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- Ein Volumen muss eine Kubikeinheit besitzen. - Prüfe bei jedem Term, welche Einheit durch die angegebene Rechenoperation entsteht.

1. \(G\) hat die Einheit \(\text{cm}^2\), \(h\) die Einheit \(\text{cm}\). 2. Nur das Produkt \(Gh\) hat damit die Einheit \(\text{cm}^3\). 3. Daher ist B richtig.

B: \(Gh\), denn \(\text{cm}^2\cdot\text{cm}=\text{cm}^3\).

- Vergleiche zuerst nur die Größen der beiden Körper, ohne eine Kegelvolumenformel zu benutzen. - Welcher Faktor würde den Kegel größer als den umgebenden Zylinder machen?

1. Weil der Kegel vollständig im Zylinder liegt, muss sein Volumen kleiner als das Zylindervolumen \(Gh\) sein. 2. Ein Faktor größer als \(1\) ist deshalb unmöglich. 3. Sicher ausgeschlossen ist C: \(k=2\).

C: \(k=2\)

- Wie sieht ein Schnitt parallel zur Grundfläche bei einem Prisma aus? - Welche zwei Voraussetzungen musst du für Cavalieri vergleichen? - Welches Volumen hat der Vergleichsquader in Abhängigkeit von \(G\) und \(h\)?

1. In einem Prisma ist jeder zur Grundfläche parallele Schnitt kongruent zur Grundfläche und hat daher den Flächeninhalt \(G\). 2. Auch beim Quader hat jeder zur Grundfläche parallele Schnitt den Flächeninhalt seiner Grundfläche, also ebenfalls \(G\). 3. Beide Körper haben die gleiche Höhe \(h\) und in jeder Höhe gleich große Querschnittsflächen. Nach dem Cavalieri-Prinzip besitzen sie dasselbe Volumen. 4. Für den Quader gilt wegen seiner Grundfläche \(G\) die Volumenformel \(V=Gh\). Daher gilt auch für das Prisma \(V=Gh\).

a) Jeder entsprechende Parallelschnitt hat bei beiden Körpern den Flächeninhalt \(G\). b) Nach Cavalieri sind die Volumina gleich; mit der Quaderformel folgt \(V_{\text{Prisma}}=Gh\).

- Welche Volumenformel gilt für jedes der Vieleck-Prismen? - Welche Größe verändert sich beim Verfeinern der Vielecke, welche bleibt gleich? - Übertrage den angegebenen Grenzwert der Grundflächen auf die Volumina.

1. Für jedes Näherungsprisma gilt mit der Prismenformel \(V_n=G_nh\). 2. Bei immer mehr Vieleckseiten nähert sich \(G_n\) dem Wert \(\pi r^2\). Da die Höhe \(h\) unverändert bleibt, nähert sich \(V_n=G_nh\) dem Wert \(\pi r^2h\). 3. Gleichzeitig füllen die Näherungsprismen den Zylinder immer genauer aus. Damit wird \(V_{\text{Zylinder}}=\pi r^2h\) plausibel.

a) \(V_n=G_nh\) b) \(V_n\) nähert sich \(\pi r^2h\). c) Daher gilt für den Zylinder \(V=\pi r^2h\).

- Vergleiche zunächst nur die beiden Höhen. - Was geschieht mit einem Volumen, wenn nur eine Raumrichtung mit einem Faktor gestreckt wird? - Vergleiche anschließend das gefundene Volumen mit dem Produkt aus Grundflächeninhalt und neuer Höhe.

1. Der Streckfaktor in Höhenrichtung ist \(k_h=\frac{9}{6}=1{,}5\). 2. Bei einer Streckung nur in Höhenrichtung wächst das Volumen mit demselben Faktor. Daher ist \(V_2=1{,}5\cdot72\,\text{cm}^3=108\,\text{cm}^3\). 3. Es gilt \(Gh_2=36\,\text{cm}^2\cdot9\,\text{cm}=324\,\text{cm}^3\). 4. Somit ist \(\frac{V_2}{Gh_2}=\frac{108}{324}=\frac{1}{3}\). Der Vergleich legt also \(V=\frac{1}{3}Gh\) nahe.

a) \(k_h=1{,}5\) b) \(V_2=108\,\text{cm}^3\) c) \(\frac{V_2}{Gh_2}=\frac{1}{3}\); damit wird der Faktor \(\frac{1}{3}\) in \(V=\frac{1}{3}Gh\) plausibel.

- Vergleiche den Term für zwei verschiedene Vieleckzahlen, ohne Zahlen einzusetzen. - Welche Größe beschreibt die immer bessere Annäherung an den Kreis? - Prüfe, ob der Faktor vor \(G_nh\) bei irgendeiner Näherungspyramide verändert wird.

1. Beim Verfeinern ändert sich der Grundflächeninhalt \(G_n\). Die Höhe \(h\) bleibt gleich, und der Faktor \(\frac{1}{3}\) gehört bei jeder Näherungsfigur zur Pyramidenvolumenformel. 2. Wegen \(G_n\to\pi r^2\) gilt \(V_n=\frac{1}{3}G_nh\to\frac{1}{3}\pi r^2h\). 3. Yusufs Aussage ist falsch. Der Faktor \(\frac{1}{3}\) wird nicht angenähert; er ist in allen Näherungspyramiden derselbe. Nur die Grundfläche nähert sich dem Kreis an.

a) \(G_n\) verändert sich; \(h\) und der Faktor \(\frac{1}{3}\) bleiben gleich. b) \(V_n\to\frac{1}{3}\pi r^2h\) c) Die Aussage ist falsch; daraus wird \(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi r^2h\) plausibel.

- Behandle \(r\) beim Umstellen wie einen bekannten Faktor. - Welche Potenz von \(r\) bleibt nach dem Dividieren übrig? - Welche Einheit muss ein Oberflächeninhalt besitzen?

1. Aus \(V=\frac{1}{3}rO\) folgt nach Multiplikation mit \(3\) zunächst \(3V=rO\). 2. Für \(r>0\) ergibt sich \(O=\frac{3V}{r}\). 3. Einsetzen von \(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3\) liefert \(O_{\text{Kugel}}=\frac{3}{r}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2\). 4. Der Ausdruck \(4\pi r^3\) hat die Einheit einer Volumengröße. Für eine Oberfläche muss eine quadratische Längeneinheit entstehen; beim richtigen Umstellen wird deshalb durch \(r\) geteilt.

a) \(O_{\text{Kugel}}=\frac{3V_{\text{Kugel}}}{r}\) b) \(O_{\text{Kugel}}=4\pi r^2\) c) \(4\pi r^3\) hat die falsche Dimension für eine Fläche; beim Umstellen muss durch \(r\) geteilt werden.

- Setze im gegebenen Term \(G_2=G_1\) und vereinfache zuerst nur algebraisch. - Welche bekannte Körperformel besitzt die Struktur Grundflächeninhalt mal Höhe? - Denke für die geometrische Einordnung daran, wie sich ähnliche Parallelschnitte einer Pyramide auf dem Weg zur Spitze verändern.

1. Für \(G_2=G_1\) gilt \(\sqrt{G_1G_2}=\sqrt{G_1^2}=G_1\). Daher ist \(V=\frac{h}{3}(G_1+G_1+G_1)=G_1h\). 2. Der Term \(V=G_1h\) ist die Volumenformel eines Prismas. 3. Bei einer endlichen Pyramide werden parallele, zur Grundfläche ähnliche Schnitte auf dem Weg zur Spitze kleiner. Zwei verschiedene parallele Schnitte können bei positiver Distanz deshalb nicht denselben Flächeninhalt haben. \(G_2=G_1\) beschreibt den Grenzfall, in dem diese Verjüngung verschwindet.

1. \(V=G_1h\) 2. Das ist die Prismenformel. 3. \(G_2=G_1\) beschreibt den Grenzfall ohne Verjüngung, nicht einen gewöhnlichen Pyramidenstumpf einer endlichen Pyramide.

- Bestimme zuerst \(G_1\) und \(G_2\) aus den beiden quadratischen Kantenlängen. - Was bedeutet \(G_2=0\) geometrisch für die obere Begrenzung des Körpers? - Setze den Sonderfall erst in die Stumpfformel ein und vergleiche danach mit einer bekannten Körperformel.

1. Die parallelen Flächen haben die Inhalte \(G_1=8^2\,\text{cm}^2=64\,\text{cm}^2\) und \(G_2=4^2\,\text{cm}^2=16\,\text{cm}^2\). Damit ist \(V=\frac{12}{3}(64+\sqrt{64\cdot16}+16)\,\text{cm}^3=4(64+32+16)\,\text{cm}^3=448\,\text{cm}^3\). 2. Für \(b=0\,\text{cm}\) gilt \(G_2=0\). Daher ist \(V=\frac{12}{3}(64+0+0)\,\text{cm}^3=256\,\text{cm}^3\). 3. Wenn die Deckfläche auf einen Punkt schrumpft, ist der Körper eine vollständige Pyramide. Allgemein wird die Stumpfformel für \(G_2=0\) zu \(V=\frac{h}{3}G_1=\frac{1}{3}G_1h\).

1. \(V=448\,\text{cm}^3\) 2. \(V=256\,\text{cm}^3\) 3. Für \(G_2=0\) entsteht eine Pyramide und es gilt \(V=\frac{1}{3}G_1h\).

- Wie verhalten sich die Radien und die zugehörigen Höhen in ähnlichen Dreiecken zueinander? - Denk daran, dass der große Kegel die kombinierte Höhe aus dem Stumpf und der Spitze besitzt. - Wie lautet die Grundformel für das Volumen eines spitzen Körpers wie dem Kegel?

1. Aufstellen des Strahlensatzes für die Radien und Höhen: \(\frac{x}{r_2} = \frac{x+h}{r_1} \Rightarrow \frac{x}{4} = \frac{x+6}{8}\). 2. Auflösen nach \(x\): \(8x = 4x + 24 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6\,\text{cm}\). Die Gesamthöhe des großen Kegels beträgt somit \(H = 12\,\text{cm}\). 3. Berechnung der Volumina: \(V_{\text{groß}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 8^2 \cdot 12 = 256 \cdot \pi\) und \(V_{\text{klein}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32 \cdot \pi\). 4. Differenz bilden: \(V = 256 \cdot \pi - 32 \cdot \pi = 224 \cdot \pi \approx 703{,}72\,\text{cm}^3\). 5. Einsetzen in die Stumpfformel: \(V = \frac{\pi \cdot 6}{3} \cdot (8^2 + 8 \cdot 4 + 4^2) = 2 \cdot \pi \cdot (64 + 32 + 16) = 2 \cdot \pi \cdot 112 = 224 \cdot \pi\). Beide Wege führen zum identischen Ergebnis.

a) \(x = 6\,\text{cm}\) b) \(V = 224 \cdot \pi\,\text{cm}^3 \approx 703{,}72\,\text{cm}^3\) c) Die Formel bestätigt das Ergebnis mit \(V = 2 \cdot \pi \cdot 112 = 224 \cdot \pi\,\text{cm}^3\).

- Betrachte ein rechtwinkliges Stützdreieck innerhalb der Pyramide, das die Körperhöhe enthält. - Wie lang ist die Diagonale der Grundfläche bei einer Seitenlänge \(s\)? - Verwende den Satz des Pythagoras, um die Höhe zu bestimmen. - Setze die gefundene Höhe in die allgemeine Volumenformel für Pyramiden ein.

1. In der quadratischen Grundfläche mit Seitenlänge \(s\) hat die Diagonale die Länge \(d = s \cdot \sqrt{2}\). Der Fußpunkt der Höhe \(h\) liegt im Schnittpunkt der Diagonalen, also im Abstand \(\frac{d}{2} = \frac{s \cdot \sqrt{2}}{2}\) von einer Ecke. 2. Im rechtwinkligen Dreieck aus Körperhöhe \(h\), halber Diagonale und Seitenkante \(s\) gilt: \(h^2 + \left(\frac{s \cdot \sqrt{2}}{2}\right)^2 = s^2\). 3. Auflösen nach \(h\): \(h^2 = s^2 - \frac{2s^2}{4} = s^2 - \frac{1}{2} s^2 = \frac{1}{2} s^2\). Somit ist \(h = \sqrt{\frac{s^2}{2}} = \frac{s}{\sqrt{2}} = \frac{s}{2} \cdot \sqrt{2}\). 4. Das Volumen ist \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\). Mit \(G = s^2\) folgt: \(V = \frac{1}{3} \cdot s^2 \cdot \frac{s \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{s^3}{6} \cdot \sqrt{2}\). 5. Einsetzen von \(s = 4{,}5\,\text{cm}\): \(V = \frac{4{,}5^3}{6} \cdot \sqrt{2} = \frac{91{,}125}{6} \cdot \sqrt{2} \approx 15{,}1875 \cdot 1{,}4142 \approx 21{,}4784\,\text{cm}^3\).

a) \(h = \frac{s}{2} \cdot \sqrt{2}\) b) \(V = \frac{s^3}{6} \cdot \sqrt{2}\) c) \(V \approx 21{,}48\,\text{cm}^3\)

- Nutze bei a) nur das Würfelvolumen und die Zerlegung in drei kongruente Teile. - Überlege bei b), was bei einer Streckung senkrecht zur Grundfläche mit Höhe und Volumen geschieht. - Vergleiche bei c) Querschnitte in derselben relativen Höhe über den Grundflächen.

1. Der Würfel hat das Volumen \(V_W=(6\,\text{cm})^3=216\,\text{cm}^3\). Die drei kongruenten Pyramiden füllen ihn vollständig aus, daher besitzt jede das Volumen \(216\,\text{cm}^3:3=72\,\text{cm}^3\). 2. Im gezeigten Bezugsfall ist \(G=36\,\text{cm}^2\) und \(h=6\,\text{cm}\), also \(72\,\text{cm}^3=\frac{1}{3}\cdot36\,\text{cm}^2\cdot6\,\text{cm}\). 3. Wählt man die Würfelkante passend zur Grundkante der quadratischen Pyramide und streckt oder staucht die Figur senkrecht zur Grundfläche, ändern sich Höhe und Volumen mit demselben Faktor, während \(G\) gleich bleibt. So bleibt der Faktor \(\frac{1}{3}\) erhalten. 4. Bei zwei Pyramiden mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche haben Schnitte in derselben relativen Höhe jeweils denselben Flächenfaktor zur Grundfläche. Ihre Querschnittsflächen sind daher in jeder Höhe gleich groß. 5. Nach dem Cavalieri-Prinzip sind die Pyramiden volumengleich. Der Faktor \(\frac{1}{3}\) hängt somit nicht von der Form der Grundfläche ab.

a) \(V=72\,\text{cm}^3\) b) Die Würfelzerlegung und eine Streckung oder Stauchung senkrecht zur Grundfläche machen \(V=\frac{1}{3}Gh\) für quadratische Pyramiden plausibel. c) Nach Cavalieri gilt derselbe Faktor für Pyramiden gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche anderer Form.

- Welche Kante des Mantelsektors wird beim Zusammenrollen zum Grundkreisumfang? - Vergleiche die Bogenlänge des Sektors mit dem Umfang eines vollständigen Kreises mit Radius \(s\). - Derselbe Anteil eines Vollkreises gilt für Bogenlänge und Flächeninhalt.

1. Der Mantel ist ein Kreissektor mit Radius \(s\). Seine Bogenlänge wird beim Zusammenrollen zum Umfang des Grundkreises, also zu \(2\pi r\). 2. Ein vollständiger Kreis mit Radius \(s\) hat den Umfang \(2\pi s\). Der Mantelsektor besitzt daher den Anteil \(\frac{2\pi r}{2\pi s}=\frac rs\) eines Vollkreises. 3. Derselbe Anteil gilt für die Fläche. Aus der Vollkreisfläche \(\pi s^2\) folgt \(M=\frac rs\cdot\pi s^2=\pi rs\). 4. Mit der Grundfläche \(G=\pi r^2\) ergibt sich \(O=G+M=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)\).

\(M=\pi rs\) \(O=\pi r(r+s)\)

- Beginne mit der Bedingung, dass ein Quadrat und ein Kreis denselben Flächeninhalt haben sollen. - Beschreibe einen beliebigen Zwischenquerschnitt durch seinen relativen Höhenanteil zwischen Grund- und Deckfläche. - Prüfe, ob sich die lineare Änderung der Seitenlänge beziehungsweise des Radius mit deiner Zuordnung aus Teil a) verträgt. - Setze erst nach der Cavalieri-Begründung die Kreisflächen in die gegebene Volumenformel ein.

1. Aus \(a_1^2=\pi r_1^2\) und \(a_2^2=\pi r_2^2\) folgen \(r_1=\frac{a_1}{\sqrt{\pi}}\) und \(r_2=\frac{a_2}{\sqrt{\pi}}\). 2. Sei \(t\) der Anteil der Höhe vom unteren zum oberen Rand mit \(0\le t\le1\). Wegen der Ähnlichkeit hat der quadratische Querschnitt die Seitenlänge \(a(t)=(1-t)a_1+ta_2\). 3. Beim Kegelstumpf ist entsprechend \(r(t)=(1-t)r_1+tr_2=\frac{(1-t)a_1+ta_2}{\sqrt{\pi}}\). 4. Daher gilt \(\pi r(t)^2=((1-t)a_1+ta_2)^2=a(t)^2\). In jeder relativen Höhe sind die Querschnittsflächen also gleich groß; bei gleicher Höhe sind die Stümpfe nach Cavalieri volumengleich. 5. Setzt man \(G_1=\pi r_1^2\) und \(G_2=\pi r_2^2\) in die Pyramidenstumpfformel ein, erhält man \(V=\frac{h}{3}(\pi r_1^2+\sqrt{\pi^2r_1^2r_2^2}+\pi r_2^2)\). 6. Da Radien nicht negativ sind, ist \(\sqrt{\pi^2r_1^2r_2^2}=\pi r_1r_2\). Somit folgt \(V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\).

a) \(r_1=\frac{a_1}{\sqrt{\pi}}\) und \(r_2=\frac{a_2}{\sqrt{\pi}}\) b) In jeder relativen Höhe \(t\) sind Quadrat- und Kreisquerschnitt gleich groß; daher sind die Stümpfe nach Cavalieri volumengleich. c) \(V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)\)

- Setze für den ersten Vergleich beide Radien gleich und fasse den Klammerterm zusammen. - Überlege geometrisch, wie sich Kreisradien in parallelen Schnitten eines endlichen Kegels mit dem Abstand von der Spitze ändern. - Quadriere für den Vergleich den mittleren Radius vollständig. - Bringe beide Volumenformeln auf denselben Vorfaktor und vergleiche dann die Klammern.

1. Für \(r_1=r_2=r\) gilt \(V=\frac{1}{3}\pi h(r^2+r^2+r^2)=\pi r^2h\). Das ist die Zylindervolumenformel. 2. Bei einem Stumpf eines endlichen Kegels liegen die parallelen Schnittkreise in unterschiedlichen Abständen von der Spitze und haben deshalb unterschiedliche Radien. Gleiche Radien bedeuten keine Verjüngung und führen zum Zylinder-Grenzfall. 3. Für den Ersatzzylinder ist \(V_{\text{Ersatz}}=\pi h\left(\frac{r_1+r_2}{2}\right)^2=\frac{\pi h}{4}(r_1^2+2r_1r_2+r_2^2)\). 4. Die Stumpfformel lässt sich als \(V_{\text{Stumpf}}=\frac{\pi h}{12}(4r_1^2+4r_1r_2+4r_2^2)\) schreiben; für den Ersatzzylinder gilt \(V_{\text{Ersatz}}=\frac{\pi h}{12}(3r_1^2+6r_1r_2+3r_2^2)\). 5. Daher ist \(V_{\text{Stumpf}}-V_{\text{Ersatz}}=\frac{\pi h}{12}(r_1-r_2)^2\). Für \(r_1\ne r_2\) ist diese Differenz positiv: Der Ersatzzylinder unterschätzt das Volumen.

1. \(V=\pi r^2h\), also die Zylindervolumenformel. 2. Gleiche Endradien beschreiben den Grenzfall ohne Verjüngung. 3. Für \(r_1\ne r_2\) ist die Mittelradius-Zylinderformel nicht exakt. Es gilt \(V_{\text{Stumpf}}-V_{\text{Ersatz}}=\frac{\pi h}{12}(r_1-r_2)^2>0\); der Ersatzzylinder unterschätzt das Volumen.

- Welche Strecken des Würfels bilden die Kanten des Tetraeders? - Betrachte bei einer abgeschnittenen Ecke eine rechtwinklige Dreiecksfläche als Grundfläche der Pyramide. - Ziehe die Volumina der vier gleichen Eckpyramiden vom Würfelvolumen ab. - Stelle zuletzt die Beziehung zwischen \(a\) und \(b\) nach \(a\) um.

1. Die Kanten des Tetraeders entsprechen Flächendiagonalen der Würfelseiten. Nach dem Satz des Pythagoras gilt \(b^2=a^2+a^2=2a^2\), also \(b=a\sqrt{2}\). 2. Jede abgeschnittene Ecke ist eine Pyramide mit der rechtwinkligen Dreiecksgrundfläche \(G=\frac{1}{2}a^2\) und der Höhe \(h=a\). Daher ist \(V_{\text{Ecke}}=\frac{1}{3}Gh=\frac{1}{6}a^3\). 3. Nach dem Abschneiden der vier Ecken bleibt \(V_{\text{Tetraeder}}=a^3-4\cdot\frac{1}{6}a^3=\frac{1}{3}a^3\). 4. Aus \(b=a\sqrt{2}\) folgt \(a=\frac{b}{\sqrt{2}}\). Damit ist \(V=\frac{1}{3}\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^3=\frac{b^3}{6\sqrt{2}}=\frac{b^3\sqrt{2}}{12}\).

a) \(b=a\sqrt{2}\) b) \(V_{\text{Ecke}}=\frac{1}{6}a^3\) und \(V_{\text{Tetraeder}}=\frac{1}{3}a^3\) c) \(V=\frac{b^3\sqrt{2}}{12}\)

- Betrachte, was mit der Form und Fläche des regelmäßigen Vielecks geschieht, wenn seine Eckenzahl wächst. - Welche Größe bleibt bei allen Pyramiden unverändert? - Übertrage die bekannte Pyramidenformel auf den Grenzfall der Grundfläche.

1. Mit wachsendem \(n\) nähert sich das regelmäßige Vieleck immer stärker dem Kreis mit Radius \(r\). Daher nähert sich seine Fläche \(G_n\) der Kreisfläche \(\pi r^2\). 2. Die Höhe bleibt unverändert. Deshalb nähert sich \(V_n=\frac{1}{3}G_nh\) dem Wert \(\frac{1}{3}\pi r^2h\). 3. Im Grenzfall entsteht der Kegel. Damit wird \(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi r^2h\) plausibel. 4. Für \(r=4\,\text{cm}\) und \(h=9\,\text{cm}\) ergibt sich \(V=\frac{1}{3}\pi\cdot4^2\cdot9=48\pi\,\text{cm}^3\approx150{,}80\,\text{cm}^3\).

Im Grenzfall gilt \(V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\pi r^2h\). Für die gegebenen Maße ist \(V=48\pi\,\text{cm}^3\approx150{,}80\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche die Querschnittsflächen beider Körper in derselben Höhe \(z\). - Nutze im Axialschnitt der Halbkugel den Zusammenhang zwischen \(r\), \(z\) und dem Querschnittsradius \(\rho\). - Beim Vergleichskörper musst du vom Zylinderquerschnitt den Kegelquerschnitt abziehen. - Das Cavalieri-Prinzip darfst du erst anwenden, wenn die Querschnittsflächen für jede Höhe übereinstimmen.

1. Betrachte in beiden Körpern einen Querschnitt in der Höhe \(z\) über der unteren Grundebene mit \(0\le z\le r\). 2. Bei der Halbkugel hat der Schnittkreis den Radius \(\rho\). Im Axialschnitt gilt \(\rho^2+z^2=r^2\), also \(\rho^2=r^2-z^2\). Damit ist die Querschnittsfläche \(A_H(z)=\pi\rho^2=\pi(r^2-z^2)\). 3. Beim Vergleichskörper hat der Zylinderschnitt die Fläche \(\pi r^2\). Der herausgenommene Kegelschnitt hat wegen der Ähnlichkeit der entstehenden Dreiecke in der Höhe \(z\) den Radius \(z\) und damit die Fläche \(\pi z^2\). 4. Daher ist die verbleibende Querschnittsfläche \(A_V(z)=\pi r^2-\pi z^2=\pi(r^2-z^2)\). Also gilt in jeder Höhe \(A_H(z)=A_V(z)\). 5. Beide Körper haben dieselbe Höhe \(r\). Nach dem Cavalieri-Prinzip haben sie deshalb dasselbe Volumen. 6. Das Volumen des Vergleichskörpers ist \(V_V=\pi r^2\cdot r-\frac{1}{3}\pi r^2\cdot r=\frac{2}{3}\pi r^3\). Also ist \(V_{\text{Halbkugel}}=\frac{2}{3}\pi r^3\). 7. Eine Kugel besteht aus zwei Halbkugeln. Daher folgt \(V_{\text{Kugel}}=2\cdot\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi r^3\).

Für jede Höhe \(z\) gilt bei beiden Körpern dieselbe Querschnittsfläche \(A(z)=\pi(r^2-z^2)\). Daher folgt mit dem Cavalieri-Prinzip \(V_{\text{Halbkugel}}=\frac{2}{3}\pi r^3\) und damit \(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3\).

- Betrachte zunächst nur eines der sehr kleinen Oberflächenstücke und den dazugehörigen Teilkörper zum Mittelpunkt. - Was erhältst du, wenn du die näherungsweisen Volumina aller dieser Teilkörper addierst? - Überlege mithilfe der Skizze, weshalb kleinere Oberflächenstücke die gekrümmte Kugeloberfläche lokal besser durch ebene Flächen ersetzen.

1. Für ein sehr kleines Flächenstück \(A_i\) kann der zugehörige Teilkörper näherungsweise als Pyramide mit Grundfläche \(A_i\) und Höhe \(r\) betrachtet werden. Sein Volumen ist dann näherungsweise \(\frac{1}{3}A_i r\). 2. Addiert man alle kleinen Teilvolumina, erhält man näherungsweise \(V_{\text{Kugel}}\approx\frac{1}{3}r(A_1+A_2+\ldots)=\frac{1}{3}rO_{\text{Kugel}}\). 3. Bei immer kleineren Flächenstücken wird die gekrümmte Oberfläche lokal immer besser durch ebene Grundflächen angenähert, und die zugehörigen Pyramidenhöhen nähern sich \(r\). Damit wird \(V_{\text{Kugel}}=\frac{1}{3}rO_{\text{Kugel}}\) plausibel. 4. Einsetzen von \(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3\) ergibt \(\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{1}{3}rO_{\text{Kugel}}\). Für \(r>0\) folgt \(O_{\text{Kugel}}=4\pi r^2\).

Die Zerlegung macht \(V_{\text{Kugel}}=\frac{1}{3}rO_{\text{Kugel}}\) plausibel. Zusammen mit \(V_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\pi r^3\) folgt \(O_{\text{Kugel}}=4\pi r^2\).