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Korrelation und Kausalität unterscheiden

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42211111
In Modelldaten aus mehreren Gymnasien erzielen Schülerinnen und Schüler, die ein Musikinstrument spielen, im Durchschnitt bessere Mathematiknoten als andere. In einer Schulkonferenz wird deshalb gefordert: „Alle müssen verpflichtend ein Instrument lernen, damit die Mathematikleistungen steigen.“ Nimm zu dieser Forderung Stellung. Unterscheide Korrelation und Kausalität und nenne eine mögliche Drittvariable, die den beobachteten Zusammenhang erklären könnte.

Denkanstöße

- Welche Aussage machen die Modelldaten tatsächlich über das gemeinsame Auftreten der beiden Merkmale? - Welche zusätzliche Behauptung steckt in der vorgeschlagenen Maßnahme? - Suche nach einem dritten Faktor, der beide beobachteten Merkmale beeinflussen könnte.

Lösung

1. Die Modelldaten beschreiben eine Korrelation: Instrumentalspiel und bessere Mathematiknoten treten statistisch häufiger gemeinsam auf. 2. Daraus folgt nicht, dass das Instrumentalspiel die bessere Mathematikleistung verursacht. Die Forderung setzt eine Ursache-Wirkungs-Beziehung voraus, die durch die Beobachtung allein nicht belegt ist. 3. Eine mögliche Drittvariable ist beispielsweise ein bildungsnahes familiäres Umfeld. Es kann sowohl den Zugang zu Musikunterricht als auch schulische Unterstützung beeinflussen. 4. Die geforderte Maßnahme lässt sich daher mit diesen Daten allein nicht als wirksam begründen.

Antwort

Die Forderung verwechselt Korrelation mit Kausalität. Eine mögliche Drittvariable ist etwa ein bildungsnahes familiäres Umfeld, das sowohl Musizieren als auch schulische Leistung beeinflussen kann.
43758811
In Modelldaten trinken \(60\,\%\) einer Gruppe regelmäßig Kaffee (Ereignis \(K\)), \(30\,\%\) kommen häufig zu spät (Ereignis \(Z\)), und \(18\,\%\) erfüllen beide Merkmale. Prüfe die stochastische Unabhängigkeit von \(K\) und \(Z\) und erkläre, ob aus dem Ergebnis eine Aussage über Ursache und Wirkung folgt.

Denkanstöße

- Welche Produktgleichung kennzeichnet stochastische Unabhängigkeit? - Vergleiche den beobachteten Anteil mit dem Produkt der beiden Einzelanteile. - Trenne die rechnerische Beziehung der Merkmale von einer Ursache-Wirkungs-Aussage.

Lösung

1. Für Unabhängigkeit müsste \(P(K\cap Z)=P(K)\cdot P(Z)\) gelten. 2. Es ist \(P(K)\cdot P(Z)=0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18=P(K\cap Z)\). Damit sind \(K\) und \(Z\) in diesem Modell stochastisch unabhängig. 3. Stochastische Unabhängigkeit beschreibt eine statistische Beziehung in den Modelldaten. Daraus folgt keine Ursache-Wirkungs-Aussage.

Antwort

\(K\) und \(Z\) sind in den Modelldaten stochastisch unabhängig, weil \(P(K\cap Z)=0{,}18=P(K)\cdot P(Z)\). Daraus folgt keine Kausalaussage.
55350811
Eine Schule möchte prüfen, ob ein zusätzliches Online-Training die Ergebnisse in einem Vokabeltest verbessert. Zwei Untersuchungspläne stehen zur Wahl: Plan A: Die Jugendlichen entscheiden selbst, ob sie das Online-Training nutzen. Danach werden die Testergebnisse der Nutzenden und Nichtnutzenden verglichen. Plan B: Die teilnehmenden Jugendlichen werden zufällig auf zwei Gruppen verteilt. Nur eine Gruppe erhält das Online-Training; anschließend schreiben beide Gruppen denselben Test unter denselben Bedingungen. Welcher Plan liefert die bessere Grundlage für die Aussage „Das Online-Training verursacht bessere Testergebnisse“? Begründe deine Entscheidung.

Denkanstöße

- Wodurch unterscheiden sich die Gruppen bereits vor Beginn der beiden Untersuchungen? - Überlege, ob Motivation oder Vorkenntnisse gleichzeitig die Gruppenzugehörigkeit und das Testergebnis beeinflussen könnten. - Welche Rolle spielt die zufällige Zuteilung für eine kausale Schlussfolgerung?

Lösung

1. Plan B liefert die bessere Grundlage für eine kausale Aussage. 2. Durch die zufällige Zuteilung wird verhindert, dass sich die Gruppen systematisch schon vor dem Training unterscheiden, etwa in Motivation oder Vorkenntnissen. 3. Bei Plan A können solche Unterschiede sowohl die Entscheidung für das Training als auch das Testergebnis beeinflussen. Ein beobachteter Unterschied wäre daher nicht eindeutig dem Training zuzuordnen.

Antwort

Plan B. Die zufällige Zuteilung reduziert systematische Unterschiede zwischen den Gruppen; dadurch lässt sich ein späterer Unterschied eher auf das Online-Training zurückführen. Plan A ist nur eine Beobachtungsstudie mit möglichen Störfaktoren.
55350911
In Modelldaten zu Jugendlichen tritt starke Tagesmüdigkeit bei Personen mit sehr später Smartphone-Nutzung häufiger auf als bei Personen ohne sehr späte Nutzung. Eine Person behauptet: „Die späte Smartphone-Nutzung verursacht die Müdigkeit.“ Eine andere entgegnet: „Vielleicht nutzen müde Jugendliche ihr Smartphone gerade deshalb länger, weil sie nicht einschlafen können.“ Erkläre, warum die beobachtete statistische Beziehung allein nicht zwischen diesen beiden Erklärungsrichtungen entscheidet. Nenne außerdem einen möglichen dritten Einflussfaktor.

Denkanstöße

- Welche zwei unterschiedlichen Pfeilrichtungen zwischen den beobachteten Merkmalen sind denkbar? - Prüfe, ob dieselbe Beobachtung zu beiden Erklärungen passen kann. - Gibt es eine weitere Größe, die sowohl Schlaf als auch Smartphone-Nutzung beeinflussen könnte?

Lösung

1. Die Modelldaten zeigen eine statistische Beziehung zwischen später Smartphone-Nutzung und Tagesmüdigkeit. 2. Aus dieser Beziehung allein folgt nicht, welche Richtung eine mögliche Ursache-Wirkungs-Beziehung hat: Späte Nutzung könnte Müdigkeit begünstigen, oder Schlafprobleme könnten sowohl Müdigkeit als auch längere nächtliche Nutzung verursachen beziehungsweise die Nutzung verlängern. 3. Zusätzlich kann ein dritter Faktor beide Merkmale beeinflussen, zum Beispiel hoher schulischer Stress.

Antwort

Die statistische Beziehung legt die Kausalrichtung nicht fest. Sowohl „späte Nutzung → Müdigkeit“ als auch eine umgekehrte beziehungsweise gemeinsame Ursache sind mit den Daten vereinbar. Ein möglicher dritter Faktor ist zum Beispiel schulischer Stress.
42210111
In einem Modell für \(500\) Familien wird betrachtet, ob die Eltern regelmäßig Sport treiben (\(E\)) und ob ihre Kinder regelmäßig Sport treiben (\(K\)). <table><tr><th></th><th>\(K\)</th><th>\(\bar{K}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(E\)</th><td>\(120\)</td><td>\(80\)</td><td>\(200\)</td></tr><tr><th>\(\bar{E}\)</th><td>\(60\)</td><td>\(240\)</td><td>\(300\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(180\)</td><td>\(320\)</td><td>\(500\)</td></tr></table> a) Untersuche mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten, ob \(E\) und \(K\) stochastisch unabhängig sind. b) Erläutere, warum eine gefundene statistische Abhängigkeit nicht beweist, dass das Sportverhalten der Eltern die alleinige Ursache für das Sportverhalten der Kinder ist. Nenne mindestens eine plausible Drittvariable.

Denkanstöße

- Vergleiche den Kinder-Sportanteil innerhalb der beiden Elterngruppen. - Was würde Unabhängigkeit über diese beiden Anteile aussagen? - Überlege für b), welche gemeinsamen Rahmenbedingungen Eltern und Kinder zugleich beeinflussen könnten.

Lösung

1. Innerhalb der Familien mit regelmäßig sporttreibenden Eltern gilt \(P_E(K)=\frac{120}{200}=0{,}6\). 2. Ohne regelmäßig sporttreibende Eltern gilt \(P_{\bar{E}}(K)=\frac{60}{300}=0{,}2\). 3. Da sich die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten unterscheiden, sind \(E\) und \(K\) in den Modelldaten stochastisch abhängig. 4. Diese Abhängigkeit zeigt nur einen statistischen Zusammenhang. Ein direkter Einfluss der Eltern ist möglich, aber auch gemeinsame Faktoren können beide Merkmale beeinflussen, etwa Zugang zu Sportangeboten, Freizeitmöglichkeiten oder familiäre Gesundheitsgewohnheiten.

Antwort

a) Abhängig, weil \(P_E(K)=0{,}6\neq0{,}2=P_{\bar{E}}(K)\). b) Die Abhängigkeit beweist keine Kausalität. Eine plausible Drittvariable ist zum Beispiel der gemeinsame Zugang zu Sportangeboten oder ein gesundheitsorientiertes familiäres Umfeld.
42210211
In einem Modell wird der Zusammenhang zwischen der Nutzung einer Vokabel-App (\(A\)) und dem Bestehen einer Sprachprüfung (\(B\)) betrachtet: <table><tr><th></th><th>\(B\)</th><th>\(\bar{B}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(A\)</th><td>\(240\)</td><td>\(80\)</td><td>\(320\)</td></tr><tr><th>\(\bar{A}\)</th><td>\(120\)</td><td>\(360\)</td><td>\(480\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(360\)</td><td>\(440\)</td><td>\(800\)</td></tr></table> a) Prüfe mit der Produktbedingung, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind. b) Beurteile die Aussage „Die App führt dazu, dass man die Prüfung besteht.“ Unterscheide Korrelation und Kausalität und nenne eine plausible Drittvariable.

Denkanstöße

- Bestimme aus der Tabelle die beiden Randwahrscheinlichkeiten und die Schnittwahrscheinlichkeit. - Welche Produktgleichung müsste bei Unabhängigkeit gelten? - Suche für b) nach einer Eigenschaft, die sowohl App-Nutzung als auch Prüfungserfolg beeinflussen könnte.

Lösung

1. Es gilt \(P(A)=\frac{320}{800}=0{,}4\), \(P(B)=\frac{360}{800}=0{,}45\) und \(P(A\cap B)=\frac{240}{800}=0{,}3\). 2. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}4\cdot0{,}45=0{,}18\) und damit nicht gleich \(0{,}3\). Die Merkmale sind abhängig. 3. Die Daten zeigen somit eine positive statistische Beziehung, beweisen aber nicht, dass die App selbst die höhere Bestehensquote verursacht. 4. Beispielsweise könnte Lernmotivation beide Merkmale beeinflussen: Stark motivierte Personen nutzen möglicherweise häufiger die App und bereiten sich zugleich intensiver auf die Prüfung vor.

Antwort

a) Stochastisch abhängig, weil \(P(A\cap B)=0{,}3\neq0{,}18=P(A)\cdot P(B)\). b) Die Aussage ist durch die Modelldaten nicht bewiesen. Es liegt Korrelation vor; eine plausible Drittvariable ist etwa die Lernmotivation.
42210911
In einem Modell für \(200\) Jugendliche wird der Zusammenhang zwischen regelmäßigem Frühstück (\(F\)) und hoher Konzentration in der ersten Unterrichtsstunde (\(K\)) betrachtet: <table><tr><th></th><th>\(K\)</th><th>\(\bar{K}\)</th><th>Gesamt</th></tr><tr><th>\(F\)</th><td>\(72\)</td><td>\(48\)</td><td>\(120\)</td></tr><tr><th>\(\bar{F}\)</th><td>\(18\)</td><td>\(62\)</td><td>\(80\)</td></tr><tr><th>Gesamt</th><td>\(90\)</td><td>\(110\)</td><td>\(200\)</td></tr></table> a) Weise rechnerisch nach, dass \(F\) und \(K\) stochastisch abhängig sind. b) Berechne \(P(F\cap K)\) und \(P_F(K)\). Beschreibe den statistischen Zusammenhang und nenne eine plausible Drittvariable. Stelle klar, was die Daten über Kausalität nicht zeigen.

Denkanstöße

- Berechne zuerst Rand- und Schnittwahrscheinlichkeit aus der Tabelle. - Unterscheide die gemeinsame Wahrscheinlichkeit \(P(F\cap K)\) von der Wahrscheinlichkeit innerhalb der Frühstücksgruppe. - Überlege, welche weiteren Gewohnheiten sowohl Frühstück als auch Konzentration beeinflussen könnten.

Lösung

1. Es gilt \(P(F)=\frac{120}{200}=0{,}6\), \(P(K)=\frac{90}{200}=0{,}45\) und \(P(F\cap K)=\frac{72}{200}=0{,}36\). 2. Das Produkt \(P(F)\cdot P(K)=0{,}6\cdot0{,}45=0{,}27\) ist nicht gleich \(0{,}36\). Daher sind \(F\) und \(K\) abhängig. 3. Weiter gilt \(P_F(K)=\frac{72}{120}=0{,}6\). Die Konzentrationsquote ist damit in der Frühstücksgruppe höher als insgesamt. 4. Die Modelldaten zeigen einen statistischen Zusammenhang, aber keine Ursache-Wirkungs-Beziehung. Als Drittvariable kommen etwa Schlafdauer, allgemeine Gesundheitsgewohnheiten oder familiäre Tagesstrukturen infrage.

Antwort

a) Abhängig, weil \(P(F\cap K)=0{,}36\neq0{,}27=P(F)\cdot P(K)\). b) \(P(F\cap K)=0{,}36\); \(P_F(K)=0{,}6\). Es besteht ein positiver statistischer Zusammenhang. Eine plausible Drittvariable ist zum Beispiel die Schlafdauer; Kausalität ist nicht nachgewiesen.
42213511
In Modelldaten zum Thema „Gesundheit und Bewegung“ treiben \(40\,\%\) der Befragten regelmäßig Sport (Ereignis \(S\)). Insgesamt sind \(55\,\%\) mit ihrer körperlichen Fitness zufrieden (Ereignis \(F\)). \(35\,\%\) der Befragten treiben regelmäßig Sport und sind mit ihrer Fitness zufrieden. Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten \(P(F)\) und \(P_S(F)\). b) Prüfe die Ereignisse \(S\) und \(F\) auf stochastische Unabhängigkeit. c) Interpretiere den Zusammenhang zwischen \(S\) und \(F\) im Hinblick auf eine mögliche Kausalität.

Denkanstöße

- Unterscheide die Wahrscheinlichkeit in der gesamten Gruppe von der Wahrscheinlichkeit innerhalb der Sportgruppe. - Welche Gleichheit zwischen einer bedingten Wahrscheinlichkeit und einer Randwahrscheinlichkeit gilt bei Unabhängigkeit? - Welche alternativen Erklärungen sind möglich, wenn zwei Merkmale gemeinsam auftreten?

Lösung

1. Gegeben sind \(P(S)=0{,}40\), \(P(F)=0{,}55\) und \(P(S\cap F)=0{,}35\). 2. Es gilt \(P_S(F)=\frac{P(S\cap F)}{P(S)}=\frac{0{,}35}{0{,}40}=0{,}875\). 3. Bei Unabhängigkeit müsste \(P_S(F)=P(F)\) gelten. Da \(0{,}875\neq0{,}55\), sind \(S\) und \(F\) stochastisch abhängig. Gleichwertig ist \(P(S)\cdot P(F)=0{,}22\neq0{,}35=P(S\cap F)\). 4. Die Modelldaten zeigen einen positiven statistischen Zusammenhang, beweisen aber keine Ursache-Wirkungs-Beziehung. Eine umgekehrte Wirkungsrichtung oder Drittvariablen wie ein allgemeines Gesundheitsbewusstsein sind ebenfalls möglich.

Antwort

a) \(P(F)=0{,}55\); \(P_S(F)=0{,}875\) b) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P_S(F)\neq P(F)\). c) Es besteht ein positiver statistischer Zusammenhang. Eine kausale Wirkung des Sporttreibens wird durch die Modelldaten allein nicht belegt; auch eine umgekehrte Wirkungsrichtung oder Drittvariablen kommen infrage.
42213611
In einem Modell für eine Online-Lernplattform haben \(60\,\%\) der Lernenden die optionalen Übungsmaterialien vollständig bearbeitet (Ereignis \(M\)). \(10\,\%\) aller Lernenden haben die Materialien nicht vollständig bearbeitet und die Abschlussprüfung dennoch bestanden (Ereignis \(B\)). Insgesamt haben \(65\,\%\) die Prüfung bestanden. Eine Person wird zufällig ausgewählt. a) Berechne \(P_M(B)\). b) Untersuche, ob das Bestehen der Prüfung stochastisch unabhängig von der Bearbeitung der Materialien ist. c) Erläutere, warum man aus dem Ergebnis nicht zwingend schließen kann, dass die Materialien die alleinige Ursache für das Bestehen sind.

Denkanstöße

- Welche beiden disjunkten Teile ergeben zusammen das Ereignis \(B\)? - Für \(P_M(B)\) ist die Gruppe mit vollständig bearbeiteten Materialien die Bezugsgruppe. - Welche Bedingung müsste für stochastische Unabhängigkeit erfüllt sein? - Suche für die Kausalitätsfrage nach einem Merkmal, das sowohl Materialnutzung als auch Prüfungserfolg beeinflussen könnte.

Lösung

1. Gegeben sind \(P(M)=0{,}60\), \(P(\bar M\cap B)=0{,}10\) und \(P(B)=0{,}65\). 2. Daher ist \(P(M\cap B)=P(B)-P(\bar M\cap B)=0{,}65-0{,}10=0{,}55\). 3. Es folgt \(P_M(B)=\frac{P(M\cap B)}{P(M)}=\frac{0{,}55}{0{,}60}=\frac{11}{12}\). 4. Bei Unabhängigkeit müsste \(P(M\cap B)=P(M)\cdot P(B)\) gelten. Das Produkt ist \(0{,}60\cdot0{,}65=0{,}39\) und damit nicht gleich \(0{,}55\). Die Ereignisse sind stochastisch abhängig. 5. Außerdem gilt \(P_{\bar M}(B)=\frac{0{,}10}{0{,}40}=0{,}25\). Der Unterschied der Erfolgsquoten zeigt einen statistischen Zusammenhang, aber keine eindeutige Ursache. Zum Beispiel könnte Lernmotivation sowohl die Nutzung der Materialien als auch den Prüfungserfolg beeinflussen.

Antwort

a) \(P_M(B)=\frac{11}{12}\) b) Die Ereignisse sind stochastisch abhängig, da \(P(M\cap B)=0{,}55\neq0{,}39=P(M)\cdot P(B)\). c) Die Modelldaten belegen keine alleinige kausale Wirkung der Materialien; eine Drittvariable wie Lernmotivation kann beide Merkmale beeinflussen.
43758311
Das Baumdiagramm zeigt ein Modell für die freiwillige Teilnahme an einer Onlineumfrage zu einem Vorschlag. Bestimme den Anteil der Unterstützenden unter den Teilnehmenden und erkläre, warum dieser Anteil die Zusammensetzung der Bevölkerung verzerrt wiedergibt.
Abbildung zur Aufgabe 437583

Denkanstöße

- Lies aus dem Baum für jede Meinungsgruppe den Pfad zur Teilnahme ab. - Welche beiden Pfade ergeben zusammen alle Teilnehmenden? - Vergleiche anschließend den Unterstützeranteil unter den Teilnehmenden mit dem Anteil an der Wurzel des Baums.

Lösung

1. Der Anteil „unterstützt und nimmt teil“ beträgt \(0{,}4\cdot0{,}8=0{,}32\). 2. Der Anteil „unterstützt nicht und nimmt teil“ beträgt \(0{,}6\cdot0{,}3=0{,}18\). 3. Insgesamt nehmen somit \(0{,}32+0{,}18=0{,}50\) der Bevölkerung teil. 4. Unter den Teilnehmenden beträgt der Unterstützeranteil \(0{,}32:0{,}50=0{,}64\), also \(64\,\%\). 5. Die beiden Meinungsgruppen haben unterschiedliche Teilnahmequoten. Dadurch ist ihre Zusammensetzung unter den Teilnehmenden anders als in der Bevölkerung.

Antwort

Unter den Teilnehmenden unterstützen \(64\,\%\) den Vorschlag. Die freiwillige Teilnahme verzerrt die Zusammensetzung, weil die beiden Meinungsgruppen mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten teilnehmen.
43759011
Das Baumdiagramm zeigt Modelldaten zur Nutzung einer Lernplattform und zum Bestehen einer Prüfung. Dabei bezeichnet \(I\) das Ereignis „intensive Nutzung“ und \(B\) das Ereignis „Prüfung bestanden“. Für eine zufällig ausgewählte Person ist bekannt, dass sie die Prüfung bestanden hat. Bestimme \(P_B(I)\). Gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an.
Abbildung zur Aufgabe 437590

Denkanstöße

- Welche beiden Pfade im Baum enden beim Ereignis „bestanden“? - Für die umgekehrte Bedingung ist die gesamte Gruppe der Personen mit bestandener Prüfung die Bezugsgruppe. - Welche gemeinsame Pfadwahrscheinlichkeit gehört zugleich zu intensiver Nutzung und bestandener Prüfung?

Lösung

1. Der Pfad „intensive Nutzung und bestanden“ hat die Wahrscheinlichkeit \(P(I\cap B)=0{,}4\cdot0{,}85=0{,}34\). 2. Der zweite Pfad zum Ereignis \(B\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6\cdot0{,}55=0{,}33\). Somit ist \(P(B)=0{,}34+0{,}33=0{,}67\). 3. Beim Umkehren der Bedingung bleibt \(P(I\cap B)=0{,}34\) der gemeinsame Pfadanteil. Daher gilt \(P_B(I)=\frac{0{,}34}{0{,}67}=\frac{34}{67}\approx0{,}5075\). 4. Als Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(50{,}7\,\%\).

Antwort

\(P_B(I)=\frac{34}{67}\approx50{,}7\,\%\)
55351011
Eine Schülervertretung möchte den Anteil der Schülerinnen und Schüler schätzen, die einen späteren Unterrichtsbeginn befürworten. Befragung A: In einer freiwilligen Online-Umfrage antworten \(15\) Personen aus den Jahrgangsstufen 11 und 12; \(12\) davon stimmen zu. Befragung B: Aus allen Jahrgangsstufen werden insgesamt \(240\) Personen zufällig so ausgewählt, dass die Jahrgangsstufen entsprechend ihrer Größe vertreten sind; \(144\) davon stimmen zu. a) Bestimme für beide Befragungen den Zustimmungsanteil. b) Die Schülervertretung möchte mit dem größeren der beiden Prozentwerte werben. Erkläre, warum das methodisch nicht überzeugend ist. c) Welche Befragung liefert die bessere Grundlage für eine Aussage über die gesamte Schule? Begründe mit Stichprobengröße und Zusammensetzung.

Denkanstöße

- Trenne zunächst die reine Prozentrechnung von der Frage, wie die Stichprobe zustande kam. - Vergleiche nicht nur die Anzahl der Befragten, sondern auch, welche Teile der Schule überhaupt vertreten sind. - Ein hoher Prozentwert sagt für sich allein nichts darüber aus, wie gut die Stichprobe die Grundgesamtheit abbildet.

Lösung

1. In Befragung A beträgt der Zustimmungsanteil \(\frac{12}{15}=0{,}80=80\,\%\). 2. In Befragung B beträgt er \(\frac{144}{240}=0{,}60=60\,\%\). 3. Der größere Prozentwert aus A ist nicht automatisch die bessere Schätzung: Die Stichprobe ist sehr klein, freiwillig und enthält nur zwei Jahrgangsstufen. 4. Befragung B ist für die gesamte Schule aussagekräftiger, weil sie deutlich größer ist und die Jahrgangsstufen durch die zufällige, größenangepasste Auswahl breiter abbildet.

Antwort

a) Befragung A: \(80\,\%\); Befragung B: \(60\,\%\). b) Der größere Wert aus A stammt aus einer sehr kleinen, freiwilligen und einseitig zusammengesetzten Stichprobe. c) Befragung B ist die bessere Grundlage, weil die Stichprobe größer und die Zusammensetzung für die gesamte Schule geeigneter ist.
55351111
Eine Schule möchte die Akzeptanz einer neuen Lern-App untersuchen. Dafür wird in einem Kanal, den vor allem regelmäßige Nutzerinnen und Nutzer der App lesen, folgende freiwillige Frage veröffentlicht: „Findest du nicht auch, dass unsere praktische neue Lern-App den Schulalltag deutlich verbessert?“ \(78\,\%\) der Antwortenden wählen „Ja“. a) Nenne zwei verschiedene methodische Gründe, warum aus den \(78\,\%\) nicht geschlossen werden kann, dass ungefähr \(78\,\%\) aller Schülerinnen und Schüler die App positiv bewerten. b) Formuliere eine neutralere Frage und beschreibe eine geeignetere Auswahl der Befragten.

Denkanstöße

- Untersuche getrennt die Formulierung der Frage und den Weg, über den Personen zur Befragung gelangen. - Welche Wörter in der Frage könnten eine gewünschte Antwort nahelegen? - Welche Schülerinnen und Schüler haben überhaupt eine realistische Chance, die Frage zu sehen und zu beantworten?

Lösung

1. Die Frage ist suggestiv formuliert: Wörter wie „praktische“ und „deutlich verbessert“ lenken in Richtung einer positiven Antwort. 2. Außerdem erreicht die freiwillige Befragung vor allem Personen, die den App-Kanal lesen. Diese Gruppe ist nicht automatisch repräsentativ für alle Schülerinnen und Schüler; zusätzlich kann freiwillige Teilnahme die Zusammensetzung weiter verzerren. 3. Eine neutralere Frage wäre zum Beispiel: „Wie bewertest du die Lern-App insgesamt?“ mit ausgewogenen Antwortmöglichkeiten von sehr negativ bis sehr positiv. 4. Für die Auswahl sollte eine zufällige Stichprobe aus der gesamten Schülerschaft verwendet werden, gegebenenfalls mit angemessener Vertretung der Jahrgangsstufen.

Antwort

a) Die Frage ist suggestiv, und die Befragten stammen aus einer einseitig erreichten freiwilligen Gruppe von App-Kanal-Lesenden. b) Zum Beispiel: „Wie bewertest du die Lern-App insgesamt?“ mit ausgewogenen Antwortmöglichkeiten; befragt werden sollte eine zufällige Stichprobe aus der gesamten Schülerschaft.
42213011
Für eine Modellrechnung werden zwei IT-Support-Zentren \(\alpha\) und \(\beta\) verglichen. Eine Anfrage betrifft entweder Hardware (\(H\)) oder Software (\(S\)) und gilt als gelöst (\(L\)), wenn das Problem behoben wurde. Die vorgegebenen Daten sind: <table> <tr><td>Zentrum</td><td>Typ</td><td>Anfragen gesamt</td><td>Anfragen gelöst</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>\(200\)</td><td>\(40\)</td></tr> <tr><td>\(\alpha\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>\(800\)</td><td>\(720\)</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Hardware (\(H\))</td><td>\(800\)</td><td>\(200\)</td></tr> <tr><td>\(\beta\)</td><td>Software (\(S\))</td><td>\(200\)</td><td>\(190\)</td></tr> </table> a) Berechne für jedes Zentrum die Lösungsquote unter den Hardware-Anfragen und unter den Software-Anfragen. b) Insgesamt wurden in Zentrum \(\alpha\) angeblich \(76\,\%\) und in Zentrum \(\beta\) nur \(39\,\%\) der Anfragen gelöst. Überprüfe diese beiden Angaben. c) Jemand folgert aus den Gesamtraten: „Zentrum \(\alpha\) arbeitet eindeutig besser.“ Beurteile diese Aussage anhand der Teilgruppen und erkläre, wie die Zusammensetzung der Anfragen den Vergleich verzerrt.

Denkanstöße

- Vergleiche die Zentren zunächst innerhalb derselben Art von Anfrage, bevor du Gesamtraten vergleichst. - Welche Anfrageart hat in beiden Zentren die niedrigere Lösungsquote? - Prüfe, wie stark diese schwierigere Anfrageart in den beiden Zentren vertreten ist.

Lösung

1. In Zentrum \(\alpha\) beträgt die Lösungsquote unter den Hardware-Anfragen \(\frac{40}{200}=0{,}20=20\,\%\) und unter den Software-Anfragen \(\frac{720}{800}=0{,}90=90\,\%\). 2. In Zentrum \(\beta\) beträgt die Lösungsquote unter den Hardware-Anfragen \(\frac{200}{800}=0{,}25=25\,\%\) und unter den Software-Anfragen \(\frac{190}{200}=0{,}95=95\,\%\). 3. Für Zentrum \(\alpha\) ergibt sich insgesamt \(\frac{40+720}{200+800}=\frac{760}{1000}=76\,\%\). Für Zentrum \(\beta\) ergibt sich \(\frac{200+190}{800+200}=\frac{390}{1000}=39\,\%\). 4. In beiden Teilgruppen hat Zentrum \(\beta\) die höhere Lösungsquote. Die schlechtere Gesamtrate entsteht, weil \(\beta\) überwiegend Hardware-Anfragen bearbeitet und diese in beiden Zentren deutlich seltener gelöst werden als Software-Anfragen. Die Gesamtrate allein ist daher für den Leistungsvergleich irreführend.

Antwort

a) \(\alpha\): Hardware \(20\,\%\), Software \(90\,\%\); \(\beta\): Hardware \(25\,\%\), Software \(95\,\%\). b) \(\alpha: 76\,\%\); \(\beta: 39\,\%\). c) Die Aussage ist durch die Gesamtraten nicht gerechtfertigt: \(\beta\) hat in beiden Fachgebieten die höhere Lösungsquote. Die unterschiedlichen Anteile von Hardware- und Software-Anfragen erzeugen die umgekehrte Gesamtreihenfolge.
43758911
Das Baumdiagramm zeigt Modelldaten zu Freibadbesuchen. Dabei bezeichnet \(E\) das Ereignis „Eine Person kauft Eis“ und \(B\) das Ereignis „Eine Person bekommt Sonnenbrand“. Innerhalb jeder Wetterlage wird im Modell stochastische Unabhängigkeit von \(E\) und \(B\) angenommen. Bestimme \(P_E(B)\) und gib den Prozentwert auf eine Dezimalstelle gerundet an. Erkläre außerdem, warum ein beobachteter Zusammenhang zwischen Eiskauf und Sonnenbrand nicht belegt, dass der Eiskauf den Sonnenbrand verursacht.
Abbildung zur Aufgabe 437589

Denkanstöße

- Lies im Baum alle Pfade ab, auf denen zugleich Eiskauf und Sonnenbrand auftreten. - Welche Pfade ergeben zusammen alle Eiskäufe? - Welche Variable steht im Baum vor Eiskauf und Sonnenbrand und kann dadurch beide Wahrscheinlichkeiten beeinflussen?

Lösung

1. Für „Eiskauf und Sonnenbrand“ führen zwei Wetterpfade zum Ereignis \(E\cap B\). Daher gilt \(P(E\cap B)=0{,}6\cdot0{,}8\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}2\cdot0{,}05=0{,}244\). 2. Für einen Eiskauf gilt \(P(E)=0{,}6\cdot0{,}8+0{,}4\cdot0{,}2=0{,}56\). 3. Somit ist \(P_E(B)=\frac{P(E\cap B)}{P(E)}=0{,}244:0{,}56\approx0{,}4357\), also etwa \(43{,}6\,\%\). 4. Die Wetterlage beeinflusst im Modell sowohl die Wahrscheinlichkeit eines Eiskaufs als auch die eines Sonnenbrands. Sie kann deshalb den beobachteten Zusammenhang erklären, obwohl Eiskauf und Sonnenbrand innerhalb jeder Wetterlage unabhängig sind.

Antwort

\(P_E(B)\approx43{,}6\,\%\). Die Wetterlage ist eine gemeinsame Einflussgröße; der Zusammenhang belegt daher keine Verursachung des Sonnenbrands durch den Eiskauf.
55351211
Für eine Modellstudie zu einem freiwilligen Prüfungsvorbereitungskurs werden Lernende nach ihrer bisherigen Leistung in zwei Gruppen eingeteilt. Die Tabelle zeigt, wie viele den Kurs besuchen (\(K\)) und wie viele die anschließende Prüfung bestehen (\(B\)). <table> <tr><th>Ausgangsgruppe</th><th>Kursstatus</th><th>Personen</th><th>davon bestanden</th></tr> <tr><td>hohe bisherige Leistung</td><td>\(K\)</td><td>\(20\)</td><td>\(18\)</td></tr> <tr><td>hohe bisherige Leistung</td><td>\(\bar K\)</td><td>\(80\)</td><td>\(64\)</td></tr> <tr><td>niedrige bisherige Leistung</td><td>\(K\)</td><td>\(40\)</td><td>\(24\)</td></tr> <tr><td>niedrige bisherige Leistung</td><td>\(\bar K\)</td><td>\(40\)</td><td>\(18\)</td></tr> </table> a) Bestimme innerhalb jeder Ausgangsgruppe die Bestehensquote mit und ohne Kurs. b) Bestimme die Bestehensquote insgesamt für die Kursteilnehmenden und für die Nichtteilnehmenden. Runde nur den nicht abbrechenden Prozentwert auf eine Dezimalstelle. c) Beurteile die Aussage „Der Kurs verursacht die höhere Bestehenswahrscheinlichkeit.“ Gehe dabei sowohl auf die Teilgruppen als auch auf die freiwillige Kursteilnahme ein. d) Beschreibe ein Untersuchungsdesign, das eine kausale Wirkung des Kurses deutlich besser prüfen könnte, ohne die beiden Ausgangsleistungsgruppen zu ignorieren.

Denkanstöße

- Vergleiche zunächst nur Personen aus derselben Ausgangsleistungsgruppe. - Achte beim Gesamtvergleich darauf, wie viele Personen aus den beiden Leistungsgruppen jeweils am Kurs teilnehmen. - Welche unbeobachteten Unterschiede könnten bei freiwilliger Teilnahme zugleich Kursbesuch und Prüfungserfolg beeinflussen? - Wie kann eine zufällige Zuteilung innerhalb vergleichbarer Ausgangsgruppen solche systematischen Unterschiede verringern?

Lösung

1. In der Gruppe mit hoher bisheriger Leistung bestehen mit Kurs \(\frac{18}{20}=90\,\%\), ohne Kurs \(\frac{64}{80}=80\,\%\). 2. In der Gruppe mit niedriger bisheriger Leistung bestehen mit Kurs \(\frac{24}{40}=60\,\%\), ohne Kurs \(\frac{18}{40}=45\,\%\). 3. Insgesamt bestehen mit Kurs \(18+24=42\) von \(60\) Personen, also \(70\,\%\). Ohne Kurs bestehen \(64+18=82\) von \(120\) Personen, also \(\frac{82}{120}=\frac{41}{60}\approx68{,}3\,\%\). 4. In beiden Ausgangsgruppen ist die Bestehensquote der Kursteilnehmenden höher. Trotzdem beweisen die Modelldaten keine Verursachung, weil die Teilnahme freiwillig ist. Teilnehmende können sich auch in Motivation, Lernzeit oder anderen Merkmalen von Nichtteilnehmenden unterscheiden. 5. Ein stärkeres Design teilt Lernende innerhalb jeder Ausgangsleistungsgruppe zufällig einer Kurs- und einer Vergleichsgruppe zu. Anschließend werden die Bestehensquoten innerhalb der beiden Leistungsgruppen und gegebenenfalls zusammengefasst verglichen. Die Randomisierung verringert systematische Unterschiede zwischen Teilnahme- und Nichtteilnahmegruppe.

Antwort

a) Hohe bisherige Leistung: mit Kurs \(90\,\%\), ohne Kurs \(80\,\%\). Niedrige bisherige Leistung: mit Kurs \(60\,\%\), ohne Kurs \(45\,\%\). b) Mit Kurs \(70\,\%\); ohne Kurs \(\frac{41}{60}\approx68{,}3\,\%\). c) Die Daten zeigen in beiden Ausgangsgruppen einen positiven Zusammenhang, beweisen wegen der freiwilligen Teilnahme aber keine kausale Wirkung. d) Geeignet ist eine zufällige Zuteilung zu Kurs und Vergleichsgruppe innerhalb jeder Ausgangsleistungsgruppe mit anschließendem Vergleich der Bestehensquoten.

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