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- Prüfe, ob der Ausdruck die Form „Quadrat minus Quadrat“ hat. - Multipliziere deine beiden Faktoren zur Kontrolle wieder aus.

1. \(x^2-9\) ist eine Differenz von Quadraten. Daher gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

\((x-3)(x+3)\)

- Suche einen Faktor, der in beiden Summanden vorkommt. - Prüfe nach dem Ausklammern durch Ausmultiplizieren.

1. Beide Summanden enthalten den Faktor \(3x\). Deshalb gilt \(3x^2+6x=3x(x+2)\).

\(3x(x+2)\)

- Erkennst du im Zähler eine Struktur, die zu einer der binomischen Formeln passt? - Kannst du im Nenner zuerst eine Zahl ausklammern, bevor du eine weitere Formel anwendest? - Welche Werte für \(x\) würden dazu führen, dass man durch Null teilt? Diese müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. - Welche Klammerausdrücke kommen sowohl oben als auch unten im Bruch vor?

1. Den Zähler mithilfe der zweiten binomischen Formel faktorisieren: \(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\). 2. Im Nenner die \(4\) ausklammern und anschließend die dritte binomische Formel anwenden: \(4x^2 - 36 = 4(x^2 - 9) = 4(x-3)(x+3)\). 3. Die Nullstellen des Nenners ermitteln (\(x = 3\) und \(x = -3\)), woraus die maximale Definitionsmenge \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\) folgt. 4. Den gemeinsamen Faktor \((x-3)\) im Zähler und Nenner kürzen, um den vereinfachten Term \(f(x) = \frac{x-3}{4(x+3)}\) zu erhalten.

a) \(f(x) = \frac{(x-3)^2}{4(x-3)(x+3)}\) b) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); gekürzter Term: \(f(x) = \frac{x-3}{4(x+3)}\)

- Untersuche, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Behalte beim Kürzen die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms im Blick. - Welche Vielfachheit hat der Nennerfaktor, der nach dem Kürzen übrig bleibt?

1. Der Zähler lässt sich als \(2x+4=2(x+2)\) schreiben. Damit gilt für \(x\neq -2\): \(g(x)=\frac{2(x+2)}{(x+2)^2}=\frac{2}{x+2}\). 2. Aus dem ursprünglichen Nenner folgt die Definitionslücke \(x=-2\). 3. Nach dem Kürzen bleibt der Faktor \((x+2)\) einmal im Nenner erhalten. Deshalb ist \(x=-2\) eine Polstelle. 4. Die verbleibende Nennernullstelle hat die ungerade Vielfachheit \(1\). Daher wechselt der Graph an der Polstelle das Vorzeichen.

Der gekürzte Term lautet für \(x\neq -2\): \(g(x)=\frac{2}{x+2}\). Die einzige Definitionslücke \(x=-2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Welche bekannte Produktstruktur kann dir helfen, den Zähler vollständig zu faktorisieren? - Vergleiche die Anzahl der Faktoren \((x-3)\) vor und nach dem Kürzen. - Die Definitionsmenge stammt aus dem ursprünglichen Term, nicht aus dem gekürzten Ausdruck allein.

1. Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Damit folgt für \(x\neq3\): \(k(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{x+3}{x-3}\). Die Behauptung ist also richtig. 2. Von den zwei Faktoren \((x-3)\) im Nenner wird genau einer mit dem Faktor \((x-3)\) im Zähler gekürzt. 3. Im ursprünglichen Term ist der Nenner bei \(x=3\) null. Dieser Wert bleibt deshalb aus der Definitionsmenge ausgeschlossen. 4. Nach dem Kürzen bleibt \((x-3)\) mit der ungeraden Vielfachheit \(1\) im Nenner. Daher liegt bei \(x=3\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

a) Genau ein Faktor \((x-3)\) wird gekürzt. b) \(x=3\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Nenner dort null ist. c) Bei \(x=3\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Entscheide bei jedem Polynom zuerst, welche bekannte Faktorisierungsstruktur vorliegt. - Trenne die Frage nach der Faktorform von der Frage nach der Definitionsmenge. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte immer aus dem ursprünglichen Nenner, bevor du kürzt.

a) Für \(f\) gilt \(2x-4=2(x-2)\) und \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). Für \(g\) gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). b) Bei \(f\) wird im Zähler \(2\) ausgeklammert; der Nenner ist ein binomisches Quadrat. Bei \(g\) ist der Zähler eine Differenz von Quadraten; der Nenner ist ebenfalls ein binomisches Quadrat. c) Bei \(f\) lässt sich ein Faktor \((x-2)\) kürzen. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=2\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). Bei \(g\) lässt sich ein Faktor \((x+1)\) kürzen. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=-1\) null, also ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

a) \(f(x)=\frac{2(x-2)}{(x-2)^2}\), \(g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^2}\) b) \(f\): Ausklammern + binomische Formel; \(g\): Differenz von Quadraten + binomische Formel c) \(f\): kürzbarer Faktor \((x-2)\), \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); \(g\): kürzbarer Faktor \((x+1)\), \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

- Was passiert, wenn du die Zahl direkt in den Zähler und den Nenner einsetzt? - Kannst du den Zähler oder den Nenner mithilfe binomischer Formeln oder durch Ausklammern in Faktoren zerlegen? - Wenn sich ein Faktor im Nenner komplett wegkürzen lässt, was bedeutet das für die Art der Lücke? - Bleibt nach dem Kürzen im Nenner immer noch ein Ausdruck stehen, der gegen null geht?

1. Untersuchung von Teilaufgabe a): Einsetzen von \(x_0 = 3\) in den Zähler ergibt \(3^2 - 9 = 0\) und in den Nenner \(2 \cdot 3 - 6 = 0\). Es liegt der Fall \(\frac{0}{0}\) vor. 2. Faktorisieren des Terms: \(f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{2(x-3)}\). Für \(x \neq 3\) lässt sich der Faktor \((x-3)\) kürzen, woraus \(f(x) = \frac{x+3}{2}\) folgt. 3. Grenzwertberechnung für a): \(\lim_{x \to 3} \frac{x+3}{2} = \frac{3+3}{2} = 3\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke. 4. Untersuchung von Teilaufgabe b): Einsetzen von \(x_0 = 1\) ergibt im Zähler \(1 - 1 = 0\) und im Nenner \(1^2 - 2 \cdot 1 + 1 = 0\). Es liegt der Fall \(\frac{0}{0}\) vor. 5. Faktorisieren des Terms: \(g(x) = \frac{x-1}{(x-1)^2}\). Für \(x \neq 1\) folgt durch Kürzen \(g(x) = \frac{1}{x-1}\). 6. Grenzwertberechnung für b): Da der Term \(\frac{1}{x-1}\) für \(x \to 1\) gegen \(\pm \infty\) strebt (Vorzeichenwechsel bei \(x=1\)), existiert kein endlicher Grenzwert. Es handelt sich um eine Polstelle.

a) Der Grenzwert ist \(3\); es handelt sich um eine hebbare Definitionslücke. b) Der Grenzwert existiert nicht (Streben gegen \(\pm \infty\)); es handelt sich um eine Polstelle.

- Versuche zuerst, den Zähler und den Nenner in Faktoren zu zerlegen. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen null geht, der Zähler aber eine feste Zahl ungleich null ist? - Überlege, ob sich das Vorzeichen des Nenners ändert, wenn man sich der Stelle von links oder von rechts nähert.

1. Faktorisierung von Zähler und Nenner: \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) und \(x^2-2x+1 = (x-1)^2\). 2. Vereinfachung des Funktionsterms durch Kürzen von \((x-1)\): \(f(x) = \frac{x+1}{x-1}\) für \(x \neq 1\). 3. Untersuchung des Grenzwerts für \(x \to 1\): Der Zähler strebt gegen \(1+1=2\), während der Nenner gegen \(0\) strebt. 4. Da der Nenner nach dem Kürzen eine Nullstelle ungerader Ordnung behält (einfache Nullstelle), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 5. Bestimmung der einseitigen Grenzwerte: \(\lim_{x \to 1^+} \frac{x+1}{x-1} = +\infty\) und \(\lim_{x \to 1^-} \frac{x+1}{x-1} = -\infty\). 6. Ergebnis: Es liegt eine Polstelle und somit eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung \(x=1\) vor.

Der zweiseitige Grenzwert \(\lim_{x \to 1} f(x)\) existiert nicht, da \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\) gilt. Da der Nenner an der Stelle \(x=1\) eine Nullstelle besitzt, die nicht vollständig durch Kürzen mit dem Zähler entfernt werden kann, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel und die senkrechte Asymptote \(x=1\) vor.

- Was passiert, wenn du die Definitionslücke direkt in den Funktionsterm einsetzt? - Kannst du den Zähler und den Nenner in Faktoren zerlegen? - Gibt es einen gemeinsamen Faktor, den man kürzen kann? - Was sagt die Existenz eines endlichen Grenzwerts über die Art der Definitionslücke aus?

1. Einsetzen von \(x = 3\) in Zähler und Nenner ergibt den unbestimmten Ausdruck \(\frac{0}{0}\). 2. Faktorisieren des Zählers mittels der dritten binomischen Formel: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\). 3. Faktorisieren des Nenners durch Ausklammern: \(2x^2 - 6x = 2x(x - 3)\). 4. Kürzen des gemeinsamen Faktors \((x - 3)\) für \(x \neq 3\): \(f(x) = \frac{x + 3}{2x}\). 5. Berechnung des Grenzwerts durch Einsetzen von \(x = 3\) in den gekürzten Term: \(\lim_{x \to 3} \frac{x + 3}{2x} = \frac{3 + 3}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1\). 6. Da der Grenzwert existiert und ein endlicher Wert ist, handelt es sich bei \(x = 3\) um eine hebbare Definitionslücke.

Der Grenzwert ist \(1\). Es liegt eine hebbare Definitionslücke vor, da der Grenzwert an dieser Stelle existiert und endlich ist.

- Suche zwei Zahlen, deren Produkt der konstante Term und deren Summe der Koeffizient von \(x\) ist. - Prüfe deine Faktorzerlegung durch Ausmultiplizieren. - Welche Werte dürfen in einem Nenner nicht eingesetzt werden?

1. Gesucht sind zwei Zahlen mit dem Produkt \(6\) und der Summe \(-5\). Das sind \(-2\) und \(-3\). 2. Daher gilt \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). 3. Der Nenner wird bei \(x=2\) und \(x=3\) null. Diese Werte gehören nicht zur Definitionsmenge.

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) \(D_r=\mathbb{R}\setminus\{2;3\}\)

- Faktorisiere Zähler und Nenner zunächst unabhängig voneinander. - Vergleiche danach die vollständigen Faktoren statt einzelner Summanden. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte immer aus dem ursprünglichen Nenner.

1. Für den Zähler gilt \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\). 2. Für den Nenner gilt \(x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\). 3. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Deshalb lässt sich der Term nicht kürzen. 4. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=-4\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_s=\mathbb{R}\setminus\{-4;1\}\).

\(s(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{(x+4)(x-1)}\) Es lässt sich kein Faktor kürzen. \(D_s=\mathbb{R}\setminus\{-4;1\}\)

- Wie lässt sich ein quadratischer Ausdruck \(ax^2 + bx + c\) mithilfe seiner Nullstellen \(x_1\) und \(x_2\) als Produkt schreiben? - Versuche im Zähler zuerst den Vorfaktor vor dem \(x^2\) auszuklammern, um die Nullstellensuche zu erleichtern. - Denk daran, dass beim Kürzen nur Faktoren (Teile von Produkten) und keine einzelnen Summanden gestrichen werden dürfen. - Welche Werte darf \(x\) im ursprünglichen Nenner auf keinen Fall annehmen?

1. Zähler faktorisieren: Zuerst \(2\) ausklammern zu \(2(x^2 - 2x - 3)\). Die Nullstellen von \(x^2 - 2x - 3\) sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Damit ergibt sich die faktorisierte Form \(2(x-3)(x+1)\). 2. Nenner faktorisieren: Die Nullstellen von \(x^2 + 5x + 4\) mit der Lösungsformel berechnen. Man erhält \(x_3 = -4\) und \(x_4 = -1\). Die faktorisierte Form ist \((x+4)(x+1)\). 3. Definitionsmenge bestimmen: Da der Nenner für \(x = -4\) und \(x = -1\) null wird, ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; -1\}\). 4. Kürzen: Der Faktor \((x+1)\) tritt in Zähler und Nenner auf und kann gekürzt werden. Der vereinfachte Term lautet \(g(x) = \frac{2(x-3)}{x+4}\).

Faktorisierte Form: \(g(x) = \frac{2(x-3)(x+1)}{(x+4)(x+1)}\) Definitionsmenge: \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4; -1\}\) Gekürzter Term: \(g(x) = \frac{2(x-3)}{x+4}\)

- Prüfe, ob die Nenner der beiden Brüche auf dieselbe Nullstelle führen. - Kannst du im Zähler oder Nenner von \(g(x)\) einen gemeinsamen Faktor ausklammern? - Erinnerst du dich, wie man quadratische Terme in Linearfaktoren zerlegt, um Brüche zu kürzen? - Gibt es einen Weg, den Term ohne Bruch bei \(f(x)\) in den Zähler des Bruchs zu integrieren?

1. Bestimmung des Definitionsbereichs: Bei \(f\) muss \(x-2 \neq 0\) gelten, bei \(g\) muss \(2x-4 \neq 0\) gelten. In beiden Fällen folgt \(x \neq 2\), also \(D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 2. Umformung von \(f(x)\): Durch Faktorisieren des Zählers erhält man \(\frac{(x-2)(x+3)}{x-2} + 1 = x+3+1 = x+4\). 3. Umformung von \(g(x)\): Ausklammern der \(2\) im Zähler und Nenner ergibt \(\frac{2(x^2+2x-8)}{2(x-2)} = \frac{x^2+2x-8}{x-2}\). Faktorisieren des verbleibenden Zählers führt zu \(\frac{(x-2)(x+4)}{x-2} = x+4\). Alternativ kann \(f(x)\) auf den Hauptnenner \(x-2\) gebracht werden: \(\frac{x^2+x-6 + 1(x-2)}{x-2} = \frac{x^2+2x-8}{x-2}\). Erweitert man diesen Bruch mit \(2\), erhält man \(\frac{2x^2+4x-16}{2x-4}\), was dem Term von \(g(x)\) entspricht.

Beide Funktionen besitzen denselben Definitionsbereich \(D = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Da sich beide Funktionsterme durch Faktorisieren und Kürzen bzw. durch Erweitern und Hauptnennerbildung in dieselbe Form (z. B. \(x+4\)) überführen lassen, sind sie identisch.

- Kannst du den Term im Zähler durch Ausmultiplizieren vereinfachen? - Gibt es im Zähler und Nenner eine gemeinsame Potenz von \(x\), die man ausklammern kann? - Erkennst du im Zähler nach dem Ausklammern ein bekanntes Zerlegungsmuster für quadratische Ausdrücke? - Welche Faktoren treten sowohl oberhalb als auch unterhalb des Bruchstrichs auf?

1. Ausmultiplizieren oder Umformen des Zählers: Durch Multiplikation des Faktors \(x^2\) in die Klammer erhält man \(x^2 \cdot x - 6x^2 + 9x^2 \cdot x^{-1} = x^3 - 6x^2 + 9x\). 2. Faktorisieren des Zählers: Zunächst wird \(x\) ausgeklammert, was \(x(x^2 - 6x + 9)\) ergibt. Der quadratische Term in der Klammer entspricht der zweiten binomischen Formel, sodass der Zähler als \(x(x - 3)^2\) geschrieben werden kann. 3. Faktorisieren des Nenners: Im Nenner \(x^2 - 3x\) wird \(x\) ausgeklammert, woraus \(x(x - 3)\) folgt. 4. Kürzen des Bruchs: Die gemeinsamen Faktoren \(x\) und \((x - 3)\) werden gekürzt. Es verbleibt der Term \(x - 3\).

\(x - 3\) (für \(x \neq 0\) und \(x \neq 3\))

- Versuche zuerst, die Klammer im Zähler aufzulösen, indem du das Distributivgesetz anwendest. - Kannst du Zähler und Nenner jeweils als Produkt von Linearfaktoren schreiben? - Achte auf binomische Formeln, die dir beim Faktorisieren helfen könnten. - Gibt es Werte für \(x\), für die der ursprüngliche Term nicht definiert ist?

1. Vereinfachung des Zählers: Durch Multiplikation von \(x^4\) mit den Summanden in der Klammer ergibt sich \(x^4 \cdot \frac{1}{x} - x^4 \cdot \frac{1}{x^3} = x^3 - x\). 2. Faktorisieren des Zählers: Ausklammern von \(x\) liefert \(x(x^2 - 1)\). Die Anwendung der dritten binomischen Formel auf \((x^2 - 1)\) führt zur faktorisierten Form \(x(x - 1)(x + 1)\). 3. Faktorisieren des Nenners: Der Ausdruck \(x^2 + 2x + 1\) entspricht der ersten binomischen Formel und lässt sich als \((x + 1)^2\) schreiben. 4. Kürzen: Der Faktor \((x + 1)\) tritt in Zähler und Nenner auf und kann gekürzt werden. Das Ergebnis ist \(\frac{x(x - 1)}{x + 1}\) oder ausmultipliziert \(\frac{x^2 - x}{x + 1}\).

\(\frac{x(x - 1)}{x + 1}\) (für \(x \neq 0\) und \(x \neq -1\))

- Faktorisierung von Zähler und Nenner hilft oft beim Vereinfachen. - Was passiert, wenn eine Zahl sowohl den Zähler als auch den Nenner zu Null macht? - Wie oft kommt der Faktor, der die Definitionslücke verursacht, im Nenner vor?

1. Nullstellen des Nenners bestimmen: Durch Lösen der quadratischen Gleichung \(x^2 - x - 6 = 0\) (z. B. mit der Mitternachtsformel) erhält man \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 2. Nullstellen des Zählers prüfen: \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\). 3. Klassifizierung der Lücken: Da \(x = 3\) sowohl Zähler- als auch Nennernullstelle ist, wird die Funktion gekürzt: \(f(x) = \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{2}{x+2}\) für \(x \neq 3\). Somit ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke. 4. Polstelle identifizieren: Die verbleibende Nennernullstelle \(x = -2\) ist eine Polstelle. Da der Faktor \((x+2)\) im Nenner der gekürzten Funktion mit der Potenz 1 vorkommt (ungerade Vielfachheit), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Definitionslücken bei \(x = 3\) und \(x = -2\). \(x = 3\) ist eine hebbare Definitionslücke. \(x = -2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Überprüfe, ob man den Funktionsterm kürzen kann, bevor du die Art der Polstelle bestimmst. - Wie beeinflusst eine Nullstelle im Zähler, die gleichzeitig im Nenner vorkommt, die Art der Definitionslücke? - Erinnere dich daran, welche Rolle die (gekürzte) Vielfachheit einer Nennernullstelle für den Vorzeichenwechsel spielt.

1. Bestimmung der Nullstellen von Zähler und Nenner: Der Zähler \(x-2\) hat die Nullstelle \(x=2\) (Ordnung 1). Der Nenner \(x^2-4x+4 = (x-2)^2\) hat die Nullstelle \(x=2\) (Ordnung 2). 2. Vereinfachung des Funktionsterms: Durch Kürzen des Faktors \((x-2)\) ergibt sich für \(x \neq 2\) der vereinfachte Term \(f(x) = \frac{1}{x-2}\). 3. Analyse der Polstelle: Da die verbleibende Nullstelle im Nenner nun die Ordnung 1 (ungerade) besitzt, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 4. Bewertung: Laras Aussage ist falsch, da sie die Nullstelle im Zähler nicht berücksichtigt hat, welche die Ordnung der Polstelle reduziert.

Laras Aussage ist falsch. Zwar hat der Nenner an der Stelle \(x=2\) eine zweifache Nullstelle, jedoch besitzt auch der Zähler an dieser Stelle eine einfache Nullstelle. Nach dem Kürzen des Terms zu \(f(x) = \frac{1}{x-2}\) (für \(x \neq 2\)) erkennt man, dass die Polstelle effektiv die Ordnung 1 hat. Da 1 eine ungerade Zahl ist, liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner der Funktion null wird. - Wenn eine Definitionslücke vorliegt, prüfe, ob du den Funktionsterm durch Kürzen vereinfachen kannst. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner vorkommt? - Setze Werte ein, die sehr nah an der Polstelle liegen (linksseitig und rechtsseitig), um das Vorzeichen des Grenzwerts zu bestimmen.

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 3\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 2. Art der Lücken prüfen: Faktorisieren des Terms ergibt \(f(x) = \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}\). 3. Für \(x = 3\) ist der Faktor \((x-3)\) in Zähler und Nenner enthalten. Der Grenzwert \(\lim_{x \to 3} \frac{x}{x+3} = \frac{3}{6} = 0{,}5\) existiert, daher ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke. 4. Für \(x = -3\) ist nur der Nenner null (\(x+3 = 0\)), der Zähler ist \(-3\). Es handelt sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (ungerade Ordnung). 5. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -3\). 6. Verhalten an der Polstelle: Für \(x \to -3^-\) gilt \(x < 0\) und \(x+3 \to 0^-\), daher ist \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty\). Für \(x \to -3^+\) gilt \(x < 0\) und \(x+3 \to 0^+\), daher ist \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\).

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); \(x = 3\) ist eine hebbare Definitionslücke, \(x = -3\) ist eine Polstelle. b) Senkrechte Asymptote: \(x = -3\). c) \(\lim_{x \to -3^-} f(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to -3^+} f(x) = -\infty\).

- Kannst du den Nenner mithilfe einer binomischen Formel umschreiben? - Achte beim Kürzen genau auf das Vorzeichen im Zähler. - Wenn nach dem vollständigen Kürzen noch eine Nullstelle im Nenner übrig bleibt, handelt es sich um eine Polstelle. - Überlege dir das Vorzeichen des Terms \(x-5\), wenn \(x\) etwas kleiner oder etwas größer als \(5\) ist.

1. Nennernullstellen: \(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0 \implies x = 5\). Die Definitionsmenge ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). 2. Untersuchung der Lücke: Der Zähler \(5 - x = -(x-5)\) hat bei \(x = 5\) ebenfalls eine Nullstelle. Kürzen ergibt \(h(x) = \frac{-(x-5)}{(x-5)^2} = -\frac{1}{x-5}\) für \(x \neq 5\). Da nach dem Kürzen weiterhin eine Nullstelle im Nenner verbleibt, ist \(x = 5\) eine Polstelle (1. Ordnung). 3. Verhalten für \(x \to 5^-\): Der Nenner \((x-5)\) ist negativ, also ist \(-\frac{1}{\text{negativ}}\) positiv. \(\lim_{x \to 5^-} h(x) = +\infty\). 4. Verhalten für \(x \to 5^+\): Der Nenner \((x-5)\) ist positiv, also ist \(-\frac{1}{\text{positiv}}\) negativ. \(\lim_{x \to 5^+} h(x) = -\infty\).

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{5\}\). b) Durch Kürzen erhält man \(h(x) = -\frac{1}{x-5}\). Da der Nenner an der Stelle \(5\) weiterhin null ist, liegt eine Polstelle vor. c) \(\lim_{x \to 5^-} h(x) = +\infty\) und \(\lim_{x \to 5^+} h(x) = -\infty\).

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner der Funktion null wird. - Prüfe, ob der Zähler an diesen Stellen ebenfalls null wird. Falls ja, kannst du den Funktionsterm eventuell kürzen. - Die Art einer Polstelle erkennst du an der Vielfachheit der verbleibenden Nullstelle im Nenner nach dem Kürzen. - Was bedeutet es für die Existenz von Polstellen, wenn der Nenner niemals null wird?

1. Untersuchung von \(f\): Der Nenner \(x^2 - 16\) hat die Nullstellen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Da der Zähler \(3x - 12 = 3(x-4)\) an der Stelle \(x_1 = 4\) ebenfalls null wird, ist \(x_1 = 4\) eine hebbare Definitionslücke. Kürzen ergibt \(\frac{3}{x+4}\). Die verbleibende Nennernullstelle \(x_2 = -4\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 2. Untersuchung von \(g\): Der Nenner \(x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2\) hat die doppelte Nullstelle \(x = -2\). Der Zähler \(x + 2\) hat dort eine einfache Nullstelle. Nach dem Kürzen bleibt \(g(x) = \frac{1}{x+2}\). Somit ist \(x = -2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 3. Untersuchung von \(h\): Der Nenner \(x^2 + 1\) besitzt im Bereich der reellen Zahlen keine Nullstellen. Daher hat die Funktion \(h\) keine Definitionslücken und somit auch keine Polstellen.

a) Polstelle bei \(x = -4\) mit Vorzeichenwechsel; hebbare Lücke bei \(x = 4\). b) Polstelle bei \(x = -2\) mit Vorzeichenwechsel. c) Keine Polstellen vorhanden.

- Bestimme zuerst die Nullstellen des Nenners, um die Definitionsmenge festzulegen. - Prüfe, ob die Nullstellen des Nenners auch Nullstellen des Zählers sind. - Wenn ein Faktor im Nenner durch Kürzen komplett verschwindet, was bedeutet das für die Art der Definitionslücke? - Die Gleichung einer senkrechten Asymptote entspricht immer dem \(x\)-Wert der Polstelle.

1. Definitionsmenge bestimmen: Der Nenner \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) wird für \(x = 3\) und \(x = -3\) null. Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). 2. Zähler faktorisieren: \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\). 3. Art der Lücken prüfen: An der Stelle \(x = 3\) ist sowohl der Zähler als auch der Nenner null. Kürzen ergibt \(h(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 1}{x + 3}\). Da der Faktor \((x - 3)\) vollständig aus dem Nenner verschwindet, ist \(x = 3\) eine hebbare Definitionslücke und keine Polstelle. 4. Polstelle identifizieren: An der Stelle \(x = -3\) bleibt nach dem Kürzen ein Faktor im Nenner stehen. Da die Vielfachheit 1 (ungerade) ist, handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Die senkrechte Asymptote lautet \(x = -3\).

\(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Polstelle bei \(x = -3\) mit Vorzeichenwechsel. Senkrechte Asymptote: \(x = -3\). (Hinweis: \(x = 3\) ist eine hebbare Lücke).

- Zerlege zuerst jeden Zähler und Nenner vollständig in Faktoren. - Notiere die ausgeschlossenen Werte aus dem ursprünglichen Nenner, bevor du kürzt. - Vergleiche für jede Definitionslücke, ob der zugehörige Nennerfaktor vollständig verschwindet oder erhalten bleibt.

a) Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Die ursprünglichen Definitionslücken sind \(x=3\) und \(x=-1\). Für \(x\neq3\) lässt sich zu \(\frac{x+3}{x+1}\) kürzen. Daher ist \(x=3\) hebbar; bei \(x=-1\) bleibt ein Nennerfaktor erhalten, also liegt dort eine Polstelle vor. b) Es gilt \(x^2-4x=x(x-4)\) und \(x^2-2x=x(x-2)\). Die ursprünglichen Definitionslücken sind \(x=0\) und \(x=2\). Für \(x\neq0\) lässt sich zu \(\frac{x-4}{x-2}\) kürzen. Daher ist \(x=0\) hebbar; bei \(x=2\) liegt eine Polstelle vor.

a) \(x=3\) ist hebbar; \(x=-1\) ist eine Polstelle. b) \(x=0\) ist hebbar; \(x=2\) ist eine Polstelle.

- Wie gehst du vor, um die Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion zu bestimmen? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder den Satz von Vieta, um Terme zu faktorisieren. - Was passiert, wenn eine Nullstelle im Nenner öfter vorkommt als im Zähler? - Wann genau lässt sich eine Definitionslücke durch Kürzen beheben?

1. Für \(h(x)\): Der Nenner \(x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\) wird bei \(x = 2\) null. Daher ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). Der Zähler faktorisiert zu \(x(x-2)\). Für \(x\neq2\) ergibt sich der gekürzte Term \(h(x) = \frac{x}{x-2}\). Da ein Faktor \((x-2)\) im Nenner verbleibt, ist \(x = 2\) eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 2. Für \(k(x)\): Der Nenner \(x^2 + 3x = x(x+3)\) wird bei \(x = 0\) und \(x = -3\) null. Daher ist \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0\}\). Der Zähler faktorisiert zu \((x+3)(x-2)\). Für \(x\neq-3,0\) ergibt sich \(k(x) = \frac{x-2}{x}\). Der vollständig gekürzte Faktor \((x+3)\) macht \(x=-3\) zu einer hebbaren Lücke; bei \(x=0\) bleibt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{2\}\); \(x = 2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. b) \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{-3; 0\}\); \(x = -3\) ist eine hebbare Lücke, \(x = 0\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Welche Eigenschaft muss der Zähler an einer Stelle haben, damit man eine Definitionslücke dort „beheben“ kann? - Setze die Definitionslücke des Nenners in den Zähler ein und überlege, welches Ergebnis notwendig ist. - Wenn du den Parameter gefunden hast, versuche den Bruch zu kürzen, um den Grenzwert zu finden.

1. Bedingung für eine hebbare Definitionslücke: Damit die Lücke bei der Nennernullstelle \(x = 4\) hebbar ist, muss \(x = 4\) auch eine Nullstelle des Zählers sein. 2. Aufstellen der Gleichung für den Zähler: \(2 \cdot 4^2 - k \cdot 4 = 0\). 3. Berechnung von \(k\): \(32 - 4k = 0 \Rightarrow 4k = 32 \Rightarrow k = 8\). 4. Einsetzen von \(k = 8\) in die Funktion: \(g(x) = \frac{2x^2 - 8x}{x - 4}\). 5. Faktorisieren des Zählers: \(g(x) = \frac{2x(x - 4)}{x - 4}\). 6. Kürzen des Faktors \((x - 4)\) für \(x \neq 4\): \(g(x) = 2x\). 7. Grenzwert bestimmen: \(\lim_{x \to 4} 2x = 2 \cdot 4 = 8\).

Der Parameter muss \(k = 8\) sein. Der Grenzwert an der Stelle \(x = 4\) beträgt dann \(8\).

- Welche Bedingung muss der Nenner erfüllen, damit \(x=2\) überhaupt eine Definitionslücke ist? - Prüfe nach der Parameterbestimmung, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Für den Grenzwert kannst du den gekürzten Term verwenden, musst aber die ursprüngliche Definitionslücke im Blick behalten.

1. Damit \(x=2\) eine Definitionslücke ist, muss der Nenner dort null werden: \(2^2+2a-6=0\). Daraus folgt \(2a-2=0\) und damit \(a=1\). 2. Für \(a=1\) gilt \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\). Außerdem ist \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). 3. Für \(x\neq2\) lässt sich kürzen: \(g(x)=\frac{x+2}{x+3}\). Der Faktor \((x-2)\) verschwindet vollständig aus dem Nenner, also ist die Lücke bei \(x=2\) hebbar. 4. Es folgt \(\lim_{x\to2}g(x)=\frac{2+2}{2+3}=\frac45=0{,}8\).

\(a=1\) und \(\lim_{x\to2}g(x)=\frac45=0{,}8\).

- Zerlege beide quadratischen Terme in Linearfaktoren, bevor du die Lücken beurteilst. - Unterscheide zwischen einem Faktor, der sich vollständig kürzt, und einem Faktor, der im Nenner erhalten bleibt. - Für das Vorzeichen eines unendlichen Grenzwerts genügt es, Zähler und Nenner links und rechts der Polstelle zu betrachten.

a) Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). Daher liegen die Definitionslücken bei \(x=3\) und \(x=-2\). Für \(x\neq3\) gilt \(g(x)=\frac{x+3}{x+2}\). b) Für \(x\to3\) folgt \(\lim_{x\to3}g(x)=\frac{6}{5}\). Für \(x\to-2^-\) ist der Zähler positiv und der Nenner negativ mit Betrag gegen \(0\), daher gilt \(g(x)\to-\infty\). Für \(x\to-2^+\) gilt entsprechend \(g(x)\to+\infty\). c) Bei \(x=3\) ist die Lücke hebbar. Bei \(x=-2\) liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor; die senkrechte Asymptote ist \(x=-2\).

a) Definitionslücken: \(x=3\) und \(x=-2\) b) \(\lim_{x\to3}g(x)=\frac65\), \(\lim_{x\to-2^-}g(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to-2^+}g(x)=+\infty\) c) \(x=3\) ist hebbar; \(x=-2\) ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel und senkrechter Asymptote \(x=-2\).

- Wann lässt sich ein Faktor in einem Bruch kürzen? - Was muss für den Zähler gelten, damit eine Definitionslücke des Nenners eventuell hebbar ist? - Überlege, wie der Graph einer Funktion aussieht, deren Term sich zu einer linearen Form vereinfachen lässt.

1. Bedingung für eine hebbare Lücke an der Stelle \(x = 5\) prüfen: Der Zähler \(x^2 - kx - 10\) muss für \(x = 5\) den Wert Null annehmen. 2. Einsetzen von \(x = 5\) in den Zähler: \(5^2 - 5k - 10 = 0 \Rightarrow 25 - 5k - 10 = 0 \Rightarrow 15 - 5k = 0\). Daraus folgt \(k = 3\). 3. Faktorisierung des Zählers für \(k = 3\): Das Polynom \(x^2 - 3x - 10\) hat die Nullstellen \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Somit gilt \(x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)\). 4. Vereinfachung des Funktionsterms: \(f(x) = \frac{(x - 5)(x + 2)}{x - 5} = x + 2\) für \(x \neq 5\). 5. Grenzwertberechnung: \(\lim_{x \to 5} (x + 2) = 5 + 2 = 7\). 6. Geometrische Form: Da der gekürzte Term \(x + 2\) eine lineare Funktion darstellt, ist der Graph eine Gerade mit einem „Loch“ (der hebbaren Lücke) an der Stelle \((5 \mid 7)\).

a) \(k = 3\) b) \(\lim_{x \to 5} f(x) = 7\) c) Der Graph ist die Gerade \(y = x + 2\) mit einem Loch im Punkt \((5 \mid 7)\).

- Was passiert, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner an derselben Stelle null werden? - Unterscheide zwischen Polstellen und hebbaren Definitionslücken. - Prüfe nach der Berechnung der Zählernullstellen immer, ob diese Werte tatsächlich zur Definitionsmenge gehören. - Kannst du den Funktionsterm vereinfachen, indem du Zähler und Nenner faktorisierst?

1. Definitionsmenge: Aus \(x^2 - 4 = 0\) folgen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -2\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\). 2. Polstellen und Lücken: Es gilt \(\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+1}{x+2}\) für \(x\neq-2,2\). Bei \(x=2\) liegt deshalb eine hebbare Definitionslücke vor. Bei \(x=-2\) bleibt der Nenner null, während der Zähler des ursprünglichen Terms ungleich null ist; daher liegt dort eine Polstelle vor. 3. Nullstellen: Der Zähler hat die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-1\). Da \(2 \notin D_f\), ist nur \(x=-1\) eine Nullstelle der Funktion.

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}\); Polstelle bei \(x = -2\); Nullstelle bei \(x = -1\).

- Überlege dir, welche Bedingung ein \(x\)-Wert erfüllen muss, um nicht in der Definitionsmenge zu sein. - Wann ist eine Nullstelle des Zählers tatsächlich eine Nullstelle der gesamten Funktion? - Was passiert mit einer Definitionslücke, wenn der zugehörige Faktor auch im Zähler vorkommt?

1. Nennernullstellen bestimmen: \(x^2-x-6 = (x-3)(x+2)\). Daher ist \(D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\). 2. Der Zähler wird für \(x=a\) null. Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2;3\}\) ist \(x=a\) eine Nullstelle. Für \(a=-2\) oder \(a=3\) gibt es keine Nullstelle, weil der jeweilige Wert nicht in \(D_{f_a}\) liegt. 3. Im Allgemeinen liegen bei \(x=-2\) und \(x=3\) Polstellen vor. Genau eine senkrechte Asymptote bleibt, wenn sich einer der Nennerfaktoren mit dem Zähler kürzt. Für \(a=3\) wird \((x-3)\) gekürzt und nur \(x=-2\) bleibt als Polstelle. Für \(a=-2\) wird \((x+2)\) gekürzt und nur \(x=3\) bleibt als Polstelle.

a) \(D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) b) Für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 3\}\) ist \(x = a\) die Nullstelle; für \(a = -2\) oder \(a = 3\) gibt es keine Nullstelle. c) Für \(a = 3\) oder \(a = -2\), da dann jeweils eine Definitionslücke hebbar ist und nur eine senkrechte Asymptote verbleibt.

- Faktorisiere die Differenz zweier Quadrate im Zähler von \(f\). - Notiere die ursprüngliche Definitionslücke, bevor du einen gemeinsamen Faktor kürzt. - Vergleiche bei \(x=3\), ob nach der Faktorbetrachtung ein Nennerfaktor übrig bleibt. - Für die Höhe des Lochs kannst du den gekürzten Term verwenden.

a) Für \(f\) gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Für \(x\neq3\) kann daher zu \(f(x)=x+3\) gekürzt werden. Die ursprüngliche Definitionslücke bei \(x=3\) bleibt jedoch bestehen und ist hebbar. Deshalb gehört \(f\) zur Geraden mit offen markiertem Punkt in Abbildung 2. Für \(g\) ist der Zähler bei \(x=3\) gleich \(4\) und damit nicht null. Die Stelle \(x=3\) ist eine Polstelle mit senkrechter Asymptote. Deshalb gehört \(g\) zu Abbildung 1. b) Der gekürzte Term von \(f\) ist \(x+3\). Für \(x=3\) ergibt er den Grenzwert \(6\). Das Loch liegt bei \(L(3\mid6)\).

a) Abbildung 1 gehört zu \(g\), Abbildung 2 zu \(f\). b) \(L(3\mid6)\)

- Trenne die Frage, ob ein gemeinsamer Faktor gekürzt werden kann, von der Frage nach den zulässigen Einsetzungswerten des ursprünglichen Terms. - Prüfe die Bedingungen, die der ursprüngliche Nenner an \(x\) stellt, bevor du die gekürzte Form betrachtest. - Überlege, ob eine algebraische Vereinfachung zuvor ausgeschlossene Werte nachträglich zulässig machen kann.

1. Die Faktorisierungen \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) und \(x^2+2x=x(x+2)\) sind richtig. 2. Das Kürzen des Faktors \((x+2)\) ist für alle Werte erlaubt, für die der ursprüngliche Term definiert ist. Der gekürzte Term \(\frac{x-2}{x}\) beschreibt also dieselben Funktionswerte auf der ursprünglichen Definitionsmenge. 3. Im ursprünglichen Nenner gilt \(x(x+2)=0\) für \(x=0\) und \(x=-2\). Beide Werte bleiben ausgeschlossen, auch wenn der Faktor \((x+2)\) gekürzt wurde.

Die Faktorisierung und das Kürzen sind korrekt, die Aussage zur Definitionsmenge ist falsch. Es gilt \(D_u=\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}\).

- Eine ausgeschlossene Stelle entsteht als Nullstelle eines Faktors im ursprünglichen Nenner. - Welche Nullstelle muss der noch unbekannte normierte lineare Faktor besitzen? - Behalte nach dem Kürzen beide Ausschlüsse des ursprünglichen Terms bei.

1. Der Faktor \((x+2)\) erklärt bereits die ausgeschlossene Stelle \(x=-2\). 2. Die zweite ausgeschlossene Stelle ist \(x=5\). Ein normierter linearer Faktor mit der Nullstelle \(5\) ist \(L(x)=x-5\). 3. Damit lautet der ursprüngliche Term \(v(x)=\frac{(x+2)(x-4)}{(x+2)(x-5)}\). 4. Für \(x\neq-2\) kann \((x+2)\) gekürzt werden. Es ergibt sich \(v(x)=\frac{x-4}{x-5}\), wobei weiterhin \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;5\}\) gilt.

\(L(x)=x-5\) Für \(x\in D_v\) gilt \(v(x)=\frac{x-4}{x-5}\) mit \(D_v=\mathbb{R}\setminus\{-2;5\}\).

- Prüfe bei Zähler und Nenner, ob bekannte quadratische Strukturen eine direkte Faktorzerlegung erlauben. - Lies Nullstellen und ausgeschlossene Stellen erst aus den Faktoren ab, nachdem du auf gemeinsame Faktoren geprüft hast. - Für den Vorzeichenwechsel an einer Polstelle ist die Vielfachheit des verbleibenden Nennerfaktors entscheidend.

1. Der Zähler ist eine Differenz von Quadraten: \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\). 2. Der Nenner ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). 3. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor. Die Nullstellen entstehen aus den Zählerfaktoren: \(2x-5=0\) liefert \(x=\frac{5}{2}\), und \(2x+5=0\) liefert \(x=-\frac{5}{2}\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge. 4. Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Weil der Faktor \((x-2)\) dort die gerade Vielfachheit \(2\) hat und der Zähler nicht null ist, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

\(w(x)=\frac{(2x-5)(2x+5)}{(x-2)^2}\) Nullstellen: \(x=-\frac{5}{2}\) und \(x=\frac{5}{2}\) Polstelle: \(x=2\), ohne Vorzeichenwechsel

- Setze den gegebenen Wert für \(a\) in den Funktionsterm ein und untersuche die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner. - Wann hebt ein Faktor im Zähler einen Faktor im Nenner teilweise auf? - Wie beeinflusst die Hochzahl am Klammerausdruck im Nenner (nach dem Kürzen), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet?

1. Für \(a = 0\) lautet die Funktion \(p_0(x) = \frac{x}{(x-3)^2}\). Die Definitionslücke liegt bei \(x = 3\). Da der Zähler an dieser Stelle den Wert \(3\) annimmt und somit ungleich null ist, handelt es sich um eine Polstelle. Da die Vielfachheit der Nennernullstelle gerade ist (Quadrat), liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (VZW) vor. 2. Eine Änderung der Art der Polstelle tritt ein, wenn der Zählerfaktor \((x - a)\) die Vielfachheit der Nennernullstelle reduziert. Dies ist der Fall, wenn \(a = 3\). Dann gilt \(p_3(x) = \frac{x-3}{(x-3)^2} = \frac{1}{x-3}\). Die Polstelle an der Stelle \(x = 3\) hat nun eine ungerade Vielfachheit (1. Ordnung), wodurch sie zu einer Polstelle mit VZW wird.

1. Polstelle bei \(x = 3\) ohne VZW. 2. Für \(a = 3\) ändert sich die Art; die Polstelle bei \(x = 3\) ist dann eine Polstelle mit VZW.

- Wann hat eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen? - Was ist der Unterschied zwischen einer Polstelle und einer hebbaren Definitionslücke? - Prüfe, was passiert, wenn eine Nullstelle des Nenners gleichzeitig eine Nullstelle des Zählers ist. - Vergiss nicht den Spezialfall, in dem der Nenner nur eine einzige Nullstelle hat.

1. Begründung für \(a < 0\): Senkrechte Asymptoten treten an Polstellen auf, welche Definitionslücken (Nullstellen des Nenners) voraussetzen. Für \(a < 0\) ist der Ausdruck \(-a\) positiv. Die Gleichung \(x^2 - a = 0 \iff x^2 = a\) hat für negative \(a\) keine reelle Lösung, da Quadrate reeller Zahlen niemals negativ sind. Der Nenner hat also keine Nullstellen, weshalb keine Polstellen existieren. 2. Untersuchung für genau eine Polstelle (\(a \geq 0\)): - Fall \(a = 0\): \(g_0(x) = \frac{x-3}{x^2}\). Der Nenner hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = 0\). Da der Zähler an dieser Stelle \(-3 \neq 0\) ist, liegt eine Polstelle vor. Ergebnis: \(a = 0\). - Fall \(a > 0\): Der Nenner \(x^2 - a\) hat zwei Nullstellen bei \(x = \sqrt{a}\) und \(x = -\sqrt{a}\). Damit genau eine Polstelle vorliegt, muss die andere Nullstelle eine hebbare Definitionslücke sein. Dies ist der Fall, wenn sie auch eine Nullstelle des Zählers \(x-3\) ist. - Bedingung Zählernullstelle: \(x - 3 = 0 \implies x = 3\). - Eine der Nennernullstellen muss also \(3\) sein: \(\sqrt{a} = 3 \implies a = 9\) oder \(-\sqrt{a} = 3\) (keine Lösung für \(a > 0\)). - Überprüfung für \(a = 9\): \(g_9(x) = \frac{x-3}{x^2 - 9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{x+3}\). Es gibt eine hebbare Lücke bei \(x = 3\) und eine Polstelle bei \(x = -3\). 3. Gesamtergebnis: Die Funktion hat genau eine Polstelle für \(a = 0\) und \(a = 9\).

a) Für \(a < 0\) hat die Gleichung \(x^2 - a = 0\) keine reellen Lösungen, da \(x^2 = a\) für negative \(a\) unlösbar ist. Ohne Nennernullstellen gibt es keine Polstellen und somit keine senkrechten Asymptoten. b) \(a = 0\) (Polstelle bei \(x = 0\)) und \(a = 9\) (Polstelle bei \(x = -3\), hebbare Lücke bei \(x = 3\)).

- Faktorisiere zuerst den vorgegebenen Nenner. - Eine hebbare Lücke erfordert einen gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner. - Eine vorgegebene Nullstelle liefert einen weiteren Zählerfaktor. - Nutze, dass der gesuchte Zähler normiert und quadratisch ist.

Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3).\) Damit \(x=1\) hebbar ist, muss der Zähler ebenfalls den Faktor \((x-1)\) besitzen. Die gewünschte Nullstelle \(x=-2\) liefert zusätzlich den Faktor \((x+2)\). Da der Zähler normiert quadratisch sein soll, ist er damit eindeutig: \((x-1)(x+2)=x^2+x-2.\) Also gilt \(b=1\) und \(c=-2\). Der ursprüngliche Term lautet \(f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x-3)}\) mit \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1;3\}\). Für \(x\neq1,3\) gilt nach dem Kürzen \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}.\) Bei \(x=3\) ist der verbleibende Zähler \(5\neq0\); dort bleibt also eine Polstelle.

\(b=1,\;c=-2\). Für \(x\in D_f=\mathbb{R}\setminus\{1;3\}\) gilt \(f(x)=\frac{x+2}{x-3}.\) \(x=1\) ist hebbar, \(x=-2\) ist eine Nullstelle und \(x=3\) bleibt eine Polstelle.