- Welche Information ist bereits festgelegt, wenn der betrachtete Ast beginnt? - Wie wird eine bereits festgelegte Bedingung in der Schreibweise \(P_X(Y)\) gekennzeichnet? - Wofür steht das Ereignis am Ende des Astes?

1. Der Ast geht vom Knoten \(F\) aus und endet bei \(R\). Daher beschreibt er die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_F(R)\). 2. Der Astwert \(0{,}85\) bedeutet: Unter den Schülerinnen und Schülern, die mit dem Fahrrad kommen, sind \(85\,\%\) pünktlich.

\(P_F(R)=0{,}85\). Bezugsgruppe sind die Schülerinnen und Schüler, die mit dem Fahrrad kommen.

- Welcher vollständige Pfad endet gleichzeitig in \(K\) und \(W\)? - Welche zwei Zahlen stehen an genau diesem Pfad? - Eine Pfadwahrscheinlichkeit beschreibt das gemeinsame Eintreten der Ereignisse entlang des Pfades.

1. Zum Ereignis \(K\cap W\) gehört der vollständige Pfad über \(K\) und danach \(W\). 2. Die beiden Astwahrscheinlichkeiten sind \(0{,}35\) und \(0{,}40\). 3. Daher ist \(P(K\cap W)=0{,}35\cdot0{,}40=0{,}14\).

Zugehörige Astwahrscheinlichkeiten: \(0{,}35\) und \(0{,}40\). Es gilt \(P(K\cap W)=0{,}14=14\,\%\).

- Bilde zuerst aus den Endhäufigkeiten die beiden Gruppen der ersten Stufe. - An einer zweiten Verzweigung ist jeweils nur die Häufigkeit des zugehörigen Elternknotens die Bezugsgröße. - Prüfe am Ende, ob sich die Astwahrscheinlichkeiten an jeder Verzweigung zu \(1\) ergänzen.

1. Aus den beiden Endhäufigkeiten unter \(A\) folgt \(300\) für die Gruppe \(A\); unter \(\bar{A}\) liegen entsprechend \(700\) Personen. 2. Daher gilt auf der ersten Stufe \(P(A)=\frac{300}{1000}=0{,}3\) und \(P(\bar{A})=0{,}7\). 3. Innerhalb von \(A\) gilt \(P_A(B)=\frac{240}{300}=0{,}8\) und \(P_A(\bar{B})=\frac{60}{300}=0{,}2\). 4. Innerhalb von \(\bar{A}\) gilt \(P_{\bar{A}}(B)=\frac{140}{700}=0{,}2\) und \(P_{\bar{A}}(\bar{B})=\frac{560}{700}=0{,}8\).

\(P(A)=0{,}3\), \(P(\bar{A})=0{,}7\), \(P_A(B)=0{,}8\), \(P_A(\bar{B})=0{,}2\), \(P_{\bar{A}}(B)=0{,}2\), \(P_{\bar{A}}(\bar{B})=0{,}8\)

- Welche der drei Angaben gilt für alle Jugendlichen und welche gelten nur innerhalb einer Teilgruppe? - Welche Information muss bereits feststehen, bevor die Angaben \(70\,\%\) beziehungsweise \(10\,\%\) als Astwahrscheinlichkeiten gelesen werden können? - Prüfe beide Baumreihenfolgen anhand dieser Frage.

1. Die Angaben bestehen aus \(P(F)=0{,}40\), \(P_F(H)=0{,}70\) und \(P_{\bar{F}}(H)=0{,}10\). 2. Die beiden bedingten Angaben beziehen sich auf die Bezugsgruppen \(F\) und \(\bar{F}\). Deshalb muss zuerst nach \(F\) und \(\bar{F}\) verzweigt werden. Das ist Baum a). 3. Am Ast von „Start“ zu \(F\) steht \(0{,}40\). Am Ast von \(F\) zu \(H\) steht \(0{,}70\), am Ast von \(\bar{F}\) zu \(H\) steht \(0{,}10\). 4. Die jeweiligen Gegenäste hätten die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}60\), \(0{,}30\) und \(0{,}90\).

Baum a). Zu \(F\): \(40\,\%\); von \(F\) zu \(H\): \(70\,\%\); von \(\bar{F}\) zu \(H\): \(10\,\%\).

- Welche Information ist bereits festgelegt, wenn du einen einzelnen Ast betrachtest? - Worin unterscheidet sich ein vollständiger Weg durch den Baum von nur einem Ast? - Kann ein Ereignis am Ende über mehr als einen vollständigen Weg eintreten?

1. Eine Astwahrscheinlichkeit ist zum Beispiel \(P_S(A)=0{,}50\). Sie beschreibt den Anteil der zu Fuß Kommenden innerhalb der Gruppe \(S\). 2. Für den Pfad \(S\) und danach \(A\) gilt \(P(S\cap A)=0{,}60\cdot0{,}50=0{,}30\). 3. Der zweite Pfad zu \(A\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}40\cdot0{,}20=0{,}08\). Daher ist \(P(A)=0{,}30+0{,}08=0{,}38\). 4. Eine Astwahrscheinlichkeit bezieht sich auf einen Übergang innerhalb einer bereits festgelegten Bezugsgruppe; eine Pfadwahrscheinlichkeit beschreibt das gemeinsame Eintreten aller Ereignisse entlang eines vollständigen Pfades.

a) Zum Beispiel \(P_S(A)=0{,}50\); sie gilt innerhalb der Gruppe \(S\). b) \(P(S\cap A)=0{,}30\). c) \(P(A)=0{,}38\). Astwahrscheinlichkeiten gelten an einem Übergang innerhalb einer Bezugsgruppe, Pfadwahrscheinlichkeiten für das gemeinsame Eintreten entlang eines ganzen Pfades.

- Welche Bedingung müssen die ausgehenden Astwahrscheinlichkeiten an jedem einzelnen Knoten erfüllen? - Prüfe die erste und die beiden zweiten Stufen getrennt voneinander. - Nutze die vorgegebene Wahrscheinlichkeit von \(A\), um die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zu bestimmen.

1. An jedem Knoten müssen die Wahrscheinlichkeiten der ausgehenden Äste zusammen \(1\) ergeben. 2. In der ersten Stufe stehen \(0{,}65\) und \(0{,}45\). Ihre Summe ist \(1{,}10\), also ist diese Stufe ungültig. 3. Weil \(P(A)=0{,}65\) fest vorgegeben ist, muss für das Gegenereignis \(\bar{A}\) gelten \(P(\bar{A})=1-0{,}65=0{,}35\). 4. Die beiden zweiten Stufen sind bereits gültig, weil ihre Astwahrscheinlichkeiten jeweils \(1\) ergeben.

Fehler: Die Astwahrscheinlichkeiten der ersten Stufe ergeben \(1{,}10\) statt \(1\). Der Ast zu \(\bar{A}\) muss von \(0{,}45\) auf \(0{,}35\) geändert werden.

- Welche Ereigniskombination beschreibt jedes innere Feld der Vierfeldertafel? - Wie kannst du die vier gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten aus dem Baum gewinnen? - Wie kannst du die Randwerte anschließend kontrollieren?

Zuerst werden die vier Pfadwahrscheinlichkeiten berechnet: \(P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}20,\) \(P(A\cap\bar{B})=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}20,\) \(P(\bar{A}\cap B)=0{,}6\cdot0{,}25=0{,}15,\) \(P(\bar{A}\cap\bar{B})=0{,}6\cdot0{,}75=0{,}45.\) Daraus folgen die Ränder \(P(B)=0{,}35\) und \(P(\bar{B})=0{,}65\).

<table><tr><th></th><th>\(B\)</th><th>\(\bar{B}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(A\)</th><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr><tr><th>\(\bar{A}\)</th><td>\(0{,}15\)</td><td>\(0{,}45\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(0{,}35\)</td><td>\(0{,}65\)</td><td>\(1\)</td></tr></table>

- Welche Summen in der Vierfeldertafel gehören zu den Ästen der ersten Stufe? - Welche Bezugsgruppe gilt jeweils auf der zweiten Stufe? - Wie kannst du jede Verzweigung am Ende kontrollieren?

Auf der ersten Stufe gilt \(P(M)=\frac{40}{100}=0{,}4,\qquad P(\bar{M})=\frac{60}{100}=0{,}6.\) Innerhalb von \(M\) gilt \(P_M(F)=\frac{24}{40}=0{,}6,\qquad P_M(\bar{F})=\frac{16}{40}=0{,}4.\) Innerhalb von \(\bar{M}\) gilt \(P_{\bar{M}}(F)=\frac{18}{60}=0{,}3,\qquad P_{\bar{M}}(\bar{F})=\frac{42}{60}=0{,}7.\)

Erste Stufe: \(P(M)=0{,}4\), \(P(\bar{M})=0{,}6\). Nach \(M\): \(P_M(F)=0{,}6\), \(P_M(\bar{F})=0{,}4\). Nach \(\bar{M}\): \(P_{\bar{M}}(F)=0{,}3\), \(P_{\bar{M}}(\bar{F})=0{,}7\).

- Welches vollständige Ergebnis beschreibt „alle drei Runden gewonnen“? - Welche Astwahrscheinlichkeiten gehören zu genau diesem vollständigen Ergebnis?

Für „drei Siege“ wird genau ein vollständiger Pfad benötigt. Entlang dieses Pfads wird multipliziert: \(0{,}5\cdot0{,}6\cdot0{,}7=0{,}21.\)

\(P(\text{drei Siege})=0{,}21\)

- Auf wie vielen vollständigen Pfaden tritt „drinnen und abgeschlossen“ ein? - Wie erhältst du die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen vollständigen Pfads? - Was ist bei mehreren disjunkten passenden Pfaden zu beachten?

Das Ereignis „drinnen und abgeschlossen“ kann über zwei Pfade eintreten: Vormittag → drinnen → abgeschlossen: \(0{,}6\cdot0{,}5\cdot0{,}8=0{,}24.\) Nachmittag → drinnen → abgeschlossen: \(0{,}4\cdot0{,}25\cdot0{,}5=0{,}05.\) Die beiden Pfade werden addiert: \(0{,}24+0{,}05=0{,}29.\)

\(P(\text{drinnen und abgeschlossen})=0{,}29\)

- Welche Kombination aus den beiden Merkmalen beschreibt jeder Endknoten? - Wo gehört jede Endhäufigkeit in die Vierfeldertafel? - Welche Summen kannst du am Ende zur Kontrolle bilden?

Die vier Endknoten liefern direkt die inneren Felder der Vierfeldertafel: <table> <tr><th></th><th>Bus</th><th>kein Bus</th><th>Summe</th></tr> <tr><th>Sport-AG</th><td>\(30\)</td><td>\(15\)</td><td>\(45\)</td></tr> <tr><th>keine Sport-AG</th><td>\(20\)</td><td>\(55\)</td><td>\(75\)</td></tr> <tr><th>Summe</th><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table>

<table> <tr><th></th><th>Bus</th><th>kein Bus</th><th>Summe</th></tr> <tr><th>Sport-AG</th><td>\(30\)</td><td>\(15\)</td><td>\(45\)</td></tr> <tr><th>keine Sport-AG</th><td>\(20\)</td><td>\(55\)</td><td>\(75\)</td></tr> <tr><th>Summe</th><td>\(50\)</td><td>\(70\)</td><td>\(120\)</td></tr> </table>

- Welche Spaltensummen bestimmen die erste Stufe des geforderten Baums? - Welche Bezugsgruppe gilt nach dem Ast \(F\)? - Welche Bezugsgruppe gilt nach dem Ast \(\bar F\)?

1. Auf der ersten Stufe gilt \(P(F)=\frac{100}{200}=0{,}5\) und \(P(\bar F)=0{,}5\). 2. Unter den \(100\) Schülerinnen und Schülern, die mit dem Fahrrad zur Schule kommen, sind \(30\) in der Chor-AG. Daher gilt \(P_F(C)=\frac{30}{100}=0{,}3\) und \(P_F(\bar C)=0{,}7\). 3. Unter den \(100\) Personen, die nicht mit dem Fahrrad zur Schule kommen, sind \(20\) in der Chor-AG. Daher gilt \(P_{\bar F}(C)=\frac{20}{100}=0{,}2\) und \(P_{\bar F}(\bar C)=0{,}8\).

Erste Stufe: \(P(F)=0{,}5\), \(P(\bar F)=0{,}5\) Nach \(F\): \(P_F(C)=0{,}3\), \(P_F(\bar C)=0{,}7\) Nach \(\bar F\): \(P_{\bar F}(C)=0{,}2\), \(P_{\bar F}(\bar C)=0{,}8\)

- Überlege, ob ein Wert an einem einzelnen Ast oder an einem ganzen Pfad steht. - Welche Pfadregel verbindet die Wahrscheinlichkeiten entlang eines vollständigen Pfades? - Für ein Ereignis wie \(F\) können mehrere vollständige Pfade infrage kommen. - Achte bei \(P_M(\bar{F})\) darauf, welche Gruppe die Bedingung festlegt.

1. Der Wert \(0{,}2\) ist \(P_M(F)\). Er bedeutet: Unter den Schülerinnen und Schülern, die am Mittagessen teilnehmen, kommen \(20\,\%\) mit dem Fahrrad. 2. Mit der Pfadregel gilt \(P(M \cap F)=0{,}3\cdot0{,}2=0{,}06\) und \(P(\bar{M}\cap F)=0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28\). 3. Daher ist \(P(F)=0{,}34\) und \(P(\bar{F})=0{,}66\). 4. Am Ast ist \(P_M(\bar{F})=0{,}8\) ablesbar. Außerdem gilt \(P(M\cap\bar{F})=0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24\). 5. Gesucht ist \(P_{\bar{M}}(F)\); aus dem Baumdiagramm folgt \(P_{\bar{M}}(F)=0{,}4\).

a) \(P_M(F)=0{,}2\): Unter den Teilnehmenden am Mittagessen kommen \(20\,\%\) mit dem Fahrrad. b) \(P(M\cap F)=0{,}06\); \(P(\bar{M}\cap F)=0{,}28\) c) \(P(F)=0{,}34\); \(P(\bar{F})=0{,}66\) d) \(P_M(\bar{F})=0{,}8\); \(P(M\cap\bar{F})=0{,}24\) e) \(P_{\bar{M}}(F)=0{,}4\)

- Welche beiden Wahrscheinlichkeiten gehören auf die erste Stufe? - Ergänze zu jeder Mangelrate die Gegenwahrscheinlichkeit innerhalb derselben Verpackungsart. - Welche Pfade oder Bezugsgruppen brauchst du in den einzelnen Teilfragen?

1. Die sechs Astwahrscheinlichkeiten sind \(P(H)=0{,}2\), \(P(\bar H)=0{,}8\), \(P_H(A)=0{,}05\), \(P_H(\bar A)=0{,}95\), \(P_{\bar H}(A)=0{,}10\) und \(P_{\bar H}(\bar A)=0{,}90\). 2. Aus den beiden zu \(A\) führenden Pfaden folgt \(P(A)=0{,}2\cdot0{,}05+0{,}8\cdot0{,}1=0{,}09\). 3. Für den Pfad \(H\cap\bar A\) gilt \(P(H\cap\bar A)=0{,}2\cdot0{,}95=0{,}19\). 4. Der gemeinsame Anteil von \(H\) und \(A\) beträgt \(0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01\). Daher ist \(P_A(H)=\frac{0{,}01}{0{,}09}=\frac{1}{9}\). Unter den mangelhaften Packungen wurde also ein Neuntel von Hand verpackt. 5. Für Unabhängigkeit müsste \(P_H(A)=P(A)\) gelten. Es ist \(P_H(A)=0{,}05\), während \(P(A)=0{,}09\). Die Ereignisse sind daher abhängig.

Astwahrscheinlichkeiten: \(P(H)=0{,}2\), \(P(\bar H)=0{,}8\), \(P_H(A)=0{,}05\), \(P_H(\bar A)=0{,}95\), \(P_{\bar H}(A)=0{,}10\), \(P_{\bar H}(\bar A)=0{,}90\) a) \(P(A)=0{,}09\) b) \(P(H\cap\bar A)=0{,}19\) c) \(P_A(H)=\frac{1}{9}\); unter den mangelhaften Packungen wurde ein Neuntel von Hand verpackt. d) Nicht unabhängig, da \(P_H(A)=0{,}05\ne0{,}09=P(A)\).

- Entscheide bei jeder Teilaufgabe zuerst, ob der gesuchte Wert an einem Ast, auf einem Pfad oder über mehrere Pfade liegt. - Bei einer umgekehrten Bedingung ist die Bezugsgruppe das Ereignis im Index. - Überlege bei der Vereinigung, welcher Teil von \(E\) bereits vollständig in \(M_1\) enthalten ist.

1. Für den Pfad \(M_2\cap A\) gilt \(P(M_2\cap A)=0{,}25\cdot0{,}10=0{,}025\). 2. Das Ereignis \(A\) kann über beide Maschinen eintreten. Daher ist \(P(A)=0{,}75\cdot0{,}05+0{,}25\cdot0{,}10=0{,}0625\). 3. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist direkt am entsprechenden Ast ablesbar: \(P_{M_2}(S)=0{,}30\). 4. Für die umgekehrte Bedingung gilt \(P_A(M_1)=\frac{P(M_1\cap A)}{P(A)}=\frac{0{,}75\cdot0{,}05}{0{,}0625}=0{,}6\). 5. In \(P(M_1)\) sind bereits alle exzellenten Teile aus \(M_1\) enthalten. Zusätzlich gehören nur die exzellenten Teile aus \(M_2\) zur Vereinigung. Deshalb gilt die angegebene Zerlegung. 6. Somit ist \(P(M_1\cup E)=0{,}75+0{,}25\cdot0{,}60=0{,}90\).

a) (1) \(P(M_2\cap A)=0{,}025\) (2) \(P(A)=0{,}0625\) (3) \(P_{M_2}(S)=0{,}30\) (4) \(P_A(M_1)=0{,}6\) b) \(M_1\cup E\) zerfällt disjunkt in \(M_1\) und \(M_2\cap E\); daher ist \(P(M_1\cup E)=0{,}90\).

- An jedem Verzweigungspunkt ergänzen sich die beiden Astwahrscheinlichkeiten zu \(1\). - Die Zahl am Pfadende beschreibt die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfades, nicht eines einzelnen Astes. - Für eine umgekehrte Bedingung brauchst du zuerst die Gesamtwahrscheinlichkeit der neuen Bezugsgruppe.

1. Aus \(P(A)=0{,}4\) folgt \(P(\bar{A})=0{,}6\). 2. Für den Pfad \(A\cap B\) gilt \(0{,}4\cdot P_A(B)=0{,}1\). Daher ist \(P_A(B)=0{,}25\) und somit \(P_A(\bar{B})=0{,}75\). 3. Aus \(P_{\bar{A}}(\bar{B})=0{,}3\) folgt \(P_{\bar{A}}(B)=0{,}7\). 4. Die übrigen Pfadwahrscheinlichkeiten sind \(P(A\cap\bar{B})=0{,}4\cdot0{,}75=0{,}30\), \(P(\bar{A}\cap B)=0{,}6\cdot0{,}7=0{,}42\) und \(P(\bar{A}\cap\bar{B})=0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 5. Damit ist \(P(B)=0{,}1+0{,}42=0{,}52\) und \(P(\bar{B})=0{,}30+0{,}18=0{,}48\). 6. Somit gilt \(P_B(A)=\frac{0{,}1}{0{,}52}=\frac{5}{26}\) und \(P_{\bar{B}}(A)=\frac{0{,}30}{0{,}48}=0{,}625\).

1. \(P(\bar{A})=0{,}6\), \(P_A(B)=0{,}25\), \(P_A(\bar{B})=0{,}75\), \(P_{\bar{A}}(B)=0{,}7\) 2. \(P_B(A)=\frac{5}{26}\); \(P_{\bar{B}}(A)=0{,}625\)

- Welche Wahrscheinlichkeiten müssen sich an jeder Verzweigung zu \(1\) ergänzen? - Unterscheide einen einzelnen Ast von einem vollständigen Pfad durch den Baum. - Für ein bestimmtes Testergebnis können mehrere Pfade zum selben Ziel führen. - Bei f) ändert sich die Bezugsgruppe: Betrachtet werden nur noch Personen mit positivem Ergebnis.

1. Es gilt \(P(\bar{A})=1-0{,}02=0{,}98\), \(P_A(-)=1-0{,}95=0{,}05\) und \(P_{\bar{A}}(-)=1-0{,}04=0{,}96\). 2. Für ein negatives Ergebnis führen zwei Pfade zum Ziel: \(P(-)=0{,}02\cdot0{,}05+0{,}98\cdot0{,}96=0{,}9418\). 3. Direkt aus dem ergänzten Baum folgt \(P_A(-)=0{,}05\). 4. Für den Pfad \(A\cap +\) gilt \(P(A\cap +)=0{,}02\cdot0{,}95=0{,}019\). 5. \(P_A(+)\) ist die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis innerhalb der Gruppe der Personen mit Allergie. 6. Insgesamt ist \(P(+)=1-0{,}9418=0{,}0582\). Daher gilt \(P_+(A)=\frac{0{,}019}{0{,}0582}=\frac{95}{291}\approx0{,}3265\), also gerundet \(32{,}6\,\%\).

a) \(P(\bar{A})=0{,}98\), \(P_A(-)=0{,}05\), \(P_{\bar{A}}(-)=0{,}96\) b) \(P(-)=0{,}9418\) c) \(P_A(-)=0{,}05=5\,\%\) d) \(P(A\cap +)=0{,}019\) e) \(P_A(+)\) ist die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Test innerhalb der Gruppe der Personen mit Allergie. f) \(P_+(A)\approx32{,}6\,\%\)

- Welche Summe müssen die Zweigwahrscheinlichkeiten an jedem Knoten ergeben? - Welche beiden vollständigen Pfade enden bei \(E\)? - Welche Bestellungen bilden in c) die neue Bezugsgruppe? - Unterscheide bei d) zwischen einem Anteil an allen Bestellungen und einem Anteil innerhalb einer bereits festgelegten Gruppe.

1. An jedem Knoten ergänzen sich die ausgehenden Zweigwahrscheinlichkeiten zu \(1\). Daher sind die fehlenden Werte \(P(\bar{S})=0{,}4\), \(P_S(\bar{E})=0{,}2\) und \(P_{\bar{S}}(\bar{E})=0{,}85\). 2. Für den Express-Versand gilt \(P(E)=0{,}6\cdot0{,}8+0{,}4\cdot0{,}15=0{,}54\). 3. Somit ist \(P(\bar{E})=0{,}46\). Der gemeinsame Anteil \(P(S\cap\bar{E})\) beträgt \(0{,}6\cdot0{,}2=0{,}12\). Daher gilt \(P_{\bar{E}}(S)=\frac{0{,}12}{0{,}46}=\frac{6}{23}\). 4. \(P(S\cap E)\) ist der Anteil aller Bestellungen, die beide Merkmale besitzen. \(P_S(E)\) ist dagegen der Express-Anteil innerhalb der Stammkundenbestellungen. 5. Der Zähler des Terms ist \(P(\bar{S}\cap E)\), der Nenner ist \(P(E)\). Der Term beschreibt deshalb \(P_E(\bar{S})\), also den Anteil der Gelegenheitskunden unter den Express-Bestellungen.

a) \(P(\bar{S})=0{,}4\), \(P_S(\bar{E})=0{,}2\), \(P_{\bar{S}}(\bar{E})=0{,}85\) b) \(P(E)=0{,}54=54\,\%\) c) \(P_{\bar{E}}(S)=\frac{6}{23}\) d) \(P(S\cap E)\) bezieht sich auf alle Bestellungen; \(P_S(E)\) nur auf die Bestellungen von Stammkunden. e) Der Term ist \(P_E(\bar{S})\), der Anteil der Gelegenheitskunden unter den Express-Bestellungen.

- Welche Information eignet sich für die erste Stufe des Baums? - Welche Defektrate gehört jeweils zu welchem Werk? - Welche vollständigen Pfade führen zum Ereignis \(D\)?

1. Ein passender Baum verzweigt zuerst in Seebach mit \(0{,}60\) und Sonnenfeld mit \(0{,}40\). Danach folgen die Defektraten \(0{,}04/0{,}96\) beziehungsweise \(0{,}07/0{,}93\). 2. Die beiden zu \(D\) führenden Pfade haben die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}60\cdot0{,}04=0{,}024\) und \(0{,}40\cdot0{,}07=0{,}028\). 3. Daher ist \(P(D)=0{,}024+0{,}028=0{,}052=5{,}2\,\%\). 4. Unter den defekten Chips entfällt der Anteil \(0{,}024\) auf Seebach. Somit gilt \(P_D(S_1)=\frac{0{,}024}{0{,}052}=\frac{6}{13}\).

Astwahrscheinlichkeiten: zuerst \(0{,}60\) für Seebach und \(0{,}40\) für Sonnenfeld; danach \(0{,}04/0{,}96\) beziehungsweise \(0{,}07/0{,}93\). a) \(P(D)=0{,}052=5{,}2\,\%\) b) \(P_D(S_1)=\frac{6}{13}\)

- Welche Gruppe ist durch den ersten Zweig \(B\) bereits festgelegt? - Welche vollständigen Pfade führen zur Nachmittags-AG? - Welche dieser Pfadwahrscheinlichkeiten gehört zugleich zu Bus und Nachmittags-AG?

1. Der Zweig von \(B\) zu \(A\) trägt die Wahrscheinlichkeit \(P_B(A)=0{,}8\). Das bedeutet: Unter den Schülerinnen und Schülern, die mit dem Bus kommen, nehmen \(80\,\%\) an einer Nachmittags-AG teil. 2. Die beiden zu \(A\) führenden Pfade haben die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}3\cdot0{,}8=0{,}24\) und \(0{,}7\cdot0{,}2=0{,}14\). Daher ist \(P(A)=0{,}38\). 3. Somit gilt \(P_A(B)=\frac{0{,}24}{0{,}38}=\frac{12}{19}\).

a) \(P_B(A)=0{,}8\): Unter den Schülerinnen und Schülern, die mit dem Bus kommen, nehmen \(80\,\%\) an einer Nachmittags-AG teil. b) \(P_A(B)=\frac{12}{19}\)

- Welche beiden Gruppen stehen sinnvoll auf der ersten Stufe deines Baums? - Welche Gruppe ist bei \(P_H(R)\) bereits festgelegt? - Prüfe, ob Jonas' Nenner genau diese Bezugsgruppe beschreibt.

1. Ein passender Baum verzweigt zuerst in \(R\) mit \(0{,}6\) und \(\bar R\) mit \(0{,}4\). Danach folgen die Helmanteile \(0{,}3/0{,}7\) beziehungsweise \(0{,}2/0{,}8\). 2. Der gemeinsame Anteil \(P(R\cap H)\) beträgt \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 3. Für \(P_H(R)\) ist die Bezugsgruppe \(H\), nicht \(R\). Deshalb ist \(P(R)\) der falsche Nenner. 4. Insgesamt gilt \(P(H)=0{,}18+0{,}4\cdot0{,}2=0{,}26\). 5. Somit ist \(P_H(R)=\frac{0{,}18}{0{,}26}=\frac{9}{13}\).

Astwahrscheinlichkeiten: zuerst \(0{,}6\) für regelmäßige Fahrradnutzung und \(0{,}4\) für die übrige Gruppe; danach \(0{,}3/0{,}7\) beziehungsweise \(0{,}2/0{,}8\). Jona verwendet die falsche Bezugsgruppe im Nenner. Richtig ist \(P_H(R)=\frac{9}{13}\).

- Ergänze zuerst die Häufigkeit der Personen ohne regelmäßige Fahrradnutzung. - Die Häufigkeiten der beiden Nachfolger eines Knotens müssen zusammen die Häufigkeit dieses Knotens ergeben. - Welche Personen bilden für den gesuchten Anteil die Bezugsgruppe?

1. Nicht regelmäßig Fahrrad fahren \(1200-450=750\) Personen. 2. Unter den Radfahrenden tragen \(450-360=90\) meist keinen Helm. Unter den übrigen Personen tragen \(750-150=600\) meist keinen Helm. 3. Insgesamt tragen \(360+150=510\) Personen meist einen Helm. 4. Unter diesen \(510\) Personen fahren \(360\) regelmäßig Fahrrad. Daher gilt \(P_{\text{Helm}}(\text{Fahrrad})=\frac{360}{510}=\frac{12}{17}\).

Kein Helm nach „Fahrrad“: \(90\); kein Fahrrad: \(750\); kein Helm nach „kein Fahrrad“: \(600\). Der gesuchte Anteil beträgt \(\frac{12}{17}\).

- Welche beiden Nutzungsgruppen stehen sinnvoll auf der ersten Stufe? - Welche Bestehensrate gehört jeweils zu dieser Gruppe? - Welche vollständigen Pfade bilden die Bezugsgruppe „bestanden“?

1. Ein passender Baum verzweigt zuerst in intensive Nutzung mit \(0{,}4\) und seltene Nutzung mit \(0{,}6\). Danach folgen die Bestehensraten \(0{,}85/0{,}15\) beziehungsweise \(0{,}55/0{,}45\). 2. Der Pfad „intensive Nutzung und bestanden“ hat die Wahrscheinlichkeit \(P(I\cap B)=0{,}4\cdot0{,}85=0{,}34\). 3. Der zweite Pfad zum Ereignis \(B\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6\cdot0{,}55=0{,}33\). Somit ist \(P(B)=0{,}34+0{,}33=0{,}67\). 4. Daher gilt \(P_B(I)=\frac{0{,}34}{0{,}67}=\frac{34}{67}\approx0{,}5075\). 5. Als Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(50{,}7\,\%\).

Astwahrscheinlichkeiten: zuerst \(0{,}4\) für intensive und \(0{,}6\) für seltene Nutzung; danach \(0{,}85/0{,}15\) beziehungsweise \(0{,}55/0{,}45\). \(P_B(I)=\frac{34}{67}\approx50{,}7\,\%\)

- Welche beiden Paketgruppen entstehen zuerst aus der Gesamtzahl im Baum? - Wie beziehen sich die beiden Sortierquoten jeweils auf diese Gruppen? - Welche Pakete bilden am Ende die Bezugsgruppe „Schnellband“?

1. Von \(100\,000\) Paketen sind \(100\,000\cdot0{,}003=300\) Expresspakete; \(99\,700\) sind Standardpakete. 2. Von den \(300\) Expresspaketen werden \(300\cdot0{,}9=270\) auf das Schnellband geleitet und \(30\) nicht. 3. Von den \(99\,700\) Standardpaketen werden \(99\,700\cdot0{,}02=1994\) auf das Schnellband geleitet und \(97\,706\) nicht. 4. Insgesamt liegen \(270+1994=2264\) Pakete auf dem Schnellband. 5. Der Anteil der Expresspakete unter den Paketen auf dem Schnellband ist \(\frac{270}{2264}=\frac{135}{1132}\approx0{,}1193\), also gerundet \(11{,}9\,\%\).

Expresspakete: \(300\), davon Schnellband \(270\) und anderes Band \(30\). Standardpakete: \(99\,700\), davon Schnellband \(1994\) und anderes Band \(97\,706\). Unter den Paketen auf dem Schnellband sind \(11{,}9\,\%\) Expresspakete.

- Welche zwei Gruppen bilden die erste Stufe? - Ergänze zu jeder Markierungsrate die Gegenwahrscheinlichkeit in derselben Gruppe. - Welche beiden vollständigen Pfade führen zu einer markierten Mail? - Vergleiche die Bedingungsrichtung der \(99\,\%\) mit der Bedingungsrichtung von Miras Aussage.

1. Die sechs Astwahrscheinlichkeiten sind \(P(S)=0{,}02\), \(P(\bar S)=0{,}98\), \(P_S(M)=0{,}99\), \(P_S(\bar M)=0{,}01\), \(P_{\bar S}(M)=0{,}03\) und \(P_{\bar S}(\bar M)=0{,}97\), wobei \(S\) für „Spam“ und \(M\) für „markiert“ steht. 2. Der gemeinsame Anteil „Spam und markiert“ beträgt \(0{,}02\cdot0{,}99=0{,}0198\). 3. Der gemeinsame Anteil „kein Spam und markiert“ beträgt \(0{,}98\cdot0{,}03=0{,}0294\). 4. Insgesamt werden \(0{,}0198+0{,}0294=0{,}0492\) der Mails markiert. 5. Unter den markierten Mails beträgt der Spam-Anteil \(\frac{0{,}0198}{0{,}0492}=\frac{33}{82}\). 6. Die \(99\,\%\) beschreiben die Markierungsrate unter den Spam-Mails, nicht den Spam-Anteil unter den markierten Mails. Miras Aussage ist daher falsch.

Astwahrscheinlichkeiten: \(P(S)=0{,}02\), \(P(\bar S)=0{,}98\), \(P_S(M)=0{,}99\), \(P_S(\bar M)=0{,}01\), \(P_{\bar S}(M)=0{,}03\), \(P_{\bar S}(\bar M)=0{,}97\) Miras Aussage ist falsch. Unter den markierten Mails beträgt der Spam-Anteil \(\frac{33}{82}\), nicht \(99\,\%\).

- Welche beiden Möglichkeiten stehen auf der ersten Stufe deines Baums? - Gibt es einen vollständigen Pfad, der zugleich „Regen“ und „keine Warnung“ beschreibt? - Welche Tage bilden die Bezugsgruppe für die gesuchte Wahrscheinlichkeit?

1. Ein passender Baum verzweigt zuerst in „Regen“ mit \(0{,}2\) und „trocken“ mit \(0{,}8\). Nach „Regen“ folgen „Warnung“ mit \(0{,}95\) und „keine Warnung“ mit \(0{,}05\); nach „trocken“ folgen \(0{,}1\) und \(0{,}9\). 2. Der Pfad „Regen und keine Warnung“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}2\cdot0{,}05=0{,}01\). 3. Der Pfad „trocken und keine Warnung“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72\). 4. Ohne Warnung liegen insgesamt \(0{,}01+0{,}72=0{,}73\) der Tage. 5. Unter den Tagen ohne Warnung beträgt der Regenanteil \(\frac{0{,}01}{0{,}73}=\frac{1}{73}\). Regen ist daher nicht ausgeschlossen.

Astwahrscheinlichkeiten: zuerst \(0{,}2\) für Regen und \(0{,}8\) für trocken; danach \(0{,}95/0{,}05\) beziehungsweise \(0{,}1/0{,}9\). Jonas' Aussage ist falsch. Unter den Tagen ohne Warnung beträgt der Regenanteil \(\frac{1}{73}\).

- Welche Angabe beschreibt die Gesamtgruppe und gehört deshalb in die erste Stufe? - Ergänze an jeder Verzweigung die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. - Welche vollständigen Pfade führen zum Ereignis \(V\)?

1. In der ersten Stufe gilt \(P(M)=0{,}55\) und \(P(\bar{M})=0{,}45\). 2. Unter \(M\) gilt \(P_M(V)=0{,}30\) und damit \(P_M(\bar{V})=0{,}70\). 3. Unter \(\bar{M}\) gilt \(P_{\bar{M}}(V)=0{,}50\) und damit \(P_{\bar{M}}(\bar{V})=0{,}50\). 4. Die beiden Pfade zu \(V\) haben die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}55\cdot0{,}30=0{,}165\) und \(0{,}45\cdot0{,}50=0{,}225\). 5. Daher ist \(P(V)=0{,}165+0{,}225=0{,}39=39\,\%\).

Astwahrscheinlichkeiten: \(P(M)=0{,}55\), \(P(\bar{M})=0{,}45\), \(P_M(V)=0{,}30\), \(P_M(\bar{V})=0{,}70\), \(P_{\bar{M}}(V)=0{,}50\), \(P_{\bar{M}}(\bar{V})=0{,}50\). Außerdem gilt \(P(V)=0{,}39=39\,\%\).

- Welche vollständigen Pfade führen zum Ereignis \(D\)? - Bei der umgekehrten Bedingung ist die Bezugsgruppe die Menge aller defekten Netzteile. - Überlege für c), was Unabhängigkeit über die Defektwahrscheinlichkeit innerhalb jeder Herstellergruppe aussagt.

1. Die beiden Pfade zu \(D\) ergeben \(P(D)=0{,}70\cdot0{,}01+0{,}30\cdot0{,}04=0{,}019\). 2. Der Anteil der defekten Netzteile aus \(B\) beträgt \(P(B\cap D)=0{,}30\cdot0{,}04=0{,}012\). Daher ist \(P_D(B)=\frac{0{,}012}{0{,}019}=\frac{12}{19}\approx0{,}6316\), also gerundet \(63{,}2\,\%\). 3. Unabhängigkeit bedeutet hier, dass die Defektwahrscheinlichkeit in beiden Herstellern gleich ist. Da \(P_A(D)=0{,}01\) feststeht, muss auch \(P_B(D)=0{,}01\) gelten.

a) \(P(D)=0{,}019=1{,}9\,\%\) b) \(P_D(B)\approx63{,}2\,\%\) c) Die Defektquote von Bergon muss auf \(1\,\%\) sinken.

- Welche Angaben im Baum legen bereits gemeinsame Wahrscheinlichkeiten fest? - Welche Bedingungen muss jede noch fehlende Wahrscheinlichkeit erfüllen? - Woran würdest du erkennen, dass die Angaben nicht gleichzeitig möglich sein können?

1. Auf dem Pfad \(A\cap B\) muss \(0{,}8\cdot P_A(B)=0{,}4\) gelten. Daher ist \(P_A(B)=0{,}5\). 2. Von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(B)=0{,}7\) entfallen bereits \(0{,}4\) auf \(A\cap B\). Somit müsste \(P(\bar{A}\cap B)=0{,}3\) gelten. 3. Da \(P(\bar{A})=0{,}2\) ist, müsste am entsprechenden Ast \(P_{\bar{A}}(B)=\frac{0{,}3}{0{,}2}=1{,}5\) stehen. 4. Eine Wahrscheinlichkeit kann nicht größer als \(1\) sein. Die Angaben sind daher widersprüchlich.

Die Angaben sind unmöglich, weil daraus \(P_{\bar{A}}(B)=1{,}5>1\) folgen würde.

- Verfolge in beiden Ausgangsgruppen genau die Ergebnisfolge „positiv, negativ“. - Welche zwei vollständigen Pfade gehören zu dieser beobachteten Ergebnisfolge? - Die gesuchte Gruppe ist ein Teil aller Personen mit genau dieser Folge.

1. Der Pfad „krank, positiv, negativ“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}02\cdot0{,}95\cdot0{,}05=0{,}00095\). 2. Der Pfad „nicht krank, positiv, negativ“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}98\cdot0{,}02\cdot0{,}98=0{,}019208\). 3. Die Ergebnisfolge „positiv, negativ“ tritt insgesamt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}00095+0{,}019208=0{,}020158\) auf. 4. Unter allen Personen mit dieser Ergebnisfolge ist der Anteil der Kranken \(\frac{0{,}00095}{0{,}020158}\approx0{,}0471\). Das sind gerundet \(4{,}71\,\%\).

\(4{,}71\,\%\)

- Welche Beobachtung ist bei der Person bereits festgelegt, und welche vollständigen Pfade passen genau dazu? - Welche dieser passenden Pfade gehören zur Gruppe „krank“? - Welche Bezugsgruppe braucht die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit?

1. Der Pfad „krank, \(S+\), \(L+\)“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\cdot0{,}9\cdot0{,}8=0{,}072\). 2. Der Pfad „nicht krank, \(S+\), \(L+\)“ hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\cdot0{,}05\cdot0{,}1=0{,}0045\). 3. Beide positiven Testergebnisse treten insgesamt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}072+0{,}0045=0{,}0765\) auf. 4. Der Anteil der Kranken unter diesen Fällen ist \(\frac{0{,}072}{0{,}0765}=\frac{16}{17}\).

\(\frac{16}{17}\)

- Welche Bedingung ist bei „unter den positiven Ergebnissen krank“ bereits festgelegt? - Welche Informationen im jeweiligen Baum bestimmen diese Bezugsgruppe? - Vergleiche beide Verfahren nach genau demselben Anteil.

1. Beim Schnelltest beträgt der gemeinsame Anteil „krank und positiv“ \(0{,}01\cdot0{,}95=0{,}0095\). Der Anteil „gesund und positiv“ beträgt \(0{,}99\cdot0{,}01=0{,}0099\). 2. Damit ist beim Schnelltest der Krankenanteil unter den positiven Ergebnissen \(\frac{0{,}0095}{0{,}0095+0{,}0099}=\frac{95}{194}\). 3. Beim Labortest beträgt der gemeinsame Anteil „krank und positiv“ \(0{,}01\cdot0{,}99=0{,}0099\), der Anteil „gesund und positiv“ \(0{,}99\cdot0{,}03=0{,}0297\). 4. Beim Labortest ergibt sich daher \(\frac{0{,}0099}{0{,}0099+0{,}0297}=\frac{1}{4}\). 5. Beim Schnelltest ist der Anteil der Kranken unter den positiven Ergebnissen größer. Der Labortest erkennt zwar einen etwas größeren Anteil der Kranken, erzeugt aber in der viel größeren gesunden Gruppe mehr positive Fehlmeldungen.

Schnelltest: \(\frac{95}{194}\) Labortest: \(\frac{1}{4}\) Damit ist ein positives Ergebnis beim Schnelltest verlässlicher.