- Ein offener Punkt zeigt einen ausgeschlossenen Randwert, ein ausgefüllter Punkt einen enthaltenen Randwert. - Für die Definitionsmenge betrachtest du die vorkommenden \(x\)-Werte. - Für die Wertemenge betrachtest du die vorkommenden \(y\)-Werte.

1. Der Graph beginnt links bei \(x=-3\) mit einem offenen Punkt. Daher gehört \(-3\) nicht zur Definitionsmenge. Rechts endet er bei \(x=4\) mit einem ausgefüllten Punkt; \(4\) gehört dazu. Somit ist \(D_f=]-3;4]\). 2. Der kleinste dargestellte \(y\)-Wert ist \(-1\), er tritt aber nur am offenen linken Endpunkt auf und gehört daher nicht zur Wertemenge. Der größte Wert \(2\) wird am Hochpunkt erreicht. Somit ist \(W_f=]-1;2]\).

\(D_f=]-3;4]\) und \(W_f=]-1;2]\).

- Frage bei jeder Funktion zuerst, welche \(x\)-Werte eingesetzt werden dürfen. - Überlege danach, welche Funktionswerte überhaupt entstehen können. - Unterscheide besonders zwischen einem Randwert, der erreicht wird, und einem Wert, dem sich ein Graph nur annähert.

1. Für \(f(x)=x^2\) sind alle reellen \(x\) erlaubt und alle Funktionswerte nichtnegativ. Daher gilt \(D_f=\mathbb{R}\) und \(W_f=[0;+\infty[\). 2. Für \(g(x)=\frac{1}{x}\) ist \(x=0\) ausgeschlossen. Außerdem kann der Funktionswert nie \(0\) sein. Daher gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) und \(W_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 3. Für \(h(x)=2^x\) sind alle reellen \(x\) erlaubt, die Funktionswerte sind aber stets positiv. Daher gilt \(D_h=\mathbb{R}\) und \(W_h=]0;+\infty[\). 4. Für \(k(x)=\sin(x)\) sind alle reellen \(x\) erlaubt und die Funktionswerte liegen zwischen \(-1\) und \(1\). Daher gilt \(D_k=\mathbb{R}\) und \(W_k=[-1;1]\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\), \(W_f=[0;+\infty[\) b) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), \(W_g=\mathbb{R}\setminus\{0\}\) c) \(D_h=\mathbb{R}\), \(W_h=]0;+\infty[\) d) \(D_k=\mathbb{R}\), \(W_k=[-1;1]\)

- Welche Rechenoperation kann bei einem Bruch die Definitionsmenge einschränken? - Für welchen \(x\)-Wert wird der Nenner des Terms gleich \(0\)? - Alle anderen reellen Zahlen sind erlaubt.

1. Ein Bruch ist genau dann nicht definiert, wenn sein Nenner \(0\) ist. 2. Hier gilt \(x+3=0\) für \(x=-3\). Dieser Wert muss ausgeschlossen werden. 3. Damit ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}\)

- Welchen kleinsten Wert kann ein Quadrat annehmen? - Für welchen \(x\)-Wert wird dieser kleinste Wert hier erreicht? - Überlege anschließend, ob es nach oben eine Grenze für die Funktionswerte gibt.

1. Wegen \((x-2)^2\ge0\) gilt für alle \(x\): \(f(x)\ge-3\). 2. Bei \(x=2\) wird der kleinste Wert \(-3\) tatsächlich angenommen. 3. Nach oben ist die Funktion unbeschränkt. Daher ist \(W_f=[-3;+\infty[\).

\(W_f=[-3;+\infty[\)

- Welche Bedingung muss der Ausdruck unter der Quadratwurzel erfüllen? - Prüfe bei jedem Punkt zuerst, ob seine \(x\)-Koordinate in \(D_f\) liegt. - Setze \(x\)-Werte aus \(D_f\) in den Funktionsterm ein und vergleiche den erhaltenen Wert mit der \(y\)-Koordinate.

1. Für die Wurzel muss \(4x+1\geq0\) gelten. Daraus folgt \(x\geq-0{,}25\), also \(D_f=[-0{,}25;\infty[\). 2. Für \(A\) gilt \(f(0)=-1\). Daher liegt \(A\) auf dem Graphen. 3. Für \(B\) gilt \(f(2)=1\). Daher liegt \(B\) auf dem Graphen. 4. Der Wert \(x=-1\) liegt nicht in der Definitionsmenge. Daher liegt \(C\) nicht auf dem Graphen. 5. Für \(D\) gilt \(f(0{,}75)=0\). Daher liegt \(D\) auf dem Graphen. 6. Für \(E\) gilt \(f(6)=3\). Daher liegt \(E\) auf dem Graphen.

1. \(D_f=[-0{,}25;\infty[\). 2. Auf dem Graphen liegen \(A\), \(B\), \(D\) und \(E\). \(C\) liegt nicht auf dem Graphen, weil \(-1\notin D_f\).

- Welche Bedingungen entstehen gleichzeitig durch die Wurzel und durch den Nenner? - Prüfe jeden Punkt einzeln durch Einsetzen seiner \(x\)-Koordinate. - Ein zulässiger \(x\)-Wert reicht nicht aus: Der berechnete Funktionswert muss auch mit der angegebenen \(y\)-Koordinate übereinstimmen.

1. Für \(g(x)\) muss \(x>0\) gelten: Der Radikand darf nicht negativ sein und bei \(x=0\) würde im Nenner \(0\) stehen. Daher gehört \(x=0\) nicht zur Definitionsmenge. 2. Es gilt \(g(1)=4\), also liegt \(A\) auf dem Graphen. 3. Es gilt \(g(4)=\frac{4}{2}=2\), also liegt \(B\) auf dem Graphen. 4. Es gilt \(g(0{,}25)=\frac{4}{0{,}5}=8\), also liegt \(C\) auf dem Graphen. 5. Es gilt \(g(16)=\frac{4}{4}=1\neq2\), also liegt \(D\) nicht auf dem Graphen.

1. \(P(0|0)\) liegt nicht auf dem Graphen, weil \(0\) nicht zur Definitionsmenge gehört. 2. \(A\), \(B\) und \(C\) liegen auf dem Graphen; \(D\) liegt nicht auf dem Graphen.

- Bestimme zunächst, wann jeder einzelne Wurzelfaktor definiert ist. - Schneide diese Bedingungen zu einer gemeinsamen Definitionsmenge. - Prüfe erst danach, welche Nullstellen der einzelnen Faktoren tatsächlich in diesem Bereich liegen.

1. Die einzelnen Faktoren werden bei \(x=0\), \(x=-3\) beziehungsweise \(x=2\) null. 2. Für den gesamten Ausdruck müssen gleichzeitig \(x\ge 0\), \(x\ge -3\) und \(x\le 2\) gelten. 3. Die gemeinsame Definitionsmenge ist daher \(D=[0;2]\). 4. Von den möglichen Nullstellen liegen \(x=0\) und \(x=2\) in \(D\); \(x=-3\) liegt außerhalb. Somit besitzt die Gleichung genau zwei reelle Lösungen.

Die gemeinsame Definitionsmenge ist \(D=[0;2]\). In \(D\) liegen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=2\); \(x=-3\) liegt außerhalb von \(D\). Daher besitzt die Gleichung genau zwei reelle Lösungen.

- Welche drei Ungleichungen müssen gleichzeitig erfüllt sein, damit alle Wurzeln definiert sind? - Welche dieser Bedingungen ist für den linken Rand der gemeinsamen Definitionsmenge entscheidend? - Prüfe anschließend die möglichen Nullstellen der einzelnen Faktoren gegen diesen Bereich.

1. Die einzelnen Faktoren werden bei \(x=1\), \(x=3\) und \(x=5\) null. 2. Für den gesamten Ausdruck müssen gleichzeitig \(x-1\ge 0\), \(x-3\ge 0\) und \(x-5\ge 0\) gelten. 3. Die gemeinsame Bedingung ist \(x\ge 5\), also \(D=[5;\infty[\). 4. Von den drei möglichen Nullstellen liegt nur \(x=5\) in \(D\). Daher besitzt die Gleichung genau eine reelle Lösung.

Die gemeinsame Definitionsmenge ist \(D=[5;\infty[\). Von den möglichen Nullstellen \(1\), \(3\) und \(5\) liegt nur \(5\) in \(D\). Daher besitzt die Gleichung genau eine reelle Lösung.

- Übersetze die beiden Wurzelbedingungen in Ungleichungen für \(x\). - Welches Intervall erfüllt beide Bedingungen gleichzeitig? - Prüfe danach die Nullstellen aller drei Faktoren darauf, ob sie in diesem Intervall liegen.

1. Die einzelnen Faktoren können bei \(x=4\), \(x=6\) beziehungsweise \(x=2\) null werden. 2. Für die Wurzeln müssen \(6-x\ge 0\) und \(x-2\ge 0\) gelten, also \(x\le 6\) und \(x\ge 2\). 3. Die gemeinsame Definitionsmenge ist \(D=[2;6]\). 4. Alle drei möglichen Nullstellen \(2\), \(4\) und \(6\) liegen in diesem Intervall. Daher besitzt die Gleichung genau drei reelle Lösungen.

Die gemeinsame Definitionsmenge ist \(D=[2;6]\). Die Nullstellen \(2\), \(4\) und \(6\) liegen alle in \(D\). Daher besitzt die Gleichung genau drei reelle Lösungen.

- Welches Vorzeichen hat \(2^x\) für jedes reelle \(x\)? - Was folgt daraus für den Vergleich von \(f(x)=3-2^x\) mit \(3\)? - Welche positiven Werte kann eine Exponentialfunktion der Form \(2^x\) annehmen?

1. Für alle reellen \(x\) gilt \(2^x>0\). Deshalb ist \(f(x)=3-2^x<3\); der Wert \(3\) wird also nicht angenommen. 2. Die Exponentialfunktion \(2^x\) nimmt alle positiven Werte an. Daher nimmt \(3-2^x\) alle reellen Werte an, die kleiner als \(3\) sind. 3. Somit gilt \(W_f=]-\infty;3[\), und Miras Aussage ist falsch.

Miras Aussage ist falsch. Es gilt \(W_f=]-\infty;3[\); der Wert \(3\) wird nur angenähert und nicht erreicht.

- Welche \(t\)-Werte sind zeitlich überhaupt sinnvoll? - Bestimme den Zeitpunkt, an dem das modellierte Volumen erstmals \(0\) wird. - Welche kleinste und größte Wassermenge treten innerhalb dieses Zeitintervalls auf?

1. Die Zeit beginnt bei \(t=0\). Negative Zeiten gehören nicht zum beschriebenen Vorgang. 2. Der Behälter ist leer, wenn \(120-8t=0\). Daraus folgt \(t=15\). 3. Damit ist die sinnvolle Definitionsmenge \(D=[0;15]\). 4. Das Volumen fällt dabei von \(120\,\text{L}\) auf \(0\,\text{L}\). Daher ist \(W=[0;120]\,\text{L}\).

\(D=[0;15]\) Minuten \(W=[0;120]\,\text{L}\)

- Für welche \(x\)-Werte wird der Nenner null? - Was müsste gelten, wenn ein Punkt des Graphen auf der Geraden \(y=3\) läge? - Um die Wertemenge vollständig zu bestimmen, musst du prüfen, ob ein vorgegebener Wert \(y\) tatsächlich von \(g\) getroffen werden kann. Welche Gleichung beschreibt das? - Welche Bedingung muss am Ende erfüllt sein, damit daraus ein reelles \(x\) entsteht?

1. Der Nenner wird für \(x=\pm1\) null. Daher gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Der Ansatz \(g(x)=3\) führt auf \(3x^2=3(x^2-1)\) und damit auf den Widerspruch \(0=-3\). Der Wert \(3\) wird nicht angenommen. 3. Für einen möglichen Funktionswert \(y\) gilt \(y=\frac{3x^2}{x^2-1}\). Umformen ergibt \((y-3)x^2=y\) und für \(y\neq3\) damit \(x^2=\frac{y}{y-3}\). 4. Ein reelles \(x\) existiert genau dann, wenn \(\frac{y}{y-3}\geq0\). Das ist für \(y\leq0\) oder \(y>3\) der Fall. Der Wert \(y=0\) wird bei \(x=0\) angenommen. 5. Somit ist \(W_g=]-\infty;0]\cup]3;\infty[\).

a) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die Gleichung \(g(x)=3\) führt auf \(0=-3\), also gibt es keinen Schnittpunkt mit \(y=3\). b) \(W_g=]-\infty;0]\cup]3;\infty[\). Für \(y\neq3\) gilt \(x^2=\frac{y}{y-3}\); ein reelles \(x\) existiert genau für \(y\leq0\) oder \(y>3\).

- Kann eine gleichwertige Form des Funktionsterms helfen, Schranken oder Grenzwerte der Funktionswerte leichter zu erkennen? - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2+2\) im Nenner annehmen? - Wie verhält sich ein Bruch, wenn sein Nenner immer größer wird, aber der Zähler konstant bleibt? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn \(x\) sehr große positive oder negative Werte annimmt?

1. Forme den Funktionsterm so um, dass \(x\) nur noch an einer Stelle vorkommt: \(g(x) = \frac{x^2 + 2 - 6}{x^2 + 2} = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\). 2. Bestimme die Wertemenge des Nenners: Da \(x^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(x^2 + 2 \geq 2\). Der Nenner nimmt also alle Werte im Intervall \([2; \infty[\) an. 3. Bestimme die Wertemenge des Bruchs \(\frac{6}{x^2 + 2}\): Wenn der Nenner von \(2\) bis unendlich läuft, nimmt der Quotient alle Werte im Intervall \(]0; 3]\) an (da \(\frac{6}{2} = 3\) und \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^2+2} = 0\)). 4. Bestimme die Wertemenge der gesamten Funktion: Subtrahiere diese Werte von \(1\). Es ergibt sich \(1 - 3 \leq g(x) < 1 - 0\), also \(-2 \leq g(x) < 1\). Damit ist \(W_g = [-2; 1[\).

Durch die Umformung \(g(x) = 1 - \frac{6}{x^2 + 2}\) lässt sich zeigen, dass der Subtrahend \(\frac{6}{x^2 + 2}\) Werte im Intervall \(]0; 3]\) annimmt. Daraus ergibt sich für die Funktionswerte das Intervall \(W_g = [1 - 3; 1 - 0[ = [-2; 1[\).

- Bestimme zuerst die Vorzeichen von \(x^2-1\) in den drei Definitionsintervallen. - Für den inneren Ast ist die Form \(1+\frac{3}{1-x^2}\) besonders hilfreich. - Frage dich, welchen kleinsten beziehungsweise größten Wert der positive Restbruch in den jeweiligen Bereichen annehmen kann.

1. Der Nenner wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). 2. Für \(|x|>1\) ist \(x^2-1>0\). Damit gilt \(f(x)=1-\frac{3}{x^2-1}<1\). Für \(x\to\pm1\) von außen fällt \(f(x)\) gegen \(-\infty\), und für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(1\) von unten. Die äußeren Äste liefern daher alle Werte aus \(]-\infty;1[\). 3. Für \(|x|<1\) gilt \(1-x^2\in]0;1]\) und damit \(f(x)=1+\frac{3}{1-x^2}\). Weil \(\frac{3}{1-x^2}\geq3\), ist \(f(x)\geq4\); Gleichheit gilt bei \(x=0\). Für \(x\to\pm1\) von innen wächst \(f(x)\) gegen \(+\infty\). Der innere Ast liefert daher \([4;\infty[\). 4. Insgesamt ist \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\) \(W_f=]-\infty;1[\cup[4;\infty[\)

- Versuche, den Funktionsterm als Konstante plus einen einfachen Bruch zu schreiben. - Welche kleinsten und größten Werte kann der Nenner \(x^2+1\) annehmen? - Unterscheide zwischen einem Wert, der tatsächlich erreicht wird, und einem Grenzwert, dem sich der Graph nur annähert.

1. Es gilt \(h(x)=1+\frac{3}{x^2+1}\). 2. Für alle reellen \(x\) ist \(x^2+1\geq1\). Deshalb gilt \(0<\frac{3}{x^2+1}\leq3\). 3. Somit ist \(1<h(x)\leq4\). Der Wert \(4\) wird bei \(x=0\) angenommen. 4. Der Wert \(1\) wird nie angenommen, weil der Restbruch stets positiv ist. Für \(x\to\pm\infty\) gilt jedoch \(\frac{3}{x^2+1}\to0\), also nähert sich \(h(x)\) dem Wert \(1\). 5. Daher ist \(W_h=]1;4]\).

\(W_h=]1;4]\)

- Welche Werte darf man in eine Quadratwurzel einsetzen? - Welche Vorzeichen können Ergebnisse einer Quadratwurzel mit einem Minuszeichen davor annehmen? - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Was passiert, wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel quadrierst? Gehen dabei Informationen verloren?

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(64 - x^2 \geq 0\) führt zu \(x^2 \leq 64\), also \(|x| \leq 8\). Somit ist \(D_g = [-8; 8]\). 2. Wertemenge: Da die Wurzel stets nichtnegativ ist, ist \(-\sqrt{64 - x^2} \leq 0\). Der kleinste Wert wird bei \(x = 0\) erreicht: \(g(0) = -\sqrt{64} = -8\). Somit ist \(W_g = [-8; 0]\). 3. Geometrische Form: Da \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) der negative Teil der Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 64\) ist, handelt es sich um den unteren Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(r = 8\). 4. Symmetrie: \(g(-x) = -\sqrt{64 - (-x)^2} = -\sqrt{64 - x^2} = g(x)\). Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (gerade Funktion). 5. Gleichung erfüllen: Quadrieren von \(y = -\sqrt{64 - x^2}\) ergibt \(y^2 = 64 - x^2\), also \(x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht uneingeschränkt, da die Kreisgleichung auch Punkte mit positiven \(y\)-Werten (oberer Halbkreis) enthält, die nicht in der Wertemenge von \(g\) liegen.

a) \(D_g = [-8; 8]\), \(W_g = [-8; 0]\). b) Unterer Halbkreis um den Ursprung mit Radius \(8\). c) \(g(-x) = g(x)\), also achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. d) Quadrieren liefert \(y^2 = 64 - x^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 64\). Die Umkehrung gilt nicht, da die Kreisgleichung auch \(y > 0\) zulässt, \(g(x)\) aber nur Werte \(\leq 0\) liefert.

- Welche Bedingung muss der Radikand von \(\sqrt{f(x)}\) erfüllen? - Lies für a) nur die benötigten Werte von \(f\) am Graphen ab. - Formuliere für b) zuerst die Gleichung, die an einem Schnittpunkt von \(G_f\) und \(G_g\) gilt. - Welche möglichen Werte von \(f(x)\) ergeben sich aus dieser Gleichung?

1. Für \(g(x)=\sqrt{f(x)}\) muss \(f(x)\geq0\) gelten. Am Graphen liest man \(f(4)=-2{,}5\) ab. Deshalb gilt \(4\notin D_g\). 2. Am Graphen ist \(f(2)=1\). Daher gilt \(g(2)=\sqrt{1}=1\). 3. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=\sqrt{f(x)}\) und zugleich \(f(x)\geq0\). Quadrieren ergibt \(f(x)^2=f(x)\), also \(f(x)(f(x)-1)=0\). 4. Gesucht sind damit die Stellen, an denen \(f(x)=0\) oder \(f(x)=1\) gilt. Im Graphen liest man dafür \(x=-3,-2,-1,1,2,3\) ab.

a) \(f(4)=-2{,}5<0\), also \(4\notin D_g\). Außerdem ist \(g(2)=1\). b) Die \(x\)-Koordinaten sind \(-3,-2,-1,1,2,3\).

- Die Definitionsmenge umfasst alle \(x\)-Werte, für die der Graph gezeichnet ist. - Die Wertemenge umfasst alle \(y\)-Werte, die vom Graphen „erreicht“ werden. - Wenn eine Transformation nur außerhalb der Funktionsklammer stattfindet, ändern sich nur die \(y\)-Werte. - Um eine Gleichung für \(q(x)\) mithilfe des Graphen von \(p\) zu lösen, kannst du die Gleichung zuerst nach \(p(x)\) umstellen.

1. Aus dem Graphen von \(p\) lässt sich ablesen: - Definitionsmenge: \(D_p = [-5; 3]\). - Wertemenge: \(W_p = [1; 4]\). 2. Transformation zu \(q(x) = \frac{1}{2} \cdot p(x) - 2\): - Da keine Änderung im Argument von \(p\) erfolgt, bleibt die Definitionsmenge gleich: \(D_q = D_p = [-5; 3]\). - Die Wertemenge wird in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(0{,}5\) gestaucht und um \(2\) Einheiten nach unten verschoben: Untere Grenze: \(1 \cdot 0{,}5 - 2 = -1{,}5\) Obere Grenze: \(4 \cdot 0{,}5 - 2 = 0\) Somit ist \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Suche der Stellen mit \(q(x) = -1\): \(\frac{1}{2} \cdot p(x) - 2 = -1 \Leftrightarrow p(x) = 2\). Im Graphen von \(p\) wird der Wert \(2\) bei \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) angenommen.

1. \(D_p = [-5; 3]\), \(W_p = [1; 4]\). 2. \(D_q = [-5; 3]\), \(W_q = [-1{,}5; 0]\). 3. Die Bedingung \(q(x) = -1\) ist äquivalent zu \(p(x) = 2\). Dies ist laut Graph für \(x = -4\), \(x = 0\) und \(x = 3\) der Fall.

- Setze den Funktionsterm gleich einer Variablen \(y\) und löse die entstehende Gleichung nach \(x\) auf. - Bei welchem Wert von \(y\) scheitert dieses Auflösen? - Prüfe zusätzlich, ob der berechnete \(x\)-Wert jemals die ausgeschlossene Definitionsstelle \(-4\) sein kann. - Was ergibt die ursprüngliche Gleichung direkt für den besonderen Wert, bei dem das Auflösen scheitert?

1. Setze \(y=\frac{3x}{x+4}\) und untersuche, für welche Werte von \(y\) die Gleichung nach \(x\) lösbar ist. 2. Aus \(y(x+4)=3x\) folgt \(yx+4y=3x\) und damit \(x(y-3)=-4y\). 3. Für \(y\neq 3\) erhält man \(x=\frac{-4y}{y-3}\). 4. Dieser Wert ist für jedes \(y\neq 3\) reell und niemals \(-4\): Die Annahme \(-4=\frac{-4y}{y-3}\) würde auf \(12=0\) führen. 5. Für \(y=3\) ergibt die ursprüngliche Gleichung \(3(x+4)=3x\), also den Widerspruch \(12=0\). Daher wird \(3\) nicht angenommen, jeder andere reelle Wert dagegen schon. 6. Somit gilt \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

Aus \(y=\frac{3x}{x+4}\) folgt für \(y\neq 3\) der zulässige Wert \(x=\frac{-4y}{y-3}\). Für \(y=3\) entsteht ein Widerspruch. Daher ist \(W_h=\mathbb{R}\setminus\{3\}\).

- Welche Werte dürfen bei einer Kehrwertfunktion nicht im Nenner auftreten? - Formuliere die Bedingung für einen Schnittpunkt zunächst nur mit \(f(x)\) und \(\frac{1}{f(x)}\). - Überlege, welche reellen Zahlen mit ihrem eigenen Kehrwert übereinstimmen, und suche anschließend die entsprechenden Höhen im Graphen von \(f\).

1. Die Definitionsmenge \(D_g\) umfasst alle \(x\), für die \(f(x)\neq0\) gilt. Da \(f(0)=0\) ist, wäre eine Division durch null nötig; daher ist \(0\notin D_g\). 2. Aus der Abbildung liest man \(f(2)=3\) ab. Damit ist \(g(2)=\frac{1}{3}\). 3. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)=\frac{1}{f(x)}\). Wegen \(f(x)\neq0\) ist dies äquivalent zu \(f(x)^2=1\), also \(f(x)=1\) oder \(f(x)=-1\). 4. Der Graph von \(f\) nimmt den Wert \(1\) bei \(x=1\) und den Wert \(-1\) bei \(x=-1\) an. Daher lauten die gesuchten \(x\)-Koordinaten \(-1\) und \(1\).

a) Weil \(f(0)=0\) gilt, ist \(g(0)\) nicht definiert; also ist \(0\notin D_g\). Außerdem ist \(g(2)=\frac{1}{3}\). b) Die Schnittpunkte haben die \(x\)-Koordinaten \(x=-1\) und \(x=1\).

- In welchem Bereich darf der Wert unter einer Quadratwurzel liegen? - Für b) brauchst du zuerst den passenden Wert von \(f\) aus dem Graphen. - Stelle für c) eine Gleichung für einen gemeinsamen Punkt von \(G_f\) und \(G_h\) auf. - Vereinfache diese Gleichung algebraisch, bevor du die passenden Stellen am Graphen suchst.

1. Für \(h(x)=\sqrt{f(x)}\) muss \(f(x)\geq0\) gelten. Der Graph von \(f\) liegt für \(x\in[0;2]\) auf oder oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(D_h=[0;2]\). 2. Es ist \(f(1)=1\). Damit gilt \(h(1)=\sqrt{1}=1\). 3. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=\sqrt{f(x)}\). Quadrieren unter der Bedingung \(f(x)\geq0\) ergibt \(f(x)^2=f(x)\), also \(f(x)(f(x)-1)=0\). 4. Am Graphen liest man die passenden Stellen ab: \(x=0\), \(x=1\) und \(x=2\).

a) \(D_h=[0;2]\). b) \(h(1)=1\). c) An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=\sqrt{f(x)}\), also \(f(x)\in\{0;1\}\). Am Graphen liegen diese Werte bei \(x=0\), \(x=1\) und \(x=2\).

- Suche eine gleichwertige Form des Radikanden, an der du seinen kleinsten möglichen Wert direkt erkennst. - Welche Werte kann der veränderliche nichtnegative Teil dieser Form annehmen? - Wie wirkt sich die Quadratwurzel auf diese Werte aus?

1. Durch quadratische Ergänzung erhält man für den Radikanden \(x^2-2x+5=(x-1)^2+4\). 2. Da \((x-1)^2\ge0\) gilt und jeden nichtnegativen Wert annehmen kann, nimmt der Radikand genau alle Werte aus \([4;+\infty[\) an. 3. Die Quadratwurzelfunktion ist für nichtnegative Eingaben streng monoton steigend. Daher entstehen aus den Radikandenwerten \([4;+\infty[\) genau die Funktionswerte \([2;+\infty[\). 4. Somit ist \(W_f=[2;+\infty[\).

\(W_f=[2;+\infty[\). Denn \(x^2-2x+5=(x-1)^2+4\geq4\). Der Radikand nimmt alle Werte ab \(4\) an; nach dem Wurzelziehen entstehen genau alle Werte ab \(2\).

- Welche Werte kann der Nenner \(x^2+2\) annehmen? - Welcher Nennerwert erzeugt den größten Funktionswert, und was passiert für große \(|x|\)? - Welche Beziehung zwischen \(h(-x)\) und \(h(x)\) kennzeichnet Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse?

1. Da \(x^2+2\ge2\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, wird der Nenner nie null. Somit ist \(D_h=\mathbb{R}\). 2. Der Nenner ist bei \(x=0\) minimal und hat dort den Wert \(2\). Deshalb ist \(h(0)=3\) der größte Funktionswert. Für \(x\to\pm\infty\) wächst der Nenner unbegrenzt, sodass \(h(x)\to0\), ohne dass der Wert \(0\) angenommen wird. Daher ist \(W_h=]0;3]\). 3. Es gilt \(h(-x)=\frac{6}{(-x)^2+2}=\frac{6}{x^2+2}=h(x)\). Damit ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.

a) \(D_h=\mathbb{R}\); \(W_h=]0;3]\) b) \(h(-x)=h(x)\); daher Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse

- Was muss für ein beliebiges \(y\) gelten, damit es Element der Wertemenge ist? - Kannst du die Funktionsgleichung so umstellen, dass eine quadratische Gleichung in \(x\) entsteht? - Überlege, unter welcher Bedingung eine quadratische Gleichung mindestens eine reelle Lösung besitzt. - Vergiss nicht zu prüfen, ob der Fall \(y = 0\) eine Sonderrolle spielt.

1. Setze \(y = f(x)\) und multipliziere mit dem Nenner: \(y(x^2 - 4) = 3x\). 2. Forme die Gleichung in eine quadratische Form bezüglich \(x\) um: \(yx^2 - 3x - 4y = 0\). 3. Betrachte den Fall \(y = 0\): Die Gleichung vereinfacht sich zu \(-3x = 0\), woraus \(x = 0\) folgt. Da \(0 \in D_f\), ist \(0 \in W_f\). 4. Betrachte den Fall \(y \neq 0\): Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = (-3)^2 - 4 \cdot y \cdot (-4y) = 9 + 16y^2\). 5. Da \(16y^2 \geq 0\) für alle reellen Zahlen \(y\) gilt, ist \(D \geq 9 > 0\). Somit existiert für jedes \(y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) mindestens eine reelle Lösung für \(x\). 6. Eine Überprüfung zeigt, dass die Lösungen \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16y^2}}{2y}\) niemals die Definitionslücken \(\pm 2\) erreichen (Eingesetzt in die Gleichung ergibt \(x = \pm 2\) stets den Widerspruch \(\pm 6 = 0\)). Folglich ist jeder Wert \(y \in \mathbb{R}\) ein Funktionswert.

Durch das Aufstellen der Gleichung \(y = f(x)\) und die Untersuchung der Diskriminante \(D = 9 + 16y^2\) der resultierenden quadratischen Gleichung in \(x\) zeigt sich, dass für jedes reelle \(y\) ein Urbild \(x\) existiert. Da die Definitionslücken von \(f\) dabei nicht als Lösungen auftreten, ist die Wertemenge \(W_f = \mathbb{R}\).

- Welche Form des Zählers macht sein Vorzeichen sofort sichtbar? - Suche zuerst eine untere und eine obere Schranke für die Funktionswerte. - Wie kannst du prüfen, ob ein beliebiger Wert zwischen diesen Schranken tatsächlich angenommen wird? - Welche Bedingung muss die entstehende Gleichung in \(x\) erfüllen, damit der gewählte Wert vorkommt?

1. Der Nenner ist immer positiv, denn \(x^2+3>0\). Also ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Der Zähler ist \((x-3)^2\geq0\). Deshalb gilt \(f(x)\geq0\). Für \(x=3\) wird der Wert \(0\) angenommen. 3. Für die obere Schranke prüfen wir \(f(x)\leq4\). Weil der Nenner positiv ist, ist das gleichbedeutend mit \((x-3)^2\leq4(x^2+3)\). Nach dem Umformen erhält man \(0\leq3(x+1)^2\). Das gilt für alle \(x\). Für \(x=-1\) wird der Wert \(4\) angenommen. 4. Nun zeigen wir, dass jeder Wert \(y\in[0;4]\) tatsächlich angenommen wird. Aus \(y=f(x)\) folgt \((y-1)x^2+6x+3y-9=0\). 5. Für \(y\neq1\) hat diese quadratische Gleichung die Diskriminante \(\Delta=12y(4-y)\geq0\). Also gibt es mindestens eine reelle Lösung \(x\). Für \(y=1\) ergibt sich \(6x-6=0\), also \(x=1\). 6. Damit ist \(W_f=[0;4]\).

\(W_f=[0;4]\). Die Randwerte werden angenommen: \(f(3)=0\) und \(f(-1)=4\). Für \(y\in[0;4]\setminus\{1\}\) ist die entstehende Gleichung quadratisch und hat die Diskriminante \(\Delta=12y(4-y)\geq0\). Für \(y=1\) ergibt sich die lineare Gleichung \(6x-6=0\), also \(x=1\). Damit wird jeder Wert des Intervalls angenommen.

- Prüfe zuerst, welchen kleinsten Wert der Zähler annehmen kann und ob dieser Funktionswert tatsächlich erreicht wird. - Schreibe den Funktionsterm so um, dass eine Konstante minus ein positiver Bruch entsteht. - Um zu zeigen, dass kein Wert zwischen den Grenzen fehlt, setze \(k(x)=y\) und löse nach \(x^2\) auf. - Für welche Werte von \(y\) ist der dabei entstehende Ausdruck nichtnegativ?

1. Da \(x^2\ge 0\) und \(x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gelten, ist \(k(x)\ge 0\). Für \(x=0\) gilt \(k(0)=0\), also wird der Wert \(0\) angenommen. 2. Durch Umformen erhält man \(k(x)=2-\frac{2}{x^2+1}\). Da \(\frac{2}{x^2+1}>0\) gilt, ist stets \(k(x)<2\). Für große Beträge von \(x\) kann der Bruch beliebig klein werden, sodass die Funktionswerte beliebig nahe an \(2\) herankommen. 3. Sei nun \(y\in[0;2[\). Aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(y(x^2+1)=2x^2\) und damit \(x^2=\frac{y}{2-y}\). 4. Wegen \(0\le y<2\) ist \(\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher existiert mindestens ein reelles \(x\) mit \(x^2=\frac{y}{2-y}\), also wird jeder Wert aus \([0;2[\) angenommen. 5. Somit gilt genau \(W_k=[0;2[\).

Es gilt \(0\le k(x)<2\). Umgekehrt besitzt jedes \(y\in[0;2[\) ein Urbild, denn aus \(y=\frac{2x^2}{x^2+1}\) folgt \(x^2=\frac{y}{2-y}\ge 0\). Daher ist \(W_k=[0;2[\).