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Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Schwierigkeit: 1 – 5

55349911

In einer Gruppe fahren \(18\) von \(30\) Jugendlichen mit dem Bus zur Schule (Ereignis \(B\)). Von diesen \(18\) besitzen \(12\) eine Monatskarte (Ereignis \(M\)). Erkläre kurz, welche Bezugsgruppe in \(P_B(M)\) betrachtet wird, und bestimme \(P_B(M)\).

Denkanstöße

- Welche Personen bleiben übrig, wenn du auf das Ereignis \(B\) einschränkst? - Der Nenner einer bedingten Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf genau diese eingeschränkte Gruppe.

Lösung

1. Der Index \(B\) bedeutet, dass nur die \(18\) Jugendlichen betrachtet werden, die mit dem Bus fahren. 2. In dieser Bezugsgruppe besitzen \(12\) eine Monatskarte. Daher ist \(P_B(M)=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\).

Antwort

Bezugsgruppe sind die \(18\) Busfahrenden; \(P_B(M)=\frac{2}{3}\).

42207911

In einer Umfrage unter Kinobesuchern werden die Merkmale \(P\): „Die Person kauft Popcorn“ und \(G\): „Die Person kauft ein Getränk“ betrachtet. Eine Person wird zufällig aus allen Befragten ausgewählt. Ordne den folgenden Beschreibungen den jeweils passenden Ausdruck zu: \(P(P \cap G)\), \(P_P(G)\) oder \(P_G(P)\). 1. „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Besucher sowohl Popcorn als auch ein Getränk kauft?“ 2. „Unter den Besuchern, die ein Getränk kaufen, wird der Anteil derer ermittelt, die auch Popcorn wählen.“ 3. „Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Popcorn-Käufer zusätzlich ein Getränk erwirbt.“

Denkanstöße

- Achte darauf, ob sich die Aussage auf die gesamte Gruppe der Befragten bezieht oder nur auf eine Teilgruppe mit einer bestimmten Eigenschaft. - Wörter wie „und“ oder „beides“ deuten oft auf eine Schnittmenge hin. - Wörter wie „unter den...“ oder „wenn bekannt ist, dass...“ weisen auf eine Bedingung hin. - Überlege dir bei bedingten Wahrscheinlichkeiten genau, welche Information bereits gegeben ist (Bedingung) und was gesucht wird.

Lösung

1. Hier wird nach der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit für beide Merkmale gefragt: \(P(P \cap G)\). 2. Die Grundmenge ist auf die Getränkekäufer eingeschränkt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Popcorn unter dieser Bedingung: \(P_G(P)\). 3. Die Bedingung ist der Kauf von Popcorn, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Getränk: \(P_P(G)\).

Antwort

1. \(P(P \cap G)\) 2. \(P_G(P)\) 3. \(P_P(G)\)

42208011

An einer Schule engagieren sich viele Jugendliche in Musikgruppen. Es seien die Ereignisse \(I\): „Die Person spielt ein Instrument“ und \(C\): „Die Person singt im Chor“ gegeben. Aus einer statistischen Erhebung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: \(P(I) = 0{,}45\), \(P(C) = 0{,}30\) und \(P(I \cap C) = 0{,}18\). a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_I(C)\). b) Formuliere die Bedeutung des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) in einem Sachzusammenhang. c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied des Chors auch ein Instrument spielt?

Denkanstöße

- Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). - Überlege dir für die Interpretation, welche Gruppe die Basis (die Bedingung) bildet und welcher Anteil davon betrachtet wird. - Achte in Teilaufgabe c) darauf, welches Ereignis die Bedingung ist und welches Merkmal zusätzlich untersucht wird.

Lösung

1. Berechnung von \(P_I(C)\) mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_I(C) = \frac{P(I \cap C)}{P(I)} = \frac{0{,}18}{0{,}45} = 0{,}4\). 2. Interpretation: Von allen Schülern, die ein Instrument spielen, sind \(40\,\%\) auch im Chor aktiv. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Chormitglied ein Instrument spielt: \(P_C(I) = \frac{P(I \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}18}{0{,}30} = 0{,}6\). Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(60\,\%\).

Antwort

a) \(P_I(C) = 0{,}4\) b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die ein Instrument spielt, im Chor singt, beträgt \(0{,}4\) (bzw. \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6\) (bzw. \(60\,\%\)).

41475811

In einer Schule wählen die Schüler der 9. Klasse ihre Fremdsprachen. Das Ereignis \(E\) steht für „lernt Englisch“, das Ereignis \(F\) für „lernt Französisch“. Es ist bekannt: \(P(E) = 0{,}8\), \(P_E(F) = 0{,}25\) und \(P_F(E) = 1\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(E \cap F)\) und \(P(F)\). b) Interpretiere die Angabe \(P_F(E) = 1\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche Gruppe bildet bei \(P_E(F)\) die Bedingung? - Wie hängen eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die zugehörige Schnittwahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit der Bedingung zusammen? - Was sagt eine bedingte Wahrscheinlichkeit von \(1\) über die Teilmengenbeziehung der beiden Ereignisse aus?

Lösung

1. Aus \(P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\) folgt \(P(E \cap F) = P_E(F) \cdot P(E) = 0{,}25 \cdot 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Für die umgekehrte Bedingung gilt \(P_F(E) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}\). Mit \(P_F(E)=1\) ergibt sich \(1 = \frac{0{,}2}{P(F)}\), also \(P(F)=0{,}2\). 3. \(P_F(E)=1\) bedeutet: Unter den Schülerinnen und Schülern, die Französisch lernen, lernen alle auch Englisch.

Antwort

a) \(P(E \cap F) = 0{,}2\) und \(P(F) = 0{,}2\). b) Alle Schülerinnen und Schüler, die Französisch lernen, lernen auch Englisch.

42208411

Für eine Modellrechnung zur Qualitätskontrolle von Smartphones werden zwei Mängel betrachtet: Displayfehler (\(D\)) und Gehäusekratzer (\(G\)). Es gilt \(P(D)=0{,}12\), \(P(G)=0{,}08\) und \(P(\bar D\cap\bar G)=0{,}85\). a) Bestimme \(P(D\cap G)\). b) Ein Gerät hat einen Gehäusekratzer. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es zusätzlich einen Displayfehler hat.

Denkanstöße

- Welcher Anteil der Geräte weist mindestens einen der beiden Mängel auf? - Wie hängen Vereinigung, Einzelwahrscheinlichkeiten und Schnittwahrscheinlichkeit zusammen? - Welche Gruppe bildet in b) die Bedingung?

Lösung

1. Mindestens einen der beiden Mängel haben \(1-0{,}85=0{,}15\) der Geräte. Also ist \(P(D\cup G)=0{,}15\). 2. Mit \(P(D\cup G)=P(D)+P(G)-P(D\cap G)\) folgt \(P(D\cap G)=0{,}12+0{,}08-0{,}15=0{,}05\). 3. Unter den Geräten mit Gehäusekratzer beträgt der Anteil mit zusätzlichem Displayfehler \(P_G(D)=\frac{0{,}05}{0{,}08}=0{,}625\).

Antwort

a) \(P(D\cap G)=0{,}05=5\,\%\) b) \(P_G(D)=0{,}625=62{,}5\,\%\)

42208511

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. b) Es ist bekannt, dass die Augensumme eine gerade Zahl ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. c) Angenommen, bei beiden Würfen wurde eine gerade Zahl erzielt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt.

Denkanstöße

- Betrachte die beiden Würfe als geordnete Zahlenpaare. - Welche Zahlenpaare ergeben die Summe \(10\)? - Wie verändert sich die relevante Ergebnismenge, wenn die Augensumme als gerade bekannt ist? - Welche Ergebnisse bleiben übrig, wenn zusätzlich beide einzelnen Würfe gerade sein müssen?

Lösung

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Die Summe \(10\) entsteht bei \((4,6)\), \((5,5)\) und \((6,4)\). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 2. Eine gerade Summe entsteht genau bei gerade/gerade oder ungerade/ungerade. Das sind \(18\) Ergebnisse. Alle drei Ergebnisse mit Summe \(10\) liegen in dieser Bedingungsmenge, also beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{18} = \frac{1}{6}\). 3. Sind beide Würfe gerade, besteht die Bedingungsmenge aus \(3 \cdot 3 = 9\) Ergebnissen. Nur \((4,6)\) und \((6,4)\) haben die Summe \(10\). Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{9}\).

Antwort

a) \(\frac{1}{12}\) b) \(\frac{1}{6}\) c) \(\frac{2}{9}\)

42208611

Eine Urne enthält acht Kugeln mit den Aufschriften \(1\) bis \(8\). Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln \(9\) ergibt. b) Es wird mitgeteilt, dass die Summe der beiden Zahlen ungerade ist. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe \(9\) beträgt. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe \(9\) beträgt, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel eine Primzahl zeigt?

Denkanstöße

- Beachte, dass „ohne Zurücklegen“ bedeutet, dass eine Zahl nicht zweimal vorkommen kann. - Wie viele Paare gibt es insgesamt, wenn die Reihenfolge beachtet wird? - Wann ist die Summe von zwei Zahlen ungerade? Welche Kombinationen von „gerade“ und „ungerade“ sind dafür nötig? - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zweite Kugel, wenn die erste bereits feststeht?

Lösung

1. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ergebnisse. Die Paare mit der Summe \(9\) sind \((1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1)\). Es gibt \(8\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}\). 2. Eine ungerade Summe entsteht genau dann, wenn eine Kugel gerade und eine ungerade ist. Es gibt \(4\) gerade \(\{2, 4, 6, 8\}\) und \(4\) ungerade Zahlen \(\{1, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse mit ungerader Summe ist \(4 \cdot 4\) (gerade-ungerade) \(+ 4 \cdot 4\) (ungerade-gerade) \(= 32\). Alle \(8\) Ergebnisse mit der Summe \(9\) haben eine ungerade Summe. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). 3. Die Primzahlen in der Urne sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse, bei denen die erste Kugel eine Primzahl ist, beträgt \(4 \cdot 7 = 28\). Von den Paaren mit der Summe \(9\) beginnt die erste Kugel bei \((2,7), (3,6), (5,4)\) und \((7,2)\) mit einer Primzahl. Das sind \(4\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}\).

Antwort

a) \(P = \frac{1}{7}\) b) \(P = \frac{1}{4}\) c) \(P = \frac{1}{7}\)

42209111

In einem Sportverein mit 50 Mitgliedern wird die Vorbereitung auf einen Fitness-Wettbewerb untersucht. 35 Mitglieder nehmen regelmäßig am Training teil. Von den 30 Mitgliedern, die den Fitness-Test am Ende bestehen, haben 28 regelmäßig trainiert. Ein Mitglied des Vereins wird zufällig ausgewählt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Mitglied regelmäßig trainiert hat und den Test besteht. b) Das ausgewählte Mitglied hat den Test bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regelmäßig am Training teilgenommen hat? c) Das ausgewählte Mitglied hat nicht regelmäßig trainiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es den Test dennoch bestanden hat.

Denkanstöße

- Welche Mitglieder gehören gleichzeitig zu den Gruppen „regelmäßig trainiert“ und „Test bestanden“? - Welche Gruppe ist in b) durch die Bedingung bereits festgelegt? - Bestimme für c) zuerst, wie viele Mitglieder nicht regelmäßig trainiert haben und wie viele von ihnen den Test bestanden haben.

Lösung

1. Es sei \(T\) das Ereignis „regelmäßige Teilnahme am Training“ und \(B\) das Ereignis „Test bestanden“. Gegeben sind \(|T|=35\), \(|B|=30\) und \(|T\cap B|=28\) bei insgesamt \(50\) Mitgliedern. 2. Damit ist \(P(T\cap B)=\frac{28}{50}=\frac{14}{25}=0{,}56\). 3. Unter der Bedingung \(B\) bilden die \(30\) Personen mit bestandenem Test die Bezugsgruppe. Daher gilt \(P_B(T)=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}\). 4. Es haben \(50-35=15\) Mitglieder nicht regelmäßig trainiert. Von ihnen haben \(30-28=2\) den Test bestanden. Deshalb gilt \(P_{\bar T}(B)=\frac{2}{15}\).

Antwort

a) \(P(T\cap B)=\frac{14}{25}=0{,}56\) b) \(P_B(T)=\frac{14}{15}\) c) \(P_{\bar T}(B)=\frac{2}{15}\)

42209211

In einer Manufaktur werden 100 hochwertige Bauteile einer Qualitätsprüfung unterzogen. Bekannt ist, dass 8 dieser Bauteile defekt sind. Ein automatischer Schnelltest schlägt bei 7 der defekten Bauteile Alarm. Allerdings gibt der Test auch bei 5 der einwandfreien Bauteile eine Fehlermeldung aus. Ein Bauteil wird zufällig zur Prüfung ausgewählt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt der Schnelltest bei dem ausgewählten Bauteil Alarm? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil tatsächlich defekt ist, wenn der Test Alarm gibt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil tatsächlich defekt ist, wenn bekannt ist, dass der Test keinen Alarm gegeben hat?

Denkanstöße

- Wie viele Alarme entstehen insgesamt aus den defekten und den einwandfreien Bauteilen? - Welche Bauteile bilden in b) die neue Bezugsgruppe? - Wie viele defekte Bauteile bleiben übrig, wenn sieben der acht defekten Bauteile einen Alarm ausgelöst haben?

Lösung

1. Es sei \(D\) das Ereignis „Bauteil ist defekt“ und \(A\) das Ereignis „Test gibt Alarm“. Gegeben sind \(|D|=8\), \(|A\cap D|=7\) und \(|A\cap \bar D|=5\). 2. Insgesamt gibt es \(7+5=12\) Alarme. Daher ist \(P(A)=\frac{12}{100}=0{,}12\). 3. Unter der Bedingung \(A\) besteht die Bezugsgruppe aus diesen \(12\) Bauteilen. Davon sind \(7\) tatsächlich defekt. Somit gilt \(P_A(D)=\frac{7}{12}\approx0{,}5833\). 4. Ohne Alarm bleiben \(100-12=88\) Bauteile. Von den \(8\) defekten Bauteilen wurde genau eines nicht erkannt. Daher gilt \(P_{\bar A}(D)=\frac{1}{88}\approx0{,}0114\).

Antwort

a) \(P(A)=0{,}12\) b) \(P_A(D)=\frac{7}{12}\approx0{,}5833\) c) \(P_{\bar A}(D)=\frac{1}{88}\approx0{,}0114\)

42211511

Ein Pharmaunternehmen entwickelt einen neuen Schnelltest für eine bestimmte Allergie. In einer klinischen Studie werden die Ergebnisse des Schnelltests mit einer gesicherten Labordiagnose verglichen. Dabei bezeichne \(A\) das Ereignis „Allergie vorhanden“ und \(T\) das Ereignis „Schnelltest zeigt Allergie an“ (positives Testergebnis). a) Beschreibe die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext: (1) \(P_A(T)\) (2) \(P_A(\bar{T})\) (3) \(P_{\bar{A}}(\bar{T})\) (4) \(P_T(A)\) (5) \(P_T(\bar{A})\) (6) \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) b) Ein Patient hat gerade sein Testergebnis erhalten. Erläutere, welche der Wahrscheinlichkeiten aus Teil a) für ihn besonders groß sein sollten, damit er dem Ergebnis vertrauen kann – unterscheide dabei zwischen einem positiven und einem negativen Testergebnis.

Denkanstöße

- Überlege dir bei \(P_X(Y)\) immer zuerst: Was ist die Voraussetzung (was wissen wir schon) und was ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen? - Wer ist die Zielperson der Untersuchung und was ist ihr größtes Interesse (Sicherheit der Diagnose vs. Fehlervermeidung)? - Was bedeutet das Symbol mit dem Querstrich über dem Buchstaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? - Stell dir vor, du bist selbst der Patient: Welches Wissen hättest du nach dem Test gern über deinen tatsächlichen Gesundheitszustand?

Lösung

1. Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten: (1) Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Allergie tatsächlich vorliegt (Sensitivität). (2) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl eine Allergie vorliegt (Falsch-negativ-Rate). (3) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, wenn keine Allergie vorliegt (Spezifität). (4) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testergebnis tatsächlich eine Allergie vorliegt (positiver Prädiktionswert). (5) Wahrscheinlichkeit, dass der Test fälschlicherweise eine Allergie anzeigt, obwohl keine vorliegt (Irrtumswahrscheinlichkeit bei positivem Befund). (6) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem negativen Testergebnis tatsächlich keine Allergie vorliegt (negativer Prädiktionswert). 2. Bewertung aus Patientensicht: Hat der Patient ein positives Ergebnis (\(T\)), ist für sein Vertrauen in die Diagnose \(P_T(A)\) entscheidend; diese sollte möglichst groß sein. Hat der Patient ein negatives Ergebnis (\(\bar{T}\)), möchte er sicher sein, gesund zu sein; daher sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein.

Antwort

a) (1) Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test bei vorliegender Allergie. (2) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test trotz Allergie. (3) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test, wenn keine Allergie vorliegt. (4) Wahrscheinlichkeit, dass man bei positivem Test wirklich allergisch ist. (5) Wahrscheinlichkeit, dass man trotz positivem Test nicht allergisch ist. (6) Wahrscheinlichkeit, dass man bei negativem Test wirklich nicht allergisch ist. b) Bei einem positiven Test sollte \(P_T(A)\) möglichst groß sein, damit die Diagnose zuverlässig ist. Bei einem negativen Test sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein, damit eine Allergie sicher ausgeschlossen werden kann.

42211611

In der Endkontrolle einer Glasfabrik werden Flaschen automatisch auf Risse untersucht. Das Ereignis \(R\) beschreibt, dass eine Flasche einen Riss hat, und das Ereignis \(S\) beschreibt, dass der Sensor einen Defekt meldet. a) Gib für die folgenden Beschreibungen die zugehörige bedingte Wahrscheinlichkeit in der Notation \(P_X(Y)\) an: (1) Eine defekte Flasche wird vom Sensor fälschlicherweise nicht als solche erkannt. (2) Eine einwandfreie Flasche wird vom Sensor fälschlicherweise als defekt gemeldet. (3) Eine Flasche, bei der der Sensor einen Defekt meldet, ist tatsächlich beschädigt. (4) Eine Flasche, die der Sensor als „einwandfrei“ eingestuft hat, ist in Wahrheit fehlerfrei. (5) Eine tatsächlich beschädigte Flasche wird vom Sensor korrekt erkannt. (6) Eine Flasche, bei der der Sensor Alarm schlägt, ist eigentlich ohne Riss. b) Der Fabrikleiter möchte zwei Ziele erreichen: Erstens sollen keine defekten Flaschen an Kunden ausgeliefert werden. Zweitens soll der Ausschuss von eigentlich guten Flaschen minimiert werden. Erläutere, welche Wahrscheinlichkeiten aus Teil a) für das jeweilige Ziel möglichst groß bzw. klein sein sollten.

Denkanstöße

- Achte genau darauf, welche Bedingung im Text zuerst genannt wird – das ist die Gruppe, auf die wir uns beziehen (der Index an der Wahrscheinlichkeit \(P\)). - Überlege, was „Ausschuss“ in diesem Kontext bedeutet: Welche Kombination aus tatsächlichem Zustand und Sensormeldung führt dazu, dass eine gute Flasche weggeworfen wird? - Wie gelangen Flaschen zum Kunden? Nur wenn der Sensor „kein Defekt“ meldet. Was darf in diesem Fall nicht vorliegen?

Lösung

1. Zuordnung der Notationen: (1) \(P_R(\bar{S})\), (2) \(P_{\bar{R}}(S)\), (3) \(P_S(R)\), (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\), (5) \(P_R(S)\), (6) \(P_S(\bar{R})\). 2. Analyse Ziel 1 (keine defekten Flaschen beim Kunden): Kunden erhalten Flaschen, die als einwandfrei eingestuft wurden (\(\bar{S}\)). Damit diese nicht defekt sind, muss \(P_{\bar{S}}(R)\) minimal (nahe \(0\)) oder die Sicherheit \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) maximal (nahe \(1\)) sein. Alternativ muss die Erkennungsrate \(P_R(S)\) möglichst groß sein. 3. Analyse Ziel 2 (Ausschuss minimieren): Ausschuss entsteht, wenn gute Flaschen (\(\bar{R}\)) als defekt gemeldet werden (\(S\)). Daher muss \(P_{\bar{R}}(S)\) möglichst klein sein.

Antwort

a) (1) \(P_R(\bar{S})\); (2) \(P_{\bar{R}}(S)\); (3) \(P_S(R)\); (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\); (5) \(P_R(S)\); (6) \(P_S(\bar{R})\). b) Damit möglichst keine defekten Flaschen ausgeliefert werden, sollte vor allem \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) (4) möglichst groß sein. Entsprechend sollten \(P_R(\bar{S})\) (1) möglichst klein und \(P_R(S)\) (5) möglichst groß sein. Um den unnötigen Ausschuss zu minimieren, sollte die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm \(P_{\bar{R}}(S)\) (2) möglichst klein sein.

42212711

Für ein Modell eines Diagnoseverfahrens gelten Sensitivität \(98\,\%\) und Spezifität \(96\,\%\). \(S\) bezeichnet „Stoffwechselstörung liegt vor“ und \(T\) „Testergebnis positiv“. a) Bestimme \(P_T(S)\), wenn \(P(S)=0{,}5\,\%\) gilt. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme \(P_T(S)\), wenn stattdessen \(P(S)=5\,\%\) gilt. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Vergleiche die Ergebnisse und erläutere den Einfluss der Grundhäufigkeit auf die Aussagekraft eines positiven Ergebnisses.

Denkanstöße

- Die Testeigenschaften bleiben in a) und b) gleich; nur die Größe der Ausgangsgruppe \(S\) ändert sich. - Bestimme in jedem Fall den Gesamtanteil positiver Ergebnisse aus beiden Ausgangsgruppen. - Vergleiche anschließend den Anteil des Pfades \(S\cap T\) an allen positiven Ergebnissen.

Lösung

1. Für \(P(S)=0{,}005\) ist \(P(T)=0{,}98\cdot0{,}005+0{,}04\cdot0{,}995=0{,}0447\). Der gemeinsame Anteil \(P(S\cap T)\) ist \(0{,}0049\). Damit gilt \(P_T(S)=\frac{0{,}0049}{0{,}0447}\approx0{,}1096\), also \(11{,}0\,\%\). 2. Für \(P(S)=0{,}05\) ist \(P(T)=0{,}98\cdot0{,}05+0{,}04\cdot0{,}95=0{,}087\). Mit \(P(S\cap T)=0{,}049\) folgt \(P_T(S)=\frac{0{,}049}{0{,}087}\approx0{,}5632\), also \(56{,}3\,\%\). 3. Bei höherer Grundhäufigkeit stammt ein größerer Anteil aller positiven Ergebnisse aus der Gruppe \(S\). Deshalb steigt hier \(P_T(S)\), obwohl Sensitivität und Spezifität gleich bleiben.

Antwort

a) \(P_T(S)\approx11{,}0\,\%\) b) \(P_T(S)\approx56{,}3\,\%\) c) Eine höhere Grundhäufigkeit erhöht hier deutlich den Anteil tatsächlich Betroffener unter den positiv Getesteten.

42287311

Ein Unternehmen befragt \(150\) Angestellte zu den von ihnen genutzten Smartphones und Mobilfunkverträgen. Davon nutzen \(40\,\%\) ein iPhone, während die übrigen ein Android-Gerät verwenden. Unter den Befragten gibt es doppelt so viele geschäftliche Mobilfunkverträge wie private Verträge. Von den Personen mit einem geschäftlichen Vertrag nutzen \(15\,\%\) ein iPhone. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person einen privaten Vertrag besitzt oder ein iPhone nutzt.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Personen insgesamt in die jeweiligen Kategorien (Smartphonetyp, Vertragstyp) fallen. - Eine Vierfeldertafel kann helfen, die absoluten Häufigkeiten übersichtlich darzustellen. - Achte darauf, ob eine Angabe eine absolute Zahl, einen Anteil an der Gesamtheit oder einen Anteil an einer Untergruppe beschreibt. - Wenn nach „Ereignis A oder Ereignis B“ gefragt ist, denke an die Formel für die Vereinigung von Ereignissen.

Lösung

1. Berechnung der absoluten Häufigkeiten für die Smartphonetypen: \(n(\text{iPhone}) = 150 \cdot 0{,}4 = 60\), daraus folgt \(n(\text{Android}) = 90\). 2. Bestimmung der Vertragsanzahlen über ein Gleichungssystem: \(n(\text{geschäftlich}) + n(\text{privat}) = 150\) und \(n(\text{geschäftlich}) = 2n(\text{privat})\). Dies ergibt \(n(\text{privat}) = 50\) und \(n(\text{geschäftlich}) = 100\). 3. Ermittlung der Schnittmenge aus der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(n(\text{iPhone} \cap \text{geschäftlich}) = 100 \cdot 0{,}15 = 15\). 4. Berechnung der Schnittmenge für den privaten Vertrag: \(n(\text{iPhone} \cap \text{privat}) = n(\text{iPhone}) - n(\text{iPhone} \cap \text{geschäftlich}) = 60 - 15 = 45\). 5. Berechnung der gesuchten Wahrscheinlichkeit mit dem Additionssatz: \(P(\text{privat} \cup \text{iPhone}) = P(\text{privat}) + P(\text{iPhone}) - P(\text{privat} \cap \text{iPhone}) = \frac{50}{150} + \frac{60}{150} - \frac{45}{150} = \frac{65}{150} = \frac{13}{30}\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{13}{30} \approx 43{,}3\,\%\).

42287911

In einer Jahrgangsstufe mit \(200\) Jugendlichen besitzen \(60\,\%\) ein Tablet (\(T\)). \(60\) Jugendliche besitzen keinen Laptop (\(\bar L\)). Zehn Prozent aller Jugendlichen besitzen weder Tablet noch Laptop. Eine Person besitzt ein Tablet. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch einen Laptop besitzt.

Denkanstöße

- Wie viele Jugendliche besitzen ein Tablet? - Welche Teilgruppe der Personen ohne Laptop besitzt zusätzlich kein Tablet? - Wie viele Tabletbesitzende bleiben damit für die Gruppe „Tablet und Laptop“?

Lösung

1. Es besitzen \(0{,}6\cdot200=120\) Jugendliche ein Tablet. 2. Insgesamt besitzen \(60\) keinen Laptop. Davon besitzen \(0{,}1\cdot200=20\) auch kein Tablet. 3. Daher besitzen \(60-20=40\) Jugendliche ein Tablet, aber keinen Laptop. 4. Von den \(120\) Tabletbesitzenden besitzen somit \(120-40=80\) auch einen Laptop. 5. Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P_T(L)=\frac{80}{120}=\frac23\).

Antwort

\(P_T(L)=\frac23\approx66{,}67\,\%\)

42288011

An einer Schule mit \(500\) Schülerinnen und Schülern belegen \(40\,\%\) den Kurs Musik (\(M\)). Von den Personen, die Musik nicht belegen, hat ein Viertel den Kurs Kunst (\(K\)) gewählt. Insgesamt belegen \(125\) Personen Kunst. Eine Person belegt Kunst. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch Musik belegt.

Denkanstöße

- Wie viele Personen belegen den Musikkurs nicht? - Welcher Teil dieser Gruppe belegt Kunst? - Wie viele der insgesamt \(125\) Kunstbelegenden bleiben dann für die Schnittmenge mit Musik?

Lösung

1. Musik belegen \(0{,}4\cdot500=200\) Personen; somit belegen \(300\) Personen kein Musik. 2. Von diesen \(300\) Personen belegt ein Viertel Kunst. Daher gilt \(n(K\cap\bar M)=75\). 3. Insgesamt belegen \(125\) Personen Kunst. Somit sind \(125-75=50\) in beiden Kursen. 4. Unter den \(125\) Kunstbelegenden sind \(50\) zugleich im Musikkurs. Daher ist \(P_K(M)=\frac{50}{125}=0{,}4\).

Antwort

\(P_K(M)=0{,}4=40\,\%\)

43083911

Für eine Modellrechnung werden Bestandszahlen verwendet, wie sie in vereinfachten Sterbetafeln auftreten können. Die folgende Tabelle gibt an, wie viele von jeweils \(100\,000\) Personen eines Ausgangsjahrgangs die angegebenen Altersstufen erreichen. Die beiden Spalten sind zwei getrennte Modellszenarien. <table> <tr><th>Alter in Jahren</th><th>Szenario 1</th><th>Szenario 2</th></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(100\,000\)</td><td>\(100\,000\)</td></tr> <tr><td>\(40\)</td><td>\(92\,400\)</td><td>\(98\,800\)</td></tr> <tr><td>\(70\)</td><td>\(52\,100\)</td><td>\(84\,500\)</td></tr> <tr><td>\(85\)</td><td>\(12\,300\)</td><td>\(42\,600\)</td></tr> </table> a) Schätze in beiden Szenarien die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die bereits \(40\) Jahre alt geworden ist, auch \(70\) Jahre alt wird. Runde auf vier Dezimalstellen. b) Schätze in beiden Szenarien die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die bereits \(40\) Jahre alt geworden ist, mindestens \(85\) Jahre alt wird. Runde auf vier Dezimalstellen. c) Erkläre, warum die Zahlen in der Tabelle als Häufigkeitsmodell für die Schätzung von Wahrscheinlichkeiten verwendet werden können, aber kein Laplace-Modell darstellen.

Denkanstöße

- Welche Personen gehören jeweils zur Bedingungsgruppe „bereits \(40\) Jahre alt geworden“? - Welcher Teil dieser Bedingungsgruppe erreicht anschließend die jeweils gefragte Altersstufe? - Worauf beruht ein Häufigkeitsmodell im Unterschied zu einem Laplace-Modell?

Lösung

1. In Szenario 1 bilden die \(92\,400\) Personen, die das Alter \(40\) erreichen, die Bezugsgruppe. Davon erreichen \(52\,100\) auch das Alter \(70\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{52100}{92400}\approx0{,}5639\). 2. In Szenario 2 ergibt sich entsprechend \(\frac{84500}{98800}\approx0{,}8553\). 3. Für das Erreichen von mindestens \(85\) Jahren erhält man in Szenario 1 \(\frac{12300}{92400}\approx0{,}1331\) und in Szenario 2 \(\frac{42600}{98800}\approx0{,}4312\). 4. Die Schätzwerte entstehen aus Anteilen innerhalb vorgegebener Häufigkeitsdaten. Ein Laplace-Modell würde dagegen gleichwahrscheinliche Elementarereignisse voraussetzen; eine solche Annahme liegt hier nicht vor.

Antwort

a) Szenario 1: \(0{,}5639\); Szenario 2: \(0{,}8553\) b) Szenario 1: \(0{,}1331\); Szenario 2: \(0{,}4312\) c) Die Wahrscheinlichkeiten werden aus relativen Häufigkeiten in einer passenden Bezugsgruppe geschätzt; gleichwahrscheinliche Elementarereignisse werden nicht angenommen.

43084011

Für eine Modellrechnung zur Zuverlässigkeit eines Smartphone-Modells werden folgende Häufigkeitsdaten für \(50\,000\) Geräte vorgegeben: <table> <tr><th>Betriebsdauer in Monaten</th><th>noch funktionsfähige Geräte</th></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(50\,000\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(48\,500\)</td></tr> <tr><td>\(24\)</td><td>\(42\,000\)</td></tr> <tr><td>\(36\)</td><td>\(25\,000\)</td></tr> <tr><td>\(48\)</td><td>\(8000\)</td></tr> </table> a) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das nach \(12\) Monaten noch funktioniert, auch nach \(36\) Monaten noch funktionsfähig ist. Runde auf vier Dezimalstellen. b) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das nach \(24\) Monaten noch funktioniert, zwischen Monat \(24\) und Monat \(36\) ausfällt. Runde auf vier Dezimalstellen. c) Erkläre, warum die vorgegebenen Häufigkeiten nicht mit einem Laplace-Modell für den Ausfallzeitpunkt gleichgesetzt werden können.

Denkanstöße

- Welche Geräte bilden in a) die Bezugsgruppe, nachdem die Bedingung bekannt ist? - Wie viele der nach \(24\) Monaten funktionsfähigen Geräte fallen bis Monat \(36\) aus? - Welche besondere Voraussetzung kennzeichnet ein Laplace-Modell?

Lösung

1. Unter den \(48\,500\) Geräten, die nach \(12\) Monaten noch funktionieren, sind nach \(36\) Monaten noch \(25\,000\) funktionsfähig. Daher beträgt die geschätzte bedingte Wahrscheinlichkeit \(\frac{25000}{48500}\approx0{,}5155\). 2. Zwischen Monat \(24\) und Monat \(36\) fallen von den zuvor noch \(42\,000\) funktionsfähigen Geräten \(42\,000-25\,000=17\,000\) aus. Die geschätzte bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{17000}{42000}\approx0{,}4048\). 3. Die Werte werden aus vorgegebenen Häufigkeiten geschätzt. Für ein Laplace-Modell müssten die betrachteten Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sein; das ist für verschiedene mögliche Ausfallzeitpunkte nicht vorausgesetzt.

Antwort

a) \(0{,}5155\) b) \(0{,}4048\) c) Die Daten liefern ein Häufigkeitsmodell; ein Laplace-Modell würde eine hier nicht begründete Gleichwahrscheinlichkeit der möglichen Ausfallzeitpunkte verlangen.

43093911

Für eine Modellrechnung zur Nutzung einer Smartphone-Marke \(T\) gelten folgende Angaben: \(35\,\%\) der betrachteten Personen nutzen \(T\). Unter den Nutzenden von \(T\) sind \(70\,\%\) jünger als \(30\) Jahre (Ereignis \(J\)); unter den Personen, die \(T\) nicht nutzen, sind es \(40\,\%\). Eine zweite Darstellung derselben Daten behauptet: - \(50{,}5\,\%\) aller betrachteten Personen sind jünger als \(30\) Jahre, - unter den Jüngeren nutzen etwa \(48{,}5\,\%\) die Marke \(T\), - unter den mindestens \(30\)-Jährigen nutzen etwa \(21{,}2\,\%\) die Marke \(T\). Prüfe rechnerisch, ob diese drei Angaben zur ersten Darstellung passen.

Denkanstöße

- Welche beiden Pfade führen zur Gruppe der unter \(30\)-Jährigen? - Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit von \(T\) und \(J\) kannst du aus der ersten Darstellung bestimmen? - Welche Bezugsgruppe steht im Nenner, wenn die Bedingung von „nutzt \(T\)“ zu „ist jünger als \(30\)“ umgekehrt wird?

Lösung

1. Gegeben sind \(P(T)=0{,}35\), \(P_T(J)=0{,}70\) und \(P_{\bar T}(J)=0{,}40\). 2. Für den Gesamtanteil der Jüngeren gilt \(P(J)=0{,}35\cdot0{,}70+0{,}65\cdot0{,}40=0{,}505\). Die Angabe \(50{,}5\,\%\) stimmt. 3. Der gemeinsame Anteil \(P(T\cap J)\) beträgt \(0{,}35\cdot0{,}70=0{,}245\). Damit ist \(P_J(T)=\frac{0{,}245}{0{,}505}\approx0{,}4851\), also etwa \(48{,}5\,\%\). 4. Für die mindestens \(30\)-Jährigen gilt \(P(T\cap\bar J)=0{,}35\cdot0{,}30=0{,}105\) und \(P(\bar J)=0{,}495\). Daher ist \(P_{\bar J}(T)=\frac{0{,}105}{0{,}495}\approx0{,}2121\), also etwa \(21{,}2\,\%\). 5. Alle drei Angaben sind bis auf die angegebene Rundung konsistent.

Antwort

Die Angaben sind konsistent: \(P(J)=50{,}5\,\%\), \(P_J(T)\approx48{,}5\,\%\) und \(P_{\bar J}(T)\approx21{,}2\,\%\).

43094011

Für eine Modellrechnung zu Fahrzeugen in einer Region gilt: \(15\,\%\) der Fahrzeuge sind Elektroautos (\(E\)). Unter den Elektroautos gehören \(80\,\%\) zu Halterinnen oder Haltern mit Wohnort Großstadt (\(G\)); unter den übrigen Fahrzeugen sind es \(55\,\%\). Eine Aussage lautet: „Unter den Fahrzeugen von Großstadtbewohnern ist der Anteil der Elektroautos mehr als doppelt so hoch wie unter den Fahrzeugen von Personen außerhalb der Großstadt.“ Prüfe diese Aussage, indem du \(P_G(E)\) und \(P_{\bar G}(E)\) bestimmst. Gib beide Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen gerundet an.

Denkanstöße

- Bestimme zunächst den Gesamtanteil der Fahrzeuge mit Großstadtbezug. - Welche Pfadwahrscheinlichkeit beschreibt gleichzeitig „Elektroauto“ und „Großstadt“? - Wiederhole dieselbe Überlegung für das Komplement \(\bar G\) und vergleiche anschließend die beiden bedingten Anteile.

Lösung

1. Gegeben sind \(P(E)=0{,}15\), \(P_E(G)=0{,}80\) und \(P_{\bar E}(G)=0{,}55\). 2. Der Gesamtanteil der Fahrzeuge mit Großstadtbezug ist \(P(G)=0{,}15\cdot0{,}80+0{,}85\cdot0{,}55=0{,}5875\). 3. Es gilt \(P(E\cap G)=0{,}15\cdot0{,}80=0{,}12\). Daher ist \(P_G(E)=\frac{0{,}12}{0{,}5875}\approx0{,}2043\). 4. Außerdem gilt \(P(E\cap\bar G)=0{,}15\cdot0{,}20=0{,}03\) und \(P(\bar G)=0{,}4125\). Damit ist \(P_{\bar G}(E)=\frac{0{,}03}{0{,}4125}\approx0{,}0727\). 5. Das Verhältnis ist ungefähr \(0{,}2043:0{,}0727\approx2{,}81\). Damit ist der Anteil unter der Bedingung \(G\) mehr als doppelt so hoch.

Antwort

\(P_G(E)\approx20{,}43\,\%\) und \(P_{\bar G}(E)\approx7{,}27\,\%\). Der erste Wert ist etwa \(2{,}81\)-mal so groß; die Aussage trifft für die Modelldaten zu.

43095111

Für eine Modellrechnung werden folgende Bestandszahlen einer vereinfachten Sterbetafel verwendet: <table> <tr><th>Alter \(x\)</th><th>Anzahl \(l_x\), die das Alter \(x\) erreicht</th></tr> <tr><td>\(25\)</td><td>\(98\,412\)</td></tr> <tr><td>\(45\)</td><td>\(95\,120\)</td></tr> <tr><td>\(65\)</td><td>\(80\,455\)</td></tr> </table> Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit und runde auf vier Dezimalstellen. 1. Eine heute \(25\)-jährige Person erlebt ihren \(65\). Geburtstag. 2. Zwei heute \(45\)-jährige Personen erleben beide ihren \(65\). Geburtstag. Gehe für diese Modellrechnung davon aus, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind. 3. Eine heute \(25\)-jährige Person verstirbt nach ihrem \(45\). Geburtstag, aber noch vor ihrem \(65\). Geburtstag.

Denkanstöße

- Welche Altersgruppe bildet jeweils die Bezugsgruppe für den gesuchten Anteil? - Wie kannst du aus den beiden Tabellenwerten bei \(45\) und \(65\) die Zahl der Personen bestimmen, die dazwischen ausscheiden? - Welche Bedeutung hat die ausdrücklich vorgegebene Unabhängigkeit in Aufgabe 2 für zwei gleichzeitig eintretende Ereignisse?

Lösung

1. Unter den \(98\,412\) Personen, die \(25\) Jahre alt werden, erreichen \(80\,455\) das Alter \(65\). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{80455}{98412}\approx0{,}8175\). 2. Für eine heute \(45\)-jährige Person beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{80455}{95120}\approx0{,}8458\). Unter der vorgegebenen Unabhängigkeitsannahme ergibt sich für zwei Personen \(\left(\frac{80455}{95120}\right)^2\approx0{,}7154\). 3. Zwischen dem \(45\). und dem \(65\). Geburtstag scheiden \(95\,120-80\,455=14\,665\) Personen aus der Tabelle aus. Bezogen auf die \(98\,412\) Personen im Alter \(25\) ergibt sich \(\frac{14665}{98412}\approx0{,}1490\).

Antwort

1. \(0{,}8175\) 2. \(0{,}7154\) 3. \(0{,}1490\)

43095811

In einem Modellunternehmen arbeiten \(35\,\%\) der Beschäftigten im Außendienst (\(A\)), die übrigen im Innendienst (\(I\)). Unter den Beschäftigten im Außendienst nutzen \(80\,\%\) einen Firmenwagen für den Arbeitsweg (\(W\)); im Innendienst sind es \(10\,\%\). 1. Eine zufällig ausgewählte Person nutzt keinen Firmenwagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Außendienst arbeitet. Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an. 2. Eine zufällig ausgewählte Person arbeitet im Außendienst. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie keinen Firmenwagen nutzt.

Denkanstöße

- Welche beiden Pfade führen zum Ereignis „kein Firmenwagen“? - Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit gehört zum Pfad „Außendienst und kein Firmenwagen“? - Vergleiche genau, welche Gruppe in den beiden Fragen jeweils als Bedingung feststeht.

Lösung

1. Es gilt \(P(A)=0{,}35\), \(P(I)=0{,}65\), \(P_A(W)=0{,}80\) und \(P_I(W)=0{,}10\). Damit sind \(P_A(\bar W)=0{,}20\) und \(P_I(\bar W)=0{,}90\). 2. Für die Nicht-Nutzung eines Firmenwagens ergibt sich \(P(\bar W)=0{,}35\cdot0{,}20+0{,}65\cdot0{,}90=0{,}655\). 3. Der gemeinsame Anteil von Außendienst und Nicht-Nutzung beträgt \(P(A\cap\bar W)=0{,}35\cdot0{,}20=0{,}07\). Daher ist \(P_{\bar W}(A)=\frac{0{,}07}{0{,}655}=\frac{14}{131}\). 4. Für die zweite Frage ist die Bedingung bereits die Gruppe \(A\). Somit gilt direkt \(P_A(\bar W)=0{,}20\).

Antwort

1. \(P_{\bar W}(A)=\frac{14}{131}\) 2. \(P_A(\bar W)=20\,\%\)

43746711

In einer Pralinenmanufaktur werden Packungen entweder von Hand (\(H\)) oder maschinell (\(\bar H\)) verpackt. Das Ereignis \(A\) bedeutet „Packung weist einen Mangel auf“. Die Wahrscheinlichkeiten sind im Baumdiagramm dargestellt. a) Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(A)\). b) Bestimme \(P(H\cap\bar A)\). c) Berechne \(P_A(H)\) und deute den Wert im Sachzusammenhang. d) Prüfe rechnerisch, ob Verpackungsart und Auftreten eines Mangels stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 437467

Denkanstöße

- Welche beiden vollständigen Pfade im Baum enden bei \(A\)? - Wodurch unterscheidet sich eine Pfadwahrscheinlichkeit von einer einzelnen Zweigwahrscheinlichkeit? - Welche Gruppe bildet bei \(P_A(H)\) die Bezugsgruppe? - Welche Wahrscheinlichkeit müsste sich durch die Information \(H\) nicht ändern, wenn Unabhängigkeit vorläge?

Lösung

1. Aus den beiden zu \(A\) führenden Pfaden folgt \(P(A)=0{,}2\cdot0{,}05+0{,}8\cdot0{,}1=0{,}09\). 2. Für den Pfad \(H\cap\bar A\) gilt \(P(H\cap\bar A)=0{,}2\cdot0{,}95=0{,}19\). 3. Der gemeinsame Anteil von \(H\) und \(A\) beträgt \(0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01\). Daher ist \(P_A(H)=\frac{0{,}01}{0{,}09}=\frac{1}{9}\approx0{,}1111\). Unter den mangelhaften Packungen wurden also etwa \(11{,}11\,\%\) von Hand verpackt. 4. Für Unabhängigkeit müsste \(P_H(A)=P(A)\) gelten. Im Baum ist \(P_H(A)=0{,}05\), während \(P(A)=0{,}09\). Die Ereignisse sind daher abhängig.

Antwort

a) \(P(A)=0{,}09\) b) \(P(H\cap\bar A)=0{,}19\) c) \(P_A(H)=\frac{1}{9}\approx11{,}11\,\%\); dies ist der Anteil der Handverpackungen unter den mangelhaften Packungen. d) Die Ereignisse sind abhängig, da \(P_H(A)=0{,}05\neq0{,}09=P(A)\).

43747811

In einem Modell für eine medizinische Vorsorgeuntersuchung gilt: \(0{,}5\,\%\) der betrachteten Personen haben die seltene Stoffwechselkrankheit \(E\). Der Test ist bei erkrankten Personen mit Wahrscheinlichkeit \(98\,\%\) positiv (\(T\)); bei nicht erkrankten Personen ist er mit Wahrscheinlichkeit \(3\,\%\) positiv. a) Gib \(P_E(T)\) an und beschreibe die Bedeutung dieser Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang. b) Berechne \(P(E\cap T)\). c) Bestimme \(P_T(E)\). Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. d) Erläutere anhand der Wahrscheinlichkeiten, warum \(E\) und \(T\) stochastisch abhängig sind.

Denkanstöße

- Achte darauf, welche Personengruppe bei einer Wahrscheinlichkeit mit Index die Bezugsgruppe bildet. - Für eine Schnittwahrscheinlichkeit kannst du einen vollständigen zweistufigen Pfad betrachten. - Für die umgekehrte Bedingung brauchst du den Anteil der erkrankten positiven Tests an allen positiven Tests. - Welche Gleichheit müsste bei Unabhängigkeit zwischen einer bedingten und der entsprechenden unbedingten Wahrscheinlichkeit gelten?

Lösung

1. Aus den Modelldaten folgt direkt \(P_E(T)=0{,}98\). Das bedeutet: Unter den erkrankten Personen erhalten \(98\,\%\) ein positives Testergebnis. 2. Für das gemeinsame Eintreten gilt \(P(E\cap T)=0{,}005\cdot0{,}98=0{,}0049\). 3. Insgesamt ist \(P(T)=0{,}0049+0{,}995\cdot0{,}03=0{,}03475\). 4. Damit ist \(P_T(E)=\frac{0{,}0049}{0{,}03475}=\frac{98}{695}\approx0{,}1410\), also gerundet \(14{,}1\,\%\). 5. Bei Unabhängigkeit müsste die Wahrscheinlichkeit für \(T\) unter der Bedingung \(E\) mit der unbedingten Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) übereinstimmen. Hier gilt \(P_E(T)=0{,}98\neq0{,}03475=P(T)\); die Ereignisse sind daher abhängig.

Antwort

a) \(P_E(T)=0{,}98\); unter den erkrankten Personen sind \(98\,\%\) der Tests positiv. b) \(P(E\cap T)=0{,}0049=0{,}49\,\%\) c) \(P_T(E)\approx14{,}1\,\%\) d) \(E\) und \(T\) sind abhängig, weil \(P_E(T)\neq P(T)\).

43749111

In einem Modell sind \(2\,\%\) einer Gruppe von einer Pollenallergie (\(A\)) betroffen. Ein Schnelltest ist bei Betroffenen mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}95\) positiv (\(T\)); bei Personen ohne Allergie ist er mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}03\) positiv. Bestimme \(P_T(A)\) und gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Denkanstöße

- Welche beiden Ausgangsgruppen können ein positives Testergebnis liefern? - Berechne die beiden gemeinsamen Anteile, bevor du die Bezugsgruppe der positiven Ergebnisse bildest. - Welcher Anteil aller positiven Ergebnisse gehört zugleich zur Allergiegruppe?

Lösung

1. Es gilt \(P(A\cap T)=0{,}02\cdot0{,}95=0{,}019\). 2. Für Personen ohne Allergie und positives Ergebnis gilt \(P(\bar A\cap T)=0{,}98\cdot0{,}03=0{,}0294\). 3. Somit ist \(P(T)=0{,}019+0{,}0294=0{,}0484\). 4. Daher ist \(P_T(A)=\frac{0{,}019}{0{,}0484}=\frac{95}{242}\approx0{,}3926\), also gerundet \(39{,}3\,\%\).

Antwort

\(P_T(A)=\frac{95}{242}\approx39{,}3\,\%\)

43749211

Das Baumdiagramm zeigt die Produktion elektronischer Chips an zwei Standorten \(S_1\) und \(S_2\). \(D\) bedeutet „Chip ist defekt“. a) Bestimme \(P(D)\). b) Ein Chip ist defekt. Berechne \(P_D(S_1)\).

Abbildung zur Aufgabe 437492

Denkanstöße

- Welche vollständigen Pfade enden beim Ereignis \(D\)? - Addiere für a) die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade. - Welche dieser defekten Chips gehören für b) zum Pfad über \(S_1\)?

Lösung

1. Die beiden zu \(D\) führenden Pfade haben die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}60\cdot0{,}04=0{,}024\) und \(0{,}40\cdot0{,}07=0{,}028\). 2. Daher ist \(P(D)=0{,}024+0{,}028=0{,}052=5{,}2\,\%\). 3. Unter den defekten Chips entfällt der Anteil \(0{,}024\) auf Standort \(S_1\). Somit gilt \(P_D(S_1)=\frac{0{,}024}{0{,}052}=\frac{6}{13}\approx0{,}4615\).

Antwort

a) \(P(D)=5{,}2\,\%\) b) \(P_D(S_1)=\frac{6}{13}\approx46{,}15\,\%\)

43756211

Im Baumdiagramm sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse \(B\) und \(A\) dargestellt. a) Deute die am Zweig von \(B\) zu \(A\) angegebene Wahrscheinlichkeit im Zusammenhang der Ereignisse. b) Bestimme \(P_A(B)\).

Abbildung zur Aufgabe 437562

Denkanstöße

- Welche Gruppe ist durch den ersten Zweig \(B\) bereits festgelegt? - Welche beiden vollständigen Pfade führen zum Ereignis \(A\)? - Welche dieser beiden Pfadwahrscheinlichkeiten gehört zugleich zu \(A\) und \(B\)?

Lösung

1. Der Zweig von \(B\) zu \(A\) trägt die Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)=0{,}8\). Das bedeutet: Unter den Fällen mit \(B\) tritt in \(80\,\%\) auch \(A\) ein. 2. Die beiden zu \(A\) führenden Pfade haben die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24\) und \(0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14\). Daher ist \(P(A)=0{,}38\). 3. Somit gilt \(P_A(B)=\frac{0{,}24}{0{,}38}=\frac{12}{19}\approx0{,}6316\).

Antwort

a) \(P_B(A)=0{,}8\): Unter den Fällen mit \(B\) erfüllen \(80\,\%\) auch \(A\). b) \(P_A(B)=\frac{12}{19}\approx63{,}16\,\%\)

43757811

Das Baumdiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse \(A\) und \(B\). Jona möchte \(P_B(A)\) bestimmen und rechnet \(P_B(A)=P(A\cap B):P(A)\). Finde den Fehler und bestimme den richtigen Wert.

Abbildung zur Aufgabe 437578

Denkanstöße

- Welche Information ist bei \(P_B(A)\) bereits als Bedingung festgelegt? - Welche vollständigen Pfade enden bei \(B\)? - Prüfe, ob Jonas Nenner genau die Wahrscheinlichkeit dieser Bedingungsgruppe beschreibt.

Lösung

1. Der gemeinsame Pfad \(A\cap B\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 2. Zum Ereignis \(B\) gehört außerdem der Pfad \(\bar A\cap B\) mit \(0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08\). Daher ist \(P(B)=0{,}18+0{,}08=0{,}26\). 3. Bei \(P_B(A)\) ist \(B\) die Bedingung und damit die Bezugsgruppe. Der Nenner muss deshalb \(P(B)\) sein, nicht \(P(A)\). 4. Es gilt \(P_B(A)=\frac{0{,}18}{0{,}26}=\frac{9}{13}\approx0{,}6923\).

Antwort

Jona verwendet die falsche Bezugsgruppe. Richtig ist \(P_B(A)=\frac{9}{13}\approx69{,}23\,\%\).

43759011

Das Baumdiagramm zeigt Modelldaten zur Nutzung einer Lernplattform und zum Bestehen einer Prüfung. Dabei bezeichnet \(I\) das Ereignis „intensive Nutzung“ und \(B\) das Ereignis „Prüfung bestanden“. Für eine zufällig ausgewählte Person ist bekannt, dass sie die Prüfung bestanden hat. Bestimme \(P_B(I)\). Gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Abbildung zur Aufgabe 437590

Denkanstöße

- Welche beiden Pfade im Baum enden beim Ereignis „bestanden“? - Für die umgekehrte Bedingung ist die gesamte Gruppe der Personen mit bestandener Prüfung die Bezugsgruppe. - Welche gemeinsame Pfadwahrscheinlichkeit gehört zugleich zu intensiver Nutzung und bestandener Prüfung?

Lösung

1. Der Pfad „intensive Nutzung und bestanden“ hat die Wahrscheinlichkeit \(P(I\cap B)=0{,}4\cdot0{,}85=0{,}34\). 2. Der zweite Pfad zum Ereignis \(B\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6\cdot0{,}55=0{,}33\). Somit ist \(P(B)=0{,}34+0{,}33=0{,}67\). 3. Beim Umkehren der Bedingung bleibt \(P(I\cap B)=0{,}34\) der gemeinsame Pfadanteil. Daher gilt \(P_B(I)=\frac{0{,}34}{0{,}67}=\frac{34}{67}\approx0{,}5075\). 4. Als Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(50{,}7\,\%\).

Antwort

\(P_B(I)=\frac{34}{67}\approx50{,}7\,\%\)

43759511

Für ein Testmodell gilt: \(5\,\%\) einer Gruppe haben eine Krankheit (\(K\)). Bei Erkrankten ist der Test mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\) positiv (\(T\)); bei Nicht-Erkrankten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\). Eine Person erhält ein positives Testergebnis. Bestimme \(P_T(K)\) und gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Denkanstöße

- Welche beiden Ausgangsgruppen können zu einem positiven Testergebnis führen? - Bestimme zunächst die beiden gemeinsamen Anteile mit positivem Ergebnis. - Welche Gesamtgruppe bildet bei \(P_T(K)\) den Nenner?

Lösung

1. Es gilt \(P(K\cap T)=0{,}05\cdot0{,}9=0{,}045\). 2. Für Nicht-Erkrankte und positives Ergebnis gilt \(P(\bar K\cap T)=0{,}95\cdot0{,}1=0{,}095\). 3. Somit ist \(P(T)=0{,}045+0{,}095=0{,}14\). 4. Daher gilt \(P_T(K)=\frac{0{,}045}{0{,}14}=\frac{9}{28}\approx0{,}3214\), also gerundet \(32{,}1\,\%\).

Antwort

\(P_T(K)=\frac{9}{28}\approx32{,}1\,\%\)

43759711

Für ein Testmodell gilt: Bei \(10\,\%\) der betrachteten Personen liegt eine Infektion (\(I\)) vor. Der Test ist bei Infizierten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\) positiv (\(T\)); bei Nicht-Infizierten ist er mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\) positiv. Bestimme \(P_T(I)\) und \(P_{\bar T}(\bar I)\). Gib beide Prozentwerte auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Denkanstöße

- Für die beiden gesuchten Wahrscheinlichkeiten sind unterschiedliche Testergebnis-Gruppen die Bezugsgruppen. - Welche zwei Pfade führen zu einem positiven Ergebnis, welche zwei zu einem negativen? - Ordne jeweils den passenden gemeinsamen Anteil der gesuchten Bezugsgruppe zu.

Lösung

1. Für ein positives Ergebnis gilt \(P(T)=0{,}1\cdot0{,}8+0{,}9\cdot0{,}1=0{,}17\). Der gemeinsame Anteil \(P(I\cap T)\) beträgt \(0{,}08\). Daher ist \(P_T(I)=\frac{0{,}08}{0{,}17}=\frac{8}{17}\approx0{,}4706\). 2. Für ein negatives Ergebnis gilt \(P(\bar T)=0{,}1\cdot0{,}2+0{,}9\cdot0{,}9=0{,}83\). Der gemeinsame Anteil \(P(\bar I\cap\bar T)\) beträgt \(0{,}81\). Somit ist \(P_{\bar T}(\bar I)=\frac{0{,}81}{0{,}83}=\frac{81}{83}\approx0{,}9759\). 3. Gerundet ergeben sich \(47{,}1\,\%\) und \(97{,}6\,\%\).

Antwort

\(P_T(I)=\frac{8}{17}\approx47{,}1\,\%\); \(P_{\bar T}(\bar I)=\frac{81}{83}\approx97{,}6\,\%\)

43760311

Das Baumdiagramm zeigt ein Modell zu einem Dopingtest in einer Sportgruppe. Eine positiv getestete Person hört die Aussage: „Mit \(99\,\%\) Wahrscheinlichkeit wurde gedopt.“ Beurteile die Aussage rechnerisch.

Abbildung zur Aufgabe 437603

Denkanstöße

- Prüfe genau, welche Gruppe zu der im Baum angegebenen Wahrscheinlichkeit \(99\,\%\) gehört. - Welche beiden Pfade führen zu einem positiven Testergebnis? - Vergleiche die Richtung der Bedingung im Baum mit der Richtung der Behauptung.

Lösung

1. Der gemeinsame Anteil „Doping und positiv“ beträgt \(0{,}02\cdot0{,}99=0{,}0198\). 2. Der gemeinsame Anteil „kein Doping und positiv“ beträgt \(0{,}98\cdot0{,}03=0{,}0294\). 3. Insgesamt sind \(0{,}0198+0{,}0294=0{,}0492\) der Fälle positiv. 4. Unter den positiven Fällen beträgt der Dopinganteil \(\frac{0{,}0198}{0{,}0492}=\frac{33}{82}\approx0{,}4024\). 5. Die \(99\,\%\) im Baum beschreiben die Positivrate unter der Bedingung Doping, nicht den Dopinganteil unter der Bedingung eines positiven Tests. Die Aussage ist daher falsch.

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{33}{82}\approx40{,}24\,\%\), nicht \(99\,\%\).

43760511

Das Baumdiagramm zeigt ein Testmodell. Nach einem negativen Ergebnis behauptet jemand: „Die Krankheit ist ausgeschlossen.“ Prüfe die Aussage und bestimme den tatsächlichen Anteil der Kranken unter den Personen mit negativem Ergebnis.

Abbildung zur Aufgabe 437605

Denkanstöße

- Gibt es im Baum einen Pfad, der zugleich „krank“ und „negativ“ beschreibt? - Welche zwei Pfade gehören zur Bezugsgruppe aller negativen Ergebnisse? - Was müsste gelten, damit die Krankheit nach einem negativen Ergebnis wirklich ausgeschlossen wäre?

Lösung

1. Der Pfad „krank und negativ“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01\). 2. Der Pfad „gesund und negativ“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\). 3. Negative Ergebnisse treten insgesamt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}01+0{,}72=0{,}73\) auf. 4. Unter den Personen mit negativem Ergebnis beträgt der Krankenanteil \(\frac{0{,}01}{0{,}73}=\frac{1}{73}\approx0{,}0137\). Die Krankheit ist daher nicht ausgeschlossen.

Antwort

Die Aussage ist falsch. Der Krankenanteil unter den negativ Getesteten beträgt \(\frac{1}{73}\approx1{,}37\,\%\).

41476011

Gegeben sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) eines Zufallsexperiments mit \(P_B(A) = \frac{3}{4}\) und \(P_A(B) = \frac{1}{2}\). Zudem ist \(P(B) = \frac{2}{5}\) bekannt. Beschreibe ein mögliches Urnenmodell für dieses Experiment. Bestimme dazu die kleinstmögliche Gesamtzahl an Kugeln sowie die Anzahl der Kugeln, die nur das Merkmal \(A\), nur das Merkmal \(B\), beide Merkmale oder keines der beiden Merkmale besitzen.

Denkanstöße

- Welche Schnittwahrscheinlichkeit lässt sich zuerst aus \(P_B(A)\) und \(P(B)\) bestimmen? - Wie kannst du anschließend \(P(A)\) aus der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit erschließen? - Welche gemeinsame Gesamtzahl macht alle erhaltenen Wahrscheinlichkeiten zu ganzen Kugelzahlen?

Lösung

1. Aus \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) folgt \(P(A \cap B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10}\). 2. Mit \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}\) erhält man \(P(A) = \frac{3/10}{1/2} = \frac{3}{5}\). 3. Damit sind \(P(A)=\frac{6}{10}\), \(P(B)=\frac{4}{10}\) und \(P(A \cap B)=\frac{3}{10}\). Die kleinstmögliche Gesamtzahl ist daher \(10\). 4. Von \(10\) Kugeln besitzen \(3\) beide Merkmale. Nur \(A\) besitzen \(6-3=3\) Kugeln, nur \(B\) besitzen \(4-3=1\) Kugel. 5. Für keines der beiden Merkmale bleiben \(10-(3+3+1)=3\) Kugeln.

Antwort

Ein mögliches Urnenmodell besteht aus \(10\) Kugeln: \(3\) besitzen beide Merkmale, \(3\) nur \(A\), \(1\) nur \(B\) und \(3\) keines der beiden Merkmale.

42213011

Für eine Modellrechnung werden zwei IT-Support-Zentren \(\alpha\) und \(\beta\) verglichen. Eine Anfrage betrifft entweder Hardware (\(H\)) oder Software (\(S\)) und gilt als gelöst (\(L\)), wenn das Problem behoben wurde. Die vorgegebenen Daten sind: <table> <tr><td>Zentrum</td><td>Typ</td><td>Anfragen gesamt</td><td>Anfragen gelöst</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>\(200\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>\(800\)</td><td>\(720\)</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>\(800\)</td><td>\(200\)</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>\(200\)</td><td>\(190\)</td></tr> </table> a) Berechne für jedes Zentrum die Lösungsquote unter den Hardware-Anfragen und unter den Software-Anfragen. b) Insgesamt wurden in Zentrum \(\alpha\) angeblich \(76\,\%\) und in Zentrum \(\beta\) nur \(39\,\%\) der Anfragen gelöst. Überprüfe diese beiden Angaben. c) Jemand folgert aus den Gesamtraten: „Zentrum \(\alpha\) arbeitet eindeutig besser.“ Beurteile diese Aussage anhand der Teilgruppen und erkläre, wie die Zusammensetzung der Anfragen den Vergleich verzerrt.

Denkanstöße

- Vergleiche die Zentren zunächst innerhalb derselben Art von Anfrage, bevor du Gesamtraten vergleichst. - Welche Anfrageart hat in beiden Zentren die niedrigere Lösungsquote? - Prüfe, wie stark diese schwierigere Anfrageart in den beiden Zentren vertreten ist.

Lösung

1. In Zentrum \(\alpha\) beträgt die Lösungsquote unter den Hardware-Anfragen \(\frac{40}{200}=0{,}20=20\,\%\) und unter den Software-Anfragen \(\frac{720}{800}=0{,}90=90\,\%\). 2. In Zentrum \(\beta\) beträgt die Lösungsquote unter den Hardware-Anfragen \(\frac{200}{800}=0{,}25=25\,\%\) und unter den Software-Anfragen \(\frac{190}{200}=0{,}95=95\,\%\). 3. Für Zentrum \(\alpha\) ergibt sich insgesamt \(\frac{40+720}{200+800}=\frac{760}{1000}=76\,\%\). Für Zentrum \(\beta\) ergibt sich \(\frac{200+190}{800+200}=\frac{390}{1000}=39\,\%\). 4. In beiden Teilgruppen hat Zentrum \(\beta\) die höhere Lösungsquote. Die schlechtere Gesamtrate entsteht, weil \(\beta\) überwiegend Hardware-Anfragen bearbeitet und diese in beiden Zentren deutlich seltener gelöst werden als Software-Anfragen. Die Gesamtrate allein ist daher für den Leistungsvergleich irreführend.

Antwort

a) \(\alpha\): Hardware \(20\,\%\), Software \(90\,\%\); \(\beta\): Hardware \(25\,\%\), Software \(95\,\%\). b) \(\alpha: 76\,\%\); \(\beta: 39\,\%\). c) Die Aussage ist durch die Gesamtraten nicht gerechtfertigt: \(\beta\) hat in beiden Fachgebieten die höhere Lösungsquote. Die unterschiedlichen Anteile von Hardware- und Software-Anfragen erzeugen die umgekehrte Gesamtreihenfolge.

42213311

Ein Unternehmen betrachtet für eine Modellrechnung \(20\,000\) Mitarbeitende. Bei \(1\,\%\) liegt eine seltene allergische Reaktion \(A\) vor. Ein Schnelltest liefert bei Personen mit der Reaktion in \(98\,\%\) der Fälle ein positives Ergebnis \(pos\). Bei Personen ohne die Reaktion ist das Ergebnis in \(3\,\%\) der Fälle ebenfalls positiv. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis. b) Berechne \(P_{pos}(A)\) und interpretiere das Ergebnis. c) Untersuche die Ereignisse \(A\) und \(pos\) auf stochastische Unabhängigkeit. d) Erkläre, warum unter den positiven Testergebnissen trotz der hohen Trefferquote viele Personen ohne die Reaktion sind.

Denkanstöße

- Übertrage die Prozentangaben zunächst auf die \(20\,000\) Personen; dadurch werden die beiden Gruppen direkt vergleichbar. - Welche Personen bilden in b) die Bezugsgruppe? - Wie müsste sich die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses unter der Bedingung \(A\) verhalten, wenn \(A\) und \(pos\) unabhängig wären? - Vergleiche für d) nicht nur die Fehlerraten, sondern auch die Größen der beiden Ausgangsgruppen.

Lösung

1. Von \(20\,000\) Personen haben \(200\) die Reaktion. Davon erhalten \(0{,}98\cdot200=196\) ein positives Ergebnis. Von den \(19\,800\) Personen ohne Reaktion erhalten \(0{,}03\cdot19\,800=594\) ein positives Ergebnis. 2. Insgesamt sind damit \(196+594=790\) Ergebnisse positiv. Also gilt \(P(pos)=\frac{790}{20000}=0{,}0395=3{,}95\,\%\). 3. Unter den \(790\) positiven Ergebnissen stammen \(196\) von Personen mit der Reaktion. Somit ist \(P_{pos}(A)=\frac{196}{790}=\frac{98}{395}\approx0{,}2481\). Etwa \(24{,}81\,\%\) der positiv getesteten Personen haben die Reaktion tatsächlich. 4. Für Unabhängigkeit müsste beispielsweise \(P_A(pos)=P(pos)\) gelten. Tatsächlich ist \(P_A(pos)=0{,}98\), aber \(P(pos)=0{,}0395\). Daher sind \(A\) und \(pos\) stochastisch abhängig. 5. Die Gruppe ohne Reaktion ist mit \(19\,800\) Personen sehr viel größer. Deshalb erzeugt selbst die kleine Falsch-positiv-Rate dort mehr positive Ergebnisse als die hohe Trefferquote in der kleinen Gruppe mit Reaktion.

Antwort

a) \(P(pos)=0{,}0395=3{,}95\,\%\) b) \(P_{pos}(A)=\frac{98}{395}\approx24{,}81\,\%\) c) Die Ereignisse sind abhängig, da \(P_A(pos)=0{,}98\neq0{,}0395=P(pos)\). d) Die sehr große Gruppe ohne Reaktion erzeugt trotz nur \(3\,\%\) Falsch-positiv-Rate \(594\) positive Ergebnisse; bei den Personen mit Reaktion sind es nur \(196\).

42287411

In einem Sportverein mit \(120\) Mitgliedern sind \(60\,\%\) Jugendliche (\(J\)) und die übrigen Erwachsene (\(E\)). Jedes Mitglied spielt genau eine der beiden Sportarten Tennis (\(T\)) oder Hockey (\(H\)). Insgesamt spielen \(20\) Personen mehr Tennis als Hockey. Ein Viertel der Jugendlichen spielt Hockey. Bestimme \(P_T(E)\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Größen der beiden Altersgruppen. - Welche Gleichung folgt daraus, dass es insgesamt \(20\) Tennisspielende mehr als Hockeyspielende gibt? - Wie viele Jugendliche spielen Tennis, wenn ein Viertel der Jugendlichen Hockey spielt? - Welche Gruppe bildet bei \(P_T(E)\) die Bezugsgruppe?

Lösung

1. Es gibt \(0{,}6\cdot120=72\) Jugendliche und \(48\) Erwachsene. 2. Sei \(x\) die Zahl der Hockeyspielenden. Dann spielen \(x+20\) Tennis und es gilt \(x+(x+20)=120\). Somit ist \(x=50\); also spielen \(70\) Personen Tennis. 3. Unter den \(72\) Jugendlichen spielen \(\frac14\cdot72=18\) Hockey und daher \(54\) Tennis. 4. Von den insgesamt \(70\) Tennisspielenden sind damit \(70-54=16\) Erwachsene. 5. Folglich gilt \(P_T(E)=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}\approx0{,}2286\).

Antwort

\(P_T(E)=\frac{8}{35}\approx22{,}86\,\%\)

43087011

Für eine Modellrechnung zur Qualitätskontrolle können bei elektronischen Bauteilen zwei Mängel \(M_1\) und \(M_2\) auftreten. Es gilt: - \(8\,\%\) der Bauteile weisen den Mangel \(M_1\) auf. - Unter den Bauteilen mit Mangel \(M_1\) tritt bei einem Viertel zusätzlich der Mangel \(M_2\) auf. - \(90\,\%\) der Bauteile weisen keinen der beiden Mängel auf. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Bauteil ausschließlich den Mangel \(M_2\) aufweist.

Denkanstöße

- Welche Schnittwahrscheinlichkeit folgt aus dem Anteil mit \(M_1\) und dem bedingten Anteil mit zusätzlichem \(M_2\)? - Welcher Anteil weist mindestens einen der beiden Mängel auf? - Wie lässt sich die Menge „mindestens ein Mangel“ in „Mangel \(M_1\)“ und „nur Mangel \(M_2\)“ zerlegen?

Lösung

1. Gegeben sind \(P(M_1)=0{,}08\), \(P_{M_1}(M_2)=0{,}25\) und \(P(\bar M_1\cap\bar M_2)=0{,}90\). 2. Für beide Mängel gleichzeitig gilt \(P(M_1\cap M_2)=0{,}08\cdot0{,}25=0{,}02\). 3. Mindestens einen Mangel haben \(1-0{,}90=0{,}10\) der Bauteile. 4. Die Menge \(M_1\cup M_2\) zerfällt in alle Bauteile mit \(M_1\) und die Bauteile mit nur \(M_2\). Daher beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(0{,}10-0{,}08=0{,}02\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}02=2\,\%\).

43747611

Die beiden Baumdiagramme zeigen denselben Schnelltest auf eine Nahrungsmittelunverträglichkeit für zwei verschiedene Gruppen. \(K\) bedeutet „Unverträglichkeit liegt vor“, \(T\) bedeutet „Testergebnis positiv“. Die Testeigenschaften sind in beiden Gruppen gleich; nur die Grundhäufigkeit von \(K\) unterscheidet sich. a) Berechne für beide Gruppen \(P_T(K)\). Gib die Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen gerundet an. b) Vergleiche die Ergebnisse und erkläre, welchen Einfluss die unterschiedliche Grundhäufigkeit auf die Aussagekraft eines positiven Testergebnisses hat.

Abbildung zur Aufgabe 437476

Denkanstöße

- Lies für jede Gruppe zuerst die beiden Pfade ab, die bei \(T\) enden. - Welche Pfadwahrscheinlichkeit gehört gleichzeitig zu \(K\) und \(T\)? - Vergleiche anschließend, wie groß die Ausgangsgruppe \(\bar K\) in den beiden Diagrammen ist.

Lösung

1. In Gruppe A beträgt der Anteil positiver Ergebnisse \(P(T)=0{,}01\cdot0{,}98+0{,}99\cdot0{,}04=0{,}0494\). Der gemeinsame Anteil \(P(K\cap T)\) ist \(0{,}0098\). Daher gilt \(P_T(K)=\frac{0{,}0098}{0{,}0494}\approx0{,}1984\). 2. In Gruppe B ist \(P(T)=0{,}15\cdot0{,}98+0{,}85\cdot0{,}04=0{,}181\) und \(P(K\cap T)=0{,}147\). Damit ist \(P_T(K)=\frac{0{,}147}{0{,}181}\approx0{,}8122\). 3. Obwohl die bedingten Testeigenschaften gleich sind, ist ein positives Ergebnis in Gruppe B wesentlich aussagekräftiger. Bei sehr kleiner Grundhäufigkeit von \(K\) können die positiven Ergebnisse aus der großen Gruppe \(\bar K\) einen großen Anteil aller positiven Ergebnisse ausmachen.

Antwort

a) Gruppe A: \(P_T(K)\approx19{,}84\,\%\); Gruppe B: \(P_T(K)\approx81{,}22\,\%\). b) Eine höhere Grundhäufigkeit von \(K\) erhöht hier deutlich den Anteil tatsächlich Betroffener unter den positiv Getesteten, obwohl die Testeigenschaften unverändert bleiben.

43748511

Ein Online-Shop unterscheidet Bestellungen von Stammkunden (\(S\)) und Gelegenheitskunden (\(\bar S\)). Das Ereignis \(E\) bedeutet „Express-Versand gewählt“. Die gegebenen Wahrscheinlichkeiten stehen im teilweise ausgefüllten Baumdiagramm. a) Vervollständige alle fehlenden Zweigwahrscheinlichkeiten. b) Bestimme \(P(E)\). c) Berechne \(P_{\bar E}(S)\). d) Erkläre den Unterschied zwischen \(P(S\cap E)\) und \(P_S(E)\) im Sachzusammenhang. e) Interpretiere den Term \(\frac{0{,}4\cdot0{,}15}{0{,}6\cdot0{,}8+0{,}4\cdot0{,}15}\).

Abbildung zur Aufgabe 437485

Denkanstöße

- Welche Summe müssen die Zweigwahrscheinlichkeiten an jedem Knoten ergeben? - Welche beiden vollständigen Pfade enden bei \(E\)? - Welche Bestellungen bilden in c) die neue Bezugsgruppe? - Unterscheide bei d) zwischen einem Anteil an allen Bestellungen und einem Anteil innerhalb einer bereits festgelegten Gruppe.

Lösung

1. An jedem Knoten ergänzen sich die ausgehenden Zweigwahrscheinlichkeiten zu \(1\). Daher sind die fehlenden Werte \(P(\bar S)=0{,}4\), \(P_S(\bar E)=0{,}2\) und \(P_{\bar S}(\bar E)=0{,}85\). 2. Für den Express-Versand gilt \(P(E)=0{,}6\cdot0{,}8+0{,}4\cdot0{,}15=0{,}54\). 3. Somit ist \(P(\bar E)=0{,}46\). Der gemeinsame Anteil \(P(S\cap\bar E)\) beträgt \(0{,}6\cdot0{,}2=0{,}12\). Daher gilt \(P_{\bar E}(S)=\frac{0{,}12}{0{,}46}=\frac{6}{23}\approx0{,}2609\). 4. \(P(S\cap E)\) ist der Anteil aller Bestellungen, die beide Merkmale besitzen. \(P_S(E)\) ist dagegen der Express-Anteil innerhalb der Stammkundenbestellungen. 5. Der Zähler des Terms ist \(P(\bar S\cap E)\), der Nenner ist \(P(E)\). Der Term beschreibt deshalb \(P_E(\bar S)\), also den Anteil der Gelegenheitskunden unter den Express-Bestellungen.

Antwort

a) \(P(\bar S)=0{,}4\), \(P_S(\bar E)=0{,}2\), \(P_{\bar S}(\bar E)=0{,}85\) b) \(P(E)=0{,}54=54\,\%\) c) \(P_{\bar E}(S)=\frac{6}{23}\approx26{,}09\,\%\) d) \(P(S\cap E)\) bezieht sich auf alle Bestellungen; \(P_S(E)\) nur auf die Bestellungen von Stammkunden. e) Der Term ist \(P_E(\bar S)\), der Anteil der Gelegenheitskunden unter den Express-Bestellungen.

43757511

Das Baumdiagramm modelliert zwei Wiederholungen desselben Tests. Bei gegebenem Gesundheitszustand werden die beiden Testergebnisse als unabhängig angenommen. Eine Person erhält zuerst ein positives und danach ein negatives Ergebnis. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist. Gib das Ergebnis in Prozent auf zwei Dezimalstellen an.

Abbildung zur Aufgabe 437575

Denkanstöße

- Verfolge in beiden Ausgangsgruppen genau die Ergebnisfolge „positiv, negativ“. - Welche zwei vollständigen Pfade gehören zu dieser beobachteten Ergebnisfolge? - Die gesuchte Gruppe ist ein Teil aller Personen mit genau dieser Folge.

Lösung

1. Der Pfad „krank, positiv, negativ“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\cdot0{,}95\cdot0{,}05=0{,}00095\). 2. Der Pfad „nicht krank, positiv, negativ“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}98\cdot0{,}02\cdot0{,}98=0{,}019208\). 3. Die Ergebnisfolge „positiv, negativ“ tritt insgesamt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}00095+0{,}019208=0{,}020158\) auf. 4. Unter allen Personen mit dieser Ergebnisfolge ist der Anteil der Kranken \(\frac{0{,}00095}{0{,}020158}\approx0{,}0471\). Das sind gerundet \(4{,}71\,\%\).

Antwort

\(4{,}71\,\%\)

43760111

In einem Testmodell haben \(2\,\%\) der Personen eine Krankheit (\(K\)). Ein Test ist bei Erkrankten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}95\) positiv und bei Nicht-Erkrankten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\) positiv. Derselbe Test wird zweimal durchgeführt; unter der Bedingung des Krankheitszustands seien die beiden Testergebnisse unabhängig. Eine Person erhält zweimal ein positives Ergebnis. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie krank ist, und gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Denkanstöße

- Wie groß ist innerhalb jeder Krankheitsgruppe die Wahrscheinlichkeit für zwei positive Ergebnisse? - Gewichte diese beiden Wahrscheinlichkeiten mit den Größen der beiden Ausgangsgruppen. - Welche beiden gemeinsamen Anteile bilden zusammen die Bezugsgruppe „zweimal positiv“?

Lösung

1. Der gemeinsame Anteil „krank und zweimal positiv“ beträgt \(0{,}02\cdot0{,}95^2=0{,}01805\). 2. Der gemeinsame Anteil „nicht krank und zweimal positiv“ beträgt \(0{,}98\cdot0{,}02^2=0{,}000392\). 3. Insgesamt beträgt die Wahrscheinlichkeit für zwei positive Ergebnisse \(0{,}01805+0{,}000392=0{,}018442\). 4. Daher ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit \(\frac{0{,}01805}{0{,}018442}\approx0{,}9787\), also gerundet \(97{,}9\,\%\).

Antwort

\(\approx97{,}9\,\%\)

43760211

Das Baumdiagramm zeigt zwei unterschiedliche Tests A und B für dieselbe Krankheit. Bei gegebenem Gesundheitszustand werden die beiden Testergebnisse als unabhängig angenommen. Eine Person erhält bei beiden Tests ein positives Ergebnis. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Person krank ist.

Abbildung zur Aufgabe 437602

Denkanstöße

- Verfolge in beiden Ausgangsgruppen jeweils den vollständigen Pfad A+ und B+. - Welche zwei Pfadwahrscheinlichkeiten bilden zusammen die Bezugsgruppe „beide Tests positiv“? - Welcher Teil dieser Bezugsgruppe gehört zur Gruppe „krank“?

Lösung

1. Der Pfad „krank, A+, B+“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\cdot0{,}9\cdot0{,}8=0{,}072\). 2. Der Pfad „nicht krank, A+, B+“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\cdot0{,}05\cdot0{,}1=0{,}0045\). 3. Beide positiven Testergebnisse treten insgesamt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}072+0{,}0045=0{,}0765\) auf. 4. Der Anteil der Kranken unter diesen Fällen ist \(\frac{0{,}072}{0{,}0765}=\frac{16}{17}\approx0{,}9412\).

Antwort

\(\frac{16}{17}\approx94{,}12\,\%\)

43760411

Die beiden Baumdiagramme zeigen zwei Screeningprogramme A und B für dieselbe Krankheit in Gruppen mit gleicher Krankheitshäufigkeit. Bei welchem Programm ist ein positives Ergebnis verlässlicher? Berechne dafür jeweils den Anteil der Kranken unter den Personen mit positivem Ergebnis und begründe den Vergleich.

Abbildung zur Aufgabe 437604

Denkanstöße

- Lies für jedes Programm die beiden vollständigen Pfade ab, die bei einem positiven Ergebnis enden. - Welcher dieser beiden Pfade gehört zur gesuchten Gruppe „krank“? - Vergleiche nicht nur die Trefferquote bei Kranken, sondern auch die positiven Ergebnisse in der gesunden Gruppe.

Lösung

1. Bei Programm A beträgt der gemeinsame Anteil „krank und positiv“ \(0{,}01\cdot0{,}95=0{,}0095\). Der Anteil „gesund und positiv“ beträgt \(0{,}99\cdot0{,}01=0{,}0099\). 2. Damit ist bei Programm A der Krankenanteil unter den positiven Ergebnissen \(\frac{0{,}0095}{0{,}0095+0{,}0099}\approx0{,}4897\). 3. Bei Programm B beträgt der gemeinsame Anteil „krank und positiv“ \(0{,}01\cdot0{,}99=0{,}0099\), der Anteil „gesund und positiv“ \(0{,}99\cdot0{,}03=0{,}0297\). 4. Bei Programm B ergibt sich daher \(\frac{0{,}0099}{0{,}0099+0{,}0297}=0{,}25\). 5. Ein positives Ergebnis ist bei Programm A verlässlicher. Programm B erkennt zwar einen etwas größeren Anteil der Kranken, erzeugt aber in der sehr großen gesunden Gruppe deutlich mehr positive Fehlmeldungen.

Antwort

Programm A ist verlässlicher: etwa \(48{,}97\,\%\) der positiven Ergebnisse stammen von Kranken; bei Programm B sind es \(25\,\%\).

43759811

Eine Krankheit tritt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\) auf. Ein Test hat eine Falsch-Positiv-Rate von \(0{,}05\). Unter den positiven Ergebnissen sind genau \(50\,\%\) tatsächlich krank. Bestimme die Sensitivität des Tests.

Abbildung zur Aufgabe 437598

Denkanstöße

- Bezeichne die unbekannte Testquote mit einer Variablen. - Drücke den Anteil der tatsächlich Kranken unter allen Positiven damit aus.

Lösung

1. Mit Sensitivität \(s\): krank und positiv \(=0{,}1s\). 2. Gesund und positiv: \(0{,}9\cdot0{,}05=0{,}045\). 3. Bedingung: \(0{,}1s:(0{,}1s+0{,}045)=0{,}5\). 4. Lösung: \(0{,}1s=0{,}045\) und \(s=0{,}45\).

Antwort

Sensitivität \(0{,}45=45\,\%\).

43759911

Ein Test besitzt Sensitivität \(0{,}9\) und eine Falsch-Positiv-Rate von \(0{,}05\). Bei einem positiven Ergebnis beträgt die Krankheitswahrscheinlichkeit \(0{,}75\). Bestimme die Krankheitshäufigkeit \(p\) in der untersuchten Gruppe.

Abbildung zur Aufgabe 437599

Denkanstöße

- Setze für den unbekannten Ausgangsanteil eine Variable ein. - Stelle den gesuchten Anteil innerhalb aller positiven Ergebnisse dar.

Lösung

1. Krank und positiv: \(0{,}9p\). 2. Gesund und positiv: \(0{,}05(1-p)\). 3. Gleichung: \(\frac{0{,}9p}{0{,}9p+0{,}05(1-p)}=0{,}75\). 4. Lösung: \(p=\frac{1}{7}\approx 0{,}1429\).

Antwort

\(p=\frac{1}{7}\approx 14{,}3\,\%\).

43760011

In einer Gruppe sind \(20\,\%\) krank. Ein Test erkennt \(85\,\%\) der Kranken. Unter den positiven Ergebnissen sind \(68\,\%\) tatsächlich krank. Bestimme die Falsch-Positiv-Rate.

Abbildung zur Aufgabe 437600

Denkanstöße

- Berechne den positiven Anteil aus der kranken Gruppe zuerst. - Beschreibe den unbekannten positiven Anteil aus der gesunden Gruppe mit einer Variablen.

Lösung

1. Krank und positiv: \(0{,}2\cdot0{,}85=0{,}17\). 2. Mit Falsch-Positiv-Rate \(f\): gesund und positiv \(=0{,}8f\). 3. Gleichung: \(0{,}17:(0{,}17+0{,}8f)=0{,}68\). 4. Lösung: \(f=0{,}1\).

Antwort

Falsch-Positiv-Rate \(0{,}1=10\,\%\).

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