- Verfolge jeden Graphen von links und von rechts bis zur Stelle \(x=0\). - Bei einem Sprung treffen die beiden Seiten auf unterschiedliche Höhen. - Bei einer hebbaren Lücke treffen beide Seiten auf dieselbe Höhe, aber der Punkt dort fehlt oder der Funktionswert liegt an einer anderen Stelle.

1. Bei Graph a) verläuft der Graph ohne Unterbrechung durch \(x=0\). Er ist dort stetig. 2. Bei Graph b) nähert sich der linke Graphast bei \(x=0\) dem Wert \(0\), der rechte Graphast dem Wert \(2\). Wegen dieses Sprungs ist der Graph dort unstetig. 3. Bei Graph c) nähern sich beide Graphäste bei \(x=0\) dem Wert \(1\), aber der tatsächliche Funktionswert ist durch den ausgefüllten Punkt bei \((0|-1)\) festgelegt. Die Lücke bei \((0|1)\) ist daher hebbar.

a) stetig b) Sprungstelle c) hebbare Lücke

- Betrachte nur einen kleinen Bereich um \(x=1\): Welche Höhe wird von beiden Seiten angesteuert? - Der Grenzwert beschreibt die Annäherung; \(f(1)\) ist der tatsächlich angenommene Wert. Halte diese Größen getrennt. - Für Stetigkeit müssen die beiden Annäherungswerte und der tatsächliche Funktionswert zusammenpassen.

1. Von links nähert sich der Graph bei \(x=1\) dem Wert \(2\). 2. Von rechts nähert sich der Graph ebenfalls dem Wert \(2\). 3. Außerdem gilt \(f(1)=2\). 4. Beide einseitigen Grenzwerte und der Funktionswert stimmen überein. Daher ist \(f\) bei \(x=1\) stetig.

Linksseitiger Grenzwert: \(2\). Rechtsseitiger Grenzwert: \(2\). \(f(1)=2\). Die Funktion ist bei \(x=1\) stetig.

- Halte das Verhalten links von \(0\), rechts von \(0\) und den Wert an der Stelle selbst getrennt. - Für Stetigkeit müssen die beiden einseitigen Grenzwerte zunächst miteinander übereinstimmen. - Überlege, ob ein einzelner Funktionswert einen Unterschied zwischen zwei einseitigen Grenzwerten ausgleichen kann.

1. Von links nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(1\). Daher ist der linksseitige Grenzwert \(1\). 2. Von rechts nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(3\). Daher ist der rechtsseitige Grenzwert \(3\). 3. Die beiden einseitigen Grenzwerte sind verschieden. Deshalb ist \(h\) bei \(x=0\) nicht stetig; dort liegt eine Sprungstelle vor. 4. Der Funktionswert \(h(0)=2\) ändert nichts daran, dass die beiden einseitigen Grenzwerte verschieden sind.

Linksseitiger Grenzwert: \(1\). Rechtsseitiger Grenzwert: \(3\). \(h(0)=2\). Die Funktion ist bei \(x=0\) nicht stetig; dort liegt eine Sprungstelle vor.

- Welche drei Werte musst du für Stetigkeit an \(x=0\) vergleichen? - Lies das Verhalten von links und von rechts getrennt ab. - Entscheide erst nach diesem Vergleich, ob der sichtbare Knick eine Unstetigkeit bedeutet.

1. Von links nähert sich der Graph bei \(x=0\) dem Wert \(0\). 2. Von rechts nähert er sich ebenfalls dem Wert \(0\). 3. Es gilt \(f(0)=0\). 4. Damit stimmen beide einseitigen Grenzwerte und der Funktionswert überein. Die Funktion ist bei \(x=0\) stetig. Die Aussage ist falsch.

Linksseitiger Grenzwert: \(0\). Rechtsseitiger Grenzwert: \(0\). \(f(0)=0\). Die Aussage ist falsch; \(f\) ist bei \(x=0\) stetig.

- Verfolge den linken Graphenast bis möglichst nahe an die Nahtstelle. Welche Höhe wird dort angenähert? - Achte auf den offenen und den ausgefüllten Punkt bei \(x=0\). - Vergleiche die Höhe, die von links angenähert wird, mit der Höhe des rechten Astes und dem tatsächlichen Funktionswert.

1. Der linke Graphenast nähert sich beim Herangehen an \(x=0\) dem Punkt \((0\mid 1)\); dieser Punkt ist wegen \(x<0\) nicht enthalten. 2. Der rechte Graphenast beginnt bei dem ausgefüllten Punkt \((0\mid 2)\). Daher ist \(g(0)=2\), und auch von rechts nähern sich die Funktionswerte dem Wert \(2\). 3. Links und rechts werden an der Nahtstelle verschiedene Höhen erreicht: links \(1\), rechts \(2\). Der Graph weist bei \(x=0\) einen Sprung auf und ist dort nicht stetig.

\(g\) ist bei \(x=0\) nicht stetig. Von links nähert sich der Graph dem Wert \(1\), von rechts dem Wert \(2\), und \(g(0)=2\). Es liegt ein Sprung vor.

- Verfolge an jeder Nahtstelle den Graphen von links und von rechts. Treffen beide Äste an derselben Höhe zusammen? - Berechne die Randwerte der jeweils angrenzenden Teilfunktionen nur zur Kontrolle des Bildes. - Achte darauf, welcher Teil der Funktionsvorschrift den Punkt an der Nahtstelle tatsächlich enthält.

1. Bei \(x=2\) nähert sich der linke Parabelast dem Wert \(2^2-1=3\). Der mittlere Ast beginnt mit \(1{,}5\cdot 2=3\), und der Punkt \((2\mid 3)\) gehört wegen \(2\le x\) zum Graphen. Die Äste treffen lückenlos zusammen; \(f\) ist dort stetig. 2. Bei \(x=4\) nähert sich der mittlere Ast dem Wert \(1{,}5\cdot 4=6\). Der rechte Ast beginnt mit \(\sqrt{4}+4=6\), und der Punkt \((4\mid 6)\) gehört wegen \(x\ge 4\) zum Graphen. Auch hier treffen die Äste lückenlos zusammen; \(f\) ist stetig.

\(f\) ist sowohl bei \(x=2\) als auch bei \(x=4\) stetig. Die angrenzenden Graphenäste treffen dort jeweils bei \(y=3\) beziehungsweise \(y=6\) zusammen.

- „Angefangene \(100\,\text{cm}^3\)“ bedeutet, dass schon eine kleine Überschreitung eines Hunderterwerts den nächsten Block auslöst. - Achte im Graphen auf offene und ausgefüllte Punkte an den Enden der waagerechten Stufen. - An welchen \(V\)-Werten springt der Graph von einer Stufe auf die nächste?

1. Bei \(V=1200\,\text{cm}^3\) werden genau \(12\) angefangene Hunderterblöcke berechnet. Daher ist \(H(1200)=12\cdot 2{,}00\,\text{€}=24{,}00\,\text{€}\). 2. Bei \(1201\,\text{cm}^3\) hat der \(13.\) Hunderterblock bereits begonnen. Daher ist \(H(1201)=26{,}00\,\text{€}\). Dasselbe gilt für \(1299\,\text{cm}^3\), also \(H(1299)=26{,}00\,\text{€}\). 3. Der Graph besteht aus waagerechten Stufen. Unmittelbar nach jedem ganzzahligen Vielfachen von \(100\,\text{cm}^3\) springt der Funktionswert um \(2{,}00\,\text{€}\). Daher ist die Funktion an diesen Stellen nicht stetig. 4. Im Intervall \([1100;1400]\) liegen die Sprungstellen bei \(V=1100\), \(1200\), \(1300\) und \(1400\).

a) \(H(1200)=24{,}00\,\text{€}\), \(H(1201)=26{,}00\,\text{€}\), \(H(1299)=26{,}00\,\text{€}\). b) \(H\) ist eine Treppenfunktion und an den Sprungstellen nicht stetig. Im Intervall \([1100;1400]\) liegen diese bei \(1100\), \(1200\), \(1300\) und \(1400\,\text{cm}^3\).

- Vergleiche bei jedem Graphen die Höhe, der sich der linke und der rechte Graphenteil nähert. - Achte auf offene und ausgefüllte Punkte, wenn du den tatsächlichen Funktionswert bestimmst. - Stetigkeit verlangt, dass die beiden Annäherungswerte und der Funktionswert übereinstimmen.

1. Bei \(f\) nähert sich der linke Graphenteil an \(x=1\) der Höhe \(1\), der rechte Graphenteil der Höhe \(-1\). Der ausgefüllte Punkt zeigt \(f(1)=1\). Die beiden einseitigen Werte sind verschieden; daher ist \(f\) dort nicht stetig. 2. Bei \(g\) nähern sich beide Graphenteile an \(x=1\) der Höhe \(0\). Außerdem gilt \(g(1)=0\). Deshalb ist \(g\) bei \(x=1\) stetig.

a) Von links \(1\), von rechts \(-1\), \(f(1)=1\). Daher ist \(f\) bei \(x=1\) nicht stetig. b) Von links und von rechts nähert sich \(g\) dem Wert \(0\), und \(g(1)=0\). Daher ist \(g\) bei \(x=1\) stetig.

- Offene Kreise gehören nicht zum Graphen; ausgefüllte Punkte geben den tatsächlichen Funktionswert an. - Vergleiche an jeder auffälligen Stelle die Höhe, der sich der Graph von links nähert, mit der Höhe von rechts. - Prüfe danach, wie diese beiden Werte zum tatsächlichen Funktionswert passen. - Vergleiche deine drei Werte mit den Definitionen der beiden Unstetigkeitsarten.

1. Die ausgefüllten Punkte liefern \(f(-2)=3\) und \(f(1)=0\). 2. Bei \(x=-2\) nähern sich beide angrenzenden Graphenteile der Höhe \(1\). Der tatsächliche Funktionswert ist aber \(f(-2)=3\). Die beiden einseitigen Grenzwerte stimmen also überein, aber nicht mit dem Funktionswert. Das ist eine hebbare Unstetigkeit. 3. Bei \(x=1\) nähert sich der linke Graphenteil der Höhe \(2{,}5\), der rechte Graphenteil der Höhe \(0\). Der tatsächliche Funktionswert ist \(f(1)=0\). Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden. Das ist eine Sprungstelle.

a) \(f(-2)=3\), \(f(1)=0\). b) Bei \(x=-2\): von links \(1\), von rechts \(1\), \(f(-2)=3\); hebbare Unstetigkeit. Bei \(x=1\): von links \(2{,}5\), von rechts \(0\), \(f(1)=0\); Sprungstelle.

- Prüfe an jeder Stelle zuerst, ob der Graph dort eine Lücke oder einen Sprung hat. - Achte bei \(x=-1\) besonders auf den ausgefüllten Punkt und den offenen Kreis. - Ein Knick allein bedeutet nicht, dass eine Funktion unstetig ist.

1. Bei \(x_1=-1\) ist \(f\) nicht stetig. Von links nähert sich der Graph dem Wert \(2\); der ausgefüllte Punkt zeigt außerdem \(f(-1)=2\). Von rechts nähert sich der Graph dagegen dem Wert \(0\). Es liegt ein Sprung vor. 2. Bei \(x_2=1\) ist \(f\) stetig. Der Graph verläuft dort ohne Lücke oder Sprung durch den Punkt \((1|2)\). 3. Bei \(x_3=2\) ist \(f\) stetig. Beide Graphenteile treffen sich bei \((2|1{,}5)\). Der sichtbare Knick ändert daran nichts.

a) Bei \(x=-1\) ist \(f\) wegen eines Sprungs nicht stetig. b) Bei \(x=1\) ist \(f\) stetig. c) Bei \(x=2\) ist \(f\) trotz des Knicks stetig.

- Vergleiche an jeder Stelle zuerst die Höhe, der sich der Graph von links und von rechts nähert. - Prüfe danach den tatsächlich ausgefüllten Funktionswert. - Nutze die Definitionen von Stetigkeit und hebbarer Unstetigkeit, um deine drei Werte einzuordnen.

1. Bei \(x=0\) endet die Sinuskurve bei \((0\mid0)\), und das anschließende konstante Teilstück beginnt am selben Punkt. Von links und von rechts nähert sich der Graph dem Wert \(0\), und es gilt \(p(0)=0\). Deshalb ist \(p\) bei \(x=0\) stetig. 2. Bei \(x=2\) nähern sich die Graphenteile von links und von rechts beide der Höhe \(0\). Der tatsächliche Funktionswert ist aber \(p(2)=1\). Deshalb liegt bei \(x=2\) eine hebbare Unstetigkeit vor.

Bei \(x=0\): von links \(0\), von rechts \(0\), \(p(0)=0\); stetig. Bei \(x=2\): von links \(0\), von rechts \(0\), \(p(2)=1\); hebbare Unstetigkeit.

- Prüfe, ob die Graphenteile an jeder untersuchten Stelle ohne Lücke oder Sprung zusammenpassen. - Ein Knick allein macht eine Funktion nicht unstetig. - Vergleiche bei \(x=2\) die Höhen, die der linke und der rechte Graphenteil an der Nahtstelle erreichen.

1. Bei \(x_1=0\) treffen die beiden Kurventeile im Punkt \((0|2)\) ohne Lücke oder Sprung zusammen. Der Knick beeinflusst die Stetigkeit nicht. Daher ist \(h\) dort stetig. 2. Bei \(x_2=2\) endet der linke Graphenteil beim ausgefüllten Punkt \((2|1{,}2)\), während der rechte Graphenteil sich der Höhe \(3\) nähert. Wegen dieses Sprungs ist \(h\) dort nicht stetig. 3. Bei \(x_3=4\) verläuft der Graph als durchgehende Gerade ohne Unterbrechung. Daher ist \(h\) dort stetig.

\(h\) ist bei \(x_1=0\) und \(x_3=4\) stetig. Bei \(x_2=2\) ist \(h\) wegen eines Sprungs nicht stetig.

- Welcher Höhe nähert sich der Graph von links und von rechts? - Welchen Wert zeigt der ausgefüllte Punkt bei \(x=2\)? - Welcher Wert müsste mit den beiden Annäherungswerten übereinstimmen, damit Stetigkeit vorliegt?

1. Von links und von rechts nähert sich der Graph bei \(x=2\) der Höhe \(3\). 2. Der ausgefüllte Punkt zeigt aber \(g(2)=1\). Deshalb stimmen Grenzwert und Funktionswert nicht überein; \(g\) ist bei \(x=2\) nicht stetig. 3. Für Stetigkeit müsste der Funktionswert ebenfalls \(3\) sein. Also müsste \(g(2)=3\) gelten.

a) \(g\) ist bei \(x=2\) nicht stetig: Von beiden Seiten nähert sich der Graph der Höhe \(3\), aber \(g(2)=1\). b) Es müsste \(g(2)=3\) gelten.

- Lies für jede Stelle getrennt ab, welcher Höhe sich der Graph von links und von rechts nähert. - Vergleiche diese beiden Werte anschließend mit dem ausgefüllten Funktionswert. - Nutze danach die Definitionen von Stetigkeit, hebbarer Unstetigkeit und Sprungstelle für die Einordnung.

1. Bei \(x_1=1\) nähern sich die beiden angrenzenden Graphenteile von links und von rechts der Höhe \(2\). Der tatsächliche Funktionswert ist aber \(f(1)=1\). Die beiden einseitigen Grenzwerte stimmen also überein, aber nicht mit dem Funktionswert. Deshalb liegt bei \(x=1\) eine hebbare Unstetigkeit vor. 2. Bei \(x_2=3\) nähert sich der linke Graphenteil der Höhe \(3\), der rechte Graphenteil der Höhe \(1\). Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden. Deshalb liegt bei \(x=3\) eine Sprungstelle vor. 3. Beide Stellen sind nicht stetig, aber aus unterschiedlichen Gründen: Bei einer hebbaren Unstetigkeit stimmen die beiden einseitigen Grenzwerte überein; bei einer Sprungstelle nicht.

Bei \(x=1\): von links \(2\), von rechts \(2\), \(f(1)=1\); hebbare Unstetigkeit. Bei \(x=3\): von links \(3\), von rechts \(1\), \(f(3)=3\); Sprungstelle.

- Betrachte getrennt, welcher Höhe sich der linke und der rechte Graphast bei \(x=2\) nähern. - Für Stetigkeit müssen die beiden Seiten und der tatsächliche Funktionswert an derselben Stelle zusammenpassen. - Der offene Kreis zeigt dir, welcher Punkt derzeit im Graphen fehlt.

1. Von links nähert sich der Graph bei \(x=2\) dem Wert \(3\). 2. Von rechts nähert sich der Graph ebenfalls dem Wert \(3\). 3. Damit die Funktion an dieser Stelle ohne Lücke verläuft, muss der tatsächliche Funktionswert genau diesem gemeinsamen Wert entsprechen. 4. Daher muss \(f(2)=3\) festgelegt werden.

\(f(2)=3\)

- Betrachte zunächst nur die Vorschrift, die für \(x\neq1\) gilt. - Welchem Wert nähert sich \(x+1\), wenn \(x\) von links und von rechts gegen \(1\) geht? - Vergleiche diesen Annäherungswert mit dem festgelegten Wert \(g(1)\).

1. Für \(x\neq1\) gilt \(g(x)=x+1\). 2. Für \(x\to1\) von links nähert sich \(x+1\) dem Wert \(2\). Der linksseitige Grenzwert ist also \(2\). 3. Auch für \(x\to1\) von rechts nähert sich \(x+1\) dem Wert \(2\). Der rechtsseitige Grenzwert ist ebenfalls \(2\). 4. Gleichzeitig gilt \(g(1)=4\). 5. Die einseitigen Grenzwerte stimmen überein, aber nicht mit dem Funktionswert. Daher ist \(g\) bei \(x=1\) nicht stetig; dort liegt eine hebbare Unstetigkeit vor.

Linksseitiger Grenzwert: \(2\). Rechtsseitiger Grenzwert: \(2\). \(g(1)=4\). Die Funktion ist bei \(x=1\) nicht stetig; dort liegt eine hebbare Unstetigkeit vor.

- Prüfe an jeder Stelle zuerst, ob sich der Graph von links und von rechts demselben Wert nähert. - Welche Teile des Graphen ändern sich, wenn du nur einen einzelnen Funktionswert änderst? - Wenn eine Reparatur möglich ist, welcher Wert muss dann mit den beiden Grenzwerten übereinstimmen?

1. Bei \(x=-1\) nähern sich die Graphenteile von links und von rechts beide dem Wert \(2\). Der tatsächliche Funktionswert ist \(f(-1)=0\). 2. Ändert man nur den Funktionswert zu \(f(-1)=2\), stimmen beide einseitigen Grenzwerte und der Funktionswert überein. Die Funktion ist dort dann stetig. 3. Bei \(x=2\) nähert sich der Graph von links dem Wert \(1\) und von rechts dem Wert \(3\). 4. Diese beiden Grenzwerte sind verschieden. Eine Änderung nur von \(f(2)\) kann daran nichts ändern. Daher lässt sich die Sprungstelle so nicht beseitigen.

Bei \(x=-1\) ist die Reparatur möglich: Setze \(f(-1)=2\). Bei \(x=2\) reicht eine Änderung von \(f(2)\) nicht, weil die einseitigen Grenzwerte \(1\) und \(3\) verschieden sind.

- Welche Zeile der Definition gilt knapp links von \(x=2\)? - Welche Zeile gilt knapp rechts von \(x=2\)? - Lies den tatsächlichen Funktionswert aus der Zeile für \(x=2\) ab. - Vergleiche anschließend die drei Ergebnisse miteinander.

1. Für \(x<2\) gilt \(f(x)=2x-1\). Daher ist der linksseitige Grenzwert bei \(x=2\) gleich \(3\). 2. Für \(x>2\) gilt \(f(x)=-x+5\). Daher ist der rechtsseitige Grenzwert ebenfalls \(3\). 3. Aus der mittleren Zeile folgt \(f(2)=4\). 4. Die beiden einseitigen Grenzwerte stimmen überein, aber der Funktionswert ist verschieden. Daher liegt eine hebbare Unstetigkeit vor. 5. Für Stetigkeit müssen alle drei Werte gleich sein. Deshalb muss man \(f(2)=3\) festlegen.

a) Linksseitiger Grenzwert: \(3\); rechtsseitiger Grenzwert: \(3\); \(f(2)=4\). b) Nicht stetig; hebbare Unstetigkeit. c) \(f(2)=3\).

- Ordne für Teil a) jeden Messwert dem richtigen Abschnitt der Funktionsvorschrift zu. - Verfolge im Graphen die beiden Geradenstücke bis zur Stelle \(x=115\). Treffen sie auf derselben Höhe zusammen? - Berechne die Randhöhe beider angrenzender Formeln zur Kontrolle. - Beschreibe bei der Interpretation nur eine Eigenschaft des Modells, nicht eine Bewertung seiner Fairness.

1. Für \(x=115\) gilt der zweite Abschnitt: \(T(115)=2(115-95)=40\,\text{€}\). 2. Für \(x=125\) gilt der dritte Abschnitt: \(T(125)=2{,}20(125-115)+40=62\,\text{€}\). 3. Am Übergang \(x=115\) erreicht der zweite Abschnitt den Wert \(40\), und der dritte Abschnitt beginnt ebenfalls bei der Höhe \(2{,}20(115-115)+40=40\). Im Graphen treffen beide Abschnitte ohne Sprung zusammen. Daher ist das Modell bei \(x=115\) stetig. 4. Im Modell bedeutet das: Wird \(x\) in der Nähe von \(115\) nur sehr wenig verändert, entsteht dadurch kein plötzlicher Sprung des modellierten Gebührenbetrags.

a) \(T(115)=40\,\text{€}\), \(T(125)=62\,\text{€}\). b) Bei \(x=115\) liegt kein Sprung vor; beide angrenzenden Abschnitte treffen bei \(40\,\text{€}\) zusammen. Das Modell ist dort stetig. c) Kleine Änderungen von \(x\) nahe \(115\) verursachen im Modell keinen abrupten Gebührensprung.

- Verfolge an jeder Nahtstelle beide angrenzenden Graphenäste bis möglichst nahe an denselben \(x\)-Wert. - Achte besonders bei \(x=3\) auf den ausgefüllten und den offenen Punkt. - Berechne die Randwerte der Teilfunktionen nur als Kontrolle dessen, was du im Graphen siehst.

1. Bei \(x=-2\) nähert sich der linke Geradenast dem Wert \(-2+5=3\). Der mittlere Parabelast besitzt dort den Wert \((-2)^2-1=3\). Beide Äste treffen bei \((-2\mid 3)\) zusammen; die Funktion ist dort stetig. 2. Bei \(x=3\) erreicht der mittlere Ast den Wert \(3^2-1=8\), und wegen \(x\le 3\) gilt \(g(3)=8\). Der rechte Ast nähert sich dagegen beim Herangehen an \(3\) dem Wert \(\frac{18}{3}=6\). 3. Da bei \(x=3\) die angenäherten Höhen \(8\) und \(6\) verschieden sind, liegt dort ein Sprung vor. Die Funktion ist bei \(x=3\) nicht stetig.

Bei \(x=-2\) ist \(g\) stetig; beide Äste treffen bei \(y=3\) zusammen und \(g(-2)=3\). Bei \(x=3\) ist \(g\) nicht stetig: Der mittlere Ast liegt bei \(y=8\), der rechte Ast nähert sich \(y=6\), und \(g(3)=8\).

- Achte bei den Gewichten genau auf „bis einschließlich“ und „über“. - Übertrage jede Preisstufe in ein eigenes Intervall der abschnittsweisen Funktion. - Im Graphen zeigen der ausgefüllte und der offene Punkt bei \(w=5\), welcher Preis genau an der Grenze gilt und welcher unmittelbar danach.

1. Für \(1{,}8\,\text{kg}\) gilt \(K=4{,}95\,\text{€}\). Für \(5{,}0\,\text{kg}\) gilt noch der zweite Preis, also \(6{,}95\,\text{€}\). Für \(5{,}1\,\text{kg}\) gilt bereits der dritte Preis, also \(10{,}45\,\text{€}\). 2. Es gilt \(K(w)=\begin{cases}4{,}95&\text{für }0<w\le 2\\6{,}95&\text{für }2<w\le 5\\10{,}45&\text{für }5<w\le 10\\18{,}45&\text{für }10<w\le 31{,}5\end{cases}\), wobei die Werte in Euro angegeben sind. 3. Unmittelbar links von \(w=5\) liegt der Graph auf der Höhe \(6{,}95\); unmittelbar rechts liegt er auf \(10{,}45\). Der ausgefüllte Punkt bei \(w=5\) zeigt \(K(5)=6{,}95\,\text{€}\). 4. Da die beiden Seiten verschiedene Höhen besitzen, liegt bei \(w=5\) ein Sprung vor. Die Funktion ist dort nicht stetig.

a) \(4{,}95\,\text{€}\), \(6{,}95\,\text{€}\), \(10{,}45\,\text{€}\). b) \(K(w)=\begin{cases}4{,}95&0<w\le 2\\6{,}95&2<w\le 5\\10{,}45&5<w\le 10\\18{,}45&10<w\le 31{,}5\end{cases}\) in Euro. c) Nicht stetig bei \(w=5\): links \(6{,}95\,\text{€}\), rechts \(10{,}45\,\text{€}\), und \(K(5)=6{,}95\,\text{€}\).