- Eine Skalarmultiplikation wirkt auf jede Vektorkomponente. - Achte besonders auf das negative Vorzeichen des Skalars. - Prüfe die Bruchkomponente getrennt.

1. Jede Komponente von \(\vec{v}\) wird mit \(-4\) multipliziert. 2. Daher ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\cdot1\\-4\cdot(-3)\\-4\cdot\frac{3}{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\12\\-3\end{pmatrix}\).

\(\vec{w}=\begin{pmatrix}-4\\12\\-3\end{pmatrix}\)

- Der Faktor wirkt auf jede Komponente des Vektors. - Behalte beim Multiplizieren die Vorzeichen der Komponenten im Blick. - Prüfe, ob der neue Vektor doppelt so lang und gleichgerichtet sein müsste.

1. Bei der Multiplikation eines Vektors mit \(2\) wird jede Komponente mit \(2\) multipliziert. 2. Daher ist \(2\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}\).

\(2\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\-6\\4\end{pmatrix}\)

- Welche Änderung in den drei Koordinatenrichtungen beschreibt \(\vec{v}\)? - Gehe diese Änderungen gedanklich vom Punkt \(P\) aus durch. - Kontrolliere deinen Bildpunkt anschließend über den Vektor von \(P\) nach \(Q\).

1. Bei einer Verschiebung wird der Vektor zu den Koordinaten des Startpunkts addiert. 2. Daher ist \(Q(4-3\mid-2+1\mid1+2)=Q(1\mid-1\mid3)\).

\(Q(1\mid-1\mid3)\)

- Lies zuerst aus den Segmentbeschriftungen ab, an welchem Punkt \(\vec{a}\) und an welchem Punkt \(\vec{b}\) endet. - Beschreibe dann einen Weg vom gemeinsamen Anfangspunkt zur Spitze von \(\vec{a}\), der über die Spitze von \(\vec{b}\) führt. - Forme die daraus entstehende Dreiecksregel nach dem Verbindungsvektor der beiden Spitzen um.

1. Aus dem Bild liest man ab: \(\vec{a}=\vec{OQ}\) und \(\vec{b}=\vec{OP}\). 2. Für den Weg von \(O\) über \(P\) nach \(Q\) gilt die Dreiecksregel \(\vec{OP}+\vec{PQ}=\vec{OQ}\). 3. Damit folgt \(\vec{b}+\vec{PQ}=\vec{a}\), also \(\vec{PQ}=\vec{a}-\vec{b}\).

\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{PQ}\)

- Bei einem positiven Faktor bleibt die Richtung eines Vektors erhalten. - Wie verändert der Faktor \(2\) die Länge und die Komponenten? - Vergleiche diese Eigenschaften mit den drei eingezeichneten Kandidaten.

1. Aus dem Bild liest man \(A(2\mid1)\), also \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). 2. Der Vektor \(2\vec{a}\) hat dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\) und die doppelte Länge; seine Komponenten sind \(\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\). 3. Der Punkt \(Q\) liegt bei \((4\mid2)\). Daher ist \(\vec{OQ}=2\vec{a}\).

\(\vec{OQ}=2\vec{a}\)

- Bestimme zuerst die Verschiebung von \(P\) nach \(Q\). - Was bewirkt der Faktor \(2\) an jeder Komponente dieses Vektors? - Wie erhältst du aus dem Startpunkt \(Q\) und dem Verschiebungsvektor den Endpunkt \(R\)?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-1-2\\1-(-3)\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\). 2. Daraus folgt \(\vec{QR}=2\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}\). 3. Mit \(\vec{r}=\vec{q}+\vec{QR}\) erhält man \(\vec{r}=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6\\8\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\9\\1\end{pmatrix}\). Daher ist \(R(-7\mid9\mid1)\).

a) \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-3\\4\\0\end{pmatrix}\) b) \(R(-7\mid9\mid1)\)

- Ersetze einen subtrahierten Vektor bei Bedarf durch seinen Gegenvektor. - Welche Vektoren kannst du direkt aneinanderhängen, weil der Endpunkt des ersten der Anfangspunkt des zweiten ist? - Darfst du Summanden umstellen, um passende Vektorketten zu bilden?

1. Bei a) gilt \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\) und anschließend \(\vec{AC}+\vec{CD}=\vec{AD}\). 2. Bei b) ist \(-\vec{RQ}=\vec{QR}\). Damit wird der Ausdruck zu \(\vec{PQ}+\vec{QR}+\vec{RS}=\vec{PS}\). 3. Bei c) ergibt das Auflösen der Klammer \(\vec{XY}-\vec{ZY}-\vec{XZ}=\vec{XY}+\vec{YZ}+\vec{ZX}\). Wegen \(\vec{XY}+\vec{YZ}=\vec{XZ}\) folgt \(\vec{XZ}+\vec{ZX}=\vec{0}\).

a) \(\vec{AD}\) b) \(\vec{PS}\) c) \(\vec{0}\)

- Erinnere dich daran, dass \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) gilt. - Wie kannst du die Subtraktion eines Vektors als Addition ausdrücken? - Darfst du die Reihenfolge der Vektoren in der Summe vertauschen, um passende Paare zu finden? - Was ist das Ergebnis, wenn der Startpunkt und der Endpunkt eines Vektors identisch sind?

1. Teilaufgabe a: Ersetzen der negativen Vektoren durch Gegenvektoren führt zu \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE}\). Die fortlaufende Addition ergibt \(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}\). 2. Teilaufgabe b: Umformung der Subtraktionen in Additionen der Gegenvektoren ergibt \(\vec{LM} + \vec{MN} + \vec{NL}\). Die ersten beiden Terme ergeben \(\vec{LN}\). Somit erhält man \(\vec{LN} + \vec{NL} = \vec{LL} = \vec{0}\). 3. Teilaufgabe c: Umwandlung des negativen Vektors ergibt \(\vec{XY} + \vec{ZX} + \vec{WZ}\). Durch Umstellen der Summanden (Kommutativgesetz) erhält man \(\vec{ZX} + \vec{XY} + \vec{WZ}\). Die ersten beiden Vektoren ergeben \(\vec{ZY}\). Der Ausdruck lautet nun \(\vec{ZY} + \vec{WZ}\). Erneutes Umstellen ergibt \(\vec{WZ} + \vec{ZY} = \vec{WY}\).

a) \(\vec{AE}\) b) \(\vec{0}\) c) \(\vec{WY}\)

- Beachte die Klammer und berechne zuerst den inneren Vektorausdruck. - Addition und Subtraktion von Vektoren erfolgen komponentenweise. - Kontrolliere besonders die Vorzeichen beim Subtrahieren negativer Komponenten.

1. Zuerst wird die Summe in der Klammer komponentenweise berechnet: \(\begin{pmatrix}4+(-2)\\1+(-7)\\5+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-6\\15\end{pmatrix}\). 2. Danach wird komponentenweise subtrahiert: \(\vec{v}=\begin{pmatrix}8-2\\-2-(-6)\\3-15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\4\\-12\end{pmatrix}\).

\(\vec{v}=\begin{pmatrix}6\\4\\-12\end{pmatrix}\)

- Bestimme zuerst die beiden Verbindungsvektoren vom gemeinsamen Anfangspunkt \(A\). - Verwende für jeden Verbindungsvektor „Endpunkt minus Anfangspunkt“. - Addiere anschließend die drei Komponenten getrennt voneinander.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}6-1\\3-1\\0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}4-1\\3-1\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\2\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(\vec{s}=\begin{pmatrix}5+3\\2+2\\-1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\4\\1\end{pmatrix}\).

\(\vec{s}=\begin{pmatrix}8\\4\\1\end{pmatrix}\)

- Betrachte jede Verschiebung als Änderung der drei Punktkoordinaten. - Welche Wirkung hat der Faktor \(2\) auf Richtung und Größe des zweiten Verschiebungsvektors? - Kontrolliere deinen Endpunkt \(R\), indem du den Weg von \(Q\) nach \(R\) mit \(2\vec{v}\) vergleichst.

1. Für den ersten Schritt gilt \(Q=P+\vec{v}\). Daher ist \(Q(1\mid4\mid6)\). 2. Der zweite Verschiebungsvektor ist \(2\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\12\\2\end{pmatrix}\). 3. Damit ist \(R=Q+2\vec{v}=(-5\mid16\mid8)\).

a) \(Q(1\mid4\mid6)\) b) \(R(-5\mid16\mid8)\)

- Welche Beziehung besteht in einem Parallelogramm zwischen gegenüberliegenden, gleich orientierten Seiten? - Formuliere eine Vektorbeziehung, in der der unbekannte Punkt \(S\) vorkommt. - Prüfe deinen gefundenen Punkt anschließend mit zwei gegenüberliegenden Seitenvektoren.

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\). 2. Im Parallelogramm gilt \(\vec{PQ}=\vec{SR}\). Daher ist \(S=R-\vec{PQ}\). 3. Somit ist \(S(1\mid3\mid0)\).

\(S(1\mid3\mid0)\)

- Multipliziere zuerst jeden Vektor mit seinem Skalar. - Führe die Skalarmultiplikation komponentenweise aus. - Addiere anschließend die entsprechenden Komponenten der beiden Vektoren.

1. Es gilt \(2{,}5\vec{a}=\begin{pmatrix}10\\-5\\10\end{pmatrix}\) und \(6\vec{b}=\begin{pmatrix}-6\\18\\6\end{pmatrix}\). 2. Durch komponentenweise Addition folgt \(\vec{c}=\begin{pmatrix}10-6\\-5+18\\10+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\13\\16\end{pmatrix}\).

\(\vec{c}=\begin{pmatrix}4\\13\\16\end{pmatrix}\)

- Übertrage in a) den Skalar auf alle drei Komponenten. - In b) stehen zwei Vielfache desselben Vektors. Kannst du zuerst ihre Koeffizienten zusammenfassen? - Kontrolliere bei beiden Teilaufgaben die Vorzeichen jeder Komponente.

1. In a) ergibt die komponentenweise Multiplikation \(\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-10\\10\end{pmatrix}\). 2. In b) kann zunächst zusammengefasst werden: \(\vec{b}=(1{,}8-0{,}8)\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{a}=\begin{pmatrix}5\\-10\\10\end{pmatrix}\) b) \(\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\)

- Führe Skalarmultiplikationen vor Additionen aus. - Vereinfache in a) entstehende Wurzelprodukte sorgfältig. - Addiere in b) erst nach der Skalarmultiplikation komponentenweise.

1. In a) wird jede Komponente mit \(\sqrt{3}\) multipliziert: \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\\sqrt{18}\\-3\sqrt{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\sqrt{2}\\-3\sqrt{3}\end{pmatrix}\). 2. In b) gilt zunächst \(\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4\\2\\-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}\). 3. Durch Addition folgt \(\vec{d}=\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\2\\9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{c}=\begin{pmatrix}3\\3\sqrt{2}\\-3\sqrt{3}\end{pmatrix}\) b) \(\vec{d}=\begin{pmatrix}3\\3\\6\end{pmatrix}\)

- Welche Schreibweise hilft dir, die Dezimalzahl und die Brüche in den Komponenten gemeinsam zu betrachten? - Suche nach einem Faktor, nach dessen Ausklammern alle drei Komponenten ganzzahlig sind. - Kontrolliere deine Darstellung durch Zurückmultiplizieren; es gibt mehrere richtige Möglichkeiten.

1. Es ist \(-0{,}25=-\frac{1}{4}\). Ein gemeinsamer Nenner der drei Komponenten ist \(12\). 2. Damit gilt \(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}\), \(-\frac{1}{4}=-\frac{3}{12}\) und \(1=\frac{12}{12}\). 3. Daher ist zum Beispiel \(\vec{a}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}10\\-3\\12\end{pmatrix}\).

Zum Beispiel \(\vec{a}=\frac{1}{12}\begin{pmatrix}10\\-3\\12\end{pmatrix}\).

- Betrachte jede Zeile der Vektoren als eine eigene kleine Gleichung. - Was muss für die Zahl \(k\) gelten, damit die gesamte Vektorgleichung wahr ist? - Vergleiche die Ergebnisse für \(k\), die du aus den einzelnen Zeilen erhältst. - Wenn ein Bruch in der Gleichung steht, versuche ihn durch Multiplikation oder Division aufzulösen.

1. Für Teilaufgabe a) wird komponentenweise ein Gleichungssystem aufgestellt: \(12 = -4k\), \(-18 = 6k\) und \(30 = -10k\). 2. Aus der ersten Gleichung folgt \(k = \frac{12}{-4} = -3\). Die Überprüfung in der zweiten (\(6 \cdot (-3) = -18\)) und dritten Gleichung (\(-10 \cdot (-3) = 30\)) bestätigt die Lösung. Somit existiert \(k = -3\). 3. Für Teilaufgabe b) ergibt die erste Komponente \(\frac{2}{3} = 4k \implies k = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\). 4. Die zweite Komponente liefert \(1 = 6k \implies k = \frac{1}{6}\). 5. Die dritte Komponente ergibt \(\frac{5}{6} = 4k \implies k = \frac{5}{24}\). Da \(\frac{1}{6} \neq \frac{5}{24}\) ist, gibt es kein gemeinsames \(k\), das alle drei Gleichungen gleichzeitig löst.

a) \(k = -3\) b) Es existiert kein solches \(k\), da die berechneten Werte für die einzelnen Komponenten (\(\frac{1}{6}\) und \(\frac{5}{24}\)) nicht übereinstimmen.

- Welche Zeilen der Vektoren enthalten keine Unbekannten? Nutze diese zuerst. - Wie hängen die Komponenten zweier paralleler Vektoren mathematisch zusammen? - Sobald du den Proportionalitätsfaktor gefunden hast, kannst du ihn auf die fehlende Komponente anwenden. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den fertigen Vektor \(\vec{u}\) noch einmal mit \(\vec{v}\) vergleichst.

1. Zur Bestimmung von \(s\) werden die bekannten Komponenten der Vektoren verglichen. In der zweiten Zeile gilt \(-6 = s \cdot 4\), woraus \(s = \frac{-6}{4} = -1{,}5\) folgt. 2. Zur Sicherheit wird die dritte Zeile geprüft: \(12 = s \cdot (-8) \implies 12 = -1{,}5 \cdot (-8)\). Dies ergibt \(12 = 12\), was eine wahre Aussage ist. Der Skalierungsfaktor ist somit \(s = -1{,}5\). 3. Um \(a\) zu berechnen, wird \(s\) in die Gleichung der ersten Komponente eingesetzt: \(a = s \cdot 2\). 4. Mit \(s = -1{,}5\) ergibt sich \(a = -1{,}5 \cdot 2 = -3\).

1. \(s = -1{,}5\) 2. \(a = -3\)

- Achte darauf, ob auf beiden Seiten einer Gleichung derselbe mathematische Typ steht: Vektor oder Zahl. - Welche Rechengesetze kennst du für Vektoraddition und Skalarmultiplikation? - Was ist die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors?

1. a) ist wahr; dies ist das Kommutativgesetz der Vektoraddition. 2. b) ist falsch. Links steht ein Vektor, daher muss auch rechts ein Vektor stehen: \(\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}\). 3. c) ist falsch. Die Summe eines Vektors und seines Gegenvektors ist der Nullvektor: \(\vec{PQ}+\vec{QP}=\vec{0}\). 4. d) ist wahr; dies ist das Distributivgesetz der Skalarmultiplikation.

a) Wahr. b) Falsch; \(\vec{a}+\vec{a}=2\vec{a}\). c) Falsch; \(\vec{PQ}+\vec{QP}=\vec{0}\). d) Wahr.

- Deute Verbindungsvektoren als Differenzen von Ortsvektoren. - Was geschieht bei einer Vektorkette, die zum Ausgangspunkt zurückführt? - Prüfe bei d) neben \(k=0\) auch einen besonderen Vektor als möglichen Faktor.

1. a) ist wahr; ein Verbindungsvektor ist „Endpunkt minus Anfangspunkt“. 2. b) ist wahr; ein Vektor minus sich selbst ergibt den Nullvektor. 3. c) ist wahr; die Vektorsumme beschreibt einen geschlossenen Streckenzug von \(A\) zurück nach \(A\). 4. d) ist falsch. Die Gleichung ist erfüllt, wenn \(k=0\) oder \(\vec{a}=\vec{0}\) gilt.

a) Wahr. b) Wahr. c) Wahr. d) Falsch; richtig ist: \(k\vec{a}=\vec{0}\) für \(k=0\) oder \(\vec{a}=\vec{0}\).

- Betrachte jede Koordinate des Vektors einzeln. - Wie hängen die entsprechenden Einträge zweier Vektoren zusammen, wenn der eine aus dem anderen durch Multiplikation mit einer Zahl entsteht? - Nutze eine bekannte Koordinate, um den Streckungsfaktor zu berechnen, und wende diesen dann auf die anderen Koordinaten an.

1. Zur Bestimmung von \(r\) wird die Gleichung \(\begin{pmatrix} -9 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) komponentenweise betrachtet: \(-9 = 3r\), \(3 = -r\) und \(-6 = 2r\). Alle drei Gleichungen liefern \(r = -3\). 2. Analog für \(s\): \(1{,}5 = 3s\), \(-0{,}5 = -s\) und \(1 = 2s\). Hier ergibt sich für alle Komponenten \(s = 0{,}5\). 3. Damit \(\vec{d} = k \cdot \vec{a}\) gilt, muss für die \(x_2\)-Komponente gelten: \(4 = k \cdot (-1)\), woraus \(k = -4\) folgt. 4. Einsetzen von \(k\) in die übrigen Komponenten liefert \(x = -4 \cdot 3 = -12\) und \(z = -4 \cdot 2 = -8\).

a) \(r = -3\); \(s = 0{,}5\) b) \(x = -12\); \(z = -8\)

- Bilde die Verbindungsvektoren als Endpunkt minus Anfangspunkt. - Addiere die Komponenten von \(\vec{AB}\) und \(\vec{BC}\) getrennt. - Welche direkte Verschiebung verbindet den Anfang von \(\vec{AB}\) mit dem Ende von \(\vec{BC}\)?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-7\\3\\6\end{pmatrix}\). 2. Damit ist \(\vec{s}=\begin{pmatrix}-3\\7\\3\end{pmatrix}\). 3. Außerdem gilt \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-3\\7\\3\end{pmatrix}\). Daher ist \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\): Die beiden aufeinanderfolgenden Verschiebungen von \(A\) nach \(B\) und von \(B\) nach \(C\) ergeben dieselbe Gesamtverschiebung wie der direkte Weg von \(A\) nach \(C\).

1. \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-7\\3\\6\end{pmatrix}\) 2. \(\vec{s}=\begin{pmatrix}-3\\7\\3\end{pmatrix}\) 3. \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-3\\7\\3\end{pmatrix}\). Daher gilt \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\): Die beiden aufeinanderfolgenden Wege \(A\to B\) und \(B\to C\) ergeben dieselbe Gesamtverschiebung wie der direkte Weg \(A\to C\).

- Erinnerst du dich, wie man ein Minuszeichen vor einem Vektor durch Vertauschen der Buchstaben ersetzen kann? - Was bedeutet es für die Verschiebung, wenn eine Vektorkette genau dort endet, wo sie begonnen hat? - Du kannst die Dreiecksregel mehrmals hintereinander anwenden.

1. Anwendung der Dreiecksregel in Schritten: \(\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}\). Dann folgt \(\vec{PR} + \vec{RS} = \vec{PS}\). 2. Umformung des Gegenvektors: \(-\vec{CB} = \vec{BC}\). Einsetzen in die Gleichung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Somit ist \(\vec{x} = \vec{AC}\). 3. Sukzessive Vereinfachung: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Damit ergibt sich \(\vec{AC} + \vec{CA}\). Da \(\vec{CA}\) der Gegenvektor zu \(\vec{AC}\) ist, gilt \(\vec{AC} + (-\vec{AC}) = \vec{0}\) (Nullvektor). Geometrisch kehrt man zum Ausgangspunkt \(A\) zurück, die Gesamtverschiebung ist also null.

1. \(\vec{PS}\) 2. \(\vec{x} = \vec{AC}\) 3. \(\vec{0}\) (Nullvektor). Begründung: Da Start- und Endpunkt der Kette identisch sind (\(A\)), findet netto keine Verschiebung statt.

- Welche Wirkung hat die Multiplikation eines Vektors mit \(-1\)? - Vergleiche in b) jede Komponente mit der entsprechenden Komponente des Gegenvektors. - Formuliere die beobachtete Vorzeichenregel anschließend für einen beliebigen Vektor.

1. Der Gegenvektor entsteht durch Multiplikation mit \(-1\). Daher ist \(-\vec{a}=\begin{pmatrix}-7\\2{,}5\\-k\end{pmatrix}\). 2. Bei der Addition heben sich alle Komponenten paarweise auf: \(\vec{a}+(-\vec{a})=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}=\vec{0}\). Das gilt für jeden Wert von \(k\), weil auch \(k+(-k)=0\) ist. 3. Allgemein ist \(-\vec{v}=\begin{pmatrix}-v_1\\-v_2\\-v_3\end{pmatrix}\).

a) \(-\vec{a}=\begin{pmatrix}-7\\2{,}5\\-k\end{pmatrix}\) b) \(\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}\) für jedes \(k\), weil sich auch die dritte Komponente zu \(k+(-k)=0\) aufhebt. c) Jede Komponente wechselt ihr Vorzeichen: \(-\vec{v}=\begin{pmatrix}-v_1\\-v_2\\-v_3\end{pmatrix}\).

- Bestimme zunächst den gerichteten Weg von \(P\) nach \(Q\). - Ein Gegenvektor beschreibt dieselbe Länge in entgegengesetzter Richtung. - Berechne \(\vec{QP}\) unabhängig und vergleiche danach beide Vektoren komponentenweise.

1. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\6\\-4\end{pmatrix}\). 2. Der Gegenvektor ist \(-\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-4\\-6\\4\end{pmatrix}\). 3. Außerdem gilt \(\vec{QP}=\begin{pmatrix}-4\\-6\\4\end{pmatrix}\). Daher ist \(\vec{QP}=-\vec{PQ}\).

a) \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\6\\-4\end{pmatrix}\) b) \(-\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-4\\-6\\4\end{pmatrix}\) c) \(\vec{QP}=-\vec{PQ}\)

- Wie wirkt sich die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl auf seine Länge und Richtung aus? - Wie hängen die Koordinaten eines Bildpunktes mit dem ursprünglichen Punkt und dem Verschiebungsvektor zusammen? - Kannst du die Verschiebung als Vektoraddition beschreiben?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) ergibt sich durch die Skalarmultiplikation des Vektors \(\vec{u}\) mit dem Faktor \(2\), da er dieselbe Richtung hat und doppelt so lang ist: \(\vec{v} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Die Bildpunkte werden berechnet, indem der Verschiebungsvektor zu den Ortsvektoren der ursprünglichen Punkte addiert wird: \(\vec{a}' = \vec{a} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \implies A'(5 \mid -4 \mid -1)\). \(\vec{b}' = \vec{b} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \implies B'(3 \mid 0 \mid 2)\). \(\vec{c}' = \vec{c} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} \implies C'(0 \mid -2 \mid 5)\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) b) \(A'(5 \mid -4 \mid -1)\), \(B'(3 \mid 0 \mid 2)\), \(C'(0 \mid -2 \mid 5)\)

- Verfolge die Lage des Punktes nach jeder der beiden Verschiebungen getrennt. - Vergleiche den gesamten Weg \(A\to B\to C\) mit dem direkten Weg \(A\to C\). - Welche Beziehung erwartest du zwischen den beiden nacheinander ausgeführten Verschiebungen und der direkten Verschiebung?

1. Es gilt \(B=A+\vec{v}=(4\mid3\mid6)\). 2. Danach ist \(C=B+\vec{w}=(5\mid-1\mid12)\). 3. Die direkte Verschiebung ist die Summe \(\vec{u}=\vec{v}+\vec{w}=\begin{pmatrix}-2\\1\\8\end{pmatrix}\).

1. \(B(4\mid3\mid6)\) 2. \(C(5\mid-1\mid12)\) 3. \(\vec{u}=\begin{pmatrix}-2\\1\\8\end{pmatrix}\)

- Welche Änderung der Koordinaten führt von \(P\) nach \(Q\)? - Überlege, wie der Faktor \(3\) denselben Verschiebungsweg verändert. - Kontrolliere den Punkt \(R\), indem du den Vektor von \(P\) nach \(R\) mit dem ursprünglichen Verschiebungsvektor vergleichst.

1. Es gilt \(\vec{v}=\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3\\-3\\6\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(3\vec{v}=\begin{pmatrix}9\\-9\\18\end{pmatrix}\). 3. Mit \(R=P+3\vec{v}\) folgt \(R(11\mid-9\mid13)\).

1. \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-3\\6\end{pmatrix}\) 2. \(R(11\mid-9\mid13)\)

- Wie hängen Startpunkt, Verschiebungsvektor und Endpunkt zusammen? - Welche Umkehroperation führt vom bekannten Endpunkt zurück zum Startpunkt? - Prüfe bei der zweiten Komponente besonders das Vorzeichen des Verschiebungsvektors.

1. Für die Verschiebung gilt \(\vec{OP}+\vec{v}=\vec{OL}\). 2. Daher ist \(\vec{OP}=\vec{OL}-\vec{v}=\begin{pmatrix}4\\15\\20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}12\\-8\\5\end{pmatrix}\). 3. Komponentenweise ergibt sich \(x_1=4-12=-8\), \(x_2=15-(-8)=23\) und \(x_3=20-5=15\). 4. Somit lautet der Startpunkt \(P(-8\mid23\mid15)\).

\(P(-8\mid23\mid15)\)

- Welche Verschiebung führt von \(A\) nach \(B\)? - Lege denselben Vektor am Punkt \(C\) an. - Wie lautet der Vektor für die genau entgegengesetzte Verschiebung?

1. Es gilt \(\vec{v}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\8\\-5\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(D=C+\vec{v}=(-6\mid10\mid-4)\). 3. Die Rückverschiebung ist der Gegenvektor: \(\vec{u}=-\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-8\\5\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-3\\8\\-5\end{pmatrix}\) b) \(D(-6\mid10\mid-4)\) c) \(\vec{u}=-\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-8\\5\end{pmatrix}\)

- Vergleiche \(A\) mit dem zugehörigen Punkt \(A'\), um die gemeinsame Verschiebung zu bestimmen. - Welche Koordinaten ändern sich beim Übergang von der Grund- zur Deckfläche? - Wende denselben Verschiebungsvektor auf \(B\) und \(C\) an.

1. Der Verschiebungsvektor ist \(\vec{v}=\overrightarrow{AA'}=\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}\). 2. Für die Deckpunkte gilt \(\vec{OB'}=\vec{OB}+\vec{v}=\begin{pmatrix}6\\1\\9\end{pmatrix}\) und \(\vec{OC'}=\vec{OC}+\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}\). 3. Damit sind \(B'(6\mid1\mid9)\) und \(C'(2\mid4\mid9)\).

a) \(\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\0\\8\end{pmatrix}\) b) \(B'(6\mid1\mid9)\) und \(C'(2\mid4\mid9)\)

- Wie addiert oder subtrahiert man Vektoren komponentenweise? - Was bedeutet es grafisch oder rechnerisch, einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn du einen Vektor subtrahierst, der negative Komponenten hat. - Kannst du die Rechnung Schritt für Schritt für jede Zeile einzeln durchführen?

1. Komponentenweise Addition und Subtraktion für \(\vec{u}\): \(4 + (-3) - 1 = 0\), \(-2 + 5 - 1 = 2\) und \(7 + 0 - (-2) = 9\). Daraus folgt \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Skalarmultiplikation von \(\vec{c}\) mit \(3\): \(3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\). 3. Addition zum Vektor \(\vec{a}\) für \(\vec{v}\): \(3 + 4 = 7\), \(3 + (-2) = 1\) und \(-6 + 7 = 1\). Daraus folgt \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

- Wie verhalten sich Vorzeichen in Vektortermen im Vergleich zu Termen mit Variablen wie \(x\) und \(y\)? - Was stellt der Vektor \(\vec{b} - \vec{a}\) dar, wenn du von einem Punkt zum anderen läufst? - Stell dir vor, du stehst an einem Punkt und gehst einen Schritt vor und dann denselben Schritt wieder zurück. - Ein Minuszeichen vor einem Klammerausdruck kann als Multiplikation mit \(-1\) aufgefasst werden.

1. Auflösen der Klammer unter Beachtung der Vorzeichenregeln: \(\vec{b} - \vec{b} + \vec{a}\). Da \(\vec{b} - \vec{b} = \vec{0}\) ist, bleibt der Vektor \(\vec{a}\) übrig. 2. Der Differenzvektor \(\vec{b} - \vec{a}\) entspricht dem Verbindungsvektor \(\vec{AB}\), der von Punkt \(A\) zu Punkt \(B\) führt. Zieht man diesen Weg vom Ortsvektor des Zielpunktes \(B\) ab, gelangt man zurück zum Ausgangspunkt \(A\). 3. Der Ausdruck \(-(\vec{a} - \vec{b})\) ist der Gegenvektor zur Differenz \(\vec{a} - \vec{b}\). Da \(\vec{a} - \vec{b}\) der Vektor von \(B\) nach \(A\) ist (\(\vec{BA}\)), muss sein Gegenvektor der Vektor von \(A\) nach \(B\) sein, welcher gerade durch \(\vec{b} - \vec{a}\) definiert ist. Alternativ: \(-(\vec{a} - \vec{b}) = -1 \cdot \vec{a} - (-1) \cdot \vec{b} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}\).

1. \(\vec{a}\) 2. Subtrahiert man den Verbindungsvektor \(\vec{AB}\) vom Ortsvektor des Punktes \(B\), erhält man den Ortsvektor des Punktes \(A\). 3. Da \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}\) ist, entspricht \(-(\vec{a} - \vec{b})\) dem Gegenvektor \(\vec{AB}\), welcher als \(\vec{b} - \vec{a}\) berechnet wird.

- Wie gehst du bei Termen mit Klammern normalerweise vor? - Was musst du beachten, wenn du zwei Vektoren voneinander subtrahierst? - Achte besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minus vor einer negativen Zahl steht. - Kannst du die Rechnung für jede Zeile (Komponente) einzeln durchführen?

1. Berechnung des Ausdrucks in der Klammer (komponentenweise Subtraktion): \(\begin{pmatrix} 8 - (-5) \\ -4 - 2 \\ 7 - 11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ -6 \\ -4 \end{pmatrix}\) 2. Addition des ersten Vektors zum Zwischenergebnis: \(\begin{pmatrix} -12 + 13 \\ 5 + (-6) \\ -3 + (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -7 \end{pmatrix}\)

- Berechne zuerst die beiden Klammern getrennt. - Achte bei den Dezimalzahlen besonders auf die Vorzeichen. - Behandle erste, zweite und dritte Komponente jeweils als eigene Rechnung.

1. Die erste Klammer ergibt \(\begin{pmatrix}5{,}0\\-4{,}3\\-3{,}7\end{pmatrix}\). 2. Die zweite Klammer ergibt \(\begin{pmatrix}3{,}4\\-4{,}3\\-3{,}7\end{pmatrix}\). 3. Die Differenz ist \(\begin{pmatrix}5{,}0-3{,}4\\-4{,}3-(-4{,}3)\\-3{,}7-(-3{,}7)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}6\\0\\0\end{pmatrix}\).

\(\begin{pmatrix}1{,}6\\0\\0\end{pmatrix}\)

- Bestimme zunächst zwei gleich orientierte gegenüberliegende Seitenvektoren. - Woran erkennst du an zwei Vektoren, dass die zugehörigen Seiten parallel sind? - Welche zusätzliche Eigenschaft müsste für ein Parallelogramm gelten?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Wegen \(\vec{AB}=2\vec{DC}\) sind die Seiten \(AB\) und \(DC\) parallel. Damit ist das Viereck ein Trapez. 3. Da \(\vec{AB}\neq\vec{DC}\), sind diese gegenüberliegenden Seiten nicht gleich lang; das Viereck ist kein Parallelogramm und damit auch keine Raute.

\(ABCD\) ist ein Trapez, aber kein Parallelogramm und keine Raute.

- Vergleiche die drei Komponenten von \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\). - Welcher einzelne Faktor verändert alle drei Komponenten auf dieselbe Weise? - Überlege, wie sich ein negativer Faktor auf die Richtung eines Pfeils auswirkt.

1. Alle drei Komponenten von \(\vec{w}\) entstehen durch Multiplikation der entsprechenden Komponente von \(\vec{v}\) mit \(-1\). 2. Daher gilt \(\vec{w}=-\vec{v}\), also \(k=-1\). 3. Der Faktor \(-1\) kehrt die Richtung eines von \(\vec{0}\) verschiedenen Vektors um. Der reflektierte Lichtstrahl hat daher die entgegengesetzte Richtung zum einfallenden Strahl.

a) \(\vec{w}=-\vec{v}\), also \(k=-1\). b) Der Faktor \(-1\) bedeutet: Der reflektierte Strahl hat die entgegengesetzte Richtung zum einfallenden Strahl.

- Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl? - Kannst du die Vektorgleichung wie eine normale Gleichung nach der Unbekannten umstellen? - Achte beim Subtrahieren besonders auf die Vorzeichen, wenn eine Komponente negativ ist.

1. Berechnung von \(5 \cdot \vec{a}\) und \(2 \cdot \vec{b}\): \(5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ -15 \\ 5 \end{pmatrix}\) und \(2 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Ergebnisse: \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 10 - 8 \\ -15 - 2 \\ 5 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\). 2. Umstellen der Gleichung nach \(\vec{x}\): \(2 \cdot \vec{x} = \vec{c} - \vec{a} - \vec{b}\). Berechnung von \(\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 + 4 \\ -3 + 1 \\ 1 + (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}\). Subtraktion der Summe \(\vec{a} + \vec{b}\) von \(\vec{c}\): \(2 \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}\). Division durch 2: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -17 \\ 9 \end{pmatrix}\) b) \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -2{,}5 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}\)

- Verfolge einen Weg aus zwei aufeinanderfolgenden Verschiebungen, der bei \(O\) beginnt. - Nutze Beschriftung und Richtung der gestrichelten Strecke, um zu erkennen, welcher Vektor an \(A\) angesetzt wurde. - Vergleiche den Endpunkt dieses Verschiebungswegs mit dem Endpunkt des direkten Vektors von \(O\).

1. Von \(O\) nach \(A\) wird zuerst um \(\vec{a}\) verschoben. Die gestrichelte Strecke von \(A\) nach \(C\) stellt anschließend denselben Vektor \(\vec{b}\) dar wie \(\overrightarrow{OB}\). 2. Damit führt der Weg \(O\to A\to C\) insgesamt die Verschiebung \(\vec{a}+\vec{b}\) aus. 3. Der direkte Verbindungsvektor vom gemeinsamen Anfangspunkt \(O\) zum Endpunkt \(C\) ist deshalb \(\overrightarrow{OC}\). 4. Somit gilt \(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OC}\).

\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OC}\)

- Lies zuerst die Verschiebung von \(A\) nach \(B\) aus dem Koordinatensystem ab. - Was bewirkt das Minuszeichen am Skalarfaktor für die Richtung, und was bewirkt der Betrag \(2\) für die Länge? - Setze den skalierten Vektor anschließend am Punkt \(C\) an.

1. Aus dem Bild liest man \(A(-2\mid-1)\) und \(B(0\mid0)\). Daher ist \(\vec{v}=\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\). 2. Durch die Multiplikation mit \(-2\) kehrt sich die Richtung um und die Länge verdoppelt sich: \(-2\vec{v}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}\). 3. Der Startpunkt ist \(C(3\mid2)\). Somit ist \(D=C+(-2\vec{v})=(-1\mid0)\).

\(D(-1\mid0)\)

- Stelle dir vor, wie sich die Länge der Diagonale in einem von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramm verändert, wenn du den Winkel zwischen den Vektoren variierst. - Was passiert mit der Gesamtlänge, wenn du zwei Wege direkt hintereinander in genau dieselbe Richtung gehst? - Erinnere dich an die Eigenschaft von Dreiecksseiten: Kann eine Seite länger sein als die beiden anderen zusammen?

1. Der maximale Wert der Summe \(|\vec{a} + \vec{b}|\) ist die Summe der Einzelbeträge: \(7 + 4 = 11\). Der minimale Wert ergibt sich, wenn die Vektoren entgegengesetzt gerichtet sind: \(|7 - 4| = 3\). Der Bereich ist somit \([3; 11]\). 2. Der maximale Wert von \(11\) wird erreicht, wenn die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) kollinear und gleichgerichtet sind (d. h. sie zeigen in dieselbe Richtung). 3. Geometrisch betrachtet bilden die Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{a} + \vec{b}\) ein (evtl. entartetes) Dreieck. Da in jedem Dreieck die Länge einer Seite höchstens so groß wie die Summe der Längen der anderen beiden Seiten ist, gilt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Mit den gegebenen Werten folgt \(|\vec{a} + \vec{b}| \leq 7 + 4 = 11\).

1. Minimum: \(3\); Maximum: \(11\) 2. Die Vektoren müssen gleichgerichtet sein. 3. Gemäß der Dreiecksungleichung ist die Seite \(|\vec{a} + \vec{b}|\) im Vektordreieck höchstens so lang wie die Summe der Seitenlängen \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\).

- Bestimme die benötigten Verbindungsvektoren als Endpunkt minus Anfangspunkt. - Rechne bei a) und b) komponentenweise. - Kannst du die Vektorkette in c) zuerst geometrisch zusammenfassen, bevor du Komponenten berechnest?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}\), \(\vec{RS}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\6\end{pmatrix}\) und \(\vec{QS}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\-4\end{pmatrix}\). 2. Daher ist \(\vec{u}=\begin{pmatrix}4\\-8\\4\end{pmatrix}\). 3. Weiter gilt \(\vec{v}=2\begin{pmatrix}-3\\-3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3\\-3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\16\end{pmatrix}\). 4. Die Vektorkette in c) vereinfacht sich zu \(\vec{PS}+\vec{SR}+\vec{RQ}=\vec{PR}+\vec{RQ}=\vec{PQ}\). Somit ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{u}=\begin{pmatrix}4\\-8\\4\end{pmatrix}\) b) \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\16\end{pmatrix}\) c) \(\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}\)

- Was ist die Summe einer Vektorkette, die wieder am Startpunkt endet? - Bestimme für b) zuerst den Vektor auf der rechten Seite der Gleichung. - Wie erhältst du aus dem Startpunkt \(A\) und dem Vektor \(\vec{AD}\) den Endpunkt \(D\)?

1. Die Vektoren in a) bilden einen geschlossenen Weg von \(A\) über \(B\) und \(C\) zurück nach \(A\). Daher ist ihre Summe \(\vec{0}\). 2. Rechnerisch sind \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\3\\-3\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-6\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{CA}=\begin{pmatrix}3\\-5\\1\end{pmatrix}\); ihre Summe ist ebenfalls \(\vec{0}\). 3. Für b) gilt \(\vec{AD}=\vec{BC}-2\vec{AB}=\begin{pmatrix}-12\\-4\\8\end{pmatrix}\). 4. Daher ist \(D=A+\vec{AD}=(-10\mid-5\mid11)\).

a) \(\vec{x}=\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\); die Vektorkette ist geschlossen. b) \(D(-10\mid-5\mid11)\)

- Achte beim Auflösen von Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Du kannst Vektoren wie Variablen in der Algebra behandeln, solange du nur Addition, Subtraktion und die Multiplikation mit einer Zahl betrachtest. - Es hilft oft, zuerst alle Klammern von innen nach außen aufzulösen und dann die Koeffizienten gleicher Vektoren zu addieren.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Klammern ergibt \(3 \cdot \vec{x} - 6 \cdot \vec{y} + 4 \cdot \vec{y} - 4 \cdot \vec{z} - 2 \cdot \vec{x} + 4 \cdot \vec{z}\). Zusammenfassen der Koeffizienten führt zu \((3-2) \cdot \vec{x} + (-6+4) \cdot \vec{y} + (-4+4) \cdot \vec{z} = \vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\). 2. Teilaufgabe b): Multiplikation mit den Skalaren liefert \(2 \cdot \vec{a} - 3 \cdot \vec{b} - \vec{a} + 5 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{a}\). Ordnen nach Vektoren ergibt \((2-1+3) \cdot \vec{a} + (-3+5) \cdot \vec{b} = 4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\). 3. Teilaufgabe c): Zuerst Vereinfachen der inneren eckigen Klammer: \(2 \cdot \vec{u} + 6 \cdot \vec{v} - 4 \cdot \vec{v} + 4 \cdot \vec{u} = 6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}\). Subtraktion vom äußeren Term: \(5 \cdot \vec{u} - (6 \cdot \vec{u} + 2 \cdot \vec{v}) = -\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\).

a) \(\vec{x} - 2 \cdot \vec{y}\) b) \(4 \cdot \vec{a} + 2 \cdot \vec{b}\) c) \(-\vec{u} - 2 \cdot \vec{v}\)

- Denke daran, dass ein Minus vor einer Klammer alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehrt. - Multipliziere den Skalar vor der Klammer mit jedem einzelnen Vektor innerhalb der Klammer. - Wenn das Ergebnis einer Vektorsumme den Koeffizienten Null hat, fällt dieser Vektor im Endergebnis weg.

1. Teilaufgabe a): Auflösen der Vorzeichen und Klammern ergibt \(-\vec{r} + \vec{s} + 2 \cdot \vec{r} + 2 \cdot \vec{s} - 3 \cdot \vec{s} + 3 \cdot \vec{r}\). Gruppieren der Terme ergibt \((-1+2+3) \cdot \vec{r} + (1+2-3) \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r} + 0 \cdot \vec{s} = 4 \cdot \vec{r}\). 2. Teilaufgabe b): Ausmultiplizieren beider Klammern liefert \(6 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 8 \cdot \vec{c} - 5 \cdot \vec{a} - 2 \cdot \vec{b} + 5 \cdot \vec{c}\). Zusammenfassen der jeweiligen Vektorkomponenten führt zu \((6-5) \cdot \vec{a} + (-2-2) \cdot \vec{b} + (8+5) \cdot \vec{c} = \vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\).

a) \(4 \cdot \vec{r}\) b) \(\vec{a} - 4 \cdot \vec{b} + 13 \cdot \vec{c}\)

- Welche Strecke legt der Hubschrauber in \(6\) Minuten bei \(120\,\text{km/h}\) zurück? - Der Richtungsvektor legt nur das Verhältnis der drei Richtungsanteile fest. Nutze seine angegebene Länge, um die passende Verschiebung zu bestimmen. - Wie erhältst du aus Startpunkt und Verschiebung die neue Position?

1. Damit der Geschwindigkeitsvektor die Länge \(120\) hat, wird \(\vec{v}\) mit \(\frac{120}{5}=24\) skaliert. Somit ist \(\vec{v}_{\text{h}}=24\vec{v}=\begin{pmatrix}72\\96\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 2. Es gilt \(6\,\text{min}=0{,}1\,\text{h}\). In dieser Zeit beträgt die Verschiebung \(0{,}1\vec{v}_{\text{h}}=\begin{pmatrix}7{,}2\\9{,}6\\0\end{pmatrix}\,\text{km}\). 3. Addiert man diese Verschiebung zum Startpunkt, erhält man \(P'(17{,}2\mid29{,}6\mid0{,}5)\).

\(P'(17{,}2\mid29{,}6\mid0{,}5)\)

- Welche Strecke legt die Drohne in \(15\) Sekunden bei \(5\,\text{m/s}\) zurück? - Der Vektor \(\vec{r}\) legt die Flugrichtung fest. Seine angegebene Länge hilft dir, daraus die Verschiebung für die Flugzeit zu bestimmen. - Welche Koordinate der Endposition beschreibt anschließend die Höhe?

1. Damit der Geschwindigkeitsvektor die Länge \(5\) hat, wird \(\vec{r}\) mit \(\frac{5}{3}\) skaliert. Somit ist \(\vec{v}=\frac{5}{3}\vec{r}=\begin{pmatrix}\frac{10}{3}\\\frac{5}{3}\\\frac{10}{3}\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). 2. In \(15\) Sekunden ergibt sich die Verschiebung \(15\vec{v}=\begin{pmatrix}50\\25\\50\end{pmatrix}\,\text{m}\). 3. Daher befindet sich die Drohne bei \(A'(62\mid33\mid52)\). Die Höhe beträgt \(52\,\text{m}\).

Position: \(A'(62\mid33\mid52)\) Höhe: \(52\,\text{m}\)

- Wie kannst du einen Vektor zwischen zwei Mittelpunkten als Summe anderer Vektoren schreiben? - Erinnere dich an die Definition eines Mittelpunkts mithilfe von Skalarmultiplikation. - Welche Eigenschaft müssen zwei gegenüberliegende Seitenvektoren in einem Parallelogramm erfüllen? - Kannst du eine Diagonale des äußeren Vierecks nutzen, um die inneren Vektoren zu vergleichen?

1. Ausdruck der Vektoren der Seiten des inneren Vierecks durch die Eckpunkte des äußeren Vierecks: \(\vec{PQ} = \vec{PB} + \vec{BQ}\). 2. Verwendung der Mittelpunkteigenschaft: \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC})\). 3. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ABC\): \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 4. Analoge Rechnung für die gegenüberliegende Seite \(\vec{SR}\): \(\vec{SR} = \vec{SD} + \vec{DR} = \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{DC} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{DC})\). 5. Anwendung der Vektoraddition im Dreieck \(ADC\): \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). 6. Schlussfolgerung: Da \(\vec{PQ} = \vec{SR}\) gilt, sind die Seiten \(PQ\) und \(SR\) parallel und gleich lang, woraus folgt, dass \(PQRS\) ein Parallelogramm ist.

Durch die Vektoraddition ergibt sich \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}\) und \(\vec{SR} = \frac{1}{2}\vec{AC}\). Da die gegenüberliegenden Seitenvektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{SR}\) identisch sind, ist das Viereck \(PQRS\) ein Parallelogramm.

- Addiere jeweils die Geschwindigkeit des Schwimmers relativ zum Wasser und die Strömungsgeschwindigkeit. - Welche Komponente bestimmt die Bewegung zum gegenüberliegenden Ufer, welche den Abtrieb entlang des Ufers? - Prüfe in c), was mit der ersten Komponente der resultierenden Geschwindigkeit geschieht.

1. In a) addieren sich Schwimm- und Strömungsgeschwindigkeit zu \(\vec{v}_r=\vec{v}_s+\vec{v}_w=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). 2. Für die Überquerung ist die zweite Komponente \(1{,}0\,\text{m/s}\) entscheidend. Daher beträgt die Zeit \(100\,\text{s}\). In dieser Zeit führt die erste Komponente zu einem Abtrieb von \(60\,\text{m}\). 3. In c) gilt \(\vec{v}_h+\vec{v}_w=\begin{pmatrix}0\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). Die erste Komponente ist null, also gibt es keinen Abtrieb. 4. Mit der zweiten Komponente \(0{,}8\,\text{m/s}\) beträgt die Überquerungszeit \(\frac{100}{0{,}8}=125\,\text{s}\).

a) \(\vec{v}_r=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\) b) \(100\,\text{s}\); Abtrieb: \(60\,\text{m}\) c) \(\begin{pmatrix}0\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\); Überquerungszeit: \(125\,\text{s}\)

- Bestimme zuerst die Verbindungsvektoren, die in den beiden Bedingungen vorkommen. - Wie erhältst du aus einem bekannten Anfangspunkt und einem Verbindungsvektor den Endpunkt? - Behandle die beiden Bedingungen unabhängig voneinander und kontrolliere jeweils den resultierenden Verbindungsvektor.

1. Zunächst werden die benötigten Verbindungsvektoren bestimmt: \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-5\\6\\5\end{pmatrix}\). 2. Zu a): Aus \(\vec{CD}=\vec{AB}\) folgt \(\vec{OD}=\vec{OC}+\vec{AB}=\begin{pmatrix}0\\4\\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\4\end{pmatrix}\). Also ist \(D(4\mid0\mid4)\). 3. Zu b): \(\vec{AD}=2\cdot\begin{pmatrix}4\\-4\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\\6\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-14\\-9\end{pmatrix}\). 4. Damit ist \(\vec{OD}=\vec{OA}+\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}13\\-14\\-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14\\-12\\-6\end{pmatrix}\). Also ist \(D(14\mid-12\mid-6)\).

a) \(D(4\mid0\mid4)\) b) \(D(14\mid-12\mid-6)\)

- Was passiert mit einer Koordinate, die Null ist, wenn man den Vektor mit einer Zahl multipliziert? - Ein Vektor ist nur dann ein Vielfaches eines anderen, wenn für alle drei Koordinatengleichungen derselbe Faktor \(k\) existiert. - Um eine allgemeine mathematische Behauptung zu widerlegen, reicht ein einziges passendes Gegenbeispiel aus.

1. Für \(\vec{v} = k \cdot \vec{u}\) müsste gelten: \(10 = 5k \Rightarrow k = 2\) und \(-4 = -2k \Rightarrow k = 2\). Jedoch fordert die zweite Komponente \(2 = k \cdot 0\), was für keine reelle Zahl \(k\) lösbar ist. Somit ist \(\vec{v}\) kein Vielfaches von \(\vec{u}\). 2. Für \(\vec{p} = k \cdot \vec{q}\) betrachte die dritte Komponente: \(15 = 5k \Rightarrow k = 3\). Damit folgt \(m = 3 \cdot (-2) = -6\) und \(n = 3 \cdot 4 = 12\). 3. Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel sind die Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\). Beide haben nur positive Komponenten, aber das Verhältnis der Komponenten ist nicht konstant (\(1:3 \neq 2:2\)), weshalb kein gemeinsamer Faktor \(k\) existiert.

a) Widerspruch in der zweiten Komponente: \(2 = k \cdot 0\) ist nicht lösbar. b) \(m = -6\); \(n = 12\) c) Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\).

- Wie berechnet man den Vektor zwischen zwei gegebenen Punkten? - Wenn du weißt, wie ein Punkt verschoben wird, wie kommst du dann vom Ergebnis zurück zum Startpunkt? - Was passiert mathematisch mit jeder einzelnen Koordinate eines Punktes bei einer Verschiebung?

1. Der Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) entspricht dem Verbindungsvektor von \(P\) nach \(Q\): \(\vec{v} = \vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \begin{pmatrix} 0-2 \\ 8-5 \\ 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für den Bildpunkt \(R'\) gilt: \(\vec{r}' = \vec{r} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}\). Somit ist \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\). 3. Um den ursprünglichen Punkt \(S\) zu finden, muss der Verschiebungsvektor vom Bildpunkt abgezogen werden (Umkehrung): \(\vec{s} = \vec{s}' - \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\). Somit ist \(S(0 \mid 7 \mid 1)\). 4. Die allgemeine Abbildungsvorschrift lautet: \(\vec{x}' = \vec{x} + \vec{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\).

a) \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(R'(2 \mid 4 \mid 6)\) c) \(S(0 \mid 7 \mid 1)\) d) \(\vec{x}' = \begin{pmatrix} x_1 - 2 \\ x_2 + 3 \\ x_3 + 4 \end{pmatrix}\)

- Deute die Vektoren als aufeinanderfolgende Wege zwischen den Punkten \(A\), \(B\) und \(C\). - Was bedeutet es als Gesamtweg, wenn du bei einem Punkt startest und zu demselben Punkt zurückkehrst? - Wie kannst du eine Subtraktion von Vektoren als Addition schreiben und die Summanden danach zu einem zusammenhängenden Weg ordnen?

1. Es gilt \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\). Daher wird die Summe in a) zu \(\vec{AC}+\vec{CA}\). 2. Wegen \(\vec{CA}=-\vec{AC}\) folgt \(\vec{AC}+\vec{CA}=\vec{0}\). 3. In b) ist \(-\vec{AB}=\vec{BA}\). Somit gilt \(\vec{x}=\vec{AC}+\vec{BA}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}\).

a) \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\) und \(\vec{CA}=-\vec{AC}\). Daher \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}=\vec{AC}-\vec{AC}=\vec{0}\). b) \(-\vec{AB}=\vec{BA}\). Somit \(\vec{x}=\vec{AC}-\vec{AB}=\vec{AC}+\vec{BA}=\vec{BA}+\vec{AC}=\vec{BC}\).

- Fasse die beiden Verschiebungen zuerst zu einem Vektor zusammen. - Welche Umkehroperation führt vom bekannten Endpunkt zurück zum Startpunkt? - Kontrolliere dein Ergebnis, indem du beide Verschiebungen wieder ausführst.

1. Die Gesamtverschiebung ist \(\vec{s}=\vec{u}+\vec{w}=\begin{pmatrix}2\\3\\-4\end{pmatrix}\). 2. Um zum Startpunkt zurückzugehen, wird diese Verschiebung vom Endpunkt abgezogen. 3. Daher ist \(A=E-\vec{s}=(-1\mid4\mid2)\).

\(A(-1\mid4\mid2)\)

- Welche Verschiebung führt vom gegebenen Punkt zum Ursprung? - Wie machst du eine bekannte Verschiebung rückgängig? - Welche Summe müssen zwei Verschiebungsvektoren haben, wenn der Endpunkt wieder der Startpunkt ist?

1. Für a) gilt \(\vec{a}=\vec{PO}=-\vec{OP}=\begin{pmatrix}-2{,}5\\5\\-7{,}2\end{pmatrix}\). 2. In b) wird die Verschiebung rückgängig gemacht: \(M=M'-\vec{b}=(2{,}7\mid3{,}5\mid-4{,}3)\). 3. Damit die beiden Verschiebungen zusammen keine Änderung bewirken, muss \(\vec{v}_1+\vec{v}_2=\vec{0}\) gelten. Also ist \(\vec{v}_2=-\vec{v}_1\).

a) \(\vec{a}=\begin{pmatrix}-2{,}5\\5\\-7{,}2\end{pmatrix}\) b) \(M(2{,}7\mid3{,}5\mid-4{,}3)\) c) \(\vec{v}_1+\vec{v}_2=\vec{0}\), also \(\vec{v}_2=-\vec{v}_1\).

- Erinnere dich daran, wie die Subtraktion von Vektoren über den Gegenvektor definiert ist. - Was passiert mit dem Vorzeichen, wenn du den Gegenvektor einer Summe bildest? - Überlege, was das doppelte Bilden eines Gegenvektors bewirkt. - Versuche, die Klammer von innen nach außen aufzulösen.

1. Die Subtraktion in der Klammer wird als Addition des Gegenvektors geschrieben: \(\vec{b} - \vec{c} = \vec{b} + (-\vec{c})\). 2. Die äußere Subtraktion wird ebenfalls umgeformt: \(\vec{a} - (\vec{b} + (-\vec{c})) = \vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\). 3. Der Gegenvektor einer Summe entspricht der Summe der Gegenvektoren: \(-(\vec{b} + (-\vec{c})) = (-\vec{b}) + (- (-\vec{c}))\). 4. Da der Gegenvektor eines Gegenvektors wieder der ursprüngliche Vektor ist (\(-(-\vec{c}) = \vec{c}\)), vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c}\). 5. Die Addition des Gegenvektors \((-\vec{b})\) wird wieder als Subtraktion geschrieben: \(\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

Die Gleichung wird begründet, indem \(\vec{a} - (\vec{b} - \vec{c})\) zu \(\vec{a} + (-(\vec{b} + (-\vec{c})))\) umgeformt wird. Durch Anwendung der Regel für den Gegenvektor einer Summe \(-(\vec{u} + \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v}\) und der Eigenschaft \(-(-\vec{c}) = \vec{c}\) ergibt sich \(\vec{a} + (-\vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\).

- Kannst du die Vektoren auf der linken Seite so zerlegen, dass der Punkt \(M\) vorkommt? - Was weißt du über die Vektoren von einem Mittelpunkt zu den Endpunkten der Strecke? - Versuche, die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zueinander in Beziehung zu setzen.

1. Darstellung der Vektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\) unter Einbeziehung des Punktes \(M\): \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\). 2. Addition der beiden Ausdrücke führt zu \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + \vec{MB} + \vec{MC}\). 3. Da \(M\) die Strecke \(BC\) halbiert, sind die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) entgegengesetzt gleich: \(\vec{MB} = -\vec{MC}\), woraus \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\) folgt. 4. Einsetzen liefert die Behauptung \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\).

Durch die Zerlegung \(\vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MB}\) und \(\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC}\) ergibt die Summe \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM} + (\vec{MB} + \vec{MC})\). Da \(M\) der Mittelpunkt von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\), woraus direkt \(\vec{AB} + \vec{AC} = 2 \cdot \vec{AM}\) folgt.

- Wie hängen Startpunkt, Verschiebung und Endpunkt in einer Gleichung zusammen? - Wenn du weißt, wo du angekommen bist und wie du dich bewegt hast, wie findest du dann heraus, wo du gestartet bist? - Addiere zuerst die beiden Einzelbewegungen zu einer Gesamtbewegung.

1. Die Gesamtverschiebung \(\vec{w}\) ergibt sich aus der Summe der Teilverschiebungen: \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 10+3 \\ -5+8 \\ 2-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Der Zusammenhang zwischen Startpunkt \(P\), Verschiebung \(\vec{w}\) und Endpunkt \(Q\) lautet: \(\vec{p} + \vec{w} = \vec{q}\). 3. Um den Startpunkt zu finden, subtrahiert man den Verschiebungsvektor vom Endpunkt: \(\vec{p} = \vec{q} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 18 \\ 12 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\).

1. \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 13 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\) 2. \(\vec{p} = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \\ 7 \end{pmatrix}\)

- Ein Prisma entsteht, wenn alle Punkte einer Grundfläche um denselben Vektor verschoben werden. - Welcher Grundpunkt zu \(S\) gehört, bestimmt den jeweiligen Verschiebungsvektor. - Welche Komponenten müsste ein Vektor haben, der senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Ebene steht?

1. Im Fall a) ist \(\vec{v}_1=\overrightarrow{PS}=\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}\). Damit folgen \(Q'(7\mid3\mid5)\) und \(R'(3\mid6\mid5)\). 2. Im Fall b) ist \(\vec{v}_2=\overrightarrow{QS}=\begin{pmatrix}-2\\2\\5\end{pmatrix}\). Damit folgen \(P'(-1\mid3\mid5)\) und \(R'(-1\mid6\mid5)\). 3. Die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene mit \(x_3=0\). Ein gerades Prisma hätte einen Verschiebungsvektor ohne \(x_1\)- und \(x_2\)-Anteil. Beide Verschiebungsvektoren besitzen jedoch von null verschiedene erste und zweite Komponenten, also stehen die Seitenkanten nicht senkrecht auf der Grundfläche.

a) \(\vec{v}_1=\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(S(3\mid3\mid5)\), \(Q'(7\mid3\mid5)\), \(R'(3\mid6\mid5)\) b) \(\vec{v}_2=\begin{pmatrix}-2\\2\\5\end{pmatrix}\); Deckpunkte: \(P'(-1\mid3\mid5)\), \(S(3\mid3\mid5)\), \(R'(-1\mid6\mid5)\) c) In beiden Fällen besitzt der Verschiebungsvektor Anteile in \(x_1\)- und \(x_2\)-Richtung und steht deshalb nicht senkrecht auf der \(x_1x_2\)-Grundfläche. Das Prisma ist schief.

- In a) gehst du mit der gegebenen Verschiebung vom Ausgangspunkt zum Bildpunkt. - In b) ist der Bildpunkt bekannt. Überlege, wie du dieselbe Verschiebung rückwärts verfolgst. - Berechne in c) beide Verbindungsvektoren unabhängig und vergleiche ihre Komponenten.

1. Es ist \(P'=P+\vec{v}=(1\mid5\mid6)\). 2. Für den Ausgangspunkt gilt \(Q=Q'-\vec{v}=(7\mid-4\mid1)\). 3. Damit ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\-5\\-4\end{pmatrix}\) und ebenso \(\vec{P'Q'}=\begin{pmatrix}4\\-5\\-4\end{pmatrix}\). 4. Eine gemeinsame Verschiebung beider Punkte verändert ihren Verbindungsvektor nicht.

a) \(P'(1\mid5\mid6)\) b) \(Q(7\mid-4\mid1)\) c) \(\vec{PQ}=\vec{P'Q'}=\begin{pmatrix}4\\-5\\-4\end{pmatrix}\)

- Welche gleich orientierten gegenüberliegenden Seitenvektoren sind im Parallelogramm gleich? - Bestimme den fehlenden Punkt zunächst über eine Seitenvektorgleichung. - Vergleiche danach die Mittelpunkte der Diagonalen \(AC\) und \(BD\).

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{DC}=\vec{AB}\) folgt \(D=C-\vec{AB}=(-2\mid1\mid1)\). 2. Der Mittelpunkt der Diagonale \(AC\) ist \(M_{AC}(1{,}5\mid1{,}5\mid1{,}5)\). 3. Der Mittelpunkt der Diagonale \(BD\) ist ebenfalls \(M_{BD}(1{,}5\mid1{,}5\mid1{,}5)\). 4. Beide Diagonalen haben also denselben Mittelpunkt und halbieren sich dort gegenseitig.

a) \(D(-2\mid1\mid1)\) b) Beide Diagonalen haben den Mittelpunkt \(M(1{,}5\mid1{,}5\mid1{,}5)\).

- Schreibe beide Vektoren zunächst mit drei allgemeinen Komponenten. - Wende das Distributivgesetz in jeder Komponente an. - Wann kann man bei einem Vektor sinnvoll von einer entgegengesetzten Richtung sprechen?

1. Schreibe \(\vec{u}=\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\). Dann hat die linke Seite die Komponenten \(-r(u_i+v_i)=-ru_i-rv_i\). Das sind genau die Komponenten von \((-r)\vec{u}+(-r)\vec{v}\). 2. Ist \(r\vec{u}\neq\vec{0}\), so ist \((-r)\vec{u}\) sein Gegenvektor und zeigt in die entgegengesetzte Richtung; entsprechend gilt das für \(\vec{v}\). Ist einer dieser Vektoren der Nullvektor, hat er keine Richtung, bleibt aber unter der Vorzeichenänderung der Nullvektor. Ebenso kehrt das äußere Minus die Richtung von \(r(\vec{u}+\vec{v})\) nur dann um, wenn dieser Vektor nicht \(\vec{0}\) ist.

1. Komponentenweise gilt \(-r(u_i+v_i)=-ru_i-rv_i\); daher sind beide Seiten gleich. 2. Nichtnullvektoren werden zu ihren Gegenvektoren. Der Nullvektor bleibt \(\vec{0}\) und besitzt keine Richtung.

- Behandle den Vektor \(\vec{x}\) wie eine Unbekannte in einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen, wenn ein Minuszeichen vor der Klammer steht. - Versuche zuerst, alle Terme mit \(\vec{x}\) auf eine Seite der Gleichung zu bringen. - Du kannst die Terme Schritt für Schritt vereinfachen, bevor du den Vektor isolierst.

1. Auflösen der Klammern unter Anwendung des Distributivgesetzes: \(2 \cdot \vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \cdot \vec{x}\) 2. Zusammenfassen der konstanten Vektoren auf der rechten Seite: \(2 \cdot \vec{x} - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 3 \cdot \vec{x} + \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 3. Isolieren von \(\vec{x}\) durch Subtraktion von \(2 \cdot \vec{x}\) und Subtraktion des konstanten Vektors: \(\vec{x} = - \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 \\ -6 \\ -8 \end{pmatrix}\) 4. Komponenteweise Berechnung des Ergebnisvektors: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} -8 - 10 \\ 2 - (-6) \\ -6 - (-8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

\(\vec{x} = \begin{pmatrix} -18 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}\)

- Markiere zunächst, welche Vektoren direkt durch zwei gegebene Punkte festgelegt sind und welche erst aus anderen Vektoren zusammengesetzt werden. - Behalte in b) den Faktor vor \(\vec{QR}\) im Blick und kontrolliere die Vorzeichen der Komponenten. - Unterscheide in c) sorgfältig zwischen Ortsvektoren und Verbindungsvektoren.

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-5\\2\\5\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}\). 2. Damit ist \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-5\\2\\5\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-8\\11\end{pmatrix}\). 3. Außerdem ist \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}-4\\-3\\8\end{pmatrix}\). Daher folgt \(\vec{OS}=\begin{pmatrix}-5\\0\\10\end{pmatrix}\) und somit \(S(-5\mid0\mid10)\).

a) \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-5\\2\\5\end{pmatrix}\), \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}1\\-5\\3\end{pmatrix}\) b) \(\vec{w}=\begin{pmatrix}-3\\-8\\11\end{pmatrix}\) c) \(S(-5\mid0\mid10)\)

- Vergleiche, welche Punkte durch Formeln von \(A\) abhängen und welche nicht. - Welche Deckflächenecke liegt jeweils über derselben Grundflächenecke? - Welcher der drei gegebenen Kantenvektoren führt von einer Grundflächenecke zur zugehörigen Deckflächenecke? - Prüfe zum Schluss die drei Kantenverschiebungen des Quaders.

1. Die Punkte \(B,C,D,E\) hängen durch ihre Formeln von \(A\) ab. Die Punkte \(F,G,H\) mit festen Koordinaten bleiben beim Verschieben von \(A\) an ihrer alten Stelle. 2. Zum Beispiel kann man \(F:=B+\vec{w}\), \(G:=C+\vec{w}\) und \(H:=D+\vec{w}\) festlegen. Gleichwertig sind \(F:=E+\vec{u}\), \(H:=E+\vec{v}\) und \(G:=E+\vec{u}+\vec{v}\). 3. Für \(A_1(-2\mid1\mid0)\) ist \(B_1(2\mid1\mid0)\), \(D_1(-2\mid4\mid0)\) und \(C_1(2\mid4\mid0)\). 4. Weiter erhält man \(E_1(-2\mid1\mid2)\), \(F_1(2\mid1\mid2)\), \(G_1(2\mid4\mid2)\) und \(H_1(-2\mid4\mid2)\).

a) \(F,G,H\) hängen nicht von \(A\) ab und bewegen sich deshalb nicht mit. b) Zum Beispiel \(F:=B+\vec{w}\), \(G:=C+\vec{w}\), \(H:=D+\vec{w}\). c) \(B_1(2\mid1\mid0)\), \(C_1(2\mid4\mid0)\), \(D_1(-2\mid4\mid0)\), \(E_1(-2\mid1\mid2)\), \(F_1(2\mid1\mid2)\), \(G_1(2\mid4\mid2)\), \(H_1(-2\mid4\mid2)\)

- Sammle in der Gesamtsumme getrennt die Koeffizienten von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). - Prüfe, ob der unbekannte Vektor nach dem Zusammenfassen überhaupt noch in der Gesamtverschiebung vorkommt. - Welche Information über einen unbekannten Summanden kann eine Summe enthalten, wenn sein Gesamtkoeffizient verschwindet? - Welche Rechengesetze entscheiden, ob Vertauschen oder anders Klammern die Summe verändert?

1. Die Gesamtverschiebung ist \((2\vec{a}-\vec{b})+(-\vec{a}+2\vec{b})+(\vec{a}-\vec{b})\). 2. Die Koeffizienten von \(\vec{a}\) ergeben \(2-1+1=2\), die Koeffizienten von \(\vec{b}\) ergeben \(-1+2-1=0\). Daher ist die Gesamtverschiebung \(2\vec{a}\). 3. Somit gilt \(2\vec{a}=\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}\). 4. Der Vektor \(\vec{b}\) fällt aus der Gesamtsumme vollständig heraus. Daher führen alle möglichen Werte von \(\vec{b}\) zur gleichen Start-End-Verschiebung; \(\vec{b}\) ist daraus nicht rekonstruierbar. 5. Wegen Kommutativität und Assoziativität der Vektoraddition ändert auch eine andere Reihenfolge der drei Befehle die Summe nicht. Die Reihenfolge ist daher ebenfalls nicht rekonstruierbar.

a) \(\begin{pmatrix}4\\-2\\6\end{pmatrix}\) b) Weder \(\vec{b}\) noch die Reihenfolge sind aus Start- und Endposition rekonstruierbar. \(\vec{b}\) hat in der Gesamtsumme den Koeffizienten \(0\); außerdem ist die Vektoraddition kommutativ und assoziativ.

- Führe jede Operation zunächst genau zweimal mit den Symbolen \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) aus. - Vereinfache erst danach mit den Rechengesetzen für Addition und Skalarmultiplikation. - Suche in der Anzahl \(2026\) nach Zweierblöcken, statt die Operation einzeln zu wiederholen. - Berechne in c) den vertauschten Fall vollständig; verlasse dich nicht nur auf eine verbale Vermutung.

1. Nach einer Anwendung von \(R\) liegt das Paar \((\vec{u}+\vec{v},\vec{u}-\vec{v})\) vor. 2. Eine zweite Anwendung liefert \(((\vec{u}+\vec{v})+(\vec{u}-\vec{v}),(\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}-\vec{v}))=(2\vec{u},2\vec{v})\). 3. Je zwei Anwendungen verdoppeln damit beide Ausgangsvektoren. Da \(2026=2\cdot1013\), gilt \(\vec{u}_{2026}=2^{1013}\vec{u}_0\) und \(\vec{v}_{2026}=2^{1013}\vec{v}_0\). 4. Somit ist \(\vec{u}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{v}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\). 5. Für \(S\) liegt nach einer Anwendung \((\vec{u}-\vec{v},\vec{u}+\vec{v})\) vor. Eine zweite Anwendung ergibt \(((\vec{u}-\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v}),(\vec{u}-\vec{v})+(\vec{u}+\vec{v}))=(-2\vec{v},2\vec{u})\). 6. Im Unterschied zu \(R^2\) werden die Rollen der beiden Ausgangsvektoren also vertauscht, und beim ersten Eintrag tritt zusätzlich ein Minuszeichen auf. Die Reihenfolge von Summe und Differenz ist daher wesentlich.

a) \(R(R(\vec{u},\vec{v}))=(2\vec{u},2\vec{v})\) b) \(\vec{u}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\), \(\vec{v}_{2026}=2^{1013}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}\) c) \(S(S(\vec{u},\vec{v}))=(-2\vec{v},2\vec{u})\); im Vergleich zu a) sind die Rollen der Ausgangsvektoren vertauscht und der erste Eintrag hat zusätzlich das entgegengesetzte Vorzeichen.