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- Welche Beziehung besteht zwischen \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) und dem Quadrat der Vektorlänge? - Berechne zuerst das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. - Ziehe erst danach die nichtnegative Quadratwurzel.

1. Zunächst gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=3^2+4^2+0^2=25\). 2. Wegen \(|\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\) folgt \(|\vec{v}|=5\).

\(|\vec{v}|=5\)

- Übersetze die gegebene Länge zuerst in einen Wert für \(\vec{a}\cdot\vec{a}\). - Setze die drei Komponenten des Vektors in das Selbstskalarprodukt ein. - Welche der beiden möglichen Wurzeln ist mit \(s>0\) vereinbar?

1. Aus \(|\vec{a}|=5\) folgt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=25\). 2. Damit gilt \(3^2+0^2+s^2=25\), also \(s^2=16\). 3. Wegen \(s>0\) ist \(s=4\).

\(s=4\)

- Stelle zunächst die drei Seitenvektoren auf. - Bestimme jedes Längenquadrat als Skalarprodukt des Seitenvektors mit sich selbst. - Für die Klassifikation genügt anschließend der Vergleich der drei Längen.

1. Die Seitenvektoren sind \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\), \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}\). 2. Aus \(\vec{PQ}\cdot\vec{PQ}=25\) folgt \(|\vec{PQ}|=5\). 3. Aus \(\vec{QR}\cdot\vec{QR}=26\) folgt \(|\vec{QR}|=\sqrt{26}\). 4. Aus \(\vec{PR}\cdot\vec{PR}=25\) folgt \(|\vec{PR}|=5\). 5. Zwei Seiten sind gleich lang, die dritte nicht. Daher ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

a) \(|\vec{PQ}|=5\), \(|\vec{QR}|=\sqrt{26}\), \(|\vec{PR}|=5\) b) Das Dreieck ist gleichschenklig mit den gleich langen Seiten \(PQ\) und \(PR\), aber nicht gleichseitig.

- Stelle zuerst \(\vec{AB}\) aus Endpunkt minus Startpunkt auf. - Welche Gleichung für \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}\) entspricht der vorgegebenen Länge \(6\)? - Beachte beim Lösen der quadratischen Bedingung beide möglichen Vorzeichen.

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\1-k\\-4\end{pmatrix}\). 2. Wegen \(|\vec{AB}|=6\) gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=36\). 3. Damit ist \(2^2+(1-k)^2+(-4)^2=36\), also \((1-k)^2=16\). 4. Aus \(1-k=4\) folgt \(k=-3\); aus \(1-k=-4\) folgt \(k=5\).

\(k=-3\) oder \(k=5\)

- Berechne zunächst für jeden Vektor das Skalarprodukt mit sich selbst. - Beachte beim Quadrieren, dass negative Komponenten ein positives Quadrat liefern. - Ziehe erst am Ende die Quadratwurzel aus dem Selbstskalarprodukt.

1. Für \(\vec{a}\) gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=289\), also \(|\vec{a}|=\sqrt{289}=17\). 2. Für \(\vec{b}\) gilt \(\vec{b}\cdot\vec{b}=13+15+21=49\), also \(|\vec{b}|=7\). 3. Für \(\vec{c}\) gilt \(\vec{c}\cdot\vec{c}=2{,}25+4+36=42{,}25\), also \(|\vec{c}|=6{,}5\).

a) \(|\vec{a}|=17\) b) \(|\vec{b}|=7\) c) \(|\vec{c}|=6{,}5\)

- Übersetze die vorgegebene Länge zuerst in ein Selbstskalarprodukt. - Setze die drei Komponenten von \(\vec{v}\) in \(\vec{v}\cdot\vec{v}\) ein. - Eine Gleichung für \(k^2\) kann zwei reelle Lösungen besitzen.

1. Aus \(|\vec{v}|=15\) folgt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=225\). 2. Es gilt \(\vec{v}\cdot\vec{v}=(2k)^2+k^2+10^2=5k^2+100\). 3. Damit ist \(5k^2+100=225\), also \(k^2=25\). 4. Somit gilt \(k=5\) oder \(k=-5\).

\(k=5\) oder \(k=-5\)

- Bilde zuerst Endpunkt minus Startpunkt. - Welches Selbstskalarprodukt liefert das Quadrat der Streckenlänge? - Wie kannst du anschließend einen Vektor derselben Richtung auf Länge \(1\) skalieren?

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\). 2. Das Selbstskalarprodukt ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=4^2+4^2+2^2=36\). Daher ist \(|\vec{AB}|=6\). 3. Der Einheitsvektor in derselben Richtung ist \(\vec{u}=\frac{1}{6}\vec{AB}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}\).

a) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}\) b) \(|\vec{AB}|=6\) c) \(\vec{u}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors aus seinen Koordinaten? - Was passiert mit den einzelnen Komponenten eines Vektors, wenn man ihn mit einer Zahl multipliziert? - Überlege dir, ob das Vorzeichen einer Zahl Einfluss auf die Länge eines damit multiplizierten Vektors hat. - Erinnere dich an die Definition des Betrags einer reellen Zahl.

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{u}\): \(|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\). 2. Berechnung über Komponenten: \(\vec{v} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -24 \end{pmatrix}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + (-24)^2} = \sqrt{36 + 64 + 576} = \sqrt{676} = 26\). 3. Berechnung über die Skalierungseigenschaft: \(|\vec{v}| = |-2| \cdot |\vec{u}| = 2 \cdot 13 = 26\). 4. Vergleich und Erläuterung: Beide Rechenwege führen zum selben Ergebnis \(26\). Der Skalierungsfaktor \(k = -2\) bewirkt eine Verdopplung der Länge, da der Betrag des Faktors \(|k| = 2\) entscheidend für die Längenänderung ist, während das negative Vorzeichen lediglich die Orientierung des Vektors umkehrt.

a) \(|\vec{u}| = 13\) b) 1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ -24 \end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{v}| = 26\); 2. \(|\vec{v}| = 2 \cdot 13 = 26\) c) Beide Wege ergeben \(26\). Die Länge verdoppelt sich, da \(|-2| = 2\).

- Nutze die Formel für den Betrag eines skalierten Vektors: \(|r \cdot \vec{a}| = |r| \cdot |\vec{a}|\). - Wenn du eine Gleichung der Form \(|r| = c\) hast, welche Werte kann \(r\) dann annehmen? - Was bedeutet ein positives oder negatives Vorzeichen beim Streckungsfaktor \(r\) für die Richtung des Vektors?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Länge von \(\vec{b}\): \(|\vec{b}| = |r \cdot \vec{a}| = |r| \cdot |\vec{a}|\). 3. Einsetzen der gegebenen Werte: \(20 = |r| \cdot 5\). Daraus folgt \(|r| = 4\). 4. Lösen der Betragsgleichung: Es ergeben sich zwei Lösungen \(r_1 = 4\) und \(r_2 = -4\). 5. Geometrische Interpretation: Für \(r = 4\) zeigt \(\vec{b}\) in dieselbe Richtung wie \(\vec{a}\). Für \(r = -4\) zeigt \(\vec{b}\) in die entgegengesetzte Richtung. In beiden Fällen ist der Vektor viermal so lang wie \(\vec{a}\).

a) \(|\vec{a}| = 5\) b) \(r_1 = 4\); \(r_2 = -4\) c) Es gibt zwei Vektoren der Länge \(20\), die kollinear zu \(\vec{a}\) sind: einen in Richtung von \(\vec{a}\) (\(r=4\)) und einen in der entgegengesetzten Richtung (\(r=-4\)).

- Zum Vergleichen musst du nicht sofort acht Quadratwurzeln ausrechnen. - Zwei Vektoren haben genau dann die gleiche Länge, wenn ihre Selbstskalarprodukte übereinstimmen. - Ordne die Vektoren zunächst nach dem Wert von \(\vec{v}\cdot\vec{v}\).

1. Für \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\) gilt jeweils \(\vec{v}\cdot\vec{v}=9\). Daher haben diese vier Vektoren die Länge \(3\). 2. Für \(\vec{e},\vec{f},\vec{g},\vec{h}\) gilt jeweils \(\vec{v}\cdot\vec{v}=25\). Daher haben diese vier Vektoren die Länge \(5\).

Länge \(3\): \(\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}\) Länge \(5\): \(\vec{e},\vec{f},\vec{g},\vec{h}\)

- Wie berechnet man die Länge eines Vektors im Raum? - Was bedeutet es für die Komponenten eines Vektors, wenn er die Länge 1 haben soll? - Überlege dir, wie du einen Vektor „schrumpfen“ oder „strecken“ kannst, ohne seine Richtung zu ändern. - Welche Rolle spielt der Betrag eines Vektors bei dieser Darstellung?

1. Berechnung des Betrags von \(\vec{v}\): \(|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9\). 2. Bestimmung des Einheitsvektors \(\vec{u}\) durch Normierung: \(\vec{u} = \frac{1}{|\vec{v}|} \cdot \vec{v} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\). 3. Darstellung als Vielfaches: \(\vec{v} = 9 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\).

\(\vec{v} = 9 \cdot \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} \\ \frac{7}{9} \\ \frac{4}{9} \end{pmatrix}\)

- Welche genaue Beziehung besteht zwischen einem Selbstskalarprodukt und der Vektorlänge? - Prüfe, welche Größe in der Gleichung quadriert vorkommt. - Welche Rechenoperation ist nötig, um aus dem Längenquadrat die Länge zu erhalten?

1. Die Rechnung \(\vec{a}\cdot\vec{a}=2^2+3^2+0^2=13\) ist richtig. 2. Das Selbstskalarprodukt ist aber das Quadrat der Vektorlänge: \(\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2\). 3. Daher gilt \(|\vec{a}|=\sqrt{13}\), nicht \(13\).

Der Fehler ist die Verwechslung von \(\vec{a}\cdot\vec{a}\) mit \(|\vec{a}|\). Korrekt ist \(|\vec{a}|=\sqrt{13}\).

- Bestimme zuerst den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche. - Welche Koordinaten der Spitze sind bei einer geraden Pyramide dadurch bereits festgelegt? - Formuliere die gegebene Seitenlänge über \(\vec{AS}\cdot\vec{AS}\), bevor du nach der unbekannten Höhe auflöst.

1. Die quadratische Grundfläche liegt in der Ebene \(x_3=2\). Ihr Mittelpunkt ist \(M(4\mid4\mid2)\). 2. Bei einer geraden Pyramide liegt die Spitze senkrecht über oder unter \(M\), also hat sie die Form \(S(4\mid4\mid2+h)\). 3. Damit ist \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}3\\3\\h\end{pmatrix}\). 4. Aus \(|\vec{AS}|^2=\vec{AS}\cdot\vec{AS}\) und \(|\vec{AS}|^2=43\) folgt \(3^2+3^2+h^2=43\). 5. Somit gilt \(h^2=25\), also \(h=5\) oder \(h=-5\). 6. Die möglichen Spitzen sind \(S_1(4\mid4\mid7)\) und \(S_2(4\mid4\mid-3)\).

\(S_1(4\mid4\mid7)\) und \(S_2(4\mid4\mid-3)\)

- Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(|\vec{a}|^2\) und \(\vec{a}\cdot\vec{a}\)? - Für den Längenvergleich kannst du zunächst die Quadrate der Beträge vergleichen. - Berücksichtige beim Lösen die Bedingung \(s>0\).

1. Es gilt \(\vec{a}\cdot\vec{a}=2^2+(-3)^2+6^2=49\), also \(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=7\). 2. Für gleiche Längen müssen die Betragsquadrate übereinstimmen: \(\vec{b}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{a}=49\). 3. Damit ist \(6^2+3^2+s^2=49\), also \(s^2=4\). 4. Aus \(s>0\) folgt \(s=2\).

a) \(|\vec{a}|=7\) b) \(s=2\)

- Welche Form haben die Koordinaten eines Punktes auf der \(x_2\)-Achse? - Stelle den Verbindungsvektor von \(A\) zu einem solchen allgemeinen Punkt auf. - Übersetze die vorgegebene Entfernung in eine Gleichung für das Selbstskalarprodukt dieses Vektors.

1. Ein Punkt auf der \(x_2\)-Achse hat die Form \(P(0\mid s\mid0)\). 2. Der Verbindungsvektor ist \(\vec{AP}=\begin{pmatrix}-1\\s-3\\-4\end{pmatrix}\). 3. Aus \(|\vec{AP}|^2=\vec{AP}\cdot\vec{AP}=26\) folgt \(1+(s-3)^2+16=26\). 4. Damit ist \((s-3)^2=9\), also \(s=6\) oder \(s=0\). 5. Die gesuchten Punkte sind \(P_1(0\mid6\mid0)\) und \(P_2(0\mid0\mid0)\).

\(P_1(0\mid6\mid0)\) und \(P_2(0\mid0\mid0)\)

- Welche drei Seiten müssen bei einem gleichseitigen Dreieck dieselbe Länge besitzen? - Vergleiche die Selbstskalarprodukte der beiden von \(B\) ausgehenden Seiten mit dem festen Längenquadrat von \(OA\). - Nutze die Symmetrie der ersten beiden Komponenten, bevor du zwei getrennte Gleichungen löst.

1. Für die feste Seite gilt \(\vec{OA}\cdot\vec{OA}=36\), also \(|\vec{OA}|=6\). 2. Es ist \(\vec{OB}=\begin{pmatrix}3\\3\\s\end{pmatrix}\) und \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-3\\3\\s\end{pmatrix}\). 3. Beide Selbstskalarprodukte sind gleich: \(\vec{OB}\cdot\vec{OB}=\vec{AB}\cdot\vec{AB}=18+s^2\). 4. Für ein gleichseitiges Dreieck muss \(18+s^2=36\) gelten. Daher ist \(s^2=18\). 5. Somit gilt \(s=3\sqrt2\) oder \(s=-3\sqrt2\).

\(s=3\sqrt2\) oder \(s=-3\sqrt2\)

- Vergleiche für Teil a) nicht zuerst die Wurzeln, sondern die Selbstskalarprodukte der beiden Seitenvektoren. - Welche beiden Koordinaten sind für einen Punkt auf der \(x_3\)-Achse gleich null? - Für ein gleichseitiges Dreieck müssen die Seiten zu \(P\) dieselbe Länge wie \(AB\) haben. - Welche Skalarproduktbedingung kennzeichnet den rechten Winkel bei \(Q_k\)?

1. Für \(P(0\mid s\mid t)\) gilt \(\vec{PA}=\begin{pmatrix}3\\-s\\-t\end{pmatrix}\) und \(\vec{PB}=\begin{pmatrix}-3\\-s\\-t\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=9+s^2+t^2\) und \(\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\). Daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\); für \(P\neq O\) entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis \(AB\). 3. Es ist \(|\vec{AB}|^2=36\). Für einen Punkt \(P(0\mid0\mid t)\) auf der \(x_3\)-Achse gilt \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=9+t^2\). Gleichseitigkeit verlangt \(9+t^2=36\), also \(t=\pm3\sqrt3\). 4. Für \(Q_k(k\mid2\mid0)\) gilt \(\vec{Q_kA}=\begin{pmatrix}3-k\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{Q_kB}=\begin{pmatrix}-3-k\\-2\\0\end{pmatrix}\). 5. Ein rechter Winkel bei \(Q_k\) erfordert \(\vec{Q_kA}\cdot\vec{Q_kB}=0\). Es ergibt sich \((3-k)(-3-k)+4=k^2-5\), also \(k=\pm\sqrt5\).

a) \(\vec{PA}\cdot\vec{PA}=\vec{PB}\cdot\vec{PB}=9+s^2+t^2\); daher ist \(|\vec{PA}|=|\vec{PB}|\). b) \(P_1(0\mid0\mid3\sqrt3)\) und \(P_2(0\mid0\mid-3\sqrt3)\) c) \(k=\pm\sqrt5\), also \(Q_1(\sqrt5\mid2\mid0)\) und \(Q_2(-\sqrt5\mid2\mid0)\)

- Vergleiche die beiden Schenkellängen über ihre Selbstskalarprodukte. - Prüfe für \(k=0\), ob tatsächlich drei nicht kollineare Punkte vorliegen. - Für Gleichseitigkeit muss zusätzlich die Basis dieselbe Länge wie die beiden Schenkel haben. - Welche Bedingung erfüllt das Skalarprodukt der beiden Vektoren von \(C_k\) zu \(A\) und \(B\) bei einem rechten Winkel?

1. Es gilt \(\vec{AC_k}=\begin{pmatrix}1+k\\2-k\\-1-k\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_k}=\begin{pmatrix}-1+k\\-2-k\\1-k\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{AC_k}\cdot\vec{AC_k}=3k^2+6\) und \(\vec{BC_k}\cdot\vec{BC_k}=3k^2+6\). Damit sind \(AC_k\) und \(BC_k\) gleich lang. Für \(k\neq0\) ist \(ABC_k\) daher gleichschenklig mit Basis \(AB\). 3. Für \(k=0\) ist \(C_0(3\mid3\mid2)\) der Mittelpunkt von \(AB\). Die drei Punkte sind kollinear und bilden kein Dreieck. 4. Außerdem gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=24\). Für Gleichseitigkeit muss deshalb \(3k^2+6=24\) gelten. Daraus folgt \(k=\pm\sqrt6\). 5. Für einen rechten Winkel bei \(C_k\) muss \(\vec{C_kA}\cdot\vec{C_kB}=0\) gelten. Das Skalarprodukt ist \(3k^2-6\), also \(k=\pm\sqrt2\).

a) Für \(k\neq0\) ist \(ABC_k\) gleichschenklig mit Basis \(AB\). Bei \(k=0\) sind \(A\), \(B\) und \(C_0\) kollinear. b) \(k=\pm\sqrt6\) c) \(k=\pm\sqrt2\)

- Prüfe zuerst, ob ein Paar gegenüberliegender Seitenvektoren skalare Vielfache sind. - Für ein Parallelogramm müssten die entsprechend orientierten Gegenseitenvektoren sogar übereinstimmen. - Vergleiche die beiden Schenkel über ihre Selbstskalarprodukte.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{DC}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\). Wegen \(\vec{AB}=2\vec{DC}\) sind \(AB\) und \(DC\) parallel. 2. Die parallelen Gegenseiten sind verschieden lang; insbesondere gilt \(\vec{AB}\neq\vec{DC}\). Daher ist das Viereck kein Parallelogramm. 3. Für die Schenkel gilt \(\vec{AD}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-1\\2\\2\end{pmatrix}\). 4. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=9\) und \(\vec{BC}\cdot\vec{BC}=9\). Somit haben beide Schenkel die Länge \(3\). 5. Das Viereck ist daher ein gleichschenkliges Trapez, aber kein Parallelogramm.

\(AB\parallel DC\), aber \(\vec{AB}\neq\vec{DC}\); außerdem gilt \(|\vec{AD}|=|\vec{BC}|=3\). Daher ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez und kein Parallelogramm.

- Vergleiche in Teil a) die Selbstskalarprodukte der beiden Schenkelvektoren. - Für den rechten Winkel brauchst du zwei Vektoren, die bei \(C_k\) beginnen. - Für Gleichseitigkeit muss das Längenquadrat eines Schenkels zusätzlich dem der Basis entsprechen.

1. Es ist \(\vec{AC_k}=\begin{pmatrix}k-2\\0\\k\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_k}=\begin{pmatrix}k\\0\\k-2\end{pmatrix}\). Beide Selbstskalarprodukte sind \(2k^2-4k+4\); daher sind die Schenkel gleich lang. Für \(k=1\) wäre \(C_1\) der Mittelpunkt von \(AB\), weshalb dieser Wert ausgeschlossen ist. 2. Ein rechter Winkel bei \(C_k\) verlangt \(\vec{C_kA}\cdot\vec{C_kB}=0\). Das ergibt \(2k^2-4k=0\), also \(k=0\) oder \(k=2\). 3. Für Gleichseitigkeit muss zusätzlich das Längenquadrat der Basis übereinstimmen. Es gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=8\). Aus \(2k^2-4k+4=8\) folgt \(k=1\pm\sqrt3\).

a) \(\vec{AC_k}\cdot\vec{AC_k}=\vec{BC_k}\cdot\vec{BC_k}=2k^2-4k+4\); daher ist das Dreieck gleichschenklig. b) \(k=0\) oder \(k=2\) c) \(k=1-\sqrt3\) oder \(k=1+\sqrt3\)

- Bestimme zuerst die beiden benachbarten Seitenvektoren am Punkt \(P\). - Vergleiche ihre Längen über die jeweiligen Selbstskalarprodukte. - Welcher Vergleich gegenüberliegender Seitenvektoren zeigt zusätzlich, dass ein Parallelogramm vorliegt?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\). 2. Die Selbstskalarprodukte sind \(\vec{PQ}\cdot\vec{PQ}=9\) und \(\vec{PS}\cdot\vec{PS}=9\). Daher haben beide Seiten die Länge \(3\). 3. Außerdem ist \(\vec{SR}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}=\vec{PQ}\). Damit ist \(PQRS\) ein Parallelogramm. 4. Ein Parallelogramm mit gleich langen benachbarten Seiten ist eine Raute. 5. Der Umfang beträgt \(4\cdot3=12\) Längeneinheiten.

a) \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\), \(|\vec{PQ}|=3\); \(\vec{PS}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\), \(|\vec{PS}|=3\) b) \(PQRS\) ist eine Raute. c) \(12\) Längeneinheiten

- Behandle den Parameter \(k\) beim Aufstellen des Vektors wie eine normale Zahl. - Wie hängt das Selbstskalarprodukt \(\vec{w}\cdot\vec{w}\) mit der Länge \(|\vec{w}|\) zusammen? - Übertrage die vorgegebene Länge in Teil c) auf eine Gleichung für das Selbstskalarprodukt und beachte anschließend beide Lösungen der quadratischen Bedingung.

1. Aufstellen des Vektors durch Subtraktion der Ortsvektoren: \(\vec{PQ_k} = \vec{OQ_k} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\). 2. Für \(k=3\) ist \(\vec{PQ_3}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). Das Selbstskalarprodukt ist \(\vec{PQ_3}\cdot\vec{PQ_3}=32\), also \(|\vec{PQ_3}|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\approx5{,}66\). 3. Für die Länge \(6\) gilt \(\vec{PQ_k}\cdot\vec{PQ_k}=36\). Daher ist \((k-3)^2+4^2+4^2=36\). 4. Es folgt \((k-3)^2=4\), also \(k-3=2\) oder \(k-3=-2\). 5. Damit sind \(k=5\) und \(k=1\) die beiden Lösungen.

a) \(\vec{PQ_k} = \begin{pmatrix} k-3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}\) b) \(|\vec{PQ_3}| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) c) \(k_1 = 1\) und \(k_2 = 5\)

- Wenn ein Vektor in einer Ebene „flach“ liegt, trägt er nicht zur Höhe bei. Was bedeutet das für seine Komponenten? - Überlege dir, welche Koordinaten null sein müssen, wenn ein Vektor nur nach „oben“ oder „unten“ zeigt. - Die Formel für die Länge eines Vektors im Raum ist eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf drei Dimensionen. - Vektoren werden komponentenweise addiert.

1. Die Einbettung in die \(x_1x_2\)-Ebene bedeutet, dass die \(x_3\)-Komponente \(0\) ist. Die Länge berechnet sich im Raum über \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + 0^2}\), was identisch mit der Länge in der Ebene \(\sqrt{u_1^2 + u_2^2}\) ist. Die Länge bleibt also \(8\). 2. Ein Vektor senkrecht zur \(x_1x_2\)-Ebene verläuft parallel zur \(x_3\)-Achse. Seine \(x_1\)- und \(x_2\)-Komponenten sind \(0\). Bei einer Länge von \(6\) ist eine mögliche Darstellung \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)). 3. Der Summenvektor ist \(\vec{s} = \begin{pmatrix} 3+0 \\ 4+0 \\ 0+12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 12 \end{pmatrix}\). Die Länge berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras im Raum: \(|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13\).

1. Die dritte Komponente ist \(0\); die Länge bleibt \(8\), da \(x_3 = 0\) den Wert unter der Wurzel nicht verändert. 2. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\) (oder \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \end{pmatrix}\)) 3. \(|\vec{s}| = 13\)

- Vergleiche zunächst die Quadrate der Längen statt die Wurzeln selbst. - Wie lässt sich das Quadrat einer Vektorlänge als Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst schreiben? - Prüfe jeden Kandidaten unabhängig; ziehe die Quadratwurzel nur dort, wo du die tatsächliche Länge angeben möchtest.

1. Für den Referenzvektor gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=12^2+4^2+3^2=169\), also \(|\vec{u}|=13\). 2. Vergleiche die Selbstskalarprodukte: \(\vec{v}_1\cdot\vec{v}_1=169\), \(\vec{v}_2\cdot\vec{v}_2=100+50+19=169\), \(\vec{v}_3\cdot\vec{v}_3=1+144+12=157\), \(\vec{v}_4\cdot\vec{v}_4=25+144=169\), \(\vec{v}_5\cdot\vec{v}_5=9+16+144=169\) und \(\vec{v}_6\cdot\vec{v}_6=64+64+16=144\). 3. Somit haben \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) dieselbe Länge wie \(\vec{u}\).

Die Vektoren \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\), \(\vec{v}_4\) und \(\vec{v}_5\) haben dieselbe Länge wie \(\vec{u}\) (nämlich \(13\)).

- Die Entfernung vom Startpunkt ist die Länge des Verschiebungsvektors \(t\vec{u}\). - Übersetze diese Länge in ein Selbstskalarprodukt, bevor du nach \(t\) löst. - Die beiden Vorzeichen von \(t\) entsprechen den beiden entgegengesetzten Verschiebungsrichtungen.

1. Für den Verschiebungsvektor gilt \(\vec{u}\cdot\vec{u}=16+49+16=81\). 2. Die Abstandsbedingung lautet \((t\vec{u})\cdot(t\vec{u})=27^2\). Damit ist \(81t^2=729\), also \(t^2=9\). 3. Somit ist \(t=3\) oder \(t=-3\). 4. Für \(t=3\) ergibt sich \(P_1=S+3\vec{u}=(-11\mid25\mid10)\). 5. Für \(t=-3\) ergibt sich \(P_2=S-3\vec{u}=(13\mid-17\mid-14)\).

\(P_1(-11\mid25\mid10)\) und \(P_2(13\mid-17\mid-14)\)

- Nutze für den fehlenden Eckpunkt die Gleichheit entsprechender Gegenseitenvektoren. - Ein Längenquadrat lässt sich direkt als Selbstskalarprodukt berechnen. - Im Parallelogramm treten die beiden unterschiedlichen Seitenlängen jeweils zweimal auf.

1. Wegen \(\vec{BC}=\vec{AD}\) ist \(C(6\mid5\mid2)\). 2. Es gilt \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}5\\4\\1\end{pmatrix}\) und damit \(|\vec{AC}|^2=\vec{AC}\cdot\vec{AC}=42\). Außerdem ist \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-3\\2\\3\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BD}|^2=22\). Die Summe beträgt \(64\). 3. Für die Seiten gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=18\) und \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=14\). 4. Da gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, beträgt die Summe aller vier Seitenquadrate \(2(18+14)=64\). 5. Beide Summen sind gleich; damit ist die Parallelogrammgleichung für dieses Beispiel bestätigt.

a) \(C(6\mid5\mid2)\) b) \(|\vec{AC}|^2=42\), \(|\vec{BD}|^2=22\) c) Beide Summen betragen \(64\).

- Welche Koordinate ist bei allen Punkten der Grundfläche gleich? - Wo liegt die Spitze einer geraden Pyramide relativ zum Mittelpunkt der Grundfläche? - Übersetze die Längenbedingung in eine Gleichung für \(\vec{AS}\cdot\vec{AS}\). - Beachte, dass die unbekannte Höhenverschiebung zwei Vorzeichen haben kann.

1. Alle Grundpunkte besitzen die erste Koordinate \(5\); die Grundfläche liegt daher in der Ebene \(x_1=5\). 2. Ihr Mittelpunkt ist \(M(5\mid2\mid2)\). Die Spitze einer geraden Pyramide hat deshalb die Form \(S(5+h\mid2\mid2)\). 3. Es ist \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}h\\2\\2\end{pmatrix}\). 4. Mit \(|\vec{AS}|^2=\vec{AS}\cdot\vec{AS}\) folgt aus der Seitenlänge \(6\): \(h^2+2^2+2^2=36\). 5. Daher ist \(h^2=28\), also \(h=\pm2\sqrt7\). 6. Die beiden Spitzen sind \(S_1(5+2\sqrt7\mid2\mid2)\) und \(S_2(5-2\sqrt7\mid2\mid2)\).

\(S_1(5+2\sqrt7\mid2\mid2)\) und \(S_2(5-2\sqrt7\mid2\mid2)\)

- Vergleiche in Teil a) die Selbstskalarprodukte der beiden Schenkelvektoren. - Für Teil b) brauchst du zusätzlich das Längenquadrat der Basis \(AB\). - Welche Skalarproduktbedingung zeigt die Orthogonalität in Teil c)? - In Teil d) ist die Strecke vom Basismittelpunkt zu \(C_t\) die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks.

1. Es gilt \(\vec{AC_t}=\begin{pmatrix}1+2t\\2-2t\\2+t\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC_t}=\begin{pmatrix}-1+2t\\-2-2t\\-2+t\end{pmatrix}\). Beide Selbstskalarprodukte sind \(9t^2+9\). Daher sind die Schenkel gleich lang. Bei \(t=0\) ist \(C_0\) der Mittelpunkt von \(AB\), sodass kein Dreieck entsteht. 2. Für \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}\) ist \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=36\). Gleichseitigkeit verlangt \(9t^2+9=36\), also \(t=\pm\sqrt3\). 3. Der Mittelpunkt ist \(M(3\mid3\mid1)\). Es gilt \(\vec{MC_t}=\begin{pmatrix}2t\\-2t\\t\end{pmatrix}\) und \(\vec{MC_t}\cdot\vec{AB}=0\). 4. Aus \(\vec{MC_t}\cdot\vec{MC_t}=9t^2\) folgt für die Höhe \(h=3|t|\). Mit \(|\vec{AB}|=6\) ist der Flächeninhalt \(9|t|\). Daher gilt bei \(18\) Flächeneinheiten \(t=\pm2\).

a) Für \(t\neq0\) ist \(ABC_t\) gleichschenklig mit Basis \(AB\); bei \(t=0\) entsteht kein Dreieck. b) \(t=\pm\sqrt3\) c) \(M(3\mid3\mid1)\) und \(\vec{MC_t}\cdot\vec{AB}=0\) d) \(t=\pm2\)

- Vergleiche in Teil a) die Quadrate der Schenkellängen als Selbstskalarprodukte. - Nutze für einen rechten Winkel die passende Skalarproduktbedingung am betreffenden Eckpunkt. - Vergleiche in Teil c) den Verbindungsvektor \(\vec{PS_k}\) mit der Richtung von \(\vec{PQ}\). - Übersetze die vorgegebene Schenkellänge in eine Gleichung für ihr Selbstskalarprodukt.

1. Es ist \(\vec{PS_k}=\begin{pmatrix}k+1\\1-2k\\k+1\end{pmatrix}\) und \(\vec{QS_k}=\begin{pmatrix}k-1\\-1-2k\\k-1\end{pmatrix}\). Beide Selbstskalarprodukte sind \(6k^2+3\); damit sind die Schenkel gleich lang. 2. Ein rechter Winkel kann bei diesem gleichschenkligen Dreieck nur bei \(S_k\) liegen. Aus \(\vec{S_kP}\cdot\vec{S_kQ}=6k^2-3=0\) folgt \(k=\pm\frac{1}{\sqrt2}\). 3. Es ist \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}\). Liegt \(S_k\) auf der Strecke \(PQ\), so zeigt \(\vec{PS_k}\) in dieselbe Richtung wie \(\vec{PQ}\); seine drei Komponenten müssen daher gleich sein. Aus \(k+1=1-2k\) folgt \(k=0\). Dann gilt \(\vec{PS_0}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\frac12\vec{PQ}\), also ist \(S_0\) der Mittelpunkt von \(PQ\). 4. Für die Schenkellänge \(\sqrt{21}\) gilt wegen des Selbstskalarprodukts \(6k^2+3=21\). Daraus folgt \(k^2=3\); wegen \(k>0\) ist \(k=\sqrt3\).

a) \(\vec{PS_k}\cdot\vec{PS_k}=\vec{QS_k}\cdot\vec{QS_k}=6k^2+3\) b) \(k=\pm\frac{1}{\sqrt2}\); der rechte Winkel liegt bei \(S_k\). c) Ja, für \(k=0\); dann ist \(S_0\) der Mittelpunkt von \(PQ\). d) \(k=\sqrt3\)

- Stelle die Diagonalen als Summe bzw. Differenz der Seitenvektoren dar. - Nutze die Eigenschaft \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\). - Was passiert mit dem gemischten Term des Skalarprodukts, wenn du die beiden quadrierten Summen addierst? - Überlege für Teil b), was die Definition einer Raute für die Längen der Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) bedeutet.

1. Definition der Diagonalenvektoren: \(\vec{e} = \vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\) und \(\vec{f} = \vec{BD} = \vec{b} - \vec{a}\). 2. Quadrate der Längen als Skalarprodukte ausdrücken: \(|\vec{e}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b})\) und \(|\vec{f}|^2 = (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})\). 3. Anwendung des Distributivgesetzes (binomische Formeln): \(|\vec{e}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2\) und \(|\vec{f}|^2 = |\vec{b}|^2 - 2 \vec{b} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2\). 4. Addition der beiden Ausdrücke: \(|\vec{e}|^2 + |\vec{f}|^2 = (|\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) + (|\vec{b}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2)\). 5. Zusammenfassen: Die Terme \(2 \vec{a} \cdot \vec{b}\) heben sich gegenseitig auf, es bleibt \(2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2 = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2)\). 6. Spezialfall Raute: In einer Raute gilt \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = s\). Einsetzen in die Formel ergibt \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 2(s^2 + s^2) = 4s^2\).

a) Die Addition der quadrierten Diagonalenlängen \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{a}|^2\) liefert nach dem Ausmultiplizieren \(|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2 + 2|\vec{b}|^2\). b) Für eine Raute mit Seitenlänge \(s\) vereinfacht sich die Gleichung zu \(|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = 4s^2\).

- Wie hängen die Vektoren \(\vec{MB}\) und \(\vec{MC}\) zusammen, wenn \(M\) genau in der Mitte liegt? - Nutze die Identität \(|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\), um die Längenquadrate zu berechnen. - Welche Terme heben sich bei der Addition der beiden quadrierten Ausdrücke gegenseitig auf? - Erinnere dich an die binomischen Formeln für Vektoren.

1. Definition der Teilvektoren: Da \(M\) die Mitte von \(BC\) ist, gilt \(\vec{MC} = -\vec{MB}\). Setze \(\vec{m} = \vec{AM}\) und \(\vec{x} = \vec{MB}\). 2. Darstellung der Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \vec{m} + \vec{x}\) und \(\vec{AC} = \vec{m} - \vec{x}\). 3. Berechnung der Quadrate der Beträge mittels Skalarprodukt: \(|\vec{AB}|^2 = |\vec{m} + \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\) sowie \(|\vec{AC}|^2 = |\vec{m} - \vec{x}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2\). 4. Addition der beiden Gleichungen: \(|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 = (|\vec{m}|^2 + 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) + (|\vec{m}|^2 - 2(\vec{m} \cdot \vec{x}) + |\vec{x}|^2) = 2|\vec{m}|^2 + 2|\vec{x}|^2\). 5. Rückführung auf die ursprünglichen Bezeichnungen: Da \(|\vec{m}|^2 = |\vec{AM}|^2\) und \(|\vec{x}|^2 = |\vec{BM}|^2\), folgt die Behauptung \(2(|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Vektorsummen in das Skalarprodukt: \(|\vec{AM} + \vec{MB}|^2 + |\vec{AM} - \vec{MB}|^2 = (|\vec{AM}|^2 + 2(\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) + (|\vec{AM}|^2 - 2(\vec{AM} \cdot \vec{MB}) + |\vec{MB}|^2) = 2|\vec{AM}|^2 + 2|\vec{MB}|^2\). Dies entspricht der zu beweisenden Gleichung \(2(|\vec{AM}|^2 + |\vec{BM}|^2)\).

- Ein Drachenviereck besitzt zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten. - Vergleiche diese Seitenpaare über ihre Selbstskalarprodukte. - Prüfe für die ausgeschlossenen Werte, ob vier verschiedene Eckpunkte erhalten bleiben. - Welche zusätzliche Winkelbedingung müsste eine Raute erfüllen, um ein Quadrat zu sein?

1. Für die ersten benachbarten Seiten gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AB}=45\) und \(\vec{BC}\cdot\vec{BC}=45\). Also ist \(AB=BC\). 2. Außerdem gilt \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}=9k^2+9\) und \(\vec{CD}\cdot\vec{CD}=9k^2+9\). Damit ist \(AD=CD\), also liegt für die nicht entarteten Fälle ein Drachenviereck vor. 3. Für eine Raute muss \(45=9k^2+9\) gelten. Daraus folgt \(k=2\) oder \(k=-2\); der zweite Wert ist entartet, also bleibt \(k=2\). 4. Bei \(k=-2\) ist \(D=B\). Bei \(k=0\) ist \(D(3\mid3\mid3)\) der Mittelpunkt von \(AC\). In beiden Fällen entsteht kein echtes Viereck. 5. Für ein Quadrat wäre zusätzlich ein rechter Winkel nötig. Es gilt jedoch unabhängig von \(k\): \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=27\neq0\). Daher kann kein Quadrat entstehen.

a) \(AB=BC\) und \(AD=CD\) für alle nicht entarteten Parameterwerte. b) \(k=2\) c) Bei \(k=-2\) ist \(D=B\); bei \(k=0\) ist \(D\) der Mittelpunkt von \(AC\). d) Nein; \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=27\neq0\).