Das Baumdiagramm zeigt ein zweistufiges Zufallsexperiment. Berechne die Wahrscheinlichkeit des vollständigen Pfades „A – Treffer“.

Für ein Ereignis \(E\) gibt es in einem Baumdiagramm genau zwei günstige, einander ausschließende vollständige Pfade. Ihre Pfadwahrscheinlichkeiten sind bereits berechnet: \(0{,}18\) und \(0{,}27\). Bestimme \(P(E)\).

Ein Basketballspieler trifft bei Freiwürfen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(80\,\%\). Er führt eine Serie von fünf Würfen nacheinander aus. Die einzelnen Würfe werden als unabhängig modelliert. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler alle fünf Würfe trifft. Gib das Ergebnis in Prozent an.

In einer Fabrik werden LED-Leuchtmittel hergestellt. Erfahrungsgemäß sind \(2\,\%\) der produzierten Lampen defekt. Für eine Qualitätsprüfung werden 10 Lampen zufällig ausgewählt und getestet. Wegen der großen Gesamtmenge wird die Auswahl als Ziehen mit Zurücklegen mit gleichbleibender Defektwahrscheinlichkeit modelliert. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den 10 geprüften Lampen mindestens eine defekte Lampe befindet.

Bei einer Qualitätskontrolle in einer Fabrik werden Bauteile geprüft. Ein Bauteil ist mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p=0{,}05\) defekt. Es werden nacheinander zwei Bauteile unabhängig voneinander geprüft. Betrachte das Ereignis \(E\): „Mindestens eines der beiden Bauteile ist defekt.“ Formuliere das Gegenereignis \(\overline{E}\) und berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) unter Verwendung dieses Gegenereignisses.

Ein Hersteller von LED-Leuchten gibt an, dass erfahrungsgemäß \(5\,\%\) der produzierten Lampen fehlerhaft sind. Für eine Qualitätskontrolle werden nacheinander vier Lampen zufällig ausgewählt und geprüft. Die Prüfungen werden als unabhängig mit konstanter Fehlerwahrscheinlichkeit betrachtet. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle vier geprüften Lampen einwandfrei funktionieren. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist genau die erste Lampe defekt und die restlichen drei sind einwandfrei? c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der vier Lampen defekt ist.

Entscheide, ob die folgenden Aussagen korrekt sind, und gib jeweils eine kurze Begründung an. a) Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden eines Baumdiagramms, so berechnet man seine Gesamtwahrscheinlichkeit, indem man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade miteinander multipliziert. b) An jedem Knotenpunkt eines Baumdiagramms ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der von dort ausgehenden Äste gleich \(1\).

Ein Sicherheitssystem in einem Rechenzentrum besteht aus drei hintereinandergeschalteten Prüfinstanzen. Jede Instanz erkennt einen versuchten unberechtigten Zugriff unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von \(80\,\%\) und schlägt Alarm. Ein Zugriffsversuch gilt als erfolgreich abgewehrt, sobald mindestens eine der Instanzen Alarm auslöst. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unberechtigter Zugriffsversuch (1) bereits durch die erste Instanz abgewehrt wird, (2) erst durch die dritte Instanz abgewehrt wird, (3) von keiner der drei Instanzen erkannt wird.

Bei der Aufbereitung von Saatgut wird eine Reinigungsmaschine eingesetzt, die in drei aufeinanderfolgenden Phasen Unkrautsamen aussortiert. In der ersten Phase werden erfahrungsgemäß \(75\,\%\) der Unkrautsamen erkannt und entfernt. Die zweite Phase filtert \(60\,\%\) der verbliebenen Unkrautsamen heraus, und in der dritten Phase werden nochmals \(40\,\%\) der dann noch vorhandenen Unkrautsamen eliminiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Unkrautsamen den gesamten Reinigungsprozess durchläuft, ohne entfernt zu werden. Berechne zudem die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass ein Unkrautsamen erfolgreich aussortiert wird.

Das abgebildete Glücksrad besitzt \(8\) gleich große Sektoren und wird zweimal nacheinander gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\): „Mindestens einmal wird Grün gedreht“. Gib dazu zuerst das Gegenereignis \(\bar E\) in Worten an und berechne anschließend die Wahrscheinlichkeit von \(E\) als Bruch.

Lara spielt auf einem Jahrmarkt an einem Glücksrad. Das abgebildete Glücksrad hat 8 gleich große Felder in den Farben Blau, Rot und Grün. Das Glücksrad wird zweimal nacheinander gedreht. Berechne mithilfe der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis: „Der Zeiger bleibt mindestens einmal auf einem roten Feld stehen.“ Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch und in Prozent an.

Das abgebildete Glücksrad besitzt \(5\) gleich große Sektoren. Es wird dreimal hintereinander gedreht. Wir betrachten das Ereignis \(A\): „Das Rad zeigt mindestens einmal Rot.“ a) Formuliere das Gegenereignis \(\bar A\) in Worten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(P(\bar A)\). Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an. c) Bestimme mithilfe des Gegenereignisses die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\). Gib das Ergebnis ebenfalls als gekürzten Bruch an.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. Bestimme **mithilfe der im Baum angegebenen Astwahrscheinlichkeiten sowie Produktregel und Summenregel** die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden.

Ergänze im Baumdiagramm die fehlende Wahrscheinlichkeit und bestimme anschließend die Wahrscheinlichkeit für „grün und Stern“.

Das Baumdiagramm zeigt zwei Ziehungen mit Zurücklegen. Dabei bedeutet \(R\): „rote Kugel“. Formuliere das Gegenereignis zu „mindestens einmal rot“ und berechne seine Wahrscheinlichkeit.

Das Baumdiagramm zeigt für einen Tag die Wetterlage und anschließend Lios Wahl zwischen Bus und „kein Bus“. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Lio den Bus nimmt.

Ein Glücksrad mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 wird zweimal gedreht. Alle Zahlen sind gleich wahrscheinlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der beiden Zahlen gerade ist?

Im Baumdiagramm ist nach dem Ereignis \(A\) die Wahrscheinlichkeit für \(B\) mit \(0{,}65\) angegeben. Ergänze den fehlenden Ast und bestimme \(P(A\cap\overline{B})\) für \(P(A)=0{,}4\).

Amina schießt zweimal unter gleichen Bedingungen. Das Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Fehlschuss. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer?

Das abgebildete Baumdiagramm zeigt aufeinanderfolgende unabhängige Qualitätsprüfungen. Die Prüfungen enden, sobald ein Fehler entdeckt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass erstmals bei der dritten Prüfung ein Fehler entdeckt wird?

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt die Prüfung von drei unabhängig ausgewählten Bauteilen. Im Baum steht D für „defekt“ und I für „in Ordnung“. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eines der drei Bauteile defekt ist.

Das abgebildete Baumdiagramm zeigt zwei Ziehungen ohne Zurücklegen aus einem Kartenset. Bestimme **mit der Produktregel aus den im Baum angegebenen Astwahrscheinlichkeiten** die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Karten Asse sind.

Das abgebildete Baumdiagramm zeigt zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. Bestimme **mit Produktregel und Summenregel aus den angegebenen Astwahrscheinlichkeiten** die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt die gemeinsame Produktion zweier Produktionslinien. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Teil Ausschuss ist.

Luca betrachtet im abgebildeten Baumdiagramm den Pfad \(A\)-\(B\). Er addiert die beiden Astwahrscheinlichkeiten dieses Pfades und erhält \(1{,}1\) als Pfadwahrscheinlichkeit. Erkläre den Denkfehler und bestimme den korrekten Wert.

Das Baumdiagramm zeigt absolute Häufigkeiten aus \(200\) gleichartig durchgeführten Versuchen. Betrachte den vollständigen Pfad über \(A\) nach \(B\). a) Bestimme die relative Häufigkeit dieses vollständigen Pfades direkt aus Anfangs- und Endhäufigkeit. b) Bestimme zuerst die relative Häufigkeit für den Ast zu \(A\) und danach innerhalb von \(A\) für den Ast zu \(B\). Multipliziere beide Werte. c) Erkläre, was der Vergleich von a) und b) für die Produktregel plausibel macht.

Das Baumdiagramm zeigt absolute Häufigkeiten aus \(500\) Versuchen. Das Ereignis \(E\) tritt an zwei verschiedenen Endknoten auf. a) Bestimme die relative Häufigkeit von \(E\), indem du zuerst die beiden günstigen Endhäufigkeiten zusammenfasst. b) Bestimme für jeden günstigen vollständigen Pfad seinen Anteil an allen \(500\) Versuchen und addiere diese beiden Anteile. c) Erkläre, was der Vergleich der beiden Rechenwege für die Summenregel plausibel macht.

Ein Glücksrad hat 21 Felder. Jedes Feld fällt mit derselben Wahrscheinlichkeit aus und ist mit einer Zahl von 1 bis 6 beschriftet. Dabei kommt die „1“ nur einmal vor, die „2“ – zweimal, die „3“ – dreimal, usw. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fallen nach zwei Drehungen eine „3“ und eine „5“ in beliebiger Reihenfolge aus?

Ein Bogenschütze trifft das Zentrum der Zielscheibe bei jedem Schuss mit einer Wahrscheinlichkeit von \(60\,\%\). Er gibt drei Schüsse ab. Die einzelnen Schüsse werden als voneinander unabhängig angesehen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: (1) Er trifft bei keinem der drei Schüsse das Zentrum. (2) Er trifft genau zweimal das Zentrum. (3) Er erzielt mindestens einen Treffer im Zentrum.

In einer Fabrik werden elektronische Bauteile hergestellt. Erfahrungsgemäß sind \(90\,\%\) der Teile einwandfrei \(E\), während \(10\,\%\) fehlerhaft \(F\) sind. Für eine Qualitätsprüfung werden aus einer sehr großen Produktionsmenge nacheinander drei Bauteile entnommen. Die drei Prüfungen werden mit den konstanten Wahrscheinlichkeiten \(P(E)=0{,}9\) und \(P(F)=0{,}1\) modelliert. a) Wie viele Endknoten hat das vollständige Baumdiagramm für diesen dreistufigen Versuch? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei geprüften Teile einwandfrei sind. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den drei Teilen genau ein fehlerhaftes Bauteil ist.

Leonie pflanzt drei Sonnenblumensamen. Jeder Samen keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von \(70\,\%\). Ob ein Samen keimt, wird unabhängig von den anderen Samen modelliert. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) alle drei Samen keimen, b) kein Samen keimt, c) mindestens zwei Samen keimen.

Arda prüft vier zufällig ausgewählte Temperatursensoren. Jeder Sensor ist mit einer Wahrscheinlichkeit von \(5\,\%\) defekt. Ob ein Sensor defekt ist, wird unabhängig von den anderen Sensoren modelliert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) keiner der vier Temperatursensoren defekt ist, b) genau einer der vier Temperatursensoren defekt ist, c) genau zwei der vier Temperatursensoren defekt sind.

Basketballspieler Malik Schuster trifft bei Freiwürfen erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von \(60\,\%\). Er führt eine Serie von vier Freiwürfen aus. Die Würfe werden als unabhängig betrachtet, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. Dabei steht \(T\) für Treffer und \(F\) für Fehlwurf. a) Erkläre, weshalb alle vier Würfe mit denselben beiden Astwahrscheinlichkeiten modelliert werden können. Gib die Wahrscheinlichkeiten für Treffer und Fehlwurf an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: \(A\): „Alle vier Würfe sind Treffer.“ \(B\): „Zuerst zwei Fehlwürfe, dann zwei Treffer.“ \(C\): „Mindestens ein Treffer.“ \(D\): „Genau zwei Treffer.“

In einer Glashütte werden Trinkgläser hergestellt. Erfahrungsgemäß sind \(10\,\%\) der Gläser fehlerhaft. Für eine Qualitätskontrolle werden fünf Gläser nacheinander zufällig entnommen und geprüft. Da die Produktion sehr groß ist, werden die Prüfungen als unabhängig mit gleichbleibender Fehlerwahrscheinlichkeit modelliert. a) Gib die Wahrscheinlichkeiten für „fehlerhaft“ und „einwandfrei“ an und erkläre, warum sie bei allen fünf Prüfungen gleich bleiben. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse: \(A\): „Kein Glas ist fehlerhaft.“ \(B\): „Die ersten drei Gläser sind einwandfrei, die letzten beiden sind fehlerhaft.“ \(C\): „Mindestens ein Glas ist fehlerhaft.“ \(D\): „Genau ein Glas ist fehlerhaft.“

Ein Bogenschütze trifft das Zentrum der Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von \(40\,\%\). Er gibt drei Schüsse ab und notiert für jeden Schuss, ob er getroffen (\(T\)) oder nicht getroffen (\(N\)) hat. Die Schüsse werden als unabhängig betrachtet, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. a) Gib alle acht möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments in der Kurzschreibweise (z. B. \(TNN\)) an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse \(TNN\) und \(TTN\). c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für „genau ein Treffer“ und „mindestens zwei Treffer“.

Bei der Endkontrolle elektronischer Bauteile ist bekannt, dass \(10\,\%\) der Stücke fehlerhaft (\(f\)) sind. Die übrigen Stücke sind einwandfrei (\(e\)). Es werden nacheinander drei Bauteile geprüft. Aufgrund der großen Produktionsmenge werden die Prüfungen als unabhängig mit konstanter Fehlerwahrscheinlichkeit betrachtet. a) Begründe, weshalb die Ergebnisse \(efe\) und \(eef\) dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen, und gib diesen Wert an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei der drei Bauteile fehlerhaft sind. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens ein Bauteil fehlerhaft ist, und erkläre den Zusammenhang mit Teilaufgabe b).

In einer Fabrik werden Bauteile produziert, von denen \(95\,\%\) einwandfrei (\(G\)) sind und \(5\,\%\) als fehlerhaft (\(F\)) gelten. In einer Qualitätskontrolle werden vier Bauteile nacheinander geprüft. Die Prüfungen werden unabhängig mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten modelliert. Betrachtet werden folgende Ereignisse: A: „Nur das zweite Bauteil ist fehlerhaft.“ B: „Genau drei Bauteile sind einwandfrei.“ C: „Die ersten drei Bauteile sind einwandfrei.“ D: „Nur das vierte Bauteil ist fehlerhaft.“ a) Gib für die Ereignisse A bis D jeweils alle zugehörigen Ergebnisse in der Form \((x_1,x_2,x_3,x_4)\) an. b) Welche der Ereignisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit? Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B und C.

In einer Gärtnerei keimen durchschnittlich \(15\,\%\) der Blumensamen einer bestimmten Sorte nicht. Für eine Untersuchung werden vier Samen dieser Sorte zufällig ausgewählt und eingepflanzt. Die Keimungen werden als unabhängig mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten modelliert. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der vier Samen nicht keimen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur die ersten beiden Samen nicht keimen.

Ein Basketballspieler trifft bei Freiwürfen erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von \(80\,\%\). In einer Trainingseinheit führt er fünf Würfe aus. Die Würfe werden als unabhängig betrachtet, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er genau vier Treffer erzielt. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er nur beim fünften Wurf nicht trifft.

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von \(25\,\%\) pro Freiwurf. Er führt drei Freiwürfe hintereinander aus. Die Würfe werden als unabhängig betrachtet, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. Wir betrachten die Ereignisse: A: „Nur der zweite Wurf ist ein Treffer.“ B: „Der erste Treffer wird beim zweiten Wurf erzielt.“ C: „Der zweite Wurf ist ein Treffer.“ D: „Der zweite Wurf ist kein Treffer.“ a) Beschreibe die Ereignisse A, B und C, indem du alle möglichen Pfade in der Schreibweise (Wurf 1, Wurf 2, Wurf 3) auflistest. Verwende dabei \(T\) für Treffer und \(F\) für Fehlschuss. b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse A, B, C und D.

Ein Basketballspieler trifft bei einem Freiwurf den Korb mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p=0{,}4\). Er führt zunächst drei Freiwürfe aus. Die Würfe werden als unabhängig betrachtet, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er bei diesen drei Versuchen mindestens einmal trifft. Ist dieses Ereignis wahrscheinlicher als das Ereignis, dass er gar nicht trifft? Begründe durch Rechnung. b) Wie oft müsste der Spieler mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(90\,\%\) mindestens einen Treffer zu erzielen?

An einem Glücksrad gibt es zehn gleich große Felder. Nur eines dieser Felder ist ein Gewinnfeld. Das Rad wird mehrfach gedreht. Die Drehungen werden als unabhängig betrachtet. a) Ist es wahrscheinlicher, bei fünf Drehungen mindestens einmal zu gewinnen oder kein einziges Mal zu gewinnen? b) Erkläre, warum man niemals mit einer Wahrscheinlichkeit von exakt \(100\,\%\) einen Gewinn garantieren kann, egal wie oft man dreht. c) Bestimme die Anzahl der Drehungen, die nötig sind, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Gewinn zum ersten Mal über \(80\,\%\) liegt.

Ein Passwortschutz besteht aus sechs unabhängigen Prüfungen. Jede einzelne Prüfung wird mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p\) bestanden. Der Zugang wird nur freigegeben, wenn alle sechs Prüfungen bestanden werden. Bestimme \(p\), sodass die Wahrscheinlichkeit für einen erfolgreichen Zugang genau \(50\,\%\) beträgt. Zum Auflösen einer Gleichung der Form \(p^6=a\) darfst du die sechste Wurzel verwenden.

An einem Glücksrad mit fünf gleich großen Sektoren ist genau ein Sektor blau gefärbt. Das Rad wird so lange gedreht, bis zum ersten Mal Blau erscheint. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erstmals bei der zweiten bzw. erstmals bei der dritten Drehung Blau erscheint. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens drei Drehungen benötigt werden. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind mehr als vier Drehungen erforderlich?

Bei einer Qualitätskontrolle in einer Fabrik muss im Schnitt jedes vierte Bauteil (\(25\,\%\)) nachgebessert werden. Die Prüfungen werden als unabhängig mit gleichbleibender Wahrscheinlichkeit für ein nachzubesserndes Teil betrachtet. Bestimme die kleinste Anzahl \(n\) von Prüfungen, für die die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein nachzubesserndes Teil zu finden, mindestens \(80\,\%\) beträgt.

Eine Bogenschützin trifft das Goldzentrum der Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von \(70\,\%\). Sie gibt drei Schüsse nacheinander ab. Die Schüsse werden als unabhängig betrachtet, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt sie die Sequenz Treffer – kein Treffer – Treffer? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie bei den drei Schüssen insgesamt genau zweimal in das Goldzentrum trifft.

Beurteile, ob die folgenden Aussagen über Baumdiagramme bei mehrstufigen Zufallsexperimenten wahr oder falsch sind. Begründe jeweils deine Entscheidung. a) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, also eines vollständigen Pfades, ist niemals größer als die Wahrscheinlichkeit des ersten Astes, der zu diesem Ergebnis führt. b) Wenn man die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen vollständigen Pfade eines Baumdiagramms addiert, erhält man stets den Wert \(1\).

Ein Unternehmen prüft elektronische Bauteile auf Defekte. Bei einem tatsächlich defekten Bauteil schlägt ein automatischer Test mit einer Wahrscheinlichkeit von \(92\,\%\) an. Zur Sicherheit werden zwei solche Tests unabhängig voneinander durchgeführt. - Schlagen beide Tests an, wird das Bauteil sofort als Ausschuss sortiert. - Schlägt genau einer der beiden Tests an, wird eine manuelle Nachprüfung durchgeführt. - Schlagen beide Tests nicht an, wird das Bauteil als fehlerfrei eingestuft. Die manuelle Nachprüfung erkennt einen Defekt bei einem betroffenen Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von \(96\,\%\). Berechne für ein tatsächlich defektes Bauteil die Wahrscheinlichkeit, dass: (1) es sofort als Ausschuss klassifiziert wird; (2) der Defekt durch beide automatischen Tests nicht erkannt wird; (3) eine manuelle Nachprüfung erforderlich wird; (4) der Defekt erst in der manuellen Nachprüfung entdeckt wird; (5) das Bauteil insgesamt als defekt erkannt wird.

Aus einer Urne mit sechs farbigen Kugeln (siehe Abbildung) werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne mithilfe der Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Beide gezogenen Kugeln haben die gleiche Farbe. b) Mindestens eine der gezogenen Kugeln ist rot.

Das abgebildete Glücksrad hat vier unterschiedlich große Sektoren. Die Zahlen \(1,2,3,4\) haben der Reihe nach die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}1\), \(0{,}2\), \(0{,}3\) und \(0{,}4\). Die Farben liest du aus der Abbildung ab. Das Rad wird zweimal gedreht. a) Berechne mit Produktregel und Summenregel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden Zahlen genau \(5\) ist. b) Berechne mit den Pfadregeln die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Drehungen unterschiedliche Farben ergeben.

Das abgebildete Glücksrad besitzt vier gleich große Sektoren und wird dreimal nacheinander gedreht. Bestimme mithilfe der Pfadregeln: a) die Wahrscheinlichkeit für die genaue Farbreihenfolge Blau-Rot-Gelb, b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erscheinen. Gib die Ergebnisse als gekürzte Brüche und als Dezimalzahlen an.

Das abgebildete Glücksrad hat \(10\) gleich große farbige Felder. Das Rad wird zweimal nacheinander gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\): „Bei den beiden Drehungen erscheinen zwei verschiedene Farben.“ Gehe dabei über das Gegenereignis vor: 1. Beschreibe das Gegenereignis \(\bar E\) in Worten. 2. Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(\bar E)\). 3. Ermittle daraus die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\).

In einer Bäckerei werden Brötchen in zwei verschiedenen Öfen gebacken. \(60\,\%\) der Brötchen werden in Ofen 1 gebacken, die restlichen \(40\,\%\) in Ofen 2. Die Qualität der Brötchen wird nach dem Backen in drei Kategorien eingeteilt: „perfekt“, „zu dunkel“ und „unbrauchbar“. Das folgende Baumdiagramm zeigt die Anteile für die beiden Öfen. Wie viele von insgesamt \(2000\) produzierten Brötchen werden voraussichtlich als „perfekt“ eingestuft?

Bogenschütze Leon Hartmann trifft das Gold der Zielscheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von \(80\,\%\). Er gibt nacheinander drei Schüsse ab. Die Schüsse werden als unabhängig mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit modelliert. Wir bezeichnen einen Treffer im Gold mit \(G\) und einen Fehlschuss mit \(F\). a) Ergänze die Struktur des untenstehenden Baumdiagramms in Textform: Gib an, welche Äste an jedem noch nicht ausgefüllten Knoten ergänzt werden müssen und welche Wahrscheinlichkeiten sie tragen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A\): „Leon Hartmann erzielt genau zwei Treffer im Gold“. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(B\): „Mindestens ein Schuss landet im Gold“?

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt drei Ziehungen mit Zurücklegen aus einem Beutel. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zweimal Rot gezogen wird.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt drei Ziehungen ohne Zurücklegen. Bestimme **mit Produktregel und Summenregel aus den im Baum angegebenen Astwahrscheinlichkeiten** die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei rote Kugeln gezogen werden.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt drei aufeinanderfolgende Etappen einer Reise. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine Etappe verspätet ist.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt die Qualitätsprüfung einer Maschine, die höchstens drei Teile prüft und beim ersten Ausschussteil stoppt. Bestimme aus dem Baumdiagramm a) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Teile geprüft werden, b) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der dritte Prüfplatz erreicht wird.

Das abgebildete Baumdiagramm zeigt drei aufeinanderfolgende Ampeln. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Ampeln Grün zeigen.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt ein zweistufiges Zufallsexperiment. Bestimme mithilfe von Produktregel und Summenregel die Wahrscheinlichkeit für das im Baum mit „Erfolg“ bezeichnete Ereignis.

Das abgebildete Baumdiagramm zeigt ein Suchverfahren, das nach einem Treffer abbricht und spätestens nach dem dritten Versuch endet. Bestimme aus dem Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Verfahren a) nach dem ersten Versuch, b) nach dem zweiten Versuch, c) erst nach dem dritten Versuch endet.

Das abgebildete Baumdiagramm beschreibt drei unabhängige Sensoren; „Alarm“ bedeutet einen Fehlalarm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Sensoren gleichzeitig Fehlalarm melden.

Eine Mediathek verwendet Verfahren I: Zuerst wird gleich wahrscheinlich Regal A oder Regal B gewählt. In Regal A liegen zwei Hörstücke, in Regal B drei. Anschließend wird innerhalb des gewählten Regals gleich wahrscheinlich ein Hörstück ausgewählt. Verfahren II wählt dagegen direkt eines der insgesamt fünf Hörstücke gleich wahrscheinlich aus. Sind die beiden Verfahren als Zufallsexperimente gleichwertig? Begründe anhand der Wahrscheinlichkeit eines Hörstücks aus Regal A und eines Hörstücks aus Regal B.

In einer Bonus-App erhältst du in jeder unabhängig durchgeführten Runde mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}2\) einen Bonus. Bestimme die kleinste Rundenzahl \(n\), für die die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal einen Bonus zu erhalten, größer als \(0{,}5\) ist. Prüfe die benötigten ganzzahligen Werte von \(n\) nacheinander; Logarithmen sind nicht nötig.

In einem Produktionsprozess sind erfahrungsgemäß \(5\,\%\) der Bauteile defekt. In einer Stichprobe werden sechs Bauteile nacheinander geprüft. Aufgrund der großen Produktionsmenge werden die Prüfungen als unabhängig mit gleichbleibender Defektwahrscheinlichkeit betrachtet. Analysiere die Fehler in den folgenden Rechnungen und bestimme die korrekten Wahrscheinlichkeiten. a) „Das zweite geprüfte Bauteil ist defekt.“ Rechnung: \(0{,}95\cdot0{,}05\cdot0{,}95^4\) b) „Mindestens eines der sechs Bauteile ist defekt.“ Rechnung: \(6\cdot0{,}05\cdot0{,}95^5\)

Ein Onlinedienst nutzt drei unabhängige Sicherheitssysteme. Das erste erkennt einen Angriffsversuch mit Wahrscheinlichkeit \(90\,\%\), das zweite mit \(85\,\%\) und das dritte mit \(70\,\%\). Ein Angriff gilt als erkannt, sobald mindestens eines der Systeme ihn erkennt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Systeme einen Angriff übersehen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Systeme den Angriff erkennt. c) Ein viertes unabhängiges System kommt dazu. Wie groß muss seine Erkennungswahrscheinlichkeit sein, damit ein Angriff mit mehr als \(99{,}9\,\%\) Wahrscheinlichkeit erkannt wird?

Im abgebildeten Baumdiagramm ist die Astwahrscheinlichkeit \(q\) zum Ereignis \(B\) nach \(\overline{A}\) unbekannt. Insgesamt gilt \(P(B)=0{,}52\). Bestimme \(q\).

Eine unbekannt verzerrte Münze zeigt mit Wahrscheinlichkeit \(q\) Kopf. Bei zwei Würfen beträgt die Wahrscheinlichkeit für genau einmal Kopf \(0{,}42\). Bestimme alle möglichen Werte von \(q\).

Bei einem Robotik-Wettbewerb wird ein Duell als Serie von Runden ausgetragen. Ein Team gewinnt das Duell, sobald es drei Runden gewonnen hat; es verliert, sobald der Gegner drei Runden gewonnen hat. Das Duell dauert also höchstens fünf Runden. Die Gewinnwahrscheinlichkeit des Teams beträgt in der ersten Runde \(\frac{3}{5}\). Ab der zweiten Runde hängt sie nur vom Ergebnis der unmittelbar vorherigen Runde ab: Nach einem Rundensieg \(S\) gewinnt das Team die nächste Runde mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{3}\), nach einer Rundenniederlage \(N\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{3}\). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Team das Duell gewinnt. Begründe deine Zerlegung, indem du alle terminalen Gewinnfolgen systematisch angibst.