Gegeben ist die folgende unvollständige Vierfeldertafel für zwei Ereignisse \(A\) und \(B\).
<table>
<tr>
<td></td>
<td>\(B\)</td>
<td>\(\overline{B}\)</td>
<td>Gesamt</td>
</tr>
<tr>
<td>\(A\)</td>
<td>\(0{,}20\)</td>
<td></td>
<td></td>
</tr>
<tr>
<td>\(\overline{A}\)</td>
<td></td>
<td></td>
<td>\(0{,}40\)</td>
</tr>
<tr>
<td>Gesamt</td>
<td>\(0{,}50\)</td>
<td></td>
<td>\(1{,}00\)</td>
</tr>
</table>
Vervollständige die Tabelle und berechne anschließend die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(P_A(B)\), \(P_A(\overline{B})\), \(P_{\overline{A}}(B)\), \(P_{\overline{A}}(\overline{B})\), \(P_B(A)\), \(P_B(\overline{A})\), \(P_{\overline{B}}(A)\) und \(P_{\overline{B}}(\overline{A})\).
Denkanstöße
- Bestimme zuerst alle fehlenden Werte in der Vierfeldertafel, indem du die Eigenschaft nutzt, dass die Summen der Zeilen und Spalten die Randwahrscheinlichkeiten ergeben.
- Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit im Nenner stehen muss, wenn eine Bedingung wie „unter der Bedingung A“ gegeben ist.
- Die Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten für ein festes Bedingungsereignis (z. B. \(P_A(B) + P_A(\overline{B})\)) muss immer 1 ergeben.
Lösung
1. Vervollständigung der Tafel:
\(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\)
\(P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}60 - 0{,}20 = 0{,}40\)
\(P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}50 - 0{,}20 = 0{,}30\)
\(P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) - P(\overline{A} \cap B) = 0{,}40 - 0{,}30 = 0{,}10\)
\(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}50 = 0{,}50\)
2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten:
\(P_A(B) = \frac{0{,}20}{0{,}60} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\)
\(P_A(\overline{B}) = \frac{0{,}40}{0{,}60} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\)
\(P_{\overline{A}}(B) = \frac{0{,}30}{0{,}40} = 0{,}75\)
\(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = \frac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25\)
\(P_B(A) = \frac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40\)
\(P_B(\overline{A}) = \frac{0{,}30}{0{,}50} = 0{,}60\)
\(P_{\overline{B}}(A) = \frac{0{,}40}{0{,}50} = 0{,}80\)
\(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = \frac{0{,}10}{0{,}50} = 0{,}20\)
Antwort
Die vervollständigte Tafel lautet:
<table>
<tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\overline{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr>
<tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr>
<tr><td>\(\overline{A}\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}10\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr>
<tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr>
</table>
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind:
\(P_A(B) = \frac{1}{3}\); \(P_A(\overline{B}) = \frac{2}{3}\); \(P_{\overline{A}}(B) = 0{,}75\); \(P_{\overline{A}}(\overline{B}) = 0{,}25\); \(P_B(A) = 0{,}4\); \(P_B(\overline{A}) = 0{,}6\); \(P_{\overline{B}}(A) = 0{,}8\); \(P_{\overline{B}}(\overline{A}) = 0{,}2\).
