerundet \(d\approx18\) und \(A\approx4\). 2. Die angegebenen aufeinanderfolgenden Hochpunkte liegen ungefähr \(12\,\text{h}\) auseinander. Damit ist \(T\approx12\,\text{h}\). 3. Mit \(T=12\) folgt \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}\). 4. Ein Hochpunkt liegt ungefähr bei \(t=5\). Für einen Kosinusterm mit positivem Vorfaktor kann daher \(c=5\) gewählt werden. Mit \(a=4\) ergibt sich als einfacher Näherungsterm \(m(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-5)\right)+18\).

Antwort

\(d\approx18\), \(A\approx4\), \(T\approx12\,\text{h}\), \(a=4\), \(b=\frac{\pi}{6}\), \(c=5\); ein passender Näherungsterm ist \(m(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-5)\right)+18\).
55342910
Für eine synthetische Messreihe werden zwei sinusförmige Modelle mit gleicher Mittellage, Amplitude und Periode, aber unterschiedlicher Phase vorgeschlagen: \(f(t)=10+2\cos\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) und \(g(t)=10+2\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\). <table><tr><th>\(t\) in \(\text{s}\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th></tr><tr><th>Messwert</th><td>\(11{,}9\)</td><td>\(10{,}2\)</td><td>\(8{,}1\)</td><td>\(9{,}8\)</td><td>\(12{,}0\)</td></tr></table> Berechne für jedes Modell die Summe der absoluten Abweichungen von den fünf Messwerten. Entscheide danach, welches Modell die Messreihe nach diesem Kriterium besser beschreibt.

Denkanstöße

- Werte beide Modelle genau an den fünf Tabellenzeitpunkten aus. - Vergleiche bei jedem Zeitpunkt Messwert und Modellwert über den Betrag ihrer Differenz. - Addiere die Abweichungen für jedes Modell getrennt. - Beachte, dass sich die beiden Modelle hier nicht in Amplitude oder Periode, sondern in ihrer Phase unterscheiden.

Lösung

1. Modell \(f\) liefert bei \(t=0,1,2,3,4\) die Werte \(12,10,8,10,12\). Die absoluten Abweichungen sind \(0{,}1,0{,}2,0{,}1,0{,}2,0\); ihre Summe ist \(0{,}6\). 2. Modell \(g\) liefert bei denselben Zeitpunkten \(10,12,10,8,10\). Die absoluten Abweichungen sind \(1{,}9,1{,}8,1{,}9,1{,}8,2{,}0\); ihre Summe ist \(9{,}4\). 3. Da \(0{,}6<9{,}4\), beschreibt \(f\) die Messreihe nach dem vorgegebenen Kriterium besser. Der Unterschied entsteht hier vor allem durch die unterschiedliche Phase der beiden Modelle.

Antwort

Summe der absoluten Abweichungen für \(f\): \(0{,}6\) Summe der absoluten Abweichungen für \(g\): \(9{,}4\) Nach diesem Kriterium passt \(f\) besser.
55343010
Der Druck eines vereinfachten technischen Modells wird durch \(p(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\) in Kilopascal beschrieben; \(t\) ist die Zeit in Sekunden. a) Eine Dämpfung halbiert die Amplitude, gleichzeitig steigt die Mittellage um \(5\,\text{kPa}\). Die Periode bleibt unverändert. Stelle einen neuen Term \(p_1(t)\) auf und gib seinen Wertebereich an. b) In einem zweiten Szenario bleiben Mittellage und Amplitude des ursprünglichen Modells erhalten, aber der Vorgang läuft doppelt so schnell ab. Stelle einen Term \(p_2(t)\) auf und gib seine Periode an.

Denkanstöße

- Trenne beim Ausgangsterm die Rollen von Mittellage, Amplitude und Periodenfaktor. - Im ersten Szenario ändern sich nur zwei dieser drei Größen. - Überlege im zweiten Szenario, was „doppelt so schnell“ für die Zeit einer vollständigen Schwingung bedeutet. - Prüfe beim Wertebereich, wie weit das Modell von seiner neuen Mittellage nach oben und unten ausschlägt.

Lösung

1. Das Ausgangsmodell hat Mittellage \(50\,\text{kPa}\), Amplitude \(8\,\text{kPa}\) und wegen \(b=\frac{\pi}{6}\) die Periode \(T=\frac{2\pi}{\pi/6}=12\,\text{s}\). 2. Im ersten Szenario wird die Amplitude zu \(4\,\text{kPa}\) und die Mittellage zu \(55\,\text{kPa}\); der Faktor im Argument bleibt gleich. Daher ist \(p_1(t)=55+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\) mit Wertebereich \([51;59]\,\text{kPa}\). 3. Doppelte Ablaufgeschwindigkeit bedeutet halbe Periode. Daher wird der Faktor im Argument verdoppelt: \(p_2(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\). 4. Für \(p_2\) ist \(T_2=\frac{2\pi}{\pi/3}=6\,\text{s}\).

Antwort

a) \(p_1(t)=55+4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\); Wertebereich: \([51;59]\,\text{kPa}\) b) \(p_2(t)=50+8\sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)\); \(T_2=6\,\text{s}\)
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Für eine synthetische Messreihe über einen Tag wurde das Näherungsmodell \(m(t)=18+4\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-2)\right)\) aufgestellt. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(m(t)\) die Messgröße. <table><tr><th>\(t\) in \(\text{h}\)</th><th>\(0\)</th><th>\(4\)</th><th>\(8\)</th><th>\(12\)</th><th>\(16\)</th><th>\(20\)</th><th>\(24\)</th></tr><tr><th>Messwert</th><td>\(16{,}2\)</td><td>\(19{,}8\)</td><td>\(22{,}1\)</td><td>\(20{,}2\)</td><td>\(15{,}9\)</td><td>\(14{,}1\)</td><td>\(16{,}0\)</td></tr></table> a) Bestimme mithilfe des Modells innerhalb von \([0;24]\) den Zeitraum, in dem \(m(t)\ge20\) gilt. b) Bestimme für die sieben Tabellenzeitpunkte die größte absolute Abweichung zwischen Modell und Messwert. c) Begründe, warum eine Vorhersage mit demselben Modell für \(t=120\,\text{h}\) deutlich unsicherer wäre als die Verwendung des Modells innerhalb des beobachteten Tages.

Denkanstöße

- Forme die Schwellenbedingung so um, dass nur noch der Sinusausdruck mit einer Zahl verglichen wird. - Nutze für die Grenzzeiten bekannte Winkel, bei denen der Sinus den Schwellenwert annimmt. - Für die Modellgüte in b) brauchst du Modell- und Messwert jeweils am selben Zeitpunkt. - Unterscheide bei c) zwischen einer Aussage im beobachteten Bereich und einer weit darüber hinausgehenden Vorhersage.

Lösung

1. Die Bedingung \(m(t)\ge20\) ist gleichbedeutend mit \(\sin\left(\frac{\pi}{12}(t-2)\right)\ge\frac12\). 2. Im betrachteten Zeitraum ist diese Bedingung für Argumente von \(\frac{\pi}{6}\) bis \(\frac{5\pi}{6}\) erfüllt. Daraus folgen \(t=4\) und \(t=12\) als Randzeiten, also \(t\in[4;12]\). 3. Das Modell liefert bei \(t=0,4,8,12,16,20,24\) die Werte \(16,20,22,20,16,14,16\). Die absoluten Abweichungen zu den Messwerten sind \(0{,}2,0{,}2,0{,}1,0{,}2,0{,}1,0{,}1,0\). Die größte Abweichung beträgt \(0{,}2\). 4. Die Daten decken nur den beobachteten Zeitraum von \(24\,\text{h}\) ab. Für \(120\,\text{h}\) müsste man annehmen, dass Periode, Mittellage, Amplitude und Phase über viele weitere Zyklen unverändert bleiben. Diese Annahme wird durch die vorliegenden Daten nicht überprüft.

Antwort

a) \(t\in[4;12]\,\text{h}\) b) größte absolute Abweichung: \(0{,}2\) c) Die Daten stützen das Modell nur im beobachteten Tagesabschnitt; eine unveränderte Fortsetzung über mehrere weitere Perioden ist nicht durch die Messreihe abgesichert.

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