Kostenlose Arbeitsblätter

- Vergleiche, wie weit die dargestellten Werte jeweils vom gemeinsamen Erwartungswert entfernt liegen. - Größere typische Abstände vom Erwartungswert bedeuten eine größere Streuung.

1. In a) liegt die gesamte Wahrscheinlichkeit bei den Werten \(1\) und \(3\), also jeweils im Abstand \(1\) vom Erwartungswert \(2\). 2. In b) liegt die gesamte Wahrscheinlichkeit bei \(0\) und \(4\), also jeweils im Abstand \(2\) vom Erwartungswert. 3. Die Werte in b) liegen weiter vom Erwartungswert entfernt. Daher ist die Standardabweichung in b) größer.

Verteilung b) hat die größere Standardabweichung.

- Welche der beiden angegebenen Kennzahlen misst die Streuung? - Vergleiche die beiden Standardabweichungen direkt.

1. Die Standardabweichung beschreibt die Streuung um den Erwartungswert. 2. Da \(2{,}1>0{,}8\), streut \(Y\) stärker als \(X\).

\(Y\) streut stärker.

- Welche beiden Parameter beschreiben hier die Anzahl der unabhängigen Treffer? - Welche Kennzahl beschreibt die Lage der Verteilung, welche ihre Streuung? - Prüfe, ob deine Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße besitzt.

1. Es gilt \(n=150\) und \(p=0{,}08\). 2. Der Erwartungswert beträgt \(E(X)=np=150\cdot0{,}08=12\). 3. Die Varianz beträgt \(V(X)=np(1-p)=150\cdot0{,}08\cdot0{,}92=11{,}04\). 4. Daher ist \(\sigma(X)=\sqrt{11{,}04}\approx3{,}32\).

\(E(X)=12\), \(\sigma(X)\approx3{,}32\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat das einzelne Gewinnfeld? - Welche Formeln gelten für Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung? - Der Erwartungswert ist eine langfristige Durchschnittsaussage, nicht die garantierte Trefferzahl einer einzelnen Serie.

1. Es gilt \(p=\frac{1}{10}=0{,}1\) und damit \(X\sim B(80;0{,}1)\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X)=np=80\cdot0{,}1=8\). 3. Die Standardabweichung ist \(\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{80\cdot0{,}1\cdot0{,}9}=\sqrt{7{,}2}\approx2{,}68\). 4. Bei sehr vielen Wiederholungen einer Serie von jeweils \(80\) Drehungen liegt die durchschnittliche Zahl der Hauptgewinne bei \(8\).

\(E(X)=8\), \(\sigma(X)\approx2{,}68\). Der Erwartungswert beschreibt den langfristigen Durchschnitt der Hauptgewinne pro Serie von \(80\) Drehungen.

- Schau dir die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung an. - Überlege, an welcher Stelle der Parameter \(n\) in diesen Formeln steht. - Wie wirkt sich ein Faktor innerhalb einer Quadratwurzel auf das Gesamtergebnis aus? - Was passiert mit einem Produkt, wenn man einen der Faktoren vervielfacht?

1. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße ist durch \(E(X) = n \cdot p\) gegeben. Wenn \(n\) durch \(25 \cdot n\) ersetzt wird, ergibt sich \(E_{neu} = 25 \cdot n \cdot p = 25 \cdot E(X)\). Der Erwartungswert verfünfundzwanzigfacht sich also. 2. Die Standardabweichung ist definiert als \(\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Setzt man den neuen Wert für \(n\) ein, erhält man \(\sigma_{neu} = \sqrt{25 \cdot n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = 5 \cdot \sigma(X)\). Die Standardabweichung verfünffacht sich somit.

Der Erwartungswert verfünfundzwanzigfacht sich (\(25 \cdot E(X)\)) und die Standardabweichung verfünffacht sich (\(5 \cdot \sigma(X)\)).

- Welche Formel berechnet die Varianz bei einer Binomialverteilung? - Wann wird ein Produkt aus mehreren Zahlen genau null? - Was bedeutet eine Varianz von null für die Verteilung der Werte einer Zufallsgröße? - Überlege dir, was passiert, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg entweder \(0\,\%\) oder \(100\,\%\) ist.

1. Aufstellen der Formel für die Varianz einer Binomialverteilung: \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Setzen der Varianz gleich null: \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0\). 3. Da laut Voraussetzung \(n \geq 1\) (und damit \(n \neq 0\)) gilt, muss das Produkt \(p \cdot (1 - p) = 0\) sein. 4. Anwendung des Satzes vom Nullprodukt liefert die Lösungen \(p = 0\) oder \(1 - p = 0\), woraus \(p = 1\) folgt. 5. Interpretation: Wenn \(p = 0\), tritt nie ein Erfolg ein, also ist \(X\) immer \(0\). Wenn \(p = 1\), tritt bei jedem Versuch ein Erfolg ein, also ist \(X\) immer \(n\). In beiden Fällen gibt es keine Zufälligkeit im Ergebnis.

Die Erfolgswahrscheinlichkeit muss \(p = 0\) oder \(p = 1\) sein. Das bedeutet, dass das Ergebnis des Zufallsexperiments nicht mehr schwankt: Bei \(p = 0\) ist das Ergebnis immer \(0\), bei \(p = 1\) ist das Ergebnis immer \(n\).

- Welche Formel verknüpft die Standardabweichung mit der Trefferwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Versuche? - Es ist oft hilfreich, zuerst die Varianz zu betrachten, um die Wurzel in der Formel zu umgehen. - Hast du alle gegebenen Werte korrekt in die Formel eingesetzt? - Wie hängen der Erwartungswert, die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der Versuche zusammen?

1. Anwendung der Formel für die Standardabweichung bei Binomialverteilungen: \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\). 2. Quadrieren der Gleichung zur Berechnung der Varianz: \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\), also \(3^2 = n \cdot 0{,}25 \cdot (1 - 0{,}25)\). 3. Vereinfachen der Gleichung: \(9 = n \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75 \Rightarrow 9 = n \cdot 0{,}1875\). 4. Auflösen nach \(n\): \(n = 9 : 0{,}1875 = 48\). 5. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 48 \cdot 0{,}25 = 12\).

Die Anzahl der Versuche beträgt \(n = 48\) und der Erwartungswert ist \(\mu = 12\).

- Bestimme zuerst den Durchschnittswert (Erwartungswert), den man auf lange Sicht erwarten würde. - Überlege dir dann, wie stark die einzelnen Werte im Quadrat von diesem Durchschnitt abweichen und gewichte dies mit ihren Wahrscheinlichkeiten. - Wie hängen die Streuung in quadrierten Einheiten und die Streuung in der ursprünglichen Einheit zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = 10 \cdot 0{,}4 + 20 \cdot 0{,}3 + 30 \cdot 0{,}2 + 40 \cdot 0{,}1 = 4 + 6 + 6 + 4 = 20\) 2. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (10 - 20)^2 \cdot 0{,}4 + (20 - 20)^2 \cdot 0{,}3 + (30 - 20)^2 \cdot 0{,}2 + (40 - 20)^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}4 + 0 \cdot 0{,}3 + 100 \cdot 0{,}2 + 400 \cdot 0{,}1 = 40 + 0 + 20 + 40 = 100\) 3. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{100} = 10\)

\(\mu = 20\); \(V(X) = 100\); \(\sigma(X) = 10\)

- Welche Werte kann die Zufallsgröße annehmen und wie groß ist ihre jeweilige Wahrscheinlichkeit? - Wie lässt sich der Erwartungswert bei einer Gleichverteilung bestimmen? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(V(X)\) und \(\sigma(X)\)?

1. Alle \(12\) Werte sind gleich wahrscheinlich. Daher ist \(E(X)=\frac{1+2+\dots+12}{12}=\frac{78}{12}=6{,}5\). 2. Weiter gilt \(E(X^2)=\frac{1^2+2^2+\dots+12^2}{12}=\frac{650}{12}=\frac{325}{6}\). 3. Somit ist \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{325}{6}-6{,}5^2=\frac{143}{12}\). 4. Die Standardabweichung beträgt \(\sigma(X)=\sqrt{\frac{143}{12}}\approx3{,}45\).

\(\mu=6{,}5\), \(\sigma\approx3{,}45\)

- Was bedeutet eine Standardabweichung von null für die Streuung? - Welcher einzige Wert ist möglich, wenn gleichzeitig der Erwartungswert bekannt ist? - Welche Wahrscheinlichkeit bleibt dann für einen Gewinn von \(0\,\text{€}\)?

1. Aus \(\sigma(X)=0\) folgt \(V(X)=0\). 2. Eine Varianz von null bedeutet, dass alle möglichen Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit mit dem Erwartungswert übereinstimmen. 3. Wegen \(E(X)=5{,}00\,\text{€}\) gilt daher \(P(X=5)=1\). 4. Insbesondere ist \(P(X=0)=0\); Nieten können nicht enthalten sein.

Jedes Los hat den Gewinnwert \(5\,\text{€}\); \(P(X=5)=1\). Nieten können nicht enthalten sein.

- Wie berechnet man allgemein den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Varianz, dem Erwartungswert der Quadrate und dem Quadrat des Erwartungswerts? - Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(Z) = 5 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = 5 \cdot p\). 2. Berechnung des Erwartungswerts der Quadrate: \(E(Z^2) = 5^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) = 25 \cdot p\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(Z) = E(Z^2) - (E(Z))^2 = 25 \cdot p - (5 \cdot p)^2 = 25 \cdot p - 25 \cdot p^2 = 25 \cdot p \cdot (1 - p)\). 4. Einsetzen von \(p = 0{,}4\) in die Varianzformel: \(V(Z) = 25 \cdot 0{,}4 \cdot (1 - 0{,}4) = 10 \cdot 0{,}6 = 6\). 5. Bestimmung der Standardabweichung: \(\sigma(Z) = \sqrt{V(Z)} = \sqrt{6} \approx 2{,}45\).

a) \(E(Z) = 5 \cdot p\) b) \(V(Z) = 25 \cdot p \cdot (1 - p)\) c) \(\sigma(Z) = \sqrt{6} \approx 2{,}45\)

- Wie hängen Erwartungswert und Varianz bei einer Binomialverteilung mathematisch zusammen? - Setze die gegebenen Werte in die bekannten Formeln ein und löse das Gleichungssystem nach den gesuchten Parametern auf.

Es gelten die Formeln \(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). Durch Einsetzen erhält man \(24 = n \cdot p\) und \(16 = 24 \cdot (1 - p)\). Aus der zweiten Gleichung folgt \(1 - p = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}\), also \(p = \frac{1}{3}\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(24 = n \cdot \frac{1}{3}\), woraus \(n = 72\) folgt.

\(n = 72\); \(p = \frac{1}{3}\)

- Welche Formeln verknüpfen den Erwartungswert und die Standardabweichung mit \(n\) und \(p\)? - Wie lässt sich die Varianz \(\sigma^2\) durch den Erwartungswert \(\mu\) ausdrücken? - Könntest du zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg, also \(1-p\), berechnen? - Überlege, wie du eine der Unbekannten eliminieren kannst, wenn du beide Formeln kombinierst.

a) Für die Teilaufgabe a) wird die Beziehung \(\sigma^2 = \mu \cdot (1-p)\) genutzt. Durch Einsetzen der Werte ergibt sich \(8 = 10 \cdot (1-p)\). Daraus folgt \(1-p = 0{,}8\) und somit \(p = 0{,}2\). Mit \(\mu = n \cdot p\) erhält man \(10 = n \cdot 0{,}2\), was zu \(n = 50\) führt. b) Für die Teilaufgabe b) wird analog vorgegangen: \(\sigma^2 = 16\). Die Gleichung \(16 = 48 \cdot (1-p)\) führt zu \(1-p = \frac{1}{3}\), also \(p = \frac{2}{3}\). Über \(\mu = n \cdot p\) ergibt sich \(48 = n \cdot \frac{2}{3}\), woraus \(n = 72\) folgt.

a) \(n = 50\); \(p = 0{,}2\) b) \(n = 72\); \(p = \frac{2}{3}\)

- Bestimme zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit beim Raten. - Welche Kurzformeln gelten für Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung? - Welche Rolle spielt der Faktor \(n\) in der Varianzformel?

1. Es gilt \(n=10\) und \(p=0{,}25\). 2. Damit ist \(E(X)=10\cdot0{,}25=2{,}5\) und \(V(X)=10\cdot0{,}25\cdot0{,}75=1{,}875\). 3. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{1{,}875}\approx1{,}37\). Sie beschreibt die typische Größenordnung der Abweichung der Trefferzahl vom Erwartungswert. 4. Bei \(n=20\) ist \(V(X)=20\cdot0{,}25\cdot0{,}75=3{,}75\). Bei festem \(p\) ist die Varianz proportional zu \(n\), sie verdoppelt sich also.

a) \(E(X)=2{,}5\), \(V(X)=1{,}875\) b) \(\sigma\approx1{,}37\); typische Abweichung vom Erwartungswert in der Größenordnung von etwa \(1{,}37\) richtigen Antworten c) Die Varianz verdoppelt sich auf \(3{,}75\).

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei drei Versuchen, wenn die Chance jeweils \(50\,\%\) ist? - Erstelle eine kleine Tabelle für die Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses. - Wie weit liegen die einzelnen Werte vom Durchschnitt entfernt? Quadriere diese Abstände. - Vergiss nicht, die quadrierten Abstände mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(\mu = n \cdot p = 3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten \(P(X = k) = \binom{3}{k} \cdot 0{,}5^3\): \(P(X = 0) = 0{,}125\), \(P(X = 1) = 0{,}375\), \(P(X = 2) = 0{,}375\), \(P(X = 3) = 0{,}125\). 3. Berechnung der quadrierten Abweichungen \((k - \mu)^2\): Für \(k = 0\) und \(k = 3\): \((0 - 1{,}5)^2 = (3 - 1{,}5)^2 = 2{,}25\). Für \(k = 1\) und \(k = 2\): \((1 - 1{,}5)^2 = (2 - 1{,}5)^2 = 0{,}25\). 4. Summation zur Varianz: \(V(X) = 2{,}25 \cdot 0{,}125 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 0{,}25 \cdot 0{,}375 + 2{,}25 \cdot 0{,}125 = 0{,}28125 + 0{,}09375 + 0{,}09375 + 0{,}28125 = 0{,}75\).

Die Varianz beträgt \(V(X) = 0{,}75\).

- Der Erwartungswert ist bei beiden Verteilungen bereits gleich. - Vergleiche, wie viel Wahrscheinlichkeit nahe bei \(2\) und wie viel weit davon entfernt liegt. - Für diese Entscheidung musst du die Varianz nicht ausrechnen.

1. In Diagramm I liegt der größte Teil der Wahrscheinlichkeit bei \(2\) und der Rest nur bei den benachbarten Werten \(1\) und \(3\). 2. In Diagramm II liegt die Hälfte der Wahrscheinlichkeit zwar ebenfalls bei \(2\), die übrige Wahrscheinlichkeit liegt aber bei den weiter entfernten Werten \(0\) und \(4\). 3. Größere Abstände vom Erwartungswert führen zu einer größeren Streuung. Daher hat die Verteilung in Diagramm II die größere Standardabweichung.

Die Verteilung in Diagramm II hat die größere Standardabweichung.

- Welche zwei Modellbedingungen sind für eine Bernoulli-Kette entscheidend? - Welche Größe misst die Streuung einer Binomialverteilung um ihren Erwartungswert? - Eine Standardabweichung ist keine Garantie für eine feste Abweichungsgrenze.

1. Für ein Binomialmodell müssen die Rücksendeentscheidungen näherungsweise unabhängig sein und für alle \(30\) Verkäufe dieselbe Rücksendewahrscheinlichkeit \(p=0{,}2\) gelten. 2. Dann ist \(X\sim B(30;0{,}2)\) mit \(E(X)=30\cdot0{,}2=6\). 3. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{30\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=\sqrt{4{,}8}\approx2{,}2\). 4. Die Zahl der Rücksendungen schwankt bei wiederholten vergleichbaren Verkaufstagen typischerweise in einer Größenordnung von etwa \(2{,}2\) um den Erwartungswert \(6\); \(\sigma\) ist keine feste maximale Abweichung.

a) Annähernd gleiche Rücksendewahrscheinlichkeit und hinreichend unabhängige Rücksendeentscheidungen. b) \(\sigma\approx2{,}2\) c) Die Rücksendezahl streut typischerweise in einer Größenordnung von etwa \(2{,}2\) um den Erwartungswert \(6\).

- Für affine Transformationen gilt \(E(aX+b)=aE(X)+b\). - Für die Standardabweichung gilt \(\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)\). - Eine reine Verschiebung verändert die Abstände der Werte untereinander nicht.

1. Für den Erwartungswert gilt \(E(Y)=5E(X)-20=5\cdot12-20=40\). 2. Für die Standardabweichung gilt \(\sigma(Y)=|5|\sigma(X)=5\cdot3=15\). 3. Der Faktor \(5\) vergrößert alle Abstände und damit die Standardabweichung um den Faktor \(5\). Die Verschiebung um \(-20\) verschiebt alle Werte gleich stark und verändert die Streuung nicht.

a) \(E(Y)=40\) b) \(\sigma(Y)=15\) c) Der Faktor \(5\) skaliert Lage und Streuung; die Verschiebung um \(-20\) verändert nur die Lage.

- Welche Ereignisse gehören zu „höchstens eine defekte LED“? - Bestimme zunächst die beiden Parameter des Binomialmodells. - Für Teil c) musst du zusätzlich beachten, dass eine Trefferzahl nur ganzzahlig sein kann.

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}05)\). 2. Für höchstens eine defekte LED gilt \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}95^{20}+20\cdot0{,}05\cdot0{,}95^{19}\approx0{,}7358\). 3. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=20\cdot0{,}05=1\). 4. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{0{,}95}\approx0{,}9747\). 5. Damit ist \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\approx[0{,}0253;1{,}9747]\). Da \(X\) ganzzahlig ist, liegt nur \(1\) in diesem Intervall.

a) \(P(X\le1)\approx0{,}7358\) b) \(\mu=1\), \(\sigma\approx0{,}9747\) c) \(1\)

- Bestimme zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit für „Rot“ bei einer Drehung und prüfe, ob sie bei allen Drehungen gleich bleibt. - Überlege für Teil c), welche ganzzahligen Trefferzahlen tatsächlich außerhalb des Intervalls um den Erwartungswert liegen. - Für die beiden Randbereiche kannst du kumulierte Wahrscheinlichkeiten verwenden.

1. Wegen der unabhängigen Drehungen liegt eine Binomialverteilung mit \(n=12\) und \(p=\frac{1}{3}\) vor. 2. Für genau vier rote Sektoren gilt \(P(Y=4)=\binom{12}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4\left(\frac{2}{3}\right)^8\approx0{,}2384\). 3. Erwartungswert und Standardabweichung sind \(\mu=12\cdot\frac{1}{3}=4\) und \(\sigma=\sqrt{12\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}\approx1{,}6330\). 4. Mehr als eine Standardabweichung bedeutet \(Y<4-\sqrt{\frac{8}{3}}\) oder \(Y>4+\sqrt{\frac{8}{3}}\), also wegen der Ganzzahligkeit \(Y\le2\) oder \(Y\ge6\). 5. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man \(P(Y\le2)\approx0{,}1811\) und \(P(Y\ge6)=1-P(Y\le5)\approx0{,}1777\). 6. Somit ist \(P(|Y-\mu|>\sigma)\approx0{,}1811+0{,}1777=0{,}3588\).

a) \(P(Y=4)\approx0{,}2384\) b) \(\mu=4\), \(\sigma\approx1{,}6330\) c) \(P(|Y-\mu|>\sigma)\approx0{,}3588\)

- Welche Parameter besitzt das Binomialmodell in dieser Situation? - Übersetze „höchstens eine Standardabweichung“ zunächst in ein Zahlenintervall um den Erwartungswert. - Welche ganzen Trefferzahlen liegen tatsächlich in diesem Intervall?

1. Es gilt \(X\sim B(150;0{,}04)\). 2. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=150\cdot0{,}04=6\). 3. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{150\cdot0{,}04\cdot0{,}96}=\sqrt{5{,}76}=2{,}4\). 4. Das Intervall \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]=[3{,}6;8{,}4]\) enthält die ganzzahligen Werte \(4,5,6,7,8\). 5. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners gilt \(P(4\le X\le8)=P(X\le8)-P(X\le3)\approx0{,}7057\).

a) \(\mu=6\), \(\sigma=2{,}4\) b) \(P(4\le X\le8)\approx0{,}7057\)

- Bestimme zuerst Erwartungswert und Standardabweichung der Gewinnanzahl. - Übersetze „mehr als das Doppelte der Standardabweichung“ in zwei Bereiche links und rechts vom Erwartungswert. - Beachte beim Übergang zu Trefferzahlen, dass \(X\) nur ganzzahlige Werte annehmen kann.

1. Für \(X\sim B(80;0{,}25)\) gilt \(\mu=np=20\) und \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{15}\). 2. Die Bedingung \(|X-20|>2\sqrt{15}\) entspricht wegen der Ganzzahligkeit von \(X\) den Ereignissen \(X\le12\) oder \(X\ge28\). 3. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man \(P(X\le12)\approx0{,}0221\) und \(P(X\ge28)=1-P(X\le27)\approx0{,}0295\). 4. Damit beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(X\le12)+P(X\ge28)\approx0{,}0516\).

\(P(|X-20|>2\sigma)\approx0{,}0516\)

- Wie hängen die Standardabweichung und die Anzahl der Versuche mathematisch zusammen? - Wenn das Ergebnis einer Wurzel viermal so groß werden soll, um welchen Faktor muss sich dann die Zahl unter der Wurzel ändern? - Wie ist der Erwartungswert mit der Anzahl der Versuche verknüpft? - Überlege dir die Schritte rückwärts: Von der Änderung der Standardabweichung zur Änderung von \(n\) und dann zur Änderung des Erwartungswerts.

1. Die Standardabweichung ist \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Damit \(\sigma\) den vierfachen Wert annimmt, muss unter der Wurzel der Faktor \(16\) stehen, da \(\sqrt{16} = 4\). Da \(p\) konstant bleibt, muss also \(n\) versechzehnfacht worden sein (\(n_{neu} = 16 \cdot n_{alt}\)). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X) = n \cdot p\). Da \(n\) mit dem Faktor \(16\) multipliziert wurde und \(p\) gleich bleibt, vergrößert sich auch das Produkt \(n \cdot p\) um den Faktor \(16\).

Der Erwartungswert versechzehnfacht sich.

- Vergleiche zuerst die beiden Erwartungswerte, bevor du die Streuungen betrachtest. - Welche Größen bestimmen bei einer binomialverteilten Trefferzahl die Standardabweichung? - Was bedeutet eine kleinere Standardabweichung bei gleichem Erwartungswert?

1. Für Lukas gilt \(\mu_L=80\cdot0{,}6=48\). 2. Für Sarah gilt \(\mu_S=64\cdot0{,}75=48\). Beide Erwartungswerte sind gleich. 3. Lukas hat die Standardabweichung \(\sigma_L=\sqrt{80\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=\sqrt{19{,}2}\approx4{,}38\). 4. Sarah hat die Standardabweichung \(\sigma_S=\sqrt{64\cdot0{,}75\cdot0{,}25}=\sqrt{12}\approx3{,}46\). 5. Da \(\sigma_S<\sigma_L\), schwankt Sarahs Trefferanzahl weniger stark um den gemeinsamen Erwartungswert.

Beide Schützen haben den Erwartungswert \(48\). Für Lukas gilt \(\sigma_L\approx4{,}38\), für Sarah \(\sigma_S\approx3{,}46\). Sarahs Trefferanzahl streut weniger stark.

- Welche Eigenschaften müssen die einzelnen Würfe besitzen, damit eine Bernoulli-Kette vorliegt? - Für „mindestens“ ist häufig das Gegenereignis mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit einfacher. - Beachte bei dem Intervall um den Erwartungswert, dass \(X\) nur ganze Werte annimmt.

1. Für ein Binomialmodell müssen die Würfe als unabhängig angesehen werden können und die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei jedem Wurf gleich bleiben. Dann gilt \(X\sim B(40;0{,}75)\). 2. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man \(P(X\ge35)=1-P(X\le34)\approx0{,}0433\). 3. Erwartungswert und Standardabweichung sind \(\mu=40\cdot0{,}75=30\) und \(\sigma=\sqrt{40\cdot0{,}75\cdot0{,}25}=\sqrt{7{,}5}\approx2{,}7386\). 4. Das Intervall ist näherungsweise \([27{,}2614;32{,}7386]\). Wegen der Ganzzahligkeit von \(X\) ist daher \(28\le X\le32\). 5. Mit der kumulierten Binomialfunktion gilt \(P(28\le X\le32)=P(X\le32)-P(X\le27)\approx0{,}6389\).

a) Unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit; \(n=40\), \(p=0{,}75\) b) \(P(X\ge35)\approx0{,}0433\) c) \(\mu=30\), \(\sigma\approx2{,}7386\) d) \(P(28\le X\le32)\approx0{,}6389\)

- Welche Beziehung verbindet Erwartungswert, Versuchszahl und Trefferwahrscheinlichkeit? - Nachdem du \(n\) bestimmt hast, welche Formel beschreibt die Streuung einer binomialverteilten Zufallsgröße? - Prüfe, ob dein berechneter Stichprobenumfang eine ganze Zahl ist.

1. Aus \(E(X)=np=20\) folgt \(n=\frac{20}{0{,}05}=400\). 2. Für \(n=400\) gilt \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{400\cdot0{,}05\cdot0{,}95}=\sqrt{19}\approx4{,}36\).

a) \(n=400\). b) \(\sigma=\sqrt{19}\approx4{,}36\).

- Kannst du den Erwartungswert berechnen, auch wenn negative Werte vorkommen? - Achte beim Quadrieren der Abweichungen besonders auf die Vorzeichen, falls der Erwartungswert negativ ist. - Welchen Schritt musst du nach der Berechnung der Varianz noch ausführen, um das Maß für die Streuung in der Originaleinheit zu erhalten?

1. Berechnung des Erwartungswerts \(\mu\): \(\mu = (-2) \cdot 0{,}15 + (-1) \cdot 0{,}25 + 0 \cdot 0{,}30 + 1 \cdot 0{,}20 + 2 \cdot 0{,}10 = -0{,}15\). 2. Berechnung der Varianz: \(V(Y) = \sum (y_i - \mu)^2 \cdot P(Y = y_i)\). Damit gilt \(V(Y) = (-1{,}85)^2 \cdot 0{,}15 + (-0{,}85)^2 \cdot 0{,}25 + 0{,}15^2 \cdot 0{,}30 + 1{,}15^2 \cdot 0{,}20 + 2{,}15^2 \cdot 0{,}10\). 3. Die einzelnen Beiträge sind \(0{,}513375\), \(0{,}180625\), \(0{,}00675\), \(0{,}2645\) und \(0{,}46225\). Ihre Summe ist \(V(Y)=1{,}4275\). 4. Die Standardabweichung ist \(\sigma(Y)=\sqrt{1{,}4275}\approx1{,}19478\), also auf zwei Nachkommastellen \(\sigma(Y)\approx1{,}19\).

\(V(Y) = 1{,}4275\); \(\sigma(Y) \approx 1{,}19\)

- Was muss für die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Zufallsgröße gelten? - Wie gewichtet man die Werte einer Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen Varianz und Standardabweichung. - Du kannst die Varianz entweder über die Definition oder mit dem Verschiebungssatz berechnen.

1. Berechnung der fehlenden Wahrscheinlichkeit über die Summennormierung: \(P(X = 10) = 1 - (0{,}1 + 0{,}5 + 0{,}1) = 0{,}3\). 2. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = -10 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}3 + 20 \cdot 0{,}1 = -1 + 0 + 3 + 2 = 4\). 3. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (-10 - 4)^2 \cdot 0{,}1 + (0 - 4)^2 \cdot 0{,}5 + (10 - 4)^2 \cdot 0{,}3 + (20 - 4)^2 \cdot 0{,}1 = 196 \cdot 0{,}1 + 16 \cdot 0{,}5 + 36 \cdot 0{,}3 + 256 \cdot 0{,}1 = 19{,}6 + 8 + 10{,}8 + 25{,}6 = 64\). 4. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{64} = 8\).

a) \(P(X = 10) = 0{,}3\) b) \(E(X) = 4\) c) \(\sigma(X) = 8\)

- Nutze den gegebenen Erwartungswert, um eine Gleichung mit der unbekannten Zahl aufzustellen. - Nach der Bestimmung von \(k\) ist die gesamte Verteilung bekannt. - Welche zweite Momentgröße brauchst du für den Verschiebungssatz der Varianz?

1. Aus dem Erwartungswert folgt \(2\cdot0{,}4+5\cdot0{,}4+k\cdot0{,}2=4{,}4\). 2. Damit gilt \(2{,}8+0{,}2k=4{,}4\), also \(k=8\). 3. Es ist \(E(Y^2)=2^2\cdot0{,}4+5^2\cdot0{,}4+8^2\cdot0{,}2=24{,}4\). 4. Mit dem Verschiebungssatz folgt \(V(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2=24{,}4-4{,}4^2=5{,}04\).

a) \(k=8\) b) \(V(Y)=5{,}04\)

- Stelle zunächst alle möglichen Summen der beiden Ziehungen zusammen. - Beim Ziehen mit Zurücklegen bleiben die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug unverändert. - Welchen Wert brauchst du zuerst, um die Varianz über die Abweichungen zu berechnen?

1. Die möglichen Summen sind \(4\), \(7\) und \(10\). 2. Es gilt \(P(S=4)=\frac{4}{9}\), \(P(S=7)=2\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{2}{6}=\frac{4}{9}\) und \(P(S=10)=\frac{1}{9}\). 3. Daher ist \(E(S)=4\cdot\frac{4}{9}+7\cdot\frac{4}{9}+10\cdot\frac{1}{9}=6\). 4. Die Varianz ist \(V(S)=(4-6)^2\cdot\frac{4}{9}+(7-6)^2\cdot\frac{4}{9}+(10-6)^2\cdot\frac{1}{9}=4\). 5. Somit gilt \(\sigma(S)=\sqrt{4}=2\).

\(E(S)=6\), \(\sigma(S)=2\)

- Notiere zuerst für jedes der sechs Wörter die beiden Merkmalswerte. - Jedes Wort besitzt dieselbe Wahrscheinlichkeit. - Der Verschiebungssatz verbindet \(E(X^2)\), \(E(X)\) und \(V(X)\).

1. Für \(X\) ergeben sich die Werte \(10,3,3,10,3,10\). Daher ist \(E(X)=\frac{39}{6}=6{,}5\) und \(E(X^2)=\frac{327}{6}=54{,}5\). 2. Damit folgt \(V(X)=54{,}5-6{,}5^2=12{,}25\). 3. Für \(Y\) ergeben sich die Vokalzahlen \(3,1,2,5,1,4\). Daher ist \(E(Y)=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\) und \(E(Y^2)=\frac{56}{6}=\frac{28}{3}\). 4. Somit ist \(V(Y)=\frac{28}{3}-\left(\frac{8}{3}\right)^2=\frac{20}{9}\).

\(E(X)=6{,}5\), \(V(X)=12{,}25\) \(E(Y)=\frac{8}{3}\), \(V(Y)=\frac{20}{9}\)

- Notiere für jedes Produkt zuerst die Werte von \(X\) und \(Y\). - Da jedes Produkt gleich wahrscheinlich ist, sind die Erwartungswerte arithmetische Mittel der fünf Merkmalswerte. - Wie erhältst du die Varianz aus dem Erwartungswert der Quadrate?

1. Die fünf gleichwahrscheinlichen Wertepaarungen sind A10: \((2;1)\), B200: \((3;2)\), C30: \((2;3)\), D4000: \((4;4)\), E50: \((2;5)\). 2. Für \(X\) gilt \(E(X)=\frac{2+3+2+4+2}{5}=2{,}6\) und \(E(X^2)=\frac{4+9+4+16+4}{5}=7{,}4\). Daher ist \(V(X)=7{,}4-2{,}6^2=0{,}64\). 3. Für \(Y\) gilt \(E(Y)=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3\) und \(E(Y^2)=\frac{1+4+9+16+25}{5}=11\). Daher ist \(V(Y)=11-3^2=2\).

\(E(X)=2{,}6\), \(V(X)=0{,}64\) \(E(Y)=3\), \(V(Y)=2\)

- Wie berechnet man den gewichteten Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung? - Welche Größe musst du vor der Standardabweichung bestimmen? - Welche ganzzahligen Werte liegen tatsächlich über dem Erwartungswert \(1{,}2\)?

1. Es ist \(E(X)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}5+2\cdot0{,}2+3\cdot0{,}1=1{,}2\). Langfristig werden damit im Mittel \(1{,}2\) Kaffeestückchen pro Kunde verkauft. 2. Die Varianz ist \(V(X)=(0-1{,}2)^2\cdot0{,}2+(1-1{,}2)^2\cdot0{,}5+(2-1{,}2)^2\cdot0{,}2+(3-1{,}2)^2\cdot0{,}1=0{,}76\). 3. Damit gilt \(\sigma(X)=\sqrt{0{,}76}\approx0{,}8718\). 4. Da \(E(X)=1{,}2\), bedeutet \(X>E(X)\) hier \(X\in\{2,3\}\). Somit ist \(P(X>E(X))=0{,}2+0{,}1=0{,}3\).

a) \(E(X)=1{,}2\); langfristig durchschnittlich \(1{,}2\) Kaffeestückchen pro Kunde b) \(\sigma(X)\approx0{,}8718\) c) \(P(X>E(X))=0{,}3\)

- Was muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergeben? - Wie lässt sich aus dem Erwartungswert pro Kunde ein erwarteter Gesamtbetrag bestimmen? - Welcher Zusammenhang verbindet \(E(Y^2)\), \(E(Y)\) und \(V(Y)\)?

1. Aus der Normierung folgt \(p=1-(0{,}4+0{,}2+0{,}1)=0{,}3\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(Y)=0\cdot0{,}3+2\cdot0{,}4+5\cdot0{,}2+10\cdot0{,}1=2{,}8\,\text{€}\). 3. Die erwarteten Gesamtkosten betragen \(500\cdot2{,}80\,\text{€}=1400\,\text{€}\). 4. Es gilt \(E(Y^2)=0^2\cdot0{,}3+2^2\cdot0{,}4+5^2\cdot0{,}2+10^2\cdot0{,}1=16{,}6\,\text{€}^2\). 5. Daher ist \(V(Y)=16{,}6-(2{,}8)^2=8{,}76\,\text{€}^2\) und \(\sigma(Y)=\sqrt{8{,}76}\,\text{€}\approx2{,}96\,\text{€}\).

a) \(p=0{,}3\) b) \(E(Y)=2{,}80\,\text{€}\); erwartete Gesamtkosten: \(1400\,\text{€}\) c) \(V(Y)=8{,}76\,\text{€}^2\), \(\sigma(Y)\approx2{,}96\,\text{€}\)

- Welche Gleichung liefert die Summe aller Wahrscheinlichkeiten? - Welche zweite Gleichung folgt aus dem gegebenen Erwartungswert? - Wie kannst du anschließend den Verschiebungssatz zur Varianz verwenden?

1. Aus der Normierung folgt \(p_1+p_2=0{,}7\). 2. Aus dem Erwartungswert folgt \(4\cdot0{,}3+10p_2=5{,}2\), also \(p_2=0{,}4\). 3. Damit ist \(p_1=0{,}3\). 4. Es gilt \(E(X^2)=0^2\cdot0{,}3+4^2\cdot0{,}3+10^2\cdot0{,}4=44{,}8\). 5. Somit ist \(V(X)=44{,}8-5{,}2^2=17{,}76\).

a) \(p_1=0{,}3\), \(p_2=0{,}4\) b) \(V(X)=17{,}76\)

- Stelle zwei Gleichungen für die zwei gesuchten Wahrscheinlichkeiten auf. - Welche Information liefert dir die Summe aller Wahrscheinlichkeiten? - Nutze die Definition des Erwartungswerts für die zweite Gleichung. - Wie hängen Varianz und Standardabweichung mathematisch zusammen?

1. Definition der Unbekannten \(p_1 = P(Y = -2)\) und \(p_2 = P(Y = 4)\). 2. Aufstellen des linearen Gleichungssystems: (I) \(p_1 + p_2 = 0{,}6\) (da die Gesamtsumme \(1\) sein muss und \(P(Y=0)=0{,}4\) abgezogen wird) und (II) \(-2 \cdot p_1 + 0 \cdot 0{,}4 + 4 \cdot p_2 = -0{,}6\). 3. Lösen des Systems: Aus (II) folgt \(-2 \cdot p_1 + 4 \cdot p_2 = -0{,}6\). Addition von \(2 \cdot \text{(I)}\) liefert \(6 \cdot p_2 = 0{,}6\), also \(p_2 = 0{,}1\). Einsetzen ergibt \(p_1 = 0{,}5\). 4. Berechnung der Varianz \(V(Y) = E(Y^2) - \mu^2\): \(E(Y^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}5 + 0^2 \cdot 0{,}4 + 4^2 \cdot 0{,}1 = 2{,}0 + 0 + 1{,}6 = 3{,}6\). 5. \(V(Y) = 3{,}6 - (-0{,}6)^2 = 3{,}6 - 0{,}36 = 3{,}24\). 6. Berechnung der Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{3{,}24} = 1{,}8\).

a) \(P(Y = -2) = 0{,}5\) und \(P(Y = 4) = 0{,}1\) b) \(\sigma = 1{,}8\)

- Bestimme zuerst den Erwartungswert in Abhängigkeit von \(p\). - Setze die beiden möglichen Werte in die Definition der Varianz ein. - Wann kann eine Summe nichtnegativer Abweichungsquadrate gleich null sein?

1. Es ist \(E(X)=10p+20(1-p)=20-10p\). 2. Aus der Definition folgt \(V(X)=p(10-(20-10p))^2+(1-p)(20-(20-10p))^2\). 3. Vereinfachen ergibt \(V(X)=100p(1-p)\). 4. Die Gleichung \(100p(1-p)=0\) liefert \(p=0\) oder \(p=1\). 5. In beiden Fällen nimmt \(X\) genau einen Wert mit Wahrscheinlichkeit \(1\) an; daher gibt es keine Streuung.

a) \(V(X)=100p(1-p)\) b) \(p=0\) oder \(p=1\) c) Die Varianz ist null, wenn die Zufallsgröße konstant ist.

- Überlege dir, wie sich das Ziehen einer Wurzel auf Zahlen auswirkt, die zwischen 0 und 1 liegen. - Wann ist das Quadrat einer Zahl kleiner als die Zahl selbst? - Erinnere dich an die Definition der Varianz für diskrete Zufallsgrößen. - Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus, um eine allgemeine Behauptung zu widerlegen.

1. Die Aussage über die Wurzelfunktion ist falsch: Für \(x>1\) gilt \(\sqrt{x}<x\), für \(x=1\) gilt \(\sqrt{x}=x\), und für \(0<x<1\) gilt \(\sqrt{x}>x\). 2. Da \(\sigma=\sqrt{V}\), gilt für die Zahlenwerte \(\sigma>V\) genau dann, wenn \(0<V<1\). Bei einer Zufallsgröße mit Einheit besitzt die Varianz jedoch die quadrierte Einheit, während die Standardabweichung die ursprüngliche Einheit besitzt; ein unmittelbarer Größenvergleich ist dann nicht einheitenunabhängig. 3. Für das dimensionslose Beispiel ist \(E(X)=0\cdot0{,}5+1\cdot0{,}5=0{,}5\). Die Varianz ist \(V(X)=(0-0{,}5)^2\cdot0{,}5+(1-0{,}5)^2\cdot0{,}5=0{,}25\). 4. Die Standardabweichung ist \(\sigma(X)=\sqrt{0{,}25}=0{,}5\). Somit gilt zahlenmäßig \(0{,}5>0{,}25\), und die Behauptung ist widerlegt.

a) Die Aussage ist für Zahlenwerte falsch: \(\sigma>V\) gilt genau für \(0<V<1\). Bei Größen mit Einheit haben Varianz und Standardabweichung unterschiedliche Einheiten, sodass ein direkter Vergleich nicht einheitenunabhängig ist. b) \(V(X)=0{,}25\) und \(\sigma(X)=0{,}5\); damit ist zahlenmäßig \(\sigma(X)>V(X)\).

- Was berechnet man, wenn man jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Ergebnisse addiert? - Überlege dir, was die Differenz zwischen einem Einzelwert und dem Durchschnitt über die Verteilung aussagt. - Wie nennt man die Kennzahl, die die mittlere quadratische Abweichung vom Durchschnitt beschreibt? - Denke bei der Interpretation an Begriffe wie „langfristiger Durchschnitt“ und „Risiko“ oder „Schwankung“.

1. Berechnung von \(S_1\): \(S_1 = (-5) \cdot 0{,}2 + 0 \cdot 0{,}3 + 10 \cdot 0{,}4 + 20 \cdot 0{,}1 = -1 + 0 + 4 + 2 = 5\,\text{Tsd. €}\). 2. Berechnung von \(S_2\): \(S_2 = (-5-5)^2 \cdot 0{,}2 + (0-5)^2 \cdot 0{,}3 + (10-5)^2 \cdot 0{,}4 + (20-5)^2 \cdot 0{,}1 = 100 \cdot 0{,}2 + 25 \cdot 0{,}3 + 25 \cdot 0{,}4 + 225 \cdot 0{,}1 = 20 + 7{,}5 + 10 + 22{,}5 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\). 3. Interpretation: \(S_1 = 5\,\text{Tsd. €}\) stellt den Erwartungswert dar, also den durchschnittlichen Gewinn von \(5000\,\text{€}\), den das Unternehmen pro Projekt auf lange Sicht erwartet. \(S_2 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\) ist die Varianz, ein Maß für die Streuung der tatsächlichen Gewinne um diesen Erwartungswert, also für das finanzielle Risiko des Projekts.

\(S_1 = 5\,\text{Tsd. €}\); \(S_2 = 60\,(\text{Tsd. €})^2\). \(S_1\) ist der Erwartungswert (durchschnittlicher Gewinn von \(5000\,\text{€}\)). \(S_2\) ist die Varianz (Maß für die Streuung bzw. das Risiko).

- Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe der Produkte aus Werten und Wahrscheinlichkeiten dem gegebenen Durchschnitt entspricht? - Denke daran, dass alle Wahrscheinlichkeiten zusammen \(1\) ergeben müssen, was hier bereits erfüllt ist. - Sobald du den fehlenden Wert gefunden hast, nutze die Formel für die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert. - Achte darauf, im letzten Schritt die Quadrate der Abstände zum Erwartungswert korrekt mit den Wahrscheinlichkeiten zu gewichten.

1. Aufstellen der Gleichung für den Erwartungswert in Euro: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}4 + a \cdot 0{,}1 = 4\). 2. Berechnung von \(a\): \(2 + 0{,}1 \cdot a = 4 \Rightarrow 0{,}1 \cdot a = 2 \Rightarrow a = 20\). Der dritte Auszahlungsbetrag beträgt damit \(20\,\text{€}\). 3. Berechnung der Varianz mit \(E(X) = 4\,\text{€}\): \(V(X) = (0 - 4)^2 \cdot 0{,}5 + (5 - 4)^2 \cdot 0{,}4 + (20 - 4)^2 \cdot 0{,}1\). 4. Ausrechnen der Terme: \(V(X) = 16 \cdot 0{,}5 + 1 \cdot 0{,}4 + 256 \cdot 0{,}1 = 34\,\text{€}^2\).

\(a = 20\); die Varianz beträgt \(34\,\text{€}^2\).

- Stelle zuerst einen Term für die Varianz in Abhängigkeit von \(p\) auf. - Überlege dir, warum es ausreicht, das Maximum der Varianz zu suchen, anstatt direkt mit der Standardabweichung zu rechnen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, den höchsten Punkt einer Funktion zu finden? - In welchem Bereich muss der Wert für eine Wahrscheinlichkeit \(p\) liegen?

1. Aufstellen der Varianzfunktion in Abhängigkeit von \(p\): \(V(p) = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1 - p) - p^2 = p - p^2\). 2. Da die Standardabweichung \(\sigma(p) = \sqrt{V(p)}\) für nichtnegative Argumente streng monoton wächst, liegt ihr Maximum an derselben Stelle wie das Maximum der Varianz. 3. Ableiten der Varianzfunktion: \(V'(p) = 1 - 2p\). 4. Bestimmung der Extremstelle durch Nullsetzen der ersten Ableitung: \(1 - 2p = 0 \Rightarrow p = 0{,}5\). 5. Überprüfung der Art des Extremums: Die zweite Ableitung \(V''(p) = -2\) ist negativ, folglich liegt ein lokales Maximum vor. 6. Da die Randwerte \(V(0) = 0\) und \(V(1) = 0\) kleiner sind als \(V(0{,}5) = 0{,}25\), ist \(p = 0{,}5\) die globale Maximalstelle im Intervall \([0; 1]\).

\(p = 0{,}5\)

- Welche Gleichung folgt aus der Summe aller Wahrscheinlichkeiten? - Wie liefern Erwartungswert und Varianz zwei weitere Gleichungen? - Der Verschiebungssatz kann die Varianzbedingung in eine Bedingung für \(E(X^2)\) umformen.

1. Mit \(p_1=P(X=2)\), \(p_2=P(X=4)\) und \(p_3=P(X=6)\) gilt \(p_1+p_2+p_3=1\). 2. Aus dem Erwartungswert folgt \(2p_1+4p_2+6p_3=4{,}2\). 3. Wegen \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\) ist \(E(X^2)=1{,}16+4{,}2^2=18{,}8\). Also gilt \(4p_1+16p_2+36p_3=18{,}8\). 4. Lösen dieses linearen Gleichungssystems ergibt \(p_3=0{,}2\), \(p_2=0{,}7\) und \(p_1=0{,}1\).

\(P(X=2)=0{,}1\), \(P(X=4)=0{,}7\), \(P(X=6)=0{,}2\)

- Nutze zuerst die Normierungsbedingung. - Wie lässt sich aus \(V(X)\) und \(E(X)\) der Wert von \(E(X^2)\) bestimmen? - Die Symmetrie reduziert die Zahl der unbekannten Wahrscheinlichkeiten.

1. Aus der Normierung folgt \(2p+2q+0{,}2=1\), also \(p+q=0{,}4\). 2. Mit \(V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\) ist \(E(X^2)=2{,}48+3^2=11{,}48\). 3. Andererseits gilt \(E(X^2)=1^2p+2^2q+3^2\cdot0{,}2+4^2q+5^2p=26p+20q+1{,}8\). 4. Mit \(q=0{,}4-p\) folgt \(26p+20(0{,}4-p)+1{,}8=11{,}48\), also \(p=0{,}28\). 5. Damit ist \(q=0{,}12\).

\(p=0{,}28\), \(q=0{,}12\)

- Du brauchst drei unabhängige Gleichungen für die drei Wahrscheinlichkeiten. - Welche Gleichungen liefern Normierung, Erwartungswert und Varianz? - Der Verschiebungssatz vereinfacht die Varianzbedingung.

1. Es gelten \(a+b+c=1\) und aus dem Erwartungswert \(-2a+2c=0{,}4\), also \(c-a=0{,}2\). 2. Mit \(V(Z)=E(Z^2)-(E(Z))^2\) folgt \(4a+4c-0{,}16=2{,}24\), also \(a+c=0{,}6\). 3. Aus \(c-a=0{,}2\) und \(a+c=0{,}6\) erhält man \(c=0{,}4\) und \(a=0{,}2\). 4. Damit ist \(b=1-a-c=0{,}4\).

\(a=0{,}2\), \(b=0{,}4\), \(c=0{,}4\)

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, zwei Kugeln aus den fünf vorhandenen auszuwählen. - Liste alle Paare auf, die zu einer bestimmten Summe führen, und achte darauf, wie oft jede Zahl in der Urne vorkommt. - Für den Erwartungswert multiplizierst du jeden Wert der Zufallsgröße mit seiner Wahrscheinlichkeit und summierst die Ergebnisse. - Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten: Es gibt \(\binom{5}{2} = 10\) gleichwahrscheinliche Paare von Kugeln. 2. Identifikation der möglichen Summen \(x_i\) und ihrer Häufigkeiten: - \(X = 2\): Kombination \((1,1)\) tritt \(1\)-mal auf. \(P(X = 2) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). - \(X = 3\): Kombinationen \((1,2)\) treten \(2\)-mal auf (zwei verschiedene 1er-Kugeln). \(P(X = 3) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). - \(X = 4\): Kombinationen \((1,3)\) treten \(2 \cdot 2 = 4\)-mal auf. \(P(X = 4) = \frac{4}{10} = 0{,}4\). - \(X = 5\): Kombinationen \((2,3)\) treten \(1 \cdot 2 = 2\)-mal auf. \(P(X = 5) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). - \(X = 6\): Kombination \((3,3)\) tritt \(1\)-mal auf. \(P(X = 6) = \frac{1}{10} = 0{,}1\). 3. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}4 + 5 \cdot 0{,}2 + 6 \cdot 0{,}1 = 0{,}2 + 0{,}6 + 1{,}6 + 1{,}0 + 0{,}6 = 4{,}0\). 4. Berechnung der Varianz: \(V(X) = (2-4)^2 \cdot 0{,}1 + (3-4)^2 \cdot 0{,}2 + (4-4)^2 \cdot 0{,}4 + (5-4)^2 \cdot 0{,}2 + (6-4)^2 \cdot 0{,}1 = 4 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}2 + 0 + 1 \cdot 0{,}2 + 4 \cdot 0{,}1 = 1{,}2\).

a) Wahrscheinlichkeitsverteilung: <table border="1"> <tr> <td>\(x_i\)</td> <td>2</td> <td>3</td> <td>4</td> <td>5</td> <td>6</td> </tr> <tr> <td>\(P(X = x_i)\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}4\)</td> <td>\(0{,}2\)</td> <td>\(0{,}1\)</td> </tr> </table> b) \(E(X) = 4\); \(V(X) = 1{,}2\)

- Übersetze „mehr als 6“ sorgfältig in eine Ungleichung für \(Y\). - Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung, bevor du das zweite Ereignis in Trefferzahlen übersetzt. - Welche ganzen Zahlen liegen tatsächlich innerhalb des Intervalls?

1. Es gilt \(Y\sim B(80;0{,}05)\). Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man \(P(Y>6)=1-P(Y\le6)\approx0{,}1053\). 2. Der Erwartungswert beträgt \(\mu=80\cdot0{,}05=4\), die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{80\cdot0{,}05\cdot0{,}95}=\sqrt{3{,}8}\). 3. Das Intervall \([4-\sqrt{3{,}8};4+\sqrt{3{,}8}]\) enthält genau die ganzzahligen Werte \(3\), \(4\) und \(5\). 4. Mit der kumulierten Binomialfunktion gilt \(P(3\le Y\le5)=P(Y\le5)-P(Y\le2)\approx0{,}5586\).

1. \(P(Y>6)\approx0{,}1053\) 2. \(P(3\le Y\le5)\approx0{,}5586\)

- Wie groß ist die Trefferwahrscheinlichkeit beim reinen Raten? - Wie hängen die beiden Zählvariablen \(X\) und \(Y\) zusammen? - Für „mindestens zehn“ kann das Gegenereignis „höchstens neun“ verwendet werden.

1. Es gilt \(X\sim B(30;0{,}25)\) und \(Y\sim B(30;0{,}75)\). 2. Daher sind \(E(X)=30\cdot0{,}25=7{,}5\) und \(E(Y)=30\cdot0{,}75=22{,}5\). 3. Für beide Variablen ist \(V=30\cdot0{,}25\cdot0{,}75=5{,}625\), also \(\sigma(X)=\sigma(Y)=\sqrt{5{,}625}\approx2{,}3717\). 4. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man \(P(X\ge10)=1-P(X\le9)\approx0{,}1966\).

a) \(E(X)=7{,}5\), \(E(Y)=22{,}5\), \(\sigma(X)=\sigma(Y)\approx2{,}3717\) b) \(P(X\ge10)\approx0{,}1966\)

- Welche Form hat die Varianzfunktion als Funktion von \(p\)? - Wo liegt der Scheitelpunkt dieser Parabel? - Für den zweiten Teil musst du aus den reellen Intervallgrenzen die zulässigen ganzen Trefferzahlen bestimmen.

1. Die Varianzfunktion \(V(p)=200p(1-p)\) ist eine nach unten geöffnete Parabel mit ihrem Maximum bei \(p=0{,}5\). Dann ist \(V=50\) und \(\sigma=\sqrt{50}\approx7{,}07\). 2. Für \(p=0{,}15\) gilt \(\mu=200\cdot0{,}15=30\) und \(V(X)=200\cdot0{,}15\cdot0{,}85=25{,}5\). 3. Daher ist \(\sigma=\sqrt{25{,}5}\approx5{,}05\). 4. Das Intervall \([30-\sqrt{25{,}5};30+\sqrt{25{,}5}]\) enthält die ganzen Zahlen \(25\) bis \(35\).

1. \(p=0{,}5\), \(\sigma\approx7{,}07\) 2. \(\mu=30\), \(\sigma\approx5{,}05\), \(k\in\{25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35\}\)

- Bestimme zuerst Lage und Streuung der Binomialverteilung. - Welche ganzen Zahlen liegen im reellen Intervall um den Erwartungswert? - Eine Intervallwahrscheinlichkeit kann als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten geschrieben werden.

1. Es ist \(\mu=np=20\) und \(V(X)=np(1-p)=12\), also \(\sigma=\sqrt{12}\approx3{,}46\). 2. Das Intervall \([20-\sqrt{12};20+\sqrt{12}]\) enthält die ganzzahligen Werte \(17,18,19,20,21,22,23\). 3. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners gilt \(P(17\le X\le23)=P(X\le23)-P(X\le16)\approx0{,}6877\).

1. \(\mu=20\), \(\sigma\approx3{,}46\) 2. \(k\in\{17,18,19,20,21,22,23\}\) 3. \(P(|X-\mu|\le\sigma)\approx0{,}6877\)

- Bestimme zuerst Erwartungswert und Standardabweichung. - Welche ganzzahligen Trefferzahlen liegen außerhalb der reellen Intervallgrenzen? - Die Außenwahrscheinlichkeit besteht aus einem linken und einem rechten Randbereich.

1. Es gilt \(X\sim B(400;0{,}05)\), also \(\mu=20\) und \(\sigma=\sqrt{400\cdot0{,}05\cdot0{,}95}=\sqrt{19}\). Damit ist \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\approx[11{,}28;28{,}72]\). 2. Wegen der Ganzzahligkeit bedeutet „außerhalb“ die Ereignisse \(X\le11\) oder \(X\ge29\). 3. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man \(P(X\le11)\approx0{,}019046\) und \(P(X\ge29)=1-P(X\le28)\approx0{,}030705\). Somit ist \(P(|X-\mu|>2\sigma)\approx0{,}0498\). 4. Also liegen ungefähr \(5{,}0\,\%\) der Ergebnisse außerhalb und ungefähr \(95{,}0\,\%\) innerhalb dieses Bereichs.

1. \([11{,}28;28{,}72]\) 2. \(P(|X-\mu|>2\sigma)\approx0{,}0498\) 3. Etwa \(5{,}0\,\%\) liegen außerhalb und etwa \(95{,}0\,\%\) innerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls.

- Welche Formeln kennst du für den Erwartungswert und die Varianz einer Binomialverteilung? - Kannst du die Bedingung „die Varianz ist \(60\,\%\) des Erwartungswerts“ als mathematische Gleichung schreiben? - Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Überlege, welche Variable sich direkt aus dem Verhältnis von Varianz zu Erwartungswert berechnen lässt.

1. Aufstellen der Formeln für den Erwartungswert \(E(X) = n \cdot p\) und die Varianz \(V(X) = n \cdot p \cdot (1 - p)\). 2. Einsetzen in die gegebene Bedingung \(V(X) = 0{,}6 \cdot E(X)\) ergibt \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 0{,}6 \cdot n \cdot p\). 3. Durch Division beider Seiten durch \(n \cdot p\) (da \(n > 0\) und \(0 < p < 1\)) erhält man \(1 - p = 0{,}6\). Daraus folgt \(p = 0{,}4\). 4. Verwendung der Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{6}\) zur Bestimmung der Varianz: \(V(X) = \sigma^2 = 6\). 5. Einsetzen der Varianz in den Zusammenhang aus der Aufgabenstellung: \(6 = 0{,}6 \cdot E(X) \implies E(X) = 10\). 6. Auflösen der Formel für den Erwartungswert nach \(n\): \(10 = n \cdot 0{,}4 \implies n = 25\).

a) \(p = 0{,}4\) b) \(n = 25\)

- Welche zwei Gleichungen liefern Erwartungswert und Varianz einer Binomialverteilung? - Dividiere oder setze die Gleichungen so ein, dass zunächst \(p\) bestimmt werden kann. - Im zweiten Teil ist eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit gesucht.

1. Aus \(np=15\) und \(np(1-p)=12{,}75\) folgt \(15(1-p)=12{,}75\). 2. Damit ist \(p=0{,}15\) und anschließend \(n=15:0{,}15=100\). 3. Für genau den Erwartungswert gilt \(P(X=15)=\binom{100}{15}0{,}15^{15}0{,}85^{85}\approx0{,}1111\).

a) \(n=100\), \(p=0{,}15\) b) \(P(X=15)\approx0{,}1111\)

- Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen? - Stelle ein Gleichungssystem mit den Parametern \(n\) und \(p\) auf. - Überlege dir, wie die Wahrscheinlichkeit \(p\) mit der Anzahl der Sektoren \(k\) zusammenhängt, wenn nur ein Sektor gewinnt.

1. Die Varianz berechnet sich aus der Standardabweichung: \(\sigma^2 = 2^2 = 4\). 2. Unter Verwendung von \(\mu = n \cdot p = 5\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 4\) folgt durch Division oder Einsetzen: \(5 \cdot (1 - p) = 4\). 3. Berechnung von \(p\): \(1 - p = 0{,}8 \implies p = 0{,}2\). 4. Berechnung von \(n\): \(n \cdot 0{,}2 = 5 \implies n = 25\). 5. Da ein Sektor von \(k\) Sektoren ein Gewinn ist, gilt \(p = \frac{1}{k}\). Daraus folgt \(\frac{1}{k} = 0{,}2 \implies k = 5\).

\(n = 25\); \(k = 5\)

- Welche Formeln verknüpfen \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du den Ausdruck für den Erwartungswert in der Formel für die Varianz wiederfinden? - Was bedeutet „proportional“ im mathematischen Sinne für die Form einer Funktionsgleichung? - Überlege, wie sich eine Wurzel auf das Wachstumsverhalten einer Größe auswirkt.

1. Aufstellen des Gleichungssystems mit den Formeln für Erwartungswert und Varianz: \(n \cdot p = 12\) und \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 9\). 2. Substitution von \(n \cdot p\) in der Varianzformel: \(12 \cdot (1 - p) = 9\). 3. Lösen nach \(p\): \(1 - p = 0{,}75 \implies p = 0{,}25\). 4. Einsetzen von \(p\) in den Erwartungswert: \(n \cdot 0{,}25 = 12 \implies n = 48\). 5. Analyse der Proportionalität: Da \(p\) konstant ist, ist auch der Faktor \(k = p \cdot (1 - p)\) konstant. Wegen \(0 < p < 1\) gilt \(k > 0\). Somit ist \(V(n) = k \cdot n\) eine lineare Funktion durch den Ursprung, was direkt proportionales Wachstum bedeutet. 6. Verhalten der Standardabweichung: Da \(\sigma = \sqrt{V(X)} = \sqrt{k \cdot n} = \sqrt{k} \cdot \sqrt{n}\), wächst die Standardabweichung nicht proportional zu \(n\), sondern proportional zur Wurzel aus \(n\).

a) \(p = 0{,}25\) und \(n = 48\). b) Die Varianz wächst proportional zu \(n\), da \(V(X) = (p \cdot (1-p)) \cdot n\) eine lineare Form \(y = m \cdot x\) mit \(m > 0\) hat. Die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{p \cdot (1-p)} \cdot \sqrt{n}\) wächst hingegen nur mit der Wurzel des Stichprobenumfangs \(\sqrt{n}\).

- Bestimme zunächst Erwartungswert und Standardabweichung. - Welche ganzen Zahlen liegen im reellen \(2\sigma\)-Intervall? - Schreibe die Intervallwahrscheinlichkeit als Differenz kumulierter Wahrscheinlichkeiten.

1. Es gilt \(\mu=80\cdot0{,}2=16\) und \(\sigma=\sqrt{80\cdot0{,}2\cdot0{,}8}=\sqrt{12{,}8}\). 2. Damit ist \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\approx[8{,}84;23{,}16]\). Die möglichen ganzzahligen Trefferzahlen sind \(9,10,\dots,23\). 3. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners gilt \(P(9\le X\le23)=P(X\le23)-P(X\le8)\approx0{,}9652\).

a) \([8{,}84;23{,}16]\); Trefferzahlen \(9\) bis \(23\) b) \(P(9\le X\le23)\approx0{,}9652\)

- Bestimme zunächst Lage und Streuung der Trefferzahl. - Welche ganzzahligen Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Erwartungswert? - Wie wird eine absolute Trefferzahl in eine relative Häufigkeit umgerechnet?

1. Es ist \(\mu=500\cdot0{,}04=20\) und \(\sigma=\sqrt{500\cdot0{,}04\cdot0{,}96}=\sqrt{19{,}2}\approx4{,}38\). 2. Aus \(|Y-20|\le\sqrt{19{,}2}\) folgt wegen der Ganzzahligkeit \(16\le Y\le24\). 3. Die kleinste relative Häufigkeit ist \(\frac{16}{500}=0{,}032=3{,}2\,\%\), die größte \(\frac{24}{500}=0{,}048=4{,}8\,\%\).

a) \(\mu=20\), \(\sigma\approx4{,}38\) b) kleinste relative Häufigkeit: \(3{,}2\,\%\); größte: \(4{,}8\,\%\)

- Bestimme Erwartungswert und Standardabweichung des Binomialmodells. - Vergleiche die beobachtete Zahl mit der oberen Grenze \(\mu+2\sigma\). - Die vorgegebene Regel ist eine Klassifikationsregel, kein Signifikanztest.

1. Für \(X\sim B(50;0{,}30)\) gilt \(\mu=15\) und \(\sigma=\sqrt{50\cdot0{,}30\cdot0{,}70}=\sqrt{10{,}5}\). 2. Die obere Grenze der \(2\sigma\)-Umgebung ist \(15+2\sqrt{10{,}5}\). Da \(22>15+2\sqrt{10{,}5}\), liegt \(22\) außerhalb der Umgebung. 3. Nach der vorgegebenen Regel gilt das Ergebnis daher als außergewöhnlich. Daraus folgt noch keine Aussage über statistische Signifikanz im Sinne eines Signifikanztests.

Ja. \(22\) liegt außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung und gilt nach der vorgegebenen Regel als außergewöhnlich.

- Bestimme zunächst den Erwartungswert der binomialverteilten Anzahl. - Welche Standardabweichung gehört zu \(n=100\) und \(p=0{,}20\)? - Gehe vom Erwartungswert zweimal diese Standardabweichung nach unten und nach oben.

1. Für \(X\sim B(100;0{,}20)\) gilt \(\mu=np=100\cdot0{,}20=20\). 2. Die Standardabweichung beträgt \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{100\cdot0{,}20\cdot0{,}80}=4\). 3. Die \(2\sigma\)-Umgebung ist \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]=[20-8;20+8]=[12;28]\). 4. Damit gelten nach der vorgegebenen Regel Trefferzahlen von \(12\) bis \(28\) einschließlich als mit dem Modell verträglich.

Nach der \(2\sigma\)-Regel liegt der Verträglichkeitsbereich bei \(12\) bis \(28\) Radfahrenden einschließlich.

- Welche Binomialparameter hat die Anzahl der Sechsen? - Bestimme die reellen Grenzen der \(2\sigma\)-Umgebung. - Welche ganzzahligen Trefferzahlen liegen außerhalb?

1. Für \(X\sim B\left(60;\frac16\right)\) gilt \(\mu=10\) und \(\sigma=\sqrt{60\cdot\frac16\cdot\frac56}=\sqrt{\frac{25}{3}}\approx2{,}89\). 2. Die exakte \(2\sigma\)-Umgebung ist \(\left[10-2\sqrt{\frac{25}{3}};10+2\sqrt{\frac{25}{3}}\right]\). Darin liegen die ganzzahligen Werte \(5\) bis \(15\). 3. Außerhalb liegen daher \(0\) bis \(4\) sowie \(16\) bis \(60\). Nach der vorgegebenen Regel würde man genau bei diesen Ergebnissen eine Manipulation vermuten; die Regel beweist keine Manipulation.

1. \(\mu=10\), \(\sigma\approx2{,}89\) 2. \(0\) bis \(4\) oder \(16\) bis \(60\) Sechsen

- Welche Summe müssen alle Wahrscheinlichkeiten ergeben? - Wie entsteht der Erwartungswert als gewichteter Mittelwert? - Welche Größe wird vor der Standardabweichung berechnet?

1. Aus der Normierung folgt \(P(X=0)=1-0{,}05-0{,}25=0{,}70\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X)=0\cdot0{,}70+2\cdot0{,}25+10\cdot0{,}05=1{,}00\,\text{€}\). 3. Die Varianz ist \(V(X)=(0-1)^2\cdot0{,}70+(2-1)^2\cdot0{,}25+(10-1)^2\cdot0{,}05=5{,}00\,\text{€}^2\). 4. Somit ist \(\sigma(X)=\sqrt5\,\text{€}\approx2{,}24\,\text{€}\).

a) \(P(X=0)=0{,}70\) b) \(E(X)=1{,}00\,\text{€}\) c) \(\sigma(X)\approx2{,}24\,\text{€}\)

- Überlege dir zuerst, welche Werte die Zufallsgröße annehmen kann und wie man deren Wahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm bestimmt. - Erinnere dich an die binomischen Formeln, um die quadrierten Klammern in der Varianzformel aufzulösen. - Achte beim Zusammenfassen der Terme in Aufgabenteil c) besonders auf die Vorzeichen und die Potenzen von \(p\).

1. Wahrscheinlichkeitsverteilung: \(P(X=0) = (1-p)^2\), \(P(X=1) = 2 \cdot p \cdot (1-p)\), \(P(X=2) = p^2\). 2. Erwartungswert: \(E(X) = 0 \cdot (1-p)^2 + 1 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + 2 \cdot p^2 = 2 \cdot p - 2 \cdot p^2 + 2 \cdot p^2 = 2 \cdot p\). 3. Varianzberechnung: \(V(X) = (0 - 2 \cdot p)^2 \cdot (1-p)^2 + (1 - 2 \cdot p)^2 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + (2 - 2 \cdot p)^2 \cdot p^2\) \(V(X) = 4 \cdot p^2 \cdot (1 - 2 \cdot p + p^2) + (1 - 4 \cdot p + 4 \cdot p^2) \cdot (2 \cdot p - 2 \cdot p^2) + 4 \cdot (1 - p)^2 \cdot p^2\) \(V(X) = (4 \cdot p^2 - 8 \cdot p^3 + 4 \cdot p^4) + (2 \cdot p - 2 \cdot p^2 - 8 \cdot p^2 + 8 \cdot p^3 + 8 \cdot p^3 - 8 \cdot p^4) + (4 \cdot p^2 - 8 \cdot p^3 + 4 \cdot p^4)\) 4. Vereinfachung: Nach dem Zusammenfassen aller Terme bleibt \(V(X) = 2 \cdot p - 2 \cdot p^2 = 2 \cdot p \cdot (1-p)\).

a) \(P(X=0) = (1-p)^2\); \(P(X=1) = 2 \cdot p \cdot (1-p)\); \(P(X=2) = p^2\) b) \(E(X) = 2 \cdot p\) c) \(V(X) = 4 \cdot p^2 \cdot (1-p)^2 + (1-2 \cdot p)^2 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + 4 \cdot (1-p)^2 \cdot p^2 = 2 \cdot p \cdot (1-p)\)

- Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Varianz ein und löse nach der unbekannten Größe auf. - Eine quadratische Gleichung kann mit bekannten Verfahren wie der \(pq\)-Formel gelöst werden. - Überlege dir, wie der Erwartungswert mit \(n\) und \(p\) zusammenhängt. - Bei welchem Wert für \(p\) ist das Produkt \(p \cdot (1-p)\) am größten?

1. Aufstellen der Gleichung für die Varianz: \(250 \cdot p \cdot (1 - p) = 40\). Umformen zu einer quadratischen Gleichung: \(p - p^2 = \frac{40}{250} = 0{,}16\), also \(p^2 - p + 0{,}16 = 0\). Lösen mit der \(pq\)-Formel: \(p_{1,2} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}25 - 0{,}16} = 0{,}5 \pm \sqrt{0{,}09} = 0{,}5 \pm 0{,}3\). Daraus folgen \(p_1 = 0{,}8\) und \(p_2 = 0{,}2\). 2. Berechnung der Erwartungswerte: Für \(p_1 = 0{,}8\): \(E_1 = 250 \cdot 0{,}8 = 200\). Für \(p_2 = 0{,}2\): \(E_2 = 250 \cdot 0{,}2 = 50\). 3. Bestimmung der maximalen Varianz: Die Varianz \(V(p) = n \cdot p \cdot (1-p)\) einer Binomialverteilung ist bei \(p = 0{,}5\) am größten. Einsetzen von \(p = 0{,}5\) und \(n = 250\): \(V_{\max} = 250 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 250 \cdot 0{,}25 = 62{,}5\).

a) \(p_1 = 0{,}8\) und \(p_2 = 0{,}2\). b) \(E_1 = 200\) und \(E_2 = 50\). c) Die maximale Varianz beträgt \(62{,}5\).

- Was bedeutet \(E(X^2)\) im Vergleich zum normalen Erwartungswert? - Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung für alle Werte von 0 bis 5 auf. - Achte beim Quadrieren des Erwartungswerts auf die richtige Dezimalstelle. - Nutze die Symmetrie der Binomialkoeffizienten bei \(p = 0{,}5\), um die Rechnung zu vereinfachen.

1. Berechnung des Erwartungswerts: \(E(X) = n \cdot p = 5 \cdot 0{,}5 = 2{,}5\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsverteilung \(P(X = k) = \binom{5}{k} \cdot 0{,}5^5\): \(P(0) = \frac{1}{32}\), \(P(1) = \frac{5}{32}\), \(P(2) = \frac{10}{32}\), \(P(3) = \frac{10}{32}\), \(P(4) = \frac{5}{32}\), \(P(5) = \frac{1}{32}\). 3. Berechnung von \(E(X^2) = \sum k^2 \cdot P(X = k)\): \(E(X^2) = (0^2 \cdot 1 + 1^2 \cdot 5 + 2^2 \cdot 10 + 3^2 \cdot 10 + 4^2 \cdot 5 + 5^2 \cdot 1) \cdot \frac{1}{32} = (0 + 5 + 40 + 90 + 80 + 25) \cdot \frac{1}{32} = \frac{240}{32} = 7{,}5\). 4. Anwendung des Verschiebungssatzes: \(V(X) = 7{,}5 - 2{,}5^2 = 7{,}5 - 6{,}25 = 1{,}25\).

Die Varianz beträgt \(V(X) = 1{,}25\).

- Welche Formeln verknüpfen \(n\) und \(p\) mit dem Erwartungswert und der Varianz? - Kannst du den Erwartungswert direkt in die Formel für die Varianz einsetzen, um eine Unbekannte zu eliminieren? - Nutze für den zweiten Teil die Bernoulli-Formel mit den zuvor ermittelten Parametern.

1. Aufstellen des Gleichungssystems: I) \(n \cdot p = 12\) und II) \(n \cdot p \cdot (1 - p) = 7{,}2\). 2. Einsetzen von I in II: \(12 \cdot (1 - p) = 7{,}2\). Daraus folgt \(1 - p = 0{,}6\), also \(p = 0{,}4\). 3. Berechnung von \(n\): Einsetzen von \(p = 0{,}4\) in I ergibt \(n \cdot 0{,}4 = 12\), woraus \(n = 30\) folgt. 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(X = 12) = \binom{30}{12} \cdot 0{,}4^{12} \cdot 0{,}6^{18} \approx 86\,493\,225 \cdot 1{,}6777 \cdot 10^{-5} \cdot 1{,}0156 \cdot 10^{-4} \approx 0{,}1474\).

a) \(n = 30\) und \(p = 0{,}4\). b) \(P(X = 12) \approx 0{,}1474\).

- Zähle, wie oft jeder Betrag auf den acht gleich großen Sektoren vorkommt. - Welche Bedingung an den Erwartungswert kennzeichnet ein faires Spiel? - Wie erhältst du die Standardabweichung aus \(E(X^2)\) und \(E(X)\)?

1. Aus den acht gleich großen Sektoren folgt \(P(X=-2)=\frac48=0{,}5\), \(P(X=1)=\frac38=0{,}375\) und \(P(X=5)=\frac18=0{,}125\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X)=-2\cdot0{,}5+1\cdot0{,}375+5\cdot0{,}125=0\,\text{€}\). Das Spiel ist daher fair. 3. Es gilt \(E(X^2)=4\cdot0{,}5+1\cdot0{,}375+25\cdot0{,}125=5{,}5\,\text{€}^2\). 4. Somit ist \(V(X)=5{,}5\,\text{€}^2\) und \(\sigma(X)=\sqrt{5{,}5}\,\text{€}\approx2{,}35\,\text{€}\).

a) <table><tr><td>\(x_i\) in \(\text{€}\)</td><td>\(-2\)</td><td>\(1\)</td><td>\(5\)</td></tr><tr><td>\(P(X=x_i)\)</td><td>\(0{,}5\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}125\)</td></tr></table> b) \(E(X)=0\,\text{€}\); das Spiel ist fair. c) \(\sigma(X)\approx2{,}35\,\text{€}\)

- Vereinfache zuerst den Ausdruck \(Y-E(Y)\). - Welche Faktoren können bei einem Erwartungswert vor die Klammer gezogen werden? - Was passiert beim Wurzelziehen aus \(a^2\)?

1. Es gilt \(Y-E(Y)=aX+b-(aE(X)+b)=a(X-E(X))\). 2. Daher ist \(V(Y)=E\big(a^2(X-E(X))^2\big)=a^2E\big((X-E(X))^2\big)=a^2V(X)\). 3. Durch Wurzelziehen folgt \(\sigma_Y=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{a^2V(X)}=|a|\sigma_X\). 4. Im Beispiel ist \(\sigma_Y=1{,}5\cdot3{,}2=4{,}8\). 5. Die Addition von \(10\) verschiebt alle Werte gleich stark und verändert deshalb die Streuung nicht.

a) \(V(aX+b)=a^2V(X)\) b) \(\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X\) c) \(\sigma_Y=4{,}8\); die Addition von \(10\) verändert die Streuung nicht.

- Bestimme zuerst den Erwartungswert von \(X\). - Für \(E(X^2)\) werden die möglichen Werte vor dem Gewichten quadriert. - Runde erst nach dem Berechnen der Varianz.

1. \(E(X)=0\cdot0{,}2+1\cdot0{,}5+4\cdot0{,}3=1{,}7\). 2. \(E(X^2)=0^2\cdot0{,}2+1^2\cdot0{,}5+4^2\cdot0{,}3=5{,}3\). 3. Daher ist \(V(X)=5{,}3-1{,}7^2=5{,}3-2{,}89=2{,}41\). 4. \(\sigma=\sqrt{2{,}41}\approx1{,}55\).

\(V(X)=2{,}41\), \(\sigma\approx1{,}55\)

- Welchen Wertebereich hat \(p(1-p)\) für \(0<p<1\)? - Wie verhält sich \(\sqrt{x}\) zu \(x\) für \(0<x<1\)? - Unterscheide beim Zahlenvergleich die Einheiten von Varianz und Standardabweichung.

1. Für \(n=50\) und \(p=0{,}01\) ist \(V(X)=np(1-p)=50\cdot0{,}01\cdot0{,}99=0{,}495\). 2. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{0{,}495}\approx0{,}7036\). Zahlenmäßig gilt damit \(\sigma>V(X)\); die beiden Größen besitzen jedoch unterschiedliche Einheiten. 3. Für \(n=2\) gilt \(V(X)=2p(1-p)\). Für \(p\in(0;1)\) liegt \(V(X)\) im Intervall \(0<V(X)\le0{,}5\). 4. Für \(0<V(X)<1\) gilt \(\sqrt{V(X)}>V(X)\). Daher ist für alle \(p\in(0;1)\) der Zahlenwert von \(\sigma=\sqrt{V(X)}\) größer als der Zahlenwert von \(V(X)\).

a) \(V(X)=0{,}495\), \(\sigma\approx0{,}7036\); zahlenmäßig \(\sigma>V(X)\), bei unterschiedlichen Einheiten b) Für \(n=2\) gilt \(0<V(X)\le0{,}5<1\), also \(\sigma=\sqrt{V(X)}>V(X)\).

- Nutze die bekannten Formeln für die Kenngrößen der Binomialverteilung. - Was passiert mit einer Zahl, wenn man sie mit einem Wert zwischen 0 und 1 multipliziert? - Setze die Bedingung aus c) in eine Gleichung um und versuche, die Terme so weit wie möglich zu vereinfachen. - Achte darauf, \(p\) auf eine Seite der Gleichung zu isolieren.

1. In Teilaufgabe a) werden die Standardformeln \(\mu = n \cdot p\) und \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\) genutzt. Durch Ersetzen von \(n \cdot p\) durch \(\mu\) in der Varianzformel folgt unmittelbar \(\sigma^2 = \mu \cdot (1 - p)\). 2. Für Teilaufgabe b) wird argumentiert, dass für \(0 < p < 1\) der Faktor \((1 - p)\) ebenfalls zwischen \(0\) und \(1\) liegt. Da \(\sigma^2 = \mu \cdot (1 - p)\) und \((1 - p) < 1\), muss \(\sigma^2 < \mu\) gelten. Durch Ziehen der Quadratwurzel (da beide Seiten positiv sind) folgt \(\sigma < \sqrt{\mu}\). 3. Für Teilaufgabe c) wird der Ansatz \(\sigma = \frac{1}{3} \mu\) gewählt. Quadrieren führt zu \(\sigma^2 = \frac{1}{9} \mu^2\). 4. Gleichsetzen mit dem Ergebnis aus a): \(\mu \cdot (1 - p) = \frac{1}{9} \mu^2\). 5. Division durch \(\mu = n \cdot p\) ergibt \(1 - p = \frac{1}{9} n \cdot p\). 6. Umstellen nach \(p\): \(1 = p + \frac{n}{9} p = p \cdot (1 + \frac{n}{9}) = p \cdot \frac{9 + n}{9}\). Daraus folgt \(p = \frac{9}{n + 9}\).

a) Nachweis durch Einsetzen von \(\mu = n \cdot p\) in \(\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)\). b) Da \(0 < 1-p < 1\), ist \(\sigma^2 < \mu\), woraus \(\sigma < \sqrt{\mu}\) folgt. c) \(p = \frac{9}{n + 9}\)

- Erinnere dich an die Definition von Achsensymmetrie bei Funktionen. - Nutze die binomischen Formeln, um die Terme in Aufgabenteil a) zu vereinfachen. - Wann ist eine Wurzelfunktion maximal? Konzentriere dich auf den Ausdruck unter der Wurzel. - Wie findet man die Extremstellen einer quadratischen Funktion oder allgemein mittels Ableitungen?

1. Einsetzen von \(0{,}5 - h\) in die Varianzformel: \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}5 - h) \cdot (1 - (0{,}5 - h)) = n \cdot (0{,}5 - h) \cdot (0{,}5 + h)\). 2. Anwendung der dritten binomischen Formel: \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2)\). 3. Einsetzen von \(0{,}5 + h\) in die Varianzformel: \(V(0{,}5 + h) = n \cdot (0{,}5 + h) \cdot (1 - (0{,}5 + h)) = n \cdot (0{,}5 + h) \cdot (0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2)\). 4. Vergleich der Ergebnisse zeigt die Identität, womit die Symmetrie bewiesen ist. 5. Die Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\) ist maximal, wenn der Radikand \(f(p) = n \cdot (p - p^2)\) maximal ist. 6. Ableiten: \(f'(p) = n \cdot (1 - 2 \cdot p)\). Nullsetzen liefert \(1 - 2 \cdot p = 0 \Rightarrow p = 0{,}5\). 7. Die zweite Ableitung ist \(f''(p) = -2 \cdot n < 0\), also liegt ein Maximum vor. 8. Berechnung des Maximalwerts: \(\sigma_{\text{max}} = \sqrt{n \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{0{,}25 \cdot n} = 0{,}5 \cdot \sqrt{n} = \frac{\sqrt{n}}{2}\).

a) Der Nachweis erfolgt über \(V(0{,}5 - h) = n \cdot (0{,}25 - h^2) = V(0{,}5 + h)\). b) Die Standardabweichung ist für \(p = 0{,}5\) maximal. Der maximale Wert beträgt \(\sigma_{\text{max}} = 0{,}5 \cdot \sqrt{n}\).

- Stelle zuerst die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung auf. - Kannst du die Wurzel in der Ungleichung durch eine geeignete Operation entfernen? - Gibt es Terme, die auf beiden Seiten vorkommen und durch die du (unter Beachtung der Vorzeichen) teilen kannst? - Versuche, die Ungleichung schrittweise nach der gesuchten Variablen umzustellen.

1. Aufstellen der Ungleichung gemäß der Aufgabenstellung: \(\sigma < \frac{1}{2} E(X)\) 2. Einsetzen der Formeln für die Binomialverteilung: \(\sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} < \frac{1}{2} \cdot n \cdot p\) 3. Quadrieren beider Seiten (zulässig, da beide Seiten positiv sind): \(n \cdot p \cdot (1-p) < \frac{1}{4} \cdot n^2 \cdot p^2\) 4. Division durch den positiven Term \(n \cdot p\): \(1 - p < \frac{1}{4} \cdot n \cdot p\) 5. Umstellen der Ungleichung nach \(p\): \(1 < \frac{1}{4} \cdot n \cdot p + p \Leftrightarrow 1 < p \cdot \left(\frac{n}{4} + 1\right)\) 6. Auflösen nach \(p\): \(p > \frac{1}{\frac{n}{4} + 1} = \frac{4}{n+4}\) 7. Unter Berücksichtigung der Definitionsmenge ergibt sich das Intervall: \(p \in \left] \frac{4}{n+4}; 1 \right[\)

\(p > \frac{4}{n+4}\) bzw. \(p \in \left] \frac{4}{n+4}; 1 \right[\)

- Wie erhältst du aus der Varianz die Standardabweichung? - Setze die gegebenen Terme in die Definition der relativen Standardabweichung ein. - Vereinfache \(\frac{\sqrt n}{n}\) vor dem Auflösen der Gleichung.

1. Aus \(V(Z_n)=2n\) folgt \(\sigma(Z_n)=\sqrt{2n}\). 2. Die relative Standardabweichung ist daher \(\frac{\sigma(Z_n)}{E(Z_n)}=\frac{\sqrt{2n}}{8n}\). 3. Mit \(1{,}25\,\%=\frac{1}{80}\) gilt \(\frac{\sqrt{2n}}{8n}=\frac{1}{80}\). 4. Vereinfachen liefert \(\frac{\sqrt2}{8\sqrt n}=\frac{1}{80}\), also \(\sqrt n=10\sqrt2\). 5. Damit ist \(n=200\).

\(n=200\)