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- Wann wird ein Produkt aus mehreren Klammern oder Faktoren insgesamt null? - Wie erkennst du an der Form des Funktionsterms, ob eine Nullstelle einfach, doppelt oder dreifach vorkommt? - Überlege bei Ausdrücken wie \(x^2 + a\), ob es eine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist. - Was bedeutet ein Exponent an einer Klammer für die Vielfachheit der dazugehörigen Nullstelle?

1. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. 2. Teilaufgabe a): Der Faktor \((x - 3)\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 3\) (einfach, da der Exponent der Klammer 1 ist). Der Faktor \((x + 8)^2\) führt zur Nullstelle \(x_2 = -8\) (doppelt, da der Exponent der Klammer 2 ist). 3. Teilaufgabe b): Der Faktor \(-x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\) (doppelt). Der Faktor \((x - 0{,}4)\) führt zur Nullstelle \(x_2 = 0{,}4\) (einfach). 4. Teilaufgabe c): Der Faktor \((x^2 + 16)\) hat keine reellen Nullstellen, da \(x^2 = -16\) für reelle Zahlen unlösbar ist. Der Faktor \(x\) führt zur Nullstelle \(x = 0\) (einfach).

a) \(x_1 = 3\) (einfach); \(x_2 = -8\) (doppelt) b) \(x_1 = 0\) (doppelt); \(x_2 = 0{,}4\) (einfach) c) \(x = 0\) (einfach); keine weiteren reellen Nullstellen

- Überlege, ob du einen gemeinsamen Faktor aus allen Termen ausklammern kannst. - Wenn ein Produkt null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Für den verbleibenden quadratischen Teil kannst du ein bekanntes Lösungsverfahren wie die \(p\)-\(q\)-Formel nutzen. - Die Vielfachheit gibt an, wie oft ein Faktor in der vollständig faktorisierten Form vorkommt.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^3 + 3x^2 - 10x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 + 3x - 10) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + 3x - 10 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = -1{,}5 \pm \sqrt{1{,}5^2 + 10} = -1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = -1{,}5 \pm 3{,}5\). 4. Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). 5. Da alle drei Nullstellen verschieden sind und die Funktion den Grad 3 hat, handelt es sich jeweils um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Alle drei sind einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

- Überlege dir, wie viele Nullstellen gegeben sind und was das für den Grad der Funktion bedeutet. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und ihren Linearfaktoren. - Wie kannst du aus den einzelnen Faktoren die gesamte Funktionsgleichung aufstellen? - Ist in der Aufgabenstellung eine bestimmte Form der Funktionsgleichung (z. B. ausmultipliziert) gefordert?

1. Da die Funktion genau drei einfache Nullstellen besitzen soll, ist der kleinstmögliche Grad der Funktion \(n = 3\). 2. Jede Nullstelle \(x_i\) korrespondiert mit einem Linearfaktor der Form \((x - x_i)\). 3. Für die gegebenen Nullstellen ergeben sich die Faktoren \(x\), \((x + 5)\) und \((x - 1{,}5)\). 4. Die Funktionsgleichung in faktorisierter Form lautet \(f(x) = ax(x + 5)(x - 1{,}5)\). Da eine beliebige Funktion gesucht ist, kann \(a = 1\) gewählt werden. 5. Ausmultiplizieren der Klammern führt zu \(f(x) = x(x^2 + 3{,}5x - 7{,}5) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\).

\(f(x) = x(x + 5)(x - 1{,}5)\) (oder ausmultipliziert: \(f(x) = x^3 + 3{,}5x^2 - 7{,}5x\))

- Welche Vielfachheit hat die Nullstelle \(x=5\) bei jeder der drei Funktionen? - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten im Hinblick auf einen Vorzeichenwechsel. - Unterscheide zusätzlich eine einfache von einer mehrfachen ungeraden Nullstelle anhand des lokalen Verlaufs.

1. Bei \(x=5\) hat \(f\) eine einfache, \(g\) eine doppelte und \(h\) eine dreifache Nullstelle. 2. Bei \(f\) ist die Vielfachheit ungerade. Der Graph schneidet deshalb die \(x\)-Achse und die Funktionswerte wechseln ihr Vorzeichen. 3. Bei \(g\) ist die Vielfachheit gerade. Der Graph berührt die \(x\)-Achse und die Funktionswerte wechseln ihr Vorzeichen nicht. 4. Bei \(h\) ist die Vielfachheit wieder ungerade. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel; wegen der höheren Vielfachheit verläuft er in unmittelbarer Nähe der Nullstelle deutlich flacher als bei \(f\).

Bei \(f\) wird die \(x\)-Achse bei \(x=5\) geschnitten; es gibt einen Vorzeichenwechsel. Bei \(g\) wird die \(x\)-Achse bei \(x=5\) nur berührt; es gibt keinen Vorzeichenwechsel. Bei \(h\) wird die \(x\)-Achse bei \(x=5\) ebenfalls geschnitten; es gibt einen Vorzeichenwechsel, und der Graph verläuft dort flacher als bei der einfachen Nullstelle von \(f\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden ausklammern? - Wenn ein Produkt aus mehreren Klammern besteht, wann wird das Gesamtergebnis null? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px + q = 0\) zu lösen? - Wie löst man eine Gleichung, in der nur \(x^2\) und eine Zahl vorkommen?

1. Teilaufgabe a): Ausklammern von \(x\) führt zu \(x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). Die erste Nullstelle ist \(x_1 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel auf den quadratischen Term \(x^2 - 4x - 12 = 0\) ergibt \(x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 + 12}\), also \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\). 2. Teilaufgabe b): Anwendung des Satzes vom Nullprodukt. Der erste Faktor \(x^2 - 5 = 0\) liefert durch Wurzelziehen \(x_1 = \sqrt{5}\) und \(x_2 = -\sqrt{5}\). Der zweite Faktor \(x + 3 = 0\) führt direkt zur Nullstelle \(x_3 = -3\).

a) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 6\); \(x_3 = -2\) b) \(x_1 = \sqrt{5} \approx 2{,}24\); \(x_2 = -\sqrt{5} \approx -2{,}24\); \(x_3 = -3\)

- Wenn eine Zahl \(a\) eine Nullstelle einer Funktion ist, welcher Faktor muss dann im Funktionsterm vorkommen? - Wie kannst du aus mehreren gewünschten Nullstellen eine einzige Funktionsgleichung zusammenstellen? - Denke an die Linearfaktordarstellung \(f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) \cdot \dots\). - Reicht es aus, ein einziges funktionierendes Beispiel zu finden, um die Unmöglichkeit zu widerlegen?

1. Nutzung des Satzes über die Linearfaktordarstellung: Eine ganzrationale Funktion kann durch das Produkt ihrer Linearfaktoren \((x - x_n)\) dargestellt werden, wobei \(x_n\) die Nullstellen sind. 2. Aufstellen der Faktoren für die gegebenen Werte: \((x + 2)\), \((x + 1)\), \((x - 0)\) bzw. \(x\), \((x - 1)\) und \((x - 2)\). 3. Bildung des Produkts: \(f(x) = x \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\). 4. Da dieses Produkt eine gültige ganzrationale Funktion (hier 5. Grades) definiert, die genau die geforderten Nullstellen besitzt, ist die Existenz bewiesen und die ursprüngliche Aussage widerlegt.

Die Aussage ist falsch. Eine mögliche Funktion in faktorisierter Form ist: \(f(x) = x \cdot (x + 2) \cdot (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x - 2)\) Diese ganzrationale Funktion 5. Grades hat genau die geforderten Nullstellen.

- Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Exponenten. - Überlege, wie viele Lösungen möglich sind, wenn die Zahl auf der rechten Seite positiv oder negativ ist. - Bei einem geraden Exponenten musst du an das Plus-Minus-Zeichen beim Wurzelziehen denken. - Wurzeln aus negativen Zahlen sind bei ungeraden Exponenten im Bereich der reellen Zahlen definiert.

1. Für \(x^4 = 2401\) wird die vierte Wurzel gezogen. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[4]{2401} = \pm 7\). Somit ist \(L = \{-7; 7\}\). 2. Für \(x^5 = -32\) wird die fünfte Wurzel gezogen. Da der Exponent ungerade ist, existiert genau eine reelle Lösung: \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). Somit ist \(L = \{-2\}\). 3. Für \(x^6 = 4096\) wird die sechste Wurzel gezogen. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei reelle Lösungen: \(x = \pm \sqrt[6]{4096} = \pm 4\). Somit ist \(L = \{-4; 4\}\).

a) \(L = \{-7; 7\}\) b) \(L = \{-2\}\) c) \(L = \{-4; 4\}\)

- Überlege dir, wie der Graph einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten aussieht. - Welche Werte kann eine Potenz mit geradem Exponenten annehmen? - Wie viele Stellen gibt es, an denen eine waagerechte Gerade den Graphen einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten schneiden kann? - Unterscheide stets, ob der Exponent gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen die Konstante hat.

1. Die Anzahl der Schnittpunkte entspricht der Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung \(x^n = c\). 2. Fall a): \(n = 4\) (gerade) und \(c = 15 > 0\). Eine Potenzgleichung mit geradem Exponenten und positivem Wert auf der rechten Seite hat genau 2 reelle Lösungen. Ergebnis: 2 Schnittpunkte. 3. Fall b): \(n = 6\) (gerade) und \(c = -1 < 0\). Da Potenzen mit geraden Exponenten für reelle Zahlen niemals negativ sind, gibt es keine Lösung. Ergebnis: 0 Schnittpunkte. 4. Fall c): \(n = 3\) (ungerade). Potenzgleichungen mit ungeraden Exponenten haben für jedes \(c \in \mathbb{R}\) genau eine reelle Lösung. Ergebnis: 1 Schnittpunkt. 5. Fall d): \(n = 10\) (gerade) und \(c = 0\). Die einzige Lösung für \(x^{10} = 0\) ist \(x = 0\). Ergebnis: 1 Schnittpunkt.

a) 2 Schnittpunkte b) 0 Schnittpunkte c) 1 Schnittpunkt d) 1 Schnittpunkt

- Überlege dir bei jeder Teilaufgabe, welche Form der Funktionsgleichung vorliegt. - Wenn ein Produkt gleich null ist, muss mindestens einer der Faktoren null sein. - Kannst du einen gemeinsamen Faktor aus allen Summanden herausziehen? - Erinnere dich an die Formel für quadratische Gleichungen in der Normalform \(x^2 + px + q = 0\). - Wenn nur ein quadratischer Term und eine Zahl vorkommen, kannst du die Gleichung direkt nach \(x\) auflösen.

1. Für \(f(x) = (x - 6)(x + 4)\) wird der Satz vom Nullprodukt angewendet: Die Faktoren werden einzeln null gesetzt. Dies ergibt \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -4\). 2. Bei \(g(x) = x^2 - 5x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x - 5) = 0\). Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 5\). 3. Für \(h(x) = x^2 - 4x - 12\) wird die \(p\)-\(q\)-Formel mit \(p = -4\) und \(q = -12\) genutzt: \(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 6\) und \(x_2 = -2\). 4. Bei \(k(x) = 4x^2 - 16\) führt das Umstellen \(4x^2 = 16 \iff x^2 = 4\) zu den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -4\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 5\) c) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -2\) d) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\)

- Schreibe die dritte Potenz als Produkt aus drei gleichen Klammern und multipliziere schrittweise. - Was muss für den Klammerinhalt gelten, damit die dritte Potenz null wird? - Woran erkennst du in der Produktform, wie oft dieselbe Nullstelle vorkommt?

1. Es gilt \((x+1)^3=(x+1)^2(x+1)=(x^2+2x+1)(x+1)=x^3+3x^2+3x+1\). Damit ist \(f(x)=(x+1)^3\). 2. Aus \((x+1)^3=0\) folgt \(x=-1\). Der Linearfaktor \((x+1)\) tritt dreimal auf, also hat die Nullstelle die Vielfachheit \(3\).

1. \(f(x)=(x+1)^3\) 2. \(x=-1\) mit Vielfachheit \(3\)

- Erinnere dich an die dritte binomische Formel, um den Term schrittweise zu zerlegen. - Wie viele reelle Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^4 = a\) für positive \(a\)? - Prüfe, ob ein quadratischer Faktor über den reellen Zahlen noch weiter zerlegt werden kann.

1. Der Ansatz \(x^4 - 81 = 0\) führt auf \(x^4 = 81\). Durch Ziehen der vierten Wurzel ergeben sich die reellen Lösungen \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Unter Verwendung der dritten binomischen Formel \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) lässt sich \(f(x)\) zunächst als \((x^2)^2 - 9^2 = (x^2 - 9)(x^2 + 9)\) schreiben. Erneutes Anwenden auf den ersten Faktor ergibt \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\). Da die Faktoren \((x-3)\) und \((x+3)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben die Nullstellen \(x = 3\) und \(x = -3\) jeweils die Vielfachheit 1. Der Faktor \((x^2 + 9)\) hat im Reellen keine Nullstellen.

1. Reelle Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)\); beide Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

- Welche Bedingung muss für die Funktionswerte an den Nullstellen gelten? - Wie kannst du die Gleichung so umformen, dass die Potenz allein auf einer Seite steht? - Überlege dir, wie viele Lösungen eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben kann, wenn \(n\) gerade ist. - Welche Rechenoperation ist die Umkehrung zum Potenzieren mit 4?

1. Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(0{,}5x^4 - 8 = 0\). 2. Die Gleichung nach \(x^4\) auflösen: \(0{,}5x^4 = 8 \Rightarrow x^4 = 16\). 3. Die vierte Wurzel ziehen: \(x = \pm \sqrt[4]{16}\). 4. Da der Exponent gerade ist, gibt es zwei Lösungen: \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\).

- Was musst du für \(g(x)\) einsetzen, um eine Nullstelle zu finden? - Isoliere zuerst den Term mit der Unbekannten. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzgleichung mit ungeradem Exponenten löst. - Kann man aus einer negativen Zahl eine ungerade Wurzel ziehen?

1. Den Funktionsterm gleich Null setzen: \(-2x^3 - 250 = 0\). 2. Die Gleichung nach \(x^3\) isolieren: \(-2x^3 = 250 \Rightarrow x^3 = -125\). 3. Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) ziehen: \(x = \sqrt[3]{-125}\). 4. Da der Exponent ungerade ist, ergibt sich genau eine reelle Lösung: \(x = -5\).

Die Nullstelle ist \(x = -5\).

- Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern, den du zuerst ausklammern kannst? - Erkennst du in der verbleibenden Klammer eine binomische Formel? - Wie hängen die Exponenten in der faktorisierten Form mit der Vielfachheit der Nullstellen zusammen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(2x^2\): \(f(x) = 2x^2(x^2 - 6x + 9)\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel auf die Klammer: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). 3. Vollständige faktorisierte Form: \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\). 4. Bestimmung der Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren: \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 5. Bestimmung der Vielfachheiten anhand der Exponenten der Linearfaktoren: Da beide Faktoren im Quadrat stehen, ist \(x_1 = 0\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2) und \(x_2 = 3\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) \(f(x) = 2x^2(x - 3)^2\) b) Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit Vielfachheit 2; \(x_2 = 3\) mit Vielfachheit 2.

- Wie gehst du vor, wenn du die Stellen suchst, an denen der Funktionswert Null ist? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie können beim Faktorisieren sehr hilfreich sein. - Was sagt die Hochzahl am Linearfaktor über die Art der Nullstelle aus? - Überlege, ob der Graph die Achse an der Nullstelle schneidet oder nur berührt.

1. Zur Berechnung der Nullstellen wird die Gleichung \(0{,}5x^2 - 4x + 8 = 0\) gelöst. Durch Multiplikation mit \(2\) ergibt sich \(x^2 - 8x + 16 = 0\). 2. Anwendung der zweiten binomischen Formel führt auf \((x - 4)^2 = 0\), woraus die einzige Nullstelle \(x = 4\) folgt. 3. Die Linearfaktordarstellung lautet \(f(x) = 0{,}5(x - 4)(x - 4)\) bzw. \(f(x) = 0{,}5(x - 4)^2\). 4. Da der Faktor \((x - 4)\) doppelt vorkommt, ist die Vielfachheit der Nullstelle \(2\). Dies bedeutet geometrisch, dass der Graph die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 4\) berührt und dort ein Extrempunkt (Scheitelpunkt) liegt.

a) Die Nullstelle ist \(x = 4\). b) \(f(x) = 0{,}5(x - 4)^2\) c) Die Vielfachheit ist \(2\). Der Graph berührt die \(x\)-Achse im Punkt \((4 | 0)\), ohne sie zu schneiden.

- Überlege dir, welchen Wert das Ergebnis einer Rechnung haben muss, damit man von einer „Null“-Stelle spricht. - Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern insgesamt null? - Gibt es eine Formel, mit der du die Lösungen für den quadratischen Teil direkt berechnen kannst?

1. Definition: Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle der Funktion \(f\), wenn der Funktionswert an dieser Stelle gleich null ist, also die Bedingung \(f(x_0) = 0\) erfüllt ist. 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt auf \(g(x) = (x + 5) \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0\). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x_1 = -5\). 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \(x^2 - 4x - 12 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = - \frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4\). 6. Ergebnisse der quadratischen Gleichung: \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

a) Ein Wert \(x_0\) ist eine Nullstelle von \(f\), wenn \(f(x_0) = 0\) gilt. b) Die Nullstellen sind \(x_1 = -5\), \(x_2 = 6\) und \(x_3 = -2\).

- Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Wert eine Nullstelle einer Funktion ist? - Wenn du eine Nullstelle \(x_0\) gefunden hast, durch welchen Term kannst du die Funktion teilen, um den Grad des Polynoms zu reduzieren? - Welches Verfahren kennst du, um eine kubische Gleichung zu vereinfachen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist? - Wie löst man eine quadratische Gleichung, die nach der Division übrig bleibt?

1. Einsetzen der Kandidaten in die Funktionsgleichung: \(f(-3) = (-3)^3 - 7 \cdot (-3) - 6 = -27 + 21 - 6 = -12 \neq 0\) \(f(-1) = (-1)^3 - 7 \cdot (-1) - 6 = -1 + 7 - 6 = 0\) \(f(0{,}5) = (0{,}5)^3 - 7 \cdot 0{,}5 - 6 = 0{,}125 - 3{,}5 - 6 = -9{,}375 \neq 0\) Somit ist \(x_1 = -1\) eine Nullstelle. 2. Polynomdivision des Funktionsterms durch den Linearfaktor \((x - (-1))\), also \((x + 1)\): \((x^3 - 7x - 6) : (x + 1) = x^2 - x - 6\) 3. Berechnung der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - x - 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 6} = 0{,}5 \pm \sqrt{6{,}25} = 0{,}5 \pm 2{,}5\) Dies ergibt die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

Die Zahl \(-1\) ist eine Nullstelle von \(f\). Die weiteren Nullstellen der Funktion sind \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\).

- Was gibt der Exponent der höchsten Potenz von \(x\) über die Anzahl der Nullstellen an? - Achte darauf, dass die Summanden nicht immer nach ihrer Größe sortiert sein müssen. - Bei Produkten von Klammern kannst du den Gesamtgrad bestimmen, indem du die Grade der einzelnen Faktoren addierst. - Manchmal ist es notwendig, den Term zuerst zu vereinfachen oder auszumultiplizieren, um den tatsächlichen Grad zu erkennen.

1. Für Teilaufgabe a): Den Term nach der höchsten Potenz von \(x\) untersuchen. Der Summand mit dem höchsten Exponenten ist \(-12x^5\). Der Grad der Funktion ist somit 5. Eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) besitzt höchstens \(n\) Nullstellen, hier also maximal 5. 2. Für Teilaufgabe b): Den Grad durch Betrachten der Faktoren bestimmen. Das Produkt der höchsten Potenzen der einzelnen Faktoren \((x^2 \cdot x \cdot x)\) ergibt \(x^4\). Der Grad ist 4, woraus maximal 4 Nullstellen folgen. 3. Für Teilaufgabe c): Den Funktionsterm vereinfachen: \(h(x) = x^5 + 4x^2 - x^5 + 2x = 4x^2 + 2x\). Da sich die Terme mit \(x^5\) aufheben, ist die höchste verbleibende Potenz \(x^2\). Der Grad ist 2, daher gibt es höchstens 2 Nullstellen.

a) Grad 5; maximal 5 Nullstellen. b) Grad 4; maximal 4 Nullstellen. c) Grad 2; maximal 2 Nullstellen.

- Was haben alle Punkte auf der \( x \)-Achse gemeinsam? - Fällt dir eine Gemeinsamkeit bei allen Summanden im Funktionsterm auf, die man nutzen könnte? - Wie gehst du vor, wenn nach dem Ausklammern noch ein quadratischer Restterm übrig bleibt? - Denk daran, dass nach Schnittpunkten gefragt ist, nicht nur nach den \( x \)-Werten.

1. Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse liegen bei den Nullstellen der Funktion. Es gilt der Ansatz \( g(x) = 0 \), also \( \frac{1}{3}x^3 - \frac{4}{3}x^2 - 4x = 0 \). 2. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \( \frac{1}{3}x \): \( \frac{1}{3}x \cdot (x^2 - 4x - 12) = 0 \). 3. Erste Nullstelle durch den Faktor vor der Klammer: \( x_1 = 0 \). 4. Untersuchung des quadratischen Terms in der Klammer: \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel mit \( p = -4 \) und \( q = -12 \). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \( x_{2,3} = 2 \pm \sqrt{4 - (-12)} = 2 \pm \sqrt{16} = 2 \pm 4 \). Dies ergibt \( x_2 = 6 \) und \( x_3 = -2 \). 6. Angabe der Schnittpunkte in Koordinatenform: Da die \( y \)-Koordinate an der \( x \)-Achse immer Null ist, ergeben sich die Punkte \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

Die Schnittpunkte mit der \( x \)-Achse sind \( S_1(0 \mid 0) \), \( S_2(6 \mid 0) \) und \( S_3(-2 \mid 0) \).

- Überlege, bei welchen Werten für \( x \) die einzelnen Faktoren null werden. - Der Exponent an einem Klammerfaktor oder an \( x \) gibt dir direkt die Vielfachheit der Nullstelle an. - Was weißt du über das Vorzeichenverhalten bei geraden und ungeraden Exponenten? - Ein Vorzeichenwechsel tritt immer dann auf, wenn die Vielfachheit einer Nullstelle ungerade ist.

1. Für \( f(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = 3 \) (zweifach, kein VZW, da die Vielfachheit gerade ist) und \( x_2 = -1 \) (einfach, mit VZW, da die Vielfachheit ungerade ist). 2. Für \( g(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = 0 \) (dreifach, mit VZW, da die Vielfachheit ungerade ist) und \( x_2 = 0{,}5 \) (einfach, mit VZW). 3. Für \( h(x) \): Die Nullstellen sind \( x_1 = -0{,}25 \) (zweifach, kein VZW) und \( x_2 = 2 \) (dreifach, mit VZW).

a) \( x_1 = 3 \) (zweifach, kein VZW); \( x_2 = -1 \) (einfach, VZW) b) \( x_1 = 0 \) (dreifach, VZW); \( x_2 = 0{,}5 \) (einfach, VZW) c) \( x_1 = -0{,}25 \) (zweifach, kein VZW); \( x_2 = 2 \) (dreifach, VZW)

- Welche Nullstellen werden jeweils geschnitten und welche nur berührt? - Übersetze dieses Verhalten in gerade beziehungsweise ungerade Vielfachheiten der zugehörigen Faktoren. - Wenn zwei Terme dieselben Nullstellen besitzen, vergleiche einen eindeutig sichtbaren Funktionswert zwischen den Nullstellen.

1. Graph A schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und berührt sie bei \(x=2\). Damit besitzt er dort eine einfache beziehungsweise doppelte Nullstelle. Das passt eindeutig zu \(p\), also zu Gleichung 1. 2. Graph B berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und schneidet sie bei \(x=2\). Das passt eindeutig zu \(q\), also zu Gleichung 2. 3. Graph C schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=2\). Damit kommen zunächst \(r\) und \(s\) infrage. Im dargestellten Fenster liegt der Graph bei \(x=1\) unterhalb der \(x\)-Achse. Es gilt \(r(1)=-\frac{1}{2}\), während \(s(1)=\frac{1}{2}\). Daher gehört Graph C zu \(r\), also zu Gleichung 3.

Graph A: Gleichung 1, \(p(x)=\frac{1}{4}(x+1)(x-2)^2\) Graph B: Gleichung 2, \(q(x)=-\frac{1}{4}(x+1)^2(x-2)\) Graph C: Gleichung 3, \(r(x)=\frac{1}{4}x(x+1)(x-2)\)

- Welche Nullstelle wird geschnitten und welche nur berührt? - Welche beiden Terme haben genau dieses Vielfachheitsmuster? - Vergleiche die verbliebenen Möglichkeiten mit dem \(y\)-Achsenabschnitt des dargestellten Graphen.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und berührt sie bei \(x=3\). Damit braucht der Term bei \(x=-1\) eine ungerade und bei \(x=3\) eine gerade Vielfachheit. Es bleiben b) und c). 2. Am \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0)=9\) ablesbar. Für b) gilt \((0+1)(0-3)^2=9\), für c) wäre der Wert \(-9\). 3. Deshalb ist b) der passende Funktionsterm.

b) \(f(x)=(x+1)(x-3)^2\)

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in allen Gliedern des Terms finden und ausklammern? - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. - Überlege, was es für die Zeichnung bedeutet, wenn eine Nullstelle „doppelt“ vorkommt.

1. Rechnerische Bestimmung: Setze \(g(x) = 0\). Klammere \(x^2\) aus: \(x^2(x - 3) = 0\). 2. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: Entweder ist \(x^2 = 0\), woraus die doppelte Nullstelle \(x_1 = 0\) folgt, oder \(x - 3 = 0\), woraus die einfache Nullstelle \(x_2 = 3\) folgt. 3. Interpretation des Graphen: Bei der doppelten Nullstelle \(x = 0\) berührt der Graph die x-Achse (Extrempunkt). Bei der einfachen Nullstelle \(x = 3\) schneidet der Graph die x-Achse.

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 3\) (einfach). Bei \(x = 0\) berührt der Graph die x-Achse, bei \(x = 3\) schneidet er sie.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die x-Achse kreuzt. Wie lauten diese Werte? - Wie sieht die allgemeine Form einer Funktion aus, wenn man ihre Nullstellen kennt? - Welchen Punkt auf der y-Achse kannst du nutzen, um den noch unbekannten Vorfaktor zu berechnen? - Überprüfe am Ende, ob der Graph deiner gefundenen Funktion zum Bild passt.

1. Nullstellen ablesen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 4\). 2. Ansatz in der Nullstellenform: \(g(x) = a(x + 1)(x - 1)(x - 4)\). 3. Streckungsfaktor \(a\) bestimmen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid 2)\). Setze \(x = 0\) und \(g(0) = 2\) in den Ansatz ein: \(2 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1) \cdot (0 - 4)\) \(2 = a \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-4)\) \(2 = 4a \implies a = 0{,}5\). 4. Funktionsterm aufstellen: \(g(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 1)(x - 4)\).

Ein möglicher Funktionsterm ist \(g(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 1)(x - 4)\) oder ausmultipliziert \(g(x) = 0{,}5x^3 - 2x^2 - 0{,}5x + 2\).

- Welche Symmetrie weist der Graph auf und wie spiegelt sich das in den Exponenten des Funktionsterms wider? - Nutze die vier sichtbaren Nullstellen für einen ersten Ansatz.

1. Symmetrie und Form: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(c = 4\). 2. Nullstellen: Der Graph hat Nullstellen bei \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\). 3. Linearfaktordarstellung: Da es sich um eine Funktion 4. Grades handelt, gilt \(f(x) = a \cdot (x^2 - 1) \cdot (x^2 - 4)\). 4. Bestimmung von \(a\): Mit dem Punkt \((0 \mid 4)\) folgt \(4 = a \cdot (-1) \cdot (-4) = 4a \implies a = 1\). 5. Ausmultiplizieren: \(f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 5x^2 + 4\).

\(f(x) = x^4 - 5x^2 + 4\)

- Welche beiden Verschiebungen sind in der vorgegebenen Form bereits durch das Symmetriezentrum festgelegt? - Es bleibt nur der Faktor \(a\) unbekannt. - Nutze die gegebene Nullstelle als Punkt \((3\mid0)\).

1. Aus dem angegebenen Symmetriezentrum und der verlangten Transformationsform folgt \(f(x)=a(x-1)^3+2\). 2. Die Nullstelle bei \(x=3\) liefert \(0=a(3-1)^3+2=8a+2\). 3. Daher ist \(a=-\frac{1}{4}=-0{,}25\). 4. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-0{,}25(x-1)^3+2\).

\(f(x)=-0{,}25(x-1)^3+2\)

- Was beschreiben die Exponenten der einzelnen Linearfaktoren: verschiedene Nullstellen oder Vielfachheiten? - Zähle zuerst die verschiedenen Faktoren, die null werden können. - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten hinsichtlich des Vorzeichenwechsels.

1. Die Summe der Exponenten gibt hier den Grad \(5\) an, nicht die Anzahl verschiedener reeller Nullstellen. 2. Aus \((x-2)^2=0\) folgt die Nullstelle \(x=2\) mit Vielfachheit \(2\). 3. Aus \((x+1)^3=0\) folgt die Nullstelle \(x=-1\) mit Vielfachheit \(3\). 4. Bei \(x=2\) ist die Vielfachheit gerade; der Graph berührt dort die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. 5. Bei \(x=-1\) ist die Vielfachheit ungerade; der Graph schneidet dort die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel.

Der Fehler ist die Verwechslung von Grad und Anzahl verschiedener Nullstellen. Es gibt zwei verschiedene reelle Nullstellen: \(x=2\) mit Vielfachheit \(2\) und Berührung sowie \(x=-1\) mit Vielfachheit \(3\) und Schnitt.

- Übersetze „genau kalibriert“ zuerst in eine Gleichung für \(E(t)\). - Welche Zeitwerte machen einen der Faktoren null? - Die Exponenten der Faktoren entscheiden, ob sich das Vorzeichen beim Durchgang durch eine Nullstelle ändert.

1. Für \(E(t)=0\) muss einer der Faktoren null sein. Daher gilt \(t=1\) oder \(t=4\). 2. Der Faktor \((t-1)^2\) zeigt eine doppelte Nullstelle bei \(t=1\). Dort wechselt \(E(t)\) sein Vorzeichen nicht. 3. Der Faktor \((t-4)\) zeigt eine einfache Nullstelle bei \(t=4\). Dort wechselt \(E(t)\) sein Vorzeichen. 4. Im Modell bedeutet das: Bei \(t=1\) erreicht die Abweichung kurz den Wert \(0\), bleibt aber auf derselben Seite der Sollposition; bei \(t=4\) wechselt sie die Seite.

a) Nach \(1\,\text{min}\) und \(4\,\text{min}\). b) Bei \(t=1\) kein Vorzeichenwechsel; bei \(t=4\) Vorzeichenwechsel.

- Zerlege die Produktgleichung zunächst in die Gleichungen der einzelnen Faktoren. - Wie viele reelle Zahlen haben das Quadrat \(25\)? - Die Vielfachheit liest du aus der Faktorform ab, nachdem alle Faktoren vollständig berücksichtigt sind.

1. Aus \(x^2=0\) folgt \(x=0\). Wegen des Faktors \(x^2\) ist diese Nullstelle doppelt. 2. Aus \(x^2-25=0\) folgt \(x^2=25\). 3. Sofia hat bei der Quadratgleichung nur die positive Lösung berücksichtigt. Tatsächlich gilt \(x=5\) oder \(x=-5\). 4. Die Faktoren \((x-5)\) und \((x+5)\) treten jeweils einmal auf; daher sind \(x=\pm5\) einfache Nullstellen.

Sofia hat die negative Lösung von \(x^2=25\) vergessen. Vollständig ist \(L=\{-5;0;5\}\). Dabei ist \(x=0\) doppelt und \(x=\pm5\) jeweils einfach.

- Wo schneidet oder berührt der Graph die x-Achse? - Was ist der Unterschied in der Funktionsgleichung zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extremum) auf der x-Achse? - Schau dir an, wie sich die Funktion für sehr große x-Werte verhält. Geht sie nach oben oder nach unten?

1. Identifikation der Nullstellen aus dem Graphen: \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 2. Analyse der Art der Nullstellen: Bei \(x = -2\) und \(x = 0\) schneidet der Graph die x-Achse (einfache Nullstellen). Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse (doppelte Nullstelle / Extremum). 3. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form: \(f(x) = k \cdot (x - 0) \cdot (x - (-2)) \cdot (x - 2)^2 = k \cdot x(x + 2)(x - 2)^2\). 4. Überprüfung des globalen Verlaufs: Für \(x \to \infty\) geht \(y \to \infty\), was auf einen positiven Leitkoeffizienten \(k\) hindeutet. Option b) passt exakt zu dieser Struktur.

b) \(f(x) = x(x - 2)^2(x + 2)\)

- Überlege, ob du eine Variable ausklammern kannst, um den Grad der Gleichung zu reduzieren. - Erkennst du im verbleibenden Teil eine binomische Formel oder kannst du die \(p\)-\(q\)-Formel anwenden? - Die Hochzahl an einer Klammer in der faktorisierten Form gibt dir einen Hinweis auf die Vielfachheit der Nullstelle.

1. Nullstellenansatz: \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0\). 2. Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). Daraus folgt die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 6x + 9 = 0\): Anwendung der zweiten binomischen Formel ergibt \((x - 3)^2 = 0\), woraus die Nullstelle \(x_2 = 3\) folgt. 4. Bestimmung der Vielfachheit: Da der Faktor \(x\) einfach vorkommt, ist \(x_1 = 0\) eine einfache Nullstelle. Da der Faktor \((x - 3)\) im Quadrat vorkommt, ist \(x_2 = 3\) eine doppelte Nullstelle. 5. Linearfaktordarstellung: \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\).

Nullstellen: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 3\) (doppelt) Linearfaktordarstellung: \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\)

- Prüfe, ob sich quadratische Faktoren noch in einfachere Faktoren zerlegen lassen. - Achte darauf, ob derselbe Nullstellenwert in mehreren Faktoren vorkommt. - Welche reellen Zahlen haben beim Quadrieren den Wert \(0{,}25\)? - Ein von null verschiedener konstanter Faktor verändert die Nullstellen nicht.

1. Teilaufgabe a): Der Ausdruck \(x^2 - 36\) lässt sich in \((x - 6)(x + 6)\) zerlegen. Damit gilt \(f(x) = 2(x - 6)(x + 6)^2\). Die Nullstellen sind \(x = 6\) und \(x = -6\). 2. Teilaufgabe b): Aus den Faktoren folgen direkt die Nullstellen \(x = 0\), \(x = 1{,}5\) und \(x = -11\). 3. Teilaufgabe c): Aus \(x^2 - 0{,}25 = 0\) folgt \(x = \pm 0{,}5\). Der Faktor \(x^2\) liefert zusätzlich \(x = 0\).

a) \(x_1 = 6\); \(x_2 = -6\) b) \(x_1 = 0\); \(x_2 = 1{,}5\); \(x_3 = -11\) c) \(x_1 = 0{,}5\); \(x_2 = -0{,}5\); \(x_3 = 0\)

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen zu finden? - Schau dir die Terme genau an: Haben alle Glieder eine gemeinsame Variable? - Wenn ein Produkt null ergibt, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Wie kannst du einen quadratischen Term weiter zerlegen?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Ansatz \(f(x) = 0\) gewählt. Durch Ausklammern von \(\frac{1}{2}x\) erhält man \(\frac{1}{2}x \cdot (x^2 - 6x - 16) = 0\). Nach dem Satz vom Nullprodukt ist die erste Nullstelle \(x_1 = 0\). 2. Die weiteren Nullstellen ergeben sich aus der quadratischen Gleichung \(x^2 - 6x - 16 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{2,3} = 3 \pm \sqrt{9 - (-16)} = 3 \pm \sqrt{25}\), woraus \(x_2 = 8\) und \(x_3 = -2\) folgen. 3. Die faktorisierte Form der Funktion lautet somit \(f(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x - 8) \cdot (x + 2)\).

1. Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 8\) und \(x_3 = -2\). 2. Die faktorisierte Form ist \(f(x) = \frac{1}{2}x(x - 8)(x + 2)\).

- Gibt es eine Potenz von \(x\), die in jedem Summanden vorkommt? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie könnten hier beim Vereinfachen helfen. - Was verrät dir der Exponent über einem Faktor im Funktionsterm über die Art der Nullstelle?

1. Der Ansatz \(g(x) = 0\) führt zur Gleichung \(-\frac{1}{3}x^4 + 2x^3 - 3x^2 = 0\). Durch Ausklammern von \(-\frac{1}{3}x^2\) erhält man \(-\frac{1}{3}x^2 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 2. Der Faktor \(x^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 2 ist, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 3. Der quadratische Term \(x^2 - 6x + 9\) lässt sich mithilfe der zweiten binomischen Formel zu \((x - 3)^2\) umformen. Daraus ergibt sich die Nullstelle \(x_2 = 3\). Auch hier ist die Vielfachheit aufgrund des Quadrats gleich 2.

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Beide Nullstellen haben die Vielfachheit 2 (es sind doppelte Nullstellen).

- Kannst du eine Variable so ersetzen, dass eine einfachere Gleichungsform entsteht? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor in allen Summanden, den du vor eine Klammer ziehen kannst? - Erkennst du in der Klammer eine binomische Formel? - Was muss für die einzelnen Faktoren gelten, damit ein Produkt den Wert Null annimmt? - Überlege, ob jede gefundene Zwischenlösung auch eine reelle Wurzel besitzt.

1. Für \(f(x) = x^4 - 3x^2 - 4\) wird die Substitution \(u = x^2\) durchgeführt. Dies führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 3u - 4 = 0\). 2. Die Lösungen für \(u\) sind \(u_1 = 4\) und \(u_2 = -1\). 3. Die Resubstitution \(x^2 = 4\) ergibt die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Die Gleichung \(x^2 = -1\) besitzt im Reellen keine Lösung. 4. Für \(g(x) = x^3 + 4x^2 + 4x\) wird \(x\) ausgeklammert: \(x(x^2 + 4x + 4) = 0\). Eine Nullstelle ist somit \(x_3 = 0\). 5. Der verbleibende quadratische Term \(x^2 + 4x + 4 = 0\) lässt sich als Binom \((x + 2)^2 = 0\) schreiben, woraus die (doppelte) Nullstelle \(x_4 = -2\) folgt.

a) \(x_1 = 2\); \(x_2 = -2\) b) \(x_3 = 0\); \(x_4 = -2\)

- Um Schnittpunkte zu finden, musst du die Funktionsterme gleichsetzen. - Bringe alle Terme auf eine Seite der Gleichung, sodass auf der anderen Seite Null steht. - Kannst du die Gleichung durch Ausklammern vereinfachen? - Achte darauf, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu berechnen.

1. Gleichsetzen der Funktionsgleichungen: \(f(x) = g(x) \Rightarrow x^3 - 4x^2 + 5x + 1 = x + 1\). 2. Umformen zur Normalform: Subtraktion von \(x\) und \(1\) auf beiden Seiten ergibt \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0\). 3. Faktorisieren durch Ausklammern von \(x\): \(x \cdot (x^2 - 4x + 4) = 0\). Die erste Lösung ist \(x_1 = 0\). 4. Lösen des verbleibenden Teils: \(x^2 - 4x + 4 = 0\) ist eine binomische Formel \((x - 2)^2 = 0\), woraus die doppelte Lösung \(x_2 = 2\) folgt. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen in \(g(x)\): \(y_1 = g(0) = 0 + 1 = 1\) \(y_2 = g(2) = 2 + 1 = 3\) 6. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|1)\) und \(S_2(2|3)\).

- Was bedeutet es für die Funktionswerte an einer Stelle \(x\), wenn sich zwei Graphen dort schneiden? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite der Gleichung eine Null steht? - Gibt es eine Variable oder einen Term, den du in jedem Summanden der Gleichung finden und ausklammern kannst? - Wie gehst du vor, wenn ein Produkt zweier Terme den Wert Null ergibt? - Hast du daran gedacht, am Ende auch die \(y\)-Koordinaten zu berechnen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = \frac{3}{2}x^2\). 2. Umformen in die Normalform einer ganzrationalen Gleichung: \(\frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x\): \(x \cdot (\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2) = 0\). 4. Bestimmung der ersten Nullstelle nach dem Nullproduktsatz: \(x_1 = 0\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 = 0\) (bzw. \(x^2 - 3x - 4 = 0\)) mittels \(p\)-\(q\)-Formel oder Faktorisierung: \(x_2 = 4\) und \(x_3 = -1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in eine der Ausgangsgleichungen: \(g(0) = 0\), \(g(4) = 24\) und \(g(-1) = 1{,}5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|0)\), \(S_2(4|24)\) und \(S_3(-1|1{,}5)\).

- Wie kannst du den Grad eines Polynoms reduzieren, wenn du bereits eine Nullstelle kennst? - Welche Formel hilft dir, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu finden? - Was bedeutet es für die Formel, wenn eine Nullstelle den Wert \(a\) hat? - Woran erkennt man die Vielfachheit einer Nullstelle in der Produktform?

1. Nachweis der bekannten Nullstelle durch Einsetzen: \(f(-1) = (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 13 \cdot (-1) - 10 = -1 - 2 + 13 - 10 = 0\). Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 13x - 10) : (x + 1) = x^2 - 3x - 10\). 2. Bestimmung der weiteren Nullstellen durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergibt sich \(x_{2,3} = 1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\), woraus die Nullstellen \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\) folgen. 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x) = (x + 1)(x - 5)(x + 2)\). Da jeder Linearfaktor nur einmal vorkommt, haben alle drei Nullstellen (\(-1\), \(5\) und \(-2\)) die Vielfachheit 1.

1. Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\), \(x_3 = -2\) 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x + 1)(x - 5)(x + 2)\) 3. Vielfachheiten: Alle Nullstellen haben die Vielfachheit 1.

- Kannst du einen Term ausklammern, um die Gleichung zu vereinfachen? - Erinnerst du dich an die dritte binomische Formel? Sie könnte hier beim Faktorisieren helfen. - Was sagt die Hochzahl eines Linearfaktors über das Verhalten des Graphen an der Nullstelle aus? - Wann wechselt ein Graph an einer Nullstelle sein Vorzeichen?

1. Ausklammern des gemeinsamen Faktors \(x^2\): \(g(x) = x^2 \cdot (-\frac{1}{4}x^2 + 1)\). Die erste Nullstelle ergibt sich aus \(x^2 = 0\) zu \(x_1 = 0\). Die weiteren Nullstellen folgen aus \(-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0\), was zu \(x^2 = 4\) und somit \(x_2 = 2\) sowie \(x_3 = -2\) führt. 2. In der vollständig faktorisierten Form \(g(x) = -\frac{1}{4} \cdot x^2 \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)\) ist ersichtlich: Die Nullstelle \(x_1 = 0\) hat die Vielfachheit 2. Die Nullstellen \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben jeweils die Vielfachheit 1. 3. Bei einer ungeraden Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die Achse. Dies ist bei \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) der Fall. Bei einer geraden Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die Achse (Extrempunkt). Dies ist bei \(x_1 = 0\) der Fall.

1. Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), \(x_3 = -2\) 2. Vielfachheiten: \(x_1 = 0\) hat Vielfachheit 2; \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\) haben Vielfachheit 1. 3. Verhalten: Bei \(x = 0\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (gerade Vielfachheit). Bei \(x = 2\) und \(x = -2\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse (ungerade Vielfachheit).

- Überlege, ob du eine Variable oder eine Zahl aus allen Summanden ausklammern kannst. - Achte auf die Struktur der Terme in den Klammern: Erinnern sie dich an binomische Formeln? - Du kannst auch die faktorisierten Terme \(g(x)\) ausmultiplizieren, um die Übereinstimmung zu prüfen.

1. Untersuchung von \(f_1(x) = x^3 - 25x\): Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 - 25)\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \(x(x - 5)(x + 5)\). Somit gehört \(f_1\) zu \(g_c\). 2. Untersuchung von \(f_2(x) = x^3 + 10x^2 + 25x\): Ausklammern von \(x\) führt zu \(x(x^2 + 10x + 25)\). Anwendung der ersten binomischen Formel liefert \(x(x + 5)^2\). Somit gehört \(f_2\) zu \(g_a\). 3. Untersuchung von \(f_3(x) = 3x^2 - 12x + 12\): Ausklammern des Faktors \(3\) ergibt \(3(x^2 - 4x + 4)\). Anwendung der zweiten binomischen Formel führt auf \(3(x - 2)^2\). Somit gehört \(f_3\) zu \(g_b\).

\(f_1 \to g_c\); \(f_2 \to g_a\); \(f_3 \to g_b\)

- Der Grad einer Funktion in faktorisierter Form lässt sich durch Addieren der Hochzahlen der einzelnen Faktoren bestimmen. - Eine Nullstelle ist der Wert für \(x\), bei dem ein einzelner Faktor des Produkts null wird. - Schau dir die Hochzahl (den Exponenten) über jedem Faktor an, um die Vielfachheit zu finden. - Erinnere dich an den Unterschied im Verlauf des Graphen bei geraden und ungeraden Vielfachheiten von Nullstellen.

1. Bestimmung des Grades: Der Term ist ein Produkt aus den Faktoren \((x+1)^2\), \((x-3)\) und \(x\). Die Summe der Exponenten der Linearfaktoren ist \(2 + 1 + 1 = 4\). Der Grad der Funktion ist somit \(4\). 2. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: Aus den Linearfaktoren lassen sich die Nullstellen direkt ablesen. Der Faktor \((x+1)^2\) liefert die Nullstelle \(x_1 = -1\) mit der Vielfachheit \(2\). Der Faktor \((x-3)\) liefert die Nullstelle \(x_2 = 3\) mit der Vielfachheit \(1\). Der Faktor \(x\) liefert die Nullstelle \(x_3 = 0\) mit der Vielfachheit \(1\). 3. Berührpunkt identifizieren: Ein Graph berührt die \(x\)-Achse an einer Nullstelle genau dann, wenn die Vielfachheit dieser Nullstelle geradzahlig ist. Da nur die Nullstelle \(x_1 = -1\) die gerade Vielfachheit \(2\) besitzt, liegt dort ein Berührpunkt vor.

a) Der Grad ist \(4\). b) Nullstellen: \(x_1 = -1\) (Vielfachheit \(2\)), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit \(1\)), \(x_3 = 0\) (Vielfachheit \(1\)). c) Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x = -1\), da dies eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit (\(2\)) ist.

- Überlege dir, bei welchen \(x\)-Werten die einzelnen Klammern oder Faktoren den Wert Null annehmen. - Achte darauf, ob eine Funktion zusätzliche Faktoren wie ein einzelnes \(x\) besitzt. - Eine Nullstelle ist dann mehrfach, wenn der zugehörige Linearfaktor (die Klammer) mit einem Exponenten größer als 1 vorkommt oder mehrfach als Faktor auftaucht. - Der Streckfaktor vor den Klammern beeinflusst zwar den Verlauf des Graphen, aber nicht die Stellen, an denen die Funktion Null wird.

1. Bestimmung der Nullstellen der einzelnen Funktionen durch Nullsetzen der Faktoren: - \(f(x)\): Nullstellen bei \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). - \(g(x)\): \(x^2 - 4 = 0\) liefert \(x = \pm 2\), der Faktor \((x + 5)\) liefert \(x = -5\). Die Menge ist \(\{-5; -2; 2\}\). - \(h(x)\): Nullstellen bei \(x = 2\) (doppelt), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). - \(i(x)\): Nullstellen bei \(x = 0\), \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Die Menge ist \(\{-2; 0; 2; 5\}\). - \(j(x)\): Wie bei \(f(x)\) liegen die Nullstellen bei \(x = 2\), \(x = -2\) und \(x = 5\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{2}\) ändert die Lage der Nullstellen nicht. Die Menge ist \(\{-2; 2; 5\}\). 2. Zuordnung zu Aufgabenteil a): Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\) haben die exakte Menge \(L = \{-2; 2; 5\}\). 3. Zuordnung zu Aufgabenteil b): Nur bei \(h(x)\) tritt ein Faktor im Quadrat auf (\((x - 2)^2\)), daher liegt bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle vor. 4. Zuordnung zu Aufgabenteil c): Die Funktion \(i(x)\) besitzt durch den zusätzlichen Faktor \(x\) eine weitere Nullstelle bei \(x = 0\), die in der Nullstellenmenge von \(f(x)\) nicht enthalten ist.

a) Die Funktionen \(f\), \(h\) und \(j\). b) Die Funktion \(h\) hat bei \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle. c) Die Funktion \(i\) hat durch den Faktor \(x\) eine zusätzliche Nullstelle bei \(x = 0\).

- Nutze die dritte binomische Formel, um Ausdrücke wie \(x^2 - 9\) weiter in Linearfaktoren zu zerlegen. - Vergleiche die Nullstellenmengen genau – achte dabei besonders auf die Vorzeichen der Zahlen. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der vollständig faktorisierten Form.

1. Untersuchung der Nullstellen durch Faktorisierung: - \(k(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\), \(x = 3\) und \(x = 1\). - \(l(x)\): Da \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) ist, gilt \(l(x) = (x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x + 3)(x - 3)^2\). Nullstellen sind \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(m(x)\): Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 3\). - \(n(x)\): Nullstellen bei \(x = 3\), \(x = -3\) und \(x = -1\). 2. Zuordnung zu a): Die Funktionen \(l\) und \(m\) haben die Nullstellenmenge \(\{-3; 3\}\). 3. Zuordnung zu b): Nur die Funktion \(k\) hat die Nullstellen \(-3, 3, 1\). (Bei \(n\) ist die dritte Nullstelle \(-1\)). 4. Analyse für c): Wie in Schritt 1 gezeigt, ist \(l(x) = (x + 3)^1 \cdot (x - 3)^2\). Somit ist \(x = -3\) eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1) und \(x = 3\) eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

a) Die Funktionen \(l\) und \(m\). b) Die Funktion \(k\). c) \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1); \(x = 3\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du eine Nullstelle direkt ablesen kannst? - Wovon hängt die Anzahl der Nullstellen bei einem quadratischen Ausdruck ab? - Was passiert mit der Gesamtzahl der Nullstellen, wenn der quadratische Teil dieselbe Nullstelle liefert, die du schon am Anfang gefunden hast? - Untersuche die Fälle für die Diskriminante des quadratischen Faktors.

1. Ausklammern von \(x\) führt auf \(f_k(x) = x(x^2 - 4x + k)\). Damit ist \(x_1 = 0\) stets eine Nullstelle. 2. Die Anzahl der weiteren Nullstellen hängt von der Diskriminante \(D\) des quadratischen Terms \(x^2 - 4x + k\) ab: \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4k\). 3. Fall \(D < 0\): Für \(16 - 4k < 0\), also \(k > 4\), hat der quadratische Term keine Nullstellen. Es bleibt bei der einzigen Nullstelle \(x_1 = 0\). 4. Fall \(D = 0\): Für \(k = 4\) hat der quadratische Term die doppelte Nullstelle \(x = 2\). Die Funktion hat somit zwei Nullstellen (\(0\) und \(2\)). 5. Fall \(D > 0\): Für \(k < 4\) hat der quadratische Term zwei verschiedene Nullstellen. Ist eine dieser Nullstellen gleich \(0\), reduziert sich die Gesamtzahl der Nullstellen. Dies tritt ein, wenn \(0^2 - 4 \cdot 0 + k = 0\), also \(k = 0\). Für \(k = 0\) hat die Funktion somit zwei Nullstellen (\(0\) als doppelte und \(4\) als einfache Nullstelle). 6. Für alle anderen Werte (\(k < 4\) und \(k \neq 0\)) ergeben sich insgesamt drei verschiedene Nullstellen.

a) Genau eine Nullstelle für \(k > 4\). b) Genau zwei Nullstellen für \(k = 4\) oder \(k = 0\). c) Genau drei Nullstellen für \(k < 4\) und \(k \neq 0\).

- Welche Information liefern dir die Nullstellen für die faktorisierte Form einer quadratischen Funktion? - Wie kannst du einen gegebenen Punkt nutzen, um den noch unbekannten Parameter \(a\) zu berechnen? - Erinnere dich daran, wie man Klammerausdrücke multipliziert, um von der Produktform zur Normalform zu gelangen.

1. Einsetzen der Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 6\) in die faktorisierte Form ergibt \(b = -2\) und \(c = 6\) (oder umgekehrt), also \(f(x) = a(x + 2)(x - 6)\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 | 8)\) in die Gleichung: \(8 = a(2 + 2)(2 - 6)\). 3. Berechnung des Streckfaktors: \(8 = a \cdot 4 \cdot (-4) = -16a\), woraus \(a = -0{,}5\) folgt. 4. Aufstellen der faktorisierten Form: \(f(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 6)\). 5. Ausmultiplizieren zur allgemeinen Form: \(f(x) = -0{,}5(x^2 - 4x - 12) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

Die Parameter sind \(a = -0{,}5\), \(b = -2\) und \(c = 6\) (bzw. \(b = 6, c = -2\)). Die allgemeine Form lautet \(f(x) = -0{,}5x^2 + 2x + 6\).

- Was bedeutet es für die Anzahl und Art der Nullstellen, wenn eine Parabel die \(x\)-Achse „berührt“ statt sie zu schneiden? - Wenn eine quadratische Funktion nur eine einzige Nullstelle hat, wie hängen dann die Parameter \(s\) und \(t\) in der Form \(a(x-s)(x-t)\) zusammen? - Wie findet man rechnerisch den Schnittpunkt eines Graphen mit der \(y\)-Achse?

1. Da der Graph die \(x\)-Achse berührt, liegt eine doppelte Nullstelle vor. Es gilt somit \(s = t = 3\). Die Funktion hat die Form \(g(x) = a(x - 3)^2\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(5 | -10)\) zur Bestimmung von \(a\): \(-10 = a(5 - 3)^2 = a \cdot 2^2 = 4a\). 3. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-10}{4} = -2{,}5\). 4. Die Parameter sind somit \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 5. Berechnung des \(y\)-Achsenabschnitts durch \(g(0)\): \(g(0) = -2{,}5(0 - 3)^2 = -2{,}5 \cdot 9 = -22{,}5\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 | -22{,}5)\).

1. Die Parameter sind \(a = -2{,}5\), \(s = 3\) und \(t = 3\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(S_y(0 | -22{,}5)\).

- Welche Form eines Funktionsterms eignet sich besonders gut, wenn Nullstellen gegeben sind? - Wie unterscheidet sich der Exponent an einer Nullstelle, wenn der Graph die Achse schneidet oder nur berührt? - Was bedeutet es mathematisch für die Gleichung, wenn ein Punkt auf dem Graphen liegt? - Welche Summe der Vielfachheiten haben die bereits angegebenen Nullstellen, und welchen Grad ergibt das?

1. Aufstellen des allgemeinen Ansatzes in der faktorisierten Form unter Berücksichtigung der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten: \(f(x) = ax(x + 1)^2(x - 4)\). Dabei steht der Faktor \((x + 1)^2\) für die doppelte Nullstelle bei \(-1\) und die Faktoren \(x\) sowie \((x - 4)\) für die einfachen Nullstellen bei \(0\) und \(4\). 2. Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(2 | 18)\) in den Ansatz zur Bestimmung des Streckfaktors \(a\): \(18 = a \cdot 2 \cdot (2 + 1)^2 \cdot (2 - 4)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(18 = a \cdot 2 \cdot 9 \cdot (-2) = -36a\). 4. Lösen nach \(a\): \(a = \frac{18}{-36} = -0{,}5\). 5. Einsetzen von \(a\) in den Funktionsansatz ergibt die fertige Gleichung: \(f(x) = -0{,}5x(x + 1)^2(x - 4)\).

\(f(x) = -0{,}5x(x + 1)^2(x - 4)\)

- Was sagt dir die Information „berührt die \(x\)-Achse“ über die Vielfachheit der Nullstelle aus? - Wie übersetzt man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse in Linearfaktoren? - Wie kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse nutzen, um den Leitkoeffizienten zu finden? - Überlege zuerst, wie viele Faktoren mindestens vorhanden sein müssen, damit alle Bedingungen erfüllt sind.

1. Bestimmung des minimalen Grades: Einfache Nullstellen bei \(x = -3\) und \(x = 5\) (Grad 1) und eine Berührstelle (doppelte Nullstelle) bei \(x = 1\) (Grad 2) ergeben zusammen den kleinstmöglichen Grad \(n = 4\). 2. Aufstellen der faktorisierten Form: \(g(x) = a(x + 3)(x - 5)(x - 1)^2\). 3. Nutzen des \(y\)-Achsenabschnitts \(S_y(0 | -3)\), um \(a\) zu berechnen: \(-3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 5) \cdot (0 - 1)^2\). 4. Berechnung des Produkts: \(-3 = a \cdot 3 \cdot (-5) \cdot 1 = -15a\). 5. Auflösen nach \(a\): \(a = \frac{-3}{-15} = 0{,}2\). 6. Resultierende Funktionsgleichung: \(g(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 5)(x - 1)^2\).

\(g(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 5)(x - 1)^2\)

- Welche Form hat ein Faktor, wenn die Nullstelle eine Wurzel enthält? - Gibt es eine binomische Formel, die dir das Multiplizieren der wurzelbehafteten Terme erleichtert? - Was bedeutet es für die Funktionsgleichung, wenn eine Nullstelle „einfach“ ist?

1. Der kleinstmögliche Grad für drei einfache Nullstellen ist \(n = 3\). 2. Aufstellen der Linearfaktoren: \((x + \sqrt{6})\), \((x - 2)\) und \((x - \sqrt{6})\). 3. Bildung des Produkts der Linearfaktoren: \(g(x) = a \cdot (x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6})(x - 2)\). Mit \(a = 1\) ergibt sich die einfachste Form. 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf die Faktoren mit den Wurzeln: \((x + \sqrt{6})(x - \sqrt{6}) = x^2 - (\sqrt{6})^2 = x^2 - 6\). 5. Multiplikation mit dem verbleibenden Faktor: \(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\).

\(g(x) = (x^2 - 6)(x - 2)\) (oder ausmultipliziert: \(g(x) = x^3 - 2x^2 - 6x + 12\))

- Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit ihren Linearfaktoren zusammen? - Was bedeutet es für den Exponenten des Linearfaktors, wenn eine Nullstelle „doppelt“ gezählt wird? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den noch unbekannten Streckungsfaktor zu berechnen?

1. Aufstellen des Funktionsterms in faktorisierter Form unter Berücksichtigung der Vielfachheiten: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 3)\). 2. Einsetzen des Punktes \(Q(1 | -18)\) in den Ansatz: \(-18 = a \cdot (1 + 2)^2 \cdot (1 - 3)\). 3. Berechnung des Streckungsfaktors \(a\): \(-18 = a \cdot 9 \cdot (-2) \implies -18 = -18a \implies a = 1\). 4. Angabe des fertigen Funktionsterms: \(f(x) = (x + 2)^2(x - 3)\).

\(f(x) = (x + 2)^2(x - 3)\)

- Überlege dir, wie der Grad einer Funktion mit der Anzahl ihrer Linearfaktoren zusammenhängt. - Was passiert mit dem Grad, wenn du zwei Terme wie \(x\) und \(x^2\) multiplizierst? - Erinnere dich an den Satz vom Nullprodukt. - Eine Nullstelle kann auch „mehrfach“ vorkommen, wie beeinflusst das die Form des Terms? - Gibt es quadratische Terme, die keine Nullstellen haben?

1. Jede reelle Nullstelle \(x_n\) einer ganzrationalen Funktion ermöglicht die Abspaltung eines Linearfaktors \((x - x_n)\). 2. Wäre die Anzahl der Nullstellen größer als 3, so müsste das Produkt der Linearfaktoren mindestens den Grad 4 haben, was im Widerspruch zum gegebenen Grad 3 steht. 3. Beispiel für eine Nullstelle: \(f(x) = (x - 1)^3\) (dreifache Nullstelle bei \(x = 1\)) oder \(f(x) = (x - 1) \cdot (x^2 + 1)\) (nur eine reelle Nullstelle). 4. Beispiel für zwei Nullstellen: \(f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 2)\) (doppelte Nullstelle bei \(x = 1\), einfache bei \(x = 2\)). 5. Beispiel für drei Nullstellen: \(f(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\) (drei einfache Nullstellen).

a) Da jede Nullstelle einen Linearfaktor \((x - x_0)\) liefert, würde eine vierte Nullstelle zu einem Grad von mindestens 4 führen. b) Mögliche Terme: 1. \(f(x) = (x - 1)^3\) 2. \(f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 2)\) 3. \(f(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)\)

- Wenn du eine Nullstelle kennst, wie kannst du den Grad des Polynoms verringern? - Welcher Teilausdruck (Linearfaktor) gehört zu einer Nullstelle \(a\)? - Welches Verfahren hilft dir, einen quadratischen Restterm aus einem kubischen Polynom zu erhalten? - Wie löst man quadratische Gleichungen, nachdem die Division durchgeführt wurde?

1. Aufstellen des zugehörigen Linearfaktors \((x + 1)\) aus der gegebenen Nullstelle \(x_1 = -1\). 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 + 3x + 10) : (x + 1) = x^2 - 7x + 10\). 3. Nullstellenbestimmung des resultierenden quadratischen Terms durch Lösen der Gleichung \(x^2 - 7x + 10 = 0\). 4. Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = \frac{7}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^2 - 10} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 - 10} = 3{,}5 \pm 1{,}5\). 5. Berechnung der weiteren Nullstellen: \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 5\).

Die weiteren Nullstellen sind \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 5\).

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn eine Zahl eine Nullstelle ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, mit dem man einen Funktionsterm durch einen Ausdruck wie \((x - a)\) teilen kann? - Welche Art von Gleichung bleibt übrig, nachdem du einen Teil des Grades abgebaut hast? - Wie gehst du vor, um die Lösungen einer Gleichung mit \(x^2\) zu finden?

1. Erläuterung des Vorgehens: Da \(x_1 = 3\) eine Nullstelle ist, kann der Linearfaktor \((x - 3)\) abgespalten werden. Dies geschieht durch Polynomdivision des Funktionsterms \(f(x)\) durch den Linearfaktor \((x - 3)\) oder mithilfe des Horner-Schemas. Der resultierende quadratische Term kann anschließend mit der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren auf weitere Nullstellen untersucht werden. 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 6x^2 - x + 30) : (x - 3) = x^2 - 3x - 10\). 3. Berechnung der weiteren Nullstellen: Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 10 = 0\) ergibt \(x_{2,3} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 10} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). Somit sind \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\). 4. Aufstellen der Produktform: \(f(x) = (x - 3) \cdot (x - 5) \cdot (x + 2)\).

a) Abspaltung des Linearfaktors \((x - 3)\) durch Polynomdivision oder Horner-Schema und anschließende Untersuchung des quadratischen Restterms. b) Weitere Nullstellen: \(x_2 = 5\); \(x_3 = -2\). Produktform: \(f(x) = (x - 3)(x - 5)(x + 2)\).

- Setze die vorgeschlagenen Werte nacheinander für \(x\) in die Gleichung ein und prüfe, ob das Ergebnis \(0\) ist. - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, kannst du den Funktionsterm durch den zugehörigen Linearfaktor teilen. - Welches Verfahren kennst du, um eine kubische Gleichung zu vereinfachen, wenn eine Lösung bereits bekannt ist? - Nach der Division erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit bekannten Formeln lösen kannst.

1. Überprüfung der Testwerte: \(f(1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4\), also ist \(1\) keine Nullstelle. \(f(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\), also ist \(-1\) eine Nullstelle. \(f(2) = 8 - 16 + 2 + 6 = 0\), also ist \(2\) ebenfalls eine Nullstelle. \(f(-2) = -8 - 16 - 2 + 6 = -20\), also ist \(-2\) keine Nullstelle. 2. Reduktion des Grades mittels Polynomdivision, zum Beispiel mit der Nullstelle \(x_1 = -1\): \((x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1) = x^2 - 5x + 6\). 3. Berechnung der Nullstellen des resultierenden quadratischen Terms \(x^2 - 5x + 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel oder durch Faktorisieren: \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm \sqrt{6{,}25 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). 4. Bestimmung aller Nullstellen: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\).

Unter den Zahlen \(\pm 1\) und \(\pm 2\) sind \(-1\) und \(2\) Nullstellen. Alle Nullstellen der Funktion \(f\) sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\).

- Welche Nullstelle gehört zu jedem Linearfaktor, und was sagt dessen Exponent über die Vielfachheit aus? - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten im Hinblick auf einen Vorzeichenwechsel. - Bei zwei ungeraden Vielfachheiten kann der Graph beide Male schneiden und trotzdem unterschiedlich flach verlaufen.

1. Aus den Faktoren folgen die Nullstellen \(x_1=-3\), \(x_2=0\) und \(x_3=2\). 2. Die Exponenten der zugehörigen Linearfaktoren liefern die Vielfachheiten: \(x=-3\) ist doppelt, \(x=0\) einfach und \(x=2\) dreifach. 3. Bei \(x=-3\) ist die Vielfachheit gerade. Der Graph berührt die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. 4. Bei \(x=0\) ist die Vielfachheit ungerade. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel. 5. Auch bei \(x=2\) ist die Vielfachheit ungerade. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel; wegen der dreifachen Nullstelle verläuft er dort flacher als bei einer einfachen Nullstelle.

\(x=-3\): Vielfachheit \(2\), Berühren, kein Vorzeichenwechsel. \(x=0\): Vielfachheit \(1\), Schneiden, Vorzeichenwechsel. \(x=2\): Vielfachheit \(3\), Schneiden, Vorzeichenwechsel; der Verlauf ist dort flacher als bei einer einfachen Nullstelle.

- Welcher Faktor kommt in jedem Summanden vor? Kannst du eine Potenz von \(x\) ausklammern? - Wenn ein Produkt null ergibt, was muss dann für die einzelnen Faktoren gelten? - Schau dir den verbleibenden quadratischen Teil genau an. Kannst du ihn mit einer binomischen Formel weiter zerlegen? - Wie lässt sich an den Exponenten der Faktoren ablesen, wie oft eine Nullstelle vorkommt?

1. Ansatz \(g(x) = 0\): \(x^5 - 6x^4 + 9x^3 = 0\). 2. Ausklammern der kleinsten Potenz von \(x\): \(x^3 \cdot (x^2 - 6x + 9) = 0\). 3. Anwendung des Nullprodukt-Satzes: Erste Nullstelle bei \(x_1 = 0\). Da der Faktor \(x\) in der dritten Potenz steht, ist dies eine dreifache Nullstelle. 4. Untersuchung des quadratischen Terms \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Erkennen der zweiten binomischen Formel: \((x - 3)^2 = 0\). 5. Daraus folgt die zweite Nullstelle \(x_2 = 3\). Da der Faktor \((x - 3)\) im Quadrat steht, ist dies eine zweifache Nullstelle. 6. Aufstellen der Linearfaktorzerlegung: \(g(x) = x^3 \cdot (x - 3)^2\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (dreifache Nullstelle) und \(x_2 = 3\) (zweifache Nullstelle). Die Linearfaktorzerlegung lautet: \(g(x) = x^3 \cdot (x - 3)^2\).

- Bei einer Gleichung mit \(x^4\) und \(x^2\) hilft es oft, eine neue Variable für \(x^2\) einzuführen. - Was bedeutet der Exponent an einer Klammer für die Anzahl der Nullstellen an diesem Punkt? - Kannst du die Nullstellen direkt aus der faktorisierten Form ablesen? - Vergiss nicht, nach dem Lösen der Hilfsgleichung für \(u\) wieder auf \(x\) zurückzurechnen.

1. Teilaufgabe a): Substitution \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 - 17u + 16 = 0\). Mit der \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich \(u_1 = 16\) und \(u_2 = 1\). Rücksubstitution: \(x^2 = 16 \implies x_{1,2} = \pm 4\) und \(x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1\). Alle vier Nullstellen sind einfach (Vielfachheit 1). 2. Teilaufgabe b): Die Funktion liegt bereits in faktorisierter Form vor. Durch Ablesen der Faktoren ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -5\). Die Vielfachheit entspricht dem Exponenten des jeweiligen Faktors: \(x_1 = 0\) (einfach), \(x_2 = 2\) (zweifach bzw. doppelt), \(x_3 = -5\) (einfach).

a) \(x = 1\), \(x = -1\), \(x = 4\), \(x = -4\) (jeweils Vielfachheit 1) b) \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 1), \(x_2 = 2\) (Vielfachheit 2), \(x_3 = -5\) (Vielfachheit 1)

- Was passiert, wenn du eine neue Variable für \(x^2\) einführst? - Überlege, welche Werte ein Term wie \(x^2\) oder \(x^4\) annehmen kann, wenn du eine beliebige reelle Zahl einsetzt. - Was bedeutet es für das Ergebnis einer Summe, wenn alle Summanden positiv sind?

1. Substitution \(u = x^2\) führt zur quadratischen Gleichung \(u^2 + 3u + 2 = 0\). 2. Lösung der quadratischen Gleichung ergibt \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -2\). 3. Die Rücksubstitution \(x^2 = -1\) und \(x^2 = -2\) liefert im Bereich der reellen Zahlen keine Lösungen, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Somit hat \(f\) keine reellen Nullstellen. 4. Für die allgemeine Begründung: Da \(x\) nur in geraden Potenzen (\(x^2, x^4, \dots\)) vorkommt, ist jede dieser Potenzen für alle \(x \in \mathbb{R}\) größer oder gleich Null. Da alle Koeffizienten positiv sind, ist auch deren Summe größer oder gleich Null. Durch das positive Absolutglied \(a_0 > 0\) ist der gesamte Funktionswert stets mindestens so groß wie \(a_0\), also \(f(x) \ge a_0 > 0\). Ein Funktionswert von Null kann somit nicht erreicht werden.

a) Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 + 3u + 2 = 0\). Die Lösungen \(u_1 = -1\) und \(u_2 = -2\) führen bei der Rücksubstitution \(x^2 = u\) auf keine reellen Lösungen für \(x\). b) Da gerade Potenzen von \(x\) stets nicht-negativ sind und alle Koeffizienten sowie das Absolutglied positiv sind, ist der Funktionswert für jedes \(x\) immer größer als Null (\(f(x) > 0\)).

- Wie gehst du vor, wenn du die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen suchst? - Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite eine Null steht? - Siehst du einen Faktor, den alle Terme der Gleichung gemeinsam haben? - Wie findet man die passenden \(y\)-Werte zu den bereits berechneten \(x\)-Stellen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^3 + 2x^2 - 4x + 6 = x^2 - 2x + 6\). 2. Umformen der Gleichung durch Subtraktion von \(x^2\), Addition von \(2x\) und Subtraktion von \(6\) auf beiden Seiten: \(x^3 + x^2 - 2x = 0\). 3. Ausklammern von \(x\): \(x(x^2 + x - 2) = 0\). 4. Anwendung des Nullprodukt-Satzes liefert die erste Lösung \(x_1 = 0\). 5. Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 + x - 2 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 2} = -0{,}5 \pm 1{,}5\). Dies ergibt \(x_2 = -2\) und \(x_3 = 1\). 6. Berechnung der zugehörigen \(y\)-Koordinaten durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(g(x)\): \(g(0) = 6\), \(g(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 6 = 4 + 4 + 6 = 14\), \(g(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 5\). 7. Angabe der Schnittpunkte: \(S_1(0|6)\), \(S_2(-2|14)\), \(S_3(1|5)\).

Die Schnittpunkte sind \(S_1(0|6)\), \(S_2(-2|14)\) und \(S_3(1|5)\).

- Was ist der erste Schritt, um Nullstellen bei einer Gleichung höheren Grades zu finden? - Kannst du eine Potenz von \(x\) ausklammern, um den Grad der Gleichung zu reduzieren? - Wie erkennst du an der faktorisierten Form der Gleichung, wie oft eine Nullstelle vorkommt? - Was bedeutet es für die Vielfachheit, wenn eine Variable im Quadrat vor einer Klammer steht?

1. Ansatz zur Nullstellenberechnung: \(x^4 - 2x^3 - 3x^2 = 0\). 2. Ausklammern der höchsten gemeinsamen Potenz von \(x\), hier \(x^2\): \(x^2 \cdot (x^2 - 2x - 3) = 0\). 3. Untersuchung der Faktoren gemäß Nullprodukt-Satz: Der Faktor \(x^2\) führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Faktor quadratisch auftritt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 4. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(x^2 - 2x - 3 = 0\) (z. B. mit der \(p\)-\(q\)-Formel): \(x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2\). Dies ergibt \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -1\). 5. Da diese Faktoren \((x-3)\) und \((x+1)\) jeweils nur einmal in der faktorisierten Form \(x^2 \cdot (x-3) \cdot (x+1)\) vorkommen, handelt es sich um einfache Nullstellen (Vielfachheit 1).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) (Vielfachheit 2), \(x_2 = 3\) (Vielfachheit 1) und \(x_3 = -1\) (Vielfachheit 1).

- Isoliere zuerst den Term mit \(x\), sodass die Potenz allein auf einer Seite steht. - Prüfe nach dem Umstellen, ob die Gleichung überhaupt eine reelle Lösung haben kann. - Erinnere dich daran, welches Vorzeichen das Ergebnis einer geraden Potenz immer hat. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer ungeraden Potenz im Vergleich zu einer geraden Potenz?

1. Division durch \(2\) ergibt \(x^4 = 81\). Ziehen der vierten Wurzel liefert zwei reelle Lösungen, da der Exponent gerade und der Wert positiv ist: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 2. Subtraktion von \(125\) ergibt \(x^3 = -125\). Ziehen der dritten Wurzel aus einer negativen Zahl ist bei ungeradem Exponenten möglich: \(x = \sqrt[3]{-125} = -5\). 3. Subtraktion von \(16\) ergibt \(x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz einer reellen Zahl niemals negativ sein kann (\(x^4 \geq 0\)), existiert keine reelle Lösung.

a) \(x_1 = 3, x_2 = -3\) b) \(x = -5\) c) keine reelle Lösung

- Wann wird ein Produkt aus zwei Termen gleich null? - Untersuche die beiden Faktoren des Funktionsterms getrennt voneinander. - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^2 = a\), wenn \(a\) positiv ist? - Die Vielfachheit einer Nullstelle kannst du direkt am Exponenten des entsprechenden Faktors in der Produktform ablesen.

1. Ansatz zur Berechnung der Nullstellen: \(f(x) = 0\), also \(x^4 \cdot (x^2 - 81) = 0\). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(x^4 = 0\) oder \(x^2 - 81 = 0\). 3. Lösen von \(x^4 = 0\): Dies führt zur Nullstelle \(x_1 = 0\). Da der Exponent am Faktor \(x\) gleich 4 ist, beträgt die Vielfachheit 4. 4. Lösen von \(x^2 - 81 = 0\): Umformen zu \(x^2 = 81\). Diese Potenzgleichung hat mit \(n=2\) (gerade) und \(c=81 > 0\) zwei reelle Lösungen: \(x_2 = 9\) und \(x_3 = -9\). 5. Da die Faktoren \((x - 9)\) und \((x + 9)\) in der faktorisierten Form \(x^4(x-9)(x+9)\) jeweils nur einmal vorkommen, haben diese Nullstellen jeweils die Vielfachheit 1. 6. Zählen der verschiedenen Nullstellen: Es gibt insgesamt 3 verschiedene reelle Nullstellen (\(0\), \(9\) und \(-9\)).

Die Funktion hat 3 verschiedene reelle Nullstellen: \(x_1 = 0\) mit der Vielfachheit 4, \(x_2 = 9\) mit der Vielfachheit 1, \(x_3 = -9\) mit der Vielfachheit 1.

- Was erhältst du, wenn du \(x=2\) direkt in den Term einsetzt? - Versuche, die ersten beiden und die letzten beiden Summanden jeweils zusammenzufassen und einen gemeinsamen Faktor sichtbar zu machen. - Welche Werte kann ein Quadrat einer reellen Zahl überhaupt annehmen?

1. Einsetzen von \(x=2\) ergibt \(2^3-2\cdot2^2+2-2=8-8+2-2=0\). Damit ist \(x=2\) eine Nullstelle. 2. Durch Gruppieren erhält man \(x^3-2x^2+x-2=x^2(x-2)+(x-2)=(x-2)(x^2+1)\). 3. Für reelle \(x\) gilt \(x^2\ge 0\), also \(x^2+1\ge 1\). Daher besitzt der quadratische Faktor keine reelle Nullstelle und kann über \(\mathbb R\) nicht in Linearfaktoren zerlegt werden.

a) \(T(2)=0\), also ist \(x=2\) eine Nullstelle. b) \(T(x)=(x-2)(x^2+1)\) c) \(x^2+1>0\) für alle reellen \(x\); deshalb gibt es keine weitere reelle Nullstelle und keine weitere Zerlegung in reelle Linearfaktoren.

- Setze die Funktionsterme zuerst gleich Null. - Isoliere den Term mit der Variablen auf einer Seite der Gleichung. - Überlege dir bei der Vielfachheit, wie oft der entsprechende Linearfaktor in der faktorisierten Form vorkommt. - Prüfe bei geraden Exponenten genau, ob ein negativer Wert auf der anderen Seite der Gleichung überhaupt möglich ist.

1. Nullstellenberechnung durch Gleichsetzen mit Null und Isolieren der Potenz: a) \(5x^4 - 405 = 0 \Leftrightarrow x^4 = 81 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 3\). Da \(f(x) = 5(x-3)(x+3)(x^2+9)\), sind beide Nullstellen einfach (Vielfachheit 1). b) \(x^3 + 343 = 0 \Leftrightarrow x^3 = -343 \Rightarrow x = -7\). Da \(x^3+343 = (x+7)(x^2-7x+49)\) und der quadratische Term keine weiteren reellen Nullstellen hat, ist die Nullstelle einfach (Vielfachheit 1). c) \(x^6 = 0 \Rightarrow x = 0\). Die Nullstelle \(x = 0\) hat die Vielfachheit 6. d) \(x^4 + 16 = 0 \Leftrightarrow x^4 = -16\). Da eine vierte Potenz in \(\mathbb{R}\) nie negativ ist, gibt es keine reellen Nullstellen.

a) Nullstellen bei \(x = 3\) und \(x = -3\), jeweils Vielfachheit 1 b) Nullstelle bei \(x = -7\), Vielfachheit 1 c) Nullstelle bei \(x = 0\), Vielfachheit 6 d) Keine reellen Nullstellen

- Vergleiche zuerst einfache Funktionswerte; damit kannst du manche Gleichheit sofort ausschließen. - Schreibe eine dritte Potenz als Produkt aus drei gleichen Klammern, wenn du sie ohne Zusatzformel ausmultiplizieren möchtest. - Für die Vielfachheit ist entscheidend, wie oft der zugehörige Linearfaktor vorkommt. - Prüfe bei einem verbleibenden quadratischen Faktor, ob er überhaupt reelle Nullstellen besitzen kann.

1. Für \(x=3\) ergeben alle fünf Funktionen den Wert \(0\). Für \(x=0\) gilt \(f_1(0)=-27\), \(f_2(0)=-27\), \(f_3(0)=27\), \(f_4(0)=-27\) und \(f_5(0)=-27\). 2. \(f_1\), \(f_3\) und \(f_5\) besitzen bei \(x=3\) eine dreifache Nullstelle. Bei \(f_2\) folgt aus \(x^3=27\) die reelle Nullstelle \(x=3\). Aus der Darstellung von \(f_4\) sieht man zusätzlich, dass \(x^2+3x+9\) keine reelle Nullstelle hat; daher ist \(x=3\) bei \(f_2\) und \(f_4\) einfach. 3. Durch schrittweises Ausmultiplizieren erhält man \((x-3)^3=x^3-9x^2+27x-27\), also \(f_1=f_5\). Außerdem gilt \((x-3)(x^2+3x+9)=x^3-27\), also \(f_2=f_4\). Wegen \(f_3(0)=27\) ist \(f_3\) zu keiner der übrigen Funktionen identisch.

a) \(f_1(3)=f_2(3)=f_3(3)=f_4(3)=f_5(3)=0\); \(f_1(0)=-27\), \(f_2(0)=-27\), \(f_3(0)=27\), \(f_4(0)=-27\), \(f_5(0)=-27\) b) \(f_1,f_3,f_5\): \(x=3\) mit Vielfachheit \(3\); \(f_2,f_4\): \(x=3\) mit Vielfachheit \(1\) c) \(f_1=f_5\) und \(f_2=f_4\)

- Wie viele Lösungen kann eine Gleichung der Form \(x^n = a\) haben, wenn \(n\) gerade ist? - Unterscheidet sich das Ergebnis, wenn \(n\) ungerade ist? - Überlege dir, wie der Graph einer Potenzfunktion mit geradem bzw. ungeradem Exponenten aussieht. - Was passiert mit dem Graphen, wenn man einen Wert \(c\) subtrahiert?

1. Für \(c = 16\) gilt \(f(x) = x^4 - 16\). Die Nullstellenberechnung \(x^4 = 16\) ergibt \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). 2. Für \(c = 16\) gilt \(g(x) = x^5 - 16\). Die Gleichung \(x^5 = 16\) führt zur Nullstelle \(x = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}74\). 3. Für \(c = -32\) gilt \(f(x) = x^4 + 32\). Die Gleichung \(x^4 = -32\) hat keine reelle Lösung, da Potenzen mit geraden Exponenten nie negativ sind. \(f\) hat also keine Nullstellen. 4. Für \(c = -32\) gilt \(g(x) = x^5 + 32\). Die Gleichung \(x^5 = -32\) ergibt die Nullstelle \(x = \sqrt[5]{-32} = -2\). 5. Die Funktion \(f\) hat eine gerade Potenz. \(x^4 = c\) hat genau eine Lösung für \(c = 0\) (die Nullstelle \(x = 0\)). Für \(c > 0\) gibt es zwei und für \(c < 0\) keine Nullstellen. 6. Die Funktion \(g\) hat eine ungerade Potenz. Da die Funktion \(g(x) = x^5 - c\) streng monoton steigend ist, besitzt sie für jeden Wert von \(c \in \mathbb{R}\) genau eine reelle Nullstelle.

a) \(f\): \(x_1 = 2\), \(x_2 = -2\); \(g\): \(x = \sqrt[5]{16} \approx 1{,}74\) b) \(f\): keine reellen Nullstellen; \(g\): \(x = -2\) c) \(f\) hat genau eine Nullstelle für \(c = 0\). \(g\) hat für jeden beliebigen Wert von \(c\) genau eine Nullstelle.

- Erinnere dich an den Unterschied zwischen Wurzeln aus positiven und negativen Zahlen bei geraden und ungeraden Wurzelexponenten. - Überlege, ob eine Zahl, die mit sich selbst sechsmal multipliziert wird, negativ sein kann. - Wie viele Lösungen erwartest du bei einer achsensymmetrischen Funktion im Vergleich zu einer punktsymmetrischen Funktion?

1. Fall \(a = 1\): Gleichung (1) \(x^6 = 1\) hat die Lösungen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), also \(L = \{-1; 1\}\). Gleichung (2) \(x^7 = 1\) hat nur die Lösung \(x = 1\), also \(L = \{1\}\). 2. Fall \(a = -128\): Gleichung (1) \(x^6 = -128\) hat keine reelle Lösung, da \(x^6 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), also \(L = \emptyset\). Gleichung (2) \(x^7 = -128\) ergibt \(x = \sqrt[7]{-128} = -2\), also \(L = \{-2\}\). 3. Analyse für (1): Da der Exponent \(6\) gerade ist, hat die Gleichung \(x^6 = a\) für \(a > 0\) zwei Lösungen, für \(a = 0\) genau eine Lösung (\(x = 0\)) und für \(a < 0\) keine Lösung. 4. Analyse für (2): Da der Exponent \(7\) ungerade ist, gibt es für jede reelle Zahl \(a\) (positiv, negativ oder Null) genau eine reelle Lösung \(x = \sqrt[7]{a}\).

a) (1) \(L = \{-1; 1\}\); (2) \(L = \{1\}\) b) (1) \(L = \emptyset\); (2) \(L = \{-2\}\) c) Gleichung (1) hat genau eine Lösung für \(a = 0\). Gleichung (2) hat genau eine Lösung für alle \(a \in \mathbb{R}\).

- Kannst du die Terme in den Klammern mithilfe der binomischen Formeln weiter zerlegen? - Was bedeutet es für den Graphen an einer Nullstelle, wenn die Vielfachheit gerade oder ungerade ist? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt (Extrempunkt) auf der \(x\)-Achse.

1. Faktorisierung des ersten Terms mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\). 2. Faktorisierung des zweiten Terms mittels der zweiten binomischen Formel: \(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\). 3. Zusammenführung zur vollständig faktorisierten Form: \(h(x) = (x - 1) \cdot (x + 1) \cdot (x - 5)^2\). 4. Identifikation der Nullstellen: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 5\). 5. Analyse der Vielfachheiten: Die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) treten jeweils mit der Vielfachheit 1 auf (ungerade). Die Nullstelle \(x_3 = 5\) tritt mit der Vielfachheit 2 auf (gerade). 6. Schlussfolgerung: Bei ungerader Vielfachheit findet ein Vorzeichenwechsel statt, der Graph schneidet die \(x\)-Achse. Bei gerader Vielfachheit findet kein Vorzeichenwechsel statt, der Graph berührt die \(x\)-Achse nur.

Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), da dies einfache Nullstellen (ungerade Vielfachheit) sind. Er berührt die \(x\)-Achse an der Stelle \(x_3 = 5\), da dies eine doppelte Nullstelle (gerade Vielfachheit) ist.

- Welche Form der Funktionsgleichung ist am besten geeignet, wenn die Nullstellen direkt gegeben sind? - Wie kannst du die Koordinaten eines gegebenen Punktes nutzen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen? - Was musst du tun, um ein Produkt aus zwei Klammern vollständig aufzulösen?

1. Ansatz der Linearfaktordarstellung: \(g(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\). Einsetzen der Nullstellen ergibt \(g(x) = a(x + 1)(x - 3)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(2 | -6)\): \(-6 = a \cdot (2 + 1) \cdot (2 - 3) \implies -6 = a \cdot 3 \cdot (-1) \implies -6 = -3a \implies a = 2\). Die Linearfaktordarstellung ist somit \(g(x) = 2(x + 1)(x - 3)\). 3. Ausmultiplizieren der Klammern: \(g(x) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3)\). 4. Verteilung des Faktors \(2\): \(g(x) = 2x^2 - 4x - 6\).

a) \(g(x) = 2(x + 1)(x - 3)\) b) \(g(x) = 2x^2 - 4x - 6\)

- Welcher Term entsteht, wenn du für die höchste Potenz aus jeder Klammer nur den \(x\)-Anteil betrachtest? - Welche Rolle spielen die Parität des Grades und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten für die beiden Enden des Graphen? - Nutze das vollständige Ausmultiplizieren erst als Kontrolle deiner vorherigen Überlegung.

1. Für den führenden Term werden aus den drei Klammern jeweils die \(x\)-Terme miteinander multipliziert. Dadurch entsteht \(3x^3\). Also hat \(f\) den Grad \(3\) und den Leitkoeffizienten \(3\). 2. Der führende Term hat ungeraden Grad und einen positiven Leitkoeffizienten. Daher gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\). 3. Es gilt \((x-1)(x+2)=x^2+x-2\) und damit \((x^2+x-2)(x-4)=x^3-3x^2-6x+8\). Somit ist \(f(x)=3x^3-9x^2-18x+24\). Der Leitkoeffizient ist tatsächlich \(3\).

1. Grad \(3\), Leitkoeffizient \(3\) 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\); für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). 3. \(f(x)=3x^3-9x^2-18x+24\)

- Für das Leitglied musst du nicht den ganzen Term ausmultiplizieren; betrachte nur die höchsten Potenzen in den Faktoren. - Was bedeutet ein ungerader Grad zusammen mit einem negativen Leitkoeffizienten für die beiden Enden des Graphen? - Das vollständige Ausmultiplizieren kann anschließend als rechnerische Kontrolle dienen.

1. Der führende Anteil des Produkts ist \(-2\cdot x^2\cdot x=-2x^3\). Also hat \(p\) den Grad \(3\) und den Leitkoeffizienten \(-2\). 2. Das Leitglied \(-2x^3\) hat ungeraden Grad und einen negativen Leitkoeffizienten. Daher gilt \(p(x)\to\infty\) für \(x\to-\infty\) und \(p(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\). 3. Aus \((x+1)^2=x^2+2x+1\) folgt \((x^2+2x+1)(x-3)=x^3-x^2-5x-3\). Somit ist \(p(x)=-2x^3+2x^2+10x+6\). Das Absolutglied ist \(6\), und der Leitkoeffizient \(-2\) stimmt mit Teil 1 überein.

1. Grad \(3\), Leitkoeffizient \(-2\) 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(p(x)\to\infty\); für \(x\to\infty\) gilt \(p(x)\to-\infty\). 3. \(p(x)=-2x^3+2x^2+10x+6\); Absolutglied \(6\)

- Erinnere dich an die binomischen Formeln für den ersten Schritt. - Was bedeutet „Normalform“ bei einem Polynom? - Wie erkennt man den Grad und den Leitkoeffizienten in der Normalform? - In welcher Form der Funktion lassen sich die Nullstellen am einfachsten ablesen? - Was sagt der Exponent über einer Klammer in der Produktform über die Nullstelle aus?

1. Ausmultiplizieren des Quadrats: \((x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1\). 2. Multiplikation mit der ersten Klammer: \((x + 2) \cdot (x^2 - 2x + 1) = x \cdot (x^2 - 2x + 1) + 2 \cdot (x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x + 2x^2 - 4x + 2\). 3. Zusammenfassen der Terme: \(f(x) = x^3 - 3x + 2\). 4. Der höchste Exponent von \(x\) ist \(3\), also ist der Grad \(n = 3\). Der Koeffizient vor \(x^3\) ist \(1\), dies ist der Leitkoeffizient. 5. Die Nullstellen lassen sich direkt aus der faktorisierten Form ablesen: \(x + 2 = 0 \implies x_1 = -2\) und \(x - 1 = 0 \implies x_2 = 1\). 6. Die Vielfachheit entspricht den Exponenten der Linearfaktoren: \(x_1 = -2\) ist eine einfache Nullstelle (Exponent 1), \(x_2 = 1\) ist eine doppelte Nullstelle (Exponent 2).

a) \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) b) Der Grad der Funktion ist \(3\), der Leitkoeffizient ist \(1\). c) Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\) (einfache Nullstelle) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle).

- Was muss das Ergebnis sein, wenn du eine Zahl in die Funktionsgleichung einsetzt, damit sie eine Nullstelle ist? - Erinnerst du dich an die Polynomdivision oder das Horner-Schema? - Achte bei der Division auf die Vorzeichen, besonders wenn du durch einen Term wie \((x + 1)\) teilst. - Kannst du eine quadratische Gleichung lösen, bei der der Koeffizient vor dem \(x^2\) nicht \(1\) ist?

1. Überprüfung der Testwerte durch Einsetzen: \(g(-1) = 2 \cdot (-1)^3 - 5 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 3 = -2 - 5 + 4 + 3 = 0\) \(g(2) = 2 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 16 - 20 - 8 + 3 = -9 \neq 0\) \(g(1{,}5) = 2 \cdot (1{,}5)^3 - 5 \cdot (1{,}5)^2 - 4 \cdot 1{,}5 + 3 = 6{,}75 - 11{,}25 - 6 + 3 = -7{,}5 \neq 0\) Damit ist \(x_1 = -1\) die gesuchte Nullstelle aus der Liste. 2. Durchführung der Polynomdivision zur Reduktion des Grades: \((2x^3 - 5x^2 - 4x + 3) : (x + 1) = 2x^2 - 7x + 3\) 3. Bestimmung der Nullstellen des quadratischen Terms \(2x^2 - 7x + 3 = 0\): Division durch \(2\) ergibt \(x^2 - 3{,}5x + 1{,}5 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1{,}75 \pm \sqrt{1{,}75^2 - 1{,}5} = 1{,}75 \pm \sqrt{3{,}0625 - 1{,}5} = 1{,}75 \pm \sqrt{1{,}5625} = 1{,}75 \pm 1{,}25\) Daraus folgen die weiteren Nullstellen \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0{,}5\).

Die Zahl \(-1\) ist eine Nullstelle von \(g\). Die weiteren Nullstellen sind \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 0{,}5\).

- Unterscheide zwischen der maximal möglichen und der tatsächlichen Anzahl von Nullstellen. - Suche für b) nach einer Funktion dritten Grades, deren Graph die \(x\)-Achse nicht an drei verschiedenen Stellen schneiden kann. - Untersuche für c), welche höchste Potenz von \(x\) nach dem Quadrieren entstehen kann.

1. Zu a): Bei \(n=8\) ist der Funktionsterm \(p(x) = x^8 - x + 10\). Da der Grad der Funktion 8 ist, kann sie nach dem Satz über die Anzahl der Nullstellen ganzrationaler Funktionen höchstens 8 Nullstellen haben. 2. Zu b): Die Aussage ist falsch. Der Grad gibt lediglich die maximale Anzahl an Nullstellen an. Eine Funktion vom Grad 3 kann 1, 2 oder 3 Nullstellen haben (im Reellen). Ein Gegenbeispiel ist \(f(x) = x^3 + x = x(x^2 + 1)\), welche nur die Nullstelle \(x=0\) besitzt, da \(x^2+1\) keine weiteren reellen Nullstellen hat. 3. Zu c): Durch Anwendung der binomischen Formel oder Überlegung zur höchsten Potenz ergibt sich \((x^3)^2 = x^6\). Der Term lautet \(k(x) = 9x^6 - 12x^3 + 4\). Der Grad der Funktion ist 6. Somit kann die Funktion höchstens 6 Nullstellen besitzen.

a) Maximal 8 Nullstellen. b) Die Aussage ist falsch; der Grad gibt nur die Höchstzahl an. Beispiel: \(f(x) = x^3 + x\) hat nur eine Nullstelle. c) Grad 6; maximal 6 Nullstellen.

- Welche ganzzahligen Werte könnten als Nullstellen infrage kommen? Schau dir das Absolutglied an. - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie kannst du den Grad der Funktion reduzieren? - Erinnere dich an Verfahren wie die Polynomdivision oder das Horner-Schema. - Wie sieht die allgemeine Form eines Linearfaktors aus, wenn eine Nullstelle bekannt ist?

1. Durch Probieren von Teilern des Absolutglieds \(-12\) findet man die erste Nullstelle \(x_1 = -1\), da \(f(-1) = (-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 11 \cdot (-1) - 12 = -1 + 2 + 11 - 12 = 0\). 2. Durchführung einer Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas: \((x^3 + 2x^2 - 11x - 12) : (x + 1) = x^2 + x - 12\). 3. Bestimmung der Nullstellen des verbleibenden quadratischen Terms \(x^2 + x - 12 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = -0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 12} = -0{,}5 \pm 3{,}5\). Dies liefert \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\). 4. Die Nullstellen sind \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\). Die Linearfaktorform lautet \(f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)\).

Nullstellen: \(x_1 = -1\); \(x_2 = 3\); \(x_3 = -4\) Linearfaktorform: \(f(x) = (x + 1)(x - 3)(x + 4)\)

- Ein systematisches Probieren kleiner ganzzahliger Teiler des letzten Koeffizienten führt oft zur ersten Nullstelle. - Nachdem du eine Nullstelle gefunden hast, kannst du die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term zerlegen. - Überlege dir, was es für die Vielfachheit bedeutet, wenn ein Wert bei der Berechnung mehrfach als Lösung auftaucht.

1. Suche einer ersten Nullstelle durch Testen von Teilern der Zahl \(18\): Für \(x_1 = 3\) gilt \(g(3) = 3^3 - 4 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 18 = 27 - 36 - 9 + 18 = 0\). 2. Reduktion des Polynomgrads durch Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 - 3x + 18) : (x - 3) = x^2 - x - 6\). 3. Berechnung der weiteren Nullstellen aus \(x^2 - x - 6 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 + 6} = 0{,}5 \pm 2{,}5\). Man erhält \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -2\). 4. Zusammenfassung der Ergebnisse: Da der Wert \(3\) zweimal als Nullstelle berechnet wurde, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). Der Wert \(-2\) trat einmal auf und ist somit eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1).

Nullstellen: \(x = 3\) (zweifach bzw. Vielfachheit 2) und \(x = -2\) (einfach bzw. Vielfachheit 1).

- Überlege dir, wie du durch systematisches Testen kleiner Ganzzahlen eine erste Nullstelle finden kannst. - Wenn du eine Nullstelle \(x_0\) kennst, kannst du den Grad des Polynoms durch Division durch \((x - x_0)\) reduzieren. - Achte beim Aufstellen der Linearfaktoren darauf, den Leitkoeffizienten nicht zu vergessen. - Kannst du das Ergebnis überprüfen, indem du die Faktoren wieder ausmultiplizierst?

1. Nach Multiplikation mit dem Hauptnenner \(4\) testet man kleine ganzzahlige Teiler des Absolutglieds \(-6\). So findet man die erste Nullstelle \(x_1 = 1\), da \(f(1) = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{11}{4} - \frac{6}{4} = 0\). 2. Durchführung einer Polynomdivision oder Anwendung des Horner-Schemas: \((\frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{11}{4}x - \frac{3}{2}) : (x - 1) = \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{2}\). 3. Nullstellen des quadratischen Terms bestimmen: \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 = 0\). Mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel ergeben sich \(x_{2,3} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 6} = 2{,}5 \pm 0{,}5\). Somit sind \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 4. Aufstellen der Produktdarstellung unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten \(a = \frac{1}{4}\): \(f(x) = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). Die Produktdarstellung lautet \(f(x) = \frac{1}{4}(x - 1)(x - 2)(x - 3)\).

- Setze den gegebenen Wert einfach in die Funktionsgleichung ein, um die erste Bedingung zu prüfen. - Nutze die Polynomdivision, um das Problem auf eine quadratische Gleichung zurückzuführen. - Erinnere dich daran, was es bedeutet, wenn eine Nullstelle bei der Berechnung der quadratischen Gleichung erneut auftaucht. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennt man in der Produktdarstellung am Exponenten des jeweiligen Linearfaktors.

1. Nachweis der Nullstelle durch Einsetzen: \(p(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - 10(1) + 6 = 2 + 2 - 10 + 6 = 0\). Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Polynoms mittels Polynomdivision: \((2x^3 + 2x^2 - 10x + 6) : (x - 1) = 2x^2 + 4x - 6\). 3. Nullstellenbestimmung des resultierenden quadratischen Terms: \(2x^2 + 4x - 6 = 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x = -1 \pm \sqrt{1 + 3}\), woraus erneut \(x = 1\) sowie \(x = -3\) folgen. 4. Analyse der Vielfachheiten: Da der Wert \(1\) zweimal als Nullstelle auftritt, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle. \(x = -3\) ist eine einfache Nullstelle. 5. Produktdarstellung unter Einbezug des Leitkoeffizienten \(2\): \(p(x) = 2(x - 1)^2(x + 3)\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = -3\) (einfache Nullstelle). Die Produktdarstellung lautet \(p(x) = 2(x - 1)^2(x + 3)\).

- Du kannst nacheinander durch die bekannten Linearfaktoren dividieren. - Was passiert mit dem Grad des Polynoms bei jeder Division? - Erinnerst du dich, wie man ein Polynom schreibt, wenn alle seine Nullstellen bekannt sind? - Achte beim Dividieren besonders auf die Vorzeichen der Linearfaktoren.

1. Erste Polynomdivision durch den Linearfaktor \((x - 1)\): \((x^4 + 2x^3 - 7x^2 - 8x + 12) : (x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12\). 2. Zweite Polynomdivision des Ergebnisses durch den zweiten bekannten Linearfaktor \((x + 2)\): \((x^3 + 3x^2 - 4x - 12) : (x + 2) = x^2 + x - 6\). 3. Berechnung der verbleibenden Nullstellen durch Lösen der Gleichung \(x^2 + x - 6 = 0\). Dies ergibt \(x_3 = 2\) und \(x_4 = -3\). 4. Angabe der vollständigen Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung aller vier Nullstellen: \(p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)\).

Die vollständige Linearfaktorzerlegung lautet: \(p(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 2)(x + 3)\)

- Wie oft kannst du die Division durchführen, ohne dass ein Rest ungleich Null bleibt? - Was sagt das Ergebnis der Division an der Stelle \(x = 2\) über die weitere Teilbarkeit aus? - Kannst du den quadratischen Restterm am Ende noch weiter zerlegen?

1. Nachweis der Nullstelle: \(f(2) = 2^4 - 4 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 - 4 = 16 - 32 + 12 + 8 - 4 = 0\) 2. Erste Polynomdivision: \((x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 4x - 4) : (x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2\) 3. Zweite Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 2) = x^2 - 1\) 4. Prüfung auf weitere Teilbarkeit: Für \(g(x) = x^2 - 1\) gilt \(g(2) = 2^2 - 1 = 3 \neq 0\). Der Faktor lässt sich somit genau zweimal abspalten; die Vielfachheit ist 2. 5. Vollständige Faktorisierung: Mit \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\) ergibt sich \(f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

Die Nullstelle \(x_0 = 2\) hat die Vielfachheit 2 (doppelte Nullstelle). Die vollständige Faktorisierung lautet \(f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x - 1) \cdot (x + 1)\).

- Führe die Polynomdivision schrittweise nacheinander aus. - Achte darauf, dass bei jedem der drei Schritte der Rest der Division Null sein muss. - Prüfe am Ende, ob der verbleibende Term \(g(x)\) an der Stelle \(x = 2\) ebenfalls Null ergibt.

1. Erste Polynomdivision: \((x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 28x - 24) : (x - 2) = x^3 - x^2 - 8x + 12\) 2. Zweite Polynomdivision: \((x^3 - x^2 - 8x + 12) : (x - 2) = x^2 + x - 6\) 3. Dritte Polynomdivision: \((x^2 + x - 6) : (x - 2) = x + 3\) 4. Identifikation des Restterms: \(g(x) = x + 3\) 5. Begründung der Vielfachheit: Da \(g(2) = 2 + 3 = 5 \neq 0\), ist \(x = 2\) keine Nullstelle von \(g(x)\). Der Linearfaktor \((x - 2)\) lässt sich somit kein viertes Mal abspalten.

Nach dreimaligem Abspalten bleibt der Term \(g(x) = x + 3\) übrig. Da \(g(2) = 5 \neq 0\) ist, ist \(x_0 = 2\) eine dreifache, aber keine vierfache Nullstelle.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Klammern genau Null? - Kannst du die Terme in den Klammern einzeln untersuchen? - Erkennst du in der zweiten Klammer eine binomische Formel? - Wie oft kommt ein Wert als Lösung vor, wenn die zugehörige Klammer quadriert wird?

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Funktionsterm gleich Null gesetzt: \( (x^2 - 5)(x^2 + 4x + 4) = 0 \). 2. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Somit gilt \( x^2 - 5 = 0 \) oder \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). 3. Untersuchung des ersten Faktors: \( x^2 - 5 = 0 \) führt zu \( x^2 = 5 \). Daraus ergeben sich die Nullstellen \( x_1 = \sqrt{5} \) und \( x_2 = -\sqrt{5} \). Da diese Faktoren in der Linearfaktordarstellung nur einmal vorkommen, handelt es sich um einfache Nullstellen. 4. Untersuchung des zweiten Faktors: \( x^2 + 4x + 4 = 0 \). Mithilfe der ersten binomischen Formel lässt sich dieser Ausdruck als \( (x + 2)^2 = 0 \) schreiben. 5. Daraus ergibt sich die Nullstelle \( x_3 = -2 \). Da der Faktor im Quadrat steht, handelt es sich um eine doppelte Nullstelle.

Die Nullstellen sind \( x_1 = \sqrt{5} \) (einfach), \( x_2 = -\sqrt{5} \) (einfach) und \( x_3 = -2 \) (doppelt).

- Welche Zahlen kommen als ganzzahlige Nullstellen überhaupt infrage? - Wie kannst du eine gefundene Nullstelle nutzen, um den Funktionsterm zu vereinfachen? - Wie viele Nullstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal besitzen? - Was musst du tun, wenn nach der ersten Division noch ein Term dritten Grades übrig bleibt?

1. Bestimmung der ganzzahligen Teiler des Absolutglieds \(10\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\). 2. Testen der Teiler ergibt die Nullstellen \(x_1 = 1\) (da \(1 + 1 - 7 - 5 + 10 = 0\)) und \(x_2 = -2\) (da \(16 - 8 - 28 + 10 + 10 = 0\)). 3. Durchführung der ersten Polynomdivision: \((x^4 + x^3 - 7x^2 - 5x + 10) : (x - 1) = x^3 + 2x^2 - 5x - 10\). 4. Durchführung der zweiten Polynomdivision: \((x^3 + 2x^2 - 5x - 10) : (x + 2) = x^2 - 5\). 5. Lösen der verbleibenden quadratischen Gleichung \(x^2 - 5 = 0\) ergibt \(x_{3,4} = \pm \sqrt{5}\).

Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = \sqrt{5}\) und \(x_4 = -\sqrt{5}\).

- Was muss für den Funktionswert an einer Nullstelle gelten? - Gibt es eine Beziehung zwischen den Exponenten, die eine Ersetzung sinnvoll macht? - Wie viele Lösungen hat eine Gleichung der Form \(x^3 = a\) im Bereich der reellen Zahlen? - Denke daran, am Ende die Ersetzung wieder rückgängig zu machen.

1. Ansatz für die Nullstellen: \(x^6 + 26x^3 - 27 = 0\). 2. Substitution von \(z = x^3\) ergibt die quadratische Gleichung \(z^2 + 26z - 27 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: \(z_{1,2} = -13 \pm \sqrt{169 + 27} = -13 \pm \sqrt{196} = -13 \pm 14\). Man erhält \(z_1 = 1\) und \(z_2 = -27\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 1\): \(x^3 = 1 \Rightarrow x_1 = \sqrt[3]{1} = 1\). Für \(z_2 = -27\): \(x^3 = -27 \Rightarrow x_2 = \sqrt[3]{-27} = -3\). Die reellen Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\).

\(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\)

- Welche Werte machen jeweils einen der gegebenen Faktoren gleich null? - Welcher Term entsteht aus dem Produkt der höchsten Potenzen und bestimmt damit das Globalverhalten? - Was geschieht mit dem Vorzeichen beim Durchlaufen einer einfachen Nullstelle? - Ordne die Nullstellen auf der Zahlengeraden, bevor du die Vorzeichenintervalle festlegst.

1. Aus den Linearfaktoren folgen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=5\). Alle drei sind einfach. 2. Der führende Term des Produkts ist \(x^3\). Deshalb gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Die drei einfachen Nullstellen zerlegen die Zahlengerade in vier Intervalle. Bei jeder einfachen Nullstelle wechselt das Vorzeichen. Aus dem negativen Vorzeichen für große negative \(x\) ergibt sich: \(f(x)<0\) auf \(( -\infty;-2)\) und \((1;5)\), während \(f(x)>0\) auf \((-2;1)\) und \((5;\infty)\) gilt.

1. \(x_1=-2\), \(x_2=1\), \(x_3=5\) 2. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\); für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). 3. Oberhalb der \(x\)-Achse: \((-2;1)\cup(5;\infty)\); unterhalb der \(x\)-Achse: \((-\infty;-2)\cup(1;5)\)

- Überlege dir, wie du die Nullstellen direkt in den Funktionsterm einbauen kannst. - Erinnere dich an die Linearfaktorzerlegung von Polynomen. - Wie hängen die Vielfachheiten der Nullstellen mit dem Grad der Funktion zusammen? - Wenn der Grad einer Funktion größer ist als die Anzahl ihrer verschiedenen Nullstellen, was bedeutet das für die Exponenten der Faktoren?

1. Aufstellen der Linearfaktorform \(f(x) = a \cdot (x - x_1)^{k_1} \cdot (x - x_2)^{k_2} \cdot \dots\) 2. Für Teilaufgabe a): Da der Grad 3 ist und drei einfache Nullstellen vorliegen, ergibt sich durch Multiplikation der Linearfaktoren \(f(x) = (x + 4) \cdot x \cdot (x - 1)\). 3. Für Teilaufgabe b): Da der Grad 4 ist, aber nur zwei Nullstellen existieren sollen, müssen diese eine höhere Vielfachheit besitzen. Ein möglicher Ansatz ist \(f(x) = (x + 2)^2 \cdot (x - 5)^2\). 4. Für Teilaufgabe c): Genau zwei Nullstellen bei Grad 3 bedeuten, dass eine Nullstelle einfach und die andere doppelt sein muss. Mit der Nullstelle bei \(x = 3\) als doppelter Nullstelle und einer beliebig gewählten zweiten Nullstelle (z. B. \(x = 0\)) ergibt sich \(f(x) = x \cdot (x - 3)^2\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x(x + 4)(x - 1)\) b) \(f(x) = (x + 2)^2(x - 5)^2\) c) \(f(x) = x(x - 3)^2\)

- Vergleiche zunächst, welche Nullstellen der Graph schneidet und welche er nur berührt. - Welche Antwortmöglichkeiten haben damit die passenden Vielfachheiten? - Wenn danach noch zwei Terme übrig bleiben, vergleiche einen eindeutig ablesbaren Funktionswert im dargestellten Fenster, zum Beispiel bei \(x=0\).

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=3\) ab. 2. Bei \(x=1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, bei \(x=-1\) und \(x=3\) schneidet er sie. Damit muss der Faktor zu \(x=1\) gerade und die beiden anderen Faktoren ungerade Vielfachheit haben. Von den Angeboten bleiben A und D. 3. Am \(y\)-Achsenabschnitt liegt der dargestellte Graph unterhalb der \(x\)-Achse. Für A gilt \(f(0)=(-1)^2\cdot1\cdot(-3)=-3\), während D an dieser Stelle den Wert \(3\) hätte. 4. Daher gehört Term A zum Graphen.

**A**: \(f(x)=(x-1)^2(x+1)(x-3)\)

- Schau dir die Nullstellen der einzelnen Funktionsterme an. Bei welchen Werten für \(x\) wird der jeweilige Term null? - Unterscheide zwischen einfachen und mehrfachen Nullstellen. Was bedeutet das für das Verhalten des Graphen an der x-Achse? - Ein Vorzeichenwechsel (Schnittpunkt) tritt bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit auf. - Kein Vorzeichenwechsel (Berührpunkt) tritt bei Nullstellen mit gerader Vielfachheit auf. - Zähle die Anzahl der Schnitt- und Berührpunkte mit der x-Achse in den Graphen A, B und C und vergleiche sie mit den Nullstellen der Terme.

1. Analyse von \(f(x) = 0{,}25(x+1)^2(x-2)\): - Nullstellen bei \(x = -1\) (doppelt, da der Faktor quadratisch ist) und \(x = 2\) (einfach). - Der Graph berührt die x-Achse bei \(x = -1\) (Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel) und schneidet sie bei \(x = 2\) (Schnittpunkt mit Vorzeichenwechsel). - Dies entspricht **Graph B**. 2. Analyse von \(g(x) = 0{,}25(x+1)(x-2)^2\): - Nullstellen bei \(x = -1\) (einfach) und \(x = 2\) (doppelt, da der Faktor quadratisch ist). - Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x = -1\) und berührt sie bei \(x = 2\). - Dies entspricht **Graph C**. 3. Analyse von \(h(x) = 0{,}25(x+1)(x-1)(x-2)\): - Drei einfache Nullstellen bei \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 2\). - Der Graph schneidet die x-Achse an allen drei Stellen. - Dies entspricht **Graph A**.

\(f(x)\) gehört zu **Graph B**; \(g(x)\) gehört zu **Graph C**; \(h(x)\) gehört zu **Graph A**.

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet. Was sagt das über die Nullstellen und ihre Vielfachheit aus? - Wie unterscheidet sich das Verhalten des Graphen an der x-Achse bei einer einfachen Nullstelle von dem bei einer doppelten Nullstelle? - Stelle eine allgemeine Produktform auf, in der die Nullstellen als Linearfaktoren vorkommen. Denke an den unbekannten Streckfaktor \(a\). - Welchen besonderen Punkt auf der y-Achse kannst du exakt ablesen, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen?

1. **Nullstellen und Vielfachheiten bestimmen**: - Bei \(x = -1\) schneidet der Graph die x-Achse. Das ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1). - Bei \(x = 2\) berührt der Graph die x-Achse. Das ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 2. **Ansatz aufstellen**: Mit den Nullstellen und ihren Vielfachheiten lautet der allgemeine Ansatz für eine Funktion 3. Grades: \(f(x) = a(x + 1)(x - 2)^2\) 3. **y-Achsenabschnitt nutzen**: Der y-Achsenabschnitt liegt bei \((0 \mid -2)\). Wir setzen \(x = 0\) und \(y = -2\) ein: \(-2 = a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)^2\) \(-2 = a \cdot 1 \cdot 4\) \(-2 = 4a \implies a = -0{,}5\) 4. **Funktionsterm angeben**: Setzt man den berechneten Wert für \(a\) in den Ansatz ein, erhält man: \(f(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 2)^2\)

a) \(x_1 = -1\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1), und \(x_2 = 2\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). b) \(f(x) = -0{,}5(x + 1)(x - 2)^2\)

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Wie unterscheidet sich das Verhalten des Graphen an einer einfachen Nullstelle (Schnittpunkt) von dem an einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt)? - Welcher Punkt auf der \(y\)-Achse kann dir helfen, den Streckfaktor \(c\) zu berechnen? - Setze die Koordinaten des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse in deine Gleichung ein, um nach \(c\) aufzulösen.

1. Der Graph zeigt zwei Nullstellen: bei \(x = -1\) und bei \(x = 2\). - Bei \(x = -1\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Dies ist eine einfache Nullstelle, weshalb sie zum einfachen Linearfaktor \((x - a)\) gehört. Daraus folgt \(a = -1\). - Bei \(x = 2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (lokales Minimum). Dies ist eine doppelte Nullstelle, weshalb sie zum quadrierten Faktor \((x - b)^2\) gehört. Daraus folgt \(b = 2\). - Die vorläufige Funktionsgleichung lautet somit: \(f(x) = c \cdot (x + 1) \cdot (x - 2)^2\). 2. Aus dem Graphen lässt sich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \((0 \mid 2)\) ablesen. Durch Einsetzen dieses Punktes in die vorläufige Funktionsgleichung erhält man: \(f(0) = c \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)^2 = 2\) \(c \cdot 1 \cdot 4 = 2\) \(4c = 2 \implies c = 0{,}5\). Die vollständige Funktionsgleichung ist somit \(f(x) = 0{,}5(x + 1)(x - 2)^2\).

1. \(a = -1\) (da der Graph bei \(x = -1\) die \(x\)-Achse schneidet) und \(b = 2\) (da der Graph bei \(x = 2\) die \(x\)-Achse berührt). 2. \(c = 0{,}5\) (ermittelt über den \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid 2)\)).

- Ordne zuerst das Schneiden und Berühren der \(x\)-Achse den Vielfachheiten der Nullstellen zu. - Welche Terme bleiben für jeden Graphen nach diesem Vergleich noch möglich? - Unterscheide gleiche Nullstellenmuster anschließend mit einem gut ablesbaren Funktionswert im dargestellten Fenster.

1. Die Terme (1) und (2) haben bei \(x=-2\) eine einfache und bei \(x=1\) eine doppelte Nullstelle. Die Terme (3) und (4) haben bei \(x=-2\) eine doppelte und bei \(x=1\) eine einfache Nullstelle. 2. Graph A schneidet bei \(x=-2\) und berührt bei \(x=1\). Damit kommen (1) und (2) infrage. Aus der Abbildung ist \(f(0)=1\) ablesbar. Term (1) liefert \(1\), Term (2) \(-1\). Also gehört A zu (1). 3. Graph B besitzt dieselben Nullstellenvielfachheiten, hat aber \(f(0)=-1\). Daher gehört B zu (2). 4. Graph C berührt bei \(x=-2\) und schneidet bei \(x=1\). Damit kommen (3) und (4) infrage. Aus der Abbildung ist \(f(0)=2\) ablesbar. Term (4) liefert \(2\), Term (3) \(-2\). Also gehört C zu (4). 5. Term (3) bleibt übrig.

Graph A: Term (1) Graph B: Term (2) Graph C: Term (4) Übrig: Term (3)

- Welche Nullstelle gehört wegen des Berührens zum quadrierten Faktor? - Welche Nullstelle gehört zum einfachen Linearfaktor? - Wenn \(b\) und \(c\) feststehen, bleibt nur noch der Vorfaktor \(a\) unbekannt. - Suche einen Gitterpunkt, dessen Koordinaten sich ohne Schätzen einsetzen lassen.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=1\). Zur Form \((x-b)^2\) gehört deshalb \(b=1\); die Nullstelle ist doppelt. 2. Bei \(x=-2\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Der einfache Faktor \((x-c)\) liefert daher \(c=-2\). 3. Somit gilt \(p(x)=a(x-1)^2(x+2)\). 4. Der Gitterpunkt \((-1\mid-1)\) liegt auf dem Graphen. Einsetzen ergibt \(-1=a(-2)^2\cdot1=4a\), also \(a=-0{,}25\).

a) \(b=1\), \(c=-2\) b) \(a=-0{,}25\), also \(p(x)=-0{,}25(x-1)^2(x+2)\)

- Schau dir an, wo der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder berührt. Was bedeutet das für die Faktoren des Terms? - Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse deutet auf eine ungerade Vielfachheit hin, ein Berührpunkt auf eine gerade Vielfachheit. Da die Funktion den Grad 3 hat, wie müssen die Vielfachheiten verteilt sein? - Stelle die allgemeine Produktform (Nullstellenform) mit einem unbekannten Parameter \(a\) auf. - Wie kannst du den gegebenen Punkt \(P(2 \mid 1)\) nutzen, um den Parameter \(a\) zu berechnen?

1. Aus dem Graphen lassen sich die Nullstellen und ihr Verhalten an der \(x\)-Achse ablesen: - Bei \(x_1 = -3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Es handelt sich um eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1). - Bei \(x_2 = 1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse (lokales Minimum). Es handelt sich um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 2. Da die Funktion vom Grad 3 ist, lautet der Ansatz in der faktorisierten Form: \(f(x) = a \cdot (x + 3) \cdot (x - 1)^2\) Um den Streckfaktor \(a\) zu bestimmen, wird die Punktprobe mit \(P(2 \mid 1)\) durchgeführt: \(1 = f(2)\) \(1 = a \cdot (2 + 3) \cdot (2 - 1)^2\) \(1 = a \cdot 5 \cdot 1^2\) \(1 = 5a \implies a = 0{,}2 = \frac{1}{5}\) Der gesuchte Funktionsterm lautet somit: \(f(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 1)^2\) beziehungsweise \(f(x) = \frac{1}{5}(x + 3)(x - 1)^2\)

1. \(x_1 = -3\) ist eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1), und \(x_2 = 1\) ist eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). 2. \(f(x) = 0{,}2(x + 3)(x - 1)^2\) (oder \(f(x) = \frac{1}{5}(x + 3)(x - 1)^2\))

- Unterscheide an jeder Nullstelle zunächst zwischen Schneiden und Berühren. - Verbinde bei Graph b) die Zusatzinformation „mehrfach“ mit der Tatsache, dass der Graph die Achse dort schneidet. - Da der kleinstmögliche Grad gesucht ist, wähle jeweils die kleinste Vielfachheit, die zu diesen sicheren Informationen passt. - Setze danach einen gut ablesbaren Punkt ein, um den noch unbekannten Vorfaktor zu bestimmen.

1. Graph a) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und berührt sie bei \(x=2\). Für den kleinstmöglichen Grad verwendet man daher die Vielfachheiten \(1\) und \(2\): \(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\). 2. Der Punkt \((0\mid1)\) liegt auf Graph a). Damit gilt \(1=a\cdot1\cdot4\), also \(a=0{,}25\). Somit ist \(f(x)=0{,}25(x+1)(x-2)^2\). 3. Graph b) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und bei \(x=2\). Bei \(x=-1\) liegt laut Zusatzinformation eine mehrfache Nullstelle vor. Schneiden verlangt eine ungerade Vielfachheit; die kleinste ungerade Vielfachheit größer als \(1\) ist daher \(3\). Für \(x=2\) genügt beim kleinstmöglichen Grad die Vielfachheit \(1\). Ansatz: \(g(x)=a(x+1)^3(x-2)\). 4. Der Punkt \((0\mid-1)\) liegt auf Graph b). Daher gilt \(-1=a\cdot1\cdot(-2)\), also \(a=0{,}5\). Somit ist \(g(x)=0{,}5(x+1)^3(x-2)\).

a) \(f(x)=0{,}25(x+1)(x-2)^2\) b) \(g(x)=0{,}5(x+1)^3(x-2)\)

- Schau dir den Verlauf des Graphen an den Stellen an, wo er die x-Achse berührt oder schneidet. Was sagt das über die Art der Nullstellen aus? - Erinnere dich daran, wie man eine Nullstelle mit ihrer Vielfachheit als Linearfaktor in ein Produkt schreibt. - Welcher Punkt des Graphen eignet sich besonders gut, um den Streckungsfaktor \(a\) vor dem Produkt zu berechnen? - Wenn du die Produktform aufgestellt hast, kannst du sie durch Ausmultiplizieren der Klammern in die Normalform bringen. Nutze dabei eventuell die binomischen Formeln.

1. **Nullstellen und Vielfachheiten ablesen:** An der Stelle \(x_1 = -1\) berührt der Graph die x-Achse, ohne sie zu schneiden. Es handelt sich somit um eine doppelte (zweifache) Nullstelle. An der Stelle \(x_2 = 2\) schneidet der Graph die x-Achse. Es handelt sich somit um eine einfache Nullstelle. 2. **Aufstellen der faktorisierten Form:** Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit diesen Nullstellen lautet: \(f(x) = a \cdot (x + 1)^2 \cdot (x - 2)\) 3. **Bestimmung des Streckungsfaktors \(a\):** Durch Einsetzen des Punktes \(P(0 \mid -2)\) erhält man: \(-2 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 2) \Rightarrow -2 = -2a \Rightarrow a = 1\) Die faktorisierte Form lautet somit: \(f(x) = (x + 1)^2(x - 2)\) 4. **Ausmultiplizieren in die Normalform:** \(f(x) = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2 = x^3 - 3x - 2\)

1. \(x_1 = -1\) ist eine doppelte Nullstelle, und \(x_2 = 2\) ist eine einfache Nullstelle. 2. Faktorisierte Form: \(f(x) = (x + 1)^2(x - 2)\); Normalform: \(f(x) = x^3 - 3x - 2\)

- Betrachte den Graphen genau: Welche besonderen Punkte kannst du auf den Achsen direkt ablesen? - Achte besonders darauf, wie der Graph die x-Achse schneidet oder berührt. Was sagt dir das über die Vielfachheit der Nullstellen? - Erinnere dich daran, wie man eine Funktion in der faktorisierten Form (Produktform) aufschreibt, wenn man die Nullstellen kennt. - Wie kannst du einen weiteren Punkt des Graphen (zum Beispiel auf der y-Achse) nutzen, um den Streckungsfaktor vor der Funktion zu bestimmen?

1. **Nullstellen und Vielfachheiten ablesen**: Aus dem Graphen lässt sich erkennen, dass bei \(x = -2\) ein Hochpunkt liegt, der die x-Achse berührt. Dies entspricht einer doppelten Nullstelle (Vielfachheit 2). Bei \(x = 1\) schneidet der Graph die x-Achse, was einer einfachen Nullstelle (Vielfachheit 1) entspricht. 2. **Produktansatz aufstellen**: Mit den Nullstellen \(x_1 = -2\) (doppelt) und \(x_2 = 1\) (einfach) lautet die faktorisierte Form der Funktion dritten Grades: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 1)\) 3. **Streckungsfaktor \(a\) bestimmen**: Der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse liegt bei \(S_y(0 \mid -2)\). Durch Einsetzen dieser Koordinaten in den Ansatz erhalten wir: \(-2 = a \cdot (0 + 2)^2 \cdot (0 - 1)\) \(-2 = a \cdot 4 \cdot (-1)\) \(-2 = -4a\) \(a = 0{,}5\) 4. **Funktionsterm angeben**: Eingesetzt ergibt sich der Funktionsterm in der faktorisierten Form zu \(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2(x - 1)\). Durch Ausmultiplizieren erhält man die Normalform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 + 4x + 4)(x - 1) = 0{,}5(x^3 + 3x^2 - 4) = 0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\)

\(f(x) = 0{,}5(x + 2)^2(x - 1)\) (oder in der Normalform \(f(x) = 0{,}5x^3 + 1{,}5x^2 - 2\))

- Nutze Symmetrie und die ablesbaren Nullstellen, um eine passende Produktform zu finden. - Ein Schnitt an der \(x\)-Achse zeigt eine ungerade Vielfachheit; ob sie wirklich einfach sein muss, kannst du zusätzlich mit dem gegebenen Grad und der Anzahl verschiedener Nullstellen prüfen. - Verwende anschließend den jeweils markierten Punkt, um den noch unbekannten Streckfaktor zu bestimmen. - Multipliziere erst am Ende in die verlangte Standardform aus.

1. Beim blauen Graphen sind die vier verschiedenen Nullstellen \(x=\pm1\) und \(x=\pm2\) ablesbar. Da der Grad \(4\) ist, müssen alle vier Nullstellen einfach sein. Daher kann man \(f(x)=a(x^2-1)(x^2-4)\) ansetzen. 2. Mit \(P(0\mid2)\) folgt \(2=4a\), also \(a=0{,}5\). Ausmultipliziert ergibt sich \(f(x)=0{,}5x^4-2{,}5x^2+2\). 3. Beim orangefarbenen Graphen sind die drei verschiedenen Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm3\) ablesbar. Da der Grad \(3\) ist, sind sie alle einfach. Mit der Punktsymmetrie zum Ursprung passt der Ansatz \(g(x)=\lambda x(x^2-9)\). 4. Mit \(Q(2\mid-2)\) erhält man \(-2=\lambda\cdot2\cdot(4-9)=-10\lambda\), also \(\lambda=0{,}2\). Damit ist \(g(x)=0{,}2x^3-1{,}8x\).

\(f(x)=0{,}5x^4-2{,}5x^2+2\) \(g(x)=0{,}2x^3-1{,}8x\)

- Betrachte zuerst das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr große negative \(x\)-Werte (Globalverhalten). Welcher Graph fällt nach rechts ab? - Unterscheide zwischen einfachen und doppelten Nullstellen: An einer einfachen Nullstelle schneidet der Graph die \(x\)-Achse, an einer doppelten Nullstelle berührt er sie nur. - Bestimme für jede Funktion die Lage der Nullstellen und ob es sich um einen Berührpunkt oder einen Schnittpunkt handelt. - Du kannst auch den \(y\)-Achsenabschnitt berechnen, indem du \(x = 0\) in die Funktionsgleichungen einsetzt, um deine Zuordnung zu überprüfen.

1. **Zuordnung von \(g(x) = -(x-1) \cdot (x+2)^2\):** - **Globalverhalten:** Der Grad der Funktion ist ungerade (\(3\)) und der Leitkoeffizient negativ (\(-1\)). Daher gilt: Für \(x \to \infty\) strebt \(g(x) \to -\infty\), und für \(x \to -\infty\) strebt \(g(x) \to \infty\). Der Graph verläuft also von links oben nach rechts unten. Dies trifft nur auf **Graph A** zu. - **Nullstellen:** Bei \(x = -2\) liegt eine doppelte Nullstelle vor (Berührpunkt), bei \(x = 1\) eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt). Dies passt exakt zu Graph A. - **Ergebnis:** Graph A gehört zu \(g(x)\). 2. **Zuordnung von \(f(x) = (x-1)^2 \cdot (x+2)\):** - **Globalverhalten:** Der Grad ist \(3\) und der Leitkoeffizient positiv (\(+1\)). Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), der Graph verläuft von links unten nach rechts oben (wie bei Graph B und Graph C). - **Nullstellen:** Der quadrierte Faktor \((x-1)^2\) bedeutet eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = 1\). Der Faktor \((x+2)\) bedeutet eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) bei \(x = -2\). - **Vergleich:** Graph B hat einen Berührpunkt bei \(x = 1\) und einen Schnittpunkt bei \(x = -2\). - **Ergebnis:** Graph B gehört zu \(f(x)\). 3. **Zuordnung von \(h(x) = (x-1) \cdot (x+2)^2\):** - **Globalverhalten:** Der Grad ist \(3\) und der Leitkoeffizient positiv (\(+1\)), der Graph verläuft von links unten nach rechts oben (wie Graph C). - **Nullstellen:** Der quadrierte Faktor \((x+2)^2\) führt zu einer doppelten Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = -2\). Bei \(x = 1\) liegt eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) vor. Dies entspricht Graph C. - **Ergebnis:** Graph C gehört zu \(h(x)\).

**Graph A** gehört zu \(g(x) = -(x-1) \cdot (x+2)^2\); **Graph B** gehört zu \(f(x) = (x-1)^2 \cdot (x+2)\); **Graph C** gehört zu \(h(x) = (x-1) \cdot (x+2)^2\).

- Überlege dir, wie sich der Graph an einer einfachen im Vergleich zu einer doppelten Nullstelle verhält. Berührt er die Achse nur oder schneidet er sie? - Verwende für den Funktionsterm die Produktform (Nullstellenform): \(f(x) = a(x - x_1)^{n_1}(x - x_2)^{n_2}\), wobei \(x_1, x_2\) die Nullstellen und \(n_1, n_2\) ihre Vielfachheiten sind. - Wo schneidet der Graph die senkrechte \(y\)-Achse? Bestimme diesen Punkt genau. - Setze die Koordinaten dieses Schnittpunkts in deine Funktionsgleichung ein, um nach dem verbleibenden Parameter \(a\) aufzulösen.

1. **Nullstellen und Vielfachheit**: - Bei \(x = -1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. Es handelt sich somit um eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2). - Bei \(x = 3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Es handelt sich um eine einfache Nullstelle (Vielfachheit 1). 2. **Faktorisierte Form aufstellen**: - Mit den Nullstellen \(x_1 = -1\) (doppelt) und \(x_2 = 3\) (einfach) lautet der Ansatz: \(f(x) = a(x + 1)^2(x - 3)\) 3. **Bestimmung des Parameters \(a\)**: - Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \((0 \mid 1{,}5)\). - Setze \(x = 0\) und \(y = 1{,}5\) in den Ansatz ein: \(1{,}5 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 3)\) \(1{,}5 = a \cdot 1 \cdot (-3)\) \(1{,}5 = -3a \implies a = -0{,}5\) 4. **Ergebnis**: - Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}5(x + 1)^2(x - 3)\).

a) Doppelte Nullstelle bei \(x = -1\), einfache Nullstelle bei \(x = 3\). b) \(f(x) = -0{,}5(x + 1)^2(x - 3)\)

- Wo liegen die Nullstellen und schneidet oder berührt der Graph dort die \(x\)-Achse? - Welche Antwortmöglichkeiten besitzen genau dieses Vielfachheitsmuster? - Unterscheide die verbliebenen Terme mit einem Funktionswert, der im dargestellten Fenster gut ablesbar ist.

1. Der Graph berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und \(x=2\). Beide Nullstellen müssen daher gerade Vielfachheit haben. Von den Angeboten bleiben a) und c). 2. Am \(y\)-Achsenabschnitt ist ungefähr \(p(0)=-1{,}6\) ablesbar. Für a) gilt \(p(0)=1{,}6\), für c) gilt \(p(0)=-1{,}6\). 3. Damit ist c) der passende Funktionsterm.

c) \(p(x)=-0{,}1(x+2)^2(x-2)^2\)

- Wo schneidet der Graph die \(y\)-Achse? Setze dafür \(x = 0\) in die Gleichungen ein. - Überprüfe die Nullstellen. Wo schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Ein Berührpunkt deutet auf eine doppelte Nullstelle hin. In welchem Funktionsterm findest du eine solche? - Nutze die Symmetrie: Welche Graphen sind symmetrisch zur \(y\)-Achse?

1. \(p(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\): Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(2\). Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\), \(x = 1\) und \(x = 2\) (einfache Nullstellen, der Graph schneidet die Achse). Dies passt zu Graph **B**. 2. \(q(x) = -x^4 + 2x^2 + 1\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (nur gerade Exponenten) und hat einen \(y\)-Achsenabschnitt von \(1\). Da der Leitkoeffizient negativ ist, öffnet er nach unten. Dies passt zu Graph **A**. 3. \(r(x) = 0{,}5x^3 - 1{,}5x + 1\): Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(1\). Bei \(x = 1\) liegt eine doppelte Nullstelle vor (der Graph berührt die \(x\)-Achse). Bei \(x = -2\) liegt eine einfache Nullstelle. Dies passt zu Graph **D**. 4. \(s(x) = x^4 - 5x^2 + 4\): Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse mit einem \(y\)-Achsenabschnitt von \(4\). Die Nullstellen liegen bei \(\pm 1\) und \(\pm 2\). Dies passt zu Graph **C**.

1. Graph B; 2. Graph A; 3. Graph D; 4. Graph C.

- Eine einfache Nullstelle bedeutet, dass der Graph die x-Achse schneidet. - Eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die x-Achse berührt (Extrempunkt auf der Achse). - Achte auf das Verhalten des Graphen für sehr große und sehr kleine x-Werte. - Wie viele Nullstellen hat eine Funktion vom Grad 3 maximal? Wie viele eine vom Grad 4?

1. Die Funktion \(p(x) = 0{,}5x(x^2 - 4) = 0{,}5x(x-2)(x+2)\) hat drei einfache Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\), und für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). Dies passt zu Graph C. 2. Die Funktion \(q(x) = x^2(1 - 0{,}25x^2) = -0{,}25x^2(x-2)(x+2)\) hat eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) bei \(x = 0\) und zwei einfache Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\). Wegen des negativen Leitkoeffizienten des \(x^4\)-Terms gilt für \(|x| \to \infty\): \(q(x) \to -\infty\) (M-Form). Dies passt zu Graph A. 3. Die Funktion \(r(x) = (x-1)^2(x+2)\) hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 1\) und eine einfache Nullstelle bei \(x = -2\). Dies passt zu Graph B.

1 gehört zu Graph C; 2 gehört zu Graph A; 3 gehört zu Graph B.

- Nutze die Grafik zunächst nur, um Kandidaten für die Schnittpunkte zu gewinnen. - Ein abgelesener Kandidat ist erst bestätigt, wenn beide Funktionen dort denselben Wert haben. - Die Produktdarstellung der Differenz zeigt mit dem Nullproduktsatz, welche \(x\)-Werte überhaupt möglich sind.

1. Aus der Abbildung liest man als Kandidaten die Schnittpunkte \((-1\mid4)\) und \((2\mid4)\) ab. 2. Es gilt \(f(-1)=-(-1)^3+3(-1)^2=1+3=4=g(-1)\). Außerdem ist \(f(2)=-8+12=4=g(2)\). Beide Kandidaten sind also tatsächlich Schnittpunkte. 3. Schnittpunkte erfüllen \(f(x)-g(x)=0\). Mit der gegebenen Produktdarstellung folgt \(-(x+1)(x-2)^2=0\). Nach dem Nullproduktsatz sind nur \(x=-1\) und \(x=2\) möglich. Weitere Schnittpunkte gibt es nicht.

\(S_1(-1\mid4)\) und \(S_2(2\mid4)\)

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Koordinaten eines Schnittpunkts erfüllen? - Prüfe nach dem Umformen, ob sich ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt. - Zu jedem gefundenen \(x\)-Wert gehört noch der gemeinsame Funktionswert als \(y\)-Koordinate.

1. Für Schnittpunkte gilt \(x^3-3x+1=x+1\). 2. Umformen ergibt \(x^3-4x=0\), also \(x(x^2-4)=0\). 3. Nach dem Nullproduktsatz folgen \(x=0\), \(x=2\) und \(x=-2\). 4. Mit \(g(x)=x+1\) erhält man die zugehörigen Werte \(g(0)=1\), \(g(2)=3\) und \(g(-2)=-1\).

\(S_1(-2\mid-1)\), \(S_2(0\mid1)\), \(S_3(2\mid3)\)

- Schau dir die Stellen an, an denen der Graph die x-Achse berührt oder schneidet. Was sagt das über die Faktoren im Funktionsterm aus? - Ein Berührpunkt deutet auf eine gerade Vielfachheit (mindestens 2) hin, ein Schnittpunkt auf eine ungerade (hier mindestens 1). - Setze die gefundenen Nullstellen in die allgemeine Produktform \(f(x) = a(x - x_1)^{n_1}(x - x_2)^{n_2} \dots\) ein. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter \(a\) mit einem weiteren Punkt auf dem Graphen bestimmen?

1. Identifikation der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten aus dem Graphen: Bei \(x = -3\) berührt der Graph die x-Achse, was auf eine doppelte Nullstelle (Vielfachheit 2) hindeutet. Bei \(x = 1\) schneidet der Graph die x-Achse, was einer einfachen Nullstelle entspricht. 2. Aufstellen des Funktionsterms in der faktorisierten Form (Produktform): \(f(x) = a(x + 3)^2(x - 1)\). 3. Bestimmung des Streckfaktors \(a\) mithilfe des markierten Punktes \((0 \mid -1{,}8)\): Einsetzen ergibt \(-1{,}8 = a \cdot (0 + 3)^2 \cdot (0 - 1) = a \cdot 9 \cdot (-1) = -9a\). 4. Berechnung von \(a\): \(a = \frac{-1{,}8}{-9} = 0{,}2\). 5. Der fertige Funktionsterm lautet: \(f(x) = 0{,}2(x + 3)^2(x - 1)\).

\(f(x) = 0{,}2(x + 3)^2(x - 1)\)

- Überlege dir, welchen Grad die Funktion mindestens haben muss, wenn sie bei \(x=0\) nur berührt und bei \(x=3\) schneidet. - Erinnere dich an die Nullstellenform für Polynome. - Nutze den Punkt \((1 \mid -2)\), um den Leitkoeffizienten zu berechnen.

1. Ablesen der Nullstellen: Der Graph hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt/Extremum auf der x-Achse) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 3\) (Schnittpunkt). 2. Ansatz in Produktform für Grad 3: \(f(x) = ax^2(x - 3)\). 3. Bestimmung von \(a\) durch den Punkt \((1 \mid -2)\): Einsetzen ergibt \(-2 = a \cdot 1^2 \cdot (1 - 3) = a \cdot (-2) = -2a\). 4. Auflösen nach \(a\): \(a = 1\). 5. Ergebnis: \(f(x) = x^2(x - 3)\) oder ausmultipliziert \(f(x) = x^3 - 3x^2\).

\(f(x) = x^2(x - 3)\)

- Drei verschiedene Nullstellen bei einer Funktion dritten Grades legen drei einfache Linearfaktoren fest. - Setze zunächst einen unbekannten Vorfaktor vor das Produkt dieser Faktoren. - Welcher gegebene Punkt bestimmt anschließend diesen Vorfaktor eindeutig?

1. Eine Funktion dritten Grades mit den drei verschiedenen Nullstellen \(-2\), \(0\) und \(2\) hat die Form \(f(x)=a(x+2)x(x-2)\). 2. Einsetzen von \(P(1\mid-3)\) liefert \(-3=a\cdot3\cdot1\cdot(-1)=-3a\). 3. Somit ist \(a=1\) und \(f(x)=x(x+2)(x-2)=x^3-4x\).

\(f(x)=x(x+2)(x-2)=x^3-4x\)

- Welche kleinste ungerade Vielfachheit passt zu einem schneidenden Verlauf, wenn zugleich der kleinstmögliche Grad gesucht ist? - Schreibe mit diesen Nullstellen zunächst eine Produktform mit unbekanntem Vorfaktor. - Der \(y\)-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei \(x=0\).

1. Für den kleinstmöglichen Grad werden die drei schneidenden Nullstellen jeweils einfach angesetzt: \(f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2)\). 2. Aus dem \(y\)-Achsenabschnitt folgt \(f(0)=2\). Daher gilt \(2=a\cdot1\cdot(-1)\cdot(-2)=2a\). 3. Somit ist \(a=1\) und \(f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)\).

\(f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)\)

- Welche kleinste gerade Vielfachheit passt zu einer berührenden Nullstelle, wenn der Grad möglichst niedrig sein soll? - Stelle zunächst die Produktform mit einem unbekannten Vorfaktor auf. - Welcher gegebene Punkt bestimmt diesen Vorfaktor?

1. Für den kleinstmöglichen Grad werden beide berührenden Nullstellen doppelt angesetzt. Daher gilt \(f(x)=a(x+2)^2(x-2)^2\). 2. Mit \(S(0\mid-4)\) erhält man \(-4=a\cdot4\cdot4=16a\). 3. Somit ist \(a=-0{,}25\) und \(f(x)=-0{,}25(x+2)^2(x-2)^2=-0{,}25(x^2-4)^2\).

\(f(x)=-0{,}25(x^2-4)^2\)

- Was bedeutet eine Berührstelle für die Parität ihrer Vielfachheit? - Wie beschränkt der vorgegebene Grad \(4\) die möglichen Vielfachheiten der beiden Nullstellen? - Nutze den gegebenen Punkt erst, nachdem die Produktform bis auf den Vorfaktor feststeht.

1. Beide Berührstellen sind Nullstellen gerader Vielfachheit. Da die Funktion genau Grad \(4\) hat, müssen beide Nullstellen doppelt sein. 2. Daher lautet der Ansatz \(f(x)=ax^2(x-3)^2\). 3. Mit \(P(1\mid4)\) folgt \(4=a\cdot1^2\cdot(-2)^2=4a\), also \(a=1\). 4. Damit ist \(f(x)=x^2(x-3)^2\).

\(f(x)=x^2(x-3)^2\)

- Welche kleinsten Vielfachheiten passen beim kleinstmöglichen Grad zu Berühren beziehungsweise Schneiden? - Addiere diese Vielfachheiten, um den minimalen Grad zu prüfen. - Setze danach den gegebenen Punkt ein, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Für den kleinstmöglichen Grad wird die berührende Nullstelle \(x=0\) doppelt und die beiden schneidenden Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\) jeweils einfach angesetzt. Der minimale Grad ist \(4\). 2. Daher gilt \(f(x)=ax^2(x+2)(x-2)=ax^2(x^2-4)\). 3. Mit \(P(1\mid-3)\) folgt \(-3=a\cdot1\cdot(-3)=-3a\), also \(a=1\). 4. Somit ist \(f(x)=x^2(x^2-4)=x^4-4x^2\).

\(f(x)=x^2(x^2-4)=x^4-4x^2\)

- Lies für jede Nullstelle ab, ob der Graph die Achse schneidet oder berührt. - Prüfe mit dem vorgegebenen Grad, welche Vielfachheiten zusammen möglich sind. - Nutze den markierten \(y\)-Achsenabschnitt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und \(x=2\) und berührt sie bei \(x=1\). Da der Grad \(4\) vorgegeben ist, ergeben sich die Vielfachheiten \(1\), \(1\) und \(2\). 2. Ansatz: \(f(x)=a(x+1)(x-2)(x-1)^2\). 3. Der markierte Punkt \((0\mid2)\) liefert \(2=a\cdot1\cdot(-2)\cdot1=-2a\), also \(a=-1\). 4. Damit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-(x+1)(x-2)(x-1)^2\).

\(f(x)=-(x+1)(x-2)(x-1)^2\)

- Überlege zuerst, welcher Funktionstyp (Grad der Funktion) zu welchem Graphen passt. - Achte auf die Art der Nullstellen: Wo berührt der Graph die x-Achse, und wo schneidet er sie? - Du kannst einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen (zum Beispiel den Schnittpunkt mit der y-Achse) nutzen, um den Streckfaktor \(a\) bzw. \(b\) zu berechnen.

1. Zuordnung: Der Graph \(f\) (orange) hat eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt), was der Form \(p(x)\) entspricht. Der Graph \(g\) (blau) hat zwei doppelte Nullstellen, was der Form \(q(x)\) entspricht. 2. Bestimmung der Parameter für \(f\): Aus dem Graphen liest man die doppelte Nullstelle bei \(x_1 = -1\) und die einfache Nullstelle bei \(x_2 = 2\) ab. Einsetzen in \(p(x)\) ergibt \(p(x) = a(x+1)^2(x-2)\). Mit dem y-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\) folgt: \(a(0+1)^2(0-2) = -2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1\). 3. Bestimmung der Parameter für \(g\): Die doppelten Nullstellen liegen bei \(x_3 = -2\) und \(x_4 = 2\). Einsetzen in \(q(x)\) ergibt \(q(x) = b(x+2)^2(x-2)^2\). Mit dem Punkt \((0 \mid 2)\) folgt: \(b(0+2)^2(0-2)^2 = 2 \Rightarrow 16b = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{8} = 0{,}125\).

Graph \(f\) gehört zu \(p(x)\) mit \(a = 1\), \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 2\). Graph \(g\) gehört zu \(q(x)\) mit \(b = 0{,}125\), \(x_3 = -2\) und \(x_4 = 2\).

- Welche Vielfachheit besitzt \(x=1\) in Abhängigkeit von \(n\)? - Vergleiche gerade und ungerade Vielfachheiten hinsichtlich des Vorzeichenwechsels. - Für das Globalverhalten von \(f_3\) kannst du Grad und Leitkoeffizient direkt aus der Produktform bestimmen. - Vergleiche für \(|x-1|<1\) die Beträge verschiedener Potenzen von \(|x-1|\).

1. Für \(n=1\) ist \(x=1\) eine einfache Nullstelle. Der Graph schneidet dort die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel. Für \(n=2\) ist \(x=1\) doppelt; der Graph berührt die Achse ohne Vorzeichenwechsel. 2. Für \(n=3\) gilt \(f_3(x)=\frac{1}{4}(x+2)(x-1)^3\). Bei \(x=-2\) liegt eine einfache und bei \(x=1\) eine dreifache Nullstelle vor. An beiden Stellen schneidet der Graph die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel; bei \(x=1\) verläuft er wegen der höheren Vielfachheit deutlich flacher. Der Grad ist \(4\) und der Leitkoeffizient positiv, also gilt \(f_3(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 3. Für gerade \(n\) berührt der Graph bei \(x=1\) die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Für ungerade \(n\) schneidet er sie mit Vorzeichenwechsel. Mit wachsendem \(n\) liegt der Graph in einer kleinen Umgebung von \(x=1\) immer näher an der \(x\)-Achse.

a) \(n=1\): Schneiden mit Vorzeichenwechsel; \(n=2\): Berühren ohne Vorzeichenwechsel. b) Für \(n=3\) sind \(x=-2\) einfach und \(x=1\) dreifach; beide werden geschnitten, bei \(x=1\) flacher. Außerdem gilt \(f_3(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). c) Gerade \(n\): Berühren ohne Vorzeichenwechsel. Ungerade \(n\): Schneiden mit Vorzeichenwechsel. Mit größerem \(n\) wird der Verlauf nahe \(x=1\) flacher.

- Wo liegen die Nullstellen der Funktion? Setze dazu die einzelnen Faktoren des Funktionsterms gleich Null. - Überlege, was das Quadrat an einem Faktor für das Aussehen des Graphen an dieser Stelle bedeutet. Schneidet er dort die Achse oder berührt er sie nur? - Prüfe, in welche Richtung der Graph am rechten Rand verläuft.

1. Die Nullstellen von \(f\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). 2. Bei \(x = -1\) liegt eine doppelte Nullstelle vor (wegen des Quadrats am Faktor \((x+1)\)). Der Graph muss die \(x\)-Achse dort berühren (ein Extrempunkt liegt auf der Achse). 3. Bei \(x = 3\) liegt eine einfache Nullstelle vor (der Faktor \((x-3)\) tritt nur einmal auf). Der Graph muss die \(x\)-Achse dort schneiden. 4. Da der Leitkoeffizient \(0{,}2\) positiv ist und der Grad der Funktion \(3\) beträgt, verläuft der Graph für \(x \to \infty\) ins Positive. 5. Nur Graph 1 erfüllt alle diese Kriterien: Berührpunkt bei \(-1\), Schnittpunkt bei \(3\) und positiver Verlauf nach rechts oben.

Graph 1 ist die richtige Darstellung der Funktion \(f\).

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stellen sind deine Werte für \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\). - Setze die abgelesenen Nullstellen in die vorgegebene Formel ein. Achte dabei auf die Vorzeichen. - Wie kannst du den gegebenen Punkt \(P\) nutzen, um den noch unbekannten Wert für \(a\) zu finden?

1. Aus dem Graphen lassen sich die drei einfachen Nullstellen bei \(x_1 = -4\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 4\) ablesen. 2. Damit ergibt sich der Ansatz: \(f(x) = a(x + 4)x(x - 4)\). 3. Um \(a\) zu bestimmen, wird der Punkt \(P(2 \mid 2{,}4)\) in die Gleichung eingesetzt: \(2{,}4 = a \cdot (2 + 4) \cdot 2 \cdot (2 - 4)\). 4. Rechnung: \(2{,}4 = a \cdot 6 \cdot 2 \cdot (-2) = -24 \cdot a\). 5. Division durch \(-24\) ergibt \(a = \frac{2{,}4}{-24} = -0{,}1\). 6. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = -0{,}1x(x + 4)(x - 4)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -0{,}1x(x + 4)(x - 4)\).

- Schnittpunkte erfüllen die Gleichung \(f(x)=g(x)\). - Prüfe, ob sich der entstehende kubische Term durch Gruppieren faktorisieren lässt. - Die Vielfachheit einer Nullstelle der Differenz \(f-g\) beschreibt, ob die beiden Graphen dort die Reihenfolge wechseln oder sich nur berühren.

1. Gleichsetzen ergibt \(x^3-x=x^2-1\), also \(x^3-x^2-x+1=0\). 2. Durch Gruppieren folgt \(x^2(x-1)-(x-1)=0\), also \((x-1)(x^2-1)=0\) und damit \((x-1)^2(x+1)=0\). 3. Somit sind \(x=1\) eine doppelte und \(x=-1\) eine einfache Lösung der Differenzgleichung. 4. Für beide Werte ist der gemeinsame Funktionswert \(0\). Daher lauten die gemeinsamen Punkte \((1\mid0)\) und \((-1\mid0)\). 5. Bei \(x=1\) hat die Differenzfunktion eine gerade Vielfachheit und wechselt dort nicht das Vorzeichen. Die beiden Graphen berühren sich daher an diesem Punkt. Bei \(x=-1\) liegt ein Schnitt mit Vorzeichenwechsel vor.

Schnittpunkte: \((-1\mid0)\) und \((1\mid0)\). Bei \(x=1\) berühren sich die Graphen.

- Schau dir genau an, wo die Graphen die x-Achse berühren oder schneiden. - Ein Berührpunkt deutet auf eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit hin (z. B. ein quadratischer Faktor). - Ein einfacher Schnittpunkt gehört zu einer Nullstelle mit der Vielfachheit 1. - Prüfe zusätzlich den y-Achsenabschnitt, indem du \(x = 0\) in die Terme einsetzt.

1. Term (A) gehört zu Graph \(f\): Der Faktor \((x+2)^2\) zeigt eine doppelte Nullstelle bei \(x = -2\) an, was einem Berührpunkt (Extremum auf der x-Achse) entspricht. Die einfache Nullstelle bei \(x = 1\) (Faktor \(x-1\)) ist ein Schnittpunkt. 2. Term (B) gehört zu Graph \(g\): Hier liegt bei \(x = -2\) eine einfache Nullstelle (Schnittpunkt) und bei \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt) vor. Das negative Vorzeichen bewirkt, dass der Graph für große x-Werte ins Negative fällt. 3. Term (C) gehört zu Graph \(h\): Der Term hat drei einfache Nullstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Graph schneidet die x-Achse an all diesen drei Stellen.

\((A) \to f;\ (B) \to g;\ (C) \to h\)

- Vergleiche Lage und Vielfachheit der Nullstellen im Term mit dem dargestellten Graphen. - Prüfe, ob der Graph weitere Nullstellen zeigt, die im Term nicht vorkommen. - Ein einzelner exakt berechenbarer Funktionswert, etwa bei \(x=0\), kann einen weiteren unabhängigen Widerspruch liefern.

1. \(g\) hat bei \(x=-1\) eine einfache Nullstelle und müsste dort die \(x\)-Achse schneiden. Der abgebildete Graph berührt die Achse bei \(x=-1\). 2. \(g\) besitzt nur die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=2\). Der abgebildete Graph hat zusätzlich eine Nullstelle bei \(x=-2\). 3. Für \(g\) gilt \(g(0)=-0{,}5\cdot1\cdot4=-2\). Am abgebildeten Graphen ist bei \(x=0\) dagegen ungefähr \(-0{,}4\) abzulesen.

Drei Widersprüche sind: falsches Berühr-/Schnittverhalten bei \(x=-1\), eine zusätzliche Nullstelle bei \(x=-2\) und ein falscher \(y\)-Achsenabschnitt.

- Was ist der Unterschied in der Funktionsgleichung zwischen einer Nullstelle, an der der Graph schneidet, und einer, an der er nur berührt? - Wie viele Nullstellen (einschließlich ihrer Vielfachheit) erwartest du bei einer Funktion vierten Grades? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P\) ein, um den Streckfaktor zu finden.

1. Nullstellen und Vielfachheit ablesen: - Bei \(x = -2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse, es liegt also eine doppelte Nullstelle vor. - Bei \(x = 1\) und \(x = 4\) kreuzt der Graph die \(x\)-Achse (einfache Nullstellen). 2. Ansatz aufstellen: \(h(x) = a(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)\). 3. Parameter \(a\) bestimmen: Nutze den Punkt \(P(3 \mid 5)\). \(5 = a \cdot (3 + 2)^2 \cdot (3 - 1) \cdot (3 - 4)\) \(5 = a \cdot 5^2 \cdot 2 \cdot (-1)\) \(5 = a \cdot 25 \cdot (-2) = -50a\) \(a = \frac{5}{-50} = -0{,}1\). 4. Funktionsgleichung: \(h(x) = -0{,}1(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)\).

Eine mögliche Funktionsgleichung lautet \(h(x) = -0{,}1(x + 2)^2(x - 1)(x - 4)\).

- Überlege dir, wie sich eine einfache Nullstelle im Vergleich zu einer doppelten Nullstelle im Graphen äußert. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt die Symmetrie des Graphen? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um einen der Parameter direkt abzulesen. - Setze die Koordinaten eines weiteren gut ablesbaren Punktes in die Funktionsgleichung ein, um die restlichen Unbekannten zu berechnen.

1. Zuordnung und Begründung: Graph A gehört zur Funktion \(f\). Er hat eine einfache Nullstelle bei \(x=-2\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x=1\). Graph B ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, was zur Form \(g(x)=bx^4+c\) passt. 2. Parameterbestimmung für \(g\): Graph B hat den \(y\)-Achsenabschnitt \(2\), also \(c=2\). Er verläuft durch \((2 \mid 0)\). Damit gilt \(0=b\cdot 2^4+2\), also \(16b=-2\) und \(b=-\frac18=-0{,}125\). 3. Parameterbestimmung für \(f\): Graph A schneidet die \(y\)-Achse bei \(1\). Daher gilt \(1=a(0+2)(0-1)^2=2a\), also \(a=0{,}5\).

a) Graph A gehört zu \(f\), da er bei \(x=-2\) die Achse schneidet und sie bei \(x=1\) berührt. Graph B gehört zu \(g\). b) \(a=0{,}5\), \(b=-0{,}125\) und \(c=2\).

- Schau dir genau an, ob der Graph die x-Achse schneidet oder nur berührt. - Überlege, wie die Art der Nullstelle (Schnittpunkt oder Berührpunkt) die Potenz des zugehörigen Linearfaktors beeinflusst. - Ein Berührpunkt deutet auf eine gerade Vielfachheit der Nullstelle hin, ein einfacher Schnittpunkt auf eine ungerade. - Suche dir einen Punkt auf dem Graphen, der genau auf einem Gitterkreuz liegt, um den Streckfaktor \(a\) zu berechnen.

1. Analyse von Graph a): Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach, Vorzeichenwechsel), \(x_2 = 0\) (doppelt, Berührpunkt), \(x_3 = 2\) (einfach, Vorzeichenwechsel). Daraus folgt der Ansatz: \(f(x) = ax^2(x + 3)(x - 2)\). Ablesen eines Punktes: \(P(-2 \mid 4)\). Einsetzen in den Ansatz: \(4 = a \cdot (-2)^2 \cdot (-2 + 3) \cdot (-2 - 2) = a \cdot 4 \cdot 1 \cdot (-4) = -16a\). Berechnung des Streckfaktors: \(a = -\frac{4}{16} = -0{,}25\). Ergebnis: \(f(x) = -0{,}25x^2(x + 3)(x - 2)\). 2. Analyse von Graph b): Ablesen der Nullstellen: \(x_1 = -2\) (einfach), \(x_2 = 1\) (einfach), \(x_3 = 3\) (doppelt, Berührpunkt). Daraus folgt der Ansatz: \(g(x) = a(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2\). Ablesen eines Punktes: \(P(2 \mid 1)\). Einsetzen in den Ansatz: \(1 = a \cdot (2 + 2) \cdot (2 - 1) \cdot (2 - 3)^2 = a \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4a\). Berechnung des Streckfaktors: \(a = 0{,}25\). Ergebnis: \(g(x) = 0{,}25(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2\).

a) \(f(x) = -0{,}25x^2(x + 3)(x - 2)\) b) \(g(x) = 0{,}25(x + 2)(x - 1)(x - 3)^2\)

- Schau dir an, wo der Graph die waagerechte Achse kreuzt oder berührt. - Überlege dir, wie sich der Graph an den Nullstellen verhält: Geht er hindurch oder kehrt er um? - Du kannst die Nullstellen direkt in die Klammern der Produktdarstellung schreiben. Vergiss das Vorzeichen nicht! - Um den genauen Wert des Faktors vor den Klammern zu finden, hilft ein zusätzlicher Punkt auf dem Graphen. - Multipliziere die Klammern schrittweise aus, um zur Normalform zu gelangen.

1. Nullstellen aus dem Graphen ablesen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\). Da der Graph die Achse an allen drei Stellen schneidet, handelt es sich um einfache Nullstellen. 2. Faktorisierte Form aufstellen: Mit dem Streckfaktor \(a\) lautet der Ansatz \(f(x) = a(x + 3)(x + 1)(x - 2)\). 3. Streckfaktor \(a\) berechnen: Den Punkt \(P(0 \mid -3)\) in den Ansatz einsetzen: \(-3 = a \cdot (0 + 3) \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 2)\) \(-3 = a \cdot 3 \cdot 1 \cdot (-2)\) \(-3 = -6a \Rightarrow a = 0{,}5\). Die faktorisierte Form ist \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x + 1)(x - 2)\). 4. Umwandlung in die Normalform: \(f(x) = 0{,}5(x^2 + 4x + 3)(x - 2)\) \(f(x) = 0{,}5(x^3 - 2x^2 + 4x^2 - 8x + 3x - 6)\) \(f(x) = 0{,}5(x^3 + 2x^2 - 5x - 6) = 0{,}5x^3 + x^2 - 2{,}5x - 3\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach), \(x_2 = -1\) (einfach), \(x_3 = 2\) (einfach). b) Faktorisierte Form: \(f(x) = 0{,}5(x + 3)(x + 1)(x - 2)\). c) Normalform: \(f(x) = 0{,}5x^3 + x^2 - 2{,}5x - 3\).

- Achte auf das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von \(x\). Es verrät dir, ob der Graph nach oben oder unten geöffnet ist. - Überlege dir, ob ein Graph die \(x\)-Achse schneidet oder nur berührt. Was bedeutet das für die Vielfachheit der Nullstellen? - Der Wert der Funktion bei \(x = 0\) ist oft leicht abzulesen und hilft beim Ausschlussverfahren. - Zähle die Anzahl der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse.

1. Analyse des Globalverhaltens: Die Terme \(y_A\) und \(y_B\) haben einen positiven Leitkoeffizienten (\(1\)), die Graphen öffnen sich also nach oben. Das trifft auf \(k_1\) und \(k_3\) zu. Der Term \(y_C\) hat einen negativen Leitkoeffizienten (\(-0{,}5\)), der Graph öffnet sich nach unten. Dies entspricht Graph \(k_2\). 2. Analyse der Nullstellen für \(y_A\) und \(y_B\): - Der Term \(y_A = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2\) besitzt zwei doppelte Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = -1\). An diesen Stellen berührt der Graph die \(x\)-Achse, ohne sie zu schneiden. Dies erkennt man bei Graph \(k_3\). - Der Term \(y_B = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\) besitzt vier einfache Nullstellen bei \(x = \pm 1\) und \(x = \pm 2\). An diesen Stellen schneidet der Graph die \(x\)-Achse. Dies passt zu Graph \(k_1\). 3. Überprüfung des \(y\)-Achsenabschnitts: Für \(y_B\) gilt \(y_B(0) = 4\), was mit Graph \(k_1\) übereinstimmt. Für \(y_A\) gilt \(y_A(0) = 1\), passend zu Graph \(k_3\). Für \(y_C\) gilt \(y_C(0) = -2\), passend zu Graph \(k_2\).

Graph \(k_1\) gehört zu \(y_B = x^4 - 5x^2 + 4\); Graph \(k_2\) gehört zu \(y_C = -0{,}5x^4 + 2{,}5x^2 - 2\); Graph \(k_3\) gehört zu \(y_A = x^4 - 2x^2 + 1\).

- Ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse deutet auf eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit hin. - Überlege, wie du den Term \((x-2)^2(x+2)^2\) vereinfachen kannst, bevor du ihn ausmultiplizierst.

1. Ablesen der Merkmale: Der Graph hat sein lokales Maximum bei \((0 \mid 4)\), also ist \(c = 4\). Er berührt die \(x\)-Achse bei \(x = -2\) und \(x = 2\), was auf doppelte Nullstellen hinweist. 2. Ansatz: \(f(x) = a(x - 2)^2(x + 2)^2 = a(x^2 - 4)^2\). 3. Punktprobe mit \((0 \mid 4)\): \(4 = a \cdot (0^2 - 4)^2 = 16a \implies a = \frac{4}{16} = 0{,}25\). 4. Term ausformulieren: \(f(x) = 0{,}25 \cdot (x^4 - 8x^2 + 16) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\).

\(f(x) = 0{,}25x^4 - 2x^2 + 4\)

- Welche Potenz von \(x\) kannst du aus der vorgegebenen Form vollständig ausklammern? - Was sagt diese Faktorisierung bereits über die Nullstelle im Ursprung aus? - Nutze die zweite Nullstelle und anschließend einen weiteren gut ablesbaren Punkt, um die beiden Koeffizienten festzulegen.

1. Zunächst wird die vorgegebene Form faktorisiert: \(f(x)=x^3(ax+b)\). Damit ist \(x=0\) mindestens eine dreifache Nullstelle; der abgeflachte Schnitt im Ursprung passt dazu. 2. Aus der zweiten Nullstelle \(x=-2\) folgt \(-2a+b=0\), also \(b=2a\). 3. Der gut ablesbare Punkt \((-1\mid1)\) liegt auf dem Graphen. Daher gilt \(1=a(-1)^4+b(-1)^3=a-b\). 4. Mit \(b=2a\) erhält man \(1=a-2a=-a\), also \(a=-1\) und \(b=-2\). 5. Somit lautet der Funktionsterm \(f(x)=-x^4-2x^3\).

\(f(x)=-x^4-2x^3\)

- Überlege dir zuerst, welche Art von Nullstellen (Schnitt- oder Berührpunkte) vorliegen. - Wie beeinflusst die Art der Nullstelle die Potenz des Faktors in der Funktionsgleichung? - Du kannst einen beliebigen weiteren Punkt des Graphen nutzen, um den Streckfaktor zu berechnen.

1. Nullstellen aus dem Graphen ablesen: Berührpunkt bei \(x_1 = -2\) (doppelte Nullstelle) und Schnittpunkt bei \(x_2 = 2\) (einfache Nullstelle). 2. Ansatz in der Nullstellenform: \(f(x) = a(x + 2)^2(x - 2)\). 3. Bestimmung von \(a\) mit dem \(y\)-Achsenabschnitt \((0 \mid -2)\): \(f(0) = a \cdot (0 + 2)^2 \cdot (0 - 2) = a \cdot 4 \cdot (-2) = -8a = -2 \Rightarrow a = 0{,}25\). 4. Der Funktionsterm lautet: \(f(x) = 0{,}25(x + 2)^2(x - 2)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}25(x + 2)^2(x - 2)\).

- Achte auf die Symmetrie zur vertikalen Achse. - Welche Vielfachheit hat eine Nullstelle im Ursprung, wenn der Graph dort ein lokales Extremum hat? - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes in deinen Ansatz ein.

1. Nullstellen identifizieren: Ein Berührpunkt bei \(x = 0\) (doppelte Nullstelle) und einfache Schnittpunkte bei \(x = -3\) und \(x = 3\). 2. Ansatz: \(f(x) = ax^2(x + 3)(x - 3) = ax^2(x^2 - 9)\). 3. Punkt \(P(2 \mid -2)\) einsetzen: \(f(2) = a \cdot 2^2 \cdot (2^2 - 9) = a \cdot 4 \cdot (-5) = -20a = -2 \Rightarrow a = 0{,}1\). 4. Ergebnis: \(f(x) = 0{,}1x^2(x^2 - 9)\).

Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = 0{,}1x^2(x^2 - 9)\).

- Überlege dir, wie viele Nullstellen du im Graphen siehst und an welchen Stellen sie liegen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaften: Welche Potenzen von \(x\) kommen bei einer punktsymmetrischen Funktion vor? - Nutze die Nullstellen, um die Funktion in der Produktform (Linearfaktordarstellung) aufzuschreiben. - Wie kannst du den verbleibenden Parameter \(a\) mit Hilfe des gegebenen Punktes \(P\) bestimmen?

1. Aus dem Graphen werden die Nullstellen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) abgelesen. 2. Da der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist und drei einfache Nullstellen besitzt, ist der niedrigstmögliche Grad 3. 3. Ansatz in der Produktform: \(f(x) = ax(x - 2)(x + 2) = a(x^3 - 4x)\). 4. Einsetzen des Punktes \(P(1 \mid -1{,}5)\) in den Ansatz: \(-1{,}5 = a \cdot (1^3 - 4 \cdot 1) = a \cdot (-3)\). 5. Auflösen nach dem Streckfaktor: \(a = \frac{-1{,}5}{-3} = 0{,}5\). 6. Resultierender Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}5 \cdot (x^3 - 4x) = 0{,}5x^3 - 2x\).

a) Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). b) Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = 0{,}5x^3 - 2x\).

- Überlege dir, welche Art von Nullstelle (einfach, doppelt, dreifach) zu einem Schnittpunkt oder einem Berührpunkt mit der x-Achse führt. - Achte auf das Vorzeichen vor dem höchsten Exponenten, um das Verhalten des Graphen für sehr große x-Werte zu bestimmen. - Vergleiche die berechneten Nullstellen der Gleichungen mit den Achsenschnittpunkten in den Abbildungen. - Ein Berührpunkt deutet auf eine Nullstelle mit gerader Vielfachheit hin.

1. Analyse von \(p(x) = \frac{1}{2}x^2(x-3)\): Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 3\) (Schnittpunkt). Der Leitkoeffizient ist positiv (\(\frac{1}{2}\)), daher gilt \(p(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). Dies entspricht Graph A. 2. Analyse von \(q(x) = \frac{1}{2}x(x-3)^2\): Die Funktion hat eine einfache Nullstelle bei \(x = 0\) (Schnittpunkt) und eine doppelte Nullstelle bei \(x = 3\) (Berührpunkt). Da der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(q(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). Dies entspricht Graph B. 3. Analyse von \(r(x) = -\frac{1}{2}x^2(x-3)\): Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 3\) (Schnittpunkt). Wegen des negativen Leitkoeffizienten (\(-\frac{1}{2}\)) gilt \(r(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). Dies entspricht Graph C.

(1) passt zu Graph A, (2) passt zu Graph B und (3) passt zu Graph C.

- Vergleiche an jeder dargestellten Nullstelle, ob der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder berührt, mit der Vielfachheit des entsprechenden Faktors von \(h\). - Berücksichtige zusätzlich den \(y\)-Achsenabschnitt als unabhängiges Merkmal. - Prüfe, ob die drei beobachteten Merkmale jeweils mit dem vorgeschlagenen Funktionsterm vereinbar sind.

1. Art der Nullstelle bei \(x=1\): In der Funktionsgleichung von \(h\) tritt der Faktor \((x-1)\) quadratisch auf. Das bedeutet, bei \(x=1\) liegt eine doppelte Nullstelle (Berührpunkt mit der \(x\)-Achse) vor. Im Graphen wird die \(x\)-Achse bei \(x=1\) jedoch geschnitten (Vorzeichenwechsel). 2. Art der Nullstelle bei \(x=-2\): In \(h(x)\) ist \((x+2)\) ein einfacher Faktor, was einem Schnittpunkt entspricht. Der Graph zeigt bei \(x=-2\) jedoch einen Berührpunkt (Extrempunkt auf der Achse). 3. \(y\)-Achsenabschnitt: Rechnerisch ergibt sich \(h(0) = (0-1)^2 \cdot (0+2) = 1 \cdot 2 = 2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse hingegen bei \(y=-4\).

Die Behauptung ist falsch, weil \(h\) bei \(x=1\) einen Berührpunkt haben müsste, der Graph dort aber die Achse schneidet, \(h\) bei \(x=-2\) die Achse schneiden müsste, der Graph dort aber einen Berührpunkt hat, und der \(y\)-Achsenabschnitt von \(h\) bei \(2\), der des Graphen aber bei \(-4\) liegt.

- Achte auf den Unterschied zwischen Schnittpunkten und Berührpunkten mit der x-Achse. - Wie spiegelt sich ein Berührpunkt im Exponenten des zugehörigen Linearfaktors wider? - Setze die Koordinaten des Punktes \(Q\) in deine Gleichung ein, um den Wert des Parameters \(a\) zu ermitteln.

1. Nullstellen bestimmen: Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x_1 = 0\) (einfache Nullstelle) und berührt sie bei \(x_2 = 4\) (doppelte Nullstelle). 2. Ansatz in der Nullstellenform aufstellen: \(f(x) = a(x - 0)(x - 4)^2 = ax(x - 4)^2\). 3. Koordinaten des Punktes \(Q(2 \mid 2)\) einsetzen: \(2 = a \cdot 2 \cdot (2 - 4)^2\). 4. Den Parameter \(a\) berechnen: \(2 = a \cdot 2 \cdot 4 = 8a \Rightarrow a = \frac{2}{8} = 0{,}25\). 5. Vollständigen Funktionsterm angeben: \(f(x) = 0{,}25x(x - 4)^2\).

\(f(x) = 0{,}25x(x - 4)^2\)

- Welche Produktform ergibt sich aus drei verschiedenen Nullstellen einer Funktion dritten Grades? - Setze einen unbekannten Vorfaktor vor dieses Produkt. - Nutze anschließend den gegebenen Punkt, um den Vorfaktor zu bestimmen.

1. Da drei verschiedene Nullstellen bei einer Funktion dritten Grades vorliegen, lautet der Ansatz \(f(x)=a(x+4)x(x-2)\). 2. Einsetzen von \(P(-2\mid8)\) ergibt \(8=a\cdot2\cdot(-2)\cdot(-4)=16a\). 3. Damit ist \(a=0{,}5\). 4. Ausmultiplizieren liefert \(f(x)=0{,}5(x+4)x(x-2)=0{,}5x^3+x^2-4x\).

\(f(x)=0{,}5x^3+x^2-4x\)

- Entscheide zuerst anhand der sichtbaren Termstruktur, welcher erste Schritt die Gleichung vereinfacht. - Eine bereits vorhandene Faktorform solltest du nicht unnötig ausmultiplizieren. - Bei einer Gleichung mit nur \(x^4\), \(x^2\) und Konstanten kann eine Hilfsvariable die Potenzen halbieren.

1. Bei A ist Ausklammern sinnvoll: \(2x^3-18x=2x(x^2-9)=2x(x-3)(x+3)\). Daher sind \(x=-3\), \(0\) und \(3\) die Lösungen. 2. Bei B liegt die Faktorform bereits vor. Aus dem Satz vom Nullprodukt folgen \(x=-2\) und \(x=2\); \(x=-2\) ist doppelt. 3. Bei C ist die biquadratische Struktur entscheidend. Mit \(u=x^2\) entsteht \(u^2-13u+36=0=(u-4)(u-9)\), also \(u=4\) oder \(u=9\). 4. Rücksubstitution liefert für C \(x=\pm2\) und \(x=\pm3\).

A: Ausklammern und faktorisieren; \(x\in\{-3;0;3\}\). B: Satz vom Nullprodukt; \(x\in\{-2;2\}\), wobei \(-2\) doppelt ist. C: Substitution \(u=x^2\); \(x\in\{-3;-2;2;3\}\).

- Wann wird ein Produkt null? - Was muss für den zweiten Faktor gelten, damit \(x = 2\) dort ebenfalls eine Nullstelle ist? - Erinnere dich an die Bedingung für eine doppelte Nullstelle bei quadratischen Funktionen. - Können alle drei Nullstellen des gesamten Ausdrucks denselben Wert annehmen? Überprüfe dies durch Vergleich der Koeffizienten.

1. Für eine doppelte Nullstelle bei \(x = 2\) muss der quadratische Faktor \(x^2 + bx + 25\) an der Stelle \(2\) den Wert Null annehmen: \(2^2 + b \cdot 2 + 25 = 0 \implies 2b + 29 = 0 \implies b = -14{,}5\). 2. Eine andere doppelte Nullstelle tritt auf, wenn der quadratische Faktor eine Diskriminante von Null besitzt: \(D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = b^2 - 100\). \(D = 0\) liefert \(b = 10\) oder \(b = -10\). Bei \(b = 10\) ist \(x = -5\) eine doppelte Nullstelle, bei \(b = -10\) ist \(x = 5\) eine doppelte Nullstelle. Beide sind ungleich \(2\). 3. Eine dreifache Nullstelle würde voraussetzen, dass der quadratische Faktor die Form \((x-2)^2\) hat. Dies entspräche \(x^2 - 4x + 4\). Ein Vergleich mit \(x^2 + bx + 25\) zeigt, dass das Absolutglied \(25\) nicht mit \(4\) übereinstimmen kann. Alternativ müsste eine doppelte Nullstelle des quadratischen Faktors (\(5\) oder \(-5\)) mit der bereits vorhandenen Nullstelle \(2\) identisch sein, was nicht der Fall ist.

a) \(b = -14{,}5\) b) \(b = 10\) oder \(b = -10\) c) Damit eine dreifache Nullstelle vorliegt, müsste der quadratische Faktor die Form \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\) haben. Da das Absolutglied jedoch fest auf \(25\) liegt, ist dies für keinen Wert von \(b\) möglich.

- Erstelle zuerst einen Funktionsterm mithilfe der Nullstellen und ihrer Vielfachheiten. - Nutze den Punkt \(P\), um den genauen Wert des Streckungsfaktors zu ermitteln. - Überlege dir, von welchen zwei Eigenschaften (Grad und Leitkoeffizient) das Verhalten einer Funktion im Unendlichen abhängt. - Vergleiche das Verhalten deiner gefundenen Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte mit dem der Funktion \(g\).

1. Aufstellen des Ansatzes basierend auf den Nullstellen: \(f(x) = a(x + 1)^3(x - 2)\). 2. Bestimmung von \(a\) durch Einsetzen des Punktes \(P(1 | 16)\): \(16 = a \cdot (1 + 1)^3 \cdot (1 - 2) \implies 16 = a \cdot 8 \cdot (-1) \implies 16 = -8a \implies a = -2\). 3. Überprüfung des Grades: Der Grad der Funktion ist \(3 + 1 = 4\), was der Vorgabe entspricht. 4. Überprüfung des Grenzverhaltens: Da der Grad \(n = 4\) gerade ist und der Leitkoeffizient \(a = -2\) negativ ist, gilt \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\). Dies stimmt mit dem Verhalten von \(g(x) = -x^2\) überein. 5. Ergebnis: Ja, eine solche Funktion existiert. Ein möglicher Funktionsterm ist \(f(x) = -2(x + 1)^3(x - 2)\).

Ja, eine solche Funktion existiert. Ihr Funktionsterm lautet \(f(x) = -2(x + 1)^3(x - 2)\). Da der Grad 4 (gerade) und der Leitkoeffizient \(-2\) (negativ) ist, strebt die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\), genau wie \(g(x) = -x^2\).

- Was bedeutet es für den Term, wenn beim Einsetzen einer Zahl Null herauskommt? - Vergiss beim Faktorisieren nicht den Vorfaktor vor dem \(x^3\). - Wie sieht die allgemeine Form einer Linearfaktorzerlegung für ein Polynom dritten Grades aus? - Kannst du den quadratischen Teil nach der Division weiter zerlegen?

1. Überprüfung der Nullstelle durch Einsetzen: \(p(1) = 2 \cdot 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 22 \cdot 1 + 24 = 2 - 4 - 22 + 24 = 0\). 2. Division des Polynoms durch den Linearfaktor \((x - 1)\): \((2x^3 - 4x^2 - 22x + 24) : (x - 1) = 2x^2 - 2x - 24\). 3. Faktorisierung des quadratischen Ergebnisses: Ausklammern der \(2\) ergibt \(2(x^2 - x - 12)\). 4. Bestimmung der Nullstellen von \(x^2 - x - 12\) (z. B. mit dem Satz von Vieta oder der \(p\)-\(q\)-Formel) ergibt \(x = 4\) und \(x = -3\). 5. Angabe der vollständigen Linearfaktorzerlegung unter Berücksichtigung aller gefundenen Faktoren: \(p(x) = 2(x - 1)(x - 4)(x + 3)\).

Die vollständige Linearfaktorzerlegung lautet \(p(x) = 2(x - 1)(x - 4)(x + 3)\).

- Wie kannst du den Grad der Funktion schrittweise reduzieren? - Achte beim Lösen des quadratischen Teils darauf, ob es eine oder zwei Lösungen gibt. - Was sagt die Anzahl der gleichen Lösungen über die Vielfachheit aus? - Vergiss nicht den Streckfaktor vor dem höchsten Exponenten beim Aufschreiben der Produktform.

1. Abspaltung des bekannten Linearfaktors: Durchführung der Polynomdivision \((4x^3 - 8x^2 - 11x - 3) : (x - 3)\) ergibt den quadratischen Term \(4x^2 + 4x + 1\). 2. Bestimmung der weiteren Nullstellen: Lösen der Gleichung \(4x^2 + 4x + 1 = 0\). Dies entspricht der binomischen Formel \((2x + 1)^2 = 0\). Daraus folgt die weitere Nullstelle \(x_2 = -0{,}5\). 3. Bestimmung der Vielfachheiten: Da der Faktor \((2x + 1)\) im Quadrat vorkommt, ist \(x_2 = -0{,}5\) eine doppelte Nullstelle. Die Nullstelle \(x_1 = 3\) ist eine einfache Nullstelle. 4. Aufstellen der Produktform: Unter Berücksichtigung des Leitkoeffizienten \(4\) ergibt sich \(g(x) = 4(x - 3)(x + 0{,}5)^2\) oder alternativ \(g(x) = (x - 3)(2x + 1)^2\).

Weitere Nullstelle: \(x_2 = -0{,}5\) (doppelte Nullstelle); \(x_1 = 3\) (einfache Nullstelle). Produktform: \(g(x) = 4(x - 3)(x + 0{,}5)^2\) oder \(g(x) = (x - 3)(2x + 1)^2\).

- Beginne mit kleinen ganzzahligen Werten wie \(1, -1, 2\) oder \(-2\), um die erste Nullstelle zu finden. - Nachdem du eine Nullstelle gefunden hast, hilft dir die Polynomdivision, den Grad der Funktion zu reduzieren. - Schau dir den verbleibenden quadratischen Teil genau an – erinnert er dich an eine binomische Formel? - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du an dem Exponenten des entsprechenden Linearfaktors.

1. Suche einer Nullstelle durch Probieren: \(g(1) = 1^3 - 5 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 4 = 1 - 5 + 8 - 4 = 0\). Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Durchführung der Polynomdivision: \((x^3 - 5x^2 + 8x - 4) : (x - 1) = x^2 - 4x + 4\). 3. Untersuchung des quadratischen Terms: \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\) (Anwendung der zweiten binomischen Formel). 4. Aufstellen der Linearfaktordarstellung: \(g(x) = (x - 1) \cdot (x - 2)^2\). 5. Bestimmung der Nullstellen und Vielfachheiten: \(x_1 = 1\) ist eine einfache Nullstelle, \(x_2 = 2\) ist eine doppelte Nullstelle.

Die Linearfaktordarstellung lautet \(g(x) = (x - 1)(x - 2)^2\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) (einfach) und \(x_2 = 2\) (zweifach).

- Wenn du zwei Nullstellen kennst, wie oft musst du die Polynomdivision nacheinander anwenden, um zu einem quadratischen Term zu gelangen? - Achte beim Aufstellen der Linearfaktoren für die Division besonders auf die Vorzeichen der Nullstellen. - Gibt es eine bestimmte Reihenfolge, in der du die bekannten Nullstellen verwenden musst? - Welche Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen kennst du?

1. Erste Polynomdivision des Terms \(x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24\) durch den Linearfaktor \((x + 2)\) zur ersten bekannten Nullstelle. Dies ergibt den Term \(x^3 - 6x^2 + 5x + 12\). 2. Zweite Polynomdivision des resultierenden Terms dritten Grades durch den Linearfaktor \((x - 3)\) zur zweiten bekannten Nullstelle. Das Ergebnis ist der quadratische Term \(x^2 - 3x - 4\). 3. Bestimmung der Nullstellen der quadratischen Gleichung \(x^2 - 3x - 4 = 0\) mithilfe der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 4}\). 4. Dies führt zu den fehlenden Nullstellen \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -1\).

Die restlichen Nullstellen sind \(x_3 = 4\) und \(x_4 = -1\).

- Kannst du den ersten Term so ergänzen, dass ein Teil davon eine binomische Formel bildet? - Gibt es einen Wert, den du für die Variable einsetzen kannst, damit der gesamte Ausdruck Null ergibt? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie hilft dir die Polynomdivision weiter? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln für quadratische Ausdrücke?

1. Ergänzung zum vollständigen Quadrat: Der Term \(x^4 + 3x^2 + 4\) wird durch Hinzuaddieren und Subtrahieren von \(x^2\) umgeformt zu \((x^4 + 4x^2 + 4) - x^2\). Dies entspricht \((x^2 + 2)^2 - x^2\). Anwendung der dritten binomischen Formel ergibt \((x^2 + 2 - x)(x^2 + 2 + x)\), also \((x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)\). Da die Diskriminanten der quadratischen Faktoren negativ sind (\(1 - 8 = -7\)), ist keine weitere Zerlegung in reelle Linearfaktoren möglich. 2. Suche einer Nullstelle durch Probieren: Für \(z = -2\) ergibt sich \((-2)^3 - 6 \cdot (-2)^2 + 32 = -8 - 24 + 32 = 0\). Division des Polynoms durch \((z + 2)\) mittels Polynomdivision oder Horner-Schema ergibt den quadratischen Restterm \(z^2 - 8z + 16\). Dieser lässt sich mit der zweiten binomischen Formel zu \((z - 4)^2\) faktorisieren. Die vollständige Zerlegung lautet \((z + 2)(z - 4)^2\).

1) \((x^2 - x + 2)(x^2 + x + 2)\) 2) \((z + 2)(z - 4)^2\)

- Schau dir alle Summanden an: Gibt es eine Potenz von \(n\), die in jedem Glied enthalten ist? - Versuche, die Glieder in der Klammer paarweise zusammenzufassen. - Erkennst du in einem der Faktoren eine binomische Formel wieder? - Wie viele Linearfaktoren erwartest du bei einem Term fünften Grades maximal?

1. Ausklammern des größtmöglichen gemeinsamen Faktors \(n^2\): \(n^2(n^3 + n^2 - 4n - 4)\). 2. Faktorisierung des verbleibenden kubischen Terms durch Gruppierung: \(n^3 + n^2 - 4n - 4 = n^2(n+1) - 4(n+1)\). 3. Herausheben des gemeinsamen Faktors \((n+1)\): \((n^2-4)(n+1)\). 4. Anwendung der dritten binomischen Formel auf den Term \((n^2-4)\): \((n-2)(n+2)\). 5. Zusammenführen aller Faktoren zur vollständigen Linearfaktorzerlegung: \(n^2(n+1)(n-2)(n+2)\).

\(n^2(n+1)(n-2)(n+2)\)

- Welche Gleichung müssen die \(x\)-Werte einer Nullstelle erfüllen? - Kannst du die vier Faktoren so paaren, dass in beiden Produkten derselbe Ausdruck vorkommt? - Welcher wiederkehrende Ausdruck eignet sich als Hilfsvariable? - Denke nach dem Lösen der Hilfsgleichung an die Rücksubstitution.

1. Für eine Nullstelle gilt \(f(x)=0\), also \((x-3)(x-1)(x+2)(x+4)=144\). 2. Gruppiere die Faktoren: \(((x-3)(x+4))((x-1)(x+2))=144\). Dadurch entsteht \((x^2+x-12)(x^2+x-2)=144\). 3. Mit \(u=x^2+x\) folgt \((u-12)(u-2)=144\), also \(u^2-14u-120=0\). 4. Die Diskriminante der Hilfsgleichung ist \(\Delta=(-14)^2-4\cdot1\cdot(-120)=676=26^2\). Daher gilt \(u_1=20\) oder \(u_2=-6\). 5. Für \(u_1=20\) ergibt sich \(x^2+x-20=0\), also \((x+5)(x-4)=0\). Damit sind \(x=-5\) und \(x=4\) Nullstellen. 6. Für \(u_2=-6\) ergibt sich \(x^2+x+6=0\). Hier ist \(\Delta=1-24=-23<0\), also entstehen keine weiteren reellen Nullstellen.

Die reellen Nullstellen sind \(x=-5\) und \(x=4\).

- Nutze die dritte binomische Formel mehrfach, um Terme wie \(x^4-1\) zu faktorisieren. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du einen Term innerhalb eines Quadrats mit \(-1\) multiplizierst? - Achte darauf, ob ein quadratischer Faktor wie \((x^2+1)\) im Reellen weiter zerlegt werden kann. - Die Vielfachheit einer Nullstelle erkennst du am Exponenten des Linearfaktors in der Produktdarstellung.

1. Funktionswerte: Für \(x = 1\) liefern alle Funktionen den Wert \(0\). Für \(x = 0\) gilt: \(g_1(0) = 1\), \(g_2(0) = -1\), \(g_3(0) = 1\), \(g_4(0) = 1\), \(g_5(0) = -1\). 2. Nullstellen und Vielfachheiten: \(g_1, g_3, g_4\) lassen sich als \(((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2\) schreiben. Sie haben die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\), jeweils mit der Vielfachheit 2. \(g_2\) und \(g_5\) lassen sich als \((x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) schreiben. Da \(x^2+1 = 0\) keine reellen Lösungen hat, sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) die einzigen reellen Nullstellen, jeweils mit der Vielfachheit 1. 3. Identität: \(g_1 = g_3 = g_4\), da \((x^2-1)^2 = (-(1-x^2))^2 = (1-x^2)^2\) und \((x^2-1)^2 = ((x-1)(x+1))^2 = (x-1)^2(x+1)^2\). Zudem ist \(g_2 = g_5\), da \(x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1)\) nach der dritten binomischen Formel.

a) \(g_1(1)=g_2(1)=g_3(1)=g_4(1)=g_5(1)=0\); \(g_1(0)=1, g_2(0)=-1, g_3(0)=1, g_4(0)=1, g_5(0)=-1\). b) \(g_1, g_3, g_4\): \(x = 1\) (2-fach), \(x = -1\) (2-fach); \(g_2, g_5\): \(x = 1\) (1-fach), \(x = -1\) (1-fach). c) \(g_1 = g_3 = g_4\) und \(g_2 = g_5\).

- Bei Funktionen dritten Grades hilft es oft, eine erste Lösung durch Ausprobieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden. - Welche Zahlen kommen als mögliche ganzzahlige Nullstellen infrage, wenn man sich das letzte Glied der Gleichung ansieht? - Wenn du eine Nullstelle gefunden hast, wie kannst du den Grad der Gleichung verringern, um die restlichen Stellen zu finden? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um ein Polynom durch einen Term der Form \((x - x_0)\) zu teilen?

1. Finden einer ersten Nullstelle durch systematisches Probieren von Teilern des Absolutglieds \(10\): \(h(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 - 4 - 7 + 10 = 0\). Somit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. 2. Reduktion des Grades der Funktion durch Polynomdivision: \((x^3 - 4x^2 - 7x + 10) : (x - 1)\). 3. Durchführung der Division: \(x^3 : x = x^2\); \((x^3 - x^2)\) subtrahieren ergibt \(-3x^2 - 7x\); \(-3x^2 : x = -3x\); \((-3x^2 + 3x)\) subtrahieren ergibt \(-10x + 10\); \(-10x : x = -10\). Das Ergebnis ist \(x^2 - 3x - 10\). 4. Bestimmung der weiteren Nullstellen durch Lösen von \(x^2 - 3x - 10 = 0\) mit der \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{2,3} = 1{,}5 \pm \sqrt{2{,}25 + 10} = 1{,}5 \pm \sqrt{12{,}25} = 1{,}5 \pm 3{,}5\). 5. Ergebnisse: \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\).

Die Nullstellen der Funktion \(h\) sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 5\) und \(x_3 = -2\).

- Beginne damit, die Teiler der Zahl ohne \(x\) am Ende des Funktionsterms zu prüfen. - Hast du eine Nullstelle \(a\) gefunden, kannst du durch \((x - a)\) teilen. - Wiederhole den Vorgang so lange, bis du bei einer Funktion zweiten Grades angelangt bist. - Denke daran, dass du für jede gefundene Nullstelle eine neue Division durchführen kannst.

1. Mögliche ganzzahlige Nullstellen sind Teiler von \(-6\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\). 2. Durch Einsetzen werden die Nullstellen \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\) und \(x_3 = 2\) gefunden. 3. Erste Polynomdivision: \((x^5 - 2x^4 - 4x^3 + 8x^2 + 3x - 6) : (x - 1) = x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 6\). 4. Zweite Polynomdivision: \((x^4 - x^3 - 5x^2 + 3x + 6) : (x + 1) = x^3 - 2x^2 - 3x + 6\). 5. Dritte Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 3x + 6) : (x - 2) = x^2 - 3\). 6. Bestimmung der restlichen Nullstellen aus \(x^2 - 3 = 0\) führt zu \(x_{4,5} = \pm \sqrt{3}\).

Die Nullstellen der Funktion sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = \sqrt{3}\) und \(x_5 = -\sqrt{3}\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um den Grad des restlichen Terms zu verringern? - Erinnerst du dich an die binomischen Formeln? Sie helfen oft dabei, quadratische Ausdrücke weiter zu zerlegen. - Eine Nullstelle ist genau dann mehrfach, wenn der zugehörige Linearfaktor in der faktorisierten Form mehrfach vorkommt. - Unterscheide zwischen geraden Vielfachheiten (Graph berührt die Achse) und ungeraden Vielfachheiten (Graph schneidet die Achse).

1. Analyse von \( f(x) \): Ausklammern von \( x \) führt zu \( x(x^2 - 4) \). Mit der dritten binomischen Formel ergibt sich \( f(x) = x(x - 2)(x + 2) \). Nullstellen: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 2 \), \( x_3 = -2 \). Alle sind einfach (Vielfachheit 1), daher liegt an jeder Stelle ein VZW vor. 2. Analyse von \( g(x) \): Ausklammern von \( x^2 \) führt zu \( x^2(x^2 - 2x + 1) \). Mit der zweiten binomischen Formel ergibt sich \( g(x) = x^2(x - 1)^2 \). Nullstellen: \( x_1 = 0 \) (zweifach, kein VZW) und \( x_2 = 1 \) (zweifach, kein VZW). 3. Analyse von \( h(x) \): Faktorisierung der Klammer \( (x^2 - 9) \) ergibt \( (x - 3)(x + 3) \). Zusammengefasst lautet die Funktion \( h(x) = (x - 3)(x + 3)^2 \). Nullstellen: \( x_1 = 3 \) (einfach, VZW) und \( x_2 = -3 \) (zweifach, kein VZW).

a) \( f(x) = x(x-2)(x+2) \); Nullstellen: \( 0; 2; -2 \) (alle einfach, jeweils mit VZW) b) \( g(x) = x^2(x-1)^2 \); Nullstellen: \( 0 \) (zweifach, kein VZW); \( 1 \) (zweifach, kein VZW) c) \( h(x) = (x-3)(x+3)^2 \); Nullstellen: \( 3 \) (einfach, VZW); \( -3 \) (zweifach, kein VZW)

- Welche Auswirkung hat die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse auf die Exponenten der Variable \(x\)? - Wie kannst du sicherstellen, dass eine Funktion keine Nullstellen hat? Denke an einfache Potenzen und Verschiebungen. - Wenn eine Funktion einen ungeraden Grad hat, wie viele Nullstellen muss sie mindestens haben? - Nutze die Vielfachheit von Nullstellen, um die Bedingung für den Grad der Funktion zu erfüllen.

1. Für Teilaufgabe a): Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse bedeutet, dass im Funktionsterm nur gerade Exponenten auftreten dürfen. Da \(x = 3\) und \(x = -3\) Nullstellen sind, ist \((x^2 - 9)\) ein Faktor. Um Grad 4 zu erreichen und keine weiteren Nullstellen zu erzeugen, kann man diesen Faktor quadrieren: \(f(x) = (x^2 - 9)^2 = x^4 - 18x^2 + 81\). 2. Für Teilaufgabe b): Grad 5 mit drei Nullstellen erfordert, dass die Summe der Vielfachheiten der Nullstellen 5 ergibt. Ein möglicher Ansatz mit den gegebenen Nullstellen ist \(f(x) = x \cdot (x + 2)^2 \cdot (x - 2)^2\). Hier ist \(x=0\) eine einfache und \(x = \pm 2\) jeweils eine doppelte Nullstelle. 3. Für Teilaufgabe c): Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ohne Nullstellen muss stets oberhalb oder stets unterhalb der \(x\)-Achse verlaufen. Ein einfacher Term ist \(f(x) = x^4 + 1\), da \(x^4 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt und somit \(f(x) \geq 1\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = (x^2 - 9)^2\) oder \(f(x) = x^4 - 18x^2 + 81\) b) \(f(x) = x(x + 2)^2(x - 2)^2\) c) \(f(x) = x^4 + 1\)

- Für einen gemeinsamen Punkt müssen dieselben Koordinaten bei jedem Wert von \(n\) entstehen. - Um weitere gemeinsame Punkte auszuschließen, genügt es zunächst zu fragen, welche Punkte schon \(f_1\) und \(f_2\) gemeinsam haben können. - Vergleiche bei \(x=1\) die Parität des Exponenten mit dem sichtbaren Vorzeichenwechsel. - Für Teil c) hilft ein Vergleich der Beträge von \((x-1)^2\) und \((x-1)^4\), wenn \(|x-1|<1\) ist.

1. Einsetzen liefert für jedes \(n\ge1\): \(f_n(-1)=0\), \(f_n(1)=0\) und \(f_n(2)=3\). Damit sind \(P\), \(Q\) und \(R\) gemeinsame Punkte. 2. Jeder gemeinsame Punkt aller Graphen muss insbesondere auf \(f_1\) und \(f_2\) liegen. Aus \((x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)^2\) folgt \((x+1)(x-1)(2-x)=0\). Daher sind nur \(x=-1\), \(x=1\) und \(x=2\) möglich; weitere gemeinsame Punkte aller Graphen gibt es nicht. 3. Bei \(x=1\) hat \(f_1\) eine einfache Nullstelle und schneidet die \(x\)-Achse mit Vorzeichenwechsel. \(f_2\) hat eine doppelte Nullstelle und berührt die Achse ohne Vorzeichenwechsel. \(f_3\) hat eine dreifache Nullstelle und schneidet die Achse wieder mit Vorzeichenwechsel, verläuft dort aber flacher als \(f_1\). Allgemein führen gerade Vielfachheiten zum Berühren ohne Vorzeichenwechsel und ungerade Vielfachheiten zum Schneiden mit Vorzeichenwechsel. 4. \(f_4\) besitzt bei \(x=1\) eine vierfache Nullstelle. Der Graph berührt dort die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Für \(|x-1|<1\) gilt \(|x-1|^4<|x-1|^2\); deshalb liegt der Graph von \(f_4\) in hinreichender Nähe von \(x=1\) näher an der \(x\)-Achse als der von \(f_2\).

a) Für alle \(n\) gilt \(f_n(-1)=0\), \(f_n(1)=0\) und \(f_n(2)=3\). Aus dem Vergleich von \(f_1\) und \(f_2\) folgen als einzig mögliche gemeinsame \(x\)-Werte \(-1\), \(1\) und \(2\). b) \(n=1\): Schneiden mit Vorzeichenwechsel; \(n=2\): Berühren ohne Vorzeichenwechsel; \(n=3\): Schneiden mit Vorzeichenwechsel und flacherer Verlauf. Allgemein: gerade Vielfachheit \(\Rightarrow\) Berühren ohne Vorzeichenwechsel, ungerade Vielfachheit \(\Rightarrow\) Schneiden mit Vorzeichenwechsel. c) Bei \(x=1\) liegt eine vierfache Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel vor. In unmittelbarer Nähe von \(x=1\) liegt \(f_4\) näher an der \(x\)-Achse als \(f_2\).

- Welche Ersetzung könnte die Gleichung in eine einfache quadratische Form bringen? - Erinnere dich nach dem Lösen der quadratischen Gleichung daran, die Ersetzung wieder rückgängig zu machen. - Wie viele reelle Zahlen gibt es, deren dritte Potenz \(8\) oder \(-1\) ergibt? - Schau im Graphen genau nach, wo er die horizontale Achse berührt oder schneidet.

1. Wahl der Substitution: Da die Potenzen \(x^6\) und \(x^3\) vorkommen, substituiere \(z = x^3\). Es folgt \(z^2 = (x^3)^2 = x^6\). 2. Aufstellen der quadratischen Gleichung: \(z^2 - 7z - 8 = 0\). 3. Lösen der quadratischen Gleichung: Mit der pq-Formel oder dem Satz von Vieta ergeben sich die Lösungen \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). 4. Resubstitution: Für \(z_1 = 8\): \(x^3 = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2\). Für \(z_2 = -1\): \(x^3 = -1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-1} = -1\). 5. Abgleich mit dem Graphen: Der Graph schneidet die \(x\)-Achse tatsächlich bei \(x = -1\) und \(x = 2\).

Durch Substitution von \(z = x^3\) erhält man die quadratische Gleichung \(z^2 - 7z - 8 = 0\) mit den Lösungen \(z_1 = 8\) und \(z_2 = -1\). Die Resubstitution liefert die reellen Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -1\). Dies stimmt mit den Schnittpunkten des Graphen überein.

- Ordne jeder sichtbaren Nullstelle zunächst eine gerade oder ungerade Vielfachheit zu. - Verbinde bei Graph b) die Zusatzinformation „mehrfach“ mit dem sichtbaren Schneiden bei \(x=-2\). - Nutze anschließend den vorgegebenen Grad \(4\), um die Vielfachheiten vollständig festzulegen. - Bestimme den Vorfaktor anschließend mit einem gut ablesbaren Punkt im dargestellten Fenster.

1. Graph a) berührt die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und schneidet sie bei \(x=1\) und \(x=3\). Bei Grad \(4\) sind die kleinsten und zugleich vollständig passenden Vielfachheiten daher \(2\), \(1\) und \(1\). Ansatz: \(h(x)=a(x+1)^2(x-1)(x-3)\). 2. Aus dem ablesbaren Punkt \((0\mid1)\) folgt \(1=a\cdot1\cdot(-1)\cdot(-3)=3a\). Somit ist \(a=\frac{1}{3}\) und \(h(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2(x-1)(x-3)\). 3. Graph b) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\) und bei \(x=2\). Bei \(x=-2\) liegt laut Zusatzinformation eine mehrfache Nullstelle vor. Wegen des Schneidens ist ihre Vielfachheit ungerade und damit mindestens \(3\). Da die Funktion insgesamt Grad \(4\) hat, bleibt für \(x=2\) genau Vielfachheit \(1\). Ansatz: \(p(x)=a(x+2)^3(x-2)\). 4. Aus dem ablesbaren Punkt \((0\mid4)\) folgt \(4=a\cdot8\cdot(-2)=-16a\). Daher ist \(a=-0{,}25\) und \(p(x)=-0{,}25(x+2)^3(x-2)\).

a) \(h(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2(x-1)(x-3)\) b) \(p(x)=-0{,}25(x+2)^3(x-2)\)

- Achte auf den Unterschied zwischen einem Schnittpunkt und einem Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. - Die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt, wie der Graph dort aussieht: Schneiden bedeutet eine ungerade Vielfachheit (meist 1), Berühren eine gerade (meist 2). - In der faktorisierten Form tauchen doppelte Nullstellen als quadrierte Klammern auf. - Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes für \(x\) und \(y\) (bzw. \(g(x)\)) ein, um die Gleichung nach dem unbekannten Vorfaktor aufzulösen.

1. Nullstellen und Vielfachheiten: - Bei \(x_1 = -2\) und \(x_3 = 3\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse; es sind einfache Nullstellen. - Bei \(x_2 = 1\) berührt der Graph die \(x\)-Achse ohne sie zu schneiden (lokales Minimum); es ist eine doppelte Nullstelle. Da die Funktion vom Grad 4 ist, ist die Summe der Vielfachheiten \(1 + 2 + 1 = 4\). 2. Ansatz für die Funktionsgleichung: \(g(x) = a \cdot (x + 2) \cdot (x - 1)^2 \cdot (x - 3)\). 3. Berechnung des Parameters \(a\): Punkt \(Q(2 \mid 2)\) einsetzen: \(2 = a \cdot (2 + 2) \cdot (2 - 1)^2 \cdot (2 - 3)\) \(2 = a \cdot 4 \cdot 1^2 \cdot (-1)\) \(2 = -4a \Rightarrow a = -0{,}5\). 4. Ergebnis: Der Funktionsterm lautet \(g(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 1)^2(x - 3)\).

a) Nullstellen: \(x_1 = -2\) (einfach, da Vorzeichenwechsel/Schnittpunkt), \(x_2 = 1\) (doppelt, da kein Vorzeichenwechsel/Berührpunkt), \(x_3 = 3\) (einfach, da Vorzeichenwechsel/Schnittpunkt). b) Funktionsgleichung: \(g(x) = -0{,}5(x + 2)(x - 1)^2(x - 3)\).

- Achte zuerst darauf, ob an einer Nullstelle ein Vorzeichenwechsel sichtbar ist. - Berühren verlangt eine gerade, Schneiden eine ungerade Vielfachheit. - Nutze bei \(x=2\) zusätzlich die ausdrücklich gegebene Information, dass die Nullstelle mehrfach ist. - Der Grad muss mindestens die Summe der Vielfachheiten aller verschiedenen Nullstellen erreichen.

1. Die Nullstellen liegen bei \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Bei \(x=-2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse ohne Vorzeichenwechsel. Deshalb ist die Vielfachheit gerade und mindestens \(2\). 3. Bei \(x=0\) schneidet der Graph die Achse mit Vorzeichenwechsel. Die kleinste passende ungerade Vielfachheit ist \(1\). 4. Bei \(x=2\) schneidet der Graph die Achse ebenfalls mit Vorzeichenwechsel. Daher ist die Vielfachheit ungerade. Laut Zusatzinformation ist die Nullstelle mehrfach; die kleinste ungerade Vielfachheit größer als \(1\) ist \(3\). 5. Die Summe der Mindestvielfachheiten ist \(2+1+3=6\). Daher kann der Grad nicht kleiner als \(6\) sein.

a) \(x=-2\): Berühren; \(x=0\): Schneiden; \(x=2\): Schneiden. b) Mindestvielfachheiten: \(2\), \(1\), \(3\) c) Mindestgrad \(6\)