- Ordne jeweils die Komponenten an derselben Position einander zu. - Addiere die drei entstehenden Produkte. - Achte darauf, dass das Ergebnis des Skalarprodukts eine Zahl und kein Vektor ist.

1. Multipliziere die entsprechenden Komponenten und addiere die Produkte. 2. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot3+2\cdot0+0\cdot(-1)=3\).

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\)

- Lies zuerst die Endpunkte der beiden vom Ursprung ausgehenden Pfeile ab. - Welche Komponenten haben die zugehörigen Ortsvektoren in der dargestellten Ebene? - Nutze anschließend die bekannte Rechenregel für das Skalarprodukt und kontrolliere das Vorzeichen des Ergebnisses.

1. Aus der Abbildung liest man \(O(0\mid0\mid0)\), \(A(2\mid1\mid0)\) und \(B(-1\mid3\mid0)\) ab. 2. Daher ist \(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\). 3. Das Skalarprodukt ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\cdot(-1)+1\cdot3+0\cdot0=1\).

\(\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{b}=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\).

- Stelle zuerst den mathematischen Ausdruck für das Skalarprodukt unter Verwendung der Variable auf. - Kannst du diesen Ausdruck mit dem Zielwert gleichsetzen? - Löse die entstandene Gleichung nach der gesuchten Unbekannten auf.

1. Aufstellen der Gleichung für das Skalarprodukt: \(k \cdot 5 + 3 \cdot k + (-2) \cdot 4 = 16\). 2. Zusammenfassen der Terme: \(5k + 3k - 8 = 16\), woraus \(8k - 8 = 16\) folgt. 3. Lösen der linearen Gleichung nach \(k\): \(8k = 24\), also \(k = 3\).

\(k = 3\)

- Wie multipliziert man die einzelnen Komponenten zweier Vektoren miteinander? - Was musst du am Ende mit den Ergebnissen der Multiplikationen machen? - Gibt es eine Regel, wie man mit Klammern bei Vektoren umgeht? - Kannst du die Aufgabe c) auf zwei verschiedene Arten lösen?

1. Berechnung von \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \(4 \cdot 1 + (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 5 = 4 - 6 + 10 = 8\). 2. Berechnung von \(\vec{c} \cdot \vec{d}\): \((-2) \cdot 3 + 6 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -6 + 6 + 0 = 0\). 3. Berechnung von \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})\): Zuerst Summe bilden \(\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 2+6 \\ 5+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}\). Dann Skalarprodukt: \(4 \cdot (-1) + (-3) \cdot 8 + 2 \cdot 6 = -4 - 24 + 12 = -16\). Alternativ über Distributivgesetz: \(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 8 + (4 \cdot (-2) + (-3) \cdot 6 + 2 \cdot 1) = 8 + (-8 - 18 + 2) = 8 - 24 = -16\).

a) \(8\) b) \(0\) c) \(-16\)

- Arbeite bei verschachtelten Ausdrücken von innen nach außen. - Notiere nach jedem Rechenschritt, welche Art von Größe entstanden ist. - Prüfe erst danach, ob die nächste Rechenoperation mit diesen Größen möglich ist.

1. a) ist nicht definiert. \(\vec{b}\cdot\vec{c}\) ist ein Skalar; ein Skalarprodukt benötigt aber zwei Vektoren. 2. b) ist nicht definiert. \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) ist ein Skalar, der nicht zu dem Vektor \(\vec{c}\) addiert werden kann. 3. c) ist definiert. Beide Skalarprodukte sind Skalare, daher ist auch ihre Summe ein Skalar. 4. d) ist definiert. \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) ist ein Skalar; seine Multiplikation mit \(\vec{c}\) ergibt einen Vektor.

a) Nicht definiert. b) Nicht definiert. c) Definiert; Ergebnis: Skalar. d) Definiert; Ergebnis: Vektor.

- Was passiert mit den einzelnen Koordinaten eines Vektors bei der Multiplikation mit einem Skalar? - Schreibe die linke Seite der Gleichung schrittweise in Koordinaten auf. - Gibt es ein Gesetz für reelle Zahlen, mit dem man einen gemeinsamen Faktor aus einer Summe herausziehen kann? - Vergleiche dein Ergebnis mit der Definition des Skalarprodukts von \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\).

1. Berechnung des skalar multiplizierten Vektors: \(k \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} k u_1 \\ k u_2 \\ k u_3 \end{pmatrix}\). 2. Bildung des Skalarprodukts mit \(\vec{v}\): \((k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = (k u_1) v_1 + (k u_2) v_2 + (k u_3) v_3\). 3. Anwendung des Assoziativgesetzes der Multiplikation in \(\mathbb{R}\): \(k (u_1 v_1) + k (u_2 v_2) + k (u_3 v_3)\). 4. Ausklammern des Faktors \(k\) mithilfe des Distributivgesetzes in \(\mathbb{R}\): \(k (u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3)\). 5. Der Ausdruck in der Klammer entspricht der Definition von \(\vec{u} \cdot \vec{v}\), womit \(k \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\) gezeigt ist.

Durch koordinatenweise Rechnung ergibt sich: \((k \cdot \vec{u}) \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} k u_1 \\ k u_2 \\ k u_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = (k u_1)v_1 + (k u_2)v_2 + (k u_3)v_3\) \(= k(u_1 v_1) + k(u_2 v_2) + k(u_3 v_3) = k(u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3) = k \cdot (\vec{u} \cdot \vec{v})\). Entscheidend sind das Assoziativgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz für reelle Zahlen.

- Ist das Ergebnis eines Skalarprodukts eine Zahl oder ein Vektor? - Prüfe die Vorzeichen bei der Multiplikation und der anschließenden Addition genau. - Wie lautet die genaue Rechenvorschrift für das Skalarprodukt zweier Vektoren?

1. In Teilaufgabe a) wurde ein Vektor als Ergebnis angegeben. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist jedoch immer ein Skalar (eine Zahl). Hier wurden die Komponenten fälschlicherweise komponentenweise multipliziert, anstatt die Produkte zu addieren. Richtiges Ergebnis: \(3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 = 8\). 2. In Teilaufgabe b) liegt ein Vorzeichenfehler in der Addition vor. Der Term \(-1 \cdot 2\) wurde fälschlicherweise als \(+2\) gewertet. Richtiges Ergebnis: \(4 + 6 - 2 = 8\). 3. In Teilaufgabe c) wurden alle Komponenten beider Vektoren addiert, anstatt die entsprechenden Komponenten zu multiplizieren und diese Produkte zu summieren. Richtiges Ergebnis: \(1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 8\).

a) Fehler: Ergebnis ist ein Vektor statt eines Skalars. Richtiges Ergebnis: \(8\). b) Fehler: Vorzeichenfehler bei der Verrechnung von \(-1 \cdot 2\). Richtiges Ergebnis: \(8\). c) Fehler: Addition aller Komponenten statt Bildung der Summe der Produkte. Richtiges Ergebnis: \(8\).

- Bearbeite die drei Teilaufgaben getrennt und achte besonders auf Vorzeichen bei negativen Komponenten. - In c) kannst du entscheiden, ob du zuerst die beiden Klammervektoren bestimmst oder die Rechengesetze des Skalarprodukts nutzt. - Vergleiche dein Ergebnis aus c) am Ende mit einer zweiten Rechenweise, wenn du unsicher bist.

1. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=1^2+2^2+(-2)^2=9\) und \(\vec{b}\cdot\vec{b}=4^2+0^2+3^2=25\). 2. Das Skalarprodukt ist \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot4+2\cdot0+(-2)\cdot3=-2\). 3. Weiter ist \(\vec{a}-\vec{b}=\begin{pmatrix}-3\\2\\-5\end{pmatrix}\) und \(2\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}6\\4\\-1\end{pmatrix}\). 4. Daher gilt \((\vec{a}-\vec{b})\cdot(2\vec{a}+\vec{b})=(-3)\cdot6+2\cdot4+(-5)\cdot(-1)=-5\).

a) \(\vec{a}\cdot\vec{a}=9\), \(\vec{b}\cdot\vec{b}=25\) b) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\) c) \((\vec{a}-\vec{b})\cdot(2\vec{a}+\vec{b})=-5\)

- Nutze beim Prüfen dieselben Klammerregeln wie beim Ausmultiplizieren, aber beachte, dass zwischen Vektoren das Skalarprodukt steht. - Entscheide nicht nur nach dem Aussehen der Terme: Forme beide Seiten um. - Für eine falsche Aussage reicht ein Gegenbeispiel; für eine wahre Aussage brauchst du eine allgemeine Begründung.

1. Aussage a) ist falsch. Beim Ausmultiplizieren entstehen vier Skalarprodukte: \(\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d}\). Die beiden mittleren Terme fehlen in der Behauptung. 2. Aussage b) ist wahr. Ausmultiplizieren ergibt \(\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\). Wegen \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\) heben sich die mittleren Terme auf. 3. Aussage c) ist wahr. Aus \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) folgt \(\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}=0\). Mit dem Distributivgesetz ist das \(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0\).

a) Falsch. Beim Ausmultiplizieren entsteht \(\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{d}+\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{d}\); in der Behauptung fehlen zwei Terme. b) Wahr. Beim Ausmultiplizieren heben sich \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) und \(-\vec{b}\cdot\vec{a}\) wegen der Kommutativität des Skalarprodukts auf. c) Wahr. Aus \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}\) folgt \(\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{a}\cdot\vec{c}=0\), also \(\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{c})=0\).

- Wie addiert man zwei Vektoren komponentenweise? - Erinnere dich an die Definition des Skalarprodukts mithilfe von Koordinaten. - Welche Rechengesetze für reelle Zahlen helfen dir, Klammern bei Produkten wie \(x(y + z)\) aufzulösen? - Kannst du die Terme am Ende so sortieren, dass sie wieder die Struktur von Skalarprodukten haben?

1. Bestimmung des Summenvektors \(\vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \\ b_3 + c_3 \end{pmatrix}\). 2. Anwendung der Definition des Skalarprodukts auf die linke Seite: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)\). 3. Auflösen der Klammern mithilfe des Distributivgesetzes für reelle Zahlen: \(a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3\). 4. Umordnen der Terme mithilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes der Addition: \((a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3)\). 5. Erkennen der Teilsummen als Definitionen der Skalarprodukte \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) und \(\vec{a} \cdot \vec{c}\), woraus die rechte Seite der Gleichung folgt.

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Koordinaten: \(\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 + c_1 \\ b_2 + c_2 \\ b_3 + c_3 \end{pmatrix} = a_1(b_1 + c_1) + a_2(b_2 + c_2) + a_3(b_3 + c_3)\) \(= a_1b_1 + a_1c_1 + a_2b_2 + a_2c_2 + a_3b_3 + a_3c_3\) \(= (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) + (a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}\).