- Was geschieht mit einem Produkt, wenn einer seiner Faktoren den Wert \(0\) annimmt? - Welche \(y\)-Koordinate hat jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Wie muss ein Faktor in \(x\) aussehen, damit er bei \(x=4\) den Wert \(0\) annimmt?

1. Wegen des Faktors \((x-4)\) gilt für \(x=4\) der Funktionswert \(f(4)=0\). 2. Damit liegt der Punkt \((4\mid0)\) auf dem Graphen; er liegt auf der \(x\)-Achse. 3. Die Nullstelle \(x=4\), der Funktionswert \(0\), der Punkt \((4\mid0)\) und der Faktor \((x-4)\) beschreiben denselben Zusammenhang.

\(f(4)=0\), Punkt \((4\mid0)\), Faktor \((x-4)\)

- Welche Werte von \(x\) machen jeweils einen der Faktoren gleich \(0\)? - Zähle zunächst verschiedene Nullstellen, nicht die Anzahl der Faktoren. - Welche Bedeutung hat der Exponent direkt am Faktor einer Nullstelle?

1. Der Faktor \((x+2)^3\) liefert die Nullstelle \(x=-2\) mit Vielfachheit \(3\). 2. Der Faktor \((x-5)\) liefert die Nullstelle \(x=5\) mit Vielfachheit \(1\). 3. Somit gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen, obwohl die Summe ihrer Vielfachheiten \(4\) beträgt.

a) Zwei verschiedene reelle Nullstellen. b) \(x=-2\) hat Vielfachheit \(3\); \(x=5\) hat Vielfachheit \(1\).

- Welche Gleichung folgt daraus, dass \(P(0\mid4)\) auf dem Graphen liegt? - Setze nur die \(x\)-Koordinate des Punktes in die gegebene Produktform ein. - Danach ist nur noch der Vorfaktor \(a\) unbekannt.

1. Weil \(P(0\mid4)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(f(0)=4\). 2. Einsetzen ergibt \(4=a(0+2)(0-1)^2=2a\). 3. Daher ist \(a=2\).

\(a=2\)

- Wann wird ein Produkt aus mehreren Klammern oder Faktoren insgesamt null? - Wie erkennst du an der Form des Funktionsterms, ob eine Nullstelle einfach, doppelt oder dreifach vorkommt? - Überlege bei Ausdrücken wie \(x^2 + a\), ob es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist. - Was bedeutet ein Exponent an einer Klammer für die Vielfachheit der dazugehörigen Nullstelle?

1. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. 2. Teilaufgabe a): Der Faktor \((x - 3)\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 3\) (einfach, da der Exponent der Klammer 1 ist). Der Faktor \((x + 8)^2\) führt zur Nullstelle \(x_2 = -8\) (doppelt, da der Exponent der Klammer 2 ist). 3. Teilaufgabe b): Der Faktor \(-x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\) (doppelt). Der Faktor \((x - 0{,}4)\) führt zur Nullstelle \(x_2 = 0{,}4\) (einfach). 4. Teilaufgabe c): Der Faktor \((x^2 + 16)\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 = -16\) für reelle Zahlen unlösbar ist. Der Faktor \(x\) führt zur Nullstelle \(x = 0\) (einfach).

a) \(x_1 = 3\) (einfach); \(x_2 = -8\) (doppelt) b) \(x_1 = 0\) (doppelt); \(x_2 = 0{,}4\) (einfach) c) \(x = 0\) (einfach); keine weiteren reellen Nullstellen

- Prüfe, ob sich quadratische Faktoren noch in einfachere Faktoren zerlegen lassen. - Achte darauf, ob derselbe Nullstellenwert in mehreren Faktoren vorkommt. - Welche reellen Zahlen haben beim Quadrieren den Wert \(0{,}25\)? - Ein von null verschiedener konstanter Faktor verändert die Nullstellen nicht.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \(x^2 - 36\) lässt sich in \((x - 6)(x + 6)\) zerlegen. Damit gilt \(f(x) = 2(x - 6)(x + 6)^2\). Die Nullstellen sind \(x = 6\) und \(x = -6\). 2. Teilaufgabe b): Aus den Faktoren folgen direkt die Nullstellen \(x = 0\), \(x = 1{,}5\) und \(x = -11\). 3. Teilaufgabe c): Aus \(x^2 - 0{,}25 = 0\) folgt \(x = \pm 0{,}5\). Der Faktor \(x^2\) liefert zusätzlich \(x = 0\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1{,}5\); \(x_3 = -11\) c) \(x_1 = 0{,}5\); \(x_2 = -0{,}5\); \(x_3 = 0\)

- Welche gemeinsame Struktur kannst du in jedem Term sichtbar machen? - Woran erkennst du, ob zwei Darstellungen dieselbe Funktion beschreiben? - Welche Information liefern die Faktoren und ihre Exponenten über Nullstellen und Vielfachheiten?

1. Für \(f_1\) gilt \(x^3-25x=x(x^2-25)=x(x-5)(x+5)\). Daher gehört \(f_1\) zu \(g_c\). Die Nullstellen \(-5,0,5\) sind jeweils einfach. 2. Für \(f_2\) gilt \(x^3+10x^2+25x=x(x^2+10x+25)=x(x+5)^2\). Daher gehört \(f_2\) zu \(g_a\). Die Nullstelle \(0\) ist einfach, \(-5\) ist doppelt. 3. Für \(f_3\) gilt \(3x^2-12x+12=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2\). Daher gehört \(f_3\) zu \(g_b\). Die Nullstelle \(2\) ist doppelt.

\(f_1\to g_c\): Nullstellen \(-5,0,5\), jeweils einfach. \(f_2\to g_a\): Nullstellen \(0\) einfach und \(-5\) doppelt. \(f_3\to g_b\): Nullstelle \(2\) doppelt.

- Der Grad einer Funktion in faktorisierter Form lässt sich durch Addieren der Hochzahlen der einzelnen Faktoren bestimmen. - Eine Nullstelle ist der Wert für \(x\), bei dem ein einzelner Faktor des Produkts null wird. - Schau dir die Hochzahl (den Exponenten) über jedem Faktor an, um die Vielfachheit zu finden. - Erinnere dich an den Unterschied im Verlauf des Graphen bei geraden und ungeraden Vielfachheiten von Nullstellen.

1. Bestimmung des Grades: Der Term ist ein Produkt aus den Faktoren \((x+1)^2\), \((x-3)\) und \(x\). Die Summe der Exponenten der Linearfaktoren ist \(2 + 1 + 1 = 4\). Der Grad der Funktion ist somit \(4\). 2. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: Aus den Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Der Faktor \((x+1)^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = -1\) mit der Vielfachheit \(2\). Der Faktor \((x-3)\) liefert die Nullstelle \(x_2 = 3\) mit der Vielfachheit \(1\). Der Faktor \(x\) liefert die Nullstelle \(x_3 = 0\) mit der Vielfachheit \(1\). 3. Berührpunkt identifizieren: Ein Graph berührt die \(x\)-Achse an einer Nullstelle genau dann, wenn die Vielfachheit dieser Nullstelle geradzahlig ist. Da nur die Nullstelle \(x_1 = -1\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt, liegt dort ein Berührpunkt vor.

a) Der Grad ist \(4\). b) Nullstellen: \(x_1 = -1\) (Vielfachheit \(2\)), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit \(1\)), \(x_3 = 0\) (Vielfachheit \(1\)). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x = -1\), da dies eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (\(2\)) ist.

- Überlege, bei welchen \(x\)-Werten die einzelnen Faktoren null werden. - Achte darauf, ob eine Funktion zusätzliche Faktoren wie ein einzelnes \(x\) besitzt. - Woran erkennst du in der Produktform die Vielfachheit einer Nullstelle? - Ein von null verschiedener Vorfaktor verändert die Nullstellen nicht.

1. Bei \(f\) liegen die Nullstellen bei \(x=2\), \(x=-2\) und \(x=5\). Damit ist die Nullstellenmenge \(\{-2;2;5\}\). 2. Bei \(g\) liefert \(x^2-4=0\) die Werte \(x=\pm2\), der Faktor \(x+5\) liefert \(x=-5\). Die Nullstellenmenge ist also \(\{-5;-2;2\}\). 3. Bei \(h\) liegen die Nullstellen bei \(x=2\) doppelt sowie bei \(x=-2\) und \(x=5\) einfach. Die Menge der verschiedenen Nullstellen ist \(\{-2;2;5\}\). 4. Bei \(i\) kommt durch den zusätzlichen Faktor \(x\) die Nullstelle \(x=0\) hinzu. Die Nullstellenmenge ist \(\{-2;0;2;5\}\). 5. Bei \(j\) liegen die Nullstellen wie bei \(f\) bei \(x=2\), \(x=-2\) und \(x=5\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) verändert die Nullstellen nicht. 6. Damit erfüllen \(f\), \(h\) und \(j\) Teil a). Nur \(h\) besitzt bei \(x=2\) eine doppelte Nullstelle. \(i\) hat wegen des Faktors \(x\) zusätzlich die Nullstelle \(0\).

a) Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\). b) Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. c) Die Funktion \(i\) hat durch den Faktor \(x\) zusätzlich die Nullstelle \(x = 0\).

- Nutze die dritte binomische Formel, um Ausdrücke wie \(x^2 - 9\) weiter in Linearfaktoren zu zerlegen. - Vergleiche die Nullstellenmengen genau – achte dabei besonders auf die Vorzeichen der Zahlen. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der vollständig faktorisierten Form.

1. Untersuchung der Nullstellen durch Faktorisierung: - \(k(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\), \(x = 3\) und \(x = 1\). - \(l(x)\): Da \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) ist, gilt \(l(x) = (x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x + 3)(x - 3)^2\). Nullstellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(m(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(n(x)\): Nullstellen bei \(x = 3\), \(x = -3\) und \(x = -1\). 2. Zuordnung zu a): Die Funktionen \(l\) und \(m\) haben die Nullstellenmenge \(\{-3; 3\}\). 3. Zuordnung zu b): Nur die Funktion \(k\) hat die Nullstellen \(-3, 3, 1\). (Bei \(n\) ist die dritte Nullstelle \(-1\)). 4. Analyse für c): Wie in Schritt 1 gezeigt, ist \(l(x) = (x + 3)^1 \cdot (x - 3)^2\). Somit ist \(x = -3\) eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1) und \(x = 3\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) Die Funktionen \(l\) und \(m\). b) Die Funktion \(k\). c) \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1); \(x = 3\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

- Überlege dir, wie viele Nullstellen gegeben sind und was das für den Grad der Funktion bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und ihren Linearfaktoren. - Wie kannst du aus den einzelnen Faktoren die gesamte Funktionsgleichung aufstellen? - Ist in der Aufgabenstellung eine bestimmte Form der Funktionsgleichung (z. B. ausmultipliziert) gefordert?

1. Da die Funktion genau drei einfache Nullstellen besitzen soll, ist der kleinstmögliche Grad der Funktion \(n = 3\). 2. Jede Nullstelle \(x_i\) korrespondiert mit einem Linearfaktor der Form \((x - x_i)\). 3. Für die gegebenen Nullstellen ergeben sich die Faktoren \(x\), \((x + 5)\) und \((x - 1{,}5)\). 4. Die Funktionsgleichung in faktorisierter Form lautet \(f(x) = ax(x + 5)(x - 1{,}5)\). Da eine beliebige Funktion gesucht ist, kann \(a = 1\) gewählt werden. 5. Ausmultiplizieren der Klammern führt zu \(f(x) = x(x^2 + 3{,}5x - 7{,}5) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\).

\(f(x) = x(x + 5)(x - 1{,}5)\) (oder ausmultipliziert: \(f(x) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\))

- Welche Vielfachheit hat die Nullstelle \(x=5\) bei jeder der drei Funktionen? - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten im Hinblick auf einen Vorzeichenwechsel. - Unterscheide zusätzlich eine einfache von einer mehrfachen ungeraden Nullstelle anhand des lokalen Verlaufs.

1. Bei \(x=5\) hat \(f\) eine einfache, \(g\) eine doppelte und \(h\) eine dreifache Nullstelle. 2. Bei \(f\) ist die Vielfachheit ungerade. Der Graph schneidet deshalb die \(x\)-Achse und die Funktionswerte wechseln ihr Vorzeichen. 3. Bei \(g\) ist die Vielfachheit gerade. Der Graph berührt die \(x\)-Achse und die Funktionswerte wechseln ihr Vorzeichen nicht. 4. Bei \(h\) ist die Vielfachheit wieder ungerade. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel; wegen der höheren Vielfachheit verläuft er in unmittelbarer Nähe der Nullstelle deutlich flacher als bei \(f\).

Bei \(f\) wird die \(x\)-Achse bei \(x=5\) geschnitten; es gibt einen Vorzeichenwechsel. Bei \(g\) wird die \(x\)-Achse bei \(x=5\) nur berührt; es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Bei \(h\) wird die \(x\)-Achse bei \(x=5\) ebenfalls geschnitten; es gibt einen Vorzeichenwechsel, und der Graph verläuft dort flacher als bei der einfachen Nullstelle von \(f\).

- Welche Nullstelle gehört zu jedem Linearfaktor, und was sagt dessen Exponent über die Vielfachheit aus? - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten im Hinblick auf einen Vorzeichenwechsel. - Bei zwei ungeraden Vielfachheiten kann der Graph beide Male schneiden und trotzdem unterschiedlich flach verlaufen.

1. Aus den Faktoren folgen die Nullstellen \(x_1=-3\), \(x_2=0\) und \(x_3=2\). 2. Die Exponenten der zugehörigen Linearfaktoren liefern die Vielfachheiten: \(x=-3\) ist doppelt, \(x=0\) einfach und \(x=2\) dreifach. 3. Bei \(x=-3\) ist die Vielfachheit gerade. Der Graph berührt die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. 4. Bei \(x=0\) ist die Vielfachheit ungerade. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel. 5. Auch bei \(x=2\) ist die Vielfachheit ungerade. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel; wegen der dreifachen Nullstelle verläuft er dort flacher als bei einer einfachen Nullstelle.

\(x=-3\): Vielfachheit \(2\), Berühren, kein Vorzeichenwechsel. \(x=0\): Vielfachheit \(1\), Schneiden, Vorzeichenwechsel. \(x=2\): Vielfachheit \(3\), Schneiden, Vorzeichenwechsel; der Verlauf ist dort flacher als bei einer einfachen Nullstelle.

- Welche gemeinsame Potenz von \(x\) kannst du in a) ausklammern? - Welche Gleichungen entstehen jeweils aus den einzelnen Faktoren? - In welcher Form sollen die irrationalen Lösungen angegeben werden, wenn keine Näherung verlangt ist?

1. In a) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x^2-4x-12)=0\). Damit ist \(x_1=0\). Die quadratische Gleichung \(x^2-4x-12=0\) liefert \(x=6\) und \(x=-2\). 2. In b) gilt nach dem Nullproduktsatz \(x^2-5=0\) oder \(x+3=0\). Daraus folgen \(x=\pm\sqrt5\) und \(x=-3\).

a) \(x=0\), \(x=6\), \(x=-2\) b) \(x=\sqrt5\), \(x=-\sqrt5\), \(x=-3\)

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Nullstelle \(a\) und einem Faktor \((x-a)\)? - Wie kannst du mehrere gewünschte Nullstellen in einem einzigen Funktionsterm zusammenfassen? - Was genügt, um eine Unmöglichkeitsaussage zu widerlegen?

1. Zu jeder vorgegebenen Nullstelle \(x_i\) kann ein Faktor \((x-x_i)\) verwendet werden. 2. Für die fünf Nullstellen erhält man die Faktoren \((x+2)\), \((x+1)\), \(x\), \((x-1)\) und \((x-2)\). 3. Beispielsweise ist \(f(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)\) eine ganzrationale Funktion fünften Grades mit genau diesen fünf Nullstellen. 4. Damit ist die behauptete Unmöglichkeit durch ein Gegenbeispiel widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist \(f(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)\).

- Welche Bedingungen müssen die beiden Faktoren erfüllen, damit ihr Produkt null wird? - Wie viele reelle Lösungen besitzt \(x^2=81\)? - Woran erkennst du in der faktorisierten Form die Vielfachheit einer Nullstelle?

1. Für die Nullstellen gilt \(x^4(x^2-81)=0\). 2. Aus \(x^4=0\) folgt \(x=0\). Wegen des Faktors \(x^4\) hat diese Nullstelle die Vielfachheit 4. 3. Aus \(x^2-81=0\) folgt \(x^2=81\) und damit \(x=9\) oder \(x=-9\). 4. In der faktorisierten Form \(x^4(x-9)(x+9)\) kommen die Faktoren zu \(9\) und \(-9\) jeweils einfach vor. Beide Nullstellen haben daher die Vielfachheit 1. 5. Insgesamt gibt es drei verschiedene reelle Nullstellen.

Es gibt drei verschiedene reelle Nullstellen: \(x=0\) mit Vielfachheit 4, \(x=9\) mit Vielfachheit 1, \(x=-9\) mit Vielfachheit 1.

- Welche Form hat der jeweilige Funktionsterm, und welche Information kannst du daraus unmittelbar nutzen? - Bei welcher Teilaufgabe lässt sich eine gemeinsame Variable ausklammern? - Welche Teilaufgabe führt auf eine quadratische Gleichung, die nicht bereits faktorisiert ist?

1. In a) folgt aus dem Nullproduktsatz \(x-6=0\) oder \(x+4=0\). Damit sind die Nullstellen \(6\) und \(-4\). 2. In b) gilt \(x^2-5x=x(x-5)\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=5\). 3. In c) liefert die quadratische Gleichung \(x^2-4x-12=0\) die Lösungen \(x=6\) und \(x=-2\). 4. In d) gilt \(4x^2-16=0\), also \(x^2=4\). Daher sind \(x=2\) und \(x=-2\) die Nullstellen.

a) \(x=6\), \(x=-4\) b) \(x=0\), \(x=5\) c) \(x=6\), \(x=-2\) d) \(x=2\), \(x=-2\)

- Setze die Funktionsterme zuerst gleich Null. - Isoliere den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Überlege dir bei der Vielfachheit, wie oft der entsprechende Linearfaktor in der faktorisierten Form vorkommt. - Prüfe bei geraden Exponenten genau, ob ein negativer Wert auf der anderen Seite der Gleichung überhaupt möglich ist.

1. Nullstellenberechnung durch Gleichsetzen mit Null und Isolieren der Potenz: a) \(5x^4 - 405 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 81 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 3\). Da \(f(x) = 5(x-3)(x+3)(x^2+9)\), sind beide Nullstellen einfach (Vielfachheit 1). b) \(x^3 + 343 = 0 \Leftrightarrow x^3 = -343 \Rightarrow x = -7\). Da \(x^3+343 = (x+7)(x^2-7x+49)\) und der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen hat, ist die Nullstelle einfach (Vielfachheit 1). c) \(x^6 = 0 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle \(x = 0\) hat die Vielfachheit 6. d) \(x^4 + 16 = 0 \Leftrightarrow x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz in \(\mathbb{R}\) nie negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.

a) Nullstellen bei \(x = 3\) und \(x = -3\), jeweils Vielfachheit 1 b) Nullstelle bei \(x = -7\), Vielfachheit 1 c) Nullstelle bei \(x = 0\), Vielfachheit 6 d) Keine reellen Nullstellen

- Wie kannst du die dritte Potenz als Produkt gleicher Faktoren schreiben? - Welche Bedingung muss der Klammerinhalt erfüllen, damit die Potenz null wird? - Was sagt der Exponent eines Faktors in der faktorisierten Form über die Vielfachheit aus?

1. Es gilt \((x+1)^3=(x+1)^2(x+1)=(x^2+2x+1)(x+1)=x^3+3x^2+3x+1\). Damit ist \(f(x)=(x+1)^3\). 2. Aus \((x+1)^3=0\) folgt \(x=-1\). Der Faktor \((x+1)\) tritt dreimal auf, also hat die Nullstelle die Vielfachheit 3.

1. \(f(x)=(x+1)^3\) 2. \(x=-1\) mit Vielfachheit 3

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel, um den Term schrittweise zu zerlegen. - Wie viele reelle Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^4 = a\) für positive \(a\)? - Prüfe, ob ein quadratischer Faktor über den reellen Zahlen noch weiter zerlegt werden kann.

1. Der Ansatz \(x^4 - 81 = 0\) führt auf \(x^4 = 81\). Durch Ziehen der vierten Wurzel ergeben sich die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Unter Verwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) lässt sich \(f(x)\) zunächst als \((x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\) schreiben. Erneutes Anwenden auf den ersten Faktor ergibt \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\). Da die Faktoren \((x-3)\) und \((x+3)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben die Nullstellen \(x = 3\) und \(x = -3\) jeweils die Vielfachheit 1. Der Faktor \((x^2 + 9)\) hat im Reellen keine Nullstellen.

1. Reelle Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\); beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den du zuerst ausklammern kannst? - Erkennst du in der verbleibenden Klammer eine binomische Formel? - Wie hängen die Exponenten in der faktorisierten Form mit der Vielfachheit der Nullstellen zusammen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2x^2\): \(f(x) = 2x^2(x^2 - 6x + 9)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). 3. Vollständige faktorisierte Form: \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\). 4. Bestimmung der Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 5. Bestimmung der Vielfachheiten anhand der Exponenten der Linearfaktoren: Da beide Faktoren im Quadrat stehen, ist \(x_1 = 0\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2) und \(x_2 = 3\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\) b) Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit Vielfachheit 2; \(x_2 = 3\) mit Vielfachheit 2.

- Welche bekannte quadratische Struktur entsteht nach einer einfachen Umformung? - Was sagt der Exponent des Faktors in der faktorisierten Form über die Vielfachheit aus? - Wie verhält sich ein Graph an einer Nullstelle gerader Vielfachheit?

1. Die Nullstellengleichung lautet \(0{,}5x^2-4x+8=0\). Multiplikation mit \(2\) ergibt \(x^2-8x+16=0\). 2. Mit der zweiten binomischen Formel folgt \((x-4)^2=0\). Daher ist \(x=4\) die einzige Nullstelle. 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x)=0{,}5(x-4)^2\). 4. Der Faktor \((x-4)\) kommt zweimal vor. Die Nullstelle hat also Vielfachheit 2; der Graph berührt dort die \(x\)-Achse und wechselt nicht die Seite.

a) \(x=4\) b) \(f(x)=0{,}5(x-4)^2\) c) Vielfachheit 2; der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \((4\mid0)\), ohne sie zu schneiden.

- Überlege dir, welchen Wert das Ergebnis einer Rechnung haben muss, damit man von einer „Null“-Stelle spricht. - Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern insgesamt null? - Gibt es eine Formel, mit der du die Lösungen für den quadratischen Teil direkt berechnen kannst?

1. Definition: Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle der Funktion \(f\), wenn der Funktionswert an dieser Stelle gleich null ist, also die Bedingung \(f(x_0) = 0\) erfüllt ist. 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt auf \(g(x) = (x + 5) \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5\). 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \(x^2 - 4x - 12 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). 6. Ergebnisse der quadratischen Gleichung: \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

a) Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle von \(f\), wenn \(f(x_0) = 0\) gilt. b) Die Nullstellen sind \(x_1 = -5\), \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

- Was gibt der Exponent der höchsten Potenz von \(x\) über die Anzahl der Nullstellen an? - Achte darauf, dass die Summanden nicht immer nach ihrer Größe sortiert sein müssen. - Bei Produkten von Klammern kannst du den Gesamtgrad bestimmen, indem du die Grade der einzelnen Faktoren addierst. - Manchmal ist es notwendig, den Term zuerst zu vereinfachen oder auszumultiplizieren, um den tatsächlichen Grad zu erkennen.

1. Für Teilaufgabe a): Den Term nach der höchsten Potenz von \(x\) untersuchen. Der Summand mit dem höchsten Exponenten ist \(-12x^5\). Der Grad der Funktion ist somit 5. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Nullstellen, hier also maximal 5. 2. Für Teilaufgabe b): Den Grad durch Betrachten der Faktoren bestimmen. Das Produkt der höchsten Potenzen der einzelnen Faktoren \((x^2 \cdot x \cdot x)\) ergibt \(x^4\). Der Grad ist 4, woraus maximal 4 Nullstellen folgen. 3. Für Teilaufgabe c): Den Funktionsterm vereinfachen: \(h(x) = x^5 + 4x^2 - x^5 + 2x = 4x^2 + 2x\). Da sich die Terme mit \(x^5\) aufheben, ist die höchste verbleibende Potenz \(x^2\). Der Grad ist 2, daher gibt es höchstens 2 Nullstellen.

a) Grad 5; maximal 5 Nullstellen. b) Grad 4; maximal 4 Nullstellen. c) Grad 2; maximal 2 Nullstellen.

- Welche einzelnen Gleichungen entstehen aus dem Nullproduktsatz? - Welche bekannte quadratische Struktur erkennst du im zweiten Faktor? - Wie lässt sich die Vielfachheit nach vollständiger Faktorisierung ablesen?

1. Für die Nullstellen gilt \((x^2-5)(x^2+4x+4)=0\). 2. Aus \(x^2-5=0\) folgt \(x=\sqrt5\) oder \(x=-\sqrt5\). In der faktorisierten Form treten die zugehörigen Faktoren jeweils einmal auf, also sind beide Nullstellen einfach. 3. Der zweite Faktor ist \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Daher ist \(x=-2\) eine doppelte Nullstelle.

\(x=\sqrt5\) mit Vielfachheit 1, \(x=-\sqrt5\) mit Vielfachheit 1, \(x=-2\) mit Vielfachheit 2.

- Was haben alle Punkte auf der \( x \)-Achse gemeinsam? - Fällt dir eine Gemeinsamkeit bei allen Summanden im Funktionsterm auf, die man nutzen könnte? - Wie gehst du vor, wenn nach dem Ausklammern noch ein quadratischer Restterm übrig bleibt? - Denk daran, dass nach Schnittpunkten gefragt ist, nicht nur nach den \( x \)-Werten.

1. Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse liegen bei den Nullstellen der Funktion. Es gilt der Ansatz \( g(x) = 0 \), also \( \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 - 4x = 0 \). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( \frac{1}{3}x \): \( \frac{1}{3}x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0 \). 3. Erste Nullstelle durch den Faktor vor der Klammer: \( x_1 = 0 \). 4. Untersuchung des quadratischen Terms in der Klammer: \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \( p = -4 \) und \( q = -12 \). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \( x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{16} = 2 \pm 4 \). Dies ergibt \( x_2 = 6 \) und \( x_3 = -2 \). 6. Angabe der Schnittpunkte in Koordinatenform: Da die \( y \)-Koordinate an der \( x \)-Achse immer Null ist, ergeben sich die Punkte \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse sind \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

- Welche Werte machen die einzelnen Faktoren null? - Was kannst du an den Exponenten der Faktoren über die Vielfachheiten ablesen? - Vergleiche das Vorzeichen eines Faktors knapp links und rechts von einer Nullstelle. Welche Rolle spielt dabei die Parität seines Exponenten?

1. Für \(f\) sind \(x=3\) mit Vielfachheit 2 und \(x=-1\) mit Vielfachheit 1 die Nullstellen. Bei \(x=3\) gibt es keinen Vorzeichenwechsel, bei \(x=-1\) einen Vorzeichenwechsel. 2. Für \(g\) sind \(x=0\) mit Vielfachheit 3 und \(x=0{,}5\) mit Vielfachheit 1 die Nullstellen. An beiden Nullstellen wechseln die Funktionswerte ihr Vorzeichen. 3. Für \(h\) sind \(x=-\frac{1}{4}\) mit Vielfachheit 2 und \(x=2\) mit Vielfachheit 3 die Nullstellen. Bei \(x=-\frac{1}{4}\) gibt es keinen Vorzeichenwechsel, bei \(x=2\) einen Vorzeichenwechsel.

a) \(x=3\): Vielfachheit 2, kein Vorzeichenwechsel; \(x=-1\): Vielfachheit 1, Vorzeichenwechsel b) \(x=0\): Vielfachheit 3, Vorzeichenwechsel; \(x=0{,}5\): Vielfachheit 1, Vorzeichenwechsel c) \(x=-\frac{1}{4}\): Vielfachheit 2, kein Vorzeichenwechsel; \(x=2\): Vielfachheit 3, Vorzeichenwechsel

- Wo schneidet und wo berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Wie hilft der Grad \(3\), aus der Kontaktart die exakten Vielfachheiten zu bestimmen? - Welcher Kandidat hat genau diese beiden Nullstellen mit diesem Vielfachheitsmuster?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und berührt sie bei \(x=3\). 2. Da die Funktion dritten Grades ist und genau zwei verschiedene Nullstellen besitzt, ist \(x=-1\) einfach und \(x=3\) doppelt. 3. Nur Term B besitzt genau diese Nullstellen mit diesen Vielfachheiten. 4. Alle drei Kandidaten haben \(f(0)=9\), Grad \(3\) und einen positiven Leitkoeffizienten. Weder der \(y\)-Achsenabschnitt noch das Globalverhalten kann die Wahl daher abkürzen.

a) \(x=-1\) einfach; \(x=3\) doppelt. b) B: \(f(x)=(x+1)(x-3)^2\).

- An welchen Stellen berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Vielfachheiten sind bei einer Berührung möglich, und was erzwingt zusätzlich der Grad \(4\)? - Welcher Kandidat besitzt genau diese beiden doppelten Nullstellen?

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Beide Nullstellen müssen gerade Vielfachheit haben. Da die Funktion vierten Grades ist und genau diese zwei verschiedenen Nullstellen besitzt, sind beide doppelt. 3. Nur Term B besitzt doppelte Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). 4. Alle vier Kandidaten sind gerade Funktionen vierten Grades mit negativem Leitkoeffizienten und erfüllen \(p(0)=-1{,}6\). Symmetrie, Globalverhalten und \(y\)-Achsenabschnitt unterscheiden die Kandidaten daher nicht.

a) \(x=-2\) doppelt und \(x=2\) doppelt; der Graph berührt an beiden Stellen die \(x\)-Achse. b) B: \(p(x)=-0{,}1(x^2-4)^2\).

- Eine Nullstelle erkennst du in der Tabelle an \(f(x)=0\). - Wie viele verschiedene Nullstellen siehst du, und welchen Grad hat die Funktion? - Schreibe die Produktform zunächst mit einem unbekannten Vorfaktor \(a\). - Welcher Tabellenwert eignet sich danach zum Bestimmen von \(a\)?

1. Aus der Tabelle liest man die Nullstellen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) ab. 2. Die Funktion hat Grad \(3\) und bereits drei verschiedene Nullstellen. Ihre Vielfachheiten müssen zusammen mindestens \(3\) ergeben. Deshalb kann jede der drei Nullstellen nur einfach sein. 3. Damit hat \(f\) die Form \(f(x)=a(x+2)x(x-2)\). 4. Aus der Tabelle gilt \(f(1)=-3\). Einsetzen liefert \(-3=a(1+2)\cdot1\cdot(1-2)=-3a\). Also ist \(a=1\). 5. Somit gilt \(f(x)=x(x+2)(x-2)\).

a) \(x=-2,0,2\) b) Alle drei Nullstellen sind einfach. c) \(f(x)=x(x+2)(x-2)\)

- Welchen gemeinsamen Faktor enthalten beide Summanden des Funktionsterms? - Was folgt aus einem Produkt, das den Wert \(0\) hat? - Vergleiche, wie oft die zugehörigen Faktoren vorkommen und wie sich der Graph an den beiden Nullstellen verhält.

1. Setze \(g(x)=0\) und klammere \(x^2\) aus: \(x^2(x-3)=0\). 2. Nach dem Nullproduktsatz gilt entweder \(x^2=0\) oder \(x-3=0\). Damit ist \(x_1=0\) eine doppelte und \(x_2=3\) eine einfache Nullstelle. 3. Bei der doppelten Nullstelle \(x=0\) berührt der Graph die \(x\)-Achse. Bei der einfachen Nullstelle \(x=3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse.

Die Nullstellen sind \(x_1=0\) (doppelt) und \(x_2=3\) (einfach). Bei \(x=0\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, bei \(x=3\) schneidet er sie.

- Welche Nullstellen liest du unmittelbar aus den Faktoren ab? - Was bedeutet der jeweilige Exponent für die Vielfachheit und den Achsenkontakt? - Suche in den vier Darstellungen genau dieses Paar aus Berühr- und Schnittstelle.

1. Aus \((x+1)^2\) folgt die doppelte Nullstelle \(x=-1\); der Graph berührt dort die \(x\)-Achse. 2. Aus \((x-3)\) folgt die einfache Nullstelle \(x=3\); der Graph schneidet dort die \(x\)-Achse. 3. Nur Graph 1 besitzt genau eine Berührung bei \(x=-1\) und einen Schnitt bei \(x=3\). 4. Alle vier dargestellten Graphen haben bei \(x=0\) denselben Wert \(-0{,}6\). Der \(y\)-Achsenabschnitt kann daher nicht als Shortcut dienen.

a) \(x=-1\) doppelt und Berührstelle; \(x=3\) einfach und Schnittstelle. b) Graph 1.

- Bestimme für jeden Term Lage und Vielfachheit seiner Nullstellen. - An welchen Stellen berührt beziehungsweise schneidet jeder dargestellte Graph die \(x\)-Achse? - Ordne erst zu, wenn das gesamte Nullstellenmuster übereinstimmt.

1. Term A besitzt bei \(x=-2\) eine doppelte und bei \(x=1\) eine einfache Nullstelle. Das passt zu Graph \(f\). 2. Term B besitzt bei \(x=1\) eine doppelte und bei \(x=4\) eine einfache Nullstelle. Das passt zu Graph \(g\). 3. Term C besitzt drei einfache Nullstellen bei \(x=-4,-1,1\). Das passt zu Graph \(h\). 4. Da alle drei Funktionen denselben \(y\)-Achsenabschnitt und dasselbe Globalverhalten besitzen, können diese Merkmale die Zuordnung nicht ersetzen.

A \(\to f\): \(x=-2\) doppelt, \(x=1\) einfach. B \(\to g\): \(x=1\) doppelt, \(x=4\) einfach. C \(\to h\): \(x=-4,-1,1\) jeweils einfach.

- Welche Vielfachheit führt zu einem Schneiden und welche zu einem Berühren der \(x\)-Achse? - Vergleiche anschließend den führenden Term der drei Funktionen. - Was verrät sein Vorzeichen über das Verhalten für große positive \(x\)-Werte?

1. \(p\) hat bei \(x=0\) eine doppelte Nullstelle und berührt dort die \(x\)-Achse. Bei \(x=3\) liegt eine einfache Nullstelle vor. Der führende Term ist \(\frac{1}{2}x^3\), daher gilt \(p(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Das passt zu Graph C. 2. \(q\) hat bei \(x=0\) eine einfache Nullstelle und bei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle. Der führende Term ist \(\frac{1}{2}x^3\), daher gilt \(q(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Das passt zu Graph A. 3. \(r\) hat dieselben Nullstellen und Vielfachheiten wie \(p\), aber der führende Term ist \(-\frac{1}{2}x^3\). Daher gilt \(r(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). Das passt zu Graph B.

(1) Graph C: Bei \(x=0\) Berührung, bei \(x=3\) Schnitt; für \(x\to\infty\) verläuft der Graph nach oben. (2) Graph A: Bei \(x=0\) Schnitt, bei \(x=3\) Berührung; für \(x\to\infty\) verläuft der Graph nach oben. (3) Graph B: Wie bei (1) Berührung bei \(x=0\) und Schnitt bei \(x=3\), aber für \(x\to\infty\) verläuft der Graph nach unten.

- Was beschreiben die Exponenten der einzelnen Linearfaktoren: verschiedene Nullstellen oder Vielfachheiten? - Zähle zuerst die verschiedenen Faktoren, die null werden können. - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten hinsichtlich des Vorzeichenwechsels.

1. Die Summe der Exponenten gibt hier den Grad \(5\) an, nicht die Anzahl verschiedener reeller Nullstellen. 2. Aus \((x-2)^2=0\) folgt die Nullstelle \(x=2\) mit Vielfachheit \(2\). 3. Aus \((x+1)^3=0\) folgt die Nullstelle \(x=-1\) mit Vielfachheit \(3\). 4. Bei \(x=2\) ist die Vielfachheit gerade; der Graph berührt dort die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. 5. Bei \(x=-1\) ist die Vielfachheit ungerade; der Graph schneidet dort die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel.

Der Fehler ist die Verwechslung von Grad und Anzahl verschiedener Nullstellen. Es gibt zwei verschiedene reelle Nullstellen: \(x=2\) mit Vielfachheit \(2\) und Berührung sowie \(x=-1\) mit Vielfachheit \(3\) und Schnitt.

- Übersetze „genau kalibriert“ zuerst in eine Gleichung für \(E(t)\). - Welche Zeitwerte machen einen der Faktoren null? - Die Exponenten der Faktoren entscheiden, ob sich das Vorzeichen beim Durchgang durch eine Nullstelle ändert.

1. Für \(E(t)=0\) muss einer der Faktoren null sein. Daher gilt \(t=1\) oder \(t=4\). 2. Der Faktor \((t-1)^2\) zeigt eine doppelte Nullstelle bei \(t=1\). Dort wechselt \(E(t)\) sein Vorzeichen nicht. 3. Der Faktor \((t-4)\) zeigt eine einfache Nullstelle bei \(t=4\). Dort wechselt \(E(t)\) sein Vorzeichen. 4. Im Modell bedeutet das: Bei \(t=1\) erreicht die Abweichung kurz den Wert \(0\), bleibt aber auf derselben Seite der Sollposition; bei \(t=4\) wechselt sie die Seite.

a) Nach \(1\,\text{min}\) und \(4\,\text{min}\). b) Bei \(t=1\) kein Vorzeichenwechsel; bei \(t=4\) Vorzeichenwechsel.

- Zerlege die Produktgleichung zunächst in die Gleichungen der einzelnen Faktoren. - Wie viele reelle Zahlen haben das Quadrat \(25\)? - Wie kannst du die Vielfachheiten aus der vollständig faktorisierten Form ablesen?

1. Aus \(x^2=0\) folgt \(x=0\). Wegen des Faktors \(x^2\) ist diese Nullstelle doppelt. 2. Aus \(x^2-25=0\) folgt \(x^2=25\). 3. Sofia hat nur die positive Lösung berücksichtigt. Tatsächlich gilt \(x=5\) oder \(x=-5\). 4. Die Faktoren \((x-5)\) und \((x+5)\) treten jeweils einmal auf; daher sind \(x=\pm5\) einfache Nullstellen.

Sofia hat die negative Lösung von \(x^2=25\) vergessen. Vollständig ist \(L=\{-5;0;5\}\). Dabei ist \(x=0\) doppelt und \(x=\pm5\) jeweils einfach.

- Achte an jeder Nullstelle darauf, auf welcher Seite der \(x\)-Achse der Graph unmittelbar davor und danach liegt. - Welche Eigenschaft der Vielfachheit ist mit einem Vorzeichenwechsel verknüpft? - Frage dich, ob zwei verschiedene ungerade Vielfachheiten im Graphen grundsätzlich dieselbe Art von Achsenkontakt zeigen können.

1. Die sichtbaren Nullstellen liegen bei \(x=-1\) und \(x=2\). Bei \(x=-1\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse; bei \(x=2\) berührt er sie. 2. Schneiden bedeutet, dass die Vielfachheit ungerade ist. Berühren bedeutet, dass die Vielfachheit gerade ist. 3. Aus dem Graphen allein folgt jedoch nicht, ob die ungerade Vielfachheit beispielsweise \(1\) oder \(3\) beziehungsweise die gerade Vielfachheit \(2\) oder \(4\) ist. Die genaue Vielfachheit ist ohne weitere algebraische Information nicht sicher bestimmbar.

a) \(x=-1\): Schneiden; \(x=2\): Berühren. b) Bei \(x=-1\) ist die Vielfachheit ungerade, bei \(x=2\) gerade. c) Nein. Die Abbildung bestimmt nur die Parität der Vielfachheit, nicht ihren exakten Wert.

- Welche Informationen liefern die Faktoren und ihre Exponenten unmittelbar? - Wo ändert sich das Vorzeichen eines Produkts bei einer Nullstelle mit gerader beziehungsweise ungerader Vielfachheit? - Welcher führende Term bestimmt die Richtung der beiden äußeren Äste?

1. Aus \((x+2)^2\) folgt die doppelte Nullstelle \(x=-2\); aus \((x-1)\) folgt die einfache Nullstelle \(x=1\). 2. An der doppelten Nullstelle \(x=-2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse. An der einfachen Nullstelle \(x=1\) schneidet er sie. 3. Der führende Term ist \(-x^3\). Daher gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). 4. Für \(x<1\) ist \(-(x-1)>0\), während \((x+2)^2\ge0\) gilt. Deshalb ist \(f(x)>0\) in \(( -\infty,-2)\) und \((-2,1)\). Für \(x>1\) ist \(f(x)<0\). 5. Von links kommt der Graph oberhalb der \(x\)-Achse, berührt sie bei \(-2\) ohne Vorzeichenwechsel, bleibt oberhalb, schneidet sie bei \(1\) und verläuft danach unterhalb der Achse nach rechts unten.

a) \(x=-2\) doppelt; \(x=1\) einfach b) Berührung bei \(x=-2\); Schnitt bei \(x=1\) c) \(f(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\); \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) d) \(f(x)>0\) auf \(( -\infty,-2)\) und \((-2,1)\), \(f(x)<0\) auf \((1,\infty)\). Von links oben kommend berührt der Graph bei \(-2\) die Achse, bleibt oberhalb, schneidet sie bei \(1\) und läuft rechts nach unten.

- Welcher Linearfaktor gehört zu jeder angegebenen Nullstelle? - Wie zeigt sich die doppelte Nullstelle in der Produktform? - Welche Gleichung erhältst du, wenn du den Punkt \(P(0\mid-8)\) einsetzt?

1. Zur einfachen Nullstelle \(x=-1\) gehört der Faktor \((x+1)\), zur doppelten Nullstelle \(x=2\) der Faktor \((x-2)^2\). 2. Daher hat die Funktion die Form \(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\). 3. Aus \(P(0\mid-8)\) folgt \(-8=a(0+1)(0-2)^2=4a\). 4. Damit ist \(a=-2\) und \(f(x)=-2(x+1)(x-2)^2\).

\(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\) \(a=-2\) \(f(x)=-2(x+1)(x-2)^2\)

- Wo schneidet oder berührt der Graph die x-Achse? - Was ist der Unterschied in der Funktionsgleichung zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extremum) auf der x-Achse? - Schau dir an, wie sich die Funktion für sehr große x-Werte verhält. Geht sie nach oben oder nach unten?

1. Identifikation der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 2. Analyse der Art der Nullstellen: Bei \(x = -2\) und \(x = 0\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstellen). Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse (doppelte Nullstelle / Extremum). 3. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form: \(f(x) = k \cdot (x - 0) \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 2)^2 = k \cdot x(x + 2)(x - 2)^2\). 4. Überprüfung des globalen Verlaufs: Für \(x \to \infty\) geht \(y \to \infty\), was auf einen positiven Leitkoeffizienten \(k\) hindeutet. Option b) passt exakt zu dieser Struktur.

b) \(f(x) = x(x - 2)^2(x + 2)\)

- Welche Faktoren müssen wegen der angegebenen Nullstellen im Term vorkommen? - Wie zeigt sich eine doppelte Nullstelle in der Linearfaktorzerlegung? - Nutze den gegebenen Punkt erst, nachdem du die Nullstellen bereits im Term berücksichtigt hast.

1. Wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=0\) und der einfachen Nullstelle bei \(x=4\) hat das Polynom die Form \(p(x)=ax^2(x-4)\). 2. Der Punkt \(P(2|8)\) liefert \(8=a\cdot2^2(2-4)=-8a\). 3. Daraus folgt \(a=-1\). 4. Somit ist \(p(x)=-x^2(x-4)=-x^3+4x^2\).

\(p(x)=-x^2(x-4)=-x^3+4x^2\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Grad des Polynoms zu senken? - Wann ist ein Produkt von zwei Klammern gleich Null? - Erkennst du eine Struktur, bei der eine Ersetzung einer Variable hilfreich sein könnte? - Gibt es Faktoren, die für reelle Zahlen niemals Null werden können?

1. Für \(f(x)\) wird \(5x\) ausgeklammert: \(5x(x^2 - 4x + 3) = 0\). Daraus folgt direkt \(x_1 = 0\). Die quadratische Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert mit der \(p\)-\(q\)-Formel \(x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - 3}\), also \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Für \(g(x)\) wird der Satz vom Nullprodukt angewendet. \(x^2 - 2 = 0\) führt zu \(x_{1,2} = \pm \sqrt{2}\). Der Faktor \(x^2 + 9 = 0\) hat keine reelle Lösung, da \(x^2 = -9\) für reelle \(x\) nicht möglich ist. 3. Für \(h(x)\) wird \(z = x^2\) gesetzt. Damit entsteht die quadratische Gleichung \(z^2 - 13z + 36 = 0\). Die Lösungen sind \(z_1 = 9\) und \(z_2 = 4\). Zurücksetzen liefert \(x^2 = 9\) und \(x^2 = 4\), also \(x = \pm 3\) und \(x = \pm 2\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1\); \(x_3 = 3\) b) \(x_1 = -\sqrt{2}\); \(x_2 = \sqrt{2}\) c) \(x_1 = -3\); \(x_2 = 3\); \(x_3 = -2\); \(x_4 = 2\)

- Achte auf die Vielfachheit der Nullstellen, wenn ein Faktor im Quadrat steht. - Bei einer biquadratischen Gleichung kann \(z=x^2\) die Rechnung vereinfachen. - Überlege vor dem Rechnen, wie viele reelle Nullstellen möglich sind. - Wenn eine Potenz von \(x\) in jedem Summanden vorkommt, kannst du sie ausklammern.

1. Bei \(p(x)\) können die Nullstellen direkt abgelesen werden. Aus \(x - 1{,}5 = 0\) folgt \(x_1 = 1{,}5\). Aus \((x + \frac{1}{3})^2 = 0\) folgt \(x_2 = -\frac{1}{3}\) als doppelte Nullstelle. Der Faktor \(x^2 + 5\) wird für reelle \(x\) nicht null. 2. Für \(q(x)\) setzen wir \(z=x^2\). Dann gilt \(0{,}5z^2 - 3{,}5z - 4 = 0\). Nach Multiplikation mit \(2\) ergibt sich \(z^2 - 7z - 8 = 0\) mit \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). Aus \(z_1=8\) folgt \(x = \pm 2\sqrt{2}\). Der Wert \(z_2=-1\) liefert keine reelle Lösung. 3. Bei \(r(x)\) wird \(2x^2\) ausgeklammert: \(2x^2(x^2 + 2x - 3) = 0\). Damit ist \(x_1 = 0\) eine doppelte Nullstelle. Die quadratische Gleichung \(x^2 + 2x - 3 = 0\) hat die Lösungen \(x_2 = -3\) und \(x_3 = 1\).

a) \(x_1 = 1{,}5\); \(x_2 = -\frac{1}{3}\) b) \(x_1 = -2\sqrt{2}\); \(x_2 = 2\sqrt{2}\) c) \(x_1 = 0\); \(x_2 = -3\); \(x_3 = 1\)

- Welche Potenz von \(x\) kommt in jedem Summanden vor? - Welche bekannte quadratische Struktur erkennst du nach dem Ausklammern? - Woran kannst du in einer faktorisierten Form die Vielfachheit einer Nullstelle erkennen?

1. Nullstellenansatz: \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Der quadratische Term lässt sich mit der zweiten binomischen Formel schreiben als \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Damit ist \(x_2 = 3\) eine weitere Nullstelle. 4. Der Faktor \(x\) kommt einfach vor, also hat \(x_1 = 0\) die Vielfachheit 1. Der Faktor \((x - 3)\) kommt im Quadrat vor, also hat \(x_2 = 3\) die Vielfachheit 2. 5. Damit lautet die faktorisierte Form \(f(x) = x(x - 3)^2\).

Nullstellen: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 3\) (doppelt) Faktorisierte Form: \(f(x) = x(x - 3)^2\)

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen zu finden? - Haben alle Summanden einen gemeinsamen Faktor? - Was folgt nach dem Nullproduktsatz, wenn ein Produkt den Wert \(0\) hat? - Wie kannst du den verbleibenden quadratischen Term untersuchen?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(f(x)=0\) gesetzt. Durch Ausklammern von \(\frac{1}{2}x\) erhält man \(\frac{1}{2}x(x^2-6x-16)=0\). Nach dem Nullproduktsatz ist die erste Nullstelle \(x_1=0\). 2. Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus \(x^2-6x-16=0\). Die \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{2,3}=3\pm\sqrt{25}\), also \(x_2=8\) und \(x_3=-2\). 3. Damit lautet die faktorisierte Form \(f(x)=\frac{1}{2}x(x-8)(x+2)\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1=0\), \(x_2=8\) und \(x_3=-2\). 2. Die faktorisierte Form ist \(f(x)=\frac{1}{2}x(x-8)(x+2)\).

- Gibt es eine Potenz von \(x\), die in jedem Summanden vorkommt? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier beim Vereinfachen helfen. - Was verrät dir der Exponent über einem Faktor im Funktionsterm über die Art der Nullstelle?

1. Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt zur Gleichung \(-\frac{1}{3}x^4 + 2x^3 - 3x^2 = 0\). Durch Ausklammern von \(-\frac{1}{3}x^2\) erhält man \(-\frac{1}{3}x^2 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 2. Der Faktor \(x^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 2 ist, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 3. Der quadratische Term \(x^2 - 6x + 9\) lässt sich mithilfe der zweiten binomischen Formel zu \((x - 3)^2\) umformen. Daraus ergibt sich die Nullstelle \(x_2 = 3\). Auch hier ist die Vielfachheit aufgrund des Quadrats gleich 2.

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 2 (es sind doppelte Nullstellen).

- Kannst du eine Variable so ersetzen, dass eine einfachere Gleichungsform entsteht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden, den du vor eine Klammer ziehen kannst? - Erkennst du in der Klammer eine binomische Formel? - Was muss für die einzelnen Faktoren gelten, damit ein Produkt den Wert Null annimmt? - Prüfe bei einer Zwischenlösung für \(z=x^2\), ob sie zu einem reellen \(x\) führen kann.

1. Für \(f(x) = x^4 - 3x^2 - 4\) setzen wir \(z=x^2\). Damit entsteht die quadratische Gleichung \(z^2 - 3z - 4 = 0\). 2. Die Lösungen sind \(z_1 = 4\) und \(z_2 = -1\). 3. Aus \(z_1=4\) folgt \(x^2=4\), also \(x_1=2\) und \(x_2=-2\). Der Wert \(z_2=-1\) liefert keine reelle Lösung. 4. Für \(g(x) = x^3 + 4x^2 + 4x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x^2 + 4x + 4) = 0\). Damit ist \(x_3 = 0\) eine Nullstelle. 5. Der quadratische Faktor ist \(x^2 + 4x + 4=(x+2)^2\). Daher ist \(x_4=-2\) eine doppelte Nullstelle.

a) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\) b) \(x_3 = 0\); \(x_4 = -2\)

- Überlege, ob du einen gemeinsamen Faktor aus allen Termen ausklammern kannst. - Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Für den verbleibenden quadratischen Teil kannst du ein bekanntes Lösungsverfahren wie die \(p\)-\(q\)-Formel nutzen. - Die Vielfachheit gibt an, wie oft ein Faktor in der vollständig faktorisierten Form vorkommt.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^3 + 3x^2 - 10x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 + 3x - 10) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + 3x - 10 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 10} = -1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 4. Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). 5. Da alle drei Nullstellen verschieden sind und die Funktion den Grad 3 hat, handelt es sich jeweils um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Alle drei sind einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

- Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Achte darauf, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = x + 1\). 2. Umformen zur Normalform: Subtraktion von \(x\) und \(1\) auf beiden Seiten ergibt \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0\). 3. Faktorisieren durch Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 4x + 4) = 0\). Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 4. Lösen des verbleibenden Teils: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) ist eine binomische Formel \((x - 2)^2 = 0\), woraus die doppelte Lösung \(x_2 = 2\) folgt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(0) = 0 + 1 = 1\) \(y_2 = g(2) = 2 + 1 = 3\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

- Wie weist man nach, dass ein bestimmter Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn \(u = x^3\) ist, wie lässt sich dann \(x^6\) mit Hilfe von \(u\) ausdrücken? - Beachte beim Ziehen der Wurzel, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. - Gibt es für \(x^3 = -1\) eine reelle Lösung?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(g(3) = 3^6 - 26 \cdot 3^3 - 27 = 729 - 26 \cdot 27 - 27 = 729 - 702 - 27 = 0\). 2. Substitution \(u = x^3\) transformiert die Gleichung \(x^6 - 26x^3 - 27 = 0\) in die quadratische Form \(u^2 - 26u - 27 = 0\). 3. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = 27\) und \(u_2 = -1\). 4. Die Resubstitution \(x^3 = 27\) führt zur bereits bekannten Nullstelle \(x = \sqrt[3]{27} = 3\). 5. Die Resubstitution \(x^3 = -1\) führt zur weiteren reellen Nullstelle \(x = \sqrt[3]{-1} = -1\).

Der Nachweis erfolgt durch \(g(3) = 0\). Die einzige weitere reelle Nullstelle ist \(x = -1\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Gibt es eine Variable oder einen Term, den du in jedem Summanden der Gleichung finden und ausklammern kannst? - Wie gehst du vor, wenn ein Produkt zweier Terme den Wert Null ergibt? - Hast du daran gedacht, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten zu berechnen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = \frac{3}{2}x^2\). 2. Umformen in die Normalform einer ganzrationalen Gleichung: \(\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x\): \(x \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2) = 0\). 4. Bestimmung der ersten Nullstelle nach dem Nullproduktsatz: \(x_1 = 0\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = 0\) (bzw. \(x^2 - 3x - 4 = 0\)) mittels \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \(x_2 = 4\) und \(x_3 = -1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen: \(g(0) = 0\), \(g(4) = 24\) und \(g(-1) = 1{,}5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

- Kannst du einen Term ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Sie könnte hier beim Faktorisieren helfen. - Was sagt die Hochzahl eines Linearfaktors über das Verhalten des Graphen an der Nullstelle aus? - Wann wechselt ein Graph an einer Nullstelle sein Vorzeichen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x^2\): \(g(x) = x^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^2 + 1)\). Die erste Nullstelle ergibt sich aus \(x^2 = 0\) zu \(x_1 = 0\). Die weiteren Nullstellen folgen aus \(-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0\), was zu \(x^2 = 4\) und somit \(x_2 = 2\) sowie \(x_3 = -2\) führt. 2. In der vollständig faktorisierten Form \(g(x) = -\frac{1}{4} \cdot x^2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\) ist ersichtlich: Die Nullstelle \(x_1 = 0\) hat die Vielfachheit 2. Die Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben jeweils die Vielfachheit 1. 3. Bei einer ungeraden Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die Achse. Dies ist bei \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) der Fall. Bei einer geraden Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die Achse (Extrempunkt). Dies ist bei \(x_1 = 0\) der Fall.

1. Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = -2\) 2. Vielfachheiten: \(x_1 = 0\) hat Vielfachheit 2; \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben Vielfachheit 1. 3. Verhalten: Bei \(x = 0\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (gerade Vielfachheit). Bei \(x = 2\) und \(x = -2\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse (ungerade Vielfachheit).

- Was bedeutet es für die Anzahl und Art der Nullstellen, wenn eine Parabel die \(x\)-Achse „berührt“ statt sie zu schneiden? - Wenn eine quadratische Funktion nur eine einzige Nullstelle hat, wie hängen dann die Parameter \(s\) und \(t\) in der Form \(a(x-s)(x-t)\) zusammen? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse?

1. Da der Graph die \(x\)-Achse berührt, liegt eine doppelte Nullstelle vor. Es gilt somit \(s = t = 3\). Die Funktion hat die Form \(g(x) = a(x - 3)^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(5 | -10)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-10 = a(5 - 3)^2 = a \cdot 2^2 = 4a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). 4. Die Parameter sind somit \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 5. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch \(g(0)\): \(g(0) = -2{,}5(0 - 3)^2 = -2{,}5 \cdot 9 = -22{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -22{,}5)\).

1. Die Parameter sind \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | -22{,}5)\).

- Wie kannst du vorgegebene Nullstellen und ihre Vielfachheiten direkt in einem Funktionsterm berücksichtigen? - Welche Information liefert der zusätzliche Punkt für den noch unbekannten Faktor vor dem Produkt? - Wie kannst du am Ende prüfen, ob Grad, Nullstellen und Punktbedingung gleichzeitig erfüllt sind?

1. Aus den Nullstellen und ihren Vielfachheiten folgt der Ansatz \(f(x)=ax(x+1)^2(x-4)\). 2. Da \(P(2\mid18)\) auf dem Graphen liegt, gilt \(18=a\cdot2\cdot(2+1)^2\cdot(2-4)\). 3. Damit ist \(18=-36a\) und folglich \(a=-0{,}5\). 4. Die gesuchte Funktion lautet \(f(x)=-0{,}5x(x+1)^2(x-4)\).

\(f(x)=-0{,}5x(x+1)^2(x-4)\)

- Was bedeutet „berührt die \(x\)-Achse“ für die Vielfachheit der Nullstelle? - Wie werden die Nullstellen in Linearfaktoren übersetzt? - Wie kannst du den Punkt auf der \(y\)-Achse nutzen, um den Vorfaktor zu bestimmen? - Welche kleinste Summe der Vielfachheiten ist mit allen Bedingungen möglich?

1. Die Nullstellen bei \(x=-3\) und \(x=5\) sind einfach. Die Berührstelle bei \(x=1\) ist eine doppelte Nullstelle. Der kleinstmögliche Grad ist daher \(1+1+2=4\). 2. Die Produktform lautet \(g(x)=a(x+3)(x-5)(x-1)^2\). 3. Mit \(S_y(0\mid-3)\) gilt \(-3=a\cdot3\cdot(-5)\cdot1=-15a\). 4. Daraus folgt \(a=0{,}2\). 5. Somit ist \(g(x)=0{,}2(x+3)(x-5)(x-1)^2\).

\(g(x)=0{,}2(x+3)(x-5)(x-1)^2\)

- Welche Form hat ein Faktor, wenn die Nullstelle eine Wurzel enthält? - Gibt es eine binomische Formel, die dir das Multiplizieren der wurzelbehafteten Terme erleichtert? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine Nullstelle „einfach“ ist?

1. Der kleinstmögliche Grad für drei einfache Nullstellen ist \(n = 3\). 2. Aufstellen der Linearfaktoren: \((x + \sqrt{6})\), \((x - 2)\) und \((x - \sqrt{6})\). 3. Bildung des Produkts der Linearfaktoren: \(g(x) = a \cdot (x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})(x - 2)\). Mit \(a = 1\) ergibt sich die einfachste Form. 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Faktoren mit den Wurzeln: \((x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) = x^2 - (\sqrt{6})^2 = x^2 - 6\). 5. Multiplikation mit dem verbleibenden Faktor: \(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\).

\(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2)\) (oder ausmultipliziert: \(g(x) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\))

- Wie hängen Nullstellen und Linearfaktoren zusammen? - Was bedeutet eine doppelte Nullstelle für den Exponenten des zugehörigen Faktors? - Wie kannst du den gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Vorfaktor zu bestimmen?

1. Aus den Nullstellen und ihren Vielfachheiten folgt die Produktform \(f(x)=a(x+2)^2(x-3)\). 2. Setze den Punkt \(Q(1\mid-18)\) ein: \(-18=a(1+2)^2(1-3)\). 3. Damit gilt \(-18=-18a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(f(x)=(x+2)^2(x-3)\).

\(f(x)=(x+2)^2(x-3)\)

- Wie hängt der Grad eines Produkts mit den Graden seiner Faktoren zusammen? - Was bedeutet eine reelle Nullstelle für einen zugehörigen Linearfaktor? - Denke beim Nullproduktsatz daran, dass dieselbe Nullstelle auch mehrfach auftreten kann. - Kann ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstelle den Grad erhöhen, ohne eine weitere reelle Nullstelle zu erzeugen?

1. Jede reelle Nullstelle \(x_n\) einer ganzrationalen Funktion liefert einen Linearfaktor \((x-x_n)\). 2. Bei vier verschiedenen reellen Nullstellen müsste das Produkt der zugehörigen Linearfaktoren mindestens den Grad \(4\) besitzen. Das widerspricht dem gegebenen Grad \(3\). 3. Ein Beispiel mit genau einer verschiedenen Nullstelle ist \(f(x)=(x-1)^3\). 4. Ein Beispiel mit genau zwei verschiedenen Nullstellen ist \(f(x)=(x-1)^2(x-2)\). 5. Ein Beispiel mit genau drei verschiedenen Nullstellen ist \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

a) Jede verschiedene reelle Nullstelle liefert einen Linearfaktor. Vier verschiedene Nullstellen würden daher mindestens Grad \(4\) erzwingen. b) Mögliche Terme: 1. \(f(x)=(x-1)^3\) 2. \(f(x)=(x-1)^2(x-2)\) 3. \(f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\)

- Welche Potenz von \(x\) kommt in jedem Summanden vor? - Welche bekannte Struktur hat der verbleibende quadratische Term? - Was sagen die Exponenten der Faktoren über die Vielfachheiten der zugehörigen Nullstellen aus?

1. Für die Nullstellen gilt \(g(x)=0\), also \(x^5-6x^4+9x^3=0\). 2. Ausklammern von \(x^3\) ergibt \(x^3(x^2-6x+9)=0\). 3. Der Faktor \(x^3\) liefert die Nullstelle \(x_1=0\) mit Vielfachheit 3. 4. Mit der zweiten binomischen Formel gilt \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). 5. Daher ist \(x_2=3\) eine Nullstelle mit Vielfachheit 2. 6. Die faktorisierte Form lautet \(g(x)=x^3(x-3)^2\).

Nullstellen: \(x_1=0\) mit Vielfachheit 3 und \(x_2=3\) mit Vielfachheit 2. Faktorisierte Form: \(g(x)=x^3(x-3)^2\)

- Bei einer Gleichung mit \(x^4\) und \(x^2\) kann \(z=x^2\) helfen. - Was sagt der Exponent eines Faktors über die Vielfachheit der zugehörigen Nullstelle aus? - Welche Nullstellen kannst du aus einer Produktform direkt ablesen? - Prüfe beim Zurücksetzen von \(z\) vollständig, welche reellen \(x\)-Werte entstehen.

1. Bei a) setzen wir \(z=x^2\). Dann gilt \(z^2-17z+16=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z_1=16\) und \(z_2=1\). 3. Aus \(x^2=16\) folgen \(x=4\) und \(x=-4\). Aus \(x^2=1\) folgen \(x=1\) und \(x=-1\). Alle vier Nullstellen sind einfach. 4. Bei b) kann man die Nullstellen direkt aus der Produktform ablesen: \(x=0\) einfach, \(x=2\) doppelt und \(x=-5\) einfach.

a) \(x=-4,-1,1,4\), jeweils einfach b) \(x=0\) einfach, \(x=2\) doppelt, \(x=-5\) einfach

- Welche neue Variable macht die Gleichung in a) quadratisch? - Welche Werte kann \(x^2\) für reelle \(x\) annehmen? - Was bewirkt ein positiver konstanter Summand in einer Summe nichtnegativer Terme?

1. Setze \(z=x^2\). Dann gilt \(z^2+3z+2=0\). 2. Die quadratische Gleichung hat die Lösungen \(z_1=-1\) und \(z_2=-2\). 3. Für reelle \(x\) gilt \(x^2\ge0\). Daher können weder \(z=-1\) noch \(z=-2\) aus einem reellen \(x\) entstehen. Also hat \(f\) keine reellen Nullstellen. 4. Allgemein sind alle geraden Potenzen \(x^{2m}\) nichtnegativ. Mit positiven Koeffizienten bleiben diese Summanden nichtnegativ. Ein positiver konstanter Summand macht die gesamte Summe für jedes reelle \(x\) positiv. Deshalb kann der Funktionswert nicht null werden.

a) Mit \(z=x^2\) entstehen nur \(z=-1\) und \(z=-2\). Beide Werte sind für \(z=x^2\) unmöglich. Es gibt keine reellen Nullstellen. b) Gerade Potenzen sind nichtnegativ. Positive Koeffizienten und ein positiver konstanter Summand machen die gesamte Summe stets positiv.

- Was muss für die Funktionswerte an einer Schnittstelle gelten? - Wie kannst du die entstehende Gleichung auf die Form „Term gleich \(0\)“ bringen? - Welchen gemeinsamen Faktor besitzen anschließend alle Summanden? - Wie erhältst du nach den \(x\)-Werten die zugehörigen \(y\)-Koordinaten?

1. Gleichsetzen liefert \(x^3+2x^2-4x+6=x^2-2x+6\). 2. Nach dem Umformen ergibt sich \(x^3+x^2-2x=0\). 3. Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(x^2+x-2)=0\). 4. Nach dem Nullproduktsatz gilt \(x=0\) oder \(x^2+x-2=0\). Die quadratische Gleichung liefert \(x=-2\) und \(x=1\). 5. Einsetzen in \(g\) ergibt \(g(0)=6\), \(g(-2)=14\) und \(g(1)=5\). 6. Die Schnittpunkte sind \(S_1(0\mid6)\), \(S_2(-2\mid14)\) und \(S_3(1\mid5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0\mid6)\), \(S_2(-2\mid14)\) und \(S_3(1\mid5)\).

- Welche Potenz von \(x\) kannst du gemeinsam ausklammern? - Was sagt der Nullproduktsatz über die einzelnen Faktoren aus? - Wie erkennst du an der faktorisierten Form die Vielfachheit einer Nullstelle?

1. Für die Nullstellen wird \(x^4-2x^3-3x^2=0\) gesetzt. 2. Ausklammern von \(x^2\) ergibt \(x^2(x^2-2x-3)=0\). 3. Nach dem Nullproduktsatz liefert \(x^2=0\) die Nullstelle \(x=0\) mit Vielfachheit \(2\). 4. Die verbleibende quadratische Gleichung \(x^2-2x-3=0\) hat die Lösungen \(x=3\) und \(x=-1\). 5. In der faktorisierten Form \(p(x)=x^2(x-3)(x+1)\) treten die zugehörigen Faktoren jeweils einmal auf; daher sind \(x=3\) und \(x=-1\) einfache Nullstellen.

Die Nullstellen sind \(x=0\) mit Vielfachheit \(2\) sowie \(x=3\) und \(x=-1\) jeweils mit Vielfachheit \(1\).

- Was erhältst du, wenn du \(x=2\) direkt in den Term einsetzt? - Versuche, die ersten beiden und die letzten beiden Summanden jeweils zusammenzufassen und einen gemeinsamen Faktor sichtbar zu machen. - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl überhaupt annehmen?

1. Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(2^3-2\cdot2^2+2-2=8-8+2-2=0\). Damit ist \(x=2\) eine Nullstelle. 2. Durch Gruppieren erhält man \(x^3-2x^2+x-2=x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(x^2+1)\). 3. Für reelle \(x\) gilt \(x^2\ge 0\), also \(x^2+1\ge 1\). Daher besitzt der quadratische Faktor keine reelle Nullstelle und kann über \(\mathbb R\) nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.

a) \(T(2)=0\), also ist \(x=2\) eine Nullstelle. b) \(T(x)=(x-2)(x^2+1)\) c) \(x^2+1>0\) für alle reellen \(x\); deshalb gibt es keine weitere reelle Nullstelle und keine weitere Zerlegung in reelle Linearfaktoren.

- Vergleiche zuerst einfache Funktionswerte; damit kannst du manche Gleichheit sofort ausschließen. - Schreibe eine dritte Potenz als Produkt aus drei gleichen Klammern, wenn du sie ohne Zusatzformel ausmultiplizieren möchtest. - Für die Vielfachheit ist entscheidend, wie oft der zugehörige Linearfaktor vorkommt. - Prüfe bei einem verbleibenden quadratischen Faktor, ob er überhaupt reelle Nullstellen besitzen kann.

1. Für \(x=3\) ergeben alle fünf Funktionen den Wert \(0\). Für \(x=0\) gilt \(f_1(0)=-27\), \(f_2(0)=-27\), \(f_3(0)=27\), \(f_4(0)=-27\) und \(f_5(0)=-27\). 2. \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) besitzen bei \(x=3\) eine dreifache Nullstelle. Bei \(f_2\) folgt aus \(x^3=27\) die reelle Nullstelle \(x=3\). Aus der Darstellung von \(f_4\) sieht man zusätzlich, dass \(x^2+3x+9\) keine reelle Nullstelle hat; daher ist \(x=3\) bei \(f_2\) und \(f_4\) einfach. 3. Durch schrittweises Ausmultiplizieren erhält man \((x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27\), also \(f_1=f_5\). Außerdem gilt \((x-3)(x^2+3x+9)=x^3-27\), also \(f_2=f_4\). Wegen \(f_3(0)=27\) ist \(f_3\) zu keiner der übrigen Funktionen identisch.

a) \(f_1(3)=f_2(3)=f_3(3)=f_4(3)=f_5(3)=0\); \(f_1(0)=-27\), \(f_2(0)=-27\), \(f_3(0)=27\), \(f_4(0)=-27\), \(f_5(0)=-27\) b) \(f_1,f_3,f_5\): \(x=3\) mit Vielfachheit \(3\); \(f_2,f_4\): \(x=3\) mit Vielfachheit \(1\) c) \(f_1=f_5\) und \(f_2=f_4\)

- Welche Terme kannst du mithilfe der dritten binomischen Formel in dieselbe faktorisierte Form überführen? - Welche Wirkung hat ein Vorzeichenwechsel innerhalb eines Quadrats? - Welche reellen Nullstellen besitzt der Faktor \(x^2+1\)?

1. Für \(x=1\) gilt bei allen fünf Funktionen der Funktionswert \(0\). Für \(x=0\) gilt \(g_1(0)=1\), \(g_2(0)=-1\), \(g_3(0)=1\), \(g_4(0)=1\) und \(g_5(0)=-1\). 2. Für \(g_1,g_3,g_4\) gilt jeweils die faktorisierte Form \((x-1)^2(x+1)^2\). Daher sind \(x=1\) und \(x=-1\) jeweils doppelte Nullstellen. 3. Für \(g_2\) und \(g_5\) gilt \((x-1)(x+1)(x^2+1)\). Da \(x^2+1\) keine reelle Nullstelle besitzt, sind \(x=1\) und \(x=-1\) jeweils einfache Nullstellen. 4. Damit gilt \(g_1=g_3=g_4\) und \(g_2=g_5\).

a) \(g_1(1)=g_2(1)=g_3(1)=g_4(1)=g_5(1)=0\); \(g_1(0)=1\), \(g_2(0)=-1\), \(g_3(0)=1\), \(g_4(0)=1\), \(g_5(0)=-1\). b) \(g_1,g_3,g_4\): \(x=1\) und \(x=-1\), jeweils doppelt. \(g_2,g_5\): \(x=1\) und \(x=-1\), jeweils einfach. c) \(g_1=g_3=g_4\) und \(g_2=g_5\).

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln weiter zerlegen? - Was bedeutet es für den Graphen an einer Nullstelle, wenn die Vielfachheit gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extrempunkt) auf der \(x\)-Achse.

1. Faktorisierung des ersten Terms mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 2. Faktorisierung des zweiten Terms mittels der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 3. Zusammenführung zur vollständig faktorisierten Form: \(h(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)^2\). 4. Identifikation der Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 5\). 5. Analyse der Vielfachheiten: Die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) treten jeweils mit der Vielfachheit 1 auf (ungerade). Die Nullstelle \(x_3 = 5\) tritt mit der Vielfachheit 2 auf (gerade). 6. Schlussfolgerung: Bei ungerader Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die \(x\)-Achse. Bei gerader Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die \(x\)-Achse nur.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), da dies einfache Nullstellen (ungerade Vielfachheit) sind. Er berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_3 = 5\), da dies eine doppelte Nullstelle (gerade Vielfachheit) ist.

- Welche Form des Funktionsterms nutzt vorgegebene Nullstellen unmittelbar? - Welche zusätzliche Information liefert der Punkt \(P\) für den noch unbekannten Vorfaktor? - Wie gelangst du anschließend von der faktorisierten in die allgemeine Form?

1. Aus den Nullstellen folgt der Ansatz \(g(x)=a(x+1)(x-3)\). 2. Mit \(P(2\mid-6)\) gilt \(-6=a(2+1)(2-3)=-3a\). Daher ist \(a=2\) und damit \(g(x)=2(x+1)(x-3)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \(g(x)=2(x^2-2x-3)=2x^2-4x-6\).

a) \(g(x)=2(x+1)(x-3)\) b) \(g(x)=2x^2-4x-6\)

- Welche binomische Formel hilft dir beim Ausmultiplizieren des Quadrats? - Wo liest du in der allgemeinen Form Grad und Leitkoeffizienten ab? - Welche Information über Nullstellen bleibt in der faktorisierten Form unmittelbar sichtbar?

1. Zunächst gilt \((x-1)^2=x^2-2x+1\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \((x+2)(x^2-2x+1)=x^3-2x^2+x+2x^2-4x+2=x^3-3x+2\). 3. Der höchste Exponent ist \(3\). Daher ist der Grad 3 und der Leitkoeffizient 1. 4. Aus der faktorisierten Form folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=1\). 5. Der Faktor \((x+2)\) kommt einfach vor, der Faktor \((x-1)\) doppelt. Daher hat \(-2\) die Vielfachheit 1 und \(1\) die Vielfachheit 2.

a) \(f(x)=x^3-3x+2\) b) Grad 3, Leitkoeffizient 1 c) \(x=-2\) mit Vielfachheit 1; \(x=1\) mit Vielfachheit 2

- Unterscheide zwischen der maximal möglichen und der tatsächlichen Anzahl von Nullstellen. - Suche für b) nach einer Funktion dritten Grades, deren Graph die \(x\)-Achse nicht an drei verschiedenen Stellen schneiden kann. - Untersuche für c), welche höchste Potenz von \(x\) nach dem Quadrieren entstehen kann.

1. Zu a): Bei \(n=8\) ist der Funktionsterm \(p(x) = x^8 - x + 10\). Da der Grad der Funktion 8 ist, kann sie nach dem Satz über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen höchstens 8 Nullstellen haben. 2. Zu b): Die Aussage ist falsch. Der Grad gibt lediglich die maximale Anzahl an Nullstellen an. Eine Funktion vom Grad 3 kann 1, 2 oder 3 Nullstellen haben (im Reellen). Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 + x = x(x^2 + 1)\), welche nur die Nullstelle \(x=0\) besitzt, da \(x^2+1\) keine weiteren reellen Nullstellen hat. 3. Zu c): Durch Anwendung der binomischen Formel oder Überlegung zur höchsten Potenz ergibt sich \((x^3)^2 = x^6\). Der Term lautet \(k(x) = 9x^6 - 12x^3 + 4\). Der Grad der Funktion ist 6. Somit kann die Funktion höchstens 6 Nullstellen besitzen.

a) Maximal 8 Nullstellen. b) Die Aussage ist falsch; der Grad gibt nur die Höchstzahl an. Beispiel: \(f(x) = x^3 + x\) hat nur eine Nullstelle. c) Grad 6; maximal 6 Nullstellen.

- Multipliziere zuerst alle Klammern aus und fasse den Term so weit wie möglich zusammen. - Woran erkennt man am fertigen Term, welchen Grad die Funktion hat? - Überlege dir, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Graph die x-Achse schneidet und nicht nur berührt. - Untersuche die Vielfachheit der berechneten Nullstellen.

1. Term vereinfachen durch Ausmultiplizieren: \((x + 1)(2x - 4) = 2x^2 - 4x + 2x - 4 = 2x^2 - 2x - 4\). 2. Zweiter Teil des Terms mit der binomischen Formel: \((x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4\). 3. Gesamten Funktionsterm zusammenfassen: \(f(x) = (2x^2 - 2x - 4) - (x^2 - 4x + 4) = x^2 + 2x - 8\). Da der Term die Form \(ax^2 + bx + c\) mit \(a \neq 0\) hat, ist \(f\) eine quadratische Funktion. 4. Nullstellen bestimmen: \(x^2 + 2x - 8 = 0\) führt mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung \((x + 4)(x - 2) = 0\) zu \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\). 5. Art der Nullstellen prüfen: Da es sich um zwei einfache Nullstellen handelt, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt.

Die vereinfachte Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^2 + 2x - 8\). Da dies ein Polynom zweiten Grades ist, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Ein Vorzeichenwechsel findet an den einfachen Nullstellen \(x = -4\) und \(x = 2\) statt.

- Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Gibt es eine Beziehung zwischen den Exponenten, die eine Ersetzung sinnvoll macht? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^3 = a\) im Bereich der reellen Zahlen? - Denke daran, am Ende die Ersetzung wieder rückgängig zu machen.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(x^6 + 26x^3 - 27 = 0\). 2. Substitution von \(z = x^3\) ergibt die quadratische Gleichung \(z^2 + 26z - 27 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: \(z_{1,2} = -13 \pm \sqrt{169 + 27} = -13 \pm \sqrt{196} = -13 \pm 14\). Man erhält \(z_1 = 1\) und \(z_2 = -27\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 1\): \(x^3 = 1 \Rightarrow x_1 = \sqrt[3]{1} = 1\). Für \(z_2 = -27\): \(x^3 = -27 \Rightarrow x_2 = \sqrt[3]{-27} = -3\). Die reellen Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\).

\(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\)

- Welche Werte machen jeweils einen der gegebenen Faktoren gleich null? - Welcher Term entsteht aus dem Produkt der höchsten Potenzen und bestimmt damit das Globalverhalten? - Was geschieht mit dem Vorzeichen beim Durchlaufen einer einfachen Nullstelle? - Ordne die Nullstellen auf der Zahlengeraden, bevor du die Vorzeichenintervalle festlegst.

1. Aus den Linearfaktoren folgen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=5\). Alle drei sind einfach. 2. Der führende Term des Produkts ist \(x^3\). Deshalb gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Die drei einfachen Nullstellen zerlegen die Zahlengerade in vier Intervalle. Bei jeder einfachen Nullstelle wechselt das Vorzeichen. Aus dem negativen Vorzeichen für große negative \(x\) ergibt sich: \(f(x)<0\) auf \(( -\infty;-2)\) und \((1;5)\), während \(f(x)>0\) auf \((-2;1)\) und \((5;\infty)\) gilt.

1. \(x_1=-2\), \(x_2=1\), \(x_3=5\) 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\); für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). 3. Oberhalb der \(x\)-Achse: \((-2;1)\cup(5;\infty)\); unterhalb der \(x\)-Achse: \((-\infty;-2)\cup(1;5)\)

- Welche gemeinsamen Faktoren oder bekannten Faktorisierungen erkennst du in den drei Termen? - Welche Information über eine Nullstelle erhältst du aus dem Exponenten ihres Faktors? - Vergleiche das Vorzeichen des betreffenden Faktors knapp links und rechts der Nullstelle.

1. Für \(f\) gilt \(f(x)=x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)\). Die Nullstellen \(0\), \(2\) und \(-2\) sind jeweils einfach; an jeder findet ein Vorzeichenwechsel statt. 2. Für \(g\) gilt \(g(x)=x^2(x^2-2x+1)=x^2(x-1)^2\). Die Nullstellen \(0\) und \(1\) sind jeweils doppelt; an keiner findet ein Vorzeichenwechsel statt. 3. Für \(h\) gilt \(h(x)=(x-3)(x+3)^2\). Die Nullstelle \(3\) ist einfach und mit Vorzeichenwechsel; \(-3\) ist doppelt und ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(f(x)=x(x-2)(x+2)\): \(x=0,2,-2\), jeweils Vielfachheit 1 und Vorzeichenwechsel b) \(g(x)=x^2(x-1)^2\): \(x=0,1\), jeweils Vielfachheit 2 und kein Vorzeichenwechsel c) \(h(x)=(x-3)(x+3)^2\): \(x=3\), Vielfachheit 1 und Vorzeichenwechsel; \(x=-3\), Vielfachheit 2 und kein Vorzeichenwechsel

- Wie kannst du eine vorgegebene Nullstelle direkt als Faktor im Funktionsterm darstellen? - Welche Summe müssen die Vielfachheiten mindestens ergeben, wenn der Grad feststeht und keine weiteren Nullstellen vorkommen sollen? - In welcher Teilaufgabe gibt es mehrere sinnvolle Verteilungen der Vielfachheiten?

1. Aus vorgegebenen Nullstellen werden die zugehörigen Faktoren \((x-x_i)\) mit passenden Vielfachheiten gebildet. 2. In a) genügt bei Grad 3 die Wahl drei einfacher Nullstellen: \(f(x)=x(x+4)(x-1)\). 3. In b) müssen die Vielfachheiten der beiden Nullstellen zusammen 4 ergeben. Eine mögliche Wahl ist \(f(x)=(x+2)^2(x-5)^2\). 4. In c) müssen bei Grad 3 und genau zwei verschiedenen Nullstellen die Vielfachheiten 1 und 2 sein. Beispielsweise kann \(x=3\) doppelt und \(x=0\) einfach gewählt werden: \(f(x)=x(x-3)^2\).

a) Zum Beispiel \(f(x)=x(x+4)(x-1)\) b) Zum Beispiel \(f(x)=(x+2)^2(x-5)^2\) c) Zum Beispiel \(f(x)=x(x-3)^2\)

- Versuche den Term so zu faktorisieren, dass parameterunabhängige Faktoren sichtbar werden. - Welche Nullstellen bleiben unabhängig vom Wert von \(k\) bestehen? - Wann wird eine der festen Nullstellen zusätzlich durch den parameterabhängigen Faktor erzeugt?

1. Faktorisieren liefert \(f_k(x)=(x^2-4)(x-k)=(x-2)(x+2)(x-k)\). 2. Die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\) treten unabhängig von \(k\) auf. Daher liegen alle Graphen durch \(P_1(2|0)\) und \(P_2(-2|0)\). 3. Eine Berührung der x-Achse entsteht, wenn eine dieser festen Nullstellen zugleich durch den Faktor \(x-k\) entsteht und damit doppelt wird. 4. Für \(k=2\) ist \(x=2\) doppelte Nullstelle; der Berührpunkt ist \(B_1(2|0)\). Für \(k=-2\) ist \(x=-2\) doppelte Nullstelle; der Berührpunkt ist \(B_2(-2|0)\).

a) Gemeinsame Punkte: \(P_1(2|0)\) und \(P_2(-2|0)\). b) \(k=2\) mit Berührpunkt \(B_1(2|0)\) sowie \(k=-2\) mit Berührpunkt \(B_2(-2|0)\); jeweils liegt eine doppelte Nullstelle vor.

- Notiere zuerst nur, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet und wo er sie berührt. - Welche Parität der Vielfachheit gehört zu einem Schnitt beziehungsweise zu einer Berührung? - Wie schränkt der vorgegebene Grad die Summe der Vielfachheiten ein?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und \(x=3\) und berührt sie bei \(x=1\). 2. Eine Berührung bedeutet gerade, ein Schnitt ungerade Vielfachheit. Da der Grad \(4\) beträgt und drei verschiedene Nullstellen vorliegen, müssen die Vielfachheiten \(1,2,1\) sein. 3. Nur Term A hat bei \(x=1\) die doppelte und bei \(x=-1\) sowie \(x=3\) einfache Nullstellen. 4. Die drei angebotenen Terme besitzen zudem denselben Wert \(f(0)=-3\); der \(y\)-Achsenabschnitt liefert daher keine Abkürzung für die Zuordnung.

a) \(x=-1\) einfach und Schnittstelle; \(x=1\) doppelt und Berührstelle; \(x=3\) einfach und Schnittstelle. b) A: \(f(x)=(x-1)^2(x+1)(x-3)\).

- Welche Nullstellen kannst du aus jedem Term direkt ablesen? - Welche Information liefern die Exponenten der Faktoren über das Verhalten an den Nullstellen? - Vergleiche anschließend nur diese strukturellen Merkmale mit den drei Graphen.

1. \(f\) hat bei \(x=-1\) eine doppelte und bei \(x=2\) eine einfache Nullstelle. Deshalb berührt der Graph bei \(-1\) die \(x\)-Achse und schneidet sie bei \(2\). Das ist Graph B. 2. \(g\) hat bei \(x=-1\) eine einfache und bei \(x=2\) eine doppelte Nullstelle. Deshalb schneidet der Graph bei \(-1\) und berührt bei \(2\). Das ist Graph C. 3. \(h\) hat bei \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=2\) jeweils eine einfache Nullstelle. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an allen drei Stellen. Das ist Graph A.

\(f\to B\): doppelte Nullstelle bei \(-1\), einfache bei \(2\). \(g\to C\): einfache Nullstelle bei \(-1\), doppelte bei \(2\). \(h\to A\): drei einfache Nullstellen bei \(-1\), \(1\) und \(2\).

- Welche Nullstellen und welches Schnitt-/Berührverhalten erkennst du im Graphen? - Wie hilft der vorgegebene Grad dabei, aus gerader bzw. ungerader Vielfachheit die konkreten Vielfachheiten zu bestimmen? - Welche zusätzliche Information aus dem Graphen bestimmt den Vorfaktor \(a\)?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und berührt sie bei \(x=2\). Damit ist die Vielfachheit bei \(-1\) ungerade und bei \(2\) gerade. Da \(f\) dritten Grades ist und keine weitere Nullstelle sichtbar ist, müssen die Vielfachheiten 1 und 2 sein. 2. Daher gilt \(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\). 3. Aus dem Graphen liest man \(f(0)=-2\) ab. Damit folgt \(-2=a(1)(-2)^2=4a\), also \(a=-0{,}5\). 4. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-0{,}5(x+1)(x-2)^2\).

a) \(x=-1\) mit Vielfachheit 1; \(x=2\) mit Vielfachheit 2 b) \(f(x)=-0{,}5(x+1)(x-2)^2\)

- Welcher der beiden vorgegebenen Faktoren ist einfach und welcher quadriert? - Welche Nullstelle des Graphen passt jeweils zu diesem Schnitt- bzw. Berührverhalten? - Welcher exakt ablesbare Punkt bestimmt anschließend den noch unbekannten Vorfaktor?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\). Diese Nullstelle gehört zum einfachen Faktor \((x-a)\), also ist \(a=-1\). Bei \(x=2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse; diese Nullstelle gehört zum quadrierten Faktor \((x-b)^2\), also ist \(b=2\). 2. Damit gilt zunächst \(f(x)=c(x+1)(x-2)^2\). Aus dem Graphen liest man \(f(0)=2\) ab. Also \(2=c(1)(-2)^2=4c\), woraus \(c=0{,}5\) folgt. 3. Der vollständige Funktionsterm ist \(f(x)=0{,}5(x+1)(x-2)^2\).

1. \(a=-1\), \(b=2\) 2. \(c=0{,}5\)

- Bestimme für jeden Kandidaten zuerst Lage und Vielfachheit der Nullstellen. - Bei welcher Nullstelle berührt Graph A beziehungsweise Graph B die \(x\)-Achse? - Welche drei verschiedenen Schnittstellen besitzt Graph C?

1. Graph A schneidet bei \(x=-2\) und berührt bei \(x=1\). Das passt nur zu \(p\), also Term 1. 2. Graph B schneidet bei \(x=-2\) und berührt bei \(x=-1\). Das passt nur zu \(q\), also Term 2. 3. Graph C schneidet bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=2\). Das passt zu \(r\), also Term 3. 4. Term 4 bleibt übrig, weil er bei \(x=2\) eine doppelte Nullstelle und bei \(x=-1\) eine einfache Nullstelle besitzt. 5. Da alle Kandidaten denselben \(y\)-Achsenabschnitt und dasselbe Globalverhalten haben, können diese Merkmale die Nullstellenanalyse nicht ersetzen.

Graph A: Term 1; Schnitt bei \(x=-2\), Berührung bei \(x=1\). Graph B: Term 2; Schnitt bei \(x=-2\), Berührung bei \(x=-1\). Graph C: Term 3; Schnitte bei \(x=-2,1,2\). Übrig: Term 4.

- Die Lage der drei Nullstellen ist bei allen Kandidaten gleich. Welches Merkmal unterscheidet die Terme dennoch? - An welcher Nullstelle berührt jeder Graph die \(x\)-Achse? - Welcher Kandidat besitzt an keiner der drei Nullstellen eine gerade Vielfachheit?

1. Alle vier Terme besitzen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). Bei den Termen (1), (2) und (3) ist jeweils genau eine davon doppelt; bei (4) sind alle drei einfach. 2. Graph A berührt bei \(x=-2\) und schneidet bei \(x=1\) und \(x=3\). Daher gehört A zu (1). 3. Graph B schneidet bei \(x=-2\) und \(x=3\), berührt aber bei \(x=1\). Daher gehört B zu (2). 4. Graph C schneidet bei \(x=-2\) und \(x=1\), berührt aber bei \(x=3\). Daher gehört C zu (3). 5. Term (4) bleibt übrig. Alle vier Terme haben außerdem bei \(x=0\) den Wert \(3\); der \(y\)-Achsenabschnitt kann die Zuordnung deshalb nicht vereinfachen.

Graph A: Term (1), doppelte Nullstelle bei \(x=-2\). Graph B: Term (2), doppelte Nullstelle bei \(x=1\). Graph C: Term (3), doppelte Nullstelle bei \(x=3\). Übrig: Term (4), drei einfache Nullstellen.

- Welche Symmetrie folgt direkt aus den Exponenten im Term von \(f\)? - Welche Vielfachheit hat die Nullstelle \(x=0\), wenn du \(x^2\) ausklammerst? - Suche zusätzlich einen kleinen ganzzahligen \(x\)-Wert, dessen Funktionswert sich exakt berechnen und im Graphen eindeutig vergleichen lässt.

1. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der abgebildete Graph ist dagegen punktsymmetrisch zum Ursprung. Damit kann er nicht zu \(f\) gehören. 2. Aus \(f(x)=x^2(2-0{,}5x^2)\) folgt, dass \(x=0\) eine doppelte Nullstelle ist. Der Graph von \(f\) berührt dort die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Der abgebildete Graph schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung mit Vorzeichenwechsel. 3. Es ist \(f(1)=-0{,}5+2=1{,}5\). Im abgebildeten Graphen ist der Funktionswert bei \(x=1\) negativ. Auch dieser exakte Wertvergleich widerspricht \(f\).

Drei mögliche exakte Widersprüche sind: falsche Symmetrie, falsches Verhalten an der Nullstelle \(x=0\) und ein falscher Funktionswert bei \(x=1\).

- Welche Nullstelle gehört wegen des Berührens zum quadrierten Faktor? - Welche Nullstelle gehört zum einfachen Linearfaktor? - Wenn \(b\) und \(c\) feststehen, bleibt nur noch der Vorfaktor \(a\) unbekannt. - Suche einen Gitterpunkt, dessen Koordinaten sich ohne Schätzen einsetzen lassen.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=1\). Zur Form \((x-b)^2\) gehört deshalb \(b=1\); die Nullstelle ist doppelt. 2. Bei \(x=-2\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Der einfache Faktor \((x-c)\) liefert daher \(c=-2\). 3. Somit gilt \(p(x)=a(x-1)^2(x+2)\). 4. Der Gitterpunkt \((-1\mid-1)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(-1=a(-2)^2\cdot1=4a\), also \(a=-0{,}25\).

a) \(b=1\), \(c=-2\) b) \(a=-0{,}25\), also \(p(x)=-0{,}25(x-1)^2(x+2)\)

- Welche Nullstellen und welches Schnitt-/Berührverhalten erkennst du im Graphen? - Wie hilft dir der vorgegebene Grad dabei, die konkreten Vielfachheiten festzulegen? - Welche Information liefert der markierte Punkt für den noch unbekannten Vorfaktor?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\) und berührt sie bei \(x=1\). Somit ist die Vielfachheit bei \(-3\) ungerade und bei \(1\) gerade. Wegen des Grades 3 müssen die Vielfachheiten 1 und 2 sein. 2. Daher gilt \(f(x)=a(x+3)(x-1)^2\). 3. Mit \(P(2\mid1)\) folgt \(1=a(2+3)(2-1)^2=5a\), also \(a=0{,}2\). 4. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=0{,}2(x+3)(x-1)^2\).

1. \(x=-3\) mit Vielfachheit 1; \(x=1\) mit Vielfachheit 2 2. \(f(x)=0{,}2(x+3)(x-1)^2\)

- Unterscheide an jeder Nullstelle zwischen Schneiden und Berühren. - Verbinde bei b) die Information „mehrfach“ mit dem sichtbaren Schneiden bei \(x=-1\). - Wähle wegen des kleinstmöglichen Grades jeweils die kleinste passende Vielfachheit. - Nutze danach einen gut ablesbaren Punkt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Graph a) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und berührt sie bei \(x=2\). Für den kleinstmöglichen Grad verwendet man daher die Vielfachheiten \(1\) und \(2\): \(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\). 2. Der Punkt \((0\mid1)\) liegt auf Graph a). Damit gilt \(1=a\cdot1\cdot4\), also \(a=0{,}25\). Somit ist \(f(x)=0{,}25(x+1)(x-2)^2\). 3. Graph b) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und \(x=2\). Bei \(x=-1\) liegt eine mehrfache Nullstelle vor. Weil der Graph dort schneidet, ist ihre Vielfachheit ungerade; die kleinste mögliche Vielfachheit größer als \(1\) ist \(3\). Bei \(x=2\) genügt für den kleinstmöglichen Grad die Vielfachheit \(1\). Daher gilt \(g(x)=a(x+1)^3(x-2)\). 4. Der Punkt \((0\mid-1)\) liegt auf Graph b). Damit gilt \(-1=a\cdot1\cdot(-2)\), also \(a=0{,}5\). Somit ist \(g(x)=0{,}5(x+1)^3(x-2)\).

a) \(f(x)=0{,}25(x+1)(x-2)^2\) b) \(g(x)=0{,}5(x+1)^3(x-2)\)

- Welche Nullstellen und welches Schnitt-/Berührverhalten zeigt der Graph? - Wie bestimmt der Grad die Summe der Vielfachheiten? - Welcher markierte Punkt hilft dir beim Bestimmen des Vorfaktors? - Welche Umformung führt anschließend von der faktorisierten zur allgemeinen Form?

1. Bei \(x=-1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, bei \(x=2\) schneidet er sie. Wegen des Grades 3 folgen die Vielfachheiten 2 bei \(-1\) und 1 bei \(2\). 2. Der Ansatz lautet \(f(x)=a(x+1)^2(x-2)\). 3. Mit \(P(0\mid-2)\) gilt \(-2=a(1)^2(-2)\), also \(a=1\). Damit ist \(f(x)=(x+1)^2(x-2)\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(f(x)=x^3-3x-2\).

1. \(x=-1\) mit Vielfachheit 2; \(x=2\) mit Vielfachheit 1 2. Faktorisierte Form: \(f(x)=(x+1)^2(x-2)\); allgemeine Form: \(f(x)=x^3-3x-2\)

- Welche Nullstellen und welches Verhalten an der \(x\)-Achse sind erkennbar? - Wie nutzt du den Grad, um die konkreten Vielfachheiten zu bestimmen? - Welcher exakt ablesbare Punkt liefert die fehlende Information für den Vorfaktor?

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und schneidet sie bei \(x=1\). Wegen des Grades 3 sind die Vielfachheiten damit 2 beziehungsweise 1. 2. Der Ansatz in faktorisierter Form lautet \(f(x)=a(x+2)^2(x-1)\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(S_y(0\mid-2)\). Daher gilt \(-2=a(2)^2(-1)=-4a\), also \(a=0{,}5\). 4. Somit ist \(f(x)=0{,}5(x+2)^2(x-1)\). Ausmultipliziert ergibt sich \(f(x)=0{,}5x^3+1{,}5x^2-2\).

Faktorisierte Form: \(f(x)=0{,}5(x+2)^2(x-1)\) Allgemeine Form: \(f(x)=0{,}5x^3+1{,}5x^2-2\)

- Welche Nullstellen und Symmetrieeigenschaften kannst du für jeden Graphen nutzen, um zunächst eine faktorisierte Form aufzustellen? - Wie hilft der vorgegebene Grad beim Festlegen der Vielfachheiten? - Welcher markierte Punkt bestimmt jeweils den noch unbekannten Vorfaktor? - Multipliziere erst am Ende in die verlangte allgemeine Form aus.

1. Beim blauen Graphen sind die Nullstellen \(x=\pm1\) und \(x=\pm2\) ablesbar. Da der Grad 4 ist, sind sie alle einfach. Daher kann man zunächst \(f(x)=a(x^2-1)(x^2-4)\) ansetzen. 2. Mit \(P(0\mid2)\) gilt \(2=4a\), also \(a=0{,}5\). In allgemeiner Form folgt \(f(x)=0{,}5x^4-2{,}5x^2+2\). 3. Beim orangefarbenen Graphen sind die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm3\) ablesbar. Wegen des Grades 3 sind sie einfach. Passend zur Punktsymmetrie zum Ursprung gilt \(g(x)=\lambda x(x^2-9)\). 4. Mit \(Q(2\mid-2)\) folgt \(-2=\lambda\,2(4-9)=-10\lambda\), also \(\lambda=0{,}2\). Damit ist \(g(x)=0{,}2x^3-1{,}8x\).

\(f(x)=0{,}5x^4-2{,}5x^2+2\) \(g(x)=0{,}2x^3-1{,}8x\)

- Bestimme das Globalverhalten aus Grad und Leitkoeffizient der drei Terme, bevor du die Abbildung vergleichst. - Welche Nullstellen und Vielfachheiten sind aus jedem Term unmittelbar erkennbar? - Welche Kombination dieser algebraisch bestimmten Merkmale besitzt jeder Graph?

1. Für \(g\) ist der Grad 3 und der Leitkoeffizient negativ. Daher gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) und \(g(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\). Außerdem ist \(x=-2\) doppelte und \(x=1\) einfache Nullstelle. Das passt zu Graph A. 2. Für \(f\) ist der Grad 3 und der Leitkoeffizient positiv. Außerdem ist \(x=1\) doppelte und \(x=-2\) einfache Nullstelle. Das passt zu Graph B. 3. Für \(h\) ist der Grad 3 und der Leitkoeffizient positiv. Hier ist \(x=-2\) doppelte und \(x=1\) einfache Nullstelle. Das passt zu Graph C.

Graph A gehört zu \(g\): negativer Leitkoeffizient, doppelte Nullstelle bei \(-2\), einfache bei \(1\). Graph B gehört zu \(f\): positiver Leitkoeffizient, einfache Nullstelle bei \(-2\), doppelte bei \(1\). Graph C gehört zu \(h\): positiver Leitkoeffizient, doppelte Nullstelle bei \(-2\), einfache bei \(1\).

- Welche Form eines Funktionsterms bietet sich an, wenn alle Nullstellen bekannt sind? - Welche Rolle spielt ein zusätzlicher Punkt, wenn in der Nullstellenform noch ein Faktor unbekannt ist? - Wie erhältst du anschließend die Normalform?

1. Aus den drei Nullstellen folgt der Ansatz \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\) mit \(a\neq0\). 2. Mit \(P(-1\mid4)\) gilt \(4=a(1)(-2)(-4)=8a\). Daher ist \(a=0{,}5\). 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

Faktorisierte Form: \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). Normalform: \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

- Wie viele verschiedene reelle Nullstellen besitzt jeder Term? - Welche Faktoren treten mit geradem Exponenten auf? - Welche Graphen schneiden die Achse, welche berühren sie, und an welchen Stellen?

1. \(p\) besitzt vier einfache Nullstellen bei \(x=-3,-1,1,2\). Das passt zu Graph A, der die \(x\)-Achse an vier Stellen schneidet. 2. \(q\) besitzt zwei doppelte Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Das passt zu Graph B, der an beiden Stellen berührt. 3. \(r\) besitzt eine doppelte Nullstelle bei \(x=-2\) sowie einfache Nullstellen bei \(x=1\) und \(x=3\). Das passt zu Graph C. 4. \(s\) besitzt nur die Nullstelle \(x=1\) mit Vielfachheit \(4\). Das passt zu Graph D, der die Achse dort berührt und sonst keine Nullstelle besitzt.

1. \(p\to\) Graph A: vier einfache Nullstellen \(-3,-1,1,2\). 2. \(q\to\) Graph B: doppelte Nullstellen bei \(-2,2\). 3. \(r\to\) Graph C: \(-2\) doppelt, \(1\) und \(3\) einfach. 4. \(s\to\) Graph D: \(x=1\) vierfach.

- Bestimme aus jedem Funktionsterm zuerst die Nullstellen und ihre Vielfachheiten. - Vergleiche anschließend, ob der zugehörige Graph an einer Nullstelle schneidet oder berührt. - Bestimme das Globalverhalten aus Grad und Vorzeichen des Leitkoeffizienten, nicht aus dem Rand des dargestellten Fensters. - Welche Kombination aus Nullstellen und Globalverhalten ist für jeden der drei Terme eindeutig?

1. \(p(x)=0{,}5x(x-1)(x+1)\) hat die drei einfachen Nullstellen \(-1\), \(0\) und \(1\). Außerdem gilt \(p(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(p(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Dies passt zu Graph C. 2. \(q(x)=-0{,}25x^2(x-2)(x+2)\) hat die doppelte Nullstelle \(0\) und die einfachen Nullstellen \(-2\) und \(2\). Wegen des negativen Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(q(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und für \(x\to\infty\). Dies passt zu Graph A. 3. \(r(x)=(x-1)^2(x+2)\) hat die doppelte Nullstelle \(1\) und die einfache Nullstelle \(-2\). Der Leitkoeffizient ist positiv und der Grad ungerade, also gilt \(r(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(r(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). Dies passt zu Graph B.

1. Graph C; drei einfache Nullstellen bei \(-1\), \(0\) und \(1\), links \(-\infty\), rechts \(+\infty\). 2. Graph A; doppelte Nullstelle bei \(0\), einfache Nullstellen bei \(-2\) und \(2\), auf beiden Seiten \(-\infty\). 3. Graph B; doppelte Nullstelle bei \(1\), einfache Nullstelle bei \(-2\), links \(-\infty\), rechts \(+\infty\).

- Welche Ersetzung könnte die Gleichung in eine einfache quadratische Form bringen? - Erinnere dich nach dem Lösen der quadratischen Gleichung daran, die Ersetzung wieder rückgängig zu machen. - Wie viele reelle Zahlen gibt es, deren dritte Potenz \(8\) oder \(-1\) ergibt? - Schau im Graphen genau nach, wo er die horizontale Achse berührt oder schneidet.

1. Wahl der Substitution: Da die Potenzen \(x^6\) und \(x^3\) vorkommen, substituiere \(z = x^3\). Es folgt \(z^2 = (x^3)^2 = x^6\). 2. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(z^2 - 7z - 8 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Mit der pq-Formel oder dem Satz von Vieta ergeben sich die Lösungen \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 8\): \(x^3 = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2\). Für \(z_2 = -1\): \(x^3 = -1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-1} = -1\). 5. Abgleich mit dem Graphen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse tatsächlich bei \(x = -1\) und \(x = 2\).

Durch Substitution von \(z = x^3\) erhält man die quadratische Gleichung \(z^2 - 7z - 8 = 0\) mit den Lösungen \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). Die Resubstitution liefert die reellen Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Dies stimmt mit den Schnittpunkten des Graphen überein.

- Nutze die Abbildung zunächst nur, um Kandidaten für die Schnittpunkte zu gewinnen. - Ein abgelesener Kandidat ist erst bestätigt, wenn beide Funktionen dort denselben Wert haben. - Welche \(x\)-Werte kann die faktorisierte Form der Differenz nach dem Nullproduktsatz überhaupt liefern?

1. Aus der Abbildung liest man als Kandidaten die Schnittpunkte \((-1\mid4)\) und \((2\mid4)\) ab. 2. Es gilt \(f(-1)=-(-1)^3+3(-1)^2=4=g(-1)\). Außerdem ist \(f(2)=-8+12=4=g(2)\). Beide Kandidaten sind also tatsächlich Schnittpunkte. 3. Schnittpunkte erfüllen \(f(x)-g(x)=0\). Mit der gegebenen faktorisierten Form folgt \(-(x+1)(x-2)^2=0\). Nach dem Nullproduktsatz sind nur \(x=-1\) und \(x=2\) möglich. Weitere Schnittpunkte gibt es nicht.

\(S_1(-1\mid4)\) und \(S_2(2\mid4)\); weitere Schnittpunkte gibt es nicht.

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Koordinaten eines Schnittpunkts erfüllen? - Prüfe nach dem Umformen, ob sich ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt. - Zu jedem gefundenen \(x\)-Wert gehört noch der gemeinsame Funktionswert als \(y\)-Koordinate.

1. Für Schnittpunkte gilt \(x^3-3x+1=x+1\). 2. Umformen ergibt \(x^3-4x=0\), also \(x(x^2-4)=0\). 3. Nach dem Nullproduktsatz folgen \(x=0\), \(x=2\) und \(x=-2\). 4. Mit \(g(x)=x+1\) erhält man die zugehörigen Werte \(g(0)=1\), \(g(2)=3\) und \(g(-2)=-1\).

\(S_1(-2\mid-1)\), \(S_2(0\mid1)\), \(S_3(2\mid3)\)

- Welche Parität muss die Vielfachheit einer Nullstelle haben, wenn der Graph dort berührt beziehungsweise schneidet? - Welche kleinsten Vielfachheiten sind mit diesen beiden Verhaltensweisen vereinbar, wenn der Grad möglichst niedrig sein soll? - Wie sieht damit eine faktorisierte Form mit einem noch unbekannten Vorfaktor aus? - Welcher markierte Punkt kann den Vorfaktor bestimmen?

1. Bei \(x=-3\) berührt der Graph die \(x\)-Achse. Diese Nullstelle hat daher eine gerade Vielfachheit. Bei \(x=1\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse; diese Nullstelle hat eine ungerade Vielfachheit. 2. Da der Grad möglichst niedrig sein soll, wählt man die kleinsten passenden Vielfachheiten \(2\) und \(1\). Damit lautet die faktorisierte Form \(f(x)=a(x+3)^2(x-1)\). 3. Der markierte Punkt \(P(0\mid-1{,}8)\) liefert \(-1{,}8=a(0+3)^2(0-1)=-9a\). 4. Daraus folgt \(a=0{,}2\). 5. Somit ist \(f(x)=0{,}2(x+3)^2(x-1)\).

\(f(x)=0{,}2(x+3)^2(x-1)\)

- Welche kleinste ungerade Vielfachheit passt zu einem schneidenden Verlauf, wenn zugleich der kleinstmögliche Grad gesucht ist? - Schreibe mit diesen Nullstellen zunächst die faktorisierte Form mit einem unbekannten Vorfaktor. - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei \(x=0\). Wie bestimmt er den Vorfaktor?

1. Für den kleinstmöglichen Grad werden die drei schneidenden Nullstellen jeweils einfach angesetzt: \(f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)\). 2. Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt folgt \(f(0)=2\). Daher gilt \(2=a\cdot1\cdot(-1)\cdot(-2)=2a\). 3. Somit ist \(a=1\) und \(f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)\).

\(f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)\)

- Welche kleinste gerade Vielfachheit passt zu einer berührenden Nullstelle, wenn der Grad möglichst niedrig sein soll? - Stelle zunächst die faktorisierte Form mit einem unbekannten Vorfaktor auf. - Welcher gegebene Punkt bestimmt diesen Vorfaktor?

1. Für den kleinstmöglichen Grad werden beide berührenden Nullstellen doppelt angesetzt. Daher gilt \(f(x)=a(x+2)^2(x-2)^2\). 2. Mit \(S(0\mid-4)\) erhält man \(-4=a\cdot4\cdot4=16a\). 3. Somit ist \(a=-0{,}25\) und \(f(x)=-0{,}25(x+2)^2(x-2)^2=-0{,}25(x^2-4)^2\).

\(f(x)=-0{,}25(x^2-4)^2\)

- Was bedeutet eine Berührstelle für die Parität ihrer Vielfachheit? - Wie beschränkt der vorgegebene Grad \(4\) die möglichen Vielfachheiten der beiden Nullstellen? - Nutze den gegebenen Punkt erst, nachdem die faktorisierte Form bis auf den Vorfaktor feststeht.

1. Beide Berührstellen sind Nullstellen gerader Vielfachheit. Da die Funktion genau Grad \(4\) hat, müssen beide Nullstellen doppelt sein. 2. Daher lautet der Ansatz \(f(x)=ax^2(x-3)^2\). 3. Mit \(P(1\mid4)\) folgt \(4=a\cdot1^2\cdot(-2)^2=4a\), also \(a=1\). 4. Damit ist \(f(x)=x^2(x-3)^2\).

\(f(x)=x^2(x-3)^2\)

- Welche kleinsten Vielfachheiten passen beim kleinstmöglichen Grad zu Berühren beziehungsweise Schneiden? - Addiere diese Vielfachheiten, um den minimalen Grad zu prüfen. - Setze danach den gegebenen Punkt ein, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Für den kleinstmöglichen Grad wird die berührende Nullstelle \(x=0\) doppelt und die beiden schneidenden Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\) jeweils einfach angesetzt. Der minimale Grad ist \(4\). 2. Daher gilt \(f(x)=ax^2(x+2)(x-2)=ax^2(x^2-4)\). 3. Mit \(P(1\mid-3)\) folgt \(-3=a\cdot1\cdot(-3)=-3a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(f(x)=x^2(x^2-4)=x^4-4x^2\).

\(f(x)=x^2(x^2-4)=x^4-4x^2\)

- Vergleiche zunächst, wie viele Berühr- und Schnittstellen mit der \(x\)-Achse die beiden Graphen besitzen. - Welche der beiden vorgegebenen Formen passt jeweils zu diesem Nullstellenverhalten? - Nutze anschließend einen gut ablesbaren Punkt jedes Graphen, um den jeweiligen Vorfaktor zu bestimmen. - Beachte bei \(q\) zusätzlich die vorgegebene Ordnung \(x_3<x_4\).

1. Der Graph \(f\) hat eine berührende und eine schneidende Nullstelle. Damit passt er zu \(p\). Der Graph \(g\) hat zwei berührende Nullstellen und passt zu \(q\). 2. Beim Graphen \(f\) liegt die berührende Nullstelle bei \(x_1=-1\) und die schneidende Nullstelle bei \(x_2=2\). Somit ist \(p(x)=a(x+1)^2(x-2)\). 3. Mit dem gut ablesbaren Punkt \((0\mid-2)\) folgt \(-2=a\cdot1^2\cdot(-2)\), also \(a=1\). 4. Beim Graphen \(g\) liegen die beiden berührenden Nullstellen bei \(-2\) und \(2\). Wegen \(x_3<x_4\) gilt \(x_3=-2\) und \(x_4=2\). Somit ist \(q(x)=b(x+2)^2(x-2)^2\). 5. Mit \((0\mid2)\) folgt \(2=b\cdot2^2\cdot(-2)^2=16b\), also \(b=\frac{1}{8}\).

Graph \(f\) gehört zu \(p\): \(a=1\), \(x_1=-1\), \(x_2=2\). Graph \(g\) gehört zu \(q\): \(b=\frac{1}{8}\), \(x_3=-2\), \(x_4=2\).

- Welche Vielfachheit besitzt die Nullstelle \(x=1\) in Abhängigkeit von \(n\)? - Welche Rolle spielt die Parität dieser Vielfachheit für einen Vorzeichenwechsel? - Wie kannst du bei \(f_3\) Grad und Leitkoeffizient aus der faktorisierten Form bestimmen? - Vergleiche für \(|x-1|<1\) die Beträge verschiedener Potenzen von \(|x-1|\).

1. Für \(n=1\) ist \(x=1\) eine einfache Nullstelle. Der Graph schneidet dort die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel. Für \(n=2\) ist \(x=1\) eine doppelte Nullstelle; der Graph berührt dort die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. 2. Für \(n=3\) gilt \(f_3(x)=\frac{1}{4}(x+2)(x-1)^3\). Bei \(x=-2\) liegt eine einfache und bei \(x=1\) eine dreifache Nullstelle vor. An beiden Stellen schneidet der Graph die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel; bei \(x=1\) verläuft er wegen der höheren Vielfachheit flacher. Der Grad ist \(4\) und der Leitkoeffizient positiv. Daher gilt \(f_3(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Für gerade \(n\) berührt der Graph bei \(x=1\) die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Für ungerade \(n\) schneidet er sie mit Vorzeichenwechsel. Für \(|x-1|<1\) wird \(|x-1|^n\) mit wachsendem \(n\) kleiner; dadurch verläuft der Graph in der Nähe von \(x=1\) zunehmend flach entlang der \(x\)-Achse.

a) \(n=1\): Schneiden mit Vorzeichenwechsel; \(n=2\): Berühren ohne Vorzeichenwechsel. b) Für \(n=3\) ist \(x=-2\) eine einfache und \(x=1\) eine dreifache Nullstelle. Der Graph schneidet an beiden Stellen die \(x\)-Achse; bei \(x=1\) verläuft er flacher. Außerdem gilt \(f_3(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). c) Gerade \(n\): Berühren ohne Vorzeichenwechsel. Ungerade \(n\): Schneiden mit Vorzeichenwechsel. Mit größerem \(n\) verläuft der Graph in der Nähe von \(x=1\) zunehmend flach entlang der \(x\)-Achse.

- Schnittpunkte erfüllen die Gleichung \(f(x)=g(x)\). - Prüfe, ob sich der entstehende kubische Term durch Gruppieren faktorisieren lässt. - Die Vielfachheit einer Nullstelle der Differenz \(f-g\) beschreibt, ob die beiden Graphen dort die Reihenfolge wechseln oder sich nur berühren.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^3-x=x^2-1\), also \(x^3-x^2-x+1=0\). 2. Durch Gruppieren folgt \(x^2(x-1)-(x-1)=0\), also \((x-1)(x^2-1)=0\) und damit \((x-1)^2(x+1)=0\). 3. Somit sind \(x=1\) eine doppelte und \(x=-1\) eine einfache Lösung der Differenzgleichung. 4. Für beide Werte ist der gemeinsame Funktionswert \(0\). Daher lauten die gemeinsamen Punkte \((1\mid0)\) und \((-1\mid0)\). 5. Bei \(x=1\) hat die Differenzfunktion eine gerade Vielfachheit und wechselt dort nicht das Vorzeichen. Die beiden Graphen berühren sich daher an diesem Punkt. Bei \(x=-1\) liegt ein Schnitt mit Vorzeichenwechsel vor.

Schnittpunkte: \((-1\mid0)\) und \((1\mid0)\). Bei \(x=1\) berühren sich die Graphen.

- Beginne mit dem Funktionswert bei \(x=0\). - Ein weiterer kleiner ganzzahliger \(x\)-Wert liefert einen zweiten exakten Vergleich. - Für die Nullstellen kannst du die biquadratische Struktur mit \(z=x^2\) nutzen.

1. Es gilt \(h(0)=-1\). Der abgebildete Graph schneidet die \(y\)-Achse dagegen bei \(2\). Das ist bereits ein Widerspruch. 2. Außerdem ist \(h(1)=-0{,}5+2-1=0{,}5\). Im dargestellten Graphen beträgt der Wert bei \(x=1\) etwa \(1{,}2\). Auch das passt nicht. 3. Für die Nullstellen setzen wir \(z=x^2\). Dann gilt \(z^2-4z+2=0\), also \(z=2\pm\sqrt{2}\). Beide Werte sind positiv. Daher besitzt \(h\) die vier reellen Nullstellen \(x=\pm\sqrt{2-\sqrt{2}}\) und \(x=\pm\sqrt{2+\sqrt{2}}\). Der dargestellte Graph besitzt im sichtbaren Bereich keine Nullstelle.

Der Graph kann nicht zu \(h\) gehören: Er hat den falschen \(y\)-Achsenabschnitt, den falschen Wert bei \(x=1\) und nicht die vier reellen Nullstellen von \(h\).

- Welche Symmetrie folgt aus der Exponentenstruktur des Funktionsterms? - Wie lässt sich \(f(x)\) so faktorisieren, dass die reellen Nullstellen und ihre Vielfachheiten sichtbar werden? - Vergleiche anschließend Lage und Berühr-/Schnittverhalten dieser Nullstellen mit dem abgebildeten Graphen.

1. Für \(f\) gilt \(f(-x)=f(x)\), da nur gerade Exponenten vorkommen. Der Graph von \(f\) ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der abgebildete Graph besitzt diese Symmetrie nicht. 2. Es ist \(f(x)=(x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2\). Damit besitzt \(f\) nur die beiden verschiedenen reellen Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). Der abgebildete Graph hat zusätzlich Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=3\). 3. Die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\) haben bei \(f\) jeweils Vielfachheit \(2\); der Graph müsste dort die \(x\)-Achse berühren. Im dargestellten Graphen wird die \(x\)-Achse dort geschnitten.

Der Graph kann nicht zu \(f\) gehören, weil er nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, zusätzliche Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=3\) besitzt und bei \(x=\pm1\) die \(x\)-Achse schneidet statt sie wie \(f\) zu berühren.

- Vergleiche Lage und Vielfachheit der Nullstellen im Term mit dem dargestellten Graphen. - Prüfe, ob der Graph weitere Nullstellen zeigt, die im Term nicht vorkommen. - Ein exakt berechenbarer Funktionswert, etwa bei \(x=0\), kann einen weiteren unabhängigen Widerspruch liefern.

1. \(g\) hat bei \(x=-1\) eine einfache Nullstelle und müsste dort die \(x\)-Achse schneiden. Der abgebildete Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-1\). 2. \(g\) besitzt nur die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=2\). Der abgebildete Graph hat zusätzlich eine Nullstelle bei \(x=-2\). 3. Für \(g\) gilt \(g(0)=-0{,}5\cdot1\cdot4=-2\). Der dargestellte \(y\)-Achsenabschnitt liegt deutlich nicht bei \(-2\).

Drei Widersprüche sind: falsches Berühr-/Schnittverhalten bei \(x=-1\), eine zusätzliche Nullstelle bei \(x=-2\) und ein falscher \(y\)-Achsenabschnitt.

- An welchen drei Stellen schneidet die gezeichnete Kurve die \(x\)-Achse? - Wie begrenzt der vorgegebene Grad die Vielfachheiten dieser drei verschiedenen Nullstellen? - Welchen Punkt der Kurve auf der \(y\)-Achse kannst du verwenden, um den Vorfaktor zu bestimmen?

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1=-1\), \(x_2=1\) und \(x_3=4\). Da \(g\) dritten Grades ist und drei verschiedene Nullstellen besitzt, sind alle drei einfach. 2. Damit lautet die faktorisierte Form zunächst \(g(x)=a(x+1)(x-1)(x-4)\). 3. Aus dem Graphen liest man \(g(0)=2\) ab. Einsetzen ergibt \(2=a\cdot1\cdot(-1)\cdot(-4)=4a\), also \(a=0{,}5\). 4. Somit ist \(g(x)=0{,}5(x+1)(x-1)(x-4)\).

Nullstellen: \(x=-1,1,4\), jeweils einfach; \(g(0)=2\). \(g(x)=0{,}5(x+1)(x-1)(x-4)\).

- Überlege dir, wie sich eine einfache Nullstelle im Vergleich zu einer doppelten Nullstelle im Graphen äußert. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt die Symmetrie des Graphen? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um einen der Parameter direkt abzulesen. - Setze die Koordinaten eines weiteren gut ablesbaren Punktes in die Funktionsgleichung ein, um die restlichen Unbekannten zu berechnen.

1. Zuordnung und Begründung: Graph A gehört zur Funktion \(f\). Er hat eine einfache Nullstelle bei \(x=-2\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x=1\). Graph B ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was zur Form \(g(x)=bx^4+c\) passt. 2. Parameterbestimmung für \(g\): Graph B hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(2\), also \(c=2\). Er verläuft durch \((2 \mid 0)\). Damit gilt \(0=b\cdot 2^4+2\), also \(16b=-2\) und \(b=-\frac18=-0{,}125\). 3. Parameterbestimmung für \(f\): Graph A schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\). Daher gilt \(1=a(0+2)(0-1)^2=2a\), also \(a=0{,}5\).

a) Graph A gehört zu \(f\), da er bei \(x=-2\) die Achse schneidet und sie bei \(x=1\) berührt. Graph B gehört zu \(g\). b) \(a=0{,}5\), \(b=-0{,}125\) und \(c=2\).

- Welche Nullstellen kannst du jeweils ablesen, und an welchen davon berührt oder schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche kleinsten geraden beziehungsweise ungeraden Vielfachheiten passen zu diesem Verhalten? - Wie erhältst du daraus jeweils eine faktorisierte Form bis auf einen Vorfaktor? - Welcher gut ablesbare Gitterpunkt hilft dir, den Vorfaktor zu bestimmen?

1. Bei Graph a) liegen Nullstellen bei \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=2\). Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\) und \(x=2\) und berührt sie bei \(x=0\). Für den kleinstmöglichen Grad werden daher die Vielfachheiten \(1\), \(2\) und \(1\) gewählt. Der Ansatz lautet \(f(x)=ax^2(x+3)(x-2)\). 2. Der Punkt \((-2\mid4)\) liefert \(4=a\cdot(-2)^2\cdot1\cdot(-4)=-16a\). Also ist \(a=-0{,}25\) und damit \(f(x)=-0{,}25x^2(x+3)(x-2)\). 3. Bei Graph b) liegen Nullstellen bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=1\) und berührt sie bei \(x=3\). Für den kleinstmöglichen Grad werden daher die Vielfachheiten \(1\), \(1\) und \(2\) gewählt. Der Ansatz lautet \(g(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)^2\). 4. Der Punkt \((2\mid1)\) liefert \(1=a\cdot4\cdot1\cdot1=4a\). Also ist \(a=0{,}25\) und damit \(g(x)=0{,}25(x+2)(x-1)(x-3)^2\).

a) \(f(x)=-0{,}25x^2(x+3)(x-2)\) b) \(g(x)=0{,}25(x+2)(x-1)(x-3)^2\)

- An welchen Stellen schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Was sagt das Schneiden zunächst über die Parität der Vielfachheiten aus, und was folgt zusätzlich aus Grad \(3\)? - Wie erhältst du daraus die faktorisierte Form bis auf einen Vorfaktor? - Nutze den markierten Punkt, bevor du für Teil c) ausmultiplizierst.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-3\), \(x=-1\) und \(x=2\). Schneiden zeigt jeweils eine ungerade Vielfachheit. Da \(f\) dritten Grades ist und drei verschiedene Nullstellen besitzt, müssen alle drei Vielfachheiten gleich \(1\) sein. 2. Damit lautet der Ansatz in faktorisierter Form \(f(x)=a(x+3)(x+1)(x-2)\). 3. Mit \(P(0\mid-3)\) folgt \(-3=a\cdot3\cdot1\cdot(-2)=-6a\), also \(a=0{,}5\). Somit ist \(f(x)=0{,}5(x+3)(x+1)(x-2)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=0{,}5(x^3+2x^2-5x-6)=0{,}5x^3+x^2-2{,}5x-3\).

a) \(x=-3\), \(x=-1\) und \(x=2\), jeweils einfach. b) \(f(x)=0{,}5(x+3)(x+1)(x-2)\) c) \(f(x)=0{,}5x^3+x^2-2{,}5x-3\)

- Was sagt Schneiden beziehungsweise Berühren zunächst über die Parität der Vielfachheit aus? - Wie beschränkt der vorgegebene Grad \(4\) die Summe der drei Vielfachheiten? - Wie sieht die faktorisierte Form bis auf den Vorfaktor aus? - Nutze anschließend den gegebenen Punkt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=3\) und berührt sie bei \(x=1\). Damit sind die Vielfachheiten bei \(x=-2\) und \(x=3\) ungerade, bei \(x=1\) gerade. 2. Da \(g\) genau Grad \(4\) hat, müssen die drei Vielfachheiten zusammen \(4\) ergeben. Daher sind \(x=-2\) und \(x=3\) einfache Nullstellen und \(x=1\) eine doppelte Nullstelle. 3. Somit gilt \(g(x)=a(x+2)(x-1)^2(x-3)\). 4. Mit \(Q(2\mid2)\) folgt \(2=a\cdot4\cdot1^2\cdot(-1)=-4a\), also \(a=-0{,}5\). 5. Damit lautet der Funktionsterm \(g(x)=-0{,}5(x+2)(x-1)^2(x-3)\).

a) \(x=-2\) (einfach), \(x=1\) (doppelt), \(x=3\) (einfach) b) \(g(x)=-0{,}5(x+2)(x-1)^2(x-3)\)

- Welche Faktoren liefern unmittelbar reelle Nullstellen? - Bei welchem Term treten Nullstellen mit gerader Vielfachheit auf? - Welcher Faktor besitzt überhaupt keine reelle Nullstelle?

1. \(y_A=(x-1)^2(x+1)^2\) hat genau zwei reelle Nullstellen, \(x=-1\) und \(x=1\), jeweils doppelt. Das passt zu \(k_3\), der die Achse an beiden Stellen berührt. 2. \(y_B=0{,}25(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\) hat vier einfache reelle Nullstellen bei \(x=\pm1,\pm2\). Das passt zu \(k_1\). 3. Bei \(y_C\) liefert der Faktor \(x^2+1\) keine reellen Nullstellen. Daher sind nur \(x=-2\) und \(x=-1\) Nullstellen, beide einfach. Das passt zu \(k_2\). 4. Globalverhalten und \(y\)-Achsenabschnitt sind bei allen drei Kandidaten gleich und erlauben deshalb keine Abkürzung.

\(k_1\to y_B\): vier einfache Nullstellen bei \(\pm1,\pm2\). \(k_2\to y_C\): zwei einfache Nullstellen bei \(-2,-1\). \(k_3\to y_A\): doppelte Nullstellen bei \(\pm1\).

- Eine Berührnullstelle hat eine gerade Vielfachheit; bei einer kubischen Funktion ist hier eine doppelte Nullstelle gemeint. - Schreibe den Term zunächst in Produktform. - Nutze anschließend den \(y\)-Achsenabschnitt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-1\). Daher ist \(-1\) eine doppelte Nullstelle. Bei \(x=2\) schneidet der Graph die Achse; dort liegt eine einfache Nullstelle vor. 2. Für die kubische Funktion gilt deshalb die Produktform \(f(x)=a(x+1)^2(x-2)\). 3. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0)=2\). Damit gilt \(-2a=2\), also \(a=-1\). 4. Ausmultipliziert ist \(f(x)=-(x+1)^2(x-2)=-x^3+3x+2\). Daher sind \(a=-1\), \(b=3\) und \(c=2\).

\(a=-1\), \(b=3\), \(c=2\); also \(f(x)=-x^3+3x+2\)

- Welche vier Nullstellen kannst du im Graphen ablesen? - Was folgt aus vier verschiedenen Nullstellen bei einem Funktionsterm von höchstens Grad \(4\) für ihre Vielfachheiten? - Wie kannst du die Nullstellen in einer faktorisierten Form zusammenfassen? - Welcher leicht ablesbare Funktionswert bestimmt den noch fehlenden Vorfaktor?

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und besitzt die Nullstellen \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=2\). 2. Da vier verschiedene Nullstellen vorliegen und der Term höchstens Grad \(4\) hat, sind alle Nullstellen einfach. In faktorisierter Form gilt daher \(f(x)=a(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=a(x^2-1)(x^2-4)\). 3. Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt \((0\mid4)\) folgt \(4=a\cdot(-1)\cdot(-4)=4a\), also \(a=1\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=(x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4\).

\(f(x)=x^4-5x^2+4\)

- Was sagt das Berühren der \(x\)-Achse zunächst über die Parität der beiden Vielfachheiten aus? - Wie beschränkt der vorgegebene Term den höchstmöglichen Grad und damit die beiden Vielfachheiten? - Welcher ablesbare Punkt bestimmt den noch unbekannten Vorfaktor?

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=2\). Beide Nullstellen haben daher gerade Vielfachheit. 2. Der vorgegebene Term hat höchstens Grad \(4\). Zwei verschiedene Nullstellen gerader Vielfachheit benötigen zusammen mindestens die Vielfachheit \(4\). Daher sind beide Nullstellen doppelt und \(f(x)=a(x-2)^2(x+2)^2=a(x^2-4)^2\). 3. Aus dem ablesbaren Punkt \((0\mid4)\) folgt \(4=a\cdot(-4)^2=16a\), also \(a=0{,}25\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=0{,}25(x^4-8x^2+16)=0{,}25x^4-2x^2+4\).

\(f(x)=0{,}25x^4-2x^2+4\)

- Welche Potenz von \(x\) kannst du aus der vorgegebenen Form vollständig ausklammern? - Was sagt diese Faktorisierung bereits über die Nullstelle im Ursprung aus? - Nutze die zweite Nullstelle und anschließend einen weiteren gut ablesbaren Punkt, um die beiden Koeffizienten festzulegen.

1. Zunächst wird die vorgegebene Form faktorisiert: \(f(x)=x^3(ax+b)\). Damit ist \(x=0\) mindestens eine dreifache Nullstelle; der abgeflachte Schnitt im Ursprung passt dazu. 2. Aus der zweiten Nullstelle \(x=-2\) folgt \(-2a+b=0\), also \(b=2a\). 3. Der gut ablesbare Punkt \((-1\mid1)\) liegt auf dem Graphen. Daher gilt \(1=a(-1)^4+b(-1)^3=a-b\). 4. Mit \(b=2a\) erhält man \(1=a-2a=-a\), also \(a=-1\) und \(b=-2\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-x^4-2x^3\).

\(f(x)=-x^4-2x^3\)

- Klammere aus dem vorgegebenen Term die größtmögliche Potenz von \(x\) aus. - Welche Vielfachheit der Nullstelle \(x=0\) ist damit bereits festgelegt? - Lies die zweite Nullstelle ab und nutze danach den markierten Punkt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Wegen \(f(x)=x^3(ax+b)\) ist \(x=0\) mindestens eine dreifache Nullstelle. Der Graph zeigt dort tatsächlich eine dreifache Nullstelle. 2. Die zweite Nullstelle liegt bei \(x=4\). Daher kann man \(f(x)=c\,x^3(x-4)\) schreiben. 3. Der markierte Punkt ist \(T(3\mid-6{,}75)\). Einsetzen ergibt \(-27c=-6{,}75\), also \(c=0{,}25\). 4. Somit ist \(f(x)=0{,}25x^3(x-4)=0{,}25x^4-x^3\). Daher gilt \(a=0{,}25\) und \(b=-1\).

\(a=0{,}25\), \(b=-1\)

- Welche Nullstellen kannst du ablesen, und wo berührt beziehungsweise schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Welche Vielfachheiten sind mit diesem Verhalten und Grad \(4\) gemeinsam möglich? - Nutze anschließend den markierten Punkt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=0\) und schneidet sie bei \(x=-3\) und \(x=3\). Damit ist die Vielfachheit bei \(x=0\) gerade und an den beiden anderen Nullstellen ungerade. 2. Da die Funktion genau Grad \(4\) hat, müssen die Vielfachheiten \(2\), \(1\) und \(1\) sein. Somit gilt \(f(x)=ax^2(x+3)(x-3)=ax^2(x^2-9)\). 3. Mit \(P(2\mid-2)\) folgt \(-2=a\cdot2^2\cdot(2^2-9)=-20a\), also \(a=0{,}1\). 4. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=0{,}1x^2(x^2-9)\).

\(f(x)=0{,}1x^2(x^2-9)\)

- Welche Nullstellen kannst du im Graphen ablesen, und schneidet oder berührt der Graph dort die \(x\)-Achse? - Welche kleinsten ungeraden Vielfachheiten passen zum geforderten kleinstmöglichen Grad? - Wie sieht damit die faktorisierte Form bis auf einen Vorfaktor aus? - Nutze den markierten Punkt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) ab. An allen drei Stellen schneidet der Graph die \(x\)-Achse, daher sind die Vielfachheiten jeweils ungerade. 2. Für den kleinstmöglichen Grad werden die kleinsten passenden ungeraden Vielfachheiten gewählt. Damit sind alle drei Nullstellen einfach und der Grad ist \(3\). 3. Die faktorisierte Form lautet daher \(f(x)=ax(x-2)(x+2)=a(x^3-4x)\). Diese Form ist zugleich mit der Punktsymmetrie zum Ursprung vereinbar. 4. Mit \(P(1\mid-1{,}5)\) folgt \(-1{,}5=a(1^3-4)=-3a\), also \(a=0{,}5\). 5. Somit ist \(f(x)=0{,}5(x^3-4x)=0{,}5x^3-2x\).

a) \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) b) \(f(x)=0{,}5x^3-2x\)

- Vergleiche an jeder dargestellten Nullstelle, ob der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder berührt, mit der Vielfachheit des entsprechenden Faktors von \(h\). - Berücksichtige zusätzlich den \(y\)-Achsenabschnitt als unabhängiges Merkmal. - Prüfe, ob die drei beobachteten Merkmale jeweils mit dem vorgeschlagenen Funktionsterm vereinbar sind.

1. Art der Nullstelle bei \(x=1\): In der Funktionsgleichung von \(h\) tritt der Faktor \((x-1)\) quadratisch auf. Das bedeutet, bei \(x=1\) liegt eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt mit der \(x\)-Achse) vor. Im Graphen wird die \(x\)-Achse bei \(x=1\) jedoch geschnitten (Vorzeichenwechsel). 2. Art der Nullstelle bei \(x=-2\): In \(h(x)\) ist \((x+2)\) ein einfacher Faktor, was einem Schnittpunkt entspricht. Der Graph zeigt bei \(x=-2\) jedoch einen Berührpunkt (Extrempunkt auf der Achse). 3. \(y\)-Achsenabschnitt: Rechnerisch ergibt sich \(h(0) = (0-1)^2 \cdot (0+2) = 1 \cdot 2 = 2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse hingegen bei \(y=-4\).

Die Behauptung ist falsch, weil \(h\) bei \(x=1\) einen Berührpunkt haben müsste, der Graph dort aber die Achse schneidet, \(h\) bei \(x=-2\) die Achse schneiden müsste, der Graph dort aber einen Berührpunkt hat, und der \(y\)-Achsenabschnitt von \(h\) bei \(2\), der des Graphen aber bei \(-4\) liegt.

- Wie viele verschiedene Nullstellen sind im Graphen zu erkennen? - Welche Potenzen sind mit Punktsymmetrie zum Ursprung vereinbar? - Du kannst die Produktform oder den allgemeinen Ansatz nutzen. - Welcher gut ablesbare Punkt liefert neben den Nullstellen eine weitere Bedingung?

1. Der Graph hat drei verschiedene Nullstellen. Eine ganzrationale Funktion mit drei verschiedenen Nullstellen muss mindestens Grad \(3\) haben. Der kleinstmögliche Grad ist daher \(3\). 2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Für eine kubische Funktion genügt deshalb der Ansatz \(g(x)=ax^3+cx\). 3. Aus dem Graphen kann man zum Beispiel den Punkt \(P(1\mid-2)\) ablesen. Damit gilt \(a+c=-2\). 4. Wegen der Nullstelle \(x=3\) gilt \(27a+3c=0\), also \(9a+c=0\). 5. Subtraktion ergibt \(8a=2\), also \(a=0{,}25\). Damit ist \(c=-2{,}25\). 6. Somit lautet der Funktionsterm \(g(x)=0{,}25x^3-2{,}25x\).

1. Kleinstmöglicher Grad: \(3\) 2. Ansatz: \(g(x)=ax^3+cx\) 3. \(g(x)=0{,}25x^3-2{,}25x\)

- Welche Faktoren gehören zu den drei Stellen mit Höhenabweichung \(0\)? - Warum müssen die drei Nullstellen bei Grad \(3\) einfach sein? - Setze \(x=-2\) ein, um den Vorfaktor zu bestimmen. - Was bedeutet \(H(x)=0\) im Text der Aufgabe?

1. Die Schiene liegt bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=2\) auf der Bezugslinie. Daher hat \(H\) dort drei verschiedene Nullstellen. 2. Da \(H\) dritten Grades ist, sind diese drei Nullstellen einfach. Somit gilt \(H(x)=a(x+4)x(x-2)\). 3. Für \(x=-2\) beträgt die Höhenabweichung \(8\,\text{mm}\). Daher: \(8=a(-2+4)(-2)(-2-2)=16a\). Also ist \(a=0{,}5\). 4. Damit lautet die Produktform \(H(x)=0{,}5(x+4)x(x-2)\). 5. Ausmultiplizieren ergibt \(H(x)=0{,}5x^3+x^2-4x\). 6. Die Nullstellen sind die Positionen, an denen die Schiene die Bezugslinie erreicht.

a) \(H(x)=0{,}5(x+4)x(x-2)=0{,}5x^3+x^2-4x\) b) Bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=2\) liegt die Schiene auf der Bezugslinie.

- Was bedeutet „berührend“ für die Vielfachheit einer Nullstelle? - Nutze die beiden doppelten Nullstellen direkt für die Produktform. - Welche Bedingung liefert die Höhe in der Mitte für den Vorfaktor?

1. Weil der Graph die Grundlinie bei \(x=-4\) und \(x=4\) jeweils berührt, sind beide Nullstellen doppelt. 2. Damit hat die Funktion die Produktform \(f(x)=a(x+4)^2(x-4)^2=a(x^2-16)^2\). 3. In der Mitte gilt \(f(0)=4\). Daher ist \(256a=4\) und somit \(a=\frac{1}{64}\). 4. Der Funktionsterm lautet \(f(x)=\frac{1}{64}(x^2-16)^2\).

\(f(x)=\frac{1}{64}(x^2-16)^2\)

- Entscheide zuerst anhand der Termstruktur, welcher erste Schritt die Gleichung vereinfacht. - Eine vorhandene Produktform solltest du nicht unnötig ausmultiplizieren. - Bei einer Gleichung mit nur \(x^4\), \(x^2\) und Konstanten kann \(z=x^2\) helfen.

1. Bei A ist Ausklammern sinnvoll: \(2x^3-18x=2x(x^2-9)=2x(x-3)(x+3)\). Daher sind \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\) die Lösungen. 2. Bei B liegt die Produktform bereits vor. Mit dem Nullproduktsatz folgen \(x=-2\) und \(x=2\); \(x=-2\) ist doppelt. 3. Bei C ist die biquadratische Struktur entscheidend. Mit \(z=x^2\) entsteht \(z^2-13z+36=0=(z-4)(z-9)\). Daher gilt \(z=4\) oder \(z=9\). 4. Zurücksetzen liefert für C \(x=\pm2\) und \(x=\pm3\).

A: Ausklammern und faktorisieren; \(x\in\{-3;0;3\}\) B: Nullproduktsatz; \(x\in\{-2;2\}\), wobei \(-2\) doppelt ist C: Substitution \(z=x^2\); \(x\in\{-3;-2;2;3\}\)

- Trenne zuerst Eigenschaften des Funktionsterms von Eigenschaften der gewählten Darstellung. - Welche Informationen liefern die Faktoren unabhängig davon, welcher Ausschnitt gezeichnet wird? - Vergleiche die auf den \(x\)-Achsen dargestellten Bereiche der beiden Fenster.

1. Aus den Faktoren folgen die Nullstellen \(x=-4\) einfach, \(x=-1\) doppelt und \(x=3\) einfach. Daher schneidet der Graph bei \(x=-4\) und \(x=3\) die \(x\)-Achse und berührt sie bei \(x=-1\). 2. Diese Nullstellen und Vielfachheiten sind Eigenschaften der Funktion und ändern sich nicht mit dem Plotterfenster. 3. Fenster \(A\) zeigt alle drei Nullstellen. Fenster \(B\) zeigt nur \(x=-1\); die Nullstellen \(x=-4\) und \(x=3\) liegen außerhalb seines dargestellten \(x\)-Bereichs. 4. Ein Plotterfenster zeigt nur einen Ausschnitt des Graphen. Aus dem Fehlen einer Nullstelle im sichtbaren Ausschnitt folgt daher nicht, dass die Funktion außerhalb dieses Ausschnitts keine weitere Nullstelle besitzt.

a) \(x=-4\) einfach und schneidend; \(x=-1\) doppelt und berührend; \(x=3\) einfach und schneidend. b) Nullstellen und Vielfachheiten sind fensterunabhängig. In \(B\) werden \(x=-4\) und \(x=3\) nur wegen des kleineren \(x\)-Bereichs nicht gezeigt. c) Ein Plotterfenster ist nur ein Ausschnitt und kann Eigenschaften außerhalb seines Bereichs verbergen.

- Leite die Merkmalliste aus dem Funktionsterm her und gib sie vollständig an. - Welche Nullstellen verursachen einen Vorzeichenwechsel, welche nicht? - Wie ergänzt das Globalverhalten die Reihenfolge des Verlaufs von links nach rechts? - Prüfe deine Wahl des Graphen gegen die gesamte Merkmalliste.

1. Die Nullstellen sind \(x=-2\) einfach, \(x=1\) doppelt und \(x=3\) einfach. 2. Der Graph schneidet bei \(x=-2\) und \(x=3\) die \(x\)-Achse. Bei \(x=1\) berührt er sie. 3. Der Grad ist \(4\) und der führende Koeffizient positiv. Daher gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 4. Links von \(-2\) ist \(f>0\). An \(-2\) wechselt das Vorzeichen zu negativ. An der doppelten Nullstelle \(1\) bleibt es negativ. An \(3\) wechselt es wieder zu positiv. 5. Der Verlauf ist: links oben, Schnitt bei \(-2\), unterhalb der Achse bis zur Berührung bei \(1\), weiterhin unterhalb bis zum Schnitt bei \(3\), danach rechts oben. 6. Nur Graph B erfüllt diese vollständige Merkmalliste.

a) Nullstellen: \(-2\) einfach, \(1\) doppelt, \(3\) einfach. Schnitte bei \(-2\) und \(3\), Berührung bei \(1\). \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). Vorzeichen: \(+,-,-,+\). b) Links oben kommend schneidet der Graph bei \(-2\), bleibt nach der Berührung bei \(1\) unterhalb der Achse, schneidet bei \(3\) und läuft rechts oben weiter. c) Graph B: einfache Nullstellen bei \(x=-2\) und \(x=3\) mit Schnitten, doppelte Nullstelle bei \(x=1\) mit Berührung und auf beiden Seiten Verlauf nach oben.

- Wie kannst du die doppelte Nullstelle direkt in einer Produktdarstellung berücksichtigen? - Welche beiden Bedingungen liefern die gegebenen Punkte? - Wähle eine Darstellung, in der möglichst wenige unbekannte Parameter vorkommen.

1. Wegen der doppelten Nullstelle bei \(x=1\) kann man \(g(x)=(ax+b)(x-1)^2\) ansetzen. 2. Aus \(P(0|2)\) folgt \(b=2\). 3. Mit \(Q(-2|3)\) gilt \(3=(-2a+2)(-3)^2=9(-2a+2)\). 4. Daraus folgt \(-18a+18=3\), also \(a=\frac{5}{6}\). 5. Somit ist \(g(x)=\left(\frac{5}{6}x+2\right)(x-1)^2=\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{19}{6}x+2\).

\(g(x)=\left(\frac{5}{6}x+2\right)(x-1)^2=\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{3}x^2-\frac{19}{6}x+2\)

- Welche Nullstelle kannst du nach einer geeigneten Faktorisierung unabhängig von \(k\) erkennen? - Wovon hängt bei einer quadratischen Gleichung ab, ob sie keine, eine oder zwei reelle Lösungen besitzt? - In welchem Sonderfall könnte eine Nullstelle des quadratischen Faktors mit der bereits bekannten Nullstelle zusammenfallen?

1. Ausklammern von \(x\) ergibt \(f_k(x) = x(x^2 - 4x + k)\). Daher ist \(x=0\) für jeden Wert von \(k\) eine Nullstelle. 2. Für den quadratischen Faktor \(x^2 - 4x + k\) ist die Diskriminante \(D = 16 - 4k\). 3. Für \(D<0\), also \(k>4\), besitzt der quadratische Faktor keine reelle Nullstelle. Damit hat \(f_k\) genau die Nullstelle \(x=0\). 4. Für \(D=0\), also \(k=4\), besitzt der quadratische Faktor die doppelte Nullstelle \(x=2\). Zusammen mit \(x=0\) gibt es genau zwei verschiedene Nullstellen. 5. Für \(D>0\), also \(k<4\), besitzt der quadratische Faktor zwei verschiedene reelle Nullstellen. Für \(k=0\) ist eine davon ebenfalls \(x=0\), denn dann gilt \(x^2-4x=x(x-4)\). Daher gibt es für \(k=0\) nur die beiden verschiedenen Nullstellen \(0\) und \(4\). 6. Für \(k<4\) mit \(k\neq0\) sind die beiden Nullstellen des quadratischen Faktors von \(0\) verschieden. Dann besitzt \(f_k\) genau drei verschiedene Nullstellen.

a) Genau eine Nullstelle für \(k>4\). b) Genau zwei Nullstellen für \(k=4\) oder \(k=0\). c) Genau drei Nullstellen für \(k<4\) und \(k\neq0\).

- Welche Bedingung muss der quadratische Faktor zusätzlich erfüllen, damit \(x=2\) insgesamt mehrfach vorkommt? - Woran erkennst du bei einer quadratischen Gleichung, dass beide Lösungen zusammenfallen? - Wo müsste eine dreifache Nullstelle liegen, wenn der Faktor \((x-2)\) bereits fest vorgegeben ist?

1. Damit \(x=2\) doppelte Nullstelle ist, muss auch der quadratische Faktor bei \(x=2\) null sein: \(2^2+2b+25=0\). Daraus folgt \(2b+29=0\) und damit \(b=-14{,}5\). 2. Eine doppelte Nullstelle des quadratischen Faktors liegt genau dann vor, wenn seine Diskriminante null ist: \(b^2-100=0\). Daher gilt \(b=10\) oder \(b=-10\). Für \(b=10\) ist \(x=-5\) doppelte Nullstelle, für \(b=-10\) ist \(x=5\) doppelte Nullstelle. Beide Werte sind von \(2\) verschieden. 3. Eine dreifache Nullstelle könnte wegen des bereits vorhandenen Faktors \((x-2)\) nur bei \(x=2\) liegen. Dann müsste der quadratische Faktor gleich \((x-2)^2=x^2-4x+4\) sein. Sein konstantes Glied ist jedoch fest \(25\), also ist dies für keinen Wert von \(b\) möglich.

a) \(b=-14{,}5\) b) \(b=10\) oder \(b=-10\) c) Eine dreifache Nullstelle ist unmöglich, weil der quadratische Faktor für keinen Wert von \(b\) gleich \((x-2)^2\) sein kann.

- Wie kannst du die vorgegebenen Nullstellen und Vielfachheiten in einem Ansatz berücksichtigen? - Welche Bedingung bestimmt den noch unbekannten Vorfaktor? - Welche Eigenschaften des führenden Terms entscheiden über das Globalverhalten?

1. Aus den Nullstellen und ihren Vielfachheiten folgt der Ansatz \(f(x)=a(x+1)^3(x-2)\). 2. Mit \(P(1\mid16)\) gilt \(16=a(1+1)^3(1-2)=-8a\). Daher ist \(a=-2\). 3. Die Summe der Vielfachheiten ist \(3+1=4\); der vorgegebene Grad ist damit erfüllt. 4. Der Grad ist gerade und der Leitkoeffizient \(-2\) negativ. Somit gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\), also dasselbe Globalverhalten wie bei \(g(x)=-x^2\). 5. Alle Bedingungen sind erfüllt. Die gesuchte Funktion lautet \(f(x)=-2(x+1)^3(x-2)\).

Ja. Die Bedingungen bestimmen eindeutig \(f(x)=-2(x+1)^3(x-2)\). Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\), also besitzt \(f\) dasselbe Globalverhalten wie \(g(x)=-x^2\).

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Werte einer Nullstelle erfüllen? - Kannst du die vier Faktoren so paaren, dass in beiden Produkten derselbe Ausdruck vorkommt? - Welcher wiederkehrende Ausdruck eignet sich als Hilfsvariable? - Denke nach dem Lösen der Hilfsgleichung an die Rücksubstitution.

1. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\), also \((x-3)(x-1)(x+2)(x+4)=144\). 2. Gruppiere die Faktoren: \(((x-3)(x+4))((x-1)(x+2))=144\). Dadurch entsteht \((x^2+x-12)(x^2+x-2)=144\). 3. Mit \(u=x^2+x\) folgt \((u-12)(u-2)=144\), also \(u^2-14u-120=0\). 4. Die Diskriminante der Hilfsgleichung ist \(\Delta=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-120)=676=26^2\). Daher gilt \(u_1=20\) oder \(u_2=-6\). 5. Für \(u_1=20\) ergibt sich \(x^2+x-20=0\), also \((x+5)(x-4)=0\). Damit sind \(x=-5\) und \(x=4\) Nullstellen. 6. Für \(u_2=-6\) ergibt sich \(x^2+x+6=0\). Hier ist \(\Delta=1-24=-23<0\), also entstehen keine weiteren reellen Nullstellen.

Die reellen Nullstellen sind \(x=-5\) und \(x=4\).

- Nutze die binomischen Formeln, um die Klammern effizient aufzulösen. - Was passiert mit den Termen, die eine höhere Potenz als \(x^2\) haben? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen dem „Schneiden“ und dem „Berühren“ der x-Achse im Kontext von Nullstellen. - Wie verhält sich das Vorzeichen eines quadrierten Ausdrucks wie \((x - a)^2\)?

1. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den ersten Teil: \((x^2 - 3)(x^2 + 3) = x^4 - 9\). 2. Vereinfachung des ersten Abschnitts: \(x^4 - (x^4 - 9) = 9\). 3. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf den zweiten Teil: \((x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25\). 4. Zusammenfassen des gesamten Terms: \(h(x) = 9 + x^2 - 10x + 25 - 9 = x^2 - 10x + 25\). Dies ist eine quadratische Funktion. 5. Faktorisierung des Ergebnisses: \(h(x) = (x - 5)^2\). 6. Bestimmung der Nullstelle: Es gibt eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\). 7. Da es eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit ist (der Graph berührt die x-Achse nur), tritt an der Stelle \(x = 5\) kein Vorzeichenwechsel auf. Es gibt somit keine Stelle mit Vorzeichenwechsel.

Durch Vereinfachung ergibt sich \(h(x) = x^2 - 10x + 25\), was eine quadratische Funktion ist. Da \(h(x) = (x - 5)^2\) nur eine doppelte Nullstelle bei \(x = 5\) besitzt, findet an keiner Stelle ein Vorzeichenwechsel statt.

- Welche Auswirkung hat die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse auf die Exponenten der Variable \(x\)? - Wie kannst du sicherstellen, dass eine Funktion keine Nullstellen hat? Denke an einfache Potenzen und Verschiebungen. - Wenn eine Funktion einen ungeraden Grad hat, wie viele Nullstellen muss sie mindestens haben? - Nutze die Vielfachheit von Nullstellen, um die Bedingung für den Grad der Funktion zu erfüllen.

1. Für Teilaufgabe a): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftreten dürfen. Da \(x = 3\) und \(x = -3\) Nullstellen sind, ist \((x^2 - 9)\) ein Faktor. Um Grad 4 zu erreichen und keine weiteren Nullstellen zu erzeugen, kann man diesen Faktor quadrieren: \(f(x) = (x^2 - 9)^2 = x^4 - 18x^2 + 81\). 2. Für Teilaufgabe b): Grad 5 mit drei Nullstellen erfordert, dass die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen 5 ergibt. Ein möglicher Ansatz mit den gegebenen Nullstellen ist \(f(x) = x \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2\). Hier ist \(x=0\) eine einfache und \(x = \pm 2\) jeweils eine doppelte Nullstelle. 3. Für Teilaufgabe c): Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ohne Nullstellen muss stets oberhalb oder stets unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Ein einfacher Term ist \(f(x) = x^4 + 1\), da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(f(x) \geq 1\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = (x^2 - 9)^2\) oder \(f(x) = x^4 - 18x^2 + 81\) b) \(f(x) = x(x + 2)^2(x - 2)^2\) c) \(f(x) = x^4 + 1\)

- Wie kannst du mathematisch ausdrücken, dass ein Punkt für jeden beliebigen Wert von \(k\) auf dem Graphen liegt? - Was muss für den Term gelten, der mit \(k\) multipliziert wird, damit das Ergebnis unabhängig von \(k\) ist? - Überlege dir, wie viele Lösungen die Gleichung \(f_k(x) = 0\) haben kann und welche Rolle die Diskriminante dabei spielt. - Beachte, dass \(x = 0\) bereits als Lösung feststeht. Welche Bedingungen müssen dann für den quadratischen Teil gelten?

1. Um die gemeinsamen Punkte zu finden, setzt man zwei Funktionsterme mit unterschiedlichen Parametern \(k_1 \neq k_2\) gleich: \(x^3 + k_1(x^2 - 6x) = x^3 + k_2(x^2 - 6x)\). Dies vereinfacht sich zu \((k_1 - k_2)(x^2 - 6x) = 0\). Da \(k_1 \neq k_2\), muss \(x^2 - 6x = 0\) gelten, woraus \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 6\) folgen. Die Funktionswerte sind \(f_k(0) = 0\) und \(f_k(6) = 6^3 + k(36 - 36) = 216\). Die gemeinsamen Punkte sind somit \(P_1(0|0)\) und \(P_2(6|216)\). 2. Die Nullstellen von \(f_k\) sind die Lösungen von \(x(x^2 + kx - 6k) = 0\). Eine Nullstelle ist stets \(x = 0\). Damit genau zwei verschiedene Schnittpunkte vorliegen, muss die quadratische Gleichung \(x^2 + kx - 6k = 0\) entweder eine doppelte Nullstelle ungleich Null haben oder zwei Nullstellen, von denen eine Null ist. Fall 1 (Doppelte Nullstelle): Die Diskriminante \(D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6k) = k^2 + 24k\) muss Null sein. \(k^2 + 24k = 0\) liefert \(k = 0\) oder \(k = -24\). Für \(k = 0\) ist \(f_0(x) = x^3\) mit nur einer Nullstelle bei \(x=0\). Für \(k = -24\) ergibt sich die quadratische Gleichung \(x^2 - 24x + 144 = (x-12)^2 = 0\), also die doppelte Nullstelle \(x=12\). Damit hat \(G_{-24}\) genau zwei Schnittpunkte: \((0|0)\) und \((12|0)\). Fall 2 (Eine Nullstelle ist Null): Einsetzen von \(x=0\) in \(x^2 + kx - 6k = 0\) ergibt \(-6k = 0\), also \(k = 0\). Wie bereits gezeigt, hat \(G_0\) nur einen Schnittpunkt. Der gesuchte Wert ist somit \(k = -24\).

1. Gemeinsame Punkte: \(P_1(0|0)\) und \(P_2(6|216)\). 2. Der Wert ist \(k = -24\).

- Welche Funktionswerte entstehen an den drei angegebenen Stellen unabhängig von \(n\)? - Warum genügt für mögliche weitere gemeinsame Punkte zunächst ein Vergleich von \(f_1\) und \(f_2\)? - Welche Rolle spielt die Parität des Exponenten bei \(x=1\)? - Wie vergleichen sich \(|x-1|^2\) und \(|x-1|^4\), wenn \(|x-1|<1\) gilt?

1. Für jedes \(n\ge1\) gilt \(f_n(-1)=0\), \(f_n(1)=0\) und \(f_n(2)=3\). Damit sind \(P\), \(Q\) und \(R\) gemeinsame Punkte. 2. Jeder gemeinsame Punkt aller Graphen muss insbesondere auf \(f_1\) und \(f_2\) liegen. Aus \((x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2\) folgt \((x+1)(x-1)(2-x)=0\). Daher sind nur \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=2\) möglich. 3. Bei \(x=1\) hat \(f_1\) eine einfache Nullstelle und schneidet mit Vorzeichenwechsel; \(f_2\) hat eine doppelte Nullstelle und berührt ohne Vorzeichenwechsel; \(f_3\) hat eine dreifache Nullstelle und schneidet mit Vorzeichenwechsel. Allgemein führen gerade Vielfachheiten zum Berühren ohne Vorzeichenwechsel und ungerade zum Schneiden mit Vorzeichenwechsel. 4. \(f_4\) besitzt bei \(x=1\) eine vierfache Nullstelle, berührt dort also ohne Vorzeichenwechsel. Für \(|x-1|<1\) gilt \(|x-1|^4<|x-1|^2\); daher verläuft \(f_4\) in unmittelbarer Nähe von \(x=1\) näher an der \(x\)-Achse als \(f_2\).

a) Für alle \(n\) gilt \(f_n(-1)=0\), \(f_n(1)=0\) und \(f_n(2)=3\). Weitere gemeinsame Punkte gibt es nicht. b) Gerade Vielfachheit: Berühren ohne Vorzeichenwechsel; ungerade Vielfachheit: Schneiden mit Vorzeichenwechsel. c) \(f_4\) hat bei \(x=1\) eine vierfache Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel und verläuft dort näher an der \(x\)-Achse als \(f_2\).

- Welche Steigung hat die Ursprungsgerade, wenn sie durch \((1|3)\) geht? - An einem Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben Funktionswert. - Wie kannst du die entstehende Gleichung so umformen, dass die möglichen \(x\)-Werte sichtbar werden?

1. Die Gerade geht durch den Ursprung und durch \((1|3)\). Daher ist \(g(x)=3x\). 2. Für Schnittpunkte gilt \(x^3=3x\). Auf eine Seite gebracht: \(x^3-3x=0\). 3. Ausklammern liefert \(x(x^2-3)=0\). Also gilt \(x=0\) oder \(x^2=3\), damit \(x=\pm\sqrt{3}\). 4. Die Schnittpunkte sind \(S_1(-\sqrt{3}|-3\sqrt{3})\), \(S_2(0|0)\) und \(S_3(\sqrt{3}|3\sqrt{3})\). Das passt zu den drei sichtbaren Schnittpunkten im Bild.

a) \(g(x)=3x\) b) \(x^3=3x\), also \(x^3-3x=0\) c) \(S_1(-\sqrt{3}|-3\sqrt{3})\), \(S_2(0|0)\), \(S_3(\sqrt{3}|3\sqrt{3})\)

- Ordne jeder sichtbaren Nullstelle zunächst eine gerade oder ungerade Vielfachheit zu. - Verbinde bei b) die Zusatzinformation „mehrfach“ mit dem sichtbaren Schneiden bei \(x=-2\). - Nutze anschließend den vorgegebenen Grad \(4\), um die Vielfachheiten vollständig festzulegen. - Bestimme den Vorfaktor mit einem gut ablesbaren Punkt.

1. Graph a) berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und schneidet sie bei \(x=1\) und \(x=3\). Bei Grad \(4\) sind die kleinsten vollständig passenden Vielfachheiten \(2\), \(1\) und \(1\). Daher gilt \(h(x)=a(x+1)^2(x-1)(x-3)\). 2. Aus \((0\mid1)\) folgt \(1=a\cdot1\cdot(-1)\cdot(-3)=3a\). Also ist \(a=\frac{1}{3}\) und \(h(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2(x-1)(x-3)\). 3. Graph b) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=2\). Bei \(x=-2\) liegt eine mehrfache Nullstelle vor. Weil der Graph dort schneidet, ist die Vielfachheit ungerade und damit mindestens \(3\). Da die Funktion Grad \(4\) hat, bleibt bei \(x=2\) die Vielfachheit \(1\). Daher gilt \(p(x)=a(x+2)^3(x-2)\). 4. Aus \((0\mid4)\) folgt \(4=a\cdot8\cdot(-2)=-16a\). Damit ist \(a=-0{,}25\) und \(p(x)=-0{,}25(x+2)^3(x-2)\).

a) \(h(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2(x-1)(x-3)\) b) \(p(x)=-0{,}25(x+2)^3(x-2)\)

- Achte zuerst darauf, ob an einer Nullstelle ein Vorzeichenwechsel sichtbar ist. - Berühren verlangt eine gerade, Schneiden eine ungerade Vielfachheit. - Nutze bei \(x=2\) zusätzlich die ausdrücklich gegebene Information, dass die Nullstelle mehrfach ist. - Der Grad muss mindestens die Summe der Vielfachheiten aller verschiedenen Nullstellen erreichen.

1. Die Nullstellen liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Bei \(x=-2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Deshalb ist die Vielfachheit gerade und mindestens \(2\). 3. Bei \(x=0\) schneidet der Graph die Achse mit Vorzeichenwechsel. Die kleinste passende ungerade Vielfachheit ist \(1\). 4. Bei \(x=2\) schneidet der Graph die Achse ebenfalls mit Vorzeichenwechsel. Daher ist die Vielfachheit ungerade. Laut Zusatzinformation ist die Nullstelle mehrfach; die kleinste ungerade Vielfachheit größer als \(1\) ist \(3\). 5. Die Summe der Mindestvielfachheiten ist \(2+1+3=6\). Daher kann der Grad nicht kleiner als \(6\) sein.

a) \(x=-2\): Berühren; \(x=0\): Schneiden; \(x=2\): Schneiden. b) Mindestvielfachheiten: \(2\), \(1\), \(3\) c) Mindestgrad \(6\)

- Welche kleinste gerade Vielfachheit passt zu einer Berührstelle? - Welche kleinste ungerade Vielfachheit passt zu einer Schneidestelle? - Reicht die sichtbare Nullstellenstruktur aus, um auszuschließen, dass der Funktionsterm noch weitere Faktoren besitzt?

1. Berühren erfordert jeweils eine gerade Vielfachheit; die kleinste mögliche ist \(2\). Schneiden erfordert eine ungerade Vielfachheit; die kleinste mögliche ist \(1\). 2. Für die drei sichtbaren Nullstellen ergibt sich damit mindestens \(2+1+2=5\). Der Grad ist also mindestens \(5\). 3. Der tatsächliche Grad ist aus der Abbildung nicht eindeutig bestimmbar. Sichtbare Nullstellen könnten höhere passende Vielfachheiten besitzen, und außerhalb des dargestellten Fensters könnten weitere Nullstellen liegen. Außerdem können Faktoren ohne weitere reelle Nullstellen den Grad erhöhen.

a) Der kleinstmögliche Grad ist \(5\). b) Nein. Die Abbildung liefert nur die Untergrenze \(\operatorname{Grad}(f)\geq5\), nicht den exakten Grad.

- Zerlege die Faktoren so, dass Nullstellen und Vielfachheiten sichtbar werden. - Welche Nullstellen ändern beim Durchlaufen das Vorzeichen des Produkts? - Welche Information liefert \(f(-x)\) über die linke und rechte Hälfte des Skizzenprotokolls? - Begründe die Graphwahl mit deinem vollständigen algebraischen Protokoll.

1. Es gilt \((x^2-1)^2=(x-1)^2(x+1)^2\) und \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Damit sind \(x=\pm3\) einfache und \(x=\pm1\) doppelte Nullstellen. 2. Es gilt \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Der führende Term ist \(-\frac{1}{8}x^6\). Daher gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 4. Links von \(-3\) ist \(f<0\). Bei \(-3\) wechselt das Vorzeichen zu positiv. Bei den doppelten Nullstellen \(-1\) und \(1\) bleibt es positiv. Bei \(3\) wechselt es wieder zu negativ. 5. Das Skizzenprotokoll lautet: links unten, Schnitt bei \(-3\), oberhalb der Achse mit Berührungen bei \(-1\) und \(1\), Schnitt bei \(3\), rechts unten. Der Verlauf ist zur \(y\)-Achse symmetrisch. 6. Nur Graph C erfüllt alle diese Merkmale.

a) \(x=\pm3\) einfach; \(x=\pm1\) doppelt b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\) c) Vorzeichen von links nach rechts: \(-,+,+,+,-\). Schnitte bei \(x=\pm3\), Berührungen bei \(x=\pm1\); links und rechts verläuft der Graph nach unten. d) Graph C: achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, Schnitte bei \(x=\pm3\), Berührungen bei \(x=\pm1\) und auf beiden Seiten Verlauf nach unten.