- Prüfe, ob der Ausdruck die Form „Quadrat minus Quadrat“ hat. - Multipliziere deine beiden Faktoren zur Kontrolle wieder aus.

1. \(x^2-9\) ist eine Differenz von Quadraten. Daher gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

\((x-3)(x+3)\)

- Suche einen Faktor, der in beiden Summanden vorkommt. - Prüfe nach dem Ausklammern durch Ausmultiplizieren.

1. Beide Summanden enthalten den Faktor \(3x\). Deshalb gilt \(3x^2+6x=3x(x+2)\).

\(3x(x+2)\)

- Suche zwei Zahlen, deren Produkt dem konstanten Glied entspricht. - Prüfe zusätzlich, welche Summe diese beiden Zahlen ergeben müssen. - Kontrolliere deine Faktoren durch kurzes Ausmultiplizieren.

1. Gesucht sind zwei Zahlen mit dem Produkt \(-12\) und der Summe \(1\). 2. Diese Zahlen sind \(4\) und \(-3\). 3. Daher gilt \(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\).

\(x^2+x-12=(x+4)(x-3)\)

- Prüfe, ob das Polynom die Form eines vollständigen Quadrats hat. - Vergleiche den mittleren Term mit dem doppelten Produkt der beiden Randterme. - Achte darauf, wie oft derselbe Linearfaktor im Produkt vorkommt.

1. Das Polynom ist ein vollständiges Quadrat, denn \(9=3^2\) und der mittlere Term ist \(2\cdot 3x=6x\). 2. Daher gilt \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). 3. Der Linearfaktor \(x+3\) kommt zweimal vor.

\(x^2+6x+9=(x+3)^2\); der Faktor \(x+3\) kommt doppelt vor.

- Welche bekannte Struktur hat der quadratische Term im Zähler? - Welche Zahl kannst du im Nenner zuerst ausklammern, bevor du weiter faktorisierst? - Vergleiche nach dem Faktorisieren die Linearfaktoren in Zähler und Nenner miteinander.

1. Der Zähler ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). 2. Im Nenner wird zunächst \(4\) ausgeklammert: \(4x^2-36=4(x^2-9)=4(x-3)(x+3)\). 3. Der Nenner wird für \(x=3\) und \(x=-3\) null. Daher gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\). 4. Die Faktoren \((x-2)\), \((x-3)\) und \((x+3)\) sind verschieden. Zähler und Nenner besitzen somit keinen gemeinsamen Linearfaktor; der Term ist vollständig gekürzt.

a) \(f(x)=\frac{(x-2)^2}{4(x-3)(x+3)}\) b) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}\); der Term ist vollständig gekürzt.

- Suche für Zähler und Nenner jeweils eine Produktdarstellung aus Linearfaktoren. - Prüfe nach dem Faktorisieren, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen. - Welche Vielfachheit hat der Nennerfaktor an der ausgeschlossenen Stelle?

1. Der Zähler faktorisiert zu \(x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\). 2. Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). 3. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Der Term ist vollständig gekürzt. 4. Der Nenner wird nur bei \(x=1\) null. Daher gilt \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). 5. Bei \(x=1\) ist der Zähler \(12\neq0\). Somit liegt dort eine Polstelle vor. 6. Der Nennerfaktor \(x-1\) besitzt die gerade Vielfachheit \(2\). Deshalb findet an der Polstelle kein Vorzeichenwechsel statt.

\(g(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x-1)^2}\); \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}\); bei \(x=1\) liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

- Ordne jedem der vier Polynome zunächst eine passende Faktorisierungsstrategie zu. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte aus den faktorisierten Nennern. - Prüfe erst nach vollständiger Faktorisierung, ob Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor besitzen.

1. Für \(f\) gilt \(2x-4=2(x-2)\) und \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). 2. Für \(g\) gilt \(x^2-1=(x-1)(x+1)\) und \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). 3. Bei \(f\) wird im Zähler ausgeklammert und im Nenner eine binomische Formel erkannt. Bei \(g\) wird im Zähler die Differenz von Quadraten und im Nenner eine binomische Formel genutzt. 4. Der Nenner von \(f\) wird bei \(x=1\) null, also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Der Nenner von \(g\) wird bei \(x=-2\) null, also ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\). 5. In beiden Fällen besitzen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor. Beide Funktionsterme sind vollständig gekürzt.

a) \(f(x)=\frac{2(x-2)}{(x-1)^2}\), \(g(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+2)^2}\) b) \(f\): Ausklammern und binomische Formel; \(g\): Differenz von Quadraten und binomische Formel c) \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\), \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2\}\); beide Terme sind vollständig gekürzt.

- Suche zwei Zahlen, deren Produkt der konstante Term und deren Summe der Koeffizient von \(x\) ist. - Prüfe deine Faktorzerlegung durch Ausmultiplizieren. - Welche Werte dürfen in einem Nenner nicht eingesetzt werden?

1. Gesucht sind zwei Zahlen mit dem Produkt \(6\) und der Summe \(-5\). Das sind \(-2\) und \(-3\). 2. Daher gilt \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). 3. Der Nenner wird bei \(x=2\) und \(x=3\) null. Diese Werte gehören nicht zur Definitionsmenge.

\(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\) \(D_r=\mathbb{R}\setminus\{2;3\}\)

- Faktorisiere Zähler und Nenner zunächst unabhängig voneinander. - Vergleiche danach die vollständigen Faktoren statt einzelner Summanden. - Bestimme die ausgeschlossenen Werte immer aus dem ursprünglichen Nenner.

1. Für den Zähler gilt \(x^2+x-6=(x+3)(x-2)\). 2. Für den Nenner gilt \(x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\). 3. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Deshalb lässt sich der Term nicht kürzen. 4. Der ursprüngliche Nenner wird bei \(x=-4\) und \(x=1\) null. Daher ist \(D_s=\mathbb{R}\setminus\{-4;1\}\).

\(s(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{(x+4)(x-1)}\) Es lässt sich kein Faktor kürzen. \(D_s=\mathbb{R}\setminus\{-4;1\}\)

- Prüfe Leas Behauptung, indem du ihre rechte Seite ausmultiplizierst. - Vergleiche danach die Vorzeichen und Terme mit dem gegebenen Polynom. - Überlege, welche bekannte Struktur bei einer Differenz zweier Quadrate vorliegt.

1. Ausmultipliziert ist \((x-3)^2=x^2-6x+9\) und damit nicht gleich \(x^2-9\). 2. Bei \(x^2-9\) liegt eine Differenz zweier Quadrate vor. 3. Deshalb gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Leas Gleichung ist falsch, weil \((x-3)^2=x^2-6x+9\) gilt. Korrekt ist \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

- Übersetze jede Nullstelle in den zugehörigen Linearfaktor. - Setze vor das Produkt zunächst einen allgemeinen konstanten Faktor. - Nutze den vorgegebenen Leitkoeffizienten, um diesen Faktor festzulegen.

1. Zu den Nullstellen \(-2\) und \(5\) gehören die Linearfaktoren \(x+2\) und \(x-5\). 2. Der Leitkoeffizient \(2\) liefert \(p(x)=2(x+2)(x-5)\). 3. Ausmultiplizieren ergibt \((x+2)(x-5)=x^2-3x-10\) und damit \(p(x)=2x^2-6x-20\).

\(p(x)=2(x+2)(x-5)=2x^2-6x-20\)

- Kürze zuerst den gemeinsamen Faktor in Zähler und Nenner. - Vergleiche danach die Definitionsmenge des ursprünglichen Terms mit dem gekürzten Term. - Prüfe für die Art der Definitionslücke, ob der gekürzte Term bei \(x=2\) einen endlichen Wert hätte.

1. Zähler und Nenner enthalten den gemeinsamen Faktor \(x-2\). Für \(x\in D_f\) darf er gekürzt werden. Damit gilt \(f(x)=\frac{x+5}{x+1}\). 2. Der ursprüngliche Funktionsterm ist bei \(x=2\) nicht definiert. Durch das Kürzen wird dieser ursprüngliche Ausschluss nicht aufgehoben; der gekürzte Term beschreibt dieselben Funktionswerte nur für \(x\in D_f\). 3. Der gekürzte Term hätte bei \(x=2\) den Wert \(\frac{2+5}{2+1}=\frac73\). Deshalb liegt bei \(x=2\) eine hebbare Definitionslücke vor; im Graphen fehlt der Punkt \(\left(2\mid\frac73\right)\).

a) \(f(x)=\frac{x+5}{x+1}\) für \(x\in D_f\) b) \(x=2\) bleibt ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Funktionsterm dort nicht definiert ist; Kürzen ändert die ursprüngliche Definitionsmenge nicht. c) Hebbare Definitionslücke bei \(x=2\); fehlender Punkt \(\left(2\mid\frac73\right)\)

- Welche gemeinsame Zahl kannst du im Zähler zunächst ausklammern? - Suche für jeden verbleibenden quadratischen Term zwei passende Linearfaktoren. - Vergleiche die Faktoren in Zähler und Nenner, bevor du entscheidest, ob Kürzen möglich ist.

1. Im Zähler wird zunächst \(2\) ausgeklammert: \(2x^2-4x-6=2(x^2-2x-3)=2(x-3)(x+1)\). 2. Für den Nenner gilt \(x^2+6x+8=(x+2)(x+4)\). 3. Der Nenner wird bei \(x=-2\) und \(x=-4\) null. Damit ist \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;-2\}\). 4. Zähler und Nenner besitzen keinen gemeinsamen Faktor. Deshalb kann der Funktionsterm nicht weiter gekürzt werden.

a) \(g(x)=\frac{2(x-3)(x+1)}{(x+2)(x+4)}\) b) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-4;-2\}\); der Funktionsterm ist vollständig gekürzt.

- Prüfe bei Zähler und Nenner, ob bekannte quadratische Strukturen eine direkte Faktorzerlegung erlauben. - Lies Nullstellen und ausgeschlossene Stellen erst aus den Faktoren ab, nachdem du auf gemeinsame Faktoren geprüft hast. - Für den Vorzeichenwechsel an einer Polstelle ist die Vielfachheit des verbleibenden Nennerfaktors entscheidend.

1. Der Zähler ist eine Differenz von Quadraten: \(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\). 2. Der Nenner ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-4x+4=(x-2)^2\). 3. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor. Die Nullstellen entstehen aus den Zählerfaktoren: \(2x-5=0\) liefert \(x=\frac{5}{2}\), und \(2x+5=0\) liefert \(x=-\frac{5}{2}\). Beide Werte liegen in der Definitionsmenge. 4. Der Nenner wird bei \(x=2\) null. Weil der Faktor \((x-2)\) dort die gerade Vielfachheit \(2\) hat und der Zähler nicht null ist, liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

\(w(x)=\frac{(2x-5)(2x+5)}{(x-2)^2}\) Nullstellen: \(x=-\frac{5}{2}\) und \(x=\frac{5}{2}\) Polstelle: \(x=2\), ohne Vorzeichenwechsel

- Erkennst du \(x^2-9\) als Differenz von Quadraten? Suche beim Nenner zwei Zahlen mit Produkt \(-6\) und Summe \(-1\). - Notiere die ausgeschlossenen Werte vor dem Kürzen. - Prüfe nach dem Kürzen, welche Nennernullstelle noch übrig bleibt.

1. Es gilt \(x^2-9=(x-3)(x+3)\) und \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\). 2. Im ursprünglichen Term sind \(x=3\) und \(x=-2\) ausgeschlossen. 3. Für erlaubte Werte kann \(x-3\) gekürzt werden. Damit gilt \(g(x)=\frac{x+3}{x+2}\). 4. Bei \(x=3\) liegt eine hebbare Definitionslücke vor. Bei \(x=-2\) bleibt eine Polstelle.

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\) \(D_g=\mathbb{R}\setminus\{-2;3\}\); \(g(x)=\frac{x+3}{x+2}\) für \(x\in D_g\); hebbare Definitionslücke bei \(x=3\), Polstelle bei \(x=-2\).