Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche der beiden Funktionen bildet auf dem ganzen Intervall die obere Begrenzung? - Für eine Fläche zwischen zwei Graphen steht im Integranden „oben minus unten“.

1. Für den Flächeninhalt wird auf dem gesamten Intervall „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert. 2. Daher lautet der Ansatz \(\int_0^2(3-x)\,\mathrm{d}x\).

\(\int_0^2(3-x)\,\mathrm{d}x\)

- Betrachte nur die linke und rechte Begrenzung der schattierten Fläche. - Welche \(x\)-Werte liegen an diesen beiden senkrechten Randlinien?

1. Die markierte Fläche beginnt bei \(x=1\) und endet bei \(x=4\). 2. Die Integrationsgrenzen sind daher \(1\) und \(4\).

Untere Integrationsgrenze: \(1\) Obere Integrationsgrenze: \(4\)

- An welchen Stellen berührt oder kreuzt der Graph die waagerechte Achse? - Nutze die Symmetrie der Parabel, um die Form besser zu verstehen. - Verwende die Messwerkzeuge deiner Software, um den Inhalt der Fläche zwischen Graph und Achse zu bestimmen.

1. Bestimmung der Nullstellen durch Lösen von \(g(x) = 0\): \(-0{,}5(x - 2)^2 + 4{,}5 = 0 \implies (x - 2)^2 = 9\). Daraus ergeben sich \(x_1 = 2 - 3 = -1\) und \(x_2 = 2 + 3 = 5\). 2. Der relevante Bereich für die Fläche liegt zwischen \(x = -1\) und \(x = 5\). 3. Verwendung eines digitalen Werkzeugs (z. B. GeoGebra-Befehl „Integral“ oder Zählen von Kästchen bei feiner Skalierung), um den Flächeninhalt unter der Parabel in diesem Intervall zu bestimmen. 4. Die exakte Berechnung ergibt: \(\int_{-1}^{5} (-0{,}5(x-2)^2 + 4{,}5) \, dx = [- \frac{1}{6}(x-2)^3 + 4{,}5x]_{-1}^5 = (- \frac{27}{6} + 22{,}5) - (\frac{27}{6} - 4{,}5) = 18 - 0 = 18\).

Die Nullstellen liegen bei \(x = -1\) und \(x = 5\). Der Flächeninhalt beträgt \(18\) Flächeneinheiten.

- Wie gehst du vor, um den höchsten Punkt auf der \(y\)-Achse zu finden? - Welcher \(x\)-Wert gehört zum Punkt, an dem der Graph die \(x\)-Achse im positiven Bereich schneidet? - Nutze eine Funktion in deinem Programm, die Flächen unter Kurven berechnen kann.

1. Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(h(0) = 3{,}6\). Der Punkt ist \((0\mid 3{,}6)\). 2. Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) im ersten Quadranten: \(0 = -0{,}1x^2 + 3{,}6 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\) (da nur der erste Quadrant betrachtet wird). Der Punkt ist \((6\mid 0)\). 3. Die Fläche wird durch \(x=0\), \(y=0\) und den Graphen von \(h\) für \(0 \le x \le 6\) begrenzt. 4. Berechnung mit digitalem Werkzeug: Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des Integrals von \(0\) bis \(6\). 5. Rechnung: \(\int_{0}^{6} (-0{,}1x^2 + 3{,}6) \, dx = [- \frac{0{,}1}{3}x^3 + 3{,}6x]_0^6 = (- \frac{0{,}1}{3} \cdot 216 + 3{,}6 \cdot 6) - 0 = -7{,}2 + 21{,}6 = 14{,}4\).

Die Schnittpunkte im ersten Quadranten sind \((0\mid 3{,}6)\) und \((6\mid 0)\). Der Flächeninhalt beträgt \(14{,}40\) Flächeneinheiten.

- Welche der beiden Funktionen liefert im gegebenen Bereich größere Werte? - Stelle eine Differenzfunktion auf, bevor du integrierst. - Achte beim Bilden der Differenzfunktion besonders auf die Vorzeichen in der Klammer. - Die Fläche wird durch das bestimmte Integral der Differenzfunktion über dem Intervall berechnet.

1. Vergleich der Funktionswerte zur Bestimmung der oberen Funktion: \(f(0) = 5\) und \(g(0) = 1\). Da keine Schnittstelle im Intervall \([0; 3]\) vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\) für alle \(x \in [0; 3]\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x + 5) - (x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 4x + 4\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals: \(\int_0^3 (-x^2 + 4x + 4) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(3) = -\frac{1}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9 + 4 \cdot 3 = -9 + 18 + 12 = 21\) und \(H(0) = 0\). 6. Ergebnis: \(A = 21 - 0 = 21\).

Der Flächeninhalt beträgt \(21\).

- Wie lautet die allgemeine Regel, um eine Stammfunktion für eine Potenzfunktion zu finden? - Welche Integrationsgrenzen musst du verwenden? - Denk an den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Man berechnet die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen. - Achte beim Einsetzen negativer Werte besonders auf die Vorzeichenregeln.

1. Bestimmung einer Stammfunktion von \(f(x) = x^2 + 2\): \(F(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2x\). 2. Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: \(A = \int_{-1}^{2} (x^2 + 2) \, dx = [F(x)]_{-1}^{2} = F(2) - F(-1)\). 3. Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion: \(F(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}\) und \(F(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 + 2 \cdot (-1) = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3}\). 4. Differenzbildung: \(A = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die waagerechte Achse? - Welche mathematische Operation hilft dir dabei, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen? - Überlege dir, in welchem Intervall die Fläche genau liegt. - Wie gehst du vor, wenn das Ergebnis der Berechnung negativ ist?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse (Nullstellen): \(-x^2 + 2x + 3 = 0\). Durch Anwendung der p-q-Formel oder Faktorisieren \(-(x-3)(x+1) = 0\) ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\). 2. Aufstellen des bestimmten Integrals in den Grenzen der Nullstellen: \(\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \, dx\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x\). 4. Berechnung des Integralwerts: \(F(3) - F(-1) = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + 9 + 9) - (-\frac{1}{3} \cdot (-1) + 1 - 3) = 9 - (-\frac{5}{3}) = \frac{32}{3}\). 5. Der Flächeninhalt beträgt \(10\frac{2}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{32}{3}\) (oder ca. \(10{,}67\)) Flächeneinheiten.

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Was musst du tun, wenn du den Bereich zwischen zwei Kurven berechnen möchtest? - Überlege dir, welche Funktion in dem relevanten Intervall oberhalb der anderen liegt. - Welche Rolle spielt die Differenzfunktion bei der Flächenberechnung?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen der Funktionsterme: \(x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 8x - 11 \iff 2x^2 - 12x + 16 = 0 \iff x^2 - 6x + 8 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 4\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = -2x^2 + 12x - 16\). 3. Berechnung des bestimmten Integrals der Differenzfunktion in den Grenzen von \(2\) bis \(4\): \(\int_{2}^{4} (-2x^2 + 12x - 16) \, dx\). 4. Bestimmung einer Stammfunktion: \(H(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 16x\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(H(4) - H(2) = (-\frac{128}{3} + 96 - 64) - (-\frac{16}{3} + 24 - 32) = -\frac{32}{3} - (-\frac{40}{3}) = \frac{8}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zunächst die Grenzen der Fläche, indem du die Schnittpunkte der Funktionen berechnest. - Betrachte den Graphen, um zu entscheiden, welche Funktion von welcher abgezogen werden muss. - Nutze die Regeln der Integralrechnung, um die Stammfunktion zu bilden.

1. Berechnung der Schnittpunkte: \(-x^2 + 4x = x \Rightarrow x^2 - 3x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 3\). 2. Bestimmung der oberen Funktion: Im Intervall \([0; 3]\) gilt \(f(x) \geq g(x)\). 3. Aufstellen des Integrals: \(A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - x) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx\). 4. Integration: \([-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{0}^{3} = (-\frac{1}{3} \cdot 27 + \frac{3}{2} \cdot 9) - 0 = -9 + 13{,}5 = 4{,}5\). Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie kannst du die Steigung und den \(y\)-Achsenabschnitt einer Geraden aus dem Koordinatensystem ablesen? - Überlege, welche Funktion im eingeschlossenen Bereich die größeren Funktionswerte hat (oben liegt). - Denke an das bestimmte Integral zur Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven. - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Graphen, um die Integrationsgrenzen zu finden.

1. Die Gerade verläuft durch \((-2 \mid 0)\) und \((0 \mid 2)\). Ihre Steigung ist \(1\), der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(2\). Somit ist \(g(x)=x+2\). 2. Aus \(-x^2+4=x+2\) folgt \(x^2+x-2=0\), also \(x_1=-2\) und \(x_2=1\). 3. Im Intervall \([-2; 1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher gilt \(A=\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,\mathrm{d}x\). 4. Es ergibt sich \(A=\left[-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}=\frac{9}{2}=4{,}5\).

a) Die Funktionsgleichung der Geraden lautet \(g(x) = x + 2\). b) Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(4{,}5\) Flächeneinheiten.

- Lies zuerst die beiden Schnittstellen aus der Abbildung ab. - Welche der beiden Funktionen liefert zwischen den Schnittstellen jeweils den größeren \(y\)-Wert? - Für einen geometrischen Flächeninhalt zwischen zwei Graphen wird „oberer Graph minus unterer Graph“ integriert.

1. Die beiden Graphen schneiden sich bei \(x=-1\) und \(x=1\); dies sind die Integrationsgrenzen der markierten Fläche. 2. Zwischen diesen Grenzen liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). 3. Daher ist der Flächeninhalt \(A=\int_{-1}^{1}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{1}((2-x^2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

\(A=\int_{-1}^{1}((2-x^2)-x^2)\,\mathrm{d}x\)

- Prüfe getrennt, ob die Integrationsgrenzen und die Reihenfolge der Funktionen stimmen. - Welcher Graph liegt im markierten Bereich oben? - Ein geometrischer Flächeninhalt soll nicht durch einen überall nichtpositiven Integranden beschrieben werden.

1. Die Integrationsgrenzen \(-1\) und \(2\) sind korrekt, denn dort schneiden sich die beiden Graphen. 2. Im gesamten Intervall \([-1;2]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Daher ist \(g(x)-f(x)\le0\) und Noahs Integral liefert keinen positiven geometrischen Flächeninhalt. 3. Richtig ist \(A=\int_{-1}^{2}(f(x)-g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{-1}^{2}((x+2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

Noahs Ansatz hat die falsche Reihenfolge der Funktionen. Richtig ist \(A=\int_{-1}^{2}((x+2)-x^2)\,\mathrm{d}x\).

- Überlege zuerst, welcher der beiden Graphen im gesamten Intervall oberhalb des anderen liegt. - Wie lautet die allgemeine Formel für den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen? - Erinnere dich an die Stammfunktionen von gebrochen-rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen. - Nutze Logarithmengesetze, um das Ergebnis im ersten Teil zu vereinfachen.

1. Für Teilaufgabe a): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\) und kein Schnittpunkt im Intervall vorliegt, gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^4 (\frac{4}{x+2} - (1 - 0{,}5x)) \, dx = \int_0^4 (\frac{4}{x+2} - 1 + 0{,}5x) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 4\ln|x+2| - x + 0{,}25x^2\). Auswertung an den Grenzen: \(F(4) = 4\ln(6) - 4 + 4 = 4\ln(6)\) und \(F(0) = 4\ln(2)\). Der Flächeninhalt beträgt \(4\ln(6) - 4\ln(2) = 4\ln(3) \approx 4{,}394\). 2. Für Teilaufgabe b): Da \(f(0) = 2 > g(0) = 1\), gilt \(f(x) > g(x)\). Das Integral lautet \(\int_0^1 (e^x + 1 - e^{-x}) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = e^x + x + e^{-x}\). Auswertung an den Grenzen: \(F(1) = e^1 + 1 + e^{-1}\) und \(F(0) = e^0 + 0 + e^0 = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e + e^{-1} + 1 - 2 = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\).

a) \(A = 4\ln(3) \approx 4{,}394\) b) \(A = e + e^{-1} - 1 \approx 2{,}086\)

- Überlege zuerst, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall größere Werte annimmt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Erinnere dich an die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Integralwert mit der geometrischen Flächenformel verknüpft.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (x^2 + 4) - \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^2 + 4\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\) gilt, ist der Flächeninhalt durch das Integral der Differenzfunktion gegeben. 2. Berechnung des Integrals: \(A(k) = \int_{0}^{k} (\frac{1}{2}x^2 + 4) \, dx = \left[ \frac{1}{6}x^3 + 4x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{6}k^3 + 4k\). 3. Aufstellen der Bedingung: Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot 10 = 5k\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{1}{6}k^3 + 4k = 5k \implies \frac{1}{6}k^3 = k\). Da \(k > 0\), folgt \(k^2 = 6\) und somit \(k = \sqrt{6}\).

a) \(A(k) = \frac{1}{6}k^3 + 4k\) b) \(k = \sqrt{6}\)

- Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Integration zu vereinfachen. - Wie lautet die allgemeine Regel für die Integration von Potenzfunktionen? - Welche geometrische Formel beschreibt den Inhalt eines Rechtecks? - Überlege, wie du die resultierende Gleichung nach \(t\) auflösen kannst, wenn \(t\) als Faktor in jedem Term vorkommt.

1. Bestimmung der Differenzfunktion: \(h(x) = f(x) - g(x) = (2x^2 + 1) - (x^2 - 2) = x^2 + 3\). Da \(f(x) > g(x)\) für alle \(x\), liegt kein Vorzeichenwechsel vor. 2. Berechnung des Flächeninhalts über Symmetrie: \(A(t) = \int_{-t}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\int_{0}^{t} (x^2 + 3) \, dx = 2\left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{0}^{t} = \frac{2}{3}t^3 + 6t\). 3. Gleichsetzung mit dem Rechteckinhalt: Die Bedingung lautet \(A(t) = t \cdot 8 = 8t\). 4. Lösen der Gleichung: \(\frac{2}{3}t^3 + 6t = 8t \implies \frac{2}{3}t^3 = 2t\). Division durch \(t\) (da \(t > 0\)) ergibt \(\frac{2}{3}t^2 = 2\), woraus \(t^2 = 3\) und somit \(t = \sqrt{3}\) folgt.

a) \(A(t) = \frac{2}{3}t^3 + 6t\) b) \(t = \sqrt{3}\)

- Stelle zuerst die Gleichung der Tangente auf. - Skizziere die Situation gedanklich: Wo schneiden die Tangente und der Funktionsgraph jeweils die \(x\)-Achse? - Überlege, wie du die gesuchte Fläche in bekannte Teilflächen oder Integrale zerlegen kannst. - Manchmal ist es einfacher, eine große Fläche zu berechnen und einen Teil davon abzuziehen.

1. Bestimmung der Tangentengleichung an der Stelle \(x_0 = e\): Es gilt \(f(e) = \ln(e) = 1\) und \(f'(x) = \frac{1}{x}\), also \(f'(e) = \frac{1}{e}\). Die Tangente \(t\) hat die Gleichung \(t(x) = \frac{1}{e}(x - e) + 1 = \frac{1}{e}x\). 2. Bestimmung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(\ln(x) = 0 \Rightarrow x_f = 1\). Die Tangente \(t\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(\frac{1}{e}x = 0 \Rightarrow x_t = 0\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Fläche setzt sich zusammen aus dem Bereich unter der Tangente von \(x = 0\) bis \(x = 1\) (Dreiecksfläche) und dem Bereich zwischen Tangente und Funktionsgraph von \(x = 1\) bis \(x = e\). Alternativ berechnet man die Fläche unter der Tangente von \(0\) bis \(e\) und subtrahiert die Fläche unter dem Graphen von \(f\) von \(1\) bis \(e\). Fläche unter der Tangente: \(\int_{0}^{e} \frac{1}{e}x \, dx = \left[ \frac{1}{2e}x^2 \right]_{0}^{e} = \frac{e^2}{2e} = \frac{e}{2}\). Fläche unter \(f\): \(\int_{1}^{e} \ln(x) \, dx = [x \ln(x) - x]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) = 1\). Gesamtfläche: \(A = \frac{e}{2} - 1 \approx 0{,}359\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{e}{2} - 1 \approx 0{,}359 \, \text{FE}\).

- Bestimme die Schnittpunkte der Kurve mit der \(x\)-Achse und der Geraden \(g\). - Berechne zunächst nur das Flächenstück rechts der \(y\)-Achse. - Zerlege dieses Flächenstück in ein Rechteck und einen durch ein Integral bestimmten Anteil. - Verdopple anschließend wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse.

1. Nachweis des Schnittpunkts: Einsetzen von \(x = 1\) in die Funktionsgleichung ergibt \(f(1) = 2 - \frac{18}{1^2} = 2 - 18 = -16\). Da dieser Wert mit dem \(y\)-Wert der Geraden \(g\) übereinstimmt, liegt ein Schnittpunkt bei \(x = 1\) vor. 2. Bestimmung der Flächenanteile für \(x > 0\): Die Fläche setzt sich aus einem Rechteck und einem Flächenstück unter dem Graphen zusammen. 3. Berechnung des Rechtecks: Für \(x \in [0; 1]\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und die Gerade \(g\) (\(y=-16\)) begrenzt. Der Inhalt beträgt \(A_{\text{Rechteck}} = 1 \cdot | -16 | = 16\). 4. Berechnung des Integrals: Für \(x \in [1; 3]\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Graphen von \(f\) begrenzt. Da der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt: \(A_{\text{Integral}} = \int_{1}^{3} (0 - f(x)) \, dx = \int_{1}^{3} (\frac{18}{x^2} - 2) \, dx\). 5. Stammfunktion und Auswertung: \([- \frac{18}{x} - 2x]_1^3 = (- \frac{18}{3} - 2 \cdot 3) - (- \frac{18}{1} - 2 \cdot 1) = (-6 - 6) - (-18 - 2) = -12 + 20 = 8\). 6. Gesamtfläche: Die Fläche auf der rechten Seite ist \(16 + 8 = 24\). Aufgrund der Symmetrie zur \(y\)-Achse beträgt der gesamte Flächeninhalt \(A_{\text{Gesamt}} = 2 \cdot 24 = 48\).

Die beiden symmetrischen Flächenstücke haben zusammen den Flächeninhalt \(48\).

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege, wie viele abgeschlossene Flächenstücke entstehen können, wenn es drei Schnittstellen gibt. - Musst du die Graphen zeichnen, um zu wissen, welche Funktion oben liegt, oder gibt es einen rechnerischen Weg? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn die Graphen ihre Position (oben/unten) tauschen?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x = x^2 \Leftrightarrow x^3 - x^2 - 2x = 0\). Ausklammern liefert \(x(x^2 - x - 2) = 0\), woraus sich mit der \(pq\)-Formel die Schnittstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\) ergeben. 2. Bestimmung der Teilflächen durch Integration der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - x^2 - 2x\). Eine Stammfunktion ist \(H(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - x^2\). 3. Erstes Intervall \([-1; 0]\): \(H(0) - H(-1) = 0 - (\frac{1}{4} + \frac{1}{3} - 1) = 0 - (-\frac{5}{12}) = \frac{5}{12}\). 4. Zweites Intervall \([0; 2]\): \(H(2) - H(0) = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 4) - 0 = -\frac{8}{3}\). 5. Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich aus der Summe der Beträge: \(A = |\frac{5}{12}| + |-\frac{8}{3}| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{37}{12} \approx 3{,}083\) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(a\)? - Überlege dir, über welches Intervall integriert werden muss, wenn die \(y\)-Achse eine Begrenzung ist. - Welche Funktion liegt im betrachteten Bereich oberhalb der anderen? - Erinnere dich an die Regeln für das Bilden von Stammfunktionen bei Potenzfunktionen.

1. Bestimmung der Tangentengleichung an der Stelle \(x = a\): Mit \(f'(x) = 3x^2\) ergibt sich die Steigung \(m = 3a^2\). Die Tangente lautet \(t(x) = 3a^2(x - a) + a^3 = 3a^2x - 2a^3\). 2. Aufstellen des Integrals für die Fläche zwischen \(G_f\) und \(t\) im Intervall \([0; a]\): Da \(f(x) \geq t(x)\) für \(x \in [0; a]\), gilt \(A = \int_{0}^{a} (x^3 - (3a^2x - 2a^3)) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{a} (x^3 - 3a^2x + 2a^3) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}a^2x^2 + 2a^3x \right]_{0}^{a}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \((\frac{1}{4}a^4 - \frac{3}{2}a^4 + 2a^4) - 0 = \frac{1 - 6 + 8}{4}a^4 = \frac{3}{4}a^4\).

Der Flächeninhalt berechnet sich über das Integral der Differenzfunktion von Graph und Tangente im Intervall \([0; a]\). Die Integration von \(f(x) - t(x) = x^3 - 3a^2x + 2a^3\) führt auf \(\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}a^2x^2 + 2a^3x \right]_{0}^{a}\), was vereinfacht den Wert \(A = \frac{3}{4}a^4\) ergibt.

- Bestimme zuerst die Funktionsgleichung der Tangente im gegebenen Punkt. - Skizziere im Kopf oder grob auf Papier den Verlauf der Exponentialfunktion und der Ursprungsgerade, um die Grenzen zu finden. - Achte beim Integrieren darauf, dass die untere Grenze hier nicht null als Ergebnis liefert. - Was bedeutet „exakter Inhalt“ für die Form deines Endergebnisses?

1. Bestimmung der Tangentengleichung bei \(x = 1\): Mit \(f(1) = e\) und \(f'(1) = e\) ergibt sich \(t(x) = e(x - 1) + e = ex\). 2. Festlegung der Integrationsgrenzen: Die Fläche wird links durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und rechts durch den Berührpunkt (\(x = 1\)) begrenzt. 3. Aufstellen des Integrals: Da \(e^x > ex\) für \(x \neq 1\), berechnet man \(A = \int_{0}^{1} (e^x - ex) \, dx\). 4. Integration: \(\int_{0}^{1} (e^x - ex) \, dx = [e^x - \frac{1}{2}ex^2]_{0}^{1}\). 5. Auswertung: \((e^1 - \frac{1}{2}e \cdot 1^2) - (e^0 - \frac{1}{2}e \cdot 0^2) = (e - \frac{1}{2}e) - 1 = \frac{1}{2}e - 1\).

Der exakte Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{1}{2}e - 1\) (ca. \(0{,}359\) Flächeneinheiten).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Gerade, wenn der y-Achsenabschnitt bekannt ist? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen über einem bestimmten Intervall? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um eine Gleichung für die unbekannte Steigung aufzustellen. - Achte darauf, dass die Gerade im angegebenen Bereich nicht unter die x-Achse fallen darf.

1. Bestimmung des Schnittpunkts auf der \(y\)-Achse: \(f(0) = \frac{18}{(0 + 1)^2} = 18\). Damit hat die Gerade die Form \(g(x) = mx + 18\). 2. Berechnung des Integrals von \(f\) über dem Intervall \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} \frac{18}{(x+1)^2} \, dx = \left[ -\frac{18}{x+1} \right]_{0}^{2} = -6 - (-18) = 12\). 3. Berechnung des Integrals der Geraden \(g\) über \([0; 2]\): \(\int_{0}^{2} (mx + 18) \, dx = \left[ \frac{1}{2}mx^2 + 18x \right]_{0}^{2} = 2m + 36\). 4. Ansatz für den Flächeninhalt: \(| (2m + 36) - 12 | = 10\), also \(| 2m + 24 | = 10\). 5. Lösen der Gleichung: \(2m + 24 = 10 \Rightarrow m = -7\) oder \(2m + 24 = -10 \Rightarrow m = -17\). 6. Überprüfung der Lage im I. Quadranten: Für \(m = -7\) ist \(g(2) = 4 > 0\). Für \(m = -17\) ist \(g(2) = -16 < 0\), womit die Fläche nicht vollständig im I. Quadranten läge. Zudem liegt \(g(x) = -7x + 18\) im relevanten Intervall stets oberhalb von \(f(x)\). Die gesuchte Gleichung ist \(g(x) = -7x + 18\).

\(g(x) = -7x + 18\)

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die Parabel und die Gerade schneiden. - Welche der beiden Funktionen liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man eine Potenzfunktion integriert.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^2 = k^2 \implies x_1 = -k, x_2 = k\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ k^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-k}^{k} = (k^3 - \frac{1}{3}k^3) - (-k^3 + \frac{1}{3}k^3) = \frac{2}{3}k^3 - (-\frac{2}{3}k^3) = \frac{4}{3}k^3\). 4. Lösen der Gleichung für \(k\): \(\frac{4}{3}k^3 = 36 \implies k^3 = 27 \implies k = 3\).

a) \(A(k) = \frac{4}{3}k^3\) b) \(k = 3\)

- Bestimme zuerst die Stelle, an der \(f_a\) die Gerade \(y=1\) schneidet. - Welche der beiden Funktionen liegt zwischen \(x=0\) und dem Schnittpunkt oben? - Für \(e^{-x}\) kannst du die bekannte Stammfunktion einer Exponentialfunktion mit linearem Exponenten verwenden. - Vereinfache am Ende \(e^{-\ln(a)}\).

1. Der Schnittpunkt mit \(y=1\) erfüllt \(ae^{-x}=1\). Daraus folgt \(x=\ln(a)\). 2. Wegen \(a>1\) liegt \(f_a\) auf \([0;\ln(a)]\) oberhalb der Geraden \(y=1\). Daher gilt \(A(a)=\int_0^{\ln(a)}(ae^{-x}-1)\,\mathrm{d}x\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F(x)=-ae^{-x}-x\). 4. Damit ist \(A(a)=[-ae^{-x}-x]_0^{\ln(a)}=-1-\ln(a)+a=a-\ln(a)-1\).

\(A(a) = a - \ln(a) - 1\)

- Wie lautet die allgemeine Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen der Form \(x^n\)? - Was bedeutet die Bedingung \(F(1) = 0\) für die Integrationskonstante? - Erinnere dich daran, dass der Flächeninhalt unter einem Graphen über einem Intervall durch das bestimmte Integral berechnet wird. - Überlege dir, wie du eine Gleichung der Form \(\frac{a}{x^n} = b\) nach \(x\) auflösen kannst.

1. Bestimmung der allgemeinen Stammfunktion durch Integration von \(f(x) = 6x^{-4}\): \(F(x) = \frac{6}{-3}x^{-3} + C = -\frac{2}{x^3} + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(F(1) = 0\): \(-\frac{2}{1^3} + C = 0 \implies -2 + C = 0 \implies C = 2\). Die gesuchte Stammfunktion ist \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt als bestimmtes Integral von \(1\) bis \(k\): \(\int_{1}^{k} \frac{6}{x^4} \, dx = \left[ -\frac{2}{x^3} \right]_{1}^{k} = -\frac{2}{k^3} - \left( -\frac{2}{1^3} \right) = 2 - \frac{2}{k^3}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(2 - \frac{2}{k^3} = 1{,}75\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\frac{2}{k^3} = 0{,}25 = \frac{1}{4} \implies k^3 = 8 \implies k = 2\).

a) \(F(x) = 2 - \frac{2}{x^3}\) b) \(k = 2\)

- Wie hängen Ableitung und Stammfunktion zusammen? - Kannst du die Wurzelausdrücke in Potenzschreibweise mit rationalen Exponenten umschreiben? - Nutze den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um die Fläche zu berechnen. - Wie kehrt man die Operationen „Quadrieren“ und „Ziehen der dritten Wurzel“ um?

1. Nachweis der Stammfunktion durch Ableiten: \(G(x) = 2x^{\frac{2}{3}} \implies G'(x) = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{4}{3\sqrt[3]{x}}\). Da \(G'(x) = g(x)\), ist \(G\) eine Stammfunktion. 2. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral: \(\int_{1}^{a} g(x) \, dx = [G(x)]_{1}^{a} = G(a) - G(1) = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{1^2} = 2\sqrt[3]{a^2} - 2\). 3. Gleichsetzen mit dem Flächeninhalt \(6\): \(2\sqrt[3]{a^2} - 2 = 6\). 4. Auflösen der Gleichung: \(2\sqrt[3]{a^2} = 8 \implies \sqrt[3]{a^2} = 4\). 5. Bestimmung von \(a\): \(a^2 = 4^3 = 64 \implies a = \sqrt{64} = 8\) (da \(a > 1\)).

a) Der Nachweis erfolgt durch \(G'(x) = g(x)\). b) \(a = 8\)

- Wie lassen sich die Grenzen der Fläche bestimmen, die vom Graphen und der Achse eingeschlossen wird? - Welche Integrationsregel hilft dir bei der Stammfunktion einer Wurzelfunktion? - Überlege dir, wie du den Parameter \(k\) in der Stammfunktion behandelst. - Nachdem du das Integral in Abhängigkeit von \(k\) berechnet hast, kannst du eine Gleichung aufstellen.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: \(k\sqrt{x} - x = 0 \Rightarrow \sqrt{x}(k - \sqrt{x}) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = k^2\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(k\sqrt{x} \geq x\) für \(x \in [0; k^2]\), gilt \(A = \int_{0}^{k^2} (k\sqrt{x} - x) \, dx\). 3. Berechnung der Stammfunktion und des Integrals: \(\int_{0}^{k^2} (k x^{\frac{1}{2}} - x) \, dx = \left[ \frac{2}{3}k x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{k^2} = \frac{2}{3}k(k^2)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{2}(k^2)^2 = \frac{2}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 = \frac{1}{6}k^4\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{1}{6}k^4 = 13{,}5 \Rightarrow k^4 = 81\). 5. Lösen nach \(k\): Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = \sqrt[4]{81} = 3\).

\(k = 3\)

- Untersuche zuerst, ob der Graph der Funktion im angegebenen Intervall die \(x\)-Achse schneidet. - Warum ist es wichtig, das Integral an den Nullstellen aufzuteilen? - Denk daran, dass Flächeninhalte immer positiv angegeben werden, auch wenn das Integral negativ ist. - Wie findet man eine Stammfunktion für einen quadratischen Term?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2\): Aus \(\frac{1}{2}x^2 - 2 = 0\) folgt \(x^2 = 4\), also \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Prüfung der Nullstellen im Intervall \([-1; 3]\): Nur die Nullstelle \(x_2 = 2\) liegt innerhalb des Intervalls. 3. Aufteilen des Integrals an der Nullstelle \(x = 2\) in die Teilintervalle \([-1; 2]\) und \([2; 3]\). 4. Berechnung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{6}x^3 - 2x\). 5. Berechnung der orientierten Flächeninhalte: \(\int_{-1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(-1) = \left(\frac{8}{6} - 4\right) - \left(-\frac{1}{6} + 2\right) = -\frac{8}{3} - \frac{11}{6} = -\frac{16}{6} - \frac{11}{6} = -4{,}5\). \(\int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = \left(\frac{27}{6} - 6\right) - \left(-\frac{8}{3}\right) = -1{,}5 + \frac{8}{3} = \frac{7}{6}\). 6. Summe der Beträge der Teilflächen: \(A = |-4{,}5| + |\frac{7}{6}| = \frac{27}{6} + \frac{7}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3} \approx 5{,}67\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{17}{3}\) (ca. \(5{,}67\)) Flächeneinheiten.

- Welche besonderen Punkte der Funktion musst du kennen, um die Fläche korrekt zu berechnen? - Skizziere dir grob den Verlauf der Funktion, um zu sehen, wo sie oberhalb und wo unterhalb der Achse verläuft. - Was passiert mit dem Gesamtergebnis, wenn du einfach von \(0\) bis \(2{,}5\) integrierst, ohne die Nullstellen zu beachten? - Achte bei der Berechnung der Funktionswerte der Stammfunktion besonders auf die Brüche oder Dezimalzahlen.

1. Nullstellenbestimmung: \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\) liefert durch Ausklammern und Anwendung der pq-Formel die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Alle Nullstellen liegen im Intervall \([0; 2{,}5]\). Die Fläche muss in drei Teilbereiche unterteilt werden: \([0; 1]\), \([1; 2]\) und \([2; 2{,}5]\). 3. Stammfunktion bilden: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Teilintegrale berechnen: \(A_1 = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{4} - 0 = 0{,}25\). \(A_2 = \int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) = 0 - 0{,}25 = -0{,}25\). \(A_3 = \int_{2}^{2{,}5} f(x) \, dx = F(2{,}5) - F(2) = \frac{25}{64} - 0 = 0{,}390625\). 5. Gesamtfläche als Summe der Beträge: \(A = |0{,}25| + |-0{,}25| + |0{,}390625| = 0{,}5 + \frac{25}{64} = \frac{57}{64} = 0{,}890625\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{57}{64} = 0{,}890625\) Flächeneinheiten.

- Findest du heraus, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder kreuzt? - Klammere zuerst \(x\) aus, um die Nullstellen leichter zu finden. - Eine Skizze oder das Überprüfen der Funktionswerte zwischen den Nullstellen kann dir helfen zu sehen, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. - Wie lautet die Stammfunktion für eine Potenzfunktion?

1. Berechnung der Nullstellen: \(x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \Leftrightarrow x(x^2 - 4x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x-2)^2 = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\) (doppelte Nullstelle). 2. Festlegen der Integrationsgrenzen: Da die Fläche zwischen den Nullstellen eingeschlossen wird, sind die Grenzen \(0\) und \(2\). 3. Aufstellen des Integrals: \(\int_{0}^{2} (x^3 - 4x^2 + 4x) \, dx\). 4. Bildung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(F(2) - F(0) = (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{4}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 4) - 0 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36}{3} - \frac{32}{3} = \frac{4}{3}\). 6. Die Fläche beträgt \(\frac{4}{3}\) Flächeneinheiten.

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3}\) (oder ca. \(1{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Überprüfe zuerst, ob sich die Graphen innerhalb des vorgegebenen Intervalls schneiden. - Was passiert mit dem Vorzeichen der Differenzfunktion an den Schnittstellen? - Wie gehst du vor, wenn eine Funktion mal oberhalb und mal unterhalb der anderen verläuft? - Denk an die Aufspaltung des Integrals an den Stellen, an denen der Betrag sein Vorzeichen ändert.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f\) und \(g\): \(x^2 - 1 = 1 - x \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 1\). 2. Untersuchung des Vorzeichens der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^2 + x - 2\) im Intervall \([-2; 2]\): Innerhalb von \([-2; 1]\) ist \(d(x) \leq 0\), innerhalb von \([1; 2]\) ist \(d(x) \geq 0\). 3. Aufstellen der Teilintegrale gemäß der Flächenformel mit Betrag: \(A = \int_{-2}^{1} |x^2 + x - 2| \, dx + \int_{1}^{2} |x^2 + x - 2| \, dx\). 4. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (2 - x - x^2) \, dx = [2x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (2 - 0{,}5 - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = \frac{7}{6} - (-\frac{10}{3}) = 4{,}5\). 5. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{2} (x^2 + x - 2) \, dx = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} + 2 - 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{2}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{11}{6}\). 6. Summation der Flächeninhalte: \(A = 4{,}5 + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} = \frac{38}{6} = \frac{19}{3} \approx 6{,}33\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{19}{3} \approx 6{,}33\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, wo der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Beachte, dass die Integrationsgrenzen von der Lage der Nullstellen abhängen. - Denke daran, dass beim Lösen einer Potenzgleichung mit geradem Exponenten mehrere reelle Lösungen existieren können.

1. Nullstellen berechnen: \(kx^2 - x^3 = 0 \Leftrightarrow x^2(k - x) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = k\). 2. Integral berechnen: \(\int_0^k (kx^2 - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^k = \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{4}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 3. Flächeninhalt bestimmen: Da \(k^4 \geq 0\) für alle \(k \in \mathbb{R}\), gilt für den Flächeninhalt \(A = \left| \frac{1}{12}k^4 \right| = \frac{1}{12}k^4\). 4. Parameter ermitteln: \(\frac{1}{12}k^4 = 6{,}75 \Leftrightarrow k^4 = 81\). Die reellen Lösungen sind \(k = 3\) und \(k = -3\).

1. \(x_1 = 0\), \(x_2 = k\) 2. \(k = 3\) oder \(k = -3\)

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Untersuche beide Funktionsteile getrennt. - Überlege dir, an welcher Stelle die Definition der Funktion wechselt. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der Achse, wenn die Funktion abschnittsweise definiert ist? - Skizziere den Verlauf der Funktion grob, um die Integrationsgrenzen zu visualisieren.

1. Bestimmung der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse: Für den ersten Teilbereich \(x \le 1\) ergibt \(4 - x^2 = 0\) die Nullstelle \(x_1 = -2\). Für den zweiten Teilbereich \(x > 1\) ergibt \(4{,}5 - 1{,}5x = 0\) die Nullstelle \(x_2 = 3\). 2. Aufteilen der Fläche in zwei Teilintervalle basierend auf der Definition der Funktion: \([-2; 1]\) und \([1; 3]\). 3. Berechnung des ersten Teilintegrals: \(\int_{-2}^{1} (4 - x^2) \, dx = [4x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (4 - \frac{1}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{11}{3} + \frac{16}{3} = 9\). 4. Berechnung des zweiten Teilintegrals: \(\int_{1}^{3} (4{,}5 - 1{,}5x) \, dx = [4{,}5x - 0{,}75x^2]_{1}^{3} = (13{,}5 - 6{,}75) - (4{,}5 - 0{,}75) = 6{,}75 - 3{,}75 = 3\). 5. Addition der Teilflächen: \(A = 9 + 3 = 12\).

Der Flächeninhalt beträgt \(12\,\text{FE}\).

- Bestimme die beiden äußeren Nullstellen und beachte den Nahtpunkt bei \(x=0\). - Berechne die beiden Flächenstücke getrennt. - Für \(2\cos(0{,}5x)\) kannst du die Integrationsregel für eine Funktion mit linearem inneren Term verwenden. - Schreibe die Wurzel als Potenz, wenn dir das Integrieren dadurch leichter fällt.

1. Der Wurzelteil hat bei \(x=-4\) eine Nullstelle. Der Kosinusteil hat im betrachteten Bereich bei \(x=\pi\) eine Nullstelle. Der Nahtpunkt liegt bei \(x=0\). 2. Auf beiden Teilintervallen ist \(f\geq0\). Daher gilt \(A=\int_{-4}^{0}\sqrt{x+4}\,\mathrm{d}x+\int_0^{\pi}2\cos(0{,}5x)\,\mathrm{d}x\). 3. Für den ersten Teil ergibt sich \([\frac{2}{3}(x+4)^{3/2}]_{-4}^{0}=\frac{16}{3}\). 4. Für den zweiten Teil gilt mit der Stammfunktion \(4\sin(0{,}5x)\): \([4\sin(0{,}5x)]_0^{\pi}=4\). 5. Insgesamt ist \(A=\frac{16}{3}+4=\frac{28}{3}\,\text{FE}\approx9{,}33\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{28}{3}\,\text{FE}\) (bzw. ca. \(9{,}33\,\text{FE}\)).

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Funktionsgraphen treffen? - Was musst du tun, wenn du die Grenzen für die eingeschlossene Fläche suchst? - Gibt es eine neue Funktion, die den Abstand zwischen den beiden Graphen beschreibt? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir dabei, eine Fläche unter oder zwischen Kurven zu berechnen?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(-x^2 + 6x - 5 = x^2 - 4x + 3\). Dies führt auf die quadratische Gleichung \(2x^2 - 10x + 8 = 0\) bzw. \(x^2 - 5x + 4 = 0\). 2. Die Lösungen der Gleichung sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). Dies sind die Integrationsgrenzen. 3. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = -2x^2 + 10x - 8\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{1}^{4} (-2x^2 + 10x - 8) \, dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 5x^2 - 8x]_1^4\). 5. Einsetzen der Grenzen: \(F(4) = -\frac{128}{3} + 80 - 32 = \frac{16}{3}\) und \(F(1) = -\frac{2}{3} + 5 - 8 = -\frac{11}{3}\). 6. Berechnung der Fläche: \(A = \frac{16}{3} - (-\frac{11}{3}) = \frac{27}{3} = 9\).

Der Flächeninhalt beträgt \(9\) Flächeneinheiten.

- Gibt es mehr als zwei Schnittpunkte zwischen den Graphen? - Wenn es mehrere Schnittpunkte gibt, musst du die Fläche eventuell in mehrere Teile zerlegen. - Warum ist es wichtig, die Beträge der einzelnen Integrale zu addieren, anstatt einfach über das gesamte Intervall zu integrieren? - Skizziere dir grob den Verlauf oder teste Werte in den Intervallen, um zu sehen, welcher Graph oben liegt.

1. Berechnung der Schnittstellen: \(x^3 - 4x^2 + 3x = x - x^2 \iff x^3 - 3x^2 + 2x = 0\). Ausklammern von \(x\) ergibt \(x(x^2 - 3x + 2) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Da drei Schnittstellen vorliegen, existieren zwei Teilflächen in den Intervallen \([0; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\). Stammfunktion: \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\). 4. Integral für das erste Intervall: \(\int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_0^1 = (\frac{1}{4} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{4}\). 5. Integral für das zweite Intervall: \(\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = [D(x)]_1^2 = (4 - 8 + 4) - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\). 6. Addition der Beträge der Teilflächen: \(A = |\frac{1}{4}| + |-\frac{1}{4}| = 0{,}5\).

Der Gesamtinhalt der Flächenstücke beträgt \(0{,}5\) Flächeneinheiten.

- Wie findest du die Stellen, an denen sich zwei Graphen schneiden, wenn ein Parameter enthalten ist? - Welche der beiden Funktionen liegt im eingeschlossenen Intervall oberhalb der anderen? - Nutze die Symmetrie der Funktionen zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Stelle am Ende eine Gleichung auf, in der nur noch der Parameter \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Berechnung der Schnittstellen der beiden Funktionsgraphen in Abhängigkeit von \(k\): \(x^2 - k = k - x^2 \Leftrightarrow 2x^2 = 2k \Leftrightarrow x^2 = k\). Da \(k > 0\), ergeben sich die Integrationsgrenzen \(x_1 = -\sqrt{k}\) und \(x_2 = \sqrt{k}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (2k - 2x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals: \([2kx - \frac{2}{3}x^3]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} = (2k\sqrt{k} - \frac{2}{3}k\sqrt{k}) - (-2k\sqrt{k} + \frac{2}{3}k\sqrt{k}) = \frac{4}{3}k\sqrt{k} - (-\frac{4}{3}k\sqrt{k}) = \frac{8}{3}k\sqrt{k}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt und Lösen nach \(k\): \(\frac{8}{3}k\sqrt{k} = 72 \Leftrightarrow k\sqrt{k} = 27 \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 27\). Durch Quadrieren oder Ziehen der dritten Wurzel folgt \(k = 9\).

\(k = 9\)

- An welchen Stellen schneidet oder berührt der Graph die \(x\)-Achse? - Wie viele getrennte Flächenstücke entstehen zwischen dem Graphen und der Achse? - Denk daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, auch wenn das Integral negativ ist. - Wie berechnet man die Stammfunktion eines Polynoms?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3\): Durch Ausklammern erhält man \(x^2(x-3) - (x-3) = 0\), also \((x^2-1)(x-3) = 0\). Die Nullstellen liegen bei \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (x^3 - 3x^2 - x + 3) \, dx = \frac{1}{4}x^4 - x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x\). 3. Berechnung der Teilflächeninhalte in den Intervallen \([-1; 1]\) und \([1; 3]\): \(A_1 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| = |F(1) - F(-1)| = |1{,}75 - (-2{,}25)| = 4\). \(A_2 = \left| \int_{1}^{3} f(x) \, dx \right| = |F(3) - F(1)| = |-2{,}25 - 1{,}75| = 4\). 4. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der Flächeninhalt beträgt \(8\,\text{FE}\).

- Gibt es eine Symmetrie im Graphen, die dir die Arbeit erleichtern könnte? - Welche Nullstellen begrenzen die Fläche, die tatsächlich eingeschlossen wird? - Achte darauf, dass eine doppelte Nullstelle bedeutet, dass der Graph die Achse dort nur berührt. - Wie gehst du vor, wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft?

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^2\): \(\frac{1}{2}x^2(x^2 - 4) = 0\) führt zu \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) (doppelt) und \(x_3 = 2\). 2. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F(x) = \int (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2) \, dx = \frac{1}{10}x^5 - \frac{2}{3}x^3\). 3. Ausnutzung der Symmetrie (Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse, da nur gerade Exponenten vorliegen): \(A = 2 \cdot \left| \int_{0}^{2} f(x) \, dx \right|\). 4. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(0) = (\frac{32}{10} - \frac{16}{3}) - 0 = \frac{16}{5} - \frac{16}{3} = \frac{48 - 80}{15} = -\frac{32}{15}\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = 2 \cdot |-\frac{32}{15}| = \frac{64}{15} \approx 4{,}27\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{64}{15} \approx 4{,}27\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Steigung der Tangente mithilfe der ersten Ableitung an der gegebenen Stelle. - Denke daran, dass der Berührpunkt der Tangente immer eine doppelte Nullstelle der Differenzfunktion von Graph und Tangente ist. Das hilft dir beim Finden des weiteren Schnittpunkts. - Überprüfe durch eine Testeinsetzung, welcher Graph im Intervall oberhalb des anderen liegt, um das Vorzeichen der Fläche korrekt zu behandeln. - Integriere die Differenzfunktion über dem Intervall zwischen den berechneten Schnittstellen.

1. Ableitung berechnen: \(f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 2\). 2. Steigung der Tangente bei \(x = -2\): \(m = f'(-2) = 4\). 3. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = 4(x - (-2)) + 0 = 4x + 8\). 4. Schnittpunkte von \(f\) und \(t\) bestimmen: \(\frac{1}{2}x^3 - 2x = 4x + 8 \Leftrightarrow x^3 - 12x - 16 = 0\). Da \(x = -2\) eine doppelte Nullstelle ist (Berührpunkt), ergibt die Polynomdivision den weiteren Schnittpunkt \(x = 4\). 5. Differenzfunktion bilden: Im Intervall \([-2; 4]\) liegt die Tangente oberhalb des Graphen, also \(d(x) = t(x) - f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 6x + 8\). 6. Integral berechnen: \(A = \int_{-2}^{4} \left(-\frac{1}{2}x^3 + 6x + 8\right) \, dx = \left[-\frac{1}{8}x^4 + 3x^2 + 8x\right]_{-2}^{4}\). 7. Werte einsetzen: Stammfunktion an der oberen Grenze \(F(4) = 48\) und an der unteren Grenze \(F(-2) = -6\). 8. Ergebnis berechnen: \(A = 48 - (-6) = 54\).

Der Flächeninhalt beträgt \(54\,\text{FE}\).

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\)? - Wenn die Steigung der Tangente Null ist, handelt es sich um eine waagerechte Gerade. - Nutze die Eigenschaft des Berührpunkts aus, um die Gleichung für die Schnittpunkte schneller zu lösen. - Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich aus dem Integral der Differenzfunktion zwischen den beiden Schnittstellen.

1. Erste Ableitung bilden: \(f'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 3x\). 2. Tangentensteigung an der Stelle \(x = 4\) berechnen: \(m = f'(4) = 0\). 3. Tangentengleichung aufstellen: Da \(m = 0\) und der Punkt \(P(4\mid 8)\) gegeben ist, lautet die Gleichung \(t(x) = 8\). 4. Schnittpunkte berechnen: \(-\frac{1}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 = 8 \Leftrightarrow x^3 - 6x^2 + 32 = 0\). Mit der bekannten doppelten Nullstelle \(x = 4\) (Berührpunkt) ergibt sich durch Polynomdivision der weitere Schnittpunkt bei \(x = -2\). 5. Differenzfunktion aufstellen: \(d(x) = 8 - f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 8\). 6. Flächeninhalt durch Integration bestimmen: \(A = \int_{-2}^{4} \left(\frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 8\right) \, dx = \left[\frac{1}{16}x^4 - \frac{1}{2}x^3 + 8x\right]_{-2}^{4}\). 7. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung anwenden: \(F(4) = 16\) und \(F(-2) = -11\). 8. Ergebnis: \(A = 16 - (-11) = 27\).

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(27\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Gleichung der Tangente im gegebenen Punkt. - Skizziere die Situation grob, um zu sehen, welche Funktionen die Fläche oben und unten begrenzen. - Suche die Nullstellen der Funktion und der Tangente, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Überlege, ob du die Fläche in Teilflächen zerlegen musst oder ob du eine einfache Subtraktion von Flächeninhalten (z. B. einer Dreiecksfläche) nutzen kannst.

1. Bestimmung der Tangentengleichung an der Stelle \(x = 4\): Es gilt \(f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 4 = 4\). Die Ableitung ist \(f'(x) = 2x - 4\), woraus die Steigung \(f'(4) = 4\) folgt. Die Tangente \(t\) hat somit die Gleichung \(y - 4 = 4(x - 4)\), also \(t(x) = 4x - 12\). 2. Ermittlung der Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse: Der Graph von \(f\) berührt die \(x\)-Achse bei \(x = 2\) (da \(f(x) = (x-2)^2\)). Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(t(x) = 0 \Rightarrow 4x = 12 \Rightarrow x = 3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die gesuchte Fläche liegt zwischen \(x = 2\) und \(x = 4\). Sie wird nach oben durch den Graphen von \(f\) begrenzt. Von \(x = 2\) bis \(x = 3\) bildet die \(x\)-Achse die untere Grenze, von \(x = 3\) bis \(x = 4\) ist es die Tangente. Der Inhalt berechnet sich als Integral von \(f\) über \([2; 4]\) abzüglich der Dreiecksfläche unter der Tangente über \([3; 4]\): \(A = \int_{2}^{4} (x^2 - 4x + 4) \, dx - \frac{1}{2} \cdot (4 - 3) \cdot 4 = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \right]_{2}^{4} - 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \( \frac{2}{3} \) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welcher Stelle der Graph einen Tiefpunkt hat und wie die Gleichung einer Tangente an einem Extrempunkt aussieht. - Bestimme den weiteren Schnittpunkt zwischen dem Graphen und dieser Tangente, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Die Fläche wird durch das Integral der Differenzfunktion zwischen den Schnittstellen berechnet. - Stelle eine Gleichung auf, die den berechneten Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(a\) mit dem Zielwert gleichsetzt.

1. Ableitungen bilden: \(f_a'(x) = a(3x^2 - 6x)\) und \(f_a''(x) = a(6x - 6)\). 2. Lokale Extrema bestimmen: \(f_a'(x) = 0 \Rightarrow 3ax(x - 2) = 0\). Die Nullstellen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 2\). 3. Tiefpunkt identifizieren: Da \(f_a''(2) = 6a > 0\) (für \(a > 0\)), liegt bei \(x = 2\) ein lokaler Tiefpunkt vor. 4. Tangentengleichung: Der Funktionswert am Tiefpunkt ist \(f_a(2) = a(2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4) = 0\). Die Tangente ist somit die horizontale Gerade \(y = 0\). 5. Schnittpunkte mit der Tangente: \(a(x^3 - 3x^2 + 4) = 0\). Da \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle ist (Berührpunkt), ergibt die Polynomdivision oder Faktorisierung \((x - 2)^2(x + 1) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = 2\) und \(x = -1\). 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-1}^{2} (a(x^3 - 3x^2 + 4) - 0) \, dx = a \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 4x \right]_{-1}^{2}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(a \cdot (4 - (-2{,}75)) = 6{,}75a\). 7. Parameter \(a\) bestimmen: \(6{,}75a = 10{,}8 \Rightarrow a = 1{,}6\).

\(a = 1{,}6\)

- Der Koordinatenursprung ist der Punkt \((0\mid 0)\). - Wie lautet die Gleichung einer Geraden mit Steigung \(0\), die durch den Ursprung verläuft? - Finde die weitere Schnittstelle durch Ausklammern in der Differenzgleichung. - Integriere die Differenz von Tangente und Funktion zwischen den beiden Schnittstellen.

1. Tangente im Ursprung \((0\mid 0)\): \(f(0) = 0\) und \(f'(0) = 0\). Daraus ergibt sich die Tangentengleichung \(t(x) = 0\) (die \(x\)-Achse). 2. Schnittstellen von \(f\) und \(t\): \(x^4 - 4x^3 = 0 \iff x^3(x - 4) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\). 3. Differenzfunktion für den Flächeninhalt: Da der Graph von \(f\) im Intervall \((0; 4)\) unterhalb der \(x\)-Achse liegt, berechnet man \(d(x) = t(x) - f(x) = -x^4 + 4x^3\). 4. Stammfunktion \(D(x) = -\frac{1}{5}x^5 + x^4\). 5. Auswertung des Integrals: \(D(4) = -204{,}8 + 256 = 51{,}2\) und \(D(0) = 0\). 6. Flächeninhalt \(A = 51{,}2 - 0 = 51{,}2\).

Der Flächeninhalt beträgt \(51{,}2\,\text{FE}\).

- Überlege dir zuerst, wo sich die Parabel und die horizontale Gerade schneiden. - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Rechnung zu vereinfachen. - Stelle einen Term für den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(c\) auf. - Welche Funktion liegt im betrachteten Intervall oberhalb der anderen?

1. Berechnung der Schnittstellen von \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\) und \(y = c\) in Abhängigkeit von \(c\): \(\frac{1}{4}x^2 = c \implies x^2 = 4c \implies x_{1,2} = \pm 2\sqrt{c}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt unter Ausnutzung der Symmetrie: \(A = 2\int_{0}^{2\sqrt{c}} (c - \frac{1}{4}x^2) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion und Auswertung an den Grenzen: \(2[cx - \frac{1}{12}x^3]_{0}^{2\sqrt{c}} = 2(2c\sqrt{c} - \frac{8c\sqrt{c}}{12}) = 2(2c\sqrt{c} - \frac{2}{3}c\sqrt{c}) = \frac{8}{3}c\sqrt{c} = \frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 4. Gleichsetzen mit dem gegebenen Flächeninhalt: \(\frac{8}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{64}{3} \implies c^{\frac{3}{2}} = 8\). 5. Auflösen nach \(c\): \(c = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4\).

\(c = 4\)

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche unter der Kurve im gegebenen Intervall ist. - Wie viel Prozent der Gesamtfläche entfallen auf das linke Teilstück, wenn das Verhältnis \(1 : 3\) ist? - Stelle ein Integral mit einer unbekannten oberen Grenze auf, das diesen Teilflächeninhalt repräsentiert. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts \(A\) im Intervall \([0; \ln(9)]\): \(A = \int_{0}^{\ln(9)} e^x \, dx = [e^x]_{0}^{\ln(9)} = e^{\ln(9)} - e^0 = 9 - 1 = 8\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) basierend auf dem Teilungsverhältnis \(1 : 3\): \(A_1 = \frac{1}{1+3} \cdot A = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\). 3. Ansatz für die gesuchte Stelle \(k\): \(\int_{0}^{k} e^x \, dx = 2\). 4. Integration und Auflösen nach \(k\): \([e^x]_{0}^{k} = e^k - 1 = 2 \implies e^k = 3 \implies k = \ln(3)\). 5. Die Gleichung der gesuchten Geraden lautet \(x = \ln(3)\).

\(x = \ln(3)\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt der gesamten Fläche durch Integration über das gesamte Intervall. - Ein Verhältnis von \(2 : 1\) bedeutet, dass der linke Teil zwei Drittel der Gesamtfläche ausmacht. - Verwende die Potenzregel für die Integration, um die Fläche in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Löse die resultierende Gleichung nach der gesuchten Grenze \(k\) auf.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A\) im Intervall \([1; 4]\): \(A = \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = \frac{3}{4}\). 2. Bestimmung des Inhalts der linken Teilfläche \(A_1\) durch das Verhältnis \(2 : 1\): \(A_1 = \frac{2}{3} \cdot A = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die Grenze \(k\): \(\int_{1}^{k} x^{-2} \, dx = \frac{1}{2}\). 4. Berechnung des Integrals: \([-\frac{1}{x}]_{1}^{k} = -\frac{1}{k} - (-1) = 1 - \frac{1}{k}\). 5. Gleichsetzen und Lösen nach \(k\): \(1 - \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{k} = \frac{1}{2} \implies k = 2\).

\(k = 2\)

- Wie lautet die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden, die durch den Ursprung verläuft? - Wie findest du die Stellen, an denen sich die beiden Graphen schneiden? Beachte, dass diese Stellen von einem Parameter abhängen können. - Überlege dir, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen berechnet, wenn die Integrationsgrenzen bekannt sind. - Denk daran, dass bei der Berechnung eines Flächeninhalts der Betrag des Integrals entscheidend ist, falls die Lage der Graphen zueinander nicht vorab feststeht. - Es könnte mehr als einen Wert für die Steigung geben, der die Bedingung erfüllt.

1. Schnittstellen der Funktionen \(f(x) = x^2 - 4x\) und \(g(x) = mx\) durch Gleichsetzen bestimmen: \(x^2 - 4x = mx \Rightarrow x^2 - (m+4)x = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = m+4\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) zwischen den Graphen aufstellen: \(A = \left| \int_{0}^{m+4} (g(x) - f(x)) \, dx \right| = \left| \int_{0}^{m+4} ((m+4)x - x^2) \, dx \right|\). 3. Stammfunktion bilden und Grenzen einsetzen: \(\left[ \frac{m+4}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{m+4} = \frac{(m+4)^3}{2} - \frac{(m+4)^3}{3} = \frac{(m+4)^3}{6}\). 4. Den Flächeninhalt gleich \(36\) setzen: \(\left| \frac{(m+4)^3}{6} \right| = 36 \Rightarrow |m+4|^3 = 216\). 5. Die Gleichung nach \(m\) auflösen: \(|m+4| = 6\). Dies führt zu \(m+4 = 6 \Rightarrow m = 2\) oder \(m+4 = -6 \Rightarrow m = -10\).

Die möglichen Werte für die Steigung sind \(m = 2\) und \(m = -10\).

- Welche Form hat die Gleichung einer Parabel, deren Scheitelpunkt auf der \(y\)-Achse liegt? - Wenn eine achsensymmetrische Parabel die \(x\)-Achse bei \(3\) schneidet, wo liegt dann die andere Nullstelle? - Wie berechnet man die Fläche zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen? - Nutze die Information über den Flächeninhalt, um die fehlende Unbekannte in deiner Gleichung zu berechnen.

1. Ansatz für die Funktionsgleichung aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (Hochpunkt bei \(x=0\)): \(f(x) = ax^2 + c\). 2. Verwendung der Nullstelle bei \(x = 3\): \(f(3) = 0 \implies 9a + c = 0 \implies c = -9a\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = ax^2 - 9a\). 3. Da der Hochpunkt auf der \(y\)-Achse liegt und die Nullstelle bei \(3\) ist, liegt die zweite Nullstelle aufgrund der Symmetrie bei \(-3\). 4. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Nullstellen: \(\int_{-3}^{3} (ax^2 - 9a) \, dx = 24\). 5. Berechnung des Integrals: \([ \frac{a}{3}x^3 - 9ax ]_{-3}^{3} = (9a - 27a) - (-9a + 27a) = -18a - 18a = -36a\). 6. Bestimmung von \(a\): \(-36a = 24 \implies a = -\frac{24}{36} = -\frac{2}{3}\). 7. Berechnung von \(c\): \(c = -9 \cdot (-\frac{2}{3}) = 6\). 8. Die Funktionsgleichung ist \(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\).

\(f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + 6\)

- Welche allgemeine Form hat eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist? - Wie kannst du die Information über die Nullstelle nutzen, um die Anzahl der Unbekannten im Funktionsterm zu reduzieren? - Überlege dir, in welchem Bereich der Graph im ersten Quadranten verlaufen muss, um eine Fläche mit der \(x\)-Achse zu bilden. - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen einem Graphen und der \(x\)-Achse mithilfe von Integralen?

1. Ansatz für eine punktsymmetrische Funktion 3. Grades: \(f(x) = ax^3 + bx\). 2. Bedingung Nullstelle: \(f(3) = 0 \implies 27a + 3b = 0\), daraus folgt \(b = -9a\). 3. Funktionsterm mit einem Parameter: \(f(x) = ax^3 - 9ax\). 4. Berechnung des Integrals für die Fläche im ersten Quadranten (Intervall \([0; 3]\)): \(\int_{0}^{3} (ax^3 - 9ax) \, dx = \left[ \frac{a}{4}x^4 - \frac{9a}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = \frac{81}{4}a - \frac{81}{2}a = -20{,}25a\). 5. Da die Fläche im ersten Quadranten liegen soll (\(f(x) \geq 0\) für \(x \in [0; 3]\)), muss der Integralwert positiv sein: \(-20{,}25a = 4{,}5 \implies a = -\frac{2}{9}\). 6. Bestimmung von \(b\): \(b = -9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) = 2\). 7. Ergebnis: \(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\).

\(f(x) = -\frac{2}{9}x^3 + 2x\)

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für eine Tangentengleichung an einer Stelle \(x_0\). - Welche Grenzen musst du für das Integral wählen, wenn die \(y\)-Achse eine der Begrenzungen ist? - Überlege, welche Funktion im betrachteten Intervall oberhalb der anderen liegt, um den Flächeninhalt korrekt zu berechnen.

1. Berechnung der Nullstelle von \(f_a(x) = x(x - a)\): Da \(a > 0\), liegt die positive Nullstelle bei \(x_0 = a\). Damit ist \(P(a \mid 0)\). 2. Bestimmung der Tangentengleichung in \(P\): Die Ableitung ist \(f_a'(x) = 2x - a\). Die Steigung in \(P\) beträgt \(m = f_a'(a) = 2a - a = a\). Die Tangente lautet \(t_a(x) = a(x - a) = ax - a^2\). 3. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\) zwischen \(x = 0\) und \(x = a\): Da \((f_a(x) - t_a(x)) = x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \ge 0\), liegt der Graph über der Tangente. 4. Berechnung des Integrals: \(A = \int_0^a (x - a)^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}(x - a)^3 \right]_0^a = 0 - \left( -\frac{1}{3}a^3 \right) = \frac{1}{3}a^3\). 5. Bestimmung von \(a\): Aus \(\frac{1}{3}a^3 = 9\) folgt \(a^3 = 27\) und somit \(a = 3\).

a) \(P(a \mid 0)\) b) \(a = 3\)

- Wie findet man heraus, wo sich zwei Graphen treffen? - Gibt es zwischen den Graphen nur eine zusammenhängende Fläche oder mehrere Teilflächen? - Was passiert mit dem Vorzeichen des Integrals, wenn ein Graph den anderen überholt? - Wie berechnet man den Flächeninhalt, wenn das Integral ein negatives Ergebnis liefert?

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 6x^2 + 9x = x \implies x^3 - 6x^2 + 8x = 0\). 2. Faktorisieren der Gleichung: \(x(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x(x-2)(x-4) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 4\). 3. Bestimmung der Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 6x^2 + 8x\) und deren Stammfunktion \(D(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + 4x^2\). 4. Berechnung der Teilflächen in den Intervallen \([0; 2]\) und \([2; 4]\): \(A_1 = \int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_0^2 = (4 - 16 + 16) - 0 = 4\). \(A_2 = \int_2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = [D(x)]_2^4 = (64 - 128 + 64) - 4 = -4\). 5. Die Gesamtfläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilflächen: \(A = |4| + |-4| = 8\).

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(8\) Flächeneinheiten.

- Wie findet man die Stellen, an denen sich zwei Graphen treffen? - Überlege dir, wie viele Teilflächen entstehen können, wenn es mehr als zwei Schnittstellen gibt. - Muss man beim Integrieren auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten, wenn man eine Fläche berechnet? - Hilft es, die Differenzfunktion der beiden Funktionen zu bilden?

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = x^2 - x - 6 \Leftrightarrow x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision ergeben sich die Schnittstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 2\) und \(x_3 = 3\). 2. Aufstellen der Teilintegrale für die Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12\). 3. Berechnung des ersten Teilgebiets im Intervall \([-2; 2]\): \(\int_{-2}^{2} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{-2}^{2} = 12 - (-20) = 32\). 4. Berechnung des zweiten Teilgebiets im Intervall \([2; 3]\): \(\int_{2}^{3} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) \,\text{d}x = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{2}^{3} = 11{,}25 - 12 = -0{,}75\). 5. Der Gesamteinhalt der Fläche ergibt sich aus der Summe der Beträge der Teilintegrale: \(A = |32| + |-0{,}75| = 32{,}75\).

Der Flächeninhalt beträgt \(32{,}75\) Flächeneinheiten.

- Welche Schritte sind nötig, um eine Fläche zwischen einem Graphen und der Achse zu berechnen? - Warum ist es wichtig, zuerst die Stellen zu finden, an denen der Graph die Achse schneidet? - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positiv sind, auch wenn das Integral negativ ist. - Musst du das Integral an bestimmten Stellen aufteilen?

1. Bestimmung der Nullstellen: Durch Ausklammern von \(x\) erhält man \(x(x^2 - 4x + 3) = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung führen zu den Nullstellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 3\). 2. Aufstellen der Teilintegrale: Die Fläche verteilt sich auf die Intervalle \([0; 1]\) und \([1; 3]\). 3. Integration: Eine Stammfunktion ist \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2\). 4. Berechnung der orientierten Flächeninhalte: \(\int_{0}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{5}{12} - 0 = \frac{5}{12}\). \(\int_{1}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(1) = -\frac{9}{4} - \frac{5}{12} = -\frac{27}{12} - \frac{5}{12} = -\frac{32}{12} = -\frac{8}{3}\). 5. Gesamte Fläche: \(A = \left| \frac{5}{12} \right| + \left| -\frac{8}{3} \right| = \frac{5}{12} + \frac{32}{12} = \frac{37}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{37}{12} \approx 3{,}083\,\text{FE}\).

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt unter der Kurve im gegebenen Intervall. - Welchen Flächeninhalt muss eine der Teilflächen haben, wenn sie „inhaltsgleich“ sind? - Die untere Teilfläche hat eine einfache geometrische Form (ein Dreieck). - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks im Koordinatensystem? - Achte darauf, ob die Gerade die Kurve innerhalb des Intervalls schneidet oder nicht.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts \(A_{\text{ges}}\) unter der Kurve \(f(x) = \sqrt{x}\) von \(0\) bis \(9\): \(\int_0^9 x^{\frac{1}{2}} \, dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^9 = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\). 2. Da die Fläche halbiert werden soll, muss jede Teilfläche den Inhalt \(9\) haben. 3. Die Gerade \(y = mx\) bildet mit der \(x\)-Achse und der vertikalen Geraden \(x = 9\) ein rechtwinkliges Dreieck, sofern sie die Kurve im Intervall \([0; 9]\) nicht überschreitet. 4. Die Eckpunkte dieses Dreiecks sind \((0\mid 0)\), \((9\mid 0)\) und \((9\mid 9m)\). 5. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9m = 40{,}5m\). 6. Setze den Dreiecksinhalt gleich der Hälfte der Gesamtfläche: \(40{,}5m = 9 \implies m = \frac{9}{40{,}5} = \frac{18}{81} = \frac{2}{9}\). 7. Überprüfung der Lage: Aus \(\sqrt{x} = \frac{2}{9}x\) folgen die Schnittstellen \(x = 0\) und \(x = \frac{81}{4} = 20{,}25\). Da die zweite Schnittstelle rechts von \(9\) liegt, verläuft die Gerade im Intervall \((0; 9]\) vollständig unterhalb des Graphen von \(f\).

\(m = \frac{2}{9}\)

- Wie findest du heraus, wo sich zwei Graphen schneiden? - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnet. - Was sagt das Vorzeichen des bestimmten Integrals über die Lage der Graphen zueinander aus? - Teile das gesamte Intervall an den Schnittstellen in Teilintervalle auf.

1. Bestimmung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^3 - 9x^2 + 23x - 15 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = 5\). 2. Aufstellen der Differenzfunktion \(h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 9x^2 + 23x - 15\). 3. Berechnung des ersten Integrals im Intervall \([1; 3]\): \(\int_{1}^{3} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{1}^{3} = -2{,}25 - (-6{,}25) = 4\). 4. Berechnung des zweiten Integrals im Intervall \([3; 5]\): \(\int_{3}^{5} (x^3 - 9x^2 + 23x - 15) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + \frac{23}{2}x^2 - 15x]_{3}^{5} = -6{,}25 - (-2{,}25) = -4\). 5. Vergleich der Beträge: \(|4| = |-4|\). Beide Flächen haben einen Inhalt von \(4\,\text{FE}\).

Der Flächeninhalt beider Flächen beträgt jeweils \(4\,\text{FE}\).

- Wie findest du die Hochpunkte einer Funktion? - Welche Steigung hat eine Tangente in einem Hochpunkt? - Wenn zwei Punkte auf derselben Höhe liegen, wie sieht die Gerade durch diese Punkte aus? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen? - Achte auf die Symmetrie der Funktion, das könnte die Rechnung vereinfachen.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = -4x^3 + 4x\) und \(f''(x) = -12x^2 + 4\). 2. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies -4x(x^2 - 1) = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = -1\). 3. Hochpunkte identifizieren: Wegen \(f''(\pm 1) = -8 < 0\) liegen an \(x = 1\) und \(x = -1\) lokale Maxima vor. Die Funktionswerte sind \(f(1) = f(-1) = 4\). 4. Tangentengleichung: Da beide Hochpunkte auf der gleichen Höhe liegen, ist die Tangente eine horizontale Gerade mit der Gleichung \(y = 4\). 5. Schnittstellen von \(f\) und Tangente: \(-x^4 + 2x^2 + 3 = 4 \implies x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \implies (x^2 - 1)^2 = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = -1\) und \(x = 1\). 6. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-1}^{1} (4 - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx\). 7. Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x \right]_{-1}^{1} = (\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1) - (-\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - 1) = \frac{8}{15} - (-\frac{8}{15}) = \frac{16}{15}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{16}{15} \approx 1{,}07\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Position und den \(y\)-Wert des Hochpunkts. - Überlege dir, welche einfache Form die Gleichung einer Tangente in einem Extrempunkt hat. - Um die Grenzen für das Integral zu finden, musst du berechnen, wo die Tangente den Graphen erneut schneidet. - Überlege dir vor dem Integrieren, welche Funktion von welcher abgezogen werden muss, damit die Fläche positiv ist.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) und \(f''(x) = 6x - 6\). 2. Hochpunkt bestimmen: \(f'(x) = 0 \implies 3x(x - 2) = 0\). Kritische Stellen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Da \(f''(0) = -6 < 0\), liegt der Hochpunkt bei \(x = 0\). 3. Tangentengleichung: Der Funktionswert am Hochpunkt ist \(f(0) = 4\). Die Steigung ist \(f'(0) = 0\). Die Tangente ist \(y = 4\). 4. Schnittstellen finden: \(x^3 - 3x^2 + 4 = 4 \implies x^3 - 3x^2 = 0 \implies x^2(x - 3) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x = 0\) (Berührpunkt) und \(x = 3\). 5. Flächeninhalt berechnen: Da die Tangente im relevanten Intervall oberhalb des Graphen liegt, gilt \(A = \int_{0}^{3} (4 - (x^3 - 3x^2 + 4)) \, dx = \int_{0}^{3} (-x^3 + 3x^2) \, dx\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \(\left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 \right]_{0}^{3} = (-\frac{81}{4} + 27) - 0 = -20{,}25 + 27 = 6{,}75\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6{,}75\,\text{FE}\).

- Erinnere dich an die Stammfunktion von Wurzelfunktionen. - Die vertikale Teilung erfordert das Lösen einer Gleichung nach der oberen Grenze \(k\). - Bei der waagerechten Teilung solltest du zuerst prüfen, ob die Trennlinie unterhalb des niedrigsten Punktes des Graphen liegt. - Wenn die Gerade unterhalb des Graphen liegt, ist die Fläche unter ihr einfach ein Rechteck.

1. Gesamtfläche: \(A = \int_{0}^{3} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{3} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}\). 2. Bestimmung von \(k\): Es muss gelten \(\int_{0}^{k} (x+1)^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{7}{3}\). Dies führt zu \(\frac{2}{3}((k+1)^{\frac{3}{2}} - 1) = \frac{7}{3}\), also \((k+1)^{\frac{3}{2}} = 4{,}5\). Auflösen ergibt \(k = 4{,}5^{\frac{2}{3}} - 1 \approx 1{,}726\). 3. Bestimmung von \(c\): Da der minimale Funktionswert \(f(0) = 1\) ist, prüfen wir, ob die halbe Fläche (\(\frac{7}{3} \approx 2{,}33\)) bereits durch ein Rechteck unterhalb von \(y=1\) erreicht werden kann. Die Fläche des Rechtecks über \([0; 3]\) mit Höhe \(c\) ist \(3c\). 4. Lösen von \(3c = \frac{7}{3}\) ergibt \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\). Da dieser Wert kleiner als das Minimum der Funktion (\(1\)) ist, verläuft die Gerade vollständig unterhalb des Graphen und die Annahme des Rechtecks ist korrekt.

a) \(A = \frac{14}{3}\) b) \(k = \sqrt[3]{20{,}25} - 1 \approx 1{,}726\) c) \(c = \frac{7}{9} \approx 0{,}778\)

- Wie findest du die Stellen, an denen die Funktion ihre niedrigsten Werte in einem Bereich annimmt? - Wenn du zwei Punkte mit derselben \(y\)-Koordinate verbindest, welche einfache Form hat dann die Geradengleichung? - Überlege dir, welche Funktion „oben“ und welche „unten“ liegt, um den Ansatz für das Integral zu finden. - Nutzt du die Symmetrie des Graphen zur \(y\)-Achse, kannst du die Rechnung vereinfachen.

1. Bestimmung der Tiefpunkte: Die notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\) führt auf \(\frac{3}{4}x^3 - 3x = 0\). Ausklammern ergibt \(\frac{3}{4}x(x^2 - 4) = 0\), woraus die Extremstellen \(x_1 = 0\) und \(x_{2,3} = \pm 2\) folgen. Da \(f''(x) = \frac{9}{4}x^2 - 3\) an den Stellen \(\pm 2\) den Wert \(6 > 0\) annimmt, liegen dort lokale Minima vor. 2. Berechnung der Funktionswerte der Tiefpunkte: \(f(2) = \frac{3}{16} \cdot 2^4 - \frac{3}{2} \cdot 2^2 + 3 = 3 - 6 + 3 = 0\). Aufgrund der Achsensymmetrie ist auch \(f(-2) = 0\). Die Verbindungsgerade ist somit die \(x\)-Achse mit der Gleichung \(y = 0\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da der Graph zwischen den Tiefpunkten oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (z. B. \(f(0) = 3\)), ergibt sich der Flächeninhalt durch das Integral \(A = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx\). 4. Integration: \(\int_{-2}^{2} (\frac{3}{16}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 3) \, dx = [\frac{3}{80}x^5 - \frac{1}{2}x^3 + 3x]_{-2}^{2}\). Einsetzen der Grenzen liefert \((\frac{3 \cdot 32}{80} - \frac{8}{2} + 6) - (-\frac{3 \cdot 32}{80} + \frac{8}{2} - 6) = (1{,}2 - 4 + 6) - (-1{,}2 + 4 - 6) = 3{,}2 - (-3{,}2) = 6{,}4\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6{,}4\,\text{FE}\) (Flächeneinheiten).

- Überlege dir, wie man die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt berechnet. - Wie sieht die allgemeine Geradengleichung für eine Tangente aus? - Um die Grenzen für dein Integral zu finden, musst du die Stellen bestimmen, an denen sich die beiden Funktionen treffen. - Da es sich um eine Tangente handelt, kennst du bereits eine der Schnittstellen (den Berührpunkt). - Was musst du beim Integrieren beachten, wenn du die Fläche zwischen zwei Graphen suchst?

1. Berechnung der Tangentengleichung: \(f(3) = -3^3 + 3 \cdot 3^2 = 0\) \(f'(x) = -3x^2 + 6x \implies f'(3) = -3 \cdot 9 + 6 \cdot 3 = -9\) Tangente \(t(x) = f'(3) \cdot (x - 3) + f(3) = -9(x - 3) + 0 = -9x + 27\) 2. Bestimmung der Schnittpunkte von \(f\) und \(t\): \(-x^3 + 3x^2 = -9x + 27 \iff x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0\) Da \(x = 3\) eine Berührstelle ist, ist \((x - 3)^2\) ein Faktor: \((x - 3)^2(x + 3) = 0\) Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 3\) und \(x_2 = -3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts über das Integral der Differenzfunktion: \(A = \left| \int_{-3}^{3} (f(x) - t(x)) \, dx \right| = \left| \int_{-3}^{3} (-x^3 + 3x^2 + 9x - 27) \, dx \right|\) Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{9}{2}x^2 - 27x\) Obere Grenze: \(F(3) = -20{,}25 + 27 + 40{,}5 - 81 = -33{,}75\) Untere Grenze: \(F(-3) = -20{,}25 - 27 + 40{,}5 + 81 = 74{,}25\) Flächeninhalt: \(A = |-33{,}75 - 74{,}25| = |-108| = 108\)

a) \(t(x) = -9x + 27\) b) \(A = 108\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einem Graphen und das bestimmte Integral zusammen? - Kannst du die Stammfunktion für jeden Teil der Summe einzeln bestimmen? - Was ist die besondere Eigenschaft der Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion? - Welchen Wert hat jede Basis hoch Null?

1. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: Da \(f(x) > 0\) für alle \(x \in [0; 1]\), entspricht die Fläche dem Integral \(A = \int_{0}^{1} (e^x + 3x^2) \, dx\). 2. Anwendung der Summenregel zur Bestimmung der Stammfunktion: Die Stammfunktion von \(e^x\) ist \(e^x\), die Stammfunktion von \(3x^2\) ist \(x^3\). Die Gesamtstammfunktion lautet somit \(F(x) = e^x + x^3\). 3. Anwendung des Hauptsatzes: Berechnung der Werte an den Grenzen: \(F(1) = e^1 + 1^3 = e + 1\) und \(F(0) = e^0 + 0^3 = 1 + 0 = 1\). 4. Berechnung der Differenz: \((e + 1) - 1 = e\).

Der Flächeninhalt beträgt \(e\) (ca. \(2{,}718\) Flächeneinheiten).

- Zwei Graphen berühren sich an einer Stelle, wenn sie dort sowohl denselben Funktionswert als auch dieselbe Steigung haben. - Die \(y\)-Achse entspricht der Geraden \(x = 0\). - Bestimme zuerst, welche Funktion im relevanten Intervall die größeren Werte annimmt. - Für die Ableitung von \(e^{1-x}\) brauchst du die Kettenregel; für eine Stammfunktion nutzt du die Regel für eine lineare innere Funktion.

1. Nachweis des Berührpunktes: Funktionswerte prüfen: \(f(1) = e^{1-1} = e^0 = 1\) und \(g(1) = 2 - e^{1-1} = 2 - 1 = 1\). Da \(f(1) = g(1)\), liegt ein Schnittpunkt bei \((1\mid 1)\) vor. 2. Ableitungen prüfen: \(f'(x) = e^{x-1}\) und \(g'(x) = e^{1-x}\). Für \(g\) folgt dies mit der Kettenregel aus \(-e^{1-x} \cdot (-1)\). 3. Steigungen an der Stelle \(x = 1\): \(f'(1) = e^0 = 1\) und \(g'(1) = e^0 = 1\). Da \(f'(1) = g'(1)\), berühren sich die Graphen. 4. Flächenberechnung: Da \(f(0) = e^{-1} \approx 0{,}37\) und \(g(0) = 2 - e \approx -0{,}72\), verläuft \(f\) im Intervall \([0; 1]\) oberhalb von \(g\). 5. Integral aufstellen: \(A = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (e^{x-1} - 2 + e^{1-x}) \, dx\). 6. Eine Stammfunktion der Differenz ist \(e^{x-1} - 2x - e^{1-x}\). Daher ist \(A = [e^{x-1} - 2x - e^{1-x}]_{0}^{1}\). 7. Grenzen einsetzen: \((e^0 - 2 \cdot 1 - e^0) - (e^{-1} - 2 \cdot 0 - e^1) = -2 - (e^{-1} - e) = e - e^{-1} - 2\). 8. Ergebnis: \(A = e - \frac{1}{e} - 2 \approx 0{,}3504\).

a) Wegen \(f(1) = g(1) = 1\) und \(f'(1) = g'(1) = 1\) berühren sich die Graphen an der Stelle \(x = 1\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(A = e - e^{-1} - 2 \approx 0{,}3504\,\text{FE}\).

- Wie findest du die Stellen, an denen der Graph die horizontale Achse schneidet? - Kannst du den Funktionsterm so umschreiben, dass er aus einzelnen Summanden besteht, die leicht zu integrieren sind? - Welche Rechenregeln für Logarithmen könnten dir helfen, den Ausdruck am Ende zu vereinfachen? - Überlege dir, ob das Integral in diesem Intervall einen positiven oder negativen Wert liefert.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f_a\): Der Zähler \((x-a)(4a-x)\) wird Null für \(x_1 = a\) und \(x_2 = 4a\). Da \(a > 0\), liegen beide Nullstellen im Definitionsbereich. 2. Umformung des Funktionsterms für die Integration: Durch Ausmultiplizieren und Division durch \(x^2\) ergibt sich \(f_a(x) = \frac{-x^2 + 5ax - 4a^2}{x^2} = -1 + \frac{5a}{x} - 4a^2 x^{-2}\). 3. Bestimmung einer Stammfunktion: \(F_a(x) = -x + 5a \ln(x) + \frac{4a^2}{x}\). 4. Berechnung des Integrals über dem Intervall \([a; 4a]\): \(F_a(4a) = -4a + 5a \ln(4a) + \frac{4a^2}{4a} = -3a + 5a \ln(4a)\). \(F_a(a) = -a + 5a \ln(a) + \frac{4a^2}{a} = 3a + 5a \ln(a)\). 5. Differenzbildung: \(\int_a^{4a} f_a(x) \,\text{d}x = (-3a + 5a \ln(4a)) - (3a + 5a \ln(a)) = -6a + 5a(\ln(4a) - \ln(a)) = 5a \ln(4) - 6a\). 6. Da \(5 \ln(4) \approx 6{,}93 > 6\), ist das Integral positiv und entspricht dem Flächeninhalt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = a(10 \ln(2) - 6)\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die Koordinatenachsen? - In welchem Bereich verläuft der Graph unterhalb der \(x\)-Achse? - Für \(e^{x/k}\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden. - Was musst du beachten, wenn das Integral ein negatives Vorzeichen liefert, du aber einen Flächeninhalt suchst?

1. Bestimmung der Schnittpunkte mit den Achsen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f_k(0) = e^0 - e = 1 - e\). Die Nullstelle ergibt sich aus \(e^{x/k} - e = 0 \Rightarrow e^{x/k} = e^1 \Rightarrow \frac{x}{k} = 1 \Rightarrow x = k\). 2. Die Fläche liegt im Intervall \([0; k]\). Da \(f_k(x) \leq 0\) für \(x \in [0; k]\), berechnet sich der Flächeninhalt über \(A = -\int_0^k (e^{x/k} - e) \, dx = \int_0^k (e - e^{x/k}) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion von \(g(x) = e - e^{x/k}\): \(G(x) = ex - k e^{x/k}\). 4. Einsetzen der Grenzen: \(G(k) = e \cdot k - k \cdot e^{k/k} = ek - ek = 0\). Außerdem ist \(G(0) = e \cdot 0 - k \cdot e^0 = -k\). 5. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = G(k) - G(0) = 0 - (-k) = k\).

Der Flächeninhalt beträgt \(A = k\) Flächeneinheiten.

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? Diese Stellen begrenzen deine Fläche. - Überprüfe, ob der Graph im relevanten Bereich oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Um den Funktionsterm zu integrieren, kann eine Polynomdivision hilfreich sein. - Erinnere dich an die Stammfunktion von Brüchen der Form \(\frac{1}{x+a}\).

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f\): \(x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 3\). 2. Untersuchung des Vorzeichens im Intervall \([-3; 3]\): Da \(x^2 - 9 \le 0\) und \(x + 4 > 0\), gilt \(f(x) \le 0\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-3}^3 -f(x) \, dx = \int_{-3}^3 \frac{9 - x^2}{x + 4} \, dx\). 4. Durchführung der Polynomdivision: \(\frac{9 - x^2}{x + 4} = -x + 4 - \frac{7}{x + 4}\). 5. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 7\ln|x + 4|\). 6. Berechnung des bestimmten Integrals: \(F(3) = 7{,}5 - 7\ln(7)\) und \(F(-3) = -16{,}5\). 7. Ergebnis: \(A = F(3) - F(-3) = 24 - 7\ln(7) \approx 10{,}38\).

Der Flächeninhalt beträgt \(24 - 7\ln(7) \approx 10{,}38\) Flächeneinheiten.

- Beginne damit, die Schnittpunkte der beiden Graphen zu finden, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Welcher Graph liegt im Intervall zwischen den Schnittpunkten oben? - Du musst die Differenzfunktion \(g(x) - f(x)\) über dem gefundenen Intervall integrieren. - Nutze die Logarithmusregel für die Integration von \(\frac{1}{x}\).

1. Berechnung der Schnittstellen: \(\frac{4}{x} = 5 - x \implies x^2 - 5x + 4 = 0\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 4\). 2. Vergleich der Funktionswerte im Intervall \([1; 4]\): Da \(g(2) = 3 > f(2) = 2\), liegt der Graph von \(g\) über dem Graphen von \(f\). 3. Ansatz für den Flächeninhalt: \(A = \int_1^4 (g(x) - f(x)) \, dx = \int_1^4 (5 - x - \frac{4}{x}) \, dx\). 4. Bestimmung der Stammfunktion: \(H(x) = 5x - \frac{1}{2}x^2 - 4\ln|x|\). 5. Berechnung des Integrals: \(H(4) = 20 - 8 - 4\ln(4) = 12 - 4\ln(4)\) und \(H(1) = 5 - 0{,}5 - 4\ln(1) = 4{,}5\). 6. Differenz bilden: \(A = (12 - 4\ln(4)) - 4{,}5 = 7{,}5 - 4\ln(4)\). 7. Ergebnis: \(A = 7{,}5 - 8\ln(2) \approx 1{,}95\).

Der Flächeninhalt beträgt \(7{,}5 - 4\ln(4)\) (oder \(7{,}5 - 8\ln(2)\)), was etwa \(1{,}95\) Flächeneinheiten entspricht.

- Wie lautet die allgemeine Formel für die Berechnung eines Flächeninhalts zwischen Graph und \(x\)-Achse? - Welche Stammfunktionen haben Sinus und Kosinus? - Achte beim Einsetzen der Werte in die Stammfunktion auf die Vorzeichen im Einheitskreis. - Wie kannst du eine Gleichung nach dem gesuchten Parameter auflösen?

1. Eine Stammfunktion von \(g_t(x) = t \cdot (\sin x + \cos x)\) ist \(G_t(x) = t \cdot (-\cos x + \sin x)\). 2. Der Flächeninhalt wird über das bestimmte Integral berechnet: \(A_t = \left| \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} g_t(x) \, dx \right| = |G_t(\frac{7}{4}\pi) - G_t(\frac{3}{4}\pi)|\). 3. Einsetzen der Grenzen: \(G_t(\frac{7}{4}\pi) = t \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -t\sqrt{2}\) und \(G_t(\frac{3}{4}\pi) = t \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = t\sqrt{2}\). 4. Die Differenz ergibt \(A_t = |-t\sqrt{2} - t\sqrt{2}| = 2\sqrt{2}t\). 5. Für Teilaufgabe b) wird die Gleichung \(2\sqrt{2}t = 4\sqrt{2}\) gelöst, woraus \(t = 2\) folgt.

a) \(A_t = 2\sqrt{2}t\) b) \(t = 2\)

- Kannst du den Term \(\sin(2x)\) so umschreiben, dass du \(\sin x\) ausklammern kannst? - Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. - Nutze die Grundintegrale für Sinusfunktionen und bei \(\sin(2x)\) die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion. - Prüfe vor der Flächenberechnung, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse verläuft.

1. Nullstellen: Anwendung der Identität \(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\) führt zu \(g(x) = \sin x + \sin x \cos x = \sin x (1 + \cos x)\). Die Gleichung \(\sin x (1 + \cos x) = 0\) ist erfüllt, wenn \(\sin x = 0\) oder \(\cos x = -1\). Im Intervall \([0; 2\pi]\) ergibt \(\sin x = 0\) die Stellen \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). Die Bedingung \(\cos x = -1\) liefert ebenfalls \(x = \pi\). Die Nullstellen sind somit \(\{0; \pi; 2\pi\}\). 2. Stammfunktion: Integration der einzelnen Summanden ergibt \(G(x) = -\cos x - \frac{1}{4}\cos(2x) + C\). Eine mögliche Stammfunktion ist \(G(x) = -\cos x - 0{,}25\cos(2x)\). 3. Flächeninhalt: Da \(g(x) \geq 0\) für \(x \in [0; \pi]\), entspricht der Flächeninhalt dem Integral \(\int_0^{\pi} g(x) \, dx\). Es gilt \(G(\pi) - G(0) = [1 - 0{,}25] - [-1 - 0{,}25] = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

a) Die Nullstellen im Intervall \([0; 2\pi]\) liegen bei \(x_1 = 0\), \(x_2 = \pi\) und \(x_3 = 2\pi\). b) Eine Stammfunktion ist \(G(x) = -\cos x - \frac{1}{4}\cos(2x)\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(2\,\text{FE}\).

- Nutze die notwendige Bedingung für Extrema, indem du die erste Ableitung der Funktion bildest und null setzt. - Achte beim Lösen der trigonometrischen Gleichung auf das vorgegebene Intervall für \(x\). - Überlege dir vor der Flächenberechnung, ob der Graph die \(x\)-Achse im Intervall schneidet oder oberhalb verläuft. - Für \(\sin(2x)\) kannst du die Stammfunktionsregel für eine lineare innere Funktion verwenden.

1. Zur Bestimmung der Extremstellen wird die erste Ableitung \(f_k'(x) = 2k \cos(2x)\) gleich null gesetzt. Im Intervall \([0; \pi]\) liefert \(\cos(2x) = 0\) die Stellen \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) und \(x_2 = \frac{3\pi}{4}\). Mit \(f_k''(x) = -4k \sin(2x)\) folgt \(f_k''(\frac{\pi}{4})=-4k<0\) und \(f_k''(\frac{3\pi}{4})=4k>0\). Damit sind die Extrempunkte \(H(\frac{\pi}{4}\mid 3k)\) und \(T(\frac{3\pi}{4}\mid k)\). 2. Da \(k > 0\) und \(\sin(2x) \geq -1\), ist \(f_k(x) = k(\sin(2x)+2)>0\). Daher gilt \(A=\int_0^{\pi}(k\sin(2x)+2k)\,dx\). 3. Eine Stammfunktion ist \(F_k(x)=-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx\). Damit ist \(A=[-\frac{k}{2}\cos(2x)+2kx]_0^{\pi}=2\pi k\).

1. Die Extrempunkte sind der Hochpunkt \(H\left(\frac{\pi}{4} \mid 3k\right)\) und der Tiefpunkt \(T\left(\frac{3\pi}{4} \mid k\right)\). 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 2\pi k\).

- Wie findet man mathematisch heraus, wo sich zwei Kurven kreuzen? - Schau dir den Verlauf der Graphen an: Gibt es Symmetrien, die dir Arbeit ersparen? - Vergleiche den Faktor vor der Exponentialfunktion mit der Ableitung ihres Exponenten. Passt hier die Form \(h'(x)e^{h(x)}\) bis auf einen konstanten Faktor? - Denk daran, dass ein Flächeninhalt positiv sein muss.

1. Aus \(x = x e^{1-x^2}\) folgt \(x(1-e^{1-x^2})=0\). Damit sind \(x=0\) sowie \(1-x^2=0\), also \(x=\pm1\), die Schnittstellen. Die Schnittpunkte sind \(P_1(-1\mid -1)\), \(P_2(0\mid 0)\) und \(P_3(1\mid 1)\). 2. Beide Funktionen sind ungerade. Daher ist die eingeschlossene Fläche punktsymmetrisch zum Ursprung und \(A=2\int_0^1(g(x)-f(x))\,dx\). 3. Für \(h(x)=1-x^2\) gilt \(h'(x)=-2x\). Damit ist \(x e^{1-x^2}=-\frac12 h'(x)e^{h(x)}\), also ist \(-\frac12 e^{1-x^2}\) eine Stammfunktion von \(g\). 4. Somit ist \(A=2[-\frac12 e^{1-x^2}-\frac12x^2]_0^1=2(-1+\frac12e)=e-2\).

Die Schnittpunkte sind \(P_1(-1 \mid -1)\), \(P_2(0 \mid 0)\) und \(P_3(1 \mid 1)\). Der Flächeninhalt beträgt \(e - 2 \approx 0{,}718\,\text{FE}\).

- Setze die Funktionsterme gleich, um die Grenzen für dein Integral zu finden. - Welche der beiden Funktionen liefert im relevanten Bereich die größeren Werte? - Nutze für den Term \(xe^x\) die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Du kannst die angegebene Stammfunktion vorab mit der Produktregel überprüfen.

1. Aus \(e^2x=xe^x\) folgt \(x(e^2-e^x)=0\). Damit sind \(x_1=0\) und \(x_2=2\) die Schnittstellen. 2. Im Intervall \([0;2]\) gilt \(f(x)\geq g(x)\), zum Beispiel ist bei \(x=1\) der Wert \(e^2\) größer als \(e\). Daher ist \(A=\int_0^2(e^2x-xe^x)\,dx\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion erhält man \(A=[\frac12e^2x^2-(x-1)e^x]_0^2\). 4. Für die obere Grenze ergibt sich \(2e^2-e^2=e^2\), für die untere Grenze \(1\). Somit ist \(A=e^2-1\).

Die Schnittstellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = 2\). Der Flächeninhalt beträgt \(e^2 - 1 \approx 6{,}389\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Ableitung und untersuche ihren Vorzeichenwechsel am kritischen Punkt. - Welche Integrationsgrenzen ergeben sich aus der \(x\)-Koordinate des Hochpunkts? - Nutze die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion für die Flächenberechnung. - Woran erkennst du am Endergebnis, ob der Flächeninhalt vom Parameter abhängt?

1. Es ist \(f_a'(x)=a^2(1-ax)e^{-ax}\). Wegen \(e^{-ax}>0\) folgt aus \(f_a'(x)=0\) die Stelle \(x_H=\frac1a\). Vor dieser Stelle ist \(f_a'(x)>0\), danach \(f_a'(x)<0\). Damit liegt der lokale Hochpunkt bei \(H(\frac1a\mid \frac{a}{e})\). 2. Der Flächeninhalt ist \(A=\int_0^{1/a}a^2xe^{-ax}\,dx\). Die angegebene Stammfunktion erfüllt \(F_a'(x)=a^2xe^{-ax}\). 3. Einsetzen der Grenzen liefert \(A=F_a(\frac1a)-F_a(0)=-2e^{-1}-(-1)=1-\frac2e\). 4. Das Ergebnis enthält den Parameter \(a\) nicht; der Flächeninhalt ist daher für alle \(a>0\) gleich.

1. Hochpunkt \(H\left(\frac{1}{a} \mid \frac{a}{e}\right)\) 2. Der Flächeninhalt beträgt \(A = 1 - \frac{2}{e} \approx 0{,}264\). Da das Ergebnis keinen Parameter \(a\) mehr enthält, ist die Fläche unabhängig von \(a\).

- Zur Überprüfung der Stammfunktion ist die Kettenregel hilfreich. - Bestimme zuerst die \(x\)-Koordinate des Hochpunkts mithilfe der ersten Ableitung. - Nutze die Logarithmusgesetze, um Ausdrücke wie \(\ln a - \ln b\) zusammenzufassen. - Stelle eine Gleichung auf, in der das bestimmte Integral von \(2\) bis \(k\) dem Zielwert entspricht.

1. Nachweis der Stammfunktion: Ableiten von \(G(x)\) mit der Kettenregel ergibt \(G'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + 4} \cdot 2x = \frac{x}{x^2 + 4} = g(x)\). 2. Hochpunkt finden: \(g'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2}\). Aus \(g'(x) = 0\) folgt für \(x > 0\) die Stelle \(x = 2\). 3. Fläche in b): Der Graph startet bei \(x = 0\) im Ursprung. Die Fläche liegt über \([0; 2]\). Inhalt \(A = \int_0^2 g(x) \, dx = [G(x)]_0^2 = \frac{1}{2} \ln(8) - \frac{1}{2} \ln(4) = \frac{1}{2} \ln(\frac{8}{4}) = \frac{1}{2} \ln 2\). 4. Ansatz für c): Es soll gelten \(\int_2^k g(x) \, dx = 2A = \ln 2\). 5. Gleichung lösen: \(G(k) - G(2) = \ln 2 \iff \frac{1}{2} \ln(k^2 + 4) - \frac{1}{2} \ln 8 = \ln 2\). Multiplikation mit 2 und Anwendung von Logarithmusregeln führt zu \(\ln(\frac{k^2 + 4}{8}) = \ln 4 \iff \frac{k^2 + 4}{8} = 4 \iff k^2 = 28\). Da \(k > 2\), ist \(k = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).

a) \(G'(x) = g(x)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{2} \ln 2\) (ca. \(0{,}347\)). c) \(k = 2\sqrt{7}\) (ca. \(5{,}292\))

- Nutze den Satz vom Nullprodukt für die Nullstellen. - Erinnere dich an die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für Extrema (erste und zweite Ableitung). - Für die Fläche musst du die Funktion über dem Intervall zwischen den Nullstellen integrieren. - Achte beim Auflösen der Gleichung nach \(k\) auf die Potenzgesetze.

1. Nullstellen: \(x^3(k - x) = 0\) ergibt die dreifache Nullstelle \(x_1 = 0\) und die einfache Nullstelle \(x_2 = k\). 2. Ableitungen: \(f_k(x) = kx^3 - x^4\), \(f_k'(x) = 3kx^2 - 4x^3\), \(f_k''(x) = 6kx - 12x^2\). 3. Extrempunkt: \(f_k'(x) = x^2(3k - 4x) = 0\) liefert \(x = 0\) (Sattelpunkt, da \(f_k''(0) = 0\) und \(f_k'''(0) \neq 0\)) und \(x_E = \frac{3}{4}k\). 4. Art und \(y\)-Wert: \(f_k''(\frac{3}{4}k) = 6k(\frac{3}{4}k) - 12(\frac{9}{16}k^2) = \frac{18}{4}k^2 - \frac{27}{4}k^2 = -2{,}25k^2 < 0\), also ein lokales Maximum. \(y_E = f_k(\frac{3}{4}k) = (\frac{3}{4}k)^3(k - \frac{3}{4}k) = \frac{27k^3}{64} \cdot \frac{k}{4} = \frac{27}{256}k^4\). Der Hochpunkt liegt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). 5. Flächeninhalt: \(A(k) = \int_{0}^{k} (kx^3 - x^4) \, dx = [\frac{k}{4}x^4 - \frac{1}{5}x^5]_0^k = \frac{k^5}{4} - \frac{k^5}{5} = \frac{k^5}{20}\). 6. Bestimmung von \(k\): \(\frac{k^5}{20} = 51{,}2 \implies k^5 = 1024 \implies k = \sqrt[5]{1024} = 4\).

a) Nullstellen bei \(x = 0\) und \(x = k\); Hochpunkt bei \(H(\frac{3}{4}k \mid \frac{27}{256}k^4)\). b) \(A(k) = \frac{1}{20}k^5\). c) \(k = 4\).

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen, um die Grenzen der eingeschlossenen Flächen zu finden. - Wie kannst du rechnerisch überprüfen, welcher Graph in welchem Intervall oberhalb des anderen verläuft? - Überlege, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven mithilfe von bestimmten Integralen berechnen kannst. - Denke daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte haben müssen. Was bedeutet das für die Reihenfolge der Funktionen im Integral? - Berechne die beiden Teilflächen einzeln und addiere sie am Ende zum Gesamtflächeninhalt.

1. Schnittstellen bestimmen: Durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen \(f(x) = g(x)\) erhält man die Gleichung \(x^3 - 2x = 2x\), was zu \(x^3 - 4x = 0\) bzw. \(x(x^2 - 4) = 0\) führt. Die Schnittstellen liegen somit bei \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle untersuchen: Die Graphen schließen im Intervall \([-2; 2]\) zwei Teilflächen ein. Im Intervall \([-2; 0]\) gilt \(f(x) \ge g(x)\) und im Intervall \([0; 2]\) gilt \(g(x) \ge f(x)\). 3. Teilflächen berechnen: - Erste Teilfläche im Intervall \([-2; 0]\): \(A_1 = \int_{-2}^0 (f(x) - g(x))\,\text{d}x = \int_{-2}^0 (x^3 - 4x)\,\text{d}x = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{-2}^0 = 0 - (4 - 8) = 4\) - Zweite Teilfläche im Intervall \([0; 2]\): \(A_2 = \int_0^2 (g(x) - f(x))\,\text{d}x = \int_0^2 (4x - x^3)\,\text{d}x = \left[ 2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = (8 - 4) - 0 = 4\) 4. Gesamtfläche berechnen: Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(A_{\text{gesamt}} = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(8\).

- Wie kannst du die Grenzen der eingeschlossenen Fläche bestimmen? Überlege, wo sich die beiden Graphen treffen. - Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich, um die Schnittstellen zu berechnen. - Welche der beiden Funktionen verläuft im gesamten Bereich zwischen den Schnittstellen oberhalb der anderen? - Um den Flächeninhalt zu berechnen, kannst du das Integral der Differenzfunktion (obere Funktion minus untere Funktion) über dem Intervall der Schnittstellen bilden. - Bestimme eine Stammfunktion der Differenzfunktion und wende den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung an.

1. Schnittstellen bestimmen: Um die Grenzen des Integrals zu finden, setzen wir die beiden Funktionsgleichungen gleich: \(f(x) = g(x)\) \(-x^2 + 2x + 3 = x^2 - 1\) \(2x^2 - 2x - 4 = 0\) Dividieren durch 2 liefert die quadratische Gleichung: \(x^2 - x - 2 = 0\) Mit der p-q-Formel oder durch Faktorisieren erhalten wir die Schnittstellen: \((x - 2)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1 \text{ und } x_2 = 2\) 2. Differenzfunktion aufstellen: Da der Graph von \(f\) im Intervall \([-1; 2]\) oberhalb des Graphen von \(g\) verläuft (z. B. \(f(0) = 3 > g(0) = -1\)), berechnet sich die Differenzfunktion wie folgt: \(h(x) = f(x) - g(x) = (-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 1) = -2x^2 + 2x + 4\) 3. Integral berechnen: Der Flächeninhalt \(A\) ergibt sich durch das Integral der Differenzfunktion in den Grenzen von \(-1\) bis \(2\): \(A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \,\text{d}x\) Eine Stammfunktion von \(h(x)\) ist: \(H(x) = -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\) Wir setzen die Grenzen ein: \(H(2) = -\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2^2 + 4 \cdot 2 = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = \frac{20}{3}\) \(H(-1) = -\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \cdot (-1) = \frac{2}{3} + 1 - 4 = -\frac{7}{3}\) Nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung gilt: \(A = H(2) - H(-1) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9\)

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(9\) (bzw. \(9\) Flächeneinheiten).

- Kannst du die gegebenen Punkte aus dem Graphen nutzen, um die Funktionsgleichungen der beiden Graphen aufzustellen? - Wie hilft dir die Scheitelpunktform einer Parabel weiter, wenn der Scheitelpunkt bekannt ist? - Welche Rolle spielt die Ableitung einer Funktion, wenn du die Gleichung einer Tangente bestimmen möchtest? - Schau dir die Grenzen der schattierten Fläche genau an. Welche \(x\)-Werte begrenzen diese Fläche links und rechts? - Wie berechnet man allgemein die Fläche, die von zwei Graphen im Intervall zwischen zwei Grenzen eingeschlossen wird?

1. Bestimmung der Parabelgleichung: Ansatz der Scheitelpunktform \(f(x) = a(x - h)^2 + k\) mit \(S(2 \mid 3)\) führt zu \(f(x) = a(x - 2)^2 + 3\). Einsetzen der Koordinaten des Punktes \(P(4 \mid 1{,}5)\) liefert: \(1{,}5 = a(4 - 2)^2 + 3 \Rightarrow 4a = -1{,}5 \Rightarrow a = -0{,}375\). Die Funktionsgleichung lautet somit \(f(x) = -0{,}375(x-2)^2 + 3\). 2. Bestimmung der Tangentengleichung: Die Ableitung von \(f\) ist \(f'(x) = -0{,}75(x-2)\). Die Tangentensteigung im Punkt \(P\) ist \(m = f'(4) = -0{,}75(4-2) = -1{,}5\). Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich für die Tangente: \(t(x) = -1{,}5(x - 4) + 1{,}5 = -1{,}5x + 7{,}5\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Die Integrationsgrenzen sind durch die \(y\)-Achse (\(x = 0\)) und die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(P\) (\(x = 4\)) gegeben. Da \(t(x) \ge f(x)\) für alle \(x \in [0; 4]\), gilt: \(A = \int_{0}^{4} (t(x) - f(x)) \, dx = \int_{0}^{4} 0{,}375(x-4)^2 \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}125(x-4)^3\). \(A = \left[ 0{,}125(x-4)^3 \right]_{0}^{4} = 0 - 0{,}125(-4)^3 = 8\). Der Flächeninhalt beträgt somit \(8\).

a) Die Funktionsgleichung der Parabel lautet \(f(x) = -0{,}375(x-2)^2 + 3\) und die Gleichung der Tangente lautet \(t(x) = -1{,}5x + 7{,}5\). b) Der Inhalt der begrenzten Fläche beträgt \(8\).

- Betrachte das Bild genau: Welche Kurve liegt oben und welche Kurven begrenzen die Fläche nach unten? - Bestimme zuerst alle Schnittpunkte der beteiligten Graphen, um die Grenzen der Fläche zu finden. - Überlege, ob sich die untere Begrenzung der Fläche an einer Stelle ändert. Musst du die Fläche eventuell in zwei Teile aufteilen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven in einem bestimmten Intervall? - Berechne die einzelnen Teilflächen getrennt und addiere sie am Ende für das Gesamtergebnis.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt von \(f\) und \(h\): \(-x^2 + 4 = -3x - 6 \implies x^2 - 3x - 10 = 0 \implies x_1 = -2\) (relevante linke Grenze). - Schnitt von \(g\) und \(h\): \(x - 2 = -3x - 6 \implies 4x = -4 \implies x_2 = -1\) (Stelle des Wechsels der unteren Begrenzung). - Schnitt von \(f\) und \(g\): \(-x^2 + 4 = x - 2 \implies x^2 + x - 6 = 0 \implies x_3 = 2\) (relevante rechte Grenze). 2. Teilflächen aufstellen: - Die Fläche wird an der Nahtstelle \(x = -1\) in zwei Teile zerlegt. - Linke Teilfläche \(A_1\) im Intervall \([-2; -1]\) mit oberer Grenze \(f(x)\) und unterer Grenze \(h(x)\). - Rechte Teilfläche \(A_2\) im Intervall \([-1; 2]\) mit oberer Grenze \(f(x)\) und unterer Grenze \(g(x)\). 3. Integration durchführen: - \(A_1 = \int_{-2}^{-1} (-x^2 + 3x + 10)\,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 10x \right]_{-2}^{-1} = -\frac{49}{6} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{19}{6}\). - \(A_2 = \int_{-1}^{2} (-x^2 - x + 6)\,\text{d}x = \left[ -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 6x \right]_{-1}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{37}{6}\right) = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}\). 4. Gesamtfläche berechnen: - \(A = A_1 + A_2 = \frac{19}{6} + \frac{81}{6} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\).

Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{50}{3}\) (oder \(16\frac{2}{3} \approx 16{,}67\)).

- Überlege dir zuerst, wie man die Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen allgemein berechnet. Welche Gleichung musst du dafür aufstellen? - Wenn du die Schnittpunkte hast, teilen deren x-Koordinaten die x-Achse in verschiedene Abschnitte ein. Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Kurven in einem solchen Abschnitt? - Achte beim Integrieren darauf, welche der beiden Funktionen im jeweiligen Intervall die größeren Funktionswerte annimmt, um ein positives Flächenergebnis zu erhalten. - Erinnere dich daran, welcher Zusammenhang zwischen der Monotonie einer Funktion und ihrer Umkehrbarkeit besteht. Welches mathematische Werkzeug hilft dir, das Monotonieverhalten zu untersuchen?

1. Schnittpunkte bestimmen: Wir setzen die Funktionsterme gleich: \(f(x) = g(x) \Rightarrow -x^3 + 3x^2 = 2x\) Daraus folgt durch Umformen: \(-x^3 + 3x^2 - 2x = 0\) Ausklammern von \(-x\) ergibt: \(-x(x^2 - 3x + 2) = 0\) Ein erster gemeinsamer x-Wert ist \(x_1 = 0\). Für den quadratischen Term in der Klammer erhalten wir durch Faktorisierung: \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0\) Die weiteren gemeinsamen x-Werte sind \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Einsetzen in einen der Funktionsterme liefert die Schnittpunkte \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(1 \mid 2)\) und \(S_3(2 \mid 4)\). 2. Flächeninhalt berechnen: Die Graphen schließen im Intervall \([0; 2]\) zwei Flächenstücke ein. Für das erste Flächenstück im Intervall \([0; 1]\) verläuft der Graph von \(g\) oberhalb des Graphen von \(f\): \(A_1 = \int_{0}^{1} (2x - (-x^3 + 3x^2)) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2x) \,\mathrm{d}x\) Mit einer Stammfunktion \(F_1(x) = \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2\) ergibt sich: \(A_1 = \left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{4} - 1 + 1\right) - 0 = 0{,}25\) Für das zweite Flächenstück im Intervall \([1; 2]\) verläuft der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\): \(A_2 = \int_{1}^{2} (-x^3 + 3x^2 - 2x) \,\mathrm{d}x\) Mit einer Stammfunktion \(F_2(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2\) ergibt sich: \(A_2 = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2 \right]_{1}^{2} = ( -4 + 8 - 4 ) - \left( -\frac{1}{4} + 1 - 1 \right) = 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) = 0{,}25\) Der gesamte Flächeninhalt des Logos beträgt: \(A_{\text{Gesamt}} = A_1 + A_2 = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\,\text{FE}\) 3. Umkehrbarkeit begründen: Eine stetige Funktion ist in einem Intervall umkehrbar, wenn sie dort streng monoton ist. Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten Ableitung von \(f\): \(f'(x) = -3x^2 + 6x = 3x(2 - x)\) Für alle \(x \in (0; 2)\) gilt \(3x > 0\) und \((2 - x) > 0\), woraus \(f'(x) > 0\) folgt. Da die Ableitung im offenen Intervall überall positiv ist, ist die Funktion \(f\) im Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend und somit umkehrbar.

a) Die Schnittpunkte der beiden Graphen im Bereich \(x \ge 0\) sind \(S_1(0 \mid 0)\), \(S_2(1 \mid 2)\) und \(S_3(2 \mid 4)\). b) Der gesamte Flächeninhalt des Logos beträgt \(0{,}5\,\text{FE}\). c) Die erste Ableitung \(f'(x) = 3x(2 - x)\) ist für alle \(x \in (0; 2)\) echt positiv. Daher ist \(f\) auf dem Intervall \([0; 2]\) streng monoton steigend und folglich umkehrbar.

- Wenn sich Graphen mehrmals schneiden, musst du die Fläche in Teilintervalle zerlegen. - Wie verhalten sich die Funktionen in den einzelnen Abschnitten? Welche ist jeweils „oben“? - Du kannst für jedes Intervall den Betrag des Integrals der Differenzfunktion nehmen, damit alle Teilflächen positiv addiert werden.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - 4x = x^2 - 4 \Rightarrow x^3 - x^2 - 4x + 4 = 0\). Durch Ausklammern: \(x^2(x - 1) - 4(x - 1) = 0 \Rightarrow (x^2 - 4)(x - 1) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). 2. Intervalle festlegen: Es ergeben sich zwei Teilflächen über \([-2; 1]\) und \([1; 2]\). 3. Integral für die erste Fläche (\([-2; 1]\)): \(A_1 = \int_{-2}^1 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_{-2}^1 = (\frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4) - (4 + \frac{8}{3} - 8 - 8) = \frac{23}{12} - (-\frac{28}{3}) = \frac{23}{12} + \frac{112}{12} = \frac{135}{12} = 11{,}25\). 4. Integral für die zweite Fläche (\([1; 2]\)): \(A_2 = |\int_1^2 (x^3 - x^2 - 4x + 4) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_1^2| = |(4 - \frac{8}{3} - 8 + 8) - \frac{23}{12}| = |\frac{4}{3} - \frac{23}{12}| = |\frac{16}{12} - \frac{23}{12}| = |-\frac{7}{12}| = \frac{7}{12}\). 5. Gesamtfläche: \(A_{ges} = 11{,}25 + \frac{7}{12} = \frac{135}{12} + \frac{7}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6} \approx 11{,}83\).

Der gesamte Flächeninhalt beträgt \(\frac{71}{6} \approx 11{,}83\,\text{FE}\).

- Überlege dir für jedes Teilintervall einzeln, welche Kurve oben und welche unten liegt. - Stell dir vor, du setzt die farbigen Puzzleteile \(A_i\) zusammen, um die gesuchte Gesamtfläche zu erhalten. - Achte darauf, ob eine gesuchte Fläche durch die \(x\)-Achse in zwei Teile geteilt wird oder ob sie direkt von einem Graphen zum anderen reicht.

Anhand der Abbildung lassen sich die zusammengesetzten Flächen wie folgt bestimmen: 1. Fläche I erstreckt sich über das gesamte Intervall \([-2; 0]\) zwischen den beiden Graphen. Im Teilintervall \([-2; -\sqrt{2}]\) entspricht dies der Fläche \(A_1\), im Teilintervall \([-\sqrt{2}; 0]\) der Fläche \(A_4\). Somit gilt: \(\text{Fläche I} = A_1 + A_4\). 2. Fläche II ist die Fläche unter \(G_f\) bis zur \(x\)-Achse. Links von \(-\sqrt{2}\) ist dies \(A_2\). Rechts von \(-\sqrt{2}\) setzt sich die Fläche unter \(G_f\) aus der Fläche unter \(G_g\) (nämlich \(A_3\)) und der Fläche zwischen \(G_g\) und \(G_f\) (nämlich \(A_4\)) zusammen. Also: \(\text{Fläche II} = A_2 + A_3 + A_4\). 3. Fläche III ist das Trapez unter \(G_g\) von \(x = -2\) bis \(x = 0\). Auf dem linken Teilintervall wird dieses durch die Summe von \(A_1\) und \(A_2\) gebildet, auf dem rechten durch \(A_3\). Damit ergibt sich: \(\text{Fläche III} = A_1 + A_2 + A_3\).

- Fläche I \(= A_1 + A_4\) - Fläche II \(= A_2 + A_3 + A_4\) - Fläche III \(= A_1 + A_2 + A_3\)

- Überlege dir für jedes Intervall auf der \(x\)-Achse, welcher Graph oben und welcher unten liegt. - Erinnere dich daran, dass Flächeninhalte immer positive Werte sein müssen, Integrale jedoch negativ sein können. - Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen? Spielt die Lage zur \(x\)-Achse dabei eine Rolle? - Achte auf die Nullstellen der Funktionen, um die Integrationsgrenzen zu überprüfen.

1. Analyse von (1): Die Aussage ist korrekt. \(A_1\) ist die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0; 2]\). Da \(f(x) > 0\) in diesem Bereich, entspricht der Integralwert dem Flächeninhalt. 2. Analyse von (2): Die Aussage ist korrekt. Im Intervall \([2; \sqrt{10}]\) verläuft \(f\) oberhalb von \(g\). Die Fläche zwischen zwei Graphen wird durch das Integral der Differenzfunktion (obere minus untere Funktion) berechnet. 3. Analyse von (3): Die Aussage ist fehlerhaft. Im Intervall \([0; 2]\) verläuft der Graph von \(g\) unterhalb der \(x\)-Achse. Das Integral liefert daher einen negativen Wert. Korrektur: \(A_4 = -\int_0^2 g(x) \, \text{d}x\) oder \(A_4 = \int_0^2 |g(x)| \, \text{d}x\). 4. Analyse von (4): Die Aussage ist fehlerhaft. Im Intervall \([\sqrt{10}; 4]\) verläuft der Graph von \(g\) oberhalb von \(f\). Der angegebene Ausdruck würde einen negativen Wert liefern. Korrektur: \(A_6 = \int_{\sqrt{10}}^4 (g(x) - f(x)) \, \text{d}x\).

(1) Korrekt. (2) Korrekt. (3) Fehlerhaft: Das Integral ist negativ, da \(g\) unter der \(x\)-Achse verläuft. Korrektur: \(A_4 = -\int_0^2 g(x) \, \text{d}x\). (4) Fehlerhaft: Im Intervall \([\sqrt{10}; 4]\) ist \(g(x) > f(x)\). Korrektur: \(A_6 = \int_{\sqrt{10}}^4 (g(x) - f(x)) \, \text{d}x\).

- Überlege zuerst, wie die Funktionsgleichung der Tangente lautet. Kennst du die Koordinaten und die Steigung im Berührpunkt? - Bestimme anhand des Graphen, wo die Fläche links beginnt und rechts endet. - Wenn zwei Graphen eine Fläche einschließen, berechnet man das Integral der Differenzfunktion. Welche Funktion liegt oben? - Achte beim Integrieren auf die Potenzregeln.

1. Die Ableitung ist \(f'(x)=\frac{1}{4}x\). Im Punkt \(P(4 \mid 4)\) ist die Steigung \(m=f'(4)=1\). Mit der Punkt-Steigungs-Form ergibt sich \(t(x)=(x-4)+4=x\). 2. Die gesuchte Fläche liegt zwischen \(x=0\) und \(x=4\); dort verläuft \(f\) oberhalb der Tangente. 3. Daher gilt \(A=\int_0^4\left(\frac{1}{8}x^2+2-x\right)\,\text{d}x=\left[\frac{1}{24}x^3+2x-\frac{1}{2}x^2\right]_0^4=\frac{8}{3}\approx2{,}67\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst die Gleichung der Tangente \(t(x)\) mithilfe der Ableitung an der Stelle \(x = 3\). - Prüfe, welche der beiden Funktionen im Intervall \([1; 3]\) größere Werte annimmt. - Berechne das bestimmte Integral der Differenz beider Funktionen über das gegebene Intervall.

1. Es gilt \(f'(x)=-2x+4\), also \(f'(3)=-2\). Mit \(Q(3 \mid 3)\) folgt \(t(x)=-2x+9\). 2. Die Differenz ist \(t(x)-f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\ge0\). 3. Daher gilt \(A=\int_1^3 (x^2-6x+9)\,\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+9x\right]_1^3=9-\frac{19}{3}=\frac{8}{3}\approx2{,}67\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3} \approx 2{,}67\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden. - Welcher Graph liegt im betrachteten Intervall oberhalb des anderen? - Wie berechnet man den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen mithilfe eines Integrals? - Denke beim Integrieren der Wurzelfunktion an die Potenzschreibweise.

1. Berechnung der Schnittstellen durch Gleichsetzen: \(\sqrt{x + 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\). Quadrieren führt zu \(x + 1 = \frac{1}{4}(x + 1)^2\), woraus die Schnittstellen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 3\) folgen. 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt: \(A = \int_{-1}^{3} (\sqrt{x + 1} - (\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = [F(3)] - [F(-1)] = (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{9}{4} - \frac{6}{4}) - (0 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = (\frac{16}{3} - \frac{15}{4}) - \frac{1}{4} = \frac{64 - 45 - 3}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\). Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt \(\frac{4}{3} \approx 1{,}33\) Flächeneinheiten.

- Überlege zuerst, an welchen Stellen der Graph die \(x\)-Achse schneidet. - Nutze für die Flächenberechnung die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Achte darauf, in welchem Teilintervall der Graph oberhalb beziehungsweise unterhalb der \(x\)-Achse verläuft. - Was ist der Unterschied zwischen einem Flächeninhalt und dem Wert eines bestimmten Integrals?

1. Aus \(x\cos(x)=0\) folgen im Intervall \([0;\pi]\) die Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=\frac\pi2\). 2. Auf \([0;\frac\pi2]\) ist \(f\ge0\), auf \([\frac\pi2;\pi]\) ist \(f\le0\). Daher ist \(A_1=\int_0^{\pi/2}f(x)\,dx=\frac\pi2-1\). 3. Für den zweiten Flächenteil gilt \(A_2=\left|\int_{\pi/2}^{\pi}f(x)\,dx\right|=1+\frac\pi2\). Damit beträgt der geometrische Gesamtflächeninhalt \(A=A_1+A_2=\pi\). 4. Der Wert des bestimmten Integrals über das gesamte Intervall ist \(\int_0^\pi f(x)\,dx=F(\pi)-F(0)=-2\). 5. Das bestimmte Integral bilanziert Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ. Beim geometrischen Flächeninhalt werden dagegen die Beträge der Teilflächen addiert.

a) Die Nullstellen im Intervall sind \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{\pi}{2}\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(\pi \approx 3{,}14\). c) Der Wert des Integrals ist \(-2\). Der Unterschied rührt daher, dass das Integral Flächenanteile unterhalb der \(x\)-Achse negativ bilanziert, während der Flächeninhalt die Summe der Beträge aller Teilflächen ist.

- Prüfe, ob derselbe Graph im gesamten Intervall oben liegt. - An welcher Schnittstelle wechselt die Reihenfolge der beiden Funktionen? - Teile den Flächeninhalt dort in zwei Integrale auf und verwende jeweils „oben minus unten“. - Die beiden Teilflächen besitzen eine Symmetrie, die die Rechnung verkürzen kann.

1. Die Graphen schneiden sich im betrachteten Intervall bei \(x=-1\), \(x=0\) und \(x=1\). Bei \(x=0\) wechselt die Reihenfolge der Graphen. 2. Auf \([-1;0]\) liegt \(g\) oberhalb von \(f\), auf \([0;1]\) liegt \(f\) oberhalb von \(g\). Ein einziges Integral mit unveränderter Reihenfolge würde deshalb eine Flächenbilanz statt des geometrischen Gesamtflächeninhalts liefern. 3. Daher gilt \(A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,\mathrm{d}x\). 4. Wegen der Symmetrie sind beide Teilflächen gleich groß. Es folgt \(A=2\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1=2\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12\).

Nein. Ein korrekter Ansatz ist \(A=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,\mathrm{d}x\), und der Flächeninhalt beträgt \(\frac12\,\text{FE}\).

- Welche Funktion bildet links vom Ursprung die untere Begrenzung, welche rechts davon? - Ein Wechsel der Randfunktion ist ein Grund, den Integralansatz zu teilen. - Verwende auf jedem Teilintervall „oberer Graph minus unterer Graph“.

1. Die obere Begrenzung ist im gesamten Bereich \(h(x)=2\). Die untere Begrenzung wechselt bei \(x=0\): Auf \([-2;0]\) ist sie \(f(x)=-x\), auf \([0;2]\) ist sie \(g(x)=x\). 2. Deshalb muss der Flächeninhalt an \(x=0\) geteilt werden: \(A=\int_{-2}^{0}(2-(-x))\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x\). 3. Der erste Anteil ist \(\left[2x+\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0}=2\), der zweite \(\left[2x-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}=2\). 4. Insgesamt beträgt der Flächeninhalt \(A=4\,\text{FE}\).

\(A=\int_{-2}^{0}(2+x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{2}(2-x)\,\mathrm{d}x=4\,\text{FE}\)

- Wie findet man die Stellen, an denen der Graph die \(x\)-Achse berührt oder schneidet? - Könnte eine Ersetzung (Substitution) helfen, die Nullstellen einfacher zu berechnen? - Erinnere dich an die Potenzschreibweise von Wurzeln, um die Stammfunktion leichter zu finden. - Warum ist es wichtig, am Ende den Betrag des Integrals zu nehmen?

1. Nullstellen bestimmen: Die Gleichung \(x - 4\sqrt{x} + 3 = 0\) wird mit der Substitution \(u = \sqrt{x}\) zu \(u^2 - 4u + 3 = 0\). Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 3\). Durch Rücksubstitution ergeben sich die Nullstellen \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 9\). 2. Stammfunktion bestimmen: \(F(x) = \int (x - 4x^{\frac{1}{2}} + 3) \, dx = \frac{1}{2}x^2 - \frac{4}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + 3x = \frac{1}{2}x^2 - \frac{8}{3}x\sqrt{x} + 3x\). 3. Bestimmtes Integral im Intervall \([1; 9]\) berechnen: \(F(9) = \frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{8}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 = 40{,}5 - 72 + 27 = -4{,}5\). \(F(1) = \frac{1}{2} - \frac{8}{3} + 3 = \frac{3 - 16 + 18}{6} = \frac{5}{6}\). \(I = F(9) - F(1) = -4{,}5 - \frac{5}{6} = -\frac{27}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}\). 4. Der Flächeninhalt ist der Betrag des Integrals: \(A = |-\frac{16}{3}| = \frac{16}{3}\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(\frac{16}{3}\) (ca. \(5{,}33\)) Flächeneinheiten.

- Findest du zuerst heraus, wo sich die beiden Graphen schneiden? - Eine Substitution könnte hilfreich sein, um die Gleichung für die Schnittstellen zu lösen. - Nutze Symmetrieeigenschaften der Funktionen aus, um die Rechnung zu vereinfachen. - Erinnere dich daran, wie man den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven berechnet, indem man die Differenzfunktion integriert. - Überprüfe in jedem Intervall, welcher Graph oberhalb des anderen liegt.

1. Berechnung der Schnittstellen: Gleichsetzen \(\frac{4}{x^2} = 5 - x^2\) führt auf die biquadratische Gleichung \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\). 2. Substitution \(u = x^2\) ergibt \(u^2 - 5u + 4 = 0\) mit den Lösungen \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 4\). 3. Rücksubstitution liefert die Schnittstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = -1\), \(x_3 = 1\) und \(x_4 = 2\). 4. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Funktionen zur \(y\)-Achse reicht die Integration im Intervall \([1; 2]\) und anschließende Verdopplung. 5. Differenzfunktion bilden: \(d(x) = g(x) - f(x) = 5 - x^2 - 4x^{-2}\). 6. Stammfunktion der Differenzfunktion: \(D(x) = 5x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{x}\). 7. Bestimmtes Integral berechnen: \(D(2) - D(1) = (10 - \frac{8}{3} + 2) - (5 - \frac{1}{3} + 4) = \frac{28}{3} - \frac{26}{3} = \frac{2}{3}\). 8. Gesamtfläche: \(A = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{4}{3}\).

- Bestimme zunächst die Tangentengleichung und die Nullstellen beider Funktionen. - Achte darauf, ob die Fläche oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Überlege dir, welche Funktion die Fläche nach oben oder unten begrenzt. - Ein Koordinatensystem kann helfen, die Integrationsgrenzen richtig zu setzen.

1. Bestimmung der Tangente \(t\) an der Stelle \(x_0 = 1\): \(f(1) = \sqrt{1} - 2 = -1\). Ableitung \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), also \(f'(1) = 0{,}5\). Tangentengleichung: \(t(x) = 0{,}5(x - 1) - 1 = 0{,}5x - 1{,}5\). 2. Bestimmung der Nullstellen: Nullstelle von \(f\): \(\sqrt{x} - 2 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x_f = 4\). Nullstelle von \(t\): \(0{,}5x - 1{,}5 = 0 \Rightarrow 0{,}5x = 1{,}5 \Rightarrow x_t = 3\). 3. Berechnung des Flächeninhalts: Da die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse liegt, betrachten wir die Beträge der Integrale. Die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 4]\) ist: \(A_f = \left| \int_{1}^{4} (\sqrt{x} - 2) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{2}{3}x^{1{,}5} - 2x \right]_{1}^{4} \right| = \left| (\frac{16}{3} - 8) - (\frac{2}{3} - 2) \right| = \left| -\frac{8}{3} + \frac{4}{3} \right| = \frac{4}{3}\). Die Fläche zwischen der Tangente \(t\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([1; 3]\) (ein Dreieck) ist: \(A_t = \left| \int_{1}^{3} (0{,}5x - 1{,}5) \, dx \right| = \frac{1}{2} \cdot (3 - 1) \cdot |-1| = 1\). Der gesuchte Flächeninhalt ist die Differenz dieser Flächenstücke: \(A = A_f - A_t = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{1}{3} \, \text{FE}\).

- Bestimme zuerst alle relevanten \(x\)-Werte durch Gleichsetzen der Funktionen. - Überlege dir, welche der Linien (Graph, \(x\)-Achse, Gerade \(g\)) in welchem Bereich die obere bzw. untere Grenze der Fläche bildet. - Du kannst die Fläche in ein Rechteck und ein krummlinig begrenztes Stück unterteilen. - Achte beim Integrieren darauf, ob der Graph oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 0 \implies \frac{1}{2}x^2 = 8 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = -4, x_2 = 4\). 2. Schnittpunkte mit \(g\) bestimmen: \(f(x) = -6 \implies \frac{1}{2}x^2 - 8 = -6 \implies \frac{1}{2}x^2 = 2 \implies x^2 = 4 \implies x_3 = -2, x_4 = 2\). 3. Flächenaufteilung für \(x \le 0\): Die Fläche erstreckt sich von \(x = -4\) bis \(x = 0\). 4. Teilfläche 1 (Rechteck): Zwischen \(x = -2\) und \(x = 0\) wird die Fläche oben durch die \(x\)-Achse (\(y=0\)) und unten durch die Gerade \(g\) (\(y=-6\)) begrenzt. Der Inhalt ist \(A_1 = 2 \cdot 6 = 12\). 5. Teilfläche 2 (Integral): Zwischen \(x = -4\) und \(x = -2\) wird die Fläche durch die \(x\)-Achse und den Graphen von \(f\) begrenzt. Da \(f(x) \le 0\), berechnet man \(A_2 = \int_{-4}^{-2} (0 - f(x)) \, dx = \int_{-4}^{-2} (8 - \frac{1}{2}x^2) \, dx\). 6. Stammfunktion und Auswertung: \([8x - \frac{1}{6}x^3]_{-4}^{-2} = (8(-2) - \frac{1}{6}(-2)^3) - (8(-4) - \frac{1}{6}(-4)^3) = (-16 + \frac{8}{6}) - (-32 + \frac{64}{6}) = -16 + \frac{4}{3} + 32 - \frac{32}{3} = 16 - \frac{28}{3} = \frac{48-28}{3} = \frac{20}{3}\). 7. Gesamtinhalt: \(A = 12 + \frac{20}{3} = \frac{36}{3} + \frac{20}{3} = \frac{56}{3}\).

Der Flächeninhalt im II. und III. Quadranten beträgt \(\frac{56}{3}\) (ca. \(18{,}67\)).

- Überlege dir zuerst, wie groß die gesamte Fläche ist, die von der Parabel und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird. - Skizziere die Situation, um zu sehen, welche Teilfläche (die obere oder die untere) sich leichter mit einem Integral in Abhängigkeit von \(c\) beschreiben lässt. - Wie hängen die Schnittstellen der Geraden \(y=c\) mit der Funktion von dem Wert \(c\) ab? - Nutze Symmetrieeigenschaften der Parabel, um die Berechnungen zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(f(x) = 4 - x^2\): \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2\). 2. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse: \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \left[ 4x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}\). 3. Die gesuchte Gerade \(y = c\) zerlegt die Fläche in zwei gleiche Teile, sodass die obere Teilfläche \(A_{\text{oben}} = \frac{16}{3}\) beträgt. 4. Die Schnittstellen von \(f(x) = 4 - x^2\) und \(y = c\) liegen bei \(x = \pm \sqrt{4-c}\). 5. Aufstellen des Integrals für die obere Teilfläche: \(\int_{-\sqrt{4-c}}^{\sqrt{4-c}} (4 - x^2 - c) \, dx = \frac{16}{3}\). 6. Mit der Substitution \(u = 4 - c\) ergibt das Integral \(\frac{4}{3}u^{\frac{3}{2}} = \frac{16}{3}\). 7. Lösen nach \(u\): \(u^{\frac{3}{2}} = 4 \Rightarrow u = 4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}\). 8. Berechnung von \(c\): \(4 - c = 2\sqrt[3]{2} \Rightarrow c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\).

\(c = 4 - \sqrt[3]{16}\) (oder \(c = 4 - 2\sqrt[3]{2}\))

- Bestimme zuerst den gesamten Flächeninhalt zwischen der Parabel und der oberen Begrenzungslinie. - In welchem Verhältnis stehen die untere Teilfläche und die Gesamtfläche zueinander? - Stelle eine Formel für die untere Teilfläche in Abhängigkeit von \(c\) auf. Erinnere dich daran, dass diese Fläche zwischen dem Graphen und der Geraden \(y=c\) liegt. - Setze den Ausdruck für die Teilfläche mit dem entsprechenden Anteil der Gesamtfläche gleich und löse nach \(c\) auf.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen \(f(x) = x^2\) und \(y = 4\): Die Schnittpunkte liegen bei \(x = \pm 2\). \(A_{\text{ges}} = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx = \frac{32}{3}\). 2. Bedingung für die Teilflächen: Die obere Fläche \(A_2\) ist doppelt so groß wie die untere Fläche \(A_1\). Es gilt \(A_1 + A_2 = A_{\text{ges}}\) und \(A_2 = 2A_1\), woraus folgt \(3A_1 = A_{\text{ges}}\), also \(A_1 = \frac{32}{9}\). 3. Die untere Teilfläche \(A_1\) liegt zwischen \(y = x^2\) und \(y = c\). Die Schnittstellen sind \(x = \pm \sqrt{c}\). 4. Aufstellen des Integrals für \(A_1\): \(\int_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} (c - x^2) \, dx = \left[ cx - \frac{1}{3}x^3 \right]_{-\sqrt{c}}^{\sqrt{c}} = \frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}}\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{4}{3}c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9}\). 6. Lösen nach \(c\): \(c^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8}{3}\). 7. \(c = \left( \frac{8}{3} \right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\frac{64}{9}} = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\).

\(c = \sqrt[3]{\frac{64}{9}}\) (oder \(c = \frac{4}{\sqrt[3]{9}}\))

- Wo schneidet der Graph die \(x\)-Achse? - Schau dir den Funktionsterm genau an: Liegt eine Symmetrie vor, die die Rechnung vereinfachen könnte? - Achte darauf, dass bei Flächenstücken unterhalb der \(x\)-Achse das Integral negativ ist, der Flächeninhalt aber positiv gezählt wird. - Stelle eine Gleichung auf, die den gesamten Flächeninhalt mit dem Parameter \(a\) verknüpft.

1. Bestimmung der Nullstellen von \(g_a\): \(x(a^2 - x^2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = a, x_3 = -a\). 2. Ausnutzung der Symmetrie: Da \(g_a\) eine ungerade Funktion ist (\(g_a(-x) = -g_a(x)\)), sind die beiden Flächenstücke zwischen \([-a; 0]\) und \([0; a]\) inhaltsgleich. Der Gesamtinhalt ist \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx\). 3. Berechnung des Teilintegrals: \(\int_{0}^{a} (a^2x - x^3) \, dx = \left[ \frac{1}{2}a^2x^2 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{a} = \frac{1}{2}a^4 - \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{4}a^4\). 4. Bestimmung des Gesamtinhalts in Abhängigkeit von \(a\): \(A_{\text{ges}} = 2 \cdot \frac{1}{4}a^4 = \frac{1}{2}a^4\). 5. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(\frac{1}{2}a^4 = 8 \Rightarrow a^4 = 16\). 6. Lösung für \(a\): Da \(a > 0\), ergibt sich \(a = 2\).

\(a = 2\)

- Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante. - Nutze die Punkt-Steigungs-Form oder den y-Achsenabschnitt für die Geradengleichung. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt. - Erinnere dich an die Stammfunktion der natürlichen Exponentialfunktion.

1. Berechnung der Funktionswerte: \(f(0) = 0{,}5 \cdot e^0 - 0 = 0{,}5\) und \(f(2) = 0{,}5e^2 - 2\). 2. Bestimmung der mittleren Änderungsrate \(m\): \(m = \frac{(0{,}5e^2 - 2) - 0{,}5}{2 - 0} = \frac{0{,}5e^2 - 2{,}5}{2} = 0{,}25e^2 - 1{,}25\). 3. Aufstellen der Sekantengleichung \(s(x) = mx + f(0)\): \(s(x) = (0{,}25e^2 - 1{,}25)x + 0{,}5\). 4. Da \(f(x)\) eine konvexe Funktion ist (\(f''(x) = 0{,}5e^x > 0\)), liegt die Sekante über dem Intervall \([0; 2]\) oberhalb des Graphen. Der Flächeninhalt berechnet sich durch \(A = \int_0^2 (s(x) - f(x)) \, dx\). 5. Differenzfunktion: \(d(x) = (0{,}25e^2 - 1{,}25)x + 0{,}5 - (0{,}5e^x - x) = (0{,}25e^2 - 0{,}25)x + 0{,}5 - 0{,}5e^x\). 6. Integration: \(\int_0^2 d(x) \, dx = [0{,}125(e^2 - 1)x^2 + 0{,}5x - 0{,}5e^x]_0^2\). 7. Einsetzen der Grenzen: \((0{,}125(e^2 - 1) \cdot 4 + 0{,}5 \cdot 2 - 0{,}5e^2) - (0 + 0 - 0{,}5) = (0{,}5e^2 - 0{,}5 + 1 - 0{,}5e^2) + 0{,}5 = 1\).

Die mittlere Änderungsrate ist \(0{,}25e^2 - 1{,}25\). Die Sekantengleichung lautet \(s(x) = (0{,}25e^2 - 1{,}25)x + 0{,}5\). Der Flächeninhalt beträgt \(1\) Flächeneinheit.

- Multipliziere den Funktionsterm zuerst aus, um die Stammfunktion leichter bilden zu können. - Welche Stellen sind entscheidend für die Aufteilung der Fläche? - Denk daran, für jedes Teilintervall den Betrag des Integrals zu nehmen, falls der Graph unter der Achse liegt. - Es hilft, die Funktionswerte der Stammfunktion an allen Grenzen vorab einzeln zu berechnen.

1. Ausmultiplizieren der Funktion: \(f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4\). 2. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x\). 3. Nullstellen bestimmen: Aus der Produktform ergeben sich direkt \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\) und \(x_3 = 2\). Alle drei Nullstellen liegen im Intervall \([-3; 3]\). 4. Aufteilung des Integrals in Teilintervalle: \([-3; -2]\), \([-2; 1]\), \([1; 2]\) und \([2; 3]\). 5. Berechnung der Teilintegrale: \(\int_{-3}^{-2} f(x) \, dx = F(-2) - F(-3) = -\frac{28}{3} - (-0{,}75) = -\frac{103}{12} \approx -8{,}583\) \(\int_{-2}^{1} f(x) \, dx = F(1) - F(-2) = \frac{23}{12} - (-\frac{28}{3}) = \frac{135}{12} = 11{,}25\) \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = F(2) - F(1) = \frac{4}{3} - \frac{23}{12} = -\frac{7}{12} \approx -0{,}583\) \(\int_{2}^{3} f(x) \, dx = F(3) - F(2) = 5{,}25 - \frac{4}{3} = \frac{47}{12} \approx 3{,}917\) 6. Summe der Beträge: \(A = \frac{103}{12} + \frac{135}{12} + \frac{7}{12} + \frac{47}{12} = \frac{292}{12} = \frac{73}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{73}{3} \approx 24{,}33\,\text{FE}\).

- Wann hat eine Parabel der Form \(x^2 - k\) zwei Schnittstellen mit der \(x\)-Achse? - Wie verändert sich die Lage des Scheitelpunkts, wenn \(k\) variiert wird? - Nutze die Symmetrie der Parabel zur \(y\)-Achse, um die Berechnung des Integrals zu vereinfachen. - Wenn du eine Gleichung mit einer Wurzel oder einer gebrochenen Potenz hast, versuche beide Seiten so zu potenzieren, dass die Wurzel verschwindet.

1. Bedingung für Fläche: Eine Fläche wird nur eingeschlossen, wenn der Graph zwei Nullstellen besitzt. Da \(g_k(x) = x^2 - k\) eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0\mid -k)\) ist, existieren zwei Nullstellen bei \(x = \pm\sqrt{k}\) genau dann, wenn \(k > 0\) gilt. Für \(k = 0\) gibt es nur eine Nullstelle im Ursprung; für \(k < 0\) liegt der gesamte Graph oberhalb der \(x\)-Achse. In beiden Fällen wird keine Fläche eingeschlossen. 2. Integral aufstellen: Für \(k > 0\) liegt die Fläche unterhalb der \(x\)-Achse. \(A = \left| \int_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} (x^2 - k) \, dx \right| = \left| \left[ \frac{1}{3}x^3 - kx \right]_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \right| = \left| (\frac{1}{3}k\sqrt{k} - k\sqrt{k}) - (-\frac{1}{3}k\sqrt{k} + k\sqrt{k}) \right| = \left| -\frac{4}{3}k\sqrt{k} \right| = \frac{4}{3}k\sqrt{k} = \frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}}\). 3. Parameter berechnen: \(\frac{4}{3}k^{\frac{3}{2}} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow k^{\frac{3}{2}} = 8 \Leftrightarrow (k^{\frac{1}{2}})^3 = 8 \Leftrightarrow \sqrt{k} = 2 \Leftrightarrow k = 4\).

1. Eine Fläche wird nur für \(k > 0\) eingeschlossen. Der Scheitelpunkt liegt dann unterhalb der \(x\)-Achse. 2. \(k = 4\)

- Ermittle zunächst die Tangentengleichung und die Nullstellen beider Funktionen. - Eine Skizze hilft dir dabei, die obere und untere Begrenzung der Fläche im jeweiligen Intervall zu identifizieren. - Achte darauf, dass die Fläche an einer Stelle durch die \(x\)-Achse und an einer anderen durch den Funktionsgraphen nach unten begrenzt wird. - Kannst du eine geometrische Form (wie ein Dreieck) nutzen, um die Rechnung zu vereinfachen?

1. Tangentengleichung aufstellen: Es ist \(f(2) = -2^2 + 6 \cdot 2 - 5 = 3\). Mit \(f'(x) = -2x + 6\) ergibt sich die Steigung \(f'(2) = 2\). Die Tangente \(t\) lautet \(y - 3 = 2(x - 2)\), also \(t(x) = 2x - 1\). 2. Grenzen bestimmen: Die Tangente schneidet die \(x\)-Achse bei \(2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0{,}5\). Der Graph von \(f\) schneidet die \(x\)-Achse bei \(-x^2 + 6x - 5 = 0\), was zu \(x_1 = 1\) und \(x_2 = 5\) führt. Die für die Fläche relevante Nullstelle ist \(x = 1\). 3. Flächeninhalt berechnen: Die Fläche wird von oben durch die Tangente begrenzt (im Intervall \([0{,}5; 2]\)). Die untere Begrenzung ist von \(x = 0{,}5\) bis \(x = 1\) die \(x\)-Achse und von \(x = 1\) bis \(x = 2\) der Graph von \(f\). Rechnerisch ergibt sich dies aus der Fläche des Dreiecks unter der Tangente (Grundseite \(2 - 0{,}5 = 1{,}5\), Höhe \(3\)) abzüglich der Fläche unter dem Graphen von \(f\) zwischen \(1\) und \(2\): \(A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 3 - \int_{1}^{2} (-x^2 + 6x - 5) \, dx = 2{,}25 - \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{2} = \frac{9}{4} - \frac{5}{3} = \frac{27 - 20}{12} = \frac{7}{12}\).

Der Flächeninhalt beträgt \( \frac{7}{12} \) Flächeneinheiten.

- Wie lautet die Steigung einer Tangente in einem Hochpunkt? - Nachdem du die Tangentengleichung aufgestellt hast, musst du herausfinden, wo sie den Graphen erneut schneidet. - Nutze das bestimmte Integral, um den Flächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auszudrücken. - Achte darauf, welche Funktion im betrachteten Intervall die obere Grenze der Fläche bildet.

1. Ableitungen bestimmen: \(g_k'(x) = k(-3x^2 + 12x - 9)\) und \(g_k''(x) = k(-6x + 12)\). 2. Hochpunkt ermitteln: \(g_k'(x) = 0 \Rightarrow -3k(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow -3k(x-1)(x-3) = 0\). Die Stellen sind \(x = 1\) und \(x = 3\). Da \(g_k''(1) = 6k > 0\) (Minimum) und \(g_k''(3) = -6k < 0\) (Maximum), liegt der Hochpunkt bei \(x = 3\). 3. Tangente berechnen: Der Funktionswert ist \(g_k(3) = k(-27 + 54 - 27) = 0\). Die Tangente ist \(y = 0\). 4. Schnittstellen mit der Tangente: \(k(-x^3 + 6x^2 - 9x) = 0 \Rightarrow -kx(x - 3)^2 = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = 3\) und \(x = 0\). 5. Integral aufstellen: Im Intervall \([0; 3]\) liegt der Graph unterhalb der Tangente \(y = 0\). Daher gilt \(A = \int_{0}^{3} (0 - g_k(x)) \, dx = k \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) \, dx\). 6. Stammfunktion berechnen: \(k \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = k \left(20{,}25 - 54 + 40{,}5\right) = 6{,}75k\). 7. Gleichung lösen: \(6{,}75k = 108 \Rightarrow k = 16\).

\(k = 16\)

- Wie findet man die Stellen, an denen die Steigung null ist? - Welche Form hat die Gleichung einer Tangente in einem Punkt mit waagerechter Steigung? - Wie findet man die Grenzen für das Integral, wenn eine Fläche zwischen zwei Funktionen eingeschlossen ist? - Denk daran, dass die Tangente den Graphen an der Extremstelle berührt, was eine Besonderheit für die Nullstellen der Differenzfunktion bedeutet.

1. Ableitungen bilden: \(f'(x) = -3x^2 + 12\) und \(f''(x) = -6x\). 2. Extremstellen bestimmen: \(f'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 = -12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2\). 3. Art der Extrema prüfen: \(f''(2) = -12 < 0\) (Hochpunkt), \(f''(-2) = 12 > 0\) (Tiefpunkt). 4. Koordinaten berechnen: \(f(2) = -(2)^3 + 12 \cdot 2 = 16 \Rightarrow H(2\mid 16)\); \(f(-2) = -(-2)^3 + 12 \cdot (-2) = -16 \Rightarrow T(-2\mid -16)\). 5. Gleichung der Tangente im Hochpunkt: \(y = 16\). 6. Schnittpunkte von \(f(x)\) und \(y = 16\) finden: \(-x^3 + 12x = 16 \Rightarrow x^3 - 12x + 16 = 0\). Da \(x = 2\) eine doppelte Nullstelle ist (Berührpunkt), Division durch \((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\) ergibt \((x+4)\). Schnittstellen bei \(x = 2\) und \(x = -4\). 7. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-4}^{2} (16 - (-x^3 + 12x)) \, dx = \int_{-4}^{2} (x^3 - 12x + 16) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 6x^2 + 16x \right]_{-4}^{2}\). 8. Einsetzen der Grenzen: \((4 - 24 + 32) - (64 - 96 - 64) = 12 - (-96) = 108\). Der Flächeninhalt beträgt \(108\).

a) Hochpunkt \(H(2\mid 16)\), Tiefpunkt \(T(-2\mid -16)\). b) Der Flächeninhalt beträgt \(108\,\text{FE}\).

- Bestimme zuerst die Gleichungen der beiden waagerechten Tangenten. - Du musst für jede Tangente einzeln die Schnittpunkte mit dem Funktionsgraphen finden, um die Integrationsgrenzen festzulegen. - Überlege dir, welche Funktion im jeweiligen Intervall „oben“ liegt, um den Flächeninhalt korrekt zu berechnen. - Wusstest du, dass kubische Funktionen punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt sind? Wie könnte das hier helfen?

1. Ableitung bestimmen: \(g'(x) = 3x^2 - 12x + 9\). 2. Extremstellen finden: \(3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3\). 3. Funktionswerte berechnen: \(g(1) = 1 - 6 + 9 = 4\) (Hochpunkt), \(g(3) = 27 - 54 + 27 = 0\) (Tiefpunkt). 4. Tangente 1 (Hochpunkt): \(y = 4\). Schnitt mit \(g(x)\): \(x^3 - 6x^2 + 9x = 4 \Rightarrow (x-1)^2(x-4) = 0\). Grenzen sind \(1\) und \(4\). 5. Flächeninhalt 1 berechnen: \(A_1 = \int_{1}^{4} (4 - (x^3 - 6x^2 + 9x)) \, dx = \int_{1}^{4} (-x^3 + 6x^2 - 9x + 4) \, dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 4x \right]_{1}^{4} = 8 - 1{,}25 = 6{,}75\). 6. Tangente 2 (Tiefpunkt): \(y = 0\). Schnitt mit \(g(x)\): \(x^3 - 6x^2 + 9x = 0 \Rightarrow x(x-3)^2 = 0\). Grenzen sind \(0\) und \(3\). 7. Flächeninhalt 2 berechnen: \(A_2 = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x - 0) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right]_{0}^{3} = 6{,}75 - 0 = 6{,}75\). 8. Vergleich: Da \(A_1 = 6{,}75\) und \(A_2 = 6{,}75\), sind beide Flächeninhalte gleich groß.

Beide Flächen haben einen Inhalt von \(6{,}75\,\text{FE}\). Damit ist gezeigt, dass sie inhaltsgleich sind.

- Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Achte darauf, welche Funktion im Bereich zwischen den Schnittstellen die größeren Funktionswerte besitzt. - Wie verändert sich die Form der Parabel, wenn \(k\) größer oder kleiner wird? - Stelle eine Gleichung auf, in der nur noch \(k\) als Unbekannte vorkommt.

1. Bestimmung der Schnittstellen von \(f(x)\) und der Geraden \(y = 4\): \(kx^2 = 4 \implies x^2 = \frac{4}{k} \implies x_{1,2} = \pm \frac{2}{\sqrt{k}}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt zwischen den Graphen: \(A = \int_{-\frac{2}{\sqrt{k}}}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} (4 - kx^2) \, dx\). 3. Berechnung des Integrals unter Nutzung der Symmetrie: \(2[4x - \frac{1}{3}kx^3]_{0}^{\frac{2}{\sqrt{k}}} = 2(4 \cdot \frac{2}{\sqrt{k}} - \frac{k}{3} \cdot \frac{8}{k\sqrt{k}}) = 2(\frac{8}{\sqrt{k}} - \frac{8}{3\sqrt{k}}) = 2\frac{16}{3\sqrt{k}} = \frac{32}{3\sqrt{k}}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert \(16\): \(\frac{32}{3\sqrt{k}} = 16 \implies \frac{2}{3\sqrt{k}} = 1 \implies 3\sqrt{k} = 2\). 5. Auflösen nach \(k\): \(\sqrt{k} = \frac{2}{3} \implies k = \frac{4}{9}\).

\(k = \frac{4}{9}\)

- Berechne zuerst den gesamten Flächeninhalt des beschriebenen Bereichs. - Überlege dir, wie du die Fläche unterteilen kannst. Eine horizontale Linie teilt die Fläche anders als eine vertikale. - Die Integrationsgrenzen hängen vom Schnittpunkt der Geraden \(y = c\) mit der Funktion ab. - Es kann hilfreich sein, die Fläche oberhalb der Geraden \(y = c\) zu betrachten, um eine Gleichung aufzustellen. - Wenn du auf eine Gleichung höheren Grades stößt, versuche eine Lösung durch Probieren kleiner ganzzahliger Werte zu finden.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts: \(A_{\text{ges}} = \int_0^2 x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^2 = \frac{8}{3}\). 2. Bestimmung des Ziel-Flächeninhalts für die Teilflächen: \(A_{\text{Teil}} = \frac{4}{3}\). 3. Aufstellen einer Gleichung für die untere Teilfläche. Diese besteht aus dem Integral unter der Parabel von \(0\) bis \(\sqrt{c}\) und einem Rechteck von \(\sqrt{c}\) bis \(2\) mit der Höhe \(c\): \(A_{\text{unten}} = \int_0^{\sqrt{c}} x^2 \, dx + (2 - \sqrt{c}) \cdot c = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt{c}} + 2c - c\sqrt{c} = \frac{1}{3}c\sqrt{c} + 2c - c\sqrt{c} = 2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c}\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(2c - \frac{2}{3}c\sqrt{c} = \frac{4}{3} \implies 3c - c\sqrt{c} = 2\). 5. Substitution \(u = \sqrt{c}\) führt zur kubischen Gleichung \(u^3 - 3u^2 + 2 = 0\). 6. Durch Probieren findet man die Lösung \(u = 1\). Die weiteren Lösungen der quadratischen Gleichung \(u^2 - 2u - 2 = 0\) liegen außerhalb des Definitionsbereichs für \(u\) (da \(0 < c < 4\) gelten muss, folgt \(0 < u < 2\)). 7. Rücksubstitution: \(\sqrt{c} = 1 \implies c = 1\).

\(c = 1\)

- Bestimme zunächst den Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen im vorgegebenen Intervall. - Stelle den Flächeninhalt von \(0\) bis \(k\) als Funktion von \(k\) dar. - Nach der Integration erhältst du eine Gleichung, die Terme mit \(e^k\) und \(e^{-k}\) enthält. - Eine geschickte Substitution kann helfen, diese Gleichung in eine bekannte Form (z. B. eine quadratische Gleichung) zu bringen. - Achte am Ende darauf, ob dein berechneter Wert für \(k\) im Intervall \([0; \ln(3)]\) liegt.

1. Berechnung des gesamten Flächeninhalts zwischen den Kurven: \(A_{\text{ges}} = \int_0^{\ln(3)} (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^{\ln(3)} = (3 + \frac{1}{3}) - (1 + 1) = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3}\). 2. Bestimmung des Inhalts einer Teilfläche: \(A_{\text{Teil}} = \frac{2}{3}\). 3. Aufstellen der Integralgleichung für die linke Teilfläche von \(0\) bis \(k\): \(\int_0^k (e^x - e^{-x}) \, dx = \left[ e^x + e^{-x} \right]_0^k = e^k + e^{-k} - 2\). 4. Gleichsetzen mit dem Zielwert: \(e^k + e^{-k} - 2 = \frac{2}{3} \implies e^k + e^{-k} = \frac{8}{3}\). 5. Substitution \(u = e^k\) führt auf die quadratische Gleichung \(u + \frac{1}{u} = \frac{8}{3} \implies 3u^2 - 8u + 3 = 0\). 6. Lösung der quadratischen Gleichung: \(u_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{6} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}\). 7. Da \(k \in (0; \ln(3))\) liegen muss, muss \(e^k \in (1; 3)\) gelten. Nur \(u_1 = \frac{4 + \sqrt{7}}{3} \approx 2{,}215\) erfüllt diese Bedingung. 8. Rücksubstitution: \(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\).

\(k = \ln\left(\frac{4 + \sqrt{7}}{3}\right)\)

- Was bedeutet es für die Gleichung der Geraden, dass sie eine „Ursprungsgerade“ ist? - Bestimme zuerst die Schnittpunkte der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(m\). - Welche Funktion liegt im betrachteten Bereich oberhalb der anderen? Ein kleiner Testwert oder eine Skizze im Kopf kann helfen. - Stelle das Integral auf und achte beim Einsetzen der oberen Grenze \(\frac{1}{m^2}\) besonders auf die Potenzgesetze. - Löse am Ende die entstandene Gleichung nach der gesuchten Steigung auf.

1. Schnittpunkte von \(f(x) = \sqrt{x}\) und \(g(x) = mx\) berechnen: \(\sqrt{x} = mx \Rightarrow x = m^2x^2 \Rightarrow x(1 - m^2x) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = \frac{1}{m^2}\). 2. Integral für den Flächeninhalt \(A\) im Intervall \([0; \frac{1}{m^2}]\) aufstellen: \(A = \int_{0}^{\frac{1}{m^2}} (\sqrt{x} - mx) \, dx\). 3. Stammfunktion bestimmen und Integral berechnen: \(\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}x^2 \right]_{0}^{\frac{1}{m^2}} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{m^2}\right)^{\frac{3}{2}} - \frac{m}{2}\left(\frac{1}{m^2}\right)^2 = \frac{2}{3m^3} - \frac{1}{2m^3} = \frac{1}{6m^3}\). 4. Den berechneten Ausdruck mit dem gegebenen Flächeninhalt gleichsetzen: \(\frac{1}{6m^3} = \frac{4}{3}\). 5. Nach \(m\) auflösen: \(3 = 24m^3 \Rightarrow m^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow m = \frac{1}{2}\).

Die Steigung der Geraden muss \(m = \frac{1}{2}\) (oder \(0{,}5\)) betragen.

- Nutze die Symmetrie der Parabel \(f(x) = x^2\) zur \(y\)-Achse, um Rechnungen zu vereinfachen. - Wie hängen die Tangentensteigungen in den Punkten \(-k\) und \(k\) zusammen? - Für die Fläche \(A_2\) musst du die Fläche zwischen der Parabel und den beiden unterschiedlichen Tangentenstücken berechnen; eine Aufteilung des Integrals an der Nahtstelle der Tangenten ist hier sinnvoll. - Überlege dir, welche der Funktionen im jeweiligen Intervall die „obere“ und welche die „untere“ ist.

1. Ableitung \(f'(x) = 2x\). Tangente in \(A\): \(y = -2kx - k^2\). Tangente in \(B\): \(y = 2kx - k^2\). Schnittpunkt durch Gleichsetzen: \(-2kx - k^2 = 2kx - k^2 \Rightarrow 4kx = 0 \Rightarrow x_C = 0\). Einsetzen ergibt \(y_C = -k^2\). Also \(C(0\mid -k^2)\). 2. Sehne \(AB\) liegt auf der Geraden \(y = k^2\). Parabelsegment \(A_1 = \int_{-k}^{k} (k^2 - x^2) \, dx = [k^2x - \frac{1}{3}x^3]_{-k}^{k} = (k^3 - \frac{1}{3}k^3) - (-k^3 + \frac{1}{3}k^3) = \frac{4}{3}k^3\). 3. Fläche \(A_2\) zwischen Parabel und Tangenten (symmetrisch zur \(y\)-Achse): \(A_2 = 2\int_{0}^{k} (x^2 - (2kx - k^2)) \, dx = 2\int_{0}^{k} (x-k)^2 \, dx = 2[\frac{1}{3}(x-k)^3]_{0}^{k} = 2(0 - (-\frac{1}{3}k^3)) = \frac{2}{3}k^3\). 4. Verhältnis \(A_1 {:} A_2 = \frac{4}{3}k^3 {:} \frac{2}{3}k^3 = 2 {:} 1\). Das Verhältnis ist somit konstant \(2\).

1. Tangenten: \(y = -2kx - k^2\) und \(y = 2kx - k^2\); Schnittpunkt \(C(0\mid -k^2)\). 2. \(A_1 = \frac{4}{3}k^3\). 3. \(A_2 = \frac{2}{3}k^3\). 4. \(A_1 {:} A_2 = 2 {:} 1\). Das Verhältnis ist stets \(2\).

- Welche mathematische Bedingung muss für ein lokales Minimum an einer bestimmten Stelle erfüllt sein? - Kannst du die Funktion so umformen, dass du ihre Nullstellen direkt ablesen kannst? - In welchem Bereich musst du integrieren, um die eingeschlossene Fläche zu erhalten? - Achte darauf, dass die Fläche als absoluter Betrag des Integrals definiert ist. - Überprüfe am Ende mit der zweiten Ableitung, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt.

1. Ableitung bilden: \(f'(x) = 3ax^2 + 2bx\). 2. Bedingung für das lokale Minimum bei \(x = 2\) nutzen: \(f'(2) = 0 \implies 12a + 4b = 0 \implies b = -3a\). 3. Funktionsgleichung mit einem Parameter ausdrücken: \(f(x) = ax^3 - 3ax^2 = ax^2(x - 3)\). 4. Nullstellen bestimmen: \(x_1 = 0\) (doppelt) und \(x_2 = 3\). 5. Integral für den Flächeninhalt im Intervall \([0; 3]\) aufstellen: \(A = \left| \int_{0}^{3} (ax^3 - 3ax^2) \, dx \right| = 6{,}75\). 6. Integral berechnen: \(\int_{0}^{3} (ax^3 - 3ax^2) \, dx = a \cdot [\frac{1}{4}x^4 - x^3]_{0}^{3} = a \cdot (\frac{81}{4} - 27) = a \cdot (20{,}25 - 27) = -6{,}75a\). 7. Bestimmung von \(a\): \(\left| -6{,}75a \right| = 6{,}75 \implies |a| = 1\). 8. Überprüfung der Art des Extremums: \(f''(x) = 6ax + 2b = 6ax - 6a\). Für ein Minimum bei \(x=2\) muss \(f''(2) = 12a - 6a = 6a > 0\) gelten, daraus folgt \(a = 1\). 9. Berechnung von \(b\): \(b = -3 \cdot 1 = -3\).

\(a = 1\) und \(b = -3\)

- Welche Potenzen von \(x\) kommen in einer achsensymmetrischen Funktion vor? - Nutze die Symmetrie der Funktion aus, um die Berechnung der Gesamtfläche zu vereinfachen. - Wie viele Nullstellen muss die Funktion insgesamt haben, wenn sie achsensymmetrisch ist und durch den Ursprung sowie durch \(x=2\) verläuft? - Was bedeutet die Information über das lokale Maximum für das Vorzeichen des Streckungsfaktors?

1. Ansatz für eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades: \(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\). 2. Bedingung Ursprung: \(f(0) = 0 \implies c = 0\). 3. Bedingung Nullstelle: \(f(2) = 0 \implies 16a + 4b = 0 \implies b = -4a\). 4. Funktionsterm: \(f(x) = ax^4 - 4ax^2\). 5. Bedingung Maximum bei \(x=0\): \(f''(x) = 12ax^2 - 8a\); \(f''(0) = -8a < 0 \implies a > 0\). 6. Flächeninhalt bestimmen: Die Nullstellen liegen bei \(x=0\) und \(x=\pm 2\). Die Gesamtfläche setzt sich aus zwei symmetrischen Teilen zusammen: \(2 \cdot \left| \int_{0}^{2} (ax^4 - 4ax^2) \, dx \right| = 12{,}8\). 7. Integral berechnen: \(\int_{0}^{2} (ax^4 - 4ax^2) \, dx = \left[ \frac{a}{5}x^5 - \frac{4a}{3}x^3 \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}a - \frac{32}{3}a = -\frac{64}{15}a\). 8. Gleichung aufstellen: \(2 \cdot \frac{64}{15}a = 12{,}8 \implies \frac{128}{15}a = \frac{128}{10} \implies a = 1{,}5\). 9. Bestimmung von \(b\): \(b = -4 \cdot 1{,}5 = -6\). 10. Ergebnis: \(f(x) = 1{,}5x^4 - 6x^2\).

\(f(x) = 1{,}5x^4 - 6x^2\)

- Welche Begrenzungen hat die Fläche im ersten Quadranten? Bestimme den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse und die positiven Nullstellen. - Kannst du den Funktionsterm faktorisieren, um die Nullstellen leichter zu finden? - Berechne das Integral von der \(y\)-Achse bis zur ersten positiven Nullstelle. - Achte beim Lösen der Gleichung darauf, dass nur positive Werte für \(k\) gesucht sind.

1. Bestimmung der Grenzen: Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse liegt bei \(f(0) = k^3\). Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus \(f(x) = (x-k)^2(x+k) = 0\) zu \(x_1 = k\) und \(x_2 = -k\). Für den ersten Quadranten ist die relevante Nullstelle \(x = k\). 2. Aufstellen des Integrals: Da der Graph für \(x \in [0; k]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, gilt \(A = \int_{0}^{k} (x^3 - kx^2 - k^2x + k^3) \, dx\). 3. Integration: \(\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}kx^3 - \frac{1}{2}k^2x^2 + k^3x \right]_{0}^{k} = \frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{3}k^4 - \frac{1}{2}k^4 + k^4 = \frac{3-4-6+12}{12}k^4 = \frac{5}{12}k^4\). 4. Berechnung von \(k\): \(\frac{5}{12}k^4 = \frac{20}{3} \implies 5k^4 = 80 \implies k^4 = 16\). Wegen \(k > 0\) ergibt sich \(k = 2\).

\(k = 2\)

- Setze die Funktionsgleichung gleich Null, um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse zu finden. - Bestimme zuerst die Ableitung der Wurzelfunktion, um die Tangentensteigung berechnen zu können. - Die Fläche wird durch die \(y\)-Achse (links) und den Schnittpunkt (rechts) begrenzt. - Achte beim Integrieren der Wurzelfunktion auf die Potenzregeln.

1. Berechnung der positiven Nullstelle: \(k\sqrt{x} - x = 0 \iff \sqrt{x}(k - \sqrt{x}) = 0\). Da \(x_S > 0\), folgt \(\sqrt{x_S} = k\), also \(x_S = k^2\). 2. Bestimmung der Tangente in \(S(k^2 \mid 0)\): Die Ableitung ist \(g_k'(x) = \frac{k}{2\sqrt{x}} - 1\). Die Steigung ist \(g_k'(k^2) = \frac{k}{2k} - 1 = -\frac{1}{2}\). Die Tangente lautet \(t_k(x) = -\frac{1}{2}(x - k^2) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}k^2\). 3. Berechnung des Flächeninhalts \(A\) durch Integration von \(0\) bis \(k^2\): Hier gilt \(t_k(x) \ge g_k(x)\). Die Differenzfunktion ist \(t_k(x) - g_k(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}k^2 - k\sqrt{x}\). 4. Integral berechnen: \(A = \int_0^{k^2} \left( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}k^2 - kx^{\frac{1}{2}} \right) \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}k^2x - \frac{2}{3}kx^{\frac{3}{2}} \right]_0^{k^2} = \frac{1}{4}k^4 + \frac{1}{2}k^4 - \frac{2}{3}k^4 = \frac{1}{12}k^4\). 5. Bestimmung von \(k\): Aus \(\frac{1}{12}k^4 = \frac{4}{3}\) folgt \(k^4 = 16\). Da \(k > 0\), ist \(k = 2\).

a) \(x_S = k^2\) b) \(k = 2\)

- Überlege zuerst, welche Steigung die Tangente in einem lokalen Maximum hat. - Wie lautet die allgemeine Formel für die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen? - Die Integrationsgrenzen findest du durch Gleichsetzen der Funktion und der Tangente. - Faktorisiere die Differenzfunktion und nutze die Vielfachheit des Berührpunkts, um die weitere Schnittstelle zu bestimmen.

1. Bestimmung des lokalen Maximums: \(f_k'(x) = 2kx - 3x^2 = x(2k - 3x)\). Die Extremstelle bei \(x = \frac{2}{3}k\) liefert den Funktionswert \(y_{max} = f_k(\frac{2}{3}k) = \frac{4}{27}k^3\). 2. Gleichung der Tangente \(t\): Da es sich um ein Maximum handelt, ist die Tangente waagerecht mit der Gleichung \(t(x) = \frac{4}{27}k^3\). 3. Schnittpunkte von \(f_k\) und \(t\): \(kx^2 - x^3 = \frac{4}{27}k^3 \Rightarrow x^3 - kx^2 + \frac{4}{27}k^3 = 0\). Neben der doppelten Schnittstelle \(x = \frac{2}{3}k\) ergibt sich durch Polynomdivision oder Probieren die weitere Schnittstelle \(x = -\frac{1}{3}k\). 4. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_{-\frac{k}{3}}^{\frac{2k}{3}} (\frac{4}{27}k^3 - (kx^2 - x^3)) \, dx = [\frac{4}{27}k^3x - \frac{1}{3}kx^3 + \frac{1}{4}x^4]_{-\frac{k}{3}}^{\frac{2k}{3}}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(A = \frac{1}{12}k^4\). 5. Bestimmung von \(k\): \(\frac{1}{12}k^4 = 108 \Rightarrow k^4 = 1296\). Da \(k > 0\), folgt \(k = 6\).

\(k = 6\)

- Bestimme zunächst die zweite Ableitung, um die Wendestellen zu finden. - Stelle die Tangentengleichung mithilfe der Punkt-Steigungs-Form auf. - Beim Integrieren über ein symmetrisches Intervall um Null vereinfachen sich oft Terme mit ungeraden Exponenten. - Überprüfe, welcher Graph im Integrationsintervall oberhalb des anderen liegt.

1. Bestimmung der Wendepunkte: \(g_k'(x) = 4x^3 - 3kx^2\), \(g_k''(x) = 12x^2 - 6kx = 6x(2x - k)\). Die Wendestellen liegen bei \(x = 0\) und \(x = \frac{k}{2}\). Der gesuchte Wendepunkt ist \(W(\frac{k}{2} \mid -\frac{k^4}{16})\). 2. Tangentengleichung an der Stelle \(x_w = \frac{k}{2}\): Die Steigung ist \(g_k'(\frac{k}{2}) = -\frac{1}{4}k^3\). Damit ergibt sich die Tangente \(t(x) = -\frac{1}{4}k^3(x - \frac{k}{2}) - \frac{k^4}{16} = -\frac{1}{4}k^3x + \frac{k^4}{16}\). 3. Schnittstellen von \(g_k\) und \(t\): \(x^4 - kx^3 = -\frac{1}{4}k^3x + \frac{k^4}{16} \Rightarrow (x - \frac{k}{2})^3(x + \frac{k}{2}) = 0\). Die Schnittstellen sind \(x = \frac{k}{2}\) (dreifach) und \(x = -\frac{k}{2}\). 4. Flächeninhalt berechnen: \(A = \int_{-\frac{k}{2}}^{\frac{k}{2}} |t(x) - g_k(x)| \, dx = \int_{-\frac{k}{2}}^{\frac{k}{2}} (-x^4 + kx^3 - \frac{1}{4}k^3x + \frac{k^4}{16}) \, dx\). Da die ungeraden Potenzen über dem symmetrischen Intervall verschwinden, bleibt \(2\int_0^{\frac{k}{2}} (-x^4 + \frac{k^4}{16}) \, dx = 2[-\frac{1}{5}x^5 + \frac{k^4}{16}x]_0^{\frac{k}{2}} = \frac{1}{20}k^5\). 5. Bestimmung von \(k\): \(\frac{1}{20}k^5 = 1{,}6 \Rightarrow k^5 = 32 \Rightarrow k = 2\).

\(k = 2\)

- Untersuche zuerst, wo sich die Graphen schneiden. Eine Substitution könnte bei der Gleichung helfen. - Achte auf Symmetrien in den Funktionsgleichungen, um dir Rechenarbeit zu sparen. - Denke daran, dass beim Integrieren von \(\frac{1}{x^2}\) die Potenzregel für negative Exponenten angewendet werden kann. - Welcher Graph liegt im relevanten Bereich oberhalb des anderen?

1. Bestimmung der Schnittstellen: \(\frac{8}{x^2} = 9 - x^2 \Rightarrow x^4 - 9x^2 + 8 = 0\). Mit der Substitution \(u = x^2\) folgt \(u^2 - 9u + 8 = 0\), woraus \(u_1 = 1\) und \(u_2 = 8\) resultieren. Die Schnittstellen sind somit \(x = \pm 1\) und \(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\). 2. Aufgrund der Achsensymmetrie beider Funktionen zur \(y\)-Achse reicht die Berechnung für den Bereich \(x > 0\) im Intervall \([1; \sqrt{8}]\). In diesem Intervall gilt \(g(x) \geq f(x)\). 3. Berechnung des Integrals der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x) = 9 - x^2 - 8x^{-2}\): \(\int_{1}^{\sqrt{8}} (9 - x^2 - 8x^{-2}) \,\text{d}x = [9x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{8}{x}]_{1}^{\sqrt{8}}\). 4. Einsetzen der Grenzen: An der Stelle \(\sqrt{8}\) ergibt sich \(9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \frac{8}{\sqrt{8}} = 9\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} + \sqrt{8} = 10\sqrt{8} - \frac{8\sqrt{8}}{3} = \frac{22\sqrt{8}}{3} = \frac{44\sqrt{2}}{3}\). An der Stelle \(1\) ergibt sich \(9 - \frac{1}{3} + 8 = \frac{50}{3}\). 5. Die Teilfläche rechts beträgt \(A_{\text{rechts}} = \frac{44\sqrt{2} - 50}{3}\). Der Gesamtflächeninhalt ist das Doppelte: \(A = 2 \cdot \frac{44\sqrt{2} - 50}{3} = \frac{88\sqrt{2} - 100}{3}\).

Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{88\sqrt{2} - 100}{3} \approx 8{,}15\) Flächeneinheiten.

- Bestimme zuerst die Schnittstellen der beiden Funktionen in Abhängigkeit von \(k\). - Untersuche die Symmetrie der Differenzfunktion. Was bedeutet Punktsymmetrie für die Flächeninhalte links und rechts vom Symmetriepunkt? - Stelle eine Formel für den Gesamtflächeninhalt in Abhängigkeit von \(k\) auf. - Löse die entstandene Gleichung nach \(k\) auf.

1. Schnittstellen bestimmen: \(x^3 - k^2x = 0 \Rightarrow x(x-k)(x+k) = 0\). Die Schnittstellen liegen bei \(x_1 = -k\), \(x_2 = 0\) und \(x_3 = k\). 2. Da die Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) ungerade ist (\(h(-x) = -h(x)\)), ist ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Daraus folgt direkt, dass die Flächeninhalte über \([-k; 0]\) und \([0; k]\) gleich groß sein müssen. 3. Berechnung eines Teilflächeninhalts: \(A_1 = |\int_{0}^{k} (x^3 - k^2x) \, dx| = |[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}k^2x^2]_{0}^{k}| = |\frac{1}{4}k^4 - \frac{1}{2}k^4| = |-\frac{1}{4}k^4| = \frac{1}{4}k^4\). Wegen der Symmetrie ist der Inhalt der anderen Fläche ebenfalls \(A_2 = \frac{1}{4}k^4\). 4. Gesamtfläche berechnen: \(A_{\text{ges}} = A_1 + A_2 = \frac{1}{2}k^4\). 5. Parameter \(k\) bestimmen: \(\frac{1}{2}k^4 = 8 \Rightarrow k^4 = 16\). Da \(k > 0\) gefordert ist, folgt \(k = 2\).

a) Die Flächeninhalte sind aufgrund der Punktsymmetrie der Differenzfunktion \(h(x) = x^3 - k^2x\) stets gleich \(A = \frac{1}{4}k^4\). b) Der gesuchte Wert ist \(k = 2\).

- Überlege dir zuerst, wie man den Flächeninhalt unter einer Kurve mit einem Integral berechnet. - Für die vertikale Teilung musst du die obere Integrationsgrenze so wählen, dass genau die Hälfte des Gesamtwerts herauskommt. - Bei der horizontalen Teilung hilft eine Skizze: Die Fläche unter der Geraden \(y=c\) besteht teilweise aus einem Rechteck und teilweise aus einer Fläche unter der Kurve. - Achte bei der horizontalen Teilung darauf, ob die Gerade den Graphen innerhalb des Intervalls schneidet oder komplett darunter liegt.

1. Berechnung des Gesamtflächeninhalts: \(A = \int_{1}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = \left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{4} = -1 - (-4) = 3\). 2. Bestimmung von \(k\): Die Bedingung \(\int_{1}^{k} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) führt auf \(\left[ -\frac{4}{x} \right]_{1}^{k} = 1{,}5\), also \(-\frac{4}{k} + 4 = 1{,}5\). Daraus folgt \(\frac{4}{k} = 2{,}5\) und somit \(k = 1{,}6\). 3. Bestimmung von \(c\): Da \(f(1) = 4\) und \(f(4) = 0{,}25\), liegt die gesuchte Gerade im Bereich der Funktionswerte. Die Fläche unterhalb von \(y = c\) setzt sich aus einem Rechteck und einem Integral zusammen: \(A_{unten} = \int_{1}^{x_c} c \, dx + \int_{x_c}^{4} \frac{4}{x^2} \, dx = 1{,}5\) mit \(c = \frac{4}{x_c^2}\) bzw. \(x_c = \frac{2}{\sqrt{c}}\). 4. Einsetzen und Lösen: \(c \cdot (\frac{2}{\sqrt{c}} - 1) + \left[ -\frac{4}{x} \right]_{\frac{2}{\sqrt{c}}}^{4} = 2\sqrt{c} - c - 1 + 2\sqrt{c} = 4\sqrt{c} - c - 1\). Die Gleichung \(4\sqrt{c} - c - 1 = 1{,}5\) führt mit \(u = \sqrt{c}\) auf \(u^2 - 4u + 2{,}5 = 0\). Die Lösung im Intervall ist \(u = 2 - \sqrt{1{,}5}\), woraus \(c = (2 - \sqrt{1{,}5})^2 = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\) folgt.

a) \(A = 3\) b) \(k = 1{,}6\) c) \(c = 5{,}5 - 2\sqrt{6} \approx 0{,}601\)

- Erinnere dich an die Bedingungen für Wendestellen und wie man Tangentengleichungen aufstellt. - Zeichne dir die Situation skizzenhaft im Kopf vor: Wo liegen die Wendepunkte und wo schneiden sich die Tangenten? - Das Dreieck wird nach unten durch die Gerade begrenzt, die die Wendepunkte verbindet. - Eine Teilfläche liegt zwischen dem Graphen und der unteren Dreiecksseite, die andere zwischen dem Graphen und den Tangenten. - Berechne zuerst die Gesamtfläche des Dreiecks mit der klassischen Formel für Dreiecke.

1. Wendepunkte bestimmen: \(g''(x) = 6x^2 - 6 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\). Mit \(g'''(x) = 12x \neq 0\) sind dies Wendestellen. Funktionswerte: \(g(1) = 0{,}5 - 3 + 4 = 1{,}5\) und \(g(-1) = 1{,}5\). Wendepunkte: \(W_1(1 \mid 1{,}5)\) und \(W_2(-1 \mid 1{,}5)\). 2. Geradengleichungen: Die Verbindungsgerade ist \(y = 1{,}5\). Steigungen der Tangenten: \(g'(1) = 2(1)^3 - 6(1) = -4\) und \(g'(-1) = 4\). Tangentengleichungen: \(t_1: y = -4(x-1) + 1{,}5 = -4x + 5{,}5\) und \(t_2: y = 4(x+1) + 1{,}5 = 4x + 5{,}5\). 3. Dreiecksfläche: Der Schnittpunkt der Tangenten liegt bei \(4x + 5{,}5 = -4x + 5{,}5 \Rightarrow x=0, y=5{,}5\). Das Dreieck hat die Grundseite \(g = 1 - (-1) = 2\) auf der Geraden \(y = 1{,}5\) und die Höhe \(h = 5{,}5 - 1{,}5 = 4\). Fläche \(A_{Dreieck} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4\). 4. Teilfläche zwischen Graph und Verbindungsgerade: \(A_1 = \int_{-1}^{1} (g(x) - 1{,}5) \, dx = \int_{-1}^{1} (0{,}5x^4 - 3x^2 + 2{,}5) \, dx = [0{,}1x^5 - x^3 + 2{,}5x]_{-1}^{1} = 1{,}6 - (-1{,}6) = 3{,}2\). 5. Zweite Teilfläche und Verhältnis: \(A_2 = A_{Dreieck} - A_1 = 4 - 3{,}2 = 0{,}8\). Das Verhältnis ist \(A_1 {:} A_2 = 3{,}2 {:} 0{,}8 = 4 {:} 1\).

a) Wendepunkte: \(W_1(1 \mid 1{,}5)\), \(W_2(-1 \mid 1{,}5)\). Wendetangenten: \(y = -4x + 5{,}5\) und \(y = 4x + 5{,}5\). Verbindungsgerade: \(y = 1{,}5\). b) Der Graph teilt die Dreiecksfläche im Verhältnis \(4 {:} 1\).

- Überlege zuerst, wo sich der Graph und die Gerade schneiden. Diese Stellen sind deine Integrationsgrenzen. - Du kannst die beiden Brüche der Funktion \(f\) zu einem einzigen Bruch zusammenfassen, um die Schnittpunkte leichter zu berechnen. - Erinnere dich daran, wie man Funktionen der Form \(\frac{1}{x+a}\) integriert. - Überprüfe, welche der beiden Funktionen im betrachteten Intervall die größeren Werte annimmt, um das Integral korrekt aufzustellen.

1. Berechnung der Schnittpunkte von \(f\) und \(y = 3\): Die Gleichung \(\frac{3}{x} - \frac{3}{x - 6} = 3\) führt nach Zusammenfassen der Brüche zu \(\frac{-18}{x(x - 6)} = 3\). Dies ergibt die quadratische Gleichung \(x^2 - 6x + 6 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 3 - \sqrt{3}\) und \(x_2 = 3 + \sqrt{3}\). 2. Aufstellen des Integrals für den Flächeninhalt \(A\): Da \(y = 3\) im Intervall \([3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}]\) oberhalb von \(f(x)\) liegt (Prüfung durch Testwert \(x=3\): \(f(3) = 2 < 3\)), gilt: \(A = \int_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}} (3 - (\frac{3}{x} - \frac{3}{x - 6})) \, dx\). 3. Bestimmung der Stammfunktion: \(F(x) = 3x - 3\ln|x| + 3\ln|x - 6|\). 4. Auswertung des bestimmten Integrals: \(A = [3x + 3\ln|\frac{x - 6}{x}|]_{3 - \sqrt{3}}^{3 + \sqrt{3}}\). Einsetzen der Grenzen liefert \(A = (9 + 3\sqrt{3} + 3\ln|2 - \sqrt{3}|) - (9 - 3\sqrt{3} + 3\ln|2 + \sqrt{3}|)\). Unter Verwendung von \(\ln(2 - \sqrt{3}) = -\ln(2 + \sqrt{3})\) ergibt sich der Flächeninhalt zu \(6\sqrt{3} + 6\ln(2 - \sqrt{3})\) bzw. \(6\sqrt{3} - 6\ln(2 + \sqrt{3})\). Numerischer Wert: \(A \approx 2{,}49\).

Der Flächeninhalt beträgt \(6\sqrt{3} + 6\ln(2 - \sqrt{3}) \approx 2{,}49\).

- Erinnere dich daran, wie man die Steigung einer Tangente mithilfe der Ableitung bestimmt. - Die \(y\)-Achse entspricht einer senkrechten Geraden bei einem bestimmten \(x\)-Wert. Welcher ist das? - Überlege, welche der beiden Funktionen im relevanten Bereich oberhalb der anderen liegt. - Welche Stammfunktionen benötigst du für die einzelnen Summanden der Differenzfunktion?

1. Ableitung der Funktion bilden: \(f'(x) = 0{,}5x - \frac{4}{(x+1)^2}\) 2. Steigung der Tangente im Punkt \(P\) berechnen: \(f'(1) = 0{,}5 \cdot 1 - \frac{4}{(1+1)^2} = 0{,}5 - 1 = -0{,}5\) 3. Gleichung der Tangente \(t\) ermitteln: \(t(x) = -0{,}5(x - 1) + 2{,}25 = -0{,}5x + 2{,}75\) 4. Grenzen des Integrals festlegen: Die untere Grenze ist \(x = 0\) (wegen der \(y\)-Achse), die obere Grenze ist die \(x\)-Koordinate des Berührpunktes \(x = 1\). 5. Differenzfunktion \(d(x) = f(x) - t(x)\) aufstellen: \(d(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{4}{x+1} - (-0{,}5x + 2{,}75) = \frac{1}{4}x^2 + 0{,}5x - 2{,}75 + \frac{4}{x+1}\) 6. Bestimmtes Integral berechnen: \(\int_{0}^{1} (\frac{1}{4}x^2 + 0{,}5x - 2{,}75 + \frac{4}{x+1}) \, dx = [\frac{1}{12}x^3 + 0{,}25x^2 - 2{,}75x + 4 \ln|x+1|]_{0}^{1} = (\frac{1}{12} + 0{,}25 - 2{,}75 + 4 \ln 2) - 0 = 4 \ln 2 - \frac{29}{12}\)

Der Flächeninhalt beträgt \(4 \ln 2 - \frac{29}{12} \approx 0{,}356\).

- Skizziere die Situation grob, um die Lage der Graphen zueinander im 3. Quadranten zu verstehen. - Welche Punkte bilden die Ecken der gesuchten Fläche? Bestimme dazu alle paarweisen Schnittpunkte der drei Randkurven. - Zerlege die Fläche in zwei Teilbereiche, da sich die untere Begrenzung an einer Stelle ändert. - Achte beim Integrieren darauf, dass du „obere Funktion minus untere Funktion“ rechnest, damit der Flächeninhalt positiv wird.

1. Schnittpunkte bestimmen: - Schnitt mit der Geraden \(y = x\): \(\frac{x^3 - 3x - 2}{x^2} = x \Rightarrow x^3 - 3x - 2 = x^3 \Rightarrow -3x - 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}\). Der Schnittpunkt liegt bei \(P(-\frac{2}{3} \mid -\frac{2}{3})\). - Schnitt mit der \(x\)-Achse (\(f(x) = 0\)): \(x^3 - 3x - 2 = 0\). Durch Probieren oder Polynomdivision findet man die Nullstellen \(x_1 = -1\) (doppelt) und \(x_2 = 2\). Für den 3. Quadranten ist \(x = -1\) relevant. - Die Gerade \(y = x\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(O(0\mid 0)\). 2. Integral aufstellen: - Die Fläche wird im Intervall \([-1; -\frac{2}{3}]\) durch die \(x\)-Achse (oben) und den Graphen von \(f\) (unten) begrenzt. - Im Intervall \([-\frac{2}{3}; 0]\) wird sie durch die \(x\)-Achse (oben) und die Gerade \(y = x\) (unten) begrenzt. - \(A = \int_{-1}^{-\frac{2}{3}} (0 - f(x)) \, dx + \int_{-\frac{2}{3}}^0 (0 - x) \, dx\). 3. Integration: - Mit \(f(x) = x - \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}\) ergibt sich \(\int (-f(x)) \, dx = \int (-x + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}) \, dx = -\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x} + C\). - Erster Teil: \([-\frac{1}{2}x^2 + 3\ln|x| - \frac{2}{x}]_{-1}^{-\frac{2}{3}} = (-\frac{2}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) + 3) - (-\frac{1}{2} + 0 + 2) = \frac{25}{9} + 3\ln(\frac{2}{3}) - \frac{3}{2} = \frac{23}{18} + 3\ln(\frac{2}{3})\). - Zweiter Teil (Dreiecksfläche): \([-\frac{1}{2}x^2]_{-\frac{2}{3}}^0 = 0 - (-\frac{2}{9}) = \frac{2}{9} = \frac{4}{18}\). 4. Gesamtergebnis: - \(A = \frac{23}{18} + \frac{4}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = \frac{27}{18} + 3\ln(\frac{2}{3}) = 1{,}5 + 3\ln(\frac{2}{3}) \approx 0{,}284\).

Der Inhalt der Fläche beträgt \(A = 1{,}5 + 3\ln\left(\frac{2}{3}\right) \approx 0{,}284\,\text{FE}\).

- Untersuche zuerst das Monotonieverhalten oder die Nullstellen der ersten Ableitung, um das Maximum zu finden. - Fällt dir eine Besonderheit im Aufbau des Bruchs auf, wenn du Zähler und Nenner vergleichst? - Erinnere dich an die Regel für Integrale der Form \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx\). - Nutze Logarithmengesetze, um den finalen Ausdruck zu vereinfachen.

1. Bestimmung der Extremstelle \(x_M\): Die Ableitung von \(g_k(x)\) nach der Quotientenregel lautet \(g_k'(x) = \frac{2x(x^3+k^3) - x^2(3x^2)}{(x^3+k^3)^2} = \frac{2x^4 + 2xk^3 - 3x^4}{(x^3+k^3)^2} = \frac{x(2k^3 - x^3)}{(x^3+k^3)^2}\). Die Nullstelle der Ableitung im Bereich \(x > 0\) liegt bei \(2k^3 - x^3 = 0\), woraus \(x^3 = 2k^3\) und somit \(x_M = \sqrt[3]{2} \cdot k\) folgt. 2. Berechnung des Flächeninhalts: \(A = \int_{0}^{\sqrt[3]{2}k} \frac{x^2}{x^3 + k^3} \, dx\). Da der Zähler bis auf einen konstanten Faktor die Ableitung des Nenners ist (\(\frac{d}{dx}(x^3+k^3) = 3x^2\)), kann eine Stammfunktion direkt als \(\frac{1}{3} \ln|x^3 + k^3|\) angegeben werden. 3. Auswertung des Integrals: \(A = \left[ \frac{1}{3} \ln(x^3 + k^3) \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}k} = \frac{1}{3} \left( \ln((\sqrt[3]{2}k)^3 + k^3) - \ln(0^3 + k^3) \right) = \frac{1}{3} (\ln(2k^3 + k^3) - \ln(k^3)) = \frac{1}{3} (\ln(3k^3) - \ln(k^3))\). 4. Vereinfachung mithilfe der Logarithmengesetze: \(A = \frac{1}{3} \ln\left(\frac{3k^3}{k^3}\right) = \frac{1}{3} \ln(3)\). Dieser Wert ist konstant und somit unabhängig von \(k\).

Die Maximalstelle liegt bei \(x_M = k \cdot \sqrt[3]{2}\). Der Flächeninhalt berechnet sich zu \(A = \frac{1}{3} \ln(3) \approx 0{,}366\). Da dieser Wert für alle \(k > 0\) identisch ist, ist die Fläche unabhängig von \(k\).

- Wie hängen die Nullstellen des Zählers mit den Nullstellen der gesamten Funktion zusammen? - Nutze die Quotientenregel, um die Ableitung zu bilden und die Extrema zu finden. - Verwende für die Flächenberechnungen die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Denke daran, dass der natürliche Logarithmus für Werte zwischen \(0\) und \(1\) negativ ist.

1. Nullstelle: \(f(x)=0\) ist genau für \(\ln x=0\), also bei \(x=1\), erfüllt. 2. Es ist \(f'(x)=\frac{2\ln x-(\ln x)^2}{x^2}=\frac{\ln x(2-\ln x)}{x^2}\). Neben \(x=1\) ergibt sich die Extremstelle \(x=e^2\). Dort wechselt \(f'\) von positiv zu negativ, also liegt der Hochpunkt \(H(e^2\mid 4e^{-2})\) vor. 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist der Flächeninhalt aus b) \(A=\int_1^{e^2}f(x)\,dx=[\frac13(\ln x)^3]_1^{e^2}=\frac83\). 4. Für c) gilt \(\int_c^1f(x)\,dx=[\frac13(\ln x)^3]_c^1=-\frac13(\ln c)^3\). Die Bedingung \(-\frac13(\ln c)^3=\frac83\) ergibt \((\ln c)^3=-8\), also \(\ln c=-2\) und damit \(c=e^{-2}\).

a) Nullstelle bei \(x = 1\); Hochpunkt \(H(e^2 \mid \frac{4}{e^2})\) b) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{8}{3}\). c) \(c = e^{-2}\) (ca. \(0{,}135\))

- Welche Bedingung muss für die erste Ableitung an einer Extremstelle gelten? - Nutze die drei gegebenen Punkte, um ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten der Parabel aufzustellen. - Überlege dir, welche der beiden Funktionen im gegebenen Intervall größere Werte annimmt, um den Integranden für die Fläche korrekt aufzustellen. - Stelle eine Gleichung auf, in der der berechnete Flächenterm dem Wert 1 entspricht.

1. Die Ableitung ist \(f_a'(x) = a \cos(x)\). Die Nullstelle im Intervall \([0; \pi]\) liegt bei \(x = \frac{\pi}{2}\). Mit \(f_a(\frac{\pi}{2}) = a \cdot 1 + 1 = a + 1\) ergibt sich der Hochpunkt \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\). 2. Der Ansatz \(q_a(x) = rx^2 + sx + c\) führt mit \(q_a(0) = 1\) zu \(c = 1\). Aus \(q_a(\pi) = 1\) folgt \(r\pi^2 + s\pi = 0\), also \(s = -r\pi\). Einsetzen des Hochpunkts \(q_a(\frac{\pi}{2}) = a + 1\) ergibt \(r(\frac{\pi}{2})^2 - r\pi(\frac{\pi}{2}) + 1 = a + 1\), woraus \(-\frac{\pi^2}{4}r = a\) und somit \(r = -\frac{4a}{\pi^2}\) folgt. Es ergibt sich \(s = \frac{4a}{\pi}\). Der Funktionsterm lautet \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\). 3. Da \(q_a(x) \geq f_a(x)\) auf dem Intervall \([0; \pi]\) gilt, berechnet sich die Fläche über \(A(a) = \int_0^\pi (q_a(x) - f_a(x)) \, dx = \int_0^\pi (-\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x - a \sin(x)) \, dx\). Die Stammfunktion ist \(F_a(x) = -\frac{4a}{3\pi^2}x^3 + \frac{2a}{\pi}x^2 + a \cos(x)\). Auswertung an den Grenzen liefert \(A(a) = (-\frac{4a\pi}{3} + 2a\pi - a) - (a) = \frac{2\pi}{3}a - 2a = a(\frac{2\pi}{3} - 2)\). 4. Durch Gleichsetzen \(a(\frac{2\pi}{3} - 2) = 1\) erhält man \(a = \frac{1}{\frac{2\pi}{3} - 2} = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\).

1. \(H(\frac{\pi}{2} \mid a + 1)\) 2. \(q_a(x) = -\frac{4a}{\pi^2}x^2 + \frac{4a}{\pi}x + 1\) 3. \(A(a) = a \cdot (\frac{2\pi}{3} - 2)\) 4. \(a = \frac{3}{2\pi - 6} \approx 10{,}594\)

- Wie setzt man zwei Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu bestimmen? - Was muss für das Integral der Differenzfunktion über das gesamte Intervall gelten, wenn die beiden Teilflächen gleich groß sind? - Nutze für \(x\sin(x)\) die im Aufgabentext angegebene Stammfunktion. - Prüfe für die Teilfläche, welche Funktion im jeweiligen Intervall oberhalb der anderen liegt.

1. Aus \(x\sin(x)=k\sin(x)\) folgt \((x-k)\sin(x)=0\). Wegen \(k\in(0;\pi)\) liegen im Intervall \([0;\pi]\) die drei Schnittstellen \(x=0\), \(x=k\) und \(x=\pi\). 2. Sind die beiden eingeschlossenen Flächenstücke gleich groß, heben sich die vorzeichenbehafteten Differenzflächen über dem Gesamtintervall auf. Daher gilt \(\int_0^\pi(f(x)-g_k(x))\,dx=0\). 3. Mit der angegebenen Stammfunktion ist \(\int_0^\pi x\sin(x)\,dx=\pi\). Außerdem gilt \(\int_0^\pi\sin(x)\,dx=2\). Somit folgt \(\pi-2k=0\) und daher \(k=\frac\pi2\). 4. Für diesen Wert liegt \(g_k\) auf \([0;\frac\pi2]\) oberhalb von \(f\). Eine Teilfläche ist daher \(A=\int_0^{\pi/2}(\frac\pi2\sin(x)-x\sin(x))\,dx\). 5. Eine Stammfunktion des Integranden ist \((x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)\). Damit ist \(A=[(x-\frac\pi2)\cos(x)-\sin(x)]_0^{\pi/2}=\frac\pi2-1\).

a) Nachweis über \((x-k) \sin(x) = 0\). b) \(k = \frac{\pi}{2}\). c) Der Flächeninhalt beträgt \(\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0{,}571\).

- Welche Symmetrie des Querschnitts kannst du bei der Flächenberechnung ausnutzen? - Für den Schnittwinkel brauchst du die Steigung des oberen Randes an der Stelle \(x=4\). - Wie erkennst du mit der ersten Ableitung die Stelle der maximalen Höhe? - Prüfe bei einem gefundenen Extrempunkt, ob die Steigung von positiv zu negativ wechselt.

1. Wegen der Symmetrie zur \(x\)-Achse ist der gesamte Flächeninhalt \(A=2\int_0^4f(x)\,\text{d}x\). Mit \(f(x)=2x^{1/2}-0{,}5x^{3/2}\) folgt \(A=2\left[\frac{4}{3}x^{3/2}-\frac{1}{5}x^{5/2}\right]_0^4=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\). 2. Es ist \(f'(x)=\frac{4-3x}{4\sqrt{x}}\). Daher gilt \(f'(4)=-1\). Der spitze Schnittwinkel mit der \(x\)-Achse erfüllt \(\tan(\alpha)=|f'(4)|=1\), also \(\alpha=45^\circ\). 3. Ein innerer Extrempunkt erfüllt \(f'(x)=0\). Daraus folgt \(x=\frac{4}{3}\). Da \(f'\) dort von positiv zu negativ wechselt, liegt das Maximum vor. Die maximale Höhe beträgt \(f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3\sqrt3}\,\text{dm}\).

a) \(A=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\) b) \(\alpha=45^\circ\) c) \(\frac{8}{3\sqrt3}\,\text{dm}\)

- Bestimme zuerst die Gleichung der Tangente \(t\) an der gegebenen Stelle \(x_0\). - Schaue dir den Graphen an, um die Integrationsgrenzen und die begrenzenden Funktionen zu identifizieren. - Überlege dir, welche Funktion in dem Bereich „oben“ und welche „unten“ liegt. - Bei Teilaufgabe b) ist die Fläche durch die \(x\)-Achse begrenzt; beachte, dass Tangente und Funktionsgraph unterschiedliche Nullstellen haben.

a) 1. Tangentengleichung aufstellen: \(f(2) = 5\), \(f'(x) = 2x\), also \(f'(2) = 4\). Tangente: \(y = 4(x-2) + 5 = 4x - 3\). 2. Differenzfunktion bilden: \(h(x) = f(x) - t(x) = x^2 + 1 - (4x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2\). 3. Fläche berechnen: \(A = \int_{0}^{2} (x-2)^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}(x-2)^3 \right]_{0}^{2} = 0 - (-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\). b) 1. Tangentengleichung aufstellen: \(f(1) = 3\), \(f'(x) = -\frac{8}{x^3}\), also \(f'(1) = -8\). Tangente: \(y = -8(x-1) + 3 = -8x + 11\). 2. Nullstellen bestimmen: \(f(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). Tangente \(t(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{11}{8} = 1{,}375\). 3. Fläche berechnen: Die Fläche liegt zwischen \(x=1\) und \(x=2\). Sie setzt sich zusammen aus dem Integral unter \(f\) abzüglich der Fläche unter der Tangente (ein Dreieck). \(A = \int_{1}^{2} (\frac{4}{x^2} - 1) \, dx - \int_{1}^{1{,}375} (-8x + 11) \, dx\). \(\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \left[ -\frac{4}{x} - x \right]_{1}^{2} = (-2-2) - (-4-1) = -4 + 5 = 1\). Dreiecksfläche: \(\frac{1}{2} \cdot (1{,}375 - 1) \cdot 3 = 0{,}5 \cdot 0{,}375 \cdot 3 = 0{,}5625 = \frac{9}{16}\). Gesamtfläche: \(A = 1 - 0{,}5625 = 0{,}4375 = \frac{7}{16}\).

a) \(A = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\) b) \(A = 0{,}4375 = \frac{7}{16}\)