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- Für eine Nullstelle muss der Funktionswert \(0\) sein. - Bei einem Bruch wird der Wert \(0\), wenn der Zähler null und der Nenner nicht null ist.

1. Eine Nullstelle entsteht, wenn der Zähler null ist. Aus \(x-4=0\) folgt \(x=4\); der Nenner ist dort nicht null.

\(x=4\)

- Überlege, wann ein Bruch den Wert \(0\) haben kann. - Prüfe, ob der Zähler überhaupt null werden kann.

1. Der Zähler ist die von null verschiedene Konstante \(5\). Er kann daher für keinen Wert von \(x\) null werden. Die Funktion besitzt keine Nullstelle.

\(g\) besitzt keine Nullstelle.

- Wann ist ein Bruch definiert? Überlege, für welche Werte der Nenner null wird. - Wie berechnet man den Wert einer Funktion für eine bestimmte Zahl? - Unter welcher Bedingung kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Betrachte die Gleichung für den Zähler – gibt es eine reelle Zahl, deren Quadrat negativ ist?

1. Zur Bestimmung der Definitionsmenge wird der Nenner gleich null gesetzt: \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Mithilfe der zweiten binomischen Formel folgt \((x - 3)^2 = 0\), woraus sich die Definitionslücke \(x = 3\) ergibt. Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). 2. Der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) wird durch Einsetzen berechnet: \(f(0) = \frac{2 \cdot 0^2 + 18}{0^2 - 6 \cdot 0 + 9} = \frac{18}{9} = 2\). 3. Für die Nullstellen wird der Zähler gleich null gesetzt: \(2x^2 + 18 = 0\). Dies führt auf \(x^2 = -9\). Da diese Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung besitzt, hat die Funktion \(f\) keine Nullstellen.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\); \(f(0) = 2\) b) Da die Gleichung \(2x^2 + 18 = 0\) bzw. \(x^2 = -9\) keine reelle Lösung hat, existieren keine Nullstellen.

- Wie kannst du eine ganze Zahl so umschreiben, dass sie denselben Nenner hat wie der Bruch? - Was muss man beim Subtrahieren eines Terms in Klammern beachten? - Wann genau wird ein Bruch gleich null? - Überprüfe am Ende, ob dein Ergebnis im Definitionsbereich der Funktion liegt.

1. Um den Term auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, wird die Konstante \(2\) mit \(\frac{x+2}{x+2}\) erweitert: \(f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2} - \frac{2(x + 2)}{x + 2}\). 2. Zusammenfassen der Zähler ergibt: \(f(x) = \frac{3x - 1 - (2x + 4)}{x + 2} = \frac{3x - 1 - 2x - 4}{x + 2} = \frac{x - 5}{x + 2}\). 3. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Zähler gleich null gesetzt: \(x - 5 = 0\). 4. Daraus folgt die Nullstelle \(x = 5\). Da \(5\) nicht die Definitionslücke \(x = -2\) ist, ist dies die einzige Lösung.

a) \(f(x) = \frac{x - 5}{x + 2}\) b) Die Nullstelle liegt bei \(x = 5\).

- Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null und sein Nenner gleichzeitig ungleich null ist. - Faktorisiere den jeweiligen Zähler, bevor du die Nullstellenkandidaten festhältst. - Prüfe jeden Kandidaten anschließend gegen die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion.

a) Der Nenner \(x^2+4\) ist für alle reellen \(x\) positiv. Der Zähler faktorisiert zu \(x(x-5)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=5\) Nullstellen. b) Der Nenner schließt \(x=2\) aus. Der Zähler faktorisiert zu \((x-2)(x-5)\), also sind \(x=2\) und \(x=5\) zunächst Nullstellenkandidaten. Wegen \(2\notin D_g\) ist nur \(x=5\) eine Nullstelle der Funktion. c) Der Nenner \(x^2+1\) wird reell nie null. Der Zähler faktorisiert zu \((x-1)(x-4)\). Daher sind \(x=1\) und \(x=4\) Nullstellen.

a) \(x=0\) und \(x=5\) b) \(x=5\) c) \(x=1\) und \(x=4\)

- Prüfe zuerst, ob der Nenner reelle Nullstellen besitzt. - Untersuche, ob sich der quadratische Zähler als binomisches Quadrat schreiben lässt. - Die Häufigkeit eines Nullstellenfaktors im Zähler bestimmt seine Vielfachheit, sofern der Nenner dort nicht null ist.

1. Der Nenner \(x^2+1\) ist für alle reellen \(x\) positiv. Somit ist die Funktion überall definiert. 2. Der Zähler ist ein vollständiges Quadrat: \(x^2-6x+9=(x-3)^2\). 3. Daher ist \(x=3\) die einzige Nullstelle. Der Faktor \((x-3)\) tritt zweimal auf, also hat die Nullstelle die Vielfachheit \(2\).

\(x=3\) ist eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\).

- Bestimme zuerst die ausgeschlossenen Werte aus dem Nenner. - Prüfe, ob der Zähler ein binomisches Quadrat ist. - Vergleiche den gefundenen Nullstellenwert mit der Definitionsmenge, bevor du die Vielfachheit angibst.

1. Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). Deshalb ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;3\}\). 2. Der Zähler ist \(x^2-2x+1=(x-1)^2\). Damit ist \(x=1\) der einzige Nullstellenkandidat und tritt im Zähler zweimal auf. 3. Da \(1\in D_f\), ist \(x=1\) tatsächlich eine Nullstelle der Vielfachheit \(2\).

\(x=1\) ist die einzige Nullstelle; ihre Vielfachheit ist \(2\).

- Suche im Graphen die Stellen, an denen der Funktionswert \(0\) ist. - Faktorisiere für die rechnerische Kontrolle Zähler und Nenner getrennt. - Vergleiche die Zählernullstellen mit den ausgeschlossenen Werten des Nenners.

a) Der Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \((-2\mid0)\) und \((3\mid0)\). b) Es gilt \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\). Daher sind die Kandidaten \(x=-2\) und \(x=3\). Der Nenner faktorisiert zu \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), also ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Beide Kandidaten liegen in \(D_f\) und sind deshalb Nullstellen. c) Ein Zählerwert von null liefert nur dann eine Nullstelle der Funktion, wenn der zugehörige \(x\)-Wert nicht zugleich den Nenner null macht und damit aus der Definitionsmenge ausgeschlossen ist.

a) \((-2\mid0)\) und \((3\mid0)\) b) Nullstellen: \(x=-2\) und \(x=3\); beide liegen in \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). c) Ein Zählernullwert ist nur dann eine Funktionsnullstelle, wenn der betreffende \(x\)-Wert zur Definitionsmenge gehört.

- Achte nicht nur auf die Lage auf der \(x\)-Achse, sondern auch darauf, wie der markierte Punkt dargestellt ist. - Eine Nullstelle setzt voraus, dass die Funktion an dieser Stelle überhaupt definiert ist. - Vergleiche die Bedeutung eines offenen Punktes mit einem Punkt, der zum Graphen gehört.

1. In Abbildung a) liegt der markierte Punkt bei \((-1\mid0)\), ist aber als offener Punkt dargestellt. Der Punkt gehört also nicht zum Graphen; die Funktion ist bei \(x=-1\) nicht definiert. Deshalb ist \(x=-1\) keine Nullstelle. 2. In Abbildung b) liegt der markierte Punkt bei \((1\mid0)\) auf dem Graphen und ist eingeschlossen. Damit ist der Funktionswert dort \(0\), also ist \(x=1\) eine Nullstelle.

a) \(x=-1\) ist keine Nullstelle, weil der Punkt \((-1\mid0)\) offen und damit nicht Teil des Graphen ist. b) \(x=1\) ist eine Nullstelle, weil \((1\mid0)\) zum Graphen gehört.

- Überlege zuerst, für welche Werte der Nenner einer Division null wird. - Wie hängen die Nullstellen einer Funktion mit dem Zähler und dem Nenner des Bruchs zusammen? - Prüfe am Ende unbedingt, ob deine berechneten Kandidaten für Nullstellen überhaupt in die Funktion eingesetzt werden dürfen.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Nenner darf nicht null werden. Die Gleichung \(x^2 - 1 = 0\) liefert die Stellen \(x = 1\) und \(x = -1\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen des Zählers: Die Gleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) ergibt \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Abgleich mit der Definitionsmenge: Eine Nullstelle der Funktion liegt nur vor, wenn der Zähler null ist und die Stelle im Definitionsbereich liegt. Da \(1 \notin D_f\), ist nur \(x = 3\) eine Nullstelle der Funktion \(f\).

\(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); einzige Nullstelle: \(x = 3\).

- Wann genau ist ein Bruch gleich null? - Gibt es Werte für \(x\), die man gar nicht erst in die Funktion einsetzen darf? - Was passiert, wenn eine Stelle sowohl den Zähler als auch den Nenner null werden lässt? - Welche berechneten Zählernullstellen musst du jeweils noch mit der zugehörigen Definitionsmenge abgleichen?

1. Für \(f(x)\): Der Zähler wird null für \(2x + 6 = 0\), also \(x = -3\). Da der Nenner für \(x = -3\) ungleich null ist, ist \(x = -3\) die einzige Nullstelle. 2. Für \(g(x)\): Der Zähler wird null für \(x^2 - 16 = 0\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -4\). Die Definitionsmenge ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-4\}\). Da \(x_2 = -4\) nicht im Definitionsbereich liegt, ist nur \(x = 4\) eine Nullstelle. 3. Für \(h(x)\): Der Zähler wird null für \(x^2 - 3x - 10 = 0\). Es ergeben sich \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\). Der Nenner \(2x + 5\) ist für beide Werte ungleich null. Somit sind \(x_1 = 5\) und \(x_2 = -2\) die Nullstellen.

a) \(x = -3\) b) \(x = 4\) c) \(x_1 = 5\); \(x_2 = -2\)

- Kannst du die Gleichung so umformen, dass auf einer Seite nur noch die Null steht? - Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Produkt den Wert null ergibt? - Überprüfe nach dem Rechnen immer, ob deine Lösung auch wirklich im Definitionsbereich der Funktion liegt. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn eine berechnete Stelle den Nenner null werden lässt?

1. Für \(p(x)\): Setze \(\frac{5}{x + 2} - 1 = 0\). Daraus folgt \(\frac{5}{x + 2} = 1\) und damit \(x = 3\). Der Nenner ist dort ungleich null, also ist \(x=3\) die Nullstelle. 2. Für \(q(x)\): Aus den Zählerfaktoren folgen \(x_1=1\) und \(x_2=-\frac{2}{3}\). Die Definitionslücken liegen bei \(x=\pm3\). Beide Kandidaten liegen im Definitionsbereich und sind Nullstellen. 3. Für \(r(x)\): Der Zähler ist \(3(x-2)^2\) und hat den Kandidaten \(x=2\). Der Nenner ist \((x-2)(x+2)\), also gilt \(D_r = \mathbb{R} \setminus \{-2;2\}\). Da \(2 \notin D_r\), besitzt \(r\) keine Nullstelle.

a) \(x = 3\) b) \(x_1 = 1\); \(x_2 = -\frac{2}{3}\) c) Keine Nullstellen vorhanden.

- Bestimme zuerst, für welche \(x\)-Werte der Nenner des Bruchs Null wird. - Was passiert, wenn eine Zahl sowohl den Zähler als auch den Nenner auf Null setzt? - Erinnere dich an die Definition einer Nullstelle: Der Funktionswert muss definiert sein und Null ergeben.

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Die Nullstellen des Nenners \(x^2 - 5x + 6 = 0\) werden gesucht. Durch Faktorisieren erhält man \((x - 2)(x - 3) = 0\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\). Daher ist \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2; 3\}\). 2. Suche nach Nullstellen: Ein Bruch wird null, wenn der Zähler Null wird. Die Gleichung \(2x - 6 = 0\) liefert \(x = 3\). 3. Überprüfung der Bedingung: Der Wert \(x = 3\) ist jedoch nicht in der Definitionsmenge \(D_g\) enthalten, da er eine Definitionslücke (Nennernullstelle) darstellt. 4. Schlussfolgerung: Da der einzige Kandidat für eine Nullstelle nicht im Definitionsbereich liegt, besitzt die Funktion \(g\) keine Nullstellen.

\(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2; 3\}\). Die Funktion \(g\) besitzt keine Nullstellen, da die einzige Nullstelle des Zählers (\(x = 3\)) nicht in der Definitionsmenge liegt.

- Überlege, wie du eine Summe aus einer Zahl (oder einem Term) und einem Bruch zusammenfassen kannst. - Welchen Nenner müssen beide Teile haben, damit man sie addieren darf? - Wann genau wird ein Bruch gleich Null? - Achte darauf, ob deine gefundenen Werte überhaupt im Definitionsbereich der Funktion liegen.

1. Um den Term auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, wird der ganzrationale Teil \(x+1\) mit \((x-3)\) erweitert: \(f(x) = \frac{(x+1)(x-3)}{x-3} + \frac{4}{x-3}\). 2. Ausmultiplizieren des Zählers ergibt \((x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3\). 3. Addition der Brüche führt auf \(f(x) = \frac{x^2 - 2x - 3 + 4}{x-3} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x-3}\). 4. Zur Bestimmung der Nullstellen wird der Zähler gleich Null gesetzt: \(x^2 - 2x + 1 = 0\). 5. Anwendung der binomischen Formel oder der Mitternachtsformel liefert \((x-1)^2 = 0\), woraus die doppelte Nullstelle \(x = 1\) folgt. 6. Da \(x = 1\) nicht die Definitionslücke \(x = 3\) ist, ist dies die einzige Nullstelle.

Darstellung als Bruch: \(f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 3}\) Nullstelle: \(x = 1\)

- Suche zuerst einen gemeinsamen Nenner für die beiden Ausdrücke. - Denke beim Subtrahieren daran, dass sich das Vorzeichen aller Terme im Zähler des hinteren Bruchs ändern kann. - Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner gleichzeitig ungleich null bleibt. - Falls du eine quadratische Gleichung erhältst, kannst du bekannte Lösungsformeln verwenden.

1. Der Hauptnenner der beiden Brüche ist \(2(x-2)\). 2. Erweitern liefert \(g(x) = \frac{8}{2(x-2)} - \frac{x(x-2)}{2(x-2)}\). 3. Zusammenfassen ergibt \(g(x) = \frac{-x^2 + 2x + 8}{2x - 4}\). 4. Für Nullstellen muss der Zähler null sein: \(-x^2 + 2x + 8 = 0\), also \(x^2 - 2x - 8 = 0\). 5. Daraus folgen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\). Beide liegen in \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).

Darstellung als Bruch: \(g(x) = \frac{-x^2 + 2x + 8}{2x - 4}\) Nullstellen: \(x_1 = 4\) und \(x_2 = -2\)

- Wann ist ein Bruch definiert? Überlege, welche Werte für \(x\) im Nenner nicht erlaubt sind. - Reicht es aus, wenn nur der Zähler null wird, damit die gesamte Funktion eine Nullstelle hat? - Vergleiche die Stellen, an denen die Nenner beider Funktionen null werden. - Denke daran, dass eine Nullstelle immer im Definitionsbereich der Funktion liegen muss.

1. Für \(f\) gilt \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\), für \(g\) ist der Nenner \(x-1\). Daher ist \(D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). 2. Die Zählergleichung von \(f\) besitzt die Lösungen \(x=1\) und \(x=-1\). Da \(1 \notin D_f\), ist nur \(x=-1\) eine Nullstelle. Das alleinige Lösen der Zählergleichung reicht daher ohne Definitionsmengenabgleich nicht aus.

a) Die Aussage ist wahr. Es gilt \(D_f = D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). b) Die Aussage ist falsch. Die Zählergleichung liefert \(x = 1\) und \(x = -1\), aber \(x = 1\) ist ausgeschlossen; nur \(x=-1\) ist Nullstelle von \(f\).

- Wie viele Werte müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, wenn der Nenner ein quadratischer Term ist? - Erinnere dich an die Bedingung für Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen: Der Zähler muss null sein UND der Nenner darf an dieser Stelle nicht null sein. - Kannst du den Funktionsterm von \(h\) durch Faktorisieren und Kürzen vereinfachen? Beachte dabei, was mit den Definitionslücken passiert. - Überprüfe jede Lösung der Zählergleichung einzeln darauf, ob sie in der Definitionsmenge liegt.

1. Bestimmung der Definitionsmenge von \(h\): Der Nenner \(x^2 - 16 = 0\) liefert nach der dritten binomischen Formel \((x-4)(x+4)=0\) die ausgeschlossenen Werte \(x = 4\) und \(x = -4\). Somit ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(h\): Die Gleichung im Zähler \(x^2 - 4x = 0 \iff x(x - 4) = 0\) liefert die potenziellen Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Überprüfung der Definitionsmenge: Da \(4 \notin D_h\), ist nur \(x = 0\) eine Nullstelle. Damit besitzt \(h\) genau eine Nullstelle.

a) Die Aussage ist falsch. Die Definitionsmenge ist \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-4; 4\}\), da der Nenner auch für \(x = -4\) null wird. b) Die Aussage ist wahr. Für \(x = 0\) ist der Zähler null und der Wert liegt in der Definitionsmenge. c) Die Aussage ist falsch. Von den beiden Lösungen der Zählergleichung (\(0\) und \(4\)) ist nur die \(0\) eine Nullstelle, da \(4\) eine Definitionslücke ist.

- Wie kannst du eine Summe aus einer ganzen Zahl oder einem Term und einem Bruch so umschreiben, dass nur noch ein Bruch dasteht? - Welche Werte darf man für \(x\) in einen Bruch nicht einsetzen? - Wann genau wird ein Bruch gleich null? Worauf musst du dabei in Bezug auf den Nenner achten?

1. Der Term von \(f\) wird auf einen gemeinsamen Nenner gebracht: \(f(x) = \frac{(x-2)^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4x+3}{x-2}\). Damit stimmt der Term mit \(g(x)\) überein; beide Funktionen haben wegen desselben Nenners dieselbe Definitionsmenge. 2. Der Nenner wird für \(x=2\) null. Daher ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\). 3. Die Zählergleichung \(x^2 - 4x + 3 = 0\) liefert \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). Beide Werte liegen in \(D_f\) und sind Nullstellen.

1. \(f(x) = \frac{(x-2)^2-1}{x-2} = \frac{x^2-4x+3}{x-2} = g(x)\) 2. \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\) 3. \(x_1 = 1\); \(x_2 = 3\)

- Wie findet man heraus, ob ein quadratischer Ausdruck jemals den Wert null annimmt? - Welchen \(x\)-Wert haben alle Punkte, die auf der \(y\)-Achse liegen? - Was muss für den Zähler einer Funktion gelten, damit die gesamte Funktion den Wert null annimmt? - Kannst du den Wert des Zählers für beliebige \(x\) abschätzen?

1. Die Definitionsmenge wird durch die Nullstellen des Nenners bestimmt: \(x^2 + 4x + 6 = 0\). Die Diskriminante der quadratischen Gleichung ist \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8\). Da \(D < 0\), hat der Nenner keine reellen Nullstellen und es gilt \(D_g = \mathbb{R}\). 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ergibt sich durch \(g(0)\): \(g(0) = \frac{0^2 + 5}{0^2 + 4 \cdot 0 + 6} = \frac{5}{6}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(S_y(0 | \frac{5}{6})\). 3. Ein Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse erfordert \(g(x) = 0\), was nur für Nullstellen des Zählers möglich ist. Die Gleichung \(x^2 + 5 = 0\) führt zu \(x^2 = -5\), was in \(\mathbb{R}\) nicht lösbar ist. Alternativ lässt sich argumentieren, dass \(x^2 + 5 \geq 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt.

a) \(D_g = \mathbb{R}\) b) \(S_y(0 | \frac{5}{6})\) c) Da der Zähler \(x^2 + 5\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets größer oder gleich \(5\) (und somit ungleich \(0\)) ist, besitzt die Funktion keine Nullstellen.

- Erweitere alle Teile des Terms so, dass sie den gleichen Nenner haben. - Ein Bruch ist genau dann null, wenn sein Zähler null ist und der Nenner ungleich null bleibt. - Welche Methode kennst du, um quadratische Gleichungen zu lösen? - Gibt es Werte für \(x\), die man nicht in die Funktion einsetzen darf?

1. Die Terme werden auf den Hauptnenner \(x\) gebracht: \(f(x) = \frac{8}{x} + \frac{x \cdot x}{x} - \frac{6 \cdot x}{x}\). 2. Durch Zusammenfassen erhält man den Bruchterm: \(f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}\). 3. Die Nullstellen von \(f\) sind die Nullstellen des Zählerpolynoms: \(x^2 - 6x + 8 = 0\). 4. Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung \((x - 2)(x - 4) = 0\) liefert die Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 5. Da beide Werte ungleich der Definitionslücke \(x = 0\) sind, besitzt die Funktion die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

a) \(f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x}\) b) Die Nullstellen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\).

- Welche Faktoren muss ein normiertes quadratisches Polynom besitzen, wenn seine beiden Nullstellen bekannt sind? - Unterscheide sorgfältig zwischen einer Nullstelle des Zählers und einer Nullstelle der Funktion. - Prüfe bei jedem Zählernullstellen-Kandidaten zusätzlich, ob der Nenner dort von \(0\) verschieden ist.

1. Wegen \(D_r=\mathbb{R}\setminus\{-2;1\}\) muss der normierte quadratische Nenner die Nullstellen \(-2\) und \(1\) besitzen. Daher ist der Nenner \((x+2)(x-1)\). 2. Die tatsächliche Nullstelle \(x=3\) verlangt den Faktor \((x-3)\) im Zähler. Damit \(x=-2\) ebenfalls Zählernullstelle ist, aber wegen der Definitionslücke keine Funktionsnullstelle wird, enthält der Zähler zusätzlich \((x+2)\). 3. Da auch der Zähler normiert sein soll, ergibt sich \(r(x)=\frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-1)}\). 4. Der Nenner schließt \(-2\) und \(1\) aus. Bei \(x=3\) ist der Zähler \(0\), der Nenner aber nicht. Bei \(x=-2\) sind Zähler und Nenner \(0\), sodass diese Stelle nicht zur Definitionsmenge gehört und keine Nullstelle von \(r\) ist.

Ein passender Term ist \(r(x)=\frac{(x+2)(x-3)}{(x+2)(x-1)}\). Der Nenner schließt \(x=-2\) und \(x=1\) aus; \(x=3\) ist die einzige zulässige Zählernullstelle. Bei \(x=-2\) sind Zähler und Nenner null, daher ist dieser Wert keine Nullstelle der Funktion.

- Überlege dir, welcher Wert für \(x\) im Nenner nicht erlaubt ist. - Wie hängen die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen mit den Funktionstermen zusammen? - Was bedeutet es für eine quadratische Gleichung, wenn sie genau eine Lösung besitzen soll? - Denke daran, dass Lösungen außerhalb des Definitionsbereichs keine Schnittpunkte liefern.

1. Es gilt \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Die Nullstelle von \(g\) liegt bei \(x=1\). Für \(f_k\) ergibt \(2x+k=0\) den Kandidaten \(x=-\frac{k}{2}\). Für \(k=-2\) ist dieser Wert ausgeschlossen; dann hat \(f_k\) keine Nullstelle. Für \(k\neq-2\) ist \(x=-\frac{k}{2}\) die Nullstelle. 2. Für \(k=6\) führt \(f_6(x)=g(x)\) auf \(\frac{2x+6}{x-1}=x-1\) und damit auf \(x^2-4x-5=0\). Es folgen \(x_1=5\) und \(x_2=-1\). Mit \(g(5)=4\) und \(g(-1)=-2\) erhält man \(S_1(5\mid4)\) und \(S_2(-1\mid-2)\). 3. Die Gleichung \(f_k(x)=g(x)\) ist äquivalent zu \(d_k(x)=f_k(x)-g(x)=0\). Daher sind die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte genau die Nullstellen von \(d_k\). 4. Die Schnittpunktgleichung lautet \(x^2-4x+1-k=0\). Genau ein gemeinsamer Punkt entsteht entweder bei einer doppelten reellen Lösung oder wenn eine von zwei Lösungen die ausgeschlossene Stelle \(x=1\) ist. Für die doppelte Lösung gilt \(16-4(1-k)=0\), also \(k=-3\); die Lösung \(x=2\) ist zulässig. Für eine Lösung \(x=1\) folgt \(1-4+1-k=0\), also \(k=-2\). Dann sind die Lösungen \(x=1\) und \(x=3\), wobei nur \(x=3\) zulässig ist. Damit gilt \(k=-3\) oder \(k=-2\).

a) \(D_{f_k} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstelle von \(g\): \(x = 1\); Nullstelle von \(f_k\): \(x = -\frac{k}{2}\) für \(k \neq -2\), keine für \(k = -2\). b) \(S_1(5 \mid 4)\), \(S_2(-1 \mid -2)\) c) Die zulässigen \(x\)-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Nullstellen der Differenzfunktion \(d_k\). d) \(k = -3\) oder \(k = -2\)

- Setze die Funktionsterme gleich, um eine Gleichung für mögliche Schnittpunkte zu erhalten. - Welche verschiedenen Gründe kann es geben, dass diese Schnittpunktgleichung keine zulässige reelle Lösung liefert? - Achte darauf, ob gefundene \(x\)-Werte im Definitionsbereich der Funktion \(h_a\) liegen.

1. Es gilt \(D_{h_a} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). Für \(a=-6\) wird der Zähler bei \(x=2\) null; da \(2\in D_{h_a}\), ist \(x=2\) die Nullstelle. 2. Für \(a=-5\) liefert \(h_{-5}(x)=l(x)\) die Gleichung \(\frac{3x-5}{x-1}=x-1\), also \(x^2-5x+6=0\). Daraus folgen \(x_1=2\) und \(x_2=3\). Mit \(l(2)=1\) und \(l(3)=2\) erhält man \(S_1(2\mid1)\) und \(S_2(3\mid2)\). 3. Allgemein führt die Schnittpunktbedingung auf \(x^2-5x+1-a=0\). Keine reellen Lösungen liegen vor, wenn \(21+4a<0\), also \(a<-5{,}25\). Zusätzlich ist zu prüfen, ob nur ausgeschlossene Lösungen entstehen. Die ausgeschlossene Stelle \(x=1\) ist für \(a=-3\) Lösung; dann ist jedoch \(x=4\) eine zweite, zulässige Lösung. Daher bleibt genau die Bedingung \(a<-5{,}25\).

a) \(D_{h_a} = \mathbb{R} \setminus \{1\}\); Nullstelle für \(a = -6\): \(x = 2\) b) \(S_1(2 \mid 1)\), \(S_2(3 \mid 2)\) c) Für \(a < -5{,}25\) haben die Graphen keinen gemeinsamen Punkt.