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- Frage dich, ob der Wert aus gleich wahrscheinlichen Ergebnissen berechnet oder aus Beobachtungen gewonnen wird. - Welche Rolle spielt die relative Häufigkeit bei einem empirischen Modell?

1. In a) sind die sechs Würfelergebnisse gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit \(\frac16\) stammt daher aus einem Laplace-Modell. 2. In b) beruht die Aussage auf beobachteten Daten. Die relative Häufigkeit ist \(\frac{9}{60}=0{,}15\); dies gehört zum empirischen Modell.

a) Laplace-Modell b) Empirisches Modell mit relativer Häufigkeit \(0{,}15\)

- Welche theoretische Wahrscheinlichkeit hat der markierte Sektor bei vier gleich großen Sektoren? - Welche relative Häufigkeit ergibt sich aus der beobachteten Anzahl der Sterne?

1. Im Laplace-Modell beträgt die Sternwahrscheinlichkeit \(\frac14=0{,}25\). 2. In der Versuchsserie ist die relative Häufigkeit \(\frac{12}{40}=0{,}30\). 3. Im Diagramm liegt Säule \(1\) bei \(0{,}25\) und Säule \(2\) bei \(0{,}30\). Daher zeigt Säule \(1\) den theoretischen und Säule \(2\) den empirischen Wert.

Säule \(1\): theoretische Laplace-Wahrscheinlichkeit. Säule \(2\): empirische relative Häufigkeit.

- Überlege dir zuerst, welche unterschiedlichen Farbkombinationen bei zwei Ziehungen möglich sind, wenn die Reihenfolge egal ist. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das auf mehreren Pfaden im Baumdiagramm erreicht werden kann? - Was ist die Grundvoraussetzung dafür, dass man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnet? - Vergleiche die berechneten Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse miteinander.

1. Definition der Ergebnismenge: Da die Reihenfolge keine Rolle spielt und mit Zurücklegen gezogen wird, ergibt sich \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) (oder textlich: zwei blaue, eine blaue und eine rote, zwei rote Kugeln). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Pfadregeln: \(P(\{(b;b)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{100} = 0{,}49\) \(P(\{(b;r)\}) = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{10} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{42}{100} = 0{,}42\) \(P(\{(r;r)\}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{9}{100} = 0{,}09\) 3. Prüfung der Laplace-Bedingung: Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse der Ergebnismenge die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. 4. Da \(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\) gilt, sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich, weshalb kein Laplace-Experiment vorliegt.

a) \(S = \{(b;b), (b;r), (r;r)\}\) b) \(P(\{(b;b)\}) = 0{,}49\); \(P(\{(b;r)\}) = 0{,}42\); \(P(\{(r;r)\}) = 0{,}09\) c) Da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten aufweisen (\(0{,}49 \neq 0{,}42 \neq 0{,}09\)), ist die Laplace-Bedingung der Gleichwahrscheinlichkeit nicht erfüllt.

- Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, 8 Objekte in einer Reihe anzuordnen? - Wie viele dieser Anordnungen erfüllen die Bedingung, dass sie sortiert sind? - Welche Annahme triffst du über die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Anordnungen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Anordnungen (Permutationen) von 8 unterscheidbaren Büchern: \(8! = 40\,320\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Es gibt genau 2 Möglichkeiten, die Bücher nach ihrer Seitenzahl zu sortieren (einmal aufsteigend, einmal absteigend). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{2}{40320} = \frac{1}{20160} \approx 0{,}0000496\). 4. Identifikation des Wahrscheinlichkeitsbegriffs: Da alle Anordnungen als gleichwahrscheinlich vorausgesetzt werden, handelt es sich um den Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P = \frac{1}{20160}\). Es liegt der Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff zugrunde.

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele Anordnungen mit einem festen Anfangsbuchstaben möglich sind. - Was bedeutet es für die Berechnung, wenn man davon ausgeht, dass alle Ergebnisse „gleichwahrscheinlich“ sind? - Wie unterscheidet sich ein theoretisch berechneter Wert von einem Wert, der durch ein Experiment gewonnen wurde?

1. Teil a: Gesamtzahl der Permutationen berechnen: \(4! = 24\). Anzahl der günstigen Fälle (A fix an Position 1, Rest beliebig): \(3! = 6\). Wahrscheinlichkeit berechnen: \(P(A \text{ an 1. Stelle}) = \frac{6}{24} = 0{,}25\). Dies entspricht dem Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff (theoretische Herleitung durch Symmetrie). 2. Teil b: Relative Häufigkeit berechnen: \(h = \frac{2540}{10000} = 0{,}254\). Dies entspricht dem empirischen (oder statistischen) Wahrscheinlichkeitsbegriff, der auf Beobachtungsdaten basiert.

a) \(P = 0{,}25\); Laplace-Wahrscheinlichkeitsbegriff. b) \(h = 0{,}254\); empirischer (statistischer) Wahrscheinlichkeitsbegriff.

- Frage dich, ob der Wert durch Beobachtung oder durch Abzählen gleich wahrscheinlicher Fälle entsteht. - Welche Symmetriebedingung benötigt ein Laplace-Modell? - Das Gesetz der großen Zahlen bezieht sich auf viele Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen.

1. Der Wert stammt aus beobachteten Daten und gehört daher zum empirischen bzw. statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Ein Laplace-Modell würde eine theoretisch begründete Gleichwahrscheinlichkeit geeigneter Elementarereignisse voraussetzen. Eine solche Symmetrie liefert der Behandlungskontext nicht. 3. In einem Modell unabhängiger, gleichartiger Versuche mit fester Wahrscheinlichkeit \(p\) stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei wachsendem \(n\) typischerweise in der Nähe von \(p\). Das ist die Aussage des Gesetzes der großen Zahlen.

1. Empirischer/statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff. 2. Kein Laplace-Modell, weil keine begründete Gleichwahrscheinlichkeit der Ausgänge vorliegt. 3. Unter den genannten Modellannahmen nähert sich die relative Häufigkeit bei wachsendem \(n\) dem Wert \(p\) an.

- Wann sind alle Ergebnisse eines Versuchs gleich wahrscheinlich? - Wie viele Karten gibt es insgesamt von einer Farbe? - Wie viele Bildkarten gibt es in jeder der vier Farben? - Hast du beachtet, dass manche Karten sowohl eine bestimmte Farbe haben als auch Bildkarten sind?

1. Begründung für Laplace-Modell: Da das Spiel gut gemischt wird und jede unterscheidbare Karte nach demselben Zufallsverfahren gezogen wird, ist die Wahrscheinlichkeit für jede der 52 Karten gleich groß (Symmetrieprinzip). 2. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: \(|\Omega| = 52\). 3. Anzahl der Pik-Karten: \(n_1 = 13\). 4. Anzahl der Bildkarten (Bube, Dame, König): \(n_2 = 4 \cdot 3 = 12\). 5. Anzahl der Karten, die beide Kriterien erfüllen (Pik-Bilder): \(n_{1 \cap 2} = 3\). 6. Berechnung der günstigen Ergebnisse nach dem Inklusions-Exklusions-Prinzip: \(|E| = 13 + 12 - 3 = 22\). 7. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P(E) = \frac{22}{52} = \frac{11}{26} \approx 0{,}4231\).

a) Es handelt sich um ein Laplace-Experiment, da durch das Mischen jede Karte mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird. b) \(P(E) = \frac{11}{26} \approx 42{,}3\,\%\).

- Notiere dir zuerst alle Primzahlen bis 20. Denke daran, dass die 1 keine Primzahl ist. - Welche Zahlen erfüllen die Bedingung „größer als 15“? - Gibt es Zahlen, die in beiden Gruppen vorkommen? Zähle diese nicht doppelt. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei einem Würfel, bei dem jede Seite gleich wahrscheinlich ist?

1. Bestimmung der Ergebnismenge: \(\Omega = \{1; 2; 3; \dots; 20\}\) mit \(|\Omega| = 20\). 2. Identifikation der Primzahlen im Bereich 1 bis 20: \(M_1 = \{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\), also \(|M_1| = 8\). 3. Identifikation der Zahlen größer als 15: \(M_2 = \{16; 17; 18; 19; 20\}\), also \(|M_2| = 5\). 4. Bestimmung der Schnittmenge (Primzahlen, die größer als 15 sind): \(M_1 \cap M_2 = \{17; 19\}\), also \(|M_1 \cap M_2| = 2\). 5. Berechnung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: \(|A| = 8 + 5 - 2 = 11\). 6. Berechnung der Wahrscheinlichkeit nach Laplace: \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{11}{20} = 0{,}55\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(A) = \frac{11}{20} = 0{,}55 = 55\,\%\).

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Welchen Wert aus der Tabelle solltest du wählen, um die stabilste Schätzung für die Wahrscheinlichkeit zu erhalten? - Wenn du weißt, wie oft ein Ereignis im Schnitt bei 100 Würfen vorkommt, wie berechnest du es dann für eine größere Anzahl?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten für \(n = 800\): \(h(A) = \frac{336}{800} = 0{,}42\) \(h(B) = \frac{288}{800} = 0{,}36\) \(h(C) = \frac{176}{800} = 0{,}22\) 2. Hochrechnung auf \(2400\) Versuche durch Multiplikation der relativen Häufigkeiten mit der neuen Gesamtzahl: Lage \(A\): \(0{,}42 \cdot 2400 = 1008\) Lage \(B\): \(0{,}36 \cdot 2400 = 864\) Lage \(C\): \(0{,}22 \cdot 2400 = 528\)

a) Die relativen Häufigkeiten nach 800 Versuchen betragen für Lage \(A\) \(0{,}42\), für Lage \(B\) \(0{,}36\) und für Lage \(C\) \(0{,}22\). b) Bei \(2400\) Würfen ist zu erwarten, dass Lage \(A\) \(1008\)-mal, Lage \(B\) \(864\)-mal und Lage \(C\) \(528\)-mal auftritt.

- Wie viele der \(16\) Karten sind Asse? - Wie unterscheidet sich eine beobachtete relative Häufigkeit von einer theoretischen Modellwahrscheinlichkeit? - Liefert das Gesetz der großen Zahlen für eine einzelne endliche Stichprobe einen festen Grenzwert für „normal“ oder „auffällig“?

1. Im Stapel liegen zwei Asse unter \(16\) gleich wahrscheinlichen Karten. Daher gilt \(P(A)=\frac{2}{16}=0{,}125\). 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_{400}(A)=\frac{48}{400}=0{,}12\). Sie weicht um \(0{,}005\) von der Modellwahrscheinlichkeit ab. 3. Relative Häufigkeiten können bei einer endlichen Versuchszahl von der Modellwahrscheinlichkeit abweichen. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt eine Stabilisierung bei wachsender Versuchszahl, liefert aber für diese einzelne endliche Stichprobe keinen Entscheidungsgrenzwert. Aus dem bloßen Vergleich \(0{,}12\) mit \(0{,}125\) lässt sich daher weder eine Bestätigung noch eine Widerlegung des Laplace-Modells ableiten.

a) \(P(A)=0{,}125\) b) \(h_{400}(A)=0{,}12\); die absolute Abweichung beträgt \(0{,}005\). c) Der Vergleich zeigt nur eine kleine beobachtete Abweichung. Ohne ein zusätzliches Beurteilungskriterium lässt sich daraus kein eindeutiges Urteil über das Modell ableiten.

- Wie viele der zehn gleich wahrscheinlichen Ergebnisse entsprechen einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac12\)? - Übertrage die Farbanteile \(\frac35\) und \(\frac25\) auf Zehntel. - Es gibt mehrere gleichwertige Zuordnungen.

1. Für eine faire Münze benötigt jedes der beiden Ereignisse fünf der zehn gleich wahrscheinlichen Zahlen. Beispielsweise kann \(\{1,2,3,4,5\}\) für Kopf und \(\{6,7,8,9,10\}\) für Zahl stehen. 2. In \(E_2\) ist \(P(\text{Rot})=\frac35=\frac6{10}\) und \(P(\text{Blau})=\frac25=\frac4{10}\). 3. Daher können in \(E_1\) sechs Zahlen Rot und vier Zahlen Blau zugeordnet werden, etwa \(1\) bis \(6\) für Rot und \(7\) bis \(10\) für Blau.

a) Zwei beliebige Fünfergruppen, z. B. \(1\)–\(5\) und \(6\)–\(10\). b) Sechs Zahlen für Rot und vier für Blau, z. B. \(1\)–\(6\) bzw. \(7\)–\(10\).

- Überlege dir für den ersten Teil, wie viele verschiedene Gruppen man insgesamt bilden kann und wie viele davon Lukas enthalten. - Was weißt du über die Auswahlwahrscheinlichkeit an verschiedenen Positionen bei einer fairen Ziehung? - Macht es für die Auswahlwahrscheinlichkeit einen Unterschied, ob man als Erster oder als Letzter eine Kugel zieht?

1. Berechnung über die Kombinatorik: Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(25\) auszuwählen, beträgt \(\binom{25}{4} = 12\,650\). Die Anzahl der günstigen Fälle, in denen Lukas dabei ist, entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen \(3\) Plätze aus den verbleibenden \(24\) Personen zu besetzen: \(\binom{24}{3} = 2024\). Die Wahrscheinlichkeit ist somit \(P = \frac{2024}{12650} = \frac{4}{25} = 0{,}16\). 2. Symmetriebegründung: Da das Auswahlverfahren fair ist, hat jede der \(25\) Personen die gleiche Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\), an einer bestimmten Stelle der Ziehung (z. B. als Erstes, Zweites etc.) ausgewählt zu werden. Da insgesamt \(4\) Personen ausgewählt werden und eine Person nicht an zwei Stellen gleichzeitig stehen kann (disjunkte Positionen), addieren sich die Einzelwahrscheinlichkeiten für die vier verfügbaren Plätze zu \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

a) \(P = \frac{4}{25} = 0{,}16\) b) Jede Person hat für jeden der \(4\) Plätze die gleiche Ziehungswahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{25}\). Da die Plätze disjunkt sind, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten: \(4 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{25}\).

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, das eine Gewinnlos auf die Plätze zu verteilen. - Stell dir vor, alle Lose werden nebeneinander ausgelegt. Ist ein Platz wahrscheinlicher für den Gewinn als ein anderer? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für einen späteren Zug auch mit einem Baumdiagramm und der Pfadmultiplikationsregel bestimmen.

1. Für das erste Los gibt es \(100\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. Da genau ein Los der Hauptgewinn ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit nach Laplace \(P(\text{Hauptgewinn an 1. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 2. Für die zehnte Stelle kann die Wahrscheinlichkeit über die Pfadregel berechnet werden: Die ersten neun Lose dürfen kein Hauptgewinn sein (\(\frac{99}{100} \cdot \frac{98}{99} \cdot \dots \cdot \frac{91}{92}\)) und das zehnte Los muss der Hauptgewinn sein (\(\frac{1}{91}\)). Durch Kürzen der Brüche ergibt sich: \(P(\text{Hauptgewinn an 10. Stelle}) = \frac{1}{100} = 0{,}01\). 3. Da die Lose eine zufällige Permutation (Anordnung) bilden und jede der \(100!\) Anordnungen gleich wahrscheinlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Hauptgewinn an einer bestimmten Position \(k\) befindet, für alle \(k \in \{1, \dots, 100\}\) gleich groß.

a) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) b) \(P = \frac{1}{100} = 0{,}01\) c) Aufgrund der Symmetrie der zufälligen Anordnung (jede Position ist für das Gewinnlos gleich wahrscheinlich).

- Überlege dir zuerst, wie viele Karten insgesamt im Spiel sind. - Wie viele Karten gehören jeweils zu einer Farbe oder zu einem bestimmten Wert? - Was ist die Grundvoraussetzung, damit man ein Zufallsexperiment als Laplace-Experiment bezeichnen darf? - Unterscheide zwischen der Anzahl der möglichen Ergebnisse in deiner Menge und der Anzahl der günstigen Karten für dieses Ergebnis im echten Kartendeck.

1. Identifikation der Ergebnismenge \(S_1 = \{\text{Kreuz}, \text{Pik}, \text{Herz}, \text{Karo}\}\). Da jede der 4 Farben 8-mal vorkommt, ergibt sich für jedes Ergebnis \(P = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 2. Identifikation der Ergebnismenge \(S_2 = \{7, 8, 9, 10, \text{Bube}, \text{Dame}, \text{König}, \text{Ass}\}\). Da jeder der 8 Werte 4-mal vorkommt (einmal pro Farbe), ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis \(P = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 3. Begründung für Laplace: In \(S_1\) haben alle 4 Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit (\(0{,}25\)). In \(S_2\) haben alle 8 Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit (\(0{,}125\)). Da innerhalb des jeweiligen Modells alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, liegt ein Laplace-Versuch vor. 4. Berechnung für \(S_3\): Es gibt \(3 \cdot 4 = 12\) Bildkarten und \(32 - 12 = 20\) Karten, die keine Bilder sind. Daraus folgen \(P(\text{Bild}) = \frac{12}{32} = 0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild}) = \frac{20}{32} = 0{,}625\). Da \(0{,}375 \neq 0{,}625\), sind die Ergebnisse nicht gleichwahrscheinlich; es ist kein Laplace-Versuch.

a) \(S_1 = \{\text{Kreuz}, \text{Pik}, \text{Herz}, \text{Karo}\}\); alle \(P = 0{,}25\). b) \(S_2 = \{7, 8, 9, 10, \text{Bube}, \text{Dame}, \text{König}, \text{Ass}\}\); alle \(P = 0{,}125\). c) Laplace-Versuche, da innerhalb von \(S_1\) bzw. \(S_2\) alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. d) Kein Laplace-Versuch, da \(P(\text{Bild}) = 0{,}375\) und \(P(\text{kein Bild}) = 0{,}625\) verschieden sind.

- Bestimme zuerst die Gesamtzahl aller Teile im Behälter. - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Teile die genannte Eigenschaft erfüllen. - Was bedeutet das Wort „oder“ für die Anzahl der günstigen Ergebnisse? - Kannst du ein Ereignis einfacher über sein Gegenereignis berechnen?

1. Es gibt insgesamt \(120\) Teile. 2. Für a) sind \(40 + 20 = 60\) Teile günstig. Daher gilt \(P(A) = \frac{60}{120} = 0{,}5\). 3. Für b) sind die \(15\) Edelstahlschrauben und die \(10\) Spezialbolzen günstig, also insgesamt \(25\) Teile. Daher gilt \(P(B) = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\). 4. Für c) sind \(120 - 50 = 70\) Teile günstig. Daher gilt \(P(C) = \frac{70}{120} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\).

a) \(P = 0{,}5\) b) \(P = \frac{5}{24} \approx 0{,}2083\) c) \(P = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833\)

- Wie viele Felder gibt es insgesamt und was wissen wir über ihre Größe? - Zähle für jede Teilaufgabe genau die Anzahl der Felder ab, die die Bedingung erfüllen. - Achte bei Teilaufgabe b) darauf, alle Felder zu zählen, die die Farbe Gold haben, unabhängig von ihrer Beschriftung. - Was ist die Voraussetzung dafür, dass man die Formel „Anzahl der günstigen durch Anzahl der möglichen Ergebnisse“ nutzen darf?

1. Festlegung des Ergebnisraums: Da alle Felder gleich groß sind, beträgt die Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse \(|\Omega| = 24\). 2. Lösung zu a): Die Anzahl der Gewinnfelder ist \(10 + 2 + 8 = 20\). Damit gilt \(P(\text{Gewinn}) = \frac{20}{24} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\). 3. Lösung zu b): Die Anzahl der goldfarbenen Felder ist \(2\) (Hauptgewinn) \(+ 4\) (Kleingewinn) \(= 6\). Damit gilt \(P(\text{gold}) = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0{,}25\). 4. Lösung zu c): Die Anzahl der Felder, die weder Niete (\(4\)) noch Hauptgewinn (\(2\)) sind, beträgt \(24 - 4 - 2 = 18\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0{,}75\). 5. Lösung zu d): Der Laplace-Ansatz ist zulässig, weil alle Elementarereignisse (das Stehenbleiben auf einem der \(24\) Felder) aufgrund der gleichen Größe der Felder und der Symmetrie des Rades als gleich wahrscheinlich angenommen werden können.

a) \(P = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333\) b) \(P = 0{,}25\) c) \(P = 0{,}75\) d) Der Laplace-Ansatz ist zulässig, da alle \(24\) Felder gleich groß sind und somit die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit besitzen.

- Wie viele geordnete Zahlenpaare sind bei zwei Drehungen insgesamt möglich? - Welche Eigenschaft müssen beide Ziffern haben, damit ihr Produkt ungerade ist? - Trenne in Teil 3 die rechnerische Abweichung von der Frage, nach welchem Kriterium eine Abweichung beurteilt werden soll.

1. Es gibt \(10 \cdot 10=100\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Für die Summe \(10\) sind \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)\) günstig. Daher gilt \(P=\frac{9}{100}=0{,}09\). 2. Ein Produkt ist genau dann ungerade, wenn beide Ziffern ungerade sind. Dafür gibt es jeweils \(5\) Möglichkeiten, also \(25\) günstige Paare. Somit gilt \(P=\frac{25}{100}=0{,}25\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{924}{10000}=0{,}0924\). Die absolute Abweichung ist \(|0{,}0924-0{,}09|=0{,}0024\), also \(0{,}24\) Prozentpunkte. Der Zahlenvergleich zeigt eine kleine Abweichung, liefert aber ohne ein vorgegebenes statistisches Beurteilungskriterium keine eindeutige Entscheidung darüber, ob diese Abweichung als auffällig gelten soll.

1. \(P=0{,}09\) 2. \(P=0{,}25\) 3. \(h=0{,}0924\); absolute Abweichung: \(0{,}0024\) bzw. \(0{,}24\) Prozentpunkte. Ohne zusätzliches Beurteilungskriterium folgt daraus kein eindeutiges Modellurteil.

- Betrachte für a) zunächst das Gegenereignis „alle drei Ergebnisse sind verschieden“. - Vergleiche in b) die beobachtete relative Häufigkeit direkt mit dem exakten Wert aus a). - Formuliere in c) eine langfristige Aussage und keine Garantie für eine einzelne endliche Simulation.

1. Das Gegenereignis ist, dass drei verschiedene Zahlen gewürfelt werden. Daher gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{12\cdot11\cdot10}{12^3}=\frac{55}{72}\) und somit \(P(\text{mindestens eine Wiederholung})=\frac{17}{72}\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h=\frac{241}{1000}\). Die absolute Abweichung beträgt \(\left|\frac{241}{1000}-\frac{17}{72}\right|=\frac{11}{2250}\). 3. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, dass sich relative Häufigkeiten bei wachsender Zahl unabhängiger Wiederholungen typischerweise in der Nähe der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit stabilisieren. Eine einzelne endliche Simulation muss den theoretischen Wert nicht treffen.

a) \(\frac{17}{72}\) b) \(h=\frac{241}{1000}\); absolute Abweichung \(\frac{11}{2250}\) c) Bei vielen Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit typischerweise in der Nähe der theoretischen Wahrscheinlichkeit; eine einzelne Simulation darf davon abweichen.

- Wie viele Möglichkeiten hat der erste Jugendliche, wie viele der zweite und so weiter, wenn man alle Kombinationen betrachtet? - Wenn alle etwas Verschiedenes wählen sollen, wie viele Optionen bleiben dann für die jeweils nächste Person übrig? - Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass eine Gruppe eine gemeinsame Entscheidung für genau eine der verfügbaren Optionen trifft? - Nutze das Modell des Laplace-Experiments: Anzahl der günstigen Ergebnisse durch Anzahl der möglichen Ergebnisse.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse: Da jeder der 6 Jugendlichen aus 10 Sorten wählen kann, gibt es \(10^6 = 1\,000\,000\) gleich wahrscheinliche Möglichkeiten. 2. Berechnung für Ereignis a (unterschiedliche Sorten): Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist die Anzahl der Variationen von 6 aus 10 ohne Wiederholung: \(10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 151\,200\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(a) = \frac{151200}{1000000} = 0{,}1512\). 3. Berechnung für Ereignis b (gleiche Sorte): Es gibt genau 10 Möglichkeiten, bei denen alle Jugendlichen die gleiche Sorte wählen (eine für jede der 10 Sorten). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(b) = \frac{10}{10^6} = \frac{1}{10^5} = 0{,}00001\).

a) \(P = 0{,}1512\) (oder \(\frac{189}{1250}\)) b) \(P = 0{,}00001\) (oder \(10^{-5}\))

- Betrachte für den ersten Teil eine Gruppe von Objekten als ein einziges „Super-Objekt“. - Wie viele Positionen kann dieser Block innerhalb der Gesamtreihe einnehmen? - Denke bei der Wahrscheinlichkeit an die Auswahl einer Teilmenge ohne Beachtung der Reihenfolge. - Welche Verteilung beschreibt das Ziehen aus einer endlichen Menge ohne Zurücklegen?

1. Für die Anzahl der Abspielfolgen mit den 4 Songs als Block: Die 4 Songs der Band werden als eine Einheit betrachtet. Zusammen mit den restlichen 8 Songs ergeben sich \(9!\) Anordnungen für diese Einheiten. Innerhalb des Blocks gibt es \(4!\) Möglichkeiten, die Songs anzuordnen. Die Gesamtzahl beträgt \(9! \cdot 4! = 362\,880 \cdot 24 = 8\,709\,120\). 2. Für die Wahrscheinlichkeit in Teilaufgabe b) wird das Modell des Ziehens ohne Zurücklegen (hypergeometrische Verteilung) verwendet. Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 Songs aus 12 auszuwählen, beträgt \(\binom{12}{5} = 792\). Die Anzahl der Möglichkeiten, genau 2 von 4 „Logarithmus“-Songs und 3 von 8 restlichen Songs auszuwählen, ist \(\binom{4}{2} \cdot \binom{8}{3} = 6 \cdot 56 = 336\). 3. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich als Quotient: \(P = \frac{336}{792} = \frac{14}{33} \approx 0{,}4242\).

a) Es gibt \(8\,709\,120\) mögliche Abspielfolgen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{14}{33} \approx 42{,}4\,\%\).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt, eine Stichprobe dieser Größe aus der Gesamtmenge zu ziehen. - Wie viele Arten gibt es, die gewünschte Anzahl an Objekten aus der jeweiligen Teilgruppe (defekt/intakt) auszuwählen? - Bei „höchstens“ musst du mehrere Fälle addieren. Welche sind das hier? - Das Wort „mindestens“ ist oft ein Signal, dass man mit dem Gegenereignis schneller zum Ziel kommt.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{20}{5}=15\,504\) mögliche Stichproben. Für genau zwei defekte Akkus gilt \(P(X=2)=\frac{\binom{4}{2}\binom{16}{3}}{\binom{20}{5}}=\frac{3360}{15504}=\frac{70}{323}\). 2. Für höchstens einen defekten Akku werden die Fälle \(X=0\) und \(X=1\) addiert: \(P(X\le1)=\frac{\binom{4}{0}\binom{16}{5}+\binom{4}{1}\binom{16}{4}}{\binom{20}{5}}=\frac{11648}{15504}=\frac{728}{969}\). 3. Für mindestens einen defekten Akku wird das Gegenereignis verwendet: \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-\frac{\binom{16}{5}}{\binom{20}{5}}=\frac{11136}{15504}=\frac{232}{323}\).

a) \(\frac{70}{323}\) b) \(\frac{728}{969}\) c) \(\frac{232}{323}\)

- Bestimme zuerst die Einzelwahrscheinlichkeiten der Zahlen \(1\), \(2\) und \(3\). - Bei zwei verschiedenen Zahlen gibt es zwei geordnete Wege zur selben ungeordneten Kategorie. - Ein Laplace-Modell verlangt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse.

1. Die möglichen Kategorien sind \((1;1)\), \((1;2)\), \((1;3)\), \((2;2)\), \((2;3)\) und \((3;3)\). 2. Für einen Wurf gilt \(P(1)=\frac12\), \(P(2)=\frac13\), \(P(3)=\frac16\). 3. Wegen der Unabhängigkeit ist für gleiche Zahlen die Wahrscheinlichkeit das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten; bei zwei verschiedenen Zahlen werden die beiden Reihenfolgen addiert. 4. Damit ergeben sich \(\frac14,\frac13,\frac16,\frac19,\frac19,\frac1{36}\) in der oben genannten Reihenfolge. 5. Die sechs Paar-Kategorien sind nicht gleich wahrscheinlich. Daher liegt auf dieser Ergebnismenge kein Laplace-Modell vor.

a) \((1;1),(1;2),(1;3),(2;2),(2;3),(3;3)\) b) \(\frac14,\frac13,\frac16,\frac19,\frac19,\frac1{36}\) in derselben Reihenfolge c) Kein Laplace-Modell, da die Elementarereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten besitzen.

- Wann darf man davon ausgehen, dass alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments die gleiche Chance haben? - Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Was passiert mit den Ergebnissen, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt? - Gibt es einen Unterschied zwischen einem idealen Modell und einer experimentellen Beobachtung?

1. Lukas verwendet den Laplace-Ansatz (klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff). Dieser setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Da der Würfel als „unfair“ oder „gezinkt“ beschrieben wurde, ist diese Symmetrieannahme verletzt, und der Ansatz liefert kein korrektes Modell für die Realität. 2. Sarah berechnet die relative Häufigkeit: \(h_n(6) = \frac{52}{200} = 0{,}26\). Ihr Vorgehen stützt sich auf das Gesetz der großen Zahlen, welches besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses mit zunehmender Anzahl an Versuchen stabilisiert und gegen die wahre Wahrscheinlichkeit konvergiert. 3. Um die Genauigkeit zu erhöhen, müsste die Anzahl der Versuche \(n\) deutlich gesteigert werden (z. B. auf \(n = 1000\) oder mehr). Je größer die Stichprobe, desto geringer ist die zu erwartende Abweichung der relativen Häufigkeit von der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit.

1. Lukas nutzt den Laplace-Ansatz; dieser scheitert hier an der fehlenden Symmetrie (gezinkter Würfel). 2. Sarah nutzt die relative Häufigkeit \(\frac{52}{200} = 0{,}26\) (\(26\,\%\)); das Prinzip ist das Gesetz der großen Zahlen. 3. Eine genauere Bestimmung ist durch eine Erhöhung der Wurfanzahl (Versuchswiederholungen) möglich.

- Was ist die Grundvoraussetzung für ein Laplace-Experiment? - Wie berechnet man eine relative Häufigkeit aus absoluten Zahlen? - Was passiert mit der Schwankung der Ergebnisse, wenn man ein Experiment immer öfter wiederholt?

1. Der Laplace-Ansatz setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Aufgrund der physikalischen Asymmetrie der Reißzwecke gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. 2. Gemäß dem frequentistischen Ansatz wird die Wahrscheinlichkeit durch die relative Häufigkeit geschätzt: \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx \frac{k}{n} = \frac{320}{500} = 0{,}64\). 3. Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit nach dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsender Versuchszahl um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit \(p\). Frequentistisch wird \(p\) als langfristiger Häufigkeitswert interpretiert.

a) Der Laplace-Ansatz ist ungeeignet, da keine Symmetrie vorliegt und die Ergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich angenommen werden können. b) \(P(\text{„Spitze oben“}) \approx 0{,}64\). c) Bei unabhängigen Wiederholungen unter gleichen Bedingungen nähert sich die relative Häufigkeit mit wachsender Versuchszahl der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit \(p\) an.

- Wie viele Personen stehen insgesamt zur Auswahl und wie viele werden gezogen? - Denke bei der Kombination von verschiedenen Gruppen an das Produkt der Möglichkeiten. - Wenn zwei Personen bereits gesetzt sind, wie viele Plätze und Personen bleiben noch übrig? - Welche Parameter des Urnenmodells bilden die Chorsituation direkt ab?

1. Insgesamt gibt es \(\binom{24}{4}=10\,626\) mögliche Quartette. 2. Für a) sind \(\binom{14}{4}=1001\) Quartette günstig. Daher gilt \(P(A)=\frac{1001}{10626}=\frac{13}{138}\). 3. Für b) gibt es \(\binom{14}{2}\binom{10}{2}=4095\) günstige Quartette. Daher gilt \(P(B)=\frac{4095}{10626}=\frac{195}{506}\). 4. Für c) sind die beiden Solistinnen bereits fest; die übrigen zwei Personen werden aus den verbleibenden \(22\) gewählt. Daher gilt \(P(C)=\frac{\binom{22}{2}}{\binom{24}{4}}=\frac{231}{10626}=\frac{1}{46}\). 5. Ein passendes Urnenmodell hat \(24\) Kugeln, davon \(14\) für Sopran und \(10\) für Alt. Es wird viermal ohne Zurücklegen gezogen; für a), b) und c) ist die Reihenfolge unerheblich.

a) \(\frac{13}{138}\) b) \(\frac{195}{506}\) c) \(\frac{1}{46}\) d) Urne mit \(24\) Kugeln, davon \(14\) für Sopran und \(10\) für Alt; vier Ziehungen ohne Zurücklegen.

- Wenn bestimmte Personen bereits fest im Team sind, wie verändert das die Anzahl der noch zu vergebenden Plätze und die Auswahlmenge? - Welche mathematische Operation verknüpft die Auswahlmöglichkeiten aus zwei verschiedenen Untergruppen? - Was beschreibt der Ausdruck im Zähler, wenn man von der Gesamtzahl alle rein aus Hardware-Experten bestehenden Gruppen abzieht?

1. Für Ereignis \(C\) sind zwei Personen (ein spezieller Hardware- und ein spezieller Software-Experte) gesetzt. Es müssen noch \(3\) weitere Personen aus den restlichen \(13\) Mitarbeitern ausgewählt werden. Dies ergibt \(\binom{13}{3}\) günstige Möglichkeiten bei insgesamt \(\binom{15}{5}\) Kombinationen. Der Term ist \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\). 2. Für Ereignis \(D\) wählt man \(3\) aus \(9\) Hardware-Experten und \(2\) aus \(6\) Software-Experten. Die Anzahl der günstigen Kombinationen ist \(\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}\). Der Term ist \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\). 3. Der Term in b) nutzt das Gegenereignis. \(\binom{15}{5}\) ist die Gesamtzahl der Teams. \(\binom{9}{5}\) ist die Anzahl der Teams, die nur aus Hardware-Experten bestehen. Die Subtraktion ergibt die Anzahl der Teams, in denen nicht ausschließlich Hardware-Experten sind, also mindestens ein Software-Experte vertreten ist. Das Ereignis lautet: „Im Team ist mindestens ein Software-Experte.“

a) \(P(C) = \frac{\binom{13}{3}}{\binom{15}{5}}\); \(P(D) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{15}{5}}\) b) „Das Team enthält mindestens einen Software-Experten.“

- Überlege, welche physikalischen Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit man von gleichen Wahrscheinlichkeiten ausgehen kann. - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der relativen Häufigkeit bei vielen Versuchen und der Wahrscheinlichkeit? - Wie nutzt man eine Wahrscheinlichkeit, um die zu erwartende Anzahl von Treffern in einer großen Stichprobe zu berechnen?

1. Das Laplace-Modell setzt voraus, dass alle Elementarereignisse aufgrund von Symmetrie gleich wahrscheinlich sind. Da eine Reißzwecke keine physikalische Symmetrie aufweist, die beide Lagen gleichberechtigt erscheinen lässt, ist das Modell ungeeignet. 2. Schätzung der Wahrscheinlichkeit über die relative Häufigkeit nach \(1000\) Versuchen: \(P(L) \approx \frac{628}{1000} = 0{,}628\). 3. Schätzung der absoluten Häufigkeit für \(n = 5000\) unter Verwendung der relativen Häufigkeit von \(S\): \(h(S) = \frac{372}{1000} = 0{,}372\) Erwartete Anzahl: \(0{,}372 \cdot 5000 = 1860\).

a) Das Laplace-Modell ist ungeeignet, da die Reißzwecke asymmetrisch ist und somit kein Grund zu der Annahme besteht, dass beide Lagen gleich wahrscheinlich sind. b) \(P(L) \approx 0{,}628\) c) Das Ereignis „Spitze nach oben“ wird voraussichtlich \(1860\)-mal eintreten.

- Welche Grundgesamtheit soll durch die untersuchten Haushalte beschrieben werden? - Was unterscheidet einen beobachteten Anteil von einem Parameter eines Wahrscheinlichkeitsmodells? - Welche Aussage macht das Gesetz der großen Zahlen über viele Wiederholungen?

1. Als Zufallsversuch wird ein Haushalt zufällig aus einer festgelegten Grundgesamtheit ausgewählt. Das Auswahlverfahren muss so modelliert sein, dass die untersuchte Gruppe die Grundgesamtheit angemessen repräsentiert. Dann kann die beobachtete relative Häufigkeit \(0{,}18\) als Schätzwert für die Modellwahrscheinlichkeit verwendet werden. 2. Die relative Häufigkeit \(0{,}18\) ist ein konkret beobachteter Datenwert. Die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) ist dagegen ein Parameter des mathematischen Modells. Bei vielen Wiederholungen unter gleichbleibenden Bedingungen stabilisieren sich relative Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen um die zugrunde liegende Wahrscheinlichkeit; ein einzelner Datenwert muss nicht exakt mit ihr übereinstimmen.

a) Es braucht eine klar festgelegte Grundgesamtheit und ein geeignetes zufälliges Auswahlmodell; dann kann \(0{,}18\) als empirischer Schätzwert für die Modellwahrscheinlichkeit dienen. b) \(0{,}18\) ist eine beobachtete relative Häufigkeit, die Modellwahrscheinlichkeit dagegen ein zugrunde gelegter Parameter.

- Wie berechnet man den Anteil eines Ergebnisses an der Gesamtzahl der Versuche? - Wann darf man davon ausgehen, dass alle Möglichkeiten bei einem Experiment gleich wahrscheinlich sind? - Passt die Beobachtung aus dem Versuch zu der theoretischen Erwartung von einem Drittel?

1. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{124}{500}=0{,}248\). Dieser Wert kann als Schätzer für die Wahrscheinlichkeit \(p\) dienen, da sich relative Häufigkeiten nach dem Gesetz der großen Zahlen bei wachsendem Stichprobenumfang typischerweise um die wahre Wahrscheinlichkeit stabilisieren. 2. Die Laplace-Annahme \(P(\text{rot})=\frac{1}{3}\approx0{,}333\) setzt voraus, dass alle Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, was meist durch physikalische Symmetrie oder die Information über eine gleiche Anzahl an Objekten begründet wird. Das empirische Ergebnis \(0{,}248\) weicht deutlich von \(0{,}333\) ab. Da nichts über die tatsächliche Anzahl der Kugeln im Behälter bekannt ist, ist die Laplace-Annahme hier nicht gerechtfertigt; das empirische Ergebnis deutet eher auf eine ungleiche Verteilung der Farben hin.

a) \(h=0{,}248\). Dieser Wert ist ein naheliegender Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit; seine Genauigkeit lässt sich ohne weitere Unsicherheitsanalyse nicht exakt beurteilen. b) Die Aussage ist falsch, da das Laplace-Prinzip nur bei nachgewiesener Gleichwahrscheinlichkeit (z. B. gleiche Anzahl an Kugeln jeder Farbe) gilt. Das empirische Ergebnis spricht gegen diese Annahme, da \(0{,}248\) deutlich kleiner als \(\frac{1}{3}\) ist.

- Was bedeutet „Laplace-Experiment“ für die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses? - Überlege dir zuerst, welche Zahlen zwischen 1 und 8 Primzahlen sind und welche Quadratzahlen sind. - Wie berechnet man die relative Häufigkeit aus der Anzahl der Treffer und der Gesamtzahl der Versuche? - Denk daran, wie sich Zufallsergebnisse verhalten, wenn man ein Experiment sehr oft wiederholt.

1. Der Ergebnisraum ist \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) mit \(|\Omega| = 8\). Die Primzahlen in \(\Omega\) sind \(\{2, 3, 5, 7\}\) und die Quadratzahlen sind \(\{1, 4\}\). Die Ergebnismenge für das Ereignis \(A\) ist somit \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\). Da \(|A| = 6\), gilt nach der Laplace-Regel \(P(A) = \frac{6}{8} = 0{,}75\). 2. Die empirische Wahrscheinlichkeit entspricht der relativen Häufigkeit \(h(A) = \frac{185}{250}\). Durch Rechnung ergibt sich \(h(A) = 0{,}74\). Der Vergleich zeigt eine geringe Abweichung von \(0{,}01\) zum theoretischen Laplace-Wert. 3. Das Laplace-Modell ist ein theoretisches Konstrukt, das auf Symmetrieannahmen basiert. Die relative Häufigkeit ist ein empirischer Wert aus Beobachtungen. Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen stabilisiert sich die relative Häufigkeit bei zunehmender Anzahl der Versuche um den theoretischen Wahrscheinlichkeitswert.

1. \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\); \(P(A) = 0{,}75\) 2. \(h(A) = 0{,}74\). Die relative Häufigkeit liegt sehr nah am theoretischen Wert. 3. Die relative Häufigkeit nähert sich nach dem Gesetz der großen Zahlen mit steigender Versuchsanzahl der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Nutze für relative Häufigkeiten jeweils die passende Bezugsmenge im Nenner. - Bei einer bedingten relativen Häufigkeit ändert sich die Grundmenge. - Ein Laplace-Auswahlmodell verlangt gleich wahrscheinliche Elementarereignisse.

1. \(h(B)=\frac{180+320}{1000}=0{,}5\). 2. \(h(P\cap B)=\frac{180}{1000}=0{,}18\). 3. \(h_P(B)=\frac{180}{600}=0{,}3\). 4. Als Laplace-Wahrscheinlichkeiten eines Auswahl-Experiments können diese Werte interpretiert werden, wenn eine Person gleichwahrscheinlich aus den \(1000\) Datensätzen ausgewählt wird. 5. Bei unabhängigen, gleichartig verteilten Wiederholungen stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses bei wachsender Versuchszahl typischerweise in der Nähe seiner theoretischen Wahrscheinlichkeit.

a) (1) \(0{,}5\); (2) \(0{,}18\); (3) \(0{,}3\) b) Wenn jede der \(1000\) Personen bei der Auswahl gleich wahrscheinlich ist. c) Unter den genannten Wiederholungsbedingungen nähert sich die relative Häufigkeit bei wachsendem Umfang der theoretischen Wahrscheinlichkeit an.

- Achte darauf, ob nach einer Wahrscheinlichkeit für die gesamte Menge oder für eine Teilgruppe gefragt wird. - Überlege, ob die Zahlen in der Tabelle eine beobachtete Realität beschreiben oder eine unumstößliche theoretische Regel. - Was muss für zwei Ereignisse gelten, damit man ihre Wahrscheinlichkeiten einfach addieren darf, um die Wahrscheinlichkeit für „das eine oder das andere“ zu erhalten?

1. Berechnung der Gesamtzahl der defekten Teile: \(n(D) = 200 + 300 = 500\). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit bei zufälliger Auswahl aus \(N = 5000\): \(P(D) = \frac{500}{5000} = 0{,}1\). Dies entspricht dem Laplace-Begriff, da jedes Teil als gleich wahrscheinlich für die Auswahl betrachtet wird. 3. Beurteilung der Aussage: Der Wert \(0{,}1\) aus \(200 : 2000\) ist die relative Häufigkeit defekter Teile in der untersuchten Stichprobe aus Werk A. Die theoretische Defektwahrscheinlichkeit für künftig produzierte Teile ist ein unbekannter Parameter des Produktionsprozesses und wird durch diese relative Häufigkeit lediglich geschätzt; die Behauptung einer exakten Gleichheit ist daher nicht gerechtfertigt. 4. Anwendung des Additionssatzes: Die Ereignisse \(W_A \cap D\) („defektes Teil aus Werk A“) und \(W_B \cap D\) („defektes Teil aus Werk B“) sind unvereinbar. 5. Berechnung: \(P((W_A \cap D) \cup (W_B \cap D)) = P(W_A \cap D) + P(W_B \cap D) = \frac{200}{5000} + \frac{300}{5000} = 0{,}04 + 0{,}06 = 0{,}1\).

a) \(P(D) = 0{,}1\); Laplace-Wahrscheinlichkeit. b) Die beobachtete relative Häufigkeit in Werk A beträgt \(0{,}1\), erlaubt aber keine Aussage, dass die theoretische Defektwahrscheinlichkeit für künftig produzierte Teile exakt \(0{,}1\) ist. c) Beispiel: „Das Teil ist defekt und stammt aus Werk A oder es ist defekt und stammt aus Werk B.“ Die Teilereignisse sind disjunkt, daher gilt \(P((W_A \cap D) \cup (W_B \cap D)) = 0{,}04 + 0{,}06 = 0{,}1\).

- Wie hängen die absolute Häufigkeit, die Gesamtzahl der Versuche und die relative Häufigkeit zusammen? - Erinnere dich an die Formel für den Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße. - Was kennzeichnet ein Laplace-Experiment hinsichtlich der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse? - Überlege, wie du den Durchschnitt der möglichen Augenzahlen bei gleicher Wahrscheinlichkeit berechnest.

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten \(P(X=i) = \frac{H_n(i)}{n}\) mit \(n = 1000\): \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\). 2. Berechnung des empirischen Erwartungswerts: \(E(X) = 1 \cdot 0{,}21 + 2 \cdot 0{,}29 + 3 \cdot 0{,}24 + 4 \cdot 0{,}26 = 0{,}21 + 0{,}58 + 0{,}72 + 1{,}04 = 2{,}55\). 3. Der theoretische Erwartungswert eines idealen Tetraeders (Laplace-Experiment) beträgt \(E_{\text{Laplace}}(X) = \frac{1+2+3+4}{4} = 2{,}5\). Der empirische Wert liegt um \(0{,}05\) höher als der theoretische Wert.

1. \(P(X=1) \approx 0{,}21\); \(P(X=2) \approx 0{,}29\); \(P(X=3) \approx 0{,}24\); \(P(X=4) \approx 0{,}26\) 2. \(E(X) = 2{,}55\) 3. \(E_{\text{Laplace}}(X) = 2{,}5\); der Schätzwert ist geringfügig größer.

- Was bedeutet „mindestens ein Fehler“ mathematisch für die Werte von \(X\)? - Du kannst die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einen Fehler“ entweder durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten oder über das Gegenereignis finden. - Berechne zuerst, wie viele Fehler man im Durchschnitt pro einzelner Platine erwartet. - Wie skaliert man den Erwartungswert einer einzelnen Platine auf eine größere Menge?

1. Berechnung der relativen Häufigkeiten bei \(n = 4000\): \(P(X=0) \approx \frac{3600}{4000} = 0{,}90\) \(P(X=1) \approx \frac{320}{4000} = 0{,}08\) \(P(X=2) \approx \frac{80}{4000} = 0{,}02\) 2. Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Fehler: \(P(X \ge 1) = P(X=1) + P(X=2) = 0{,}08 + 0{,}02 = 0{,}10\) (oder über das Gegenereignis \(1 - P(X=0) = 0{,}10\)). 3. Erwartungswert der Fehler pro Platine: \(E(X) = 0 \cdot 0{,}90 + 1 \cdot 0{,}08 + 2 \cdot 0{,}02 = 0{,}12\). Gesamtzahl der Fehler bei \(500\) Platinen: \(500 \cdot E(X) = 500 \cdot 0{,}12 = 60\).

1. \(P(X=0) \approx 0{,}90\); \(P(X=1) \approx 0{,}08\); \(P(X=2) \approx 0{,}02\) 2. \(P(X \ge 1) \approx 0{,}10\) 3. Es sind insgesamt \(60\) Fehler zu erwarten.

- Welche Wahrscheinlichkeiten können Teilmengen der sechs gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse haben? - Bei zwei unabhängigen Würfen gibt es \(6\cdot6\) gleich wahrscheinliche Paare. - Wie viele dieser \(36\) Paare entsprechen \(25\,\%\)?

1. Ein Wurf besitzt sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Für \(\frac13=\frac26\) können beispielsweise die Augenzahlen \(1\) und \(2\) als Erfolg definiert werden. 2. Bei einem Wurf hat jedes Ereignis die Form \(\frac{k}{6}\) mit ganzzahligem \(k\). Aus \(\frac{k}{6}=0{,}4=\frac25\) ergäbe sich \(k=2{,}4\); das ist unmöglich. 3. Zwei unabhängige Würfe besitzen \(36\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. Für \(0{,}25\) werden neun günstige Paare benötigt. Beispielsweise kann „beide Augenzahlen liegen in \(\{1,2,3\}\)“ als Erfolg definiert werden; das umfasst \(3\cdot3=9\) Paare.

a) Zum Beispiel Erfolg bei \(1\) oder \(2\). b) Unmöglich, weil \(0{,}4\) kein ganzzahliges Vielfaches von \(\frac16\) ist. c) Zum Beispiel Erfolg, wenn beide Würfe höchstens \(3\) zeigen.

- Betrachte die sechs Deckel nacheinander: Wie viele Motive stehen jeweils noch zur Verfügung, wenn bisher keines doppelt vorkam? - Für „mindestens zwei gleiche“ ist das Gegenereignis einfacher. - Was unterscheidet eine theoretische Wahrscheinlichkeit von einer relativen Häufigkeit aus endlich vielen Simulationen?

1. Für sechs Deckel gibt es \(25^6\) gleich wahrscheinliche geordnete Motivfolgen. Ohne Wiederholung sind \(25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20\) Folgen möglich. 2. Daher gilt \(P(\text{keine Doppelten})=\frac{25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21\cdot20}{25^6}=\frac{1020096}{1953125}\). 3. Das Ereignis „mindestens zwei gleiche“ ist das Gegenereignis. Deshalb gilt \(P(\text{mindestens zwei gleiche})=1-\frac{1020096}{1953125}=\frac{933029}{1953125}\). 4. Simulationen liefern relative Häufigkeiten, die bei einer endlichen Zahl von Durchläufen zufällig schwanken. Deshalb ist im Allgemeinen keine exakte Übereinstimmung mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit zu erwarten.

a) \(\frac{1020096}{1953125}\) b) \(\frac{933029}{1953125}\) c) Eine Simulation liefert eine zufällig schwankende relative Häufigkeit und daher meist nicht exakt den theoretischen Wert.

- Wie lässt sich eine Liste so mischen, dass jede Permutation gleich wahrscheinlich ist? - Erinnere dich an die Definition der relativen Häufigkeit: Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Was besagt das Gesetz der großen Zahlen, und was garantiert es nicht für eine einzelne endliche Simulation?

1. In jedem Durchlauf wird eine zufällige Permutation der Zahlen von 1 bis 100 erzeugt. Anschließend wird geprüft, ob es mindestens eine Position \(i\) gibt, an der der Wert \(i\) steht. Das Ergebnis „mindestens ein Fixpunkt“ wird gezählt. Dieser Ablauf wird vielfach wiederholt. 2. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_n(A) = \frac{3162}{5000} = 0{,}6324\). 3. Der Schätzwert \(0{,}6324\) liegt in dieser Simulation sehr nahe am theoretischen Wert \(0{,}6321\); die Abweichung beträgt \(0{,}0003\). Das Gesetz der großen Zahlen erklärt die Stabilisierung relativer Häufigkeiten bei vielen Wiederholungen, garantiert aber nicht, dass jede Simulation mit \(5000\) Durchläufen eine ähnlich kleine Abweichung liefert.

a) Erzeuge wiederholt zufällige Permutationen der Zahlen von 1 bis 100 und prüfe jeweils, ob mindestens ein Wert an seiner eigenen Position steht. b) Die relative Häufigkeit beträgt \(0{,}6324\). c) Der Schätzwert liegt in dieser Simulation sehr nahe am theoretischen Wert; daraus folgt jedoch keine Genauigkeitsgarantie für jede Simulation mit demselben Umfang.

- Stelle dir die \(96\) gleich wahrscheinlichen Zahlenpaare als Gitter vor. - Bei b) überschneiden sich die Ereignisse „Oktaeder zeigt 7“ und „Dodekaeder zeigt 7“. - Welche positiven Zahlen bis \(12\) besitzen ausschließlich den Primfaktor \(2\)?

1. Es gibt \(8\cdot12=96\) gleich wahrscheinliche geordnete Paare. 2. Für die Summe \(10\) sind acht Paare günstig: \((1;9),(2;8),\ldots,(8;2)\). Daher ist \(P=\frac{8}{96}=\frac1{12}\). 3. Für mindestens eine \(7\) gilt \(P=\frac18+\frac1{12}-\frac1{96}=\frac{19}{96}\). 4. Ein Produkt ist genau dann eine Zweierpotenz, wenn beide Faktoren aus \(\{1,2,4,8\}\) stammen. Es gibt \(4\cdot4=16\) günstige Paare, also \(P=\frac{16}{96}=\frac16\).

a) \(\frac1{12}\approx0{,}0833\) b) \(\frac{19}{96}\approx0{,}1979\) c) \(\frac16\approx0{,}1667\)

- Bestimme für einen Würfel jeweils die Trefferwahrscheinlichkeit. - Das Gegenereignis zu „mindestens einer“ lautet „keiner“. - Wegen der Unabhängigkeit kannst du die beiden Gegenwahrscheinlichkeiten multiplizieren.

1. Für „mindestens einer“ wird jeweils das Gegenereignis „keiner“ verwendet. 2. Für eine \(8\) ist \(p=\frac18\). Daher ist \(P=1-\left(\frac78\right)^2=\frac{15}{64}\). 3. Primzahlen zwischen \(1\) und \(8\) sind \(2,3,5,7\), also \(p=\frac12\). Daher ist \(P=1-\left(\frac12\right)^2=\frac34\). 4. Für Zahlen kleiner als \(3\) ist \(p=\frac{2}{8}=\frac14\). Daher ist \(P=1-\left(\frac34\right)^2=\frac7{16}\).

(1) \(\frac{15}{64}\approx0{,}2344\) (2) \(\frac34=0{,}75\) (3) \(\frac7{16}=0{,}4375\)

- Welche Zahlen erfüllen mindestens eine der beiden Bedingungen? - Wie berechnest du die relative Häufigkeit und ihre absolute Abweichung von der Modellwahrscheinlichkeit? - Liefert das Gesetz der großen Zahlen für eine einzelne endliche Versuchsreihe einen festen Grenzwert für ein Modellurteil?

1. Die Primzahlen sind \(\{2,3,5,7\}\), die ungeraden Zahlen \(\{1,3,5,7,9\}\). Ihre Vereinigung ist \(E=\{1,2,3,5,7,9\}\). 2. Daher gilt \(P(E)=\frac{6}{10}=0{,}6\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h_{200}(E)=\frac{132}{200}=0{,}66\). Die absolute Abweichung ist \(|0{,}66-0{,}60|=0{,}06\), also \(6\) Prozentpunkte. 4. Relative Häufigkeiten schwanken bei endlichen Versuchsreihen um die Modellwahrscheinlichkeit. Das Gesetz der großen Zahlen liefert für diese einzelne Stichprobe jedoch keinen festen Grenzwert, ab dem eine Abweichung als unvereinbar mit dem Modell gilt. Ohne ein zusätzliches Beurteilungskriterium lässt sich daher allein aus \(0{,}66\) gegenüber \(0{,}60\) kein eindeutiges Modellurteil ableiten.

a) \(P(E)=0{,}6\) b) \(h_{200}(E)=0{,}66\); absolute Abweichung: \(0{,}06\) bzw. \(6\) Prozentpunkte. c) Die Abweichung kann beschrieben werden, erlaubt ohne zusätzliches Beurteilungskriterium aber kein eindeutiges Urteil über das Idealmodell.

- Welche Zahlen zwischen 1 und 20 sind Primzahlen? Beachte, dass die 1 keine Primzahl ist. - Die relative Häufigkeit berechnet sich aus der Anzahl der Treffer geteilt durch die Gesamtzahl der Versuche. - Überlege bei Teilaufgabe c), ob es Zahlen gibt, die beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen. - Wenn zwei Ereignisse keine gemeinsamen Ergebnisse haben, nennt man sie disjunkt.

1. Die Primzahlen bis 20 sind \(\{2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19\}\). Es gibt 8 Primzahlen bei 20 möglichen Ergebnissen, also \(P(L) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 0{,}4\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h(L) = \frac{195}{500} = 0{,}39\). Die absolute Differenz beträgt \(|0{,}4 - 0{,}39| = 0{,}01\). 3. Sei \(K\) das Ereignis „durch 4 teilbar“, also \(K = \{4; 8; 12; 16; 20\}\) mit \(|K| = 5\). Da keine Primzahl durch 4 teilbar ist, gilt \(L \cap K = \emptyset\). Für disjunkte Ereignisse gilt daher \(P(M) = P(L \cup K) = P(L) + P(K) = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20} = 0{,}65\).

a) \(P(L) = 0{,}4\) b) \(h(L) = 0{,}39\); absolute Differenz: \(0{,}01\) c) \(P(M) = 0{,}65\). Die Ereignisse „Primzahl“ und „durch 4 teilbar“ sind disjunkt, daher werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.

- Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Folgen gibt es bei drei Würfen? - Für die kleine Augensumme kannst du die wenigen günstigen Folgen systematisch zählen. - Für „mindestens eine 8“ ist das Gegenereignis kurz.

1. Es gibt \(8^3=512\) gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnisse. Für Summen kleiner als \(6\) gibt es \(1+3+6=10\) günstige Folgen. Daher ist \(P=\frac{10}{512}=\frac5{256}\approx0{,}0195\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für keine \(8\) beträgt \(\left(\frac78\right)^3\). Somit ist \(P(\text{mindestens eine 8})=1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}\approx0{,}3301\). 3. Für drei verschiedene Zahlen gibt es \(8\cdot7\cdot6=336\) Folgen. Daher ist \(P=\frac{336}{512}=\frac{21}{32}=0{,}65625\).

1. \(\frac5{256}\approx1{,}95\,\%\) 2. \(\frac{169}{512}\approx33{,}01\,\%\) 3. \(\frac{21}{32}=65{,}625\,\%\)

- Arbeite mit den geordneten Zahlenpaaren als Elementarereignissen. - Zähle für beide Ereignisse die günstigen Paare systematisch. - Prüfe für die Aussage, ob jede Summe gleich viele Paare besitzt.

1. Die \(36\) geordneten Zahlenpaare sind gleich wahrscheinlich. 2. Für \(E_1\) sind \(15\) Paare günstig, also \(P(E_1)=\frac{15}{36}=\frac5{12}\). 3. Für \(E_2\) sind \(11\) Paare mit mindestens einer \(4\) sowie die vier weiteren Paare aus \(\{2,6\}\times\{2,6\}\) günstig. Damit sind insgesamt \(15\) Paare günstig und \(P(E_2)=\frac5{12}\). 4. Die Behauptung ist falsch. Die \(36\) Zahlenpaare sind gleich wahrscheinlich, die daraus gebildeten Summen aber nicht: Die Summe \(2\) hat nur einen günstigen Pfad, die Summe \(7\) sechs.

1. \(P(E_1)=\frac5{12}\); \(P(E_2)=\frac5{12}\) 2. Falsch; die Augensummen sind nicht gleich wahrscheinlich.

- Zähle für Teil 1 die geordneten Zahlenpaare mit Differenzbetrag \(2\). - Welches Gegenereignis vereinfacht Teil 2? - Vergleiche in Teil 3 zunächst nur die beiden Zahlenwerte und trenne diese Rechnung von einem statistischen Urteil.

1. Von \(64\) gleich wahrscheinlichen Zahlenpaaren haben \(12\) den Differenzbetrag \(2\). Daher gilt \(P=\frac{12}{64}=\frac{3}{16}=0{,}1875\). 2. Das Gegenereignis lautet: Beide Zahlen liegen in \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Daher gilt \(P=1-\frac{36}{64}=\frac{7}{16}=0{,}4375\). 3. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{4120}{10000}=0{,}412\). Die absolute Abweichung ist \(|0{,}412-0{,}4375|=0{,}0255\), also \(2{,}55\) Prozentpunkte. Ob eine Abweichung dieser Größe als Hinweis auf einen Fehler oder als noch zulässige Zufallsschwankung gelten soll, erfordert ein festgelegtes statistisches Beurteilungskriterium; der bloße Vergleich liefert dieses Kriterium nicht.

1. \(\frac{3}{16}=0{,}1875\) 2. \(\frac{7}{16}=0{,}4375\) 3. \(h=0{,}412\); absolute Abweichung: \(0{,}0255\) bzw. \(2{,}55\) Prozentpunkte. Ohne zusätzliches Kriterium folgt daraus kein eindeutiges Modellurteil.

- Bestimme zuerst die Anzahl aller möglichen 6-Personen-Teams, die man aus 30 Mitgliedern bilden kann. - Für Teil a) betrachte nur die Gruppe der Männer als Auswahlpool für das Team. - Für Teil b) musst du die Auswahlmöglichkeiten für die Frauen und die Männer getrennt berechnen und dann verknüpfen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Anzahl der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu bestimmen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 6 Personen aus 30 auszuwählen: \(\binom{30}{6} = 593\,775\). 2. Für Aufgabenteil a): Anzahl der Möglichkeiten, 6 Männer aus 18 auszuwählen: \(\binom{18}{6} = 18\,564\). 3. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\text{nur Männer}) = \frac{18564}{593775} \approx 0{,}0313\). 4. Für Aufgabenteil b): Anzahl der Möglichkeiten, 3 Frauen aus 12 (\(\binom{12}{3} = 220\)) und 3 Männer aus 18 (\(\binom{18}{3} = 816\)) auszuwählen. 5. Berechnung der günstigen Fälle durch Multiplikation: \(220 \cdot 816 = 179\,520\). 6. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{3 Frauen, 3 Männer}) = \frac{179520}{593775} \approx 0{,}3023\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(3{,}13\,\%\) (exakt \(\frac{18564}{593775} = \frac{6188}{197925}\)). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(30{,}23\,\%\) (exakt \(\frac{179520}{593775} = \frac{11968}{39585}\)).

- Wie viele verschiedene 6er-Gruppen können insgesamt gewählt werden? - Bei a) kombinierst du die Auswahlmöglichkeiten aus zwei Teilgruppen. - Welche Männerzahlen sind bei „mindestens 5“ tatsächlich möglich? - Welche Auswahl beschreibt der Zähler in c)?

1. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{6}=177\,100\) mögliche Gremien. 2. Für genau drei Frauen und drei Männer gibt es \(\binom{15}{3}\binom{10}{3}=54\,600\) günstige Gremien. Daher gilt \(P(A)=\frac{54600}{177100}=\frac{78}{253}\). 3. Für mindestens fünf Männer sind die Fälle mit fünf und mit sechs Männern möglich. Es gibt \(\binom{10}{5}\binom{15}{1}+\binom{10}{6}\binom{15}{0}=3990\) günstige Gremien. Daher gilt \(P(B)=\frac{3990}{177100}=\frac{57}{2530}\). 4. Der Term \(\frac{\binom{15}{6}}{\binom{25}{6}}\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass alle sechs ausgewählten Mitglieder Frauen sind.

a) \(\frac{78}{253}\) b) \(\frac{57}{2530}\) c) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gremium ausschließlich aus Frauen besteht.

- Zähle Zahlenkombinationen und Farbmöglichkeiten zunächst getrennt. - Für genau drei richtige Zahlen wählst du drei aus den vier Tippzahlen und eine aus den übrigen \(26\) Zahlen. - Für eine falsche Farbe stehen zwei der drei Farben zur Verfügung.

1. Für die Zahlen gibt es \(\binom{30}{4}=27405\) Möglichkeiten. Mit drei gleich wahrscheinlichen Farben ergeben sich \(27405\cdot 3=82215\) gleich wahrscheinliche Gesamtergebnisse. 2. Für genau drei richtige Zahlen gibt es \(\binom{4}{3}\binom{26}{1}=104\) Zahlenkombinationen. Für die Farbe gibt es genau eine richtige Möglichkeit. Daher ist \(P=\frac{104}{82215}\approx0{,}001265\). 3. Für keine richtige Zahl gibt es \(\binom{26}{4}=14950\) Zahlenkombinationen und zwei falsche Farben. Daher ist \(P=\frac{29900}{82215}\approx0{,}3637\).

a) \(82215\) Ergebnisse b) \(\frac{104}{82215}\approx0{,}1265\,\%\) c) \(\frac{29900}{82215}\approx36{,}37\,\%\)

- Stelle dir vor, die erste Gruppe steht bereits fest und ihre sechs Mitglieder sind markiert. - Wie viele Personen aus der markierten und aus der übrigen Gruppe müssen für a) in die zweite Gruppe gelangen? - Welche Auswahl beschreibt b), wenn niemand aus der ersten Gruppe erneut gewählt wird?

1. Betrachte die erste Gruppe als fest markierte Menge von sechs Personen. Für die zweite Gruppe werden sechs Personen aus insgesamt \(24\) ohne Zurücklegen ausgewählt. Die Zahl \(X\) der Überschneidungen ist damit hypergeometrisch verteilt. 2. Für genau zwei Überschneidungen gilt \(P(X=2)=\frac{\binom{6}{2}\binom{18}{4}}{\binom{24}{6}}=\frac{45900}{134596}=\frac{11475}{33649}\). 3. Für keine Überschneidung gilt \(P(X=0)=\frac{\binom{18}{6}}{\binom{24}{6}}=\frac{18564}{134596}=\frac{663}{4807}\).

a) \(\frac{11475}{33649}\) b) \(\frac{663}{4807}\)

- Wie verändert sich die Zahl der noch möglichen neuen Ergebnisse nach jeder weiteren Drehung? - Das Ereignis „mindestens eine Wiederholung“ ist das Gegenereignis zu „alle verschieden“. - Was muss passieren, wenn häufiger gedreht wird, als es verschiedene Felder gibt?

1. Für vier verschiedene Ergebnisse gilt \(P(\text{verschieden})=\frac{12}{12}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{10}{12}\cdot\frac{9}{12}=\frac{55}{96}\). 2. Das Gegenereignis ist mindestens eine Wiederholung. Daher gilt \(P(\text{Wiederholung})=1-\frac{55}{96}=\frac{41}{96}\). Weil \(\frac{55}{96}>\frac{41}{96}\), sind vier verschiedene Zahlen wahrscheinlicher. 3. Bei \(13\) Drehungen auf nur \(12\) Feldern muss nach dem Schubfachprinzip mindestens eine Zahl wiederholt auftreten. Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit für lauter verschiedene Ergebnisse \(0\).

1. Alle Zahlen verschieden: \(\frac{55}{96}\); mindestens eine Wiederholung: \(\frac{41}{96}\). Damit sind lauter verschiedene Ergebnisse wahrscheinlicher. 2. \(0\)

- Wie viele 8er-Stichproben sind insgesamt möglich? - Für genau zwei Defekte musst du aus der defekten und der intakten Teilmenge passend auswählen. - Bei „mindestens ein“ ist das Gegenereignis „kein defekter Chip“ besonders einfach.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{40}{8}\) mögliche Stichproben. 2. Für genau zwei defekte Chips gilt \(P(X=2)=\frac{\binom{6}{2}\binom{34}{6}}{\binom{40}{8}}\). 3. Für keinen defekten Chip gilt \(P(X=0)=\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\). 4. Für mindestens einen defekten Chip wird das Gegenereignis verwendet: \(P(X\ge1)=1-\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\).

a) \(\frac{\binom{6}{2}\binom{34}{6}}{\binom{40}{8}}\) b) \(\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\) c) \(1-\frac{\binom{34}{8}}{\binom{40}{8}}\)

- Da die Geräte gleichzeitig entnommen werden, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Welches mathematische Werkzeug hilft dir beim Zählen von Kombinationen? - Überlege dir für jedes Ereignis, wie viele Möglichkeiten es gibt, die gewünschten Marken zu ziehen und wie viele Möglichkeiten es insgesamt gibt. - Wenn eine Marke gar nicht dabei sein soll, aus welchem Pool von Geräten musst du dann die gesamte Stichprobe ziehen? - Wenn genau eine bestimmte Anzahl einer Marke gesucht ist, musst du auch berücksichtigen, woher die restlichen Geräte der Stichprobe kommen.

Da die Auswahl „mit einem Griff“ erfolgt, handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen, wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, 5 aus 25 Geräten auszuwählen, ist \(\binom{25}{5} = 53\,130\). 1. Für genau zwei Geräte von Marke A und drei von Marke B: Es müssen 2 aus 12 (Marke A) und 3 aus 8 (Marke B) gewählt werden. Die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ist \(\binom{12}{2} \cdot \binom{8}{3} = 66 \cdot 56 = 3696\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{3696}{53130} \approx 0{,}0696\). 2. Für kein Gerät von Marke C: Es werden alle 5 Geräte aus den restlichen 20 Geräten (Marken A und B) gewählt. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{20}{5} = 15\,504\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{15504}{53130} \approx 0{,}2918\). 3. Für genau zwei Geräte von Marke C: Es werden 2 aus 5 (Marke C) und die restlichen 3 aus den anderen 20 Geräten gewählt. Anzahl der günstigen Möglichkeiten: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{20}{3} = 10 \cdot 1140 = 11\,400\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P = \frac{11400}{53130} \approx 0{,}2146\).

a) \(P = \frac{3696}{53130} \approx 0{,}0696\) (oder \(6{,}96\,\%\)) b) \(P = \frac{15504}{53130} \approx 0{,}2918\) (oder \(29{,}18\,\%\)) c) \(P = \frac{11400}{53130} \approx 0{,}2146\) (oder \(21{,}46\,\%\))

- Wie viele geordnete Paare können bei zwei Würfen entstehen? - Welche zusätzliche Eigenschaft neben der Idealität sorgt dafür, dass alle geordneten Paare gleichwahrscheinlich sind? - Vergleiche bei der Summenvariable, wie viele Paare aus \(S_A\) zu jedem möglichen Summenwert gehören. - Prüfe für die Wahrscheinlichkeitsverteilung insbesondere Nichtnegativität, Gesamtsumme und Additivität bei disjunkten Ereignissen.

1. Es gilt \(S_A = \{(1,1), (1,2), \ldots, (4,4)\}\) mit \(|S_A| = 4^2 = 16\). Da der Würfel ideal ist und die beiden Würfe unabhängig sind, ist jedes geordnete Paar gleichwahrscheinlich mit \(P = \frac{1}{16}\). Daher liegt auf \(S_A\) ein Laplace-Modell vor. 2. Es gilt \(S_B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Durch Abzählen der zugehörigen Paare aus \(S_A\) erhält man \(P(2)=\frac{1}{16}\), \(P(3)=\frac{2}{16}\), \(P(4)=\frac{3}{16}\), \(P(5)=\frac{4}{16}\), \(P(6)=\frac{3}{16}\), \(P(7)=\frac{2}{16}\) und \(P(8)=\frac{1}{16}\). 3. Alle Einzelwahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ und ihre Summe ist \(\frac{1+2+3+4+3+2+1}{16}=1\). Definiert man Ereigniswahrscheinlichkeiten als Summen der zugehörigen Einzelwahrscheinlichkeiten, gilt für disjunkte Ereignisse außerdem Additivität. Damit sind die Kolmogorow-Axiome erfüllt. 4. In der feineren Laplace-Ergebnismenge \(S_A\) lassen sich Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse bestimmen. Für die zusammengefasste Ergebnismenge \(S_B\) müssen die unterschiedlichen Einzelwahrscheinlichkeiten dagegen erst aus \(S_A\) hergeleitet werden.

a) \(S_A = \{(1,1), (1,2), \ldots, (4,4)\}\) und \(|S_A|=16\); wegen Idealität und Unabhängigkeit sind alle Paare gleichwahrscheinlich. b) \(S_B=\{2,3,4,5,6,7,8\}\) mit Wahrscheinlichkeiten \(\frac{1}{16},\frac{2}{16},\frac{3}{16},\frac{4}{16},\frac{3}{16},\frac{2}{16},\frac{1}{16}\). c) Ja. Nichtnegativität, Normierung und Additivität für disjunkte Ereignisse sind erfüllt. d) In einer Laplace-Ergebnismenge können Wahrscheinlichkeiten durch Abzählen gleichwahrscheinlicher Elementarereignisse bestimmt werden.

- Welche Annahmen erlauben es, die Wahrscheinlichkeiten aufeinanderfolgender PIN-Vergaben zu multiplizieren? - Wie viele neue PINs stehen nach jeder bereits vergebenen unterschiedlichen PIN noch zur Verfügung? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens zwei gleiche PINs“? - Was passiert mit der Zahl möglicher Personenpaare, wenn die Gruppe größer wird?

1. Es wird angenommen, dass jede der \(10\,000\) PINs bei jeder Vergabe gleich wahrscheinlich ist und die Vergaben voneinander unabhängig sind. 2. Für lauter verschiedene PINs gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{10000\cdot9999\cdot9998\cdots9951}{10000^{50}}=\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\). 3. Mindestens eine Dopplung ist das Gegenereignis. Daher gilt \(P(\text{mindestens zwei gleich})=1-\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\). 4. Mit mehr Mitarbeitern gibt es mehr mögliche Personenpaare und bei jeder zusätzlichen Vergabe mehr bereits verwendete PINs, mit denen eine Kollision auftreten kann. Deshalb steigt die Kollisionswahrscheinlichkeit.

a) Alle \(10\,000\) PINs sind bei jeder Vergabe gleich wahrscheinlich; die Vergaben sind unabhängig. b) \(\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\) c) \(1-\frac{10000!}{9950!\cdot10000^{50}}\) d) Mit mehr Personen gibt es mehr mögliche Paare und damit mehr Möglichkeiten für eine Übereinstimmung.

- Ordne die vier Getränke den vier Gästeplätzen systematisch als Permutationen zu. - Welches Gegenereignis macht die Berechnung von „mindestens ein Gast richtig“ einfacher? - Was muss mit der vierten Zuordnung geschehen, wenn bereits drei Zuordnungen richtig sind? - Trenne in Teil d) die berechnete Abweichung von einem statistischen Urteil über das Modell.

1. Insgesamt gibt es \(4!=24\) gleich wahrscheinliche Permutationen. 2. Genau zwei richtige Zuordnungen haben die sechs Permutationen \((1;2;4;3)\), \((1;4;3;2)\), \((1;3;2;4)\), \((4;2;3;1)\), \((3;2;1;4)\) und \((2;1;3;4)\). Hinzu kommt \((1;2;3;4)\) mit vier richtigen Zuordnungen. Damit gibt es sieben Fälle mit mindestens zwei richtigen Zuordnungen. 3. Für „mindestens einer richtig“ wird das Gegenereignis „keiner richtig“ betrachtet. Es gibt \(9\) fixpunktfreie Permutationen. Daher gilt \(P(\text{mindestens einer richtig})=1-\frac{9}{24}=\frac{5}{8}=0{,}625\). 4. Wenn drei Gäste ihr richtiges Getränk erhalten, bleibt für den vierten Gast zwangsläufig ebenfalls sein eigenes Getränk übrig. Genau drei richtige Zuordnungen sind daher unmöglich. 5. Die relative Häufigkeit beträgt \(h=\frac{15}{20}=0{,}75\). Die absolute Abweichung vom theoretischen Wert ist \(|0{,}75-0{,}625|=0{,}125\), also \(12{,}5\) Prozentpunkte. Der Zahlenvergleich allein legt nicht fest, ab welcher Abweichung das Modell verworfen oder als vereinbar beurteilt werden soll; dafür wäre ein zusätzliches Beurteilungskriterium nötig.

a) Es gibt sieben Fälle: \((1;2;4;3)\), \((1;4;3;2)\), \((1;3;2;4)\), \((4;2;3;1)\), \((3;2;1;4)\), \((2;1;3;4)\) und \((1;2;3;4)\). b) \(P(\text{mindestens einer richtig})=\frac{5}{8}=0{,}625\) c) Drei richtige Zuordnungen erzwingen auch die vierte richtige Zuordnung. d) \(h=0{,}75\); absolute Abweichung: \(0{,}125\) bzw. \(12{,}5\) Prozentpunkte. Ohne zusätzliches Beurteilungskriterium folgt daraus kein eindeutiges Modellurteil.

- Überlege dir, wie viele Personen insgesamt in der Gruppe sind. - Hilft es dir, die Informationen in einer Tabelle (Vierfeldertafel) zu ordnen? - Achte darauf, ob nach einer kombinierten Eigenschaft (z. B. „männlich UND MINT“) oder einer einfachen Eigenschaft gefragt ist. - Wie hängen die Gesamtzahl der Frauen und die Anzahl der Frauen in MINT-Fächern zusammen?

1. Berechnung der Anzahl der Nicht-MINT-Studierenden: \(24\,500 - 8330 = 16\,170\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{kein MINT}) = \frac{16170}{24500} = 0{,}66\). 2. Berechnung der Anzahl der männlichen MINT-Studierenden: Von den \(8330\) MINT-Studierenden sind \(2499\) weiblich, also sind \(8330 - 2499 = 5831\) männlich. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{männlich} \cap \text{MINT}) = \frac{5831}{24500} \approx 0{,}238\). 3. Berechnung der Anzahl der weiblichen Nicht-MINT-Studierenden: Von insgesamt \(12\,740\) Frauen studieren \(2499\) ein MINT-Fach. Somit studieren \(12\,740 - 2499 = 10\,241\) Frauen kein MINT-Fach. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\text{weiblich} \cap \text{kein MINT}) = \frac{10241}{24500} \approx 0{,}418\).

1. \(P = 0{,}66\) (oder \(\frac{16170}{24500}\)) 2. \(P \approx 0{,}238\) (oder \(\frac{5831}{24500}\)) 3. \(P \approx 0{,}418\) (oder \(\frac{10241}{24500}\))

- Bestimme zunächst die absolute Zahl der Auslandspakete. - Übersetze den gegebenen Prozentsatz in eine absolute Zahl beschädigter Pakete. - Ordne die Pakete gedanklich in die vier Gruppen Inland/Ausland und beschädigt/unbeschädigt ein. - Beziehe jede gesuchte Wahrscheinlichkeit auf die Gesamtzahl von \(15\,000\) Paketen.

1. Die Zahl der Auslandspakete ist \(15\,000-10\,800=4200\). Daher ist \(P(\text{Ausland})=\frac{4200}{15000}=0{,}28\). 2. Insgesamt sind \(0{,}05\cdot15\,000=750\) Pakete beschädigt. Davon entfallen \(750-126=624\) auf den Inlandsversand. Somit ist \(P(\text{Inland}\cap\text{beschädigt})=\frac{624}{15000}=0{,}0416\). 3. Unbeschädigte Inlandspakete: \(10\,800-624=10\,176\). Daher ist \(P(\text{Inland}\cap\text{unbeschädigt})=\frac{10176}{15000}=0{,}6784\).

1. \(P=0{,}28\) 2. \(P=0{,}0416\) 3. \(P=0{,}6784\)

- Betrachte das Gegenereignis, dass alle Personen unterschiedliche Geburtsmonate haben. - Prüfe für b) nacheinander die kleinsten Gruppengrößen um die Schwelle von \(50\,\%\). - Wann ist ein Spiel mit gleich hohen Gewinnen und Verlusten fair?

1. Für vier Personen ist das Gegenereignis, dass alle Geburtsmonate verschieden sind. Es gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{12^4}=\frac{55}{96}\). Daher ist \(P(\text{mindestens eine Übereinstimmung})=\frac{41}{96}\). 2. Für \(n=4\) ist \(\frac{41}{96}<\frac12\). Für \(n=5\) gilt \(P(\text{alle verschieden})=\frac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8}{12^5}=\frac{55}{144}\), also \(P(\text{mindestens eine Übereinstimmung})=\frac{89}{144}>\frac12\). Damit ist \(n=5\) minimal. 3. Bei fünf Personen beträgt dein Erwartungswert \(E=5\cdot\frac{55}{144}-5\cdot\frac{89}{144}=-\frac{85}{72}\,\text{€}\). Das Spiel ist für dich nicht fair.

a) \(\frac{41}{96}\) b) \(n=5\) c) Das Spiel ist unfair; dein Erwartungswert beträgt \(-\frac{85}{72}\,\text{€}\) pro Spiel.

- Vergleiche in a) den beobachteten Anteil mit der Wahrscheinlichkeit einer einzelnen Seite eines idealen Würfels. - Trenne in b) die Größe der Abweichung von der Frage, nach welchem Kriterium sie beurteilt werden soll. - Welches Gegenereignis vereinfacht in c) „mindestens einmal“?

1. Die relative Häufigkeit ist \(h(6)=\frac{246}{1200}=\frac{41}{200}\). Unter der Laplace-Annahme gilt \(P(6)=\frac16\); die beobachtete relative Häufigkeit ist größer. 2. Die absolute Abweichung beträgt \(\left|\frac{41}{200}-\frac16\right|=\frac{23}{600}\). Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt langfristige Stabilisierung, legt für eine einzelne endliche Versuchsreihe aber keine Entscheidungsgrenze fest. Ohne zusätzliches Kriterium folgt daraus deshalb kein eindeutiges Urteil über die Fairness. 3. Für \(p=\frac{41}{200}\) und unabhängige Würfe gilt exakt \(P(\text{mindestens eine 6})=1-\left(\frac{159}{200}\right)^3\).

a) \(h(6)=\frac{41}{200}\); Laplace-Modell: \(P(6)=\frac16\) b) Absolute Abweichung: \(\frac{23}{600}\); ohne zusätzliches Beurteilungskriterium folgt daraus kein eindeutiges Urteil über die Fairness. c) \(1-\left(\frac{159}{200}\right)^3\)

- Prüfe bei der Summenidee zuerst, welche Werte überhaupt erreichbar sind. - Für eine exakte Simulation müssen alle 12 Zielwerte dieselbe Wahrscheinlichkeit besitzen. - Suche nach unabhängigen Stufen, deren Anzahlen möglicher gleichwahrscheinlicher Ergebnisse sich zu \(12\) multiplizieren. - Ein sechsseitiger Würfel kann durch Zusammenfassen gleich großer Gruppen auch zwei oder drei gleichwahrscheinliche Ergebnisse liefern.

1. Die Summe eines Tetraeders mit Werten \(1\) bis \(4\) und eines Standardwürfels mit Werten \(1\) bis \(6\) ist nicht geeignet. Die kleinste Summe ist \(2\), die größte \(10\); es entstehen also nur 9 verschiedene Summen. Außerdem sind diese Summen nicht gleichwahrscheinlich, da unterschiedlich viele der \(4\cdot6=24\) gleichwahrscheinlichen geordneten Paare zu ihnen führen. 2. Möglichkeit A: Man wirft unabhängig eine Münze und einen Standardwürfel. Bei Kopf übernimmt man die Augenzahl \(1\) bis \(6\); bei Zahl addiert man \(6\). Jedes Ergebnis \(1\) bis \(12\) hat damit die Wahrscheinlichkeit \(\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\). Möglichkeit B: Man wirft unabhängig einen Tetraeder und einen Standardwürfel. Den Standardwürfel fasst man zu drei gleichwahrscheinlichen Klassen zusammen: \(\{1,2\}\mapsto1\), \(\{3,4\}\mapsto2\), \(\{5,6\}\mapsto3\). Mit \(3(T-1)+H\), wobei \(T\in\{1,2,3,4\}\) und \(H\in\{1,2,3\}\), entstehen 12 gleichwahrscheinliche Werte von 1 bis 12.

1. Nein. Es entstehen nur die Summen \(2\) bis \(10\), und diese sind nicht gleichwahrscheinlich. 2. Zum Beispiel: unabhängige Münze plus Standardwürfel für zwei Blöcke zu je sechs Zahlen; oder unabhängiger Tetraeder plus ein zu drei gleichwahrscheinlichen Klassen zusammengefasster Standardwürfel.

- Für Teil 1 ist eine Auswahl ohne Reihenfolge zu zählen. - Überlege, wie Münze und Würfel gemeinsam 12 gleichwahrscheinliche Ergebnisse erzeugen können. - Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen darf innerhalb derselben simulierten Ziehung keine Zahl doppelt vorkommen. - Formuliere eine Regel dafür, was bei einer Wiederholung einer bereits erzeugten Zahl geschieht.

1. Da drei Zahlen aus zwölf ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden, gibt es \(\binom{12}{3}=220\) mögliche Gewinnkombinationen. 2. Für eine gleichverteilte Zahl von 1 bis 12 wirft man unabhängig eine Münze und einen Standardwürfel. Bei Kopf übernimmt man die Augenzahl \(1\) bis \(6\), bei Zahl addiert man \(6\). So hat jede Zahl von 1 bis 12 die Wahrscheinlichkeit \(\frac12\cdot\frac16=\frac1{12}\). Dieses Verfahren wird unabhängig wiederholt. Tritt eine Zahl auf, die in derselben simulierten Ziehung bereits erzeugt wurde, wird sie verworfen und erneut erzeugt. Man setzt fort, bis drei verschiedene Zahlen vorliegen. Durch dieses Zurückweisen wiederholter Werte wird eine Ziehung ohne Zurücklegen simuliert.

1. Es gibt \(\binom{12}{3}=220\) verschiedene Gewinnkombinationen. 2. Erzeuge mit unabhängiger Münze und unabhängigem Würfel gleichverteilte Zahlen von 1 bis 12 und wiederhole das Verfahren unabhängig, bis drei verschiedene Zahlen vorliegen; bereits erzeugte Zahlen werden bei Wiederholung verworfen.

- Liste alle Quadratzahlen und alle Vielfachen von 30 bis 200 auf, um zu prüfen, ob es Überschneidungen gibt. - Erinnere dich daran, dass die relative Häufigkeit das Verhältnis von beobachteten Treffern zur Gesamtzahl der Versuche ist. - Der Erwartungswert gibt an, wie oft ein Ereignis bei einer bestimmten Anzahl an Versuchen rein rechnerisch eintreten sollte.

a) Es gibt \(\lfloor \sqrt{200} \rfloor = 14\) Quadratzahlen im Bereich (von \(1^2=1\) bis \(14^2=196\)). Die Vielfachen von 30 sind \(\{30, 60, 90, 120, 150, 180\}\), also 6 Zahlen. Da keine der genannten Quadratzahlen ein Vielfaches von 30 ist (die Schnittmenge ist leer), sind die Ereignisse disjunkt. Es gilt \(P(A) = \frac{14 + 6}{200} = \frac{20}{200} = 0{,}1\). b) Die relative Häufigkeit ist \(h(A) = \frac{42}{500} = 0{,}084\). Der theoretische Erwartungswert bei 500 Versuchen beträgt \(E = 500 \cdot 0{,}1 = 50\). Die absolute Differenz zwischen der beobachteten Anzahl und dem Erwartungswert beträgt \(|50 - 42| = 8\). Die Abweichung der relativen Häufigkeit von der Wahrscheinlichkeit beträgt \(|0{,}1 - 0{,}084| = 0{,}016\).

a) \(P(A) = 0{,}1\) (oder \(10\,\%\)). b) Relative Häufigkeit \(h(A) = 0{,}084\); die absolute Differenz zum Erwartungswert (\(50\)) beträgt \(8\).

- Handelt es sich hier um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine dreiköpfige Gruppe aus 20 Personen zu bilden? - Überlege für den ersten Teil, wie viele Möglichkeiten es gibt, die 3 Personen nur aus dem Pool der 10 Frauen zu wählen. - Für den zweiten Teil hilft das Zählprinzip: Wie viele Kombinationen entstehen, wenn du jeweils eine Person aus den drei disjunkten Mengen kombinierst?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Kombinationen bei der Auswahl von \(3\) aus \(20\) Personen: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = 1140\). Anzahl der Möglichkeiten, \(3\) Frauen aus \(10\) auszuwählen: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{nur Frauen}) = \frac{120}{1140} = \frac{2}{19} \approx 0{,}1053\). 2. Anzahl der Möglichkeiten, genau eine Person aus jeder Gruppe zu wählen: \(10 \cdot 7 \cdot 3 = 210\). Wahrscheinlichkeit \(P(\text{eine pro Gruppe}) = \frac{210}{1140} = \frac{7}{38} \approx 0{,}1842\).

1. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{19} \approx 10{,}5\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{7}{38} \approx 18{,}4\,\%\).

- Wie viele Ziehungen enthalten genau drei der sechs getippten Zahlen und drei andere Zahlen? - Vergleiche die simulierte relative Häufigkeit direkt mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit. - Das Gesetz der großen Zahlen ist eine langfristige Aussage, keine Garantie für einen einzelnen Simulationslauf.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{49}{6}=13\,983\,816\) Ziehungen. Für genau drei Richtige sind \(\binom{6}{3}\binom{43}{3}=246\,820\) Ziehungen günstig. Daher gilt \(P=\frac{246820}{13983816}\approx1{,}7650\,\%\). 2. Die relative Häufigkeit ist \(h=\frac{17612}{1000000}=1{,}7612\,\%\). Die absolute Differenz beträgt etwa \(0{,}00384\) Prozentpunkte. 3. Die beobachtete relative Häufigkeit liegt nahe am theoretischen Wert und ist damit mit der langfristigen Stabilisierung aus dem Gesetz der großen Zahlen vereinbar. Eine einzelne Simulation bestätigt das Gesetz jedoch nicht.

1. \(1{,}7650\,\%\) 2. Relative Häufigkeit: \(1{,}7612\,\%\); absolute Differenz: \(0{,}00384\) Prozentpunkte 3. Die Simulation ist mit der langfristigen Stabilisierung relativer Häufigkeiten vereinbar, bestätigt sie aber nicht durch einen einzelnen Lauf.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Zahlen eines Tripels (z. B. 1, 2 und 6) auf drei Würfel zu verteilen. - Macht es einen Unterschied für die Anzahl der Anordnungen, ob alle Zahlen im Tripel verschieden sind oder ob Zahlen doppelt vorkommen? - Ein Laplace-Experiment setzt voraus, dass alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Welche Ergebnisse beim Würfeln mit drei Würfeln sind das?

1. Auflistung der Zerlegungen (ungeordnete Zahlentripel): Für die Summe 9: \((1;2;6)\), \((1;3;5)\), \((1;4;4)\), \((2;2;5)\), \((2;3;4)\), \((3;3;3)\). Es gibt 6 Zerlegungen. Für die Summe 10: \((1;3;6)\), \((1;4;5)\), \((2;2;6)\), \((2;3;5)\), \((2;4;4)\), \((3;3;4)\). Es gibt 6 Zerlegungen. 2. Berechnung der Permutationen und Wahrscheinlichkeiten: Die Gesamtzahl der Ergebnisse im Laplace-Raum beträgt \(6^3 = 216\). Für Summe 9: - Tripel mit 3 verschiedenen Zahlen (\((1;2;6), (1;3;5), (2;3;4)\)): jeweils \(3! = 6\) Anordnungen. - Tripel mit 2 gleichen Zahlen (\((1;4;4), (2;2;5)\)): jeweils \(\frac{3!}{2!} = 3\) Anordnungen. - Tripel mit 3 gleichen Zahlen (\((3;3;3)\)): \(1\) Anordnung. Günstige Ergebnisse: \(3 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 1 = 18 + 6 + 1 = 25\). Somit \(P(X = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157\). Für Summe 10: - Tripel mit 3 verschiedenen Zahlen (\((1;3;6), (1;4;5), (2;3;5)\)): jeweils \(6\) Anordnungen. - Tripel mit 2 gleichen Zahlen (\((2;2;6), (2;4;4), (3;3;4)\)): jeweils \(3\) Anordnungen. Günstige Ergebnisse: \(3 \cdot 6 + 3 \cdot 3 = 18 + 9 = 27\). Somit \(P(X = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\). 3. Der Denkfehler liegt darin, dass die ungeordneten Zerlegungen im Laplace-Modell nicht gleichwahrscheinlich sind. Da die Würfel als unterscheidbar betrachtet werden müssen, besitzen Zahlentripel aus verschiedenen Zahlen mehr Realisierungsmöglichkeiten (Permutationen) als solche mit gleichen Augenzahlen.

1. Beide Summen besitzen jeweils 6 ungeordnete Zerlegungen. 2. \(P(X = 9) = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157\) und \(P(X = 10) = \frac{27}{216} = 0{,}125\). 3. Die Zerlegungen sind nicht gleichwahrscheinlich, da sie je nach Zusammensetzung (verschiedene Zahlen vs. gleiche Zahlen) unterschiedlich viele Permutationen im Laplace-Raum repräsentieren.

- Zähle zuerst, wie oft jedes einzelne Zeichen vorkommt. - Bei \(n\) Zeichen entstehen \(n-1\) benachbarte Paare. - Welche Paarwahrscheinlichkeit folgt aus Unabhängigkeit und den Einzelwahrscheinlichkeiten \(0{,}5\)? - Vergleiche die vier beobachteten Paarzahlen mit demselben Erwartungswert.

1. In der Folge treten \(9\)-mal \(A\) und \(11\)-mal \(B\) auf. Daher gilt \(h(A)=\frac{9}{20}\) und \(h(B)=\frac{11}{20}\). 2. Bei 20 Zeichen gibt es 19 benachbarte Paare. Die Auszählung ergibt \(H(AA)=2\), \(H(AB)=7\), \(H(BA)=6\) und \(H(BB)=4\). Die relativen Häufigkeiten sind entsprechend \(\frac{2}{19}\), \(\frac{7}{19}\), \(\frac{6}{19}\) und \(\frac{4}{19}\). 3. Jedes Paar hat im Modell die Wahrscheinlichkeit \(0{,}25\). Die erwartete absolute Häufigkeit je Paar beträgt daher \(19\cdot0{,}25=4{,}75\). In der vorliegenden Folge liegen \(AB\) und \(BA\) über, \(AA\) und \(BB\) unter diesem Erwartungswert.

1. \(h(A)=\frac{9}{20}\), \(h(B)=\frac{11}{20}\) 2. \(H(AA)=2\), \(H(AB)=7\), \(H(BA)=6\), \(H(BB)=4\); relative Häufigkeiten: \(\frac{2}{19}\), \(\frac{7}{19}\), \(\frac{6}{19}\), \(\frac{4}{19}\) 3. Erwartete absolute Häufigkeit je Paar: \(4{,}75\); \(AB\) und \(BA\) liegen darüber, \(AA\) und \(BB\) darunter.

- Betrachte für die Paarhäufigkeiten jeweils zwei benachbarte Würfe und achte darauf, wie viele Startpositionen möglich sind. - Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Zweierpaares bei zwei unabhängigen fairen Münzwürfen? - Welche vollständig abwechselnden Folgen der geforderten Länge sind überhaupt möglich? - Unterscheide zwischen einem Erwartungswert für eine Zählgröße und der Wahrscheinlichkeit eines konkret beobachteten Musters.

1. In der Folge treten \(12\)-mal \(K\) und \(12\)-mal \(Z\) auf. Daher gilt \(h(K)=\frac{12}{24}=0{,}5\) und \(h(Z)=\frac{12}{24}=0{,}5\). 2. Bei \(24\) Zeichen gibt es \(23\) benachbarte Paare. Es gilt \(H(KZ)=12\), \(H(ZK)=11\), \(H(KK)=0\) und \(H(ZZ)=0\). 3. Für jeden Startplatz eines Paares gilt bei unabhängigen fairen Würfen \(P(KK)=P(ZZ)=0{,}25\). Daher beträgt der Erwartungswert für die Anzahl der Paare \(KK\) ebenso wie für \(ZZ\) jeweils \(23\cdot0{,}25=5{,}75\). Eine vollständig abwechselnde Folge kann nur mit \(K\) oder mit \(Z\) beginnen; von den \(2^{24}\) gleich wahrscheinlichen Folgen sind daher genau \(2\) vollständig abwechselnd. Somit gilt \(P(\text{vollständig abwechselnd})=\frac{2}{2^{24}}=\frac{1}{2^{23}}\approx0{,}0000001192\). Die notierte Folge ist unter dem Modell unabhängiger fairer Münzwürfe also möglich, aber äußerst selten; diese Aussage folgt hier aus der direkt berechneten Wahrscheinlichkeit des beobachteten Strukturmerkmals und nicht allein aus dem Erwartungswert der Paarzahlen.

1. \(h(K)=0{,}5\); \(h(Z)=0{,}5\) 2. \(H(KZ)=12\); \(H(ZK)=11\); \(H(KK)=0\); \(H(ZZ)=0\) 3. Für \(KK\) und \(ZZ\) beträgt der Erwartungswert jeweils \(5{,}75\). Die Wahrscheinlichkeit einer vollständig abwechselnden Folge der Länge \(24\) ist \(\frac{1}{2^{23}}\approx0{,}0000001192\). Die Folge ist damit unter dem Modell möglich, aber äußerst selten.

- Überlege dir zuerst, ob es sich um ein Ziehen mit oder ohne Zurücklegen handelt. - Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es insgesamt, eine Gruppe dieser Größe zusammenzustellen? - Wie viele dieser Möglichkeiten erfüllen die Bedingung, dass nur Personen einer bestimmten Teilgruppe gewählt werden? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Kurs kennst, wie kannst du diese auf eine große Anzahl von Kursen hochrechnen?

1. Berechnung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(30\) auszuwählen, mit dem Binomialkoeffizienten: \(\binom{30}{4} = 27\,405\). 2. Berechnung der günstigen Möglichkeiten (Auswahl von \(4\) Schülern aus den \(12\) vorhandenen): \(\binom{12}{4} = 495\). 3. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(p\) durch Division der günstigen durch die möglichen Fälle: \(p = \frac{495}{27405} \approx 0{,}0181\) (bzw. \(1{,}81\,\%\)). 4. Berechnung des Erwartungswerts für \(n = 500\) Durchführungen: \(E = n \cdot p = 500 \cdot \frac{495}{27405} \approx 9{,}03\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(1{,}81\,\%\) (exakt \(\frac{11}{609}\)). b) Es ist zu erwarten, dass dies in etwa \(9\) Kursen der Fall ist.

- Wie viele 6er-Auswahlen gibt es insgesamt? - Wie viele günstige 6er-Auswahlen liegen vollständig unter den ersten \(15\) Zahlen? - Für b) wird die Einzelwahrscheinlichkeit mit der Zahl der Ziehungen multipliziert.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{45}{6}\) mögliche Ziehungen. Günstig sind \(\binom{15}{6}\) Ziehungen. 2. Daher gilt \(P(A)=\frac{\binom{15}{6}}{\binom{45}{6}}=\frac{13}{21156}\). 3. Für \(5000\) Ziehungen beträgt die erwartete Anzahl \(5000\cdot\frac{13}{21156}=\frac{16250}{5289}\). Das sind etwas mehr als drei Ereignisse im langjährigen Durchschnitt.

a) \(\frac{13}{21156}\) b) Erwartete Anzahl: \(\frac{16250}{5289}\), also etwas mehr als \(3\)

- Wie viele feste Positionspaare gibt es, die die Bedingung des Abstands erfüllen? - Vergiss nicht, dass die Personen innerhalb ihrer zugewiesenen Plätze die Plätze tauschen können. - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei bestimmte Personen auf drei verfügbare Plätze zu verteilen. - Kannst du den Bruch am Ende durch Kürzen von Fakultäten vereinfachen?

1. Anzahl der Aufstellungen mit genau einer Person zwischen Anna und Bernd: Es gibt 8 mögliche Positionspaare für Anna und Bernd (1 und 3, 2 und 4, ..., 8 und 10). Für jedes Paar gibt es \(2!\) Anordnungen (Anna links oder Bernd links). Die restlichen 8 Personen können auf \(8!\) Arten angeordnet werden. Gesamtzahl: \(8 \cdot 2 \cdot 8! = 16 \cdot 40\,320 = 645\,120\). 2. Wahrscheinlichkeit für die Positionierung am Rand: Gesamtzahl der Aufstellungen ist \(10!\). 3. Günstige Fälle für „beide unter den ersten drei“: Es gibt \(\binom{3}{2} = 3\) Paare von Positionen. Auf jedem Paar können Anna und Bernd auf \(2!\) Arten stehen. Die restlichen 8 Personen verteilen sich auf \(8!\) Arten. Das ergibt \(3 \cdot 2 \cdot 8! = 6 \cdot 8!\) Möglichkeiten. 4. Da die Ereignisse „beide vorne“ und „beide hinten“ disjunkt sind, verdoppelt sich die Anzahl der günstigen Fälle: \(12 \cdot 8!\). 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit: \(P = \frac{12 \cdot 8!}{10!} = \frac{12}{10 \cdot 9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 0{,}1333\).

a) Es gibt \(645\,120\) mögliche Aufstellungen. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{2}{15} \approx 13{,}3\,\%\).

- Wie viele gleich wahrscheinliche Folgen gibt es bei vier unabhängigen Aufrufen? - Für „alle verschieden“ wird die Auswahlmöglichkeit bei jedem weiteren Aufruf kleiner. - Für „alle vier gleich“ kannst du günstige und mögliche Folgen direkt zählen.

1. Für \(n=6\) gibt es \(6^4\) gleich wahrscheinliche Folgen. Für vier verschiedene Zahlen gibt es \(6\cdot5\cdot4\cdot3\) Folgen. Daher ist \(P=\frac{360}{1296}=\frac{5}{18}\approx0{,}2778\). 2. Allgemein ist \(P(\text{alle verschieden})=1\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n}=\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{n^3}\). 3. „Mindestens zwei gleich“ ist das Gegenereignis, also ergibt sich der angegebene Term. 4. Für vier gleiche Zahlen gibt es \(n\) günstige Folgen unter \(n^4\) Folgen. Daher ist \(P=\frac{1}{n^3}\). 5. Aus \(\frac{1}{n^3}=0{,}008\) folgt \(n^3=125\), also \(n=5\).

a) \(\frac{5}{18}\approx0{,}2778\) b) Nachweis über das Gegenereignis „alle vier verschieden“. c) \(n=5\)

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es für die erste, zweite und dritte Karte gibt, wenn sie unterschiedlich sein sollen. - Nutze das Gegenereignis, um die Formel in Aufgabenteil b) herzuleiten. - Stelle für Teil c) eine Ungleichung auf und löse diese nach \(n\) auf. - Denk daran, dass \(n\) eine natürliche Zahl sein muss.

1. Berechnung für \(n = 10\): Die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten ergibt sich aus \(\frac{10}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{720}{1000} = 0{,}72\). 2. Für \(n \ge 3\) ist die Wahrscheinlichkeit für drei verschiedene Karten \(P(\text{verschieden}) = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)}{n^3} = \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2}\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Karten ist \(1 - \frac{n^2 - 3n + 2}{n^2} = \frac{3n - 2}{n^2}\). 3. Ansatz: \(\frac{(n-1)(n-2)}{n^2} > 0{,}98\). Dies führt auf \(n^2 - 3n + 2 > 0{,}98n^2\), also \(0{,}02n^2 - 3n + 2 > 0\). Die zugehörige quadratische Gleichung hat näherungsweise die Lösungen \(n \approx 0{,}67\) und \(n \approx 149{,}33\). Für natürliche Zahlen mit \(n \ge 3\) ist die Ungleichung daher ab \(n = 150\) erfüllt.

a) \(P = 0{,}72\) b) \(1 - \frac{n(n-1)(n-2)}{n^3} = \frac{3n-2}{n^2}\) für \(n \ge 3\) c) \(n \ge 150\)

- Bestimme zuerst die Anzahl der gleichwahrscheinlichen geordneten Paare. - Organisiere die günstigen Paare für jede Teilaufgabe systematisch, statt nur einzelne Beispiele zu suchen. - Bei Produktbedingungen kann eine Zerlegung der Zahlen nach ihren Primfaktoren helfen. - Für Summenbedingungen kann eine Tabelle der möglichen Summen hilfreich sein.

1. Wegen Idealität und Unabhängigkeit sind die \(12\cdot12=144\) geordneten Paare gleichwahrscheinlich. Für die Summe \(15\) gibt es 10 günstige Paare. Daher ist \(P=\frac{10}{144}=\frac{5}{72}\approx0{,}0694\). 2. Für ein quadratisches Produkt gibt es 22 günstige geordnete Paare. Daher ist \(P=\frac{22}{144}=\frac{11}{72}\approx0{,}1528\). 3. Eine Differenz von mindestens \(10\) liefern die sechs Paare \((1,11),(1,12),(2,12),(11,1),(12,1),(12,2)\). Somit ist \(P=\frac{6}{144}=\frac{1}{24}\approx0{,}0417\). 4. Als Primzahlsummen kommen \(2,3,5,7,11,13,17,19,23\) vor. Die zugehörigen Anzahlen geordneter Paare sind \(1,2,4,6,10,12,8,6,2\), insgesamt also 51. Daher ist \(P=\frac{51}{144}=\frac{17}{48}\approx0{,}3542\).

1. \(P=\frac{5}{72}\approx0{,}0694\) 2. \(P=\frac{11}{72}\approx0{,}1528\) 3. \(P=\frac{1}{24}\approx0{,}0417\) 4. \(P=\frac{17}{48}\approx0{,}3542\)