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- Lies zuerst die Anzahl der mit „R“ und „B“ beschrifteten Kugeln aus der Abbildung ab. - „Nicht zurückgelegt“ bedeutet, dass die gezogene Kugel vor der zweiten Ziehung fehlt. - Verändere nur die Anzahl der Sorte, die beim ersten Zug gezogen wurde.

Zu Beginn liegen laut Abbildung \(3\) Kugeln mit „R“ und \(2\) Kugeln mit „B“ in der Urne. Nach dem Ziehen einer R-Kugel ohne Zurücklegen bleiben \(2\) R-Kugeln und \(2\) B-Kugeln.

\(2\) R-Kugeln und \(2\) B-Kugeln.

- Achte darauf, was nach der ersten Ziehung mit dem gezogenen Los geschieht. - Vergleiche diesen Ablauf mit den beiden Grundformen eines Urnenmodells.

Das passende Modell ist Ziehen ohne Zurücklegen. Das zuerst gezogene Los befindet sich bei der zweiten Ziehung nicht mehr in der Box; deshalb hat sich der Inhalt der Box verändert.

Ohne Zurücklegen, weil das erste Los vor der zweiten Ziehung aus der Box entfernt bleibt.

- Überlege dir, wie viele Murmeln nach jedem Zug noch im Beutel sind. - Ändert sich die Anzahl der Murmeln einer bestimmten Farbe, wenn du eine davon ziehst? - Welche Rechenoperation verknüpft die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm? - Stelle die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Schritte als Brüche dar.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Murmeln zu Beginn: \(4 + 5 + 3 = 12\). 2. Wahrscheinlichkeit für die erste rote Murmel: \(P(R_1) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 3. Wahrscheinlichkeit für die zweite rote Murmel, nachdem bereits eine rote entnommen wurde (noch 11 Murmeln im Beutel, davon 3 rote): \(P(R_2) = \frac{3}{11}\). 4. Wahrscheinlichkeit für die dritte gelbe Murmel, nachdem zwei rote entnommen wurden (noch 10 Murmeln im Beutel, davon 3 gelbe): \(P(G_3) = \frac{3}{10}\). 5. Anwendung der Pfadregel durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(P(R, R, G) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{3}{10}\). 6. Berechnung des Ergebnisses: \(P(R, R, G) = \frac{1 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{9}{330} = \frac{3}{110}\).

\(\frac{3}{110}\)

- Bestimme zuerst, wie viele Nougatpralinen zu Beginn vorhanden sind. - Nach einer Nougatpraline verändert sich sowohl die Gesamtzahl als auch die Anzahl der Nougatpralinen. - Multipliziere die beiden Astwahrscheinlichkeiten entlang des Pfades Nougat-Nougat.

Zu Beginn sind \(20\) von \(24\) Pralinen mit Nougat gefüllt. Für die erste Ziehung gilt daher \(\frac{20}{24}=\frac{5}{6}\). Nach einer gezogenen Nougatpraline bleiben \(19\) Nougatpralinen unter \(23\) Pralinen. Auf dem Pfad Nougat-Nougat ist die zweite Astwahrscheinlichkeit deshalb \(\frac{19}{23}\). Nach der ersten Pfadregel gilt \(P(\text{zweimal Nougat})=\frac{5}{6}\cdot\frac{19}{23}=\frac{95}{138}\approx 0{,}6884\).

\(P=\frac{95}{138}\approx 68{,}84\,\%\)

- Überlege dir, wie viele Pralinen insgesamt in der Schachtel sind und wie viele davon jeweils die gewünschte Eigenschaft haben. - Was passiert mit der Gesamtzahl der Pralinen in der Schachtel, wenn du eine herausnimmst und nicht wieder hineinlegst? - Wie ändert sich die Anzahl der Pralinen einer Sorte nach jedem Zug? - Stell dir das Experiment wie einen Pfad in einem Baumdiagramm vor. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Pfad?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Pralinen mit dunkler Schokolade: Da die Pralinen nicht zurückgelegt werden, verringert sich die Anzahl der verfügbaren dunklen Pralinen und die Gesamtanzahl mit jedem Zug. Es ergibt sich \(P(\text{3 dunkle}) = \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{10} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{3}{5} = \frac{14}{55} \approx 0{,}2545\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Pralinen mit heller Schokolade: Analog verringert sich die Anzahl der hellen Pralinen. Es ergibt sich \(P(\text{3 helle}) = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{11} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{55} \approx 0{,}0182\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{55}\) (ca. \(25{,}5\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{55}\) (ca. \(1{,}8\,\%\)).

- Achte darauf, dass sich sowohl die Anzahl der gewünschten Münzen als auch die Gesamtzahl im zweiten Zug ändert. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Münzen mit der gleichen Farbe zu ziehen? - Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm. - Addiere die Ergebnisse der Pfade, die für die jeweilige Teilaufgabe relevant sind.

1. Die Gesamtzahl der Münzen im Beutel ist \(3 + 5 = 8\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für die Abfolge erst Gold, dann Silber berechnet sich zu \(P(gs) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}\). 3. Für das Ereignis „gleiche Farbe“ müssen die Wahrscheinlichkeiten der Pfade Gold-Gold (\(gg\)) und Silber-Silber (\(ss\)) addiert werden. 4. Die Wahrscheinlichkeit für zwei goldene Münzen ist \(P(gg) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56}\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für zwei silberne Münzen ist \(P(ss) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56}\). 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{6}{56} + \frac{20}{56} = \frac{26}{56} = \frac{13}{28}\).

a) \(P(\text{gold, silber}) = \frac{15}{56}\) b) \(P(\text{gleiche Farbe}) = \frac{13}{28}\)

- Betrachte den Code als fünf aufeinanderfolgende Entscheidungen. - Prüfe bei b), wie viele Zeichen nach jeder bereits belegten Stelle noch zur Verfügung stehen. - Für c) brauchst du nicht erst alle Codes zu zählen; verfolge den fünfstufigen Pfad „Ziffer“.

Insgesamt stehen \(10+8=18\) Zeichen zur Verfügung. a) An jeder der fünf Stellen gibt es \(18\) Möglichkeiten. Daher \(18^5=1\,889\,568\). b) Ohne Wiederholung gibt es für die fünf Stellen nacheinander \(18\), \(17\), \(16\), \(15\) und \(14\) Möglichkeiten. Somit \(18\cdot 17\cdot 16\cdot 15\cdot 14=1\,028\,160\). c) Bei jeder Stelle beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Ziffer \(\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\). Für fünf Ziffern hintereinander gilt \(P=\left(\frac{5}{9}\right)^5=\frac{3125}{59049}\approx 0{,}05292\).

a) \(1\,889\,568\) Codes b) \(1\,028\,160\) Codes c) \(\frac{3125}{59049}\approx 5{,}29\,\%\)

- Betrachte die vier Stellen als vier aufeinanderfolgende Entscheidungen. - Bei b) steht eine bereits verwendete Ziffer an späteren Stellen nicht mehr zur Verfügung. - Für c) kannst du die wenigen günstigen Codes direkt aufzählen und mit der Gesamtzahl vergleichen.

a) Für jede der vier Stellen gibt es \(6\) Möglichkeiten. Daher \(6^4=1296\). b) Für vier verschiedene Ziffern gibt es nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Möglichkeiten: \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360\). c) Es gibt sechs günstige Codes: \(1111\), \(2222\), \(3333\), \(4444\), \(5555\) und \(6666\). Bei \(1296\) gleich wahrscheinlichen Codes gilt \(P=\frac{6}{1296}=\frac{1}{216}\approx 0{,}00463\).

a) \(1296\) b) \(360\) c) \(\frac{1}{216}\approx 0{,}00463\)

- Wie viele Früchte sind insgesamt im Korb? - Was bedeutet es für die Auswahl, wenn eine bestimmte Sorte gar nicht vorkommen darf? - Welche unteren Zahlen müssen die Binomialkoeffizienten für jede geforderte Zusammensetzung besitzen? - Prüfe, ob die Summe der ausgewählten Stückzahlen jeweils fünf ergibt.

1. Insgesamt gibt es \(8+6+4=18\) Früchte. Die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Auswahlen von fünf Früchten ist \(\binom{18}{5}\). 2. Zu \(A\): Zwei von acht Äpfeln, zwei von sechs Birnen und eine von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (2). 3. Zu \(B\): Ohne Birnen müssen alle fünf Früchte aus den zwölf Äpfeln und Bananen stammen. Daher passt Term (1). 4. Zu \(C\): Drei von acht Äpfeln und zwei von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (3).

Ereignis \(A\) entspricht Term (2). Ereignis \(B\) entspricht Term (1). Ereignis \(C\) entspricht Term (3).

- Lies die drei Farbanzahlen direkt aus der Urne ab. - Für a) gehören drei verschiedene gleichfarbige Pfade zum Ereignis. - Für b) ist genau eine Reihenfolge festgelegt; beachte die veränderte Gesamtzahl beim zweiten Zug.

1. Aus der Abbildung liest man \(4\) grüne, \(3\) blaue und \(3\) rote Kugeln ab. 2. Zum Ereignis „gleiche Farbe“ gehören die Pfade GG, BB und RR. Daher ist \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}\). 3. Für den festen Pfad Grün-Rot gilt \(P(GR)=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{2}{15}\).

a) \(\frac{4}{15}\) b) \(\frac{2}{15}\)

- Lies aus der Urne ab, wie groß die Wahrscheinlichkeit für Rot bzw. Blau bei einem Zug ist. - Notiere alle dreistelligen Farbfolgen, in denen genau zweimal Rot vorkommt. - Durch das Zurücklegen bleiben die Zweigwahrscheinlichkeiten bei jedem Zug gleich.

1. Aus der Abbildung liest man \(2\) rote und \(3\) blaue Kugeln ab. Mit Zurücklegen gilt bei jedem Zug \(P(\text{Rot})=\frac{2}{5}\) und \(P(\text{Blau})=\frac{3}{5}\). 2. Für genau zwei rote Kugeln sind die drei Pfade Rot-Rot-Blau, Rot-Blau-Rot und Blau-Rot-Rot günstig. 3. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{125}=0{,}096\). Daher ist \(P=3\cdot0{,}096=0{,}288\).

\(P=0{,}288=28{,}8\,\%\)

- Lies die möglichen Zahlen direkt auf den Kugeln der Urne ab. - Behandle die beiden Ziehungen als geordnetes Zahlenpaar. - Liste nur die Paare auf, deren Summe die Grenze \(8\) überschreitet.

Aus der Abbildung liest man fünf gleich wahrscheinliche Zahlen pro Zug ab. Mit Zurücklegen gibt es daher \(5\cdot 5=25\) gleich wahrscheinliche geordnete Zahlenpaare. Eine Summe größer als \(8\) entsteht bei \((4,5)\), \((5,4)\) und \((5,5)\). Somit gilt \(P=\frac{3}{25}=0{,}12\).

\(P=\frac{3}{25}=12\,\%\)

- Verfolge beide möglichen Reihenfolgen der Farben. - Was ändert sich nach dem ersten Zug im Beutel?

1. Pfad rot–blau: \(\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}\). 2. Pfad blau–rot: \(\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10}\). 3. Summe: \(P(\text{verschiedene Farben})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5}\).

\(\frac{3}{5}=60\,\%\).

- Lies aus dem ersten Nenner die Gesamtzahl ab. - Was verrät der zweite rote Ast über die Veränderung nach dem ersten Zug?

1. Erste rote Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{8}\): insgesamt \(8\), davon \(5\) rot. 2. Verbleibende Kugeln nach rot: \(7\), davon \(4\) rot; passend zu \(\frac{4}{7}\). 3. Anfangsbestand: \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.

5 rote und 3 blaue Kugeln.

- Lies die Anteile der beiden aufeinanderfolgenden Ass-Äste aus dem Baumdiagramm ab. - Für das Ereignis genügt ein einziger vollständiger Pfad.

1. Der gesuchte Pfad ist Ass–Ass. 2. Nach der 1. Pfadregel gilt \(P(\text{Ass–Ass})=\frac{2}{8}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{28}\). 3. Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{28}\approx 3{,}57\,\%\).

\(\frac{1}{28}\approx 3{,}57\,\%\)

- Suche im Baumdiagramm für jede Farbe den Pfad, auf dem diese Farbe zweimal erscheint. - Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit jedes günstigen vollständigen Pfades. - Fasse erst danach die günstigen Pfade zusammen.

1. Für zwei gleichfarbige Kugeln sind die drei Pfade rot–rot, grün–grün und blau–blau günstig. 2. Ihre Wahrscheinlichkeiten sind \(\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{12}{72}\), \(\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}=\frac{6}{72}\) und \(\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{2}{72}\). 3. Nach der 2. Pfadregel ist \(P(\text{gleiche Farbe})=\frac{12+6+2}{72}=\frac{20}{72}=\frac{5}{18}\approx 27{,}8\,\%\).

\(\frac{5}{18}\approx 27{,}8\,\%\)

- Suche im Baumdiagramm alle vollständigen Pfade, auf denen beide Gruppen genau einmal vorkommen. - Ein gemischtes Team kann in zwei Auswahlreihenfolgen entstehen. - Bestimme die Pfadwahrscheinlichkeiten zuerst einzeln und fasse sie anschließend zusammen.

1. Ein gemischtes Team entsteht über die beiden Pfade Mädchen–Junge und Junge–Mädchen. 2. Für Mädchen–Junge gilt \(\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{4}{15}\). 3. Für Junge–Mädchen gilt \(\frac{2}{6}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}\). 4. Nach der 2. Pfadregel ist \(P(\text{gemischtes Team})=\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\).

\(\frac{8}{15}\approx 53{,}3\,\%\)

- Welche Pfade im Baumdiagramm führen zu dem Ereignis „verschiedene Farben“? - Wie verändern sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Schritt, wenn das erste Fruchtgummi nicht zurückgelegt wird? - Achte bei der Addition von Brüchen auf den gemeinsamen Hauptnenner.

1. Mit Zurücklegen gilt in jeder Stufe \(P(\text{Rot})=\frac{5}{8}\) und \(P(\text{Grün})=\frac{3}{8}\). Die Pfade für zwei verschiedene Farben sind Rot–Grün und Grün–Rot. 2. Mit Zurücklegen ist \(P(\text{verschieden})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{8}=\frac{15}{32}\). 3. Ohne Zurücklegen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe. Es gilt \(P(\text{Rot, Grün})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{15}{56}\) und \(P(\text{Grün, Rot})=\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{56}\). 4. Daher ist ohne Zurücklegen \(P(\text{verschieden})=\frac{30}{56}=\frac{15}{28}\). 5. Weil \(\frac{15}{28}>\frac{15}{32}\), ist das Ereignis ohne Zurücklegen wahrscheinlicher.

a) Erste Stufe: Rot mit \(\frac{5}{8}\), Grün mit \(\frac{3}{8}\); wegen des Zurücklegens gelten dieselben Wahrscheinlichkeiten auch in der zweiten Stufe. b) \(\frac{15}{32}\) c) Ohne Zurücklegen: \(\frac{15}{28}\); diese Wahrscheinlichkeit ist größer.

- Vergleiche, wie viele Gewinnlose und wie viele Lose insgesamt vor dem zweiten Zug vorhanden sind. - Überlege, welche Wirkung das Zurücklegen auf die Zusammensetzung der Schachtel hat. - Betrachte bei b) die beiden möglichen Ergebnisse des ersten Zugs getrennt.

a) Nach jedem Zug liegen wieder \(5\) Gewinnlose unter \(20\) Losen in der Schachtel. Deshalb beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei jedem Zug \(\frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0{,}25\). b) Nach einem Gewinn im ersten Zug bleiben \(4\) Gewinnlose unter \(19\) Losen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit im zweiten Zug ist dann \(\frac{4}{19}\approx 0{,}211\). Nach einer Niete im ersten Zug bleiben \(5\) Gewinnlose unter \(19\) Losen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist dann \(\frac{5}{19}\approx 0{,}263\). Ohne Zurücklegen hängt die Zusammensetzung der Schachtel vom Ergebnis des ersten Zugs ab. Deshalb können sich die Wahrscheinlichkeiten an der nächsten Stufe unterscheiden.

a) Die Gewinnwahrscheinlichkeit bleibt bei \(0{,}25=25\,\%\). b) Nach einem Gewinn: \(\frac{4}{19}\approx 21{,}1\,\%\); nach einer Niete: \(\frac{5}{19}\approx 26{,}3\,\%\). Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Zusammensetzung der Schachtel.

- Wie viele verschiedene Positionen kann das einzige Ass in den drei Zügen einnehmen? - Beachte, dass sich die Gesamtzahl der Karten und die Zusammensetzung nach jedem Zug verändern. - Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine festgelegte Reihenfolge und vergleiche dann die übrigen günstigen Pfade.

1. Für genau ein Ass gibt es die drei Pfade \(A\overline{A}\overline{A}\), \(\overline{A}A\overline{A}\) und \(\overline{A}\overline{A}A\). 2. Für einen dieser Pfade gilt zum Beispiel \(P(A\overline{A}\overline{A})=\frac{4}{32}\cdot\frac{28}{31}\cdot\frac{27}{30}=\frac{63}{620}\). 3. Alle drei Pfade haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. Daher ist \(P(\text{genau ein Ass})=3\cdot\frac{63}{620}=\frac{189}{620}\approx0{,}3048\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{189}{620}\approx0{,}3048\approx30{,}48\,\%\).

- Stell dir vor, die Lose würden nacheinander gezogen. Macht es für die Wahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man sie gleichzeitig oder nacheinander ohne Zurücklegen zieht? - Wie viele Nieten befinden sich zu Beginn in der Trommel? - Wie verändern sich die Gewinnchancen für das zweite und dritte Los, wenn das erste bereits ein Gewinn (oder eine Niete) war? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit als Produkt von drei Brüchen darstellen?

1. Bestimmung der Anzahl der Nieten: \(15 - 6 = 9\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Gewinnlose: Das gleichzeitige Ziehen entspricht dem Ziehen ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{3 Gewinne}) = \frac{6}{15} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{91} \approx 0{,}0440\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für drei Nieten: \(P(\text{3 Nieten}) = \frac{9}{15} \cdot \frac{8}{14} \cdot \frac{7}{13} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{7}{13} = \frac{12}{65} \approx 0{,}1846\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{4}{91}\) (ca. \(4{,}4\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{12}{65}\) (ca. \(18{,}5\,\%\)).

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen von 4 Personen man insgesamt aus den 12 Personen bilden kann. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele dieser möglichen Gruppen entsprechen genau der gesuchten Kombination aus Anna, Ben, Clara und David? - Setze die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Möglichkeiten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Personen aus einer Gruppe von 12 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Da eine ganz bestimmte Gruppe von 4 Personen gesucht ist, gibt es genau \(1\) günstiges Ergebnis. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P\) als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{1}{495}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{495}\) (ca. \(0{,}2\,\%\)).

- Beschreibe a) und b) jeweils als einen fünfstufigen Pfad ohne Zurücklegen. - Aktualisiere nach jedem gezogenen Los sowohl den Zähler als auch die Gesamtzahl. - Für c) ist das Gegenereignis „dieses bestimmte Los wird in keinem der fünf Züge gezogen“ besonders übersichtlich.

a) Für fünf Gewinnlose hintereinander gilt nach der ersten Pfadregel \(P=\frac{5}{30}\cdot\frac{4}{29}\cdot\frac{3}{28}\cdot\frac{2}{27}\cdot\frac{1}{26}=\frac{1}{142506}\approx 0{,}0000070\). b) Es gibt \(25\) Nieten. Für fünf Nieten hintereinander gilt \(P=\frac{25}{30}\cdot\frac{24}{29}\cdot\frac{23}{28}\cdot\frac{22}{27}\cdot\frac{21}{26}=\frac{1265}{3393}\approx 0{,}3728\). c) Das Gegenereignis lautet: „Das bestimmte Los ist unter den fünf gekauften Losen nicht dabei.“ Seine Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{29}{30}\cdot\frac{28}{29}\cdot\frac{27}{28}\cdot\frac{26}{27}\cdot\frac{25}{26}=\frac{5}{6}\). Daher gilt \(P(\text{bestimmtes Los dabei})=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\).

a) \(\frac{1}{142506}\approx 0{,}0000070\) b) \(\frac{1265}{3393}\approx 37{,}28\,\%\) c) \(\frac{1}{6}\approx 16{,}67\,\%\)

- Behandle die Entnahme als Ziehen ohne Zurücklegen und aktualisiere die Astwahrscheinlichkeiten nach jedem Zug. - Für c) kann das Gegenereignis kürzer sein als das direkte Addieren mehrerer Positionen. - Für d) liste die drei möglichen Positionen des Apfels ohne Druckstelle auf und berechne die entsprechenden Pfade.

a) Für drei Äpfel mit Druckstellen hintereinander gilt \(P=\frac{4}{20}\cdot\frac{3}{19}\cdot\frac{2}{18}=\frac{1}{285}\approx 0{,}00351\). b) Für drei Äpfel ohne Druckstellen gilt \(P=\frac{16}{20}\cdot\frac{15}{19}\cdot\frac{14}{18}=\frac{28}{57}\approx 0{,}4912\). c) Das Gegenereignis ist, dass der bestimmte Apfel in allen drei Zügen nicht gewählt wird: \(P(\text{nicht gewählt})=\frac{19}{20}\cdot\frac{18}{19}\cdot\frac{17}{18}=\frac{17}{20}\). Daher \(P(\text{gewählt})=1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20}=0{,}15\). d) Schreibe \(D\) für Druckstelle und \(O\) für ohne Druckstelle. Günstig sind die drei Pfade \(DDO\), \(DOD\) und \(ODD\). Jeder hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{4}{20}\cdot\frac{3}{19}\cdot\frac{16}{18}=\frac{8}{285}\). Somit \(P=3\cdot\frac{8}{285}=\frac{8}{95}\approx 0{,}0842\).

a) \(\frac{1}{285}\approx 0{,}00351\) b) \(\frac{28}{57}\approx 49{,}12\,\%\) c) \(\frac{3}{20}=15\,\%\) d) \(\frac{8}{95}\approx 8{,}42\,\%\)

- Überlege dir, wie viele Kugeln nach dem ersten Zug noch in der Urne sind. - Welche Farbkombinationen erfüllen die Bedingung für unterschiedliche Farben? - Ist es bei „mindestens eine“ einfacher, alle passenden Möglichkeiten zu addieren oder das Gegenteil von \(1\) abzuziehen?

1. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, sind nach dem ersten Zug noch \(9\) Kugeln in der Urne. 2. Für unterschiedliche Farben gibt es die Pfade Gelb-Blau und Blau-Gelb. Daher ist \(P(\text{unterschiedlich})=\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{8}{15}\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens eine gelbe Kugel“ ist „beide Kugeln blau“. Es gilt \(P(\text{beide blau})=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{3}\). 4. Somit ist \(P(\text{mindestens eine gelbe Kugel})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\).

a) \(P(\text{unterschiedlich})=\frac{8}{15}\) b) \(P(\text{mindestens eine gelbe Kugel})=\frac{2}{3}\)

- Betrachte jede Codeposition als nächste Stufe und notiere, wie viele Ziffern dort noch erlaubt sind. - Bei b) ist nur die unmittelbar vorherige Ziffer für die nächste Auswahl gesperrt. - Bei c) wählst du zuerst die beiden aufeinanderfolgenden unterschiedlichen Ziffern; danach ist das Wechselmuster festgelegt.

a) Für die vier Stellen gibt es nacheinander \(6\), \(5\), \(4\) und \(3\) Möglichkeiten. Daher \(6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360\). b) Für die erste Stelle gibt es \(6\) Möglichkeiten. Jede weitere Stelle darf nur nicht mit der unmittelbar vorherigen Ziffer übereinstimmen und hat deshalb \(5\) Möglichkeiten: \(6\cdot 5^3=750\). c) Für einen abwechselnden Code kann die erste Ziffer auf \(6\) Arten gewählt werden. Für die zweite gibt es \(5\) andere Ziffern. Danach sind die dritte und vierte Stelle festgelegt. Somit gibt es \(6\cdot 5=30\) günstige zulässige Codes. Daher \(P=\frac{30}{750}=\frac{1}{25}=0{,}04\).

a) \(360\) b) \(750\) c) \(\frac{1}{25}=4\,\%\)

- Zähle die Möglichkeiten für die fünf Positionen nacheinander. - Wenn Farben nicht wiederholt werden dürfen, sinkt die Zahl der verfügbaren Farben nach jeder Auswahl. - Für c) ist das Gegenereignis „alle fünf Farben sind verschieden“ einfacher als das direkte Erfassen aller Wiederholungsfälle.

a) An jeder der fünf Stellen gibt es \(12\) Möglichkeiten: \(12^5=248\,832\). b) Ohne Wiederholung stehen nacheinander \(12\), \(11\), \(10\), \(9\) und \(8\) Farben zur Verfügung: \(12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8=95\,040\). c) Das Gegenereignis lautet „alle fünf Farben sind verschieden“. Seine Wahrscheinlichkeit kann direkt stufenweise berechnet werden: \(P(\text{alle verschieden})=1\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac{9}{12}\cdot\frac{8}{12}=\frac{55}{144}\). Daher gilt \(P(\text{mindestens eine Wiederholung})=1-\frac{55}{144}=\frac{89}{144}\approx 0{,}6181\).

a) \(248\,832\) b) \(95\,040\) c) \(\frac{89}{144}\approx 61{,}81\,\%\)

- Übersetze die beiden Spielergruppen in zwei Kugelarten eines Urnenmodells. - Für a) und b) genügt jeweils ein vierstufiger Pfad. - Beachte, dass sich die Anzahlen nach jeder Ziehung ohne Zurücklegen verändern.

a) Schreibe \(R\) für ein Mitglied des Mannschaftsrats. Damit genau diese vier Spieler ausgewählt werden, muss bei vier Ziehungen ohne Zurücklegen der Pfad \(RRRR\) eintreten: \(P=\frac{4}{22}\cdot\frac{3}{21}\cdot\frac{2}{20}\cdot\frac{1}{19}=\frac{1}{7315}\approx 0{,}000137\). b) Es gibt \(18\) Spieler außerhalb des Mannschaftsrats. Für vier solche Spieler hintereinander gilt \(P=\frac{18}{22}\cdot\frac{17}{21}\cdot\frac{16}{20}\cdot\frac{15}{19}=\frac{612}{1463}\approx 0{,}4183\). c) Eine Urne enthält \(22\) Kugeln. Vier Kugeln sind als „Mannschaftsrat“ markiert, die übrigen \(18\) als „andere Spieler“. Es werden vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a) \(\frac{1}{7315}\approx 0{,}0137\,\%\) b) \(\frac{612}{1463}\approx 41{,}83\,\%\) c) Urne mit \(4\) markierten und \(18\) unmarkierten Kugeln; vier Ziehungen ohne Zurücklegen.

- Teile die Pralinen im Urnenmodell in die zwei Füllungsarten ein. - Für a) verändert sich nach jeder Nusspraline die Zahl der verbleibenden Nusspralinen. - Für b) verfolge entsprechend den Pfad mit vier nussfreien Ziehungen.

a) Für vier Nusspralinen hintereinander gilt \(P=\frac{5}{15}\cdot\frac{4}{14}\cdot\frac{3}{13}\cdot\frac{2}{12}=\frac{1}{273}\approx 0{,}00366\). b) Es gibt \(10\) Pralinen ohne Nuss. Für vier nussfreie Pralinen hintereinander gilt \(P=\frac{10}{15}\cdot\frac{9}{14}\cdot\frac{8}{13}\cdot\frac{7}{12}=\frac{2}{13}\approx 0{,}1538\). c) Eine Urne enthält \(15\) Kugeln, davon \(5\) für Nuss und \(10\) für nussfrei. Es werden vier Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.

a) \(\frac{1}{273}\approx 0{,}366\,\%\) b) \(\frac{2}{13}\approx 15{,}38\,\%\) c) Urne mit \(5\) Nuss- und \(10\) nussfreien Kugeln; vier Ziehungen ohne Zurücklegen.

- Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es getrennt für Studierende und Berufstätige? - Für b) vergleichst du die günstigen Teams mit allen möglichen 6er-Teams. - Was bedeutet das Pluszeichen in c): Werden zwei Fälle kombiniert oder zwei Entscheidungen gleichzeitig getroffen?

1. Für vier Studierende und zwei Berufstätige gibt es \(\binom{15}{4}\binom{10}{2}=61\,425\) Teams. 2. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{6}=177\,100\) Teams. Daher ist \(P(X=4)=\frac{61425}{177100}=\frac{351}{1012}\). 3. \(\binom{15}{6}\) zählt Teams nur aus Studierenden, \(\binom{10}{6}\) Teams nur aus Berufstätigen. Die Summe zählt also alle Teams, die vollständig aus einer der beiden Gruppen bestehen.

a) \(61\,425\) b) \(\frac{351}{1012}\) c) Anzahl der Teams, die ausschließlich aus Studierenden oder ausschließlich aus Berufstätigen bestehen.

- Wie viele Personen müssen noch ausgewählt werden, wenn zwei bereits feststehen? - Überlege, wie man die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, zwei Gruppen unabhängig voneinander zu kombinieren. - Was bedeutet es für die Zusammensetzung des Teams, wenn man von allen Möglichkeiten diejenigen abzieht, bei denen nur Jungen ausgewählt werden? - Erinnere dich an das Prinzip des Gegenereignisses.

1. Für Ereignis \(A\) müssen Sophie und Leon fest im Team sein. Aus den verbleibenden \(16\) Personen werden die restlichen \(2\) Teammitglieder ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(\binom{16}{2}\). Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(18\) zu wählen, beträgt \(\binom{18}{4}\). Der Term lautet: \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\). 2. Für Ereignis \(B\) werden \(2\) Mädchen aus \(10\) und \(2\) Jungen aus \(8\) ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist das Produkt \(\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}\). Der Term lautet: \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\). 3. Im Term für Aufgabenteil b) steht \(\binom{18}{4}\) für die Gesamtzahl der Möglichkeiten. Der Subtrahend \(\binom{8}{4}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, ein Team ausschließlich aus Jungen zusammenzustellen. Die Differenz im Zähler entspricht somit der Anzahl der Teams mit mindestens einem Mädchen. Das Ereignis lautet: „Dem Team gehört mindestens ein Mädchen an.“

a) \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\); \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\) b) „Es befindet sich mindestens ein Mädchen im Team.“

- Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge bzw. die konkrete Rolle der ausgewählten Personen wichtig ist. - Bei c) werden passende Auswahlen aus zwei Teilgruppen kombiniert. - Vergleiche die günstigen 5er-Gruppen mit allen möglichen 5er-Gruppen.

1. Zu a) passt zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter Vorsitz, Protokoll, Kasse und Moderation unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ Die Reihenfolge bzw. das Amt macht einen Unterschied. 2. Zu b) passt zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den 25 Jugendlichen für den Ausflug gebildet werden?“ Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle. 3. Für c) gilt \(P(X=3)=\frac{\binom{15}{3}\binom{10}{2}}{\binom{25}{5}}=\frac{20475}{53130}=\frac{195}{506}\).

a) Zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ b) Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den 25 Jugendlichen gebildet werden?“ c) \(\frac{195}{506}\)

- Betrachte das Gegenereignis: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Personen in unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben? - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste, zweite, dritte Person usw., wenn kein Monat doppelt vorkommen darf? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt bei 12 Monaten für \(k\) Personen? - Teste schrittweise verschiedene Werte für die Anzahl der Personen \(k\).

1. Das Gegenereignis ist, dass alle \(k\) Jugendlichen in verschiedenen Monaten Geburtstag haben. 2. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Gegenereignis bei \(k\) Personen und 12 Monaten beträgt \(P(\text{verschieden}) = \frac{12}{12} \cdot \frac{11}{12} \cdot \dots \cdot \frac{12-k+1}{12}\). 3. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(1 - P(\text{verschieden}) > 0{,}6\) gilt, also \(P(\text{verschieden}) < 0{,}4\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten durch schrittweises Multiplizieren: - \(k=1\): \(1\) - \(k=2\): \(1 \cdot \frac{11}{12} \approx 0{,}917\) - \(k=3\): \(0{,}917 \cdot \frac{10}{12} \approx 0{,}764\) - \(k=4\): \(0{,}764 \cdot \frac{9}{12} \approx 0{,}573\) - \(k=5\): \(0{,}573 \cdot \frac{8}{12} \approx 0{,}382\) 5. Da \(0{,}382 < 0{,}4\) (bzw. \(1 - 0{,}382 = 0{,}618 > 0{,}6\)), ist die Bedingung erstmals für \(k=5\) erfüllt.

\(k = 5\)

- Für „alle gleich“ gibt es je einen Pfad pro Füllung. - Für „alle verschieden“ liste die möglichen Reihenfolgen der drei Füllungen auf. - Vergleiche die Faktoren der sechs Pfade mit drei verschiedenen Füllungen, bevor du sie addierst.

1. Schreibe \(M\), \(N\) und \(K\) für die drei Füllungen. Für dreimal dieselbe Füllung sind die Pfade \(MMM\), \(NNN\) und \(KKK\) günstig: \(P(MMM)=\frac{8}{18}\cdot\frac{7}{17}\cdot\frac{6}{16}\), \(P(NNN)=\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}\cdot\frac{4}{16}\), \(P(KKK)=\frac{4}{18}\cdot\frac{3}{17}\cdot\frac{2}{16}\). Die Summe ist \(P(\text{gleich})=\frac{5}{51}\approx 0{,}0980\). 2. Für drei verschiedene Füllungen sind die sechs Pfade \(MNK\), \(MKN\), \(NMK\), \(NKM\), \(KMN\) und \(KNM\) günstig. Jeder hat dieselben Faktoren und damit die Wahrscheinlichkeit \(\frac{8}{18}\cdot\frac{6}{17}\cdot\frac{4}{16}\). Daher \(P(\text{alle verschieden})=6\cdot\frac{8}{18}\cdot\frac{6}{17}\cdot\frac{4}{16}=\frac{4}{17}\approx 0{,}2353\).

1. \(\frac{5}{51}\approx 9{,}80\,\%\) 2. \(\frac{4}{17}\approx 23{,}53\,\%\)

- Liste für die kleine Zielsumme die geordneten Tripel direkt auf. - Für eine streng fallende Folge müssen zunächst alle drei Zahlen verschieden sein; vergleiche danach die möglichen Reihenfolgen. - „Größte Zahl höchstens \(4\)“ bedeutet, dass jede einzelne Ziehung in derselben Teilmenge liegen muss.

1. Bei drei Ziehungen gibt es \(10^3=1000\) gleich wahrscheinliche Zahlentripel. Die Summe \(5\) entsteht bei \((1,1,3)\), \((1,3,1)\), \((3,1,1)\), \((1,2,2)\), \((2,1,2)\) und \((2,2,1)\). Daher \(P=\frac{6}{1000}=0{,}006\). 2. Zuerst betrachtet man das Ereignis „drei verschiedene Zahlen“. Nach der ersten Zahl muss die zweite von ihr verschieden sein und die dritte von beiden: \(P(\text{drei verschieden})=1\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{10}=0{,}72\). Für drei verschiedene Zahlen gibt es sechs mögliche Reihenfolgen; genau eine davon ist streng fallend. Deshalb \(P(\text{streng fallend})=0{,}72:6=0{,}12\). 3. Die größte Zahl ist höchstens \(4\), wenn bei jeder Ziehung eine Zahl aus \(1\) bis \(4\) erscheint. Daher \(P=\left(\frac{4}{10}\right)^3=0{,}064\).

1. \(P=0{,}006\) 2. \(P=0{,}12\) 3. \(P=0{,}064\)

- Lies die Farbanzahlen aus der Urne ab und stelle für a) und b) die Pfade Rot-Rot und Blau-Blau gegenüber. - Achte beim Fall ohne Zurücklegen auf die veränderten Anzahlen beim zweiten Zug. - Für c) ist das Gegenereignis „keine rote Kugel“ besonders kurz.

1. Aus der Abbildung liest man \(4\) rote und \(6\) blaue Kugeln ab. 2. Mit Zurücklegen ist \(P(\text{gleichfarbig})=\frac{4}{10}\cdot\frac{4}{10}+\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{13}{25}=0{,}52\). 3. Ohne Zurücklegen ist \(P(\text{gleichfarbig})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{7}{15}\approx0{,}4667\). 4. Für „mindestens eine rote Kugel“ ist das Gegenereignis „zweimal Blau“. Mit Zurücklegen ergibt sich \(1-\frac{6}{10}\cdot\frac{6}{10}=\frac{16}{25}=0{,}64\); ohne Zurücklegen ergibt sich \(1-\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{2}{3}\approx0{,}6667\). Damit ist die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen größer.

a) \(\frac{13}{25}=52\,\%\) b) \(\frac{7}{15}\approx46{,}67\,\%\) c) Ohne Zurücklegen: \(\frac{2}{3}\approx66{,}67\,\%\); mit Zurücklegen: \(64\,\%\). Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit größer.

- Zähle zuerst, wie viele Kugeln von jeder Farbe in der Urne sind. - Wie verändert sich die Anzahl einer Farbe nach dem ersten Zug ohne Zurücklegen? - Für b) kann das Gegenereignis „gleiche Farbe“ kürzer sein als alle verschiedenfarbigen Pfade einzeln.

1. Insgesamt gibt es \(9\) Kugeln: \(4\) rote, \(3\) blaue und \(2\) grüne. 2. Für zwei rote Kugeln gilt \(P=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}=\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\). 3. Für gleiche Farben gilt \(P=\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8}+\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}+\frac{2}{9}\cdot\frac{1}{8}=\frac{5}{18}\). 4. Daher ist \(P(\text{unterschiedliche Farben})=1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}\approx72{,}2\,\%\).

a) \(\frac{1}{6}\approx16{,}7\,\%\) b) \(\frac{13}{18}\approx72{,}2\,\%\)

- Zähle die Buchstaben direkt auf den Kugeln der Abbildung. - Vergleiche bei a) und b), ob sich die Urnenzusammensetzung zwischen den Zügen verändert. - Liste bei c) die möglichen Reihenfolgen von N, A und S ausdrücklich auf.

Aus der Abbildung liest man \(3\) A-Kugeln, \(2\) N-Kugeln und \(1\) S-Kugel ab. a) Mit Zurücklegen gilt \(P(\text{NAS})=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\approx 0{,}0278\). b) Ohne Zurücklegen gilt für den festen Pfad NAS \(P(\text{NAS})=\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{20}=0{,}05\). c) Günstig sind die sechs Reihenfolgen NAS, NSA, ANS, ASN, SNA und SAN. Jeder Pfad enthält je ein N, ein A und ein S und hat deshalb dieselbe Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{20}\). Daher \(P=6\cdot\frac{1}{20}=\frac{3}{10}=0{,}3\).

a) \(\frac{1}{36}\approx 2{,}78\,\%\) b) \(\frac{1}{20}=5\,\%\) c) \(\frac{3}{10}=30\,\%\)

- Die Farbe der ersten Kugel ist nicht vorgegeben; welche zwei Pfade können trotzdem mit Grün im zweiten Zug enden? - Lies die Anfangszusammensetzung aus der Urne ab und passe den zweiten Ast jeweils an den ersten Zug an. - Addiere die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Pfade.

1. Aus der Abbildung liest man \(3\) grüne und \(2\) orangefarbene Kugeln ab. 2. Damit die zweite Kugel grün ist, sind die Pfade Grün-Grün und Orange-Grün möglich. 3. Es gilt \(P(\text{Grün-Grün})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{6}{20}\) und \(P(\text{Orange-Grün})=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}\). 4. Daher ist \(P(\text{zweite Kugel grün})=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\).

\(P=\frac{3}{5}=0{,}6\)

- Lies die drei Farbanzahlen aus der Urne ab. - Für a) gibt es je einen gleichfarbigen Pfad pro Farbe; für b) kannst du die nicht-lila Kugeln zusammenfassen. - Für c) ist das Gegenereignis mit zwei nicht-orangefarbenen Ziehungen besonders kurz.

1. Aus der Abbildung liest man \(2\) orangefarbene, \(3\) lila und \(5\) graue Kugeln ab. 2. Für gleiche Farben gilt \(P=\frac{2}{10}\cdot\frac{1}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{14}{45}\approx0{,}3111\). 3. Sieben Kugeln sind nicht lila. Daher ist \(P(\text{keine lila Kugel})=\frac{7}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{7}{15}\approx0{,}4667\). 4. Das Gegenereignis zu „mindestens eine orangefarbene Kugel“ ist „keine orangefarbene Kugel“. Somit ist \(P=1-\frac{8}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{17}{45}\approx0{,}3778\).

a) \(\frac{14}{45}\approx31{,}11\,\%\) b) \(\frac{7}{15}\approx46{,}67\,\%\) c) \(\frac{17}{45}\approx37{,}78\,\%\)

- Lies die beiden Farbanzahlen direkt aus der Urne ab. - Zwei verschiedene Farben entstehen über die Pfade Gelb-Grün und Grün-Gelb. - Vergleiche besonders die Astwahrscheinlichkeit beim zweiten Zug in den beiden Modellen.

1. Aus der Abbildung liest man \(3\) gelbe und \(2\) grüne Kugeln ab. 2. Mit Zurücklegen gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{25}=0{,}48\). 3. Ohne Zurücklegen gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}+\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5}=0{,}6\). 4. Damit ist die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen größer.

Ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit mit \(60\,\%\) größer als mit Zurücklegen mit \(48\,\%\).

- Lies die fünf Zahlen direkt auf den Kugeln ab. - Stelle die beiden Ziehungen als geordnetes Paar dar. - Nutze entweder eine systematische Liste oder die Symmetrie zwischen „zweite größer“ und „erste größer“.

Aus der Abbildung liest man die Zahlen \(1\) bis \(5\) ab. Ohne Zurücklegen entstehen \(5\cdot 4=20\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Günstig sind \((1,2)\), \((1,3)\), \((1,4)\), \((1,5)\), \((2,3)\), \((2,4)\), \((2,5)\), \((3,4)\), \((3,5)\) und \((4,5)\). Das sind \(10\) Paare. Daher \(P=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\). Alternativ sind „zweite Zahl größer“ und „erste Zahl größer“ symmetrisch; Gleichheit ist ohne Zurücklegen unmöglich.

\(P=\frac{1}{2}=50\,\%\)

- Lies die beiden Farbanzahlen aus der Urne ab. - Für b) gibt es zwei verschiedene Reihenfolgen der Farben. - Für c) kannst du ein Ergebnis aus a) als Gegenereignis wiederverwenden.

1. Aus der Abbildung liest man \(5\) gelbe und \(3\) grüne Kugeln ab. 2. Für Gelb-Gelb gilt \(P=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{5}{14}\). 3. Unterschiedliche Farben entstehen über Gelb-Grün oder Grün-Gelb. Daher ist \(P=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{28}\). 4. Das Gegenereignis zu „mindestens eine grüne Kugel“ ist „beide gelb“. Mit dem Ergebnis aus Schritt 2 folgt \(P=1-\frac{5}{14}=\frac{9}{14}\).

a) \(\frac{5}{14}\) b) \(\frac{15}{28}\) c) \(\frac{9}{14}\)

- Zähle die Häufigkeiten der benötigten Buchstaben direkt in der Urne. - Prüfe für jede Teilaufgabe, ob sich die Zusammensetzung nach einem Zug ändert. - Liste bei c) die verschiedenen Reihenfolgen von A, K und T aus, statt eine Zählformel zu verwenden.

Aus der Abbildung liest man \(9\) Kugeln ab: \(2\) S, \(3\) T, \(1\) A, \(2\) I und \(1\) K. a) Mit Zurücklegen gilt \(P(\text{SIS})=\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{729}\approx 0{,}0110\). b) Ohne Zurücklegen gilt für den festen Pfad TIT: \(P(\text{TIT})=\frac{3}{9}\cdot\frac{2}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{1}{42}\approx 0{,}0238\). c) Die sechs möglichen Reihenfolgen sind AKT, ATK, KAT, KTA, TAK und TKA. Jeder dieser Pfade hat dieselben drei Zähler \(1\), \(1\) und \(3\) sowie die Nenner \(9\), \(8\) und \(7\). Damit hat jeder die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{8}\cdot\frac{3}{7}=\frac{1}{168}\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P=6\cdot\frac{1}{168}=\frac{1}{28}\approx 0{,}0357\).

a) \(\frac{8}{729}\approx 0{,}0110\) b) \(\frac{1}{42}\approx 0{,}0238\) c) \(\frac{1}{28}\approx 0{,}0357\)

- Überlege dir, wie viele Bonbons nach jedem Zug noch in der Schüssel sind. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten an den zwei Zweigen eines Knotens zusammen? - Erinnere dich an die Regel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Pfades. - Was passiert mathematisch, wenn du die Brüche entlang eines Pfades multiplizierst?

1. Bestimmung der fehlenden Werte: Da es zu Beginn \(20\) Bonbons gibt, ist die Wahrscheinlichkeit für „keine Zitrone“ \(a = \frac{19}{20}\). In der zweiten Stufe sind noch \(19\) Bonbons in der Schüssel. Davon ist eines Zitrone, also \(b = \frac{1}{19}\) und \(c = \frac{18}{19}\). 2. Wahrscheinlichkeit für das zweite Kind: Nach der ersten Pfadregel multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades \(\overline{Z} \to Z\): \(P(\text{2. Kind hat } Z) = \frac{19}{20} \cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{20}\). 3. Wahrscheinlichkeit für das dritte Kind: Der Pfad lautet \(\overline{Z} \to \overline{Z} \to Z\). Die Rechnung ergibt \(\frac{19}{20} \cdot \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{20}\). Durch das sukzessive Kürzen der Faktoren \(\frac{19}{19}\) und \(\frac{18}{18}\) bleibt stets der ursprüngliche Nenner \(20\) erhalten.

a) \(a = \frac{19}{20}\), \(b = \frac{1}{19}\), \(c = \frac{18}{19}\) b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{20}\). c) Die Wahrscheinlichkeit ist ebenfalls \(\frac{1}{20}\), da sich die Brüche entlang des Pfades \(\frac{19}{20} \cdot \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{18}\) gegenseitig kürzen.

- Berechne in beiden Modellen die beiden gleichfarbigen Pfade. - Achte darauf, ob sich die Anteile nach dem ersten Zug ändern.

1. Mit Zurücklegen: \(\left(\frac{4}{6}\right)^2+\left(\frac{2}{6}\right)^2=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}\). 2. Ohne Zurücklegen: \(\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{1}{5}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}\). 3. Vergleich: \(\frac{5}{9}>\frac{7}{15}\); mit Zurücklegen ist das Ereignis wahrscheinlicher.

Mit Zurücklegen: \(\frac{5}{9}\); ohne Zurücklegen: \(\frac{7}{15}\).

- Markiere im Baum alle Endpfade mit genau zwei roten Ergebnissen. - Beachte, wie sich die Astwahrscheinlichkeiten nach jeder Ziehung ohne Zurücklegen ändern. - Addiere die drei günstigen Pfadwahrscheinlichkeiten.

Im Baum sind für genau zwei rote Kugeln die Pfade \(RRB\), \(RBR\) und \(BRR\) günstig. Es gilt \(P(RRB)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\), \(P(RBR)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\), \(P(BRR)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{5}\). Nach der zweiten Pfadregel folgt \(P=\frac{3}{5}\).

\(P=\frac{3}{5}=60\,\%\)

- Für „mindestens einmal Gold“ ist das Gegenereignis besonders einfach zu beschreiben. - Vergleiche in beiden Bäumen den Pfad, auf dem zweimal grau gezogen wird. - Achte darauf, dass sich im Baum ohne Zurücklegen die zweite Astwahrscheinlichkeit nach der ersten Ziehung verändert.

a) Mit Zurücklegen ist nur der Pfad grau–grau ungünstig. Daher gilt \(P(\text{mindestens einmal Gold})=1-\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}=0{,}36\). b) Ohne Zurücklegen ist ebenfalls nur grau–grau ungünstig. Daher gilt \(P(\text{mindestens einmal Gold})=1-\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}=0{,}4\). Vergleich: Ohne Zurücklegen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit um \(0{,}04\) beziehungsweise \(4\) Prozentpunkte höher.

a) \(0{,}36=36\,\%\) b) \(0{,}4=40\,\%\) Ohne Zurücklegen ist die Gewinnwahrscheinlichkeit um \(4\) Prozentpunkte höher.

- Schreibe die Auswahl als Folge aus \(J\) und \(E\) und suche alle Folgen mit genau drei \(J\). - Prüfe, ob die zehn Pfade trotz unterschiedlicher Reihenfolge dieselben Faktoren enthalten. - Berechne einen Pfad vollständig und addiere anschließend die Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Pfade.

Schreibe \(J\) für jugendlich und \(E\) für erwachsen. Für genau drei Jugendliche sind diese zehn Folgen möglich: \(JJJEE\), \(JJEJE\), \(JJEEJ\), \(JEJJE\), \(JEJEJ\), \(JEEJJ\), \(EJJJE\), \(EJJEJ\), \(EJEJJ\), \(EEJJJ\). Jeder dieser Pfade enthält dieselben Zähler \(10\), \(9\), \(8\) für die Jugendlichen und \(15\), \(14\) für die Erwachsenen sowie die Nenner \(25\), \(24\), \(23\), \(22\), \(21\). Daher hat jeder Pfad die Wahrscheinlichkeit \(\frac{10}{25}\cdot\frac{9}{24}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{22}\cdot\frac{14}{21}=\frac{6}{253}\). Nach der zweiten Pfadregel gilt \(P=10\cdot\frac{6}{253}=\frac{60}{253}\approx 0{,}2372\).

\(P=\frac{60}{253}\approx 23{,}72\,\%\)

- Für a) ordne die zwei Defekte auf die fünf Ziehungspositionen und vergleiche die Pfadprodukte. - Zerlege „höchstens ein“ in die beiden disjunkten Fälle „kein Defekt“ und „genau ein Defekt“. - Für c) kannst du den bereits berechneten Pfad ohne Defekt als Gegenereignis verwenden.

a) Schreibe \(D\) für defekt und \(I\) für intakt. Genau zwei Defekte können an zehn verschiedenen Positionsmustern auftreten. Jeder solche Pfad enthält dieselben Faktoren und hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{40}\cdot\frac{5}{39}\cdot\frac{34}{38}\cdot\frac{33}{37}\cdot\frac{32}{36}=\frac{374}{27417}\). Damit gilt \(P(\text{genau zwei defekt})=10\cdot\frac{374}{27417}=\frac{3740}{27417}\approx 0{,}1364\). b) „Höchstens ein“ besteht aus null oder genau einem Defekt. Für keinen Defekt gilt \(P(IIIII)=\frac{34}{40}\cdot\frac{33}{39}\cdot\frac{32}{38}\cdot\frac{31}{37}\cdot\frac{30}{36}=\frac{11594}{27417}\). Für genau einen Defekt gibt es fünf mögliche Positionen. Jeder entsprechende Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{6}{40}\cdot\frac{34}{39}\cdot\frac{33}{38}\cdot\frac{32}{37}\cdot\frac{31}{36}\). Die Summe der fünf Pfade ist ebenfalls \(\frac{11594}{27417}\). Somit \(P(\text{höchstens ein defekt})=\frac{23188}{27417}\approx 0{,}8458\). c) Über das Gegenereignis „kein Defekt“ folgt \(P(\text{mindestens ein Defekt})=1-\frac{11594}{27417}=\frac{15823}{27417}\approx 0{,}5771\).

a) \(P\approx 13{,}64\,\%\) b) \(P\approx 84{,}58\,\%\) c) \(P\approx 57{,}71\,\%\)

- Welche Auswahl wird bei jeder Buchsorte separat getroffen? - Welche beiden Fälle umfasst „mindestens sieben“ bei insgesamt acht Büchern? - Addiere die günstigen Fälle und vergleiche sie mit allen möglichen 8er-Auswahlen.

1. Für a) werden unabhängig fünf der 18 Kriminalromane und drei der 12 historischen Romane ausgewählt. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, zählt das Produkt \(\binom{18}{5}\binom{12}{3}\) genau diese Auswahlen. 2. „Mindestens sieben“ bedeutet genau sieben oder genau acht Kriminalromane. Die Zahl günstiger Auswahlen ist \(\binom{18}{7}\binom{12}{1}+\binom{18}{8}\binom{12}{0}=425\,646\). 3. Insgesamt gibt es \(\binom{30}{8}=5\,852\,925\) Auswahlen. Daher gilt \(P=\frac{425646}{5852925}=\frac{3638}{50025}\).

a) Das Produkt kombiniert die unabhängige Auswahl von fünf Kriminalromanen und drei historischen Romanen. b) \(\frac{3638}{50025}\)

- Betrachte die Codepositionen nacheinander und frage, welcher Anteil der Ziffern an jeder Stelle noch nicht verwendet wurde. - Prüfe kleine natürliche Werte für \(n\) der Reihe nach; beginne auch mit \(n=1\). - Um die Minimalität zu sichern, muss der vorherige Wert die Grenze von \(10\,\%\) noch nicht unterschreiten.

Damit alle Ziffern verschieden sind, ist die erste Stelle beliebig. An der zweiten Stelle sind noch \(n-1\) von \(n\) Ziffern erlaubt, an der dritten noch \(n-2\) von \(n\) und so weiter. Die Wahrscheinlichkeit lässt sich deshalb stufenweise als Produkt bestimmen. Für \(n=1\) gilt \(P=1\). Für \(n=2\): \(P=1\cdot\frac{1}{2}=0{,}5\). Für \(n=3\): \(P=1\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\approx 0{,}2222\). Für \(n=4\): \(P=1\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{32}=0{,}09375\). Erstmals bei \(n=4\) liegt die Wahrscheinlichkeit unter \(10\,\%\).

Der kleinste Wert ist \(n=4\).

- Lies für a) zuerst die Anzahl der Kugeln jeder Farbe aus der Abbildung ab. - Für b) arbeite systematisch mit den konkreten Kugellabels und prüfe die möglichen Primzahlsummen. - Für c) sind genau zwei Farbfolgen günstig: Rot-Grün und Grün-Rot.

1. Aus der Abbildung liest man \(3\) rote, \(2\) blaue und \(2\) grüne Kugeln ab. Für gleiche Farben gilt \(P=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}=\frac{5}{21}\). 2. Für eine Primzahlsumme sind \(12\) der \(\binom{7}{2}=21\) ungeordneten Kugelpaare günstig. Jedes Paar ist bei einer Ziehung ohne Zurücklegen gleich wahrscheinlich. Daher ist \(P=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}\). 3. Für genau eine rote und eine grüne Kugel sind die Farbfolgen Rot-Grün und Grün-Rot günstig. Somit ist \(P=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}+\frac{2}{7}\cdot\frac{3}{6}=\frac{2}{7}\).

a) \(\frac{5}{21}\approx23{,}81\,\%\) b) \(\frac{4}{7}\approx57{,}14\,\%\) c) \(\frac{2}{7}\approx28{,}57\,\%\)

- Bezeichne die unbekannte Zahl einer Farbe mit einer Variablen. - Drücke den gezeigten Pfad mit dieser Variablen aus. - Prüfe, ob mehrere ganzzahlige Lösungen möglich sind.

1. Mit \(r\) roten Kugeln: \(P(RB)=\frac{r}{8}\cdot\frac{8-r}{7}=\frac{15}{56}\). 2. Gleichung: \(r(8-r)=15\). 3. Lösungen: \(r=3\) oder \(r=5\). 4. Zusammensetzungen: \(3\) rot und \(5\) blau oder \(5\) rot und \(3\) blau.

Möglich sind \(3\) rote und \(5\) blaue oder \(5\) rote und \(3\) blaue Kugeln.

- Übersetze den roten Pfad in einen Term mit der Unbekannten. - Beachte, dass nach dem ersten roten Zug eine rote Kugel weniger vorhanden ist.

1. Gleichung: \(\frac{x}{10}\cdot\frac{x-1}{9}=\frac{2}{15}\). 2. Umformung: \(x(x-1)=12\). 3. Ganzzahlige Lösung im Bereich \(0\le x\le10\): \(x=4\).

\(x=4\) rote Kugeln.