Kostenlose Arbeitsblätter

- Prüfe zuerst für jede Situation, ob \(H_0\) in Wahrheit gilt. - Vergleiche danach den wahren Zustand mit der Testentscheidung. - Welcher Fehlertyp gehört zum fälschlichen Verwerfen einer wahren Nullhypothese?

1. In a) ist \(H_0\) wahr, wird aber verworfen. Das ist ein Fehler 1. Art. 2. In b) ist \(H_0\) falsch, wird aber nicht verworfen. Das ist ein Fehler 2. Art.

a) Fehler 1. Art. b) Fehler 2. Art.

- Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Nullhypothese verworfen wird. - Verwende für die maximale Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit den Randwert \(p=0{,}90\). - Ablehnung einer Hypothese bedeutet statistische Evidenz gegen sie, nicht einen logischen Beweis ihrer Falschheit.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Herstellerangabe verworfen wird, obwohl mindestens \(90\,\%\) der Akkus die Kapazitätsanforderung erfüllen. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Angabe nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Anteil unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Akkus, die die Kapazitätsanforderung erfüllen. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0,1,\dots,84\}\). Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}90\) am größten. 3. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}90}(X\leq84)\approx0{,}0399\). Ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liefert statistische Evidenz gegen die Herstellerangabe, widerlegt sie aber nicht logisch mit Sicherheit.

a) Fehler 1. Art: Die Angabe wird verworfen, obwohl sie gilt. Fehler 2. Art: Die Angabe wird nicht verworfen, obwohl tatsächlich weniger als \(90\,\%\) die Anforderung erfüllen. b) \(\alpha\approx3{,}99\,\%\).

- Welche Werte gehören nicht zum Ablehnungsbereich \(K\)? - Bei einem Fehler 2. Art ist die konkrete Alternative wahr, aber \(H_0\) wird nicht verworfen. - Formuliere dieses Ereignis zuerst als Ungleichung für \(X\).

1. Ein Fehler 2. Art tritt bei der konkreten Alternative auf, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird. 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(\{0;1;\dots;5\}\). 3. Daher gilt \(\beta=P_{0{,}40}(X\le5)\approx0{,}4032\).

\(\beta=P_{0{,}40}(X\le5)\approx0{,}4032\).

- Welche zwei möglichen Testentscheidungen gibt es bei festem \(p_1\)? - \(\beta\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit der falschen Entscheidung bei dieser Alternative. - Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Bei \(p_1\) ist \(H_0\) falsch. Die Ereignisse „\(H_0\) nicht verwerfen“ und „\(H_0\) verwerfen“ sind Gegenereignisse. 2. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit des korrekten Verwerfens \(1-\beta=1-0{,}18=0{,}82\). 3. Bei \(p_1=0{,}55\) erkennt die Testregel die Abweichung also mit Wahrscheinlichkeit \(82\,\%\).

\(1-\beta=0{,}82=82\,\%\). Bei \(p_1=0{,}55\) verwirft der Test die falsche Nullhypothese mit Wahrscheinlichkeit \(82\,\%\).

- Welche Eigenschaften müssen für eine Bernoullikette erfüllt sein? - In welche Richtung weist der Ablehnungsbereich, wenn die Gegenhypothese einen „größeren“ Anteil vermutet? - Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie wahr ist.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl der Personen, die die neue Sorte wählen) ist binomialverteilt, wenn die Versuche unabhängig voneinander sind (die Entscheidung einer Person beeinflusst nicht die der anderen) und die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für jede Person konstant bleibt. 2. Die Hypothesen lauten \(H_0: p \le 0{,}3\) und \(H_1: p > 0{,}3\). Da große Werte von \(X\) gegen \(H_0\) sprechen, handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{32; 33; \dots; 80\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist die Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) abzulehnen, obwohl der Randfall \(p = 0{,}3\) gilt: \(\alpha = P_{80;0{,}3}(X \ge 32)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\alpha \approx 0{,}0360\), also etwa \(3{,}60\,\%\). 4. Im Sachzusammenhang bedeutet ein Fehler 1. Art: Man kommt fälschlicherweise zu dem Ergebnis, dass mehr als \(30\,\%\) der Konsumenten „Zisch-Zitrone“ bevorzugen, obwohl der Anteil tatsächlich höchstens \(30\,\%\) beträgt.

a) Binomialverteilung bei unabhängigen Entscheidungen und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(H_0: p \le 0{,}3\); \(H_1: p > 0{,}3\); \(K = \{32; \dots; 80\}\); rechtsseitiger Test. c) \(\alpha = P(X \ge 32) \approx 3{,}60\,\%\). Fehler 1. Art: Die neue Sorte wird fälschlicherweise als beliebter als \(30\,\%\) eingestuft.

- Überlege dir zuerst, welche Werte der Testgröße für die Behauptung des Sommeliers sprechen würden. - Für den Ablehnungsbereich musst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung nutzen. - Was passiert, wenn man eine falsche Entscheidung trifft? Unterscheide zwischen den beiden möglichen Fehlentscheidungen. - Der Fehler 2. Art wird immer unter einer konkreten Annahme für die Gegenhypothese berechnet.

1. Da der Sommelier behauptet, besser als durch bloßes Raten (\(p = 0{,}5\)) abzuschneiden, liegt die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}5\) im Bereich größerer Werte. Daher handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}5\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Binomialverteilung für \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\) ergibt sich: \(P(X \le 13) \approx 0{,}9423\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}9793\). Somit ist \(k-1 = 14\), also \(k = 15\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist das tatsächliche Signifikanzniveau: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9793 = 0{,}0207\). 4. Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass man die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verwirft. Im Sachkontext: Die Fähigkeit des Sommeliers wird nicht statistisch nachgewiesen, obwohl seine Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich über \(0{,}5\) liegt. 5. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, also \(X \le 14\). Für \(p = 0{,}8\) ergibt sich: \(P_{20; 0{,}8}(X \le 14) \approx 0{,}1958\).

a) Rechtsseitig, da \(H_1: p > 0{,}5\). b) \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). c) \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 2{,}07\,\%\). d) Die Fähigkeit des Sommeliers wird fälschlicherweise nicht statistisch nachgewiesen. e) \(\beta \approx 19{,}58\,\%\).

- Beschreibe zuerst die Testentscheidung bei einem Fehler 1. Art und bei einem Fehler 2. Art. - Für \(\alpha\) wird am Randwert \(p_0=0{,}04\) gerechnet. - Für \(\beta\) gilt hier konkret \(p=0{,}12\), und relevant ist der Nichtablehnungsbereich. - Trenne bei der Bewertung die mathematischen Wahrscheinlichkeiten von der Gewichtung der praktischen Folgen.

1. Fehler 1. Art: Die Charge wird abgelehnt (mehr als 7 mangelhafte Tabletten in der Stichprobe), obwohl die tatsächliche Fehlerquote höchstens \(4\,\%\) beträgt (\(H_0\) ist wahr). 2. Fehler 2. Art: Die Charge wird nach der vereinbarten Prüfregel freigegeben (höchstens \(7\) mangelhafte Tabletten), obwohl die tatsächliche Fehlerquote über \(4\,\%\) liegt; \(H_0\) wird also fälschlicherweise nicht verworfen. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}04\) ist die Anzahl der mangelhaften Tabletten \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}04}\). Gesucht ist \(P(X > 7) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}9525\) ergibt sich \(\alpha \approx 1 - 0{,}9525 = 0{,}0475\), also ca. \(4{,}75\,\%\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}12\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}12}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Charge fälschlicherweise angenommen wird: \(P(X \le 7)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0761\), also ca. \(7{,}61\,\%\). 5. In Teil d ist keine eindeutige Rangfolge vorgegeben. Eine Bewertung muss die genannten wirtschaftlichen Folgen gegeneinander abwägen. Entscheidend ist eine schlüssige Begründung, nicht eine bestimmte Wahl.

a) Fehler 1. Art: Die Charge wird nach der Prüfregel abgelehnt, obwohl \(p\leq0{,}04\) gilt. Fehler 2. Art: Die Charge wird nach der Prüfregel freigegeben, obwohl \(p>0{,}04\) gilt. b) \(\alpha=P_{100;0{,}04}(X\geq8)\approx0{,}0475\). c) \(\beta=P_{100;0{,}12}(X\leq7)\approx0{,}0761\). d) Die Bewertung ist argumentabhängig; beide Fehler können mit den genannten Folgen begründet als schwerwiegender eingestuft werden.

- Achte darauf, ob es sich um einen linksseitigen oder rechtsseitigen Test handelt, um den Ablehnungsbereich korrekt zu identifizieren. - Der Fehler 1. Art bezieht sich auf das irrtümliche Ablehnen der Herstellerangabe. - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn ein schlechteres Produkt (hier \(p=0{,}90\)) den Test fälschlicherweise besteht. - Was passiert, wenn ein Alarmsystem nicht zuverlässig ist, man es aber für sicher hält?

1. Definition des Ablehnungsbereichs: Die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}95\) wird abgelehnt, wenn die Anzahl der funktionierenden Sensoren \(X\) im Bereich \(\{0, 1, \dots, 184\}\) liegt. 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \le 184\) unter der Annahme \(p = 0{,}95\). Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}95\) ergibt sich \(P(X \le 184) \approx 0{,}0444\). Das Signifikanzniveau beträgt somit ca. \(4{,}44\,\%\). 3. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Die Wahrscheinlichkeit, dass \(X > 184\) unter der Annahme \(p = 0{,}90\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Behauptung des Herstellers nicht verworfen wird, obwohl sie falsch ist. Mit \(n = 200\) und \(p = 0{,}90\) ergibt sich \(P(X \ge 185) = 1 - P(X \le 184) \approx 1 - 0{,}8569 = 0{,}1431\), also ca. \(14{,}31\,\%\). 4. Diskussion: Ein Fehler 1. Art schadet dem Ruf des Herstellers zu Unrecht und führt zu unnötigen Nachbesserungen (wirtschaftlicher Schaden). Ein Fehler 2. Art gefährdet die Endnutzer, da ein unsicheres System als sicher eingestuft wird (Sicherheitsrisiko). Im Kontext von Sicherheitssensoren ist der Fehler 2. Art kritischer zu bewerten.

a) \(\alpha = P_{200; 0{,}95}(X \le 184) \approx 0{,}0444\). b) \(\beta = P_{200; 0{,}90}(X \ge 185) \approx 0{,}1431\). c) Der Fehler 1. Art belastet den Hersteller wirtschaftlich; der Fehler 2. Art stellt ein hohes Sicherheitsrisiko für die Nutzer dar.

- Überlege dir, in welche Richtung die Abweichung von der Nullhypothese zeigt, um die Testart zu bestimmen. - Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn die Nullhypothese gilt, aber das Ergebnis im Ablehnungsbereich landet. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn die Alternative gilt, aber das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich landet. - Vergleiche die berechneten Werte: Wenn ein Fehler kleiner wird, was passiert dann mit dem anderen?

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test, da die Alternative \(H_1: p < 0{,}15\) Werte kleiner als der hypothetische Wert \(p_0\) betrachtet und der Ablehnungsbereich links im Histogramm der Binomialverteilung liegt. 2. Fehler 1. Art \(\alpha = P(X \in K\mid p=0{,}15)\): Für \(k = 8\): \(\alpha_1 = P_{100; 0{,}15}(X \le 8) \approx 0{,}0275\). Für \(k = 11\): \(\alpha_2 = P_{100; 0{,}15}(X \le 11) \approx 0{,}1635\). 3. Fehler 2. Art \(\beta = P(X \notin K\mid p=0{,}08)\): Für \(k = 8\): \(\beta_1 = P_{100; 0{,}08}(X > 8) = 1 - P_{100; 0{,}08}(X \le 8) \approx 1 - 0{,}5927 = 0{,}4073\). Für \(k = 11\): \(\beta_2 = P_{100; 0{,}08}(X > 11) = 1 - P_{100; 0{,}08}(X \le 11) \approx 1 - 0{,}8972 = 0{,}1028\). 4. Mit steigendem kritischen Wert \(k\) vergrößert sich der Ablehnungsbereich. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) für den Fehler 1. Art (fälschliches Ablehnen von \(H_0\)), während die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für den Fehler 2. Art (fälschliches Nichtverwerfen von \(H_0\)) sinkt.

a) Linksseitiger Test, da \(H_1: p < 0{,}15\). b) Für \(k=8\): \(\alpha \approx 0{,}0275\); für \(k=11\): \(\alpha \approx 0{,}1635\). c) Für \(k=8\): \(\beta \approx 0{,}4073\); für \(k=11\): \(\beta \approx 0{,}1028\). d) Ein größerer Ablehnungsbereich führt zu einem größeren \(\alpha\) und einem kleineren \(\beta\).

- Wann wird eine Entscheidung getroffen, die im Widerspruch zur Realität steht? - Überlege dir, welche Werte der Zufallsvariablen dazu führen, dass man die ursprüngliche Behauptung verwirft. - Der Fehler zweiter Art bezieht sich immer auf die Annahme, dass eine alternative Wahrscheinlichkeit vorliegt. - Welche Werte liegen außerhalb des Ablehnungsbereichs?

1. Ein Fehler erster Art tritt auf, wenn die Nullhypothese \(H_0: p \le 0{,}05\) abgelehnt wird, obwohl sie wahr ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass die Lieferung fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird (mehr als \(5\,\%\) Kratzer vermutet), obwohl die tatsächliche Quote der Module mit Kratzern höchstens \(5\,\%\) beträgt. 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art entspricht \(P(X \in K)\) unter der Annahme \(p = 0{,}05\). Berechnung: \(P(X \ge 8) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(n = 80\) und \(p = 0{,}05\) ergibt sich \(P(X \le 7) \approx 0{,}9534\). Somit ist \(\alpha = 1 - 0{,}9534 = 0{,}0466\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}66\,\%\). 3. Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}15\) beträgt. Das Ereignis „Nicht-Ablehnen“ entspricht der Zufallsgröße \(X \le 7\). Berechnung für \(p = 0{,}15\): \(P(X \le 7) \approx 0{,}0727\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt somit ca. \(7{,}27\,\%\).

a) Es wird fälschlicherweise angenommen, dass zu viele Module Kratzer aufweisen, und die Lieferung wird als mangelhaft eingestuft, obwohl die Kratzerquote höchstens \(5\,\%\) beträgt. b) \(\alpha = P_{0{,}05}(X \ge 8) \approx 0{,}0466\) c) \(\beta = P_{0{,}15}(X \le 7) \approx 0{,}0727\)

- Was wäre für die Patienten schlimmer: Ein Medikament zu Unrecht für besser zu halten oder eine echte Verbesserung zu übersehen? - Das Signifikanzniveau ist die maximale Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung. - Achte darauf, welche Wahrscheinlichkeit \(p\) für welchen Fehlertyp verwendet werden muss.

1. Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die Heilungswahrscheinlichkeit in der untersuchten Population tatsächlich größer als \(0{,}6\) ist. Der Test weist dann die Überschreitung des Referenzwerts nicht nach; eine kausale Aussage gegenüber der Standardbehandlung ist damit nicht verbunden. 2. Die maximale Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit liegt am Randwert \(p_0=0{,}6\) und ist \(P_{p=0{,}6}(X\geq30)=1-P_{p=0{,}6}(X\leq29)\approx1-0{,}9648=0{,}0352\), also etwa \(3{,}52\,\%\). 3. Für \(p=0{,}8\) tritt der Fehler 2. Art bei \(X\leq29\) ein. Daher ist \(\beta=P_{p=0{,}8}(X\leq29)\approx0{,}1608\), also etwa \(16{,}08\,\%\).

a) Eine tatsächliche Heilungsrate über \(60\,\%\) wird statistisch nicht nachgewiesen. b) \(\alpha\approx0{,}0352=3{,}52\,\%\). c) \(\beta\approx0{,}1608=16{,}08\,\%\).

- Welches Ereignis führt dazu, dass wir die Behauptung des Produzenten ablehnen? - Überlege dir, welche der beiden Hypothesen im Falle eines Fehlers 1. Art fälschlicherweise abgelehnt wird. - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Testergebnis im Nichtablehnungsbereich landet, obwohl die Alternative wahr ist. - Achte beim Ablesen oder Berechnen der Binomialverteilung genau auf die Parameter \(n\) und \(p\).

1. Definition der Testgröße \(X\): Anzahl der keimenden Samen (binomialverteilt). Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}7\) gegen \(H_1: p > 0{,}7\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{63, 64, \dots, 80\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art: \(\alpha = P_{p=0{,}7}(X \ge 63) = 1 - P_{p=0{,}7}(X \le 62)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(\alpha \approx 0{,}0531\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(5{,}31\,\%\). 3. Beschreibung Fehler 2. Art: Die Nullhypothese wird nicht verworfen, obwohl die tatsächliche Keimrate bei \(85\,\%\) liegt und damit \(H_1\) gilt. Die höhere Keimrate wird also durch den Test nicht erkannt. 4. Berechnung des Fehlers 2. Art: \(\beta = P_{p=0{,}85}(X \le 62)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung mit \(n=80\) und \(p=0{,}85\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0480\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(4{,}80\,\%\).

a) \(X\): Anzahl keimender Samen; \(H_0: p \le 0{,}7\); \(H_1: p > 0{,}7\); \(K = \{63, \dots, 80\}\). b) \(\alpha \approx 5{,}31\,\%\). c) Obwohl \(p=0{,}85\) gilt, wird \(H_0\) nicht verworfen; die höhere Keimrate wird durch den Test nicht erkannt. \(\beta \approx 4{,}80\,\%\).

- Was ist der Unterschied zwischen der Nullhypothese und der Vermutung des Arztes? - Das Signifikanzniveau entspricht der maximalen Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art. - Stell dir vor, du bist ein Patient: Welcher Fehler wäre für dich schlimmer – ein Medikament zu nehmen, das schlechter ist als versprochen, oder ein gutes Medikament gar nicht erst zu bekommen? - Benutze für die Berechnung des Fehlers 2. Art die neue, tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}25\).

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Am Rand der Nullhypothese gilt \(p_0=0{,}4\), daher ist \(\alpha=P_{p=0{,}4}(X\leq32)\approx0{,}0615\), also etwa \(6{,}15\,\%\). 2. Beim Fehler 1. Art wird fälschlicherweise statistische Evidenz für eine Nebenwirkungsrate unter \(40\,\%\) erhalten, obwohl die wahre Rate mindestens \(40\,\%\) beträgt. Die Verträglichkeit würde damit zu günstig eingeschätzt; dies ist jedoch keine kausale Aussage über den Unterschied zur bisherigen Zusammensetzung. 3. Für \(p=0{,}25\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt, wenn \(X>32\). Daher gilt \(\beta=P_{p=0{,}25}(X>32)=1-P_{p=0{,}25}(X\leq32)\approx1-0{,}9554=0{,}0446\), also etwa \(4{,}46\,\%\).

a) \(\alpha\approx6{,}15\,\%\). b) Eine tatsächlich mindestens \(40\,\%\) betragende Nebenwirkungsrate wird fälschlich als niedriger eingestuft. c) \(\beta\approx4{,}46\,\%\).

- Überlege dir zuerst, für welche Werte von \(X\) die Nullhypothese abgelehnt wird. - Was bedeutet es allgemein, wenn man einen Fehler 1. Art begeht? Welche Hypothese ist dann wahr und welche Entscheidung wird getroffen? - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich liegt, obwohl die alternative Wahrscheinlichkeit gilt.

1. Identifikation der Parameter: Stichprobenumfang \(n = 150\), Trefferwahrscheinlichkeit unter der Nullhypothese \(p_0 = 0{,}2\), Ablehnungsbereich \(K = \{40, 41, \dots, 150\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art: \(\alpha = P_{0{,}2}(X \ge 40) = 1 - P_{0{,}2}(X \le 39)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(\alpha \approx 1 - 0{,}9707 = 0{,}0293\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}93\,\%\). 3. Beschreibung des Fehlers 2. Art: Man geht fälschlicherweise davon aus, dass die Salbe bei die erhöhte Rate der Patienten Hautrötungen verursacht, obwohl die tatsächliche Rate höher liegt (z. B. bei \(30\,\%\)). Die Behauptung des Unternehmens wird also fälschlicherweise nicht abgelehnt. 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}3\): \(\beta = P_{0{,}3}(X \le 39)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1636\). Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(16{,}36\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}93\,\%\). b) Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass die Salbe nicht als auffällig erkannt wird (die erhöhte Rate Rötungen), obwohl sie in Wirklichkeit bei mehr Patienten (hier \(30\,\%\)) Rötungen verursacht. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt ca. \(16{,}36\,\%\).

- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird und welcher reale Zustand dazu im Widerspruch steht. - Welche Werte der Zufallsgröße führen zur Ablehnung der Nullhypothese? - Verwende für die Berechnung die kumulierte Binomialverteilung. - Beachte beim Fehler 2. Art, dass die Gegenhypothese mit einem konkreten Wert für \(p\) betrachtet werden muss.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Sendung fälschlicherweise reklamiert wird, obwohl die Keimrate tatsächlich mindestens \(90\,\%\) beträgt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Sendung angenommen wird, obwohl die tatsächliche Keimrate unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl keimender Körner) ist unter der Annahme \(p = 0{,}9\) binomialverteilt mit \(n = 50\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 41\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(P_{0{,}9}(X \le 41) = \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{50-k} \approx 0{,}0579\). 3. Ein Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}8\) gilt. Dies geschieht, wenn \(X \in \{42, 43, \dots, 50\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P_{0{,}8}(X \ge 42) = 1 - P_{0{,}8}(X \le 41) = 1 - \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{50-k} \approx 0{,}3073\).

a) Fehler 1. Art: Irrtümliche Reklamation bei guter Qualität; Fehler 2. Art: Irrtümliche Annahme bei schlechter Qualität. b) \(\alpha \approx 5{,}79\,\%\) c) \(\beta \approx 30{,}73\,\%\)

- Welche Verteilung liegt vor, wenn man eine feste Anzahl von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen hat? - Was bedeutet der Fehler erster Art im Sachzusammenhang? Wann wird die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt? - Was bedeutet der Fehler zweiter Art? Wann wird die Gegenhypothese fälschlicherweise nicht erkannt? - Überlege, ob die Samen in einer Tüte wirklich als unabhängige Stichprobe für die gesamte Produktion gelten können.

1. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der keimenden Samen und ist unter \(H_0\) binomialverteilt mit \(n = 100\) und \(p = 0{,}75\). 2. Der Fehler erster Art tritt auf, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p \leq 0{,}75\) gilt. Die maximale Wahrscheinlichkeit hierfür ergibt sich bei \(p = 0{,}75\). 3. Berechnung: \(P_{0{,}75}(X \geq 83) = 1 - P_{0{,}75}(X \leq 82) \approx 0{,}0376\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art beträgt ca. \(3{,}76\,\%\). 4. Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}85\) gilt. Dies ist der Fall, wenn \(X \leq 82\). 5. Berechnung: \(P_{0{,}85}(X \leq 82) \approx 0{,}2367\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt ca. \(23{,}67\,\%\). 6. Die Entnahme aus nur einer Tüte verletzt die Unabhängigkeit oder Repräsentativität der Stichprobe, da Produktions- oder Lagerungsbedingungen nur dieser einen Tüte (z. B. Feuchtigkeit) das Ergebnis verfälschen könnten.

a) \(\alpha \approx 3{,}76\,\%\) b) \(\beta \approx 23{,}67\,\%\) c) Die Stichprobe ist möglicherweise nicht repräsentativ für die gesamte Produktion, da alle Samen denselben (eventuell untypischen) Bedingungen in dieser einen Tüte ausgesetzt waren.

- Wann spricht ein Ergebnis in der Stichprobe für die Vermutung, dass der Anteil gesunken ist? - Nutze die Tabellen der Binomialverteilung oder die entsprechende Funktion deines Taschenrechners. - Achte beim Fehler zweiter Art darauf, welches Ereignis eintritt, wenn man die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verwirft.

1. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl defekter Schrauben) ist binomialverteilt mit \(n = 400\) und \(p = 0{,}04\). 2. Gesucht ist die größte Zahl \(k\), für die gilt: \(P_{0{,}04}(X \leq k) \leq 0{,}05\). 3. Mithilfe der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich: \(P_{0{,}04}(X \leq 9) \approx 0{,}0403\) und \(P_{0{,}04}(X \leq 10) \approx 0{,}0733\). 4. Somit ist \(k = 9\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 9\}\). 5. Der Fehler zweiter Art tritt auf, wenn bei einer tatsächlichen Trefferquote von \(p = 0{,}02\) das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, also wenn \(X \geq 10\). 6. Berechnung: \(P_{0{,}02}(X \geq 10) = 1 - P_{0{,}02}(X \leq 9) \approx 0{,}2821\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt ca. \(28{,}21\,\%\).

a) Ablehnungsbereich: \(\{0, 1, \dots, 9\}\) b) \(\beta \approx 28{,}21\,\%\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Nullhypothese „irrtümlich“ abgelehnt wird? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der defekten Teile in einer Stichprobe? - Stelle dir vor, die Ware ist schlechter als behauptet, aber der Test bemerkt es nicht – welcher Fehler ist das? - Überlege dir, wie sich die Größe des Ablehnungsbereichs auf die Trefferwahrscheinlichkeit in diesem Bereich auswirkt.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) wahr ist, aber verworfen wird. Für die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0:p\leq0{,}05\) wird am Randwert \(p=0{,}05\) gerechnet. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p=0{,}05\). Die Ablehnung erfolgt für \(X \geq 6\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 5) \approx 0{,}9622\). Damit ist \(\alpha = 1 - 0{,}9622 = 0{,}0378\), also ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies: Der Test erkennt einen tatsächlichen Defektanteil über \(5\,\%\) nicht als statistisch auffällig. 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art verkleinert sich. Da der Ablehnungsbereich \(K = \{k+1, \dots, n\}\) durch die Erhöhung des kritischen Wertes verkleinert wird, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis in diesen Bereich fällt, wenn \(H_0\) wahr ist.

1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Der Fehler 2. Art bedeutet hier, dass \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Defektanteil über \(5\,\%\) liegt. 3. Die Wahrscheinlichkeit sinkt, da der Ablehnungsbereich kleiner wird.

- Welche Größe wird hier gezählt und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn die Grenze des Ablehnungsbereichs verschoben wird? - Achte darauf, ob der Test links- oder rechtsseitig durchgeführt wird. - Wie hängen die Ereignisse für den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art mit dem Ablehnungsbereich zusammen?

1. Testgröße \(X\): Anzahl der defekten Leuchtmittel in der Stichprobe. Für einen festen Wert von \(p\) gilt \(X \sim B(60; p)\); zur Berechnung des maximalen Fehlers 1. Art wird der Randwert \(p = 0{,}05\) verwendet. 2. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 3. Bereiche: Ablehnungsbereich \(K = \{7, 8, \dots, 60\}\); Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 6\}\). 4. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9703 = 0{,}0297\). 5. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(P(X \le 6; p=0{,}15) \approx 0{,}1848\). 6. Neuer Ablehnungsbereich \(K_{neu} = \{6, 7, \dots, 60\}\). 7. Neuer Fehler 1. Art: \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9213 = 0{,}0787\). 8. Neuer Fehler 2. Art: \(P(X \le 5; p=0{,}15) \approx 0{,}0968\). 9. Allgemeiner Zusammenhang: Durch die Vergrößerung des Ablehnungsbereichs steigt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)), während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)) sinkt.

a) \(X\): Anzahl defekter Leuchtmittel; \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\); \(K = \{7, \dots, 60\}\); \(\bar{K} = \{0, \dots, 6\}\). b) Fehler 1. Art: \(\alpha \approx 2{,}97\,\%\); Fehler 2. Art: \(\beta \approx 18{,}48\,\%\). c) Neuer Fehler 1. Art: \(\alpha_{neu} \approx 7{,}87\,\%\); Neuer Fehler 2. Art: \(\beta_{neu} \approx 9{,}68\,\%\). Vergrößerung des Ablehnungsbereichs führt zu größerem \(\alpha\) und kleinerem \(\beta\).

- Überlege zuerst, ab welcher Anzahl an Erfolgen die Vermutung des Forscherteams statistisch gestützt wird. - Das Signifikanzniveau begrenzt die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit; wegen der diskreten Verteilung kann der tatsächliche Wert kleiner sein. - Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese bei der betrachteten höheren Erfolgswahrscheinlichkeit nicht verworfen wird. - Nutze die kumulierte Binomialverteilung für die Randwahrscheinlichkeiten.

1. Gesucht ist beim rechtsseitigen Test das kleinste \(k\), für das am Randwert \(p_0=0{,}5\) gilt: \(P(X\geq k)\leq0{,}05\). Da \(P(X\leq25)\approx0{,}9597\), ist \(k=26\). Somit ist \(K=\{26,27,\dots,40\}\). 2. Die tatsächliche Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit ist \(\alpha_{\text{tatsächlich}}=P_{0{,}5}(X\geq26)=1-P_{0{,}5}(X\leq25)\approx0{,}0403\). 3. Bei \(p=0{,}75\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also bei \(X\leq25\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\leq25)\approx0{,}0544\).

a) \(K=\{26,27,\dots,40\}\). b) \(\alpha_{\text{tatsächlich}}\approx4{,}03\,\%\). c) \(\beta\approx5{,}44\,\%\).

- Überlege dir zuerst, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test handelt. - Welche Werte für die Anzahl der Treffer sprechen gegen die Nullhypothese? - Bei der Entscheidung über die Ablehnung zählt nicht das Eintreffen eines exakten Wertes, sondern wie extrem das Gesamtergebnis im Vergleich zur Erwartung ist. - Was bedeutet es für die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn man die Grenze des Ablehnungsbereichs verschiebt? - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn man die Nullhypothese nicht verwirft, obwohl sie eigentlich falsch ist.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \leq 0{,}1\), rechtsseitiger Test): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit \(P_{0{,}1}^{80}(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung folgt für \(n=80, p=0{,}1\): \(P(X \leq 12) \approx 0{,}9462\) und \(P(X \leq 13) \approx 0{,}9733\). Somit ist \(k-1 = 13\), also \(k = 14\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). 2. Beurteilung des Vorschlags: Die Argumentation ist falsch, da bei einem Signifikanztest nicht die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), sondern die Wahrscheinlichkeit des gesamten rechten Randes (die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \geq k)\)) betrachtet werden muss. Würde man bereits bei \(12\) Treffern ablehnen, müsste man konsequenterweise auch bei allen Werten größer als \(12\) ablehnen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wäre dann \(P(X \geq 12) = P(X \geq 13) + P(X=12) \approx 0{,}0538 + 0{,}0466 = 0{,}1004\), also rund \(10\,\%\), was das Signifikanzniveau von \(5\,\%\) deutlich überschreitet. 3. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Ablehnungsbereich liegt, obwohl \(p=0{,}1\) gilt: \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq 14) = 1 - P_{0{,}1}^{80}(X \leq 13) \approx 1 - 0{,}9733 = 0{,}0267\). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, \dots, 13\}\) liegt, obwohl \(p=0{,}2\) gilt: \(P_{0{,}2}^{80}(X \leq 13) \approx 0{,}2470\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). b) Der Vorschlag ist falsch, da für die Testentscheidung die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 12)\) maßgeblich ist. Diese liegt mit ca. \(10{,}04\,\%\) über dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}67\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}2\) beträgt ca. \(24{,}70\,\%\).

- Welche Stichprobenergebnisse (viele oder wenige zufriedene Nutzer) würden dich dazu bringen, an der Behauptung „mindestens \(80\,\%\)“ zu zweifeln? - Achte darauf, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich bei den kleinen Werten liegt. - Formuliere die Fehlerarten immer nach dem Schema: „Die Nullhypothese ist eigentlich wahr/falsch, aber man entscheidet sich für...“ - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich landet, obwohl der neue Wert \(p = 0{,}65\) gilt.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \geq 0{,}8\), linksseitiger Test): Gesucht ist die größte Zahl \(g\), für die \(P_{0{,}8}^{60}(X \leq g) \leq 0{,}10\) gilt. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n=60, p=0{,}8\) ergibt sich: \(P(X \leq 42) \approx 0{,}0427\), \(P(X \leq 43) \approx 0{,}0772\) sowie \(P(X \leq 44) \approx 0{,}1306\). Die größte Zahl, die die Bedingung erfüllt, ist \(g = 43\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). 2. Fehler 1. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform ab (weniger als \(80\,\%\) zufrieden), obwohl in Wirklichkeit mindestens \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind. 3. Fehler 2. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform nicht ab, obwohl in Wirklichkeit weniger als \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind (hier konkret am Beispiel \(p=0{,}65\)). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}65\): Der Fehler tritt auf, wenn das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{44, 45, \dots, 60\}\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(P_{0{,}65}^{60}(X \geq 44) = 1 - P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43)\). Mit \(P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43) \approx 0{,}8899\) ergibt sich \(1 - 0{,}8899 = 0{,}1101\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). b) Fehler 1. Art: Die Plattform hat recht (\(p \geq 0{,}8\)), aber man weist ihre Behauptung fälschlicherweise zurück. Fehler 2. Art: Die Plattform hat nicht recht (\(p < 0{,}8\)), aber man erkennt dies nicht und verwirft die Nullhypothese nicht. c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}65\) beträgt ca. \(11{,}01\,\%\).

- Welche Art von Test liegt vor: linksseitig, rechtsseitig oder beidseitig? - Was bedeutet der Fehler erster Art im Sachkontext? - Wie ist der Ablehnungsbereich definiert, wenn das Signifikanzniveau vorgegeben ist? - Wann tritt ein Fehler zweiter Art auf und welche Wahrscheinlichkeit wird dafür zur Berechnung genutzt?

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \( k \), für das bei \( X \sim B_{50; 0{,}2} \) gilt: \( P(X \ge k) \le 0{,}05 \). Dies ist äquivalent zu \( 1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05 \) bzw. \( P(X \le k-1) \ge 0{,}95 \). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich für \( n=50, p=0{,}2 \): \( P(X \le 14) \approx 0{,}9393 \) und \( P(X \le 15) \approx 0{,}9692 \). Somit ist \( k-1 = 15 \), also \( k = 16 \). Der Ablehnungsbereich ist \( K = \{16, 17, \dots, 50\} \). 2. Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art: Die exakte Wahrscheinlichkeit ist \( P_{p=0{,}2}(X \ge 16) = \sum_{i=16}^{50} \binom{50}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{50-i} \); numerisch gilt \( P_{p=0{,}2}(X \ge 16) \approx 0{,}0308 \). 3. Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art: Der Nichtablehnungsbereich ist \( \bar{K} = \{0, 1, \dots, 15\} \). Für die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p = 0{,}35 \) berechnet man \( \beta = P_{p=0{,}35}(X \le 15) \). Unter Verwendung der Binomialverteilung \( B_{50; 0{,}35} \) ergibt sich \( \beta \approx 0{,}2801 \).

a) Der Ablehnungsbereich ist \( K = \{16, 17, \dots, 50\} \). Die exakte Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art ist \(\sum_{i=16}^{50} \binom{50}{i} \cdot 0{,}2^i \cdot 0{,}8^{50-i}\); numerisch beträgt sie ca. \(3{,}08\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt ca. \( 28{,}01\,\% \).

- Bestimme zuerst, ab welcher Zahl blühender Pflanzen das Ergebnis signifikant über dem Referenzwert liegt. - Beim Fehler zweiter Art liegt die tatsächliche Blührate über dem Referenzwert, aber \( H_0 \) wird trotzdem nicht verworfen. - Für \( \beta \) verwendest du die jeweils angegebene tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p \), während der zuvor bestimmte Nichtablehnungsbereich unverändert bleibt. - Vergleiche die beiden Werte von \( \beta \): Was passiert, wenn die tatsächliche Blührate weiter vom Referenzwert entfernt liegt?

1. Hypothesen und Testart: Es liegt ein rechtsseitiger Test mit \( H_0: p \leq 0{,}25 \) und \( H_1: p > 0{,}25 \) vor. 2. Ermittlung des kritischen Bereichs: Gesucht ist \( k \), sodass \( P_{0{,}25}(X \geq k) \leq 0{,}05 \). Bei \( n = 40 \) liefert die Binomialverteilung \( P(X \geq 15) \approx 0{,}0544 \) und \( P(X \geq 16) \approx 0{,}0262 \). Der kritische Bereich ist \( K = \{16; 17; \dots; 40\} \). 3. Definition des Nichtablehnungsbereichs: Die Nullhypothese wird nicht verworfen, wenn das Ergebnis im Bereich \( \bar{K} = \{0; 1; \dots; 15\} \) liegt. 4. Fehler zweiter Art für \( p = 0{,}4 \): Die Wahrscheinlichkeit, dass trotz einer tatsächlichen Rate von \( 0{,}4 \) die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, ist \( \beta = P_{0{,}4}(X \leq 15) \approx 0{,}4402 \). 5. Fehler zweiter Art für \( p = 0{,}5 \): Analog ergibt sich für eine tatsächliche Rate von \( 0{,}5 \) die Wahrscheinlichkeit \( \beta = P_{0{,}5}(X \leq 15) \approx 0{,}0769 \).

a) Kritischer Bereich \( K = \{16; 17; \dots; 40\} \). b) Für \( p = 0{,}4 \): \( \beta \approx 0{,}4402 \) (bzw. \( 44{,}02\,\% \)). Für \( p = 0{,}5 \): \( \beta \approx 0{,}0769 \) (bzw. \( 7{,}69\,\% \)).

- Welche Aussage möchte der Abnehmer statistisch stützen? Diese ist die Gegenhypothese. - Der Fehler 1. Art ist das Risiko, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist. - Für den Fehler 2. Art musst du mit der neuen, tatsächlichen Wahrscheinlichkeit rechnen, aber die alten Grenzen des Tests beibehalten. - Überlege dir, wer bei welcher Fehlentscheidung einen finanziellen Schaden erleidet.

1. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\) (Behauptung des Herstellers) gegen \(H_1: p > 0{,}05\) (Vermutung des Abnehmers). 2. Ablehnungsbereich: \(X\) sei die Anzahl defekter LEDs, \(X \sim B(200; 0{,}05)\). Gesucht ist \(k\) mit \(P(X \ge k) \le 0{,}05\), also \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Mit \(n=200, p=0{,}05\) liefert die kumulierte Binomialverteilung \(P(X \le 14) \approx 0{,}9219\) und \(P(X \le 15) \approx 0{,}9556\). Also \(k-1 = 15\), woraus \(k = 16\) folgt. Ablehnungsbereich \(K = \{16, 17, \dots, 200\}\). 3. Fehler 1. Art: \(P(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9556 = 0{,}0444\). Dieser Wert liegt unter dem Signifikanzniveau von \(0{,}05\). 4. Fehler 2. Art: Nun gilt \(p = 0{,}10\). Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich \(\{0, \dots, 15\}\) liegt. \(P(X \le 15)\) für \(B(200; 0{,}10)\) ergibt \(\sum_{i=0}^{15} \binom{200}{i} \cdot 0{,}1^i \cdot 0{,}9^{200-i} \approx 0{,}1431\). 5. Sicht des Herstellers: Ein kleineres Signifikanzniveau bedeutet, dass die Nullhypothese (die Ware ist gut) seltener fälschlicherweise abgelehnt wird. Dies schützt den Hersteller davor, dass eine eigentlich einwandfreie Produktion aufgrund eines Zufallsergebnisses in der Stichprobe reklamiert wird.

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\); Ablehnungsbereich \(K = \{16, \dots, 200\}\) b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 0{,}0444 \le 0{,}05\) c) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 0{,}1431\) (bzw. \(14{,}31\,\%\)) d) Ein kleineres \(\alpha\) verringert das Risiko des Herstellers, dass gute Ware fälschlich reklamiert wird (Produzentenrisiko).

- Welche Abweichung von „mindestens \(95\,\%\)“ würde gegen die Herstellerangabe sprechen? - Formuliere die Herstellerangabe als Referenzhypothese und die niedrigere Quote als Gegenhypothese. - Der Ablehnungsbereich wird so gewählt, dass seine Wahrscheinlichkeit am Randwert der Nullhypothese das Signifikanzniveau nicht überschreitet. - Für den Fehler 2. Art verwendest du den Nichtablehnungsbereich unter der konkret angegebenen Alternative \(p=0{,}90\).

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „mindestens \( 95\,\% \)“ geprüft werden soll, lautet die Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}95 \) und die Gegenhypothese \( H_1: p < 0{,}95 \). Da Abweichungen nach unten (kleine Werte von \( X \)) zur Ablehnung von \( H_0 \) führen, handelt es sich um einen linksseitigen Test. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}95 \) wird ein \( k \) gesucht, für das \( P(X \le k) \le 0{,}05 \) gilt. Mit \( n = 250 \) ergibt sich \( P(X \le 231) \approx 0{,}0474 \) und \( P(X \le 232) \approx 0{,}0788 \). Der Ablehnungsbereich ist somit \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \). 3. Fehler 1. Art: Die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) abzulehnen, obwohl \( p = 0{,}95 \) gilt, entspricht dem tatsächlichen Signifikanzniveau: \( P(X \le 231) \approx 4{,}74\,\% \). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) nicht abzulehnen, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p = 0{,}90 \) beträgt. Gesucht ist \( P(X > 231) \) für \( p = 0{,}90 \). Es gilt \( P(X > 231) = 1 - P(X \le 231) \approx 1 - 0{,}9192 = 0{,}0808 \). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt etwa \( 8{,}08\,\% \).

a) \( H_0: p \ge 0{,}95 \); \( H_1: p < 0{,}95 \). Linksseitig, da nur signifikant kleine Werte gegen \( H_0 \) sprechen. b) \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \) c) \( P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}74\,\% \) d) \( P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 8{,}08\,\% \)

- Erinnere dich an die Merkmale eines Bernoulli-Experiments. - Bei einem rechtsseitigen Test liegen die extremen Werte, die zur Ablehnung führen, im oberen Bereich der Verteilung. - Beachte den Zusammenhang zwischen \( P(X \ge k) \) und der kumulierten Verteilungsfunktion \( P(X \le k-1) \). - Der Fehler 2. Art kann nur berechnet werden, wenn ein konkreter Alternativwert für \( p \) gegeben ist.

1. Voraussetzung: Die Keimung der einzelnen Samen muss voneinander unabhängig sein und die Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Keimen muss für jeden Samen konstant sein (Bernoulli-Kette). 2. Hypothesen und Ablehnungsbereich: Die Nullhypothese lautet \( H_0: p \le 0{,}02 \), die Gegenhypothese \( H_1: p > 0{,}02 \). Gesucht ist das kleinste \( k \), sodass \( P(X \ge k) \le 0{,}10 \) unter der Annahme \( p = 0{,}02 \). Dies ist äquivalent zu \( P(X \le k-1) \ge 0{,}90 \). Für \( n = 400 \) liefert die Tabelle/der Rechner: \( P(X \le 11) \approx 0{,}8911 \) und \( P(X \le 12) \approx 0{,}9381 \). Somit ist \( k-1 = 12 \), also \( k = 13 \). Der Ablehnungsbereich ist \( K = \{13, 14, \dots, 400\} \). 3. Fehler 1. Art: \( P(X \ge 13) = 1 - P(X \le 12) \approx 1 - 0{,}9381 = 0{,}0619 \). Das Risiko beträgt ca. \( 6{,}19\,\% \). 4. Fehler 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) im Nichtablehnungsbereich \( \{0, \dots, 12\} \) liegt, falls \( p = 0{,}05 \) gilt: \( P(X \le 12) \) für \( B(400; 0{,}05) \). Die Berechnung ergibt \( P(X \le 12) \approx 0{,}0355 \). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \( 3{,}55\,\% \).

a) Unabhängigkeit der Keimvorgänge (Bernoulli-Bedingung). b) \( H_0: p \le 0{,}02 \); \( H_1: p > 0{,}02 \); \( K = \{13, 14, \dots, 400\} \) c) \( P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 6{,}19\,\% \) d) \( P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 3{,}55\,\% \)

- Welche Verteilung liegt bei einer Stichprobe mit einer festen Trefferwahrscheinlichkeit vor? - Erinnere dich daran, dass das Signifikanzniveau eine Obergrenze für das Risiko darstellt, eine wahre Nullhypothese abzulehnen. - Was bedeutet ein Fehler zweiter Art inhaltlich? Die Nullhypothese wird nicht verworfen, obwohl die betrachtete Alternative gilt. - Welche Werte von \(X\) führen dazu, dass wir uns für die Alternative entscheiden?

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme \(p = 0{,}1\) ist die Anzahl der fehlerhaften Leuchten \(X\) binomialverteilt mit \(B(50; 0{,}1)\). Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\) gilt. Aus der Tabelle oder dem Taschenrechner ergibt sich \(P(X \le 8) \approx 0{,}9422\) und \(P(X \le 9) \approx 0{,}9755\). Somit ist \(k-1 = 9\), also \(k = 10\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{10; 11; \dots; 50\}\). 2. Fehler erster Art: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) fälschlicherweise abzulehnen, ist \(P(X \ge 10) = 1 - P(X \le 9) \approx 1 - 0{,}9755 = 0{,}0245\), also ca. \(2{,}45\,\%\). Dieser Wert ist kleiner als \(\alpha = 5\,\%\), da aufgrund der Diskretion der Binomialverteilung das Signifikanzniveau meist nicht exakt ausgeschöpft werden kann. 3. Fehler zweiter Art: Bei einer tatsächlichen Trefferquote von \(p = 0{,}2\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt, wenn \(X\) im Nichtablehnungsbereich \(\overline{K} = \{0; 1; \dots; 9\}\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist \(P(X \le 9)\) für \(B(50; 0{,}2)\). Die Berechnung ergibt \(P(X \le 9) \approx 0{,}4437\), also ca. \(44{,}37\,\%\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{10; 11; \dots; 50\}\). b) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art beträgt \(P(X \ge 10) \approx 0{,}0245\). Sie ist kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau \(\alpha = 0{,}05\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art beträgt \(\beta = P(X \le 9) \approx 0{,}4437\) bei \(p = 0{,}2\).

- Welche Hypothese beschreibt Ausschussquoten ab dem Referenzwert und welche Ausschussquoten darunter? - Überlege dir, bei welchem Ergebnis der Stichprobe welche Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. - Erinnere dich an die Formel für die kumulierte Binomialverteilung. - Was passiert, wenn du ein Ergebnis erhältst, das im Ablehnungsbereich von \(H_0\) liegt, obwohl \(H_0\) in Wirklichkeit zutrifft?

1. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Ablehnung von \(H_0\), obwohl \(H_0\) wahr ist. Berechnung über die Binomialverteilung mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}10\): \(P_{0{,}10}(X \le 1) = \binom{40}{0} \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^{40} + \binom{40}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{39} \approx 0{,}0148 + 0{,}0657 = 0{,}0805\). Bedeutung: Die Daten sprechen fälschlicherweise für eine Ausschussquote unter \(10\,\%\), obwohl die tatsächliche Quote mindestens \(10\,\%\) beträgt. 2. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Nicht-Verwerfen von \(H_0\), obwohl beim betrachteten Alternativwert \(p = 0{,}02\) die Gegenhypothese gilt. Berechnung mit \(n = 40\) und \(p = 0{,}02\): \(P_{0{,}02}(X \ge 2) = 1 - P_{0{,}02}(X \le 1)\). 3. Berechnung: \(P_{0{,}02}(X \le 1) = \binom{40}{0} \cdot 0{,}02^0 \cdot 0{,}98^{40} + \binom{40}{1} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{39} \approx 0{,}4457 + 0{,}3638 = 0{,}8095\). 4. Daraus folgt \(\beta = 1 - 0{,}8095 = 0{,}1905\).

a) \(\alpha \approx 8{,}05\,\%\). Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die Daten fälschlicherweise für eine Ausschussquote unter \(10\,\%\) sprechen, obwohl \(H_0\) wahr ist. b) \(\beta \approx 19{,}05\,\%\).

- Überlege dir zuerst genau, welche Werte von \(X\) zur Ablehnung der Behauptung führen und welche zur Annahme. - Was bedeutet es im Sachkontext, wenn man die Behauptung fälschlicherweise ablehnt? - Für den Fehler 2. Art musst du davon ausgehen, dass die neue (schlechtere) Wahrscheinlichkeit gilt, aber das Ergebnis trotzdem im Nichtablehnungsbereich der ursprünglichen Hypothese landet. - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung.

1. Definition der Zufallsgröße: \(X\) ist die Anzahl der Akkumulatoren mit über \(1000\) Ladezyklen. Unter der Nullhypothese ist \(X\) binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p = 0{,}9\). 2. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Ablehnung von \(H_0\), obwohl sie wahr ist. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0; 1; \dots; 42\}\). 3. Berechnung von \(\alpha = P_{0{,}9}(X \le 42) = \sum_{k=0}^{42} \binom{50}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{50-k} \approx 0{,}1221\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(12{,}21\,\%\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Nicht-Ablehnung von \(H_0\), obwohl die Alternative \(p = 0{,}8\) wahr ist. Der Nichtablehnungsbereich ist \(\bar{K} = \{43; 44; \dots; 50\}\). 5. Berechnung von \(\beta = P_{0{,}8}(X \ge 43) = 1 - P_{0{,}8}(X \le 42) = 1 - \sum_{k=0}^{42} \binom{50}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{50-k} \approx 1 - 0{,}8096 = 0{,}1904\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(19{,}04\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(12{,}21\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(19{,}04\,\%\).

- Notiere dir zuerst genau, bei welchen Ergebnissen die Nullhypothese abgelehnt wird. - Überlege dir, welche Hypothese bei welchem Fehler als „wahr“ angenommen wird. - Wie kannst du eine „mindestens“-Wahrscheinlichkeit mit der Verteilungsfunktion deines Taschenrechners bestimmen? - Achte darauf, bei der Berechnung des Fehlers 2. Art die Erfolgswahrscheinlichkeit der Alternative zu nutzen.

1. Festlegung der Bereiche: Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{50, 51, \dots, 100\}\), der Nichtablehnungsbereich ist \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 49\}\). 2. Berechnung des Fehlers 1. Art (\(\alpha\)): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \ge 50\) unter der Annahme \(p = 0{,}4\). Berechnung über das Gegenereignis: \(\alpha = P_{0{,}4}(X \ge 50) = 1 - P_{0{,}4}(X \le 49) \approx 1 - 0{,}9729 = 0{,}0271\). 3. Berechnung des Fehlers 2. Art (\(\beta\)): Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \le 49\) unter der Annahme \(p = 0{,}55\). Berechnung mittels der kumulierten Binomialverteilung: \(\beta = P_{0{,}55}(X \le 49) \approx 0{,}1346\).

Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}71\,\%\) (\(\alpha \approx 0{,}0271\)). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(13{,}46\,\%\) (\(\beta \approx 0{,}1346\)).

- Wann wird die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt? - Überlege dir, welche Werte der Zufallsgröße dazu führen, dass man sich gegen die Behauptung des Herstellers entscheidet. - Welches Ereignis tritt ein, wenn man eine falsche Nullhypothese nicht verwirft? - Achte darauf, für jede Teilaufgabe den richtigen Wert für die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) zu verwenden.

1. Definition der Zufallsgröße \(X\) als Anzahl der defekten Lampen, wobei \(X\) binomialverteilt ist mit \(n = 80\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese: \(K = \{7, 8, \dots, 80\}\). 3. Berechnung des Fehlers 1. Art für \(p = 0{,}04\): \(\alpha = P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(0{,}0412\). Das Produzentenrisiko beträgt somit ca. \(4{,}1\,\%\). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}10\): \(\beta = P(X \le 6)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung mit \(p = 0{,}10\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}3005\). Das Konsumentenrisiko beträgt somit ca. \(30{,}1\,\%\).

a) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(0{,}0412\) (bzw. \(4{,}1\,\%\)). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(0{,}3005\) (bzw. \(30{,}1\,\%\)).

- Welche Testentscheidung wird bei einem Fehler 1. Art getroffen, obwohl die Nullhypothese tatsächlich gilt? - Was geschieht umgekehrt bei einem Fehler 2. Art, wenn die Nullhypothese falsch ist, aber nicht verworfen wird? - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung und achte auf den genauen Ablehnungsbereich. - Für „mindestens \(k\)“ kannst du das Gegenereignis bis \(k-1\) verwenden.

1. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird abgelehnt, obwohl höchstens \(5\,\%\) der Module defekt sind (irrtümliche Ablehnung einer guten Lieferung). 2. Fehler 2. Art: Die Lieferung wird angenommen, obwohl mehr als \(5\,\%\) (hier konkret \(12\,\%\)) der Module defekt sind (irrtümliche Annahme einer schlechten Lieferung). 3. Berechnung Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}05\) ist die Anzahl der defekten Module \(X\) binomialverteilt mit \(B(100; 0{,}05)\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{10, 11, \dots, 100\}\). \(\alpha = P(X \geq 10) = 1 - P(X \leq 9) \approx 1 - 0{,}9718 = 0{,}0282\). 4. Berechnung Fehler 2. Art (\(\beta\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}12\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B(100; 0{,}12)\). Der Nichtablehnungsbereich ist \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 9\}\). \(\beta = P(X \leq 9) \approx 0{,}2257\).

a) Fehler 1. Art: Ablehnung einer guten Lieferung (\(p \leq 0{,}05\)). Fehler 2. Art: Annahme einer schlechten Lieferung (\(p > 0{,}05\)). b) \(\alpha \approx 2{,}82\,\%\) c) \(\beta \approx 22{,}57\,\%\)

- Handelt es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test? Das bestimmt, in welche Richtung der Ablehnungsbereich liegt. - Der kritische Wert ist die Grenze, ab der das Ergebnis als „signifikant“ gilt. - Für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art brauchst du einen konkreten Alternativwert innerhalb von \(H_1\); hier ist \(p=0{,}75\) vorgegeben. - Achte beim Ablesen aus der Tabelle darauf, ob du \(P(X \leq k)\) oder \(P(X = k)\) betrachtest.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das unter \(H_0\) (\(p = 0{,}6\)) gilt: \(P(X \geq k) \leq 0{,}05\). Dies entspricht \(P(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). 2. Tabellenwerk oder Taschenrechner für \(B(80; 0{,}6)\) liefern: \(P(X \leq 54) \approx 0{,}9325\) und \(P(X \leq 55) \approx 0{,}9583\). 3. Somit ist \(k-1 = 55\), woraus der kritische Wert \(k = 56\) folgt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{56, 57, \dots, 80\}\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)): Wahrscheinlichkeit, im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 55\}\) zu landen, obwohl \(p = 0{,}75\) gilt. 5. \(\beta = P_{0{,}75}(X \leq 55)\). Mit \(B(80; 0{,}75)\) ergibt sich \(\beta \approx 0{,}1239\).

a) Der kritische Wert ist \(k = 56\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{56, 57, \dots, 80\}\). b) \(\beta \approx 12{,}39\,\%\)

- Bestimme zuerst, ab welcher absoluten Anzahl von Personen die Nullhypothese verworfen wird. - Der Fehler 1. Art bezieht sich immer auf die Situation, in der die Nullhypothese eigentlich stimmt. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn man sich für die Nullhypothese entscheidet, obwohl die Alternative wahr ist. - Nutze für die Berechnung von Werten wie \(P(X \ge k)\) die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Festlegen der Parameter: Stichprobenumfang \(n = 100\), Nullhypothese \(p_0 = 0{,}4\), Gegenhypothese \(p_1 = 0{,}5\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Mehr als \(45\,\%\) von \(100\) bedeutet \(X > 45\), also \(X \in \{46, 47, \dots, 100\}\). 3. Berechnung von \(\alpha\): Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich unter der Annahme \(p_0 = 0{,}4\). \(\alpha = P_{0{,}4}(X \ge 46) = 1 - P_{0{,}4}(X \le 45) \approx 1 - 0{,}8689 = 0{,}1311\). 4. Berechnung von \(\beta\): Wahrscheinlichkeit für den Nichtablehnungsbereich (\(X \le 45\)) unter der Annahme \(p_1 = 0{,}5\). \(\beta = P_{0{,}5}(X \le 45) \approx 0{,}1841\).

\(\alpha \approx 0{,}1311\) (bzw. \(13{,}11\,\%\)) \(\beta \approx 0{,}1841\) (bzw. \(18{,}41\,\%\))

- Überlege dir zuerst genau, welche Entscheidung getroffen wird, wenn die Nullhypothese wahr ist, und welche, wenn sie falsch ist. - Was bedeutet es für die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn du die Grenze für eine Ablehnung strenger oder lockerer wählst? - Nutze für die Berechnungen die kumulierte Binomialverteilung.

1. Beschreibung der Fehler: Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Keimrate tatsächlich \(90\,\%\) beträgt, man sie aber aufgrund des Testergebnisses fälschlicherweise als zu niedrig ablehnt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Keimrate in Wahrheit nur \(75\,\%\) beträgt, man aber aufgrund des Testergebnisses \(H_0\) fälschlicherweise nicht verwirft. 2. Berechnung für \(X \le 32\): \(\alpha = P_{p=0{,}9}(X \le 32) = \sum_{k=0}^{32} \binom{40}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{40-k} \approx 0{,}0419\). \(\beta = P_{p=0{,}75}(X \ge 33) = 1 - P_{p=0{,}75}(X \le 32) \approx 0{,}1820\). 3. Berechnung für \(X \le 30\): \(\alpha = P_{p=0{,}9}(X \le 30) \approx 0{,}0051\). \(\beta = 1 - P_{p=0{,}75}(X \le 30) \approx 0{,}4395\). Durch die Verkleinerung des Verwerfungsbereichs sinkt das Risiko für einen Fehler 1. Art deutlich, während das Risiko für einen Fehler 2. Art stark ansteigt.

a) Fehler 1. Art: Man verwirft die Keimrate von \(90\,\%\), obwohl sie stimmt. Fehler 2. Art: Man verwirft die Keimrate von \(90\,\%\) nicht, obwohl sie tatsächlich nur \(75\,\%\) beträgt. b) \(\alpha \approx 4{,}19\,\%\) und \(\beta \approx 18{,}20\,\%\). c) \(\alpha \approx 0{,}51\,\%\) und \(\beta \approx 43{,}95\,\%\).

- Achte darauf, ob nach „mehr als“ oder „mindestens“ gefragt wird, um die richtige Grenze für die Summe zu finden. - Welcher Fehler ist für den Käufer der Leuchten wohl problematischer, und welcher für den Verkäufer? - Wie verhalten sich die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten zueinander, wenn man die Grenze verschiebt?

1. Bedeutung der Fehler: Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass eine Charge mit \(5\,\%\) Ausschuss fälschlicherweise beanstandet wird (Produzentenrisiko). Ein Fehler 2. Art bedeutet, dass eine schlechte Charge (Ausschuss \(15\,\%\)) fälschlicherweise als gut akzeptiert wird (Konsumentenrisiko). 2. Berechnung für \(X > 5\): \(\alpha = P_{p=0{,}05}(X \ge 6) = 1 - P_{p=0{,}05}(X \le 5) \approx 1 - 0{,}9622 = 0{,}0378\). \(\beta = P_{p=0{,}15}(X \le 5) \approx 0{,}2194\). 3. Berechnung für \(X > 7\): \(\alpha = P_{p=0{,}05}(X \ge 8) = 1 - P_{p=0{,}05}(X \le 7) \approx 1 - 0{,}9968 = 0{,}0032\). \(\beta = P_{p=0{,}15}(X \le 7) \approx 0{,}5188\).

a) Fehler 1. Art: Eine gute Charge wird fälschlich abgelehnt. Fehler 2. Art: Eine schlechte Charge wird fälschlich akzeptiert. b) \(\alpha \approx 3{,}78\,\%\) und \(\beta \approx 21{,}94\,\%\). c) \(\alpha \approx 0{,}32\,\%\) und \(\beta \approx 51{,}88\,\%\).

- Da eine niedrigere Keimrate vermutet wird, handelt es sich um einen linksseitigen Test. - Bestimme den größten ganzzahligen Grenzwert, dessen kumulierte Wahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}85\) höchstens \(5\,\%\) beträgt. - Für den Fehler 2. Art verwendest du den Nichtablehnungsbereich und \(p=0{,}75\).

1. Für den linksseitigen Test ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}85\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}85}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}85)\) gilt \(P(X\leq78)\approx0{,}0393\) und \(P(X\leq79)\approx0{,}0663\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,78\}\). 3. Bei \(p=0{,}75\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also wenn \(X\geq79\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\geq79)=1-P_{0{,}75}(X\leq78)\approx0{,}2114\).

a) \(K=\{0,1,\dots,78\}\). b) \(\beta\approx21{,}14\,\%\).

- Eine vermutete höhere Fehlerquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Suche den kleinsten kritischen Wert, ab dem die obere Randwahrscheinlichkeit am Randwert der Nullhypothese höchstens \(10\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}10\).

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Wahrscheinlichkeit großer Defektzahlen am Randwert \(p=0{,}06\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}06}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}06}(X\leq k-1)\geq0{,}90\). 3. Für \(X\sim B(200;0{,}06)\) gilt \(P(X\leq15)\approx0{,}8512\) und \(P(X\leq16)\approx0{,}9054\). Somit ist \(k=17\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{17,18,\dots,200\}\). 4. Bei \(p=0{,}10\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq16\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\leq16)\approx0{,}2075\).

a) \(H_0\) wird bei mindestens \(17\) defekten Bauteilen verworfen; \(K=\{17,18,\dots,200\}\). b) \(\beta\approx20{,}75\,\%\).

- Der Ablehnungsbereich beginnt bei \(X=5\). - Verwende für den Fehler 1. Art den Randwert \(p=0{,}02\). - Verwende für den Fehler 2. Art den Nichtablehnungsbereich und \(p=0{,}10\).

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die defekten Bauteile und wird binomialverteilt modelliert. 2. Ein Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p=0{,}02\) gilt. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}02}(X\geq5)=1-P_{0{,}02}(X\leq4)\approx0{,}0508\). 3. Bei \(p=0{,}10\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also wenn \(X\leq4\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\leq4)\approx0{,}0237\).

\(\alpha\approx5{,}08\,\%\). \(\beta\approx2{,}37\,\%\).

- Schreibe für jeden kritischen Wert zuerst den Ablehnungs- und den Nichtablehnungsbereich auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}6\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}8\). - Überlege, wie ein höherer kritischer Wert die Größe des Ablehnungsbereichs verändert. - Unterscheide einen Vergleich mit einem historischen Referenzwert von einem randomisierten Kontrollgruppenvergleich.

1. Für \(k=35\) ist der Ablehnungsbereich \(X\geq35\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}6}(X\geq35)=1-P_{0{,}6}(X\leq34)\approx0{,}0955\). Bei \(p=0{,}8\) ist der Fehler 2. Art \(\beta=P_{0{,}8}(X\leq34)\approx0{,}0308\). 2. Für \(k=37\) ist der Ablehnungsbereich \(X\geq37\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}6}(X\geq37)=1-P_{0{,}6}(X\leq36)\approx0{,}0280\). Bei \(p=0{,}8\) ist der Fehler 2. Art \(\beta=P_{0{,}8}(X\leq36)\approx0{,}1106\). 3. Durch die Erhöhung von \(k\) wird der Ablehnungsbereich kleiner. Dadurch sinkt \(\alpha\), während \(\beta\) für die betrachtete Alternative steigt. 4. Der Test vergleicht die behandelten Samen nur mit dem festen bisherigen Referenzwert. Ohne gleichzeitig untersuchte, zufällig zugewiesene Kontrollgruppe weist er keine kausale Steigerung durch das neue Verfahren nach.

a) \(\alpha\approx9{,}55\,\%\); \(\beta\approx3{,}08\,\%\). b) \(\alpha\approx2{,}80\,\%\); \(\beta\approx11{,}06\,\%\). Der höhere kritische Wert senkt \(\alpha\) und erhöht hier \(\beta\). Der Ein-Stichproben-Vergleich belegt keine kausale Wirkung des Verfahrens.

- Entscheide zuerst, ob der jeweilige Test links- oder rechtsseitig ist. - Verwende für Teil a) die kumulierte Wahrscheinlichkeit unter \(p=0{,}92\). - Der Fehler 2. Art in Teil b) liegt im Nichtablehnungsbereich aus Teil a), wird aber unter \(p=0{,}80\) berechnet. - Nichtverwerfen einer Hypothese ist nicht dasselbe wie der sichere Nachweis einer Qualitätsstufe.

1. In Teil a) wird linksseitig getestet. Für \(X\sim B(100;0{,}92)\) gilt \(P(X\leq86)\approx0{,}0282\) und \(P(X\leq87)\approx0{,}0559\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,86\}\). Bei höchstens \(86\) fehlerfrei arbeitenden Chips wird \(H_0\) verworfen; ab \(87\) wird \(H_0\) nicht verworfen. 2. Bei \(p=0{,}80\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq87\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}80}(X\geq87)=1-P_{0{,}80}(X\leq86)\approx0{,}0469\). 3. In Teil c) wird rechtsseitig getestet. Für \(X\sim B(100;0{,}80)\) gilt \(P(X\geq87)\approx0{,}0469\), während \(P(X\geq86)\approx0{,}0804\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{87,88,\dots,100\}\). Ab \(87\) fehlerfrei arbeitenden Chips wird \(H_0\) verworfen; bei höchstens \(86\) wird \(H_0\) nicht verworfen.

a) \(K=\{0,1,\dots,86\}\). b) \(\beta\approx4{,}69\,\%\). c) \(K=\{87,88,\dots,100\}\).

- Eine vermutete höhere Fehlerquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Suche den kleinsten kritischen Wert, dessen obere Randwahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}1\) höchstens \(5\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}3\).

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die defekten Bauteile. Für den rechtsseitigen Test ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}1\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}1}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}1}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 3. Für \(X\sim B(50;0{,}1)\) gilt \(P(X\leq8)\approx0{,}9421\) und \(P(X\leq9)\approx0{,}9755\). Daher ist \(k=10\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{10,11,\dots,50\}\). 4. Bei \(p=0{,}3\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq9\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}3}(X\leq9)\approx0{,}0402\).

a) \(k=10\); \(K=\{10,11,\dots,50\}\). b) \(\beta\approx4{,}02\,\%\).

- Formuliere Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus der Grenze \(66\). - Verwende für den Fehler 1. Art \(p=0{,}9\). - Verwende für den Fehler 2. Art \(p=0{,}75\) und den Nichtablehnungsbereich. - „Nicht verworfen“ bedeutet nicht, dass eine Behauptung sicher bewiesen ist.

1. Ein Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(H_0\) verworfen wird, obwohl tatsächlich \(p\geq0{,}9\) gilt. Ein Fehler 2. Art liegt bei der betrachteten Alternative \(p_1=0{,}75\) vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird. 2. Die maximale Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) liegt am Randwert \(p_0=0{,}9\): \(\alpha=P_{0{,}9}(X\leq66)\approx0{,}0267\). 3. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\geq67\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\geq67)=1-P_{0{,}75}(X\leq66)\approx0{,}0421\).

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird verworfen, obwohl \(p\geq0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art bei \(p_1=0{,}75\): \(H_0\) wird nicht verworfen. 2. \(\alpha\approx2{,}67\,\%\); \(\beta\approx4{,}21\,\%\).

- Eine vermutete höhere Unzufriedenheitsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Bestimme den kleinsten kritischen Wert, dessen obere Randwahrscheinlichkeit unter \(p=0{,}05\) höchstens \(5\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}12\).

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}05}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}05}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 2. Für \(X\sim B(120;0{,}05)\) gilt \(P(X\leq9)\approx0{,}9214\) und \(P(X\leq10)\approx0{,}9616\). Daher ist \(k=11\). Bei mindestens \(11\) unzufriedenen Befragten wird \(H_0\) verworfen. 3. Bei \(p=0{,}12\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq10\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\leq10)\approx0{,}1344\).

1. \(H_0\) wird bei mindestens \(11\) unzufriedenen Befragten verworfen. 2. \(\beta\approx13{,}44\,\%\).

- Eine vermutete Unterschreitung führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs den Randwert \(p=0{,}9\). - Nichtverwerfen bedeutet nicht, dass die Lieferung oder Produktion sicher die Anforderung erfüllt.

1. Da eine niedrigere Erfolgsquote gegen die Herstellerangabe spricht, gilt \(H_0:p\geq0{,}9\) und \(H_1:p<0{,}9\). Es handelt sich um einen linksseitigen Test. 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}9\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}9}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(100;0{,}9)\) gilt \(P(X\leq84)\approx0{,}0399\) und \(P(X\leq85)\approx0{,}0726\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,84\}\). 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) verworfen wird, obwohl mindestens \(90\,\%\) der Zellen die volle Leistung erbringen. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Anteil unter \(90\,\%\) liegt.

a) \(H_0:p\geq0{,}9\); \(H_1:p<0{,}9\). b) \(K=\{0,1,\dots,84\}\). c) Fehler 1. Art: Eine ausreichende Produktion wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu niedrige Erfolgsquote wird nicht erkannt.

- Definiere zuerst genau, was als erfolgreiche Behandlung zählt. - Eine vermutete Erfolgsquote über dem Referenzwert führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den kritischen Wert den Randwert \(p=0{,}6\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}8\).

1. Um eine Erfolgsquote über \(60\,\%\) nachzuweisen, wird \(H_0:p\leq0{,}6\) gegen \(H_1:p>0{,}6\) getestet. 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Wahrscheinlichkeit großer Werte von \(X\) am Randwert \(p=0{,}6\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}6}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}6}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 3. Für \(X\sim B(50;0{,}6)\) gilt \(P(X\leq35)\approx0{,}9460\) und \(P(X\leq36)\approx0{,}9720\). Daher ist \(k=37\), und \(H_0\) wird bei \(X\geq37\) verworfen. 4. Bei \(p=0{,}8\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq36\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\leq36)\approx0{,}1106\).

a) \(H_0:p\leq0{,}6\); \(H_1:p>0{,}6\). b) \(H_0\) wird bei mindestens \(37\) erfolgreichen Behandlungen verworfen; \(K=\{37,38,\dots,50\}\). c) \(\beta\approx11{,}06\,\%\).

- Eine vermutete höhere Unterfüllungsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Suche den kleinsten kritischen Wert, dessen obere Randwahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}08\) höchstens \(10\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}15\).

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}08\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}08}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}08}(X\leq k-1)\geq0{,}90\). 3. Für \(X\sim B(150;0{,}08)\) gilt \(P(X\leq15)\approx0{,}8536\) und \(P(X\leq16)\approx0{,}9078\). Daher ist \(k=17\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{17,18,\dots,150\}\). 4. Bei \(p=0{,}15\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq16\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\leq16)\approx0{,}0807\).

a) \(H_0\) wird bei mindestens \(17\) unterfüllten Flaschen verworfen. b) \(\beta\approx8{,}07\,\%\).

- Welche Seite des Tests ist hier relevant? Achte auf die Formulierung „mindestens“. - Überlege dir, wie die Zufallsgröße verteilt ist und welche Parameter sie hat. - Wann wird die Nullhypothese abgelehnt und wann wird sie nicht verworfen? - Was bedeutet ein Fehler 2. Art in diesem konkreten Sachzusammenhang? - Wie verändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn wir von einem anderen Parameter \(p\) ausgehen?

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \geq 0{,}80\) und \(H_1: p < 0{,}80\). Testgröße \(X\) ist die Anzahl der keimenden Samen, wobei unter \(H_0\) gilt: \(X \sim B(100; 0{,}80)\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs \(K = \{0; \dots; k\}\) durch \(P(X \leq k) \leq 0{,}05\). Aus der Binomialverteilungstabelle oder durch Berechnung ergibt sich \(P(X \leq 72) \approx 0{,}0342\) und \(P(X \leq 73) \approx 0{,}0558\). Somit ist \(k = 72\). Die Entscheidungsregel lautet: Lehne \(H_0\) ab, wenn höchstens \(72\) Samen keimen. 3. Der Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(H_0\) fälschlicherweise abgelehnt wird. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(\alpha_{\text{tatsächlich}} = P(X \leq 72) \approx 0{,}0342 = 3{,}42\,\%\). 4. Der Fehler 2. Art (\(\beta\)-Fehler) tritt ein, wenn \(H_0\) fälschlicherweise nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}70\) gilt. Es wird berechnet: \(P(X > 72) = 1 - P(X \leq 72)\) für \(X \sim B(100; 0{,}70)\). Mit \(P(X \leq 72) \approx 0{,}7036\) folgt \(\beta = 1 - 0{,}7036 = 0{,}2964 \approx 29{,}64\,\%\).

a) Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 72\}\). \(H_0\) wird abgelehnt, wenn \(72\) oder weniger Samen keimen. b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}42\,\%\) c) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 29{,}64\,\%\)

- Eine vermutete höhere Untergewichtsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den kritischen Wert den Randwert \(p=0{,}10\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}15\). - Nichtverwerfen bedeutet nicht, dass die Herstellerangabe sicher bewiesen ist.

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die untergewichtigen Riegel. Für den rechtsseitigen Test ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}10\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}10}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Für \(X\sim B(80;0{,}10)\) gilt \(P(X\leq11)\approx0{,}8996\) und \(P(X\leq12)\approx0{,}9462\). Daher ist \(k=13\), und \(K=\{13,14,\dots,80\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Herstellerangabe verworfen wird, obwohl höchstens \(10\,\%\) der Riegel untergewichtig sind. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn sie nicht verworfen wird, obwohl die tatsächliche Quote über \(10\,\%\) liegt. 4. Bei \(p=0{,}15\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq12\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\leq12)\approx0{,}5762\).

a) \(K=\{13,14,\dots,80\}\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Quote wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Quote wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx57{,}62\,\%\).

- Eine vermutete höhere Fehlerquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}02\). - Berechne den Fehler 2. Art unter \(p=0{,}05\) im Nichtablehnungsbereich. - Beschreibe bei den Folgen beide betroffenen Seiten des Geschäfts.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}02\) und \(H_1:p>0{,}02\). 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}02\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}02}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Für \(X\sim B(500;0{,}02)\) gilt \(P(X\leq14)\approx0{,}9186\) und \(P(X\leq15)\approx0{,}9530\). Daher ist \(k=16\), und \(K=\{16,17,\dots,500\}\). 3. Bei \(p=0{,}05\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq15\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}05}(X\leq15)\approx0{,}0199\). 4. Bei einem Fehler 1. Art wird eine Lieferung beanstandet, obwohl die Fehlerquote den Grenzwert einhält. Dies kann unnötige Reklamations-, Rücksende- und Prüfkosten sowie einen ungerechtfertigten Imageschaden verursachen.

1. \(H_0:p\leq0{,}02\); \(H_1:p>0{,}02\). 2. \(K=\{16,17,\dots,500\}\). 3. \(\beta\approx1{,}99\,\%\). 4. Eine zulässige Lieferung wird fälschlicherweise beanstandet, wodurch unnötige Kosten und ein möglicher Imageschaden entstehen.

- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus dem kritischen Wert \(28\) auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}10\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}18\). - Überlege, wie sich beide Bereiche verändern, wenn der kritische Wert kleiner wird.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(X\geq28\). Unter \(p=0{,}10\) ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit \(\alpha=P_{0{,}10}(X\geq28)=1-P_{0{,}10}(X\leq27)\approx0{,}0434\). 2. Bei \(p=0{,}18\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq27\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}18}(X\leq27)\approx0{,}0551\). 3. Um \(\beta\) zu verringern, muss der kritische Wert gesenkt werden. Dann wird der Ablehnungsbereich größer und der Nichtablehnungsbereich kleiner. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

1. \(\alpha\approx4{,}34\,\%\). 2. \(\beta\approx5{,}51\,\%\). 3. Der kritische Wert muss gesenkt werden; dadurch steigt \(\alpha\).

- Eine vermutete niedrigere Keimrate führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}90\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}85\). - Ein kleineres Signifikanzniveau verlangt einen kleineren Ablehnungsbereich.

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}90\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}90}(X\leq k)\leq0{,}10\) gilt. 2. Für \(X\sim B(200;0{,}90)\) gilt \(P(X\leq173)\approx0{,}0672\) und \(P(X\leq174)\approx0{,}1005\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,173\}\). 3. Bei \(p=0{,}85\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq174\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}85}(X\geq174)=1-P_{0{,}85}(X\leq173)\approx0{,}2480\). 4. Wird das Signifikanzniveau verkleinert, muss der Ablehnungsbereich kleiner werden. Dadurch wird \(H_0\) seltener verworfen, sodass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei einer festen Alternative typischerweise steigt.

1. \(K=\{0,1,\dots,173\}\). 2. \(\beta\approx24{,}80\,\%\). 3. Bei kleinerem Signifikanzniveau steigt hier das Risiko für einen Fehler 2. Art.

- Eine vermutete Zunahme führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}005\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}008\). - Unterscheide den statistischen Nachweis einer Veränderung von einer Erklärung ihrer Ursache.

1. Da eine Erhöhung vermutet wird, gilt \(H_0:p\leq0{,}005\) und \(H_1:p>0{,}005\). 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}005\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}005}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(4000;0{,}005)\) gilt \(P(X\leq27)\approx0{,}9480\) und \(P(X\leq28)\approx0{,}9660\). Daher ist \(k=29\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{29,30,\dots,4000\}\). 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf einen erhöhten Anteil geschlossen wird, obwohl \(p\leq0{,}005\) gilt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn eine tatsächliche Erhöhung nicht erkannt wird. 5. Bei \(p=0{,}008\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq28\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}008}(X\leq28)\approx0{,}2732\). 6. Selbst ein statistisch nachgewiesener höherer Anteil zeigt nur eine Veränderung des Anteils. Ohne zusätzliche Studiendaten kann daraus keine bestimmte Ursache, etwa ein Umweltfaktor, abgeleitet werden.

a) \(H_0:p\leq0{,}005\); \(H_1:p>0{,}005\). b) \(K=\{29,30,\dots,4000\}\). c) Fehler 1. Art: Eine Erhöhung wird festgestellt, obwohl keine vorliegt. Fehler 2. Art: Eine tatsächliche Erhöhung wird nicht erkannt. d) \(\beta\approx27{,}32\,\%\). Der Test weist keine Ursache für eine mögliche Erhöhung nach.

- Eine vermutete Abnahme führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}20\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}12\).

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}20\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}20}(X\leq k)\leq0{,}10\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}20)\) gilt \(P(X\leq14)\approx0{,}0804\) und \(P(X\leq15)\approx0{,}1285\). Daher wird \(H_0\) bei \(X\leq14\) verworfen; der Nichtablehnungsbereich ist \(X\geq15\). 3. Bei \(p=0{,}12\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq15\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\geq15)=1-P_{0{,}12}(X\leq14)\approx0{,}2160\).

1. \(H_0\) wird verworfen, wenn höchstens \(14\) der befragten Haushalte mit Holz heizen. 2. \(\beta\approx21{,}60\,\%\).

- Eine vermutete niedrigere Erfolgsquote führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für Ablehnungsbereich und Fehler 1. Art den Randwert \(p=0{,}95\). - Berechne den Fehler 2. Art unter \(p=0{,}90\) im Nichtablehnungsbereich.

1. Es gilt \(H_0:p\geq0{,}95\) und \(H_1:p<0{,}95\). Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}95}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}95)\) gilt \(P(X\leq90)\approx0{,}0282\) und \(P(X\leq91)\approx0{,}0631\). Daher wird \(H_0\) bei \(X\leq90\) verworfen. 3. Am Randwert \(p=0{,}95\) ist die tatsächliche Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit \(\alpha=P_{0{,}95}(X\leq90)\approx0{,}0282\). 4. Bei \(p=0{,}90\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq91\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}90}(X\geq91)=1-P_{0{,}90}(X\leq90)\approx0{,}4513\).

1. \(H_0:p\geq0{,}95\); \(H_1:p<0{,}95\); Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,90\}\). 2. \(\alpha\approx2{,}82\,\%\). 3. Fehler 2. Art; \(\beta\approx45{,}13\,\%\).

- Eine vermutete höhere Fehlerquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}05\). - Berechne den Fehler 2. Art unter \(p=0{,}12\) im Nichtablehnungsbereich. - Nichtverwerfen bedeutet nicht, dass die Herstellerangabe sicher bewiesen ist.

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}05\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}05}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Für \(X\sim B(80;0{,}05)\) gilt \(P(X\leq6)\approx0{,}8947\) und \(P(X\leq7)\approx0{,}9534\). Daher ist \(k=8\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{8,9,\dots,80\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Lieferung beanstandet wird, obwohl die Fehlerquote höchstens \(5\,\%\) beträgt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl die Fehlerquote über \(5\,\%\) liegt. 4. Bei \(p=0{,}12\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq7\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\leq7)\approx0{,}2416\).

a) \(K=\{8,9,\dots,80\}\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Lieferung wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine zu hohe Fehlerquote wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx24{,}16\,\%\).

- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus der Grenze \(42\) auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}8\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}65\). - Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt den Fehler 1. Art, vergrößert aber den Nichtablehnungsbereich.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(X\leq42\). Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}8\) am größten. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}8}(X\leq42)\approx0{,}0427\). 2. Bei \(p=0{,}65\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also wenn \(X\geq43\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}65}(X\geq43)=1-P_{0{,}65}(X\leq42)\approx0{,}1721\). 3. Um \(\alpha\) zu verringern, muss der kritische Wert gesenkt werden, sodass der Ablehnungsbereich kleiner wird. Dadurch vergrößert sich der Nichtablehnungsbereich und \(\beta\) steigt für die betrachtete Alternative.

a) \(\alpha\approx4{,}27\,\%\). b) \(\beta\approx17{,}21\,\%\). c) Der kritische Wert muss gesenkt werden; dadurch steigt \(\beta\).

- Eine vermutete höhere Mängelquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für Ablehnungsbereich und Fehler 1. Art den Randwert \(p=0{,}04\). - Berechne den Fehler 2. Art unter \(p=0{,}10\) im Nichtablehnungsbereich.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}04\) und \(H_1:p>0{,}04\). Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}04}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 2. Für \(X\sim B(200;0{,}04)\) gilt \(P(X\leq12)\approx0{,}9401\) und \(P(X\leq13)\approx0{,}9688\). Daher ist \(k=14\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{14,15,\dots,200\}\). 3. Am Randwert \(p=0{,}04\) ist \(\alpha=P_{0{,}04}(X\geq14)=1-P_{0{,}04}(X\leq13)\approx0{,}0312\). 4. Bei \(p=0{,}10\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq13\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\leq13)\approx0{,}0566\).

1. \(H_0:p\leq0{,}04\); \(H_1:p>0{,}04\); \(K=\{14,15,\dots,200\}\). 2. \(\alpha\approx3{,}12\,\%\). 3. \(\beta\approx5{,}66\,\%\).

- Welche Abweichung von der Herstellerangabe ist für einen linksseitigen Test relevant? - Ein Fehler 2. Art liegt im Nichtablehnungsbereich, obwohl die betrachtete Alternative tatsächlich gilt. - Verwende für Teil 3 die konkrete Wahrscheinlichkeit \(p=0{,}60\) und den zuvor bestimmten Nichtablehnungsbereich.

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Für \(X\sim B(100;0{,}75)\) gilt \(P(X\leq68)\approx0{,}0693\) und \(P(X\leq69)\approx0{,}1038\). Daher ist \(K=\{0,1,\dots,68\}\); \(H_0\) wird bei höchstens \(68\) zufriedenen Personen verworfen. 2. Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl die tatsächliche Zufriedenheitsquote unter \(75\,\%\) liegt. Bei der konkret betrachteten Quote \(p=0{,}60\) wird also eine tatsächlich niedrigere Zufriedenheit durch den Test nicht erkannt. 3. Bei \(p=0{,}60\) tritt dieser Fehler für \(X\geq69\) ein. Daher ist \(\beta=P_{0{,}60}(X\geq69)=1-P_{0{,}60}(X\leq68)\approx0{,}0398\).

1. \(K=\{0,1,\dots,68\}\); \(H_0\) wird bei höchstens \(68\) zufriedenen Personen verworfen. 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht verworfen, obwohl die tatsächliche Zufriedenheitsquote unter \(75\,\%\) liegt. 3. \(\beta\approx3{,}98\,\%\).

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Diese bildet meist die Alternativhypothese. - Überlege, ob kleine oder große Werte der Testgröße gegen die Behauptung des Streaming-Dienstes sprechen. - Wie hängen der Ablehnungsbereich und die beiden Fehlerarten zusammen? - Denke daran, dass der Fehler 2. Art immer für eine spezifische Wahrscheinlichkeit aus der Alternativhypothese berechnet wird.

1. Aufstellen der Hypothesen: Da das Institut vermutet, dass der Anteil geringer ist, wird ein linksseitiger Test durchgeführt. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \ge 0{,}35\), die Alternativhypothese \(H_1: p < 0{,}35\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}35\) und dem Stichprobenumfang \(n = 150\) wird die größte Zahl \(k\) gesucht, für die \(P(X \le k) \le 0{,}05\) gilt. Aus der Tabelle der Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \le 42) \approx 0{,}0417\) und \(P(X \le 43) \approx 0{,}0601\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0; 1; \dots; 42\}\). 3. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}35\) gilt. Dies entspricht dem tatsächlichen Signifikanzniveau \(P(X \le 42) \approx 0{,}0417\) bzw. \(4{,}17\,\%\). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese nicht verworfen wird (\(X > 42\)), obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \(p = 0{,}25\) beträgt. \(\beta = P(X \ge 43) = 1 - P(X \le 42) \approx 1 - 0{,}8276 = 0{,}1724\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(17{,}24\,\%\).

a) \(H_0: p \ge 0{,}35\); \(H_1: p < 0{,}35\) b) Ablehnungsbereich \(K = \{0; 1; \dots; 42\}\) c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}17\,\%\) d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 17{,}24\,\%\)

- Wann würdest du die Behauptung des Herstellers anzweifeln – bei vielen oder bei wenigen defekten Akkus? - Die Entscheidungsregel gibt an, ab welchem Ergebnis die Nullhypothese verworfen wird. - Der Fehler 1. Art bezieht sich immer auf die Grenze des Bereichs, der durch die Nullhypothese abgedeckt wird. - Überlege für den Fehler 2. Art genau, welche Ergebnisse zum Nicht-Verwerfen der Nullhypothese führen.

1. Hypothesen: Da eine höhere Quote vermutet wird, liegt ein rechtsseitiger Test vor. \(H_0: p \le 0{,}12\); \(H_1: p > 0{,}12\). 2. Entscheidungsregel: Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) gilt (bzw. \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\)). Für \(n = 250\) und \(p = 0{,}12\) liefert die Tabelle \(P(X \le 38) \approx 0{,}9471\) (also \(P(X \ge 39) \approx 0{,}0529\)) und \(P(X \le 39) \approx 0{,}9639\) (also \(P(X \ge 40) \approx 0{,}0361\)). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{40; 41; \dots; 250\}\). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens \(40\) Akkus defekt sind. 3. Fehler 1. Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(p = 0{,}12\) mindestens \(40\) Defekte auftreten, beträgt \(P(X \ge 40) \approx 0{,}0361\) bzw. \(3{,}61\,\%\). 4. Fehler 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit, dass bei \(p = 0{,}18\) die Nullhypothese nicht verworfen wird (\(X \le 39\)), beträgt \(\beta = P(X \le 39) \approx 0{,}1834\). Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(18{,}34\,\%\).

a) \(H_0: p \le 0{,}12\); \(H_1: p > 0{,}12\) b) Ablehnung von \(H_0\), wenn die Anzahl der defekten Akkus \(X \ge 40\) ist. c) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}61\,\%\) d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 18{,}34\,\%\)

- Erinnere dich daran, was ein Fehler 1. Art und ein Fehler 2. Art bedeuten. Wann ist die Nullhypothese wahr und wann ist sie falsch? - Was gibt der Funktionswert \(g(p)\) der Gütefunktion an? Ist das die Wahrscheinlichkeit für das Nicht-Verwerfen oder für das Verwerfen der Nullhypothese? - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für das Verwerfen und das Nicht-Verwerfen einer Hypothese zusammen? - Schau dir den Verlauf des Graphen an. Für welche Werte von \(p\) ist die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen, am größten?

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese \(H_0\) fälschlicherweise verworfen wird, obwohl sie wahr ist. Da \(H_0: p \ge 0{,}4\) lautet, ist die Nullhypothese für alle \(p \ge 0{,}4\) wahr. Die Wahrscheinlichkeit für das Verwerfen wird durch die Gütefunktion \(g(p)\) beschrieben. Der maximale Wert von \(g(p)\) im Bereich \(p \ge 0{,}4\) liegt an der Grenze \(p = 0{,}4\), da die Funktion für steigendes \(p\) streng monoton fallend ist. 2. Ablesen des Werts bei \(p = 0{,}4\): Auf der x-Achse wird der Wert \(0{,}4\) gesucht. Der zugehörige y-Wert auf dem Graphen \(G_g\) liegt etwa bei \(0{,}05\). Somit beträgt das Signifikanzniveau \(\alpha = g(0{,}4) \approx 0{,}05\) (oder ca. \(5\,\%\)). 3. Da der tatsächliche Wert \(p = 0{,}2\) kleiner als \(0{,}4\) ist, ist die Nullhypothese \(H_0: p \ge 0{,}4\) in Wahrheit falsch. Daher kann kein Fehler 1. Art mehr begangen werden. Stattdessen kann ein Fehler 2. Art auftreten: Die Nullhypothese fälschlicherweise nicht zu verwerfen, obwohl sie falsch ist. 4. Die Wahrscheinlichkeit für das Verwerfen bei \(p = 0{,}2\) beträgt laut Graph \(g(0{,}2) \approx 0{,}63\) (oder \(63\,\%\)). 5. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art ist die Gegenwahrscheinlichkeit zum Verwerfen: \(\beta = 1 - g(0{,}2) \approx 1 - 0{,}63 = 0{,}37\) (oder \(37\,\%\)).

a) Das Signifikanzniveau beträgt \(\alpha \approx 0{,}05\) (bzw. \(5\,\%\)). Der Wert wird bei \(p = 0{,}4\) abgelesen, weil dort die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art im Bereich der wahren Nullhypothese (\(p \ge 0{,}4\)) liegt. b) 1. Es kann ein Fehler 2. Art begangen werden (die falsche Nullhypothese wird nicht verworfen). 2. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler beträgt \(\beta = 1 - g(0{,}2) \approx 1 - 0{,}63 = 0{,}37\) (oder \(37\,\%\)).

- Welcher Parameterwert gilt in Diagramm a), und ist \(H_0\) dort wahr? - Welche Testentscheidung entspricht dem rechten Bereich \(K\)? - Bei welchem Diagramm ist die konkrete Alternative wahr? - Welcher Bereich führt dort dazu, dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird?

1. In Diagramm a) gilt der Randwert der Nullhypothese. Der markierte Bereich A ist der Ablehnungsbereich \(K\). Seine Wahrscheinlichkeit ist daher die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art: \(A\leftrightarrow\alpha\). 2. In Diagramm b) gilt die konkrete Alternative \(p_1=0{,}50\). Der markierte Bereich B umfasst \(X\le9\), also genau die Ergebnisse, bei denen \(H_0\) nicht verworfen wird. Weil \(H_0\) bei \(p_1=0{,}50\) falsch ist, entspricht diese Wahrscheinlichkeit \(\beta\).

A entspricht \(\alpha\); B entspricht \(\beta\).

- Der Fehler 1. Art wird immer unter der Annahme berechnet, dass die Nullhypothese \(H_0\) stimmt. - Der Fehler 2. Art wird unter einer spezifischen Annahme über die tatsächliche Wahrscheinlichkeit berechnet. - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu erhalten, wenn der Würfel „gegen“ die Sechs manipuliert ist? - Wenn das Signifikanzniveau strenger (kleiner) wird, muss der Ablehnungsbereich kleiner oder größer werden?

1. Der Fehler 1. Art ist \(\alpha=P_{p=1/6}(X\leq16)\approx0{,}0264\approx2{,}64\,\%\). 2. Für \(p=0{,}1\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X>16\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{p=0{,}1}(X>16)=1-P_{p=0{,}1}(X\leq16)\approx1-0{,}6694=0{,}3306\). In etwa \(33{,}06\,\%\) der Fälle wird die verringerte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs nicht erkannt. 3. Für \(\alpha\leq0{,}01\) wird der größte Wert \(k\) gesucht, für den \(P_{1/6}(X\leq k)\leq0{,}01\) gilt. Es ist \(P(X\leq14)\approx0{,}0075\), aber \(P(X\leq15)\approx0{,}0145\). Daher lautet der neue Ablehnungsbereich \(K_{\text{neu}}=\{0;1;\dots;14\}\).

a) \(\alpha\approx2{,}64\,\%\). b) \(\beta\approx33{,}06\,\%\). Die verringerte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs wird nicht erkannt. c) \(K=\{0;1;\dots;14\}\).

- Welche Behauptung soll geschützt werden? Das ist meist die Nullhypothese. - Achte bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau auf die Grenze des Ablehnungsbereichs. - Überlege dir, welche Konsequenzen eine Fehlentscheidung für den Käufer und den Verkäufer hat. - Erinnere dich an die Bedingungen einer Bernoulli-Kette: Konstante Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit.

1. Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der mangelhaften Zellen in der Stichprobe. Die Nullhypothese lautet \(H_0: p \le 0{,}1\) (Angabe des Herstellers), die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}1\). 2. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}1\) gilt. Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{16, 17, \dots, 100\}\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{100; 0{,}1}(X \ge 16) = 1 - P(X \le 15) \approx 1 - 0{,}9601 = 0{,}0399\). 3. Fehler 1. Art: Der Hersteller wird benachteiligt, da seine den Herstellerangaben entsprechende Lieferung fälschlicherweise als mangelhaft eingestuft wird. Fehler 2. Art: Der Abnehmer wird benachteiligt, da er eine Lieferung mit zu vielen Mängeln fälschlicherweise akzeptiert. 4. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X \le 15\) unter der Bedingung \(p = 0{,}2\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P_{100; 0{,}2}(X \le 15) \approx 0{,}1285\). 5. Mögliche Probleme: Die Trefferwahrscheinlichkeit könnte sich ändern (z. B. durch Serienfehler in der Produktion, wodurch Mängel gehäuft auftreten), oder die Ziehungen sind nicht unabhängig (z. B. wenn Zellen direkt nacheinander vom selben Band genommen werden).

a) \(H_0: p \le 0{,}1\); \(H_1: p > 0{,}1\); \(X\): Anzahl mangelhafter Zellen. b) \(P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 3{,}99\,\%\). c) Fehler 1. Art: Hersteller; Fehler 2. Art: Abnehmer. d) \(P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 12{,}85\,\%\). e) Mögliche Abhängigkeit der Mängel oder schwankende Produktionsqualität.

- Achte beim rechtsseitigen Test darauf, wie man die Wahrscheinlichkeit „mindestens \(g\)“ mit der kumulierten Verteilungsfunktion berechnet. - Was bedeutet „irrtümlich zurückweisen“ im Kontext der Fehlerarten? - Vergleiche deine Ergebnisse für \(\alpha\) mit der Grenze von \(0{,}05\).

1. Berechnung von \(\alpha = P_{80; 0{,}4}(X \ge g) = 1 - P_{80; 0{,}4}(X \le g-1)\): Für \(g = 38\): \(\alpha_1 = 1 - P_{80; 0{,}4}(X \le 37) \approx 1 - 0{,}8947 = 0{,}1053\). Für \(g = 42\): \(\alpha_2 = 1 - P_{80; 0{,}4}(X \le 41) \approx 1 - 0{,}9842 = 0{,}0158\). 2. Berechnung von \(\beta = P_{80; 0{,}55}(X \le g-1)\): Für \(g = 38\): \(\beta_1 = P_{80; 0{,}55}(X \le 37) \approx 0{,}0724\). Für \(g = 42\): \(\beta_2 = P_{80; 0{,}55}(X \le 41) \approx 0{,}2864\). 3. Beurteilung: Die Bedingung lautet \(\alpha \le 0{,}05\). Da \(\alpha_1 \approx 10{,}53\,\%\) und \(\alpha_2 \approx 1{,}58\,\%\) ist, erfüllt nur die Entscheidungsregel mit \(g = 42\) die Vorgabe eines Signifikanzniveaus von \(5\,\%\).

a) Für \(g = 38\): \(\alpha \approx 0{,}1053\); für \(g = 42\): \(\alpha \approx 0{,}0158\). b) Für \(g = 38\): \(\beta \approx 0{,}0724\); für \(g = 42\): \(\beta \approx 0{,}2864\). c) Die Regel mit \(g = 42\) ist besser geeignet, da nur hier \(\alpha \le 0{,}05\) gilt.

- Nutze die Binomialverteilung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten. - Was bedeutet \(K = \emptyset\) für die Entscheidung über die Nullhypothese? - Bedenke, dass der Fehler 2. Art die Wahrscheinlichkeit ist, im Nichtablehnungsbereich zu landen, obwohl die Alternativhypothese wahr ist. - Wann ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis außerhalb einer Menge zu erhalten, gleich Null?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}1\) ist \(\alpha=P_{p=0{,}1}(X\geq5)=1-P_{p=0{,}1}(X\leq4)\approx1-0{,}9568=0{,}0432\). Unter \(p=0{,}3\) ist \(\beta=P_{p=0{,}3}(X\leq4)\approx0{,}2375\). 2. Für \(K=\emptyset\) wird \(H_0\) nie abgelehnt. Daher ist \(\alpha=0\) und \(\beta=1\). Eine tatsächlich auf \(0{,}3\) erhöhte Trefferwahrscheinlichkeit des betrachteten Feldes wird dann mit Sicherheit nicht erkannt. 3. Für \(\beta=0\) muss der Nichtablehnungsbereich leer sein. Daher ist \(K=\{0;1;\dots;20\}\). Dann wird \(H_0\) immer abgelehnt und \(\alpha=1\).

1. \(\alpha\approx0{,}0432\) beziehungsweise \(4{,}32\,\%\); \(\beta\approx0{,}2375\) beziehungsweise \(23{,}75\,\%\). 2. \(\alpha=0\); \(\beta=1\). Eine Erhöhung der Trefferwahrscheinlichkeit dieses Feldes wird nie erkannt. 3. \(K=\{0;1;\dots;20\}\); dann ist \(\alpha=1\).

- Welche Werte für \(X\) führen dazu, dass wir dem Sommelier glauben? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer festen Grundwahrscheinlichkeit? - Bedenke, dass der Fehler 2. Art immer eine spezifische Wahrscheinlichkeit aus der Gegenhypothese benötigt. - Was sagt eine hohe Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art über die Zuverlässigkeit aus, einen Experten auch wirklich zu erkennen?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(p=0{,}5\). Ablehnungsbereich \(X \in \{12, 13, 14, 15\}\). Berechnung über die Binomialverteilung \(B_{15; 0{,}5}\): \(P(X \geq 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{13} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{14} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{15} \cdot 0{,}5^{15} = (455 + 105 + 15 + 1) \cdot 0{,}5^{15} = 576 \cdot \frac{1}{32768} \approx 0{,}0176\). Das Signifikanzniveau beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht verworfen, obwohl \(p=0{,}8\). Nichtablehnungsbereich \(X \in \{0, \dots, 11\}\). Berechnung über \(B_{15; 0{,}8}\): \(\beta = P(X \leq 11) = 1 - P(X \geq 12)\). \(P(X=12) \approx 0{,}2501\), \(P(X=13) \approx 0{,}2309\), \(P(X=14) \approx 0{,}1319\), \(P(X=15) \approx 0{,}0352\). Summe \(P(X \geq 12) \approx 0{,}6482\). Somit \(\beta = 1 - 0{,}6482 = 0{,}3518\), also ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test hat ein strenges Signifikanzniveau (wenig „falsches Lob“), aber ein Fehler 2. Art von ca. \(35\,\%\) ist relativ hoch. Das bedeutet, dass mehr als jeder dritte echte Experte durch den Test fallen würde. Für eine sichere Bestätigung ist die Stichprobe eher zu klein oder die Hürde zu hoch.

1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test ist nur bedingt geeignet, da die Gefahr groß ist (\(35{,}2\,\%\)), einen tatsächlichen Experten nicht als solchen zu erkennen.

- Wann ist die Behauptung „mindestens \(75\,\%\)“ gefährdet? Das hilft dir bei der Wahl der Hypothesen. - Für den Ablehnungsbereich suchst du die Grenze, bis zu der die kumulierte Wahrscheinlichkeit unter \(H_0\) das Signifikanzniveau gerade noch nicht überschreitet. - Überlege beim Fehler 2. Art genau, in welchem Bereich die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verworfen wird. - Was passiert mit der Standardabweichung der Binomialverteilung, wenn man den Stichprobenumfang vergrößert?

1. Hypothesen: \(H_0: p \ge 0{,}75\) (Annahme des Herstellers); \(H_1: p < 0{,}75\) (Zweifel an der Quote). 2. Testgröße \(X\): Anzahl der geheilten Personen (\(X \sim B(120; 0{,}75)\)). 3. Ablehnungsbereich bestimmen: Suche maximales \(k\), sodass \(P(X \le k; p=0{,}75) \le 0{,}01\). 4. Aus Tabellenwerk oder Taschenrechner: \(P(X \le 78) \approx 0{,}0093\) und \(P(X \le 79) \approx 0{,}0155\). 5. Ergebnis Ablehnungsbereich: \(K = \{0, 1, \dots, 78\}\). 6. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(P(X \ge 79; p=0{,}60) = 1 - P(X \le 78; p=0{,}60) \approx 1 - 0{,}8877 = 0{,}1123\). 7. Einfluss Stichprobenumfang: Bei größerem \(n\) bleibt das vorgegebene Signifikanzniveau und damit die Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art gleich. Zugleich sinkt für die feste alternative Heilungsquote von \(60\,\%\) in der Regel die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art, da die Testkraft steigt.

a) \(H_0: p \ge 0{,}75\); \(H_1: p < 0{,}75\). b) Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 78\}\). c) Fehler 2. Art: \(\beta \approx 11{,}23\,\%\). d) Bei größerem Stichprobenumfang bleibt die Obergrenze für den Fehler 1. Art durch das konstante Signifikanzniveau gleich; die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art sinkt in der Regel.

- Überlege dir, welche Verteilung hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) jeweils gegeben sind. - Was bedeutet „mehr als die Hälfte“ bei 40 Samen mathematisch für die Zufallsgröße? - Denke bei der Entscheidungsregel daran, welche Sorte fälschlicherweise angenommen wird und welche Wahrscheinlichkeit daher für die Berechnung von \(k\) relevant ist. - Was passiert mit der Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn du die Grenze \(k\) verschiebst? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Signifikanztest und einer einfachen Wahl zwischen zwei Hypothesen.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen. Es gilt \(n = 40\). Für Sorte A (\(p = 0{,}7\)): \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}0063 = 0{,}9937\) \(P(X < 20) = P(X \le 19) \approx 0{,}0024\) Für Sorte B (\(p = 0{,}3\)): \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}9976 = 0{,}0024\) \(P(X < 20) = P(X \le 19) \approx 0{,}9937\) 2. Bestimmung von \(k\) für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass unter der Annahme von Sorte B (\(p = 0{,}3\)) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Laut Tabelle der Binomialverteilung für \(n = 40, p = 0{,}3\) ist \(P(X \le 16) \approx 0{,}9367\) und \(P(X \le 17) \approx 0{,}9680\). Somit muss \(k-1 = 17\) gelten, woraus \(k = 18\) folgt. 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Ein Fehler unter Sorte A tritt auf, wenn \(X < 18\). \(P(X \le 17)\) für \(p = 0{,}7\): \(P(X \le 17) \approx 0{,}000275\). 4. Begründung für Teilaufgabe d): Die Wahl einer Nullhypothese bewirkt im statistischen Test eine Asymmetrie, da die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)) kontrolliert und klein gehalten wird, während der Fehler 2. Art (\(\beta\)) meist nicht direkt kontrolliert wird. Da hier beide Sorten „gleichberechtigt“ nebeneinanderstehen und keine Sorte als Standard oder gesicherte Annahme (Status Quo) fungiert, ist die einseitige Festlegung einer Nullhypothese willkürlich und benachteiligt eine der beiden Fehlentscheidungen.

a) Sorte A: \(P(X > 20) \approx 99{,}37\,\%\), \(P(X < 20) \approx 0{,}24\,\%\). Sorte B: \(P(X > 20) \approx 0{,}24\,\%\), \(P(X < 20) \approx 99{,}37\,\%\). b) Der kleinstmögliche Wert ist \(k = 18\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0275\,\%\). d) Ein Signifikanztest schützt die Nullhypothese einseitig. Da hier beide Fälle symmetrisch sind, ist die Priorisierung einer Sorte als \(H_0\) ohne sachlichen Grund willkürlich.

- Stelle zuerst die Nullhypothese und die Alternativhypothese mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten auf. - Überlege, bei welchen Ergebnissen der Stichprobe man eher an eine Fehljustierung glaubt. - Beachte, dass der Ablehnungsbereich bei einem Signifikanzniveau \(\alpha\) die Menge der Werte ist, deren Gesamtwahrscheinlichkeit unter \(H_0\) höchstens \(\alpha\) beträgt. - Der Fehler 2. Art bezieht sich immer auf die Wahrscheinlichkeit unter der Alternative \(H_1\). - Was passiert mit der Genauigkeit einer Schätzung, wenn man mehr Daten sammelt?

1. Ablehnungsbereich für Teilaufgabe a): \(X\) ist die Anzahl defekter Teile, \(X \sim B(100; 0{,}04)\). Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Tabelle/Werten der Binomialverteilung: \(P(X \le 7) \approx 0{,}9525\) \(P(X \le 8) \approx 0{,}9810\) Somit ist bereits \(k-1 = 7\), also \(k = 8\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{8, 9, \dots, 100\}\). 2. Fehler 2. Art für Teilaufgabe b): Ein Fehler 2. Art tritt auf, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}12\) gilt. Dies ist der Fall für \(X \in \{0, 1, \dots, 7\}\). \(P(X \le 7)\) für \(p = 0{,}12\): \(P(X \le 7) \approx 0{,}0761\). 3. Auswirkung bei \(n = 200\) für Teilaufgabe c): Bei größerem Stichprobenumfang und gleichbleibendem \(\alpha\) sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)). Begründung: Durch die größere Stichprobe wird die Verteilung der relativen Häufigkeiten schmaler (geringere Standardabweichung). Dadurch überlappen sich die Verteilungen unter \(H_0\) und \(H_1\) weniger stark, was bei festem Risiko für den Fehler 1. Art eine bessere Trennschärfe (Wahrscheinlichkeit, \(H_0\) bei der konkreten Alternative zu verwerfen) des Tests ermöglicht.

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{8, 9, \dots, 100\}\). b) Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art beträgt ca. \(7{,}61\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art sinkt, da der Test durch den größeren Stichprobenumfang trennschärfer wird und die Verteilungen besser unterscheidbar sind.

- Welche Vermutung soll durch den Test gestützt werden? Diese landet meist in der Alternativhypothese. - Überlege dir, ob ein großer oder ein kleiner Wert der Testgröße gegen die Nullhypothese spricht. - Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn man die Nullhypothese nicht verwirft, obwohl sie falsch ist. In welchem Bereich landen dann die Stichprobenwerte? - Bei der Mehrfachdurchführung kannst du das Problem als ein neues Bernoulli-Experiment betrachten, bei dem ein „Erfolg“ ein signifikantes Testergebnis ist.

1. Aufstellen der Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\) und \(H_1: p > 0{,}05\). 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}05\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Binomialverteilung mit \(n=500\) und \(p=0{,}05\) folgt \(P(X \le 33) \approx 0{,}9546\). Somit ist \(k-1 = 33\), also \(k = 34\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{34, 35, \dots, 500\}\). 3. Fehler 2. Art: Die Wahrscheinlichkeit \(\beta\), \(H_0\) nicht abzulehnen, obwohl \(p = 0{,}08\) gilt, ist \(P(X \le 33)\) für \(B(500; 0{,}08)\). Ergebnis: \(\beta \approx 0{,}1410\). 4. Mehrfachtestung: Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art pro Test ist \(\alpha_{\text{real}} = P(X \ge 34) = 1 - 0{,}9546 = 0{,}0454\). Die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein signifikantes Ergebnis bei 50 Tests ist \(1 - (1 - 0{,}0454)^{50} \approx 1 - 0{,}0979 = 0{,}9021\). 5. Bewertung: Das Vorgehen ist problematisches multiples Testen (sogenanntes P-Hacking). Bei ausreichend vielen Wiederholungen wird ein signifikantes Ergebnis rein zufällig fast sicher, selbst wenn die Nullhypothese wahr ist. Dies führt zu wissenschaftlich wertlosen oder irreführenden Aussagen.

a) \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\) b) \(K = \{34, 35, \dots, 500\}\) c) \(\beta \approx 14{,}10\,\%\) d) \(P \approx 90{,}21\,\%\) e) Die Strategie ist ohne Korrektur für multiples Testen methodisch unzulässig, da sie das Signifikanzniveau untergräbt und mit hoher Wahrscheinlichkeit zu falsch positiven Ergebnissen führt.

- Achte darauf, ob es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test handelt. Werden kleine oder große Werte kritisch gesehen? - Verwende für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs immer den Wert aus der Nullhypothese. - Der Fehler 2. Art berechnet sich immer mit der Wahrscheinlichkeit der tatsächlichen (alternativen) Quote über den Bereich, in dem die Nullhypothese NICHT abgelehnt wird. - Wie wirkt sich eine größere Datenbasis allgemein auf die Genauigkeit eines Tests aus?

1. Entscheidungsregel: \(H_0: p \ge 0{,}80\) gegen \(H_1: p < 0{,}80\). Gesucht ist das größte \(k\), für das \(P(X \le k) \le 0{,}01\) unter \(p = 0{,}80\) gilt. Bei \(n = 250\) liefert die Binomialverteilung \(P(X \le 184) \approx 0{,}0086\) und \(P(X \le 185) \approx 0{,}0127\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 184\}\). Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn höchstens 184 Sendungen pünktlich sind. 2. Fehler 2. Art: Man geht fälschlicherweise davon aus, dass die Pünktlichkeitsrate mindestens \(80\,\%\) beträgt (verwirft \(H_0\) nicht), obwohl sie in Wahrheit geringer ist. 3. Berechnung \(\beta\) für \(n = 250, p = 0{,}75\): Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(X\) im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{185, \dots, 250\}\) liegt. \(\beta = P(X \ge 185) = 1 - P(X \le 184)\) für \(B(250; 0{,}75)\). Ergebnis: \(\beta \approx 1 - 0{,}3271 = 0{,}6729\). 4. Erhöhung auf \(n = 500\): Neuer Ablehnungsbereich für \(p = 0{,}80\): \(P(X \le 378) \approx 0{,}0092\) und \(P(X \le 379) \approx 0{,}0123\). Also \(K_{neu} = \{0, \dots, 378\}\). Fehler 2. Art für \(p = 0{,}75\): \(\beta_{neu} = P(X \ge 379) = 1 - P(X \le 378)\) für \(B(500; 0{,}75)\). Ergebnis: \(\beta_{neu} \approx 1 - 0{,}6383 = 0{,}3617\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art sinkt deutlich von ca. \(67{,}3\,\%\) auf ca. \(36{,}2\,\%\).

a) Ablehnungsbereich \(K = \{0, 1, \dots, 184\}\). b) Die Werbeaussage des Lieferdienstes wird nicht verworfen, obwohl die tatsächliche Pünktlichkeitsrate niedriger ist als behauptet. c) \(\beta \approx 67{,}29\,\%\) d) Bei \(n = 500\) sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art auf \(\beta \approx 36{,}17\,\%\).

- Notiere zuerst Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der vorgegebenen Regel. - Für den Fehler 2. Art wird die konkrete Alternative \(p_1=0{,}90\) verwendet. - Für die maximale Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit ist der Randwert \(p_0=0{,}75\) entscheidend.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}75\) gegen \(H_1:p>0{,}75\). Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{22,23,24,25\}\); bei \(X\leq21\) wird \(H_0\) nicht verworfen. 2. Bei \(p_1=0{,}90\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq21\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}90}(X\leq21)=1-P_{0{,}90}(X\geq22)\approx0{,}2364\). 3. Für den Fehler 1. Art ist innerhalb von \(H_0\) der Randwert \(p_0=0{,}75\) maßgeblich. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}75}(X\geq22)\approx0{,}0962\).

a) \(\beta\approx23{,}64\,\%\). b) \(\alpha\approx9{,}62\,\%\).

- Was passiert mit dem Ablehnungsbereich, wenn man die Grenze für das „Nicht-Ablehnen“ verschiebt? - Wird es bei Regel 2 schwieriger oder leichter, die Hypothese des Herstellers abzulehnen? - Denke an den Zusammenhang: Wenn ein Fehler seltener wird, erkauft man sich das meist durch eine Erhöhung des anderen Fehlers. - Achte beim Ablesen oder Berechnen der Werte darauf, ob du \(P(X \le k)\) oder \(P(X \ge k)\) benötigst.

1. Zufallsgröße \(X\): Anzahl der geheilten Patienten. Unter \(H_0\) gilt \(X \sim B(100; 0{,}7)\). 2. Signifikanzniveau Regel 1: \(\alpha_1 = P_{0{,}7}(X < 65) = P_{0{,}7}(X \le 64) \approx 0{,}1161\). 3. Signifikanzniveau Regel 2: \(\alpha_2 = P_{0{,}7}(X < 62) = P_{0{,}7}(X \le 61) \approx 0{,}0340\). 4. Fehler 2. Art (\(\beta\)) bei \(p = 0{,}6\): Regel 1: \(\beta_1 = P_{0{,}6}(X \ge 65) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 64) \approx 1 - 0{,}8206 = 0{,}1794\). Regel 2: \(\beta_2 = P_{0{,}6}(X \ge 62) = 1 - P_{0{,}6}(X \le 61) \approx 1 - 0{,}6178 = 0{,}3822\). 5. Vergleich: Durch die Senkung der kritischen Zahl von 65 auf 62 verringert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\) sinkt), aber die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art steigt deutlich an (\(\beta\) wächst).

a) Regel 1: \(\alpha_1 \approx 11{,}61\,\%\); Regel 2: \(\alpha_2 \approx 3{,}40\,\%\). b) Regel 1: \(\beta_1 \approx 17{,}94\,\%\); Regel 2: \(\beta_2 \approx 38{,}22\,\%\). c) Durch die Änderung von Regel 1 zu Regel 2 sinkt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art steigt.

- Wie verändert sich die Form der Kurve, wenn man mehr Daten sammelt? Wird die Entscheidung „sicherer“ oder „unsicherer“? - Wo genau auf der x-Achse musst du schauen, um das Signifikanzniveau zu finden? Denke an den Rand der Nullhypothese. - Der Fehler 2. Art bedeutet, dass man eine wirksame Therapie übersieht. Wie drückt sich das in der Wahrscheinlichkeit aus, die Nullhypothese *nicht* abzulehnen? - Vergleiche die Funktionswerte der beiden Graphen an der Stelle \(p = 0{,}45\).

1. Zuordnung des Stichprobenumfangs: Der Graph \(f_B\) verläuft steiler als \(f_A\). Da mit steigendem Stichprobenumfang \(n\) die Trennschärfe eines Tests zunimmt (der Übergang von niedriger zu hoher Ablehnwahrscheinlichkeit wird schärfer), gehört \(f_B\) zum größeren Stichprobenumfang (\(n_B > n_A\)). 2. Bestimmung des Signifikanzniveaus: Das Signifikanzniveau \(\alpha\) entspricht der maximalen Ablehnwahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass \(H_0\) wahr ist (hier für \(p = 0{,}3\)). Aus dem Graphen liest man ab: \(f_A(0{,}3) \approx 0{,}05\) und \(f_B(0{,}3) \approx 0{,}05\). Das Signifikanzniveau beträgt also für beide Tests etwa \(5\,\%\). 3. Vergleich der Testgüte bei \(p = 0{,}45\): Ein Test ist besser geeignet, wenn er eine tatsächlich vorhandene Wirkung mit höherer Wahrscheinlichkeit erkennt, also den Fehler 2. Art (\(\beta\)) minimiert. Für \(p = 0{,}45\) ist die Ablehnwahrscheinlichkeit bei Test B deutlich höher (\(f_B(0{,}45) \approx 0{,}90\)) als bei Test A (\(f_A(0{,}45) \approx 0{,}65\)). Da \(\beta = 1 - f(p)\) gilt, ist \(\beta_B \approx 0{,}10\) wesentlich kleiner als \(\beta_A \approx 0{,}35\). Test B ist somit besser geeignet.

a) Graph \(f_B\) gehört zum größeren Stichprobenumfang, da die Kurve steiler verläuft. b) Das Signifikanzniveau \(\alpha\) beträgt für beide Tests etwa \(0{,}05\) (bzw. \(5\,\%\)). c) Test B ist besser geeignet, da die Ablehnwahrscheinlichkeit bei \(p = 0{,}45\) höher ist (\(f_B(0{,}45) \approx 0{,}90\)) und somit der Fehler 2. Art kleiner ist (\(\beta_B \approx 0{,}10 < \beta_A \approx 0{,}35\)).