Für \(f(x)=x^2-7\) gilt \(f'(x)=2x\). Verwende die Newton-Formel \(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\) mit \(x_0=3\) und berechne \(x_1\). Gib den Wert exakt und auf vier Nachkommastellen gerundet an.

Für \(f(x)=x^2-5\) und \(x_0=2\) gilt \(f(2)=-1\) und \(f'(2)=4\). Welche Rechnung ist der richtige Newton-Schritt? A: \(x_1=2-\frac{-1}{4}\) B: \(x_1=2-\frac{4}{-1}\) Begründe kurz und berechne \(x_1\).

Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens eine Näherung für die Nullstelle der Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 + 2x - 5\). Starte das Verfahren mit dem Wert \(x_0 = 1\) und führe zwei Iterationsschritte durch. Gib die Ergebnisse \(x_1\) und \(x_2\) auf vier Dezimalstellen gerundet an.

Die Gleichung \(x^3-3x^2+1=0\) hat eine Lösung in der Nähe von \(x_0=3\). Berechne mit dem Newton-Verfahren die nächsten beiden Näherungswerte \(x_1\) und \(x_2\). Runde jeweils auf vier Nachkommastellen.

Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f: x \mapsto x^3 + x^2 + x - 5\). Sie besitzt genau eine Nullstelle. Bestimme einen Näherungswert für diese Nullstelle, indem du ausgehend vom Startwert \(x_0 = 1\) die ersten zwei Schritte des Newton-Verfahrens durchführst. Gib \(x_1\) und \(x_2\) jeweils auf vier Nachkommastellen gerundet an.

Die Funktion \(f(x)=0{,}5x^3+x-4\) hat genau eine reelle Nullstelle. Berechne die Näherungswerte \(x_1\) und \(x_2\) mit dem Newton-Verfahren zum Startwert \(x_0=2\). Runde beide Werte auf vier Nachkommastellen.

In einer Tabellenkalkulation hat Mia das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle wie unten dargestellt vorbereitet. In Spalte A steht der Index \(n\) des Iterationsschritts. <table> <tr> <td></td> <td>A</td> <td>B</td> <td>C</td> <td>D</td> <td>E</td> <td>F</td> </tr> <tr> <td>1</td> <td>0</td> <td>4</td> <td>`=0,5*B1^2-4`</td> <td>`=B1`</td> <td>`=C1/D1`</td> <td>`=B1-E1`</td> </tr> <tr> <td>2</td> <td>`=A1+1`</td> <td>`=F1`</td> <td></td> <td></td> <td></td> <td></td> </tr> </table> 1. Gib den Funktionsterm \(f(x)\) der Funktion an, deren Nullstelle Mia berechnen möchte, sowie den von ihr gewählten Startwert \(x_0\). 2. Erläutere die Bedeutung der Berechnungen in den Zellen E1 und F1 im Kontext des Newton-Verfahrens. 3. Berechne den Wert, der nach der Ausführung in Zelle B2 angezeigt wird.

Die Funktion \(f(x)=x^4+2x-5\) besitzt eine positive Nullstelle. Bestimme einen Näherungswert für diese Nullstelle, indem du ausgehend von \(x_0=1\) zwei Schritte des Newton-Verfahrens durchführst. Gib die Zwischenergebnisse und das Endergebnis auf vier Dezimalstellen gerundet an.

Die Gleichung \(x^3 - 4x + 1 = 0\) hat eine Lösung, die nahe bei \(x = 2\) liegt. Führe mit dem Startwert \(x_0 = 2\) zwei Schritte des Newton-Verfahrens durch. Gib die dabei erhaltenen Werte \(x_1\) und \(x_2\) jeweils auf vier Nachkommastellen gerundet an.

Für \(f(x)=x^3\) soll die Stelle \(x>0\) bestimmt werden, an der der Graph den kleinsten Abstand zum Punkt \(P(5\mid0)\) hat. Die Minimierung des Abstandsquadrats führt auf die Gleichung \(3x^5+x-5=0\). Berechne \(x\) mit dem Newton-Verfahren. Führe ausgehend von \(x_0=1\) zwei Iterationsschritte durch und gib das Ergebnis auf drei Dezimalstellen an.

Die Graphen der Funktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=x+1\) schneiden sich für \(x>0\). Bestimme mit dem Newton-Verfahren einen ersten Näherungswert für die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts. a) Stelle eine Funktion \(h\) auf, deren positive Nullstelle die \(x\)-Koordinate des gesuchten Schnittpunkts ist. b) Führe für \(h\) ausgehend von \(x_0=1{,}5\) genau einen Newton-Schritt aus und gib \(x_1\) auf vier Nachkommastellen an.

Beim Newton-Verfahren für \(f(x)=x^2-2\) wurden ausgehend von \(x_0=1{,}5\) folgende Werte berechnet: \(x_1\approx1{,}416667\), \(x_2\approx1{,}414216\), \(x_3\approx1{,}414214\). Als Abbruchkriterium gilt: Beende die Iteration erstmals, wenn \(|x_{n+1}-x_n|<0{,}001\) ist. a) Prüfe das Kriterium nacheinander für die drei angegebenen Schritte. b) Bei welchem Näherungswert wird erstmals abgebrochen?

Noah möchte die Nullstelle der Funktion \(f(x) = x^3 - 2x - 5\) mithilfe des Newton-Verfahrens näherungsweise bestimmen. Er verwendet dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm und wählt den Startwert \(x_0 = 2\). 1. Bestimme die erste Ableitung \(f'(x)\). 2. Gib für die Zellen C1, D1 und E1 die Formeln an, die Noah eingeben muss, wenn in B1 der Startwert steht. Dabei soll in C1 der Funktionswert \(f(x_n)\), in D1 der Ableitungswert \(f'(x_n)\) und in E1 der neue Näherungswert \(x_{n+1}\) berechnet werden. 3. Berechne die ersten zwei Näherungswerte \(x_1\) und \(x_2\). Runde nicht exakte Ergebnisse auf fünf Nachkommastellen.

Für \(f(x)=x^3+5x-8\): a) Zeige, dass der Graph von \(f\) die \(x\)-Achse genau einmal schneidet. b) Bestimme die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts mit dem Newton-Verfahren auf vier Dezimalstellen genau. Verwende \(x_0=1\).

Für \(g(x)=x^4+3x-2\): a) Begründe, dass \(g\) im Intervall \([0;1]\) genau eine Nullstelle besitzt. b) Berechne diese Nullstelle mit dem Newton-Verfahren auf vier Dezimalstellen genau. Wähle einen geeigneten Startwert aus dem Intervall.

Für \(f(x)=0{,}25x^4-x^3+5x\) soll die Stelle \(x^*\in[2;3]\) bestimmt werden, an der die Steigung des Graphen genau \(2\) beträgt. Verwende für die entstehende Nullstellengleichung das Newton-Verfahren mit \(x_0=2{,}5\) und gib \(x^*\) auf zwei Nachkommastellen an.

Der Graph der Funktion \(g(x)=0{,}2x^5-2x^2+4\) besitzt im Intervall \([1{,}5;2{,}5]\) genau eine Stelle \(x^*\), an der die Tangente parallel zur Geraden \(h(x)=3x-1\) verläuft. Bestimme \(x^*\) mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalstellen genau. Verwende für die entstehende Nullstellengleichung den Startwert \(x_0=1{,}8\).

Die Graphen der Funktionen \(g\) und \(h\) mit \(g(x) = x^3 + x\) und \(h(x) = 6 - x\) schneiden sich an genau einer Stelle \(x^*\). Bestimme einen Näherungswert für \(x^*\) mithilfe des Newton-Verfahrens. Führe ausgehend vom Startwert \(x_0 = 1{,}5\) zwei Iterationsschritte durch.

Die Funktion \(g(x)=\frac{1}{2}x^4-x^3+2x^2-x\) besitzt genau ein lokales Minimum. Nähere die Lage dieser Minimalstelle mit dem Newton-Verfahren an. Führe ausgehend von \(x_0=0\) genau zwei Iterationsschritte durch und gib \(x_1\) und \(x_2\) jeweils auf vier Nachkommastellen gerundet an.

Die Graphen von \(f(x)=x^3+2x+3\) und \(g(x)=x^2-2\) besitzen genau einen Schnittpunkt. Bestimme dessen \(x\)-Koordinate mit dem Newton-Verfahren. Verwende \(x_0=-1\) und gib das Ergebnis auf drei Dezimalstellen an.

Das Newton-Verfahren kann zur näherungsweisen Berechnung der vierten Wurzel einer Zahl \(a > 0\) verwendet werden. Hierzu betrachtet man die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^4 - a\). a) Leite mithilfe der allgemeinen Newton-Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) die Iterationsvorschrift \(x_{n+1} = \frac{1}{4} \left( 3x_n + \frac{a}{x_n^3} \right)\) her. b) Bestimme für \(a = 100\) und den Startwert \(x_0 = 3\) die ersten zwei Näherungswerte \(x_1\) und \(x_2\). Gib die Ergebnisse auf vier Dezimalstellen gerundet an. c) Prüfe die Genauigkeit von \(x_2\), indem du \(x_2^4\) berechnest und mit \(a = 100\) vergleichst.

Für einen Behälter ist das nutzbare Volumen \(V\) in Abhängigkeit von der Füllhöhe \(h\) durch \(V(h) = 0{,}5h^3 + 9\pi h\) beschrieben. Dabei wird \(h\) in \(\text{dm}\) und \(V\) in \(\text{dm}^3\) angegeben. In den Behälter sollen \(120\,\text{Liter}\) Wasser gefüllt werden. Nähere die dazugehörige Füllhöhe mit dem Newton-Verfahren an. Führe ausgehend von \(h_0 = 3\) zwei Iterationsschritte durch und gib \(h_1\) und \(h_2\) jeweils auf drei Dezimalstellen gerundet an.

Das Newton-Verfahren wird häufig genutzt, um Wurzeln als Nullstellen von Potenzfunktionen zu bestimmen. Zur Berechnung der Kubikwurzel einer positiven Zahl \(a\) betrachtet man die Funktion \(f\) mit \(f(x) = x^3 - a\). a) Leite mithilfe der allgemeinen Newton-Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) eine spezifische Rekursionsformel zur Bestimmung von \(\sqrt[3]{a}\) her. Vereinfache den Term so weit wie möglich. b) Berechne mit dieser Formel für \(a = 26\) ausgehend von \(x_0 = 3\) die Näherungswerte \(x_1\) und \(x_2\). Runde beide auf vier Nachkommastellen.

Für \(f(x)=x^3+2x^2-7\) soll die reelle Nullstelle mit dem Newton-Verfahren bestimmt werden. Verwende \(x_0=1{,}5\) und führe die Iteration so lange durch, bis sich die ersten drei Nachkommastellen nicht mehr ändern. Runde das Endergebnis auf drei Stellen hinter dem Komma.

Berechne mithilfe des Newton-Verfahrens die im Intervall \([1; 2]\) liegende Nullstelle der Funktion \(f(x) = x^4 - 5x + 1\). Verwende den Startwert \(x_0 = 1{,}5\) und gib das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau an.

Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens einen auf zwei Dezimalstellen genauen Näherungswert für eine Lösung der Gleichung \(x^3 - 3x^2 + 1 = 0\). Wähle als Startwert für die Iteration \(x_0 = 0{,}5\).

Die Graphen von \(f(x)=x^4\) und \(g(x)=2x+5\) schneiden sich für \(x>0\). Berechne die \(x\)-Koordinate dieses Schnittpunkts mit dem Newton-Verfahren und gib das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen an.

Für \(g(x)=x^4-2x^3-2\): 1. Begründe, warum \(g\) im Intervall \([2;3]\) mindestens eine Nullstelle besitzt. 2. Führe mit \(x_0=2\) zwei Newton-Schritte durch und gib \(x_1\) und \(x_2\) auf vier Nachkommastellen an.

Ein quaderförmiger Wasserbehälter hat die Innenmaße \(4\,\text{dm}\), \(5\,\text{dm}\) und \(10\,\text{dm}\). Jede Kante soll um dieselbe Länge \(x\) vergrößert werden, sodass das neue Volumen genau dreimal so groß ist wie das ursprüngliche. 1. Stelle die Volumenfunktion \(V(x)\) des vergrößerten Quaders auf. 2. Zeige, dass die Bedingung auf die Gleichung \(x^3+19x^2+110x-400=0\) führt. 3. Bestimme \(x\) mit dem Newton-Verfahren auf zwei Dezimalstellen genau. Verwende \(x_0=2\).

Bestimme eine Lösung der Gleichung \(x^3 + 3x = 5\) mithilfe des Newton-Verfahrens auf zwei Nachkommastellen genau. Wähle dazu einen geeigneten Startwert.

Leon möchte \(\sqrt[3]{2}\) mit dem Newton-Verfahren näherungsweise bestimmen. Er verwendet \(f(x) = x^3 - 2\) und \(x_0 = 1\). Seine Rechnung beginnt mit \(f(1) = -1\), \(f'(1) = 3\) und \(x_1 = 1 - \frac{f'(1)}{f(1)} = 4\). a) Erkläre den Fehler und bestimme \(x_1\) korrekt. b) Führe mit dem korrekten \(x_1\) einen weiteren Newton-Schritt durch. Gib \(x_2\) als vollständig gekürzten Bruch und auf vier Dezimalstellen gerundet an. c) Prüfe die Plausibilität deiner Näherung, indem du \(x_2^3\) mit \(2\) vergleichst.

Für \(f(x)=x^2-10\) soll die positive Nullstelle mit dem Newton-Verfahren angenähert werden. Starte mit \(x_0=3{,}5\). Führe eine Tabelle mit den Spalten \(n\), \(x_n\) und \(|x_n-x_{n-1}|\). Runde die Tabellenwerte auf sechs Nachkommastellen. Beende die Rechnung beim ersten Schritt mit \(|x_n-x_{n-1}|<0{,}001\). Berechne anschließend mit dem ungerundeten letzten Näherungswert \(|f(x_n)|\) und gib den Wert in wissenschaftlicher Schreibweise mit zwei signifikanten Ziffern an.

In den ersten Sekunden wird die Höhe eines Modellflugzeugs durch \(h(t)=0{,}1t^3-0{,}8t^2+4t+2\) beschrieben. Dabei ist \(t\) die Zeit in Sekunden und \(h(t)\) die Höhe in Metern. Bestimme mit dem Newton-Verfahren, wann das Modellflugzeug die Höhe \(10\,\text{m}\) erreicht. Verwende \(t_0=3\), führe genau zwei Newton-Schritte durch und gib \(t_1\) und \(t_2\) auf drei Nachkommastellen gerundet an.

Für \(f(x)=\frac{1}{8}x^4+\frac{3}{2}x^2+5x\): 1. Weise mithilfe der zweiten Ableitung und des Grenzwertverhaltens von \(f'\) nach, dass \(f\) genau eine Extremstelle besitzt. 2. Bestimme die Stelle dieser Extremstelle mit dem Newton-Verfahren auf drei Dezimalstellen genau. Verwende \(x_0=-1\).