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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten

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55216912
Das Säulendiagramm zeigt die Punktwahrscheinlichkeiten der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\sim B(3;0{,}5)\). Bestimme \(P(X\le1)\).
Abbildung zur Aufgabe 552169

Denkanstöße

- Welche Werte von \(X\) gehören zur Bedingung \(X\le1\)? - Addiere die zugehörigen Säulenhöhen.

Lösung

1. Zum Ereignis \(X\le1\) gehören die Werte \(0\) und \(1\). 2. Aus dem Diagramm liest man \(P(X=0)=0{,}125\) und \(P(X=1)=0{,}375\) ab. 3. Daher ist \(P(X\le1)=0{,}125+0{,}375=0{,}5\).

Antwort

\(P(X\le1)=0{,}5\)
55217412
Das Ogiven-Diagramm verbindet die kumulierten Wahrscheinlichkeiten der binomialverteilten Zufallsgröße \(X\sim B(2;0{,}5)\) an den ganzzahligen Werten von \(X\). Lies den kumulierten Wert bei \(X=1\) ab und gib an, welche Wahrscheinlichkeit damit gemeint ist.
Abbildung zur Aufgabe 552174

Denkanstöße

- Bei einer Ogive sind an den ganzzahligen Stellen die Wahrscheinlichkeiten bis zu diesem Wert aufsummiert. - Achte darauf, dass der Wert \(1\) bei \(X\leq 1\) eingeschlossen ist.

Lösung

1. Der eingezeichnete kumulierte Punkt bei \(X=1\) liegt bei \(0{,}75\). 2. Dieser Punkt fasst alle Wahrscheinlichkeiten bis einschließlich \(1\) zusammen. 3. Daher bedeutet der Wert \(0{,}75\): \(P(X\leq 1)=0{,}75\).

Antwort

\(P(X\leq 1)=0{,}75\)
55226612
Für \(X\sim B(8;0{,}25)\) ist ein Ausschnitt der kumulierten Verteilung gegeben. Die Tabellenwerte sind auf vier Dezimalstellen gerundet: <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th></tr><tr><td>\(F(k)=P(X\le k)\)</td><td>\(0{,}1001\)</td><td>\(0{,}3671\)</td><td>\(0{,}6785\)</td><td>\(0{,}8862\)</td><td>\(0{,}9727\)</td></tr></table> Lies \(P(X\le2)\) direkt aus der Tabelle ab und formuliere die Bedeutung dieses Werts in Worten.

Denkanstöße

- Welche Spalte gehört zur Grenze \(2\)? - Was bedeutet das Zeichen \(\le\) für die zugelassenen Trefferzahlen?

Lösung

1. In der Spalte \(k=2\) steht als gerundeter Tabellenwert \(F(2)\approx0{,}6785\). 2. Damit liest man \(P(X\le2)\approx0{,}6785\) ab. 3. Der Wert bedeutet: Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa \(67{,}85\,\%\) treten höchstens zwei Treffer auf.

Antwort

\(P(X\le2)\approx0{,}6785\); also treten mit etwa \(67{,}85\,\%\) Wahrscheinlichkeit höchstens zwei Treffer auf.
42343212
Eine Biathletin gibt \(5\) Schüsse ab. Wir modellieren die Schüsse als unabhängig und nehmen für jeden Schuss dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}85\) an. Gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt sie genau \(4\) Treffer? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens \(4\) Treffer erzielt?

Denkanstöße

- Welche Parameter besitzt die Trefferzahl? - Teil a ist eine Punktwahrscheinlichkeit. - Welche Trefferzahlen gehören zu „mindestens vier“?

Lösung

1. Für die Trefferzahl gilt \(X\sim B(5;0{,}85)\). 2. Für genau vier Treffer ist \(P(X=4)=\binom{5}{4}0{,}85^4 0{,}15\approx0{,}3915\). 3. Für mindestens vier Treffer gilt \(P(X\ge4)=P(X=4)+P(X=5)\). 4. Mit \(P(X=5)=0{,}85^5\approx0{,}4437\) ergibt sich \(P(X\ge4)\approx0{,}8352\).

Antwort

a) \(39{,}15\,\%\) b) \(83{,}52\,\%\)
42346112
Für die Zufallsgröße \(X\), die bei sechs betrachteten Jugendlichen die Anzahl mit Frühstück vor dem Unterricht zählt, sind folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben: <table> <thead> <tr><th>Anzahl Jugendliche \(k\)</th><th>Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\)</th></tr> </thead> <tbody> <tr><td>6</td><td>\(0{,}2621\)</td></tr> <tr><td>5</td><td>\(0{,}3932\)</td></tr> <tr><td>4</td><td>\(0{,}2458\)</td></tr> </tbody> </table> Bestimme mithilfe der Tabelle die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: - Ereignis A: „Genau fünf oder sechs Jugendliche haben gefrühstückt.“ - Ereignis B: „Mindestens vier Jugendliche haben gefrühstückt.“ - Ereignis C: „Höchstens drei Jugendliche haben gefrühstückt.“

Denkanstöße

- Welche Tabellenzeilen gehören jeweils zum beschriebenen Ereignis? - Bei „mindestens vier“ sind mehrere disjunkte Werte enthalten. - Wie hängen „mindestens vier“ und „höchstens drei“ zusammen?

Lösung

1. Für A werden die disjunkten Werte \(5\) und \(6\) addiert: \(P(A)=0{,}3932+0{,}2621=0{,}6553\). 2. Für B werden die Werte \(4\), \(5\) und \(6\) addiert: \(P(B)=0{,}2458+0{,}3932+0{,}2621=0{,}9011\). 3. C ist das Gegenereignis zu B. Daher ist \(P(C)=1-0{,}9011=0{,}0989\).

Antwort

\(P(A)=0{,}6553\) \(P(B)=0{,}9011\) \(P(C)=0{,}0989\)
42702312
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird \(15\)-mal geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der geworfenen Sechsen. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten auf vier Dezimalstellen genau: 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(3\)-mal eine Sechs gewürfelt wird. 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(4\)-mal eine Sechs gewürfelt wird. 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(2\), aber höchstens \(5\)-mal eine Sechs gewürfelt wird.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, welche Werte für \(n\) und \(p\) in diesem Zufallsexperiment gelten. - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einer Punktwahrscheinlichkeit und einer kumulierten Wahrscheinlichkeit. - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich mithilfe von \(F(k)=P(X\le k)\) ausdrücken? - Nutze die entsprechenden Funktionen deines Taschenrechners für die Binomialverteilung.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(15;\frac16)\). Daher ist \(P(X=3)=\binom{15}{3}\left(\frac16\right)^3\left(\frac56\right)^{12}\approx0{,}2363\). 2. Mit \(F(k)=P(X\le k)\) gilt \(P(X\le4)=F(4)=\sum_{i=0}^{4}\binom{15}{i}\left(\frac16\right)^i\left(\frac56\right)^{15-i}\approx0{,}9102\). 3. Für das Intervall gilt \(P(2\le X\le5)=F(5)-F(1)\approx0{,}7130\).

Antwort

1. \(P(X=3)\approx0{,}2363\) 2. \(P(X\le4)\approx0{,}9102\) 3. \(P(2\le X\le5)\approx0{,}7130\)
42702812
Für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch \(B(n; p; k)\) und die Verteilungsfunktion durch \(F(k)\) gegeben. Erläutere mithilfe der Definition der kumulativen Verteilungsfunktion, warum für \(k \ge 1\) die Beziehung \(F(k) - F(k-1) = B(n; p; k)\) gilt.

Denkanstöße

- Schreibe die Definition von \(F(k)\) und \(F(k-1)\) als Summen von Einzelwahrscheinlichkeiten auf. - Welche einzelnen Ergebnisse \(X=i\) werden bei \(F(k)\) berücksichtigt, die bei \(F(k-1)\) fehlen? - Was bleibt übrig, wenn du von einer Summe bis \(k\) alle Teile abziehst, die bereits in der Summe bis \(k-1\) enthalten sind?

Lösung

1. Definition der kumulativen Verteilungsfunktion als Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(F(k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k)\). 2. Entsprechend gilt für den vorherigen Wert: \(F(k-1) = \sum_{i=0}^{k-1} P(X = i) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=k-1)\). 3. Die Differenz \(F(k) - F(k-1)\) entspricht somit der Differenz der beiden Summen: \((P(X=0) + \dots + P(X=k)) - (P(X=0) + \dots + P(X=k-1))\). 4. Alle Summanden bis auf den letzten heben sich gegenseitig auf, sodass lediglich \(P(X = k)\) übrig bleibt. 5. Da \(P(X = k) = B(n; p; k)\) ist, folgt die Behauptung \(F(k) - F(k-1) = B(n; p; k)\).

Antwort

Die Differenz \(F(k) - F(k-1)\) subtrahiert die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis \(k-1\) von der Summe bis \(k\). Übrig bleibt genau die Einzelwahrscheinlichkeit für das Ergebnis \(k\), also \(P(X=k) = B(n; p; k)\).
42703912
Gib an, welche Wahrscheinlichkeit der jeweilige Term beschreibt, und berechne den Wert auf vier Nachkommastellen genau. Dabei bezeichnet \(B(n; p; k)\) die Binomial-Punktwahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer. a) \(\sum_{i=0}^{2} B(15; 0{,}1; i)\) b) \(1 - \sum_{i=0}^{1} B(5; 0{,}4; i)\)

Denkanstöße

- Überlege dir beim Summenzeichen, welche Werte für die Zufallsgröße eingeschlossen sind. - Achte bei Ausdrücken der Form \(1 - P(\dots)\) darauf, welches Ereignis das Gegenereignis ist. - Was bedeuten die Parameter \(n\), \(p\) und \(k\) in der Notation \(B(n; p; k)\)?

Lösung

1. Der Term in a) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Treffer bei \(n = 15\) und \(p = 0{,}1\): \(P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0{,}8159\). 2. Der Term in b) ist das Gegenereignis zu „höchstens ein Treffer“ und beschreibt daher mindestens zwei Treffer bei \(n = 5\) und \(p = 0{,}4\): \(1 - (0{,}07776 + 0{,}2592) = 0{,}66304 \approx 0{,}6630\).

Antwort

a) Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer; \(P \approx 0{,}8159\) b) Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Treffer; \(P \approx 0{,}6630\)
42706212
Eine Gärtnerei betrachtet ein Modell für Samentütchen mit jeweils \(12\) Samen. Jeder Samen keimt unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\). Ein Tütchen wird als „mangelhaft“ reklamiert, wenn weniger als \(8\) der enthaltenen Samen keimen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Tütchen nach diesem Modell reklamiert wird. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen brauchst du für eine Binomialverteilung der Keimzahl? - Welche Werte von \(X\) gehören zu „weniger als 8“? - Kann die Zahl der nicht keimenden Samen ein günstigeres Gegenereignis liefern?

Lösung

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen. Es gilt \(X\sim B(12;0{,}75)\). 2. „Weniger als 8“ bedeutet \(X\le7\). 3. Somit gilt \(P(X\le7)=\sum_{k=0}^{7}\binom{12}{k}0{,}75^k0{,}25^{12-k}\approx0{,}157644\). 4. Gleichwertig kann die Zahl \(Y\sim B(12;0{,}25)\) der nicht keimenden Samen betrachtet werden; dann entspricht das Ereignis \(Y\ge5\).

Antwort

\(15{,}76\,\%\)
42709012
Für eine Modellrechnung zu einem großen Waldgebiet wird angenommen, dass jeder der \(200\) betrachteten Bäume unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}80\) eine Kiefer ist. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Kiefern unter den \(200\) Bäumen an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: \(E\): „Es befinden sich genau \(165\) Kiefern unter den betrachteten Bäumen.“ \(F\): „Die Anzahl der Kiefern liegt im Bereich von \(155\) bis \(170\) (jeweils einschließlich).“ b) Beschreibe die Bedeutung des Terms \(1-P(X\ge175)\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen machen \(X\) binomialverteilt? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein abgeschlossenes Intervall mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen? - Welches Ereignis ist das Gegenereignis zu \(X\ge175\)?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(200;0{,}80)\). 2. Für \(E\) gilt \(P(X=165)=\binom{200}{165}0{,}8^{165}0{,}2^{35}\approx0{,}049459\). 3. Für \(F\) gilt \(P(155\le X\le170)=P(X\le170)-P(X\le154)\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert dafür \(P(F)\approx0{,}806606\). 4. Der Term \(1-P(X\ge175)\) ist die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses \(X\le174\). Er beschreibt also, dass höchstens \(174\) der \(200\) Bäume Kiefern sind.

Antwort

a) \(P(E)=4{,}95\,\%\); \(P(F)=80{,}66\,\%\) b) Höchstens \(174\) der \(200\) betrachteten Bäume sind Kiefern.
42711712
Für ein Produktionsmodell von LED-Dioden wird angenommen, dass jede Diode unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{20}=0{,}05\) einen Fabrikationsfehler aufweist. a) Berechne, mit wie vielen defekten Dioden man bei einer Tagesproduktion von \(1400\) Stück im Durchschnitt rechnen muss. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(25\) Dioden genau eine defekt ist. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(25\) Dioden höchstens zwei defekte Exemplare enthalten sind. Gib das Ergebnis ebenfalls als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welcher Kennwert beschreibt die durchschnittliche Defektzahl? - Welche Modellannahmen rechtfertigen für b) und c) die Binomialverteilung? - Welche Defektzahlen gehören zu „höchstens zwei“?

Lösung

1. Für a) ist der Erwartungswert \(E(X)=np=1400\cdot0{,}05=70\). 2. Für b) gilt bei \(X\sim B(25;0{,}05)\): \(P(X=1)=\binom{25}{1}0{,}05\cdot0{,}95^{24}\approx0{,}364986\). 3. Für c) gilt \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{25}{k}0{,}05^k0{,}95^{25-k}\approx0{,}872894\).

Antwort

a) Im Durchschnitt \(70\) defekte Dioden. b) \(36{,}50\,\%\) c) \(87{,}29\,\%\)
42719412
Für ein Modell eines stabilen Produktionsprozesses wird angenommen, dass jedes Bauteil unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) defekt ist. a) Für \(50\) Bauteile: Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an: (1) Genau zwei Bauteile sind defekt. (2) Mindestens vier Bauteile sind defekt. (3) Höchstens drei Bauteile sind defekt. b) Es wurden bereits \(100\) Bauteile geprüft, von denen kein einziges defekt war. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste geprüfte Bauteil defekt ist.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell machen die Defektzahl binomialverteilt? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens vier“? - Was bedeutet Unabhängigkeit für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Bauteils nach einer langen fehlerfreien Folge?

Lösung

1. Für a) gilt \(X\sim B(50;0{,}04)\). 2. \(P(X=2)=\binom{50}{2}0{,}04^2 0{,}96^{48}\approx0{,}276233\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le3)\approx0{,}860869\); daher ist \(P(X\ge4)=1-P(X\le3)\approx0{,}139131\). 4. Wegen der im Modell angenommenen Unabhängigkeit ändert die bisherige Folge die Wahrscheinlichkeit des nächsten Bauteils nicht. Daher beträgt sie weiterhin \(0{,}04\).

Antwort

a) (1) \(0{,}2762\) (2) \(0{,}1391\) (3) \(0{,}8609\) b) \(0{,}04\)
42872012
Für ein mathematisches Qualitätskontrollmodell wird eine Wahrscheinlichkeit von \(4\,\%\) für das Merkmal „Lufteinschluss vorhanden“ angesetzt. Es werden \(10\) Flaschen betrachtet. a) Nenne die Voraussetzungen, unter denen die Anzahl der Flaschen mit Lufteinschluss als binomialverteilt modelliert werden kann. b) Bestimme unter diesen Voraussetzungen die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Flasche einen Lufteinschluss hat. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Flaschen einen Lufteinschluss haben. Gib die Ergebnisse in b) und c) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Bedingungen definieren eine Bernoulli-Kette? - Für genau eine betroffene Flasche brauchst du eine Punktwahrscheinlichkeit. - „Mindestens zwei“ lässt sich kurz über null oder eine betroffene Flasche ergänzen.

Lösung

1. Für eine Binomialverteilung müssen die Flaschen unabhängig beurteilt werden, die Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) muss konstant bleiben und es werden nur die zwei Ausgänge „Lufteinschluss“/„kein Lufteinschluss“ unterschieden. 2. Unter diesen Voraussetzungen gilt \(X\sim B(10;0{,}04)\). 3. \(P(X=1)=\binom{10}{1}0{,}04\cdot0{,}96^9\approx0{,}277014\), also \(27{,}70\,\%\). 4. \(P(X\ge2)=1-0{,}96^{10}-\binom{10}{1}0{,}04\cdot0{,}96^9\approx0{,}058154\), also \(5{,}82\,\%\).

Antwort

a) Zwei Ausgänge, konstantes \(p=0{,}04\), unabhängige Versuche. b) \(27{,}70\,\%\) c) \(5{,}82\,\%\)
42873112
Ein Glücksrad besitzt \(4\) gleich große Felder, von denen eines rot markiert ist. Das Rad wird \(4\)-mal unabhängig voneinander gedreht. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einmal Rot erscheint. b) Jemand behauptet: „Da die Chance auf Rot bei jeder Drehung \(25\,\%\) beträgt, liegt die Wahrscheinlichkeit, bei \(4\) Drehungen mindestens einmal Rot zu erhalten, über \(90\,\%\).“ Überprüfe die Aussage rechnerisch.

Denkanstöße

- Wie groß ist \(p\) für Rot? - Für „mindestens einmal“ ist das Ereignis „keinmal Rot“ besonders einfach. - Vergleiche das berechnete Ergebnis direkt mit \(90\,\%\).

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der roten Treffer gilt \(X\sim B(4;\frac14)\). 2. \(P(X=1)=\binom41\frac14\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}\). 3. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}\). 4. Da \(\frac{175}{256}<0{,}9\), ist die Behauptung falsch.

Antwort

a) \(\frac{27}{64}\) b) Nein; \(P(X\ge1)=\frac{175}{256}<0{,}9\).
42873412
Ein Glücksrad besitzt drei gleich große Sektoren in den Farben Rot, Blau und Gelb. Das Rad wird sechsmal unabhängig voneinander gedreht. 1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal Blau erscheint. 2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird mindestens fünfmal Rot angezeigt?

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat jede Farbe? - „Mindestens fünf“ umfasst bei sechs Drehungen nur zwei Trefferzahlen. - Addiere die disjunkten Punktwahrscheinlichkeiten für diese beiden Fälle.

Lösung

1. Für jede Farbe gilt \(p=\frac{1}{3}\). Für genau zwei blaue Treffer ist \(P(X=2)=\binom{6}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2\left(\frac{2}{3}\right)^4=\frac{80}{243}\). 2. „Mindestens fünfmal Rot“ umfasst \(5\) und \(6\) Treffer. Daher ist \(P(Y\ge5)=P(Y=5)+P(Y=6)=\frac{13}{729}\).

Antwort

1. \(\frac{80}{243}\) 2. \(\frac{13}{729}\)
42873612
Für ein Modell einer Qualitätskontrolle wird angenommen, dass jedes der \(8\) geprüften LED-Leuchtmittel unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) defekt ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) alle \(8\) Leuchtmittel einwandfrei sind, b) genau \(2\) Leuchtmittel defekt sind, c) mindestens ein Leuchtmittel defekt ist? Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein einwandfreies Leuchtmittel? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens ein Defekt“?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Defektzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=8\) und \(p=0{,}05\). 2. Für a) gilt \(P(X=0)=0{,}95^8\approx0{,}663420\), also \(66{,}34\,\%\). 3. Für b) gilt \(P(X=2)=\binom{8}{2}0{,}05^2 0{,}95^6\approx0{,}051456\), also \(5{,}15\,\%\). 4. Für c) gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}95^8\approx0{,}336580\), also \(33{,}66\,\%\).

Antwort

a) \(66{,}34\,\%\) b) \(5{,}15\,\%\) c) \(33{,}66\,\%\)
42874612
In einem einseitigen Signifikanztest wird die Nullhypothese \(H_0:p\leq0{,}01\) gegen \(H_1:p>0{,}01\) für den Defektanteil von USB-Sticks geprüft. Unter \(H_0\) werden die Zustände der \(100\) untersuchten Sticks als unabhängig mit konstanter Defektwahrscheinlichkeit modelliert. In der Stichprobe werden \(3\) defekte Sticks beobachtet. Berechne am Randwert \(p_0 = 0{,}01\) der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit, mindestens \(3\) defekte Sticks zu erhalten. Die Nullhypothese soll verworfen werden, wenn diese Wahrscheinlichkeit höchstens \(5\,\%\) beträgt. Beurteile die Beobachtung nach dieser vorgegebenen Entscheidungsregel.

Denkanstöße

- Formuliere das beobachtete Ergebnis als oberen Randbereich der Binomialverteilung. - Für „mindestens drei“ ist das Gegenereignis \(X\le2\). - Vergleiche die berechnete Randwahrscheinlichkeit erst am Ende mit \(5\,\%\).

Lösung

1. Am Randwert \(p_0=0{,}01\) gilt \(X\sim B(100;0{,}01)\). 2. Gesucht ist \(P(X\ge3)=1-P(X\le2)\). 3. Es gilt \(P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\approx0{,}9206\). 4. Daher ist \(P(X\ge3)\approx0{,}0794=7{,}94\,\%\). 5. Da \(7{,}94\,\%>5\,\%\), wird \(H_0\) nach der vorgegebenen Regel nicht verworfen.

Antwort

\(P(X\ge3)\approx7{,}94\,\%\). Da dieser Wert größer als \(5\,\%\) ist, wird \(H_0\) nach der vorgegebenen Regel nicht verworfen.
42874712
Ein Glücksrad besitzt fünf gleich große Sektoren. Einer davon ist mit einem Stern markiert und führt zu einem Gewinn. Das Rad wird \(10\)-mal unabhängig voneinander gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler mindestens dreimal gewinnt? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Bestimme die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einer einzelnen Drehung. - Das Gegenereignis zu „mindestens drei“ enthält nur die Trefferzahlen \(0\), \(1\) und \(2\). - Addiere diese Punktwahrscheinlichkeiten und ziehe die Summe von \(1\) ab.

Lösung

1. Die Gewinnwahrscheinlichkeit pro Drehung ist \(p=\frac{1}{5}=0{,}2\). Damit gilt \(X\sim B(10;0{,}2)\). 2. Gesucht ist \(P(X\ge3)=1-P(X\le2)\). 3. \(P(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}0{,}2^k0{,}8^{10-k}\approx0{,}322200\), also \(32{,}22\,\%\).

Antwort

\(32{,}22\,\%\)
42874812
Für ein mathematisches Ziehungsmodell wird angenommen, dass jede von \(15\) unabhängigen Ziehungen mit Wahrscheinlichkeit \(20\,\%\) ein rotes Gummibärchen liefert. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zwei der \(15\) gezogenen Gummibärchen rot sind. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens zwei“? - Berechne die drei Punktwahrscheinlichkeiten für \(0\), \(1\) und \(2\). - Addiere die disjunkten Fälle.

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der roten Gummibärchen gilt \(X\sim B(15;0{,}2)\). 2. Gesucht ist \(P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\). 3. Somit ist \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{15}{k}0{,}2^k0{,}8^{15-k}\approx0{,}398023\), also \(39{,}80\,\%\).

Antwort

\(39{,}80\,\%\)
42877812
In einem einseitigen Signifikanztest wird geprüft, ob die Zahl \(3\) bei einem Glücksrad seltener auftritt als bei einem fairen Rad mit drei gleich großen Sektoren. Geprüft wird \(H_0:p\geq\frac13\) gegen \(H_1:p<\frac13\); am Randwert gilt \(p_0=\frac13\), und die \(30\) Drehungen werden als unabhängig modelliert. Beobachtet werden nur \(4\) Dreien. 1. Berechne unter der Nullhypothese die Wahrscheinlichkeit \(P(X\le4)\). 2. Nach der vorgegebenen Entscheidungsregel soll die Nullhypothese verworfen werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für das beobachtete oder ein noch kleineres Ergebnis höchstens \(5\,\%\) beträgt. Beurteile die Beobachtung.

Denkanstöße

- Formuliere die Nullhypothese als Binomialmodell. - Bei der Vermutung „seltener“ liegt der relevante Rand links. - Vergleiche die kumulierte Randwahrscheinlichkeit erst am Ende mit \(5\,\%\).

Lösung

1. Am Randwert \(p_0=\frac13\) gilt \(X\sim B\left(30;\frac13\right)\). 2. \(P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{30}{k}\left(\frac13\right)^k\left(\frac23\right)^{30-k}\approx0{,}01223\). 3. Damit beträgt die Randwahrscheinlichkeit etwa \(1{,}22\,\%\). 4. Da \(1{,}22\,\%<5\,\%\), wird die Nullhypothese nach der vorgegebenen Regel verworfen; die Beobachtung stützt damit die Vermutung eines kleineren \(p\).

Antwort

1. \(P(X\le4)\approx0{,}01223\approx1{,}22\,\%\) 2. Die Nullhypothese wird nach der vorgegebenen \(5\,\%\)-Regel verworfen.
43088512
Ein Glücksrad hat 5 gleich große Sektoren, von denen einer blau markiert ist. Das Rad wird 6-mal nacheinander gedreht; die Ergebnisse der Drehungen werden als voneinander unabhängig angenommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) Das Rad bleibt genau 2-mal auf dem blauen Sektor stehen. (2) Das Rad bleibt höchstens einmal auf dem blauen Sektor stehen. (3) Das Rad bleibt mindestens einmal auf dem blauen Sektor stehen.

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße zählt die Treffer auf dem blauen Sektor? - Welche Trefferzahlen gehören jeweils zu „höchstens einmal“ und „mindestens einmal“? - Bei welchem Ereignis ist das Gegenereignis besonders kurz zu berechnen?

Lösung

1. Mit der Trefferzahl \(X\), \(n=6\) und \(p=\frac{1}{5}=0{,}2\) gilt wegen der unabhängigen Drehungen \(X\sim B(6;0{,}2)\). 2. \(P(X=2)=\binom{6}{2}\cdot0{,}2^2\cdot0{,}8^4=0{,}24576\). 3. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}262144+0{,}393216=0{,}65536\). 4. Mit dem Gegenereignis gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^6=0{,}737856\).

Antwort

(1) \(0{,}24576\) bzw. \(24{,}576\,\%\) (2) \(0{,}65536\) bzw. \(65{,}536\,\%\) (3) \(0{,}737856\) bzw. \(73{,}7856\,\%\)
43088612
In einem Modell für die Produktion von Mikrochips ist jeder Chip unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) fehlerhaft. Es werden \(10\) Chips betrachtet. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: (1) Genau ein Chip ist fehlerhaft. (2) Keiner der Chips ist fehlerhaft. (3) Mehr als zwei Chips sind fehlerhaft. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Bedingungen des Binomialmodells sind im Aufgabentext festgelegt? - Welche Trefferzahlen gehören zum Gegenereignis von „mehr als zwei“? - Vermeide frühes Runden, wenn mehrere Wahrscheinlichkeiten kombiniert werden.

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der fehlerhaften Chips gilt \(X\sim B(10;0{,}05)\). 2. \(P(X=1)=\binom{10}{1}0{,}05\cdot0{,}95^9\approx0{,}315125\), also \(31{,}51\,\%\). 3. \(P(X=0)=0{,}95^{10}\approx0{,}598737\), also \(59{,}87\,\%\). 4. Für Teil (3) gilt \(P(X>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}0{,}05^k0{,}95^{10-k}\approx0{,}011504\), also \(1{,}15\,\%\).

Antwort

(1) \(31{,}51\,\%\) (2) \(59{,}87\,\%\) (3) \(1{,}15\,\%\)
43088712
Ein Multiple-Choice-Test umfasst \(8\) Aufgaben mit jeweils \(4\) Antwortmöglichkeiten. Nur eine Antwort pro Aufgabe ist korrekt. Jemand wählt bei jeder Aufgabe unabhängig von den anderen Aufgaben rein zufällig eine der vier Antworten aus. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau drei Antworten richtig sind? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als sechs Antworten richtig sind. Gib das Ergebnis als exakten Bruch an.

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat eine zufällig gewählte Antwort bei jeder Aufgabe? - Welche Trefferzahlen erfüllen die Bedingung „mehr als sechs“? - Kannst du die gesuchte obere Randwahrscheinlichkeit als Summe weniger Punktwahrscheinlichkeiten schreiben?

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der richtigen Antworten gilt \(X\sim B(8;0{,}25)\). 2. \(P(X=3)=\binom{8}{3}0{,}25^3 0{,}75^5\approx0{,}207642\), also \(20{,}76\,\%\). 3. Für „mehr als sechs“ gilt \(P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)\). 4. Es ist \(P(X=7)=\frac{24}{65536}\) und \(P(X=8)=\frac{1}{65536}\). 5. Daher gilt \(P(X>6)=\frac{25}{65536}\).

Antwort

a) \(20{,}76\,\%\) b) \(\frac{25}{65536}\)
43089512
Ein vermeintlicher Hellseher behauptet, die Farbe einer verdeckten Spielkarte (Rot oder Schwarz) vorhersagen zu können. In einem Experiment werden ihm nacheinander \(12\) Karten aus einem gut gemischten Deck gezeigt, wobei jede Karte nach dem Raten wieder zurückgelegt und das Deck neu gemischt wird. Angenommen, die Person besitzt keine hellseherischen Fähigkeiten und rät rein zufällig. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Person bei diesem Test genau \(9\) Karten richtig benennt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens \(10\)-mal die richtige Farbe rät.

Denkanstöße

- Bestimme die Anzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch. - Für „genau 9“ brauchst du eine einzelne Binomial-Punktwahrscheinlichkeit. - „Mindestens 10“ umfasst drei mögliche Trefferzahlen.

Lösung

1. Wegen Zurücklegen und erneutem Mischen werden die \(12\) Rateversuche unabhängig mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0{,}5\) modelliert. Damit gilt \(X\sim B(12;0{,}5)\). 2. \(P(X=9)=\binom{12}{9}(0{,}5)^{12}=\frac{220}{4096}=\frac{55}{1024}\). 3. \(P(X\ge10)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)=\frac{66+12+1}{4096}=\frac{79}{4096}\).

Antwort

a) \(\frac{55}{1024}\) b) \(\frac{79}{4096}\)
43091012
Ein Online-Shop verschickt Testpakete. In jedem Paket befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von \(20\,\%\) ein Gutschein für den nächsten Einkauf. Jemand bestellt \(12\) solcher Testpakete. Die Zuteilung der Gutscheine erfolgt für jedes Paket unabhängig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: a) Genau drei der Pakete enthalten einen Gutschein. b) Mindestens eines der Pakete enthält einen Gutschein. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gutschein von Paket zu Paket ändert. - Welche Verteilung ist geeignet, wenn man eine feste Anzahl von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen hat? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „genau k Treffer“? - Bei „mindestens eins“ hilft oft der Blick auf das Gegenteil. Was darf nicht passieren?

Lösung

1. Da die Pakete unabhängig voneinander mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}2\) einen Gutschein enthalten, ist die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}2\). 2. \(P(X=3)=\binom{12}{3}0{,}2^3 0{,}8^9\approx0{,}236223\), also \(23{,}62\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens ein Gutschein“ ist \(X=0\). Daher ist \(P(X\ge1)=1-0{,}8^{12}\approx0{,}931281\), also \(93{,}13\,\%\).

Antwort

a) \(23{,}62\,\%\) b) \(93{,}13\,\%\)
43091112
Ein Basketballspieler hat bei Freiwürfen die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\). In einem Training führt er eine Serie von \(6\) Freiwürfen aus. Gehe davon aus, dass die einzelnen Würfe voneinander unabhängig sind. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Spieler genau \(4\) Treffer erzielt. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er bei dieser Serie mindestens \(5\)-mal trifft. Gib beide Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Identifiziere zunächst \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung. - Für a) wird eine Punktwahrscheinlichkeit gesucht. - „Mindestens 5“ umfasst die Trefferzahlen 5 und 6.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(6;0{,}75)\). 2. \(P(X=4)=\binom{6}{4}0{,}75^4 0{,}25^2=0{,}296630859375\), also \(29{,}66\,\%\). 3. \(P(X\ge5)=\binom{6}{5}0{,}75^5 0{,}25+0{,}75^6=0{,}533935546875\), also \(53{,}39\,\%\).

Antwort

a) \(29{,}66\,\%\) b) \(53{,}39\,\%\)
43107112
Für ein Modell werden \(80\) Studierende betrachtet. Jede Person besitzt unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}025\) eine Dauerkarte für die Heimspiele eines Basketballvereins. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Personen mit Dauerkarte an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Personen eine Dauerkarte besitzen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens drei Personen eine Dauerkarte besitzen. c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit besitzt mindestens eine Person eine Dauerkarte? Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße zählt hier die Treffer und welche Parameter hat ihr Binomialmodell? - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens drei“? - Welches Gegenereignis vereinfacht „mindestens eine Person“?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(80;0{,}025)\). 2. \(P(X=2)=\binom{80}{2}0{,}025^2 0{,}975^{78}\approx0{,}274111\), also \(27{,}41\,\%\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le3)\approx0{,}859432\), also \(85{,}94\,\%\). 4. Mit dem Gegenereignis gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}975^{80}\approx0{,}868062\), also \(86{,}81\,\%\).

Antwort

a) \(27{,}41\,\%\) b) \(85{,}94\,\%\) c) \(86{,}81\,\%\)
43608912
Das abgebildete Glücksrad mit \(10\) gleich großen Feldern wird \(8\)-mal gedreht. Die Sektoren sind zusätzlich mit Li (lila) und Or (orange) beschriftet. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Treffer für Lila an. Beschreibe jeweils ein Ereignis in Worten, dessen Wahrscheinlichkeit durch den gegebenen Term berechnet wird: 1) \(\binom{8}{2}0{,}3^2 0{,}7^6\) 2) \(0{,}7^8\) 3) \(1-0{,}7^8\) 4) \(\sum_{k=0}^{2}\binom{8}{k}0{,}3^k 0{,}7^{8-k}\)
Abbildung zur Aufgabe 436089

Denkanstöße

- Lies die Trefferwahrscheinlichkeit für Lila aus der Abbildung ab. - Woran erkennst du in einem Bernoulli-Term eine genaue Trefferzahl? - Was bedeutet die Subtraktion einer Wahrscheinlichkeit von \(1\)? - Welche Trefferzahlen umfasst die Summe im vierten Term?

Lösung

1. Aus der Abbildung liest man \(P(\text{Lila})=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(P(\text{nicht Lila})=0{,}7\) ab. 2. Term 1 beschreibt genau zwei lila Treffer. 3. Term 2 beschreibt keinen lila Treffer. 4. Term 3 beschreibt mindestens einen lila Treffer. 5. Term 4 beschreibt höchstens zwei lila Treffer.

Antwort

1) Genau \(2\)-mal Lila. 2) Kein einziges Mal Lila. 3) Mindestens einmal Lila. 4) Höchstens \(2\)-mal Lila.
55226712
Für \(X\sim B(12;0{,}4)\) sind folgende auf vier Dezimalstellen gerundete kumulierte Werte gegeben: <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(4\)</th><th>\(5\)</th><th>\(6\)</th><th>\(7\)</th></tr><tr><td>\(F(k)=P(X\le k)\)</td><td>\(0{,}4382\)</td><td>\(0{,}6652\)</td><td>\(0{,}8418\)</td><td>\(0{,}9427\)</td></tr></table> Verwende ausschließlich die Tabellenwerte und gib die Ergebnisse auf vier Dezimalstellen an: a) \(P(X<6)\) b) \(P(X\ge7)\) c) \(P(X>7)\)

Denkanstöße

- Übersetze strikte Ungleichungen zuerst in passende ganzzahlige Grenzen. - Für obere Ereignisse ist das Gegenereignis oft direkt in der Tabelle enthalten. - Achte darauf, ob die jeweilige Randzahl noch zum Ereignis gehört.

Lösung

1. \(X<6\) bedeutet \(X\le5\). Mit dem gerundeten Tabellenwert ist \(P(X<6)=F(5)\approx0{,}6652\). 2. \(X\ge7\) ist das Gegenereignis zu \(X\le6\). Daher ist \(P(X\ge7)=1-F(6)\approx1-0{,}8418=0{,}1582\). 3. \(X>7\) ist das Gegenereignis zu \(X\le7\). Daher ist \(P(X>7)=1-F(7)\approx1-0{,}9427=0{,}0573\).

Antwort

a) \(\approx0{,}6652\) b) \(\approx0{,}1582\) c) \(\approx0{,}0573\)
55226812
Die Summenkurve gehört zu einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\sim B(4;0{,}5)\). a) Lies \(P(X\le1)\) aus der Summenkurve ab. b) Bestimme den kleinsten Wert \(k\), für den \(P(X\le k)>0{,}5\) gilt. c) Bestimme mithilfe der Summenkurve \(P(X\ge3)\) und erkläre, warum dieser Wert mit dem Ergebnis aus a) übereinstimmt.
Abbildung zur Aufgabe 552268

Denkanstöße

- Bei einer Summenkurve gehört zu jedem \(k\) der Wert \(F(k)=P(X\le k)\). - Vergleiche die Kurvenwerte links und rechts der Marke \(0{,}5\). - Für ein Ereignis mit „mindestens“ kann das Gegenereignis direkt an der Summenkurve liegen.

Lösung

1. An der Stelle \(k=1\) hat die Summenkurve den Wert \(F(1)=0{,}3125\). Daher ist \(P(X\le1)=0{,}3125\). 2. Es gilt \(F(1)=0{,}3125<0{,}5\) und \(F(2)=0{,}6875>0{,}5\). Der kleinste gesuchte Wert ist daher \(k=2\). 3. Für das obere Ereignis gilt \(P(X\ge3)=1-P(X\le2)=1-F(2)=0{,}3125\). 4. Bei \(p=0{,}5\) ist die Binomialverteilung symmetrisch: Die Ereignisse „höchstens 1 Treffer“ und „mindestens 3 Treffer“ entsprechen einander beim Vertauschen von Treffer und Nichttreffer.

Antwort

a) \(0{,}3125\) b) \(k=2\) c) \(P(X\ge3)=0{,}3125\); die Gleichheit folgt aus der Symmetrie bei \(p=0{,}5\).
55227412
Bei einem Bühnentest werden \(10\) identische Funksender gleichzeitig geprüft. Jeder Sender kann ausfallen oder funktionieren; für alle Sender gilt dieselbe unbekannte Ausfallwahrscheinlichkeit \(p\), und die Sender beeinflussen einander nicht. \(X\) bezeichnet die Zahl der ausgefallenen Sender. a) Begründe, warum \(X\) binomial modelliert werden kann. b) Aus früheren Tests ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Ausfälle ungefähr \(0{,}526\) beträgt. Die Tabelle zeigt passende, auf vier Dezimalstellen gerundete kumulierte Werte für drei mögliche Ausfallwahrscheinlichkeiten. Bestimme \(p\). <table><tr><th>\(p\)</th><th>\(0{,}20\)</th><th>\(0{,}25\)</th><th>\(0{,}30\)</th></tr><tr><td>\(P(X\le2)\)</td><td>\(0{,}6778\)</td><td>\(0{,}5256\)</td><td>\(0{,}3828\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Prüfe zuerst die Merkmale einer Bernoulli-Kette am beschriebenen Test. - Für Teil b) ist keine Gleichungslösung nötig: Die möglichen Parameterwerte sind bereits tabellarisch verglichen. - Suche den kumulierten Wert, der der beobachteten Wahrscheinlichkeit am nächsten liegt.

Lösung

1. Es liegen zehn gleichartige Versuche mit den zwei Ausgängen „Ausfall“ und „kein Ausfall“ vor. Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist für alle Sender gleich und die Ergebnisse beeinflussen einander nicht. Daher kann \(X\sim B(10;p)\) modelliert werden. 2. Gesucht ist der Tabellenwert, der ungefähr \(0{,}526\) ergibt. 3. Für \(p=0{,}25\) ist \(P(X\le2)\approx0{,}5256\), also praktisch der angegebene Wert. Daher ist \(p=0{,}25\).

Antwort

a) \(X\sim B(10;p)\), da zehn unabhängige gleichartige Bernoulli-Versuche mit konstanter Ausfallwahrscheinlichkeit vorliegen. b) \(p=0{,}25\)
55227512
In einer Qualitätskontrolle werden \(n\) Bauteile aus einer laufenden Produktion geprüft. Für jedes Bauteil beträgt die Fehlerwahrscheinlichkeit \(0{,}1\); die Prüfergebnisse werden als unabhängig voneinander modelliert. \(X\) bezeichnet die Zahl der fehlerhaften Bauteile. a) Begründe, warum \(X\) für festes \(n\) binomial modelliert werden kann. b) Es soll mit mindestens \(75\,\%\) Wahrscheinlichkeit mindestens ein fehlerhaftes Bauteil gefunden werden. Die Tabelle zeigt für einige Werte von \(n\) die auf vier Dezimalstellen gerundete kumulierte Wahrscheinlichkeit \(F_n(0)=P(X\le0)\). Bestimme den kleinsten passenden Wert von \(n\). <table><tr><th>\(n\)</th><th>\(12\)</th><th>\(13\)</th><th>\(14\)</th><th>\(15\)</th></tr><tr><td>\(F_n(0)\)</td><td>\(0{,}2824\)</td><td>\(0{,}2542\)</td><td>\(0{,}2288\)</td><td>\(0{,}2059\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Begründe die Modellwahl über Ausgänge, konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit. - Formuliere „mindestens ein fehlerhaftes Bauteil“ über das Gegenereignis \(X=0\). - Übersetze die geforderte Mindestwahrscheinlichkeit in eine Bedingung an \(F_n(0)\), bevor du die Tabelle vergleichst.

Lösung

1. Jedes geprüfte Bauteil liefert genau einen der Ausgänge „fehlerhaft“ oder „nicht fehlerhaft“. Die Fehlerwahrscheinlichkeit bleibt \(0{,}1\), und die Ergebnisse werden als unabhängig modelliert. Daher gilt für festes \(n\): \(X\sim B(n;0{,}1)\). 2. „Mindestens ein fehlerhaftes Bauteil“ ist das Gegenereignis zu \(X=0\). Gefordert ist also \(1-F_n(0)\ge0{,}75\), gleichwertig zu \(F_n(0)\le0{,}25\). 3. Für \(n=13\) ist \(F_{13}(0)\approx0{,}2542>0{,}25\); die Bedingung ist noch nicht erfüllt. 4. Für \(n=14\) ist \(F_{14}(0)\approx0{,}2288\le0{,}25\). Daher ist \(n=14\) der kleinste passende Tabellenwert.

Antwort

a) Für festes \(n\) gilt \(X\sim B(n;0{,}1)\). b) \(n=14\)
42343112
In einem Produktionsmodell weist jede LED-Lampe unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) eine geringfügige Farbabweichung auf. Es werden \(30\) Lampen betrachtet. Gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Lampe eine Farbabweichung aufweist. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Lampe eine Farbabweichung besitzt.

Denkanstöße

- Welche Parameter besitzt die Zahl der Lampen mit Farbabweichung? - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens eine“? - Addiere die zugehörigen Punktwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der Lampen mit Farbabweichung gilt \(X\sim B(30;0{,}05)\). 2. Für keine Farbabweichung ist \(P(X=0)=0{,}95^{30}\approx0{,}2146\). 3. Für höchstens eine Farbabweichung gilt \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\). 4. Dabei ist \(P(X=1)=30\cdot0{,}05\cdot0{,}95^{29}\approx0{,}3389\), also \(P(X\le1)\approx0{,}5535\).

Antwort

a) \(21{,}46\,\%\) b) \(55{,}35\,\%\)
42345112
Zwei Basketballspieler treten zu einem Wurfwettbewerb an. Spieler A wirft \(4\)-mal; seine Würfe werden als unabhängig mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p_A=0{,}90\) modelliert. Spieler B wirft \(6\)-mal; für ihn gilt entsprechend \(p_B=0{,}60\). Welches Ereignis ist wahrscheinlicher? Gib beide Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. Ereignis 1: Spieler A erzielt mindestens drei Treffer. Ereignis 2: Spieler B erzielt genau vier Treffer.

Denkanstöße

- Welche Trefferzahlen gehören bei Spieler A zum Ereignis „mindestens drei“? - Spieler B verlangt nur eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit. - Vergleiche die beiden Wahrscheinlichkeiten erst nach der Berechnung.

Lösung

1. Für Spieler A gilt \(P(X\ge3)=\binom{4}{3}0{,}9^3 0{,}1+0{,}9^4=0{,}9477\). 2. Für Spieler B gilt \(P(Y=4)=\binom{6}{4}0{,}6^4 0{,}4^2=0{,}31104\). 3. Damit beträgt die erste Wahrscheinlichkeit \(94{,}77\,\%\), die zweite gerundet \(31{,}10\,\%\). Ereignis 1 ist wahrscheinlicher.

Antwort

Ereignis 1 ist mit \(94{,}77\,\%\) wahrscheinlicher als Ereignis 2 mit \(31{,}10\,\%\).
42353712
In einem Produktionsmodell ist jede Tablette unabhängig von den anderen mit derselben unbekannten Defektwahrscheinlichkeit \(p\) behaftet. Je \(20\) Tabletten werden zu einem Blister zusammengefasst. Für einen Blister beträgt die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine fehlerhafte Tablette zu enthalten, genau \(5\,\%\). Bestimme \(p\) und runde auf vier Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens eine fehlerhafte Tablette“? - Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass alle \(20\) Tabletten fehlerfrei sind? - Löse anschließend die Potenzgleichung nach \(p\) auf.

Lösung

1. Für die Defektzahl \(X\) in einem Blister gilt \(X\sim B(20;p)\). 2. Aus \(P(X\ge1)=0{,}05\) folgt über das Gegenereignis \(1-(1-p)^{20}=0{,}05\). 3. Damit ist \((1-p)^{20}=0{,}95\) und folglich \(p=1-0{,}95^{1/20}\approx0{,}00256138\). 4. Auf vier Nachkommastellen gerundet ist \(p\approx0{,}0026\).

Antwort

\(p\approx0{,}0026\), also etwa \(0{,}26\,\%\).
42354012
Ein Glücksrad ist in \(5\) gleich große Sektoren unterteilt, von denen genau einer rot markiert ist. Das Rad wird unabhängig voneinander gedreht. Gib die Wahrscheinlichkeiten in a) und b) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. a) Berechne bei \(8\) Drehungen die Wahrscheinlichkeit, dass das Rad genau \(3\)-mal auf Rot stehen bleibt. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt das Rad bei \(8\) Drehungen mindestens \(2\)-mal auf Rot stehen? c) Wie oft muss das Rad mindestens gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(90\,\%\) mindestens einmal Rot erscheint?

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit für Rot. - Für „mindestens zwei“ ist das Gegenereignis mit null oder einem Treffer kürzer. - Für c) formuliere „mindestens einmal“ über „keinmal Rot“.

Lösung

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p=\frac{1}{5}=0{,}2\). 2. Für acht Drehungen gilt \(P(X=3)=\binom{8}{3}0{,}2^3 0{,}8^5\approx0{,}146801\). 3. Für mindestens zwei Treffer gilt \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}8^8-8\cdot0{,}2\cdot0{,}8^7\approx0{,}496684\). 4. Für c) ist \(1-0{,}8^n>0{,}90\), also \(0{,}8^n<0{,}10\). 5. Daraus folgt \(n>\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)}\approx10{,}32\). Die kleinste ganze Zahl ist \(11\).

Antwort

a) \(14{,}68\,\%\) b) \(49{,}67\,\%\) c) Mindestens \(11\) Drehungen.
42354312
Ein Vokabeltest besteht aus \(10\) Aufgaben. Bei jeder Aufgabe gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Sophie hat nicht gelernt und kreuzt bei allen Aufgaben rein zufällig eine Antwort an. Gib die Wahrscheinlichkeiten in a) und b) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Sophie genau drei Antworten richtig hat. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Sophie mindestens eine Antwort richtig hat. c) Ab wie vielen richtigen Antworten sollte der Test als bestanden gelten, wenn die Wahrscheinlichkeit, allein durch Raten zu bestehen, weniger als \(15\,\%\) betragen soll?

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Welche Trefferzahlen gehören zum Ereignis „mindestens eine richtige Antwort“ und welche nicht? - Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit zu bestehen, wenn die geforderte Anzahl richtiger Antworten erhöht wird?

Lösung

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}25\). 2. Für genau drei Treffer gilt \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}25^3 0{,}75^7\approx0{,}250282\). 3. Für mindestens einen Treffer gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}75^{10}\approx0{,}943686\). 4. Für die Bestehensgrenze wird die obere Restwahrscheinlichkeit geprüft: \(P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}0{,}25^k0{,}75^{10-k}\approx0{,}224125>0{,}15\). 5. Dagegen ist \(P(X\ge5)=1-\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}0{,}25^k0{,}75^{10-k}\approx0{,}078127<0{,}15\). Daher ist \(5\) die kleinste passende Bestehensgrenze.

Antwort

a) \(25{,}03\,\%\) b) \(94{,}37\,\%\) c) Ab \(5\) richtigen Antworten.
42354912
Eine Jugendherberge verfügt über \(45\) Betten. Für ein Modell wird angenommen, dass jede reservierende Person unabhängig mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}80\) tatsächlich anreist. a) Für ein Wochenende wurden \(52\) Reservierungen angenommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Gäste anreisen, als Betten vorhanden sind? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. b) Die Überbuchungswahrscheinlichkeit soll höchstens \(10\,\%\) betragen. Wie viele Reservierungen dürfen maximal angenommen werden?

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße beschreibt die Zahl der tatsächlich anreisenden Gäste? - Wann genau liegt eine Überbuchung vor? - Prüfe für Teil b benachbarte Reservierungszahlen an der gesuchten Grenze.

Lösung

1. Bei \(52\) Reservierungen gilt für die Zahl \(X\) der Anreisenden \(X\sim B(52;0{,}80)\). 2. Eine Überbuchung liegt bei \(X>45\) vor. Mit der kumulierten Binomialfunktion des Taschenrechners erhält man \(P(X>45)=1-P(X\le45)\approx0{,}082283\). 3. Für Teil b wird das größte \(n\) mit \(P(X>45)\le0{,}10\) gesucht. 4. Mit derselben kumulierten Binomialfunktion ergibt sich für \(n=52\) etwa \(0{,}082283\), für \(n=53\) dagegen etwa \(0{,}141953\). 5. Daher sind maximal \(52\) Reservierungen zulässig.

Antwort

a) \(8{,}23\,\%\) b) Maximal \(52\) Reservierungen.
42357712
Für ein mathematisches Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jedes von \(20\) betrachteten Bauteilen unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(5\,\%\) fehlerhaft ist. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der fehlerhaften Teile an. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: a) Es ist genau ein Teil fehlerhaft. b) Es sind höchstens zwei Teile fehlerhaft. c) Es ist mindestens ein Teil fehlerhaft.

Denkanstöße

- Lege die Parameter der Binomialverteilung fest. - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens zwei“? - Für „mindestens ein“ ist das Gegenereignis besonders einfach.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}05)\). 2. \(P(X=1)=\binom{20}{1}0{,}05\cdot0{,}95^{19}\approx0{,}377354\). 3. \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}0{,}05^k0{,}95^{20-k}\approx0{,}924516\). 4. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}95^{20}\approx0{,}641514\).

Antwort

a) \(37{,}74\,\%\) b) \(92{,}45\,\%\) c) \(64{,}15\,\%\)
42359312
Ein Glücksrad ist in vier gleich große Sektoren mit den Farben Rot, Blau, Grün und Gelb unterteilt. Das Rad wird \(10\)-mal unabhängig voneinander gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: a) Die Farbe Rot erscheint genau \(2\)-mal. b) Die Farbe Rot erscheint höchstens \(1\)-mal. c) Die Farbe Rot erscheint mindestens \(2\)-mal. d) Es wird mindestens \(9\)-mal eine andere Farbe als Rot angezeigt.

Denkanstöße

- Bestimme die Trefferwahrscheinlichkeit für Rot aus den vier gleich großen Sektoren. - Nutze für „mindestens zwei“ das Gegenereignis zu „höchstens eins“. - Übersetze Teil d) in eine Aussage über die Zahl der roten Treffer.

Lösung

1. Für „Rot“ gilt \(p=\frac14=0{,}25\). Daher ist die Anzahl \(X\) der roten Treffer binomialverteilt mit \(n=10\). 2. \(P(X=2)=\binom{10}{2}0{,}25^2 0{,}75^8\approx0{,}281568\). 3. \(P(X\le1)=0{,}75^{10}+10\cdot0{,}25\cdot0{,}75^9\approx0{,}244025\). 4. \(P(X\ge2)=1-P(X\le1)\approx0{,}755975\). 5. „Mindestens neunmal nicht Rot“ bedeutet bei zehn Drehungen „höchstens einmal Rot“. Daher ist die Wahrscheinlichkeit dieselbe wie in b).

Antwort

a) \(28{,}16\,\%\) b) \(24{,}40\,\%\) c) \(75{,}60\,\%\) d) \(24{,}40\,\%\)
42359412
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird \(6\)-mal nacheinander geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an: a) Es wird genau einmal eine Sechs gewürfelt. b) Es wird keine Sechs gewürfelt. c) Es werden mindestens zwei Sechsen gewürfelt. d) Es wird höchstens fünfmal keine Sechs gewürfelt.

Denkanstöße

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs bei einem Wurf? Und wie hoch für keine Sechs? - Wenn du „mindestens zwei“ berechnen sollst, ist es oft kürzer, die Fälle \(0\) und \(1\) von der Gesamtwahrscheinlichkeit abzuziehen. - Lies die Formulierung in d) genau: Was ist das Gegenteil von „höchstens fünfmal keine Sechs“?

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der gewürfelten Sechsen gilt \(X\sim B(6;\frac16)\). 2. Genau eine Sechs: \(P(X=1)=\binom61\frac16\left(\frac56\right)^5=\frac{3125}{7776}\approx0{,}4019\). 3. Keine Sechs: \(P(X=0)=\left(\frac56\right)^6=\frac{15625}{46656}\approx0{,}3349\). 4. Mindestens zwei Sechsen: \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=\frac{12281}{46656}\approx0{,}2632\). 5. Höchstens fünfmal keine Sechs ist das Gegenereignis zu „sechsmal keine Sechs“. Daher gilt \(P=1-P(X=0)=\frac{31031}{46656}\approx0{,}6651\).

Antwort

a) \(0{,}4019\) b) \(0{,}3349\) c) \(0{,}2632\) d) \(0{,}6651\)
42360712
Ein Glücksrad mit fünf gleich großen Sektoren, von denen einer blau markiert ist, wird sechsmal unabhängig voneinander gedreht. Das Erscheinen des blauen Sektors wird als „Treffer“ gewertet. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zweimal ein Treffer erzielt wird. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt der erste Treffer genau bei der vierten Drehung auf? c) Gegeben ist \(P(A)=\binom{6}{3}0{,}2^3\cdot0{,}8^3\). Gib geeignete Werte für \(n\), \(k\) und \(p\) an und beschreibe das Ereignis \(A\) im Sachzusammenhang.

Denkanstöße

- Für „mindestens zwei“ ist das Gegenereignis mit null oder einem Treffer kurz. - Was muss vor dem ersten Treffer in Drehung vier geschehen? - Vergleiche den gegebenen Term in c) mit der allgemeinen Binomialformel.

Lösung

1. Es gilt \(p=\frac15=0{,}2\). 2. Für a) ist \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}8^6-6\cdot0{,}2\cdot0{,}8^5=0{,}34464\). 3. Für den ersten Treffer bei der vierten Drehung müssen zunächst drei Nieten und dann ein Treffer auftreten. Daher ist \(P=0{,}8^3\cdot0{,}2=0{,}1024\). 4. Im Term aus c) ist \(n=6\), \(k=3\) und \(p=0{,}2\). Das Ereignis lautet: „Bei sechs Drehungen wird genau dreimal Blau erzielt.“

Antwort

a) \(0{,}34464\approx34{,}46\,\%\) b) \(0{,}1024=10{,}24\,\%\) c) \(n=6\), \(k=3\), \(p=0{,}2\); genau drei blaue Treffer.
42361412
Für ein mathematisches Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jede von \(15\) betrachteten Pralinen unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(4\,\%\) nicht perfekt geformt ist. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der nicht perfekt geformten Pralinen. a) Begründe, warum der Ansatz \(P(X=2)=\binom{15}{2}0{,}04^2\cdot0{,}96^{13}\) die Wahrscheinlichkeit für genau zwei nicht perfekt geformte Pralinen korrekt wiedergibt. b) Ein Mitarbeiter behauptet, die Wahrscheinlichkeit für höchstens eine nicht perfekt geformte Praline sei \(0{,}96^{15}+15\cdot0{,}04\cdot0{,}96^{14}\). Beurteile die Behauptung mithilfe der Bernoulli-Formel.

Denkanstöße

- Ordne den Faktoren des gegebenen Terms ihre Bedeutung in der Binomialformel zu. - Welche Werte von \(X\) gehören zu „höchstens eine“? - Prüfe die beiden Summanden des behaupteten Terms einzeln.

Lösung

1. Das Modell hat zwei Ausgänge pro Praline, konstantes \(p=0{,}04\) und unabhängige Versuche. Daher gilt \(X\sim B(15;0{,}04)\). 2. Für genau zwei Treffer lautet die Punktwahrscheinlichkeit \(\binom{15}{2}0{,}04^2\cdot(1-0{,}04)^{13}\), also genau der gegebene Term. 3. „Höchstens eine“ bedeutet \(X=0\) oder \(X=1\). 4. Es gilt \(P(X=0)=0{,}96^{15}\) und \(P(X=1)=15\cdot0{,}04\cdot0{,}96^{14}\). 5. Der behauptete Term ist daher korrekt.

Antwort

a) Der Term ist die Binomial-Punktwahrscheinlichkeit für \(n=15\), \(k=2\) und \(p=0{,}04\). b) Die Behauptung ist korrekt, denn der Term ist \(P(X=0)+P(X=1)=P(X\le1)\).
42361712
In einem Gefäß befinden sich 20 Kugeln, von denen einige blau und die restlichen gelb sind. Es werden nacheinander 8 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei höchstens zwei blaue Kugeln gezogen werden, beträgt etwa \(67{,}85\,\%\). Wie viele blaue Kugeln befinden sich im Gefäß?

Denkanstöße

- Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt ein Zufallsexperiment mit zwei Ausgängen und Zurücklegen? - Wie hängen die Trefferwahrscheinlichkeit und die Anzahl der blauen Kugeln im Gefäß zusammen? - Kannst du mögliche ganzzahlige Kugelzahlen systematisch testen und die kumulierte Wahrscheinlichkeit vergleichen?

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln. Wegen des Zurücklegens gilt \(X\sim B\left(8;\frac{k}{20}\right)\), wobei \(k\) die Anzahl der blauen Kugeln ist. 2. Gesucht ist ein ganzzahliges \(k\) mit \(P(X\le2)\approx0{,}6785\). 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert für \(k=4\), also \(p=0{,}2\), den Wert \(P(X\le2)\approx0{,}7969\). 4. Für \(k=5\), also \(p=0{,}25\), liefert sie \(P(X\le2)\approx0{,}6785\). 5. Somit befinden sich \(5\) blaue Kugeln im Gefäß.

Antwort

Es befinden sich \(5\) blaue Kugeln im Gefäß.
42361812
Eine Lieferung besteht aus 25 elektronischen Bauteilen. Zur Qualitätskontrolle werden 10 Bauteile nacheinander mit Zurücklegen entnommen und geprüft. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Teilen mindestens ein defektes Bauteil befindet, beträgt circa \(89{,}26\,\%\). Bestimme die Anzahl der defekten Bauteile in der gesamten Lieferung.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eins“ am einfachsten berechnen kann. - Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeit von null Treffern bei einer Binomialverteilung? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes defektes Teil als Bruch ausdrücken? - Versuche, die Gleichung nach der unbekannten Wahrscheinlichkeit aufzulösen.

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile in der Stichprobe. \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 10\) und \(p = \frac{k}{25}\), wobei \(k\) die Anzahl der defekten Teile in der Lieferung ist. 2. Die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein defektes Teil“ wird über das Gegenereignis „kein defektes Teil“ berechnet: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)^{10}\). 3. Laut Aufgabe gilt: \(1 - (1 - p)^{10} \approx 0{,}8926\). 4. Umstellen der Gleichung: \((1 - p)^{10} \approx 1 - 0{,}8926 = 0{,}1074\). 5. Ziehen der 10. Wurzel: \(1 - p \approx \sqrt[10]{0{,}1074} \approx 0{,}8\). 6. Daraus folgt \(p \approx 0{,}2\). 7. Berechnung der Anzahl \(k\): \(k = p \cdot 25 = 0{,}2 \cdot 25 = 5\).

Antwort

In der Lieferung befinden sich 5 defekte Bauteile.
42362312
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette mit der Länge \(n=20\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}3\). Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an: a) \(P(X=6)\) b) \(P(X\le4)\) c) \(P(X>7)\) d) \(P(5\le X\le9)\)

Denkanstöße

- Überlege dir, ob nach einem einzelnen Trefferwert oder nach einem Bereich von Trefferzahlen gefragt ist. - Bei einer unteren kumulierten Wahrscheinlichkeit kannst du die passenden Punktwahrscheinlichkeiten addieren. - Für eine obere Restwahrscheinlichkeit ist das Gegenereignis oft kürzer. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit lässt sich als Differenz zweier geeigneter kumulierter Wahrscheinlichkeiten schreiben.

Lösung

1. Für die Punktwahrscheinlichkeit gilt \(P(X=6)=\binom{20}{6}0{,}3^6 0{,}7^{14}\approx0{,}191639\). 2. Für \(P(X\le4)\) wird über \(k=0,\ldots,4\) summiert; mit der kumulierten Binomialfunktion des Taschenrechners erhält man \(P(X\le4)\approx0{,}237508\). 3. Für \(P(X>7)\) gilt \(P(X>7)=1-P(X\le7)\). Die kumulierte Binomialfunktion liefert \(P(X\le7)\approx0{,}772272\), also \(P(X>7)\approx0{,}227728\). 4. Für das Intervall gilt \(P(5\le X\le9)=P(X\le9)-P(X\le4)\). Mit \(P(X\le9)\approx0{,}952038\) und dem Wert aus Schritt 2 folgt \(P(5\le X\le9)\approx0{,}714530\).

Antwort

a) \(0{,}1916\) b) \(0{,}2375\) c) \(0{,}2277\) d) \(0{,}7145\)
42652212
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(6\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es \(5\) Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Mara rät bei jeder Frage rein zufällig. Formuliere ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem angegebenen Term berechnet werden kann: a) \((\frac{4}{5})^6\) b) \(1-(\frac{4}{5})^6\) c) \(6\cdot\frac{1}{5}\cdot(\frac{4}{5})^5\) d) \(1-\left((\frac{4}{5})^6+6\cdot\frac{1}{5}\cdot(\frac{4}{5})^5\right)\)

Denkanstöße

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit für eine richtige und eine falsche Antwort pro Frage. - Wie viele Fragen werden insgesamt betrachtet? Dies erkennst du an den Exponenten oder der Summe der Exponenten. - Was bedeutet es für das Gesamtergebnis, wenn man die Wahrscheinlichkeit von „Null Treffern“ von \(1\) abzieht? - Analysiere den Aufbau des Terms in Teil d): Was wird hier von der Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) abgezogen?

Lösung

Das Raten bei den \(6\) Fragen wird als Bernoulli-Kette mit \(n=6\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{5}\) (eine von fünf Antworten korrekt) betrachtet. 1. Der Term \((\frac{4}{5})^6\) entspricht \(P(X=0)\), da \(\frac{4}{5}\) die Wahrscheinlichkeit für eine falsche Antwort ist. Ereignis: „Keine Frage wird richtig beantwortet“. 2. Der Term \(1-(\frac{4}{5})^6\) berechnet \(1-P(X=0)\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit für das komplementäre Ereignis: „Mindestens eine Frage wird richtig beantwortet“. 3. Der Term \(6\cdot\frac{1}{5}\cdot(\frac{4}{5})^5\) entspricht der Bernoulli-Formel für \(k=1\) Treffer, wobei \(6=\binom{6}{1}\). Ereignis: „Genau eine Frage wird richtig beantwortet“. 4. In der Klammer steht die Summe \(P(X=0)+P(X=1)\). Der gesamte Term \(1-(P(X=0)+P(X=1))\) berechnet somit die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu „höchstens eine richtige Antwort“. Ereignis: „Mindestens zwei Fragen werden richtig beantwortet“.

Antwort

a) Mara beantwortet keine der sechs Fragen richtig. b) Mara beantwortet mindestens eine Frage richtig. c) Mara beantwortet genau eine der sechs Fragen richtig. d) Mara beantwortet mindestens zwei Fragen richtig.
42685512
In einer Gruppe von \(15\) Personen wird die Verteilung der Geburtswochentage untersucht. Für das Modell wird angenommen, dass die Geburtswochentage der Personen voneinander unabhängig und gleichmäßig auf die sieben Wochentage verteilt sind. Gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Personen an einem Sonntag geboren wurden. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Person an einem Samstag geboren wurde. c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als \(13\) Personen an einem Werktag (Montag bis Freitag) geboren wurden.

Denkanstöße

- Bestimme für jede Teilaufgabe zuerst die passende Trefferwahrscheinlichkeit. - Bei „mindestens einer“ ist das Gegenereignis besonders kurz. - In c) zählen fünf der sieben Wochentage als Werktage; welche Trefferzahlen erfüllen „mehr als 13“?

Lösung

1. Für einen bestimmten Wochentag liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=15\) und \(p=\frac17\) vor. 2. Für a) gilt \(P(X=2)=\binom{15}{2}\left(\frac17\right)^2\left(\frac67\right)^{13}\approx0{,}288858\). 3. Für b) wird das Gegenereignis betrachtet: \(P(X\ge1)=1-\left(\frac67\right)^{15}\approx0{,}900963\). 4. In c) beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit für Montag bis Freitag \(p=\frac57\). Gesucht ist \(P(X>13)=P(X=14)+P(X=15)\). 5. Mit der Binomialformel ergibt sich \(P(X>13)\approx0{,}044996\).

Antwort

a) \(28{,}89\,\%\) b) \(90{,}10\,\%\) c) \(4{,}50\,\%\)
42686012
Ein digitaler Speicherchip speichert Daten in Blöcken von \(20\) Bits (0 oder 1). a) Wie viele verschiedene 20-Bit-Blöcke enthalten genau zwei Einsen? b) Bei der Übertragung eines Blocks können Bitfehler auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler pro Bit liegt konstant bei \(p=0{,}01\). Nimm für diese Berechnung an, dass die Fehler an den einzelnen Bits unabhängig voneinander auftreten. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Block von \(20\) Bits höchstens einen Fehler aufweist. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. c) Nenne die Voraussetzungen, unter denen die Anzahl der Fehler in einem Block als binomialverteilt betrachtet werden kann.

Denkanstöße

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Plätze aus \(20\) verfügbaren Plätzen auszuwählen? - Was bedeutet „höchstens ein Fehler“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Welche Angaben brauchst du, damit du die Fehlerzahl mit einer Binomialverteilung modellieren kannst? - Vergleiche die Annahmen in b) mit den allgemeinen Merkmalen einer Bernoulli-Kette.

Lösung

1. Für a) werden zwei Positionen aus \(20\) für die Einsen ausgewählt. Es gibt \(\binom{20}{2}=190\) solche Blöcke. 2. Unter der Annahme aus b) ist die Fehlerzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p=0{,}01\). 3. Für höchstens einen Fehler gilt \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\). 4. Damit ist \(P(X\le1)=0{,}99^{20}+20\cdot0{,}01\cdot0{,}99^{19}\approx0{,}983141\). 5. Für eine Binomialverteilung müssen pro Bit genau zwei betrachtete Ausgänge vorliegen, die Fehlerwahrscheinlichkeit muss bei jedem Bit gleich sein und die Fehlerereignisse müssen unabhängig voneinander sein.

Antwort

a) \(190\) Blöcke. b) \(98{,}31\,\%\) c) Zwei betrachtete Ausgänge pro Bit, konstante Fehlerwahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit der Fehlerereignisse.
42687812
In einem Archiv erhält jedes Dokument eine Signatur. Diese besteht aus genau einem der Buchstaben \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\), \(\text{D}\) oder \(\text{E}\) und einer dreistelligen Nummer von \(000\) bis \(999\). Eine Signatur gilt als „Prioritätssignatur“, wenn die dreistellige Nummer mit der Ziffer \(9\) beginnt. 1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit \(p\), dass eine zufällig generierte Signatur eine Prioritätssignatur ist, genau \(0{,}1\) beträgt. 2. Es werden \(10\) Signaturen unabhängig voneinander generiert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als \(2\) dieser Signaturen Prioritätssignaturen sind. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie viele dreistellige Nummern es insgesamt gibt und wie viele davon mit einer \(9\) beginnen. - Was bedeutet „mehr als 2“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Ist es kürzer, die gesuchte obere Restwahrscheinlichkeit direkt oder über das Gegenereignis zu berechnen? - Welche Punktwahrscheinlichkeiten gehören zum Gegenereignis?

Lösung

1. Es gibt \(5\cdot1000=5000\) mögliche Signaturen und \(5\cdot100=500\) Prioritätssignaturen. Daher ist \(p=\frac{500}{5000}=0{,}1\). 2. Für die Zahl \(Y\) der Prioritätssignaturen gilt \(Y\sim B(10;0{,}1)\). 3. Gesucht ist \(P(Y>2)=1-P(Y\le2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}0{,}1^k0{,}9^{10-k}\). 4. Die Summe ergibt \(P(Y>2)\approx0{,}070191\).

Antwort

1. \(p=0{,}1\) 2. \(7{,}02\,\%\)
42691312
Für ein mathematisches Rücksendemodell wird angenommen, dass jedes von \(25\) betrachteten Paketen unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(15\,\%\) zurückgeschickt wird. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (1) genau \(3\) Pakete zurückgeschickt werden, (2) kein Paket zurückgeschickt wird, (3) mindestens \(2\) Pakete zurückgeschickt werden. Gib die drei Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. b) Für ein zweites Modell wird eine Rücksendewahrscheinlichkeit von \(20\,\%\) angenommen. Berechne für beide Modelle den Erwartungswert der Anzahl der Rücksendungen und vergleiche sie.

Denkanstöße

- Lege zuerst die Parameter des ersten Binomialmodells fest. - Für „mindestens zwei“ ist das Gegenereignis mit null oder einer Rücksendung kürzer. - Vergleiche in b) die beiden Werte von \(np\).

Lösung

1. Im ersten Modell gilt \(X\sim B(25;0{,}15)\). 2. \(P(X=3)=\binom{25}{3}0{,}15^3 0{,}85^{22}\approx0{,}217379\). 3. \(P(X=0)=0{,}85^{25}\approx0{,}017198\). 4. \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}85^{25}-25\cdot0{,}15\cdot0{,}85^{24}\approx0{,}906929\). 5. Für \(p=0{,}15\) ist \(E(X)=25\cdot0{,}15=3{,}75\). Für \(p=0{,}20\) ist \(E(X)=5\). Der Erwartungswert steigt um \(1{,}25\).

Antwort

a) (1) \(21{,}74\,\%\) (2) \(1{,}72\,\%\) (3) \(90{,}69\,\%\) b) \(3{,}75\) gegenüber \(5\); Anstieg um \(1{,}25\).
42698212
Ein Logistikunternehmen verwendet für eine Modellrechnung folgende Annahme: Jedes untersuchte Paket benötigt unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}15\) eine Sonderbehandlung bei der Sortierung. Es werden \(20\) Pakete nacheinander untersucht. a) Ermittle die Anzahl der verschiedenen Abfolgen von „Sonderbehandlung“ (\(S\)) und „Normalbehandlung“ (\(N\)), bei denen genau \(4\) Pakete eine Sonderbehandlung erfordern. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(4\) Pakete eine Sonderbehandlung benötigen. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zwei Pakete eine Sonderbehandlung benötigen. Gib das Ergebnis ebenfalls als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Wie viele Wege gibt es, vier Sonderbehandlungen auf \(20\) Plätze zu verteilen? - Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Verwendung einer Binomialverteilung? - Was bedeutet „höchstens zwei“ für die möglichen Werte der Zufallsgröße? - Welche Punktwahrscheinlichkeiten musst du für Teil c) addieren?

Lösung

1. Die Anzahl der Abfolgen entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{20}{4}\). 2. Es gilt \(\binom{20}{4}=4845\). 3. Für genau \(4\) Pakete gilt \(P(X=4)=\binom{20}{4}0{,}15^4 0{,}85^{16}\approx0{,}182122\). 4. Für höchstens zwei Pakete gilt \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}0{,}15^k0{,}85^{20-k}\approx0{,}404896\).

Antwort

a) \(4845\) verschiedene Abfolgen. b) \(18{,}21\,\%\) c) \(40{,}49\,\%\)
42702612
Für eine Modellrechnung zu einem Fertigungsprozess wird angenommen, dass jedes produzierte Bauteil unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) fehlerhaft ist. Einer laufenden Produktion werden \(100\) Bauteile entnommen. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Anzahl der fehlerhaften Bauteile an. Gib die Bedeutung der folgenden Terme im Sachzusammenhang an und ermittle die Wahrscheinlichkeiten als Dezimalzahlen auf vier Nachkommastellen. a) \(\sum_{k=0}^{10}\binom{100}{k}0{,}05^k0{,}95^{100-k}\) b) \(1-\sum_{k=0}^{2}B(100;0{,}05;k)\) c) \(\sum_{k=4}^{7}B(100;0{,}05;k)\)

Denkanstöße

- Identifiziere zuerst die Parameter \(n\) und \(p\) und prüfe, welche Modellannahmen ihre Verwendung rechtfertigen. - Welche Trefferzahlen werden in der Summe aus a) erfasst? - Welches Ereignis wird durch den Ausdruck \(1-P(\dots)\) beschrieben? - Achte bei c) genau auf die eingeschlossenen Randwerte.

Lösung

1. Unter den angegebenen Modellannahmen ist \(Y\) binomialverteilt mit \(n=100\) und \(p=0{,}05\). 2. Term a) entspricht \(P(Y\le10)\), also „höchstens \(10\) fehlerhafte Bauteile“. Die angegebene Summe ergibt \(P(Y\le10)\approx0{,}9885\). 3. Term b) ist \(1-P(Y\le2)=P(Y\ge3)\). Die Summe im Gegenereignis ergibt \(P(Y\ge3)\approx0{,}8817\). 4. Term c) beschreibt \(P(4\le Y\le7)\). Die angegebene Summe ergibt \(P(4\le Y\le7)\approx0{,}6142\).

Antwort

a) Höchstens \(10\) fehlerhafte Bauteile: \(0{,}9885\) b) Mindestens \(3\) fehlerhafte Bauteile: \(0{,}8817\) c) Zwischen \(4\) und \(7\) fehlerhafte Bauteile einschließlich: \(0{,}6142\)
42703012
Betrachtet wird eine \(B(150; 0{,}6)\)-verteilte Zufallsgröße \(X\). Stelle den Term für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mithilfe des Summenzeichens dar und bestimme das Ergebnis. Runde auf vier Stellen nach dem Komma. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) einen Wert kleiner als \(85\) annimmt. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) mindestens den Wert \(100\) annimmt. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Bereich von mindestens \(80\) bis unter \(110\) liegt.

Denkanstöße

- Achte auf den Unterschied zwischen „kleiner als“ (\(<\)) und „höchstens“ (\(\le\)). - „Mindestens \(k\)“ bedeutet \(X \ge k\). - Bei einem Bereich wie „von \(a\) bis unter \(b\)“ ist die untere Grenze \(a\) eingeschlossen, die obere Grenze \(b\) jedoch ausgeschlossen. - Die Summe startet immer beim kleinsten möglichen Wert des Ereignisses und endet beim größten. - Zur Kontrolle: Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten von \(0\) bis \(n\) muss immer \(1\) ergeben.

Lösung

a) Für \(P(X < 85)\): Da \(X\) nur ganzzahlige Werte annimmt, entspricht dies \(P(X \le 84)\). Term: \(\sum_{i=0}^{84} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Ergebnis: \(\approx 0{,}1794\). b) Für \(P(X \ge 100)\): Term: \(\sum_{i=100}^{150} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Über das Gegenereignis berechnet man \(1 - P(X \le 99)\). Ergebnis: \(\approx 0{,}0555\). c) Für \(P(80 \le X < 110)\): Dies umfasst die Werte von \(80\) bis \(109\). Term: \(\sum_{i=80}^{109} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i}\). Dies lässt sich berechnen als \(P(X \le 109) - P(X \le 79)\). Ergebnis: \(\approx 0{,}9587\).

Antwort

a) \(\sum_{i=0}^{84} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}1794\) b) \(\sum_{i=100}^{150} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}0555\) c) \(\sum_{i=80}^{109} \binom{150}{i} \cdot 0{,}6^i \cdot 0{,}4^{150-i} \approx 0{,}9587\)
42703612
Bei einem Bogenschützen beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit für das Zentrum der Zielscheibe („das Goldene“) bei jedem Schuss konstant \(0{,}7\). Für das Modell werden die \(8\) Schüsse als voneinander unabhängig angenommen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ergebnisse und gib sie jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: a) Er trifft genau sechsmal das Goldene. b) Er trifft mindestens siebenmal das Goldene. c) Er trifft höchstens fünfmal das Goldene.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Text rechtfertigen ein Binomialmodell für die Trefferzahl? - Welche Werte für \(n\) und \(p\) gelten? - Welche Trefferzahlen gehören zum Ereignis „mindestens sieben“? - Bei „höchstens fünf“ kann ein Gegenereignis die Rechnung verkürzen.

Lösung

1. Unter den angegebenen Modellannahmen ist die Trefferzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=8\) und \(p=0{,}7\). 2. Für a) gilt \(P(X=6)=\binom{8}{6}\cdot0{,}7^6\cdot0{,}3^2\approx0{,}296475\). 3. Für b) gilt \(P(X\ge7)=\binom{8}{7}\cdot0{,}7^7\cdot0{,}3+0{,}7^8\approx0{,}255298\). 4. Für c) gilt \(P(X\le5)=1-P(X\ge6)=1-\sum_{k=6}^{8}\binom{8}{k}0{,}7^k0{,}3^{8-k}\approx0{,}448226\).

Antwort

a) \(29{,}65\,\%\) b) \(25{,}53\,\%\) c) \(44{,}82\,\%\)
42704712
Ein Glücksrad besitzt acht gleich große Felder, die mit den Zahlen \(1\) bis \(8\) beschriftet sind. Das Rad wird zehnmal unabhängig voneinander gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse. Gib die Ergebnisse jeweils als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an. 1. Es wird genau viermal eine Primzahl erzielt. 2. Es werden höchstens dreimal Primzahlen erzielt. 3. Es werden mindestens achtmal Zahlen erzielt, die größer als \(6\) sind. 4. Nur die ersten drei Drehungen liefern eine Primzahl, alle weiteren Drehungen nicht.

Denkanstöße

- Bestimme für jede Teilaufgabe zuerst, welche Zahlen als Treffer zählen. - Unterscheide zwischen Trefferanzahlen und einer fest vorgegebenen Reihenfolge. - Bei „höchstens“ und „mindestens“ musst du mehrere mögliche Trefferzahlen zusammenfassen.

Lösung

1. Die Primzahlen von \(1\) bis \(8\) sind \(2,3,5,7\), also gilt \(p=\frac48=0{,}5\). Damit ist \(P(X=4)=\binom{10}{4}0{,}5^{10}=0{,}205078125\approx0{,}2051\). 2. \(P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}0{,}5^{10}=0{,}171875\approx0{,}1719\). 3. Für Zahlen größer als \(6\) ist \(p=\frac28=0{,}25\). Daher ist \(P(Y\ge8)=\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}0{,}25^k0{,}75^{10-k}\approx0{,}000416\). 4. Für die fest vorgegebene Folge aus drei Primzahlen und sieben Nicht-Primzahlen gilt \(P=0{,}5^{10}=0{,}0009765625\approx0{,}0010\).

Antwort

1. \(0{,}2051\) 2. \(0{,}1719\) 3. \(0{,}0004\) 4. \(0{,}0010\)
42704812
Ein Zufallsexperiment besteht aus dem mehrfachen Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel beträgt \(p\). Interpretiere die folgenden Terme, indem du jeweils die Anzahl der Durchführungen \(n\), die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und ein passendes Ereignis \(E\) angibst. 1. \(\binom{15}{4} \cdot 0{,}2^4 \cdot 0{,}8^{11}\) 2. \(\sum_{k=0}^{2} \binom{12}{k} \cdot 0{,}4^k \cdot 0{,}6^{12-k}\) 3. \(0{,}3^3 \cdot 0{,}7^7\) 4. \(1 - \sum_{k=0}^{13} \binom{20}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{20-k}\)

Denkanstöße

- Achte auf den Exponenten und den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der Versuche \(n\) zu bestimmen. - Was bedeutet es für die Reihenfolge der Ergebnisse, wenn kein Binomialkoeffizient im Term steht? - Erinnere dich an die Bedeutung des Summenzeichens im Kontext der kumulierten Binomialverteilung. - Was bewirkt das „1 minus ...“ am Anfang eines Terms?

Lösung

1. Struktur einer Bernoulli-Kette: \(n=15\) Versuche, Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}2\). Der Term berechnet die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\): „Es werden genau 4 rote Kugeln gezogen“. 2. Summe von Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten: \(n=12\) Versuche, \(p=0{,}4\). Die Summation über \(k=0, 1, 2\) entspricht dem Ereignis \(E\): „Es werden höchstens 2 rote Kugeln gezogen“. 3. Produktform ohne Binomialkoeffizient: Dies beschreibt eine spezifische Reihenfolge. \(n=10\) Versuche (da \(3+7=10\)), \(p=0{,}3\). Ereignis \(E\): „Die ersten drei Kugeln sind rot und die restlichen sieben sind nicht rot“ (oder eine andere fest definierte Sequenz mit 3 Treffern und 7 nicht roten Kugeln). 4. Gegenwahrscheinlichkeit einer kumulierten Verteilung: \(n=20\) Versuche, \(p=0{,}9\). Der abgezogene Teil ist \(P(X \le 13)\). Das Gesamtergebnis entspricht \(P(X \ge 14)\). Ereignis \(E\): „Es werden mindestens 14 rote Kugeln gezogen“.

Antwort

1. \(n=15, p=0{,}2\); \(E\): Genau 4 Treffer. 2. \(n=12, p=0{,}4\); \(E\): Höchstens 2 Treffer. 3. \(n=10, p=0{,}3\); \(E\): Eine spezifische Sequenz aus 3 Treffern und 7 nicht roten Kugeln (z. B. die ersten drei sind Treffer). 4. \(n=20, p=0{,}9\); \(E\): Mindestens 14 Treffer.
42705312
Für ein mathematisches Keimungsmodell wird angenommen, dass jeder von \(20\) Samen unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(85\,\%\) keimt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: a) Genau \(18\) Samen keimen. b) Höchstens \(16\) Samen keimen. c) Mindestens \(15\) Samen keimen. d) Mehr als \(16\), aber weniger als \(20\) Samen keimen.

Denkanstöße

- Übersetze jede verbale Bedingung zuerst in einen Bereich möglicher \(X\)-Werte. - Für „mindestens“ kann ein Gegenereignis kürzer sein. - Achte bei d) darauf, dass beide Grenzen ausgeschlossen sind.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}85)\). 2. \(P(X=18)=\binom{20}{18}0{,}85^{18}0{,}15^2\approx0{,}229338\). 3. \(P(X\le16)=\sum_{k=0}^{16}\binom{20}{k}0{,}85^k0{,}15^{20-k}\approx0{,}352275\). 4. \(P(X\ge15)=1-\sum_{k=0}^{14}\binom{20}{k}0{,}85^k0{,}15^{20-k}\approx0{,}932692\). 5. \(P(16<X<20)=\sum_{k=17}^{19}\binom{20}{k}0{,}85^k0{,}15^{20-k}\approx0{,}608966\).

Antwort

a) \(22{,}93\,\%\) b) \(35{,}23\,\%\) c) \(93{,}27\,\%\) d) \(60{,}90\,\%\)
42705512
Für eine Modellrechnung zu einer Großlieferung von Elektronikbauteilen wird angenommen, dass jedes entnommene Teil unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) defekt ist. Ein Kunde untersucht \(15\) Teile. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Teile. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei der \(15\) Teile defekt sind. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens zwei“? - Welche beiden Einzelwahrscheinlichkeiten musst du für dieses Gegenereignis bestimmen?

Lösung

1. Unter den angegebenen Modellannahmen ist \(X\) binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}04\). 2. Gesucht ist \(P(X\ge2)=1-P(X\le1)\). 3. Daher gilt \(P(X\ge2)=1-0{,}96^{15}-15\cdot0{,}04\cdot0{,}96^{14}\approx0{,}119110\).

Antwort

\(11{,}91\,\%\)
42706112
Ein Hersteller liefert Mikrochips in Packungen zu je \(20\) Stück aus. Für ein Modell der Qualitätskontrolle wird angenommen, dass jeder Chip unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}10\) fehlerhaft ist. Eine Packung wird aussortiert, wenn sie mehr als \(3\) fehlerhafte Chips enthält. Bestimme den prozentualen Anteil der Packungen, die nach diesem Modell im Mittel aussortiert werden. Runde auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Welche Angaben machen die Anzahl fehlerhafter Chips binomialverteilt? - Was bedeutet „mehr als 3“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Welches Gegenereignis lässt sich leichter berechnen?

Lösung

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Chips pro Packung. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(20;0{,}10)\). 2. Eine Packung wird bei \(X>3\), also bei \(X\ge4\), aussortiert. 3. Über das Gegenereignis gilt \(P(X\ge4)=1-P(X\le3)\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le3)\approx0{,}867047\). 5. Damit folgt \(P(X\ge4)\approx0{,}132953\).

Antwort

\(13{,}30\,\%\)
42707112
Für ein Modell der Qualitätskontrolle wird angenommen, dass jede Flasche unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) kleine Einschlüsse aufweist und daher als B-Ware gilt. Es werden \(200\) Flaschen betrachtet. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Flaschen mit Einschlüssen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: a) Es gibt genau \(8\) Flaschen mit Einschlüssen. b) Es gibt höchstens \(10\) Flaschen mit Einschlüssen. c) Die Anzahl der Flaschen mit Einschlüssen liegt mindestens bei \(5\) und höchstens bei \(12\).

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Worin unterscheidet sich eine Punktwahrscheinlichkeit von einer kumulierten Wahrscheinlichkeit? - Wie lässt sich ein abgeschlossenes Intervall als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(200;0{,}04)\). 2. Für a) ist \(P(X=8)=\binom{200}{8}0{,}04^8 0{,}96^{192}\approx0{,}142462\). 3. Für b) liefert die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners \(P(X\le10)\approx0{,}819979\). 4. Für c) gilt \(P(5\le X\le12)=P(X\le12)-P(X\le4)\). Mit derselben kumulierten Binomialfunktion erhält man \(P(X\le12)\approx0{,}940107\) und \(P(X\le4)\approx0{,}095018\). 5. Somit ist \(P(5\le X\le12)\approx0{,}845089\).

Antwort

a) \(14{,}25\,\%\) b) \(82{,}00\,\%\) c) \(84{,}51\,\%\)
42707312
Für ein Keimungsmodell wird angenommen, dass jeder der \(30\) Samen unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(85\,\%\) keimt. Gib die Wahrscheinlichkeiten in 1 und 2 als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. 1. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens \(22\) Samen keimen. 2. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens \(28\) Samen keimen. 3. Erläutere, warum die in 1 und 2 genannten Modellannahmen für die Verwendung der Binomialverteilung erforderlich sind.

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße wird in den ersten beiden Teilen betrachtet? - Welches Gegenereignis oder welche direkte Summe gehört zu „mindestens 28“? - Was würde mit dem Binomialmodell passieren, wenn sich Samen gegenseitig beeinflussen oder unter unterschiedlichen Bedingungen keimen?

Lösung

1. Unter den angegebenen Annahmen ist die Keimzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=30\) und \(p=0{,}85\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le22)\approx0{,}069785\). 2. Für mindestens \(28\) keimende Samen gilt \(P(X\ge28)=\sum_{k=28}^{30}\binom{30}{k}0{,}85^k0{,}15^{30-k}\approx0{,}151401\). 3. Eine Binomialverteilung setzt eine feste Zahl von Bernoulli-Versuchen, eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit voraus. Bei gegenseitiger Beeinflussung der Samen oder unterschiedlichen Keimbedingungen wäre das Modell nicht mehr exakt binomial.

Antwort

1. \(6{,}98\,\%\) 2. \(15{,}14\,\%\) 3. Erforderlich sind insbesondere eine konstante Keimwahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit der Keimvorgänge.
42707612
In einem Modell für eine Befragung wird angenommen, dass jede der \(80\) befragten Personen unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}15\) ein bestimmtes Carsharing-Angebot regelmäßig nutzt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Befragten (1) weniger als \(10\) Personen, (2) mindestens \(15\) Personen, (3) genau \(12\) Personen dieses Angebot regelmäßig nutzen. Gib die Ergebnisse jeweils als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Was ist der ganzzahlige Bereich für „weniger als 10“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 15“?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Nutzerzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=80\) und \(p=0{,}15\). 2. „Weniger als \(10\)“ entspricht \(P(X\le9)\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le9)\approx0{,}221119\). 3. „Mindestens \(15\)“ entspricht \(P(X\ge15)=1-P(X\le14)\approx0{,}212609\); der kumulierte Wert \(P(X\le14)\) stammt aus derselben Funktion. 4. Für genau \(12\) Personen gilt \(P(X=12)=\binom{80}{12}0{,}15^{12}0{,}85^{68}\approx0{,}124027\).

Antwort

(1) \(0{,}2211\) (2) \(0{,}2126\) (3) \(0{,}1240\)
42707712
Für ein mathematisches Liefermodell wird angenommen, dass jede von \(80\) Leuchten unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(2{,}5\,\%\) mangelhaft ist. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die mangelhaften Leuchten. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: Ereignis \(A\): „Genau zwei Leuchten sind mangelhaft.“ Ereignis \(B\): „Mehr als \(5\,\%\) der \(80\) Leuchten sind mangelhaft.“

Denkanstöße

- Lege zuerst \(n\) und \(p\) fest. - Übersetze den Prozentanteil in B in eine konkrete Stückzahl. - Für „mehr als vier“ ist das Gegenereignis \(X\le4\).

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(80;0{,}025)\). 2. \(P(A)=P(X=2)=\binom{80}{2}0{,}025^2 0{,}975^{78}\approx0{,}274111\). 3. \(5\,\%\) von \(80\) sind \(4\). Damit bedeutet B: \(X>4\). 4. \(P(B)=1-P(X\le4)\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert dafür \(P(B)\approx0{,}050369\).

Antwort

\(P(A)=27{,}41\,\%\) \(P(B)=5{,}04\,\%\)
42707812
Bei einer Qualitätskontrolle von Glasflaschen ist bekannt, dass \(15\,\%\) der Flaschen kleine Lufteinschlüsse besitzen. Es wird eine Stichprobe von \(60\) Flaschen zufällig entnommen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Flaschen mit Lufteinschlüssen und wird als binomialverteilt vorausgesetzt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: Ereignis \(C\): „Höchstens \(5\) Flaschen haben Lufteinschlüsse.“ Ereignis \(D\): „Die Anzahl der Flaschen mit Lufteinschlüssen liegt im Bereich von einschließlich \(8\) bis einschließlich \(12\).“

Denkanstöße

- Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für den Bereich der Treffer? - Wie kann man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich mithilfe kumulierter Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Achte darauf, dass beim Abziehen die untere Grenze \(8\) noch im Ergebnis enthalten sein muss.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(60;0{,}15)\). 2. Für \(C\) liefert die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners \(P(X\le5)\approx0{,}096799\). 3. Für \(D\) gilt \(P(8\le X\le12)=P(X\le12)-P(X\le7)\). 4. Mit derselben kumulierten Binomialfunktion erhält man \(P(X\le12)\approx0{,}893754\) und \(P(X\le7)\approx0{,}304698\). 5. Somit ist \(P(D)\approx0{,}589056\).

Antwort

\(P(C)=9{,}68\,\%\) \(P(D)=58{,}91\,\%\)
42707912
Für ein mathematisches Keimungsmodell wird angenommen, dass jeder Samen unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(90\,\%\) keimt. Gib die Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. a) Bei \(15\) Samen: Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens \(14\) keimen. b) Für ein Beet werden genau \(10\) Pflanzen benötigt. Jemand kauft \(11\) Samen und behauptet: „Damit werde ich mit Sicherheit \(10\) keimende Pflanzen erhalten.“ Beurteile die Aussage mithilfe einer Wahrscheinlichkeitsberechnung.

Denkanstöße

- „Mindestens \(14\)“ umfasst bei \(15\) Versuchen nur zwei Trefferzahlen. - Übertrage dieselbe Modellidee in b) auf \(11\) Versuche. - Welche Wahrscheinlichkeit müsste ein Ereignis haben, um mathematisch sicher zu sein?

Lösung

1. Für a) gilt \(X\sim B(15;0{,}9)\). Daher ist \(P(X\ge14)=\binom{15}{14}0{,}9^{14}0{,}1+0{,}9^{15}\approx0{,}549043\). 2. Für b) gilt \(Y\sim B(11;0{,}9)\). Gesucht ist \(P(Y\ge10)=\binom{11}{10}0{,}9^{10}0{,}1+0{,}9^{11}\approx0{,}697357\). 3. Da diese Wahrscheinlichkeit kleiner als \(1\) ist, ist das Ereignis nicht sicher. Die Behauptung ist falsch.

Antwort

a) \(54{,}90\,\%\) b) \(69{,}74\,\%\); die Aussage ist falsch.
42708012
Für ein mathematisches Produktionsmodell wird angenommen, dass jede LED-Leuchte unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(5\,\%\) defekt ist. Gib alle berechneten Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. a) Für \(50\) Leuchten: Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens \(3\) defekt sind. b) Ein Mitarbeiter vermutet: „Bei \(50\) Leuchten ist die Wahrscheinlichkeit für genau \(5\) Defekte höher als die Wahrscheinlichkeit für gar keinen Defekt.“ Prüfe die Vermutung.

Denkanstöße

- Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens drei“? - In b) müssen nur zwei Punktwahrscheinlichkeiten miteinander verglichen werden. - Vergleiche die ungerundeten oder gleich stark gerundeten Werte.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(50;0{,}05)\). 2. \(P(X\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{50}{k}0{,}05^k0{,}95^{50-k}\approx0{,}760408\). 3. Für b) ist \(P(X=5)=\binom{50}{5}0{,}05^5 0{,}95^{45}\approx0{,}065841\) und \(P(X=0)=0{,}95^{50}\approx0{,}076945\). 4. Da \(P(X=5)<P(X=0)\), ist die Vermutung falsch.

Antwort

a) \(76{,}04\,\%\) b) Falsch; \(6{,}58\,\%<7{,}69\,\%\).
42708512
In einer sehr großen Produktionsmenge tragen modellhaft \(15\,\%\) der Bauteile ein bestimmtes Qualitätssiegel. Es werden zufällig \(12\) Bauteile ohne Zurücklegen entnommen. Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens \(4\) entnommene Bauteile das Qualitätssiegel tragen, und gib das Ergebnis als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an. Erläutere zudem, unter welcher Bedingung die Ziehung näherungsweise durch eine Binomialverteilung modelliert werden kann.

Denkanstöße

- Welche Auswirkung hat Ziehen ohne Zurücklegen grundsätzlich auf die Trefferwahrscheinlichkeit? - Wann wird diese Änderung so klein, dass ein konstantes \(p\) näherungsweise sinnvoll ist? - Für „mindestens vier“ kann das Gegenereignis kürzer sein.

Lösung

1. Ist die Stichprobe sehr klein im Verhältnis zur Grundgesamtheit, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit durch die Entnahmen nur vernachlässigbar. Dann kann die Ziehung näherungsweise mit \(X\sim B(12;0{,}15)\) modelliert werden. 2. \(P(X\ge4)=1-P(X\le3)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k}0{,}15^k0{,}85^{12-k}\approx0{,}092206\).

Antwort

\(P(X\ge4)\approx0{,}0922\). Die Binomialnäherung ist vertretbar, wenn die Stichprobe gegenüber der Grundgesamtheit so klein ist, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit durch die Entnahmen praktisch nicht ändert.
42708612
Für ein Modell einer Befragung wird angenommen, dass jede von \(15\) Personen unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}60\) regelmäßig das Fahrrad für den Arbeitsweg nutzt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Gruppe die Mehrheit der Personen regelmäßig das Fahrrad für den Arbeitsweg nutzt. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Ab welcher Personenzahl liegt bei \(15\) Personen eine Mehrheit vor? - Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 8“?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Anzahl \(X\) der regelmäßigen Fahrradnutzer binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}60\). 2. Bei \(15\) Personen bedeutet „Mehrheit“ mindestens \(8\) Personen. Gesucht ist \(P(X\ge8)\). 3. Über das Gegenereignis gilt \(P(X\ge8)=1-P(X\le7)\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le7)\approx0{,}213103\), also \(P(X\ge8)\approx0{,}786897\).

Antwort

\(78{,}69\,\%\)
42708812
Ein Glücksrad besitzt drei Sektoren: Blau, Rot und Grün. Der Mittelpunktswinkel des blauen Sektors beträgt \(108^\circ\). Das Rad wird \(20\)-mal unabhängig voneinander gedreht. „Blau“ wird als Treffer gewertet. a) Gib die Parameter \(n\) und \(p\) der zugehörigen Binomialverteilung an und erläutere ihre Bedeutung. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein einziges Mal Blau erscheint. Gib das Ergebnis als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens ein Treffer erzielt wird. Gib das Ergebnis ebenfalls als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Bestimme den Anteil des blauen Sektors am Vollkreis. - „Höchstens eins“ umfasst genau zwei mögliche Trefferzahlen. - Nutze die Punktwahrscheinlichkeiten für \(0\) und \(1\).

Lösung

1. Es ist \(n=20\) und \(p=\frac{108}{360}=0{,}3\). 2. Für \(X\sim B(20;0{,}3)\) gilt \(P(X=0)=0{,}7^{20}\approx0{,}000798\). 3. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}7^{20}+20\cdot0{,}3\cdot0{,}7^{19}\approx0{,}007637\).

Antwort

a) \(n=20\), \(p=0{,}3\) b) \(0{,}0008\) c) \(0{,}0076\)
42709112
Ein Basketballspieler trifft einen Freiwurf in einem Modell mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\). Die vier Würfe einer Serie werden als voneinander unabhängig angenommen. a) Ordne jedem der folgenden Ereignisse den passenden Wahrscheinlichkeitsterm zu und begründe deine Entscheidung. Ereignisse: \(A\): „Er erzielt genau zwei Treffer.“ \(B\): „Er trifft bei allen vier Versuchen.“ \(C\): „Der erste Treffer wird erst im vierten Versuch erzielt.“ \(D\): „Die ersten beiden Würfe sind Fehlwürfe, die letzten beiden sind Treffer.“ \(E\): „Er erzielt mindestens drei Treffer.“ Terme: (1) \(0{,}75^4\) (2) \(0{,}25^3\cdot0{,}75\) (3) \(0{,}25^2\cdot0{,}75^2\) (4) \(\binom{4}{2}\cdot0{,}75^2\cdot0{,}25^2\) (5) \(\sum_{k=3}^{4}\binom{4}{k}0{,}75^k0{,}25^{4-k}\) b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(E\) und gib das Ergebnis als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen einer festgelegten Reihenfolge und einer nur festgelegten Trefferzahl. - Wann braucht ein Wahrscheinlichkeitsterm einen Binomialkoeffizienten? - Welche Trefferzahlen gehören zu „mindestens drei“?

Lösung

1. Für genau zwei Treffer ist die Reihenfolge nicht festgelegt. Daher gilt \(A\to(4)\). 2. Vier Treffer in fester Folge ergeben \(B\to(1)\). 3. „Erster Treffer im vierten Versuch“ bedeutet Fehlwurf, Fehlwurf, Fehlwurf, Treffer. Daher gilt \(C\to(2)\). 4. Die feste Folge Fehlwurf, Fehlwurf, Treffer, Treffer ergibt \(D\to(3)\). 5. Mindestens drei Treffer bedeutet drei oder vier Treffer. Daher gilt \(E\to(5)\). 6. Für b) ist \(P(E)=\binom{4}{3}\cdot0{,}75^3\cdot0{,}25+0{,}75^4=0{,}73828125\approx0{,}7383\).

Antwort

a) \(A\to(4)\), \(B\to(1)\), \(C\to(2)\), \(D\to(3)\), \(E\to(5)\) b) \(0{,}7383\)
42709212
Für ein mathematisches Produktionsmodell wird angenommen, dass jedes von \(10\) betrachteten Bauteilen unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(4\,\%\) defekt ist. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das erste defekte Bauteil genau an der dritten Stelle auftritt. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Bauteil defekt ist. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. c) Erkläre mathematisch, warum die Ereignisse „Nur das erste Bauteil ist defekt“ und „Nur das letzte Bauteil ist defekt“ die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Denkanstöße

- Für den ersten Defekt an Stelle drei ist eine feste Folge der ersten drei Ergebnisse nötig. - „Höchstens eins“ umfasst \(X=0\) und \(X=1\). - Vergleiche in c) nur die Faktoren der beiden Pfadprodukte.

Lösung

1. Für a) müssen zunächst zwei intakte Bauteile und dann ein defektes Bauteil auftreten. Daher ist \(P=0{,}96^2\cdot0{,}04=0{,}036864\). 2. Für die Zahl \(X\) der Defekte gilt \(X\sim B(10;0{,}04)\). Somit ist \(P(X\le1)=0{,}96^{10}+10\cdot0{,}04\cdot0{,}96^9\approx0{,}941846\). 3. „Nur das erste defekt“ und „nur das letzte defekt“ enthalten jeweils genau einen Faktor \(0{,}04\) und neun Faktoren \(0{,}96\). Wegen der Kommutativität der Multiplikation haben beide Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit \(0{,}04\cdot0{,}96^9\).

Antwort

a) \(0{,}036864\) b) \(94{,}18\,\%\) c) Beide Pfade haben die Wahrscheinlichkeit \(0{,}04\cdot0{,}96^9\).
42709512
Für ein mathematisches Lebensdauermodell wird angenommen, dass jeder von \(50\) Akkumulatoren unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(94\,\%\) mehr als \(1000\) Ladezyklen erreicht. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Akkumulatoren, die dieses Kriterium erfüllen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: (1) Genau \(48\) Akkumulatoren erreichen die Zielvorgabe. (2) Höchstens \(45\) Akkumulatoren erreichen die Zielvorgabe. (3) Mindestens \(46\), aber weniger als \(50\) Akkumulatoren erreichen die Zielvorgabe. b) Nenne die beiden Modellannahmen, die für die Binomialverteilung bezüglich Abhängigkeit und Erfolgswahrscheinlichkeit wesentlich sind.

Denkanstöße

- Übersetze „mindestens 46, aber weniger als 50“ zuerst in ganzzahlige Werte. - Für ein Intervall kannst du kumulierte Wahrscheinlichkeiten voneinander abziehen. - Welche beiden Bernoulli-Bedingungen betreffen die Versuche untereinander und die Einzelwahrscheinlichkeit?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(50;0{,}94)\). 2. \(P(X=48)=\binom{50}{48}0{,}94^{48}0{,}06^2\approx0{,}226243\). 3. Für \(P(X\le45)\) liefert die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners \(\approx0{,}179404\). 4. Für \(P(46\le X<50)=P(46\le X\le49)\) ergibt die Differenz geeigneter kumulierter Werte \(\approx0{,}775265\). 5. Die wesentlichen Annahmen sind unabhängige Versuche und eine für alle Versuche konstante Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0{,}94\).

Antwort

a) (1) \(22{,}62\,\%\) (2) \(17{,}94\,\%\) (3) \(77{,}53\,\%\) b) Unabhängigkeit und konstante Erfolgswahrscheinlichkeit.
42710112
Ein Programmkino bietet für eine Dokumentarfilm-Premiere \(45\) Sitzplätze an und nimmt \(50\) Reservierungen an. Für ein Modell wird angenommen, dass jede reservierende Person unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}90\) zur Vorstellung erscheint. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle Personen, die tatsächlich zur Vorstellung erscheinen, einen Sitzplatz erhalten. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Anzahl darf höchstens erscheinen, damit alle einen Sitzplatz bekommen? - Welche Angaben im Modell machen die Anzahl der erscheinenden Personen binomialverteilt? - Ist die Rechnung über die Anzahl der nicht erscheinenden Personen einfacher?

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der erscheinenden Personen. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(50;0{,}90)\). 2. Alle erscheinenden Personen erhalten einen Sitzplatz genau dann, wenn \(X\le45\). 3. Alternativ sei \(Y\) die Anzahl der Personen, die nicht erscheinen. Dann gilt \(Y\sim B(50;0{,}10)\), und \(X\le45\) entspricht \(Y\ge5\). 4. Somit ist \(P(Y\ge5)=1-P(Y\le4)\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(Y\le4)\approx0{,}431198\). 5. Daher ist \(P(Y\ge5)\approx0{,}568802\).

Antwort

\(56{,}88\,\%\)
42710312
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus Fragen mit jeweils fünf Antwortmöglichkeiten, von denen stets genau eine richtig ist. Ein Teilnehmer rät bei jeder Frage rein zufällig. Bestimme, wie viele Fragen der Test mindestens enthalten muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine Frage richtig zu beantworten, a) mindestens \(80\,\%\) beträgt. b) mindestens \(95\,\%\) beträgt.

Denkanstöße

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine einzelne Frage durch Raten richtig zu beantworten? - Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „kein einziger Treffer“ ausdrücken kannst. - Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von „mindestens ein Treffer“ und „kein Treffer“ ist immer \(1\). - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, eine Unbekannte aus dem Exponenten zu lösen? - Denk daran, dass die Anzahl der Fragen eine ganze Zahl sein muss.

Lösung

1. Bestimmung der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{5} = 0{,}2\) und der Gegenwahrscheinlichkeit \(q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8\). 2. Ansatz über das Gegenereignis „keine Frage richtig“: \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}8^n\). 3. Für Teilaufgabe a): Lösen der Ungleichung \(1 - 0{,}8^n \ge 0{,}8\). Dies führt zu \(0{,}8^n \le 0{,}2\). Durch Logarithmieren ergibt sich \(n \cdot \ln(0{,}8) \le \ln(0{,}2)\). Da \(\ln(0{,}8)\) negativ ist, dreht sich das Relationszeichen um: \(n \ge \frac{\ln(0{,}2)}{\ln(0{,}8)} \approx 7{,}21\). Somit sind mindestens \(8\) Fragen nötig. 4. Für Teilaufgabe b): Lösen der Ungleichung \(1 - 0{,}8^n \ge 0{,}95\). Dies führt zu \(0{,}8^n \le 0{,}05\). Logarithmieren ergibt \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}8)} \approx 13{,}43\). Somit sind mindestens \(14\) Fragen nötig.

Antwort

a) \(8\) Fragen b) \(14\) Fragen
42710512
Für eine Qualitätskontrolle werden \(20\) Eier betrachtet. Modellhaft wird angenommen, dass die Beschädigungsereignisse unabhängig sind. Eine Lieferung wird abgelehnt, wenn mehr als ein Ei beschädigt ist. Gib die Ablehnungswahrscheinlichkeiten jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. a) Berechne die Ablehnungswahrscheinlichkeit für eine Beschädigungswahrscheinlichkeit von \(p=0{,}02\) je Ei. b) Berechne die Ablehnungswahrscheinlichkeit für \(p=0{,}01\) je Ei.

Denkanstöße

- Übersetze die Ablehnungsregel in eine Bedingung an \(X\). - Welches Gegenereignis enthält nur zwei Trefferzahlen? - Führe dieselbe Rechnung mit den beiden unterschiedlichen \(p\)-Werten aus.

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der beschädigten Eier gilt jeweils eine Binomialverteilung mit \(n=20\). 2. Ablehnung bedeutet \(X>1\), also \(P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1)\). 3. Für \(p=0{,}02\) ergibt sich \(P(X>1)=1-0{,}98^{20}-20\cdot0{,}02\cdot0{,}98^{19}\approx0{,}059899\). 4. Für \(p=0{,}01\) ergibt sich \(P(X>1)=1-0{,}99^{20}-20\cdot0{,}01\cdot0{,}99^{19}\approx0{,}016859\).

Antwort

a) \(5{,}99\,\%\) b) \(1{,}69\,\%\)
42710712
In einem Bernoulli-Modell für eine Gärtnerei keimt jeder betrachtete Samen unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}90\). Beschreibe für die folgenden Terme jeweils ein passendes Zufallsexperiment und ein Ereignis im Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term berechnet wird. a) \(\binom{20}{18} \cdot 0{,}9^{18} \cdot 0{,}1^2\) b) \(1 - (0{,}1^{10} + 10 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1^9)\) c) \(1 - \sum_{k=0}^{16} \binom{20}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{20-k}\)

Denkanstöße

- Was bedeuten die Faktoren \(0{,}9\) und \(0{,}1\) im Modell? - Wie liest du \(n\) und die Trefferzahl aus einem Binomialterm ab? - Welches Ereignis entsteht, wenn eine kumulierte Wahrscheinlichkeit von \(1\) abgezogen wird?

Lösung

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist \(p = 0{,}9\) für „Samen keimt“, die Gegenwahrscheinlichkeit ist \(0{,}1\). 2. Zu a): \(n=20\) und \(k=18\). Ein passendes Ereignis lautet: Von \(20\) Samen keimen genau \(18\). 3. Zu b): In der Klammer stehen \(P(X=0)\) und \(P(X=1)\) für \(n=10\). Das Komplement beschreibt \(P(X \ge 2)\). Ein passendes Ereignis lautet: Von \(10\) Samen keimen mindestens zwei. 4. Zu c): Die Summe ist \(P(X \le 16)\) für \(n=20\). Das Komplement beschreibt \(P(X \ge 17)\). Ein passendes Ereignis lautet: Von \(20\) Samen keimen mindestens \(17\).

Antwort

a) Experiment: \(20\) unabhängige Samen. Ereignis: Genau \(18\) Samen keimen. b) Experiment: \(10\) unabhängige Samen. Ereignis: Mindestens zwei Samen keimen. c) Experiment: \(20\) unabhängige Samen. Ereignis: Mindestens \(17\) Samen keimen.
42710812
Ein Multiple-Choice-Test umfasst \(15\) Aufgaben mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, von denen stets genau eine richtig ist. Ein unvorbereiteter Teilnehmer kreuzt bei jeder Aufgabe rein zufällig eine Antwort an. Gib für die folgenden Ereignisse jeweils einen Rechenterm zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit an. a) Genau \(6\) Aufgaben werden richtig beantwortet. b) Höchstens eine Aufgabe wird richtig beantwortet. c) Mindestens \(3\) Aufgaben werden richtig beantwortet.

Denkanstöße

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, wenn man bei vier Möglichkeiten rät? - Überlege dir, wie viele Versuche insgesamt durchgeführt werden. - „Höchstens“ bedeutet, dass alle Werte von null bis zu dieser Zahl möglich sind. - Bei „mindestens“ ist es oft einfacher, die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von \(1\) abzuziehen.

Lösung

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der richtigen Antworten. Da bei jeder der \(n = 15\) Aufgaben die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\) (und somit \(q = 0{,}75\)) beträgt, gilt \(X \sim B(15; 0{,}25)\). 2. Zu a): Gesucht ist \(P(X = 6)\). Anwendung der Bernoulli-Formel \(\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}\) ergibt \(\binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9\). 3. Zu b): Gesucht ist \(P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)\). Dies führt zu \(\binom{15}{0} \cdot 0{,}25^0 \cdot 0{,}75^{15} + \binom{15}{1} \cdot 0{,}25^1 \cdot 0{,}75^{14}\), vereinfacht \(0{,}75^{15} + 15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{14}\). 4. Zu c): Gesucht ist \(P(X \geq 3)\). Über das Komplementärereignis gilt \(P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{15-k}\).

Antwort

a) \(\binom{15}{6} \cdot 0{,}25^6 \cdot 0{,}75^9\) b) \(0{,}75^{15} + 15 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^{14}\) c) \(1 - \sum_{k=0}^{2} \binom{15}{k} \cdot 0{,}25^k \cdot 0{,}75^{15-k}\) (oder alternativ als Summe von \(k=3\) bis \(15\))
42711112
Für ein Produktionsmodell von Mikrochips wird angenommen, dass die Zustände der betrachteten Chips voneinander unabhängig sind. In a) und b) beträgt die Defektwahrscheinlichkeit pro Chip konstant \(p=0{,}05\). Die Chips werden in Packungen zu je \(60\) Stück betrachtet. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer Packung mehr als \(10\,\%\) der Mikrochips defekt sind. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. b) Die Chips einer Packung werden nacheinander einzeln geprüft. Erläutere im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term \(\sum_{k=0}^{4}\left(0{,}95^k0{,}05\right)\) berechnet werden kann. c) Ermittle, wie hoch der Anteil \(p_{\text{gut}}\) der einwandfreien Mikrochips mindestens sein muss, damit bei \(30\) unabhängig betrachteten Chips mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(80\,\%\) kein einziger Chip defekt ist. Gib den Anteil als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Defektzahlen entsprechen in a) „mehr als 10 %“ von \(60\)? - Was bedeutet ein Faktor der Form \(0{,}95^k0{,}05\) für die Position des ersten Defekts? - Wie lässt sich in c) die Wahrscheinlichkeit ausdrücken, dass alle \(30\) Chips einwandfrei sind?

Lösung

1. Für a) ist die Defektzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=60\) und \(p=0{,}05\). Mehr als \(10\,\%\) bedeutet mehr als \(6\) Defekte. Somit ist \(P(X\ge7)=1-P(X\le6)\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners ergibt \(P(X\ge7)\approx0{,}029694\). 2. In b) beschreibt der Summand \(0{,}95^k0{,}05\), dass zunächst \(k\) einwandfreie Chips auftreten und danach der erste defekte Chip. Die Summe für \(k=0,\dots,4\) bedeutet: Der erste defekte Chip wird spätestens bei der fünften Prüfung gefunden. 3. Für c) muss \(p_{\text{gut}}^{30}\ge0{,}80\) gelten. Daraus folgt \(p_{\text{gut}}\ge0{,}80^{1/30}\approx0{,}992589\).

Antwort

a) \(2{,}97\,\%\) b) Der erste defekte Chip wird spätestens bei der fünften Prüfung gefunden. c) Mindestens \(99{,}26\,\%\) einwandfreie Chips.
42711212
In einem Modell für ein Online-Spiel enthält jede geöffnete Schatzkiste unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}12\) einen „seltenen Gegenstand“. a) Ein Spieler öffnet \(40\) Kisten. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er höchstens drei seltene Gegenstände erhält. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. b) Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term \(1-0{,}88^{15}\) gegeben ist. c) Bestimme, wie viele Schatzkisten ein Spieler mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\,\%\) mindestens einen seltenen Gegenstand zu finden.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell machen die Trefferzahl binomialverteilt? - Was bedeutet der Faktor \(0{,}88\) im Sachzusammenhang? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens ein seltener Gegenstand“?

Lösung

1. Für a) ist die Anzahl \(Y\) der seltenen Gegenstände binomialverteilt mit \(n=40\) und \(p=0{,}12\). Es gilt \(P(Y\le3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{40}{k}0{,}12^k0{,}88^{40-k}\approx0{,}276803\). 2. In b) ist \(0{,}88^{15}\) die Wahrscheinlichkeit, in \(15\) unabhängigen Kisten keinen seltenen Gegenstand zu finden. Das Komplement beschreibt daher „mindestens ein seltener Gegenstand in \(15\) Kisten“. 3. Für c) wird das kleinste \(n\) mit \(1-0{,}88^n\ge0{,}99\) gesucht. Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}88)}\approx36{,}02\), also \(n=37\).

Antwort

a) \(27{,}68\,\%\) b) In \(15\) Kisten befindet sich mindestens ein seltener Gegenstand. c) Mindestens \(37\) Kisten.
42711312
Für ein mathematisches Modell wird angenommen, dass jede Glasfigur unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(40\,\%\) einen kleinen Mangel aufweist. Je fünf Figuren bilden ein Set; auch die Zusammensetzung der \(20\) Sets wird als unabhängig modelliert. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens zwei der \(20\) Sets ausschließlich mangelfreie Figuren enthalten. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Figur mangelfrei ist. - Welche Unabhängigkeitsannahme erlaubt das Potenzieren für ein ganzes Set? - Betrachte anschließend jedes Set als einen neuen Bernoulli-Versuch.

Lösung

1. Eine Figur ist mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}60\) mangelfrei. 2. Wegen der Unabhängigkeit ist ein Set aus fünf Figuren mit Wahrscheinlichkeit \(p_S=0{,}60^5=0{,}07776\) vollständig mangelfrei. 3. Die Anzahl \(X\) vollständig mangelfreier Sets unter \(20\) Sets ist binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p=p_S\). 4. Daher ist \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}p_S^k(1-p_S)^{20-k}\approx0{,}799737\).

Antwort

\(79{,}97\,\%\)
42715112
In einem Modell für ein Kundenservice-Center werden \(120\) Anrufe unabhängig voneinander betrachtet. Vor einer Änderung beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine verzögerte Annahme pro Anruf \(p_0=0{,}15\). Nach der Änderung beträgt sie tatsächlich \(p_1=0{,}08\). Die Änderung gilt als erfolgreich, wenn die Anzahl der verzögerten Anrufe in der Stichprobe um mehr als eine Standardabweichung unter dem ursprünglichen Erwartungswert liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Änderung nach dieser Regel als nicht erfolgreich eingestuft wird, obwohl \(p_1=0{,}08\) gilt. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Berechne die ursprünglichen Werte \(\mu_0\) und \(\sigma_0\). - Welche ganzzahligen Werte erfüllen die Bedingung „mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert“? - Welche Binomialverteilung gilt für die abschließende Wahrscheinlichkeit unter der neuen Quote?

Lösung

1. Für den ursprünglichen Zustand ist \(\mu_0=120\cdot0{,}15=18\) und \(\sigma_0=\sqrt{120\cdot0{,}15\cdot0{,}85}\approx3{,}9115\). 2. Erfolg bedeutet \(X<\mu_0-\sigma_0=14{,}0885\). Da \(X\) ganzzahlig ist, gilt Erfolg bei \(X\le14\). 3. Unter dem tatsächlichen neuen Modell gilt \(X\sim B(120;0{,}08)\). „Nicht erfolgreich“ bedeutet daher \(X>14\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>14)=1-P(X\le14)\approx0{,}056350\).

Antwort

\(5{,}64\,\%\)
42716212
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n = 21\) und \(p = 0{,}5\). a) Begründe ohne Verwendung von Tabellen oder Taschenrechnerfunktionen für kumulierte Wahrscheinlichkeiten, dass \(P(X \le 10) = 0{,}5\) gilt. Nutze dabei die Symmetrieeigenschaften der Verteilung. b) Berechne die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X = 10)\) und bestimme daraus den Wert für \(P(X < 10)\). Runde deine Ergebnisse auf vier Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Wie viele mögliche Werte kann die Zufallsgröße \(X\) bei \(n=21\) annehmen? - Wenn eine Verteilung symmetrisch ist und eine gerade Anzahl an Werten hat, was lässt sich über die Summe der unteren und der oberen Hälfte sagen? - Denke an den Unterschied zwischen „kleiner gleich“ (\(\le\)) und „echt kleiner“ (\(<\)). - Nutze die Erkenntnis aus Aufgabenteil a) als Abkürzung für Teil b).

Lösung

1. Begründung der Symmetrie: Bei \(p = 0{,}5\) ist die Verteilung achsensymmetrisch zu \(k = 10{,}5\), es gilt \(P(X = k) = P(X = 21-k)\). 2. Herleitung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von \(k=0\) bis \(k=21\) ist \(1\). Aufgrund der Symmetrie ist die Summe der ersten elf Werte (\(k=0\) bis \(10\)) gleich der Summe der letzten elf Werte (\(k=11\) bis \(21\)). Daraus folgt \(P(X \le 10) = P(X \ge 11)\). Da \(P(X \le 10) + P(X \ge 11) = 1\), muss \(P(X \le 10) = 0{,}5\) sein. 3. Berechnung \(P(X = 10)\): \(P(X = 10) = \binom{21}{10} \cdot 0{,}5^{21} = 352\,716 \cdot 0{,}5^{21} \approx 0{,}1682\). 4. Berechnung \(P(X < 10)\): \(P(X < 10) = P(X \le 10) - P(X = 10) = 0{,}5 - 0{,}1682 = 0{,}3318\).

Antwort

a) Wegen der Symmetrie bei \(p=0{,}5\) gilt \(P(X \le 10) = P(X \ge 11)\). Da die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) beträgt, folgt \(2 \cdot P(X \le 10) = 1\), also \(P(X \le 10) = 0{,}5\). b) \(P(X = 10) \approx 0{,}1682\); \(P(X < 10) \approx 0{,}3318\).
42719312
Ein Glücksrad besitzt \(12\) gleich große Felder, die mit den Zahlen \(1\) bis \(12\) beschriftet sind. Das Rad wird unabhängig voneinander gedreht. a) Bestimme bei \(25\) Drehungen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (1) mindestens fünfmal eine durch \(3\) teilbare Zahl erscheint, (2) mehr als zweimal die Zahl \(12\) erscheint, (3) höchstens zehnmal eine Primzahl erscheint. Gib die Ergebnisse in a) jeweils als Dezimalzahl auf vier Nachkommastellen an. b) Das Rad wurde \(25\)-mal gedreht, ohne dass die Zahl \(12\) erschien. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei der \(26.\) Drehung die Zahl \(12\) erscheint.

Denkanstöße

- Bestimme für jede Teilaufgabe zunächst die passende Trefferwahrscheinlichkeit. - Prüfe, ob ein Gegenereignis die Rechnung verkürzt. - Was bedeutet Unabhängigkeit für die Wahrscheinlichkeit der nächsten Drehung nach einer langen Serie?

Lösung

1. Für durch \(3\) teilbare Zahlen gilt \(p=\frac{4}{12}=\frac13\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\ge5)=1-P(X\le4)\approx0{,}953799\). 2. Für die Zahl \(12\) gilt \(p=\frac{1}{12}\). Mit derselben Funktion ergibt sich \(P(Y>2)=1-P(Y\le2)\approx0{,}346704\). 3. Die Primzahlen zwischen \(1\) und \(12\) sind \(2,3,5,7,11\), also \(p=\frac{5}{12}\). Damit ist \(P(Z\le10)\approx0{,}518003\). 4. Wegen der Unabhängigkeit hat die Vorgeschichte keinen Einfluss auf die \(26.\) Drehung. Daher bleibt \(P(12)=\frac{1}{12}\).

Antwort

a) (1) \(0{,}9538\) (2) \(0{,}3467\) (3) \(0{,}5180\) b) \(\frac{1}{12}\)
42719712
Für ein Modell elektronischer Bauteile wird angenommen, dass jedes entnommene Bauteil unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}04\) einen bestimmten Fertigungsfehler aufweist. Bestimme, wie viele Bauteile mindestens entnommen werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) mindestens eines den Fertigungsfehler besitzt.

Denkanstöße

- Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens ein fehlerhaftes Bauteil“? - Wie lautet die Wahrscheinlichkeit für null Fehler unter dem angegebenen unabhängigen Modell? - Wie löst du eine Ungleichung, in der \(n\) im Exponenten steht?

Lösung

1. Für \(n\) Bauteile gilt \(P(X \ge 1) = 1-P(X=0) = 1-0{,}96^n\). 2. Gefordert ist \(1-0{,}96^n \ge 0{,}95\), also \(0{,}96^n \le 0{,}05\). 3. Durch Logarithmieren folgt \(n \ge \frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}96)} \approx 73{,}39\). 4. Daher müssen mindestens \(74\) Bauteile entnommen werden.

Antwort

Es müssen mindestens \(74\) Bauteile entnommen werden.
42721112
Für ein mathematisches Chipmodell wird angenommen, dass jeder Chip unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(8\,\%\) defekt ist. Die Anzahl der defekten Chips unter \(n\) betrachteten Chips wird durch \(X_n\sim B(n;0{,}08)\) beschrieben. a) Für \(n=20\): Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse und gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an: \(E_1\): „Kein Chip ist defekt.“ \(E_2\): „Höchstens zwei Chips sind defekt.“ \(E_3\): „Genau \(17\) oder \(18\) Chips sind einwandfrei.“ b) Ermittle die kleinste Anzahl \(n\), sodass mit mindestens \(99\,\%\) Wahrscheinlichkeit mindestens ein defekter Chip auftritt.

Denkanstöße

- Übersetze die Zahl einwandfreier Chips in die Zahl defekter Chips. - Für „mindestens ein Defekt“ ist „kein Defekt“ das einfache Gegenereignis. - Beim Logarithmieren musst du beachten, dass \(\ln(0{,}92)<0\) ist.

Lösung

1. \(P(E_1)=P(X_{20}=0)=0{,}92^{20}\approx0{,}188693\). 2. \(P(E_2)=P(X_{20}\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{20}{k}0{,}08^k0{,}92^{20-k}\approx0{,}787946\). 3. \(17\) oder \(18\) einwandfreie Chips bedeuten \(3\) oder \(2\) defekte Chips. Daher ist \(P(E_3)=P(X_{20}=2)+P(X_{20}=3)\approx0{,}412529\). 4. Für b) gilt \(1-0{,}92^n\ge0{,}99\), also \(0{,}92^n\le0{,}01\). 5. Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}92)}\approx55{,}23\). Der kleinste ganzzahlige Wert ist \(56\).

Antwort

a) \(P(E_1)=18{,}87\,\%\); \(P(E_2)=78{,}79\,\%\); \(P(E_3)=41{,}25\,\%\) b) \(n=56\)
42871912
Ein Gärtner pflanzt 6 Samen einer speziellen Blumensorte ein. Die Keimwahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Samen beträgt \(80\,\%\); die Keimvorgänge werden als voneinander unabhängig angenommen. a) Begründe, warum das Keimen der 6 Samen als Bernoulli-Kette der Länge \(n=6\) modelliert werden kann. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 der 6 Samen keimen. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens einer der Samen keimt.

Denkanstöße

- Welche Bedingungen müssen für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein? Denke an die Anzahl der möglichen Ergebnisse pro Stufe. - Bleibt die Wahrscheinlichkeit bei jedem Samen gleich? - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine exakte Anzahl an Treffern in einer Bernoulli-Kette zu berechnen? - „Höchstens einer“ bedeutet, dass entweder kein Samen oder genau ein Samen keimt. Wie kombiniert man diese Wahrscheinlichkeiten?

Lösung

1. Begründung der Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei Ausgänge pro Samen (keimt/keimt nicht), die Keimwahrscheinlichkeit ist für jeden Samen mit \(p = 0{,}8\) konstant und die Keimprozesse der einzelnen Samen werden als voneinander unabhängig betrachtet. 2. Berechnung für genau 5 Samen: Mit \(n=6\), \(k=5\) und \(p=0{,}8\) ergibt sich \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^1 = 6 \cdot 0{,}32768 \cdot 0{,}2 = 0{,}393216\). 3. Berechnung für höchstens einen Samen: \(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)\). \(P(X=0) = \binom{6}{0} \cdot 0{,}8^0 \cdot 0{,}2^6 = 0{,}000064\). \(P(X=1) = \binom{6}{1} \cdot 0{,}8^1 \cdot 0{,}2^5 = 6 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}00032 = 0{,}001536\). Summe: \(0{,}000064 + 0{,}001536 = 0{,}0016\).

Antwort

a) Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette, da es nur zwei Ergebnisse gibt (Erfolg: Keimen, Misserfolg: kein Keimen), die Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}8\) für jeden Samen gleich bleibt und die Versuche unabhängig voneinander sind. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}393216\) (oder ca. \(39{,}32\,\%\)). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0016\) (oder \(0{,}16\,\%\)).
42872712
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(8\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es \(4\) Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Niklas hat sich nicht vorbereitet und kreuzt bei jeder Aufgabe rein zufällig eine Antwort an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Niklas genau \(2\) Fragen richtig beantwortet. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Niklas höchstens eine Antwort richtig hat? c) Welches Ereignis ist wahrscheinlicher: „Genau \(2\) richtige Antworten“ oder „Mehr als \(2\) richtige Antworten“? Begründe deine Entscheidung durch einen Vergleich der Wahrscheinlichkeiten. Gib alle berechneten Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie groß die Erfolgswahrscheinlichkeit für eine einzelne Frage ist. - Welches Modell für Zufallsexperimente mit zwei Ausgängen und mehreren Wiederholungen kennst du? - Was bedeutet „höchstens“ mathematisch für die Anzahl der Treffer? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für „mehr als 2“ berechnen, ohne alle einzelnen Fälle ab 3 mühsam zu addieren?

Lösung

1. Es liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=8\) und \(p=0{,}25\) vor. 2. \(P(X=2)=\binom{8}{2}0{,}25^2 0{,}75^6\approx0{,}311462\), also \(31{,}15\,\%\). 3. \(P(X\le1)=0{,}75^8+\binom{8}{1}0{,}25\cdot0{,}75^7\approx0{,}367081\), also \(36{,}71\,\%\). 4. \(P(X>2)=1-\left(0{,}75^8+\binom{8}{1}0{,}25\cdot0{,}75^7+\binom{8}{2}0{,}25^2 0{,}75^6\right)\approx0{,}321457\), also \(32{,}15\,\%\). 5. Da \(32{,}15\,\%>31{,}15\,\%\), ist „Mehr als \(2\) richtige Antworten“ wahrscheinlicher.

Antwort

a) \(31{,}15\,\%\) b) \(36{,}71\,\%\) c) „Mehr als \(2\) richtige Antworten“ mit \(32{,}15\,\%\) ist wahrscheinlicher als „Genau \(2\) richtige Antworten“ mit \(31{,}15\,\%\).
42872812
Für ein Modell einer Glasmanufaktur wird angenommen, dass jede produzierte Figur unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}10\) fehlerhaft ist. Es werden \(12\) Figuren betrachtet. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass keine der Figuren fehlerhaft ist. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Figuren fehlerhaft sind. c) Welches Ereignis hat eine größere Wahrscheinlichkeit: „Genau eine Figur ist fehlerhaft“ oder „Mehr als zwei Figuren sind fehlerhaft“? Gib alle berechneten Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell machen die Defektzahl binomialverteilt? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens zwei“? - Welche beiden Wahrscheinlichkeiten musst du in c) direkt vergleichen?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Defektzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}10\). 2. \(P(X=0)=0{,}9^{12}\approx0{,}282430\), also \(28{,}24\,\%\). 3. \(P(X\ge2)=1-0{,}9^{12}-\binom{12}{1}0{,}1\cdot0{,}9^{11}\approx0{,}340998\), also \(34{,}10\,\%\). 4. \(P(X=1)=\binom{12}{1}0{,}1\cdot0{,}9^{11}\approx0{,}376573\), also \(37{,}66\,\%\). 5. \(P(X>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{12}{k}0{,}1^k0{,}9^{12-k}\approx0{,}110870\), also \(11{,}09\,\%\). 6. Daher ist „Genau eine Figur ist fehlerhaft“ wahrscheinlicher.

Antwort

a) \(28{,}24\,\%\) b) \(34{,}10\,\%\) c) „Genau eine Figur ist fehlerhaft“ mit \(37{,}66\,\%\) ist wahrscheinlicher als „Mehr als zwei Figuren sind fehlerhaft“ mit \(11{,}09\,\%\).
42873512
Für ein Freiwurfmodell trifft ein Basketballspieler bei jedem Wurf mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}70\). Die \(6\) Würfe werden als voneinander unabhängig angenommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Er erzielt genau \(4\) Treffer. b) Er erzielt keinen einzigen Treffer. c) Er erzielt höchstens einen Treffer. d) Er erzielt mindestens \(5\) Treffer.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens eins“? - Welche Trefferzahlen gehören zu „mindestens fünf“?

Lösung

1. Die Trefferzahl \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=6\) und \(p=0{,}70\). 2. \(P(X=4)=\binom{6}{4}0{,}7^4 0{,}3^2=0{,}324135\). 3. \(P(X=0)=0{,}3^6=0{,}000729\). 4. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}3^6+\binom{6}{1}0{,}7\cdot0{,}3^5=0{,}010935\). 5. \(P(X\ge5)=P(X=5)+P(X=6)=\binom{6}{5}0{,}7^5 0{,}3+0{,}7^6=0{,}420175\).

Antwort

a) \(0{,}324135\) b) \(0{,}000729\) c) \(0{,}010935\) d) \(0{,}420175\)
42873712
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 6 Fragen. Zu jeder Frage gibt es zwei Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Eine Person kreuzt bei allen Fragen rein zufällig eine Antwort an. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) Es sind genau 3 Antworten richtig. (2) Es sind genau 5 Antworten richtig. (3) Es sind mehr Antworten richtig als falsch.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei nur zwei Antwortmöglichkeiten ist. - Welches Modell beschreibt eine Serie von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei Ausgängen? - Was bedeutet „mehr richtig als falsch“ konkret für die Anzahl der Treffer bei insgesamt 6 Fragen? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen?

Lösung

Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 6\) und \(p = 0{,}5\). 1. Berechnung für genau 3 richtige Antworten: \(P(X=3) = \binom{6}{3} \cdot 0{,}5^3 \cdot 0{,}5^3 = 20 \cdot 0{,}015625 = 0{,}3125\). 2. Berechnung für genau 5 richtige Antworten: \(P(X=5) = \binom{6}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^1 = 6 \cdot 0{,}015625 = 0{,}09375\). 3. Das Ereignis „mehr richtig als falsch“ entspricht bei 6 Fragen den Ergebnissen 4, 5 oder 6 richtige Antworten. \(P(X=4) = \binom{6}{4} \cdot 0{,}5^4 \cdot 0{,}5^2 = 15 \cdot 0{,}015625 = 0{,}234375\). \(P(X=6) = \binom{6}{6} \cdot 0{,}5^6 \cdot 0{,}5^0 = 1 \cdot 0{,}015625 = 0{,}015625\). Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 4) = 0{,}234375 + 0{,}09375 + 0{,}015625 = 0{,}34375\).

Antwort

(1) \(0{,}3125\) (oder \(31{,}25\,\%\)) (2) \(0{,}09375\) (oder \(9{,}375\,\%\)) (3) \(0{,}34375\) (oder \(34{,}375\,\%\))
42873812
In einem Freiwurfmodell führt ein Basketballspieler jeweils \(4\) voneinander unabhängige Würfe aus. a) Bei einer Trefferwahrscheinlichkeit von \(p=0{,}70\): Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass er (1) genau \(2\) Treffer und (2) mindestens \(3\) Treffer erzielt. b) Nach einem Training wird für das Modell \(p=0{,}75\) angesetzt. Berechne die beiden Wahrscheinlichkeiten erneut und vergleiche sie mit den Werten aus a).

Denkanstöße

- Welche Modellannahme bleibt in beiden Teilen gleich und welcher Parameter ändert sich? - Welche Trefferzahlen gehören zu „mindestens 3“? - Vergleiche die beiden Ereignisse getrennt, statt nur die Trefferwahrscheinlichkeiten zu vergleichen.

Lösung

1. Für a) gilt bei \(X\sim B(4;0{,}70)\): \(P(X=2)=\binom{4}{2}0{,}7^2 0{,}3^2=0{,}2646\). 2. Außerdem ist \(P(X\ge3)=\binom{4}{3}0{,}7^3 0{,}3+0{,}7^4=0{,}6517\). 3. Für b) gilt bei \(Y\sim B(4;0{,}75)\): \(P(Y=2)=\binom{4}{2}\left(\frac34\right)^2\left(\frac14\right)^2=\frac{27}{128}\). 4. \(P(Y\ge3)=\binom{4}{3}\left(\frac34\right)^3\frac14+\left(\frac34\right)^4=\frac{189}{256}\). 5. Die Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Treffer sinkt, während die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(3\) Treffer steigt.

Antwort

a) (1) \(0{,}2646\); (2) \(0{,}6517\) b) (1) \(\frac{27}{128}\); (2) \(\frac{189}{256}\) Die Wahrscheinlichkeit für genau \(2\) Treffer nimmt ab, die für mindestens \(3\) Treffer nimmt zu.
42873912
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird \(10\)-mal unabhängig voneinander geworfen. Als Erfolg wird die Augenzahl \(6\) gewertet. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) Genau zweimal wird eine \(6\) gewürfelt. (2) Höchstens einmal wird eine \(6\) gewürfelt. (3) Mindestens dreimal wird eine \(6\) gewürfelt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Lege zuerst die Trefferwahrscheinlichkeit für eine Sechs fest. - „Höchstens eins“ umfasst zwei Trefferzahlen. - Für „mindestens drei“ ist das Gegenereignis bis einschließlich zwei Treffern kurz.

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der Sechsen gilt \(X\sim B\left(10;\frac{1}{6}\right)\). 2. \(P(X=2)=\binom{10}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^8\approx0{,}290710\), also \(29{,}07\,\%\). 3. \(P(X\le1)=\left(\frac{5}{6}\right)^{10}+\binom{10}{1}\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}\right)^9\approx0{,}484517\), also \(48{,}45\,\%\). 4. \(P(X\ge3)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{10-k}\approx0{,}224773\), also \(22{,}48\,\%\).

Antwort

(1) \(29{,}07\,\%\) (2) \(48{,}45\,\%\) (3) \(22{,}48\,\%\)
42874012
Ein Gärtner pflanzt \(12\) Blumensamen einer bestimmten Sorte. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein einzelner Samen keimt, beträgt \(80\,\%\). Es wird angenommen, dass die Samen unabhängig voneinander keimen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: (1) Genau \(10\) der \(12\) Samen keimen. (2) Mehr als \(10\) Samen keimen. (3) Höchstens \(2\) der \(12\) Samen keimen nicht. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Identifiziere die Gesamtzahl der Versuche und die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (das Keimen). - Wenn nach „mehr als 10“ gefragt ist, welche konkreten Anzahlen an keimenden Samen sind dann gemeint? - Überlege bei Teilaufgabe (3), was es für die Anzahl der keimenden Samen bedeutet, wenn höchstens 2 nicht keimen. - Kannst du Ergebnisse aus den vorherigen Teilaufgaben kombinieren, um die letzte Frage schneller zu beantworten?

Lösung

1. Die Anzahl der keimenden Samen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}8\). 2. \(P(X=10)=\binom{12}{10}0{,}8^{10}0{,}2^2\approx0{,}283468\), also \(28{,}35\,\%\). 3. \(P(X>10)=\binom{12}{11}0{,}8^{11}0{,}2+0{,}8^{12}\approx0{,}274878\), also \(27{,}49\,\%\). 4. Höchstens \(2\) nicht keimende Samen bedeuten mindestens \(10\) keimende Samen. Daher ist \(P(X\ge10)=\sum_{k=10}^{12}\binom{12}{k}0{,}8^k0{,}2^{12-k}\approx0{,}558346\), also \(55{,}83\,\%\).

Antwort

(1) \(28{,}35\,\%\) (2) \(27{,}49\,\%\) (3) \(55{,}83\,\%\)
42874212
Für ein mathematisches Qualitätskontrollmodell werden \(15\) Bauteile unabhängig voneinander betrachtet. Jedes Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}1\) fehlerhaft. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass kein Bauteil oder genau ein Bauteil fehlerhaft ist. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche beiden Trefferzahlen gehören zum Ereignis? - Berechne beide Punktwahrscheinlichkeiten getrennt. - Warum dürfen die beiden Wahrscheinlichkeiten addiert werden?

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der fehlerhaften Bauteile gilt \(X\sim B(15;0{,}1)\). 2. Die Ereignisse \(X=0\) und \(X=1\) sind disjunkt. 3. Daher ist \(P(X\le1)=0{,}9^{15}+\binom{15}{1}0{,}1\cdot0{,}9^{14}\approx0{,}549043\), also \(54{,}90\,\%\).

Antwort

\(54{,}90\,\%\)
42874412
Zwei faire sechsseitige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Dieser Doppelwurf wird \(8\)-mal unabhängig voneinander wiederholt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt das Ereignis „Die Augensumme ist genau \(11\)“ weniger als zweimal auf? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Einzelwahrscheinlichkeit für die Summe \(11\). - Welche Trefferzahlen sind kleiner als \(2\)? - Verwende die zwei zugehörigen Punktwahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Die Augensumme \(11\) entsteht durch \((5;6)\) und \((6;5)\). Daher ist die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Doppelwurf \(p=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\). 2. Für die Anzahl \(X\) der Erfolge gilt \(X\sim B\left(8;\frac{1}{18}\right)\). 3. „Weniger als zweimal“ bedeutet \(X=0\) oder \(X=1\). 4. Daher ist \(P(X<2)=\left(\frac{17}{18}\right)^8+\binom{8}{1}\frac{1}{18}\left(\frac{17}{18}\right)^7\approx0{,}930899\), also \(93{,}09\,\%\).

Antwort

\(93{,}09\,\%\)
42874912
Sarah und Tim spielen insgesamt \(7\) Sätze Tischtennis. Wer mindestens \(4\) Sätze gewinnt, gewinnt das Match. Sarah gewinnt einen einzelnen Satz mit einer Wahrscheinlichkeit von \(p=0{,}55\); die Satzergebnisse werden als unabhängig angenommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der Sarah das Match gewinnt. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie viele Sätze Sarah mindestens gewinnen muss, um als Gesamtsiegerin festzustehen. - Kannst du das Problem als eine Kette von unabhängigen Versuchen betrachten? - Welche Verteilung hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl an Erfolgen zu berechnen? - Du musst die Wahrscheinlichkeiten für alle Fälle addieren, in denen Sarah das Match gewinnt.

Lösung

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n=7\) und \(p=0{,}55\). 2. Sarah gewinnt das Match bei \(4\), \(5\), \(6\) oder \(7\) gewonnenen Sätzen. 3. Daher ist \(P(X\ge4)=\sum_{k=4}^{7}\binom{7}{k}0{,}55^k0{,}45^{7-k}\approx0{,}608288\). 4. Als Prozentwert ergibt sich \(60{,}83\,\%\).

Antwort

\(60{,}83\,\%\)
42875012
Marc und Lukas spielen eine Serie von \(10\) Partien eines Videospiels. Für das Modell wird angenommen, dass Marc jede Partie unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}40\) gewinnt. Gesamtsieger ist, wer mehr als die Hälfte der Partien gewinnt; bei \(5{:}5\) gibt es keinen Gesamtsieger. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Marc Gesamtsieger wird? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Wie viele Partien muss Marc mindestens gewinnen, um mehr als die Hälfte zu gewinnen? - Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welche möglichen Siegzahlen gehören zum Ereignis „Marc ist Gesamtsieger“?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist Marcs Siegzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=10\) und \(p=0{,}40\). 2. Marc ist Gesamtsieger, wenn er mindestens \(6\) Partien gewinnt. 3. Es gilt \(P(X\ge6)=\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}0{,}4^k0{,}6^{10-k}\approx0{,}166239\), also \(16{,}62\,\%\).

Antwort

\(16{,}62\,\%\)
42875112
Für ein Befragungsmodell werden \(15\) Haushalte unabhängig voneinander betrachtet. Jeder Haushalt nutzt mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}40\) regelmäßig einen Streaming-Dienst. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Genau \(6\) Haushalte nutzen einen Streaming-Dienst. b) Höchstens \(2\) Haushalte nutzen einen Streaming-Dienst. c) Mindestens \(13\) Haushalte nutzen einen Streaming-Dienst. Gib die Ergebnisse in a) und b) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen und das Ergebnis in c) als Prozentwert auf drei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens 2“? - Welche Trefferzahlen gehören zu „mindestens 13“?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Nutzerzahl \(X\) binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}40\). 2. \(P(X=6)=\binom{15}{6}0{,}4^6 0{,}6^9\approx0{,}206598\), also \(20{,}66\,\%\). 3. \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{15}{k}0{,}4^k0{,}6^{15-k}\approx0{,}027114\), also \(2{,}71\,\%\). 4. \(P(X\ge13)=\sum_{k=13}^{15}\binom{15}{k}0{,}4^k0{,}6^{15-k}\approx0{,}000278904\), also \(0{,}028\,\%\).

Antwort

a) \(20{,}66\,\%\) b) \(2{,}71\,\%\) c) \(0{,}028\,\%\)
42875412
Für ein Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jedes der \(15\) betrachteten elektronischen Bauteile unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) defekt ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Genau ein Bauteil ist defekt. b) Mindestens zwei Bauteile sind defekt. c) Kein Bauteil ist defekt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens zwei“? - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „nicht defekt“?

Lösung

1. Die Defektzahl \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}04\). 2. Für a) gilt \(P(X=1)=\binom{15}{1}0{,}04\cdot0{,}96^{14}\approx0{,}338804\), also \(33{,}88\,\%\). 3. Für b) gilt \(P(X\ge2)=1-0{,}96^{15}-\binom{15}{1}0{,}04\cdot0{,}96^{14}\approx0{,}119110\), also \(11{,}91\,\%\). 4. Für c) gilt \(P(X=0)=0{,}96^{15}\approx0{,}542086\), also \(54{,}21\,\%\).

Antwort

a) \(33{,}88\,\%\) b) \(11{,}91\,\%\) c) \(54{,}21\,\%\)
42876112
Ein Programmkino hat \(13\) Plätze und nimmt \(15\) Reservierungen an. Für ein Modell wird angenommen, dass jede reservierende Person unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}90\) erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Kino überbelegt ist, also mehr Personen erscheinen als Plätze vorhanden sind? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Ab welcher Zahl erscheinender Personen ist das Kino überbelegt? - Welche Angaben im Modell machen die Zahl der Erscheinenden binomialverteilt? - Welche zwei Einzelwahrscheinlichkeiten musst du addieren?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Zahl \(X\) der erscheinenden Personen binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}90\). 2. Überbelegung liegt bei \(X>13\), also bei \(X=14\) oder \(X=15\), vor. 3. Es gilt \(P(X>13)=\binom{15}{14}0{,}9^{14}0{,}1+0{,}9^{15}\approx0{,}549043\), also \(54{,}90\,\%\).

Antwort

\(54{,}90\,\%\)
42876212
Ein Restaurant verfügt über \(10\) Außentische und nimmt für einen Abend \(12\) Reservierungen an. Für ein Modell wird angenommen, dass jede Reservierung unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}75\) wahrgenommen wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht die Anzahl der Tische für alle wahrgenommenen Reservierungen aus? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Zahl wahrgenommener Reservierungen kann mit \(10\) Tischen höchstens versorgt werden? - Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welche beiden Fälle bilden das Gegenereignis?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Zahl \(X\) der wahrgenommenen Reservierungen binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}75\). 2. Die Tische reichen genau dann aus, wenn \(X\le10\). 3. Über das Gegenereignis gilt \(P(X\le10)=1-P(X=11)-P(X=12)\). 4. Damit ist \(P(X\le10)=1-\binom{12}{11}0{,}75^{11}0{,}25-0{,}75^{12}\approx0{,}841618\), also \(84{,}16\,\%\).

Antwort

\(84{,}16\,\%\)
43090612
In einer Spielshow wird das Format „4 aus 18“ gespielt. Ein Teilnehmer gewinnt den Hauptpreis nur dann, wenn alle 4 von ihm gewählten Zahlen mit den 4 gezogenen Zahlen übereinstimmen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilnehmer bei \(1000\) unabhängigen Spielrunden (mit jeweils einem Tipp) mindestens einmal den Hauptpreis gewinnt. Gib das Ergebnis in Prozent an, gerundet auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Versuch. - Wenn nach „mindestens einem“ Erfolg gefragt ist, ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Welches Zufallsexperiment beschreibt eine Folge von gleichartigen, unabhängigen Versuchen mit nur zwei möglichen Ausgängen?

Lösung

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Hauptgewinn in einer einzelnen Runde: \(p = \frac{1}{\binom{18}{4}}\). 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{18}{4} = \frac{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3060\). Somit ist \(p = \frac{1}{3060}\). 3. Modellierung als Bernoulli-Kette mit \(n = 1000\) und \(p = \frac{1}{3060}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Treffer: \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). 4. Anwendung der Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit: \(P(X \ge 1) = 1 - (1 - p)^{1000} = 1 - \left(\frac{3059}{3060}\right)^{1000}\). 5. Numerische Berechnung: \(1 - (0{,}9996732\ldots)^{1000} \approx 1 - 0{,}72119 \approx 0{,}27881\). 6. Umrechnung in Prozent: \(27{,}88\,\%\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(27{,}88\,\%\).
43091712
Ein Glücksrad mit \(20\) gleich großen Sektoren ist in drei Farben unterteilt: \(10\) Sektoren sind blau, \(6\) Sektoren sind rot und \(4\) Sektoren sind gelb. Das Rad wird \(15\)-mal nacheinander gedreht; die Ergebnisse der Drehungen werden als voneinander unabhängig angenommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: a) Es wird genau \(5\)-mal die Farbe Blau erzielt. b) Es wird kein einziges Mal die Farbe Gelb erzielt. c) Die Farbe Rot wird öfter als \(2\)-mal erzielt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Farbe wird in jedem Teil als Treffer definiert, und wie groß ist ihre Einzelwahrscheinlichkeit? - Welche Folge hat die angenommene Unabhängigkeit der Drehungen für das Modell der Trefferzahl? - Bei „öfter als zweimal“ kann das Gegenereignis kürzer zu berechnen sein.

Lösung

1. Für jede Teilaufgabe wird die jeweils betrachtete Farbe als Treffer und jede andere Farbe als Nichttreffer definiert. Wegen der unabhängigen Drehungen liegt jeweils eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=15\) vor. Es gilt \(p_{\text{blau}}=0{,}5\), \(p_{\text{rot}}=0{,}3\) und \(p_{\text{gelb}}=0{,}2\). 2. Für genau fünfmal Blau gilt \(P(X=5)=\binom{15}{5}0{,}5^{15}\approx0{,}091644\), also \(9{,}16\,\%\). 3. Für kein Gelb gilt \(P(Y=0)=0{,}8^{15}\approx0{,}035184\), also \(3{,}52\,\%\). 4. Für Rot öfter als zweimal gilt \(P(Z>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{15}{k}0{,}3^k0{,}7^{15-k}\approx0{,}873172\), also \(87{,}32\,\%\).

Antwort

a) \(9{,}16\,\%\) b) \(3{,}52\,\%\) c) \(87{,}32\,\%\)
43099012
Für ein Keimmodell werden \(10\) Samen betrachtet. Jeder Samen keimt unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}90\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen, die Zufallsgröße \(Y\) die Anzahl der nicht keimenden Samen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(9\) Samen keimen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens ein Samen nicht keimt. c) Begründe ohne Rechnung, warum die Ergebnisse aus a) und b) identisch sein müssen. Runde die Wahrscheinlichkeiten in a) und b) auf vier Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen rechtfertigen beide Binomialverteilungen? - Wie hängen \(X\) und \(Y\) bei insgesamt \(10\) Samen zusammen? - Formuliere „mindestens 9 keimen“ als Aussage über die Zahl der nicht keimenden Samen.

Lösung

1. Für \(X\sim B(10;0{,}90)\) gilt \(P(X\ge9)=\binom{10}{9}0{,}9^9 0{,}1+0{,}9^{10}\approx0{,}736099\). 2. Für \(Y\sim B(10;0{,}10)\) gilt \(P(Y\le1)=0{,}9^{10}+\binom{10}{1}0{,}1\cdot0{,}9^9\approx0{,}736099\). 3. Die Ereignisse sind identisch, weil bei insgesamt \(10\) Samen stets \(Y=10-X\) gilt. Daher ist \(X\ge9\) genau dann erfüllt, wenn \(Y\le1\).

Antwort

a) \(P(X\ge9)\approx0{,}7361\) b) \(P(Y\le1)\approx0{,}7361\) c) Beide Bedingungen beschreiben denselben Sachverhalt: höchstens ein nicht keimender Samen bei insgesamt \(10\) Samen.
43099912
Ein fairer achtseitiger Würfel mit den Zahlen \(1\) bis \(8\) wird \(10\)-mal unabhängig voneinander geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der geworfenen Achten. Berechne die Wahrscheinlichkeit für: (1) mindestens eine Acht; (2) mehr als zwei Achten; (3) höchstens neun Achten; (4) lauter Achten.

Denkanstöße

- Nutze bei „mindestens eine“ das Ereignis „keine Acht“. - Bei „mehr als zwei“ ist das Gegenereignis \(X\le2\). - „Höchstens neun“ ist das Gegenereignis zu „zehn Achten“.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B\left(10;\frac{1}{8}\right)\). 2. \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\left(\frac{7}{8}\right)^{10}\). 3. \(P(X>2)=1-P(X\le2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}\left(\frac{1}{8}\right)^k\left(\frac{7}{8}\right)^{10-k}\). 4. \(P(X\le9)=1-P(X=10)=1-\left(\frac{1}{8}\right)^{10}\). 5. \(P(X=10)=\left(\frac{1}{8}\right)^{10}\).

Antwort

(1) \(1-\left(\frac{7}{8}\right)^{10}\) (2) \(1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}\left(\frac{1}{8}\right)^k\left(\frac{7}{8}\right)^{10-k}\) (3) \(1-\left(\frac{1}{8}\right)^{10}\) (4) \(\left(\frac{1}{8}\right)^{10}\)
43100012
Ein Glücksrad besitzt fünf gleich große Sektoren, von denen genau einer rot ist. Das Rad wird \(12\)-mal unabhängig voneinander gedreht. Die Zufallsgröße \(Y\) gibt die Anzahl der roten Treffer an. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für: (1) mindestens einen roten Treffer; (2) mehr als drei rote Treffer; (3) höchstens zehn rote Treffer; (4) keinen roten Treffer.

Denkanstöße

- Lege zuerst \(n\) und \(p\) fest. - Prüfe bei jedem Ereignis, ob das Gegenereignis weniger Trefferzahlen enthält. - Achte auf die Unterschiede zwischen „mehr als“, „höchstens“ und „mindestens“.

Lösung

1. Es gilt \(Y\sim B(12;0{,}2)\). 2. \(P(Y\ge1)=1-P(Y=0)=1-0{,}8^{12}\). 3. \(P(Y>3)=1-P(Y\le3)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k}0{,}2^k0{,}8^{12-k}\). 4. \(P(Y\le10)=1-P(Y=11)-P(Y=12)=1-\binom{12}{11}0{,}2^{11}0{,}8-0{,}2^{12}\). 5. \(P(Y=0)=0{,}8^{12}\).

Antwort

(1) \(1-0{,}8^{12}\) (2) \(1-\sum_{k=0}^{3}\binom{12}{k}0{,}2^k0{,}8^{12-k}\) (3) \(1-\binom{12}{11}0{,}2^{11}0{,}8-0{,}2^{12}\) (4) \(0{,}8^{12}\)
43100312
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(10\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es genau zwei Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils nur eine korrekt ist. Felix hat sich nicht vorbereitet und kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Felix genau \(5\) Fragen richtig beantwortet. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Felix mindestens \(8\) Fragen richtig beantwortet. c) Ist es wahrscheinlicher, dass Felix genau \(5\) Fragen richtig beantwortet oder dass er mehr als \(5\) Fragen richtig beantwortet? Begründe deine Entscheidung ohne eine vollständige Berechnung aller Einzelwahrscheinlichkeiten.

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, welcher Verteilungstyp hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert bei einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „mindestens 8“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Betrachte für Teil c) die Verteilung um ihren Mittelpunkt und suche nach einer Struktur, die eine vollständige Summation erspart.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(10;0{,}5)\). 2. Für genau fünf richtige Antworten ist \(P(X=5)=\binom{10}{5}0{,}5^{10}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}\). 3. Für mindestens acht richtige Antworten ist \(P(X\ge8)=[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}]0{,}5^{10}=\frac{56}{1024}=\frac{7}{128}\). 4. Wegen \(p=0{,}5\) ist die Verteilung symmetrisch zu \(5\), also gilt \(P(X<5)=P(X>5)\). 5. Deshalb ist \(P(X>5)=\frac{1-P(X=5)}{2}=\frac{1-\frac{63}{256}}{2}=\frac{193}{512}\). Da \(\frac{193}{512}>\frac{63}{256}\), ist „mehr als fünf“ wahrscheinlicher.

Antwort

a) \(P(X=5)=\frac{63}{256}\) b) \(P(X\ge8)=\frac{7}{128}\) c) „Mehr als \(5\)“ ist wahrscheinlicher, denn \(P(X>5)=\frac{193}{512}>\frac{63}{256}=P(X=5)\).
43100412
In der Informatik werden Daten als Folgen von Bits (0 oder 1) übertragen. In einem Zufallsmodell nimmt jedes Bit unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}5\) den Wert \(1\) an. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der Einsen an. a) Betrachte zunächst eine Folge von \(3\) Bits. Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) in einer Tabelle auf. b) Berechne für eine Folge von \(8\) Bits die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Nullen strikt größer ist als die Anzahl der Einsen.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell machen die Zahl der Einsen binomialverteilt? - Welche Werte kann \(X\) bei einer 3-Bit-Folge annehmen? - Wie viele Einsen dürfen bei \(8\) Bits höchstens vorkommen, damit es strikt mehr Nullen gibt?

Lösung

1. Für \(n=3\) gilt \(X \sim B(3;0{,}5)\). Die Wahrscheinlichkeiten sind \(P(X=0)=0{,}125\), \(P(X=1)=0{,}375\), \(P(X=2)=0{,}375\) und \(P(X=3)=0{,}125\). 2. Bei \(8\) Bits gibt es mehr Nullen als Einsen genau dann, wenn höchstens \(3\) Einsen vorkommen. 3. Daher ist \(P(X \le 3) = \left(\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}\right)0{,}5^8 = \frac{93}{256} \approx 0{,}3633\).

Antwort

a) <table><tr><td>\(k\)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>\(P(X=k)\)</td><td>\(0{,}125\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}375\)</td><td>\(0{,}125\)</td></tr></table> b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{93}{256} \approx 0{,}3633\).
43100712
Für ein Modell zu Bluetooth-Kopfhörern wird angenommen, dass jedes von \(12\) Geräten unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}15\) einen Akkudefekt aufweist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Genau \(3\) Geräte haben einen Akkudefekt. b) Höchstens \(2\) Geräte haben einen Akkudefekt. c) Mehr als \(4\) Geräte haben einen Akkudefekt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welche Werte gehören zu „höchstens 2“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mehr als 4“?

Lösung

1. Die Defektzahl \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}15\). 2. \(P(X=3)=\binom{12}{3}0{,}15^3 0{,}85^9\approx0{,}171976\), also \(17{,}20\,\%\). 3. \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{12}{k}0{,}15^k0{,}85^{12-k}\approx0{,}735818\), also \(73{,}58\,\%\). 4. \(P(X>4)=1-\sum_{k=0}^{4}\binom{12}{k}0{,}15^k0{,}85^{12-k}\approx0{,}023922\), also \(2{,}39\,\%\).

Antwort

a) \(17{,}20\,\%\) b) \(73{,}58\,\%\) c) \(2{,}39\,\%\)
43100812
In einem Pendler-Modell werden \(15\) Personen unabhängig voneinander betrachtet. Jede Person nutzt mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}40\) regelmäßig das Fahrrad für den Arbeitsweg. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau \(6\) Personen regelmäßig das Fahrrad nutzen, b) weniger als \(5\) Personen regelmäßig das Fahrrad nutzen, c) mindestens \(8\) Personen regelmäßig das Fahrrad nutzen. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Wie übersetzt du „weniger als 5“ in eine ganzzahlige Ungleichung? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 8“?

Lösung

1. Die Zahl \(X\) der Fahrradnutzer ist binomialverteilt mit \(n=15\) und \(p=0{,}40\). 2. \(P(X=6)=\binom{15}{6}0{,}4^6 0{,}6^9\approx0{,}206598\), also \(20{,}66\,\%\). 3. \(P(X<5)=P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{15}{k}0{,}4^k0{,}6^{15-k}\approx0{,}217278\), also \(21{,}73\,\%\). 4. \(P(X\ge8)=1-\sum_{k=0}^{7}\binom{15}{k}0{,}4^k0{,}6^{15-k}\approx0{,}213103\), also \(21{,}31\,\%\).

Antwort

a) \(20{,}66\,\%\) b) \(21{,}73\,\%\) c) \(21{,}31\,\%\)
43101112
Für ein Modell werden \(50\) Jugendliche unabhängig voneinander betrachtet. Jede Person besitzt mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}80\) ein eigenes Tablet. Bestimme mithilfe eines Tafelwerks die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse und runde jeweils auf vier Nachkommastellen: (1) Genau \(42\) Jugendliche besitzen ein Tablet. (2) Mindestens \(38\) Jugendliche besitzen ein Tablet. (3) Höchstens \(44\) Jugendliche besitzen ein Tablet.

Denkanstöße

- Warum kann bei \(p>0{,}5\) die Gegenwahrscheinlichkeit für ein Tafelwerk hilfreich sein? - Wie hängen \(X\) und die Zahl \(Y\) der Personen ohne Tablet zusammen? - Übersetze jede Ungleichung für \(X\) sorgfältig in eine Ungleichung für \(Y\).

Lösung

1. Für die Tabletzahl \(X\) gilt \(X\sim B(50;0{,}80)\). Für das Tafelwerk wird die komplementäre Zufallsgröße \(Y=50-X\) mit \(Y\sim B(50;0{,}20)\) verwendet. 2. Aus dem Tafelwerk ergibt sich \(P(X=42)=P(Y=8)\approx0{,}1169\). 3. Aus dem Tafelwerk ergibt sich \(P(X\ge38)=P(Y\le12)\approx0{,}8139\). 4. Aus dem Tafelwerk ergibt sich \(P(X\le44)=P(Y\ge6)=1-P(Y\le5)\approx0{,}9520\).

Antwort

(1) \(P(X=42)\approx0{,}1169\) (2) \(P(X\ge38)\approx0{,}8139\) (3) \(P(X\le44)\approx0{,}9520\)
43102712
In einem Freiwurfmodell führt ein Basketballspieler \(20\) voneinander unabhängige Würfe aus. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Wurf konstant \(p=0{,}75\). Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) Alle Würfe sind Treffer. (2) Er erzielt genau \(15\) Treffer. (3) Er erzielt mehr als \(15\) Treffer. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welche Trefferzahl gehört zum Ereignis „alle Würfe“? - Welches Gegenereignis ist für „mehr als 15“ günstig?

Lösung

1. Die Trefferzahl \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p=0{,}75\). 2. \(P(X=20)=0{,}75^{20}\approx0{,}003171\), also \(0{,}32\,\%\). 3. \(P(X=15)=\binom{20}{15}0{,}75^{15}0{,}25^5\approx0{,}202331\), also \(20{,}23\,\%\). 4. \(P(X>15)=\sum_{k=16}^{20}\binom{20}{k}0{,}75^k0{,}25^{20-k}\approx0{,}414842\), also \(41{,}48\,\%\).

Antwort

(1) \(0{,}32\,\%\) (2) \(20{,}23\,\%\) (3) \(41{,}48\,\%\)
43102812
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(80\) elektronische Bauteile unabhängig voneinander betrachtet. Jedes Bauteil ist mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}05\) defekt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass (1) kein Bauteil defekt ist, (2) genau \(4\) Bauteile defekt sind, (3) weniger als \(4\) Bauteile defekt sind. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welche Formel brauchst du für genau \(4\) Defekte? - Welche ganzzahligen Werte gehören zu „weniger als 4“?

Lösung

1. Die Defektzahl \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=80\) und \(p=0{,}05\). 2. \(P(X=0)=0{,}95^{80}\approx0{,}016515\), also \(1{,}65\,\%\). 3. \(P(X=4)=\binom{80}{4}0{,}05^4 0{,}95^{76}\approx0{,}200431\), also \(20{,}04\,\%\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X<4)=P(X\le3)\approx0{,}428449\), also \(42{,}84\,\%\).

Antwort

(1) \(1{,}65\,\%\) (2) \(20{,}04\,\%\) (3) \(42{,}84\,\%\)
43102912
In einem Freiwurfmodell führt ein Basketballspieler \(25\) voneinander unabhängige Würfe aus. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Wurf konstant \(p=0{,}45\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Treffer. Gib das Gegenereignis in Worten an und berechne seine Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: (1) \(E_1\): Mehr als \(10\) Treffer. (2) \(E_2\): Höchstens \(14\) Treffer. Runde die berechneten Wahrscheinlichkeiten auf vier Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welche Trefferzahlen gehören jeweils nicht zum genannten Ereignis? - Wie lässt sich „mindestens \(15\)“ mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit berechnen?

Lösung

1. Das Gegenereignis zu \(E_1\) lautet „höchstens \(10\) Treffer“. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le10)\approx0{,}384260\). 2. Das Gegenereignis zu \(E_2\) lautet „mindestens \(15\) Treffer“. Mit der kumulierten Binomialfunktion des Taschenrechners gilt \(P(X\ge15)=1-P(X\le14)\approx0{,}095983\).

Antwort

(1) \(\bar E_1\): Höchstens \(10\) Treffer; \(P(\bar E_1)\approx0{,}3843\) (2) \(\bar E_2\): Mindestens \(15\) Treffer; \(P(\bar E_2)\approx0{,}0960\)
43103112
Ein Reisebus hat \(50\) Plätze und nimmt \(54\) Buchungen an. Für ein Modell wird angenommen, dass jede gebuchte Person unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}90\) zur Abfahrt erscheint. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle erscheinenden Personen einen Sitzplatz erhalten. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Wie viele Personen dürfen höchstens erscheinen? - Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Gesucht ist eine Punkt- oder eine kumulierte Wahrscheinlichkeit?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen ist die Zahl \(X\) der erscheinenden Personen binomialverteilt mit \(n=54\) und \(p=0{,}90\). 2. Alle erhalten einen Platz genau dann, wenn \(X\le50\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le50)\approx0{,}801542\), also \(80{,}15\,\%\).

Antwort

\(80{,}15\,\%\)
43103312
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(150\) elektronische Bauteile unabhängig voneinander betrachtet. Jedes Bauteil ist mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}06\) defekt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der defekten Bauteile. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) Genau \(9\) Bauteile sind defekt. b) Höchstens \(5\) Bauteile sind defekt. c) Mindestens \(12\) Bauteile sind defekt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welche Werte gehören zu „höchstens 5“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 12“?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(150;0{,}06)\). 2. \(P(X=9)=\binom{150}{9}0{,}06^9 0{,}94^{141}\approx0{,}135891\), also \(13{,}59\,\%\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le5)\approx0{,}108296\), also \(10{,}83\,\%\). 4. Mit derselben Funktion gilt \(P(X\ge12)=1-P(X\le11)\approx0{,}190893\), also \(19{,}09\,\%\).

Antwort

a) \(13{,}59\,\%\) b) \(10{,}83\,\%\) c) \(19{,}09\,\%\)
43103912
Für ein Keimmodell werden \(80\) Blumenzwiebeln unabhängig voneinander betrachtet. Jede Zwiebel treibt mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}85\) aus. Für ein Beet werden mindestens \(65\) blühende Blumen benötigt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ziel erreicht wird. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Wie viele Zwiebeln dürfen höchstens nicht austreiben? - Ist die Rechnung über die Ausfallzahl günstiger?

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der austreibenden Zwiebeln. Dann gilt \(X\sim B(80;0{,}85)\). 2. Gesucht ist \(P(X\ge65)\). 3. Äquivalent kann die Ausfallzahl \(Y=80-X\) mit \(Y\sim B(80;0{,}15)\) verwendet werden. Das Ziel wird erreicht, wenn \(Y\le15\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(Y\le15)\approx0{,}862466\), also \(86{,}25\,\%\).

Antwort

\(86{,}25\,\%\)
43107212
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(300\) Mikrochips betrachtet. Jeder Chip ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}008\) defekt. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Chip, genau ein Chip oder genau zwei Chips defekt sind. Gib die drei Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als drei Chips defekt sind. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. c) Wenn an \(365\) Tagen jeweils eine solche Gruppe von \(300\) Chips betrachtet wird, an wie vielen Tagen ist theoretisch zu erwarten, dass kein einziger Chip defekt ist? Runde auf ganze Tage.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen machen die Defektzahl binomialverteilt? - Welches Gegenereignis gehört zu „mehr als drei“? - Wie wird aus einer Tageswahrscheinlichkeit eine erwartete Anzahl von Tagen in \(365\) Wiederholungen?

Lösung

1. Für die Defektzahl \(X\) gilt \(X\sim B(300;0{,}008)\). 2. \(P(X=0)=0{,}992^{300}\approx0{,}089847\), also \(8{,}98\,\%\). 3. \(P(X=1)=\binom{300}{1}0{,}008\cdot0{,}992^{299}\approx0{,}217371\), also \(21{,}74\,\%\). 4. \(P(X=2)=\binom{300}{2}0{,}008^2 0{,}992^{298}\approx0{,}262072\), also \(26{,}21\,\%\). 5. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>3)=1-P(X\le3)\approx0{,}220771\), also \(22{,}08\,\%\). 6. Für c) wird die ungerundete Wahrscheinlichkeit aus Schritt 2 verwendet: \(365\cdot P(X=0)\approx32{,}794\). Gerundet sind etwa \(33\) Tage zu erwarten.

Antwort

a) \(8{,}98\,\%\); \(21{,}74\,\%\); \(26{,}21\,\%\) b) \(22{,}08\,\%\) c) Etwa \(33\) Tage.
43110212
An einer Raststätte stehen \(6\) Schnellladestationen für Elektroautos zur Verfügung. In einem Zeitraum von zwei Stunden kommen erfahrungsgemäß \(24\) Fahrzeuge an, die ihre Batterie laden wollen. Modellhaft wird angenommen, dass jedes Fahrzeug zu einem zufällig gewählten Zeitpunkt unabhängig von den anderen Fahrzeugen mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{20}{120}=\frac{1}{6}\) eine Ladestation benötigt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu diesem Zeitpunkt mehr als die Hälfte der Ladestationen benötigt wird. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p\) für ein einzelnes Fahrzeug bezogen auf den gesamten Zeitraum. - Was bedeutet die Aussage „mehr als die Hälfte“ konkret für die Anzahl der belegten Stationen? - Welche Verteilung eignet sich, um die Anzahl der gleichzeitig belegten Stationen zu modellieren? - Denke daran, dass es oft einfacher ist, die Wahrscheinlichkeit für das Gegenteil auszurechnen und von \(1\) abzuziehen.

Lösung

1. Für ein einzelnes Fahrzeug beträgt die Wahrscheinlichkeit, zum betrachteten Zeitpunkt eine Ladestation zu benötigen, \(p=\frac{1}{6}\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Fahrzeuge, die zu diesem Zeitpunkt laden wollen. Es gilt \(X\sim B\left(24;\frac{1}{6}\right)\). 3. Mehr als die Hälfte von \(6\) Stationen bedeutet mindestens \(4\) gleichzeitig benötigte Stationen. 4. Daher ist \(P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{24}{k}\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{24-k}\approx0{,}584487\), also \(58{,}45\,\%\).

Antwort

\(58{,}45\,\%\)
43110912
In einer Facharztpraxis gibt es ein Wartezimmer mit \(10\) Sitzplätzen. Die Praxis ist vormittags für \(5\) Stunden, also \(300\,\text{min}\), geöffnet. In dieser Zeit sind \(80\) Patienten einbestellt. Modellhaft wird angenommen, dass sich jeder Patient \(15\,\text{min}\) im Wartezimmer aufhält und die Aufenthalte unabhängig voneinander gleichmäßig über die Öffnungszeit verteilt sind. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Patienten zu einem zufällig gewählten Zeitpunkt im Wartezimmer anzutreffen, \(\frac{15}{300}=0{,}05\). Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu diesem Zeitpunkt mehr Patienten im Wartezimmer sind, als Sitzplätze vorhanden sind. Gib die Wahrscheinlichkeit als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. Beurteile mithilfe des Ergebnisses, ob die Anzahl der Sitzplätze ausreicht, wenn eine Überbelegung nur in höchstens \(1\,\%\) der Fälle auftreten soll.

Denkanstöße

- Überlege zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Patienten ist, zu einem bestimmten Zeitpunkt im Wartezimmer zu sein. - Welche Zufallsverteilung eignet sich, um die Anzahl der gleichzeitig anwesenden Personen zu beschreiben? - Was bedeutet „mehr als 10“ mathematisch für die Berechnung mit der kumulierten Verteilungsfunktion? - Vergleiche dein berechnetes Ergebnis mit dem vorgegebenen Schwellenwert von \(1\,\%\).

Lösung

1. Für jeden Patienten beträgt die Wahrscheinlichkeit, zum betrachteten Zeitpunkt im Wartezimmer zu sein, \(p=0{,}05\). 2. Die Anzahl \(X\) der gleichzeitig anwesenden Patienten ist binomialverteilt mit \(n=80\) und \(p=0{,}05\). 3. Gesucht ist \(P(X>10)=1-P(X\le10)\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le10)\approx0{,}997901\). 5. Damit ist \(P(X>10)\approx0{,}00209909=0{,}21\,\%\). 6. Da \(0{,}21\,\%<1\,\%\) gilt, reicht die Anzahl der Sitzplätze nach dem vorgegebenen Kriterium aus.

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit für eine Überbelegung beträgt \(0{,}21\,\%\). Da dieser Wert unter der Grenze von \(1\,\%\) liegt, ist die Anzahl der Sitzplätze ausreichend.
43112912
Für ein Modell einer Veranstaltung mit \(450\) Gästen wird angenommen, dass jeder Gast unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}15\) ein vegetarisches Gericht bestellt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der vegetarischen Bestellungen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens \(80\) Gäste ein vegetarisches Gericht wählen. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Was bedeutet „mindestens 80“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Welches Gegenereignis lässt sich mit einer kumulierten Wahrscheinlichkeit berechnen?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(450;0{,}15)\). 2. Gesucht ist \(P(X\ge80)=1-P(X\le79)\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le79)\approx0{,}940997\). 4. Daher ist \(P(X\ge80)\approx0{,}059003\), also \(5{,}90\,\%\).

Antwort

\(5{,}90\,\%\)
43114512
Eine Tribüne hat \(1200\) Plätze. Für ein mathematisches Dauerkartenmodell werden \(1400\) Karten ausgegeben. Jede Karteninhaberin bzw. jeder Karteninhaber erscheint unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(85\,\%\). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(1200\) Personen erscheinen und die Tribüne damit überbelegt ist? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Was ist in diesem Modell ein „Erfolg“? - Ab welcher Personenzahl ist die Kapazität überschritten? - Nutze die kumulierte Binomialwahrscheinlichkeit bis \(1200\).

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der erscheinenden Personen gilt \(X\sim B(1400;0{,}85)\). 2. Überbelegung bedeutet \(X>1200\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le1200)\approx0{,}783062\). 4. Daher ist \(P(X>1200)=1-P(X\le1200)\approx0{,}216938\), also \(21{,}69\,\%\).

Antwort

\(21{,}69\,\%\)
43115412
Für ein Qualitätsmodell wird angenommen, dass die \(50\) USB-Sticks einer neuen Packung unabhängig voneinander mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}10\) defekt sind. Ein Kunde benötigt für eine Schulung mindestens \(42\) funktionsfähige USB-Sticks. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Packung genügend funktionsfähige USB-Sticks enthält. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Wie viele Sticks dürfen höchstens defekt sein, damit mindestens \(42\) funktionieren? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit beschreibt dieses Ereignis?

Lösung

1. Sei \(X\) die Anzahl der defekten USB-Sticks. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(50;0{,}10)\). 2. Mindestens \(42\) funktionsfähige Sticks bedeuten höchstens \(8\) defekte Sticks. 3. Gesucht ist daher \(P(X\le8)\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le8)\approx0{,}942133\), also \(94{,}21\,\%\).

Antwort

\(94{,}21\,\%\)
43116712
Für ein Keimmodell werden \(20\) Samen unabhängig voneinander betrachtet. Jeder Samen keimt mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\). Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gekeimten Samen. Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(X\le14)\), indem du die Symmetrieeigenschaft der Binomialverteilung nutzt, um die Berechnung auf eine Verteilung mit einer Erfolgswahrscheinlichkeit \(p^*\le0{,}5\) zurückzuführen. Runde das Ergebnis auf vier Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Welche komplementäre Zufallsgröße kannst du statt der gekeimten Samen betrachten? - Wie hängen die beiden Trefferwahrscheinlichkeiten zusammen? - Wie wird die Bedingung \(X\le14\) für die komplementäre Zufallsgröße formuliert?

Lösung

1. Sei \(Y\) die Anzahl der nicht gekeimten Samen. Dann gilt \(Y\sim B(20;0{,}2)\). 2. Das Ereignis \(X\le14\) ist gleichbedeutend mit \(Y\ge6\). 3. Daher gilt \(P(X\le14)=P(Y\ge6)=1-P(Y\le5)\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(Y\le5)\approx0{,}804208\). 5. Somit ist \(P(X\le14)\approx0{,}195792\).

Antwort

\(P(X\le14)\approx0{,}1958\)
43118512
Für ein Modell werden \(50\) Bestellungen unabhängig voneinander betrachtet. Jede Bestellung führt mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}30\) zu einer Rücksendung. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Rücksendungen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: 1. Es werden genau \(15\) Artikel zurückgeschickt. 2. Es werden weniger als \(10\) Artikel zurückgeschickt. 3. Es werden mehr als \(20\) Artikel zurückgeschickt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Angaben im Modell rechtfertigen die Binomialverteilung? - Welcher ganzzahlige Randwert gehört zu „weniger als 10“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mehr als 20“?

Lösung

1. Unter den Modellannahmen gilt \(X\sim B(50;0{,}30)\). 2. \(P(X=15)=\binom{50}{15}0{,}3^{15}0{,}7^{35}\approx0{,}122347\), also \(12{,}23\,\%\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X<10)=P(X\le9)\approx0{,}040232\), also \(4{,}02\,\%\). 4. Mit derselben Funktion gilt \(P(X>20)=1-P(X\le20)\approx0{,}047764\), also \(4{,}78\,\%\).

Antwort

1. \(12{,}23\,\%\) 2. \(4{,}02\,\%\) 3. \(4{,}78\,\%\)
43212412
Das abgebildete Glücksrad besitzt fünf gleich große Sektoren; sie sind zusätzlich mit Bl (blau) und Ge (gelb) beschriftet. Das Rad wird fünfmal nacheinander gedreht. Es sei \(X\) die Anzahl der Treffer für das Ereignis „blau“. a) Bestimme \(P(X \le 1)\). b) Bestimme \(P(X \ge 3)\). Gib die Ergebnisse als exakte Dezimalzahlen und in Prozent an.
Abbildung zur Aufgabe 432124

Denkanstöße

- Lies aus der Abbildung ab, welcher Anteil der gleich großen Sektoren blau ist. - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens einmal“? - Welche Trefferzahlen gehören zu „mindestens dreimal“?

Lösung

1. Aus der Abbildung sind zwei der fünf gleich großen Sektoren blau. Daher gilt bei jedem Dreh \(p=\frac{2}{5}=0{,}4\) und \(X\sim B(5;0{,}4)\). 2. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}07776+0{,}2592=0{,}33696\). 3. \(P(X\ge3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=0{,}2304+0{,}0768+0{,}01024=0{,}31744\).

Antwort

a) \(0{,}33696\), also \(33{,}696\,\%\) b) \(0{,}31744\), also \(31{,}744\,\%\)
43212612
Das abgebildete Glücksrad besitzt \(5\) gleich große Sektoren; sie sind zusätzlich mit Gr (grün), R (rot) und Ge (gelb) beschriftet. Es wird sechsmal unabhängig voneinander gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) zählt, wie oft das grüne Feld erscheint. a) Begründe mithilfe der Angaben, warum \(X\) binomialverteilt ist, und gib die Parameter \(n\) und \(p\) an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zweimal Grün erscheint. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens einmal Grün erscheint.
Abbildung zur Aufgabe 432126

Denkanstöße

- Lies aus dem Bild den Anteil grüner Sektoren ab. - Welche drei Merkmale einer Bernoulli-Kette sind hier erfüllt? - „Höchstens einmal“ umfasst \(0\) und \(1\) Treffer.

Lösung

1. Pro Drehung gibt es bezüglich des Merkmals Grün zwei Ausgänge; die Drehungen sind unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant. Aus dem Bild liest man einen grünen von fünf gleich großen Sektoren ab. Daher gilt \(X\sim B(6;0{,}2)\). 2. \(P(X=2)=\binom{6}{2}0{,}2^2\cdot0{,}8^4=0{,}24576\). 3. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}65536\).

Antwort

a) \(n=6\), \(p=0{,}2\); Bernoulli-Kette wegen zwei Ausgängen, konstantem \(p\) und Unabhängigkeit. b) \(0{,}24576=24{,}576\,\%\) c) \(0{,}65536=65{,}536\,\%\)
43215412
Das abgebildete Glücksrad besitzt sechs gleich große Sektoren; sie sind zusätzlich mit Gr (grün), Ge (gelb) und R (rot) beschriftet. Das Rad wird achtmal nacheinander gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: a) Das Rad bleibt höchstens dreimal auf einem grünen Sektor stehen. b) Das Rad bleibt mindestens zweimal auf dem roten Sektor stehen. Gib deine Ergebnisse als gekürzte Brüche sowie gerundet als Prozentsatz auf zwei Nachkommastellen an.
Abbildung zur Aufgabe 432154

Denkanstöße

- Lies die Trefferwahrscheinlichkeiten für Grün und Rot aus der Abbildung ab. - Welche Trefferzahlen gehören in a) zum Ereignis? - Welches Gegenereignis vereinfacht die Berechnung in b)?

Lösung

1. Aus der Abbildung liest man \(p_G=\frac{3}{6}=\frac12\) und \(p_R=\frac16\) ab. 2. Für die Anzahl \(X\) der grünen Treffer gilt \(X\sim B(8;\frac12)\). Damit ist \(P(X\le3)=\frac{93}{256}\approx36{,}33\,\%\). 3. Für die Anzahl \(Y\) der roten Treffer gilt \(Y\sim B(8;\frac16)\). 4. \(P(Y\ge2)=1-P(Y\le1)=1-\left(\frac56\right)^8-8\cdot\frac16\left(\frac56\right)^7=\frac{663991}{1679616}\approx39{,}53\,\%\).

Antwort

a) \(P(X\le3)=\frac{93}{256}\approx36{,}33\,\%\) b) \(P(Y\ge2)=\frac{663991}{1679616}\approx39{,}53\,\%\)
43602312
Das abgebildete Glücksrad besitzt \(10\) gleich große Felder; sie sind zusätzlich mit Bl (blau), Ge (gelb) und R (rot) beschriftet. Das Rad wird \(12\)-mal nacheinander gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: a) Es wird höchstens viermal die Farbe Blau erzielt. b) Es wird mindestens zweimal die Farbe Rot erzielt. Gib die Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an.
Abbildung zur Aufgabe 436023

Denkanstöße

- Lies die Trefferwahrscheinlichkeiten für Blau und Rot aus der Abbildung ab. - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens viermal“? - Welches Gegenereignis vereinfacht „mindestens zweimal“?

Lösung

1. Aus der Abbildung liest man \(P(\text{Blau})=\frac{5}{10}=0{,}5\) und \(P(\text{Rot})=\frac{2}{10}=0{,}2\) ab. 2. Für die Zahl \(X\) der blauen Treffer gilt \(X\sim B(12;0{,}5)\). Damit ist \(P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{12}{k}0{,}5^{12}=0{,}19384765625\), also \(19{,}38\,\%\). 3. Für die Zahl \(Y\) der roten Treffer gilt \(Y\sim B(12;0{,}2)\). 4. \(P(Y\ge2)=1-P(Y\le1)=1-0{,}8^{12}-\binom{12}{1}0{,}2\cdot0{,}8^{11}\approx0{,}725122\), also \(72{,}51\,\%\).

Antwort

a) \(19{,}38\,\%\) b) \(72{,}51\,\%\)
43608612
Das abgebildete Glücksrad besitzt sechs gleich große Felder; sie sind zusätzlich mit Ge (gelb) und Bl (blau) beschriftet. Es wird \(50\)-mal gedreht und die Anzahl der Treffer für Gelb notiert. Berechne für das dargestellte Rad die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens \(10\)-mal Gelb erscheint. Gib das Ergebnis auf drei Dezimalstellen gerundet an.
Abbildung zur Aufgabe 436086

Denkanstöße

- Lies aus der Abbildung ab, welcher Anteil der Felder gelb ist. - Welche Verteilung beschreibt die Trefferzahl bei wiederholten Drehungen? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zu „höchstens 10“?

Lösung

1. Aus der Abbildung sind zwei der sechs gleich großen Felder gelb. Daher gilt \(p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\). 2. Für die Anzahl \(X\) der gelben Treffer gilt \(X\sim B\left(50;\frac{1}{3}\right)\). 3. Gesucht ist \(P(X\le10)\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le10)\approx0{,}0284403\), gerundet also \(0{,}028\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit beträgt gerundet \(0{,}028\).
43610912
Das abgebildete Glücksrad ist in acht gleich große Sektoren unterteilt; sie sind zusätzlich mit Gr (grün), R (rot), Bl (blau) und Ge (gelb) beschriftet. Die Drehungen werden als unabhängig voneinander betrachtet. a) Das Rad wird \(50\)-mal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für: A: „Genau \(20\)-mal Grün.“ B: „Höchstens \(10\)-mal Rot.“ Gib beide Ergebnisse als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. b) Beschreibe ein Ereignis im Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit durch \(\sum_{k=0}^{8}\binom{60}{k}(0{,}125)^k(0{,}875)^{60-k}\) berechnet wird.
Abbildung zur Aufgabe 436109

Denkanstöße

- Lies die Farbwahrscheinlichkeiten aus dem Bild ab. - Ordne in a) jeweils \(n\), \(p\) und den gefragten Trefferbereich zu. - Lies in b) aus der Summe die Kettenlänge, Trefferwahrscheinlichkeit und obere Grenze ab.

Lösung

1. Aus dem Bild liest man \(P(\text{Grün})=\frac{3}{8}=0{,}375\), \(P(\text{Rot})=\frac{2}{8}=0{,}25\) und \(P(\text{Gelb})=\frac{1}{8}=0{,}125\) ab. 2. Für A ist \(P(A)=\binom{50}{20}0{,}375^{20}0{,}625^{30}\approx0{,}107230\), also \(10{,}72\,\%\). 3. Für B ist \(P(B)=\sum_{k=0}^{10}\binom{50}{k}0{,}25^k0{,}75^{50-k}\approx0{,}262202\), also \(26{,}22\,\%\). 4. Im Term aus b) ist \(n=60\), \(p=0{,}125\) und es werden die Trefferzahlen \(0\) bis \(8\) addiert. Passend ist daher: „Bei \(60\) Drehungen erscheint Gelb höchstens achtmal.“

Antwort

a) \(P(A)=10{,}72\,\%\); \(P(B)=26{,}22\,\%\) b) Bei \(60\) Drehungen erscheint Gelb höchstens \(8\)-mal.
55226912
Für \(X\sim B(10;0{,}3)\) sind folgende auf vier Dezimalstellen gerundete Tabellenwerte gegeben: <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(4\)</th><th>\(5\)</th><th>\(6\)</th></tr><tr><td>\(F(k)=P(X\le k)\)</td><td>\(0{,}8497\)</td><td>\(0{,}9527\)</td><td>\(0{,}9894\)</td></tr></table> Lea rechnet: \(P(X<5)=F(5)\), \(P(X\ge6)=1-F(6)\), \(P(5\le X\le6)=F(6)-F(5)\). Prüfe jede Zeile, erkläre den jeweiligen Randfehler und gib die drei richtigen Wahrscheinlichkeiten auf vier Dezimalstellen an.

Denkanstöße

- Schreibe jede strikte Ungleichung zuerst als gleichwertige Aussage mit einer ganzzahligen Grenze. - Beim Gegenereignis entscheidet die Randzahl, ob du \(F(k)\) oder \(F(k-1)\) brauchst. - Bei einem abgeschlossenen Intervall soll der linke Rand nicht mit abgezogen werden.

Lösung

1. \(X<5\) bedeutet bei ganzzahligem \(X\) dasselbe wie \(X\le4\). Daher ist \(P(X<5)=F(4)\approx0{,}8497\). Lea hat die 5 fälschlich mit eingeschlossen. 2. \(X\ge6\) ist das Gegenereignis zu \(X\le5\). Daher ist \(P(X\ge6)=1-F(5)\approx1-0{,}9527=0{,}0473\). Mit \(1-F(6)\) würde die 6 ausgeschlossen. 3. Für \(5\le X\le6\) muss von \(F(6)\) die Wahrscheinlichkeit bis einschließlich 4 abgezogen werden. Daher ist \(P(5\le X\le6)=F(6)-F(4)\approx0{,}9894-0{,}8497=0{,}1397\).

Antwort

\(P(X<5)\approx0{,}8497\) \(P(X\ge6)\approx0{,}0473\) \(P(5\le X\le6)\approx0{,}1397\)
42343012
In einem Produktionsmodell weist jedes Trinkglas unabhängig von allen anderen Gläsern mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}03\) einen kleinen Lufteinschluss auf. Die Gläser werden in Kartons zu je \(12\) Stück verpackt. Gib die Ergebnisse jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Karton kein Glas mit Lufteinschluss enthält. b) Ein Prüfer kontrolliert \(6\) solcher Kartons. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten mindestens \(5\) dieser Kartons nur einwandfreie Gläser?

Denkanstöße

- Welche Bedingung müssen alle zwölf Gläser eines einwandfreien Kartons erfüllen? - Verwende die Kartonwahrscheinlichkeit anschließend als neue Trefferwahrscheinlichkeit. - Welche beiden Werte umfasst „mindestens fünf“ bei sechs Kartons?

Lösung

1. Ein Glas ist mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}97\) einwandfrei. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einen vollständig einwandfreien Karton \(p_K=0{,}97^{12}\approx0{,}693842\). 2. Wegen der Unabhängigkeit aller Glaszustände sind die Ereignisse für getrennte Kartons ebenfalls unabhängig. Für die Zahl \(Y\) einwandfreier Kartons gilt \(Y\sim B(6;p_K)\). 3. Gesucht ist \(P(Y\ge5)=\binom{6}{5}p_K^5(1-p_K)+p_K^6\approx0{,}406968\).

Antwort

a) \(69{,}38\,\%\) b) \(40{,}70\,\%\)
42344412
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(B\) durch die folgende Formel: \(P(B) = \left(\frac{2}{3}\right)^4 + 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 + 6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\) Gib ein passendes Zufallsexperiment an und beschreibe das Ereignis \(B\) in Worten.

Denkanstöße

- Aus wie vielen Einzelergebnissen setzt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit hier zusammen? - Was kannst du aus den Exponenten über die Gesamtzahl der Durchgänge \(n\) ableiten? - Betrachte die Basis der Potenzen, um die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer zu finden. - Wenn mehrere Fälle addiert werden, deutet das oft auf Formulierungen wie „mindestens“ oder „höchstens“ hin.

Lösung

1. Analyse der Terme: Die Formel besteht aus einer Summe von drei Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung mit \(n = 4\) und \(p = \frac{2}{3}\). 2. Zuordnung der Einzelwahrscheinlichkeiten: Der erste Term \(\left(\frac{2}{3}\right)^4\) entspricht \(P(X=4)\). Der zweite Term \(4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3\) entspricht \(\binom{4}{3} \cdot p^3 \cdot (1-p)^1\), also \(P(X=3)\). Der dritte Term \(6 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2\) entspricht \(\binom{4}{2} \cdot p^2 \cdot (1-p)^2\), also \(P(X=2)\). 3. Zusammenfassung: Die Summe \(P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)\) entspricht der Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\). 4. Beispiel-Experiment: In einer Urne liegen 3 Kugeln (z. B. 2 rote, 1 blaue). Es wird 4-mal mit Zurücklegen gezogen. Treffer ist eine rote Kugel (\(p = \frac{2}{3}\)). Ereignis \(B\): Es werden mindestens zwei rote Kugeln gezogen.

Antwort

Zufallsexperiment: In einer Urne befinden sich zwei rote und eine blaue Kugel. Es wird viermal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Ereignis \(B\): Man erhält mindestens zwei rote Kugeln.
42349812
In einem Qualitätskontrollmodell ist jedes elektronische Bauteil unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}12\) defekt. Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Anzahl der defekten Teile unter \(n\) geprüften Bauteilen an. a) Wie viele Bauteile müssen mindestens geprüft werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) mindestens ein defektes Teil gefunden wird? b) Bestimme durch systematisches Probieren oder mithilfe einer Tabelle, wie groß \(n\) mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit, höchstens ein defektes Teil zu finden, unter \(10\,\%\) sinkt.

Denkanstöße

- Formuliere in Teil a zuerst das Gegenereignis zu „mindestens ein Defekt“. - Beim Logarithmieren ist zu beachten, dass \(\ln(0{,}88)<0\) ist. - In Teil b umfasst „höchstens ein Defekt“ genau die Fälle \(X=0\) und \(X=1\). - Prüfe zwei benachbarte Werte von \(n\), um die Minimalität nachzuweisen.

Lösung

1. Für Teil a gilt \(P(X\ge1)=1-0{,}88^n\ge0{,}90\). Also muss \(0{,}88^n\le0{,}10\) gelten. 2. Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}88)}\approx18{,}01\). Die kleinste ganze Zahl ist \(n=19\). 3. Für Teil b gilt \(P(X\le1)=0{,}88^n+n\cdot0{,}12\cdot0{,}88^{n-1}<0{,}10\). 4. Für \(n=30\) ist \(P(X\le1)\approx0{,}1100\), für \(n=31\) dagegen \(P(X\le1)\approx0{,}09937\). 5. Daher ist \(n=31\) der kleinste passende Stichprobenumfang.

Antwort

a) Mindestens \(19\) Bauteile. b) Mindestens \(31\) Bauteile.
42350512
Eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) hat den Parameter \(n = 12\). Bestimme die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), für die die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1) = 0{,}15\) beträgt. Runde dein Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Überlege dir, aus welchen Einzelwahrscheinlichkeiten sich das Ereignis zusammensetzt. - Welche Formel hilft dir, die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer zu berechnen? - Da man die Gleichung nicht einfach nach \(p\) umstellen kann, ist eine Wertetabelle oder die „Solve“-Funktion deines Taschenrechners hilfreich. - Probiere verschiedene Werte für \(p\) aus und schaue, wie sich die Gesamtwahrscheinlichkeit verändert.

Lösung

1. Ansatz über die kumulierte Binomialverteilung: \(P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}15\). 2. Aufstellen der Gleichung mit der Bernoulli-Formel: \(\binom{12}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{12} + \binom{12}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{11} = 0{,}15\). 3. Vereinfachung: \((1-p)^{12} + 12 \cdot p \cdot (1-p)^{11} = 0{,}15\). 4. Die Gleichung wird numerisch, beispielsweise mit einer Wertetabelle oder einer Lösefunktion, gelöst. 5. Es ergibt sich \(p \approx 0{,}25461\). Gerundet auf zwei Nachkommastellen ist \(p \approx 0{,}25\).

Antwort

\(p \approx 0{,}25\)
42350612
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit dem Parameter \(n = 20\). Berechne die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), wenn bekannt ist, dass \(P(X \ge 15) = 0{,}05\) gilt. Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit in eine „höchstens“-Wahrscheinlichkeit umwandeln? - Welchen Wert muss \(P(X \le 14)\) annehmen, damit \(P(X \ge 15) = 0{,}05\) erfüllt ist? - Nutze die Tabellenfunktion deines Taschenrechners, um den passenden \(p\)-Wert einzugrenzen. - Denke daran, dass bei steigendem \(p\) auch die Wahrscheinlichkeit für viele Treffer zunimmt.

Lösung

1. Umformung über das Gegenereignis: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) = 0{,}05\). 2. Daraus folgt \(P(X \le 14) = 0{,}95\). 3. Die Gleichung wird für \(n = 20\) numerisch nach \(p\) gelöst, beispielsweise mit einer Wertetabelle oder einer Lösefunktion des Taschenrechners. 4. Die Lösung lautet \(p \approx 0{,}54442\). Zur Kontrolle gilt \(P(X \ge 15) \approx 0{,}04608\) für \(p = 0{,}54\) und \(P(X \ge 15) \approx 0{,}05533\) für \(p = 0{,}55\). 5. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(p \approx 0{,}54\).

Antwort

\(p \approx 0{,}54\)
42351012
Ein Basketballspieler führt \(4\) unabhängige Würfe aus. Für jeden Wurf wird dieselbe unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angenommen. Bestimme auf zwei Nachkommastellen gerundet den Wert von \(p\), für den die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen Treffer zu erzielen, genau \(65\,\%\) beträgt.

Denkanstöße

- Welche beiden Trefferzahlen gehören zu „höchstens einen Treffer“? - Stelle die kumulierte Wahrscheinlichkeit zunächst als Funktion von \(p\) auf. - Löse die entstehende Gleichung anschließend numerisch im Intervall \([0;1]\).

Lösung

1. Für die Trefferzahl gilt \(X\sim B(4;p)\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X\le1)=(1-p)^4+4p(1-p)^3=0{,}65\). 3. Die numerische Lösung im Intervall \([0;1]\) ist \(p\approx0{,}3009635\). 4. Auf zwei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(p\approx0{,}30\).

Antwort

\(p\approx0{,}30\), also etwa \(30\,\%\).
42351512
Ein Sportler führt \(15\) unabhängige Versuche mit derselben unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) durch. Wie groß muss \(p\) mindestens sein, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(75\,\%\) mindestens \(13\) Treffer erzielt? Runde auf drei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Welche drei Trefferzahlen gehören zu „mindestens 13“? - Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wächst mit \(p\); deshalb genügt es, den Grenzwert zu bestimmen. - Nutze ein numerisches Verfahren oder die Tabellenfunktion für verschiedene Werte von \(p\).

Lösung

1. Für die Trefferzahl gilt \(X\sim B(15;p)\). 2. Gesucht ist der kleinste Wert von \(p\), für den \(P(X\ge13)\ge0{,}75\) gilt. 3. Die Grenzgleichung lautet \(\sum_{k=13}^{15}\binom{15}{k}p^k(1-p)^{15-k}=0{,}75\). 4. Numerisch ergibt sich \(p\approx0{,}883662\). Daher muss \(p\) mindestens etwa \(0{,}884\) betragen.

Antwort

Die Trefferwahrscheinlichkeit muss mindestens \(p\approx0{,}884\) betragen.
42351612
In einem Qualitätskontrollmodell ist jede LED-Leuchte unabhängig von den anderen mit derselben unbekannten Defektwahrscheinlichkeit \(p\) behaftet. Es werden jeweils \(20\) Leuchten geprüft. Eine Stichprobe wird akzeptiert, wenn höchstens eine Leuchte defekt ist. Bestimme den Grenzwert \(p_*\), bei dem die Akzeptanzwahrscheinlichkeit genau \(90\,\%\) beträgt. Runde auf drei Nachkommastellen und gib an, für welche Werte von \(p\) die Akzeptanzwahrscheinlichkeit mindestens \(90\,\%\) beträgt.

Denkanstöße

- Welche Trefferzahlen umfasst die Akzeptanzbedingung „höchstens ein Defekt“? - Stelle die Akzeptanzwahrscheinlichkeit als Funktion von \(p\) auf. - Überlege zusätzlich, ob diese Wahrscheinlichkeit mit wachsendem \(p\) steigt oder fällt.

Lösung

1. Für die Defektzahl gilt \(X\sim B(20;p)\). 2. Am Grenzwert gilt \(P(X\le1)=(1-p)^{20}+20p(1-p)^{19}=0{,}90\). 3. Die numerische Lösung ist \(p_*\approx0{,}026914\), also auf drei Nachkommastellen \(p_*\approx0{,}027\). 4. Da die Akzeptanzwahrscheinlichkeit mit wachsendem \(p\) sinkt, gilt die Forderung für \(p\le p_*\).

Antwort

\(p_*\approx0{,}027\). Die Akzeptanzwahrscheinlichkeit beträgt mindestens \(90\,\%\) für \(p\le p_*\).
42352412
Ein Gärtner betrachtet Samenkörner, die im Modell unabhängig voneinander mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}25\) keimen. Wie viele Samenkörner muss er mindestens aussäen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) mindestens drei Samen keimen?

Denkanstöße

- Formuliere „mindestens drei“ zunächst als Ereignis für eine Binomialverteilung. - Welches Gegenereignis enthält nur drei Trefferzahlen? - Vergleiche benachbarte Werte von \(n\), um den kleinsten passenden Stichprobenumfang zu sichern.

Lösung

1. Für \(X\sim B(n;0{,}25)\) lautet die Bedingung \(P(X\ge3)\ge0{,}90\). 2. Über das Gegenereignis ist das äquivalent zu \(P(X\le2)\le0{,}10\). 3. Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners erhält man für \(n=19\) den Wert \(P(X\le2)\approx0{,}1113\); die Bedingung ist noch nicht erfüllt. 4. Für \(n=20\) liefert dieselbe kumulierte Binomialfunktion \(P(X\le2)\approx0{,}09126\); damit ist die Bedingung erfüllt. 5. Daher ist \(n=20\) der kleinste passende Wert.

Antwort

Es müssen mindestens \(20\) Samenkörner ausgesät werden.
42353812
Bei der Herstellung von Glasflaschen treten gelegentlich kleine Lufteinschlüsse auf. Ein Qualitätskontrolleur untersucht Kartons mit jeweils \(50\) Flaschen. Die Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Lufteinschluss bei einer einzelnen Flasche ist konstant. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton höchstens zwei Flaschen mit Lufteinschlüssen enthält, beträgt genau \(15\,\%\). Die Zustände der einzelnen Flaschen werden als voneinander unabhängig angenommen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit \(p\) für einen Lufteinschluss bei einer Flasche. Runde auf drei Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Wie lautet die Formel für die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \le k)\) bei einer Binomialverteilung? - Kannst du die Gleichung mit den gegebenen Werten für \(n\) und \(k\) aufschreiben? - Da die Gleichung schwierig direkt nach \(p\) aufzulösen ist, probiere verschiedene Werte für \(p\) aus oder nutze eine Wertetabelle deines Taschenrechners. - In welchem Bereich muss \(p\) ungefähr liegen, damit die Wahrscheinlichkeit für wenige Treffer bei \(50\) Versuchen eher klein (hier \(15\,\%\)) ist?

Lösung

1. Modellierung: Die Anzahl der Flaschen mit Lufteinschlüssen \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und unbekanntem \(p\). 2. Gegebene Bedingung: \(P(X \le 2) = 0{,}15\). 3. Damit gilt \(\sum_{k=0}^{2} \binom{50}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{50-k} = 0{,}15\). 4. Die Gleichung wird numerisch gelöst, beispielsweise mit einer Wertetabelle oder einer Lösefunktion. 5. Zur Eingrenzung gilt: Für \(p = 0{,}091\) ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}1550\), für \(p = 0{,}092\) ist \(P(X \le 2) \approx 0{,}1495\). 6. Die numerische Lösung lautet \(p \approx 0{,}091916\). 7. Auf drei Nachkommastellen gerundet ergibt sich \(p \approx 0{,}092\).

Antwort

Die Wahrscheinlichkeit für einen Lufteinschluss bei einer Flasche beträgt etwa \(0{,}092\) (bzw. \(9{,}2\,\%\)).
42353912
In einem Produktionsmodell ist jeder Computerchip unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) defekt. Gib die Wahrscheinlichkeiten in a) und b) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(20\) Chips genau ein Chip defekt ist? b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter \(20\) Chips höchstens zwei defekt sind. c) Wie viele Chips müssen mindestens geprüft werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\,\%\) mindestens ein defekter Chip gefunden wird?

Denkanstöße

- Teil a verlangt eine einzelne Punktwahrscheinlichkeit. - „Höchstens zwei“ umfasst die Trefferzahlen \(0\), \(1\) und \(2\). - In Teil c ist das Gegenereignis „kein Defekt“ besonders einfach. - Eine Unbekannte im Exponenten lässt sich logarithmisch bestimmen.

Lösung

1. Für \(X\sim B(20;0{,}04)\) gilt \(P(X=1)=\binom{20}{1}0{,}04\cdot0{,}96^{19}\approx0{,}368335\). 2. Für höchstens zwei Defekte gilt \(P(X\le2)=0{,}96^{20}+20\cdot0{,}04\cdot0{,}96^{19}+\binom{20}{2}0{,}04^2 0{,}96^{18}\approx0{,}956137\). 3. Für Teil c muss \(1-0{,}96^n\ge0{,}99\) gelten, also \(0{,}96^n\le0{,}01\). 4. Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}96)}\approx112{,}81\). Die kleinste ganze Zahl ist \(n=113\).

Antwort

a) \(36{,}83\,\%\) b) \(95{,}61\,\%\) c) Mindestens \(113\) Chips.
42354512
In einem Produktionsmodell ist jede LED-Leuchte unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) defekt. a) Eine Packung enthält \(25\) Leuchten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine davon defekt? Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. b) Wie viele Leuchten muss ein Prüfer mindestens testen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) mindestens eine defekte Leuchte zu finden? c) Wie viele Leuchten müssen mindestens getestet werden, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei defekte Leuchten mindestens \(90\,\%\) beträgt?

Denkanstöße

- Bei „mindestens“ kann das Gegenereignis die Rechnung stark verkürzen. - In Teil b ist nur das Ereignis „kein Defekt“ auszuschließen. - In Teil c umfasst das Gegenereignis die Fälle \(0\) und \(1\) Defekt. - Prüfe benachbarte Werte von \(n\), um die Minimalität zu zeigen.

Lösung

1. Für \(25\) Leuchten gilt \(P(X\ge1)=1-0{,}96^{25}\approx0{,}639603\). 2. Für Teil b muss \(1-0{,}96^n\ge0{,}90\) gelten. Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)}\approx56{,}41\), also mindestens \(57\). 3. Für Teil c gilt \(P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0{,}96^n-n\cdot0{,}04\cdot0{,}96^{n-1}\). 4. Für \(n=95\) ergibt diese Formel \(P(X\ge2)\approx0{,}897411<0{,}90\). 5. Für \(n=96\) ergibt sie \(P(X\ge2)\approx0{,}900686\ge0{,}90\). Daher ist \(n=96\) minimal.

Antwort

a) \(63{,}96\,\%\) b) Mindestens \(57\) Leuchten. c) Mindestens \(96\) Leuchten.
42707012
Die Keimwahrscheinlichkeit eines bestimmten Blumensamens beträgt in einem Modell \(90\,\%\). In jeder Samentüte befinden sich \(12\) Samenkörner. Für alle betrachteten Samen wird angenommen, dass ihre Keimvorgänge voneinander unabhängig sind. Gib die Wahrscheinlichkeiten jeweils als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an. a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig gewählten Tüte mindestens \(11\) Samen keimen. b) Ein Gärtner kauft \(5\) dieser Tüten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten höchstens zwei dieser Tüten jeweils mindestens \(11\) keimende Samen?

Denkanstöße

- Welche Trefferzahlen gehören in Teil a) zu „mindestens 11“? - Nutze die Wahrscheinlichkeit aus Teil a) ohne Zwischenrundung als Trefferwahrscheinlichkeit für Teil b). - Welche Modellannahme erlaubt es, die fünf Tüten in Teil b) wieder binomial zu modellieren? - Welche Werte von \(Y\) gehören zu „höchstens zwei“?

Lösung

1. Die Anzahl keimender Samen pro Tüte wird durch \(X\sim B(12;0{,}9)\) modelliert. 2. Für mindestens \(11\) keimende Samen gilt \(p_T=P(X\ge11)=\binom{12}{11}0{,}9^{11}0{,}1+0{,}9^{12}\approx0{,}659002\). 3. Wegen der angenommenen Unabhängigkeit der Keimvorgänge sind die fünf Ereignisse „mindestens 11 Samen in dieser Tüte keimen“ unabhängig. Für deren Anzahl \(Y\) gilt \(Y\sim B(5;p_T)\). 4. Gesucht ist \(P(Y\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom5k p_T^k(1-p_T)^{5-k}\). Mit dem ungerundeten Wert von \(p_T\) ergibt sich \(P(Y\le2)\approx0{,}221360\).

Antwort

a) \(65{,}90\,\%\) b) \(22{,}14\,\%\)
42707412
In einem Logistikzentrum werden Pakete über ein automatisiertes Förderband sortiert. Für die Rechnungen in 1 und 2 wird zunächst modellhaft angenommen, dass jedes Paket unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) fehlerhaft sortiert wird. Es werden \(50\) nacheinander sortierte Pakete betrachtet. Gib die Wahrscheinlichkeiten in 1 und 2 als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. 1. Bestimme unter dieser Modellannahme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(3\) Pakete fehlerhaft sortiert werden. 2. Berechne unter derselben Modellannahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der fehlerhaft sortierten Pakete genau dem Erwartungswert entspricht. 3. Beurteile die Unabhängigkeitsannahme, wenn bekannt ist, dass Sortierfehler häufig durch kurzzeitige mechanische Blockaden verursacht werden, die mehrere aufeinanderfolgende Pakete betreffen.

Denkanstöße

- Welche Modellannahmen gelten ausdrücklich nur für die Rechnungen in 1 und 2? - Wie berechnest du „mehr als 3“ günstig über ein Gegenereignis? - Welche Auswirkung hätte eine Blockade auf die Fehlerwahrscheinlichkeit direkt nach einem bereits falsch sortierten Paket?

Lösung

1. Unter der Modellannahme gilt \(X\sim B(50;0{,}04)\). Gesucht ist \(P(X>3)=1-P(X\le3)\). Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le3)\approx0{,}860869\), also \(P(X>3)\approx0{,}139131\). 2. Der Erwartungswert ist \(E(X)=50\cdot0{,}04=2\). Damit ist \(P(X=E(X))=P(X=2)=\binom{50}{2}0{,}04^2 0{,}96^{48}\approx0{,}276233\). 3. Mechanische Blockaden können mehrere aufeinanderfolgende Fehler auslösen. Dann hängt die Fehlerwahrscheinlichkeit eines Pakets vom Zustand bei benachbarten Paketen ab; die Unabhängigkeitsannahme ist verletzt und die Binomialverteilung kein exaktes Modell.

Antwort

1. \(13{,}91\,\%\) 2. Erwartungswert \(2\); Wahrscheinlichkeit \(27{,}62\,\%\) 3. Bei Fehlerclustern durch Blockaden ist die Unabhängigkeitsannahme nicht plausibel; das Binomialmodell ist dann nicht exakt.
42708412
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(20\) Fragen mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Ein Teilnehmer rät bei jeder Frage rein zufällig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle. Gib die Ergebnisse in a) und c) als Dezimalzahlen auf sechs Nachkommastellen und in b) und d) auf vier Nachkommastellen an. a) Genau die ersten fünf Antworten sind richtig, alle weiteren sind falsch. b) Insgesamt sind mehr als \(15\) Antworten falsch. c) Die ersten drei Antworten sind richtig, insgesamt sind in dem Test aber genau sechs Antworten richtig. d) Unter den ersten fünf Fragen sind mindestens vier Antworten richtig und unter den letzten fünf Fragen ist höchstens eine Antwort richtig.

Denkanstöße

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei vier Auswahlmöglichkeiten die richtige Antwort zu raten? - Wenn mehr als \(15\) Antworten falsch sind, wie viele sind dann höchstens richtig? - Wenn die ersten drei Fragen bereits richtig sind, wie viele der restlichen Fragen müssen dann noch richtig sein? - Behandle die Bedingungen für die ersten fünf und die letzten fünf Fragen als separate, unabhängige Ereignisse.

Lösung

1. Die Trefferwahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort beträgt \(p=0{,}25\), für eine falsche \(q=0{,}75\). 2. Für a) ist eine feste Folge vorgegeben: \(P=0{,}25^5 0{,}75^{15}\approx0{,}000013\). 3. Für b) bedeutet „mehr als 15 falsch“ höchstens vier richtige Antworten. Daher gilt \(P(X\le4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{20}{k}0{,}25^k0{,}75^{20-k}\approx0{,}4148\). 4. Für c) sind die ersten drei Antworten bereits richtig; unter den restlichen \(17\) müssen genau drei weitere richtig sein. Daher gilt \(P=0{,}25^3\binom{17}{3}0{,}25^3 0{,}75^{14}\approx0{,}002958\). 5. Für d) gilt für die ersten fünf Fragen \(P(Y_1\ge4)=0{,}015625\) und für die letzten fünf \(P(Y_2\le1)=0{,}6328125\). Da die beiden Blöcke disjunkt und unabhängig sind, ist \(P=P(Y_1\ge4)P(Y_2\le1)=0{,}0098876953125\approx0{,}0099\).

Antwort

a) \(0{,}000013\) b) \(0{,}4148\) c) \(0{,}002958\) d) \(0{,}0099\)
42710012
Für ein mathematisches Modell wird angenommen: Jeder Samen keimt unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(80\,\%\). Wenn ein Samen keimt, wird die daraus entstehende Pflanze mit Wahrscheinlichkeit \(2\,\%\) von einem bestimmten Schädling befallen. Die Keimungs- und anschließenden Befallsprozesse verschiedener Samen werden als unabhängig modelliert. a) In einer Schale werden \(12\) Samen ausgesät. Berechne die folgenden Wahrscheinlichkeiten als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen: \(C\): „Höchstens zehn Samen keimen.“ \(D\): „Genau zwei Samen keimen nicht.“ b) Erläutere die Bedeutung des Terms \(1-0{,}8^{12}\). c) Ermittle, wie viele Samen mindestens ausgesät werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(95\,\%\) mindestens eine daraus entstehende Pflanze befallen wird.

Denkanstöße

- Für C ist das Gegenereignis mit elf oder zwölf keimenden Samen kurz. - Übersetze „genau zwei keimen nicht“ in die Zahl der keimenden Samen. - Für c) brauchst du zuerst die Gesamtwahrscheinlichkeit „Samen keimt und Pflanze wird befallen“. - Nutze anschließend das Gegenereignis „keine Pflanze wird befallen“.

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der keimenden Samen bei \(12\) Aussaaten gilt \(X\sim B(12;0{,}8)\). 2. \(P(C)=P(X\le10)=1-P(X=11)-P(X=12)\approx0{,}725122\). 3. Genau zwei nicht keimende Samen entsprechen genau zehn keimenden Samen. Daher ist \(P(D)=P(X=10)=\binom{12}{10}0{,}8^{10}0{,}2^2\approx0{,}283468\). 4. \(0{,}8^{12}\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle zwölf Samen keimen. Daher bedeutet \(1-0{,}8^{12}\): Mindestens ein Samen keimt nicht. 5. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein ausgesäter Samen zu einer befallenen Pflanze führt, ist \(0{,}8\cdot0{,}02=0{,}016\). 6. Für \(n\) Samen gilt \(1-0{,}984^n>0{,}95\), also \(n>\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}984)}\approx185{,}73\). 7. Die kleinste ganze Zahl ist \(186\).

Antwort

a) \(P(C)=72{,}51\,\%\); \(P(D)=28{,}35\,\%\) b) Mindestens einer der zwölf Samen keimt nicht. c) Mindestens \(186\) Samen.
42710912
In einem Modell für eine Glasmanufaktur weist jedes produzierte Glas unabhängig von den anderen mit konstanter Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}08\) kleine Einschlüsse auf und gilt dann als fehlerhaft. Gib die Wahrscheinlichkeiten in a) bis c) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen und die Fehlerwahrscheinlichkeit in e) als Prozentwert auf drei Nachkommastellen an. a) Es werden sechs Gläser nacheinander geprüft. Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: \(A\): „Nur die letzten beiden Gläser sind fehlerhaft.“ \(B\): „Höchstens zwei Gläser sind fehlerhaft.“ b) Für \(50\) Gläser: Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Gläser fehlerhaft sind. c) Drei Gläser werden zusammen in einem Karton verpackt. Ein Karton gilt als „einwandfrei“, wenn keines der drei Gläser fehlerhaft ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton einwandfrei ist. d) Wie viele solcher Dreierkartons müssen mindestens untersucht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) mindestens ein einwandfreier Karton gefunden wird? e) Ermittle, wie groß die Fehlerwahrscheinlichkeit \(p\) höchstens sein darf, damit bei \(20\) unabhängig betrachteten Gläsern mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) kein einziges fehlerhaft ist.

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen einer festgelegten Reihenfolge und einer beliebigen Trefferanordnung. - Bei „mindestens“-Ereignissen kann ein Gegenereignis die Rechnung verkürzen. - Welche Unabhängigkeitsannahme erlaubt in d) ein erneutes Bernoulli-Modell auf Kartonebene? - Wie lässt sich „kein fehlerhaftes Glas“ in e) als Potenz von \(1-p\) ausdrücken?

Lösung

1. Für a) gilt \(P(A)=0{,}92^4 0{,}08^2\approx0{,}004585\). Für \(B\) gilt bei \(X\sim B(6;0{,}08)\): \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom6k0{,}08^k0{,}92^{6-k}\approx0{,}991488\). 2. Für b) gilt bei \(X\sim B(50;0{,}08)\): \(P(X\ge2)=1-0{,}92^{50}-50\cdot0{,}08\cdot0{,}92^{49}\approx0{,}917288\). 3. Für c) ist ein Karton genau dann einwandfrei, wenn alle drei Gläser fehlerfrei sind. Daher ist \(p_K=0{,}92^3=0{,}778688\). 4. Für d) sind die disjunkten Kartonereignisse unabhängig. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(1-(1-p_K)^n\ge0{,}95\). Daraus folgt \(n\ge1{,}986\), also \(n=2\). 5. Für e) muss \((1-p)^{20}\ge0{,}90\) gelten. Daraus folgt \(p\le1-0{,}90^{1/20}\approx0{,}005254\).

Antwort

a) \(P(A)=0{,}46\,\%\); \(P(B)=99{,}15\,\%\) b) \(91{,}73\,\%\) c) \(77{,}87\,\%\) d) Mindestens \(2\) Kartons. e) Höchstens \(0{,}525\,\%\).
42711012
Ein Samenhändler gibt für eine bestimmte Sorte Gemüsesamen eine Keimwahrscheinlichkeit von \(75\,\%\) an. Die Keimvorgänge der Samen werden als voneinander unabhängig angenommen. Gib die Wahrscheinlichkeiten in a) bis c) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen und die Keimwahrscheinlichkeit in e) als Prozentwert auf drei Nachkommastellen an. a) Ein Gärtner pflanzt fünf Samen in einen Topf. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau vier Samen keimen. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von diesen fünf Samen mindestens vier keimen. c) Der Gärtner legt eine Reihe aus zehn Samen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten drei Samen keimen und von den restlichen sieben Samen mindestens vier keimen. d) Wie viele Samen müsste der Gärtner mindestens pflanzen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\,\%\) mindestens ein Samen keimt? e) Angenommen, die Keimrate ist unbekannt. Wie groß müsste die Keimwahrscheinlichkeit \(p\) mindestens sein, damit in einer Packung mit \(10\) Samen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) alle \(10\) Samen keimen?

Denkanstöße

- Überlege dir bei c), wie du die Gesamtwahrscheinlichkeit aus den Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Teilstrecken zusammensetzt. - Bei der Suche nach der Mindestanzahl \(n\) hilft das Gegenereignis, bei dem kein einziger Samen keimt. - Wenn nach einer Wahrscheinlichkeit \(p\) gefragt ist, stelle eine Ungleichung auf, in der \(p\) die Basis einer Potenz ist.

Lösung

1. Für a) gilt bei \(X\sim B(5;0{,}75)\): \(P(X=4)=\binom{5}{4}\cdot0{,}75^4\cdot0{,}25=0{,}3955078125\). 2. Für b) gilt \(P(X\ge4)=P(X=4)+P(X=5)=0{,}6328125\). 3. Für c) beträgt die Wahrscheinlichkeit für die ersten drei Treffer \(0{,}75^3\). Unter den restlichen sieben müssen mindestens vier keimen; \(P(Y\ge4)=\sum_{k=4}^{7}\binom{7}{k}0{,}75^k0{,}25^{7-k}=0{,}929443359375\). Daher ist die Gesamtwahrscheinlichkeit \(0{,}75^3\cdot0{,}929443359375\approx0{,}392109\). 4. Für d) gilt \(1-0{,}25^n\ge0{,}99\), also \(n\ge\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}25)}\approx3{,}32\). Mindestens \(4\) Samen sind nötig. 5. Für e) muss \(p^{10}\ge0{,}95\) gelten. Daher ist \(p\ge0{,}95^{1/10}\approx0{,}994884\).

Antwort

a) \(39{,}55\,\%\) b) \(63{,}28\,\%\) c) \(39{,}21\,\%\) d) Mindestens \(4\) Samen. e) Mindestens \(99{,}488\,\%\).
42711412
Bei einem Basketball-Training wirft ein Spieler \(10\) Serien mit jeweils \(4\) Freiwürfen. Im Modell werden alle Freiwürfe als voneinander unabhängig mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}70\) betrachtet. Eine Serie wird als „erfolgreich“ gewertet, wenn der Spieler mindestens \(3\) Treffer erzielt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens \(9\) der \(10\) Serien erfolgreich verlaufen. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Serie erfolgreich ist. - Welche Trefferzahlen gehören innerhalb einer Serie zu „mindestens 3“? - Welche Unabhängigkeitsannahme erlaubt die zweite Binomialverteilung über die \(10\) Serien?

Lösung

1. Für eine Serie gilt \(K\sim B(4;0{,}70)\). 2. Die Erfolgswahrscheinlichkeit einer Serie ist \(p_E=P(K\ge3)=\binom{4}{3}\cdot0{,}7^3\cdot0{,}3+0{,}7^4=0{,}6517\). 3. Da die Würfe verschiedener Serien unabhängig sind, ist die Anzahl \(Y\) erfolgreicher Serien binomialverteilt mit \(n=10\) und \(p=p_E\). 4. Gesucht ist \(P(Y\ge9)=\binom{10}{9}p_E^9(1-p_E)+p_E^{10}\approx0{,}087675\).

Antwort

\(8{,}77\,\%\)
42715212
In einem Modell für die Herstellung von Mikrochips werden \(250\) Chips unabhängig voneinander betrachtet. Vor einem neuen Fertigungsverfahren beträgt die Defektwahrscheinlichkeit pro Chip \(p_0=0{,}08\); nach der Umstellung beträgt sie tatsächlich \(p_1=0{,}04\). Das Verfahren wird als deutliche Verbesserung anerkannt, wenn die Anzahl der defekten Chips mindestens das \(1{,}5\)-fache der ursprünglichen Standardabweichung unter dem ursprünglichen Erwartungswert liegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verbesserung nach dieser Regel nicht erkannt wird, obwohl \(p_1=0{,}04\) gilt. Gib das Ergebnis als Prozentwert auf zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Berechne zuerst \(\mu_0\) und \(\sigma_0\) für die ursprüngliche Quote. - Welche ganzzahligen Defektzahlen erfüllen die vorgegebene Verbesserungsregel? - Welche Binomialverteilung gilt für die abschließende Wahrscheinlichkeit unter \(p_1\)?

Lösung

1. Für den ursprünglichen Zustand ist \(\mu_0=250\cdot0{,}08=20\) und \(\sigma_0=\sqrt{250\cdot0{,}08\cdot0{,}92}\approx4{,}2895\). 2. Die Erfolgsgrenze ist \(X\le\mu_0-1{,}5\sigma_0=13{,}5657\). Da \(X\) ganzzahlig ist, wird die Verbesserung bei \(X\le13\) erkannt. 3. Unter dem neuen Modell gilt \(X\sim B(250;0{,}04)\). „Nicht erkannt“ bedeutet \(X>13\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>13)=1-P(X\le13)\approx0{,}131050\).

Antwort

\(13{,}10\,\%\)
43101012
In einer Produktion von Mikrochips sind erfahrungsgemäß \(5\,\%\) der Teile defekt; die Defektzustände der Chips werden als voneinander unabhängig angenommen. Für eine Qualitätskontrolle werden die Chips in Packungen zu je \(10\) Stück entnommen. Eine Packung wird beanstandet, wenn sie mindestens einen defekten Chip enthält. Ein Prüfer untersucht \(20\) solcher Packungen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Fälle: 1. Eine zufällig ausgewählte Packung wird beanstandet. 2. Von den \(20\) Packungen werden genau \(5\) beanstandet. 3. Höchstens eine der \(20\) Packungen wird beanstandet. Runde die Ergebnisse in 1. und 2. auf vier Nachkommastellen und das Ergebnis in 3. auf sechs Nachkommastellen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung fehlerhaft ist, indem du das Gegenereignis „kein Chip ist defekt“ betrachtest. - Nutze diesen Wert als Erfolgswahrscheinlichkeit für die zweite Binomialverteilung der \(20\) Packungen. - Wie lässt sich „höchstens eine“ mathematisch mit den Punktwahrscheinlichkeiten ausdrücken?

Lösung

1. Für die Defektzahl in einer Packung gilt \(X\sim B(10;0{,}05)\). Damit ist die Beanstandungswahrscheinlichkeit \(p_B=P(X\ge1)=1-0{,}95^{10}\approx0{,}401263\). 2. Für die Zahl \(Y\) der beanstandeten Packungen gilt \(Y\sim B(20;p_B)\). Daher ist \(P(Y=5)=\binom{20}{5}p_B^5(1-p_B)^{15}\approx0{,}073473\). 3. Für höchstens eine Beanstandung gilt \(P(Y\le1)=(1-p_B)^{20}+\binom{20}{1}p_B(1-p_B)^{19}\approx0{,}000504886\).

Antwort

1. \(0{,}4013\) 2. \(0{,}0735\) 3. \(0{,}000505\)
43111012
Ein Unternehmen bietet Carsharing mit insgesamt \(20\) Elektroautos an. Für ein mathematisches Modell wird zu einem zufällig betrachteten Zeitpunkt angenommen, dass jeder zugelassene Mitarbeiter unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}10\) gerade ein Auto benötigt. Wie viele Mitarbeiter können höchstens zugelassen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) nicht mehr als \(20\) Autos gleichzeitig benötigt werden?

Denkanstöße

- Formuliere die Zahl der gleichzeitig benötigten Autos als Binomialvariable. - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss mindestens \(0{,}95\) betragen? - Suche den größten ganzzahligen Wert von \(n\), der die Bedingung noch erfüllt.

Lösung

1. Für \(n\) zugelassene Mitarbeiter ist die Anzahl \(X\) der gleichzeitig benötigten Autos binomialverteilt mit \(X\sim B(n;0{,}1)\). 2. Gefordert ist \(P(X\le20)\ge0{,}95\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert für \(n=143\) den Wert \(P(X\le20)\approx0{,}952401\). 4. Für \(n=144\) liefert sie \(P(X\le20)\approx0{,}949330\). 5. Der größte zulässige Wert ist daher \(n=143\).

Antwort

Höchstens \(143\) Mitarbeiter.
43604812
Das abgebildete Glücksrad mit \(8\) gleich großen Sektoren ist zusätzlich mit Gr (grün), R (rot) und Bl (blau) beschriftet. Es wird unabhängig voneinander gedreht. Die Zufallsgröße \(X\) gibt an, wie oft ein rotes Feld erscheint. a) Für \(10\) Drehungen: Begründe, warum \(X\) binomialverteilt ist, und gib \(n\) und \(p\) an. b) Bestimme \(P(X\le2)\) und runde auf vier Nachkommastellen. c) Das Rad wird nun viermal gedreht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Blau genau zweimal vorkommt und die beiden blauen Ergebnisse unmittelbar nacheinander auftreten?
Abbildung zur Aufgabe 436048

Denkanstöße

- Lies die Anteile für Rot und Blau aus dem Bild ab. - Für b) addierst du die Trefferzahlen \(0\), \(1\) und \(2\). - Liste für c) die möglichen Positionen eines benachbarten blauen Zweierblocks auf.

Lösung

1. Aus dem Bild liest man zwei rote von acht Sektoren ab, also \(p_R=\frac{2}{8}=0{,}25\). Wegen der unabhängigen Drehungen gilt \(X\sim B(10;0{,}25)\). 2. \(P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}0{,}25^k0{,}75^{10-k}\approx0{,}525593\), also gerundet \(0{,}5256\). 3. Für Blau gilt ebenfalls \(p_B=0{,}25\). Bei vier Drehungen und genau zwei benachbarten blauen Ergebnissen sind die Folgen BBNN, NBBN und NNBB günstig. 4. Jede dieser Folgen hat Wahrscheinlichkeit \(\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^2\). Daher ist die Gesamtwahrscheinlichkeit \(3\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^2=\frac{27}{256}\).

Antwort

a) \(n=10\), \(p=0{,}25\) b) \(P(X\le2)\approx0{,}5256\) c) \(\frac{27}{256}\)

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