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- Welche beiden Werte musst du am gegebenen Startwert berechnen? - Setze diese Werte direkt in die bereits angegebene Newton-Formel ein. - Vereinfache zuerst exakt und runde erst anschließend.

1. Für \(x_0=3\) gilt \(f(3)=9-7=2\) und \(f'(3)=6\). 2. Daher ist \(x_1=3-\frac{2}{6}=3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\). 3. Gerundet auf vier Nachkommastellen ist \(x_1\approx2{,}6667\).

\(x_1=\frac{8}{3}\approx2{,}6667\)

- Überlege dir zuerst, wie die allgemeine Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautet. - Welche Ableitung benötigst du für die Berechnung? - Achte darauf, die Funktionswerte und die Werte der Ableitung an den jeweiligen Stellen \(x_n\) korrekt zu berechnen, bevor du sie in die Formel einsetzt. - Runde erst am Ende deiner Rechnung auf die geforderten Stellen.

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 2. Ersten Iterationsschritt berechnen: \(f(1) = 1^3 + 2 \cdot 1 - 5 = -2\) und \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2 = 5\). Einsetzen in die Formel: \(x_1 = 1 - \frac{-2}{5} = 1{,}4\). 3. Zweiten Iterationsschritt berechnen: \(f(1{,}4) = 1{,}4^3 + 2 \cdot 1{,}4 - 5 = 2{,}744 + 2{,}8 - 5 = 0{,}544\). 4. Ableitung an der Stelle \(x_1\) berechnen: \(f'(1{,}4) = 3 \cdot 1{,}4^2 + 2 = 3 \cdot 1{,}96 + 2 = 7{,}88\). 5. Einsetzen in die Formel: \(x_2 = 1{,}4 - \frac{0{,}544}{7{,}88} \approx 1{,}330964\dots\). 6. Runden auf vier Dezimalstellen: \(x_1 = 1{,}4000\) und \(x_2 \approx 1{,}3310\).

\(x_1 = 1{,}4000\) \(x_2 \approx 1{,}3310\)

- Welche Werte brauchst du in der Newton-Formel für den ersten Schritt? - Welche Ableitung gehört zu der gegebenen Funktion? - Verwende den berechneten Wert \(x_1\) als neuen Ausgangswert für den zweiten Schritt. - Achte erst am Ende auf die verlangte Rundung.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x) = 3x^2 + 2x + 1\). 2. Für den ersten Newton-Schritt gilt \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\). 3. Mit \(x_0 = 1\) ist \(f(1) = -2\) und \(f'(1) = 6\). 4. Damit folgt \(x_1 = 1 - \frac{-2}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333\). 5. Für den zweiten Schritt ist \(f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{13}{27}\) und \(f'\left(\frac{4}{3}\right) = 9\). 6. Somit ergibt sich \(x_2 = \frac{4}{3} - \frac{13/27}{9} = \frac{311}{243} \approx 1{,}2798\).

\(x_1 \approx 1{,}3333\); \(x_2 \approx 1{,}2798\)

- Welche Ableitung brauchst du für die Newton-Formel? - Welche beiden Funktionswerte gehören zum ersten Startwert \(x_0\)? - Setze für den zweiten Schritt den zuvor bestimmten Wert \(x_1\) ein. - Runde die Iterierten erst auf die verlangten vier Nachkommastellen.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x) = 1{,}5x^2 + 1\). 2. Für \(x_0 = 2\) gilt \(f(2) = 2\) und \(f'(2) = 7\). 3. Daher ist \(x_1 = 2 - \frac{2}{7} = \frac{12}{7} \approx 1{,}7143\). 4. Für den zweiten Schritt gilt \(f\left(\frac{12}{7}\right) = \frac{80}{343}\) und \(f'\left(\frac{12}{7}\right) = \frac{265}{49}\). 5. Damit folgt \(x_2 = \frac{12}{7} - \frac{80/343}{265/49} = \frac{620}{371} \approx 1{,}6712\).

\(x_1 \approx 1{,}7143\); \(x_2 \approx 1{,}6712\)

- Schau dir die Formel in Zelle C1 an und ersetze den Zellbezug B1 durch die Variable \(x\). - Vergleiche die Formeln in der Tabelle mit der allgemeinen Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). - Der Startwert ist der erste Wert, mit dem die Rechnung beginnt. - Um den Wert in B2 zu finden, musst du die Formeln der ersten Zeile Schritt für Schritt mit dem Startwert ausrechnen.

1. Aus der Formel in Zelle C1 (\(0{,}5 \cdot B1^2 - 4\)) lässt sich die Funktion \(f(x) = 0{,}5x^2 - 4\) ablesen. Der Startwert \(x_0\) steht in Zelle B1 und beträgt \(4\). 2. In Zelle E1 wird der Quotient \(\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) berechnet, also das Korrekturglied des Newton-Verfahrens. In Zelle F1 wird dieses Korrekturglied vom aktuellen Näherungswert subtrahiert (\(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\)), um den verbesserten Näherungswert für den nächsten Schritt zu erhalten. 3. Zelle B2 übernimmt den Wert aus F1. Zuerst werden C1 und D1 für \(x_0 = 4\) berechnet: \(f(4) = 0{,}5 \cdot 4^2 - 4 = 4\) und \(f'(4) = 4\) (da die Ableitung von \(0{,}5x^2 - 4\) gleich \(x\) ist). Damit ist \(E1 = 4 : 4 = 1\) und \(F1 = 4 - 1 = 3\). In B2 steht somit der Wert \(3\).

1. \(f(x) = 0{,}5x^2 - 4\); \(x_0 = 4\) 2. E1 berechnet das Korrekturglied \(\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\); F1 berechnet den neuen Näherungswert \(x_{n+1}\). 3. In Zelle B2 steht der Wert \(3\).

- Überlege zuerst, wie die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren lautet. - Welche mathematische Operation musst du an der Funktion \(f(x)\) durchführen, um die Formel anwenden zu können? - Achte darauf, die berechneten Werte für \(f(x_n)\) und \(f'(x_n)\) sorgfältig in den Bruch einzusetzen. - Nutze den Taschenrechner für die Potenzen, aber notiere dir die Zwischenschritte.

1. Bestimmung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 4x^3 + 2\). 2. Berechnung des ersten Iterationsschritts: \(f(1) = -2\) und \(f'(1) = 6\). Damit ergibt sich \(x_1 = 1 - \frac{-2}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}3333\). 3. Berechnung des zweiten Iterationsschritts mit \(x_1 = \frac{4}{3}\): \(f(\frac{4}{3}) = \frac{67}{81} \approx 0{,}8272\) und \(f'(\frac{4}{3}) = \frac{310}{27} \approx 11{,}4815\). 4. Einsetzen in die Formel: \(x_2 = \frac{4}{3} - \frac{67/81}{310/27} = \frac{4}{3} - \frac{67}{930} = \frac{1173}{930} = \frac{391}{310} \approx 1{,}2613\).

\(x_1 \approx 1{,}3333\) \(x_2 \approx 1{,}2613\)

- Welche Funktion und welche Ableitung gehören zu der gegebenen Gleichung? - Welche Werte musst du am jeweiligen Näherungswert in die Newton-Regel einsetzen? - Der zweite Schritt beginnt mit dem Ergebnis des ersten Schritts. - Unterscheide zwischen dem gerundeten Iterationswert und einer Aussage über die tatsächliche Nullstelle.

1. Setze \(f(x) = x^3 - 4x + 1\). Dann ist \(f'(x) = 3x^2 - 4\). 2. Für \(x_0 = 2\) gilt \(f(2) = 1\) und \(f'(2) = 8\). 3. Daher ist \(x_1 = 2 - \frac{1}{8} = 1{,}8750\). 4. Für \(x_1 = 1{,}875\) gilt \(f(1{,}875) = 0{,}091796875\) und \(f'(1{,}875) = 6{,}546875\). 5. Damit folgt \(x_2 = 1{,}875 - \frac{0{,}091796875}{6{,}546875} \approx 1{,}8610\).

\(x_1 = 1{,}8750\) \(x_2 \approx 1{,}8610\)

- Das Newton-Verfahren nutzt die Formel \(x_{n+1} = x_n - \frac{h(x_n)}{h'(x_n)}\). - Leite die gegebene Gleichung \(h(x) = 0\) korrekt ab, um die Steigung für das Verfahren zu erhalten. - Achte darauf, die Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit am Ende zu gewährleisten.

1. Die Funktion für das Newton-Verfahren ist \(h(x) = 3x^5 + x - 5\) mit der Ableitung \(h'(x) = 15x^4 + 1\). 2. Erster Newton-Schritt mit \(x_0 = 1\): \(h(1) = 3(1)^5 + 1 - 5 = -1\) und \(h'(1) = 15(1)^4 + 1 = 16\). Es folgt \(x_1 = 1 - \frac{-1}{16} = 1{,}0625\). 3. Zweiter Newton-Schritt mit \(x_1 = 1{,}0625\): \(h(1{,}0625) \approx 3 \cdot 1{,}3541 + 1{,}0625 - 5 \approx 0{,}1248\) und \(h'(1{,}0625) \approx 15 \cdot 1{,}2744 + 1 \approx 20{,}116\). Es folgt \(x_2 = 1{,}0625 - \frac{0{,}1248}{20{,}116} \approx 1{,}05629\). 4. Auf drei Dezimalstellen gerundet ergibt sich \(x \approx 1{,}056\).

Die gesuchte Stelle liegt bei etwa \(x \approx 1{,}056\).

- Welcher Punkt der roten Geraden auf der horizontalen Achse ist für Teil a entscheidend? - Welche Steigung hat die Tangente an der Stelle \(x_0=-3\)? - Vergleiche die rechnerisch erhaltene Zahl mit dem in der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt.

1. Aus der Abbildung lässt sich für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse ungefähr \(x_1 \approx -2{,}5\) ablesen. 2. Es gilt \(f(-3) = -2{,}75\) und \(f'(x) = 0{,}75x^2 - 1\), also \(f'(-3) = 5{,}75\). 3. Mit der Newton-Formel folgt \(x_1 = -3 - \frac{-2{,}75}{5{,}75} = -3 + \frac{11}{23} = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\). 4. Dieser Wert ist genau die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts der Tangente im Punkt \((-3\mid f(-3))\) mit der \(x\)-Achse. Deshalb entspricht er geometrisch dem ersten Newton-Schritt.

a) \(x_1 \approx -2{,}5\) b) \(x_1 = -\frac{58}{23} \approx -2{,}52\); der Wert ist die \(x\)-Koordinate des Tangentenschnittpunkts mit der \(x\)-Achse.

- Welche Bedingung erfüllt jeder Punkt auf der \(x\)-Achse? - Löse die Tangentengleichung zunächst allgemein nach der gesuchten \(x\)-Koordinate auf. - Setze die Zahlenwerte erst ein, nachdem der allgemeine Zusammenhang feststeht. - Prüfe das Rechenergebnis am eingezeichneten Tangentenschnittpunkt.

1. Für den Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse gilt \(0 = f(x_0) + f'(x_0)(x_1-x_0)\). 2. Daraus folgt \(f'(x_0)(x_1-x_0) = -f(x_0)\). Für \(f'(x_0) \neq 0\) erhält man \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\). 3. Für \(f(x)=x^2-2\) gilt \(f(2)=2\) und \(f'(2)=4\). 4. Daher ist \(x_1 = 2 - \frac{2}{4} = \frac{3}{2} = 1{,}5\). Dies stimmt mit dem Schnittpunkt der Tangente mit der \(x\)-Achse in der Abbildung überein.

a) \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\) b) \(x_1 = \frac{3}{2} = 1{,}5\); dies stimmt mit der Abbildung überein.

- Welche Gleichung gilt an einer Schnittstelle zweier Funktionsgraphen? - Wie kannst du diese Gleichung in eine Nullstellengleichung umformen? - Welche beiden Werte von \(h\) und \(h'\) brauchst du am Startwert?

1. An einem Schnittpunkt gilt \(f(x)=g(x)\). Daher ist \(x^3=x+1\) äquivalent zu \(h(x)=x^3-x-1=0\). 2. Die Ableitung lautet \(h'(x)=3x^2-1\). 3. Für \(x_0=\frac{3}{2}\) gilt \(h\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{7}{8}\) und \(h'\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{23}{4}\). 4. Der Newton-Schritt ergibt \(x_1=\frac{3}{2}-\frac{7/8}{23/4}=\frac{31}{23}\approx1{,}3478\).

a) \(h(x)=x^3-x-1\) b) \(x_1=\frac{31}{23}\approx1{,}3478\)

- Erinnere dich an die Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\). - Rechne konsequent mit Brüchen, um ein exaktes Ergebnis ohne Rundungsfehler zu erhalten. - Beim Dividieren durch einen Bruch musst du mit dem Kehrwert multiplizieren. - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob der Bruch weiter gekürzt werden kann.

1. Definition der Funktion und ihrer Ableitung: \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) und \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Berechnung von \(x_1\): \(f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 1 = 1\) und \(f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 6 \cdot 3 = 9\). Daraus folgt \(x_1 = 3 - \frac{1}{9} = \frac{26}{9}\). 3. Berechnung von \(x_2\): Zuerst \(f\left(\frac{26}{9}\right) = \left(\frac{26}{9}\right)^3 - 3 \cdot \left(\frac{26}{9}\right)^2 + 1 = \frac{17576}{729} - \frac{2028}{81} + 1 = \frac{17576 - 18252 + 729}{729} = \frac{53}{729}\). 4. Berechnung von \(f'\left(\frac{26}{9}\right) = 3 \cdot \left(\frac{26}{9}\right)^2 - 6 \cdot \frac{26}{9} = \frac{676}{27} - \frac{156}{9} = \frac{676 - 468}{27} = \frac{208}{27}\). 5. Berechnung des Bruchs für \(x_2\): \(x_2 = \frac{26}{9} - \frac{53/729}{208/27} = \frac{26}{9} - \frac{53}{729} \cdot \frac{27}{208} = \frac{26}{9} - \frac{53}{27 \cdot 208} = \frac{26}{9} - \frac{53}{5616}\). 6. Hauptnenner bilden: \(x_2 = \frac{16224 - 53}{5616} = \frac{16171}{5616}\).

\(x_1 = \frac{26}{9}\) \(x_2 = \frac{16171}{5616}\)

- Welche Ableitungsregel brauchst du für die Potenz \(x^3\)? - Welche Zelladresse muss in den Formeln jeweils an die Stelle von \(x_n\) treten? - Welche bereits berechneten Zellen kannst du für den Newton-Schritt direkt miteinander verknüpfen? - Verwende für den zweiten Schritt den neuen Näherungswert als nächsten Ausgangswert.

1. Die Ableitung lautet \(f'(x) = 3x^2 - 2\). 2. Die Tabellenformeln sind C1: `=B1^3 - 2*B1 - 5`, D1: `=3*B1^2 - 2` und E1: `=B1 - C1/D1`. 3. Für \(x_0 = 2\) gilt \(f(2) = -1\) und \(f'(2) = 10\). Daher ist \(x_1 = 2 - \frac{-1}{10} = 2{,}1\). 4. Für \(x_1 = 2{,}1\) gilt \(f(2{,}1) = 0{,}061\) und \(f'(2{,}1) = 11{,}23\). 5. Somit folgt \(x_2 = 2{,}1 - \frac{0{,}061}{11{,}23} \approx 2{,}09457\).

1. \(f'(x) = 3x^2 - 2\) 2. C1: `=B1^3 - 2*B1 - 5`; D1: `=3*B1^2 - 2`; E1: `=B1 - C1/D1` 3. \(x_1 = 2{,}1\); \(x_2 \approx 2{,}09457\)

- Untersuche das Vorzeichen der Funktionswerte an verschiedenen Stellen, um die Existenz einer Nullstelle zu prüfen. - Betrachte die erste Ableitung der Funktion, um eine Aussage über die Monotonie zu treffen. - Erinnere dich an die Formel für die Iterationsschritte beim Newton-Verfahren. - Führe die Berechnungen so lange durch, bis die gewünschte Anzahl an Dezimalstellen stabil bleibt.

1. Nachweis der Existenz einer Nullstelle: Da \(f\) als Polynomfunktion stetig ist und \(f(1) = -2 < 0\) sowie \(f(2) = 10 > 0\) gilt, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle im Intervall \((1; 2)\). 2. Nachweis der Eindeutigkeit: Die Ableitung \(f'(x) = 3x^2 + 5\) ist für alle \(x \in \mathbb{R}\) positiv. Daher ist \(f\) streng monoton steigend und besitzt höchstens eine Nullstelle. 3. Newton-Verfahren mit \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 5x_n - 8}{3x_n^2 + 5}\): \(x_0 = 1\) \(x_1 = 1 - \frac{-2}{8} = 1{,}25\) \(x_2 = 1{,}25 - \frac{0{,}203125}{9{,}6875} \approx 1{,}2290323\) \(x_3 \approx 1{,}2288603\) \(x_4 \approx 1{,}2288602\) 4. Da \(x_3\) und \(x_4\) auf vier Dezimalstellen übereinstimmen, liegt die Nullstelle bei \(x \approx 1{,}2289\).

a) Die Existenz folgt aus dem Vorzeichenwechsel zwischen \(f(1) = -2\) und \(f(2) = 10\). Die Eindeutigkeit folgt aus \(f'(x) = 3x^2 + 5 > 0\) für alle \(x\). b) Die Nullstelle liegt bei \(x \approx 1{,}2289\).

- Welche zwei Aussagen brauchst du, um zunächst Existenz und dann Eindeutigkeit der Nullstelle zu begründen? - Wie kann dir das Vorzeichen der Ableitung im gesamten Intervall helfen? - Wähle für die Iteration einen Startwert, der sicher im angegebenen Intervall liegt. - Rechne intern genauer als die vier Dezimalstellen, die am Ende verlangt werden.

1. Es gilt \(g(0) = -2\) und \(g(1) = 2\). Wegen des Vorzeichenwechsels und der Stetigkeit von \(g\) liegt mindestens eine Nullstelle in \([0;1]\). 2. Die Ableitung ist \(g'(x) = 4x^3 + 3\). Für alle \(x \in [0;1]\) gilt \(g'(x) > 0\), also ist \(g\) dort streng monoton steigend. Die Nullstelle ist daher eindeutig. 3. Mit dem Startwert \(x_0 = 0{,}5\) lautet die Newton-Regel \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 + 3x_n - 2}{4x_n^3 + 3}\). 4. Die ersten Iterierten sind \(x_1 = 0{,}625\), \(x_2 \approx 0{,}618062\), \(x_3 \approx 0{,}618034\) und \(x_4 \approx 0{,}618034\). 5. Damit lautet die Nullstelle auf vier Dezimalstellen \(x \approx 0{,}6180\).

a) Wegen \(g(0) = -2\), \(g(1) = 2\) und \(g'(x) = 4x^3 + 3 > 0\) auf \([0;1]\) besitzt \(g\) dort genau eine Nullstelle. b) Mit \(x_0 = 0{,}5\) ergibt sich \(x \approx 0{,}6180\).

- Welche Funktion beschreibt die Steigung des gegebenen Graphen? - Forme die Bedingung „Steigung gleich 2“ in eine Nullstellengleichung um. - Welche Ableitung gehört zu dieser neuen Nullstellenfunktion? - Verwende den vorgegebenen Startwert und runde erst am Ende auf zwei Dezimalstellen.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-3x^2+5\). 2. Die Bedingung \(f'(x)=2\) ist äquivalent zu \(g(x)=x^3-3x^2+3=0\). 3. Für Newton wird außerdem \(g'(x)=3x^2-6x\) benötigt. 4. Mit \(x_0=2{,}5\) folgt \(x_1=2{,}5-\frac{-0{,}125}{3{,}75}=2{,}5333\ldots\). 5. Der nächste Schritt liefert \(x_2\approx2{,}53209\); weitere Schritte ändern die ersten zwei Dezimalstellen nicht mehr. 6. Daher ist \(x^*\approx2{,}53\).

\(x^*\approx2{,}53\)

- Welche Steigung hat die vorgegebene Gerade? - Welche Ableitung der Funktion \(g\) beschreibt die Tangentensteigung? - Forme die Parallelitätsbedingung in eine Nullstellengleichung für eine neue Funktion um. - Wende Newton auf diese neue Funktion an und prüfe, wann die verlangten Dezimalstellen stabil bleiben.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x)=x^4-4x\). Die Gerade \(h\) hat die Steigung \(3\). 2. Für eine parallele Tangente muss \(g'(x)=3\) gelten. Gesucht ist daher eine Nullstelle von \(F(x)=x^4-4x-3\). 3. Die Ableitung dieser Hilfsfunktion ist \(F'(x)=4x^3-4\). 4. Mit \(x_0=1{,}8\) liefert Newton \(x_1\approx1{,}784603\). 5. Der zweite Schritt ergibt \(x_2\approx1{,}784358\); ein weiterer Schritt ändert die ersten zwei Dezimalstellen nicht mehr. 6. Damit ist \(x^*\approx1{,}78\).

\(x^*\approx1{,}78\)

- Welche Bedingung muss \(x^*\) für die beiden Funktionswerte erfüllen? - Wie kannst du diese Bedingung so umformen, dass das Newton-Verfahren anwendbar wird? - Welche Funktion und welche Ableitung brauchst du anschließend für einen Newton-Schritt? - Verwende jeden neuen Näherungswert als Startwert des nächsten Schritts.

1. Definition der Differenzfunktion: \(f(x) = g(x) - h(x) = (x^3 + x) - (6 - x) = x^3 + 2x - 6\). 2. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3x^2 + 2\). 3. Erster Iterationsschritt: \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1{,}5 - \frac{1{,}5^3 + 2 \cdot 1{,}5 - 6}{3 \cdot 1{,}5^2 + 2} = 1{,}5 - \frac{0{,}375}{8{,}75} \approx 1{,}4571\). 4. Zweiter Iterationsschritt: \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} \approx 1{,}4571 - \frac{0{,}00818\ldots}{8{,}369\ldots} \approx 1{,}4562\).

Nach zwei Iterationsschritten ergibt sich der Näherungswert \(x_2 \approx 1{,}4562\).

- Welche Gleichung erfüllt die \(x\)-Koordinate einer Extremstelle? - Welche Funktion wird deshalb mit Newton auf eine Nullstelle untersucht? - Welche Ableitung dieser Hilfsfunktion brauchst du im Nenner? - Rechne für den zweiten Schritt möglichst mit dem exakten ersten Wert.

1. Extremstellen von \(g\) sind Nullstellen von \(g'(x)=2x^3-3x^2+4x-1\). 2. Für Newton auf \(g'\) wird \(g''(x)=6x^2-6x+4\) benötigt. 3. Für \(x_0=0\) gilt \(g'(0)=-1\) und \(g''(0)=4\). Daher ist \(x_1=0-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4}=0{,}2500\). 4. Für \(x_1=\frac{1}{4}\) gilt \(g'\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{5}{32}\) und \(g''\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{23}{8}\). 5. Damit ist \(x_2=\frac{1}{4}-\frac{-5/32}{23/8}=\frac{7}{23}\approx0{,}3043\).

\(x_1=0{,}2500\); \(x_2\approx0{,}3043\)

- Wann schneiden sich zwei Graphen? Überlege, welche Gleichung du lösen musst. - Wie lautet die allgemeine Formel für das Newton-Verfahren? - Denke daran, die Ableitung der Funktion zu bilden, deren Nullstelle du suchst. - Wiederhole die Berechnung so lange, bis die geforderte Anzahl an Dezimalstellen stabil bleibt.

1. Differenzfunktion: \(h(x)=f(x)-g(x)=x^3-x^2+2x+5\). Ein Schnittpunkt liegt genau dann vor, wenn \(h(x)=0\). 2. Ableitung: \(h'(x)=3x^2-2x+2\). 3. Newton-Verfahren mit \(x_0=-1\): \(x_1=-1-\frac{h(-1)}{h'(-1)}=-1-\frac{1}{7}\approx-1{,}142857\) \(x_2\approx-1{,}132552\) \(x_3\approx-1{,}132494\) \(x_4\approx-1{,}132494\) 4. Die letzten beiden Werte stimmen auf drei Dezimalstellen überein. Daher ist \(x\approx-1{,}132\).

Die \(x\)-Koordinate des Schnittpunktes ist \(x \approx -1{,}132\).

- Überlege dir zuerst, wie die Ableitung einer Potenzfunktion gebildet wird. - Versuche beim Umformen der Formel, alle Terme auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen. - Achte bei den numerischen Berechnungen darauf, Zwischenergebnisse nicht zu früh zu runden, um die Genauigkeit von \(x_2\) nicht zu gefährden. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein Wert eine Nullstelle der Funktion \(f(x) = x^4 - a\) ist?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 4x^3\). 2. Einsetzen in die Newton-Iterationsformel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - a}{4x_n^3}\). 3. Zusammenfassen der Terme durch Erweitern des ersten Summanden mit \(4x_n^3\): \(x_{n+1} = \frac{4x_n^4 - (x_n^4 - a)}{4x_n^3} = \frac{3x_n^4 + a}{4x_n^3} = \frac{1}{4} \left(3x_n + \frac{a}{x_n^3}\right)\). 4. Numerische Berechnung für \(a = 100\) und \(x_0 = 3\): \(x_1 = \frac{1}{4} \left(3 \cdot 3 + \frac{100}{3^3}\right) \approx 3{,}175926 \approx 3{,}1759\) \(x_2 = \frac{1}{4} \left(3 \cdot 3{,}175926 + \frac{100}{3{,}175926^3}\right) \approx 3{,}162365 \approx 3{,}1624\) 5. Mit dem ungerundeten Wert \(x_2 \approx 3{,}162365\) gilt \(x_2^4 \approx 100{,}0111\). Mit dem gerundeten Wert \(3{,}1624\) erhält man \(3{,}1624^4 \approx 100{,}0155\).

a) \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - a}{4x_n^3} = \frac{4x_n^4 - x_n^4 + a}{4x_n^3} = \frac{3x_n^4 + a}{4x_n^3} = \frac{1}{4} \left( 3x_n + \frac{a}{x_n^3} \right)\) b) \(x_1 \approx 3{,}1759\); \(x_2 \approx 3{,}1624\) c) Mit dem gerundeten Wert gilt \(3{,}1624^4 \approx 100{,}0155\). Die Abweichung zu \(100\) beträgt etwa \(0{,}0155\).

- Welche Volumeneinheit entspricht einem Liter? - Welche Gleichung muss die gesuchte Füllhöhe erfüllen? - Forme diese Gleichung so um, dass du eine Nullstelle bestimmen kannst. - Verwende für den zweiten Schritt den ungerundeten ersten Näherungswert.

1. Wegen \(120\,\text{Liter} = 120\,\text{dm}^3\) wird die Nullstelle von \(f(h) = 0{,}5h^3 + 9\pi h - 120\) gesucht. 2. Die Ableitung lautet \(f'(h) = 1{,}5h^2 + 9\pi\). 3. Für \(h_0 = 3\) gilt \(f(3) \approx -21{,}677\) und \(f'(3) \approx 41{,}774\). 4. Damit ist \(h_1 = 3 - \frac{f(3)}{f'(3)} \approx 3{,}518907\), also \(h_1 \approx 3{,}519\). 5. Mit dem ungerundeten Wert \(h_1\) ergibt sich \(f(h_1) \approx 1{,}282\) und \(f'(h_1) \approx 46{,}848\). 6. Daher ist \(h_2 = h_1 - \frac{f(h_1)}{f'(h_1)} \approx 3{,}491552\), also \(h_2 \approx 3{,}492\).

\(h_1 \approx 3{,}519\,\text{dm}\) \(h_2 \approx 3{,}492\,\text{dm}\)

- Welche Ableitung hat die Funktion \(x^3-a\)? - Welche Terme entstehen, wenn du die Newton-Formel auf einen gemeinsamen Nenner bringst? - Vereinfache die allgemeine Formel vollständig, bevor du Zahlen einsetzt. - Der zweite Näherungswert entsteht aus dem ersten; verwende dafür möglichst viele Stellen.

1. Für \(f(x) = x^3 - a\) gilt \(f'(x) = 3x^2\). 2. Einsetzen in die Newton-Formel ergibt \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3-a}{3x_n^2}\). 3. Vereinfachen liefert \(x_{n+1} = \frac{2x_n^3+a}{3x_n^2} = \frac{1}{3}\left(2x_n+\frac{a}{x_n^2}\right)\). 4. Für \(a = 26\) und \(x_0 = 3\) ist \(x_1 = \frac{1}{3}\left(6+\frac{26}{9}\right) = \frac{80}{27} \approx 2{,}9630\). 5. Mit \(x_1 = \frac{80}{27}\) folgt \(x_2 = \frac{1}{3}\left(2\cdot\frac{80}{27}+\frac{26}{(80/27)^2}\right) \approx 2{,}9625\).

a) \(x_{n+1} = \frac{1}{3}\left(2x_n + \frac{a}{x_n^2}\right)\) b) \(x_1 \approx 2{,}9630\); \(x_2 \approx 2{,}9625\)

- Überlege dir zuerst, wie die Ableitung der Funktion lautet. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den nächsten Näherungswert beim Newton-Verfahren. - Setze die Werte Schritt für Schritt in deinen Taschenrechner ein. - Achte darauf, während der Rechnung mit genügend vielen Nachkommastellen zu arbeiten, um Rundungsfehler zu vermeiden.

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion: \(f'(x) = 3x^2 + 4x\). 2. Aufstellen der Rekursionsformel des Newton-Verfahrens: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^3 + 2x_n^2 - 7}{3x_n^2 + 4x_n}\). 3. Erster Iterationsschritt mit \(x_0 = 1{,}5\): \(f(1{,}5) = 0{,}875\) und \(f'(1{,}5) = 12{,}75\). Daraus folgt \(x_1 = 1{,}5 - \frac{0{,}875}{12{,}75} \approx 1{,}431373\). 4. Zweiter Iterationsschritt: \(f(1{,}431373) \approx 0{,}030290\) und \(f'(1{,}431373) \approx 11{,}871972\). Daraus folgt \(x_2 \approx 1{,}431373 - \frac{0{,}030290}{11{,}871972} \approx 1{,}428821\). 5. Dritter Iterationsschritt: \(f(1{,}428821) \approx 0{,}000041\) und \(f'(1{,}428821) \approx 11{,}839874\). Daraus folgt \(x_3 \approx 1{,}428818\). 6. Da sich die ersten drei Nachkommastellen stabilisiert haben, ist der Näherungswert gefunden.

Die Nullstelle liegt bei etwa \(x \approx 1{,}429\).

- Bilde zuerst die Ableitungsfunktion und setze sie korrekt in die Newton-Formel ein. - Verwende den angegebenen Startwert \(x_0 = 1{,}5\). - Führe die Rechnung so lange fort, bis sich das Ergebnis auf die gewünschte Anzahl an Stellen nicht mehr ändert.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 4x^3 - 5\). 2. Newton-Formel: \(x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^4 - 5x_n + 1}{4x_n^3 - 5}\). 3. Berechnung der Iterationswerte mit \(x_0 = 1{,}5\): - \(x_1 = 1{,}5 - \frac{-1{,}4375}{8{,}5} \approx 1{,}669118\) - \(x_2 \approx 1{,}669118 - \frac{0{,}415950}{13{,}600338} \approx 1{,}638534\) - \(x_3 \approx 1{,}638534 - \frac{0{,}015445}{12{,}596498} \approx 1{,}637308\) - \(x_4 \approx 1{,}637308 - \frac{0{,}000024}{12{,}557024} \approx 1{,}637306\) 4. Die Werte stabilisieren sich auf drei Dezimalstellen bei \(1{,}637\).

Die Nullstelle im Intervall \([1; 2]\) ist \(x \approx 1{,}637\).

- Hast du die Funktionsgleichung so aufgeschrieben, dass eine Seite der Gleichung Null ist? - Erinnere dich an die Formel für das Newton-Verfahren. Welche Ableitung benötigst du? - Führe die Schritte der Iteration nacheinander aus und notiere die Zwischenergebnisse. - Wann merkst du, dass du genau genug gerechnet hast? Vergleiche die Ergebnisse aufeinanderfolgender Schritte.

1. Definition der Funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) und ihrer Ableitung \(f'(x) = 3x^2 - 6x\). 2. Anwendung der Newton-Iterationsformel \(x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) mit dem Startwert \(x_0 = 0{,}5\). 3. Erste Iteration: \(x_1 = 0{,}5 - \frac{0{,}375}{-2{,}25} \approx 0{,}6667\). 4. Zweite Iteration: \(x_2 \approx 0{,}6667 - \frac{-0{,}0370}{-2{,}6667} \approx 0{,}6528\). 5. Dritte Iteration: \(x_3 \approx 0{,}6528 - \frac{-0{,}0002}{-2{,}6383} \approx 0{,}6527\). 6. Da sich die ersten beiden Nachkommastellen stabilisiert haben, ergibt sich der Näherungswert \(x \approx 0{,}65\).

\(x \approx 0{,}65\)

- Wie hängen die Schnittpunkte zweier Graphen mit den Nullstellen einer neuen Funktion zusammen? - Findest du durch Probieren ganzzahliger Werte ein Intervall, in dem ein Vorzeichenwechsel stattfindet? - Setze deine Ergebnisse immer wieder in die Iterationsformel ein, bis sich die gewünschten Dezimalstellen nicht mehr ändern. - Achte darauf, dass du im Bereich \(x > 0\) bleibst, wie in der Aufgabe gefordert.

1. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^4 - 2x - 5\). Für einen Schnittpunkt muss \(h(x) = 0\) gelten. 2. Ableitung der Funktion bilden: \(h'(x) = 4x^3 - 2\). 3. Suche nach einem geeigneten Startwert durch Testen von Werten: \(h(1) = -6\) und \(h(2) = 7\). Da ein Vorzeichenwechsel vorliegt, liegt die Nullstelle im Intervall \([1; 2]\). Gewählter Startwert \(x_0 = 1{,}5\). 4. Erste Iteration: \(x_1 = 1{,}5 - \frac{h(1{,}5)}{h'(1{,}5)} = 1{,}5 - \frac{-2{,}9375}{11{,}5} \approx 1{,}7554\). 5. Zweite Iteration: \(x_2 \approx 1{,}7554 - \frac{0{,}9851}{19{,}6378} \approx 1{,}7053\). 6. Dritte Iteration: \(x_3 \approx 1{,}7053 - \frac{0{,}0456}{17{,}8354} \approx 1{,}7027\). 7. Vierte Iteration: \(x_4 \approx 1{,}7027\). Der auf zwei Dezimalstellen genaue Wert ist \(1{,}70\).

\(x \approx 1{,}70\)

- Welche Eigenschaft einer Polynomfunktion und welche Funktionswerte an den Intervallgrenzen helfen beim Existenznachweis? - Welche Ableitung brauchst du für das Newton-Verfahren auf \(g\)? - Verwende das Ergebnis des ersten Newton-Schritts als Ausgangswert des zweiten. - Runde Zwischenergebnisse nicht unnötig früh.

1. Die Funktion \(g\) ist als Polynomfunktion stetig. Es gilt \(g(2) = 2^4 - 2 \cdot 2^3 - 2 = -2\) und \(g(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 - 2 = 25\). Wegen des Vorzeichenwechsels besitzt \(g\) nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in \([2;3]\). 2. Die Ableitung lautet \(g'(x) = 4x^3 - 6x^2\). 3. Mit \(x_0=2\) ergibt sich \(x_1 = 2 - \frac{-2}{8} = 2{,}25\). 4. Für den zweiten Schritt gilt \(x_2 = 2{,}25 - \frac{2{,}25^4 - 2 \cdot 2{,}25^3 - 2}{4 \cdot 2{,}25^3 - 6 \cdot 2{,}25^2} \approx 2{,}1942\).

1. Da \(g(2)<0\), \(g(3)>0\) und \(g\) stetig ist, besitzt \(g\) nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle in \([2;3]\). 2. Nach zwei Newton-Schritten ist \(x_2 \approx 2{,}1942\).

- Wie verändert sich jede der drei Kantenlängen durch die gemeinsame Verlängerung \(x\)? - Welches Zielvolumen entspricht dem Dreifachen des ursprünglichen Volumens? - Forme die Volumenbedingung in eine Nullstellengleichung um. - Wende Newton auf genau diese Hilfsfunktion an und runde erst das Endergebnis auf zwei Dezimalstellen.

1. Das ursprüngliche Volumen beträgt \(4\cdot5\cdot10=200\,\text{dm}^3\); das Zielvolumen ist \(600\,\text{dm}^3\). Daher ist \(V(x)=(4+x)(5+x)(10+x)\). 2. Ausmultiplizieren ergibt \(V(x)=x^3+19x^2+110x+200\). Mit \(V(x)=600\) folgt \(x^3+19x^2+110x-400=0\). 3. Setze \(F(x)=x^3+19x^2+110x-400\). Dann ist \(F'(x)=3x^2+38x+110\). 4. Für \(x_0=2\) ergibt sich \(x_1\approx2{,}485\) und anschließend \(x_2\approx2{,}458\). 5. Weitere Iteration stabilisiert die ersten zwei Dezimalstellen bei \(x\approx2{,}46\,\text{dm}\).

1. \(V(x)=(4+x)(5+x)(10+x)\) 2. \(V(x)=600\iff x^3+19x^2+110x-400=0\) 3. \(x\approx2{,}46\,\text{dm}\)

- Überlege dir zuerst, in welchem Bereich die Lösung ungefähr liegen könnte, indem du Funktionswerte testest. - Denke daran, die Gleichung so umzuformen, dass eine Seite Null ergibt. - Die Iterationsformel benötigt sowohl die Funktion als auch ihre erste Ableitung. - Wiederhole das Verfahren so lange, bis sich die gewünschten Nachkommastellen nicht mehr verändern.

1. Definition der Funktion \(f(x) = x^3 + 3x - 5\) und ihrer Ableitung \(f'(x) = 3x^2 + 3\). 2. Wahl eines Startwertes: Da \(f(1) = -1\) und \(f(2) = 9\), liegt eine Nullstelle im Intervall \([1; 2]\). Sei \(x_0 = 1\). 3. Erste Iteration: \(x_1 = 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{-1}{6} \approx 1{,}1667\). 4. Zweite Iteration: \(x_2 = 1{,}1667 - \frac{f(1{,}1667)}{f'(1{,}1667)} \approx 1{,}1667 - \frac{0{,}0879}{7{,}0834} \approx 1{,}1543\). 5. Dritte Iteration: \(x_3 = 1{,}1543 - \frac{f(1{,}1543)}{f'(1{,}1543)} \approx 1{,}15417\). 6. Da sich die ersten beiden Nachkommastellen nicht mehr ändern, ist die Lösung näherungsweise \(1{,}15\).

\(x \approx 1{,}15\)

- Erinnere dich an die allgemeine Formel für einen Schritt des Näherungsverfahrens. Welche Funktionswerte benötigst du dafür? - Was bedeutet es geometrisch, wenn wir eine Tangente an den Graphen legen? Wie hängt die Steigung dieser Tangente mit der Ableitung zusammen? - Betrachte den Graphen an der Stelle \(x = 1\). Welche besondere Eigenschaft hat die Kurve dort und was bedeutet das für die Tangente? - Stelle dir die Tangente an der Stelle \(x = 1{,}1\) vor. Wo schneidet diese Tangente die \(x\)-Achse?

1. Ableitung der Funktion bestimmen: \(f'(x) = 3x^2 - 3\) 2. Ersten Schritt für \(x_0 = 2\) berechnen: \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 1 = 3\) \(f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 3 = 9\) \(x_1 = 2 - \frac{f(2)}{f'(2)} = 2 - \frac{3}{9} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) 3. Zweiten Schritt für \(x_1 = \frac{5}{3}\) berechnen: \(f\left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right)^3 - 3 \cdot \frac{5}{3} + 1 = \frac{125}{27} - 4 = \frac{17}{27}\) \(f'\left(\frac{5}{3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 3 = \frac{25}{3} - 3 = \frac{16}{3}\) \(x_2 = \frac{5}{3} - \frac{f\left(\frac{5}{3}\right)}{f'\left(\frac{5}{3}\right)} = \frac{5}{3} - \frac{\frac{17}{27}}{\frac{16}{3}} = \frac{5}{3} - \frac{17}{144} = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) 4. Begründung für \(x_0 = 1\): Rechnerisch gilt \(f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 0\). Da die Newton-Formel eine Division durch \(f'(x_n)\) verlangt, ist der Schritt für \(f'(x_0) = 0\) nicht definiert. Anschaulich besitzt die Funktion bei \(x = 1\) ein lokales Minimum. Die Tangente an dieser Stelle verläuft waagerecht und schneidet die \(x\)-Achse nicht. 5. Erklärung für \(x_0 = 1{,}1\): Da \(x_0 = 1{,}1\) sehr nahe am Tiefpunkt bei \(x = 1\) liegt, ist die Steigung der Tangente dort sehr klein (\(f'(1{,}1) = 0{,}63\)). Da der Funktionswert negativ ist (\(f(1{,}1) = -0{,}969\)), führt die flache Tangente dazu, dass man entlang dieser Linie sehr weit nach rechts gehen muss, um die \(x\)-Achse zu schneiden (\(x_1 \approx 2{,}64\)).

a) \(x_1 = \frac{5}{3} \approx 1{,}667\) und \(x_2 = \frac{223}{144} \approx 1{,}549\) b) Rechnerisch ist \(f'(1) = 0\), weshalb eine Division durch null entstehen würde. Anschaulich verläuft die Tangente am Tiefpunkt waagerecht und hat keinen Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse. c) Da die Steigung der Tangente nahe am Tiefpunkt sehr klein ist, verläuft sie fast waagerecht. Von einem Punkt unterhalb der \(x\)-Achse aus liegt ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse deshalb weit rechts von der tatsächlichen Nullstelle.

- Welche Punkte des Graphen liegen auf der \(x\)-Achse? - Welche Ableitung brauchst du für den ersten Newton-Schritt? - Welche geometrische Besonderheit haben Stellen, an denen die Ableitung null ist? - Löse die Gleichung für diese Stellen erst exakt und runde anschließend.

1. Aus dem Graphen liest man ungefähr die Nullstellen \(-2{,}5\), \(0{,}5\) und \(1{,}9\) ab. 2. Die Ableitung ist \(f'(x)=0{,}6x^2-1\). 3. Für \(x_0=2\) gilt \(f(2)=0{,}1\) und \(f'(2)=1{,}4\). Damit ist \(x_1=2-\frac{0{,}1}{1{,}4}=\frac{27}{14}\approx1{,}929\). 4. Ungeeignet sind Startwerte mit \(f'(x_0)=0\), weil die Newton-Formel dort durch null teilen würde; geometrisch ist die Tangente waagrecht. 5. Aus \(0{,}6x^2-1=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}\approx\pm1{,}29\).

a) Ungefähr \(-2{,}5\), \(0{,}5\), \(1{,}9\) b) \(x_1=\frac{27}{14}\approx1{,}929\) c) Ungeeignet sind \(x\approx-1{,}29\) und \(x\approx1{,}29\), weil dort \(f'(x)=0\).

- Rechne bei der Iteration intern genauer als die zwei Dezimalstellen des Endergebnisses. - Welche Steigung hat der Graph im Ursprung? - Vergleiche die rechnerische Ableitung dort mit der Form des Graphen in der Abbildung.

1. Es gilt \(f'(x)=x^3-4x\). 2. Aus \(x_0=3\) folgen nacheinander \(x_1\approx2{,}7167\), \(x_2\approx2{,}6234\), \(x_3\approx2{,}6132\) und \(x_4\approx2{,}6131\). 3. Damit ist die größte positive Nullstelle auf zwei Dezimalstellen \(x\approx2{,}61\). 4. Für \(x_0=0\) gilt \(f'(0)=0\). Die Newton-Formel ist daher nicht definiert. 5. In der Abbildung erkennt man bei \(x=0\) eine waagrechte Tangente am lokalen Maximum; sie schneidet die \(x\)-Achse nicht.

a) \(x\approx2{,}61\) b) Bei \(x_0=0\) gilt \(f'(0)=0\); die Tangente ist waagrecht und der Newton-Schritt nicht definiert.

- Runde für Teil a erst die ausgegebenen Iterierten, nicht die internen Zwischenwerte. - Suche im Graphen nach einer Stelle, an der die Kurve fast horizontal verläuft. - Welche Auswirkung hat eine sehr kleine Tangentensteigung auf den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse?

1. Die Ableitung lautet \(f'(x)=x^3-4x+0{,}5\). 2. Für \(x_0=3\) gilt \(f(3)=4{,}75\) und \(f'(3)=15{,}5\). Damit ist \(x_1=3-\frac{4{,}75}{15{,}5}\approx2{,}694\). 3. Mit dem ungerundeten ersten Wert ergibt sich \(x_2\approx2{,}586\). 4. Ein problematischer Bereich liegt beim lokalen Minimum nahe \(x\approx1{,}93\). Beispielsweise ist \(x_0\approx1{,}9\) ungünstig, weil die Tangente dort fast waagrecht verläuft und ihr Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse weit entfernt liegen kann.

a) \(x_1\approx2{,}694\); \(x_2\approx2{,}586\) b) Zum Beispiel \(x_0\approx1{,}9\); dort ist die Tangente nahe dem lokalen Minimum fast waagrecht.

- Welche der beiden dargestellten Funktionen steht im Nenner des Newton-Schritts für \(g\)? - Lies im Graphen von \(d\) den Wert bei \(x=2\) ab. - Welche geometrische Bedeutung hat ein Ableitungswert von null für den Graphen von \(g\)?

1. Für Newton auf \(g\) wird \(g'(x)=d(x)=3x^2-6x\) benötigt. 2. Für \(x_0=3\) gilt \(g(3)=1\) und \(g'(3)=9\). Daher ist \(x_1=3-\frac{1}{9}\approx2{,}889\). 3. Mit dem ungerundeten ersten Wert folgt \(x_2\approx2{,}879\). 4. Bei \(x=2\) gilt \(d(2)=g'(2)=0\). Der Nenner der Newton-Formel wäre daher null. 5. Geometrisch bedeutet \(g'(2)=0\), dass der Graph von \(g\) dort eine waagrechte Tangente besitzt; ein Newton-Schritt ist nicht definiert.

a) \(x_1\approx2{,}889\); \(x_2\approx2{,}879\) b) Bei \(x_0=2\) gilt \(d(2)=g'(2)=0\); der Newton-Schritt ist wegen Division durch null nicht definiert.

- Vergleiche die fehlerhafte Rechnung mit der Struktur eines Newton-Schritts und achte auf die Rollen von Funktions- und Ableitungswert. - Rechne beim zweiten Schritt möglichst lange mit exakten Brüchen. - Prüfe die erhaltene Näherung in der Gleichung, deren positive Lösung gesucht wird.

1. Im Korrekturterm des Newton-Verfahrens wurden Zähler und Nenner vertauscht. Richtig ist \(x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\). 2. Mit \(f(1)=-1\) und \(f'(1)=3\) folgt \(x_1=1-\frac{-1}{3}=\frac{4}{3}\). 3. Für \(x_1=\frac{4}{3}\) gilt \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{10}{27}\) und \(f'\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{16}{3}\). 4. Damit ist \(x_2=\frac{4}{3}-\frac{10/27}{16/3}=\frac{91}{72}\approx1{,}2639\). 5. Es gilt \(x_2^3=\left(\frac{91}{72}\right)^3\approx2{,}0190\). Der Kubus liegt nahe bei \(2\), daher ist die Näherung plausibel.

a) Der Fehler ist das Vertauschen von \(f(x_0)\) und \(f'(x_0)\) im Newton-Bruch; korrekt ist \(x_1=\frac{4}{3}\). b) \(x_2=\frac{91}{72}\approx1{,}2639\). c) \(x_2^3\approx2{,}0190\), also liegt der Kubus nahe bei \(2\).

- Welche Aussage über \(f'\) folgt daraus, dass \(f''\) überall positiv ist? - Wie helfen die Grenzwerte von \(f'\) zusammen mit strenger Monotonie bei der Anzahl seiner Nullstellen? - Für die Extremstelle suchst du eine Nullstelle welcher Funktion? - Welche Ableitung dieser Funktion steht dann im Nenner des Newton-Schritts?

1. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac{1}{2}x^3+3x+5\), die zweite Ableitung \(f''(x)=\frac{3}{2}x^2+3\). 2. Für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt \(f''(x)>0\). Daher ist \(f'\) streng monoton steigend. 3. Außerdem gilt \(\lim_{x\to-\infty}f'(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty\). Somit besitzt \(f'\) genau eine Nullstelle und \(f\) genau eine Extremstelle; wegen \(f''>0\) ist sie ein Minimum. 4. Für die Nullstelle von \(f'\) wird Newton mit \(f''\) im Nenner angewendet. Aus \(x_0=-1\) folgen \(x_1\approx-1{,}3333\), \(x_2\approx-1{,}3006\) und \(x_3\approx-1{,}3003\). 5. Weiteres Iterieren stabilisiert die ersten drei Dezimalstellen bei \(x\approx-1{,}300\).

1. \(f'\) ist wegen \(f''(x)>0\) streng monoton steigend und nimmt Werte von \(-\infty\) bis \(+\infty\) an; daher besitzt \(f\) genau eine Extremstelle, ein Minimum. 2. Die Extremstelle liegt bei \(x\approx-1{,}300\).