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- Beginne direkt mit dem gegebenen Wert \(x_0\) und setze ihn in die Vorschrift ein. - Welcher Wert muss beim zweiten Durchgang an die Stelle von \(x_n\) gesetzt werden? - Beschreibe bei b) den Ablauf von einem Schritt zum nächsten, nicht das Ziel der Folge.

1. Für den ersten Schritt wird \(x_0=2\) erneut in die Vorschrift eingesetzt: \(x_1=\frac{1}{2}\left(2+\frac{3}{2}\right)=\frac{7}{4}=1{,}75\). 2. Im nächsten Schritt wird der so erhaltene Wert verwendet: \(x_2=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{4}+\frac{3}{7/4}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{7}{4}+\frac{12}{7}\right)=\frac{97}{56}\approx1{,}7321\). 3. Bei einer Iteration wird das Ergebnis eines Schritts wieder als Eingabewert für den nächsten Schritt verwendet.

a) \(x_1=\frac{7}{4}=1{,}7500\) \(x_2=\frac{97}{56}\approx1{,}7321\) b) Das Ergebnis eines Iterationsschritts wird jeweils als Eingabe für den folgenden Schritt verwendet.

- Wie viel Prozent des Wirkstoffs bleiben nach dem Abbau übrig? - Stelle dir vor, was bei jeder neuen Medikamentengabe passiert: Ein Teil des alten Wirkstoffs ist noch da, und eine feste Menge kommt hinzu. - Ein Grenzwert ist erreicht, wenn sich die Konzentration von einer Gabe zur nächsten nicht mehr verändert.

1. Zu Beginn der Behandlung ist \(c_0 = 0\). Nach der ersten Gabe (\(n=1\)) ist \(c_1 = 80\). 2. Vor der \((n+1)\)-ten Gabe sind noch \(60\,\%\) von \(c_n\) vorhanden (Abbau um \(40\,\%\)), also \(0{,}6c_n\). 3. Durch die neue Gabe erhöht sich dieser Wert um \(80\), woraus die Rekursion \(c_{n+1} = 0{,}6c_n + 80\) folgt. 4. Der Grenzwert \(L\) wird durch die Fixpunktgleichung \(L = 0{,}6L + 80\) bestimmt. 5. Umstellen der Gleichung: \(0{,}4L = 80\). 6. Auflösen nach \(L\): \(L = \frac{80}{0{,}4} = 200\).

a) \(c_0 = 0\); \(c_{n+1} = 0{,}6c_n + 80\) (oder für \(n \geq 1\): \(c_n = 0{,}6c_{n-1} + 80\)) b) Der Grenzwert beträgt \(200\,\text{mg/l}\).

- Wie verhalten sich die Werte zueinander, wenn man sie dividiert oder subtrahiert? - Was bedeutet es für die Änderung von Schritt zu Schritt, wenn ein Modell „linear“ genannt wird? - Welche Rechenoperation gehört zu einem Wachstumsfaktor? - Wie berechnet man den Unterschied zwischen zwei Werten im Verhältnis zum ursprünglichen Wert?

1. Berechnung der Quotienten: \(\frac{300}{200} = 1{,}5\); \(\frac{450}{300} = 1{,}5\); \(\frac{675}{450} = 1{,}5\). Da alle Quotienten gleich sind, liegt ein exponentielles Modell mit dem Wachstumsfaktor \(a = 1{,}5\) vor. 2. Bestimmung von \(d\) aus Woche 0 und 1: \(d = A_1 - A_0 = 300 - 200 = 100\). Das lineare Modell lautet \(L_{n+1} = L_n + 100\). 3. Berechnung für Woche 3: \(L_3 = 200 + 3 \cdot 100 = 500\). Die absolute Abweichung beträgt \(675 - 500 = 175\). Die prozentuale Abweichung bezogen auf den realen Wert beträgt \(\frac{175}{675} \approx 25{,}9\,\%\).

1. \(a = 1{,}5\) 2. \(d = 100\) 3. \(L_3 = 500\); Abweichung ca. \(25{,}9\,\%\)

- An welcher Stelle stimmen Eingabewert und Funktionswert überein? - Welche Bedeutung hat deshalb der Schnittpunkt der beiden Geraden? - Verfolge die Treppe abwechselnd senkrecht und waagrecht. - Vergleiche die aufeinanderfolgenden Werte mit der Lage des Schnittpunkts.

1. Der Fixpunkt liegt am Schnittpunkt der Geraden \(y=g(x)\) und \(y=x\). Aus der Abbildung liest man ungefähr \(x=4\) ab. 2. Rechnerisch gilt am Fixpunkt \(x=0{,}5x+2\), also \(x=4\). 3. Die ersten Werte sind \(x_1=g(0)=2\), \(x_2=g(2)=3\) und \(x_3=g(3)=3{,}5\). 4. In der Treppendarstellung führt ein senkrechter Schritt zum Graphen von \(g\); der anschließende waagrechte Schritt überträgt diesen Funktionswert auf die Gerade \(y=x\) und damit auf den nächsten Eingabewert. 5. Die Werte \(2,3,3{,}5,\ldots\) nähern sich dem Fixpunkt. Die Folge konvergiert gegen \(4\).

a) Fixpunkt \(x=4\) b) \(x_1=2\), \(x_2=3\), \(x_3=3{,}5\); die Treppenschritte wechseln zwischen dem Graphen von \(g\) und der Geraden \(y=x\). c) Die Folge konvergiert gegen \(4\).

- Die Formel in B3 soll ausschließlich den unmittelbar vorherigen Näherungswert aus B2 verwenden. - Kopiere dieselbe Rechenvorschrift schrittweise nach unten, statt jeden Wert unabhängig zu berechnen. - Vergleiche bei c) die letzten Näherungswerte und prüfe den vermuteten Wert anschließend in der Fixpunktgleichung.

1. Eine passende Formel für B3 ist `=(2+B2)^(1/2)`. Beim Herunterkopieren wird der Zellbezug jeweils auf den vorherigen Näherungswert angepasst. 2. Aus \(x_0=1\) folgt \(x_1=\sqrt{3}\approx1{,}7321\). 3. Weiter erhält man \(x_2=\sqrt{2+x_1}\approx1{,}9319\), \(x_3=\sqrt{2+x_2}\approx1{,}9829\) und \(x_4=\sqrt{2+x_3}\approx1{,}9957\). 4. Die Werte nähern sich dem positiven Fixpunkt \(2\). Tatsächlich erfüllt \(2=\sqrt{2+2}\) die Fixpunktgleichung.

a) `=(2+B2)^(1/2)` b) \(x_1\approx1{,}7321\) \(x_2\approx1{,}9319\) \(x_3\approx1{,}9829\) \(x_4\approx1{,}9957\) c) \(2\)

- Überlege dir, wie sich die Temperaturdifferenz von einer Minute zur nächsten verändert. - Welchen Wert strebt die Temperatur langfristig an? - Kannst du den Term für den Anteil bestimmen, der nach einer Minute von der Differenz übrig bleibt? - Berechne die Folgenglieder nacheinander, bis die Zieltemperatur erstmals unterschritten wird.

1. Rekursive Vorschrift: \(T_{n+1} = T_n - 0{,}12(T_n - 21) = 0{,}88T_n + 2{,}52\) mit \(T_0 = 80\). 2. Explizite Formel: Die Differenz zur Umgebungstemperatur beträgt anfangs \(59\) und wird pro Minute mit \(0{,}88\) multipliziert. Daher gilt \(T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n\). 3. Für den ersten Zeitpunkt unter \(45^\circ\text{C}\) werden die Folgenglieder schrittweise berechnet: \(T_7 \approx 45{,}112^\circ\text{C}\) \(T_8 \approx 42{,}218^\circ\text{C}\) Somit ist der Kaffee nach \(8\) Minuten zum ersten Mal kälter als \(45^\circ\text{C}\).

a) \( T_{n+1} = 0{,}88T_n + 2{,}52 \) mit \( T_0 = 80 \) b) \( T_n = 21 + 59 \cdot 0{,}88^n \) c) Nach \( 8 \) Minuten.

- Welche Wirkstoffmenge bleibt jeweils bis zur nächsten Gabe erhalten? - In welcher Reihenfolge wirken Abbau und neue Dosis auf ein Folgenglied? - Ein stabiler Wert kann helfen, die explizite Darstellung einer affinen Rekursion zu strukturieren. - Vergleiche aufeinanderfolgende Folgenglieder mit der vorgegebenen Grenze.

1. Vor der nächsten Gabe bleiben \(25\,\%\) der bisherigen Menge übrig, anschließend kommen \(100\,\text{mg}\) hinzu. Daher gilt \(a_{n+1}=0{,}25a_n+100\) mit \(a_1=100\). 2. Der Grenzwert \(S\) erfüllt \(S=0{,}25S+100\), also \(S=\frac{400}{3}\). 3. Damit lautet die explizite Darstellung \(a_n=\frac{400}{3}-\frac{100}{3}\cdot0{,}25^{n-1}\). 4. Die Werte \(a_4=132{,}8125\,\text{mg}\) und \(a_5=133{,}203125\,\text{mg}\) liegen unmittelbar unter bzw. über \(133\,\text{mg}\). 5. Die Grenze wird daher erstmals nach der fünften Gabe überschritten.

a) \(a_{n+1}=0{,}25a_n+100\) mit \(a_1=100\) b) \(a_n=\frac{400}{3}-\frac{100}{3}\cdot0{,}25^{n-1}\) c) Nach der \(5.\) Gabe.

- Überlege dir, wie sich die Restschuld am Ende eines Jahres aus der Schuld des Vorjahres, den Zinsen und der Rückzahlung zusammensetzt. - Welchen Startwert musst du für die jeweilige Berechnung wählen? Beachte dabei den Unterschied zwischen dem ausgezahlten Betrag und der tatsächlichen Kreditsumme. - Berechne die Werte schrittweise Jahr für Jahr. - Vergleiche die Restbeträge nach dem fünften Jahr direkt miteinander.

1. Aufstellen der Iterationsvorschrift für Angebot A: \(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}055 - 20\,000\) mit \(K_0 = 150\,000\). 2. Berechnung der Restschulden für Angebot A: \(K_1 = 150\,000 \cdot 1{,}055 - 20\,000 = 138\,250\,\text{€}\) \(K_2 \approx 125\,853{,}75\,\text{€}\) \(K_3 \approx 112\,775{,}71\,\text{€}\) \(K_4 \approx 98\,978{,}37\,\text{€}\) \(K_5 \approx 84\,422{,}18\,\text{€}\) 3. Aufstellen der Iterationsvorschrift für Angebot B: \(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}03 - 20\,000\) mit \(K_0 = 165\,000\). 4. Berechnung der Restschulden für Angebot B: \(K_1 = 165\,000 \cdot 1{,}03 - 20\,000 = 149\,950\,\text{€}\) \(K_2 = 134\,448{,}50\,\text{€}\) \(K_3 \approx 118\,481{,}96\,\text{€}\) \(K_4 \approx 102\,036{,}41\,\text{€}\) \(K_5 \approx 85\,097{,}51\,\text{€}\) 5. Vergleich der Ergebnisse nach 5 Jahren: Angebot A hat eine Restschuld von ca. \(84\,422{,}18\,\text{€}\), Angebot B ca. \(85\,097{,}51\,\text{€}\). Angebot A ist nach 5 Jahren günstiger.

Nach 5 Jahren beträgt die Restschuld bei Angebot A ca. \(84\,422{,}18\,\text{€}\) und bei Angebot B ca. \(85\,097{,}51\,\text{€}\). Damit ist Angebot A vorteilhafter, da die Restschuld trotz des höheren Zinssatzes schneller sinkt, weil die anfängliche Kreditsumme niedriger ist.

- Erstelle für beide Modelle eine Tabelle oder eine Liste der jährlichen Berechnungen. - Beachte bei Modell 2, dass sich der Wachstumsfaktor in jedem Schritt ändert. - Denk daran, dass die Entnahme erst erfolgt, nachdem die Zinsen zum Kapital addiert wurden.

1. Iteration für Modell 1 (\(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}035 - 4000\)): \(K_0 = 50\,000\,\text{€}\) \(K_1 = 50\,000 \cdot 1{,}035 - 4000 = 47\,750\,\text{€}\) \(K_2 = 47\,750 \cdot 1{,}035 - 4000 = 45\,421{,}25\,\text{€}\) \(K_3 \approx 43\,010{,}99\,\text{€}\) \(K_4 \approx 40\,516{,}38\,\text{€}\) 2. Iteration für Modell 2 (\(K_{n+1} = K_n \cdot q_n - 4000\)): \(K_0 = 50\,000\,\text{€}\) \(K_1 = 50\,000 \cdot 1{,}02 - 4000 = 47\,000\,\text{€}\) \(K_2 = 47\,000 \cdot 1{,}025 - 4000 = 44\,175\,\text{€}\) \(K_3 = 44\,175 \cdot 1{,}03 - 4000 = 41\,500{,}25\,\text{€}\) \(K_4 = 41\,500{,}25 \cdot 1{,}035 - 4000 \approx 38\,952{,}76\,\text{€}\) 3. Vergleich: Modell 1 führt nach 4 Jahren zu einem höheren Kapitalstand.

Nach 4 Jahren beträgt das Restkapital bei Modell 1 ca. \(40\,516{,}38\,\text{€}\) und bei Modell 2 ca. \(38\,952{,}76\,\text{€}\). Somit ist Modell 1 nach vier Jahren das rentablere Modell.

- Überlege, welcher Anteil der Fische von einem Monat zum nächsten erhalten bleibt und wie viele neu hinzukommen. - Setze die Werte für \( q \), \( c \) und \( a_1 \) sorgfältig in die vorgegebene Formel ein. - Was bedeutet es für die Folgenglieder \( a_n \) und \( a_{n+1} \), wenn sich der Bestand nicht mehr ändert?

1. Aufstellen der Rekursionsgleichung: Da \( 80\,\% \) verbleiben und \( 500 \) hinzukommen, gilt \( a_{n+1} = 0{,}8a_n + 500 \) mit \( q = 0{,}8 \) und \( c = 500 \). 2. Anwendung der expliziten Vorschrift für \( n = 5 \): \( a_5 = 0{,}8^{5-1} \cdot 500 + 500 \cdot \frac{0{,}8^{4} - 1}{0{,}8 - 1} \). 3. Berechnung von \( a_5 \): \( a_5 = 0{,}8^4 \cdot 500 + 500 \cdot \frac{0{,}4096 - 1}{-0{,}2} = 0{,}4096 \cdot 500 + 500 \cdot 2{,}952 = 204{,}8 + 1476 = 1680{,}8 \). Im 5. Monat sind es ca. \( 1681 \) Fische. 4. Bestimmung des Grenzwerts \( L \): Im stabilen Zustand gilt \( L = 0{,}8L + 500 \). Dies führt zu \( 0{,}2L = 500 \), woraus \( L = 2500 \) folgt. Der Bestand nähert sich langfristig \( 2500 \) Fischen an.

a) \( a_{n+1} = 0{,}8a_n + 500 \) mit \( a_1 = 500 \) b) \( a_5 = 1680{,}8 \) (ca. \( 1681 \) Fische) c) Der Bestand nähert sich dem Wert \( 2500 \) an.

- Überlege dir zuerst, welcher Anteil des Wirkstoffs nach einem Tag noch im Körper vorhanden ist. - Wie kannst du den Zustand an einem Tag aus dem Zustand des Vortags berechnen? - Was bedeutet es mathematisch für die Werte der Folge, wenn sich langfristig ein stabiler Zustand einstellt? - Untersuche, ob die Werte der Folge immer größer werden oder sich einem bestimmten Wert nähern.

1. Iterationsvorschrift: \(a_{n+1} = 0{,}8a_n + 12\) mit \(a_0 = 0\). 2. Erste fünf Tage: \(a_1 = 12\,\text{mg}\) \(a_2 = 21{,}6\,\text{mg}\) \(a_3 = 29{,}28\,\text{mg}\) \(a_4 = 35{,}424\,\text{mg}\) \(a_5 = 40{,}3392\,\text{mg}\) 3. Sättigungswert: \(x = 0{,}8x + 12\), also \(x = 60\,\text{mg}\). 4. Da die Folge streng monoton gegen \(60\,\text{mg}\) wächst, wird der Grenzwert von \(50\,\text{mg}\) überschritten. 5. Bei \(24\,\text{mg}\) täglicher Zufuhr gilt \(x = 0{,}8x + 24\), also \(x = 120\,\text{mg}\).

a) Tag 1: \(12\,\text{mg}\); Tag 2: \(21{,}6\,\text{mg}\); Tag 3: \(29{,}28\,\text{mg}\); Tag 4: \(35{,}424\,\text{mg}\); Tag 5: \(40{,}3392\,\text{mg}\). b) Der Sättigungswert liegt bei \(60\,\text{mg}\). c) Der Grenzwert von \(50\,\text{mg}\) wird überschritten, da der Sättigungswert darüber liegt. d) Der Sättigungswert würde sich auf \(120\,\text{mg}\) verdoppeln.

- Stelle eine Gleichung auf, die die Salzmenge eines Jahres mit der des Vorjahres verknüpft. - Achte darauf, ob der Startwert über oder unter dem berechneten Sättigungswert liegt. - Was passiert mit der Gleichung für den Sättigungswert, wenn du einen der Parameter änderst? - Wie verhält sich eine Größe, die jedes Jahr um einen festen Prozentsatz abnimmt, ohne dass etwas hinzugefügt wird?

1. Aufstellen der Iterationsvorschrift: Mit einem Abfluss von \(10\,\%\) bleiben \(90\,\%\) der Salzmenge erhalten. Die Zufuhr beträgt \(200\,\text{kg}\). Es gilt \(s_{n+1} = 0{,}9s_n + 200\) mit \(s_0 = 1500\,\text{kg}\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): \(s_1 = 0{,}9 \cdot 1500 + 200 = 1550\,\text{kg}\); \(s_2 = 0{,}9 \cdot 1550 + 200 = 1595\,\text{kg}\). Weiterführend: \(s_3 = 0{,}9 \cdot 1595 + 200 = 1635{,}5\,\text{kg}\); \(s_4 = 0{,}9 \cdot 1635{,}5 + 200 = 1671{,}95\,\text{kg}\). 3. Bestimmung des Grenzwerts für Teilaufgabe b): \(x = 0{,}9x + 200 \implies 0{,}1x = 200 \implies x = 2000\,\text{kg}\). 4. Änderung des Grenzwerts für Teilaufgabe c): Mit neuem Zufluss gilt \(x = 0{,}9x + 150 \implies 0{,}1x = 150 \implies x = 1500\,\text{kg}\). Die Salzmenge bleibt dann in jedem Jahr konstant bei \(1500\,\text{kg}\). 5. Analyse für Teilaufgabe d): Ohne Zufluss gilt \(s_{n+1} = 0{,}9s_n\). Dies ist eine geometrische Folge mit dem Abnahmefaktor \(0{,}9\). Die Salzmenge würde exponentiell abnehmen und gegen \(0\,\text{kg}\) konvergieren.

a) \(s_{n+1} = 0{,}9s_n + 200\). Nach 2 Jahren: \(1595\,\text{kg}\); nach 4 Jahren: \(1671{,}95\,\text{kg}\). b) Die Salzmenge pendelt sich langfristig bei \(2000\,\text{kg}\) ein. c) Der Sättigungswert sinkt auf \(1500\,\text{kg}\). d) Die Salzmenge nimmt exponentiell ab und nähert sich langfristig dem Wert \(0\,\text{kg}\) an.

- Setze die bekannten Werte für \(B_0, B_1\) und \(G\) in die Formel ein, um die Unbekannte zu finden. - Achte darauf, für die Berechnung der nächsten Woche immer den ungerundeten Wert der Vorwoche zu nutzen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Schau dir die Struktur der Formel an: Was passiert mathematisch in der Klammer, wenn die beiden Zahlen darin fast gleich groß sind?

1. Einsetzen der Werte: \(528 = 400 + k \cdot 400 \cdot (2000 - 400)\) \(128 = 640\,000k\) \(k = 0{,}0002\). 2. Woche 2: \(B_2 = 528 + 0{,}0002 \cdot 528 \cdot (2000 - 528) = 683{,}4432 \approx 683\). Woche 3: \(B_3 = 683{,}4432 + 0{,}0002 \cdot 683{,}4432 \cdot (2000 - 683{,}4432) \approx 683{,}4432 + 179{,}9584 = 863{,}4016 \approx 863\). 3. Für \(B_n \to G\) gilt \(G-B_n \to 0\). Daher nähert sich auch der Zuwachs \(B_{n+1}-B_n = kB_n(G-B_n)\) dem Wert \(0\).

1. \(k = 0{,}0002\) 2. \(B_2 \approx 683\); \(B_3 \approx 863\) 3. Der Zuwachs nähert sich Null an, da der Faktor \((G - B_n)\) gegen Null strebt.

- Überlege, was ein Vorzeichenwechsel der Funktionswerte für die Existenz einer Nullstelle bedeutet. - Isoliere bei der Umformung das \(x\) auf einer Seite, indem du zunächst \(x\) ausklammerst. - Setze den jeweils berechneten Wert wieder in die Formel ein, um den nächsten Wert zu erhalten. - Achte darauf, bei jedem Zwischenschritt die Rundungsvorgaben einzuhalten.

1. Sei \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Es gilt \(f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1 - 5 = -1\) und \(f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 - 5 = 9\). Da \(f\) stetig ist und ein Vorzeichenwechsel vorliegt, existiert nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Lösung im Intervall \([1; 2]\). 2. Umformung: \(x^3 + 3x = 5 \iff x \cdot (x^2 + 3) = 5 \iff x = \frac{5}{x^2 + 3}\). 3. Berechnung der Iterationsschritte: \(x_1 = \frac{5}{1^2 + 3} = 1{,}2500\) \(x_2 = \frac{5}{1{,}25^2 + 3} = \frac{5}{4{,}5625} \approx 1{,}0959\) \(x_3 = \frac{5}{1{,}0959^2 + 3} \approx \frac{5}{4{,}2010} \approx 1{,}1902\)

1. \(f(1) = -1 < 0\) und \(f(2) = 9 > 0\), daher liegt eine Lösung in \([1; 2]\). 2. \(x \cdot (x^2 + 3) = 5 \implies x = \frac{5}{x^2 + 3}\). 3. \(x_1 = 1{,}2500\); \(x_2 \approx 1{,}0959\); \(x_3 \approx 1{,}1902\).

- Bringe alle Terme außer dem \(x\)-Glied auf die rechte Seite und dividiere dann durch den Koeffizienten von \(x\). - Vergewissere dich, dass dein Taschenrechner auf „RAD“ (Bogenmaß) eingestellt ist, bevor du mit den trigonometrischen Funktionen rechnest. - Wende die Iterationsvorschrift \(x_{n+1} = g(x_n)\) wiederholt an.

1. Umformung der Gleichung: \(2x - \cos(x) - 1 = 0 \iff 2x = \cos(x) + 1 \iff x = \frac{1}{2}(\cos(x) + 1)\). 2. Iterationsschritte (im Bogenmaß): \(x_1 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6967 + 1) = 0{,}8484\) \(x_2 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8484) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6612 + 1) = 0{,}8306\) \(x_3 = \frac{1}{2}(\cos(0{,}8306) + 1) \approx \frac{1}{2}(0{,}6743 + 1) = 0{,}8372\)

1. \(2x = \cos(x) + 1 \implies x = \frac{1}{2}(\cos(x) + 1)\). 2. \(x_1 \approx 0{,}8484\); \(x_2 \approx 0{,}8306\); \(x_3 \approx 0{,}8372\).

- Überlege dir, wie sich das Volumen von einer Stunde zur nächsten verändert. - Unterscheide bei der Formel, ob der Schwellenwert für die Pumpe bereits erreicht ist oder nicht. - Was bedeutet „\(75\,\%\) des Fassungsvermögens“ konkret als Zahlenwert? - Berechne die Werte Schritt für Schritt nacheinander und beachte, dass das Becken höchstens \(2000\,\text{m}^3\) enthalten kann.

1. Aufstellen der rekursiven Formel unter Berücksichtigung des Fassungsvermögens: Ohne Pumpe (\(V_n < 1200\)) gilt \(V_{n+1} = \min\{2000, V_n + 350\}\). Mit Pumpe (\(V_n \ge 1200\)) gilt \(V_{n+1} = \min\{2000, V_n + 350 - 120\} = \min\{2000, V_n + 230\}\). 2. Berechnung der Iterationsschritte: \(V_0 = 400\) \(V_1 = 400 + 350 = 750\) \(V_2 = 750 + 350 = 1100\) \(V_3 = 1100 + 350 = 1450\) \(V_4 = 1450 + 230 = 1680\) (da \(V_3 = 1450 \ge 1200\)) 3. Bestimmung des Zeitpunkts für die \(75\,\%\)-Füllung: Das Zielvolumen ist \(0{,}75 \cdot 2000\,\text{m}^3 = 1500\,\text{m}^3\). Da \(V_3 = 1450\) und \(V_4 = 1680\), wird dieser Wert nach \(4\) Stunden erstmals überschritten.

a) \(V_{n+1} = \begin{cases} \min\{2000, V_n + 350\} & \text{für } V_n < 1200 \\ \min\{2000, V_n + 230\} & \text{für } V_n \ge 1200 \end{cases}\) b) \(V_1 = 750\,\text{m}^3\); \(V_2 = 1100\,\text{m}^3\); \(V_3 = 1450\,\text{m}^3\); \(V_4 = 1680\,\text{m}^3\) c) Nach \(4\) Stunden.

- Überlege dir, welche Operation in der Formel zuerst ausgeführt wird: die Multiplikation oder die Addition? - Was passiert mit der Wirkstoffmenge, wenn sie sich nach langer Zeit kaum noch verändert? Setze in diesem Fall \(W_n = W_{n-1}\). - Du kannst die Werte für die ersten Tage schrittweise berechnen oder eine allgemeine Formel für die Glieder der Folge aufstellen. - Denk daran, dass \(W_1\) den Zustand zu Beginn des ersten Tages vor der ersten Einnahme beschreibt.

1. Modellvergleich: In Modell A wird zuerst der vorhandene Wirkstoff abgebaut und danach die neue Dosis addiert. In Modell B wird zuerst die Dosis addiert; anschließend werden \(25\,\%\) der Gesamtmenge abgebaut. 2. Grenzwerte: Modell A: \(L = 0{,}75L + 40\), also \(L_A = 160\,\text{mg}\). Modell B: \(L = 0{,}75(L+40)\), also \(L_B = 120\,\text{mg}\). 3. In Modell A sind \(90\,\%\) des Grenzwerts \(144\,\text{mg}\). Durch schrittweise Anwendung der Rekursion erhält man \(W_9 \approx 143{,}982\,\text{mg} < 144\,\text{mg}\) und \(W_{10} \approx 147{,}986\,\text{mg} > 144\,\text{mg}\). Daher werden mindestens \(90\,\%\) der Sättigungsmenge erstmals zu Beginn des Tages \(n=10\) erreicht. Das entspricht dem Zustand nach neun täglichen Einnahmen.

a) Modell A: Erst Abbau, dann Einnahme. Modell B: Erst Einnahme, dann Abbau. b) Modell A: \(160\,\text{mg}\); Modell B: \(120\,\text{mg}\). c) Zu Beginn von Tag \(n = 10\), also nach neun Einnahmen.

- Stelle dir den Ablauf eines Tages vor: Was passiert zuerst, was danach? - Ein stabiler Zustand bedeutet, dass nach einem Tag genau so viel Algenmasse verschwindet, wie neu hinzukommt. - \(1\,\%\) des Grenzwerts liefert die maximal erlaubte absolute Abweichung. - Berechne die Folgenglieder so lange weiter, bis diese Abweichung erstmals unterschritten wird.

1. Rekursive Vorschrift: \(A_n = 0{,}85(A_{n-1}+3) = 0{,}85A_{n-1}+2{,}55\) mit \(A_0=10\). 2. Langfristiger Bestand: \(L = 0{,}85L+2{,}55\), also \(L=17\,\text{kg}\). 3. Eine Abweichung von weniger als \(1\,\%\) bedeutet \(|A_n-17|<0{,}17\). Durch schrittweise Anwendung der Rekursion erhält man \(A_{22} \approx 16{,}804\,\text{kg}\), also eine Abweichung von etwa \(0{,}196\,\text{kg}\), und \(A_{23} \approx 16{,}8334\,\text{kg}\), also eine Abweichung von etwa \(0{,}1666\,\text{kg}\). Damit ist die Abweichung erstmals nach \(23\) Tagen kleiner als \(1\,\%\).

a) \(A_n = 0{,}85(A_{n-1} + 3)\) mit \(A_0 = 10\). b) \(17\,\text{kg}\). c) Nach \(23\) Tagen.

- Stelle zuerst die Gleichung für den Zuwachs im ersten Jahr auf, um die Unbekannte zu finden. - Was bedeutet es für die Entwicklung der Population, wenn der Abzug durch Fischen größer ist als der maximale natürliche Zuwachs? - Betrachte die Wachstumsfunktion für sehr kleine Bestände, um die kritische Grenze zu finden.

1. Einsetzen von \(B_0 = 800\), \(B_1 = 912\) und \(K = 5000\): \(112 = r \cdot 800 \cdot \frac{4200}{5000} = 672r\). Daher ist \(r = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 2. Die Bestandsänderung lautet \(B_{n+1}-B_n = B_n\left(r\frac{K-B_n}{K}-q\right)\). Für \(0 < B_n \leq K\) gilt \(0 \leq \frac{K-B_n}{K} < 1\). Ist \(q \geq r\), so ist der Klammerausdruck für jeden positiven Bestand negativ; die Folge nimmt also streng ab. 3. Wegen \(0 \leq q \leq 1\) bleibt zugleich \(B_{n+1}=B_n\left(1+r\frac{K-B_n}{K}-q\right)\geq0\). Die Folge ist damit nach unten beschränkt und besitzt einen Grenzwert \(L\geq0\). 4. Für einen Grenzwert gilt \(0=L\left(r\frac{K-L}{K}-q\right)\). Bei \(q\geq r\) kann der zweite Faktor für \(L>0\) nicht null sein, weil \(r\frac{K-L}{K}<r\leq q\). Daher muss \(L=0\) gelten. 5. Für \(q<r\) ist die Bestandsänderung bei hinreichend kleinen positiven Beständen dagegen positiv. Somit liegt die kritische Fangquote bei \(q=r=\frac{1}{6}\), also bei etwa \(16{,}67\,\%\). Im zulässigen Bereich gilt daher \(\frac{1}{6}\leq q\leq1\).

1. \(r = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\) 2. Für \(\frac{1}{6} \leq q \leq 1\), also ab etwa \(16{,}67\,\%\) bis höchstens \(100\,\%\), schrumpft jeder Anfangsbestand \(0 < B_0 \leq K\) langfristig gegen \(0\).

- Prüfe jede vorgeschlagene Fixpunktgleichung durch algebraisches Rückumformen. - Bei einer Iteration ist nicht nur wichtig, ob eine Gleichung äquivalent ist, sondern wohin ihre wiederholte Anwendung führt. - Vergleiche mehrere aufeinanderfolgende Werte und beobachte, ob sie sich stabilisieren oder in einen anderen Lösungsbereich wandern. - Untersuche die drei Vorschriften für die beiden Startwerte getrennt.

1. Aus \(x^3-5x+1=0\) folgt durch Umstellen jeweils \(x=\frac{x^3+1}{5}\), \(x=\sqrt[3]{5x-1}\) und \(x=\frac{1}{5-x^2}\); alle drei Gleichungen sind daher äquivalent zur Ausgangsgleichung. 2. Für \(x_0=0\) liefert (1) die Werte \(0{,}2\), \(0{,}2016\), \(0{,}20164\), \(0{,}20164\); die Folge nähert sich der Lösung im Intervall \([0;1]\). 3. Für \(x_0=0\) liefert (2) ungefähr \(-1\), \(-1{,}8171\), \(-2{,}1606\), \(-2{,}2768\); diese Iteration führt nicht zur Lösung in \([0;1]\), sondern in Richtung der negativen Lösung. 4. Für \(x_0=0\) liefert (3) ungefähr \(0{,}2\), \(0{,}20161\), \(0{,}20164\), \(0{,}20164\); auch diese Folge nähert sich der Lösung in \([0;1]\). 5. Für \(x_0=2\) führt (1) über \(1{,}8\), \(1{,}3664\), \(0{,}7102\) zur kleinen positiven Lösung; (3) führt über \(1\), \(0{,}25\), \(0{,}2025\) ebenfalls dorthin. 6. Vorschrift (2) liefert für \(x_0=2\) ungefähr \(2{,}0801\), \(2{,}1105\), \(2{,}1218\), \(2{,}1260\) und führt damit zur Lösung im Intervall \([2;3]\), die ungefähr \(2{,}1284\) beträgt.

a) Alle drei Umformungen sind äquivalent zur Ausgangsgleichung. b) (1) \(0{,}2;0{,}2016;0{,}20164;0{,}20164\): Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). (2) \(-1;-1{,}8171;-2{,}1606;-2{,}2768\): keine Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). (3) \(0{,}2;0{,}20161;0{,}20164;0{,}20164\): Konvergenz zur Lösung in \([0;1]\). c) Nur (2) führt von \(x_0=2\) zur Lösung in \([2;3]\), ungefähr \(2{,}1284\).