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- Welche Formel verknüpft das Skalarprodukt mit den Längen der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel? - Vergleiche die gegebene Gleichung mit der allgemeinen Definition. Was muss für den Kosinus-Teil gelten? - Was bedeutet ein Winkel von \(0^\circ\) oder \(180^\circ\) für die Ausrichtung zweier Pfeile im Raum?

1. Anwendung der Definition des Skalarprodukts: \(\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha)\). 2. Gleichsetzen mit der Bedingung aus der Aufgabenstellung: \(|\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\alpha) = -|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|\). 3. Da die Vektoren keine Nullvektoren sind, folgt durch Division \(\cos(\alpha) = -1\). 4. Bestimmung des Winkels: \(\alpha = \arccos(-1) = 180^\circ\). 5. Geometrische Schlussfolgerung: Die Vektoren sind kollinear und entgegengesetzt gerichtet (antiparallel).

Der Winkel beträgt \(\alpha = 180^\circ\). Die Vektoren sind kollinear und zeigen in entgegengesetzte Richtungen (sie sind antiparallel).

- Setze Skalarprodukt und beide Vektorlängen in die Winkelformel ein. - Vereinfache zunächst den Kosinuswert. - Bestimme anschließend den zugehörigen Winkel und vergleiche ihn mit \(90^\circ\).

1. Für den Winkel gilt \(\cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\). 2. Einsetzen ergibt \(\cos(\alpha)=\frac{3}{2\cdot3}=\frac{1}{2}\). 3. Daher ist \(\alpha=60^\circ\). Der Winkel ist spitz.

\(\alpha=60^\circ\); der Winkel ist spitz.

- Betrachte in der Winkelbeziehung nur das Vorzeichen des Skalarprodukts. - Die Vektorlängen können das Vorzeichen nicht verändern, weil sie positiv sind. - Welche Vorzeichen hat der Kosinus bei spitzen, rechten und stumpfen Winkeln?

1. Für von null verschiedene Vektoren hat \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) dasselbe Vorzeichen wie \(\cos(\varphi)\), weil beide Vektorlängen positiv sind. 2. Ein negatives Skalarprodukt gehört zu einem stumpfen Winkel. 3. Ein Skalarprodukt von null gehört zu einem rechten Winkel. 4. Ein positives Skalarprodukt gehört zu einem spitzen Winkel.

a) stumpf b) recht c) spitz

- Welche beiden Vektoren beginnen am Scheitelpunkt \(B\)? - Bestimme ihr Skalarprodukt und ihre Längen zunächst exakt. - Wie lässt sich daraus der Kosinus des gesuchten Winkels bestimmen?

1. Die den Winkel bei \(B\) bildenden Vektoren sind \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\). 2. Ihr Skalarprodukt ist \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=-8\). 3. Die Längen sind \(|\vec{BA}|=\sqrt{13}\) und \(|\vec{BC}|=5\). 4. Somit gilt \(\cos(\beta)=\frac{-8}{5\sqrt{13}}\). 5. Daher ist \(\beta=\arccos\left(\frac{-8}{5\sqrt{13}}\right)\approx116{,}34^\circ\).

\(\beta\approx116{,}34^\circ\)

- Setze die beiden Vektorlängen gedanklich in den Nenner der Winkelbeziehung ein. - Unter welcher Bedingung ist ein Bruch nicht definiert? - Überlege außerdem, welche geometrische Eigenschaft ein Vektor besitzen muss, damit man seine Richtung mit einer anderen vergleichen kann.

1. Zwar gilt \(\vec{0}\cdot\vec{b}=0\), aber daraus darf hier kein rechter Winkel gefolgert werden. 2. In der Winkelbeziehung \(\cos(\varphi)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) wäre der Nenner null, weil \(|\vec{a}|=0\). 3. Die Formel ist deshalb für dieses Vektorpaar nicht definiert. 4. Außerdem besitzt der Nullvektor keine Richtung. Ein Winkel zwischen dem Nullvektor und einem anderen Vektor ist daher nicht definiert.

Der Schluss ist falsch. Wegen \(|\vec{a}|=0\) ist die Winkelbeziehung nicht definiert, und der Nullvektor besitzt keine Richtung. Daher ist kein Winkel zwischen \(\vec{0}\) und \(\vec{b}\) definiert.

- Welche zwei Vektoren schließen den Winkel am Punkt \(A\) ein? - Welche Bedingung muss für das Skalarprodukt gelten, damit ein rechter Winkel vorliegt? - Wie lautet die allgemeine Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren? - Achte darauf, dass die Vektoren für die Winkelberechnung beide vom selben Punkt (hier \(B\)) ausgehen sollten.

1. Bestimmung der Vektoren für den Winkel bei \(A\): \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}\). 2. Nachweis des rechten Winkels über das Skalarprodukt: \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 0\). Somit ist der Winkel bei \(A\) genau \(90^\circ\). 3. Bestimmung der Vektoren für den Winkel bei \(B\): \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ -4 \end{pmatrix}\). 4. Berechnung der Beträge: \(|\vec{BA}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = 5\) und \(|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{41}\). 5. Anwendung der Winkelformel: \(\cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-3) \cdot (-3) + 0 \cdot 4 + (-4) \cdot (-4)}{5 \cdot \sqrt{41}} = \frac{25}{5\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}\). 6. Berechnung des Winkels: \(\beta = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{41}}\right) \approx 38{,}66^\circ\).

a) Wegen \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\) ist das Dreieck bei \(A\) rechtwinklig. b) Der Innenwinkel am Eckpunkt \(B\) beträgt \(\beta \approx 38{,}66^\circ\).

- Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen der Grundfläche. - Für den Winkel bei \(Q\) müssen beide verwendeten Vektoren dort beginnen. - Welche Beziehung verbindet Skalarprodukt, Vektorlängen und Winkel? - Wie kannst du nachweisen, dass eine Kante zu zwei nicht parallelen Richtungen der Grundfläche senkrecht steht?

1. Es gilt \(\vec{PQ}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{PR}=\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\). Ihre Längen sind \(4\), \(3\) und \(5\). 2. Der Umfang ist daher \(U=4+3+5=12\) Längeneinheiten. 3. Für den Winkel bei \(Q\) gilt \(\vec{QP}=\begin{pmatrix}-4\\0\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{QR}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\). Somit ist \(\cos(\beta)=\frac{\vec{QP}\cdot\vec{QR}}{|\vec{QP}|\,|\vec{QR}|}=\frac{16}{20}=0{,}8\). 4. Daraus folgt \(\beta=\arccos(0{,}8)\approx36{,}87^\circ\). 5. Durch die Verschiebung erhält man \(P''(2\mid7\mid0)\) und \(\vec{PP''}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\). 6. Es ist \(\vec{PP''}\cdot\vec{PQ}=0\) und \(\vec{PP''}\cdot\vec{PR}=0\). Da \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) die Grundfläche aufspannen, steht \(PP''\) senkrecht auf ihr.

a) \(U=12\) Längeneinheiten b) \(\beta\approx36{,}87^\circ\) c) \(P''(2\mid7\mid0)\); \(\vec{PP''}\cdot\vec{PQ}=0\) und \(\vec{PP''}\cdot\vec{PR}=0\).

- Wie hängt das Quadrat der Länge eines Differenzvektors mit dem Skalarprodukt zusammen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der nur die Längen und der Kosinus des Winkels vorkommen? - Überlege dir, wie du die unbekannte Länge \(L\) aus der Gleichung eliminieren kannst. - Welcher Zusammenhang besteht allgemein zwischen \(|\vec{u} \pm \vec{v}|^2\) und den Einzelbeträgen?

1. Sei \(L = |\vec{a}| = |\vec{b}|\) die gemeinsame Länge. Wegen der Nichtnullbedingung gilt \(L>0\). Dann gilt nach Aufgabenstellung \(|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3} L\). 2. Unter Verwendung der Eigenschaften des Skalarprodukts gilt \(|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2\). 3. Ersetzen des Skalarprodukts durch den Winkel ergibt \(|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos(\alpha)\). 4. Einsetzen der gegebenen Verhältnisse führt zu \((\sqrt{3}L)^2 = L^2 + L^2 - 2 \cdot L \cdot L \cdot \cos(\alpha)\), was sich zu \(3L^2 = 2L^2 - 2L^2 \cos(\alpha)\) vereinfacht. 5. Durch Umformung erhält man \(L^2 = -2L^2 \cos(\alpha)\). Da \(L>0\), darf durch \(L^2\) dividiert werden; daraus folgt \(\cos(\alpha) = -0{,}5\). 6. Der gesuchte Winkel beträgt somit \(\alpha = \arccos(-0{,}5) = 120^\circ\).

Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt \(120^\circ\).

- Bezeichne die Länge des kürzeren Vektors mit einer positiven Variablen und drücke die anderen gegebenen Längen damit aus. - Quadriere die Länge des Summenvektors und verknüpfe sie mit dem Skalarprodukt. - Welche Größen kürzen sich, wenn du die entstandene Gleichung vereinfachst? - Bestimme den Winkel erst ganz am Ende aus der Kosinusbeziehung.

1. Setze \(|\vec{u}|=k\). Dann gilt \(|\vec{v}|=2k\) und \(|\vec{u}+\vec{v}|=\sqrt{7}k\), wobei \(k>0\). 2. Es gilt \(|\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\alpha)\). 3. Einsetzen ergibt \(7k^2=k^2+4k^2+4k^2\cos(\alpha)\). 4. Wegen \(k>0\) darf durch \(k^2\) dividiert werden. Daraus folgt \(2=4\cos(\alpha)\), also \(\cos(\alpha)=0{,}5\). 5. Damit ist \(\alpha=60^\circ\).

\(\alpha=60^\circ\)

- Welche dritte Komponente besitzt eine Diagonale, die vollständig in der \(x_1x_2\)-Ebene liegt? - Bestimme Skalarprodukt und Längen der beiden Diagonalvektoren. - Wie erhältst du aus diesen Größen den eingeschlossenen Winkel?

1. Es ist \(\vec{d}=\begin{pmatrix}4\\3\\12\end{pmatrix}\) und \(\vec{f}=\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}\). 2. Das Skalarprodukt beträgt \(\vec{d}\cdot\vec{f}=4\cdot4+3\cdot3+12\cdot0=25\). 3. Die Längen sind \(|\vec{d}|=13\) und \(|\vec{f}|=5\). 4. Damit gilt \(\cos(\alpha)=\frac{25}{13\cdot5}=\frac{5}{13}\). 5. Also ist \(\alpha=\arccos\left(\frac{5}{13}\right)\approx67{,}38^\circ\).

\(\alpha\approx67{,}38^\circ\)

- Wie kannst du aus den Koordinaten der Punkte die Vektoren zwischen ihnen bestimmen? - Erinnere dich an die Formel für die Länge eines Vektors im Raum. - Welches Rechenwerkzeug hilft dir dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Überlege dir, welche Bedingungen für die Seitenlängen oder Winkel erfüllt sein müssen, damit ein Dreieck als „besonders“ gilt.

1. Berechnung der Verbindungsvektoren und deren Beträge: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \implies c = |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = 5\) \(\vec{AC} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \implies b = |\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 0^2} = 5\) \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -7 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \implies a = |\vec{BC}| = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{50} \approx 7{,}07\) 2. Berechnung der Winkel über das Skalarprodukt: \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{3 \cdot (-4) + 4 \cdot 3 + 0 \cdot 0}{5 \cdot 5} = \frac{0}{25} = 0 \implies \alpha = 90^\circ\) Da \(b = c\) gilt, ist das Dreieck gleichschenklig, woraus für die Basiswinkel folgt: \(\beta = \gamma = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ\). 3. Das Dreieck ist gleichschenklig, da zwei Seiten gleich lang sind (\(5 = 5\)). Es ist zudem rechtwinklig, da der Winkel \(\alpha = 90^\circ\) beträgt.

1. Seitenlängen: \(a = \sqrt{50} \approx 7{,}07\); \(b = 5\); \(c = 5\). 2. Winkel: \(\alpha = 90^\circ\); \(\beta = 45^\circ\); \(\gamma = 45^\circ\). 3. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.

- Vergleiche zunächst die drei Seitenlängen, bevor du einen Winkel berechnest. - Welcher Innenwinkel liegt der längsten Seite gegenüber? - Verwende für diesen Winkel zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt. - Was verrät das Vorzeichen des Skalarprodukts schon vor der Winkelberechnung?

1. Es gilt \(\vec{KL}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{KM}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) und \(\vec{LM}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\). 2. Damit sind \(|\vec{KL}|=4\) sowie \(|\vec{KM}|=|\vec{LM}|=\sqrt6\). Das Dreieck ist gleichschenklig mit Basis \(KL\). 3. Die längste Seite ist \(KL\), also liegt der größte Winkel bei \(M\). Dort gelten \(\vec{MK}=\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}\) und \(\vec{ML}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}\). 4. Es ist \(\cos(\mu)=\frac{\vec{MK}\cdot\vec{ML}}{|\vec{MK}|\,|\vec{ML}|}=\frac{-2}{6}=-\frac13\). 5. Somit ist \(\mu=\arccos\left(-\frac13\right)\approx109{,}5^\circ\). Das Dreieck ist daher gleichschenklig und stumpfwinklig.

Seitenlängen: \(KL=4\), \(KM=LM=\sqrt6\) Größter Innenwinkel: \(\mu\approx109{,}5^\circ\) Art: gleichschenklig und stumpfwinklig

- Bestimme zuerst den oberen Eckpunkt \(G\) aus der Quadergeometrie. - Für den Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene kannst du den Richtungsvektor der Geraden mit einem Normalenvektor der Ebene vergleichen. - Welche besonders einfachen Normalenvektoren besitzen die drei Koordinatenebenen? - Prüfe, ob deine berechneten Winkel jeweils zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\) liegen.

1. Da \(G\) über \(C\) liegt, ist \(G(0\mid5\mid16)\). Somit gilt \(\vec{AG}=\begin{pmatrix}-12\\5\\16\end{pmatrix}\). 2. Die Länge ist \(|\vec{AG}|=\sqrt{144+25+256}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\) Längeneinheiten. 3. Für die \(x_1x_2\)-Ebene kann \(\vec{n}_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\) als Normalenvektor verwendet werden. Für den Schnittwinkel \(\alpha_1\) gilt \(\sin(\alpha_1)=\frac{|\vec{AG}\cdot\vec{n}_1|}{|\vec{AG}|\,|\vec{n}_1|}=\frac{16}{\sqrt{425}}\). Daher ist \(\alpha_1\approx50{,}91^\circ\). 4. Für die \(x_2x_3\)-Ebene mit \(\vec{n}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) folgt \(\sin(\alpha_2)=\frac{12}{\sqrt{425}}\), also \(\alpha_2\approx35{,}60^\circ\). 5. Für die \(x_1x_3\)-Ebene mit \(\vec{n}_3=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\) folgt \(\sin(\alpha_3)=\frac{5}{\sqrt{425}}\), also \(\alpha_3\approx14{,}04^\circ\).

a) \(\vec{AG}=\begin{pmatrix}-12\\5\\16\end{pmatrix}\), \(|\vec{AG}|=5\sqrt{17}\) Längeneinheiten b) \(x_1x_2\)-Ebene: \(\alpha_1\approx50{,}91^\circ\); \(x_2x_3\)-Ebene: \(\alpha_2\approx35{,}60^\circ\); \(x_1x_3\)-Ebene: \(\alpha_3\approx14{,}04^\circ\)

- Bestimme zunächst den Vektor einer Seitenkante. - Für den Schnittwinkel mit der Grundfläche ist deren Normalenrichtung hilfreich. - In Teil c) werden zwei Geradenrichtungen miteinander verglichen, nicht eine Gerade mit einer Ebene. - Halte die beiden Winkelbeziehungen in den Teilen b) und c) auseinander.

1. Es gilt \(\vec{AS}=\begin{pmatrix}-4\\4\\12\end{pmatrix}\). Daher ist \(|\vec{AS}|=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\) Längeneinheiten. 2. Die Grundfläche liegt in der \(x_1x_2\)-Ebene; ein Normalenvektor ist \(\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\). 3. Für den Schnittwinkel \(\beta\) gilt \(\sin(\beta)=\frac{|\vec{AS}\cdot\vec{n}|}{|\vec{AS}|\,|\vec{n}|}=\frac{12}{\sqrt{176}}\). Somit ist \(\beta\approx64{,}76^\circ\). 4. Weiter ist \(\vec{BS}=\begin{pmatrix}-4\\-4\\12\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BS}|=\sqrt{176}\). 5. Für den Winkel \(\gamma\) zwischen den Seitenkanten gilt \(\cos(\gamma)=\frac{\vec{AS}\cdot\vec{BS}}{|\vec{AS}|\,|\vec{BS}|}=\frac{144}{176}=\frac{9}{11}\). 6. Daher ist \(\gamma=\arccos\left(\frac{9}{11}\right)\approx35{,}10^\circ\).

a) \(|\vec{AS}|=4\sqrt{11}\) Längeneinheiten b) \(\beta\approx64{,}76^\circ\) c) \(\gamma\approx35{,}10^\circ\)

- Wie werden Eigengeschwindigkeit und Strömungsgeschwindigkeit zur Geschwindigkeit über Grund kombiniert? - Welche Vektorkomponente entscheidet darüber, wie schnell das gegenüberliegende Ufer erreicht wird? - Welche Komponente der resultierenden Geschwindigkeit muss für eine Überquerung ohne Abtrieb null sein? - Nutze für Teil d) einen Einheitsvektor in positiver \(x_1\)-Richtung.

1. Die Geschwindigkeiten addieren sich zu \(\vec{v}_r=\vec{v}_s+\vec{v}_w=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). Der Betrag ist \(|\vec{v}_r|=\sqrt{1{,}36}\,\text{m/s}\approx1{,}17\,\text{m/s}\). 2. Für die Überquerung ist die zweite Komponente maßgeblich. Daher gilt \(t=\frac{100\,\text{m}}{1{,}0\,\text{m/s}}=100\,\text{s}\). In dieser Zeit beträgt der Abtrieb \(0{,}6\,\text{m/s}\cdot100\,\text{s}=60\,\text{m}\). 3. Für eine resultierende Bewegung senkrecht zum Ufer muss die erste Komponente verschwinden. Deshalb gilt für \(\vec{v}_h\) in erster Komponente \(-0{,}6\,\text{m/s}\). 4. Aus \(|\vec{v}_h|=1{,}0\,\text{m/s}\) folgt für die positive zweite Komponente \((-0{,}6)^2+v_{h,2}^2=1\), also \(v_{h,2}=0{,}8\). Damit ist \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\). 5. Für \(\vec{e}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) gilt \(\cos(\alpha)=\frac{\vec{v}_h\cdot\vec{e}_1}{|\vec{v}_h|\,|\vec{e}_1|}=-0{,}6\). Somit ist \(\alpha=\arccos(-0{,}6)\approx126{,}87^\circ\).

a) \(\vec{v}_r=\begin{pmatrix}0{,}6\\1{,}0\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\), \(|\vec{v}_r|\approx1{,}17\,\text{m/s}\) b) \(t=100\,\text{s}\), Abtrieb \(60\,\text{m}\) c) \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-0{,}6\\0{,}8\\0\end{pmatrix}\,\text{m/s}\) d) \(\alpha\approx126{,}87^\circ\)

- Prüfe für Teil 1 das Skalarprodukt der beiden Seitenvektoren, die bei \(A\) beginnen. - Nutze für Teil 2 die beiden senkrechten Seiten als Grundseite und Höhe des Dreiecks. - Für \(\beta\) brauchst du zwei Vektoren, die beide am Punkt \(B\) beginnen. - Wenn zwei Innenwinkel bekannt sind, liefert die Winkelsumme den dritten.

1. Es ist \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\). Damit gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\). Also stehen die beiden Seitenvektoren senkrecht aufeinander und der Winkel bei \(A\) beträgt \(90^\circ\). 2. Die Kathetenlängen sind \(|\vec{AB}|=5\) und \(|\vec{AC}|=4\). Daher beträgt der Flächeninhalt \(\frac12\cdot5\cdot4=10\) Flächeneinheiten. 3. Weiter gilt \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\4\\-4\end{pmatrix}\) und \(|\vec{BC}|=\sqrt{41}\). Somit ist \(\cos(\beta)=\frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{|\vec{BA}|\,|\vec{BC}|}=\frac{5}{\sqrt{41}}\), also \(\beta\approx38{,}66^\circ\). Wegen der Winkelsumme im Dreieck folgt \(\gamma\approx51{,}34^\circ\).

1. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0\), also beträgt der Winkel bei \(A\) \(90^\circ\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(10\) Flächeneinheiten. 3. \(\beta\approx38{,}66^\circ\), \(\gamma\approx51{,}34^\circ\)

- Wann ist der Betrag des Skalarprodukts genau so groß wie das Produkt der Beträge der Einzelvektoren? Überlege dir dies mithilfe der Winkelformel. - Wenn zwei Vektoren in die gleiche oder genau die entgegengesetzte Richtung zeigen, wie hängen ihre Koordinaten dann zusammen? - Wie berechnet man die Länge eines Vektors, der durch Multiplikation mit einer Zahl entstanden ist? - Beachte, dass es zwei Richtungen gibt, die die Bedingung erfüllen könnten.

1. Die Gleichung \(|\vec{a} \cdot \vec{x}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{x}|\) bedeutet geometrisch, dass der Betrag des Kosinus des eingeschlossenen Winkels \(|\cos(\alpha)| = 1\) sein muss. 2. Daraus folgt, dass die Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{x}\) kollinear sein müssen: \(\vec{x} = k \cdot \vec{a}\) für ein \(k \in \mathbb{R}\). 3. Berechnung der Länge von \(\vec{a}\): \(|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\). 4. Aufstellen der Längenbedingung für \(\vec{x}\): \(|\vec{x}| = |k| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot 3 = 9\). 5. Berechnung des Skalierungsfaktors: \(|k| = 3\), woraus \(k_1 = 3\) und \(k_2 = -3\) folgen. 6. Berechnung der Vektoren: \(\vec{x}_1 = 3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = -3 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\).

Die gesuchten Vektoren sind \(\vec{x}_1 = \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix}\) und \(\vec{x}_2 = \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix}\).

- Beginne damit, die Eckpunkte des Würfels in ein Koordinatensystem mit der Kantenlänge \(a\) einzutragen. - Welche Vektoren repräsentieren die Raumdiagonalen in diesem System? - Welche Formel hilft dir dabei, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen? - Beachte, dass beim Schnittwinkel zwischen Geraden (den Diagonalen) der Kosinuswert positiv sein muss.

1. Ein Koordinatensystem wird so gewählt, dass ein Eckpunkt im Ursprung liegt und die Kanten entlang der Achsen verlaufen. Zwei Raumdiagonalen können dann durch die Vektoren \(\vec{d}_1 = \begin{pmatrix} a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) und \(\vec{d}_2 = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}\) beschrieben werden. 2. Das Skalarprodukt dieser Vektoren wird berechnet: \(\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = a \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot a = -a^2 + a^2 + a^2 = a^2\). 3. Die Beträge der Diagonalvektoren betragen jeweils \(|\vec{d}_1| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\) und analog \(|\vec{d}_2| = a\sqrt{3}\). 4. Der Kosinus des Winkels \(\alpha\) ergibt sich aus der Formel \(\cos(\alpha) = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{|\vec{d}_1| \cdot |\vec{d}_2|}\). Einsetzen der Werte liefert \(\cos(\alpha) = \frac{a^2}{(a\sqrt{3}) \cdot (a\sqrt{3})} = \frac{a^2}{3a^2} = \frac{1}{3}\).

\(\cos(\alpha) = \frac{1}{3}\)

- Prüfe jede Zeile der Notizen unabhängig auf Rechen- und Formelfehler. - Unterscheide dabei zwischen der Berechnung des Skalarprodukts und der anschließenden Winkelbeziehung. - Berechne den Winkel anschließend noch einmal aus den ursprünglichen Vektoren.

1. Der erste Fehler liegt im Skalarprodukt: \(0\cdot5=0\), nicht \(5\). Daher ist \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\). 2. Der zweite Fehler liegt im Nenner der Winkelbeziehung: Die beiden Vektorlängen müssen multipliziert und nicht addiert werden. 3. Der dritte Fehler betrifft die Zuordnung des Winkels: \(\cos(\phi)=0{,}5\) würde \(\phi=60^\circ\) und nicht \(30^\circ\) bedeuten. 4. Mit dem korrekten Skalarprodukt gilt \(\cos(\phi)=0\), also \(\phi=90^\circ\).

Fehler 1: \(0\cdot5=0\); das Skalarprodukt ist \(0\). Fehler 2: Im Nenner müssen die Vektorlängen multipliziert werden. Fehler 3: \(\cos(\phi)=0{,}5\) gehört zu \(60^\circ\), nicht zu \(30^\circ\). Korrekter Winkel: \(\phi=90^\circ\)

- Bestimme für Teil a) die drei Verbindungsvektoren und ihre Längen. - Welche beiden Vektoren bilden den Winkel bei \(B\)? - Nach der Winkelberechnung kannst du den Flächeninhalt mit zwei Seiten und ihrem eingeschlossenen Winkel bestimmen.

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}\). 2. Die Seitenlängen sind \(|\vec{AB}|=5\), \(|\vec{BC}|=5\) und \(|\vec{AC}|=\sqrt{32}=4\sqrt2\). 3. Für den Winkel bei \(B\) verwendet man \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\). Ihr Skalarprodukt ist \(9\). 4. Somit gilt \(\cos(\beta)=\frac9{25}=0{,}36\), also \(\beta\approx68{,}90^\circ\). 5. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac12\cdot5\cdot5\sin(\beta)=2\sqrt{34}\approx11{,}66\) Flächeneinheiten.

a) \(AB=5\), \(BC=5\), \(AC=4\sqrt2\) b) \(\beta\approx68{,}90^\circ\) c) \(A\approx11{,}66\) Flächeneinheiten

- Wie berechnest du den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten? - Erinnere dich an die Formel für den Betrag eines Vektors, um Seitenlängen zu bestimmen. - Was muss für das Skalarprodukt zweier Vektoren gelten, wenn diese senkrecht aufeinanderstehen? - Wenn du die Seitenlängen kennst, welche Schlüsse kannst du auf die Winkel ziehen?

1. Berechnung der Seitenvektoren: \(\vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\), \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\vec{CA} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}\). 2. Berechnung der Seitenlängen: \(c = |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(a = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(b = |\vec{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Da alle Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichseitig. 3. Überprüfung auf rechte Winkel (Skalarprodukte der Vektoren, die an einem Punkt zusammenlaufen): \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = 4 \neq 0\); \(\vec{BA} \cdot \vec{BC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = 4 \neq 0\); \(\vec{CB} \cdot \vec{CA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = 4 \neq 0\). Es gibt keinen rechten Winkel. 4. Da das Dreieck gleichseitig ist, müssen alle Innenwinkel \(60^\circ\) betragen. Dies lässt sich über \(\cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{4}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{8}} = 0{,}5\) bestätigen.

a) Die Seitenlängen betragen alle \(2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Das Dreieck ist gleichseitig. b) Die Skalarprodukte der jeweils von einem Eckpunkt ausgehenden Seitenvektoren sind ungleich null und betragen jeweils \(4\); daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig. c) Da das Dreieck gleichseitig ist, sind alle Innenwinkel \(60^\circ\) groß.

- Zeige zunächst, dass gegenüberliegende Seiten parallel sind, und prüfe dann einen rechten Winkel. - Beim Schnittwinkel zweier Geraden ist der kleinere der beiden entstehenden Winkel gemeint. - Welche besondere Rolle spielt der Diagonalenschnittpunkt eines Rechtecks für dessen Umkreis?

1. Es gilt \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}\), \(\vec{BC}=\begin{pmatrix}-2\\2\\2\end{pmatrix}\), \(\vec{CD}=\begin{pmatrix}-2\\-2\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{DA}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}\). 2. Wegen \(\vec{AB}=-\vec{CD}\) und \(\vec{BC}=-\vec{DA}\) ist \(ABCD\) ein Parallelogramm. Außerdem gilt \(\vec{AB}\cdot\vec{BC}=0\); daher ist es ein Rechteck. 3. Die Diagonalvektoren sind \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}\) und \(\vec{BD}=\begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\). 4. Für den spitzen Schnittwinkel gilt \(\cos(\phi)=\frac{|\vec{AC}\cdot\vec{BD}|}{|\vec{AC}|\,|\vec{BD}|}=\frac4{20}=0{,}2\). Somit ist \(\phi\approx78{,}46^\circ\). 5. Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt einer Diagonalen, also \(M(1\mid3\mid3)\). 6. Der Radius ist die halbe Diagonalenlänge: \(r=\frac12\sqrt{20}=\sqrt5\).

a) \(ABCD\) ist ein Rechteck. b) \(\phi\approx78{,}46^\circ\) c) \(M(1\mid3\mid3)\), \(r=\sqrt5\)

- Welche Komponenten muss \(\vec{v}_g\) besitzen, wenn die Flugbahn genau in positive \(x_2\)-Richtung verläuft? - Nutze die Beziehung zwischen Eigengeschwindigkeit, Wind und Geschwindigkeit über Grund. - Die Länge von \(\vec{v}_h\) ist gegeben und liefert eine Gleichung für die noch unbekannte zweite Komponente. - Für den Winkel kannst du die beiden tatsächlich auftretenden Geschwindigkeitsvektoren direkt vergleichen.

1. Wegen der geforderten Flugrichtung hat \(\vec{v}_g\) die Form \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}0\\v_{g,2}\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) mit \(v_{g,2}>0\). 2. Aus \(\vec{v}_g=\vec{v}_h+\vec{v}_w\) folgt \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-80\\v_{g,2}+60\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 3. Wegen \(|\vec{v}_h|=170\,\text{km/h}\) gilt \((-80)^2+(v_{g,2}+60)^2=170^2\). Daraus folgt \(v_{g,2}=90\) oder \(v_{g,2}=-210\). Wegen \(v_{g,2}>0\) bleibt \(v_{g,2}=90\). 4. Somit ist \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}0\\90\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) und \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-80\\150\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\). 5. Für den Winkel \(\phi\) gilt \(\cos(\phi)=\frac{\vec{v}_h\cdot\vec{v}_g}{|\vec{v}_h|\,|\vec{v}_g|}=\frac{150}{170}=\frac{15}{17}\). Daher ist \(\phi\approx28{,}07^\circ\). 6. Die Flugzeit beträgt \(t=\frac{540\,\text{km}}{90\,\text{km/h}}=6\,\text{h}\).

a) \(\vec{v}_g=\begin{pmatrix}0\\90\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) b) \(\vec{v}_h=\begin{pmatrix}-80\\150\\0\end{pmatrix}\,\text{km/h}\) c) \(\phi\approx28{,}07^\circ\) d) \(t=6\,\text{h}\)