- Beginne direkt mit dem gegebenen Wert \(x_0\) und setze ihn in die Vorschrift ein. - Welcher Wert muss beim zweiten Durchgang an die Stelle von \(x_n\) gesetzt werden? - Beschreibe bei b) den Ablauf von einem Schritt zum nächsten, nicht das Ziel der Folge.

1. Für den ersten Schritt wird \(x_0=2\) erneut in die Vorschrift eingesetzt: \(x_1=\frac{1}{2}\left(2+\frac{3}{2}\right)=\frac{7}{4}=1{,}75\). 2. Im nächsten Schritt wird der so erhaltene Wert verwendet: \(x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{4}+\frac{3}{7/4}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{4}+\frac{12}{7}\right)=\frac{97}{56}\approx1{,}7321\). 3. Bei einer Iteration wird das Ergebnis eines Schritts wieder als Eingabewert für den nächsten Schritt verwendet.

a) \(x_1=\frac{7}{4}=1{,}7500\) \(x_2=\frac{97}{56}\approx1{,}7321\) b) Das Ergebnis eines Iterationsschritts wird jeweils als Eingabe für den folgenden Schritt verwendet.

- Welcher Wert ist nach dem ersten Schritt der aktuelle Näherungswert? - Was bedeutet der Index \(n+1\) in Bezug auf den vorherigen Wert \(x_n\)? - Vergleiche die Zahl, die in der zweiten Zeile eingesetzt wurde, mit dem Ergebnis der ersten Zeile.

1. Bei einer Iteration wird für den nächsten Schritt der zuletzt berechnete Wert eingesetzt. Nach dem ersten Schritt ist daher \(x_1=1\) der neue Eingabewert. 2. Leonie setzt in der zweiten Zeile fälschlich noch einmal \(x_0=0\) ein. 3. Richtig ist \(x_2=0{,}5\cdot1+1=1{,}5\).

a) Im zweiten Schritt muss \(x_1\) statt erneut \(x_0\) eingesetzt werden. b) \(x_2=1{,}5\)

- Setze den vorgeschlagenen Wert auf der rechten Seite der Iterationsvorschrift ein. - Vergleiche das Ergebnis mit dem eingesetzten Wert. - Überlege, was beim nächsten Schritt passiert, wenn sich der Wert nicht ändert.

1. Für \(x=4\) ist \(0{,}75\cdot4+1=4\). Daher ist \(4\) ein Fixpunkt. 2. Mit \(x_0=4\) folgt \(x_1=0{,}75\cdot4+1=4\). 3. Ein Fixpunkt ist ein Wert, der durch die Iterationsvorschrift nicht verändert wird.

a) Ja, denn \(0{,}75\cdot4+1=4\). b) \(x_1=4\) c) Ein Fixpunkt bleibt beim Anwenden der Iterationsvorschrift unverändert.

- Wie viel Prozent des Wirkstoffs bleiben nach dem Abbau übrig? - Bei jeder neuen Gabe ist noch ein Teil des alten Wirkstoffs da, und eine feste Menge kommt hinzu. Wie lässt sich das als Rekursion schreiben? - Für den Grenzwert bleibt der Wert von einem Schritt zum nächsten gleich. Wie kannst du das in der Rekursion ausdrücken?

1. Zu Beginn der Behandlung ist \(c_0 = 0\). Nach der ersten Gabe (\(n=1\)) ist \(c_1 = 80\). 2. Vor der \((n+1)\)-ten Gabe sind noch \(60\,\%\) von \(c_n\) vorhanden (Abbau um \(40\,\%\)), also \(0{,}6c_n\). 3. Durch die neue Gabe erhöht sich dieser Wert um \(80\), woraus die Rekursion \(c_{n+1} = 0{,}6c_n + 80\) folgt. 4. Der Grenzwert \(L\) wird durch die Fixpunktgleichung \(L = 0{,}6L + 80\) bestimmt. 5. Umstellen der Gleichung: \(0{,}4L = 80\). 6. Auflösen nach \(L\): \(L = \frac{80}{0{,}4} = 200\).

a) \(c_0 = 0\); \(c_{n+1} = 0{,}6c_n + 80\) (oder für \(n \geq 1\): \(c_n = 0{,}6c_{n-1} + 80\)) b) Der Grenzwert beträgt \(200\,\text{mg/l}\).

- Welche äquivalente Form der Gleichung hat \(x\) allein auf einer Seite? - Welche Einstellung des Taschenrechners brauchst du für \(\cos(x)\), wenn mit dem Bogenmaß gerechnet wird? - Welcher berechnete Wert wird jeweils zum Eingabewert des nächsten Iterationsschritts?

1. Umformung der Gleichung: \(2x - \cos(x) - 1 = 0 \iff 2x = \cos(x) + 1 \iff x = \frac{1}{2}(\cos(x) + 1)\). 2. Iterationsschritte (im Bogenmaß): \(x_1 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6967 + 1) = 0{,}8484\) \(x_2 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8484) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6612 + 1) = 0{,}8306\) \(x_3 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8306) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6743 + 1) = 0{,}8372\)

1. \(2x = \cos(x) + 1 \implies x = \frac{1}{2}(\cos(x) + 1)\). 2. \(x_1 \approx 0{,}8484\); \(x_2 \approx 0{,}8306\); \(x_3 \approx 0{,}8372\).

- An welcher Stelle stimmen Eingabewert und Funktionswert überein? - Welche Bedeutung hat deshalb der Schnittpunkt der beiden Geraden? - Verfolge die Treppe abwechselnd senkrecht und waagrecht. - Vergleiche die aufeinanderfolgenden Werte mit der Lage des Schnittpunkts.

1. Der Fixpunkt liegt am Schnittpunkt der Geraden \(y=g(x)\) und \(y=x\). Aus der Abbildung liest man ungefähr \(x=4\) ab. 2. Rechnerisch gilt am Fixpunkt \(x=0{,}5x+2\), also \(x=4\). 3. Die ersten Werte sind \(x_1=g(0)=2\), \(x_2=g(2)=3\) und \(x_3=g(3)=3{,}5\). 4. In der Treppendarstellung führt ein senkrechter Schritt zum Graphen von \(g\); der anschließende waagrechte Schritt überträgt diesen Funktionswert auf die Gerade \(y=x\) und damit auf den nächsten Eingabewert. 5. Die Werte \(2,3,3{,}5,\dots\) nähern sich dem Fixpunkt. Die Folge konvergiert gegen \(4\).

a) Fixpunkt \(x=4\) b) \(x_1=2\), \(x_2=3\), \(x_3=3{,}5\); die Treppenschritte wechseln zwischen dem Graphen von \(g\) und der Geraden \(y=x\). c) Die Folge konvergiert gegen \(4\).

- Die Formel in B3 soll ausschließlich den unmittelbar vorherigen Näherungswert aus B2 verwenden. - Kopiere dieselbe Rechenvorschrift schrittweise nach unten, statt jeden Wert unabhängig zu berechnen. - Vergleiche bei c) die letzten Näherungswerte und prüfe den vermuteten Wert anschließend in der Fixpunktgleichung.

1. Eine passende Formel für B3 ist `=(2+B2)^(1/2)`. Beim Herunterkopieren wird der Zellbezug jeweils auf den vorherigen Näherungswert angepasst. 2. Aus \(x_0=1\) folgt \(x_1=\sqrt{3}\approx1{,}7321\). 3. Weiter erhält man \(x_2=\sqrt{2+x_1}\approx1{,}9319\), \(x_3=\sqrt{2+x_2}\approx1{,}9829\) und \(x_4=\sqrt{2+x_3}\approx1{,}9957\). 4. Die Werte nähern sich dem positiven Fixpunkt \(2\). Tatsächlich erfüllt \(2=\sqrt{2+2}\) die Fixpunktgleichung.

a) `=(2+B2)^(1/2)` b) \(x_1\approx1{,}7321\) \(x_2\approx1{,}9319\) \(x_3\approx1{,}9829\) \(x_4\approx1{,}9957\) c) \(2\)

- Notiere für a) nach jedem Schritt sowohl den Speicherstand als auch den noch freien Platz. - Welche Beziehung besteht zwischen Speicherstand und freiem Platz, wenn die Gesamtkapazität fest ist? - Vergleiche die freie Kapazität nach zwei aufeinanderfolgenden Schritten.

1. Zu Beginn sind \(80-20=60\,\text{kWh}\) Speicherkapazität frei. In der ersten Stunde kommen davon \(25\,\%\), also \(15\,\text{kWh}\), hinzu. Daher ist \(S_1=35\,\text{kWh}\). 2. Danach sind \(80-35=45\,\text{kWh}\) frei. In der zweiten Stunde kommen \(0{,}25\cdot45=11{,}25\,\text{kWh}\) hinzu. Somit ist \(S_2=46{,}25\,\text{kWh}\). 3. Allgemein beträgt die noch freie Kapazität nach \(n\) Stunden \(80-S_n\). Daher gilt \(S_{n+1}=S_n+0{,}25(80-S_n)\). 4. Je größer \(S_n\) wird, desto kleiner wird die Restdifferenz \(80-S_n\). Da nur \(25\,\%\) dieser Restdifferenz hinzukommen, wird auch der absolute Zuwachs kleiner.

a) \(S_1=35\,\text{kWh}\), \(S_2=46{,}25\,\text{kWh}\) b) \(S_{n+1}=S_n+0{,}25(80-S_n)\) c) Die freie Speicherkapazität wird kleiner; deshalb werden auch \(25\,\%\) davon von Stunde zu Stunde kleiner.

- Verfolge die Treppe ab dem markierten Startwert und notiere die waagerechten Koordinaten der aufeinanderfolgenden Stufen. - Was bedeutet es für die Iteration, wenn an einer Stelle \(g(x)=x\) gilt? - Vergleiche, ob die Werte einem festen Wert näher kommen oder sich wiederholen.

1. In a) führt die Treppe von \(x_0=0\) zu \(x_1=1\), dann zu \(x_2=1{,}5\) und zu \(x_3=1{,}75\). 2. Der Graph von \(g_1\) schneidet \(y=x\) bei \((2\mid2)\). Der Fixpunkt ist daher \(x=2\); die Iterationswerte nähern sich diesem Wert an. 3. In b) führt die Treppe von \(x_0=1\) zu \(x_1=2\), dann zu \(x_2=1\) und wieder zu \(x_3=2\). 4. Der Graph von \(g_2\) schneidet \(y=x\) bei \((1{,}5\mid1{,}5)\). Trotzdem wechseln die gezeigten Iterationswerte zwischen \(1\) und \(2\); sie bilden einen Zweierzyklus und nähern sich dem Fixpunkt nicht an.

a) Teilbild a): \(x_1=1\), \(x_2=1{,}5\), \(x_3=1{,}75\); Teilbild b): \(x_1=2\), \(x_2=1\), \(x_3=2\) b) Teilbild a): Fixpunkt \(x=2\); Teilbild b): Fixpunkt \(x=1{,}5\) c) In a) nähern sich die Werte dem Fixpunkt \(2\). In b) wechseln sie in einem Zweierzyklus zwischen \(1\) und \(2\).

- Vergleiche bei den letzten Schritten nicht nur die Werte selbst, sondern auch die Größe ihrer Unterschiede. - Woran erkennst du in der Tabelle, dass das Abbruchkriterium zum ersten Mal erfüllt ist? - Welcher Wert liegt ungefähr zwischen den letzten beiden Näherungswerten?

1. Die Iterationsvorschrift wird jeweils mit dem zuletzt berechneten Wert angewendet. 2. Die Tabelle lautet: <table> <tr><th>\(n\)</th><th>\(x_n\)</th><th>\(|x_n-x_{n-1}|\)</th></tr> <tr><td>0</td><td>\(2{,}0000\)</td><td>–</td></tr> <tr><td>1</td><td>\(2{,}5000\)</td><td>\(0{,}5000\)</td></tr> <tr><td>2</td><td>\(2{,}4000\)</td><td>\(0{,}1000\)</td></tr> <tr><td>3</td><td>\(2{,}4167\)</td><td>\(0{,}0167\)</td></tr> <tr><td>4</td><td>\(2{,}4138\)</td><td>\(0{,}0029\)</td></tr> </table> 3. Bei \(n=4\) ist der Unterschied erstmals kleiner als \(0{,}01\). Daher wird bei \(x_4\approx2{,}4138\) abgebrochen. 4. Die Sprünge werden kleiner. Die Werte liegen abwechselnd etwas über und unter einem Wert nahe \(2{,}414\) und nähern sich diesem Wert an.

a) <table> <tr><th>\(n\)</th><th>\(x_n\)</th><th>\(|x_n-x_{n-1}|\)</th></tr> <tr><td>0</td><td>\(2{,}0000\)</td><td>–</td></tr> <tr><td>1</td><td>\(2{,}5000\)</td><td>\(0{,}5000\)</td></tr> <tr><td>2</td><td>\(2{,}4000\)</td><td>\(0{,}1000\)</td></tr> <tr><td>3</td><td>\(2{,}4167\)</td><td>\(0{,}0167\)</td></tr> <tr><td>4</td><td>\(2{,}4138\)</td><td>\(0{,}0029\)</td></tr> </table> Abbruch bei \(x_4\approx2{,}4138\). b) Die Sprünge werden kleiner; die Werte nähern sich ungefähr \(2{,}414\) an.

- Was bewirkt der Faktor \(0{,}6\) bei jeder positiven Höhe? - Kann die Folge nach einem Schritt unter \(0{,}5\,\text{m}\) später wieder über diese Grenze steigen? - Welche Gleichung muss ein Wert erfüllen, der sich bei der Iteration nicht mehr ändert?

1. Mit \(h_{n+1}=0{,}6h_n\) folgt \(h_1=1{,}92\,\text{m}\), \(h_2=1{,}152\,\text{m}\) und \(h_3=0{,}6912\,\text{m}\). 2. Der nächste Wert ist \(h_4=0{,}41472\,\text{m}\). Damit gilt erstmals \(h_n<0{,}5\,\text{m}\) bei \(n=4\). 3. Für einen Fixpunkt \(h\) gilt \(h=0{,}6h\). Daraus folgt \(h=0\). Im Modell werden die Sprunghöhen immer kleiner und nähern sich langfristig \(0\,\text{m}\).

a) \(h_1=1{,}92\,\text{m}\), \(h_2=1{,}152\,\text{m}\), \(h_3=0{,}6912\,\text{m}\) b) \(h_4=0{,}41472\,\text{m}\); erstmals erfüllt bei \(n=4\) c) Fixpunkt \(h=0\); im Modell nähern sich die Sprunghöhen langfristig \(0\,\text{m}\).

- Stelle eine Regel auf, die aus der Menge direkt nach einer Einnahme die Menge direkt nach der nächsten Einnahme berechnet. - Bestimme selbst die Restquote, die zu einem Abbau um \(30\,\%\) gehört, bevor du die nächste Einnahme berücksichtigst. - Für den langfristig unveränderten Wert muss die nächste berechnete Menge genauso groß sein wie die aktuelle.

1. Zwischen zwei Einnahmen bleiben \(70\,\%\) der vorhandenen Menge übrig. Deshalb gilt \(x_{n+1}=0{,}7x_n+20\) mit \(x_0=0\). 2. Daraus folgen \(x_1=20\), \(x_2=34\), \(x_3=43{,}8\), \(x_4=50{,}66\) und \(x_5=55{,}462\), jeweils in \(\text{mg}\). 3. Nach der vierten Einnahme wird \(50\,\text{mg}\) zum ersten Mal überschritten. 4. Für einen langfristig unveränderten Wert \(G\) gilt \(G=0{,}7G+20\). Daraus folgt \(0{,}3G=20\) und damit \(G=66{,}\bar{6}\,\text{mg}\).

a) \(x_1=20\,\text{mg}\), \(x_2=34\,\text{mg}\), \(x_3=43{,}8\,\text{mg}\), \(x_4=50{,}66\,\text{mg}\), \(x_5=55{,}462\,\text{mg}\) b) Nach der vierten Einnahme c) \(66{,}\bar{6}\,\text{mg}\)

- Beschreibe zuerst, wie aus der Wassermenge eines Tages die Wassermenge des nächsten Tages entsteht. - Für die Obergrenze suchst du einen Zustand, bei dem sich die Wassermenge von einem Tag zum nächsten nicht mehr ändert. - Für Teil c) reicht es, die Tageswerte in der Nähe von \(250\,\text{l}\) nacheinander zu vergleichen.

1. Mit \(W_0=0\) gilt \(W_{n+1}=0{,}85W_n+60\). 2. Daher ist \(W_1=60\,\text{l}\), \(W_2=111\,\text{l}\), \(W_3=154{,}35\,\text{l}\) und \(W_4=191{,}1975\,\text{l}\approx191{,}20\,\text{l}\). 3. Für einen langfristig unveränderten Wert \(L\) gilt \(L=0{,}85L+60\). Daraus folgt \(0{,}15L=60\) und damit \(L=400\,\text{l}\). 4. Weiteres Berechnen ergibt \(W_5\approx222{,}52\,\text{l}\), \(W_6\approx249{,}14\,\text{l}\) und \(W_7\approx271{,}77\,\text{l}\). Damit werden \(250\,\text{l}\) am Tag \(7\) erstmals überschritten.

a) Nach zwei Tagen: \(111\,\text{l}\); nach drei Tagen: \(154{,}35\,\text{l}\); nach vier Tagen: \(191{,}20\,\text{l}\) b) \(400\,\text{l}\) c) Am Tag \(7\)

- Drücke zuerst den noch freien Platz im Wald mithilfe von \(B_n\) aus. - Welche Größe muss zu \(B_n\) hinzukommen, damit der nächste Bestand entsteht? Nutze dafür die Wachstumsregel aus dem Text. - Beobachte, wie sich die Differenz zur Kapazitätsgrenze von Jahr zu Jahr verändert.

1. Der Zuwachs beträgt \(0{,}25(4000-B_n)\). Damit ergibt sich \(B_{n+1}=B_n+0{,}25(4000-B_n)\). 2. Ohne Zwischenrundung folgen \(B_0=800\), \(B_1=1600\), \(B_2=2200\), \(B_3=2650\), \(B_4=2987{,}5\) und \(B_5=3240{,}625\). 3. Gerundet sind das für die Jahre \(1\) bis \(5\): \(1600\), \(2200\), \(2650\), \(2988\) und \(3241\) Bäume. 4. Weil die Differenz zur Kapazität \(4000\) immer kleiner wird, nimmt auch der jährliche Zuwachs ab und nähert sich \(0\).

a) \(B_{n+1}=B_n+0{,}25(4000-B_n)\) oder \(B_{n+1}=0{,}75B_n+1000\) b) \(B_1=1600\), \(B_2=2200\), \(B_3=2650\), \(B_4\approx2988\), \(B_5\approx3241\) c) In jedem Jahr kommen nur \(25\,\%\) des noch freien Platzes \(4000-B_n\) hinzu. Deshalb bleibt ein Rest bis \(4000\), und der Bestand überschreitet die Grenze nicht. Weil dieser Rest immer kleiner wird, werden auch die jährlichen Zuwächse kleiner und nähern sich \(0\).

- Überlege, wie sich die Temperaturdifferenz von einer Minute zur nächsten verändert. - Formuliere zuerst eine Regel, die aus \(T_n\) den nächsten Wert \(T_{n+1}\) erzeugt. - Für die explizite Form ist die Differenz zur Umgebungstemperatur einfacher als die absolute Temperatur. - Berechne für c) benachbarte Folgenglieder in der Nähe der Zieltemperatur.

1. Rekursiv gilt \(T_{n+1}=T_n-0{,}12(T_n-21)=0{,}88T_n+2{,}52\) mit \(T_0=80\). 2. Die Differenz zur Umgebungstemperatur beträgt anfangs \(59\,^\circ\text{C}\) und wird pro Minute mit \(0{,}88\) multipliziert. Daher gilt explizit \(T_n=21+59\cdot0{,}88^n\). 3. Für den ersten Zeitpunkt unter \(45\,^\circ\text{C}\) gilt \(T_7\approx45{,}11\,^\circ\text{C}\) und \(T_8\approx42{,}22\,^\circ\text{C}\). Somit ist der Kaffee nach \(8\) Minuten zum ersten Mal kälter als \(45\,^\circ\text{C}\).

a) \(T_{n+1}=0{,}88T_n+2{,}52\) mit \(T_0=80\) b) \(T_n=21+59\cdot0{,}88^n\) c) Nach \(8\) Minuten

- Welche Vorzeichen haben die beiden Seiten des Intervalls, wenn du sie in die Gleichung einsetzt? - Welche äquivalente Form der Gleichung hat \(x\) allein auf einer Seite? - Welcher Wert wird nach jedem Iterationsschritt in die Vorschrift für den nächsten Schritt eingesetzt? - Behalte intern mehr Stellen als die vier Nachkommastellen, die du am Ende angibst.

1. Sei \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Es gilt \(f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1 - 5 = -1\) und \(f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 - 5 = 9\). Da \(f\) stetig ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Lösung im Intervall \([1; 2]\). 2. Umformung: \(x^3 + 3x = 5 \iff x \cdot (x^2 + 3) = 5 \iff x = \frac{5}{x^2 + 3}\). 3. Berechnung der Iterationsschritte: \(x_1 = \frac{5}{1^2 + 3} = 1{,}2500\) \(x_2 = \frac{5}{1{,}25^2 + 3} = \frac{5}{4{,}5625} \approx 1{,}0959\) \(x_3 = \frac{5}{1{,}0959^2 + 3} \approx \frac{5}{4{,}2010} \approx 1{,}1902\)

1. \(f(1) = -1 < 0\) und \(f(2) = 9 > 0\), daher liegt eine Lösung in \([1; 2]\). 2. \(x \cdot (x^2 + 3) = 5 \implies x = \frac{5}{x^2 + 3}\). 3. \(x_1 = 1{,}2500\); \(x_2 \approx 1{,}0959\); \(x_3 \approx 1{,}1902\).

- Beide Verfahren beginnen mit demselben Startwert, verwenden aber unterschiedliche Vorschriften für den nächsten Wert. - Führe bei jedem Verfahren den zweiten Schritt mit dessen eigenem ersten Ergebnis aus. - Für den Vergleich in c) wird bei beiden Ergebnissen genau dieselbe Größe \(|x_2^2-3|\) betrachtet.

1. Für \(f(x)=x^2-3\) gilt \(f'(x)=2x\). Der Newton-Schritt ist damit \(x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-3}{2x_n}\). 2. Aus \(x_0=2\) folgt beim Newton-Verfahren \(x_1=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=1{,}75\). 3. Der zweite Newton-Schritt ergibt \(x_2=\frac{7}{4}-\frac{1/16}{7/2}=\frac{97}{56}\approx1{,}732143\). 4. Bei der Fixpunktiteration gilt \(x_1=\frac{2+3}{2+1}=\frac{5}{3}\approx1{,}666667\). 5. Danach ist \(x_2=\frac{5/3+3}{5/3+1}=\frac{7}{4}=1{,}75\). 6. Für Newton ist \(R=\left|\left(\frac{97}{56}\right)^2-3\right|=\frac{1}{3136}\approx0{,}000319\). Für die Fixpunktiteration ist \(R=\left|\left(\frac{7}{4}\right)^2-3\right|=\frac{1}{16}=0{,}0625\). 7. Gemessen am vorgegebenen Restbetrag liefert das Newton-Verfahren nach zwei Schritten den besseren Wert.

a) \(x_1=\frac{7}{4}=1{,}75\), \(x_2=\frac{97}{56}\approx1{,}732143\) b) \(x_1=\frac{5}{3}\approx1{,}666667\), \(x_2=\frac{7}{4}=1{,}75\) c) Newton: \(R=\frac{1}{3136}\approx0{,}000319\); Fixpunktiteration: \(R=\frac{1}{16}=0{,}0625\). Gemessen an \(R\) ist das Newton-Verfahren nach zwei Schritten günstiger.