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- Welche Summe müssen die Äste an einer Verzweigung ergeben? - Lies anschließend nur den vollständigen gesuchten Pfad ab.

1. Fehlende erste Wahrscheinlichkeit: \(1-0{,}35=0{,}65\). 2. Pfad grün–Stern: \(0{,}65\cdot0{,}4=0{,}26\).

Fehlender Wert: \(0{,}65\); \(P(\text{grün und Stern})=0{,}26\).

- Verfolge im Baum nur den vollständigen Pfad von „Start“ über „A“ bis „Treffer“. - Lies die beiden Astwahrscheinlichkeiten dieses Pfades ab. - Bei einem vollständigen Pfad werden die zugehörigen Astwahrscheinlichkeiten miteinander verknüpft.

Entlang des Pfades „A – Treffer“ stehen die Astwahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{1}{4}\). Nach der ersten Pfadregel gilt \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\).

\(\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\)

- Beide angegebenen Pfade gehören zum selben Ereignis \(E\). - Die beiden Pfade schließen sich gegenseitig aus. - Überlege, wie die Wahrscheinlichkeiten günstiger, disjunkter Pfade zu einer Ereigniswahrscheinlichkeit zusammengefasst werden.

Das Ereignis besteht aus beiden günstigen Pfaden. Nach der zweiten Pfadregel werden ihre Pfadwahrscheinlichkeiten addiert: \(P(E)=0{,}18+0{,}27=0{,}45\).

\(P(E)=0{,}45=45\,\%\)

- Überlege dir genau, welche Ergebnisse jeder einzelne der drei Würfe haben muss. - Was bedeutet das Wort „nur“ in diesem Zusammenhang für den dritten Wurf? - Wie berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit einer bestimmten Abfolge von unabhängigen Ereignissen?

1. Analyse der geforderten Wurffolge: 1. Wurf = 6, 2. Wurf = 6, 3. Wurf = keine 6. 2. Wahrscheinlichkeit für eine 6: \(P(6) = \frac{1}{6}\). 3. Wahrscheinlichkeit für keine 6: \(P(\text{nicht } 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\). 4. Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten nach der Pfadregel: \(P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216}\).

c) \(\frac{5}{216}\)

- Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Erfolg als Dezimalzahl schreiben? - Wie verändert sich die Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn mehrere Ereignisse nacheinander eintreten müssen? - Überlege, ob du für jeden Wurf dieselbe Wahrscheinlichkeit annehmen kannst. - Wie rechnet man eine Dezimalzahl in eine Prozentangabe um?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeit für einen Treffer: \(P(\text{Treffer}) = 0{,}8\). 2. Anwendung der Pfadregel für 5 aufeinanderfolgende, unabhängige Ereignisse: \(P(\text{5 Treffer}) = 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}8 = 0{,}8^5\). 3. Berechnung des Potenzwertes: \(0{,}8^5 = 0{,}32768\). 4. Umrechnung in Prozent: \(0{,}32768 \cdot 100\,\% = 32{,}768\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(32{,}768\,\%\).

- Überlege zuerst, wie viele verschiedene Ziffern es an einem einzelnen Ring gibt. - Wie groß ist die Chance, an einem Ring zufällig die richtige Ziffer zu treffen? - Da die Ringe unabhängig voneinander eingestellt werden, kannst du die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander verknüpfen. - Wie viele vierstellige Kombinationen gibt es insgesamt von 0000 bis 9999?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten pro Ring: Da die Ziffern \(0\) bis \(9\) zur Verfügung stehen, gibt es \(10\) Möglichkeiten je Ring. 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine korrekte Ziffer an einem einzelnen Ring: \(P(\text{Ziffer richtig}) = \frac{1}{10}\). 3. Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für vier unabhängige Ereignisse: \(P(\text{Schloss öffnet}) = (\frac{1}{10})^4 = \frac{1}{10000}\). 4. Umrechnung in Dezimalform: \(0{,}0001\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Schloss beim ersten Versuch öffnet, beträgt \(\frac{1}{10000}\) oder \(0{,}0001\) (entspricht \(0{,}01\,\%\)).

- Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jedem Schuss gleich? - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Schüssen genau zwei Treffer zu erzielen? - Welches Ereignis tritt ein, wenn „mindestens ein Treffer“ nicht erfüllt ist? - Nutze die Pfadregeln für ein Baumdiagramm mit den Wahrscheinlichkeiten \(0{,}6\) und \(0{,}4\).

1. Da die Schüsse unabhängig sind, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}6\) und die Fehlwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}4\) konstant. 2. Für Fall (1) müssen drei Fehlschüsse (NNN) nacheinander eintreten: \(P(\text{kein Treffer}) = 0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}064\). 3. Für Fall (2) gibt es drei Pfade (TTN, TNT, NTT). Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist \(0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}144\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt \(3 \cdot 0{,}144 = 0{,}432\). 4. Fall (3) berechnet sich über das Gegenereignis zu (1): \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - P(\text{kein Treffer}) = 1 - 0{,}064 = 0{,}936\).

(1) \(P = 0{,}064\) (2) \(P = 0{,}432\) (3) \(P = 0{,}936\)

- Was ist das Gegenereignis zu „mindestens eine Lampe ist defekt“? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für eine funktionierende Lampe bestimmen? - Überlege dir, wie man Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades in einem Baumdiagramm verrechnet. - Hilft es dir, die Prozentangaben zuerst in Dezimalzahlen umzuwandeln?

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}05\) und \(P(\text{intakt}) = 0{,}95\). 2. Berechnung für a) mit der ersten Pfadregel: \(P(\text{alle intakt}) = 0{,}95 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 \cdot 0{,}95 = 0{,}95^4 \approx 0{,}8145\). 3. Berechnung für b) durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades: \(P(\text{D, I, I, I}) = 0{,}05 \cdot 0{,}95^3 \approx 0{,}0429\). 4. Berechnung für c) unter Verwendung des Gegenereignisses „keine Lampe ist defekt“ (entspricht „alle intakt“): \(P(\text{mind. eine defekt}) = 1 - P(\text{alle intakt}) = 1 - 0{,}95^4 \approx 0{,}1855\).

a) ca. \(81{,}45\,\%\) b) ca. \(4{,}29\,\%\) c) ca. \(18{,}55\,\%\)

- Was ist der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Pfadregel? - Wann wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung addiert und wann multipliziert? - Stell dir einen einzelnen Knoten vor: Können zwei der abgehenden Zweige gleichzeitig eintreten? - Was passiert, wenn man an einem Knoten alle möglichen Optionen berücksichtigt?

1. Aussage a) ist falsch. Nach der Pfadadditionsregel (zweite Pfadregel) berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade addiert, nicht multipliziert. Die Multiplikation wird nur innerhalb eines einzelnen Pfades angewendet. 2. Aussage b) ist wahr. Die Zweige, die von einem Knoten ausgehen, stellen alle sich gegenseitig ausschließenden Möglichkeiten dar, wie das Experiment an dieser Stelle weitergehen kann. Da nach Erreichen des Knotens genau eine dieser Möglichkeiten eintreten muss, bilden sie ein lokales sicheres Ereignis mit der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\).

a) Falsch. Begründung: Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade müssen addiert werden (Pfadadditionsregel). b) Wahr. Begründung: Die von einem Knoten ausgehenden Zweige decken alle verbleibenden Möglichkeiten ab, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu \(100\,\%\) (also \(1\)) ergänzen müssen.

- Überlege dir, wie groß der Anteil der Unkrautsamen ist, der nach der ersten Phase noch übrig bleibt. - Kannst du das Problem mithilfe eines Baumdiagramms visualisieren? - Was ist das Gegenereignis dazu, dass ein Unkrautsamen entfernt wird? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit längs eines Pfades in einem Baumdiagramm?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für das Nicht-Erkennen in den einzelnen Phasen: Phase 1: \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\) Phase 2: \(1 - 0{,}60 = 0{,}40\) Phase 3: \(1 - 0{,}40 = 0{,}60\) 2. Anwendung der Pfadregel für das Ereignis, dass ein Samen alle Phasen durchläuft: \(P(\text{nicht entfernt}) = 0{,}25 \cdot 0{,}40 \cdot 0{,}60 = 0{,}06\) 3. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass ein Samen in mindestens einer Phase entfernt wird: \(P(\text{entfernt}) = 1 - P(\text{nicht entfernt}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unkrautsamen nicht entfernt wird, beträgt \(6\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit, dass er erfolgreich aussortiert wird, liegt bei \(94\,\%\).

- Überlege dir zuerst, was das Gegenteil davon ist, dass mindestens einmal Grün gedreht wird. - Wie viele Sektoren auf dem Glücksrad sind nicht grün? - Berechne die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh kein Grün zu erhalten. - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für zwei aufeinanderfolgende, unabhängige Ereignisse? - Nutze den Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der seines Gegenereignisses.

1. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis zu „Mindestens einmal wird Grün gedreht“ lautet „Kein einziges Mal wird Grün gedreht“ (oder „Zweimal wird eine andere Farbe als Grün gedreht“). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Dreh ohne Grün: Es gibt 3 Sektoren, die nicht grün sind (2 gelbe und 1 roter). Bei insgesamt 8 Sektoren ist die Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nicht Grün}) = \frac{3}{8}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\) bei zwei Drehungen: Da die Drehungen unabhängig voneinander sind, gilt \(P(\bar{E}) = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{64}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): Über die Gegenwahrscheinlichkeit ergibt sich \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}\).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Kein einziges Mal wird Grün gedreht“ (oder „Es wird zweimal eine andere Farbe als Grün gedreht“). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(\frac{55}{64}\).

- Lies die Anzahlen der drei Farben aus der Abbildung ab. - Bei a) ist die Reihenfolge der beiden Farben fest vorgegeben. - Formuliere für b) das Gegenereignis und nutze, dass beide Drehungen gleich aufgebaut sind.

1. Aus der Abbildung liest man \(P(\text{Grün})=\frac{2}{5}\), \(P(\text{Gelb})=\frac{1}{5}\) und \(P(\text{Rot})=\frac{2}{5}\). 2. Für den festen Pfad Grün-Gelb gilt \(P=\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{25}=8\,\%\). 3. Für „mindestens einmal Rot“ ist das Gegenereignis „kein Rot“. Es gilt \(P(\text{kein Rot})=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}\), also \(P(\text{mindestens einmal Rot})=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}=64\,\%\).

a) \(\frac{2}{25}=8\,\%\) b) \(\frac{16}{25}=64\,\%\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele der acht Felder rot sind. - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens einmal Rot“? - Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses über einen vollständigen Pfad.

1. Zwei der acht Felder sind rot. Daher ist \(P(\text{Rot})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) und \(P(\text{nicht Rot})=\frac{3}{4}\). 2. Für das Gegenereignis „kein einziges Mal Rot“ gilt \(P(\text{keinmal Rot})=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{16}\). 3. Somit ist \(P(\text{mindestens einmal Rot})=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}=43{,}75\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{16}=43{,}75\,\%\).

- Lies die möglichen Zahlen direkt an beiden Glücksrädern ab und beachte ihre Reihenfolge. - Stelle die Ergebnisse als Paare \((A,B)\) dar. - Zähle für jedes Ereignis systematisch die günstigen Paare.

Aus den Abbildungen liest man für A drei und für B vier gleich wahrscheinliche Zahlen ab. Damit gibt es \(3\cdot 4=12\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. a) Die günstigen Paare sind \((1,4)\), \((2,3)\) und \((3,2)\). Daher gilt \(P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\). b) Günstig sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((2,3)\), \((2,4)\) und \((3,4)\). Also \(P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}=50\,\%\). c) Günstig sind \((1,1)\), \((2,2)\) und \((3,3)\). Damit gilt \(P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\).

a) \(\frac{1}{4}=25\,\%\) b) \(\frac{1}{2}=50\,\%\) c) \(\frac{1}{4}=25\,\%\)

- Lies aus der Abbildung die Wahrscheinlichkeiten für Gelb und Blau ab. - Verschiebe gedanklich die eine gelbe Drehung durch die drei möglichen Positionen. - Berechne zuerst einen günstigen Pfad und prüfe, ob die anderen dieselbe Wahrscheinlichkeit haben.

1. Mit \(G\) für Gelb und \(B\) für Blau gehören die drei Folgen \((G,B,B)\), \((B,G,B)\) und \((B,B,G)\) zum Ereignis. 2. Aus der Abbildung folgt \(P(G)=\frac{1}{4}\) und \(P(B)=\frac{3}{4}\). Jeder günstige Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{9}{64}\). 3. Daher ist \(P(E)=3\cdot\frac{9}{64}=\frac{27}{64}\).

a) \((G,B,B)\), \((B,G,B)\), \((B,B,G)\) b) \(P(E)=\frac{27}{64}\)

- Was bedeutet es für das Ergebnis der drei Drehungen, wenn das Ereignis „mindestens einmal Rot“ nicht eintrifft? - Kannst du das Gegenteil dieses Ereignisses beschreiben? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung kein Rot (also Blau) zu erhalten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen drei Drehungen nur Blau erscheint? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und der seines Gegenereignisses?

1. Formulierung des Gegenereignisses \(\bar{A}\): Das Gegenteil von „mindestens einmal Rot“ bei drei Drehungen ist „kein einziges Mal Rot“ beziehungsweise „dreimal Blau“. 2. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeit: Da vier von fünf Sektoren blau sind, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau bei einer Drehung \(P(B) = \frac{4}{5}\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: Da bei allen drei Drehungen Blau auftreten muss, gilt nach der Pfadmultiplikationsregel: \(P(\bar{A}) = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(A\): Mithilfe der Gegenereignisformel gilt: \(P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}\).

a) Das Gegenereignis \(\bar{A}\) lautet: „Das Rad zeigt kein einziges Mal Rot“ (oder „Das Rad zeigt dreimal Blau“). b) Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt \(P(\bar{A}) = \frac{64}{125}\). c) Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses beträgt \(P(A) = \frac{61}{125}\).

- Zähle zuerst, wie viele Felder das Glücksrad insgesamt hat und wie viele davon die jeweilige Farbe besitzen. - Wie werden die Wahrscheinlichkeiten entlang des festen Pfades „Grün-Grün“ verknüpft? - Bei „mindestens einmal Rot“ kann das Gegenereignis kürzer sein.

1. Aus der Abbildung folgt \(P(\text{Blau})=\frac{5}{10}=0{,}5\), \(P(\text{Rot})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{Grün})=\frac{2}{10}=0{,}2\). 2. Für zweimal Grün gilt \(P=0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04=4\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Rot“ ist „zweimal nicht Rot“. Für eine Drehung gilt \(P(\overline{R})=1-0{,}3=0{,}7\), daher \(P(\overline{R},\overline{R})=0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\). Somit ist \(P(\text{mindestens einmal Rot})=1-0{,}49=0{,}51=51\,\%\).

a) \(4\,\%\) b) \(0{,}51=51\,\%\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei einer Drehung eine bestimmte Zahl zu erhalten. - Welche Kombinationen von zwei Zahlen ergeben zusammen 4? - Ein Baumdiagramm kann dir helfen, alle möglichen Pfade für das Ereignis übersichtlich darzustellen. - Nutze die Pfadregeln: Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades und addiere die Ergebnisse der verschiedenen Pfade.

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Zahlen bei einer Drehung: Da es fünf gleich große Sektoren gibt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für jeden Sektor \(\frac{1}{5}\). - \(P(1) = \frac{1}{5}\) - \(P(2) = \frac{2}{5}\) (da die Zahl 2 in zwei Sektoren vorkommt) - \(P(3) = \frac{1}{5}\) - \(P(4) = \frac{1}{5}\) 2. Identifikation der Ergebniskombinationen \((z_1, z_2)\), deren Summe 4 ergibt: Die möglichen Pfade sind \((1, 3)\), \((3, 1)\) und \((2, 2)\). 3. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten mit der ersten Pfadregel (Produktregel): - \(P(1, 3) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}\) - \(P(3, 1) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}\) - \(P(2, 2) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{25}\) 4. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit mit der zweiten Pfadregel (Summenregel): \(P(E) = P(1, 3) + P(3, 1) + P(2, 2) = \frac{1}{25} + \frac{1}{25} + \frac{4}{25} = \frac{6}{25}\). 5. Ergebnis: \(P(E) = \frac{6}{25} = 0{,}24 = 24\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{6}{25}\) (bzw. \(0{,}24\) oder \(24\,\%\)).

- Zähle in der Abbildung, wie oft A und N vorkommen. - Beim Ziehen mit Zurücklegen ist die Urne vor dem zweiten Zug wieder gleich zusammengesetzt. - Für jede geforderte Buchstabenfolge ist genau ein zweistufiger Pfad festgelegt.

Aus der Abbildung liest man sechs Kugeln ab: drei mit A, zwei mit N und eine mit B. Daher gilt \(P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\) und \(P(N)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). a) Mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug gleich: \(P(\text{AN})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\). b) Für zweimal A gilt \(P(\text{AA})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

a) \(P(\text{AN})=\frac{1}{6}\) b) \(P(\text{AA})=\frac{1}{4}\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt auf den Kugeln der Urne ab. - Behandle die beiden Ziehungen als geordnetes Zahlenpaar. - Liste nur die Paare auf, deren Summe die Grenze \(8\) überschreitet.

Aus der Abbildung liest man fünf gleich wahrscheinliche Zahlen pro Zug ab. Mit Zurücklegen gibt es daher \(5\cdot 5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. Eine Summe größer als \(8\) entsteht bei \((4,5)\), \((5,4)\) und \((5,5)\). Somit gilt \(P=\frac{3}{25}=0{,}12\).

\(P=\frac{3}{25}=12\,\%\)

- Überlege dir, welche Kombinationen von Treffern (T) und Fehlwürfen (F) zu insgesamt zwei Treffern führen. - Wie viele solcher Kombinationen gibt es in einem 3-stufigen Baum? - Erinnere dich an die binomischen Lehrsatz oder das Pascalsche Dreieck für die Koeffizienten.

1. Definition der Variablen: \(p = 0{,}8\) (Treffer), \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\) (Fehlwurf). 2. Pfade für genau zwei Treffer (\(k=2\)) bei \(n=3\) Versuchen: Die Kombinationen sind (T, T, F), (T, F, T) und (F, T, T). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades: \(p \cdot p \cdot q = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: Da es 3 solche Pfade gibt, gilt \(P(X=2) = 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384\). 5. Algebraischer Vergleich: \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\). Der Term für genau zwei Treffer ist \(3p^2q\). Einsetzen ergibt \(3 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}384\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer beträgt \(0{,}384\) (oder \(38{,}4\,\%\)). b) In der Entwicklung \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\) entspricht der Summand \(3p^2q\) genau der Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer.

- Welche Ergebnisfolgen sind ausgeschlossen, wenn mindestens ein Treffer verlangt wird? - Beschreibe das Gegenteil mit möglichst wenigen Pfaden.

1. Gegenereignis: „keine rote Kugel“, also \(\overline{R}\,\overline{R}\). 2. Wahrscheinlichkeit: \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\).

Gegenereignis: „keine rote Kugel“; Wahrscheinlichkeit \(0{,}49\).

- Auf welchen vollständigen Pfaden endet die Fahrt mit dem Bus? - Berücksichtige beide möglichen Wetterlagen.

1. Pfad trocken–Bus: \(0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14\). 2. Pfad Regen–Bus: \(0{,}3\cdot0{,}6=0{,}18\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}14+0{,}18=0{,}32\).

\(0{,}32=32\,\%\).

- Wann kann ein Produkt ungerade sein? - Kannst du das Gegenteil des gesuchten Ereignisses einfacher beschreiben?

1. Gegenereignis „Produkt ungerade“: beide Zahlen ungerade. 2. Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses: \(\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{4}\). 3. Gesuchte Wahrscheinlichkeit: \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\).

\(\frac{3}{4}=75\,\%\).

- Ergänze zuerst die Verzweigung vollständig. - Welcher einzelne Pfad beschreibt das gesuchte Ereignis?

1. Fehlender Ast nach \(A\): \(1-0{,}65=0{,}35\). 2. Pfadwahrscheinlichkeit: \(P(A\cap\overline{B})=0{,}4\cdot0{,}35=0{,}14\).

Fehlender Ast: \(0{,}35\); \(P(A\cap\overline{B})=0{,}14\).

- Das gewünschte Ereignis hat mehrere Pfade. - Kannst du sein Gegenteil mit nur einem Pfad beschreiben?

1. Das Gegenereignis lautet „keine 6“. Entlang dieses Pfades gilt \(P(\text{keine 6})=\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\). 2. Daher ist \(P(\text{mindestens eine 6})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\).

\(\frac{11}{36}\)

- In welchen zwei Reihenfolgen kann genau ein Treffer auftreten? - Sind die beiden Pfade gleich wahrscheinlich?

1. Pfad Treffer–Fehlschuss: \(0{,}8\cdot0{,}2=0{,}16\). 2. Pfad Fehlschuss–Treffer: \(0{,}2\cdot0{,}8=0{,}16\). 3. Gesamtwahrscheinlichkeit: \(0{,}16+0{,}16=0{,}32\).

\(0{,}32=32\,\%\).

- „Erstmals bei der dritten“ legt die Ergebnisse der ersten beiden Prüfungen ebenfalls fest. - Verfolge im Baum nur den Pfad, der diese genaue Reihenfolge besitzt. - Multipliziere die Astwahrscheinlichkeiten dieses einen Pfades.

Damit erstmals bei der dritten Prüfung ein Fehler entdeckt wird, muss der Pfad „kein Fehler – kein Fehler – Fehler“ eintreten. Aus dem Baum liest man die Astwahrscheinlichkeiten \(0{,}7\), \(0{,}7\) und \(0{,}3\) ab. Nach der ersten Pfadregel gilt \(P=0{,}7\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3=0{,}147\).

\(P=0{,}147=14{,}7\,\%\)

- „Mindestens eines“ umfasst mehrere Endpfade. - Suche ein Gegenereignis, das im Baum nur aus einem einzigen vollständigen Pfad besteht. - Ziehe dessen Wahrscheinlichkeit von \(1\) ab.

1. Das Gegenereignis „kein Bauteil ist defekt“ besteht aus dem einzigen Pfad III. 2. Aus dem Baum ergibt sich \(P(III)=0{,}98^3=0{,}941192\). 3. Daher ist \(P(\text{mindestens ein Defekt})=1-0{,}941192=0{,}058808\).

\(P=0{,}058808\approx5{,}88\,\%\)

- Suche im Baum alle Endknoten mit der Bezeichnung „Ausschuss“. - Berechne für jeden dieser Endknoten die Wahrscheinlichkeit des vollständigen Pfades. - Addiere die beiden Beiträge zum gesuchten Ereignis.

Zum Ereignis „Ausschuss“ führen zwei Pfade. Über Linie A: \(0{,}5\cdot 0{,}03=0{,}015\). Über Linie B: \(0{,}5\cdot 0{,}01=0{,}005\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P(\text{Ausschuss})=0{,}015+0{,}005=0{,}02\).

\(P(\text{Ausschuss})=0{,}02=2\,\%\)

- Entscheide, ob die beiden Äste nacheinander durchlaufen werden oder alternative Pfade darstellen. - Erinnere dich daran, welche Pfadregel für einen einzelnen vollständigen Pfad gilt. - Prüfe zusätzlich, ob \(1{,}1\) überhaupt im möglichen Wertebereich einer Wahrscheinlichkeit liegt.

1. Die beiden Äste liegen nacheinander auf demselben vollständigen Pfad. Deshalb gilt die erste Pfadregel: Die Astwahrscheinlichkeiten werden multipliziert und nicht addiert. 2. Aus dem Baum folgt \(P(\text{Pfad }A\text{-}B)=0{,}4\cdot 0{,}7=0{,}28\). 3. Außerdem zeigt schon der Wert \(1{,}1\), dass die Rechnung nicht stimmen kann, weil eine Wahrscheinlichkeit höchstens \(1\) beträgt.

Der Fehler ist das Addieren von Astwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades. Richtig ist \(P=0{,}28\).

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Drehung eine bestimmte Zahl zu erhalten? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, die beiden gesuchten Zahlen hintereinander zu drehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten für einen Pfad und addiere dann die Wahrscheinlichkeiten aller zutreffenden Pfade.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Gesamtzahl der Felder ist 21. Anzahl der "3"-Felder ist 3, also \(P(3) = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}\). Anzahl der "5"-Felder ist 5, also \(P(5) = \frac{5}{21}\). 2. Berücksichtigung der möglichen Reihenfolgen: Es kann zuerst eine "3" und dann eine "5" kommen, oder umgekehrt. 3. Berechnung nach der Pfadregel: \(P(\text{"3" und "5"}) = P(3) \cdot P(5) + P(5) \cdot P(3) = 2 \cdot \left(\frac{3}{21} \cdot \frac{5}{21}\right)\). 4. Ausrechnen: \(P = 2 \cdot \frac{15}{441} = \frac{30}{441}\). 5. Kürzen des Bruchs durch 3: \(\frac{10}{147}\).

\(\frac{10}{147}\)

- Kannst du die Wahrscheinlichkeit bestimmen, mit der eine einzelne Leuchte einwandfrei ist? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass in einer Stichprobe von vier Leuchten genau eine fehlerhaft ist? - Stell dir ein Baumdiagramm vor: Welche Pfade führen zum gesuchten Ergebnis?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten: \(P(\text{defekt}) = 0{,}1\) und \(P(\text{einwandfrei}) = 0{,}9\). 2. Berechnung für a): Alle vier müssen einwandfrei sein. Mit \(E\) für „einwandfrei“ gilt: \(P(EEEE) = 0{,}9^4 = 0{,}6561\). 3. Berechnung für b): Mit \(D\) für „defekt“ gibt es vier mögliche Pfade mit genau einer defekten Leuchte: \(DEEE\), \(EDEE\), \(EEDE\) und \(EEED\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1 \cdot 0{,}9^3 = 0{,}0729\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit für b): \(4 \cdot 0{,}0729 = 0{,}2916\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6561\) (oder \(65{,}61\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}2916\) (oder \(29{,}16\,\%\)).

- Was wäre das Gegenteil davon, dass mindestens eine Lampe defekt ist? - Ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass keine Lampe defekt ist, oder direkt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Lampe defekt ist? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und die seines Gegenereignisses zusammen? - Welche Wahrscheinlichkeit hat eine einzelne Lampe, fehlerfrei zu sein?

1. Für eine einzelne Lampe gilt \(P(\text{defekt})=0{,}02\) und \(P(\text{intakt})=0{,}98\). 2. Das Ereignis „mindestens eine Lampe ist defekt“ ist das Gegenereignis zu „alle 10 Lampen sind intakt“. 3. Es gilt \(P(\text{alle intakt})=0{,}98^{10}\approx0{,}8171\). 4. Daher ist \(P(\text{mindestens eine Lampe defekt})=1-0{,}98^{10}\approx0{,}1829\approx18{,}29\,\%\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(1-0{,}98^{10}\approx0{,}1829\approx18{,}29\,\%\).

- Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei beiden Spielen. - Wie oft muss dieses Ereignis jeweils eintreten, um zu gewinnen? - Vergleiche die Brüche oder Dezimalzahlen am Ende miteinander. - Was passiert mit der Gesamtwahrscheinlichkeit, wenn man die Anzahl der benötigten Treffer erhöht?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Spiel A: Die Chance auf eine „6“ bei einem Wurf ist \(\frac{1}{6}\). Für drei Würfe gilt \(P(A) = (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216} \approx 0{,}00463\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Spiel B: Die Chance auf das Herz-Ass ist \(\frac{1}{32}\). Da mit Zurücklegen gezogen wird, gilt für zwei Züge \(P(B) = (\frac{1}{32})^2 = \frac{1}{1024} \approx 0{,}00098\). 3. Vergleich der Ergebnisse: Da \(\frac{1}{216} > \frac{1}{1024}\) (bzw. \(0{,}00463 > 0{,}00098\)), ist die Gewinnchance bei Spiel A deutlich höher.

Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Spiel A ist \(P(A) = \frac{1}{216} \approx 0{,}46\,\%\). Die Gewinnwahrscheinlichkeit bei Spiel B ist \(P(B) = \frac{1}{1024} \approx 0{,}10\,\%\). Somit ist die Gewinnchance bei Spiel A höher.

- Was bedeutet „mit Zurücklegen“ für die Wahrscheinlichkeit bei jedem neuen Zug? - Es gibt drei verschiedene Wege, wie man drei Bärchen der gleichen Farbe erhalten kann. Welche sind das? - Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe einzeln, dreimal hintereinander gezogen zu werden. - Wie kombiniert man die Ergebnisse für die verschiedenen Farben am Ende?

1. Berechnung der Einzelwahrscheinlichkeiten für jede Farbe: \(P(\text{rot}) = \frac{10}{20} = 0{,}5\); \(P(\text{gelb}) = \frac{6}{20} = 0{,}3\); \(P(\text{grün}) = \frac{4}{20} = 0{,}2\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für drei gleiche Farben (Pfadmultiplikation): - Drei rote: \(0{,}5^3 = 0{,}125\) - Drei gelbe: \(0{,}3^3 = 0{,}027\) - Drei grüne: \(0{,}2^3 = 0{,}008\) 3. Anwendung der Pfadadditionsregel für die verschiedenen erfolgreichen Ereignisse: \(P(\text{drei gleiche}) = 0{,}125 + 0{,}027 + 0{,}008 = 0{,}16\).

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben, beträgt \(0{,}16\) (oder \(16\,\%\)).

- Was ist das logische Gegenteil der Aussage „mindestens einer“? - Wenn zwei Prüfungen nacheinander mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten modelliert werden, wie verknüpfst du die Wahrscheinlichkeiten entlang eines vollständigen Pfades? - Warum ist es hier einfacher, über das Gegenteil zu rechnen, anstatt alle Fälle für „mindestens eines“ einzeln zu erfassen?

1. Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Keines der beiden Bauteile ist defekt“, also „beide Bauteile sind einwandfrei“. 2. Für ein einwandfreies Bauteil gilt \(P(\text{einwandfrei})=1-0{,}05=0{,}95\). 3. Daher ist \(P(\overline{E})=0{,}95\cdot0{,}95=0{,}9025\). 4. Somit gilt \(P(E)=1-P(\overline{E})=1-0{,}9025=0{,}0975\).

Das Gegenereignis \(\overline{E}\) lautet: „Beide Bauteile sind einwandfrei.“ Es gilt \(P(\overline{E})=0{,}95\cdot0{,}95=0{,}9025\) und damit \(P(E)=1-0{,}9025=0{,}0975=9{,}75\,\%\).

- Überlege dir, wie sich die Anzahl der verfügbaren Personen nach jeder Auswahl verändert. - Ein Baumdiagramm kann helfen, die verschiedenen Pfade für genau zwei Frauen zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils zu berechnen. - Achte darauf, ob die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis eine Rolle spielt oder ob verschiedene Reihenfolgen zum selben Ereignis führen.

1. Es handelt sich um ein Experiment ohne Zurücklegen mit insgesamt 10 Personen (6 Frauen, 4 Männer). 2. Für Ereignis (1) (MMM) ergibt sich nach der ersten Pfadregel: \(P(\text{nur Männer}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}\). 3. Für Ereignis (2) gibt es drei mögliche Pfade (FFM, FMF, MFF). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5\). 4. Für Ereignis (3) nutzt man das Gegenereignis zu (1): \(P(\text{mind. eine Frau}) = 1 - P(\text{nur Männer}) = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}\).

(1) \(P = \frac{1}{30} \approx 0{,}033\) (2) \(P = \frac{1}{2} = 0{,}5\) (3) \(P = \frac{29}{30} \approx 0{,}967\)

- Verfolge in a) nur den verlangten Pfad und passe die Anzahlen nach jeder Entnahme an. - Welches Gegenereignis ist für „mindestens eine Birne“ einfacher zu berechnen? - Welche Zusammensetzung hat der Korb zu Beginn von c), nachdem der erste Apfel bereits entnommen wurde?

1. Für die feste Reihenfolge Birne – Apfel – Birne gilt nach der Pfadmultiplikationsregel \(\frac{6}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{5}{13}=\frac{9}{91}\). 2. Das Gegenereignis zu „mindestens eine Birne“ ist „drei Äpfel“. Dafür gilt \(\frac{9}{15}\cdot\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}=\frac{12}{65}\). Daher beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(1-\frac{12}{65}=\frac{53}{65}\). 3. Nach dem ersten Apfel verbleiben \(14\) Früchte, darunter \(8\) Äpfel. Für zwei weitere Äpfel gilt nach der Pfadmultiplikationsregel \(\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}=\frac{4}{13}\).

a) \(\frac{9}{91}\) b) \(\frac{53}{65}\) c) \(\frac{4}{13}\)

- Welche vollständigen Pfade gehören jeweils zum gesuchten Ereignis? - Entlang eines vollständigen Pfades werden die drei Astwahrscheinlichkeiten miteinander verknüpft. - Für „mindestens zwei“ musst du sowohl die Fälle mit genau zwei als auch den Fall mit drei keimenden Samen berücksichtigen.

a) Für „alle drei keimen“ gibt es den Pfad KKK: \(P(\mathrm{KKK})=0{,}7\cdot0{,}7\cdot0{,}7=0{,}343\). b) Für „kein Samen keimt“ gibt es den Pfad NNN: \(P(\mathrm{NNN})=0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3=0{,}027\). c) „Mindestens zwei keimen“ umfasst KKN, KNK, NKK und KKK. Für jeden Pfad mit genau zwei keimenden Samen gilt \(0{,}7\cdot0{,}7\cdot0{,}3=0{,}147\). Daher ist \(P(\text{mindestens zwei})=0{,}147+0{,}147+0{,}147+0{,}343=0{,}784\).

a) \(34{,}3\,\%\) (oder \(0{,}343\)) b) \(2{,}7\,\%\) (oder \(0{,}027\)) c) \(78{,}4\,\%\) (oder \(0{,}784\))

- Bezeichne „defekt“ und „intakt“ kurz und notiere die vollständigen Viererfolgen, die zur jeweiligen Bedingung passen. - Auf einem vollständigen Pfad werden die vier Astwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert. - Prüfe bei „genau ein“ und „genau zwei“, an welchen Positionen die defekten Teile liegen können.

a) Für vier intakte Bauteile gibt es den Pfad IIII: \(P(\mathrm{IIII})=0{,}95^4=0{,}81450625\). b) Genau ein Defekt kann an vier Positionen auftreten: DIII, IDII, IIDI oder IIID. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}05\cdot0{,}95^3=0{,}04286875\). Daher ist \(P(\text{genau ein Defekt})=4\cdot0{,}04286875=0{,}171475\). c) Genau zwei Defekte treten auf den sechs Pfaden DDII, DIDI, DIID, IDDI, IDID und IIDD auf. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}05^2\cdot0{,}95^2=0{,}00225625\). Daher ist \(P(\text{genau zwei Defekte})=6\cdot0{,}00225625=0{,}0135375\).

a) ca. \(81{,}45\,\%\) b) ca. \(17{,}15\,\%\) c) ca. \(1{,}35\,\%\)

- Welche beiden Ausgänge hat jeder einzelne Wurf, und ändern sich ihre Wahrscheinlichkeiten von Wurf zu Wurf? - Für eine fest vorgegebene Reihenfolge genügt ein vollständiger Pfad. - Bei „mindestens ein Treffer“ kann das Gegenereignis kürzer sein. - Für „genau zwei Treffer“ musst du alle möglichen Positionen der beiden Treffer berücksichtigen.

1. Wegen der angenommenen Unabhängigkeit und der konstanten Trefferwahrscheinlichkeit gelten bei jedem Wurf dieselben Astwahrscheinlichkeiten: Treffer \(0{,}6\), Fehlwurf \(0{,}4\). 2. Für \(A\) gehört nur der Pfad TTTT zum Ereignis. Daher ist \(P(A)=0{,}6^4=0{,}1296\). 3. Für \(B\) gehört nur der Pfad NNTT zum Ereignis. Daher ist \(P(B)=0{,}4^2\cdot0{,}6^2=0{,}0576\). 4. Das Gegenereignis zu \(C\) ist NNNN. Daher ist \(P(C)=1-0{,}4^4=0{,}9744\). 5. Genau zwei Treffer treten auf den sechs Pfaden TTNN, TNTN, TNNT, NTTN, NTNT und NNTT auf. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6^2\cdot0{,}4^2=0{,}0576\). Somit ist \(P(D)=6\cdot0{,}0576=0{,}3456\).

a) Weil die Würfe als unabhängig modelliert werden und die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt, gelten bei jedem Wurf dieselben Astwahrscheinlichkeiten: Treffer \(0{,}6\), Fehlwurf \(0{,}4\). b) \(P(A)=0{,}1296\); \(P(B)=0{,}0576\); \(P(C)=0{,}9744\); \(P(D)=0{,}3456\)

- Welche zwei Astwahrscheinlichkeiten gehören zu jeder Prüfung, und was bewirkt das Zurücklegen für die Zusammensetzung? - Bei einem fest vorgegebenen Ablauf reicht ein vollständiger Pfad. - Für „mindestens ein fehlerhaftes Glas“ kann das Gegenereignis einfacher sein. - Bei „genau ein fehlerhaftes Glas“ ist entscheidend, an welcher der fünf Positionen der Fehler liegt.

1. Für ein fehlerhaftes Glas gilt die Astwahrscheinlichkeit \(0{,}1\), für ein einwandfreies Glas \(0{,}9\). Wegen des Modells „mit Zurücklegen“ bleibt die Zusammensetzung bei jeder der fünf Prüfungen gleich. 2. Für \(E\) gehört nur der Pfad EEEEE zum Ereignis. Daher ist \(P(E)=0{,}9^5=0{,}59049\). 3. Für \(F\) gehört nur der Pfad EEEFF zum Ereignis. Daher ist \(P(F)=0{,}9^3\cdot0{,}1^2=0{,}00729\). 4. Das Gegenereignis zu \(G\) ist „kein Glas ist fehlerhaft“. Daher ist \(P(G)=1-0{,}59049=0{,}40951\). 5. Genau ein fehlerhaftes Glas kann an fünf Positionen stehen: FEEEE, EFEEE, EEFEE, EEEFE oder EEEEF. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\cdot0{,}9^4=0{,}06561\). Somit ist \(P(H)=5\cdot0{,}06561=0{,}32805\).

a) Fehlerhaft: \(0{,}1\); einwandfrei: \(0{,}9\). Die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich, weil das Ziehen als Ziehen mit Zurücklegen modelliert wird und sich die Zusammensetzung dadurch nicht ändert. b) \(P(E)=0{,}59049\); \(P(F)=0{,}00729\); \(P(G)=0{,}40951\); \(P(H)=0{,}32805\)

- Unterscheide zwischen „genau zwei irgendwo“ und „nur die ersten beiden“. - Liste für a) alle vierstelligen Folgen mit genau zwei nicht keimenden Samen auf. - Vergleiche die Pfadwahrscheinlichkeiten dieser Folgen, bevor du sie addierst.

a) Für genau zwei nicht keimende Samen gibt es sechs mögliche Folgen: \(NNKK\), \(NKNK\), \(NKKN\), \(KNNK\), \(KNKN\) und \(KKNN\). Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}15^2\cdot 0{,}85^2=0{,}01625625\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P(\text{genau zwei }N)=6\cdot 0{,}01625625=0{,}0975375\approx 9{,}75\,\%\). b) Die Reihenfolge ist festgelegt: \(NNKK\). Daher gilt \(P(NNKK)=0{,}15^2\cdot 0{,}85^2=0{,}01625625\approx 1{,}63\,\%\).

a) \(P\approx 9{,}75\,\%\) b) \(P\approx 1{,}63\,\%\)

- Zeichne oder notiere für a) die möglichen Positionen des einzigen Fehlwurfs. - Prüfe, ob die zugehörigen Pfade dieselben Faktoren enthalten. - Vergleiche die Anzahl günstiger Pfade in a) mit der fest vorgegebenen Folge in b).

a) Bei genau vier Treffern gibt es fünf mögliche Folgen, je nachdem, an welcher Stelle der einzige Fehlwurf liegt. Jeder zugehörige Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8^4\cdot 0{,}2=0{,}08192\). Mit der zweiten Pfadregel folgt \(P(\text{genau vier Treffer})=5\cdot 0{,}08192=0{,}4096\). b) Hier ist nur die Folge \(TTTTF\) erlaubt. Nach der ersten Pfadregel gilt \(P(TTTTF)=0{,}8^4\cdot 0{,}2=0{,}08192\).

a) \(P=0{,}4096=40{,}96\,\%\) b) \(P=0{,}08192=8{,}192\,\%\)

- Überlege dir, wie man die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet, wenn mehrere unabhängige Ereignisse alle gleichzeitig (oder nacheinander) eintreten müssen. - Stelle eine Gleichung auf, in der die unbekannte Wahrscheinlichkeit \(p\) vorkommt. - Welche mathematische Operation kehrt eine Potenz der Form \(x^6\) um?

1. Aufstellen der Wahrscheinlichkeitsgleichung für ein zusammengesetztes Zufallsexperiment mit sechs unabhängigen Stufen: Da alle sechs Ereignisse eintreten müssen, gilt nach der Pfadregel \(P(\text{Erfolg}) = p^6\). 2. Einsetzen der gegebenen Gesamtwahrscheinlichkeit: \(p^6 = 0{,}5\). 3. Auflösen der Gleichung nach \(p\) durch Ziehen der sechsten Wurzel: \(p = \sqrt[6]{0{,}5}\). 4. Numerische Berechnung des Wertes: \(p \approx 0{,}8909\). Die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Abfrage muss also ca. \(89{,}09\,\%\) betragen.

Die Wahrscheinlichkeit \(p\) muss ca. \(0{,}8909\) (oder \(89{,}09\,\%\)) betragen.

- Beschreibe bei a) genau, was vor dem ersten blauen Ergebnis geschehen muss. - Für „höchstens drei“ kann das Gegenereignis kürzer sein als das Addieren mehrerer Endpfade. - Bei c) genügt es zu betrachten, was in den ersten vier Drehungen passieren muss.

a) Für „erstmals bei der zweiten Drehung Blau“ ist der Pfad „kein Blau, Blau“ nötig: \(0{,}8\cdot 0{,}2=0{,}16\). Für „erstmals bei der dritten Drehung Blau“ ist der Pfad „kein Blau, kein Blau, Blau“ nötig: \(0{,}8^2\cdot 0{,}2=0{,}128\). b) Höchstens drei Drehungen werden benötigt, wenn in den ersten drei Drehungen mindestens einmal Blau erscheint. Über das Gegenereignis „dreimal kein Blau“ gilt \(P=1-0{,}8^3=0{,}488\). c) Mehr als vier Drehungen sind nötig, wenn die ersten vier Drehungen alle nicht Blau ergeben: \(P=0{,}8^4=0{,}4096\).

a) Zweite Drehung: \(0{,}16\); dritte Drehung: \(0{,}128\) b) \(P=0{,}488\) c) \(P=0{,}4096\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne rote bzw. blaue Kugel bei einem Zug ist. - Da die Kugeln zurückgelegt werden, handelt es sich um ein Experiment mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten. - Zeichne dir ein Baumdiagramm, um alle möglichen Pfade für die Ereignisse zu finden. - Bei „mindestens“-Aufgaben kann das Gegenereignis oft schneller zum Ziel führen.

1. Da mit Zurücklegen gezogen wird, bleiben die Wahrscheinlichkeiten in jedem Zug gleich: \(P(\text{rot}) = \frac{2}{5} = 0{,}4\) und \(P(\text{blau}) = \frac{3}{5} = 0{,}6\). 2. Für Ereignis a) wird die Pfadregel angewendet: \(P(\text{rrr}) = \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125} = 0{,}064\). 3. Für Ereignis b) gibt es drei mögliche Pfade: (b, b, r), (b, r, b) und (r, b, b). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{18}{125}\). Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(3 \cdot \frac{18}{125} = \frac{54}{125} = 0{,}432\). 4. Für Ereignis c) ist es effizienter, über das Gegenereignis „keine rote Kugel“ (also drei blaue Kugeln) zu rechnen: \(P(\text{mind. eine rote}) = 1 - P(\text{bbb}) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125} = 0{,}784\).

a) \(P = \frac{8}{125} = 0{,}064\) b) \(P = \frac{54}{125} = 0{,}432\) c) \(P = \frac{98}{125} = 0{,}784\)

- Wie viele verschiedene Kombinationen gibt es insgesamt, wenn man aus vier Zahlen zweimal mit Zurücklegen zieht? - Erstelle eine kleine Tabelle oder eine Liste aller 16 Möglichkeiten, um die günstigen Fälle leichter abzählen zu können. - Denke daran, dass beim Produkt von Zahlen auch gleiche Zahlen (wie \(2 \cdot 2\)) Quadratzahlen ergeben. - Gehe systematisch vor, um beim Vergleichen der Zahlen (größer/kleiner) keinen Fall zu vergessen.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bei zwei Zügen mit Zurücklegen beträgt \(4 \cdot 4 = 16\). 2. Für Ereignis a) werden die günstigen Paare ermittelt: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Es gibt 4 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 3. Für Ereignis b) werden die Paare gesucht, deren Produkt eine Quadratzahl ist: (1,1) [Produkt 1], (1,4) [4], (2,2) [4], (3,3) [9], (4,1) [4], (4,4) [16]. Es gibt 6 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375\). 4. Für Ereignis c) werden die Paare gesucht, bei denen die erste Zahl größer ist: (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3). Es gibt 6 günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375\).

a) \(P = \frac{1}{4} = 0{,}25\) b) \(P = \frac{3}{8} = 0{,}375\) c) \(P = \frac{3}{8} = 0{,}375\)

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, bei drei Versuchen genau zwei Treffer zu erzielen? - Skizziere die relevanten Pfade in einem Baumdiagramm. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines kombinierten Ereignisses, das aus mehreren Pfaden besteht?

1. Festlegen der Wahrscheinlichkeiten für einen Einzelschuss: Treffer \(P(T) = 0{,}7\) und kein Treffer \(P(K) = 0{,}3\). 2. Lösung zu a) durch Anwendung der Pfadmultiplikationsregel für den Pfad (T, K, T): \(0{,}7 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 0{,}147\). 3. Analyse für b): Es gibt drei Pfade, die genau zwei Treffer enthalten: (T, T, K), (T, K, T) und (K, T, T). 4. Da jeder dieser Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit hat (\(0{,}7^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}147\)), ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch die Summenregel: \(3 \cdot 0{,}147 = 0{,}441\).

a) \(14{,}7\,\%\) b) \(44{,}1\,\%\)

- Überlege bei a), welche Werte Zweigwahrscheinlichkeiten annehmen können. - Prüfe, was mit einem Wert geschieht, wenn er mit weiteren Zahlen zwischen \(0\) und \(1\) multipliziert wird. - Frage bei b), welches Ereignis aus der Vereinigung aller vollständigen Pfade entsteht.

1. Aussage a) ist wahr. Nach der ersten Pfadregel ist die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades das Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten. Jede weitere Zweigwahrscheinlichkeit liegt zwischen \(0\) und \(1\), daher kann das Produkt durch weitere Faktoren nicht größer werden als die Wahrscheinlichkeit des ersten Zweigs. 2. Aussage b) ist wahr. Alle vollständigen Pfade zusammen beschreiben sämtliche möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments und schließen einander aus. Nach der zweiten Pfadregel ist ihre Summe daher die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, also \(1\).

a) Wahr. Die Pfadwahrscheinlichkeit ist das Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten; zusätzliche Faktoren zwischen \(0\) und \(1\) können das Produkt nicht vergrößern. b) Wahr. Alle vollständigen Pfade bilden zusammen das sichere Ereignis und schließen einander aus, daher summieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu \(1\).

- Betrachte das Gegenereignis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste, zweite, dritte Person usw., wenn kein Monat doppelt vorkommen darf? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt bei 12 Monaten für \(k\) Personen? - Teste schrittweise verschiedene Werte für die Anzahl der Personen \(k\).

1. Das Gegenereignis ist, dass alle \(k\) Jugendlichen in verschiedenen Monaten Geburtstag haben. 2. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Gegenereignis bei \(k\) Personen und 12 Monaten beträgt \(P(\text{verschieden}) = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \dots \cdot \frac{12-k+1}{12}\). 3. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(1 - P(\text{verschieden}) > 0{,}6\) gilt, also \(P(\text{verschieden}) < 0{,}4\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten durch schrittweises Multiplizieren: - \(k=1\): \(1\) - \(k=2\): \(1 \cdot \frac{11}{12} \approx 0{,}917\) - \(k=3\): \(0{,}917 \cdot \frac{10}{12} \approx 0{,}764\) - \(k=4\): \(0{,}764 \cdot \frac{9}{12} \approx 0{,}573\) - \(k=5\): \(0{,}573 \cdot \frac{8}{12} \approx 0{,}382\) 5. Da \(0{,}382 < 0{,}4\) (bzw. \(1 - 0{,}382 = 0{,}618 > 0{,}6\)), ist die Bedingung erstmals für \(k=5\) erfüllt.

\(k = 5\)

- Stelle den Ablauf als mehrstufiges Baumdiagramm dar. - Welche vollständigen Pfade gehören zu „genau ein automatischer Test schlägt an“? - Unterscheide zwischen Ereignissen, die nacheinander eintreten müssen, und verschiedenen Pfaden, die zum selben Ergebnis führen. - Welche bereits berechneten Fälle führen insgesamt zur Erkennung des Defekts?

1. Für einen automatischen Test gilt \(p=0{,}92\) für „schlägt an“ und \(q=0{,}08\) für „schlägt nicht an“. 2. Sofortiger Ausschuss bedeutet zweimal „schlägt an“: \(0{,}92\cdot0{,}92=0{,}8464\). 3. Zweimaliges Nichterkennen hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}08\cdot0{,}08=0{,}0064\). 4. Eine Nachprüfung ist bei genau einem positiven automatischen Test nötig. Dafür gibt es zwei Pfade: \(2\cdot0{,}92\cdot0{,}08=0{,}1472\). 5. Erst in der manuellen Nachprüfung entdeckt wird der Defekt mit \(0{,}1472\cdot0{,}96=0{,}141312\). 6. Insgesamt erkannt wird der Defekt entweder sofort oder erst in der Nachprüfung: \(0{,}8464+0{,}141312=0{,}987712\).

(1) \(0{,}8464=84{,}64\,\%\) (2) \(0{,}0064=0{,}64\,\%\) (3) \(0{,}1472=14{,}72\,\%\) (4) \(0{,}141312\approx14{,}13\,\%\) (5) \(0{,}987712\approx98{,}77\,\%\)

- Notiere dir zuerst die Wahrscheinlichkeiten für „Sensor reagiert“ und „Sensor reagiert nicht“. - Skizziere die möglichen Verläufe in einem Baumdiagramm. Die erste Stufe sind die beiden Sensoren, die zweite Stufe (falls nötig) die Videoüberprüfung. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau ein Sensor reagiert? Berücksichtige beide Kombinationen. - Für die Gesamtwahrscheinlichkeit musst du alle Pfade addieren, die zu einer erfolgreichen Erkennung führen.

Sei \(p = 0{,}88\) die Wahrscheinlichkeit einer Sensordetektion und \(p_v = 0{,}95\) die der Videoerkennung. 1. Hauptalarm bei zwei Detektionen: \(P(A) = 0{,}88^2 = 0{,}7744\). 2. Keine Reaktion bei zwei Nicht-Detektionen: \(P(B) = (1 - 0{,}88)^2 = 0{,}12^2 = 0{,}0144\). 3. Videoüberprüfung bei genau einer Detektion: \(P(C) = 2 \cdot 0{,}88 \cdot 0{,}12 = 0{,}2112\). 4. Erkennung nur via Video: \(P(D) = P(C) \cdot p_v = 0{,}2112 \cdot 0{,}95 = 0{,}20064\). 5. Gesamterkennungswahrscheinlichkeit: \(P(A) + P(D) = 0{,}7744 + 0{,}20064 = 0{,}97504\). Alternativ über das Gegenereignis (keine Reaktion oder Videoüberprüfung schlägt fehl): \(1 - (0{,}0144 + 0{,}2112 \cdot 0{,}05) = 0{,}97504\).

(1) \(0{,}7744\) (oder \(77{,}44\,\%\)) (2) \(0{,}0144\) (oder \(1{,}44\,\%\)) (3) \(0{,}2112\) (oder \(21{,}12\,\%\)) (4) \(0{,}20064\) (oder ca. \(20{,}06\,\%\)) (5) \(0{,}97504\) (oder ca. \(97{,}50\,\%\))

- Wie viele gleich wahrscheinliche Kombinationen entstehen aus den Sektoren der beiden Räder? - Welche Farben kommen auf beiden Glücksrädern vor, und wie oft jeweils? - Ordne für b) die Ergebnisse als geordnete Zahlenpaare und erfasse systematisch die Paare mit Summe mindestens \(6\).

1. Glücksrad A hat \(5\) und Glücksrad B \(4\) gleich große Sektoren. Daher gibt es \(5\cdot4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Kombinationen. 2. Für dieselbe Farbe gibt es \(2\cdot1=2\) Rot-Rot-Kombinationen und \(2\cdot2=4\) Blau-Blau-Kombinationen. Gelb und Grün kommen nicht auf beiden Rädern vor. Somit ist \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}=30\,\%\). 3. Für eine Summe von mindestens \(6\) gibt es \(1+2+3+4=10\) günstige Zahlenpaare: bei der ersten Zahl \(2\) eines, bei \(3\) zwei, bei \(4\) drei und bei \(5\) vier. Daher ist \(P(\text{Summe mindestens }6)=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}=50\,\%\).

a) \(\frac{3}{10}=30\,\%\) b) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie oft jede der drei Farben vorkommt. - Welche Regel verwendest du für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen vollständigen Pfades? - Welche gleichfarbigen Pfade gehören zu Ereignis \(E_2\)?

1. Das Glücksrad hat \(3\) rote, \(3\) blaue und \(2\) grüne Sektoren. Daher gilt \(P(\text{Rot})=\frac{3}{8}\), \(P(\text{Blau})=\frac{3}{8}\) und \(P(\text{Grün})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). 2. Für zweimal Grün ist \(P(E_1)=\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{8}=\frac{1}{16}=6{,}25\,\%\). 3. „Zweimal dieselbe Farbe“ umfasst Rot-Rot, Blau-Blau und Grün-Grün. Daher ist \(P(E_2)=\left(\frac{3}{8}\right)^2+\left(\frac{3}{8}\right)^2+\left(\frac{2}{8}\right)^2=\frac{22}{64}=\frac{11}{32}=34{,}375\,\%\).

a) \(P(E_1)=\frac{1}{16}=6{,}25\,\%\) b) \(P(E_2)=\frac{11}{32}=34{,}375\,\%\)

- Halte getrennt fest, wie oft jede Zahl und jede Farbe auf dem Rad vorkommt. - Welche Zahlenpaare erfüllen die Bedingungen in a) beziehungsweise b)? - Für c) ist die Reihenfolge der beiden Farben fest vorgegeben.

1. Bei zwei Drehungen gibt es \(6\cdot6=36\) gleich wahrscheinliche Sektorenpaare. 2. Die Zahl \(1\) steht auf \(2\), die Zahl \(2\) auf \(3\) und die Zahl \(3\) auf \(1\) Sektor. Daher ist \(P(\text{zweimal gleiche Zahl})=\frac{2^2+3^2+1^2}{36}=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}\approx38{,}9\,\%\). 3. Eine Summe größer als \(4\) entsteht durch \((2,3)\), \((3,2)\) oder \((3,3)\). Wegen der Häufigkeiten der Zahlen gibt es dazu \(3\cdot1+1\cdot3+1\cdot1=7\) günstige Sektorenpaare. Somit ist \(P(\text{Summe}>4)=\frac{7}{36}\approx19{,}4\,\%\). 4. Es gibt \(2\) rote und \(2\) blaue Sektoren. Daher ist \(P(\text{erst Rot, dann Blau})=\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{9}\approx11{,}1\,\%\).

a) \(\frac{7}{18}\approx38{,}9\,\%\) b) \(\frac{7}{36}\approx19{,}4\,\%\) c) \(\frac{1}{9}\approx11{,}1\,\%\)

- Wie viele gleich wahrscheinliche Kombinationen entstehen aus den Sektoren der beiden Räder? - Wie viele rote Sektoren besitzt jedes der beiden Räder? - Liste für b) systematisch die Zahlenpaare auf, deren Summe \(6\) ist.

1. Glücksrad A hat \(4\) und Glücksrad B \(6\) gleich große Sektoren. Daher gibt es \(4\cdot6=24\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. 2. Auf A ist \(1\) von \(4\) Sektoren rot, auf B sind \(3\) von \(6\) Sektoren rot. Daher ist \(P(\text{beide rot})=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{6}=\frac{1}{8}\). 3. Die Zahlenpaare mit Summe \(6\) sind \((1,5)\), \((2,4)\), \((3,3)\) und \((4,2)\). Diese vier Paare sind gleich wahrscheinlich, also ist \(P(\text{Summe }6)=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{8}\) b) \(\frac{1}{6}\)

- Lies aus der Abbildung ab, wie viele Kugeln jeder Farbe vorhanden sind. - Welche Farben können bei zwei Ziehungen ohne Zurücklegen überhaupt zweimal auftreten? - Gibt es für b) ein Gegenereignis, das nur die nicht-roten Kugeln betrachtet?

1. In der Urne liegen \(3\) blaue, \(2\) rote und \(1\) gelbe Kugel. 2. Zwei gleichfarbige Kugeln können nur Blau-Blau oder Rot-Rot sein. Daher ist \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}\approx26{,}7\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine rote Kugel“ ist „keine rote Kugel“. Es gibt zunächst \(4\) nicht-rote Kugeln. Somit ist \(P(\text{keine rote})=\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\), also \(P(\text{mindestens eine rote})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}=60\,\%\).

a) \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{4}{15}\approx26{,}7\,\%\) b) \(P(\text{mindestens eine rote})=\frac{3}{5}=60\,\%\)

- Welche Zahlen können auf dem Glücksrad gedreht werden und wie wahrscheinlich ist jede einzelne? - Schreibe alle Kombinationen von zwei Zahlen auf, deren Summe mindestens 6 ergibt. - Nutze die Pfadregeln (Multiplikationsregel für die Pfade und Additionsregel für die verschiedenen Pfade), um die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Kombinationen zu berechnen. - Vereinfache das Ergebnis am Ende, indem du den Bruch kürzt.

1. Identifikation der Sektoren und ihrer Wahrscheinlichkeiten: Die Zahlen auf dem Glücksrad sind 1 (ein blauer Sektor), 2 (ein blauer Sektor), 3 (zwei rote Sektoren) und 5 (zwei grüne Sektoren). Die Wahrscheinlichkeiten bei einem Dreh sind: - \(P(1) = \frac{1}{6}\) - \(P(2) = \frac{1}{6}\) - \(P(3) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) - \(P(5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) 2. Bestimmung der günstigen Kombinationen \((x, y)\), bei denen die Summe \(x + y \ge 6\) ist: - \((1, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\) - \((2, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{2}{36}\) - \((3, 3)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) - \((3, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) - \((5, 1)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}\) - \((5, 2)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{36}\) - \((5, 3)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) - \((5, 5)\) mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{4}{36}\) 3. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(\text{Summe} \ge 6) = \frac{2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 2 + 4 + 4}{36} = \frac{24}{36}\) 4. Kürzen des Bruchs: \(\frac{24}{36} = \frac{2}{3}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3}\).

- Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten direkt aus den gleich großen Sektoren der Abbildung. - Für a) gehören mehrere verschiedene Farbpfade zum Ereignis. - Für b) ist das Gegenereignis „bei keiner Drehung Grün“ besonders kurz.

1. Aus der Abbildung folgt \(P(\text{Rot})=\frac{3}{8}\), \(P(\text{Blau})=\frac{4}{8}\) und \(P(\text{Grün})=\frac{1}{8}\). 2. Für zweimal dieselbe Farbe werden die drei gleichfarbigen Pfade addiert: \(P=\left(\frac{3}{8}\right)^2+\left(\frac{4}{8}\right)^2+\left(\frac{1}{8}\right)^2=\frac{26}{64}=\frac{13}{32}=40{,}625\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Grün“ ist „kein Grün“. Daher ist \(P=1-\left(\frac{7}{8}\right)^2=\frac{15}{64}=23{,}4375\,\%\). 4. Für den festen Pfad Rot-Blau gilt \(P=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{8}=\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\).

a) \(\frac{13}{32}=40{,}625\,\%\) b) \(\frac{15}{64}=23{,}4375\,\%\) c) \(\frac{3}{16}=18{,}75\,\%\)

- Lies zuerst ab, wie oft jede der drei Farben auf dem Rad vorkommt. - Welche drei gleichfarbigen Pfade gehören zu a)? - Kannst du b) kürzer über das Gegenereignis „kein Gelb“ berechnen?

1. Bei einer Drehung gilt \(P(\text{Rot})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), \(P(\text{Grün})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) und \(P(\text{Gelb})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). 2. Für zweimal dieselbe Farbe gilt \(P=\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 3. Das Gegenereignis \(\overline{B}\) zu „mindestens einmal Gelb“ ist „kein Gelb“. Daher ist \(P(\overline{B})=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}\), also \(P(B)=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}=43{,}75\,\%\).

a) \(P(\text{zweimal gleiche Farbe})=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(P(\text{mindestens einmal Gelb})=\frac{7}{16}=43{,}75\,\%\)

- Lies dir die Aufgabe aufmerksam durch und überlege, wie viele mögliche Ergebnisse es für einen einzelnen Dreh gibt. - Kannst du ein Baumdiagramm zeichnen, um alle möglichen Pfade für zwei Drehungen darzustellen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad im Baumdiagramm? - Gibt es bei Teilaufgabe b) ein Gegenereignis, das einfacher zu berechnen ist als alle einzelnen günstigen Pfade zusammenzuzählen? - Achte darauf, deine Brüche am Ende so weit wie möglich zu kürzen.

1. Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Da das Glücksrad aus 6 gleich großen Sektoren besteht, ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für die Farben bei einer einzelnen Drehung: \(P(\text{Grün}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) \(P(\text{Blau}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(P(\text{Rot}) = \frac{1}{6}\) 2. Teilaufgabe a): Das Ereignis „zweimal dieselbe Farbe“ umfasst die Pfade GG, BB und RR. Nach den Pfadregeln berechnet sich die Wahrscheinlichkeit zu: \(P(\text{dieselbe Farbe}) = P(\text{GG}) + P(\text{BB}) + P(\text{RR}) = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{9 + 4 + 1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \approx 38{,}9\,\%\) 3. Teilaufgabe b): Das Ereignis „mindestens einmal Rot“ lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis „kein einziges Mal Rot“ (also nur Grün oder Blau) bestimmen: \(P(\text{kein Rot}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}\) \(P(\text{mindestens einmal Rot}) = 1 - P(\text{kein Rot}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\,\%\) 4. Teilaufgabe c): Das Ereignis „erst Grün, dann Blau“ entspricht dem Pfad GB: \(P(\text{erst Grün, dann Blau}) = P(\text{Grün}) \cdot P(\text{Blau}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\)

a) \(P(\text{dieselbe Farbe}) = \frac{7}{18} \approx 38{,}9\,\%\) b) \(P(\text{mindestens einmal Rot}) = \frac{11}{36} \approx 30{,}6\,\%\) c) \(P(\text{erst Grün, dann Blau}) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\,\%\)

- Bestimme die drei Farbwahrscheinlichkeiten aus den vier gleich großen Sektoren. - Bei a) ist genau ein Pfad vorgegeben. - Liste für b) die möglichen Reihenfolgen der drei verschiedenen Farben vollständig auf, bevor du Wahrscheinlichkeiten addierst.

1. Aus der Abbildung folgt \(P(B)=\frac{1}{2}\), \(P(R)=\frac{1}{4}\) und \(P(G)=\frac{1}{4}\). 2. Für den festen Pfad Blau-Rot-Gelb gilt \(P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{32}=0{,}03125\). 3. Für drei verschiedene Farben müssen Blau, Rot und Gelb jeweils einmal erscheinen. Die sechs möglichen Folgen BRG, BGR, RBG, RGB, GBR und GRB haben jeweils die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{32}\). Daher ist \(P=6\cdot\frac{1}{32}=\frac{3}{16}=0{,}1875\).

a) \(\frac{1}{32}=0{,}03125\) b) \(\frac{3}{16}=0{,}1875\)

- Lies Farben und Zahlen direkt am Glücksrad ab; jeder Sektor ist gleich wahrscheinlich. - Für A kannst du zuerst zählen, wie viele ungerade Zahlen auf dem Rad stehen. - Für B liste die geordneten Zahlenpaare mit Summe größer als \(12\) systematisch von den größten Zahlen aus auf.

1. Aus der Abbildung liest man vier blaue und zwei rote Sektoren ab. Daher ist \(P(C)=\frac{4}{8}\cdot\frac{2}{8}=\frac{1}{8}=0{,}125\). 2. Die ungeraden Zahlen auf dem Rad sind \(1\), \(3\), \(5\) und \(7\). Somit ist \(P(A)=\frac{4}{8}\cdot\frac{4}{8}=\frac{1}{4}=0{,}25\). 3. Für eine Summe größer als \(12\) sind die zehn geordneten Paare \((8,5)\), \((8,6)\), \((8,7)\), \((8,8)\), \((7,6)\), \((7,7)\), \((7,8)\), \((6,7)\), \((6,8)\) und \((5,8)\) günstig. Von \(8\cdot8=64\) gleich wahrscheinlichen Paaren sind daher \(10\) günstig, also \(P(B)=\frac{10}{64}=\frac{5}{32}=0{,}15625\).

a) \(P(C)=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\) b) \(P(A)=\frac{1}{4}=25\,\%\) c) \(P(B)=\frac{5}{32}=15{,}625\,\%\)

- Überlege dir, was passieren muss, damit die Farben *nicht* unterschiedlich sind. - Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe bei einer einzelnen Drehung. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades (zum Beispiel Blau gefolgt von Blau) in einem Baumdiagramm? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „zweimal die gleiche Farbe“ kennst, wie groß ist dann der Rest bis zum sicheren Ereignis (\(100\,\%\))?

1. Bestimmung des Gegenereignisses \(\bar{E}\): Das Gegenereignis zu „Bei den beiden Drehungen erscheinen zwei verschiedene Farben“ lautet „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe“. Das bedeutet, es treten die Ergebnisse (Orange, Orange), (Blau, Blau) oder (Gelb, Gelb) auf. 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für die Einzelfarben bei einer Drehung: \(P(\text{Orange}) = \frac{5}{10} = 0{,}5\) \(P(\text{Blau}) = \frac{3}{10} = 0{,}3\) \(P(\text{Gelb}) = \frac{2}{10} = 0{,}2\) 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(\bar{E}\) mithilfe der Pfadregeln: \(P(\bar{E}) = P(\text{Orange, Orange}) + P(\text{Blau, Blau}) + P(\text{Gelb, Gelb})\) \(P(\bar{E}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 + 0{,}3 \cdot 0{,}3 + 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}25 + 0{,}09 + 0{,}04 = 0{,}38\). 4. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) über die Komplementärregel: \(P(E) = 1 - P(\bar{E}) = 1 - 0{,}38 = 0{,}62\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(0{,}62\) (bzw. \(62\,\%\)).

Das Gegenereignis \(\bar{E}\) lautet: „Bei beiden Drehungen erscheint dieselbe Farbe“. Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses beträgt \(P(\bar{E}) = 0{,}38\). Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) beträgt \(P(E) = 0{,}62\) (bzw. \(62\,\%\)).

- Wie viele verschiedene Farben gibt es insgesamt auf dem Rad? - Überlege für a), wie viele Farben beim zweiten und dritten Dreh noch zulässig sind. - Bei „genau zweimal Rot“ kann der eine nicht-rote Dreh an verschiedenen Positionen stehen.

1. Jede der vier Farben hat bei einer Drehung die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\). 2. Für drei verschiedene Farben ist die erste Farbe beliebig. Beim zweiten Dreh muss eine der drei anderen Farben und beim dritten eine der zwei noch nicht erschienenen Farben kommen. Daher ist \(P=1\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\). 3. Für genau zweimal Rot kann der eine nicht-rote Dreh an drei Positionen stehen. Ein solcher Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{64}\). Daher ist \(P=3\cdot\frac{3}{64}=\frac{9}{64}\approx14{,}1\,\%\).

a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{9}{64}\)

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für jede der drei Farben bei einem einzelnen Dreh. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh eine andere Farbe als Gelb zu erhalten? - Überlege dir für b), wie viele verschiedene Pfade genau zwei rote Ergebnisse enthalten. - Vergleiche für c) die beiden Ergebnisse in derselben Darstellungsform.

1. Aus der Abbildung ergibt sich \(P(\text{Rot})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\), \(P(\text{Blau})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) und \(P(\text{Gelb})=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). 2. Für „nicht Gelb“ gilt bei einer Drehung \(\frac{3}{4}\). Da alle drei Drehungen gleich modelliert werden, ist \(P(E_1)=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}=0{,}421875\). 3. Bei genau zweimal Rot gibt es drei mögliche Positionen für den einen nicht-roten Dreh. Da \(P(\text{nicht Rot})=\frac{1}{2}\), hat jeder günstige Pfad die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{8}\). Daher ist \(P(E_2)=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=0{,}375\). 4. Es gilt \(\frac{27}{64}>\frac{24}{64}=\frac{3}{8}\). Also ist \(E_1\) wahrscheinlicher.

a) \(P(E_1)=\frac{27}{64}\approx42{,}2\,\%\) b) \(P(E_2)=\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) c) \(E_1\) ist wahrscheinlicher, weil \(\frac{27}{64}>\frac{3}{8}\).

- Lies die drei Farbwahrscheinlichkeiten aus den acht gleich großen Feldern der Abbildung ab. - Für a) und d) kann es helfen, nur zwischen „Gelb“ und „nicht Gelb“ zu unterscheiden. - Für b) ist das Gegenereignis kürzer; bei c) ist dagegen genau ein Pfad vorgegeben.

1. Aus der Abbildung liest man \(P(\text{Grün})=\frac{3}{8}\), \(P(\text{Gelb})=\frac{1}{2}\) und \(P(\text{Orange})=\frac{1}{8}\). 2. Genau zweimal Gelb tritt auf drei Pfaden auf. Da \(P(\text{Gelb})=P(\text{nicht Gelb})=\frac{1}{2}\), gilt \(P=3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{8}\). 3. Für „mindestens einmal Orange“ ist das Gegenereignis „kein Orange“. Daher ist \(P=1-\left(\frac{7}{8}\right)^3=\frac{169}{512}\approx0{,}3301\). 4. Für den festen Pfad Grün-Gelb-Orange gilt \(P=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{128}\approx0{,}0234\). 5. „Höchstens einmal Gelb“ umfasst kein Gelb und genau einmal Gelb. Diese Wahrscheinlichkeiten sind \(\frac{1}{8}\) und \(\frac{3}{8}\), also insgesamt \(\frac{1}{2}\).

a) \(\frac{3}{8}=37{,}5\,\%\) b) \(\frac{169}{512}\approx33{,}01\,\%\) c) \(\frac{3}{128}\approx2{,}34\,\%\) d) \(\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Lies die acht Zahlen direkt am Glücksrad ab und ordne sie je nach Teilaufgabe in passende Gruppen. - Achte bei „genau“ und „nur“ darauf, welche Eigenschaft die übrigen Drehungen haben müssen. - Bei d) sind mehrere gleich aufgebaute Pfade günstig; bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit eines solchen Pfades.

a) Aus der Abbildung erkennt man vier gerade und vier ungerade Zahlen. Für die Folge gerade-ungerade-gerade gilt \(P=\frac{4}{8}\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{4}{8}=\frac{1}{8}\). b) Auf dem Rad sind \(1\) und \(4\) Quadratzahlen; die übrigen sechs Zahlen sind keine Quadratzahlen. Für die Folge Quadratzahl-keine Quadratzahl-keine Quadratzahl gilt \(P=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{8}\cdot\frac{6}{8}=\frac{9}{64}\). c) Größer als \(5\) sind \(6\), \(7\) und \(8\). Daher gilt \(P=\left(\frac{3}{8}\right)^3=\frac{27}{512}\approx 0{,}0527\). d) Für jede der acht Zahlen gibt es einen günstigen Pfad mit dreimal derselben Zahl. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac{1}{8}\right)^3\). Somit \(P=8\cdot\left(\frac{1}{8}\right)^3=\frac{1}{64}\).

a) \(\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\) b) \(\frac{9}{64}=14{,}0625\,\%\) c) \(\frac{27}{512}\approx 5{,}27\,\%\) d) \(\frac{1}{64}=1{,}5625\,\%\)

- Notiere zuerst, wie oft jede Zahl und jede Farbe auf dem Rad vorkommt. - Welche Zahlenpaare führen in a) und b) jeweils zum gewünschten Ergebnis? - Für c) kannst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen gleichfarbigen Pfade addieren.

1. Aus der Abbildung folgt \(P(1)=\frac{2}{8}\), \(P(2)=\frac{3}{8}\) und \(P(3)=P(4)=P(5)=\frac{1}{8}\). 2. Eine Summe von \(3\) entsteht durch \((1,2)\) oder \((2,1)\). Daher ist \(P=\frac{2}{8}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{8}=\frac{3}{16}\). 3. Für „erste Zahl \(1\), zweite Zahl größer als \(1\)“ gilt \(P=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{8}=\frac{3}{16}\). 4. Jede Zahl gehört hier genau zu einer Farbe. Für zwei gleiche Farben gilt daher \(P=\left(\frac{2}{8}\right)^2+\left(\frac{3}{8}\right)^2+3\left(\frac{1}{8}\right)^2=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\).

a) \(\frac{3}{16}\) b) \(\frac{3}{16}\) c) \(\frac{1}{4}\)

- Bestimme zuerst, wie viele der zehn Felder auf jede Farbe entfallen. - Welche drei vollständigen Pfade führen bei zwei Drehungen zu derselben Farbe? - Bei „mindestens einmal Gelb“ ist das Gegenereignis „kein Gelb“ kürzer.

1. Von den \(10\) Feldern sind \(5\) blau, \(3\) rot und \(2\) gelb. Daher gilt \(P(\text{Blau})=0{,}5\), \(P(\text{Rot})=0{,}3\) und \(P(\text{Gelb})=0{,}2\). 2. Für zweimal dieselbe Farbe werden die drei gleichfarbigen Pfade addiert: \(P=0{,}5^2+0{,}3^2+0{,}2^2=0{,}38\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens einmal Gelb“ ist „kein Gelb“. Bei einer Drehung hat es die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\). Daher ist \(P(\text{mindestens einmal Gelb})=1-0{,}8^2=0{,}36=36\,\%\). 4. Da \(36\,\%>35\,\%\), ist die Behauptung richtig.

a) \(P(\text{Blau})=0{,}5\); \(P(\text{Rot})=0{,}3\); \(P(\text{Gelb})=0{,}2\) b) \(0{,}38=38\,\%\) c) Ja. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}36=36\,\%\) und liegt damit über \(35\,\%\).

- Zähle die Häufigkeiten der benötigten Buchstaben direkt in der Urne. - Prüfe für jede Teilaufgabe, ob sich die Zusammensetzung nach einem Zug ändert. - Liste bei c) die verschiedenen Reihenfolgen von A, K und T aus, statt eine Zählformel zu verwenden.

Aus der Abbildung liest man \(9\) Kugeln ab: \(2\) S, \(3\) T, \(1\) A, \(2\) I und \(1\) K. a) Mit Zurücklegen gilt \(P(\text{SIS})=\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{729}\approx 0{,}0110\). b) Ohne Zurücklegen gilt für den festen Pfad TIT: \(P(\text{TIT})=\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{1}{42}\approx 0{,}0238\). c) Die sechs möglichen Reihenfolgen sind AKT, ATK, KAT, KTA, TAK und TKA. Jeder dieser Pfade hat dieselben drei Zähler \(1\), \(1\) und \(3\) sowie die Nenner \(9\), \(8\) und \(7\). Damit hat jeder die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{168}\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P=6\cdot\frac{1}{168}=\frac{1}{28}\approx 0{,}0357\).

a) \(\frac{8}{729}\approx 0{,}0110\) b) \(\frac{1}{42}\approx 0{,}0238\) c) \(\frac{1}{28}\approx 0{,}0357\)

- Bestimme zuerst, wie viele Brötchen aus jedem der beiden Öfen kommen. - Berechne dann für jeden Ofen einzeln, wie viele davon die Eigenschaft „perfekt“ haben. - Addiere zum Schluss die Ergebnisse beider Pfade, die zum Ziel „perfekt“ führen. - Du kannst auch zuerst die Gesamtwahrscheinlichkeit für „perfekt“ berechnen und diese dann mit der Gesamtzahl multiplizieren.

1. Berechnung der Anzahl der Brötchen pro Ofen: Ofen 1: \(2000 \cdot 0{,}60 = 1200\) Brötchen Ofen 2: \(2000 \cdot 0{,}40 = 800\) Brötchen 2. Berechnung der perfekten Brötchen aus Ofen 1: \(1200 \cdot 0{,}95 = 1140\) Brötchen 3. Berechnung der perfekten Brötchen aus Ofen 2: \(800 \cdot 0{,}85 = 680\) Brötchen 4. Berechnung der Gesamtzahl der perfekten Brötchen: \(1140 + 680 = 1820\) Brötchen

Voraussichtlich werden insgesamt \(1820\) Brötchen als „perfekt“ eingestuft.

- Markiere im Baum alle Endpfade mit genau zwei roten Ergebnissen. - Vergleiche die drei Pfadprodukte miteinander. - Addiere erst nach der Berechnung der einzelnen günstigen Pfade.

Im Baum führen die drei Pfade \(RRB\), \(RBR\) und \(BRR\) zum Ereignis. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{27}\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P=3\cdot\frac{4}{27}=\frac{4}{9}\).

\(P=\frac{4}{9}\approx 44{,}4\,\%\)

- Markiere im Baum die Pfade, auf denen genau ein einziges Mal „verspätet“ vorkommt. - Beachte, dass die Zweigwahrscheinlichkeiten an den drei Stufen verschieden sind. - Berechne die drei Pfadprodukte getrennt und addiere sie anschließend.

Genau eine Verspätung tritt auf den drei Pfaden „verspätet-pünktlich-pünktlich“, „pünktlich-verspätet-pünktlich“ und „pünktlich-pünktlich-verspätet“ auf. Aus dem Baum ergeben sich die Pfadwahrscheinlichkeiten \(0{,}1\cdot 0{,}8\cdot 0{,}85=0{,}068\), \(0{,}9\cdot 0{,}2\cdot 0{,}85=0{,}153\) und \(0{,}9\cdot 0{,}8\cdot 0{,}15=0{,}108\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P=0{,}068+0{,}153+0{,}108=0{,}329\).

\(P=0{,}329=32{,}9\,\%\)

- Das Gegenereignis lässt sich im Baum mit nur drei Pfaden beschreiben. - Berücksichtige beim Gegenereignis jede der drei Farben getrennt. - Ziehe die Summe dieser drei Pfadwahrscheinlichkeiten von \(1\) ab.

Das Gegenereignis „zweimal dieselbe Farbe“ besteht aus den Pfaden Rot-Rot, Blau-Blau und Grün-Grün. Aus dem Baum folgt \(P(\text{gleiche Farbe})=\left(\frac{3}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{14}{36}\). Daher gilt \(P(\text{verschiedene Farben})=1-\frac{14}{36}=\frac{22}{36}=\frac{11}{18}\).

\(P=\frac{11}{18}\approx 61{,}1\,\%\)

- Verfolge für a) den Pfad, der erst an der zweiten Stufe endet. - Für b) genügt es, bis zum Beginn der dritten Prüfung zu gelangen. - Multipliziere die Zweigwahrscheinlichkeiten entlang des jeweils nötigen Pfades.

a) Genau zwei Teile werden geprüft, wenn das erste Teil gut und das zweite Ausschuss ist. Nach der ersten Pfadregel gilt \(P=0{,}9\cdot 0{,}1=0{,}09\). b) Der dritte Prüfplatz wird erreicht, wenn die ersten beiden Teile gut sind. Das Ergebnis der dritten Prüfung ist dafür noch nicht relevant. Daher gilt \(P=0{,}9\cdot 0{,}9=0{,}81\).

a) \(P=0{,}09=9\,\%\) b) \(P=0{,}81=81\,\%\)

- Genau eine der drei Ampeln muss Rot zeigen. - Markiere die drei möglichen Positionen der roten Ampel im Baum. - Die drei günstigen Pfade haben wegen der unterschiedlichen Stufenwahrscheinlichkeiten nicht dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Genau zwei grüne Ampeln treten auf den drei Pfaden \(GGR\), \(GRG\) und \(RGG\) auf. Aus dem Baum ergeben sich \(P(GGR)=0{,}7\cdot 0{,}6\cdot 0{,}2=0{,}084\), \(P(GRG)=0{,}7\cdot 0{,}4\cdot 0{,}8=0{,}224\), \(P(RGG)=0{,}3\cdot 0{,}6\cdot 0{,}8=0{,}144\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P=0{,}084+0{,}224+0{,}144=0{,}452\).

\(P=0{,}452=45{,}2\,\%\)

- Suche im Baum alle Endpunkte, die zum Ereignis „Erfolg“ gehören. - Berechne für jeden günstigen Endpfad zuerst sein Produkt. - Die günstigen Pfade schließen einander aus; verbinde ihre Wahrscheinlichkeiten entsprechend.

Zum Ereignis „Erfolg“ gehören zwei Endpfade. Über den Ast „1 bis 4“ und anschließend „Kopf“ gilt \(\frac{4}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\). Über den Ast „5 oder 6“ und anschließend „6“ gilt \(\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{18}\). Nach der zweiten Pfadregel ist \(P(\text{Erfolg})=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}=\frac{7}{18}\approx 0{,}389\).

\(P(\text{Erfolg})=\frac{7}{18}\approx 38{,}9\,\%\)

- Achte auf die Tiefe, an der ein Pfad im Baum endet. - Für c) ist das Ergebnis des dritten Versuchs nicht mehr entscheidend für den Endzeitpunkt. - Prüfe am Schluss, ob die drei möglichen Endzeitpunkte zusammen die Wahrscheinlichkeit \(1\) ergeben.

a) Nach dem ersten Versuch endet das Verfahren auf dem Treffer-Ast: \(P=0{,}25\). b) Für ein Ende nach dem zweiten Versuch ist der Pfad „kein Treffer, Treffer“ nötig: \(P=0{,}75\cdot 0{,}25=0{,}1875\). c) Der dritte Versuch wird genau dann erreicht, wenn die ersten beiden Versuche ohne Treffer bleiben. Unabhängig vom Ergebnis des dritten Versuchs endet das Verfahren danach. Daher gilt \(P=0{,}75^2=0{,}5625\). Zur Kontrolle: \(0{,}25+0{,}1875+0{,}5625=1\).

a) \(P=0{,}25\) b) \(P=0{,}1875\) c) \(P=0{,}5625\)

- Zerlege „mindestens zwei“ in die Fälle „genau zwei“ und „drei“. - Markiere im Baum die drei Pfade mit genau einem normalen Sensor. - Berücksichtige zusätzlich den Pfad, auf dem alle drei Sensoren Alarm melden.

„Mindestens zwei“ zerfällt in „genau zwei“ und „drei“ Fehlalarme. Genau zwei Fehlalarme treten auf den drei Pfaden Alarm-Alarm-normal, Alarm-normal-Alarm und normal-Alarm-Alarm auf. Jeder hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9=0{,}009\). Damit gilt für genau zwei Fehlalarme \(3\cdot 0{,}009=0{,}027\). Für drei Fehlalarme gilt \(0{,}1^3=0{,}001\). Somit \(P(\text{mindestens zwei})=0{,}027+0{,}001=0{,}028\).

\(P=0{,}028=2{,}8\,\%\)

- Vergleiche bei \(efe\) und \(eef\), welche Faktoren entlang des vollständigen Pfades vorkommen. - Für „mindestens zwei“ musst du die Fälle mit genau zwei und mit drei fehlerhaften Bauteilen erfassen. - Prüfe bei Teil c), ob jedes mögliche Ergebnis genau einer der beiden Bedingungen aus b) und c) zugeordnet werden kann.

1. Die Pfade \(efe\) und \(eef\) enthalten jeweils zweimal den Faktor \(0{,}9\) und einmal den Faktor \(0{,}1\). Deshalb gilt \(P(efe)=0{,}9\cdot0{,}1\cdot0{,}9=0{,}081\) und \(P(eef)=0{,}9\cdot0{,}9\cdot0{,}1=0{,}081\). 2. „Mindestens zwei fehlerhaft“ umfasst ffe, fef, eff und fff. Die drei Pfade mit genau zwei fehlerhaften Bauteilen haben jeweils die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1^2\cdot0{,}9=0{,}009\), für fff gilt \(0{,}1^3=0{,}001\). Somit ist \(P(\text{mindestens zwei fehlerhaft})=3\cdot0{,}009+0{,}001=0{,}028\). 3. „Höchstens ein fehlerhaft“ ist das Gegenereignis zu „mindestens zwei fehlerhaft“. Daher ist \(P(\text{höchstens ein fehlerhaft})=1-0{,}028=0{,}972\).

a) Beide Pfade enthalten dieselben drei Faktoren, nur in anderer Reihenfolge. Daher gilt \(P(efe)=P(eef)=0{,}081\). b) \(P(\text{mindestens zwei fehlerhaft})=0{,}028\) c) \(P(\text{höchstens ein fehlerhaft})=0{,}972\); die Ereignisse aus b) und c) sind Gegenereignisse.

- Frage bei a), welche Prüfungen durch die Formulierung überhaupt festgelegt sind. - Vergleiche bei b) „genau eines“ mit „mindestens eines“. - Suche für b) ein Gegenereignis, das nur aus einem einzigen Pfad besteht.

a) Die Aussage legt nur das Ergebnis der zweiten Prüfung fest. Die übrigen fünf Bauteile dürfen einwandfrei oder defekt sein. Die angegebene Rechnung beschreibt dagegen nur den einen Pfad, auf dem ausschließlich das zweite Bauteil defekt ist. Daher gilt \(P(\text{zweites Bauteil defekt})=0{,}05\). b) Der angegebene Term erfasst nur die sechs Pfade mit genau einem defekten Bauteil. „Mindestens eines“ enthält aber auch Fälle mit mehreren defekten Bauteilen. Über das Gegenereignis „kein Bauteil ist defekt“ erhält man \(P(\text{mindestens eines defekt})=1-0{,}95^6=0{,}264908109375\approx 0{,}2649\).

a) Fehler: Die Rechnung legt die fünf anderen Bauteile unnötig als einwandfrei fest. Richtig ist \(P=0{,}05=5\,\%\). b) Fehler: Die Rechnung erfasst nur genau ein defektes Bauteil. Richtig ist \(P=1-0{,}95^6\approx 0{,}2649\approx 26{,}49\,\%\).

- Überlege dir, wie man das Gegenteil von „mindestens ein Treffer“ beschreibt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Kette von Misserfolgen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, bei der die Anzahl der Versuche die Unbekannte im Exponenten ist? - Wenn du die Ungleichung nicht direkt lösen kannst, hilft vielleicht eine Tabelle mit Werten für steigende Versuchszahlen.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer bei drei Versuchen: \(P(\text{kein Treffer}) = 0{,}6^3 = 0{,}216\). 2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(\text{mind. ein Treffer}) = 1 - 0{,}216 = 0{,}784\). 3. Vergleich: Da \(0{,}784 > 0{,}216\), ist es wahrscheinlicher, mindestens einmal zu treffen als gar nicht zu treffen. 4. Ansatz für Teilaufgabe b) mit der Bedingung \(P(\text{mind. ein Treffer}) > 0{,}9\): \(1 - 0{,}6^n > 0{,}9\), was zu \(0{,}6^n < 0{,}1\) führt. 5. Lösung der Ungleichung durch systematisches Probieren oder Logarithmieren: \(n \cdot \ln(0{,}6) < \ln(0{,}1)\), also \(n > \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}6)} \approx 4{,}5076\). 6. Ergebnis: Der Spieler muss mindestens \(5\)-mal werfen.

a) Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer beträgt \(78{,}4\,\%\). Da die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer nur \(21{,}6\,\%\) beträgt, ist mindestens ein Treffer wahrscheinlicher. b) Er müsste mindestens \(5\)-mal werfen.

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem einzelnen Dreh nicht zu gewinnen? - Das Ereignis „mindestens ein Gewinn“ lässt sich am einfachsten über das Gegenereignis berechnen. - Gibt es bei einem Zufallsexperiment mit unabhängigen Versuchen jemals eine Garantie für ein bestimmtes Ergebnis, wenn die Gegenwahrscheinlichkeit nicht null ist? - Probiere für die Anzahl der Drehungen verschiedene Werte aus oder nutze den Logarithmus, um eine Potenzgleichung zu lösen.

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Drehung ist \(p = 0{,}1\), die Verlustwahrscheinlichkeit \(q = 0{,}9\). 2. Für fünf Drehungen: \(P(\text{kein Gewinn}) = 0{,}9^5 = 0{,}59049\). 3. \(P(\text{mind. ein Gewinn}) = 1 - 0{,}59049 = 0{,}40951\). Da \(0{,}59049 > 0{,}40951\), ist kein Gewinn wahrscheinlicher. 4. Begründung zur Sicherheit: Da bei jeder Drehung ein Verlust möglich ist (\(q > 0\)), bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine Serie von Verlusten (\(0{,}9^n\)) für jedes endliche \(n\) größer als Null. Somit ist die Gegenwahrscheinlichkeit für einen Gewinn immer kleiner als \(1\). 5. Bestimmung von \(n\) für \(P > 0{,}8\): \(1 - 0{,}9^n > 0{,}8 \Rightarrow 0{,}2 > 0{,}9^n\). 6. Berechnung: \(n > \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}9)} \approx 15{,}2755\). 7. Ergebnis: Es sind mindestens \(16\) Drehungen erforderlich.

a) Es ist wahrscheinlicher, kein einziges Mal zu gewinnen (\(P \approx 59{,}05\,\%\) gegenüber \(P \approx 40{,}95\,\%\)). b) Da bei jeder Drehung die Wahrscheinlichkeit für eine Niete \(90\,\%\) beträgt, bleibt die Wahrscheinlichkeit für eine reine Pechsträhne bei jeder endlichen Anzahl an Versuchen größer als \(0\,\%\). c) Es sind mindestens \(16\) Drehungen nötig.

- Formuliere das Gegenereignis zu „mindestens ein nachzubesserndes Teil“. - Drücke die Wahrscheinlichkeit dieses Gegenereignisses für \(n\) Prüfungen als Potenz aus. - Prüfe benachbarte ganze Werte, um nicht nur irgendeine, sondern die kleinste passende Anzahl zu finden.

Für ein einzelnes Bauteil beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass keine Nachbesserung nötig ist, \(0{,}75\). Bei \(n\) Prüfungen hat das Gegenereignis „kein Teil muss nachgebessert werden“ die Wahrscheinlichkeit \(0{,}75^n\). Damit soll gelten \(1-0{,}75^n\ge 0{,}80\). Durch systematisches Prüfen benachbarter ganzer Werte: Für \(n=5\) gilt \(1-0{,}75^5=0{,}7626953125\approx 76{,}27\,\%\), also noch weniger als \(80\,\%\). Für \(n=6\) gilt \(1-0{,}75^6=0{,}822021484375\approx 82{,}20\,\%\). Damit ist \(6\) die kleinste passende Anzahl von Prüfungen.

Die kleinste Anzahl ist \(n=6\).

- Betrachte die Codepositionen nacheinander und frage, welcher Anteil der Ziffern an jeder Stelle noch nicht verwendet wurde. - Prüfe kleine natürliche Werte für \(n\) der Reihe nach; beginne auch mit \(n=1\). - Um die Minimalität zu sichern, muss der vorherige Wert die Grenze von \(10\,\%\) noch nicht unterschreiten.

Damit alle Ziffern verschieden sind, ist die erste Stelle beliebig. An der zweiten Stelle sind noch \(n-1\) von \(n\) Ziffern erlaubt, an der dritten noch \(n-2\) von \(n\) und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich deshalb stufenweise als Produkt bestimmen. Für \(n=1\) gilt \(P=1\). Für \(n=2\): \(P=1\cdot\frac{1}{2}=0{,}5\). Für \(n=3\): \(P=1\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\approx 0{,}2222\). Für \(n=4\): \(P=1\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{32}=0{,}09375\). Erstmals bei \(n=4\) liegt die Wahrscheinlichkeit unter \(10\,\%\).

Der kleinste Wert ist \(n=4\).

- Was muss passieren, damit ein Angriff „unbemerkt“ bleibt? - Nutze die Eigenschaft von Gegenereignissen, um die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen“ Treffer zu berechnen. - Stelle für den dritten Aufgabenteil eine Ungleichung auf, die die neue Gesamtwahrscheinlichkeit beschreibt.

1. Für das Nicht-Erkennen gilt bei den drei Systemen \(P(\overline{E_1})=0{,}1\), \(P(\overline{E_2})=0{,}15\) und \(P(\overline{E_3})=0{,}3\). 2. Damit ist \(P(\text{unbemerkt})=0{,}1\cdot0{,}15\cdot0{,}3=0{,}0045\). 3. Über das Gegenereignis folgt \(P(\text{entdeckt})=1-0{,}0045=0{,}9955\). 4. Für die Erkennungsrate \(p_4\) des vierten Systems muss \(0{,}0045(1-p_4)<0{,}001\) gelten. Daraus folgt \(1-p_4<\frac{0{,}001}{0{,}0045}=\frac{2}{9}\) und damit \(p_4>\frac{7}{9}\approx0{,}7778\).

a) \(0{,}45\,\%\) b) \(99{,}55\,\%\) c) Das vierte System muss eine Erkennungsrate von mehr als \(\frac{7}{9}\approx77{,}78\,\%\) aufweisen.

- Zerlege das Ereignis \(B\) in die beiden Pfade, die im Baum zu \(B\) führen. - Einen der beiden Pfadbeiträge kannst du vollständig aus dem Baum berechnen. - Ziehe diesen Beitrag von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(0{,}52\) ab und bestimme daraus den fehlenden Faktor.

1. Über den ersten Pfad zu \(B\) erhält man \(0{,}4\cdot0{,}7=0{,}28\). 2. Da insgesamt \(P(B)=0{,}52\) gilt, muss der Beitrag des zweiten \(B\)-Pfades \(0{,}52-0{,}28=0{,}24\) betragen. 3. Für diesen zweiten Pfad gilt \(0{,}6q=0{,}24\). Daher ist \(q=0{,}4\).

\(q=0{,}4\)

- Das Ereignis kann in zwei Reihenfolgen eintreten. - Wie kannst du die Angaben in einer gemeinsamen Beziehung darstellen? - Prüfe, ob zwei symmetrische Lösungen möglich sind.

1. Gleichung: \(q(1-q)+(1-q)q=0{,}42\). 2. Umformung: \(2q(1-q)=0{,}42\) und \(q^2-q+0{,}21=0\). 3. Lösungen: \(q=0{,}3\) oder \(q=0{,}7\).

\(q=0{,}3\) oder \(q=0{,}7\).

- Bei welcher Zahl von Rundensiegen endet das Duell sofort, und welche Gesamtlängen kann deshalb eine Gewinnfolge haben? - Ordne die Gewinnfolgen nach ihrer Länge, bevor du Wahrscheinlichkeiten berechnest. - Ab der zweiten Runde hängt der nächste Gewinnfaktor vom unmittelbar vorherigen Symbol S oder N ab; verwende also nicht überall denselben Faktor. - Addiere erst dann die Wahrscheinlichkeiten aller terminalen Gewinnpfade.

1. Ein Gewinn ist nach drei, vier oder fünf Runden möglich. Die terminalen Gewinnfolgen sind SSS; SSNS, SNSS, NSSS; SSNNS, SNSNS, SNNSS, NSSNS, NSNSS und NNSSS. 2. Wegen der vom jeweils vorherigen Ergebnis abhängigen Astwahrscheinlichkeiten haben diese Pfade die Wahrscheinlichkeiten \(\frac{4}{15}\), \(\frac{2}{45}\), \(\frac{2}{45}\), \(\frac{8}{135}\), \(\frac{4}{135}\), \(\frac{1}{135}\), \(\frac{4}{135}\), \(\frac{4}{405}\), \(\frac{4}{405}\) und \(\frac{16}{405}\). 3. Nach der zweiten Pfadregel ist die Gewinnwahrscheinlichkeit die Summe dieser zehn Pfadwahrscheinlichkeiten: \(P(\text{Duellsieg})=\frac{219}{405}=\frac{73}{135}\). 4. Damit beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit \(\frac{73}{135}\approx0{,}5407\), also etwa \(54{,}07\,\%\).

Die terminalen Gewinnfolgen sind SSS; SSNS, SNSS, NSSS; SSNNS, SNSNS, SNNSS, NSSNS, NSNSS und NNSSS. Ihre Pfadwahrscheinlichkeiten ergeben zusammen \(P(\text{Duellsieg})=\frac{73}{135}\approx54{,}07\,\%\).