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- Welche Bedingung gilt für das Argument eines reellen Logarithmus? - Übersetze diese Bedingung in eine Ungleichung für \(x\).

1. Das Argument eines reellen Logarithmus muss positiv sein. 2. Daher muss \(x+3>0\) gelten, also \(x>-3\). 3. Somit ist \(D_f=]-3;\infty[\).

\(D_f=]-3;\infty[\)

- Achte auf die Nullstellen des dargestellten Ableitungsgraphen. - Entscheidend ist nicht nur, dass \(f'=0\) gilt, sondern wie sich das Vorzeichen von \(f'\) dort ändert.

1. Der Graph von \(f'\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-1\) und \(x=2\). 2. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Maximum. 3. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum.

Lokales Maximum bei \(x=-1\); lokales Minimum bei \(x=2\).

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du jedes \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Erinnerst du dich an die Symmetrieeigenschaften der Kosinusfunktion? - Überlege, wie sich das Vorzeichen bei Potenzen mit ungeradem Exponenten verhält. - Vergleiche dein Ergebnis für \(f(-x)\) bzw. \(g(-x)\) direkt mit dem ursprünglichen Funktionsterm.

1. Untersuchung von \(f\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(f(-x) = \frac{e^{-x} + e^x}{2}\). Da die Addition kommutativ ist, gilt \(f(-x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = f(x)\). Somit ist der Graph von \(f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Untersuchung von \(g\): Einsetzen von \(-x\) ergibt \(g(-x) = (-x)^3 \cdot \cos(-x)\). Da \((-x)^3 = -x^3\) und \(\cos(-x) = \cos(x)\) (Achsensymmetrie des Kosinus), folgt \(g(-x) = -x^3 \cdot \cos(x) = -g(x)\). Somit ist der Graph von \(g\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

a) Der Graph der Funktion \(f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse, da \(f(-x) = f(x)\) gilt. b) Der Graph der Funktion \(g\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, da \(g(-x) = -g(x)\) gilt.

- Prüfe die Bedingungen \(f(-x) = f(x)\) und \(f(-x) = -f(x)\) nacheinander. - Achte beim Quadrieren von \(-x\) besonders auf das Vorzeichen. - Wie verhält sich die Sinusfunktion, wenn ihr Argument quadriert wird? - Wenn weder die Bedingung für Achsensymmetrie noch die für Punktsymmetrie erfüllt ist, besitzt der Graph keine dieser Symmetrien.

1. Untersuchung von \(h\): Berechnung von \(h(-x) = \frac{(-x)^2 - 4}{(-x)^3} = \frac{x^2 - 4}{-x^3} = -\frac{x^2 - 4}{x^3} = -h(x)\). Da \(h(-x) = -h(x)\), ist der Graph von \(h\) punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Untersuchung von \(k\): Berechnung von \(k(-x) = \sin((-x)^2) + (-x) = \sin(x^2) - x\). Ein Vergleich mit \(k(x) = \sin(x^2) + x\) zeigt \(k(-x) \neq k(x)\) (keine Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse). Ein Vergleich mit \(-k(x) = -\sin(x^2) - x\) zeigt \(k(-x) \neq -k(x)\) (keine Punktsymmetrie zum Ursprung). Somit weist der Graph keine der beiden Symmetrien auf.

a) Der Graph von \(h\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. b) Der Graph von \(k\) weist keine der untersuchten Symmetrien auf.

- Überlege dir zuerst, welche Ableitungsregeln du für den Term mit der e-Funktion benötigst. - Wann ist die Steigung eines Graphen null? - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Berg- oder ein Talpunkt vorliegt? - Vergiss nicht, am Ende auch den y-Wert zu berechnen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(f'(x) = 2 \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} - 1 = e^{0{,}5x} - 1\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(e^{0{,}5x} - 1 = 0 \Rightarrow e^{0{,}5x} = 1 \Rightarrow 0{,}5x = 0 \Rightarrow x = 0\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x}\). 4. Hinreichende Bedingung an der Stelle \(x = 0\) prüfen: \(f''(0) = 0{,}5 \cdot e^0 = 0{,}5 > 0\). Da die zweite Ableitung positiv ist, liegt ein lokales Minimum vor. 5. Funktionswert berechnen: \(f(0) = 2 \cdot e^0 - 0 = 2\). 6. Der lokale Extrempunkt ist ein Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T(0 \mid 2)\).

Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\)

- Wie hängen die Steigung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer ersten Ableitung zusammen? - Können wir die Stellen finden, an denen die Steigung null ist? - Wie verhält sich der Sinuswert im Einheitskreis bei bestimmten Winkeln? - Was passiert zwischen den Nullstellen der Ableitung mit dem Vorzeichen?

1. Bestimmung der ersten Ableitung der Funktion \(f\): \(f'(x) = -\sin(x) + \frac{1}{2}\). 2. Ermittlung der Nullstellen der Ableitung im Intervall \([0; 2\pi]\): Aus \(-\sin(x) + \frac{1}{2} = 0\) folgt \(\sin(x) = \frac{1}{2}\). Dies ergibt die Lösungen \(x_1 = \frac{\pi}{6}\) und \(x_2 = \frac{5\pi}{6}\). 3. Untersuchung des Vorzeichens von \(f'(x)\) in den Teilintervallen: - Für \(0 \le x < \frac{\pi}{6}\) ist \(\sin(x) < \frac{1}{2}\), also \(f'(x) > 0\). - Für \(\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}\) ist \(\sin(x) > \frac{1}{2}\), also \(f'(x) < 0\). - Für \(\frac{5\pi}{6} < x \le 2\pi\) ist \(\sin(x) < \frac{1}{2}\), also \(f'(x) > 0\). 4. Schlussfolgerung: Die Funktion ist streng monoton steigend für \(x \in [0; \frac{\pi}{6}]\) und \(x \in [\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\). Sie ist streng monoton fallend für \(x \in [\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\).

Streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{6}]\) und \([\frac{5\pi}{6}; 2\pi]\); streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}]\).

- Was ist die notwendige Bedingung für eine Extremstelle? - Welche Ableitungsregeln musst du hier anwenden? - Wie kannst du die Gleichung nach \(x\) auflösen, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Wie entscheidest du, ob es sich um ein Maximum oder ein Minimum handelt?

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = 2e^{2x} - 6\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: \(2e^{2x} - 6 = 0 \iff e^{2x} = 3 \iff 2x = \ln(3) \iff x = \frac{1}{2}\ln(3)\). 3. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 4e^{2x}\). 4. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''\left(\frac{1}{2}\ln(3)\right) = 4e^{\ln(3)} = 4 \cdot 3 = 12\). Da \(12 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor.

Lokales Minimum bei \(x = \frac{1}{2}\ln(3) \approx 0{,}549\).

- Woran erkennt man bei einer Kosinusfunktion ohne Ableitung, wo die Extremwerte liegen? - Welche Werte kann die Kosinusfunktion maximal und minimal annehmen? - Vergiss nicht, die Randwerte des Definitionsbereichs zu untersuchen. - Wie berechnet man den Abstand zwischen zwei Werten auf der y-Achse?

1. Ableitung bilden: \(f'(t) = -8 \cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right) = \frac{2\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{12} t\right)\). 2. Notwendige Bedingung für Extrema \(f'(t) = 0\) im Intervall \([0; 24]\): \(\sin\left(\frac{\pi}{12} t\right) = 0\) liefert \(t_1 = 0\), \(t_2 = 12\) und \(t_3 = 24\). 3. Funktionswerte an den Stellen berechnen: \(f(0) = -8 \cdot \cos(0) - 2 = -10\), \(f(12) = -8 \cdot \cos(\pi) - 2 = 6\), \(f(24) = -8 \cdot \cos(2\pi) - 2 = -10\). 4. Die niedrigste Temperatur wird an den Punkten \(T_1(0 \mid -10)\) und \(T_2(24 \mid -10)\) erreicht. 5. Der Hochpunkt liegt bei \(H(12 \mid 6)\). 6. Temperaturdifferenz berechnen: \(\Delta T = 6 - (-10) = 16\).

Die niedrigste Temperatur wird an den Punkten \((0 \mid -10)\) und \((24 \mid -10)\) erreicht. Der Temperaturunterschied zwischen der höchsten und der niedrigsten Temperatur beträgt \(16\,^\circ\text{C}\).

- Du kannst die Potenzregel für negative Exponenten nutzen, um die Ableitungen schneller zu berechnen. - Vergleiche die Exponenten im Nenner der Ableitungen mit der Anzahl der Ableitungsschritte. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Ordnung einer Polstelle (gerade vs. ungerade) und dem grafischen Verlauf (mit oder ohne Vorzeichenwechsel).

1. Es ist \(f(x) = (x-1)^{-1}\). Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = -1 \cdot (x-1)^{-2} = -\frac{1}{(x-1)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = (-1) \cdot (-2) \cdot (x-1)^{-3} = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Für \(f\) ist die Ordnung 1. Für \(f'\) ist die Ordnung 2. Für \(f''\) ist die Ordnung 3. Allgemein lässt sich vermuten, dass die \(m\)-te Ableitung \(f^{(m)}\) einer Funktion mit einer Polstelle \(n\)-ter Ordnung eine Polstelle der Ordnung \(n+m\) besitzt. Hier ist \(n=1\), also hat \(f^{(m)}\) die Ordnung \(1+m\). 3. Die zweite Ableitung \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\) hat an der Stelle \(x = 1\) eine Polstelle der Ordnung 3. Da die Ordnung 3 eine ungerade Zahl ist, liegt an der senkrechten Asymptote \(x = 1\) ein Vorzeichenwechsel vor. Für \(x \to 1^+\) gilt \(f''(x) \to +\infty\), für \(x \to 1^-\) gilt \(f''(x) \to -\infty\).

1. \(f'(x) = -\frac{1}{(x-1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). 2. Ordnungen: \(f: 1\), \(f': 2\), \(f'': 3\). Vermutung: Die \(m\)-te Ableitung hat die Ordnung \(n+m\) (hier \(1+m\)). 3. Senkrechte Asymptote bei \(x=1\) mit Vorzeichenwechsel, da die Polstelle von \(f''\) die ungerade Ordnung 3 hat.

- Bestimme die zweiten Ableitungen und trenne ihre Vorzeichenanalyse für \(x<0\) und \(x>0\). - Achte darauf, dass die Krümmung vom Vorzeichen der zweiten Ableitung und nicht vom Vorzeichen der Funktion abhängt. - Prüfe für einen Wendepunkt immer, ob die betreffende Stelle überhaupt zum Definitionsbereich gehört.

1. Für \(g\) gilt \(g'(x)=-\frac{1}{x^2}\) und \(g''(x)=\frac{2}{x^3}\). Für \(h\) gilt \(h'(x)=-\frac{2}{x^3}\) und \(h''(x)=\frac{6}{x^4}\). Beide zweiten Ableitungen haben für \(x\neq0\) keine Nullstelle. 2. Für \(g\) gilt wegen \(g''(x)=\frac{2}{x^3}\): Für \(x<0\) ist \(g''(x)<0\), also ist der linke Ast rechtsgekrümmt. Für \(x>0\) ist \(g''(x)>0\), also ist der rechte Ast linksgekrümmt. 3. Für \(h\) gilt \(h''(x)=\frac{6}{x^4}>0\) für alle \(x\neq0\). Beide Äste sind daher linksgekrümmt. 4. Bei \(x=0\) sind beide Funktionen nicht definiert. Deshalb kann dort trotz des Krümmungsunterschieds bei \(g\) kein Wendepunkt liegen.

a) \(g''(x)=\frac{2}{x^3}\neq0\) und \(h''(x)=\frac{6}{x^4}\neq0\) für alle \(x\neq0\). b) Bei \(g\) ist der linke Ast rechtsgekrümmt und der rechte linksgekrümmt. Bei \(h\) sind beide Äste linksgekrümmt. Bei \(x=0\) liegt kein Wendepunkt, da die Funktionen dort nicht definiert sind.

- Schaue dir den höchsten Punkt des Graphen an. - Überlege dir, wie sich die Werte von \(\ln(u)\) verändern, wenn \(u\) größer oder kleiner wird. - Wenn eine Funktion \(h\) an einer Stelle ihren größten Wert erreicht, was passiert dann mit dem Logarithmus dieses Wertes?

1. Aus der Abbildung lässt sich das lokale Maximum von \(h\) bei \(x_0 = 4\) ablesen. 2. Die natürliche Logarithmusfunktion \(y = \ln(u)\) ist für \(u > 0\) streng monoton steigend. 3. Da \(f(x)\) die Verkettung der streng monoton steigenden Funktion \(\ln\) mit der Funktion \(h\) ist, übernimmt \(f\) das Monotonieverhalten von \(h\). 4. Wo \(h\) steigt, steigt auch \(f\); wo \(h\) fällt, fällt auch \(f\). Da \(h\) bei \(x_0 = 4\) von steigend zu fallend wechselt, weist auch \(f\) an dieser Stelle einen Wechsel von steigend zu fallend auf. Somit hat \(f\) an der Stelle \(x_0 = 4\) ebenfalls ein lokales Maximum.

Das Maximum von \(h\) liegt bei \(x_0 = 4\). Da die Logarithmusfunktion streng monoton steigend ist, hat \(f(x) = \ln(h(x))\) seine Extremstellen an denselben Positionen und von derselben Art wie \(h(x)\).

- Achte beim Ablesen auf die Skalierung der beiden Achsen. - Ein Hochpunkt ist dort zu erkennen, wo der Graph von steigend zu fallend wechselt. - An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmungsrichtung des Graphen.

1. Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(S_y(0\mid-1)\). Die beiden Nullstellen liegen ungefähr bei \(x\approx0{,}3\) und \(x\approx6{,}5\). 2. Der Hochpunkt liegt ungefähr bei \(H(2\mid1{,}9)\). 3. Der Wendepunkt liegt ungefähr bei \(W(4\mid1{,}2)\).

a) \(S_y(0\mid-1)\); Nullstellen \(x\approx0{,}3\) und \(x\approx6{,}5\) b) \(H\approx(2\mid1{,}9)\) c) \(W\approx(4\mid1{,}2)\)

- Prüfe zuerst, welcher Faktor von \(f'\) sein Vorzeichen überhaupt ändern kann. - Teile die Zahlengerade an den Nullstellen der Ableitung in Intervalle. - Die Richtung des Vorzeichenwechsels von \(f'\) entscheidet über die Art einer Extremstelle.

1. Da \(e^{-x}>0\) für alle \(x\) gilt, bestimmt allein \((x-1)(x+2)\) das Vorzeichen von \(f'\). 2. Für \(x<-2\) ist \(f'(x)>0\), für \(-2<x<1\) ist \(f'(x)<0\), und für \(x>1\) ist \(f'(x)>0\). 3. Daher ist \(f\) auf \(]-\infty;-2[\) und \(]1;\infty[\) streng monoton steigend und auf \(]-2;1[\) streng monoton fallend. 4. Bei \(x=-2\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt ein lokales Maximum vor. Bei \(x=1\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt ein lokales Minimum vor.

Steigend auf \(]-\infty;-2[\) und \(]1;\infty[\); fallend auf \(]-2;1[\). Bei \(x=-2\) liegt ein lokales Maximum, bei \(x=1\) ein lokales Minimum vor.

- Prüfe, welcher Faktor von \(f''\) stets positiv ist. - Teile die Zahlengerade an den Nullstellen der zweiten Ableitung in Intervalle. - Für einen Wendepunkt musst du an einer Nullstelle von \(f''\) zusätzlich einen Krümmungswechsel feststellen.

1. Da \(e^{-x}>0\) für alle \(x\) gilt, wird das Vorzeichen von \(f''\) allein durch \((x-3)(x+1)\) bestimmt. 2. Für \(x<-1\) ist \(f''(x)>0\), für \(-1<x<3\) ist \(f''(x)<0\), und für \(x>3\) ist \(f''(x)>0\). 3. Der Graph ist daher auf \(]-\infty;-1[\) und \(]3;\infty[\) linksgekrümmt und auf \(]-1;3[\) rechtsgekrümmt. 4. An beiden Nullstellen \(x=-1\) und \(x=3\) wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Daher sind beide Stellen Wendestellen.

Linksgekrümmt auf \(]-\infty;-1[\) und \(]3;\infty[\); rechtsgekrümmt auf \(]-1;3[\); Wendestellen bei \(x=-1\) und \(x=3\).

- Für beide Geraden brauchst du zunächst den Berührpunkt und die Tangentensteigung. - Tangenten- und Normalensteigung stehen bei nichtwaagerechter Tangente in einer festen Beziehung. - Setze Punkt und Steigung jeweils in eine Geradengleichung ein.

1. Es gilt \(f(0)=1\) und \(f'(x)=2x-e^{-x}\), also \(f'(0)=-1\). 2. Die Tangente durch \((0\mid1)\) mit Steigung \(-1\) lautet \(y=-x+1\). 3. Die Normalensteigung ist der negative Kehrwert von \(-1\), also \(1\). Damit lautet die Normale \(y=x+1\).

Tangente: \(y=-x+1\); Normale: \(y=x+1\)

- Prüfe die Ableitung nicht nur an der einzelnen Stelle, sondern auf beiden Seiten davon. - Welche Vorzeichenänderung von \(f'\) wäre für ein Maximum oder Minimum nötig? - Unterscheide zwischen einer notwendigen Bedingung und einem hinreichenden Nachweis.

1. Es gilt \(f'(x)=3x^2\), also tatsächlich \(f'(0)=0\). 2. Für \(x<0\) und \(x>0\) ist \(f'(x)>0\). Die Ableitung wechselt bei \(x=0\) ihr Vorzeichen nicht. 3. Daher ist \(f\) auf beiden Seiten von \(0\) steigend und besitzt dort keinen Extrempunkt. Die Gleichung \(f'(x_0)=0\) ist nur eine notwendige, keine hinreichende Bedingung für einen inneren Extrempunkt.

Aminas Aussage ist falsch. Bei \(x=0\) gilt zwar \(f'(0)=0\), aber \(f'\) wechselt dort nicht das Vorzeichen; daher liegt kein Extrempunkt vor.

- Untersuche die zweite Ableitung auf beiden Seiten von \(x=0\). - Ein Wendepunkt verlangt eine tatsächliche Änderung der Krümmungsrichtung. - Überlege, welche Aussage \(g''(0)=0\) allein wirklich liefert.

1. Es gilt \(g''(x)=12x^2\), also tatsächlich \(g''(0)=0\). 2. Für \(x<0\) und \(x>0\) ist \(g''(x)>0\). Die zweite Ableitung wechselt bei \(x=0\) nicht das Vorzeichen. 3. Der Graph bleibt auf beiden Seiten linksgekrümmt; daher liegt bei \(x=0\) kein Wendepunkt vor. Die Bedingung \(g''(x_0)=0\) ist nur notwendig, aber nicht hinreichend.

Mateos Aussage ist falsch. Obwohl \(g''(0)=0\) gilt, findet kein Vorzeichen- bzw. Krümmungswechsel statt; daher ist \(x=0\) keine Wendestelle.

- Erinnere dich an die Bedeutung von „notwendig“: Was muss zwingend passieren, damit ein Punkt ein Extrempunkt sein kann? - Wie verhält sich die \(e\)-Funktion bezüglich ihrer Nullstellen? - Wenn eine Bedingung erfüllt ist, aber das Ereignis (die Extremstelle) trotzdem nicht eintritt, nennt man diese Bedingung dann „hinreichend“?

1. Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle an der inneren Stelle \(x_0\) lautet \(f'(x_0) = 0\). 2. Ableitungen von \(f(x) = e^x\): Es gilt \(f'(x) = e^x\) und \(f''(x) = e^x\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen Zahlen \(x\) stets positiv ist (\(e^x > 0\)), gilt insbesondere \(f''(x) \neq 0\) für alle \(x\). 3. Da \(f'(x) = e^x\) niemals Null wird, hat die Funktion keine Stellen mit waagerechter Tangente und somit keine Extremstellen. Da die Bedingung \(f''(x) \neq 0\) zwar überall erfüllt ist, aber keine einzige Extremstelle existiert, kann sie allein nicht ausreichen (nicht hinreichend sein), um die Existenz einer Extremstelle zu garantieren.

1. Notwendige Bedingung an einer inneren Stelle: \(f'(x_0) = 0\). 2. \(f'(x) = e^x\) und \(f''(x) = e^x\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist \(f''(x) \neq 0\). Da die Gleichung \(f'(x) = e^x = 0\) keine Lösung besitzt, gibt es keine Extremstellen. 3. Die Bedingung \(f''(x_0) \neq 0\) ist nicht hinreichend, da trotz ihrer Gültigkeit keine Extremstelle vorliegen muss (das Kriterium \(f'(x_0) = 0\) fehlt).

- Erinnere dich an die Ableitung des natürlichen Logarithmus. - Was musst du tun, wenn ein Funktionsausdruck aus zwei multiplizierten Teilen besteht? - Wie gehst du vor, um die Steigung an einem Extrempunkt zu untersuchen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, in der ein Logarithmus vorkommt?

1. Bestimmung der ersten Ableitung mit der Produktregel: Setze \(u(x) = x\) und \(v(x) = \ln(x)\). Es gilt \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{x}\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1\). 3. Notwendige Bedingung für Extrema setzen: \(g'(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) + 1 = 0\). 4. Lösen der Gleichung: \(\ln(x) = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}\). 5. Hinreichende Bedingung prüfen: \(g''(x) = \frac{1}{x}\). Da \(g''(\frac{1}{e}) = e > 0\), liegt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum vor.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = \frac{1}{e}\) ein lokales Minimum. Die notwendige Bedingung \(g'(x) = \ln(x) + 1 = 0\) wurde unter Anwendung der Produktregel ermittelt.

- Klammere den gemeinsamen Faktor \(e^x\) aus, bevor du mit dem Ableiten beginnst. - Denke daran, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) niemals den Wert Null annimmt. - Die Art eines Extrempunktes lässt sich gut über das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der betreffenden Stelle bestimmen. - Achte darauf, ob die gefundenen Stellen im vorgegebenen Intervall liegen.

1. Zusammenfassen der Funktion: \(f(x) = (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x\). 2. Ableiten mit der Produktregel: \(f'(x) = (2x + 2) \cdot e^x + (x^2 + 2x - 1) \cdot e^x = (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x\). 3. Nullstellen der ersten Ableitung: Da \(e^x > 0\), gilt \(x^2 + 4x + 1 = 0\). Anwendung der \(p\)-\(q\)-Formel liefert \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{3}\). Beide Werte (\(x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3{,}73\) und \(x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0{,}27\)) liegen im Intervall \([-5; 0]\). 4. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = (2x + 4) \cdot e^x + (x^2 + 4x + 1) \cdot e^x = (x^2 + 6x + 5) \cdot e^x\). 5. Art bestimmen: \(f''(-2 - \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} \cdot e^{-2-\sqrt{3}} < 0 \implies\) Hochpunkt. \(f''(-2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \cdot e^{-2+\sqrt{3}} > 0 \implies\) Tiefpunkt. 6. Koordinaten berechnen: \(f(-2 - \sqrt{3}) = (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2-\sqrt{3}}\) und \(f(-2 + \sqrt{3}) = (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2+\sqrt{3}}\).

Hochpunkt \(H\left(-2 - \sqrt{3} \mid (2 + 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2-\sqrt{3}}\right) \approx H(-3{,}73 \mid 0{,}13)\) Tiefpunkt \(T\left(-2 + \sqrt{3} \mid (2 - 2\sqrt{3}) \cdot e^{-2+\sqrt{3}}\right) \approx T(-0{,}27 \mid -1{,}12)\)

- Nutze die Produktregel separat für beide Teile der Summe und fasse den Term anschließend zusammen. - Überlege, welche Faktoren der Ableitung im gegebenen Intervall Nullstellen besitzen. - Nicht jede Stelle mit waagerechter Tangente muss zwingend ein Extrempunkt sein; prüfe dies sorgfältig. - Achte darauf, ob die berechneten Stellen innerhalb des vorgegebenen Intervalls liegen.

1. Durch Produkt- und Summenregel erhält man \(f'(x)=x^2\cos(x)\). 2. Die stationären Stellen im Intervall sind \(x=0\) und \(x=\pm\frac\pi2\). 3. Es gilt \(f''(x)=2x\cos(x)-x^2\sin(x)\). Daher ist \(f''(\frac\pi2)=-\frac{\pi^2}{4}<0\), also liegt dort ein Hochpunkt, und \(f''(-\frac\pi2)=\frac{\pi^2}{4}>0\), also dort ein Tiefpunkt. 4. Bei \(x=0\) wechselt \(f'(x)=x^2\cos(x)\) nicht das Vorzeichen, also liegt kein Extremum vor. Für die stärkere Aussage „Sattelpunkt“ betrachten wir \(f'''(x)=2\cos(x)-4x\sin(x)-x^2\cos(x)\). Es gilt \(f''(0)=0\) und \(f'''(0)=2\neq0\); somit liegt bei \(x=0\) ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also ein Sattelpunkt, vor. 5. Die Extrempunktwerte sind \(f(\frac\pi2)=\frac{\pi^2}{4}-2\) und \(f(-\frac\pi2)=2-\frac{\pi^2}{4}\).

Der Graph von \(f\) besitzt im Intervall \([-\pi; \pi]\) folgende Extrempunkte: Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{2} \mid \frac{\pi^2}{4} - 2\right)\) Tiefpunkt \(T\left(-\frac{\pi}{2} \mid 2 - \frac{\pi^2}{4}\right)\) (An der Stelle \(x = 0\) liegt ein Sattelpunkt vor.)

- Wann wird die Sinusfunktion allgemein null? - Beachte bei der Ableitung die Kettenregel. - Überlege dir, welche Werte das Argument \(x^2\) annehmen kann, wenn \(x\) im Intervall \([-2; 2]\) liegt. - Prüfe neben den kritischen Stellen im Inneren auch das einseitige Verhalten an den beiden Randpunkten.

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(f(x) = 0\) gesetzt: \(\sin(x^2) = 0\). Dies ist erfüllt für \(x^2 = k\pi\) mit \(k \in \mathbb{Z}\). Im Intervall \([-2; 2]\) muss \(0 \leq x^2 \leq 4\) gelten. Da \(\pi \approx 3{,}14\) und \(2\pi \approx 6{,}28\), sind für \(x^2\) nur \(0\) und \(\pi\) möglich. Daraus folgen die Nullstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm\sqrt{\pi} \approx \pm 1{,}77\). 2. Für die inneren Extrempunkte wird die erste Ableitung gebildet: \(f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2)\). Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x = 0\) oder \(\cos(x^2) = 0\). Letzteres gilt für \(x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Im Bereich \(x^2 \in [0; 4]\) ist nur \(x^2 = \frac{\pi}{2}\) möglich. Dies ergibt die inneren kritischen Stellen \(x = 0\) sowie \(x = \pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm 1{,}25\). 3. Mit \(f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)\) folgt: \(f''(0)=2>0\), also liegt bei \(T(0 \mid 0)\) ein lokales Minimum. Außerdem ist \(f''(\pm\sqrt{\pi/2})=-2\pi<0\), also liegen bei \(H_1(-\sqrt{\pi/2} \mid 1)\) und \(H_2(\sqrt{\pi/2} \mid 1)\) lokale Maxima. 4. An den Randpunkten gilt \(f(-2)=f(2)=\sin(4)\approx-0{,}7568\). Für \(x\) unmittelbar rechts von \(-2\) beziehungsweise unmittelbar links von \(2\) sind die Funktionswerte größer. Daher sind \(R_1(-2 \mid \sin(4))\) und \(R_2(2 \mid \sin(4))\) einseitige lokale Minima.

a) Nullstellen: \(x_1 = 0\); \(x_{2,3} = \pm\sqrt{\pi} \approx \pm 1{,}77\). b) Lokales Minimum im Inneren: \(T(0 \mid 0)\); lokale Maxima: \(H_{1,2}(\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \mid 1) \approx (\pm 1{,}25 \mid 1)\); einseitige lokale Minima an den Randpunkten: \(R_1(-2 \mid \sin(4))\) und \(R_2(2 \mid \sin(4))\), jeweils mit \(\sin(4) \approx -0{,}7568\).

- Welche Bedingungen müssen die erste und zweite Ableitung an einer Extremstelle erfüllen? - Überlege dir, welche Rolle die Steigung der Funktion im Ursprung für die Anzahl der Schnittpunkte spielt. - Skizziere grob den Verlauf einer Sinushalbwelle und verschiedener Ursprungsgeraden. - Beachte das Krümmungsverhalten des Graphen im gegebenen Intervall.

1. Erste Ableitung: \(f'(x) = 6 \cdot \frac{\pi}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}x\right) = \frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{12}x\right)\). 2. Bedingung für Hochpunkt: \(f'(6) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = -\frac{\pi^2}{24}\sin\left(\frac{\pi}{12}x\right)\). Da \(f''(6) = -\frac{\pi^2}{24} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi^2}{24} < 0\), liegt bei \(x = 6\) ein Hochpunkt vor. 3. Schnittpunkte \(f(x) = mx\): Der Punkt \((0|0)\) ist für alle \(m\) eine Lösung. 4. Tangentensteigung im Ursprung: \(f'(0) = \frac{\pi}{2} \cdot \cos(0) = \frac{\pi}{2}\). 5. Aufgrund der strengen Konkavität von \(f\) auf \([0; 12]\) existiert für \(0 \le m < \frac{\pi}{2}\) genau ein weiterer Schnittpunkt im Intervall \(]0; 12]\). Für \(m = 0\) ist dies die Nullstelle \(x = 12\). 6. Für \(m \ge \frac{\pi}{2}\) oder \(m < 0\) verläuft die Gerade so, dass außer dem Ursprung kein weiterer Punkt im Definitionsbereich getroffen wird.

a) \(f'(6) = 0\) und \(f''(6) = -\frac{\pi^2}{24} < 0\), somit Hochpunkt bei \(x = 6\). b) Für \(m \in [0; \frac{\pi}{2}[\): 2 gemeinsame Punkte; für \(m \in ]-\infty; 0[ \cup [\frac{\pi}{2}; \infty[\): 1 gemeinsamer Punkt.

- Welche Werte muss das Argument einer Kosinusfunktion annehmen, damit der Funktionswert null ist? - Denke beim Ableiten an die Kettenregel. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Prüfe neben den kritischen Stellen im Inneren auch das einseitige Verhalten an den Randpunkten.

1. Zur Bestimmung der Nullstellen wird \(\cos(x^2) = 0\) gelöst. Dies gilt für \(x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Wegen \(0 \leq x^2 \leq 4\) liefert nur \(k=0\) Lösungen. Die Nullstellen sind \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm1{,}25\). 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x)=-2x\sin(x^2)\). Für innere Extremstellen gilt \(f'(x)=0\), also \(x=0\) oder \(x^2=k\pi\). Im Inneren des Intervalls ergeben sich \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt{\pi} \approx \pm1{,}77\). 3. Bei \(x=0\) ist \(f(0)=1\); in der Umgebung sind die Funktionswerte kleiner. Daher liegt der lokale Hochpunkt \(H(0 \mid 1)\) vor. Bei \(x=\pm\sqrt{\pi}\) ist \(f(x)=-1\), also liegen die lokalen Tiefpunkte \(T_1(-\sqrt{\pi} \mid -1)\) und \(T_2(\sqrt{\pi} \mid -1)\) vor. 4. An den Randpunkten gilt \(f(-2)=f(2)=\cos(4)\approx-0{,}6536\). Unmittelbar rechts von \(-2\) beziehungsweise links von \(2\) sind die Funktionswerte kleiner. Deshalb sind \(R_1(-2 \mid \cos(4))\) und \(R_2(2 \mid \cos(4))\) einseitige lokale Maxima.

a) Nullstellen: \(x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}} \approx \pm1{,}25\). b) Lokales Maximum im Inneren: \(H(0 \mid 1)\); lokale Minima: \(T_{1,2}(\pm\sqrt{\pi} \mid -1) \approx (\pm1{,}77 \mid -1)\); einseitige lokale Maxima an den Randpunkten: \(R_{1,2}(\pm2 \mid \cos(4))\) mit \(\cos(4) \approx -0{,}6536\).

- Welche Bedingung muss die erste Ableitung an einer Stelle mit waagrechter Tangente erfüllen? - Denk an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Kann eine Exponentialfunktion jemals den Wert Null annehmen? - Welcher Teil des Funktionsterms bestimmt das Verhalten im Unendlichen, wenn ein Polynom und eine Exponentialfunktion multipliziert werden?

1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = -2 \cdot e^{0{,}5x} + (4 - 2x) \cdot 0{,}5 \cdot e^{0{,}5x} = e^{0{,}5x} \cdot (-2 + 2 - x) = -x \cdot e^{0{,}5x}\). 2. Bedingung für eine waagrechte Tangente anwenden: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -x \cdot e^{0{,}5x} = 0\). Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, folgt \(x = 0\). 3. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f(0) = (4 - 2 \cdot 0) \cdot e^0 = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(H(0 \mid 4)\). 4. Grenzwerte bestimmen: Für \(x \to -\infty\) nähert sich der Faktor \(e^{0{,}5x}\) der Null an. Da das exponentielle Abfallen stärker ist als das lineare Wachstum von \((4-2x)\), gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). Für \(x \to \infty\) strebt \(4-2x\) gegen \(-\infty\) und \(e^{0{,}5x}\) gegen \(\infty\), woraus \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\) folgt.

Punkt: \(H(0 \mid 4)\) Grenzwerte: \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\)

- Was bedeutet „parallel zur x-Achse“ für die Steigung der Tangente? - Nutze die Produktregel, um den Funktionsterm abzuleiten, und klammere den Exponentialterm aus. - Wie viele Lösungen kann die resultierende Gleichung maximal haben? - Erinnere dich an die Wachstumsgeschwindigkeiten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel bilden: \(f'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). 2. Nullstellen der Ableitung für waagrechte Tangenten bestimmen: \((x^2 + 2x - 3) \cdot e^x = 0\). Da \(e^x > 0\), muss \(x^2 + 2x - 3 = 0\) gelten. Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -3\). 3. Zugehörige \(y\)-Koordinaten berechnen: \(f(1) = (1^2 - 3) \cdot e^1 = -2e\) und \(f(-3) = ((-3)^2 - 3) \cdot e^{-3} = 6e^{-3}\). Die Punkte sind \(P_1(1 \mid -2e)\) und \(P_2(-3 \mid 6e^{-3})\). 4. Grenzverhalten untersuchen: Für \(x \to \infty\) streben sowohl \((x^2 - 3)\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\), also \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\). Für \(x \to -\infty\) strebt \(e^x\) gegen \(0\) und dominiert das Wachstum des quadratischen Terms, sodass \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) gilt.

Punkte: \(P_1(1 \mid -2e)\) und \(P_2(-3 \mid 6e^{-3})\) Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\)

- Überlege, welche Ableitungsregeln für eine Funktion aus einem linearen Term und einer Exponentialfunktion kombiniert werden müssen. - Was weißt du über die Werte der natürlichen Exponentialfunktion \(e^{g(x)}\)? Kann dieser Teil jemals Null werden? - Wie gehst du vor, um zu entscheiden, ob ein Berg oder ein Tal im Graphen vorliegt?

1. Erste Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bilden: \(f'(x) = 4 \cdot e^{-0{,}2x} + (4x + 2) \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (3{,}6 - 0{,}8x) \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) anwenden: Da der Exponentialterm \(e^{-0{,}2x}\) stets positiv ist, ergibt sich die Gleichung \(3{,}6 - 0{,}8x = 0\). 3. Nullstelle der ersten Ableitung berechnen: \(0{,}8x = 3{,}6 \implies x = 4{,}5\). 4. Zweite Ableitung zur Bestimmung der Art bilden: \(f''(x) = -0{,}2 \cdot e^{-0{,}2x} \cdot (3{,}6 - 0{,}8x) + e^{-0{,}2x} \cdot (-0{,}8) = (0{,}16x - 1{,}52) \cdot e^{-0{,}2x}\). 5. Hinreichende Bedingung an der Stelle \(x = 4{,}5\) prüfen: \(f''(4{,}5) = (0{,}16 \cdot 4{,}5 - 1{,}52) \cdot e^{-0{,}9} = -0{,}8 \cdot e^{-0{,}9} < 0\). Somit liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) vor.

An der Stelle \(x = 4{,}5\) befindet sich ein lokales Maximum (Hochpunkt).

- Kannst du die Gleichung \(f'(x) = 0\) vereinfachen, indem du einen gemeinsamen Faktor ausklammerst? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen \(e^x\) und dem natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\). - Welche Bedingung muss die zweite Ableitung an einer Stelle erfüllen, damit dort ein Tiefpunkt vorliegt?

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Kettenregel berechnen: \(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot e^{2x} - 4e^x = e^{2x} - 4e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) aufstellen: \(e^{2x} - 4e^x = 0\). 3. Gleichung durch Ausklammern lösen: \(e^x \cdot (e^x - 4) = 0\). Da \(e^x > 0\), folgt \(e^x = 4\). 4. Logarithmieren ergibt die Extremstelle: \(x = \ln(4)\). 5. Zweite Ableitung bilden: \(f''(x) = 2e^{2x} - 4e^x\). 6. Hinreichende Bedingung prüfen: \(f''(\ln(4)) = 2 \cdot (e^{\ln(4)})^2 - 4 \cdot e^{\ln(4)} = 2 \cdot 4^2 - 4 \cdot 4 = 32 - 16 = 16\). Da \(16 > 0\), liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor.

An der Stelle \(x = \ln(4)\) befindet sich ein lokales Minimum (Tiefpunkt).

- Welche Ableitungsregel musst du anwenden, wenn zwei Funktionsterme multipliziert werden? - Wann kann ein Produkt den Wert Null annehmen? Beachte dabei die Besonderheit der Exponentialfunktion. - Wie kannst du sicherstellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt? - Vergiss nicht, am Ende auch die Funktionswerte (y-Werte) zu berechnen.

1. Erste Ableitung unter Verwendung der Produktregel bestimmen: \(f'(x) = (2x - 5) \cdot e^x + (x^2 - 5x + 7) \cdot e^x = (x^2 - 3x + 2) \cdot e^x\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) prüfen: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(x^2 - 3x + 2 = 0\) gelten. Dies liefert über die p-q-Formel oder Faktorisierung die Stellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 2\). 3. Zweite Ableitung zur Überprüfung der Hinreichenden Bedingung bilden: \(f''(x) = (2x - 3) \cdot e^x + (x^2 - 3x + 2) \cdot e^x = (x^2 - x - 1) \cdot e^x\). 4. Überprüfung der Stellen: \(f''(1) = (1^2 - 1 - 1) \cdot e^1 = -e < 0\), somit liegt bei \(x_1 = 1\) ein Hochpunkt vor. \(f''(2) = (2^2 - 2 - 1) \cdot e^2 = e^2 > 0\), somit liegt bei \(x_2 = 2\) ein Tiefpunkt vor. 5. Koordinaten durch Einsetzen in \(f(x)\) berechnen: \(f(1) = (1 - 5 + 7) \cdot e^1 = 3e\) und \(f(2) = (4 - 10 + 7) \cdot e^2 = e^2\).

Die Extrempunkte sind \(H(1 \mid 3e)\) und \(T(2 \mid e^2)\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor in den Summanden finden? - Welche Eigenschaft der Exponentialfunktion ist hilfreich, wenn du ein Produkt gleich null setzt? - Wie hängen die notwendigen Bedingungen für Extrema und Wendepunkte mit den Ableitungen zusammen? - Denke daran, dass \(e^{2x} = (e^x)^2\) ist, wenn du ableitest oder faktorisierst.

1. Faktorisierung: \(f(x) = 2e^x \cdot (3 - e^x)\) 2. Nullstelle: \(2e^x \cdot (3 - e^x) = 0 \Rightarrow 3 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3)\) 3. Ableitungen: \(f'(x) = 6e^x - 4e^{2x}\); \(f''(x) = 6e^x - 8e^{2x}\); \(f'''(x) = 6e^x - 16e^{2x}\) 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 2e^x \cdot (3 - 2e^x) = 0 \Rightarrow e^x = 1{,}5 \Rightarrow x = \ln(1{,}5)\). Überprüfung mit \(f''(\ln(1{,}5)) = 6 \cdot 1{,}5 - 8 \cdot 2{,}25 = -9 < 0\) ergibt ein lokales Maximum. Funktionswert: \(f(\ln(1{,}5)) = 6 \cdot 1{,}5 - 2 \cdot 2{,}25 = 4{,}5\). Hochpunkt \(H(\ln(1{,}5) \mid 4{,}5)\). 5. Wendepunkt: \(f''(x) = 2e^x \cdot (3 - 4e^x) = 0 \Rightarrow e^x = 0{,}75 \Rightarrow x = \ln(0{,}75)\). Überprüfung mit \(f'''(\ln(0{,}75)) = 6 \cdot 0{,}75 - 16 \cdot 0{,}5625 = -4{,}5 \neq 0\) bestätigt den Wendepunkt. Funktionswert: \(f(\ln(0{,}75)) = 6 \cdot 0{,}75 - 2 \cdot 0{,}5625 = 3{,}375\). Wendepunkt \(W(\ln(0{,}75) \mid 3{,}375)\).

a) Faktorisierte Form: \(f(x) = 2e^x(3 - e^x)\); Nullstelle bei \(x = \ln(3)\). b) Hochpunkt \(H(\ln(1{,}5) \mid 4{,}5)\); Wendepunkt \(W(\ln(0{,}75) \mid 3{,}375)\).

- Erkennst du im Funktionsterm eine Struktur, die einer quadratischen Gleichung ähnelt? - Wie hilft dir die Substitution \(u = e^x\) beim Faktorisieren weiter? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Extrempunktes oder Wendepunktes erfüllt sein? - Vergiss nicht, am Ende die Rücksubstitution durchzuführen, um die \(x\)-Werte zu erhalten.

1. Substitution: Mit \(u = e^x\) folgt \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). 2. Produktform und Nullstellen: \(g(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)\). Nullstellen bei \(e^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(e^x = 3 \Rightarrow x_2 = \ln(3)\). 3. Ableitungen: \(g'(x) = 2e^{2x} - 4e^x\); \(g''(x) = 4e^{2x} - 4e^x\); \(g'''(x) = 8e^{2x} - 4e^x\). 4. Extrempunkt: \(g'(x) = 2e^x(e^x - 2) = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2)\). Da \(g''(\ln(2)) = 4 \cdot 4 - 4 \cdot 2 = 8 > 0\), liegt ein lokales Minimum vor. Funktionswert: \(g(\ln(2)) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1\). Tiefpunkt \(T(\ln(2) \mid -1)\). 5. Wendepunkt: \(g''(x) = 4e^x(e^x - 1) = 0 \Rightarrow e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). Da \(g'''(0) = 8 - 4 = 4 \neq 0\), liegt ein Wendepunkt vor. Funktionswert: \(g(0) = 0\). Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).

a) Produktform: \(g(x) = (e^x - 1)(e^x - 3)\); Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \ln(3)\). b) Tiefpunkt \(T(\ln(2) \mid -1)\); Wendepunkt \(W(0 \mid 0)\).

- Kannst du einen gemeinsamen Faktor im Funktionsterm finden? - Was weißt du über die Werte, die eine Exponentialfunktion annehmen kann? - Welche Bedingungen müssen für die Existenz eines Extrempunkts erfüllt sein? - Wie verhalten sich die einzelnen Terme für sehr große oder sehr kleine Werte von \(x\)?

1. Ausklammern von \(e^x\): \(f(x) = e^x \cdot (4 - e^x)\). 2. Nullstellenbestimmung: Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), muss \(4 - e^x = 0\) gelten. Dies führt zu \(e^x = 4\), also \(x = \ln(4)\). 3. Erste Ableitung: \(f'(x) = 4e^x - 2e^{2x} = 2e^x \cdot (2 - e^x)\). 4. Bedingung für Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2 - e^x = 0 \Rightarrow e^x = 2 \Rightarrow x_E = \ln(2)\). 5. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4e^x - 4e^{2x}\). 6. Art des Extrempunkts: \(f''(\ln(2)) = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 2^2 = 8 - 16 = -8 < 0\). Es liegt ein lokaler Hochpunkt vor. 7. Koordinaten: \(f(\ln(2)) = 4 \cdot 2 - 2^2 = 4\). Somit ist der Hochpunkt \(H(\ln(2) \mid 4)\). 8. Grenzwerte: Für \(x \to -\infty\) gilt \(e^x \to 0\) und \(e^{2x} \to 0\), also \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). Für \(x \to \infty\) dominiert der Term \(-e^{2x}\), also \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\).

a) \(f(x) = e^x(4 - e^x)\); Nullstelle bei \(x = \ln(4)\). b) Hochpunkt \(H(\ln(2) \mid 4)\). c) \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty\).

- Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Gleichung für die Nullstellen zu vereinfachen? - Wie geht man vor, um eine Gleichung der Form \(e^x = a\) nach \(x\) aufzulösen? - Welche Ableitungen benötigst du für Extrem- und Wendepunkte? - Denk daran, dass die Exponentialfunktion niemals null wird.

1. Nullstellen: Substitution \(u = e^x\) führt auf \(u^2 - 5u + 4 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). Rücksubstitution ergibt \(e^x = 1 \Rightarrow x_1 = 0\) und \(e^x = 4 \Rightarrow x_2 = \ln(4)\). 2. Erste Ableitung: \(f'(x) = 2e^{2x} - 5e^x = e^x(2e^x - 5)\). 3. Extremstelle: \(f'(x) = 0 \Rightarrow 2e^x - 5 = 0 \Rightarrow e^x = 2{,}5 \Rightarrow x_E = \ln(2{,}5)\). 4. Zweite Ableitung: \(f''(x) = 4e^{2x} - 5e^x = e^x(4e^x - 5)\). 5. Art und \(y\)-Koordinate: \(f''(\ln(2{,}5)) = 2{,}5(4 \cdot 2{,}5 - 5) = 12{,}5 > 0\), also Tiefpunkt. \(f(\ln(2{,}5)) = 2{,}5^2 - 5 \cdot 2{,}5 + 4 = 6{,}25 - 12{,}5 + 4 = -2{,}25\). Tiefpunkt \(T(\ln(2{,}5) \mid -2{,}25)\). 6. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 4e^x - 5 = 0 \Rightarrow e^x = 1{,}25 \Rightarrow x_W = \ln(1{,}25)\). 7. Nachweis: \(f'''(x) = 8e^{2x} - 5e^x\). \(f'''(\ln(1{,}25)) = 8 \cdot 1{,}25^2 - 5 \cdot 1{,}25 = 12{,}5 - 6{,}25 = 6{,}25 \neq 0\). Somit existiert ein Wendepunkt bei \(x = \ln(1{,}25)\).

a) Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \ln(4)\). b) Tiefpunkt \(T(\ln(2{,}5) \mid -2{,}25)\). c) Wendestelle bei \(x = \ln(1{,}25)\).

- Was passiert, wenn du eine Zahl und ihren Kehrwert betrachtest, insbesondere im Hinblick auf das Vorzeichen? - Wie verhält sich eine Funktion, wenn man \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Nutze die Kettenregel beim Ableiten der Exponentialfunktionen. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Form der Kurve aus?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2\), also \(S_y(0 \mid 2)\). Da die Exponentialfunktion \(e^u\) für alle \(u \in \mathbb{R}\) stets positive Werte liefert, ist die Summe zweier positiver Terme \(e^{0{,}2x} + e^{-0{,}2x} > 0\), weshalb keine Nullstellen existieren. 2. Symmetrie: \(f(-x) = e^{-0{,}2x} + e^{0{,}2x} = f(x)\), somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Grenzwerte: Für \(x \to +\infty\) gilt \(e^{0{,}2x} \to \infty\) und \(e^{-0{,}2x} \to 0\), also \(f(x) \to \infty\). Aufgrund der Achsensymmetrie gilt auch für \(x \to -\infty\) der Grenzwert \(f(x) \to \infty\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = 0{,}2e^{0{,}2x} - 0{,}2e^{-0{,}2x}\) und \(f''(x) = 0{,}04e^{0{,}2x} + 0{,}04e^{-0{,}2x} = 0{,}04f(x)\). Da \(f(x) > 0\), ist auch \(f''(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(G_f\) überall linksgekrümmt. 4. Extrempunkt: \(f'(x) = 0 \iff 0{,}2e^{0{,}2x} = 0{,}2e^{-0{,}2x} \iff e^{0{,}2x} = e^{-0{,}2x} \iff 0{,}2x = -0{,}2x \iff x = 0\). Wegen der Linkskrümmung liegt an der Stelle \(x = 0\) ein lokales Minimum vor. Mit \(f(0) = 2\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\).

a) Schnittpunkt \(S_y(0 \mid 2)\); keine Nullstellen, da \(e^u > 0\) für alle \(u\). b) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \infty\). c) \(f''(x) = 0{,}04(e^{0{,}2x} + e^{-0{,}2x}) = 0{,}04f(x)\); wegen \(f''(x) > 0\) ist der Graph linksgekrümmt. d) Tiefpunkt \(T(0 \mid 2)\).

- Erinnere dich an die Definition der Punktsymmetrie: \(f(-x) = -f(x)\). - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Wie hängen das Vorzeichen der ersten Ableitung und das Monotonieverhalten zusammen? - Nutze die erste und zweite binomische Formel, um die Quadrate der Terme zu vereinfachen.

1. Symmetrie: \(g(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x} - e^x) = -\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = -g(x)\), also punktsymmetrisch zum Ursprung. Schnittpunkt: \(g(0) = \frac{1}{2}(1 - 1) = 0\), also Ursprung \(O(0 \mid 0)\). Da \(e^x = e^{-x}\) nur für \(x=0\) gilt, ist dies die einzige Nullstelle. 2. Grenzwerte: Für \(x \to \infty\) dominiert \(e^x\), also \(g(x) \to \infty\). Wegen der Punktsymmetrie folgt für \(x \to -\infty\), dass \(g(x) \to -\infty\). 3. Monotonie: \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Da \(e^x > 0\) für alle \(x\), ist \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). Somit ist \(g\) streng monoton steigend. 4. Identität: \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\) und \(g(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\). Quadrieren liefert \([g'(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x})\) und \([g(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x})\). Die Differenz ergibt \([g'(x)]^2 - [g(x)]^2 = \frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; einziger Achsenschnittpunkt im Ursprung \(O(0 \mid 0)\). b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty\). c) \(g'(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x}) > 0\) für alle \(x\), daher streng monoton steigend. d) Nachweis durch Einsetzen und Anwenden der binomischen Formeln: \(\frac{1}{4}(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - \frac{1}{4}(e^{2x} - 2 + e^{-2x}) = 1\).

- Überprüfe, ob sich das Vorzeichen des Funktionswerts ändert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt. - Was passiert mit dem Exponenten der e-Funktion, wenn \(x\) sehr groß wird? - Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Die zweite Ableitung gibt dir Auskunft über die Krümmung: Wo ist sie positiv, wo negativ?

1. Symmetrie: \(f(-x) = 4 \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = 4e^{-\frac{1}{2}x^2} = f(x)\). Somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Grenzverhalten: Da \(-\frac{1}{2}x^2 \to -\infty\) für \(x \to \pm \infty\), gilt \(e^{-\frac{1}{2}x^2} \to 0\). Daraus folgt \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = -4x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\) und \(f''(x) = (4x^2 - 4) \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2}\). 4. Extrema: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0\). Einsetzen in die zweite Ableitung: \(f''(0) = -4 < 0\). Es liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(0 \mid 4)\) vor. 5. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 4x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_{W1} = -1\) und \(x_{W2} = 1\). 6. Krümmung: \(f''(x) > 0\) für \(x \in ]-\infty;-1[ \cup ]1;\infty[\), dort ist \(G_f\) linksgekrümmt. \(f''(x) < 0\) für \(x \in ]-1;1[\), dort ist \(G_f\) rechtsgekrümmt.

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). b) Hochpunkt \(H(0 \mid 4)\). c) Wendestellen bei \(x = -1\) und \(x = 1\). \(G_f\) ist linksgekrümmt für \(|x| > 1\) und rechtsgekrümmt für \(-1 < x < 1\).

- Bilde die ersten beiden Ableitungen und beachte Produkt- und Kettenregel. - Welche Bedingungen kennzeichnen Hochpunkt und Wendepunkt? - Setze die gefundenen Stellen in die ursprüngliche Funktion ein. - Vergleiche für die Grenzwerte den linearen Faktor mit dem exponentiellen Faktor.

1. Es ist \(f_k'(x)=k(1-kx)e^{-kx}\) und \(f_k''(x)=k^2(kx-2)e^{-kx}\). 2. Aus \(f_k'(x)=0\) folgt \(x=\frac{1}{k}\). Dort gilt \(f_k\left(\frac{1}{k}\right)=\frac{1}{e}\); wegen des Vorzeichenwechsels von \(f_k'\) liegt der Hochpunkt \(H_k\left(\frac{1}{k}\mid\frac{1}{e}\right)\) vor. 3. Aus \(f_k''(x)=0\) folgt \(x=\frac{2}{k}\). Dort ist \(f_k\left(\frac{2}{k}\right)=\frac{2}{e^2}\). Außerdem gilt \(f_k'''\left(\frac{2}{k}\right)=k^3e^{-2}\ne0\); damit ist \(W_k\left(\frac{2}{k}\mid\frac{2}{e^2}\right)\) ein Wendepunkt. 4. Für \(x\to\infty\) dominiert der exponentielle Zerfall, daher gilt \(f_k(x)\to0\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(kx\to-\infty\) und \(e^{-kx}\to\infty\), sodass \(f_k(x)\to-\infty\).

a) \(H_k\left(\frac{1}{k}\mid\frac{1}{e}\right)\), \(W_k\left(\frac{2}{k}\mid\frac{2}{e^2}\right)\). b) \(\lim_{x\to\infty}f_k(x)=0\), \(\lim_{x\to-\infty}f_k(x)=-\infty\).

- Welche Ableitungsregeln musst du kombinieren, um den Term \(\sin^2(x)\) abzuleiten? - Kannst du die Ableitung so umformen, dass sie als Produkt vorliegt? - Wann ist ein Produkt aus zwei Faktoren positiv oder negativ? - Beachte den eingeschränkten Definitionsbereich für die Untersuchung.

1. Bildung der ersten Ableitung unter Verwendung der Kettenregel: \(g'(x) = 2\sin(x)\cos(x) - \sin(x)\). 2. Faktorisieren der Ableitung: \(g'(x) = \sin(x) \cdot (2\cos(x) - 1)\). 3. Bestimmung der kritischen Punkte im Intervall \([0; \pi]\): - \(\sin(x) = 0\) liefert \(x = 0\) und \(x = \pi\). - \(2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}\) liefert \(x = \frac{\pi}{3}\). 4. Vorzeichenanalyse von \(g'(x)\) im Intervall \((0; \pi)\): Da \(\sin(x) > 0\) für alle \(x \in (0; \pi)\), hängt das Vorzeichen nur von \((2\cos(x) - 1)\) ab. - Im Intervall \((0; \frac{\pi}{3})\) ist \(\cos(x) > \frac{1}{2}\), also \(g'(x) > 0\). - Im Intervall \((\frac{\pi}{3}; \pi)\) ist \(\cos(x) < \frac{1}{2}\), also \(g'(x) < 0\). 5. Ergebnis: \(g\) ist streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{3}]\) und streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{3}; \pi]\).

Streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{3}]\); streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{3}; \pi]\).

- Wie kannst du die Produktbedingung nutzen, um eine Zahl durch die andere auszudrücken? - Welche Funktion beschreibt die zu minimierende Summe dann in nur einer Variablen? - Wie überprüfst du, dass der gefundene stationäre Wert tatsächlich das globale Minimum liefert?

1. Sei \(x>0\) die erste und \(y>0\) die zweite Zahl. Aus \(xy=36\) folgt \(y=\frac{36}{x}\). 2. Die Zielfunktion lautet \(S(x)=x+9\cdot\frac{36}{x}=x+\frac{324}{x}\) für \(x>0\). 3. Es gilt \(S'(x)=1-\frac{324}{x^2}\). Aus \(S'(x)=0\) folgt \(x^2=324\), also wegen \(x>0\) die Lösung \(x=18\). 4. Mit \(S''(x)=\frac{648}{x^3}>0\) für \(x>0\) liegt dort ein Minimum vor. Außerdem gilt \(S(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und \(x\to\infty\), also ist das Minimum global. 5. Aus \(y=\frac{36}{18}\) folgt \(y=2\).

Die Zahlen sind \(18\) und \(2\).

- Nutze trigonometrische Identitäten wie die Doppelwinkelformeln, um die Ableitung in ein Produkt zu verwandeln. - Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. - Überprüfe das Vorzeichen der Ableitung in den Zwischenbereichen, um die Monotonie festzulegen. - Achte darauf, dass nur Lösungen innerhalb des Intervalls \([0; \pi]\) gesucht sind.

1. Ableitung bilden: \(g'(x) = 2 \cos(x) - 2 \sin(2x)\). 2. Vereinfachung der Ableitung: Mit der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) folgt \(g'(x) = 2 \cos(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 2 \cos(x)(1 - 2 \sin(x))\). 3. Nullstellen von \(g'\) in \([0; \pi]\) bestimmen: - \(2 \cos(x) = 0 \Rightarrow x_1 = \frac{\pi}{2}\). - \(1 - 2 \sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2 = \frac{\pi}{6}, x_3 = \frac{5\pi}{6}\). 4. Vorzeichen von \(g'(x)\) untersuchen: - Auf \([0; \frac{\pi}{6})\): \(g' > 0\) (streng monoton steigend). - Auf \((\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2})\): \(g' < 0\) (streng monoton fallend). - Auf \((\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6})\): \(g' > 0\) (streng monoton steigend). - Auf \((\frac{5\pi}{6}; \pi]\): \(g' < 0\) (streng monoton fallend). 5. Art der Extrempunkte (über Vorzeichenwechsel oder zweite Ableitung): - VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(x = \frac{\pi}{6}\): Hochpunkt. \(g(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5\). - VZW von \(-\) nach \(+\) bei \(x = \frac{\pi}{2}\): Tiefpunkt. \(g(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 1 - 1 = 1\). - VZW von \(+\) nach \(-\) bei \(x = \frac{5\pi}{6}\): Hochpunkt. \(g(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5\).

Die Funktion \(g\) ist streng monoton steigend auf \([0; \frac{\pi}{6}]\) und \([\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{6}]\) sowie streng monoton fallend auf \([\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}]\) und \([\frac{5\pi}{6}; \pi]\). Die lokalen Extrempunkte sind: \(H_1(\frac{\pi}{6} \mid 1{,}5)\), \(T(\frac{\pi}{2} \mid 1)\) und \(H_2(\frac{5\pi}{6} \mid 1{,}5)\).

- Welche Quotienten- und Kettenregeln sind hier hilfreich? - Wann wird ein Bruch gleich null? - Kann die Exponentialfunktion \(e^u\) jemals den Wert null annehmen? - Wie gehst du vor, um zwischen Maximum und Minimum zu unterscheiden?

1. Erste Ableitung mit der Quotientenregel (und Kettenregel für den Zähler) bestimmen: \(f'(x) = \frac{x \cdot x e^{0{,}5x^2} - e^{0{,}5x^2}}{x^2} = \frac{(x^2 - 1)e^{0{,}5x^2}}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) setzen: Da \(e^{0{,}5x^2} > 0\) für alle \(x\), muss \(x^2 - 1 = 0\) gelten, woraus \(x_1 = 1\) und \(x_2 = -1\) folgen. 3. Art der Extremstellen mit der zweiten Ableitung oder dem Vorzeichenwechselkriterium prüfen. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = \left(x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^3}\right)e^{0{,}5x^2}\). 4. Einsetzen der Werte: \(f''(1) = (1 - 1 + 2)e^{0{,}5} = 2\sqrt{e} > 0 \implies\) lokales Minimum. \(f''(-1) = (-1 + 1 - 2)e^{0{,}5} = -2\sqrt{e} < 0 \implies\) lokales Maximum.

Lokales Minimum bei \(x = 1\); lokales Maximum bei \(x = -1\). Der Funktionsterm ist nur für \(x\neq0\) definiert.

- Überprüfe, ob \(f(-x) = f(x)\) oder \(f(-x) = -f(x)\) gilt, um die Symmetrie zu bestimmen. - Überlege dir, wie sich der Exponent der \(e\)-Funktion verhält, wenn \(x\) sehr groß wird. - Erinnere dich an die Monotonie der \(e\)-Funktion: Wann ist eine Potenz mit Basis \(e\) am größten? - Für die Wendepunkte musst du die Stellen finden, an denen die Krümmung des Graphen das Vorzeichen wechselt. - Die Tangentengleichung lässt sich allgemein durch \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\) bestimmen.

1. Es gilt \(f(-x)=f(x)\); der Graph ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wegen \(1-0{,}5x^2\to-\infty\) gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). 2. Der Exponent \(1-0{,}5x^2\) besitzt bei \(x=0\) sein globales Maximum \(1\). Da die Exponentialfunktion streng steigt, ist \(H(0\mid2e)\) der Hochpunkt. 3. Es gilt \(f'(x)=-2xe^{1-0{,}5x^2}\) und \(f''(x)=2(x^2-1)e^{1-0{,}5x^2}\). Die zweite Ableitung ist für \(|x|<1\) negativ und für \(|x|>1\) positiv; sie wechselt daher bei \(x=\pm1\) das Vorzeichen. Somit sind \(W_1(-1\mid2\sqrt e)\) und \(W_2(1\mid2\sqrt e)\) echte Wendepunkte. 4. Bei \(x=1\) gilt \(f(1)=2\sqrt e\) und \(f'(1)=-2\sqrt e\). Die Tangente lautet \(y=-2\sqrt e\,x+4\sqrt e\).

a) Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\) b) Hochpunkt \(H(0 \mid 2e)\); Begründung über das Maximum des quadratischen Exponenten und die Monotonie der Exponentialfunktion. c) \(W_1(-1 \mid 2\sqrt{e})\) und \(W_2(1 \mid 2\sqrt{e})\) d) \(y = -2\sqrt{e}x + 4\sqrt{e}\)

- Wie bestimmt man den Wert einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten von Funktionen der Form \(u(t) \cdot v(t)\). - Was muss für die Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Überlege dir, welcher Teil des Funktionsterms für sehr große Werte von \(t\) gegen null geht.

1. Berechnung der Anfangskonzentration durch Einsetzen von \(t = 0\) in \(k(t)\): \(k(0) = 0{,}8 + 12 \cdot 0 \cdot e^0 = 0{,}8\,\text{mg/l}\). 2. Bestimmung der ersten Ableitung unter Verwendung der Produkt- und Kettenregel: \(k'(t) = 12 \cdot e^{-0{,}5t} + 12t \cdot (-0{,}5) \cdot e^{-0{,}5t} = (12 - 6t) \cdot e^{-0{,}5t}\). 3. Nullstelle der Ableitung: \(12 - 6t = 0 \implies t = 2\). Da \(e^{-0{,}5t} > 0\) gilt, ist \(k'(t)\) für \(0 \le t < 2\) positiv und für \(t > 2\) negativ. Daher liegt bei \(t = 2\) das Maximum. 4. Maximalwert: \(k(2) = 0{,}8 + 24 \cdot e^{-1} \approx 9{,}63\,\text{mg/l}\). 5. Wert nach \(12\,\text{Stunden}\): \(k(12) = 0{,}8 + 144 \cdot e^{-6} \approx 1{,}16\,\text{mg/l}\). 6. Grenzwert für \(t \to \infty\): Da der Term \(12t \cdot e^{-0{,}5t}\) gegen \(0\) strebt, nähert sich die Konzentration langfristig dem Wert \(0{,}8\,\text{mg/l}\) an.

a) \(0{,}8\,\text{mg/l}\) b) Nach \(2\,\text{Stunden}\); ca. \(9{,}63\,\text{mg/l}\) c) ca. \(1{,}16\,\text{mg/l}\) d) Der Grenzwert beträgt \(0{,}8\,\text{mg/l}\).

- Welche mathematische Bedingung hilft dir, Hochpunkte einer Funktion zu finden? - Nutze das Ausklammern, um die Nullstellen der Ableitungsfunktion einfacher zu finden. - Achte beim Ableiten darauf, dass der Faktor \(0{,}2\) vor der Klammer stehen bleiben kann oder direkt mit einbezogen wird. - Was passiert mit dem Exponentialterm für sehr große Werte von \(t\)?

1. Anfangstemperatur: \(f(0) = 15 + 0{,}2 \cdot 0^2 \cdot e^0 = 15\,^\circ\text{C}\). 2. Erste Ableitung: \(f'(t) = 0{,}4t \cdot e^{-0{,}1t} + 0{,}2t^2 \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1t} = (0{,}4t - 0{,}02t^2) \cdot e^{-0{,}1t}\). 3. Extremstellen: \(0{,}4t - 0{,}02t^2 = 0 \implies t \cdot (0{,}4 - 0{,}02t) = 0\). Dies liefert \(t = 0\) und \(t = 20\). Für \(0 < t < 20\) ist \(f'(t) > 0\), für \(t > 20\) ist \(f'(t) < 0\); daher liegt bei \(t = 20\) das Maximum. 4. Maximaltemperatur: \(f(20) = 15 + 0{,}2 \cdot 400 \cdot e^{-2} = 15 + 80 \cdot e^{-2} \approx 25{,}83\,^\circ\text{C}\). 5. Temperatur nach \(100\,\text{s}\): \(f(100) = 15 + 0{,}2 \cdot 10\,000 \cdot e^{-10} = 15 + 2000 \cdot e^{-10} \approx 15{,}09\,^\circ\text{C}\). 6. Grenzwert: Da \(\lim_{t \to \infty} t^2 \cdot e^{-0{,}1t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} f(t) = 15\). Im Modell nähert sich die Bauteiltemperatur langfristig \(15\,^\circ\text{C}\) an.

a) \(15\,^\circ\text{C}\) b) Nach \(20\,\text{Sekunden}\); ca. \(25{,}83\,^\circ\text{C}\) c) ca. \(15{,}09\,^\circ\text{C}\) d) Der Grenzwert ist \(15\,^\circ\text{C}\); langfristig nähert sich die Temperatur diesem Wert an.

- Überlege dir, welche Bedingung für einen Berührpunkt mit der x-Achse erfüllt sein muss. - Wie bestimmt man die Anzahl der Extremstellen einer Funktion? - Untersuche die Symmetriebedingung \(f(x) = f(-x)\) für den gegebenen Funktionsterm. - Berechne den Wert der ersten Ableitung an der Stelle \(x = 0\) in Abhängigkeit von \(k\).

1. Nullstellen liegen vor, wenn \(k - e^x = 0\), also \(x = \ln(k)\). Da \(k > 0\) vorausgesetzt ist, existiert dieser Wert stets. Da der Funktionsterm ein Quadrat ist, gilt \(f_k(x) \geq 0\). Somit ist jede Nullstelle ein lokales Minimum und damit ein Berührpunkt mit der \(x\)-Achse. Die Aussage gilt für alle \(k\). 2. Die Ableitung lautet \(f_k'(x) = 2(k - e^x) \cdot (-e^x) = -2ke^x + 2e^{2x}\). Die Bedingung \(f_k'(x) = 0\) führt auf \(e^x = k\), woraus \(x = \ln(k)\) folgt. Da \(f_k''(\ln(k)) = 2k^2 > 0\), liegt dort immer ein lokales Minimum vor. Weitere Extremstellen existieren nicht. Die Aussage gilt für alle \(k\). 3. Achsensymmetrie erfordert \(f_k(-x) = f_k(x)\) für alle \(x\). Dies entspräche \((k - e^{-x})^2 = (k - e^x)^2\), was auf \(|k - e^{-x}| = |k - e^x|\) führt. Für \(x\to\infty\) gilt \(f_k(x)\to\infty\), während \(f_k(-x)\to k^2\). Daher kann die Gleichheit für kein \(k>0\) für alle \(x\) gelten. Die Aussage gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Die Steigung an der Stelle \(x=0\) ist \(f_k'(0) = 2(k - e^0) \cdot (-e^0) = -2(k - 1) = 2 - 2k\). Diese ist positiv, wenn \(2 - 2k > 0\), also \(k < 1\). Da \(k\) auch größer oder gleich 1 sein kann, hängt die Gültigkeit vom Wert des Parameters ab.

1. Gilt für alle Werte von \(k\). 2. Gilt für alle Werte von \(k\). 3. Gilt für keinen Wert von \(k\). 4. Hängt vom Wert des Parameters \(k\) ab (positiv für \(k < 1\)).

- Wann kann der Nenner eines Bruchs Null werden? - Untersuche, ob das Ersetzen von \(x\) durch \(-x\) den Funktionsterm verändert. - Setze den Zähler gleich Null und überlege, für welche Werte von \(a\) es Lösungen gibt. - Betrachte den Grenzwert der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte.

1. Der Nenner \(x^2 + a\) darf nicht Null werden. Für \(a > 0\) ist \(x^2 + a \geq a > 0\), somit ist die Funktion für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert. Für \(a < 0\) gibt es Definitionslücken bei \(x = \pm \sqrt{-a}\). Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 2. Es gilt \(g_a(-x) = \frac{(-x)^2 - a}{(-x)^2 + a} = \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = g_a(x)\). Da dies für alle \(a \neq 0\) und alle \(x\) im Definitionsbereich gilt, ist der Graph für alle \(a\) symmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse liegen bei \(x^2 - a = 0\) vor, also \(x^2 = a\). Für \(a > 0\) ergeben sich genau zwei Schnittpunkte \((\pm \sqrt{a}|0)\). Für \(a < 0\) hat die Gleichung keine reelle Lösung, da \(x^2 \geq 0\) und \(a < 0\) ist. Die Aussage hängt somit vom Wert des Parameters \(a\) ab. 4. Für das Verhalten im Unendlichen gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - a}{x^2 + a} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - a/x^2}{1 + a/x^2} = 1\). Dieser Grenzwert ist unabhängig von \(a \neq 0\). Somit ist \(y = 1\) für alle \(a\) die waagerechte Asymptote.

1. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 2. Gilt für alle Werte von \(a\). 3. Hängt vom Wert des Parameters \(a\) ab (gilt für \(a > 0\)). 4. Gilt für alle Werte von \(a\).

- Welche Bedingung muss für ein lokales Extremum erfüllt sein? - Wie hängen die Ableitungen einer Funktion mit der Steigung und der Krümmung zusammen? - Prüfe bei Wendepunkten und Schnittpunkten immer, ob die berechneten Stellen im Definitionsbereich liegen. - Was bedeutet es geometrisch, wenn ein horizontaler Lichtstrahl genau auf die höchste Stelle des Graphen trifft?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = x \cdot e^{-0{,}2x} + 0{,}5x^2 \cdot (-0{,}2) \cdot e^{-0{,}2x} = (x - 0{,}1x^2) \cdot e^{-0{,}2x}\). \(f''(x) = (1 - 0{,}2x) \cdot e^{-0{,}2x} - 0{,}2 \cdot (x - 0{,}1x^2) \cdot e^{-0{,}2x} = (0{,}02x^2 - 0{,}4x + 1) \cdot e^{-0{,}2x}\). 2. Maximale Höhe: \(f'(x) = 0 \Rightarrow x(1 - 0{,}1x) = 0\). Im Inneren des Intervalls liegt die kritische Stelle \(x=10\). Für \(0<x<10\) ist \(f'(x)>0\), für \(10<x\leq15\) ist \(f'(x)<0\). Daher liegt das eindeutige globale Maximum bei \(x = 10\). Die Höhe beträgt \(f(10) = 0{,}5 \cdot 100 \cdot e^{-2} = 50 \cdot e^{-2} \approx 6{,}77\,\text{m}\). 3. Wendepunkte: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 0{,}02x^2 - 0{,}4x + 1 = 0 \Rightarrow x^2 - 20x + 50 = 0\). Daraus folgt \(x = 10 \pm \sqrt{50}\). Im betrachteten Intervall liegt nur \(x = 10 - \sqrt{50} \approx 2{,}93\). Rechts der Wallkrone, also für \(x>10\), gibt es im betrachteten Intervall keinen Wendepunkt. Der rechnerische rechte Wendepunkt liegt bei \(x = 10 + \sqrt{50} \approx 17{,}07\) und damit außerhalb des modellierten Walls. Im Modell ändert sich die Krümmung auf der rechten Seite des betrachteten Walls daher nicht mehr. 4. Lichtstrahl: Die Höhe der Wallkrone ist \(y = 50 \cdot e^{-2}\). Da \(x = 10\) die Stelle des eindeutigen globalen Maximums im Intervall \([0; 15]\) ist, gilt für alle anderen Stellen im betrachteten Bereich \(f(x) < 50 \cdot e^{-2}\). Der horizontale Lichtstrahl in Kronenhöhe trifft die Oberfläche rechts der Wallkrone daher im betrachteten Bereich nicht erneut.

a) Die maximale Höhe beträgt etwa \(6{,}77\,\text{m}\) an der Stelle \(x = 10\,\text{m}\). b) Rechts der Wallkrone (\(x>10\)) gibt es im betrachteten Intervall keinen Wendepunkt. Der rechnerische rechte Wendepunkt liegt bei \(x = 10 + \sqrt{50} \approx 17{,}07\) und damit außerhalb des modellierten Bereichs; im Intervall liegt nur der Wendepunkt bei \(x = 10 - \sqrt{50} \approx 2{,}93\). c) Der horizontale Lichtstrahl trifft die Oberfläche rechts der Wallkrone im Bereich \([0; 15]\) nicht erneut.

- Überlege, welcher Teil des Funktionsterms null werden kann. - Erinnere dich daran, welche Funktion für sehr große Werte von \(x\) schneller wächst: eine lineare Funktion oder eine Exponentialfunktion. - Nutze die Produktregel und die Kettenregel für die Ableitungen. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung weist auf einen Wendepunkt hin. - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung an der entsprechenden Stelle und die Koordinaten des Berührpunktes.

1. Nullstelle: \(f(x) = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\). Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, ist \(x = 2\) die einzige Nullstelle. 2. Grenzverhalten: Für \(x \to +\infty\) dominiert der exponentielle Faktor \(e^{-0{,}5x}\), sodass \(f(x) \to 0\). Für \(x \to -\infty\) gehen beide Faktoren gegen \(-\infty\) bzw. \(+\infty\), somit gilt \(f(x) \to -\infty\). 3. Extrempunkt: Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = (2 - 0{,}5x) \cdot e^{-0{,}5x}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) liefert \(x = 4\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (0{,}25x - 1{,}5) \cdot e^{-0{,}5x}\). Wegen \(f''(4) = -0{,}5 \cdot e^{-2} < 0\) liegt ein Hochpunkt vor. Koordinaten: \(H(4 \mid 2e^{-2})\). 4. Wendepunkt: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) liefert \(0{,}25x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow x = 6\). Da \(f''(x)\) an der Stelle \(x = 6\) einen Vorzeichenwechsel besitzt (einfache Nullstelle eines linearen Faktors), liegt genau ein Wendepunkt bei \(W(6 \mid 4e^{-3})\) vor. 5. Wendetangente: Die Steigung im Wendepunkt ist \(m = f'(6) = (2 - 3) \cdot e^{-3} = -e^{-3}\). Mit dem Punkt \(W(6 \mid 4e^{-3})\) ergibt die Punkt-Steigungs-Form die Gleichung \(y = -e^{-3} \cdot (x - 6) + 4e^{-3}\), vereinfacht \(y = -e^{-3}x + 10e^{-3}\).

a) Nullstelle bei \(x = 2\). b) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\). c) Hochpunkt \(H(4 \mid 2e^{-2})\). d) Einziger Wendepunkt bei \(W(6 \mid 4e^{-3})\); Wendetangente \(y = -e^{-3}x + 10e^{-3}\).

- Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. - Achte beim Ableiten besonders auf die Kettenregel bei der e-Funktion. - Die Art eines Extrempunktes lässt sich über das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmen. - Für den Nachweis des Wendepunkts ist die Untersuchung der zweiten Ableitung auf Nullstellen und Vorzeichenwechsel entscheidend. - Überlege beim Grenzverhalten, welcher Faktor den Gesamtausdruck für sehr große oder sehr kleine \(x\) dominiert.

1. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(f(x) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0\). Der Schnittpunkt ist \(S_x(0 \mid 0)\). 2. Extrempunkt: \(f'(x) = 2 \cdot e^{1-x} + 2x \cdot (-1) \cdot e^{1-x} = (2 - 2x) \cdot e^{1-x}\). Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) ergibt \(x = 1\). Zweite Ableitung: \(f''(x) = (2x - 4) \cdot e^{1-x}\). Überprüfung: \(f''(1) = -2 \cdot e^0 = -2 < 0\), also liegt ein lokales Maximum vor. Funktionswert: \(f(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^0 = 2\). Extrempunkt: \(H(1 \mid 2)\). 3. Wendepunkt: \(f''(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\). Da \(f''(x)\) eine einfache Nullstelle bei \(x = 2\) hat, findet ein Vorzeichenwechsel statt, was die Existenz genau eines Wendepunkts bestätigt. Funktionswert: \(f(2) = 4 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e}\). Wendepunkt: \(W(2 \mid 4e^{-1})\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to +\infty\) gilt \(2x \cdot e^{1-x} = 2e \cdot \frac{x}{e^x} \to 0\), da die Exponentialfunktion stärker wächst als die lineare Funktion. Für \(x \to -\infty\) gilt \(2x \to -\infty\) und \(e^{1-x} \to +\infty\), also \(f(x) \to -\infty\).

a) Schnittpunkt \(S_x(0 \mid 0)\). b) Hochpunkt \(H(1 \mid 2)\). c) Wendepunkt \(W(2 \mid 4e^{-1})\). d) \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).

- Was musst du über den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion wissen? - Wie hängen die notwendige Bedingung für Extremstellen und der Parameter \(a\) zusammen? - Welches Vorzeichen muss \(a\) haben, damit die Gleichung für die erste Ableitung eine Lösung im Definitionsbereich hat? - Wie hilft dir die zweite Ableitung dabei, die Art des Extrempunktes allgemein zu bestimmen?

1. Ableitungen berechnen: \(f_a'(x) = \frac{a}{x} - 1\) und \(f_a''(x) = -\frac{a}{x^2}\). 2. Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0\) anwenden: \(\frac{a}{x} - 1 = 0 \iff \frac{a}{x} = 1 \iff x = a\). 3. Existenzprüfung: Da der Logarithmus nur für \(x > 0\) definiert ist, muss die Lösung \(x = a\) im Definitionsbereich liegen, woraus \(a > 0\) folgt. Für \(a \leq 0\) existiert kein Extrempunkt. 4. Art des Extrempunktes bestimmen: Einsetzen der Stelle in die zweite Ableitung ergibt \(f_a''(a) = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}\). Da für die Existenz \(a > 0\) vorausgesetzt wurde, ist \(f_a''(a) < 0\), womit ein lokales Maximum (Hochpunkt) vorliegt. 5. \(y\)-Koordinate berechnen: \(f_a(a) = a \cdot \ln(a) - a = a(\ln(a) - 1)\). Die Koordinaten lauten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

Ein Extrempunkt existiert genau dann, wenn \(a > 0\) gilt. Es handelt sich um einen Hochpunkt mit den Koordinaten \(H(a \mid a(\ln(a) - 1))\).

- Welche Werte kann die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) annehmen? - Wie löst man eine Gleichung nach \(x\) auf, wenn \(x\) im Exponenten steht? - Denke an die Kettenregel beim Ableiten der Funktionenschar. - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Art des Extrempunktes aus, unabhängig vom konkreten Wert von \(x\)?

1. Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel bilden: \(h_k'(x) = ke^{kx} - 1\) und \(h_k''(x) = k^2e^{kx}\). 2. Stationäre Punkte bestimmen: \(h_k'(x) = 0 \iff ke^{kx} = 1 \iff e^{kx} = \frac{1}{k}\). 3. Existenzbedingung herleiten: Da die Exponentialfunktion \(e^{kx}\) für alle reellen Zahlen positive Werte annimmt, besitzt die Gleichung nur dann eine Lösung für \(x\), wenn \(\frac{1}{k} > 0\) gilt, was gleichbedeutend mit \(k > 0\) ist. 4. Extremstelle berechnen: Durch Logarithmieren folgt \(kx = \ln\left(\frac{1}{k}\right) = -\ln(k)\), also \(x = -\frac{\ln(k)}{k}\). 5. Art des Extrempunktes klassifizieren: Da \(k \neq 0\) ist \(k^2\) stets positiv. Da auch \(e^{kx} > 0\) gilt, ist \(h_k''(x) = k^2e^{kx} > 0\) für alle \(x\). Somit liegt an der gefundenen Stelle immer ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. Funktionswert ermitteln: \(h_k\left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{k \cdot \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right)} - \left(-\frac{\ln(k)}{k}\right) = e^{-\ln(k)} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1}{k} + \frac{\ln(k)}{k} = \frac{1 + \ln(k)}{k}\). Der Tiefpunkt ist \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

Ein Extrempunkt existiert nur für \(k > 0\). Es handelt sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten \(T\left(-\frac{\ln(k)}{k} \mid \frac{1 + \ln(k)}{k}\right)\).

- Welche Rolle spielt der stets positive Faktor \(e^x\) bei der Nullstellensuche? - Bilde die Ableitung und reduziere die Extremstellenbedingung auf eine quadratische Gleichung. - Welche Bedingung an die Diskriminante liefert genau zwei verschiedene reelle Lösungen?

1. Nullstellen erfüllen \(a-x^2=0\), also \(x^2=a\). Für \(a<0\) gibt es keine Nullstelle, für \(a=0\) genau eine und für \(a>0\) zwei Nullstellen. 2. Es ist \(g_a'(x)=(-x^2-2x+a)e^x\). Da \(e^x>0\) gilt, entsprechen die Extremstellen den Lösungen von \(x^2+2x-a=0\). 3. Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung ist \(4+4a\). Genau zwei verschiedene Lösungen und damit zwei Extremstellen existieren genau für \(4+4a>0\), also für \(a>-1\).

a) Für \(a<0\) keine Nullstelle, für \(a=0\) eine Nullstelle, für \(a>0\) zwei Nullstellen. b) Genau zwei Extrempunkte existieren für \(a>-1\).

- Wie gehst du vor, um die Ableitung eines Bruchs zu berechnen? - Was passiert mit einem Bruch, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt? - Wie beeinflusst der Exponent im Nenner das Verhalten des Graphen in der Nähe einer Definitionslücke? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Vielfachheit einer Nullstelle im Nenner und dem Vorzeichenwechsel.

1. Berechnung der Ableitungen: Mithilfe der Quotientenregel oder durch Umschreiben zu \(f(x) = 5 + \frac{17}{x - 3}\) ergibt sich die erste Ableitung \(f'(x) = -17 \cdot (x - 3)^{-2} = \frac{-17}{(x - 3)^2}\). Die zweite Ableitung lautet somit \(f''(x) = -17 \cdot (-2) \cdot (x - 3)^{-3} = \frac{34}{(x - 3)^3}\). 2. Untersuchung der Asymptote: Für \(x \to \pm \infty\) gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{34}{(x - 3)^3} = 0\). Da der Grenzwert Null ist, nähert sich der Graph \(G_{f''}\) der Geraden \(y = 0\) (der \(x\)-Achse) beliebig an. 3. Bestimmung der Polstelle: Die Polstelle von \(f''\) liegt an der Nullstelle des Nenners, also bei \(x = 3\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner von \(f''(x)\) ungerade ist (Grad 3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

a) \(f''(x) = \frac{34}{(x - 3)^3}\) b) Wegen \(\lim_{x \to \pm \infty} f''(x) = 0\) ist die \(x\)-Achse waagrechte Asymptote. c) Polstelle bei \(x = 3\); Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

- Kannst du die Funktion umschreiben, um die Kettenregel einfacher anzuwenden? - Was bedeutet es für den Graphen, wenn der Funktionswert für extrem große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Schau dir die Potenz im Nenner der zweiten Ableitung genau an – ist sie gerade oder ungerade? - Was sagt dir die Art der Polstelle über den Verlauf des Graphen links und rechts der Lücke?

1. Bestimmung der zweiten Ableitung: Die Funktion kann als \(g(x) = (x + 2)^{-2}\) geschrieben werden. Die erste Ableitung ist \(g'(x) = -2 \cdot (x + 2)^{-3} = \frac{-2}{(x + 2)^3}\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(g''(x) = -2 \cdot (-3) \cdot (x + 2)^{-4} = \frac{6}{(x + 2)^4}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Es gilt \(\lim_{x \to \infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\) und \(\lim_{x \to -\infty} \frac{6}{(x + 2)^4} = 0\). Da der Funktionswert für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte gegen Null strebt, ist die \(x\)-Achse (\(y = 0\)) die waagrechte Asymptote. 3. Analyse der Polstelle: Die Definitionslücke und damit die Polstelle von \(g''\) liegt bei \(x = -2\). Da der Nenner \((x + 2)^4\) einen geraden Exponenten besitzt, ändern die Funktionswerte an dieser Stelle ihr Vorzeichen nicht. Es handelt sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) \(g''(x) = \frac{6}{(x + 2)^4}\) b) \(\lim_{x \to \pm \infty} g''(x) = 0\), daher ist die \(x\)-Achse Asymptote. c) Polstelle bei \(x = -2\); Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Überlege zuerst, welche Werte für \(x\) im Nenner zu einer Division durch Null führen würden. - Die Art einer Polstelle lässt sich am Exponenten des Nenners in der vollständig gekürzten Form ablesen. - Wie findet man die Nullstelle einer rationalen Funktion? Betrachte dazu nur den Zähler. - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\).

1. Bestimmung der Definitionsmenge von \(f\): Der Nenner darf nicht null werden: \(4x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -0{,}5\). Somit ist \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\). Da Ableitungen rationaler Funktionen an denselben Stellen undefiniert sind wie die Ausgangsfunktion, gilt \(D_{f''} = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\). 2. Berechnung der Ableitungen: Unter Verwendung der Quotientenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{-3 \cdot (4x + 2) - 4 \cdot (6 - 3x)}{(4x + 2)^2} = \frac{-12x - 6 - 24 + 12x}{(4x + 2)^2} = \frac{-30}{(4x + 2)^2}\). Die zweite Ableitung lautet \(f''(x) = -30 \cdot (-2) \cdot (4x + 2)^{-3} \cdot 4 = \frac{240}{(4x + 2)^3}\). 3. Analyse der Polstelle von \(f''\): Die Polstelle liegt bei \(x = -0{,}5\). Da der Exponent des Linearfaktors im Nenner ungerade ist (3), handelt es sich um eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. 4. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(6 - 3x = 0 \Rightarrow x = 2\). Der Schnittpunkt ist \(S(2 \mid 0)\). 5. Tangentengleichung: Die Steigung an der Stelle \(x = 2\) ist \(f'(2) = \frac{-30}{(4 \cdot 2 + 2)^2} = \frac{-30}{100} = -0{,}3\). Mit dem Punkt \((2 \mid 0)\) folgt \(y = -0{,}3 \cdot (x - 2) + 0\), also \(y = -0{,}3x + 0{,}6\).

a) \(D_{f''} = \mathbb{R} \setminus \{-0{,}5\}\); Polstelle bei \(x = -0{,}5\) mit Vorzeichenwechsel, da die Vielfachheit der Nullstelle im Nenner von \(f''\) ungerade ist. b) \(y = -0{,}3x + 0{,}6\)

- Welche Ableitungsregel benötigst du für den Bruchterm? - Wann ist ein Bruchterm gleich null? - Wie kannst du die beiden stationären Stellen klassifizieren?

1. Mit der Quotientenregel gilt \(f'(x)=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+10)}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2+2x-8=0\), also \(x=2\) oder \(x=-4\). 3. Es ist \(f(2)=6\) und \(f(-4)=-6\). 4. Mit \(f''(x)=\frac{18}{(x+1)^3}\) gilt \(f''(2)>0\) und \(f''(-4)<0\). Daher liegen \(T(2\mid6)\) und \(H(-4\mid-6)\) vor.

Tiefpunkt \(T(2 \mid 6)\), Hochpunkt \(H(-4 \mid -6)\).

- Prüfe zuerst Nennernullstellen und mögliche Zählernullstellen. - Eine Zerlegung in einen linearen Anteil und einen Restbruch macht die Asymptoten sichtbar. - Für die Krümmung ist das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung entscheidend. - Eine Polstelle kann kein Wendepunkt sein, weil dort kein Graphenpunkt existiert.

1. Der Nenner darf nicht null sein. Daher ist \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Der Zähler \(x^2-4x+7\) hat die Diskriminante \(16-28=-12<0\); es gibt keine reellen Nullstellen. 3. Es gilt \((x-2)^2+3=x^2-4x+7\). Damit folgt \(f(x)=x-2+\frac{3}{x-2}\). 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=2\), die schräge Asymptote ist \(y=x-2\). 5. Für \(x<2\) gilt \(f''(x)<0\), also ist der Graph rechtsgekrümmt. Für \(x>2\) gilt \(f''(x)>0\), also ist er linksgekrümmt. 6. \(f''\) besitzt keine Nullstelle, und \(x=2\) gehört nicht zum Definitionsbereich. Daher besitzt \(G_f\) keinen Wendepunkt.

a) \(D=\mathbb{R}\setminus\{2\}\); keine Nullstellen. b) Asymptoten: \(x=2\) und \(y=x-2\). c) Rechtsgekrümmt für \(x<2\), linksgekrümmt für \(x>2\); keine Wendepunkte.

- Bestimme zuerst Definitionsbereich und Ableitung. - Der quadrierte Nenner der Ableitung beeinflusst ihr Vorzeichen im Definitionsbereich nicht. - Unterscheide zwischen einer Nullstelle von \(f'\) und einer Stelle, an der \(f\) gar nicht definiert ist.

1. Es gilt \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\). 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\). 3. Da der Nenner im Definitionsbereich positiv ist, bestimmt der Zähler das Vorzeichen. Somit ist \(f'>0\) für \(x<1\) und \(x>3\), während \(f'<0\) für \(1<x<2\) und \(2<x<3\) gilt. 4. Daher ist \(f\) auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\) streng steigend sowie auf \((1;2)\) und \((2;3)\) streng fallend. Bei \(x=1\) und \(x=3\) ändert sich die Monotonie; an der Polstelle \(x=2\) bleibt sie auf beiden Seiten fallend.

Monotoniewechsel bei \(x=1\) und \(x=3\); kein Monotoniewechsel an der Polstelle \(x=2\). Steigend auf \(( -\infty;1)\) und \((3;\infty)\), fallend auf \((1;2)\) und \((2;3)\).

- Welche Bedingungen müssen für das Vorhandensein von Extrem- oder Wendestellen erfüllt sein? - Erinnere dich an den Wertebereich der natürlichen Exponentialfunktion. Kann sie jemals den Wert Null oder negative Werte annehmen? - Nutze die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen, insbesondere die Kettenregel. - Überlege dir, was es für die Existenz von Punkten bedeutet, wenn eine Gleichung keine Lösung hat.

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = e^{2x} + 4\). 2. Untersuchung auf Extremstellen: Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf die Gleichung \(e^{2x} + 4 = 0\), also \(e^{2x} = -4\). Da die Exponentialfunktion \(e^u\) für alle reellen Zahlen \(u\) stets positiv ist (\(e^u > 0\)), besitzt diese Gleichung keine Lösung. Somit existieren keine Extremstellen. 3. Berechnung der zweiten Ableitung: \(f''(x) = 2e^{2x}\). 4. Untersuchung auf Wendestellen: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(2e^{2x} = 0\), also \(e^{2x} = 0\). Da die Exponentialfunktion keine Nullstellen hat, besitzt auch diese Gleichung keine Lösung. Somit existieren keine Wendestellen.

Durch die Ableitungen \(f'(x) = e^{2x} + 4\) und \(f''(x) = 2e^{2x}\) zeigt sich, dass weder die notwendige Bedingung für Extremstellen (\(f'(x) = 0\)) noch die für Wendestellen (\(f''(x) = 0\)) erfüllt werden kann, da \(e^{2x}\) stets positiv ist. Somit hat die Funktion keine Extrem- oder Wendestellen.

- Wie leitest du eine Logarithmusfunktion ab, in deren Argument eine weitere Funktion steht? - Welche Rolle spielt der Zähler eines Bruchs bei der Suche nach Nullstellen? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitungsfunktionen. Wenn eine Ableitung immer positiv ist, was sagt das über die Existenz von Nullstellen aus? - Kannst du die Quotientenregel sicher auf den Term der ersten Ableitung anwenden?

1. Erste Ableitung mit der Kettenregel bestimmen: \(g'(x) = \frac{1}{e^x + 5} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x + 5}\). 2. Da \(e^x > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), ist der Zähler stets positiv und der Nenner \(e^x + 5\) ebenfalls stets positiv. Daraus folgt \(g'(x) > 0\) für alle \(x\). Die notwendige Bedingung \(g'(x) = 0\) ist nie erfüllt, weshalb keine Extremstellen vorliegen. 3. Zweite Ableitung mit der Quotientenregel bestimmen: \(g''(x) = \frac{e^x \cdot (e^x + 5) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 5)^2} = \frac{e^{2x} + 5e^x - e^{2x}}{(e^x + 5)^2} = \frac{5e^x}{(e^x + 5)^2}\). 4. Da \(5e^x > 0\) und \((e^x + 5)^2 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gilt \(g''(x) > 0\). Die notwendige Bedingung \(g''(x) = 0\) für Wendestellen ist somit für kein \(x\) erfüllt.

Die erste Ableitung \(g'(x) = \frac{e^x}{e^x + 5}\) ist für alle \(x\) positiv, sodass keine waagerechten Tangenten und damit keine Extremstellen existieren. Die zweite Ableitung \(g''(x) = \frac{5e^x}{(e^x + 5)^2}\) ist ebenfalls für alle \(x\) positiv, woraus folgt, dass keine Wendestellen existieren.

- Prüfe den Nenner auf mögliche Nullstellen und teste anschließend \(f(-x)\). - Bei gleich hohen Graden von Zähler und Nenner bestimmt das Verhältnis der führenden Koeffizienten den Grenzwert. - Nutze für die Ableitungen die in Grade 12 verfügbaren Quotienten- und Kettenregeln. - Vorzeichenwechsel der Ableitungen entscheiden über Extrem- und Wendestellen.

1. Da \(x^2+2>0\) für alle reellen \(x\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Aus \(8-2x^2=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). 2. Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to-2\). 3. Die Quotientenregel liefert \(f'(x)=\frac{-24x}{(x^2+2)^2}\). Damit steigt \(f\) für \(x<0\) und fällt für \(x>0\). Es liegt der Hochpunkt \(H(0\mid4)\) vor. 4. Es gilt \(f''(x)=\frac{72x^2-48}{(x^2+2)^3}\). Aus \(72x^2-48=0\) folgt \(x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}=\pm\frac{\sqrt6}{3}\). Dort ist \(f(x)=2{,}5\), und der Zähler von \(f''\) wechselt jeweils das Vorzeichen. 5. Die Wendepunkte sind daher \(W_1(-\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5)\) und \(W_2(\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5)\).

a) \(D_f=\mathbb{R}\); Nullstellen: \(x=-2\), \(x=2\). b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=-2\). c) Hochpunkt \(H(0\mid4)\). d) Wendepunkte \(W_{1,2}(\pm\frac{\sqrt6}{3}\mid2{,}5)\).

- Bestimme das Vorzeichen der Ableitung auf beiden Ästen. - Untersuche für die Grenzwerte nur den Bruchterm mit wachsendem Nenner. - Strenge Monotonie und Unbeschränktheit sind unterschiedliche Eigenschaften.

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}>0\) für alle \(x\neq1\). Daher ist \(f\) auf beiden Definitionsintervallen streng steigend. 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(\frac{2}{x-1}\to0\). Somit ist \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=3\). 3. Die Aussage ist falsch. Strenge Monotonie schließt einen endlichen Grenzwert nicht aus; hier nähert sich der Graph der waagrechten Asymptote \(y=3\).

1. \(f\) ist auf \(( -\infty;1)\) und \((1;\infty)\) streng steigend. 2. Beide Grenzwerte sind \(3\). 3. Die Aussage ist falsch; der Graph besitzt die waagrechte Asymptote \(y=3\).

- Beginne mit Definitionsbereich und Nennernullstellen. - Bei der Quotientenregel entscheidet nach dem Vereinfachen vor allem das Vorzeichen des Zählers. - Für die Tangente brauchst du Funktionswert und Ableitungswert bei \(x=0\).

1. Aus \(x^2-9=0\) folgen die senkrechten Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). Wegen des höheren Nennergrades gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\); also ist \(y=0\) waagrechte Asymptote. 2. Mit der Quotientenregel erhält man \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0\) im gesamten Definitionsbereich. Daher ist \(f\) auf jedem der drei Definitionsintervalle streng fallend. 3. Es gilt \(f(0)=0\) und \(f'(0)=-\frac{5}{9}\). Die Tangente lautet \(y=-\frac{5}{9}x\).

a) Senkrechte Asymptoten: \(x=-3\), \(x=3\); waagrechte Asymptote: \(y=0\). b) \(f'(x)=-\frac{5(x^2+9)}{(x^2-9)^2}\); streng fallend auf allen drei Definitionsintervallen. c) \(y=-\frac{5}{9}x\)

- Leite \(F\) direkt ab und vergleiche den erhaltenen Term mit \(f\). - Welche Ableitung gibt Auskunft über die Extremstellen, und welche über die Wendestellen? - Überlege dir, wie du die Monotonie einer Funktion mithilfe ihrer Ableitung bestimmen kannst. - Achte beim Bereich \(x < 0\) besonders auf die Vorzeichen von ungeraden Potenzen.

1. Ableitung von \(F\): \(F'(x) = \left(0{,}5x + 4 + 2x^{-1}\right)' = 0{,}5 - 2x^{-2} = \frac{0{,}5x^2 - 2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}=f(x)\). 2. Extrempunkte von \(F\): Bedingung \(F'(x)=f(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). Zweite Ableitung \(F''(x) = f'(x) = 4x^{-3}\). Prüfung: \(F''(2) = 0{,}5 > 0 \Rightarrow\) Tiefpunkt bei \(T(2 \mid 6)\); \(F''(-2) = -0{,}5 < 0 \Rightarrow\) Hochpunkt bei \(H(-2 \mid 2)\). 3. Wendepunkte: Notwendige Bedingung für \(F\) ist \(F''(x) = 0\), jedoch ist \(4x^{-3} \neq 0\) für alle \(x\). Für \(f\) ist \(f''(x) = -12x^{-4} \neq 0\) für alle \(x\). Somit haben beide Graphen keine Wendepunkte. 4. Monotonie für \(x < 0\): \(f'(x) = 4x^{-3} < 0 \Rightarrow f\) ist streng monoton fallend. \(f''(x) = -12x^{-4} < 0 \Rightarrow f'\) ist streng monoton fallend. \(f'''(x) = 48x^{-5} < 0 \Rightarrow f''\) ist streng monoton fallend. Alle drei Funktionen weisen im Bereich \(x < 0\) das gleiche Monotonieverhalten auf.

a) \(F'(x)=f(x)\) b) \(H(-2 \mid 2)\) (Hochpunkt) und \(T(2 \mid 6)\) (Tiefpunkt) c) Die Gleichungen \(F''(x) = 0\) und \(f''(x) = 0\) besitzen keine Lösungen. d) Alle drei Funktionen \(f, f'\) und \(f''\) sind im Bereich \(x < 0\) streng monoton fallend.

- Bestimme zuerst die Nennernullstellen und damit den Definitionsbereich. - Untersuche für die Krümmung getrennt Zähler- und Nennervorzeichen von \(f''\). - Ein Krümmungsunterschied zwischen getrennten Ästen ist nicht dasselbe wie ein Wendepunkt.

1. Es ist \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\). Die Ableitungen sind \(f'(x)=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\) und \(f''(x)=\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\). 2. Der Zähler \(6x^2+2\) ist für alle reellen \(x\) positiv. Daher hat \(f''\) im Definitionsbereich keine Nullstelle. 3. Für \(|x|>1\) gilt \(f''(x)>0\), also ist der Graph linksgekrümmt. Für \(|x|<1\) gilt \(f''(x)<0\), also ist er rechtsgekrümmt. 4. Die Graphenäste sind an \(x=-1\) und \(x=1\) durch Polstellen getrennt. Dort existiert kein Graphenpunkt; deshalb können diese Stellen keine Wendepunkte sein.

1. \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1;1\}\); \(f''(x)=\frac{6x^2+2}{(x^2-1)^3}\). 2. Keine Nullstellen von \(f''\). 3. Linksgekrümmt auf \(( -\infty;-1)\) und \((1;\infty)\); rechtsgekrümmt auf \((-1;1)\). 4. An den Polstellen liegen keine Wendepunkte, weil dort keine Funktionswerte existieren.

- Nutze die Produktregel für die Ableitung und achte beim \(e\)-Term auf die Kettenregel. - Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist. - Du kannst die Art des Extrempunkts entweder über die zweite Ableitung oder über das Monotonieverhalten bestimmen. - Der Begriff „Lage“ fragt nach den vollständigen Koordinaten \((x \mid y)\).

1. Ableitung mit der Produkt- und Kettenregel bestimmen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + 2) \cdot e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} \cdot (1 - (x + 2)) = e^{-x} \cdot (-x - 1)\). 2. Waagerechte Tangenten finden durch \(g'(x) = 0\): Da \(e^{-x} \neq 0\), muss \(-x - 1 = 0\) gelten, woraus \(x = -1\) folgt. 3. Art des Extrempunkts prüfen, zum Beispiel mit der zweiten Ableitung: \(g''(x) = -e^{-x} \cdot (-x - 1) + e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x} \cdot (x + 1 - 1) = x \cdot e^{-x}\). Einsetzen des kritischen Wertes liefert \(g''(-1) = -1 \cdot e^1 = -e < 0\). Somit liegt an der Stelle \(x = -1\) ein lokales Maximum vor. 4. \(y\)-Koordinate berechnen: \(g(-1) = (-1 + 2) \cdot e^{-(-1)} = 1 \cdot e^1 = e\). Der Extrempunkt ist der Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\).

Der Graph von \(g\) hat den Hochpunkt \(H(-1 \mid e)\).

- Die Nullstellen einer gebrochenrationalen oder kombinierten Funktion findest du, indem du den Zähler gleich null setzt. - Überlege dir beim Verhalten im Unendlichen, welcher Teil der Funktion (Polynom oder \(e\)-Funktion) dominiert. - Für die Ableitung kannst du entweder die Quotientenregel nutzen oder die Funktion als Produkt \((x^2 - 3x + 1) \cdot e^{-x}\) schreiben. - Achte auf das Vorzeichen der Ableitung zwischen den kritischen Stellen, um die Art der Extrema zu bestimmen.

1. Nullstellen: \(x^2 - 3x + 1 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 \approx 0{,}38\) und \(x_2 \approx 2{,}62\). 2. Verhalten für \(x \to +\infty\): Da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als das quadratische Polynom im Zähler, gilt \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 1}{e^x} = 0\). Die waagrechte Asymptote ist die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Verhalten für \(x \to -\infty\): Für \(x \to -\infty\) strebt \(x^2 - 3x + 1 \to +\infty\) und \(e^x \to 0^+\). Damit gilt \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\). 4. Extrempunkte: Mit der Quotientenregel gilt \(g'(x) = \frac{(2x - 3)e^x - (x^2 - 3x + 1)e^x}{(e^x)^2} = \frac{-x^2 + 5x - 4}{e^x}\). Nullstellen der Ableitung: \(-x^2 + 5x - 4 = 0 \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0\). 5. Art der Extrema: Die Parabel \(-x^2 + 5x - 4\) ist nach unten geöffnet. Vorzeichenwechsel von \(g'\) bei \(x = 1\) von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt) und bei \(x = 4\) von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt). 6. Koordinaten: \(g(1) = \frac{1-3+1}{e^1} = -\frac{1}{e}\) und \(g(4) = \frac{16-12+1}{e^4} = \frac{5}{e^4}\). Tiefpunkt \(T(1 \mid -e^{-1})\), Hochpunkt \(H(4 \mid 5e^{-4})\).

a) \(x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\). b) \(\lim_{x \to +\infty} g(x) = 0\); waagrechte Asymptote \(y = 0\). c) \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty\). d) Tiefpunkt \(T(1 \mid -e^{-1})\), Hochpunkt \(H(4 \mid 5e^{-4})\).

- Überlege dir, ob du die Funktion vor dem Ableiten vereinfachen kannst, um die Rechnung zu erleichtern. - Wie hängen die Steigung der Tangente und der Wert der Ableitungsfunktion an einer bestimmten Stelle zusammen? - Erinnere dich an die allgemeine Form einer Geradengleichung. - Was sagt der Exponent eines Linearfaktors im Nenner über das Verhalten an der Polstelle aus?

1. Bestimmung der Ableitungsfunktion \(f'\): Durch Anwendung der Quotientenregel oder vorheriges Ausmultiplizieren und Aufteilen des Bruchs ergibt sich \(f(x) = \frac{9x^2 - 12x + 4}{2x} = 4{,}5x - 6 + \frac{2}{x}\). Die Ableitung lautet \(f'(x) = 4{,}5 - \frac{2}{x^2}\) bzw. \(f'(x) = \frac{9x^2 - 4}{2x^2}\). 2. Berechnung der Steigung im Punkt \(P\): Einsetzen von \(x = 1\) in \(f'(x)\) ergibt \(f'(1) = 4{,}5 - \frac{2}{1^2} = 2{,}5\). 3. Aufstellen der Tangentengleichung: Mit der Punkt-Steigungs-Form \(y = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1)\) folgt \(y = 2{,}5 \cdot (x - 1) + 0{,}5 = 2{,}5x - 2{,}5 + 0{,}5\). Die Gleichung lautet \(y = 2{,}5x - 2\). 4. Bestimmung der Polstelle von \(f'\): Der Nenner von \(f'(x) = \frac{9x^2 - 4}{2x^2}\) wird bei \(x = 0\) null. Da der Zähler \(9 \cdot 0^2 - 4 = -4 \neq 0\) ist, liegt bei \(x = 0\) eine Polstelle vor. Da die Variable im Nenner im Quadrat steht (\(x^2\)), handelt es sich um eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

a) Die Tangentengleichung lautet \(y = 2{,}5x - 2\). b) Die Ableitungsfunktion \(f'\) besitzt an der Stelle \(x = 0\) eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

- Überlege dir, was der Funktionswert an der Stelle Null im Modell bedeutet. - Erinnere dich an die Quotientenregel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). - Was sagt das Vorzeichen der ersten Ableitung über den Verlauf eines Graphen aus? - Betrachte das Verhalten der Funktion, wenn der Nenner immer größer wird, während der Zähler konstant bleibt.

1. Berechnung der Beleuchtungsstärke bei \(d = 0\): \(I(0) = \frac{800}{(0+2)^2} = \frac{800}{4} = 200\). Die Beleuchtungsstärke beträgt dort \(200\,\text{lx}\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: Setze \(u(d) = 800\) und \(v(d) = (d+2)^2 = d^2 + 4d + 4\). Dann ist \(u'(d) = 0\) und \(v'(d) = 2d + 4\). 3. Berechnung von \(I'(d)\): \(I'(d) = \frac{0 \cdot (d+2)^2 - 800 \cdot (2d+4)}{(d+2)^4} = \frac{-1600(d+2)}{(d+2)^4} = \frac{-1600}{(d+2)^3}\). 4. Da \((d+2)^3 > 0\) für alle \(d \ge 0\) und der Zähler \(-1600\) negativ ist, gilt \(I'(d) < 0\) für alle \(d \ge 0\). Damit ist die Funktion \(I\) in diesem Bereich streng monoton fallend. 5. Grenzwertbestimmung: Da der Grad des Nennerpolynoms größer ist als der des Zählerpolynoms, gilt \(\lim_{d \to \infty} \frac{800}{(d+2)^2} = 0\). Im Modell nähert sich die Beleuchtungsstärke mit wachsender Entfernung dem Wert \(0\,\text{lx}\) an.

a) \(I(0) = 200\,\text{lx}\). Dies ist die im Modell bei \(d=0\) vorliegende Beleuchtungsstärke. b) Die Ableitung \(I'(d) = \frac{-1600}{(d+2)^3}\) ist für alle \(d \ge 0\) negativ; daher nimmt \(I\) streng monoton ab. c) \(\lim_{d \to \infty} I(d) = 0\). Die Beleuchtungsstärke nähert sich im Modell mit wachsender Entfernung \(0\,\text{lx}\) an.

- Was bedeutet eine Konzentration von Null zu Beginn der Beobachtung? - Achte beim Ableiten darauf, den Zählerterm \(10(t^2 + 4)\) korrekt auszumultiplizieren und mit dem Term \(-10t(2t)\) zu verrechnen. - Das Vorzeichen des Zählers der Ableitung bestimmt, ob die Konzentration steigt oder fällt, da der Nenner ein Quadrat und somit immer positiv ist. - Überlege dir, welcher Teil der Funktion bei sehr großen Werten von \(t\) schneller wächst: der Zähler oder der Nenner?

1. Konzentration bei \(t = 0\): \(c(0) = \frac{10 \cdot 0}{0^2 + 4} = 0\,\text{mg}/\text{l}\). 2. Ableitung mit Quotientenregel: \(u(t) = 10t \implies u'(t) = 10\); \(v(t) = t^2 + 4 \implies v'(t) = 2t\). 3. Berechnung von \(c'(t)\): \(c'(t) = \frac{10(t^2 + 4) - 10t(2t)}{(t^2 + 4)^2} = \frac{10t^2 + 40 - 20t^2}{(t^2 + 4)^2} = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}\). 4. Monotonieuntersuchung: \(c'(t) = 0 \iff 40 - 10t^2 = 0 \iff t^2 = 4 \iff t = 2\) (da \(t \ge 0\)). 5. Für \(0 \le t < 2\) ist \(c'(t) > 0\) (z. B. \(c'(1) = \frac{30}{25} > 0\)), also ist \(c\) dort streng monoton steigend (Wirkstoffaufnahme). Für \(t > 2\) ist \(c'(t) < 0\) (z. B. \(c'(3) = \frac{-50}{169} < 0\)), also ist \(c\) dort streng monoton fallend (Wirkstoffabbau). 6. Grenzwert: \(\lim_{t \to \infty} \frac{10t}{t^2 + 4} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{10}{t}}{1 + \frac{4}{t^2}} = 0\). Im Modell nähert sich die Wirkstoffkonzentration langfristig dem Wert Null an.

a) \(c(0) = 0\,\text{mg}/\text{l}\). b) \(c'(t) = \frac{40 - 10t^2}{(t^2 + 4)^2}\). c) Im Intervall \([0; 2]\) ist die Funktion streng monoton steigend (Anstieg der Konzentration), für \(t > 2\) ist sie streng monoton fallend (Abbau des Wirkstoffs). d) Die Konzentration nähert sich dem Grenzwert \(0\,\text{mg}/\text{l}\) an.

- Wie hängen die Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung mit dem Verlauf des Graphen zusammen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn man sich der Definitionslücke nähert? - Kannst du die Funktion umschreiben, um die Ableitungen leichter zu berechnen? - Wann genau hat ein Graph eine senkrechte Asymptote?

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{-3}{(x+1)^2}\) und \(f''(x) = \frac{6}{(x+1)^3}\). Da \((x+1)^2 > 0\) für alle \(x \in D_f\), gilt \(f'(x) < 0\). Somit ist \(f\) in den Intervallen \(]-\infty; -1[\) und \(]-1; \infty[\) jeweils streng monoton fallend. Für das Krümmungsverhalten betrachte man das Vorzeichen von \(f''(x)\): Für \(x < -1\) ist \((x+1)^3 < 0\), also \(f''(x) < 0\) (Rechtskrümmung). Für \(x > -1\) ist \((x+1)^3 > 0\), also \(f''(x) > 0\) (Linkskrümmung). 2. Die Nullstelle des Nenners von \(f\) liegt bei \(x = -1\). Da der Zähler \(2(-1)+5 = 3 \neq 0\) ist, besitzt \(G_f\) die senkrechte Asymptote \(x = -1\). Die Ableitungen \(f'(x) = -3(x+1)^{-2}\) und \(f''(x) = 6(x+1)^{-3}\) haben ebenfalls ausschließlich bei \(x = -1\) eine Definitionslücke. Da die Zähler konstant ungleich Null sind, gilt \(\lim_{x \to -1} |f'(x)| = \infty\) und \(\lim_{x \to -1} |f''(x)| = \infty\). Somit haben auch \(G_{f'}\) und \(G_{f''}\) die senkrechte Asymptote \(x = -1\).

1. Monotonie: streng monoton fallend für \(x < -1\) und für \(x > -1\). Krümmung: rechtsgekrümmt für \(x < -1\), linksgekrümmt für \(x > -1\). 2. Senkrechte Asymptote von \(G_f\): \(x = -1\). Da auch bei \(f'\) und \(f''\) der Nenner für \(x \to -1\) gegen Null geht, während der Zähler konstant bleibt, ist \(x = -1\) die gemeinsame senkrechte Asymptote.

- Überlege dir, für welche Werte der Nenner einer rationalen Funktion null wird. - Erinnere dich an die Definitionen von Achsen- und Punktsymmetrie. - Schau dir den Grad des Zählers und des Nenners an, um die waagrechte Asymptote zu finden. - Nutze die Quotientenregel für die Ableitung und achte beim Vereinfachen des Zählers auf die Vorzeichen. - Ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung gibt dir Auskunft über die Art eines Extrempunkts.

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen bei \(x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1\), also \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\). Nullstellen: Zählernullstellen bei \(x^2 - 2 = 0 \implies x_1 = -\sqrt{2}, x_2 = \sqrt{2}\). 2. Symmetrie: \(f(-x) = \frac{(-x)^2 - 2}{(-x)^2 - 1} = \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} = f(x)\), somit ist \(G_f\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Asymptoten: Senkrechte Asymptoten (Polstellen) bei \(x = -1\) und \(x = 1\). Waagrechte Asymptote: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 2}{x^2 - 1} = 1\), also \(y = 1\). 4. Ableitung: \(f'(x) = \frac{2x \cdot (x^2 - 1) - (x^2 - 2) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x - 2x^3 + 4x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x}{(x^2 - 1)^2}\). 5. Monotonie: Da der Nenner stets positiv ist, hängt das Vorzeichen von \(f'(x)\) nur von \(2x\) ab. \(f\) ist streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; -1[\) und \(x \in ]-1; 0]\); streng monoton steigend für \(x \in [0; 1[\) und \(x \in ]1; \infty[\). 6. Extrempunkt: Bei \(x = 0\) liegt eine Nullstelle der Ableitung mit Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor, daher ist \(S(0 \mid f(0)) = S(0 \mid 2)\) ein lokaler Tiefpunkt.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}\); Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{2}\) b) Achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse; senkrechte Asymptoten \(x = 1, x = -1\); waagrechte Asymptote \(y = 1\) c) Streng monoton fallend in \(]-\infty; -1[\) und \(]-1; 0]\); streng monoton steigend in \([0; 1[\) und \(]1; \infty[\) d) \(f'(0) = 0\) und Vorzeichenwechsel von \(f'\) an der Stelle \(x = 0\) von negativ zu positiv belegt den lokalen Tiefpunkt.

- Wann kann ein Bruch den Wert null annehmen? - Was passiert mit dem Funktionswert, wenn der Nenner gegen null geht, der Zähler aber nicht? - Für das Verhalten im Unendlichen kannst du die höchste Potenz von \(x\) ausklammern oder die Regel für den Vergleich der Grade von Zähler und Nenner nutzen. - Denke beim Ableiten an die Formel \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

1. Definitionsmenge: Nennernullstellen \(x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3\), also \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\). Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = \frac{3}{-9} = -\frac{1}{3} \implies S_y(0 \mid -\frac{1}{3})\). Nullstellen: \(x^2 + 3 = 0\) hat keine reellen Lösungen, da \(x^2 + 3 \geq 3\). 2. Grenzwerte im Unendlichen: \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 1\). Daher ist \(y = 1\) eine waagrechte Asymptote. 3. Verhalten an den Rändern der Definitionsmenge: \(\lim_{x \to -3^-} h(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -3^+} h(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = +\infty\). Somit sind \(x=-3\) und \(x=3\) senkrechte Asymptoten. 4. Ableitung: \(h'(x) = \frac{2x(x^2 - 9) - (x^2 + 3)(2x)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{2x^3 - 18x - 2x^3 - 6x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-24x}{(x^2 - 9)^2}\). 5. Extrempunkt: \(h'(x) = 0 \implies -24x = 0 \implies x = 0\). Da \(h'(x) > 0\) für \(x < 0\) und \(h'(x) < 0\) für \(x > 0\), liegt ein lokaler Hochpunkt bei \(H(0 \mid -\frac{1}{3})\) vor.

a) \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\); \(S_y(0 \mid -\frac{1}{3})\); keine Nullstellen, da \(x^2 + 3 > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\). b) \(\lim_{x \to \pm \infty} h(x) = 1\); waagrechte Asymptote \(y = 1\). Außerdem gilt \(\lim_{x \to -3^-} h(x) = +\infty\), \(\lim_{x \to -3^+} h(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to 3^-} h(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 3^+} h(x) = +\infty\); senkrechte Asymptoten \(x=-3\) und \(x=3\). c) \(h'(x) = \frac{-24x}{(x^2 - 9)^2}\); lokaler Hochpunkt \(H(0 \mid -\frac{1}{3})\).

- Bestimme \(g'\) mit der Quotientenregel und trenne die Vorzeichenanalyse von Zähler und Nenner. - Die Nullstellen des Zählers von \(g'\) teilen die Zahlengerade in Monotonieintervalle. - Berechne nach der Klassifikation die zugehörigen Funktionswerte.

1. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{27-3x^2}{(x^2+9)^2}\). 2. Die Nullstellen von \(g'\) sind \(x=-3\) und \(x=3\). Der Nenner ist stets positiv; daher bestimmt \(27-3x^2\) das Vorzeichen. 3. Somit fällt \(g\) für \(x<-3\), steigt für \(-3<x<3\) und fällt für \(x>3\). 4. Bei \(x=-3\) wechselt \(g'\) von negativ zu positiv: \(T(-3\mid-0{,}5)\). Bei \(x=3\) wechselt \(g'\) von positiv zu negativ: \(H(3\mid0{,}5)\).

Streng fallend auf \(( -\infty;-3]\) und \([3;\infty)\), streng steigend auf \([-3;3]\). Tiefpunkt: \(T(-3\mid-0{,}5)\) Hochpunkt: \(H(3\mid0{,}5)\)

- Wie findet man die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse und der \(y\)-Achse? - Welcher Teil der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Erinnere dich an die Quotientenregel oder schreibe die Funktion als Produkt um. - Das Vorzeichen der Ableitung gibt dir Auskunft über die Art der Extrema.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(g(0) = \frac{-3}{e^0} = -3\). Punkt \(S_y(0 \mid -3)\). 2. Nullstellen: \(x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -\sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3}\). Punkte \(N_1(-\sqrt{3} \mid 0), N_2(\sqrt{3} \mid 0)\). 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3}{e^x} = 0\), da die Exponentialfunktion im Nenner stärker wächst als die ganzrationale Funktion im Zähler. \(\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-3}{e^x} = \lim_{x \to -\infty} (x^2-3)e^{-x} = \infty \cdot \infty = \infty\). 4. Ableitung: \(g'(x) = \frac{2x \cdot e^x - (x^2-3) \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(-x^2+2x+3)}{(e^x)^2} = \frac{-x^2+2x+3}{e^x}\). 5. Kritische Stellen: \(-x^2+2x+3 = 0 \Leftrightarrow x^2-2x-3 = 0 \Leftrightarrow (x-3)(x+1) = 0\). Lösungen sind \(x_3 = -1\) und \(x_4 = 3\). 6. Art der Extrema: Der Zähler der Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(-1\) und \(3\). Bei \(x = -1\): Vorzeichenwechsel von minus nach plus \(\rightarrow\) lokaler Tiefpunkt. Bei \(x = 3\): Vorzeichenwechsel von plus nach minus \(\rightarrow\) lokaler Hochpunkt. 7. Funktionswerte: \(g(-1) = \frac{(-1)^2-3}{e^{-1}} = -2e \approx -5{,}44\). \(g(3) = \frac{3^2-3}{e^3} = \frac{6}{e^3} \approx 0{,}30\). Tiefpunkt \(T(-1 \mid -2e)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

a) Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: \(N_1(-\sqrt{3} \mid 0)\), \(N_2(\sqrt{3} \mid 0)\); Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(S_y(0 \mid -3)\). b) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = 0\); \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\). c) Tiefpunkt \(T(-1 \mid -2e)\), Hochpunkt \(H(3 \mid 6e^{-3})\).

- Vereinfache den Funktionsterm, bevor du die Ordnung der Polstelle beurteilst. - Bestimme \(f'\) anschließend aus dem gekürzten Quotienten. - Vergleiche das Vorzeichen von \(f'\) auf beiden Seiten von \(x=-3\).

1. Für \(x\neq-3\) lässt sich \(f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{x-3}{x+3}\) vereinfachen. Deshalb bleibt bei \(x=-3\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Laras Aussage ist falsch. 2. Mit der Quotientenregel für \(\frac{x-3}{x+3}\) erhält man \(f'(x)=\frac{(x+3)-(x-3)}{(x+3)^2}=\frac{6}{(x+3)^2}\). 3. \(f'\) besitzt bei \(x=-3\) eine Polstelle 2. Ordnung und ist auf beiden Seiten positiv. Daher ist \(f\) auf beiden Ästen streng steigend; Toms Aussage ist korrekt.

Lara liegt falsch: Nach dem Kürzen bleibt für \(f\) eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Tom liegt richtig: \(f'(x)=\frac{6}{(x+3)^2}>0\) auf beiden Seiten der Polstelle, daher ändert sich die Monotonierichtung nicht.

- Worauf musst du bei einem Bruch mit einer Wurzel im Nenner achten, wenn du die Definitionsmenge bestimmst? - Welche Ableitungsregeln sind hier kombiniert sinnvoll? Erinnere dich an die Quotientenregel und die Kettenregel. - Wie kannst du den Zähler eines Doppelbruchs vereinfachen, um auf die Zielform zu kommen? - Welche Bedingung muss für die Steigung einer waagerechten Tangente erfüllt sein? - Wann genau wird ein Bruch gleich null?

1. Bestimmung der Definitionsmenge: Der Radikand unter der Wurzel muss positiv sein, also \(x-2 > 0\), woraus \(x > 2\) folgt. Somit ist \(D = ]2; \infty[\). 2. Ableitung mit der Quotientenregel: Mit \(u(x) = x+2\) und \(v(x) = \sqrt{x-2}\) ergibt sich \(u'(x) = 1\) und \(v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}\). 3. Einsetzen in die Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x-2} - (x+2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}}}{(\sqrt{x-2})^2}\). 4. Umformung des Zählers durch Erweitern mit \(2\sqrt{x-2}\): \(\frac{2(x-2) - (x+2)}{2\sqrt{x-2} \cdot (x-2)} = \frac{2x - 4 - x - 2}{2\sqrt{(x-2)^3}} = \frac{x-6}{2\sqrt{(x-2)^3}} = \frac{0{,}5x - 3}{\sqrt{(x-2)^3}}\). 5. Bedingung für waagerechte Tangente: \(f'(x) = 0\). Da der Nenner für \(x \in D\) stets positiv ist, muss der Zähler null sein: \(0{,}5x - 3 = 0 \implies x = 6\). 6. Berechnung der \(y\)-Koordinate: \(f(6) = \frac{6+2}{\sqrt{6-2}} = \frac{8}{\sqrt{4}} = 4\). Der gesuchte Punkt ist \(P(6 \mid 4)\).

a) \(D = ]2; \infty[\) b) Nachweis durch Quotientenregel: \(f'(x) = \frac{\sqrt{x-2} - \frac{x+2}{2\sqrt{x-2}}}{x-2} = \dots = \frac{0{,}5x - 3}{\sqrt{(x-2)^3}}\) c) \(P(6 \mid 4)\)

- Verwende die Quotientenregel und achte beim Ableiten der Wurzel auf die Kettenregel (Nachdifferenzieren!). - Wie kannst du den Zähler des Bruchs so umformen, dass die Wurzel dort verschwindet? - Überlege dir, welche mathematische Bedingung für eine waagerechte Tangente gelten muss. - Schau dir den Zähler deines Ergebnisses aus Aufgabenteil a) genau an – kann dieser jemals den benötigten Wert annehmen?

1. Ableitung mit der Quotientenregel: Setze \(u(x) = \sqrt{x^2+12}\) und \(v(x) = x\). Es gilt \(u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+12}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+12}}\) und \(v'(x) = 1\). 2. Anwendung der Regel: \(g'(x) = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+12}} \cdot x - \sqrt{x^2+12} \cdot 1}{x^2}\). 3. Vereinfachung des Zählers: Durch Gleichnamigmachen erhält man \(\frac{x^2 - (x^2+12)}{\sqrt{x^2+12}}\), was zu \(\frac{-12}{\sqrt{x^2+12}}\) führt. 4. Zusammenfassen zum Endergebnis: \(g'(x) = \frac{-12}{x^2\sqrt{x^2+12}}\). 5. Begründung zur waagerechten Tangente: Eine waagerechte Tangente erfordert \(g'(x) = 0\). Ein Bruch ist nur dann null, wenn sein Zähler null ist. Da der Zähler hier konstant \(-12\) ist, kann die Gleichung \(-12 = 0\) niemals erfüllt werden. Somit gibt es keine Stellen mit waagerechter Tangente.

a) Nachweis durch Ableiten: \(g'(x) = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+12}} - \sqrt{x^2+12}}{x^2} = \dots = -\frac{12}{x^2\sqrt{x^2+12}}\) b) Da der Zähler der Ableitungsfunktion konstant \(-12 \neq 0\) ist, besitzt \(g'(x)\) keine Nullstellen und der Graph somit keine waagerechten Tangenten.

- Wie findet man die Stellen, an denen ein Graph die Achsen berührt oder schneidet? - Überlege dir, was mit dem Wert unter der Wurzel passiert, wenn \(x\) sehr kleine (negative) Werte annimmt. - Nutze die Kettenregel für die Ableitungen und achte auf die innere Ableitung. - Was sagt ein unendlicher Grenzwert der Ableitung über die Steigung des Graphen an dieser Stelle aus?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0) = \sqrt{10} - 2\), also \(S_y(0 \mid \sqrt{10} - 2)\). Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse: \(\sqrt{10 - 2x} - 2 = 0 \Rightarrow 10 - 2x = 4 \Rightarrow x = 3\), also \(N(3 \mid 0)\). 2. Für \(x \to -\infty\) wird der Radikand \(10 - 2x\) beliebig groß, somit gilt \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\). 3. Mit der Kettenregel ergibt sich \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{10 - 2x}} \cdot (-2) = -(10 - 2x)^{-\frac{1}{2}}\) bzw. \(-\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\). Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = -(-\frac{1}{2})(10 - 2x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2) = -(10 - 2x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{(10 - 2x)^3}}\). Da der Nenner für \(x = 5\) null wird und der Radikand für \(x < 5\) positiv ist, gilt \(D_{f''} = ]-\infty; 5[\). 4. Es gilt \(\lim_{x \to 5^-} f'(x) = \lim_{x \to 5^-} -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}} = -\infty\). Dies bedeutet, dass der Graph \(G_f\) am Randpunkt \(x = 5\) eine linksseitige senkrechte Tangente besitzt.

1. \(S_y(0 \mid \sqrt{10} - 2)\) und \(N(3 \mid 0)\) 2. \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty\) 3. \(f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{10 - 2x}}\), \(f''(x) = -\frac{1}{\sqrt{(10 - 2x)^3}}\), \(D_{f''} = ]-\infty; 5[\) 4. \(\lim_{x \to 5^-} f'(x) = -\infty\); \(G_f\) hat am Randpunkt \(x = 5\) eine linksseitige senkrechte Tangente.

- Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen der Ableitung und dem Monotonieverhalten. - Um die Wertemenge zu bestimmen, betrachte den Funktionswert am Rand des Definitionsbereichs und das Grenzverhalten. - Eine Funktion ist sicher umkehrbar, wenn sie in ihrem gesamten Bereich nur in eine Richtung (steigend oder fallend) verläuft. - Beim Auflösen nach \(x\) ist das Quadrieren ein wichtiger Schritt – achte darauf, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht.

1. Die Ableitung lautet \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{0{,}5x + 2}} \cdot 0{,}5 = \frac{1}{4\sqrt{0{,}5x + 2}}\). Da \(g'(x) > 0\) für alle \(x \in ]-4; \infty[\) gilt und die Funktion stetig ist, ist \(g\) in \(D_g\) streng monoton steigend. Der kleinste Funktionswert liegt bei \(g(-4) = 2 + \sqrt{0} = 2\). Wegen \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) ergibt sich \(W_g = [2; \infty[\). 2. Die Umkehrbarkeit folgt aus der strengen Monotonie in \(D_g\). Zur Bestimmung von \(g^{-1}\) löst man \(y = 2 + \sqrt{0{,}5x + 2}\) nach \(x\) auf: \(y - 2 = \sqrt{0{,}5x + 2} \Rightarrow (y - 2)^2 = 0{,}5x + 2 \Rightarrow 2(y - 2)^2 = x + 4 \Rightarrow x = 2(y - 2)^2 - 4\). Durch Variablentausch erhält man \(g^{-1}(x) = 2(x - 2)^2 - 4\) (oder ausmultipliziert \(2x^2 - 8x + 4\)). 3. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion entspricht der Wertemenge der Ausgangsfunktion, also \(D_{g^{-1}} = W_g = [2; \infty[\).

1. \(g'(x) = \frac{1}{4\sqrt{0{,}5x + 2}} > 0\); \(W_g = [2; \infty[\) 2. \(g\) ist streng monoton steigend und damit umkehrbar; \(g^{-1}(x) = 2(x - 2)^2 - 4\) 3. \(D_{g^{-1}} = [2; \infty[\)

- Wann ist der natürliche Logarithmus definiert? - Wie hängen die Nullstellen einer Logarithmusfunktion mit dem Wert ihres Arguments zusammen? - Nutze die Kettenregel für die Ableitung. - Was passiert mit dem Logarithmus, wenn sich das Argument dem Wert Null nähert?

1. Definitionsbereich: Die Bedingung \(-x^2 + 6x - 8 > 0\) führt auf die Nullstellen der Parabel bei \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(D_f = ]2; 4[\). 2. Nullstellen: \(f(x) = 0 \iff 6x - x^2 - 8 = 1 \iff x^2 - 6x + 9 = 0 \iff (x-3)^2 = 0\). Es ergibt sich die einzige Nullstelle bei \(x = 3\). 3. Extrempunkt: Die Ableitung \(f'(x) = \frac{-2x + 6}{-x^2 + 6x - 8}\) hat die Nullstelle \(x = 3\). Da \(f(3) = \ln(1) = 0\) und der Wert des Arguments der Logarithmusfunktion dort sein Maximum annimmt, liegt ein lokales Maximum (Hochpunkt) bei \(H(3 \mid 0)\) vor. 4. Asymptoten: Für \(x \to 2^+\) und \(x \to 4^-\) strebt das Argument gegen \(0^+\), somit gilt \(f(x) \to -\infty\). Die senkrechten Asymptoten sind \(x = 2\) und \(x = 4\).

a) \(D_f = ]2; 4[\); Nullstelle bei \(x = 3\). b) Hochpunkt \(H(3 \mid 0)\). c) \(\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty\) und \(\lim_{x \to 4^-} f(x) = -\infty\); senkrechte Asymptoten: \(x = 2\) und \(x = 4\).

- Betrachte das Vorzeichen des Terms im Logarithmus, um den Definitionsbereich zu finden. - Setze das Argument des Logarithmus gleich 1, um die Nullstellen zu berechnen. - Untersuche das Vorzeichen der ersten Ableitung in den jeweiligen Intervallen des Definitionsbereichs. - Welche Stellen am Rand des Definitionsbereichs führen zu einer Polstelle?

1. Definitionsbereich: \(x^2 - 4x > 0 \iff x(x-4) > 0\). Dies ist erfüllt für \(x < 0\) oder \(x > 4\). Somit ist \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\). 2. Nullstellen: \(x^2 - 4x = 1 \iff x^2 - 4x - 1 = 0\). Mit der Mitternachtsformel ergibt sich \(x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}\). Beide Werte liegen im Definitionsbereich (\(x_1 \approx 4{,}24\) und \(x_2 \approx -0{,}24\)). 3. Monotonie: Die Ableitung ist \(g'(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x}\). Für \(x > 4\) ist der Zähler \(2x-4 > 4\) und der Nenner positiv, also \(g'(x) > 0\). Für \(x < 0\) ist der Zähler \(2x-4 < -4\) und der Nenner positiv, also \(g'(x) < 0\). Die Funktion ist somit in \(]-\infty; 0[\) streng monoton fallend und in \(]4; \infty[\) streng monoton steigend. 4. Asymptoten: An den Rändern \(x \to 0^-\) und \(x \to 4^+\) geht das Argument gegen \(0\), woraus \(\lim g(x) = -\infty\) folgt. Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\).

a) \(D_g = ]-\infty; 0[ \cup ]4; \infty[\); Nullstellen bei \(x = 2 - \sqrt{5}\) und \(x = 2 + \sqrt{5}\). b) Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 0[\) und streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\). c) Senkrechte Asymptoten: \(x = 0\) und \(x = 4\).

- Überlege, für welche Werte der natürliche Logarithmus definiert ist. - Welcher Teilterm der Funktion bestimmt das Wachstum, wenn \(x\) sehr groß wird? - Nutze die erste Ableitung, um mögliche Stellen für Extrema zu finden. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung feststellen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt?

1. Der Definitionsbereich ist \(D = ]0; \infty[\), da die Logarithmusfunktion nur für positive Argumente definiert ist. 2. Grenzverhalten: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{1}{2}x^2 \to 0\) und \(-2\ln(x) \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied den Logarithmus, daher gilt \(f(x) = x^2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{2\ln(x)}{x^2}) \to \infty\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = x - \frac{2}{x}\) und \(f''(x) = 1 + \frac{2}{x^2}\). 4. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\): \(x - \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}\) (da \(x > 0\)). 5. Art des Extrempunkts: \(f''(\sqrt{2}) = 1 + \frac{2}{2} = 2 > 0\), somit liegt ein lokales Minimum (Tiefpunkt) vor. 6. \(y\)-Koordinate: \(f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}(\sqrt{2})^2 - 2\ln(\sqrt{2}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2}\ln(2) = 1 - \ln(2)\). Ergebnis: Tiefpunkt \(TP(\sqrt{2} \mid 1 - \ln(2))\).

a) \(D = ]0; \infty[\); für \(x \to 0^+\) gilt \(f(x) \to \infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(f(x) \to \infty\). b) Tiefpunkt \(TP(\sqrt{2} \mid 1 - \ln(2))\).

- Welche Bedingung stellt der Logarithmus an sein Argument? - Vergleiche für große \(x\) das Wachstum von \(\ln x\) mit dem einer positiven Potenz von \(x\). - Untersuche für den Extrempunkt die erste Ableitung und prüfe anschließend die Art der gefundenen Stelle. - Setze die gefundene Stelle in die ursprüngliche Funktion ein, um den zugehörigen Funktionswert zu erhalten.

1. Definitionsbereich: Wegen des Logarithmus und des Nenners ist \(D = ]0; \infty[\). 2. Ränder: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\ln(x) \to -\infty\) und \(x^2 \to 0^+\), woraus \(g(x) \to -\infty\) folgt. Für \(x \to \infty\) gilt \(\frac{\ln x}{x^2}\to0\), da jede positive Potenz von \(x\) stärker wächst als \(\ln x\). 3. Ableitungen mit der Quotientenregel: \(g'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(x) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x\ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3}\). Die zweite Ableitung ist \(g''(x) = \frac{6\ln(x) - 5}{x^4}\). 4. Extremstelle: \(g'(x) = 0 \Rightarrow 1 - 2\ln(x) = 0 \Rightarrow \ln(x) = 0{,}5 \Rightarrow x = e^{0{,}5} = \sqrt{e}\). 5. Art: \(g''(\sqrt{e}) = \frac{6 \cdot 0{,}5 - 5}{(\sqrt{e})^4} = \frac{-2}{e^2} < 0\), also liegt ein Hochpunkt vor. 6. \(y\)-Koordinate: \(g(\sqrt{e}) = \frac{\ln(e^{0{,}5})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{0{,}5}{e} = \frac{1}{2e}\). Damit ist \(H\left(\sqrt e\mid\frac{1}{2e}\right)\) der Hochpunkt.

a) \(D = ]0; \infty[\); für \(x \to 0^+\) gilt \(g(x) \to -\infty\); für \(x \to \infty\) gilt \(g(x) \to 0\). b) Hochpunkt \(H\left(\sqrt e\mid\frac{1}{2e}\right)\)

- Was passiert mit dem Graphen, wenn der höchste Punkt unterhalb der \(x\)-Achse liegt? - Untersuche das Verhalten der Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte. - Wie viele Extremstellen hat die Funktion insgesamt?

1. Berechnung der ersten Ableitung: \(f'(x) = 2 - e^{x+1}\). 2. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(2 - e^{x+1} = 0 \implies e^{x+1} = 2 \implies x+1 = \ln(2) \implies x = \ln(2) - 1 \approx -0{,}31\). 3. Überprüfung der Art des Extremums mit der zweiten Ableitung: \(f''(x) = -e^{x+1}\). Da \(f''(\ln(2)-1) = -e^{\ln(2)} = -2 < 0\), liegt an der Stelle \(x = \ln(2) - 1\) ein lokales Maximum vor. 4. Berechnung des maximalen Funktionswertes: \(f(\ln(2)-1) = 2(\ln(2)-1) - e^{\ln(2)} = 2\ln(2) - 2 - 2 = 2\ln(2) - 4 \approx -2{,}61\). 5. Da die Funktion stetig ist und ihr globales Maximum einen negativen Wert besitzt (\(2\ln(2) - 4 < 0\)), liegen alle Funktionswerte unterhalb der \(x\)-Achse. Somit hat die Funktion keine Nullstellen.

Die Funktion hat ein globales Maximum an der Stelle \(x = \ln(2) - 1\). Der zugehörige Funktionswert ist \(f(\ln(2)-1) = 2\ln(2) - 4 \approx -2{,}61\). Da das Maximum negativ ist und die Funktion für \(x \to \pm \infty\) gegen \(-\infty\) strebt, liegen alle Funktionswerte im negativen Bereich, weshalb keine Nullstellen existieren.

- Überlege dir, welche Bedeutung ein globales Minimum für die Lage des gesamten Graphen hat. - Bestimme den Definitionsbereich der Funktion genau. - Was sagt das Vorzeichen des niedrigsten Punktes über die Existenz von Nullstellen aus?

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2} = \frac{x-2}{x^2}\). 2. Extremstelle bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2\). 3. Art des Extremums prüfen: Da \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < 2\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 2\), liegt bei \(x = 2\) ein globales Minimum vor. Alternativ über \(f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{4}{x^3} \implies f''(2) = \frac{1}{4} > 0\). 4. Funktionswert an der Minimumstelle berechnen: \(f(2) = \ln(2) + \frac{2}{2} = \ln(2) + 1 \approx 1{,}69\). 5. Da der kleinste Funktionswert \(1 + \ln(2)\) positiv ist, verlaufen alle Funktionswerte oberhalb der \(x\)-Achse (\(f(x) \ge 1 + \ln(2) > 0\)). Daher hat \(f\) keine Nullstellen.

Die Funktion besitzt an der Stelle \(x = 2\) ein globales Minimum mit dem Funktionswert \(f(2) = \ln(2) + 1 \approx 1{,}69\). Da dieser Minimalwert positiv ist, sind alle Funktionswerte größer als Null, und der Graph kann die \(x\)-Achse nicht schneiden.

- Vereinfache zuerst den Term der Differenzfunktion \(h(x)\). - Untersuche das Vorzeichen von \(h'(x)\) im gesamten Bereich \(x>1\). - Eine Schnittstelle entspricht einer Nullstelle von \(h\). - Welche Folgerung hat strenge Monotonie für die Anzahl möglicher Nullstellen?

1. Die Differenzfunktion lautet \(h(x) = (e^{x-2} + 1) - \left(\frac{1}{x-1} + 1\right) = e^{x-2} - \frac{1}{x-1}\). 2. Die erste Ableitung ist \(h'(x) = e^{x-2} + \frac{1}{(x-1)^2}\). Da beide Summanden für \(x > 1\) positiv sind, gilt \(h'(x) > 0\); damit ist \(h\) streng monoton steigend. 3. Für \(x_0=2\) gilt \(f(2)=2\) und \(g(2)=2\), also \(h(2)=0\). Da \(h\) auf \(]1;\infty[\) streng monoton steigt, kann \(h\) dort höchstens eine Nullstelle besitzen. Daher ist \(x_0=2\) die einzige Schnittstelle.

a) \(h'(x) = e^{x-2} + \frac{1}{(x-1)^2} > 0\); daher ist \(h\) streng monoton steigend. b) \(x_0 = 2\); weitere Schnittstellen existieren wegen der strengen Monotonie von \(h\) nicht.

- Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Krümmung eines Graphen und dem Vorzeichen seiner zweiten Ableitung? - Kannst du eine einfache Stelle innerhalb des angegebenen Intervalls finden, um die Werte der Terme zu testen? - Überlege, ob die Funktion an einer markanten Stelle wie \( x=0 \) einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt besitzt. - Wie verhält sich der Ausdruck \( x^2+1 \) in der Nähe von Null?

1. Da der Graph \( G_f \) im Intervall \( ]-1; 1[ \) linkskrümmt ist, muss die zweite Ableitung \( f'' \) in diesem Bereich ausschließlich positive Werte annehmen (\( f''(x) > 0 \)). 2. Zur Überprüfung wird eine Teststelle aus dem Intervall gewählt, beispielsweise \( x = 0 \). 3. Einsetzen in Term I: \( f''(0) = \frac{2-2 \cdot 0^2}{(0^2+1)^2} = \frac{2}{1} = 2 \). Da \( 2 > 0 \), ist diese Bedingung für Term I erfüllt. 4. Einsetzen in Term II: \( f''(0) = \frac{2 \cdot 0^2-2}{(0^2+1)^2} = \frac{-2}{1} = -2 \). Da \( -2 < 0 \), widerspricht Term II der Linkskrümmung.

Es handelt sich um Term I.

- Was sagt die Krümmung (links oder rechts) über das Vorzeichen der zweiten Ableitung aus? - Wähle einen Punkt im Intervall \( ]-1; 1[ \) und prüfe die Vorzeichen der Terme I und II. - Besitzt die Funktion \( f \) an der Stelle \( x=0 \) einen Extrempunkt? Wenn ja, welcher Art ist dieser? - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \( e^u \) stets positive Werte liefert. Das Vorzeichen hängt also nur vom Faktor vor der e-Funktion ab.

1. Die Eigenschaft „rechtsgekrümmt“ im Intervall \( ]-1; 1[ \) impliziert, dass die zweite Ableitungsfunktion \( f'' \) in diesem Intervall negative Werte annimmt (\( f''(x) < 0 \)). 2. Zur Beurteilung wird eine geeignete Stelle im Intervall betrachtet, beispielsweise die Stelle \( x = 0 \). 3. Für Term I ergibt sich an dieser Stelle: \( f''(0) = (1-0^2) \cdot e^0 = 1 \cdot 1 = 1 \). Da \( 1 > 0 \), gehört dieser Term zu einem linkskrümmten Graphen bei \( x = 0 \). 4. Für Term II ergibt sich an dieser Stelle: \( f''(0) = (0^2-1) \cdot e^0 = -1 \cdot 1 = -1 \). Da \( -1 < 0 \), ist dies mit der Rechtskrümmung vereinbar.

Es handelt sich um Term II.

- Welche Ableitungen benötigst du für die Extrempunktbestimmung? - Wie eliminierst du die Variable aus dem Nenner beim Lösen von \(f'(x)=0\)? - Wie klassifizierst du die gefundene stationäre Stelle?

1. Es gilt \(f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}\) und \(f''(x)=2+\frac{32}{x^3}\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(2x=\frac{16}{x^2}\), also \(x^3=8\) und damit \(x=2\). 3. Es ist \(f''(2)=6>0\); daher liegt dort ein lokales Minimum vor. 4. Mit \(f(2)=12\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(2\mid12)\).

\(T(2 \mid 12)\)

- Bestimme mögliche Wendestellen über die zweite Ableitung und prüfe anschließend ein hinreichendes Kriterium. - Für einen Sattelpunkt brauchst du zusätzlich eine waagerechte Tangente. - Beachte den Definitionsbereich der gebrochen-rationalen Funktion.

1. Es gilt \(f'(x)=x+\frac{4}{x^2}\), \(f''(x)=1-\frac{8}{x^3}\) und \(f'''(x)=\frac{24}{x^4}\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x^3=8\), also \(x=2\). 3. Es ist \(f'''(2)=\frac{24}{16}=1{,}5\neq0\). Daher liegt bei \(x=2\) tatsächlich eine Wendestelle vor. 4. Mit \(f(2)=0\) erhält man den Wendepunkt \(W(2\mid0)\). 5. Da \(f'(2)=3\neq0\), ist die Tangente im Wendepunkt nicht waagerecht. Somit liegt kein Sattelpunkt vor.

Wendepunkt: \(W(2\mid0)\) Kein Sattelpunkt.

- Beginne mit Eigenschaften, die sich direkt aus dem Funktionsterm ablesen lassen. - Für Extrempunkte untersuchst du Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(f'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(f''\). - Nutze die Punktsymmetrie zur Kontrolle paarweise auftretender Punkte.

1. Da \(x^2+4>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). 2. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Die einzige Nullstelle und zugleich der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \((0\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f(x)\to0\); die waagerechte Asymptote ist \(y=0\). 5. Die Ableitungen lauten \(f'(x)=\frac{4(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\) und \(f''(x)=\frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\). 6. Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\) und \(x=2\). Das Vorzeichen wechselt bei \(-2\) von negativ zu positiv und bei \(2\) von positiv zu negativ. Daher liegen \(T(-2\mid-1)\) und \(H(2\mid1)\) vor. 7. Aus \(f''(x)=0\) folgen \(x=0\) und \(x=\pm2\sqrt3\). An allen drei Stellen wechselt \(f''\) das Vorzeichen. Die Wendepunkte sind \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\) und \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

\(D_f=\mathbb{R}\); punktsymmetrisch zum Ursprung; Achsenschnittpunkt \((0\mid0)\); waagerechte Asymptote \(y=0\); \(T(-2\mid-1)\), \(H(2\mid1)\); Wendepunkte \(W_1(0\mid0)\), \(W_2(-2\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{2})\), \(W_3(2\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{2})\).

- Verwende die Kettenregel für die erste Ableitung und untersuche das Vorzeichen der zweiten Ableitung. - Klammere bei den Grenzwerten unter der Wurzel \(x^2\) aus. - Der Grenzwert von \(f'\) liefert zunächst nur die mögliche Steigung einer schrägen Asymptote. - Prüfe für die genaue Asymptote, ob der Abstand zwischen \(f(x)\) und der entsprechenden Geraden gegen null geht.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}\) und \(f''(x) = \frac{5}{(x^2 + 5)^{\frac{3}{2}}}\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=0\). Wegen \(f''(0)=\frac{1}{\sqrt5}>0\) und \(f(0)=\sqrt5\) liegt der Tiefpunkt \(T(0\mid\sqrt5)\) vor. 2. Da \(f''(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb R\) gilt, besitzt der Graph keine Wendepunkte. 3. Für \(x\to\infty\) gilt \(f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac5{x^2}}}\to1\). Für \(x\to-\infty\) gilt \(f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac5{x^2}}}\to-1\). 4. Die Grenzwerte der Ableitung liefern die asymptotischen Steigungen. Für die exakten Geraden muss zusätzlich der Abstand geprüft werden. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)-x=\frac{5}{\sqrt{x^2+5}+x}\to0\), also ist \(y=x\) eine schräge Asymptote. Für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)+x=\frac{5}{\sqrt{x^2+5}-x}\to0\), also ist \(y=-x\) eine schräge Asymptote.

1. Tiefpunkt \(T(0 \mid \sqrt{5})\) 2. Da \(f''(x) = \frac{5}{(x^2 + 5)^{\frac{3}{2}}} > 0\) für alle \(x \in \mathbb{R}\), gibt es keine Wendepunkte. 3. \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 1\) und \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -1\) 4. Die schrägen Asymptoten lauten \(y=x\) für \(x\to\infty\) und \(y=-x\) für \(x\to-\infty\).

- Kannst du \(4^x\) als Potenz zur Basis 2 umschreiben? - Welche Rechenregel für Potenzen hilft dir beim Ausklammern oder Substituieren? - Wie verhalten sich die einzelnen Summanden, wenn \(x\) sehr groß oder sehr klein wird? - Erinnere dich an die Ableitungsregel für allgemeine Exponentialfunktionen \(a^x\).

1. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 4^x - 2^x = 0 \iff (2^x)^2 - 2^x = 0\). Ausklammern von \(2^x\) liefert \(2^x(2^x - 1) = 0\). Da \(2^x > 0\), folgt \(2^x = 1\), also \(x = 0\). Die einzige Nullstelle liegt bei \(N(0 \mid 0)\). 2. Extrempunkte ermitteln: Die Ableitung lautet \(f'(x) = \ln(4) \cdot 4^x - \ln(2) \cdot 2^x = 2\ln(2) \cdot (2^x)^2 - \ln(2) \cdot 2^x\). Nullsetzen ergibt \(\ln(2) \cdot 2^x \cdot (2 \cdot 2^x - 1) = 0\). Dies führt zu \(2 \cdot 2^x = 1\), also \(2^x = 0{,}5\), woraus \(x = -1\) folgt. 3. Art des Extrempunktes: Die zweite Ableitung ist \(f''(x) = (\ln(4))^2 \cdot 4^x - (\ln(2))^2 \cdot 2^x\). Einsetzen von \(x = -1\) ergibt \(f''(-1) = (2\ln(2))^2 \cdot \frac{1}{4} - (\ln(2))^2 \cdot \frac{1}{2} = (\ln(2))^2 - \frac{1}{2}(\ln(2))^2 = \frac{1}{2}(\ln(2))^2 > 0\). Es liegt ein Tiefpunkt vor. 4. Koordinaten des Tiefpunktes: \(f(-1) = 4^{-1} - 2^{-1} = 0{,}25 - 0{,}5 = -0{,}25\). Der Tiefpunkt ist \(T(-1 \mid -0{,}25)\). 5. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) dominiert der Term \(4^x\), daher \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) gehen sowohl \(4^x\) als auch \(2^x\) gegen \(0\), daher \(f(x) \to 0\).

Nullstelle: \(x = 0\); Tiefpunkt: \(T(-1 \mid -0{,}25)\); Grenzverhalten: \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\).

- Was weißt du über den Wertebereich von Exponentialfunktionen? - Kannst du die Gleichung \(2^x = 4 \cdot 2^{-x}\) so umformen, dass auf beiden Seiten die gleiche Basis steht? - Denk bei der Ableitung an die Kettenregel für den Term mit dem negativen Exponenten. - Was passiert mit einem Bruch, dessen Nenner gegen Unendlich oder gegen Null strebt?

1. Nullstellen: Da Exponentialfunktionen der Form \(a^x\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) stets positive Werte annehmen, ist die Summe zweier positiver Terme (\(2^x > 0\) und \(4 \cdot 2^{-x} > 0\)) immer größer als Null. Somit existieren keine Nullstellen. 2. Extrempunkt: Ableitung \(g'(x) = \ln(2) \cdot 2^x + 4 \cdot \ln(2) \cdot 2^{-x} \cdot (-1) = \ln(2) \cdot (2^x - 4 \cdot 2^{-x})\). Nullsetzen führt zu \(2^x = 4 \cdot 2^{-x}\). Multiplikation mit \(2^x\) ergibt \((2^x)^2 = 4\), also \(2^{2x} = 2^2\), woraus \(x = 1\) folgt. 3. Art und Koordinaten: Die zweite Ableitung \(g''(x) = (\ln(2))^2 \cdot 2^x + 4 \cdot (\ln(2))^2 \cdot 2^{-x}\) ist für alle \(x\) positiv, also liegt ein Tiefpunkt vor. Funktionswert \(g(1) = 2^1 + 4 \cdot 2^{-1} = 2 + 2 = 4\). Der Tiefpunkt liegt bei \(T(1 \mid 4)\). 4. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) geht \(2^x \to \infty\) und \(2^{-x} \to 0\), also \(g(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) geht \(2^x \to 0\) und \(2^{-x} \to \infty\), also \(g(x) \to \infty\).

a) Da \(2^x > 0\) für alle \(x\), ist die Summe zweier positiver Terme stets positiv. b) Tiefpunkt \(T(1 \mid 4)\). c) \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty\).

- Welchen Einfluss hat der Logarithmus auf das Verhalten nahe null? - Wie verhalten sich Potenzfunktionen im Vergleich zum Logarithmus für sehr große Werte? - Überlege dir, wie das Vorzeichen der ersten Ableitung mit dem Steigungsverhalten zusammenhängt. - An welchen Stellen könnte die Steigung null sein?

1. Grenzwerte: Für \(x \to 0^+\) gilt \(\frac{1}{2}x^2 \to 0\) und \(-\ln(x) \to \infty\), also \(f(x) \to \infty\). Für \(x \to \infty\) dominiert das quadratische Glied, sodass \(f(x) \to \infty\) gilt. 2. Ableitungen: \(f'(x) = x - \frac{1}{x}\) und \(f''(x) = 1 + \frac{1}{x^2}\). Die Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(x - \frac{1}{x} = 0 \Rightarrow x^2 = 1\). Da \(x > 0\), ist die einzige Extremstelle \(x = 1\). Wegen \(f''(1) = 2 > 0\) liegt ein Tiefpunkt vor. Die \(y\)-Koordinate ist \(f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 - \ln(1) = 0{,}5\). Der Tiefpunkt ist \(T(1 \mid 0{,}5)\). 3. Monotonie: Da \(f'(x) < 0\) für \(0 < x < 1\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > 1\), ist die Funktion im Intervall \(]0; 1]\) streng monoton fallend und im Intervall \([1; \infty[\) streng monoton steigend.

1. \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\) 2. Tiefpunkt \(T(1 \mid 0{,}5)\) 3. Streng monoton fallend für \(x \in ]0; 1]\); streng monoton steigend für \(x \in [1; \infty[\)

- Bestimme zunächst die Stelle, an der die zweite Ableitung null wird, und prüfe, ob dort tatsächlich ein Wendepunkt liegt. - Für die Tangente benötigst du den Funktionswert und die Steigung an der Wendestelle. - Setze diese Daten in die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ein.

1. Es gilt \(f'(x) = -0{,}5x e^{0{,}5x}\), \(f''(x) = (-0{,}5 - 0{,}25x)e^{0{,}5x}\) und \(f'''(x) = (-0{,}5 - 0{,}125x)e^{0{,}5x}\). 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x_W=-2\). Da \(f'''(-2)=-0{,}25e^{-1}\neq0\), liegt dort ein Wendepunkt vor. Es ist \(W\left(-2\mid\frac4e\right)\). 3. Die Tangentensteigung ist \(f'(-2)=\frac1e\). Damit lautet die Wendetangente \(y=\frac1e(x+2)+\frac4e=\frac1e x+\frac6e\).

\(y=\frac1e x+\frac6e\)

- Welche Werte darf man für \(x\) in einen Logarithmus einsetzen? - Überlege dir, welche Bedingungen für die erste und zweite Ableitung an Extrem- und Wendestellen gelten müssen. - Schau dir das Vorzeichen der zweiten Ableitung genau an. Was bedeutet ein konstantes Vorzeichen für die Krümmung? - Was passiert mit dem Graphen, wenn man sich der Null nähert?

1. Definitionsbereich: Da das Argument des Logarithmus \(x^2 > 0\) sein muss, gilt \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\). 2. Ableitungen berechnen: \(f'(x) = \frac{2}{x} - x + 2\) und \(f''(x) = -\frac{2}{x^2} - 1\). 3. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies \frac{2-x^2+2x}{x} = 0 \implies x^2 - 2x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1 + \sqrt{3} \approx 2{,}732\) und \(x_2 = 1 - \sqrt{3} \approx -0{,}732\). 4. Art der Extrema: Da \(f''(x) = -\frac{2}{x^2} - 1\) für alle \(x \in D_f\) negativ ist (\(f''(x) < 0\)), liegen an beiden Stellen lokale Maxima vor. Es gibt keine Tiefpunkte. 5. Wendepunkte: Die Bedingung \(f''(x) = 0\) führt auf \(-\frac{2}{x^2} = 1\), was keine reelle Lösung besitzt. Somit hat der Graph keine Wendepunkte. 6. Erklärung: Der Definitionsbereich ist an der Stelle \(x = 0\) unterbrochen. Dort befindet sich eine senkrechte Asymptote, wobei die Funktionswerte von beiden Seiten gegen \(-\infty\) streben. Die beiden Maxima liegen in getrennten Ästen des Graphen, die nicht durch einen Tiefpunkt oder Wendepunkt verbunden sein müssen.

a) \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) b) Zwei lokale Maxima bei \(x = 1 \pm \sqrt{3}\). c) Keine Wendepunkte vorhanden. d) Die Definitionslücke bei \(x = 0\) (senkrechte Asymptote) trennt den Graphen in zwei isolierte Kurvenstücke, weshalb zwischen den Maxima kein lokaler Tiefpunkt oder Wendepunkt existieren muss.

- Für die Nullstellen reicht es, den quadratischen Teil der Funktion zu betrachten. - Erinnere dich daran, welcher Teil der Funktion bei sehr großen oder sehr kleinen x-Werten „stärker“ ist. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere den Exponentialterm immer direkt wieder aus. - Die Wertemenge hängt eng mit dem globalen Minimum und dem Verhalten im Unendlichen zusammen.

1. Aus \(x^2-4=0\) folgen die Nullstellen \(x=-2\) und \(x=2\). Außerdem ist \(f(0)=-4\). Damit sind \(N_1(-2\mid0)\), \(N_2(2\mid0)\) und \(S_y(0\mid-4)\) die Achsenschnittpunkte. 2. Es gilt weder \(f(-x)=f(x)\) noch \(f(-x)=-f(x)\); der Graph ist weder achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. 3. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \((x^2-4)e^{0{,}5x}\to0\). 4. Es ist \(f'(x)=(0{,}5x^2+2x-2)e^{0{,}5x}\). Aus \(f'(x)=0\) folgen \(x=-2\pm2\sqrt2\). Mit \(f''(x)=(0{,}25x^2+2x+1)e^{0{,}5x}\) erhält man den Hochpunkt \(H\left(-2-2\sqrt2\mid(8+8\sqrt2)e^{-1-\sqrt2}\right)\approx(-4{,}83\mid1{,}73)\) und den Tiefpunkt \(T\left(-2+2\sqrt2\mid(8-8\sqrt2)e^{\sqrt2-1}\right)\approx(0{,}83\mid-5{,}01)\). 5. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=-4\pm2\sqrt3\). An einer solchen Nullstelle des quadratischen Faktors gilt \(f'''(x)=(0{,}5x+2)e^{0{,}5x}\), also \(f'''(-4\pm2\sqrt3)=\pm\sqrt3\,e^{-2\pm\sqrt3}\neq0\). Damit liegen tatsächlich Wendepunkte vor: \(W_1\approx(-7{,}46\mid1{,}24)\) und \(W_2\approx(-0{,}54\mid-2{,}84)\). 6. Der Tiefpunkt ist wegen des Grenzverhaltens und des Vorzeichenverlaufs von \(f'\) das globale Minimum. Daher ist \(W_f=[(8-8\sqrt2)e^{\sqrt2-1};\infty[\approx[-5{,}01;\infty[\).

Schnittpunkte: \(N_1(-2 \mid 0), N_2(2 \mid 0), S_y(0 \mid -4)\); keine Symmetrie; \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\); Extrema: \(H \approx (-4{,}83 \mid 1{,}73), T \approx (0{,}83 \mid -5{,}01)\); Wendepunkte: \(W_1 \approx (-7{,}46 \mid 1{,}24), W_2 \approx (-0{,}54 \mid -2{,}84)\); Wertemenge: \(W \approx [-5{,}01; \infty[\).

- Aus welchen Funktionstypen setzt sich die gegebene Funktion zusammen? - Erinnere dich an das Verhalten der natürlichen Exponentialfunktion für sehr große positive und sehr kleine negative Werte im Exponenten. - Wann kann man davon sprechen, dass sich zwei Graphen „beliebig nahe“ kommen? - Prüfe beide Grenzwerte separat: einmal für \(x \to \infty\) und einmal für \(x \to -\infty\).

1. Die Funktion \(f\) ist die Summe aus einem quadratischen Teil \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\) und einem exponentiellen Teil \(g(x) = 4e^{-0{,}5x}\). Es gilt \(\lim_{x \to \infty} (f(x) - q(x)) = \lim_{x \to \infty} (4e^{-0{,}5x}) = 0\). Damit nähert sich der Graph von \(f\) für \(x \to \infty\) der Parabel \(q\) mit der Gleichung \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\) beliebig nahe an. 2. Für den Grenzwert gegen \(-\infty\) betrachtet man \(\lim_{x \to -\infty} (f(x) - q(x)) = \lim_{x \to -\infty} (4e^{-0{,}5x})\). Da der Exponent \(-0{,}5x\) für \(x \to -\infty\) gegen \(+\infty\) strebt, gilt \(\lim_{x \to -\infty} 4e^{-0{,}5x} = \infty\). Die Differenz zwischen den Funktionswerten wird also für kleiner werdende \(x\) unendlich groß. Der Graph nähert sich der Parabel \(q\) für \(x \to -\infty\) nicht an.

1. Die Näherungsparabel für \(x \to \infty\) hat die Gleichung \(q(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x\). Der Nachweis erfolgt über \(\lim_{x \to \infty} 4e^{-0{,}5x} = 0\). 2. Nein, für \(x \to -\infty\) nähert sich der Graph der Parabel nicht an, da die Differenz \(4e^{-0{,}5x}\) gegen \(\infty\) strebt.

- Überlege dir, welche Werte für \(x\) eingesetzt werden dürfen und wann das Produkt null wird. - Erinnere dich an das Wachstumsverhalten von Potenzfunktionen im Vergleich zu Exponentialfunktionen. - Nutze die Produktregel für die Ableitungen und klammere den Exponentialterm am Ende aus. - Wie hängen die Ableitungen mit den gesuchten Punkten zusammen?

1. Es ist \(D_f=\mathbb R\). Aus \(x^2-3=0\) folgen die Nullstellen \(x=\pm\sqrt3\); außerdem ist \(f(0)=-3\). 2. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\). Für \(x\to-\infty\) gilt \((x^2-3)e^x\to0\). 3. Es ist \(f'(x)=(x^2+2x-3)e^x\). Die stationären Stellen sind \(x=-3\) und \(x=1\). Mit \(f''(x)=(x^2+4x-1)e^x\) folgt \(f''(-3)<0\) und \(f''(1)>0\). Daher sind \(H(-3\mid6e^{-3})\) und \(T(1\mid-2e)\) die lokalen Extrempunkte. 4. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=-2\pm\sqrt5\). An diesen Nullstellen des quadratischen Faktors gilt für die dritte Ableitung \(f'''(x)=(2x+4)e^x\), also \(f'''(-2\pm\sqrt5)=\pm2\sqrt5\,e^{-2\pm\sqrt5}\neq0\). Beide Stellen sind daher echte Wendestellen.

1. \(D = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x = \pm \sqrt{3}\); \(y\)-Achsenabschnitt bei \(-3\). 2. \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\). 3. Hochpunkt \(H(-3 \mid 6e^{-3})\); Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\). 4. Wendestellen bei \(x_1 = -2 - \sqrt{5}\) und \(x_2 = -2 + \sqrt{5}\).

- Kannst du ein bekanntes Additionstheorem nutzen, um das Produkt aus Sinus und Kosinus zu vereinfachen? - Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren Null? - Nutze eine trigonometrische Identität, um die Ableitungsgleichung in eine quadratische Form zu bringen. - Vergiss nicht, auch die Art der Extrempunkte mithilfe der zweiten Ableitung zu prüfen.

1. Umformung: Ausmultiplizieren ergibt \(f(x) = \sin x + \sin x \cos x\). Mit dem Doppelwinkel-Theorem \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\) folgt \(f(x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin(2x)\). 2. Nullstellen: Der Ansatz \(f(x) = 0\) führt auf \(\sin x = 0\) oder \(1 + \cos x = 0\). Aus \(\sin x = 0\) folgen \(x_1 = 0, x_2 = \pi, x_3 = 2\pi\). Aus \(\cos x = -1\) folgt ebenfalls \(x = \pi\). Die Nullstellen sind somit \(0, \pi\) und \(2\pi\). 3. Ableitungen: \(f'(x) = \cos x + \cos(2x)\) und \(f''(x) = -\sin x - 2 \sin(2x)\). 4. Extrema: \(f'(x) = 0\) führt unter Nutzung von \(\cos(2x) = 2 \cos^2 x - 1\) auf die quadratische Gleichung \(2 \cos^2 x + \cos x - 1 = 0\). Mit \(u = \cos x\) ergeben sich die Lösungen \(u_1 = 0{,}5\) und \(u_2 = -1\). - Für \(\cos x = 0{,}5\) erhält man \(x_4 = \frac{\pi}{3}\) und \(x_5 = \frac{5\pi}{3}\). - Für \(\cos x = -1\) erhält man \(x_2 = \pi\). 5. Art der Extrema: - \(f''(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} < 0 \implies H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{3\sqrt{3}}{4})\). - \(f''(\frac{5\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} > 0 \implies T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{3\sqrt{3}}{4})\). - \(f''(\pi) = 0\) und \(f'''(\pi) = -3 \neq 0\), somit liegt bei \(x = \pi\) ein Sattelpunkt vor.

a) Nachweis durch Ausmultiplizieren und Anwendung von \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)\). b) Nullstellen bei \(x \in \{0; \pi; 2\pi\}\). c) Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{3} \mid \frac{3\sqrt{3}}{4})\), Tiefpunkt \(T(\frac{5\pi}{3} \mid -\frac{3\sqrt{3}}{4})\). Bei \(x = \pi\) liegt ein Sattelpunkt vor.

- Welche Bedingung an den Nenner legt die Polstelle fest? - Welche Ableitungsregel brauchst du, nachdem der Nenner bestimmt ist? - Welche weiteren Nullstellen besitzt die erste Ableitung, und wie ändert sich dort ihr Vorzeichen? - Wie kannst du den Funktionsterm in eine lineare Funktion plus Restterm zerlegen?

1. Für eine Polstelle bei \(x=1\) muss \(1+b=0\) gelten. Daher ist \(b=-1\) und \(f(x)=\frac{x^2+a}{x-1}\). 2. Mit der Quotientenregel folgt \(f'(x)=\frac{x^2-2x-a}{(x-1)^2}\). Aus \(f'(3)=0\) ergibt sich \(a=3\). 3. Dann gilt \(f'(x)=\frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\). Bei \(x=3\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv, also liegt \(T(3\mid6)\) vor. Bei \(x=-1\) wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt \(H(-1\mid-2)\) vor. 4. Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\). Durch Polynomdivision erhält man \(f(x)=x+1+\frac{4}{x-1}\); daher ist \(y=x+1\) die schräge Asymptote.

a) \(a=3\), \(b=-1\); Tiefpunkt \(T(3 \mid 6)\) b) Hochpunkt \(H(-1 \mid -2)\); Asymptoten \(x=1\) und \(y=x+1\)

- Die Punktbedingung und die Tangentenbedingung liefern zwei unabhängige Beziehungen für die Parameter. - Eine waagerechte Tangente bedeutet, dass die erste Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert \(0\) hat. - Nach dem Bestimmen der Parameter hilft eine Darstellung als Gerade plus Restterm bei der Asymptote. - Für das Verhalten an der Polstelle genügt eine Vorzeichenanalyse unmittelbar links und rechts davon.

a) Aus \(f(4)=8\) folgt \(\frac{16a+4b}{2}=8\), also \(4a+b=4\). Die erste Ableitung ist \(f'(x)=\frac{ax^2-4ax-2b}{(x-2)^2}\). Eine waagerechte Tangente bei \(x=0\) bedeutet \(f'(0)=0\), also \(b=0\). Damit folgt aus \(4a+b=4\) der Wert \(a=1\). b) Für diese Parameter ist \(f(x)=\frac{x^2}{x-2}=x+2+\frac4{x-2}\). Weil der Restterm für \(x\to\pm\infty\) gegen \(0\) strebt, ist \(y=x+2\) die schräge Asymptote. An \(x=2\) ist der Zähler positiv. Der Nenner ist links von \(2\) negativ und rechts davon positiv. Deshalb gilt \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\).

a) \(a=1\), \(b=0\) b) Schräge Asymptote \(y=x+2\); \(\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty\), \(\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty\)

- Wie verhält sich \(\sin(-x)\) im Vergleich zu \(\sin(x)\)? - Nutze die Produktregel für die Ableitung. - Was passiert mit dem Vorzeichen des Arguments, wenn du eine Funktion ableitest, die eine innere Funktion wie \(-x\) besitzt? - Betrachte den Zusammenhang zwischen der Symmetrie einer Funktion und der Symmetrie ihrer Ableitungsfunktionen schrittweise.

1. Überprüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung: \(f(-x) = ((-x)^2 - 4) \cdot \sin(-x) = (x^2 - 4) \cdot (-\sin(x)) = -(x^2 - 4) \cdot \sin(x) = -f(x)\). Der Graph von \(f\) ist somit punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Anwendung der Produktregel für \(f'(x)\): \(u(x) = x^2 - 4 \Rightarrow u'(x) = 2x\); \(v(x) = \sin(x) \Rightarrow v'(x) = \cos(x)\). Es folgt \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x)\). Nachweis der Achsensymmetrie: \(f'(-x) = 2(-x) \cdot \sin(-x) + ((-x)^2 - 4) \cdot \cos(-x) = -2x \cdot (-\sin(x)) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x) = f'(x)\). 3. Ist \(f\) punktsymmetrisch zum Ursprung, gilt \(f(-x) = -f(x)\). Durch Ableiten beider Seiten nach der Kettenregel folgt \(f'(-x) \cdot (-1) = -f'(x)\), also \(f'(-x) = f'(x)\) (Achsensymmetrie von \(f'\)). Erneutes Ableiten liefert \(f''(-x) \cdot (-1) = f''(x)\), woraus \(f''(-x) = -f''(x)\) folgt. Damit ist \(f''\) wieder punktsymmetrisch zum Ursprung.

1. Der Graph von \(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da \(f(-x) = -f(x)\). 2. \(f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + (x^2 - 4) \cdot \cos(x)\). Da \(f'(-x) = f'(x)\), ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Durch zweifache Anwendung der Kettenregel auf die Symmetriebedingung \(f(-x) = -f(x)\) zeigt man, dass \(f''(-x) = -f''(x)\) gilt.

- Für die Extrempunkte benötigst du die Nullstellen der ersten Ableitung und eine Prüfung der Art. - Für einen Wendepunkt reicht die notwendige Bedingung allein nicht; prüfe zusätzlich ein hinreichendes Kriterium. - Für die Tangente brauchst du Funktionswert und Ableitungswert an \(x=\pi\).

1. Es gilt \(f'(x)=\cos x-0{,}5\). Aus \(f'(x)=0\) folgen im Intervall \([0;2\pi]\) die Stellen \(x=\frac\pi3\) und \(x=\frac{5\pi}{3}\). Mit \(f''(x)=-\sin x\) ergibt sich ein Hochpunkt bei \(x=\frac\pi3\) und ein Tiefpunkt bei \(x=\frac{5\pi}{3}\). Damit sind \(H\left(\frac\pi3\mid\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6+1\right)\approx(1{,}05\mid1{,}34)\) und \(T\left(\frac{5\pi}{3}\mid-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{5\pi}{6}+1\right)\approx(5{,}24\mid-2{,}48)\) die lokalen Extrempunkte. 2. Aus \(f''(x)=0\) folgt im Inneren des Definitionsbereichs \(x=\pi\). Wegen \(f'''(\pi)=-\cos\pi=1\neq0\) liegt dort tatsächlich ein Wendepunkt vor: \(W\left(\pi\mid1-\frac\pi2\right)\). 3. Es ist \(f'(\pi)=-1{,}5\) und \(f(\pi)=1-\frac\pi2\). Daher lautet die Tangente \(t(x)=-1{,}5(x-\pi)+1-\frac\pi2=-1{,}5x+\pi+1\).

a) \(H\left(\frac\pi3\mid\frac{\sqrt3}{2}-\frac\pi6+1\right)\), \(T\left(\frac{5\pi}{3}\mid-\frac{\sqrt3}{2}-\frac{5\pi}{6}+1\right)\) b) \(W\left(\pi\mid1-\frac\pi2\right)\) c) \(t(x)=-1{,}5x+\pi+1\)

- Welche trigonometrische Identität erlaubt es dir, \(\cos(2x)\) durch \(\cos x\) auszudrücken? - Erinnere dich an die Definition der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse. Was muss für \(f(-x)\) gelten? - Die Struktur des Terms in a) ähnelt der Scheitelpunktform einer Parabel. Wie kannst du dies nutzen, wenn du den Wertebereich von \(\cos x\) berücksichtigst? - Überlege, welche Werte der Ausdruck \(\cos x\) maximal und minimal annehmen kann.

1. Nachweis der Termidentität: Verwendung der Identität \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\). Einsetzen ergibt \(f(x) = 2\cos^2 x - 1 + 2\cos x = 2(\cos^2 x + \cos x) - 1\). Durch quadratische Ergänzung im Klammerausdruck folgt \(2(\cos^2 x + \cos x + 0{,}25 - 0{,}25) - 1 = 2(\cos x + 0{,}5)^2 - 0{,}5 - 1 = 2(\cos x + 0{,}5)^2 - 1{,}5\). 2. Symmetrie: Prüfung der Bedingung \(f(-x) = f(x)\). Da \(\cos(-2x) = \cos(2x)\) und \(\cos(-x) = \cos x\), gilt \(f(-x) = \cos(-2x) + 2\cos(-x) = \cos(2x) + 2\cos x = f(x)\). Somit liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 3. Globale Extrema: Substitution \(u = \cos x\) mit dem eingeschränkten Definitionsbereich \(u \in [-1; 1]\). Die Funktion \(g(u) = 2(u + 0{,}5)^2 - 1{,}5\) beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt bei \(u = -0{,}5\). Da \(-0{,}5\) im Intervall \([-1; 1]\) liegt, ist der minimale Funktionswert \(y_{\text{min}} = -1{,}5\). Der maximale Wert muss an einem der Ränder des Intervalls \([-1; 1]\) liegen: \(g(-1) = 2(-0{,}5)^2 - 1{,}5 = -1\) und \(g(1) = 2(1{,}5)^2 - 1{,}5 = 3\). Der globale Maximalwert ist somit \(3\).

a) Nachweis erfolgt über \(\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1\) und quadratische Ergänzung. b) Es liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor, da \(f(-x) = f(x)\). c) Der globale Minimalwert beträgt \(-1{,}5\), der globale Maximalwert beträgt \(3\).

- Vergleiche für die Symmetrie \(g(-x)\) mit \(g(x)\). - Bei der Gleichung für die Nullstellen kann eine neue Variable für \(x^2\) die Struktur vereinfachen. - Bestimme die Tiefpunkte von \(g\), bevor du die Wirkung des Parameters \(c\) untersuchst. - Was bewirkt das Addieren einer Konstanten bei allen \(y\)-Koordinaten des Graphen?

1. Es gilt \(g(-x)=(-x)^4-6(-x)^2+5=g(x)\). Der Graph ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse ist \(S_y(0\mid5)\). Für die Nullstellen führt die Substitution \(u=x^2\) auf \(u^2-6u+5=0\), also \(u=1\) oder \(u=5\). Daher liegen die Nullstellen bei \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt5\). 3. Es ist \(g'(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)\). Die stationären Stellen sind \(x=0\) und \(x=\pm\sqrt3\). Mit \(g''(x)=12x^2-12\) gilt \(g''(\pm\sqrt3)=24>0\), also liegen dort die Tiefpunkte. Ihr Funktionswert ist \(g(\pm\sqrt3)=9-18+5=-4\). 4. Bei \(h_c\) werden alle Funktionswerte um \(c\) verschoben. Damit die Tiefpunkte auf der \(x\)-Achse liegen, muss \(-4+c=0\) gelten. Somit ist \(c=4\).

a) \(g(-x)=g(x)\); \(S_y(0\mid5)\); Nullstellen \(x=\pm1\) und \(x=\pm\sqrt5\) b) \(c=4\)

- Leite das Produkt aus linearem Term und Exponentialfunktion sorgfältig ab. - Für den Extrempunkt brauchst du eine stationäre Stelle und eine Prüfung ihrer Art. - Bei der Wendestelle reicht \(f''(x)=0\) allein nicht aus; prüfe zusätzlich ein hinreichendes Kriterium.

1. Es gilt \(f'(x)=(2-x)e^x\) und \(f''(x)=(1-x)e^x\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=2\). Wegen \(f''(2)=-e^2<0\) liegt ein Hochpunkt vor. Mit \(f(2)=e^2\) erhält man \(H(2\mid e^2)\). 3. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Die dritte Ableitung ist \(f'''(x)=-xe^x\), also \(f'''(1)=-e\neq0\). Daher ist \(W(1\mid2e)\) ein Wendepunkt.

Hochpunkt \(H(2\mid e^2)\); Wendepunkt \(W(1\mid2e)\)

- Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie: \(f(-x) = f(x)\). - Nutze beim Ableiten die Kettenregel für den Term \(e^{-x}\). - Setze die erste Ableitung gleich null, um mögliche Extremstellen zu finden. - Wie kannst du mithilfe der zweiten Ableitung entscheiden, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt?

1. Zur Überprüfung der Achsensymmetrie wird \(f(-x)\) berechnet: \(f(-x) = \frac{1}{2}(e^{-x} + e^{-(-x)}) = \frac{1}{2}(e^{-x} + e^x)\). Da dies mit \(f(x)\) identisch ist, liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. 2. Die erste Ableitung lautet \(f'(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\). Die zweite Ableitung ergibt sich zu \(f''(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\). Es ist erkennbar, dass \(f''(x) = f(x)\) gilt. 3. Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist \(f'(x) = 0\). Aus \(\frac{1}{2}(e^x - e^{-x}) = 0\) folgt \(e^x = e^{-x}\), also \(e^{2x} = 1\), woraus \(x = 0\) resultiert. Der Funktionswert ist \(f(0) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1\). Da \(f''(0) = f(0) = 1 > 0\), handelt es sich um einen Tiefpunkt bei \(T(0 \mid 1)\).

1. \(f(-x) = f(x)\) (nachgewiesen) 2. \(f'(x) = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})\); \(f''(x) = \frac{1}{2}(e^x + e^{-x})\); Zusammenhang: \(f''(x) = f(x)\) 3. Tiefpunkt \(T(0 \mid 1)\)

- Überprüfe für die Symmetrie, wie sich die Funktion bei der Ersetzung von \(x\) durch \(-x\) verhält. - Erinnere dich daran, dass ein Produkt null ist, wenn einer der Faktoren null ist. - Eine Gerade durch den Ursprung hat immer die Form \(y = mx\). Was bedeutet es für die Steigung \(m\), wenn die Gerade den Graphen berührt? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, müssen ihre Funktionswerte an derselben Stelle gleich sein.

1. Symmetrie: Prüfung von \(f(-x) = (-x) \cdot \cos(-x) = -x \cdot \cos(x) = -f(x)\). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Schnittpunkte: \(f(0) = 0 \Rightarrow S_y(0 \mid 0)\). Nullstellen: \(x \cdot \cos(x) = 0\) liefert \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{\pi}{2}\) und \(x_3 = -\frac{\pi}{2}\). Die Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse sind \((0 \mid 0)\), \((\frac{\pi}{2} \mid 0)\) und \((-\frac{\pi}{2} \mid 0)\). 3. Berührpunkt: Eine Gerade durch den Ursprung hat die Form \(h(x) = mx\). Die Bedingung für einen Berührpunkt bei \(x_0\) lautet \(f'(x_0) = \frac{f(x_0)}{x_0}\). Mit \(f'(x) = \cos(x) - x \sin(x)\) ergibt sich \(\cos(x_0) - x_0 \sin(x_0) = \cos(x_0)\). 4. Daraus folgt \(x_0 \sin(x_0) = 0\). Da \(x_0 > 0\) und \(x_0 \le \pi\), ist \(x_0 = \pi\). 5. Koordinaten: \(f(\pi) = \pi \cdot \cos(\pi) = -\pi\). Der Berührpunkt ist \(P(\pi \mid -\pi)\). Die Steigung ist \(m = \frac{-\pi}{\pi} = -1\), also \(h(x) = -x\). 6. Schnittpunkte mit \(g\): \(x \cos(x) = 0{,}5x \Leftrightarrow x(\cos(x) - 0{,}5) = 0\). Lösungen: \(x = 0\) oder \(\cos(x) = 0{,}5\). In \([-\pi; \pi]\) sind dies \(x = 0\), \(x = \frac{\pi}{3}\) und \(x = -\frac{\pi}{3}\). 7. Funktionswerte: \(g(0) = 0\), \(g(\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}\), \(g(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\pi}{6}\). Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\pi}{6})\), \(S_3(-\frac{\pi}{3} \mid -\frac{\pi}{6})\).

a) Punktsymmetrie zum Ursprung; Schnittpunkte: \((0 \mid 0)\), \((\frac{\pi}{2} \mid 0)\), \((-\frac{\pi}{2} \mid 0)\). b) Berührpunkt \(P(\pi \mid -\pi)\), Gleichung der Geraden \(h(x) = -x\). c) Schnittpunkte: \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(\frac{\pi}{3} \mid \frac{\pi}{6})\), \(S_3(-\frac{\pi}{3} \mid -\frac{\pi}{6})\).

- Lies zuerst eine eindeutig erkennbare Nullstelle aus dem dargestellten Graphen ab. - Vergleiche anschließend die Lage des sichtbaren Extrempunkts mit den stationären Stellen der verbleibenden Terme. - Was bedeutet eine waagerechte Tangente für den Wert der ersten Ableitung? - Das Vorzeichen von \(f''\) entscheidet über Links- bzw. Rechtskrümmung.

1. Der dargestellte Graph schneidet die \(x\)-Achse bei \(x=-2\). Damit scheidet (B) aus, denn \(f_2\) hat seine Nullstelle bei \(x=2\). 2. Der Graph besitzt im dargestellten Bereich bei \(x=-1\) einen Hochpunkt. Für (A) gilt \(f_1'(x)=(x+3)e^x\), also läge die stationäre Stelle bei \(x=-3\). Für (C) gilt dagegen \(f_3'(x)=-(x+1)e^{-x}\), also liegt die stationäre Stelle bei \(x=-1\). Daher gehört (C) zum dargestellten Graphen. 3. Aussage (1) ist wahr: Der Hochpunkt bei \(x=-1\) besitzt eine waagerechte Tangente, also gilt \(f'(-1)=0\). 4. Für \(f(x)=(x+2)e^{-x}\) gilt \(f'(x)=-(x+1)e^{-x}\) und \(f''(x)=xe^{-x}\). Für \(x<0\) ist \(f''(x)<0\); der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Aussage (2) ist daher falsch.

a) (C) \(f_3(x)=(x+2)e^{-x}\) b) (1) wahr: \(f'(-1)=0\) (2) falsch: Für \(x<0\) gilt \(f''(x)=xe^{-x}<0\), also ist der Graph dort rechtsgekrümmt.

- Schreibe den Funktionsterm für den Grenzwert als Quotienten und vergleiche lineares mit exponentiellem Wachstum. - Für Hoch- und Wendepunkt brauchst du die passenden Ableitungen und jeweils eine hinreichende Prüfung. - Der Exponentialfaktor ist stets positiv und kann bei Nullstellen nicht selbst verschwinden.

1. Es gilt \(f(x)=\frac{x+1}{e^x}\). Für \(x\to\infty\) wächst die Exponentialfunktion stärker als die lineare Funktion, daher gilt \(\frac{x+1}{e^x}\to0\). 2. Die erste Ableitung ist \(f'(x)=-xe^{-x}\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x=0\). Mit \(f''(x)=(x-1)e^{-x}\) gilt \(f''(0)=-1<0\). Daher ist \(H(0\mid1)\) der Hochpunkt. 3. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=1\). Die dritte Ableitung lautet \(f'''(x)=(2-x)e^{-x}\), also \(f'''(1)=e^{-1}\neq0\). Daher liegt der Wendepunkt \(W\left(1\mid\frac2e\right)\) vor. 4. Da \(e^{-x}>0\) für alle \(x\) gilt, ist \(f(x)=0\) genau für \(x+1=0\). Die Nullstelle liegt bei \(x=-1\).

a) \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 0\) b) \(H(0 \mid 1)\) c) \(W\left(1 \mid \frac{2}{e}\right)\) d) \(x = -1\)

- Welche Ableitungsregel brauchst du für den gebrochen-rationalen Funktionsterm? - Welche Bedingung erfüllt die Konzentration am Maximum? - Welche der beiden Lösungen in Teil b liegt zeitlich nach dem Maximum? - Welche Bedeutung hat ein Minimum von \(C'\) für die Abnahme der Konzentration?

1. Mit der Quotientenregel erhält man \(C'(t)=\frac{10-10t^2}{(t^2+1)^2}\). 2. Aus \(C'(t)=0\) folgt \(t=1\), da \(t\ge0\). Mit \(C''(t)=\frac{20t(t^2-3)}{(t^2+1)^3}\) gilt \(C''(1)=-5<0\), also liegt ein Maximum vor. Es ist \(C(1)=5\,\text{mg/L}\). 3. Für Teil b gilt \(\frac{10t}{t^2+1}=4\). Daraus folgt \(2t^2-5t+2=0\) mit den Lösungen \(t=0{,}5\) und \(t=2\). Gesucht ist der Zeitpunkt nach dem Maximum, also \(t=2\,\text{h}\). 4. Bei \(t=\sqrt{3}\) wechselt die Krümmung und \(C'\) besitzt dort sein Minimum. Damit nimmt die Konzentration zu diesem Zeitpunkt am schnellsten ab.

a) Das Maximum liegt bei \(t=1\,\text{h}\) mit \(C(1)=5\,\text{mg/L}\). b) Nach \(2\,\text{h}\) beträgt die Konzentration wieder \(4\,\text{mg/L}\). c) Bei \(t=\sqrt{3}\,\text{h}\approx1{,}73\,\text{h}\) nimmt die Wirkstoffkonzentration am schnellsten ab.

- Für die maximale Geschwindigkeit musst du innere Extremstellen und Randwerte des Zeitintervalls vergleichen. - Die erste Ableitung von \(v\) beschreibt die Beschleunigung. - „Am stärksten abnehmen“ bedeutet, den kleinsten Wert dieser Beschleunigungsfunktion zu finden.

1. Es gilt \(v'(t)=0{,}03t^2-1{,}2t+9\). Die Nullstellen sind \(t=10\) und \(t=30\). Mit \(v''(t)=0{,}06t-1{,}2\) gilt \(v''(10)=-0{,}6<0\). Der Randwertvergleich liefert \(v(0)=0\), \(v(10)=40\) und \(v(30)=0\). Damit beträgt die maximale Geschwindigkeit \(40\,\text{m/s}\) bei \(t=10\,\text{s}\). 2. Die stärkste Abnahme der Geschwindigkeit entspricht dem kleinsten Wert der Beschleunigung \(v'\). Da \(v'\) eine nach oben geöffnete quadratische Funktion ist, liegt ihr Minimum am Scheitel. Aus \(v''(t)=0\) folgt \(t=20\,\text{s}\). Dort ist \(v'(20)=-3\,\text{m/s}^2\). Die maximale Verzögerung hat daher den Betrag \(3\,\text{m/s}^2\).

a) \(40\,\text{m/s}\) bei \(t=10\,\text{s}\) b) Bei \(t=20\,\text{s}\); Beschleunigung \(-3\,\text{m/s}^2\), also maximale Verzögerung \(3\,\text{m/s}^2\)

- Was passiert mit dem Funktionswert, wenn du \(x\) durch \(-x\) ersetzt? - Überlege, welche Werte der Term \(e^{-0{,}25x^2}\) annehmen kann. Was ist der größtmögliche Wert? - Die Stellen mit der größten Steilheit (positiv oder negativ) entsprechen den Wendestellen der Funktion. - Nutze die Produkt- und Kettenregel für die Ableitungen.

1. Es gilt \(g(-x)=4e^{-0{,}25(-x)^2}=g(x)\). Der Graph ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Wegen \(-0{,}25x^2\le0\) gilt \(0<e^{-0{,}25x^2}\le1\). Damit ist \(W_g=]0;4]\). 3. Die Ableitungen lauten \(g'(x)=-2xe^{-0{,}25x^2}\) und \(g''(x)=(x^2-2)e^{-0{,}25x^2}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, ist \(g''\) für \(|x|<\sqrt2\) negativ und für \(|x|>\sqrt2\) positiv. Somit wechselt die Krümmung bei \(x=\pm\sqrt2\); beide Stellen sind Wendestellen. 4. Aus demselben Vorzeichenverlauf folgt: \(g'\) steigt auf \(]-\infty;-\sqrt2[\), fällt auf \(]-\sqrt2;\sqrt2[\) und steigt auf \(]\sqrt2;\infty[\). Wegen \(g'(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\) ist \(g'(-\sqrt2)=2\sqrt{\frac2e}\) das globale Maximum und \(g'(\sqrt2)=-2\sqrt{\frac2e}\) das globale Minimum. Die größte positive Steigung liegt daher bei \(x=-\sqrt2\), die größte negative Steigung bei \(x=\sqrt2\).

a) Wegen \(g(-x) = g(x)\) liegt Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse vor. b) Die Wertemenge ist \(W_g = ]0; 4]\). c) Die Wendestellen liegen bei \(x_1 = -\sqrt{2} \approx -1{,}41\) und \(x_2 = \sqrt{2} \approx 1{,}41\).

- Untersuche für die Grenzwerte, wie sich \(e^x\) für sehr kleine und sehr große \(x\) verhält. - Bei der Wendestelle musst du neben \(g''(x)=0\) auch einen Krümmungswechsel bestätigen. - Für die Wendetangente benötigst du den Punkt und die erste Ableitung an der Wendestelle.

1. Für \(x\to-\infty\) gilt \(e^x\to0\), also \(g(x)\to0\). Für \(x\to\infty\) kann man \(g(x)=\frac4{1+2e^{-x}}\) schreiben, also \(g(x)\to4\). Die waagerechten Asymptoten sind \(y=0\) und \(y=4\). 2. Es gilt \(g'(x)=\frac{8e^x}{(e^x+2)^2}\) und \(g''(x)=\frac{8e^x(2-e^x)}{(e^x+2)^3}\). Da Nenner und \(e^x\) positiv sind, ist \(g''(x)=0\) genau für \(e^x=2\), also \(x=\ln2\). Der Faktor \(2-e^x\) wechselt dort sein Vorzeichen, daher liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor. Mit \(g(\ln2)=2\) folgt \(W(\ln2\mid2)\). 3. Die Steigung der Wendetangente ist \(g'(\ln2)=1\). Damit lautet ihre Gleichung \(y=x+2-\ln2\).

a) \(\lim_{x\to-\infty}g(x)=0\), \(\lim_{x\to\infty}g(x)=4\); Asymptoten \(y=0\) und \(y=4\) b) \(W(\ln2\mid2)\) c) \(t_W: y=x+2-\ln2\)

- Überlege zuerst, welche Ableitung du benötigst, um Hochpunkte oder Wendepunkte zu finden. - Für die maximale Höhe suchst du den lokalen Hochpunkt der Funktion im gegebenen Bereich. - Die steilste Stelle einer Kurve entspricht mathematisch dem Extrempunkt der ersten Ableitung. - Achte beim Ableiten auf die Produkt- und Kettenregel.

1. Es gilt \(f'(x)=(-0{,}5x^2+2)e^{-0{,}5x}\) und \(f''(x)=(0{,}25x^2-x-1)e^{-0{,}5x}\). 2. Wegen des positiven Exponentialfaktors hat \(f'\) auf \(]-2;2[\) positives und auf \(]2;8]\) negatives Vorzeichen. Daher wächst \(f\) von \(x=-2\) bis \(x=2\) und fällt danach bis \(x=8\). Somit ist \(x=2\) die globale Maximalstelle auf \([-2;8]\). Die maximale Höhe beträgt \(f(2)=\frac{16}{e}\,\text{m}\approx5{,}89\,\text{m}\). 3. Auf der rechten Seite wird die Steigung \(f'\) dort minimal, wo \(f''\) das Vorzeichen von negativ nach positiv wechselt. Aus \(f''(x)=0\) folgt \(x=2\pm2\sqrt2\). Für \(x>2\) ist nur \(x_S=2+2\sqrt2\approx4{,}83\) relevant. Der quadratische Faktor von \(f''\) ist zwischen seinen Nullstellen negativ und außerhalb positiv; daher fällt \(f'\) bis \(x_S\) und steigt danach. Somit ist \(f'(x_S)\) die größte negative Steigung auf der rechten Seite. 4. Es gilt \(f'(2+2\sqrt2)=-4(1+\sqrt2)e^{-1-\sqrt2}\approx-0{,}864\). Das Gefälle hat daher den Betrag \(0{,}864\), entsprechend etwa \(86{,}4\,\%\).

a) Die maximale Höhe des Walls beträgt ca. \(5{,}89\,\text{m}\). b) Die steilste Stelle auf der rechten Seite liegt bei \(x \approx 4{,}83\). Das Gefälle beträgt dort ca. \(0{,}86\) (bzw. \(86\,\%\)).

- Überlege dir, welche Koordinate eines Punktes auf der \(y\)-Achse immer null ist. - Erinnere dich an die Bedingung für Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse: Was muss für \(f(-x)\) gelten? - Für die Tangentengleichung benötigst du die Steigung an der Berührstelle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei? - Eine Tangente ist eine Gerade. Wie lautet die allgemeine Form einer Geradengleichung? - Wo liegt ein Punkt auf der \(x\)-Achse? Welche seiner Koordinaten kennst du?

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse durch \(f(0)\) bestimmen: \(f(0) = 4 \cdot e^0 = 4\). Somit ist der Schnittpunkt \(S_y(0 \mid 4)\). 2. Nachweis der Achsensymmetrie: \(f(-x) = 4e^{-0{,}5(-x)^2} = 4e^{-0{,}5x^2} = f(x)\). Da \(f(-x) = f(x)\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 3. Ableitungsfunktion mit der Kettenregel bestimmen: \(f'(x) = 4 \cdot (-x) \cdot e^{-0{,}5x^2} = -4x \cdot e^{-0{,}5x^2}\). 4. Steigung der Tangente bei \(x=1\): \(m = f'(1) = -4 \cdot e^{-0{,}5} = -4e^{-0{,}5}\). 5. Funktionswert bei \(x=1\): \(y_1 = f(1) = 4e^{-0{,}5}\). 6. Tangentengleichung \(y = m(x - x_1) + y_1\) aufstellen: \(y = -4e^{-0{,}5}(x - 1) + 4e^{-0{,}5} = -4e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5}\). 7. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (\(y=0\)): \(0 = -4e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5} \Rightarrow 4e^{-0{,}5}x = 8e^{-0{,}5} \Rightarrow x = 2\). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse an der Stelle \(x = 2\).

a) \(S_y(0 \mid 4)\) b) Nachweis über \(f(-x) = f(x)\). c) \(t: y = -4e^{-0{,}5}x + 8e^{-0{,}5}\) (bzw. \(y \approx -2{,}43x + 4{,}85\)) d) \(x = 2\)

- Überlege, welche Werte für \(x\) in den Funktionsterm eingesetzt werden dürfen. - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Kann die \(e\)-Funktion jemals null werden? - Erinnere dich an das Wachstum von Exponentialfunktionen im Vergleich zu Potenzfunktionen für sehr große oder sehr kleine \(x\)-Werte. - Nutze die Produktregel für die Ableitung. - Wie hängen die Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung mit der Art der Extrempunkte zusammen?

1. Definitionsmenge und Nullstellen: Da \(e^x\) und \(x^2 - 3\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) definiert sind, ist \(D = \mathbb{R}\). Nullstellen liegen vor, wenn \(x^2 - 3 = 0\) ist, da \(e^x > 0\). Somit \(x_1 = -\sqrt{3}\) und \(x_2 = \sqrt{3}\). 2. Grenzverhalten: Für \(x \to \infty\) streben sowohl \(x^2 - 3\) als auch \(e^x\) gegen \(\infty\), also \(h(x) \to \infty\). Für \(x \to -\infty\) dominiert die Exponentialfunktion die Potenzfunktion, sodass \(h(x) \to 0\). 3. Extrempunkte: Die Ableitung ist \(h'(x) = 2x \cdot e^x + (x^2 - 3) \cdot e^x = (x^2 + 2x - 3) \cdot e^x\). Nullsetzen der Klammer liefert \(x^2 + 2x - 3 = 0\), also \(x_3 = -3\) und \(x_4 = 1\). Da \(h'(x)\) eine nach oben geöffnete Parabel als Faktor hat, ist bei \(x = -3\) ein Vorzeichenwechsel von \(+\) nach \(-\) (Hochpunkt) und bei \(x = 1\) ein Wechsel von \(-\) nach \(+\) (Tiefpunkt). Die Koordinaten sind \(H\left(-3 \mid 6e^{-3}\right)\) und \(T(1 \mid -2e)\).

a) \(D = \mathbb{R}\); Nullstellen bei \(x_1 = -\sqrt{3}\) und \(x_2 = \sqrt{3}\). b) \(\lim_{x \to \infty} h(x) = \infty\); \(\lim_{x \to -\infty} h(x) = 0\). c) Hochpunkt \(H\left(-3 \mid \frac{6}{e^3}\right)\) und Tiefpunkt \(T(1 \mid -2e)\).

- Schau dir an, an welche Geraden sich der Graph für sehr große \(x\) oder nahe der Definitionslücke anschmiegt. - Wie findest du mithilfe der Ableitung die tiefste Stelle eines Graphen in einem bestimmten Bereich? - Erinnere dich an die Beziehung zwischen der Steigung einer Tangente und der Steigung der zugehörigen Normalen im selben Punkt. - Nutze die Punkt-Steigungs-Formel für Geraden, um die Normalengleichung aufzustellen.

1. Die Definitionslücke bei \(x=0\) liefert die senkrechte Asymptote \(x=0\). Da \(\frac2x\to0\) für \(|x|\to\infty\), ist \(y=0{,}5x\) die schräge Asymptote. 2. Es gilt \(f'(x)=0{,}5-\frac2{x^2}\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(x^2=4\). Für \(x>0\) ist daher \(x=2\). Mit \(f(2)=2\) und \(f''(2)=\frac4{2^3}=0{,}5>0\) ergibt sich der Tiefpunkt \(T(2\mid2)\). 3. Bei \(x=1\) ist \(f(1)=2{,}5\) und \(f'(1)=-1{,}5=-\frac32\). Die Normalensteigung ist daher \(m_n=\frac23\). Mit der Punkt-Steigungs-Form: \(y-2{,}5=\frac23(x-1)\). Somit lautet die Normale \(y=\frac23x+\frac{11}{6}\).

a) \(x=0\) und \(y=0{,}5x\) b) \(T(2\mid2)\) c) \(y=\frac23x+\frac{11}{6}\)

- Bei konstantem positivem Zähler wird der Bruch maximal, wenn sein Nenner minimal ist. - Setze den gegebenen Wendestellen-Zeitpunkt direkt in \(k\) ein. - Überlege für die Interpretation, welche besondere Eigenschaft die Steigung an einer Wendestelle im fallenden Bereich besitzt.

1. Der Funktionsterm ist maximal, wenn der Nenner minimal ist. Das ist bei \(t=10\) der Fall, weil \((t-10)^2\ge0\). Daher gilt \(k(10)=\frac{80}{12}=\frac{20}{3}\approx6{,}67\,\text{mg/L}\). 2. An der gegebenen Wendestelle ist \(k(12)=\frac{80}{4+12}=5\,\text{mg/L}\). 3. Im fallenden Bereich kennzeichnet die Wendestelle den Zeitpunkt der stärksten Abnahme; dort ist die negative Änderungsrate lokal am kleinsten bzw. ihr Betrag lokal am größten.

a) Nach \(10\,\text{h}\) beträgt die maximale Konzentration \(\frac{20}{3}\,\text{mg/L}\approx6{,}67\,\text{mg/L}\). b) Nach \(12\,\text{h}\) beträgt die Konzentration \(5\,\text{mg/L}\); dort nimmt sie lokal am schnellsten ab.

- Untersuche das Vorzeichen von \(f'\), um das Monotonieverhalten von \(f\) zu bestimmen. - Achte an den Nullstellen von \(f'\) auf die Richtung des Vorzeichenwechsels. - Bestimme \(f''\) und beachte bei möglichen Wendestellen auch den Definitionsbereich.

1. Im Intervall \(]0;2[\) gilt \(f'(x)<0\). Daher ist \(f\) dort streng monoton fallend. Aussage (1) ist wahr. 2. Bei \(x=2\) wechselt \(f'\) von negativ zu positiv. Daher besitzt \(f\) dort ein lokales Minimum, kein Maximum. Aussage (2) ist falsch. 3. Es gilt \(f''(x)=\frac8{x^3}\). Auf \(]-\infty;0[\) ist \(f''(x)<0\), auf \(]0;\infty[\) ist \(f''(x)>0\). Die Stelle \(x=0\) gehört jedoch nicht zum Definitionsbereich. Da \(f''\) sonst nirgends null wird oder das Vorzeichen wechselt, besitzt \(G_f\) keine Wendepunkte. Aussage (3) ist wahr.

(1) Wahr (2) Falsch (3) Wahr

- Unterscheide Aussagen über den ausdrücklich dargestellten Bereich von Aussagen über alle reellen \(x\). - Ein endliches Graphfenster liefert zuverlässige lokale Informationen innerhalb des Fensters, aber keine automatische Aussage über den unsichtbaren Verlauf. - Prüfe bei jeder Aussage, ob sie Wörter wie „für alle“ oder eine Aussage über ganz \(\mathbb R\) enthält.

1. Aussage (1) lässt sich aus der Abbildung begründen: Beide sichtbaren Extrempunkte liegen im Inneren des dargestellten Bereichs, und in ihrer Umgebung ist der jeweilige Wechsel von steigend zu fallend bzw. von fallend zu steigend zu erkennen. 2. Aussage (2) lässt sich nicht global begründen. Die Abbildung zeigt zwar für den sichtbaren Abschnitt rechts des Tiefpunkts einen steigenden Verlauf, aber nicht alle \(x>1\). 3. Aussage (3) lässt sich ebenfalls nicht global begründen. Im dargestellten Bereich sind drei Nullstellen sichtbar; außerhalb des Fensters könnten ohne weitere Information zusätzliche Nullstellen liegen. 4. Aussage (4) lässt sich aus der Abbildung begründen: Zwischen dem sichtbaren Hoch- und Tiefpunkt fällt der gezeichnete Graph durchgehend.

(1) Aus der Abbildung begründbar. (2) Nicht global begründbar; das Bild zeigt nur einen endlichen Bereich. (3) Nicht global begründbar; außerhalb des Bildfensters sind weitere Nullstellen nicht ausgeschlossen. (4) Aus der Abbildung begründbar.

- Setze das Argument des Kosinus gleich den bekannten Nullstellen der Kosinusfunktion. - Vergiss beim Ableiten nicht die innere Ableitung der quadratischen Funktion. - Prüfe systematisch, für welche ganzzahligen \(k\) die Lösungen im Intervall liegen. - Untersuche neben den kritischen Stellen im Inneren auch das einseitige Verhalten an \(x=-3\) und \(x=3\).

1. Nullstellenbestimmung: \(\cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) = 0\) erfordert \(\frac{\pi}{4}x^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi\). Multiplikation mit \(\frac{4}{\pi}\) ergibt \(x^2 = 2 + 4k\). Für \(x \in [-3; 3]\) gilt \(x^2 \in [0; 9]\). - \(k=0: x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\). - \(k=1: x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\). - \(k=2: x^2 = 10 > 9\) liegt außerhalb des Intervalls. Damit sind die Nullstellen \(\pm\sqrt{2}\) und \(\pm\sqrt{6}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(g'(x) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right) \cdot \frac{\pi}{2}x\). Für innere kritische Stellen gilt \(g'(x)=0\), also \(x=0\) oder \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right)=0\). Daraus folgt \(x^2=4k\). Im Inneren des Intervalls erhält man \(x=0\), \(x=\pm2\) und \(x=\pm\sqrt{8}\). 3. Über die Funktionswerte und das Monotonieverhalten ergeben sich die inneren Extrema: \(g(0)=1\), also ein Hochpunkt \(H_1(0 \mid 1)\); \(g(\pm2)=-1\), also Tiefpunkte \(T_1(-2 \mid -1)\) und \(T_2(2 \mid -1)\); \(g(\pm\sqrt{8})=1\), also Hochpunkte \(H_2(-\sqrt{8} \mid 1)\) und \(H_3(\sqrt{8} \mid 1)\). 4. An den Randpunkten gilt \(g(-3)=g(3)=\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Unmittelbar rechts von \(-3\) beziehungsweise links von \(3\) sind die Funktionswerte größer. Daher sind \(R_1(-3 \mid \frac{\sqrt{2}}{2})\) und \(R_2(3 \mid \frac{\sqrt{2}}{2})\) einseitige lokale Minima.

a) Nullstellen: \(x_{1,2} = \pm\sqrt{2} \approx \pm 1{,}41\); \(x_{3,4} = \pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\). b) Lokale Hochpunkte: \(H_1(0 \mid 1)\) und \(H_{2,3}(\pm\sqrt{8} \mid 1) \approx (\pm 2{,}83 \mid 1)\); lokale Tiefpunkte im Inneren: \(T_{1,2}(\pm 2 \mid -1)\); einseitige lokale Minima an den Randpunkten: \(R_{1,2}(\pm3 \mid \frac{\sqrt{2}}{2})\).

- Nutze die Produktregel und die Kettenregel zur Bestimmung der Ableitungen. - Forme die Gleichung für die Schnittpunkte so um, dass du ein Produkt erhältst, bei dem ein Faktor \(x\) ist. - Untersuche die Hilfsfunktion \(w(x) = \frac{h(x)}{x}\) auf ihre Extremwerte, um die Anzahl der Lösungen für den zweiten Faktor zu bestimmen. - Achte darauf, ob der Ursprung als Lösung in den verschiedenen Fällen mehrfach oder einfach gezählt wird.

1. Es gilt \(h'(x)=xe^{-0{,}5x}(2-0{,}5x)\). Für \(0<x<4\) ist \(h'>0\), für \(x>4\) ist \(h'<0\). Somit liegt bei \(x=4\) tatsächlich ein Hochpunkt. 2. Es ist \(h(4)=16e^{-2}\), also \(H(4\mid16e^{-2})\). 3. Die Schnittgleichung lässt sich zu \(x(xe^{-0{,}5x}-k)=0\) faktorisieren; der Ursprung ist stets ein Schnittpunkt. 4. Für \(w(x)=xe^{-0{,}5x}\) gilt \(w'(x)=(1-0{,}5x)e^{-0{,}5x}\). Daher besitzt w bei \(x=2\) das globale Maximum \(\frac2e\) auf \([0;\infty[\). 5. Für \(0<k<\frac2e\) besitzt \(w(x)=k\) zwei positive Lösungen und es gibt insgesamt drei Schnittpunkte. Für \(k=\frac2e\) gibt es insgesamt zwei. Für \(k\le0\) oder \(k>\frac2e\) bleibt nur der Ursprung.

a) Hochpunkt \(H(4 \mid 16 e^{-2})\). b) Für \(k \in ]0; \frac{2}{e}[\): 3 Schnittpunkte; für \(k = \frac{2}{e}\): 2 Schnittpunkte; für \(k \le 0\) oder \(k > \frac{2}{e}\): 1 Schnittpunkt.

- Erinnere dich, bei welchen Werten die Sinusfunktion null wird. - Nutze für die Ableitung die Kettenregel. - Betrachte bei der Suche nach inneren Extremstellen beide Faktoren der Ableitung getrennt. - Prüfe zusätzlich das einseitige Verhalten an den beiden Randpunkten.

1. Nullstellen: \(\sin\left(\frac{\pi}{4}x^2\right)=0 \iff \frac{\pi}{4}x^2=k\pi \iff x^2=4k\). Wegen \(0 \leq x^2 \leq 6{,}25\) sind \(k=0\) und \(k=1\) möglich. Daraus folgen die Nullstellen \(x=-2\), \(x=0\) und \(x=2\). 2. Die Ableitung lautet \(h'(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}x^2\right)\cdot\frac{\pi}{2}x\). Für innere kritische Stellen gilt \(h'(x)=0\), also \(x=0\) oder \(\frac{\pi}{4}x^2=\frac{\pi}{2}+k\pi\). Damit ist \(x^2=2+4k\). Im Intervall ergeben sich \(x=\pm\sqrt{2}\) und \(x=\pm\sqrt{6}\). 3. Bei \(x=0\) wechselt \(h'\) von negativ nach positiv; daher liegt ein lokales Minimum \(T_1(0 \mid 0)\) vor. Bei \(x=\pm\sqrt{2}\) ist \(h(x)=1\), also liegen lokale Maxima \(H_1(-\sqrt{2} \mid 1)\) und \(H_2(\sqrt{2} \mid 1)\) vor. Bei \(x=\pm\sqrt{6}\) ist \(h(x)=-1\), also liegen lokale Minima \(T_2(-\sqrt{6} \mid -1)\) und \(T_3(\sqrt{6} \mid -1)\) vor. 4. An den Randpunkten ist \(h(\pm2{,}5)=\sin\left(\frac{25\pi}{16}\right)\approx-0{,}9808\). Unmittelbar rechts von \(-2{,}5\) beziehungsweise links von \(2{,}5\) sind die Funktionswerte kleiner. Daher sind \(R_1(-2{,}5 \mid \sin(\frac{25\pi}{16}))\) und \(R_2(2{,}5 \mid \sin(\frac{25\pi}{16}))\) einseitige lokale Maxima.

a) Nullstellen: \(x_1=-2\), \(x_2=0\), \(x_3=2\). b) Lokale Minima: \(T_1(0 \mid 0)\), \(T_{2,3}(\pm\sqrt{6} \mid -1)\); lokale Maxima im Inneren: \(H_{1,2}(\pm\sqrt{2} \mid 1)\); einseitige lokale Maxima an den Randpunkten: \(R_{1,2}(\pm2{,}5 \mid \sin(\frac{25\pi}{16}))\) mit \(\sin(\frac{25\pi}{16}) \approx -0{,}9808\).

- Welche Werte sind wegen des Nenners aus der Definitionsmenge ausgeschlossen? - Welche Informationen liefern Nullstellen und Grenzverhalten über die Lage des Graphen? - Untersuche die stationären Stellen in Abhängigkeit vom Parameter und achte auf dessen Vorzeichen. - Für gemeinsame Punkte zweier Scharkurven kannst du zwei verschiedene Parameterwerte miteinander vergleichen.

1. Da der Nenner nicht null sein darf, ist \(D_k=\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Die Nullstelle folgt aus \(k-2x=0\), also \(x=\frac{k}{2}\). 2. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(f_k(x)\to0\); damit ist \(y=0\) die waagerechte Asymptote. Wegen des Faktors \(x^2\) im Nenner ist \(x=0\) eine senkrechte Asymptote. 3. Es ist \(f_k'(x)=\frac{2x-2k}{x^3}\). Daher liegt die einzige Extremstelle bei \(x=k\). 4. Mit \(f_k''(x)=\frac{6k-4x}{x^4}\) gilt \(f_k''(k)=\frac{2}{k^3}\). Für \(k>0\) liegt somit ein Tiefpunkt \(T\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\) vor, für \(k<0\) ein Hochpunkt \(H\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\). 5. Für zwei Parameter \(k_1\ne k_2\) würde ein Schnittpunkt \(f_{k_1}(x)=f_{k_2}(x)\) die Gleichung \(k_1-2x=k_2-2x\) und damit \(k_1=k_2\) erzwingen. Verschiedene Graphen der Schar schneiden sich daher nicht.

a) \(D_k=\mathbb{R}\setminus\{0\}\); Nullstelle \(x=\frac{k}{2}\); senkrechte Asymptote \(x=0\), waagerechte Asymptote \(y=0\). b) Extrempunkt bei \(x=k\): für \(k>0\) \(T\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\), für \(k<0\) \(H\left(k\mid-\frac{1}{k}\right)\). c) Verschiedene Graphen der Schar besitzen keine Schnittpunkte.

- Prüfe die Symmetrie durch Ersetzen von \(x\) durch \(-x\). - Bei der Ableitung wirken Quotienten- und Kettenregel zusammen. - Für einen gemeinsamen Punkt musst du zwei verschiedene Parameterwerte vergleichen. - Was folgt aus dem Gradunterschied von Zähler und Nenner für große \(|x|\)?

1. Wegen \(g_k(-x)=-g_k(x)\) ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Die einzige Nullstelle ist \(x=0\). 2. Es ist \(g_k'(x)=\frac{2k-6x^2}{(x^2+k)^3}\). Daher liegen die Extremstellen bei \(x=\pm\sqrt{\frac{k}{3}}\). Der Hochpunkt ist \(H\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\mid\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\), der Tiefpunkt liegt wegen der Punktsymmetrie bei \(T\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\mid-\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). 3. Für zwei verschiedene Parameter \(k_1\ne k_2\) ist \(g_{k_1}(0)=g_{k_2}(0)=0\). Für \(x\ne0\) würde ein gemeinsamer Punkt \((x^2+k_1)^2=(x^2+k_2)^2\) erfordern; wegen \(x^2+k>0\) folgt daraus \(k_1=k_2\), ein Widerspruch. Der einzige gemeinsame Punkt ist also \((0\mid0)\). 4. Für \(x\to\pm\infty\) gilt \(g_k(x)\to0\); die gemeinsame waagerechte Asymptote lautet \(y=0\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; Nullstelle \(x=0\). b) \(H\left(\sqrt{\frac{k}{3}}\mid\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\), \(T\left(-\sqrt{\frac{k}{3}}\mid-\frac{9\sqrt{k/3}}{8k^2}\right)\). c) Gemeinsamer Punkt \((0\mid0)\); waagerechte Asymptote \(y=0\).

- Überlege dir, wie sich die Funktion für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte verhält. - Unterscheide Fälle für den Parameter, insbesondere ob die Funktion Extrema besitzt. - Wie beeinflusst die Lage des Extrempunktes (oberhalb, unterhalb oder auf der \(x\)-Achse) die Anzahl der Nullstellen? - Betrachte die Monotonie der Funktion in den verschiedenen Bereichen.

1. Es gilt \(f_a'(x) = ae^x - 1\). 2. Für \(a<0\) ist \(f_a'(x)<0\), die Funktion also streng monoton fallend. Mit \(\lim_{x\to-\infty}f_a(x)=\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}f_a(x)=-\infty\) folgt genau eine Nullstelle. Für \(a=0\) ist \(f_0(x)=-x\) mit der einzigen Nullstelle \(x=0\). 3. Für \(a>0\) besitzt \(f_a'\) genau eine Nullstelle bei \(x=-\ln(a)\). Wegen \(f_a''(x)=ae^x>0\) für alle \(x\) ist dies das eindeutige Minimum. Sein Funktionswert ist \(f_a(-\ln(a))=1+\ln(a)\). Außerdem gilt \(\lim_{x\to\pm\infty}f_a(x)=\infty\). 4. Das Minimum ist null für \(1+\ln(a)=0\), also \(a=\frac1e\); es ist negativ für \(0<a<\frac1e\) und positiv für \(a>\frac1e\). 5. Damit gibt es für \(a>\frac1e\) keine Nullstelle, für \(a=\frac1e\) sowie \(a\le0\) genau eine Nullstelle und für \(0<a<\frac1e\) genau zwei Nullstellen.

- Keine Nullstellen für \(a > \frac{1}{e}\) - Genau eine Nullstelle für \(a = \frac{1}{e}\) oder \(a \le 0\) - Genau zwei Nullstellen für \(0 < a < \frac{1}{e}\)

- Achte auf den Definitionsbereich der Logarithmusfunktion. - Bestimme die erste Ableitung, um mögliche Extremstellen in Abhängigkeit von \(k\) zu finden. - Welche Rolle spielt das Vorzeichen von \(k\) für den Verlauf des Graphen? - Untersuche die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs. - Setze den Funktionswert an der Extremstelle in Beziehung zur \(x\)-Achse.

1. Es gilt \(h_k'(x) = 2x - \frac{k}{x}\). 2. Für \(k<0\) ist \(h_k'(x)=2x+\frac{|k|}{x}>0\) für alle \(x>0\). Mit \(\lim_{x\to0^+}h_k(x)=-\infty\) und \(\lim_{x\to\infty}h_k(x)=\infty\) ergibt sich genau eine Nullstelle. 3. Für \(k=0\) ist \(h_0(x)=x^2\); im Bereich \(x>0\) gibt es keine Nullstelle. 4. Für \(k>0\) liefert \(h_k'(x)=0\) genau \(x=\sqrt{\frac{k}{2}}\). Wegen \(h_k''(x)=2+\frac{k}{x^2}>0\) für alle \(x>0\) ist dies das eindeutige Minimum. Sein Wert ist \(\frac{k}{2}\left(1-\ln\left(\frac{k}{2}\right)\right)\). Zugleich gilt \(h_k(x)\to\infty\) für \(x\to0^+\) und für \(x\to\infty\). 5. Das Minimum ist null genau für \(k=2e\), positiv für \(0<k<2e\) und negativ für \(k>2e\). 6. Somit gibt es keine Nullstelle für \(0\le k<2e\), genau eine Nullstelle für \(k<0\) oder \(k=2e\) und genau zwei Nullstellen für \(k>2e\).

- Keine Nullstellen: \(0 \le k < 2e\) - Genau eine Nullstelle: \(k < 0\) oder \(k = 2e\) - Genau zwei Nullstellen: \(k > 2e\)

- Nutze die Eigenschaft \(g(-x) = g(x)\) für den Nachweis der Symmetrie. - Wenn eine Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, haben die Tangenten an den Stellen \(a\) und \(-a\) entgegengesetzte Steigungen, schneiden sich aber auf der \(y\)-Achse. - Der Schnittpunkt zweier Geraden wird durch Gleichsetzen der Funktionsterme ermittelt. - Die Wendepunkte liegen dort, wo die zweite Ableitung Nullstellen mit Vorzeichenwechsel besitzt.

1. Es gilt \(g(-x)=g(x)\), also ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Mit \(g'(x)=-2xe^{-0{,}25x^2}\) erhält man \(g(2)=\frac4e\) und \(g'(2)=-\frac4e\). Die Tangente bei \(x=2\) ist \(y=-\frac4e x+\frac{12}{e}\). Wegen der Symmetrie lautet die Tangente bei \(x=-2\) \(y=\frac4e x+\frac{12}{e}\). 3. Gleichsetzen ergibt den Schnittpunkt \(S\left(0\mid\frac{12}{e}\right)\). 4. Wegen \(-0{,}25x^2\to-\infty\) gilt \(g(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\). 5. Die zweite Ableitung ist \(g''(x)=(x^2-2)e^{-0{,}25x^2}\). Sie ist für \(|x|<\sqrt2\) negativ und für \(|x|>\sqrt2\) positiv, also wechselt sie bei \(x=\pm\sqrt2\) das Vorzeichen. Daher sind \(W_1\left(-\sqrt2\mid\frac4{\sqrt e}\right)\) und \(W_2\left(\sqrt2\mid\frac4{\sqrt e}\right)\) echte Wendepunkte.

a) Nachweis über \(g(-x) = g(x)\). b) \(t_1: y = -\frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\); \(t_2: y = \frac{4}{e}x + \frac{12}{e}\) c) \(S(0 \mid \frac{12}{e})\) d) \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\); Wendepunkte \(W_1(-\sqrt{2} \mid \frac{4}{\sqrt{e}})\) und \(W_2(\sqrt{2} \mid \frac{4}{\sqrt{e}})\)

- Wie findet man Extrempunkte und Wendepunkte einer Funktion? - Was sagt die zweite Ableitung über die Krümmung des Graphen aus? - Stell dir die Sichtlinie als eine Gerade vor. Wann liegt eine Kurve unterhalb oder oberhalb einer Geraden? - Überlege, wie sich die Steigung des Profils vom Startpunkt aus entwickelt.

1. Ableitungen: \(g'(x) = 1 \cdot e^{-0{,}5x} + (x + 4) \cdot (-0{,}5) e^{-0{,}5x} = (1 - 0{,}5x - 2) e^{-0{,}5x} = (-0{,}5x - 1) e^{-0{,}5x}\). \(g''(x) = -0{,}5 e^{-0{,}5x} - 0{,}5(-0{,}5x - 1) e^{-0{,}5x} = (-0{,}5 + 0{,}25x + 0{,}5) e^{-0{,}5x} = 0{,}25x \cdot e^{-0{,}5x}\). 2. Gipfel: \(g'(x) = 0 \implies -0{,}5x - 1 = 0 \implies x = -2\). \(g(-2) = (-2 + 4) e^{1} = 2e \approx 5{,}44\). Gipfel bei \((-2 | 2e)\). 3. Steilstes Gefälle: Das Gefälle ist an den Wendepunkten oder den Rändern maximal. \(g''(x) = 0 \implies x = 0\). Steigung im Wendepunkt: \(g'(0) = -1 \cdot e^0 = -1\). Vergleich mit dem Rand \(x=6\): \(g'(6) = (-3 - 1) e^{-3} = -4 e^{-3} \approx -0{,}20\). Da \(g''(x)<0\) für \(x<0\) und \(g''(x)>0\) für \(x>0\) gilt, fällt \(g'\) bis \(x=0\) und steigt danach. Somit liegt die kleinste Steigung und damit das steilste Gefälle bei \(x=0\). 4. Sichtbarkeit: Die Verbindungslinie von \(P(-4|0)\) zum Gipfel \(S(-2|2e)\) hat die Steigung \(m = \frac{2e - 0}{-2 - (-4)} = \frac{2e}{2} = e \approx 2{,}72\). Die Tangentensteigung im Punkt \(P(-4|0)\) ist \(g'(-4) = (-0{,}5(-4) - 1) e^{2} = (2 - 1) e^2 = e^2 \approx 7{,}39\). Da die Steigung des Geländes am Startpunkt (\(e^2\)) größer ist als die Steigung der Sichtlinie (\(e\)), verläuft das Gelände zunächst oberhalb der Sichtlinie. Auf \([-4;-2]\) gilt \(g''(x)<0\), der Graph ist dort rechtsgekrümmt und liegt oberhalb seiner Verbindungssehne. Die Person kann den Gipfel daher nicht sehen.

a) Der Gipfel liegt bei \(x = -2\) mit den Koordinaten \((-2 | 2e)\approx(-2 | 5{,}44)\). b) Das steilste Gefälle befindet sich an der Stelle \(x = 0\). c) Nein, die Person kann den Gipfel nicht sehen. Da die Steigung des Geländes im Startpunkt (\(e^2 \approx 7{,}39\)) größer ist als die Steigung der direkten Verbindungslinie zum Gipfel (\(e \approx 2{,}72\)), wölbt sich der Hügel über die Sichtlinie.

- Bestimme vor der Monotonieanalyse den Definitionsbereich. - Untersuche das Vorzeichen von Zähler und Nenner der Ableitung getrennt. - Eine Definitionslücke trennt Monotonieintervalle, ist aber selbst kein Punkt des Graphen.

1. Der Definitionsbereich ist \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\). 2. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2-x}{x^3}\). Die einzige Nullstelle von \(g'\) ist \(x=2\). 3. Für \(x<0\) gilt \(g'<0\), für \(0<x<2\) gilt \(g'>0\), und für \(x>2\) gilt \(g'<0\). 4. Somit fällt \(g\) auf \(( -\infty;0)\) und \((2;\infty)\) und steigt auf \((0;2)\). Die Definitionslücke ist kein Extrempunkt; links davon fällt der linke Ast, rechts davon steigt der rechte Ast zunächst.

Streng fallend auf \(( -\infty;0)\) und \((2;\infty)\), streng steigend auf \((0;2)\). Bei \(x=0\) liegt wegen der Definitionslücke kein Extrempunkt vor; bei \(x=2\) liegt ein lokales Maximum.

- Prüfe zunächst die Symmetrie durch Einsetzen von \(-x\) und das Grenzverhalten des Quotienten. - Für Extrempunkte brauchst du die Nullstellen und Vorzeichenwechsel von \(h'\). - Für Wendepunkte untersuchst du entsprechend \(h''\). - Die Quotientenregel ist hier der zentrale Ableitungsweg.

1. Es gilt \(h(-x)=-h(x)\); der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Außerdem gilt \(h(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\), also ist \(y=0\) eine waagrechte Asymptote. 2. Die Quotientenregel liefert \(h'(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}\). Die Nullstellen sind \(x=\pm\sqrt3\). Der Vorzeichenwechsel ergibt den Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\) und den Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). 3. Es gilt \(h''(x)=\frac{2x^3-18x}{(x^2+3)^3}=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3)^3}\). Die Nullstellen sind \(x=-3\), \(x=0\) und \(x=3\). Der Zähler wechselt an jeder dieser einfachen Nullstellen das Vorzeichen. 4. Damit liegen die Wendepunkte bei \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\) und \(W_3(3\mid0{,}25)\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; waagrechte Asymptote \(y=0\). b) Tiefpunkt \(T(-\sqrt3\mid-\frac{\sqrt3}{6})\); Hochpunkt \(H(\sqrt3\mid\frac{\sqrt3}{6})\). c) Wendepunkte \(W_1(-3\mid-0{,}25)\), \(W_2(0\mid0)\), \(W_3(3\mid0{,}25)\).

- Prüfe für die Symmetrie die Beziehung zwischen \(g(-x)\) und \(g(x)\). - Nach der Quotientenregel sind Zähler und Nenner von \(g'\) so aufgebaut, dass ihr Vorzeichen direkt erkennbar ist. - Für den Wertebereich im mittleren Ast sind die einseitigen Grenzwerte an beiden Polstellen entscheidend.

1. Es gilt \(g(-x)=-g(x)\); daher ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Wegen des höheren Nennergrades gilt \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). 2. Die Quotientenregel liefert \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\) für alle \(x\in D_g\). Somit steigt \(g\) auf jedem Definitionsintervall streng. 3. Im Ursprung ist \(g'(0)=2\). Außerdem gilt \(g(x)\to-\infty\) für \(x\to-1^+\) und \(g(x)\to+\infty\) für \(x\to1^-\). Da \(g\) auf \((-1;1)\) stetig und streng steigend ist, nimmt sie dort jeden reellen Wert genau einmal an.

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; \(\lim_{x\to\infty}g(x)=0\). b) \(g'(x)=\frac{2x^2+2}{(1-x^2)^2}>0\); streng steigend auf jedem Definitionsintervall. c) Tangentensteigung \(2\); im Intervall \((-1;1)\) ist der Wertebereich \(\mathbb{R}\).

- Zerlege den Bruchterm von \(g\), leite den vereinfachten Term ab und vergleiche das Ergebnis mit \(h\). - Welches Vorzeichen muss die zweite Ableitung für eine Linkskrümmung haben? - Die Monotonie einer Funktion lässt sich direkt am Vorzeichen ihrer ersten Ableitung ablesen. - Überprüfe für den Bereich \(x < 0\) sorgfältig die Vorzeichen der Brüche, wenn die Variable im Nenner steht.

1. Ableitung von \(g\): Umschreiben zu \(g(x) = 2x - x^{-1}\). Dann ist \(g'(x) = 2 - (-1)x^{-2} = 2 + \frac{1}{x^2}=h(x)\). 2. Asymptoten von \(g\): Die Definitionslücke bei \(x = 0\) ist ein Pol mit Vorzeichenwechsel, also ist \(x = 0\) eine senkrechte Asymptote. Für \(|x| \to \infty\) nähert sich der Term \(-\frac{1}{x}\) dem Wert \(0\) an, woraus die schräge Asymptote \(y = 2x\) folgt. 3. Krümmung: \(g''(x) = h'(x) = -2x^{-3}\). Für \(x < 0\) ist \(g''(x) > 0\) (linksgekrümmt), für \(x > 0\) ist \(g''(x) < 0\) (rechtsgekrümmt). Für \(h\) gilt \(h''(x) = 6x^{-4}\). Da \(6x^{-4} > 0\) für alle \(x \neq 0\), ist der Graph von \(h\) überall linksgekrümmt. 4. Monotonie für \(x < 0\): Es gilt \(g'(x) = 2 + \frac{1}{x^2} > 0 \Rightarrow g\) ist streng monoton steigend. \(h'(x) = -2x^{-3} > 0\) für \(x < 0 \Rightarrow h\) ist streng monoton steigend. \(h''(x) = 6x^{-4} > 0 \Rightarrow h'\) ist streng monoton steigend. Alle drei Funktionen sind für \(x < 0\) streng monoton steigend.

a) \(g'(x) = 2 + \frac{1}{x^2} = h(x)\) b) Senkrechte Asymptote \(x = 0\); schräge Asymptote \(y = 2x\) c) \(g\): linksgekrümmt für \(x \in ]-\infty; 0[\), rechtsgekrümmt für \(x \in ]0; \infty[\). \(h\): linksgekrümmt für alle \(x \neq 0\). d) Da \(g'(x) > 0\), \(h'(x) > 0\) und \(h''(x) > 0\) für alle \(x < 0\) gilt, sind \(g, h\) und \(h'\) in diesem Bereich streng monoton steigend.

- Was bedeutet der Zeitpunkt der Markteinführung für den Wert der Zeitvariablen? - Wie findet man Extremstellen einer Funktion mithilfe von Ableitungen? - Überlege dir, was die Subtraktion zweier Funktionswerte mathematisch und inhaltlich bedeutet. - Betrachte das Verhalten der Funktion für sehr große Werte der Zeitvariablen. - Die stärkste Abnahme entspricht einem Minimum der ersten Ableitung. Welche Bedingung erfüllt die zweite Ableitung dort?

1. \(S(0) = (200 \cdot 0 + 400) \cdot e^0 + 500 = 900\). Zum Zeitpunkt der Markteinführung werden \(900\) E-Bikes pro Woche verkauft. 2. Die erste Ableitung ist \(S'(t) = (160 - 20t) \cdot e^{-0{,}1t}\). Aus \(S'(t) = 0\) folgt \(t = 8\). Da \(S''(8) < 0\), liegt ein Maximum vor. Es ist \(S(8) = 2000 \cdot e^{-0{,}8} + 500 \approx 1398{,}66\). Nach 8 Wochen wird mit ca. \(1399\) Verkäufen pro Woche das Maximum erreicht. 3. \(h(t)\) gibt an, um wie viele E-Bikes die wöchentlichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt \(t\) höher oder niedriger sind als in der 20. Woche. 4. Da \(\lim_{t \to \infty} (200t + 400) \cdot e^{-0{,}1t} = 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} S(t) = 500\). Nach dem Modell kann der Hersteller langfristig mit \(500\) verkauften E-Bikes pro Woche rechnen. 5. Die zweite Ableitung ist \(S''(t) = (2t - 36) \cdot e^{-0{,}1t}\). Aus \(S''(t) = 0\) folgt \(t = 18\). Die dritte Ableitung ist \(S'''(t) = (5{,}6 - 0{,}2t) \cdot e^{-0{,}1t}\), also \(S'''(18) > 0\). Daher besitzt \(S'\) bei \(t = 18\) ein lokales Minimum; dort ist die Abnahme am stärksten.

a) \(900\) E-Bikes pro Woche. b) Nach \(8\) Wochen; ca. \(1399\) E-Bikes pro Woche. c) \(h(t)\) ist die Differenz zwischen den wöchentlichen Verkaufszahlen zum Zeitpunkt \(t\) und denen in der 20. Woche. d) \(500\) E-Bikes pro Woche. e) \(S''(18) = 0\) und \(S'''(18) > 0\); somit hat \(S'\) bei \(t = 18\) ein Minimum und die Verkaufszahlen nehmen dort am stärksten ab.

- Wie berechnet man den Wert zu Beginn einer Messung? - Erinnere dich an das notwendige Kriterium für Extremstellen. - Was passiert mit dem Term \(e^{-kt}\), wenn \(t\) immer größer wird? - Die stärkste Abnahme entspricht der Stelle mit der kleinsten Steigung. Welchen besonderen Punkt am Graphen suchen wir also?

1. \(c(0) = 5\). Die Konzentration beträgt zu Beginn \(5\,\text{mg/l}\). 2. Die erste Ableitung lautet \(c'(t) = (1 - 0{,}5t) \cdot e^{-0{,}25t}\). Nullsetzen ergibt \(t = 2\). Da \(c''(2) < 0\), liegt ein Maximum vor. Es ist \(c(2) = 8 \cdot e^{-0{,}5} + 1 \approx 5{,}85\). Nach 2 Stunden wird das Maximum von ca. \(5{,}85\,\text{mg/l}\) erreicht. 3. Es gilt \(\lim_{t \to \infty} (2t + 4) \cdot e^{-0{,}25t} = 0\). Somit ist \(\lim_{t \to \infty} c(t) = 1\). Langfristig nähert sich die Konzentration \(1\,\text{mg/l}\) an. 4. Die zweite Ableitung ist \(c''(t) = (0{,}125t - 0{,}75) \cdot e^{-0{,}25t}\). Nullsetzen ergibt \(t = 6\). Da \(c'''(6) > 0\), besitzt \(c'\) dort ein lokales Minimum. Die Konzentration nimmt nach 6 Stunden am stärksten ab.

a) \(5\,\text{mg/l}\). b) Nach \(2\) Stunden; ca. \(5{,}85\,\text{mg/l}\). c) \(1\,\text{mg/l}\), da \(\lim_{t \to \infty} c(t) = 1\). d) Nach \(6\) Stunden.

- Welche Regel eignet sich am besten zum Ableiten von Brüchen mit konstantem Zähler? - Untersuche das Vorzeichen der Ableitungen in den Bereichen links und rechts der Definitionslücke. - Wie verändert sich der Exponent im Nenner bei jeder weiteren Ableitung? - Was muss für den Grenzwert an einer Stelle gelten, damit dort eine senkrechte Asymptote vorliegt?

1. Erste Ableitung: \(g'(x) = 6(x-4)^{-3} = \frac{6}{(x-4)^3}\). Für \(x < 4\) ist \((x-4)^3 < 0\), also \(g'(x) < 0\) (streng monoton fallend). Für \(x > 4\) ist \((x-4)^3 > 0\), also \(g'(x) > 0\) (streng monoton steigend). 2. Zweite Ableitung: \(g''(x) = -18(x-4)^{-4} = \frac{-18}{(x-4)^4}\). Da \((x-4)^4 > 0\) für alle \(x \in D_g\), gilt \(g''(x) < 0\) für alle \(x \in D_g\). Der Graph \(G_g\) ist somit im gesamten Definitionsbereich rechtsgekrümmt. 3. Für \(n \in \mathbb{N}^+\) hat die \(n\)-te Ableitung von \(g(x) = 2 - 3(x-4)^{-2}\) die Form \(g^{(n)}(x) = a_n \cdot (x-4)^{-(n+2)}\), wobei \(a_n\) eine von Null verschiedene Konstante ist (Produkt aus \(-3\) und den Exponenten \(-2, -3, \dots, -(n+1)\)). Da der Nenner \((x-4)^{n+2}\) für \(x \to 4\) gegen Null geht und der Zähler \(a_n \neq 0\) bleibt, gilt \(\lim_{x \to 4} |g^{(n)}(x)| = \infty\). Folglich ist \(x = 4\) für alle \(n \in \mathbb{N}^+\) eine senkrechte Asymptote.

1. Streng monoton fallend für \(x \in ]-\infty; 4[\), streng monoton steigend für \(x \in ]4; \infty[\). 2. Der Graph ist überall rechtsgekrümmt (konkav), da \(g''(x) < 0\). 3. Für jedes \(n \in \mathbb{N}^+\) hat die Ableitung \(g^{(n)}\) die Form \(\frac{a_n}{(x-4)^{n+2}}\) mit \(a_n \neq 0\). Da der Nenner bei \(x=4\) null wird, liegt dort eine senkrechte Asymptote vor.

- Erinnere dich an die Regel: Eine Polstelle hat genau dann einen Vorzeichenwechsel, wenn ihre Ordnung ungerade ist. - Wie verändert sich die Ordnung einer Polstelle beim Ableiten einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten? - Teste die Aussagen an einfachen Beispielen wie \(f(x) = \frac{1}{x}\) oder \(f(x) = \frac{1}{x^2}\).

1. Zusammenhang der Polstellenordnungen: Sei \(x_0\) eine Polstelle \(k\)-ter Ordnung von \(f\). Dann verhält sich die Funktion lokal wie \(\frac{1}{(x-x_0)^k}\). Die Ableitung verhält sich lokal wie \(\frac{-k}{(x-x_0)^{k+1}}\), besitzt dort also eine Polstelle der Ordnung \(k+1\). 2. Analyse von Sarahs Aussage: Ein Vorzeichenwechsel (VZW) bei \(f\) bedeutet, dass \(k\) ungerade ist. Dann ist \(k+1\) gerade. Eine Polstelle gerader Ordnung hat keinen VZW. Sarahs Aussage ist somit korrekt. 3. Analyse von Leos Aussage: Ein fehlender VZW bei \(f'\) bedeutet, dass die Ordnung \(k+1\) gerade ist. Daraus folgt, dass die Ordnung \(k\) der ursprünglichen Funktion \(f\) ungerade sein muss. Eine ungerade Ordnung \(k\) bedeutet jedoch, dass die Funktion \(f\) an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel besitzt. Leos Aussage ist somit falsch.

Sarahs Aussage ist korrekt, da eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel eine ungerade Ordnung \(k\) hat, woraus eine gerade Ordnung \(k+1\) für die Ableitung folgt (kein VZW). Leos Aussage ist falsch, da ein fehlender Vorzeichenwechsel in der Ableitung (gerade Ordnung \(k+1\)) bedeutet, dass die ursprüngliche Funktion eine ungerade Ordnung \(k\) und damit einen Vorzeichenwechsel haben muss.

- Wann wird ein Produkt aus zwei Faktoren null? - Erinnere dich an die Produktregel und die Kettenregel beim Ableiten. - Für die Extremstellen kann es hilfreich sein, einen speziellen Wert für \(x\) zu testen, der den Logarithmus zu null macht. - Untersuche den Grenzwert an der Definitionslücke und für sehr große \(x\).

1. Nullstellen: \(g(x) = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0\) oder \(\ln(x - 1) = 0\). Dies führt auf \(x = 2\) oder \(x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\). Es gibt eine Nullstelle bei \(x = 2\). 2. Erste Ableitung: \(g'(x) = 1 \cdot \ln(x - 1) + (x - 2) \cdot \frac{1}{x - 1} = \ln(x - 1) + \frac{x - 2}{x - 1}\). 3. Extremstellen: \(g'(x) = 0 \Leftrightarrow \ln(x - 1) = - \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{2 - x}{x - 1}\). Durch Einsetzen erkennt man \(x = 2\) als Lösung, da \(\ln(1) = 0\) und \(\frac{2 - 2}{2 - 1} = 0\). 4. Zweite Ableitung: \(g''(x) = \frac{1}{x - 1} + \frac{1 \cdot (x - 1) - (x - 2) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2}\). 5. Da \(g''(x)>0\) für alle \(x>1\) gilt, ist \(g'\) streng monoton steigend; daher ist \(x=2\) die einzige Extremstelle. \(g''(2) = 1 + 1 = 2 > 0\), daher liegt bei \(x = 2\) ein lokales Minimum vor. Der Tiefpunkt ist \(T(2 \mid 0)\). 6. Verhalten am Rand \(x \to 1^+\): \((x - 2) \to -1\) und \(\ln(x - 1) \to -\infty\). Das Produkt strebt gegen \((-1) \cdot (-\infty) = \infty\). Es existiert eine senkrechte Asymptote \(x = 1\). 7. Verhalten für \(x \to \infty\): Beide Faktoren streben gegen \(\infty\), also \(g(x) \to \infty\). Es gibt keine waagerechte Asymptote.

a) Nullstelle: \(x = 2\); Tiefpunkt: \(T(2 \mid 0)\) b) \(\lim_{x \to 1^+} g(x) = \infty\); \(\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty\); senkrechte Asymptote: \(x = 1\)

- Was muss mit dem Exponenten einer Exponentialfunktion passieren, damit der gesamte Ausdruck für sehr große \(x\)-Werte gegen Null geht? - Welche Art von ganzrationalen Funktionen (Polynomen) sorgt dafür, dass ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse verläuft? - Wie hängen der Parameter \(c\) und die waagerechte Asymptote zusammen? - Nutze die Bedingungen für den Tiefpunkt, um die verbleibenden Unbekannten zu berechnen und überprüfe dein Ergebnis mithilfe der Ableitungen.

1. Für die waagerechte Asymptote \(y = 1\) muss der Term \(ae^{g(x)}\) für \(x \to \infty\) gegen Null streben. Dies wird erreicht, wenn \(c = 1\) gewählt wird und \(g(x)\) für große \(x\) gegen \(-\infty\) strebt. 2. Die Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse erfordert \(h(x) = h(-x)\). Dies ist erfüllt, wenn \(g(x)\) eine gerade Funktion ist, zum Beispiel \(g(x) = -x^2\). 3. Der Tiefpunkt bei \(x = 0\) mit \(h(0) = -1\) führt zur Gleichung \(ae^{g(0)} + 1 = -1\). Mit \(g(0) = 0\) ergibt sich \(a \cdot 1 + 1 = -1\), also \(a = -2\). 4. Überprüfung der Extremstelle: \(h(x) = -2e^{-x^2} + 1\). Die Ableitung \(h'(x) = -2e^{-x^2} \cdot (-2x) = 4xe^{-x^2}\) hat bei \(x = 0\) eine Nullstelle. Die zweite Ableitung \(h''(x) = 4e^{-x^2} + 4x(-2xe^{-x^2})\) ergibt \(h''(0) = 4 > 0\), was die Tiefpunkteigenschaft bestätigt.

Eine mögliche Funktion ist \(h(x) = -2e^{-x^2} + 1\). Dabei ist \(a = -2\), \(c = 1\) und \(g(x) = -x^2\).

- Wie hängen Monotonie und die Existenz einer Umkehrfunktion zusammen? - Denke daran, dass Definitions- und Wertemenge beim Bilden der Umkehrfunktion ihre Rollen tauschen. - Wie bestimmt man den kleinsten und größten Funktionswert einer streng monotonen Funktion auf einem Intervall? - Bei der Suche nach Schnittpunkten mit der Geraden \(y = x\) kannst du die Funktionsgleichung direkt gleich \(x\) setzen.

1. Ableitung von \(k(x)\): \(k'(x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln x - 2) + \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \ln x - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \ln x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\ln x - 1)\). 2. Nachweis der Monotonie: Für \(x \ge e\) gilt \(\ln x \ge 1\), also \(k'(x) \ge 0\). Da die Ableitung nur an der Stelle \(x = e\) null ist, ist \(k\) für \(x \ge e\) streng monoton steigend. 3. Umkehrbarkeit und Mengen: Da \(k^*\) auf \([e; \infty[\) streng monoton steigt, ist sie dort umkehrbar. \(W_{k^*} = [k(e); \lim_{x \to \infty} k(x)[\). \(k(e) = \frac{1}{2}e(\ln e - 2) = \frac{1}{2}e(1 - 2) = -0{,}5e\). Da \(\lim_{x \to \infty} k(x) = \infty\), ist \(W_{k^*} = [-0{,}5e; \infty[\). Für die Umkehrfunktion gilt: \(D_{(k^*)^{-1}} = W_{k^*} = [-0{,}5e; \infty[\) und \(W_{(k^*)^{-1}} = D_{k^*} = [e; \infty[\). 4. Schnittpunkt mit \(y = x\): Ansatz: \(\frac{1}{2}x (\ln x - 2) = x\). Da \(x \ge e\), ist \(x \neq 0\). Teilen durch \(x\) ergibt: \(\frac{1}{2}(\ln x - 2) = 1 \iff \ln x - 2 = 2 \iff \ln x = 4 \iff x = e^4\). Der Schnittpunkt ist \(S(e^4 \mid e^4)\).

a) \(k'(x) = \frac{1}{2}(\ln x - 1) \ge 0\) für \(x \ge e\). b) \(D_{(k^*)^{-1}} = [-0{,}5e; \infty[\) und \(W_{(k^*)^{-1}} = [e; \infty[\). c) Der Schnittpunkt ist \(S(e^4 \mid e^4)\).

- Ein Bruch ist positiv, wenn Zähler und Nenner entweder beide positiv oder beide negativ sind. - Untersuche den Grenzwert des Arguments für sehr große und sehr kleine \(x\)-Werte, um waagrechte Asymptoten zu finden. - Senkrechte Asymptoten treten dort auf, wo das Argument gegen null oder gegen unendlich strebt. - Berechne die Ableitung mithilfe der Kettenregel und vereinfache den Term so weit wie möglich, um das Vorzeichen zu beurteilen.

1. Definitionsmenge: Die Bedingung \(\frac{2x - 4}{x + 1} > 0\) erfordert, dass Zähler und Nenner gleiches Vorzeichen haben. Dies ist der Fall für \(x < -1\) (beide negativ) oder \(x > 2\) (beide positiv). Also \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]2; \infty[\). 2. Asymptoten: Für \(x \to \pm \infty\) nähert sich der Bruch \(\frac{2x - 4}{x + 1}\) dem Wert \(2\) an, also gilt \(\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \ln(2)\). Waagrechte Asymptote: \(y = \ln(2)\). An den Definitionslücken: \(\lim_{x \to -1^-} \frac{2x - 4}{x + 1} = \infty \Rightarrow \lim_{x \to -1^-} g(x) = \infty\). \(\lim_{x \to 2^+} \frac{2x - 4}{x + 1} = 0^+ \Rightarrow \lim_{x \to 2^+} g(x) = -\infty\). Senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 2\). 3. Monotonie: Mit der Ketten- und Quotientenregel ergibt sich \(g'(x) = \frac{x + 1}{2x - 4} \cdot \frac{2(x + 1) - 1(2x - 4)}{(x + 1)^2} = \frac{6}{(2x - 4)(x + 1)}\). Da für alle \(x \in D_g\) das Produkt \((2x - 4)(x + 1)\) positiv ist, gilt stets \(g'(x) > 0\). Somit ist \(g\) auf jedem Intervall des Definitionsbereichs streng monoton steigend.

a) \(D_g = ]-\infty; -1[ \cup ]2; \infty[\) b) Waagrechte Asymptote: \(y = \ln(2)\); senkrechte Asymptoten: \(x = -1\) und \(x = 2\) c) Nachweis über \(g'(x) = \frac{6}{(2x - 4)(x + 1)} > 0\) für alle \(x \in D_g\)

- Wie lautet die Ableitung des Bruchterms beziehungsweise der entsprechenden negativen Potenz? - Welche Gleichung liefert mögliche Extremstellen? - Warum kann im Bereich \(x<0\) keine Nullstelle von \(f'\) auftreten? - Wie kannst du im Bereich \(x>0\) die Einzigartigkeit begründen?

1. Es gilt \(f'(x)=\frac{2}{3}x-\frac{18}{x^2}\). 2. Aus \(f'(x)=0\) folgt \(\frac{2}{3}x=\frac{18}{x^2}\), also \(x^3=27\) und damit \(x=3\). 3. Für \(x<0\) sind beide Summanden von \(f'(x)\) negativ, daher gibt es dort keine Nullstelle von \(f'\). 4. Für \(x>0\) gilt \(f''(x)=\frac{2}{3}+\frac{36}{x^3}>0\). Daher ist \(f'\) dort streng steigend und kann höchstens eine Nullstelle besitzen. 5. Wegen \(f''(3)>0\) liegt bei \(x=3\) ein lokales Minimum vor. Somit ist dies die einzige Extremstelle.

Die einzige Extremstelle ist \(x=3\); dort liegt ein lokales Minimum vor.

- Welche notwendige Bedingung muss an einem Tiefpunkt erfüllt sein? - Welche zweite Ableitung erhältst du für den Bruchterm? - Was bedeutet ein positiver Wert von \(f''\) an einer stationären Stelle?

1. Es gilt \(f'(x)=1-\frac{8}{x^3}\). 2. Bei \(x=2\) ist \(f'(2)=1-\frac{8}{8}=0\). 3. Die zweite Ableitung lautet \(f''(x)=\frac{24}{x^4}\). Damit ist \(f''(2)=1{,}5>0\). 4. Aus \(f'(2)=0\) und \(f''(2)>0\) folgt, dass bei \(x=2\) ein lokaler Tiefpunkt vorliegt.

Bei \(x=2\) liegt ein lokaler Tiefpunkt vor, da \(f'(2)=0\) und \(f''(2)=1{,}5>0\) gilt.

- Untersuche die Ableitungen zunächst auf beiden Teilbereichen getrennt. - Krümmung lässt sich auch über die Monotonie der ersten Ableitung beschreiben. - Prüfe am Übergang \(x=0\), ob \(f'\) trotz fehlender zweiter Ableitung weiterhin in derselben Richtung verläuft.

1. Für \(x<0\) gilt \(f''(x)=6x+12\). Bei \(x=-2\) liegt eine Nullstelle vor. Für \(x<-2\) ist \(f''(x)<0\), für \(-2<x<0\) ist \(f''(x)>0\). 2. Für \(x>0\) gilt \(f''(x)=4>0\). 3. An \(x=0\) ist \(f\) differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar. Dennoch ist \(f'\) auf \((-2;\infty)\) streng monoton steigend: Links von \(0\) steigt \(f'\) bis zum Wert \(0\), rechts davon steigt \(f'\) von \(0\) aus weiter. Daher ist der Graph auf \((-2;\infty)\) durchgehend linksgekrümmt. 4. Auf \(( -\infty;-2)\) ist \(f'\) streng monoton fallend; dort ist der Graph rechtsgekrümmt.

Linkskrümmung: \((-2;\infty)\) Rechtskrümmung: \(( -\infty;-2)\)

- Löse den Betrag durch eine Fallunterscheidung auf. - Bestimme die zweite Ableitung auf beiden Seiten von \(0\) und untersuche ihr Vorzeichen. - Prüfe gesondert, ob die Krümmungsintervalle über \(x=0\) zusammengefasst werden dürfen.

1. Für \(x\geq0\) gilt \(f(x)=\frac{1}{6}x^3-x^2\), für \(x<0\) gilt \(f(x)=-\frac{1}{6}x^3-x^2\). 2. Für \(x>0\) ist \(f''(x)=x-2\). Damit ist der Graph für \(0<x<2\) rechtsgekrümmt und für \(x>2\) linksgekrümmt. 3. Für \(x<0\) ist \(f''(x)=-x-2\). Damit ist der Graph für \(x<-2\) linksgekrümmt und für \(-2<x<0\) rechtsgekrümmt. 4. Bei \(x=0\) stimmen die für die zweite Ableitung relevanten Grenzwerte überein; es gilt \(f''(0)=-2\). Die Rechtskrümmung setzt sich daher über \(x=0\) hinweg fort. 5. Insgesamt ist der Graph auf \(( -\infty;-2)\) und \((2;\infty)\) linksgekrümmt sowie auf \((-2;2)\) rechtsgekrümmt.

Linkskrümmung: \(( -\infty;-2)\) und \((2;\infty)\) Rechtskrümmung: \((-2;2)\)

- Prüfe Definitionsbereich, Symmetrie und Asymptote zunächst direkt am Funktionsterm. - Vergleiche die Nullstellen der Funktion mit den Nullstellen der zweiten Ableitung. - Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung bestätigt eine Wendestelle. - Für den Extrempunkt ist der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung entscheidend.

1. Da \(x^2+3>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt, ist \(D_f=\mathbb{R}\). Wegen \(f(-x)=f(x)\) ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. 2. Aus \(x^2-1=0\) folgen die Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\). Wegen gleicher Zähler- und Nennergrade ist \(y=1\) eine waagerechte Asymptote. 3. Es gilt \(f'(x)=\frac{8x}{(x^2+3)^2}\) und \(f''(x)=\frac{24(1-x^2)}{(x^2+3)^3}\). Die zweite Ableitung wird bei \(x=-1\) und \(x=1\) null und wechselt dort jeweils das Vorzeichen. Daher sind \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) Wendepunkte. 4. Die erste Ableitung wird nur bei \(x=0\) null und wechselt dort von negativ zu positiv. Daher liegt der Tiefpunkt \(T(0\mid-\frac13)\) vor.

1. \(D_f=\mathbb{R}\), achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse 2. Nullstellen \(x=-1\) und \(x=1\); waagerechte Asymptote \(y=1\) 3. \(W_1(-1\mid0)\) und \(W_2(1\mid0)\) 4. \(T(0\mid-\frac13)\)

- Für die Art des Extrempunkts kannst du das Vorzeichen der gegebenen zweiten Ableitung prüfen. - Achte beim Grenzwert im Unendlichen darauf, dass \(\sqrt{x^2} = |x|\) ist. - Um die Asymptotengleichungen \(y = mx + n\) zu finden, kannst du den Funktionsterm unter der Wurzel durch quadratische Ergänzung umformen.

1. Erste Ableitung: \(f'(x) = \frac{8x + 4}{2\sqrt{4x^2 + 4x + 10}} = \frac{4x + 2}{\sqrt{4x^2 + 4x + 10}}\). Extremstelle bei \(4x + 2 = 0 \implies x = -0{,}5\). Funktionswert: \(f(-0{,}5) = \sqrt{4(0{,}25) - 2 + 10} = 3\). Da \(f''(x) > 0\) für alle \(x\), ist \(T(-0{,}5 | 3)\) ein Tiefpunkt. 2. Da der Zähler von \(f''(x)\) konstant \(36\) und der Nenner für alle \(x\) positiv ist (Diskriminante des quadratischen Terms unter der Wurzel ist negativ), gilt \(f''(x) > 0\). Es gibt keine Nullstellen der zweiten Ableitung, also keine Wendepunkte. 3. Grenzwerte: \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x+10}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x(4 + \frac{2}{x})}{2|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2{,}5}{x^2}}} = \frac{4}{2} = 2\). Für \(x \to -\infty\) ergibt sich analog \(-2\). 4. Asymptoten: Die Steigungen sind \(m_1 = 2\) und \(m_2 = -2\). Da \(f(x) = \sqrt{(2x+1)^2 + 9}\), nähert sich der Graph den Geraden \(y = 2x + 1\) und \(y = -(2x + 1) = -2x - 1\).

1. Tiefpunkt \(T(-0{,}5 | 3)\) 2. \(f''(x)\) ist stets positiv und besitzt keine Nullstellen. 3. \(\lim_{x \to \infty} f'(x) = 2\) und \(\lim_{x \to -\infty} f'(x) = -2\) 4. Schräge Asymptoten: \(y = 2x + 1\) und \(y = -2x - 1\)

- Bestimme zuerst die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung. - Die Länge einer vertikalen Strecke zwischen zwei Graphen an derselben Stelle entspricht dem Betrag der Differenz der Funktionswerte. - Überprüfe, ob die Differenz im gegebenen Bereich immer positiv ist, um den Betrag weglassen zu können. - Leite die Differenzfunktion nach der Variable ab, um das Maximum zu finden.

1. Es gilt \(f'(x)=(-x^2+4x+1)e^{-x}\) und \(f''(x)=(x^2-6x+3)e^{-x}\). 2. Für \(a>1{,}5\) ist \(f(a)-f''(a)=(4a-6)e^{-a}>0\). Die Streckenlänge ist daher \(d(a)=(4a-6)e^{-a}\). 3. Die Ableitung lautet \(d'(a)=(10-4a)e^{-a}\). Da \(e^{-a}>0\), gilt \(d'(a)>0\) für \(1{,}5<a<2{,}5\) und \(d'(a)<0\) für \(a>2{,}5\). 4. Somit wächst \(d\) auf \(]1{,}5;2{,}5[\) und fällt auf \(]2{,}5;\infty[\). Daher besitzt \(d\) bei \(a=2{,}5\) das globale Maximum im vorgegebenen Bereich.

Die Strecke \(\overline{PQ}\) wird für \(a = 2{,}5\) maximal.

- Vergleiche \(f(-x)\) mit \(f(x)\) und \(-f(x)\). - Nutze bekannte Tangenswerte, um einige Nullstellen exakt zu finden. - Überlege für den Nachweis „genau drei“, welche Information die Krümmung auf der positiven Hälfte des Definitionsbereichs liefert. - Für die Extrempunkte benötigst du die Nullstellen der ersten Ableitung und anschließend eine Prüfung der Art.

1. Es gilt \(f(-x)=-f(x)\); der Graph ist daher punktsymmetrisch zum Ursprung. Wegen der Definitionslücken der Tangensfunktion sind \(x=-\frac\pi2\) und \(x=\frac\pi2\) senkrechte Asymptoten. 2. Es ist \(f(0)=0\) und \(f\left(\frac\pi4\right)=1-1=0\). Wegen der Punktsymmetrie ist auch \(x=-\frac\pi4\) eine Nullstelle. Auf \(]0;\frac\pi2[\) gilt \(f''(x)=\frac{2\sin x}{\cos^3x}>0\), also ist \(f\) dort streng konvex. Eine streng konvexe Funktion kann in diesem Intervall nicht mehr als zwei Nullstellen besitzen. Damit sind \(0\) und \(\frac\pi4\) die einzigen nichtnegativen Nullstellen; durch Symmetrie gibt es insgesamt genau die drei Nullstellen \(-\frac\pi4\), \(0\) und \(\frac\pi4\). 3. Es gilt \(f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}-\frac4\pi\). Aus \(f'(x)=0\) folgt \(\cos^2x=\frac\pi4\). Im Definitionsbereich sind die Lösungen \(x=\pm\arccos\left(\frac{\sqrt\pi}{2}\right)\approx\pm0{,}48\). Wegen \(f''(x)>0\) für \(x>0\) liegt bei \(x\approx0{,}48\) ein lokales Minimum vor; durch Symmetrie liegt bei \(x\approx-0{,}48\) ein lokales Maximum. Die Funktionswerte sind ungefähr \(-0{,}09\) bzw. \(0{,}09\).

a) Punktsymmetrisch zum Ursprung; senkrechte Asymptoten \(x=-\frac\pi2\) und \(x=\frac\pi2\) b) Nullstellen \(x=-\frac\pi4\), \(x=0\), \(x=\frac\pi4\) c) Lokales Maximum \(H(-0{,}48\mid0{,}09)\); lokales Minimum \(T(0{,}48\mid-0{,}09)\)

- Bestimme für die Extrempunkte die Nullstellen von \(g'\) und untersuche die Art der beiden Stellen. - Für „genau drei Nullstellen“ brauchst du den vollständigen Monotonieverlauf zwischen den stationären Stellen, nicht nur einen einzelnen Ableitungswert. - Die Steigung einer Normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. - Für das rechtwinklige Dreieck genügen die beiden Achsenabschnitte der Normalen.

1. Es gilt \(g'(x)=-\sin x+\frac2\pi\) und \(g''(x)=-\cos x\). Mit \(\alpha=\arcsin\left(\frac2\pi\right)\approx0{,}69\) sind die stationären Stellen \(x_1=\alpha\) und \(x_2=\pi-\alpha\approx2{,}45\). Wegen \(g''(x_1)<0\) liegt bei \(x_1\) ein lokales Maximum, wegen \(g''(x_2)>0\) bei \(x_2\) ein lokales Minimum. 2. Die erste Ableitung ist positiv auf \([0;\alpha[\), negativ auf \(]\alpha;\pi-\alpha[\) und positiv auf \(]\pi-\alpha;\pi]\). Zudem gilt \(g(0)=0\), \(g\left(\frac\pi2\right)=0\) und \(g(\pi)=0\). Daher ist \(g\) auf \(]0;\frac\pi2[\) positiv und auf \(]\frac\pi2;\pi[\) negativ: Vor dem Maximum steigt die Funktion von \(0\) an, anschließend fällt sie bis über \(x=\frac\pi2\) hinweg; nach dem Minimum steigt sie wieder bis zum Randwert \(0\). Somit sind \(0\), \(\frac\pi2\) und \(\pi\) genau die drei Nullstellen. 3. An \(x_0=\frac\pi2\) gilt \(g(x_0)=0\) und \(g'(x_0)=\frac{2-\pi}{\pi}\). Die Normalensteigung ist daher \(m_n=-\frac{1}{g'(x_0)}=\frac\pi{\pi-2}\), also \(n(x)=\frac\pi{\pi-2}\left(x-\frac\pi2\right)\). 4. Die Achsenabschnitte der Normalen sind \(S_x\left(\frac\pi2\mid0\right)\) und \(S_y\left(0\mid-\frac{\pi^2}{2(\pi-2)}\right)\). Somit beträgt der Flächeninhalt \(A=\frac12\cdot\frac\pi2\cdot\frac{\pi^2}{2(\pi-2)}=\frac{\pi^3}{8(\pi-2)}\approx3{,}395\).

a) Lokales Maximum bei \(x=\arcsin\left(\frac2\pi\right)\approx0{,}69\); lokales Minimum bei \(x=\pi-\arcsin\left(\frac2\pi\right)\approx2{,}45\) b) Nullstellen \(x=0\), \(x=\frac\pi2\), \(x=\pi\) c) \(n(x)=\frac\pi{\pi-2}\left(x-\frac\pi2\right)\) d) \(A=\frac{\pi^3}{8(\pi-2)}\approx3{,}395\)

- Der positive Exponentialfaktor beeinflusst die Nullstellen des jeweils übrigen Faktors nicht. - Unterscheide in Teil b) sorgfältig zwischen der vorzeichenbehafteten Differenz \(d\) und dem geometrischen Abstand \(|d|\). - Für ein Extremum von \(d\) untersuchst du \(d'\); für Abstand null genügt dagegen die Gleichung \(d=0\).

1. Aus \(x^2-3=0\) folgen die Nullstellen \(x=\pm\sqrt3\). 2. Es ist \(f'(x)=(x^2+2x-3)e^x\). Die stationären Stellen sind \(x=1\) und \(x=-3\). Mit \(f''(x)=(x^2+4x-1)e^x\) gilt \(f''(1)=4e>0\) und \(f''(-3)=-4e^{-3}<0\). Daher sind \(T(1\mid-2e)\) und \(H(-3\mid6e^{-3})\) die lokalen Extrempunkte. 3. Die Differenzfunktion lautet \(d(x)=(4x+2)e^x\). Ihre Ableitung ist \(d'(x)=(4x+6)e^x\), also liegt die einzige stationäre Stelle bei \(x=-1{,}5\). Wegen \(d''(-1{,}5)=4e^{-1{,}5}>0\) besitzt \(d\) dort ein lokales Minimum. 4. Der vertikale Abstand der beiden Graphen ist \(|d(x)|\). Er ist genau dann null und damit minimal, wenn \(d(x)=0\). Wegen \(e^x>0\) folgt \(4x+2=0\), also \(x=-0{,}5\).

a) Nullstellen \(x=\pm\sqrt3\); \(T(1\mid-2e)\), \(H(-3\mid6e^{-3})\) b) \(d\) hat bei \(x=-1{,}5\) ein lokales Minimum; der vertikale Abstand \(|d(x)|\) ist bei \(x=-0{,}5\) minimal.

- Nutze für die zweite Ableitung Produkt- und Kettenregel. - Setze \(z=x^2\) und beachte ausdrücklich, dass \(z\ge0\) gilt. - Eine positive \(z\)-Lösung erzeugt zwei Lösungen für \(x\); zwei verschiedene positive \(z\)-Lösungen erzeugen vier. - Untersuche für Teil 3 neben der Diskriminante auch die Lage des Scheitelpunkts relativ zum Bereich \(z\ge0\).

1. Die erste Ableitung ist \(g_a'(x)=-2ax(x^2+a)^{-2}\). Mit Produkt- und Kettenregel folgt \(g_a''(x)=-2a(x^2+a)^{-2}+8ax^2(x^2+a)^{-3}\) \(=\frac{-2a(x^2+a)+8ax^2}{(x^2+a)^3}\) \(=\frac{6ax^2-2a^2}{(x^2+a)^3}\). 2. Aus \(g_a(x)=g_a''(x)\) folgt wegen \(a>0\): \((x^2+a)^2=6x^2-2a\). Mit \(z=x^2\ge0\) erhält man \(z^2+(2a-6)z+a^2+2a=0\). Die Diskriminante ist \(D=36-32a\). Für \(0<a<\frac98\) gilt \(D>0\). Außerdem sind dann die Summe der beiden Nullstellen \(6-2a>0\) und ihr Produkt \(a^2+2a>0\), also sind beide Nullstellen positiv. Das ergäbe vier verschiedene Lösungen für \(x\). Für \(a>\frac98\) gibt es keine reellen \(z\)-Nullstellen. Genau bei \(D=0\), also bei \(a=\frac98\), gibt es eine einzige positive doppelte Nullstelle \(z=3-a=\frac{15}{8}\). Daraus entstehen genau die zwei Lösungen \(x=\pm\sqrt{\frac{15}{8}}\). 3. Die Ungleichung \(g_a(x)\ge g_a''(x)\) ist äquivalent zu \(q_a(z)=z^2+(2a-6)z+a^2+2a\ge0\) für alle \(z=x^2\ge0\). Für \(0<a<\frac98\) besitzt \(q_a\) zwei positive Nullstellen und ist zwischen ihnen negativ. Die Bedingung ist dann nicht erfüllt. Für \(\frac98\le a<3\) gilt \(D\le0\), also ist \(q_a(z)\ge0\) für alle reellen \(z\). Für \(a\ge3\) liegt der Scheitel bei \(z=3-a\le0\); auf \([0,\infty)\) ist die Parabel daher steigend und beginnt bei \(q_a(0)=a^2+2a>0\). Somit gilt die Ungleichung genau für \(a\ge\frac98\).

1. \(g_a''(x)=\frac{6ax^2-2a^2}{(x^2+a)^3}\) 2. \(a=\frac98\) 3. \(a\ge\frac98\)

- Berechne markante Werte von \(F\), etwa den \(y\)-Achsenabschnitt und die Nullstellen, und vergleiche sie mit der Abbildung. - Welche Beziehung besteht zwischen Wendestellen von \(F\) und Extremstellen ihrer Ableitung \(f\)? - Wo besitzt \(F\) eine waagerechte Tangente, und was bedeutet das für \(f=F'\)? - Für Vorzeichen und Asymptote von \(f\) darfst du den gegebenen Term von \(F\) ableiten.

1. Es ist \(F(0)=-2\), die Nullstellen liegen bei \(x=\pm2\), und wegen der gleichen höchsten Potenz in Zähler und Nenner gilt \(F(x)\to1\) für \(x\to\pm\infty\). Diese Eigenschaften besitzt nur Graph \(p\). 2. Da \(f=F'\) gilt, entsprechen die Extremstellen von \(f\) den Wendestellen von \(F\). Graph \(p\) besitzt zwei Wendestellen; daher hat \(f\) zwei Extremstellen. 3. Nullstellen von \(f\) liegen an den Stellen mit waagerechter Tangente an \(F\). Graph \(p\) besitzt nur bei \(x=0\) eine solche Extremstelle. Daher hat \(f\) genau die Nullstelle \(x=0\). 4. Durch Ableiten erhält man \(f(x)=F'(x)=\frac{12x}{(x^2+2)^2}\). Daher gilt \(f(x)\to0\) für \(x\to\pm\infty\), also ist \(y=0\) eine waagerechte Asymptote. Der Nenner ist stets positiv, sodass \(f(x)\) das Vorzeichen von \(x\) hat: Für \(x<0\) liegt der Graph unterhalb, für \(x>0\) oberhalb der \(x\)-Achse.

a) Graph \(p\) b) \(f\) besitzt zwei Extremstellen. c) \(f\) besitzt genau die Nullstelle \(x=0\). d) Waagerechte Asymptote \(y=0\); für \(x<0\) liegt \(f\) unterhalb, für \(x>0\) oberhalb der \(x\)-Achse.

- Ein Punkt auf dem Graphen liefert eine Bedingung für die Funktion selbst. - Eine Eigenschaft wie „höchster Punkt“ liefert eine Bedingung für die erste Ableitung. - Nutze den allgemeinen Ansatz für eine quadratische Funktion und bestimme die unbekannten Koeffizienten. - Der Winkel einer Kurve zum Boden an einer Stelle \(x\) hängt direkt mit der Steigung \(g'(x)\) zusammen.

1. Bedingungen: Absprung bei \((0 \mid 0) \implies g(0) = 0\). Höchster Punkt bei \(x=6 \implies g'(6) = 0\). Zusätzlich gegeben ist \(g(10) = 5\). 2. Funktionsgleichung: Mit \(g(x) = ax^2 + bx + c\) folgt aus \(g(0)=0\), dass \(c=0\). Die Ableitung ist \(g'(x) = 2ax + b\). Aus \(g'(6) = 0\) folgt \(12a + b = 0 \implies b = -12a\). Einsetzen in \(g(10) = 5\) ergibt \(100a + 10b = 100a + 10(-12a) = -20a = 5\), also \(a = -0{,}25\) und \(b = 3\). Somit ist \(g(x) = -0{,}25x^2 + 3x\). 3. Maximale Höhe: Berechne \(g(6) = -0{,}25 \cdot 6^2 + 3 \cdot 6 = -9 + 18 = 9\). Die maximale Höhe beträgt \(9\,\text{m}\). 4. Aufprallwinkel: Die Steigung bei \(x=12\) ist \(g'(12) = 2 \cdot (-0{,}25) \cdot 12 + 3 = -6 + 3 = -3\). Der Winkel \(\beta\) ergibt sich aus \(\tan(\beta) = |-3| = 3\), also \(\beta \approx 71{,}6^\circ\).

a) \(g(0) = 0\) und \(g'(6) = 0\). b) \(g(x) = -0{,}25x^2 + 3x\) c) Die maximale Höhe beträgt \(9\,\text{m}\). d) \(\beta \approx 71{,}6^\circ\).