- Welche drei Summanden gehören zu \(S_3\)? - Addiere genau diese ersten drei Terme der Reihe. - Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

1. Es gilt \(S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{11}{6}\).

\(S_3=\frac{11}{6}\)

- Untersuche zuerst den Bruchterm, wenn \(n\) immer größer wird. - Welche Zahl bleibt übrig, wenn der veränderliche Zusatz gegen \(0\) geht? - Prüfe, ob dein Ergebnis zur Form der Folgenglieder für große \(n\) passt.

1. Für \(n\to\infty\) gilt \(\frac{2}{n}\to 0\). 2. Daher folgt \(\lim_{n\to\infty}a_n=5\).

\(\lim_{n\to\infty}a_n=5\)

- Schreibe einige aufeinanderfolgende Folgenglieder auf und suche ein wiederkehrendes Muster. - Für Beschränktheit und Konvergenz sind zwei verschiedene Fragen zu beantworten. - Kann sich eine Folge einem einzigen Wert annähern, wenn zwei verschiedene Werte dauerhaft wiederkehren?

1. Die Folgenglieder wechseln zwischen \(-1\) und \(1\). Daher liegen alle Folgenglieder zwischen \(-1\) und \(1\), also ist die Folge beschränkt. 2. Da die Folgenglieder dauerhaft zwischen zwei verschiedenen Werten wechseln, nähern sie sich keinem einzigen Grenzwert. Die Folge konvergiert daher nicht.

Die Folge ist beschränkt, aber nicht konvergent.

- Bei einer rekursiven Folge entsteht jedes neue Glied aus dem vorherigen. - Verwende für den nächsten Schritt jeweils dein zuletzt berechnetes Folgenglied. - Prüfe nach jedem Schritt, ob du wirklich den richtigen Index eingesetzt hast.

1. \(a_2=0{,}5\cdot4+3=5\). 2. \(a_3=0{,}5\cdot5+3=5{,}5\). 3. \(a_4=0{,}5\cdot5{,}5+3=5{,}75\).

\(a_2=5\), \(a_3=5{,}5\), \(a_4=5{,}75\)

- Setze zuerst \(x=0\) in das Polynom ein. - Leite das allgemeine Polynom schrittweise ab, bevor du die Bedingungen verwendest. - Jede der drei Bedingungen bestimmt genau einen weiteren Koeffizienten.

1. Aus \(p_2(0)=a=1\) folgt \(a=1\). 2. Es ist \(p_2'(x)=b+2cx\). Daher folgt aus \(p_2'(0)=1\) der Wert \(b=1\). 3. Es ist \(p_2''(x)=2c\). Aus \(p_2''(0)=1\) folgt \(c=\frac12\).

\(a=1\), \(b=1\), \(c=\frac12\), also \(p_2(x)=1+x+\frac12x^2\)

- Welche Wirkung hat der Faktor \((-1)^n\) auf gerade und ungerade Indizes? - Schreibe die beiden Teilfolgen jeweils mit einem neuen Index \(k\). - Welche notwendige Eigenschaft haben alle Teilfolgen einer konvergenten Folge?

1. Es ist \(a_1=-2\), \(a_2=1{,}5\), \(a_3=-\frac43\), \(a_4=1{,}25\), \(a_5=-1{,}2\) und \(a_6=\frac76\). 2. Für gerade Indizes gilt \(a_{2k}=1+\frac{1}{2k}\to1\). Für ungerade Indizes gilt \(a_{2k-1}=-\left(1+\frac{1}{2k-1}\right)\to-1\). 3. Wäre die gesamte Folge konvergent, müssten beide Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Da ihre Grenzwerte \(1\) und \(-1\) verschieden sind, ist \((a_n)\) divergent.

1. \(a_1=-2\), \(a_2=1{,}5\), \(a_3=-\frac43\), \(a_4=1{,}25\), \(a_5=-1{,}2\), \(a_6=\frac76\) 2. Gerade Indizes: Grenzwert \(1\); ungerade Indizes: Grenzwert \(-1\). 3. Die Folge ist divergent, weil zwei Teilfolgen verschiedene Grenzwerte besitzen.

- Welche Formel berechnet die Summe einer arithmetischen Folge? - Was bedeutet es für die einzelnen Glieder, wenn die Differenz negativ ist? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die Summe Null gesetzt wird? - Wie verhalten sich die Vorzeichen der Folgenglieder im Verlauf der Folge?

1. Ansatz mit der Summenformel für arithmetische Reihen: \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \). Setzen der Bedingung \( S_n = 0 \): \( \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 15 + (n-1) \cdot (-1{,}5)) = 0 \). Da \( n > 0 \), muss der Klammerausdruck Null sein: \( 30 - 1{,}5n + 1{,}5 = 0 \). Auflösen nach \( n \): \( 31{,}5 = 1{,}5n \Rightarrow n = 21 \). Die Summe der ersten \( 21 \) Glieder ist Null. 2. Da die Differenz \( d = -1{,}5 \) negativ ist, handelt es sich um eine streng monoton fallende Folge. Nach dem Glied \( a_{11} = 15 + 10 \cdot (-1{,}5) = 0 \) sind alle weiteren Folgenglieder negativ. Bis \( n = 21 \) heben die negativen Glieder die vorangegangenen positiven Glieder exakt auf. Für \( n > 21 \) kommen nur noch weitere negative Werte hinzu, wodurch die Gesamtsumme negativ wird.

1. \( n = 21 \) 2. Die Folge ist streng monoton fallend. Ab dem 12. Glied sind die Werte negativ. Bei \( n = 21 \) gleichen die negativen Glieder die positiven Glieder genau aus; für jedes weitere \( n \) sinkt die Summe tiefer ins Negative.

- Achte beim Berechnen mit dem Taschenrechner auf die korrekte Verwendung von Klammern und Exponenten. - Wie viele Ziffern nach dem Komma sind bei beiden Zahlen identisch, bevor die erste Abweichung auftritt? - Betrachte die berechneten Werte der Reihe nach. Werden sie größer oder kleiner?

1. Berechnung der Folgenglieder durch Einsetzen: \(a_{10} = \left(1 + \frac{1}{10}\right)^{10} = 1{,}1^{10} \approx 2{,}59374\); \(a_{100} = \left(1 + \frac{1}{100}\right)^{100} = 1{,}01^{100} \approx 2{,}70481\); \(a_{1000} = \left(1 + \frac{1}{1000}\right)^{1000} = 1{,}001^{1000} \approx 2{,}71692\). 2. Vergleich mit \(e \approx 2{,}7182818\): Die ersten zwei Nachkommastellen von \(a_{1000}\) (\(2{,}71\dots\)) stimmen mit \(e\) überein. 3. Analyse der Werte: Da \(a_{10} < a_{100} < a_{1000}\) gilt, lässt sich vermuten, dass die Folge \(a_n\) streng monoton wachsend ist.

a) \(a_{10} \approx 2{,}59374\); \(a_{100} \approx 2{,}70481\); \(a_{1000} \approx 2{,}71692\). b) Es stimmen zwei Dezimalstellen überein (\(2{,}71\)). c) Die Folge \(a_n\) ist vermutlich streng monoton wachsend.

- Baue jede Partialsumme aus der vorherigen auf, indem du genau einen neuen Summanden hinzunimmst. - Unterscheide sorgfältig zwischen einem einzelnen Glied und der Summe mehrerer Glieder. - Überlege, welches Objekt bei einer unendlichen Reihe überhaupt einen Grenzwert besitzen kann.

1. Es gilt \(S_1=1\), \(S_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\), \(S_3=\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\) und \(S_4=\frac{11}{6}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}\). 2. Der Wert \(\frac{1}{4}\) ist nur der vierte Summand der Reihe. Die Partialsumme \(S_4\) enthält dagegen die Summe aller ersten vier Summanden. 3. Eine Reihe konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer Partialsummen \((S_n)\) gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert.

a) \(S_1=1\), \(S_2=\frac{3}{2}\), \(S_3=\frac{11}{6}\), \(S_4=\frac{25}{12}\) b) \(\frac{1}{4}\) ist ein einzelner Summand; \(S_4\) ist die Summe der ersten vier Summanden. c) Die Reihe konvergiert genau dann, wenn die Partialsummenfolge \((S_n)\) einen endlichen Grenzwert besitzt.

- Achte genau auf die Reihenfolge „ein Anteil bleibt“ und „danach wird hinzugefügt“. - Übersetze jeden Prozessschritt einzeln in eine Rechenoperation. - Für einen unveränderten Zustand müssen Ausgangs- und Folgemenge gleich sein.

1. Vor der nächsten Zugabe bleiben \(20\,\%\) der Menge, danach kommen \(5\,\text{L}\) hinzu. Daher gilt \(a_{n+1}=0{,}2a_n+5\). 2. Es ist \(a_1=0{,}2\cdot10+5=7\) und \(a_2=0{,}2\cdot7+5=6{,}4\). 3. Für eine unveränderte Menge muss \(A=0{,}2A+5\) gelten. Daraus folgt \(0{,}8A=5\) und somit \(A=6{,}25\,\text{L}\).

a) \(a_{n+1}=0{,}2a_n+5\) b) \(a_1=7\,\text{L}\), \(a_2=6{,}4\,\text{L}\) c) \(A=6{,}25\,\text{L}\)

- Vergleiche jeweils zwei aufeinanderfolgende Werte und suche nach derselben Rechenoperation. - Prüfe, ob sich die beobachtete Rekursion mit einer bekannten Potenzfolge verbinden lässt. - Da nur endlich viele Werte gegeben sind, muss deine Regel nicht die einzig denkbare sein; sie muss das angegebene Muster schlüssig fortsetzen.

1. Von einem Glied zum nächsten wird jeweils verdoppelt und anschließend \(1\) subtrahiert. Eine mögliche rekursive Regel ist daher \(a_1=3\) und \(a_{n+1}=2a_n-1\). 2. Dazu passt \(a_n=2^n+1\), denn \(2^{n+1}+1=2(2^n+1)-1\). 3. Zum Beispiel liefern \(a_2=2^2+1=5\) und \(a_5=2^5+1=33\) die angegebenen Werte.

Eine mögliche Lösung ist \(a_1=3\), \(a_{n+1}=2a_n-1\) sowie \(a_n=2^n+1\).

- Setze den gegebenen Wert direkt in das Polynom ein. - Der absolute Fehler ist der Betrag der Differenz zwischen Vergleichswert und Näherungswert. - Runde erst den endgültigen Fehler auf die verlangte Stellenzahl.

1. Es ist \(p_2(0{,}2)=1+0{,}2+\frac12\cdot0{,}2^2=1{,}22\). 2. Der Taschenrechner liefert \(e^{0{,}2}\approx1{,}22140\). Der absolute Fehler beträgt \(|1{,}22140-1{,}22|\approx0{,}00140\).

a) \(p_2(0{,}2)=1{,}22\) b) Absoluter Fehler \(\approx0{,}00140\)

- Schreibe \(S_{2n}-S_n\) als den Block der Summanden, die in \(S_n\) noch nicht vorkommen. - Wie viele Summanden enthält dieser Block? - Welcher Summand im Block ist der kleinste, und was folgt daraus für alle anderen? - Was müsste mit \(S_{2n}-S_n\) passieren, wenn beide Partialsummen gegen denselben endlichen Grenzwert gingen?

1. Es gilt \(S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}\). Diese Summe enthält \(n\) Summanden. 2. Jeder dieser Summanden ist mindestens \(\frac{1}{2n}\). Daher gilt \(S_{2n}-S_n\ge n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\). 3. Würde \(S_n\) gegen einen endlichen Grenzwert \(S\) konvergieren, dann würden auch \(S_{2n}\to S\) und damit \(S_{2n}-S_n\to 0\) gelten. 4. Das ist unmöglich, weil die Differenz für jedes \(n\) mindestens \(\frac{1}{2}\) beträgt. Also divergiert die harmonische Reihe.

a) \(S_{2n}-S_n=\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{2n}\). Die Summe hat \(n\) Summanden, und jeder ist mindestens \(\frac{1}{2n}\). Daher gilt \(S_{2n}-S_n\ge n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\). b) Bei Konvergenz müsste \(S_{2n}-S_n\to 0\) gelten. Die Differenz bleibt aber stets mindestens \(\frac{1}{2}\). Daher divergiert \(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\).

- Was passiert mit den Termen, in denen \(n\) im Nenner steht, wenn \(n\) immer größer wird? - Wie lässt sich der Abstand zwischen einem Folgenglied und dem Grenzwert mathematisch ausdrücken? - Könntest du die Ungleichung nach der gesuchten Variable auflösen? - Um das Wachstumsverhalten zu untersuchen, kannst du die Differenz aufeinanderfolgender Glieder betrachten.

1. Einsetzen der Werte ergibt \(a_1 = \frac{3}{5} = 0{,}6\), \(a_2 = \frac{7}{7} = 1\) und \(a_{10} = \frac{39}{23} \approx 1{,}696\). 2. Durch Ausklammern von \(n\) im Zähler und Nenner erhält man \(a_n = \frac{4 - \frac{1}{n}}{2 + \frac{3}{n}}\). Der Grenzwert für \(n \to \infty\) ist \(g = \frac{4}{2} = 2\). 3. Aus \(| \frac{4n-1}{2n+3} - 2 | < 0{,}001\) folgt \(| \frac{4n-1-4n-6}{2n+3} | < 0{,}001\), also \(\frac{7}{2n+3} < 0{,}001\). Umstellen ergibt \(7000 < 2n + 3 \implies 6997 < 2n \implies n > 3498{,}5\). Das kleinste \(n_0\) ist \(3499\). 4. Die Differenz \(a_{n+1} - a_n = \frac{4n+3}{2n+5} - \frac{4n-1}{2n+3} = \frac{(4n+3)(2n+3) - (4n-1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)} = \frac{14}{(2n+5)(2n+3)}\) ist für alle \(n \in \mathbb{N}\) positiv, daher ist die Folge streng monoton wachsend.

1) \(a_1 = 0{,}6\); \(a_2 = 1\); \(a_{10} \approx 1{,}696\) 2) \(g = 2\) 3) \(n_0 = 3499\) 4) Nachweis über \(a_{n+1} - a_n > 0\) erbracht.

- Vergleiche für den Grenzwert das Wachstum von Zähler und Nenner. - Wie kannst du zwei aufeinanderfolgende Folgenglieder so vergleichen, dass du ihre Reihenfolge erkennst? - Forme die Bedingung aus Teil 3 so um, dass du mögliche natürliche Indizes eingrenzen kannst. - Prüfe den kleinsten gefundenen Index anschließend in der ursprünglichen Ungleichung.

1. Da der Zähler quadratisch und der Nenner linear wächst, gilt \(\lim_{n\to\infty} b_n=\infty\). 2. Es ist \(b_{n+1}-b_n=\frac{(n+1)^2-10}{n+6}-\frac{n^2-10}{n+5}=\frac{n^2+11n+15}{(n+5)(n+6)}\). Für \(n\ge1\) sind Zähler und Nenner positiv. Daher gilt \(b_{n+1}>b_n\), also ist die Folge ab \(n=1\) streng monoton steigend. 3. Aus \(\frac{n^2-10}{n+5}>50\) folgt wegen \(n+5>0\): \(n^2-50n-260>0\). Die positive Nullstelle ist \(25+\sqrt{885}\approx54{,}75\). Damit ist \(n=55\) der kleinste natürliche Index mit \(b_n>50\).

1) \(\lim_{n\to\infty} b_n=\infty\) 2) \(b_{n+1}-b_n=\frac{n^2+11n+15}{(n+5)(n+6)}>0\) für \(n\ge1\); daher streng monoton steigend 3) \(n=55\)

- Überlege dir, was mit dem Bruch passiert, wenn \( n \) sehr groß wird. - Die Bedingung für das Intervall lässt sich als Betragsungleichung \( |a_n - g| < \varepsilon \) schreiben. - Erinnere dich an die Definition von Monotonie: Werden die Werte immer nur größer oder immer nur kleiner? - Für die Beschränktheit reicht es zu zeigen, dass die Werte niemals eine bestimmte obere oder untere Grenze überschreiten.

1. Einsetzen der Werte ergibt \( a_1 = 4 - 10 = -6 \), \( a_2 = 4 + 5 = 9 \), \( a_{10} = 4 + 1 = 5 \) und \( a_{100} = 4 + 0{,}1 = 4{,}1 \). 2. Da der Term \( \frac{10 \cdot (-1)^n}{n} \) für \( n \to \infty \) gegen \( 0 \) konvergiert (Nullfolge), ist der Grenzwert \( g = 4 \). 3. Das Intervall entspricht der Bedingung \( |a_n - 4| < 0{,}05 \). Einsetzen der Folgendefinition liefert \( |\frac{10 \cdot (-1)^n}{n}| < 0{,}05 \), also \( \frac{10}{n} < 0{,}05 \). Umstellen nach \( n \) ergibt \( n > \frac{10}{0{,}05} = 200 \). Somit liegen alle Folgenglieder ab \( n = 201 \) im Intervall. 4. Die Folge ist beschränkt, da alle Glieder im Intervall \( [-6; 9] \) liegen (\( a_1 \) ist das Minimum, \( a_2 \) das Maximum). Sie ist nicht monoton, da der Term \( (-1)^n \) einen Vorzeichenwechsel bewirkt, wodurch die Werte abwechselnd oberhalb und unterhalb des Grenzwertes liegen (oszillierende Folge).

1. \( a_1 = -6 \), \( a_2 = 9 \), \( a_{10} = 5 \), \( a_{100} = 4{,}1 \). 2. \( g = 4 \). 3. Ab dem Index \( n = 201 \). 4. Die Folge ist beschränkt (z. B. durch \( -6 \) und \( 9 \)), aber nicht monoton, da sie um den Grenzwert oszilliert.

- Um Monotonie zu zeigen, kannst du die Differenz \( a_{n+1} - a_n \) bilden und prüfen, ob diese immer positiv ist. - Für den Grenzwert bei gebrochen-rationalen Funktionen hilft es oft, Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von \( n \) zu teilen. - Löse die Ungleichung \( |a_n - g| < \varepsilon \) nach \( n \) auf. - Wenn eine Folge monoton wachsend ist und gegen einen Wert konvergiert, was sagt das über ihre Schranken aus?

1. Untersuchung der Differenz \( a_{n+1} - a_n \): \( \frac{3(n+1)^2}{(n+1)^2+2} - \frac{3n^2}{n^2+2} = \frac{12n+6}{((n+1)^2+2)(n^2+2)} \). Da \( n \ge 1 \), sind Zähler und Nenner positiv, also \( a_{n+1} - a_n > 0 \). Die Folge ist streng monoton wachsend. 2. Division durch die höchste Potenz \( n^2 \) ergibt \( a_n = \frac{3}{1 + \frac{2}{n^2}} \). Für \( n \to \infty \) geht \( \frac{2}{n^2} \to 0 \), woraus der Grenzwert \( g = 3 \) folgt. 3. Die Bedingung \( |a_n - 3| < 0{,}001 \) führt auf \( |\frac{3n^2 - 3(n^2+2)}{n^2+2}| < 0{,}001 \), also \( \frac{6}{n^2+2} < 0{,}001 \). Umformen ergibt \( n^2 + 2 > 6000 \), also \( n^2 > 5998 \). Es folgt \( n > \sqrt{5998} \approx 77{,}45 \). Der kleinste Index ist somit \( N = 77 \), da die Bedingung für alle \( n \ge 78 \) erfüllt ist. 4. Da die Folge bei \( a_1 = 1 \) beginnt und streng monoton gegen \( 3 \) wächst, ist \( 1 \) eine untere Schranke und \( 3 \) eine obere Schranke.

1. Nachweis über \( a_{n+1} - a_n > 0 \). 2. \( g = 3 \). 3. \( N = 77 \) (Bedingung gilt ab \( n = 78 \)). 4. Untere Schranke: \( 1 \), obere Schranke: \( 3 \).

- Kannst du den Bruch so zerlegen, dass \(n\) nur noch in einem Teil vorkommt? - Nutze den umgeformten Term, um den Abstand zum Grenzwert leichter zu berechnen. - Überlege, was der kleinstmögliche Wert für \(n\) ist und wie sich der Wert des Bruchs bei größerem \(n\) verändert.

1. Der Term wird aufgeteilt: \(b_n = \frac{n^2}{2n^2} - \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2n^2} = 0{,}5 - \frac{1}{2n^2}\). Da \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n^2} = 0\), folgt \(\lim_{n \to \infty} b_n = 0{,}5\). 2. Es gilt \(|0{,}5 - (0{,}5 - \frac{1}{2n^2})| < 0{,}01 \Rightarrow \frac{1}{2n^2} < 0{,}01\). Umstellen nach \(n\) ergibt \(2n^2 > \frac{1}{0{,}01} = 100\), also \(n^2 > 50\). Da \(n\) eine natürliche Zahl ist, muss \(n > \sqrt{50} \approx 7{,}071\) gelten. Somit erfüllen alle \(n \geq 8\) die Bedingung. 3. Für alle \(n \geq 1\) ist \(\frac{1}{2n^2}\) positiv. Da dieser Wert von \(0{,}5\) subtrahiert wird, ist \(b_n\) stets kleiner als \(0{,}5\), was \(0{,}5\) zu einer oberen Schranke macht. Das kleinste Glied ist \(b_1 = \frac{1^2-1}{2 \cdot 1^2} = 0\). Da \(\frac{1}{2n^2}\) mit wachsendem \(n\) kleiner wird, wird der subtrahierte Wert kleiner, die Differenz also größer. Somit ist \(b_n \geq 0\) für alle \(n\), was \(0\) zu einer unteren Schranke macht.

1. \(b_n = 0{,}5 - \frac{1}{2n^2}\); Grenzwert ist \(0{,}5\). 2. Für alle \(n \geq 8\). 3. \(b_1 = 0\) ist das Minimum (untere Schranke); \(b_n\) nähert sich von unten dem Grenzwert \(0{,}5\) (obere Schranke).

- Wie verhält sich der Bruchterm, wenn der Nenner immer größer wird? - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert in einer beliebig kleinen Umgebung um eine Zahl liegt? - Für den Nachweis der Monotonie kannst du die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder untersuchen. - Überlege dir, wie man den Term der Folge so umformen kann, dass der Grenzwert direkt ablesbar ist.

1. Berechnung der Glieder durch Einsetzen: \( a_1 = 3 \); \( a_2 = 2{,}5 \); \( a_3 \approx 2{,}33 \); \( a_4 = 2{,}25 \); \( a_5 = 2{,}2 \); \( a_6 \approx 2{,}17 \). 2. Bestimmung des Grenzwerts: \( a_n = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \). Für \( n \to \infty \) gilt \( \frac{1}{n} \to 0 \), woraus \( g = 2 \) folgt. 3. Lösen der Ungleichung \( |a_n - 2| < 0{,}05 \): \( |2 + \frac{1}{n} - 2| < 0{,}05 \implies \frac{1}{n} < \frac{5}{100} \implies n > 20 \). Ab dem Index \( n = 21 \) ist die Bedingung erfüllt. 4. Monotonie: \( a_{n+1} - a_n = (2 + \frac{1}{n+1}) - (2 + \frac{1}{n}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} \). Da dieser Ausdruck für alle \( n \ge 1 \) negativ ist, fällt die Folge streng monoton. Da \( \frac{1}{n} > 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), gilt stets \( a_n = 2 + \frac{1}{n} > 2 \).

1. \( 3 \); \( 2{,}5 \); \( 2{,}33 \); \( 2{,}25 \); \( 2{,}2 \); \( 2{,}17 \). 2. \( g = 2 \). 3. Ab \( n = 21 \). 4. Beweis über \( a_{n+1} - a_n < 0 \) und \( a_n = 2 + \frac{1}{n} > 2 \).

- Um die Monotonie zu zeigen, kannst du auch untersuchen, ob \( b_n < b_{n+1} \) für alle \( n \) gilt. - Eine Schranke ist eine Zahl, die von keinem Folgenglied überschritten wird. - Erinnere dich an die Division durch die höchste Potenz von \( n \) im Zähler und Nenner zur Grenzwertbestimmung. - Löse die Ungleichung im letzten Aufgabenteil Schritt für Schritt nach \( n \) auf.

1. Monotonieprüfung über \( b_{n+1} - b_n \): \( \frac{3(n+1)-1}{n+2} - \frac{3n-1}{n+1} = \frac{3n+2}{n+2} - \frac{3n-1}{n+1} = \frac{(3n+2)(n+1) - (3n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{3n^2+5n+2 - (3n^2+5n-2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{4}{(n+1)(n+2)} > 0 \). Somit streng monoton steigend. 2. Da die Folge steigt und gegen 3 konvergiert, ist z. B. \( S = 3 \) eine obere Schranke (da \( \frac{3n-1}{n+1} < \frac{3n+3}{n+1} = 3 \)). 3. Grenzwertbildung: \( \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = 3 \), also \( L = 3 \). 4. Ansatz \( |3 - \frac{3n-1}{n+1}| < \epsilon \): \( |\frac{3(n+1) - (3n-1)}{n+1}| = \frac{4}{n+1} < \epsilon \). Umstellen nach \( n \): \( n+1 > \frac{4}{\epsilon} \implies n > \frac{4}{\epsilon} - 1 \). Für die übliche Formulierung \(n \ge n_0\) ist der kleinste Index daher \( n_0 = \max\left(1, \left\lfloor \frac{4}{\epsilon} - 1 \right\rfloor + 1\right) \).

1. Nachweis über \( b_{n+1} - b_n = \frac{4}{(n+1)(n+2)} > 0 \). 2. Obere Schranke z. B. \( S = 3 \). 3. \( L = 3 \). 4. \( n_0 = \max\left(1, \left\lfloor \frac{4}{\epsilon} - 1 \right\rfloor + 1\right) \).

- Wie verhalten sich die Werte der Folge, wenn \(n\) immer größer wird? - Könntest du die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern untersuchen? - Wie lässt sich eine Ungleichung mit einer Wurzel am besten nach der gesuchten Variablen auflösen? - Überlege, ob eine einfachere, kleinere Funktion existiert, die unterhalb deiner Folge liegt und trotzdem gegen Unendlich strebt.

1. Untersuchung der Monotonie: Es wird die Differenz aufeinanderfolgender Glieder betrachtet. \(a_{n+1} - a_n = \sqrt{(n+1)^2 + 4(n+1)} - \sqrt{n^2 + 4n} = \sqrt{n^2 + 6n + 5} - \sqrt{n^2 + 4n}\). Da \(n^2 + 6n + 5 > n^2 + 4n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt und die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, folgt \(a_{n+1} > a_n\). Die Folge ist streng monoton wachsend. 2. Nachweis der Unbeschränktheit: Um \(a_n > M\) zu erfüllen, muss \(\sqrt{n^2 + 4n} > M\) gelten. Quadrieren liefert \(n^2 + 4n > M^2\). Um die Ungleichung exakt zu lösen, wird quadratisch ergänzt: \(n^2 + 4n > M^2 \Leftrightarrow (n+2)^2 > M^2 + 4\). Da \(n+2 > 0\), genügt \(n > -2 + \sqrt{M^2 + 4}\). Für jedes \(M > 0\) gibt es ein solches \(n\); daher ist die Folge unbeschränkt. 3. Berechnung für \(M = 100\): Die Ungleichung lautet \(n^2 + 4n > 10\,000\), also \(n^2 + 4n - 10\,000 > 0\). Die Nullstellen der quadratischen Gleichung liegen bei \(n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40000}}{2} = -2 \pm \sqrt{10\,004}\). Mit \(\sqrt{10\,004} \approx 100{,}02\) ergibt sich \(n > 98{,}02\). Somit ist das kleinste natürliche \(n\) der Wert \(99\).

1. Die strenge Monotonie folgt aus \(a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2n + 5 > 0\). 2. \(a_n > M\) ist erfüllt für \(n > -2 + \sqrt{4 + M^2}\). 3. Das kleinste \(n\) ist \(99\).

- Wie verhält sich die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern? - Was bedeutet es für die Glieder einer Folge, wenn sie „unbeschränkt“ wachsen oder fallen? - Kannst du eine Ungleichung aufstellen, um den gesuchten Index zu berechnen? - Denke daran, dass der Index \(n\) immer eine ganze positive Zahl sein muss.

1. Berechnung der Differenz aufeinanderfolgender Glieder: \(a_{n+1} - a_n = (15 - \frac{1}{4}(n+1)^2) - (15 - \frac{1}{4}n^2) = -\frac{1}{4}(n^2 + 2n + 1) + \frac{1}{4}n^2 = -\frac{1}{2}n - \frac{1}{4}\). Da \(n \ge 1\), ist \(-\frac{1}{2}n - \frac{1}{4} < 0\), woraus die strenge Monotonie folgt. 2. Sei \(M > 0\) beliebig. Für \(a_n < -M\) muss \(15 - \frac{1}{4}n^2 < -M\) gelten. Dies ist äquivalent zu \(n^2 > 4(15 + M)\), also \(n > 2\sqrt{15 + M}\). Zu jedem \(M > 0\) gibt es eine natürliche Zahl \(n\), die diese Bedingung erfüllt. Daher ist die Folge nach unten unbeschränkt und bestimmt divergent gegen \(-\infty\). 3. Ansatz \(a_n < -200\): \(15 - 0{,}25n^2 < -200 \implies 0{,}25n^2 > 215 \implies n^2 > 860\). Da \(\sqrt{860} \approx 29{,}33\), ist der kleinste Index \(n = 30\). 4. Ansatz \(a_n < -5000\): \(15 - 0{,}25n^2 < -5000 \implies 0{,}25n^2 > 5015 \implies n^2 > 20\,060\). Da \(\sqrt{20\,060} \approx 141{,}63\), ist der kleinste Index \(n = 142\).

1. Nachweis über \(a_{n+1} - a_n < 0\). 2. Für jedes \(M > 0\) gilt \(a_n < -M\), sobald \(n > 2\sqrt{15 + M}\); daher ist die Folge bestimmt divergent gegen \(-\infty\). 3. Ab \(n = 30\). 4. Ab \(n = 142\).

- Vereinfache den Bruch, indem du jeden Summanden im Zähler einzeln durch den Nenner teilst. - Wie beeinflussen die einzelnen Teile des Terms das Verhalten für sehr große Werte von \(n\)? - Um eine Ungleichung mit einem Bruch zu lösen, kann es hilfreich sein, sie in eine quadratische Form zu bringen. - Überprüfe dein Ergebnis, indem du den gefundenen Wert und den nächstkleineren Wert in die Formel einsetzt.

1. Zerlegung des Terms: \(b_n = \frac{3n^2}{n} - \frac{1000}{n} = 3n - \frac{1000}{n}\). Für \(n \to \infty\) geht \(3n \to \infty\) und \(\frac{1000}{n} \to 0\). Somit gilt \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\) (bestimmte Divergenz). 2. Lösen der Ungleichung \(3n - \frac{1000}{n} > 100\). Multiplikation mit \(n\) ergibt \(3n^2 - 100n - 1000 > 0\). Die Mitternachtsformel liefert die positive Nullstelle \(n = \frac{100 + \sqrt{10000 + 12000}}{6} \approx 41{,}39\). Somit ist \(n_0 = 42\). 3. Lösen der Ungleichung \(3n - \frac{1000}{n} > 1000\). Umformung zu \(3n^2 - 1000n - 1000 > 0\). Die positive Nullstelle ist \(n = \frac{1000 + \sqrt{1000000 + 12000}}{6} \approx 334{,}33\). Somit ist \(n_1 = 335\).

1. Die Folge ist bestimmt divergent gegen \(+\infty\). 2. \(n_0 = 42\) 3. \(n_1 = 335\)

- Zerlege jedes Vieleck in \(n\) gleiche Dreiecke mit Spitze im Kreismittelpunkt. - Bringe die Flächenformeln für den Grenzwert auf einen Faktor der Form \(\frac{\sin x}{x}\). - Was passiert mit \(\frac{2\pi}{n}\) und \(\frac{\pi}{n}\), wenn \(n\) größer wird? - Verknüpfe diese Änderung mit den in Teil c) gegebenen Monotonieeigenschaften.

1. Das einbeschriebene \(n\)-Eck zerfällt in \(n\) gleichschenklige Dreiecke mit Seitenlängen \(R,R\) und Mittelpunktswinkel \(\frac{2\pi}{n}\). Daher ist \(A_{i,n}=\frac{n}{2}R^2\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\). 2. Beim umbeschriebenen \(n\)-Eck ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zu jeder Seite gleich \(R\). Eine halbe Seitenlänge ist \(R\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Daher ist \(A_{u,n}=nR^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\). 3. Für das einbeschriebene Vieleck gilt \(A_{i,n}=\pi R^2\frac{\sin(2\pi/n)}{2\pi/n}\). Weil \(\frac{2\pi}{n}\to0\), folgt \(A_{i,n}\to\pi R^2\). 4. Für das umbeschriebene Vieleck gilt \(A_{u,n}=\pi R^2\frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}=\pi R^2\frac{\sin(\pi/n)}{(\pi/n)\cos(\pi/n)}\). Mit \(\frac{\pi}{n}\to0\), \(\frac{\sin x}{x}\to1\) und \(\cos x\to1\) folgt \(A_{u,n}\to\pi R^2\). 5. Mit wachsendem \(n\) wird \(\frac{2\pi}{n}\) kleiner. Da \(\frac{\sin x}{x}\) streng fallend in \(x\) ist, werden die Werte \(A_{i,n}\) streng größer. Ebenso wird \(\frac{\pi}{n}\) kleiner; da \(\frac{\tan x}{x}\) streng steigend in \(x\) ist, werden die Werte \(A_{u,n}\) streng kleiner.

a) \(A_{i,n}=\frac{n}{2}R^2\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)\), \(A_{u,n}=nR^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\) b) \(\lim_{n\to\infty}A_{i,n}=\lim_{n\to\infty}A_{u,n}=\pi R^2\) c) Mit wachsendem \(n\) werden \(\frac{2\pi}{n}\) und \(\frac{\pi}{n}\) kleiner. Wegen der vorgegebenen Monotonie von \(\frac{\sin x}{x}\) steigt daher \((A_{i,n})\) streng, während wegen der Monotonie von \(\frac{\tan x}{x}\) \((A_{u,n})\) streng fällt.

- Nutze die Trigonometrie im gleichschenkligen Teildreieck, um die Seitenlänge zu berechnen. - Für den Teil b) ist eine trigonometrische Identität für den Doppelwinkel des Sinus (\(\sin(2\alpha)\)) sehr hilfreich. - Überlege dir beim Grenzwert, was mit dem Argument des Kosinus passiert, wenn \(n\) sehr groß wird.

1. Ein Teildreieck des \(n\)-Ecks hat den Mittelpunktswinkel \(\frac{2\pi}{n}\). Die Seitenlänge \(s_n\) ergibt sich durch Halbierung des Dreiecks zu \(s_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). Der Umfang ist \(p_n = n \cdot s_n = 2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). 2. Berechnung von \(p_{2n}\): Ersetzen von \(n\) durch \(2n\) ergibt \(p_{2n} = 2(2n)R \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) = 4nR \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)\). 3. Verhältnis bilden: \(v_n = \frac{4nR \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \frac{2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\). 4. Anwendung der Doppelwinkelformel \(\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\) mit \(x = \frac{\pi}{2n}\): \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\). 5. Einsetzen und Kürzen: \(v_n = \frac{2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right)}{2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)} = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\). 6. Grenzwert: Da \(\frac{\pi}{2n} \to 0\) für \(n \to \infty\) und \(\cos(0) = 1\), folgt \(\lim_{n \to \infty} v_n = 1\). 7. Interpretation: Das Verhältnis \(\frac{p_{2n}}{p_n}\) nähert sich dem Wert \(1\). Der relative Umfangszuwachs bei einer Verdopplung der Eckenzahl ist \(\frac{p_{2n}-p_n}{p_n} = v_n - 1\) und strebt daher gegen \(0\).

a) \(p_n = 2nR \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\). b) Durch Anwendung von \(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2n}\right) \cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)\) erhält man \(v_n = \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2n}\right)}\). c) Der Grenzwert ist \(1\). Der relative Umfangszuwachs \(v_n - 1\) geht für \(n \to \infty\) gegen \(0\).

- Wie lässt sich zunächst das allgemeine Glied einer arithmetischen Folge aus Startwert und Differenz bestimmen? - Vereinfache den Quotienten \(\frac{S_n}{n^2}\), bevor du sein Verhalten für große \(n\) untersuchst. - Betrachte für Teil c) den führenden Term von \(S_n\) und vergleiche ihn mit der normierten Folge aus Teil b).

1. Das allgemeine Glied der arithmetischen Folge ist \(a_n=a_1+(n-1)d=5+2(n-1)=2n+3\). Damit gilt \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n=\frac{5+2n+3}{2}n=n^2+4n\). 2. Es folgt \(b_n=\frac{n^2+4n}{n^2}=1+\frac{4}{n}\). Wegen \(\frac{4}{n}\to0\) gilt \(\lim_{n\to\infty}b_n=1\). 3. Für die Partialsummenfolge gilt \(S_n=n^2+4n\to\infty\); sie besitzt also keinen endlichen Grenzwert. Die Normierung durch \(n^2\) verändert das Verhalten: Während \((S_n)\) divergiert, konvergiert \((b_n)\) gegen \(1\).

a) \(S_n=n^2+4n\) b) \(\lim_{n\to\infty}b_n=1\) c) \(S_n\to\infty\); die Partialsummenfolge divergiert, während \((b_n)\) gegen \(1\) konvergiert.

- Erinnere dich daran, dass \(n!\) das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis \(n\) ist. - Setze für die Fehlerabschätzung nacheinander kleine natürliche Zahlen ein und prüfe die Ungleichung. - Überlege, wie schnell die Nenner beziehungsweise die Näherungen in beiden Verfahren mit wachsendem \(n\) reagieren.

1. Berechnung von \(s_5\): \(s_5 = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = 2 + 0{,}5 + 0{,}1666\dots + 0{,}0416\dots + 0{,}0083\dots = \frac{163}{60} \approx 2{,}7167\). 2. Gesucht ist das kleinste \(n\), für das \(\frac{1}{n \cdot n!} < 0{,}0001\) bzw. \(n \cdot n! > 10\,000\) gilt. Für \(n=6\) ist \(6 \cdot 6! = 4320 < 10\,000\), für \(n=7\) ist \(7 \cdot 7! = 35\,280 > 10\,000\). Somit ist \(n=7\) das kleinste passende \(n\). 3. Die Summe \(s_n\) konvergiert sehr schnell gegen \(e\), da die Fakultät im Nenner stark wächst. Die Folge \(a_n\) konvergiert deutlich langsamer. Daher ist die Reihendarstellung für eine präzise numerische Bestimmung von \(e\) besser geeignet.

1. \(s_5 \approx 2{,}7167\) 2. \(n = 7\) 3. Das Reihenverfahren ist effizienter, da die Glieder \(\frac{1}{n!}\) sehr schnell klein werden, während die Folge \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) deutlich langsamer gegen \(e\) konvergiert.

- Welchen Wert musst du für \(x\) wählen, damit der Ausdruck \(\ln(1+x)\) den gewünschten Wert \(\ln(1{,}2)\) ergibt? - Achte beim Einsetzen genau auf die Vorzeichen der einzelnen Glieder. - Überprüfe, in welchem Bereich \(x\) laut Aufgabenstellung liegen darf.

1. Um \(\ln(1{,}2)\) zu berechnen, setzen wir \(1+x = 1{,}2\) bzw. \(x = 0{,}2\) in die Formel ein. Die ersten vier Glieder ergeben: \(S_4 = 0{,}2 - \frac{0{,}2^2}{2} + \frac{0{,}2^3}{3} - \frac{0{,}2^4}{4}\). Berechnung der Einzelwerte: \(0{,}2 - \frac{0{,}04}{2} + \frac{0{,}008}{3} - \frac{0{,}0016}{4} = 0{,}2 - 0{,}02 + 0{,}0026\bar{6} - 0{,}0004 = 0{,}1822\bar{6}\). Auf vier Dezimalstellen gerundet ergibt dies \(0{,}1823\). 2. Für den Funktionswert \(\ln(4)\) müsste \(1+x = 4\) gelten, woraus \(x = 3\) folgt. Die Summendarstellung ist jedoch nur für das Intervall \(]-1; 1]\) gültig. Da \(3 > 1\) ist, liegt der Wert außerhalb des Gültigkeitsbereichs der Reihe.

1. \(\ln(1{,}2) \approx 0{,}1823\) 2. Für \(\ln(4)\) müsste \(x=3\) sein. Dieser Wert liegt außerhalb des zulässigen Intervalls \(]-1; 1]\).

- Kannst du den Nenner des Bruchs faktorisieren? - Versuche, den Bruch in zwei einfachere Brüche zu zerlegen, deren Differenz den ursprünglichen Term ergibt. - Schreibe die ersten Glieder der Summe explizit auf. Welche Terme heben sich gegenseitig auf? - Was passiert mit den verbleibenden Termen, wenn die Anzahl der Glieder gegen Unendlich geht?

1. Zerlegung des allgemeinen Gliedes mittels Partialbruchzerlegung: \(\frac{2}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}\). Durch Koeffizientenvergleich oder Einsetzen spezieller Werte ergibt sich \(A = 1\) und \(B = -1\). Somit gilt: \(\frac{2}{k(k+2)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\). 2. Aufstellen der \(n\)-ten Partialsumme \(S_n\): \(S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\). 3. Identifikation der Teleskopsumme: Fast alle Terme heben sich gegenseitig auf. Es verbleiben die ersten beiden positiven Terme und die letzten beiden negativen Terme: \(S_n = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\). 4. Berechnung des Grenzwertes für \(n \to \infty\): \(S = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}\right) = 1 + \frac{1}{2} - 0 - 0 = 1{,}5\).

\(1{,}5\)

- Erkennst du im Nenner eine Struktur, die du faktorisieren kannst? - Wie lässt sich ein Bruch mit einem Produkt im Nenner in eine Differenz zerlegen? - Schreibe die Summe für die ersten drei Werte von \(k\) auf und schaue, ob sich etwas vereinfachen lässt. - Überlege, welcher Teil der Summe für sehr große \(k\) keine Rolle mehr spielt.

1. Faktorisierung des Nenners unter Verwendung der dritten binomischen Formel: \(4k^2 - 1 = (2k-1)(2k+1)\). 2. Partialbruchzerlegung des Summanden: \(\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}\). Multiplikation mit dem Hauptnenner führt auf \(1 = A(2k+1) + B(2k-1)\). Für \(k = 0{,}5\) folgt \(A = 0{,}5\); für \(k = -0{,}5\) folgt \(B = -0{,}5\). Somit: \(\frac{1}{4k^2-1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)\). 3. Bildung der Partialsumme \(S_n\): \(S_n = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2} \left[ \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]\). 4. Vereinfachung der Teleskopsumme: \(S_n = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(n \to \infty\): \(S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2} (1 - 0) = 0{,}5\).

\(0{,}5\)

- Welche Wirkstoffmenge bleibt jeweils bis zur nächsten Gabe erhalten? - In welcher Reihenfolge wirken Abbau und neue Dosis auf ein Folgenglied? - Ein stabiler Wert kann helfen, die explizite Darstellung einer affinen Rekursion zu strukturieren. - Vergleiche aufeinanderfolgende Folgenglieder mit der vorgegebenen Grenze.

1. Vor der nächsten Gabe bleiben \(25\,\%\) der bisherigen Menge übrig, anschließend kommen \(100\,\text{mg}\) hinzu. Daher gilt \(a_{n+1}=0{,}25a_n+100\) mit \(a_1=100\). 2. Der Grenzwert \(S\) erfüllt \(S=0{,}25S+100\), also \(S=\frac{400}{3}\). 3. Damit lautet die explizite Darstellung \(a_n=\frac{400}{3}-\frac{100}{3}\cdot0{,}25^{n-1}\). 4. Die Werte \(a_4=132{,}8125\,\text{mg}\) und \(a_5=133{,}203125\,\text{mg}\) liegen unmittelbar unter bzw. über \(133\,\text{mg}\). 5. Die Grenze wird daher erstmals nach der fünften Gabe überschritten.

a) \(a_{n+1}=0{,}25a_n+100\) mit \(a_1=100\) b) \(a_n=\frac{400}{3}-\frac{100}{3}\cdot0{,}25^{n-1}\) c) Nach der \(5.\) Gabe.

- Welche Größe ist jeweils die Restschuld zu Beginn der Rechnung? - Überlege, wie sich eine Restschuld in einem Jahr durch Zinsen und anschließende Zahlung verändert. - Bei Kredit B sind Kreditsumme und ausgezahlter Betrag verschieden. Welche dieser beiden Größen wird verzinst? - Vergleiche am Ende nur die Restschulden nach dem fünften Jahr.

1. Für Kredit A gilt \(A_0=150\,000\) und \(A_{n+1}=1{,}055A_n-20\,000\). 2. Nach jährlicher Rundung auf Cent erhält man \(A_1=138\,250{,}00\), \(A_2=125\,853{,}75\), \(A_3=112\,775{,}71\), \(A_4=98\,978{,}37\) und \(A_5=84\,422{,}18\) Euro. 3. Für Kredit B gilt \(B_0=165\,000\) und \(B_{n+1}=1{,}03B_n-20\,000\). 4. Nach jährlicher Rundung auf Cent erhält man \(B_1=149\,950{,}00\), \(B_2=134\,448{,}50\), \(B_3=118\,481{,}96\), \(B_4=102\,036{,}42\) und \(B_5=85\,097{,}51\) Euro. 5. Nach fünf Jahren ist die Restschuld bei Kredit A um \(675{,}33\,\text{€}\) kleiner.

Kredit A: \(A_0=150\,000\), \(A_{n+1}=1{,}055A_n-20\,000\). Restschulden nach Jahr 1 bis 5: \(138\,250{,}00\,\text{€}\), \(125\,853{,}75\,\text{€}\), \(112\,775{,}71\,\text{€}\), \(98\,978{,}37\,\text{€}\), \(84\,422{,}18\,\text{€}\). Kredit B: \(B_0=165\,000\), \(B_{n+1}=1{,}03B_n-20\,000\). Restschulden nach Jahr 1 bis 5: \(149\,950{,}00\,\text{€}\), \(134\,448{,}50\,\text{€}\), \(118\,481{,}96\,\text{€}\), \(102\,036{,}42\,\text{€}\), \(85\,097{,}51\,\text{€}\). Nach dem vorgegebenen Kriterium hat Kredit A nach fünf Jahren die kleinere Restschuld.

- Erstelle für beide Modelle eine Tabelle oder eine Liste der jährlichen Berechnungen. - Beachte bei Modell 2, dass sich der Wachstumsfaktor in jedem Schritt ändert. - Denk daran, dass die Entnahme erst erfolgt, nachdem die Zinsen zum Kapital addiert wurden.

1. Iteration für Modell 1 (\(K_{n+1} = K_n \cdot 1{,}035 - 4000\)): \(K_0 = 50\,000\,\text{€}\) \(K_1 = 50\,000 \cdot 1{,}035 - 4000 = 47\,750\,\text{€}\) \(K_2 = 47\,750 \cdot 1{,}035 - 4000 = 45\,421{,}25\,\text{€}\) \(K_3 \approx 43\,010{,}99\,\text{€}\) \(K_4 \approx 40\,516{,}38\,\text{€}\) 2. Iteration für Modell 2 (\(K_{n+1} = K_n \cdot q_n - 4000\)): \(K_0 = 50\,000\,\text{€}\) \(K_1 = 50\,000 \cdot 1{,}02 - 4000 = 47\,000\,\text{€}\) \(K_2 = 47\,000 \cdot 1{,}025 - 4000 = 44\,175\,\text{€}\) \(K_3 = 44\,175 \cdot 1{,}03 - 4000 = 41\,500{,}25\,\text{€}\) \(K_4 = 41\,500{,}25 \cdot 1{,}035 - 4000 \approx 38\,952{,}76\,\text{€}\) 3. Vergleich: Modell 1 führt nach 4 Jahren zu einem höheren Kapitalstand.

Nach 4 Jahren beträgt das Restkapital bei Modell 1 ca. \(40\,516{,}38\,\text{€}\) und bei Modell 2 ca. \(38\,952{,}76\,\text{€}\). Somit ist Modell 1 nach vier Jahren das rentablere Modell.

- Überlege, welcher Anteil der Fische von einem Monat zum nächsten erhalten bleibt und wie viele neu hinzukommen. - Setze die Werte für \( q \), \( c \) und \( a_1 \) sorgfältig in die vorgegebene Formel ein. - Was bedeutet es für die Folgenglieder \( a_n \) und \( a_{n+1} \), wenn sich der Bestand nicht mehr ändert?

1. Aufstellen der Rekursionsgleichung: Da \( 80\,\% \) verbleiben und \( 500 \) hinzukommen, gilt \( a_{n+1} = 0{,}8a_n + 500 \) mit \( q = 0{,}8 \) und \( c = 500 \). 2. Anwendung der expliziten Vorschrift für \( n = 5 \): \( a_5 = 0{,}8^{5-1} \cdot 500 + 500 \cdot \frac{0{,}8^{4} - 1}{0{,}8 - 1} \). 3. Berechnung von \( a_5 \): \( a_5 = 0{,}8^4 \cdot 500 + 500 \cdot \frac{0{,}4096 - 1}{-0{,}2} = 0{,}4096 \cdot 500 + 500 \cdot 2{,}952 = 204{,}8 + 1476 = 1680{,}8 \). Im 5. Monat sind es ca. \( 1681 \) Fische. 4. Bestimmung des Grenzwerts \( L \): Im stabilen Zustand gilt \( L = 0{,}8L + 500 \). Dies führt zu \( 0{,}2L = 500 \), woraus \( L = 2500 \) folgt. Der Bestand nähert sich langfristig \( 2500 \) Fischen an.

a) \( a_{n+1} = 0{,}8a_n + 500 \) mit \( a_1 = 500 \) b) \( a_5 = 1680{,}8 \) (ca. \( 1681 \) Fische) c) Der Bestand nähert sich dem Wert \( 2500 \) an.

- Nutze algebraische Umformungen, um den Bruchterm zu vereinfachen, indem du durch \( 0{,}5 \) dividierst. - Wann hat der Wert von \( n \) keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis der Formel? - Überlege, was mit einer Potenz passiert, deren Basis größer als \( 1 \) ist, wenn der Exponent immer größer wird. - Achte auf das Vorzeichen des Faktors vor der Potenz.

1. Einsetzen in die Formel: \( a_n = 1{,}5^{n-1} \cdot a_1 - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{1{,}5 - 1} \). 2. Vereinfachung des Bruchs: \( \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 2 \cdot (1{,}5^{n-1} - 1) \). 3. Zusammenfassen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 200 \cdot 1{,}5^{n-1} + 200 = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \). 4. Stationäre Folge: Die Folge ist konstant, wenn der Term mit der Potenz verschwindet, also \( a_1 - 200 = 0 \), woraus \( a_1 = 200 \) folgt. 5. Grenzverhalten: Für \( a_1 > 200 \) ist die Klammer positiv. Da \( 1{,}5^{n-1} \) für \( n \to \infty \) unendlich groß wird, divergiert die Folge gegen \( +\infty \). Für \( a_1 < 200 \) ist die Klammer negativ, die Folge divergiert gegen \( -\infty \).

a) Nachweis durch Einsetzen: \( a_n = a_1 \cdot 1{,}5^{n-1} - 100 \cdot \frac{1{,}5^{n-1} - 1}{0{,}5} = 200 + (a_1 - 200) \cdot 1{,}5^{n-1} \) b) \( a_1 = 200 \) c) Für \( a_1 > 200 \) gilt \( a_n \to \infty \); für \( a_1 < 200 \) gilt \( a_n \to -\infty \).

- Überlege dir zuerst, welcher Anteil des Wirkstoffs nach einem Tag noch im Körper vorhanden ist. - Wie kannst du den Zustand an einem Tag aus dem Zustand des Vortags berechnen? - Was bedeutet es mathematisch für die Werte der Folge, wenn sich langfristig ein stabiler Zustand einstellt? - Untersuche, ob die Werte der Folge immer größer werden oder sich einem bestimmten Wert nähern.

1. Iterationsvorschrift: \(a_{n+1} = 0{,}8a_n + 12\) mit \(a_0 = 0\). 2. Erste fünf Tage: \(a_1 = 12\,\text{mg}\) \(a_2 = 21{,}6\,\text{mg}\) \(a_3 = 29{,}28\,\text{mg}\) \(a_4 = 35{,}424\,\text{mg}\) \(a_5 = 40{,}3392\,\text{mg}\) 3. Sättigungswert: \(x = 0{,}8x + 12\), also \(x = 60\,\text{mg}\). 4. Da die Folge streng monoton gegen \(60\,\text{mg}\) wächst, wird der Grenzwert von \(50\,\text{mg}\) überschritten. 5. Bei \(24\,\text{mg}\) täglicher Zufuhr gilt \(x = 0{,}8x + 24\), also \(x = 120\,\text{mg}\).

a) Tag 1: \(12\,\text{mg}\); Tag 2: \(21{,}6\,\text{mg}\); Tag 3: \(29{,}28\,\text{mg}\); Tag 4: \(35{,}424\,\text{mg}\); Tag 5: \(40{,}3392\,\text{mg}\). b) Der Sättigungswert liegt bei \(60\,\text{mg}\). c) Der Grenzwert von \(50\,\text{mg}\) wird überschritten, da der Sättigungswert darüber liegt. d) Der Sättigungswert würde sich auf \(120\,\text{mg}\) verdoppeln.

- Stelle eine Gleichung auf, die die Salzmenge eines Jahres mit der des Vorjahres verknüpft. - Achte darauf, ob der Startwert über oder unter dem berechneten Sättigungswert liegt. - Was passiert mit der Gleichung für den Sättigungswert, wenn du einen der Parameter änderst? - Wie verhält sich eine Größe, die jedes Jahr um einen festen Prozentsatz abnimmt, ohne dass etwas hinzugefügt wird?

1. Aufstellen der Iterationsvorschrift: Mit einem Abfluss von \(10\,\%\) bleiben \(90\,\%\) der Salzmenge erhalten. Die Zufuhr beträgt \(200\,\text{kg}\). Es gilt \(s_{n+1} = 0{,}9s_n + 200\) mit \(s_0 = 1500\,\text{kg}\). 2. Berechnung der Werte für Teilaufgabe a): \(s_1 = 0{,}9 \cdot 1500 + 200 = 1550\,\text{kg}\); \(s_2 = 0{,}9 \cdot 1550 + 200 = 1595\,\text{kg}\). Weiterführend: \(s_3 = 0{,}9 \cdot 1595 + 200 = 1635{,}5\,\text{kg}\); \(s_4 = 0{,}9 \cdot 1635{,}5 + 200 = 1671{,}95\,\text{kg}\). 3. Bestimmung des Grenzwerts für Teilaufgabe b): \(x = 0{,}9x + 200 \implies 0{,}1x = 200 \implies x = 2000\,\text{kg}\). 4. Änderung des Grenzwerts für Teilaufgabe c): Mit neuem Zufluss gilt \(x = 0{,}9x + 150 \implies 0{,}1x = 150 \implies x = 1500\,\text{kg}\). Die Salzmenge bleibt dann in jedem Jahr konstant bei \(1500\,\text{kg}\). 5. Analyse für Teilaufgabe d): Ohne Zufluss gilt \(s_{n+1} = 0{,}9s_n\). Dies ist eine geometrische Folge mit dem Abnahmefaktor \(0{,}9\). Die Salzmenge würde exponentiell abnehmen und gegen \(0\,\text{kg}\) konvergieren.

a) \(s_{n+1} = 0{,}9s_n + 200\). Nach 2 Jahren: \(1595\,\text{kg}\); nach 4 Jahren: \(1671{,}95\,\text{kg}\). b) Die Salzmenge pendelt sich langfristig bei \(2000\,\text{kg}\) ein. c) Der Sättigungswert sinkt auf \(1500\,\text{kg}\). d) Die Salzmenge nimmt exponentiell ab und nähert sich langfristig dem Wert \(0\,\text{kg}\) an.

- Setze die bekannten Werte für \(B_0, B_1\) und \(G\) in die Formel ein, um die Unbekannte zu finden. - Achte darauf, für die Berechnung der nächsten Woche immer den ungerundeten Wert der Vorwoche zu nutzen, um Rundungsfehler zu vermeiden. - Schau dir die Struktur der Formel an: Was passiert mathematisch in der Klammer, wenn die beiden Zahlen darin fast gleich groß sind?

1. Einsetzen der Werte: \(528 = 400 + k \cdot 400 \cdot (2000 - 400)\) \(128 = 640\,000k\) \(k = 0{,}0002\). 2. Woche 2: \(B_2 = 528 + 0{,}0002 \cdot 528 \cdot (2000 - 528) = 683{,}4432 \approx 683\). Woche 3: \(B_3 = 683{,}4432 + 0{,}0002 \cdot 683{,}4432 \cdot (2000 - 683{,}4432) \approx 683{,}4432 + 179{,}9584 = 863{,}4016 \approx 863\). 3. Für \(B_n \to G\) gilt \(G-B_n \to 0\). Daher nähert sich auch der Zuwachs \(B_{n+1}-B_n = kB_n(G-B_n)\) dem Wert \(0\).

1. \(k = 0{,}0002\) 2. \(B_2 \approx 683\); \(B_3 \approx 863\) 3. Der Zuwachs nähert sich Null an, da der Faktor \((G - B_n)\) gegen Null strebt.

- Überlege dir, wie sich das Volumen von einer Stunde zur nächsten verändert. - Unterscheide bei der Formel, ob der Schwellenwert für die Pumpe bereits erreicht ist oder nicht. - Was bedeutet „\(75\,\%\) des Fassungsvermögens“ konkret als Zahlenwert? - Berechne die Werte Schritt für Schritt nacheinander und beachte, dass das Becken höchstens \(2000\,\text{m}^3\) enthalten kann.

1. Aufstellen der rekursiven Formel unter Berücksichtigung des Fassungsvermögens: Ohne Pumpe (\(V_n < 1200\)) gilt \(V_{n+1} = \min\{2000, V_n + 350\}\). Mit Pumpe (\(V_n \ge 1200\)) gilt \(V_{n+1} = \min\{2000, V_n + 350 - 120\} = \min\{2000, V_n + 230\}\). 2. Berechnung der Iterationsschritte: \(V_0 = 400\) \(V_1 = 400 + 350 = 750\) \(V_2 = 750 + 350 = 1100\) \(V_3 = 1100 + 350 = 1450\) \(V_4 = 1450 + 230 = 1680\) (da \(V_3 = 1450 \ge 1200\)) 3. Bestimmung des Zeitpunkts für die \(75\,\%\)-Füllung: Das Zielvolumen ist \(0{,}75 \cdot 2000\,\text{m}^3 = 1500\,\text{m}^3\). Da \(V_3 = 1450\) und \(V_4 = 1680\), wird dieser Wert nach \(4\) Stunden erstmals überschritten.

a) \(V_{n+1} = \begin{cases} \min\{2000, V_n + 350\} & \text{für } V_n < 1200 \\ \min\{2000, V_n + 230\} & \text{für } V_n \ge 1200 \end{cases}\) b) \(V_1 = 750\,\text{m}^3\); \(V_2 = 1100\,\text{m}^3\); \(V_3 = 1450\,\text{m}^3\); \(V_4 = 1680\,\text{m}^3\) c) Nach \(4\) Stunden.

- Überlege dir, welche Operation in der Formel zuerst ausgeführt wird: die Multiplikation oder die Addition? - Was passiert mit der Wirkstoffmenge, wenn sie sich nach langer Zeit kaum noch verändert? Setze in diesem Fall \(W_n = W_{n-1}\). - Du kannst die Werte für die ersten Tage schrittweise berechnen oder eine allgemeine Formel für die Glieder der Folge aufstellen. - Denk daran, dass \(W_1\) den Zustand zu Beginn des ersten Tages vor der ersten Einnahme beschreibt.

1. Modellvergleich: In Modell A wird zuerst der vorhandene Wirkstoff abgebaut und danach die neue Dosis addiert. In Modell B wird zuerst die Dosis addiert; anschließend werden \(25\,\%\) der Gesamtmenge abgebaut. 2. Grenzwerte: Modell A: \(L = 0{,}75L + 40\), also \(L_A = 160\,\text{mg}\). Modell B: \(L = 0{,}75(L+40)\), also \(L_B = 120\,\text{mg}\). 3. In Modell A sind \(90\,\%\) des Grenzwerts \(144\,\text{mg}\). Durch schrittweise Anwendung der Rekursion erhält man \(W_9 \approx 143{,}982\,\text{mg} < 144\,\text{mg}\) und \(W_{10} \approx 147{,}986\,\text{mg} > 144\,\text{mg}\). Daher werden mindestens \(90\,\%\) der Sättigungsmenge erstmals zu Beginn des Tages \(n=10\) erreicht. Das entspricht dem Zustand nach neun täglichen Einnahmen.

a) Modell A: Erst Abbau, dann Einnahme. Modell B: Erst Einnahme, dann Abbau. b) Modell A: \(160\,\text{mg}\); Modell B: \(120\,\text{mg}\). c) Zu Beginn von Tag \(n = 10\), also nach neun Einnahmen.

- Stelle dir den Ablauf eines Tages vor: Was passiert zuerst, was danach? - Ein stabiler Zustand bedeutet, dass nach einem Tag genau so viel Algenmasse verschwindet, wie neu hinzukommt. - \(1\,\%\) des Grenzwerts liefert die maximal erlaubte absolute Abweichung. - Berechne die Folgenglieder so lange weiter, bis diese Abweichung erstmals unterschritten wird.

1. Rekursive Vorschrift: \(A_n = 0{,}85(A_{n-1}+3) = 0{,}85A_{n-1}+2{,}55\) mit \(A_0=10\). 2. Langfristiger Bestand: \(L = 0{,}85L+2{,}55\), also \(L=17\,\text{kg}\). 3. Eine Abweichung von weniger als \(1\,\%\) bedeutet \(|A_n-17|<0{,}17\). Durch schrittweise Anwendung der Rekursion erhält man \(A_{22} \approx 16{,}804\,\text{kg}\), also eine Abweichung von etwa \(0{,}196\,\text{kg}\), und \(A_{23} \approx 16{,}8334\,\text{kg}\), also eine Abweichung von etwa \(0{,}1666\,\text{kg}\). Damit ist die Abweichung erstmals nach \(23\) Tagen kleiner als \(1\,\%\).

a) \(A_n = 0{,}85(A_{n-1} + 3)\) mit \(A_0 = 10\). b) \(17\,\text{kg}\). c) Nach \(23\) Tagen.

- Welche Werte erhältst du, wenn du immer größere Zahlen für \(n\) einsetzt? - Was passiert mit einer Zahl, die geringfügig größer als \(1\) ist, wenn man sie mit sich selbst multipliziert? - Betrachte die Entwicklung der Ergebnisse: Bewegen sie sich auf die \(1\) zu oder weg? - Gibt es in der Mathematik Fälle, in denen zwei Veränderungen in einem Term gegeneinander wirken?

1. Einsetzen der Werte ergibt: \(A(5)=(1+\frac{1}{5})^5=1{,}2^5\approx2{,}488\); \(A(50)=(1+\frac{1}{50})^{50}=1{,}02^{50}\approx2{,}692\); \(A(500)=(1+\frac{1}{500})^{500}=1{,}002^{500}\approx2{,}716\). 2. Basis und Exponent hängen beide von \(n\) ab. Aus \(1+\frac{1}{n}\to1\) und \(n\to\infty\) darf man den Grenzwert des Potenzterms nicht durch getrenntes Einsetzen bestimmen; die Form \(1^\infty\) ist unbestimmt. Entscheidend ist das gemeinsame Verhalten beider Größen. 3. Der Grenzwert ist die Eulersche Zahl \(e\). Ihr Wert beträgt gerundet \(2{,}72\).

1. \(2{,}488\); \(2{,}692\); \(2{,}716\) 2. Basis und Exponent verändern sich gleichzeitig; die Form \(1^\infty\) bestimmt den Grenzwert nicht. 3. Eulersche Zahl \(e\approx2{,}72\)

- Zähle, wie viele Summanden ein typischer Block enthält. - Vergleiche innerhalb eines Blocks jeden Summanden mit demjenigen, dessen Nenner am größten ist. - Welche Folgerung ergibt sich, wenn du für eine Teilfolge der Partialsummen eine untere Schranke findest, die selbst unbegrenzt wächst?

1. Der \(j\)-te Block nach dem ersten Summanden enthält \(2^{j-1}\) Terme. Jeder Nenner ist höchstens \(2^j\), also ist jeder dieser Terme mindestens \(\frac{1}{2^j}\). Der gesamte Block ist daher mindestens \(2^{j-1}\cdot\frac{1}{2^j}=\frac{1}{2}\). 2. Bis \(S_{2^m}\) treten nach dem ersten Summanden genau \(m\) solcher Blöcke auf. Deshalb gilt \(S_{2^m}\ge 1+m\cdot\frac{1}{2}=1+\frac{m}{2}\). 3. Die rechte Seite wächst mit \(m\) ohne Schranke. Damit ist auch die Partialsummenfolge unbeschränkt und kann keinen endlichen Grenzwert besitzen. Folglich divergiert die harmonische Reihe.

a) Jeder Block ist mindestens \(\frac{1}{2}\). b) \(S_{2^m}\ge 1+\frac{m}{2}\) c) Die Partialsummen sind unbeschränkt; daher divergiert die harmonische Reihe.

- Welche Werte haben \(e^x\) und seine Ableitungen an der Entwicklungsstelle \(0\)? - Welche Ableitungsordnungen müssen bei einem Taylorpolynom vom Grad \(n\) an der Entwicklungsstelle übereinstimmen? - Vergleiche im Bild, wie lange die einzelnen Polynomgraphen nahe am Graphen von \(e^x\) bleiben. - Welches Muster haben die Nenner der aufeinanderfolgenden Terme der Taylorpolynome? - Was erhältst du aus der allgemeinen Entwicklung, wenn du \(x=1\) setzt und den Grad unbegrenzt wachsen lässt?

1. Für \(f(x)=e^x\) gilt für jede Ableitungsordnung \(k\): \(f^{(k)}(0)=1\). 2. Daher ist \(p_1(x)=1+x\), \(p_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\), \(p_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\) und \(p_4(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\). 3. In der Abbildung liegen die Taylorpolynome mit wachsendem Grad in einer zunehmend größeren Umgebung von \(0\) nahe am Graphen von \(e^x\). Beim Polynom \(p_n\) stimmen Funktionswert und die Ableitungen bis zur Ordnung \(n\) an der Stelle \(0\) mit denen von \(e^x\) überein. Die Abbildung macht damit die Konvergenz der Folge der Taylorpolynome plausibel. 4. Es gilt \(p_4(1)=1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}=\frac{65}{24}\approx 2{,}708\). 5. Aus \(p_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\) ergibt sich für \(x=1\) die Reihendarstellung \(e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots\).

a) \(p_1(x)=1+x\), \(p_2(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\), \(p_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\), \(p_4(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}\) b) Mit wachsendem Grad begleiten die Taylorpolynome \(e^x\) nahe \(0\) immer enger; bei \(p_n\) stimmen die Ableitungen bis zur Ordnung \(n\) in \(0\) überein. c) \(p_4(1)=\frac{65}{24}\approx 2{,}708\) d) \(e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\dots\)

- Stelle direkt die Beträge der Approximationsfehler dar, nicht nur die Ausgangsfunktionen. - Die gesuchten Randwerte entstehen dort, wo eine Fehlerfunktion die vorgegebene Fehlerschranke erreicht. - Vergleiche anschließend die Breite der Bereiche um \(x=0\), in denen beide Fehler unter derselben Schranke bleiben.

1. Die Software zeigt für \(d_2\) zwei Schnittpunkte mit \(y=0{,}05\) bei ungefähr \(x=-0{,}70798\) und \(x=0{,}63337\). Damit gilt näherungsweise \(d_2(x)<0{,}05\) für \(-0{,}71<x<0{,}63\). 2. Für \(d_4\) gibt es auf \([-1;1]\) keinen Schnitt mit \(y=0{,}05\); der Fehler bleibt auf dem gesamten Intervall unter der Schranke. Daher gilt dort \(d_4(x)<0{,}05\). 3. Das Taylorpolynom vierten Grades hält die vorgegebene Fehlerschranke auf einem deutlich größeren Bereich um den Entwicklungspunkt \(0\) ein als das Taylorpolynom zweiten Grades.

a) Für \(p_2\): ungefähr \((-0{,}71;0{,}63)\). Für \(p_4\): das gesamte Intervall \([-1;1]\). b) Der höhere Grad vergrößert hier den Bereich um \(0\), in dem der Fehler kleiner als \(0{,}05\) bleibt.

- Untersuche den Fehler auf dem gesamten Intervall und nicht nur an einigen ausgewählten Stellen. - Halte für jeden Grad sowohl den größten Fehler als auch die Stelle fest, an der er auftritt. - Unterscheide bei der Schlussfolgerung zwischen einer numerischen Plausibilisierung und einem allgemeinen mathematischen Beweis.

1. Die digitale Untersuchung liefert für alle vier betrachteten Grade das Maximum bei \(x=1\). Die maximalen Fehler sind näherungsweise \(d_2(1)\approx0{,}218282\), \(d_4(1)\approx0{,}009948\), \(d_6(1)\approx0{,}000226\) und \(d_8(1)\approx0{,}000003\). 2. Die größten Abweichungen auf dem gesamten betrachteten Intervall werden mit wachsendem Grad sehr schnell kleiner. Diese Beobachtung macht plausibel, dass die Taylorpolynome \(e^x\) auf \([-1;1]\) zunehmend besser approximieren; sie ersetzt keinen allgemeinen Konvergenzbeweis.

a) \(n=2\): \(0{,}218282\) bei \(x=1\); \(n=4\): \(0{,}009948\) bei \(x=1\); \(n=6\): \(0{,}000226\) bei \(x=1\); \(n=8\): \(0{,}000003\) bei \(x=1\). b) Die Maximalfehler auf dem ganzen Intervall fallen stark gegen \(0\); das macht die zunehmend gute Approximation und damit die Konvergenz der Taylorpolynome auf diesem Intervall plausibel.

- Wie hängt das \(n\)-te Glied einer Folge mit der Summe der ersten \(n\) und der ersten \(n-1\) Glieder zusammen? - Versuche den Bruch in zwei einfachere Brüche zu zerlegen, deren Nenner die Faktoren des ursprünglichen Nenners sind. - Wenn du die Summe ausschreibst, heben sich dann bestimmte Terme gegenseitig auf? - Was passiert mit dem Restterm der Summe, wenn \(n\) immer größer wird?

1. Das allgemeine Glied \(a_n\) ergibt sich aus der Differenz der Partialsummen: \(a_n = S_n - S_{n-1}\) für \(n > 1\). Mit \(S_n = 2n^2 + n\) folgt \(a_n = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1)) = 2n^2 + n - (2n^2 - 4n + 2 + n - 1) = 4n - 1\). Für \(n=1\) gilt \(a_1 = S_1 = 3\), was mit der Formel übereinstimmt. 2. Mit \(a_n = 4n - 1\) ist \(b_n = \frac{1}{(4n-1)(4n+3)}\). Mittels Partialbruchzerlegung ergibt sich \(b_n = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right)\). Die Summe \(T_n\) ist eine Teleskopsumme: \(T_n = \frac{1}{4} \cdot \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{11}\right) + \dots + \left(\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3}\right) \right] = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3}\right)\). 3. Der Grenzwert für \(n \to \infty\) ergibt sich, da \(\frac{1}{4n+3} \to 0\): \(T = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}\).

1. \(a_n = 4n - 1\) 2. \(T_n = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3}\right)\); Grenzwert \(T = \frac{1}{12}\)

- Bestimme zuerst die ersten Glieder der Differenzenfolge \(d_n\). - Wie hängen die Glieder der ursprünglichen Folge \(a_n\) mit den Summen der Differenzenfolge zusammen? - Nutze die Summenformel für endliche geometrische Reihen, um einen geschlossenen Ausdruck für \(a_n\) zu finden. - Was passiert mit dem Term, der \(n\) enthält, wenn \(n\) immer größer wird?

1. Berechnung der ersten Differenzen: \(d_1 = a_2 - a_1 = 5\), \(d_2 = a_3 - a_2 = 2{,}5\). 2. Da \((d_n)\) geometrisch ist, gilt für den Quotienten \(q = \frac{2{,}5}{5} = 0{,}5\). Das allgemeine Glied der Differenzenfolge ist \(d_n = 5 \cdot 0{,}5^{n-1}\). 3. Das Glied \(a_n\) ergibt sich aus der Summe: \(a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} d_k = 10 + \sum_{k=1}^{n-1} 5 \cdot 0{,}5^{k-1}\). 4. Anwendung der Summenformel für endliche geometrische Reihen: \(a_n = 10 + 5 \cdot \frac{1 - 0{,}5^{n-1}}{1 - 0{,}5} = 10 + 10(1 - 0{,}5^{n-1}) = 20 - 10 \cdot 0{,}5^{n-1}\). 5. Grenzwertbetrachtung für \(n \to \infty\): Da \(0{,}5^{n-1} \to 0\), folgt \(\lim_{n \to \infty} a_n = 20\).

a) \(a_n = 20 - 10 \cdot 0{,}5^{n-1}\) (oder eine äquivalente Form) b) Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert \(20\).

- Stelle zuerst die Gleichung für den Zuwachs im ersten Jahr auf, um die Unbekannte zu finden. - Was bedeutet es für die Entwicklung der Population, wenn der Abzug durch Fischen größer ist als der maximale natürliche Zuwachs? - Betrachte die Wachstumsfunktion für sehr kleine Bestände, um die kritische Grenze zu finden.

1. Einsetzen von \(B_0 = 800\), \(B_1 = 912\) und \(K = 5000\): \(112 = r \cdot 800 \cdot \frac{4200}{5000} = 672r\). Daher ist \(r = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\). 2. Die Bestandsänderung lautet \(B_{n+1}-B_n = B_n\left(r\frac{K-B_n}{K}-q\right)\). Für \(0 < B_n \leq K\) gilt \(0 \leq \frac{K-B_n}{K} < 1\). Ist \(q \geq r\), so ist der Klammerausdruck für jeden positiven Bestand negativ; die Folge nimmt also streng ab. 3. Wegen \(0 \leq q \leq 1\) bleibt zugleich \(B_{n+1}=B_n\left(1+r\frac{K-B_n}{K}-q\right)\geq0\). Die Folge ist damit nach unten beschränkt und besitzt einen Grenzwert \(L\geq0\). 4. Für einen Grenzwert gilt \(0=L\left(r\frac{K-L}{K}-q\right)\). Bei \(q\geq r\) kann der zweite Faktor für \(L>0\) nicht null sein, weil \(r\frac{K-L}{K}<r\leq q\). Daher muss \(L=0\) gelten. 5. Für \(q<r\) ist die Bestandsänderung bei hinreichend kleinen positiven Beständen dagegen positiv. Somit liegt die kritische Fangquote bei \(q=r=\frac{1}{6}\), also bei etwa \(16{,}67\,\%\). Im zulässigen Bereich gilt daher \(\frac{1}{6}\leq q\leq1\).

1. \(r = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\) 2. Für \(\frac{1}{6} \leq q \leq 1\), also ab etwa \(16{,}67\,\%\) bis höchstens \(100\,\%\), schrumpft jeder Anfangsbestand \(0 < B_0 \leq K\) langfristig gegen \(0\).

- Wie kannst du die beiden Punktwahrscheinlichkeiten in a) so vergleichen, dass gemeinsame Faktoren sichtbar werden? - Bei b) soll die gegebene Näherung für große \(n\) nutzbar werden. Welche Faktoren deines Terms müssen sich dafür stabilisieren? - Vergleiche die Potenz in deinem Term mit der Potenz \(n\) aus der gegebenen Näherung.

1. Nach der Formel der Binomialverteilung gilt \(P(X=0)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\) und \(P(X=1)=n\cdot\frac{1}{n}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}\). 2. Daher ist \(\frac{P(X=1)}{P(X=0)}=\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\frac{n}{n-1}\). Also gilt \(P(X=1)=\frac{n}{n-1}\cdot P(X=0)\). 3. Für \(k=2\) folgt \(P(X=2)=\binom{n}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^2\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-2}=\frac{n-1}{2n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-2}\). 4. Außerdem gilt \(\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2}\). Für \(n\to\infty\) geht der erste Faktor gegen \(\frac{1}{e}\), der zweite gegen \(1\), und \(\frac{n-1}{2n}\to\frac{1}{2}\). Damit folgt \(P(X=2)\to\frac{1}{2e}\), also \(P(X=2)\approx\frac{1}{2e}\) für große \(n\).

a) \(\frac{P(X=1)}{P(X=0)}=\frac{1}{1-\frac{1}{n}}=\frac{n}{n-1}\), also \(P(X=1)=\frac{n}{n-1}\cdot P(X=0)\). b) \(P(X=2)=\frac{n-1}{2n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n}\right)^{-2}\to\frac{1}{2e}\).