Beim Freiwurftraining wirft Jule \(45\)-mal. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Wurf \(75\,\%\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Treffer. Erläutere, welche zusätzliche Bedingung an die Würfe erfüllt sein muss, damit \(X\) binomialverteilt modelliert werden kann.

Ein herkömmlicher Spielwürfel wird einmal geworfen. Gib für die folgenden drei Fälle an, ob es sich um einen Bernoulli-Versuch handelt: a) Als Ergebnisse werden alle möglichen Augenzahlen von \(1\) bis \(6\) unterschieden. b) Man unterscheidet nur, ob die gewürfelte Zahl eine Primzahl (\(2, 3, 5\)) ist oder keine Primzahl (\(1, 4, 6\)). c) Es wird lediglich betrachtet, ob die Augenzahl größer als \(4\) ist oder nicht.

Das Baumdiagramm zeigt drei aufeinanderfolgende Versuche. Als Treffer gilt der Ausgang T. Entscheide, ob die drei Versuche eine Bernoulli-Kette bilden. Gib gegebenenfalls \(n\) und \(p\) an.

In einer Urne liegen \(8\) rote und \(2\) blaue Kugeln. Es werden drei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. Als Treffer gilt „rote Kugel“. Entscheide, ob die drei Ziehungen eine Bernoulli-Kette bilden.

Das Baumdiagramm zeigt zwei aufeinanderfolgende Versuche. In jedem Versuch bedeutet \(E\) „Erfolg“ und \(N\) „kein Erfolg“. Entscheide, ob die beiden Versuche eine Bernoulli-Kette bilden. Begründe deine Entscheidung mit den im Diagramm angegebenen Zweigwahrscheinlichkeiten.

Leila trifft bei Freiwürfen erfahrungsgemäß in \(80\,\%\) der Fälle den Korb. Sie führt eine Serie von \(12\) Würfen durch. Erläutere unter Angabe der notwendigen Modellannahmen, warum man die Serie als Bernoulli-Kette der Länge \(n=12\) modellieren kann.

Untersuche, ob die folgenden Zufallsexperimente als Bernoulli-Ketten modelliert werden können. Falls ja, gib an, was als Treffer definiert werden kann, und bestimme die Länge \(n\) der Kette sowie die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\). Falls nein, begründe deine Entscheidung kurz. a) Ein fairer sechsseitiger Würfel wird \(12\)-mal geworfen. Es wird gezählt, wie oft eine Primzahl fällt. b) In einer Schachtel liegen \(10\) rote und \(10\) schwarze Stifte. Es werden nacheinander \(4\) Stifte ohne Zurücklegen entnommen. c) Nora wirft so lange einen Basketball auf den Korb, bis sie \(3\) Treffer erzielt hat. d) Ein Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren in den Farben Blau, Gelb und Rot wird \(20\)-mal gedreht. Es wird gezählt, wie oft Gelb erscheint.

Untersuche, ob die folgenden Zufallsexperimente als Bernoulli-Ketten modelliert werden können. Begründe deine Entscheidung kurz und gib im Falle einer Bernoulli-Kette die Länge \(n\) sowie die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) an. a) In einem Behälter befinden sich \(40\) Schrauben, von denen \(4\) fehlerhaft sind. Es werden nacheinander \(5\) Schrauben ohne Zurücklegen entnommen und auf Defekte geprüft. b) Ein elektronisches Bauteil wird in einer Fabrik mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von \(0{,}5\,\%\) produziert. Aus der laufenden Produktion werden \(100\) Bauteile getestet; die Fehlerzustände werden als voneinander unabhängig angenommen. c) Ein fairer sechsseitiger Würfel wird \(8\)-mal geworfen. Ein Treffer ist das Werfen einer geraden Augenzahl.

Beurteile, ob eine Modellierung als Bernoulli-Kette für die folgenden Situationen fachlich angemessen ist. Gib bei Vorliegen einer Bernoulli-Kette die Parameter \(n\) und \(p\) an. a) Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(10\) Fragen mit jeweils \(4\) Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Jana kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. b) Aus einer Schulklasse mit \(12\) Mädchen und \(13\) Jungen wird eine Abordnung von \(3\) Personen per Losverfahren zusammengestellt. Jede Person kann nur einmal gewählt werden. Als Treffer gilt: Es wird ein Mädchen ausgewählt. c) Ein Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren in den Farben Rot, Gelb und Blau wird \(15\)-mal gedreht. Als Treffer gilt die Farbe „Gelb“.

Untersuche, ob die Zufallsgröße \(X\) in den folgenden Szenarien binomialverteilt ist beziehungsweise durch eine Binomialverteilung näherungsweise modelliert werden kann. Begründe deine Entscheidung und nenne gegebenenfalls notwendige Modellannahmen. a) In einer Schale liegen \(5\) rote und \(15\) blaue Bonbons. Ein Kind entnimmt mit einem Griff \(4\) Bonbons. \(X\) gibt die Anzahl der roten Bonbons an. b) Ein Glücksrad mit drei gleich großen Sektoren Rot, Grün und Blau wird \(10\)-mal unabhängig gedreht. \(X\) beschreibt die Anzahl der Landungen auf Rot. c) In einer Modellpopulation von \(500\,000\) Haushalten besitzen genau \(12\,\%\) ein Elektroauto. Es werden \(50\) Haushalte durch eine einfache Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen ausgewählt. \(X\) ist die Anzahl der ausgewählten Haushalte mit Elektroauto.

Untersuche, ob die folgenden Zufallsexperimente als Bernoulli-Kette modelliert werden können. Gib gegebenenfalls die Kettenlänge \(n\) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) an. a) Kenji schießt \(12\)-mal auf eine Zielscheibe. Die Wahrscheinlichkeit, die goldene Mitte zu treffen, beträgt bei jedem Schuss konstant \(0{,}8\). Die Schüsse werden als unabhängig voneinander modelliert. Es wird jeweils notiert, ob die Mitte getroffen wurde. b) Aus einem gut gemischten Kartenspiel mit \(32\) Karten werden nacheinander \(5\) Karten ohne Zurücklegen gezogen. Es wird jeweils notiert, ob es sich um ein Ass handelt.

Entscheide, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt. Nenne in diesem Fall die Parameter \(n\) und \(p\). a) Ein fairer sechsseitiger Würfel wird 20-mal geworfen. Es wird bei jedem Wurf notiert, ob die oben liegende Augenzahl eine Primzahl ist. b) Ein Glücksrad mit zehn gleich großen Sektoren, die mit den Zahlen 1 bis 10 beschriftet sind, wird 15-mal gedreht. Es wird jedes Mal notiert, welche Zahl das Rad anzeigt.

Prüfe, ob die folgenden Zufallsexperimente mithilfe einer Bernoulli-Kette beschrieben werden können. Begründe deine Entscheidung kurz und gib im Falle einer Eignung die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\), die Kettenlänge \(n\) und die Zufallsgröße \(X\) an. a) In einem Behälter befinden sich \(40\) Kugeln, von denen \(8\) rot sind. Es werden nacheinander \(5\) Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Es wird jeweils notiert, ob die Kugel rot ist. b) Daria hat beim Freiwurf eine Trefferquote von \(75\,\%\). Sie führt \(10\) Würfe nacheinander aus. Betrachtet wird die Anzahl der Treffer. c) Aus einer Schachtel mit \(20\) Batterien, von denen \(2\) defekt sind, werden nacheinander \(2\) Batterien ohne Zurücklegen entnommen und geprüft.

Ein faires Glücksrad besitzt \(8\) gleich große Sektoren, die mit den Zahlen \(1\) bis \(8\) beschriftet sind. a) Beschreibe eine Möglichkeit, das einmalige Drehen als Bernoulli-Versuch zu interpretieren. Gib die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p_1\) und die Misserfolgswahrscheinlichkeit \(1-p_1\) an. b) Wähle eine andere Definition von „Erfolg“, die zu einer anderen Erfolgswahrscheinlichkeit \(p_2\) führt, und bestimme \(p_2\).

In einem großen Abfüllbetrieb für Mineralwasser werden Flaschen auf Risse im Glas geprüft. Für eine zufällig ausgewählte Flasche aus der laufenden Produktion wird die Defektwahrscheinlichkeit mit \(0{,}5\,\%\) modelliert. Es werden \(100\) nacheinander produzierte Flaschen geprüft. a) Erkläre, unter welchen Modellannahmen die \(100\) Prüfungen als Bernoulli-Kette beschrieben werden können. b) Gib in diesem Modell die Parameter \(n\) und \(p\) an, wenn „defekt“ als Treffer gilt. c) In einem anderen Versuch liegen genau \(120\) Flaschen in einem Kasten, von denen eine feste, aber unbekannte Zahl defekt ist. Daraus werden \(100\) Flaschen ohne Zurücklegen geprüft. Erkläre, warum dieses Experiment nicht als Bernoulli-Kette modelliert werden kann.

Untersuche die folgenden Terme zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Prüfe, ob es sich jeweils um eine Anwendung der Bernoulli-Formel handelt. Falls ja, gib die Parameter \(n\), \(p\) und \(k\) an und beschreibe ein passendes Zufallsexperiment sowie ein Ereignis in Worten. Bei einem passenden Bernoulli-Experiment müssen die Teilversuche unabhängig sein und dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit besitzen. a) \(P(X=3)=\binom{10}{3}\cdot0{,}15^3\cdot0{,}85^7\) b) \(P(X=4)=\binom{12}{4}\cdot0{,}2^4\cdot0{,}8^6\) c) \(P(X=8)=\binom{10}{8}\cdot0{,}2^2\cdot0{,}8^8\)

In einem Behälter befinden sich \(40\) Bauteile, von denen \(6\) defekt sind. Es werden nacheinander \(5\) Bauteile entnommen. Sei \(X\) die Anzahl der entnommenen defekten Bauteile. Untersuche, ob das Zufallsexperiment eine Bernoulli-Kette ist, wenn die Bauteile a) mit Zurücklegen, b) ohne Zurücklegen entnommen werden. Berechne für den Fall, in dem eine Bernoulli-Kette vorliegt, \(P(X=1)\).

Anika schießt im Biathlontraining auf eine Serie von \(5\) Scheiben. Ihre Trefferquote pro Schuss beträgt im Durchschnitt \(80\,\%\). a) Nenne die Modellannahmen, die erfüllt sein müssen, damit die Anzahl der Treffer durch eine Bernoulli-Kette mit \(n=5\) und \(p=0{,}8\) beschrieben werden kann. b) Erläutere, warum die Annahmen in einem realen Wettkampf problematisch sein könnten. c) Nach einem Fehlschuss sinkt Anikas Trefferwahrscheinlichkeit für den unmittelbar nächsten Schuss auf \(60\,\%\). Welche Bernoulli-Bedingungen sind damit verletzt?

Beurteile für die folgenden Situationen, ob eine Modellierung als Bernoulli-Experiment beziehungsweise Bernoulli-Kette angemessen ist. a) In einer Modellstadt mit \(500\,000\) Personen besitzen genau \(4\,\%\) ein Elektroauto. Aus der Bevölkerung werden \(100\) Personen durch eine einfache Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen ausgewählt. \(X\) zählt die ausgewählten Personen mit Elektroauto. b) Mateo schießt im Training \(12\)-mal auf eine Zielscheibe. Da er im Verlauf des Trainings zunehmend ermüdet, sinkt seine Konzentration. c) Ein Glücksrad ist in drei gleich große Sektoren mit den Farben Blau, Gelb und Rot unterteilt. Das Rad wird \(20\)-mal unabhängig gedreht. Es wird jeweils beobachtet, ob Gelb erscheint.

In einer Losbox gibt es Lose, die in „Hauptgewinn“, „Kleingewinn“ und „Niete“ unterteilt sind. a) Erkläre, warum das Ziehen eines Loses kein Bernoulli-Versuch ist, wenn man alle drei Losarten als mögliche Ergebnisse unterscheidet. b) Formuliere das Experiment so um, dass ein Bernoulli-Versuch entsteht. Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an. c) Tobias sagt: „Auch bei einem Experiment mit vielen möglichen Ergebnissen kann man für ein bestimmtes Ereignis \(A\) nur noch zwischen \(A\) und \(\bar{A}\) unterscheiden und so einen Bernoulli-Versuch betrachten.“ Beurteile diese Aussage.

Ein fairer achtseitiger Würfel mit den Zahlen \(1\) bis \(8\) wird fünfmal unabhängig nacheinander geworfen. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\), dass bei den fünf Würfen lauter verschiedene Zahlen auftreten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit \(P(B)\) für das Ereignis \(B\): „Mindestens eine Zahl tritt mehr als einmal auf.“ c) David behauptet: „Das Ereignis \(B\) lässt sich als Bernoulli-Kette mit \(n=5\) und der Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=\frac18\) beschreiben.“ Beurteile diese Aussage im Hinblick auf die Berechnung von \(P(B)\).

Für ein Modell zu Tulpenzwiebeln gelten folgende Wahrscheinlichkeiten: Eine Zwiebel keimt mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\). Falls sie keimt, blüht sie mit Wahrscheinlichkeit \(0{,}6\) rot, mit \(0{,}3\) gelb und mit \(0{,}1\) weiß. Eine Zwiebel wird zufällig ausgewählt. a) Begründe, warum die bloße Beobachtung der vier möglichen Zustände „keine Keimung“, „rot“, „gelb“ und „weiß“ kein Bernoulli-Versuch ist. b) Beschreibe zwei verschiedene Möglichkeiten, dieses Zufallsexperiment als Bernoulli-Versuch zu interpretieren. Berechne für beide Fälle die Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\).

Für ein Produktionsmodell von Mikrochips wird für jeden geprüften Chip die Defektwahrscheinlichkeit \(p=0{,}04\) angesetzt. Bei einer Stichprobe von \(10\) Chips werden die Defektzustände näherungsweise als stochastisch unabhängig und die Defektwahrscheinlichkeit als konstant modelliert. a) Begründe, warum unter diesen Modellannahmen eine Bernoulli-Kette vorliegt, und gib \(n\) und \(p\) an. b) Die Chips stammen tatsächlich aus einer endlichen Produktionscharge und werden ohne Zurücklegen entnommen. Erkläre, welcher Teil des Bernoulli-Modells dann nur eine Näherung ist. c) Vergleiche damit eine Kiste mit genau \(25\) Chips, von denen \(4\) defekt sind, aus der \(10\) Chips ohne Zurücklegen gezogen werden. Begründe, warum hier eine Bernoulli-Kette kein angemessenes exaktes Modell ist.

Für eine Qualitätsprüfung werden drei Bauteile unabhängig aus einer sehr großen Produktionsmenge entnommen und getestet. Das dargestellte Baumdiagramm zeigt das verwendete Modell mit den Ausgängen „defekt“ (\(D\)) und „einwandfrei“ (\(E\)). Sei \(X\) die Anzahl der defekten Bauteile. a) Begründe, warum es sich bei diesem Zufallsexperiment um eine Bernoulli-Kette handelt. Gib die Kettenlänge \(n\) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Merkmal „defekt“ an. b) Bestimme mithilfe des Baumdiagramms und der Pfadregeln \(P(X\le1)\).