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- Welche ganzzahligen Werte gehören zum abgeschlossenen Intervall von \(1\) bis \(3\)? - Addiere nur die Säulenhöhen, die zu diesen Werten gehören.

1. Zum Intervall \(1\le X\le3\) gehören die Werte \(1\), \(2\) und \(3\). 2. Aus dem Diagramm liest man die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}25\), \(0{,}375\) und \(0{,}25\) ab. 3. Daher ist \(P(1\le X\le3)=0{,}25+0{,}375+0{,}25=0{,}875\).

\(P(1\le X\le3)=0{,}875\)

- Welcher kumulierte Wert enthält bereits die gesamte obere Intervallgrenze? - Bis zu welchem Wert musst du anschließend alles entfernen, damit \(3\) noch enthalten bleibt?

1. \(P(X\le5)\) enthält alle Werte von \(0\) bis \(5\). 2. Um nur die Werte \(3\), \(4\) und \(5\) zu behalten, werden die Werte bis einschließlich \(2\) abgezogen. 3. Daher gilt \(P(3\le X\le5)=P(X\le5)-P(X\le2)\).

\(P(3\le X\le5)=P(X\le5)-P(X\le2)\)

- Beachte genau, welche Randwerte in den Summen enthalten sind. - Jeder Summand steht für eine Punktwahrscheinlichkeit zu einer bestimmten Trefferzahl. - Welche verbale Intervallbeschreibung gehört zu den jeweiligen Summationsgrenzen?

1. Der Term in a) beschreibt bei \(n=8\) und \(p=0{,}25\) das Ereignis \(3\le X\le5\). Die Summe der drei Punktwahrscheinlichkeiten ist \(\frac{10395}{32768}\). 2. Der Term in b) beschreibt bei \(n=12\) und \(p=0{,}5\) das Ereignis \(4\le X\le6\). Es gilt \(\frac{495}{4096}+\frac{792}{4096}+\frac{924}{4096}=\frac{2211}{4096}\).

a) Trefferzahl von \(3\) bis \(5\); \(\frac{10395}{32768}\) b) Trefferzahl von \(4\) bis \(6\); \(\frac{2211}{4096}\)

- Welche Binomialparameter ergeben sich aus dem Text? - Schreibe den gesuchten Bereich als Ungleichung für \(X\). - Welcher kumulative Wert muss abgezogen werden, damit \(12\) noch zum Intervall gehört?

1. Für die Zahl \(X\) der aussortierten Pakete gilt \(X\sim B(120;0{,}15)\). 2. Gesucht ist \(P(12\le X\le24)=F(24)-F(11)\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners und ungerundeten kumulativen Werten ergibt sich \(P(12\le X\le24)\approx90{,}52\,\%\).

\(90{,}52\,\%\)

- Welche Gewinnzahlen gehören zu „mindestens einmal, aber höchstens dreimal“? - Welche Binomialparameter gelten? - Addiere die Punktwahrscheinlichkeiten für die günstigen Trefferzahlen.

1. Es gilt \(X\sim B(10;0{,}2)\). 2. Gesucht ist \(P(1\le X\le3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\). 3. Die Summe der drei Binomial-Punktwahrscheinlichkeiten ergibt \(P(1\le X\le3)\approx77{,}18\,\%\).

\(77{,}18\,\%\)

- Welche drei Trefferzahlen sind im angegebenen Bereich enthalten? - Welche Werte haben \(n\) und \(p\)? - Addiere die drei zugehörigen Binomial-Punktwahrscheinlichkeiten.

1. Es gilt \(X\sim B(15;0{,}6)\). 2. Gesucht ist \(P(8\le X\le10)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)\). 3. Die Summe der drei Binomial-Punktwahrscheinlichkeiten ergibt \(P(8\le X\le10)\approx56{,}96\,\%\).

\(56{,}96\,\%\)

- Welche Zufallsgröße zählt die Treffer auf dem blauen Sektor? - Welche Trefferzahlen gehören jeweils zu „höchstens einmal“ und „mindestens einmal“? - Bei welchem Ereignis ist das Gegenereignis besonders kurz zu berechnen?

1. Mit der Trefferzahl \(X\), \(n=6\) und \(p=\frac{1}{5}=0{,}2\) gilt wegen der unabhängigen Drehungen \(X\sim B(6;0{,}2)\). 2. \(P(X=2)=\binom{6}{2}\cdot0{,}2^2\cdot0{,}8^4=0{,}24576\). 3. \(P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1)=0{,}262144+0{,}393216=0{,}65536\). 4. Mit dem Gegenereignis gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}8^6=0{,}737856\).

(1) \(0{,}24576\) bzw. \(24{,}576\,\%\) (2) \(0{,}65536\) bzw. \(65{,}536\,\%\) (3) \(0{,}737856\) bzw. \(73{,}7856\,\%\)

- Welche Bedingungen des Binomialmodells sind im Aufgabentext festgelegt? - Welche Trefferzahlen gehören zum Gegenereignis von „mehr als zwei“? - Vermeide frühes Runden, wenn mehrere Wahrscheinlichkeiten kombiniert werden.

1. Für die Anzahl \(X\) der fehlerhaften Chips gilt \(X\sim B(10;0{,}05)\). 2. \(P(X=1)=\binom{10}{1}0{,}05\cdot0{,}95^9\approx0{,}315125\), also \(31{,}51\,\%\). 3. \(P(X=0)=0{,}95^{10}\approx0{,}598737\), also \(59{,}87\,\%\). 4. Für Teil (3) gilt \(P(X>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{10}{k}0{,}05^k0{,}95^{10-k}\approx0{,}011504\), also \(1{,}15\,\%\).

(1) \(31{,}51\,\%\) (2) \(59{,}87\,\%\) (3) \(1{,}15\,\%\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat eine zufällig gewählte Antwort bei jeder Aufgabe? - Welche Trefferzahlen erfüllen die Bedingung „mehr als sechs“? - Kannst du die gesuchte obere Randwahrscheinlichkeit als Summe weniger Punktwahrscheinlichkeiten schreiben?

1. Für die Anzahl \(X\) der richtigen Antworten gilt \(X\sim B(8;0{,}25)\). 2. \(P(X=3)=\binom{8}{3}0{,}25^3 0{,}75^5\approx0{,}207642\), also \(20{,}76\,\%\). 3. Für „mehr als sechs“ gilt \(P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)\). 4. Es ist \(P(X=7)=\frac{24}{65536}\) und \(P(X=8)=\frac{1}{65536}\). 5. Daher gilt \(P(X>6)=\frac{25}{65536}\).

a) \(20{,}76\,\%\) b) \(\frac{25}{65536}\)

- Bestimme die Anzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch. - Für „genau 9“ brauchst du eine einzelne Binomial-Punktwahrscheinlichkeit. - „Mindestens 10“ umfasst drei mögliche Trefferzahlen.

1. Wegen Zurücklegen und erneutem Mischen werden die \(12\) Rateversuche unabhängig mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit \(p=0{,}5\) modelliert. Damit gilt \(X\sim B(12;0{,}5)\). 2. \(P(X=9)=\binom{12}{9}(0{,}5)^{12}=\frac{220}{4096}=\frac{55}{1024}\). 3. \(P(X\ge10)=P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)=\frac{66+12+1}{4096}=\frac{79}{4096}\).

a) \(\frac{55}{1024}\) b) \(\frac{79}{4096}\)

- Überlege, ob sich die Wahrscheinlichkeit für einen Gutschein von Paket zu Paket ändert. - Welche Verteilung ist geeignet, wenn man eine feste Anzahl von unabhängigen Versuchen mit jeweils zwei möglichen Ausgängen hat? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für „genau k Treffer“? - Bei „mindestens eins“ hilft oft der Blick auf das Gegenteil. Was darf nicht passieren?

1. Da die Pakete unabhängig voneinander mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}2\) einen Gutschein enthalten, ist die Zufallsgröße \(X\) binomialverteilt mit \(n=12\) und \(p=0{,}2\). 2. \(P(X=3)=\binom{12}{3}0{,}2^3 0{,}8^9\approx0{,}236223\), also \(23{,}62\,\%\). 3. Das Gegenereignis zu „mindestens ein Gutschein“ ist \(X=0\). Daher ist \(P(X\ge1)=1-0{,}8^{12}\approx0{,}931281\), also \(93{,}13\,\%\).

a) \(23{,}62\,\%\) b) \(93{,}13\,\%\)

- Identifiziere zunächst \(n\) und \(p\) der Binomialverteilung. - Für a) wird eine Punktwahrscheinlichkeit gesucht. - „Mindestens 5“ umfasst die Trefferzahlen 5 und 6.

1. Es gilt \(X\sim B(6;0{,}75)\). 2. \(P(X=4)=\binom{6}{4}0{,}75^4 0{,}25^2=0{,}296630859375\), also \(29{,}66\,\%\). 3. \(P(X\ge5)=\binom{6}{5}0{,}75^5 0{,}25+0{,}75^6=0{,}533935546875\), also \(53{,}39\,\%\).

a) \(29{,}66\,\%\) b) \(53{,}39\,\%\)

- Nutze bei „mehr als“ das Gegenereignis. - Für ein geschlossenes Intervall gilt \(F(b)-F(a-1)\). - Achte auf die eingeschlossenen Randwerte.

1. Mit \(F(k)=P(X\le k)\) liefert die kumulative Binomialfunktion \(F(4)\approx0{,}2552\). 2. \(P(X>8)=1-F(8)\approx0{,}1287\). 3. \(P(5\le X\le10)=F(10)-F(4)\approx0{,}7192\), mit ungerundeten Rechnerwerten.

a) \(0{,}2552\) b) \(0{,}1287\) c) \(0{,}7192\)

- Welche ganzen Zahlen liegen strikt zwischen 22 und 32? - Wie wird ein geschlossenes Intervall aus kumulierten Wahrscheinlichkeiten gebildet? - Achte auf die Randwerte.

1. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(20)\approx0{,}0368\). 2. Wegen der Ganzzahligkeit gilt \(22<X<32\iff23\le X\le31\). Daher ist \(P(23\le X\le31)=F(31)-F(22)\approx0{,}6980\), mit ungerundeten Rechnerwerten.

a) \(0{,}0368\) b) \(0{,}6980\)

- Welche Zufallsgröße zählt hier die Treffer und welche Parameter hat ihr Binomialmodell? - Welche Trefferzahlen gehören zu „höchstens drei“? - Welches Gegenereignis vereinfacht „mindestens eine Person“?

1. Es gilt \(X\sim B(80;0{,}025)\). 2. \(P(X=2)=\binom{80}{2}0{,}025^2 0{,}975^{78}\approx0{,}274111\), also \(27{,}41\,\%\). 3. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le3)\approx0{,}859432\), also \(85{,}94\,\%\). 4. Mit dem Gegenereignis gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}975^{80}\approx0{,}868062\), also \(86{,}81\,\%\).

a) \(27{,}41\,\%\) b) \(85{,}94\,\%\) c) \(86{,}81\,\%\)

- Wie berechnet man den Erwartungswert bei einer Binomialverteilung? - Welche Formel nutzt du für die Standardabweichung? - Was bedeutet „um höchstens 5 abweichen“ mathematisch für das Intervall? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe kumulierter Wahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=150\cdot0{,}4=60\). Für die Standardabweichung gilt \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{150\cdot0{,}4\cdot0{,}6}=6\). 2. Gesucht ist \(P(55\le X\le65)\). Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(55\le X\le65)=F(65)-F(54)\approx0{,}6407\), berechnet mit ungerundeten Rechnerwerten.

1. \(\mu=60\); \(\sigma=6\) 2. \(P(55\le X\le65)\approx0{,}6407\)

- Was bedeutet \(F(k)=P(X\le k)\)? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für ein geschlossenes Intervall mit zwei kumulierten Werten ausdrücken? - Welcher Wert muss abgezogen werden, damit die untere Grenze \(80\) noch eingeschlossen ist?

1. Gesucht ist \(P(80\le X\le110)=F(110)-F(79)\). 2. Aus Tafelwerk oder Taschenrechner erhält man für die kumulative Binomialverteilung \(F(110)\approx0{,}940471\) und \(F(79)\approx0{,}033706\). 3. Mit den ungerundeten Werten folgt \(P(80\le X\le110)\approx0{,}9068\).

\(P(80\le X\le110)\approx0{,}9068\)

- Welche Bedingungen des Modells rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welcher kumulierte Wert muss abgezogen werden, damit \(122\) noch zum Intervall gehört? - Prüfe, ob eine einzelne Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten genügt.

1. Es gilt \(X\sim B(150;0{,}85)\). 2. Zur Einordnung ist \(\mu=np=150\cdot0{,}85=127{,}5\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(122\le X\le132)=F(132)-F(121)\). 4. Mit den ungerundeten Rechnerwerten ergibt sich \(P(122\le X\le132)\approx0{,}7875\).

\(P(122\le X\le132)\approx0{,}7875\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat Rot bei einer einzelnen Drehung? - Übersetze „mehr als“, „mindestens ... höchstens“ und „weniger als“ sorgfältig in Bedingungen an \(X\). - Welche der drei Wahrscheinlichkeiten lässt sich besonders einfach über ein Gegenereignis bestimmen?

1. Für Rot gilt bei jeder Drehung \(p=\frac14=0{,}25\), also \(X\sim B(40;0{,}25)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(X>12)=1-F(12)\approx17{,}91\,\%\). 3. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(8\le X\le12)=F(12)-F(7)\approx63{,}89\,\%\). 4. \(P(X<5)=F(4)\approx1{,}60\,\%\).

a) \(17{,}91\,\%\) b) \(63{,}89\,\%\) c) \(1{,}60\,\%\)

- Eine Intervallwahrscheinlichkeit entspricht der Summe der Säulen im betreffenden Bereich. - Welche drei Säulen sind insgesamt am höchsten? - Nutze die Symmetrie der Verteilung, bevor du irgendetwas ausrechnest.

1. Im mittleren Intervall von 3 bis 5 liegen die drei höchsten Säulen des Diagramms. Seine Gesamtwahrscheinlichkeit ist daher größer als die der beiden Randintervalle. 2. Die Verteilung ist bei \(p=0{,}5\) symmetrisch um \(4\). Die Säulen bei \(0,1,2\) entsprechen den gleich hohen Säulen bei \(8,7,6\). 3. Deshalb gilt \(P(0\le X\le2)=P(6\le X\le8)<P(3\le X\le5)\).

\(P(0\le X\le2)=P(6\le X\le8)<P(3\le X\le5)\)

- Welche ganzzahligen Trefferzahlen gehören jeweils zu „mindestens 8“ und zu „mehr als 5, aber weniger als 9“? - Für ein Intervall von Trefferzahlen werden die zugehörigen Punktwahrscheinlichkeiten addiert. - Achte besonders darauf, ob die Randwerte mitgezählt werden.

1. Für a) sind die Trefferzahlen \(8\), \(9\) und \(10\) günstig. Daher gilt \(P(X\ge8)=\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}0{,}7^k0{,}3^{10-k}\). 2. Für b) bedeutet \(5<X<9\), dass \(X\in\{6,7,8\}\). Daher gilt \(P(5<X<9)=\sum_{k=6}^{8}\binom{10}{k}0{,}7^k0{,}3^{10-k}\).

a) \(\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}0{,}7^k0{,}3^{10-k}\) b) \(\sum_{k=6}^{8}\binom{10}{k}0{,}7^k0{,}3^{10-k}\)

- Was bedeutet die kumulative Verteilungsfunktion anschaulich für die Summe von Einzelwahrscheinlichkeiten? - Wie kannst du das Ereignis „höchstens \(b\)“ in zwei Teilbereiche zerlegen, von denen einer „höchstens \(a\)“ ist? - Überlege dir, welche Einzelereignisse \(X=i\) in \(F(b)\) enthalten sind, die in \(F(a)\) nicht vorkommen. - Hilft es dir, die Wahrscheinlichkeiten als Balken in einem Histogramm darzustellen?

1. Die kumulative Verteilungsfunktion \(F(k)\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsgröße \(X\) einen Wert kleiner oder gleich \(k\) annimmt: \(F(k) = P(X \le k)\). 2. Das Ereignis \(\{X \le b\}\) lässt sich als Vereinigung der zwei disjunkten Teilereignisse \(\{X \le a\}\) und \(\{a < X \le b\}\) darstellen, da \(a < b\) gilt. 3. Nach dem Axiom der Additivität für disjunkte Ereignisse gilt: \(P(X \le b) = P(X \le a) + P(a < X \le b)\). 4. Durch Umstellen der Gleichung und Einsetzen der Definition von \(F\) folgt: \(P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a) = F(b) - F(a)\).

Da das Ereignis \(X \le b\) in die disjunkten Teilereignisse \(X \le a\) und \(a < X \le b\) zerlegt werden kann, gilt \(P(X \le b) = P(X \le a) + P(a < X \le b)\). Daraus folgt durch Subtraktion \(P(a < X \le b) = F(b) - F(a)\).

- Schreibe die Betragsbedingungen zunächst als Doppelungleichungen. - Welche ganzzahligen Werte liegen in den entstehenden Intervallen? - Für ein geschlossenes Intervall \(a\le X\le b\) hilft \(F(b)-F(a-1)\). - Bei (2) ist das Gegenereignis besonders kurz.

1. Aus \(|X-20|\le3\) folgt \(17\le X\le23\). Die möglichen Werte sind \(17,18,19,20,21,22,23\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners erhält man \(F(23)=P(X\le23)\approx0{,}8181\) und \(F(16)\approx0{,}1841\). Daher ist \(P(17\le X\le23)=F(23)-F(16)\approx0{,}6340\). 3. Das Gegenereignis liefert \(P(|X-20|>3)=1-P(|X-20|\le3)\approx0{,}3660\). 4. Aus \(|X-18|<2\) folgt \(17\le X\le19\). Mit \(F(19)\approx0{,}4572\) aus derselben kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(17\le X\le19)=F(19)-F(16)\approx0{,}2731\).

a) \(X\in\{17,18,19,20,21,22,23\}\) b) (1) \(0{,}6340\) (2) \(0{,}3660\) (3) \(0{,}2731\)

- Bestimme zuerst den Erwartungswert. - Übersetze jede Betragsbedingung in ein Intervall ganzzahliger Werte. - Bei b) ist das Gegenereignis einfacher. - Für c) genügt es, die kleinsten sinnvollen Werte von \(k\) der Reihe nach zu prüfen.

1. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=20\). 2. Für a) gilt \(P(|X-20|\le2)=P(18\le X\le22)\). Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners erhält man \(F(22)\approx0{,}7556\) und \(F(17)\approx0{,}2495\). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(F(22)-F(17)\approx0{,}5061\). 3. Für b) ist das Gegenereignis \(|X-20|<4\), also \(17\le X\le23\). Mit \(F(23)\approx0{,}8315\) und \(F(16)\approx0{,}1692\) aus der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(|X-20|\ge4)=1-[F(23)-F(16)]\approx0{,}3377\). 4. Für \(k=1\) ist \(P(19\le X\le21)=F(21)-F(18)\approx0{,}3183<0{,}5\). Aus a) ist für \(k=2\) bereits \(P(|X-20|\le2)\approx0{,}5061>0{,}5\) bekannt. Daher ist \(k=2\) minimal.

a) \(0{,}5061\) b) \(0{,}3377\) c) \(k=2\)

- Wie hoch ist die Trefferwahrscheinlichkeit beim reinen Raten? - Was bedeutet „mehr als 10“ für die ganzzahlige Trefferzahl? - Für b) gehören welche Randwerte zum Ereignis? - Ein Gegenereignis bzw. eine Differenz kumulierter Werte kann die Rechnung verkürzen.

1. Für die Zahl \(X\) der richtigen Antworten gilt \(X\sim B(30;0{,}25)\). 2. Für a) gilt \(P(X>10)=1-P(X\le10)\). Die kumulative Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(F(10)\approx0{,}8943\). Daher ist \(P(X>10)\approx0{,}1057\). 3. Für b) gilt \(5\le X\le9\). Mit \(F(9)\approx0{,}8034\) und \(F(4)\approx0{,}0979\) aus derselben kumulativen Binomialfunktion folgt \(P(5\le X\le9)=F(9)-F(4)\approx0{,}7055\).

a) \(0{,}1057\) b) \(0{,}7055\)

- Welche Verteilung passt zu unabhängigen Versuchen mit zwei Ausgängen und konstantem \(p\)? - Wie lassen sich „höchstens“ und „mehr als“ mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Für ein geschlossenes Intervall hilft \(F(b)-F(a-1)\).

1. Es gilt \(X\sim B(250;0{,}04)\). 2. Die kumulative Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X\le5)=F(5)\approx0{,}0633\). 3. Für mehr als \(12\) gilt \(P(X>12)=1-F(12)\approx0{,}2045\). 4. Für das geschlossene Intervall gilt \(P(8\le X\le15)=F(15)-F(7)\approx0{,}7400\), wobei die Differenz mit ungerundeten kumulativen Werten gebildet wird.

(1) \(0{,}0633\) (2) \(0{,}2045\) (3) \(0{,}7400\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit steht im Text? - Wie berechnet man den Erwartungswert einer binomialverteilten Größe? - Welche zwei Trefferzahlen gehören bei 20 Samen zu „mindestens 19“?

1. Die Keimwahrscheinlichkeit ist \(p=0{,}8\). Für \(450\) Samen ist der Erwartungswert \(E(X)=450\cdot0{,}8=360\). 2. Für den Topf gilt \(X\sim B(20;0{,}8)\). Daher ist \(P(X=18)=\binom{20}{18}0{,}8^{18}0{,}2^2\approx13{,}69\,\%\). 3. Für mindestens \(19\) Keimlinge gilt \(P(X\ge19)=P(X=19)+P(X=20)\approx6{,}92\,\%\).

a) \(360\) Keimlinge b) \(13{,}69\,\%\) c) \(6{,}92\,\%\)

- Welche Binomialparameter ergeben sich aus dem Modell? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens 60“? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines geschlossenen ganzzahligen Intervalls aus zwei kumulierten Werten?

1. Es gilt \(X\sim B(150;0{,}35)\). 2. Für a) ist \(P(X\ge60)=1-F(59)\). Die kumulative Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(F(59)\approx0{,}8840\), also \(P(X\ge60)\approx0{,}1160\). 3. Für b) gilt \(P(45\le X\le60)=F(60)-F(44)\). Mit ungerundeten kumulativen Werten ergibt sich \(P(45\le X\le60)\approx0{,}8295\).

a) \(0{,}1160\) b) \(0{,}8295\)

- Was muss für die ersten elf Chips gelten, damit der zwölfte der erste Treffer ist? - Bestimme für b) zuerst Erwartungswert und Standardabweichung. - Welche ganzen Zahlen liegen tatsächlich innerhalb des Sigma-Intervalls? - Für ein geschlossenes Intervall hilft die Differenz zweier kumulierter Werte.

1. Damit der zwölfte Chip der erste fehlerhafte ist, müssen die ersten elf fehlerfrei und der zwölfte fehlerhaft sein. Daher gilt \(P=0{,}92^{11}\cdot0{,}08\approx3{,}20\,\%\). 2. Für \(X\sim B(400;0{,}08)\) gilt \(\mu=32\) und \(\sigma=\sqrt{400\cdot0{,}08\cdot0{,}92}=\sqrt{29{,}44}\). Damit liegen die ganzzahligen Werte innerhalb von \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) bei \(27\le X\le37\). 3. Die kumulative Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(F(37)\) und \(F(26)\); mit ungerundeten Werten ergibt sich \(P(27\le X\le37)=F(37)-F(26)\approx68{,}98\,\%\).

a) \(3{,}20\,\%\) b) \(68{,}98\,\%\)

- Was beschreibt der Erwartungswert über viele vergleichbare Versuchsreihen hinweg? - Welche Formel gilt für die Standardabweichung einer Binomialverteilung? - Welche ganzen Zahlen liegen im berechneten Sigma-Intervall? - Wie lässt sich ein geschlossenes Intervall mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Es gilt \(\mu=np=500\cdot0{,}02=10\). Langfristig sind bei vielen vergleichbaren Reihen im Mittel zehn falsch-positive Ergebnisse pro 500 Tests zu erwarten. 2. Die Standardabweichung ist \(\sigma=\sqrt{500\cdot0{,}02\cdot0{,}98}=\sqrt{9{,}8}\approx3{,}13\). 3. Das Intervall \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) enthält die ganzzahligen Werte \(7\) bis \(13\). 4. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners gilt \(P(7\le X\le13)=F(13)-F(6)\approx73{,}91\,\%\).

a) \(\mu=10\), \(\sigma\approx3{,}13\); langfristig sind im Mittel zehn falsch-positive Ergebnisse pro 500 Tests zu erwarten. b) \(73{,}91\,\%\)

- Bestimme zuerst die beiden Binomialparameter. - Was bedeutet „höchstens um zwei Standardabweichungen“ als Intervall um \(\mu\)? - Welche ganzzahligen Werte liegen in diesem Intervall? - Verwende für das geschlossene Intervall zwei kumulierte Werte.

1. Für \(Y\sim B(300;0{,}1)\) gilt \(\mu=30\) und \(\sigma=\sqrt{300\cdot0{,}1\cdot0{,}9}=\sqrt{27}\approx5{,}20\). 2. Das Intervall \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\) enthält die ganzzahligen Werte \(20\) bis \(40\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners ergibt sich \(P(20\le Y\le40)=F(40)-F(19)\approx95{,}75\,\%\).

a) \(\mu=30\), \(\sigma\approx5{,}20\) b) \(95{,}75\,\%\)

- Welche Formeln gelten für Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung? - Welche ganzzahligen Werte liegen im Sigma-Intervall? - Für ein geschlossenes Intervall \(a\le X\le b\) gilt \(F(b)-F(a-1)\).

1. Es gilt \(\mu=np=60\) und \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{24}\approx4{,}90\). 2. Das Sigma-Intervall enthält die ganzzahligen Werte \(56\) bis \(64\). 3. Mit \(F(k)=P(X\le k)\) und der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners gilt \(P(56\le X\le64)=F(64)-F(55)\approx64{,}16\,\%\).

1. \(\mu=60\), \(\sigma\approx4{,}90\) 2. \(64{,}16\,\%\)

- Welchen Wert erwartest du im Durchschnitt bei 50 Behandlungen? - Welche ganzzahligen Werte liegen höchstens vier vom Erwartungswert entfernt? - Wie lässt sich ein geschlossenes Intervall aus zwei kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=20\). Eine Abweichung von höchstens \(4\) entspricht \(16\le X\le24\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners gilt \(P(16\le X\le24)=F(24)-F(15)\approx80{,}67\,\%\).

\(80{,}67\,\%\)

- Welche Formeln gelten für Erwartungswert und Standardabweichung einer Binomialverteilung? - Welche ganzen Zahlen liegen im Sigma-Intervall? - Wie lässt sich ein geschlossenes Intervall mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Es gilt \(\mu=np=20\) und \(\sigma=\sqrt{400\cdot0{,}05\cdot0{,}95}=\sqrt{19}\approx4{,}36\). 2. Das Sigma-Intervall enthält die ganzzahligen Werte \(16\) bis \(24\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners gilt \(P(16\le X\le24)=F(24)-F(15)\approx69{,}90\,\%\).

a) \(\mu=20\), \(\sigma\approx4{,}36\) b) \(69{,}90\,\%\)

- Bestimme zuerst Erwartungswert und Standardabweichung. - Welche ganzen Zahlen liegen noch innerhalb einer Standardabweichung? - Für „mehr als eine Standardabweichung“ ist das Gegenereignis einfacher.

1. Es gilt \(\mu=150\cdot0{,}64=96\) und \(\sigma=\sqrt{150\cdot0{,}64\cdot0{,}36}=\sqrt{34{,}56}\approx5{,}88\). 2. Innerhalb einer Standardabweichung liegen die ganzzahligen Werte \(91\) bis \(101\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion des Taschenrechners gilt \(P(91\le X\le101)=F(101)-F(90)\). Mit ungerundeten Werten erhält man für das Gegenereignis \(P(X\le90\text{ oder }X\ge102)\approx34{,}95\,\%\).

a) \(\mu=96\), \(\sigma\approx5{,}88\) b) \(34{,}95\,\%\)

- Welche Werte haben \(n\) und \(p\)? - Bei „mindestens 2“ ist das Gegenereignis kurz. - Welche drei Punktwahrscheinlichkeiten gehören zum Intervall von 3 bis 5?

1. Es gilt \(X\sim B(10;0{,}4)\). 2. \(P(X=4)=\binom{10}{4}0{,}4^4 0{,}6^6\approx25{,}08\,\%\). 3. \(P(X\ge2)=1-[P(X=0)+P(X=1)]\approx95{,}36\,\%\). 4. \(P(3\le X\le5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\approx66{,}65\,\%\).

a) \(25{,}08\,\%\) b) \(95{,}36\,\%\) c) \(66{,}65\,\%\)

- Identifiziere \(n\) und \(p\). - Gehört die Zahl 2 bei „mehr als zwei“ zum Ereignis? - Welche Trefferzahlen gehören bei c) zum Ereignis?

1. Es gilt \(X\sim B(15;0{,}05)\). 2. \(P(X=1)=\binom{15}{1}0{,}05\cdot0{,}95^{14}\approx36{,}58\,\%\). 3. \(P(X>2)=1-P(X\le2)\approx3{,}62\,\%\). 4. \(P(1\le X\le3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\approx53{,}12\,\%\).

a) \(36{,}58\,\%\) b) \(3{,}62\,\%\) c) \(53{,}12\,\%\)

- Welche Binomialparameter gelten? - Welche Bedingung bestimmt den Modalwert einer Binomialverteilung? - „Mindestens 16“ lässt sich über das Gegenereignis „höchstens 15“ berechnen. - Die beiden Bereiche in b) überschneiden sich nicht.

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}6)\). Weil \((n+1)p=12{,}6\), ist \(k=12\) der Modalwert. 2. Für b) sind die beiden Ereignisse disjunkt: \(P(X\le8\text{ oder }X\ge16)=P(X\le8)+P(X\ge16)\). 3. Die kumulative Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(F(8)\) und \(F(15)\). Mit ungerundeten Werten gilt \(P(X\le8)+1-F(15)\approx10{,}75\,\%\).

a) \(k=12\) b) \(10{,}75\,\%\)

- Überlege zuerst, welche Werte \(n\) und \(p\) für die Binomialverteilung hier gelten. - Erinnerst du dich an die Bedingung für den Modalwert einer Binomialverteilung? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn man eine Tabelle für kumulierte Wahrscheinlichkeiten nutzt? - Denke daran, dass „mindestens 8“ bedeutet, dass man alles außer dem Bereich von 0 bis 7 betrachtet.

1. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 20\) und \(p = 0{,}2\). 2. Da \((n+1)p = 21 \cdot 0{,}2 = 4{,}2\) gilt, ist \(k = 4\) der wahrscheinlichste Wert. 3. \(P(X \le 1) = 0{,}8^{20} + 20 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8^{19} \approx 0{,}0692\). 4. \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7) \approx 0{,}0321\). 5. Insgesamt gilt \(P(X \le 1) + P(X \ge 8) \approx 0{,}0692 + 0{,}0321 = 0{,}1013\), also etwa \(10{,}1\,\%\).

a) Das Ergebnis \(k = 4\) ist am wahrscheinlichsten. b) \(P(X \le 1) + P(X \ge 8) \approx 0{,}1013 \approx 10{,}1\,\%\).

- Welche Bedingungen machen die zehn Fragen zu einer Bernoulli-Kette? - Was zählt der Binomialkoeffizient, wenn nur die Positionen der Treffer ausgewählt werden? - Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens eine Antwort richtig“?

1. Für die Anzahl \(X\) der richtigen Antworten gilt \(X\sim B(10;0{,}25)\). 2. Für Teil a) ist \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}25^3 0{,}75^7\approx0{,}2503\). 3. Für genau zwei richtige Antworten können zwei der zehn Positionen gewählt werden. Daher gibt es \(\binom{10}{2}=45\) Möglichkeiten. 4. Mit dem Gegenereignis gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}75^{10}\approx0{,}9437\).

a) \(P(X=3)\approx0{,}2503\) b) \(45\) Möglichkeiten c) \(P(X\ge1)\approx0{,}9437\)

- Welche Farbe wird in jedem Teil als Treffer definiert, und wie groß ist ihre Einzelwahrscheinlichkeit? - Welche Folge hat die angenommene Unabhängigkeit der Drehungen für das Modell der Trefferzahl? - Bei „öfter als zweimal“ kann das Gegenereignis kürzer zu berechnen sein.

1. Für jede Teilaufgabe wird die jeweils betrachtete Farbe als Treffer und jede andere Farbe als Nichttreffer definiert. Wegen der unabhängigen Drehungen liegt jeweils eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=15\) vor. Es gilt \(p_{\text{blau}}=0{,}5\), \(p_{\text{rot}}=0{,}3\) und \(p_{\text{gelb}}=0{,}2\). 2. Für genau fünfmal Blau gilt \(P(X=5)=\binom{15}{5}0{,}5^{15}\approx0{,}091644\), also \(9{,}16\,\%\). 3. Für kein Gelb gilt \(P(Y=0)=0{,}8^{15}\approx0{,}035184\), also \(3{,}52\,\%\). 4. Für Rot öfter als zweimal gilt \(P(Z>2)=1-\sum_{k=0}^{2}\binom{15}{k}0{,}3^k0{,}7^{15-k}\approx0{,}873172\), also \(87{,}32\,\%\).

a) \(9{,}16\,\%\) b) \(3{,}52\,\%\) c) \(87{,}32\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welcher Verteilungstyp hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) gegeben sind. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert bei einer Bernoulli-Kette? - Was bedeutet „mindestens 8“ für die möglichen Werte von \(X\)? - Betrachte für Teil c) die Verteilung um ihren Mittelpunkt und suche nach einer Struktur, die eine vollständige Summation erspart.

1. Es gilt \(X\sim B(10;0{,}5)\). 2. Für genau fünf richtige Antworten ist \(P(X=5)=\binom{10}{5}0{,}5^{10}=\frac{252}{1024}=\frac{63}{256}\). 3. Für mindestens acht richtige Antworten ist \(P(X\ge8)=[\binom{10}{8}+\binom{10}{9}+\binom{10}{10}]0{,}5^{10}=\frac{56}{1024}=\frac{7}{128}\). 4. Wegen \(p=0{,}5\) ist die Verteilung symmetrisch zu \(5\), also gilt \(P(X<5)=P(X>5)\). 5. Deshalb ist \(P(X>5)=\frac{1-P(X=5)}{2}=\frac{1-\frac{63}{256}}{2}=\frac{193}{512}\). Da \(\frac{193}{512}>\frac{63}{256}\), ist „mehr als fünf“ wahrscheinlicher.

a) \(P(X=5)=\frac{63}{256}\) b) \(P(X\ge8)=\frac{7}{128}\) c) „Mehr als \(5\)“ ist wahrscheinlicher, denn \(P(X>5)=\frac{193}{512}>\frac{63}{256}=P(X=5)\).

- Welche Zufallsgröße erhältst du, wenn du statt der Smartphone-Bestellungen die übrigen Bestellungen zählst? - Wie verändern sich die Grenzen beim Übergang von \(X\) zu \(Y=100-X\)? - Prüfe bei „weniger als“ und „mehr als“, ob die Grenzzahl selbst dazugehört.

1. Sei \(X\sim B(100;0{,}75)\) die Zahl der Smartphone-Bestellungen und \(Y=100-X\sim B(100;0{,}25)\) die Zahl der übrigen Bestellungen. 2. Für (1) gilt \(P(X<70)=P(Y\ge31)=1-P(Y\le30)\). Aus Tafelwerk oder kumulativer Binomialfunktion erhält man \(P(Y\le30)\approx0{,}8962\), also \(P(X<70)\approx0{,}1038\). 3. Für (2) gilt \(P(72\le X\le80)=P(20\le Y\le28)=P(Y\le28)-P(Y\le19)\). Mit ungerundeten Tabellen- bzw. Rechnerwerten ergibt sich \(0{,}6929\). 4. Für (3) gilt \(P(X>80)=P(Y\le19)\approx0{,}0995\), wiederum aus Tafelwerk oder kumulativer Binomialfunktion.

(1) \(0{,}1038\) (2) \(0{,}6929\) (3) \(0{,}0995\)

- Welche Binomialparameter gelten? - Wie berechnet man ein geschlossenes Intervall mit \(F\)? - Welches Gegenereignis gehört zu „mehr als 15“?

1. Für \(X\sim B(200;0{,}05)\) liefert die kumulative Binomialfunktion \(F(10)\approx0{,}5831\). 2. \(P(8\le X\le12)=F(12)-F(7)\approx0{,}5832\), mit ungerundeten Werten. 3. \(P(X>15)=1-F(15)\approx0{,}0444\).

(1) \(0{,}5831\) (2) \(0{,}5832\) (3) \(0{,}0444\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt beim Raten? - Übersetze „mindestens“ und „weniger als“ sorgfältig. - Für das Intervall hilft die Differenz zweier kumulierter Werte.

1. Es gilt \(X\sim B(50;0{,}25)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion ist \(P(X\ge15)=1-F(14)\approx0{,}2519\). 3. \(P(X<10)=F(9)\approx0{,}1637\). 4. \(P(10\le X\le15)=F(15)-F(9)\approx0{,}6732\), mit ungerundeten Werten.

(1) \(0{,}2519\) (2) \(0{,}1637\) (3) \(0{,}6732\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit gilt beim Raten? - Welche Randwerte gehören bei „mehr als“, „mindestens“ und „höchstens“ dazu? - Wie hängen richtige und falsche Antworten zusammen?

1. Es gilt \(X\sim B(60;0{,}25)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion ist \(P(X>12)=1-F(12)\approx76{,}84\,\%\). 3. \(P(10\le X\le20)=F(20)-F(9)\approx90{,}07\,\%\), mit ungerundeten Werten. 4. Weniger als \(40\) falsche Antworten bedeutet mehr als \(20\) richtige. Daher gilt \(P(X>20)=1-F(20)\approx5{,}41\,\%\).

a) \(76{,}84\,\%\) b) \(90{,}07\,\%\) c) \(5{,}41\,\%\)

- Welche Binomialparameter gelten für die Zahl der Haushalte ohne Festnetz? - Wie lässt sich ein geschlossenes Intervall mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen? - Wie hängen die Anzahlen „mit Anschluss“ und „ohne Anschluss“ zusammen?

1. Für die Anzahl \(X\) der Haushalte ohne Festnetzanschluss gilt \(X\sim B(100;0{,}12)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(X\le10)=F(10)\approx33{,}37\,\%\). 3. \(P(X>15)=1-F(15)\approx14{,}14\,\%\). 4. \(P(8\le X\le14)=F(14)-F(7)\approx70{,}79\,\%\), mit ungerundeten Rechnerwerten. 5. Mindestens 90 Haushalte mit Festnetz bedeuten höchstens 10 ohne Festnetz. Daher ist die Wahrscheinlichkeit ebenfalls \(33{,}37\,\%\).

a) (1) \(33{,}37\,\%\) (2) \(14{,}14\,\%\) (3) \(70{,}79\,\%\) b) (1) \(33{,}37\,\%\)

- Welche Werte haben \(n\) und \(p\)? - Für „mehr als 50“ ist das Gegenereignis „höchstens 50“ nützlich. - Für das Intervall hilft \(F(48)-F(41)\).

1. Für \(X\sim B(60;0{,}75)\) liefert die kumulative Binomialfunktion \(F(40)\approx9{,}25\,\%\). 2. \(P(X>50)=1-F(50)\approx4{,}52\,\%\). 3. \(P(42\le X\le48)=F(48)-F(41)\approx70{,}38\,\%\), mit ungerundeten Werten.

1. \(9{,}25\,\%\) 2. \(4{,}52\,\%\) 3. \(70{,}38\,\%\)

- Welche Binomialparameter gelten? - Welcher größte Wert gehört noch zu „weniger als 8“? - Welches Gegenereignis gehört zu „mehr als 10“?

1. Für \(X\sim B(100;0{,}05)\) gilt \(P(X=5)=\binom{100}{5}0{,}05^5 0{,}95^{95}\approx18{,}00\,\%\). 2. „Mindestens 3, aber weniger als 8“ bedeutet \(3\le X\le7\). Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(3\le X\le7)=F(7)-F(2)\approx75{,}37\,\%\). 3. \(P(X>10)=1-F(10)\approx1{,}15\,\%\).

1. \(18{,}00\,\%\) 2. \(75{,}37\,\%\) 3. \(1{,}15\,\%\)

- Bei \(p>0{,}5\) kann die komplementäre Trefferzahl hilfreich sein. - Welche ganzen Zahlen liegen strikt zwischen 78 und 88? - Prüfe bei \(P(X>k)\) sorgfältig die kumulative Grenze.

1. Setze \(Y=100-X\sim B(100;0{,}2)\). Dann gilt \(P(X\le75)=P(Y\ge25)=1-P(Y\le24)\approx0{,}1314\), wobei der kumulative Wert aus Tafelwerk oder Taschenrechner stammt. 2. \(P(X>85)=P(Y\le14)\approx0{,}0804\). 3. \(78<X<88\) entspricht \(79\le X\le87\). Mit kumulativen Werten ergibt sich \(P(79\le X\le87)=F_X(87)-F_X(78)\approx0{,}6287\), mit ungerundeten Rechnerwerten.

a) \(0{,}1314\) b) \(0{,}0804\) c) \(0{,}6287\)

- Formuliere zuerst die ganzzahligen Werte jedes Ereignisses. - Was ist das logische Gegenteil eines geschlossenen Trefferintervalls? - Wie hängen Ereignis und Gegenereignis probabilistisch zusammen?

1. Für \(X\sim B(50;0{,}2)\) ist \(\overline{E_1}=\{X\le11\}\). Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(\overline{E_1})=F(11)\approx0{,}7107\). 2. \(E_2\) entspricht \(6\le X\le12\). Daher ist \(\overline{E_2}=\{X\le5\text{ oder }X\ge13\}\). 3. Mit ungerundeten kumulativen Werten gilt \(P(E_2)=F(12)-F(5)\), also \(P(\overline{E_2})=1-P(E_2)\approx0{,}2341\).

(1) \(\overline{E_1}\): höchstens \(11\) Zustimmungen; \(0{,}7107\) (2) \(\overline{E_2}\): höchstens \(5\) oder mindestens \(13\) Zustimmungen; \(0{,}2341\)

- Welche Bedingungen des Modells rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Welche ganzzahlige Obergrenze gehört zu „weniger als 15“? - Wie kannst du ein geschlossenes Intervall mit zwei kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Für die Anzahl \(X\) der Haushalte mit Solarenergienutzung gilt \(X\sim B(80;0{,}25)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion ist \(P(X>20)=1-F(20)\approx44{,}03\,\%\). 3. \(P(X<15)=P(X\le14)=F(14)\approx7{,}40\,\%\). 4. Mit ungerundeten Rechnerwerten gilt \(P(18\le X\le22)=F(22)-F(17)\approx48{,}11\,\%\).

a) \(44{,}03\,\%\) b) \(7{,}40\,\%\) c) \(48{,}11\,\%\)

- Welche Zufallsgröße zählt hier die Erfolge, und welche Bernoulli-Parameter gehören zum Modell? - Wie hängen die Ereignisse „höchstens 80“ und „mehr als 80“ zusammen? - Wie lässt sich ein geschlossenes Intervall mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Es gilt \(X\sim B(85;0{,}9)\). Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le80)=F(80)\approx93{,}57\,\%\). 2. Das Ereignis ist das Gegenereignis zu Teil 1. Daher gilt \(P(X>80)=1-F(80)\approx6{,}43\,\%\). 3. \(P(X=80)=\binom{85}{80}0{,}9^{80}0{,}1^5\approx7{,}17\,\%\). 4. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(70\le X\le75)=F(75)-F(69)\approx33{,}38\,\%\).

1. \(93{,}57\,\%\) 2. \(6{,}43\,\%\) 3. \(7{,}17\,\%\) 4. \(33{,}38\,\%\)

- Welche Modellannahmen machen die Defektzahl binomialverteilt? - Wie hilft das Gegenereignis bei „mehr als 10“? - Bestimme für den letzten Teil zuerst den Erwartungswert und prüfe, ob er ein möglicher ganzzahliger Wert von \(X\) ist.

1. Für die Anzahl \(X\) der defekten Chips gilt \(X\sim B(200;0{,}04)\). Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le5)=F(5)\approx18{,}56\,\%\). 2. \(P(X>10)=1-F(10)\approx18{,}00\,\%\). 3. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(6\le X\le12)=F(12)-F(5)\approx75{,}45\,\%\). 4. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=200\cdot0{,}04=8\). Daher gilt \(P(X=8)=\binom{200}{8}0{,}04^8 0{,}96^{192}\approx14{,}25\,\%\).

1. \(18{,}56\,\%\) 2. \(18{,}00\,\%\) 3. \(75{,}45\,\%\) 4. \(14{,}25\,\%\)

- Welche Bedingungen im Modell machen die Keimzahl binomialverteilt? - Welche ganzzahlige Grenze gehört zu „weniger als 45“? - Wie kannst du eine obere Randwahrscheinlichkeit bzw. ein geschlossenes Intervall mit kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen?

1. Es gilt \(X\sim B(60;0{,}8)\). 2. \(P(X=50)=\binom{60}{50}0{,}8^{50}0{,}2^{10}\approx0{,}1102\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion ist \(P(X<45)=F(44)\approx0{,}1306\). 4. \(P(X\ge52)=1-F(51)\approx0{,}1268\). 5. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(46\le X\le54)=F(54)-F(45)\approx0{,}7814\).

(1) \(0{,}1102\) (2) \(0{,}1306\) (3) \(0{,}1268\) (4) \(0{,}7814\)

- Welche Modellannahmen rechtfertigen eine Binomialverteilung? - Wie lässt sich „mehr als 20“ mithilfe eines Gegenereignisses ausdrücken? - Wie berechnest du ein geschlossenes Intervall aus zwei kumulierten Wahrscheinlichkeiten?

1. Für die Anzahl \(X\) der linkshändigen Personen gilt \(X\sim B(150;0{,}12)\). 2. \(P(X=18)=\binom{150}{18}0{,}12^{18}0{,}88^{132}\approx0{,}0998\). 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le15)=F(15)\approx0{,}2715\). 4. \(P(X>20)=1-F(20)\approx0{,}2587\). 5. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(10\le X\le25)=F(25)-F(9)\approx0{,}9543\).

(1) \(0{,}0998\) (2) \(0{,}2715\) (3) \(0{,}2587\) (4) \(0{,}9543\)

- Welche Modellannahmen machen die Defektzahl binomialverteilt? - Welches Gegenereignis gehört zu „mehr als drei“? - Wie wird aus einer Tageswahrscheinlichkeit eine erwartete Anzahl von Tagen in \(365\) Wiederholungen?

1. Für die Defektzahl \(X\) gilt \(X\sim B(300;0{,}008)\). 2. \(P(X=0)=0{,}992^{300}\approx0{,}089847\), also \(8{,}98\,\%\). 3. \(P(X=1)=\binom{300}{1}0{,}008\cdot0{,}992^{299}\approx0{,}217371\), also \(21{,}74\,\%\). 4. \(P(X=2)=\binom{300}{2}0{,}008^2 0{,}992^{298}\approx0{,}262072\), also \(26{,}21\,\%\). 5. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>3)=1-P(X\le3)\approx0{,}220771\), also \(22{,}08\,\%\). 6. Für c) wird die ungerundete Wahrscheinlichkeit aus Schritt 2 verwendet: \(365\cdot P(X=0)\approx32{,}794\). Gerundet sind etwa \(33\) Tage zu erwarten.

a) \(8{,}98\,\%\); \(21{,}74\,\%\); \(26{,}21\,\%\) b) \(22{,}08\,\%\) c) Etwa \(33\) Tage.

- Welche ganzzahligen Werte liegen außerhalb des geschlossenen Intervalls? - Kannst du die beiden äußeren Bereiche getrennt berechnen oder alternativ das Intervall vom Ganzen abziehen? - Welche kumulierten Wahrscheinlichkeiten brauchst du für die beiden Randbereiche?

1. Es gilt \(X\sim B(600;0{,}3)\). Das Ereignis „außerhalb von \([165;195]\)“ ist \(X\le164\) oder \(X\ge196\). 2. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le164)=F(164)\approx0{,}082781\) und \(P(X\ge196)=1-F(195)\approx0{,}084440\). 3. Da die beiden Randereignisse disjunkt sind, gilt mit ungerundeten Rechnerwerten \(P(X\notin[165;195])\approx0{,}167221\).

\(16{,}72\,\%\)

- Wie berechnet man den Erwartungswert einer Binomialverteilung? - Wie lässt sich \(P(a\le X\le b)\) mithilfe von \(F(k)=P(X\le k)\) ausdrücken? - Welchen Wert musst du abziehen, damit die untere Grenze des Intervalls noch eingeschlossen ist?

1. Der Erwartungswert ist \(\mu=np=200\cdot0{,}4=80\). 2. Die untere Grenze \(72\) liegt \(8\) Einheiten unter \(\mu\), die obere Grenze \(90\) liegt \(10\) Einheiten darüber. Das Intervall ist also nicht symmetrisch um \(\mu\). 3. Es gilt \(P(72\le X\le90)=F(90)-F(71)\). 4. Aus Tafelwerk oder Taschenrechner erhält man \(F(90)\approx0{,}934510\) und \(F(71)\approx0{,}109415\). Mit den ungerundeten Werten folgt \(P(72\le X\le90)\approx0{,}8251\).

\(\mu=80\); Abstände der Grenzen: \(8\) und \(10\); \(P(72\le X\le90)\approx0{,}8251\)

- Welche Parameter \(n\) und \(p\) hat die Zufallsgröße in diesem Modell? - Achte bei „mehr als“ und bei Intervallen genau darauf, welche ganzzahligen Werte zum Ereignis gehören. - Welche gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten oder einem Gegenereignis ausdrücken?

1. Es gilt \(X\sim B(400;0{,}02)\). 2. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le5)=F(5)\approx18{,}85\,\%\). 3. \(P(X>10)=1-F(10)\approx18{,}21\,\%\). 4. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(6\le X\le12)=F(12)-F(5)\approx74{,}97\,\%\).

a) \(18{,}85\,\%\) b) \(18{,}21\,\%\) c) \(74{,}97\,\%\)

- Bestimme zuerst Erwartungswert und Modellparameter der Binomialverteilung. - Übersetze „kleiner als“, „mindestens“ und „um höchstens \(5\) abweichen“ jeweils in Bedingungen an \(X\). - Welche Teilwahrscheinlichkeiten lassen sich als Differenz oder Gegenereignis kumulierter Werte berechnen?

1. Es gilt \(X\sim B(100;0{,}4)\) und \(E(X)=100\cdot0{,}4=40\). 2. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X<35)=F(34)\approx13{,}03\,\%\). 3. \(P(X\ge45)=1-F(44)\approx17{,}89\,\%\). 4. „Um höchstens \(5\) abweichen“ bedeutet \(35\le X\le45\). Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(35\le X\le45)=F(45)-F(34)\approx73{,}86\,\%\).

a) \(13{,}03\,\%\) b) \(17{,}89\,\%\) c) \(73{,}86\,\%\)

- Welchen Rechenaufwand sparst du dir, wenn du eine Tabelle für Summenwahrscheinlichkeiten nutzt? - Übersetze die Grenzen des Intervalls von \(X\) in die entsprechenden Grenzen für \(Y\). - Wie berechnet man \(P(a\le Y\le b)\), wenn nur Werte für \(P(Y\le k)\) zur Verfügung stehen?

1. Kumulierte Tabellen ermöglichen es, Intervallwahrscheinlichkeiten als Differenz zweier Tabellenwerte zu bestimmen, statt viele Einzelwahrscheinlichkeiten zu addieren. 2. Sei \(Y\) die Anzahl der falsch beantworteten Fragen. Dann gilt \(Y\sim B(25;0{,}25)\), und aus \(15\le X\le20\) folgt \(5\le Y\le10\). 3. Daher ist \(P(15\le X\le20)=P(5\le Y\le10)=F_Y(10)-F_Y(4)\). 4. Aus einer kumulierten Binomialtabelle oder dem Taschenrechner erhält man \(F_Y(10)\approx0{,}9703\) und \(F_Y(4)\approx0{,}2137\). Mit den ungerundeten Werten folgt \(P(15\le X\le20)\approx0{,}7566\).

a) Intervallwahrscheinlichkeiten lassen sich als Differenz zweier kumulierter Werte bestimmen, statt viele Einzelwahrscheinlichkeiten zu addieren. b) \(P(15\le X\le20)\approx0{,}7566\)

- Bestimme zuerst Erwartungswert und Modellparameter. - Wie lässt sich ein abgeschlossenes Intervall mithilfe zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten berechnen? - Welche ganzzahligen Werte erfüllen die Bedingung „um höchstens \(2\) vom Erwartungswert abweichen“?

1. Es gilt \(X\sim B(200;0{,}05)\) und \(E(X)=200\cdot0{,}05=10\). 2. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le12)=F(12)\approx79{,}65\,\%\). 3. Mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten gilt \(P(5\le X\le15)=F(15)-F(4)\approx92{,}92\,\%\). 4. „Um höchstens \(2\) abweichen“ bedeutet \(8\le X\le12\). Daher ist \(P(8\le X\le12)=F(12)-F(7)\approx58{,}32\,\%\).

1. \(79{,}65\,\%\) 2. \(92{,}92\,\%\) 3. \(58{,}32\,\%\)

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit für Rot bzw. Blau kannst du direkt aus dem Glücksrad ablesen? - Welche Bedingungen an die Trefferzahl entsprechen „höchstens“ und „mindestens ... aber höchstens“? - Wie lässt sich die Intervallwahrscheinlichkeit mit zwei kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten bestimmen?

1. Aus dem Glücksrad liest man \(p_{\text{Rot}}=\frac{3}{10}=0{,}3\) und \(p_{\text{Blau}}=\frac{5}{10}=0{,}5\) ab. 2. Für \(R\sim B(30;0{,}3)\) liefert die kumulative Binomialfunktion \(P(R\le8)=F_R(8)\approx43{,}15\,\%\). 3. Für \(B\sim B(30;0{,}5)\) gilt mit ungerundeten kumulativen Rechnerwerten \(P(12\le B\le18)=F_B(18)-F_B(11)\approx79{,}95\,\%\).

a) \(43{,}15\,\%\) b) \(79{,}95\,\%\)

- Schreibe auf, welche ganzzahligen Werte in \(F(4)\) und in \(F(2)\) jeweils enthalten sind. - Welche Werte verschwinden beim Subtrahieren? - Wenn der linke Rand \(2\) erhalten bleiben soll, bis zu welchem Wert darfst du abziehen?

1. \(F(4)\) enthält die Werte \(0,1,2,3,4\), während \(F(2)\) die Werte \(0,1,2\) enthält. 2. Die Differenz \(F(4)-F(2)\) lässt daher nur die Werte \(3\) und \(4\) übrig. Sie beschreibt \(P(3\le X\le4)\), nicht das gefragte Ereignis. 3. Damit der Wert \(X=2\) enthalten bleibt, muss nur die Wahrscheinlichkeit bis einschließlich \(1\) abgezogen werden. 4. Also ist \(P(2\le X\le4)=F(4)-F(1)\approx0{,}9568-0{,}3917=0{,}5651\).

\(F(4)-F(2)=P(3\le X\le4)\). Richtig ist \(P(2\le X\le4)=F(4)-F(1)\approx0{,}5651\).

- Bestimme zuerst die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung fehlerhaft ist, indem du das Gegenereignis „kein Chip ist defekt“ betrachtest. - Nutze diesen Wert als Erfolgswahrscheinlichkeit für die zweite Binomialverteilung der \(20\) Packungen. - Wie lässt sich „höchstens eine“ mathematisch mit den Punktwahrscheinlichkeiten ausdrücken?

1. Für die Defektzahl in einer Packung gilt \(X\sim B(10;0{,}05)\). Damit ist die Beanstandungswahrscheinlichkeit \(p_B=P(X\ge1)=1-0{,}95^{10}\approx0{,}401263\). 2. Für die Zahl \(Y\) der beanstandeten Packungen gilt \(Y\sim B(20;p_B)\). Daher ist \(P(Y=5)=\binom{20}{5}p_B^5(1-p_B)^{15}\approx0{,}073473\). 3. Für höchstens eine Beanstandung gilt \(P(Y\le1)=(1-p_B)^{20}+\binom{20}{1}p_B(1-p_B)^{19}\approx0{,}000504886\).

1. \(0{,}4013\) 2. \(0{,}0735\) 3. \(0{,}000505\)

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Einschluss in dem betrachteten Sektor landet? - Für „mehr als zwei“ ist das Gegenereignis mit den Trefferzahlen \(0,1,2\) kürzer. - Wie wird aus der Leerwahrscheinlichkeit eines Sektors die erwartete Anzahl leerer Sektoren?

1. Für die Anzahl \(X\) der Einschlüsse in einem festen Sektor gilt \(X\sim B(60;\frac{1}{80})\). 2. Für mehr als zwei Einschlüsse gilt \(P(X>2)=1-P(X\le2)\). Mit der kumulierten Binomialfunktion eines Taschenrechners ergibt sich \(P(X>2)\approx0{,}039458\), also \(3{,}95\,\%\). 3. Die Leerwahrscheinlichkeit ist \(P(X=0)=(\frac{79}{80})^{60}\approx0{,}470139\). 4. Daher beträgt die erwartete Anzahl leerer Sektoren \(80P(X=0)\approx37{,}6\).

a) \(\approx3{,}95\,\%\) b) \(\approx37{,}6\) Sektoren

- Überlege, wie die Trefferwahrscheinlichkeiten für \(X\) und \(Y\) zusammenhängen. - Was passiert mit der Standardabweichung, wenn man \(p\) und \(1-p\) vertauscht? - Wie hängen die Ereignisse „\(k\) rote Kugeln“ und „\(n-k\) blaue Kugeln“ zusammen? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem Intervall für \(X\) und dem Intervall für \(Y\) herstellen?

1. Für \(X\) gilt: \(\sigma_X = \sqrt{192 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{36} = 6\). Für \(Y\) gilt: \(\sigma_Y = \sqrt{192 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{36} = 6\). Beide Standardabweichungen sind identisch. 2. Der Erwartungswert für \(X\) ist \(\mu_X = 192 \cdot 0{,}25 = 48\). Die \(2\sigma\)-Umgebung ist \([48 - 12; 48 + 12] = [36; 60]\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(36 \le X \le 60) = P(X \le 60) - P(X \le 35) \approx 0{,}9632\). 3. Da \(Y = 192 - X\) gilt, entspricht das Ereignis \(36 \le X \le 60\) genau dem Ereignis \(192 - 60 \le 192 - X \le 192 - 36\), also \(132 \le Y \le 156\). Da \(\mu_Y = 144\) ist, entspricht dies genau dem Intervall \([\mu_Y - 2\sigma; \mu_Y + 2\sigma]\). Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) und der komplementären Wahrscheinlichkeiten \(p\) und \(1-p\) sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen spiegelbildlich, wodurch die Umgebungen um die jeweiligen Erwartungswerte die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

1. \(\sigma_X = 6\) und \(\sigma_Y = 6\). 2. \(P(36 \le X \le 60) \approx 0{,}9632\). 3. Die Wahrscheinlichkeiten sind identisch, da die Verteilungen von \(X\) (mit \(p\)) und \(Y\) (mit \(1-p\)) symmetrisch zueinander sind und das Ereignis für die \(2\sigma\)-Umgebung von \(X\) direkt in das entsprechende Ereignis für \(Y\) übergeht (\(Y = 192 - X\)).