Ein einseitiger Signifikanztest liefert auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\) ein signifikantes Ergebnis. Formuliere in eigenen Worten, 1. welche Testentscheidung damit getroffen wird, 2. was die Angabe \(5\,\%\) über das Testverfahren bedeutet, 3. und warum daraus keine Wahrscheinlichkeit dafür folgt, dass \(H_0\) oder die Gegenhypothese \(H_1\) wahr ist.

Bei einem einseitigen Signifikanztest liegt das beobachtete Stichprobenergebnis nicht im Ablehnungsbereich. Formuliere die zulässige Testentscheidung. Erkläre außerdem, warum dieses Ergebnis die Nullhypothese nicht beweist, und beziehe dabei den Fehler 2. Art ein.

Ein Hersteller von Bio-Eiern behauptet, dass höchstens \(1\,\%\) der gelieferten Eier beschädigt sind (\(H_0: p \le 0{,}01\)). Ein Supermarkt prüft diese Angabe mit einem Signifikanztest auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha = 5\,\%\). a) Erkläre, was ein Fehler 1. Art in diesem Sachzusammenhang bedeutet und wie groß die Wahrscheinlichkeit für ein solches Fehlurteil höchstens ist. b) Das Stichprobenergebnis liegt im Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Ein Mitarbeiter des Supermarkts stellt fest: „Damit ist nun absolut sicher bewiesen, dass die Angabe des Herstellers falsch ist und mehr als \(1\,\%\) der Eier beschädigt sind.“ Beurteile die Aussage des Mitarbeiters aus statistischer Sicht.

Ein Hersteller von Solarmodulen gibt an, dass mindestens \(90\,\%\) der produzierten Module die volle Leistung erreichen. Ein Qualitätsprüfer verwendet die Nullhypothese \(H_0:p\geq0{,}90\) bei einem Signifikanzniveau von \(\alpha=5\,\%\). Die Stichprobe führt zur Ablehnung von \(H_0\). Nehmen wir nun an, dass die wahre Erfolgswahrscheinlichkeit des zugrunde liegenden Produktionsprozesses tatsächlich \(p=0{,}93\) beträgt. Der Produktionsleiter meint deshalb, die Ablehnung müsse auf einen Fehler bei der Durchführung des Tests zurückgehen. Beurteile diese Aussage und benenne die statistische Situation.

Bei einer Landtagswahl in einem Bundesland erhielt eine Partei \(48\,\%\) der Stimmen. Vor der nächsten Wahl wird in einer zufälligen Befragung geprüft, ob ihr aktueller Unterstützungsanteil unter \(48\,\%\) liegt. Es wird \(H_0:p\ge0{,}48\) gegen \(H_1:p<0{,}48\) getestet. Das Ergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich. Formuliere zwei Aussagen: a) Was darf man über den aktuellen Unterstützungsanteil auf dem gewählten Signifikanzniveau sagen? b) Welche weitergehende Aussage über das tatsächliche Wahlergebnis wäre nicht gerechtfertigt?

Ein rechtsseitiger Test verwendet \(H_0:p\le0{,}30\). Die Abbildung zeigt die Binomialverteilung am Randwert \(p_0=0{,}30\), den als \(K\) gekennzeichneten Ablehnungsbereich und den beobachteten Stichprobenwert \(x=8\). Formuliere die Testentscheidung und eine präzise inhaltliche Interpretation. Erkläre außerdem, welche Aussage nicht aus dem Diagramm folgt.

Ein linksseitiger Test verwendet \(H_0:p\ge0{,}60\). Die Abbildung zeigt die Binomialverteilung am Randwert \(p_0=0{,}60\), den direkt mit \(K\) markierten Ablehnungsbereich und den mit \(x\) markierten beobachteten Stichprobenwert. Formuliere die Testentscheidung und eine präzise inhaltliche Interpretation. Nenne außerdem eine Aussage über \(p\), die aus dem signifikanten Ergebnis nicht folgt.

Eine Lern-App gibt an, dass mindestens \(60\,\%\) der Teilnehmenden eine Wochenaufgabe abschließen. Eine Schule prüft mit \(n=15\), ob die tatsächliche Quote niedriger ist. Dabei ist \(X\) die Zahl der Teilnehmenden, die die Wochenaufgabe abschließen. Es gilt \(H_0:p\geq0{,}60\) gegen \(H_1:p<0{,}60\). Die beiden Diagramme zeigen dieselbe Entscheidungsregel am Randwert \(p_0=0{,}60\). \(K\) bezeichnet den Ablehnungsbereich, \(N\) den Nichtablehnungsbereich. In jedem Diagramm ist der beobachtete Stichprobenwert mit \(x\) gekennzeichnet. a) Lies den Ablehnungsbereich und den beobachteten Wert in Diagramm 1 und 2 ab. b) Gib für beide Ergebnisse die Testentscheidung und eine passende Aussage im Sachzusammenhang an. c) Beurteile die Aussagen „Nach Diagramm 1 ist \(p<0{,}60\) bewiesen“ und „Nach Diagramm 2 ist \(p\geq0{,}60\) bewiesen“.

Bei dem bisherigen Produktionsverfahren für Solarzellen lag die Defektquote bei \(5\,\%\). Ein Hersteller behauptet, dass die Defektquote der mit einem neuen Verfahren produzierten Zellen unter diesem festen historischen Referenzwert liegt. Eine zufällige Stichprobe aus der neuen Produktion soll untersucht werden; die Defektzustände werden als unabhängig mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit \(p\) modelliert. 1. Stelle Null- und Gegenhypothese für einen linksseitigen Signifikanztest auf und erläutere den Fehler 1. Art. 2. Stelle die Hypothesen für einen rechtsseitigen Test mit \(H_0:p\leq0{,}05\) auf und erläutere auch hier den Fehler 1. Art. 3. Beurteile aus Kundensicht, welcher Test für die Werbeaussage „Defektquote unter \(5\,\%\)“ angemessener ist. Erläutere außerdem, warum ein Ein-Stichproben-Vergleich mit dem historischen Referenzwert allein nicht beweist, dass das neue Verfahren die Ursache einer möglichen Verbesserung ist.

An einer gefährlichen Kreuzung lag der Anteil von Beinahe-Unfällen unter klar definierten kritischen Verkehrssituationen bisher bei \(12\,\%\). Nach Einführung eines neuen Assistenzsystems wird eine repräsentative Auswahl solcher Situationen nach denselben Kriterien erfasst; die Ergebnisse werden als unabhängig mit einer konstanten Wahrscheinlichkeit \(p\) modelliert. Die Stadt möchte prüfen, ob die aktuelle Quote unter dem festen historischen Referenzwert liegt. 1. Erläutere den Unterschied zwischen einem linksseitigen Test mit \(H_0:p\geq0{,}12\) und einem rechtsseitigen Test mit \(H_0:p\leq0{,}12\). 2. Beschreibe die Konsequenz eines Fehlers 2. Art beim linksseitigen Test. 3. Entscheide, welcher Test geeignet ist, wenn nur bei statistischer Evidenz für eine niedrigere aktuelle Quote investiert werden soll. Erläutere außerdem, warum dieser historische Ein-Stichproben-Vergleich allein nicht beweist, dass das Assistenzsystem die Ursache einer möglichen Senkung ist.

Beurteile die folgenden Aussagen zur Interpretation von Signifikanztests auf ihre Richtigkeit und begründe deine Entscheidung kurz: a) Bei einem einseitigen Test werden für \(\alpha=5\,\%\) und \(\alpha=10\,\%\) jeweils die üblichen maximalen Ablehnungsbereiche in derselben Testrichtung gewählt. Wenn \(H_0\) bei \(\alpha=5\,\%\) abgelehnt wird, dann wird sie bei demselben Stichprobenergebnis auch bei \(\alpha=10\,\%\) abgelehnt. b) Ein Testergebnis im Nichtablehnungsbereich beweist, dass die Nullhypothese wahr ist. c) Führt man denselben Signifikanztest unter identischen Bedingungen mit einer neuen, unabhängigen Stichprobe desselben Umfangs durch, so muss die Testentscheidung zwingend genauso ausfallen wie beim ersten Mal.

Um zu prüfen, ob ein neues Werbebanner eine Klickrate von mehr als \(8\,\%\) erzielt, wird ein Signifikanztest mit der Nullhypothese \(H_0:p\le0{,}08\) auf einem Signifikanzniveau von \(\alpha=5\,\%\) durchgeführt. Das Ergebnis der Stichprobe liefert keinen Grund, die Nullhypothese abzulehnen. Ein Marketing-Mitarbeiter folgert daraufhin: „Damit ist nun statistisch bewiesen, dass das Banner die Zielvorgabe von \(8\,\%\) auf keinen Fall erreicht.“ Beurteile die Schlussfolgerung des Mitarbeiters aus mathematischer Sicht. Gehe dabei auf die Bedeutung der Nichtablehnung einer Hypothese und den Fehler 2. Art ein.

Bei der letzten Landtagswahl in einem Bundesland erhielt eine Partei \(40\,\%\) der Stimmen. In einer aktuellen zufälligen Befragung von \(800\) Wahlberechtigten geben \(295\) Personen an, die Partei derzeit unterstützen zu wollen. Die Antworten werden als unabhängig mit einer konstanten aktuellen Unterstützungswahrscheinlichkeit \(p\) modelliert. Es wird auf dem Signifikanzniveau \(5\,\%\) getestet: \(H_0:p\ge0{,}40\) gegen \(H_1:p<0{,}40\). Ein Nachrichtenportal schreibt anschließend: „Die beim Test berechnete Wahrscheinlichkeit ist zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Partei aktuell noch mindestens \(40\,\%\) Unterstützung hat. Deshalb ist außerdem sicher, dass sie bei der nächsten Wahl unter \(40\,\%\) bleiben wird.“ a) Berechne die für die Testentscheidung relevante Wahrscheinlichkeit und triff die Testentscheidung. b) Beurteile beide Schlussfolgerungen des Nachrichtenportals.

Bei Pflanzen, die unter festgelegten Behandlungsbedingungen mit einem biologischen Düngemittel kultiviert werden, soll untersucht werden, ob der Anteil der Pflanzen, die eine Zielwuchshöhe erreichen, über einem Referenzwert von \(80\,\%\) liegt. Der Referenzwert stammt aus früheren unbehandelten Versuchen. a) Welche Nullhypothese \(H_0\) muss gewählt werden, wenn eine Erfolgsrate über dem Referenzwert statistisch gestützt werden soll? b) Beurteile die folgende Aussage: „Wenn man das Signifikanzniveau von \(\alpha = 5\,\%\) auf \(\alpha = 1\,\%\) senkt, wird es schwieriger, eine Erfolgsrate über dem Referenzwert statistisch zu stützen, und die maximale Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art sinkt.“ c) Ein Test mit \(n = 100\) Pflanzen liefert ein Ergebnis, das nicht im Ablehnungsbereich von \(H_0\) liegt. Darf man daraus zwingend schließen, dass der Anteil der Pflanzen mit der gewünschten Wuchshöhe tatsächlich nur \(80\,\%\) oder weniger beträgt? Begründe deine Entscheidung unter Verwendung eines Fachbegriffs.

Eine Stadtbibliothek untersucht den aktuellen Anteil \(p\) der Bevölkerung, der eine Sonntagsöffnung unterstützt. In einer Zufallsstichprobe von \(300\) Personen unterstützen genau \(165\) die Sonntagsöffnung. Die Antworten werden als unabhängig mit einer konstanten Unterstützungswahrscheinlichkeit \(p\) modelliert. Vor der Erhebung wurden zwei verschiedene einseitige Tests festgelegt: Test A: \(H_{0,A}:p\ge0{,}60\) gegen \(H_{1,A}:p<0{,}60\) mit \(K_A=\{0;1;\dots;165\}\). Am Randwert beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art etwa \(4{,}43\,\%\). Test B: \(H_{0,B}:p\le0{,}50\) gegen \(H_{1,B}:p>0{,}50\) mit \(K_B=\{165;166;\dots;300\}\). Am Randwert beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art etwa \(4{,}70\,\%\). Ein Ausschussmitglied sagt: „Dass derselbe Wert \(165\) in beiden Ablehnungsbereichen liegt, ist ein Widerspruch. Die beiden Tests können nicht gleichzeitig korrekt sein.“ Eine Zeitung schreibt dagegen: „Beide Nullhypothesen wurden auf dem \(5\,\%\)-Niveau abgelehnt. Damit ist mit mindestens \(95\,\%\) Wahrscheinlichkeit bewiesen, dass \(0{,}50<p<0{,}60\) gilt.“ a) Triff für beide Tests die Testentscheidung und erkläre, warum die beiden Entscheidungen einander nicht widersprechen. b) Formuliere die stärkste gemeinsame statistische Aussage, die durch die beiden vorab festgelegten Tests gestützt wird. c) Beurteile die Wahrscheinlichkeitsaussage der Zeitung. d) Erkläre, warum auch \(4{,}43\,\%+4{,}70\,\%\) nicht als Wahrscheinlichkeit dafür interpretiert werden darf, dass die gemeinsame Aussage aus b) falsch ist.