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Stellen Sie aus rund 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Grenzen von Binomialintervallen bestimmen

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55217212
Für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\sim B(10;0{,}3)\) sind folgende kumulierte Wahrscheinlichkeiten gegeben: <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(P(X\le k)\)</th></tr><tr><td>\(4\)</td><td>\(0{,}8497\)</td></tr><tr><td>\(5\)</td><td>\(0{,}9527\)</td></tr><tr><td>\(6\)</td><td>\(0{,}9894\)</td></tr></table> Bestimme die kleinste der angegebenen ganzen Zahlen \(k\), für die \(P(X\le k)\ge0{,}95\) gilt.

Denkanstöße

- Vergleiche die kumulierten Werte der Reihe nach mit der Grenze \(0{,}95\). - Gesucht ist der erste Wert, der die Grenze erreicht oder überschreitet.

Lösung

1. Für \(k=4\) gilt \(P(X\le4)=0{,}8497<0{,}95\). 2. Für \(k=5\) gilt \(P(X\le5)=0{,}9527\ge0{,}95\). 3. Daher ist \(k=5\) die kleinste angegebene Zahl, die die Bedingung erfüllt.

Antwort

\(k=5\)
55217312
Das Säulendiagramm zeigt für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\sim B(5;0{,}4)\) die oberen Randwahrscheinlichkeiten \(P(X\ge k)\) für \(k=2,3,4\). Bestimme die größte der dargestellten ganzen Zahlen \(k\), für die \(P(X\ge k)\ge0{,}30\) gilt.
Abbildung zur Aufgabe 552173

Denkanstöße

- Vergleiche die drei Säulenhöhen mit der Grenze \(0{,}30\). - Gesucht ist nicht der erste, sondern der größte dargestellte Wert von \(k\), der die Bedingung noch erfüllt.

Lösung

1. Bei \(k=3\) zeigt das Diagramm \(P(X\ge3)=0{,}31744\); die Grenze \(0{,}30\) wird also noch erreicht. 2. Bei \(k=4\) gilt nur \(P(X\ge4)=0{,}08704\); dieser Wert liegt unter \(0{,}30\). 3. Daher ist \(k=3\) die größte dargestellte ganze Zahl, die die Bedingung erfüllt.

Antwort

\(k=3\)
55227212
In einem Paketzentrum werden jeweils 12 Pakete unter denselben Bedingungen bearbeitet. Für jedes Paket beträgt die Wahrscheinlichkeit einer Fehlleitung \(0{,}1\); die Bearbeitung eines Pakets beeinflusst die anderen nicht. \(X\) bezeichnet die Zahl der fehlgeleiteten Pakete. a) Begründe, warum \(X\) binomial modelliert werden kann, und gib \(n\) und \(p\) an. b) Ein Servicewert \(m\) soll so klein wie möglich sein, dass in mindestens \(95\,\%\) der 12er-Gruppen höchstens \(m\) Fehlleitungen auftreten. Verwende die Tabelle und bestimme \(m\). Die Tabellenwerte sind auf vier Dezimalstellen gerundet. <table><tr><th>\(k\)</th><th>\(0\)</th><th>\(1\)</th><th>\(2\)</th><th>\(3\)</th><th>\(4\)</th></tr><tr><td>\(F(k)=P(X\le k)\)</td><td>\(0{,}2824\)</td><td>\(0{,}6590\)</td><td>\(0{,}8891\)</td><td>\(0{,}9744\)</td><td>\(0{,}9957\)</td></tr></table>

Denkanstöße

- Prüfe die Merkmale einer Bernoulli-Kette am beschriebenen Ablauf, statt die Verteilung einfach vorauszusetzen. - Übersetze „höchstens \(m\)“ in eine Aussage mit \(F(m)\). - Suche in der Tabelle den ersten kumulierten Wert, der die geforderte Wahrscheinlichkeit erreicht.

Lösung

1. Es gibt 12 gleichartige Versuche mit genau zwei Ausgängen „fehlgeleitet“ und „nicht fehlgeleitet“. Die Fehlleitungswahrscheinlichkeit bleibt \(0{,}1\), und die Ergebnisse beeinflussen einander nicht. Daher kann \(X\sim B(12;0{,}1)\) modelliert werden. 2. Gesucht ist der kleinste Wert \(m\) mit \(F(m)\ge0{,}95\). 3. Aus der gerundeten Tabelle gilt \(F(2)\approx0{,}8891<0{,}95\), aber \(F(3)\approx0{,}9744\ge0{,}95\). 4. Daher ist der kleinste mögliche Servicewert \(m=3\).

Antwort

a) \(X\sim B(12;0{,}1)\), da 12 unabhängige gleichartige Bernoulli-Versuche mit konstanter Fehlleitungswahrscheinlichkeit vorliegen. b) \(m=3\)
42354312
Ein Vokabeltest besteht aus \(10\) Aufgaben. Bei jeder Aufgabe gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen jeweils genau eine richtig ist. Sophie hat nicht gelernt und kreuzt bei allen Aufgaben rein zufällig eine Antwort an. Gib die Wahrscheinlichkeiten in a) und b) als Prozentwerte auf zwei Nachkommastellen an. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Sophie genau drei Antworten richtig hat. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Sophie mindestens eine Antwort richtig hat. c) Ab wie vielen richtigen Antworten sollte der Test als bestanden gelten, wenn die Wahrscheinlichkeit, allein durch Raten zu bestehen, weniger als \(15\,\%\) betragen soll?

Denkanstöße

- Überlege dir zuerst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Treffer ist. - Welche Trefferzahlen gehören zum Ereignis „mindestens eine richtige Antwort“ und welche nicht? - Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeit zu bestehen, wenn die geforderte Anzahl richtiger Antworten erhöht wird?

Lösung

1. Es handelt sich um eine Bernoulli-Kette mit \(n=10\) und \(p=0{,}25\). 2. Für genau drei Treffer gilt \(P(X=3)=\binom{10}{3}0{,}25^3 0{,}75^7\approx0{,}250282\). 3. Für mindestens einen Treffer gilt \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}75^{10}\approx0{,}943686\). 4. Für die Bestehensgrenze wird die obere Restwahrscheinlichkeit geprüft: \(P(X\ge4)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{10}{k}0{,}25^k0{,}75^{10-k}\approx0{,}224125>0{,}15\). 5. Dagegen ist \(P(X\ge5)=1-\sum_{k=0}^{4}\binom{10}{k}0{,}25^k0{,}75^{10-k}\approx0{,}078127<0{,}15\). Daher ist \(5\) die kleinste passende Bestehensgrenze.

Antwort

a) \(25{,}03\,\%\) b) \(94{,}37\,\%\) c) Ab \(5\) richtigen Antworten.
42361512
Ein Multiple-Choice-Test besteht aus \(12\) Fragen. Zu jeder Frage gibt es vier Antwortmöglichkeiten, von denen genau eine richtig ist. Mira kreuzt bei jeder Frage unabhängig von den anderen Fragen rein zufällig eine Antwort an. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Mira mindestens \(5\) Treffer? Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Ab welcher Trefferanzahl \(k\) ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens \(k\) Treffer allein durch Raten zu erzielen, kleiner als \(10\,\%\)? Bestimme den kleinsten ganzzahligen Wert für \(k\).

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat eine einzelne zufällig beantwortete Frage? - Welche Trefferzahlen liegen außerhalb eines Ereignisses der Form „mindestens \(k\) Treffer“? - Vergleiche für den zweiten Teil benachbarte ganzzahlige Grenzwerte, bis die Vorgabe erstmals erfüllt ist.

Lösung

1. Für die Trefferzahl \(X\) gilt \(X\sim B(12;0{,}25)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion ist \(P(X\ge5)=1-F(4)\approx15{,}76\,\%\). 3. Für b) wird das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)<0{,}10\) gesucht. 4. Aus der kumulativen Binomialfunktion folgt \(P(X\ge5)\approx0{,}1576>0{,}10\) und \(P(X\ge6)=1-F(5)\approx0{,}0544<0{,}10\). 5. Daher ist \(k=6\) der kleinste passende Wert.

Antwort

a) \(15{,}76\,\%\) b) \(k=6\)
42361612
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(20\) Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(5\,\%\) defekt. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die defekten Bauteile. a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(2\) defekte Bauteile auftreten? Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(k\) defekte Bauteile auftreten, soll unter \(1\,\%\) liegen. Bestimme den kleinsten ganzzahligen Wert für \(k\), für den dies gilt.

Denkanstöße

- Welche Modellparameter bestimmen die Trefferzahl \(X\)? - Wie lässt sich „mindestens“ über das Gegenereignis „höchstens“ ausdrücken? - Für den zweiten Teil musst du den ersten ganzzahligen Grenzwert finden, bei dem die vorgegebene Restwahrscheinlichkeit unterschritten wird.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}05)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion ist \(P(X\ge2)=1-F(1)\approx26{,}42\,\%\). 3. Für b) wird das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)<0{,}01\) gesucht. 4. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\ge4)=1-F(3)\approx0{,}0159>0{,}01\). 5. Ebenso ist \(P(X\ge5)=1-F(4)\approx0{,}0026<0{,}01\). Daher ist \(k=5\).

Antwort

a) \(26{,}42\,\%\) b) \(k=5\)
42706012
Eine Zufallsgröße \(X\) folgt einer Binomialverteilung mit \(n=100\) und \(p=0{,}25\). Ermittle unter Verwendung geeigneter digitaler Hilfsmittel: a) die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X\le k)\ge0{,}95\) gilt. b) die kleinste natürliche Zahl \(k\), für die die Wahrscheinlichkeit \(P(X>k)\le0{,}01\) gilt.

Denkanstöße

- Welche Funktion deines Taschenrechners hilft dir dabei, Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X\le k)\) zu berechnen? - Kannst du die Bedingung aus Aufgabenteil b) so umschreiben, dass sie sich auf das Ereignis „höchstens \(k\) Treffer“ bezieht? - Denke daran, dass die kleinste ganze Zahl gesucht ist, die die Bedingung erfüllt. - Was ist das Gegenereignis zu „mehr als \(k\) Treffer“?

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(100;0{,}25)\). 2. Für a) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}95\) gesucht. Die kumulative Binomialfunktion des digitalen Hilfsmittels liefert \(F(31)\approx0{,}9307\) und \(F(32)\approx0{,}9554\). Daher ist \(k=32\). 3. Für b) ist \(P(X>k)\le0{,}01\) gleichbedeutend mit \(F(k)\ge0{,}99\). 4. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(34)\approx0{,}9836\) und \(F(35)\approx0{,}9906\). Daher ist \(k=35\).

Antwort

a) \(k=32\) b) \(k=35\)
42709712
An einem Informationsstand eines Reiseveranstalters interessieren sich erfahrungsgemäß \(20\,\%\) der Passanten für eine Fernreise. Während einer Stunde bleiben \(80\) Passanten am Stand stehen. Die Anzahl der Interessenten für eine Fernreise wird als binomialverteilt angenommen. a) Wie viele Informationsbroschüren über Fernreisen müssen mindestens bereitgehalten werden, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) für alle Interessenten unter den \(80\) Passanten ausreichen? b) Der Veranstalter hat \(18\) Broschüren ausgelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass am Ende der Stunde noch Broschüren übrig sind. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Parameter für die Binomialverteilung sind gegeben? - Was bedeutet es mathematisch, wenn die Broschüren „mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit ausreichen“? - Wann genau bleibt am Ende mindestens eine Broschüre übrig? - Nutze für die kumulierten Werte ein Tabellenwerk oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners.

Lösung

1. Für die Zahl \(X\) der Interessenten gilt \(X\sim B(80;0{,}2)\). 2. Für a) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}95\) gesucht. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(21)\approx0{,}9340\) und \(F(22)\approx0{,}9612\). Somit müssen mindestens \(22\) Broschüren bereitgehalten werden. 3. In b) bleiben Broschüren übrig, wenn höchstens \(17\) Interessenten auftreten. 4. Daher gilt \(P(X\le17)=\sum_{i=0}^{17}\binom{80}{i}0{,}2^i0{,}8^{80-i}\approx67{,}08\,\%\).

Antwort

a) Mindestens \(22\) Broschüren. b) \(67{,}08\,\%\)
42709812
Ein Baumarkt führt eine Werbeaktion durch, bei der jeder Kunde beim Bezahlen einen fairen Würfel werfen darf. Bei einer „6“ erhält der Kunde einen Sofortrabatt. An einem Vormittag wird der Würfel \(150\)-mal unabhängig geworfen. a) Bestimme die Anzahl der Rabatte, die der Baumarkt mindestens einplanen muss, damit diese mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) für alle Gewinnwürfe ausreichen. b) Der Filialleiter hat \(30\) Rabattgutscheine vorbereitet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr Gewinnwürfe auftreten, als Gutscheine vorhanden sind? Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an.

Denkanstöße

- Welche Trefferwahrscheinlichkeit hat die „6“ bei einem fairen Würfel? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass eine bestimmte Anzahl vorbereiteter Rabatte ausreicht? - Wie kannst du den Engpass in b) als Gegenereignis zu einer „höchstens“-Bedingung formulieren?

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der Gewinnwürfe gilt \(X\sim B\left(150;\frac16\right)\). 2. Für a) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}90\) gesucht. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(30)\approx0{,}8842\) und \(F(31)\approx0{,}9197\). Daher werden mindestens \(31\) Rabatte benötigt. 3. Für b) gilt \(P(X>30)=1-F(30)\approx11{,}58\,\%\).

Antwort

a) Mindestens \(31\) Rabatte. b) \(11{,}58\,\%\)
42714912
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n=80\) und \(p=0{,}3\). Bestimme das kleinste zum Erwartungswert symmetrische Intervall \([\mu-k;\mu+k]\), in dem die Werte der Zufallsgröße mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) liegen.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt des Intervalls. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich mithilfe kumulierter Werte? - Probiere die Abstände vom Mittelpunkt systematisch aus. - Verwende für Differenzen möglichst ungerundete kumulierte Werte.

Lösung

1. Der Erwartungswert ist \(\mu=80\cdot0{,}3=24\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\in\mathbb N_0\) mit \(P(24-k\le X\le24+k)\ge0{,}95\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion und ungerundeten Rechnerwerten ergibt sich für \(k=7\): \(P(17\le X\le31)=F(31)-F(16)\approx0{,}9337<0{,}95\). 4. Für \(k=8\) ergibt sich \(P(16\le X\le32)=F(32)-F(15)\approx0{,}9628\ge0{,}95\). 5. Damit ist \(k=8\) minimal und das gesuchte Intervall lautet \([16;32]\).

Antwort

\([16;32]\)
42788312
Die Keimvorgänge der Samen werden als voneinander unabhängig angenommen. Ein Gärtner kauft eine Packung mit \(20\) Samen einer seltenen Pflanze. Die Keimwahrscheinlichkeit \(p\) eines einzelnen Samens ist unter den gegebenen Lagerbedingungen nicht genau bekannt. Ermittle, wie groß \(p\) mindestens sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) mindestens einer der \(20\) Samen keimt.

Denkanstöße

- Welches Gegenereignis gehört zu „mindestens ein Samen keimt“? - Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit für keinen einzigen Erfolg bei unabhängigen Versuchen ausdrücken? - Welche Umkehroperation hilft dir, wenn die unbekannte Wahrscheinlichkeit in einer Potenz vorkommt? - Prüfe, ob deine Näherung zum exakten Grenzwert passt.

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der keimenden Samen gilt \(X\sim B(20;p)\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X\ge1)=1-P(X=0)\ge0{,}95\). 3. Damit gilt \(1-(1-p)^{20}\ge0{,}95\), also \((1-p)^{20}\le0{,}05\). 4. Daraus folgt \(1-p\le0{,}05^{1/20}\) und somit \(p\ge1-0{,}05^{1/20}\approx0{,}13910834\). 5. In Prozent beträgt der Grenzwert näherungsweise \(13{,}91\,\%\).

Antwort

Exakt gilt \(p\ge1-0{,}05^{1/20}\approx13{,}910834\,\%\). Der Grenzwert beträgt näherungsweise \(13{,}91\,\%\).
42788412
Die Defektzustände der Chips werden als voneinander unabhängig angenommen. Ein Elektronikhersteller führt eine Qualitätskontrolle bei einer neuen Serie von Mikrochips durch. Dazu wird eine Stichprobe von 50 Chips entnommen. Der Anteil \(p\) der defekten Chips in der Produktion ist derzeit unbekannt. Berechne, wie groß der Anteil \(p\) der defekten Chips mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe mindestens einen defekten Chip zu finden, mindestens \(90\,\%\) beträgt.

Denkanstöße

- Überlege dir, wie du die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass kein einziger Chip defekt ist. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeit für „kein Defekt“ und „mindestens ein Defekt“ zusammen? - Nutze eine Wurzel oder den Logarithmus, um nach \(p\) aufzulösen. - Achte genau auf das Relationszeichen „mindestens“.

Lösung

1. Modellierung durch eine Binomialverteilung mit \(n=50\) und Erfolgswahrscheinlichkeit \(p\). 2. Die Bedingung lautet \(P(X \ge 1) \ge 0{,}90\). 3. Mit dem Gegenereignis ergibt sich \(1-(1-p)^{50} \ge 0{,}90\). 4. Also gilt \((1-p)^{50} \le 0{,}10\). 5. Daraus folgt \(1-p \le \sqrt[50]{0{,}10}\) und somit \(p \ge 1-\sqrt[50]{0{,}10}\). 6. Numerisch ist \(p \ge 0{,}045007\ldots\), also \(p \ge 4{,}5007\ldots\,\%\).

Antwort

\(p \ge 1-\sqrt[50]{0{,}10} \approx 4{,}5007\,\%\).
42877312
In einem Modell wird angenommen, dass jede von \(20\) unabhängig betrachteten Personen ein bestimmtes Projekt mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(15\,\%\) unterstützt. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Unterstützer. 1. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(3\) Personen das Projekt unterstützen. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. 2. Ein Ergebnis wird hier als „überraschend nach oben“ bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit für mindestens so viele Unterstützer höchstens \(5\,\%\) beträgt. Ab welcher Anzahl \(k\) von Unterstützern ist das Ergebnis in diesem ausdrücklich definierten Sinn überraschend?

Denkanstöße

- Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Unterstützer unter dem angegebenen Modell? - Was bedeutet die Definition „mindestens so viele Unterstützer“ als Ereignis für \(X\)? - Vergleiche benachbarte obere Restwahrscheinlichkeiten, um die erste Grenze zu finden, die die Vorgabe erfüllt.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}15)\). Daher ist \(P(X=3)=\binom{20}{3}0{,}15^3 0{,}85^{17}\approx24{,}28\,\%\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X\ge k)\le0{,}05\). 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\ge6)=1-F(5)\approx0{,}0673>0{,}05\). 4. Für \(k=7\) gilt \(P(X\ge7)=1-F(6)\approx0{,}0219\le0{,}05\). 5. Daher ist \(k=7\) die gesuchte Grenze.

Antwort

1. \(24{,}28\,\%\) 2. \(k=7\)
43103212
Die gleichzeitige Nutzung der Haushalte wird als voneinander unabhängig modelliert. In einem Neubaugebiet mit 150 Haushalten besitzt jeder Haushalt einen Internetanschluss bei einem bestimmten Anbieter. Während der Abendstunden nutzen durchschnittlich \(20\,\%\) der Haushalte gleichzeitig den Dienst mit voller Bandbreite. Der Anbieter möchte sicherstellen, dass die Netzkapazität ausreicht. Bestimme die Anzahl an Haushalten, für die gleichzeitig Kapazität bereitstehen muss, damit der Bedarf mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) gedeckt ist.

Denkanstöße

- Was ist die Zufallsgröße in diesem Szenario und welche Werte kann sie annehmen? - Welche Bedingung muss für die gesuchte Anzahl an Plätzen (Kapazitäten) erfüllt sein? - Wie kannst du dich systematisch an den gesuchten Wert herantasten, wenn du den Erwartungswert kennst? - Reicht es aus, den Erwartungswert zu berechnen, oder muss die Streuung berücksichtigt werden?

Lösung

1. Modellierung: Die Anzahl der Haushalte \(X\), die gleichzeitig online sind, wird als binomialverteilt mit \(n = 150\) und \(p = 0{,}20\) angenommen. 2. Bedingung aufstellen: Gesucht ist das kleinste \(k \in \mathbb{N}\), für das gilt: \(P(X \le k) \ge 0{,}95\). 3. Kennzahlen berechnen: Erwartungswert \(\mu = n \cdot p = 150 \cdot 0{,}2 = 30\); Standardabweichung \(\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{150 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}8} = \sqrt{24} \approx 4{,}899\). 4. Bestimmung von \(k\): Durch Tabellenkalkulation oder Probieren mit der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P(X \le 37) \approx 0{,}9341\) \(P(X \le 38) \approx 0{,}9554\) Somit ist \(k = 38\) der kleinste Wert, der die Bedingung erfüllt.

Antwort

Es muss für mindestens 38 Haushalte gleichzeitig Kapazität zur Verfügung stehen.
43109912
In einem Co-Working-Space sind \(15\) Mitglieder gleichzeitig anwesend. Jedes Mitglied nutzt für Telefonate eine schallisolierte Telefonkabine insgesamt \(15\) Minuten pro Stunde. Für das Modell wird angenommen, dass die Nutzungszeiten der Mitglieder voneinander unabhängig und jeweils gleichmäßig über die Stunde verteilt sind. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufällig gewählten Zeitpunkt höchstens \(4\) Telefonkabinen gleichzeitig benötigt werden. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(6\) Kabinen gleichzeitig benötigt werden. Gib das Ergebnis ebenfalls als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. c) Wie viele Telefonkabinen müssen mindestens vorhanden sein, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) für alle gleichzeitig telefonierenden Mitglieder ausreichen?

Denkanstöße

- Welche zusätzliche Modellannahme macht aus \(15\) Minuten Nutzung pro Stunde eine Wahrscheinlichkeit für einen zufälligen Zeitpunkt? - Wie lassen sich „höchstens“ und „mehr als“ mit kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten ausdrücken? - Für c) musst du den kleinsten ganzzahligen Kapazitätswert finden, der die vorgegebene Sicherheit erreicht.

Lösung

1. Für ein Mitglied beträgt die Wahrscheinlichkeit, zu einem zufälligen Zeitpunkt eine Kabine zu nutzen, \(p=\frac{15}{60}=0{,}25\). Daher gilt für die Anzahl \(X\) der gleichzeitig benötigten Kabinen \(X\sim B(15;0{,}25)\). 2. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(X\le4)=F(4)\approx68{,}65\,\%\). 3. \(P(X>6)=1-F(6)\approx5{,}66\,\%\). 4. Für c) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}95\) gesucht. Es gilt \(F(6)\approx0{,}9434\) und \(F(7)\approx0{,}9827\). 5. Daher werden mindestens \(7\) Kabinen benötigt.

Antwort

a) \(68{,}65\,\%\) b) \(5{,}66\,\%\) c) Mindestens \(7\) Telefonkabinen.
43110012
In einer Logistikhalle arbeiten \(20\) Beschäftigte an ihren Packstationen. Jeder von ihnen benötigt für den Abtransport der Paletten durchschnittlich \(6\) Minuten pro Stunde einen speziellen Elektro-Hubwagen. Es wird angenommen, dass die Nutzungszeiten der Beschäftigten voneinander unabhängig und gleichmäßig über die Stunde verteilt sind. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufälligen Zeitpunkt genau \(2\) Hubwagen gleichzeitig benötigt werden. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als \(4\) Hubwagen gleichzeitig benötigt werden. Gib das Ergebnis ebenfalls als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. c) Wie viele Hubwagen müssen in der Halle bereitstehen, damit der Bedarf mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99\,\%\) gedeckt ist?

Denkanstöße

- Wie hoch ist der Anteil der Zeit, in der ein Beschäftigter einen Hubwagen nutzt? - Unterscheide genau zwischen einer Punktwahrscheinlichkeit und einer Wahrscheinlichkeit für einen Bereich. - Bei „mehr als \(k\)“ ist das Gegenereignis oft hilfreich. - Für c) suchst du den ersten kumulierten Wert, der die vorgegebene Sicherheit erreicht.

Lösung

1. Die Anzahl \(X\) der benötigten Hubwagen ist binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p=\frac{6}{60}=0{,}1\). 2. \(P(X=2)=\binom{20}{2}0{,}1^2 0{,}9^{18}\approx28{,}52\,\%\). 3. Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(X>4)=1-F(4)\approx4{,}32\,\%\). 4. Für c) wird das kleinste \(k\) mit \(F(k)\ge0{,}99\) gesucht. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(5)\approx0{,}9887\) und \(F(6)\approx0{,}9976\). 5. Damit sind mindestens \(6\) Hubwagen erforderlich.

Antwort

a) \(28{,}52\,\%\) b) \(4{,}32\,\%\) c) Mindestens \(6\) Hubwagen.
43110312
In einem Bürokomplex teilen sich \(50\) Mitarbeiter einen Pool von Lizenzen für eine spezialisierte Software. Jeder Mitarbeiter benötigt diese Software im Durchschnitt für \(15\) Minuten pro Stunde. Wie viele Lizenzen müssen mindestens vorhanden sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem beliebigen Zeitpunkt nicht für alle gleichzeitig zugreifenden Mitarbeiter eine freie Lizenz verfügbar ist, höchstens \(2\,\%\) beträgt? Gehe davon aus, dass die Zugriffszeiten der Mitarbeiter voneinander unabhängig und gleichmäßig über die Stunde verteilt sind.

Denkanstöße

- Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit \(p\), dass ein einzelner Mitarbeiter genau in diesem Moment die Software nutzt? - Welche Zufallsgröße \(X\) wird betrachtet und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es mathematisch, dass mehr Mitarbeiter zugreifen als Lizenzen vorhanden sind? - Nutze ein Tafelwerk oder eine entsprechende Funktion deines Taschenrechners für kumulierte Wahrscheinlichkeiten.

Lösung

1. Da ein Mitarbeiter die Software für \(15\) von \(60\) Minuten nutzt, gilt für einen zufälligen Zeitpunkt \(p=\frac{15}{60}=0{,}25\). 2. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der gleichzeitig zugreifenden Mitarbeiter. Es gilt \(X\sim B(50;0{,}25)\). 3. Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P(X>k)\le0{,}02\), also mit \(F(k)\ge0{,}98\). 4. Die kumulative Binomialfunktion aus Tafelwerk oder Taschenrechner liefert \(F(18)\approx0{,}9713\) und \(F(19)\approx0{,}9861\). 5. Daher müssen mindestens \(19\) Lizenzen zur Verfügung stehen.

Antwort

Mindestens \(19\) Lizenzen.
43110412
Ein Fitnessstudio bietet einen speziellen Zirkelkurs für \(40\) Personen an. In einer der Stationen stehen \(10\) baugleiche Rudergeräte zur Verfügung. Jeder Teilnehmer nutzt ein solches Gerät im Durchschnitt für insgesamt \(10\) Minuten innerhalb der \(60\)-minütigen Kurseinheit. Es wird angenommen, dass die Nutzungszeiten der Teilnehmer voneinander unabhängig und gleichmäßig über die Kurseinheit verteilt sind. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem zufällig gewählten Zeitpunkt während des Kurses mehr als \(10\) Personen gleichzeitig ein Rudergerät benutzen möchten. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Das Studio überlegt, weitere Rudergeräte anzuschaffen. Wie viele Geräte müssen insgesamt vorhanden sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass Teilnehmer warten müssen, auf höchstens \(5\,\%\) sinkt?

Denkanstöße

- Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit \(p\) für die Nutzung eines Geräts durch eine einzelne Person. - „Mehr als 10“ ist das Gegenereignis zu „höchstens 10“. - Für den zweiten Teil musst du den ersten Kapazitätswert finden, der die gewünschte Sicherheitswahrscheinlichkeit erreicht.

Lösung

1. Für einen Teilnehmer gilt \(p=\frac{10}{60}=\frac16\). Die Anzahl \(X\) der gleichzeitig benötigten Geräte ist damit binomialverteilt: \(X\sim B\left(40;\frac16\right)\). 2. Mit der kumulativen Binomialfunktion gilt \(P(X>10)=1-F(10)\approx5{,}84\,\%\). 3. Für b) wird das kleinste \(k\) mit \(P(X>k)\le0{,}05\), also \(F(k)\ge0{,}95\), gesucht. 4. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(F(10)\approx0{,}9416<0{,}95\) und \(F(11)\approx0{,}9739\ge0{,}95\). 5. Daher müssen insgesamt \(11\) Rudergeräte vorhanden sein.

Antwort

a) \(5{,}84\,\%\) b) Insgesamt \(11\) Rudergeräte.
43114912
Die Fehlerzustände der Glühbirnen werden als voneinander unabhängig angenommen. Bei der Endkontrolle in einer Fabrik für Leuchtmittel wird festgestellt, dass durchschnittlich \(4\,\%\) der Glühbirnen einen kleinen Schönheitsfehler aufweisen. a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton mit \(25\) zufällig ausgewählten Glühbirnen mindestens eine einen Schönheitsfehler hat. Gib das Ergebnis als Prozentsatz mit zwei Nachkommastellen an. b) Wie viele Glühbirnen müssen mindestens geprüft werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \(90\,\%\) mindestens eine Glühbirne mit einem Schönheitsfehler gefunden wird?

Denkanstöße

- Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis „kein einziger Defekt“? - Wie hängen „mindestens ein Treffer“ und „gar kein Treffer“ zusammen? - Bei einer unbekannten Anzahl \(n\) in einer Potenz hilft Logarithmieren. - Achte beim Umformen der Ungleichung auf das negative Vorzeichen von \(\ln(0{,}96)\).

Lösung

1. Für einen Schönheitsfehler gilt \(p=0{,}04\), für keinen Schönheitsfehler \(q=0{,}96\). 2. Für a) ist \(P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}96^{25}\approx63{,}96\,\%\). 3. Für b) gilt \(1-0{,}96^n>0{,}90\), also \(0{,}96^n<0{,}10\). 4. Nach dem Logarithmieren folgt \(n>\frac{\ln(0{,}10)}{\ln(0{,}96)}\approx56{,}41\). 5. Daher müssen mindestens \(57\) Glühbirnen geprüft werden.

Antwort

a) \(63{,}96\,\%\) b) Mindestens \(57\) Glühbirnen.
42352912
Ein Bogenschütze schießt \(10\)-mal. Die Schüsse werden als unabhängig angenommen, und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Goldene bleibt bei jedem Schuss gleich. Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(80\,\%\) soll er mindestens \(8\)-mal ins Goldene treffen. Wie groß muss \(p\) mindestens sein? Gib die kleinste Trefferwahrscheinlichkeit in Hundertstelschritten an, die die Bedingung tatsächlich erfüllt.

Denkanstöße

- Formuliere zuerst die Mindestbedingung als Wahrscheinlichkeit für die Trefferzahl \(X\). - Die gesuchte Wahrscheinlichkeit wächst mit \(p\); deshalb kannst du den Grenzwert numerisch eingrenzen. - Prüfe den gefundenen Hundertstelwert und den direkt darunterliegenden Wert an der ursprünglichen Mindestbedingung.

Lösung

1. Für \(X\sim B(10;p)\) lautet die Bedingung \(P(X\ge8)\ge0{,}80\). 2. Die Grenzgleichung \(P(X\ge8)=0{,}80\) hat numerisch die Lösung \(p\approx0{,}842365\). 3. Der Hundertstelwert \(p=0{,}84\) genügt noch nicht, denn \(P(X\ge8)\approx0{,}7936\). 4. Für \(p=0{,}85\) gilt \(P(X\ge8)\approx0{,}8202\). Damit ist \(0{,}85\) der kleinste zulässige Hundertstelwert.

Antwort

\(p=0{,}85\)
42353012
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(20\) elektronische Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit derselben Wahrscheinlichkeit \(p\) einwandfrei. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(18\) einwandfreie Bauteile soll mindestens \(70\,\%\) betragen. Wie groß muss \(p\) mindestens sein? Gib die kleinste Wahrscheinlichkeit in Hundertstelschritten an, die die Bedingung tatsächlich erfüllt.

Denkanstöße

- Formuliere die Mindestanforderung als Wahrscheinlichkeit für die Anzahl \(X\) der einwandfreien Bauteile. - Die gesuchte Wahrscheinlichkeit steigt mit \(p\); grenze daher den passenden Wert numerisch ein. - Prüfe den gefundenen Hundertstelwert und den direkt darunterliegenden Wert an der ursprünglichen Bedingung.

Lösung

1. Für \(X\sim B(20;p)\) lautet die Bedingung \(P(X\ge18)\ge0{,}70\). 2. Die Grenzgleichung \(P(X\ge18)=0{,}70\) hat numerisch die Lösung \(p\approx0{,}904057\). 3. Für \(p=0{,}90\) gilt \(P(X\ge18)\approx0{,}6769\); dieser Wert genügt noch nicht. 4. Für \(p=0{,}91\) gilt \(P(X\ge18)\approx0{,}7334\). Somit ist \(0{,}91\) der kleinste zulässige Hundertstelwert.

Antwort

\(p=0{,}91\)
42709612
Für ein hypothetisches Wirkungsmodell wird angenommen, dass bei jeder betrachteten Person unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(85\,\%\) eine gewünschte Wirkung eintritt. Eine Gruppe von \(n\) Personen soll so groß gewählt werden, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) bei mindestens \(10\) Personen die Wirkung eintritt. Bestimme die minimale Anzahl \(n\). Dokumentiere deinen Lösungsweg durch systematisches Probieren oder den Einsatz geeigneter Hilfsmittel.

Denkanstöße

- Übersetze die Forderung „mindestens \(10\) Wirkungen“ in eine Wahrscheinlichkeit für \(X\). - Ein Gegenereignis macht die Prüfung mit kumulierten Binomialwahrscheinlichkeiten einfacher. - Vergleiche benachbarte Gruppengrößen, um nachzuweisen, dass dein Wert wirklich minimal ist.

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der Personen mit Wirkung gilt \(X\sim B(n;0{,}85)\). Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge10)\ge0{,}90\). 2. Äquivalent ist \(P(X\le9)\le0{,}10\). 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert für \(n=13\) den Wert \(P(X\le9)\approx0{,}1180>0{,}10\). 4. Für \(n=14\) liefert sie \(P(X\le9)\approx0{,}0467\le0{,}10\). 5. Damit ist \(n=14\) minimal.

Antwort

\(n=14\)
42711512
Für ein Qualitätskontrollmodell wird angenommen, dass jedes geprüfte elektronische Bauteil unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(5\,\%\) einen Lötfehler aufweist. Bestimme die Mindestanzahl \(n\) an Bauteilen, die geprüft werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\) mindestens \(2\) Bauteile mit Lötfehlern entdeckt werden.

Denkanstöße

- Formuliere die Forderung zunächst als Wahrscheinlichkeit für die Anzahl \(X\) der fehlerhaften Bauteile. - Das Gegenereignis zu „mindestens \(2\)“ enthält nur sehr wenige mögliche Trefferzahlen. - Vergleiche benachbarte Werte von \(n\), um die Minimalität nachzuweisen.

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der fehlerhaften Bauteile gilt \(X\sim B(n;0{,}05)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge2)\ge0{,}90\), also \(P(X\le1)\le0{,}10\). 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert für \(n=76\) den Wert \(P(X\ge2)\approx0{,}8986<0{,}90\). 4. Für \(n=77\) liefert sie \(P(X\ge2)\approx0{,}9027\ge0{,}90\). 5. Daher ist \(n=77\) minimal.

Antwort

\(n=77\)
42711612
Für ein Modell eines Naturschutzprojekts wird angenommen, dass jedes ausgesetzte Jungtier unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(15\,\%\) das erste Jahr in Freiheit überlebt. Wie viele Jungtiere müssen mindestens ausgesetzt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(5\) von ihnen das erste Jahr überleben, mindestens \(99\,\%\) beträgt?

Denkanstöße

- Welche Zufallsgröße zählt hier die „Erfolge“? - Wie lässt sich „mindestens \(5\)“ durch ein Gegenereignis mit einer kleinen oberen Grenze ausdrücken? - Vergleiche benachbarte Werte für die Gesamtzahl, um den ersten zulässigen Wert zu finden.

Lösung

1. Für die Anzahl \(X\) der überlebenden Jungtiere gilt \(X\sim B(n;0{,}15)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(P(X\ge5)\ge0{,}99\), also \(P(X\le4)\le0{,}01\). 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert für \(n=73\) den Wert \(P(X\le4)\approx0{,}0105>0{,}01\). 4. Für \(n=74\) liefert sie \(P(X\le4)\approx0{,}0094\le0{,}01\). 5. Daher ist \(n=74\) minimal.

Antwort

\(n=74\)
42876012
Für ein Qualitätskontrollmodell werden \(20\) elektronische Bauteile betrachtet. Jedes Bauteil ist unabhängig von den anderen mit der konstanten Wahrscheinlichkeit \(10\,\%\) defekt. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die defekten Bauteile. a) Bestimme den Erwartungswert von \(X\). b) Gib ein möglichst kurzes, den Erwartungswert enthaltendes Intervall ganzzahliger Werte an, in dem \(X\) mit einer Wahrscheinlichkeit von über \(90\,\%\) liegt.

Denkanstöße

- Bestimme zuerst den Erwartungswert der Binomialverteilung. - Welche kurzen ganzzahligen Intervalle enthalten diesen Erwartungswert? - Vergleiche alle längsten Kandidaten mit weniger Werten, bevor du Minimalität behauptest.

Lösung

1. Es gilt \(X\sim B(20;0{,}1)\) und \(E(X)=20\cdot0{,}1=2\). 2. Für ein Intervall mit höchstens vier aufeinanderfolgenden ganzzahligen Werten, das \(2\) enthält, genügen als längste Kandidaten \([0;3]\), \([1;4]\) und \([2;5]\); jedes kürzere Intervall ist in einem davon enthalten. 3. Die kumulative Binomialfunktion liefert \(P(0\le X\le3)\approx0{,}8670\), \(P(1\le X\le4)\approx0{,}8352\) und \(P(2\le X\le5)\approx0{,}5970\). Keiner dieser Kandidaten überschreitet \(90\,\%\). 4. Für das Intervall \([0;4]\) gilt dagegen \(P(0\le X\le4)=F(4)\approx0{,}9568>0{,}90\). 5. Damit ist \([0;4]\) ein kürzestes den Erwartungswert enthaltendes Intervall mit der geforderten Wahrscheinlichkeit.

Antwort

a) \(E(X)=2\) b) \([0;4]\)

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