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- Ein offener Punkt zeigt einen ausgeschlossenen Randwert, ein ausgefüllter Punkt einen enthaltenen Randwert. - Für die Definitionsmenge betrachtest du die vorkommenden \(x\)-Werte. - Für die Wertemenge betrachtest du die vorkommenden \(y\)-Werte.

1. Der Graph beginnt links bei \(x=-3\) mit einem offenen Punkt. Daher gehört \(-3\) nicht zur Definitionsmenge. Rechts endet er bei \(x=4\) mit einem ausgefüllten Punkt; \(4\) gehört dazu. Somit ist \(D_f=(-3;4]\). 2. Der kleinste dargestellte \(y\)-Wert ist \(-1\), er tritt aber nur am offenen linken Endpunkt auf und gehört daher nicht zur Wertemenge. Der größte Wert \(2\) wird am Hochpunkt erreicht. Somit ist \(W_f=(-1;2]\).

\(D_f=(-3;4]\) und \(W_f=(-1;2]\).

- Frage bei jeder Funktion zuerst, welche \(x\)-Werte eingesetzt werden dürfen. - Überlege danach, welche kleinsten oder größten Funktionswerte möglich sind. - Unterscheide besonders zwischen einem Randwert, der erreicht wird, und einem Wert, dem sich ein Graph nur annähert.

1. Für \(f(x)=x^2\) sind alle reellen \(x\) erlaubt und alle Funktionswerte nichtnegativ. Daher gilt \(D_f=\mathbb{R}\) und \(W_f=[0;\infty)\). 2. Für \(g(x)=\sqrt{x}\) muss \(x\ge0\) gelten; auch die Funktionswerte sind nichtnegativ. Daher gilt \(D_g=[0;\infty)\) und \(W_g=[0;\infty)\). 3. Für \(h(x)=2^x\) sind alle reellen \(x\) erlaubt, die Funktionswerte sind aber stets positiv. Daher gilt \(D_h=\mathbb{R}\) und \(W_h=(0;\infty)\). 4. Für \(k(x)=\sin(x)\) sind alle reellen \(x\) erlaubt und die Funktionswerte liegen zwischen \(-1\) und \(1\). Daher gilt \(D_k=\mathbb{R}\) und \(W_k=[-1;1]\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\), \(W_f=[0;\infty)\) b) \(D_g=[0;\infty)\), \(W_g=[0;\infty)\) c) \(D_h=\mathbb{R}\), \(W_h=(0;\infty)\) d) \(D_k=\mathbb{R}\), \(W_k=[-1;1]\)

- Bestimme zunächst, wann jeder einzelne Wurzelfaktor definiert ist. - Schneide diese Bedingungen zu einem gemeinsamen Definitionsbereich. - Prüfe erst danach, welche Nullstellen der einzelnen Faktoren tatsächlich in diesem Bereich liegen.

1. Die einzelnen Faktoren werden bei \(x=0\), \(x=-3\) beziehungsweise \(x=2\) null. 2. Für den gesamten Ausdruck müssen gleichzeitig \(x\ge 0\), \(x\ge -3\) und \(x\le 2\) gelten. 3. Der gemeinsame Definitionsbereich ist daher \(D=[0;2]\). 4. Von den möglichen Nullstellen liegen \(x=0\) und \(x=2\) in \(D\); \(x=-3\) liegt außerhalb. Somit besitzt die Gleichung genau zwei reelle Lösungen.

Die Gleichung besitzt 2 reelle Lösungen.

- Welche drei Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein, damit alle Wurzeln definiert sind? - Welche dieser Bedingungen ist für den linken Rand des gemeinsamen Definitionsbereichs entscheidend? - Prüfe anschließend die möglichen Nullstellen der einzelnen Faktoren gegen diesen Bereich.

1. Die einzelnen Faktoren werden bei \(x=1\), \(x=3\) und \(x=5\) null. 2. Für den gesamten Ausdruck müssen gleichzeitig \(x-1\ge 0\), \(x-3\ge 0\) und \(x-5\ge 0\) gelten. 3. Die gemeinsame Bedingung ist \(x\ge 5\), also \(D=[5;\infty[\). 4. Von den drei möglichen Nullstellen liegt nur \(x=5\) in \(D\). Daher besitzt die Gleichung genau eine reelle Lösung.

Die Gleichung besitzt 1 reelle Lösung.

- Übersetze die beiden Wurzelbedingungen in Ungleichungen für \(x\). - Welches Intervall erfüllt beide Bedingungen gleichzeitig? - Prüfe danach die Nullstellen aller drei Faktoren darauf, ob sie in diesem Intervall liegen.

1. Die einzelnen Faktoren können bei \(x=4\), \(x=6\) beziehungsweise \(x=2\) null werden. 2. Für die Wurzeln müssen \(6-x\ge 0\) und \(x-2\ge 0\) gelten, also \(x\le 6\) und \(x\ge 2\). 3. Der gemeinsame Definitionsbereich ist \(D=[2;6]\). 4. Alle drei möglichen Nullstellen \(2\), \(4\) und \(6\) liegen in diesem Intervall. Daher besitzt die Gleichung genau drei reelle Lösungen.

Die Gleichung besitzt 3 reelle Lösungen.

- Welches Vorzeichen hat \(2^x\) für jedes reelle \(x\)? - Was folgt daraus für den Vergleich von \(f(x)=3-2^x\) mit \(3\)? - Welche positiven Werte kann eine Exponentialfunktion der Form \(2^x\) annehmen?

1. Für alle reellen \(x\) gilt \(2^x>0\). Deshalb ist \(f(x)=3-2^x<3\); der Wert \(3\) wird also nicht angenommen. 2. Die Exponentialfunktion \(2^x\) nimmt alle positiven Werte an. Daher nimmt \(3-2^x\) alle reellen Werte an, die kleiner als \(3\) sind. 3. Somit gilt \(W_f=(-\infty;3)\), und Miras Aussage ist falsch.

Miras Aussage ist falsch. Es gilt \(W_f=(-\infty;3)\); der Wert \(3\) wird nur angenähert und nicht erreicht.

- Welche besondere Bedeutung hat die Gerade \(y = 3\) für den Graphen der Funktion? - Was passiert rechnerisch, wenn du versuchst, den Schnittpunkt zu berechnen? - Skizziere grob den Verlauf an den Polstellen und im Unendlichen. - Gibt es einen Bereich von Funktionswerten, der nie erreicht wird?

1. Nachweis der Schnittpunktfreiheit: Die Gerade \(y = 3\) entspricht der waagerechten Asymptote von \(g\). Der Ansatz \(g(x) = 3\) führt auf \(\frac{3x^2}{x^2 - 1} = 3\). Durch Multiplikation mit \(x^2 - 1\) erhält man \(3x^2 = 3(x^2 - 1)\), also \(3x^2 = 3x^2 - 3\). Dies liefert den Widerspruch \(0 = -3\), womit kein Schnittpunkt existiert. 2. Bestimmung der Wertemenge: - Außerhalb der Definitionslücken \(x = \pm 1\): Für \(|x| > 1\) ist der Nenner positiv. Da \(3x^2 > 3(x^2 - 1)\), gilt \(g(x) > 3\). Da die Funktion für \(x \to \infty\) gegen \(3\) strebt und an den Polstellen gegen \(+\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]3; \infty[\) in \(W_g\). - Zwischen den Polstellen: Für \(-1 < x < 1\) ist der Nenner \(x^2 - 1\) negativ und der Zähler \(3x^2 \ge 0\). Es gilt \(g(x) \le 0\). Das Maximum liegt bei \(g(0) = 0\). Da die Funktion an den Polstellen gegen \(-\infty\) geht, ist das Teilintervall \(]-\infty; 0]\) in \(W_g\). 3. Gesamte Wertemenge: \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\) bzw. \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\).

a) Die Gleichung \(g(x) = 3\) hat keine Lösung (\(0 = -3\)). b) \(W_g = \mathbb{R} \setminus ]0; 3]\) (oder \(W_g = ]-\infty; 0] \cup ]3; \infty[\)).

- Versuche den Zähler so umzuschreiben, dass er ein Vielfaches des Nenners enthält. - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2 + 2\) im Nenner annehmen? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird, aber der Zähler konstant bleibt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt?

1. Forme den Funktionsterm so um, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt: \(g(x) = \frac{x^2 + 2 - 6}{x^2 + 2} = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\). 2. Bestimme den Wertebereich des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^2 + 2 \geq 2\). Der Nenner nimmt also alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) an. 3. Bestimme den Wertebereich des Bruchs \(\frac{6}{x^2 + 2}\): Wenn der Nenner von \(2\) bis unendlich läuft, nimmt der Quotient alle Werte im Intervall \(]0; 3]\) an (da \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^2+2} = 0\)). 4. Bestimme den Wertebereich der gesamten Funktion: Subtrahiere diese Werte von \(1\). Es ergibt sich \(1 - 3 \leq g(x) < 1 - 0\), also \(-2 \leq g(x) < 1\). Damit ist \(W_g = [-2; 1[\).

Durch die Umformung \(g(x) = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\) lässt sich zeigen, dass der Subtrahend \(\frac{6}{x^2 + 2}\) Werte im Intervall \(]0; 3]\) annimmt. Daraus ergibt sich für die Funktionswerte das Intervall \(W_g = [1 - 3; 1 - 0[ = [-2; 1[\).

- Was weißt du über die allgemeine Formel für Kreise im Koordinatensystem? - Überlege dir, wie viele Funktionswerte \(y\) ein einzelner \(x\)-Wert bei einer Funktion haben darf. - Wie wirkt sich das Plus-Minus-Zeichen beim Wurzelziehen auf die Eindeutigkeit der Zuordnung aus? - Wann ist der Ausdruck unter einer Quadratwurzel definiert?

1. Geometrische Interpretation: Die Gleichung beschreibt einen Kreis. Durch Vergleich mit der allgemeinen Form \((x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2\) ergeben sich der Mittelpunkt \(M(3|-1)\) und der Radius \(r = \sqrt{16} = 4\). 2. Auflösen nach \(y\): \((y + 1)^2 = 16 - (x - 3)^2\) \(y + 1 = \pm \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) \(y = -1 \pm \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) Die gesamte Figur ist kein Funktionsgraph, da für die meisten \(x\)-Werte aus dem Intervall \((-1; 7)\) zwei verschiedene \(y\)-Werte existieren (je einer aus dem oberen und dem unteren Halbkreis). Eine Funktion ordnet jedoch jedem \(x\)-Wert genau einen \(y\)-Wert zu. 3. Teilfunktionen: Man kann den Kreis in einen oberen und einen unteren Halbkreis teilen: \(f_1(x) = -1 + \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) (oberer Halbkreis) \(f_2(x) = -1 - \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) (unterer Halbkreis) Der Definitionsbereich für beide Funktionen ergibt sich aus der Bedingung unter der Wurzel: \(16 - (x - 3)^2 \geq 0\). Dies führt zu \((x - 3)^2 \leq 16\), also \(-4 \leq x - 3 \leq 4\). Somit ist \(D = [-1; 7]\).

a) Kreis mit Mittelpunkt \(M(3|-1)\) und Radius \(r = 4\). b) \(y = -1 \pm \sqrt{16 - (x - 3)^2}\). Da einem \(x\) zwei \(y\)-Werte zugeordnet werden, liegt keine Funktion vor. c) Zum Beispiel \(f_1(x) = -1 + \sqrt{16 - (x - 3)^2}\) und \(f_2(x) = -1 - \sqrt{16 - (x - 3)^2}\); für beide gilt \(D = [-1; 7]\).

- Welche Werte darf man in eine Quadratwurzel einsetzen? - Welche Vorzeichen können Ergebnisse einer Quadratwurzel mit einem Minuszeichen davor annehmen? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel quadrierst? Gehen dabei Informationen verloren?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(64 - x^2 \geq 0\) führt zu \(x^2 \leq 64\), also \(|x| \leq 8\). Somit ist \(D_g = [-8; 8]\). 2. Wertebereich: Da die Wurzel stets nichtnegativ ist, ist \(-\sqrt{64 - x^2} \leq 0\). Der kleinste Wert wird bei \(x = 0\) erreicht: \(g(0) = -\sqrt{64} = -8\). Somit ist \(W_g = [-8; 0]\). 3. Geometrische Form: Da \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) der negative Teil der Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 64\) ist, handelt es sich um den unteren Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(r = 8\). 4. Symmetrie: \(g(-x) = -\sqrt{64 - (-x)^2} = -\sqrt{64 - x^2} = g(x)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion). 5. Gleichung erfüllen: Quadrieren von \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) ergibt \(y^2 = 64 - x^2\), also \(x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht uneingeschränkt, da die Kreisgleichung auch Punkte mit positiven \(y\)-Werten (oberer Halbkreis) enthält, die nicht im Wertebereich von \(g\) liegen.

a) \(D_g = [-8; 8]\), \(W_g = [-8; 0]\). b) Unterer Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(8\). c) \(g(-x) = g(x)\), also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. d) Quadrieren liefert \(y^2 = 64 - x^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht, da die Kreisgleichung auch \(y > 0\) zulässt, \(g(x)\) aber nur Werte \(\leq 0\) liefert.

- Worauf musst du achten, wenn du eine Wurzel aus einem Term ziehst? Welche Werte darf der Ausdruck unter der Wurzel annehmen? - Wie prüfst du mathematisch, ob ein gegebener Punkt mit einer \(x\)- und einer \(y\)-Koordinate zu einer Funktionsgleichung passt? - Was bedeutet es für einen Punkt, wenn sein \(x\)-Wert gar nicht in die Funktion eingesetzt werden darf?

1. Zur Bestimmung des Definitionsbereichs muss der Radikand nichtnegativ sein: \(4x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -0{,}25\). Somit gilt \(D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -0{,}25\}\). 2. Durchführung der Punktproben durch Einsetzen der \(x\)-Werte in \(f(x)\): - Für \(A(0 \mid -1)\): \(f(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} - 2 = 1 - 2 = -1\). Der Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen. - Für \(B(2 \mid 1)\): \(f(2) = \sqrt{4 \cdot 2 + 1} - 2 = 3 - 2 = 1\). Der Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen. - Für \(C(-1 \mid -1)\): Da \(-1 < -0{,}25\), liegt \(x = -1\) nicht im Definitionsbereich. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen. - Für \(D(0{,}75 \mid 0)\): \(f(0{,}75) = \sqrt{4 \cdot 0{,}75 + 1} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 0\). Der Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen. - Für \(E(6 \mid 3)\): \(f(6) = \sqrt{4 \cdot 6 + 1} - 2 = 5 - 2 = 3\). Der Punkt \(E\) liegt auf dem Graphen.

1. \(D_f = [-0{,}25; \infty[\) 2. Die Punkte \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\) liegen auf dem Graphen. Der Punkt \(C\) liegt nicht auf dem Graphen, da sein \(x\)-Wert außerhalb des Definitionsbereichs liegt.

- Welche zwei mathematischen Regeln schränken den Definitionsbereich hier ein? Denke an die Wurzel und den Nenner. - Kannst du den Dezimalbruch \(0{,}25\) als gewöhnlichen Bruch schreiben, um die Wurzel einfacher zu ziehen? - Was passiert mit dem Wert eines Bruchs, wenn der Nenner sehr klein wird?

1. Für die Funktion \(g(x)\) muss der Radikand \(x\) im Nenner positiv sein (\(x > 0\)). Einerseits darf die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht gezogen werden, andererseits führt \(x = 0\) zu einer Division durch Null (\(\frac{4}{0}\)), was nicht definiert ist. Daher ist \(0\) nicht im Definitionsbereich enthalten. 2. Punktproben durch Einsetzen: - \(A(1 \mid 4)\): \(g(1) = \frac{4}{\sqrt{1}} = 4\). Punkt \(A\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(B(4 \mid 2)\): \(g(4) = \frac{4}{\sqrt{4}} = \frac{4}{2} = 2\). Punkt \(B\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(C(0{,}25 \mid 8)\): \(g(0{,}25) = \frac{4}{\sqrt{0{,}25}} = \frac{4}{0{,}5} = 8\). Punkt \(C\) liegt auf dem Graphen der Funktion. - \(D(16 \mid 1)\): \(g(16) = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1\). Punkt \(D\) liegt auf dem Graphen der Funktion.

1. Der Punkt \(P(0 \mid 0)\) liegt nicht auf dem Graphen, da \(x = 0\) zu einer Division durch Null führen würde und somit nicht im Definitionsbereich liegt. 2. Alle geprüften Punkte \(A\), \(B\), \(C\) und \(D\) liegen auf dem Graphen der Funktion \(g\).

- Für welche Werte ist eine Quadratwurzelfunktion der Form \(\sqrt{y}\) im reellen Bereich definiert? Schau dir dazu den Funktionswert an der Stelle \(x = 4\) im Graphen an. - Um \(g(2)\) zu bestimmen, ermittle zuerst den Funktionswert \(f(2)\) aus dem Graphen und setze ihn in die Definition von \(g(x)\) ein. - Überlege dir für Aufgabenteil b): Wann ist eine Zahl gleich ihrer eigenen Quadratwurzel? Welche beiden Werte kann der Funktionswert \(f(x)\) an den Schnittpunkten annehmen? - Lies die x-Werte für diese beiden Fälle direkt am Graphen ab.

1. Teilaufgabe a): Der Definitionsbereich \(D_g\) der Wurzelfunktion \(g(x) = \sqrt{f(x)}\) umfasst alle reellen Zahlen, für die der Radikand nichtnegativ ist, also \(f(x) \ge 0\). Aus der Abbildung liest man für \(x = 4\) den Funktionswert \(f(4) = -2{,}5\) ab. Da dieser Funktionswert negativ ist, ist die Quadratwurzel nicht definiert, weshalb \(4 \notin D_g\) gilt. Für den Funktionswert \(g(2)\) liest man zunächst \(f(2) = 1\) aus der Abbildung ab. Damit ergibt sich \(g(2) = \sqrt{f(2)} = \sqrt{1} = 1\). 2. Teilaufgabe b): Die Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(g\) liegen an den Stellen \(x \in D_g\), für die \(f(x) = g(x)\) gilt, also \(f(x) = \sqrt{f(x)}\). Quadrieren beider Seiten unter der Bedingung \(f(x) \ge 0\) führt zu \(f(x)^2 = f(x) \implies f(x) \cdot (f(x) - 1) = 0\). Die Lösungen sind somit die Stellen, an denen \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\) gilt. Aus der Abbildung liest man diese Werte im Intervall \([-4; 4]\) ab: - Für \(f(x) = 0\): \(x = -2\), \(x = -1\) und \(x = 3\). - Für \(f(x) = 1\): \(x = -3\), \(x = 1\) und \(x = 2\). An all diesen Stellen ist \(f(x) \ge 0\), sie liegen also im Definitionsbereich \(D_g\). Die gesuchten \(x\)-Koordinaten sind somit \(-3\), \(-2\), \(-1\), \(1\), \(2\) und \(3\).

a) Da \(f(4) = -2{,}5 < 0\) ist, ist der Radikand unter der Wurzel negativ, weshalb \(x = 4\) nicht im Definitionsbereich von \(g\) liegt. Der Funktionswert ist \(g(2) = 1\). b) Die x-Koordinaten der Schnittpunkte im Intervall \([-4; 4]\) sind \(x \in \{-3; -2; -1; 1; 2; 3\}\).

- Setze den Funktionsterm gleich einer Variablen \(y\) und löse die entstehende Gleichung nach \(x\) auf. - Bei welchem Wert von \(y\) scheitert dieses Auflösen? - Prüfe zusätzlich, ob der berechnete \(x\)-Wert jemals die ausgeschlossene Definitionsstelle \(-4\) sein kann. - Was ergibt die ursprüngliche Gleichung direkt für den besonderen Wert, bei dem das Auflösen scheitert?

1. Setze \(y=\frac{3x}{x+4}\) und untersuche, für welche Werte von \(y\) die Gleichung nach \(x\) lösbar ist. 2. Aus \(y(x+4)=3x\) folgt \(yx+4y=3x\) und damit \(x(y-3)=-4y\). 3. Für \(y\neq 3\) erhält man \(x=\frac{-4y}{y-3}\). 4. Dieser Wert ist für jedes \(y\neq 3\) reell und niemals \(-4\): Die Annahme \(-4=\frac{-4y}{y-3}\) würde auf \(12=0\) führen. 5. Für \(y=3\) ergibt die ursprüngliche Gleichung \(3(x+4)=3x\), also den Widerspruch \(12=0\). Daher wird \(3\) nicht angenommen, jeder andere reelle Wert dagegen schon. 6. Somit gilt \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Aus \(y=\frac{3x}{x+4}\) folgt für \(y\neq 3\) der zulässige Wert \(x=\frac{-4y}{y-3}\). Für \(y=3\) entsteht ein Widerspruch. Daher ist \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

- Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner den Wert Null annimmt? - Wie hängen die Funktionswerte von \(f\) und \(g\) an einer festen Stelle \(x\) zusammen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an dieser Stelle gleich sein. Welche Bedingung muss \(f(x)\) also erfüllen, damit \(f(x) = \frac{1}{f(x)}\) gilt? - Suche im Graphen nach Stellen, an denen die y-Werte besonders einfach zu invertieren sind (z. B. 1 oder -1).

1. Der Definitionsbereich \(D_g\) umfasst alle \(x\), für die der Nenner \(f(x) \neq 0\) ist. Da der Graph \(G_f\) eine Nullstelle bei \(x = 0\) hat (Schnittpunkt mit der x-Achse im Ursprung), ist \(f(0) = 0\). Eine Division durch Null ist nicht definiert, daher ist \(x = 0 \notin D_g\). 2. Aus der Abbildung lässt sich der Funktionswert \(f(2) = 3\) ablesen. Damit ergibt sich \(g(2) = \frac{1}{f(2)} = \frac{1}{3}\). 3. Für die Schnittpunkte von \(G_f\) und \(G_g\) muss gelten: \(f(x) = g(x) = \frac{1}{f(x)}\). Dies führt auf die Gleichung \(f(x)^2 = 1\), also \(f(x) = 1\) oder \(f(x) = -1\). 4. In der Abbildung erkennt man, dass der Graph \(G_f\) den Wert \(1\) an der Stelle \(x = 1\) und den Wert \(-1\) an der Stelle \(x = -1\) annimmt. Die gesuchten x-Koordinaten sind somit \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\).

a) Da \(f(0) = 0\) ist, wäre der Ausdruck \(g(0) = \frac{1}{0}\) nicht definiert; somit ist \(x = 0 \notin D_g\). Aus dem Graphen liest man \(f(2) = 3\) ab, woraus \(g(2) = \frac{1}{3}\) folgt. b) Die Graphen schneiden sich, wenn \(f(x) = \frac{1}{f(x)}\), also \(f(x) = 1\) oder \(f(x) = -1\). Laut Abbildung ist dies für \(x = -1\) und \(x = 1\) der Fall.

- Für welche Zahlen ist das Ziehen einer Quadratwurzel im Bereich der reellen Zahlen erlaubt? - Schau dir an, in welchem Bereich der Graph von \(f\) auf oder oberhalb der x-Achse liegt. - Überlege dir, welche Zahlen gleich ihrer eigenen Quadratwurzel sind. Das hilft dir bei der Suche nach den Schnittpunkten. - Kannst du die Stellen im Graphen finden, an denen \(f(x)\) den Wert 0 oder 1 annimmt?

1. Die Wurzelfunktion ist nur für Radikanden größer oder gleich Null definiert. Es muss also \(f(x) \ge 0\) gelten. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass der Graph \(G_f\) im Intervall \([0; 2]\) oberhalb oder auf der x-Achse verläuft. Somit ist \(D_h = [0; 2]\). 2. Aus dem Graphen liest man für \(x = 1\) den Funktionswert \(f(1) = 1\) ab. Damit gilt \(h(1) = \sqrt{f(1)} = \sqrt{1} = 1\). 3. Schnittpunkte liegen vor, wenn \(f(x) = h(x) = \sqrt{f(x)}\). Quadrieren beider Seiten ergibt \(f(x)^2 = f(x)\), was zu \(f(x)^2 - f(x) = 0\) bzw. \(f(x) \cdot (f(x) - 1) = 0\) umgeformt werden kann. 4. Die Lösungen sind \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\). Laut Graph ist \(f(x) = 0\) bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Wert \(f(x) = 1\) wird bei \(x = 1\) erreicht. Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind somit \(0\), \(1\) und \(2\).

a) Da der Radikand nicht negativ sein darf, muss \(f(x) \ge 0\) gelten. Dies ist laut Graph für \(x \in [0; 2]\) der Fall. b) Es ist \(f(1) = 1\), also \(h(1) = \sqrt{1} = 1\). c) Die Bedingung \(f(x) = \sqrt{f(x)}\) ist für \(f(x) = 0\) oder \(f(x) = 1\) erfüllt. Dies entspricht den Stellen \(x = 0\), \(x = 1\) und \(x = 2\).

- Forme den Radikanden durch quadratische Ergänzung um. - Welchen kleinsten Wert kann ein Quadrat annehmen, und welche größeren Werte sind möglich? - Übertrage den so bestimmten Wertebereich des Radikanden durch die Quadratwurzel.

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man für den Radikanden \(x^2-2x+5=(x-1)^2+4\). 2. Da \((x-1)^2\ge 0\) gilt und jeden nichtnegativen Wert annehmen kann, nimmt der Radikand genau alle Werte aus \([4;\infty[\) an. 3. Die Quadratwurzelfunktion ist für nichtnegative Eingaben streng monoton steigend. Daher entstehen aus den Radikandenwerten \([4;\infty[\) genau die Funktionswerte \([2;\infty[\). 4. Somit ist \(W_f=[2;\infty[\).

\(W_f=[2;\infty[\).

- Überlege dir, ob es Werte für \(x\) gibt, bei denen der Nenner null werden könnte. - Welchen Einfluss hat das Quadrat im Nenner auf die Funktionswerte bei sehr großen positiven oder negativen \(x\)-Werten? - Wo erreicht der Nenner seinen kleinsten Wert und was bedeutet das für den Gesamtwert des Bruchs? - Teste, was passiert, wenn du \(x\) durch \(-x\) in der Formel ersetzt.

1. Definitionsmenge: Der Nenner \(x^2 + 2\) ist für alle reellen Zahlen mindestens \(2\), da \(x^2 \ge 0\) gilt. Somit wird der Nenner nie null, und es gilt \(D_h = \mathbb{R}\). 2. Wertemenge: Der Nenner hat sein Minimum bei \(x = 0\) mit dem Wert \(2\). Dies führt zum maximalen Funktionswert \(h(0) = \frac{6}{0^2 + 2} = 3\). Da der Zähler konstant positiv ist und der Nenner für \(x \to \pm\infty\) gegen unendlich wächst, nähert sich der Graph der x-Achse von oben an, erreicht die Null aber nie. Somit ist \(W_h = (0; 3]\). 3. Symmetrie: Es gilt \(h(-x) = \frac{6}{(-x)^2 + 2} = \frac{6}{x^2 + 2} = h(x)\). Da die Bedingung für eine gerade Funktion erfüllt ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor.

a) \(D_h = \mathbb{R}\) und \(W_h = (0; 3]\) b) Da \(h(-x) = h(x)\) gilt, ist die Funktion gerade und somit achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

- Lies zuerst Definitionsmenge und Wertemenge von \(f\) aus dem Graphen ab. - Vergleiche dann nur die beiden Definitionsmengen. Welche horizontale Veränderung ist nötig? - Vergleiche anschließend nur die beiden Wertemengen. - Eine horizontale Verschiebung verändert das Argument; eine vertikale Verschiebung verändert den gesamten Funktionswert.

1. Aus der Abbildung liest man \(D_f=[-2;3]\) und \(W_f=[-1;2]\) ab. 2. Von \(D_f=[-2;3]\) zu \(D_g=[0;5]\) werden alle \(x\)-Werte um \(2\) nach rechts verschoben. Dafür muss im Argument \(x-2\) stehen. 3. Von \(W_f=[-1;2]\) zu \(W_g=[1;4]\) werden alle \(y\)-Werte um \(2\) nach oben verschoben. Dafür muss außerhalb \(+2\) addiert werden. 4. Beide Bedingungen erfüllt nur \(g(x)=f(x-2)+2\).

a) \(g(x)=f(x-2)+2\)

- Was muss für ein beliebiges \(y\) gelten, damit es Element der Wertemenge ist? - Kannst du die Funktionsgleichung so umstellen, dass eine quadratische Gleichung in \(x\) entsteht? - Überlege, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung mindestens eine reelle Lösung besitzt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der Fall \(y = 0\) eine Sonderrolle spielt.

1. Setze \(y = f(x)\) und multipliziere mit dem Nenner: \(y(x^2 - 4) = 3x\). 2. Forme die Gleichung in eine quadratische Form bezüglich \(x\) um: \(yx^2 - 3x - 4y = 0\). 3. Betrachte den Fall \(y = 0\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-3x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Da \(0 \in D_f\), ist \(0 \in W_f\). 4. Betrachte den Fall \(y \neq 0\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (-4y) = 9 + 16y^2\). 5. Da \(16y^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen \(y\) gilt, ist \(D \geq 9 > 0\). Somit existiert für jedes \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) mindestens eine reelle Lösung für \(x\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Lösungen \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16y^2}}{2y}\) niemals die Definitionslücken \(\pm 2\) erreichen (Eingesetzt in die Gleichung ergibt \(x = \pm 2\) stets den Widerspruch \(\pm 6 = 0\)). Folglich ist jeder Wert \(y \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert.

Durch das Aufstellen der Gleichung \(y = f(x)\) und die Untersuchung der Diskriminante \(D = 9 + 16y^2\) der resultierenden quadratischen Gleichung in \(x\) zeigt sich, dass für jedes reelle \(y\) ein Urbild \(x\) existiert. Da die Definitionslücken von \(f\) dabei nicht als Lösungen auftreten, ist die Wertemenge \(W_f = \mathbb{R}\).

- Die Definitionsmenge umfasst alle \(x\)-Werte, für die der Graph gezeichnet ist. - Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte, die vom Graphen „erreicht“ werden. - Wenn eine Transformation nur außerhalb der Funktionsklammer stattfindet, ändern sich nur die \(y\)-Werte. - Um eine Gleichung für \(q(x)\) mithilfe des Graphen von \(p\) zu lösen, kannst du die Gleichung zuerst nach \(p(x)\) umstellen.

1. Aus dem Graphen von \(p\) lässt sich ablesen: - Definitionsmenge: \(D_p = [-5; 3]\). - Wertemenge: \(W_p = [1; 4]\). 2. Transformation zu \(q(x) = \frac{1}{2} \cdot p(x) - 2\): - Da keine Änderung im Argument von \(p\) erfolgt, bleibt die Definitionsmenge gleich: \(D_q = D_p = [-5; 3]\). - Die Wertemenge wird in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben: Untere Grenze: \(1 \cdot 0{,}5 - 2 = -1{,}5\) Obere Grenze: \(4 \cdot 0{,}5 - 2 = 0\) Somit ist \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Suche der Stellen mit \(q(x) = -1\): \(\frac{1}{2} \cdot p(x) - 2 = -1 \Leftrightarrow p(x) = 2\). Im Graphen von \(p\) wird der Wert \(2\) bei \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) angenommen.

1. \(D_p = [-5; 3]\), \(W_p = [1; 4]\). 2. \(D_q = [-5; 3]\), \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Die Bedingung \(q(x) = -1\) ist äquivalent zu \(p(x) = 2\). Dies ist laut Graph für \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) der Fall.

- Prüfe zuerst, welchen kleinsten Wert der Zähler annehmen kann und ob dieser Funktionswert tatsächlich erreicht wird. - Schreibe den Funktionsterm so um, dass eine Konstante minus ein positiver Bruch entsteht. - Um zu zeigen, dass kein Wert zwischen den Grenzen fehlt, setze \(k(x)=y\) und löse nach \(x^2\) auf. - Für welche Werte von \(y\) ist der dabei entstehende Ausdruck nichtnegativ?

1. Da \(x^2\ge 0\) und \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten, ist \(k(x)\ge 0\). Für \(x=0\) gilt \(k(0)=0\), also wird der Wert \(0\) angenommen. 2. Durch Umformen erhält man \(k(x)=2-\frac{2}{x^2+1}\). Da \(\frac{2}{x^2+1}>0\) gilt, ist stets \(k(x)<2\). Für große Beträge von \(x\) kann der Bruch beliebig klein werden, sodass die Funktionswerte beliebig nahe an \(2\) herankommen. 3. Sei nun \(y\in[0;2[\). Aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(y(x^2+1)=2x^2\) und damit \(x^2=\frac{y}{2-y}\). 4. Wegen \(0\le y<2\) ist \(\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher existiert mindestens ein reelles \(x\) mit \(x^2=\frac{y}{2-y}\), also wird jeder Wert aus \([0;2[\) angenommen. 5. Somit gilt genau \(W_k=[0;2[\).

Es gilt \(0\le k(x)<2\). Umgekehrt besitzt jedes \(y\in[0;2[\) ein Urbild, denn aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(x^2=\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher ist \(W_k=[0;2[\).