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- Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung im gesamten Bereich. - Überlege, was passiert, wenn die Ableitung genau Null ist. - Bedenke, dass eine streng monotone Funktion immer auch die einfache Monotonie-Eigenschaft erfüllt. - Prüfe, ob eine Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedliches Steigungsverhalten zeigt.

1. Für \(f_1(x) = x^3 + 5x\) gilt \(f_1'(x) = 3x^2 + 5\). Da \(3x^2 + 5 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist die Funktion streng monoton zunehmend (a) und damit auch monoton zunehmend (c). 2. Für \(f_2(x) = 4 - x^2\) gilt \(f_2'(x) = -2x\). Die Ableitung wechselt bei \(x = 0\) das Vorzeichen (\(f_2'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(f_2'(x) < 0\) für \(x > 0\)). Somit ist die Funktion auf \(\mathbb{R}\) weder monoton zunehmend noch abnehmend. 3. Für \(f_3(x) = -2x - 7\) gilt \(f_3'(x) = -2\). Da \(f_3'(x) < 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist die Funktion streng monoton abnehmend (b) und damit auch monoton abnehmend (d). 4. Für \(f_4(x) = 8\) gilt \(f_4'(x) = 0\). Da \(f_4'(x) \ge 0\) und \(f_4'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) erfüllt ist, ist die Funktion sowohl monoton zunehmend (c) als auch monoton abnehmend (d), jedoch nicht streng.

\(f_1\): a, c \(f_2\): keine der Eigenschaften trifft auf ganz \(\mathbb{R}\) zu \(f_3\): b, d \(f_4\): c, d

- Was sagt der Wert der ersten Ableitung an einer Stelle über den Verlauf des Graphen aus? - Kannst du die Steigung an den gesuchten Stellen berechnen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen der Steigung für das Wachstum der Funktion?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\). 2. Überprüfung an der Stelle \(x = -2\): Einsetzen in die Ableitungsfunktion ergibt \(f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15\). Da \(f'(-2) > 0\), steigt der Graph an dieser Stelle. 3. Überprüfung an der Stelle \(x = 2\): Einsetzen ergibt \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9\). Da \(f'(2) < 0\), fällt der Graph an dieser Stelle.

An der Stelle \(x = -2\) besitzt der Graph eine positive Steigung (\(f'(-2) = 15 > 0\)). An der Stelle \(x = 2\) besitzt der Graph eine negative Steigung (\(f'(2) = -9 < 0\)).

- Welches Werkzeug hilft dir dabei, die Steigung einer Funktion zu analysieren? - Suche nach den Stellen, an denen die Steigung Null ist. - Teile den Definitionsbereich in Intervalle ein und prüfe das Vorzeichen der Ableitung in jedem Abschnitt. - Denk daran, dass die Funktion an den Grenzen der Intervalle stetig ist.

1. Erste Ableitung bilden: \(h'(x) = 6x^2 - 30x + 36\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(6(x^2 - 5x + 6) = 0\). Mit der pq-Formel oder Faktorisierung \((x-2)(x-3) = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(h'(x)\): - Intervall \((-\infty; 2)\): Wähle \(x=0 \Rightarrow h'(0) = 36 > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - Intervall \((2; 3)\): Wähle \(x=2{,}5 \Rightarrow h'(2{,}5) = 6(6{,}25 - 12{,}5 + 6) = -1{,}5 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - Intervall \((3; \infty)\): Wähle \(x=4 \Rightarrow h'(4) = 6(16 - 20 + 6) = 12 > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. 4. Zusammenfassung: \(h\) ist streng monoton steigend für \(x \leq 2\) sowie für \(x \geq 3\) und streng monoton fallend für \(2 \leq x \leq 3\).

Die Funktion \(h\) ist im Intervall \((-\infty; 2]\) streng monoton steigend, im Intervall \([2; 3]\) streng monoton fallend und im Intervall \([3; \infty)\) streng monoton steigend.

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und die Steigung des Graphen zusammen? - Welche Stellen im Definitionsbereich solltest du zuerst finden, um die Monotoniebereiche abzugrenzen? - Teste Werte aus den Bereichen zwischen den Nullstellen der Ableitung, um das Vorzeichen zu bestimmen. - Überlege, wie du die Ränder der Intervalle in deine Lösung einbeziehst.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'\): Aus \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\) folgen durch Faktorisierung \(x(x - 1)(x - 2) = 0\) die Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 3. Vorzeichenuntersuchung von \(f'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: - Für \(x < 0\) ist \(f'(x) < 0\). - Für \(0 < x < 1\) ist \(f'(x) > 0\). - Für \(1 < x < 2\) ist \(f'(x) < 0\). - Für \(x > 2\) ist \(f'(x) > 0\). 4. Anwendung des Monotoniesatzes: Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in (-\infty; 0]\) und \(x \in [1; 2]\). Sie ist streng monoton steigend für \(x \in [0; 1]\) und \(x \in [2; \infty)\).

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \((-\infty; 0]\) streng monoton fallend, im Intervall \([0; 1]\) streng monoton steigend, im Intervall \([1; 2]\) streng monoton fallend und im Intervall \([2; \infty)\) streng monoton steigend.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und das Monotonieverhalten der Funktion \(f\) zusammen? - Liegt der Graph von \(f'\) in den jeweiligen Intervallen oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der Ableitung?

1. Zusammenhang zwischen \(f'\) und dem Monotonieverhalten von \(f\): Eine differenzierbare Funktion ist streng monoton steigend, wenn ihre Ableitung im Inneren des Intervalls positiv ist, und streng monoton fallend, wenn ihre Ableitung dort negativ ist. Eine waagerechte Tangente liegt vor, wenn \(f'(x) = 0\) gilt. 2. Aussage a): Im Intervall \((-1; 0)\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([-1; 0]\) streng monoton steigend. Die Aussage ist wahr. 3. Aussage b): Im Intervall \((1; 2)\) liegt der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([1; 2]\) streng monoton fallend. Die Aussage ist falsch. 4. Aussage c): Bei \(x = 1\) schneidet der Graph von \(f'\) die \(x\)-Achse, also gilt \(f'(1) = 0\). Daher besitzt der Graph von \(f\) dort eine waagerechte Tangente. Die Aussage ist wahr.

a) Wahr: \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-1; 0)\). b) Falsch: \(f'(x) < 0\) für \(x \in (1; 2)\), daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. c) Wahr: \(f'(1) = 0\), daher ist die Tangente dort waagerecht.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung \(f'(x)\) und die Monotonie der Funktion \(f\) zusammen? - Liegt der Graph von \(f'\) in einem Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Betrachte die drei Intervalle einzeln.

1. Eine differenzierbare Funktion \(f\) ist in einem Intervall streng monoton wachsend, wenn \(f'(x) > 0\) im Inneren des Intervalls gilt, und streng monoton fallend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt. 2. Im Intervall \(I_1 = [-1; 1]\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse. Somit ist \(f\) dort streng monoton wachsend: A. 3. Im Intervall \(I_2 = [1; 3]\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse. Somit ist \(f\) dort streng monoton fallend: B. 4. Im Intervall \(I_3 = [3; 4]\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse. Somit ist \(f\) dort streng monoton wachsend: A.

\(I_1\): A, \(I_2\): B, \(I_3\): A

- Waagerechte Tangenten liegen an Nullstellen der Ableitung. - Die Richtung des Vorzeichenwechsels entscheidet zwischen Hoch- und Tiefpunkt. - Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt, ob \(f\) steigt oder fällt.

1. Eine waagerechte Tangente liegt an den Nullstellen der Ableitung vor. Aus dem Graphen liest man \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\) ab. 2. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher wechselt \(f\) von Steigen zu Fallen und besitzt dort einen lokalen Hochpunkt. 3. Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\), im Inneren sogar \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend.

a) Waagerechte Tangenten liegen bei \(x = -3\), \(x = 0\) und \(x = 3\) vor. b) Bei \(x = 0\) hat \(f\) einen Hochpunkt, da \(f'\) von Plus nach Minus wechselt. c) Auf \([0; 3]\) ist \(f\) streng monoton fallend, da \(f'(x) \le 0\) und im Inneren negativ ist.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\). - Was bedeutet es für \(f\), wenn der Graph von \(f'\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt? - Achte auf Nullstellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse schneidet oder nur berührt. - Was bedeutet eine einzelne Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel für die Monotonie?

Um das Monotonieverhalten von \(f\) zu bestimmen, wird das Vorzeichen von \(f'\) betrachtet. 1. In Abbildung a) gilt \(f'(x) > 0\) für \(1 < x < 4\) und \(f'(x) < 0\) für \(-1 \le x < 1\) sowie \(4 < x \le 6\). Daher ist \(f\) auf \([1; 4]\) streng monoton steigend und auf \([-1; 1]\) sowie \([4; 6]\) streng monoton fallend. 2. In Abbildung b) gilt im dargestellten Bereich \(f'(x) \ge 0\), wobei \(f'\) nur bei \(x = 2\) null ist. Daher ist \(f\) auf \([-1; 5]\) streng monoton steigend. Ein streng monoton fallendes Intervall gibt es nicht.

a) Streng monoton steigend auf \([1; 4]\); streng monoton fallend auf \([-1; 1]\) und \([4; 6]\). b) Streng monoton steigend auf \([-1; 5]\); kein streng monoton fallendes Intervall.

- An Stellen mit waagerechter Tangente hat die Ableitung den Wert \(0\). - Vergleiche die Vorzeichen der beiden Kandidaten dort, wo \(f_1\) steigt oder fällt. - Für die Monotonieintervalle von \(f_1\) benötigst du die Nullstellen und Vorzeichen der zugeordneten Ableitung.

1. Der Graph von \(f_1\) besitzt bei \(x\approx-1{,}83\) und \(x\approx1{,}83\) waagerechte Tangenten. Daher muss die zugehörige Ableitung dort Nullstellen haben. 2. Zwischen diesen Stellen fällt \(f_1\). Die zugehörige Ableitung muss dort negativ sein. Dies trifft auf \(g\) zu, während \(h\) dort positiv ist. Folglich gehört \(g\) zu \(f_1\) und \(h\) zu \(f_2\). 3. Im dargestellten Bereich ist \(f_1\) auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\) streng monoton wachsend und auf \([-1{,}83;1{,}83]\) streng monoton fallend.

a) \(f_1\rightarrow g\) und \(f_2\rightarrow h\). b) \(f_1\) ist auf \([-3{,}5;-1{,}83]\) und \([1{,}83;3{,}5]\) streng monoton wachsend sowie auf \([-1{,}83;1{,}83]\) streng monoton fallend.

- Lies die Hoch- und Tiefpunkte aus dem Graphen ab. - Wie verändert sich das Monotonieverhalten an diesen Extremstellen? - Berücksichtige die Grenzen des Definitionsbereichs \([-3; 5]\).

1. Lokale Extrema ablesen: - Ein lokales Maximum liegt bei \(x = -1\). - Ein lokales Minimum liegt bei \(x = 3\). 2. Monotonieverhalten bestimmen: - Auf \([-3; -1]\) ist die Funktion streng monoton wachsend. - Auf \([-1; 3]\) ist die Funktion streng monoton fallend. - Auf \([3; 5]\) ist die Funktion streng monoton wachsend.

Streng monoton wachsend auf \([-3; -1]\) und \([3; 5]\); streng monoton fallend auf \([-1; 3]\).

- Wie hängt das Vorzeichen von \(f'\) mit dem Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - In welchen Bereichen liegt der Graph von \(f'\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse? - Welche Vorzeichenwechsel liegen an den Nullstellen vor?

1. Monotonieintervalle bestimmen: Im Intervall \([-1; 3]\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. In den Intervallen \([-4; -1]\) und \([3; 6]\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb oder auf der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 2. Extremstellen ermitteln und klassifizieren: Die Nullstellen der Ableitung liegen bei \(x = -1\) und \(x = 3\). Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein lokales Minimum vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt ein lokales Maximum vor.

a) Streng monoton steigend auf \([-1; 3]\); streng monoton fallend auf \([-4; -1]\) und \([3; 6]\). b) Lokales Minimum bei \(x = -1\) wegen des Vorzeichenwechsels von Minus nach Plus; lokales Maximum bei \(x = 3\) wegen des Vorzeichenwechsels von Plus nach Minus.

- Wie hängt das Vorzeichen von \(f'\) mit dem Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - Welcher Vorzeichenwechsel der Ableitung kennzeichnet ein lokales Minimum? - Liegt der Ableitungsgraph in den angegebenen Intervallen oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse?

1. Aussage a) ist wahr: Im Intervall \((1; 4)\) liegt der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([1; 4]\) streng monoton fallend. 2. Aussage b) ist falsch: Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum und kein lokales Maximum. 3. Aussage c) ist wahr: Im Intervall \((-1; 1)\) liegt der Graph von \(f'\) oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([-1; 1]\) streng monoton steigend.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr

- Nutze die gegebene Monotonie nur in der Richtung von \(f\) zu möglichen Vorzeichen von \(f'\). - Was folgt an den beiden Stellen, an denen \(f\) sein Monotonieverhalten wechselt und zugleich differenzierbar ist? - Vergleiche anschließend die Nullstellen und Vorzeichenbereiche der drei Kandidaten.

1. Aus der angegebenen strengen Monotonie folgt als notwendige Bedingung: Für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)\ge 0\), für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)\le 0\). Die Umkehrung „\(f'\ge 0\) bedeutet streng wachsend“ wäre ohne Zusatzbedingungen nicht allgemein richtig. 2. Da \(f\) bei \(x=-1\) von streng wachsend zu streng fallend und bei \(x=3\) wieder zu streng wachsend wechselt und dort differenzierbar ist, gilt \(f'(-1)=0\) und \(f'(3)=0\). 3. Graph III scheidet aus, weil seine Nullstellen nicht bei \(-1\) und \(3\) liegen. 4. Graph I ist außerhalb des Intervalls \((-1;3)\) nichtnegativ und innerhalb nichtpositiv. Graph II zeigt die umgekehrten Vorzeichen. 5. Daher kann Graph I der Graph von \(f'\) sein.

Graph I kann der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) sein.

- Betrachte den Verlauf jedes Graphen von links nach rechts innerhalb der markierten Grenzen. - Streng monoton wachsend bedeutet: Für alle \(x_1 < x_2\) im Intervall gilt \(f(x_1) < f(x_2)\). Für streng monoton fallend gilt entsprechend \(f(x_1) > f(x_2)\). - Ein waagerechter Abschnitt schließt strenge Monotonie aus. - Prüfe den gesamten Verlauf im markierten Intervall.

1. Graph a): Der Funktionswert sinkt im gesamten Intervall \(I = [1; 5]\) kontinuierlich. Die Funktion ist streng monoton fallend: Aussage 3. 2. Graph b): Der Graph steigt zunächst, verläuft zwischen \(x = 2\) und \(x = 4\) waagerecht und steigt danach weiter. Wegen des konstanten Abschnitts ist die Funktion monoton wachsend, aber nicht streng: Aussage 2. 3. Graph c): Der Graph steigt im gesamten Intervall \(I = [1; 5]\) kontinuierlich. Die Funktion ist streng monoton wachsend: Aussage 1.

a) entspricht Aussage 3; b) entspricht Aussage 2; c) entspricht Aussage 1.

- Schaue dir an, ob der Graph innerhalb der Grenzen eines Intervalls seine Richtung ändert. - Wenn ein Graph in einem Intervall sowohl einen steigenden als auch einen fallenden Teil hat, ist er dort nicht monoton. - Überlege dir, wo die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion liegen könnten.

1. Intervall \(I_1 = [-2{,}5; -1]\): Der Graph steigt in diesem Bereich von links nach rechts überall an. Die Funktionswerte werden mit größer werdendem \(x\) stets größer. Ergebnis: streng monoton wachsend. 2. Intervall \(I_2 = [-0{,}5; 1]\): In diesem Bereich befindet sich bei \(x = 0\) ein lokaler Hochpunkt. Die Funktion steigt zunächst und fällt danach. Ergebnis: nicht monoton. 3. Intervall \(I_3 = [1{,}5; 3{,}5]\): In diesem Bereich fällt der Graph von links nach rechts kontinuierlich. Die Funktionswerte werden mit größer werdendem \(x\) stets kleiner. Ergebnis: streng monoton fallend.

\(I_1\): streng monoton wachsend \(I_2\): nicht monoton \(I_3\): streng monoton fallend

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f\), wenn der Graph von \(f'\) oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft? - Erinnere dich an die Kriterien für lokale Extremstellen: Welche Rolle spielt dabei der Vorzeichenwechsel der Ableitung an einer Nullstelle?

1. Wahr: Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Daraus folgt, dass die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigt. 2. Falsch: Im Intervall \([2; 3]\) liegt der Graph von \(f'\) unterhalb der \(x\)-Achse, es gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist die Funktion \(f\) dort streng monoton fallend. 3. Wahr: An der Stelle \(x = 1\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Dies ist die hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum der Funktion \(f\).

1. Wahr (da \(f'(x) > 0\)) 2. Falsch (da \(f'(x) < 0\)) 3. Wahr (Nullstelle von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\))

- Beobachte den Verlauf des Graphen von links nach rechts: Geht es bergauf oder bergab? - Die Stellen, an denen der Graph von Steigen auf Fallen oder umgekehrt wechselt, markieren die Grenzen deiner Intervalle. - Achte darauf, die \(x\)-Werte für die Intervallgrenzen präzise an der Achse abzulesen.

1. Analyse des Graphen von links nach rechts: Die Funktion sinkt zunächst bis zum lokalen Minimum bei \(x = -2\). 2. Erstes Intervall: Streng monoton fallend für \(x \in [-3; -2]\). 3. Anstieg vom Minimum bei \(x = -2\) bis zum lokalen Maximum bei \(x = 0\). 4. Zweites Intervall: Streng monoton wachsend für \(x \in [-2; 0]\). 5. Erneutes Sinken vom Maximum bei \(x = 0\) bis zum lokalen Minimum bei \(x = 2\). 6. Drittes Intervall: Streng monoton fallend für \(x \in [0; 2]\). 7. Anstieg vom Minimum bei \(x = 2\) bis zum Rand des Definitionsbereichs bei \(x = 3\). 8. Viertes Intervall: Streng monoton wachsend für \(x \in [2; 3]\).

Streng monoton fallend: \([-3; -2]\) und \([0; 2]\) Streng monoton wachsend: \([-2; 0]\) und \([2; 3]\)

- Wo sind die „Gipfel“ und „Täler“ der Kurve? - Überlege dir, in welchen Bereichen eine Tangente an den Graphen eine negative Steigung hätte. - Die Intervalle beziehen sich immer auf die Werte auf der horizontalen \(x\)-Achse.

1. Identifikation der Extrempunkte: Der Graph hat ein lokales Minimum bei \(x \approx -1{,}4\) und ein lokales Maximum bei \(x \approx 1{,}4\). 2. Bestimmung des Steigungsverhaltens: Links vom Minimum, also für \(x < -1{,}4\), und rechts vom Maximum, also für \(x > 1{,}4\), fällt der Graph. 3. Zwischen den beiden Extrempunkten, also für \(-1{,}4 < x < 1{,}4\), steigt der Graph. 4. Unter Berücksichtigung der sichtbaren Ränder bei \(x = -3\) und \(x = 3\) ist \(g\) in \([-3; -1{,}4]\) und \([1{,}4; 3]\) streng monoton fallend.

Die Funktion \(g\) ist in den Intervallen \([-3; -1{,}4]\) und \([1{,}4; 3]\) streng monoton fallend.

- Betrachte das Höhenprofil von links nach rechts: Wo nimmt die Höhe ab, wo nimmt sie zu? - Die Stelle, an der der Abstieg endet und der Aufstieg beginnt, trennt die beiden Intervalle. - Nutze die Werte des Wegparameters als Intervallgrenzen.

1. Der Tiefpunkt des Graphen liegt bei \(x=2\). 2. Von \(x=-2\) bis \(x=2\) sinkt die Höhe kontinuierlich. Der Wanderer geht im Intervall \([-2;2]\) bergab. 3. Von \(x=2\) bis \(x=6\) steigt die Höhe kontinuierlich. Der Wanderer geht im Intervall \([2;6]\) bergauf.

Bergab: \([-2;2]\) Bergauf: \([2;6]\)

- Wo befinden sich Hoch- und Tiefpunkt des Temperaturverlaufs? - Ein maximales Monotonieintervall endet dort, wo der Verlauf seine Richtung wechselt. - Lies die zugehörigen Zeitparameter an der horizontalen Achse ab.

1. Ein Hochpunkt liegt bei \(x=-2\), ein Tiefpunkt bei \(x=3\). 2. Der Graph steigt vom Startpunkt bis zum Hochpunkt sowie vom Tiefpunkt bis zum Endpunkt. Die Temperatur nimmt in \([-4;-2]\) und \([3;5]\) streng monoton zu. 3. Zwischen dem Hochpunkt und dem Tiefpunkt fällt der Graph. Die Temperatur nimmt in \([-2;3]\) streng monoton ab.

Streng monoton zunehmend: \([-4;-2]\) und \([3;5]\) Streng monoton abnehmend: \([-2;3]\)

- Markiere dir zuerst alle Hoch- und Tiefpunkte auf dem Graphen. - Konzentriere dich nur auf die Teile der Kurve, die von links nach rechts bergab führen. - Vergiss nicht, die Randbereiche des Definitionsbereichs zu prüfen.

1. Identifikation der Extremstellen: Der Graph erreicht bei \(x = -2\) einen lokalen Tiefpunkt und bei \(x = 4\) einen lokalen Hochpunkt. 2. Ermittlung der fallenden Abschnitte: Der Graph sinkt im ersten Abschnitt vom Randpunkt bis zum Tiefpunkt, also im Intervall \([-4; -2]\). Ein weiterer fallender Abschnitt beginnt nach dem Hochpunkt und reicht bis zum rechten Rand, also im Intervall \([4; 6]\). 3. Überprüfung des mittleren Abschnitts: Zwischen \(x = -2\) und \(x = 4\) steigt der Graph an, dort liegt also kein Fallen vor. 4. Ergebnis: Die Funktion ist in den Intervallen \([-4; -2]\) und \([4; 6]\) streng monoton fallend.

Die Funktion \(f\) ist in den Intervallen \([-4; -2]\) und \([4; 6]\) streng monoton fallend.

- Verfolge das Rampenprofil von links nach rechts und achte darauf, wo die Höhe zunimmt. - Die Richtung kann sich an Hoch- oder Tiefpunkten ändern. - Nutze die Symmetrie des Profils als Kontrolle für die abgelesenen Intervalle.

1. Der Graph besitzt Tiefpunkte bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x=0\). 2. Vom linken Tiefpunkt bis zum Hochpunkt steigt der Graph, also für \(x\) von \(-2\) bis \(0\). 3. Vom rechten Tiefpunkt bis zum rechten Rand steigt der Graph erneut, also für \(x\) von \(2\) bis \(3\). 4. Daher ist \(k\) auf \([-2;0]\) und \([2;3]\) streng monoton wachsend.

Streng monoton wachsend auf \([-2;0]\) und \([2;3]\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion und dem Monotonieverhalten der Originalfunktion. - Was bedeutet es für den Graphen von \(f\), wenn \(f'(x)\) immer negativ ist? - Schau dir an, ob der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse schneidet oder berührt.

1. Der Graph von \(f'\) liegt im dargestellten Bereich vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) auf \([-1;5]\) streng monoton fallend. 2. Der Graph von \(g'\) liegt im dargestellten Bereich vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(g\) auf \([-1;5]\) streng monoton steigend.

\(f\): streng monoton fallend auf \([-1;5]\). \(g\): streng monoton steigend auf \([-1;5]\).

- Erinnere dich an das Monotoniekriterium: Was muss für die Ableitung gelten, damit die Funktion fällt? - Suche im Graphen nach den Stellen, an denen die Funktionswerte der Ableitung negativ sind. - Die Nullstellen der Ableitungsfunktion markieren oft den Übergang zwischen steigenden und fallenden Bereichen.

Eine Funktion \(h\) ist streng monoton fallend, wenn \(h'(x)<0\) gilt. Im dargestellten Bereich liegt der Graph von \(h'\) für \(-6\le x<-4\) und \(1<x<5\) unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(h\) auf \([-6;-4]\) und \([1;5]\) streng monoton fallend.

Streng monoton fallend auf \([-6;-4]\) und \([1;5]\).

- Schau dir den höchsten Punkt des Graphen (den Scheitelpunkt) an. Was passiert mit den y-Werten, wenn du dich von links nach rechts auf der x-Achse bewegst? - Überlege dir, an welcher Stelle der Graph seine Richtung ändert.

1. Den Scheitelpunkt des Graphen ablesen: Er liegt bei \(S(-2 \mid 3)\). 2. Die Monotonie bestimmen: Links vom Scheitelpunkt steigt der Graph an, rechts davon fällt er ab. 3. Die Intervalle angeben: - Im Intervall \([-5; -2]\) ist die Funktion \(f\) streng monoton steigend. - Im Intervall \([-2; 1]\) ist die Funktion \(f\) streng monoton fallend.

Im Bereich \(-5 \le x \le 1\) ist die Funktion \(f\) im Intervall \([-5; -2]\) streng monoton steigend und im Intervall \([-2; 1]\) streng monoton fallend.

- Wo liegt der tiefste Punkt der Kurve? - Stell dir vor, du läufst den Graphen von links nach rechts ab. Wo geht es bergab, wo bergauf?

1. Den tiefsten Punkt (Scheitelpunkt) der Parabel identifizieren: Dieser befindet sich bei \(x = 3\). 2. Das Verhalten links und rechts vom Tiefpunkt analysieren: - Für \(x\)-Werte von \(0\) bis \(3\) werden die Funktionswerte kleiner; der Graph fällt. - Für \(x\)-Werte von \(3\) bis \(6\) werden die Funktionswerte größer; der Graph steigt. 3. Ergebnis: - Streng monoton fallend für \(x \in [0; 3]\). - Streng monoton steigend für \(x \in [3; 6]\).

Im Bereich \([0; 6]\) ist die Funktion \(f\) für \(x \in [0; 3]\) streng monoton fallend und für \(x \in [3; 6]\) streng monoton steigend.

- Achte auf die Stellen, an denen der Graph von einer Steigung in ein Gefälle übergeht (Hoch- und Tiefpunkte). - Teile die x-Achse in Abschnitte ein, die durch diese Extremstellen begrenzt werden.

1. Die lokalen Extrempunkte des Graphen identifizieren: Es gibt einen Hochpunkt bei \(H(-2 \mid 4)\) und einen Tiefpunkt bei \(T(2 \mid -4)\). 2. Die Monotoniebereiche zwischen den Extremstellen und den Randpunkten bestimmen: - Von \(x = -4\) bis \(x = -2\) steigt der Graph: streng monoton steigend. - Von \(x = -2\) bis \(x = 2\) fällt der Graph: streng monoton fallend. - Von \(x = 2\) bis \(x = 4\) steigt der Graph wieder: streng monoton steigend. 3. Zusammenfassung der Intervalle: - Streng monoton steigend in \([-4; -2]\) und \([2; 4]\). - Streng monoton fallend in \([-2; 2]\).

Die Funktion \(f\) ist im Bereich \(-4 \le x \le 4\) in den Intervallen \([-4; -2]\) und \([2; 4]\) streng monoton steigend sowie im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fallend.

- Lies die \(x\)-Werte der Hoch- und Tiefpunkte ab. - Beschreibe für jeden dadurch entstehenden Abschnitt, ob der Graph steigt oder fällt.

1. Den Verlauf des Graphen im Intervall \([-1; 3]\) betrachten: - Der Graph fällt zunächst bis zum Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 0)\). - Vom Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\) steigt der Graph bis zum Hochpunkt bei \(H(2 \mid 4)\). - Ab dem Hochpunkt \(H(2 \mid 4)\) fällt der Graph wieder bis zum Randpunkt bei \(x = 3\). 2. Die Intervalle formulieren: - Im Intervall \([-1; 0]\) ist \(f\) streng monoton fallend. - Im Intervall \([0; 2]\) ist \(f\) streng monoton steigend. - Im Intervall \([2; 3]\) ist \(f\) streng monoton fallend.

Im Bereich \(-1 \le x \le 3\) ist die Funktion \(f\) in den Intervallen \([-1; 0]\) und \([2; 3]\) streng monoton fallend und im Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend.

- Verfolge den Graphen von links nach rechts und achte darauf, an welchen Stellen er seine Bewegungsrichtung ändert. - Die Extremstellen teilen den dargestellten Bereich in die gesuchten Monotonieintervalle.

1. Der Graph besitzt im dargestellten Bereich einen Tiefpunkt bei \(x=-1\) und einen Hochpunkt bei \(x=1\). 2. Von \(x=-2\) bis \(x=-1\) fällt der Graph streng, von \(x=-1\) bis \(x=1\) steigt er streng und von \(x=1\) bis \(x=2\) fällt er wieder streng. 3. Daher ist \(f\) auf \([-2;-1]\) und \([1;2]\) streng monoton fallend sowie auf \([-1;1]\) streng monoton steigend.

Streng monoton fallend auf \([-2;-1]\) und \([1;2]\); streng monoton steigend auf \([-1;1]\).

- Achte auf die Stellen, an denen der Graph seine Richtung ändert (Hoch- und Tiefpunkte). - Überlege dir, was „steigend“ und „fallend“ für den Verlauf der Kurve von links nach rechts bedeutet. - Die Grenzen der Intervalle sind genau die x-Werte der Extrempunkte.

1. Der Graph besitzt bei \(x=-1\) ein lokales Minimum und bei \(x=3\) ein lokales Maximum. 2. Im dargestellten Bereich fällt der Graph auf \([-3;-1]\), steigt auf \([-1;3]\) und fällt anschließend auf \([3;5]\).

Streng monoton steigend auf \([-1;3]\); streng monoton fallend auf \([-3;-1]\) und \([3;5]\).

- Wo sind die Steigungen der Tangenten an den Graphen positiv, wo sind sie negativ? - Betrachte die Bereiche, in denen der Graph von links nach rechts bergauf oder bergab verläuft.

1. Der Graph besitzt lokale Maxima bei \(x=-2\) und \(x=2\) sowie ein lokales Minimum bei \(x=0\). 2. Im dargestellten Bereich ist der Graph auf \([-4;-2]\) und \([0;2]\) streng monoton steigend sowie auf \([-2;0]\) und \([2;4]\) streng monoton fallend.

Streng monoton steigend auf \([-4;-2]\) und \([0;2]\); streng monoton fallend auf \([-2;0]\) und \([2;4]\).

- Schau dir an, wo die Kurve nach rechts oben geht und wo sie nach rechts unten geht. - Die Hoch- und Tiefpunkte sind die Stellen, an denen die Kurve ihre Richtung ändert. - Lies die Werte für Zeit und Wasserstand am Gitter ab. - Für die niedrigste Stelle musst du auch die Randwerte berücksichtigen.

1. Der Wasserstand steigt in den Intervallen \([0;3]\), \([6;9]\) und \([12;13]\). Er fällt in den Intervallen \([3;6]\) und \([9;12]\). 2. Lokale Hochpunkte liegen bei \(t=3\,\text{h}\) mit \(h=5\,\text{m}\) und bei \(t=9\,\text{h}\) mit \(h=4\,\text{m}\). 3. Lokale Tiefpunkte liegen bei \(t=6\,\text{h}\) mit \(h=0{,}5\,\text{m}\) und bei \(t=12\,\text{h}\) mit \(h=1\,\text{m}\). 4. Vergleicht man diese Werte mit den Randwerten \(h(0)=2\,\text{m}\) und \(h(13)=1{,}5\,\text{m}\), ist der kleinste Wert \(0{,}5\,\text{m}\) bei \(t=6\,\text{h}\).

a) Der Wasserstand steigt in den Intervallen \([0;3]\), \([6;9]\) und \([12;13]\). Er fällt in den Intervallen \([3;6]\) und \([9;12]\). b) Hochpunkte: \(H_1(3\,\text{h}\mid5\,\text{m})\) und \(H_2(9\,\text{h}\mid4\,\text{m})\). Tiefpunkte: \(T_1(6\,\text{h}\mid0{,}5\,\text{m})\) und \(T_2(12\,\text{h}\mid1\,\text{m})\). c) Am niedrigsten ist der Wasserstand nach \(6\,\text{h}\). Er beträgt dann \(0{,}5\,\text{m}\).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der ersten Ableitung \(f'(x)\) und dem Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\) besteht. - Schau dir im Graphen an, in welchen Bereichen die Kurve oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Wo befinden sich die Nullstellen der Ableitungsfunktion? Was bedeuten diese für den ursprünglichen Funktionsgraphen?

1. Aus dem Graphen liest man \(f'(x)>0\) für \(-2<x<3\) und \(f'(x)<0\) für \(-4\le x<-2\) sowie \(3<x\le6\) ab. 2. Daher ist \(f\) auf \([-2;3]\) streng monoton steigend und auf \([-4;-2]\) sowie \([3;6]\) streng monoton fallend.

Streng monoton steigend auf \([-2;3]\); streng monoton fallend auf \([-4;-2]\) und \([3;6]\).

- Was gibt die erste Ableitung \(f'(x)\) anschaulich für den Verlauf des Graphen an? - Schau dir an, wo der Graph der Funktion steigt und wo er fällt. - Gibt es einen besonderen Punkt, an dem sich dieses Verhalten ändert?

1. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(2 \mid -1)\). 2. Rechts vom Scheitelpunkt steigt der Graph; dort ist die Steigung positiv. Im dargestellten Bereich gilt daher \(f'(x)>0\) für \(2<x\le 6\).

Im dargestellten Bereich ist \(f'(x)>0\) für \(x\in(2;6]\).

- Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad den Graphen von links nach rechts ab. Wo geht es bergauf und wo bergab? - Die Stellen, an denen der Graph seine Richtung ändert (Hoch- und Tiefpunkte), markieren den Übergang zwischen den Intervallen. - Achte darauf, die Intervalle als Bereiche auf der waagrechten Zeitachse anzugeben. - „Streng monoton zunehmend“ bedeutet, dass der Graph in diesem Bereich ausschließlich steigt.

1. Identifikation der lokalen Extrempunkte: Der Graph weist bei \(t = 2\) einen Hochpunkt und bei \(t = 6\) einen Tiefpunkt auf. 2. Bestimmung der Intervalle mit positiver Steigung (streng monoton zunehmend): Im Bereich von \(t = 0\) bis \(t = 2\) steigt der Graph an. Ebenso steigt er im Bereich von \(t = 6\) bis \(t = 8\) an. Somit ist die Funktion in den Intervallen \([0; 2]\) und \([6; 8]\) streng monoton zunehmend. 3. Bestimmung der Intervalle mit negativer Steigung (streng monoton abnehmend): Zwischen dem Hochpunkt bei \(t = 2\) und dem Tiefpunkt bei \(t = 6\) fällt der Graph ab. Somit ist die Funktion im Intervall \([2; 6]\) streng monoton abnehmend.

Die Geschwindigkeit ist im Zeitintervall \([0; 2]\) und im Intervall \([6; 8]\) streng monoton zunehmend. Im Intervall \([2; 6]\) ist sie streng monoton abnehmend.

- Betrachte den Graphen abschnittsweise von links nach rechts. - Überlege für jeden Abschnitt separat: Geht der Graph hoch, runter oder bleibt er auf derselben Höhe? - Lies die \(x\)-Werte an den Übergangsstellen genau ab, um die Grenzen der Intervalle festzulegen.

1. Analyse des ersten Abschnitts: Von \(x = 0\) bis \(x = 3\) verläuft der Graph geradlinig nach oben. In diesem Intervall \([0; 3]\) ist die Funktion streng monoton steigend. 2. Analyse des mittleren Abschnitts: Von \(x = 3\) bis \(x = 7\) verläuft der Graph waagrecht auf der Höhe \(y = 8\). In diesem Intervall \([3; 7]\) verläuft die Funktion konstant. 3. Analyse des letzten Abschnitts: Ab \(x = 7\) bis zum Ende bei \(x = 10\) fällt der Graph in einer Kurve ab. In diesem Intervall \([7; 10]\) ist die Funktion streng monoton fallend.

Die Funktion \(g\) ist im Intervall \([0; 3]\) streng monoton steigend, im Intervall \([3; 7]\) konstant und im Intervall \([7; 10]\) streng monoton fallend.

- Erinnere dich an den Monotoniesatz: Was muss für die Ableitung gelten, damit die ursprüngliche Funktion steigt? - Schau dir im Graphen genau an, wo die Kurve oberhalb der waagerechten Achse liegt. - Die Punkte, an denen der Graph die Achse schneidet, markieren die Grenzen deiner Intervalle.

Eine Funktion \(f\) ist streng monoton wachsend, wenn \(f'(x) > 0\) gilt. Im dargestellten Bereich \([-3; 3]\) liegt der Graph von \(f'\) für \(x < -1\) und \(x > 1\) oberhalb der \(x\)-Achse. Die isolierten Nullstellen bei \(x=-1\) und \(x=1\) können als Intervallgrenzen einbezogen werden. Daher ist \(f\) auf \([-3; -1]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend.

Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-3; -1]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend.

- Du suchst eine Funktion, deren Ableitung im Bereich zwischen 0 und 2 niemals negativ ist. - Welcher der drei farbigen Graphen bleibt im Bereich von \(x=0\) bis \(x=2\) immer über der x-Achse? - Wenn ein Ableitungsgraph die x-Achse innerhalb des Intervalls schneidet, ändert die ursprüngliche Funktion dort ihre Richtung (von Steigen zu Fallen oder umgekehrt).

1. Bedingung für streng monotones Wachstum auf \([0; 2]\): Die Ableitungsfunktion muss im gesamten Intervall (bis auf isolierte Nullstellen) positiv sein (\(f'(x) > 0\)). 2. Prüfung von \(f'\): Der Graph von \(f'\) (blau) ist eine Gerade, die bei \(x = 1\) die x-Achse schneidet. Sie ist für \(x < 1\) negativ und für \(x > 1\) positiv. \(f\) wächst also nicht im gesamten Intervall \([0; 2]\). 3. Prüfung von \(g'\): Der Graph von \(g'\) (grün) verläuft im gesamten Bereich von \(x = 0\) bis \(x = 2\) oberhalb der x-Achse. Somit ist \(g\) dort streng monoton wachsend. 4. Prüfung von \(h'\): Der Graph von \(h'\) (orange) verläuft für \(x > 0\) komplett unterhalb der x-Achse. \(h\) ist also streng monoton fallend. Ergebnis: Nur die Funktion \(g\) erfüllt die Bedingung.

Nur die Funktion \(g\) ist im Intervall \([0; 2]\) streng monoton wachsend.

- Konzentriere dich auf das Vorzeichen jeder Ableitungsfunktion im gesamten Intervall \([-1;1]\). - Eine durchgehend negative Ableitung kennzeichnet eine streng fallende Funktion. - Prüfe bei einem Achsenschnitt der Ableitungsfunktion, ob sich ihr Vorzeichen ändert.

1. Für strenges Fallen muss die Ableitungsfunktion im Inneren des betrachteten Intervalls negativ sein. 2. Der Graph von \(f'\) liegt zwischen \(x=-1\) und \(x=1\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. 3. Der Graph von \(g'\) liegt im gesamten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(g\) dort streng monoton wachsend. 4. Der Graph von \(h'\) wechselt am Ursprung von negativen zu positiven Werten. Daher fällt \(h\) zunächst und steigt danach. 5. Nur \(f\) ist auf dem gesamten Intervall streng monoton fallend.

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([-1;1]\) streng monoton fallend.

- Was muss für die Ableitung gelten, damit eine Funktion fällt? - Schau dir an, für welche \(x\)-Werte der Graph von \(f'\) unterhalb der horizontalen Achse liegt.

Eine Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) < 0\) gilt. Der dargestellte Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = 3\) und liegt für \(3 < x \le 6\) darunter. Daher ist \(f\) im dargestellten Bereich auf \([3; 6]\) streng monoton fallend.

Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([3; 6]\) streng monoton fallend.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Kannst du den Term der Ableitung so umformen, dass man sein Vorzeichen sofort erkennt? - Was bedeutet es für die strenge Monotonie, wenn die Ableitung nur an einem einzigen Punkt Null wird?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(g'(x) = -x^2 + 2x - 1\). 2. Umformung der Ableitung (z. B. durch Ausklammern von \(-1\) und Anwendung der binomischen Formel): \(g'(x) = -(x^2 - 2x + 1) = -(x - 1)^2\). 3. Analyse des Vorzeichens: Da Quadratzahlen immer nicht-negativ sind, ist \((x - 1)^2 \ge 0\). Das negative Vorzeichen davor bewirkt, dass \(g'(x) \le 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt. 4. Prüfung auf strenge Monotonie: Die Ableitung wird nur an der isolierten Stelle \(x = 1\) Null (\(g'(1) = 0\)). Da \(g'(x) \le 0\) gilt und die Ableitung auf keinem Intervall identisch null ist, ist die Funktion auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend.

Ja, die Funktion ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton abnehmend. Die erste Ableitung \(g'(x) = -(x - 1)^2\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) kleiner oder gleich Null und besitzt nur eine isolierte Nullstelle bei \(x = 1\).

- Woran erkennst du an der Ableitungsfunktion, ob der Graph der ursprünglichen Funktion steigt? - Welche Form hat der Graph der Ableitungsfunktion hier? - Untersuche die Bereiche zwischen und außerhalb der Nullstellen der Ableitung. - Denke daran, dass Randpunkte bei der Angabe von Monotonieintervallen mit eingeschlossen werden.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = -3x^2 + 12x + 15\). 2. Bestimmung der Nullstellen von \(f'(x)\): \(-3(x^2 - 4x - 5) = 0 \iff -3(x-5)(x+1) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 5\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'(x)\): Da der Graph von \(f'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f'(x) \ge 0\) für \(x \in [-1; 5]\). In diesem Intervall ist \(f'(x) > 0\) für alle \(x\) außer an den isolierten Stellen \(-1\) und \(5\). 4. Schlussfolgerung: Das größtmögliche Intervall für streng monotones Wachstum ist \([-1; 5]\).

\([-1; 5]\)

- Faktorisiere \(f'\), um Nullstellen und Vorzeichen leicht zu erkennen. - Eine isolierte Nullstelle von \(f'\) macht ein ganzes Intervall nicht automatisch zunehmend. - Suche das größtmögliche zusammenhängende Intervall, auf dessen Innerem die Ableitung positiv ist.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^3-2x^2=x^2(x-2)\). Ihre Nullstellen sind \(x=0\) (doppelt) und \(x=2\). 2. Für \(x<2\) ist \(x-2<0\), während \(x^2\ge0\). Daher gilt \(f'(x)<0\) für alle \(x<2\) außer an der isolierten Stelle \(x=0\), an der \(f'(0)=0\). 3. Für \(x>2\) gilt \(f'(x)>0\), und bei \(x=2\) ist \(f'(2)=0\). Somit ist \(f\) auf \([2;\infty)\) streng monoton zunehmend.

\([2;\infty)\)

- Welche Information liefert das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen? - Wie findet man die Stellen, an denen die Steigung null ist? - Mit welcher Ableitung kann man feststellen, ob eine Kurve an einer Stelle einen Berg oder ein Tal hat? - Wie berechnet man den passenden \(y\)-Wert zu einer \(x\)-Stelle?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2x^2 - 2x - 12\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(x) = 0\) lösen: \(2(x^2 - x - 6) = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0\). Die kritischen Stellen sind \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -2\). 3. Monotonieintervalle bestimmen: Da \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt \(f'(x) > 0\) für \(x < -2\) und \(x > 3\) (streng monoton steigend) sowie \(f'(x) < 0\) für \(-2 < x < 3\) (streng monoton fallend). 4. Art der Extrempunkte mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 4x - 2\) prüfen: \(f''(-2) = -10 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = -2\). \(f''(3) = 10 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(x = 3\). 5. Funktionswerte berechnen: \(f(-2) = \frac{56}{3} = 18\frac{2}{3}\) und \(f(3) = -23\). Ergebnisse: Hochpunkt \(H\left(-2 \mid 18\frac{2}{3}\right)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -23)\).

a) Streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [3; \infty)\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 3]\). b) Hochpunkt \(H\left(-2 \mid \frac{56}{3}\right)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -23)\).

- Forme die Ableitung so um, dass ihr Vorzeichen unmittelbar erkennbar ist. - Eine einzelne Stelle mit \(f'(x)=0\) bedeutet nicht automatisch, dass die Funktion ihre Monotonierichtung ändert. - Vergleiche die Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der Nullstelle.

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2\). 2. Daher gilt \(f'(x)\ge0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\), und nur an der isolierten Stelle \(x=-2\) ist \(f'(x)=0\). 3. Auf jedem Teilintervall links bzw. rechts von \(-2\) ist die Ableitung positiv. Die isolierte Nullstelle führt zu keinem Wechsel der Monotonierichtung. Somit ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend.

\(f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. Es gilt \(f'(x)=(x+2)^2>0\) für \(x\neq-2\) und \(f'(-2)=0\).

- Erinnere dich an die binomischen Formeln, um den Term der Ableitung zu vereinfachen. - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist, aber davor und danach dasselbe Vorzeichen hat? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion überall steigt?

1. Ableitung berechnen: \(g'(x) = 3x^2 - 6x + 3\). 2. Ableitungsterm umformen: Ausklammern der \(3\) ergibt \(g'(x) = 3(x^2 - 2x + 1)\). Dies entspricht der binomischen Formel: \(g'(x) = 3(x-1)^2\). 3. Analyse des Vorzeichens: Da \((x-1)^2 \ge 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt stets \(g'(x) \ge 0\). Somit ist die Funktion im gesamten Definitionsbereich monoton steigend. Da die Ableitung nur an der isolierten Stelle \(x=1\) den Wert Null annimmt, ist die Funktion sogar streng monoton steigend. 4. Waagerechte Tangente: \(g'(x) = 0\) führt zu \(x = 1\). 5. Art der Stelle bestimmen: Da \(g'(x)\) vor und nach \(x=1\) positiv ist und keinen Vorzeichenwechsel besitzt, liegt kein lokales Extremum vor. 6. Wendestellencharakter prüfen: \(g''(x)=6x-6\), also \(g''(1)=0\). Außerdem gilt \(g'''(x)=6 \neq 0\). Damit liegt bei \(x=1\) eine Wendestelle mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt beziehungsweise Terrassenpunkt, vor. 7. Funktionswert berechnen: \(g(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 3(1) + 2 = 3\).

a) Da \(g'(x) = 3(x-1)^2 \ge 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion überall monoton steigend. b) Die Stelle mit waagerechter Tangente liegt bei \(x = 1\). Da die Ableitung dort keinen Vorzeichenwechsel aufweist, ist dies keine Extremstelle. Wegen \(g''(1)=0\) und \(g'''(1)=6 \neq 0\) liegt der Sattelpunkt \(S(1 \mid 3)\) vor.

- Bestimme zuerst Definitionsbereich und Ableitung. - Der quadrierte Nenner der Ableitung beeinflusst ihr Vorzeichen im Definitionsbereich nicht. - Unterscheide zwischen einer Nullstelle von \(f'\) und einer Stelle, an der \(f\) gar nicht definiert ist.

1. Es gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\). 3. Da der Nenner im Definitionsbereich positiv ist, bestimmt der Zähler das Vorzeichen. Somit ist \(f'>0\) für \(x<1\) und \(x>3\), während \(f'<0\) für \(1<x<2\) und \(2<x<3\) gilt. 4. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\) streng steigend sowie auf \((1;2)\) und \((2;3)\) streng fallend. Bei \(x=1\) und \(x=3\) ändert sich die Monotonie; an der Polstelle \(x=2\) bleibt sie auf beiden Seiten fallend.

Monotoniewechsel bei \(x=1\) und \(x=3\); kein Monotoniewechsel an der Polstelle \(x=2\). Steigend auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\), fallend auf \((1;2)\) und \((2;3)\).

- Bestimme das Vorzeichen der Ableitung auf beiden Ästen. - Untersuche für die Grenzwerte nur den Bruchterm mit wachsendem Nenner. - Strenge Monotonie und Unbeschränktheit sind unterschiedliche Eigenschaften.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}>0\) für alle \(x\neq1\). Daher ist \(f\) auf beiden Definitionsintervallen streng steigend. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Somit ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=3\). 3. Die Aussage ist falsch. Strenge Monotonie schließt einen endlichen Grenzwert nicht aus; hier nähert sich der Graph der waagrechten Asymptote \(y=3\).

1. \(f\) ist auf \(( -\infty;1)\) und \((1;\infty)\) streng steigend. 2. Beide Grenzwerte sind \(3\). 3. Die Aussage ist falsch; der Graph besitzt die waagrechte Asymptote \(y=3\).

- Beginne mit Definitionsbereich und Nennernullstellen. - Bei der Quotientenregel entscheidet nach dem Vereinfachen vor allem das Vorzeichen des Zählers. - Für die Tangente brauchst du Funktionswert und Ableitungswert bei \(x=0\).

1. Aus \(x^2-9=0\) folgen die senkrechten Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). Wegen des höheren Nennergrades gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\); also ist \(y=0\) waagrechte Asymptote. 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0\) im gesamten Definitionsbereich. Daher ist \(f\) auf jedem der drei Definitionsintervalle streng fallend. 3. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=-\frac{5}{9}\). Die Tangente lautet \(y=-\frac{5}{9}x\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=0\). b) \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}\); streng fallend auf allen drei Definitionsintervallen. c) \(y=-\frac{5}{9}x\)

- Bestimme \(g'\) mit der Quotientenregel und trenne die Vorzeichenanalyse von Zähler und Nenner. - Die Nullstellen des Zählers von \(g'\) teilen die Zahlengerade in Monotonieintervalle. - Berechne nach der Klassifikation die zugehörigen Funktionswerte.

1. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{27-3x^2}{(x^2+9)^2}\). 2. Die Nullstellen von \(g'\) sind \(x=-3\) und \(x=3\). Der Nenner ist stets positiv; daher bestimmt \(27-3x^2\) das Vorzeichen. 3. Somit fällt \(g\) für \(x<-3\), steigt für \(-3<x<3\) und fällt für \(x>3\). 4. Bei \(x=-3\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv: \(T(-3\mid-0{,}5)\). Bei \(x=3\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ: \(H(3\mid0{,}5)\).

Streng fallend auf \(( -\infty;-3]\) und \([3;\infty)\), streng steigend auf \([-3;3]\). Tiefpunkt: \(T(-3\mid-0{,}5)\) Hochpunkt: \(H(3\mid0{,}5)\)

- Vereinfache den Funktionsterm, bevor du die Ordnung der Polstelle beurteilst. - Bestimme \(f'\) anschließend aus dem gekürzten Quotienten. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) auf beiden Seiten von \(x=-3\).

1. Für \(x\neq-3\) lässt sich \(f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}\) vereinfachen. Deshalb bleibt bei \(x=-3\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Laras Aussage ist falsch. 2. Mit der Quotientenregel für \(\frac{x-3}{x+3}\) erhält man \(f'(x)=\frac{(x+3)-(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{6}{(x+3)^2}\). 3. \(f'\) besitzt bei \(x=-3\) eine Polstelle 2. Ordnung und ist auf beiden Seiten positiv. Daher ist \(f\) auf beiden Ästen streng steigend; Toms Aussage ist korrekt.

Lara liegt falsch: Nach dem Kürzen bleibt für \(f\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Tom liegt richtig: \(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^2}>0\) auf beiden Seiten der Polstelle, daher ändert sich die Monotonierichtung nicht.

- Was gibt die Ableitungsfunktion \(f'\) an einer Stelle \(x\) geometrisch an? - Welche Werte kann der Ausdruck \(x^2\) für verschiedene reelle Zahlen annehmen? - Überlege dir, was der kleinste mögliche Wert des Terms \(3x^2 + 3\) ist. - Was bedeutet es für den Verlauf eines Graphen, wenn die Steigung einen bestimmten Mindestwert nicht unterschreitet?

1. Unter Verwendung der Potenz- und Summenregel ergibt sich für die Ableitungsfunktion \(f'(x) = 3x^2 + 3\). 2. Die Tangentensteigung \(m\) an einer Stelle \(x\) entspricht dem Funktionswert der Ableitung \(f'(x)\). Da der Term \(x^2\) für alle reellen Zahlen stets größer oder gleich Null ist (\(x^2 \ge 0\)), folgt für den Term der Ableitungsfunktion: \(3x^2 + 3 \ge 3\). Somit können für die Steigung nur Werte im Bereich \([3; \infty)\) angenommen werden. Alle Steigungswerte \(m < 3\) kommen für den Graphen von \(f\) nicht vor. 3. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph der Funktion \(f\) überall eine positive Steigung besitzt und somit streng monoton steigend verläuft. Es gibt keine Stellen mit waagerechter Tangente oder negativer Steigung; die geringste Steigung des Graphen beträgt \(3\) (im Punkt \(P(0 \mid 0)\)).

Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 3x^2 + 3\). Da \(3x^2 \ge 0\) gilt, ist \(f'(x) \ge 3\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit kommen alle Steigungen \(m < 3\) (insbesondere negative Steigungen und die Steigung Null) nicht vor. Geometrisch bedeutet dies, dass der Graph der Funktion überall steigt (streng monoton steigend ist) und an keiner Stelle eine flachere Steigung als \(3\) aufweist.

- Wähle für die Quotientenregel eine konstante Zählerfunktion und \(x^2\) als Nennerfunktion. - Das Vorzeichen von \(g'\) hängt nur vom Vorzeichen von \(x^3\) ab. - Überlege, welche Werte ein Bruch mit konstant von null verschiedenem Zähler niemals annehmen kann.

1. Mit \(u(x)=-1\) und \(v(x)=x^2\) gilt \(u'(x)=0\) und \(v'(x)=2x\). Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{0\cdot x^2-(-1)\cdot2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}\). 2. Für \(x<0\) ist \(g'(x)<0\), für \(x>0\) ist \(g'(x)>0\). 3. Der Wert \(0\) kann von \(\frac{2}{x^3}\) nie angenommen werden. Für \(x\to0^\pm\) werden beliebig große positive bzw. negative Werte erreicht, und für \(|x|\to\infty\) nähert sich \(g'\) der \(0\) an. Damit ist genau die Steigung \(m=0\) ausgeschlossen. 4. Geometrisch fällt der linke Ast streng und der rechte Ast steigt streng; es gibt keine waagerechte Tangente.

\(g'(x)=\frac{2}{x^3}\). Für \(x<0\) ist die Steigung negativ, für \(x>0\) positiv. Genau der Steigungswert \(m=0\) ist ausgeschlossen; der Graph besitzt keine waagerechte Tangente.

- Überlege zuerst, welche Verschiebungen und Streckungen du direkt am Funktionsterm erkennen kannst. - Kannst du den Funktionsterm vor dem Ableiten in eine Summe von Potenzen umformen? - Für die Monotonie ist entscheidend, welches Vorzeichen \(f'\) links und rechts von seiner Nullstelle besitzt.

1. Der Graph von \(f\) entsteht aus \(g(x)=x^4\) durch eine Verschiebung um \(1\) Einheit nach links, eine Streckung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(2\) und eine Verschiebung um \(8\) Einheiten nach unten. 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=2x^4+8x^3+12x^2+8x-6\). Daher gilt \(f'(x)=8x^3+24x^2+24x+8=8(x+1)^3\). 3. Die einzige Nullstelle von \(f'\) liegt bei \(x=-1\). Für \(x<-1\) gilt \(f'(x)<0\), für \(x>-1\) gilt \(f'(x)>0\). 4. Somit ist \(f\) auf \(( -\infty;-1]\) streng monoton fallend und auf \([-1;\infty)\) streng monoton wachsend.

1. Verschiebung um \(1\) nach links, Streckung mit Faktor \(2\) in \(y\)-Richtung, Verschiebung um \(8\) nach unten. 2. Streng monoton fallend auf \(( -\infty;-1]\); streng monoton wachsend auf \([-1;\infty)\).

- Welche Wirkung haben Verschiebung, negativer Vorfaktor und vertikale Verschiebung auf den Grundgraphen? - Kannst du den Funktionsterm vor dem Ableiten als Polynom in \(x\) schreiben? - Prüfe nach dem Ableiten, ob das Vorzeichen von \(f'\) an seiner einzigen Nullstelle tatsächlich wechselt.

1. Der Graph von \(g(x)=x^3\) wird um \(2\) Einheiten nach rechts verschoben. Anschließend erfolgt eine Spiegelung an der \(x\)-Achse zusammen mit einer Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{4}\). Zuletzt wird der Graph um \(3\) Einheiten nach oben verschoben. 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=-\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{2}x^2-3x+5\). Daher gilt \(f'(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x-3=-\frac{3}{4}(x-2)^2\). 3. Somit gilt \(f'(x)\leq0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\), und nur bei \(x=2\) ist \(f'(x)=0\). Auf beiden Seiten dieser isolierten Nullstelle bleibt \(f'\) negativ. 4. Daher ist \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend.

1. Verschiebung um \(2\) nach rechts, Spiegelung an der \(x\)-Achse und Stauchung mit Faktor \(0{,}25\), Verschiebung um \(3\) nach oben. 2. \(f\) ist auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton fallend.

- Überlege zuerst, wie du die Steigung der Funktion an einer beliebigen Stelle berechnen kannst. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Monotonieverhalten möglicherweise ändert? - Untersuche die Bereiche zwischen diesen kritischen Stellen, indem du Testwerte einsetzt.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung durch Erraten einer Nullstelle (\(x = 2\)) und anschließende Polynomdivision oder Faktorisierung: \(g'(x) = (x-2)(x^2 - x - 6) = (x-2)(x-3)(x+2)\). Die Nullstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 3. Vorzeichenuntersuchung von \(g'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen: - Für \(x < -2\) ist \(g'(-3) = -30 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - Für \(-2 < x < 2\) ist \(g'(0) = 12 > 0 \Rightarrow\) streng monoton wachsend. - Für \(2 < x < 3\) ist \(g'(2{,}5) = -1{,}125 < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - Für \(x > 3\) ist \(g'(4) = 12 > 0 \Rightarrow\) streng monoton wachsend. 4. Angabe der Intervalle unter Einbeziehung der Randpunkte (da \(g\) stetig ist): Streng monoton fallend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [2; 3]\); streng monoton wachsend für \(x \in [-2; 2]\) und \(x \in [3; \infty)\).

Die Funktion \(g\) ist streng monoton fallend in den Intervallen \((-\infty; -2]\) und \([2; 3]\). Die Funktion \(g\) ist streng monoton wachsend in den Intervallen \([-2; 2]\) und \([3; \infty)\).

- Überlege dir zuerst, welche Bedingung für die erste Ableitung erfüllt sein muss, damit eine Funktion (streng) monoton steigt oder fällt. - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Monotonieverhalten möglicherweise ändert? - Testeinsetzungen von Werten innerhalb der Intervalle können dir helfen, das Vorzeichen der Ableitung schnell zu bestimmen. - Denk daran, dass die Grenzen der Intervalle (die Nullstellen) in der Regel mit eingeschlossen werden.

1. Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen: \(-\frac{1}{2}x^3 + 2x = 0 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0\). Daraus ergeben sich die Stellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Vorzeichen von \(f'(x)\) in den durch die Nullstellen definierten Intervallen prüfen: - Für \(x \in (-\infty; -2)\) ist \(f'(-3) = 7{,}5 > 0\). - Für \(x \in (-2; 0)\) ist \(f'(-1) = -1{,}5 < 0\). - Für \(x \in (0; 2)\) ist \(f'(1) = 1{,}5 > 0\). - Für \(x \in (2; \infty)\) ist \(f'(3) = -7{,}5 < 0\). 3. Ableitungswerte interpretieren: \(f\) ist streng monoton steigend in den Intervallen, in denen \(f'(x) \geq 0\) gilt, also für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [0; 2]\). 4. \(f\) ist streng monoton fallend in den Intervallen, in denen \(f'(x) \leq 0\) gilt, also für \(x \in [-2; 0]\) und \(x \in [2; \infty)\).

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \((-\infty; -2]\) sowie im Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend. Im Intervall \([-2; 0]\) sowie im Intervall \([2; \infty)\) ist die Funktion \(f\) streng monoton fallend.

- Was passiert mit dem Monotonieverhalten an einer Nullstelle der Ableitung, wenn diese kein Vorzeichenwechsel besitzt (z. B. eine doppelte Nullstelle)? - Untersuche die Vorzeichen der Faktoren im Funktionsterm einzeln, um das Gesamtvorzeichen zu bestimmen. - Kann eine Funktion über eine Nullstelle der Ableitung hinweg streng monoton bleiben?

1. Nullstellen von \(f'(x)\) berechnen: \((x^2 - 4) \cdot (x - 1)^2 = 0\). Dies führt zu \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und der doppelten Nullstelle \(x_3 = 1\). 2. Vorzeichenanalyse von \(f'(x)\): - Für \(x < -2\): \(f'(-3) = (9-4) \cdot (-4)^2 = 5 \cdot 16 = 80 > 0\). - Für \(-2 < x < 1\): \(f'(0) = (-4) \cdot (-1)^2 = -4 < 0\). - Für \(1 < x < 2\): \(f'(1{,}5) = (2{,}25-4) \cdot (0{,}5)^2 = -1{,}75 \cdot 0{,}25 = -0{,}4375 < 0\). - Für \(x > 2\): \(f'(3) = (9-4) \cdot (2)^2 = 5 \cdot 4 = 20 > 0\). 3. Da \(f'(x)\) an der Stelle \(x = 1\) zwar null ist, aber davor und danach negativ bleibt, ändert sich das Monotonieverhalten dort nicht. Die Funktion ist im gesamten Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fallend. 4. In den Intervallen \((-\infty; -2]\) und \([2; \infty)\) ist die Funktion streng monoton steigend.

Die Funktion \(f\) ist streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und für \(x \in [2; \infty)\). Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in [-2; 2]\).

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer Ableitung zusammen? - Welche Bedingung muss an einer Stelle erfüllt sein, damit dort ein Extrempunkt vorliegen kann? - Wie kannst du mit Testwerten in den Intervallen zwischen den Nullstellen der Ableitung herausfinden, ob der Graph steigt oder fällt? - Vergiss nicht, die \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten zu berechnen.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). 2. Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung: \(x^2 - 2x - 3 = 0\) führt zu \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'\) zur Bestimmung der Monotonieintervalle: Für \(x < -1\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend), für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) < 0\) (streng monoton fallend) und für \(x > 3\) ist \(f'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 4. Bestimmung der Art der Extrempunkte: Bei \(x = -1\) findet ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) statt, also liegt ein Hochpunkt vor. Bei \(x = 3\) findet ein Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\) statt, also liegt ein Tiefpunkt vor. 5. Berechnung der \(y\)-Koordinaten: \(f(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 5 = 6\frac{2}{3}\) und \(f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 5 = -4\).

Die Funktion ist für \(x \le -1\) und für \(x \ge 3\) streng monoton steigend. Im Intervall \([-1; 3]\) ist sie streng monoton fallend. Hochpunkt: \(H\left(-1 \mid 6\frac{2}{3}\right)\) Tiefpunkt: \(T(3 \mid -4)\)

- Was passiert mit dem Monotonieverhalten an den Stellen, an denen die Ableitung null ist? - Erstelle eine Vorzeichentabelle für die erste Ableitung, um den Überblick über die Intervalle zu behalten. - Achte auf das Vorzeichen des Leitkoeffizienten der Funktion, um das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte abzuschätzen. - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion vierten Grades maximal haben?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = -4x^3 + 16x\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(-4x(x^2 - 4) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = -2\). 3. Monotonieintervalle durch Vorzeichenprüfung von \(f'\) bestimmen: - \(x \in (-\infty; -2)\): \(f'(x) > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - \(x \in (-2; 0)\): \(f'(x) < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. - \(x \in (0; 2)\): \(f'(x) > 0 \Rightarrow\) streng monoton steigend. - \(x \in (2; \infty)\): \(f'(x) < 0 \Rightarrow\) streng monoton fallend. 4. Klassifizierung der Extremstellen: Hochpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)), Tiefpunkt bei \(x = 0\) (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)). 5. Funktionswerte berechnen: \(f(-2) = 16\), \(f(0) = 0\), \(f(2) = 16\).

Streng monoton steigend für \(x \in (-\infty; -2]\) und \(x \in [0; 2]\). Streng monoton fallend für \(x \in [-2; 0]\) und \(x \in [2; \infty)\). Hochpunkte: \(H_1(-2 \mid 16)\) und \(H_2(2 \mid 16)\) Tiefpunkt: \(T(0 \mid 0)\)

- Wie gehst du vor, um Nullstellen einer Gleichung der Form \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) zu finden? - Welche Eigenschaft muss die Ableitung haben, damit eine Funktion streng monoton steigend ist? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen waagerechten Tangenten und Extrempunkten? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn die Ableitung niemals den Wert Null annimmt?

1. Bildung der ersten Ableitung: \(g'(x) = x^4 + 2x^2 + 3\). 2. Nullstellensuche für \(g'\): Ansatz \(x^4 + 2x^2 + 3 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt auf \(u^2 + 2u + 3 = 0\). 3. Prüfung der quadratischen Gleichung: Die Diskriminante \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8\) ist negativ, daher gibt es keine reellen Lösungen für \(u\) und somit auch keine für \(x\). 4. Nachweis der Monotonie: Da \(g'\) eine stetige Funktion ohne Nullstellen ist und beispielsweise \(g'(0) = 3 > 0\) gilt, ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). 5. Schlussfolgerung: Aus \(g'(x) > 0\) folgt, dass \(g\) streng monoton steigend ist. Da für einen Extrempunkt die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) erfüllt sein müsste, was hier nicht der Fall ist, besitzt \(g\) keine Extrempunkte.

a) Die Ableitung \(g'(x) = x^4 + 2x^2 + 3\) führt über die Substitution \(u=x^2\) zu einer quadratischen Gleichung ohne reelle Lösung (\(D = -8\)). b) Da \(g'(x)\) für alle \(x\) positiv ist (\(x^4 \ge 0, 2x^2 \ge 0, 3 > 0\)), ist die Funktion streng monoton steigend. Ohne Stellen mit waagerechter Tangente (\(g'(x)=0\)) können keine Extrempunkte existieren.

- Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf des Graphen aus? - Wie findest du die Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist? - Vergiss nicht zu prüfen, ob die Funktion vor und nach einem kritischen Punkt steigt oder fällt. - Ist es bei einer Untersuchung auf einem abgeschlossenen Intervall wichtig, auch die Werte an den Rändern zu betrachten?

1. Ableitung der Funktion \(P(x)\) berechnen: \(P'(x) = -6x^2 + 48x\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen: \(-6x(x - 8) = 0 \implies x_1 = 0\) und \(x_2 = 8\). 3. Monotonie untersuchen: Die Funktion ist auf \([0; 8]\) streng monoton steigend und auf \([8; 12]\) streng monoton fallend. 4. Lokales Maximum bei \(x = 8\) identifizieren (Vorzeichenwechsel von \(P'\) von Plus nach Minus oder \(P''(8) = -12(8) + 48 = -48 < 0\)). 5. Randwerte prüfen: \(P(0) = 0\) und \(P(12) = -2(1728) + 24(144) = -3456 + 3456 = 0\). Das Maximum liegt somit bei \(x = 8\).

Die Funktion ist auf \([0; 8]\) streng monoton steigend und auf \([8; 12]\) streng monoton fallend. Die maximale Leistung wird bei einer Drehzahl von \(x = 8\) (entspricht \(8000\) Umdrehungen pro Minute) erreicht.

- Schau dir den Verlauf des Graphen von links nach rechts an: Wann steigt die Kurve, wann fällt sie? - Welche besonderen Punkte trennen die steigenden von den fallenden Abschnitten? - Erinnere dich daran, wie die erste Ableitung einer Funktion mit ihrer Steigung zusammenhängt. - Welches Vorzeichen muss die Ableitungsfunktion in einem Intervall haben, damit die Funktion dort wächst? - Bestimme die Nullstellen der Ableitung, um das Vorzeichen in den verschiedenen Bereichen zu untersuchen.

1. Ablesen der Monotonieintervalle aus dem Graphen: - Lokales Minimum bei \(x = -1\), lokales Maximum bei \(x = 2\). - Streng monoton fallend in den Intervallen \([-3; -1]\) und \([2; 4]\). - Streng monoton steigend im Intervall \([-1; 2]\). 2. Berechnung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = -x^2 + x + 2\). 3. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(-x^2 + x + 2 = 0 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff (x - 2)(x + 1) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 2\). 4. Analyse des Vorzeichens von \(f'(x)\): Da der Graph von \(f'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt für alle \(x \in (-1; 2)\), dass \(f'(x) > 0\). 5. Anwendung des Monotoniesatzes: Aus \(f'(x) > 0\) für alle \(x \in (-1; 2)\) folgt, dass \(f\) im geschlossenen Intervall \([-1; 2]\) streng monoton steigend ist.

a) Streng monoton steigend im Intervall \([-1; 2]\); streng monoton fallend in den Intervallen \([-3; -1]\) und \([2; 4]\). b) Mit \(f'(x) = -x^2 + x + 2\) gilt für alle \(x \in (-1; 2)\), dass \(f'(x) > 0\). Nach dem Monotoniesatz ist \(f\) auf \([-1; 2]\) streng monoton steigend.

- Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt, ob \(f\) steigt oder fällt. - Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Die Richtung des Vorzeichenwechsels entscheidet zwischen Hoch- und Tiefpunkt. - Vergleiche Funktionswerte mithilfe der Monotonie.

1. Der Graph von \(f'\) hat einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\). Somit hat \(f\) genau drei Extrempunkte. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \([1; 3]\) gilt \(f'(x) \le 0\), wobei die Ableitung nur an den Randpunkten null ist. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt vor. Aussage c) ist falsch. 4. Da \(f\) im Intervall \([1; 3]\) streng monoton fällt, gilt \(f(2) > f(3)\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Wahr. c) Falsch; bei \(x = 1\) liegt ein Hochpunkt vor. d) Falsch; es gilt \(f(2) > f(3)\).

- Das Vorzeichen der Ableitung bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Achte an Nullstellen von \(f'\) auf die Richtung des Vorzeichenwechsels. - Ein Sattelpunkt erfordert eine waagerechte Tangente ohne Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

1. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher hat \(f\) dort einen Tiefpunkt. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \((1; 3)\) gilt \(f'(x) < 0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Im Intervall \([0; 1]\) ist \(f'\) positiv, daher steigt \(f\) und es gilt \(f(0) < f(1)\). Aussage c) ist falsch. 4. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt ein Hochpunkt und kein Sattelpunkt vor. Aussage d) ist falsch.

a) Wahr, da \(f'\) bei \(x = -2\) von Minus nach Plus wechselt. b) Wahr, da \(f'(x) < 0\) für \(1 < x < 3\). c) Falsch; es gilt \(f(0) < f(1)\). d) Falsch; bei \(x = 1\) liegt ein Hochpunkt vor.

- Wie hängt das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Monotonieverhalten zusammen? - Bestimme die Nullstellen von \(f'(x)\) und untersuche das Vorzeichen in den Zwischenräumen. - Warum kann ein sehr kurzer fallender Abschnitt im dargestellten Maßstab unsichtbar wirken?

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = -x^3 + 4{,}2x^2 - 0{,}8x\) 2. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(-x(x^2 - 4{,}2x + 0{,}8) = 0\) Eine Nullstelle ist \(x_1 = 0\). Für die quadratische Gleichung gilt \(x_{2,3} = \frac{4{,}2 \pm \sqrt{14{,}44}}{2} = \frac{4{,}2 \pm 3{,}8}{2}\). Damit sind \(x_2 = 0{,}2\) und \(x_3 = 4\). 3. Vorzeichen der Ableitung und Monotonieintervalle: Für \(x \in (-\infty; 0]\) und \(x \in [0{,}2; 4]\) ist \(f\) streng monoton steigend. Für \(x \in [0; 0{,}2]\) und \(x \in [4; \infty)\) ist \(f\) streng monoton fallend. 4. Beurteilung der Vermutung: Die Vermutung ist falsch. Im sehr kurzen Intervall \([0; 0{,}2]\) fällt die Funktion. Dabei gilt \(f(0) = 0\) und \(f(0{,}2) = -0{,}0052\). Dieser geringe Höhenunterschied ist im dargestellten Maßstab kaum erkennbar.

a) Die Vermutung ist optisch naheliegend, weil der fallende Abschnitt \([0; 0{,}2]\) sehr kurz ist und der Höhenunterschied nur \(0{,}0052\) beträgt. b) \(f'(x) = -x^3 + 4{,}2x^2 - 0{,}8x\) hat die Nullstellen \(0\), \(0{,}2\) und \(4\); \(f\) ist auf \((-\infty; 0]\) und \([0{,}2; 4]\) streng monoton steigend sowie auf \([0; 0{,}2]\) und \([4; \infty)\) streng monoton fallend. Die Vermutung ist daher falsch.

- Wie hängt das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Monotonieverhalten einer Funktion zusammen? - Bestimme rechnerisch die Stellen, an denen sich das Vorzeichen von \(f'\) ändern kann. - Vergleiche anschließend nur diese Monotoniebereiche mit den im Bild erkennbaren Richtungswechseln.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=-x^2+2x+3\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgen die kritischen Stellen \(x_1=-1\) und \(x_2=3\). 3. Für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)>0\), für \(x<-1\) und \(x>3\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton steigend und links von \(-1\) sowie rechts von \(3\) streng monoton fallend. 4. Der abgebildete Graph hat dagegen Richtungswechsel bei \(x=-2\) und \(x=2\): Er steigt zwischen diesen Stellen und fällt außerhalb. 5. Die Monotoniebereiche stimmen nicht überein. Daher gehört der abgebildete Graph nicht zur Funktion \(f\); Jonas' Vermutung ist falsch.

Jonas' Vermutung ist falsch. Die Funktion \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton steigend und links von \(-1\) sowie rechts von \(3\) streng monoton fallend. Der abgebildete Graph hat seine Richtungswechsel dagegen bei \(x=-2\) und \(x=2\).

- Kannst du beschreiben, wie das Steigungsverhalten einer Funktion mit dem Vorzeichen ihrer Ableitung zusammenhängt? - Betrachte die Stellen, an denen die eine Funktion Extrempunkte (Hoch- oder Tiefpunkte) hat. Welche Werte müsste die Ableitungsfunktion an diesen Stellen annehmen? - Wo verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse und was bedeutet das für die Steigung der Originalfunktion? - Welcher Punkt auf dem Graphen der Ableitungsfunktion gibt dir die Steigung an der Stelle \(x = 0\)?

1. Zuordnung der Graphen: Abbildung 1 zeigt den Graphen von \(f\), Abbildung 2 den Graphen von \(f'\). - Für \(x<-1\) steigt der Graph in Abbildung 1. Dazu passt, dass der Graph in Abbildung 2 dort oberhalb der \(x\)-Achse liegt. - Für \(-1<x<3\) fällt der Graph in Abbildung 1. Der Graph in Abbildung 2 liegt dort unterhalb der \(x\)-Achse. - Für \(x>3\) steigt der Graph in Abbildung 1 wieder, während der Graph in Abbildung 2 positiv ist. - Die Extremstellen bei \(x=-1\) und \(x=3\) in Abbildung 1 stimmen mit den Nullstellen in Abbildung 2 überein. 2. Die Funktion \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton fallend. Im Inneren dieses Intervalls ist \(f'(x)<0\); an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). 3. Die Tangentensteigung bei \(x=0\) ist \(f'(0)\). Aus Abbildung 2 liest man \(f'(0)=-0{,}75\) ab.

a) Abbildung 1 zeigt \(f\), Abbildung 2 zeigt \(f'\). b) \(f\) ist auf \([-1;3]\) streng monoton fallend. Für \(-1<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). c) Die Tangentensteigung bei \(x=0\) beträgt \(-0{,}75\).

- Lies zuerst die Stellen aus dem Graphen ab, an denen sich die Bewegungsrichtung ändert. - Verfolge den Graphen innerhalb des dargestellten Bereichs von links nach rechts. - Unterscheide zwischen dem Funktionswert, also der Höhe des Graphen, und seiner lokalen Steigungsrichtung.

1. Aus dem Graphen liest man einen lokalen Hochpunkt bei \(H(-2\mid5)\) und einen lokalen Tiefpunkt bei \(T(2\mid-3)\) ab. 2. Im dargestellten Bereich steigt der Graph von \(x=-4{,}5\) bis \(x=-2\), fällt von \(x=-2\) bis \(x=2\) und steigt von \(x=2\) bis \(x=4{,}5\). 3. Die Behauptung ist falsch. Der positive Funktionswert \(f(0)=1\) beschreibt nur die Höhe des Graphen. Für die Monotonie ist die Steigung entscheidend. In einer Umgebung von \(x=0\) fällt der dargestellte Graph, daher ist \(f\) dort streng monoton fallend.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-4{,}5;-2]\) und \([2;4{,}5]\) streng monoton wachsend sowie auf \([-2;2]\) streng monoton fallend. b) Die Behauptung ist falsch. Ein positiver Funktionswert bedeutet nicht, dass die Funktion wächst; der Graph fällt in einer Umgebung von \(x=0\).

- Erinnere dich an die Definition von strenger Monotonie: Was muss für zwei Werte \(x_1\) und \(x_2\) gelten, wenn \(x_1 < x_2\) ist? - Bestimme zuerst die erste Ableitung der Funktion und versuche, diese mithilfe einer binomischen Formel zu faktorisieren. - Überlege, was ein Quadrat über das Vorzeichen eines Terms aussagt. - Kann eine Funktion auch dann streng monoton steigend sein, wenn ihre Steigung an einem einzigen Punkt null ist? Überlege, ob es ein ganzes Intervall gibt, in dem die Funktionswerte gleich bleiben.

1. Ableitung bestimmen: Die Ableitung von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x + 1\) lautet \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 3\). 2. Vorzeichen der Ableitung untersuchen: Durch Faktorisieren erhält man \(f'(x) = 3(x-1)^2\). Da \((x-1)^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt auch \(f'(x) \geq 0\). Die einzige Stelle mit waagerechter Tangente (Steigung null) liegt bei \(x = 1\) vor. 3. Beurteilung von Tims Aussage: Tims Aussage ist falsch. 4. Begründung der strengen Monotonie: Nach Definition ist eine Funktion streng monoton steigend, wenn aus \(x_1 < x_2\) stets \(f(x_1) < f(x_2)\) folgt. Da die Steigung nur an einem einzelnen, isolierten Punkt (\(x = 1\)) null ist und ansonsten überall positiv ist, bleibt der Graph stets ansteigend. Es gibt kein Intervall positiver Länge, auf dem die Funktion konstant verläuft. Somit gilt die Bedingung \(f(x_1) < f(x_2)\) für alle \(x_1 < x_2\).

a) Die Ableitungsfunktion lautet \(f'(x) = 3(x-1)^2\). Da \((x-1)^2 \geq 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt stets \(f'(x) \geq 0\). Die Steigung ist nur an der Stelle \(x = 1\) gleich null. b) Tims Aussage ist falsch. Eine Funktion ist streng monoton steigend auf \(\mathbb{R}\), wenn für beliebige \(x_1 < x_2\) gilt: \(f(x_1) < f(x_2)\). Da die Steigung von \(f\) nur an einer einzigen isolierten Stelle (\(x = 1\)) null ist (Sattelpunkt) und ansonsten überall positiv ist, bleibt diese Bedingung erfüllt. Es gibt kein echtes Intervall, auf dem die Funktion konstant verläuft.

- Wie hängt das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit dem Monotonieverhalten von \(f\) zusammen? - Wie erkennst du am Graphen von \(f'\), ob \(f\) an einer Nullstelle ein Maximum oder ein Minimum besitzt? - Was bedeuten Extremstellen des Ableitungsgraphen für Wendestellen von \(f\)? - Kannst du aus der Ableitung die genaue vertikale Lage von \(G_f\) bestimmen?

1. Monotonie über das Vorzeichen von \(f'\): Da \(f'(x) < 0\) für \(x \in (1; 4)\) gilt, ist \(G_f\) auf \([1; 4]\) streng monoton fallend. Aussage 1 ist wahr. Da \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-3; 1)\) gilt, ist \(G_f\) auf \([-3; 1]\) streng monoton steigend. Aussage 3 ist wahr. 2. Extremstellen über Vorzeichenwechsel von \(f'\): Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Aussage 2 ist falsch. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. Aussage 4 ist wahr. 3. Wendestellen über Extremstellen von \(f'\): Der Graph \(G_{f'}\) besitzt im Intervall \([-4; 5]\) genau zwei Extremstellen. Daher hat \(G_f\) genau zwei Wendestellen. Aussage 5 ist falsch. 4. Funktionswerte von \(f\): Aus dem Graphen von \(f'\) lässt sich die vertikale Lage von \(G_f\) nicht bestimmen. Aussage 6 ist daher falsch.

1. Wahr 2. Falsch 3. Wahr 4. Wahr 5. Falsch 6. Falsch

- Schau dir den Verlauf des Graphen von links nach rechts an: In welchen Bereichen geht die Kurve nach oben, und in welchen nach unten? - Überlege dir, welche Uhrzeit der Startwert \(t=0\) darstellt und wie du andere \(t\)-Werte in Uhrzeiten umrechnest. - Erinnere dich daran, wie die Steigung einer Funktion mit ihrer ersten Ableitung zusammenhängt. - Wie kannst du mithilfe der ersten Ableitung Stellen finden, an denen die Steigung null ist? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit an einer Stelle mit waagerechter Tangente tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt?

1. Ablesen der Monotonieintervalle aus dem Graphen: Der Graph steigt im Intervall \([0; 8]\) und fällt im Intervall \([8; 12]\). Im Sachkontext bedeutet dies: Die Temperatur steigt streng monoton im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 14:00 Uhr und fällt streng monoton von 14:00 Uhr bis 18:00 Uhr. 2. Bestimmung der Ableitungsfunktion: Die erste Ableitung lautet \(T'(t) = -0{,}15 t^2 + 1{,}2 t\). 3. Berechnung der kritischen Stellen: Zur Bestimmung der lokalen Extrema wird die notwendige Bedingung \(T'(t) = 0\) gelöst: \(-0{,}15 t^2 + 1{,}2 t = 0 \Leftrightarrow t \cdot (-0{,}15 t + 1{,}2) = 0\). Dies liefert die Lösungen \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). 4. Überprüfung mit der zweiten Ableitung: Die zweite Ableitung lautet \(T''(t) = -0{,}3 t + 1{,}2\). Es gilt \(T''(8) = -1{,}2 < 0\), weshalb bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vorliegt. 5. Interpretation und Vergleich: Der Zeitpunkt \(t = 8\) entspricht 14:00 Uhr im Sachkontext. Dies bestätigt exakt die Ablesung aus Aufgabenteil a).

a) Die Temperatur steigt streng monoton für \(t \in [0; 8]\) (entspricht dem Zeitraum von 06:00 Uhr bis 14:00 Uhr) und fällt streng monoton für \(t \in [8; 12]\) (entspricht dem Zeitraum von 14:00 Uhr bis 18:00 Uhr). b) Die Ableitung ist \(T'(t) = -0{,}15 t^2 + 1{,}2 t\). Die Berechnung liefert den Hochpunkt bei \(t = 8\), was der Uhrzeit 14:00 Uhr entspricht und die Ablesung bestätigt.

- Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über die Steigung der Funktion aus? - Finde die Stellen, an denen die Steigung null ist. - Teste Werte aus den Bereichen zwischen und außerhalb der Nullstellen der Ableitung.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(h'(x) = 3x^2 - 3\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung: \(3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 3. Untersuchung der Vorzeichen von \(h'(x)\) in den durch die Nullstellen bestimmten Intervallen: Für \(x < -1\): Mit \(x = -2\) gilt \(h'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 9 > 0\), also ist \(h\) streng monoton wachsend. Für \(-1 < x < 1\): Mit \(x = 0\) gilt \(h'(0) = -3 < 0\), also ist \(h\) streng monoton fallend. Für \(x > 1\): Mit \(x = 2\) gilt \(h'(2) = 9 > 0\), also ist \(h\) streng monoton wachsend. 4. Nach dem Monotoniesatz ist \(h\) in \((-\infty; -1]\) und \([1; \infty)\) streng monoton wachsend sowie in \([-1; 1]\) streng monoton fallend.

Streng monoton wachsend: \((-\infty; -1]\) und \([1; \infty)\) Streng monoton fallend: \([-1; 1]\)

- Welche Aussage über das Vorzeichen von \(f'\) genügt für strenge Monotonie? - Bestimme die Stellen, an denen sich das Vorzeichen einer quadratischen Ableitungsfunktion ändern könnte. - Nutze anschließend die Öffnungsrichtung der Ableitungsparabel für die Vorzeichenentscheidung.

1. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=\frac{1}{2}x^2-x-\frac{3}{2}\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=-1\) und \(x=3\), denn \(2f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\). 3. Da \(f'\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, gilt für alle \(x\in(-1;3)\) die Ungleichung \(f'(x)<0\). 4. Nach dem Monotoniesatz ist \(f\) daher auf \([-1;3]\) streng monoton fallend.

Für alle \(x\in(-1;3)\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton fallend.

- Lokale Extrempunkte sind die Hoch- und Tiefpunkte innerhalb des Verlaufs. - Für die Monotonie betrachtest du, ob der Graph von links nach rechts steigt oder fällt. - Das globale Maximum beziehungsweise Minimum ist der höchste beziehungsweise tiefste Wert im gesamten betrachteten Bereich; dabei sind auch die Randpunkte zu berücksichtigen.

1. Aus dem Graphen liest man näherungsweise einen lokalen Hochpunkt bei \(H(0 \mid 1)\) und zwei lokale Tiefpunkte bei \(T_1(-2 \mid -0{,}6)\) und \(T_2(2 \mid -0{,}6)\) ab. 2. Der Graph fällt auf den Intervallen \([-3; -2]\) und \([0; 2]\). 3. Die höchsten Werte im dargestellten Intervall liegen an den Randpunkten \(x = -3\) und \(x = 3\) und betragen ungefähr \(1{,}9\). Die kleinsten Werte liegen bei \(x = -2\) und \(x = 2\) und betragen ungefähr \(-0{,}6\).

a) \(H \approx (0 \mid 1)\), \(T_1 \approx (-2 \mid -0{,}6)\), \(T_2 \approx (2 \mid -0{,}6)\) b) Streng monoton fallend auf \([-3; -2]\) und \([0; 2]\) c) Globales Maximum \(\approx 1{,}9\) bei \(x = \pm 3\); globales Minimum \(\approx -0{,}6\) bei \(x = \pm 2\)

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen den Funktionswerten der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Originalfunktion \(f\). - Wo muss der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse schneiden, damit die Originalfunktion ein Extremum hat? - Wie erkennst du an der Ableitung, ob ein Berg (Hochpunkt) oder ein Tal (Tiefpunkt) vorliegt? - Was bedeutet „Steigung“ in Bezug auf die Ableitungsfunktion?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen von \(f'\) liest man die Nullstellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 4\) ab. Bei \(x = -2\) wechselt das Vorzeichen von \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein lokaler Tiefpunkt vor. Bei \(x = 4\) wechselt das Vorzeichen von Plus nach Minus, also liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 2. Eine Funktion steigt streng monoton, wenn ihre Ableitung positiv ist. Der Graph von \(f'\) verläuft oberhalb der \(x\)-Achse im Intervall \((-2; 4)\). Somit ist \(f\) auf \([-2; 4]\) streng monoton steigend. 3. Die Steigung von \(f\) entspricht den Funktionswerten von \(f'\). Die größte Steigung liegt also am Hochpunkt des Graphen von \(f'\) vor. Dieser befindet sich im Scheitelpunkt der Parabel bei \(x = 1\). Der zugehörige Funktionswert (die maximale Steigung) beträgt \(f'(1) = 4{,}5\).

a) Lokaler Tiefpunkt bei \(x = -2\); lokaler Hochpunkt bei \(x = 4\). b) Das Intervall ist \([-2; 4]\). c) Die größte Steigung liegt an der Stelle \(x = 1\) vor und beträgt \(4{,}5\).

- Achte auf die Bereiche, in denen der Graph der Ableitung oberhalb, unterhalb oder genau auf der \(x\)-Achse liegt. - Wann ist eine Funktion monoton fallend und wann streng monoton fallend? - Wenn die Ableitung auf einem ganzen Intervall null ist, was folgt dann für die Funktionswerte der Originalfunktion?

1. Für \(h\) gilt im dargestellten Bereich: \(h'(x) > 0\) für \(1 < x < 3\) und \(h'(x) < 0\) für \(-1 \le x < 1\) sowie \(3 < x \le 5\). Daher ist \(h\) auf \([1; 3]\) streng monoton wachsend und auf \([-1; 1]\) sowie \([3; 5]\) streng monoton fallend. 2. Für \(k\) gilt im dargestellten Bereich \(k'(x) \le 0\). Daher ist \(k\) auf \([-2; 4]\) monoton fallend. Auf \([-2; 0]\) und \([2; 4]\) ist \(k\) streng monoton fallend; auf \([0; 2]\) ist \(k\) konstant.

Für \(h\): streng monoton wachsend auf \([1; 3]\); streng monoton fallend auf \([-1; 1]\) und \([3; 5]\) Für \(k\): monoton fallend auf \([-2; 4]\); streng monoton fallend auf \([-2; 0]\) und \([2; 4]\); konstant auf \([0; 2]\)

- Bestimme die Stellen, an denen die Steigung null ist. - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung zwischen und außerhalb dieser Stellen. - Vergleiche außerdem markante Funktionswerte mit dem Graphen.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Die Nullstellen der Ableitung sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\), denn \(3x(x - 2) = 0\). 3. Für \(x < 0\) gilt \(f'(x) > 0\), also ist \(f\) streng monoton wachsend. Für \(0 < x < 2\) gilt \(f'(x) < 0\), also ist \(f\) streng monoton fallend. Für \(x > 2\) gilt wieder \(f'(x) > 0\), also ist \(f\) streng monoton wachsend. 4. Der Graph steigt bis \(x = 0\), fällt zwischen \(x = 0\) und \(x = 2\) und steigt ab \(x = 2\) wieder. Zudem gilt \(f(0) = 1\) und \(f(2) = -3\); dies stimmt mit den Extrempunkten im Graphen überein. 5. Der Graph passt zur Funktion \(f\).

Ja, der Graph passt zur Funktion \(f\). Die Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) hat Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Dies entspricht dem lokalen Maximum bei \((0 \mid 1)\) und dem lokalen Minimum bei \((2 \mid -3)\). Das Monotonieverhalten stimmt mit der Abbildung überein.

- Bestimme zuerst die Intervalle, in denen die Funktion steigen oder fallen müsste. - Vergleiche dieses Verhalten mit dem dargestellten Graphen. - Passen die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion zu denen im Bild?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = -3x^2 + 3\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen: \(-3x^2 + 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 3. Für \(x < -1\) gilt beispielsweise \(f'(-2) = -9 < 0\), also ist \(f\) streng monoton fallend. Für \(-1 < x < 1\) gilt \(f'(0) = 3 > 0\), also ist \(f\) streng monoton wachsend. Für \(x > 1\) gilt beispielsweise \(f'(2) = -9 < 0\), also ist \(f\) streng monoton fallend. 4. Der dargestellte Graph zeigt das entgegengesetzte Verhalten: Er steigt für \(x < -1\), fällt zwischen \(-1\) und \(1\) und steigt für \(x > 1\) wieder. Dies entspricht etwa der Funktion \(g(x) = x^3 - 3x\). 5. Der Graph passt nicht zur Funktion \(f\).

Nein, der Graph passt nicht zur Funktion \(f\). Die Funktion fällt für \(x < -1\), steigt für \(-1 < x < 1\) und fällt für \(x > 1\) wieder. Der abgebildete Graph zeigt das entgegengesetzte Monotonieverhalten.

- Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung. - Untersuche das Vorzeichen der Ableitung in den dadurch entstehenden Intervallen. - Vergleiche die erwarteten Hoch- und Tiefpunkte mit dem Graphen.

1. Ableitungsfunktion bestimmen: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Die Nullstellen der Ableitung sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\), denn \(x(x^2 - 4) = 0\). 3. Für \(x < -2\) ist die Ableitung negativ, für \(-2 < x < 0\) positiv, für \(0 < x < 2\) negativ und für \(x > 2\) positiv. Somit ist \(f\) abwechselnd streng monoton fallend, wachsend, fallend und wachsend. 4. Der Graph hat Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\) sowie einen Hochpunkt bei \(x = 0\). Das Monotonieverhalten stimmt mit der Rechnung überein. 5. Der Graph passt zur Funktion.

Ja, der Graph passt zur Funktion \(f\). Die Ableitung \(f'(x) = x^3 - 4x\) hat Nullstellen bei \(-2\), \(0\) und \(2\); das daraus folgende Monotonieverhalten stimmt mit dem dargestellten Graphen überein.

- Untersuche, an welchen Stellen sich das Vorzeichen der ersten Ableitung ändern kann. - Leite daraus die Monotonieintervalle und die mögliche Anzahl der Extremstellen der gegebenen Funktion ab. - Vergleiche diese Merkmale anschließend mit dem dargestellten Graphen.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=4x^3+4x=4x(x^2+1)\). 2. Die Ableitung hat nur die Nullstelle \(x=0\), weil \(x^2+1>0\) für alle reellen \(x\) gilt. 3. Für \(x<0\) gilt \(f'(x)<0\), also ist \(f\) streng monoton fallend. Für \(x>0\) gilt \(f'(x)>0\), also ist \(f\) streng monoton wachsend. 4. Der abgebildete Graph besitzt dagegen drei Extremstellen und vier Monotonieintervalle. Die Funktion \(f(x)=x^4+2x^2\) besitzt nur einen Tiefpunkt im Ursprung. 5. Die Behauptung ist falsch; der Graph passt nicht zur Funktion.

Die Aussage ist falsch. Die Funktion \(f(x)=x^4+2x^2\) besitzt nur einen Tiefpunkt bei \(x=0\), ist für \(x<0\) streng monoton fallend und für \(x>0\) streng monoton wachsend. Der abgebildete Graph zeigt dagegen drei Extremstellen.

- Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente waagerecht verläuft. - Überprüfe das Vorzeichen der Ableitung zwischen diesen Stellen. - Schau dir die \(y\)-Werte an den berechneten Extremstellen an und vergleiche sie mit dem Graphen.

1. Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x\). 2. Faktorisieren der Ableitung: \(f'(x) = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2)\). 3. Nullstellen der Ableitung: \(x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = 2\). 4. Monotonietabelle erstellen: - \(x < 0\): \(f'(-1) = -4 - 12 - 8 = -24 < 0\) (fallend). - \(0 < x < 1\): \(f'(0{,}5) = 4(0{,}5)(0{,}25 - 1{,}5 + 2) = 2(0{,}75) = 1{,}5 > 0\) (steigend). - \(1 < x < 2\): \(f'(1{,}5) = 4(1{,}5)(2{,}25 - 4{,}5 + 2) = 6(-0{,}25) = -1{,}5 < 0\) (fallend). - \(x > 2\): \(f'(3) = 108 - 108 + 24 = 24 > 0\) (steigend). 5. Vergleich: Der Graph fällt bis \(x = 0\), steigt bis \(x = 1\), fällt bis \(x = 2\) und steigt danach wieder an. Die Extrempunkte liegen bei \((0\mid -1)\), \((1\mid 0)\) und \((2\mid -1)\). Dies entspricht dem dargestellten Graphen. 6. Ergebnis: Der Graph passt zur Funktion.

Ja, der Graph passt zur Funktion \(f\). Die Ableitung \(f'(x) = 4x(x-1)(x-2)\) hat Nullstellen bei \(0\), \(1\) und \(2\). Das daraus folgende Monotonieverhalten sowie die berechneten Funktionswerte an den Extremstellen stimmen mit der Abbildung überein.

- Berechne die Stellen, an denen die Funktion ihre Richtung ändert. - Überprüfe, ob die Funktion an diesen Stellen ein lokales Maximum oder Minimum haben sollte. - Achte auf das Verhalten der Funktion für sehr große positive \(x\)-Werte. Geht der Graph nach oben oder unten?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = x^2 - x - 2\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(x^2 - x - 2 = 0 \implies (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1, x_2 = 2\). 3. Monotonie prüfen: - Für \(x < -1\): \(f'(-2) = 4 + 2 - 2 = 4 > 0\) (streng monoton steigend). - Für \(-1 < x < 2\): \(f'(0) = -2 < 0\) (streng monoton fallend). - Für \(x > 2\): \(f'(3) = 9 - 3 - 2 = 4 > 0\) (streng monoton steigend). 4. Vergleich mit dem Graphen: Der abgebildete Graph fällt für \(x < -1\), steigt zwischen \(-1\) und \(2\) und fällt für \(x > 2\). Er verhält sich also genau entgegengesetzt zur berechneten Monotonie der Funktion \(f\). 5. Ergebnis: Der Graph passt nicht zur Funktion \(f\).

Nein, der Graph passt nicht zur Funktion \(f\). Die Funktion \(f\) ist für \(x < -1\) streng monoton steigend, für \(-1 < x < 2\) streng monoton fallend und für \(x > 2\) wieder steigend. Der dargestellte Graph zeigt jedoch das entgegengesetzte Verhalten.

- Der Graph zeigt die Ableitung, also die Steigung der ursprünglichen Funktion \(f\). - Wo ist die Steigung positiv, wo ist sie negativ? - Was passiert mit der Funktion \(f\), wenn ihre Steigung genau null ist und das Vorzeichen wechselt? - Erinnere dich an das Kriterium für Hoch- und Tiefpunkte mithilfe des Vorzeichenwechsels der Ableitung.

1. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen von \(f'\) bei \(x = -2\), \(x = 1\) und \(x = 3\) ab. 2. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x) > 0\) für \(-3{,}5 \le x < -2\) und \(1 < x < 3\). Daher ist \(f\) auf \([-3{,}5;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton wachsend. 3. Es gilt \(f'(x) < 0\) für \(-2 < x < 1\) und \(3 < x \le 4{,}5\). Daher ist \(f\) auf \([-2;1]\) und \([3;4{,}5]\) streng monoton fallend. 4. Bei \(x = -2\) und \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; dort liegen lokale Maxima. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt ein lokales Minimum.

a) Streng monoton wachsend auf \([-3{,}5;-2]\) und \([1;3]\); streng monoton fallend auf \([-2;1]\) und \([3;4{,}5]\). b) Lokale Maxima bei \(x = -2\) und \(x = 3\); lokales Minimum bei \(x = 1\).

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über die Steigung der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wo schneidet der Graph der Ableitung die x-Achse? Das sind die Kandidaten für Extremstellen. - Schau dir an, wie sich die Werte der Ableitung kurz vor und kurz nach einer Nullstelle verändern. Geht der Graph von oben nach unten durch die Achse oder umgekehrt? - Erinnere dich daran, dass „wachsend“ bedeutet, dass die Steigung positiv ist.

1. Im dargestellten Bereich ist \(f'(x) > 0\) für \(-4 \le x < -2\) und für \(1 < x < 3\). Daher ist \(f\) auf \([-4; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend. 2. Es gilt \(f'(x) < 0\) für \(-2 < x < 1\) und für \(3 < x \le 5\). Daher ist \(f\) auf \([-2; 1]\) und \([3; 5]\) streng monoton fallend. 3. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus: lokales Maximum. Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus: lokales Minimum. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus: lokales Maximum.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-4; -2]\) und \([1; 3]\) streng monoton wachsend sowie auf \([-2; 1]\) und \([3; 5]\) streng monoton fallend. b) Lokale Maxima bei \(x = -2\) und \(x = 3\); lokales Minimum bei \(x = 1\).

- Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Steigungsverhalten des Graphen zusammen? - Welche Stellen unterteilen den Definitionsbereich in Intervalle mit gleichem Monotonieverhalten? - Du kannst Testwerte aus den jeweiligen Intervallen in die Ableitungsfunktion einsetzen. - Achte beim Ablesen aus dem Graphen darauf, wo die Hoch- und Tiefpunkte liegen.

1. Bildung der ersten Ableitung: \(h'(x) = -3x^2 + 9x - 6\). 2. Bestimmung der Nullstellen der Ableitung (\(h'(x) = 0\)): \(-3x^2 + 9x - 6 = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0\). Mithilfe der p-q-Formel oder Faktorisierung: \((x-1)(x-2) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 2\). 3. Untersuchung der Vorzeichen von \(h'(x)\) in den Intervallen: - Für \(x < 1\) (z. B. \(x=0\)): \(h'(0) = -6 < 0 \implies\) streng monoton fallend. - Für \(1 < x < 2\) (z. B. \(x=1{,}5\)): \(h'(1{,}5) = -3(2{,}25) + 13{,}5 - 6 = 0{,}75 > 0 \implies\) streng monoton steigend. - Für \(x > 2\) (z. B. \(x=3\)): \(h'(3) = -27 + 27 - 6 = -6 < 0 \implies\) streng monoton fallend. 4. Zusammenfassung der Monotonieintervalle: Streng monoton fallend in \((-\infty; 1]\) und \([2; \infty)\). Streng monoton steigend in \([1; 2]\).

Die Funktion \(h\) ist im Intervall \([1; 2]\) streng monoton steigend. In den Intervallen \((-\infty; 1]\) und \([2; \infty)\) ist sie streng monoton fallend.

- Faktorisiere die Ableitungsfunktion, um ihre Nullstellen und deren Vielfachheiten zu untersuchen. - Entscheidend für Monotonie ist das Vorzeichen von \(k'\) zwischen den Nullstellen. - Eine waagerechte Tangente ohne Vorzeichenwechsel von \(k'\) genügt noch nicht für die Bezeichnung Sattelpunkt. - Prüfe zusätzlich, ob sich die Krümmung an \(x=0\) ändert.

1. Die erste Ableitung lautet \(k'(x)=0{,}5x^4-2x^2\). 2. Für die Nullstellen gilt \(0{,}5x^4-2x^2=0\), also \(0{,}5x^2(x^2-4)=0\). Damit sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\) die Nullstellen; \(x=0\) ist eine doppelte Nullstelle von \(k'\). 3. Für \(x<-2\) und \(x>2\) ist \(k'(x)>0\). Für \(-2<x<0\) und \(0<x<2\) ist \(k'(x)<0\). Daher ist \(k\) auf \([-2;2]\) streng monoton fallend. 4. Bei \(x=0\) ist zwar \(k'(0)=0\), das Vorzeichen von \(k'\) wechselt dort aber nicht. Deshalb liegt kein Extrempunkt vor. 5. Es gilt \(k''(x)=2x^3-4x=2x(x^2-2)\). In einer Umgebung von \(0\) ist \(k''\) links positiv und rechts negativ. Die Krümmung wechselt also bei \(x=0\). Da zusätzlich \(k'(0)=0\) gilt, liegt dort der Sattelpunkt \(S(0\mid0)\).

a) \(k'(x)=0{,}5x^4-2x^2=0{,}5x^2(x^2-4)\); Nullstellen: \(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\), wobei \(x=0\) doppelt ist. b) \(k\) ist auf \([-2;2]\) streng monoton fallend. Bei \(x=0\) wechselt \(k'\) sein Vorzeichen nicht, aber \(k''\) wechselt das Vorzeichen; dort liegt der Sattelpunkt \(S(0\mid0)\).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Erinnere dich daran, was an den Stellen passiert, an denen der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse schneidet oder berührt. - Wie ändert sich das Steigungsverhalten der Funktion \(f\) vor und nach einer Nullstelle der Ableitung?

1. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x)>0\) für \(-1<x<3\) und \(f'(x)<0\) für \(-3\le x<-1\) sowie \(3<x\le6\). 2. Daher ist \(f\) auf \([-1;3]\) streng monoton steigend und auf \([-3;-1]\) sowie \([3;6]\) streng monoton fallend. 3. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus; dort liegt ein lokales Minimum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus; dort liegt ein lokales Maximum.

Streng monoton steigend auf \([-1;3]\); streng monoton fallend auf \([-3;-1]\) und \([3;6]\). Bei \(x=-1\) liegt ein lokales Minimum, bei \(x=3\) ein lokales Maximum.

- Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Steigung einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen? - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über das Steigungsverhalten der Funktion aus? - Wie kannst du die Nullstellen der Ableitung nutzen, um den Definitionsbereich in Intervalle zu unterteilen?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 2. Nullstellen der Ableitung berechnen (notwendige Bedingung für Extrema): \(3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\). Mit der pq-Formel ergeben sich \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Vorzeichen der Ableitung prüfen: - Für \(x < 1\) (z. B. \(x=0\)): \(f'(0) = 9 > 0\). - Für \(1 < x < 3\) (z. B. \(x=2\)): \(f'(2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9 = -3 < 0\). - Für \(x > 3\) (z. B. \(x=4\)): \(f'(4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9 = 9 > 0\). 4. Schlussfolgerung: \(f\) ist streng monoton steigend auf \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) sowie streng monoton fallend auf \([1; 3]\).

Die Funktion \(f\) ist im Intervall \([1; 3]\) streng monoton fallend und in den Intervallen \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) streng monoton steigend.

- Überlege dir, was die Definition der strengen Monotonie genau besagt. Muss die Steigung immer größer als Null sein oder reicht es, wenn die Funktionswerte immer größer werden? - Betrachte den Graphen von \(f\) ganz genau bei \(x=0\). Gibt es dort zwei verschiedene \(x\)-Werte, die denselben \(y\)-Wert haben? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer hinreichenden Bedingung (wie \(f'(x) > 0\)) und der eigentlichen Definition einer Eigenschaft.

1. Überprüfung der Definition für \(f(x) = x^3\): Für zwei beliebige reelle Zahlen \(x_1 < x_2\) gilt aufgrund der Eigenschaften der Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten immer \(x_1^3 < x_2^3\). Somit ist die Bedingung für strenge Monotonie erfüllt, auch wenn die Steigung an einer einzelnen Stelle (\(x=0\)) den Wert Null annimmt. 2. Analyse von Lukas' Argumentation: Lukas verwechselt die hinreichende Bedingung (\(f'(x) > 0\)) mit der Definition der strengen Monotonie. Ein isolierter Punkt mit Steigung Null (Sattelpunkt) verhindert die strenge Monotonie nicht, da der Funktionswert unmittelbar rechts davon bereits wieder größer ist als im Sattelpunkt selbst. 3. Fazit: Lukas' Aussage ist falsch. Beide Funktionen sind im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

Lukas' Aussage ist falsch. Beide Funktionen, sowohl \(f\) als auch \(g\), sind auf ganz \(\mathbb{R}\) streng monoton steigend. Die Definition der strengen Monotonie verlangt lediglich, dass bei steigenden \(x\)-Werten auch die \(y\)-Werte immer größer werden (\(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)). Da dies für \(f(x) = x^3\) für alle Paare \(x_1, x_2\) zutrifft, ist die Funktion streng monoton steigend, obwohl sie an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente besitzt. Ein einzelner Punkt mit Steigung Null unterbricht die strenge Monotonie nicht.

- Verfolge den Graphen von links nach rechts und notiere die Stellen, an denen sich seine Bewegungsrichtung ändert. - Achte bei der Intervallschreibweise darauf, ob ein Extrempunkt als Randpunkt noch mit der strengen Monotonie vereinbar ist. - Prüfe diese Randpunktfrage direkt mit der Definition der strengen Monotonie.

1. Der Graph fällt für \(x\le-2\) und von \(x=0\) bis \(x=2\). Er steigt von \(x=-2\) bis \(x=0\) und für \(x\ge2\). 2. Damit ist \(h\) streng monoton fallend auf \(( -\infty;-2]\) und \([0;2]\) sowie streng monoton steigend auf \([-2;0]\) und \([2;\infty)\). 3. Leons Behauptung ist falsch. Die Randpunkte können zu den Intervallen gehören, weil die Definition der strengen Monotonie für je zwei verschiedene Punkte des gesamten angegebenen Intervalls weiterhin erfüllt ist, auch wenn die Ableitung an einem Randpunkt null ist.

1. Streng monoton fallend: \(( -\infty;-2]\) und \([0;2]\); streng monoton steigend: \([-2;0]\) und \([2;\infty)\). 2. Die Behauptung ist falsch. Die Punkte mit waagerechter Tangente dürfen als Randpunkte der strengen Monotonieintervalle enthalten sein, weil die Definition der strengen Monotonie auf den jeweiligen Intervallen weiterhin erfüllt ist.

- Wo der Graph von \(f'\) unter der \(x\)-Achse liegt, fällt der Graph von \(f\). - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung zeigt dir, ob ein Berg (Maximum) oder ein Tal (Minimum) vorliegt. - Suche nach Stellen, an denen die Steigung der Ableitung (also die Krümmung von \(f\)) ihr Verhalten ändert. - Nutze das Monotonieverhalten, um abzuschätzen, ob ein späterer Funktionswert größer oder kleiner als ein früherer sein muss.

1. Monotonieverhalten: Im Intervall \([-2; 2]\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(f'(x) \le 0\)). Daraus folgt, dass die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fällt. Aussage a) ist wahr. 2. Lokale Extrema: An der Stelle \(x = -2\) wechselt das Vorzeichen von \(f'\) von Plus nach Minus. Dies kennzeichnet eine lokale Maximalstelle von \(f\). Aussage b) ist falsch (es ist ein Maximum, kein Minimum). 3. Wendepunkte: Ein Wendepunkt von \(G_f\) liegt vor, wenn die Ableitungsfunktion \(f'\) ein lokales Extremum besitzt. Da \(G_{f'}\) bei \(x = 0\) einen Tiefpunkt hat, besitzt \(G_f\) dort einen Wendepunkt. Aussage c) ist wahr. 4. Funktionswerte vergleichen: Da \(f\) im Intervall \([0; 2]\) streng monoton fällt, gilt für \(x_1 < x_2\) immer \(f(x_1) > f(x_2)\). Für \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 1\) ergibt sich mit \(f(0) = 4\), dass \(f(1) < 4\) sein muss. Aussage d) ist falsch.

a) Wahr b) Falsch c) Wahr d) Falsch

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Steigungsverhalten der Funktion \(f\) besteht. - Was passiert mit dem Graphen von \(f\), wenn die Ableitung \(f'\) die x-Achse schneidet? - Achte auf die Richtung des Vorzeichenwechsels an den Nullstellen der Ableitung.

1. Die Funktion \(f\) ist dort streng monoton fallend, wo \(f'(x)<0\) gilt. Im dargestellten Bereich ist dies für \(-4<x<-2\) und \(1<x<3\) der Fall. Daher ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton fallend. 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=3\). 3. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein lokales Minimum. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ; dort liegt ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv; dort liegt ein lokales Minimum.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-4;-2]\) und \([1;3]\) streng monoton fallend. b) Lokale Minima liegen bei \(x=-2\) und \(x=3\); ein lokales Maximum liegt bei \(x=1\).

- Trenne bei der Quotientenregel Zähler- und Nennerfunktion sauber voneinander. - Nach dem Vereinfachen von \(f'\) ist der Nenner für die Vorzeichenanalyse unproblematisch. - Die Vorzeichenwechsel von \(f'\) liefern sowohl die Monotonieintervalle als auch die Extremtypen.

1. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{4(x^2+4)-4x\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x=-2\) und \(x=2\). Da der Nenner stets positiv ist, entscheidet der Zähler über das Vorzeichen. 3. Für \(x<-2\) und \(x>2\) gilt \(f'(x)<0\), für \(-2<x<2\) gilt \(f'(x)>0\). 4. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\) streng monoton fallend und auf \([-2;2]\) streng monoton steigend. 5. Es ist \(f(-2)=-1\) und \(f(2)=1\). Somit liegen die Extrempunkte bei \(T(-2\mid-1)\) und \(H(2\mid1)\).

\(f'(x)=\frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}\). Streng monoton steigend auf \([-2;2]\); streng monoton fallend auf \(( -\infty;-2]\) und \([2;\infty)\). Tiefpunkt: \(T(-2\mid-1)\); Hochpunkt: \(H(2\mid1)\).

- Bestimme die Ableitung als Quotient zweier Funktionen. - Vereinfache den Zähler der Ableitung vollständig, bevor du sein Vorzeichen untersuchst. - Prüfe, ob der Nenner das Vorzeichen der Ableitung verändern kann.

1. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2x(x^2+3)-(x^2-9)2x}{(x^2+3)^2}=\frac{24x}{(x^2+3)^2}\). 2. Der Nenner \((x^2+3)^2\) ist für alle \(x\in\mathbb{R}\) positiv. Daher bestimmt allein \(24x\) das Vorzeichen von \(g'\). 3. Für \(x<0\) gilt \(g'(x)<0\), für \(x>0\) gilt \(g'(x)>0\), und \(g'(0)=0\). 4. Somit ist \(g\) auf \(( -\infty;0]\) streng monoton fallend und auf \([0;\infty)\) streng monoton steigend.

\(g'(x)=\frac{24x}{(x^2+3)^2}\). Streng monoton fallend auf \(( -\infty;0]\); streng monoton steigend auf \([0;\infty)\).

- Ein Extrempunkt (Hoch- oder Tiefpunkt) tritt dort auf, wo die Steigung von Plus nach Minus oder umgekehrt wechselt. - Schau dir die Stellen an, an denen die Ableitungsgraphen die x-Achse berühren oder schneiden. - Wenn ein Graph die Achse nur berührt, aber auf derselben Seite bleibt, ändert die Funktion ihre Steigungsrichtung nicht. Was bedeutet das für Extremstellen?

1. Eine lokale Extremstelle von \(f\) kann nur an einer Nullstelle von \(f'\) liegen; für ein Extremum muss \(f'\) dort das Vorzeichen wechseln. 2. Der Graph von \(f'\) berührt bei \(x = 1\) die \(x\)-Achse, bleibt aber nichtnegativ. Daher hat \(f\) dort keinen lokalen Extrempunkt. 3. Der Graph von \(g'\) schneidet bei \(x = 1\) die \(x\)-Achse von Minus nach Plus; \(g\) besitzt dort ein lokales Minimum. 4. Der Graph von \(h'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x = -2\) und \(x = 2\) jeweils mit Vorzeichenwechsel; \(h\) besitzt dort lokale Extremstellen. Damit besitzt im dargestellten Bereich nur \(f\) keine lokalen Extremstellen.

Im dargestellten Bereich besitzt nur die Funktion \(f\) keine lokalen Extremstellen.

- Was passiert, wenn du die Gleichung nach dem Gleichsetzen mit dem Nenner multiplizierst? - Wie verhält sich ein Polynom dritten Grades bezüglich seiner Nullstellen? - Kannst du mithilfe der Ableitung des entstandenen Polynoms etwas über dessen Monotonie aussagen? - Warum ist es wichtig, den Wert der Definitionslücke in die entstandene Gleichung einzusetzen?

1. Gleichsetzen der Funktionsterme: \(\frac{x+2}{x-1} = x^2 + 2\). 2. Multiplikation mit dem Nenner \(x-1\): \(x+2 = (x^2+2)(x-1) = x^3 - x^2 + 2x - 2\). 3. Zusammenfassen zu einer kubischen Gleichung: \(x^3 - x^2 + x - 4 = 0\). 4. Untersuchung der Funktion \(k(x) = x^3 - x^2 + x - 4\) auf Nullstellen: Die Ableitung \(k'(x) = 3x^2 - 2x + 1\) hat die Diskriminante \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = -8 < 0\). 5. Da \(k'(x) > 0\) für alle \(x\) gilt, ist die Funktion \(k\) streng monoton steigend. 6. Aufgrund der Grenzwerte \(\lim_{x \to -\infty} k(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\) besitzt \(k\) genau eine reelle Nullstelle. 7. Prüfung der Definitionslücke: Da \(k(1) = 1 - 1 + 1 - 4 = -3 \neq 0\), liegt die Nullstelle nicht bei \(x=1\). 8. Es existiert somit genau ein Schnittpunkt und damit genau ein gemeinsamer Punkt.

Die Graphen \(G_h\) und \(G_p\) haben genau einen gemeinsamen Punkt.

- Bestimme vor der Monotonieanalyse den Definitionsbereich. - Untersuche das Vorzeichen von Zähler und Nenner der Ableitung getrennt. - Eine Definitionslücke trennt Monotonieintervalle, ist aber selbst kein Punkt des Graphen.

1. Der Definitionsbereich ist \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2-x}{x^3}\). Die einzige Nullstelle von \(g'\) ist \(x=2\). 3. Für \(x<0\) gilt \(g'<0\), für \(0<x<2\) gilt \(g'>0\), und für \(x>2\) gilt \(g'<0\). 4. Somit fällt \(g\) auf \(( -\infty;0)\) und \((2;\infty)\) und steigt auf \((0;2)\). Die Definitionslücke ist kein Extrempunkt; links davon fällt der linke Ast, rechts davon steigt der rechte Ast zunächst.

Streng fallend auf \(( -\infty;0)\) und \((2;\infty)\), streng steigend auf \((0;2)\). Bei \(x=0\) liegt wegen der Definitionslücke kein Extrempunkt vor; bei \(x=2\) liegt ein lokales Maximum.

- Prüfe für die Symmetrie die Beziehung zwischen \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Nach der Quotientenregel sind Zähler und Nenner von \(g'\) so aufgebaut, dass ihr Vorzeichen direkt erkennbar ist. - Für den Wertebereich im mittleren Ast sind die einseitigen Grenzwerte an beiden Polstellen entscheidend.

1. Es gilt \(g(-x)=-g(x)\); daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Wegen des höheren Nennergrades gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). 2. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\) für alle \(x\in D_g\). Somit steigt \(g\) auf jedem Definitionsintervall streng. 3. Im Ursprung ist \(g'(0)=2\). Außerdem gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-1^+\) und \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to1^-\). Da \(g\) auf \((-1;1)\) stetig und streng steigend ist, nimmt sie dort jeden reellen Wert genau einmal an.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). b) \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\); streng steigend auf jedem Definitionsintervall. c) Tangentensteigung \(2\); im Intervall \((-1;1)\) ist der Wertebereich \(\mathbb{R}\).

- Welche Nullstellen und welches Vorzeichenmuster muss die Ableitungsfunktion wegen der vorgegebenen Monotonie besitzen? - Wie sieht die Ableitung einer allgemeinen ganzrationalen Funktion dritten Grades aus? - Vergleiche die Koeffizienten einer passenden quadratischen Ableitungsfunktion mit dieser allgemeinen Ableitung. - Welche Konstante wird durch den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse festgelegt?

1. An \(x=-2\) und \(x=4\) wechselt das Monotonieverhalten. Daher soll \(g'\) dort einfache Nullstellen besitzen und außerhalb des Intervalls positiv sowie innerhalb negativ sein. 2. Eine passende Ableitung ist zum Beispiel \(g'(x)=3(x+2)(x-4)=3x^2-6x-24\). 3. Setze \(g(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Dann ist \(g'(x)=3ax^2+2bx+c\). 4. Durch Koeffizientenvergleich mit \(3x^2-6x-24\) erhält man \(a=1\), \(b=-3\) und \(c=-24\). 5. Aus \(g(0)=5\) folgt \(d=5\). Damit ist \(g(x)=x^3-3x^2-24x+5\) eine mögliche Funktion. 6. Da \(g'(x)=3(x+2)(x-4)\) außerhalb von \([-2;4]\) positiv und innerhalb negativ ist, erfüllt diese Funktion die geforderte Monotonie.

Eine mögliche Funktionsgleichung ist \(g(x)=x^3-3x^2-24x+5\). Es gibt weitere Lösungen, wenn eine andere positive Skalierung für die Ableitungsfunktion gewählt wird.