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- Ersetze in der Funktionsgleichung jedes \(x\) durch \((-x)\) und schaue, ob sich der Term verändert. - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Löse die Gleichungen \(x^2 - 4 = 0\) und \(x^2 - 25 = 0\). - Die Ordinatenachse ist ein anderer Name für die \(y\)-Achse. - Bestimme den Grad der Funktion und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten, um das Fernverhalten zu beurteilen.

1. Symmetrie prüfen: Es gilt \(q(-x) = \frac{1}{10}((-x)^2 - 4)((-x)^2 - 25) = \frac{1}{10}(x^2 - 4)(x^2 - 25) = q(x)\). Somit ist der Graph \(G_q\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen berechnen: Setze \(q(x) = 0\). Dies führt auf \(x^2 - 4 = 0 \implies x_{1,2} = \pm 2\) und \(x^2 - 25 = 0 \implies x_{3,4} = \pm 5\). Da alle Faktoren in der Form \((x-x_i)\) nur einmal vorkommen (bzw. die quadratischen Faktoren keine weiteren mehrfachen Nullstellen erzeugen), handelt es sich um vier einfache Nullstellen. 3. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Berechne \(q(0) = \frac{1}{10}(0^2 - 4)(0^2 - 25) = \frac{1}{10} \cdot (-4) \cdot (-25) = \frac{100}{10} = 10\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 10)\). 4. Verhalten im Unendlichen: Der Term mit der höchsten Potenz in der Normalform ist \(\frac{1}{10} \cdot x^2 \cdot x^2 = 0{,}1x^4\). Da der Koeffizient positiv und der Exponent gerade ist, gilt: für \(x \to \infty \implies q(x) \to \infty\) und für \(x \to -\infty \implies q(x) \to \infty\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da \(q(-x) = q(x)\). b) Nullstellen: \(x_1 = -5\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = 2\), \(x_4 = 5\) (alle einfach). c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid 10)\). d) \(x \to \pm \infty \implies q(x) \to \infty\).

- Wo liegen die tiefsten und höchsten Punkte in der Umgebung? - Ein Wendepunkt liegt dort, wo die Kurve von einer „Linkskurve“ in eine „Rechtskurve“ übergeht. - Zähle die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse im angegebenen Bereich. - Achte auf die Symmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse.

1. Der Graph zeigt drei lokale Extrempunkte: zwei Tiefpunkte (lokale Minima) bei \(x \approx -2{,}2\) und \(x \approx 2{,}2\) sowie einen Hochpunkt (lokales Maximum) bei \(x = 0\). 2. Wendestellen befinden sich dort, wo der Graph seine Krümmung ändert. Dies geschieht jeweils zwischen einem Minimum und dem Maximum. Aus dem Graphen lässt sich schätzen, dass die Wendestellen bei etwa \(x \approx -1{,}3\) und \(x \approx 1{,}3\) liegen. Sie befinden sich also jeweils zwischen \(-2\) und \(-1\) bzw. zwischen \(1\) und \(2\). 3. Im Intervall \([-3; 3]\) schneidet der Graph die \(x\)-Achse an vier Stellen. Somit sind vier Nullstellen erkennbar (bei ca. \(\pm 1{,}1\) und \(\pm 3{,}0\)).

a) 3 Extrempunkte: 2 Tiefpunkte und 1 Hochpunkt. b) Es gibt 2 Wendestellen bei ca. \(x \approx \pm 1{,}3\). Sie liegen zwischen \(-2\) und \(-1\) sowie zwischen \(1\) und \(2\). c) Es sind 4 Nullstellen erkennbar.

- Welche Bedingung beschreibt eine waagerechte Tangente? - Welche Ableitungen helfen dir, einen Sattelpunkt von einem lokalen Extremum zu unterscheiden? - Was sagt das Vorzeichen von \(f'\) links und rechts der untersuchten Stelle über den Verlauf aus?

1. Die Ableitungen sind \(f'(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2\), \(f''(x)=2x-4\) und \(f'''(x)=2\). 2. Eine waagerechte Tangente liegt bei \(f'(x)=0\) vor. Aus \((x-2)^2=0\) folgt \(x=2\). 3. Es gilt \(f'(2)=0\), \(f''(2)=0\) und \(f'''(2)=2\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) ein Sattelpunkt vor. 4. Weil \(f'(x)=(x-2)^2\ge0\) für alle \(x\) gilt, steigt die Rampe vor und nach der Stelle weiter an; sie ist dort nur momentan waagerecht.

a) Bei \(x=2\,\text{m}\). b) Bei \(x=2\,\text{m}\) liegt ein Sattelpunkt vor. Die Rampe bleibt vor und nach dieser Stelle steigend.

- Schau dir den Graphen genau an: Gibt es eine Spiegelachse? - Was kannst du über die Steigung an Stellen sagen, an denen der Graph einen „Hügel“ oder ein „Tal“ hat? - Geht der Graph in einem bestimmten Bereich nach oben oder nach unten? Was bedeutet das für die Steigung? - Zähle einfach die Stellen, an denen der Graph die waagerechte Achse kreuzt oder berührt.

1. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x=0\) besitzt der Graph ein lokales Minimum, also gilt \(f'(0)=0\). Aussage (2) ist wahr. 3. Im dargestellten Bereich \(2<x\le3{,}5\) fällt der Graph. Daher ist die Steigung negativ. Aussage (3) ist falsch. 4. Im Intervall \([-3;3]\) sind vier Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu erkennen. Aussage (4) ist wahr.

(1) wahr (2) wahr (3) falsch (4) wahr

- Überlege dir, was eine Nullstelle der Ableitungsfunktion für den Verlauf der ursprünglichen Funktion bedeutet. - Wie hängen die Krümmung und die Extremstellen der Ableitungsfunktion mit den Wendepunkten zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und der Monotonie der Funktion. - Schau dir genau an, in welchem Bereich der Graph der Ableitung über oder unter der \(x\)-Achse liegt.

1. Extremstellen von \(f\) finden: Die Extremstellen von \(f\) entsprechen den Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1 = -4\) und \(x_2 = 2\) ab. 2. Art der Extrema bestimmen: Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von negativen zu positiven Werten, was auf ein lokales Minimum (Tiefpunkt) von \(f\) hinweist. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von positiven zu negativen Werten, was ein lokales Maximum (Hochpunkt) bedeutet. 3. Wendestelle von \(f\) bestimmen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) (eine nach unten geöffnete Parabel) hat seinen Scheitelpunkt bei \(x = -1\). Somit liegt bei \(x = -1\) eine Wendestelle von \(f\) vor. 4. Vergleich der Funktionswerte: Im Intervall \([-1; 0]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, es gilt also \(f'(x) > 0\). Damit ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton steigend. Da \(0 > -1\) ist, folgt daraus \(f(0) > f(-1)\).

a) Lokales Minimum bei \(x = -4\); lokales Maximum bei \(x = 2\). b) Die Wendestelle von \(f\) liegt bei \(x = -1\). c) Da \(f'(x)\) im Intervall \([-1; 0]\) positiv ist, steigt die Funktion \(f\) dort streng monoton an. Daher muss der Funktionswert an der Stelle \(0\) größer sein als an der Stelle \(-1\).

- Wie findet man Stellen, an denen die Steigung null ist? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunktes aus? - Überlege dir, ob der Graph die x-Achse überqueren muss, wenn er von einem sehr hohen Wert zu einem Tiefpunkt unterhalb der Achse verläuft. - Hilft es, die Lage der Extrempunkte grob in ein Koordinatensystem zu skizzieren?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x + 2\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\), also \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Überprüfung mit der zweiten Ableitung: \(f''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_1(0 \mid -4)\); \(f''(1) = -1 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(1 \mid -3{,}75)\); \(f''(2) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T_2(2 \mid -4)\). 2. Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad der Funktion gerade ist, gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). Der höchste Punkt der Funktion im Bereich der Extrema ist der Hochpunkt \(H(1 \mid -3{,}75)\). Da dessen \(y\)-Wert negativ ist, verläuft der Graph zwischen den Tiefpunkten und dem Hochpunkt vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Aufgrund des Grenzverhaltens gegen \(+\infty\) und \(-\infty\) muss der Graph die \(x\)-Achse jedoch jeweils einmal links vom ersten Tiefpunkt (\(x < 0\)) und einmal rechts vom zweiten Tiefpunkt (\(x > 2\)) schneiden. Somit besitzt die Funktion genau zwei Nullstellen.

1. Die Extrempunkte sind \(T_1(0 \mid -4)\) (Tiefpunkt), \(H(1 \mid -3{,}75)\) (Hochpunkt) und \(T_2(2 \mid -4)\) (Tiefpunkt). 2. Die Funktion besitzt genau zwei Nullstellen, da alle lokalen Extremwerte negativ sind und die Funktionswerte für sehr große und sehr kleine \(x\) gegen unendlich streben.

- Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an Extremstellen gelten? - Wie berechnet man den \(y\)-Wert eines Punktes, wenn die \(x\)-Koordinate bekannt ist? - Erinnere dich an die allgemeine Geradengleichung \(y = mx + c\). Welche Informationen aus dem Wendepunkt benötigst du dafür? - Die Steigung der Tangente entspricht dem Wert der ersten Ableitung an der Berührstelle.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\), \(f''(x) = 2x - 2\), \(f'''(x) = 2\). 2. Lokale Extrempunkte: \(f'(x) = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Überprüfung mit zweiter Ableitung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{11}{3})\); \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(3 \mid -7)\). 4. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Da \(f'''(1) = 2 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Koordinaten: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + 2 = -\frac{5}{3}\). Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\). 5. Steigung im Wendepunkt: \(f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = -4\). 6. Wendetangente: Punkt-Steigungs-Form mit \(m = -4\) und \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\): \(y = -4(x - 1) - \frac{5}{3} = -4x + 4 - \frac{5}{3} = -4x + \frac{7}{3}\).

a) Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{11}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -7)\) b) Wendepunkt \(W(1 \mid -\frac{5}{3})\), Steigung \(m = -4\) c) \(t_w: y = -4x + \frac{7}{3}\)

- Nutze das notwendige und das hinreichende Kriterium für Extrem- und Wendepunkte. - Für die Wendetangente benötigst du sowohl die Koordinaten des Wendepunkts als auch die Steigung an dieser Stelle. - Wie findet man rechnerisch heraus, wo eine Gerade die \(x\)-Achse oder die \(y\)-Achse kreuzt?

1. Ableitungen: \(g'(x) = -3x^2 + 12x - 9\), \(g''(x) = -6x + 12\), \(g'''(x) = -6\). 2. Extrempunkte: \(g'(x) = 0 \implies -3(x^2 - 4x + 3) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 3\). 3. Art der Extrema: \(g''(1) = 6 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\); \(g''(3) = -6 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(3 \mid 4)\). 4. Wendepunkt: \(g''(x) = 0 \implies x_w = 2\). Funktionswert \(g(2) = -8 + 24 - 18 + 4 = 2\). Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\). 5. Wendetangente: Steigung \(m = g'(2) = -3(4) + 12(2) - 9 = 3\). Gleichung \(y = 3(x - 2) + 2 \implies y = 3x - 4\). 6. Achsenschnittpunkte: Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse bei \(x = 0 \implies y = -4\), also \(S_y(0 \mid -4)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse bei \(y = 0 \implies 3x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{3}\), also \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\).

a) Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 4)\), Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\) b) \(y = 3x - 4\) c) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -4)\); Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(S_x(\frac{4}{3} \mid 0)\)

- Überlege dir, ob für eine durchschnittliche Änderung der Differenzenquotient oder die Ableitung benötigt wird. - Wie hängen die Begriffe „momentane Änderung“ und „Steigung der Tangente“ zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der Steigung? - Denke bei der Interpretation der Wendestelle an die Dynamik der Volumenänderung.

1. Durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \([2; 5]\): Berechnung der Funktionswerte \(V(2) = -2^3 + 15 \cdot 2^2 + 200 = 252\) und \(V(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 + 200 = 450\). Der Differenzenquotient ergibt \(\frac{450 - 252}{5 - 2} = \frac{198}{3} = 66\). Die durchschnittliche Änderung beträgt \(66\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 2. Momentane Änderungsrate bei \(t = 4\): Erste Ableitung bilden: \(V'(t) = -3t^2 + 30t\). Einsetzen ergibt \(V'(4) = -3 \cdot 16 + 30 \cdot 4 = -48 + 120 = 72\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(72\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 3. Maximales Volumen: Bedingung \(V'(t) = 0 \Rightarrow -3t(t - 10) = 0\). Die relevante Lösung im Intervall ist \(t = 10\). Da \(V''(t) = -6t + 30\) und \(V''(10) = -30 < 0\), liegt ein lokales Maximum vor. Das Volumen beträgt \(V(10) = -1000 + 1500 + 200 = 700\,\text{m}^3\). Ein Vergleich mit den Randwerten \(V(0) = 200\) und \(V(12) = 632\) bestätigt das globale Maximum bei \(t = 10\). 4. Wendepunkt: Bedingung \(V''(t) = 0 \Rightarrow -6t + 30 = 0 \Rightarrow t = 5\). Der Funktionswert ist \(V(5) = 450\). Koordinaten: \(W(5 \mid 450)\). Die Wendestelle \(t = 5\) gibt den Zeitpunkt an, zu dem das Volumen am schnellsten zunimmt. Die Steigung der Wendetangente \(V'(5) = -3 \cdot 25 + 30 \cdot 5 = 75\) gibt diese maximale Zunahmerate in \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) an.

a) Die durchschnittliche Änderungsrate beträgt \(66\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). b) Die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt \(t = 4\) beträgt \(72\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). c) Das maximale Volumen von \(700\,\text{m}^3\) wird nach \(10\,\text{Stunden}\) erreicht. d) Der Wendepunkt liegt bei \(W(5 \mid 450)\). Zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{Stunden}\) ist die Zunahme des Wasservolumens mit \(75\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) am größten.

- Was ist der Unterschied zwischen einer mittleren und einer momentanen Geschwindigkeit in Bezug auf die Ableitung? - Suche nach den Stellen, an denen die erste Ableitung null wird, um Hochpunkte zu finden. - Die Wendestelle markiert bei einem Aufstieg oft den Punkt der größten Dynamik – was bedeutet das hier für die Geschwindigkeit? - Vergiss nicht, die Einheiten in deiner Interpretation zu berücksichtigen.

1. Mittlere Steiggeschwindigkeit \([0; 5]\): \(h(0) = 20\) und \(h(5) = -0{,}2 \cdot 125 + 3 \cdot 25 + 20 = -25 + 75 + 20 = 70\). Differenzenquotient: \(\frac{70 - 20}{5 - 0} = \frac{50}{5} = 10\). Die mittlere Geschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 2. Momentane Steiggeschwindigkeit bei \(t = 3\): \(h'(t) = -0{,}6t^2 + 6t\). Einsetzen: \(h'(3) = -0{,}6 \cdot 9 + 6 \cdot 3 = -5{,}4 + 18 = 12{,}6\). Die Geschwindigkeit beträgt \(12{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). 3. Maximale Höhe: Notwendige Bedingung \(h'(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t(t - 10) = 0\). Lösungen sind \(t = 0\) und \(t = 10\). Da \(h''(t) = -1{,}2t + 6\) und \(h''(10) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 10\) ein Maximum vor. \(h(10) = -0{,}2 \cdot 1000 + 3 \cdot 100 + 20 = 120\). Die maximale Höhe ist \(120\,\text{m}\). 4. Wendestelle: \(h''(t) = 0 \Rightarrow -1{,}2t + 6 = 0 \Rightarrow t = 5\). Die Steigung an dieser Stelle ist \(h'(5) = -0{,}6 \cdot 25 + 6 \cdot 5 = 15\). Interpretation: Nach \(5\,\text{Minuten}\) erreicht der Ballon seine höchste Steiggeschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Ab diesem Zeitpunkt nimmt die Steiggeschwindigkeit wieder ab.

a) Die mittlere Steiggeschwindigkeit beträgt \(10\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). b) Nach 3 Minuten beträgt die Steiggeschwindigkeit \(12{,}6\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). c) Die maximale Höhe von \(120\,\text{m}\) wird nach \(10\,\text{Minuten}\) erreicht. d) Die Wendestelle liegt bei \(t = 5\). Die Steigung dort beträgt \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\). Das bedeutet, dass der Ballon nach \(5\,\text{Minuten}\) am schnellsten steigt (maximale Steiggeschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{m}}{\text{min}}\)).

- Was bedeutet der Zeitpunkt zu Beginn der Beobachtung für den Wert von \(t\)? - Wie hängen die Steigung einer Funktion und ihr Steigungsverhalten (Wachsen/Sinken) zusammen? - Welche Bedingungen müssen für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Vergiss bei der Suche nach dem absolut höchsten Wert nicht, auch die Werte an den Grenzen des Zeitbereichs zu prüfen. - Denk daran, dass die Änderungsrate selbst durch eine Funktion beschrieben wird – wie findet man deren Extremwerte?

1. Berechnung der Funktionswerte: Zu Beginn (\(t=0\)) gilt \(h(0) = 200\). Nach 5 Stunden (\(t=5\)) gilt \(h(5) = -5^3 + 15 \cdot 5^2 - 48 \cdot 5 + 200 = -125 + 375 - 240 + 200 = 210\). Die Wasserstände betragen \(200\,\text{cm}\) und \(210\,\text{cm}\). 2. Untersuchung der Monotonie: Die erste Ableitung lautet \(h'(t) = -3t^2 + 30t - 48\). Nullstellen von \(h'(t)\): \(-3(t^2 - 10t + 16) = 0\) liefert \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 8\). Da der Graph von \(h'\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist \(h'(t) < 0\) in den Intervallen \([0; 2]\) und \([8; 12]\). In diesen Zeiträumen sinkt der Wasserspiegel. 3. Bestimmung des absoluten Maximums: Mögliche Stellen sind die Ränder (\(t=0, t=12\)) und die lokalen Extrema (\(t=2, t=8\)). Da \(h'(t)\) bei \(t=2\) von negativ zu positiv wechselt, liegt dort ein lokales Minimum (\(h(2) = 156\)). Bei \(t=8\) wechselt \(h'(t)\) von positiv zu negativ, also liegt dort ein lokales Maximum (\(h(8) = 264\)). Randwerte: \(h(0) = 200\), \(h(12) = -1728 + 2160 - 576 + 200 = 56\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 8\) mit einer Höhe von \(264\,\text{cm}\). 4. Stärkstes Sinken: Gesucht ist das Minimum der Ableitung \(h'(t)\). Die zweite Ableitung ist \(h''(t) = -6t + 30\). Nullsetzen ergibt \(t = 5\). Da \(h'''(t) = -6 < 0\), liegt bei \(t = 5\) die maximale Steigung vor. Da jedoch das stärkste Sinken gesucht ist (minimaler Wert von \(h'(t)\)), müssen die Ränder und der Wendepunkt verglichen werden: \(h'(5) = 27\), \(h'(0) = -48\), \(h'(12) = -3 \cdot 144 + 360 - 48 = -120\). Der Wasserspiegel sinkt zum Zeitpunkt \(t = 12\) am stärksten.

a) Zu Beginn: \(200\,\text{cm}\); nach 5 Stunden: \(210\,\text{cm}\). b) Der Wasserspiegel sinkt in den Zeiträumen \([0; 2]\) und \([8; 12]\) (Angaben in Stunden). c) Der Wasserstand ist nach 8 Stunden am höchsten und beträgt \(264\,\text{cm}\). d) Der Wasserspiegel sinkt am Ende des Beobachtungszeitraums, also zum Zeitpunkt \(t = 12\), am stärksten.

- Achte genau darauf, welcher Wert von \(t\) welcher Uhrzeit entspricht. - Was sagt die erste Ableitung über die Veränderung der Leistung aus? - Wie findet man den höchsten Punkt einer Kurve in einem abgeschlossenen Intervall? - Wenn nach der „schnellsten Zunahme“ gefragt ist, ist eigentlich nach dem Maximum der Steigung gesucht.

1. Berechnung für 10 Uhr: Da \(t=0\) um 6 Uhr ist, entspricht 10 Uhr dem Wert \(t=4\). \(P(4) = -4^3 + 12 \cdot 4^2 + 60 \cdot 4 = -64 + 192 + 240 = 368\). Die Leistung beträgt \(368\,\text{W}\). 2. Ableitungen: \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Leistung in \(\frac{\text{W}}{\text{h}}\). \(P''(t) = -6t + 24\) beschreibt die Änderungsrate dieser Änderungsrate in \(\frac{\text{W}}{\text{h}^2}\). 3. Maximalleistung: Bedingung \(P'(t) = 0 \implies -3(t^2 - 8t - 20) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(t_1 = 10\) und \(t_2 = -2\). Da nur \(0 \le t \le 12\) relevant ist, wird \(t = 10\) untersucht. \(P''(10) = -60 + 24 = -36 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Randwerte: \(P(0) = 0\), \(P(12) = -1728 + 1728 + 720 = 720\). Vergleich: \(P(10) = -1000 + 1200 + 600 = 800\). Das absolute Maximum liegt bei \(t = 10\) (entspricht 16 Uhr) mit \(800\,\text{W}\). 4. Schnellste Zunahme: Gesucht ist das Maximum von \(P'(t)\). Bedingung \(P''(t) = 0 \implies -6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Wegen \(P'''(t) = -6 < 0\) liegt bei \(t = 4\) ein lokales Maximum der Änderungsrate vor. Die Leistung nimmt um 10 Uhr (\(t=4\)) am schnellsten zu.

a) Um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) beträgt die Leistung \(368\,\text{W}\). b) \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\) (Änderungsrate der Leistung); \(P''(t) = -6t + 24\) (Änderungsrate der Änderungsrate der Leistung). c) Die maximale Leistung wird um 16 Uhr (\(t=10\)) erreicht und beträgt \(800\,\text{W}\). d) Die Leistung nimmt um 10 Uhr morgens (\(t=4\)) am schnellsten zu.

- Untersuche die Exponenten der Funktionsterme, um direkt auf Symmetrieeigenschaften zu schließen. - Wie viele Lösungen hat die Gleichung \(f(x) = 0\)? Achte darauf, ob Nullstellen mehrfach vorkommen. - Nutze die erste und zweite Ableitung, um die Anzahl und Art der Extrempunkte sowie mögliche Terrassenpunkte zu bestimmen. - Überlege, ob man einen Funktionsterm mithilfe binomischer Formeln vereinfachen kann, um die Analyse zu erleichtern.

1. Analyse von \(f(x) = 2x^2 - x^4\): Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (A). Die Nullstellenberechnung \(x^2(2 - x^2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\), also genau drei verschiedene Nullstellen (E). Die Ableitung \(f'(x) = 4x - 4x^3 = 4x(1 - x^2)\) hat Nullstellen bei \(x \in \{0; 1; -1\}\). Da \(f''(0) = 4\) (Minimum) und \(f''(\pm 1) = -8\) (Maxima), liegen drei Extrempunkte vor (C entfällt). Es gibt keinen Terrassenpunkt (D entfällt). 2. Analyse von \(g(x) = x^3 - 3x\): Da nur ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (B). Die Nullstellenberechnung \(x(x^2 - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = \pm\sqrt{3}\), also genau drei Nullstellen (E). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 - 3\) hat Nullstellen bei \(x = \pm 1\). Mit \(g''(1) = 6\) (Minimum) und \(g''(-1) = -6\) (Maximum) ergeben sich genau zwei Extrempunkte (C). 3. Analyse von \(h(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\): Dies entspricht \((x-1)^3\). Eine Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse liegt nicht vor. Es gibt nur die Nullstelle \(x=1\) (E entfällt). Die Ableitung \(h'(x) = 3(x-1)^2\) hat bei \(x=1\) eine doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel, was einen Terrassenpunkt bedeutet (D). Da \(h'(x) \ge 0\), gibt es keine lokalen Extrempunkte (C entfällt).

(1): A, E (2): B, C, E (3): D

- Berechne für jede Funktion die erste Ableitung und bestimme deren Nullstellen. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Ableitungsnullstelle und der Art des Kurvenpunkts (Extrempunkt vs. Terrassenpunkt). - Überprüfe bei quadratischen Funktionen die Symmetrie über die Scheitelpunktform oder die Lage des Scheitelpunktes. - Überlege, ob die Funktion überall steigt oder fällt, um auf die Existenz von Extrema zu schließen.

1. Untersuchung von \(f(x) = x^4 + 1\): Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3\) hat nur die Nullstelle \(x = 0\) (A). Bei \(x = 0\) liegt wegen \(f''(0) = 0\), \(f'''(0) = 0\) und \(f^{(4)}(0) = 24 > 0\) ein lokales Minimum vor, also kein Terrassenpunkt (B entfällt) und ein Extremum ist vorhanden (C entfällt). Die Symmetrieachse ist die \(y\)-Achse (\(x = 0\)), nicht \(x = 1\) (D entfällt). 2. Untersuchung von \(g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1\): Dies ist gleich \((x + 1)^3\). Die Ableitung \(g'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x + 1)^2\) hat nur die Nullstelle \(x = -1\) (A). Da es eine doppelte Nullstelle der Ableitung ist (kein Vorzeichenwechsel von \(g'\)), handelt es sich um einen Terrassenpunkt (B). Da \(g\) streng monoton steigend ist, gibt es kein lokales Extremum (C). Achsensymmetrie liegt bei ungeraden Graden nicht vor (D entfällt). 3. Untersuchung von \(h(x) = x^2 - 2x + 5\): Die Ableitung \(h'(x) = 2x - 2\) hat nur die Nullstelle \(x = 1\) (A). Der Graph ist eine Parabel. Die Scheitelpunktform \(h(x) = (x - 1)^2 + 4\) zeigt, dass der Scheitelpunkt bei \(x = 1\) liegt. Somit ist der Graph achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\) (D). Da ein Minimum vorliegt, ist C falsch; ein Terrassenpunkt existiert bei quadratischen Funktionen nicht (B entfällt).

(1): A (2): A, B, C (3): A, D

- Überlege dir, wie der Graph der Funktion grob aussieht. Wo liegen die Hoch- und Tiefpunkte? - Die Anzahl der Lösungen entspricht der Anzahl der Schnittpunkte zwischen dem Graphen und einer waagerechten Geraden. - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Skizziere den Verlauf der Funktion basierend auf den Extrempunkten, um die verschiedenen Fälle für die Gerade zu sehen.

1. Bestimmung der Ableitung: \(f'(x) = x^3 - 4x\). 2. Berechnung der Extremstellen durch \(f'(x) = 0\): \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\), \(x_3 = 2\). 3. Berechnung der Funktionswerte an den Extremstellen: \(f(-2) = -1\) (lokales Minimum), \(f(0) = 3\) (lokales Maximum), \(f(2) = -1\) (lokales Minimum). 4. Betrachtung des Grenzwertverhaltens: Für \(|x| \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 5. Analyse der Lösungsanzahl durch Vergleich der horizontalen Geraden \(y = a\) mit dem Graphen: - Keine Lösung: \(a < -1\). - Zwei Lösungen: \(a = -1\) (Berührungspunkte in den Minima) oder \(a > 3\). - Drei Lösungen: \(a = 3\) (Berührungspunkt im Maximum und zwei weitere Schnittpunkte). - Vier Lösungen: \(-1 < a < 3\). - Eine Lösung: Für keinen Wert von \(a\) (da die Minima auf gleicher Höhe liegen und der Grad der Funktion gerade ist).

- Keine Lösung für \(a < -1\) - Zwei Lösungen für \(a = -1\) oder \(a > 3\) - Drei Lösungen für \(a = 3\) - Vier Lösungen für \(-1 < a < 3\) - Eine Lösung für keinen Wert von \(a\)

- Bestimme zuerst die lokalen Maxima und Minima der Funktion auf der linken Seite. - Stell dir vor, du verschiebst eine horizontale Gerade \(y = k\) von unten nach oben durch das Koordinatensystem. - Wie oft schneidet diese Gerade den Graphen in den verschiedenen Bereichen? - Achte besonders auf die Werte von \(k\), die genau den Funktionswerten der Extrempunkte entsprechen.

1. Definition der Funktion \(g(x) = x^3 - 12x + 10\). 2. Bestimmung der Ableitung: \(g'(x) = 3x^2 - 12\). 3. Berechnung der Extremstellen: \(g'(x) = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\). 4. Berechnung der Extremwerte: \(g(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 10 = -8 + 24 + 10 = 26\) (lokales Maximum); \(g(2) = 2^3 - 12(2) + 10 = 8 - 24 + 10 = -6\) (lokales Minimum). 5. Analyse des Verlaufs: Da \(g\) eine kubische Funktion mit positivem Leitkoeffizienten ist, gilt \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\). 6. Bestimmung der Lösungsanzahl für \(g(x) = k\): - Eine Lösung: Wenn die Gerade \(y=k\) unterhalb des Minimums oder oberhalb des Maximums liegt, also \(k < -6\) oder \(k > 26\). - Zwei Lösungen: Wenn die Gerade genau durch einen der Extrempunkte verläuft, also \(k = -6\) oder \(k = 26\). - Drei Lösungen: Wenn die Gerade zwischen den Extremwerten liegt, also \(-6 < k < 26\).

- Eine Lösung für \(k < -6\) oder \(k > 26\) - Zwei Lösungen für \(k = -6\) oder \(k = 26\) - Drei Lösungen für \(-6 < k < 26\)

- Für ein absolutes Maximum auf einem geschlossenen Zeitintervall reichen innere Extremstellen allein nicht aus. - Die Änderungsrate der Konzentration wird durch die erste Ableitung beschrieben. - Wenn diese Änderungsrate selbst maximal sein soll, welche Ableitung hilft dir bei der Kandidatensuche?

1. Es gilt \(k'(t)=-3t^2+18t+48=-3(t-8)(t+2)\). Im Intervall \([0;12]\) ist nur \(t=8\) eine innere kritische Stelle. 2. Mit \(k''(t)=-6t+18\) folgt \(k''(8)=-30<0\); bei \(t=8\) liegt ein lokales Maximum. 3. Für das absolute Maximum auf dem geschlossenen Intervall werden auch die Randwerte verglichen: \(k(0)=50\), \(k(8)=498\) und \(k(12)=194\). Somit ist die Konzentration bei \(t=8\) mit \(498\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}\) am höchsten. 4. Die stärkste Zunahme entspricht einem Maximum von \(k'\). Aus \(k''(t)=0\) folgt \(t=3\). Wegen \(k'''(t)=-6<0\) besitzt \(k'\) dort ein lokales Maximum. 5. Es ist \(k'(3)=75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}}\).

a) Nach \(8\,\text{h}\) ist die Konzentration mit \(498\,\frac{\text{mg}}{\text{l}}\) im betrachteten Zeitraum maximal. b) Nach \(3\,\text{h}\) ist die Zunahme am stärksten; die Änderungsrate beträgt \(75\,\frac{\text{mg}}{\text{l}\cdot\text{h}}\).

- Was versteht man in der Mathematik unter Grenzkosten? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Extremstellen der Steigung zu finden? - Erinnere dich an die Bedeutung des Wendepunkts für das Krümmungsverhalten eines Graphen. - Wie verändert sich die Steigung links und rechts vom Wendepunkt in diesem Fall?

1. Bildung der ersten Ableitung (Grenzkostenfunktion): \(K'(x) = x^2 - 12x + 45\). 2. Bildung der zweiten Ableitung: \(K''(x) = 2x - 12\). 3. Bestimmung des Minimums der Grenzkosten durch Nullsetzen der zweiten Ableitung: \(2x - 12 = 0 \implies x = 6\). 4. Überprüfung mit der dritten Ableitung: \(K'''(x) = 2 > 0\), somit liegt bei \(x = 6\) ein Minimum der Steigung (Grenzkosten) vor. 5. Berechnung des Funktionswertes an der Wendestelle: \(K(6) = \frac{1}{3}(6)^3 - 6(6)^2 + 45(6) + 120 = 72 - 216 + 270 + 120 = 246\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(6 \mid 246)\). 6. Interpretation: Bis zur Produktionsmenge \(x = 6\) steigen die Kosten unterproportional (degressiv), da die Steigung abnimmt. Ab \(x = 6\) steigen die Kosten überproportional (progressiv), da die Steigung wieder zunimmt.

a) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(x = 6\,\text{ME}\) am geringsten. b) Der Wendepunkt liegt bei \(W(6 \mid 246)\). An dieser Stelle geht der Kostenverlauf von einem degressiven (rechtsgekrümmten) in einen progressiven (linksgekrümmten) Zuwachs über; hier wachsen die Kosten am langsamsten.

- Bei einem geschlossenen Beobachtungsintervall müssen auch beide Randwerte in den Vergleich eingehen. - Die erste Ableitung beschreibt hier die Wachstumsrate der Pflanzenhöhe. - Für die stärkste Wachstumsphase suchst du ein Maximum dieser Änderungsrate.

1. Es gilt \(h'(t)=-0{,}06t^2+1{,}2t=t(-0{,}06t+1{,}2)\). Kritische Stellen im Intervall sind \(t=0\) und \(t=20\). 2. Mit \(h''(t)=-0{,}12t+1{,}2\) folgt \(h''(20)=-1{,}2<0\); bei \(t=20\) liegt ein lokales Maximum. 3. Für das absolute Maximum werden die Werte an allen Rand- und Kandidatenstellen verglichen: \(h(0)=20\,\text{cm}\), \(h(20)=100\,\text{cm}\), \(h(25)=82{,}5\,\text{cm}\). Damit liegt das absolute Maximum bei \(t=20\). 4. Für die maximale Wachstumsrate wird \(h'\) maximiert. Aus \(h''(t)=0\) folgt \(t=10\), und wegen \(h'''(t)=-0{,}12<0\) liegt dort ein Maximum von \(h'\). 5. Es ist \(h'(10)=6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\).

a) Nach \(20\) Tagen erreicht die Pflanze im betrachteten Zeitraum ihre maximale Höhe von \(100\,\text{cm}\). b) Nach \(10\) Tagen wächst sie am schnellsten; die Wachstumsrate beträgt \(6\,\frac{\text{cm}}{\text{Tag}}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit und Beschleunigung mathematisch zusammen? - Welche Eigenschaft hat die erste Ableitung an einem Wendepunkt der Originalfunktion? - Was bedeutet eine hohe Steigung im Kontext von Zeit und Geschwindigkeit?

1. Ableitungen bestimmen: \(v'(t) = -0{,}3t^2 + 3{,}6t\) und \(v''(t) = -0{,}6t + 3{,}6\). 2. Maximum berechnen: \(v'(t) = 0 \Rightarrow t \cdot (-0{,}3t + 3{,}6) = 0\). Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 12\). Wegen \(v''(12) = -3{,}6 < 0\) liegt bei \(t = 12\,\text{s}\) ein lokales Maximum vor. Randprüfung: \(v(12) = 91{,}4\), \(v(15) = 72{,}5\), \(v(0) = 5\). Die Höchstgeschwindigkeit wird bei \(t = 12\,\text{s}\) erreicht. 3. Wendestelle berechnen: \(v''(t) = 0 \Rightarrow -0{,}6t + 3{,}6 = 0 \Rightarrow t = 6\). Da \(v'''(t) = -0{,}6 < 0\), besitzt \(v'\) bei \(t = 6\,\text{s}\) ein lokales Maximum; zugleich liegt dort die Wendestelle von \(v\). 4. Bedeutung im Sachkontext: Die Wendestelle \(t = 6\,\text{s}\) markiert den Zeitpunkt der maximalen Beschleunigung. 5. Steigung der Wendetangente: \(v'(6) = -0{,}3 \cdot 36 + 3{,}6 \cdot 6 = 10{,}8\). Dies ist der Wert der maximalen Beschleunigung in \(\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).

a) Das Fahrzeug erreicht seine Höchstgeschwindigkeit nach \(12\) Sekunden. b) Die Wendestelle liegt bei \(t = 6\,\text{s}\). Sie gibt den Zeitpunkt an, an dem das Fahrzeug am stärksten beschleunigt. Die Steigung der Wendetangente (\(10{,}8\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\)) entspricht dieser maximalen Beschleunigung.

- Welche Ableitung benötigst du, um die Krümmung einer Funktion zu untersuchen? - Wie prüft man rechnerisch, ob ein Punkt die Gleichung einer Geraden erfüllt? - Überlege dir, wie viele Einheiten der Punkt in horizontale und vertikale Richtung bewegt wurde. - Wenn ein Graph um \(d\) nach rechts verschoben wird, wie ändert sich dann das Argument \(x\) in der Funktionsgleichung?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\), \(f''(x) = 6x - 6\) und \(f'''(x) = 6\). 2. Wendestelle bestimmen: \(f''(x) = 0 \implies 6x - 6 = 0 \implies x = 1\). Da \(f'''(1) \neq 0\), liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Wendepunkt vor. 3. y-Koordinate des Wendepunkts berechnen: \(f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 5 = -6\). Der Wendepunkt ist \(W(1 \mid -6)\). 4. Nachweis auf der Geraden: Einsetzen der Koordinaten von \(W\) in \(y = -4x - 2\) ergibt \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\), was eine wahre Aussage ist. 5. Verschiebung ermitteln: Der Punkt \(P(0 \mid 5)\) wird auf \(P'(2 \mid 1)\) abgebildet. Dies entspricht einer Verschiebung um \(2\) Einheiten in positive \(x\)-Richtung (\(x_0 = 2\)) und um \(4\) Einheiten in negative \(y\)-Richtung (\(y_0 = -4\)). 6. Funktionsgleichung aufstellen: \(h(x) = f(x - 2) - 4 = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(1 \mid -6)\). Einsetzen in die Geradengleichung: \(-6 = -4 \cdot 1 - 2\) ist korrekt. b) Eine mögliche Gleichung ist \(h(x) = (x - 2)^3 - 3(x - 2)^2 - 9(x - 2) + 1\) (oder ausmultipliziert \(h(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 1\)).

- Bestimme zuerst die Stelle, an der die zweite Ableitung null wird. - Was passiert mit den Koordinaten eines Punktes, wenn er zum Ursprung verschoben wird? - Erinnere dich an die binomischen Formeln oder das pascalsche Dreieck, um Potenzen wie \((x+2)^3\) aufzulösen. - Funktionen der Form \(f(x) = ax^3 + bx\) sind punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kann dir helfen, dein Ergebnis in Teil b zu überprüfen.

1. Ableitungen berechnen: \(g'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 6x + 4\), \(g''(x) = 3x - 6\). 2. Wendepunkt bestimmen: \(g''(x) = 0 \implies x = 2\). Die y-Koordinate ist \(g(2) = \frac{1}{2} \cdot 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 - 12 + 8 = 0\). Somit ist \(W(2 \mid 0)\). 3. Geradenprüfung: Einsetzen von \(x = 2\) in \(y = -x + 2\) ergibt \(y = -2 + 2 = 0\), was mit der y-Koordinate von \(W\) übereinstimmt. 4. Verschiebung bestimmen: Um den Punkt \(W(2 \mid 0)\) in den Ursprung \((0 \mid 0)\) zu verschieben, muss der Graph um \(2\) Einheiten nach links verschoben werden. 5. Transformation durchführen: \(k(x) = g(x + 2) = \frac{1}{2}(x + 2)^3 - 3(x + 2)^2 + 4(x + 2)\). 6. Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: \(k(x) = \frac{1}{2}(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) - 3(x^2 + 4x + 4) + 4x + 8\) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 + 3x^2 + 6x + 4 - 3x^2 - 12x - 12 + 4x + 8 = \frac{1}{2}x^3 - 2x\).

a) Der Wendepunkt ist \(W(2 \mid 0)\). Einsetzen in \(y = -x + 2\) ergibt \(0 = -2 + 2\). b) \(k(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2x\)

- Überlege dir zuerst, welche Ableitungen du benötigst, um Aussagen über die Monotonie und die Krümmung zu treffen. - Wie hängen die Vorzeichen der Ableitungen mit dem Verlauf des Graphen zusammen? - Achte bei der Monotonie besonders auf Stellen, an denen die Ableitung Null ist, ohne dass ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung hilft es, die Nullstellen der zweiten Ableitung als Grenzen für deine Intervalle zu verwenden.

1. Erste und zweite Ableitung bilden: \(f'(x) = x^3 - 3x^2\) und \(f''(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Nullstellen der ersten Ableitung berechnen: \(x^2(x - 3) = 0\) liefert \(x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle) und \(x_2 = 3\). 3. Monotonieverhalten prüfen: Da \(f'(x) \le 0\) für alle \(x \in (-\infty; 3]\) (mit isolierten Nullstellen), ist die Funktion in \((-\infty; 3]\) streng monoton fallend. Für \(x \ge 3\) gilt \(f'(x) \ge 0\), somit ist \(f\) in \([3; \infty)\) streng monoton steigend. 4. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen: \(3x(x - 2) = 0\) liefert \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 2\). 5. Krümmungsverhalten bestimmen: Da \(f''(x) > 0\) für \(x < 0\), ist \(G_f\) in \((-\infty; 0)\) linksgekrümmt. Da \(f''(x) < 0\) für \(0 < x < 2\), ist \(G_f\) in \((0; 2)\) rechtsgekrümmt. Da \(f''(x) > 0\) für \(x > 2\), ist \(G_f\) in \((2; \infty)\) linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton fallend in \((-\infty; 3]\), streng monoton steigend in \([3; \infty)\). Krümmung: linksgekrümmt in \((-\infty; 0)\) und \((2; \infty)\), rechtsgekrümmt in \((0; 2)\).

- Was sagt die erste Ableitung über das Steigungsverhalten einer Funktion aus? - Wann genau wechselt eine Kurve ihre Krümmungsrichtung? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung und der Linkskurve bzw. Rechtskurve. - Es kann helfen, eine Vorzeichentabelle für die Ableitungen zu erstellen.

1. Ableitungen bestimmen: \(g'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1{,}5\) und \(g''(x) = x - 2\). 2. Nullstellen von \(g'\) finden: \(\frac{1}{2}(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 3\). 3. Monotonieintervalle: Testeinsetzungen in \(g'\) ergeben: positiv in \((-\infty; 1)\), negativ in \((1; 3)\), positiv in \((3; \infty)\). Somit ist \(g\) streng monoton steigend in \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\) sowie streng monoton fallend in \([1; 3]\). 4. Nullstelle von \(g''\) finden: \(x - 2 = 0 \Rightarrow x_3 = 2\). 5. Krümmungsverhalten: Für \(x < 2\) ist \(g''(x) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt. Für \(x > 2\) ist \(g''(x) > 0\), der Graph ist linksgekrümmt.

Monotonie: streng monoton steigend in \((-\infty; 1]\) und \([3; \infty)\), streng monoton fallend in \([1; 3]\). Krümmung: rechtsgekrümmt in \((-\infty; 2)\), linksgekrümmt in \((2; \infty)\).

- Kannst du den Funktionsterm so umformen, dass du die Nullstellen direkt ablesen oder leicht berechnen kannst? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Wie beeinflusst die Bedingung \(k > 0\) das Vorzeichen deiner Ergebnisse in der zweiten Ableitung? - Welche Ableitungen benötigst du, um die Krümmungsänderung und damit den Wendepunkt zu untersuchen?

1. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(f_k(0) = 0\), also \(S_y(0 \mid 0)\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 3k^2) = 0\) zu \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{3}k\). Die Schnittpunkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3}k \mid 0)\) und \(N_3(-\sqrt{3}k \mid 0)\). 2. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f_k'(x) = 3x^2 - 3k^2\) hat Nullstellen bei \(x = \pm k\). Die zweite Ableitung ist \(f_k''(x) = 6x\). Da \(f_k''(k) = 6k > 0\) (wegen \(k > 0\)), liegt bei \(x = k\) ein Tiefpunkt \(T(k \mid -2k^3)\). Da \(f_k''(-k) = -6k < 0\), liegt bei \(x = -k\) ein Hochpunkt \(H(-k \mid 2k^3)\). 3. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f_k''(x) = 6x = 0\) liefert \(x = 0\). Wegen \(f_k'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an der Stelle \(x = 0\) ein Wendepunkt vor. Die Koordinaten sind \(W(0 \mid 0)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3}k \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{3}k \mid 0)\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(-k \mid 2k^3)\), Tiefpunkt \(T(k \mid -2k^3)\) Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\)

- Wie gehst du vor, um die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse bei einer Funktion vierten Grades zu finden? - Welche Rolle spielen die Vorzeichen der zweiten Ableitung bei der Unterscheidung von Hoch- und Tiefpunkten? - Achte beim Einsetzen der Stellen in die Originalfunktion darauf, wie sich die Potenzen auf den Parameter \(a\) auswirken. - Gibt es Symmetrieeigenschaften, die dir die Arbeit bei der Berechnung der Punkte erleichtern könnten?

1. Achsenschnittpunkte: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 0)\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(\frac{1}{4}x^2(x^2 - 4a^2) = 0\), woraus \(x_1 = 0\) sowie \(x_{2,3} = \pm 2a\) folgt. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(2a \mid 0)\) und \(N_3(-2a \mid 0)\). 2. Extrempunkte: Die Ableitungen lauten \(g_a'(x) = x^3 - 2a^2x\) und \(g_a''(x) = 3x^2 - 2a^2\). Die Bedingung \(g_a'(x) = 0\) führt auf \(x(x^2 - 2a^2) = 0\), also \(x = 0\) oder \(x = \pm \sqrt{2}a\). Da \(g_a''(0) = -2a^2 < 0\), liegt ein Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) vor. Da \(g_a''(\pm \sqrt{2}a) = 4a^2 > 0\), liegen Tiefpunkte bei \(T_1(\sqrt{2}a \mid -a^4)\) und \(T_2(-\sqrt{2}a \mid -a^4)\). 3. Wendepunkte: Die Bedingung \(g_a''(x) = 3x^2 - 2a^2 = 0\) liefert \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}a\). Da die dritte Ableitung \(g_a'''(x) = 6x\) an diesen Stellen ungleich Null ist, existieren zwei Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a \mid -\frac{5}{9}a^4)\).

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(2a \mid 0)\), \(N_3(-2a \mid 0)\) Extrempunkte: Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\), Tiefpunkte \(T_{1,2}(\pm \sqrt{2}a \mid -a^4)\) Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a \mid -\frac{5}{9}a^4)\)

- Wie kannst du die Nullstellen direkt aus der Klammerdarstellung ablesen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du für \(x\) die Zahl Null einsetzt? - Überlege dir, welcher Teil der Funktion für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte am wichtigsten wird. - Wenn ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist, was muss dann für jede Nullstelle \(x_0\) auch gelten?

1. Nullstellen bestimmen: Aus der faktorisierten Form ergeben sich die Nullstellen durch Nullsetzen der Faktoren. \(x_1 = -3\) (einfache Nullstelle, da der Faktor \((x+3)\) die Potenz 1 hat) und \(x_2 = 1\) (doppelte Nullstelle, da der Faktor \((x-1)\) im Quadrat steht). 2. \(y\)-Achsenabschnitt berechnen: Einsetzen von \(x = 0\) in die Funktionsgleichung: \(p(0) = -0{,}1 \cdot (0 + 3) \cdot (0 - 1)^2 = -0{,}1 \cdot 3 \cdot 1 = -0{,}3\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). 3. Globalverhalten untersuchen: Der Leitterm der ausmultiplizierten Funktion ist \(-0{,}1 \cdot x \cdot x^2 = -0{,}1x^3\). Für \(x \to \infty\) gilt \(p(x) \to -\infty\). Für \(x \to -\infty\) gilt \(p(x) \to \infty\). 4. Symmetrie begründen: Wäre der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung, müssten die Nullstellen symmetrisch zum Ursprung liegen. Da jedoch \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle ist, müsste bei Achsensymmetrie auch \(x = -1\) eine doppelte Nullstelle sein; bei Punktsymmetrie müsste \(x = -1\) ebenfalls eine doppelte Nullstelle sein. Dies ist hier nicht der Fall (die andere Nullstelle liegt bei \(x = -3\) und ist einfach).

a) Nullstellen: \(x_1 = -3\) (einfach), \(x_2 = 1\) (doppelt). b) Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -0{,}3)\). c) \(x \to \infty \implies p(x) \to -\infty\); \(x \to -\infty \implies p(x) \to \infty\). d) Die Nullstellen liegen nicht symmetrisch zum Ursprung (zu \(x_2 = 1\) müsste \(x = -1\) eine Nullstelle mit gleicher Vielfachheit sein), daher liegt keine der genannten Symmetrien vor.

- Prüfe die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Bei den Nullstellen liefert die Vielfachheit Information darüber, ob die Achse geschnitten oder berührt wird. - Für Extrempunkte brauchst du stationäre Stellen und eine Klassifikation. - Das Verhalten im Unendlichen wird vom führenden Term bestimmt.

1. Es gilt \(f(-x)=f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)=0\) folgen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Bei \(x=0\) liegt eine doppelte Nullstelle vor; der Graph berührt dort die \(x\)-Achse. Bei \(x=\pm2\) liegen einfache Nullstellen vor; dort schneidet der Graph die Achse. 3. Es ist \(f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt2\). Mit \(f''(x)=12x^2-8\) folgt \(f''(0)<0\) und \(f''(\pm\sqrt2)>0\). Daher liegen \(H(0\mid0)\), \(T_1(-\sqrt2\mid-4)\) und \(T_2(\sqrt2\mid-4)\) vor. 4. Wegen des führenden Terms \(x^4\) gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

1. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Nullstellen: \(x=-2\) und \(x=2\) als Schnittstellen; \(x=0\) als Berührstelle. 3. Hochpunkt \(H(0\mid0)\); Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt2\mid-4)\) und \(T_2(\sqrt2\mid-4)\). 4. \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\).

- Die Gleichung für die Nullstellen enthält nur \(x^4\) und \(x^2\); eine Substitution reduziert den Grad. - Für die Extrempunkte brauchst du die Nullstellen der ersten Ableitung und eine Klassifikation. - Symmetrie und führender Term helfen dir, die berechneten charakteristischen Punkte zu einem qualitativen Verlauf zusammenzufügen.

1. Aus \(-\frac{1}{2}x^4+4x^2-6=0\) folgt \(x^4-8x^2+12=0\). Mit \(u=x^2\) erhält man \(u^2-8u+12=0\), also \(u=6\) oder \(u=2\). Damit sind die Nullstellen \(x=\pm\sqrt6\) und \(x=\pm\sqrt2\). 2. Es gilt \(f'(x)=-2x^3+8x=-2x(x^2-4)\) und \(f''(x)=-6x^2+8\). Die stationären Stellen sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Wegen \(f''(0)=8>0\) liegt \(T(0\mid-6)\) vor; wegen \(f''(\pm2)=-16<0\) liegen \(H_1(-2\mid2)\) und \(H_2(2\mid2)\) vor. 3. Da nur gerade Potenzen vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x\to\pm\infty\) gilt wegen des negativen führenden Koeffizienten \(f(x)\to-\infty\). Von links kommend steigt der Graph zum Hochpunkt bei \(-2\), fällt zum Tiefpunkt bei \(0\), steigt zum Hochpunkt bei \(2\) und fällt anschließend wieder. Dabei schneidet er die \(x\)-Achse an den vier berechneten Nullstellen.

1. Nullstellen: \(x=\pm\sqrt6\) und \(x=\pm\sqrt2\). 2. Hochpunkte \(H_1(-2\mid2)\), \(H_2(2\mid2)\); Tiefpunkt \(T(0\mid-6)\). 3. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\pm\infty\); Verlauf Hochpunkt–Tiefpunkt–Hochpunkt in dieser Reihenfolge.

- Überlege dir, was die erste Ableitung über die Steigung des Graphen aussagt. - Wie kannst du die Stellen finden, an denen sich das Steigungsverhalten ändern könnte? - Untersuche die Vorzeichen der Ableitung zwischen den berechneten Nullstellen. - Vergiss nicht, die \(y\)-Koordinaten der markanten Punkte mit der ursprünglichen Funktionsgleichung zu berechnen.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = -x^2 + 2x + 3\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Division durch \(-1\) ergibt \(x^2 - 2x - 3 = 0\). Anwendung der \(pq\)-Formel oder Faktorisierung liefert \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 3. Vorzeichen von \(f'(x)\) untersuchen: - Für \(x < -1\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(-2) = -5\)). - Für \(-1 < x < 3\) ist \(f'(x) > 0\) (z. B. \(f'(0) = 3\)). - Für \(x > 3\) ist \(f'(x) < 0\) (z. B. \(f'(4) = -5\)). 4. Monotonieintervalle festlegen: - Streng monoton fallend für \(x \le -1\) und \(x \ge 3\), also auf den Intervallen \((-\infty; -1]\) und \([3; \infty)\). - Streng monoton steigend für \(-1 \le x \le 3\), also auf dem Intervall \([-1; 3]\). 5. Extrempunkte berechnen: - Lokales Minimum bei \(x = -1\): \(f(-1) = -\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1) - 1 = \frac{1}{3} + 1 - 3 - 1 = -\frac{8}{3}\). Tiefpunkt \(T\left(-1 \mid -\frac{8}{3}\right)\). - Lokales Maximum bei \(x = 3\): \(f(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + 3^2 + 3(3) - 1 = -9 + 9 + 9 - 1 = 8\). Hochpunkt \(H(3 \mid 8)\).

Die Funktion ist im Intervall \([-1; 3]\) streng monoton steigend und in den Intervallen \((-\infty; -1]\) sowie \([3; \infty)\) streng monoton fallend. Es gibt einen lokalen Tiefpunkt bei \(T\left(-1 \mid -\frac{8}{3}\right)\) und einen lokalen Hochpunkt bei \(H(3 \mid 8)\).

- Für Aufgabenteil a) musst du lediglich die gegebenen Zeitpunkte in die Funktionsgleichung einsetzen. - Denke bei Extremwertaufgaben in b) daran, sowohl die notwendige Bedingung als auch ein Kriterium zur Überprüfung der Art des Extremums zu nutzen. - Vergiss bei der Suche nach dem absoluten Maximum nicht, die Werte an den Rändern des Definitionsbereichs zu prüfen. - Die zweite Ableitung gibt an, wie sich die Steigung (also die Änderungsrate) der Funktion verändert. - Das Maximum einer Änderungsrate findest du dort, wo die Ableitung dieser Rate null wird.

1. Einsetzen der Zeitwerte in die Funktionsgleichung: \(c(0) = 5\) und \(c(12) = -0{,}1 \cdot 12^3 + 1{,}2 \cdot 12^2 + 5 = -172{,}8 + 172{,}8 + 5 = 5\). Zu Beginn und nach 12 Minuten beträgt die Konzentration jeweils \(5\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Bestimmung des Maximums über die erste Ableitung: \(c'(t) = -0{,}3t^2 + 2{,}4t\). Nullstellen von \(c'\): \(0{,}3t(-t + 8) = 0\) liefert \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). Die zweite Ableitung \(c''(t) = -0{,}6t + 2{,}4\) ergibt \(c''(8) = -2{,}4 < 0\), also liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. Da die Randwerte \(c(0) = 5\) und \(c(12) = 5\) kleiner sind als \(c(8) = -0{,}1 \cdot 8^3 + 1{,}2 \cdot 8^2 + 5 = 30{,}6\), ist dies das globale Maximum. 3. Berechnung von \(c''(2) = -0{,}6 \cdot 2 + 2{,}4 = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Da \(c''(2) > 0\), nimmt die Änderungsrate der Konzentration zu diesem Zeitpunkt zu; die Zunahme der Konzentration beschleunigt sich also. 4. Die maximale Zunahme liegt am Wendepunkt (Maximum der ersten Ableitung). \(c''(t) = 0 \implies -0{,}6t + 2{,}4 = 0 \implies t = 4\). Die maximale Änderungsrate beträgt \(c'(4) = -0{,}3 \cdot 4^2 + 2{,}4 \cdot 4 = -4{,}8 + 9{,}6 = 4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

a) \(c(0) = 5\,\text{mg}/\text{l}\) und \(c(12) = 5\,\text{mg}/\text{l}\). b) Das Maximum wird nach \(8\,\text{Minuten}\) erreicht und beträgt \(30{,}6\,\text{mg}/\text{l}\). c) \(c''(2) = 1{,}2\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min}^2)\). Dies bedeutet, dass die Änderungsrate der Konzentration zum Zeitpunkt \(t = 2\) ansteigt (positive Beschleunigung der Konzentrationszunahme). d) Die Konzentration nimmt nach \(4\,\text{Minuten}\) am schnellsten zu. Die maximale Änderungsrate beträgt \(4{,}8\,\text{mg}/(\text{l} \cdot \text{min})\).

- Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit den Hoch- und Tiefpunkten zusammen? - Welches Vorzeichen muss die erste Ableitung haben, damit eine Funktion steigt oder fällt? - Was beschreibt die zweite Ableitung im Hinblick auf die Änderungsrate der ersten Ableitung? - Untersuche den Bereich vor und nach dem berechneten Extremwert für die Monotonie.

1. Bildung der ersten beiden Ableitungen: \(f'(t) = -3t^2 + 24t\) und \(f''(t) = -6t + 24\). 2. Suche nach Extremstellen: \(f'(t) = 0 \implies -3t(t - 8) = 0\). Die relevanten Lösungen sind \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 8\). 3. Klassifizierung: \(f''(8) = -6 \cdot 8 + 24 = -24 < 0\), daher liegt bei \(t = 8\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des Maximums: \(f(8) = -(8^3) + 12 \cdot 8^2 + 60 = -512 + 768 + 60 = 316\). Die maximale Population beträgt 316 Insekten. 5. Monotonie: Da \(f'(t) = -3t(t-8)\) für \(0 < t < 8\) positiv ist, ist die Funktion in \([0; 8]\) streng monoton steigend. Für \(8 < t < 12\) ist \(f'(t)\) negativ, also ist die Funktion in \([8; 12]\) streng monoton fallend. 6. Bedeutung von \(f''(t) = 0\): \(-6t + 24 = 0 \implies t = 4\). Dies ist die Wendestelle der Funktion. Im Kontext der Population gibt dieser Punkt den Zeitpunkt an, an dem die Zuwachsrate (die Geschwindigkeit des Wachstums) ihr Maximum erreicht.

a) Die Population erreicht nach \(8\) Wochen ihre maximale Größe. b) Die maximale Anzahl beträgt \(316\) Insekten. c) Die Funktion ist im Intervall \([0; 8]\) streng monoton steigend und im Intervall \([8; 12]\) streng monoton fallend. d) Die Stelle \(t = 4\) (Lösung von \(f''(t) = 0\)) markiert den Zeitpunkt des stärksten Populationswachstums (maximalen Zuwachses).

- Bestimme zuerst alle Stellen, an denen die Steigung der Funktion null ist. - Berechne die y-Werte an diesen Stellen. Liegen sie oberhalb oder unterhalb der x-Achse? - Untersuche das Verhalten der Funktion am Rand des Definitionsbereichs (für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\)). - Wie oft muss der Graph die x-Achse schneiden, wenn er von einem positiven zu einem negativen Wert (oder umgekehrt) wechselt?

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = x^3 - x^2 - 2x\). 2. Extremstellen finden: \(x(x^2 - x - 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und die p-q-Formel (oder Faktorisierung) die Stellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen bestimmen: \(f(-1) = \frac{19}{12} \approx 1{,}58\), \(f(0) = 2\) und \(f(2) = -\frac{2}{3} \approx -0{,}67\). 4. Grenzverhalten: Da es sich um eine Funktion 4. Grades mit positivem Leitkoeffizienten handelt, gilt \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty\). 5. Monotonie und Nullstellen: - Auf \((-\infty; -1]\) fällt \(f\) von \(\infty\) auf \(1{,}58\) (keine Nullstelle). - Auf \([-1; 0]\) steigt \(f\) von \(1{,}58\) auf \(2\) (keine Nullstelle). - Auf \([0; 2]\) fällt \(f\) von \(2\) auf \(-\frac{2}{3}\) (eine Nullstelle). - Auf \([2; \infty)\) steigt \(f\) von \(-\frac{2}{3}\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Es existieren somit genau 2 Lösungen.

Die Gleichung besitzt genau 2 reelle Lösungen.

- Kannst du den Funktionsterm ausklammern, um die Nullstellen leichter zu finden? - Welche Bedingungen müssen für die Ableitungen an Extrem- und Wendepunkten erfüllt sein? - Untersuche die Exponenten der Variable, um eine Aussage über die Symmetrie zu treffen. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte?

1. Symmetrie zum Koordinatensystem: Da sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Graph weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. 2. Achsenschnittpunkte: Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0) = 0\). Die Nullstellen ergeben sich aus \(x(x^2 - 6x + 9) = 0\). Dies führt zu \(x_1 = 0\) und der doppelten Nullstelle \(x_{2,3} = 3\). 3. Extrempunkte: Die erste Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\) wird Null gesetzt: \(3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 6x - 12\). Überprüfung: \(f''(1) = -6 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\); \(f''(3) = 6 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt \(T(3 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: Die notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2\). Wegen \(f'''(x) = 6 \neq 0\) liegt an \(x=2\) ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 8 - 24 + 18 = 2\). Somit ist \(W(2 \mid 2)\). Außerdem gilt für alle \(u \in \mathbb{R}\): \(f(2+u)-2 = u^3 - 3u = -(f(2-u)-2)\). Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\).

Symmetrie: weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung, aber punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\); Achsenschnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\); Extrempunkte: Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(3 \mid 0)\); Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\).

- Achte auf die Art der Exponenten (gerade oder ungerade), um die Symmetrie schnell zu bestimmen. - Klammere bei der Nullstellenberechnung \(x\) aus. - Setze die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extremstellen zu finden, und nutze die zweite Ableitung zur Bestätigung. - Überlege dir, ob eine Funktion ungeraden Grades Schranken für ihre \(y\)-Werte haben kann.

1. Symmetrie: Da nur ungerade Exponenten vorkommen (\(x^3\) und \(x^1\)), ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Verhalten im Unendlichen: Der Leitterm \(\frac{1}{4}x^3\) bestimmt das Verhalten. Für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to \infty\); für \(x \to -\infty\) gilt \(g(x) \to -\infty\). 3. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achse: \(g(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(\frac{1}{4}x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(\frac{1}{4}x^2 - 3) = 0\). Dies liefert \(x_1 = 0\) und \(\frac{1}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 12 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). 4. Extrempunkte: \(g'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3\). \(g'(x) = 0 \Rightarrow \frac{3}{4}x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{3}{2}x\). Überprüfung: \(g''(2) = 3 > 0 \Rightarrow T(2 \mid -4)\); \(g''(-2) = -3 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 4)\). 5. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(x) = \frac{3}{2} \neq 0\), liegt ein Wendepunkt bei \(W(0 \mid 0)\) vor. 6. Wertemenge: Da es sich um eine Funktion ungeraden Grades handelt und die Grenzwerte \(\pm\infty\) sind, ist die Wertemenge \(W = \mathbb{R}\).

(1) Punktsymmetrie zum Ursprung. (2) \(g(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(g(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). (3) \(S_y(0 \mid 0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3}\). (4) Hochpunkt \(H(-2 \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\). (5) Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\). (6) \(W = \mathbb{R}\).

- Betrachte die Exponenten der Variable, um auf Symmetrie zu schließen. - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze die faktorisierte Form, um die Nullstellen direkt abzulesen. - Denke an die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten (\(f(x) = 3x^2 - \frac{1}{2}x^4\)), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), da der Leitterm \(-\frac{1}{2}x^4\) negativ ist. 3. Nullstellen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0\) oder \(6 - x^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_{2,3} = \pm \sqrt{6}\). 4. Ableitungen: \(f'(x) = 6x - 2x^3\) und \(f''(x) = 6 - 6x^2\). 5. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2x(3 - x^2) = 0\). Kandidaten sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{3}\). Überprüfung mit \(f''\): \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0 \mid 0)\); \(f''(\pm \sqrt{3}) = 6 - 18 = -12 < 0 \Rightarrow H_1(-\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4{,}5)\). 6. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x^2 = 6 \Rightarrow x = \pm 1\). Da \(f'''(x) = -12x \neq 0\) für \(x = \pm 1\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1 \mid 2{,}5)\) und \(W_2(1 \mid 2{,}5)\).

Symmetrie: Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse Verhalten: \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\) Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{6} \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{6} \mid 0)\) Extrema: Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\), Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4{,}5)\) Wendepunkte: \(W_1(-1 \mid 2{,}5)\), \(W_2(1 \mid 2{,}5)\)

- Es kann hilfreich sein, die Klammern zuerst aufzulösen, um die Ableitungen leichter zu bilden. - Was bedeutet eine quadrierte Klammer für die Art der Nullstelle? - Wie viele Extremstellen kann eine Funktion dritten Grades höchstens haben? - Der Wendepunkt liegt bei Funktionen dritten Grades immer genau in der Mitte zwischen den Extremstellen.

1. Ausmultiplizieren: \(f(x) = (x^2 + 4x + 4)(x - 1) = x^3 + 3x^2 - 4\). 2. Globalverhalten: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Nullstellen: Aus der faktorisierten Form direkt ablesbar: \(x_1 = -2\) (doppelt) und \(x_2 = 1\). 4. Extrema: \(f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)\). Nullsetzen liefert \(x = 0\) und \(x = -2\). \(f''(x) = 6x + 6\). Überprüfung: \(f''(-2) = -6 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 0)\); \(f''(0) = 6 > 0 \Rightarrow T(0 \mid -4)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 6x = -6 \Rightarrow x = -1\). \(f'''(x) = 6 \neq 0\). Funktionswert: \(f(-1) = (-1+2)^2(-1-1) = 1 \cdot (-2) = -2\). Somit \(W(-1 \mid -2)\).

Verhalten: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\), \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(1 \mid 0)\) Extrema: Hochpunkt \(H(-2 \mid 0)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid -4)\) Wendepunkt: \(W(-1 \mid -2)\)

- Wie berechnet man den Gewinn aus dem Erlös und den Kosten? - Denke an die notwendige und hinreichende Bedingung für ein Maximum einer Funktion. - Was bedeutet ein negatives Ergebnis bei der Gewinnberechnung für das Unternehmen? - Achte beim Aufstellen der Gewinnfunktion auf die Vorzeichen, wenn du die Kostenfunktion subtrahierst.

1. Aufstellen der Erlösfunktion: \(E(x) = 600x\). 2. Bildung der Gewinnfunktion: \(G(x) = E(x) - K(x) = 600x - (0{,}05x^3 - 6x^2 + 465x + 4700) = -0{,}05x^3 + 6x^2 + 135x - 4700\). 3. Bestimmung des Gewinnmaximums: \(G'(x) = -0{,}15x^2 + 12x + 135\). Setze \(G'(x) = 0\): \(-0{,}15x^2 + 12x + 135 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 80x - 900 = 0\). Lösungen über die \(p\)-\(q\)-Formel: \(x_{1,2} = 40 \pm \sqrt{1600 + 900} = 40 \pm 50\). Da \(x > 0\), ist \(x = 90\) die relevante Stelle. 4. Überprüfung mit \(G''(x) = -0{,}3x + 12\): \(G''(90) = -0{,}3 \cdot 90 + 12 = -27 + 12 = -15 < 0\). Es liegt ein Maximum vor. 5. Berechnung des maximalen Gewinns: \(G(90) = -0{,}05 \cdot 90^3 + 6 \cdot 90^2 + 135 \cdot 90 - 4700 = -36\,450 + 48\,600 + 12\,150 - 4700 = 19\,600\,\text{€}\). 6. Prüfung für \(x = 10\): \(G(10) = -0{,}05 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 135 \cdot 10 - 4700 = -50 + 600 + 1350 - 4700 = -2800\). Da \(G(10) < 0\), entsteht ein Verlust von \(2800\,\text{€}\).

a) \(G(x) = -0{,}05x^3 + 6x^2 + 135x - 4700\) b) Das Gewinnmaximum liegt bei einer Produktionsmenge von \(90\,\text{kg}\). Der maximale Gewinn beträgt \(19\,600\,\text{€}\). c) Bei einer Menge von \(10\,\text{kg}\) entsteht ein Verlust von \(2800\,\text{€}\).

- Die Grenzkosten sind minimal, wenn die Steigung der Kostenfunktion ihren kleinsten Wert erreicht. Welcher besondere Punkt der Kurvendiskussion ist das? - Wie hängen der Begriff „degressiv“, die Rechtskrümmung und das Steigungsverhalten der Ableitung zusammen? - Überlege dir, was die zweite Ableitung über die Änderung der Grenzkosten aussagt.

1. Grenzkostenfunktion bilden: \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\). 2. Minimum der Grenzkosten bestimmen: \(K''(x) = 1{,}2x - 24\). Setze \(K''(x) = 0 \Rightarrow 1{,}2x = 24 \Rightarrow x = 20\). 3. Überprüfung: \(K'''(x) = 1{,}2 > 0\). Bei \(x = 20\) liegt ein Minimum der Grenzkosten vor (Kostenkehre). 4. Wert der minimalen Grenzkosten: \(K'(20) = 0{,}6 \cdot 20^2 - 24 \cdot 20 + 300 = 240 - 480 + 300 = 60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). 5. Degressiver Kostenverlauf: Dieser liegt vor, solange die Grenzkosten sinken, also bis zum Minimum der Grenzkosten (dem Wendepunkt der Kostenfunktion). Mathematisch gilt dies für \(K''(x) < 0\). \(1{,}2x - 24 < 0 \Rightarrow x < 20\). Somit steigen die Kosten im Bereich \(0 \le x < 20\) degressiv.

a) \(K'(x) = 0{,}6x^2 - 24x + 300\) b) Die Grenzkosten sind bei einer Menge von \(20\,\text{Stück}\) minimal und betragen dort \(60\,\frac{\text{€}}{\text{Stück}}\). c) Im Bereich von \(0\) bis unter \(20\,\text{Stück}\) steigen die Kosten degressiv, da in diesem Intervall die zweite Ableitung \(K''(x) < 0\) ist, was bedeutet, dass die Grenzkosten abnehmen.

- Achte bei der Symmetrie auf die Exponenten der Variable \(x\). - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? Welches Glied der Funktion dominiert dann? - Verwende die Ableitungen, um Steigung und Krümmung zu untersuchen. - Denke daran, die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktionsgleichung einzusetzen, um die \(y\)-Koordinaten der Punkte zu bestimmen.

1. Symmetrie und Verhalten im Unendlichen: Da die Funktion sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, liegt keine einfache Symmetrie zum Ursprung oder zur \(y\)-Achse vor. Für das Verhalten im Unendlichen ist die höchste Potenz \(x^3\) maßgeblich: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Lokale Extrempunkte: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\). Nullstellen von \(f'\) ergeben sich aus \((x-3)(x+1) = 0\), also \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -1\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = 2x - 2\). Prüfung der Stellen: \(f''(3) = 4 > 0 \implies\) lokaler Tiefpunkt bei \(x = 3\). Funktionswert: \(f(3) = 9 - 9 - 9 + \frac{11}{3} = -\frac{16}{3}\), also \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). Prüfung: \(f''(-1) = -4 < 0 \implies\) lokaler Hochpunkt bei \(x = -1\). Funktionswert: \(f(-1) = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + \frac{11}{3} = \frac{16}{3}\), also \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\). 3. Wendepunkte: Bedingung \(f''(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1\). Mit \(f'''(x) = 2 \neq 0\) ist ein Wendepunkt bestätigt. Funktionswert: \(f(1) = \frac{1}{3} - 1 - 3 + \frac{11}{3} = 0\), also \(W(1 \mid 0)\).

1. Keine einfache Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\), \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). 2. Hochpunkt \(H(-1 \mid \frac{16}{3})\), Tiefpunkt \(T(3 \mid -\frac{16}{3})\). 3. Wendepunkt \(W(1 \mid 0)\).

- Nutze die Symmetrieeigenschaften, um Rechnungen zu verkürzen. - Für die Nullstellenberechnung bei einer Funktion 4. Grades kann eine Ersetzung (Substitution) hilfreich sein. - Überlege dir, wie viele Extrempunkte eine Funktion 4. Grades maximal haben kann. - Vergiss nicht, die hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte zu prüfen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = -2 \implies S_y(0 \mid -2)\). Nullstellen: \(-\frac{1}{8}x^4 + x^2 - 2 = 0\). Substitution \(z = x^2\) führt zu \(z^2 - 8z + 16 = 0\), woraus \((z-4)^2 = 0\), also \(z = 4\) folgt. Rücksubstitution ergibt \(x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2\). Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(g'(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x\). \(g'(x) = 0 \implies -\frac{1}{2}x(x^2 - 4) = 0 \implies x_1 = 0, x_{2,3} = \pm 2\). Zweite Ableitung: \(g''(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 2\). Prüfung: \(g''(0) = 2 > 0 \implies\) Tiefpunkt \(T(0 \mid -2)\). \(g''(\pm 2) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 0)\) und \(H_2(2 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(g''(x) = 0 \implies \frac{3}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{4}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}} = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1{,}15\). Da \(g'''(x) = -3x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte vor. Funktionswerte: \(g(\pm \sqrt{4/3}) = -\frac{1}{8}(\frac{16}{9}) + \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{9} + \frac{12}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{8}{9}\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid -2)\), \(N_1(-2 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -2)\), \(H_1(-2 \mid 0)\), \(H_2(2 \mid 0)\). Wendepunkte: \(W_{1,2}(\pm \frac{2}{\sqrt{3}} \mid -\frac{8}{9})\).

- Der führende Term bestimmt das Verhalten im Unendlichen. - Prüfe die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\). - Für den Vergleich in Teil 4 musst du die tatsächlichen Nullstellen von \(f'\) und \(f''\) bestimmen, nicht nur die theoretischen Grenzen nennen.

1. Wegen des positiven führenden Terms \(\frac18x^4\) gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Es gilt \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Aus \(f(x)=x^2(\frac18x^2-1)=0\) folgen \(x=0\) sowie \(x=\pm2\sqrt2\). 4. Eine ganzrationale Funktion 4. Grades kann höchstens \(3\) Extremstellen und \(2\) Wendestellen besitzen. 5. Es gilt \(f'(x)=\frac12x^3-2x=\frac12x(x^2-4)\). Die drei Nullstellen \(x=-2,0,2\) sind einfache Nullstellen von \(f'\), also liegen tatsächlich drei Extremstellen vor. 6. Es ist \(f''(x)=\frac32x^2-2\). Aus \(f''(x)=0\) folgen \(x=\pm\sqrt{\frac43}\). Wegen \(f'''(x)=3x\neq0\) an beiden Stellen liegen tatsächlich zwei Wendestellen vor.

1. \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Nullstellen: \(x=0\), \(x=\pm2\sqrt2\). 4. Höchstens \(3\) Extremstellen und \(2\) Wendestellen; \(f\) erreicht mit drei Extremstellen und zwei Wendestellen beide Maximalanzahlen.

- Kannst du einen Faktor finden, der in Teilen des Terms gemeinsam vorkommt, um die Nullstellen einfacher zu bestimmen? - Welche Bedingungen müssen für die erste und zweite Ableitung an einem Extrempunkt erfüllt sein? - Überlege dir, welchen Grad die zweite Ableitung einer Funktion dritten Grades hat. Wie viele Nullstellen kann eine solche Funktion haben? - Wie berechnet man den passenden y-Wert, wenn man die x-Stelle eines Punktes bereits kennt?

1. Die Nullstellen werden durch \(f(x) = 0\) bestimmt. Durch Ausklammern oder Raten einer Nullstelle und anschließende Polynomdivision (oder direktes Faktorisieren: \(\frac{1}{3}(x^2(x-3) - 9(x-3))\)) erhält man \(f(x) = \frac{1}{3}(x-3)^2(x+3)\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 3\) (doppelt) und \(x_2 = -3\). 2. Für die Extrempunkte wird die erste Ableitung \(f'(x) = x^2 - 2x - 3\) gleich null gesetzt. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_3 = 3\) und \(x_4 = -1\). Mit der zweiten Ableitung \(f''(x) = 2x - 2\) ergibt sich: \(f''(3) = 4 > 0 \implies T(3 \mid 0)\) (lokales Minimum) und \(f''(-1) = -4 < 0 \implies H(-1 \mid \frac{32}{3})\) (lokales Maximum), näherungsweise \(H(-1 \mid 10{,}67)\). 3. Der Wendepunkt ergibt sich aus \(f''(x) = 0\), also \(2x - 2 = 0 \implies x_w = 1\). Der Funktionswert ist \(f(1) = \frac{16}{3} \approx 5{,}33\). Der Wendepunkt liegt bei \(W(1 \mid \frac{16}{3})\). Da die zweite Ableitung einer Funktion 3. Grades eine lineare Funktion der Form \(f''(x) = ax + b\) (mit \(a \neq 0\)) ist, besitzt diese genau eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, was stets zu genau einem Wendepunkt führt.

1. Nullstellen: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\) 2. Extrempunkte: \(T(3 \mid 0)\) und \(H(-1 \mid \frac{32}{3})\) 3. Wendepunkt: \(W(1 \mid \frac{16}{3})\). Begründung: Die zweite Ableitung ist eine lineare Funktion mit genau einer Nullstelle (und Vorzeichenwechsel).

- Wie hoch sind die Kosten, wenn die Produktion noch nicht gestartet ist? - Die Grenzkosten werden mathematisch durch die erste Ableitung beschrieben. Wie findet man den Tiefpunkt einer Funktion? - Welche Eigenschaft muss die erste Ableitung einer Funktion haben, damit die Funktion überall steigt? - Erinnere dich an die Diskriminante quadratischer Funktionen – was sagt sie über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Zur Bestimmung der Fixkosten wird der Funktionswert an der Stelle \(x = 0\) berechnet: \(K(0) = \frac{1}{3} \cdot 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 21 \cdot 0 + 60 = 60\). Die Fixkosten betragen somit \(60\,\text{GE}\). 2. Die Grenzkostenfunktion entspricht der ersten Ableitung der Kostenfunktion: \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\). Um deren Minimum zu finden, wird die zweite Ableitung \(K''(x) = 2x - 8\) gebildet und gleich Null gesetzt: \(2x - 8 = 0 \implies x = 4\). Wegen \(K'''(x) = 2 > 0\) liegt bei \(x = 4\,\text{ME}\) tatsächlich ein Minimum der Grenzkosten vor. 3. Für den Nachweis der strengen Monotonie wird die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) untersucht. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung \(x^2 - 8x + 21 = 0\) ergibt sich zu \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 64 - 84 = -20\). Da \(D < 0\) ist und der Graph von \(K'\) eine nach oben geöffnete Parabel darstellt, gilt \(K'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Damit ist die Funktion \(K\) im gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.

a) Die Fixkosten betragen \(60\,\text{GE}\). b) Die Grenzkosten sind bei einer Produktionsmenge von \(4\,\text{ME}\) minimal. c) Da die erste Ableitung \(K'(x) = x^2 - 8x + 21\) keine reellen Nullstellen besitzt (\(D = -20\)) und stets positiv ist, ist die Funktion \(K\) streng monoton steigend.

- Ohne Düngung setzt du die unabhängige Variable auf null. - Für ein absolutes Maximum auf einem geschlossenen Intervall musst du innere Kandidaten und beide Randwerte vergleichen. - Die größte Zunahme des Ertrags entspricht einem Maximum der ersten Ableitung.

1. Es ist \(f(0)=45\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=-0{,}00015x^2+0{,}012x+0{,}3\). Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=100\) und \(x=-20\); im betrachteten Intervall ist nur \(x=100\) relevant. 3. Wegen \(f''(100)=-0{,}018<0\) liegt dort ein lokales Maximum. Für das absolute Maximum werden zusätzlich die Randwerte verglichen: \(f(0)=45\), \(f(100)=85\) und \(f(160)=41{,}8\), jeweils in \(\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\). Daher ist \(85\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\) bei \(100\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}}\) der maximale Ertrag im Modellintervall. 4. Für den maximalen Grenzertrag wird \(f'\) maximiert. Aus \(f''(x)=-0{,}0003x+0{,}012=0\) folgt \(x=40\). Wegen \(f'''(x)=-0{,}0003<0\) liegt dort ein Maximum von \(f'\).

a) \(45\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\) b) \(100\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}}\); maximaler Ertrag \(85\,\frac{\text{dt}}{\text{ha}}\) c) \(40\,\frac{\text{kg}}{\text{ha}}\)

- Untersuche die Exponenten der Variable, um auf die Symmetrie zu schließen. - Überlege dir, wie du die Gleichung vierten Grades für die Nullstellenberechnung vereinfachen kannst. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte unter Verwendung der Ableitungen. - Denk daran, dass doppelte Nullstellen oft auch Extrempunkte sind.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0) = 81 \implies S_y(0 \mid 81)\). Nullstellen durch Substitution \(z = x^2\): \(z^2 - 18z + 81 = 0 \implies (z-9)^2 = 0 \implies z = 9\). Somit \(x^2 = 9 \implies x_{1,2} = \pm 3\). Nullstellen sind \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 36x = 4x(x^2 - 9)\). Nullstellen der Ableitung bei \(x_0 = 0\) und \(x_{1,2} = \pm 3\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 36\). - \(f''(0) = -36 < 0 \implies H(0 \mid 81)\). - \(f''(\pm 3) = 12 \cdot 9 - 36 = 72 > 0 \implies T_1(-3 \mid 0)\) und \(T_2(3 \mid 0)\). 4. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \implies 12x^2 = 36 \implies x^2 = 3 \implies x_{W1,2} = \pm \sqrt{3}\). Funktionswerte: \(f(\pm \sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 18(\sqrt{3})^2 + 81 = 9 - 54 + 81 = 36\). Da \(f'''(x) = 24x \neq 0\) für \(x \neq 0\), liegen Wendepunkte bei \(W_1(-\sqrt{3} \mid 36)\) und \(W_2(\sqrt{3} \mid 36)\) vor.

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Schnittpunkte: \(S_y(0 \mid 81)\), \(N_1(-3 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\) Extrempunkte: \(H(0 \mid 81)\), \(T_1(-3 \mid 0)\), \(T_2(3 \mid 0)\) Wendepunkte: \(W_1(-\sqrt{3} \mid 36)\), \(W_2(\sqrt{3} \mid 36)\)

- Untersuche zuerst, ob die Funktion nur gerade oder nur ungerade Exponenten besitzt. - Wie verhält sich der Graph für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte? - Nutze eine Substitution, um die Gleichung für die Nullstellen zu lösen. - Bestimme die ersten drei Ableitungen, um Extrema und Wendepunkte zu berechnen.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten auftreten, gilt \(f(-x) = f(x)\). Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitkoeffizient positiv und der Grad gerade ist, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). 3. Nullstellen: Ansatz \(0{,}25x^4 - 2{,}5x^2 + 4 = 0\). Substitution \(u = x^2\) führt auf \(0{,}25u^2 - 2{,}5u + 4 = 0\), woraus \(u_1 = 8\) und \(u_2 = 2\) folgen. Rücksubstitution ergibt \(x_{1,2} = \pm \sqrt{8} \approx \pm 2{,}83\) und \(x_{3,4} = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(f(0) = 4\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = x^3 - 5x\). Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x = 0\) und \(x = \pm \sqrt{5} \approx \pm 2{,}24\). Überprüfung mit \(f''(x) = 3x^2 - 5\): \(f''(0) = -5 < 0 \implies H(0 \mid 4)\); \(f''(\pm \sqrt{5}) = 10 > 0 \implies T_1(-2{,}24 \mid -2{,}25)\) und \(T_2(2{,}24 \mid -2{,}25)\). 5. Wendepunkte: Ansatz \(f''(x) = 3x^2 - 5 = 0 \implies x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \approx \pm 1{,}29\). Da \(f'''(x) = 6x \neq 0\) für diese Stellen, liegen Wendepunkte bei \(W_1(-1{,}29 \mid 0{,}53)\) und \(W_2(1{,}29 \mid 0{,}53)\).

Symmetrie: Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse Verhalten im Unendlichen: \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\) Nullstellen: \(N_1(-2{,}83 \mid 0)\), \(N_2(-1{,}41 \mid 0)\), \(N_3(1{,}41 \mid 0)\), \(N_4(2{,}83 \mid 0)\) \(y\)-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid 4)\) Extrempunkte: \(T_1(-2{,}24 \mid -2{,}25)\), \(H(0 \mid 4)\), \(T_2(2{,}24 \mid -2{,}25)\) Wendepunkte: \(W_1(-1{,}29 \mid 0{,}53)\), \(W_2(1{,}29 \mid 0{,}53)\)

- Prüfe zuerst die üblichen Symmetrien zum Koordinatensystem, aber bedenke, dass ein kubischer Graph auch zu einem verschobenen Punkt symmetrisch sein kann. - Der führende Term bestimmt das Globalverhalten. - Bestimme Extrem- und Wendepunkte mit den Ableitungen. - Nach dem Wendepunkt kann eine Verschiebung des Koordinatenursprungs die Punktsymmetrie sichtbar machen.

1. Es gilt weder \(f(-x)=f(x)\) noch \(f(-x)=-f(x)\); der Graph ist also weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. 2. Wegen des positiven kubischen Leitglieds gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Aus \(f'(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) folgen die stationären Stellen \(x=-1\) und \(x=2\). Mit \(f''(x)=2x-1\) erhält man \(H(-1\mid\frac{13}{6})\) und \(T(2\mid-\frac73)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\frac12\). Wegen \(f'''(x)=2\neq0\) liegt der Wendepunkt \(W(\frac12\mid-\frac1{12})\) vor. 5. Mit der Verschiebung \(x=u+\frac12\) ergibt sich \(f(u+\frac12)=\frac13u^3-\frac94u-\frac1{12}\). Der von \(u\) abhängige Teil ist ungerade. Daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(\frac12\mid-\frac1{12})\). 6. Mit einem digitalen Werkzeug erhält man die Nullstellen näherungsweise \(x_1\approx-2{,}08\), \(x_2\approx0{,}46\) und \(x_3\approx3{,}12\).

Punktsymmetrisch zum Wendepunkt \(W(0{,}5\mid-\frac1{12})\), aber weder zur \(y\)-Achse noch zum Ursprung symmetrisch. Globalverhalten: \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\infty\), \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). Extrempunkte: \(H(-1\mid\frac{13}{6})\), \(T(2\mid-\frac73)\). Wendepunkt: \(W(0{,}5\mid-\frac1{12})\). Nullstellen: \(x_1\approx-2{,}08\), \(x_2\approx0{,}46\), \(x_3\approx3{,}12\).

- Welche Bedingungen liefern die Koordinaten des Wendepunkts? - Was bedeutet eine zur \(x\)-Achse parallele Tangente für die erste Ableitung? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten prüfen, ob die geforderte Wendestelle tatsächlich vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Dann gilt \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(W(0\mid2)\) folgen \(f(0)=2\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=2\) und \(b=0\). 3. Aus \(P(2\mid6)\) folgt \(f(2)=6\): \(8a+2c+2=6\), also \(4a+c=2\). 4. Die Tangente in \(P\) ist waagerecht, also \(f'(2)=0\): \(12a+c=0\). 5. Aus dem Gleichungssystem folgt \(a=-0{,}25\) und \(c=3\). Damit ist \(f(x)=-0{,}25x^3+3x+2\). 6. Für diese Funktion gilt \(f'''(x)=-1{,}5\). Insbesondere ist \(f'''(0)\neq0\); daher ist \(x=0\) tatsächlich eine Wendestelle.

\(f(x)=-0{,}25x^3+3x+2\)

- Übersetze Tiefpunkt und Wendepunkt jeweils in Bedingungen an Funktion und Ableitungen. - Wie viele Koeffizienten musst du im allgemeinen kubischen Ansatz bestimmen? - Welche zusätzlichen Prüfungen zeigen am Ende, dass die geforderten Punktarten wirklich vorliegen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(T(0\mid2)\) folgen \(f(0)=2\) und \(f'(0)=0\). Damit ist \(d=2\) und \(c=0\). 3. Aus \(W(1\mid4)\) folgen \(f(1)=4\) und \(f''(1)=0\). Aus \(6a+2b=0\) erhält man \(b=-3a\). 4. Mit \(f(1)=4\) gilt \(a+b+2=4\). Einsetzen von \(b=-3a\) liefert \(-2a=2\), also \(a=-1\) und \(b=3\). 5. Damit ist \(f(x)=-x^3+3x^2+2\). 6. Es gilt \(f''(0)=6>0\), also liegt bei \(x=0\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt vor. 7. Außerdem ist \(f'''(x)=-6\), also \(f'''(1)\neq0\). Damit ist \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle.

\(f(x)=-x^3+3x^2+2\)

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse den Ansatz? - Welche zwei Bedingungen liefert ein gegebener Extrempunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten prüfen, welche Extremumart vorliegt?

1. Wegen der Achsensymmetrie hat die Funktion die Form \(f(x)=ax^4+cx^2+e\). 2. Aus \(P(0\mid4)\) folgt \(e=4\). 3. Aus \(E(2\mid0)\) folgen \(f(2)=0\) und \(f'(2)=0\). 4. Aus \(f(2)=0\) erhält man \(16a+4c+4=0\), also \(4a+c=-1\). 5. Mit \(f'(x)=4ax^3+2cx\) ergibt \(f'(2)=0\) die Gleichung \(32a+4c=0\), also \(8a+c=0\). 6. Das Gleichungssystem liefert \(a=0{,}25\) und \(c=-2\). Somit ist \(f(x)=0{,}25x^4-2x^2+4\). 7. Für die zweite Ableitung gilt \(f''(x)=3x^2-4\). Daher ist \(f''(2)=8>0\), also ist \(E(2\mid0)\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt.

\(f(x)=0{,}25x^4-2x^2+4\)

- Welche Bedingungen liefert ein Wendepunkt im Koordinatenursprung? - Was bedeutet eine zur \(x\)-Achse parallele Tangente für die erste Ableitung? - Wie kannst du die gefundene Wendestelle am Ende hinreichend überprüfen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Dann gilt \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(f(0)=0\) folgt \(d=0\). Aus der Wendebedingung \(f''(0)=0\) folgt \(b=0\). 3. Der Punkt \(P(1\mid4)\) liefert \(a+c=4\). 4. Die Tangente in \(P\) ist waagerecht, also gilt \(f'(1)=0\). Damit ist \(3a+c=0\). 5. Aus dem Gleichungssystem folgt \(a=-2\) und \(c=6\). Somit ist \(f(x)=-2x^3+6x\). 6. Für die gefundene Funktion gilt \(f'''(x)=-12\). Damit ist \(f'''(0)\neq0\), also liegt im Ursprung tatsächlich ein Wendepunkt vor.

\(f(x)=-2x^3+6x\)

- Welche Bedingungen liefern die Koordinaten von Tiefpunkt und Wendepunkt? - Nutze zunächst die notwendigen Bedingungen, um die Koeffizienten zu bestimmen. - Welche Prüfungen zeigen anschließend, dass Tiefpunkt und Wendepunkt wirklich die geforderten Punktarten sind?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(W(0\mid1)\) folgen \(f(0)=1\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=1\) und \(b=0\). 3. Aus \(T(1\mid0)\) folgen \(f(1)=0\) und \(f'(1)=0\). Damit erhält man \(a+c=-1\) und \(3a+c=0\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(a=0{,}5\) und \(c=-1{,}5\). Somit ist \(f(x)=0{,}5x^3-1{,}5x+1\). 5. Es gilt \(f''(1)=3>0\); daher ist \(T(1\mid0)\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt. 6. Außerdem ist \(f'''(x)=3\), also \(f'''(0)\neq0\). Damit ist \(W(0\mid1)\) tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x)=0{,}5x^3-1{,}5x+1\)

- Welche zwei Informationen liefert die Gleichung der Wendetangente an der Stelle \(x=1\)? - Welche notwendige Bedingung gilt an einer Wendestelle? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten überprüfen, dass die Wendestelle tatsächlich vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(d=0\). 2. Die Wendetangente liefert an \(x=1\) den Funktionswert \(f(1)=1\) und die Steigung \(f'(1)=-1\). 3. Wegen der Wendestelle gilt außerdem \(f''(1)=0\). 4. Mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) und \(f''(x)=6ax+2b\) erhält man \(a+b+c=1\), \(3a+2b+c=-1\) und \(6a+2b=0\). 5. Aus \(6a+2b=0\) folgt \(b=-3a\). Einsetzen in die ersten beiden Gleichungen liefert \(a=2\), \(b=-6\) und \(c=5\). 6. Damit ist \(f(x)=2x^3-6x^2+5x\). 7. Für die dritte Ableitung gilt \(f'''(x)=12\). Da \(f'''(1)\neq0\), liegt bei \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle vor.

\(f(x)=2x^3-6x^2+5x\)

- Welche mathematischen Bedingungen müssen erfüllt sein, damit ein Punkt ein Tiefpunkt ist? - Wie viele Unbekannte hat eine Funktion dritten Grades und wie viele Gleichungen kannst du aus dem Text aufstellen? - Bestimme zuerst die Funktionsgleichung, die durch die Punkte und die Wendestelle festgelegt ist. - Überprüfe am Ende mit der zweiten Ableitung, ob es sich wirklich um die geforderte Art von Extrempunkt handelt.

1. Ansatz für die Funktion dritten Grades: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) mit den Ableitungen \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). 2. Aufstellen des Gleichungssystems aus den Bedingungen: - \(f(0) = 0 \implies d = 0\) - \(f''(3) = 0 \implies 18a + 2b = 0 \implies b = -9a\) - \(f(2) = 4 \implies 8a + 4b + 2c = 4\) - \(f'(2) = 0 \implies 12a + 4b + c = 0\) 3. Lösen des Systems: Einsetzen von \(b = -9a\) in die letzten beiden Gleichungen führt zu \(8a - 36a + 2c = 4 \implies -28a + 2c = 4\) und \(12a - 36a + c = 0 \implies c = 24a\). 4. Bestimmung der Koeffizienten: \(-28a + 2(24a) = 4 \implies 20a = 4 \implies a = 0{,}2\). Daraus folgen \(b = -1{,}8\) und \(c = 4{,}8\). Die Funktion lautet \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(2) = 6 \cdot 0{,}2 \cdot 2 + 2 \cdot (-1{,}8) = 2{,}4 - 3{,}6 = -1{,}2\). 6. Da \(f''(2) < 0\) ist, liegt bei \(T(2 \mid 4)\) ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. Ein lokaler Tiefpunkt an dieser Stelle ist für eine Funktion dritten Grades unter diesen Bedingungen somit nicht möglich.

Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man die einzige mögliche Funktion \(f(x) = 0{,}2x^3 - 1{,}8x^2 + 4{,}8x\). Die Überprüfung der zweiten Ableitung an der Stelle \(x = 2\) ergibt \(f''(2) = -1{,}2\). Da dieser Wert kleiner als Null ist, handelt es sich um einen Hochpunkt und nicht um einen Tiefpunkt. Somit existiert keine solche Funktion dritten Grades.

- Überlege dir zuerst, welche Potenzen von \(x\) bei einer achsensymmetrischen Funktion vorkommen dürfen. - Wie viele Unbekannte hat dein Ansatz und wie viele Informationen liefert der Text? - Welche mathematische Bedingung muss an einer Stelle mit einem Tiefpunkt erfüllt sein? - Setze die bekannten Punkte und Eigenschaften in den Funktionsansatz und seine Ableitungen ein.

1. Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse und des Grades 4 lautet der allgemeine Ansatz \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(f(0) = 2\), woraus sich direkt \(c = 2\) ergibt. 3. Der Punkt \(P(2 \mid -6)\) liegt auf dem Graphen, also gilt \(f(2) = -6\). Dies führt zur Gleichung \(16a + 4b + 2 = -6\), vereinfacht \(16a + 4b = -8\). 4. Da bei \(x = 2\) ein Tiefpunkt vorliegt, muss die erste Ableitung dort null sein: \(f'(2) = 0\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) ergibt sich \(32a + 4b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem aus \(16a + 4b = -8\) und \(32a + 4b = 0\) liefert durch Subtraktion \(16a = 8\), also \(a = 0{,}5\). Einsetzen in eine der Gleichungen ergibt \(b = -4\). 6. Überprüfung der Art des Extrempunkts: \(f''(x) = 6x^2 - 8\), also \(f''(2) = 16 > 0\). Damit ist \(P(2 \mid -6)\) tatsächlich ein Tiefpunkt. 7. Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 4x^2 + 2\)

- Welche Bedingungen liefern der gegebene Punkt, der Extrempunkt und die Wendestelle? - Nutze die notwendigen Bedingungen zunächst zum Bestimmen der Koeffizienten. - Welche zusätzlichen Prüfungen zeigen anschließend, dass die geforderten Punktarten wirklich vorliegen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus \(f(0)=0\) folgt \(d=0\). 3. Aus \(E(2\mid-4)\) folgen \(f(2)=-4\) und \(f'(2)=0\): \(8a+4b+2c=-4\) und \(12a+4b+c=0\). 4. Aus der Wendebedingung bei \(x=1\) folgt \(f''(1)=0\), also \(6a+2b=0\) und damit \(b=-3a\). 5. Einsetzen liefert zunächst \(c=0\) und anschließend \(a=1\). Damit ist \(b=-3\) und \(f(x)=x^3-3x^2\). 6. Es gilt \(f''(2)=6>0\); somit ist \(E(2\mid-4)\) tatsächlich ein lokaler Tiefpunkt. 7. Außerdem gilt \(f'''(x)=6\), also \(f'''(1)\neq0\). Damit ist \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle.

\(f(x)=x^3-3x^2\)

- Welche Bedingungen liefert ein Wendepunkt im Ursprung? - Was sagt die Gleichung der Wendetangente über \(f'(0)\) aus? - Wie kannst du am Ende überprüfen, dass im Ursprung tatsächlich ein Wendepunkt vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). 2. Aus dem Wendepunkt im Ursprung folgen \(f(0)=0\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=0\) und \(b=0\), also \(f(x)=ax^3+cx\). 3. Die Wendetangente hat die Steigung \(-3\). Daher gilt \(f'(0)=-3\), also \(c=-3\). 4. Aus der Nullstelle bei \(x=3\) folgt \(27a-9=0\), also \(a=\frac{1}{3}\). 5. Damit ist \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x\). 6. Für die gefundene Funktion gilt \(f'''(x)=2\). Da \(f'''(0)\neq0\), ist der Ursprung tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x\)

- Welche Bedingungen an \(f\) und \(f'\) beschreibt das Wort „berührt“? - Welche Bedingung folgt direkt daraus, dass der Graph durch den Ursprung verläuft? - Wie kannst du am fertigen Funktionsterm kontrollieren, ob \(x=4\) wirklich eine Berührnullstelle ist?

1. Aus dem Text folgen die Bedingungen \(f(0)=0\), \(f(2)=4\), \(f(4)=0\) und \(f'(4)=0\). 2. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Aus \(f(0)=0\) folgt \(d=0\). 3. Die übrigen Bedingungen liefern \(16a+4b+c=0\), \(48a+8b+c=0\) und \(4a+2b+c=2\). 4. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt \(b=-8a\). Einsetzen ergibt \(c=16a\). 5. Mit der dritten Gleichung folgt \(4a=2\), also \(a=0{,}5\), \(b=-4\) und \(c=8\). 6. Somit ist \(f(x)=0{,}5x^3-4x^2+8x=0{,}5x(x-4)^2\). 7. Wegen des Faktors \((x-4)^2\) ist \(x=4\) eine doppelte Nullstelle. Der Graph berührt dort die \(x\)-Achse und schneidet sie nicht.

\(f(x)=0{,}5x^3-4x^2+8x\)

- Schaue dir für Aufgabenteil a) charakteristische Eigenschaften wie Achsenschnittpunkte, Symmetrie oder Grenzverhalten an. - Wie verhält sich eine Potenzfunktion mit geradem Grad und positivem Leitkoeffizienten im Unendlichen? - Verwende bei der Berechnung der Nullstellen in b) das Verfahren der Substitution, um die Gleichung vierten Grades zu lösen. - Zur Bestimmung der Extrempunkte benötigst du die erste und zweite Ableitung. Welche Bedingungen müssen für Hoch- und Tiefpunkte erfüllt sein?

1. Vergleich mit dem dargestellten Graphen: - Symmetrie: Da \(f\) nur gerade Exponenten besitzt, ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der dargestellte Graph von \(g\) ist dagegen zur Geraden \(x = 1\) symmetrisch. - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = 6\), also schneidet \(G_f\) die \(y\)-Achse bei \((0 \mid 6)\). Der dargestellte Graph schneidet sie bei \((0 \mid 1)\). - Extrempunkte: \(G_f\) hat einen Hochpunkt bei \((0 \mid 6)\); der dargestellte Graph hat dort keinen Hochpunkt. 2. Kurvendiskussion: - Verhalten im Unendlichen: Wegen des positiven Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(f(x) \to +\infty\) für \(x \to \pm\infty\). - Nullstellen: \(0{,}5x^4 - 4x^2 + 6 = 0\). Nach Multiplikation mit \(2\) und der Substitution \(u = x^2\) erhält man \(u^2 - 8u + 12 = 0\), also \((u-2)(u-6)=0\). Damit sind \(x_1=-\sqrt{6}\approx-2{,}45\), \(x_2=-\sqrt{2}\approx-1{,}41\), \(x_3=\sqrt{2}\approx1{,}41\) und \(x_4=\sqrt{6}\approx2{,}45\). - Extrempunkte: \(f'(x)=2x^3-8x=2x(x^2-4)\), also \(x=-2,0,2\). Mit \(f''(x)=6x^2-8\) folgt \(f''(0)=-8<0\) und \(f''(\pm2)=16>0\). Somit liegen der Hochpunkt \(H(0 \mid 6)\) und die Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -2)\), \(T_2(2 \mid -2)\) vor.

a) Mögliche Begründungen, warum die Abbildung nicht den Graphen von \(f\) zeigt: - Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: Für \(f\) gilt \(f(0)=6\), der abgebildete Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y=1\). - Symmetrie: Der Graph von \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, der abgebildete Graph ist jedoch zur Geraden \(x=1\) symmetrisch. - Extrempunkte: Der Graph von \(f\) hat einen Hochpunkt bei \((0 \mid 6)\), während der abgebildete Graph seinen Hochpunkt bei \((1 \mid 3{,}2)\) hat. b) Kurvendiskussion von \(f\): 1. Verhalten für \(x \to \pm\infty\): \(f(x) \to +\infty\) 2. Nullstellen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{2}\approx\pm1{,}41\) und \(x_{3,4}=\pm\sqrt{6}\approx\pm2{,}45\) 3. Extrempunkte: Hochpunkt \(H(0 \mid 6)\), Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -2)\) und \(T_2(2 \mid -2)\)

- Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel entsprechen Extremstellen von \(f\). - Das Vorzeichen von \(f'\) bestimmt das Monotonieverhalten von \(f\). - Extremstellen von \(f'\) entsprechen Wendestellen von \(f\).

1. Der Graph von \(f'\) hat im angegebenen Intervall Nullstellen mit Vorzeichenwechsel bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 3\). Daher hat \(f\) dort genau drei Extremstellen. Aussage a) ist wahr. 2. Im Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) verläuft der Graph von \(f'\) vollständig unterhalb der \(x\)-Achse. Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Wendepunkte von \(f\) entsprechen Extremstellen von \(f'\). Bei \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle, aber keine Extremstelle. Daher hat \(f\) dort keinen Wendepunkt. Aussage c) ist falsch.

a) Wahr, da \(f'\) drei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt. b) Wahr, da \(f'(x) < 0\) im gesamten Intervall \([0{,}5; 2{,}5]\) gilt. c) Falsch, da \(f'\) bei \(x = 0\) keine Extremstelle hat.

- Bestimme zuerst die notwendigen Ableitungen der gegebenen Funktionsgleichung. - Wie lauten die Bedingungen für das Vorliegen von lokalen Extrempunkten und Wendepunkten? - Berechne die exakten Koordinaten dieser charakteristischen Punkte. - Vergleiche die berechneten Koordinaten (insbesondere die \(x\)- und \(y\)-Werte der Hoch- und Tiefpunkte) mit den Werten, die du im Koordinatensystem ablesen kannst. - Achte genau auf die Skalierung der Achsen im Graphen.

1. Bestimmung der ersten drei Ableitungen der Funktion \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + 3x\): \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3\) \(f''(x) = -\frac{3}{2}x\) \(f'''(x) = -\frac{3}{2}\) 2. Berechnung der Extremstellen über \(f'(x) = 0\): \(-\frac{3}{4}x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) Überprüfung mit der zweiten Ableitung: - \(f''(2) = -3 < 0 \implies\) Hochpunkt bei \(x = 2\) mit \(f(2) = -\frac{1}{4} \cdot 8 + 6 = 4\). Somit \(H(2 \mid 4)\). - \(f''(-2) = 3 > 0 \implies\) Tiefpunkt bei \(x = -2\) mit \(f(-2) = -\frac{1}{4} \cdot (-8) - 6 = -4\). Somit \(T(-2 \mid -4)\). 3. Berechnung des Wendepunkts über \(f''(x) = 0 \implies x = 0\). Da \(f'''(0) = -\frac{3}{2} \neq 0\), liegt der Wendepunkt im Ursprung bei \(W(0 \mid 0)\). 4. Abgleich mit dem Graphen: Der abgebildete Graph zeigt den Hochpunkt bei \( (2 \mid 3) \) und den Tiefpunkt bei \( (-2 \mid -3) \). Da die berechneten \(y\)-Werte der Extrempunkte nicht mit dem Graphen übereinstimmen, ist der Graph nicht korrekt; er ist in \(y\)-Richtung um den Faktor \(\frac{3}{4}\) gestaucht.

a) Hochpunkt: \(H(2 \mid 4)\), Tiefpunkt: \(T(-2 \mid -4)\), Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\). b) Nein, der Graph ist nicht korrekt. Die berechneten Extrempunkte liegen bei \(y=4\) bzw. \(y=-4\), im Graphen befinden sie sich jedoch bei \(y=3\) bzw. \(y=-3\).

- Nullstellen der Ableitung entsprechen Extremstellen der Originalfunktion. - Das Vorzeichen der Ableitung zeigt, wo die Originalfunktion steigt oder fällt. - Ein Extrempunkt der Ableitung entspricht einer Wendestelle der Originalfunktion.

1. Der rote Graph \(G_1\) gehört zur Funktion \(f\), der blaue Graph \(G_2\) zur Ableitungsfunktion \(f'\). An den Extremstellen von \(G_1\) bei \(x = -2\) und \(x = 2\) hat \(G_2\) Nullstellen. Im Intervall \([-2; 2]\) fällt \(G_1\), und \(G_2\) verläuft dort unterhalb der \(x\)-Achse. 2. Aus dem Graphen liest man den Hochpunkt \(H(-2 \mid 3)\), den Tiefpunkt \(T(2 \mid -1)\) und den Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\) ab. 3. \(f\) ist im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton fallend.

a) \(G_1\) (rot) gehört zu \(f\), und \(G_2\) (blau) gehört zu \(f'\). b) \(H(-2 \mid 3)\), \(T(2 \mid -1)\), \(W(0 \mid 1)\). c) \(f\) ist auf \([-2; 2]\) streng monoton fallend.

- Welche notwendige Bedingung gilt an Extremstellen? - Wie kannst du mit der zweiten Ableitung Hoch- und Tiefpunkte unterscheiden? - Welche Bedingung verwendest du für Kandidaten auf Wendestellen, und wie überprüfst du sie anschließend?

1. Es gilt \(f'(x)=-0{,}4x^3+1{,}6x\), \(f''(x)=-1{,}2x^2+1{,}6\) und \(f'''(x)=-2{,}4x\). 2. Für die Extremstellen löst man \(f'(x)=0\): \(x(-0{,}4x^2+1{,}6)=0\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\). 3. Mit \(f''(0)=1{,}6>0\) und \(f(0)=1\) erhält man den Tiefpunkt \(T(0\mid1)\). Für \(x=\pm2\) gilt \(f''(\pm2)=-3{,}2<0\) und \(f(\pm2)=2{,}6\); damit sind \(H_1(-2\mid2{,}6)\) und \(H_2(2\mid2{,}6)\) Hochpunkte. 4. Für die Wendestellen löst man \(f''(x)=0\): \(-1{,}2x^2+1{,}6=0\), also \(x=\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}\). 5. Da \(f'''\left(\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}\right)\neq0\), liegen dort tatsächlich Wendestellen vor.

a) Hochpunkte \(H_1(-2 \mid 2{,}6)\) und \(H_2(2 \mid 2{,}6)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\). b) Wendestellen bei \(x_1=-\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx-1{,}15\) und \(x_2=\frac{2}{3}\sqrt{3}\approx1{,}15\).

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung \(f'\) und dem Monotonieverhalten der Ausgangsfunktion \(f\). - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel für den Graphen von \(f\)? - Wie hängen die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Ausgangsfunktion \(f\) zusammen? - Betrachte den Tiefpunkt des Graphen von \(f'\) — was bedeutet dieser Punkt für die Steigung von \(f\)?

1. **Monotonie von \(f\):** Das Monotonieverhalten von \(f\) entscheidet sich am Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\): - Für \(x \in [-4; -2[\) und \(x \in ]2; 4]\) ist \(f'(x) > 0\), weshalb die Funktion \(f\) in diesen Bereichen streng monoton steigend ist. - Für \(x \in ]-2; 2[\) ist \(f'(x) < 0\), weshalb die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend ist. 2. **Lokale Extremstellen von \(f\):** Lokale Extremstellen liegen an den Stellen vor, an denen \(f'(x) = 0\) gilt und ein Vorzeichenwechsel stattfindet: - Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(+\) nach \(-\). Daher hat \(f\) dort eine lokale Maximalstelle (Hochpunkt). - Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) das Vorzeichen von \(-\) nach \(+\). Daher hat \(f\) dort eine lokale Minimalstelle (Tiefpunkt). 3. **Wendestelle von \(f\):** Eine Wendestelle der Ausgangsfunktion \(f\) entspricht einer lokalen Extremstelle der Ableitungsfunktion \(f'\). Da die Ableitung \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) einen lokalen Tiefpunkt besitzt (Steigung von \(f'\) ist dort null mit Vorzeichenwechsel), liegt bei \(x = 0\) eine Wendestelle von \(f\) vor.

a) Streng monoton steigend für \(x \in [-4; -2]\) und \(x \in [2; 4]\); streng monoton fallend für \(x \in [-2; 2]\). b) Lokale Maximalstelle (Hochpunkt) bei \(x = -2\); lokale Minimalstelle (Tiefpunkt) bei \(x = 2\). c) Eine Wendestelle von \(f\) liegt an den Extremstellen von \(f'\) vor. Da \(f'\) bei \(x = 0\) ein lokales Minimum (Tiefpunkt) hat, besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

- Wie hängen das Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und das Monotonieverhalten der Originalfunktion \(f\) zusammen? - Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) für den Verlauf von \(f\)? Woran erkennst du, ob es sich um ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum handelt? - Überlege, wie die Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) mit den Wendestellen der Originalfunktion \(f\) zusammenhängen. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Steigungsverhalten von \(f'\) (also der Steigung der Tangente an den Graphen von \(f'\)) und der Krümmung des Graphen von \(f\)?

1. **Monotonieverhalten von \(f\):** - Für \(x \in [-5; -4]\) und \(x \in [-1; 4]\) ist \(f\) streng monoton steigend. - Für \(x \in [-4; -1]\) und \(x \in [4; 5]\) ist \(f\) streng monoton fallend. Dies folgt aus dem Vorzeichen von \(f'\); im Inneren der jeweiligen Intervalle ist \(f'\) positiv bzw. negativ. 2. **Lokale Extremstellen von \(f\):** - Bei \(x = -4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: lokale Maximalstelle. - Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv: lokale Minimalstelle. - Bei \(x = 4\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ: lokale Maximalstelle. 3. **Wendestellen und Krümmungsverhalten von \(f\):** Die Wendestellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen von \(f'\). Aus dem Graphen liest man näherungsweise \(x \approx -2{,}67\) und \(x = 2\) ab. - Linksgekrümmt ist der Graph von \(f\) für \(x \in (-2{,}67; 2)\), weil \(f'\) dort steigt. - Rechtsgekrümmt ist der Graph von \(f\) für \(x \in [-5; -2{,}67)\) und \(x \in (2; 5]\), weil \(f'\) dort fällt.

a) Streng monoton steigend auf \([-5; -4]\) und \([-1; 4]\); streng monoton fallend auf \([-4; -1]\) und \([4; 5]\). b) Lokale Maximalstellen bei \(x = -4\) und \(x = 4\); lokale Minimalstelle bei \(x = -1\). c) Wendestellen bei \(x \approx -2{,}67\) und \(x = 2\). Linksgekrümmt für \(x \in (-2{,}67; 2)\); rechtsgekrümmt für \(x \in [-5; -2{,}67)\) und \(x \in (2; 5]\).

- Betrachte das Verhalten der Funktionswerte für sehr große positive und sehr kleine negative \(x\)-Werte. Wie verhält sich die Funktion \(f\) im Vergleich zu den Graphen? - Untersuche die Gleichung der Funktion \(f\) auf Symmetrieeigenschaften. Welche Symmetrie müsste ein Graph aufweisen, und trifft das auf Graph A oder Graph B zu? - Bestimme die Nullstellen der Funktion \(f\) und überlege dir, ob es sich um einfache Schnittpunkte oder mehrfache Berührpunkte handelt. Wie verhalten sich die Graphen im Ursprung? - Ermittle die Lage der Extrempunkte von \(f\) und vergleiche sie mit den Extrempunkten in den Abbildungen.

1. Ausschluss von Graph A: - Globalverhalten: Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), während Graph A gegen \(-\infty\) verläuft. Für \(x \to -\infty\) gilt \(f(x) \to -\infty\), während Graph A gegen \(\infty\) verläuft. - Funktionswerte für negative \(x\): Für \(x < 0\) gilt \(f(x) = x^2(x-3) < 0\). Graph A verläuft dort jedoch im positiven Bereich. - Extrempunkte: \(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\) liefert die Extremstellen \(x = 0\) mit Hochpunkt \((0 \mid 0)\) und \(x = 2\) mit Tiefpunkt \((2 \mid -4)\). Graph A hat stattdessen einen Tiefpunkt im Ursprung und einen Hochpunkt bei \(x = 2\). 2. Ausschluss von Graph B: - Symmetrie: Graph B ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Da die Funktionsgleichung von \(f(x)\) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt, ist der Graph von \(f\) weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. - Verhalten im Ursprung: Graph B schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung. Bei \(f(x) = x^2(x-3)\) ist \(x = 0\) jedoch eine doppelte Nullstelle und damit ein Berührpunkt ohne Vorzeichenwechsel. - Lage der Extrempunkte: Der Hochpunkt von Graph B liegt bei einem negativen \(x\)-Wert, während der Hochpunkt von \(f\) im Ursprung liegt.

Graph A kann aus folgenden Gründen nicht zu \(f\) gehören; zwei Begründungen genügen: 1. Für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\), während Graph A gegen \(-\infty\) fällt. 2. Für \(x<0\) gilt \(f(x)<0\), Graph A verläuft dort jedoch oberhalb der \(x\)-Achse. 3. \(f\) hat einen Hochpunkt im Ursprung und einen Tiefpunkt bei \(x=2\); bei Graph A ist dies umgekehrt. Graph B kann aus folgenden Gründen nicht zu \(f\) gehören; zwei Begründungen genügen: 1. Graph B ist punktsymmetrisch zum Ursprung, \(f\) ist jedoch nicht punktsymmetrisch. 2. Graph B schneidet die \(x\)-Achse im Ursprung, während \(f\) dort eine doppelte Nullstelle und damit einen Berührpunkt besitzt. 3. Der Hochpunkt von Graph B liegt bei \(x<0\), der Hochpunkt von \(f\) liegt im Ursprung.

- Bestimme die Stellen, an denen die erste Ableitung null ist, und untersuche ihr Vorzeichen. - Für das Krümmungsverhalten ist das Vorzeichen der zweiten Ableitung entscheidend. - Eine Wendestelle gehört nicht zu einem Intervall, in dem die zweite Ableitung strikt positiv oder strikt negativ ist.

1. Monotonie: Die Extremstellen liegen bei \(x=-2\) und \(x=2\). Daher ist \(f\) in \(]-\infty;-2]\) und \([2;\infty[\) streng monoton zunehmend sowie in \([-2;2]\) streng monoton abnehmend. 2. Krümmungsverhalten: Es gilt \(f''(x)=1{,}5x\). Somit ist \(f''(x)<0\) für \(x<0\) und \(f''(x)>0\) für \(x>0\). Der Graph ist in \(]-\infty;0[\) rechtsgekrümmt und in \(]0;\infty[\) linksgekrümmt. Bei \(x=0\) liegt der Wendepunkt \(W(0 \mid 1)\).

a) Streng monoton zunehmend in \(]-\infty;-2]\) und \([2;\infty[\); streng monoton abnehmend in \([-2;2]\). b) Rechtsgekrümmt in \(]-\infty;0[\); linksgekrümmt in \(]0;\infty[\).

- Kannst du die Koordinaten der Extrempunkte und des Wendepunkts direkt aus dem Graphen ablesen? - Welche Bedingungen müssen an den Extrempunkten für die erste Ableitung gelten? - Wie vereinfacht sich die allgemeine Gleichung einer Funktion dritten Grades, wenn der Wendepunkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Nutze die Koordinaten des Tiefpunkts und die Bedingung für die Steigung am Tiefpunkt, um ein Gleichungssystem für die verbleibenden Parameter aufzustellen. - Wenn ein Tiefpunkt direkt auf der \(x\)-Achse liegt, was sagt das über die Vielfachheit dieser Nullstelle aus?

1. Ablesen der markanten Punkte: Aus dem Graphen lassen sich der Hochpunkt \(H(-1 \mid 4)\), der Tiefpunkt \(T(1 \mid 0)\) und der Wendepunkt \(W(0 \mid 2)\) ablesen. 2. Aufstellen der Funktionsgleichung: Der allgemeine Ansatz lautet \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). Die Ableitungen sind \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c\) und \(f''(x) = 6ax + 2b\). Aus \(f''(0)=0\) folgt \(b=0\), aus \(f(0)=2\) folgt \(d=2\). Damit gilt \(f(x)=ax^3+cx+2\). Mit \(f(1)=0\) und \(f'(1)=0\) erhält man \(a+c=-2\) und \(3a+c=0\). Daraus folgen \(a=1\) und \(c=-3\). Somit lautet die Funktion \(f(x)=x^3-3x+2\). 3. Berechnen der Nullstellen: Da \(T(1 \mid 0)\) ein Tiefpunkt auf der \(x\)-Achse ist, ist \(x=1\) eine doppelte Nullstelle. Es gilt \(f(x)=(x-1)^2(x+2)\). Die weitere Nullstelle ist daher \(x=-2\).

a) \(H(-1 \mid 4)\), \(T(1 \mid 0)\) und \(W(0 \mid 2)\). b) \(f(x)=x^3-3x+2\). c) \(x=1\) ist eine doppelte Nullstelle und \(x=-2\) eine einfache Nullstelle.

- Welche Bedingungen liefern die beiden gegebenen Extrempunkte jeweils für Funktionswert und Ableitung? - Löse die daraus entstehenden Bedingungen für die vier Koeffizienten der kubischen Funktion. - Prüfe den zusätzlich behaupteten Punkt erst an der vollständig bestimmten Funktion. - Vergleiche für die Symmetrie die Lage des Wendepunkts mit dem Mittelpunkt der beiden Extrempunkte.

1. Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) und \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) ergeben sich aus den Extrempunkten die Bedingungen \(f(-1)=4\), \(f(1)=0\), \(f'(-1)=0\) und \(f'(1)=0\). 2. Aus den beiden Ableitungsbedingungen folgen \(b=0\) und \(c=-3a\). Die Punktbedingungen liefern anschließend \(a=1\) und \(d=2\). Damit lautet die Funktion \(f(x)=x^3-3x+2\). 3. Für den behaupteten Punkt gilt \(f(2)=2^3-3\cdot2+2=4\). Wegen \(4\neq5\) liegt \(P(2\mid5)\) nicht auf dem Graphen; Jonas' Behauptung ist falsch. 4. Aus dem Graphen liest man \(f(2)=4\) und \(W(0\mid2)\) ab. Der Wendepunkt ist der Mittelpunkt der Strecke \(HT\), denn die Mittelwerte der Koordinaten sind \(0\) und \(2\). Damit passt \(W\) als Symmetriezentrum zur Punktsymmetrie des kubischen Graphen.

a) \(f(x)=x^3-3x+2\) und \(f(2)=4\neq5\); die Behauptung ist falsch. b) \(f(2)=4\), \(W(0\mid2)\); \(W\) ist der Mittelpunkt der Strecke \(HT\) und damit das Symmetriezentrum des Graphen.

- Übersetze die Bedingung \(f'(x)=0\) mithilfe der gegebenen Beziehung in eine Aussage über den Graphen von \(g\). - Für die Art einer Extremstelle ist der Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für die Wendestelle untersuchst du, wie sich \(g\) in der Umgebung seines Scheitelpunkts verändert.

1. Extremstellen von \(f\) können dort liegen, wo \(f'(x)=0\). Wegen \(f'(x)=g(x)-1\) entspricht dies der Bedingung \(g(x)=1\). Aus dem Graphen liest man \(x=-2\) und \(x=2\) ab. 2. Für \(x<-2\) gilt \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Für \(-2<x<2\) gilt \(g(x)>1\), also \(f'(x)>0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=-2\) ein lokales Minimum. 3. Für \(x>2\) gilt wieder \(g(x)<1\), also \(f'(x)<0\). Deshalb hat \(f\) bei \(x=2\) ein lokales Maximum. 4. Aus \(f'(x)=g(x)-1\) folgt \(f''(x)=g'(x)\). Der Graph von \(g\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum; dort wechselt \(g'\) von positiv zu negativ. Somit wechselt \(f''\) bei \(x=0\) das Vorzeichen, also besitzt \(f\) dort eine Wendestelle.

a) Lokales Minimum bei \(x=-2\); lokales Maximum bei \(x=2\). b) Wendestelle bei \(x=0\).

- Welche Beziehung besteht zwischen dem Vorzeichen der Ableitungsfunktion \(f'\) und dem Monotonieverhalten der ursprünglichen Funktion \(f\)? - Woran erkennt man im Graphen der Ableitung, dass die ursprüngliche Funktion einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hat? Achte auf den Vorzeichenwechsel. - Überlege dir, wie eine Wendestelle von \(f\) mit den Eigenschaften der Ableitungsfunktion \(f'\) zusammenhängt. Was muss an einer Wendestelle für die Steigung der Tangente gelten? - Betrachte den Scheitelpunkt der Parabel im Graphen. Welche Bedeutung hat dieser besondere Punkt für die ursprüngliche Funktion?

1. Im Inneren der Intervalle \([-4; -1]\) und \([3; 6]\) ist \(f'(x) < 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Im Inneren des Intervalls \([-1; 3]\) ist \(f'(x) > 0\); daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 2. Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt eine lokale Minimalstelle vor. Bei \(x = 3\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt eine lokale Maximalstelle vor. 3. Der Graph von \(f'\) hat bei \(x = 1\) ein lokales Maximum. Damit wechselt dort die Monotonierichtung von \(f'\), also die Krümmung von \(f\). Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 1\) eine Wendestelle.

a) Im dargestellten Bereich ist \(f\) auf \([-1; 3]\) streng monoton steigend und auf \([-4; -1]\) sowie \([3; 6]\) streng monoton fallend. b) Lokale Minimalstelle bei \(x = -1\); lokale Maximalstelle bei \(x = 3\). c) Wendestelle bei \(x = 1\).

- Wie bestimmst du die Schnittpunkte zweier Graphen? - Welche Funktion beschreibt den vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Blattrand? - Wie kannst du den größten Wert dieser Abstandsfunktion bestimmen? - Welche Größen benötigst du für den Winkel zwischen den beiden Tangenten an der rechten Blattspitze?

1. Für die Blattspitzen setzt man \(f(x)=g(x)\): \(-0{,}25x^2+1{,}5x=0{,}1x^2-0{,}6x\). Daraus folgt \(x(0{,}35x-2{,}1)=0\), also \(x=0\) oder \(x=6\). Die Schnittpunkte sind \(S_1(0\mid0)\) und \(S_2(6\mid0)\). 2. Die vertikale Breite ist \(h(x)=f(x)-g(x)=-0{,}35x^2+2{,}1x\). Aus \(h'(x)=-0{,}7x+2{,}1=0\) folgt \(x=3\). Wegen \(h''(x)=-0{,}7<0\) liegt dort ein Maximum vor. Es ist \(h(3)=3{,}15\), also beträgt die maximale Breite \(3{,}15\,\text{cm}\). 3. An der rechten Blattspitze gilt \(f'(6)=-1{,}5\) und \(g'(6)=0{,}6\). Für den Schnittwinkel gilt \(\tan(\varphi)=\left|\frac{-1{,}5-0{,}6}{1+(-1{,}5)\cdot0{,}6}\right|=21\). Damit ist \(\varphi\approx87{,}3^\circ\).

a) \(S_1(0 \mid 0)\) und \(S_2(6 \mid 0)\). b) Maximale Breite \(3{,}15\,\text{cm}\) bei \(x=3\,\text{cm}\). c) \(\varphi\approx87{,}3^\circ\).

- Welche charakteristischen Punkte kannst du im Graphen erkennen und welche Koordinaten haben sie? - Wie hängt die Anzahl der Extrempunkte mit dem Mindestgrad einer ganzrationalen Funktion zusammen? - Welche Symmetrie weist der Graph auf, wenn man die Lage des Hochpunktes und des Tiefpunktes vergleicht? - Welche Exponenten treten in der Funktionsgleichung auf, wenn der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Welche mathematischen Bedingungen gelten an einem Tiefpunkt für den Funktionswert und für den Wert der ersten Ableitung?

1. Kleinstmöglicher Grad: Der Graph weist zwei Extrempunkte auf. Da eine ganzrationale Funktion vom Grad \(n\) höchstens \(n-1\) Extrempunkte besitzen kann, muss der Grad mindestens \(3\) sein. Somit ist der kleinstmögliche Grad \(3\). 2. Symmetrie: Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0 \mid 0)\), da der Hochpunkt \(H(-2 \mid 4)\) durch Spiegelung am Ursprung auf den Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\) abgebildet wird. Daher treten im Funktionsterm nur ungerade Exponenten auf: \(f(x)=ax^3+cx\). 3. Bestimmung der Funktion: Es gilt \(f'(x)=3ax^2+c\). Aus \(f(2)=-4\) und \(f'(2)=0\) folgen \(8a+2c=-4\) und \(12a+c=0\). Daraus erhält man \(a=0{,}25\) und \(c=-3\). Somit lautet die Funktion \(f(x)=0{,}25x^3-3x\).

a) Der kleinstmögliche Grad ist \(3\), da der Graph zwei Extrempunkte besitzt. b) Der allgemeine Funktionsterm lautet \(f(x)=ax^3+cx\). c) Die Funktionsgleichung ist \(f(x)=0{,}25x^3-3x\).

- Welche Form eines Funktionsterms bietet sich an, wenn alle Nullstellen bekannt sind? - Welche Rolle spielt ein zusätzlicher Punkt, wenn in der Nullstellenform noch ein Faktor unbekannt ist? - Wie erhältst du anschließend die Normalform?

1. Aus den drei Nullstellen folgt der Ansatz \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\) mit \(a\neq0\). 2. Mit \(P(-1\mid4)\) gilt \(4=a(1)(-2)(-4)=8a\). Daher ist \(a=0{,}5\). 3. Die faktorisierte Form lautet \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). 4. Ausmultiplizieren ergibt \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

Faktorisierte Form: \(f(x)=0{,}5(x+2)(x-1)(x-3)\). Normalform: \(f(x)=0{,}5x^3-x^2-2{,}5x+3\).

- Welche Bedingungen beschreiben die beiden Endpunkte und die horizontalen Übergänge? - Welche Ableitung hilft dir, den Wendepunkt zu bestimmen? - Wie hängt die größte betragsmäßige Steigung mit dem Wendepunkt dieser kubischen Profilfunktion zusammen? - Wie wandelst du ein Steigungsmaß in Prozent und in einen Neigungswinkel um?

1. \(f(10)=0\) bedeutet, dass die Rutsche nach \(10\,\text{m}\) horizontaler Entfernung den Erdboden erreicht. \(f'(0)=0\) bedeutet, dass sie am Startpunkt horizontal beginnt. 2. Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) und \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) folgen aus den vier Randbedingungen \(d=8\), \(c=0\), \(1000a+100b+8=0\) und \(300a+20b=0\). Daraus erhält man \(a=0{,}016\) und \(b=-0{,}24\). Somit ist \(f(x)=0{,}016x^3-0{,}24x^2+8\). 3. Es gilt \(f''(x)=0{,}096x-0{,}48\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=5\), und \(f(5)=4\). Der Wendepunkt ist \(W(5\mid4)\); dort wechselt die Krümmungsrichtung und das Gefälle ist am stärksten. 4. Es ist \(f'(5)=-1{,}2\). Das maximale Gefälle beträgt daher \(120\,\%\). Mit \(\tan(\alpha)=1{,}2\) folgt \(\alpha\approx50{,}2^\circ\).

a) \(f(10)=0\): Die Rutsche erreicht nach \(10\,\text{m}\) den Boden. \(f'(0)=0\): Sie startet horizontal. b) \(f(x)=0{,}016x^3-0{,}24x^2+8\). c) \(W(5 \mid 4)\); dort ist das Gefälle am stärksten und die Krümmungsrichtung wechselt. d) Maximales Gefälle \(120\,\%\); maximaler Neigungswinkel \(\alpha\approx50{,}2^\circ\).

- Welche Bedingungen an Funktionswert und Steigung beschreiben einen knickfreien Übergang zu einer horizontalen Plattform? - Wie bestimmst du bei einer kubischen Funktion die Stelle mit extremaler Steigung? - Welche Größe musst du mit dem Grenzwert \(0{,}6\) vergleichen?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\). 2. Für einen knickfreien Übergang gelten in \(A\) die Bedingungen \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\), in \(B\) die Bedingungen \(f(4)=2\) und \(f'(4)=0\). 3. Daraus folgen \(a=-\frac{1}{16}\), \(b=\frac{3}{8}\) und \(c=d=0\). Somit ist \(f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\). 4. Es gilt \(f''(x)=-\frac{3}{8}x+\frac{3}{4}\). Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\), und \(f(2)=1\). Daher ist \(W(2\mid1)\) der Wendepunkt; dort ist die Rampe am steilsten. 5. Die maximale Steigung beträgt \(f'(2)=0{,}75\), also \(75\,\%\). Damit wird die Grenze von \(60\,\%\) überschritten.

a) \(f(x)=-\frac{1}{16}x^3+\frac{3}{8}x^2\). b) \(W(2 \mid 1)\); dort ist die Rampe am steilsten. c) Nein. Die maximale Steigung beträgt \(75\,\%\) und überschreitet \(60\,\%\).

- Verwende die erste Ableitung, um Stellen mit waagrechter Tangente zu finden. - Die zweite Ableitung hilft dir zu entscheiden, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion \(p\) ein. - Für die Tangente benötigst du den Funktionswert und die Steigung an der Stelle \(x=1\).

1. Ableitungen bilden: \(p'(x) = -4x^3 + 8x\) und \(p''(x) = -12x^2 + 8\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema: \(p'(x) = 0 \Rightarrow -4x(x^2 - 2) = 0\). Daraus folgen die Extremstellen \(x = 0\) und \(x = \pm\sqrt{2}\). 3. Art der Extrema prüfen: \(p''(0) = 8 > 0\), also liegt bei \((0 \mid 0)\) ein Tiefpunkt. Für \(x=\pm\sqrt{2}\) gilt \(p''(x)=-16<0\), also liegen dort Hochpunkte. 4. Die Funktionswerte sind \(p(\pm\sqrt{2})=4\). Daher lauten die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{2} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 4)\). 5. Für die Tangente gilt \(p(1)=3\) und \(p'(1)=4\). Mit \(t(x)=4x+c\) folgt aus \(3=4+c\), dass \(c=-1\). Somit ist \(t(x)=4x-1\).

a) Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{2} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 4)\), Tiefpunkt \(T(0 \mid 0)\). b) Die Punkte stimmen mit den Extremstellen des dargestellten Graphen überein. c) \(t(x)=4x-1\).

- Welche Form des Funktionsterms hilft dir, die Nullstellen direkt zu erkennen? - Welche Bedingungen verwendest du für Extremstellen und Wendestellen? - Wie überprüfst du die jeweiligen Kandidaten?

1. Es gilt \(f(x)=\frac{1}{4}(x^2-4)^2\). Daher sind \(x=-2\) und \(x=2\) doppelte Nullstellen: \(N_1(-2\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=x^3-4x\), \(f''(x)=3x^2-4\) und \(f'''(x)=6x\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\). Wegen \(f''(0)=-4<0\) liegt der Hochpunkt bei \(H(0\mid4)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}\). Die zugehörigen Funktionswerte sind jeweils \(\frac{16}{9}\). Da \(f'''\left(\pm\sqrt{\frac{4}{3}}\right)\neq0\), sind dies Wendestellen.

Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). Hochpunkt: \(H(0 \mid 4)\). Wendepunkte: \(W_1\left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\) und \(W_2\left(\sqrt{\frac{4}{3}} \mid \frac{16}{9}\right)\).

- Wie erkennt man eine doppelte Nullstelle im Graphen? - Welche Ableitung hilft dir dabei, die Steigung an einer bestimmten Stelle zu finden? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art eines Extrempunkts aus? - Überprüfe, ob der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen dem Hoch- und dem Tiefpunkt liegt.

1. Nullstellen: \(f(x)=x(x-3)^2\). Daraus folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=3\), wobei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle ist. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 2. Ableitungen: \(f'(x)=3x^2-12x+9\), \(f''(x)=6x-12\) und \(f'''(x)=6\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=1\) und \(x=3\). Wegen \(f''(1)=-6<0\) liegt der Hochpunkt bei \(H(1 \mid 4)\); wegen \(f''(3)=6>0\) liegt der Tiefpunkt bei \(T(3 \mid 0)\). 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\). Mit \(f(2)=2\) und \(f'''(2)\neq0\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(2 \mid 2)\).

Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\), wobei \(x=3\) doppelt ist. Extrempunkte: \(H(1 \mid 4)\) und \(T(3 \mid 0)\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\).

- Überlege dir, welcher Zusammenhang zwischen den Nullstellen der Ableitung und den Extrempunkten der ursprünglichen Funktion besteht. - Achte beim Bestimmen der Art des Extrempunktes darauf, ob die Ableitung von oben nach unten oder von unten nach oben durch die \(x\)-Achse geht. - Wo ist die Steigung der Funktion negativ? Was bedeutet das für das Monotonieverhalten? - Erinnere dich daran, dass die Steigung in einem Wendepunkt extremal ist. Was muss also im Graphen der Ableitung an diesen Stellen zu sehen sein?

1. Lokale Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Aus dem Graphen liest man die Nullstellen \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 5\) ab. 2. Art der Extremstellen: - Bei \(x = -3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, daher liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. - Bei \(x = 1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, daher liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor. - Bei \(x = 5\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, daher liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 3. Monotonie: Die Funktion \(f\) ist streng monoton fallend, wenn \(f'(x) \le 0\) gilt. Dies ist in den Intervallen \([-4; -3]\) und \([1; 5]\) der Fall. 4. Wendestellen: Die Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Der Graph von \(f'\) hat zwei Extrempunkte (einen Hochpunkt bei \(x \approx -1{,}3\) und einen Tiefpunkt bei \(x \approx 3{,}3\)). Somit besitzt \(f\) im betrachteten Bereich genau zwei Wendestellen.

a) Lokale Minimalstellen bei \(x = -3\) und \(x = 5\) (Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\)); lokale Maximalstelle bei \(x = 1\) (Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\)). b) Die Funktion \(f\) fällt streng monoton in den Intervallen \([-4; -3]\) und \([1; 5]\). c) Es gibt 2 Wendestellen, da der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) im gezeigten Bereich zwei lokale Extremstellen besitzt.

- Für a) prüfst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) an \(x=0\). - Für b) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\) im Intervall. - Für c) liest du das Vorzeichen von \(f''(1)\) aus der Steigung des Graphen von \(f'\) ab.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort eine lokale Maximalstelle. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;2]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Der Wert \(f''(1)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=1\). Dort fällt der Graph von \(f'\), also ist die Steigung negativ. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr; \(f''(1)<0\).

- Für a) untersuchst du den Vorzeichenwechsel von \(f'\) bei \(x=0\). - Für b) ist das Vorzeichen von \(f'\) im Intervall entscheidend. - Für c) betrachtest du, ob \(f'\) bei \(x=2\) von Fallen zu Steigen wechselt.

1. Bei \(x=0\) hat \(f'\) eine Nullstelle und wechselt von Plus nach Minus. Daher besitzt \(f\) dort einen lokalen Hochpunkt. Aussage a) ist wahr. 2. Im Inneren von \([0;4]\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage b) ist wahr. 3. Bei \(x=2\) hat \(f'\) einen lokalen Tiefpunkt. Links davon fällt \(f'\), rechts davon steigt \(f'\); damit wechselt \(f''\) dort das Vorzeichen. Also besitzt \(f\) bei \(x=2\) eine Wendestelle. Aussage c) ist wahr.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr.

- Zähle die Stellen, an denen der Graph der Ableitung die \(x\)-Achse kreuzt. - Überlege dir, bei welchem Vorzeichenwechsel von \(f'\) die Funktion von Sinken auf Steigen umschaltet. - Wo ändert die Ableitung ihre Steigungsrichtung? Diese Stellen sind wichtig für die Krümmung.

1. Extremstellen von \(f\) liegen an den Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel. Diese liegen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\); daher besitzt \(f\) drei Extremstellen. 2. Bei \(x = -2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x = 0\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. 3. Wendepunkte von \(f\) liegen an den Extremstellen von \(f'\). Der Graph von \(f'\) besitzt zwei Extremstellen, ungefähr bei \(x \approx -1{,}15\) und \(x \approx 1{,}15\). Daher besitzt \(f\) zwei Wendepunkte.

1. \(f\) besitzt drei Extremstellen bei \(x = -2\), \(x = 0\) und \(x = 2\). 2. Das lokale Minimum liegt bei \(x = 0\); bei \(x = -2\) und \(x = 2\) liegen lokale Maxima. 3. Der Graph von \(f\) besitzt zwei Wendepunkte.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion aussagt. - Wie erkennst du an der Ableitung, ob ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt vorliegt? - Achte besonders auf die Stellen, an denen der Graph der Ableitung die x-Achse schneidet oder berührt. - Was bedeutet eine Nullstelle der Ableitung für die Steigung der Tangente im Funktionsgraphen?

1. Analyse des Graphen von \(f'\): Die Funktion \(f\) ist dort streng monoton steigend, wo \(f'(x) > 0\), und streng monoton fallend, wo \(f'(x) < 0\). Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel (VZW) kennzeichnen lokale Extrema von \(f\). 2. Aussage a): Falsch. Im Intervall \((-2; 0)\) verläuft der Graph von \(f'\) oberhalb der x-Achse (\(f'(x) > 0\)), daher ist \(f\) dort streng monoton steigend. 3. Aussage b): Richtig. An der Stelle \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus. Das bedeutet, \(f\) wechselt von Steigen zu Fallen, was einen Hochpunkt definiert. 4. Aussage c): Falsch. Bei \(x = 3\) hat \(f'\) einen VZW von Minus nach Plus. Dies entspricht einem Tiefpunkt von \(f\). Ein Sattelpunkt läge nur vor, wenn \(f'(3) = 0\) ohne VZW wäre. 5. Aussage d): Richtig. Eine Nullstelle der Ableitungsfunktion (\(f'(x_0) = 0\)) bedeutet geometrisch immer, dass die Tangente an den Graphen von \(f\) an dieser Stelle die Steigung Null hat, also waagerecht verläuft.

a) Falsch, da \(f'(x) > 0\) für \(x \in (-2; 0)\). b) Richtig, da \(f'(0) = 0\) mit VZW von \(+\) nach \(-\). c) Falsch, da \(f'(3) = 0\) mit VZW von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt). d) Richtig, da \(f'(3) = 0\) die Bedingung für eine waagerechte Tangente ist.

- Wie bestimmst du die Schnittpunkte zweier Graphen rechnerisch? - Welche Steigungen haben die beiden Graphen an einem Schnittpunkt? - Wie berechnest du aus zwei Tangentensteigungen den kleineren Schnittwinkel?

1. Aus \(\frac{1}{4}x^3=x\) folgt \(x(x^2-4)=0\). Damit sind \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). Die Schnittpunkte sind \(Q(-2\mid-2)\), \(O(0\mid0)\) und \(P(2\mid2)\). 2. Es gilt \(f'(x)=\frac{3}{4}x^2\) und \(g'(x)=1\). 3. Im Ursprung sind die Steigungen \(0\) und \(1\), daher beträgt der Schnittwinkel \(45^\circ\). 4. Bei \(x=\pm2\) sind die Steigungen \(3\) und \(1\). Somit gilt \(\tan(\varphi)=\left|\frac{3-1}{1+3\cdot1}\right|=0{,}5\), also \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

a) \(Q(-2 \mid -2)\), \(O(0 \mid 0)\) und \(P(2 \mid 2)\). b) Bei \(O\): \(45^\circ\). Bei \(Q\) und \(P\): jeweils \(\varphi\approx26{,}6^\circ\).

- Setze für den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse \(x=0\) in die Funktionsgleichung ein. - Nullstellen findest du, indem du den Funktionsterm gleich null setzt. Kannst du hier ausklammern? - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema. - Überprüfe nach deinen Rechnungen, ob die berechneten Koordinaten zu den Punkten im Gitter passen.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=0\). Daher ist \(S_y(0 \mid 0)\). 2. Nullstellen: \(x^3-3x^2=x^2(x-3)=0\). Damit sind \(x=0\) eine doppelte und \(x=3\) eine einfache Nullstelle. Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\). Daraus folgen \(x=0\) und \(x=2\). 4. Mit \(f''(x)=6x-6\) gilt \(f''(0)=-6<0\) und \(f''(2)=6>0\). Somit liegen der Hochpunkt \(H(0 \mid 0)\) und der Tiefpunkt \(T(2 \mid -4)\) vor. 5. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Mit \(f(1)=-2\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(1 \mid -2)\). 6. Alle berechneten Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein; der Graph ist korrekt.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(3 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 0)\), \(T(2 \mid -4)\). Wendepunkt: \(W(1 \mid -2)\).

- Berechne zuerst den Wert an der Stelle \(x=0\) und vergleiche ihn mit dem Punkt auf der vertikalen Achse. - Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen und ihre Vielfachheiten zu bestimmen. - Nutze die erste Ableitung, um die Stellen mit waagrechter Tangente zu finden. - Achte beim Ablesen aus dem Graphen auf die Skalierung der Achsen.

1. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=2\). Daher ist \(S_y(0 \mid 2)\). 2. Nullstellen: Es gilt \(f(x)=-(x+1)^2(x-2)\). Somit sind \(x=-1\) eine doppelte und \(x=2\) eine einfache Nullstelle. Die Punkte sind \(N_1(-1 \mid 0)\) und \(N_2(2 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=-3x^2+3\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=\pm1\). 4. Mit \(f''(x)=-6x\) gilt \(f''(-1)=6>0\) und \(f''(1)=-6<0\). Daher liegen der Tiefpunkt \(T(-1 \mid 0)\) und der Hochpunkt \(H(1 \mid 4)\) vor. 5. Im Diagramm liegt der \(y\)-Achsenschnittpunkt bei \(1{,}6\) und der Hochpunkt bei etwa \((1 \mid 3{,}2)\). Der dargestellte Graph ist daher nicht korrekt.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 2)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(-1 \mid 0)\), \(H(1 \mid 4)\).

- Nutze die Symmetrie der Funktion, um deine Rechnungen zu prüfen. - Klammere bei der Bestimmung der Nullstellen \(x^2\) aus. - Die Extremstellen liegen dort, wo die erste Ableitung null ist. - Überprüfe die \(y\)-Werte der Tiefpunkte im Diagramm.

1. Symmetrie: Da nur gerade Exponenten vorkommen, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Achsenschnittpunkte: \(f(0)=0\). Aus \(\frac{1}{2}x^2(x^2-4)=0\) folgen \(x=0\) als doppelte Nullstelle und \(x=\pm2\). Die Punkte sind \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\) und \(N_3(2 \mid 0)\). 3. Extremstellen: \(f'(x)=2x^3-4x=2x(x^2-2)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{2}\). 4. Mit \(f''(x)=6x^2-4\) folgt \(f''(0)<0\), also \(H(0 \mid 0)\), und \(f''(\pm\sqrt{2})>0\), also Tiefpunkte. 5. Es gilt \(f(\pm\sqrt{2})=-2\). Daher sind \(T_1(-\sqrt{2} \mid -2)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -2)\). 6. Alle berechneten Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\), \(N_3(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 0)\), \(T_1(-\sqrt{2} \mid -2)\), \(T_2(\sqrt{2} \mid -2)\).

- Nutze die Substitution \(z=x^2\), um die Nullstellen zu finden. - Die Symmetrie hilft dir, die Anzahl der Berechnungen zu reduzieren. - Vergleiche die berechneten Nullstellen und Extrempunkte mit dem Diagramm.

1. Symmetrie: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(f(0)=-5\), also \(S_y(0 \mid -5)\). 3. Nullstellen: Mit \(z=x^2\) folgt \(z^2-6z+5=0\), also \(z=1\) oder \(z=5\). Daher sind \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt{5}\). 4. Extremstellen: \(f'(x)=-4x^3+12x=-4x(x^2-3)\). Daher sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{3}\). 5. Mit \(f''(x)=-12x^2+12\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(0 \mid -5)\) sowie die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt{3} \mid 4)\) und \(H_2(\sqrt{3} \mid 4)\). 6. Alle Punkte stimmen mit dem dargestellten Graphen überein.

Der Graph ist korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid -5)\), \(N_{1,2}(\pm1 \mid 0)\), \(N_{3,4}(\pm\sqrt{5} \mid 0)\). Extrempunkte: \(T(0 \mid -5)\), \(H_{1,2}(\pm\sqrt{3} \mid 4)\).

- Faktorisiere den Funktionsterm, um die Nullstellen und ihre Vielfachheiten zu erkennen. - Welche Stellen mit waagerechter Tangente ergeben sich aus \(f'\)? - Welche zusätzliche charakteristische Stelle erhältst du aus \(f''(x)=0\)? - Vergleiche anschließend die exakten Koordinaten mit dem Diagramm.

1. Es gilt \(f(0)=4\), also ist \(S_y(0\mid4)\). 2. Der Funktionsterm faktorisiert zu \(f(x)=(x+1)(x-2)^2\). Damit sind \(N_1(-1\mid0)\) und \(N_2(2\mid0)\), wobei \(x=2\) eine doppelte Nullstelle ist. 3. Es gilt \(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) und \(f''(x)=6x-6\). Daher sind \(x=0\) und \(x=2\) stationäre Stellen. 4. Wegen \(f''(0)=-6<0\) liegt \(H(0\mid4)\) vor. Wegen \(f''(2)=6>0\) liegt \(T(2\mid0)\) vor. 5. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Mit \(f(1)=2\) und \(f'''(x)=6\neq0\) ergibt sich der Wendepunkt \(W(1\mid2)\). 6. Im Diagramm liegt der Tiefpunkt bei \(x=3\) statt bei \(x=2\); daher ist die Darstellung falsch.

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 4)\), \(N_1(-1 \mid 0)\), \(N_2(2 \mid 0)\). Extrempunkte: \(H(0 \mid 4)\), \(T(2 \mid 0)\). Wendepunkt: \(W(1 \mid 2)\).

- Überlege dir, wie der Grad einer Funktion und ihrer Ableitung zusammenhängen. - Welchen besonderen Wert muss die Ableitung an den Stellen haben, an denen die Ausgangsfunktion einen Berg oder ein Tal hat? - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung: Was bedeutet es für die Steigung der Funktion, wenn der Graph der Ableitung oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft? - Wo findet man im Graphen der Ableitung den Hinweis auf die stärkste Steigung oder das stärkste Gefälle der Ausgangsfunktion?

1. Der blaue Graph ist kubisch, der rote eine Parabel. Da beim Ableiten der Grad um \(1\) sinkt und die Nullstellen des roten Graphen mit den Extremstellen des blauen übereinstimmen, gehört Blau zu \(f\) und Rot zu \(f'\). 2. Die Nullstellen von \(f'\) liegen bei \(x = -1\) und \(x = 2\). Bei \(x = -1\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt ein Hochpunkt vor. Bei \(x = 2\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegt ein Tiefpunkt vor. 3. Der Scheitelpunkt von \(f'\) liegt bei \(x = 0{,}5\). Am blauen Graphen liest man dort \(f(0{,}5) \approx 0{,}35\) ab. Der Wendepunkt liegt näherungsweise bei \(W(0{,}5 \mid 0{,}35)\).

a) Blau gehört zu \(f\), Rot zu \(f'\). b) Hochpunkt bei \(x = -1\); Tiefpunkt bei \(x = 2\). c) \(W(0{,}5 \mid 0{,}35)\) näherungsweise.

- Welche Informationen kannst du direkt aus den Achsenschnitten und den Hoch-/Tiefpunkten des Graphen ablesen? - Welche Form hat die erste Ableitung einer kubischen Funktion? - Wo liegt der Scheitelpunkt einer Parabel im Verhältnis zu zwei verschiedenen Nullstellen? - Was bedeutet eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von \(f''\) für \(f\)?

1. Im Graphen sind drei Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse zu erkennen. Eine ganzrationale Funktion dritten Grades kann höchstens drei reelle Nullstellen besitzen. 2. Der Graph besitzt zwei lokale Extrempunkte. Wegen des ungeraden Grades und des negativen Leitkoeffizienten gilt \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to\infty\) und \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). 3. Bei einer Funktion dritten Grades ist \(f'\) eine quadratische Funktion. Die beiden Extremstellen von \(f\) sind zwei verschiedene Nullstellen von \(f'\). Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt zwischen ihren beiden Nullstellen. 4. Am Scheitelpunkt von \(f'\) gilt \(f''(x)=0\). Da \(f''\) bei einer kubischen Funktion eine nicht konstante lineare Funktion ist, wechselt \(f''\) dort das Vorzeichen. Somit besitzt \(f\) zwischen den beiden Extremstellen einen Wendepunkt.

a) Drei Nullstellen; ein Polynom dritten Grades besitzt höchstens drei reelle Nullstellen. b) Zwei lokale Extrempunkte. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\). c) Die quadratische Ableitung \(f'\) hat an den beiden Extremstellen zwei verschiedene Nullstellen. Ihr Scheitelpunkt liegt dazwischen; dort ist \(f''=0\). Weil \(f''\) linear und nicht konstant ist, wechselt es dort das Vorzeichen, also liegt zwischen den Extremstellen ein Wendepunkt.

- Denke daran, dass für einen Tiefpunkt die erste Ableitung null und die zweite Ableitung positiv sein muss. - Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, der eine zusätzliche Eigenschaft bezüglich der Steigung besitzt. - Nutze die Faktorregel und die Potenzregel, um die Ableitungen der Funktion zu bilden. - Für die Koordinaten musst du die gefundenen x-Werte immer in die ursprüngliche Funktionsgleichung einsetzen.

1. Erste Ableitungen bilden: \(f'(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\) \(f''(x) = 3x^2 - 12x + 9\) \(f'''(x) = 6x - 12\) 2. Lokale Extrema bestimmen (Teilaufgabe a): Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x(x^2 - 6x + 9) = 0 \Rightarrow x(x-3)^2 = 0\). Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). Prüfung mit \(f''(x)\): \(f''(0) = 9 > 0 \Rightarrow\) Lokales Minimum (Tiefpunkt) bei \(x = 0\). Funktionswert: \(f(0) = 2\). Tiefpunkt: \(T(0 \mid 2)\). 3. Sattelpunkt nachweisen (Teilaufgabe b): An der Stelle \(x = 3\) gilt: \(f'(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 = 27 - 54 + 27 = 0\) (waagerechte Tangente). \(f''(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0\) (notwendige Bedingung für Wendepunkt). \(f'''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 6 \neq 0\) (hinreichende Bedingung für Wendepunkt). Da \(f'(3) = 0\) und ein Wendepunkt vorliegt, ist \(S(3 \mid f(3))\) ein Sattelpunkt. Funktionswert: \(f(3) = 0{,}25 \cdot 81 - 2 \cdot 27 + 4{,}5 \cdot 9 + 2 = 20{,}25 - 54 + 40{,}5 + 2 = 8{,}75\). Sattelpunkt: \(S(3 \mid 8{,}75)\). 4. Vergleich (Teilaufgabe c): Bei einem Sattelpunkt muss die erste Ableitung an dieser Stelle null sein (\(f'(x_0) = 0\)), was bedeutet, dass dort eine waagerechte Tangente vorliegt. Bei einem gewöhnlichen Wendepunkt ist die Steigung ungleich null.

a) Der lokale Tiefpunkt liegt bei \(T(0 \mid 2)\). b) Da \(f'(3) = 0\), \(f''(3) = 0\) und \(f'''(3) = 6 \neq 0\) gilt, liegt bei \(x = 3\) ein Sattelpunkt vor. Die Koordinaten sind \(S(3 \mid 8{,}75)\). c) An einem Sattelpunkt muss die erste Ableitung null sein (\(f'(x) = 0\)), d. h. es muss eine waagerechte Tangente vorliegen. Bei einem gewöhnlichen Wendepunkt ist die Steigung an der Wendestelle von null verschieden.

- Für Extremstellen untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für die Krümmung betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Wendestellen von \(f\) hängen mit lokalen Extremstellen von \(f'\) zusammen.

1. Die Nullstellen von \(f'\) mit Vorzeichenwechsel liegen bei \(x=-\sqrt3\approx-1{,}73\), \(x=0\) und \(x=\sqrt3\approx1{,}73\). Bei \(-\sqrt3\) und \(\sqrt3\) wechselt \(f'\) von Minus nach Plus, also liegen lokale Minima vor. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von Plus nach Minus, also liegt ein lokales Maximum vor. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) steigt. Das ist auf \([-2{,}5;-1)\) und \((1;2{,}5]\) der Fall. 3. Wendestellen von \(f\) liegen dort, wo \(f'\) lokale Extremstellen besitzt. Diese liegen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

1. Lokale Minima bei \(x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73\); lokales Maximum bei \(x=0\). 2. Linksgekrümmt auf \([-2{,}5;-1)\) und \((1;2{,}5]\). 3. Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=1\).

- Was bedeutet es für den Funktionsterm, wenn der Graph die \(x\)-Achse an einer Stelle nur berührt? - Nutze den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, um den Wert von \(c\) direkt zu bestimmen oder den Streckfaktor zu berechnen.

1. \(y\)-Achsenabschnitt: Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(y = 2\), also ist \(c = 2\). 2. Markante Punkte: Der Graph hat eine doppelte Nullstelle bei \(x = -1\) (Berührpunkt) und eine einfache Nullstelle bei \(x = 2\). 3. Aufstellen der Funktionsgleichung: \(f(x) = a(x + 1)^2(x - 2)\). 4. Einsetzen des \(y\)-Achsenabschnitts \((0 \mid 2)\): \(2 = a \cdot (0 + 1)^2 \cdot (0 - 2) = -2a \implies a = -1\). 5. Ausmultiplizieren: \(f(x) = -1 \cdot (x^2 + 2x + 1) \cdot (x - 2) = -(x^3 - 2x^2 + 2x^2 - 4x + x - 2) = -x^3 + 3x + 2\). 6. Ergebnis: \(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 2\).

\(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 2\); somit \(f(x) = -x^3 + 3x + 2\).

- Der Wendepunkt liegt auf der \(y\)-Achse. Was bedeutet das für die Koeffizienten einer Funktion dritten Grades? - Nutze die Koordinaten der Hoch- oder Tiefpunkte, um Gleichungen für \(a\) und \(b\) aufzustellen.

1. Symmetriezentrum: Der Graph besitzt einen Wendepunkt bei \((0 \mid 1)\), was direkt \(c = 1\) liefert. 2. Lokale Extrema: Es sind Extrema bei \(H({-1} \mid 3)\) und \(T(1 \mid {-1})\) erkennbar. 3. Ableitungsbedingung: \(f'(x) = 3ax^2 + b\). Da bei \(x = 1\) ein Tiefpunkt liegt, muss \(f'(1) = 3a + b = 0\) gelten, also \(b = -3a\). 4. Punktprobe: Einsetzen von \((1 \mid {-1})\) in \(f(x) = ax^3 - 3ax + 1\) ergibt \(-1 = a - 3a + 1 \implies -2 = -2a \implies a = 1\). Damit ist \(b = -3\). 5. Ergebnis: \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

- Ein Sattelpunkt im Ursprung bedeutet, dass die ersten beiden Ableitungen dort null sind. - Verwende die Nullstelle bei \(x = 4\) für einen schnellen Ansatz. - Nutze den Tiefpunkt, um den genauen Wert des Streckfaktors zu ermitteln.

1. Analyse des Graphen: Es liegt ein Sattelpunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\) vor (dreifache Nullstelle). Eine weitere Nullstelle befindet sich bei \(x = 4\). 2. Ansatz: \(f(x) = ax^3(x - 4) = ax^4 - 4ax^3\). Damit ist \(b = -4a\). 3. Extrempunkt: Der Graph hat einen Tiefpunkt bei \(x = 3\) mit dem \(y\)-Wert \({-6{,}75}\). 4. Berechnung von \(a\): Einsetzen von \((3 \mid {-6{,}75})\) ergibt \({-6{,}75} = a \cdot 3^3 \cdot (3 - 4) = a \cdot 27 \cdot (-1) = -27a\). Somit ist \(a = \frac{-6{,}75}{-27} = 0{,}25\). 5. Bestimmung von \(b\): \(b = -4 \cdot 0{,}25 = -1\). 6. Funktionsterm: \(f(x) = 0{,}25x^4 - x^3\).

\(a = 0{,}25\), \(b = -1\); somit \(f(x) = 0{,}25x^4 - x^3\).

- Ein optisch flacher Verlauf allein entscheidet noch nicht über die Art einer stationären Stelle. - Prüfe rechnerisch zunächst, ob bei \(x=0\) eine waagerechte Tangente vorliegt. - Nutze anschließend die zweite Ableitung, um die stationäre Stelle zu klassifizieren.

1. Die ersten beiden Ableitungen lauten \(f'(x)=-4x^3+30x^2+0{,}2x\) und \(f''(x)=-12x^2+60x+0{,}2\). 2. An der Stelle \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\). Damit ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle erfüllt. 3. Weiter gilt \(f''(0)=0{,}2>0\). Daher liegt bei \(x=0\) ein lokaler Tiefpunkt und kein Sattelpunkt vor. 4. Die Darstellung im gewählten Maßstab täuscht, weil die Krümmung am Ursprung nur schwach ausgeprägt ist und die kleine Senke gegenüber den wesentlich größeren Funktionswerten im weiteren Verlauf kaum sichtbar wird.

a) Die Aussage ist falsch; der breite Maßstab lässt die Umgebung des Ursprungs nur scheinbar wie einen Sattelpunkt wirken. b) Bei \(x=0\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, da \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0{,}2>0\) gilt.

- Welcher Teil des Funktionsterms hat bei sehr kleinen \(x\)-Werten den größten Einfluss auf das Ergebnis? - Welcher Teil dominiert bei sehr großen \(x\)-Werten? - Vergleiche die \(y\)-Achsen-Skalierung der beiden Bilder. - Erinnere dich an das Verhalten von Potenzfunktionen für \(x \to \infty\) und \(x \to -\infty\).

1. In Fenster (1) (\(-2 \le x \le 2\)) dominiert der Term \(-2x^2 + 50\), da der \(x^4\)-Term aufgrund des kleinen Koeffizienten \(0{,}01\) und der kleinen \(x\)-Werte vernachlässigbar klein ist (\(0{,}01 \cdot 2^4 = 0{,}16\)). Der Graph sieht aus wie eine nach unten geöffnete Parabel. 2. In Fenster (2) (\(-20 \le x \le 20\)) dominiert für große \(x\)-Werte der Term \(0{,}01x^4\). Beispielsweise ist für \(x=20\) der Wert \(0{,}01 \cdot 20^4 = 1600\), während \(-2 \cdot 20^2 + 50 = -750\) ist. Der Graph zeigt hier die charakteristische W-Form einer Funktion vierten Grades mit positivem Leitkoeffizienten. 3. Fenster (1) ist ungeeignet, da es nur ein lokales Maximum zeigt und suggeriert, dass die Funktionswerte für \(|x| \to \infty\) gegen \(-\infty\) streben. Tatsächlich bestimmt das Glied mit der höchsten Potenz (\(0{,}01x^4\)) das Globalverhalten, sodass die Werte für \(|x| \to \infty\) gegen \(+\infty\) streben.

a) In Fenster (1) erscheint der Graph als nach unten geöffnete Parabel; in Fenster (2) zeigt sich die W-Form einer Funktion vierten Grades. b) Fenster (1) täuscht über das Globalverhalten hinweg, da dort der Einfluss des führenden Terms \(0{,}01x^4\) noch gering ist. Für große Beträge von \(x\) bewirkt dieser Term den Wiederanstieg gegen \(+\infty\).

- Kannst du für die Nullstellen \(x\) ausklammern? - Welche Bedingungen verwendest du für Extrempunkte und Wendepunkte? - Denke daran, zu jeder gefundenen Stelle auch den Funktionswert zu bestimmen.

1. Es gilt \(f(0)=0\). Aus \(0{,}5x(x^2-12)=0\) folgen die Nullstellen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{12}\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=1{,}5x^2-6\), \(f''(x)=3x\) und \(f'''(x)=3\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Wegen \(f''(-2)=-6<0\) liegt \(H(-2\mid8)\) vor; wegen \(f''(2)=6>0\) liegt \(T(2\mid-8)\) vor. 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=0\). Da \(f'''(0)=3\neq0\), ist \(W(0\mid0)\) ein Wendepunkt.

Achsenschnittpunkte: \(S_y(0 \mid 0)\), \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{12} \mid 0)\approx N_2(3{,}46 \mid 0)\), \(N_3(-\sqrt{12} \mid 0)\approx N_3(-3{,}46 \mid 0)\). Hochpunkt: \(H(-2 \mid 8)\), Tiefpunkt: \(T(2 \mid -8)\). Wendepunkt: \(W(0 \mid 0)\).

- Welche Informationen liefert die faktorisierte Form \(x^3(x-4)\)? - Welche stationären Stellen erhältst du aus \(f'\), und wie klassifizierst du sie? - Welche Kandidaten für Wendestellen liefert \(f''\), und wie überprüfst du sie?

1. Es gilt \(f(x)=x^3(x-4)\). Daher sind \(x=0\) eine dreifache und \(x=4\) eine einfache Nullstelle. Wegen des positiven Leitkoeffizienten und des geraden Grades gilt \(f(x)\to\infty\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3)\), \(f''(x)=12x^2-24x\) und \(f'''(x)=24x-24\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=0\) gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=-24\neq0\); dort liegt ein Sattelpunkt, kein Extremum, vor. Bei \(x=3\) gilt \(f''(3)=36>0\) und \(f(3)=-27\), also \(T(3\mid-27)\). 4. Aus \(f''(x)=12x(x-2)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=2\). Da \(f'''(0)=-24\neq0\) und \(f'''(2)=24\neq0\), sind beide Stellen Wendestellen. Es sind \(W_1(0\mid0)\) und \(W_2(2\mid-16)\).

a) Nullstellen: \(x=0\) dreifach und \(x=4\) einfach. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). b) Lokaler Tiefpunkt \(T(3 \mid -27)\); bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt vor. c) \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -16)\).

- Für a) betrachtest du das Vorzeichen von \(f'\). - Für b) prüfst du die Vorzeichenwechsel an den Nullstellen von \(f'\). - Für c) untersuchst du, ob \(f'\) links und rechts von \(x=2\) fällt oder steigt.

1. Im dargestellten Bereich gilt \(f'(x)>0\) für \(-1\le x<1\) und \(3<x\le5\). Somit ist \(f\) auf \([-1;1]\) und \([3;5]\) streng monoton steigend. 2. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also hat \(f\) dort ein lokales Maximum. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also hat \(f\) dort ein lokales Minimum. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=2\) ein lokales Minimum. Links davon fällt \(f'\), rechts davon steigt \(f'\). Damit wechselt \(f''\) von negativ zu positiv. Der Graph von \(f\) wechselt dort von Rechts- zu Linkskrümmung und besitzt bei \(x=2\) einen Wendepunkt.

a) \([-1;1]\) und \([3;5]\). b) Lokales Maximum bei \(x=1\); lokales Minimum bei \(x=3\). c) Bei \(x=2\) liegt ein Wendepunkt mit Wechsel von Rechts- zu Linkskrümmung vor.

- Überlege dir, was das Vorzeichen der Ableitung \(f'\) über die Monotonie der Funktion \(f\) aussagt. - Wie hängen die Nullstellen von \(f'\) mit den Extremstellen von \(f\) zusammen? Achte dabei auf den Vorzeichenwechsel. - Die Krümmung von \(f\) lässt sich am Monotonieverhalten von \(f'\) ablesen. Wann ist eine Funktion links- oder rechtsgekrümmt? - Wo findet man die Wendestellen einer Funktion im Graphen ihrer Ableitung?

1. **Wahr**: Im Intervall \([-3; 0]\) verläuft der Graph der Ableitungsfunktion \(f'\) oberhalb oder auf der \(x\)-Achse (\(f'(x) \ge 0\)). Daher ist die Ausgangsfunktion \(f\) dort streng monoton steigend. 2. **Falsch**: An der Stelle \(x = 0\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Dies entspricht einer lokalen Maximalstelle von \(f\), keiner Minimalstelle. 3. **Falsch**: Ein Graph ist rechtsgekrümmt, wenn die Ableitung \(f'\) streng monoton fallend ist. Der Graph von \(f'\) fällt zwar ab \(x = 0\), erreicht aber bei ca. \(x \approx 2{,}4\) einen Tiefpunkt und steigt danach wieder an. Somit ist \(f\) nicht im gesamten Intervall \([1; 3]\) rechtsgekrümmt. 4. **Wahr**: Wendestellen von \(f\) liegen an den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Da \(G_{f'}\) im gezeigten Bereich genau einen Hochpunkt (bei \(x \approx -1{,}7\)) und einen Tiefpunkt (bei \(x \approx 2{,}4\)) besitzt, hat \(f\) genau zwei Wendestellen.

1. Wahr 2. Falsch 3. Falsch 4. Wahr

- Für die Extremstellen prüfst du die Vorzeichenwechsel von \(f'\) an seinen Nullstellen. - Linksgekrümmt ist \(f\) dort, wo \(f'\) steigt. - Achte darauf, wo der Ableitungsgraph seine Steig- beziehungsweise Fallrichtung wechselt.

1. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ nach positiv, daher liegt dort ein Tiefpunkt. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von positiv nach negativ, daher liegt dort ein Hochpunkt. 2. Der Graph von \(f\) ist linksgekrümmt, wo \(f'\) steigt. Im dargestellten Bereich steigt \(f'\) für \(-0{,}5\le x<2\). Daher ist \(f\) dort linksgekrümmt. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von Steigen zu Fallen, also wechselt \(f''\) das Vorzeichen; dort liegt die Wendestelle.

a) Tiefpunkt bei \(x=1\); Hochpunkt bei \(x=3\). b) Linksgekrümmt auf \([-0{,}5;2)\); Wendestelle bei \(x=2\).

- Nutze für a) und b) Vorzeichen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für c) betrachtest du, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Für d) reicht das Monotonieverhalten zwischen \(x=-2\) und \(x=0\).

1. Im Inneren von \([-2;2]\) gilt \(f'(x)>0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton zunehmend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum und kein Minimum. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<4\) fällt der Graph von \(f'\), also gilt \(f''(x)<0\). Daher ist der Graph von \(f\) dort rechtsgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Da \(f\) auf \([-2;2]\) streng steigt, gilt \(f(0)>f(-2)=0\). Aussage d) ist falsch.

a) Wahr. b) Falsch. c) Wahr. d) Falsch.

- Ein Hochpunkt ist eine „Bergspitze“, ein Tiefpunkt ein „Talboden“. - Schau dir die \(y\)-Werte der gefundenen Punkte genau an. - Ein Extremum ist global, wenn es im gesamten betrachteten Bereich keinen höheren bzw. tieferen Funktionswert gibt. - Prüfe auch die Randwerte des Intervalls.

1. Ablesen der Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) aus dem Graphen: Durch Betrachten der Kurvenverläufe ergeben sich die Hochpunkte \(H_1(-2{,}5 \mid 3)\) und \(H_2(1 \mid 4)\) sowie die Tiefpunkte \(T_1(-1 \mid 1)\) und \(T_2(3 \mid -3)\). 2. Bestimmung der Randwerte des Intervalls \([-4; 4]\): Am linken Rand gilt \(f(-4) = -2\), am rechten Rand gilt \(f(4) = -1\). 3. Klassifizierung als lokal oder global: - \(H_2(1 \mid 4)\) ist ein globales Maximum, da der Funktionswert \(4\) der größte Wert im gesamten Intervall \([-4; 4]\) ist. - \(H_1(-2{,}5 \mid 3)\) ist ein lokales Maximum, da der Wert \(3\) kleiner ist als der Wert des globalen Maximums (\(4\)). - \(T_2(3 \mid -3)\) ist ein globales Minimum, da der Funktionswert \(-3\) der kleinste Wert im gesamten Intervall \([-4; 4]\) ist (kleiner als der Randwert \(-2\)). - \(T_1(-1 \mid 1)\) ist ein lokales Minimum, da es im Intervall kleinere Funktionswerte gibt (z. B. bei \(x = 3\) oder am Rand).

a) Hochpunkte: \(H_1(-2{,}5 \mid 3)\) und \(H_2(1 \mid 4)\); Tiefpunkte: \(T_1(-1 \mid 1)\) und \(T_2(3 \mid -3)\). b) \(H_2\) ist ein globales Maximum, da \(4\) der höchste Wert im Intervall ist. \(T_2\) ist ein globales Minimum, da \(-3\) der niedrigste Wert im Intervall ist. \(H_1\) und \(T_1\) sind nur lokale Extrema, da es jeweils höhere bzw. tiefere Punkte im Intervall gibt.

- Überlege, welche Information die y-Werte des dargestellten Ableitungsgraphen über die ursprüngliche Funktion liefern. - Untersuche an den Nullstellen von \(f'\), ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. - Für die Krümmung von \(f\) ist entscheidend, ob der Graph von \(f'\) steigt oder fällt. - Eine Tangentensteigung von \(f\) lässt sich direkt als Funktionswert von \(f'\) ablesen.

1. Für \(-2<x<1\) gilt \(f'(x)<0\), und an den Randstellen ist \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([-2;1]\) streng monoton fallend. Aussage a) ist wahr. 2. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher liegt dort ein lokaler Hochpunkt, kein Tiefpunkt. Aussage b) ist falsch. 3. Für \(0<x<3\) steigt der dargestellte Graph von \(f'\). Somit gilt \(f''(x)>0\), und der Graph von \(f\) ist dort linksgekrümmt. Aussage c) ist wahr. 4. Die Tangentensteigung bei \(x=-1\) ist \(f'(-1)\). Aus dem Graphen liest man \(f'(-1)=-1\) ab. Aussage d) ist wahr.

a) Wahr. b) Falsch; bei \(x=-2\) liegt ein Hochpunkt. c) Wahr. d) Wahr.

- Überlege dir, wie das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Steigungsverhalten der ursprünglichen Funktion zusammenhängt. - Wie erkennst du an einem Ableitungsgraphen, ob die ursprüngliche Funktion an einer Stelle steigt oder fällt? - Was sagt die Steigung der ersten Ableitung (also die zweite Ableitung) über die Krümmung des Funktionsgraphen aus? - Denke an den Zusammenhang zwischen Extremstellen der Ableitung und besonderen Stellen der ursprünglichen Funktion.

1. Monotonie von \(f\): Da der Graph der Ableitung \(f'\) im Intervall \([1; 3]\) auf oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(f'(x) \le 0\)), ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage (a) ist wahr. 2. Art der Extremstelle bei \(x=1\): Der Graph von \(f'\) wechselt bei \(x=1\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Dies entspricht einem lokalen Maximum der Funktion \(f\). Aussage (b) ist falsch. 3. Krümmungsverhalten von \(f\): Das Krümmungsverhalten wird durch die Steigung von \(f'\) bestimmt. Da \(f'\) bei \(x \approx -0{,}8\) ein lokales Maximum hat, wechselt die Steigung dort von positiv zu negativ, was einem Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung entspricht. Somit ist \(f\) nicht im gesamten Intervall \([-1; 1]\) linksgekrümmt. Aussage (c) ist falsch. 4. Anzahl der Wendestellen: Wendestellen von \(f\) entsprechen den lokalen Extremstellen der Ableitungsfunktion \(f'\). Im abgebildeten Bereich besitzt der Graph von \(f'\) genau zwei Extremstellen (ein lokales Maximum bei \(x \approx -0{,}8\) und ein lokales Minimum bei \(x \approx 2{,}1\)). Aussage (d) ist wahr.

a) Wahr b) Falsch c) Falsch d) Wahr

- Überprüfe die Symmetrieeigenschaften der Funktionsgleichung und vergleiche sie mit dem Graphen. - Berechne den Funktionswert an einer markanten Stelle, zum Beispiel dort, wo der Graph die \(y\)-Achse schneidet. - Achte auf die Positionen der Hoch- und Tiefpunkte. - Welche Auswirkungen haben die Exponenten in der Gleichung auf das Aussehen des Graphen?

1. Symmetrie: Die Funktion \(f\) enthält nur gerade Exponenten (\(x^4, x^2, x^0\)) und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Der dargestellte Graph ist jedoch nicht achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, sondern scheint gegenüber dieser nach rechts verschoben zu sein. 2. \(y\)-Achsenabschnitt: Durch Einsetzen von \(x=0\) in die Funktionsgleichung erhält man \(f(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 2 = 2\). Der Graph schneidet die \(y\)-Achse jedoch bei \(y = -1\). 3. Lage der Extremstellen: Die Ableitung \(f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2)\) hat Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm\sqrt{2}\). Somit muss \(f\) an der Stelle \(x=0\) ein lokales Extremum (hier ein Maximum) besitzen. Im Graphen liegt an der Stelle \(x=0\) jedoch kein Extrempunkt vor.

Der Graph gehört nicht zu \(f\), weil: 1. \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, der Graph aber nicht. 2. Der \(y\)-Achsenabschnitt von \(f\) bei \(2\) liegt, während der Graph die \(y\)-Achse bei \(-1\) schneidet. 3. \(f\) bei \(x=0\) ein lokales Maximum hat, der Graph dort aber eine Steigung ungleich null aufweist.

- Welche Produktform ergibt sich direkt aus den drei Nullstellen? - Wie bestimmst du den noch unbekannten Streckfaktor mit dem Punkt \(P\)? - Welche Ableitungsbedingungen bestätigen den Wendepunkt? - Wie verändert sich ein Funktionsterm bei einer Verschiebung nach rechts und nach oben?

1. Aus den Nullstellen folgt \(f(x)=ax(x+3)(x-3)=a(x^3-9x)\). 2. Mit \(P(1\mid-2)\) gilt \(-2=-8a\), also \(a=0{,}25\). Damit ist \(f(x)=0{,}25(x^3-9x)\). 3. Die Ableitungen sind \(f'(x)=0{,}75x^2-2{,}25\), \(f''(x)=1{,}5x\) und \(f'''(x)=1{,}5\). Damit gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)\neq0\), also ist \(W(0\mid0)\) ein Wendepunkt. 4. Die Steigung der Wendetangente ist \(f'(0)=-2{,}25\). Daher lautet sie \(y=-2{,}25x\). 5. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\); daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. 6. Die Verschiebung um \(2\) nach rechts und \(1\) nach oben ergibt \(h(x)=f(x-2)+1=0{,}25((x-2)^3-9(x-2))+1\).

a) \(f(x)=\frac{1}{4}(x^3-9x)\). b) \(W(0 \mid 0)\); Wendetangente \(y=-2{,}25x\). c) \(f(-x)=-f(x)\), also Punktsymmetrie zum Ursprung. \(h(x)=\frac{1}{4}((x-2)^3-9(x-2))+1\).

- Achte darauf, dass hier nicht die Funktion selbst, sondern ihre Ableitung dargestellt ist. - Was sagt das Vorzeichen der Ableitung über das Steigungsverhalten der Originalfunktion aus? - Wo findet man im Graphen der Ableitung die Information über die Steilstelle der Originalfunktion? - Wie erkennst du an einem Ableitungsgraphen, ob ein Extrempunkt ein Maximum oder ein Minimum ist?

1. Eine Funktion \(g\) nimmt dort streng monoton ab, wo ihre Ableitung \(g'\) negativ ist. Aus dem Graphen von \(g'\) liest man ab, dass \(g'(x) < 0\) für \(x \in (-2; 2)\) gilt. Die Funktion \(g\) nimmt also im Intervall \([-2; 2]\) streng monoton ab. 2. Lokale Extremstellen liegen an den Nullstellen von \(g'\) mit Vorzeichenwechsel vor. Bei \(x = -2\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ, daher liegt dort ein lokales Maximum von \(g\). Bei \(x = 2\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv, was auf ein lokales Minimum von \(g\) hindeutet. 3. Die stärkste negative Steigung entspricht dem globalen Minimum der Ableitungsfunktion im betrachteten Bereich. Der Scheitelpunkt der Parabel \(g'\) liegt bei \(x = 0\) mit dem Wert \(g'(0) = -4\). Somit ist die stärkste negative Steigung von \(g\) an der Stelle \(x = 0\) und beträgt \(-4\).

1. Im Intervall \([-2; 2]\). 2. Lokales Maximum bei \(x = -2\); lokales Minimum bei \(x = 2\). 3. An der Stelle \(x = 0\) ist die Steigung mit \(-4\) am stärksten negativ.

- Welche Bedingungen an \(f\) und \(f'\) liefert der Start im Ursprung mit waagerechter Tangente? - Welche zwei Bedingungen liefert der angegebene Hochpunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen der Koeffizienten prüfen, ob dort wirklich ein Hochpunkt vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). 2. Aus \(f(0)=0\) und \(f'(0)=0\) folgen \(d=0\) und \(c=0\). Damit ist \(f(x)=ax^3+bx^2\). 3. Aus \(f(2)=2\) folgt \(8a+4b=2\). Aus der waagerechten Tangente am Hochpunkt folgt \(f'(2)=0\), also \(12a+4b=0\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(a=-0{,}5\) und \(b=1{,}5\). Somit ist \(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x^2\). 5. Es gilt \(f''(x)=-3x+3\), also \(f''(2)=-3<0\). Damit ist \((2\mid2)\) tatsächlich ein lokaler Hochpunkt.

\(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x^2\)

- Welche Bedingungen folgen aus Wendepunkt, waagerechter Tangente und gegebenem Punkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen von \(f\) prüfen, ob \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle ist? - Wie verändert eine Spiegelung an der waagerechten Geraden \(y=1\) die Funktionswerte?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Aus der Wendestelle \(x=1\) folgt \(f''(1)=0\), also \(6a+2b=0\) und damit \(b=-3a\). 2. Wegen der waagerechten Tangente bei \(x=0\) gilt \(f'(0)=0\), also \(c=0\). 3. Aus \(A(3\mid5)\) folgt \(d=5\). Mit \(f(1)=1\) erhält man \(-2a+5=1\), also \(a=2\) und \(b=-6\). Damit ist \(f(x)=2x^3-6x^2+5\). 4. Es gilt \(f'''(x)=12\neq0\). Somit ist \(x=1\) tatsächlich eine Wendestelle und \(W(1\mid1)\) ein Wendepunkt. 5. Spiegelung an \(y=1\) bedeutet \(g(x)=2-f(x)\). Daher ist \(g(x)=-2x^3+6x^2-3\). 6. Aus \(f'(x)=6x(x-2)\) folgen \(x=0\) und \(x=2\). Wegen \(f''(0)=-12<0\) und \(f''(2)=12>0\) sind die Extrempunkte \(H(0\mid5)\) und \(T(2\mid-3)\).

a) \(f(x)=2x^3-6x^2+5\). b) \(g(x)=2-f(x)=-2x^3+6x^2-3\). c) \(H(0 \mid 5)\) und \(T(2 \mid -3)\).

- Für Extremstellen von \(f\) sind Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\) entscheidend. - Für Wendestellen von \(f\) untersuche, wo der Graph von \(f'\) seine Steigungsrichtung wechselt. - Der Wert von \(f''\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\).

1. Bei \(x=0\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum. Aussage (1) ist wahr. 2. Für \(0<x<3\) gilt \(f'(x)<0\), an den Randstellen gilt \(f'(x)=0\). Daher ist \(f\) auf \([0;3]\) streng monoton fallend. Aussage (2) ist wahr. 3. Der Graph von \(f'\) besitzt bei \(x=-\sqrt{3}\) und \(x=\sqrt{3}\) lokale Extremstellen. An beiden Stellen wechselt die Steigung von \(f'\) ihr Vorzeichen. Daher besitzt \(f\) im dargestellten Bereich zwei Wendestellen. Aussage (3) ist wahr. 4. \(f''(2)\) entspricht der Steigung des Graphen von \(f'\) bei \(x=2\). Dort steigt der Graph, also gilt \(f''(2)>0\). Aussage (4) ist wahr. 5. Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum, keinen Hochpunkt. Aussage (5) ist falsch.

(1) wahr (2) wahr (3) wahr (4) wahr (5) falsch

- Welche Bedeutung haben die Nullstellen der Ableitungsfunktion für die ursprüngliche Funktion? - Wie hängen die Intervalle, in denen die Ableitung positiv oder negativ ist, mit dem Steigen und Fallen der Funktion zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen den Extremstellen der Ableitung und den Wendestellen der Funktion. - Ein Vorzeichenwechsel der Ableitung gibt dir Auskunft über die Art des Extrempunktes.

1. Die Nullstellen der Ableitungsfunktion \(f'\) sind die potenziellen Extremstellen von \(f\). Im Graphen sind Nullstellen bei \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) erkennbar. Bei \(x_1 = -1\) findet ein Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus statt, also liegt dort ein lokales Maximum vor. Bei \(x_2 = 3\) wechselt das Vorzeichen von Minus nach Plus, folglich liegt dort ein lokales Minimum vor. 2. Der Graph von \(f\) steigt bis \(x = -1\), fällt dann bis \(x = 3\) und steigt danach wieder an. Der Punkt \((0\mid1)\) liegt auf dem Graphen. 3. Eine Wendestelle von \(f\) liegt dort vor, wo die Ableitungsfunktion \(f'\) ein lokales Extremum besitzt. Der Graph von \(f'\) hat seinen Tiefpunkt bei \(x = 1\). Daher hat \(f\) an der Stelle \(x = 1\) eine Wendestelle.

1. Lokales Maximum bei \(x = -1\), lokales Minimum bei \(x = 3\). 2. Qualitativer Verlauf: steigend für \(x < -1\), fallend für \(-1 < x < 3\), steigend für \(x > 3\); der Graph verläuft durch \((0\mid1)\). 3. Wendestelle bei \(x = 1\), da die Ableitungsfunktion dort einen Tiefpunkt hat.

- Überlege dir, welche Steigung der Graph an den Hoch- und Tiefpunkten hat. Was bedeutet das für den Wert der Ableitung an diesen Stellen? - Wo ist die Steigung des Graphen besonders groß oder besonders klein? - Achte auf die Krümmung: Wo ändert der Graph seine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung? - Erinnere dich an die Potenzregel beim Ableiten von Polynomen.

1. Ableitungsregeln anwenden: \(f'(x) = 0{,}2 \cdot 3x^2 - 2{,}4 = 0{,}6x^2 - 2{,}4\). 2. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}6 \cdot 2x = 1{,}2x\). 3. Nullstellen von \(f'\) bestimmen: \(0{,}6x^2 - 2{,}4 = 0 \Rightarrow 0{,}6x^2 = 2{,}4 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2; x_2 = 2\). Diese entsprechen den Stellen der lokalen Extrema von \(f\). 4. Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse: \(f''(0) = 1{,}2 \cdot 0 = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_y(0 \mid 0)\); die zugehörige Stelle \(x = 0\) ist die Wendestelle von \(f\).

a) \(G_{f'}\) ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt \((0 \mid -2{,}4)\) und Nullstellen bei \(x = \pm 2\); \(G_{f''}\) ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung \(1{,}2\). b) \(f'(x) = 0{,}6x^2 - 2{,}4\) und \(f''(x) = 1{,}2x\). c) Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\); der Schnittpunkt von \(G_{f''}\) mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0 \mid 0)\).

- Wie viele Extremstellen siehst du? Was sagt das über den Grad aus? - Überlege, ob der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist. - Welche Exponenten fallen bei der jeweiligen Symmetrie im allgemeinen Funktionsterm weg? - Nutze die Koordinaten der markierten Punkte und die Bedingung für Extremstellen, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

1. Der Graph besitzt zwei lokale Extrempunkte (einen Hochpunkt \(H\) und einen Tiefpunkt \(T\)). Da eine ganzrationale Funktion \(n\)-ten Grades höchstens \(n-1\) Extremstellen haben kann, muss der Grad mindestens 3 sein. 2. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung \(O(0 \mid 0)\). Daher enthält der Funktionsterm nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Aus dem Graphen lassen sich die Koordinaten des Hochpunkts \(H(-1 \mid 2)\) ablesen. Es gilt \(f(-1) = 2\) und \(f'(-1) = 0\). Einsetzen in \(f(x)\): \(a(-1)^3 + c(-1) = 2 \Rightarrow -a - c = 2 \Rightarrow a + c = -2\). Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + c\). Einsetzen in \(f'(x)\): \(3a(-1)^2 + c = 0 \Rightarrow 3a + c = 0\). Subtraktion der ersten von der zweiten Gleichung: \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen in \(a + c = -2\): \(1 + c = -2 \Rightarrow c = -3\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = x^3 - 3x\).

1. Der kleinstmögliche Grad ist 3, da der Graph zwei Extremstellen besitzt und punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft. 2. Aufgrund der Punktsymmetrie gilt: \(f(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = x^3 - 3x\).

- Achte auf die Symmetrie des Graphen bezüglich des Koordinatenursprungs. - Welche Form hat ein Funktionsterm, wenn nur ungerade Potenzen vorkommen dürfen? - Du kannst entweder die Nullstellenform oder den allgemeinen Ansatz mit den Koeffizienten verwenden. - Suche dir einen gut ablesbaren Punkt auf dem Gitter, um die Unbekannten zu bestimmen.

1. Der Graph weist zwei lokale Extremstellen auf, was auf einen Grad von mindestens 3 hindeutet. Da er zudem punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, ist Grad 3 die einfachste Möglichkeit. 2. Wegen der Punktsymmetrie zum Ursprung gilt \(g(x) = ax^3 + cx\). 3. Aus dem Graphen entnehmen wir die Nullstellen bei \(0\) und \(\pm 3\). Wir nutzen zusätzlich einen Punkt, z. B. \(P(1 \mid -2)\). Einsetzen von \(P(1 \mid -2)\) in \(g(x)\): \(a(1)^3 + c(1) = -2 \Rightarrow a + c = -2\). Einsetzen der Nullstelle \(x=3\): \(a(3)^3 + c(3) = 0 \Rightarrow 27a + 3c = 0 \Rightarrow 9a + c = 0\). Subtraktion: \(8a = 2 \Rightarrow a = 0{,}25\). Einsetzen in \(a + c = -2\): \(0{,}25 + c = -2 \Rightarrow c = -2{,}25\). Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}25x^3 - 2{,}25x\).

1. Der kleinstmögliche Grad ist 3 (zwei Extremstellen, Punktsymmetrie). 2. Ansatz: \(g(x) = ax^3 + cx\). 3. Die Funktionsgleichung ist \(g(x) = 0{,}25x^3 - 2{,}25x\).

- Wie begrenzt der Grad einer ganzrationalen Funktion die Anzahl ihrer Extremstellen? - Welche Potenzen dürfen bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse auftreten? - Welche Bedingungen liefern Punkt und waagerechte Tangente an einem markierten Extrempunkt? - Wie überprüfst du die Extremumarten mit \(f''\)?

1. Der Graph besitzt drei lokale Extremstellen. Daher muss der Grad mindestens \(4\) sein. 2. Der Graph ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher hat der Ansatz die Form \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 3. Aus \(H(0\mid0)\) folgt \(c=0\). Mit \(T_2(2\mid-4)\) erhält man \(16a+4b=-4\). Da \(x=2\) eine Extremstelle ist, gilt zusätzlich \(32a+4b=0\). 4. Das Gleichungssystem liefert \(a=0{,}25\) und \(b=-2\). Somit ist \(f(x)=0{,}25x^4-2x^2\). 5. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x\) und \(f''(x)=3x^2-4\). Damit ist \(f''(0)=-4<0\), also \(H(0\mid0)\) ein Hochpunkt. Wegen \(f''(\pm2)=8>0\) sind \(T_1(-2\mid-4)\) und \(T_2(2\mid-4)\) Tiefpunkte.

1. Mindestgrad \(4\), da drei Extremstellen vorliegen. 2. Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 3. \(f(x)=0{,}25x^4-2x^2\). \(H(0 \mid 0)\) ist ein Hochpunkt, \(T_1(-2 \mid -4)\) und \(T_2(2 \mid -4)\) sind Tiefpunkte.

- Welche Informationen liefern Funktionswert und Ableitung im Sachzusammenhang? - Welche Funktionsform bietet sich an, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Welche Gleichung beschreibt den Auftreffpunkt auf der Wasseroberfläche? - Wie hängt die Tangentensteigung mit dem Steigungswinkel zusammen?

1. \(f(0)=0{,}5\) beschreibt die Austrittshöhe. \(f'(2)=0\) bedeutet, dass die Flugbahn dort eine waagerechte Tangente und damit ihren höchsten Punkt hat. 2. Mit dem Scheitelpunkt \(S(2\mid2{,}5)\) ist \(f(x)=a(x-2)^2+2{,}5\). Aus \(f(0)=0{,}5\) folgt \(4a+2{,}5=0{,}5\), also \(a=-0{,}5\). Damit ist \(f(x)=-0{,}5x^2+2x+0{,}5\). 3. Für den Auftreffpunkt löst man \(-0{,}5x^2+2x+0{,}5=0\). Die positive Lösung ist \(x=2+\sqrt5\approx4{,}24\). Der Wasserstrahl trifft nach etwa \(4{,}24\,\text{m}\) auf. 4. Es gilt \(f'(x)=-x+2\), also \(f'(0)=2\). Mit \(\tan(\alpha)=2\) folgt \(\alpha\approx63{,}4^\circ\).

a) \(f(0)=0{,}5\) beschreibt die Austrittshöhe; \(f'(2)=0\) die waagerechte Tangente am höchsten Punkt. b) \(f(x)=-0{,}5x^2+2x+0{,}5\). c) \(x=2+\sqrt5\approx4{,}24\,\text{m}\). d) \(\alpha\approx63{,}4^\circ\).

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Ansatz? - Welche Bedingungen liefern Höhe und waagerechter Übergang an den Ufern? - Wie kannst du mithilfe des Vorzeichens von \(f'\) auf der gesamten Spannweite überprüfen, dass die Mitte tatsächlich die maximale Höhe besitzt?

1. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 2. Aus \(f(0)=4\) folgt \(c=4\). 3. Aus dem Uferpunkt \((4\mid0)\) folgt \(256a+16b+4=0\). 4. Der waagerechte Übergang liefert \(f'(4)=0\). Mit \(f'(x)=4ax^3+2bx\) folgt \(256a+8b=0\). 5. Das Gleichungssystem ergibt \(b=-0{,}5\) und \(a=\frac{1}{64}\). Damit ist \(f(x)=\frac{1}{64}x^4-\frac{1}{2}x^2+4\). 6. Es gilt \(f'(x)=\frac{x}{16}(x^2-16)\). Auf \((-4;0)\) ist \(f'(x)>0\), auf \((0;4)\) ist \(f'(x)<0\). Damit steigt der Brückenbogen bis zur Mitte und fällt danach wieder; \((0\mid4)\) ist also tatsächlich der höchste Punkt auf der Spannweite \([-4;4]\).

\(f(x)=\frac{1}{64}x^4-\frac{1}{2}x^2+4\)

- Überlege dir, wie eine waagerechte Gerade \(y = c\) im Koordinatensystem aussieht. - Wie viele Schnittpunkte hat diese Gerade mit dem Funktionsgraphen für verschiedene Höhen? - Achte besonders auf die Stellen, an denen sich die Anzahl der Schnittpunkte ändert, wie zum Beispiel an Hoch- und Tiefpunkten. - Was passiert mit dem Graphen weit links und weit rechts (außerhalb des sichtbaren Bereichs)?

1. Die Anzahl der Lösungen von \(f(x) = 0\) entspricht der Anzahl der Nullstellen. Der Graph schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(-4\), \(-2\), \(2\) und \(4\). Es gibt also genau 4 Lösungen. 2. Die Gleichung hat genau vier Lösungen, wenn eine waagerechte Gerade \(y = c\) den Graphen viermal schneidet. Dies ist im Bereich zwischen den globalen Tiefpunkten (\(y = -3{,}6\)) und dem lokalen Hochpunkt (\(y = 6{,}4\)) der Fall. Das Intervall lautet somit \(-3{,}6 < c < 6{,}4\). 3. Genau zwei Lösungen treten in zwei Fällen auf: - An den beiden globalen Tiefpunkten bei \(c = -3{,}6\). - Oberhalb des lokalen Hochpunkts bei \(c > 6{,}4\). 4. Genau drei Lösungen gibt es, wenn die Gerade \(y = c\) genau durch den lokalen Hochpunkt verläuft und die beiden äußeren Äste schneidet. Das ist bei \(c = 6{,}4\) der Fall.

a) Die Gleichung hat 4 Lösungen. b) Für \(-3{,}6 < c < 6{,}4\). c) Für \(c = -3{,}6\) oder \(c > 6{,}4\). d) Für \(c = 6{,}4\).

- Bestimme zuerst die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Achte beim Berechnen der Funktionswerte an den Extremstellen besonders auf die Vorzeichen. - Wie verhält sich ein Graph zwischen einem Tiefpunkt mit negativem y-Wert und einem Hochpunkt mit positivem y-Wert? - Was passiert mit den Funktionswerten, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird?

1. Erste Ableitung \(f'(x) = 2x^3 - 4x\). Nullstellen von \(f'\): \(2x(x^2 - 2) = 0\) ergibt \(x_1 = 0\), \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) und \(x_3 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\). 2. Zweite Ableitung \(f''(x) = 6x^2 - 4\). Überprüfung der Stellen: \(f''(0) = -4 < 0 \implies\) Hochpunkt \(H(0 \mid 1{,}5)\). \(f''(\pm\sqrt{2}) = 6 \cdot 2 - 4 = 8 > 0 \implies\) Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -0{,}5)\). 3. Globalverhalten: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). 4. Schlussfolgerung auf Nullstellen: Da die Tiefpunkte unterhalb der \(x\)-Achse (\(y = -0{,}5\)) und der Hochpunkt dazwischen oberhalb der \(x\)-Achse (\(y = 1{,}5\)) liegen, muss der Graph zwischen \(x = -\sqrt{2}\) und \(x = 0\) sowie zwischen \(x = 0\) und \(x = \sqrt{2}\) die \(x\)-Achse schneiden (2 Nullstellen). Wegen des Grenzverhaltens gegen \(\infty\) gibt es zudem jeweils eine Nullstelle im Bereich \(x < -\sqrt{2}\) und \(x > \sqrt{2}\). Insgesamt ergeben sich also 4 Nullstellen.

Die Extrempunkte sind \(H(0 \mid 1{,}5)\) (lokaler Hochpunkt) sowie \(T_1(-\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) und \(T_2(\sqrt{2} \mid -0{,}5)\) (lokale Tiefpunkte). Da die \(y\)-Werte der Minima negativ und der \(y\)-Wert des Maximums positiv sind und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(+\infty\) strebt, hat die Funktion genau vier Nullstellen.

- Überlege dir zuerst, welche allgemeine Form eine Funktion mit der geforderten Symmetrie hat. - Welche Auswirkungen haben die Bedingungen für lokale Extrema auf die erste und zweite Ableitung? - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange alle Bedingungen erfüllt bleiben. - Wie viele Nullstellen muss die Ableitungsfunktion haben, wenn die Anzahl der Extrempunkte vorgegeben ist?

1. Teilaufgabe a): Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse enthält der Ansatz nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Die Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) muss drei verschiedene reelle Nullstellen haben, damit drei Extrema existieren. Dies ist erfüllt, wenn \(-\frac{b}{2a} > 0\) gilt. Wählt man \(a=1\) und \(b=-2\) (sowie \(c=0\)), ergibt sich \(f(x) = x^4 - 2x^2\). Die zweite Ableitung \(f''(x) = 12x^2 - 4\) bestätigt mit \(f''(0) = -4 < 0\) das Maximum bei \(x=0\) und mit \(f''(\pm 1) = 8 > 0\) die Minima bei \(x = \pm 1\). 2. Teilaufgabe b): Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung enthält der Ansatz nur ungerade Exponenten: \(f(x) = ax^3 + cx\). Die Bedingung für ein lokales Extremum bei \(x = -2\) lautet \(f'(-2) = 0\). Mit \(f'(x) = 3ax^2 + c\) folgt \(12a + c = 0\), also \(c = -12a\). Für ein Maximum muss \(f''(-2) < 0\) gelten. Da \(f''(x) = 6ax\) ist, folgt \(6a(-2) < 0\), also \(a > 0\). Mit \(a=1\) ergibt sich \(c = -12\) und somit der Term \(f(x) = x^3 - 12x\).

Mögliche Funktionsterme sind: a) \(f(x) = x^4 - 2x^2\) b) \(f(x) = x^3 - 12x\)

- Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Wie hängen Ableitungen damit zusammen? - Erinnere dich an die Potenzfunktionen. Wie sieht der Graph von \(x^3\) aus und wie kannst du ihn verschieben? - Was bedeutet die Symmetrie zur \(y\)-Achse für die Wahl der Exponenten im Funktionsterm? - Wie stellst du sicher, dass eine Ableitung genau die geforderte Anzahl an Nullstellen hat?

1. Teilaufgabe a): Ein Sattelpunkt bei \(x=x_0\) bedeutet \(g'(x_0)=0\) und \(g''(x_0)=0\). Der einfachste Ansatz für eine Funktion 3. Grades mit einem Sattelpunkt ist eine verschobene kubische Potenzfunktion der Form \(g(x) = a(x-x_0)^3 + e\). Mit \(x_0 = 2\) und \(a=1, e=0\) erhält man \(g(x) = (x-2)^3\). Da die Ableitung \(g'(x) = 3(x-2)^2\) für alle \(x\) nicht negativ ist (\(g'(x) \ge 0\)) und nur an einer isolierten Stelle null wird, ist die Funktion streng monoton wachsend. 2. Teilaufgabe b): Wegen der Achsensymmetrie gilt der Ansatz \(g(x) = ax^4 + bx^2 + c\). Der Punkt \(P(0 \mid 1)\) liefert den \(y\)-Achsenabschnitt \(c=1\). Die Ableitung \(g'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)\) besitzt die Nullstelle \(x_1 = 0\). Für genau drei Extrempunkte müssen zwei weitere Nullstellen aus \(2ax^2 + b = 0 \implies x^2 = -\frac{b}{2a}\) existieren, was \(-\frac{b}{2a} > 0\) erfordert. Mit der Wahl \(a=1\) und \(b=-4\) ergibt sich \(x^2 = 2\), also zwei weitere Stellen. Ein möglicher Term ist somit \(g(x) = x^4 - 4x^2 + 1\).

Mögliche Funktionsgleichungen sind: a) \(g(x) = (x-2)^3\) b) \(g(x) = x^4 - 4x^2 + 1\)

- Welche Form hat der Funktionsterm bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Wie hängen die Koeffizienten mit der Krümmung an einer bestimmten Stelle zusammen? - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrema und Wendepunkte. - Du kannst für die Koeffizienten einfache Zahlen wählen, solange sie die Bedingungen erfüllen.

1. Da der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, enthält der Funktionsterm nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Die Ableitungen lauten \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) und \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\). 3. Für ein lokales Maximum bei \(x = 0\) muss \(f'(0) = 0\) (stets erfüllt) und \(f''(0) < 0\) gelten. Daraus folgt \(2b < 0\), also \(b < 0\). 4. Für genau zwei Wendestellen muss \(f''(x) = 0\) zwei Lösungen mit Vorzeichenwechsel haben: \(12ax^2 = -2b \Rightarrow x^2 = -\frac{b}{6a}\). Da \(b < 0\) ist, muss \(a > 0\) gewählt werden, damit die rechte Seite positiv ist und zwei reelle Lösungen für \(x\) existieren. 5. Beispielwahl: Setze \(a = 1\), \(b = -6\) und \(c = 0\). Dies ergibt \(f(x) = x^4 - 6x^2\). 6. Nachweis: \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 12 \cdot 0^2 - 12 = -12 < 0\) bestätigt das Maximum. \(f''(x) = 12x^2 - 12 = 0\) liefert \(x^2 = 1\), also \(x = \pm 1\). Da \(f''(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel ist, findet an beiden Stellen ein Vorzeichenwechsel statt, was die zwei Wendestellen bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(f(x) = x^4 - 6x^2\). (Andere Lösungen wie \(f(x) = x^4 - x^2\) sind ebenfalls korrekt).

- Welche Bedingungen müssen für einen Punkt auf dem Graphen und für eine Wendestelle erfüllt sein? - Nutze die erste und zweite Ableitung der Funktion. - Wie hängen die Nullstellen der ersten Ableitung mit der Art der Extrempunkte zusammen? - Ein Vorzeichenwechselkriterium oder die Untersuchung der höheren Ableitungen hilft dir bei der Klassifizierung.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: Aus \(P(1 \mid -6) \in G_f\) folgt \(f(1) = a \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 = -6\), also \(a + b = -6\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = 12ax^2 + 6bx\). Da an der Stelle \(x = 2\) ein Wendepunkt vorliegt, gilt \(f''(2) = 0\), woraus \(12a \cdot 2^2 + 6b \cdot 2 = 48a + 12b = 0\) folgt. 2. Lösen des Systems: Aus \(48a + 12b = 0\) ergibt sich \(b = -4a\). Einsetzen in die erste Gleichung liefert \(a - 4a = -6\), also \(-3a = -6\), woraus \(a = 2\) und \(b = -8\) folgen. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = 2x^4 - 8x^3\). 3. Bestimmung der Wendepunkte: \(f''(x) = 24x^2 - 48x = 24x(x - 2)\). Die Nullstellen von \(f''\) sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). Da \(f'''(x) = 48x - 48\) an diesen Stellen ungleich Null ist (\(f'''(0) = -48\), \(f'''(2) = 48\)), liegen Wendepunkte vor. Die Koordinaten sind \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -32)\). 4. Bestimmung der Extrempunkte: \(f'(x) = 8x^3 - 24x^2 = 8x^2(x - 3)\). Die Nullstellen der ersten Ableitung sind \(x_3 = 0\) und \(x_4 = 3\). Da \(x_3 = 0\) auch eine Nullstelle von \(f''\) ist und \(f'(x)\) dort keinen Vorzeichenwechsel besitzt (doppelte Nullstelle), ist \(W_1(0 \mid 0)\) ein Terrassenpunkt. An der Stelle \(x_4 = 3\) gilt \(f''(3) = 24 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 72 > 0\), weshalb dort ein lokales Minimum vorliegt. Der Tiefpunkt ist \(T(3 \mid -54)\).

a) \(a = 2\) und \(b = -8\) b) \(W_1(0 \mid 0)\) und \(W_2(2 \mid -32)\) c) Tiefpunkt \(T(3 \mid -54)\). (An der Stelle \(x=0\) liegt ein Terrassenpunkt vor.)

- Übersetze die beiden vorgegebenen Wendestellen zunächst in Bedingungen an die zweite Ableitung. - Nach dem Bestimmen der Parameter musst du noch prüfen, ob die Krümmung an beiden Kandidaten tatsächlich wechselt. - Für die Eindeutigkeit des Extrempunkts ist entscheidend, wie viele reelle Nullstellen die erste Ableitung besitzt. - Prüfe den Typ des verbleibenden stationären Punkts erst am Ende.

1. Es gilt \(g'(x)=4x^3+3ax^2+2bx\) und \(g''(x)=12x^2+6ax+2b\). 2. Aus \(g''(1)=0\) und \(g''(2)=0\) folgt das Gleichungssystem \(12+6a+2b=0\) und \(48+12a+2b=0\). Daraus erhält man \(a=-6\) und \(b=12\). 3. Damit ist \(g''(x)=12x^2-36x+24=12(x-1)(x-2)\). Für \(x<1\) ist \(g''>0\), für \(1<x<2\) ist \(g''<0\), für \(x>2\) ist \(g''>0\). Somit findet an \(x=1\) und \(x=2\) tatsächlich jeweils ein Krümmungswechsel statt. 4. Für die so bestimmte Funktion gilt \(g'(x)=4x^3-18x^2+24x=2x(2x^2-9x+12)\). 5. Die quadratische Gleichung \(2x^2-9x+12=0\) hat die Diskriminante \(81-96=-15<0\). Daher ist \(x=0\) die einzige reelle Nullstelle von \(g'\). 6. Es gilt \(g''(0)=24>0\) und \(g(0)=0\). Der einzige relative Extrempunkt ist der Tiefpunkt \(T(0\mid0)\).

a) \(a=-6\), \(b=12\) b) Einziger relativer Extrempunkt: \(T(0\mid0)\)

- Überlege dir, wie die Kurve verlaufen muss, um die Punkte in der richtigen Reihenfolge zu verbinden. - Was weißt du über die Abfolge von Hoch- und Tiefpunkten bei einer stetigen Funktion? - Skizziere den Verlauf grob anhand der gegebenen Punkte. - Nutze den Zwischenwertsatz: Wenn eine stetige Funktion von einem negativen zu einem positiven Wert verläuft, muss sie die Achse schneiden.

1. Bei aufeinanderfolgenden lokalen Extrempunkten einer differenzierbaren Funktion wechseln Hoch- und Tiefpunkte einander ab. Aus der Reihenfolge der \(x\)-Werte \(-2 < 1 < 4\) und dem Vergleich der \(y\)-Werte \(4 > 1\) und \(1 < 5\) folgt, dass \(B(1 \mid 1)\) ein Tiefpunkt sein muss. Wäre \(B\) ein Hochpunkt, müsste die Funktion dorthin steigen und danach fallen; das passt nicht zu den höheren Werten \(y_A=4\) und \(y_C=5\). Folglich sind \(A\) und \(C\) Hochpunkte. 2. Da \(A(-2 \mid 4)\) der am weitesten links liegende Extrempunkt und ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x < -2\) steigen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) folgt. Da \(C(4 \mid 5)\) der am weitesten rechts liegende Extrempunkt und ebenfalls ein Hochpunkt ist, muss die Funktion für \(x > 4\) fallen, woraus \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\) folgt. 3. Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(4\), schneidet also genau einmal die \(x\)-Achse. Zwischen den Extremstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=4\) liegen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse, sodass dort keine Nullstellen existieren. Im Intervall \([4; \infty)\) fällt die Funktion von \(5\) gegen \(-\infty\), was eine weitere Nullstelle ergibt. Die Funktion hat somit insgesamt genau zwei Nullstellen.

a) \(A(-2 \mid 4)\) und \(C(4 \mid 5)\) sind Hochpunkte, \(B(1 \mid 1)\) ist ein Tiefpunkt. b) \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\) und \(f(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\). c) Die Funktion hat genau zwei Nullstellen.

- Erinnere dich daran, was eine waagerechte Tangente über die Ableitung aussagt und welche Arten von Punkten dort möglich sind. - Wenn die Funktion zwischen zwei waagerechten Tangenten steigen muss, was schließt das für den ersten Punkt aus? - Überlege dir, wie sich das Globalverhalten ändert, je nachdem ob der letzte besondere Punkt ein Extremum oder ein Sattelpunkt ist. - Wie oft kann eine Funktion, die nur zwei Stellen mit waagerechter Tangente hat, ihre Richtung ändern?

1. Da \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to -\infty\), muss die Funktion bis zum Punkt \(P(0 \mid 2)\) steigen. Wäre \(P\) ein Hochpunkt, müsste sie danach fallen. Um den höheren Punkt \(Q(2 \mid 5)\) zu erreichen, wäre dann ein zusätzlicher Tiefpunkt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) nötig, was der Bedingung von genau zwei waagerechten Tangenten widerspricht. Ein Tiefpunkt bei \(P\) ist unmöglich, da die Funktion sonst vor \(x=0\) fallen müsste. Also ist \(P\) ein Sattelpunkt. 2. Da die Funktion bei \(P\) ein Sattelpunkt ist und davor stieg, steigt sie auch nach \(P\) weiter an. Sie erreicht \(Q(2 \mid 5)\) also von unten. Wäre \(Q\) ein Tiefpunkt, müsste sie davor fallen. Somit kann \(Q\) nur ein Hochpunkt oder ein weiterer Sattelpunkt sein. Ist \(Q\) ein Hochpunkt, fällt die Funktion danach (\(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\)). Ist \(Q\) ein Sattelpunkt, steigt sie weiter an (\(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)). 3. Da die Funktion von \(-\infty\) kommend bis \(P(0 \mid 2)\) steigt, gibt es im Intervall \((-\infty; 0)\) genau eine Nullstelle. Zwischen \(x=0\) und \(x=2\) steigt die Funktion von \(2\) auf \(5\), dort gibt es keine Nullstelle. Falls \(Q\) ein Sattelpunkt ist, steigt sie weiter, also bleibt es bei einer Nullstelle. Falls \(Q\) ein Hochpunkt ist, fällt sie für \(x > 2\) von \(5\) nach \(-\infty\) und erzeugt eine zweite Nullstelle. Die Anzahl ist also minimal 1 und maximal 2.

a) \(P\) muss ein Sattelpunkt sein, da die Funktion von \(-\infty\) kommt, bis \(P\) steigen muss und ohne weiteren Extrempunkt den höheren Punkt \(Q\) nur erreichen kann, wenn sie bei \(P\) nicht umkehrt. b) \(Q\) kann ein Hochpunkt (mit \(h(x) \to -\infty\) für \(x \to \infty\)) oder ein Sattelpunkt (mit \(h(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\)) sein. c) Die Funktion \(h\) hat entweder eine (falls \(Q\) ein Sattelpunkt ist) oder zwei Nullstellen (falls \(Q\) ein Hochpunkt ist).

- Wie viele Extremstellen kann eine Funktion 5. Grades höchstens besitzen? - Überlege dir, wie sich der Graph zwischen den Extrempunkten verhält. Muss er die x-Achse kreuzen? - Was passiert mit den Funktionswerten für sehr große oder sehr kleine x-Werte? - Skizziere den Verlauf des Graphen grob anhand der berechneten Punkte.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 15x^4 - 75x^2 + 60\). 2. Nullstellen der Ableitung bestimmen: Durch Substitution \(z = x^2\) erhält man \(15z^2 - 75z + 60 = 0\), woraus \(z_1 = 1\) und \(z_2 = 4\) folgen. Die Extremstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 3. Funktionswerte an den Extremstellen berechnen: \(f(-2) = -36\) (lokales Maximum), \(f(-1) = -58\) (lokales Minimum), \(f(1) = 18\) (lokales Maximum) und \(f(2) = -4\) (lokales Minimum). 4. Grenzverhalten untersuchen: Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). 5. Nullstellenintervalle analysieren: - Im Intervall \((-\infty; -2]\) steigt die Funktion von \(-\infty\) auf \(-36\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-2; -1]\) fällt sie von \(-36\) auf \(-58\) (keine Nullstelle). - Im Intervall \([-1; 1]\) steigt sie von \(-58\) auf \(18\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([1; 2]\) fällt sie von \(18\) auf \(-4\) (eine Nullstelle). - Im Intervall \([2; \infty)\) steigt sie von \(-4\) auf \(\infty\) (eine Nullstelle). Insgesamt ergeben sich somit genau 3 Lösungen.

Die Gleichung hat genau 3 reelle Lösungen.

- Forme den Term um oder vergleiche \(f(1+u)\) und \(f(1-u)\), um eine mögliche verschobene Symmetrieachse zu erkennen. - Für die Nullstellen kannst du das Ausklammern von \(x^2\) und anschließend die binomischen Formeln nutzen. - Nutze die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Extrem- und Wendepunkte (Ableitungen). - Das Verhalten für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. - Die Wertemenge ergibt sich aus dem globalen Verlauf und den gefundenen Extremwerten.

1. Symmetrie: Es gilt \(f(x) = x^2(x-2)^2 = ((x-1)^2-1)^2\). Daher ist \(f(1+u) = f(1-u)\) für alle \(u \in \mathbb{R}\), und der Graph ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = 1\). 2. Verhalten im Unendlichen: Da der Leitterm \(x^4\) positiv ist und einen geraden Exponenten besitzt, gilt \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \infty\) und \(f(x) \to \infty\) für \(x \to -\infty\). 3. Schnittpunkte mit den Achsen: \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 0\), also \(S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(x^2(x^2 - 4x + 4) = 0 \Rightarrow x^2(x-2)^2 = 0\). Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 4. Extrempunkte: \(f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x-1)(x-2)\). Nullstellen der ersten Ableitung bei \(x \in \{0; 1; 2\}\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = 12x^2 - 24x + 8\). Überprüfung: \(f''(0) = 8 > 0 \Rightarrow T_1(0 \mid 0)\); \(f''(1) = -4 < 0 \Rightarrow H(1 \mid 1)\); \(f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow T_2(2 \mid 0)\). 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 12x^2 - 24x + 8 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 6x + 2 = 0\). Mit der pq-Formel: \(x_{W1,2} = 1 \pm \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\). Funktionswerte: \(f(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{9}\). Wendepunkte bei \(W_1(1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\) und \(W_2(1 + \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\). 6. Wertemenge: Da die globalen Minima bei \(y = 0\) liegen und die Funktion gegen \(+\infty\) strebt, ist \(W = \{y \in \mathbb{R} \mid y \ge 0\}\).

(1) Achsensymmetrie zur Geraden \(x = 1\). (2) \(f(x) \to \infty\) für \(x \to \pm\infty\). (3) \(S_y(0 \mid 0)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). (4) Tiefpunkte \(T_1(0 \mid 0)\) und \(T_2(2 \mid 0)\), Hochpunkt \(H(1 \mid 1)\). (5) Wendepunkte \(W_{1,2}(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \mid \frac{4}{9})\). (6) \(W = [0; \infty)\).

- Nutze die bereits faktorisierte Form zuerst für die Nullstellen. - Multipliziere den Funktionsterm vor dem Ableiten aus, damit die grundlegenden Ableitungsregeln ausreichen. - Eine gerade Vielfachheit einer Nullstelle liefert zusätzliche Information über das lokale Achsenverhalten. - Klassifiziere die stationären Stellen erst nach ihrer vollständigen Bestimmung.

1. Es ist \(f(0)=-4\), also \(S_y(0\mid-4)\). Aus \((x^2-4)(x-1)^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=1\) und \(x=2\), also \(N_1(-2\mid0)\), \(N_2(1\mid0)\), \(N_3(2\mid0)\). 2. Ausmultipliziert ist \(f(x)=x^4-2x^3-3x^2+8x-4\), also \(f'(x)=4x^3-6x^2-6x+8\). 3. \(x=1\) ist eine Nullstelle von \(f'\). Durch Division von \(f'\) durch \((x-1)\) erhält man \(4x^2-2x-8\). Dessen Nullstellen sind \(x=\frac{1\pm\sqrt{33}}{4}\), näherungsweise \(-1{,}19\) und \(1{,}69\). 4. Mit \(f''(x)=12x^2-12x-6\) ergibt sich bei \(x=1\) ein Hochpunkt \(H(1\mid0)\) und an den beiden anderen Stellen jeweils ein Tiefpunkt. 5. Näherungsweise sind dies \(T_1(-1{,}19\mid-12{,}40)\) und \(T_2(1{,}69\mid-0{,}54)\).

1. \(S_y(0\mid-4)\), \(N_1(-2\mid0)\), \(N_2(1\mid0)\), \(N_3(2\mid0)\) 2. \(H(1\mid0)\), \(T_1\approx(-1{,}19\mid-12{,}40)\), \(T_2\approx(1{,}69\mid-0{,}54)\)

- Prüfe, ob alle Exponenten von \(x\) gerade oder ungerade sind. - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen zu finden, und nutze dann ein weiteres Verfahren für den verbleibenden Term. - Für die Extrema musst du die Nullstellen der Ableitung bestimmen; eine Substitution kann hier hilfreich sein. - Nutze die Punktsymmetrie, um die Anzahl der notwendigen Berechnungen für die Extrempunkte zu reduzieren.

1. Symmetrie: Nur ungerade Exponenten kommen vor, daher \(f(-x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Nullstellen: \(x(x^4 - 2x^2 + 1) = 0 \iff x(x^2 - 1)^2 = 0\). Daraus folgen \(x_1 = 0\) (einfach) sowie \(x_{2,3} = \pm 1\) (jeweils doppelt). Nullstellen: \((0 \mid 0), (-1 \mid 0), (1 \mid 0)\). 3. Extrempunkte: \(f'(x) = 5x^4 - 6x^2 + 1\). Mit Substitution \(u = x^2\): \(5u^2 - 6u + 1 = 0 \implies u_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{10}\), also \(u_1 = 1\) und \(u_2 = \frac{1}{5}\). Kandidaten für Extrema: \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}\). Prüfung mit \(f''(x) = 20x^3 - 12x\): - \(f''(-1) = -8 < 0 \implies H(-1 \mid 0)\). - \(f''\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = \frac{8\sqrt{5}}{5} > 0 \implies TP\left(-\frac{\sqrt{5}}{5} \mid -\frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\). - \(f''\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{8\sqrt{5}}{5} < 0 \implies HP\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \mid \frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\). - \(f''(1) = 8 > 0 \implies T(1 \mid 0)\).

a) Symmetrie: Punktsymmetrie zum Ursprung; Nullstellen: \(x_1 = 0\), \(x_{2,3} = -1\), \(x_{4,5} = 1\) b) Hochpunkte: \(H(-1 \mid 0)\), \(HP_2\left(\frac{\sqrt{5}}{5} \mid \frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\); Tiefpunkte: \(T(1 \mid 0)\), \(TP_2\left(-\frac{\sqrt{5}}{5} \mid -\frac{16\sqrt{5}}{125}\right)\)

- Wie vereinfacht sich der allgemeine Ansatz einer Funktion 4. Grades bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche Ableitungsbedingung muss an einer Extremstelle (Minimum/Maximum) erfüllt sein? - Wie kannst du den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse direkt in den Funktionsterm einbauen? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob die berechneten Werte alle Bedingungen erfüllen.

1. Ansatz aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\). Ableitung: \(f'(x) = 4ax^3 + 2cx\). 2. Bedingung \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 5 \Rightarrow e = 5\). 3. Bedingung Punkt \(P(1 \mid -2)\): \(f(1) = -2 \Rightarrow a \cdot 1^4 + c \cdot 1^2 + 5 = -2 \Rightarrow a + c = -7\). 4. Bedingung lokales Minimum bei \(x = 2\): \(f'(2) = 0 \Rightarrow 4a \cdot 2^3 + 2c \cdot 2 = 0 \Rightarrow 32a + 4c = 0 \Rightarrow 8a + c = 0\). 5. Gleichungssystem lösen: Subtraktion der Gleichungen \((8a + c) - (a + c) = 0 - (-7) \Rightarrow 7a = 7 \Rightarrow a = 1\). Einsetzen liefert \(1 + c = -7 \Rightarrow c = -8\). 6. Prüfung der Hinreichenden Bedingung: \(f''(x) = 12ax^2 + 2c\). Mit \(a=1, c=-8\) ist \(f''(2) = 12 \cdot 4 - 16 = 32 > 0\). Es liegt tatsächlich ein Minimum vor. 7. Ergebnis: \(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\).

\(f(x) = x^4 - 8x^2 + 5\)

- Stelle zuerst die allgemeine Funktionsgleichung und die benötigten Ableitungen auf. - Welche Informationen liefert der Ursprung als Wendepunkt für die Koeffizienten? - Was sagt die Gleichung der Wendetangente über die Steigung der Funktion an dieser Stelle aus? - Nutze die notwendige Bedingung für Extremstellen, um den verbleibenden Parameter zu berechnen. - Untersuche dann mit der hinreichenden Bedingung, welche Art von Extremum an der Stelle \(x = 1\) tatsächlich vorliegt.

1. Ansatz: \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\). 2. Wendepunkt im Ursprung \((0 \mid 0)\) bedeutet \(f(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgt direkt \(d = 0\) und \(b = 0\). 3. Die Wendetangente \(w(x) = x\) hat die Steigung \(1\). Somit gilt \(f'(0) = 1\), woraus \(c = 1\) folgt. Die Funktion hat bisher die Form \(f(x) = ax^3 + x\). 4. Für einen lokalen Extrempunkt bei \(x = 1\) muss \(f'(1) = 0\) gelten. Mit \(f'(x) = 3ax^2 + 1\) folgt: \(3a \cdot 1^2 + 1 = 0 \implies 3a = -1 \implies a = -\frac{1}{3}\). 5. Um zu prüfen, ob ein Tiefpunkt vorliegt, betrachtet man die zweite Ableitung \(f''(x) = 6ax = -2x\). 6. An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f''(1) = -2 \cdot 1 = -2\). 7. Da \(f''(1) < 0\) ist, liegt bei \(x = 1\) ein lokaler Hochpunkt vor. 8. Da die Bedingung eines Tiefpunkts nicht erfüllt werden kann, existiert keine solche Funktion.

Es existiert keine solche Funktion, da die Berechnungen für ein lokales Extremum bei \(x = 1\) zwingend zu einem lokalen Hochpunkt (\(f''(1) = -2 < 0\)) führen, was im Widerspruch zur Forderung eines Tiefpunkts steht.

- Überlege zuerst, welche allgemeine Form eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion 3. Grades hat. - Was sagt dir die Steigung an einer bestimmten Stelle über die Ableitungsfunktion aus? - Wenn nach „allen“ Funktionen gefragt ist, bleibt oft ein Parameter im Funktionsterm stehen. - Nutze den zusätzlichen Punkt am Ende, um den verbliebenen Parameter konkret zu berechnen.

1. Ansatz aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(x) = ax^3 + cx\). 2. Bedingung für die Steigung: \(f'(1) = 6\). 3. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + c\). 4. Einsetzen: \(3a \cdot 1^2 + c = 6 \implies 3a + c = 6 \implies c = 6 - 3a\). 5. Funktionenschar aufstellen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \neq 0\). 6. Punktprobe mit \(Q(2 \mid 20)\): \(f_a(2) = a \cdot 2^3 + (6 - 3a) \cdot 2 = 20\). 7. Gleichung lösen: \(8a + 12 - 6a = 20 \implies 2a + 12 = 20 \implies 2a = 8 \implies a = 4\). 8. Parameter \(c\) bestimmen: \(c = 6 - 3 \cdot 4 = -6\). 9. Ergebnis: \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

Alle Funktionen: \(f_a(x) = ax^3 + (6 - 3a)x\) mit \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\). Spezielle Funktion durch \(Q\): \(f(x) = 4x^3 - 6x\).

- Übersetze den \(y\)-Achsenabschnitt und die dortige Steigung in Bedingungen an \(f\) und \(f'\). - Welche beiden Bedingungen liefert der angegebene Wendepunkt? - Wie kannst du nach dem Lösen des Gleichungssystems prüfen, ob die Wendebedingung hinreichend erfüllt ist?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\) und \(f'''(x)=6a\). 2. Aus dem Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse folgt \(f(0)=3\), also \(d=3\). Die dortige Steigung liefert \(f'(0)=-6\), also \(c=-6\). 3. Aus der Wendebedingung bei \(x=1\) folgt \(f''(1)=0\): \(6a+2b=0\), also \(3a+b=0\). 4. Aus \(W(1\mid1)\) folgt zusätzlich \(f(1)=1\): \(a+b-6+3=1\), also \(a+b=4\). 5. Das Gleichungssystem liefert \(a=-2\) und \(b=6\). Damit ist \(f(x)=-2x^3+6x^2-6x+3\). 6. Für diese Funktion ist \(f'''(x)=-12\). Insbesondere gilt \(f'''(1)\neq0\); damit ist \(W(1\mid1)\) tatsächlich ein Wendepunkt.

\(f(x)=-2x^3+6x^2-6x+3\)

- Nutze den Parameter \(a\) als freie Variable, da du für eine Funktion 4. Grades fünf Koeffizienten, aber nur vier punkt- bzw. ableitungsbezogene Gleichungen hast. - Drücke alle anderen Koeffizienten durch \(a\) aus. - Erinnere dich an das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt: \(f'(x_0) = 0\) und \(f''(x_0) > 0\). - Stelle eine Ungleichung für \(a\) auf, die sicherstellt, dass die zweite Ableitung an der Stelle \(x = 2\) positiv ist.

1. Ansatz: \(g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) mit \(g'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d\) und \(g''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c\). 2. Bedingungen anwenden: - \(g(0) = 0 \implies e = 0\) - \(g''(3) = 0 \implies 108a + 18b + 2c = 0 \implies c = -54a - 9b\) - \(g(2) = 4 \implies 16a + 8b + 4c + 2d = 4\) - \(g'(2) = 0 \implies 32a + 12b + 4c + d = 0\) 3. Abhängigkeiten von \(a\) berechnen: Durch Substitution von \(c\) in die Gleichungen für \(g(2)\) und \(g'(2)\) erhält man ein System für \(b\) und \(d\). Es ergibt sich \(b = 0{,}2 - 8{,}4a\), \(c = 21{,}6a - 1{,}8\) und \(d = 4{,}8 - 17{,}6a\). 4. Bedingung für Tiefpunkt: Es muss \(g''(2) > 0\) gelten. 5. \(g''(2)\) in Abhängigkeit von \(a\) berechnen: \(g''(2) = 48a + 12b + 2c = 48a + 12(0{,}2 - 8{,}4a) + 2(21{,}6a - 1{,}8) = -9{,}6a - 1{,}2\). 6. Ungleichung lösen: \(-9{,}6a - 1{,}2 > 0 \implies -9{,}6a > 1{,}2 \implies a < -0{,}125\). 7. Für alle \(a < -0{,}125\) existiert eine solche Funktion (unter der zusätzlichen Bedingung \(g'''(3) \neq 0\), was hier für diesen Bereich erfüllt ist).

Ja, es gibt unendlich viele solcher Funktionen vierten Grades. Damit der Punkt \(T(2 \mid 4)\) ein lokaler Tiefpunkt ist, muss für den Leitkoeffizienten \(a\) die Bedingung \(a < -0{,}125\) erfüllt sein.

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Ansatz einer Funktion vierten Grades? - Welche Ableitungen benötigst du, um Bedingungen für Wendepunkte und Tangentensteigungen zu formulieren? - Erinnere dich daran, welche Ableitung die Krümmung (Wendepunkt) und welche die Steigung (Tangente) beschreibt. - Stelle ein Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten auf.

1. Der Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades ist \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Der Punkt \(S(0 \mid 5)\) liefert die Bedingung \(f(0) = 5\), woraus \(c = 5\) folgt. 3. Ein Wendepunkt an der Stelle \(x = 1\) bedeutet, dass die zweite Ableitung dort null ist: \(f''(1) = 0\). Mit \(f''(x) = 12ax^2 + 2b\) ergibt sich die Gleichung \(12a + 2b = 0\). 4. Die Steigung der Wendetangente ist der Wert der ersten Ableitung an dieser Stelle: \(f'(1) = -4\). Mit \(f'(x) = 4ax^3 + 2bx\) folgt \(4a + 2b = -4\). 5. Durch Lösen des Gleichungssystems (\(12a + 2b = 0\) und \(4a + 2b = -4\)) erhält man durch Subtraktion \(8a = 4\), also \(a = 0{,}5\). Hieraus folgt \(b = -3\). 6. Zur Bestätigung der Wendestelle gilt für die gefundene Funktion \(f'''(x) = 12x\), also \(f'''(1)=12 \neq 0\). Damit liegt bei \(x=1\) tatsächlich ein Wendepunkt vor. 7. Die gesuchte Funktion ist \(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\).

\(f(x) = 0{,}5x^4 - 3x^2 + 5\)

- Welche Bedingungen müssen für einen Sattelpunkt an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Wie vereinfacht sich der allgemeine Funktionsterm, wenn die Bedingungen im Ursprung liegen? - Was bedeutet die Information über eine waagerechte Tangente für die Ableitung? - Wie viele Unbekannte bleiben nach Berücksichtigung der Bedingungen im Ursprung noch übrig?

1. Ansatz für eine ganzrationale Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\). 2. Ein Sattelpunkt im Ursprung bedeutet \(f(0) = 0\), \(f'(0) = 0\) und \(f''(0) = 0\). Daraus folgen direkt die Koeffizienten \(e = 0\), \(d = 0\) und \(c = 0\). Die Funktion vereinfacht sich zu \(f(x) = ax^4 + bx^3\). 3. Aus dem Punkt \(P(1 \mid 2)\) ergibt sich die Gleichung \(f(1) = 2\), also \(a + b = 2\). 4. Eine waagerechte Tangente bei \(x = 1{,}5\) bedeutet \(f'(1{,}5) = 0\). Mit der Ableitung \(f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2\) folgt: \(4a \cdot 1{,}5^3 + 3b \cdot 1{,}5^2 = 13{,}5a + 6{,}75b = 0\). 5. Das lineare Gleichungssystem besteht aus \(a + b = 2\) und \(13{,}5a + 6{,}75b = 0\). Aus der ersten Gleichung folgt \(b = 2 - a\). Einsetzen in die zweite Gleichung liefert \(13{,}5a + 6{,}75(2 - a) = 0\), woraus \(6{,}75a = -13{,}5\) und somit \(a = -2\) resultiert. 6. Damit ist \(b = 2 - (-2) = 4\). Die Funktionsgleichung lautet \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\). 7. Überprüfung des Sattelpunktes: Für \(f(x) = -2x^4 + 4x^3\) gilt \(f'(0)=0\), \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=24 \neq 0\). Damit besitzt der Graph im Ursprung einen Sattelpunkt.

\(f(x) = -2x^4 + 4x^3\)

- Welche Bedingungen erfüllen Funktionswert, erste und zweite Ableitung an einem Sattelpunkt? - Welche Koeffizienten erhältst du direkt aus dem Punkt \(Q(0\mid8)\) und der dortigen Steigung? - Wie kannst du nach dem Lösen des linearen Gleichungssystems prüfen, ob wirklich ein Sattelpunkt vorliegt?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\). 2. Aus \(Q(0\mid8)\) folgt \(e=8\). Aus der Steigung \(f'(0)=-20\) folgt \(d=-20\). 3. Für den Sattelpunkt \((2\mid0)\) gelten \(f(2)=0\), \(f'(2)=0\) und \(f''(2)=0\). 4. Mit \(d=-20\) und \(e=8\) erhält man aus diesen drei Bedingungen \(4a+2b+c=8\), \(8a+3b+c=5\) und \(24a+6b+c=0\). 5. Subtrahieren der ersten von der zweiten Gleichung ergibt \(4a+b=-3\). Subtrahieren der zweiten von der dritten Gleichung ergibt \(16a+3b=-5\). 6. Daraus folgen \(a=1\), \(b=-7\) und \(c=18\). Somit ist \(f(x)=x^4-7x^3+18x^2-20x+8\). 7. Es gilt \(f'''(x)=24x-42\) und damit \(f'''(2)=6\neq0\). Der Punkt \((2\mid0)\) ist daher tatsächlich ein Sattelpunkt.

\(f(x)=x^4-7x^3+18x^2-20x+8\)

- Wie verhalten sich ganzrationale Funktionen geraden Grades für sehr große positive und negative \(x\)-Werte? - Welche notwendige Bedingung gilt an einer lokalen Extremstelle? - Wie hängen der Grad einer Funktion und der Grad ihrer Ableitung zusammen?

1. Bei einer ganzrationalen Funktion mit geradem Grad streben die Funktionswerte für \(x\to\infty\) und \(x\to-\infty\) in dieselbe Richtung, also beide gegen \(+\infty\) oder beide gegen \(-\infty\). Daher besitzt die Funktion mindestens ein globales Minimum beziehungsweise ein globales Maximum. 2. Eine Funktion 4. Grades hat eine Ableitungsfunktion 3. Grades. Da ein Polynom 3. Grades höchstens drei reelle Nullstellen besitzt und jede lokale Extremstelle eine Nullstelle von \(f'\) erfordert, kann die Funktion höchstens drei Extremstellen besitzen.

a) Bei geradem Grad streben beide Äste des Graphen in dieselbe Richtung; daher besitzt die Funktion mindestens ein globales Minimum oder ein globales Maximum. b) Die Ableitung hat Grad 3 und höchstens drei Nullstellen. Daher sind höchstens drei Extremstellen möglich.

- Untersuche zuerst die Nullstellen der beiden Ableitungsfunktionen. - Welche Möglichkeiten hat eine quadratische Funktion hinsichtlich ihrer reellen Nullstellen? - Wann führt eine Nullstelle von \(f'\) tatsächlich zu einer lokalen Extremstelle?

1. Für \(f\) gilt \(f'(x)=3x^2+1>0\) für alle \(x\in\mathbb R\). Daher besitzt \(f\) keine lokale Extremstelle. 2. Für \(g\) gilt \(g'(x)=3x^2-3\). Die Nullstellen sind \(x=\pm1\), und an beiden Stellen wechselt \(g'\) das Vorzeichen. Daher besitzt \(g\) zwei lokale Extremstellen. 3. Allgemein ist die Ableitung einer Funktion 3. Grades quadratisch. Sie kann keine reelle Nullstelle, eine doppelte Nullstelle oder zwei einfache Nullstellen besitzen. Bei einer doppelten Nullstelle wechselt \(f'\) das Vorzeichen nicht; daher entsteht dort keine lokale Extremstelle. Somit sind für eine kubische Funktion entweder keine oder zwei lokale Extremstellen möglich.

a) \(f\) besitzt keine lokale Extremstelle; \(g\) besitzt zwei lokale Extremstellen. b) Eine einzelne reelle Nullstelle der quadratischen Ableitung ist doppelt und bewirkt keinen Vorzeichenwechsel. Daher kann eine kubische Funktion nicht genau eine lokale Extremstelle besitzen.

- Beginne mit \(f(0)\); schon der \(y\)-Achsenabschnitt kann die Zeichnung widerlegen. - Welche Nullstellen von \(f'\) sind echte Extremstellen? - Welche Nullstellen von \(f''\) sind tatsächliche Wendestellen, und wie kannst du das prüfen?

1. Es gilt \(f(0)=2\). Der korrekte Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist also \(S_y(0\mid2)\); im Diagramm liegt dieser Punkt bei \(y=4\). 2. Die Ableitungen sind \(f'(x)=x^3-3x^2=x^2(x-3)\), \(f''(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\) und \(f'''(x)=6x-6\). 3. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=3\). Bei \(x=3\) ist \(f''(3)=9>0\) und \(f(3)=-4{,}75\); daher liegt dort der Tiefpunkt \(T(3\mid-4{,}75)\). 4. Die Wendestellen folgen aus \(f''(x)=0\): \(x=0\) und \(x=2\). Da \(f'''(0)=-6\neq0\) und \(f'''(2)=6\neq0\), liegen an beiden Stellen Wendepunkte vor. 5. Wegen \(f'(0)=0\) ist \(W_1(0\mid2)\) ein Terrassenpunkt. Außerdem ist \(f(2)=-2\), also \(W_2(2\mid-2)\). 6. Der dargestellte Graph besitzt andere Höhen für diese Punkte und ist daher keine korrekte Darstellung von \(f\).

Der Graph ist nicht korrekt dargestellt. \(y\)-Achsenschnittpunkt: \(S_y(0 \mid 2)\). Extrempunkt: \(T(3 \mid -4{,}75)\). Wendepunkte: \(W_1(0 \mid 2)\) als Terrassenpunkt und \(W_2(2 \mid -2)\).

- Welche Bedingungen liefert der Wendepunkt auf der \(y\)-Achse für die Koeffizienten? - Welche notwendige Bedingung gilt an der Extremstelle \(x=-1\)? - Wie entscheidet das Vorzeichen von \(f''(-1)\) über die Extremumart? - Welche Konsequenz hätte die zusätzliche Punktbedingung \(Q(2\mid3)\) für den Leitkoeffizienten?

1. Ansatz: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). 2. Aus \(W(0\mid1)\) folgen \(f(0)=1\) und \(f''(0)=0\). Damit ist \(d=1\) und \(b=0\). 3. Aus dem Extremum bei \(x=-1\) folgt \(f'(-1)=0\). Mit \(f'(x)=3ax^2+c\) ergibt sich \(c=-3a\). 4. Aus \(P(2\mid0)\) folgt \(8a-6a+1=0\), also \(a=-0{,}5\) und damit \(c=1{,}5\). Somit ist \(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x+1\). 5. Für diese Funktion ist \(f'''(x)=-3\neq0\). Daher ist \(W(0\mid1)\) tatsächlich ein Wendepunkt. 6. Es gilt \(f''(x)=-3x\), also \(f''(-1)=3>0\). Das Extremum bei \(x=-1\) ist ein Tiefpunkt. 7. Für \(Q(2\mid3)\) müsste allgemein \(2a+1=3\) gelten, also \(a=1\). Dann wäre \(f''(-1)=-6<0\), sodass bei \(x=-1\) ein Hochpunkt statt eines Tiefpunkts läge. Die Behauptung ist daher richtig.

a) \(f(x)=-0{,}5x^3+1{,}5x+1\). b) Tiefpunkt, da \(f''(-1)=3>0\). c) Die Behauptung ist richtig. Der Punkt \(Q(2 \mid 3)\) würde \(a=1\) erzwingen; dann wäre das Extremum bei \(x=-1\) ein Hochpunkt.

- Welche Form hat eine ganzrationale Funktion 4. Grades bei Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse? - Welche zwei Bedingungen liefert ein Wendepunkt auf der \(x\)-Achse? - Welche Prüfungen zeigen nach dem Bestimmen der Koeffizienten, dass Hochpunkt und Wendepunkte tatsächlich vorliegen?

1. Wegen der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse lautet der Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 2. Aus \(H(0\mid4)\) folgt \(c=4\). Aus dem Wendepunkt bei \(x=1\) folgen \(f(1)=0\) und \(f''(1)=0\). 3. Damit gelten \(a+b=-4\) und \(12a+2b=0\), also \(b=-6a\). Daraus folgt \(a=0{,}8\) und \(b=-4{,}8\). 4. Somit ist \(f(x)=0{,}8x^4-4{,}8x^2+4\). 5. Es gilt \(f''(0)=-9{,}6<0\); daher ist \(H(0\mid4)\) tatsächlich ein lokaler Hochpunkt. 6. Weiter gilt \(f'''(x)=19{,}2x\). Daher ist \(f'''(1)=19{,}2\neq0\) und \(f'''(-1)=-19{,}2\neq0\). Somit sind \((-1\mid0)\) und \((1\mid0)\) tatsächlich Wendepunkte.

1. Ansatz: \(f(x)=ax^4+bx^2+c\). 2. \(f(x)=0{,}8x^4-4{,}8x^2+4\).

- Wie vereinfacht die Achsensymmetrie den allgemeinen Funktionsterm? - Welche zwei Bedingungen liefert der markierte Wendepunkt? - Wie kannst du nach dem Bestimmen des Funktionsterms die Wendestelle und die Extremumarten überprüfen?

1. Wegen der Achsensymmetrie gilt \(g(x)=ax^4+bx^2+c\). Da der Graph durch den Ursprung verläuft, ist \(c=0\). 2. Aus dem markierten Wendepunkt \(W_2(1\mid2{,}5)\) folgen \(a+b=2{,}5\) und \(g''(1)=12a+2b=0\). Daraus ergibt sich \(a=-0{,}5\) und \(b=3\). Somit ist \(g(x)=-0{,}5x^4+3x^2\). 3. Es gilt \(g'''(x)=-12x\). Damit ist \(g'''(1)=-12\neq0\), also ist der verwendete Punkt bei \(x=1\) tatsächlich ein Wendepunkt. 4. Aus \(g'(x)=-2x(x^2-3)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt3\). Für \(x=\pm\sqrt3\) gilt \(g''(x)=-12<0\), also liegen dort lokale Hochpunkte. 5. Der Funktionswert ist \(g(\pm\sqrt3)=4{,}5\). Daher sind die Hochpunkte \(H_1(-\sqrt3\mid4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt3\mid4{,}5)\).

1. \(g(x)=-0{,}5x^4+3x^2\). 2. \(H_1(-\sqrt3 \mid 4{,}5)\) und \(H_2(\sqrt3 \mid 4{,}5)\).

- Welche Vielfachheit hat eine Nullstelle von \(f'\) an einem Terrassenpunkt? - Wie hängen Wendestellen von \(f\) mit Extremstellen von \(f'\) zusammen? - Welche Produktform für \(f'\) ergibt sich aus den bekannten Nullstellen? - Wie kannst du einen bekannten Term für \(f'\) mit der Ableitung eines allgemeinen Polynoms 4. Grades vergleichen?

1. Wegen des Tiefpunkts bei \(x=-1{,}5\) besitzt \(f'\) dort eine einfache Nullstelle. Wegen des Terrassenpunkts bei \(x=3\) besitzt \(f'\) dort eine doppelte Nullstelle. Da \(f'\) dritten Grades ist, sind dies alle Nullstellen. 2. Die Wendestellen von \(f\) liegen bei \(x=0\) und \(x=3\). Daher besitzt \(f''\) dort einfache Nullstellen. Aus dem Krümmungswechsel folgt: \(f'\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=3\) ein lokales Minimum. 3. Aus den Nullstellen folgt \(f'(x)=k(x+1{,}5)(x-3)^2\). Mit \(f'(0)=2\) erhält man \(2=13{,}5k\), also \(k=\frac{4}{27}\). 4. Ausmultipliziert ist \(f'(x)=\frac{4}{27}x^3-\frac{2}{3}x^2+2\). 5. Vergleiche dies mit der Ableitung eines allgemeinen Polynoms \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\): \(f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\). Dadurch sind \(a=\frac{1}{27}\), \(b=-\frac{2}{9}\), \(c=0\) und \(d=2\) eindeutig bestimmt. 6. Aus \(f(0)=2\) folgt zusätzlich \(e=2\). Somit reichen die Angaben aus, um \(f\) eindeutig zu bestimmen.

a) \(f'\): \(x=-1{,}5\) einfach und \(x=3\) doppelt. \(f''\): \(x=0\) und \(x=3\), jeweils einfach. b) \(f'\) hat bei \(x=0\) ein lokales Maximum und bei \(x=3\) ein lokales Minimum. c) Ja. Es ergibt sich eindeutig \(f(x)=\frac{1}{27}x^4-\frac{2}{9}x^3+2x+2\).