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- Wie viele Positionen gibt es insgesamt? - Wie viele dieser Positionen sollen als Trefferpositionen ausgewählt werden?

1. Es werden \(2\) Trefferpositionen aus insgesamt \(6\) Versuchspositionen ausgewählt. 2. Daher lautet der passende Binomialkoeffizient \(\binom62\). 3. Die \(6\) steht für die verfügbaren Positionen, die \(2\) für die auszuwählenden Trefferpositionen.

\(\binom62\)

- Überlege dir ein systematisches Vorgehen beim Auflisten, damit du keine Kombination vergisst. - Spielt die Reihenfolge der Personen innerhalb eines Teams eine Rolle? - Was gibt der Binomialkoeffizient allgemein an? - Wie viele Möglichkeiten hast du, wenn du aus einer Gruppe nur ein einzelnes Mitglied aussuchen darfst?

1. Auflistung aller zweielementigen Teilmengen aus \(\{A, B, C, D\}\): \(\{A, B\}\), \(\{A, C\}\), \(\{A, D\}\), \(\{B, C\}\), \(\{B, D\}\), \(\{C, D\}\). Dies ergibt insgesamt 6 Möglichkeiten. 2. Berechnung des Binomialkoeffizienten: \(\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6\). Die Ergebnisse stimmen überein, da der Binomialkoeffizient die Anzahl der Möglichkeiten angibt, \(k\) Elemente aus einer Menge von \(n\) Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen. 3. Für die Auswahl von einer Person aus vier gibt es 4 Möglichkeiten. Als Binomialkoeffizient geschrieben: \(\binom{4}{1} = 4\).

a) \(\{A, B\}, \{A, C\}, \{A, D\}, \{B, C\}, \{B, D\}, \{C, D\}\) b) \(\binom{4}{2} = 6\); die Anzahl der Mengen entspricht dem Wert des Binomialkoeffizienten. c) 4 Möglichkeiten; \(\binom{4}{1} = 4\).

- Überlege dir zuerst, ob es wichtig ist, in welcher Reihenfolge die Personen ausgewählt werden. - Kann ein Mitglied mehrfach für denselben Ausschuss gewählt werden? - Welche mathematische Formel hilft dir dabei, eine Teilmenge aus einer größeren Menge auszuwählen?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl nicht wichtig ist und keine Person mehrfach gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 22\) (Gesamtzahl der Mitglieder) und \(k = 3\) (Größe des Ausschusses) ist. 3. Berechnung: \(\binom{22}{3} = \frac{22 \cdot 21 \cdot 20}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1540\).

Es gibt \(1540\) verschiedene Möglichkeiten.

- Macht es einen Unterschied für den Spieleabend, welches der vier Spiele zuerst aus dem Regal genommen wird? - Handelt es sich um Ziehen mit oder ohne Zurücklegen? - Welches Modell aus der Kombinatorik passt hier am besten?

1. Es wird eine Auswahl von \(4\) Objekten aus einer Menge von \(14\) verschiedenen Objekten getroffen, wobei die Reihenfolge der Auswahl für das Endergebnis irrelevant ist. 2. Dies entspricht dem Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“. 3. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{14}{4}\). 4. Durchführung der Rechnung: \(\binom{14}{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1001\).

Es gibt \(1001\) verschiedene Kombinationen.

- Überlege zuerst, ob die Reihenfolge, in der die Jugendlichen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Handelt es sich um ein Experiment mit oder ohne Zurücklegen? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen einer bestimmten Größe zu bestimmen?

1. Es handelt sich um ein Auswahlproblem ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, da die 3 Jugendlichen gleichzeitig bzw. als Team ausgewählt werden. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) mit \(n = 10\) (Gesamtzahl der Jugendlichen) und \(k = 3\) (Anzahl der auszuwählenden Personen) berechnet. 3. Berechnung: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = 120\). Es gibt somit 120 verschiedene Möglichkeiten, das Team zusammenzustellen.

Es gibt 120 Möglichkeiten.

- Was besagt die Symmetrie bei Binomialkoeffizienten? - Wie kann man den Bruch bei der Berechnung von \(\binom{n}{k}\) durch Kürzen vereinfachen? - Musst du wirklich jeden Wert komplett neu berechnen oder gibt es Paare? - Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(k\) Objekte aus \(n\) auszuwählen im Vergleich dazu, \(n-k\) Objekte (die übrig bleiben) auszuwählen.

1. Für Teil a) wird die Formel direkt angewendet: \(\binom{18}{2} = \frac{18 \cdot 17}{2 \cdot 1} = 9 \cdot 17 = 153\). 2. Für Teil b) nutzt man die Symmetrie \(\binom{18}{16} = \binom{18}{18-16} = \binom{18}{2}\). Das Ergebnis ist somit ebenfalls \(153\). 3. Für Teil c) berechnet man \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{6} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2300\). 4. Für Teil d) folgt aus der Symmetrie \(\binom{25}{22} = \binom{25}{25-22} = \binom{25}{3}\), also ist das Ergebnis \(2300\).

a) \(153\) b) \(153\) c) \(2300\) d) \(2300\)

- Kannst du die einzelnen Terme nacheinander berechnen? - Fällt dir eine Besonderheit beim Vergleich der Ergebnisse von a) und b) auf? - Schau dir bei Teil c) die Zahlen unten in der Klammer genau an. Gibt es einen Zusammenhang zur Zahl oben? - Erinnere dich an die Definition und die Eigenschaften von \(\binom{n}{k}\).

1. Berechnung von Teil a): \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\) und \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84\). Die Summe ist \(36 + 84 = 120\). 2. Berechnung von Teil b): \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120\). 3. Untersuchung von Teil c): Da \(11 - 9 = 2\) ist, gilt nach der Symmetrieeigenschaft \(\binom{11}{9} = \binom{11}{2}\). Ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner identisch (und ungleich Null) sind, hat den Wert \(1\).

a) \(120\) b) \(120\) c) \(1\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der ausgewählten Personen für das Ergebnis wichtig ist. - Spielt es eine Rolle, ob jemand als Erster oder als Dritter für das Trio benannt wird? - Welches mathematische Modell eignet sich für eine Auswahl ohne Beachtung der Reihenfolge?

1. Da die Reihenfolge der Auswahl für das Trio keine Rolle spielt und jede Person nur einmal gewählt werden kann, handelt es sich um eine Kombination ohne Zurücklegen. 2. Die Anzahl der Möglichkeiten wird mit dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) berechnet, wobei \(n = 24\) und \(k = 3\) ist. 3. Berechnung: \(\binom{24}{3} = \frac{24 \cdot 23 \cdot 22}{3 \cdot 2 \cdot 1}\). 4. Das Ergebnis ist \(2024\).

Es gibt \(2024\) Möglichkeiten.

- Was bedeutet es für die Auswahl, wenn die Reihenfolge der Personen im Team keine Rolle spielt? - Welche Formel hilft dir, wenn du \(k\) Objekte aus \(n\) Objekten ohne Zurücklegen auswählst? - Suche auf deinem Taschenrechner nach einer Taste wie „nCr“.

1. Identifikation der Parameter für Teilaufgabe a): \(n = 9\) (Gesamtanzahl) und \(k = 2\) (Auswahl). 2. Anwendung der Formel für den Binomialkoeffizienten: \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1}\). 3. Berechnung des Ergebnisses: \(36\). 4. Berechnung für Teilaufgabe b) mit dem Taschenrechner (nCr-Funktion): \(\binom{18}{7} = 31\,824\).

a) Es gibt 36 Möglichkeiten. b) Es gibt \(31\,824\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, wie eine Zahl im pascalschen Dreieck aus den Zahlen der darüberliegenden Zeile entsteht. - Was fällt dir auf, wenn du die linke Seite einer Zeile mit der rechten Seite vergleichst? - Schau dir die äußersten Zahlen in den ersten Zeilen des Dreiecks an. Gibt es dort ein Muster?

1. Anwendung der Additionsregel: \(\binom{14}{7} = \binom{13}{6} + \binom{13}{7} = 1716 + 1716 = 3432\). 2. Begründung der Symmetrie: Im pascalschen Dreieck gilt allgemein \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Für \(n=13\) und \(k=6\) ergibt sich \(n-k = 13-6 = 7\), weshalb die Werte identisch sind. 3. Bestimmung der Randwerte: Jede Zeile im pascalschen Dreieck beginnt und endet mit der Zahl 1. Somit gilt \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\).

a) \(\binom{14}{7} = 3432\) b) Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). Da \(13-6=7\) ist, müssen die Werte gleich sein. c) \(\binom{15}{0} = 1\) und \(\binom{15}{15} = 1\)

- Erinnere dich an den Aufbau einer Zeile im pascalschen Dreieck. - Wie hängen die Indizes \(k\) zusammen, wenn die Werte der Binomialkoeffizienten gleich sind? - Welche Rechenregel für Binomialkoeffizienten kennst du, um große Werte für \(k\) zu vereinfachen? - Überlege dir, wie viele Faktoren du bei \(\binom{10}{8}\) im Vergleich zu \(\binom{10}{2}\) berechnen müsstest.

1. Identifikation der Binomialkoeffizienten für \(n=7\): Die Werte in der 7. Zeile lauten 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Die Zahl 35 steht an der 4. und 5. Stelle, was den Koeffizienten \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) entspricht. 2. Anwendung der Symmetrie: Gemäß \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) gilt \(\binom{10}{8} = \binom{10}{10-8} = \binom{10}{2}\). 3. Berechnung: \(\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45\). Die Symmetrie vereinfacht die Rechnung, da ein kleineres \(k\) zu weniger Multiplikationen im Zähler und Nenner führt.

a) \(\binom{7}{3}\) und \(\binom{7}{4}\) b) \(\binom{10}{8} = 45\). Durch die Symmetrie lässt sich der Wert einfacher über \(\binom{10}{2}\) berechnen.

- Ordne die Einträge der Pascal-Zeile den Trefferzahlen von 0 bis 5 zu. - „Mehr als 3“ umfasst genau zwei mögliche Trefferzahlen. - Für die Wahrscheinlichkeit in c) brauchst du neben der Pfadanzahl auch die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen vollständigen Pfades.

1. Für genau 3 Treffer liefert die 5. Zeile des Pascal’schen Dreiecks den Koeffizienten \(\binom53=10\). Es gibt also 10 entsprechende Pfade. 2. Mehr als 3 Treffer bedeutet 4 oder 5 Treffer. Daher gibt es \(\binom54+\binom55=5+1=6\) Pfade. 3. Für genau einen Treffer gibt es \(\binom51=5\) Pfade. Wegen Unabhängigkeit und \(P(T)=P(N)=0{,}5\) hat jeder vollständige Pfad die Wahrscheinlichkeit \((0{,}5)^5=\frac1{32}\). Somit ist \(P(X=1)=\frac5{32}=0{,}15625\).

a) \(10\) Pfade b) \(6\) Pfade c) \(P(X=1)=\frac5{32}=0{,}15625\)

- Wie viele Möglichkeiten gibt es an jeder der acht Positionen? - Für Teil b) kannst du die Positionen der positiven Impulse auswählen, ohne ihre Reihenfolge zusätzlich zu zählen. - Welche Folge hat die Annahme unabhängiger, jeweils gleich wahrscheinlicher Impulse für die Wahrscheinlichkeiten der vollständigen Sequenzen? - „Mindestens sechs“ umfasst drei mögliche Anzahlen positiver Impulse.

1. Jeder der 8 Plätze hat zwei mögliche Zeichen. Daher gibt es insgesamt \(2^8=256\) Signalsequenzen. 2. Für genau drei positive Impulse werden drei der acht Positionen ausgewählt. Die Anzahl beträgt \(\binom{8}{3}=56\). 3. Unter der Annahme unabhängiger Impulse mit \(p=0{,}5\) sind alle \(2^8\) Sequenzen gleich wahrscheinlich. Für mindestens sechs positive Impulse sind \(\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=28+8+1=37\) Sequenzen günstig. Somit gilt \(P=\frac{37}{256}\approx0{,}1445\).

a) \(256\) b) \(56\) c) \(P=\frac{37}{256}\approx0{,}1445\)

- Kannst du die Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten nutzen, um die Rechnungen zu vereinfachen? - Wie ist der Binomialkoeffizient allgemein definiert? - Welche Bedeutung haben die Zahlen im Binomialkoeffizienten für die Anzahl der Faktoren im Zähler und Nenner? - Kannst du die Terme in Teil f) einzeln ausrechnen und dann addieren?

1. Berechnung der einzelnen Koeffizienten: a) \(\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84\) b) \(\binom{15}{13} = \binom{15}{2} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\) c) \(\binom{25}{2} = \frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1} = 300\) d) \(\binom{50}{48} = \binom{50}{2} = \frac{50 \cdot 49}{2 \cdot 1} = 1225\) e) \(\binom{2000}{1999} = \binom{2000}{1} = 2000\) 2. Überprüfung der Gleichung in Teil f): Linke Seite: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\); \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). Summe: \(120 + 210 = 330\). Rechte Seite: \(\binom{11}{4} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 10 \cdot 3 = 330\). Beide Seiten ergeben \(330\), die Gleichung ist somit verifiziert.

a) \(84\) b) \(105\) c) \(300\) d) \(1225\) e) \(2000\) f) Linke Seite: \(120 + 210 = 330\); Rechte Seite: \(330\). Die Gleichung stimmt.

- Spielt die Reihenfolge, in der die Personen ausgewählt werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Überlege, ob eine Person mehrfach für dieselbe Gruppe ausgewählt werden kann. - Wenn eine Auswahl aus zwei verschiedenen Untergruppen getroffen wird, wie lassen sich die einzelnen Möglichkeiten kombinieren? - Welches bekannte Modell aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt das Ziehen von Objekten, wenn diese nicht ersetzt werden?

1. Für die Gesamtauswahl von 6 aus 16 Personen ohne Beachtung der Reihenfolge wird der Binomialkoeffizient \(\binom{16}{6}\) berechnet: \(\frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8008\). 2. Für die getrennte Auswahl nach Geschlecht wird das Produkt der Binomialkoeffizienten gebildet. Auswahl der Frauen: \(\binom{9}{3} = 84\). Auswahl der Männer: \(\binom{7}{3} = 35\). Gesamtzahl: \(84 \cdot 35 = 2940\). 3. Das Urnenmodell entspricht dem „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“. Die Urne enthält 16 Kugeln, davon sind 9 Kugeln einer Sorte (Frauen) und 7 Kugeln einer anderen Sorte (Männer). Es werden 6 Kugeln auf einmal (oder nacheinander ohne Zurücklegen) gezogen.

a) Es gibt \(8008\) Möglichkeiten. b) Es gibt \(2940\) Möglichkeiten. c) Urnenmodell: Ziehen von \(6\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge aus einer Urne mit \(16\) Kugeln (9 einer Sorte, 7 einer anderen).

- Überlege dir zuerst, wie viele Möglichkeiten es gibt, die IT-Fachkräfte aus ihrer Gruppe auszuwählen. - Wie viele Möglichkeiten gibt es danach für die Auswahl der Marketing-Fachkräfte? - Wenn du für jede Wahl der ersten Gruppe mehrere Möglichkeiten für die zweite Gruppe hast, wie verknüpfst du diese Zahlen? - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen für das Team benannt werden, eine Rolle?

1. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Personen aus 12 IT-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 2. Bestimmung der Anzahl der Möglichkeiten, 2 Personen aus 8 Marketing-Fachkräften ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Anwendung des Zählprinzips (Multiplikationsregel) für die Kombination beider Teilgruppen: \(220 \cdot 28 = 6160\).

Es gibt \(6160\) Möglichkeiten.

- Wie viele Früchte sind insgesamt im Korb? - Was bedeutet es für die Auswahl, wenn eine bestimmte Sorte gar nicht vorkommen darf? - Welche unteren Zahlen müssen die Binomialkoeffizienten für jede geforderte Zusammensetzung besitzen? - Prüfe, ob die Summe der ausgewählten Stückzahlen jeweils fünf ergibt.

1. Insgesamt gibt es \(8+6+4=18\) Früchte. Die Anzahl aller gleich wahrscheinlichen Auswahlen von fünf Früchten ist \(\binom{18}{5}\). 2. Zu \(A\): Zwei von acht Äpfeln, zwei von sechs Birnen und eine von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (2). 3. Zu \(B\): Ohne Birnen müssen alle fünf Früchte aus den zwölf Äpfeln und Bananen stammen. Daher passt Term (1). 4. Zu \(C\): Drei von acht Äpfeln und zwei von vier Bananen werden gewählt. Daher passt Term (3).

Ereignis \(A\) entspricht Term (2). Ereignis \(B\) entspricht Term (1). Ereignis \(C\) entspricht Term (3).

- Überlege dir, was passiert, wenn du eine Gruppe von Personen festlegst. Was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Gibt es eine Formel für den Binomialkoeffizienten, die eine Symmetrie zeigt? - Ist es einfacher, die Kombinationen für eine große oder für eine kleine Untergruppe zu berechnen?

1. Begründung der Symmetrie: Jede Auswahl von \(22\) Personen, die an der Umfrage teilnehmen, legt gleichzeitig eindeutig fest, welche \(3\) Personen nicht teilnehmen. Da es zu jeder Gruppe von Teilnehmenden genau eine korrespondierende Gruppe von Nicht-Teilnehmenden gibt, muss die Anzahl der Möglichkeiten identisch sein. Mathematisch entspricht dies der Eigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{25}{22}\) beschrieben. Aufgrund der Symmetrie gilt \(\binom{25}{22} = \binom{25}{3}\). 3. Ausrechnen des Wertes: \(\binom{25}{3} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{13800}{6} = 2300\).

a) Jede Auswahl von \(22\) Personen bestimmt eindeutig die \(3\) Personen, die nicht ausgewählt werden (Symmetrie des Binomialkoeffizienten: \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)). b) Es gibt \(2300\) Möglichkeiten.

- Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine bestimmte Anzahl an Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge zu ziehen. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen zu bestimmen? - Wie hängen die Anzahl der Möglichkeiten und die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis zusammen?

1. Berechnung der Kombinationen für Format A mittels Binomialkoeffizient: \(\binom{42}{6} = \frac{42 \cdot 41 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5\,245\,786\). 2. Berechnung der Kombinationen für Format B: \(\binom{37}{7} = \frac{37 \cdot 36 \cdot 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10\,295\,472\). 3. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Da die Anzahl der möglichen Kombinationen bei Format A (\(5\,245\,786\)) geringer ist als bei Format B (\(10\,295\,472\)), ist die Wahrscheinlichkeit \(p_A = \frac{1}{5245786}\) größer als \(p_B = \frac{1}{10295472}\).

In Format A gibt es \(5\,245\,786\) Kombinationen, in Format B gibt es \(10\,295\,472\) Kombinationen. Die Gewinnchance ist in Format A höher, da es dort weniger mögliche Kombinationen gibt.

- Stelle dir vor, du hast 10 leere Plätze in einer Reihe und musst 3 Kreuze für „Erfolg“ verteilen. - Sind die Kreuze, die du setzt, voneinander unterscheidbar? - Kannst du auf einen der 10 Plätze mehr als ein Kreuz setzen? - Überlege, welche bekannte Formel aus der Kombinatorik die Auswahl von \(k\) Elementen aus einer Menge von \(n\) Elementen beschreibt.

1. Zuordnung im Modell: Die \(k = 3\) Erfolge entsprechen den ununterscheidbaren Kugeln. Die \(n = 10\) Positionen (Versuche) in der Bernoulli-Kette entsprechen den unterscheidbaren Fächern. 2. Bedingungen: Da jeder Versuch in der Kette nur einmal ein Erfolg sein kann, ist keine Mehrfachbelegung eines Fachs möglich (Modell ohne Mehrfachbelegung). Die Reihenfolge der Kugeln (Erfolge) spielt keine Rolle, da sie als identisch betrachtet werden; entscheidend ist nur, welche Fächer (Positionen) besetzt sind. 3. Berechnung: Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{10}{3}\). 4. Ergebnis: \(\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). Es gibt 120 Pfade mit genau 3 Erfolgen.

a) Die 3 Erfolge sind die Kugeln, die 10 Versuchspositionen sind die Fächer. b) Es ist ein Modell ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der Kugeln und ohne Mehrfachbelegung der Fächer. c) \(\binom{10}{3} = 120\)

- Überlege dir, welche Kombinationen von Treffern (T) und Fehlwürfen (F) zu insgesamt zwei Treffern führen. - Wie viele solcher Kombinationen gibt es in einem 3-stufigen Baum? - Erinnere dich an die binomischen Lehrsatz oder das Pascalsche Dreieck für die Koeffizienten.

1. Definition der Variablen: \(p = 0{,}8\) (Treffer), \(q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2\) (Fehlwurf). 2. Pfade für genau zwei Treffer (\(k=2\)) bei \(n=3\) Versuchen: Die Kombinationen sind (T, T, F), (T, F, T) und (F, T, T). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades: \(p \cdot p \cdot q = 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}128\). 4. Gesamtwahrscheinlichkeit: Da es 3 solche Pfade gibt, gilt \(P(X=2) = 3 \cdot 0{,}128 = 0{,}384\). 5. Algebraischer Vergleich: \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\). Der Term für genau zwei Treffer ist \(3p^2q\). Einsetzen ergibt \(3 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 0{,}384\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Treffer beträgt \(0{,}384\) (oder \(38{,}4\,\%\)). b) In der Entwicklung \((p+q)^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3\) entspricht der Summand \(3p^2q\) genau der Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer.

- Spielt die Reihenfolge, in der die zwei Personen für den Ordnungsdienst benannt werden, eine Rolle? - Wenn du zwei Personen auswählst, was passiert automatisch mit dem Rest der Gruppe? - Schau dir die Formel für den Binomialkoeffizienten an und prüfe, ob sich Werte im Nenner vertauschen lassen.

1. Berechnung für a): Da die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt und niemand doppelt gewählt werden kann, wird der Binomialkoeffizient \(\binom{15}{2}\) berechnet. \(\frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 = 105\). 2. Berechnung für b): Die Auswahl von 13 Personen aus 15 entspricht \(\binom{15}{13}\). Berechnung: \(\frac{15 \cdot 14 \cdot \dots \cdot 3}{13 \cdot 12 \cdot \dots \cdot 1} = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105\). 3. Zusammenhang: Jede Auswahl von 2 Personen für den Dienst legt gleichzeitig eindeutig fest, welche 13 Personen keinen Dienst haben. Mathematisch gilt die Symmetrie \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), hier \(\binom{15}{2} = \binom{15}{15-2} = \binom{15}{13}\).

a) Es gibt \(105\) Möglichkeiten. b) Es gibt ebenfalls \(105\) Möglichkeiten. Die Ergebnisse sind identisch, da die Auswahl von \(k\) Objekten immer die Nicht-Auswahl von \(n-k\) Objekten impliziert; es gilt \(\binom{15}{2} = \binom{15}{13}\).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine bestimmte Anzahl an Objekten aus einer Menge auszuwählen, wenn die Reihenfolge egal ist? - Rechne die beiden Werte für a) und b) explizit aus. - Stell dir vor, du hast 8 Sorten vor dir. Wenn du 6 Sorten für deinen Becher aussuchst, was passiert dann mit den restlichen 2 Sorten? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen?

1. Teilaufgabe a): Auswahl von 2 aus 8 Sorten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 2. Teilaufgabe b): Auswahl von 6 aus 8 Sorten ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Berechnung: \(\binom{8}{6} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\). 3. Teilaufgabe c): Die Anzahl ist gleich, weil jede Auswahl von 2 gewählten Sorten eindeutig festlegt, welche 6 Sorten nicht gewählt werden. Umgekehrt legt jede Auswahl von 6 gewählten Sorten eindeutig fest, welche 2 Sorten nicht gewählt werden. Daher gilt \(\binom{8}{2} = \binom{8}{6}\).

a) 28 Möglichkeiten b) 28 Möglichkeiten c) Die Anzahl ist gleich, weil jede Wahl von 2 Sorten eindeutig zu einer Wahl der 6 nicht gewählten Sorten gehört und jede Wahl von 6 Sorten eindeutig die 2 nicht gewählten Sorten festlegt.

- Wie viele Kugeln bleiben in der Urne liegen, wenn du 3 herausnimmst? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der gezogenen und der Anzahl der übrig bleibenden Kugeln? - Berechne beide Binomialkoeffizienten und vergleiche die Werte.

1. Berechnung der Kombinationen für 3 aus 7: \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). 2. Berechnung der Kombinationen für 4 aus 7: \(\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\). 3. Feststellung der Gleichheit: \(35 = 35\). 4. Begründung im Sachzusammenhang: Jedes Mal, wenn man 3 Kugeln aus der Urne zieht (auswählt), bleiben automatisch genau 4 Kugeln in der Urne zurück (die nicht ausgewählten). Daher ist die Anzahl der Wege, 3 Kugeln zu nehmen, identisch mit der Anzahl der Wege, 4 Kugeln liegen zu lassen.

a) Es gibt 35 Kombinationen. b) Die Aussage ist wahr, da \(\binom{7}{3} = 35\) und \(\binom{7}{4} = 35\). Die Auswahl von 3 Kugeln, die entnommen werden, entspricht logisch der Auswahl von 4 Kugeln, die in der Urne verbleiben.

- Überlege dir zuerst, wie viele verschiedene Gruppen von 4 Personen man insgesamt aus den 12 Personen bilden kann. - Spielt die Reihenfolge, in der die Personen gezogen werden, für die Zusammensetzung der Gruppe eine Rolle? - Wie viele dieser möglichen Gruppen entsprechen genau der gesuchten Kombination aus Anna, Ben, Clara und David? - Setze die Anzahl der günstigen Möglichkeiten ins Verhältnis zur Gesamtzahl aller Möglichkeiten.

1. Bestimmung der Gesamtzahl der Möglichkeiten, 4 Personen aus einer Gruppe von 12 ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse: Da eine ganz bestimmte Gruppe von 4 Personen gesucht ist, gibt es genau \(1\) günstiges Ergebnis. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P\) als Quotient aus günstigen und möglichen Ergebnissen: \(P = \frac{1}{495}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{495}\) (ca. \(0{,}2\,\%\)).

- Wie viele Möglichkeiten gibt es, 11 Spieler aus einem Kader von 15 Spielern auszuwählen? - Ist es für die Auswahl der Gruppe wichtig, wer als Erster oder als Letzter gezogen wird? - Ein kleiner Tipp: Es ist mathematisch dasselbe, 11 Spieler für das Team auszuwählen oder 4 Spieler zu bestimmen, die nicht mitspielen. - Wie viele der möglichen 11er-Gruppen passen exakt auf die vorgegebene Auswahl?

1. Berechnung der Gesamtzahl der möglichen Startaufstellungen (Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge): \(\binom{15}{11}\). 2. Anwendung der Symmetrieeigenschaft des Binomialkoeffizienten zur Vereinfachung: \(\binom{15}{11} = \binom{15}{15-11} = \binom{15}{4}\). 3. Berechnung des Wertes: \(\binom{15}{4} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1365\). 4. Da nur eine spezifische Gruppe von 11 Spielern günstig ist, beträgt die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1365}\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1365}\) (ca. \(0{,}073\,\%\)).

- Wie berechnet man ein Element in einer neuen Zeile aus der vorherigen? - Kannst du die Definition des Binomialkoeffizienten nutzen, um den Wert direkt zu berechnen? - Addiere einfach alle Werte einer Zeile auf und vergleiche das Ergebnis mit der Potenz von 2.

1. Berechnung der nächsten Zeile (\(n=10\)) durch Addition benachbarter Elemente der 9. Zeile: \(1\), \(1+9=10\), \(9+36=45\), \(36+84=120\), \(84+126=210\), \(126+126=252\). Die ersten sechs Zahlen sind 1, 10, 45, 120, 210, 252. 2. Berechnung von \(\binom{10}{4}\): Mit \(\binom{10}{3} = 120\) folgt \(\binom{10}{4} = 120 \cdot \frac{10-3}{4} = 120 \cdot \frac{7}{4} = 30 \cdot 7 = 210\). 3. Summe der 5. Zeile: Die Werte der 5. Zeile sind 1, 5, 10, 10, 5, 1. Die Summe ist \(1+5+10+10+5+1 = 32\). Der Vergleich mit der Formel ergibt \(2^5 = 32\). Die Übereinstimmung ist gezeigt.

a) 1, 10, 45, 120, 210, 252 b) \(\binom{10}{4} = 210\) c) Summe: \(1+5+10+10+5+1 = 32\); Formel: \(2^5 = 32\). Die Werte sind identisch.

- Wie viele Personen bleiben übrig, wenn du 9 ausgewählt hast? - Gibt es einen Unterschied, ob du sagst: „Diese 9 kommen mit“ oder „Diese 3 bleiben hier“? - Überlege dir, ob jede Auswahl der „Mitfahrer“ eine ganz bestimmte Gruppe von „Daheimgebliebenen“ festlegt. - Nutze die Definition des Binomialkoeffizienten für die Berechnung.

1. Berechnung der Möglichkeiten: Die Anzahl wird durch den Binomialkoeffizienten \(\binom{12}{9}\) bestimmt. 2. Vereinfachung durch Symmetrie: \(\binom{12}{9} = \binom{12}{12-9} = \binom{12}{3}\). 3. Rechenschritt: \(\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220\). 4. Logische Begründung: Jedes Mal, wenn man eine Gruppe von \(k\) Objekten auswählt, bestimmt man gleichzeitig automatisch eine eindeutige Restgruppe von \(n-k\) Objekten, die nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Personen genau eine Auswahl von \(n-k\) Personen festlegt (diejenigen, die „übrig bleiben“), muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein.

a) Es gibt 220 Möglichkeiten. b) Die Anzahl ist gleich, da die Auswahl von 9 Personen, die teilnehmen, gleichzeitig die Auswahl der 3 Personen festlegt, die nicht teilnehmen. Jede Kombination von 9 Teilnehmern entspricht genau einer Kombination von 3 Nicht-Teilnehmern.

- Bilde die nächste Pascal-Zeile aus den Nachbarsummen der vorherigen Zeile. - Ordne jedem Koeffizienten eine Anzahl richtiger Antworten zu. - „Mindestens 5“ umfasst die Fälle 5 und 6. - Warum sind beim unabhängigen zufälligen Raten alle vollständigen Antwortmuster gleichwahrscheinlich?

1. Die 6. Zeile des Pascal’schen Dreiecks lautet \(1,6,15,20,15,6,1\). 2. Genau 3 richtige Antworten können an \(\binom63=20\) verschiedenen Positionenmengen auftreten. 3. Beim unabhängigen zufälligen Raten ist jedes der \(2^6=64\) Antwortmuster gleichwahrscheinlich. Mindestens 5 richtige Antworten bedeutet 5 oder 6 richtige Antworten. Dafür gibt es \(\binom65+\binom66=6+1=7\) Muster. Somit ist \(P(X\ge5)=\frac7{64}=0{,}109375\).

a) \(1,6,15,20,15,6,1\) b) \(20\) Antwortmuster c) \(P(X\ge5)=\frac7{64}=0{,}109375\)

- In einem Baumdiagramm einer Bernoulli-Kette entspricht die Anzahl der Pfade mit einer bestimmten Trefferzahl dem Binomialkoeffizienten. - Wenn die ersten Stufen eines Pfades bereits fest vorgegeben sind, reduziert sich die Anzahl der noch frei wählbaren Stufen. - Wie viele Erfolge musst du in den verbleibenden Stufen noch unterbringen, wenn in den fest vorgegebenen Stufen bereits Erfolge enthalten sind? - Nutze die Formel \(\binom{n}{k}\) für die verbleibende Anzahl an Stufen und die noch benötigten Erfolge.

1. Anzahl der Pfade für genau 4 Erfolge: Bei einer 10-stufigen Kette entspricht dies der Auswahl von 4 Positionen für die Erfolge aus insgesamt 10 Positionen. Die Berechnung erfolgt über den Binomialkoeffizienten: \(\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210\). 2. Anzahl der Pfade mit fixiertem Anfang: Die ersten drei Stufen sind durch „M – E – M“ festgelegt. Damit ist bereits 1 Erfolg vergeben. 3. Verbleibende Stufen und Erfolge: Es bleiben \(10 - 3 = 7\) Stufen übrig, in denen noch genau \(4 - 1 = 3\) Erfolge verteilt werden müssen. 4. Berechnung für den Restpfad: Die Anzahl der Möglichkeiten hierfür ist \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\).

a) \(210\) b) \(35\)

- Überlege, wie man den Binomialkoeffizienten mithilfe von Fakultäten schreiben kann. - Was passiert mathematisch, wenn man einen Bruch durch einen anderen Bruch dividiert? - Schreibe die Fakultäten in Teilaufgabe a) so weit wie möglich aus, um Faktoren zu kürzen. - Untersuche, welche Rolle die Anordnung der ausgewählten Elemente bei den beiden Termen spielt.

1. Berechnung von \( A \): \( \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3024 \). 2. Berechnung von \( B \): \( \binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \). 3. Berechnung des Verhältnisses: \( \frac{3024}{126} = 24 \). 4. Allgemeine Begründung: Der Binomialkoeffizient ist definiert als \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). Setzt man dies in das Verhältnis ein, erhält man \( \frac{n!}{(n-k)!} : \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n! \cdot k! \cdot (n-k)!}{(n-k)! \cdot n!} = k! \). Da \( 4! = 24 \) ist, stimmt dies mit dem Ergebnis aus b) überein.

a) \( A = 3024 \), \( B = 126 \) b) \( \frac{A}{B} = 24 \) c) Durch Einsetzen von \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) in \( \frac{A}{B} \) kürzen sich \( n! \) und \( (n-k)! \), sodass \( k! \) übrig bleibt.

- Stell dir vor, du wählst Spieler für eine Mannschaft aus. Was passiert mit den Spielern, die nicht gewählt werden? - Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Auswählen und dem Übriglassen? - Schau dir die Werte in einer Zeile des pascalschen Dreiecks an. Wo liegen die größten Werte? - Wie verhalten sich die Zahlen, wenn du von \(k=0\) beginnst und \(k\) schrittweise erhöhst?

1. Kombinatorische Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(k\) Objekten aus einer Menge von \(n\) Objekten ist gleichbedeutend damit, festzulegen, welche \(n-k\) Objekte nicht ausgewählt werden. Da jede Auswahl von \(k\) Objekten eindeutig eine Restmenge von \(n-k\) Objekten bestimmt, muss die Anzahl der Möglichkeiten für beide Vorgänge identisch sein. Daraus folgt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\). 2. Anwendung auf \(\binom{40}{38}\): Aus einer Gruppe von \(40\) Personen \(38\) Personen für ein Team auszuwählen ist dasselbe, wie zu bestimmen, welche \(2\) Personen nicht im Team sind. Da es \(\binom{40}{2}\) Möglichkeiten gibt, \(2\) Personen auszuschließen, gilt die Gleichheit. 3. Maximaler Wert: Die Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) wachsen für festes \(n\) bis zur Mitte an und fallen danach wieder ab. Bei \(n=12\) (gerade Zahl) liegt das Maximum genau in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2} = 6\).

a) Jede Auswahl von \(k\) Elementen entspricht eindeutig der Auswahl der \(n-k\) Elemente, die nicht genommen werden. b) \(38\) Objekte aus \(40\) zu wählen ist gleichbedeutend damit, \(2\) Objekte aus \(40\) abzuwählen. c) \(k = 6\). Begründung: Das Maximum der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) liegt bei geradem \(n\) in der Mitte bei \(k = \frac{n}{2}\).

- Für a) wählst du vier Objekte aus insgesamt 25 ohne Beachtung der Reihenfolge. - Für b) wählst du getrennt aus der Gruppe der defekten und aus der Gruppe der intakten Widerstände. - Zerlege „mindestens 3 defekt“ in die möglichen exakten Anzahlen und zähle jede Zusammensetzung separat. - Übertrage bei d) die beiden Widerstandsarten auf zwei Kugelsorten und beachte, dass entnommene Widerstände nicht zurückgelegt werden.

1. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{4}=12\,650\) Möglichkeiten, vier Widerstände auszuwählen. 2. Für genau zwei defekte und zwei intakte Widerstände gibt es \(\binom52\binom{20}{2}=10\cdot190=1900\) Möglichkeiten. 3. „Mindestens drei defekt“ umfasst genau drei oder genau vier defekte Widerstände. Für genau drei gibt es \(\binom53\binom{20}{1}=10\cdot20=200\) Möglichkeiten, für genau vier \(\binom54\binom{20}{0}=5\). Insgesamt sind es \(200+5=205\) Möglichkeiten. 4. Ein passendes Urnenmodell ist eine Urne mit 5 Kugeln einer Sorte „defekt“ und 20 Kugeln einer Sorte „intakt“. Es werden 4 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen; für die Auswahlzählung spielt die Reihenfolge keine Rolle.

a) \(12\,650\) Möglichkeiten b) \(1900\) Möglichkeiten c) \(205\) Möglichkeiten d) Urne mit 5 „defekten“ und 20 „intakten“ Kugeln; vier Ziehungen ohne Zurücklegen, Reihenfolge für die Auswahl ohne Bedeutung.

- Überlege dir, ob die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt oder nicht. - Was passiert mit den Beilagen, die du nicht auswählst? - Wie viele Entscheidungen (ja/nein) müssen für die gesamte Auswahl getroffen werden? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Summe einer Zeile im pascalschen Dreieck und der Zweierpotenz.

1. Berechnung der Kombinationen für \(k = 4\) aus \(n = 12\) mithilfe des Binomialkoeffizienten: \(\binom{12}{4} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495\). 2. Begründung der Symmetrie: Die Auswahl von \(8\) Beilagen, die auf den Teller kommen, entspricht logisch der Auswahl von \(4\) Beilagen, die nicht gewählt werden. Mathematisch gilt \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\), also \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\). 3. Berechnung der Gesamtzahl aller Teilmengen einer \(12\)-elementigen Menge: Die Summe der Binomialkoeffizienten \(\sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k}\) ergibt \(2^{12} = 4096\).

a) Es gibt \(495\) Möglichkeiten. b) Aufgrund der Symmetrie des Binomialkoeffizienten gilt \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4}\). Jede Auswahl von \(8\) Objekten bestimmt eindeutig eine Restmenge von \(4\) Objekten. c) Es gibt insgesamt \(2^{12} = 4096\) Kombinationsmöglichkeiten.

- Wie viele Möglichkeiten gibt es pro Frage? - „Mindestens 9“ bedeutet, dass entweder 9 oder 10 Fragen richtig sein können. - Welches Modell beschreibt das Ziehen von Positionen ohne Beachtung der Reihenfolge? - Kannst du die Gesamtzahl sowohl über die Einzelmöglichkeiten pro Frage als auch über die Summe aller Trefferzahlen erklären?

1. Bestimmung der Anzahl für \(k = 7\) aus \(n = 10\): \(\binom{10}{7} = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\). 2. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) Kugeln aus einer Urne mit \(10\) nummerierten Kugeln (die die Fragen repräsentieren) ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Die gezogenen Kugeln entsprechen den richtig beantworteten Fragen. 3. Berechnung für „mindestens \(9\)“: Summe aus genau \(9\) Richtigen und genau \(10\) Richtigen: \(\binom{10}{9} + \binom{10}{10} = 10 + 1 = 11\). 4. Gesamtzahl der Antwortmuster: Jede der \(10\) Fragen hat \(2\) Antwortmöglichkeiten. Nach dem Zählprinzip ergibt sich \(2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2 = 2^{10} = 1024\). Alternativ über die Summe der Binomialkoeffizienten: \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10}\).

a) Es gibt \(120\) Möglichkeiten. Urnenmodell: Ziehen von \(7\) aus \(10\) Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. b) Es gibt \(11\) Möglichkeiten (\(10\) für genau neun Richtige und \(1\) für alle zehn Richtigen). c) Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist \(\sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} = 2^{10} = 1024\).

- Wie viele Auswahlmöglichkeiten gibt es getrennt für Studierende und Berufstätige? - Für b) vergleichst du die günstigen Teams mit allen möglichen 6er-Teams. - Was bedeutet das Pluszeichen in c): Werden zwei Fälle kombiniert oder zwei Entscheidungen gleichzeitig getroffen?

1. Für vier Studierende und zwei Berufstätige gibt es \(\binom{15}{4}\binom{10}{2}=61\,425\) Teams. 2. Insgesamt gibt es \(\binom{25}{6}=177\,100\) Teams. Daher ist \(P(X=4)=\frac{61425}{177100}=\frac{351}{1012}\). 3. \(\binom{15}{6}\) zählt Teams nur aus Studierenden, \(\binom{10}{6}\) Teams nur aus Berufstätigen. Die Summe zählt also alle Teams, die vollständig aus einer der beiden Gruppen bestehen.

a) \(61\,425\) b) \(\frac{351}{1012}\) c) Anzahl der Teams, die ausschließlich aus Studierenden oder ausschließlich aus Berufstätigen bestehen.

- Stelle dir die 5 Ziehungen als Plätze in einer Reihe vor. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Plätze für Herr Schmidt und Frau Schmidt auszuwählen? - Da die Lose zurückgelegt werden, bleibt die Gewinnwahrscheinlichkeit in jeder Runde gleich. - Welche Wahrscheinlichkeit haben die Personen, die weder Herr noch Frau Schmidt sind? - Überlege, wie man die Wahrscheinlichkeit für eine ganz bestimmte Reihenfolge (z. B. erst Herr Schmidt, dann Frau Schmidt, dann der Rest) berechnet.

1. Identifikation des Experiments als fünfstufiges Zufallsexperiment mit drei möglichen Ergebnissen pro Stufe (H: Herr Schmidt gewinnt, F: Frau Schmidt gewinnt, S: Jemand anderes gewinnt). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten für ein einzelnes Ereignis: \(P(H) = \frac{1}{20}\), \(P(F) = \frac{1}{20}\) und \(P(S) = \frac{18}{20}\). 3. Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, die Gewinne in der Ziehungsreihenfolge anzuordnen: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines spezifischen Pfades (z. B. H-H-F-S-S): \((\frac{1}{20})^2 \cdot (\frac{1}{20})^1 \cdot (\frac{18}{20})^2 = \frac{1}{400} \cdot \frac{1}{20} \cdot \frac{324}{400} = \frac{324}{3200000}\). 5. Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeit mit der Anzahl der Anordnungen: \(30 \cdot \frac{324}{3200000} = 0{,}0030375\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}0030375\) (oder \(0{,}30375\,\%\)).

- Welche Kombinationen von Äpfeln und Birnen erfüllen die Bedingung, dass mehr Äpfel als Birnen gezogen werden? - Berechne die Anzahl der Möglichkeiten für jede dieser Kombinationen einzeln. - Wie kombinierst du die Ergebnisse der verschiedenen Fälle, um die Gesamtzahl zu erhalten? - Denke daran, dass „gleichzeitig entnommen“ bedeutet, dass die Reihenfolge egal ist.

1. Identifikation der günstigen Fälle für „mehr Äpfel als Birnen“ bei einer Stichprobe von 4 Früchten: (3 Äpfel, 1 Birne) oder (4 Äpfel, 0 Birnen). 2. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (3 Äpfel, 1 Birne): \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). 3. Berechnung der Möglichkeiten für den Fall (4 Äpfel, 0 Birnen): \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). 4. Addition der Möglichkeiten beider disjunkter Fälle: \(720 + 210 = 930\).

Die Bedingung „mehr Äpfel als Birnen“ ist bei 4 entnommenen Früchten erfüllt, wenn entweder 3 Äpfel und 1 Birne oder 4 Äpfel und 0 Birnen gewählt werden. Anzahl Wege für 3 Äpfel und 1 Birne: \(\binom{10}{3} \cdot \binom{6}{1} = 120 \cdot 6 = 720\). Anzahl Wege für 4 Äpfel und 0 Birnen: \(\binom{10}{4} \cdot \binom{6}{0} = 210 \cdot 1 = 210\). Gesamtanzahl: \(720 + 210 = 930\).

- Bestimme zunächst die drei Einzelwahrscheinlichkeiten für „6“, „1“ und „andere Zahl“. - Wähle zuerst die Positionen der Sechsen und danach aus den verbleibenden Positionen die Stellen der Einsen. - Die übrigen Positionen sind automatisch der dritten Kategorie zugeordnet. - Verbinde die Anzahl der möglichen Anordnungen mit der Wahrscheinlichkeit einer festen Anordnung.

1. Für einen einzelnen Wurf gilt \(P(6)=\frac16\), \(P(1)=\frac16\) und \(P(\text{andere})=\frac46=\frac23\). 2. Die Positionen der zwei Sechsen können auf \(\binom{10}{2}\) Arten gewählt werden. Aus den verbleibenden acht Positionen werden die drei Positionen der Einsen auf \(\binom83\) Arten gewählt; die restlichen fünf Positionen sind dann „andere Zahl“. 3. Wegen der Unabhängigkeit der Würfe ist die Wahrscheinlichkeit einer festgelegten solchen Anordnung \((\frac16)^2(\frac16)^3(\frac23)^5\). 4. Daher ist \(P=\binom{10}{2}\binom83(\frac16)^2(\frac16)^3(\frac23)^5=\frac{280}{6561}\approx0{,}0427\).

\(P=\frac{280}{6561}\approx0{,}0427\), also etwa \(4{,}27\,\%\).

- Ordne die Exponenten den drei Paketkategorien zu. - Überlege, welche Positionen zuerst festgelegt werden und wie viele Positionen danach noch frei sind. - Der letzte verbleibende Platz ist automatisch der dritten Kategorie zugeordnet.

1. Die Exponenten zeigen, dass \(E\) genau 8 leichte, 3 Standard- und 1 schweres Paket beschreibt. 2. \(\binom{12}{8}\) wählt aus den 12 Positionen die acht Stellen für leichte Pakete. 3. Danach bleiben vier Positionen übrig. \(\binom43\) wählt daraus die drei Stellen für Standard-Pakete; die letzte Position ist damit automatisch für das schwere Paket bestimmt. 4. Wegen der unabhängigen Untersuchungen besitzt jede feste Anordnung mit dieser Zusammensetzung die Wahrscheinlichkeit \(0{,}6^8\cdot0{,}3^3\cdot0{,}1\).

\(E\): Unter den 12 Paketen befinden sich genau 8 leichte, 3 Standard- und 1 schweres Paket. \(\binom{12}{8}\) wählt die Positionen der leichten Pakete; \(\binom43\) wählt anschließend aus den vier übrigen Positionen die drei Positionen der Standard-Pakete.

- Wie viele Personen müssen noch ausgewählt werden, wenn zwei bereits feststehen? - Überlege, wie man die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, zwei Gruppen unabhängig voneinander zu kombinieren. - Was bedeutet es für die Zusammensetzung des Teams, wenn man von allen Möglichkeiten diejenigen abzieht, bei denen nur Jungen ausgewählt werden? - Erinnere dich an das Prinzip des Gegenereignisses.

1. Für Ereignis \(A\) müssen Sophie und Leon fest im Team sein. Aus den verbleibenden \(16\) Personen werden die restlichen \(2\) Teammitglieder ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist \(\binom{16}{2}\). Die Gesamtzahl der Möglichkeiten, \(4\) Personen aus \(18\) zu wählen, beträgt \(\binom{18}{4}\). Der Term lautet: \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\). 2. Für Ereignis \(B\) werden \(2\) Mädchen aus \(10\) und \(2\) Jungen aus \(8\) ausgewählt. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse ist das Produkt \(\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}\). Der Term lautet: \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\). 3. Im Term für Aufgabenteil b) steht \(\binom{18}{4}\) für die Gesamtzahl der Möglichkeiten. Der Subtrahend \(\binom{8}{4}\) gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, ein Team ausschließlich aus Jungen zusammenzustellen. Die Differenz im Zähler entspricht somit der Anzahl der Teams mit mindestens einem Mädchen. Das Ereignis lautet: „Dem Team gehört mindestens ein Mädchen an.“

a) \(P(A) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{18}{4}}\); \(P(B) = \frac{\binom{10}{2} \cdot \binom{8}{2}}{\binom{18}{4}}\) b) „Es befindet sich mindestens ein Mädchen im Team.“

- Entscheide zuerst, ob die Reihenfolge bzw. die konkrete Rolle der ausgewählten Personen wichtig ist. - Bei c) werden passende Auswahlen aus zwei Teilgruppen kombiniert. - Vergleiche die günstigen 5er-Gruppen mit allen möglichen 5er-Gruppen.

1. Zu a) passt zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter Vorsitz, Protokoll, Kasse und Moderation unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ Die Reihenfolge bzw. das Amt macht einen Unterschied. 2. Zu b) passt zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den 25 Jugendlichen für den Ausflug gebildet werden?“ Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle. 3. Für c) gilt \(P(X=3)=\frac{\binom{15}{3}\binom{10}{2}}{\binom{25}{5}}=\frac{20475}{53130}=\frac{195}{506}\).

a) Zum Beispiel: „Wie viele Möglichkeiten gibt es, die vier unterschiedlichen Ämter unter den 25 Jugendlichen zu verteilen?“ b) Zum Beispiel: „Wie viele verschiedene sechsköpfige Gruppen können aus den 25 Jugendlichen gebildet werden?“ c) \(\frac{195}{506}\)

- Überlege dir zuerst, ob die Reihenfolge der Auswahl für die Zusammensetzung des Teams eine Rolle spielt. - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, die Anzahl der Teilmengen (Kombinationen) aus einer Grundmenge zu berechnen? - Was ändert sich an der Anzahl der Möglichkeiten, wenn die Personen innerhalb der Gruppe zusätzlich auf verschiedene Posten verteilt werden?

1. Berechnung der Kombinationen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge: \(\binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 1140\). Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. 2. Da es nur eine Kombination gibt, die genau aus den drei Kurssprechern besteht, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{1}{1140} \approx 0{,}000877\). 3. Berechnung der Variationen unter Berücksichtigung der Reihenfolge (Rollen): \(20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840\) oder alternativ \(\binom{20}{3} \cdot 3! = 1140 \cdot 6 = 6840\). Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

a) Es gibt \(1140\) Möglichkeiten. b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\frac{1}{1140}\) (ca. \(0{,}088\,\%\)). c) Es gibt \(6840\) Möglichkeiten.

- Gehe im Kopf alle Wege im Baum durch und notiere dir die Buchstabenkombinationen an den Enden. - Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Buchstaben \(b\) an eine der drei Positionen in einer Kette der Länge 3 zu setzen? - Was gibt der Binomialkoeffizient \(\binom{n}{k}\) allgemein an?

1. Analyse des Baums: Ein 3-stufiger Baum mit den Ausgängen \(a\) und \(b\) hat insgesamt \(2^3 = 8\) Pfade. 2. Abzählen der Pfade für \(a^2b\): Die Pfade müssen zweimal \(a\) und einmal \(b\) enthalten. Dies sind: \((a, a, b)\), \((a, b, a)\) und \((b, a, a)\). Es gibt also 3 Pfade. 3. Binomialkoeffizient: Der Koeffizient \(\binom{n}{k}\) gibt an, auf wie viele Arten man \(k\) Objekte aus \(n\) Plätzen auswählen kann. Hier wählen wir aus \(n=3\) Stufen \(k=2\) Stufen für das Ereignis \(a\) aus. Da \(\binom{3}{2} = 3\), entspricht dies genau der Anzahl der Pfade.

a) Es gibt 3 Pfade, die zum Term \(a^2b\) führen. b) Die Pfade sind: \(a \rightarrow a \rightarrow b\), \(a \rightarrow b \rightarrow a\) und \(b \rightarrow a \rightarrow a\). c) Der Binomialkoeffizient \(\binom{3}{2} = 3\) gibt genau die Anzahl der Möglichkeiten an, 2-mal \(a\) auf 3 Positionen zu verteilen.

- Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades, um die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ergebnis zu erhalten. - Überlege dir, wie viele verschiedene Reihenfolgen es gibt, um zwei „f“ und ein „d“ anzuordnen. - Das Pascalsche Dreieck liefert die Vorfaktoren für binomische Entwicklungen der Form \((p+q)^n\). - Erinnere dich an die Definition des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\).

1. Bestimmung der Pfade für genau zwei funktionsfähige Bauteile: Die Ergebnisse sind (f, f, d), (f, d, f) und (d, f, f). 2. Berechnung der Pfadwahrscheinlichkeiten: - \(P(f, f, d) = p \cdot p \cdot q = p^2q\) - \(P(f, d, f) = p \cdot q \cdot p = p^2q\) - \(P(d, f, f) = q \cdot p \cdot p = p^2q\) 3. Summation: Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \(p^2q+p^2q+p^2q=3p^2q\). Der Koeffizient ist 3. 4. Zusammenhang mit dem Pascalschen Dreieck: Der Koeffizient entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}=\binom{3}{2}=3\). Er steht in der Zeile \(n=3\) beim Eintrag \(k=2\), also bei Zählung ab 1 in der vierten Zeile an der dritten Stelle. Er gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, \(k=2\) Erfolge auf \(n=3\) Plätze zu verteilen.

a) Die Pfade sind (f, f, d), (f, d, f) und (d, f, f). Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(p^2q\). b) Die Summe ist \(3p^2q\); der Koeffizient ist 3. c) Der Koeffizient 3 steht in der Zeile \(n=3\) beim Eintrag \(k=2\), also bei Zählung ab 1 in der vierten Zeile an der dritten Stelle. Er entspricht dem Binomialkoeffizienten \(\binom{3}{2}\), der die Anzahl der Pfade mit genau zwei Erfolgen in einem dreistufigen Bernoulli-Versuch angibt.

- Ein Pfad ist durch die Positionen der Treffer vollständig festgelegt. - Haben alle Pfade mit gleich vielen Treffern dieselbe Wahrscheinlichkeit? - Trenne beim Verallgemeinern die Anzahl der Pfade von der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades.

1. Ein Pfad mit genau zwei Treffern wird eindeutig dadurch festgelegt, an welchen zwei der vier Positionen Treffer liegen. Dafür gibt es \(\binom{4}{2}=6\) Möglichkeiten. 2. Jeder dieser Pfade enthält zwei Treffer und zwei Nichttreffer und hat daher die Wahrscheinlichkeit \(p^2(1-p)^2\). 3. Die sechs disjunkten Pfade ergeben zusammen \(P(X=2)=\binom{4}{2}p^2(1-p)^2\). 4. Allgemein gibt es für genau \(k\) Treffer unter \(n\) Versuchen \(\binom{n}{k}\) mögliche Trefferpositionen; jeder zugehörige Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k(1-p)^{n-k}\). 5. Somit gilt \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).

a) Die zwei Trefferpositionen können auf \(\binom{4}{2}=6\) Arten gewählt werden. b) \(P(X=2)=\binom{4}{2}p^2(1-p)^2\) c) \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)

- Welche Positionen können die beiden defekten Bauteile in a) einnehmen? - Welche Parameter gehören in b) zur Binomialverteilung? - Lege in c) zuerst die intakten Bauteile fest. Welche Lücken bleiben für Defekte übrig, ohne dass zwei nebeneinander stehen?

1. Für zwei defekte Bauteile unter zehn Positionen gibt es \(\binom{10}{2}=45\) Anordnungen. 2. Für \(X\sim B(10;0{,}05)\) gilt \(P(X=2)=\binom{10}{2}0{,}05^2 0{,}95^8\approx0{,}0746\). 3. Für c) werden zunächst die fünf intakten Bauteile angeordnet. Dadurch entstehen sechs Lücken einschließlich der beiden Randplätze. Die drei defekten Bauteile müssen drei verschiedene Lücken belegen. Daher gibt es \(\binom63=20\) Sequenzen.

a) \(45\) b) \(0{,}0746\) c) \(20\)

- Welche Auswahl wird bei jeder Buchsorte separat getroffen? - Welche beiden Fälle umfasst „mindestens sieben“ bei insgesamt acht Büchern? - Addiere die günstigen Fälle und vergleiche sie mit allen möglichen 8er-Auswahlen.

1. Für a) werden unabhängig fünf der 18 Kriminalromane und drei der 12 historischen Romane ausgewählt. Da die Reihenfolge keine Rolle spielt, zählt das Produkt \(\binom{18}{5}\binom{12}{3}\) genau diese Auswahlen. 2. „Mindestens sieben“ bedeutet genau sieben oder genau acht Kriminalromane. Die Zahl günstiger Auswahlen ist \(\binom{18}{7}\binom{12}{1}+\binom{18}{8}\binom{12}{0}=425\,646\). 3. Insgesamt gibt es \(\binom{30}{8}=5\,852\,925\) Auswahlen. Daher gilt \(P=\frac{425646}{5852925}=\frac{3638}{50025}\).

a) Das Produkt kombiniert die unabhängige Auswahl von fünf Kriminalromanen und drei historischen Romanen. b) \(\frac{3638}{50025}\)

- Wie viele gelbe Kugeln müssen gezogen werden, wenn die Gesamtzahl der Züge 6 ist und Rot sowie Blau jeweils genau zweimal vorkommen sollen? - Überlege zuerst, wie wahrscheinlich eine ganz bestimmte Reihenfolge ist, zum Beispiel: Rot, Rot, Blau, Blau, Gelb, Gelb. - Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es, um diese sechs Kugeln anzuordnen? - Nutze die Pfadregeln für unabhängige Ereignisse.

1. Festlegung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Farben: \(P(R) = 0{,}2\), \(P(B) = 0{,}3\) und \(P(G) = 0{,}5\). 2. Da genau zwei rote und genau zwei blaue Kugeln gezogen werden sollen, müssen bei insgesamt 6 Ziehungen auch genau zwei gelbe Kugeln gezogen werden. 3. Berechnung der Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für die Anordnung (Multinomialkoeffizient): \(\frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{720}{8} = 90\). Alternativ über Binomialkoeffizienten: \(\binom{6}{2} \cdot \binom{4}{2} \cdot \binom{2}{2} = 15 \cdot 6 \cdot 1 = 90\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine einzelne passende Kombination: \(0{,}2^2 \cdot 0{,}3^2 \cdot 0{,}5^2 = 0{,}04 \cdot 0{,}09 \cdot 0{,}25 = 0{,}0009\). 5. Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit: \(90 \cdot 0{,}0009 = 0{,}081\).

Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(0{,}081\) (oder \(8{,}1\,\%\)).