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- Welche Merkmale müssen bei einer Bernoulli-Kette in jeder Stufe gleich bleiben? - Vergleiche die Zweigwahrscheinlichkeiten an den drei Stufen des Baums.

1. Jeder Versuch hat genau zwei relevante Ausgänge: T und N. 2. An jeder Stufe bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit für T gleich \(0{,}4\); die Darstellung zeigt dieselben Zweigwahrscheinlichkeiten in jeder Stufe. 3. Damit liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=3\) und \(p=0{,}4\) vor.

Ja. Es gilt \(n=3\) und \(p=0{,}4\).

- Welche Bedingung an die Trefferwahrscheinlichkeit muss bei einer Bernoulli-Kette in jedem Versuch erfüllt sein? - Prüfe, ob sich diese Wahrscheinlichkeit durch das Ziehen ohne Zurücklegen verändert.

1. Beim ersten Zug beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit \(\frac{8}{10}\). 2. Ohne Zurücklegen verändert der erste Zug die Urnenzusammensetzung. 3. Nach einer roten Kugel wäre die Trefferwahrscheinlichkeit im zweiten Zug \(\frac79\), nach einer blauen Kugel \(\frac89\). 4. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt also nicht konstant. Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

Nein, die Ziehungen bilden keine Bernoulli-Kette.

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse pro Wurf für die Fragestellung wichtig sind. - Was müsste man über die Treffsicherheit des Spielers über den gesamten Zeitraum annehmen? - Spielt es für den zweiten Wurf eine Rolle, ob der erste Wurf ein Treffer war? - Welche mathematischen Eigenschaften definieren eine Bernoulli-Kette?

1. Definition der Ergebnisse: Jeder Wurf wird als Einzelversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen betrachtet: „Treffer“ (Erfolg) und „kein Treffer“ (Misserfolg). 2. Konstanz der Wahrscheinlichkeit: Es wird vorausgesetzt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit für jeden der 12 Würfe konstant bei \(p = 0{,}8\) bleibt (keine Ermüdung oder Lerneffekte). 3. Unabhängigkeit der Versuche: Die einzelnen Würfe müssen voneinander unabhängig sein, das heißt, das Ergebnis eines Wurfs darf die Wahrscheinlichkeit für die nachfolgenden Würfe nicht beeinflussen. 4. Bestimmung der Kettenlänge: Da der Vorgang 12-mal unter denselben Bedingungen wiederholt wird, ergibt sich eine Bernoulli-Kette der Länge \(n = 12\).

Das Experiment kann als Bernoulli-Kette modelliert werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse (Treffer/Fehlwurf). 2. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt für alle 12 Würfe konstant bei \(p = 0{,}8\). 3. Die Würfe sind stochastisch unabhängig voneinander. Da diese Bedingungen hier als idealisiert gegeben vorausgesetzt werden können, liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) vor.

- Überlege dir, ob es bei jedem einzelnen Versuch genau zwei mögliche Ergebnisse (Treffer/Nichttreffer) gibt. - Prüfe, ob die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei jeder Wiederholung absolut gleich bleibt. - Ist die Anzahl der Versuche von vornherein fest vorgegeben oder ändert sie sich je nach Verlauf? - Spielt es eine Rolle, ob Objekte nach der Ziehung wieder zurückgelegt werden oder nicht?

1. Teilaufgabe a): Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. Treffer: „Primzahl“ (2, 3 oder 5). Da es 3 günstige von 6 möglichen Ergebnissen gibt, ist \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 12\). 2. Teilaufgabe b): Nein, es ist keine Bernoulli-Kette. Da die Stifte ohne Zurücklegen entnommen werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen roten Stift mit jedem Zug (Abhängigkeit der Versuche). 3. Teilaufgabe c): Nein, es ist keine Bernoulli-Kette. Bei einer Bernoulli-Kette muss die Anzahl der Versuche \(n\) im Vorhinein feststehen. Hier ist die Anzahl der Würfe variabel und hängt vom Erfolg ab. 4. Teilaufgabe d): Ja, es ist eine Bernoulli-Kette. Treffer: „Farbe Gelb“. Da die Sektoren gleich groß sind, ist \(p = \frac{1}{3}\). Die Länge der Kette beträgt \(n = 20\).

a) Ja; Treffer: Primzahl; \(n = 12\); \(p = 0{,}5\). b) Nein; Wahrscheinlichkeit ändert sich (ohne Zurücklegen). c) Nein; Versuchsanzahl \(n\) ist nicht fest vorgegeben. d) Ja; Treffer: Gelb; \(n = 20\); \(p = \frac{1}{3}\).

- Was sind die grundlegenden Bedingungen für eine Bernoulli-Kette hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit und der Unabhängigkeit? - Überlege dir, wie sich das Entnehmen ohne Zurücklegen auf die Wahrscheinlichkeit beim nächsten Versuch auswirkt. - Wann kann man bei einer sehr großen Anzahl von Objekten (wie in einer Fabrikproduktion) trotz Entnahme von einer konstanten Wahrscheinlichkeit ausgehen? - Sind die Ergebnisse eines Würfelwurfs von den vorherigen Würfen beeinflusst?

1. Fall a: Da die Schrauben ohne Zurücklegen aus einer relativ kleinen Menge entnommen werden, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit mit jedem Zug (z. B. von \(\frac{4}{40}\) auf \(\frac{4}{39}\) oder \(\frac{3}{39}\)). Die Versuche sind nicht unabhängig. Ergebnis: Keine Bernoulli-Kette. 2. Fall b: Bei einer laufenden Produktion ist die Grundgesamtheit so groß, dass die Entnahme die Wahrscheinlichkeit für einen Defekt nicht nennenswert beeinflusst. Die Versuche gelten als unabhängig mit konstantem \(p\). Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}005\). 3. Fall c: Jeder Wurf ist physikalisch unabhängig von den anderen. Die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl (\(2, 4, 6\)) ist bei jedem Wurf konstant \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}5\).

a) Keine Bernoulli-Kette (Wahrscheinlichkeit \(p\) ändert sich beim Ziehen ohne Zurücklegen). b) Bernoulli-Kette mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}005\). c) Bernoulli-Kette mit \(n = 8\) und \(p = 0{,}5\).

- Prüfe bei jeder Situation, ob es genau zwei relevante Ausgänge gibt. - Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei allen Wiederholungen gleich? - Können die einzelnen Versuche als unabhängig modelliert werden?

1. Fall a: Es gibt pro Frage zwei relevante Ausgänge (richtig/falsch), die Wahrscheinlichkeit ist bei reinem Raten konstant \(p=\frac{1}{4}=0{,}25\), und die Antworten werden als unabhängig modelliert. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}25\). 2. Fall b: Dies entspricht einem Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Gruppe. Für den Treffer „Mädchen“ ändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Auswahl. Ergebnis: keine Bernoulli-Kette. 3. Fall c: Die Drehungen sind unabhängig voneinander und die Wahrscheinlichkeit für Gelb bleibt mit \(p=\frac{1}{3}\) konstant. Ergebnis: Bernoulli-Kette mit \(n=15\) und \(p=\frac{1}{3}\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}25\). b) Keine Bernoulli-Kette, da ohne Zurücklegen gezogen wird und sich die Trefferwahrscheinlichkeit für „Mädchen“ ändert. c) Bernoulli-Kette mit \(n=15\) und \(p=\frac{1}{3}\).

- Prüfe in jedem Szenario, ob die Trefferwahrscheinlichkeit von Versuch zu Versuch konstant bleibt. - Unterscheide zwischen exakter Unabhängigkeit und einer Näherung bei sehr kleiner Stichprobe gegenüber der Grundgesamtheit. - Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung der verbleibenden Grundgesamtheit. - Bei einer Näherung ist das Verhältnis von Stichprobengröße zu Populationsgröße entscheidend.

1. In a) wird ohne Zurücklegen aus einer kleinen Grundgesamtheit gezogen. Die Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich nach jeder Entnahme, daher liegt keine Bernoulli-Kette vor. 2. In b) gibt es bezüglich des Ereignisses „Rot“ zwei relevante Ausgänge: Rot und Nicht-Rot. Die zehn Drehungen sind unabhängig und haben jeweils die konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac13\). Daher ist \(X\sim B(10;\frac13)\). 3. In c) ist die Auswahl ohne Zurücklegen streng genommen abhängig; exakt ist \(X\) daher nicht binomialverteilt. Der Stichprobenanteil beträgt jedoch nur \(\frac{50}{500000}=0{,}0001\). Dadurch ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit von Ziehung zu Ziehung nur äußerst gering. Deshalb kann die Binomialverteilung mit \(n=50\) und \(p=0{,}12\) hier als sehr genaue Näherung verwendet werden.

a) Nein; ohne Zurücklegen aus der kleinen Grundgesamtheit ist die Trefferwahrscheinlichkeit nicht konstant. b) Ja; Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=\frac13\). c) Exakt nein, da ohne Zurücklegen gezogen wird; wegen des sehr kleinen Stichprobenanteils ist \(B(50;0{,}12)\) jedoch eine sehr gute Näherung.

- Überlege dir, wie viele verschiedene Ergebnisse pro Einzelversuch für die Fragestellung relevant sind. - Bleibt die Chance auf einen Erfolg bei jeder Wiederholung genau gleich oder ändert sie sich? - Hat das Ergebnis eines Versuchs einen Einfluss auf die folgenden Versuche?

1. Teilaufgabe a: Es liegen zwei mögliche Ergebnisse vor (Treffer oder kein Treffer). Da die Trefferwahrscheinlichkeit mit \(p = 0{,}8\) als konstant angegeben ist und die Versuche als unabhängig voneinander betrachtet werden können, handelt es sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). 2. Teilaufgabe b: Da die Karten nicht zurückgelegt werden, ändert sich die Zusammensetzung des Decks nach jedem Zug. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen, nicht konstant (beim ersten Zug \(\frac{4}{32}\), beim zweiten Zug je nach Ergebnis \(\frac{3}{31}\) oder \(\frac{4}{31}\)). Es liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 12\) und \(p = 0{,}8\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (Wahrscheinlichkeit nicht konstant).

- Welche Bedingungen müssen für eine Bernoulli-Kette erfüllt sein? - Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg von Versuch zu Versuch ändert. - Spielt es eine Rolle, ob ein entnommenes Objekt wieder zurückgelegt wird oder nicht? - Gibt es äußere Einflüsse, die die Erfolgsaussichten beeinflussen könnten?

1. Teilaufgabe a): Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette. Da die Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden, bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{8}{40} = 0{,}2\) konstant und die Züge sind unabhängig. Die Länge ist \(n = 5\) und die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln. 2. Teilaufgabe b): Unter der (idealisierenden) Annahme, dass die Trefferwahrscheinlichkeit konstant bleibt und die Würfe unabhängig sind, kann dies als Bernoulli-Kette modelliert werden. Parameter: \(n = 10\), \(p = 0{,}75\). Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Anzahl der Treffer. 3. Teilaufgabe c): Dies ist keine Bernoulli-Kette. Da die Batterien ohne Zurücklegen entnommen werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Batterie beim zweiten Zug in Abhängigkeit vom Ergebnis des ersten Zuges.

a) Ja: \(n = 5\), \(p = 0{,}2\), \(X\): Anzahl roter Kugeln. b) Ja (unter Annahme der Unabhängigkeit): \(n = 10\), \(p = 0{,}75\), \(X\): Anzahl der Treffer. c) Nein, da Ziehen ohne Zurücklegen (Wahrscheinlichkeit nicht konstant).

- Wie viele verschiedene Ausgänge darf ein Experiment haben, damit man es einen Bernoulli-Versuch nennt? - Kann man mehrere Ergebnisse zu einer Gruppe (einem Ereignis) zusammenfassen, um die Bedingung zu erfüllen? - Schau dir an, wie viele Kategorien am Ende jeweils unterschieden werden.

1. Ein Bernoulli-Versuch ist dadurch definiert, dass es genau zwei mögliche Ergebnisse gibt, die oft als Erfolg und Misserfolg bezeichnet werden. 2. Zu a): Es liegen sechs verschiedene mögliche Ergebnisse vor (\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)). Da dies mehr als zwei sind, ist es kein Bernoulli-Versuch. 3. Zu b): Die Ergebnismenge wird in zwei komplementäre Gruppen unterteilt (Primzahl oder keine Primzahl). Da es nur diese zwei Möglichkeiten gibt, handelt es sich um einen Bernoulli-Versuch. 4. Zu c): Auch hier gibt es nur zwei Möglichkeiten (Augenzahl \(> 4\) oder Augenzahl \(\leq 4\)). Somit liegt ein Bernoulli-Versuch vor.

a) Nein, es ist kein Bernoulli-Versuch. b) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch. c) Ja, es ist ein Bernoulli-Versuch.

- Was ist das Gegenereignis dazu, dass eine Instanz den Zugriff erkennt? - Wie müssen die Ergebnisse der ersten beiden Instanzen aussehen, damit erst die dritte Instanz den Zugriff meldet? - Welche Regel wendest du an, wenn mehrere unabhängige Ereignisse nacheinander eintreten müssen?

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Instanz den Zugriff erkennt, beträgt \(p = 0{,}8\). Die Wahrscheinlichkeit, dass sie ihn übersieht, ist \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\). 1. Der Alarm wird direkt bei der ersten Prüfung ausgelöst: \(P(\text{Abwehr durch erste Instanz}) = p = 0{,}8\). 2. Der Alarm wird erst bei der dritten Prüfung ausgelöst, wenn die ersten beiden Instanzen den Zugriff übersehen und die dritte ihn erkennt: \(P(\text{erst durch dritte Instanz}) = q \cdot q \cdot p = 0{,}2^2 \cdot 0{,}8 = 0{,}032\). 3. Keine der drei Instanzen erkennt den Zugriff: \(P(\text{kein Alarm}) = q \cdot q \cdot q = 0{,}2^3 = 0{,}008\).

(1) \(0{,}8\) (oder \(80\,\%\)) (2) \(0{,}032\) (oder \(3{,}2\,\%\)) (3) \(0{,}008\) (oder \(0{,}8\,\%\))

- Was zeichnet einen Bernoulli-Versuch im Gegensatz zu einem allgemeineren Zufallsexperiment aus? - Wie viele verschiedene Ausgänge darf es geben? - Wie kannst du die Zahlen auf dem Glücksrad in zwei Gruppen aufteilen? - Gibt es nur eine einzige Art, „Erfolg“ zu definieren?

1. Einteilung der acht möglichen Ergebnisse in zwei disjunkte Teilmengen, z. B. Erfolg \(E = \{2, 4, 6, 8\}\) (gerade Zahl) und Misserfolg \(\bar{E} = \{1, 3, 5, 7\}\) (ungerade Zahl). 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten: Da alle Sektoren gleich groß sind, gilt \(p = P(E) = \frac{4}{8} = 0{,}5\) und \(q = 1 - p = 0{,}5\). 3. Definition einer alternativen Erfolgsmenge, z. B. \(E' = \{7, 8\}\) (Zahl ist größer als 6). 4. Berechnung der neuen Erfolgswahrscheinlichkeit: \(p' = P(E') = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

a) Beispielhafte Interpretation: Erfolg ist das Erzielen einer geraden Zahl. Damit ist \(p = 0{,}5\) und \(q = 0{,}5\). b) Beispielhafte weitere Interpretation: Erfolg ist das Erzielen einer Zahl größer als 6, also \(7\) oder \(8\). Dann ist \(p' = \frac{2}{8} = 0{,}25\).

- Wann spricht man von einem Bernoulli-Experiment? Überlege dir, welche Voraussetzungen für die Wahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit gelten müssen. - Welche Werte haben \(n\) (Anzahl der Versuche) und \(p\) (Trefferwahrscheinlichkeit) in dieser Aufgabe? - Erinnerst du dich an die Formel von Bernoulli für Punktwahrscheinlichkeiten? - Was ist das Gegenereignis zu einem Treffer und wie groß ist dessen Wahrscheinlichkeit?

1. Modellierung als Bernoulli-Kette: Es gibt nur zwei relevante Ergebnisse pro Schuss (Treffer im Gold oder kein Treffer). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}7\) muss bei jedem Schuss konstant bleiben und die Schüsse müssen voneinander unabhängig sein. 2. Anwendung der Bernoulli-Formel \(P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\) mit \(n = 4\) und \(p = 0{,}7\). 3. Berechnung für \(k = 0\): \(P(X = 0) = \binom{4}{0} \cdot 0{,}7^0 \cdot 0{,}3^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}0081 = 0{,}0081\). 4. Berechnung für \(k = 1\): \(P(X = 1) = \binom{4}{1} \cdot 0{,}7^1 \cdot 0{,}3^3 = 4 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}027 = 0{,}0756\). 5. Berechnung für \(k = 2\): \(P(X = 2) = \binom{4}{2} \cdot 0{,}7^2 \cdot 0{,}3^2 = 6 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}09 = 0{,}2646\). 6. Berechnung für \(k = 3\): \(P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116\). 7. Berechnung für \(k = 4\): \(P(X = 4) = \binom{4}{4} \cdot 0{,}7^4 \cdot 0{,}3^0 = 1 \cdot 0{,}2401 \cdot 1 = 0{,}2401\).

a) Bedingungen: Nur zwei Ausgänge (Treffer/kein Treffer), konstante Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) und Unabhängigkeit der Schüsse. b) Die Wahrscheinlichkeiten betragen: \(P(X=0) = 0{,}0081\) \(P(X=1) = 0{,}0756\) \(P(X=2) = 0{,}2646\) \(P(X=3) = 0{,}4116\) \(P(X=4) = 0{,}2401\)

- Was sind die grundlegenden Eigenschaften eines Bernoulli-Versuchs? - Wann kann man das „Ziehen ohne Zurücklegen“ näherungsweise wie „Ziehen mit Zurücklegen“ behandeln? - Achte auf das Verhältnis zwischen der Stichprobengröße und der Gesamtmenge.

1. Teilaufgabe a): Das Experiment kann als Bernoulli-Kette modelliert werden, wenn es nur zwei Zustände gibt (defekt/intakt) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) konstant bleibt. Bei einer sehr großen Grundgesamtheit (laufende Produktion) ändert die Entnahme einer Stichprobe ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit so geringfügig, dass man sie als konstant ansehen kann (Unabhängigkeit). 2. Teilaufgabe b): Die Anzahl der Versuche ist die Stichprobengröße, also \(n = 100\). Die Trefferwahrscheinlichkeit entspricht dem Anteil der defekten Flaschen: \(p = 0{,}5\,\% = 0{,}005\). 3. Teilaufgabe c): In diesem Fall ist eine Bernoulli-Kette nicht mehr sinnvoll. Da die Stichprobe (\(100\)) einen sehr großen Teil der Grundgesamtheit (\(120\)) ausmacht, ändert sich die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen massiv. Die Versuche sind somit stark voneinander abhängig.

a) Modellierung möglich, wenn die Grundgesamtheit groß genug ist, sodass \(p\) näherungsweise konstant bleibt und es nur zwei Ergebnisse gibt. b) \(n = 100\); \(p = 0{,}005\). c) Nicht sinnvoll, da die Grundgesamtheit zu klein ist; die Wahrscheinlichkeit ändert sich bei Entnahme ohne Zurücklegen signifikant.

- Vergleiche jeden Term mit der allgemeinen Struktur einer Bernoulli-Punktwahrscheinlichkeit. - Prüfe den Zusammenhang zwischen der Zahl im Binomialkoeffizienten und der Summe der Exponenten. - Die beiden Wahrscheinlichkeiten eines Teilversuchs müssen sich zu \(1\) ergänzen. - Ein passendes Kontextbeispiel braucht neben zwei möglichen Ergebnissen auch unabhängige Wiederholungen mit konstantem \(p\).

1. In a) gilt \(n=10\), \(k=3\) und \(p=0{,}15\). Die Exponenten \(3\) und \(7\) summieren sich zu 10, und \(0{,}15+0{,}85=1\). Ein passendes Experiment sind zehn unabhängige Wiederholungen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}15\); gesucht ist genau drei Treffer. 2. In b) legt der Binomialkoeffizient \(n=12\) nahe, die Exponenten summieren sich aber nur zu \(4+6=10\). Daher ist der Term keine korrekte Bernoulli-Punktwahrscheinlichkeit für \(n=12\). 3. In c) gilt \(n=10\), \(k=8\) und \(p=0{,}8\). Die Faktoren \(0{,}2^2\) und \(0{,}8^8\) stehen nur in vertauschter Reihenfolge. Ein passendes Experiment sind zehn unabhängige Wiederholungen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}8\); gesucht sind genau acht Treffer.

a) Ja: \(n=10\), \(p=0{,}15\), \(k=3\); Beispiel: zehn unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}15\), Ereignis „genau drei Treffer“. b) Nein. Für \(n=12\) müssten sich die Exponenten zu 12 summieren. c) Ja: \(n=10\), \(p=0{,}8\), \(k=8\); Beispiel: zehn unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \(0{,}8\), Ereignis „genau acht Treffer“.

- Bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit nach einem Zug unverändert? - Welche Rolle spielt das Zurücklegen für die Unabhängigkeit der Züge? - Wenn eine Bernoulli-Kette vorliegt: Welche Werte haben \(n\), \(p\) und \(k\)?

1. Mit Zurücklegen bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit für „defekt“ bei jedem Zug konstant \(p=\frac{6}{40}=0{,}15\); die Züge sind unabhängig. Damit liegt eine Bernoulli-Kette vor. 2. Ohne Zurücklegen ändert sich die Zusammensetzung nach jedem Zug. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist nicht konstant und die Züge sind nicht unabhängig; es liegt keine Bernoulli-Kette vor. 3. Im Fall mit Zurücklegen gilt \(X\sim B\left(5;\frac{3}{20}\right)\). Daher ist \(P(X=1)=\binom51\frac{3}{20}\left(\frac{17}{20}\right)^4\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n=5\) und \(p=0{,}15\) b) Keine Bernoulli-Kette Für a): \(P(X=1)=\binom51\frac{3}{20}\left(\frac{17}{20}\right)^4\)

- Welche drei Merkmale definieren eine Bernoulli-Kette? - Denke an äußere Einflüsse wie Wind oder Wetter – betreffen diese jeden Schuss einzeln und völlig isoliert? - Wie verändert sich die Situation für den Sportler im Kopf, wenn etwas schiefgeht? - Was bedeutet „Unabhängigkeit“ mathematisch für die Wahrscheinlichkeit des nächsten Schritts?

1. Zu a): Es müssen genau zwei Ergebnisse pro Schuss vorliegen (Treffer/Fehlschuss). Die Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\) muss für jeden der 5 Schüsse identisch sein. Zudem müssen die Schüsse stochastisch unabhängig voneinander sein, d. h., das Ergebnis eines Schusses darf die Wahrscheinlichkeit der folgenden Schüsse nicht beeinflussen. 2. Zu b): In der Realität können äußere Faktoren wie böiger Wind mehrere Schüsse gleichzeitig beeinflussen (Abhängigkeit). Zudem wirken psychologische Faktoren: Ein Erfolg kann Sicherheit geben, während ein Fehlschuss den Druck erhöht. Auch physische Ermüdung während der Serie könnte die Wahrscheinlichkeit über die Zeit verändern. 3. Zu c): Durch die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit vom vorangegangenen Ergebnis wird die Unabhängigkeit der Versuche verletzt. Eine Bernoulli-Kette erfordert, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in jedem Schritt konstant bleibt und nicht von der Vorgeschichte abhängt.

a) Zwei Ausgänge (Treffer/Fehlschuss), konstante Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}8\), Unabhängigkeit der Schüsse. b) Äußere Einflüsse (Wind) oder psychologische Faktoren (Druck, Konzentration) können Abhängigkeiten erzeugen oder \(p\) verändern. c) Die Unabhängigkeit der Teilversuche (und damit die Konstanz von \(p\)) wird verletzt, da die Wahrscheinlichkeit vom Ergebnis des vorherigen Schusses abhängt.

- Prüfe, ob das Experiment in genau zwei Kategorien (Erfolg und Misserfolg) unterteilt wird. - Bestimme die Anzahl der Wiederholungen des Experiments. - Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg in einem einzelnen Schritt. Bleibt diese immer gleich?

1. Teilaufgabe a: Ein Einzelversuch hat zwei relevante Ausgänge: „Primzahl“ (Erfolg) oder „keine Primzahl“ (Misserfolg). Die Primzahlen auf einem Würfel sind 2, 3 und 5. Da der Würfel fair ist, gilt für jeden der 20 unabhängigen Würfe \(p = \frac{3}{6} = 0{,}5\). Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). 2. Teilaufgabe b: Bei diesem Experiment werden die genauen Augenzahlen von 1 bis 10 notiert. Damit gibt es mehr als zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch. Eine Bernoulli-Kette erfordert jedoch genau zwei Ergebnisklassen (Treffer/Niete). Daher liegt keine Bernoulli-Kette vor.

a) Ja, es ist eine Bernoulli-Kette mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\). b) Nein, es ist keine Bernoulli-Kette (mehr als zwei Ergebnisse werden unterschieden).

- Prüfe jeweils, ob es zwei relevante Ausgänge, eine feste Versuchszahl und eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit gibt. - Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die Auswahlvorgänge streng genommen abhängig. - Für eine Näherung kann entscheidend sein, wie klein die Stichprobe im Verhältnis zur Grundgesamtheit ist. - Achte auf Formulierungen, die eine systematische Veränderung der Trefferwahrscheinlichkeit anzeigen.

1. In a) liegt streng genommen eine Auswahl ohne Zurücklegen vor, also keine exakte Bernoulli-Kette. Der Stichprobenanteil beträgt jedoch nur \(\frac{100}{500000}=0{,}0002\). Deshalb ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nur vernachlässigbar; \(X\) kann sehr gut durch \(B(100;0{,}04)\) angenähert werden. 2. In b) ist eine Bernoulli-Kette nicht angemessen. Durch die Ermüdung ist eine konstante Trefferwahrscheinlichkeit über alle 12 Schüsse gerade nicht plausibel. 3. In c) gibt es bezüglich des Merkmals „Gelb“ zwei relevante Ausgänge. Die 20 Drehungen sind unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit ist konstant \(p=\frac13\). Daher liegt eine Bernoulli-Kette mit \(n=20\) vor.

a) Exakt nein; wegen des sehr kleinen Stichprobenanteils ist \(B(100;0{,}04)\) eine sehr gute Näherung. b) Nein, da die Trefferwahrscheinlichkeit wegen der Ermüdung nicht konstant ist. c) Ja: \(n=20\), \(p=\frac13\), Erfolg „Gelb“.

- Wie viele Ergebnisse hat ein Bernoulli-Versuch per Definition? - Kannst du die drei Kategorien so in zwei Gruppen aufteilen, dass jede Gruppe als ein einziges Gesamtergebnis zählt? - Denk an das Konzept des Gegenereignisses.

1. Ein Bernoulli-Versuch darf laut Definition nur genau zwei Ergebnisse haben. Da hier zwischen drei Arten unterschieden wird (Hauptgewinn, Kleingewinn, Niete), ist die Bedingung nicht erfüllt. 2. Mögliche Umformungen durch Zusammenfassung von Ergebnissen: Variante 1: Erfolg = „Gewinn“ (Haupt- oder Kleingewinn), Misserfolg = „Niete“. Variante 2: Erfolg = „Hauptgewinn“, Misserfolg = „kein Hauptgewinn“ (Kleingewinn oder Niete). 3. Die Aussage ist korrekt. Jedes Zufallsexperiment mit beliebig vielen Ergebnissen kann zu einem Bernoulli-Versuch reduziert werden, indem man ein bestimmtes Ereignis \(A\) als „Erfolg“ definiert und dessen Gegenereignis \(\bar{A}\) als „Misserfolg“ definiert.

a) Es liegen drei statt zwei Ergebnisse vor. b) Z. B. „Gewinn oder Niete“ oder „Hauptgewinn oder kein Hauptgewinn“. c) Die Aussage ist wahr, da man Ergebnisse stets in ein Ereignis \(E\) und sein Gegenereignis \(\bar{E}\) aufteilen kann.

- Betrachte für a) nacheinander, wie viele neue Zahlen nach jedem bereits verschiedenen Ergebnis noch möglich sind. - Wie hängen die Ereignisse „alle Zahlen verschieden“ und „mindestens eine Wiederholung“ logisch zusammen? - Für c) frage dich, ob „eine bereits aufgetretene Zahl“ bei jedem Wurf dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit hat.

1. Wegen Fairness und Unabhängigkeit sind die \(8^5\) geordneten Wurffolgen gleichwahrscheinlich. Für lauter verschiedene Zahlen gibt es \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\) Folgen. Daher ist \(P(A)=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{8^5}=\frac{105}{512}\approx0{,}2051\). 2. \(B\) ist das Gegenereignis zu \(A\). Somit ist \(P(B)=1-\frac{105}{512}=\frac{407}{512}\approx0{,}7949\). 3. Die Behauptung ist falsch. Bei „Erfolg = eine bereits gewürfelte Zahl tritt auf“ hängt die Erfolgswahrscheinlichkeit davon ab, wie viele verschiedene Zahlen zuvor bereits gefallen sind. Sie ist daher nicht bei jedem Wurf konstant \(\frac18\). Eine Bernoulli-Kette mit festem \(p\) beschreibt dieses Kollisionsereignis nicht.

a) \(P(A)=\frac{105}{512}\approx0{,}2051\) b) \(P(B)=\frac{407}{512}\approx0{,}7949\) c) Die Aussage ist falsch, weil die Wahrscheinlichkeit für eine Wiederholung nicht bei jedem Wurf konstant \(\frac18\) ist.

- Ein Bernoulli-Versuch braucht eine klare Einteilung in genau zwei relevante Ergebnisse. - Mehrere ursprüngliche Zustände können zu „Erfolg“ oder „Misserfolg“ zusammengefasst werden. - Bei einer bestimmten Blütenfarbe muss zuerst die Keimung eintreten.

1. Ein Bernoulli-Versuch unterscheidet genau zwei relevante, sich ausschließende Ergebnisse: Erfolg und Misserfolg. Die vier unveränderten Zustände bilden daher zunächst keinen Bernoulli-Versuch. 2. Möglichkeit 1: Erfolg bedeutet „Die Zwiebel keimt“. Dann ist \(p=0{,}9\). 3. Möglichkeit 2: Erfolg bedeutet zum Beispiel „Die Zwiebel blüht rot“. Dann ist \(p=P(\text{keimt})\cdot P(\text{rot}\mid\text{keimt})=0{,}9\cdot0{,}6=0{,}54\).

a) Die vier Zustände sind mehr als die zwei für einen Bernoulli-Versuch relevanten Ausgänge Erfolg und Misserfolg. b) Zum Beispiel: Erfolg „keimt“ mit \(p=0{,}9\); oder Erfolg „blüht rot“ mit \(p=0{,}54\).

- Vergleiche die Zahl der Entnahmen mit der Größe der Grundgesamtheit. - Für „höchstens ein“ gehören zwei mögliche Trefferzahlen zum Ereignis. - Berechne diese beiden Punktwahrscheinlichkeiten getrennt und addiere sie anschließend.

1. Bei einer sehr großen Grundgesamtheit verändert die Entnahme von nur 10 Chips die Zusammensetzung so wenig, dass die Defektwahrscheinlichkeit näherungsweise konstant bei \(p=0{,}04\) bleibt. Unter der angegebenen Näherungsannahme wird daher \(X\sim B(10;0{,}04)\) verwendet. 2. \(P(X=1)=\binom{10}{1}\cdot0{,}04\cdot0{,}96^9\approx0{,}2770\). 3. \(P(X=0)=0{,}96^{10}\approx0{,}6648\). 4. Somit ist \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)\approx0{,}9418\).

a) Wegen der sehr großen Grundgesamtheit kann die Defektwahrscheinlichkeit bei nur 10 Entnahmen näherungsweise als konstant angesehen werden. b) \(P(X=1)\approx0{,}2770\), also etwa \(27{,}70\,\%\). c) \(P(X\le1)\approx0{,}9418\), also etwa \(94{,}18\,\%\).

- Lies zuerst aus dem Baumdiagramm ab, welche zwei Ausgänge und welche Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe auftreten. - „Höchstens ein“ umfasst die Fälle mit null oder genau einem defekten Bauteil. - Nutze die Pfadmultiplikationsregel für einen einzelnen Pfad und die Pfadadditionsregel für mehrere passende Pfade.

1. Pro Stufe gibt es bezüglich des Merkmals „defekt“ genau zwei relevante Ausgänge \(D\) und \(E\). Die drei Entnahmen werden unabhängig modelliert, und das Baumdiagramm zeigt auf jeder Stufe dieselben Wahrscheinlichkeiten. Daher liegt eine Bernoulli-Kette vor. 2. Aus dem Baumdiagramm liest man \(n=3\) und \(p=0{,}1\) für \(D\) ab. 3. „Höchstens ein defektes Bauteil“ umfasst die Pfade \(EEE\), \(DEE\), \(EDE\) und \(EED\). 4. \(P(EEE)=0{,}9^3=0{,}729\). Jeder Pfad mit genau einem \(D\) hat die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1\cdot0{,}9^2=0{,}081\); davon gibt es drei. 5. Somit ist \(P(X\le1)=0{,}729+3\cdot0{,}081=0{,}972\).

a) Bernoulli-Kette mit \(n=3\) und \(p=0{,}1\). b) \(P(X\le1)=0{,}972\), also \(97{,}2\,\%\).