- Welche Beziehung besteht zwischen \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) und dem Quadrat der Vektorlänge? - Berechne zuerst das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. - Ziehe erst danach die nichtnegative Quadratwurzel.

1. Zunächst gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=3^2+4^2+0^2=25\). 2. Wegen \(|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\) folgt \(|\vec{v}|=5\).

\(|\vec{v}|=5\)

- Übersetze die gegebene Länge zuerst in einen Wert für \(\vec{a}\cdot\vec{a}\). - Setze die drei Komponenten des Vektors in das Selbstskalarprodukt ein. - Welche der beiden möglichen Wurzeln ist mit \(s>0\) vereinbar?

1. Aus \(|\vec{a}|=5\) folgt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=25\). 2. Damit gilt \(3^2+0^2+s^2=25\), also \(s^2=16\). 3. Wegen \(s>0\) ist \(s=4\).

\(s=4\)

- Welche Beziehung besteht zwischen \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) und der Länge von \(\vec{u}\)? - Welche Rechenoperation macht das Quadrieren wieder rückgängig? - Welche Werte kann eine Länge grundsätzlich annehmen?

1. Für jeden Vektor gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}|^2\). 2. Daher ist \(|\vec{u}|=\sqrt{36}=6\). 3. Eine Länge ist nichtnegativ; deshalb kommt \(-6\) nicht als Vektorlänge infrage.

\(|\vec{u}|=6\). Eine Länge ist immer nichtnegativ; deshalb ist \(-6\) ausgeschlossen.

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) und dem Quadrat der Vektorlänge? - Für den Längenvergleich kannst du zunächst die Selbstskalarprodukte vergleichen. - Beachte beim Lösen die Bedingung \(s>0\).

1. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=2^2+(-3)^2+6^2=49\). Daher ist die Länge von \(\vec{a}\) gleich \(7\). 2. Für gleiche Längen müssen die Selbstskalarprodukte übereinstimmen: \(\vec{b}\cdot\vec{b}=49\). 3. Damit ist \(6^2+3^2+s^2=49\), also \(s^2=4\). 4. Wegen \(s>0\) folgt \(s=2\).

a) \(|\vec{a}|=7\) b) \(s=2\)

- Stelle zunächst die drei Seitenvektoren auf. - Bestimme jedes Längenquadrat als Skalarprodukt des Seitenvektors mit sich selbst. - Für die Klassifikation genügt anschließend der Vergleich der drei Längen.

1. Die Seitenvektoren sind \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\), \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\). 2. Aus \(\vec{PQ}\cdot\vec{PQ}=25\) folgt \(|\vec{PQ}|=5\). 3. Aus \(\vec{QR}\cdot\vec{QR}=26\) folgt \(|\vec{QR}|=\sqrt{26}\). 4. Aus \(\vec{PR}\cdot\vec{PR}=25\) folgt \(|\vec{PR}|=5\). 5. Zwei Seiten sind gleich lang, die dritte nicht. Daher ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

a) \(|\vec{PQ}|=5\), \(|\vec{QR}|=\sqrt{26}\), \(|\vec{PR}|=5\) b) Das Dreieck ist gleichschenklig mit den gleich langen Seiten \(PQ\) und \(PR\), aber nicht gleichseitig.

- Stelle zuerst \(\vec{AB}\) aus Endpunkt minus Startpunkt auf. - Welche Gleichung für \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}\) entspricht der vorgegebenen Länge \(6\)? - Beachte beim Lösen der quadratischen Bedingung beide möglichen Vorzeichen.

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\1-k\\-4\end{pmatrix}\). 2. Wegen \(|\vec{AB}|=6\) gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=36\). 3. Damit ist \(2^2+(1-k)^2+(-4)^2=36\), also \((1-k)^2=16\). 4. Aus \(1-k=4\) folgt \(k=-3\); aus \(1-k=-4\) folgt \(k=5\).

\(k=-3\) oder \(k=5\)

- Wie erhältst du aus \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) die Länge von \(\vec{a}\)? - Überlege, wie sich die Länge eines Vektors bei Multiplikation mit einem Skalar verändert. - Welche zwei Skalare haben denselben Betrag?

1. Mit dem Skalarprodukt gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=4^2+(-4)^2+7^2=81\). Daher ist \(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=9\). 2. Für die Länge eines skalierten Vektors gilt \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\). Also muss \(9|k|=27\) gelten. 3. Daraus folgt \(|k|=3\) und damit \(k=3\) oder \(k=-3\).

\(k=3\) oder \(k=-3\)

- Bestimme beide Verbindungsvektoren vom selben Ausgangspunkt \(A\). - Wie liefert \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) die quadrierte Länge eines Vektors? - Welche Dreieckseigenschaft folgt aus zwei gleich langen Seiten?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\). 2. Mit dem Skalarprodukt erhält man \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+4^2=25\) und \(\vec{AC}\cdot\vec{AC}=3^2+(-4)^2=25\). 3. Daher gilt \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=5\). 4. Zwei Seiten des Dreiecks, die sich in \(A\) treffen, sind gleich lang. Somit ist \(ABC\) gleichschenklig mit Spitze \(A\).

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4\end{pmatrix}\) b) \(|\vec{AB}|=|\vec{AC}|=5\) c) \(ABC\) ist gleichschenklig mit Spitze \(A\).

- Berechne zunächst für jeden Vektor das Skalarprodukt mit sich selbst. - Beachte beim Quadrieren, dass negative Komponenten ein positives Quadrat liefern. - Ziehe erst am Ende die Quadratwurzel aus dem Selbstskalarprodukt.

1. Für \(\vec{a}\) gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=289\), also \(|\vec{a}|=\sqrt{289}=17\). 2. Für \(\vec{b}\) gilt \(\vec{b}\cdot\vec{b}=13+15+21=49\), also \(|\vec{b}|=7\). 3. Für \(\vec{c}\) gilt \(\vec{c}\cdot\vec{c}=2{,}25+4+36=42{,}25\), also \(|\vec{c}|=6{,}5\).

a) \(|\vec{a}|=17\) b) \(|\vec{b}|=7\) c) \(|\vec{c}|=6{,}5\)

- Übersetze die vorgegebene Länge zuerst in ein Selbstskalarprodukt. - Setze die drei Komponenten von \(\vec{v}\) in \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) ein. - Eine Gleichung für \(k^2\) kann zwei reelle Lösungen besitzen.

1. Aus \(|\vec{v}|=15\) folgt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=225\). 2. Es gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=(2k)^2+k^2+10^2=5k^2+100\). 3. Damit ist \(5k^2+100=225\), also \(k^2=25\). 4. Somit gilt \(k=5\) oder \(k=-5\).

\(k=5\) oder \(k=-5\)

- Bilde zuerst Endpunkt minus Startpunkt. - Welches Selbstskalarprodukt liefert das Quadrat der Streckenlänge? - Wie kannst du anschließend einen Vektor derselben Richtung auf Länge \(1\) skalieren?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\). 2. Das Selbstskalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=4^2+4^2+2^2=36\). Daher ist \(|\vec{AB}|=6\). 3. Der Einheitsvektor in derselben Richtung ist \(\vec{u}=\frac{1}{6}\vec{AB}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\) b) \(|\vec{AB}|=6\) c) \(\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)

- Wie erhältst du aus \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) die Länge von \(\vec{u}\)? - Berechne für den ersten Weg zunächst die Komponenten von \(\vec{v}\). - Welche Größe des Skalars bestimmt die Längenänderung bei einer Skalarmultiplikation?

1. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=3^2+(-4)^2+12^2=169\). Daher ist \(|\vec{u}|=\sqrt{169}=13\). 2. Zunächst ist \(\vec{v}=\begin{pmatrix}-6\\8\\-24\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=36+64+576=676\) und folglich \(|\vec{v}|=26\). 3. Alternativ gilt \(|\vec{v}|=|-2|\,|\vec{u}|=2\cdot13=26\). 4. Für die Länge ist der Betrag des Skalars entscheidend. Das Minuszeichen kehrt nur die Orientierung um.

a) \(|\vec{u}|=13\) b) Beide Wege ergeben \(|\vec{v}|=26\). c) Das Minuszeichen ändert die Orientierung, nicht den Längenfaktor \(|-2|=2\).

- Bestimme zunächst die quadrierte Länge mit \(\vec{a}\cdot\vec{a}\). - Wie hängt \(|r\vec{a}|\) von \(|r|\) und \(|\vec{a}|\) ab? - Welche zwei reellen Zahlen besitzen den Betrag \(4\)?

1. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=4^2+0^2+(-3)^2=25\). Daher ist \(|\vec{a}|=5\). 2. Aus \(|\vec{b}|=|r|\,|\vec{a}|\) folgt \(20=5|r|\), also \(|r|=4\). 3. Damit gilt \(r=4\) oder \(r=-4\). 4. Für \(r=4\) zeigt \(\vec{b}\) in dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\); für \(r=-4\) in die entgegengesetzte Richtung. In beiden Fällen ist \(\vec{b}\) viermal so lang.

a) \(|\vec{a}|=5\) b) \(r=4\) oder \(r=-4\) c) Gleiche beziehungsweise entgegengesetzte Richtung; in beiden Fällen vierfache Länge.

- Zum Vergleichen musst du nicht sofort acht Quadratwurzeln ausrechnen. - Zwei Vektoren haben genau dann die gleiche Länge, wenn ihre Selbstskalarprodukte übereinstimmen. - Ordne die Vektoren zunächst nach dem Wert von \(\vec{v}\cdot\vec{v}\).

1. Für \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\) gilt jeweils \(\vec{v}\cdot\vec{v}=9\). Daher haben diese vier Vektoren die Länge \(3\). 2. Für \(\vec{e},\vec{f},\vec{g},\vec{h}\) gilt jeweils \(\vec{v}\cdot\vec{v}=25\). Daher haben diese vier Vektoren die Länge \(5\).

Länge \(3\): \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\) Länge \(5\): \(\vec{e},\vec{f},\vec{g},\vec{h}\)

- Vergleiche zunächst die Quadrate der Längen statt die Wurzeln selbst. - Wie lässt sich das Quadrat einer Vektorlänge als Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst schreiben? - Prüfe jeden Kandidaten unabhängig; ziehe die Quadratwurzel nur dort, wo du die tatsächliche Länge angeben möchtest.

1. Für den Referenzvektor gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=12^2+4^2+3^2=169\), also \(|\vec{u}|=13\). 2. Vergleiche die Selbstskalarprodukte: \(\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1=169\), \(\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2=100+50+19=169\), \(\vec{v}_3\cdot\vec{v}_3=1+144+12=157\), \(\vec{v}_4\cdot\vec{v}_4=25+144=169\), \(\vec{v}_5\cdot\vec{v}_5=9+16+144=169\) und \(\vec{v}_6\cdot\vec{v}_6=64+64+16=144\). 3. Somit haben \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) dieselbe Länge wie \(\vec{u}\).

Die Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) haben dieselbe Länge wie \(\vec{u}\) (nämlich \(13\)).

- Wie erhältst du die Länge von \(\vec{v}\) aus \(\vec{v}\cdot\vec{v}\)? - Durch welchen positiven Faktor musst du \(\vec{v}\) teilen, damit die Länge \(1\) wird? - Die Bedingung „dieselbe Richtung“ entscheidet zwischen den beiden möglichen Einheitsvektoren auf derselben Geraden.

1. Es gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=(-4)^2+7^2+4^2=81\). Daher ist \(|\vec{v}|=9\). 2. Weil \(\vec{u}\) die Länge \(1\) und dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\) haben soll, ist \(\vec{u}=\frac{1}{9}\vec{v}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{9}\\\frac{7}{9}\\\frac{4}{9}\end{pmatrix}\). 3. Damit lautet die eindeutige Darstellung mit \(k>0\): \(\vec{v}=9\vec{u}\).

\(k=9\), \(\vec{u}=\begin{pmatrix}-\frac{4}{9}\\\frac{7}{9}\\\frac{4}{9}\end{pmatrix}\), also \(\vec{v}=9\vec{u}\).

- Welche genaue Beziehung besteht zwischen einem Selbstskalarprodukt und der Vektorlänge? - Prüfe, welche Größe in der Gleichung quadriert vorkommt. - Welche Rechenoperation ist nötig, um aus dem Längenquadrat die Länge zu erhalten?

1. Die Rechnung \(\vec{a}\cdot\vec{a}=2^2+3^2+0^2=13\) ist richtig. 2. Das Selbstskalarprodukt ist aber das Quadrat der Vektorlänge: \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\). 3. Daher gilt \(|\vec{a}|=\sqrt{13}\), nicht \(13\).

Der Fehler ist die Verwechslung von \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) mit \(|\vec{a}|\). Korrekt ist \(|\vec{a}|=\sqrt{13}\).

- Lies zuerst beide Komponenten jedes Vektors an den Achsen ab. - Welches Skalarprodukt liefert direkt das Quadrat einer Vektorlänge? - Vergleiche die drei berechneten Werte, ohne die gezeichneten Pfeillängen abzuschätzen.

1. Aus dem Bild liest man \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}\), \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}\) und \(\vec{OC}=\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OA}=1^2+8^2=65\). 3. Weiter ist \(\vec{OB}\cdot\vec{OB}=4^2+7^2=65\) und \(\vec{OC}\cdot\vec{OC}=6^2+5^2=61\). 4. Gleiche Selbstskalarprodukte bedeuten gleiche quadrierte Längen. Daher gilt \(|\vec{OA}|=|\vec{OB}|\), aber \(|\vec{OA}|\neq|\vec{OC}|\).

a) \(\vec{OA}\cdot\vec{OA}=65\), \(\vec{OB}\cdot\vec{OB}=65\), \(\vec{OC}\cdot\vec{OC}=61\) b) \(\vec{OB}\) besitzt dieselbe Länge wie \(\vec{OA}\).

- Bestimme zuerst die Verschiebung vom ersten zum zweiten Anschlagpunkt. - Welches Skalarprodukt liefert das Quadrat der Seillänge? - Ziehe die Wurzel erst nach dem Skalarprodukt und runde nur das Endergebnis.

1. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\,\text{m}\). 2. Mit dem Skalarprodukt gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+2^2+4^2=29\,\text{m}^2\). 3. Daher ist \(|\vec{AB}|=\sqrt{29}\,\text{m}\approx5{,}39\,\text{m}\).

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\,\text{m}\), \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=29\,\text{m}^2\) b) \(|\vec{AB}|=\sqrt{29}\,\text{m}\approx5{,}39\,\text{m}\)

- Lies zuerst die Zahlenwerte an den Achsen ab; miss keine Strecken im Bild. - Welches Skalarprodukt liefert jeweils die quadrierte Vektorlänge? - Vergleiche bei c) die Schrittweite der Rasterung auf beiden Achsen.

1. Aus der Abbildung liest man \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\). 2. Es gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OA}=16\) und \(\vec{OB}\cdot\vec{OB}=16\). 3. Daher besitzen beide Vektoren die Länge \(4\); Miras Behauptung ist falsch. 4. Im Bild entsprechen gleich große mathematische Einheiten auf den beiden Achsen nicht derselben gezeichneten Strecke: Auf der \(x_1\)-Achse liegt nur alle \(2\) Einheiten eine gleich große Rasterzelle wie auf der \(x_2\)-Achse nach \(1\) Einheit vor. Deshalb verzerrt die Darstellung optische Längen.

a) \(\vec{OA}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}\) b) \(\vec{OA}\cdot\vec{OA}=16\), \(\vec{OB}\cdot\vec{OB}=16\); beide Vektoren sind gleich lang. c) Die Achsen sind unterschiedlich skaliert, daher sind gezeichnete Pfeillängen nicht direkt vergleichbar.

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche. - Welche Koordinaten der Spitze sind bei einer geraden Pyramide dadurch bereits festgelegt? - Formuliere die gegebene Seitenlänge über \(\vec{AS}\cdot\vec{AS}\), bevor du nach der unbekannten Höhe auflöst.

1. Die quadratische Grundfläche liegt in der Ebene \(x_3=2\). Ihr Mittelpunkt ist \(M(4\mid4\mid2)\). 2. Bei einer geraden Pyramide liegt die Spitze senkrecht über oder unter \(M\), also hat sie die Form \(S(4\mid4\mid2+h)\). 3. Damit ist \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}3\\3\\h\end{pmatrix}\). 4. Aus \(|\vec{AS}|^2=\vec{AS}\cdot\vec{AS}\) und \(|\vec{AS}|^2=43\) folgt \(3^2+3^2+h^2=43\). 5. Somit gilt \(h^2=25\), also \(h=5\) oder \(h=-5\). 6. Die möglichen Spitzen sind \(S_1(4\mid4\mid7)\) und \(S_2(4\mid4\mid-3)\).

\(S_1(4\mid4\mid7)\) und \(S_2(4\mid4\mid-3)\)

- Welche Form haben die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_2\)-Achse? - Stelle den Verbindungsvektor von \(A\) zu einem solchen allgemeinen Punkt auf. - Übersetze die vorgegebene Entfernung in eine Gleichung für das Selbstskalarprodukt dieses Vektors.

1. Ein Punkt auf der \(x_2\)-Achse hat die Form \(P(0\mid s\mid0)\). 2. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{AP}=\begin{pmatrix}-1\\s-3\\-4\end{pmatrix}\). 3. Aus \(|\vec{AP}|^2=\vec{AP}\cdot\vec{AP}=26\) folgt \(1+(s-3)^2+16=26\). 4. Damit ist \((s-3)^2=9\), also \(s=6\) oder \(s=0\). 5. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0\mid6\mid0)\) und \(P_2(0\mid0\mid0)\).

\(P_1(0\mid6\mid0)\) und \(P_2(0\mid0\mid0)\)

- Welche drei Seiten müssen bei einem gleichseitigen Dreieck dieselbe Länge besitzen? - Vergleiche die Selbstskalarprodukte der beiden von \(B\) ausgehenden Seiten mit dem festen Längenquadrat von \(OA\). - Nutze die Symmetrie der ersten beiden Komponenten, bevor du zwei getrennte Gleichungen löst.

1. Für die feste Seite gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OA}=36\), also \(|\vec{OA}|=6\). 2. Es ist \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}3\\3\\s\end{pmatrix}\) und \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\3\\s\end{pmatrix}\). 3. Beide Selbstskalarprodukte sind gleich: \(\vec{OB}\cdot\vec{OB}=\vec{AB}\cdot\vec{AB}=18+s^2\). 4. Für ein gleichseitiges Dreieck muss \(18+s^2=36\) gelten. Daher ist \(s^2=18\). 5. Somit gilt \(s=3\sqrt2\) oder \(s=-3\sqrt2\).

\(s=3\sqrt2\) oder \(s=-3\sqrt2\)

- Vergleiche in a) die Selbstskalarprodukte der beiden Seitenvektoren von \(P\) aus. - Welche Koordinaten sind für einen Punkt auf der \(x_3\)-Achse null? - Für ein gleichseitiges Dreieck müssen die Seiten zu \(P\) dieselbe Länge wie \(AB\) besitzen.

1. Für \(P(0\mid s\mid t)\) gilt \(\vec{PA}=\begin{pmatrix}3\\-s\\-t\end{pmatrix}\) und \(\vec{PB}=\begin{pmatrix}-3\\-s\\-t\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind gleich: \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\). Daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\), und für \(P\neq O\) entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \(AB\). 3. Für einen Punkt auf der \(x_3\)-Achse ist \(P(0\mid0\mid t)\). Es gilt \(|\vec{AB}|^2=36\). Für ein gleichseitiges Dreieck muss daher \(9+t^2=36\) gelten. 4. Damit ist \(t=\pm3\sqrt{3}\). Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0\mid0\mid3\sqrt{3})\) und \(P_2(0\mid0\mid-3\sqrt{3})\).

a) \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\); daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\). b) \(P_1(0\mid0\mid3\sqrt{3})\) und \(P_2(0\mid0\mid-3\sqrt{3})\)

- Vergleiche die beiden Schenkellängen über ihre Selbstskalarprodukte. - Prüfe den Sonderfall \(k=0\) darauf, ob tatsächlich ein Dreieck entsteht. - Für Gleichseitigkeit muss zusätzlich die Basis dieselbe Länge wie die beiden Schenkel besitzen.

1. Es gilt \(\vec{AC_k}=\begin{pmatrix}1+k\\2-k\\-1-k\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_k}=\begin{pmatrix}-1+k\\-2-k\\1-k\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{AC_k}\cdot\vec{AC_k}=\vec{BC_k}\cdot\vec{BC_k}=3k^2+6\). Damit ist das Dreieck für \(k\neq0\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). 3. Für \(k=0\) ist \(C_0(3\mid3\mid2)\) der Mittelpunkt von \(AB\); die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. 4. Außerdem ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=24\). Für ein gleichseitiges Dreieck muss daher \(3k^2+6=24\) gelten, also \(k=\pm\sqrt{6}\).

a) Es gilt \(\vec{AC_k}\cdot\vec{AC_k}=\vec{BC_k}\cdot\vec{BC_k}=3k^2+6\). Daher ist \(ABC_k\) für \(k\neq0\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). Für \(k=0\) ist \(C_0\) der Mittelpunkt von \(AB\); die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. b) Aus \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=24\) und \(3k^2+6=24\) folgt \(k=\pm\sqrt{6}\).

- Welche Beziehung verbindet \(\vec{w}\cdot\vec{w}\) mit der Länge \(|\vec{w}|\)? - Berechne zuerst den Summenvektor und dann dessen Selbstskalarprodukt. - Überlege geometrisch, wann zwei aufeinanderfolgende Verschiebungen ohne Umweg in dieselbe Richtung führen.

1. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=25\), also \(|\vec{u}|=5\). Ebenso ist \(\vec{v}\cdot\vec{v}=144\), also \(|\vec{v}|=12\). 2. Der Summenvektor ist \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\4\\12\end{pmatrix}\). Sein Selbstskalarprodukt ist \(169\), daher ist \(|\vec{u}+\vec{v}|=13\). 3. Damit gilt \(13\leq5+12=17\); die Dreiecksungleichung ist erfüllt. 4. Die beiden Vektoren sind nicht gleichgerichtet. Gleichheit gilt genau dann, wenn sie parallel und gleichgerichtet sind.

a) \(|\vec{u}|=5\), \(|\vec{v}|=12\), \(|\vec{u}+\vec{v}|=13\) b) \(13\leq17\) c) Hier gilt keine Gleichheit, weil \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\) nicht gleichgerichtet sind. Gleichheit gilt bei unveränderten Längen genau dann, wenn beide Vektoren parallel und gleichgerichtet sind.

- Nutze für a) eine Gleichheit gegenüberliegender Seitenvektoren des Parallelogramms. - Wie lässt sich die quadrierte Länge eines Vektors mit dem Skalarprodukt ausdrücken? - Welche zusätzliche Seitenlängen-Eigenschaft macht aus einem Parallelogramm eine Raute?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\). 2. Im Parallelogramm gilt \(\vec{DC}=\vec{AB}\). Daher ist \(\vec{OC}=\vec{OD}+\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\6\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\\5\end{pmatrix}\), also \(C(4\mid6\mid5)\). 3. Außerdem ist \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}0\\5\\0\end{pmatrix}\). Mit dem Skalarprodukt folgt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+0^2+4^2=25\) und \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=0^2+5^2+0^2=25\). 4. Damit gilt \(|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=5\). Ein Parallelogramm mit zwei gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute.

a) \(C(4\mid6\mid5)\) b) \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=\vec{AD}\cdot\vec{AD}=25\), also \(|\vec{AB}|=|\vec{AD}|=5\); daher ist \(ABCD\) eine Raute.

- Wie hängt die quadrierte Vektorlänge mit dem Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst zusammen? - Setze die Definition von \(\vec{u}\) in \(\vec{u}\cdot\vec{u}\) ein. - Welche Wirkung hat ein positiver Skalar auf die Richtung eines Vektors?

1. Es gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=\frac{1}{|\vec{v}|^2}(\vec{v}\cdot\vec{v})\). 2. Wegen \(|\vec{v}|^2=\vec{v}\cdot\vec{v}\) folgt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=1\) und damit \(|\vec{u}|=1\). 3. Der Faktor \(\frac{1}{|\vec{v}|}\) ist positiv. Daher hat \(\vec{u}\) dieselbe Richtung wie \(\vec{v}\) und die Länge \(1\). Somit ist \(\vec{u}\) der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v}\).

a) \(\vec{u}\cdot\vec{u}=1\), also \(|\vec{u}|=1\). b) \(\vec{u}\) ist der Einheitsvektor in Richtung von \(\vec{v}\).

- Prüfe zuerst, ob ein Paar gegenüberliegender Seitenvektoren skalare Vielfache sind. - Für ein Parallelogramm müssten die entsprechend orientierten Gegenseitenvektoren sogar übereinstimmen. - Vergleiche die beiden Schenkel über ihre Selbstskalarprodukte.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{AB}=2\vec{DC}\) sind \(AB\) und \(DC\) parallel. 2. Die parallelen Gegenseiten sind verschieden lang; insbesondere gilt \(\vec{AB}\neq\vec{DC}\). Daher ist das Viereck kein Parallelogramm. 3. Für die Schenkel gilt \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\). 4. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=9\) und \(\vec{BC}\cdot\vec{BC}=9\). Somit haben beide Schenkel die Länge \(3\). 5. Das Viereck ist daher ein gleichschenkliges Trapez, aber kein Parallelogramm.

\(AB\parallel DC\), aber \(\vec{AB}\neq\vec{DC}\); außerdem gilt \(|\vec{AD}|=|\vec{BC}|=3\). Daher ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez und kein Parallelogramm.

- Vergleiche für a) direkt die beiden Selbstskalarprodukte, ohne die Wurzeln auszurechnen. - Welche Gleichung für das gemeinsame Längenquadrat entspricht der vorgegebenen Länge \(\sqrt{21}\)? - Beachte am Ende die Vorzeichenbedingung für \(k\).

1. Es ist \(\vec{PS_k}=\begin{pmatrix}k+1\\1-2k\\k+1\end{pmatrix}\) und \(\vec{QS_k}=\begin{pmatrix}k-1\\-1-2k\\k-1\end{pmatrix}\). 2. Beide Selbstskalarprodukte sind gleich: \(\vec{PS_k}\cdot\vec{PS_k}=\vec{QS_k}\cdot\vec{QS_k}=6k^2+3\). Daher sind die beiden Seiten für jedes \(k\) gleich lang. 3. Für die Länge \(\sqrt{21}\) muss \(6k^2+3=21\) gelten. Daraus folgt \(k^2=3\). 4. Wegen \(k>0\) ist \(k=\sqrt{3}\).

a) \(\vec{PS_k}\cdot\vec{PS_k}=\vec{QS_k}\cdot\vec{QS_k}=6k^2+3\) b) \(k=\sqrt{3}\)

- Bestimme zuerst die beiden benachbarten Seitenvektoren am Punkt \(P\). - Vergleiche ihre Längen über die jeweiligen Selbstskalarprodukte. - Welcher Vergleich gegenüberliegender Seitenvektoren zeigt zusätzlich, dass ein Parallelogramm vorliegt?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{PQ}\cdot\vec{PQ}=9\) und \(\vec{PS}\cdot\vec{PS}=9\). Daher haben beide Seiten die Länge \(3\). 3. Außerdem ist \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\vec{PQ}\). Damit ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 4. Ein Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute. 5. Der Umfang beträgt \(4\cdot3=12\) Längeneinheiten.

a) \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\), \(|\vec{PQ}|=3\); \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), \(|\vec{PS}|=3\) b) \(PQRS\) ist eine Raute. c) \(12\) Längeneinheiten

- Behandle den Parameter \(k\) beim Bilden des Verbindungsvektors wie eine normale Zahl. - Formuliere die jeweilige Längenbedingung als Gleichung mit einem Skalarprodukt. - Achte beim Lösen der Längenbedingung darauf, ob mehrere Parameterwerte möglich sind.

1. Es ist \(\vec{PQ_k}=\begin{pmatrix}k-3\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Für \(k=3\) gilt \(\vec{PQ_3}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). Das Selbstskalarprodukt ist \(32\), also ist die Länge \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx5{,}66\). 3. Für die Länge \(6\) gilt \(\vec{PQ_k}\cdot\vec{PQ_k}=36\). Damit ist \((k-3)^2+16+16=36\), also \((k-3)^2=4\). 4. Daraus folgen \(k=1\) und \(k=5\).

a) \(\vec{PQ_k}=\begin{pmatrix}k-3\\4\\4\end{pmatrix}\) b) \(|\vec{PQ_3}|=4\sqrt{2}\approx5{,}66\) c) \(k=1\) oder \(k=5\)

- Schreibe die Ortsvektoren zweier benachbarter Seitenmittelpunkte aus und bilde ihre Differenz. - Wie erhältst du die Länge einer Diagonale aus ihrem Skalarprodukt mit sich selbst? - Welche Seitenlängen-Eigenschaft kennzeichnet eine Raute unter den Parallelogrammen?

1. Mit \(\vec{e}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})\) und \(\vec{f}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})\) folgt \(\vec{EF}=\vec{f}-\vec{e}=\frac{1}{2}(\vec{c}-\vec{a})=\frac{1}{2}\vec{AC}\). Analog ergibt sich \(\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{BD}\). 2. Es gilt \(\vec{AC}\cdot\vec{AC}=6^2+8^2=100\) und \(\vec{BD}\cdot\vec{BD}=6^2+8^2=100\). Also sind beide Diagonalen \(10\) Längeneinheiten lang. 3. Deshalb haben alle vier Seiten des Mittelpunktsvierecks die Länge \(5\) Längeneinheiten. 4. Der Umfang ist \(20\) Längeneinheiten. Da das Mittelpunktsviereck ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist, ist es eine Raute.

a) \(\vec{EF}=\frac{1}{2}\vec{AC}\), \(\vec{FG}=\frac{1}{2}\vec{BD}\) b) Alle vier Seiten sind \(5\) Längeneinheiten lang. c) Umfang: \(20\) Längeneinheiten; \(EFGH\) ist eine Raute.

- Vergleiche zuerst geeignete gegenüberliegende Seitenvektoren. - Für die Raute reicht bei einem bereits nachgewiesenen Parallelogramm der Vergleich zweier benachbarter Seitenlängen. - Wie kannst du zwei quadrierte Seitenlängen direkt mit Skalarprodukten vergleichen?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\). Damit sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich orientiert; \(ABCD\) ist ein Parallelogramm und nach der inklusiven Definition auch ein Trapez. 2. Für eine benachbarte Seite ist \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix}\). 3. Mit dem Skalarprodukt gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=3^2+2^2+1^2=14\) und \(\vec{BC}\cdot\vec{BC}=(-1)^2+3^2+2^2=14\). Daher sind \(AB\) und \(BC\) gleich lang. 4. Ein Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute. Somit erfüllt \(ABCD\) alle drei genannten Bezeichnungen.

\(ABCD\) ist ein Trapez, ein Parallelogramm und eine Raute.

- Die Entfernung vom Startpunkt ist die Länge des Verschiebungsvektors \(t\vec{u}\). - Übersetze diese Länge in ein Selbstskalarprodukt, bevor du nach \(t\) löst. - Die beiden Vorzeichen von \(t\) entsprechen den beiden entgegengesetzten Verschiebungsrichtungen.

1. Für den Verschiebungsvektor gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=16+49+16=81\). 2. Die Abstandsbedingung lautet \((t\vec{u})\cdot(t\vec{u})=27^2\). Damit ist \(81t^2=729\), also \(t^2=9\). 3. Somit ist \(t=3\) oder \(t=-3\). 4. Für \(t=3\) ergibt sich \(P_1=S+3\vec{u}=(-11\mid25\mid10)\). 5. Für \(t=-3\) ergibt sich \(P_2=S-3\vec{u}=(13\mid-17\mid-14)\).

\(P_1(-11\mid25\mid10)\) und \(P_2(13\mid-17\mid-14)\)

- Nutze für den fehlenden Eckpunkt die Gleichheit entsprechender Gegenseitenvektoren. - Ein Längenquadrat lässt sich direkt als Selbstskalarprodukt berechnen. - Im Parallelogramm treten die beiden unterschiedlichen Seitenlängen jeweils zweimal auf.

1. Wegen \(\vec{BC}=\vec{AD}\) ist \(C(6\mid5\mid2)\). 2. Es gilt \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}5\\4\\1\end{pmatrix}\) und damit \(|\vec{AC}|^2=\vec{AC}\cdot\vec{AC}=42\). Außerdem ist \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BD}|^2=22\). Die Summe beträgt \(64\). 3. Für die Seiten gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=18\) und \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=14\). 4. Da gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, beträgt die Summe aller vier Seitenquadrate \(2(18+14)=64\). 5. Beide Summen sind gleich; damit ist die Parallelogrammgleichung für dieses Beispiel bestätigt.

a) \(C(6\mid5\mid2)\) b) \(|\vec{AC}|^2=42\), \(|\vec{BD}|^2=22\) c) Beide Summen betragen \(64\).

- Stelle die Diagonalen als Summe bzw. Differenz der Seitenvektoren dar. - Nutze die Eigenschaft \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\). - Was passiert mit dem gemischten Term des Skalarprodukts, wenn du die beiden quadrierten Summen addierst? - Überlege für Teil b), was die Definition einer Raute für die Längen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bedeutet.

1. Definition der Diagonalenvektoren: \(\vec{e} = \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Quadrate der Längen als Skalarprodukte ausdrücken: \(|\vec{e}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) und \(|\vec{f}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes (binomische Formeln): \(|\vec{e}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\) und \(|\vec{f}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \vec{b} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2\). 4. Addition der beiden Ausdrücke: \(|\vec{e}|^2 + |\vec{f}|^2 = (|\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) + (|\vec{b}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2)\). 5. Zusammenfassen: Die Terme \(2 \vec{a} \cdot \vec{b}\) heben sich gegenseitig auf, es bleibt \(2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\). 6. Spezialfall Raute: In einer Raute gilt \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = s\). Einsetzen in die Formel ergibt \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 2(s^2 + s^2) = 4s^2\).

a) Die Addition der quadrierten Diagonalenlängen \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2\) liefert nach dem Ausmultiplizieren \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2\). b) Für eine Raute mit Seitenlänge \(s\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 4s^2\).

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zusammen, wenn \(M\) genau in der Mitte liegt? - Nutze die Identität \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\), um die Längenquadrate zu berechnen. - Welche Terme heben sich bei der Addition der beiden quadrierten Ausdrücke gegenseitig auf? - Erinnere dich an die binomischen Formeln für Vektoren.

1. Definition der Teilvektoren: Da \(M\) die Mitte von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MC} = -\vec{MB}\). Setze \(\vec{m} = \vec{AM}\) und \(\vec{x} = \vec{MB}\). 2. Darstellung der Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \vec{m} + \vec{x}\) und \(\vec{AC} = \vec{m} - \vec{x}\). 3. Berechnung der Quadrate der Beträge mittels Skalarprodukt: \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{m} + \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\) sowie \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{m} - \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = (|\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) + (|\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) = 2|\vec{m}|^2 + 2|\vec{x}|^2\). 5. Rückführung auf die ursprünglichen Bezeichnungen: Da \(|\vec{m}|^2 = |\vec{AM}|^2\) und \(|\vec{x}|^2 = |\vec{BM}|^2\), folgt die Behauptung \(2(|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Vektorsummen in das Skalarprodukt: \(|\vec{AM} + \vec{MB}|^2 + |\vec{AM} - \vec{MB}|^2 = (|\vec{AM}|^2 + 2(\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) + (|\vec{AM}|^2 - 2(\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) = 2|\vec{AM}|^2 + 2|\vec{MB}|^2\). Dies entspricht der zu beweisenden Gleichung \(2(|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

- Ein Drachenviereck besitzt zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. - Vergleiche diese Seitenpaare über ihre Selbstskalarprodukte. - Prüfe für die ausgeschlossenen Werte, ob vier verschiedene Eckpunkte erhalten bleiben. - Welche zusätzliche Winkelbedingung müsste eine Raute erfüllen, um ein Quadrat zu sein?

1. Für die ersten benachbarten Seiten gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=45\) und \(\vec{BC}\cdot\vec{BC}=45\). Also ist \(AB=BC\). 2. Außerdem gilt \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=9k^2+9\) und \(\vec{CD}\cdot\vec{CD}=9k^2+9\). Damit ist \(AD=CD\), also liegt für die nicht entarteten Fälle ein Drachenviereck vor. 3. Für eine Raute muss \(45=9k^2+9\) gelten. Daraus folgt \(k=2\) oder \(k=-2\); der zweite Wert ist entartet, also bleibt \(k=2\). 4. Bei \(k=-2\) ist \(D=B\). Bei \(k=0\) ist \(D(3\mid3\mid3)\) der Mittelpunkt von \(AC\). In beiden Fällen entsteht kein echtes Viereck. 5. Für ein Quadrat wäre zusätzlich ein rechter Winkel nötig. Es gilt jedoch unabhängig von \(k\): \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=27\neq0\). Daher kann kein Quadrat entstehen.

a) \(AB=BC\) und \(AD=CD\) für alle nicht entarteten Parameterwerte. b) \(k=2\) c) Bei \(k=-2\) ist \(D=B\); bei \(k=0\) ist \(D\) der Mittelpunkt von \(AC\). d) Nein; \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=27\neq0\).