Mathe-Arbeitsblätter Klasse 11

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Lernziele

Deutet bedingte Wahrscheinlichkeiten über Bezugsgruppen.
Berechnet bedingte Wahrscheinlichkeiten aus Schnitt- und Randwerten.
Unterscheidet P(A∣B), P(B∣A) und P(A∩B).
Bestimmt unbekannte Wahrscheinlichkeiten aus bedingten Angaben.
Deutet Ergebnisse im Sachzusammenhang.

Schwierigkeit: 1 – 5

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42207911

In einer Umfrage unter Kinobesuchern werden die Merkmale \(K\): „Die Person kauft Popcorn“ und \(G\): „Die Person kauft ein Getränk“ betrachtet. Eine Person wird zufällig aus allen Befragten ausgewählt. Ordne den folgenden Beschreibungen den jeweils passenden Ausdruck zu: \(P(K \cap G)\), \(P_K(G)\) oder \(P_G(K)\). 1. „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Besucher sowohl Popcorn als auch ein Getränk kauft?“ 2. „Unter den Besuchern, die ein Getränk kaufen, wird der Anteil derer ermittelt, die auch Popcorn wählen.“ 3. „Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Popcorn-Käufer zusätzlich ein Getränk erwirbt.“

Denkanstöße

- Achte darauf, ob sich die Aussage auf die gesamte Gruppe der Befragten bezieht oder nur auf eine Teilgruppe mit einer bestimmten Eigenschaft. - Wörter wie „und“ oder „beides“ deuten oft auf eine Schnittmenge hin. - Wörter wie „unter den...“ oder „wenn bekannt ist, dass...“ weisen auf eine Bedingung hin. - Überlege dir bei bedingten Wahrscheinlichkeiten genau, welche Information bereits gegeben ist (Bedingung) und was gesucht wird.

Lösung

1. Hier wird nach der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit für beide Merkmale gefragt: \(P(K \cap G)\). 2. Die Grundmenge ist auf die Getränkekäufer eingeschränkt, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Popcorn unter dieser Bedingung: \(P_G(K)\). 3. Die Bedingung ist der Kauf von Popcorn, gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für ein Getränk: \(P_K(G)\).

Antwort

1. \(P(K \cap G)\) 2. \(P_G(K)\) 3. \(P_K(G)\)

55349911

In einer Gruppe fahren \(18\) von \(30\) Jugendlichen mit dem Bus zur Schule (Ereignis \(B\)). Von diesen \(18\) besitzen \(12\) eine Monatskarte (Ereignis \(M\)). Erkläre kurz, welche Bezugsgruppe in \(P_B(M)\) betrachtet wird, und bestimme \(P_B(M)\).

Denkanstöße

- Welche Personen bleiben übrig, wenn du auf das Ereignis \(B\) einschränkst? - Der Nenner einer bedingten Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf genau diese eingeschränkte Gruppe.

Lösung

1. Der Index \(B\) bedeutet, dass nur die \(18\) Jugendlichen betrachtet werden, die mit dem Bus fahren. 2. In dieser Bezugsgruppe besitzen \(12\) eine Monatskarte. Daher ist \(P_B(M)=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\).

Antwort

Bezugsgruppe sind die \(18\) Busfahrenden; \(P_B(M)=\frac{2}{3}\).

55820511

Von \(28\) Jugendlichen spielen \(16\) Volleyball (\(V\)). Von diesen \(16\) sind \(10\) auch in der Theater-AG (\(T\)). Welche Zahl gehört beim Berechnen von \(P_V(T)\) in den Nenner: \(28\), \(16\) oder \(10\)? Begründe kurz.

Denkanstöße

- Welche Gruppe ist bei \(P_V(T)\) bereits festgelegt? - Welche der drei Zahlen beschreibt genau die Größe dieser Gruppe?

Lösung

Der Index \(V\) legt die Bezugsgruppe fest: Betrachtet werden nur die \(16\) Volleyballspielenden. Deshalb gehört \(16\) in den Nenner. Es wäre \(P_V(T)=\frac{10}{16}\).

Antwort

In den Nenner gehört \(16\), weil \(V\) die Bezugsgruppe ist.

55820611

Es gilt \(P_A(B)=0{,}7\). Welche Aussage passt dazu? a) \(70\,\%\) aller Personen gehören gleichzeitig zu \(A\) und \(B\). b) Unter den Personen aus \(A\) gehören \(70\,\%\) auch zu \(B\). c) Unter den Personen aus \(B\) gehören \(70\,\%\) auch zu \(A\).

Denkanstöße

- Lies jede Antwort als Aussage über eine bestimmte Bezugsgruppe. - Welche Gruppe ist in \(P_A(B)\) bereits festgelegt?

Lösung

Bei \(P_A(B)\) ist \(A\) die Bezugsgruppe. Innerhalb dieser Gruppe wird betrachtet, wie groß der Anteil von \(B\) ist. Daher ist Aussage b) richtig.

Antwort

b) Unter den Personen aus \(A\) gehören \(70\,\%\) auch zu \(B\).

55820711

Für zwei Ereignisse gilt \(P(A)=0{,}5\quad\text{und}\quad P(A\cap B)=0{,}2.\) Bestimme \(P_A(B)\).

Denkanstöße

- Welche beiden gegebenen Wahrscheinlichkeiten gehören zur Definition einer bedingten Wahrscheinlichkeit? - Prüfe nach dem Rechnen, ob dein Ergebnis als Wahrscheinlichkeit sinnvoll ist.

Lösung

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.\) Also \(P_A(B)=\frac{0{,}2}{0{,}5}=0{,}4.\)

Antwort

\(P_A(B)=0{,}4\)

42208011

An einer Schule engagieren sich viele Jugendliche in Musikgruppen. Es seien die Ereignisse \(I\): „Die Person spielt ein Instrument“ und \(C\): „Die Person singt im Chor“ gegeben. Aus einer statistischen Erhebung sind folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt: \(P(I) = 0{,}45\), \(P(C) = 0{,}30\) und \(P(I \cap C) = 0{,}18\). a) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_I(C)\). b) Formuliere die Bedeutung des Ergebnisses aus Teilaufgabe a) in einem Sachzusammenhang. c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mitglied des Chors auch ein Instrument spielt?

Denkanstöße

- Nutze die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). - Überlege dir für die Interpretation, welche Gruppe die Basis (die Bedingung) bildet und welcher Anteil davon betrachtet wird. - Achte in Teilaufgabe c) darauf, welches Ereignis die Bedingung ist und welches Merkmal zusätzlich untersucht wird.

Lösung

1. Berechnung von \(P_I(C)\) mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten: \(P_I(C) = \frac{P(I \cap C)}{P(I)} = \frac{0{,}18}{0{,}45} = 0{,}4\). 2. Interpretation: Von allen Schülern, die ein Instrument spielen, sind \(40\,\%\) auch im Chor aktiv. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Chormitglied ein Instrument spielt: \(P_C(I) = \frac{P(I \cap C)}{P(C)} = \frac{0{,}18}{0{,}30} = 0{,}6\). Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(60\,\%\).

Antwort

a) \(P_I(C) = 0{,}4\) b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die ein Instrument spielt, im Chor singt, beträgt \(0{,}4\) (bzw. \(40\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}6\) (bzw. \(60\,\%\)).

55820811

Für zwei Ereignisse \(A\) und \(F\) gilt \(P(A)=0{,}40\quad\text{und}\quad P_A(F)=0{,}75.\) Bestimme \(P(A\cap F)\).

Denkanstöße

- Welche Beziehung verbindet die bedingte Wahrscheinlichkeit mit der Schnittmenge und der Bezugsgruppe? - Deute \(0{,}75\) als Anteil innerhalb der Gruppe \(A\): Gesucht ist der Anteil aller Fälle, die zugleich zu \(A\) und \(F\) gehören.

Lösung

Aus \(P_A(F)=\frac{P(A\cap F)}{P(A)}\) folgt \(P(A\cap F)=P(A)\cdot P_A(F).\) Daher \(P(A\cap F)=0{,}40\cdot0{,}75=0{,}30.\)

Antwort

\(P(A\cap F)=0{,}30\)

55820911

Es gilt \(P(A)=0{,}6\) und \(P(A\cap B)=0{,}24\). Mia rechnet für \(P_A(B)\): \(\frac{0{,}24}{0{,}4}=0{,}6,\) weil \(P(\bar{A})=0{,}4\) ist. Erkläre den Fehler und bestimme \(P_A(B)\) richtig.

Denkanstöße

- Welche Gruppe müsste die Bezugsgruppe von \(P_A(B)\) sein? - Prüfe, ob Mias Nenner genau diese Gruppe beschreibt.

Lösung

Bei \(P_A(B)\) ist \(A\) die Bezugsgruppe. Deshalb muss durch \(P(A)=0{,}6\) geteilt werden, nicht durch \(P(\bar{A})\). Es gilt \(P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0{,}24}{0{,}6}=0{,}4.\)

Antwort

Mia verwendet die falsche Bezugsgruppe. Richtig ist \(P_A(B)=0{,}4\).

55821011

An einer Schule nutzen \(80\) von \(200\) Schülerinnen und Schülern regelmäßig die Bibliothek (\(L\)). \(90\) fahren regelmäßig mit dem Bus zur Schule (\(B\)). \(50\) gehören zu beiden Gruppen. a) Bestimme \(P_L(B)\). b) Bestimme \(P_B(L)\). c) Erkläre kurz, warum die beiden Werte verschieden sind, obwohl in beiden Rechnungen dieselben \(50\) Personen im Zähler stehen.

Denkanstöße

- Schreibe beide Wahrscheinlichkeiten zuerst in Worten. - Welche Gruppe wird in a) und b) jeweils als bekannt vorausgesetzt? - Warum kann dieselbe Schnittmenge zu zwei verschiedenen Anteilen führen?

Lösung

a) Die Bezugsgruppe ist \(L\). Daher \(P_L(B)=\frac{50}{80}=\frac{5}{8}.\) b) Die Bezugsgruppe ist \(B\). Daher \(P_B(L)=\frac{50}{90}=\frac{5}{9}.\) c) Die Schnittmenge ist in beiden Fällen gleich, aber die Bezugsgruppen und damit die Nenner sind verschieden.

Antwort

a) \(P_L(B)=\frac{5}{8}\) b) \(P_B(L)=\frac{5}{9}\) c) Die Werte unterscheiden sich wegen der verschiedenen Bezugsgruppen \(L\) und \(B\).

55822511

In einer Jahrgangsstufe sind \(18\) Jugendliche sowohl in der Schülerzeitung (\(Z\)) als auch in der Theater-AG (\(T\)). Außerdem gilt \(P_Z(T)=0{,}60\). Bestimme, wie viele Jugendliche in der Schülerzeitung sind.

Denkanstöße

- Welche Gruppe ist bei \(P_Z(T)\) die Bezugsgruppe? - Welcher Anteil dieser Gruppe wird durch die \(18\) Jugendlichen beschrieben? - Wie kannst du die unbekannte Größe der Bezugsgruppe in einem Bruch darstellen?

Lösung

Bei \(P_Z(T)\) ist die Schülerzeitung die Bezugsgruppe. Die \(18\) Jugendlichen in beiden Gruppen entsprechen also \(60\,\%\) der Mitglieder der Schülerzeitung. Sei \(n\) die Zahl der Mitglieder der Schülerzeitung. Dann gilt \(\frac{18}{n}=0{,}60.\) Daher ist \(n=\frac{18}{0{,}60}=30.\)

Antwort

In der Schülerzeitung sind \(30\) Jugendliche.

55822911

Eines von zwei Gläsern wird zufällig ausgewählt. Beide Gläser sind gleich wahrscheinlich. Im Glas mit blauem Deckel sind \(60\,\%\) rote Kugeln, im Glas mit gelbem Deckel \(30\,\%\). Aus dem ausgewählten Glas wird eine rote Kugel gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das Glas mit blauem Deckel ausgewählt wurde.

Denkanstöße

- Welche beiden Möglichkeiten können zu einer roten Kugel führen? - Welche Bezugsgruppe steht nach der Beobachtung „rote Kugel“ fest? - Wie kannst du den passenden gemeinsamen Anteil mit dieser Bezugsgruppe vergleichen?

Lösung

Der gemeinsame Anteil „blauer Deckel und rote Kugel“ ist \(0{,}5\cdot0{,}6=0{,}30\). Der gemeinsame Anteil „gelber Deckel und rote Kugel“ ist \(0{,}5\cdot0{,}3=0{,}15\). Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel \(0{,}30+0{,}15=0{,}45\). Unter der Bedingung „rote Kugel“ gilt daher \(\frac{0{,}30}{0{,}45}=\frac{2}{3}.\)

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{3}\).

41475811

In einer Schule wählen die Schüler der 9. Klasse ihre Fremdsprachen. Das Ereignis \(E\) steht für „lernt Englisch“, das Ereignis \(F\) für „lernt Französisch“. Es ist bekannt: \(P(E) = 0{,}8\), \(P_E(F) = 0{,}25\) und \(P_F(E) = 1\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten \(P(E \cap F)\) und \(P(F)\). b) Interpretiere die Angabe \(P_F(E) = 1\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche Gruppe bildet bei \(P_E(F)\) die Bedingung? - Wie hängen eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die zugehörige Schnittwahrscheinlichkeit und die Wahrscheinlichkeit der Bedingung zusammen? - Was sagt eine bedingte Wahrscheinlichkeit von \(1\) über die Teilmengenbeziehung der beiden Ereignisse aus?

Lösung

1. Aus \(P_E(F) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}\) folgt \(P(E \cap F) = P_E(F) \cdot P(E) = 0{,}25 \cdot 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Für die umgekehrte Bedingung gilt \(P_F(E) = \frac{P(E \cap F)}{P(F)}\). Mit \(P_F(E)=1\) ergibt sich \(1 = \frac{0{,}2}{P(F)}\), also \(P(F)=0{,}2\). 3. \(P_F(E)=1\) bedeutet: Unter den Schülerinnen und Schülern, die Französisch lernen, lernen alle auch Englisch.

Antwort

a) \(P(E \cap F) = 0{,}2\) und \(P(F) = 0{,}2\). b) Alle Schülerinnen und Schüler, die Französisch lernen, lernen auch Englisch.

42207411

In einer Buchhandlung wurden an einem Vormittag \(150\) Personen beobachtet. Davon waren \(60\) Stammkunden (\(S\)) und \(90\) Gelegenheitskunden (\(G\)). Von den Stammkunden tätigten \(48\) einen Kauf (\(K\)), von den Gelegenheitskunden \(30\). Bestimme: a) \(P(K)\), b) \(P_K(S)\), c) \(P_G(\bar{K})\).

Denkanstöße

- Ergänze zunächst für beide Kundengruppen die Zahl der Personen ohne Kauf. - Welche Gruppe bildet in b) die Bedingung und damit den Nenner? - Welche Gruppe bildet in c) die Bedingung?

Lösung

1. Von den \(60\) Stammkunden kaufen \(48\), also kaufen \(12\) nicht. Von den \(90\) Gelegenheitskunden kaufen \(30\), also kaufen \(60\) nicht. 2. Insgesamt kaufen \(48+30=78\) Personen. Damit gilt \(P(K)=\frac{78}{150}=0{,}52\). 3. Unter den \(78\) kaufenden Personen sind \(48\) Stammkunden. Daher ist \(P_K(S)=\frac{48}{78}=\frac{8}{13}\). 4. Unter den \(90\) Gelegenheitskunden kaufen \(60\) nichts. Somit gilt \(P_G(\bar{K})=\frac{60}{90}=\frac{2}{3}\).

Antwort

a) \(P(K)=0{,}52\) b) \(P_K(S)=\frac{8}{13}\) c) \(P_G(\bar{K})=\frac{2}{3}\)

42208411

Bei einer Qualitätskontrolle von Smartphones werden zwei Mängel betrachtet: Displayfehler (\(D\)) und Gehäusekratzer (\(G\)). Es gilt \(P(D)=0{,}12\), \(P(G)=0{,}08\) und \(P(\bar D\cap\bar G)=0{,}85\). a) Bestimme \(P(D\cap G)\). b) Ein Gerät hat einen Gehäusekratzer. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es zusätzlich einen Displayfehler hat.

Denkanstöße

- Welcher Anteil der Geräte weist mindestens einen der beiden Mängel auf? - Wie hängen Vereinigung, Einzelwahrscheinlichkeiten und Schnittwahrscheinlichkeit zusammen? - Welche Gruppe bildet in b) die Bedingung?

Lösung

1. Mindestens einen der beiden Mängel haben \(1-0{,}85=0{,}15\) der Geräte. Also ist \(P(D\cup G)=0{,}15\). 2. Mit \(P(D\cup G)=P(D)+P(G)-P(D\cap G)\) folgt \(P(D\cap G)=0{,}12+0{,}08-0{,}15=0{,}05\). 3. Unter den Geräten mit Gehäusekratzer beträgt der Anteil mit zusätzlichem Displayfehler \(P_G(D)=\frac{0{,}05}{0{,}08}=0{,}625\).

Antwort

a) \(P(D\cap G)=0{,}05=5\,\%\) b) \(P_G(D)=0{,}625=62{,}5\,\%\)

42208511

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. b) Es ist bekannt, dass die Augensumme eine gerade Zahl ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt. c) Angenommen, bei beiden Würfen wurde eine gerade Zahl erzielt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme \(10\) beträgt.

Denkanstöße

- Betrachte die beiden Würfe als geordnete Zahlenpaare. - Welche Zahlenpaare ergeben die Summe \(10\)? - Wie verändert sich die relevante Ergebnismenge, wenn die Augensumme als gerade bekannt ist? - Welche Ergebnisse bleiben übrig, wenn zusätzlich beide einzelnen Würfe gerade sein müssen?

Lösung

1. Bei zwei Würfen gibt es \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Die Summe \(10\) entsteht bei \((4,6)\), \((5,5)\) und \((6,4)\). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 2. Eine gerade Summe entsteht genau bei gerade/gerade oder ungerade/ungerade. Das sind \(18\) Ergebnisse. Alle drei Ergebnisse mit Summe \(10\) liegen in dieser Bedingungsmenge, also beträgt die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\frac{3}{18} = \frac{1}{6}\). 3. Sind beide Würfe gerade, besteht die Bedingungsmenge aus \(3 \cdot 3 = 9\) Ergebnissen. Nur \((4,6)\) und \((6,4)\) haben die Summe \(10\). Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{2}{9}\).

Antwort

a) \(\frac{1}{12}\) b) \(\frac{1}{6}\) c) \(\frac{2}{9}\)

42208611

Eine Urne enthält acht Kugeln mit den Aufschriften \(1\) bis \(8\). Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln \(9\) ergibt. b) Es wird mitgeteilt, dass die Summe der beiden Zahlen ungerade ist. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe \(9\) beträgt. c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe \(9\) beträgt, wenn bekannt ist, dass die erste gezogene Kugel eine Primzahl zeigt?

Denkanstöße

- Beachte, dass „ohne Zurücklegen“ bedeutet, dass eine Zahl nicht zweimal vorkommen kann. - Wie viele Paare gibt es insgesamt, wenn die Reihenfolge beachtet wird? - Wann ist die Summe von zwei Zahlen ungerade? Welche Kombinationen von „gerade“ und „ungerade“ sind dafür nötig? - Welche Zahlen zwischen 1 und 8 sind Primzahlen? Denke daran, dass die 1 per Definition keine Primzahl ist. - Wie viele Möglichkeiten gibt es für die zweite Kugel, wenn die erste bereits feststeht?

Lösung

1. Da ohne Zurücklegen gezogen wird, gibt es \(8 \cdot 7 = 56\) mögliche Ergebnisse. Die Paare mit der Summe \(9\) sind \((1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1)\). Es gibt \(8\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{56} = \frac{1}{7}\). 2. Eine ungerade Summe entsteht genau dann, wenn eine Kugel gerade und eine ungerade ist. Es gibt \(4\) gerade \(\{2, 4, 6, 8\}\) und \(4\) ungerade Zahlen \(\{1, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse mit ungerader Summe ist \(4 \cdot 4\) (gerade-ungerade) \(+ 4 \cdot 4\) (ungerade-gerade) \(= 32\). Alle \(8\) Ergebnisse mit der Summe \(9\) haben eine ungerade Summe. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}\). 3. Die Primzahlen in der Urne sind \(\{2, 3, 5, 7\}\). Die Anzahl der Ergebnisse, bei denen die erste Kugel eine Primzahl ist, beträgt \(4 \cdot 7 = 28\). Von den Paaren mit der Summe \(9\) beginnt die erste Kugel bei \((2,7), (3,6), (5,4)\) und \((7,2)\) mit einer Primzahl. Das sind \(4\) günstige Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}\).

Antwort

a) \(P = \frac{1}{7}\) b) \(P = \frac{1}{4}\) c) \(P = \frac{1}{7}\)

42209111

In einem Sportverein mit 50 Mitgliedern wird die Vorbereitung auf einen Fitness-Wettbewerb untersucht. 35 Mitglieder nehmen regelmäßig am Training teil. Von den 30 Mitgliedern, die den Fitness-Test am Ende bestehen, haben 28 regelmäßig trainiert. Ein Mitglied des Vereins wird zufällig ausgewählt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Mitglied regelmäßig trainiert hat und den Test besteht. b) Das ausgewählte Mitglied hat den Test bestanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regelmäßig am Training teilgenommen hat? c) Das ausgewählte Mitglied hat nicht regelmäßig trainiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es den Test dennoch bestanden hat.

Denkanstöße

- Welche Mitglieder gehören gleichzeitig zu den Gruppen „regelmäßig trainiert“ und „Test bestanden“? - Welche Gruppe ist in b) durch die Bedingung bereits festgelegt? - Bestimme für c) zuerst, wie viele Mitglieder nicht regelmäßig trainiert haben und wie viele von ihnen den Test bestanden haben.

Lösung

1. Es sei \(T\) das Ereignis „regelmäßige Teilnahme am Training“ und \(B\) das Ereignis „Test bestanden“. Gegeben sind \(|T|=35\), \(|B|=30\) und \(|T\cap B|=28\) bei insgesamt \(50\) Mitgliedern. 2. Damit ist \(P(T\cap B)=\frac{28}{50}=\frac{14}{25}=0{,}56\). 3. Unter der Bedingung \(B\) bilden die \(30\) Personen mit bestandenem Test die Bezugsgruppe. Daher gilt \(P_B(T)=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}\). 4. Es haben \(50-35=15\) Mitglieder nicht regelmäßig trainiert. Von ihnen haben \(30-28=2\) den Test bestanden. Deshalb gilt \(P_{\bar T}(B)=\frac{2}{15}\).

Antwort

a) \(P(T\cap B)=\frac{14}{25}=0{,}56\) b) \(P_B(T)=\frac{14}{15}\) c) \(P_{\bar T}(B)=\frac{2}{15}\)

42209211

In einer Fabrik werden 100 hochwertige Bauteile einer Qualitätsprüfung unterzogen. Bekannt ist, dass 8 dieser Bauteile defekt sind. Ein automatischer Schnelltest schlägt bei 7 der defekten Bauteile Alarm. Allerdings gibt der Test auch bei 5 der einwandfreien Bauteile eine Fehlermeldung aus. Ein Bauteil wird zufällig zur Prüfung ausgewählt. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt der Schnelltest bei dem ausgewählten Bauteil Alarm? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil tatsächlich defekt ist, wenn der Test Alarm gibt? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil tatsächlich defekt ist, wenn bekannt ist, dass der Test keinen Alarm gegeben hat?

Denkanstöße

- Wie viele Alarme entstehen insgesamt aus den defekten und den einwandfreien Bauteilen? - Welche Bauteile bilden in b) die neue Bezugsgruppe? - Wie viele defekte Bauteile bleiben übrig, wenn sieben der acht defekten Bauteile einen Alarm ausgelöst haben?

Lösung

1. Es sei \(D\) das Ereignis „Bauteil ist defekt“ und \(A\) das Ereignis „Test gibt Alarm“. Gegeben sind \(|D|=8\), \(|A\cap \bar{D}|=5\) und \(|A\cap D|=7\). 2. Insgesamt gibt es \(7+5=12\) Alarme. Daher ist \(P(A)=\frac{12}{100}=0{,}12\). 3. Unter der Bedingung \(A\) besteht die Bezugsgruppe aus diesen \(12\) Bauteilen. Davon sind \(7\) tatsächlich defekt. Somit gilt \(P_A(D)=\frac{7}{12}\). 4. Ohne Alarm bleiben \(100-12=88\) Bauteile. Von den \(8\) defekten Bauteilen wurde genau eines nicht erkannt. Daher gilt \(P_{\bar{A}}(D)=\frac{1}{88}\).

Antwort

a) \(P(A)=0{,}12\) b) \(P_A(D)=\frac{7}{12}\) c) \(P_{\bar{A}}(D)=\frac{1}{88}\)

42209911

In einem Logistikzentrum werden Pakete von zwei Scannern \(A\) und \(B\) erfasst. Scanner \(A\) verarbeitet \(70\,\%\) der Pakete, Scanner \(B\) die übrigen \(30\,\%\). Die Fehlerwahrscheinlichkeit für eine nicht korrekte Lesung \(F\) beträgt bei Scanner \(A\) \(2\,\%\) und bei Scanner \(B\) \(5\,\%\). a) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(F)\). b) Ein Paket wurde fehlerhaft gelesen. Bestimme \(P_F(A)\). Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Interpretiere den Term \(\frac{0{,}3\cdot0{,}95}{0{,}7\cdot0{,}98+0{,}3\cdot0{,}95}\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche vollständigen Pfade führen zum Ereignis „fehlerhaft gelesen“? - Bei b) ist die Menge aller fehlerhaft gelesenen Pakete die neue Bezugsgruppe. - Zerlege in c) Zähler und Nenner jeweils in die Ereignisse, die durch die Faktoren beschrieben werden.

Lösung

1. Zum Ereignis \(F\) führen die beiden Fehlerpfade. Daher gilt \(P(F)=0{,}7\cdot0{,}02+0{,}3\cdot0{,}05=0{,}029\). 2. Der Fehlerpfad über Scanner \(A\) hat die Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap F)=0{,}7\cdot0{,}02=0{,}014\). Innerhalb aller fehlerhaft gelesenen Pakete ist deshalb \(P_F(A)=\frac{0{,}014}{0{,}029}=\frac{14}{29}\approx0{,}4828\), also gerundet \(48{,}3\,\%\). 3. Im Zähler steht die Wahrscheinlichkeit für den Pfad „Scanner \(B\) und korrekte Lesung“. Der Nenner ist die Gesamtwahrscheinlichkeit einer korrekten Lesung über beide Scanner. Der Term ist daher \(P_{\bar{F}}(B)\).

Antwort

a) \(P(F)=0{,}029=2{,}9\,\%\) b) \(P_F(A)\approx48{,}3\,\%\) c) Der Term ist \(P_{\bar{F}}(B)\): die Wahrscheinlichkeit, dass Scanner \(B\) das Paket verarbeitet hat, unter der Bedingung einer korrekten Lesung.

42211511

Ein Pharmaunternehmen entwickelt einen neuen Schnelltest für eine bestimmte Allergie. In einer klinischen Studie werden die Ergebnisse des Schnelltests mit einer gesicherten Labordiagnose verglichen. Dabei bezeichne \(A\) das Ereignis „Allergie vorhanden“ und \(T\) das Ereignis „Schnelltest zeigt Allergie an“ (positives Testergebnis). a) Beschreibe die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten im Sachkontext: (1) \(P_A(T)\) (2) \(P_A(\bar{T})\) (3) \(P_{\bar{A}}(\bar{T})\) (4) \(P_T(A)\) (5) \(P_T(\bar{A})\) (6) \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) b) Ein Patient hat gerade sein Testergebnis erhalten. Erläutere, welche der Wahrscheinlichkeiten aus Teil a) für ihn besonders groß sein sollten, damit er dem Ergebnis vertrauen kann – unterscheide dabei zwischen einem positiven und einem negativen Testergebnis.

Denkanstöße

- Überlege dir bei \(P_X(Y)\) immer zuerst: Was ist die Voraussetzung (was wissen wir schon) und was ist das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit wir suchen? - Wer ist die Zielperson der Untersuchung und was ist ihr größtes Interesse (Sicherheit der Diagnose vs. Fehlervermeidung)? - Was bedeutet das Symbol mit dem Querstrich über dem Buchstaben in der Wahrscheinlichkeitsrechnung? - Stell dir vor, du bist selbst der Patient: Welches Wissen hättest du nach dem Test gern über deinen tatsächlichen Gesundheitszustand?

Lösung

1. Beschreibung der Wahrscheinlichkeiten: (1) Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausfällt, wenn die Allergie tatsächlich vorliegt. (2) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, obwohl eine Allergie vorliegt. (3) Wahrscheinlichkeit, dass der Test negativ ausfällt, wenn keine Allergie vorliegt. (4) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testergebnis tatsächlich eine Allergie vorliegt. (5) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem positiven Testergebnis tatsächlich keine Allergie vorliegt. (6) Wahrscheinlichkeit, dass bei einem negativen Testergebnis tatsächlich keine Allergie vorliegt. 2. Bewertung aus Patientensicht: Hat der Patient ein positives Ergebnis (\(T\)), ist für sein Vertrauen in die Diagnose \(P_T(A)\) entscheidend; diese sollte möglichst groß sein. Hat der Patient ein negatives Ergebnis (\(\bar{T}\)), ist \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) entscheidend; diese Wahrscheinlichkeit sollte möglichst groß sein.

Antwort

a) (1) Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test bei vorliegender Allergie. (2) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test trotz Allergie. (3) Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test, wenn keine Allergie vorliegt. (4) Wahrscheinlichkeit, dass man bei positivem Test wirklich allergisch ist. (5) Wahrscheinlichkeit, dass man trotz positivem Test nicht allergisch ist. (6) Wahrscheinlichkeit, dass man bei negativem Test wirklich nicht allergisch ist. b) Bei einem positiven Test sollte \(P_T(A)\) möglichst groß sein, damit die Diagnose zuverlässig ist. Bei einem negativen Test sollte \(P_{\bar{T}}(\bar{A})\) möglichst groß sein, damit eine Allergie mit hoher Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden kann.

42211611

In der Endkontrolle einer Glasfabrik werden Flaschen automatisch auf Risse untersucht. Das Ereignis \(R\) beschreibt, dass eine Flasche einen Riss hat, und das Ereignis \(S\) beschreibt, dass der Sensor einen Riss meldet. a) Gib für die folgenden Beschreibungen die zugehörige bedingte Wahrscheinlichkeit in der Notation \(P_X(Y)\) an: (1) Eine Flasche mit Riss wird vom Sensor fälschlicherweise als „ohne Riss“ eingestuft. (2) Eine Flasche ohne Riss wird vom Sensor fälschlicherweise als „mit Riss“ gemeldet. (3) Eine Flasche, bei der der Sensor einen Riss meldet, hat tatsächlich einen Riss. (4) Eine Flasche, die der Sensor als „ohne Riss“ eingestuft hat, hat tatsächlich keinen Riss. (5) Eine Flasche mit Riss wird vom Sensor korrekt erkannt. (6) Eine Flasche, bei der der Sensor einen Riss meldet, hat tatsächlich keinen Riss. b) Der Fabrikleiter möchte zwei Ziele erreichen: Erstens sollen keine Flaschen mit Riss an Kunden ausgeliefert werden. Zweitens sollen möglichst wenige Flaschen ohne Riss unnötig aussortiert werden. Erläutere, welche Wahrscheinlichkeiten aus Teil a) für das jeweilige Ziel möglichst groß bzw. klein sein sollten.

Denkanstöße

- Bestimme bei \(P_X(Y)\) zuerst, welche Information bereits feststeht. Diese Bezugsgruppe steht als Index \(X\) am \(P\). - Welche Flaschen werden unnötig aussortiert: Flaschen mit oder ohne Riss? - Welche Flaschen werden ausgeliefert? Überlege dann, welcher tatsächliche Zustand darunter möglichst selten vorkommen soll.

Lösung

1. Zuordnung der Notationen: (1) \(P_R(\bar{S})\), (2) \(P_{\bar{R}}(S)\), (3) \(P_S(R)\), (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\), (5) \(P_R(S)\), (6) \(P_S(\bar{R})\). 2. Ziel 1: Ausgeliefert werden Flaschen, bei denen der Sensor keinen Riss meldet, also \(\bar{S}\). Damit darunter möglichst keine Flaschen mit Riss sind, sollte \(P_{\bar{S}}(R)\) möglichst klein beziehungsweise \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) möglichst groß sein. Dazu passt auch eine möglichst große Erkennungsrate \(P_R(S)\). 3. Ziel 2: Unnötig aussortiert werden Flaschen ohne Riss, bei denen der Sensor trotzdem einen Riss meldet. Daher sollte \(P_{\bar{R}}(S)\) möglichst klein sein.

Antwort

a) (1) \(P_R(\bar{S})\); (2) \(P_{\bar{R}}(S)\); (3) \(P_S(R)\); (4) \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\); (5) \(P_R(S)\); (6) \(P_S(\bar{R})\). b) Für möglichst sichere Auslieferungen sollte \(P_{\bar{S}}(\bar{R})\) möglichst groß sein; entsprechend sollten \(P_R(\bar{S})\) möglichst klein und \(P_R(S)\) möglichst groß sein. Für möglichst wenig unnötigen Ausschuss sollte \(P_{\bar{R}}(S)\) möglichst klein sein.

42212711

Für ein Modell eines Diagnoseverfahrens gilt: Die Sensitivität beträgt \(98\,\%\), also \(P_S(T)=0{,}98\). Die Spezifität beträgt \(96\,\%\), also \(P_{\bar S}(\bar T)=0{,}96\). Dabei bezeichnet \(S\) „Stoffwechselstörung liegt vor“ und \(T\) „Testergebnis positiv“. a) Bestimme \(P_T(S)\), wenn \(P(S)=0{,}5\,\%\) gilt. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. b) Bestimme \(P_T(S)\), wenn stattdessen \(P(S)=5\,\%\) gilt. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Vergleiche die Ergebnisse und erläutere den Einfluss der Grundhäufigkeit auf die Aussagekraft eines positiven Ergebnisses.

Denkanstöße

- Die Testeigenschaften bleiben in a) und b) gleich; nur die Größe der Ausgangsgruppe \(S\) ändert sich. - Bestimme in jedem Fall den Gesamtanteil positiver Ergebnisse aus beiden Ausgangsgruppen. - Vergleiche anschließend den Anteil des Pfades \(S\cap T\) an allen positiven Ergebnissen.

Lösung

1. Für \(P(S)=0{,}005\) ist \(P(T)=0{,}98\cdot0{,}005+0{,}04\cdot0{,}995=0{,}0447\). Der gemeinsame Anteil \(P(S\cap T)\) ist \(0{,}0049\). Damit gilt \(P_T(S)=\frac{0{,}0049}{0{,}0447}\approx0{,}1096\), also \(11{,}0\,\%\). 2. Für \(P(S)=0{,}05\) ist \(P(T)=0{,}98\cdot0{,}05+0{,}04\cdot0{,}95=0{,}087\). Mit \(P(S\cap T)=0{,}049\) folgt \(P_T(S)=\frac{0{,}049}{0{,}087}\approx0{,}5632\), also \(56{,}3\,\%\). 3. Bei höherer Grundhäufigkeit stammt ein größerer Anteil aller positiven Ergebnisse aus der Gruppe \(S\). Deshalb steigt hier \(P_T(S)\), obwohl Sensitivität und Spezifität gleich bleiben.

Antwort

a) \(P_T(S)\approx11{,}0\,\%\) b) \(P_T(S)\approx56{,}3\,\%\) c) Eine höhere Grundhäufigkeit erhöht hier deutlich den Anteil tatsächlich Betroffener unter den positiv Getesteten.

42213811

An einer Paketstation sind \(2\,\%\) der Pakete beschädigt (\(B\)). Bei einem beschädigten Paket gibt der Scanner mit Wahrscheinlichkeit \(94\,\%\) Alarm (\(S\)); bei einem unbeschädigten Paket löst er mit Wahrscheinlichkeit \(4\,\%\) einen Fehlalarm aus. a) Berechne \(P(S)\). b) Bestimme \(P_S(B)\). Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Bestimme \(P_{\bar{S}}(B)\). Runde den Prozentwert auf zwei Dezimalstellen. d) Unter \(200\) Paketen mit Alarm: Wie viele sind voraussichtlich unbeschädigt? Runde auf eine ganze Anzahl von Paketen.

Denkanstöße

- Ein Alarm kann auf zwei verschiedenen vollständigen Pfaden entstehen. - Bei b) und c) ändert sich jeweils die Bezugsgruppe entsprechend dem beobachteten Scannergebnis. - Für d) brauchst du den Anteil der unbeschädigten Pakete innerhalb der Alarmgruppe, nicht innerhalb aller Pakete.

Lösung

1. Die beiden Alarm-Pfade ergeben \(P(S)=0{,}02\cdot0{,}94+0{,}98\cdot0{,}04=0{,}058\). 2. Der Pfad \(B\cap S\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\cdot0{,}94=0{,}0188\). Daher ist \(P_S(B)=\frac{0{,}0188}{0{,}058}\approx0{,}3241\), also gerundet \(32{,}4\,\%\). 3. Für keinen Alarm gilt \(P(\bar{S})=1-0{,}058=0{,}942\). Der Pfad \(B\cap\bar{S}\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\cdot0{,}06=0{,}0012\). Somit ist \(P_{\bar{S}}(B)=\frac{0{,}0012}{0{,}942}\approx0{,}001274\), also \(0{,}13\,\%\). 4. Unter den Alarmen ist der Anteil unbeschädigter Pakete \(P_S(\bar{B})=1-P_S(B)\approx0{,}6759\). Für \(200\) Alarmpakete ergibt das \(200\cdot0{,}6759\approx135{,}2\), also etwa \(135\) Pakete.

Antwort

a) \(P(S)=0{,}058=5{,}8\,\%\) b) \(P_S(B)\approx32{,}4\,\%\) c) \(P_{\bar{S}}(B)\approx0{,}13\,\%\) d) Etwa \(135\) Pakete sind unbeschädigt.

42287311

In einer Jahrgangsstufe werden \(150\) Jugendliche zu ihrem Smartphone und ihrem Mobilfunktarif befragt. \(40\,\%\) nutzen ein iPhone, die übrigen ein Android-Gerät. Jede Person nutzt entweder einen Monatstarif oder einen Prepaid-Tarif. Es gibt doppelt so viele Personen mit Monatstarif wie mit Prepaid-Tarif. Unter den Personen mit Monatstarif nutzen \(15\,\%\) ein iPhone. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person einen Prepaid-Tarif nutzt oder ein iPhone hat.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst, wie viele Personen ein iPhone beziehungsweise einen Monatstarif oder Prepaid-Tarif nutzen. - Eine Vierfeldertafel kann helfen, die beiden Merkmale übersichtlich zu ordnen. - Welche Personen würdest du doppelt zählen, wenn du die Gruppen „Prepaid“ und „iPhone“ einfach zusammenzählst?

Lösung

1. \(40\,\%\) von \(150\) sind \(60\) Personen mit iPhone; damit nutzen \(90\) ein Android-Gerät. 2. Da es doppelt so viele Monatstarife wie Prepaid-Tarife gibt, sind es \(100\) Monatstarife und \(50\) Prepaid-Tarife. 3. \(15\,\%\) von \(100\) sind \(15\) Personen mit Monatstarif und iPhone. Also haben \(60-15=45\) Personen zugleich einen Prepaid-Tarif und ein iPhone. 4. Für „Prepaid oder iPhone“ zählen \(50+60-45=65\) Personen. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{65}{150}=\frac{13}{30}\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{13}{30}\).

42287911

In einer Jahrgangsstufe mit \(200\) Jugendlichen besitzen \(60\,\%\) ein Tablet (\(T\)). \(60\) Jugendliche besitzen keinen Laptop (\(\bar{L}\)). Zehn Prozent aller Jugendlichen besitzen weder Tablet noch Laptop. Eine Person besitzt ein Tablet. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch einen Laptop besitzt.

Denkanstöße

- Wie viele Jugendliche besitzen ein Tablet? - Welche Teilgruppe der Personen ohne Laptop besitzt zusätzlich kein Tablet? - Wie viele Tabletbesitzende bleiben damit für die Gruppe „Tablet und Laptop“?

Lösung

1. Es besitzen \(0{,}6\cdot200=120\) Jugendliche ein Tablet. 2. Insgesamt besitzen \(60\) keinen Laptop. Davon besitzen \(0{,}1\cdot200=20\) auch kein Tablet. 3. Daher besitzen \(60-20=40\) Jugendliche ein Tablet, aber keinen Laptop. 4. Von den \(120\) Tabletbesitzenden besitzen somit \(120-40=80\) auch einen Laptop. 5. Die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(P_T(L)=\frac{80}{120}=\frac{2}{3}\).

Antwort

\(P_T(L)=\frac{2}{3}\)

43083911

Die Tabelle zeigt zwei vereinfachte Szenarien. Sie gibt an, wie viele von jeweils \(100\,000\) Personen die angegebenen Altersstufen erreichen. <table> <tr><th>Alter in Jahren</th><th>Szenario 1</th><th>Szenario 2</th></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(100\,000\)</td><td>\(100\,000\)</td></tr> <tr><td>\(40\)</td><td>\(92\,400\)</td><td>\(98\,800\)</td></tr> <tr><td>\(70\)</td><td>\(52\,100\)</td><td>\(84\,500\)</td></tr> <tr><td>\(85\)</td><td>\(12\,300\)</td><td>\(42\,600\)</td></tr> </table> a) Schätze in beiden Szenarien die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die bereits \(40\) Jahre alt geworden ist, auch \(70\) Jahre alt wird. Runde auf vier Dezimalstellen. b) Schätze in beiden Szenarien die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person, die bereits \(40\) Jahre alt geworden ist, mindestens \(85\) Jahre alt wird. Runde auf vier Dezimalstellen. c) Erkläre, warum die Zahlen in der Tabelle als Häufigkeitsmodell für die Schätzung von Wahrscheinlichkeiten verwendet werden können, aber kein Laplace-Modell darstellen.

Denkanstöße

- Welche Personen gehören jeweils zur Bedingungsgruppe „bereits \(40\) Jahre alt geworden“? - Welcher Teil dieser Bedingungsgruppe erreicht anschließend die jeweils gefragte Altersstufe? - Worauf beruht ein Häufigkeitsmodell im Unterschied zu einem Laplace-Modell?

Lösung

1. In Szenario 1 bilden die \(92\,400\) Personen, die das Alter \(40\) erreichen, die Bezugsgruppe. Davon erreichen \(52\,100\) auch das Alter \(70\). Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{52100}{92400}\approx0{,}5639\). 2. In Szenario 2 ergibt sich entsprechend \(\frac{84500}{98800}\approx0{,}8553\). 3. Für das Erreichen von mindestens \(85\) Jahren erhält man in Szenario 1 \(\frac{12300}{92400}\approx0{,}1331\) und in Szenario 2 \(\frac{42600}{98800}\approx0{,}4312\). 4. Die Schätzwerte entstehen aus Anteilen innerhalb vorgegebener Häufigkeitsdaten. Ein Laplace-Modell würde dagegen gleichwahrscheinliche Elementarereignisse voraussetzen; eine solche Annahme liegt hier nicht vor.

Antwort

a) Szenario 1: \(0{,}5639\); Szenario 2: \(0{,}8553\) b) Szenario 1: \(0{,}1331\); Szenario 2: \(0{,}4312\) c) Die Wahrscheinlichkeiten werden aus relativen Häufigkeiten in einer passenden Bezugsgruppe geschätzt; gleichwahrscheinliche Elementarereignisse werden nicht angenommen.

43084011

Für einen Smartphone-Typ liegen folgende vereinfachte Häufigkeitsdaten für \(50\,000\) Geräte vor: <table> <tr><th>Betriebsdauer in Monaten</th><th>noch funktionsfähige Geräte</th></tr> <tr><td>\(0\)</td><td>\(50\,000\)</td></tr> <tr><td>\(12\)</td><td>\(48\,500\)</td></tr> <tr><td>\(24\)</td><td>\(42\,000\)</td></tr> <tr><td>\(36\)</td><td>\(25\,000\)</td></tr> <tr><td>\(48\)</td><td>\(8000\)</td></tr> </table> a) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das nach \(12\) Monaten noch funktioniert, auch nach \(36\) Monaten noch funktionsfähig ist. Runde auf vier Dezimalstellen. b) Schätze die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät, das nach \(24\) Monaten noch funktioniert, zwischen Monat \(24\) und Monat \(36\) ausfällt. Runde auf vier Dezimalstellen. c) Erkläre, warum die vorgegebenen Häufigkeiten nicht mit einem Laplace-Modell für den Ausfallzeitpunkt gleichgesetzt werden können.

Denkanstöße

- Welche Geräte bilden in a) die Bezugsgruppe, nachdem die Bedingung bekannt ist? - Wie viele der nach \(24\) Monaten funktionsfähigen Geräte fallen bis Monat \(36\) aus? - Welche besondere Voraussetzung kennzeichnet ein Laplace-Modell?

Lösung

1. Unter den \(48\,500\) Geräten, die nach \(12\) Monaten noch funktionieren, sind nach \(36\) Monaten noch \(25\,000\) funktionsfähig. Daher beträgt die geschätzte bedingte Wahrscheinlichkeit \(\frac{25000}{48500}\approx0{,}5155\). 2. Zwischen Monat \(24\) und Monat \(36\) fallen von den zuvor noch \(42\,000\) funktionsfähigen Geräten \(42\,000-25\,000=17\,000\) aus. Die geschätzte bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{17000}{42000}\approx0{,}4048\). 3. Die Werte werden aus vorgegebenen Häufigkeiten geschätzt. Für ein Laplace-Modell müssten die betrachteten Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sein; das ist für verschiedene mögliche Ausfallzeitpunkte nicht vorausgesetzt.

Antwort

a) \(0{,}5155\) b) \(0{,}4048\) c) Die Daten liefern ein Häufigkeitsmodell; ein Laplace-Modell würde eine hier nicht begründete Gleichwahrscheinlichkeit der möglichen Ausfallzeitpunkte verlangen.

43087011

Bei elektronischen Bauteilen können zwei Mängel \(M_1\) und \(M_2\) auftreten. Es gilt: - \(8\,\%\) der Bauteile weisen den Mangel \(M_1\) auf. - Unter den Bauteilen mit Mangel \(M_1\) tritt bei einem Viertel zusätzlich der Mangel \(M_2\) auf. - \(90\,\%\) der Bauteile weisen keinen der beiden Mängel auf. Unter den Bauteilen, die mindestens einen der beiden Mängel aufweisen, wird eines zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Bauteil beide Mängel aufweist.

Denkanstöße

- Welche Schnittwahrscheinlichkeit folgt aus dem Anteil mit \(M_1\) und dem bedingten Anteil mit zusätzlichem \(M_2\)? - Welches Ereignis beschreibt „mindestens einen der beiden Mängel“, und wie lässt sich seine Wahrscheinlichkeit aus dem Anteil ohne Mangel bestimmen? - Welche dieser Gruppen bildet bei der gesuchten bedingten Wahrscheinlichkeit die Bezugsgruppe?

Lösung

1. Aus \(P(M_1)=0{,}08\) und \(P_{M_1}(M_2)=0{,}25\) folgt \(P(M_1\cap M_2)=0{,}08\cdot0{,}25=0{,}02\). 2. Mindestens einen Mangel haben \(1-0{,}90=0{,}10\) der Bauteile, also gilt \(P(M_1\cup M_2)=0{,}10\). 3. Die Bezugsgruppe der gesuchten Wahrscheinlichkeit ist \(M_1\cup M_2\). Daher gilt \(P_{M_1\cup M_2}(M_1\cap M_2)=\frac{0{,}02}{0{,}10}=0{,}20\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(20\,\%\).

43093911

In einer Befragung nutzen \(35\,\%\) der betrachteten Personen die Smartphone-Marke Tera (\(T\)). Unter den Nutzenden von Tera sind \(70\,\%\) jünger als \(30\) Jahre (Ereignis \(J\)); unter den Personen, die Tera nicht nutzen, sind es \(40\,\%\). Eine zweite Darstellung derselben Daten behauptet: - \(50{,}5\,\%\) aller betrachteten Personen sind jünger als \(30\) Jahre, - unter den Jüngeren nutzen etwa \(48{,}5\,\%\) Tera, - unter den mindestens \(30\)-Jährigen nutzen etwa \(21{,}2\,\%\) Tera. Prüfe rechnerisch, ob diese drei Angaben zur ersten Darstellung passen.

Denkanstöße

- Welche beiden Pfade führen zur Gruppe der unter \(30\)-Jährigen? - Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit von \(T\) und \(J\) kannst du aus der ersten Darstellung bestimmen? - Welche Bezugsgruppe steht im Nenner, wenn die Bedingung von „nutzt \(T\)“ zu „ist jünger als \(30\)“ umgekehrt wird?

Lösung

1. Gegeben sind \(P(T)=0{,}35\), \(P_T(J)=0{,}70\) und \(P_{\bar T}(J)=0{,}40\). 2. Für den Gesamtanteil der Jüngeren gilt \(P(J)=0{,}35\cdot0{,}70+0{,}65\cdot0{,}40=0{,}505\). Die Angabe \(50{,}5\,\%\) stimmt. 3. Der gemeinsame Anteil \(P(T\cap J)\) beträgt \(0{,}35\cdot0{,}70=0{,}245\). Damit ist \(P_J(T)=\frac{0{,}245}{0{,}505}\approx0{,}4851\), also etwa \(48{,}5\,\%\). 4. Für die mindestens \(30\)-Jährigen gilt \(P(T\cap\bar J)=0{,}35\cdot0{,}30=0{,}105\) und \(P(\bar J)=0{,}495\). Daher ist \(P_{\bar J}(T)=\frac{0{,}105}{0{,}495}\approx0{,}2121\), also etwa \(21{,}2\,\%\). 5. Alle drei Angaben sind bis auf die angegebene Rundung konsistent.

Antwort

Die Angaben sind konsistent: \(P(J)=50{,}5\,\%\), \(P_J(T)\approx48{,}5\,\%\) und \(P_{\bar J}(T)\approx21{,}2\,\%\).

43094011

Für die Fahrzeuge in einer Region gilt: \(15\,\%\) sind Elektroautos (\(E\)). Bei \(80\,\%\) der Elektroautos wohnt die Halterin oder der Halter in einer Großstadt (\(G\)); bei den übrigen Fahrzeugen sind es \(55\,\%\). Eine Aussage lautet: „Unter den Fahrzeugen von Personen aus der Großstadt ist der Elektroauto-Anteil mehr als doppelt so hoch wie unter den Fahrzeugen von Personen außerhalb der Großstadt.“ Prüfe diese Aussage, indem du \(P_G(E)\) und \(P_{\bar{G}}(E)\) bestimmst. Gib beide Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen gerundet an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Anteil \(P(G)\). - Welche Pfadwahrscheinlichkeit beschreibt gleichzeitig „Elektroauto“ und „Großstadt“? - Wiederhole dieselbe Überlegung für \(\bar G\) und vergleiche anschließend die beiden bedingten Anteile.

Lösung

1. Gegeben sind \(P(E)=0{,}15\), \(P_E(G)=0{,}80\) und \(P_{\bar{E}}(G)=0{,}55\). 2. Insgesamt gilt \(P(G)=0{,}15\cdot0{,}80+0{,}85\cdot0{,}55=0{,}5875\). 3. Es gilt \(P(E\cap G)=0{,}15\cdot0{,}80=0{,}12\). Daher ist \(P_G(E)=\frac{0{,}12}{0{,}5875}\approx20{,}43\,\%\). 4. Außerdem gilt \(P(E\cap\bar{G})=0{,}15\cdot0{,}20=0{,}03\) und \(P(\bar{G})=0{,}4125\). Damit ist \(P_{\bar{G}}(E)=\frac{0{,}03}{0{,}4125}\approx7{,}27\,\%\). 5. Das Doppelte von \(7{,}27\,\%\) ist \(14{,}54\,\%\). Da \(20{,}43\,\%>14{,}54\,\%\), trifft die Aussage für diese Angaben zu.

Antwort

\(P_G(E)\approx20{,}43\,\%\) und \(P_{\bar{G}}(E)\approx7{,}27\,\%\). Da \(20{,}43\,\%>2\cdot7{,}27\,\%\), trifft die Aussage für diese Angaben zu.

43095111

Die Tabelle zeigt, wie viele Personen bestimmte Altersstufen erreichen: <table> <tr><th>Alter</th><th>Anzahl, die dieses Alter erreicht</th></tr> <tr><td>\(25\)</td><td>\(98\,412\)</td></tr> <tr><td>\(45\)</td><td>\(95\,120\)</td></tr> <tr><td>\(65\)</td><td>\(80\,455\)</td></tr> </table> Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit und runde auf vier Dezimalstellen. 1. Eine heute \(25\)-jährige Person erlebt ihren \(65\). Geburtstag. 2. Zwei heute \(45\)-jährige Personen erleben beide ihren \(65\). Geburtstag. Nimm für diese Aufgabe an, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind. 3. Eine heute \(25\)-jährige Person erreicht ihren \(45\)., aber nicht ihren \(65\). Geburtstag.

Denkanstöße

- Welche Altersgruppe bildet jeweils die Bezugsgruppe für den gesuchten Anteil? - Wie kannst du aus den Tabellenwerten bei \(45\) und \(65\) die Zahl der Personen bestimmen, die \(45\), aber nicht \(65\) erreichen? - Welche Bedeutung hat die ausdrücklich vorgegebene Unabhängigkeit in Aufgabe 2 für zwei gleichzeitig eintretende Ereignisse?

Lösung

1. Unter den \(98\,412\) Personen, die \(25\) Jahre alt werden, erreichen \(80\,455\) das Alter \(65\). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{80455}{98412}\approx0{,}8175\). 2. Für eine heute \(45\)-jährige Person beträgt die Wahrscheinlichkeit \(\frac{80455}{95120}\approx0{,}8458\). Unter der vorgegebenen Unabhängigkeitsannahme ergibt sich für zwei Personen \(\left(\frac{80455}{95120}\right)^2\approx0{,}7154\). 3. \(95\,120\) Personen erreichen das Alter \(45\), aber nur \(80\,455\) davon auch das Alter \(65\). Also erreichen \(14\,665\) zwar \(45\), aber nicht \(65\). Bezogen auf die \(98\,412\) Personen im Alter \(25\) ergibt sich \(\frac{14665}{98412}\approx0{,}1490\).

Antwort

1. \(0{,}8175\) 2. \(0{,}7154\) 3. \(0{,}1490\)

43095711

An einer Universität sind \(42\,\%\) der Studierenden in einem Masterstudiengang (\(M\)) eingeschrieben; die übrigen studieren in einem Bachelorstudiengang (\(B\)). \(15\,\%\) der Masterstudierenden und \(25\,\%\) der Bachelorstudierenden nutzen die Universitätsbibliothek täglich (\(L\)). 1. Eine Person, die die Bibliothek nicht täglich nutzt, wird zufällig ausgewählt. Bestimme \(P_{\bar{L}}(B)\). Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. 2. Eine Person aus dem Bachelorstudium wird zufällig ausgewählt. Bestimme \(P_B(\bar{L})\).

Denkanstöße

- Ergänze zuerst die Gegenwahrscheinlichkeiten zur täglichen Nutzung innerhalb beider Studiengruppen. - Für Frage 1 ist die Bezugsgruppe die Menge aller Personen ohne tägliche Bibliotheksnutzung. - Vergleiche die Bedingungsrichtung in Frage 1 mit der in Frage 2.

Lösung

1. Es gilt \(P(B)=1-0{,}42=0{,}58\), \(P_M(\bar{L})=0{,}85\) und \(P_B(\bar{L})=0{,}75\). 2. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für keine tägliche Nutzung ist \(P(\bar{L})=0{,}42\cdot0{,}85+0{,}58\cdot0{,}75=0{,}792\). 3. Der Pfad \(B\cap\bar{L}\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}58\cdot0{,}75=0{,}435\). Innerhalb aller Personen ohne tägliche Nutzung gilt daher \(P_{\bar{L}}(B)=\frac{0{,}435}{0{,}792}=\frac{145}{264}\approx0{,}5492\), also gerundet \(54{,}9\,\%\). 4. Für die zweite Frage ist die Bedingungsrichtung bereits passend gegeben: \(P_B(\bar{L})=0{,}75\).

Antwort

1. \(P_{\bar{L}}(B)\approx54{,}9\,\%\) 2. \(P_B(\bar{L})=75\,\%\)

43095811

In einem Unternehmen arbeiten \(35\,\%\) der Beschäftigten im Außendienst (\(A\)), die übrigen im Innendienst (\(I\)). Unter den Beschäftigten im Außendienst nutzen \(80\,\%\) einen Firmenwagen für den Arbeitsweg (\(W\)); im Innendienst sind es \(10\,\%\). 1. Eine zufällig ausgewählte Person nutzt keinen Firmenwagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Außendienst arbeitet. Gib das Ergebnis als gekürzten Bruch an. 2. Eine zufällig ausgewählte Person arbeitet im Außendienst. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie keinen Firmenwagen nutzt.

Denkanstöße

- Welche beiden Pfade führen zum Ereignis „kein Firmenwagen“? - Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit gehört zum Pfad „Außendienst und kein Firmenwagen“? - Vergleiche genau, welche Gruppe in den beiden Fragen jeweils als Bedingung feststeht.

Lösung

1. Es gilt \(P(A)=0{,}35\), \(P(I)=0{,}65\), \(P_A(W)=0{,}80\) und \(P_I(W)=0{,}10\). Damit sind \(P_A(\bar W)=0{,}20\) und \(P_I(\bar W)=0{,}90\). 2. Für die Nicht-Nutzung eines Firmenwagens ergibt sich \(P(\bar W)=0{,}35\cdot0{,}20+0{,}65\cdot0{,}90=0{,}655\). 3. Der gemeinsame Anteil von Außendienst und Nicht-Nutzung beträgt \(P(A\cap\bar W)=0{,}35\cdot0{,}20=0{,}07\). Daher ist \(P_{\bar W}(A)=\frac{0{,}07}{0{,}655}=\frac{14}{131}\). 4. Für die zweite Frage ist die Bedingung bereits die Gruppe \(A\). Somit gilt direkt \(P_A(\bar W)=0{,}20\).

Antwort

1. \(P_{\bar W}(A)=\frac{14}{131}\) 2. \(P_A(\bar W)=20\,\%\)

43747611

Der gleiche Schnelltest auf eine Nahrungsmittelunverträglichkeit wird in einer allgemeinen Gruppe und in einer Risikogruppe eingesetzt. \(K\) bedeutet „Unverträglichkeit liegt vor“, \(T\) bedeutet „Testergebnis positiv“. Die Testeigenschaften sind in beiden Gruppen gleich; nur die Grundhäufigkeit von \(K\) unterscheidet sich. a) Berechne für beide Gruppen \(P_T(K)\). Gib die Prozentwerte auf zwei Dezimalstellen gerundet an. b) Vergleiche die Ergebnisse und erkläre, welchen Einfluss die unterschiedliche Grundhäufigkeit auf die Aussagekraft eines positiven Testergebnisses hat.

Abbildung zur Aufgabe 437476

Denkanstöße

- Lies für jede Gruppe zuerst die beiden Pfade ab, die bei \(T\) enden. - Welche Pfadwahrscheinlichkeit gehört gleichzeitig zu \(K\) und \(T\)? - Vergleiche anschließend, wie groß die Ausgangsgruppe \(\bar{K}\) in den beiden Diagrammen ist.

Lösung

1. In der allgemeinen Gruppe beträgt der Anteil positiver Ergebnisse \(P(T)=0{,}01\cdot0{,}98+0{,}99\cdot0{,}04=0{,}0494\). Der gemeinsame Anteil \(P(K\cap T)\) ist \(0{,}0098\). Daher gilt \(P_T(K)=\frac{0{,}0098}{0{,}0494}\approx0{,}1984\). 2. In der Risikogruppe ist \(P(T)=0{,}15\cdot0{,}98+0{,}85\cdot0{,}04=0{,}181\) und \(P(K\cap T)=0{,}147\). Damit ist \(P_T(K)=\frac{0{,}147}{0{,}181}\approx0{,}8122\). 3. Obwohl die bedingten Testeigenschaften gleich sind, ist ein positives Ergebnis in der Risikogruppe wesentlich aussagekräftiger. Bei sehr kleiner Grundhäufigkeit von \(K\) können die positiven Ergebnisse aus der großen Gruppe \(\bar{K}\) einen großen Anteil aller positiven Ergebnisse ausmachen.

Antwort

a) Allgemeine Gruppe: \(P_T(K)\approx19{,}84\,\%\); Risikogruppe: \(P_T(K)\approx81{,}22\,\%\). b) Eine höhere Grundhäufigkeit von \(K\) erhöht hier deutlich den Anteil tatsächlich Betroffener unter den positiv Getesteten, obwohl die Testeigenschaften unverändert bleiben.

43747811

Bei einer medizinischen Vorsorgeuntersuchung gilt: \(0{,}5\,\%\) der betrachteten Personen haben die seltene Stoffwechselkrankheit \(E\). Der Test ist bei erkrankten Personen mit Wahrscheinlichkeit \(98\,\%\) positiv (\(T\)); bei nicht erkrankten Personen ist er mit Wahrscheinlichkeit \(3\,\%\) positiv. a) Gib \(P_E(T)\) an und beschreibe die Bedeutung dieser Wahrscheinlichkeit im Sachzusammenhang. b) Berechne \(P(E\cap T)\). c) Bestimme \(P_T(E)\). Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. d) Erläutere anhand der Wahrscheinlichkeiten, warum \(E\) und \(T\) stochastisch abhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Gruppe ist bei \(P_E(T)\) die Bezugsgruppe? - Für \(P(E\cap T)\): Welche beiden Angaben gehören zu demselben Pfad? - Welche Gruppe ist bei \(P_T(E)\) die Bezugsgruppe? - Welche Gleichheit zwischen einer bedingten und der passenden unbedingten Wahrscheinlichkeit müsste bei Unabhängigkeit gelten?

Lösung

1. Aus den Angaben folgt direkt \(P_E(T)=0{,}98\). Das bedeutet: Unter den erkrankten Personen erhalten \(98\,\%\) ein positives Testergebnis. 2. Für das gemeinsame Eintreten gilt \(P(E\cap T)=0{,}005\cdot0{,}98=0{,}0049\). 3. Insgesamt ist \(P(T)=0{,}0049+0{,}995\cdot0{,}03=0{,}03475\). 4. Damit ist \(P_T(E)=\frac{0{,}0049}{0{,}03475}=\frac{98}{695}\approx0{,}1410\), also gerundet \(14{,}1\,\%\). 5. Bei Unabhängigkeit müsste die Wahrscheinlichkeit für \(T\) unter der Bedingung \(E\) mit der unbedingten Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) übereinstimmen. Hier gilt \(P_E(T)=0{,}98\neq0{,}03475=P(T)\); die Ereignisse sind daher abhängig.

Antwort

a) \(P_E(T)=0{,}98\); unter den erkrankten Personen sind \(98\,\%\) der Tests positiv. b) \(P(E\cap T)=0{,}0049=0{,}49\,\%\) c) \(P_T(E)\approx14{,}1\,\%\) d) \(E\) und \(T\) sind abhängig, weil \(P_E(T)\neq P(T)\).

43759711

An einer Schule besuchen \(10\,\%\) der Schülerinnen und Schüler regelmäßig eine Lernwerkstatt (\(L\)). Unter ihnen bestehen \(80\,\%\) eine Probeklausur (\(B\)); unter den übrigen Schülerinnen und Schülern bestehen \(10\,\%\) die Probeklausur. Bestimme \(P_B(L)\) und \(P_{\bar B}(\bar L)\). Gib beide Prozentwerte auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Denkanstöße

- In den beiden Teilfragen sind verschiedene Gruppen als Bedingung festgelegt. - Welche gemeinsamen Anteile gehören jeweils zur gesuchten Gruppe? - Prüfe nach dem Rechnen, ob beide Ergebnisse zur jeweiligen Bezugsgruppe passen.

Lösung

1. Für das Bestehen gilt \(P(B)=0{,}1\cdot0{,}8+0{,}9\cdot0{,}1=0{,}17\). Der gemeinsame Anteil \(P(L\cap B)\) beträgt \(0{,}08\). Daher ist \(P_B(L)=\frac{0{,}08}{0{,}17}=\frac{8}{17}\approx0{,}4706\). 2. Für das Nichtbestehen gilt \(P(\bar B)=0{,}1\cdot0{,}2+0{,}9\cdot0{,}9=0{,}83\). Der gemeinsame Anteil \(P(\bar L\cap\bar B)\) beträgt \(0{,}81\). Somit ist \(P_{\bar B}(\bar L)=\frac{0{,}81}{0{,}83}=\frac{81}{83}\approx0{,}9759\). 3. Gerundet ergeben sich \(47{,}1\,\%\) und \(97{,}6\,\%\).

Antwort

\(P_B(L)=\frac{8}{17}\approx47{,}1\,\%\) \(P_{\bar B}(\bar L)=\frac{81}{83}\approx97{,}6\,\%\)

55823011

Eine von zwei Münzen wird zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Auswahl und für Kopf (\(K\)) beziehungsweise Zahl (\(Z\)) stehen im Baumdiagramm. Die ausgewählte Münze wird zweimal geworfen. Zuerst fällt \(K\), danach \(Z\). a) Bestimme nach dem ersten Wurf die Wahrscheinlichkeit, dass die goldene Münze ausgewählt wurde. b) Bestimme nach beiden Würfen dieselbe Wahrscheinlichkeit erneut. c) Erkläre, wie der zweite Wurf die Einschätzung verändert.

Abbildung zur Aufgabe 558230

Denkanstöße

- Vergleiche nach jeder Beobachtung, wie gut sie zu den beiden möglichen Münzen passt. - Welche zwei Möglichkeiten können das erste Ergebnis \(K\) erklären? - Welche zwei vollständigen Pfade passen nach beiden Würfen genau zur Folge \(K,Z\)?

Lösung

a) Nach dem ersten Kopf-Ergebnis ist der gemeinsame Anteil „goldene Münze und \(K\)“ \(0{,}5\cdot0{,}75=0{,}375\). Für die silberne Münze beträgt der entsprechende Anteil \(0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25\). Damit ist die Wahrscheinlichkeit für die goldene Münze nach dem ersten Wurf \(\frac{0{,}375}{0{,}375+0{,}25}=0{,}6\). b) Für die Folge \(K,Z\) beträgt die Pfadwahrscheinlichkeit mit der goldenen Münze \(0{,}5\cdot0{,}75\cdot0{,}25=0{,}09375\). Mit der silbernen Münze beträgt sie \(0{,}5\cdot0{,}5\cdot0{,}5=0{,}125\). Damit gilt nach beiden Würfen \(\frac{0{,}09375}{0{,}09375+0{,}125}=\frac{3}{7}\). c) Nach dem ersten Wurf liegt die Wahrscheinlichkeit bei \(0{,}6\), nach dem zweiten bei \(\frac{3}{7}\). Das Ergebnis \(Z\) spricht eher für die faire silberne Münze und senkt daher die Wahrscheinlichkeit für die goldene Münze.

Antwort

a) \(0{,}6=60\,\%\) b) \(\frac{3}{7}\) c) Der zweite Wurf senkt die Wahrscheinlichkeit für die goldene Münze, weil \(Z\) bei der fairen Münze wahrscheinlicher ist.

41476011

Gegeben sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) eines Zufallsexperiments mit \(P_B(A) = \frac{3}{4}\) und \(P_A(B) = \frac{1}{2}\). Zudem ist \(P(B) = \frac{2}{5}\) bekannt. Beschreibe ein mögliches Urnenmodell für dieses Experiment. Bestimme dazu die kleinstmögliche Gesamtzahl an Kugeln sowie die Anzahl der Kugeln, die nur das Merkmal \(A\), nur das Merkmal \(B\), beide Merkmale oder keines der beiden Merkmale besitzen.

Denkanstöße

- Welche Schnittwahrscheinlichkeit lässt sich zuerst aus \(P_B(A)\) und \(P(B)\) bestimmen? - Wie kannst du anschließend \(P(A)\) aus der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit erschließen? - Welche gemeinsame Gesamtzahl macht alle erhaltenen Wahrscheinlichkeiten zu ganzen Kugelzahlen?

Lösung

1. Aus \(P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) folgt \(P(A \cap B) = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{10}\). 2. Mit \(P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2}\) erhält man \(P(A) = \frac{3/10}{1/2} = \frac{3}{5}\). 3. Damit sind \(P(A)=\frac{6}{10}\), \(P(B)=\frac{4}{10}\) und \(P(A \cap B)=\frac{3}{10}\). Die kleinstmögliche Gesamtzahl ist daher \(10\). 4. Von \(10\) Kugeln besitzen \(3\) beide Merkmale. Nur \(A\) besitzen \(6-3=3\) Kugeln, nur \(B\) besitzen \(4-3=1\) Kugel. 5. Für keines der beiden Merkmale bleiben \(10-(3+3+1)=3\) Kugeln.

Antwort

Ein mögliches Urnenmodell besteht aus \(10\) Kugeln: \(3\) besitzen beide Merkmale, \(3\) nur \(A\), \(1\) nur \(B\) und \(3\) keines der beiden Merkmale.

42209511

In einem Lager stehen zwei Kisten mit LED-Leuchtmitteln. In Kiste 1 befinden sich \(10\) grüne, \(5\) rote und \(5\) blaue LEDs. In Kiste 2 liegen \(8\) grüne, \(10\) rote und \(2\) blaue LEDs. Eine der beiden Kisten wird zunächst mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt. a) Aus der gewählten Kiste wird eine LED entnommen. Sie leuchtet rot. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus Kiste 2 stammt. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. b) Aus der gewählten Kiste werden stattdessen zwei LEDs ohne Zurücklegen entnommen. Beide leuchten blau. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Kiste Kiste 1 war. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Begründe ohne Rechnung, wie sich die Wahrscheinlichkeit aus a) verändern würde, wenn Kiste 1 mit Wahrscheinlichkeit \(70\,\%\) statt \(50\,\%\) ausgewählt würde.

Denkanstöße

- Stelle dir für a) zuerst die Wahl der Kiste und danach die beobachtete Farbe als zweistufigen Baum vor. - Bei b) verändert die erste gezogene LED die Zusammensetzung derselben Kiste für den zweiten Zug. - Für die umgekehrte Wahrscheinlichkeit vergleichst du den passenden Pfad mit allen Pfaden, die zum beobachteten Ergebnis führen. - Überlege bei c), wie ein verändertes Vorwissen über die Kistenwahl die Herkunft eines später beobachteten Ergebnisses beeinflusst.

Lösung

1. Für eine rote LED gilt \(P_{K_1}(R)=\frac{5}{20}=0{,}25\) und \(P_{K_2}(R)=\frac{10}{20}=0{,}5\). 2. Insgesamt ist \(P(R)=0{,}5\cdot0{,}25+0{,}5\cdot0{,}5=0{,}375\). Der rote Pfad über Kiste 2 hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25\). Daher ist \(P_R(K_2)=\frac{0{,}25}{0{,}375}=\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\). 3. Bezeichne das Ereignis „zwei blaue LEDs“ mit \(Z\). Dann gilt \(P_{K_1}(Z)=\frac{5}{20}\cdot\frac{4}{19}=\frac{1}{19}\) und \(P_{K_2}(Z)=\frac{2}{20}\cdot\frac{1}{19}=\frac{1}{190}\). 4. Insgesamt ist \(P(Z)=0{,}5\cdot\frac{1}{19}+0{,}5\cdot\frac{1}{190}=\frac{11}{380}\). Der entsprechende Pfad über Kiste 1 hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{38}\). Somit ist \(P_Z(K_1)=\frac{1/38}{11/380}=\frac{10}{11}\approx90{,}9\,\%\). 5. Wird Kiste 1 schon vor der Beobachtung häufiger gewählt, wird Kiste 2 als mögliche Herkunft einer roten LED weniger wahrscheinlich. Das rote Ergebnis spricht weiterhin eher für Kiste 2 als Kiste 1, gleicht den stärkeren Ausgangsvorteil von Kiste 1 aber weniger aus; \(P_R(K_2)\) sinkt.

Antwort

a) \(P_R(K_2)=\frac{2}{3}\approx66{,}7\,\%\) b) \(P_Z(K_1)=\frac{10}{11}\approx90{,}9\,\%\) c) Die Wahrscheinlichkeit aus a) sinkt.

42213311

Bei \(20\,000\) untersuchten Personen liegt bei \(1\,\%\) eine seltene allergische Reaktion \(A\) vor. Ein positives Testergebnis sei \(T\). Bei Personen mit der Reaktion ist der Test in \(98\,\%\) der Fälle positiv. Bei Personen ohne die Reaktion ist er in \(3\,\%\) der Fälle ebenfalls positiv. a) Bestimme \(P(T)\). b) Berechne \(P_T(A)\) und interpretiere das Ergebnis. c) Untersuche die Ereignisse \(A\) und \(T\) auf stochastische Unabhängigkeit. d) Erkläre, warum unter den positiven Testergebnissen trotz der hohen Trefferquote viele Personen ohne die Reaktion sind.

Denkanstöße

- Übertrage die Prozentangaben zunächst auf die \(20\,000\) Personen; dadurch werden die beiden Gruppen direkt vergleichbar. - Welche Personen bilden in b) die Bezugsgruppe? - Wie müsste sich die Wahrscheinlichkeit eines positiven Ergebnisses unter der Bedingung \(A\) verhalten, wenn \(A\) und \(T\) unabhängig wären? - Vergleiche für d) nicht nur die Fehlerraten, sondern auch die Größen der beiden Ausgangsgruppen.

Lösung

1. Von \(20\,000\) Personen haben \(200\) die Reaktion. Davon erhalten \(0{,}98\cdot200=196\) ein positives Ergebnis. Von den \(19\,800\) Personen ohne Reaktion erhalten \(0{,}03\cdot19\,800=594\) ein positives Ergebnis. 2. Insgesamt sind damit \(196+594=790\) Ergebnisse positiv. Also gilt \(P(T)=\frac{790}{20000}=0{,}0395=3{,}95\,\%\). 3. Unter den \(790\) positiven Ergebnissen stammen \(196\) von Personen mit der Reaktion. Somit ist \(P_T(A)=\frac{196}{790}=\frac{98}{395}\). Das bedeutet: Unter den \(790\) positiv getesteten Personen haben \(196\) die Reaktion tatsächlich. 4. Für Unabhängigkeit müsste zum Beispiel \(P_A(T)=P(T)\) gelten. Tatsächlich ist \(P_A(T)=0{,}98\), aber \(P(T)=0{,}0395\). Daher sind \(A\) und \(T\) stochastisch abhängig. 5. Die Gruppe ohne Reaktion ist mit \(19\,800\) Personen sehr viel größer. Deshalb entstehen dort trotz der kleinen Falsch-positiv-Rate mehr positive Ergebnisse als in der kleinen Gruppe mit Reaktion.

Antwort

a) \(P(T)=0{,}0395=3{,}95\,\%\) b) \(P_T(A)=\frac{98}{395}\); unter den \(790\) positiv getesteten Personen haben \(196\) die Reaktion tatsächlich. c) Die Ereignisse sind abhängig, da \(P_A(T)=0{,}98\neq0{,}0395=P(T)\). d) Die sehr große Gruppe ohne Reaktion erzeugt trotz nur \(3\,\%\) Falsch-positiv-Rate \(594\) positive Ergebnisse; bei den Personen mit Reaktion sind es \(196\).

42287411

In einem Sportverein mit \(120\) Mitgliedern sind \(60\,\%\) Jugendliche (\(J\)) und die übrigen Erwachsene (\(E\)). Jedes Mitglied spielt genau eine der beiden Sportarten Tennis (\(T\)) oder Hockey (\(H\)). Insgesamt spielen \(20\) Personen mehr Tennis als Hockey. Ein Viertel der Jugendlichen spielt Hockey. Bestimme \(P_T(E)\).

Denkanstöße

- Welche Gesamtgrößen der Alters- und Sportgruppen lassen sich aus den Angaben bestimmen? - Welche Teilgruppe wird durch „ein Viertel der Jugendlichen spielt Hockey“ festgelegt? - Welche Gruppe muss bei \(P_T(E)\) als Bezugsgruppe verwendet werden?

Lösung

1. Es gibt \(0{,}6\cdot120=72\) Jugendliche und \(48\) Erwachsene. 2. Sei \(x\) die Zahl der Hockeyspielenden. Dann spielen \(x+20\) Tennis und es gilt \(x+(x+20)=120\). Somit ist \(x=50\); also spielen \(70\) Personen Tennis. 3. Unter den \(72\) Jugendlichen spielen \(\frac{1}{4}\cdot72=18\) Hockey und daher \(54\) Tennis. 4. Von den insgesamt \(70\) Tennisspielenden sind damit \(70-54=16\) Erwachsene. 5. Folglich gilt \(P_T(E)=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}\).

Antwort

\(P_T(E)=\frac{8}{35}\)

43096811

Eine Münze ist entweder fair (\(F\), Kopf-Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\)) oder gezinkt (\(G\), Kopf-Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\)). Zu Beginn werden beide Möglichkeiten als gleich wahrscheinlich angenommen. Die Münze wird dreimal geworfen; die Folge lautet Kopf, Kopf, Zahl. Bestimme nach jedem Wurf die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Münze gezinkt ist. Erkläre anschließend, wie der dritte Wurf die Einschätzung gegenüber dem Stand nach zwei Würfen verändert.

Denkanstöße

- Nach jeder Beobachtung wird die gerade erhaltene Verteilung zum Ausgangspunkt für den nächsten Wurf. - Vergleiche jeweils, wie wahrscheinlich das beobachtete Ergebnis unter den beiden Münzmodellen ist. - Beim dritten Wurf ist entscheidend, welches Münzmodell „Zahl“ stärker unterstützt.

Lösung

1. Vor dem ersten Wurf gilt \(P(F)=P(G)=0{,}5\). Für Kopf ist \(P_F(K)=0{,}5\) und \(P_G(K)=0{,}8\). 2. Nach dem ersten Kopf entfallen von der gesamten Kopf-Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\cdot0{,}5+0{,}5\cdot0{,}8=0{,}65\) genau \(0{,}5\cdot0{,}8=0{,}4\) auf \(G\). Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für \(G\) \(\frac{0{,}4}{0{,}65}=\frac{8}{13}\). 3. Diese Verteilung bildet das Vorwissen vor dem zweiten Wurf. Nach einem weiteren Kopf beträgt der Anteil von \(G\) \(\frac{(8/13)\cdot0{,}8}{(8/13)\cdot0{,}8+(5/13)\cdot0{,}5}=\frac{64}{89}\). 4. Vor dem dritten Wurf sind die Hypothesen daher mit \(\frac{64}{89}\) für \(G\) und \(\frac{25}{89}\) für \(F\) gewichtet. Für Zahl gilt \(P_G(Z)=0{,}2\) und \(P_F(Z)=0{,}5\). Nach der beobachteten Zahl ergibt sich \(\frac{(64/89)\cdot0{,}2}{(64/89)\cdot0{,}2+(25/89)\cdot0{,}5}=\frac{128}{253}\). 5. Zwei Köpfe sprechen stärker für die gezinkte Münze. Die anschließende Zahl ist dagegen bei der fairen Münze wahrscheinlicher und senkt deshalb die Einschätzung für \(G\) wieder deutlich.

Antwort

Nach dem 1. Wurf: \(\frac{8}{13}\) Nach dem 2. Wurf: \(\frac{64}{89}\) Nach dem 3. Wurf: \(\frac{128}{253}\) Der dritte Wurf senkt die Einschätzung für die gezinkte Münze deutlich, weil „Zahl“ unter \(F\) wahrscheinlicher ist als unter \(G\).

43759811

Bei einem Test heißt die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis bei einer kranken Person Sensitivität. Sie ist mit \(s\) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis bei einer gesunden Person heißt Falsch-Positiv-Rate. Unter den positiven Ergebnissen sind genau \(50\,\%\) tatsächlich krank. Bestimme \(s\).

Abbildung zur Aufgabe 437598

Denkanstöße

- Welche Größe ist unbekannt, und an welcher Stelle im Baum beeinflusst sie die positiven Ergebnisse? - Was sagt „50 % der positiven Ergebnisse sind tatsächlich krank“ über das Verhältnis innerhalb der Gruppe der positiven Ergebnisse aus? - Formuliere dieses Verhältnis zunächst mit der Unbekannten, ohne die Gleichung sofort aufzulösen.

Lösung

1. Der Anteil „krank und positiv“ ist \(0{,}1s\). 2. Der Anteil „gesund und positiv“ ist \(0{,}9\cdot0{,}05=0{,}045\). 3. Da unter allen positiven Ergebnissen genau die Hälfte krank ist, gilt \(\frac{0{,}1s}{0{,}1s+0{,}045}=0{,}5\). 4. Daraus folgt \(0{,}1s=0{,}045\) und damit \(s=0{,}45\).

Antwort

Die Sensitivität beträgt \(0{,}45=45\,\%\).

43759911

An einer Schule kommen \(90\,\%\) der Mitglieder der Chor-AG mit dem Bus. Von den übrigen Schülerinnen und Schülern kommen \(5\,\%\) mit dem Bus. Unter allen Busfahrenden sind \(75\,\%\) in der Chor-AG. Bestimme den Anteil \(p\) der Schülerinnen und Schüler, die in der Chor-AG sind. Runde den Prozentwert auf eine Dezimalstelle.

Denkanstöße

- Welche beiden Gruppen können zu den Busfahrenden beitragen? - Wie hängen deren Größen vom unbekannten Anteil \(p\) ab? - Was bedeutet die Angabe „\(75\,\%\) der Busfahrenden sind in der Chor-AG“ für die Bezugsgruppe?

Lösung

1. Der Anteil „Chor-AG und Bus“ beträgt \(0{,}9p\). 2. Der Anteil „nicht Chor-AG und Bus“ beträgt \(0{,}05(1-p)\). 3. Unter den Busfahrenden beträgt der Chor-Anteil \(75\,\%\). Daher gilt \(\frac{0{,}9p}{0{,}9p+0{,}05(1-p)}=0{,}75\). 4. Auflösen ergibt \(p=\frac{1}{7}\approx0{,}1429\). Damit sind etwa \(14{,}3\,\%\) der Schülerinnen und Schüler in der Chor-AG.

Antwort

\(p=\frac{1}{7}\approx14{,}3\,\%\)

43760011

Beim Aufbau eines Schulfests gehören \(20\,\%\) der Helfenden zum Orga-Team (\(O\)). Von ihnen sind \(85\,\%\) beim frühen Aufbau dabei. Von den übrigen Helfenden nimmt ein Anteil \(f\) am frühen Aufbau teil. Unter allen Personen beim frühen Aufbau gehören \(68\,\%\) zum Orga-Team. Bestimme \(f\).

Denkanstöße

- Welche beiden Gruppen können zum frühen Aufbau beitragen? - Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist bereits vollständig bekannt? - Wie beschreibt die Angabe \(68\,\%\) die Zusammensetzung der Gruppe beim frühen Aufbau?

Lösung

1. Der Anteil „Orga-Team und früher Aufbau“ beträgt \(0{,}2\cdot0{,}85=0{,}17\). 2. Der Anteil „nicht im Orga-Team und früher Aufbau“ beträgt \(0{,}8f\). 3. Unter allen Personen beim frühen Aufbau beträgt der Orga-Anteil \(68\,\%\). Daher gilt \(\frac{0{,}17}{0{,}17+0{,}8f}=0{,}68\). 4. Auflösen ergibt \(f=0{,}1\).

Antwort

Von den Helfenden außerhalb des Orga-Teams nehmen \(10\,\%\) am frühen Aufbau teil, also \(f=0{,}1\).

43760111

In einem Testmodell haben \(2\,\%\) der Personen eine Krankheit (\(K\)). Ein Test ist bei Erkrankten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}95\) positiv und bei Nicht-Erkrankten mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\) positiv. Derselbe Test wird zweimal durchgeführt; unter der Bedingung des Krankheitszustands seien die beiden Testergebnisse unabhängig. Eine Person erhält zweimal ein positives Ergebnis. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie krank ist, und gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an.

Denkanstöße

- Wie groß ist innerhalb jeder Krankheitsgruppe die Wahrscheinlichkeit für zwei positive Ergebnisse? - Gewichte diese beiden Wahrscheinlichkeiten mit den Größen der beiden Ausgangsgruppen. - Welche beiden gemeinsamen Anteile bilden zusammen die Bezugsgruppe „zweimal positiv“?

Lösung

1. Der gemeinsame Anteil „krank und zweimal positiv“ beträgt \(0{,}02\cdot0{,}95^2=0{,}01805\). 2. Der gemeinsame Anteil „nicht krank und zweimal positiv“ beträgt \(0{,}98\cdot0{,}02^2=0{,}000392\). 3. Insgesamt beträgt die Wahrscheinlichkeit für zwei positive Ergebnisse \(0{,}01805+0{,}000392=0{,}018442\). 4. Daher ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit \(\frac{0{,}01805}{0{,}018442}\approx0{,}9787\), also gerundet \(97{,}9\,\%\).

Antwort

\(\approx97{,}9\,\%\)

55673211

Jugendliche werden nach drei Merkmalen eingeteilt: \(M\): „besucht die Musik-AG“, \(S\): „besucht die Sport-AG“ und \(R\): „präsentiert am Projekttag“. Es gilt \(P(M)=0{,}50\), \(P(S)=0{,}40\) und \(P(M\cap S)=0{,}20\). Außerdem gilt \(P_M(R)=0{,}60\), \(P_S(R)=0{,}80\), \(P(R)=0{,}50\) und \(P_{\bar M\cap\bar S}(R)=0{,}20\). Bestimme die drei zunächst unbekannten bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_{M\cap\bar S}(R)\), \(P_{\bar M\cap S}(R)\) und \(P_{M\cap S}(R)\). Bestimme anschließend \(P_R(M\cap S)\).

Denkanstöße

- Zerlege die Jugendlichen zuerst in die vier disjunkten Gruppen, die durch \(M\) und \(S\) entstehen. - Jede der Angaben \(P_M(R)\), \(P_S(R)\) und \(P(R)\) fasst mehrere dieser Gruppen zusammen. - Beschreibe die unbekannten Präsentationsanteile der drei noch offenen Gruppen mit Variablen und achte darauf, keine Schnittgruppe doppelt zu zählen. - Für die letzte Frage ändert sich die Bezugsgruppe zu allen Jugendlichen mit \(R\).

Lösung

1. Die vier disjunkten Gruppen haben die Wahrscheinlichkeiten \(P(M\cap S)=0{,}20\), \(P(M\cap\bar S)=0{,}30\), \(P(\bar M\cap S)=0{,}20\) und \(P(\bar M\cap\bar S)=0{,}30\). 2. Setze \(x=P_{M\cap\bar S}(R)\), \(y=P_{\bar M\cap S}(R)\) und \(z=P_{M\cap S}(R)\). Aus \(P_M(R)=0{,}60\) folgt \(0{,}30x+0{,}20z=0{,}50\cdot0{,}60=0{,}30\). 3. Aus \(P_S(R)=0{,}80\) folgt \(0{,}20y+0{,}20z=0{,}40\cdot0{,}80=0{,}32\). 4. Der Anteil der präsentierenden Jugendlichen außerhalb beider AGs beträgt \(0{,}30\cdot0{,}20=0{,}06\). Daher liefert \(P(R)=0{,}50\) die Gleichung \(0{,}30x+0{,}20y+0{,}20z=0{,}44\). 5. Der Vergleich der ersten und der dritten Gleichung ergibt \(0{,}20y=0{,}14\), also \(y=0{,}70\). Damit folgt aus der zweiten Gleichung \(z=0{,}90\) und aus der ersten \(x=0{,}40\). 6. Somit ist \(P(M\cap S\cap R)=0{,}20\cdot0{,}90=0{,}18\). Mit \(P(R)=0{,}50\) erhält man \(P_R(M\cap S)=\frac{0{,}18}{0{,}50}=0{,}36\).

Antwort

\(P_{M\cap\bar S}(R)=0{,}40\), \(P_{\bar M\cap S}(R)=0{,}70\), \(P_{M\cap S}(R)=0{,}90\), \(P_R(M\cap S)=0{,}36\).

Alle Aufgaben dürfen für Schule und Nachhilfe (auch im Rahmen bezahlter Nachhilfe) kostenlos genutzt, kopiert und ausgedruckt werden. Nicht gestattet sind kommerzielle Bearbeitungen sowie die Veröffentlichung oder Weiterverbreitung im Internet.