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- Welche verschiedenen Zahlen kannst du auf dem Glücksrad erkennen? - Für die Wertemenge zählt jeder mögliche Wert nur einmal.

1. Auf dem Glücksrad kommen die Zahlen \(-1\), \(0\) und \(2\) vor. 2. Mehrfach vorkommende Beschriftungen erzeugen keinen zusätzlichen Wert der Zufallsgröße. 3. Daher ist die Wertemenge \(\{-1;0;2\}\).

\(W_X=\{-1;0;2\}\)

- Übersetze das Wort „mindestens“ in eine Ungleichung für \(X\). - Welche ganzzahligen Werte kann \(X\) bei drei Würfen überhaupt annehmen?

1. „Mindestens zwei“ bedeutet zwei oder drei Köpfe. 2. Daher gehören die Werte \(X=2\) und \(X=3\) zum Ereignis.

\(X\in\{2;3\}\)

- Überlege dir, welche Werte für \(X\) im ursprünglichen Ereignis enthalten sind. Das Gegenereignis umfasst dann genau alle anderen möglichen Werte im Bereich von \(0\) bis \(25\). - Beachte den Unterschied zwischen „weniger als“ und „höchstens“ sowie zwischen „mehr als“ und „mindestens“. - Was bleibt übrig, wenn ein bestimmtes Intervall aus der Menge aller möglichen Ergebnisse entfernt wird?

1. Für \(E_1\) gilt \(X\le22\). Das Gegenereignis umfasst daher die Werte oberhalb von \(22\): Es werden mehr als \(22\) rote Kugeln gezogen, also \(X>22\) bzw. \(X\ge23\). 2. Für \(E_2\) gilt \(6\le X\le14\). Außerhalb dieses Intervalls liegen die Werte unter \(6\) oder über \(14\): \(X<6\lor X>14\), äquivalent \(X\le5\lor X\ge15\). 3. Für \(E_3\) gilt \(X\ge1\). Das Gegenereignis ist daher: Es wird keine rote Kugel gezogen, also \(X=0\).

a) \(\bar{E}_1\): Es werden mehr als \(22\) rote Kugeln gezogen (\(X>22\) bzw. \(X\in\{23,24,25\}\)). b) \(\bar{E}_2\): Es werden weniger als \(6\) oder mehr als \(14\) rote Kugeln gezogen (\(X<6\lor X>14\)). c) \(\bar{E}_3\): Es wird keine rote Kugel gezogen (\(X=0\)).

- Überlege dir, welche Anzahlen an defekten Chips möglich sind (von \(0\) bis \(100\)). - Wenn ein Ereignis einen bestimmten Bereich abdeckt, welche Zahlen liegen dann außerhalb dieses Bereichs? - Wie drückst du die Verneinung von „kein“ oder „alle“ im Kontext von Zufallsexperimenten aus?

1. Das Ereignis \(E_1\) umfasst die Werte \(X \in \{4, 5, \dots, 100\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_1\) umfasst somit die Werte \(\{0, 1, 2, 3\}\). Text: Höchstens \(3\) Chips sind defekt. 2. Das Ereignis \(E_2\) umfasst die Werte \(X \in \{10, 11, \dots, 20\}\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_2\) umfasst alle Werte kleiner als \(10\) oder größer als \(20\). Text: Weniger als \(10\) oder mehr als \(20\) Chips sind defekt. 3. Das Ereignis \(E_3\) entspricht \(X = 0\). Das Gegenereignis \(\bar{E}_3\) umfasst alle Werte von \(1\) bis \(100\). Text: Mindestens ein Chip ist defekt.

a) \(\bar{E}_1\): Höchstens \(3\) Chips sind defekt. b) \(\bar{E}_2\): Weniger als \(10\) oder mehr als \(20\) Chips sind defekt. c) \(\bar{E}_3\): Mindestens ein Chip ist defekt.

- Überlege dir, welche Zahlenpaare du ziehen kannst, wenn du keine Kugel doppelt nehmen darfst. - Berechne für jedes dieser Paare den Abstand zwischen den beiden Zahlen. - Was ist der kleinstmögliche und was der größtmögliche Abstand zwischen zwei verschiedenen Zahlen aus diesem Bereich?

1. Da nacheinander ohne Zurücklegen gezogen wird, sind die Elementarereignisse geordnete Paare \((a,b)\) mit \(a,b \in \{1, 2, 3, 4, 5\}\) und \(a \ne b\). Für die Wertemenge von \(X\) genügt es, die verschiedenen Abstände der gezogenen Zahlen zu betrachten. 2. Berechnung der möglichen Beträge der Differenzen: - Differenz \(1\): zum Beispiel \(|1-2|\), \(|2-3|\), \(|3-4|\), \(|4-5|\) - Differenz \(2\): zum Beispiel \(|1-3|\), \(|2-4|\), \(|3-5|\) - Differenz \(3\): zum Beispiel \(|1-4|\), \(|2-5|\) - Differenz \(4\): \(|1-5|\) 3. Damit kann \(X\) genau die Werte \(1, 2, 3\) und \(4\) annehmen. Die Wertemenge ist \(W = \{1, 2, 3, 4\}\).

\(W = \{1, 2, 3, 4\}\)

- Überlege dir zuerst, welche Augenzahlen ein Würfel überhaupt zeigen kann. - Was bedeutet der Begriff „Betrag der Differenz“ mathematisch? - Gehe die Möglichkeiten für den ersten Wurf (1 bis 6) schrittweise durch und prüfe, welche Zahl beim zweiten Wurf fallen muss, damit der Unterschied genau 2 beträgt. - Denk daran, dass die Reihenfolge der Würfe wichtig ist – das Ergebnis (1, 3) ist ein anderes als (3, 1).

1. Identifikation der möglichen Ergebnisse für zwei Würfe: Alle Tupel \((a, b)\) mit \(a, b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). 2. Aufstellen der Bedingung für die Zufallsgröße: \(|a - b| = 2\). 3. Systematisches Suchen der Paare, die die Bedingung erfüllen: - Für \(a=1\): \(|1-b|=2 \implies b=3\) - Für \(a=2\): \(|2-b|=2 \implies b=4\) - Für \(a=3\): \(|3-b|=2 \implies b=1\) oder \(b=5\) - Für \(a=4\): \(|4-b|=2 \implies b=2\) oder \(b=6\) - Für \(a=5\): \(|5-b|=2 \implies b=3\) - Für \(a=6\): \(|6-b|=2 \implies b=4\) 4. Zusammenfassen der Ergebnisse in einer Menge: \(E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)\}\).

\(E = \{(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)\}\)

- Wie viele Ergebnisse gibt es insgesamt, wenn man eine Münze dreimal wirft? - Überlege dir, wie viele Wappen und wie viele Zahlen vorkommen müssen, damit ihre Differenz (Wappen minus Zahlen) genau \(-1\) ergibt. - Gibt es mehr als eine Kombination von Wappen und Zahlen, die diese Bedingung erfüllt? - Schreibe alle möglichen Reihenfolgen auf, in denen diese Anzahl an Wappen und Zahlen auftreten kann.

1. Bestimmung der möglichen Ausgänge bei drei Würfen: Es gibt \(2^3 = 8\) mögliche Tripel aus \(W\) und \(Z\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Zufallsgröße: Sei \(n_W\) die Anzahl der Wappen und \(n_Z\) die Anzahl der Zahlen. Es gilt \(n_W + n_Z = 3\) und die Bedingung \(X = n_W - n_Z = -1\). 3. Lösen des Gleichungssystems: Aus \(n_W - (3 - n_W) = -1\) folgt \(2n_W - 3 = -1\), also \(2n_W = 2\) und somit \(n_W = 1\). Das Ereignis tritt ein, wenn genau ein Wappen und zwei Zahlen geworfen werden. 4. Auflisten aller Tripel mit einem \(W\) und zwei \(Z\): \((W, Z, Z)\), \((Z, W, Z)\), \((Z, Z, W)\). 5. Angabe als Menge: \(E = \{(W, Z, Z), (Z, W, Z), (Z, Z, W)\}\).

\(E = \{(W, Z, Z), (Z, W, Z), (Z, Z, W)\}\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es insgesamt gibt, wenn man zwei Würfel wirft. - Kannst du eine Tabelle erstellen, in der alle möglichen Summen der beiden Würfel eingetragen sind? - Achte genau auf Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“ oder „weniger als“. - Für die Primzahlen: Welche Zahlen zwischen 2 und 12 sind Primzahlen? - Zähle für jedes Ereignis einzeln ab, wie viele der 36 Felder in deiner Tabelle die Bedingung erfüllen.

1. Der Ergebnisraum des zweifachen Würfelns umfasst \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Elementarereignisse. 2. Für Teilaufgabe a) wird das Ereignis durch \(4 \le X < 7\) bzw. \(4 \le X \le 6\) beschrieben. Die günstigen Summen sind \(4\) (3 Möglichkeiten: \((1; 3)\), \((2; 2)\), \((3; 1)\)), \(5\) (4 Möglichkeiten: \((1; 4)\), \((2; 3)\), \((3; 2)\), \((4; 1)\)) und \(6\) (5 Möglichkeiten: \((1; 5)\), \((2; 4)\), \((3; 3)\), \((4; 2)\), \((5; 1)\)). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(3 + 4 + 5 = 12\). Damit gilt \(P(4 \le X < 7) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}\). 3. Für Teilaufgabe b) wird das Ereignis durch „\(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}\)“ beschrieben. Die Anzahlen der Möglichkeiten für die einzelnen Summen lauten: \(X=2\) (1), \(X=3\) (2), \(X=5\) (4), \(X=7\) (6), \(X=11\) (2). Die Summe der günstigen Fälle beträgt \(1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}\). 4. Für Teilaufgabe c) lautet die Beschreibung \(X \le 3 \lor X > 10\). Günstige Summen sind \(2\) (1), \(3\) (2), \(11\) (2) und \(12\) (1). Die Anzahl der günstigen Fälle ist \(1 + 2 + 2 + 1 = 6\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\).

a) \(P(4 \le X < 7) = \frac{1}{3}\) b) \(P(X \in \{2, 3, 5, 7, 11\}) = \frac{5}{12}\) c) \(P(X \le 3 \lor X > 10) = \frac{1}{6}\)

- Was gibt die Zufallsgröße bei einem einzelnen Versuchsergebnis als Zahl aus? - Welche konkreten Wurfergebnisse führen zu genau einem Kopf? - Eine Wahrscheinlichkeit ist weder ein Versuchsergebnis noch eine Menge von Versuchsergebnissen.

1. Der mögliche Wert der Zufallsgröße ist die Zahl \(1\). 2. Zum Ereignis \(X=1\) gehören genau die beiden Ergebnisse \(KZ\) und \(ZK\), also \(\{KZ,ZK\}\). 3. Da beim zweimaligen fairen Münzwurf vier gleich wahrscheinliche Ergebnisse auftreten, gilt \(P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\). 4. Ein Wert beschreibt eine mögliche Ausgabe von \(X\), ein Ereignis eine Menge von Versuchsergebnissen und eine Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen \(0\) und \(1\), die diesem Ereignis zugeordnet wird.

Wert der Zufallsgröße: \(1\) Ereignis \(X=1\): \(\{KZ,ZK\}\) Wahrscheinlichkeit: \(P(X=1)=\frac{1}{2}\)

- Welche Punktzahlen sind bei einer einzelnen Aufgabe möglich? - Wie kannst du die möglichen Gesamtsummen systematisch nach der Anzahl der vollständig richtigen Lösungen ordnen? - Welche Summen entstehen, wenn keine, genau eine, genau zwei oder drei Aufgaben vollständig richtig gelöst sind? - Achte darauf, jeden möglichen Wert in der Ergebnismenge nur einmal aufzuführen.

1. Pro Aufgabe sind die Punktzahlen \(0\), \(3\) und \(10\) möglich. 2. Ohne eine \(10\) entstehen die Summen \(0\), \(3\), \(6\) und \(9\). 3. Mit genau einer \(10\) entstehen die Summen \(10\), \(13\) und \(16\). 4. Mit genau zwei \(10\)-Punkte-Bewertungen entstehen \(20\) und \(23\). 5. Bei drei vollständigen Lösungen ergibt sich \(30\). Damit ist die Wertemenge \(W=\{0,3,6,9,10,13,16,20,23,30\}\).

\(W=\{0,3,6,9,10,13,16,20,23,30\}\)

- Was bedeutet die Intervallschreibweise \([5; 8]\) für die möglichen Werte von \(S\)? - Bei Teilaufgabe b) müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein. Welche Summen erfüllen beide? - Manchmal ist es einfacher, die Fälle zu zählen, die NICHT eintreten sollen, und das Ergebnis von 1 abzuziehen. - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Summe \(k\) beim zweifachen Würfeln zunimmt, bis sie bei der Summe 7 ihr Maximum erreicht, und danach wieder abnimmt.

1. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse beim Wurf zweier Würfel ist \(n = 36\). 2. Ereignis a): \(5 \le S \le 8\). Die günstigen Augensummen sind \(5\), \(6\), \(7\) und \(8\). Die Anzahlen der Möglichkeiten für diese Summen lauten: \(S=5\) (4), \(S=6\) (5), \(S=7\) (6), \(S=8\) (5). Gesamtzahl günstiger Fälle: \(4 + 5 + 6 + 5 = 20\). Wahrscheinlichkeit: \(P(5 \le S \le 8) = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}\). 3. Ereignis b): \(S \in \{9, 11\}\). Die ungeraden Summen größer als \(8\) sind \(9\) und \(11\). Möglichkeiten für \(S=9\): \((3; 6)\), \((4; 5)\), \((5; 4)\), \((6; 3)\) (also 4). Möglichkeiten für \(S=11\): \((5; 6)\), \((6; 5)\) (also 2). Gesamtzahl: \(4 + 2 = 6\). Wahrscheinlichkeit: \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\). 4. Ereignis c): \(S \neq 7 \land S \neq 11\). Am einfachsten rechnet man über das Gegenereignis \(S \in \{7, 11\}\). Für die Summe \(7\) gibt es 6 Möglichkeiten, für die Summe \(11\) gibt es 2. Zusammen sind das 8 Möglichkeiten. Es gilt \(P(S \in \{7, 11\}) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist \(1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}\).

a) \(P(5 \le S \le 8) = \frac{5}{9}\) b) \(P(S > 8 \land S \text{ ungerade}) = \frac{1}{6}\) c) \(P(S \notin \{7, 11\}) = \frac{7}{9}\)

- Welche eine Zahl fasst den Ausgang der drei Würfe für beide Fragestellungen sinnvoll zusammen? - Welche kleinste und größte Ausprägung kann diese Zahl annehmen? - Wie hängt die Punktzahl von der gewählten Zahl ab?

1. Eine zweckmäßige Wahl ist \(X=\) „Anzahl der Treffer in den drei Würfen“. 2. Daher ist die Wertemenge \(W_X=\{0,1,2,3\}\). 3. Das Ereignis „mindestens zwei Treffer“ lautet \(X\ge2\). 4. Da jeder Treffer \(2\) Punkte zählt, ist die Punktzahl \(2X\).

Eine geeignete Wahl ist \(X=\) Anzahl der Treffer mit \(W_X=\{0,1,2,3\}\). a) \(X\ge2\) b) Punktzahl \(=2X\)