Kostenlose Arbeitsblätter

- Vergleiche nicht nur die Abstände zwischen den Zahlen, sondern auch die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. - Welche dieser beiden Größen bleibt bei einem exponentiellen Modell in gleichen Zeitabständen konstant?

1. Bei A sind die Differenzen konstant: jeweils \(30\). Die Quotienten ändern sich. Das entspricht linearem Wachstum. 2. Bei B sind die Quotienten konstant: \(130:100=169:130=219{,}7:169=1{,}3\). Damit liegt ein konstanter Wachstumsfaktor vor. B passt zu einem exponentiellen Wachstumsmodell.

Bestand B. Der Quotient aufeinanderfolgender Werte ist jeweils \(1{,}3\); der Wachstumsfaktor ist also konstant.

- Welcher prozentuale Anteil bleibt nach der Abnahme erhalten? - Schreibe diesen verbleibenden Anteil als Dezimalzahl.

1. Nach einer Abnahme um \(12\,\%\) verbleiben \(100\,\%-12\,\%=88\,\%\). 2. Daher ist der Zerfallsfaktor \(q=0{,}88\).

\(q=0{,}88\)

- Welcher Funktionswert ergibt sich zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Bei welcher Erhöhung von \(t\) wächst der Exponent genau um \(1\)?

1. Für \(t=0\) gilt \(N(0)=80\). Der Anfangswert ist daher \(80\). 2. Erhöht sich \(t\) um \(6\) Stunden, so wächst der Exponent um \(1\) und der Funktionswert wird mit \(0{,}5\) multipliziert. Die Halbwertszeit beträgt daher \(6\,\text{h}\).

Anfangswert: \(80\); Halbwertszeit: \(6\,\text{h}\)

- Nutze den Taschenrechner für die Potenzen, achte aber auf die Rundungsvorgaben. - Was passiert mit dem Ausdruck in der Klammer, wenn \(n\) sehr groß wird, und wie hängt das mit der Definition von \(e\) zusammen? - Verwende für \(e\) einen ausreichend genauen Wert aus deinem Taschenrechner, um die Differenz zu bestimmen.

1. Berechnung der Kapitalwerte: Für \(n=1\): \(K_1 = 100 \cdot (1+1)^1 = 200{,}00\,\text{€}\). Für \(n=12\): \(K_{12} = 100 \cdot (1+\frac{1}{12})^{12} \approx 100 \cdot 2{,}613035 \approx 261{,}30\,\text{€}\). Für \(n=365\): \(K_{365} = 100 \cdot (1+\frac{1}{365})^{365} \approx 100 \cdot 2{,}714567 \approx 271{,}46\,\text{€}\). 2. Grenzwertbetrachtung: Der Term \((1+\frac{1}{n})^n\) strebt für \(n \to \infty\) gegen die Eulersche Zahl \(e \approx 2{,}71828\). Das Kapital bei kontinuierlicher Verzinsung beträgt \(K_{\infty} = 100 \cdot e \approx 271{,}83\,\text{€}\). 3. Differenzberechnung: Differenz \(\Delta K = K_{\infty} - K_{365} = 271{,}828\ldots - 271{,}456\ldots \approx 0{,}372\ldots\,\text{€}\). Gerundet auf Cent ergibt sich eine Differenz von \(0{,}37\,\text{€}\).

1. \(K_1 = 200{,}00\,\text{€}\); \(K_{12} \approx 261{,}30\,\text{€}\); \(K_{365} \approx 271{,}46\,\text{€}\) 2. \(K_{\infty} = 100 \cdot e \approx 271{,}83\,\text{€}\) 3. Die Differenz beträgt ca. \(0{,}37\,\text{€}\).

- Welcher Parameter folgt unmittelbar aus dem Wert bei \(t=0\)? - Setze den zweiten gegebenen Zeitpunkt in die Modellform ein. - Wie kannst du eine Gleichung lösen, in der die Unbekannte im Exponenten steht?

1. Aus \(f(0)=1200\) folgt \(b=1200\). 2. Mit \(f(5)=3000\) gilt \(1200e^{5k}=3000\), also \(e^{5k}=2{,}5\). 3. Logarithmieren liefert \(5k=\ln(2{,}5)\), somit \(k=\frac{\ln(2{,}5)}{5}\approx0{,}1833\). 4. Daher ist \(f(t)=1200e^{\frac{\ln(2{,}5)}{5}t}\).

\(f(t)=1200e^{\frac{\ln(2{,}5)}{5}t}\approx1200e^{0{,}1833t}\)

- Was bedeutet eine Abnahme von \(12\,\%\) für den Wert nach einem Jahr im Vergleich zum Vorjahr? - Wie hängen die Wachstumsfaktoren \(a\) und \(e^k\) zusammen? - Ist bei einem Wertverlust ein positives oder ein negatives Vorzeichen für \(k\) zu erwarten? - Denke daran, den Prozentsatz zuerst in einen Dezimalfaktor umzuwandeln.

1. Identifikation des Startwerts: Der Anschaffungswert entspricht \(f(0)\), daher ist \(b = 45\,000\). 2. Ermittlung des jährlichen Wachstumsfaktors \(a\): Bei einer Abnahme von \(12\,\%\) beträgt der Faktor \(a = 1 - 0{,}12 = 0{,}88\). 3. Umrechnung in die Basis \(e\): Es gilt der Zusammenhang \(e^k = a\), also \(e^k = 0{,}88\). 4. Berechnung der Wachstumskonstante \(k\): Durch Logarithmieren erhält man \(k = \ln(0{,}88) \approx -0{,}1278\). 5. Aufstellen des Funktionsterms: \(f(t) = 45\,000e^{-0{,}1278t}\).

\(f(t) = 45\,000e^{\ln(0{,}88)t} \approx 45\,000e^{-0{,}1278t}\)

- Wie bestimmt man mathematisch den Wert eines Bestands zu Beginn der Beobachtung? - Welchen Wert nimmt die Potenz \(e^0\) an? - Achte auf das Vorzeichen der Zahl im Exponenten. Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen für die Entwicklung des Funktionswerts? - Setze den gesuchten Zeitpunkt für die entsprechende Variable in die Funktionsgleichung ein.

1. Berechnung der Anfangswerte durch Einsetzen von \(t=0\): \(f_1(0) = 600 \cdot e^0 = 600\), \(f_2(0) = 450 \cdot e^0 = 450\) und \(f_3(0) = 600 \cdot e^0 = 600\). Ergebnis: Funktion (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. 2. Analyse des Wachstumsparameters \(k\) im Exponenten \(e^{kt}\): Ein negativer Wert (\(k < 0\)) kennzeichnet einen Zerfallsprozess. Ergebnis: Die Funktionen (2) mit \(k = -0{,}12\) und (3) mit \(k = -0{,}05\) beschreiben Zerfallsprozesse. 3. Berechnung des Funktionswertes für \(f_1(20)\): \(f_1(20) = 600 \cdot e^{0{,}05 \cdot 20} = 600 \cdot e^1 \approx 1630{,}97\).

a) Der Bestand (2) hat mit \(450\) den geringsten Anfangswert. b) Die Funktionen (2) und (3) beschreiben einen Zerfallsprozess, da die Koeffizienten im Exponenten (\(-0{,}12\) bzw. \(-0{,}05\)) negativ sind. c) Der Bestand nach \(20\) Zeiteinheiten beträgt ca. \(1630{,}97\).

- Was passiert mit dem Funktionswert zum Zeitpunkt \(t = 0\)? - Wie hängen die Basis der Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl \(e\) über den natürlichen Logarithmus zusammen? - Bei der Halbwertszeit hat sich der Anfangswert halbiert – welchen Wert muss der Ausdruck mit der Basis dann annehmen? - Wie lässt sich die Änderung pro Zeiteinheit aus dem Wachstumsfaktor \(b\) ablesen?

1. Der Anfangswert ist \(h(0) = 250\). Die Basis \(0{,}75\) wird als \(e^k\) dargestellt, woraus folgt \(k = \ln(0{,}75) \approx -0{,}2877\). Die Funktionsgleichung lautet \(h(t) = 250e^{-0{,}2877t}\). 2. Zur Berechnung der Halbwertszeit wird die Gleichung \(0{,}75^{T_H} = 0{,}5\) nach \(T_H\) aufgelöst: \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}75)} \approx 2{,}41\,\text{s}\). 3. Die prozentuale Abnahme ergibt sich aus dem Wachstumsfaktor \(b = 0{,}75\). Die Abnahme beträgt \(1 - 0{,}75 = 0{,}25\), was \(25\,\%\) entspricht.

1. \(h(t) = 250e^{-0{,}2877t}\) 2. \(T_H \approx 2{,}41\,\text{s}\) 3. Die Abnahme beträgt \(25\,\%\) pro Sekunde.

- Welcher Parameter folgt direkt aus dem Wert bei \(t=0\)? - Setze den zweiten gegebenen Zeitpunkt in das Modell ein. - Welche Umkehrfunktion hilft dir, wenn die Unbekannte im Exponenten steht? - Nutze beim zweiten Teil die exakte Form des Parameters, bevor du vereinfachst.

1. Aus \(A(0)=A_0\) folgt \(A_0=15\). Mit \(A(6)=45\) gilt \(15e^{6k}=45\), also \(e^{6k}=3\). Daher ist \(k=\frac{\ln(3)}{6}\). 2. Damit ist \(A(12)=15e^{2\ln(3)}=15\cdot9=135\,\text{cm}^2\).

1. \(A_0=15\); \(k=\frac{\ln(3)}{6}\) 2. \(135\,\text{cm}^2\)

- Vergleiche für gleiche Zeitintervalle zuerst die absoluten Änderungen und anschließend die Quotienten. - Welche dieser beiden Größen müsste bei einem linearen beziehungsweise exponentiellen Modell konstant sein? - Wie oft steckt das Zweitagesintervall in einer Zeitspanne von \(t\) Tagen?

1. Für ein lineares Modell müssten die absoluten Zuwächse in gleichen Zeitintervallen konstant sein. Hier sind es \(600-400=200\) und \(900-600=300\); das passt nicht. 2. Die Quotienten sind dagegen \(\frac{600}{400}=1{,}5\) und \(\frac{900}{600}=1{,}5\). Daher beschreibt ein exponentielles Modell die Werte exakt. 3. Der Faktor für zwei Tage ist \(1{,}5\). Somit ist \(f(t)=400\cdot1{,}5^{t/2}\), wobei \(t\) in Tagen angegeben wird. 4. Für \(t=7\) gilt \(f(7)=400\cdot1{,}5^{3{,}5}\approx1653{,}41\,\text{cm}^2\).

a) Exponentielles Modell b) \(f(t)=400\cdot1{,}5^{t/2}\) c) \(f(7)\approx1653{,}41\,\text{cm}^2\)

- Wie oft verdoppelt sich ein Wert in einem bestimmten Zeitraum, wenn du die Verdopplungszeit kennst? - Wie kannst du eine große Potenz wie \(2^{30}\) mithilfe der Rechenregeln für Potenzen so umschreiben, dass du \(2^{10}\) einsetzen kannst? - Erinnere dich daran, wie man eine prozentuale Abweichung von einem Referenzwert berechnet.

1. Berechnung des exakten Wertes: \(2^{10} = 1024\). 2. Bestimmung der prozentualen Abweichung: \(\frac{1024 - 1000}{1000} = 0{,}024 = 2{,}4\,\%\). 3. Begründung der Faktoren: Ein Zeitraum von \(20\) Jahren entspricht bei einer Verdopplungszeit von \(2\) Jahren genau \(10\) Verdopplungszyklen. Der Wachstumsfaktor ist \(2^{10}\), was laut Faustregel etwa \(10^3\) (Tausend) entspricht. Ein Zeitraum von \(60\) Jahren entspricht \(30\) Zyklen, also einem Faktor von \(2^{30} = (2^{10})^3 \approx (10^3)^3 = 10^9\) (Milliarde). 4. Schätzung nach \(40\) Jahren: \(40\) Jahre entsprechen \(20\) Zyklen. Der Leistungsfaktor beträgt \(2^{20} = (2^{10})^2 \approx (10^3)^2 = 10^6\). Die neue Leistung beträgt somit \(10^{16} \cdot 10^6 = 10^{22}\) Operationen pro Sekunde.

a) \(2^{10} = 1024\); Abweichung: \(2{,}4\,\%\) b) \(20\) Jahre entsprechen \(10\) Zyklen (\(2^{10} \approx 10^3\)); \(60\) Jahre entsprechen \(30\) Zyklen (\(2^{30} = (2^{10})^3 \approx 10^9\)). c) \(10^{22}\) Operationen pro Sekunde.

- Welcher Parameter gibt den Modellwert bei \(t=0\) an? - Wie wird aus dem Faktor \(0{,}84\) eine prozentuale Abnahme? - Bei einem Bruchteil des Anfangswerts kannst du den Anfangswert aus der Gleichung kürzen.

1. Es gilt \(W(0)=3800\,\text{€}\). Der Faktor \(0{,}84\) bedeutet einen jährlichen Wertverlust von \(16\,\%\). 2. \(W(4)=3800\cdot0{,}84^4\approx1891{,}91\,\text{€}\). 3. Für ein Viertel des Anfangswerts gilt \(0{,}84^t=0{,}25\). Daher ist \(t=\frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}84)}\approx7{,}95\,\text{Jahre}\).

a) Kaufpreis: \(3800\,\text{€}\); jährlicher Wertverlust: \(16\,\%\) b) \(1891{,}91\,\text{€}\) c) \(t\approx7{,}95\,\text{Jahre}\)

- Wie lässt sich ein Zerfallsmodell direkt mit der Halbwertszeit und dem Faktor \(0{,}5\) schreiben? - Welcher Dezimalzahl entspricht \(1\,\%\) des Anfangswerts? - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten; überlege, welche Umkehrung Exponenten zugänglich macht.

1. Mit der Halbwertszeit kann die Aktivität als \(A(t)=A_0\cdot0{,}5^{t/6}\) modelliert werden. 2. Für \(1\,\%\) der Anfangsaktivität gilt \(0{,}01=0{,}5^{t/6}\). 3. Logarithmieren liefert \(\ln(0{,}01)=\frac{t}{6}\ln(0{,}5)\), also \(t=6\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)}\approx39{,}863\,\text{h}\). 4. Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(t\approx39{,}9\,\text{h}\).

\(t\approx39{,}9\,\text{h}\)

- Welche Information liefert der markierte Punkt bei \(t=0\)? - Vergleiche die markierten Funktionswerte in gleich großen Zeitabständen. - Für den Zielwert in b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

1. Aus dem markierten Punkt \((0|8)\) folgt \(C_0=8\). 2. Die markierten Werte halbieren sich von \(8\) auf \(4\) in \(3\) Stunden und anschließend von \(4\) auf \(2\) in weiteren \(3\) Stunden. Daher beträgt die Halbwertszeit \(3\,\text{h}\). 3. Aus \(4=8a^3\) folgt \(a^3=0{,}5\) und damit \(a=0{,}5^{1/3}\approx0{,}7937\). Das Modell lautet \(C(t)=8a^t\). 4. Für \(C(t)=0{,}1\) gilt \(0{,}1=8a^t\). Somit ist \(t=\frac{\ln(0{,}1/8)}{\ln(a)}\approx19{,}0\,\text{h}\).

a) \(C(t)=8\cdot0{,}7937^t\); Halbwertszeit: \(3\,\text{h}\) b) \(t\approx19{,}0\,\text{h}\)

- Ein konstanter exponentieller Faktor zeigt sich in gleichen Quotienten aufeinanderfolgender Werte. - Bestimme den Faktor zunächst aus zwei aufeinanderfolgenden Werten. - Prüfe anschließend, ob derselbe Faktor jeden weiteren Wert erzeugt.

1. Aus den ersten beiden Werten folgt \(q=\frac{120}{100}=1{,}2\). 2. Dieser Faktor passt auch zum dritten Wert, denn \(120\cdot1{,}2=144\). 3. Für \(t=3\) müsste das Modell dann \(144\cdot1{,}2=172{,}8\) liefern. 4. Angegeben ist jedoch der exakte Wert \(180\). Daher können nicht alle vier Werte aus demselben Exponentialmodell mit konstantem Faktor stammen.

Die Behauptung ist falsch. Aus den ersten drei Werten folgt \(q=1{,}2\), damit wäre \(N(3)=172{,}8\) statt \(180\).

- Unterscheide zwischen einer festen Anzahl und einem festen Prozentsatz als jährlicher Änderung. - Welche Modellart hat eine konstante Differenz, welche einen konstanten Faktor? - Vergleiche die beiden Regeln nicht nur numerisch, sondern auch sprachlich.

1. Die konstante absolute Zunahme führt zum linearen Modell \(L(t)=1000+100t\). 2. Die konstante relative Zunahme von \(10\,\%\) führt zum Exponentialmodell \(E(t)=1000\cdot1{,}1^t\). 3. Nach \(5\) Jahren ist \(L(5)=1500\). Außerdem ist \(E(5)=1000\cdot1{,}1^5=1610{,}51\), also gerundet \(1611\). 4. Beim linearen Modell ist der absolute Zuwachs pro Jahr konstant; beim exponentiellen Modell ist der prozentuale Zuwachs bezogen auf den jeweils aktuellen Bestand konstant.

a) \(L(t)=1000+100t\); \(E(t)=1000\cdot1{,}1^t\). b) \(L(5)=1500\); \(E(5)\approx1611\). c) Linear bedeutet konstante absolute Änderung, exponentiell konstante relative Änderung.

- Wie hängen der Prozentsatz und der Wachstumsfaktor \(a\) zusammen? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen der Basis \(a\) und der Basis \(e\)? - Was gibt die Ableitung einer Bestandsfunktion im Sachzusammenhang an? - Welche der beiden Funktionsformen lässt sich einfacher ableiten?

1. Der Anfangswert ist \(b = 1500\). Bei einer Zunahme von \(3{,}5\,\%\) pro Stunde ergibt sich der Wachstumsfaktor \(a = 1 + 0{,}035 = 1{,}035\). Die Funktionsgleichung lautet \(A(t) = 1500 \cdot 1{,}035^t\). 2. Es gilt der Zusammenhang \(a = e^k\), woraus \(k = \ln(a)\) folgt. Mit \(a = 1{,}035\) ergibt sich \(k = \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344\). Die Form lautet somit \(A(t) = 1500e^{0{,}0344t}\). 3. Die Ableitungsfunktion in der \(e\)-Form ist \(A'(t) = 1500 \cdot k \cdot e^{kt}\). Einsetzen von \(t = 10\) und \(k \approx 0{,}034401\) führt zu \(A'(10) = 1500 \cdot 0{,}034401 \cdot e^{0{,}034401 \cdot 10} \approx 51{,}601 \cdot 1{,}4106 \approx 72{,}79\). Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. \(72{,}79\,\text{mm}^2/\text{h}\).

1. \(A(t) = 1500 \cdot 1{,}035^t\) 2. \(k = \ln(1{,}035) \approx 0{,}0344\); \(A(t) = 1500e^{0{,}0344t}\) 3. \(A'(10) \approx 72{,}79\,\text{mm}^2/\text{h}\)

- Setze die beiden Modellwerte in \(c(t)=c_0a^t\) ein. - Welches Vorzeichen muss die Zerfallskonstante besitzen? - Wie hängen \(a\) und \(k\) in den Darstellungen \(a^t\) und \(e^{kt}\) zusammen? - Was bedeutet Halbwertszeit als Verhältnis zum Anfangswert?

1. Mit \(c_0=80\) und \(c(4)=50\) gilt \(80a^4=50\). Daher ist \(a=\sqrt[4]{\frac{5}{8}}\approx0{,}8891\). 2. Die Zerfallskonstante ist \(k=\ln(a)=\frac{1}{4}\ln\left(\frac{5}{8}\right)\approx-0{,}1175\). Somit lautet das Modell \(c(t)=80e^{kt}\), näherungsweise also \(c(t)=80e^{-0{,}1175t}\). 3. Für die Halbwertszeit \(T_{1/2}\) gilt \(e^{kT_{1/2}}=0{,}5\). Daher ist \(T_{1/2}=\frac{\ln(0{,}5)}{k}\approx5{,}9\,\text{h}\).

1. \(a\approx0{,}8891\) 2. \(k\approx-0{,}1175\); \(c(t)=80e^{kt}\) 3. \(T_{1/2}\approx5{,}9\,\text{h}\)

- Welcher konstante Faktor verbindet die Funktionswerte bei einer Erhöhung des Arguments um \(1\)? - Nutze danach einen der gegebenen Punkte, um den Anfangswert zu bestimmen. - Wie lässt sich eine Potenz zur Basis \(a\) mithilfe von \(e\) und \(\ln(a)\) schreiben? - Welche Größe beschreibt \(f'(0)\) am Graphen?

1. Von \(x=1\) zu \(x=2\) steigt der Funktionswert von \(45\) auf \(135\). Daher liegt Wachstum vor. 2. Für eine Erhöhung von \(x\) um \(1\) wird der Funktionswert mit \(a\) multipliziert. Somit ist \(a=\frac{135}{45}=3\). 3. Aus \(45=b\cdot3\) folgt \(b=15\). Also ist \(f(x)=15\cdot3^x\). 4. Mit \(3^x=e^{\ln(3)x}\) folgt \(f(x)=15e^{\ln(3)x}\), also \(k=\ln(3)\). 5. Es gilt \(f'(x)=15\ln(3)e^{\ln(3)x}\). Daher ist \(f'(0)=15\ln(3)\approx16{,}48\).

a) Wachstum b) \(a=3\), \(b=15\) c) \(f(x)=15e^{\ln(3)x}\), \(f'(x)=15\ln(3)e^{\ln(3)x}\), \(f'(0)\approx16{,}48\)

- Nutze die beiden gegebenen Zeitpunkte, um ein Gleichungssystem für \(m_0\) und \(a\) aufzustellen. - Überlege dir, was „Halbwertszeit“ im Kontext des Zerfallsfaktors \(a\) bedeutet. - Die Basis \(e\) erhältst du durch die Identität \(a = e^{\ln(a)}\). - Die momentane Änderungsrate entspricht dem Wert der Ableitungsfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: \(m(2) = m_0a^2 = 20\) und \(m(5) = m_0a^5 = 2{,}5\). 2. Bestimmung von \(a\): Division der Gleichungen liefert \(a^3 = \frac{2{,}5}{20} = 0{,}125\). Daraus folgt \(a = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}5\). 3. Bestimmung von \(m_0\): Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(m_0 \cdot 0{,}5^2 = 20 \Rightarrow m_0 \cdot 0{,}25 = 20 \Rightarrow m_0 = 80\). Die ursprüngliche Masse betrug \(80\,\text{mg}\). 4. Halbwertszeit: Da der tägliche Zerfallsfaktor \(0{,}5\) beträgt, halbiert sich die Substanz jeden Tag. Die Halbwertszeit beträgt somit \(T_{1/2} = 1\,\text{Tag}\). 5. Darstellung zur Basis \(e\): Mit \(a = 0{,}5\) ist \(k = \ln(0{,}5)\). Somit gilt \(m(t) = 80e^{\ln(0{,}5)t}\). 6. Momentane Änderungsrate: Die Ableitung ist \(m'(t) = 80 \cdot \ln(0{,}5) \cdot e^{\ln(0{,}5)t}\). Für \(t = 1\) ergibt sich \(m'(1) = 80 \cdot \ln(0{,}5) \cdot 0{,}5 = 40 \cdot \ln(0{,}5) \approx -27{,}73\). Die Masse nimmt nach einem Tag mit einer Rate von ca. \(27{,}73\,\text{mg}/\text{Tag}\) ab.

a) \(a = 0{,}5\); \(m_0 = 80\,\text{mg}\) b) \(T_{1/2} = 1\,\text{Tag}\) c) \(m(t) = 80e^{\ln(0{,}5)t}\); \(m'(1) = 40 \cdot \ln(0{,}5) \approx -27{,}73\,\text{mg}/\text{Tag}\)

- Vergleiche bei gleichen Zeitabständen die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. - Wie hängt ein Faktor für zwei Tage mit dem Faktor für einen Tag zusammen? - Wie kannst du einen positiven Wachstumsfaktor in eine Darstellung zur Basis \(e\) übersetzen? - Was beschreibt die erste Ableitung der Flächenfunktion? - Bei der Verdopplungszeit suchst du den Zeitpunkt, zu dem das Verhältnis zum Anfangswert \(2\) beträgt.

1. Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte für gleiche Zweitagesintervalle sind ungefähr konstant: \(\frac{6{,}1}{5{,}0}=1{,}22\), \(\frac{7{,}4}{6{,}1}\approx1{,}213\), \(\frac{9{,}0}{7{,}4}\approx1{,}216\), \(\frac{11{,}0}{9{,}0}\approx1{,}222\). Daher ist ein exponentielles Modell plausibel. 2. Als Zweitagesfaktor wird \(q_2=1{,}22\) verwendet. Der tägliche Faktor ist \(q=\sqrt{1{,}22}\approx1{,}1045\), entsprechend etwa \(10{,}45\,\%\) Zunahme pro Tag. 3. Mit \(A_0=5{,}0\) und \(e^{2k}=1{,}22\) folgt \(k=\frac{\ln(1{,}22)}{2}\approx0{,}0994\). Damit ist \(A(t)=5{,}0e^{0{,}0994t}\). 4. Für den gerundeten Modellparameter gilt \(A'(t)=5{,}0\cdot0{,}0994e^{0{,}0994t}=0{,}497e^{0{,}0994t}\). Somit ist \(A'(5)\approx0{,}817\,\text{m}^2/\text{Tag}\). 5. Aus \(e^{kT}=2\) folgt mit \(k\approx0{,}0994\) die Verdopplungszeit \(T\approx6{,}97\,\text{Tage}\).

a) Die Quotienten für gleiche Zeitintervalle sind näherungsweise konstant. b) Zweitagesfaktor: \(1{,}22\); täglicher Faktor: \(\approx1{,}1045\); tägliche Zunahme: \(\approx10{,}45\,\%\) c) \(A(t)=5{,}0e^{0{,}0994t}\) d) \(A'(t)=0{,}497e^{0{,}0994t}\); \(A'(5)\approx0{,}817\,\text{m}^2/\text{Tag}\) e) \(T\approx6{,}97\,\text{Tage}\)

- Vergleiche bei gleichen Zeitabständen die Quotienten aufeinanderfolgender Konzentrationswerte. - Wie erhältst du aus einem Faktor für drei Stunden den Faktor für eine Stunde? - Wie übersetzt du einen positiven Zerfallsfaktor in eine Darstellung zur Basis \(e\)? - Welche Bedeutung hat das Vorzeichen der ersten Ableitung im Sachzusammenhang? - Was bedeutet Halbwertszeit als Verhältnis zum Anfangswert?

1. Für die Dreistundenintervalle ergeben sich die Quotienten \(0{,}7\), \(0{,}7\), \(\frac{41{,}2}{58{,}8}\approx0{,}701\) und \(\frac{28{,}8}{41{,}2}\approx0{,}699\). Die Quotienten sind nahezu konstant, daher ist exponentieller Zerfall plausibel. 2. Der Dreistundenfaktor ist \(q_3=0{,}7\). Der stündliche Faktor ist \(q=0{,}7^{1/3}\approx0{,}8879\), entsprechend einer Abnahme von etwa \(11{,}21\,\%\) pro Stunde. 3. Mit \(C_0=120\) und \(e^{3k}=0{,}7\) folgt \(k=\frac{\ln(0{,}7)}{3}\approx-0{,}1189\). Damit ist \(C(t)=120e^{-0{,}1189t}\). 4. Für den gerundeten Modellparameter gilt \(C'(t)=120(-0{,}1189)e^{-0{,}1189t}\). Somit ist \(C'(6)\approx-6{,}99\,\text{mg}/(\text{L}\cdot\text{h})\). 5. Aus \(e^{kT_{1/2}}=0{,}5\) folgt \(T_{1/2}\approx5{,}83\,\text{h}\).

a) Die Quotienten für gleiche Zeitintervalle sind näherungsweise konstant bei \(0{,}7\). b) Dreistundenfaktor: \(0{,}7\); stündlicher Faktor: \(\approx0{,}8879\); Abnahme: \(\approx11{,}21\,\%\) c) \(C(t)=120e^{-0{,}1189t}\) d) \(C'(6)\approx-6{,}99\,\text{mg}/(\text{L}\cdot\text{h})\) e) \(T_{1/2}\approx5{,}83\,\text{h}\)

- Welche Größe solltest du bei gleich langen Zeitintervallen vergleichen, wenn du exponentielles Wachstum prüfen willst? - Welcher Parameter folgt direkt aus dem Wert bei \(t=0\)? - Wie lässt sich der Exponentparameter aus einem zweiten Punkt bestimmen?

1. Bei konstanten Vierstundenintervallen sind die Quotienten \(\frac{183}{150}=1{,}22\), \(\frac{223}{183}\approx1{,}2186\), \(\frac{272}{223}\approx1{,}2197\) und \(\frac{332}{272}\approx1{,}2206\). Sie sind näherungsweise konstant, daher ist ein exponentielles Modell plausibel. 2. Aus \(A(0)=150\) folgt \(a=150\). Mit \(A(16)=332\) gilt \(332=150e^{16k}\). Daher ist \(k=\frac{\ln(332/150)}{16}\approx0{,}0497\). Somit lautet das Modell \(A(t)=150e^{0{,}0497t}\).

1. Die Quotienten für gleiche Zeitintervalle sind mit etwa \(1{,}22\) nahezu konstant. 2. \(A(t)=150e^{0{,}0497t}\)

- Vergleiche bei gleichen Zeitabständen die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. - Was bedeutet ein nahezu konstanter Quotient für die Wahl des Modelltyps? - Welcher Parameter folgt unmittelbar aus \(t=0\)? - Wie kannst du den verbleibenden Parameter aus dem letzten Tabellenpunkt bestimmen?

1. Die Quotienten bei gleichen Zehnminutenintervallen sind \(\frac{54{,}1}{72{,}0}\approx0{,}7514\), \(\frac{40{,}6}{54{,}1}\approx0{,}7505\), \(\frac{30{,}5}{40{,}6}\approx0{,}7512\) und \(\frac{22{,}9}{30{,}5}\approx0{,}7508\). Sie sind nahezu konstant, daher ist exponentielle Abnahme plausibel. 2. Es gilt \(D_0=72{,}0\). Aus \(22{,}9=72{,}0e^{-40\lambda}\) folgt \(\lambda=-\frac{1}{40}\ln\left(\frac{22{,}9}{72{,}0}\right)\approx0{,}0286\). Damit ist \(D(t)=72{,}0e^{-0{,}0286t}\).

1. Die Quotienten für gleiche Zeitintervalle sind mit ungefähr \(0{,}751\) nahezu konstant. 2. \(D_0=72{,}0\); \(\lambda\approx0{,}0286\); \(D(t)=72{,}0e^{-0{,}0286t}\)

- Kannst du die Potenzgesetze nutzen, um den Exponenten so umzuformen, dass nur noch \(t\) im Exponenten steht? - Wie kannst du eine beliebige Basis \(b\) in eine Basis zur Zahl \(e\) umrechnen? - Was muss für den Faktor gelten, der die zeitliche Änderung beschreibt, wenn sich die Gesamtmenge verdoppeln soll? - Achte darauf, dass die prozentuale Änderung pro Sekunde gefragt ist, nicht für den Zeitraum, der in der Basis der Klammer steht.

1. Der Anfangswert ist \(p(0) = 15\). Durch Umformung von \(1{,}04^{0{,}5t} = (1{,}04^{0{,}5})^t = e^{kt}\) ergibt sich \(k = 0{,}5 \cdot \ln(1{,}04) \approx 0{,}0196\). Somit ist \(p(t) = 15e^{0{,}0196t}\). 2. Die Verdopplungszeit wird über \(1{,}04^{0{,}5T_D} = 2\) berechnet. Umstellen nach \(T_D\) liefert \(0{,}5T_D = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)}\), also \(T_D = \frac{2 \cdot \ln(2)}{\ln(1{,}04)} \approx 35{,}35\,\text{s}\). 3. Der Wachstumsfaktor pro Sekunde ist \(b = 1{,}04^{0{,}5} \approx 1{,}0198\). Dies entspricht einer Zunahme von ca. \(1{,}98\,\%\) pro Sekunde.

1. \(p(t) = 15e^{0{,}0196t}\) 2. \(T_D \approx 35{,}35\,\text{s}\) 3. Die Zunahme beträgt ca. \(1{,}98\,\%\) pro Sekunde.

- Welcher Parameter ist durch den Modellwert bei \(t=0\) sofort festgelegt? - Wie erhältst du aus einem Zehnjahresfaktor den Jahresfaktor? - Nutze beim Lösen nach \(t\) den ungerundeten Faktor. - Unterscheide den kontinuierlichen Grenzzeitpunkt von den ganzzahligen Jahreswerten.

1. Aus \(W(0)=120\) folgt \(W_0=120\). Mit \(W(10)=195\) gilt \(120b^{10}=195\), also \(b^{10}=1{,}625\). Daher ist \(b=1{,}625^{1/10}\approx1{,}0498\). 2. Für den Grenzwert \(300\,\text{€}\) gilt \(120b^t=300\). Mit dem ungerundeten \(b\) folgt \(t=\frac{\ln(2{,}5)}{\ln(b)}\approx18{,}87\). Der kontinuierliche Grenzzeitpunkt liegt damit etwa \(18{,}87\) Jahre nach 2015. Für ganzzahlige Jahresabstände ist \(t=19\) der erste Wert oberhalb der Grenze, also das Jahr 2034.

1. \(W_0=120\); \(b\approx1{,}0498\) 2. Grenzzeitpunkt: \(t\approx18{,}87\) Jahre nach 2015; erstes ganzes Kalenderjahr mit Modellwert über \(300\,\text{€}\): 2034

- Überlege zuerst, ob die Funktion einen Wachstumsprozess oder einen Zerfallsprozess beschreibt. - Bei der Basis \(e\) kannst du direkt den natürlichen Logarithmus verwenden, um die Gleichung zu lösen. - Denk daran, dass der Anfangswert für die Bestimmung der charakteristischen Zeiten keine Rolle spielt. - Welchen Wert muss der Wachstumsfaktor nach Ablauf der gesuchten Zeit annehmen?

1. Für \(f(t) = 40 \cdot 1{,}15^t\) wird die Verdopplungszeit \(T_D\) über die Gleichung \(1{,}15^{T_D} = 2\) berechnet. Durch Logarithmieren ergibt sich \(T_D = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}15)} \approx 4{,}96\). 2. Für \(g(t) = 100e^{-0{,}5t}\) wird die Halbwertszeit \(T_H\) über \(e^{-0{,}5T_H} = 0{,}5\) berechnet. Es folgt \(-0{,}5T_H = \ln(0{,}5)\), woraus \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}5} \approx 1{,}39\) resultiert. 3. Für \(h(t) = 15 \cdot 0{,}98^t\) wird die Halbwertszeit \(T_H\) über \(0{,}98^{T_H} = 0{,}5\) bestimmt. Logarithmieren führt zu \(T_H = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}98)} \approx 34{,}31\).

a) \(T_D \approx 4{,}96\) b) \(T_H \approx 1{,}39\) c) \(T_H \approx 34{,}31\)

- Wie hängen der Koeffizient \(k\) und die Verdopplungszeit mathematisch zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der der Anfangsbestand \(f(0)\) wegfällt? - Wenn \(10\,\%\) übrig sind, welcher Faktor steht dann vor dem \(f(0)\)? - Nutze das Ergebnis für \(k\) aus der Halbwertszeit, um die Zerfallsdauer zu berechnen.

1. Für die Verdopplung nach \(12\,\text{h}\) gilt \(e^{k \cdot 12} = 2\). Auflösen nach \(k\) ergibt \(12k = \ln(2)\), also \(k = \frac{\ln(2)}{12} \approx 0{,}0578\). 2. Aus der Halbwertszeit \(T_H = 25\) folgt für den Zerfallskoeffizienten \(k = \frac{\ln(0{,}5)}{25} \approx -0{,}0277\). 3. Um den Zeitpunkt für einen Restbestand von \(10\,\%\) zu finden, wird die Gleichung \(e^{kt} = 0{,}10\) gelöst: \(t = \frac{\ln(0{,}10)}{k} = \frac{\ln(0{,}10) \cdot 25}{\ln(0{,}5)} \approx 83{,}05\,\text{Stunden}\).

a) \(k \approx 0{,}0578\) b) \(t \approx 83{,}05\,\text{Stunden}\)

- Welche Eigenschaft unterscheidet lineares von exponentiellem Wachstum bei gleich langen Zeitintervallen? - Prüfe zunächst nur den Modelltyp, noch nicht die konkrete Verdopplungszeit. - Wie lässt sich eine Verdopplungszeit aus einem bekannten Faktor für drei Monate bestimmen? - Vergleiche erst danach den berechneten Wert mit der Behauptung.

1. Die absoluten Zuwächse in den beiden Dreimonatsintervallen sind \(3000\) und \(4800\) und damit nicht konstant. Das lineare Modell passt nicht. 2. Die Quotienten sind \(\frac{8000}{5000}=1{,}6\) und \(\frac{12800}{8000}=1{,}6\). Damit passt ein exponentielles Modell. 3. Für die Verdopplungszeit \(T\) gilt \(1{,}6^{T/3}=2\). Daher ist \(T=\frac{3\ln(2)}{\ln(1{,}6)}\approx4{,}42\,\text{Monate}\). 4. Die Behauptung einer Verdopplung nach \(5\) Monaten ist daher mit diesen Modelldaten nicht vereinbar.

a) Der zweite Analyst wählt den passenden Modelltyp: exponentielles Wachstum. b) \(T\approx4{,}42\,\text{Monate}\); die Behauptung von \(5\) Monaten ist nicht mit dem Modell vereinbar.

- Wie wird aus einer prozentualen Abnahme ein Zerfallsfaktor? - Welche Beziehung verbindet den Faktor \(b\) mit dem Exponentenparameter \(k\)? - Welche Verhältnisgleichung beschreibt eine Halbierung? - Bei beiden gesuchten Zeiten steht die Unbekannte im Exponenten.

1. Der Anfangswert ist \(a=250\). Eine Abnahme von \(15\,\%\) entspricht dem Zerfallsfaktor \(b=0{,}85\). Daher ist \(m(t)=250\cdot0{,}85^t\). 2. Mit \(k=\ln(0{,}85)\approx-0{,}1625\) gilt \(m(t)=250e^{kt}\), näherungsweise also \(m(t)=250e^{-0{,}1625t}\). 3. Aus \(0{,}85^T=0{,}5\) folgt \(T=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}85)}\approx4{,}27\,\text{h}\). 4. Aus \(250\cdot0{,}85^t=10\) folgt \(t=\frac{\ln(0{,}04)}{\ln(0{,}85)}\approx19{,}81\,\text{h}\).

a) \(m(t)=250\cdot0{,}85^t\) b) \(k\approx-0{,}1625\); \(m(t)=250e^{-0{,}1625t}\) c) \(T_{1/2}\approx4{,}27\,\text{h}\) d) \(t\approx19{,}81\,\text{h}\)

- Was stellt der Wert vor der e-Funktion in diesem Sachzusammenhang dar? - Wie hängen der Exponent der e-Funktion und der jährliche Faktor \(b\) zusammen? - Welche mathematische Operation hilft dir, den Exponenten einer Gleichung zu isolieren? - Spielt der Anfangswert bei der Berechnung der Verdreifachungszeit eine Rolle?

1. Ablesen des Anfangswerts bei \(t = 0\): \(P(0) = 45\,000\). 2. Der jährliche Wachstumsfaktor ergibt sich aus \(b = e^{0{,}028} \approx 1{,}02839\). Die jährliche Wachstumsrate beträgt somit ca. \(2{,}84\,\%\). 3. Zur Berechnung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(75\,000 = 45\,000 \cdot e^{0{,}028t}\) gelöst. Umformen ergibt \(\frac{5}{3} = e^{0{,}028t}\) und somit \(t = \frac{\ln\!\left(\frac{5}{3}\right)}{0{,}028} \approx 18{,}24\). Dies entspricht dem Jahr 2038. 4. Die Verdreifachungszeit wird über \(3 = e^{0{,}028t}\) berechnet. Es folgt \(t = \frac{\ln(3)}{0{,}028} \approx 39{,}24\,\text{Jahre}\).

a) \(45\,000\) Einwohner. b) Wachstumsfaktor \(b \approx 1{,}0284\); Wachstumsrate ca. \(2{,}84\,\%\). c) Im Laufe des Jahres 2038. d) Die Einwohnerzahl verdreifacht sich nach ca. \(39{,}24\,\text{Jahren}\).

- Vergleiche bei gleichen Zeitabständen die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. - Welcher Parameter folgt unmittelbar aus \(t=0\)? - Wie lässt sich ein Faktor für fünf Stunden in einen Exponentenparameter \(k\) übersetzen? - Welche Gleichung beschreibt eine Verdopplung relativ zum Anfangswert?

1. Für die Fünfstundenintervalle gilt jeweils der Faktor \(1{,}5\). Daher liegt exponentielles Wachstum vor. 2. Aus \(N(0)=120\) folgt \(a=120\). Mit \(N(20)=607{,}5\) gilt \(e^{20k}=5{,}0625=1{,}5^4\). Somit ist \(k=\frac{\ln(1{,}5)}{5}\). 3. Das Modell lautet \(N(t)=120e^{\frac{\ln(1{,}5)}{5}t}\). 4. Für die Verdopplungszeit gilt \(e^{kT_2}=2\). Daher ist \(T_2=\frac{5\ln(2)}{\ln(1{,}5)}\approx8{,}55\,\text{h}\).

a) Der Faktor für jeweils \(5\,\text{h}\) ist konstant \(1{,}5\). b) \(N(t)=120e^{\frac{\ln(1{,}5)}{5}t}\) c) \(T_2\approx8{,}55\,\text{h}\)

- Prüfe die Quotienten bei gleich langen Zeitintervallen. - Welcher Parameter ist durch den Anfangswert festgelegt? - Wie erhältst du \(k\) aus dem bekannten Faktor für vier Minuten? - Was bedeutet Halbwertszeit als Verhältnis zum Anfangswert?

1. Für die Vierminutenintervalle ist der Quotient stets \(0{,}8\). Daher liegt exponentieller Zerfall vor. 2. Aus \(C(0)=1000\) folgt \(a=1000\). Mit \(C(16)=409{,}6\) gilt \(e^{16k}=0{,}4096=0{,}8^4\). Somit ist \(k=\frac{\ln(0{,}8)}{4}\). 3. Das Modell lautet \(C(t)=1000e^{\frac{\ln(0{,}8)}{4}t}\). 4. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{kT_{1/2}}=0{,}5\). Daher ist \(T_{1/2}=\frac{4\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)}\approx12{,}43\,\text{min}\).

a) Der Faktor für jeweils \(4\,\text{min}\) ist konstant \(0{,}8\). b) \(C(t)=1000e^{\frac{\ln(0{,}8)}{4}t}\) c) \(T_{1/2}\approx12{,}43\,\text{min}\)

- Welche Gleichung drückt die gegebene Halbwertszeit aus? - Wie erhältst du aus \(k\) den Faktor für eine Stunde? - Bei einem Schwellenwert steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Was beschreibt die erste Ableitung einer Bestandsgröße, und wie ist ihr Vorzeichen hier zu deuten?

1. Aus \(A(0)=450\) folgt \(b=450\). Wegen der Halbwertszeit gilt \(e^{6k}=0{,}5\), also \(k=\frac{\ln(0{,}5)}{6}\approx-0{,}1155\). Damit ist \(A(t)=450e^{kt}\). 2. Der Parameter \(b\) ist die Anfangsaktivität. Der stündliche Faktor ist \(e^k=0{,}5^{1/6}\approx0{,}8909\). Die Abnahme beträgt daher etwa \(10{,}91\,\%\) pro Stunde. 3. Aus \(450e^{kt}=20\) folgt \(t=\frac{\ln(20/450)}{k}\approx26{,}95\,\text{h}\). Für größere Zeiten liegt die Aktivität unter \(20\,\text{MBq}\). 4. Es gilt \(A'(t)=450ke^{kt}\). Damit ist \(A'(0)\approx-51{,}99\,\text{MBq}/\text{h}\) und \(A'(12)\approx-13{,}00\,\text{MBq}/\text{h}\). Das Minuszeichen zeigt die momentane Abnahme; nach \(12\) Stunden ist deren Betrag kleiner als zu Beginn.

a) \(A(t)=450e^{\frac{\ln(0{,}5)}{6}t}\), \(k\approx-0{,}1155\) b) \(b=450\,\text{MBq}\) ist die Anfangsaktivität; stündliche Abnahme \(\approx10{,}91\,\%\) c) Für \(t>26{,}95\,\text{h}\) liegt die Modellaktivität unter \(20\,\text{MBq}\). d) \(A'(t)=450ke^{kt}\); \(A'(0)\approx-51{,}99\,\text{MBq}/\text{h}\), \(A'(12)\approx-13{,}00\,\text{MBq}/\text{h}\)

- Nutze den zweiten Modellwert, um den Exponentenparameter zu bestimmen. - Welche Verhältnisgleichung beschreibt eine Halbierung? - Bei einem Schwellenwert kannst du zunächst den Grenzzeitpunkt mit Gleichheit bestimmen. - Was bedeutet die erste Ableitung einer Konzentrationsfunktion im Sachzusammenhang?

1. Aus \(320e^{10k}=200\) folgt \(e^{10k}=0{,}625\) und damit \(k=\frac{\ln(0{,}625)}{10}\approx-0{,}0470\). Somit ist \(c(t)=320e^{kt}\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{kT_{1/2}}=0{,}5\). Daher ist \(T_{1/2}=\frac{\ln(0{,}5)}{k}\approx14{,}75\,\text{min}\). 3. Aus \(320e^{kt}=10\) folgt \(t=\frac{\ln(10/320)}{k}\approx73{,}74\,\text{min}\). Für größere Zeiten liegt der Modellwert unter dem Grenzwert. 4. Es gilt \(c'(t)=320ke^{kt}\). Mit dem ungerundeten \(k\) ergibt sich \(c'(20)\approx-5{,}87\,\text{mg}/(\text{L}\cdot\text{min})\). Zu diesem Zeitpunkt sinkt die Konzentration momentan um etwa \(5{,}87\,\text{mg}/\text{L}\) pro Minute.

a) \(c(t)=320e^{\frac{\ln(0{,}625)}{10}t}\), \(k\approx-0{,}0470\) b) \(T_{1/2}\approx14{,}75\,\text{min}\) c) Für \(t>73{,}74\,\text{min}\) liegt die Modellkonzentration unter \(10\,\text{mg}/\text{L}\). d) \(c'(t)=320ke^{kt}\); \(c'(20)\approx-5{,}87\,\text{mg}/(\text{L}\cdot\text{min})\)

- Übersetze die stündlichen prozentualen Änderungen zuerst in Faktoren. - Wie erhältst du daraus die Exponentenparameter der \(e\)-Darstellung? - Für den gemeinsamen Bestand setzt du die beiden Modellfunktionen gleich. - Die erste Ableitung liefert die momentane Änderungsrate; beachte dabei Vorzeichen und Einheit.

1. Für Kultur A gilt \(k_A=\ln(1{,}042)\approx0{,}0411\), also \(f_A(t)=1200e^{k_At}\). Für Kultur B gilt \(k_B=\ln(0{,}965)\approx-0{,}0356\), also \(f_B(t)=5000e^{k_Bt}\). 2. Aus \(1200e^{k_At}=2000\) folgt mit dem ungerundeten \(k_A\): \(t=\frac{\ln(2000/1200)}{k_A}\approx12{,}42\,\text{h}\). 3. Aus \(1200e^{k_At}=5000e^{k_Bt}\) folgt \(e^{(k_A-k_B)t}=\frac{25}{6}\). Damit ist \(t=\frac{\ln(25/6)}{k_A-k_B}\approx18{,}59\,\text{h}\). 4. Die Änderungsraten sind \(f_A'(t)=1200k_Ae^{k_At}\) und \(f_B'(t)=5000k_Be^{k_Bt}\). 5. Für Kultur B gilt \(f_B'(0)\approx-178{,}14\) und \(f_B'(10)\approx-124{,}75\) Zellen pro Stunde. Das entspricht momentan etwa \(178\) beziehungsweise \(125\) Zellen Abnahme pro Stunde.

a) \(f_A(t)=1200e^{\ln(1{,}042)t}\); \(f_B(t)=5000e^{\ln(0{,}965)t}\), mit \(k_A\approx0{,}0411\), \(k_B\approx-0{,}0356\) b) \(t\approx12{,}42\,\text{h}\) c) \(t\approx18{,}59\,\text{h}\) d) \(f_A'(t)=1200k_Ae^{k_At}\), \(f_B'(t)=5000k_Be^{k_Bt}\); bei Kultur B etwa \(-178\) Zellen/\(\text{h}\) zu Beginn und \(-125\) Zellen/\(\text{h}\) nach \(10\) Stunden

- Übersetze die jährlichen prozentualen Änderungen zunächst in Faktoren. - Wie lässt sich ein Faktor \(q\) als Exponentparameter einer \(e\)-Funktion schreiben? - Bei Halbwertszeit und Zielbestand kannst du jeweils ein Verhältnis zum Anfangswert betrachten. - Für die Gleichheit der Bestände setzt du beide Modellfunktionen gleich und sammelst die Zeitabhängigkeit in einem Exponentialterm.

1. Für die Fichten gilt \(q_F=0{,}972\) und damit \(k_F=\ln(0{,}972)\). Also ist \(V_F(t)=8000e^{\ln(0{,}972)t}\). 2. Für die Buchen gilt \(q_B=1{,}015\) und damit \(k_B=\ln(1{,}015)\). Also ist \(V_B(t)=2500e^{\ln(1{,}015)t}\). 3. Die Halbwertszeit der Fichten erfüllt \(0{,}972^t=0{,}5\). Daher ist \(t=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}972)}\approx24{,}41\,\text{Jahre}\). 4. Für \(4000\,\text{m}^3\) Buchenholz gilt \(1{,}015^t=1{,}6\). Daraus folgt \(t=\frac{\ln(1{,}6)}{\ln(1{,}015)}\approx31{,}57\,\text{Jahre}\). 5. Für gleiche Bestände gilt \(8000\cdot0{,}972^t=2500\cdot1{,}015^t\). Damit ist \(\left(\frac{1{,}015}{0{,}972}\right)^t=3{,}2\), also \(t=\frac{\ln(3{,}2)}{\ln(1{,}015)-\ln(0{,}972)}\approx26{,}87\,\text{Jahre}\).

a) \(V_F(t)=8000e^{\ln(0{,}972)t}\); \(V_B(t)=2500e^{\ln(1{,}015)t}\) b) \(24{,}41\,\text{Jahre}\) c) \(31{,}57\,\text{Jahre}\) d) \(26{,}87\,\text{Jahre}\)

- Was passiert mit dem Exponentialterm, wenn die Zeit sehr groß wird? - Welchen Wert hat die Zeitvariable zum Zeitpunkt des Messbeginns? - Mit welchem mathematischen Werkzeug berechnet man die Steigung oder Änderungsrate einer Funktion? - Wie löst man eine Gleichung nach der Variable im Exponenten auf?

1. Zur Bestimmung der Anfangstemperatur wird \(t = 0\) in die Funktionsgleichung eingesetzt: \(f(0) = 21 + 154 \cdot e^{0} = 21 + 154 = 175\). Die Anfangstemperatur beträgt \(175\,^\circ\text{C}\). 2. Für die Umgebungstemperatur wird der Grenzwert für \(t \to \infty\) betrachtet. Da \(e^{-0{,}038t} \to 0\), nähert sich die Temperatur dem Wert \(21\,^\circ\text{C}\) an. 3. Die Temperatur nach \(40\) Minuten ergibt sich durch Einsetzen von \(t = 40\): \(f(40) = 21 + 154 \cdot e^{-0{,}038 \cdot 40} = 21 + 154 \cdot e^{-1{,}52} \approx 21 + 154 \cdot 0{,}2187 \approx 54{,}68\). Die Temperatur beträgt ca. \(54{,}7\,^\circ\text{C}\). 4. Die momentane Änderungsrate wird durch die Ableitung \(f'(t) = 154 \cdot (-0{,}038) \cdot e^{-0{,}038t} = -5{,}852 \cdot e^{-0{,}038t}\) beschrieben. 5. Zur Bestimmung des Zeitpunkts wird die Gleichung \(f'(t) = -1{,}2\) gelöst: \(-5{,}852 \cdot e^{-0{,}038t} = -1{,}2 \implies e^{-0{,}038t} = \frac{-1{,}2}{-5{,}852} \approx 0{,}20506\). 6. Logarithmieren führt zu \(-0{,}038t = \ln(0{,}20506) \approx -1{,}5844\). Daraus folgt \(t = \frac{-1{,}5844}{-0{,}038} \approx 41{,}7\). Nach etwa \(41{,}7\) Minuten beträgt die Abkühlrate \(-1{,}2\,{}^\circ\text{C}/\text{min}\).

a) Anfangstemperatur: \(175\,^\circ\text{C}\); Umgebungstemperatur: \(21\,^\circ\text{C}\) b) ca. \(54{,}7\,^\circ\text{C}\) c) nach ca. \(41{,}7\) Minuten

- „Neu erfahren“ entspricht der Differenz zweier Bestandswerte. - Welcher absolute Personenwert entspricht \(75\,\%\) der Bevölkerung? - Nach dem Einsetzen dieses Zielwerts kannst du den Exponentialterm isolieren. - Wie wird ein fester Bestandswert im Graphen als Gerade dargestellt?

1. Zu Beginn gilt \(N(0)=\frac{10000}{20}=500\). 2. Nach fünf Stunden ist \(N(5)=\frac{10000e^2}{e^2+19}\approx2800\). Somit haben im Modell etwa \(2800-500=2300\) Personen die Nachricht neu erfahren. 3. \(75\,\%\) von \(10\,000\) sind \(7500\). Aus \(7500=\frac{10000e^{0{,}4t}}{e^{0{,}4t}+19}\) folgt \(e^{0{,}4t}=57\). 4. Daher ist \(t=\frac{\ln(57)}{0{,}4}\approx10{,}11\,\text{h}\). 5. Grafisch entspricht der Wert der \(t\)-Koordinate des Schnittpunkts von \(G_N\) mit \(y=7500\).

a) Etwa \(2300\) Personen b) \(t\approx10{,}11\,\text{h}\); grafisch: Schnittpunkt von \(G_N\) mit \(y=7500\)

- Wie bestimmt man das Monotonieverhalten einer Funktion mithilfe der Ableitung? - Welchen Wert nimmt die Exponentialfunktion \(e^{-kt}\) an, wenn \(t\) sehr groß wird? - Kann ein Ausdruck der Form \(22 - \text{etwas Positives}\) jemals größer als 22 sein? - Setze für die Überprüfung der Gleichung einfach den Term von \(T(t)\) und dessen Ableitung ein und vereinfache.

1. Die erste Ableitung ist \(T'(t) = -14 \cdot (-0{,}1) \cdot e^{-0{,}1t} = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Da die Exponentialfunktion \(e^x\) für alle reellen \(x\) positiv ist, gilt \(T'(t) > 0\) für alle \(t \ge 0\). Somit ist \(T\) streng monoton steigend. 2. Für \(t \to \infty\) strebt der Term \(e^{-0{,}1t}\) gegen \(0\). Damit gilt \(\lim_{t \to \infty} (22 - 14 \cdot e^{-0{,}1t}) = 22 - 0 = 22\). Da \(14 \cdot e^{-0{,}1t}\) für jedes endliche \(t\) positiv ist, wird stets ein positiver Wert von \(22\) subtrahiert, sodass \(T(t) < 22\) für alle \(t\) gilt. 3. Die linke Seite der Gleichung ist \(T'(t) = 1{,}4e^{-0{,}1t}\). Für die rechte Seite setzen wir den Funktionsterm ein: \(0{,}1 \cdot (22 - (22 - 14 \cdot e^{-0{,}1t})) = 0{,}1 \cdot (14 \cdot e^{-0{,}1t}) = 1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t}\). Beide Seiten sind identisch.

1. \(T'(t) = 1{,}4e^{-0{,}1t} > 0\), daher streng monoton steigend. 2. \(\lim_{t \to \infty} T(t) = 22\); da \(14 \cdot e^{-0{,}1t} > 0\), folgt \(T(t) < 22\). 3. Einsetzen ergibt \(1{,}4 \cdot e^{-0{,}1t} = 0{,}1 \cdot (14 \cdot e^{-0{,}1t})\), was eine wahre Aussage ist.

- Welcher Funktionswert gehört zum Modellstart? - Vergleiche die erste Ableitung mit der Differenz zur Kapazitätsgrenze. - Isoliere für den Zielbestand zunächst den Exponentialterm. - Danach steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

1. Es gilt \(B(0)=400-320=80\). Weiter ist \(B(20)=400-320e^{-1}\approx282{,}28\), also etwa \(282\) Vögel. 2. Die erste Ableitung lautet \(B'(t)=16e^{-0{,}05t}\). Außerdem ist \(400-B(t)=320e^{-0{,}05t}\). Daher gilt \(B'(t)=0{,}05(400-B(t))\). Der Proportionalitätsfaktor ist \(0{,}05\). 3. Aus \(350=400-320e^{-0{,}05t}\) folgt \(e^{-0{,}05t}=\frac{5}{32}\). Somit ist \(t=-20\ln\left(\frac{5}{32}\right)\approx37{,}13\,\text{Jahre}\).

1. Anfangsbestand: \(80\) Vögel; nach \(20\) Jahren: etwa \(282\) Vögel 2. \(B'(t)=0{,}05(400-B(t))\); Proportionalitätsfaktor \(0{,}05\) 3. \(t\approx37{,}13\,\text{Jahre}\)

- Welche obere Schranke besitzt die Bestandsfunktion? - Wann kann das Doppelte des aktuellen Bestands diese Schranke überhaupt noch unterschreiten? - Für eine Verdopplungszeit ab einem Startzeitpunkt \(t\) gilt \(g(t+T_2)=2g(t)\). - Betrachte qualitativ, wie sich die momentane Wachstumsgeschwindigkeit im Zeitverlauf ändert.

1. Eine Verdopplung ist nur möglich, solange \(2g(t)<120\), also \(g(t)<60\). 2. Aus \(120-90e^{-0{,}2t}<60\) folgt \(e^{-0{,}2t}>\frac{2}{3}\). Damit ist \(t<-5\ln\left(\frac{2}{3}\right)=5\ln(1{,}5)\approx2{,}03\). Also ist eine Verdopplung für \(0\leq t<2{,}03\) möglich. 3. Für \(t=0\) gilt \(g(0)=30\). Eine Verdopplung erfordert \(g(T_2)=60\), also \(e^{-0{,}2T_2}=\frac{2}{3}\). Daher ist \(T_2=5\ln(1{,}5)\approx2{,}03\,\text{h}\). 4. Es gilt \(g'(t)=18e^{-0{,}2t}>0\), aber diese Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit \(t\) ab. Gleichzeitig wird der absolute Zuwachs, der für eine Verdopplung erforderlich ist, größer. Daher nimmt \(T_2\) mit dem Startzeitpunkt zu und wächst beim Annähern an die Intervallgrenze ohne Schranke.

a) \(0\leq t<5\ln(1{,}5)\approx2{,}03\) b) \(T_2\approx2{,}03\,\text{h}\) c) \(T_2\) nimmt mit zunehmendem Startzeitpunkt zu.

- Welcher Parameter ist durch den Anfangswert sofort bestimmt? - Wie erhältst du \(k\) aus dem Verhältnis der beiden gegebenen Flächenwerte? - Verdopplungszeit und Zielzeit führen jeweils auf Exponentialgleichungen. - Was beschreibt die erste Ableitung der Flächenfunktion?

1. Aus \(f(0)=250\) folgt \(a=250\). Mit \(f(5)=600\) gilt \(e^{5k}=2{,}4\), also \(k=\frac{\ln(2{,}4)}{5}\approx0{,}1751\). Damit ist \(f(t)=250e^{kt}\). 2. Für die Verdopplungszeit gilt \(e^{kT_2}=2\). Somit ist \(T_2=\frac{5\ln(2)}{\ln(2{,}4)}\approx3{,}96\,\text{h}\). 3. Aus \(250e^{kt}=2500\) folgt \(e^{kt}=10\), also \(t=\frac{5\ln(10)}{\ln(2{,}4)}\approx13{,}15\,\text{h}\). 4. Die momentane Wachstumsrate ist \(f'(t)=250ke^{kt}\). Mit dem ungerundeten \(k\) ergibt sich \(f'(8)\approx177{,}64\,\text{mm}^2/\text{h}\).

a) \(f(t)=250e^{\frac{\ln(2{,}4)}{5}t}\), \(k\approx0{,}1751\) b) \(T_2\approx3{,}96\,\text{h}\) c) \(t\approx13{,}15\,\text{h}\) d) \(f'(8)\approx177{,}64\,\text{mm}^2/\text{h}\)

- Achte auf das Minuszeichen in der Modellform für den Zerfall. - Welche Verhältnisgleichung beschreibt die Halbwertszeit? - Für den Zielwert steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Die momentane Zerfallsrate ist der Wert der ersten Ableitung.

1. Mit \(m_0=120\) und \(m(10)=45\) gilt \(e^{-10\lambda}=0{,}375\). Daher ist \(\lambda=-\frac{\ln(0{,}375)}{10}\approx0{,}0981\). Somit ist \(m(t)=120e^{-\lambda t}\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{-\lambda T_{1/2}}=0{,}5\). Daraus folgt \(T_{1/2}=\frac{\ln(2)}{\lambda}\approx7{,}07\,\text{Tage}\). 3. Aus \(120e^{-\lambda t}=10\) folgt \(t=\frac{\ln(12)}{\lambda}\approx25{,}33\,\text{Tage}\). 4. Die Zerfallsrate lautet \(m'(t)=-120\lambda e^{-\lambda t}\). Damit ist \(m'(0)\approx-11{,}77\,\text{mg}/\text{Tag}\) und \(m'(20)\approx-1{,}66\,\text{mg}/\text{Tag}\).

a) \(m(t)=120e^{-\lambda t}\), \(\lambda\approx0{,}0981\) b) \(T_{1/2}\approx7{,}07\,\text{Tage}\) c) \(t\approx25{,}33\,\text{Tage}\) d) \(m'(0)\approx-11{,}77\,\text{mg}/\text{Tag}\); \(m'(20)\approx-1{,}66\,\text{mg}/\text{Tag}\)

- Welche Modellform passt zur jährlichen, welche zur stetigen Verzinsung? - Der Zinsertrag ist jeweils die Differenz aus End- und Anfangskapital. - Für Teil c) reicht es, die Wachstumsfaktoren für genau ein Jahr gleichzusetzen.

1. Bei jährlicher Verzinsung gilt \(K(5)=15\,000\cdot1{,}032^5\approx17\,558{,}59\,\text{€}\). Der Zinsertrag ist damit \(2558{,}59\,\text{€}\). 2. Bei stetiger Verzinsung gilt \(K(5)=15\,000e^{0{,}032\cdot5}\approx17\,602{,}66\,\text{€}\). Der Zinsertrag beträgt \(2602{,}66\,\text{€}\). 3. Für den äquivalenten Jahresfaktor gilt \(1+\frac{p}{100}=e^{0{,}032}\). Somit ist \(p=100(e^{0{,}032}-1)\approx3{,}25\,\%\).

a) Endkapital: \(17\,558{,}59\,\text{€}\); Zinsertrag: \(2558{,}59\,\text{€}\) b) Endkapital: \(17\,602{,}66\,\text{€}\); Zinsertrag: \(2602{,}66\,\text{€}\) c) \(p\approx3{,}25\,\%\)

- Setze den zweiten Modellwert in \(N(t)=N_0e^{kt}\) ein. - Wie erhältst du aus \(k\) den Faktor für eine Stunde? - Was bedeutet eine Verdopplung als Verhältnis zum Anfangswert?

1. Aus \(1850=1200e^{3k}\) folgt \(k=\frac{1}{3}\ln\left(\frac{1850}{1200}\right)\approx0{,}1443\). Damit ist \(N(t)=1200e^{kt}\). 2. Der Stundenfaktor ist \(e^k=\left(\frac{1850}{1200}\right)^{1/3}\approx1{,}1552\). Daher beträgt die Zunahme etwa \(15{,}52\,\%\). 3. Für die Verdopplungszeit gilt \(e^{kT_2}=2\). Mit dem ungerundeten \(k\) folgt \(T_2=\frac{\ln(2)}{k}\approx4{,}80\,\text{h}\).

a) \(k\approx0{,}1443\); \(N(t)=1200e^{kt}\) b) \(15{,}52\,\%\) c) \(T_2\approx4{,}80\,\text{h}\)

- Überlege dir, was mit dem e-Term passiert, wenn die Zeit sehr groß wird. - Setze die Funktionsgleichung mit dem gesuchten Wert gleich und löse nach der Variable im Exponenten auf. - Erinnere dich an die Quotientenregel oder die Kettenregel für Brüche, um die Steigung zu berechnen. - Überlege, was die erste Ableitung über die Steigung aussagt und was ein Maximum der Steigung für die Krümmung bedeutet.

1. \(N(0) = \frac{2000}{40} = 50\). Zu Beginn kennen \(50\) Personen die Nachricht. 2. Da \(e^{-0{,}4t} \to 0\), gilt \(\lim_{t \to \infty} N(t) = 2000\). Langfristig kennen alle \(2000\) Einwohner die Nachricht. 3. Aus \(1000 = \frac{2000}{1 + 39e^{-0{,}4t_0}}\) folgt \(e^{0{,}4t_0} = 39\) und damit \(t_0 = \frac{\ln(39)}{0{,}4} \approx 9{,}16\). 4. Die erste Ableitung ist \(N'(t) = \frac{31200e^{-0{,}4t}}{(1 + 39e^{-0{,}4t})^2}\). Damit ist \(N'(0) = \frac{31200}{1600} = 19{,}5\). Die momentane Änderungsrate beträgt \(19{,}5\) Personen pro Stunde. 5. Da \(N'(t)\) bei \(t_0\) ein Maximum besitzt, liegt am Graphen von \(N\) bei \(t_0\) ein Wendepunkt vor; dort gilt \(N''(t_0) = 0\).

a) \(N(0) = 50\); \(\lim_{t \to \infty} N(t) = 2000\). b) \(t_0 = \frac{\ln(39)}{0{,}4} \approx 9{,}16\,\text{h}\). c) \(N'(0) = 19{,}5\,\frac{\text{Personen}}{\text{h}}\). d) Wendepunkt, da die erste Ableitung dort ein Maximum hat.

- Wie verhält sich ein Bruch, wenn der Nenner immer kleiner wird, aber positiv bleibt? - Nutze Logarithmusgesetze, um Gleichungen mit e-Funktionen zu lösen. - Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Höhenfunktion. - Achte auf die Einheiten in deiner Interpretation.

1. \(h(0) = \frac{3}{6} = 0{,}5\,\text{m}\). Für \(t \to \infty\) gilt \(e^{-0{,}2t} \to 0\), also \(h(t) \to 3\,\text{m}\). 2. \(e^{-0{,}2t}\) ist streng monoton fallend. Daher ist auch der positive Nenner \(1 + 5e^{-0{,}2t}\) streng monoton fallend. Bei konstant positivem Zähler steigt der Bruch somit streng monoton. 3. Aus \(1{,}5 = \frac{3}{1 + 5e^{-0{,}2t}}\) folgt \(e^{0{,}2t} = 5\) und damit \(t = \frac{\ln(5)}{0{,}2} = 5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\). 4. Die erste Ableitung ist \(h'(t) = \frac{3e^{-0{,}2t}}{(1 + 5e^{-0{,}2t})^2}\). Damit gilt \(h'(10) = \frac{3 \cdot e^{-2}}{(1 + 5e^{-2})^2} \approx \frac{0{,}4060}{2{,}8112} \approx 0{,}144\). Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt ca. \(0{,}144\,\text{m}/\text{Woche}\).

a) Anfangshöhe: \(0{,}5\,\text{m}\); maximale Höhe: \(3\,\text{m}\). b) Da der positive Nenner mit wachsendem \(t\) kleiner wird, nimmt der Wert des Bruches zu. c) \(t = 5 \cdot \ln(5) \approx 8{,}05\,\text{Wochen}\). d) \(h'(10) \approx 0{,}144\,\text{m}/\text{Woche}\).

- Welche Temperatur bildet die Sättigungsgrenze des Modells? - Wie groß ist der anfängliche Abstand zur Sättigungsgrenze? - Nutze den Wert nach \(15\) Minuten, um den Exponentenparameter zu bestimmen. - Für den Zielwert kannst du wieder den Abstand zur Sättigungsgrenze betrachten.

1. Mit der Sättigungsgrenze \(S=220\) und \(T(0)=20\) gilt \(T(t)=220-200e^{-kt}\). 2. Aus \(T(15)=120\) folgt \(100=200e^{-15k}\), also \(e^{-15k}=0{,}5\). Damit ist \(k=\frac{\ln(2)}{15}\). 3. Die exakte Modellfunktion lautet \(T(t)=220-200e^{-\frac{\ln(2)}{15}t}\). 4. Für \(T(t)=200\) gilt \(20=200e^{-kt}\), also \(e^{-kt}=0{,}1\). Daher ist \(t=\frac{\ln(10)}{k}=\frac{15\ln(10)}{\ln(2)}\approx49{,}83\,\text{min}\).

a) \(T(t)=220-200e^{-\frac{\ln(2)}{15}t}\) b) \(t\approx49{,}83\,\text{min}\)

- Identifiziere zuerst Sättigungsgrenze und Anfangswert des Modells. - Nutze den bekannten Wert nach zehn Tagen, um den noch unbekannten Parameter zu bestimmen. - Betrachte für b) den Abstand zur Sättigungsgrenze nach jeweils zehn Tagen. - Für c) muss die Exponentialgleichung nach der Zeit aufgelöst werden.

1. Für beschränktes Wachstum gilt \(V(t)=S-(S-V_0)e^{-kt}\) mit \(S=1500\) und \(V_0=300\). Somit ist \(V(t)=1500-1200e^{-kt}\). 2. Aus \(V(10)=900\) folgt \(900=1500-1200e^{-10k}\), also \(e^{-10k}=\frac12\). 3. Daraus ergibt sich \(k=\frac{\ln2}{10}\). Die exakte Funktionsgleichung lautet \(V(t)=1500-1200e^{-\frac{\ln2}{10}t}\). 4. Für \(t=20\) gilt \(e^{-20k}=(e^{-10k})^2=\frac14\). Daher ist \(V(20)=1500-1200\cdot\frac14=1200\). 5. Aus \(V(t)=1400\) folgt \(e^{-kt}=\frac1{12}\) und damit \(t=\frac{\ln12}{k}=\frac{10\ln12}{\ln2}\approx35{,}85\).

a) \(V(t)=1500-1200e^{-\frac{\ln2}{10}t}\) b) Nach \(20\,\text{Tagen}\) beherrscht Jonas \(1200\) Begriffe. c) \(t\approx35{,}85\,\text{Tage}\)

- Überlege, wie sich die Änderungsrate aus Zufluss und Abfluss zusammensetzt. - Welche Art von Wachstum liegt vor, wenn die Zunahme konstant ist, die Abnahme aber vom aktuellen Bestand abhängt? - Was bedeutet die Information „reines Wasser“ für den Anfangswert der Farbstoffmenge? - Wie verhält sich eine Exponentialfunktion mit negativem Exponenten für sehr große Zeitwerte?

1. Die Änderungsrate setzt sich aus dem konstanten Zufluss und dem proportionalen Abfluss zusammen: \(m'(t) = 15 - 0{,}025m(t)\). 2. Die Sättigungsgrenze ist \(S = \frac{15}{0{,}025} = 600\). Mit \(m(0) = 0\) ergibt sich \(m(t) = 600(1 - e^{-0{,}025t})\). 3. \(m(60) = 600 \cdot (1 - e^{-1{,}5}) \approx 466{,}12\). Nach einer Stunde befinden sich ca. \(466{,}12\,\text{g}\) Farbstoff im Behälter. 4. Für \(t \to \infty\) geht \(e^{-0{,}025t}\) gegen \(0\). Daher gilt \(\lim_{t \to \infty} m(t) = 600\,\text{g}\).

a) \(m'(t) = 15 - 0{,}025m(t)\) b) \(m(t) = 600(1 - e^{-0{,}025t})\) c) \(m(60) \approx 466{,}12\,\text{g}\) d) \(600\,\text{g}\)

- Was bedeutet die momentane Änderungsrate mathematisch für den Funktionsgraphen? - Welchen Wert nimmt die Temperatur nach einer sehr langen Zeit näherungsweise an? - Wie kannst du die gegebenen Werte in die Differentialgleichung einsetzen, um die Unbekannte zu finden? - Erinnerst du dich an den allgemeinen Funktionstyp für Prozesse, die sich einem festen Schrankenwert annähern?

1. Gegeben sind \(T(0) = 95\), die Umgebungstemperatur \(20\,^\circ\text{C}\) und \(T'(0) = -4{,}5\). 2. Einsetzen in die Differentialgleichung bei \(t = 0\): \(-4{,}5 = k \cdot (20 - 95)\). 3. Daraus folgt \(-4{,}5 = -75k\) und somit \(k = 0{,}06\). 4. Die Lösung lautet \(T(t) = 20 + (95 - 20) \cdot e^{-0{,}06t} = 20 + 75e^{-0{,}06t}\).

\(k = 0{,}06\); \(T(t) = 20 + 75e^{-0{,}06t}\)

- Achte beim Einsetzen der negativen Anfangstemperatur auf das Vorzeichen. - Welche Gleichung ergibt sich aus der bekannten Anfangsrate? - Wie sieht die allgemeine Lösung aus, wenn sich eine Temperatur einem festen Grenzwert nähert? - Für die Zieltemperatur musst du anschließend den Exponentialterm isolieren.

1. Mit \(T(0)=-18\) und \(T'(0)=11{,}9\) folgt \(11{,}9=k(220-(-18))=238k\). Daher ist \(k=0{,}05\). 2. Die Modellfunktion lautet \(T(t)=220-(220-(-18))e^{-0{,}05t}=220-238e^{-0{,}05t}\). 3. Für \(75\,{}^\circ\text{C}\) gilt \(75=220-238e^{-0{,}05t}\), also \(e^{-0{,}05t}=\frac{145}{238}\). 4. Damit ist \(t=-20\ln\left(\frac{145}{238}\right)\approx9{,}91\,\text{min}\).

a) \(k=0{,}05\); \(T(t)=220-238e^{-0{,}05t}\) b) \(t\approx9{,}91\,\text{min}\)

- Nutze beide gegebenen Punkte, um die zwei Modellparameter zu bestimmen. - Durch Division der beiden Gleichungen fällt der Anfangswert weg. - Bestimme vor Teil b) den Anfangswert des Modells. - Eine Prozentangabe lässt sich als Verhältnis zum Anfangswert formulieren.

1. Aus \(ba^2=50\) und \(ba^6=12{,}5\) folgt durch Division \(a^4=0{,}25\). Daher ist \(a=\sqrt{0{,}5}\). 2. Weil \(a^2=0{,}5\), ergibt \(ba^2=50\) den Anfangswert \(b=100\). Somit ist \(f(t)=100(\sqrt{0{,}5})^t\). 3. Ein Prozent des Anfangswerts sind \(1\,\text{K}\). Daher gilt \(100(0{,}5)^{t/2}=1\). 4. Logarithmieren liefert \(\frac{t}{2}\ln(0{,}5)=\ln(0{,}01)\), also \(t=\frac{2\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}5)}\approx13{,}29\,\text{min}\).

a) \(f(t)=100(\sqrt{0{,}5})^t\) b) \(t\approx13{,}29\,\text{min}\)

- Stelle aus den beiden Modellwerten zwei Gleichungen für \(c\) und \(k\) auf. - Welche Unbekannte lässt sich durch Division der Gleichungen eliminieren? - „Hundertfach“ bezieht sich auf den Modellwert bei \(t=0\), nicht auf einen späteren Tabellenwert. - Die letzte Gleichung hat die gesuchte Zeit im Exponenten.

1. Es gilt \(ce^k=1200\) und \(ce^{4k}=9600\). 2. Division ergibt \(e^{3k}=8\). Damit ist \(k=\frac{\ln(8)}{3}=\ln(2)\). 3. Aus \(ce^k=1200\) und \(e^k=2\) folgt \(c=600\). Somit ist \(f(t)=600e^{\ln(2)t}=600\cdot2^t\). 4. Für das Hundertfache des Anfangsbestands gilt \(600\cdot2^t=60\,000\), also \(2^t=100\). 5. Daher ist \(t=\frac{\ln(100)}{\ln(2)}\approx6{,}64\,\text{h}\).

a) \(f(t)=600e^{\ln(2)t}=600\cdot2^t\) b) \(t\approx6{,}64\,\text{h}\)

- Welche Zahl ist der stündliche Zerfallsfaktor, wenn \(87\,\%\) verbleiben? - Wie viele Stunden liegen zwischen 14:00 und 22:00 Uhr? - Für den Schwellenwert steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Wandle den Dezimalanteil einer Stunde am Ende in Minuten um.

1. Der stündliche Zerfallsfaktor ist \(0{,}87\). Daher gilt \(K(t)=120\cdot0{,}87^t\). 2. Von 14:00 bis 22:00 Uhr vergehen \(8\) Stunden. Somit ist \(K(8)=120\cdot0{,}87^8\approx39{,}39\,\text{mg}\). 3. Der Grenzzeitpunkt erfüllt \(120\cdot0{,}87^t=15\), also \(0{,}87^t=0{,}125\). Daher ist \(t=\frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}87)}\approx14{,}93\,\text{h}\). 4. \(0{,}93\) Stunden entsprechen etwa \(56\) Minuten. Der Grenzzeitpunkt liegt damit gegen 04:56 Uhr am folgenden Tag.

a) \(K(t)=120\cdot0{,}87^t\) b) \(K(8)\approx39{,}39\,\text{mg}\) c) \(t\approx14{,}93\,\text{h}\); etwa 04:56 Uhr am folgenden Tag

- Eliminiere zuerst den Anfangswert, sodass nur der Exponentialfaktor übrig bleibt. - Welche Verhältnisgleichung beschreibt die Halbwertszeit? - Für den letzten Teil ist nur das Verhältnis zum Anfangswert entscheidend. - In beiden Zeitgleichungen steht die gesuchte Größe im Exponenten.

1. Aus \(240=400e^{4k}\) folgt \(e^{4k}=0{,}6\). Daher ist \(k=\frac{\ln(0{,}6)}{4}\approx-0{,}1277\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{kT_{1/2}}=0{,}5\). Somit ist \(T_{1/2}=\frac{\ln(0{,}5)}{k}\approx5{,}43\,\text{h}\). 3. Für \(5\,\%\) Restaktivität gilt \(e^{kt}=0{,}05\). Daraus folgt \(t=\frac{\ln(0{,}05)}{k}\approx23{,}46\,\text{h}\).

a) \(k\approx-0{,}1277\) b) \(T_{1/2}\approx5{,}43\,\text{h}\) c) \(t\approx23{,}46\,\text{h}\)

- Wie wird aus \(40\,\%\) Zunahme ein Wachstumsfaktor? - Ein negativer Zeitwert bedeutet hier eine mathematische Rückwärtsextrapolation des Modells. - Für den Zielwert steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

1. Der Wachstumsfaktor ist \(1{,}4\). Somit gilt \(A(t)=2\cdot1{,}4^t\). 2. Es ist \(A(4)=2\cdot1{,}4^4=7{,}6832\approx7{,}68\,\text{m}^2\). Außerdem ist \(A(-2)=2\cdot1{,}4^{-2}\approx1{,}02\,\text{m}^2\). 3. Aus \(20=2\cdot1{,}4^t\) folgt \(1{,}4^t=10\). Daher ist \(t=\frac{\ln(10)}{\ln(1{,}4)}\approx6{,}84\,\text{Wochen}\).

1. \(A(t)=2\cdot1{,}4^t\) 2. \(A(4)\approx7{,}68\,\text{m}^2\); \(A(-2)\approx1{,}02\,\text{m}^2\) 3. \(t\approx6{,}84\,\text{Wochen}\)

- Wie wird eine Halbwertszeit von drei Stunden im Exponenten berücksichtigt? - Für Teil 2 setzt du nur den gegebenen Zeitpunkt ein. - Bei Teil 3 kannst du direkt mit dem Anteil der Anfangsmenge arbeiten.

1. Mit der Halbwertszeit \(3\,\text{h}\) gilt \(M(t)=120\cdot0{,}5^{t/3}\). 2. Es ist \(M(10)=120\cdot0{,}5^{10/3}\approx11{,}91\,\text{mg}\). 3. Für \(10\,\%\) Restmenge gilt \(0{,}5^{t/3}=0{,}1\). Daher ist \(t=3\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)}\approx9{,}97\,\text{h}\).

1. \(M(t)=120\cdot0{,}5^{t/3}\) 2. \(M(10)\approx11{,}91\,\text{mg}\) 3. \(t\approx9{,}97\,\text{h}\)

- Wie muss der Exponent aussehen, wenn nach jeweils fünf Tagen ein Verdopplungsschritt abgeschlossen ist? - Zerlege große Zweierpotenzen mithilfe der gegebenen Faustregel. - Für die Abschätzung von \(500\,000\) kannst du die Zahl in \(500\cdot1000\) zerlegen. - Der exakte logarithmische Term entsteht direkt aus \(2^{t/5}=500\,000\).

1. Mit Anfangswert \(1\) und Verdopplungszeit \(5\) Tage gilt \(A(t)=2^{t/5}\). 2. Es ist \(A(50)=2^{10}\approx1000\,\text{m}^2\) und \(A(100)=2^{20}\approx1\,000\,000\,\text{m}^2\). Der zweite Wert ist eine reine Hochrechnung des unbegrenzten Modells. 3. \(500\,000=500\cdot1000\approx2^9\cdot2^{10}=2^{19}\). Daher folgt als Schätzung \(t\approx95\) Tage. 4. Exakt gilt \(2^{t/5}=500\,000\), also \(t=\frac{5\ln(500000)}{\ln(2)}\). Numerisch ist \(t\approx94{,}66\) Tage. Die Schätzung liegt damit um etwa \(0{,}34\) Tage höher.

a) \(A(t)=2^{t/5}\) b) \(A(50)\approx1000\,\text{m}^2\); \(A(100)\approx1\,000\,000\,\text{m}^2\) c) \(t\approx95\,\text{Tage}\) d) \(t=\frac{5\ln(500000)}{\ln(2)}\approx94{,}66\,\text{Tage}\); Abweichung der Schätzung: etwa \(0{,}34\,\text{Tage}\)

- Welcher Parameter folgt direkt aus \(x=0\)? - Welcher Faktor führt vom ersten zum zweiten Tabellenwert? - Beachte bei Teil b), dass die Tabellenwerte in Tausend angegeben sind. - Für die Verfünffachung kannst du den Anfangswert aus der Gleichung kürzen.

1. Aus \(f(0)=400\) folgt \(c=400\). Mit \(f(1)=520\) ist \(a=\frac{520}{400}=1{,}3\). Damit gilt \(f(x)=400\cdot1{,}3^x\). 2. \(f(8)=400\cdot1{,}3^8\approx3262{,}923\) Tausend. Das entspricht gerundet etwa \(3\,262\,923\) Bakterien. 3. Für die Verfünffachung gilt \(1{,}3^x=5\). Daher ist \(x=\frac{\ln(5)}{\ln(1{,}3)}\approx6{,}13\,\text{h}\).

a) \(f(x)=400\cdot1{,}3^x\) b) etwa \(3\,262\,923\) Bakterien c) \(x\approx6{,}13\,\text{h}\)

- Welcher Parameter folgt aus dem Wert bei \(t=0\)? - Wie kannst du aus dem Wert nach zwei Stunden den positiven Stundenfaktor bestimmen? - Welche prozentuale Abnahme gehört zu einem Faktor von \(0{,}8\)? - Für die Halbwertszeit ist nur das Verhältnis zum Anfangswert relevant.

1. Aus \(f(0)=12\) folgt \(c=12\). Mit \(12a^2=7{,}68\) gilt \(a^2=0{,}64\), also wegen \(a>0\) der Faktor \(a=0{,}8\). Damit ist \(f(t)=12\cdot0{,}8^t\). 2. Pro Stunde verbleiben \(80\,\%\), also beträgt die Abnahme \(20\,\%\). 3. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}8^t=0{,}5\). Daher ist \(t=\frac{\ln(0{,}5)}{\ln(0{,}8)}\approx3{,}11\,\text{h}\).

a) \(f(t)=12\cdot0{,}8^t\) b) \(20\,\%\) pro Stunde c) \(T_{1/2}\approx3{,}11\,\text{h}\)

- Was bedeutet die Verdreifachung nach sechs Stunden für den Sechsstundenfaktor? - Wie kannst du diesen Faktor direkt in einer Modellform verwenden, ohne ihn zunächst dezimal zu runden? - Für den Zielbestand steht die gesuchte Zeit im Exponenten.

1. Aus \(b^6=3\) folgt \(b=3^{1/6}\). Damit ist \(N(t)=2500\cdot3^{t/6}\). 2. Es gilt \(N(15)=2500\cdot3^{15/6}\approx38\,971{,}14\). Gerundet sind das \(38\,971\) Bakterien. 3. Aus \(1\,000\,000=2500\cdot3^{t/6}\) folgt \(3^{t/6}=400\). Daher ist \(t=6\frac{\ln(400)}{\ln(3)}\approx32{,}72\,\text{h}\).

a) \(N(t)=2500\cdot3^{t/6}\) b) etwa \(38\,971\) Bakterien c) \(t\approx32{,}72\,\text{h}\)

- Welcher stündliche Faktor gehört zu einer Abnahme von \(12\,\%\)? - Wie hängt dieser Faktor mit der Zerfallskonstante in \(e^{-kt}\) zusammen? - Für ein Viertel der Anfangsmenge genügt eine Verhältnisgleichung. - Die momentane Änderungsrate ist die erste Ableitung; ihr Vorzeichen trägt Sachbedeutung.

1. Der stündliche Faktor ist \(0{,}88\). Aus \(e^{-k}=0{,}88\) folgt \(k=-\ln(0{,}88)\approx0{,}1278\). Damit ist \(N(t)=400e^{-kt}\). 2. Für ein Viertel der Anfangsmenge gilt \(0{,}88^t=0{,}25\). Daher ist \(t=\frac{\ln(0{,}25)}{\ln(0{,}88)}\approx10{,}84\,\text{h}\). 3. Die erste Ableitung lautet \(N'(t)=-kN_0e^{-kt}\). Mit dem ungerundeten \(k\) ergibt sich \(N'(5)\approx-26{,}98\,\text{mg}/\text{h}\). Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Modellmenge zu diesem Zeitpunkt abnimmt.

1. \(k\approx0{,}1278\); \(N(t)=400e^{-kt}\) 2. \(t\approx10{,}84\,\text{h}\) 3. \(N'(5)\approx-26{,}98\,\text{mg}/\text{h}\); das Minuszeichen kennzeichnet eine Abnahme.

- Welche Gleichung beschreibt, dass nach einer Halbwertszeit noch die Hälfte der Anfangsmenge vorhanden ist? - Für das Modellalter kannst du direkt mit dem verbleibenden Anteil der Anfangsmenge arbeiten. - Vergleiche nach dem Ableiten den erhaltenen Ausdruck mit der ursprünglichen Funktion \(N(t)\).

1. Aus \(e^{-5730k}=0{,}5\) folgt \(k=\frac{\ln(2)}{5730}\approx0{,}00012097\,\text{Jahr}^{-1}\). 2. Aus \(e^{-kt}=0{,}65\) folgt \(t=\frac{-\ln(0{,}65)}{k}\approx3561{,}13\,\text{Jahre}\). Auf ganze Jahre gerundet sind das \(3561\,\text{Jahre}\). 3. Ableiten ergibt \(N'(t)=-kN_0e^{-kt}=-kN(t)\). Damit ist die momentane Änderungsrate proportional zur vorhandenen Menge; der Proportionalitätsfaktor ist \(-k\).

1. \(k\approx0{,}00012097\,\text{Jahr}^{-1}\) 2. etwa \(3561\,\text{Jahre}\) 3. \(N'(t)=-kN(t)\); Proportionalitätsfaktor: \(-k\)

- Welches Verhältnis beschreibt den nach \(25\) Jahren verbleibenden Anteil der Anfangsmasse? - Welche Bedingung erfüllt das Modell nach einer Halbwertszeit? - Die momentane Änderungsrate wird durch die erste Ableitung beschrieben; beachte anschließend die Bedeutung ihres Vorzeichens.

1. Es gilt \(\frac{m(25)}{m_0}=e^{-0{,}0231\cdot25}\approx0{,}5613\). Somit sind noch etwa \(56{,}13\,\%\) vorhanden. 2. Aus \(e^{-0{,}0231T_H}=0{,}5\) folgt \(T_H=\frac{\ln(2)}{0{,}0231}\approx30{,}01\,\text{Jahre}\). 3. Die erste Ableitung lautet \(m'(t)=-0{,}0231m_0e^{-0{,}0231t}\). Damit ist \(m'(50)=-0{,}0231\cdot500e^{-0{,}0231\cdot50}\approx-3{,}64\,\text{mg}/\text{Jahr}\). Das negative Vorzeichen zeigt eine Abnahme der Masse an.

a) etwa \(56{,}13\,\%\) b) \(T_H\approx30{,}01\,\text{Jahre}\) c) \(m'(50)\approx-3{,}64\,\text{mg}/\text{Jahr}\); das negative Vorzeichen bedeutet eine Massenabnahme.

- Welche zwei Gleichungen erhältst du aus den beiden gegebenen Funktionswerten? - Wie kannst du beim Vergleich dieser beiden Gleichungen den unbekannten Anfangswert beseitigen? - Welche Bedingung kennzeichnet die Halbwertszeit im Modell?

1. Es gelten \(45=m_0e^{-10k}\) und \(28=m_0e^{-25k}\). Durch Division folgt \(\frac{45}{28}=e^{15k}\). Daher ist \(k=\frac{\ln(45/28)}{15}\approx0{,}03163\,\text{Tag}^{-1}\). Einsetzen ergibt \(m_0=45e^{10k}\approx61{,}74\,\text{g}\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{-kT_H}=0{,}5\). Daher ist \(T_H=\frac{\ln(2)}{k}\approx21{,}91\,\text{Tage}\).

1. \(m_0\approx61{,}74\,\text{g}\); \(k\approx0{,}03163\,\text{Tag}^{-1}\) 2. \(T_H\approx21{,}91\,\text{Tage}\)

- Welcher Multiplikationsfaktor gehört zu einer Abnahme um \(18\,\%\)? - Die Angabe bezieht sich auf jeweils \(3\,\text{m}\); wie lässt sich deshalb eine beliebige Tiefe im Exponenten berücksichtigen? - Für die Darstellung zur Basis \(e\) müssen beide Modelle nach demselben Tiefenschritt denselben Faktor liefern.

1. Der Abnahmefaktor pro \(3\,\text{m}\) beträgt \(0{,}82\). Daher ist \(I(d)=400\cdot0{,}82^{d/3}\). 2. Es gilt \(I(10)=400\cdot0{,}82^{10/3}\approx206{,}43\,\text{W}/\text{m}^2\). 3. Aus \(50=400\cdot0{,}82^{d/3}\) folgt \(d=3\frac{\ln(0{,}125)}{\ln(0{,}82)}\approx31{,}44\,\text{m}\). 4. Aus \(e^{-3k}=0{,}82\) folgt \(k=-\frac{\ln(0{,}82)}{3}\approx0{,}0662\,\text{m}^{-1}\).

a) \(I(10)\approx206{,}43\,\text{W}/\text{m}^2\) b) \(d\approx31{,}44\,\text{m}\) c) \(k\approx0{,}0662\,\text{m}^{-1}\)

- Achte darauf, auf welche Zeitspanne sich der Faktor \(0{,}85\) bezieht. - Für den Zeitpunkt bei \(1\,\%\) kannst du mit dem Verhältnis zum Anfangswert arbeiten. - Um einen Faktor pro Minute zu erhalten, muss der Faktor für \(20\) Minuten passend auf eine Minute umgerechnet werden.

1. Mit \(t\) in Minuten lautet das Modell \(N(t)=500\,000\cdot0{,}85^{t/20}\). 2. \(N(120)=500\,000\cdot0{,}85^6\approx188\,574{,}76\). Auf ganze Bakterien gerundet sind das \(188\,575\). 3. Aus \(0{,}01=0{,}85^{t/20}\) folgt \(t=20\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)}\approx566{,}72\,\text{min}\). 4. Der Faktor pro Minute ist \(0{,}85^{1/20}\approx0{,}99190698\). Die prozentuale Abnahme pro Minute beträgt daher \((1-0{,}85^{1/20})\cdot100\,\%\approx0{,}81\,\%\).

a) etwa \(188\,575\) Bakterien b) \(t\approx566{,}72\,\text{min}\) c) etwa \(0{,}81\,\%\) pro Minute

- Für a) und b) lässt sich jeweils ein Verhältnis zur Anfangskonzentration bilden. - Die unbekannte Zeit steht im Exponenten; überlege, welche Umkehrfunktion dafür geeignet ist. - Für die effektive Änderung pro Stunde ist der Ein-Stunden-Faktor des Modells entscheidend, nicht die Zahl \(k\) allein.

1. Aus \(100=250e^{-0{,}085t}\) folgt \(0{,}4=e^{-0{,}085t}\). Daher ist \(t=\frac{\ln(0{,}4)}{-0{,}085}\approx10{,}78\,\text{h}\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(0{,}5=e^{-0{,}085T_H}\). Somit ist \(T_H=\frac{\ln(0{,}5)}{-0{,}085}\approx8{,}15\,\text{h}\). 3. Der stündliche Faktor ist \(e^{-0{,}085}\approx0{,}918512\). Die effektive Abnahme beträgt daher \((1-e^{-0{,}085})\cdot100\,\%\approx8{,}15\,\%\). Dieser Wert ist kleiner als \(8{,}5\,\%\); die Konstante \(k\) ist nicht selbst die effektive prozentuale Abnahme pro Stunde.

a) \(t\approx10{,}78\,\text{h}\) b) \(T_H\approx8{,}15\,\text{h}\) c) etwa \(8{,}15\,\%\) pro Stunde; das ist weniger als \(8{,}5\,\%\).

- Welche Zeitdifferenz steht im Exponenten, wenn du den Bestand für ein bestimmtes Kalenderjahr berechnest? - Beim Verdoppeln kannst du den Anfangswert aus der Gleichung kürzen. - Für die effektive Jahresrate benötigst du den Faktor, den das Modell bei einer Erhöhung von \(t\) um genau ein Jahr erzeugt.

1. \(B(2030)=1200e^{0{,}045\cdot15}\approx2356{,}84\). Gerundet sind das \(2357\) Tiere. 2. Aus \(2400=1200e^{0{,}045(t-2015)}\) folgt \(e^{0{,}045(t-2015)}=2\). Damit ist \(t=2015+\frac{\ln(2)}{0{,}045}\approx2030{,}40\). 3. Der Jahresfaktor ist \(e^{0{,}045}\approx1{,}04602786\). Daher beträgt die effektive jährliche Wachstumsrate etwa \(4{,}60\,\%\). Da \(e^x>1+x\) für \(x>0\) gilt, ist \(e^{0{,}045}-1>0{,}045\), also die effektive Jahresrate größer als \(4{,}5\,\%\).

a) etwa \(2357\) Tiere b) \(t\approx2030{,}40\) c) etwa \(4{,}60\,\%\) pro Jahr; wegen \(e^{0{,}045}>1+0{,}045\) ist dies mehr als \(4{,}5\,\%\).

- Welche Gleichung verbindet die Halbwertszeit mit dem Faktor \(0{,}5\)? - Verwende für die weiteren Rechnungen möglichst den ungerundeten Wert von \(k\). - Bei einem vorgegebenen prozentualen Restwert kann der Anfangswert aus der Gleichung gekürzt werden.

1. Aus \(e^{-8{,}02k}=0{,}5\) folgt \(k=\frac{\ln(2)}{8{,}02}\approx0{,}08643\,\text{Tag}^{-1}\). 2. Mit dem ungerundeten Wert von \(k\) ergibt sich \(N(14)=380e^{-14k}\approx113{,}32\,\text{MBq}\). 3. Aus \(0{,}05=e^{-kt}\) folgt \(t=\frac{-\ln(0{,}05)}{k}\approx34{,}66\,\text{Tage}\).

a) \(k\approx0{,}08643\,\text{Tag}^{-1}\) b) \(N(14)\approx113{,}32\,\text{MBq}\) c) \(t\approx34{,}66\,\text{Tage}\)

- Welche Gleichung muss der Jahresfaktor nach einer Halbwertszeit erfüllen? - Wie hängt ein jährlicher Faktor unter \(1\) mit der prozentualen Abnahme zusammen? - Für c) kannst du zunächst durch den Referenzwert \(N_0\) teilen.

1. Aus \(a^{12{,}32}=0{,}5\) folgt \(a=0{,}5^{1/12{,}32}\approx0{,}9453\). Damit lautet das Modell \(N(t)=N_0a^t\). 2. Mit dem ungerundeten Faktor beträgt die jährliche Abnahme \((1-a)\cdot100\,\%\approx5{,}47\,\%\). 3. Aus \(0{,}22=a^t\) folgt mit dem ungerundeten Faktor \(t=\frac{\ln(0{,}22)}{\ln(a)}\approx26{,}91\,\text{Jahre}\). Auf ganze Jahre gerundet sind das \(27\,\text{Jahre}\).

a) \(a\approx0{,}9453\); \(N(t)=N_0a^t\) b) etwa \(5{,}47\,\%\) pro Jahr c) etwa \(27\,\text{Jahre}\)

- Welcher tägliche Faktor ergibt nach \(12\) Tagen insgesamt den Faktor \(0{,}75\)? - Für die Darstellung zur Basis \(e\) muss nach \(12\) Tagen derselbe Gesamtfaktor entstehen. - Halbwertszeit und ein Restwert von \(10\,\%\) lassen sich jeweils als Verhältnis zur Anfangsmasse formulieren.

1. Aus \(q^{12}=0{,}75\) folgt \(q=0{,}75^{1/12}\approx0{,}9763\). Aus \(e^{-12\lambda}=0{,}75\) folgt \(\lambda=-\frac{\ln(0{,}75)}{12}\approx0{,}02397\,\text{Tag}^{-1}\). 2. Für die Halbwertszeit gilt \(e^{-\lambda T_H}=0{,}5\). Daher ist \(T_H=\frac{\ln(2)}{\lambda}\approx28{,}91\,\text{Tage}\). 3. Aus \(0{,}1=e^{-\lambda t}\) folgt \(t=\frac{-\ln(0{,}1)}{\lambda}\approx96{,}05\,\text{Tage}\).

1. \(q\approx0{,}9763\); \(\lambda\approx0{,}02397\,\text{Tag}^{-1}\) 2. \(T_H\approx28{,}91\,\text{Tage}\) 3. \(t\approx96{,}05\,\text{Tage}\)

- Kannst du für beide Kulturen eine Funktionsgleichung aufstellen, die die Anzahl der Bakterien in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt? - Nutze eine Variable für die unbekannte Anfangsmenge der ersten Kultur. - Welche Rechenregeln für Potenzen könnten dir helfen, die Gleichung zu vereinfachen, wenn die Basen gleich sind? - Erinnere dich daran, wie man Gleichungen löst, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht – entweder durch Logarithmieren oder durch Exponentenvergleich.

1. Aufstellen der Wachstumsfunktionen mit Startwert \(N_0\) für Kultur A: \(N_A(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{5}}\) und \(N_B(t) = 4 \cdot N_0 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). 2. Gleichsetzen der Funktionen: \(N_0 \cdot 2^{\frac{t}{5}} = 4 \cdot N_0 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). Division durch \(N_0\) führt zu \(2^{\frac{t}{5}} = 4 \cdot 2^{\frac{t}{8}}\). 3. Da \(4 = 2^2\), lässt sich die Gleichung zu \(2^{\frac{t}{5}} = 2^{2 + \frac{t}{8}}\) umformen. 4. Exponentenvergleich: \(\frac{t}{5} = 2 + \frac{t}{8}\). 5. Auflösen nach \(t\): \(\frac{t}{5} - \frac{t}{8} = 2 \Rightarrow \frac{8 \cdot t - 5 \cdot t}{40} = 2 \Rightarrow \frac{3 \cdot t}{40} = 2 \Rightarrow 3 \cdot t = 80 \Rightarrow t = \frac{80}{3} \approx 26{,}67\).

Nach \(26\frac{2}{3}\,\text{Stunden}\) (ca. \(26{,}67\,\text{Stunden}\)) sind beide Kulturen gleich groß.

- Welche Wachstumsfaktoren gehören zu den beiden Zinssätzen? - Eine Erhöhung um \(50\,\%\) entspricht welchem Vielfachen des Anfangswerts? - In b) kannst du die beiden Kapitalmodelle unmittelbar über das vorgegebene Verhältnis miteinander verknüpfen.

1. Die Modelle lauten \(K_A(t)=2500\cdot1{,}03^t\) und \(K_B(t)=1000\cdot1{,}065^t\). 2. Für eine Steigerung um \(50\,\%\) gilt \(1{,}03^t=1{,}5\). Daher ist \(t=\frac{\ln(1{,}5)}{\ln(1{,}03)}\approx13{,}72\,\text{Jahre}\). 3. Für b) gilt \(1000\cdot1{,}065^t=0{,}8\cdot2500\cdot1{,}03^t\). Daraus folgt \(\left(\frac{1{,}065}{1{,}03}\right)^t=2\). 4. Somit ist \(t=\frac{\ln(2)}{\ln(1{,}065)-\ln(1{,}03)}\approx20{,}74\,\text{Jahre}\).

a) \(t\approx13{,}72\,\text{Jahre}\) b) \(t\approx20{,}74\,\text{Jahre}\)

- Wie viele jährliche Wachstumsfaktoren liegen zwischen den beiden gegebenen Jahreswerten? - Nutze für spätere Prognosen möglichst den ungerundeten Wachstumsfaktor. - In c) ist die Zeit kontinuierlich; unterscheide deshalb die berechnete Jahreszahl von einem nur an ganzzahligen Jahreswerten abgelesenen Ergebnis.

1. Zwischen \(2005\) und \(2020\) liegen \(15\) Jahre. Aus \(585\,000=450\,000q^{15}\) folgt \(q=1{,}3^{1/15}\approx1{,}01764481\). Die mittlere jährliche Wachstumsrate beträgt daher etwa \(1{,}76\,\%\). 2. Für das Jahr \(2045\) sind seit \(2005\) genau \(40\) Jahre vergangen. Somit ist \(B(2045)=450\,000q^{40}\approx905\,860{,}77\). Gerundet sind das \(905\,861\) Einwohner. 3. Aus \(1\,000\,000=450\,000q^{t-2005}\) folgt \(t=2005+\frac{\ln(1000000/450000)}{\ln(q)}\approx2050{,}65\). Dieser Zeitpunkt liegt im Kalenderjahr \(2050\).

a) etwa \(1{,}76\,\%\) pro Jahr b) etwa \(905\,861\) Einwohner c) \(t\approx2050{,}65\); der Zeitpunkt liegt im Kalenderjahr \(2050\).

- Welche Gleichung erhältst du aus dem Temperaturwert nach \(10\) Minuten? - Für b) sollte der noch ungerundete Parameter verwendet werden. - In c) stammt der Messwert ausschließlich aus dem markierten Punkt der Abbildung; vergleiche ihn danach mit dem Modellwert zum selben Zeitpunkt.

1. Aus \(20+60e^{-10k}=44\) folgt \(e^{-10k}=0{,}4\). Damit ist \(k=-\frac{\ln(0{,}4)}{10}\approx0{,}092\). 2. Für \(T(t)=25\) gilt \(e^{-kt}=\frac{1}{12}\). Mit dem ungerundeten \(k\) ergibt sich \(t=\frac{-\ln(1/12)}{k}\approx27{,}1\,\text{min}\). 3. Aus der Abbildung liest man \(M(15\mid40)\) ab. Das Modell liefert mit \(k=0{,}092\) den Wert \(T(15)=20+60e^{-0{,}092\cdot15}\approx35{,}1\,\text{°C}\). Es liegt damit um etwa \(40-35{,}1=4{,}9\,\text{°C}\) unter dem Messwert.

a) \(k\approx0{,}092\) b) \(t\approx27{,}1\,\text{min}\) c) \(M(15\mid40)\); das Modell unterschätzt den Messwert um etwa \(4{,}9\,\text{°C}\).

- Der Zeitpunkt des Anpflanzens entspricht \(t=0\). - In b) musst du zuerst eine Information aus der Abbildung gewinnen, bevor du die Exponentialgleichung aufstellen kannst. - Für c) beschreibt die erste Ableitung die momentane Änderung der Höhe.

1. Es ist \(h(0)=12-10=2\,\text{m}\). Weiter gilt \(h(20)=12-10e^{-1}\approx8{,}32\,\text{m}\). 2. Aus der Abbildung liest man für die Ziellinie \(z\) die Höhe \(9\,\text{m}\) ab. Aus \(12-10e^{-0{,}05t}=9\) folgt \(e^{-0{,}05t}=0{,}3\) und damit \(t=\frac{-\ln(0{,}3)}{0{,}05}\approx24{,}1\) Jahre. 3. Es gilt \(h'(t)=0{,}5e^{-0{,}05t}\). Somit ist \(h'(10)=0{,}5e^{-0{,}5}\approx0{,}30\,\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\).

a) Anfangshöhe: \(2\,\text{m}\); nach \(20\) Jahren: \(8{,}32\,\text{m}\) b) Aus der Abbildung: Zielhöhe \(9\,\text{m}\); Zeitpunkt \(t\approx24{,}1\) Jahre c) \(h'(10)\approx0{,}30\,\frac{\text{m}}{\text{Jahr}}\)

- Betrachte das Verhalten der Temperatur für sehr große Zeiten, um die Sättigungsgrenze zu ermitteln. - Welchen Wert hat die Zeit zu Beginn des Vorgangs? Lies die zugehörige Temperatur am Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse ab. - Setze einen bekannten Punkt des Graphen in die Funktionsgleichung ein, um nach der unbekannten Konstante im Exponenten aufzulösen. - Verwende den natürlichen Logarithmus, um eine Gleichung zu lösen, bei der die gesuchte Variable im Exponenten steht.

1. Bestimmung von \(A\): Da die Ofentemperatur bei \(200\,\text{°C}\) liegt, nähert sich die Temperatur der Kugel für \(t \to \infty\) diesem Wert an. Somit ist die Sättigungsgrenze \(A = 200\). 2. Bestimmung von \(B\): Zum Zeitpunkt \(t = 0\) hat die Kugel laut Graph eine Anfangstemperatur von \(20\,\text{°C}\). Es gilt: \(T(0) = 20 \implies A - B \cdot e^0 = 20 \implies 200 - B = 20 \implies B = 180\). Der Funktionsterm lautet somit: \(T(t) = 200 - 180e^{-kt}\). 3. Bestimmung von \(k\): Mit dem Punkt \(P(10 \mid 110)\) ergibt sich: \(110 = 200 - 180 \cdot e^{-10k} \implies 180 \cdot e^{-10k} = 90 \implies e^{-10k} = 0{,}5 \implies -10k = \ln(0{,}5) \implies k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). 4. Berechnung der Zeit für \(185\,\text{°C}\): Setze \(T(t) = 185\) mit \(k \approx 0{,}0693\): \(185 = 200 - 180 \cdot e^{-0{,}0693t} \implies 180 \cdot e^{-0{,}0693t} = 15 \implies e^{-0{,}0693t} = \frac{15}{180} = \frac{1}{12} \implies -0{,}0693t = \ln\left(\frac{1}{12}\right) \implies t = \frac{\ln(12)}{0{,}0693} \approx 35{,}9\). Die Kugel erreicht nach ca. \(35{,}9\,\text{Minuten}\) eine Temperatur von \(185\,\text{°C}\).

a) \(A = 200\), \(B = 180\) b) \(k \approx 0{,}0693\) c) nach ca. \(35{,}9\,\text{Minuten}\)

- Für a) gehört zur Pflanzung der Zeitpunkt \(t=0\). - In b) steht die gesuchte Zeit im Exponenten. - Der Vergleichswert in c) stammt nur aus dem markierten Messpunkt der Abbildung; berechne den Modellwert zum abgelesenen Zeitpunkt separat.

1. Es gilt \(h(0)=12(1-0{,}75)=3\). Die Anfangshöhe beträgt \(3\,\text{m}\). 2. Aus \(12(1-0{,}75e^{-0{,}15t})=9\) folgt \(e^{-0{,}15t}=\frac13\). Daher ist \(t=\frac{\ln(3)}{0{,}15}\approx7{,}32\) Jahre. 3. Aus der Abbildung liest man \(M(10\mid10{,}5)\) ab. Das Modell ergibt \(h(10)=12(1-0{,}75e^{-1{,}5})\approx9{,}99\,\text{m}\). Es unterschätzt den Messwert somit um etwa \(10{,}5-9{,}99\approx0{,}5\,\text{m}\).

a) \(3\,\text{m}\) b) \(t\approx7{,}32\) Jahre c) \(M(10\mid10{,}5)\); das Modell unterschätzt die beobachtete Höhe um etwa \(0{,}5\,\text{m}\).

- Welche Ableitungsregeln benötigst du für das Produkt aus \(t\) und einem Exponentialterm? - Für das Maximum ist neben einer Nullstelle der ersten Ableitung auch der Vorzeichenwechsel wichtig. - Eine behauptete Stammfunktion lässt sich durch Ableiten überprüfen. - Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall hängt vom Integral über dieses Intervall und von seiner Länge ab.

1. Mit Produkt- und Kettenregel ergibt sich \(f'(t)=(10-2t)e^{-0{,}2t}\). 2. Da der Exponentialfaktor positiv ist, folgt aus \(f'(t)=0\) die Gleichung \(10-2t=0\). Somit ist \(t_{\text{max}}=5\,\text{h}\). Für \(t<5\) ist \(f'(t)>0\), für \(t>5\) ist \(f'(t)<0\); daher liegt dort ein Maximum. 3. Es gilt \(f(5)=50e^{-1}\approx18{,}39\,\text{mg}/\text{L}\). 4. Ableiten liefert \(F'(t)=-50[e^{-0{,}2t}-0{,}2(t+5)e^{-0{,}2t}]=10te^{-0{,}2t}=f(t)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 5. Der Mittelwert ist \(\frac{1}{20}\int_0^{20}f(t)\,dt=\frac{F(20)-F(0)}{20}\). Mit \(F(20)=-1250e^{-4}\) und \(F(0)=-250\) ergibt sich \(\frac{-1250e^{-4}+250}{20}\approx11{,}36\,\text{mg}/\text{L}\).

a) \(t_{\text{max}}=5\,\text{h}\) b) \(f(5)\approx18{,}39\,\text{mg}/\text{L}\) c) \(F'(t)=f(t)\) d) Mittelwert: \(\approx11{,}36\,\text{mg}/\text{L}\)

- Welche Anfangswerte lassen sich an der \(y\)-Achse ablesen? - Nutze für jeden Graphen einen weiteren gut ablesbaren Punkt, um den Exponentenparameter zu bestimmen. - Übersetze „A ist doppelt so groß wie B“ zunächst in eine Gleichung zwischen beiden Funktionstermen.

1. Für Bestand \(A\) gilt \(f_A(0)=20\). Mit dem Punkt \((2|40)\) folgt \(40=20e^{2k_A}\), also \(k_A=\frac{\ln(2)}{2}\). Damit ist \(f_A(t)=20e^{\frac{\ln(2)}{2}t}\). 2. Für Bestand \(B\) gilt \(f_B(0)=80\). Mit dem Punkt \((2|40)\) folgt \(40=80e^{2k_B}\), also \(k_B=-\frac{\ln(2)}{2}\). Damit ist \(f_B(t)=80e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\). 3. Für \(f_A(t)=2f_B(t)\) gilt \(20e^{\frac{\ln(2)}{2}t}=160e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\). Daraus folgt \(e^{\ln(2)t}=8\), also \(2^t=8\) und damit \(t=3\).

a) \(f_A(t)=20e^{\frac{\ln(2)}{2}t}\); \(f_B(t)=80e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\) b) \(t=3\)

- Welchen Wert strebt die Temperatur des Tees nach einer sehr langen Zeit an? Das gibt dir einen Hinweis auf die Raumtemperatur. - Überlege, wie groß der Unterschied zwischen Tee- und Raumtemperatur am Anfang ist und wie groß er nach 10 Minuten sein muss. - Die Abkühlungskonstante \(k\) lässt sich durch Umstellen der Gleichung nach dem Logarithmieren bestimmen. - Die „momentane Änderungsrate“ entspricht mathematisch immer der ersten Ableitung an einer bestimmten Stelle.

1. Bestimmung von \(T_U\) und \(a\): Die waagerechte Asymptote des Graphen liegt bei \(y = 20\), also ist die Raumtemperatur \(T_U = 20\,^\circ\text{C}\). Die Anfangstemperatur bei \(t = 0\) beträgt laut Graph \(90\,^\circ\text{C}\). Einsetzen in \(T(0) = a \cdot e^0 + 20 = 90\) ergibt \(a + 20 = 90\), also \(a = 70\). 2. Berechnung von \(k\): Die Anfangsdifferenz beträgt \(90 - 20 = 70\,\text{K}\). Nach \(10\,\text{min}\) ist sie auf \(35\,\text{K}\) gesunken, also \(T(10) = 20 + 35 = 55\,^\circ\text{C}\). Einsetzen in die Gleichung: \(55 = 70 \cdot e^{-10k} + 20 \implies 35 = 70 \cdot e^{-10k} \implies 0{,}5 = e^{-10k}\). Logarithmieren liefert \(\ln(0{,}5) = -10k\), also \(-\ln(2) = -10k\). Damit ist \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\). 3. Momentane Abkühlungsrate: Gesucht ist \(T'(0)\). Die Ableitung der Funktion \(T(t) = 70e^{-kt} + 20\) ist \(T'(t) = -70ke^{-kt}\). Einsetzen von \(t = 0\) und \(k = \frac{\ln(2)}{10}\): \(T'(0) = -70 \cdot \frac{\ln(2)}{10} \cdot e^0 = -7 \cdot \ln(2)\). Numerisch ergibt dies \(T'(0) \approx -7 \cdot 0{,}6931 \approx -4{,}85\). Die momentane Änderungsrate beträgt zu Beginn etwa \(-4{,}85\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\); die Temperatur sinkt also mit einem Betrag von etwa \(4{,}85\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).

a) \(T_U = 20\,^\circ\text{C}\); Anfangstemperatur \(90\,^\circ\text{C}\); \(a = 70\) b) \(k = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0{,}0693\) c) \(T'(0) \approx -4{,}85\,\frac{^\circ\text{C}}{\text{min}}\).

- Welche zwei unterschiedlichen Arten von Information über die Parameter lassen sich aus dem langfristigen Verlauf und aus einem einzelnen Punkt des Graphen gewinnen? - Wähle einen Punkt, dessen Koordinaten sich aus dem Raster zuverlässig ablesen lassen. - Prüfe am Ende, ob dein Term sowohl den abgelesenen Punkt als auch das langfristige Verhalten des Graphen wiedergibt.

1. Der Graph nähert sich der waagerechten Linie bei \(500\,\text{m}^3\). Daher ist \(S=500\). 2. Ein gut ablesbarer Punkt des Graphen ist \((2|250)\). Damit gilt \(250=500(1-e^{-2k})\). 3. Daraus folgt \(e^{-2k}=0{,}5\), also \(k=\frac{\ln(2)}{2}\). 4. Ein passender Funktionsterm ist somit \(W(t)=500\left(1-e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\right)\).

\(W(t)=500\left(1-e^{-\frac{\ln(2)}{2}t}\right)\)

- Welche Information liefert die Kapazitätsgrenze über \(c\)? - Übersetze Anfangswert und Anfangsrate in Bedingungen an \(N(0)\) und \(N'(0)\). - Für b) muss der Vergleichswert zuerst aus dem markierten Punkt der Abbildung gelesen werden.

1. Aus der Kapazitätsgrenze folgt \(c=2000\). 2. Aus \(N(0)=200\) folgt \(b+2000=200\), also \(b=-1800\). 3. Es gilt \(N'(t)=bke^{kt}\). Aus \(N'(0)=100\) folgt \(-1800k=100\), also \(k=-\frac1{18}\). Damit ist \(N(t)=-1800e^{-t/18}+2000\). 4. Aus der Abbildung liest man \(M(20\mid1600)\) ab. Das Modell liefert \(N(20)=-1800e^{-20/18}+2000\approx1407\). Der beobachtete Wert liegt damit um etwa \(1600-1407=193\) Fische über dem Modellwert.

a) \(b=-1800\), \(c=2000\), \(k=-\frac1{18}\); \(N(t)=-1800e^{-t/18}+2000\) b) \(M(20\mid1600)\); das Modell unterschätzt den beobachteten Bestand um etwa \(193\) Fische.

- Bei linearem Wachstum sind eher Differenzen, bei exponentiellem Wachstum eher Quotienten annähernd konstant. - Beachte, dass gerundete Messwerte keine exakt gleichen Quotienten liefern müssen. - Für den Faktor aus Anfangs- und Endwert musst du den gesamten Zeitabstand berücksichtigen.

1. Die Differenzen sind \(11\), \(13\) und \(17\) und damit nicht annähernd konstant. Die Quotienten sind \(\frac{61}{50}\approx1{,}22\), \(\frac{74}{61}\approx1{,}213\) und \(\frac{91}{74}\approx1{,}230\); sie liegen wegen der Rundung vergleichsweise dicht beieinander. Ein exponentielles Modell ist daher plausibler. 2. Aus \(91=50q^3\) folgt \(q=\sqrt[3]{\frac{91}{50}}\approx1{,}221\). 3. Damit ist \(N(4)=50q^4\approx111{,}10\). Auf ganze Einheiten gerundet ergibt sich \(111\).

a) Ein exponentielles Modell ist plausibler. b) \(q\approx1{,}221\). c) Etwa \(111\) Einheiten.

- Setze die maximale physisch mögliche Fläche als Zielwert in das Modell ein. - Die gesuchte Zeit steht im Exponenten; welche Umkehrung hilft beim Auflösen? - Vergleiche die mathematische Fortsetzung des Modells mit einer festen Grenze des Sachkontexts.

1. Für die gesamte Wasseroberfläche gilt \(0{,}5\cdot1{,}6^t=30\). Damit ist \(1{,}6^t=60\). 2. Logarithmieren liefert \(t=\frac{\ln60}{\ln1{,}6}\approx8{,}71\) Wochen. 3. Da der Grenzwert zwischen der achten und neunten Woche überschritten wird, sagt das Modell ab der ganzen Woche \(t=9\) eine Fläche von mehr als \(30\,\text{m}^2\) voraus. 4. Die reale Fläche ist durch die Wasseroberfläche begrenzt. Das unbegrenzte Exponentialmodell enthält diese Kapazitätsgrenze nicht und kann daher nur in einem passenden frühen Zeitraum sinnvoll sein.

a) \(t\approx8{,}71\) Wochen. b) Ab Woche \(9\). c) Das unbegrenzte Exponentialmodell berücksichtigt die maximale Wasseroberfläche von \(30\,\text{m}^2\) nicht.

- Wann ist das \(1{,}5\)-fache eines Wertes noch kleiner als die obere Schranke der Funktion? - Nutze die Potenzgesetze, um \(e^{-0{,}1(t+T)}\) aufzuteilen. - Isoliere den Term mit \(T\) in der Gleichung \(f(t+T) = 1{,}5 \cdot f(t)\). - Untersuche die Monotonie der Dauer \(T(t)\), um den kleinsten Wert zu finden.

1. Eine Zunahme um \(50\,\%\) erfordert \(1{,}5f(t) < \lim_{t \to \infty} f(t) = 40\), also \(f(t) < \frac{80}{3} \approx 26{,}67\). 2. \(40 - 30 \cdot e^{-0{,}1t} < \frac{80}{3} \Rightarrow \frac{40}{3} < 30 \cdot e^{-0{,}1t} \Rightarrow e^{-0{,}1t} > \frac{4}{9}\). 3. \(t < -10 \cdot \ln(\frac{4}{9}) = 10 \cdot \ln(2{,}25) \approx 8{,}11\). Der Zeitraum ist \(t \in [0; 8{,}11)\). 4. Ansatz für \(T(t)\): \(f(t+T) = 1{,}5f(t)\). 5. \(40 - 30 \cdot e^{-0{,}1t} \cdot e^{-0{,}1T} = 1{,}5 \cdot (40 - 30 \cdot e^{-0{,}1t}) = 60 - 45 \cdot e^{-0{,}1t}\). 6. Umstellen nach \(e^{-0{,}1T}\): \(30 \cdot e^{-0{,}1t} \cdot e^{-0{,}1T} = 45 \cdot e^{-0{,}1t} - 20 \Rightarrow e^{-0{,}1T} = 1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1t}\). 7. \(T(t) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1t})\). 8. Da \(T(t)\) eine streng monoton steigende Funktion ist, liegt das Minimum bei \(t=0\). 9. \(T(0) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3}) = -10 \cdot \ln(\frac{5}{6}) = 10 \cdot \ln(1{,}2) \approx 1{,}82\).

a) Eine \(50\)-prozentige Zunahme ist möglich für \(t \in [0; 10 \cdot \ln(2{,}25))\), also ca. \(0 \le t < 8{,}11\). b) \(T(t) = -10 \cdot \ln(1{,}5 - \frac{2}{3} \cdot e^{0{,}1t})\) c) Die minimale Dauer beträgt \(T_{\text{min}} = 10 \cdot \ln(1{,}2) \approx 1{,}82\,\text{Wochen}\).

- Formuliere die momentane Änderung als Zufluss minus proportionalen Abbau. - Welche Bestandsmenge macht diese Änderungsrate gleich null? - Der langfristige Grenzwert lässt sich direkt aus dem Gleichgewicht der Bilanz bestimmen. - Für Teil d) ersetze den festen Zufluss durch eine unbekannte Größe und nutze den gewünschten Grenzwert.

1. Die Bilanzgleichung lautet \(P'(t)=20-0{,}08P(t)\), mit \(P(0)=50\). 2. Die Sättigungsgrenze ist \(S=\frac{20}{0{,}08}=250\). Damit ist \(P(t)=250-(250-50)e^{-0{,}08t}=250-200e^{-0{,}08t}\). 3. Nach \(10\) Tagen gilt \(P(10)=250-200e^{-0{,}8}\approx160{,}13\,\text{kg}\). 4. Der langfristige Grenzwert beträgt \(250\,\text{kg}\) und liegt damit unter \(300\,\text{kg}\). 5. Bei täglicher Zufuhr \(Z\) ist der Grenzwert \(\frac{Z}{0{,}08}\). Die Bedingung \(\frac{Z}{0{,}08}\leq200\) ergibt \(Z\leq16\,\text{kg}/\text{Tag}\).

a) \(P'(t)=20-0{,}08P(t)\), \(P(0)=50\) b) \(P(10)\approx160{,}13\,\text{kg}\) c) Ja; der Grenzwert beträgt \(250\,\text{kg}\). d) Höchstens \(16\,\text{kg}/\text{Tag}\)

- Wie lautet die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum? - Was bedeutet „Verdopplung“ für das Verhältnis von Endwert zu Anfangswert? - Welche Rechenregel für Logarithmen hilft dir, eine Variable im Exponenten zu isolieren? - Wie berechnet man den relativen Fehler zwischen einem exakten Wert und einer Näherung? - Erinnere dich an die Definition des Wachstumsfaktors aus dem Prozentsatz.

1. Für \(p = 3\) lautet der Wachstumsfaktor \(q = 1{,}03\). Die Verdopplungsgleichung \(5000 \cdot 1{,}03^n = 10\,000\) führt auf \(1{,}03^n = 2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}03)} \approx 23{,}45\,\text{Jahre}\). Die Faustformel liefert \(n \approx \frac{72}{3} = 24\,\text{Jahre}\). Die Differenz beträgt etwa \(0{,}55\,\text{Jahre}\). 2. Für \(p = 12\) ist \(q = 1{,}12\). Exakte Zeit: \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}12)} \approx 6{,}116\,\text{Jahre}\). Faustformel: \(n \approx \frac{72}{12} = 6\,\text{Jahre}\). Die prozentuale Abweichung berechnet sich durch \(\frac{|6 - 6{,}116|}{6{,}116} \cdot 100\,\% \approx 1{,}90\,\%\). 3. Aus \((1 + \frac{p}{100})^n = 2\) folgt durch Logarithmieren \(n \cdot \ln(1 + \frac{p}{100}) = \ln(2)\), woraus die gesuchte Formel \(n = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}\) resultiert. Mit der Näherung \(\ln(1 + \frac{p}{100}) \approx \frac{p}{100}\) für kleine Zinssätze ergibt sich \(n \approx \frac{\ln(2)}{\frac{p}{100}} = \frac{100 \cdot \ln(2)}{p}\). Da \(100 \cdot \ln(2) \approx 69{,}31\) ist, folgt \(np \approx 69{,}3\).

1. Exakte Zeit: \(\approx 23{,}45\,\text{Jahre}\); Faustformel: \(24\,\text{Jahre}\). 2. Die Abweichung beträgt ca. \(1{,}90\,\%\). 3. Die Herleitung erfolgt über den Ansatz \((1 + \frac{p}{100})^n = 2\); die Näherung basiert auf \(100 \cdot \ln(2) \approx 69{,}3\).

- Wie kannst du den höchsten Punkt eines Funktionsgraphen grafisch bestimmen? - Welche mathematische Bedingung muss an einer Extremstelle (Maximum) für die erste Ableitung der Funktion gelten? - Wie hängen die Änderungsrate einer Funktion und ihre Ableitung zusammen? An welcher besonderen Stelle ist die Abnahme (negative Steigung) am steilsten? - Welche Ableitung musst du untersuchen, um die Stelle der stärksten Zu- oder Abnahme zu bestimmen?

1. Aus dem Graphen ist der Hochpunkt bei \(t = 4\,\text{Stunden}\) abzulesen. 2. Die erste Ableitung lautet \(f_k'(t) = 4 \cdot e^{-kt} \cdot (1 - kt)\). Aus \(f_k'(4)=0\) und \(e^{-4k}\neq0\) folgt \(1-4k=0\), also \(k=0{,}25\). 3. Allgemein ergibt \(f_k'(t)=0\) die Gleichung \(1-kt=0\), also \(t_{\text{max}}=\frac{1}{k}\). 4. Die zweite Ableitung lautet \(f_k''(t)=4 \cdot k \cdot e^{-kt} \cdot (kt-2)\). Für \(t=\frac{1}{k}\) ist \(f_k''\left(\frac{1}{k}\right)=-4ke^{-1}<0\), also liegt ein Maximum vor. 5. Die stärkste Abnahme entspricht dem Minimum von \(f_k'\) und damit der Wendestelle von \(f_k\). Aus \(f_k''(t)=0\) folgt \(kt-2=0\), also \(t_{\text{w}}=\frac{2}{k}\). 6. Damit gilt \(t_{\text{w}}=\frac{2}{k}=2\cdot\frac{1}{k}=2t_{\text{max}}\).

a) Der Zeitpunkt des Maximums ist \(t = 4\,\text{Stunden}\). Daraus ergibt sich für den Parameter \(k = 0{,}25\). b) Der allgemeine Zeitpunkt des Maximums lautet \(t_{\text{max}} = \frac{1}{k}\). c) Der Zeitpunkt der stärksten Abnahme ist die Wendestelle bei \(t_{\text{w}} = \frac{2}{k}\). Es gilt \(t_{\text{w}} = 2t_{\text{max}}\).

- Nutze bei beiden Modellen zuerst die Information über den gemeinsamen Wert nach \(5\) Jahren. - Vergleiche nicht nur einzelne Funktionswerte, sondern auch das Verhalten für sehr große Zeiten. - Welche Eigenschaft sollte ein Modell besitzen, wenn eine feste langfristige Kapazität vorgegeben ist?

1. Aus \(S(5)=200\) folgt \(500-400e^{-5k}=200\). Damit ist \(e^{-5k}=\frac{3}{4}\) und somit \(k=\frac{\ln(4/3)}{5}\). 2. Für das unbeschränkte Modell gilt \(E(20)=100\cdot2^4=1600\). 3. Für das beschränkte Modell gilt \(S(20)=500-400e^{-20k}=500-400\left(\frac{3}{4}\right)^4=373{,}4375\). Gerundet sind das \(373\) Einheiten. 4. Das Modell \(E\) wächst unbegrenzt und überschreitet die angegebene Kapazität deutlich. Dagegen gilt \(\lim_{t\to\infty}S(t)=500\). Deshalb bildet \(S\) die angenommene langfristige Begrenzung besser ab.

a) \(k=\frac{\ln(4/3)}{5}\) b) \(E(20)=1600\), \(S(20)\approx373\) c) Das Modell \(S\) ist für die langfristige Prognose geeigneter, weil es sich der Kapazität \(500\) annähert, während \(E\) unbegrenzt wächst.

- Prüfe die vorgeschlagene Lösungsform, indem du sowohl den Anfangswert als auch die Differentialgleichung kontrollierst. - Welche Modellgröße entspricht der Änderungsrate genau zum Zeitpunkt \(t=0\)? - Formuliere die Angaben \(60\,\%\) und \(90\,\%\) jeweils als Anteil des Gleichgewichtswerts \(S\). - Betrachte in Teil c) nicht das Volumen selbst, sondern den noch fehlenden Anteil bis zum Gleichgewicht.

1. Für \(V(t)=S(1-e^{-kt})\) gilt \(V'(t)=Ske^{-kt}\). Wegen \(S=\frac{r}{k}\) ist \(Sk=r\), also \(V'(t)=re^{-kt}\). Außerdem ist \(r-kV(t)=r-kS(1-e^{-kt})=re^{-kt}\). Damit erfüllt die Funktion die Differentialgleichung und \(V(0)=0\). 2. Aus \(V'(0)=r\) folgt \(r=50\,\text{m}^3/\text{h}\). 3. Die Bedingung \(V(4)=0{,}6S\) liefert \(1-e^{-4k}=0{,}6\), also \(e^{-4k}=0{,}4\). Daher ist \(k=\frac{\ln(2{,}5)}{4}\approx0{,}229\,\text{h}^{-1}\). 4. Somit ist \(S=\frac{50}{k}\approx218{,}3\,\text{m}^3\). 5. Für \(V(t)=0{,}9S\) gilt \(e^{-kt}=0{,}1\). Daher ist \(t=\frac{\ln 10}{k}\approx10{,}05\,\text{h}\). 6. Nach weiteren \(4\) Stunden wird der verbleibende Abstand zum Gleichgewicht erneut mit \(0{,}4\) multipliziert. Nach \(8\) Stunden beträgt er daher \(0{,}4^2S=0{,}16S\). Somit gilt \(V(8)=0{,}84S\).

a) \(r=50\,\text{m}^3/\text{h}\), \(k=\frac{\ln(2{,}5)}{4}\approx0{,}229\,\text{h}^{-1}\), \(S\approx218{,}3\,\text{m}^3\) b) \(t\approx10{,}05\,\text{h}\) c) Nach \(8\) Stunden sind \(84\,\%\) des Gleichgewichtsvolumens erreicht. Der verbleibende Abstand zum Gleichgewicht wird in jedem Abschnitt von \(4\) Stunden mit dem Faktor \(0{,}4\) multipliziert.