- Prüfe zuerst für jede Situation, ob \(H_0\) in Wahrheit gilt. - Vergleiche danach den wahren Zustand mit der Testentscheidung. - Welcher Fehlertyp gehört zur fälschlichen Ablehnung einer wahren Nullhypothese?

1. In a) ist \(H_0\) wahr, wird aber verworfen. Das ist ein Fehler 1. Art. 2. In b) ist \(H_0\) falsch, wird aber nicht verworfen. Das ist ein Fehler 2. Art.

a) Fehler 1. Art. b) Fehler 2. Art.

- Welche Testentscheidung gehört zum Ereignis \(X\in K\)? - Ist \(H_0\) am Randwert \(p_0\) wahr oder falsch? - Welche falsche Entscheidung wird beim konkreten Alternativwert \(p_1\) durch \(X\notin K\) getroffen?

1. Bei \(p_0\) gilt die Nullhypothese. Das Ereignis \(X\in K\) führt zur Ablehnung von \(H_0\). Damit beschreibt A die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art: \(\alpha=P_{p_0}(X\in K)\). 2. Beim konkreten Alternativwert \(p_1\) ist \(H_0\) falsch. Das Ereignis \(X\notin K\) führt dazu, \(H_0\) nicht abzulehnen. Damit beschreibt B die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art: \(\beta=P_{p_1}(X\notin K)\).

A beschreibt \(\alpha\). B beschreibt \(\beta\).

- Welche der beiden Zahlen ist vorgegeben, und welche entsteht erst aus der gewählten Entscheidungsregel? - Welche Bedingung muss die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit erfüllen, damit der Test zum vorgegebenen Signifikanzniveau passt?

1. Mias Aussage ist falsch. Das Signifikanzniveau \(5\,\%\) ist eine Obergrenze für die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art. 2. Eine tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit von \(4{,}45\,\%\) liegt unter dieser Obergrenze und ist daher mit einem \(5\,\%\)-Test vereinbar.

Mias Aussage ist falsch: \(5\,\%\) ist die vorgegebene Obergrenze; die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art darf darunter liegen, hier bei \(4{,}45\,\%\).

- Ordne Fehler 1. Art und Fehler 2. Art zuerst jeweils einer falschen Testentscheidung zu. - Vergleiche dann, wie ein kleinerer Ablehnungsbereich diese beiden falschen Entscheidungen beeinflusst.

1. Ein kleinerer Ablehnungsbereich macht eine falsche Ablehnung von \(H_0\) seltener. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art bei Regel B kleiner. 2. Gleichzeitig wird der Nichtablehnungsbereich größer. Beim selben Alternativwert wird dadurch ein Fehler 2. Art wahrscheinlicher. 3. Deshalb ist Aussage B richtig.

B ist richtig: Bei Regel B ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art kleiner, die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art aber größer.

- Notiere zuerst Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich der vorgegebenen Regel. - Für Fehler 2. Art wird der konkrete Alternativwert \(p_1=0{,}90\) verwendet. - Für die maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art ist der Randwert \(p_0=0{,}75\) entscheidend.

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}75\) gegen \(H_1:p>0{,}75\). Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{22,23,24,25\}\); bei \(X\leq21\) wird \(H_0\) nicht verworfen. 2. Bei \(p_1=0{,}90\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq21\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}90}(X\leq21)=1-P_{0{,}90}(X\geq22)\approx0{,}2364\). 3. Für den Fehler 1. Art ist innerhalb von \(H_0\) der Randwert \(p_0=0{,}75\) maßgeblich. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}75}(X\geq22)\approx0{,}0962\).

a) \(\beta\approx23{,}64\,\%\). b) \(\alpha\approx9{,}62\,\%\).

- Welche Werte führen zur Ablehnung der Nullhypothese? - Welche Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs ist am Randwert von \(H_0\) zu berechnen? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0;1;\dots;42\}\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}9}(X\le42)\approx0{,}1221\). 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\ge43\). Für \(p_1=0{,}8\) ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\ge43)\approx0{,}1904\).

a) \(\alpha\approx12{,}21\,\%\) b) \(\beta\approx19{,}04\,\%\)

- Notiere zuerst Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich. - Für welchen Randwert in \(H_0\) ist die rechtsseitige Ablehnungswahrscheinlichkeit maximal? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zum Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{50;51;\dots;100\}\), der Nichtablehnungsbereich \(\{0;1;\dots;49\}\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) ist \(\alpha=P(X\ge50)\approx0{,}0271=2{,}71\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}55\) ist \(\beta=P(X\le49)\approx0{,}1346=13{,}46\,\%\).

Fehler 1. Art: \(\alpha\approx2{,}71\,\%\) Fehler 2. Art: \(\beta\approx13{,}46\,\%\)

- Welche Defektzahlen führen zur Ablehnung von \(H_0\)? - Welcher Parameterwert ist für Fehler 1. Art maßgeblich? - Welche Defektzahlen führen beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{7;8;\dots;80\}\). Am Randwert gilt \(\alpha=P_{0{,}04}(X\ge7)\approx0{,}0412\). 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\le6\). Für \(p_1=0{,}10\) gilt \(\beta=P_{0{,}10}(X\le6)\approx0{,}3005\).

a) \(\alpha\approx4{,}12\,\%\) b) \(\beta\approx30{,}05\,\%\)

- Welche Aussage soll mit dem Test statistisch gestützt werden? - Formuliere Fehler 1. Art als falschen Schluss nach Ablehnung von \(H_0\). - Welche falsche Testentscheidung entsteht, wenn \(H_0\) falsch ist, aber nicht abgelehnt wird? - Überlege für jede Fehlentscheidung getrennt, was sie für RauchWacht und die Verbraucher bedeuten kann.

1. Statistisch gestützt werden soll eine Fehlalarmquote über \(1\,\%\). Daher gilt \(H_1:p>0{,}01\) und \(H_0:p\leq0{,}01\). 2. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf eine Fehlalarmquote über \(1\,\%\) geschlossen wird, obwohl die Quote höchstens \(1\,\%\) beträgt. 3. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl die Fehlalarmquote tatsächlich über \(1\,\%\) liegt. 4. Ein Fehler 1. Art kann zu ungerechtfertigten zusätzlichen Prüfungen, Rückrufen oder Kosten führen. Ein Fehler 2. Art kann dazu führen, dass eine tatsächlich erhöhte Fehlalarmquote unentdeckt bleibt und Verbraucher häufiger unnötige Fehlalarme erleben.

a) \(H_0:p\leq0{,}01\); \(H_1:p>0{,}01\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Fehlalarmquote wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Fehlalarmquote wird nicht erkannt. c) Fehler 1. Art kann unnötige Prüfungen, Rückrufe oder Kosten verursachen; Fehler 2. Art kann dazu führen, dass eine erhöhte Fehlalarmquote unentdeckt bleibt und Verbraucher häufiger unnötige Fehlalarme erleben.

- Ein Fehler 1. Art bedeutet, dass eine wahre Nullhypothese verworfen wird. - Verwende für die maximale Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit den Randwert \(p=0{,}90\). - Ablehnung einer Hypothese bedeutet statistische Evidenz gegen sie, nicht einen logischen Beweis ihrer Falschheit.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Herstellerangabe verworfen wird, obwohl mindestens \(90\,\%\) der Akkus die Kapazitätsanforderung erfüllen. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Angabe nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Anteil unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die Akkus, die die Kapazitätsanforderung erfüllen. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0,1,\dots,84\}\). Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}90\) am größten. 3. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}90}(X\leq84)\approx0{,}0399\). Ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liefert statistische Evidenz gegen die Herstellerangabe, widerlegt sie aber nicht logisch mit Sicherheit.

a) Fehler 1. Art: Die Angabe wird verworfen, obwohl sie gilt. Fehler 2. Art: Die Angabe wird nicht verworfen, obwohl tatsächlich weniger als \(90\,\%\) die Anforderung erfüllen. b) \(\alpha\approx3{,}99\,\%\).

- Welche Werte gehören nicht zum Ablehnungsbereich \(K\)? - Bei Fehler 2. Art gilt der konkrete Alternativwert, aber \(H_0\) wird nicht abgelehnt. - Formuliere dieses Ereignis zuerst als Ungleichung für \(X\).

1. Fehler 2. Art tritt beim konkreten Alternativwert ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird. 2. Der Nichtablehnungsbereich ist \(\{0;1;\dots;5\}\). 3. Daher gilt \(\beta=P_{0{,}40}(X\le5)\approx0{,}4032\).

\(\beta=P_{0{,}40}(X\le5)\approx0{,}4032\).

- Welche zwei möglichen Testentscheidungen gibt es bei festem \(p_1\)? - \(\beta\) beschreibt beim konkreten Alternativwert die Wahrscheinlichkeit der falschen Entscheidung. - Nutze die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Bei \(p_1\) ist \(H_0\) falsch. Die Ereignisse „\(H_0\) nicht ablehnen“ und „\(H_0\) ablehnen“ sind Gegenereignisse. 2. Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit der korrekten Ablehnung \(1-\beta=1-0{,}18=0{,}82\). 3. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}55\) erkennt die Testregel die Abweichung also mit Wahrscheinlichkeit \(82\,\%\).

\(1-\beta=0{,}82=82\,\%\). Bei \(p_1=0{,}55\) verwirft der Test die falsche Nullhypothese mit Wahrscheinlichkeit \(82\,\%\).

- Notiere vor dem Öffnen der Software, welche Verteilung zur wahren Nullhypothese gehört. - Für Fehler 2. Art brauchst du nicht \(K\), sondern den Bereich, in dem \(H_0\) nicht abgelehnt wird. - Kontrolliere, dass jede Markierung genau zu der falschen Testentscheidung des betreffenden Fehlertyps gehört.

1. Für Fehler 1. Art wird die Verteilung \(B(40;0{,}25)\) verwendet. Markiert wird der Ablehnungsbereich \(16\) bis \(40\). 2. Für Fehler 2. Art wird die Verteilung \(B(40;0{,}40)\) verwendet. Markiert wird der Nichtablehnungsbereich \(0\) bis \(15\). 3. Die Software liefert \(\alpha=P_{0{,}25}(X\ge16)\approx0{,}02624\approx2{,}62\,\%\) und \(\beta=P_{0{,}40}(X\le15)\approx0{,}44022\approx44{,}02\,\%\). 4. \(\alpha\) betrachtet eine falsche Ablehnung am Randwert von \(H_0\); \(\beta\) eine falsche Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert. Daher unterscheiden sich sowohl \(p\) als auch der markierte Entscheidungsbereich.

a) Für \(\alpha\): \(B(40;0{,}25)\), markiert \(16\) bis \(40\). Für \(\beta\): \(B(40;0{,}40)\), markiert \(0\) bis \(15\). b) \(\alpha\approx2{,}62\,\%\); \(\beta\approx44{,}02\,\%\). c) \(\alpha\) wird bei wahrer Nullhypothese im Ablehnungsbereich bestimmt, \(\beta\) beim konkreten Alternativwert im Nichtablehnungsbereich.

- Lies zuerst die ausdrücklich dargestellten Parameterwerte und Bereichsgrenzen ab. - Welche Zählwerte sprechen bei \(H_1:p<0{,}70\) gegen \(H_0\)? - Ordne erst danach jedem markierten Bereich den wahren Parameterzustand und die Testentscheidung zu.

1. A gehört zur Verteilung \(B(12;0{,}70)\) und umfasst die Zählwerte \(0\) bis \(5\). B gehört zu \(B(12;0{,}50)\) und umfasst die Zählwerte \(6\) bis \(12\). 2. Wegen \(H_1:p<0{,}70\) sprechen kleine Werte gegen \(H_0\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;5\}\), also der Bereich A. 3. A liegt am Randwert \(p_0=0{,}70\) im Ablehnungsbereich und beschreibt \(\alpha=P_{0{,}70}(X\le5)\). 4. B liegt beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}50\) im Nichtablehnungsbereich und beschreibt \(\beta=P_{0{,}50}(X\ge6)\).

a) A: \(p=0{,}70\), Zählwerte \(0\) bis \(5\). B: \(p=0{,}50\), Zählwerte \(6\) bis \(12\). b) \(K=\{0;1;\dots;5\}\). c) A beschreibt \(\alpha\); B beschreibt \(\beta\).

- Ordne jeden der beiden Parameterwerte zuerst dem Bereich von \(H_0\) oder \(H_1\) zu. - Überlege dann, welche Testentscheidung beim jeweiligen Parameterwert falsch wäre. - Prüfe die beiden vorgegebenen Grenzen erst, nachdem du die Wahrscheinlichkeiten den Fehlerarten zugeordnet hast.

1. Bei \(p_0=0{,}10\) ist \(H_0\) wahr. Eine Ablehnung ist dann ein Fehler 1. Art. Deshalb sind die Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}10}(X\geq9)\), \(P_{0{,}10}(X\geq10)\) und \(P_{0{,}10}(X\geq11)\) die jeweiligen Fehlerwahrscheinlichkeiten erster Art. 2. Bei \(p_1=0{,}20\) ist \(H_0\) falsch. Eine Nichtablehnung ist dann ein Fehler 2. Art. Deshalb sind die Wahrscheinlichkeiten \(P_{0{,}20}(X\leq8)\), \(P_{0{,}20}(X\leq9)\) und \(P_{0{,}20}(X\leq10)\) die jeweiligen Fehlerwahrscheinlichkeiten zweiter Art. 3. Regel A überschreitet mit \(5{,}79\,\%\) die Grenze für Fehler 1. Art. Regel C überschreitet mit \(58{,}36\,\%\) die Grenze für Fehler 2. Art. Regel B erfüllt mit \(2{,}45\,\%\) und \(44{,}37\,\%\) beide Bedingungen. 4. Wird die Ablehnungsgrenze nach oben verschoben, wird der Ablehnungsbereich kleiner und der Nichtablehnungsbereich größer. Dadurch sinkt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art beim festen Alternativwert steigt.

a) Bei \(p_0=0{,}10\) ist \(H_0\) wahr; Ablehnung bedeutet Fehler 1. Art. Bei \(p_1=0{,}20\) ist \(H_0\) falsch; Nichtablehnung bedeutet Fehler 2. Art. b) Regel B hält beide Grenzen ein. c) Eine höhere Ablehnungsgrenze verkleinert den Ablehnungsbereich und vergrößert den Nichtablehnungsbereich. Deshalb sinkt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art steigt.

- Entscheide zuerst bei jedem der beiden Parameterwerte, ob \(H_0\) wahr oder falsch ist. - Ordne danach „ablehnen“ beziehungsweise „nicht ablehnen“ der passenden Fehlerart zu. - Vergleiche den Stichprobenumfang erst, nachdem du geprüft hast, dass beide Tests die gleiche \(5\,\%\)-Vorgabe für Fehler 1. Art einhalten.

1. Am Randwert \(p_0=0{,}80\) ist \(H_0\) wahr. Die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}80}(H_0\text{ wird abgelehnt})\) ist daher die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. 2. Bei \(p_1=0{,}70\) ist \(H_0\) falsch. \(H_0\) nicht abzulehnen ist dann Fehler 2. Art. Die letzte Spalte beschreibt also \(\beta\). 3. Beide Tests halten die Obergrenze von \(5\,\%\) für Fehler 1. Art ein: etwa \(3{,}08\,\%\) beziehungsweise \(4{,}94\,\%\). 4. Beim größeren Stichprobenumfang sinkt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art in diesem Beispiel stark von etwa \(56{,}92\,\%\) auf etwa \(5{,}06\,\%\). Dabei liegt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art bei beiden Tests unter \(5\,\%\).

a) Die Spalte mit \(P_{0{,}80}(H_0\text{ wird abgelehnt})\) beschreibt Fehler 1. Art; die Spalte mit \(P_{0{,}70}(H_0\text{ wird nicht abgelehnt})\) beschreibt Fehler 2. Art. b) Ja. Beide Werte für Fehler 1. Art liegen unter \(5\,\%\). c) In diesem Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei \(n=200\) deutlich kleiner als bei \(n=50\).

- Bestimme für jeden Test zuerst den Nichtablehnungsbereich. - Bei welchem Parameterwert musst du für Fehler 2. Art rechnen? - Vergleiche die beiden Ergebnisse erst nach der Berechnung.

1. Fehler 2. Art bedeutet hier, \(H_0\) nicht abzulehnen, obwohl \(p_1=0{,}30\) gilt. 2. Bei Test A ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq12\). Daher gilt \(\beta_A=P_{0{,}30}(X\leq12)\approx0{,}57718=57{,}72\,\%\). 3. Bei Test B ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq40\). Daher gilt \(\beta_B=P_{0{,}30}(X\leq40)\approx0{,}09634=9{,}63\,\%\). 4. Beim größeren Stichprobenumfang ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei demselben Alternativwert in diesem Beispiel deutlich kleiner, während beide Regeln die vorgegebene Grenze für Fehler 1. Art einhalten.

a) Test A: \(\beta_A\approx57{,}72\,\%\); Test B: \(\beta_B\approx9{,}63\,\%\). b) Bei \(n=160\) ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art in diesem Beispiel deutlich kleiner.

- Welche Information über die Entscheidungsregel kannst du direkt aus der Aufteilung in \(K\) und \(N\) ablesen? - Welche falsche Entscheidung wird am Randwert \(p_0=0{,}20\) durch den Bereich \(K\) dargestellt? - Welche falsche Entscheidung wird beim Alternativwert \(p_1=0{,}40\) durch den Bereich \(N\) dargestellt? - Vergleiche anschließend, wie sich die beiden markierten Bereiche von Regel A zu Regel B verändern.

1. Bei Regel A beginnt \(K\) bei \(X=5\), bei Regel B bei \(X=6\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}20\) entspricht die Wahrscheinlichkeit im Bereich \(K\) dem Fehler 1. Art. Der Bereich \(K\) ist bei Regel B kleiner; daher ist auch die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art kleiner. 3. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}40\) entspricht die Wahrscheinlichkeit im Bereich \(N\) dem Fehler 2. Art. Der Bereich \(N\) ist bei Regel A kleiner; daher ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei A kleiner. 4. Wird die Grenze von \(5\) auf \(6\) verschoben, wird \(K\) kleiner und \(N\) größer. Dadurch sinkt hier die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art steigt.

a) Regel A: \(K\) beginnt bei \(5\); Regel B: \(K\) beginnt bei \(6\). b) Regel B hat die kleinere Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. c) Regel A hat die kleinere Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art. d) Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art, vergrößert aber den Nichtablehnungsbereich und damit beim festen Alternativwert die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art.

- Berechne die ursprünglichen Werte \(\mu_0\) und \(\sigma_0\). - Welche ganzzahligen Werte erfüllen die Bedingung „mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert“? - Welche Binomialverteilung gilt für die abschließende Wahrscheinlichkeit unter der neuen Quote?

1. Für den ursprünglichen Zustand ist \(\mu_0=120\cdot0{,}15=18\) und \(\sigma_0=\sqrt{120\cdot0{,}15\cdot0{,}85}\approx3{,}9115\). 2. Erfolg bedeutet \(X<\mu_0-\sigma_0=14{,}0885\). Da \(X\) ganzzahlig ist, gilt Erfolg bei \(X\le14\). 3. Unter dem tatsächlichen neuen Modell gilt \(X\sim B(120;0{,}08)\). „Nicht erfolgreich“ bedeutet daher \(X>14\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>14)=1-P(X\le14)\approx0{,}056350\).

\(5{,}64\,\%\)

- Welche Bedingungen braucht ein Binomialmodell für die Entscheidungen der Testpersonen? - Welche Aussage soll durch den Test statistisch gestützt werden? - Unter welchem Randwert aus \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit maximal?

1. Ein Binomialmodell ist angemessen, wenn die Entscheidungen als unabhängig mit derselben Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) modelliert werden können. 2. Es gilt \(H_0:p\le0{,}30\) gegen \(H_1:p>0{,}30\); der Test ist rechtsseitig. 3. Die vorgegebene Regel entspricht \(K=\{32;33;\dots;80\}\). Am Randwert \(p_0=0{,}30\) gilt \(\alpha=P_{0{,}30}(X\ge32)\approx0{,}0360\). 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn der Test einen Anteil über \(30\,\%\) statistisch stützt, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}30\) gilt.

a) Unabhängige Entscheidungen mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(H_0:p\le0{,}30\); \(H_1:p>0{,}30\); rechtsseitig. c) \(\alpha\approx3{,}60\,\%\); eine tatsächlich wahre Nullhypothese wird fälschlich abgelehnt.

- Der Fehler 1. Art wird immer unter der Annahme berechnet, dass die Nullhypothese \(H_0\) stimmt. - Der Fehler 2. Art wird unter einer spezifischen Annahme über die tatsächliche Wahrscheinlichkeit berechnet. - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu erhalten, wenn der Würfel „gegen“ die Sechs manipuliert ist? - Wenn das Signifikanzniveau strenger (kleiner) wird, muss der Ablehnungsbereich kleiner oder größer werden?

1. Der Fehler 1. Art ist \(\alpha=P_{p=1/6}(X\leq16)\approx0{,}0264\approx2{,}64\,\%\). 2. Für \(p=0{,}1\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X>16\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{p=0{,}1}(X>16)=1-P_{p=0{,}1}(X\leq16)\approx1-0{,}6694=0{,}3306\). In etwa \(33{,}06\,\%\) der Fälle wird die verringerte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs nicht erkannt. 3. Für \(\alpha\leq0{,}01\) wird der größte Wert \(k\) gesucht, für den \(P_{1/6}(X\leq k)\leq0{,}01\) gilt. Es ist \(P(X\leq14)\approx0{,}0075\), aber \(P(X\leq15)\approx0{,}0145\). Daher lautet der neue Ablehnungsbereich \(K_{\text{neu}}=\{0;1;\dots;14\}\).

a) \(\alpha\approx2{,}64\,\%\). b) \(\beta\approx33{,}06\,\%\). Die verringerte Wahrscheinlichkeit für eine Sechs wird nicht erkannt. c) \(K=\{0;1;\dots;14\}\).

- Überlege dir zuerst, welche Werte der Testgröße für die Behauptung des Sommeliers sprechen würden. - Für den Ablehnungsbereich musst du die kumulierte Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung nutzen. - Was passiert, wenn man eine falsche Entscheidung trifft? Unterscheide zwischen den beiden möglichen Fehlentscheidungen. - Der Fehler 2. Art wird immer unter einer konkreten Annahme für die Gegenhypothese berechnet.

1. Da der Sommelier behauptet, besser als durch bloßes Raten (\(p = 0{,}5\)) abzuschneiden, liegt die Gegenhypothese \(H_1: p > 0{,}5\) im Bereich größerer Werte. Daher handelt es sich um einen rechtsseitigen Test. 2. Gesucht ist der kleinste Wert \(k\), für den \(P(X \ge k) \le 0{,}05\) unter der Annahme \(p = 0{,}5\) gilt. Dies entspricht \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Aus der Binomialverteilung für \(n = 20\) und \(p = 0{,}5\) ergibt sich: \(P(X \le 13) \approx 0{,}9423\) und \(P(X \le 14) \approx 0{,}9793\). Somit ist \(k-1 = 14\), also \(k = 15\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist das tatsächliche Signifikanzniveau: \(P(X \ge 15) = 1 - P(X \le 14) \approx 1 - 0{,}9793 = 0{,}0207\). 4. Ein Fehler 2. Art bedeutet hier, dass man die Nullhypothese fälschlicherweise nicht verwirft. Im Sachkontext: Die Fähigkeit des Sommeliers wird nicht statistisch nachgewiesen, obwohl seine Trefferwahrscheinlichkeit tatsächlich über \(0{,}5\) liegt. 5. Der Fehler 2. Art tritt ein, wenn das Ergebnis nicht im Ablehnungsbereich liegt, also \(X \le 14\). Für \(p = 0{,}8\) ergibt sich: \(P_{20; 0{,}8}(X \le 14) \approx 0{,}1958\).

a) Rechtsseitig, da \(H_1: p > 0{,}5\). b) \(K = \{15, 16, \dots, 20\}\). c) \(\alpha_{\text{tatsächlich}} \approx 2{,}07\,\%\). d) Die Fähigkeit des Sommeliers wird fälschlicherweise nicht statistisch nachgewiesen. e) \(\beta \approx 19{,}58\,\%\).

- Beschreibe zuerst die Testentscheidung bei einem Fehler 1. Art und bei einem Fehler 2. Art. - Für \(\alpha\) wird am Randwert \(p_0=0{,}04\) gerechnet. - Für \(\beta\) gilt hier konkret \(p=0{,}12\), und relevant ist der Nichtablehnungsbereich. - Trenne bei der Bewertung die mathematischen Wahrscheinlichkeiten von der Gewichtung der praktischen Folgen.

1. Fehler 1. Art: Die Charge wird abgelehnt (mehr als 7 mangelhafte Tabletten in der Stichprobe), obwohl die tatsächliche Fehlerquote höchstens \(4\,\%\) beträgt (\(H_0\) ist wahr). 2. Fehler 2. Art: Die Charge wird nach der vereinbarten Prüfregel freigegeben (höchstens \(7\) mangelhafte Tabletten), obwohl die tatsächliche Fehlerquote über \(4\,\%\) liegt; \(H_0\) wird also fälschlicherweise nicht verworfen. 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}04\) ist die Anzahl der mangelhaften Tabletten \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}04}\). Gesucht ist \(P(X > 7) = 1 - P(X \le 7)\). Mit \(P(X \le 7) \approx 0{,}9525\) ergibt sich \(\alpha \approx 1 - 0{,}9525 = 0{,}0475\), also ca. \(4{,}75\,\%\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)): Unter der Annahme \(p = 0{,}12\) ist \(X\) binomialverteilt mit \(B_{100; 0{,}12}\). Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Charge fälschlicherweise angenommen wird: \(P(X \le 7)\). Mit der Binomialverteilung ergibt sich \(\beta \approx 0{,}0761\), also ca. \(7{,}61\,\%\). 5. In Teil d ist keine eindeutige Rangfolge vorgegeben. Eine Bewertung muss die genannten wirtschaftlichen Folgen gegeneinander abwägen. Entscheidend ist eine schlüssige Begründung, nicht eine bestimmte Wahl.

a) Fehler 1. Art: Die Charge wird nach der Prüfregel abgelehnt, obwohl \(p\leq0{,}04\) gilt. Fehler 2. Art: Die Charge wird nach der Prüfregel freigegeben, obwohl \(p>0{,}04\) gilt. b) \(\alpha=P_{100;0{,}04}(X\geq8)\approx0{,}0475\). c) \(\beta=P_{100;0{,}12}(X\leq7)\approx0{,}0761\). d) Die Bewertung ist argumentabhängig; beide Fehler können mit den genannten Folgen begründet als schwerwiegender eingestuft werden.

- Welche falsche Testentscheidung beschreibt Fehler 1. Art? - Warum ist für Fehler 1. Art der Randwert von \(H_0\) besonders wichtig? - Welcher Bereich führt bei \(p_1=0{,}90\) dazu, dass die falsche Nullhypothese nicht abgelehnt wird? - Beschreibe die Folgen beider Fehlentscheidungen getrennt, ohne sie gegeneinander zu bewerten.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{0;1;\dots;184\}\). 2. Die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art liegt am Randwert \(p_0=0{,}95\): \(\alpha_{\mathrm{tats}}=P_{0{,}95}(X\leq184)\approx0{,}0444=4{,}44\,\%\). 3. Bei \(p_1=0{,}90\) tritt Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, also für \(X\geq185\). Es gilt \(\beta=P_{0{,}90}(X\geq185)\approx0{,}1431=14{,}31\,\%\). 4. Fehler 1. Art kann zu einer unbegründeten Beanstandung und wirtschaftlichen Folgen für den Hersteller führen. Fehler 2. Art kann dazu führen, dass Sensoren akzeptiert werden, die im nachgebildeten Ernstfall nicht zuverlässig auslösen; dadurch kann für Nutzer ein Sicherheitsrisiko entstehen.

a) \(\alpha_{\mathrm{tats}}\approx4{,}44\,\%\). b) \(\beta\approx14{,}31\,\%\). c) Fehler 1. Art kann den Hersteller unnötig belasten; Fehler 2. Art kann dazu führen, dass Sensoren akzeptiert werden, die im nachgebildeten Ernstfall nicht zuverlässig auslösen.

- Welche Seite der Verteilung entspricht der Gegenhypothese? - Welche Wahrscheinlichkeit gehört zum Ablehnungsbereich, wenn \(H_0\) gilt? - Welche Wahrscheinlichkeit gehört zum Nichtablehnungsbereich beim festen Alternativwert?

1. Wegen \(H_1:p<0{,}15\) ist der Test linksseitig. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}15\) gilt für \(K_1\): \(\alpha_1=P(X\le8)\approx0{,}0275\); für \(K_2\): \(\alpha_2=P(X\le11)\approx0{,}1635\). 3. Für \(p_1=0{,}08\) gilt \(\beta_1=P(X>8)\approx0{,}4073\) und \(\beta_2=P(X>11)\approx0{,}1028\). 4. Ein größerer linksseitiger Ablehnungsbereich erhöht hier \(\alpha\) und senkt für den festen Alternativwert \(\beta\).

a) Linksseitig. b) \(\alpha_1\approx0{,}0275\); \(\alpha_2\approx0{,}1635\) c) \(\beta_1\approx0{,}4073\); \(\beta_2\approx0{,}1028\) d) Größerer Ablehnungsbereich: \(\alpha\) steigt, \(\beta\) sinkt.

- Welcher Bereich wird bei jedem kritischen Wert abgelehnt? - Welche der beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten wird am Randwert der Nullhypothese berechnet? - Vergleiche erst nach beiden Rechnungen mit der Vorgabe von \(5\,\%\).

1. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) gilt für \(g=38\): \(\alpha_1=P(X\ge38)\approx0{,}1053\); für \(g=42\): \(\alpha_2=P(X\ge42)\approx0{,}0158\). 2. Für \(p_1=0{,}55\) gilt \(\beta_1=P(X\le37)\approx0{,}0724\) und \(\beta_2=P(X\le41)\approx0{,}2864\). 3. Nur \(g=42\) erfüllt \(\alpha\le0{,}05\).

a) \(g=38:\ \alpha\approx0{,}1053\); \(g=42:\ \alpha\approx0{,}0158\) b) \(g=38:\ \beta\approx0{,}0724\); \(g=42:\ \beta\approx0{,}2864\) c) \(g=42\)

- Welche Entscheidung wird bei \(X\in K\) getroffen? - Welcher Randwert aus \(H_0\) maximiert die Ablehnungswahrscheinlichkeit? - Welche Werte gehören beim festen Alternativwert zum Nichtablehnungsbereich?

1. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird wegen einer vermeintlich zu hohen Kratzerquote beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}05\) gilt. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}05\) ist \(\alpha=P(X\ge8)\approx0{,}0466\). 3. Für \(p_1=0{,}15\) liegt der Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich \(X\le7\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\le7)\approx0{,}0727\).

a) Die Lieferung wird beanstandet, obwohl die tatsächliche Kratzerquote höchstens \(5\,\%\) beträgt. b) \(\alpha\approx0{,}0466\) c) \(\beta\approx0{,}0727\)

- Vergleiche für Fehler 2. Art den wahren Zustand mit der Entscheidung, \(H_0\) nicht abzulehnen. - Für Fehler 1. Art wird die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs am Randwert der Nullhypothese betrachtet. - Für \(\beta\) ist der Nichtablehnungsbereich unter dem konkreten Alternativwert maßgeblich.

1. Fehler 2. Art bedeutet: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl tatsächlich \(p>0{,}6\) gilt. 2. Am Randwert \(p_0=0{,}6\) ist \(\alpha=P(X\ge30)\approx0{,}0352=3{,}52\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}8\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\le29\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\le29)\approx0{,}1608=16{,}08\,\%\).

a) Eine tatsächlich über \(60\,\%\) liegende Heilungsrate wird nicht statistisch erkannt. b) \(3{,}52\,\%\) c) \(16{,}08\,\%\)

- Welche höhere Keimrate soll statistisch gestützt werden? - Welche Wahrscheinlichkeit gehört am Randwert \(p_0\) zum Ablehnungsbereich? - Welche Werte gehören für den konkreten Alternativwert zum Nichtablehnungsbereich?

1. \(X\) zählt die keimenden Samen. Es gilt \(H_0:p\le0{,}7\) gegen \(H_1:p>0{,}7\) und \(K=\{63;64;\dots;80\}\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}7\) ist \(\alpha=P(X\ge63)\approx0{,}0531\). 3. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl die Keimrate tatsächlich höher ist. Für \(p_1=0{,}85\) ist \(\beta=P(X\le62)\approx0{,}0480\).

a) \(X\) zählt die keimenden Samen; \(H_0:p\le0{,}7\); \(H_1:p>0{,}7\); \(K=\{63;64;\dots;80\}\). b) \(\alpha\approx5{,}31\,\%\) c) Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl die Keimrate tatsächlich über \(70\,\%\) liegt. Für \(p_1=0{,}85\) gilt \(\beta\approx4{,}80\,\%\).

- Welche Testentscheidung wäre ein Fehler 1. Art? - An welchem Randwert der Nullhypothese ist dieses Risiko am größten? - Für Fehler 2. Art gilt der konkrete Alternativwert \(p_1=0{,}25\). Welcher Zählwertbereich führt dann zur Nichtablehnung von \(H_0\)?

1. Sei \(X\) die Zahl der Patienten mit Nebenwirkungen. Am Randwert \(p_0=0{,}4\) gilt \(\alpha_{\mathrm{tats}}=P_{0{,}4}(X\leq32)\approx0{,}0615=6{,}15\,\%\). 2. Beim Fehler 1. Art wird auf eine Nebenwirkungsrate unter \(40\,\%\) geschlossen, obwohl die wahre Rate mindestens \(40\,\%\) beträgt. Die Nebenwirkungsrate würde dadurch zu günstig eingeschätzt. 3. Für \(p_1=0{,}25\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt, wenn \(X>32\). Daher gilt \(\beta=P_{0{,}25}(X>32)\approx0{,}0446=4{,}46\,\%\).

a) Maximal etwa \(6{,}15\,\%\). b) Man schließt fälschlich auf eine Nebenwirkungsrate unter \(40\,\%\), obwohl sie tatsächlich mindestens \(40\,\%\) beträgt; dadurch wird die Nebenwirkungsrate zu günstig eingeschätzt. c) \(\beta\approx4{,}46\,\%\).

- Welche Ergebnisse gehören zum Ablehnungsbereich? - Für Fehler 1. Art wird dieser Bereich am Randwert der Nullhypothese betrachtet. - Für Fehler 2. Art wird beim konkreten Alternativwert der Nichtablehnungsbereich betrachtet.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{40;41;\dots;150\}\). Am Randwert \(p_0=0{,}2\) ist \(\alpha=P(X\ge40)\approx0{,}0293=2{,}93\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl die Hautrötungsrate tatsächlich über \(20\,\%\) liegt. Für \(p_1=0{,}30\) entspricht das \(X\le39\). 3. Daher ist \(\beta=P_{0{,}30}(X\le39)\approx0{,}1636=16{,}36\,\%\).

a) \(2{,}93\,\%\) b) Eine tatsächlich erhöhte Hautrötungsrate wird nicht erkannt; für \(p_1=0{,}30\) gilt \(\beta\approx16{,}36\,\%\).

- Welche Entscheidung wird getroffen, wenn jedes mögliche Ergebnis in \(K\) liegt? - Was muss für Fehler 1. Art beziehungsweise Fehler 2. Art jeweils wahr sein? - Prüfe als Gegenextrem auch \(K=\emptyset\).

1. Wenn \(K\) die gesamte Ergebnismenge umfasst, wird \(H_0\) bei jedem möglichen Ergebnis abgelehnt. Daher kann \(H_0\) bei wahrer Gegenhypothese nicht fälschlich nicht abgelehnt werden; \(\beta=0\). 2. Ist \(H_0\) wahr, wird sie dennoch bei jedem Ergebnis abgelehnt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art \(\alpha=1\). 3. Der extreme Ablehnungsbereich beseitigt Fehler 2. Art nur um den Preis eines sicheren Fehlers 1. Art. Umgekehrt hätte \(K=\emptyset\) zwar \(\alpha=0\), aber \(\beta=1\). Ein brauchbarer Test benötigt daher einen nichttrivialen Kompromiss.

1. Die Aussage zu Fehler 2. Art ist richtig: \(\beta=0\). 2. \(\alpha=1\). 3. Ein Extremwert von \(K\) setzt einen Fehlertyp auf \(0\), macht den anderen aber maximal; deshalb ist ein Kompromiss nötig.

- Überlege dir zuerst, welche Entscheidung getroffen wird und welcher reale Zustand dazu im Widerspruch steht. - Welche Werte der Zufallsgröße führen zur Ablehnung der Nullhypothese? - Verwende für die Berechnung die kumulierte Binomialverteilung. - Beachte beim Fehler 2. Art, dass die Gegenhypothese mit einem konkreten Wert für \(p\) betrachtet werden muss.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Sendung fälschlicherweise reklamiert wird, obwohl die Keimrate tatsächlich mindestens \(90\,\%\) beträgt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Sendung angenommen wird, obwohl die tatsächliche Keimrate unter \(90\,\%\) liegt. 2. Die Zufallsgröße \(X\) (Anzahl keimender Körner) ist unter der Annahme \(p = 0{,}9\) binomialverteilt mit \(n = 50\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 41\}\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist \(P_{0{,}9}(X \le 41) = \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}9^k \cdot 0{,}1^{50-k} \approx 0{,}0579\). 3. Ein Fehler 2. Art tritt ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl \(p = 0{,}8\) gilt. Dies geschieht, wenn \(X \in \{42, 43, \dots, 50\}\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P_{0{,}8}(X \ge 42) = 1 - P_{0{,}8}(X \le 41) = 1 - \sum_{k=0}^{41} \binom{50}{k} \cdot 0{,}8^k \cdot 0{,}2^{50-k} \approx 0{,}3073\).

a) Fehler 1. Art: Irrtümliche Reklamation bei guter Qualität; Fehler 2. Art: Irrtümliche Annahme bei schlechter Qualität. b) \(\alpha \approx 5{,}79\,\%\) c) \(\beta \approx 30{,}73\,\%\)

- Erinnere dich an die Definition des Signifikanzniveaus: Welche Bedingung wird vorausgesetzt? - Stell dir die Verteilungen unter der Null- und Gegenhypothese vor. Was passiert mit den Flächeninhalten unter den Kurven, wenn man die Grenze verschiebt? - Welchen Einfluss hat die Stichprobengröße auf die Genauigkeit einer Schätzung? - Unterscheide klar zwischen der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis und der „Wahrscheinlichkeit“, dass eine feste Behauptung stimmt.

1. Die Aussage ist falsch. Das Signifikanzniveau \(\alpha\) beschreibt eine bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit des Testverfahrens und keine Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Hypothese wahr ist. 2. Die Aussage ist wahr. Ein kleinerer Ablehnungsbereich bedeutet, dass \(H_0\) seltener abgelehnt wird. Dadurch sinkt das Risiko, eine wahre Nullhypothese fälschlich abzulehnen. Für einen festen konkreten Alternativwert steigt gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, im Nichtablehnungsbereich zu landen, obwohl \(H_0\) falsch ist; damit steigt \(\beta\). 3. Die Aussage ist wahr. Ein größerer Stichprobenumfang führt zu stärker konzentrierten Verteilungen der relativen Häufigkeit. Dadurch können die Verteilungen am Randwert \(p_0\) und bei einem festen konkreten Alternativwert besser getrennt werden, sodass geeignete Testregeln beide Fehlerwahrscheinlichkeiten gegenüber einem kleineren Stichprobenumfang verringern können.

1. Falsch; \(\alpha\) ist die Wahrscheinlichkeit für die Ablehnung unter der Bedingung, dass \(H_0\) wahr ist. 2. Wahr; es besteht ein direkter Zielkonflikt zwischen beiden Fehlern bei konstantem \(n\). 3. Wahr; mehr Information (größeres \(n\)) erlaubt eine präzisere Trennung der Hypothesen.

- Welcher Randwert aus \(H_0\) ist für Fehler 1. Art maßgeblich? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art? - Welche gemeinsame Einflussgröße könnten Samen aus nur einer Tüte teilen?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) gilt \(\alpha=P(X\ge83)\approx0{,}0376\). 2. Für \(p_1=0{,}85\) tritt Fehler 2. Art bei \(X\le82\) ein. Daher ist \(\beta\approx0{,}2367\). 3. Eine einzige Tüte kann besondere Lagerungs- oder Produktionsbedingungen teilen; dadurch können Unabhängigkeit oder Repräsentativität des Modells beeinträchtigt sein.

a) \(\alpha\approx3{,}76\,\%\) b) \(\beta\approx23{,}67\,\%\) c) Die Stichprobe kann wegen gemeinsamer Bedingungen der einen Tüte untypisch bzw. nicht hinreichend unabhängig sein.

- Welche Ergebnisse sprechen für einen gesunkenen Defektanteil? - Welche Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs darf am Randwert höchstens \(5\,\%\) betragen? - Welcher Bereich bleibt beim konkreten Alternativwert für Fehler 2. Art übrig?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}04\) gilt \(X\sim B(400;0{,}04)\). Es ist \(P(X\le9)\approx0{,}0403\) und \(P(X\le10)\approx0{,}0733\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;9\}\). 2. Für \(p_1=0{,}02\) liegt Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich \(X\ge10\). Damit ist \(\beta=P(X\ge10)\approx0{,}2821\).

a) \(K=\{0;1;\dots;9\}\) b) \(\beta\approx28{,}21\,\%\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Nullhypothese „irrtümlich“ abgelehnt wird? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der defekten Teile in einer Stichprobe? - Stelle dir vor, die Ware ist schlechter als behauptet, aber der Test bemerkt es nicht – welcher Fehler ist das? - Überlege dir, wie sich die Größe des Ablehnungsbereichs auf die Trefferwahrscheinlichkeit in diesem Bereich auswirkt.

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) wahr ist, aber verworfen wird. Für die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0:p\leq0{,}05\) wird am Randwert \(p=0{,}05\) gerechnet. Die Zufallsgröße \(X\) ist binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p=0{,}05\). Die Ablehnung erfolgt für \(X \geq 6\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(X \geq 6) = 1 - P(X \leq 5)\). Unter Verwendung der kumulierten Binomialverteilung ergibt sich \(P(X \leq 5) \approx 0{,}9622\). Damit ist \(\alpha = 1 - 0{,}9622 = 0{,}0378\), also ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese nicht verworfen wird, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. Im Sachzusammenhang bedeutet dies: Der Test erkennt einen tatsächlichen Defektanteil über \(5\,\%\) nicht als statistisch auffällig. 3. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art verkleinert sich. Da der Ablehnungsbereich \(K = \{k+1, \dots, n\}\) durch die Erhöhung des kritischen Wertes verkleinert wird, sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis in diesen Bereich fällt, wenn \(H_0\) wahr ist.

1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt ca. \(3{,}78\,\%\). 2. Der Fehler 2. Art bedeutet hier, dass \(H_0\) nicht verworfen wird, obwohl der tatsächliche Defektanteil über \(5\,\%\) liegt. 3. Die Wahrscheinlichkeit sinkt, da der Ablehnungsbereich kleiner wird.

- Welche Werte für \(X\) führen dazu, dass wir dem Sommelier glauben? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer festen Grundwahrscheinlichkeit? - Bedenke, dass der Fehler 2. Art immer eine spezifische Wahrscheinlichkeit aus der Gegenhypothese benötigt. - Was sagt eine hohe Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art über die Zuverlässigkeit aus, einen Experten auch wirklich zu erkennen?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(p=0{,}5\). Ablehnungsbereich \(X \in \{12, 13, 14, 15\}\). Berechnung über die Binomialverteilung \(B_{15; 0{,}5}\): \(P(X \geq 12) = \binom{15}{12} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{13} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{14} \cdot 0{,}5^{15} + \binom{15}{15} \cdot 0{,}5^{15} = (455 + 105 + 15 + 1) \cdot 0{,}5^{15} = 576 \cdot \frac{1}{32768} \approx 0{,}0176\). Das Signifikanzniveau beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht verworfen, obwohl \(p=0{,}8\). Nichtablehnungsbereich \(X \in \{0, \dots, 11\}\). Berechnung über \(B_{15; 0{,}8}\): \(\beta = P(X \leq 11) = 1 - P(X \geq 12)\). \(P(X=12) \approx 0{,}2501\), \(P(X=13) \approx 0{,}2309\), \(P(X=14) \approx 0{,}1319\), \(P(X=15) \approx 0{,}0352\). Summe \(P(X \geq 12) \approx 0{,}6482\). Somit \(\beta = 1 - 0{,}6482 = 0{,}3518\), also ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test hat ein strenges Signifikanzniveau (wenig „falsches Lob“), aber ein Fehler 2. Art von ca. \(35\,\%\) ist relativ hoch. Das bedeutet, dass mehr als jeder dritte echte Experte durch den Test fallen würde. Für eine sichere Bestätigung ist die Stichprobe eher zu klein oder die Hürde zu hoch.

1. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(1{,}76\,\%\). 2. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt ca. \(35{,}2\,\%\). 3. Der Test ist nur bedingt geeignet, da die Gefahr groß ist (\(35{,}2\,\%\)), einen tatsächlichen Experten nicht als solchen zu erkennen.

- Welche Größe wird hier gezählt und wie ist sie verteilt? - Was bedeutet es für die Entscheidung, wenn die Grenze des Ablehnungsbereichs verschoben wird? - Achte darauf, ob der Test links- oder rechtsseitig durchgeführt wird. - Wie hängen die Ereignisse für den Fehler 1. Art und den Fehler 2. Art mit dem Ablehnungsbereich zusammen?

1. Testgröße \(X\): Anzahl der defekten Leuchtmittel in der Stichprobe. Für einen festen Wert von \(p\) gilt \(X \sim B(60; p)\); zur Berechnung des maximalen Fehlers 1. Art wird der Randwert \(p = 0{,}05\) verwendet. 2. Hypothesen: \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\). 3. Bereiche: Ablehnungsbereich \(K = \{7, 8, \dots, 60\}\); Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, 1, \dots, 6\}\). 4. Fehler 1. Art (\(\alpha\)): \(P(X \ge 7) = 1 - P(X \le 6; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9703 = 0{,}0297\). 5. Fehler 2. Art (\(\beta\)): \(P(X \le 6; p=0{,}15) \approx 0{,}1848\). 6. Neuer Ablehnungsbereich \(K_{neu} = \{6, 7, \dots, 60\}\). 7. Neuer Fehler 1. Art: \(P(X \ge 6) = 1 - P(X \le 5; p=0{,}05) \approx 1 - 0{,}9213 = 0{,}0787\). 8. Neuer Fehler 2. Art: \(P(X \le 5; p=0{,}15) \approx 0{,}0968\). 9. Allgemeiner Zusammenhang: Durch die Vergrößerung des Ablehnungsbereichs steigt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)), während die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (\(\beta\)) sinkt.

a) \(X\): Anzahl defekter Leuchtmittel; \(H_0: p \le 0{,}05\); \(H_1: p > 0{,}05\); \(K = \{7, \dots, 60\}\); \(\bar{K} = \{0, \dots, 6\}\). b) Fehler 1. Art: \(\alpha \approx 2{,}97\,\%\); Fehler 2. Art: \(\beta \approx 18{,}48\,\%\). c) Neuer Fehler 1. Art: \(\alpha_{neu} \approx 7{,}87\,\%\); Neuer Fehler 2. Art: \(\beta_{neu} \approx 9{,}68\,\%\). Vergrößerung des Ablehnungsbereichs führt zu größerem \(\alpha\) und kleinerem \(\beta\).

- Überlege zuerst, ab welcher Anzahl an Erfolgen die Vermutung des Forscherteams statistisch gestützt wird. - Das Signifikanzniveau begrenzt die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit; wegen der diskreten Verteilung kann der tatsächliche Wert kleiner sein. - Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn die Nullhypothese bei der betrachteten höheren Erfolgswahrscheinlichkeit nicht verworfen wird. - Nutze die kumulierte Binomialverteilung für die Randwahrscheinlichkeiten.

1. Gesucht ist beim rechtsseitigen Test das kleinste \(k\), für das am Randwert \(p_0=0{,}5\) gilt: \(P(X\geq k)\leq0{,}05\). Da \(P(X\leq25)\approx0{,}9597\), ist \(k=26\). Somit ist \(K=\{26,27,\dots,40\}\). 2. Die tatsächliche Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit ist \(\alpha_{\text{tatsächlich}}=P_{0{,}5}(X\geq26)=1-P_{0{,}5}(X\leq25)\approx0{,}0403\). 3. Bei \(p=0{,}75\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also bei \(X\leq25\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\leq25)\approx0{,}0544\).

a) \(K=\{26,27,\dots,40\}\). b) \(\alpha_{\text{tatsächlich}}\approx4{,}03\,\%\). c) \(\beta\approx5{,}44\,\%\).

- Was würde nach einer Ablehnung von \(H_0\) behauptet? - Welcher Fehler entsteht, wenn diese Ablehnung falsch ist? - Warum kann bei einem teureren Medikament eine vorsichtige Entscheidung sinnvoll sein?

1. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn \(H_0\) verworfen wird, obwohl \(p\geq0{,}15\) gilt. Dann wird fälschlich auf eine Nebenwirkungsrate unter \(15\,\%\) geschlossen. 2. Das Signifikanzniveau \(\alpha\) begrenzt die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers. Ein kleines \(\alpha\) verlangt deutlichere Hinweise in den Daten, bevor eine niedrigere Nebenwirkungsrate angenommen wird. 3. Weil das neue Medikament teurer ist, kann diese vorsichtige Regel verhindern, dass wegen einer zufälligen Stichprobenschwankung auf das teurere Medikament umgestellt wird.

Begrenzt wird Fehler 1. Art: der falsche Schluss, dass die Nebenwirkungsrate unter \(15\,\%\) liegt. Ein kleines \(\alpha\) verlangt deutlichere Hinweise in den Daten, bevor wegen einer vermeintlichen Verbesserung auf das teurere Medikament umgestellt wird.

- Welche der beiden Hypothesen enthält die Aussage, die KlarCheck statistisch stützen möchte? - Formuliere bei jeder Fehlerart zuerst, ob \(H_0\) in Wahrheit gilt oder nicht. - Wenn der Ablehnungsbereich kleiner wird: Was geschieht gleichzeitig mit dem Nichtablehnungsbereich?

1. KlarCheck möchte statistisch stützen, dass \(p<0{,}98\) gilt. Daher ist \(H_0:p\geq0{,}98\) und \(H_1:p<0{,}98\); der Test ist linksseitig. 2. Fehler 1. Art: KlarCheck schließt auf eine Quote unter \(98\,\%\), obwohl tatsächlich mindestens \(98\,\%\) der Flaschen korrekt befüllt sind. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl tatsächlich weniger als \(98\,\%\) korrekt befüllt sind. 3. Ein kleines \(\alpha\) senkt das Risiko, Quellklar aufgrund einer Zufallsschwankung zu Unrecht zu beanstanden. Wird der Ablehnungsbereich bei gleichem Stichprobenumfang kleiner, wird der Nichtablehnungsbereich größer. Für einen festen Alternativwert steigt dadurch die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für Fehler 2. Art.

1. \(H_0:p\geq0{,}98\); \(H_1:p<0{,}98\); linksseitiger Test. 2. Fehler 1. Art: Eine tatsächlich eingehaltene Mindestquote wird fälschlich beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu niedrige Quote wird nicht erkannt. 3. Ein kleines \(\alpha\) senkt das Risiko einer falschen Beanstandung. Wird bei gleichem \(n\) der Ablehnungsbereich kleiner, steigt für einen festen Alternativwert \(\beta\).

- Überlege dir zuerst, ob es sich um einen linksseitigen, rechtsseitigen oder beidseitigen Test handelt. - Welche Werte für die Anzahl der Treffer sprechen gegen die Nullhypothese? - Bei der Entscheidung über die Ablehnung zählt nicht das Eintreffen eines exakten Wertes, sondern wie extrem das Gesamtergebnis im Vergleich zur Erwartung ist. - Was bedeutet es für die Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn man die Grenze des Ablehnungsbereichs verschiebt? - Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn man die Nullhypothese nicht verwirft, obwohl sie eigentlich falsch ist.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \leq 0{,}1\), rechtsseitiger Test): Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq k) \leq 0{,}05\) gilt. Dies ist gleichbedeutend mit \(P_{0{,}1}^{80}(X \leq k-1) \geq 0{,}95\). Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung folgt für \(n=80, p=0{,}1\): \(P(X \leq 12) \approx 0{,}9462\) und \(P(X \leq 13) \approx 0{,}9733\). Somit ist \(k-1 = 13\), also \(k = 14\). Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). 2. Beurteilung des Vorschlags: Die Argumentation ist falsch, da bei einem Signifikanztest nicht die Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), sondern die Wahrscheinlichkeit des gesamten rechten Randes (die Überschreitungswahrscheinlichkeit \(P(X \geq k)\)) betrachtet werden muss. Würde man bereits bei \(12\) Treffern ablehnen, müsste man konsequenterweise auch bei allen Werten größer als \(12\) ablehnen. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wäre dann \(P(X \geq 12) = P(X \geq 13) + P(X=12) \approx 0{,}0538 + 0{,}0466 = 0{,}1004\), also rund \(10\,\%\), was das Signifikanzniveau von \(5\,\%\) deutlich überschreitet. 3. Fehler 1. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Ablehnungsbereich liegt, obwohl \(p=0{,}1\) gilt: \(P_{0{,}1}^{80}(X \geq 14) = 1 - P_{0{,}1}^{80}(X \leq 13) \approx 1 - 0{,}9733 = 0{,}0267\). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{0, \dots, 13\}\) liegt, obwohl \(p=0{,}2\) gilt: \(P_{0{,}2}^{80}(X \leq 13) \approx 0{,}2470\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{14, 15, \dots, 80\}\). b) Der Vorschlag ist falsch, da für die Testentscheidung die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(P(X \geq 12)\) maßgeblich ist. Diese liegt mit ca. \(10{,}04\,\%\) über dem Signifikanzniveau von \(5\,\%\). c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt ca. \(2{,}67\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}2\) beträgt ca. \(24{,}70\,\%\).

- Welche Stichprobenergebnisse (viele oder wenige zufriedene Nutzer) würden dich dazu bringen, an der Behauptung „mindestens \(80\,\%\)“ zu zweifeln? - Achte darauf, dass bei einem linksseitigen Test der Ablehnungsbereich bei den kleinen Werten liegt. - Formuliere die Fehlerarten immer nach dem Schema: „Die Nullhypothese ist eigentlich wahr/falsch, aber man entscheidet sich für...“ - Für den Fehler 2. Art musst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich landet, obwohl der neue Wert \(p = 0{,}65\) gilt.

1. Bestimmung des Ablehnungsbereichs (\(H_0: p \geq 0{,}8\), linksseitiger Test): Gesucht ist die größte Zahl \(g\), für die \(P_{0{,}8}^{60}(X \leq g) \leq 0{,}10\) gilt. Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für \(n=60, p=0{,}8\) ergibt sich: \(P(X \leq 42) \approx 0{,}0427\), \(P(X \leq 43) \approx 0{,}0772\) sowie \(P(X \leq 44) \approx 0{,}1306\). Die größte Zahl, die die Bedingung erfüllt, ist \(g = 43\). Der Ablehnungsbereich ist somit \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). 2. Fehler 1. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform ab (weniger als \(80\,\%\) zufrieden), obwohl in Wirklichkeit mindestens \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind. 3. Fehler 2. Art: Man lehnt die Behauptung der Plattform nicht ab, obwohl in Wirklichkeit weniger als \(80\,\%\) der Nutzer zufrieden sind (hier konkret am Beispiel \(p=0{,}65\)). 4. Berechnung des Fehlers 2. Art für \(p = 0{,}65\): Der Fehler tritt auf, wenn das Ergebnis im Nichtablehnungsbereich \(\bar{K} = \{44, 45, \dots, 60\}\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist \(P_{0{,}65}^{60}(X \geq 44) = 1 - P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43)\). Mit \(P_{0{,}65}^{60}(X \leq 43) \approx 0{,}8899\) ergibt sich \(1 - 0{,}8899 = 0{,}1101\).

a) Der Ablehnungsbereich ist \(K = \{0, 1, \dots, 43\}\). b) Fehler 1. Art: Die Plattform hat recht (\(p \geq 0{,}8\)), aber man weist ihre Behauptung fälschlicherweise zurück. Fehler 2. Art: Die Plattform hat nicht recht (\(p < 0{,}8\)), aber man erkennt dies nicht und verwirft die Nullhypothese nicht. c) Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei \(p = 0{,}65\) beträgt ca. \(11{,}01\,\%\).

- Welche Seite der Verteilung ist bei einer vermuteten höheren Quote relevant? - Welche Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs wird am Randwert von \(H_0\) betrachtet? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zum Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}2\) gilt \(X\sim B(50;0{,}2)\). Es ist \(P(X\le14)\approx0{,}9393\) und \(P(X\le15)\approx0{,}9692\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;50\}\). 2. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art ist \(\alpha=P_{0{,}2}(X\ge16)\approx0{,}0308\). 3. Für \(p_1=0{,}35\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\le15\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}35}(X\le15)\approx0{,}2801\).

a) \(K=\{16;17;\dots;50\}\); \(\alpha\approx3{,}08\,\%\) b) \(\beta\approx28{,}01\,\%\)

- Welche hohen Trefferzahlen sprechen für eine Blührate über dem Referenzwert? - Für Fehler 2. Art bleibt der Ablehnungsbereich fest, während der konkrete Alternativwert wechselt. - Wie verändert sich \(\beta\), wenn der Alternativwert weiter vom Randwert der Nullhypothese entfernt liegt?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}25\) gegen \(H_1:p>0{,}25\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}25\) ist \(P(X\ge15)\approx0{,}0544\) und \(P(X\ge16)\approx0{,}0262\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;40\}\). 3. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\le15\). Für \(p_1=0{,}40\) gilt \(\beta\approx0{,}4402\); für \(p_1=0{,}50\) gilt \(\beta\approx0{,}0769\).

a) \(K=\{16;17;\dots;40\}\) b) Für \(p_1=0{,}40\): \(\beta\approx44{,}02\,\%\); für \(p_1=0{,}50\): \(\beta\approx7{,}69\,\%\).

- Welche Aussage soll der Abnehmer statistisch stützen? - An welchem Randwert der Nullhypothese wird der Ablehnungsbereich bestimmt? - Für Fehler 2. Art bleibt die Entscheidungsregel gleich, aber mit welchem Parameterwert wird gerechnet? - Was ändert ein kleineres Signifikanzniveau am Risiko einer falschen Ablehnung von \(H_0\)?

1. Es gilt \(H_0:p\leq0{,}05\) gegen \(H_1:p>0{,}05\). 2. Sei \(X\) die Zahl der fehlerhaften Leuchtmittel. Am Randwert \(p_0=0{,}05\) gilt \(X\sim B(200;0{,}05)\). Es ist \(P(X\leq14)\approx0{,}9219\) und \(P(X\leq15)\approx0{,}9556\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;200\}\). 3. Am Randwert beträgt die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art \(P_{0{,}05}(X\geq16)\approx0{,}0444=4{,}44\,\%\). Sie liegt unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau von \(5\,\%\). 4. Bei \(p_1=0{,}10\) tritt Fehler 2. Art für \(X\leq15\) auf. Daher ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\leq15)\approx0{,}1431=14{,}31\,\%\). 5. Ein kleineres Signifikanzniveau senkt das Risiko, eine den Vorgaben entsprechende Produktion aufgrund des Stichprobenzufalls fälschlich zu beanstanden. Bei festem Stichprobenumfang kann dadurch allerdings die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art steigen.

a) \(H_0:p\leq0{,}05\); \(H_1:p>0{,}05\); \(K=\{16;17;\dots;200\}\). b) Am Randwert \(p_0=0{,}05\) gilt \(\alpha_{\mathrm{tats}}\approx4{,}44\,\%<5\,\%\). c) \(\beta\approx14{,}31\,\%\). d) Ein kleineres \(\alpha\) verringert das Risiko einer ungerechtfertigten Beanstandung.

- Welche Abweichung von „mindestens \(95\,\%\)“ würde gegen die Herstellerangabe sprechen? - Formuliere die Herstellerangabe als Nullhypothese und die niedrigere Quote als Gegenhypothese. - Der Ablehnungsbereich wird so gewählt, dass seine Wahrscheinlichkeit am Randwert der Nullhypothese das Signifikanzniveau nicht überschreitet. - Für Fehler 2. Art verwendest du den Nichtablehnungsbereich beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}90\).

1. Aufstellen der Hypothesen: Da die Behauptung „mindestens \( 95\,\% \)“ geprüft werden soll, lautet die Nullhypothese \( H_0: p \ge 0{,}95 \) und die Gegenhypothese \( H_1: p < 0{,}95 \). Da Abweichungen nach unten (kleine Werte von \( X \)) zur Ablehnung von \( H_0 \) führen, handelt es sich um einen linksseitigen Test. 2. Bestimmung des Ablehnungsbereichs: Unter der Annahme der Trefferwahrscheinlichkeit \( p = 0{,}95 \) wird ein \( k \) gesucht, für das \( P(X \le k) \le 0{,}05 \) gilt. Mit \( n = 250 \) ergibt sich \( P(X \le 231) \approx 0{,}0474 \) und \( P(X \le 232) \approx 0{,}0788 \). Der Ablehnungsbereich ist somit \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \). 3. Fehler 1. Art: Die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) abzulehnen, obwohl \( p = 0{,}95 \) gilt, entspricht dem tatsächlichen Signifikanzniveau: \( P(X \le 231) \approx 4{,}74\,\% \). 4. Fehler 2. Art: Dies ist die Wahrscheinlichkeit, \( H_0 \) nicht abzulehnen, obwohl die tatsächliche Wahrscheinlichkeit \( p = 0{,}90 \) beträgt. Gesucht ist \( P(X > 231) \) für \( p = 0{,}90 \). Es gilt \( P(X > 231) = 1 - P(X \le 231) \approx 1 - 0{,}9192 = 0{,}0808 \). Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art beträgt etwa \( 8{,}08\,\% \).

a) \( H_0: p \ge 0{,}95 \); \( H_1: p < 0{,}95 \). Linksseitig, da nur signifikant kleine Werte gegen \( H_0 \) sprechen. b) \( K = \{0, 1, \dots, 231\} \) c) \( P(\text{Fehler 1. Art}) \approx 4{,}74\,\% \) d) \( P(\text{Fehler 2. Art}) \approx 8{,}08\,\% \)

- Welche Bedingungen braucht eine Folge von Ja-Nein-Versuchen für ein Binomialmodell? - Welche Seite der Verteilung ist bei einer vermuteten höheren Nicht-Keimungsrate relevant? - Für Fehler 2. Art wird der Nichtablehnungsbereich beim konkreten Alternativwert betrachtet.

1. Die Keimvorgänge müssen als unabhängig mit konstanter Nicht-Keimungswahrscheinlichkeit modelliert werden können. 2. Es gilt \(H_0:p\le0{,}02\) gegen \(H_1:p>0{,}02\). Am Randwert \(p_0=0{,}02\) ist \(P(X\le11)\approx0{,}8903\) und \(P(X\le12)\approx0{,}9381\). Daher ist \(K=\{13;14;\dots;400\}\). 3. \(\alpha=P_{0{,}02}(X\ge13)\approx0{,}0619=6{,}19\,\%\). 4. Für \(p_1=0{,}05\) gilt \(\beta=P(X\le12)\approx0{,}0355=3{,}55\,\%\).

a) Zum Beispiel: unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit. b) \(H_0:p\le0{,}02\); \(H_1:p>0{,}02\); \(K=\{13;14;\dots;400\}\) c) \(6{,}19\,\%\) d) \(3{,}55\,\%\)

- Welche Ergebnisse sprechen für eine Fehljustierung? - Für Fehler 2. Art wird der Nichtablehnungsbereich beim festen Alternativwert betrachtet. - Wie verändert ein größeres \(n\) die Streuung relativer Häufigkeiten?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}04\) ist \(P(X\le7)\approx0{,}9525\). Daher ist \(K=\{8;9;\dots;100\}\). 2. Für \(p_1=0{,}12\) gilt \(\beta=P(X\le7)\approx0{,}0761\). 3. Bei größerem Stichprobenumfang überlappen sich die Verteilungen der relativen Häufigkeit für \(p_0\) und den festen Alternativwert weniger stark; bei weiterhin begrenztem Fehler 1. Art sinkt \(\beta\) typischerweise.

a) \(K=\{8;9;\dots;100\}\) b) \(\beta\approx7{,}61\,\%\) c) \(\beta\) sinkt typischerweise.

- Welche obere Randwahrscheinlichkeit darf höchstens dem Signifikanzniveau entsprechen? - Warum kann die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit kleiner als die nominale Vorgabe sein? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}1\) ist \(P(X\le8)\approx0{,}9421\) und \(P(X\le9)\approx0{,}9755\). Daher ist \(K=\{10;11;\dots;50\}\). 2. \(\alpha=P_{0{,}1}(X\ge10)\approx0{,}0245=2{,}45\,\%\). Dieser Wert ist wegen der diskreten Grenzwahl kleiner als das nominale Signifikanzniveau \(5\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}2\) ist \(\beta=P(X\le9)\approx0{,}4437\).

a) \(K=\{10;11;\dots;50\}\) b) \(\alpha\approx2{,}45\,\%<5\,\%\) c) \(\beta\approx44{,}37\,\%\)

- Welche Hypothese beschreibt Ausschussquoten ab dem Referenzwert und welche Ausschussquoten darunter? - Überlege dir, bei welchem Ergebnis der Stichprobe welche Hypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. - Erinnere dich an die Formel für die kumulierte Binomialverteilung. - Was passiert, wenn du ein Ergebnis erhältst, das im Ablehnungsbereich von \(H_0\) liegt, obwohl \(H_0\) in Wirklichkeit zutrifft?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl \(H_0\) wahr ist. Für \(n=40\) und den Randwert \(p_0=0{,}10\) gilt \(\alpha=P_{0{,}10}(X\le1)\approx0{,}0805\). Inhaltlich sprechen die Daten dann fälschlich für eine Ausschussquote unter \(10\,\%\). 2. Fehler 2. Art: Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}02\) wird \(H_0\) nicht abgelehnt. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\ge2\). 3. Daher gilt \(\beta=P_{0{,}02}(X\ge2)=1-P_{0{,}02}(X\le1)\). 4. Mit \(P_{0{,}02}(X\le1)\approx0{,}8095\) folgt \(\beta\approx0{,}1905\).

a) \(\alpha \approx 8{,}05\,\%\). Der Fehler 1. Art bedeutet, dass die Daten fälschlicherweise für eine Ausschussquote unter \(10\,\%\) sprechen, obwohl \(H_0\) wahr ist. b) \(\beta \approx 19{,}05\,\%\).

- Welche Ergebnisse führen bei jeder Regel zur Ablehnung von \(H_0\)? - An welchem Randwert der Nullhypothese ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am größten? - Wie verändert sich der Nichtablehnungsbereich, wenn die Grenze von \(65\) auf \(62\) sinkt?

1. Sei \(X\) die Zahl der geheilten Patienten. Für die maximale Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art ist der Randwert \(p_0=0{,}7\) maßgeblich. Dort gilt \(X\sim B(100;0{,}7)\). 2. Regel 1: \(\alpha_1=P_{0{,}7}(X\leq64)\approx0{,}1161\). 3. Regel 2: \(\alpha_2=P_{0{,}7}(X\leq61)\approx0{,}0340\). 4. Für den konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}6\) gilt bei Regel 1 \(\beta_1=P_{0{,}6}(X\geq65)\approx0{,}1794\) und bei Regel 2 \(\beta_2=P_{0{,}6}(X\geq62)\approx0{,}3822\). 5. Durch die Senkung der Grenze von \(65\) auf \(62\) wird der Ablehnungsbereich kleiner. Dadurch sinkt \(\alpha\), während \(\beta\) steigt.

a) Regel 1: \(\alpha_1\approx11{,}61\,\%\); Regel 2: \(\alpha_2\approx3{,}40\,\%\). b) Regel 1: \(\beta_1\approx17{,}94\,\%\); Regel 2: \(\beta_2\approx38{,}22\,\%\). c) Von Regel 1 zu Regel 2 sinkt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art, während die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art steigt.

- Welche Testentscheidung gehört zu \(X\ge10\)? - Welcher wahre Zustand beschreibt Fehler 1. Art? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert Fehler 2. Art?

1. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}05\) gilt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Defektquote wird nicht erkannt. 2. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{10;11;\dots;100\}\). Am Randwert \(p_0=0{,}05\) ist \(\alpha=P(X\ge10)\approx0{,}0282\). 3. Für \(p_1=0{,}12\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\le9\). Daher ist \(\beta\approx0{,}2257\).

a) Fehler 1. Art: falsche Beanstandung trotz höchstens \(5\,\%\) Defektquote. Fehler 2. Art: eine tatsächlich erhöhte Quote wird nicht erkannt. b) \(\alpha\approx2{,}82\,\%\) c) \(\beta\approx22{,}57\,\%\)

- Sprechen wenige oder viele erfolgreiche Behandlungen für \(H_1:p>0{,}6\)? - Welcher Randwert der Nullhypothese ist für die Festlegung des Ablehnungsbereichs maßgeblich? - Welche Anzahlen erfolgreicher Behandlungen führen bei \(p_1=0{,}75\) dazu, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird?

1. Sei \(X\) die Zahl der erfolgreichen Behandlungen. Für die Kalibrierung des rechtsseitigen Tests ist der Randwert \(p_0=0{,}6\) der Nullhypothese maßgeblich. Dort gilt \(X\sim B(80;0{,}6)\). 2. Gesucht ist das kleinste \(k\) mit \(P_{0{,}6}(X\geq k)\leq0{,}05\), also \(P_{0{,}6}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 3. Es gilt \(P(X\leq54)\approx0{,}9325\) und \(P(X\leq55)\approx0{,}9583\). Daher ist \(k=56\) und \(K=\{56;57;\dots;80\}\). 4. Für den konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}75\) ist ein Fehler 2. Art das Ergebnis \(X\leq55\). Somit gilt \(\beta=P_{0{,}75}(X\leq55)\approx0{,}1239\).

a) Kritischer Wert: \(k=56\); Ablehnungsbereich: \(K=\{56;57;\dots;80\}\). b) \(\beta\approx12{,}39\,\%\).

- Übersetze „mehr als \(45\)“ in einen Ablehnungsbereich. - Welcher Randwert von \(H_0\) ist für \(\alpha\) maßgeblich? - Welcher Bereich wird beim konkreten Alternativwert für \(\beta\) benötigt?

1. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{46;47;\dots;100\}\), der Nichtablehnungsbereich \(X\le45\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}40\) ist \(\alpha=P(X\ge46)\approx0{,}1311=13{,}11\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}50\) ist \(\beta=P(X\le45)\approx0{,}1841=18{,}41\,\%\).

\(\alpha\approx13{,}11\,\%\) \(\beta\approx18{,}41\,\%\)

- Welche Testentscheidung tritt bei jedem Fehlertyp auf? - Welcher Bereich wird für \(\alpha\) am Randwert der Nullhypothese betrachtet? - Was verändert sich am Nichtablehnungsbereich, wenn \(K\) kleiner wird?

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird abgelehnt, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}75\) nicht abgelehnt. 2. Für \(K_1\) gilt \(\alpha=P_{0{,}9}(X\le32)\approx0{,}0419\) und \(\beta=P_{0{,}75}(X\ge33)\approx0{,}1820\). 3. Für \(K_2\) gilt \(\alpha\approx0{,}0051\) und \(\beta=P_{0{,}75}(X\ge31)\approx0{,}4395\). Der kleinere Ablehnungsbereich senkt \(\alpha\) und erhöht \(\beta\).

a) Fehler 1. Art: falsche Ablehnung einer wahren Nullhypothese. Fehler 2. Art: Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert. b) \(\alpha\approx4{,}19\,\%\); \(\beta\approx18{,}20\,\%\) c) \(\alpha\approx0{,}51\,\%\); \(\beta\approx43{,}95\,\%\)

- Übersetze beide Entscheidungsregeln jeweils in einen Ablehnungsbereich. - Welche Bereiche brauchst du für Fehler 1. Art und Fehler 2. Art? - Vergleiche anschließend, wie das Verschieben der Grenze beide Fehlerwahrscheinlichkeiten verändert.

1. Fehler 1. Art: Eine zulässige Quote wird fälschlich beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Quote wird beim konkreten Alternativwert nicht erkannt. 2. Für \(K=\{6;7;\dots;50\}\) gilt \(\alpha=P_{0{,}05}(X\ge6)\approx0{,}0378\) und \(\beta=P_{0{,}15}(X\le5)\approx0{,}2194\). 3. Für \(K=\{8;9;\dots;50\}\) gilt \(\alpha\approx0{,}0032\) und \(\beta\approx0{,}5188\).

a) Fehler 1. Art: falsche Ablehnung einer wahren Nullhypothese. Fehler 2. Art: Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert. b) \(\alpha\approx3{,}78\,\%\); \(\beta\approx21{,}94\,\%\) c) \(\alpha\approx0{,}32\,\%\); \(\beta\approx51{,}88\,\%\)

- Überlege, welche Richtung der vermuteten Abweichung die kritischen Stichprobenergebnisse vorgibt. - Vergleiche die Wahrscheinlichkeit des kritischen Bereichs am Rand von \(H_0\) mit dem vorgegebenen Signifikanzniveau. - Welche Ergebnisse führen bei der angegebenen tatsächlichen Keimrate dazu, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird?

1. Für den linksseitigen Test ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}85\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}85}(X\leq k)\leq0{,}05\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}85)\) gilt \(P(X\leq78)\approx0{,}0393\) und \(P(X\leq79)\approx0{,}0663\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,78\}\). 3. Bei \(p=0{,}75\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht verworfen wird, also wenn \(X\geq79\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\geq79)=1-P_{0{,}75}(X\leq78)\approx0{,}2114\).

a) \(K=\{0,1,\dots,78\}\). b) \(\beta\approx21{,}14\,\%\).

- Welche hohen Defektzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Welche obere Randwahrscheinlichkeit darf am Randwert höchstens \(10\,\%\) betragen? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}06\) gilt \(X\sim B(200;0{,}06)\). Es ist \(P(X\le15)\approx0{,}8512\) und \(P(X\le16)\approx0{,}9054\). Daher ist \(K=\{17;18;\dots;200\}\). 2. Für \(p_1=0{,}10\) tritt Fehler 2. Art bei \(X\le16\) ein. Daher ist \(\beta=P_{0{,}10}(X\le16)\approx0{,}2075\).

a) \(K=\{17;18;\dots;200\}\) b) \(\beta\approx20{,}75\,\%\)

- Schreibe für jeden kritischen Wert zuerst den Ablehnungs- und den Nichtablehnungsbereich auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}6\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}8\). - Überlege, wie ein höherer kritischer Wert die Größe des Ablehnungsbereichs verändert. - Unterscheide einen Vergleich mit einem historischen Referenzwert von einem randomisierten Kontrollgruppenvergleich.

1. Für \(k=35\) ist der Ablehnungsbereich \(X\ge35\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}6}(X\ge35)\approx0{,}0955\). Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}8\) ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\le34)\approx0{,}0308\). 2. Für \(k=37\) ist der Ablehnungsbereich \(X\ge37\). Daher ist \(\alpha=P_{0{,}6}(X\ge37)\approx0{,}0280\). Beim selben Alternativwert gilt \(\beta=P_{0{,}8}(X\le36)\approx0{,}1106\). 3. Durch die Erhöhung von \(k\) wird der Ablehnungsbereich kleiner. Dadurch sinkt \(\alpha\), während \(\beta\) beim betrachteten Alternativwert steigt. 4. Der Test vergleicht die behandelten Samen nur mit dem festen bisherigen Referenzwert. Ohne gleichzeitig untersuchte, zufällig zugewiesene Kontrollgruppe weist er keine kausale Steigerung durch das neue Verfahren nach.

a) \(\alpha\approx9{,}55\,\%\); \(\beta\approx3{,}08\,\%\). b) \(\alpha\approx2{,}80\,\%\); \(\beta\approx11{,}06\,\%\). Der höhere kritische Wert senkt \(\alpha\) und erhöht hier \(\beta\). Der Ein-Stichproben-Vergleich belegt keine kausale Wirkung des Verfahrens.

- Entscheide zuerst, ob der jeweilige Test links- oder rechtsseitig ist. - Verwende für Teil a) die kumulierte Wahrscheinlichkeit unter \(p=0{,}92\). - Fehler 2. Art in Teil b) liegt im Nichtablehnungsbereich aus Teil a), wird aber unter \(p=0{,}80\) berechnet. - Die Nichtablehnung einer Hypothese ist nicht dasselbe wie der sichere Nachweis einer Qualitätsstufe.

1. In Teil a) wird linksseitig getestet. Für \(X\sim B(100;0{,}92)\) gilt \(P(X\leq86)\approx0{,}0282\) und \(P(X\leq87)\approx0{,}0559\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0,1,\dots,86\}\). Bei höchstens \(86\) fehlerfrei arbeitenden Chips wird \(H_0\) verworfen; ab \(87\) wird \(H_0\) nicht verworfen. 2. Bei \(p=0{,}80\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq87\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}80}(X\geq87)=1-P_{0{,}80}(X\leq86)\approx0{,}0469\). 3. In Teil c) wird rechtsseitig getestet. Für \(X\sim B(100;0{,}80)\) gilt \(P(X\geq87)\approx0{,}0469\), während \(P(X\geq86)\approx0{,}0804\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{87,88,\dots,100\}\). Ab \(87\) fehlerfrei arbeitenden Chips wird \(H_0\) verworfen; bei höchstens \(86\) wird \(H_0\) nicht verworfen.

a) \(K=\{0,1,\dots,86\}\). b) \(\beta\approx4{,}69\,\%\). c) \(K=\{87,88,\dots,100\}\).

- Welche hohen Defektzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Prüfe zwei benachbarte Grenzwerte am Randwert \(p_0\). - Welcher Bereich gehört beim konkreten Alternativwert zum Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}10\) ist \(P(X\le8)\approx0{,}9421\) und \(P(X\le9)\approx0{,}9755\). Daher ist \(K=\{10;11;\dots;50\}\). 2. Für \(p_1=0{,}30\) tritt Fehler 2. Art bei \(X\le9\) ein. Somit ist \(\beta\approx0{,}0402\).

a) \(k=10\); \(K=\{10;11;\dots;50\}\) b) \(\beta\approx4{,}02\,\%\)

- Formuliere Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus der Grenze \(66\). - Verwende für den Fehler 1. Art \(p=0{,}9\). - Verwende für den Fehler 2. Art \(p=0{,}75\) und den Nichtablehnungsbereich. - „Nicht verworfen“ bedeutet nicht, dass eine Behauptung sicher bewiesen ist.

1. Fehler 1. Art tritt ein, wenn \(H_0\) abgelehnt wird, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art liegt beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}75\) vor, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird. 2. Die maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art innerhalb von \(H_0\) liegt am Randwert \(p_0=0{,}9\): \(\alpha=P_{0{,}9}(X\le66)\approx0{,}0267\). 3. Der Nichtablehnungsbereich ist \(X\ge67\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}75}(X\ge67)\approx0{,}0421\).

1. Fehler 1. Art: \(H_0\) wird verworfen, obwohl \(p\geq0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art bei \(p_1=0{,}75\): \(H_0\) wird nicht verworfen. 2. \(\alpha\approx2{,}67\,\%\); \(\beta\approx4{,}21\,\%\).

- Eine vermutete höhere Unzufriedenheitsquote führt zu einem rechtsseitigen Test. - Bestimme den kleinsten kritischen Wert, dessen obere Randwahrscheinlichkeit unter \(p=0{,}05\) höchstens \(5\,\%\) beträgt. - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}12\).

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}05}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}05}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 2. Für \(X\sim B(120;0{,}05)\) gilt \(P(X\leq9)\approx0{,}9214\) und \(P(X\leq10)\approx0{,}9616\). Daher ist \(k=11\). Bei mindestens \(11\) unzufriedenen Befragten wird \(H_0\) verworfen. 3. Bei \(p=0{,}12\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq10\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\leq10)\approx0{,}1344\).

1. \(H_0\) wird bei mindestens \(11\) unzufriedenen Befragten verworfen. 2. \(\beta\approx13{,}44\,\%\).

- Welche Abweichung von „mindestens \(90\,\%\)“ soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist relevant? - Vergleiche bei den Fehlerarten jeweils Wahrheit und Testentscheidung.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}9\) gegen \(H_1:p<0{,}9\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}9\) ist \(P(X\le84)\approx0{,}0399\) und \(P(X\le85)\approx0{,}0726\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;84\}\). 3. Fehler 1. Art: Die Produktionsqualität wird beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\ge0{,}9\) gilt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich niedrigere Erfolgsquote wird nicht erkannt.

a) \(H_0:p\ge0{,}9\); \(H_1:p<0{,}9\) b) \(K=\{0;1;\dots;84\}\) c) Fehler 1. Art: falsche Beanstandung einer ausreichenden Erfolgsquote. Fehler 2. Art: eine tatsächlich zu niedrige Erfolgsquote wird nicht erkannt.

- Definiere zuerst genau, was als erfolgreiche Behandlung zählt. - Eine vermutete Erfolgsquote über dem Referenzwert führt zu einem rechtsseitigen Test. - Verwende für den kritischen Wert den Randwert \(p=0{,}6\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}8\).

1. Um eine Erfolgsquote über \(60\,\%\) nachzuweisen, wird \(H_0:p\leq0{,}6\) gegen \(H_1:p>0{,}6\) getestet. 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Wahrscheinlichkeit großer Werte von \(X\) am Randwert \(p=0{,}6\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}6}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}6}(X\leq k-1)\geq0{,}95\). 3. Für \(X\sim B(50;0{,}6)\) gilt \(P(X\leq35)\approx0{,}9460\) und \(P(X\leq36)\approx0{,}9720\). Daher ist \(k=37\), und \(H_0\) wird bei \(X\geq37\) verworfen. 4. Bei \(p=0{,}8\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq36\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}8}(X\leq36)\approx0{,}1106\).

a) \(H_0:p\leq0{,}6\); \(H_1:p>0{,}6\). b) \(H_0\) wird bei mindestens \(37\) erfolgreichen Behandlungen verworfen; \(K=\{37,38,\dots,50\}\). c) \(\beta\approx11{,}06\,\%\).

- Welche Ergebnisse würden die Herstellerangabe besonders infrage stellen? - Wie musst du den Rand von \(H_0\) berücksichtigen, damit die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit nicht überschritten wird? - Welche Testausgänge führen bei der angegebenen tatsächlichen Quote dazu, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird?

1. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}08\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}08}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Gleichwertig ist \(P_{0{,}08}(X\leq k-1)\geq0{,}90\). 3. Für \(X\sim B(150;0{,}08)\) gilt \(P(X\leq15)\approx0{,}8536\) und \(P(X\leq16)\approx0{,}9078\). Daher ist \(k=17\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{17,18,\dots,150\}\). 4. Bei \(p=0{,}15\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq16\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\leq16)\approx0{,}0807\).

a) \(H_0\) wird bei mindestens \(17\) unterfüllten Flaschen verworfen. b) \(\beta\approx8{,}07\,\%\).

- Welche Seite des Tests passt zur vermuteten Unterschreitung? - Warum ist die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit nicht zwingend genau \(5\,\%\)? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}80\) ist \(P(X\le72)\approx0{,}0342\) und \(P(X\le73)\approx0{,}0558\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;72\}\). 2. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt \(\alpha\approx0{,}0342=3{,}42\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}70\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\ge73\). Daher ist \(\beta\approx0{,}2964\).

a) \(K=\{0;1;\dots;72\}\) b) \(\alpha\approx3{,}42\,\%\) c) \(\beta\approx29{,}64\,\%\)

- Welche Ergebnisse sprechen gegen die Behauptung „höchstens \(10\,\%\)“? - Wie hängt der zulässige Ablehnungsbereich mit dem Signifikanzniveau und dem Rand von \(H_0\) zusammen? - Welche Ergebnisse lassen die Herstellerangabe bestehen, obwohl die angegebene alternative Quote gilt? - Formuliere beide Fehlerarten jeweils als falsche Testentscheidung im Sachzusammenhang.

1. Die Zufallsgröße \(X\) zählt die untergewichtigen Riegel. Für den rechtsseitigen Test ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit innerhalb von \(H_0\) am Randwert \(p=0{,}10\) am größten. 2. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}10}(X\geq k)\leq0{,}10\) gilt. Für \(X\sim B(80;0{,}10)\) gilt \(P(X\leq11)\approx0{,}8996\) und \(P(X\leq12)\approx0{,}9462\). Daher ist \(k=13\), und \(K=\{13,14,\dots,80\}\). 3. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn die Herstellerangabe verworfen wird, obwohl höchstens \(10\,\%\) der Riegel untergewichtig sind. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn sie nicht verworfen wird, obwohl die tatsächliche Quote über \(10\,\%\) liegt. 4. Bei \(p=0{,}15\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq12\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}15}(X\leq12)\approx0{,}5762\).

a) \(K=\{13,14,\dots,80\}\). b) Fehler 1. Art: Eine zulässige Quote wird fälschlicherweise beanstandet. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Quote wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx57{,}62\,\%\).

- Welche Werte sprechen gegen „mindestens \(80\,\%\)“? - Warum kann die tatsächlich erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau sein? - Was bedeutet ein kleineres Signifikanzniveau für die Menge der ablehnenden Ergebnisse?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}8\) gegen \(H_1:p<0{,}8\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}8\) gilt \(X\sim B(80;0{,}8)\). Es ist \(P(X\le57)\approx0{,}0388\) und \(P(X\le58)\approx0{,}0660\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;57\}\). 3. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt etwa \(3{,}88\,\%\). 4. Bei kleinerem Signifikanzniveau muss der linksseitige Ablehnungsbereich kleiner werden; seine obere Grenze sinkt.

a) \(K=\{0;1;\dots;57\}\) b) Etwa \(3{,}88\,\%\) c) Der Ablehnungsbereich wird kleiner; die obere Grenze sinkt.

- Welche höhere Defektquote soll statistisch gestützt werden? - Welche Grenzwahrscheinlichkeiten bestimmen den ersten Wert in \(K\)? - Was bedeutet Fehler 1. Art für eine tatsächlich zulässige Lieferung?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}02\) gegen \(H_1:p>0{,}02\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}02\) ist \(P(X\le14)\approx0{,}9186\) und \(P(X\le15)\approx0{,}9530\). Daher ist \(K=\{16;17;\dots;500\}\). 3. Für \(p_1=0{,}05\) ist \(\beta=P(X\le15)\approx0{,}0199\). 4. Bei Fehler 1. Art wird eine Lieferung beanstandet, obwohl tatsächlich \(p\le0{,}02\) gilt; unnötige Reklamations-, Rücksende- oder Prüfkosten können folgen.

1. \(H_0:p\le0{,}02\); \(H_1:p>0{,}02\) 2. \(K=\{16;17;\dots;500\}\) 3. \(\beta\approx1{,}99\,\%\) 4. Eine zulässige Lieferung wird fälschlich beanstandet; unnötige Kosten können entstehen.

- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus dem kritischen Wert \(28\) auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}10\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}18\). - Überlege, wie sich beide Bereiche verändern, wenn der kritische Wert kleiner wird.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(X\geq28\). Unter \(p=0{,}10\) ist die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit \(\alpha=P_{0{,}10}(X\geq28)=1-P_{0{,}10}(X\leq27)\approx0{,}0434\). 2. Bei \(p=0{,}18\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\leq27\) gilt. Daher ist \(\beta=P_{0{,}18}(X\leq27)\approx0{,}0551\). 3. Um \(\beta\) zu verringern, muss der kritische Wert gesenkt werden. Dann wird der Ablehnungsbereich größer und der Nichtablehnungsbereich kleiner. Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.

1. \(\alpha\approx4{,}34\,\%\). 2. \(\beta\approx5{,}51\,\%\). 3. Der kritische Wert muss gesenkt werden; dadurch steigt \(\alpha\).

- Welche Ergebnisse sprechen gegen die Behauptung „mindestens \(90\,\%\)“? - Wie muss der kritische Bereich gewählt werden, damit die Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit im Bereich von \(H_0\) die Vorgabe nicht überschreitet? - Welche Ergebnisse führen bei der angegebenen tatsächlichen Keimrate dazu, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird? - Überlege, was mit dem Nichtablehnungsbereich geschieht, wenn man seltener ablehnen möchte.

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p_0=0{,}90\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}90}(X\le k)\le0{,}10\) gilt. 2. Für \(X\sim B(200;0{,}90)\) gilt \(P(X\le173)\approx0{,}0672\) und \(P(X\le174)\approx0{,}1005\). Daher ist der Ablehnungsbereich \(K=\{0;1;\dots;173\}\). 3. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}85\) tritt Fehler 2. Art ein, wenn \(X\ge174\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}85}(X\ge174)\approx0{,}2480\). 4. Wird das Signifikanzniveau verkleinert, muss der Ablehnungsbereich kleiner werden. Dadurch wird \(H_0\) seltener abgelehnt, sodass die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei einem festen konkreten Alternativwert typischerweise steigt.

1. \(K=\{0;1;\dots;173\}\). 2. \(\beta\approx24{,}80\,\%\). 3. Bei kleinerem Signifikanzniveau steigt hier das Risiko für einen Fehler 2. Art.

- Welche Richtung der vermuteten Abweichung bestimmt, welche Stichprobenergebnisse gegen die bisherige Quote sprechen? - Wie muss der kritische Bereich am Rand von \(H_0\) gewählt werden, damit das Signifikanzniveau eingehalten wird? - Welche Testausgänge führen bei der angegebenen tatsächlichen Quote dazu, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird? - Unterscheide den statistischen Nachweis einer Veränderung von einer Erklärung ihrer Ursache.

1. Da eine Erhöhung vermutet wird, gilt \(H_0:p\leq0{,}005\) und \(H_1:p>0{,}005\). 2. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}005\) am größten. Gesucht ist das kleinste \(k\), für das \(P_{0{,}005}(X\geq k)\leq0{,}05\) gilt. 3. Für \(X\sim B(4000;0{,}005)\) gilt \(P(X\leq27)\approx0{,}9480\) und \(P(X\leq28)\approx0{,}9660\). Daher ist \(k=29\), und der Ablehnungsbereich ist \(K=\{29,30,\dots,4000\}\). 4. Ein Fehler 1. Art liegt vor, wenn auf einen erhöhten Anteil geschlossen wird, obwohl \(p\leq0{,}005\) gilt. Ein Fehler 2. Art liegt vor, wenn eine tatsächliche Erhöhung nicht erkannt wird. 5. Bei \(p=0{,}008\) ist der Nichtablehnungsbereich \(X\leq28\). Daher ist \(\beta=P_{0{,}008}(X\leq28)\approx0{,}2732\). 6. Selbst ein statistisch nachgewiesener höherer Anteil zeigt nur eine Veränderung des Anteils. Ohne zusätzliche Studiendaten kann daraus keine bestimmte Ursache, etwa ein Umweltfaktor, abgeleitet werden.

a) \(H_0:p\leq0{,}005\); \(H_1:p>0{,}005\). b) \(K=\{29,30,\dots,4000\}\). c) Fehler 1. Art: Eine Erhöhung wird festgestellt, obwohl keine vorliegt. Fehler 2. Art: Eine tatsächliche Erhöhung wird nicht erkannt. d) \(\beta\approx27{,}32\,\%\). Der Test weist keine Ursache für eine mögliche Erhöhung nach.

- Eine vermutete Abnahme führt zu einem linksseitigen Test. - Verwende für den Ablehnungsbereich den Randwert \(p=0{,}20\). - Berechne den Fehler 2. Art im Nichtablehnungsbereich unter \(p=0{,}12\).

1. Es handelt sich um einen linksseitigen Test. Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p=0{,}20\) am größten. Gesucht ist der größte Wert \(k\), für den \(P_{0{,}20}(X\leq k)\leq0{,}10\) gilt. 2. Für \(X\sim B(100;0{,}20)\) gilt \(P(X\leq14)\approx0{,}0804\) und \(P(X\leq15)\approx0{,}1285\). Daher wird \(H_0\) bei \(X\leq14\) verworfen; der Nichtablehnungsbereich ist \(X\geq15\). 3. Bei \(p=0{,}12\) tritt ein Fehler 2. Art ein, wenn \(X\geq15\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}12}(X\geq15)=1-P_{0{,}12}(X\leq14)\approx0{,}2160\).

1. \(H_0\) wird verworfen, wenn höchstens \(14\) der befragten Haushalte mit Holz heizen. 2. \(\beta\approx21{,}60\,\%\).

- Welche geringere Erfolgsquote soll statistisch gestützt werden? - Welche Seite der Verteilung ist für \(K\) relevant? - Welcher Nichtablehnungsbereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}95\) gegen \(H_1:p<0{,}95\). Am Randwert ist \(P(X\le90)\approx0{,}0282\) und \(P(X\le91)\approx0{,}0631\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;90\}\). 2. \(\alpha=P_{0{,}95}(X\le90)\approx0{,}0282=2{,}82\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}90\) gilt \(\beta=P(X\ge91)\approx0{,}4513\).

1. \(H_0:p\ge0{,}95\); \(H_1:p<0{,}95\); \(K=\{0;1;\dots;90\}\) 2. \(\alpha\approx2{,}82\,\%\) 3. \(\beta\approx45{,}13\,\%\)

- Welche geringere Quote soll statistisch gestützt werden? - Warum ist die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art nicht zwingend genau \(5\,\%\)? - Formuliere für Teil 3 den wahren Zustand und die falsche Entscheidung gemeinsam.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}6\) gegen \(H_1:p<0{,}6\). Am Randwert \(p_0=0{,}6\) gilt \(X\sim B(100;0{,}6)\). Es ist \(P(X\le51)\approx0{,}0423\) und \(P(X\le52)\approx0{,}0638\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;51\}\). 2. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art beträgt \(P_{0{,}6}(X\le51)\approx0{,}0423\), also \(4{,}23\,\%\). 3. Der Fehler tritt ein, wenn die Herstellerangabe abgelehnt wird, obwohl tatsächlich mindestens \(60\,\%\) die neue Sorte bevorzugen.

1. \(H_0:p\ge0{,}6\); \(H_1:p<0{,}6\); \(K=\{0;1;\dots;51\}\) 2. Etwa \(4{,}23\,\%\) 3. Eine zutreffende Herstellerangabe wird fälschlich abgelehnt.

- Welche hohen Defektzahlen sprechen gegen \(H_0\)? - Vergleiche bei den Fehlerarten jeweils wahren Zustand und Testentscheidung. - Welcher Bereich ist beim konkreten Alternativwert für \(\beta\) relevant?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}05\) ist \(P(X\le6)\approx0{,}8947\) und \(P(X\le7)\approx0{,}9534\). Daher ist \(K=\{8;9;\dots;80\}\). 2. Fehler 1. Art: Die Lieferung wird fälschlich beanstandet, obwohl \(p\le0{,}05\) gilt. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich erhöhte Defektquote wird nicht erkannt. 3. Für \(p_1=0{,}12\) ist \(\beta=P(X\le7)\approx0{,}2416\).

a) \(K=\{8;9;\dots;80\}\) b) Fehler 1. Art: falsche Beanstandung einer zulässigen Quote. Fehler 2. Art: eine erhöhte Quote wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx24{,}16\,\%\)

- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich aus der Grenze \(42\) auf. - Berechne \(\alpha\) unter \(p=0{,}8\) und \(\beta\) unter \(p=0{,}65\). - Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt den Fehler 1. Art, vergrößert aber den Nichtablehnungsbereich.

1. Der Ablehnungsbereich ist \(X\le42\). Innerhalb von \(H_0\) ist die Ablehnungswahrscheinlichkeit am Randwert \(p_0=0{,}8\) am größten. Daher ist \(\alpha=P_{0{,}8}(X\le42)\approx0{,}0427\). 2. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}65\) tritt Fehler 2. Art ein, wenn \(H_0\) nicht abgelehnt wird, also wenn \(X\ge43\) gilt. Somit ist \(\beta=P_{0{,}65}(X\ge43)\approx0{,}1721\). 3. Um \(\alpha\) zu verringern, muss der kritische Wert gesenkt werden, sodass der Ablehnungsbereich kleiner wird. Dadurch vergrößert sich der Nichtablehnungsbereich und \(\beta\) steigt beim betrachteten Alternativwert.

a) \(\alpha\approx4{,}27\,\%\). b) \(\beta\approx17{,}21\,\%\). c) Der kritische Wert muss gesenkt werden; dadurch steigt \(\beta\).

- Welche Abweichung von der angegebenen Mängelquote soll statistisch gestützt werden? - Warum kann die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit kleiner als die nominale Obergrenze sein? - Welcher Bereich gehört beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}04\) gegen \(H_1:p>0{,}04\). Am Randwert ist \(P(X\le12)\approx0{,}9401\) und \(P(X\le13)\approx0{,}9688\). Daher ist \(K=\{14;15;\dots;200\}\). 2. \(\alpha=P_{0{,}04}(X\ge14)\approx0{,}0312=3{,}12\,\%\). 3. Für \(p_1=0{,}10\) gilt \(\beta=P(X\le13)\approx0{,}0566\).

1. \(H_0:p\le0{,}04\); \(H_1:p>0{,}04\); \(K=\{14;15;\dots;200\}\) 2. \(\alpha\approx3{,}12\,\%\) 3. \(\beta\approx5{,}66\,\%\)

- Welche Abweichung von der Angabe des Verkehrsunternehmens würde gegen \(H_0\) sprechen? - Welche Ergebnisse führen dazu, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird? - Für welchen wahren Zustand soll in Teil 3 die Wahrscheinlichkeit einer solchen Nichtablehnung bestimmt werden?

1. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) ist \(P(X\le68)\approx0{,}0693\) und \(P(X\le69)\approx0{,}1038\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;68\}\). 2. Fehler 2. Art bedeutet, dass \(H_0\) nicht abgelehnt wird, obwohl die tatsächliche Zufriedenheitsquote unter \(75\,\%\) liegt. 3. Für \(p_1=0{,}60\) gilt \(\beta=P(X\ge69)\approx0{,}0398\).

1. \(K=\{0;1;\dots;68\}\) 2. Eine tatsächlich niedrigere Zufriedenheitsquote wird nicht erkannt. 3. \(\beta\approx3{,}98\,\%\)

- Welche geringere Quote soll statistisch gestützt werden? - Welcher Randwert ist für den Ablehnungsbereich maßgeblich? - Welcher Bereich führt beim konkreten Alternativwert zu Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}35\) gegen \(H_1:p<0{,}35\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}35\) ist \(P(X\le42)\approx0{,}0417\) und \(P(X\le43)\approx0{,}0601\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;42\}\). 3. \(\alpha\approx0{,}0417=4{,}17\,\%\). 4. Für \(p_1=0{,}25\) ist \(\beta=P(X\ge43)\approx0{,}1724\).

a) \(H_0:p\ge0{,}35\); \(H_1:p<0{,}35\) b) \(K=\{0;1;\dots;42\}\) c) \(\alpha\approx4{,}17\,\%\) d) \(\beta\approx17{,}24\,\%\)

- Welche höhere Quote soll statistisch gestützt werden? - Welche obere Randwahrscheinlichkeit bestimmt den Ablehnungsbereich? - Welcher Bereich entspricht beim konkreten Alternativwert dem Fehler 2. Art?

1. Es gilt \(H_0:p\le0{,}12\) gegen \(H_1:p>0{,}12\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}12\) ist \(P(X\le38)\approx0{,}9471\) und \(P(X\le39)\approx0{,}9639\). Daher ist \(K=\{40;41;\dots;250\}\). 3. \(\alpha=P_{0{,}12}(X\ge40)\approx0{,}0361=3{,}61\,\%\). 4. Für \(p_1=0{,}18\) ist \(\beta=P(X\le39)\approx0{,}1834\).

a) \(H_0:p\le0{,}12\); \(H_1:p>0{,}12\) b) \(K=\{40;41;\dots;250\}\) c) \(\alpha\approx3{,}61\,\%\) d) \(\beta\approx18{,}34\,\%\)

- Lies zuerst die ausdrücklich dargestellten Parameterwerte und die markierten Zählwertbereiche ab. - Vergleiche jeden markierten Bereich mit \(K\) beziehungsweise dem Nichtablehnungsbereich. - Entscheidend für die Fehlerart ist die Kombination aus wahrem Parameterwert und Testentscheidung.

1. Im Diagramm mit \(p=0{,}30\) umfasst A die Zählwerte \(10\) bis \(20\), also den Ablehnungsbereich \(K\). 2. Im Diagramm mit \(p=0{,}50\) umfasst B die Zählwerte \(0\) bis \(9\), also den Nichtablehnungsbereich. 3. Bei \(p_0=0{,}30\) beschreibt A die Ablehnung einer wahren Nullhypothese und damit \(\alpha\). 4. Beim konkreten Alternativwert \(p_1=0{,}50\) beschreibt B die Nichtablehnung einer falschen Nullhypothese und damit \(\beta\).

a) A: \(p=0{,}30\), Zählwerte \(10\) bis \(20\). B: \(p=0{,}50\), Zählwerte \(0\) bis \(9\). b) A beschreibt \(\alpha\); B beschreibt \(\beta\).

- Prüfe im ersten Diagramm getrennt den dargestellten Parameterwert und den markierten Bereich. - Prüfe im zweiten Diagramm, welche Testentscheidung der markierte Bereich auslöst. - Ordne jedem Fehlertyp zuerst „wahrer Parameterzustand“ und „falsche Entscheidung“ zu.

1. Im ersten Diagramm ist der markierte Bereich \(14\) bis \(30\) für Fehler 1. Art richtig, aber der Parameterwert ist falsch: Statt \(p=0{,}35\) muss am Randwert der Nullhypothese \(p_0=0{,}30\) verwendet werden. 2. Im zweiten Diagramm ist \(p=0{,}45\) für den konkreten Alternativwert richtig, aber der markierte Bereich ist falsch: Für Fehler 2. Art muss der Nichtablehnungsbereich \(0\) bis \(13\) markiert werden, nicht \(K\). 3. Die erste Korrektur betrifft den wahren Parameterwert bei Fehler 1. Art; die zweite die falsche Testentscheidung bei Fehler 2. Art.

a) Erstes Diagramm: falscher Parameterwert. Zweites Diagramm: falscher markierter Bereich. b) Fehler 1. Art: \(B(30;0{,}30)\), markiert \(14\) bis \(30\). Fehler 2. Art: \(B(30;0{,}45)\), markiert \(0\) bis \(13\). c) \(\alpha\) betrachtet Ablehnung am Randwert von \(H_0\); \(\beta\) betrachtet Nichtablehnung beim konkreten Alternativwert.

- Berechne zuerst \(\mu_0\) und \(\sigma_0\) für die ursprüngliche Quote. - Welche ganzzahligen Defektzahlen erfüllen die vorgegebene Verbesserungsregel? - Welche Binomialverteilung gilt für die abschließende Wahrscheinlichkeit unter \(p_1\)?

1. Für den ursprünglichen Zustand ist \(\mu_0=250\cdot0{,}08=20\) und \(\sigma_0=\sqrt{250\cdot0{,}08\cdot0{,}92}\approx4{,}2895\). 2. Die Erfolgsgrenze ist \(X\le\mu_0-1{,}5\sigma_0=13{,}5657\). Da \(X\) ganzzahlig ist, wird die Verbesserung bei \(X\le13\) erkannt. 3. Unter dem neuen Modell gilt \(X\sim B(250;0{,}04)\). „Nicht erkannt“ bedeutet \(X>13\). 4. Die kumulierte Binomialfunktion des Taschenrechners liefert \(P(X>13)=1-P(X\le13)\approx0{,}131050\).

\(13{,}10\,\%\)

- Welche Aussage soll mit dem Test statistisch gestützt werden? - An welchem Randwert von \(H_0\) musst du die maximale Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art bestimmen? - Welche falsche Entscheidung gehört zu jedem Fehlertyp? - Welche zwei Voraussetzungen einer Bernoulli-Kette könnten in der Produktion verletzt sein?

1. Die Testgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der mangelhaften Zellen. Statistisch gestützt werden soll eine Mängelquote über \(10\,\%\). Daher gilt \(H_0:p\leq0{,}10\) gegen \(H_1:p>0{,}10\). 2. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{16;17;\dots;100\}\). Die maximale Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art liegt am Randwert \(p_0=0{,}10\): \(P_{0{,}10}(X\geq16)\approx0{,}0399=3{,}99\,\%\). 3. Fehler 1. Art: Eine Lieferung wird beanstandet, obwohl die Mängelquote höchstens \(10\,\%\) beträgt; das benachteiligt den Hersteller. Fehler 2. Art: Eine tatsächlich zu hohe Mängelquote wird nicht erkannt; das benachteiligt den Abnehmer. 4. Bei \(p_1=0{,}20\) tritt Fehler 2. Art für \(X\leq15\) auf. Es gilt \(\beta=P_{0{,}20}(X\leq15)\approx0{,}1285=12{,}85\,\%\). 5. Problematisch wäre die Binomialannahme zum Beispiel bei schwankender Mängelwahrscheinlichkeit oder bei Abhängigkeiten zwischen den untersuchten Zellen.

a) \(H_0:p\leq0{,}10\); \(H_1:p>0{,}10\); \(X\): Anzahl mangelhafter Zellen. b) Maximal \(3{,}99\,\%\) am Randwert \(p_0=0{,}10\). c) Fehler 1. Art kann den Hersteller, Fehler 2. Art den Abnehmer benachteiligen. d) \(\beta\approx12{,}85\,\%\). e) Zum Beispiel Abhängigkeiten zwischen Mängeln oder eine nicht konstante Mängelwahrscheinlichkeit.

- Was bedeutet ein leerer Ablehnungsbereich für jede mögliche Testentscheidung? - Welcher Bereich muss leer sein, damit ein Fehler 2. Art unmöglich wird? - Prüfe in den Extremfällen, was dann mit der jeweils anderen Fehlerwahrscheinlichkeit geschieht.

1. \(\alpha=P_{0{,}1}(X\ge5)\approx0{,}0432\); \(\beta=P_{0{,}3}(X\le4)\approx0{,}2375\). 2. Bei \(K=\emptyset\) wird \(H_0\) nie abgelehnt. Daher ist \(\alpha=0\) und \(\beta=1\). 3. Für \(\beta=0\) muss der Nichtablehnungsbereich leer sein. Daher ist \(K=\{0;1;\dots;20\}\) und \(\alpha=1\).

1. \(\alpha\approx4{,}32\,\%\); \(\beta\approx23{,}75\,\%\) 2. \(\alpha=0\); \(\beta=1\). Beim Alternativwert \(p_1=0{,}3\) tritt der Fehler 2. Art sicher ein, weil \(H_0\) nie abgelehnt wird. 3. \(K=\{0;1;\dots;20\}\); \(\alpha=1\)

- Welche geringere Heilungsquote soll statistisch gestützt werden? - Für Fehler 2. Art ist der Nichtablehnungsbereich beim konkreten Alternativwert maßgeblich. - Unterscheide in Teil d) das vorgegebene Signifikanzniveau von der tatsächlich erreichten Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit.

1. Es gilt \(H_0:p\ge0{,}75\) gegen \(H_1:p<0{,}75\). 2. Am Randwert \(p_0=0{,}75\) ist \(P(X\le78)\approx0{,}0093\) und \(P(X\le79)\approx0{,}0155\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;78\}\). 3. Für \(p_1=0{,}60\) ist \(\beta=P(X\ge79)\approx0{,}1123=11{,}23\,\%\). 4. Bei größerem \(n\) lassen sich die Verteilungen für \(p_0\) und \(p_1\) besser trennen; \(\beta\) sinkt typischerweise. Das nominale Signifikanzniveau bleibt \(1\,\%\), doch die ganzzahlige kritische Grenze wird neu gewählt, sodass die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art einen anderen Wert unterhalb der Vorgabe annehmen kann.

a) \(H_0:p\ge0{,}75\); \(H_1:p<0{,}75\) b) \(K=\{0;1;\dots;78\}\) c) \(\beta\approx11{,}23\,\%\) d) \(\beta\) sinkt typischerweise; die tatsächlich erreichte Fehler-1.-Art-Wahrscheinlichkeit kann sich wegen der diskreten Grenzwahl ändern.

- Überlege dir, welche Verteilung hier vorliegt und welche Parameter \(n\) und \(p\) jeweils gegeben sind. - Was bedeutet „mehr als die Hälfte“ bei 40 Samen mathematisch für die Zufallsgröße? - Denke bei der Entscheidungsregel daran, welche Sorte fälschlicherweise angenommen wird und welche Wahrscheinlichkeit daher für die Berechnung von \(k\) relevant ist. - Was passiert mit der Irrtumswahrscheinlichkeit, wenn du die Grenze \(k\) verschiebst? - Erinnere dich an den Unterschied zwischen einem Signifikanztest und einer einfachen Wahl zwischen zwei Hypothesen.

1. Berechnung für Teilaufgabe a): Sei \(X\) die Anzahl der keimenden Samen. Es gilt \(n = 40\). Für Sorte A (\(p = 0{,}7\)): \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}0063 = 0{,}9937\) \(P(X < 20) = P(X \le 19) \approx 0{,}0024\) Für Sorte B (\(p = 0{,}3\)): \(P(X > 20) = 1 - P(X \le 20) \approx 1 - 0{,}9976 = 0{,}0024\) \(P(X < 20) = P(X \le 19) \approx 0{,}9937\) 2. Bestimmung von \(k\) für Teilaufgabe b): Gesucht ist das kleinste \(k\), sodass unter der Annahme von Sorte B (\(p = 0{,}3\)) gilt: \(P(X \ge k) \le 0{,}05\). Dies ist äquivalent zu \(1 - P(X \le k-1) \le 0{,}05\) bzw. \(P(X \le k-1) \ge 0{,}95\). Laut Tabelle der Binomialverteilung für \(n = 40, p = 0{,}3\) ist \(P(X \le 16) \approx 0{,}9367\) und \(P(X \le 17) \approx 0{,}9680\). Somit muss \(k-1 = 17\) gelten, woraus \(k = 18\) folgt. 3. Berechnung für Teilaufgabe c): Ein Fehler unter Sorte A tritt auf, wenn \(X < 18\). \(P(X \le 17)\) für \(p = 0{,}7\): \(P(X \le 17) \approx 0{,}000275\). 4. Begründung für Teilaufgabe d): Die Wahl einer Nullhypothese bewirkt im statistischen Test eine Asymmetrie, da die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art (\(\alpha\)) kontrolliert und klein gehalten wird, während der Fehler 2. Art (\(\beta\)) meist nicht direkt kontrolliert wird. Da hier beide Sorten „gleichberechtigt“ nebeneinanderstehen und keine Sorte als Standard oder gesicherte Annahme (Status Quo) fungiert, ist die einseitige Festlegung einer Nullhypothese willkürlich und benachteiligt eine der beiden Fehlentscheidungen.

a) Sorte A: \(P(X > 20) \approx 99{,}37\,\%\), \(P(X < 20) \approx 0{,}24\,\%\). Sorte B: \(P(X > 20) \approx 0{,}24\,\%\), \(P(X < 20) \approx 99{,}37\,\%\). b) Der kleinstmögliche Wert ist \(k = 18\). c) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(0{,}0275\,\%\). d) Ein Signifikanztest schützt die Nullhypothese einseitig. Da hier beide Fälle symmetrisch sind, ist die Priorisierung einer Sorte als \(H_0\) ohne sachlichen Grund willkürlich.

- Wie verändert ein strengeres nominales Signifikanzniveau den Ablehnungsbereich? - Kann eine diskrete Verteilung jede beliebige vorgegebene Randwahrscheinlichkeit exakt treffen? - Unterscheide das vorgegebene Signifikanzniveau von der tatsächlich erreichten Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art. - Überlege für einen festen konkreten Alternativwert, wie mehr Beobachtungen die Trennbarkeit der beiden Parameterwerte beeinflussen.

1. Aussage a) ist falsch. Ein kleineres nominales Signifikanzniveau führt bei gleichem \(n\) zu einem strengeren Ablehnungsbereich. Für einen festen konkreten Alternativwert wird \(H_0\) dadurch schwerer abgelehnt; bei den üblichen geschachtelten einseitigen Tests steigt daher die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für Fehler 2. Art. 2. Aussage b) ist wahr. Wegen der diskreten Binomialverteilung kann der Rand des Ablehnungsbereichs nur ganzzahlig verschoben werden. Die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art liegt deshalb in der Regel unter dem vorgegebenen Signifikanzniveau und ist nicht exakt gleich groß. 3. Aussage c) ist in dieser pauschalen Form falsch. Bei fest vorgegebenem Signifikanzniveau wird die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art begrenzt; ein größeres \(n\) senkt sie nicht automatisch. Für einen festen konkreten Alternativwert kann ein größeres \(n\) die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art deutlich senken. Wegen der diskreten Wahl des Ablehnungsbereichs kann sich die tatsächlich erreichte Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art ebenfalls verändern, eine automatische gleichzeitige Minimierung beider Fehlerwahrscheinlichkeiten folgt daraus aber nicht.

a) Falsch. Bei gleichem \(n\) vergrößert ein strengeres Signifikanzniveau für einen festen konkreten Alternativwert im Allgemeinen die Wahrscheinlichkeit \(\beta\) für Fehler 2. Art. b) Wahr. Wegen der diskreten Binomialverteilung wird das vorgegebene Signifikanzniveau mit dem tatsächlich erreichten Fehler-1.-Art-Risiko meist unterschritten statt exakt getroffen. c) Falsch in dieser pauschalen Form. Ein größeres \(n\) kann bei festem nominalem Signifikanzniveau die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art senken, minimiert aber nicht automatisch beide Fehlerwahrscheinlichkeiten zugleich.

- Welche kleinen Werte von \(X\) sprechen für \(H_1:p<0{,}80\)? - Welcher Randwert der Nullhypothese ist für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs jeweils maßgeblich? - Für Fehler 2. Art gilt der konkrete Alternativwert \(p_1=0{,}75\) und der jeweilige Nichtablehnungsbereich. - Vergleiche am Ende die beiden \(\beta\)-Werte, nicht nur die Grenzen der Ablehnungsbereiche.

1. Es gilt \(H_0:p\geq0{,}80\) gegen \(H_1:p<0{,}80\). Für \(n=250\) wird am Randwert \(p_0=0{,}80\) gerechnet. Es ist \(P(X\leq184)\approx0{,}0086\) und \(P(X\leq185)\approx0{,}0127\). Daher ist \(K=\{0;1;\dots;184\}\). 2. Fehler 2. Art: \(H_0\) wird nicht abgelehnt, obwohl die tatsächliche Pünktlichkeitsrate unter \(80\,\%\) liegt. 3. Für \(p_1=0{,}75\) gilt bei \(n=250\): \(\beta=P(X\geq185)\approx0{,}6729=67{,}29\,\%\). 4. Für \(n=500\) wird wieder am Randwert \(p_0=0{,}80\) kalibriert. Es ist \(P(X\leq378)\approx0{,}0092\) und \(P(X\leq379)\approx0{,}0123\). Somit ist \(K=\{0;1;\dots;378\}\). 5. Für \(p_1=0{,}75\) gilt nun \(\beta=P(X\geq379)\approx0{,}3617=36{,}17\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art ist bei dem größeren Stichprobenumfang deutlich kleiner.

a) Für \(n=250\): Bei höchstens \(184\) pünktlichen Sendungen wird \(H_0\) abgelehnt; \(K=\{0;1;\dots;184\}\). b) Eine tatsächlich zu niedrige Pünktlichkeitsrate wird nicht erkannt. c) \(\beta\approx67{,}29\,\%\). d) Für \(n=500\) gilt \(K=\{0;1;\dots;378\}\) und \(\beta\approx36{,}17\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art sinkt damit von etwa \(67{,}29\,\%\) auf etwa \(36{,}17\,\%\).

- Übersetze jede Risikoanforderung zuerst in eine eigene Ungleichung für \(k\). - Wie verändert sich \(\alpha\), wenn die Untergrenze \(k\) des rechtsseitigen Ablehnungsbereichs steigt? - Wie verändert sich beim festen Alternativwert der Nichtablehnungsbereich und damit \(\beta\), wenn \(k\) steigt? - Es genügt, die beiden benachbarten Grenzwerte zu prüfen, an denen die jeweilige Anforderung gerade kippt.

1. Für Fehler 1. Art ist am Randwert \(p_0=0{,}30\) die Bedingung \(P(X\ge k)\le0{,}05\) maßgeblich. Es gilt \(P(X\ge31)\approx0{,}05875>0{,}05\) und \(P(X\ge32)\approx0{,}03604\le0{,}05\). Daher verlangt die erste Bedingung \(k\ge32\). 2. Für Fehler 2. Art bei \(p_1=0{,}45\) gilt \(\beta=P(X\le k-1)\). Es ist für \(k=32\): \(P(X\le31)\approx0{,}15591\le0{,}20\). Für \(k=33\) gilt bereits \(P(X\le32)\approx0{,}21629>0{,}20\). Da \(\beta\) mit wachsendem \(k\) weiter zunimmt, verlangt die zweite Bedingung \(k\le32\). 3. Beide Bedingungen sind deshalb genau für \(k=32\) erfüllt. Der Ablehnungsbereich ist \(K=\{32;33;\dots;80\}\).

Nur \(k=32\) erfüllt beide Anforderungen. Dann ist \(K=\{32;33;\dots;80\}\), \(\alpha\approx3{,}60\,\%\) und \(\beta\approx15{,}59\,\%\).