Mathe-Arbeitsblätter Klasse 11

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Stochastische Unabhängigkeit prüfen

Lernziele

Erläutert stochastische Unabhängigkeit.
Prüft Unabhängigkeit mit dem Produktkriterium.
Nutzt zulässige Vergleiche bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Unterscheidet Unabhängigkeit und Unvereinbarkeit.

Schwierigkeit: 1 – 5

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43748811

An einer Fertigungslinie werden zwei Fehlerarten erfasst. \(A\) bedeutet „Maßfehler“, \(B\) bedeutet „Oberflächenfehler“. Woran lässt sich unmittelbar erkennen, dass \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind?

Abbildung zur Aufgabe 437488

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Äste der zweiten Stufe, die zu \(B\) führen. - Ändert die Information über \(A\) die Wahrscheinlichkeit von \(B\)?

Lösung

Entscheidend sind die Astwahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe. Es gilt \(P_A(B)=0{,}25\quad\text{und}\quad P_{\bar{A}}(B)=0{,}25.\) Die Information darüber, ob \(A\) eingetreten ist, ändert die Wahrscheinlichkeit von \(B\) also nicht. Daher sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

Antwort

Man erkennt die Unabhängigkeit daran, dass \(P_A(B)=P_{\bar{A}}(B)=0{,}25\) gilt.

43748911

Für das Kaufinteresse \(K\) und die Altersgruppe \(J\) sind die relativen Häufigkeiten gegeben: <table><tr><th></th><th>\(K\)</th><th>\(\bar{K}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(J\)</th><td>\(0{,}06\)</td><td>\(0{,}14\)</td><td>\(0{,}20\)</td></tr><tr><th>\(\bar{J}\)</th><td>\(0{,}24\)</td><td>\(0{,}56\)</td><td>\(0{,}80\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(0{,}30\)</td><td>\(0{,}70\)</td><td>\(1{,}00\)</td></tr></table> Nenne eine Eigenschaft der Tabellenwerte, an der man die stochastische Unabhängigkeit von \(J\) und \(K\) schnell erkennen kann.

Denkanstöße

- Vergleiche ein inneres Feld mit den zugehörigen Randwahrscheinlichkeiten. - Alternativ kannst du den Anteil derselben Spalte in beiden Zeilen vergleichen.

Lösung

Ein mögliches Erkennungsmerkmal ist das Produktkriterium: \(P(J)\cdot P(K)=0{,}20\cdot0{,}30=0{,}06=P(J\cap K).\) Alternativ kann man die \(K\)-Anteile in beiden Zeilen vergleichen: \(\frac{0{,}06}{0{,}20}=0{,}30\quad\text{und}\quad\frac{0{,}24}{0{,}80}=0{,}30.\) Beide Beobachtungen zeigen die stochastische Unabhängigkeit.

Antwort

Zum Beispiel gilt \(P(J\cap K)=P(J)\cdot P(K)\), denn \(0{,}06=0{,}20\cdot0{,}30\). Gleichwertig ist der \(K\)-Anteil in beiden Altersgruppen gleich groß.

43756611

Es gilt \(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}5\) und \(P(A\cap B)=0{,}2\). Prüfe, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Gleichung verbindet Schnittwahrscheinlichkeit und Einzelwahrscheinlichkeiten bei Unabhängigkeit? - Vergleiche den gegebenen Schnittwert mit dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Für Unabhängigkeit muss \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gelten. 2. Das Produkt ist \(0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2\). 3. Dieser Wert stimmt mit \(P(A\cap B)=0{,}2\) überein. Daher sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

Antwort

\(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig.

55821711

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind unvereinbar. Außerdem gilt \(P(A)=0{,}3\quad\text{und}\quad P(B)=0{,}4.\) Sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig? Begründe mit einer Rechnung.

Denkanstöße

- Welche gemeinsame Wahrscheinlichkeit haben zwei unvereinbare Ereignisse? - Welche zusätzliche Bedingung müsste für stochastische Unabhängigkeit erfüllt sein?

Lösung

Weil \(A\) und \(B\) unvereinbar sind, gilt \(P(A\cap B)=0.\) Für Unabhängigkeit müsste dagegen \(P(A)\cdot P(B)=0{,}3\cdot0{,}4=0{,}12\) gleich \(P(A\cap B)\) sein. Da \(0\neq0{,}12\), sind die Ereignisse nicht unabhängig.

Antwort

Nein. Die Ereignisse sind unvereinbar, aber nicht unabhängig, denn \(P(A\cap B)=0\neq0{,}12=P(A)P(B)\).

41010911

Maia erledigt an \(80\,\%\) der Schultage ihre Hausaufgaben. An \(70\,\%\) der Tage trägt sie einen Zopf. Diese beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ohne Zopf und ohne erledigte Hausaufgaben zur Schule kommt?

Denkanstöße

- Wenn zwei Ereignisse unabhängig voneinander eintreten, wie berechnet man dann die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig passieren? - Was ist die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil der genannten Prozentsätze? - Kannst du ein Baumdiagramm skizzieren, um die Pfade zu visualisieren?

Lösung

1. Wahrscheinlichkeit für „Hausaufgaben nicht erledigt“ (\(\bar{H}\)): \(1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 2. Wahrscheinlichkeit für „kein Zopf“ (\(\bar{Z}\)): \(1 - 0{,}7 = 0{,}3\). 3. Da die Ereignisse unabhängig sind, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten: \(P(\bar{H} \cap \bar{Z}) = 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}06\). 4. Ergebnis: \(6\,\%\).

Antwort

\(6\,\%\)

41476611

\(200\) Haushalte wurden nach Hundebesitz (\(H\)) und Gartenbesitz (\(G\)) eingeteilt: <table><tr><th></th><th>\(G\)</th><th>\(\bar{G}\)</th><th>Summe</th></tr><tr><th>\(H\)</th><td>\(48\)</td><td>\(12\)</td><td>\(60\)</td></tr><tr><th>\(\bar{H}\)</th><td>\(56\)</td><td>\(84\)</td><td>\(140\)</td></tr><tr><th>Summe</th><td>\(104\)</td><td>\(96\)</td><td>\(200\)</td></tr></table> a) Berechne \(P_H(G)\). b) Berechne \(P_{\bar{H}}(G)\) und vergleiche beide Werte. Was lässt sich über den statistischen Zusammenhang von Hundebesitz und Gartenbesitz in diesen Daten sagen?

Denkanstöße

- Welche Bezugsgruppe gehört jeweils zu \(P_H(G)\) und \(P_{\bar H}(G)\)? - Welche zwei Anteile vergleichst du damit? - Woran würdest du bei gleichen Anteilen erkennen, dass die Information über den Hundebesitz nichts ändert?

Lösung

1. Innerhalb der \(60\) Haushalte mit Hund besitzen \(48\) einen Garten. Daher ist \(P_H(G)=\frac{48}{60}=0{,}8\). 2. Innerhalb der \(140\) Haushalte ohne Hund besitzen \(56\) einen Garten. Daher ist \(P_{\bar{H}}(G)=\frac{56}{140}=0{,}4\). 3. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich. Somit sind Hundebesitz und Gartenbesitz in diesen Daten stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(P_H(G)=0{,}8=80\,\%\) b) \(P_{\bar{H}}(G)=0{,}4=40\,\%\). Die Merkmale sind in diesen Daten stochastisch abhängig.

41535711

Bei einem Streaming-Dienst werden \(500\) Kundinnen und Kunden betrachtet. Unterschieden werden Personen unter 25 Jahren (\(U\)) und ab 25 Jahren (\(A\)) sowie Personen mit Premium-Abo (\(M\)). <table><tr><th></th><th>\(U\)</th><th>\(A\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(M\)</th><td>\(120\)</td><td>\(80\)</td><td>\(200\)</td></tr><tr><th>\(\bar{M}\)</th><td>\(180\)</td><td>\(120\)</td><td>\(300\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(300\)</td><td>\(200\)</td><td>\(500\)</td></tr></table> Untersuche, ob ein Premium-Abo stochastisch von der Altersgruppe abhängig ist. Vergleiche dazu \(P_U(M)\) mit \(P(M)\).

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Anteil mit Premium-Abo in der gesamten Gruppe. - Bestimme anschließend denselben Anteil nur innerhalb der Gruppe \(U\). - Welche Gleichheit zwischen bedingter und unbedingter Wahrscheinlichkeit kennzeichnet Unabhängigkeit?

Lösung

1. Insgesamt haben \(200\) von \(500\) Personen ein Premium-Abo. Daher ist \(P(M)=\frac{200}{500}=0{,}4\). 2. Unter den \(300\) Personen unter 25 Jahren haben \(120\) ein Premium-Abo. Somit gilt \(P_U(M)=\frac{120}{300}=0{,}4\). 3. Da \(P_U(M)=P(M)\) gilt, verändert die Bedingung \(U\) die Wahrscheinlichkeit für \(M\) nicht. Die Merkmale sind in diesen Daten stochastisch unabhängig.

Antwort

\(P(M)=0{,}4\) und \(P_U(M)=0{,}4\). Daher sind Premium-Abo und Altersgruppe in diesen Daten stochastisch unabhängig.

42209411

Bei einem Streaming-Anbieter sind \(60\,\%\) der Abonnentinnen und Abonnenten jünger als 30 Jahre (\(J\)). Insgesamt bevorzugen \(30\,\%\) Science-Fiction-Filme (\(S\)). Der Anteil der Personen, die mindestens 30 Jahre alt sind und Science-Fiction bevorzugen, beträgt \(12\,\%\). Untersuche rechnerisch, ob die Vorliebe für Science-Fiction stochastisch von der Altersgruppe abhängig ist.

Denkanstöße

- Ergänze zuerst die Wahrscheinlichkeit der zweiten Altersgruppe. - Welche Produktgleichung kennzeichnet stochastische Unabhängigkeit? - Überlege nach der Prüfung mit \(\bar{J}\), was daraus für das Gegenereignis \(J\) folgt.

Lösung

1. Aus \(P(J)=0{,}6\) folgt \(P(\bar{J})=0{,}4\). 2. Bei Unabhängigkeit von \(\bar{J}\) und \(S\) müsste \(P(\bar{J}\cap S)=P(\bar{J})\cdot P(S)\) gelten. 3. Das Produkt ist \(0{,}4\cdot0{,}3=0{,}12\) und stimmt genau mit der gegebenen Schnittwahrscheinlichkeit überein. Also sind \(\bar{J}\) und \(S\) unabhängig. 4. Damit ist auch das Gegenereignis \(J\) von \(S\) unabhängig. In diesen Daten besteht kein statistischer Zusammenhang zwischen Altersgruppe und Science-Fiction-Vorliebe.

Antwort

Die Merkmale sind stochastisch unabhängig, weil \(P(\bar{J}\cap S)=0{,}12=P(\bar{J})\cdot P(S)\) gilt.

42210411

Gegeben ist ein Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge \(\Omega = \{z_1; z_2; z_3; z_4; z_5\}\) und der im Folgenden tabellierten Verteilung: <table> <tr> <td>\(z_i\)</td> <td>\(z_1\)</td> <td>\(z_2\)</td> <td>\(z_3\)</td> <td>\(z_4\)</td> <td>\(z_5\)</td> </tr> <tr> <td>\(P(z_i)\)</td> <td>\(0{,}12\)</td> <td>\(0{,}28\)</td> <td>\(0{,}18\)</td> <td>\(0{,}22\)</td> <td>\(0{,}20\)</td> </tr> </table> Prüfe rechnerisch, ob die Ereignisse \(E = \{z_1; z_2\}\) und \(F = \{z_1; z_3\}\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Erinnere dich an die Definition der stochastischen Unabhängigkeit über das Produkt von Wahrscheinlichkeiten. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse bekannt sind? - Identifiziere genau, welche Elemente zur Schnittmenge beider Ereignisse gehören. - Führe die Multiplikation sorgfältig durch und vergleiche das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge.

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(E\): \(P(E) = P(z_1) + P(z_2) = 0{,}12 + 0{,}28 = 0{,}40\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit von \(F\): \(P(F) = P(z_1) + P(z_3) = 0{,}12 + 0{,}18 = 0{,}30\) 3. Identifikation der Schnittmenge: \(E \cap F = \{z_1\}\) 4. Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge: \(P(E \cap F) = P(z_1) = 0{,}12\) 5. Prüfung der Unabhängigkeitsformel: \(P(E) \cdot P(F) = 0{,}40 \cdot 0{,}30 = 0{,}12\) 6. Schlussfolgerung: Da \(P(E \cap F) = P(E) \cdot P(F)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(E\) und \(F\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(E \cap F) = 0{,}12\) genau dem Produkt \(P(E) \cdot P(F) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 = 0{,}12\) entspricht.

42210511

\(200\) Personen wurden nach bevorzugtem Urlaubsziel und Altersgruppe eingeteilt: <table><tr><th></th><th>Meer</th><th>Berge</th></tr><tr><th>unter 40 Jahre</th><td>\(72\)</td><td>\(48\)</td></tr><tr><th>ab 40 Jahre</th><td>\(48\)</td><td>\(32\)</td></tr></table> Für eine zufällig ausgewählte Person seien \(A\): „unter 40 Jahre“ und \(M\): „bevorzugt das Meer“. Untersuche \(A\) und \(M\) auf stochastische Unabhängigkeit.

Denkanstöße

- Bestimme aus der Tabelle zunächst die beiden Randhäufigkeiten für \(A\) und \(M\). - Welches einzelne Tabellenfeld gehört zur Schnittmenge \(A\cap M\)? - Vergleiche die Schnittwahrscheinlichkeit mit dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Insgesamt gibt es \(200\) Personen. Für \(A\) gilt \(P(A)=\frac{72+48}{200}=0{,}6\). 2. Für \(M\) gilt ebenfalls \(P(M)=\frac{72+48}{200}=0{,}6\). 3. Das gemeinsame Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit \(P(A\cap M)=\frac{72}{200}=0{,}36\). 4. Da \(P(A)\cdot P(M)=0{,}6\cdot0{,}6=0{,}36=P(A\cap M)\) gilt, sind die Ereignisse stochastisch unabhängig.

Antwort

\(A\) und \(M\) sind stochastisch unabhängig.

42210611

Ein Fitnessstudio hat \(1500\) Mitglieder. Davon nutzen \(900\) regelmäßig die Sauna (\(S\)), \(600\) nehmen regelmäßig an Gruppenkursen teil (\(G\)), und \(400\) tun beides. Prüfe rechnerisch, ob \(G\) und \(S\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Wandle die drei gegebenen Häufigkeiten in Wahrscheinlichkeiten um. - Welche der Angaben beschreibt direkt die Schnittmenge der beiden Ereignisse? - Prüfe die Produktgleichung für stochastische Unabhängigkeit.

Lösung

1. Es gilt \(P(G)=\frac{600}{1500}=0{,}4\) und \(P(S)=\frac{900}{1500}=0{,}6\). 2. Für das gemeinsame Ereignis ist \(P(G\cap S)=\frac{400}{1500}=\frac{4}{15}\). 3. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(G\cap S)=P(G)\cdot P(S)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}4\cdot0{,}6=0{,}24\). 4. Da \(\frac{4}{15}\neq0{,}24\), sind \(G\) und \(S\) in diesen Daten stochastisch abhängig.

Antwort

\(G\) und \(S\) sind stochastisch abhängig.

42213211

In einem Sportverein mit \(120\) Mitgliedern spielen \(60\) Tennis (\(T\)), \(40\) Squash (\(S\)) und \(20\) beide Sportarten. a) Prüfe, ob \(T\) und \(S\) stochastisch unabhängig sind. b) \(40\) Mitglieder sind seit über zehn Jahren im Verein (\(L\)); davon spielen \(15\) Tennis. Untersuche, ob \(L\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Wandle in beiden Teilaufgaben die relevanten absoluten Häufigkeiten bezogen auf alle \(120\) Mitglieder in Wahrscheinlichkeiten um. - Identifiziere jeweils die Häufigkeit des gemeinsamen Auftretens der beiden untersuchten Ereignisse. - Vergleiche für jedes Ereignispaar die Schnittwahrscheinlichkeit mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Für a) gilt \(P(T)=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}\), \(P(S)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\) und \(P(T\cap S)=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}\). 2. Das Produkt \(P(T)\cdot P(S)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\) stimmt mit der Schnittwahrscheinlichkeit überein. Daher sind \(T\) und \(S\) unabhängig. 3. Für b) ist \(P(L)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\) und \(P(L\cap T)=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}\). 4. Dagegen ist \(P(L)\cdot P(T)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6}\). Da \(\frac{1}{8}\neq\frac{1}{6}\), sind \(L\) und \(T\) abhängig.

Antwort

a) \(T\) und \(S\) sind stochastisch unabhängig. b) \(L\) und \(T\) sind stochastisch abhängig.

42214111

In einem Monat mit \(30\) Tagen regnete es an \(12\) Tagen. Aino ging an \(15\) Tagen joggen und davon an \(3\) Regentagen. Für einen zufällig ausgewählten Tag seien \(R\): „Es regnet“ und \(J\): „Aino geht joggen“. Untersuche rechnerisch, ob \(R\) und \(J\) stochastisch unabhängig sind. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Wandle die drei Häufigkeitsangaben in Wahrscheinlichkeiten bezogen auf alle \(30\) Tage um. - Welche Produktgleichung muss bei Unabhängigkeit gelten? - Für die Interpretation kannst du den Jogging-Anteil innerhalb der Regentage mit dem Anteil an allen Tagen vergleichen.

Lösung

1. Es gilt \(P(R)=\frac{12}{30}=0{,}4\), \(P(J)=\frac{15}{30}=0{,}5\) und \(P(R\cap J)=\frac{3}{30}=0{,}1\). 2. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(R\cap J)=P(R)\cdot P(J)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2\). 3. Da \(0{,}1\neq0{,}2\), sind die Ereignisse abhängig. 4. Innerhalb der Regentage gilt \(P_R(J)=\frac{3}{12}=0{,}25\), während insgesamt \(P(J)=0{,}5\) ist. In diesem Monat ging Aino an Regentagen seltener joggen als im Monatsdurchschnitt.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, weil \(P(R\cap J)=0{,}1\neq0{,}2=P(R)\cdot P(J)\). Außerdem ist \(P_R(J)=0{,}25<P(J)=0{,}5\).

42214211

Ein Industriebetrieb produziert an einem Tag \(500\) Bauteile. Davon entstehen \(200\) in der Spätschicht (\(S\)), die übrigen in der Frühschicht. Insgesamt werden \(40\) defekte Bauteile (\(D\)) gefunden, davon \(24\) aus der Spätschicht. Prüfe, ob \(D\) stochastisch von der Produktionsschicht unabhängig ist. Begründe, welche Folgerung sich für die Qualitätssicherung aus den Daten ergibt.

Denkanstöße

- Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Schicht, des Defekts und ihres gemeinsamen Auftretens. - Vergleiche die Schnittwahrscheinlichkeit mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. - Für die praktische Folgerung ist der Defektanteil innerhalb der Spätschicht besonders aufschlussreich.

Lösung

1. Es gilt \(P(S)=\frac{200}{500}=0{,}4\), \(P(D)=\frac{40}{500}=0{,}08\) und \(P(S\cap D)=\frac{24}{500}=0{,}048\). 2. Das Produkt \(P(S)\cdot P(D)=0{,}4\cdot0{,}08=0{,}032\) stimmt nicht mit \(P(S\cap D)\) überein. Daher sind die Ereignisse abhängig. 3. Innerhalb der Spätschicht beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit \(P_S(D)=\frac{24}{200}=0{,}12\) und liegt damit über der Gesamtfehlerwahrscheinlichkeit \(0{,}08\). 4. Die Qualitätssicherung sollte deshalb die Bedingungen in der Spätschicht gezielt untersuchen. Die Daten zeigen eine Häufung, nennen aber noch keine Ursache.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, weil \(P(S\cap D)=0{,}048\neq0{,}032=P(S)\cdot P(D)\). Mit \(P_S(D)=12\,\%>8\,\%=P(D)\) ist eine gezielte Untersuchung der Spätschicht sinnvoll.

43207511

In einer Urne befinden sich blaue und rote Kugeln mit Zahlen. Es wird einmal zufällig eine Kugel gezogen. Wir betrachten die Ereignisse: - \(A\): „Die gezogene Kugel ist blau.“ - \(B\): „Die gezogene Kugel hat eine gerade Zahl.“ Untersuche rechnerisch, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 432075

Denkanstöße

- Zähle die Kugeln, die zu \(A\), zu \(B\) und zu beiden Ereignissen gehören. - Welche Wahrscheinlichkeiten musst du vergleichen, um Unabhängigkeit rechnerisch zu prüfen?

Lösung

1. Es sind insgesamt \(12\) Kugeln. Davon sind \(4\) blau. Also gilt \(P(A)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\). 2. Die Kugeln mit den Zahlen \(2\), \(4\) und \(6\) sind gerade. Daher ist \(P(B)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\). 3. Nur die blaue Kugel mit der Zahl \(2\) gehört zu \(A\cap B\). Also gilt \(P(A\cap B)=\frac{1}{12}\). 4. Es ist \(P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}=P(A\cap B)\). Damit sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, denn \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{12}\).

43616111

Es werden nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Untersuche, ob die Ereignisse - \(A\): „Die erste Kugel ist rot.“ - \(B\): „Die zweite Kugel ist rot.“ stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 436161

Denkanstöße

- Lies die Zusammensetzung der Urne ab. - Beim Ziehen ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Zusammensetzung der Urne. - Welche Wahrscheinlichkeiten musst du bestimmen, um die Unabhängigkeit von \(A\) und \(B\) rechnerisch zu prüfen?

Lösung

1. Es gilt \(P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). 2. Für \(B\) gibt es die Pfade „rot, rot“ und „blau, rot“: \(P(B)=\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{4}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2}.\) 3. Für das gemeinsame Ereignis gilt \(P(A\cap B)=\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.\) 4. Aber \(P(A)\cdot P(B)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{6}.\) Also sind \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.

Antwort

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch abhängig.

43756711

Für zwei Ereignisse gilt \(P(A)=0{,}6\), \(P(B)=0{,}4\) und \(P(A\cap B)=0{,}3\). Prüfe, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind, und bestimme \(P_A(B)\).

Denkanstöße

- Vergleiche die gegebene Schnittwahrscheinlichkeit mit dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. - Für die bedingte Wahrscheinlichkeit ist \(A\) die neue Bezugsgruppe.

Lösung

1. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24\). 2. Da \(0{,}3\neq0{,}24\), sind die Ereignisse abhängig. 3. Innerhalb von \(A\) gilt \(P_A(B)=\frac{0{,}3}{0{,}6}=0{,}5\).

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig; \(P_A(B)=0{,}5\).

43758811

In einer Befragung trinken \(60\,\%\) der Befragten regelmäßig Kaffee (Ereignis \(K\)), \(30\,\%\) kommen häufig zu spät (Ereignis \(Z\)), und \(18\,\%\) erfüllen beide Merkmale. Prüfe die stochastische Unabhängigkeit von \(K\) und \(Z\) und erkläre, ob aus dem Ergebnis eine Aussage über Ursache und Wirkung folgt.

Denkanstöße

- Prüfe das Produktkriterium. - Trenne eine statistische Beziehung von einer Ursache-Wirkungs-Aussage.

Lösung

1. Für Unabhängigkeit müsste \(P(K\cap Z)=P(K)\cdot P(Z)\) gelten. 2. Es ist \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18=P(K\cap Z)\). Damit sind \(K\) und \(Z\) in den erhobenen Daten stochastisch unabhängig. 3. Diese rechnerische Beziehung erlaubt keine Aussage darüber, ob eines der Merkmale das andere verursacht.

Antwort

\(K\) und \(Z\) sind in den erhobenen Daten stochastisch unabhängig, weil \(P(K\cap Z)=0{,}18=P(K)\cdot P(Z)\). Daraus folgt keine Kausalaussage.

55350711

a) Bei einem fairen Würfel seien \(A=\{1,2\}\) und \(B=\{3,4\}\). Entscheide, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. b) Nun werden zwei faire Würfel geworfen. \(C\) sei das Ereignis „Der erste Würfel zeigt eine gerade Zahl“, \(D\) das Ereignis „Der zweite Würfel zeigt eine gerade Zahl“. Entscheide, ob \(C\) und \(D\) stochastisch unabhängig sind. c) Erkläre anhand der beiden Beispiele den Unterschied zwischen „unvereinbar“ und „stochastisch unabhängig“.

Denkanstöße

- Was bedeutet „unvereinbar“ dafür, ob zwei Ereignisse gemeinsam eintreten können? - Welche Bedingung muss zusätzlich erfüllt sein, damit zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind? - Prüfe deine allgemeine Aussage auch für den Sonderfall, dass ein Ereignis Wahrscheinlichkeit \(0\) hat.

Lösung

a) \(A\) und \(B\) sind unvereinbar, also gilt \(P(A\cap B)=0\). Zugleich ist \(P(A)P(B)=\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{9}.\) Daher sind \(A\) und \(B\) nicht unabhängig. b) Es gilt \(P(C)=\frac{1}{2}\), \(P(D)=\frac{1}{2}\) und \(P(C\cap D)=\frac{1}{4}\). Damit ist \(P(C\cap D)=P(C)P(D)\), also sind \(C\) und \(D\) unabhängig. c) Unvereinbar bedeutet: Die Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten. Unabhängig bedeutet: Das Eintreten des einen Ereignisses verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht. Haben zwei unvereinbare Ereignisse beide eine positive Wahrscheinlichkeit, dann sind sie nicht unabhängig.

Antwort

a) Nicht unabhängig. b) Unabhängig. c) Unvereinbare Ereignisse können nicht gemeinsam eintreten. Unabhängige Ereignisse beeinflussen ihre Wahrscheinlichkeiten nicht gegenseitig. Zwei unvereinbare Ereignisse mit jeweils positiver Wahrscheinlichkeit sind daher nicht unabhängig.

55674311

In einer Fertigung wird jedes Bauteil zweimal geprüft. In jedem Prüfdurchgang beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Alarm \(0{,}8\). Die beiden Prüfergebnisse werden als stochastisch unabhängig angenommen. a) Bezeichne die Alarmereignisse der beiden Prüfungen mit \(E_1\) und \(E_2\). Bestimme \(P(E_1\cap E_2)\). b) Leo meint: „Auch ohne die Unabhängigkeitsannahme hätte die zweimalige Angabe \(0{,}8\) ausgereicht, um die Wahrscheinlichkeit für zwei Alarme zu berechnen.“ Beurteile diese Aussage.

Denkanstöße

- Welche zusätzliche Aussage verbindet die beiden Prüfdurchgänge? - Was müsste über \(E_1\) und \(E_2\) gelten, damit eine Schnittwahrscheinlichkeit als Produkt berechnet werden darf? - Überlege bei b), ob zwei gleich große Einzelwahrscheinlichkeiten schon festlegen, wie oft beide Ereignisse gemeinsam eintreten.

Lösung

1. Es gilt \(P(E_1)=P(E_2)=0{,}8\). 2. Wegen der ausdrücklich angenommenen stochastischen Unabhängigkeit gilt \(P(E_1\cap E_2)=P(E_1)\cdot P(E_2)=0{,}8\cdot0{,}8=0{,}64\). 3. Leos Aussage ist falsch. Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten \(P(E_1)\) und \(P(E_2)\) legen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit \(P(E_1\cap E_2)\) nicht fest. Erst die Unabhängigkeitsannahme rechtfertigt hier das Multiplizieren.

Antwort

a) \(P(E_1\cap E_2)=0{,}64\) b) Die Aussage ist falsch. Aus den beiden Einzelwahrscheinlichkeiten \(0{,}8\) allein folgt die Schnittwahrscheinlichkeit nicht; das Produkt \(0{,}8\cdot0{,}8\) ist erst durch die Unabhängigkeitsannahme gerechtfertigt.

41474811

Bei der Qualitätskontrolle eines Smartphone-Herstellers haben \(5\,\%\) der Geräte einen Displayfehler (\(D\)), \(3\,\%\) einen Akkufehler (\(A\)) und \(1\,\%\) beide Fehler gleichzeitig. a) Erstelle eine Vierfeldertafel mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. b) Ein Gerät hat einen Akkufehler. Bestimme \(P_A(D)\). c) Vergleiche \(P_A(D)\) mit \(P(D)\). Was folgt für den statistischen Zusammenhang der beiden Fehlerarten?

Denkanstöße

- Beginne mit dem Feld, in dem beide Fehler gleichzeitig auftreten, und ergänze daraus Zeilen- und Spaltenreste. - Für b) ist nur die Spalte mit Akkufehler die Bezugsgruppe. - Bei Unabhängigkeit dürfte die Bedingung \(A\) die Wahrscheinlichkeit für \(D\) nicht verändern.

Lösung

1. Aus \(P(D\cap A)=0{,}01\) folgt \(P(D\cap\bar{A})=0{,}04\) und \(P(\bar{D}\cap A)=0{,}02\). 2. Das verbleibende Feld ist \(P(\bar{D}\cap\bar{A})=0{,}93\). 3. Die vollständige Vierfeldertafel lautet: <table><tr><th></th><th>\(A\)</th><th>\(\bar{A}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(D\)</th><td>\(1\,\%\)</td><td>\(4\,\%\)</td><td>\(5\,\%\)</td></tr><tr><th>\(\bar{D}\)</th><td>\(2\,\%\)</td><td>\(93\,\%\)</td><td>\(95\,\%\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(3\,\%\)</td><td>\(97\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> 4. Innerhalb der Geräte mit Akkufehler ist \(P_A(D)=\frac{0{,}01}{0{,}03}=\frac{1}{3}\). 5. Da \(P_A(D)\neq P(D)\) gilt, sind \(D\) und \(A\) stochastisch abhängig. In diesen Daten ist ein Displayfehler innerhalb der Geräte mit Akkufehler deutlich häufiger als insgesamt.

Antwort

a) <table><tr><th></th><th>\(A\)</th><th>\(\bar{A}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(D\)</th><td>\(1\,\%\)</td><td>\(4\,\%\)</td><td>\(5\,\%\)</td></tr><tr><th>\(\bar{D}\)</th><td>\(2\,\%\)</td><td>\(93\,\%\)</td><td>\(95\,\%\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(3\,\%\)</td><td>\(97\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> b) \(P_A(D)=\frac{1}{3}\) c) Da \(P_A(D)\neq P(D)\), sind die Fehlerarten in diesen Daten stochastisch abhängig.

42209311

In einem Sportverein wird untersucht, ob zwischen der regelmäßigen Teilnahme an einem Mentaltraining (\(M\)) und dem Bestehen einer Trainerlizenz-Prüfung (\(E\)) ein statistischer Zusammenhang besteht. Die Daten lauten: <table><tr><th></th><th>\(M\)</th><th>\(\bar{M}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(E\)</th><td>\(150\)</td><td>\(200\)</td><td>\(350\)</td></tr><tr><th>\(\bar{E}\)</th><td>\(50\)</td><td>\(100\)</td><td>\(150\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(200\)</td><td>\(300\)</td><td>\(500\)</td></tr></table> Prüfe rechnerisch, ob \(M\) und \(E\) stochastisch unabhängig sind, und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche Produktgleichung muss bei stochastischer Unabhängigkeit erfüllt sein? - Lies die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten und die Schnittwahrscheinlichkeit aus den absoluten Häufigkeiten ab. - Trenne bei der Interpretation einen statistischen Zusammenhang von einer möglichen Ursache-Wirkungs-Aussage.

Lösung

1. Aus der Tabelle folgt \(P(M)=\frac{200}{500}=0{,}4\), \(P(E)=\frac{350}{500}=0{,}7\) und \(P(M\cap E)=\frac{150}{500}=0{,}3\). 2. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(M\cap E)=P(M)\cdot P(E)\) gelten. Das Produkt beträgt \(0{,}4\cdot0{,}7=0{,}28\). 3. Da \(0{,}3\neq0{,}28\), sind die Ereignisse stochastisch abhängig. 4. Passend dazu ist die Erfolgswahrscheinlichkeit unter den Teilnehmenden am Mentaltraining \(P_M(E)=\frac{150}{200}=0{,}75\) größer als \(P(E)=0{,}7\). Die Daten zeigen damit einen statistischen Zusammenhang, nicht automatisch eine Ursache-Wirkungs-Beziehung.

Antwort

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, weil \(P(M\cap E)=0{,}3\neq0{,}28=P(M)\cdot P(E)\). In den Daten ist die Erfolgsquote unter den Teilnehmenden am Mentaltraining höher; daraus allein folgt keine Kausalität.

42210711

Gegeben ist eine unvollständige Vierfeldertafel für zwei stochastisch unabhängige Ereignisse \(E\) und \(F\). <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar F\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(E\)</td><td></td><td>\(0{,}12\)</td><td></td></tr> <tr><td>\(\bar E\)</td><td></td><td>\(0{,}18\)</td><td></td></tr> <tr><td>Summe</td><td></td><td></td><td>\(1\)</td></tr> </table> Berechne alle fehlenden Wahrscheinlichkeiten und vervollständige die Tabelle.

Denkanstöße

- Welche Randwahrscheinlichkeit kannst du direkt aus den beiden gegebenen Werten derselben Spalte bestimmen? - Welche Beziehung zwischen Schnittwahrscheinlichkeit und Randwahrscheinlichkeiten gilt bei Unabhängigkeit? - Ergänze die restlichen Rand- und Innenfelder erst, wenn diese beiden Größen feststehen.

Lösung

1. Die Spaltensumme ist \(P(\bar F)=0{,}12+0{,}18=0{,}30\). Daher gilt \(P(F)=0{,}70\). 2. Wegen der Unabhängigkeit gilt \(P(E\cap\bar F)=P(E)\cdot P(\bar F)\). Also ist \(0{,}12=P(E)\cdot0{,}30\) und damit \(P(E)=0{,}40\). 3. Somit ist \(P(\bar E)=0{,}60\). 4. Die beiden noch fehlenden Innenfelder sind \(P(E\cap F)=0{,}40\cdot0{,}70=0{,}28\) und \(P(\bar E\cap F)=0{,}60\cdot0{,}70=0{,}42\).

Antwort

<table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar F\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(E\)</td><td>\(0{,}28\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>\(\bar E\)</td><td>\(0{,}42\)</td><td>\(0{,}18\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}70\)</td><td>\(0{,}30\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table>

42211811

In einem Behälter befinden sich \(10\) Kugeln: \(2\) blaue, \(3\) rote und \(5\) gelbe. Es werden nacheinander zwei Kugeln zufällig gezogen. Wir betrachten die Ereignisse: \(B\): „Die erste Kugel ist blau.“ \(R\): „Die zweite Kugel ist rot.“ a) Berechne \(P(R)\) und \(P_B(R)\) unter der Bedingung, dass die erste Kugel nicht zurückgelegt wird. Sind die Ereignisse \(B\) und \(R\) in diesem Fall stochastisch unabhängig? b) Prüfe die Unabhängigkeit der Ereignisse \(B\) und \(R\), wenn die erste Kugel vor dem zweiten Zug wieder zurückgelegt wird.

Denkanstöße

- Wie verändert sich die Anzahl der roten Kugeln und die Gesamtzahl der Kugeln, wenn zuerst eine blaue Kugel entnommen wurde? - Verwende ein Baumdiagramm, um alle Pfade zu finden, die zum Ereignis „die zweite Kugel ist rot“ führen. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug mit der bedingten Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass die erste Kugel blau war.

Lösung

1. Teil a) Ohne Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit für Rot im zweiten Zug ist \(P(R)=\frac{2}{10}\cdot\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\cdot\frac{2}{9}+\frac{5}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{27}{90}=0{,}3\). 2. Unter der Bedingung, dass die erste Kugel blau war, gilt \(P_B(R)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\). 3. Da \(P_B(R)\neq P(R)\), sind die Ereignisse ohne Zurücklegen stochastisch abhängig. 4. Teil b) Mit Zurücklegen gilt \(P(R)=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P_B(R)=\frac{3}{10}=0{,}3\). 5. Da \(P_B(R)=P(R)\), sind die Ereignisse mit Zurücklegen stochastisch unabhängig.

Antwort

a) \(P(R)=0{,}3\); \(P_B(R)=\frac{1}{3}\); die Ereignisse sind stochastisch abhängig. b) \(P(R)=0{,}3\); \(P_B(R)=0{,}3\); die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

42212011

Es werden \(200\) Personen betrachtet: \(120\) Jugendliche (\(J\)) und \(80\) Erwachsene (\(\bar{J}\)). Insgesamt zeigen \(60\) Personen Kaufinteresse an einem neuen Getränk (\(K\)). a) Bestimme, wie viele Jugendliche und wie viele Erwachsene kaufinteressiert sein müssten, damit \(K\) stochastisch unabhängig von der Altersgruppe ist. b) Tatsächlich seien in einer zweiten Variante \(40\) Jugendliche kaufinteressiert. Weise rechnerisch nach, dass dann eine stochastische Abhängigkeit vorliegt. c) Entscheide ohne weitere Rechnung, ob in der Situation aus b) auch \(\bar{J}\) und \(\bar{K}\) stochastisch abhängig sind. Begründe kurz.

Denkanstöße

- Welcher Kaufinteresse-Anteil gilt in der gesamten Gruppe? - Bei Unabhängigkeit müsste derselbe Anteil innerhalb beider Altersgruppen auftreten. - Prüfe in b), ob die Bedingung \(J\) den Kaufinteresse-Anteil verändert. - Überlege in c), wie Unabhängigkeit mit dem Übergang zu Gegenereignissen zusammenhängt.

Lösung

1. Insgesamt gilt \(P(K)=\frac{60}{200}=0{,}3\). Bei Unabhängigkeit muss \(P_J(K)=P_{\bar{J}}(K)=0{,}3\) gelten. 2. Daher müssen \(120\cdot0{,}3=36\) Jugendliche und \(80\cdot0{,}3=24\) Erwachsene kaufinteressiert sein. 3. In b) ist \(P_J(K)=\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\). Von den Erwachsenen sind dann \(60-40=20\) kaufinteressiert, also \(P_{\bar{J}}(K)=\frac{20}{80}=0{,}25\). 4. Da die bedingten Wahrscheinlichkeiten verschieden sind, sind Altersgruppe und Kaufinteresse abhängig. 5. Wären \(\bar J\) und \(\bar K\) unabhängig, wären auch \(J\) und \(K\) unabhängig. Da \(J\) und \(K\) abhängig sind, gilt das auch für \(\bar J\) und \(\bar K\).

Antwort

a) \(36\) Jugendliche und \(24\) Erwachsene b) \(P_J(K)=\frac{1}{3}\neq0{,}25=P_{\bar{J}}(K)\); daher abhängig. c) Auch \(\bar{J}\) und \(\bar{K}\) sind abhängig.

42212111

Ein fairer sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. Es werden die folgenden Ereignisse betrachtet: \(A\): „Der erste Wurf zeigt eine Primzahl.“ \(B\): „Der zweite Wurf zeigt eine Augenzahl größer als 4.“ \(C\): „Die Summe der Augenzahlen beider Würfe ist genau 6.“ a) Weise nach, dass die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. b) Untersuche, ob die Ereignisse \(A\) und \(C\) stochastisch unabhängig sind.

Denkanstöße

- Welche Bedingung muss für die Wahrscheinlichkeiten erfüllt sein, damit zwei Ereignisse als stochastisch unabhängig gelten? - Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt bei einem zweifachen Würfelwurf? - Kannst du alle Zahlenpaare aufschreiben, die zu einem bestimmten Ereignis gehören? - Berechne zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten und dann die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Eintreten beider Ereignisse.

Lösung

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für \(A\) und \(B\): Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5, also \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\). Die Zahlen größer als 4 sind 5 und 6, also \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). 2. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap B)\): Da die Würfe unabhängig sind, gilt für das gleichzeitige Eintreten (Primzahl im 1. Wurf und Zahl \(>4\) im 2. Wurf) \(P(A \cap B) = \frac{3 \cdot 2}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 3. Prüfung der Unabhängigkeit für \(A\) und \(B\): Da \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(A \cap B)\), sind \(A\) und \(B\) unabhängig. 4. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für \(C\): Die günstigen Ergebnisse für die Summe 6 sind \((1|5), (2|4), (3|3), (4|2), (5|1)\). Somit ist \(P(C) = \frac{5}{36}\). 5. Berechnung der Schnittwahrscheinlichkeit \(P(A \cap C)\): Die Ergebnisse in \(C\), bei denen der erste Würfel eine Primzahl (2, 3 oder 5) zeigt, sind \((2|4), (3|3)\) und \((5|1)\). Es gibt 3 solche Ergebnisse, also \(P(A \cap C) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\). 6. Prüfung der Unabhängigkeit für \(A\) und \(C\): Es gilt \(P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{72}\). Da \(\frac{1}{12} = \frac{6}{72} \neq \frac{5}{72}\), sind \(A\) und \(C\) stochastisch abhängig.

Antwort

a) \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig, da \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) und \(P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) gilt. b) \(A\) und \(C\) sind stochastisch abhängig, da \(P(A \cap C) = \frac{1}{12}\), aber \(P(A) \cdot P(C) = \frac{5}{72}\) ist.

42212311

Bei Smartphone-Nutzenden besitzen \(40\,\%\) auch einen Laptop derselben Marke (\(L\)). Insgesamt sind \(55\,\%\) mit dem Kundenservice sehr zufrieden (\(Z\)); bei \(25\,\%\) treffen beide Merkmale zu. a) Vervollständige die Vierfeldertafel. <table><tr><th></th><th>\(L\)</th><th>\(\bar{L}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(Z\)</th><td>\(25\,\%\)</td><td></td><td>\(55\,\%\)</td></tr><tr><th>\(\bar{Z}\)</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(40\,\%\)</td><td></td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> b) Prüfe \(L\) und \(Z\) rechnerisch auf stochastische Unabhängigkeit. c) Bestimme \(P_L(Z)\) und \(P_{\bar{L}}(Z)\) und beschreibe ihre Bedeutung. d) Interpretiere die Ergebnisse aus b) und c) für diese Daten.

Denkanstöße

- Ergänze die Vierfeldertafel über die Zeilen- und Spaltensummen. - Prüfe anschließend die Produktgleichung für Unabhängigkeit. - Bei c) ist jeweils nur eine der beiden Laptop-Gruppen die Bezugsgruppe. - Trenne bei d) statistische Abhängigkeit von einer Ursache-Wirkungs-Aussage.

Lösung

1. Die vervollständigte Vierfeldertafel lautet: <table><tr><th></th><th>\(L\)</th><th>\(\bar{L}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(Z\)</th><td>\(25\,\%\)</td><td>\(30\,\%\)</td><td>\(55\,\%\)</td></tr><tr><th>\(\bar{Z}\)</th><td>\(15\,\%\)</td><td>\(30\,\%\)</td><td>\(45\,\%\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(40\,\%\)</td><td>\(60\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> 2. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(L\cap Z)=P(L)\cdot P(Z)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}40\cdot0{,}55=0{,}22\), während \(P(L\cap Z)=0{,}25\) ist. Die Ereignisse sind abhängig. 3. Innerhalb der Laptop-Besitzenden ist \(P_L(Z)=\frac{0{,}25}{0{,}40}=0{,}625\). Ohne Laptop derselben Marke gilt \(P_{\bar{L}}(Z)=\frac{0{,}30}{0{,}60}=0{,}5\). 4. In diesen Daten ist die Servicezufriedenheit in der Gruppe \(L\) höher. Das beschreibt einen statistischen Zusammenhang, nicht dessen Ursache.

Antwort

a) <table><tr><th></th><th>\(L\)</th><th>\(\bar{L}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(Z\)</th><td>\(25\,\%\)</td><td>\(30\,\%\)</td><td>\(55\,\%\)</td></tr><tr><th>\(\bar{Z}\)</th><td>\(15\,\%\)</td><td>\(30\,\%\)</td><td>\(45\,\%\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(40\,\%\)</td><td>\(60\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> b) Abhängig, weil \(P(L\cap Z)=0{,}25\neq0{,}22=P(L)\cdot P(Z)\). c) \(P_L(Z)=62{,}5\,\%\); \(P_{\bar{L}}(Z)=50\,\%\). Die Werte sind die Zufriedenheitsanteile innerhalb der jeweiligen Laptop-Gruppen. d) In diesen Daten besteht ein positiver statistischer Zusammenhang; eine Ursache ist damit nicht belegt.

42212411

In einem Logistikzentrum stammen \(60\,\%\) der Pakete von HansaLogistik (\(H\)) und die übrigen von MainCargo (\(M\)). Insgesamt sind \(5\,\%\) der Pakete beschädigt (\(D\)); \(3\,\%\) aller Pakete stammen von HansaLogistik und sind beschädigt. a) Stelle die Daten in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. b) Untersuche, ob \(D\) stochastisch von der Lieferfirma unabhängig ist. c) Berechne \(P_H(D)\) und \(P_M(D)\) und formuliere ihre Bedeutung. d) Vergleiche die beiden Firmen ausschließlich hinsichtlich der in diesen Daten beobachteten Beschädigungsrate.

Denkanstöße

- Nutze die bekannten Randwahrscheinlichkeiten und das eine gegebene innere Feld zum Ergänzen der Tabelle. - Welche Produktgleichung kannst du für b) prüfen? - Bei c) werden die beschädigten Pakete jeweils nur auf die Pakete derselben Firma bezogen. - Beschränke die Bewertung in d) auf das tatsächlich gemessene Merkmal.

Lösung

1. Es gilt \(P(H)=0{,}60\), \(P(M)=0{,}40\), \(P(D)=0{,}05\) und \(P(H\cap D)=0{,}03\). Daraus folgen \(P(H\cap\bar{D})=0{,}57\), \(P(M\cap D)=0{,}02\) und \(P(M\cap\bar{D})=0{,}38\). 2. Die vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel lautet: <table><tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(\bar{D}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(H\)</th><td>\(3\,\%\)</td><td>\(57\,\%\)</td><td>\(60\,\%\)</td></tr><tr><th>\(M\)</th><td>\(2\,\%\)</td><td>\(38\,\%\)</td><td>\(40\,\%\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(5\,\%\)</td><td>\(95\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> 3. Das Produkt \(P(H)\cdot P(D)=0{,}60\cdot0{,}05=0{,}03\) stimmt mit \(P(H\cap D)\) überein. Daher sind Lieferfirma und Beschädigung stochastisch unabhängig. 4. Es gilt \(P_H(D)=\frac{0{,}03}{0{,}60}=0{,}05\) und \(P_M(D)=\frac{0{,}02}{0{,}40}=0{,}05\). 5. Die beobachtete Beschädigungsrate beträgt bei beiden Firmen \(5\,\%\). Für dieses Merkmal zeigen die Daten keinen Unterschied; andere Qualitätsaspekte sind nicht erfasst.

Antwort

a) <table><tr><th></th><th>\(D\)</th><th>\(\bar{D}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(H\)</th><td>\(3\,\%\)</td><td>\(57\,\%\)</td><td>\(60\,\%\)</td></tr><tr><th>\(M\)</th><td>\(2\,\%\)</td><td>\(38\,\%\)</td><td>\(40\,\%\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(5\,\%\)</td><td>\(95\,\%\)</td><td>\(100\,\%\)</td></tr></table> b) Stochastisch unabhängig. c) \(P_H(D)=P_M(D)=5\,\%\); beide Werte sind die Beschädigungsrate innerhalb der jeweiligen Lieferfirma. d) In diesen Daten haben beide Firmen dieselbe beobachtete Beschädigungsrate.

42213111

In einem Rechenzentrum wird an \(20\) Tagen protokolliert, ob die Server \(S_1\) und \(S_2\) Ausfallzeiten haben. \(U_1\) beziehungsweise \(U_2\) bezeichnet einen Ausfall des jeweiligen Servers. Ein „X“ steht für mindestens eine Ausfallzeit an diesem Tag. <table><tr><th>Tag</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th><th>\(5\)</th><th>\(6\)</th><th>\(7\)</th><th>\(8\)</th><th>\(9\)</th><th>\(10\)</th></tr><tr><th>\(U_1\)</th><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td></tr><tr><th>\(U_2\)</th><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td></tr></table> <table><tr><th>Tag</th><th>\(11\)</th><th>\(12\)</th><th>\(13\)</th><th>\(14\)</th><th>\(15\)</th><th>\(16\)</th><th>\(17\)</th><th>\(18\)</th><th>\(19\)</th><th>\(20\)</th></tr><tr><th>\(U_1\)</th><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td>X</td></tr><tr><th>\(U_2\)</th><td></td><td>X</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>X</td><td>X</td><td>X</td><td></td></tr></table> An den Tagen 2, 3, 7, 8 und 12 finden Wartungsarbeiten am Netzwerk statt (\(W\)). a) Weise mithilfe relativer Häufigkeiten nach, dass \(U_1\) und \(U_2\) stochastisch abhängig sind. b) Untersuche, ob \(U_1\) stochastisch von \(W\) abhängig ist, und interpretiere das Ergebnis vorsichtig.

Denkanstöße

- Zähle für jedes Ereignis die markierten Tage und beziehe sie auf alle \(20\) Tage. - Welche Produktgleichung prüft stochastische Unabhängigkeit? - Für b) zählen bei der bedingten Wahrscheinlichkeit nur die Wartungstage als Bezugsgruppe. - Unterscheide bei der Interpretation statistische Häufung und Kausalität.

Lösung

1. Aus der Übersicht folgt \(P(U_1)=\frac{8}{20}=0{,}4\), \(P(U_2)=\frac{6}{20}=0{,}3\) und \(P(U_1\cap U_2)=\frac{4}{20}=0{,}2\). 2. Da \(P(U_1)\cdot P(U_2)=0{,}12\neq0{,}2=P(U_1\cap U_2)\), sind die Ereignisse abhängig. 3. Für die Wartung gilt \(P(W)=\frac{5}{20}=0{,}25\). An drei Wartungstagen tritt auch \(U_1\) ein, also \(P(U_1\cap W)=\frac{3}{20}=0{,}15\). 4. Da \(P(U_1)\cdot P(W)=0{,}10\neq0{,}15=P(U_1\cap W)\), sind auch \(U_1\) und \(W\) abhängig. 5. Entsprechend ist \(P_W(U_1)=\frac{3}{5}=0{,}6\) größer als \(P(U_1)=0{,}4\). In den Daten treten Ausfälle an Wartungstagen häufiger auf; daraus allein folgt keine Ursache-Wirkungs-Beziehung.

Antwort

a) \(U_1\) und \(U_2\) sind abhängig, weil \(0{,}2\neq0{,}4\cdot0{,}3\). b) \(U_1\) und \(W\) sind abhängig, weil \(0{,}15\neq0{,}4\cdot0{,}25\). Zudem ist \(P_W(U_1)=0{,}6>P(U_1)=0{,}4\); eine Ursache ist dadurch nicht nachgewiesen.

42213411

In einem Rechenzentrum stehen \(5000\) Server. \(85\,\%\) sind mit einem Sicherheitssystem (\(S\)) ausgestattet. Nach einer Angriffswelle gelten \(350\) Server als erfolgreich angegriffen (\(C\)); davon hatten \(150\) das Sicherheitssystem. a) Berechne \(P_S(C)\) und \(P_{\bar{S}}(C)\). Runde die Prozentwerte auf eine Dezimalstelle. b) Zeige rechnerisch, dass \(C\) und \(S\) stochastisch abhängig sind. c) Eine Auswertung behauptet: „Das Sicherheitssystem ist kaum wirksam, denn \(150\) der \(350\) erfolgreich angegriffenen Server hatten es installiert.“ Ordne diese Aussage mithilfe von a) ein und erläutere, welche Grenze diese Daten für eine kausale Schlussfolgerung haben.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Größen der beiden Servergruppen mit und ohne Sicherheitssystem. - Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten sind jeweils diese Gruppen die Nenner. - Prüfe für b), ob die Bedingung \(S\) die Angriffswahrscheinlichkeit verändert. - Achte in c) darauf, welche Bezugsgruppe die zitierte Zahl verwendet und welche Art von Schlussfolgerung Beobachtungsdaten erlauben.

Lösung

1. Mit System gibt es \(0{,}85\cdot5000=4250\) Server, ohne System \(750\). Von den \(350\) angegriffenen Servern entfallen \(200\) auf \(\bar{S}\). 2. Daher ist \(P_S(C)=\frac{150}{4250}=\frac{3}{85}\approx0{,}0353\), also \(3{,}5\,\%\). Ohne System gilt \(P_{\bar{S}}(C)=\frac{200}{750}=\frac{4}{15}\approx0{,}2667\), also \(26{,}7\,\%\). 3. Insgesamt ist \(P(C)=\frac{350}{5000}=0{,}07\). Da \(P_S(C)\neq P(C)\) gilt, sind \(C\) und \(S\) stochastisch abhängig. 4. Die Behauptung vergleicht den Anteil geschützter Server innerhalb der angegriffenen Gruppe und ignoriert, dass die Ausgangsgruppen sehr verschieden groß sind. Die Angriffsraten innerhalb der Gruppen sind mit \(3{,}5\,\%\) und \(26{,}7\,\%\) deutlich verschieden. 5. Diese Daten passen zu einer Schutzwirkung, beweisen aber nicht, dass das Sicherheitssystem allein die Ursache des Unterschieds ist. Dafür müsste man andere Unterschiede zwischen den Servergruppen möglichst ausschließen.

Antwort

a) \(P_S(C)\approx3{,}5\,\%\); \(P_{\bar{S}}(C)\approx26{,}7\,\%\) b) Abhängig, weil \(P_S(C)\neq P(C)\). c) Die Behauptung verwendet die falsche Bezugsgruppe. Die Angriffsraten sind mit System deutlich niedriger, doch die Daten allein belegen keine kausale Schutzwirkung.

43617711

Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Es seien - \(A\): „Die erste gezogene Kugel ist rot.“ - \(B\): „In den beiden Zügen wird genau eine rote Kugel gezogen.“ Prüfe rechnerisch, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 436177

Denkanstöße

- Lies die Farbanteile aus der Urne ab. - Welche zwei geordneten Farbfolgen gehören zu „genau eine rote Kugel“? - Prüfe die Unabhängigkeit der konkret definierten Ereignisse mit dem Produktkriterium.

Lösung

1. Für jeden Zug gilt \(P(\text{rot})=\frac{2}{5}=0{,}4\) und \(P(\text{blau})=\frac{3}{5}=0{,}6\). 2. Damit ist \(P(A)=0{,}4\). 3. Das Ereignis \(B\) tritt bei „rot, blau“ oder „blau, rot“ ein: \(P(B)=0{,}4\cdot0{,}6+0{,}6\cdot0{,}4=0{,}48.\) 4. Für \(A\cap B\) bleibt nur der Pfad „rot, blau“: \(P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}6=0{,}24.\) 5. Es ist \(P(A)\cdot P(B)=0{,}4\cdot0{,}48=0{,}192\neq0{,}24\). Also sind \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.

Antwort

\(A\) und \(B\) sind stochastisch abhängig, weil \(P(A\cap B)=0{,}24\neq0{,}192=P(A)\cdot P(B)\).

43748211

Die Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig. Bestimme \(P(B)\).

Abbildung zur Aufgabe 437482

Denkanstöße

- Welche Information über \(B\) lässt sich aus der Unabhängigkeit auch für das Gegenereignis von \(A\) nutzen? - Welche im Baum gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeit verbindet \(\bar A\) und \(B\)?

Lösung

1. Aus \(P(A)=0{,}8\) folgt \(P(\bar{A})=0{,}2\). 2. Mit \(A\) und \(B\) sind auch \(\bar{A}\) und \(B\) unabhängig. Daher gilt \(P(\bar{A}\cap B)=P(\bar{A})\cdot P(B).\) 3. Somit ist \(0{,}06=0{,}2\cdot P(B)\). 4. Also gilt \(P(B)=0{,}3\).

Antwort

\(P(B)=0{,}3\)

43756811

Bestimme \(x\) so, dass die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 437568

Denkanstöße

- Welche Rolle spielt die Unabhängigkeit für die Wahrscheinlichkeit von \(B\), wenn \(A\) bereits feststeht? - Welche Angaben im Baum hängen von \(x\) ab?

Lösung

1. Es gilt \(P(B)=0{,}4x+0{,}6\cdot0{,}3=0{,}4x+0{,}18.\) 2. Für Unabhängigkeit muss \(P_A(B)=P(B)\) gelten. Da \(P_A(B)=x\) ist, folgt \(x=0{,}4x+0{,}18.\) 3. Damit ist \(0{,}6x=0{,}18\) und somit \(x=0{,}3\).

Antwort

\(x=0{,}3\)

43756911

Begründe ohne Kenntnis von \(p\), dass \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.

Abbildung zur Aufgabe 437569

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Äste der zweiten Stufe, die zu \(B\) führen. - Drücke \(P(B)\) mit \(p\) aus und vereinfache.

Lösung

1. Es gilt \(P_A(B)=P_{\bar{A}}(B)=0{,}7\). 2. Daher ist \(P(B)=p\cdot0{,}7+(1-p)\cdot0{,}7=0{,}7.\) Der Wert hängt nicht von \(p\) ab. 3. Somit gilt \(P_A(B)=P(B)=0{,}7\). Also sind \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig.

Antwort

\(A\) und \(B\) sind unabhängig, weil \(P_A(B)=P_{\bar{A}}(B)=P(B)=0{,}7\) für jeden zulässigen Wert von \(p\) gilt.

43757711

Bei bereits als krank bekannten Personen werden ein Schnelltest und ein Labortest ausgewertet. \(S+\) und \(S-\) bedeuten ein positives bzw. negatives Ergebnis des Schnelltests; \(L+\) und \(L-\) entsprechend ein positives bzw. negatives Ergebnis des Labortests. Ein Labor möchte für den Labortest unabhängig vom Ergebnis des Schnelltests immer dieselbe Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis verwenden. Erkläre, warum das nicht zulässig ist.

Abbildung zur Aufgabe 437577

Denkanstöße

- Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten für \(L+\) nach \(S+\) und nach \(S-\). - Was müsste bei Unabhängigkeit gelten?

Lösung

1. Nach einem positiven Ergebnis des Schnelltests gilt \(P_{S+}(L+)=0{,}95\). 2. Nach einem negativen Ergebnis des Schnelltests gilt dagegen \(P_{S-}(L+)=0{,}6\). 3. Damit hängt die Wahrscheinlichkeit für \(L+\) vom Ergebnis des Schnelltests ab. Die beiden Testereignisse sind in der betrachteten Gruppe nicht stochastisch unabhängig. 4. Deshalb muss auf jedem Pfad die jeweils passende zweite Astwahrscheinlichkeit verwendet werden.

Antwort

Nicht zulässig, weil \(P_{S+}(L+)=0{,}95\neq0{,}6=P_{S-}(L+)\). Das Ergebnis des Schnelltests verändert die Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis des Labortests.

43757911

Bei zwei Ziehungen seien \(R_1\): „Die erste Kugel ist rot“ und \(R_2\): „Die zweite Kugel ist rot“. In a) wird mit Zurücklegen gezogen, in b) ohne Zurücklegen. In welchem Fall sind \(R_1\) und \(R_2\) stochastisch unabhängig? Begründe mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Abbildung zur Aufgabe 437579

Denkanstöße

- Vergleiche in beiden Fällen \(P_{R_1}(R_2)\) mit \(P(R_2)\). - In welchem Fall verändert der erste Zug die Ausgangslage für den zweiten?

Lösung

1. Mit Zurücklegen gilt \(P(R_2)=\frac{2}{5}\) und \(P_{R_1}(R_2)=\frac{2}{5}\). Die Information über den ersten Zug verändert die Wahrscheinlichkeit des zweiten roten Zugs nicht. Die Ereignisse sind unabhängig. 2. Ohne Zurücklegen gilt \(P(R_2)=\frac{2}{5}\), aber nach einer roten ersten Kugel ist \(P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{4}\). 3. Da \(\frac{1}{4}\neq\frac{2}{5}\), sind die Ereignisse ohne Zurücklegen abhängig.

Antwort

Nur beim Ziehen mit Zurücklegen sind \(R_1\) und \(R_2\) stochastisch unabhängig.

42210811

Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch unabhängig. Es sind die Wahrscheinlichkeiten \(P(A\cap B)=0{,}12\) und \(P(A\cup B)=0{,}68\) bekannt. Erstelle eine vollständige Vierfeldertafel für diese beiden Ereignisse. Es gibt zwei mathematisch mögliche Zuordnungen der Randwahrscheinlichkeiten zu \(A\) und \(B\); gib eine davon an.

Denkanstöße

- Welche Beziehung liefert die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung für die beiden unbekannten Randwahrscheinlichkeiten? - Welche zweite Beziehung folgt aus der stochastischen Unabhängigkeit? - Wenn Summe und Produkt der beiden Randwahrscheinlichkeiten bekannt sind, welche zwei Werte kommen dafür infrage? - Ergänze die Innenfelder erst nach der Wahl einer der beiden möglichen Zuordnungen.

Lösung

1. Aus \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) folgt \(P(A)+P(B)=0{,}80\). 2. Wegen der Unabhängigkeit gilt außerdem \(P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)=0{,}12\). 3. Für \(x=P(A)\) und \(y=P(B)\) gelten damit \(x+y=0{,}8\) und \(xy=0{,}12\). Daraus folgen die Werte \(0{,}6\) und \(0{,}2\). 4. Wähle zum Beispiel \(P(A)=0{,}6\) und \(P(B)=0{,}2\). Dann ist \(P(A\cap\bar B)=0{,}48\), \(P(\bar A\cap B)=0{,}08\) und \(P(\bar A\cap\bar B)=0{,}32\). 5. Eine dazu passende Vierfeldertafel ist: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar B\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}48\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar A\)</td><td>\(0{,}08\)</td><td>\(0{,}32\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> Die zweite mathematisch mögliche Lösung entsteht durch Vertauschen der Randwahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\).

Antwort

Eine mögliche Vierfeldertafel ist: <table> <tr><td></td><td>\(B\)</td><td>\(\bar B\)</td><td>Summe</td></tr> <tr><td>\(A\)</td><td>\(0{,}12\)</td><td>\(0{,}48\)</td><td>\(0{,}60\)</td></tr> <tr><td>\(\bar A\)</td><td>\(0{,}08\)</td><td>\(0{,}32\)</td><td>\(0{,}40\)</td></tr> <tr><td>Summe</td><td>\(0{,}20\)</td><td>\(0{,}80\)</td><td>\(1\)</td></tr> </table> Alternativ können die Randwahrscheinlichkeiten von \(A\) und \(B\) vertauscht sein.

42211311

In einer Medikamentenstudie gibt es eine Behandlungsgruppe (\(T\)) und eine Kontrollgruppe (\(\bar{T}\)). Der Heilungserfolg wird mit \(H\) bezeichnet. Die Vierfeldertafel enthält eine unbekannte Häufigkeit \(y\): <table><tr><th></th><th>\(H\)</th><th>\(\bar{H}\)</th></tr><tr><th>\(T\)</th><td>\(120\)</td><td>\(80\)</td></tr><tr><th>\(\bar{T}\)</th><td>\(45\)</td><td>\(y\)</td></tr></table> 1. Bestimme \(y\) so, dass der Heilungserfolg stochastisch unabhängig von der Gruppenzugehörigkeit ist. 2. Interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Was müsste sich an den Heilungsanteilen ändern – oder gerade nicht ändern –, wenn die Gruppenzugehörigkeit keine Rolle spielt? - Welche Größe in der Kontrollgruppe hängt von \(y\) ab? - Welche Aussage erlaubt eine rechnerische Unabhängigkeit, und welche weitergehende Aussage nicht?

Lösung

1. In der Behandlungsgruppe beträgt die Heilungsquote \(P_T(H)=\frac{120}{120+80}=0{,}6\). 2. Für Unabhängigkeit muss dieselbe Heilungswahrscheinlichkeit auch in der Kontrollgruppe gelten. Dort ist \(P_{\bar{T}}(H)=\frac{45}{45+y}\). 3. Die Gleichung \(\frac{45}{45+y}=0{,}6\) liefert \(45=27+0{,}6y\), also \(y=30\). 4. Dann beträgt die Heilungsquote in beiden Gruppen \(60\,\%\). Gruppenzugehörigkeit und Heilungserfolg sind in dieser Tabelle stochastisch unabhängig. 5. Diese Gleichheit beschreibt nur den statistischen Zusammenhang in der Tabelle. Allein daraus folgt noch keine allgemeine Aussage, dass die Behandlung eine Wirkung verursacht.

Antwort

1. \(y=30\) 2. Bei \(y=30\) beträgt die Heilungsquote in beiden Gruppen \(60\,\%\); Gruppenzugehörigkeit und Heilungserfolg sind in der Tabelle stochastisch unabhängig. Eine kausale Wirkung der Behandlung folgt daraus allein nicht.

42211411

Die absoluten Häufigkeiten zweier Merkmale \(E\) und \(F\) seien wie folgt angeordnet: <table> <tr><td></td><td>\(F\)</td><td>\(\bar F\)</td></tr> <tr><td>\(E\)</td><td>\(a\)</td><td>\(b\)</td></tr> <tr><td>\(\bar E\)</td><td>\(c\)</td><td>\(d\)</td></tr> </table> Leite zunächst aus der üblichen Unabhängigkeitsbedingung \(P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\) das Kriterium \(ad=bc\) her. Prüfe dann allgemein die Behauptung: „Wenn man alle Häufigkeiten in der ersten Datenzeile \(E\) mit demselben positiven ganzzahligen Faktor \(k\) multipliziert, bleibt die stochastische Unabhängigkeit erhalten, sofern sie vorher bestand.“

Denkanstöße

- Schreibe die drei Wahrscheinlichkeiten der üblichen Unabhängigkeitsbedingung zunächst mithilfe der vier absoluten Häufigkeiten und der Gesamthäufigkeit auf. - Vereinfache die entstehende Gleichung, bevor du die veränderte Tabelle betrachtest. - Welche beiden Innenfelder ändern sich durch die Multiplikation der ersten Zeile mit \(k\)? - Vergleiche das Kriterium der neuen Tabelle mit dem der ursprünglichen Tabelle.

Lösung

1. Setze \(n=a+b+c+d\). Dann gilt \(P(E\cap F)=\frac{a}{n}\), \(P(E)=\frac{a+b}{n}\) und \(P(F)=\frac{a+c}{n}\). 2. Die Unabhängigkeitsbedingung liefert \(\frac{a}{n}=\frac{a+b}{n}\cdot\frac{a+c}{n}\). Nach Multiplikation mit \(n^2\) folgt \(an=(a+b)(a+c)\). 3. Mit \(n=a+b+c+d\) wird daraus \(a(a+b+c+d)=a^2+ab+ac+bc\). Nach Kürzen der gemeinsamen Terme bleibt \(ad=bc\). 4. Nach Multiplikation der ersten Zeile mit \(k\) lauten die vier Innenfelder \(ka\), \(kb\), \(c\), \(d\). Für die neue Tabelle lautet das Kriterium daher \((ka)d=(kb)c\). 5. Diese Gleichung ist wegen \(k>0\) genau dann erfüllt, wenn \(ad=bc\) gilt. War die ursprüngliche Tabelle unabhängig, bleibt sie also unabhängig.

Antwort

Aus \(P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\) folgt für die angegebene Vierfeldertafel \(ad=bc\). Nach der Veränderung lautet das Kriterium \((ka)d=(kb)c\), also \(kad=kbc\). Wegen \(k>0\) ist dies äquivalent zu \(ad=bc\). Die Behauptung ist daher wahr.

42211911

Zwei Behälter enthalten farbige Chips. In Behälter \(A\) befinden sich \(5\) rote und \(15\) blaue Chips, in Behälter \(B\) \(10\) rote und \(30\) blaue Chips. Einer der Behälter wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt und daraus ein Chip gezogen. Es seien \(E_A\): „Behälter \(A\) wird gewählt“ und \(E_R\): „Ein roter Chip wird gezogen“. a) Weise rechnerisch nach, dass \(E_A\) und \(E_R\) stochastisch unabhängig sind. b) Insgesamt sollen \(15\) weitere rote Chips auf die beiden Behälter verteilt werden. Bestimme, wie viele davon in Behälter \(A\) und wie viele in Behälter \(B\) gelegt werden müssen, damit die Ereignisse unabhängig bleiben. c) Behälter \(A\) bleibt wie in b) verändert. In Behälter \(B\) werden stattdessen zu seiner ursprünglichen Zusammensetzung \(10\) blaue Chips hinzugefügt. Entscheide, ob \(E_A\) und \(E_R\) dann unabhängig sind.

Denkanstöße

- Vergleiche zunächst den Rotanteil in beiden Behältern. - Für b) kann eine Variable beschreiben, wie viele der zusätzlichen roten Chips in Behälter \(A\) landen. - Welche Gleichheit der beiden bedingten Rotwahrscheinlichkeiten muss für Unabhängigkeit erhalten bleiben? - Prüfe in c) die beiden Rotanteile nach den beschriebenen Änderungen erneut.

Lösung

1. Anfangs gilt \(P_{E_A}(E_R)=\frac{5}{20}=0{,}25\) und \(P_{\bar{E_A}}(E_R)=\frac{10}{40}=0{,}25\). Damit sind die Ereignisse unabhängig. 2. Sei \(x\) die Zahl der zusätzlichen roten Chips in Behälter \(A\); dann kommen \(15-x\) rote Chips in Behälter \(B\). Für Unabhängigkeit müssen die Rotanteile übereinstimmen: \(\frac{5+x}{20+x}=\frac{25-x}{55-x}\). 3. Es folgt \((5+x)(55-x)=(25-x)(20+x)\), also \(275+50x-x^2=500+5x-x^2\). Damit ist \(45x=225\) und \(x=5\). Also kommen \(5\) rote Chips in \(A\) und \(10\) in \(B\). 4. In c) enthält Behälter \(A\) danach \(10\) rote und \(15\) blaue Chips, also \(P_{E_A}(E_R)=\frac{10}{25}=0{,}4\). Behälter \(B\) enthält \(10\) rote und \(40\) blaue Chips, also \(P_{\bar{E_A}}(E_R)=\frac{10}{50}=0{,}2\). 5. Da sich die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden, sind die Ereignisse in c) abhängig.

Antwort

a) \(P_{E_A}(E_R)=P_{\bar{E_A}}(E_R)=0{,}25\); daher unabhängig. b) \(5\) rote Chips in Behälter \(A\) und \(10\) rote Chips in Behälter \(B\) c) Abhängig, weil \(P_{E_A}(E_R)=0{,}4\neq0{,}2=P_{\bar{E_A}}(E_R)\).

42212511

In Urne A befinden sich \(6\) rote und \(4\) blaue Kugeln. In Urne B liegen \(k\) rote und \(2k\) blaue Kugeln mit \(k\in\mathbb{N}^+\). Zuerst wird eine Kugel zufällig aus Urne A in Urne B gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne B gezogen und in Urne A gelegt. a) Bestimme in Abhängigkeit von \(k\) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Urne A danach wieder genau \(6\) rote Kugeln enthält. b) Für einen Wert von \(k\) beträgt diese Wahrscheinlichkeit genau \(\frac{19}{35}\). Bestimme \(k\). c) Es seien \(R_1\): „Die zuerst aus Urne A gezogene Kugel ist rot“ und \(G\): „Urne A hat nach beiden Übertragungen wieder ihre ursprüngliche Zusammensetzung“. Untersuche \(R_1\) und \(G\) auf stochastische Unabhängigkeit.

Denkanstöße

- Welche zwei Farbfolgen stellen die ursprüngliche Zusammensetzung von Urne A wieder her? - Beachte, wie sich die Zusammensetzung und Gesamtzahl in Urne B nach dem ersten Transfer ändern. - Für b) entsteht eine Gleichung in \(k\) aus der vorgegebenen Gesamtwahrscheinlichkeit. - Prüfe in c) die Produktbedingung für das Schnittereignis \(R_1\cap G\).

Lösung

1. Für den ersten Zug gilt \(P(R_1)=\frac{6}{10}=0{,}6\) und für Blau entsprechend \(0{,}4\). 2. Tritt \(R_1\) ein, enthält Urne B danach \(k+1\) rote unter \(3k+1\) Kugeln; daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Rückgabe \(P_{R_1}(R_2)=\frac{k+1}{3k+1}\). Nach einer blauen ersten Kugel ist die Wahrscheinlichkeit für eine blaue Rückgabe \(\frac{2k+1}{3k+1}\). 3. Die ursprüngliche Zusammensetzung wird genau durch „rot, dann rot“ oder „blau, dann blau“ wiederhergestellt. Daher ist \(P(G)=0{,}6\cdot\frac{k+1}{3k+1}+0{,}4\cdot\frac{2k+1}{3k+1}=\frac{7k+5}{15k+5}\). 4. Aus \(\frac{7k+5}{15k+5}=\frac{19}{35}\) folgt \(35(7k+5)=19(15k+5)\), also \(245k+175=285k+95\) und damit \(k=2\). 5. Für Unabhängigkeit müsste \(P(R_1\cap G)=P(R_1)\cdot P(G)\) gelten. Links ist \(P(R_1\cap G)=0{,}6\cdot\frac{k+1}{3k+1}\). 6. Gleichsetzen führt nach Kürzen des positiven gemeinsamen Nenners auf \(0{,}6(k+1)=0{,}6\cdot\frac{7k+5}{5}\), also auf \(k=0\). Dieser Wert ist nicht zulässig. Für jedes \(k\in\mathbb{N}^+\) sind die Ereignisse daher abhängig.

Antwort

a) \(P(G)=\frac{7k+5}{15k+5}\) b) \(k=2\) c) Für alle \(k\in\mathbb{N}^+\) sind \(R_1\) und \(G\) stochastisch abhängig.

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