- Lies genau, auf welche Gruppe sich der gesuchte Anteil bezieht. - Welche Zahl in der Zeile beschreibt diese ganze Gruppe, und welche Zahl beschreibt den gesuchten Teil davon? - Ein Anteil vergleicht den gesuchten Teil mit der passenden Gesamtgruppe.

1. Die Bezugsgruppe ist die gesamte Zeile \(A\) mit \(12\) Fällen. 2. Davon liegen \(3\) zugleich in \(B\). Daher gilt \(\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=25\,\%\).

\(25\,\%\)

- Welches Ereignis steht bei \(P_A(B)\) als Bedingung am Index? - Suche in der Tabelle die Gesamtzahl genau dieser Bezugsgruppe. - Welches Innenfeld gehört gleichzeitig zu \(A\) und \(B\)?

1. Die Bedingung \(A\) legt die Spalte \(A\) als Bezugsgruppe fest. Sie enthält insgesamt \(30\) Jugendliche. 2. Davon gehören \(18\) zugleich zu \(B\). Daher ist \(P_A(B)=\frac{18}{30}=0{,}6\).

Bezugsgröße: \(30\). Es gilt \(P_A(B)=0{,}6=60\,\%\).

- Auf welche Personengruppe bezieht sich die Formulierung „unter den Mensagästen“? - Welche Randsumme der Tabelle gehört genau zu dieser Gruppe? - Vergleiche diese Bezugsgröße mit dem Nenner der angegebenen Rechnung.

1. Die Aussage bezieht sich nur auf die Mensagäste, also auf die Zeile \(M\) mit insgesamt \(60\) Personen. 2. Innerhalb dieser Bezugsgruppe wählen \(24\) Personen vegetarisch. Daher gilt \(P_M(V)=\frac{24}{60}=0{,}4\). 3. Der Nenner \(120\) würde den Anteil an allen Befragten beschreiben und ist für diese bedingte Aussage falsch.

Der Fehler ist der Nenner \(120\). Bezugsgruppe sind die \(60\) Mensagäste. Richtig ist \(P_M(V)=\frac{24}{60}=0{,}4=40\,\%\).

- Trage zuerst Gesamtzahlen und die gemeinsame Gruppe \(B\cap T\) ein. - Welche Differenzen liefern die Gruppen, die genau eine der beiden Sportarten spielen? - Welche Gruppe bildet in b) die Bezugsgruppe?

1. Gegeben sind \(|B|=60\), \(|T|=50\) und \(|B\cap T|=30\). 2. Nur Basketball spielen \(60-30=30\) Mitglieder, nur Tennis \(50-30=20\). 3. Nicht Basketball spielen \(100-60=40\) Mitglieder. Davon spielen \(20\) Tennis, also spielen \(20\) weder Basketball noch Tennis. 4. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(T\)</td><td>\(\bar T\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(30\)</td><td>\(30\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar B\)</td><td>\(20\)</td><td>\(20\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td></tr> </table> 5. Unter den \(60\) Basketballspielenden spielen \(30\) auch Tennis. Daher gilt \(P_B(T)=\frac{30}{60}=0{,}5\).

a) <table> <tr><td></td><td>\(T\)</td><td>\(\bar T\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(30\)</td><td>\(30\)</td><td>\(60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar B\)</td><td>\(20\)</td><td>\(20\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td></tr> </table> b) \(P_B(T)=0{,}5=50\,\%\)

- Welche Spaltensumme gehört zur Fahrradnutzung? - Welche Zeile ist in b) die neue Bezugsgruppe? - Vergleiche die beiden Anteile erst nach der Berechnung in derselben Darstellungsform.

1. Insgesamt nutzen \(208\) von \(400\) Personen regelmäßig das Fahrrad. Daher ist \(P(F)=\frac{208}{400}=0{,}52\). 2. In der Oberstufe bilden \(160\) Personen die Bezugsgruppe; davon nutzen \(64\) das Fahrrad. Somit ist \(P_{O}(F)=\frac{64}{160}=0{,}4\). 3. Der Anteil in der Oberstufe beträgt \(40\,\%\) und liegt damit unter dem Gesamtanteil von \(52\,\%\).

a) \(P(F)=0{,}52=52\,\%\) b) \(P_O(F)=0{,}4=40\,\%\); der Wert ist kleiner als der Gesamtanteil.

- Unterscheide den Anteil an allen \(200\) Personen von einem Anteil innerhalb einer Zeile oder Spalte. - Welche Zeilensumme brauchst du für b)? - Welche Spaltensumme brauchst du für c)?

1. Insgesamt arbeiten \(55+25=80\) Personen in der Verwaltung. Den Individualverkehr nutzen \(75+25=100\) Personen. 2. Für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit gilt \(P(V\cap Ö)=\frac{55}{200}=0{,}275\). 3. Unter den \(80\) Personen der Verwaltung nutzen \(55\) öffentliche Verkehrsmittel. Daher ist \(P_V(Ö)=\frac{55}{80}=0{,}6875\). 4. Unter den \(100\) Personen mit Individualverkehr arbeiten \(25\) in der Verwaltung. Somit gilt \(P_I(V)=\frac{25}{100}=0{,}25\).

a) \(P(V\cap Ö)=0{,}275\) b) \(P_V(Ö)=0{,}6875\) c) \(P_I(V)=0{,}25\)

- Achte darauf, auf welche Grundmenge sich die jeweilige Wahrscheinlichkeit bezieht. - Wird eine Person aus der gesamten Gruppe oder nur aus einer bestimmten Untergruppe (z. B. nur Musiker) ausgewählt? - Die Symbolschreibweise für bedingte Wahrscheinlichkeiten nutzt oft einen Index für die Bedingung. - Überlege dir, welche Information im Text als „gegeben“ vorausgesetzt wird.

1. Unterscheidung der Wahrscheinlichkeiten: \(P(M \cap S)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus der gesamten Gruppe gewählte Person sowohl ein Instrument spielt als auch im Sportverein ist (Bezugsgröße \(200\)). \(P_M(S)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person im Sportverein ist, unter der Bedingung, dass sie bereits zur Gruppe der Instrumentenspieler gehört (Bezugsgröße \(80\)). 2. Berechnung: \(P(M \cap S) = \frac{40}{200} = 0{,}2\). 3. Berechnung: \(P_M(S) = \frac{40}{80} = 0{,}5\). 4. Symbolschreibweise für Aufgabenteil b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\bar{M}}(S)\). 5. Berechnung: \(P_{\bar{M}}(S) = \frac{n(S \cap \bar{M})}{n(\bar{M})} = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}\).

a) \(P(M \cap S)\) bezieht sich auf die Gesamtzahl (\(200\)), während \(P_M(S)\) nur die Gruppe der Personen betrachtet, die ein Musikinstrument spielen (\(80\)). \(P(M \cap S) = 0{,}2\); \(P_M(S) = 0{,}5\). b) \(P_{\bar{M}}(S) = \frac{2}{3}\)

- Überlege bei bedingten Wahrscheinlichkeiten immer: „Von welcher Gruppe gehe ich aus?“ - Die Bedingung steht im Text oft nach Wörtern wie „wenn“, „unter der Bedingung“ oder „von den...“. - Das Symbol \(P_A(B)\) liest man als „Wahrscheinlichkeit von \(B\) unter der Bedingung \(A\)“. - Die Summen am Rand der Tabelle helfen dir, die Nenner für die Brüche zu finden.

1. Berechnung \(P_R(H)\): Anteil der Personen mit Bluthochdruck unter den Rauchern: \(P_R(H) = \frac{60}{150} = 0{,}4\). Das bedeutet, \(40\,\%\) der Raucher haben Bluthochdruck. 2. Berechnung \(P_H(R)\): Anteil der Raucher unter den Personen mit Bluthochdruck: \(P_H(R) = \frac{60}{100} = 0{,}6\). Das bedeutet, \(60\,\%\) der Personen mit Bluthochdruck sind Raucher. 3. Symbolschreibweise für Aufgabenteil b): Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\bar{H}}(R)\). 4. Berechnung: Die Anzahl der Personen ohne Bluthochdruck ist \(400\), davon rauchen \(90\). Somit gilt \(P_{\bar{H}}(R) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).

a) \(P_R(H) = 0{,}4\) (\(40\,\%\) der Raucher haben Bluthochdruck); \(P_H(R) = 0{,}6\) (\(60\,\%\) der Personen mit Bluthochdruck rauchen). b) \(P_{\bar{H}}(R) = \frac{90}{400} = 0{,}225\).

- Kannst du die Informationen aus dem Text in die Randfelder oder die inneren Felder einer Tabelle eintragen? - Wie hängen die inneren Felder einer Zeile oder Spalte mit den Werten in den Randfeldern zusammen? - Überlege dir, wie viele Personen insgesamt mindestens eine der beiden Tätigkeiten ausüben müssen. - Was bedeutet „weder noch“ für die Position in der Tabelle?

1. Gegeben sind \(n=30\), \(|I|=18\), \(|C|=12\) und \(|\bar{I}\cap\bar{C}|=5\). 2. Mindestens eines von beiden machen \(|I\cup C|=30-5=25\) Personen. 3. Mit \(|I\cap C|=|I|+|C|-|I\cup C|\) folgt \(|I\cap C|=18+12-25=5\). 4. Damit sind \(|I\cap\bar{C}|=13\), \(|\bar{I}\cap C|=7\) und \(|\bar{I}\cap\bar{C}|=5\). 5. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(C\)</td><td>\(\bar{C}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(I\)</td><td>\(5\)</td><td>\(13\)</td><td>\(18\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{I}\)</td><td>\(7\)</td><td>\(5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table> 6. Für \(I\cap C\) gilt \(P(I\cap C)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\). 7. Für \(\bar{I}\cap C\) gilt \(P(\bar{I}\cap C)=\frac{7}{30}\).

a) Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(C\)</td><td>\(\bar{C}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(I\)</td><td>\(5\)</td><td>\(13\)</td><td>\(18\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{I}\)</td><td>\(7\)</td><td>\(5\)</td><td>\(12\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(12\)</td><td>\(18\)</td><td>\(30\)</td></tr> </table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{6}\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{30}\).

- Welche zwei komplementären Kategorien gehören zu jedem der beiden Merkmale? - Trage zuerst die Schnittmenge ein und ergänze dann mit den beiden gegebenen Randhäufigkeiten. - Prüfe zum Schluss, ob alle vier Innenfelder zusammen \(80\) ergeben.

1. Für die Schnittmenge gilt \(n(R\cap U)=20\). 2. Unter den Romanen sind damit \(45-20=25\) keine Übersetzungen. Unter den Übersetzungen sind \(30-20=10\) keine Romane. 3. Für „weder Roman noch Übersetzung“ bleiben \(80-20-25-10=25\) Bücher. 4. Eine mögliche Anordnung ist: <table><tr><th></th><th>\(U\)</th><th>\(\bar{U}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(R\)</th><td>\(20\)</td><td>\(25\)</td><td>\(45\)</td></tr><tr><th>\(\bar{R}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(35\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td><td>\(80\)</td></tr></table>

Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table><tr><th></th><th>\(U\)</th><th>\(\bar{U}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(R\)</th><td>\(20\)</td><td>\(25\)</td><td>\(45\)</td></tr><tr><th>\(\bar{R}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(25\)</td><td>\(35\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td><td>\(80\)</td></tr></table>

- Welche Zeilen- und Spaltensummen lassen sich zuerst mit der Gesamtsumme ergänzen? - Welche Schnittwahrscheinlichkeit gehört zugleich zu \(A\) und \(\bar B\)? - Welche Zeile bildet für \(P_{\bar B}(A)\) die Bezugsgruppe?

1. Es gilt \(P(B)=1-0{,}4=0{,}6\). 2. Aus \(P(B\cap\bar A)=0{,}4\) folgt \(P(A\cap B)=0{,}6-0{,}4=0{,}2\). 3. Da \(P(A)=0{,}3\), ist \(P(A\cap\bar B)=0{,}3-0{,}2=0{,}1\). 4. Weiter gilt \(P(\bar A)=0{,}7\) und \(P(\bar A\cap\bar B)=0{,}4-0{,}1=0{,}3\). 5. Damit lautet die vollständig ergänzte Vierfeldertafel: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar A\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>\(\bar B\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 6. Unter der Bedingung \(\bar B\) gilt \(P_{\bar B}(A)=\frac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25\).

<table border="1"> <tr><td></td><td>\(A\)</td><td>\(\bar A\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>\(\bar B\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> \(P_{\bar B}(A)=0{,}25\)

- Welche Schnittwahrscheinlichkeit folgt direkt aus dem Anteil silberner Sticks und der Fehlerquote innerhalb dieser Gruppe? - Nutze danach die Zeilen- und Spaltensummen der Vierfeldertafel. - Welche Gruppe bildet in b) die neue Bezugsgruppe?

1. Gegeben sind \(P(S)=0{,}7\), \(P_S(D)=0{,}05\) und \(P(D)=0{,}044\). 2. Damit ist \(P(S\cap D)=0{,}7\cdot0{,}05=0{,}035\). 3. Es gilt \(P(B)=0{,}3\) und \(P(B\cap D)=0{,}044-0{,}035=0{,}009\). 4. Die übrigen Felder sind \(P(S\cap\bar{D})=0{,}665\), \(P(B\cap\bar{D})=0{,}291\) und \(P(\bar{D})=0{,}956\). 5. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(D\)</td><td>\(\bar{D}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}035\)</td><td>\(0{,}665\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}009\)</td><td>\(0{,}291\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}044\)</td><td>\(0{,}956\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 6. Unter den fehlerhaften Sticks beträgt der schwarze Anteil \(P_D(B)=\frac{0{,}009}{0{,}044}=\frac{9}{44}\).

a) <table> <tr><td></td><td>\(D\)</td><td>\(\bar{D}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}035\)</td><td>\(0{,}665\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}009\)</td><td>\(0{,}291\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}044\)</td><td>\(0{,}956\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> b) \(P_D(B)=\frac{9}{44}\)

- Ergänze zuerst die fehlenden absoluten Häufigkeiten innerhalb der Gruppen „defekt“ und „einwandfrei“. - Welche Lampen bilden in b) die Bezugsgruppe? - Welche betrieblichen Folgen können entstehen, wenn einwandfreie Produkte aussortiert werden?

1. Von \(5000\) Lampen sind \(150\) defekt und \(4850\) einwandfrei. Von den defekten Lampen werden \(140\) aussortiert, also \(10\) nicht aussortiert. 2. Von den \(4850\) einwandfreien Lampen werden \(200\) aussortiert und \(4650\) nicht aussortiert. Insgesamt werden \(340\) Lampen aussortiert und \(4660\) nicht aussortiert. 3. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><th></th><th>Aussortiert \(A\)</th><th>Nicht aussortiert \(\bar{A}\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Defekt \(D\)</th><td>\(140\)</td><td>\(10\)</td><td>\(150\)</td></tr> <tr><th>Einwandfrei \(\bar{D}\)</th><td>\(200\)</td><td>\(4650\)</td><td>\(4850\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(340\)</td><td>\(4660\)</td><td>\(5000\)</td></tr> </table> 4. Unter den \(340\) aussortierten Lampen sind \(200\) einwandfrei. Daher gilt \(P_A(\bar{D})=\frac{200}{340}=\frac{10}{17}\). 5. Ein hoher Anteil eigentlich einwandfreier Lampen unter den aussortierten Produkten verursacht beispielsweise vermeidbaren Materialverlust oder zusätzlichen Prüfaufwand.

a) <table> <tr><th></th><th>Aussortiert \(A\)</th><th>Nicht aussortiert \(\bar{A}\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Defekt \(D\)</th><td>\(140\)</td><td>\(10\)</td><td>\(150\)</td></tr> <tr><th>Einwandfrei \(\bar{D}\)</th><td>\(200\)</td><td>\(4650\)</td><td>\(4850\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(340\)</td><td>\(4660\)</td><td>\(5000\)</td></tr> </table> b) \(P_A(\bar{D})=\frac{10}{17}\) c) Beispielsweise entstehen vermeidbarer Materialverlust oder zusätzlicher Prüfaufwand.

- Ergänze zunächst die beiden fehlenden Felder durch Subtraktion von den jeweiligen Gruppensummen. - Welche Ergebnisgruppe bildet in b) die Bedingung? - Welche zwei bedingten Wahrscheinlichkeiten beschreiben die Richtigkeit eines positiven beziehungsweise negativen Ergebnisses?

1. Von \(200\) Kindern besitzen \(40\) die Fähigkeit \(T\), \(160\) besitzen sie nicht. Positiv getestet werden \(36\) aus \(T\) und \(10\) aus \(\bar{T}\). 2. Damit sind \(4\) Kinder aus \(T\) negativ und \(150\) Kinder aus \(\bar{T}\) negativ. Insgesamt gibt es \(46\) positive und \(154\) negative Ergebnisse. 3. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><th></th><th>Test positiv \(+\)</th><th>Test negativ \(-\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Fähigkeit \(T\)</th><td>\(36\)</td><td>\(4\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><th>Keine Fähigkeit \(\bar{T}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(150\)</td><td>\(160\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(46\)</td><td>\(154\)</td><td>\(200\)</td></tr> </table> 4. Unter den \(154\) negativ Getesteten können \(150\) die hohen Töne tatsächlich nicht sicher singen. Also ist \(P_{-}(\bar{T})=\frac{150}{154}=\frac{75}{77}\). 5. Unter den \(46\) positiv Getesteten besitzen \(36\) die Fähigkeit. Somit gilt \(P_{+}(T)=\frac{36}{46}=\frac{18}{23}\). 6. Das negative Ergebnis ist bei diesen Daten zuverlässiger, weil \(\frac{75}{77}>\frac{18}{23}\).

a) <table> <tr><th></th><th>Test positiv \(+\)</th><th>Test negativ \(-\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Fähigkeit \(T\)</th><td>\(36\)</td><td>\(4\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><th>Keine Fähigkeit \(\bar{T}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(150\)</td><td>\(160\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(46\)</td><td>\(154\)</td><td>\(200\)</td></tr> </table> b) \(P_{-}(\bar{T})=\frac{75}{77}\) c) \(P_{+}(T)=\frac{18}{23}\); damit ist das negative Ergebnis bei diesen Daten zuverlässiger.

- Was bedeutet „jeden Brand erkannt“ für das Feld „Brand und kein Alarm“? - Welche Tage bilden in b) die neue Bezugsgruppe? - Welche zusätzliche Fehlerart zeigt die Tabelle neben übersehenen Bränden?

1. Es gibt \(5\) Brandtage und \(360\) Tage ohne Brand. Bei allen \(5\) Brandtagen gibt es Alarm; zusätzlich treten \(10\) Alarme ohne Brand auf. 2. Damit gibt es \(0\) Brandtage ohne Alarm und \(350\) Tage ohne Brand und ohne Alarm. Insgesamt treten \(15\) Alarme auf. 3. Unter den \(15\) Alarmtagen sind \(5\) Brandtage. Daher gilt \(P_A(B)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\). 4. Die Aussage betrachtet nur, dass kein Brand übersehen wurde. Gleichzeitig sind \(10\) von \(15\) Alarmen Fehlalarme. „Perfekt“ ist deshalb durch die Daten nicht gerechtfertigt.

a) <table> <tr><th></th><th>Alarm \(A\)</th><th>Kein Alarm \(\bar{A}\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>Brand \(B\)</th><td>\(5\)</td><td>\(0\)</td><td>\(5\)</td></tr> <tr><th>Kein Brand \(\bar{B}\)</th><td>\(10\)</td><td>\(350\)</td><td>\(360\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(15\)</td><td>\(350\)</td><td>\(365\)</td></tr> </table> b) \(P_A(B)=\frac{1}{3}\) c) Die Aussage ist einseitig: Zwar wurde kein Brand übersehen, aber zwei Drittel der Alarme treten ohne Brand auf.

- Bestimme zuerst, wie viele Mitglieder zur Jugendgruppe und wie viele zu den übrigen Mitgliedern gehören. - Für den Vergleich reichen die Teilnehmerzahlen nicht aus, weil die beiden Gruppen unterschiedlich groß sind. - Frage dich bei b), welche Gruppe für den gesuchten Prozentanteil die \(100\,\%\) bildet.

1. \(25\,\%\) von \(800\) sind \(0{,}25\cdot800=200\) Mitglieder in der Jugendgruppe. Damit bleiben \(800-200=600\) übrige Mitglieder. 2. Von den \(200\) Mitgliedern der Jugendgruppe nehmen \(20\,\%\) teil: \(0{,}20\cdot200=40\). Also nehmen \(160\) nicht teil. 3. Von den \(600\) übrigen Mitgliedern nehmen \(320\) nicht teil. Daher nehmen \(600-320=280\) teil. 4. Insgesamt nehmen \(40+280=320\) Mitglieder teil und \(160+320=480\) nicht teil. 5. Bei den übrigen Mitgliedern nehmen \(\frac{280}{600}\approx0{,}467=46{,}7\,\%\) teil. Das sind mehr als die gegebenen \(20\,\%\) in der Jugendgruppe.

a) <table><tr><td></td><td>nimmt teil</td><td>nimmt nicht teil</td><td>Gesamt</td></tr><tr><td>Jugendgruppe</td><td>40</td><td>160</td><td>200</td></tr><tr><td>übrige Mitglieder</td><td>280</td><td>320</td><td>600</td></tr><tr><td>Gesamt</td><td>320</td><td>480</td><td>800</td></tr></table> b) Bei den übrigen Mitgliedern nehmen etwa \(46{,}7\,\%\) teil. Dieser Anteil ist höher als die \(20\,\%\) in der Jugendgruppe.

- Welche Randwahrscheinlichkeit folgt aus \(P(\bar{B})=0{,}6\)? - Nutze die Randwerte und die bekannte Schnittwahrscheinlichkeit, um die vier Innenfelder zu ergänzen. - Welche Gruppe bildet in c) beziehungsweise d) jeweils die Bezugsgruppe?

1. Gegeben sind \(P(V)=0{,}3\), \(P(B\cap V)=0{,}2\) und \(P(\bar{B})=0{,}6\). Daher ist \(P(B)=0{,}4\). 2. Es folgen \(P(V\cap\bar{B})=0{,}1\), \(P(\bar{V}\cap B)=0{,}2\) und \(P(\bar{V}\cap\bar{B})=0{,}5\). Damit ist \(P(\bar{V})=0{,}7\). 3. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(V\)</td><td>\(\bar{V}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 4. Für die Vereinigung gilt \(P(B\cup V)=0{,}4+0{,}3-0{,}2=0{,}5\). 5. Unter den Volleyballinteressierten beträgt der Basketballanteil \(P_V(B)=\frac{0{,}2}{0{,}3}=\frac{2}{3}\). 6. Unter den Personen ohne Volleyballinteresse beträgt der Basketballanteil \(P_{\bar{V}}(B)=\frac{0{,}2}{0{,}7}=\frac{2}{7}\).

a) <table> <tr><td></td><td>\(V\)</td><td>\(\bar{V}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}4\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}6\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}3\)</td><td>\(0{,}7\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> b) \(P(B\cup V)=0{,}5\) c) \(P_V(B)=\frac{2}{3}\) d) \(P_{\bar{V}}(B)=\frac{2}{7}\); dies ist der Basketballanteil unter den Personen ohne Volleyballinteresse.

- Nutze die Zeilen- und Spaltensummen, um die fehlenden Tabellenwerte zu finden. - Welche Überschneidung würdest du bei \(A\cup B\) doppelt zählen, wenn du nur \(P(A)\) und \(P(B)\) addierst? - Welche Gruppe ist bei \(P_B(\bar A)\) bereits festgelegt? Welche bei \(P_{\bar A}(B)\)? - Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit \(A\) und \(B\) unabhängig sind?

1. Aus \(P(\bar{A})=0{,}45\) folgt \(P(A)=0{,}55\). Dann ist \(P(A\cap B)=0{,}55-0{,}12=0{,}43\) und \(P(\bar{A}\cap\bar{B})=0{,}45-0{,}18=0{,}27\). Die Spaltensummen sind \(P(B)=0{,}61\) und \(P(\bar{B})=0{,}39\). Die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><th></th><th>\(B\)</th><th>\(\bar{B}\)</th><th>Summe</th></tr> <tr><th>\(A\)</th><td>\(0{,}43\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}55\)</td></tr> <tr><th>\(\bar{A}\)</th><td>\(0{,}18\)</td><td>\(0{,}27\)</td><td>\(0{,}45\)</td></tr> <tr><th>Summe</th><td>\(0{,}61\)</td><td>\(0{,}39\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> 2. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}55+0{,}61-0{,}43=0{,}73\). 3. \(P_B(\bar{A})=\frac{0{,}18}{0{,}61}=\frac{18}{61}\) und \(P_{\bar{A}}(B)=\frac{0{,}18}{0{,}45}=0{,}4\). 4. Für Unabhängigkeit müsste \(P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)\) gelten. Es ist aber \(0{,}55\cdot0{,}61=0{,}3355\neq0{,}43\). Die Ereignisse sind daher stochastisch abhängig.

a) <table> <tr><th></th><th>\(B\)</th><th>\(\bar{B}\)</th><th>Summe</th></tr> <tr><th>\(A\)</th><td>\(0{,}43\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}55\)</td></tr> <tr><th>\(\bar{A}\)</th><td>\(0{,}18\)</td><td>\(0{,}27\)</td><td>\(0{,}45\)</td></tr> <tr><th>Summe</th><td>\(0{,}61\)</td><td>\(0{,}39\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> b) \(P(A\cup B)=0{,}73\) c) \(P_B(\bar{A})=\frac{18}{61}\) und \(P_{\bar{A}}(B)=0{,}4\) d) \(P(A)\cdot P(B)=0{,}3355\neq0{,}43=P(A\cap B)\). Die Ereignisse sind stochastisch abhängig.

- Kannst du die fehlenden Summen am Rand zuerst berechnen? - Wie hängen die inneren Felder mit den Zeilen- und Spaltensummen zusammen? - Was ist der Unterschied zwischen der Wahrscheinlichkeit einer Schnittmenge und einer bedingten Wahrscheinlichkeit? - Welche Zahl bildet bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit wie \(P_A(B)\) die Grundmenge (den Nenner)?

1. Die fehlenden Randsummen sind \(n(A)=5000-1500=3500\) und \(n(B)=5000-4850=150\). 2. Durch Subtraktion folgen \(n(A\cap\bar{B})=3460\), \(n(\bar{A}\cap B)=110\) und \(n(\bar{A}\cap\bar{B})=1390\). 3. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar{B}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(40\)</td><td>\(3460\)</td><td>\(3500\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{A}\)</td><td>\(110\)</td><td>\(1390\)</td><td>\(1500\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(150\)</td><td>\(4850\)</td><td>\(5000\)</td></tr> </table> 4. Es gilt \(P_A(B)=\frac{40}{3500}=\frac{2}{175}\). 5. Es gilt \(P_B(A)=\frac{40}{150}=\frac{4}{15}\). 6. Es gilt \(P_{\bar{A}}(B)=\frac{110}{1500}=\frac{11}{150}\). 7. Es gilt \(P_{\bar{B}}(\bar{A})=\frac{1390}{4850}=\frac{139}{485}\).

Die vervollständigte Tabelle lautet: <table> <tr> <td></td> <td>\(B\)</td> <td>\(\bar{B}\)</td> <td>Summe</td> </tr> <tr> <td>\(A\)</td> <td>\(40\)</td> <td>\(3460\)</td> <td>\(3500\)</td> </tr> <tr> <td>\(\bar{A}\)</td> <td>\(110\)</td> <td>\(1390\)</td> <td>\(1500\)</td> </tr> <tr> <td>Summe</td> <td>\(150\)</td> <td>\(4850\)</td> <td>\(5000\)</td> </tr> </table> Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P_A(B)=\frac{2}{175}\), \(P_B(A)=\frac{4}{15}\), \(P_{\bar{A}}(B)=\frac{11}{150}\) und \(P_{\bar{B}}(\bar{A})=\frac{139}{485}\).

- Bestimme zuerst alle fehlenden Werte in der Vierfeldertafel, indem du die Eigenschaft nutzt, dass die Summen der Zeilen und Spalten die Randwahrscheinlichkeiten ergeben. - Überlege dir, welche Wahrscheinlichkeit im Nenner stehen muss, wenn eine Bedingung wie „unter der Bedingung A“ gegeben ist. - Die Summe der bedingten Wahrscheinlichkeiten für ein festes Bedingungsereignis (z. B. \(P_A(B) + P_A(\bar{B})\)) muss immer 1 ergeben.

1. Vervollständigung der Tafel: \(P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0{,}40 = 0{,}60\) \(P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}60 - 0{,}20 = 0{,}40\) \(P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0{,}50 - 0{,}20 = 0{,}30\) \(P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) - P(\bar{A} \cap B) = 0{,}40 - 0{,}30 = 0{,}10\) \(P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}50 = 0{,}50\) 2. Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten: \(P_A(B) = \frac{0{,}20}{0{,}60} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333\) \(P_A(\bar{B}) = \frac{0{,}40}{0{,}60} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667\) \(P_{\bar{A}}(B) = \frac{0{,}30}{0{,}40} = 0{,}75\) \(P_{\bar{A}}(\bar{B}) = \frac{0{,}10}{0{,}40} = 0{,}25\) \(P_B(A) = \frac{0{,}20}{0{,}50} = 0{,}40\) \(P_B(\bar{A}) = \frac{0{,}30}{0{,}50} = 0{,}60\) \(P_{\bar{B}}(A) = \frac{0{,}40}{0{,}50} = 0{,}80\) \(P_{\bar{B}}(\bar{A}) = \frac{0{,}10}{0{,}50} = 0{,}20\)

Die vervollständigte Tafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar{B}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}40\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{A}\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}10\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(0{,}50\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table> Die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind: \(P_A(B) = \frac{1}{3}\); \(P_A(\bar{B}) = \frac{2}{3}\); \(P_{\bar{A}}(B) = 0{,}75\); \(P_{\bar{A}}(\bar{B}) = 0{,}25\); \(P_B(A) = 0{,}4\); \(P_B(\bar{A}) = 0{,}6\); \(P_{\bar{B}}(A) = 0{,}8\); \(P_{\bar{B}}(\bar{A}) = 0{,}2\).

- Übersetze die Prozentangaben zuerst in Wahrscheinlichkeiten. - Achte bei den Formulierungen genau darauf, welches Ereignis die Bedingung ist und welches Ereignis untersucht wird. - Erstelle eine Tabelle mit den Kategorien „nutzt App“ und „nutzt App nicht“ für beide Medientypen.

1. Es gilt \(P(G)=0{,}7\), \(P(M)=0{,}6\) und \(P(G\cap M)=0{,}5\). 2. Daraus folgen \(P(G\cap\bar{M})=0{,}2\), \(P(\bar{G}\cap M)=0{,}1\), \(P(\bar{G}\cap\bar{M})=0{,}2\), \(P(\bar{G})=0{,}3\) und \(P(\bar{M})=0{,}4\). 3. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{G}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> 4. Für a) ist \(P_G(M)=\frac{0{,}5}{0{,}7}=\frac{5}{7}\). 5. Für b) ist \(P_{\bar{M}}(G)=\frac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5\).

Vierfeldertafel: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(G\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}7\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{G}\)</td><td>\(0{,}1\)</td><td>\(0{,}2\)</td><td>\(0{,}3\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(0{,}6\)</td><td>\(0{,}4\)</td><td>\(1{,}0\)</td></tr> </table> a) \(P_G(M)=\frac{5}{7}\) b) \(P_{\bar{M}}(G)=0{,}5=50\,\%\)

- Teile die Gesamtgruppe zuerst in Personen mit und ohne Allergie auf. - Welche absoluten Häufigkeiten folgen aus den beiden im Text erklärten Testwahrscheinlichkeiten? - Welche Ergebnisgruppe bildet in b) beziehungsweise c) jeweils die Bezugsgruppe?

1. Von \(10\,000\) Personen haben \(200\) die Allergie und \(9800\) nicht. 2. Von den \(200\) Personen mit Allergie werden \(180\) positiv getestet und \(20\) negativ. 3. Von den \(9800\) Personen ohne Allergie werden \(9310\) negativ und \(490\) positiv getestet. 4. Insgesamt gibt es \(670\) positive und \(9330\) negative Testergebnisse. 5. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>Allergie \(A\)</td><td>Keine Allergie \(\bar{A}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Test positiv \(T\)</td><td>\(180\)</td><td>\(490\)</td><td>\(670\)</td></tr> <tr><td>Test negativ \(\bar{T}\)</td><td>\(20\)</td><td>\(9310\)</td><td>\(9330\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(200\)</td><td>\(9800\)</td><td>\(10\,000\)</td></tr> </table> 6. Daher gilt \(P_T(\bar{A})=\frac{490}{670}=\frac{49}{67}\). 7. Außerdem ist \(P_{\bar{T}}(A)=\frac{20}{9330}=\frac{2}{933}\).

a) <table> <tr><td></td><td>Allergie \(A\)</td><td>Keine Allergie \(\bar{A}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>Test positiv \(T\)</td><td>\(180\)</td><td>\(490\)</td><td>\(670\)</td></tr> <tr><td>Test negativ \(\bar{T}\)</td><td>\(20\)</td><td>\(9310\)</td><td>\(9330\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(200\)</td><td>\(9800\)</td><td>\(10\,000\)</td></tr> </table> b) \(P_T(\bar{A})=\frac{49}{67}\) c) \(P_{\bar{T}}(A)=\frac{2}{933}\)

- Ergänze zuerst die Zeilensummen und dann die fehlenden Innenfelder. - Welche Anzahl gehört zur Schnittmenge \(\bar{B}\cap\bar{F}\)? - Welche Spaltensumme bildet bei \(P_F(B)\) den Nenner?

1. In der Zeile \(B\) fehlen \(120-80=40\) Personen mit \(F\). Insgesamt gehören \(200-120=80\) Personen zu \(\bar{B}\). 2. In der Zeile \(\bar{B}\) sind daher \(80-50=30\) Personen ohne Fahrradnutzung. Die Spaltensummen lauten \(90\) für \(F\) und \(110\) für \(\bar{F}\). 3. Die vervollständigte Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar{F}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td><td>\(120\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(50\)</td><td>\(30\)</td><td>\(80\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(90\)</td><td>\(110\)</td><td>\(200\)</td></tr> </table> 4. Es gilt \(P(F)=\frac{90}{200}=0{,}45\). 5. Weiter ist \(P(\bar{B}\cap\bar{F})=\frac{30}{200}=0{,}15\). 6. Unter den \(90\) Personen mit Fahrradnutzung nutzen \(40\) auch die Bahn. Daher gilt \(P_F(B)=\frac{40}{90}=\frac{4}{9}\).

a) <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar{F}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(B\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td><td>\(120\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{B}\)</td><td>\(50\)</td><td>\(30\)</td><td>\(80\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(90\)</td><td>\(110\)</td><td>\(200\)</td></tr> </table> b) (1) \(P(F)=0{,}45\); (2) \(P(\bar{B}\cap\bar{F})=0{,}15\); (3) \(P_F(B)=\frac{4}{9}\)

- Wandle den Anteil \(40\,\%\) zuerst in eine absolute Anzahl um. - Welche Schnittmenge folgt aus den \(60\,\%\) innerhalb der Gruppe \(V\)? - Welche Gruppe ist bei den beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten jeweils die Bezugsgruppe?

1. Es gilt \(n(V)=0{,}4\cdot250=100\) und damit \(n(\bar{V})=150\). 2. Unter den \(100\) Personen aus \(V\) trinken \(60\) regelmäßig Milch. Da insgesamt \(160\) Personen zu \(M\) gehören, liegen \(100\) im Feld \(\bar{V}\cap M\). 3. Damit sind \(40\) Personen in \(V\cap\bar{M}\) und \(50\) in \(\bar{V}\cap\bar{M}\). Insgesamt gehören \(90\) zu \(\bar{M}\). 4. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>\(60\)</td><td>\(40\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>\(100\)</td><td>\(50\)</td><td>\(150\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(160\)</td><td>\(90\)</td><td>\(250\)</td></tr> </table> 5. \(P(\bar{V}\cap\bar{M})=\frac{50}{250}=0{,}2\). 6. \(P_M(V)=\frac{60}{160}=0{,}375\). 7. \(P_{\bar{V}}(\bar{M})=\frac{50}{150}=\frac{1}{3}\).

a) <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(V\)</td><td>\(60\)</td><td>\(40\)</td><td>\(100\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{V}\)</td><td>\(100\)</td><td>\(50\)</td><td>\(150\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(160\)</td><td>\(90\)</td><td>\(250\)</td></tr> </table> b) (1) \(0{,}2\); (2) \(P_M(V)=0{,}375\); (3) \(P_{\bar{V}}(\bar{M})=\frac{1}{3}\)

- Wie viele Mitglieder nutzen mindestens eines der beiden Angebote? - Mit welcher Beziehung zwischen Vereinigung und Schnittmenge erhältst du die Zahl der Personen, die beide Angebote nutzen? - Welche Gruppe bildet in c) die Bedingung?

1. Mindestens eines der Angebote nutzen \(120-30=90\) Mitglieder. Mit \(|F\cap S|=|F|+|S|-|F\cup S|\) folgt \(|F\cap S|=80+50-90=40\). 2. Nur das Fitnessstudio nutzen \(40\) Mitglieder, nur das Schwimmbad \(10\), keines von beiden \(30\). 3. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(F\)</td><td>\(40\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{F}\)</td><td>\(10\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> 4. Genau eines der Angebote nutzen \(40+10=50\) Mitglieder. Die Wahrscheinlichkeit ist \(\frac{50}{120}=\frac{5}{12}\). 5. Unter den \(50\) Schwimmbadnutzenden nutzen \(40\) auch das Fitnessstudio. Daher gilt \(P_S(F)=\frac{40}{50}=0{,}8\).

a) <table border="1"> <tr><td></td><td>\(S\)</td><td>\(\bar{S}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(F\)</td><td>\(40\)</td><td>\(40\)</td><td>\(80\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{F}\)</td><td>\(10\)</td><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table> b) \(\frac{5}{12}\) c) \(P_S(F)=0{,}8=80\,\%\)

- Welche Angaben gehören direkt in die Vierfeldertafel, und welche Felder lassen sich daraus ergänzen? - Welche Gruppen stehen auf der ersten Stufe des geforderten Baums? - Wie wird eine Astwahrscheinlichkeit innerhalb einer bereits festgelegten Gruppe bestimmt? - Welche Gruppe ist in Teil 3 bereits festgelegt?

1. Es gilt \(n(M_1)=2500\), \(n(M_2)=1500\), \(n(D)=110\) und \(n(E)=3890\). Daraus folgen die übrigen Felder. Die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(E\)</th><th>Summe</th></tr> <tr><th>\(M_1\)</th><td>\(50\)</td><td>\(2450\)</td><td>\(2500\)</td></tr> <tr><th>\(M_2\)</th><td>\(60\)</td><td>\(1440\)</td><td>\(1500\)</td></tr> <tr><th>Summe</th><td>\(110\)</td><td>\(3890\)</td><td>\(4000\)</td></tr> </table> 2. Für das Baumdiagramm gilt \(P(M_1)=0{,}625\), \(P(M_2)=0{,}375\), \(P_{M_1}(D)=0{,}02\), \(P_{M_1}(E)=0{,}98\), \(P_{M_2}(D)=0{,}04\) und \(P_{M_2}(E)=0{,}96\). 3. Unter den \(110\) defekten Bauteilen stammen \(50\) von \(M_1\). Daher ist \(P_D(M_1)=\frac{50}{110}=\frac{5}{11}\).

1. <table> <tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(E\)</th><th>Summe</th></tr> <tr><th>\(M_1\)</th><td>\(50\)</td><td>\(2450\)</td><td>\(2500\)</td></tr> <tr><th>\(M_2\)</th><td>\(60\)</td><td>\(1440\)</td><td>\(1500\)</td></tr> <tr><th>Summe</th><td>\(110\)</td><td>\(3890\)</td><td>\(4000\)</td></tr> </table> 2. \(P(M_1)=0{,}625\), \(P(M_2)=0{,}375\); \(P_{M_1}(D)=0{,}02\), \(P_{M_1}(E)=0{,}98\); \(P_{M_2}(D)=0{,}04\), \(P_{M_2}(E)=0{,}96\). 3. \(P_D(M_1)=\frac{5}{11}\)

- Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit ist durch \(P(L)\) und \(P_L(E)\) festgelegt? - Welche Randwerte fehlen danach noch in der Vierfeldertafel? - Welche Bedingung müsste im Baum bereits feststehen, damit der in 3. gesuchte Anteil direkt an einem Ast steht?

1. Der gemeinsame Anteil von \(L\) und \(E\) ist \(P(L\cap E)=0{,}60\cdot0{,}25=0{,}15\). 2. Damit sind \(P(L\cap\bar E)=0{,}45\), \(P(\bar L\cap E)=0{,}05\) und \(P(\bar L\cap\bar E)=0{,}35\). 3. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(E\)</td><td>\(\bar{E}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(L\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{L}\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(0{,}35\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 4. Unter den privaten Fahrrädern beträgt der E-Bike-Anteil \(P_{\bar L}(E)=\frac{0{,}05}{0{,}40}=0{,}125\). 5. Die letzte Frage sucht \(P_E(L)\). Wenn das Baumdiagramm zuerst nach \(E\) und \(\bar E\) verzweigt, steht \(P_E(L)\) direkt als Zweigwahrscheinlichkeit der zweiten Stufe.

1. <table> <tr><td></td><td>\(E\)</td><td>\(\bar{E}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(L\)</td><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{L}\)</td><td>\(0{,}05\)</td><td>\(0{,}35\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 2. \(P_{\bar L}(E)=0{,}125=12{,}5\,\%\) 3. Zuerst nach \(E\) verzweigen; dann ist \(P_E(L)\) direkt ein Ast der zweiten Stufe.

- Welche beiden Schnittwahrscheinlichkeiten kannst du direkt aus den bedingten Angaben berechnen? - Welche Spaltensumme ergibt anschließend \(P(Q)\)? - Welche Gruppe bildet in Aufgabe 3 die neue Bezugsgruppe?

1. Es gilt \(P(S\cap Q)=0{,}40\cdot0{,}45=0{,}18\) und \(P(\bar{S}\cap Q)=0{,}60\cdot0{,}20=0{,}12\). 2. Damit sind \(P(S\cap\bar{Q})=0{,}22\) und \(P(\bar{S}\cap\bar{Q})=0{,}48\). 3. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(Q\)</td><td>\(\bar{Q}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}18\)</td><td>\(0{,}22\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}48\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}70\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 4. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für schlechte Schlafqualität ist \(P(Q)=0{,}18+0{,}12=0{,}30\). 5. Unter den Fällen mit \(Q\) beträgt der Anteil mit \(S\) \(P_Q(S)=\frac{0{,}18}{0{,}30}=0{,}60\).

1. <table> <tr><td></td><td>\(Q\)</td><td>\(\bar{Q}\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(0{,}18\)</td><td>\(0{,}22\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}48\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}70\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> 2. \(P(Q)=0{,}30=30\,\%\) 3. \(P_Q(S)=0{,}60=60\,\%\)

- Welche absoluten Häufigkeiten ergeben sich zunächst aus den beiden Ästen der ersten Stufe? - Wie erhältst du aus einer Gruppengröße und der zugehörigen zweiten Astwahrscheinlichkeit die gemeinsame Häufigkeit? - Kontrolliere, ob die vier inneren Felder zusammen wieder \(500\) ergeben.

1. Aus der ersten Stufe folgen \(n(S)=500\cdot0{,}65=325\) und \(n(\bar{S})=500\cdot0{,}35=175\). 2. Die vier gemeinsamen Häufigkeiten sind \(n(S\cap M)=325\cdot0{,}2=65\), \(n(S\cap\bar{M})=325\cdot0{,}8=260\), \(n(\bar{S}\cap M)=175\cdot0{,}4=70\) und \(n(\bar{S}\cap\bar{M})=175\cdot0{,}6=105\). 3. Damit ist \(n(M)=135\) und \(n(\bar{M})=365\). 4. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(65\)</td><td>\(260\)</td><td>\(325\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(70\)</td><td>\(105\)</td><td>\(175\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(135\)</td><td>\(365\)</td><td>\(500\)</td></tr> </table>

<table> <tr><td></td><td>\(M\)</td><td>\(\bar{M}\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(S\)</td><td>\(65\)</td><td>\(260\)</td><td>\(325\)</td></tr> <tr><td>\(\bar{S}\)</td><td>\(70\)</td><td>\(105\)</td><td>\(175\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(135\)</td><td>\(365\)</td><td>\(500\)</td></tr> </table>

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines ganzen Pfades von der Wurzel bis zum Blatt? - Welche Wahrscheinlichkeiten stehen in den inneren Feldern einer Vierfeldertafel? - Achte darauf, dass die Summe der Zeilen- und Spaltenwerte jeweils die Randwahrscheinlichkeiten ergeben muss.

1. Beispielbericht: Das Sortiment besteht zu \(45\,\%\) aus Akkus von Elbex (\(M_1\)) und zu \(55\,\%\) aus Akkus von Novara (\(M_2\)). Bei \(M_1\) sind \(4\,\%\) der Akkus defekt, bei \(M_2\) sind es \(6\,\%\). 2. Die Pfadwahrscheinlichkeiten sind \(P(M_1\cap D)=0{,}018\), \(P(M_1\cap I)=0{,}432\), \(P(M_2\cap D)=0{,}033\) und \(P(M_2\cap I)=0{,}517\). 3. Damit ist \(P(D)=0{,}051\) und \(P(I)=0{,}949\). 4. Die Vierfeldertafel lautet: <table> <tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(I\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>\(M_1\)</th><td>\(0{,}018\)</td><td>\(0{,}432\)</td><td>\(0{,}45\)</td></tr> <tr><th>\(M_2\)</th><td>\(0{,}033\)</td><td>\(0{,}517\)</td><td>\(0{,}55\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(0{,}051\)</td><td>\(0{,}949\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table>

a) Beispielbericht: „Das Sortiment besteht zu \(45\,\%\) aus Akkus von Elbex (\(M_1\)) und zu \(55\,\%\) von Novara (\(M_2\)). Bei Elbex sind \(4\,\%\) der Akkus defekt, bei Novara \(6\,\%\).“ b) <table> <tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(I\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>\(M_1\)</th><td>\(0{,}018\)</td><td>\(0{,}432\)</td><td>\(0{,}45\)</td></tr> <tr><th>\(M_2\)</th><td>\(0{,}033\)</td><td>\(0{,}517\)</td><td>\(0{,}55\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(0{,}051\)</td><td>\(0{,}949\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr> </table>

- Bestimme aus dem Baum zuerst die vier Pfadwahrscheinlichkeiten und übertrage sie auf \(1000\) Personen. - Welche Spalte der Vierfeldertafel bildet in b) die Bezugsgruppe? - Welche Gleichung kannst du für die Unabhängigkeitsprüfung verwenden?

1. Es gilt \(n(J)=0{,}4\cdot1000=400\) und \(n(A)=0{,}6\cdot1000=600\). 2. Die gemeinsamen Häufigkeiten sind \(n(J\cap E)=300\), \(n(J\cap\bar{E})=100\), \(n(A\cap E)=180\) und \(n(A\cap\bar{E})=420\). Somit sind \(n(E)=480\) und \(n(\bar{E})=520\). 3. Daher ist \(P_E(J)=\frac{300}{480}=0{,}625\). Unter den E-Book-Nutzenden gehören also \(62{,}5\,\%\) zur Gruppe \(J\). 4. Für Unabhängigkeit müsste \(P(J\cap E)=P(J)\cdot P(E)\) gelten. Tatsächlich ist \(P(J\cap E)=0{,}3\), aber \(P(J)\cdot P(E)=0{,}4\cdot0{,}48=0{,}192\). Daher sind die Merkmale abhängig.

a) <table> <tr><th></th><th>\(E\)</th><th>\(\bar{E}\)</th><th>Gesamt</th></tr> <tr><th>\(J\)</th><td>\(300\)</td><td>\(100\)</td><td>\(400\)</td></tr> <tr><th>\(A\)</th><td>\(180\)</td><td>\(420\)</td><td>\(600\)</td></tr> <tr><th>Gesamt</th><td>\(480\)</td><td>\(520\)</td><td>\(1000\)</td></tr> </table> b) \(P_E(J)=0{,}625=62{,}5\,\%\) c) Die Merkmale sind stochastisch abhängig, da \(0{,}3\neq0{,}192\).

- Welche beiden Zeilenüberschriften müssen gemeinsam alle Jugendlichen erfassen und dürfen sich nicht überschneiden? - Prüfe getrennt, welches Merkmal die Zeilen und welches die Spalten beschreiben sollen. - Nutze nach der Strukturkorrektur zuerst die gemeinsame Gruppe und dann die Randhäufigkeiten.

1. In einer Vierfeldertafel müssen die beiden Zeilen dieselbe Eigenschaft in zwei komplementäre Fälle aufteilen. Auf \(C\) muss deshalb \(\bar{C}\) folgen; \(S\) gehört als zweites Merkmal in die Spalten. 2. Es ist \(n(C\cap S)=30\). Daher gilt \(n(C\cap\bar{S})=70-30=40\) und \(n(\bar{C}\cap S)=50-30=20\). 3. Für \(\bar{C}\cap\bar{S}\) bleiben \(120-30-40-20=30\) Jugendliche. 4. Die korrekte Tafel lautet: <table><tr><th></th><th>\(S\)</th><th>\(\bar{S}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(C\)</th><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td><td>\(70\)</td></tr><tr><th>\(\bar{C}\)</th><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr></table>

Der Strukturfehler ist die zweite Zeilenüberschrift \(S\): Zu \(C\) muss dort \(\bar{C}\) stehen. <table><tr><th></th><th>\(S\)</th><th>\(\bar{S}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(C\)</th><td>\(30\)</td><td>\(40\)</td><td>\(70\)</td></tr><tr><th>\(\bar{C}\)</th><td>\(20\)</td><td>\(30\)</td><td>\(50\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr></table>

- „Die meisten“ beziehungsweise „die Mehrheit“ bedeutet einen Anteil größer als \(0{,}5\). - Welche Gruppe steht bei jeder Aussage als bereits festgelegte Bezugsgruppe fest? - Wähle vier ganze Zahlen mit Summe \(40\) und prüfe jede der drei Bedingungen einzeln. - Deine Tafel muss nicht mit dem Beispiel in der Lösung übereinstimmen, solange alle drei Ungleichungen gelten.

1. Die Aussagen lauten \(P_B(T)>0{,}5\), \(P_H(A)>0{,}5\) und \(P_T(B)>0{,}5\). 2. Eine mögliche Wahl ist \(n(H\cap B)=5\), \(n(H\cap A)=15\), \(n(T\cap B)=12\) und \(n(T\cap A)=8\). Die vier Felder summieren sich zu \(40\). 3. Eine dazu passende Vierfeldertafel ist: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(A\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(H\)</td><td>\(5\)</td><td>\(15\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>\(T\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(17\)</td><td>\(23\)</td><td>\(40\)</td></tr> </table> 4. Es gilt \(P_B(T)=\frac{12}{17}>\frac{1}{2}\), \(P_H(A)=\frac{15}{20}=0{,}75>0{,}5\) und \(P_T(B)=\frac{12}{20}=0{,}6>0{,}5\). Damit sind alle drei Aussagen erfüllt. 5. Für c) erhält man \(P_B(H)=\frac{5}{17}\) und \(P_T(A)=\frac{8}{20}=0{,}4\).

a) \(P_B(T)>0{,}5\), \(P_H(A)>0{,}5\), \(P_T(B)>0{,}5\) b) Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table border="1"> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(A\)</td><td>Gesamt</td></tr> <tr><td>\(H\)</td><td>\(5\)</td><td>\(15\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>\(T\)</td><td>\(12\)</td><td>\(8\)</td><td>\(20\)</td></tr> <tr><td>Gesamt</td><td>\(17\)</td><td>\(23\)</td><td>\(40\)</td></tr> </table> c) (1) \(P_B(H)=\frac{5}{17}\); (2) \(P_T(A)=0{,}4\)