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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 10

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Lernziele

  • Beschreibt die Stufen eines Zufallsexperiments.
  • Bestimmt mögliche Ergebnisfolgen.
  • Erkennt Abhängigkeiten zwischen den Versuchsstufen.

Klicken Sie auf Aufgaben, um sie zum Drucken auszuwählen.

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Eine Schachtel enthält \(10\) Karten, davon \(3\) blaue und \(7\) rote. Zuerst wird zufällig eine Karte gezogen. Danach wird noch ein fairer Würfel geworfen. Das Ereignis \(E\) lautet: „In der ersten Stufe wird eine blaue Karte gezogen.“ Bestimme \(P(E)\) und erkläre, ob das Ergebnis des anschließenden Würfelwurfs für \(E\) eine Rolle spielt.

Denkanstöße

- Achte darauf, in welcher Stufe das Ereignis \(E\) bereits entschieden ist. - Bestimme den Anteil der blauen Karten an allen Karten. - Entscheide, welche Angaben du für das Ereignis \(E\) überhaupt brauchst.

Lösung

1. Das Ereignis \(E\) wird vollständig durch die erste Stufe bestimmt. 2. Unter den \(10\) Karten sind \(3\) blau. Daher gilt \(P(E)=\frac{3}{10}=0{,}3\). 3. Der spätere Würfelwurf kann nicht mehr ändern, welche Farbe die bereits gezogene Karte hatte. Er ist für \(E\) daher ohne Einfluss.

Antwort

\(P(E)=\frac{3}{10}=0{,}3=30\,\%\). Der anschließende Würfelwurf spielt für \(E\) keine Rolle, weil \(E\) nur die erste Stufe betrifft.
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Welche Situation beschreibt ein **mehrstufiges Zufallsexperiment**? a) Ein Würfel wird einmal geworfen. b) Eine Münze wird dreimal nacheinander geworfen. c) Aus einem Beutel wird genau eine Kugel gezogen. Begründe deine Wahl mit dem Begriff „Stufe“.

Denkanstöße

- Überlege bei jeder Situation, wie viele nacheinander ausgeführte Zufallsschritte vorkommen. - Ein einzelner Zufallsschritt bildet nur eine Stufe.

Lösung

1. Bei b) werden drei Zufallsschritte nacheinander ausgeführt; jeder Münzwurf bildet eine eigene Stufe. 2. Bei a) und c) wird jeweils nur ein Zufallsschritt ausgeführt. Diese Experimente besitzen daher jeweils nur eine Stufe.

Antwort

b) Das Experiment hat drei Stufen; a) und c) haben jeweils nur eine Stufe.
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Eine Quiz-App wählt zufällig zuerst eines der Themen „Natur“ oder „Technik“. Danach wählt sie zufällig eine der Schwierigkeitsstufen „leicht“, „mittel“ oder „schwer“. a) Wie viele Stufen hat dieses Zufallsexperiment? b) Nenne die möglichen Ergebnisse jeder Stufe. c) Gib ein mögliches vollständiges Ergebnis des Experiments an.

Denkanstöße

- Trenne die beiden nacheinander ausgeführten Zufallsauswahlen. - Ein vollständiges Ergebnis enthält je ein Ergebnis aus jeder Stufe.

Lösung

1. Das Zufallsexperiment hat zwei Stufen. 2. In der ersten Stufe sind „Natur“ und „Technik“ möglich. In der zweiten Stufe sind „leicht“, „mittel“ und „schwer“ möglich. 3. Ein vollständiges Ergebnis ist zum Beispiel „Natur – mittel“.

Antwort

a) Zwei Stufen. b) Erste Stufe: Natur, Technik; zweite Stufe: leicht, mittel, schwer. c) Zum Beispiel „Natur – mittel“.
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Eine Lern-App passt den Schwierigkeitsgrad der zweiten Aufgabe an das Ergebnis der ersten Aufgabe an. Lea löst die erste, mittelschwere Aufgabe mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}65\) richtig (R). Nach einer richtigen Antwort erhält sie eine schwere Aufgabe, die sie mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}45\) richtig löst. Nach einer falschen Antwort (F) erhält sie eine leichte Aufgabe, die sie mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}80\) richtig löst. Noah zeichnet für die zweite Stufe des Baumdiagramms nach R und nach F jeweils wieder die Astwahrscheinlichkeiten \(0{,}65\) für R und \(0{,}35\) für F. Beurteile dieses Modell und gib die korrekten Astwahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe an. Begründe deine Entscheidung mit der Regel der App.

Denkanstöße

- Welche zweite Aufgabe wählt die App nach einer richtigen ersten Antwort, und welche nach einer falschen? - Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe müssen zur jeweils tatsächlich gestellten Aufgabe passen. - Prüfe an jedem Knoten, ob sich die beiden Astwahrscheinlichkeiten zu \(1\) ergänzen.

Lösung

1. Die Astwahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe dürfen nicht aus der ersten Stufe übernommen werden, weil die App je nach erstem Ergebnis einen anderen Aufgabentyp auswählt. 2. Nach einer richtigen ersten Antwort wird eine schwere Aufgabe gestellt. Daher gelten dort \(P(R)=0{,}45\) und \(P(F)=0{,}55\). 3. Nach einer falschen ersten Antwort wird eine leichte Aufgabe gestellt. Daher gelten dort \(P(R)=0{,}80\) und \(P(F)=0{,}20\). 4. Das vorgeschlagene Modell ist deshalb falsch: Die Wahrscheinlichkeit in der zweiten Stufe hängt hier über die Anpassungsregel der App vom ersten Ergebnis ab.

Antwort

Das vorgeschlagene Modell ist falsch. Nach R gilt in der zweiten Stufe \(P(R)=0{,}45\) und \(P(F)=0{,}55\); nach F gilt \(P(R)=0{,}80\) und \(P(F)=0{,}20\). Die App wählt abhängig vom ersten Ergebnis unterschiedliche Schwierigkeitsgrade, daher bleiben die Astwahrscheinlichkeiten nicht unverändert.
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Ein Fotokiosk erstellt zufällig ein Hintergrundmotiv in zwei Schritten. Zuerst wählt er gleich wahrscheinlich die Kategorie „Stadt“ oder „Natur“. Nach „Stadt“ stehen die Motive Brücke und Bahnhof zur Auswahl, nach „Natur“ die Motive Wald, See und Berge. Innerhalb der gewählten Kategorie wird wieder zufällig ausgewählt. a) Liste alle vollständigen Ergebnisse auf. b) Erkläre, woran man erkennt, dass die Möglichkeiten der zweiten Stufe vom Ergebnis der ersten Stufe abhängen.

Denkanstöße

- Beginne getrennt mit jedem möglichen Ergebnis der ersten Stufe. - Welche Motive können jeweils danach überhaupt noch auftreten? - Vergleiche die Anzahl und Art der Möglichkeiten in den beiden zweiten Stufen.

Lösung

1. Die vollständigen Ergebnisse sind Stadt–Brücke, Stadt–Bahnhof, Natur–Wald, Natur–See und Natur–Berge. 2. Nach „Stadt“ besitzt die zweite Stufe zwei mögliche Ergebnisse, nach „Natur“ drei. Welche Auswahl in der zweiten Stufe überhaupt möglich ist, wird also durch die erste Stufe festgelegt.

Antwort

a) Stadt–Brücke, Stadt–Bahnhof, Natur–Wald, Natur–See, Natur–Berge. b) Die zweite Stufe hat je nach erster Kategorie unterschiedliche mögliche Ergebnisse.
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Ein automatisches Prüfgerät wählt zunächst zufällig Programm A oder Programm B. Danach lautet das Ergebnis der zweiten Stufe entweder „bestanden“ oder „nicht bestanden“. Nach Programm A gilt für „bestanden“ die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\), nach Programm B dagegen \(0{,}35\). Erkläre, warum man für die zweite Stufe nicht einfach eine einzige Astwahrscheinlichkeit für „bestanden“ eintragen kann. Gib stattdessen an, welche beiden Astwahrscheinlichkeiten an den passenden Stellen eines Baumdiagramms stehen müssten.

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Angaben für „bestanden“ direkt miteinander. - Frage dich, welche Information aus der ersten Stufe man kennen muss, bevor der zweite Ast beschriftet werden kann. - Ein Baum darf an verschiedenen Knoten derselben Stufe unterschiedliche Astwahrscheinlichkeiten haben.

Lösung

1. Die Wahrscheinlichkeit der zweiten Stufe hängt davon ab, welches Programm in der ersten Stufe ausgewählt wurde. 2. Nach Programm A muss am Ast „bestanden“ \(0{,}8\) stehen; nach Programm B muss dort \(0{,}35\) stehen. 3. Ein einziger gemeinsamer Wert würde die unterschiedliche Abhängigkeit von der ersten Stufe verlieren.

Antwort

Nach A: \(P(\text{bestanden})=0{,}8\); nach B: \(P(\text{bestanden})=0{,}35\). Eine gemeinsame zweite Astwahrscheinlichkeit ist nicht möglich, weil sie vom Ergebnis der ersten Stufe abhängt.
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Bei einem Gewinnspiel wird zuerst ein fairer Würfel geworfen; dabei wird nur zwischen „\(6\)“ und „keine \(6\)“ unterschieden. Fällt eine \(6\), endet das Zufallsexperiment sofort; der Spieler erhält den Hauptgewinn. Bei „keine \(6\)“ wird anschließend eine faire Münze geworfen; Kopf bedeutet „Trostpreis“, Zahl bedeutet „kein Gewinn“. a) Gib alle vollständigen Ergebnisfolgen des Zufallsexperiments an und ordne ihnen den jeweiligen Gewinnstatus zu. b) Erkläre, warum die Beschreibung „Das Experiment hat immer zwei Stufen“ ungenau ist. c) Wie viele Stufen werden höchstens durchlaufen?

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, unter welcher Bedingung das Spiel sofort endet. - Schreibe zu jedem vollständigen Ergebnis auf, wie viele Zufallsschritte tatsächlich ausgeführt werden. - Vergleiche danach „höchstens zwei Stufen“ mit „immer zwei Stufen“.

Lösung

1. Die vollständigen Ergebnisfolgen sind \(6\), „keine \(6\) – Kopf“ und „keine \(6\) – Zahl“. Sie führen der Reihe nach zu Hauptgewinn, Trostpreis und keinem Gewinn. 2. Nach einer \(6\) wird die Münze nicht mehr geworfen. Dieser Pfad endet bereits nach der ersten Stufe; nur bei „keine \(6\)“ folgt eine zweite Stufe. 3. Höchstens werden zwei Stufen durchlaufen.

Antwort

a) \(6\): Hauptgewinn; „keine \(6\) – Kopf“: Trostpreis; „keine \(6\) – Zahl“: kein Gewinn. b) Nach einer \(6\) endet das Experiment bereits nach der ersten Stufe. c) Höchstens zwei Stufen.

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.

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