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- Was gibt die Fläche unter einer Geschwindigkeits-Zeit-Kurve physikalisch an? - Wie hängen die Geschwindigkeit und die zurückgelegte Strecke mathematisch zusammen? - Welche Bedeutung hat die Integrationskonstante, wenn ein Startwert gegeben ist? - Erinnere dich an die Potenzregel für das Bilden von Stammfunktionen.

1. Bestimmung der Stammfunktion von \(v(t) = 0{,}6t^2 + 5\): \(V(t) = 0{,}2t^3 + 5t\). 2. Berechnung des bestimmten Integrals im Intervall \([0; 5]\): \(\int_{0}^{5} (0{,}6t^2 + 5) \, \text{d}t = [0{,}2t^3 + 5t]_0^5 = (0{,}2 \cdot 125 + 5 \cdot 5) - 0 = 25 + 25 = 50\). 3. Interpretation: Der Wert \(50\) gibt die Strecke in Metern an, die das Fahrzeug im Zeitintervall von \(0\) bis \(5\) Sekunden zusätzlich zurückgelegt hat. 4. Aufstellen der Bestandsfunktion \(s(t)\) unter Berücksichtigung des Anfangswerts \(s(0) = 12\): \(s(t) = \int v(t) \, \text{d}t = 0{,}2t^3 + 5t + C\). Einsetzen des Anfangswerts liefert \(12 = 0{,}2 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0 + C\), woraus \(C = 12\) folgt. 5. Ergebnis: \(s(t) = 0{,}2t^3 + 5t + 12\).

a) Das Integral beträgt \(50\). Im Sachzusammenhang bedeutet dies, dass das Fahrzeug in den ersten \(5\) Sekunden eine Strecke von \(50\,\text{m}\) zurücklegt. b) Der Funktionsterm lautet \(s(t) = 0{,}2t^3 + 5t + 12\).

- Welche mathematische Operation kehrt den Vorgang des Ableitens um? - Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort (Weg) über die Ableitung zusammen? - Was bedeutet die Information über den Zeitpunkt \(t = 0\) für deine Integrationskonstante? - In welcher Reihenfolge musst du integrieren, um vom Gegebenen zum Gesuchten zu gelangen?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration der Beschleunigung: \(v(t) = \int 0{,}6t \, dt = 0{,}3t^2 + C\). 2. Bestimmung von \(C\) mit \(v(0) = 0\): \(0{,}3 \cdot 0^2 + C = 0 \implies C = 0\). Ergebnis: \(v(t) = 0{,}3t^2\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(s(t) = \int 0{,}3t^2 \, dt = 0{,}1t^3 + C'\). 4. Bestimmung von \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(0{,}1 \cdot 0^3 + C' = 0 \implies C' = 0\). Ergebnis: \(s(t) = 0{,}1t^3\). 5. Berechnung der Werte für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}3 \cdot 5^2 = 7{,}5\) und \(s(5) = 0{,}1 \cdot 5^3 = 12{,}5\).

a) \(v(t) = 0{,}3t^2\) b) \(s(t) = 0{,}1t^3\) c) Nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Geschwindigkeit \(7{,}5\,\text{m/s}\) und der Weg \(12{,}5\,\text{m}\).

- Wie kommst du von der Geschwindigkeit zur zurückgelegten Strecke? - Was bedeutet die Bedingung \(s(0) = 0\) für deine Integrationskonstante? - Wie berechnet man den Zuwachs einer Größe in einem bestimmten Zeitabschnitt, wenn die Änderungsrate bekannt ist? - Welches mathematische Werkzeug hilft dir, die Fläche unter einem Graphen in einem Intervall zu bestimmen?

1. Herleitung der Weg-Zeit-Funktion: Die Funktion \(s(t)\) ist eine Stammfunktion von \(v(t)\). Es gilt \(s(t) = \int 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = \frac{0{,}75}{3}t^3 + C = 0{,}25t^3 + C\). Da \(s(0) = 0\), folgt \(C = 0\), also \(s(t) = 0{,}25t^3\). 2. Berechnung der Wegstrecke im Intervall \([2; 6]\): Die gesuchte Strecke entspricht dem bestimmten Integral der Geschwindigkeit in den Grenzen von 2 bis 6. 3. Berechnung des Integrals: \(\int_{2}^{6} 0{,}75 t^2 \,\text{d}t = [0{,}25t^3]_2^6\). 4. Auswertung: \(0{,}25 \cdot 6^3 - 0{,}25 \cdot 2^3 = 0{,}25 \cdot 216 - 0{,}25 \cdot 8 = 54 - 2 = 52\,\text{m}\). Alternativ: \(s(6) - s(2) = 52\,\text{m}\).

a) \(s(t) = 0{,}25t^3\) b) Das Motorrad legt in diesem Zeitraum \(52\,\text{m}\) zurück.

- Wie hängen die physikalischen Größen Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welcher mathematischen Operation entspricht das Bestimmen der zurückgelegten Strecke, wenn die Geschwindigkeit gegeben ist? - Bestimme zuerst eine Stammfunktion \(s\) der gegebenen Geschwindigkeitsfunktion \(v\), wobei \(s(0) = 0\) gilt. - Setze die entsprechenden Zeitpunkte in deine ermittelte Wegfunktion ein, um die gesuchten Strecken zu berechnen.

1. Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Weg nutzen: Der zurückgelegte Weg \(s(t)\) ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit \(v(t)\) mit der Bedingung \(s(0) = 0\). 2. Aufstellen der allgemeinen Stammfunktion: \(s(t) = \int (-0{,}12 t^2 + 1{,}2 t + 4)\,\mathrm{d}t = -0{,}04 t^3 + 0{,}6 t^2 + 4 t + C\) Da \(s(0) = 0\), folgt \(C = 0\), also: \(s(t) = -0{,}04 t^3 + 0{,}6 t^2 + 4 t\) 3. Berechnung für \(t = 5\,\text{s}\): \(s(5) = -0{,}04 \cdot 5^3 + 0{,}6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 = -5 + 15 + 20 = 30\,\text{m}\) 4. Berechnung für \(t = 10\,\text{s}\): \(s(10) = -0{,}04 \cdot 10^3 + 0{,}6 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 = -40 + 60 + 40 = 60\,\text{m}\)

a) In den ersten \(5\,\text{s}\) legt der Radfahrer \(30\,\text{m}\) zurück. b) Während des gesamten \(10\)-sekündigen Sprints legt er \(60\,\text{m}\) zurück. c) Die Funktionsgleichung der Weg-Zeit-Funktion lautet \(s(t) = -0{,}04 t^3 + 0{,}6 t^2 + 4 t\).

- Wie hängt die zurückgelegte Strecke mit dem Graphen der Geschwindigkeit zusammen? Überlege, welche geometrische Eigenschaft der Fläche unter der Kurve hier eine Rolle spielt. - Kannst du die unregelmäßige Fläche unter dem Graphen in bekanntere, einfachere geometrische Formen zerlegen? - Versuche, die einzelnen Abschnitte nacheinander zu betrachten und die jeweiligen Flächeninhalte zu berechnen. - Achte auf die Beschriftung und Einheiten der beiden Achsen, wenn du Werte abliest.

1. Der zurückgelegte Weg \(s\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, also der Fläche unter dem Graphen von \(v\) im Intervall \([0; 10]\). 2. Die Fläche unter dem Graphen lässt sich in drei einfache geometrische Teilflächen zerlegen: - Ein Dreieck im Intervall \([0; 3]\) mit der Grundseite \(3\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\,\text{m}\) - Ein Rechteck im Intervall \([3; 7]\) mit der Breite \(4\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_2 = 4 \cdot 6 = 24\,\text{m}\) - Ein Trapez im Intervall \([7; 10]\) mit der Breite \(3\,\text{s}\) und den parallelen Seiten \(6\,\text{m/s}\) und \(2\,\text{m/s}\): \(A_3 = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 12\,\text{m}\) 3. Die Addition der Teilflächen ergibt die gesamte zurückgelegte Strecke: \(s = A_1 + A_2 + A_3 = 9 + 24 + 12 = 45\,\text{m}\)

Die gesamte zurückgelegte Strecke beträgt \(45\,\text{m}\).

- Welche Bedeutung hat die Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen? - Welche Strecke repräsentiert ein einzelnes Gitterquadrat aufgrund der Achseneinheiten? - Schätze ganze und angeschnittene Kästchen innerhalb des markierten Bereichs getrennt.

1. Die Strecke entspricht der Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen im Intervall \([2;8]\), also \(\int_2^8v(t)\,\text{d}t\). 2. Ein Gitterquadrat entspricht \(1\,\text{s}\cdot1\,\text{m/s}=1\,\text{m}\). Durch Abschätzen ganzer und angeschnittener Kästchen erhält man ungefähr \(27\,\text{m}\). 3. Eine numerische Auswertung des Integrals liefert zur Kontrolle \(\int_2^8 8e^{-\frac{(t-5)^2}{4}}\,\text{d}t\approx27{,}40\,\text{m}\) und bestätigt die graphische Schätzung.

Der Paketroboter legt ungefähr \(27\,\text{m}\) zurück. Graphische Schätzwerte zwischen \(25\,\text{m}\) und \(29\,\text{m}\) sind plausibel.

- Welche Bewegungsrichtung zeigen positive beziehungsweise negative Werte von \(v\)? - Wann wächst die Entfernung vom Bezugspunkt und wann nimmt sie wieder ab? - Die Flächenstücke unter dem Geschwindigkeitsgraphen lassen sich geometrisch bestimmen. - Berücksichtige beim Schlusswert den Anfangswert \(s(0)=50\,\text{m}\).

1. Das Auto entfernt sich vom Bezugspunkt, solange \(v(t)>0\). Dies gilt bis \(t=8\,\text{s}\); danach ist \(v(t)<0\). Daher ist die Entfernung bei \(t=8\,\text{s}\) maximal. 2. Von \(0\) bis \(4\) ergibt das Trapez \(\frac{2+6}{2}\cdot4=16\,\text{m}\). 3. Von \(4\) bis \(8\) ergibt das Dreieck \(\frac12\cdot4\cdot6=12\,\text{m}\), von \(8\) bis \(12\) das orientierte Dreieck \(-\frac12\cdot4\cdot4=-8\,\text{m}\). 4. Die gesamte Ortsänderung bis \(t=12\) ist \(16+12-8=20\,\text{m}\). Mit dem Anfangswert folgt \(s(12)=50\,\text{m}+20\,\text{m}=70\,\text{m}\).

a) Nach \(8\,\text{s}\). b) \(s(12)=70\,\text{m}\).

- Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Geschwindigkeit für eine Ortsänderung? - Bei einer zurückgelegten Strecke darf ein Richtungswechsel bereits gefahrene Meter nicht wieder aufheben. - Zerlege die Fläche im Diagramm in einfache geometrische Teilflächen.

1. Die Ortsänderung berücksichtigt die Bewegungsrichtung und wird deshalb durch \(\int_0^5v(t)\,\text{d}t\) beschrieben. Die insgesamt zurückgelegte Strecke zählt alle Teilstrecken positiv und wird durch \(\int_0^5|v(t)|\,\text{d}t\) beschrieben. 2. Oberhalb der \(t\)-Achse entstehen ein Rechteck mit Fläche \(4\) und ein Dreieck mit Fläche \(1\), zusammen also \(5\,\text{m}\). Unterhalb der Achse entstehen ein Dreieck mit Betrag \(1\) und ein Rechteck mit Betrag \(2\), zusammen also \(3\,\text{m}\). 3. Daher ist die Ortsänderung \(5\,\text{m}-3\,\text{m}=2\,\text{m}\). Die insgesamt zurückgelegte Strecke beträgt \(5\,\text{m}+3\,\text{m}=8\,\text{m}\).

a) Ortsänderung: \(\int_0^5v(t)\,\text{d}t\); Strecke: \(\int_0^5|v(t)|\,\text{d}t\) b) Ortsänderung: \(2\,\text{m}\); Strecke: \(8\,\text{m}\)

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über ein Zeitintervall integrierst? - Für die zweite Strecke brauchst du nur das Zeitintervall von \(t=5\) bis \(t=10\). - Achte beim Bilden einer Stammfunktion des Exponentialterms auf den Faktor im Exponenten.

1. Der zurückgelegte Weg wird durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit berechnet. 2. Eine Stammfunktion von \(v(t)=15(1-e^{-0{,}2t})\) ist \(V(t)=15t+75e^{-0{,}2t}\). 3. Für die ersten \(5\,\text{s}\) gilt \(\int_0^5 v(t)\,\text{d}t=[15t+75e^{-0{,}2t}]_0^5=75e^{-1}\approx27{,}59\,\text{m}\). 4. Für die darauffolgenden \(5\,\text{s}\) gilt \(\int_5^{10}v(t)\,\text{d}t=[15t+75e^{-0{,}2t}]_5^{10}=75+75e^{-2}-75e^{-1}\approx57{,}56\,\text{m}\).

In den ersten \(5\,\text{s}\) legt das Boot etwa \(27{,}59\,\text{m}\) zurück. In den darauffolgenden \(5\,\text{s}\) legt es etwa \(57{,}56\,\text{m}\) zurück.

- Welche Größe erhältst du als Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit? - Welches bestimmte Integral beschreibt die Bewegung in den ersten \(12\,\text{s}\)? - Achte beim Bilden einer Stammfunktion des Exponentialterms auf den Faktor im Exponenten.

1. Die Fallhöhe ist das Integral der Geschwindigkeit über \([0;12]\): \(h=\int_0^{12}55(1-e^{-0{,}18t})\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=55t+\frac{55}{0{,}18}e^{-0{,}18t}\). 3. Damit gilt \(h=V(12)-V(0)=660+\frac{55}{0{,}18}e^{-2{,}16}-\frac{55}{0{,}18}\approx389{,}68\,\text{m}\).

Der Fallschirmspringer legt in den ersten \(12\,\text{s}\) eine Fallhöhe von etwa \(389{,}68\,\text{m}\) zurück.

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke? - Übersetze „10 Sekunden nach dem Start von Fahrzeug B“ und „20 Sekunden nach dem Start von Fahrzeug B“ zuerst in Werte der gemeinsamen Zeitvariable \(t\). - Berücksichtige, dass Fahrzeug B vor \(t=10\) an der Startlinie steht. - Für den Abstand brauchst du die Differenz der beiden Positionen zum selben Zeitpunkt.

1. Bis zum Start von Fahrzeug B bei \(t=10\) gilt \(s_A(10)=\int_0^{10}18(1-e^{-0{,}08t})\,\text{d}t=[18t+225e^{-0{,}08t}]_0^{10}\approx56{,}10\,\text{m}\). 2. Zehn Sekunden nach dem Start von B ist \(t=20\). Es gilt \(v_A(20)\approx14{,}37\,\text{m/s}\) und \(v_B(20)\approx16{,}77\,\text{m/s}\). Der Geschwindigkeitsunterschied beträgt daher etwa \(2{,}41\,\text{m/s}\). 3. Zwanzig Sekunden nach dem Start von B ist \(t=30\). Dann gilt \(s_A(30)\approx335{,}41\,\text{m}\) und \(s_B(30)=\int_{10}^{30}v_B(t)\,\text{d}t\approx298{,}14\,\text{m}\). Der Abstand beträgt somit etwa \(37{,}27\,\text{m}\).

a) \(56{,}10\,\text{m}\) b) \(2{,}41\,\text{m/s}\) c) \(37{,}27\,\text{m}\)

- Wie kannst du eine vermutete Stammfunktion zuverlässig überprüfen? - Für Teil 2 brauchst du die Differenz der Stammfunktionswerte an den beiden Zeitgrenzen. - Was bedeutet der Mittelwert einer Geschwindigkeitsfunktion über ein Zeitintervall? - Prüfe, ob die Einheit deines Mittelwerts wieder eine Geschwindigkeit ist.

1. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=(-50t-500)e^{-0{,}2t}\). Durch Ableiten lässt sich prüfen, dass \(V'(t)=(10t+50)e^{-0{,}2t}=v(t)\) gilt. 2. Die Wegstrecke ist \(\int_5^{15}v(t)\,\text{d}t=V(15)-V(5)=750e^{-1}-1250e^{-3}\,\text{m}\approx213{,}68\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit im zehnsekündigen Intervall ist \(\bar v=\frac{1}{10}\int_5^{15}v(t)\,\text{d}t=75e^{-1}-125e^{-3}\,\text{m/s}\approx21{,}37\,\text{m/s}\).

1. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=(-50t-500)e^{-0{,}2t}\). 2. Die Wegstrecke beträgt etwa \(213{,}68\,\text{m}\). 3. Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt etwa \(21{,}37\,\text{m/s}\).

- Wie hängen Geschwindigkeit und Weg mathematisch zusammen? - Was bedeutet es für die Konstante \(C\), wenn du einen festen Punkt der Funktion kennst? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. - Überlege, was passiert, wenn du zwei Funktionswerte derselben Stammfunktion voneinander abziehst.

1. Die allgemeine Stammfunktion von \(v(t) = 0{,}3t^2 + 2\) lautet \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + C\). 2. Einsetzen der Bedingung \(s(1) = 5\): \(0{,}1 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1 + C = 5 \Rightarrow 2{,}1 + C = 5 \Rightarrow C = 2{,}9\). Die Funktionsgleichung lautet \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + 2{,}9\). 3. a) \(s(4) = 0{,}1 \cdot 64 + 2 \cdot 4 + 2{,}9 = 6{,}4 + 8 + 2{,}9 = 17{,}3\). Die Differenz ist \(s(4) - s(1) = 17{,}3 - 5 = 12{,}3\,\text{m}\). b) Das Integral berechnet sich zu \(\int_{1}^{4} (0{,}3t^2 + 2) \, dt = [0{,}1t^3 + 2t]_1^4 = (6{,}4 + 8) - (0{,}1 + 2) = 14{,}4 - 2{,}1 = 12{,}3\,\text{m}\). 4. Beide Ergebnisse sind identisch (\(12{,}3\,\text{m}\)). Dies bestätigt den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: Das bestimmte Integral der Geschwindigkeit über ein Intervall entspricht der Änderung der Position (dem zurückgelegten Weg) in diesem Zeitraum, wobei die Integrationskonstante \(C\) bei der Differenzbildung wegfällt.

1. \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + C\) 2. \(C = 2{,}9\); \(s(t) = 0{,}1t^3 + 2t + 2{,}9\) 3. In beiden Fällen ergibt sich ein Weg von \(12{,}3\,\text{m}\). 4. Die Ergebnisse sind gleich, da das Integral der Geschwindigkeit die Änderung des Weges beschreibt (\(s(b) - s(a) = \int_a^b v(t) \, dt\)).

- Erinnere dich an die physikalischen Beziehungen: Die Geschwindigkeit ist die Stammfunktion der Beschleunigung, und der Weg ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit. - Schreibe die Wurzel als Potenz um, um die Integrationsregeln leichter anwenden zu können. - Vergiss nicht, bei jedem Integrationsschritt die Integrationskonstante mithilfe der Startwerte zu bestimmen. - Wie berechnet man Potenzen mit rationalen Exponenten wie \(5/2\) am besten ohne Taschenrechner?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration von \(a(t)\): \(v(t) = \int 0{,}75t^{1/2} \,\text{d}t = 0{,}75 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C_1 = 0{,}5t^{3/2} + C_1\). 2. Anwendung der Randbedingung \(v(0) = 0\): \(0{,}5 \cdot 0^{3/2} + C_1 = 0 \implies C_1 = 0\). Somit ist \(v(t) = 0{,}5t^{3/2}\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration von \(v(t)\): \(s(t) = \int 0{,}5t^{3/2} \,\text{d}t = 0{,}5 \cdot \frac{2}{5} t^{5/2} + C_2 = 0{,}2t^{5/2} + C_2\). 4. Anwendung der Randbedingung \(s(0) = 0\): \(0{,}2 \cdot 0^{5/2} + C_2 = 0 \implies C_2 = 0\). Somit ist \(s(t) = 0{,}2t^{5/2}\). 5. Berechnung der Strecke für \(t = 16\): \(s(16) = 0{,}2 \cdot 16^{5/2} = 0{,}2 \cdot (\sqrt{16})^5 = 0{,}2 \cdot 4^5 = 0{,}2 \cdot 1024 = 204{,}8\). Die Strecke nach \(16\) Sekunden beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

a) \(v(t) = 0{,}5t^{3/2}\) (oder \(v(t) = 0{,}5\sqrt{t^3}\)) b) \(s(t) = 0{,}2t^{5/2}\) (oder \(s(t) = 0{,}2\sqrt{t^5}\)) c) Die zurückgelegte Strecke beträgt \(204{,}8\,\text{m}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit sowie zwischen Geschwindigkeit und Wegfunktion? - Nutze die beiden Anfangswerte jeweils erst nach dem Integrieren, um die Integrationskonstanten zu bestimmen. - Prüfe für Teil c das Vorzeichen der Geschwindigkeit, bevor du Ortsänderung und zurückgelegten Weg gleichsetzt.

1. Durch Integration der Beschleunigung erhält man \(v(t)=8e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(v(0)=8\,\text{m}/\text{s}\) folgt \(C=0\), also \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\). 2. Durch erneute Integration erhält man \(s(t)=-16e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=16\), also \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\). 3. Da \(v(t)>0\) gilt, entspricht die Ortsänderung dem zurückgelegten Weg. Für die ersten zwei Sekunden ist \(s(2)-s(0)=16(1-e^{-1})\,\text{m}\).

a) \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\) b) \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\) c) \(16(1-e^{-1})\,\text{m}\)

- Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welche Rolle spielen die Werte zum Zeitpunkt \(t = 0\) bei der Bestimmung der Stammfunktionen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Zeit die Unbekannte ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion: Da \(v(t) = \int a(t) \,\text{d}t\), folgt \(v(t) = \int 2 \,\text{d}t = 2t + C_1\). Mit der Anfangsbedingung \(v(0) = 5\) ergibt sich \(C_1 = 5\), also \(v(t) = 2t + 5\). 2. Bestimmung der Wegfunktion: Da \(s(t) = \int v(t) \,\text{d}t\), folgt \(s(t) = \int (2t + 5) \,\text{d}t = t^2 + 5t + C_2\). Mit der Anfangsbedingung \(s(0) = 10\) ergibt sich \(C_2 = 10\), also \(s(t) = t^2 + 5t + 10\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(s = 160\): Setze \(t^2 + 5t + 10 = 160\), woraus die quadratische Gleichung \(t^2 + 5t - 150 = 0\) folgt. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}\). Da \(t \ge 0\) sein muss, ist \(t = 10\,\text{s}\).

a) \(v(t) = 2t + 5\) und \(s(t) = t^2 + 5t + 10\) b) Das Fahrzeug erreicht die Position nach \(t = 10\,\text{s}\).

- Schau dir den Graphen genau an und suche die Schnittpunkte der Kurve mit den vertikalen Gitterlinien bei den gesuchten Zeiten. - Erinnere dich daran, wie die Fläche eines einzelnen Trapezes berechnet wird: Verwende die beiden parallelen Seiten (die Funktionswerte an den Intervallgrenzen) und die Breite des Intervalls. - Der zurückgelegte Weg entspricht mathematisch der Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen. Welches mathematische Werkzeug hilft dir, diese Fläche exakt zu bestimmen? - Um die Abweichung zu berechnen, subtrahiere den Näherungswert vom exakten Wert.

1. Ablesen der Geschwindigkeitswerte aus dem Funktionsgraphen an den ganzzahligen Stellen: \(v(0) = 2\,\text{m/s}\) \(v(2) = 4\,\text{m/s}\) \(v(4) = 5\,\text{m/s}\) \(v(6) = 2\,\text{m/s}\) 2. Näherung des Weges über drei Trapeze mit der Breite \(h = 2\,\text{s}\): - Erstes Trapez: \(A_1 = \frac{v(0) + v(2)}{2} \cdot h = \frac{2 + 4}{2} \cdot 2 = 6\,\text{m}\) - Zweites Trapez: \(A_2 = \frac{v(2) + v(4)}{2} \cdot h = \frac{4 + 5}{2} \cdot 2 = 9\,\text{m}\) - Drittes Trapez: \(A_3 = \frac{v(4) + v(6)}{2} \cdot h = \frac{5 + 2}{2} \cdot 2 = 7\,\text{m}\) - Gesamter genäherter Weg: \(s_{\text{Näherung}} = 6 + 9 + 7 = 22\,\text{m}\) 3. Berechnung des exakten Weges mittels des bestimmten Integrals: - Stammfunktion bestimmen: \(V(t) = -\frac{1}{64}t^4 + \frac{1}{12}t^3 + \frac{3}{8}t^2 + 2t\) - Integral berechnen: \(\int_{0}^{6} v(t)\,\mathrm{d}t = V(6) - V(0) = \left(-\frac{1296}{64} + \frac{216}{12} + \frac{108}{8} + 12\right) - 0 = -20{,}25 + 18 + 13{,}5 + 12 = 23{,}25\,\text{m}\) 4. Bestimmung der absoluten Abweichung: - Abweichung: \(23{,}25\,\text{m} - 22\,\text{m} = 1{,}25\,\text{m}\)

a) \(v(0) = 2\,\text{m/s}\), \(v(2) = 4\,\text{m/s}\), \(v(4) = 5\,\text{m/s}\), \(v(6) = 2\,\text{m/s}\) b) Der Näherungswert für den zurückgelegten Weg beträgt \(22\,\text{m}\). c) Der exakte Wert beträgt \(23{,}25\,\text{m}\). Die absolute Abweichung beträgt \(1{,}25\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, wie die Flughöhe mit der Vertikalgeschwindigkeit zusammenhängt. Welcher mathematische Operator beschreibt die Rekonstruktion einer Bestandsgröße aus einer Änderungsrate? - Bestimme eine Stammfunktion für die Geschwindigkeit \(v(t)\), um die Höhenänderung zu beschreiben. - Vergiss nicht, die Anfangshöhe von \(150\,\text{m}\) bei der Berechnung der tatsächlichen Flughöhe zu berücksichtigen. - Wann wechselt der Ballon vom Sinken zum Steigen? Achte auf das Vorzeichen der Geschwindigkeit im Graphen. - Setze für den Zeitpunkt der Wiederkehr der Ausgangshöhe die Höhenänderung gleich null und löse die entstehende Gleichung nach \(t\).

1. Bestimmung der Höhenfunktion \(h(t)\) durch Integration der Vertikalgeschwindigkeit \(v(t) = -0{,}2t^3 + 4{,}2t^2 - 16t\): \(h(t) = h(0) + \int_0^t v(\tau) \,\mathrm{d}\tau = 150 + \left[ -0{,}05\tau^4 + 1{,}4\tau^3 - 8\tau^2 \right]_0^t = 150 - 0{,}05t^4 + 1{,}4t^3 - 8t^2\) 2. Berechnung der Höhen für Teilaufgabe a): - Nach \(4\,\text{Minuten}\): \(h(4) = 150 - 0{,}05 \cdot 4^4 + 1{,}4 \cdot 4^3 - 8 \cdot 4^2 = 150 - 12{,}8 + 89{,}6 - 128 = 98{,}8\,\text{m}\) - Nach \(10\,\text{Minuten}\): \(h(10) = 150 - 0{,}05 \cdot 10^4 + 1{,}4 \cdot 10^3 - 8 \cdot 10^2 = 150 - 500 + 1400 - 800 = 250\,\text{m}\) 3. Bestimmung der minimalen Höhe für Teilaufgabe b): Der Ballon sinkt, solange \(v(t) < 0\) ist, und steigt, sobald \(v(t) > 0\) ist. Der Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus findet an der Nullstelle \(t = 5\) statt. Die minimale Höhe nach \(5\,\text{Minuten}\) beträgt: \(h(5) = 150 - 0{,}05 \cdot 5^4 + 1{,}4 \cdot 5^3 - 8 \cdot 5^2 = 150 - 31{,}25 + 175 - 200 = 93{,}75\,\text{m}\) 4. Zeitpunkt der Wiederkehr der Ausgangshöhe für Teilaufgabe c): Die Ausgangshöhe wird wieder erreicht, wenn die Höhenänderung null ist: \(-0{,}05t^4 + 1{,}4t^3 - 8t^2 = 0 \implies -0{,}05t^2(t^2 - 28t + 160) = 0\) Für \(t > 0\) lösen wir die quadratische Gleichung \(t^2 - 28t + 160 = 0\): \(t = 14 \pm \sqrt{14^2 - 160} = 14 \pm 6\) Dies liefert \(t = 8\) und \(t = 20\). Da die Flugphase auf das Intervall \([0; 10]\) beschränkt ist, erreicht der Ballon nach genau \(8\,\text{Minuten}\) wieder seine Ausgangshöhe.

a) Nach \(4\,\text{Minuten}\) beträgt die Flughöhe \(98{,}8\,\text{m}\), nach \(10\,\text{Minuten}\) beträgt sie \(250\,\text{m}\). b) Die minimale Höhe von \(93{,}75\,\text{m}\) wird nach \(5\,\text{Minuten}\) erreicht. c) Der Ballon erreicht nach genau \(8\,\text{Minuten}\) wieder seine Ausgangshöhe.

- Wie hängen die physikalischen Größen Ort, Geschwindigkeit und Zeit mathematisch zusammen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, was bedeutet das für ihre Funktionswerte? - Erinnere dich daran, wie man die Fläche unter einer Kurve berechnet. - Wie lässt sich die Differenz zweier Flächen durch ein einziges Integral beschreiben?

Gleichsetzen der Geschwindigkeiten zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2 = \frac{1}{2}t + 2 \implies -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t = 0\). Die Lösung für \(t > 0\) liefert den Zeitpunkt \(t = 6\,\text{s}\). Einsetzen in eine der Funktionen ergibt die gemeinsame Geschwindigkeit \(v = 5\,\text{m/s}\). Berechnung der zurückgelegten Wege durch Integration von \(0\) bis \(6\): Weg von Paul: \(s_P = \int_{0}^{6} \left(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ -\frac{1}{12}t^3 + t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 30\,\text{m}\). Weg von Jonas: \(s_J = \int_{0}^{6} \left(\frac{1}{2}t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{4}t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 21\,\text{m}\). Vergleich der Wege: Paul liegt vorn mit einem Vorsprung von \(30\,\text{m} - 21\,\text{m} = 9\,\text{m}\). Geometrische Interpretation: Der Vorsprung entspricht der Fläche zwischen den Graphen von \(v_P\) und \(v_J\) im Intervall \([0; 6]\), berechnet durch das Integral der Differenzfunktion \(\int_{0}^{6} (v_P(t) - v_J(t))\,\mathrm{d}t = 9\,\text{m}\).

a) Nach \(6\,\text{s}\) haben beide Läufer die gleiche Geschwindigkeit von \(5\,\text{m/s}\). b) Paul hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt, Jonas \(21\,\text{m}\). c) Paul liegt mit \(9\,\text{m}\) Vorsprung vorne. Dieser Vorsprung entspricht genau der Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall \([0; 6]\).

- Welche Geradengleichung kannst du aus Steigung und Achsenabschnitt des dargestellten Geschwindigkeitsgraphen ablesen? - Welche Beziehung besteht zwischen Wegfunktion und Geschwindigkeit? - Wie nutzt du die bekannte Position bei \(t=6\,\text{s}\), um die additive Konstante festzulegen?

1. Aus dem Graphen liest man eine Gerade mit Steigung \(0{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ab. Daher gilt \(v(t)=0{,}5t+1\). 2. Da \(s'=v\), hat die Wegfunktion die Form \(s(t)=0{,}25t^2+t+C\). 3. Aus \(s(6)=30\) folgt \(0{,}25\cdot36+6+C=30\), also \(15+C=30\). 4. Damit ist \(C=15\) und somit \(s(t)=0{,}25t^2+t+15\).

\(s(t)=0{,}25t^2+t+15\)

- Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit für die Bewegungsrichtung des Autos? - Welche Rolle spielen die Vorzeichen der Flächen beim Bestimmen der Position? - Unterscheide zwischen „gesamter Fahrstrecke“ und „vorzeichenbehafteter Ortsänderung“. - Die Teilflächen des Diagramms lassen sich als einfache geometrische Figuren behandeln.

1. Das Auto entfernt sich vom Startpunkt, solange \(v(t)>0\) ist. Ab \(t=12\,\text{s}\) ist die Geschwindigkeit negativ und das Auto fährt zurück. Daher wird die maximale Entfernung bei \(t=12\,\text{s}\) erreicht. 2. Die positive Fläche von \(0\) bis \(12\) besteht aus zwei Dreiecken und einem Rechteck: \(\frac12\cdot4\cdot10+4\cdot10+\frac12\cdot4\cdot10=80\,\text{m}\). 3. Von \(12\) bis \(20\) ergibt die orientierte Fläche \(\frac12\cdot8\cdot(-5)=-20\,\text{m}\). 4. Für die gesamte Fahrstrecke werden die Beträge addiert: \(80\,\text{m}+20\,\text{m}=100\,\text{m}\). 5. Die Endposition folgt aus der orientierten Flächenbilanz: \(80\,\text{m}-20\,\text{m}=60\,\text{m}\). Das Auto befindet sich damit \(60\,\text{m}\) in positiver Bewegungsrichtung vom Startpunkt.

a) Nach \(12\,\text{s}\); maximale Entfernung: \(80\,\text{m}\). b) Die gesamte Fahrstrecke beträgt \(100\,\text{m}\). c) Nach \(20\,\text{s}\) befindet sich das Auto bei \(s=60\,\text{m}\), also \(60\,\text{m}\) in positiver Richtung vom Startpunkt.

- Was stellt das Integral einer Geschwindigkeit-Zeit-Funktion physikalisch dar? - Beachte das Vorzeichen der Geschwindigkeit: Was bedeutet es für die Fahrtrichtung, wenn der Graph unter die Zeitachse sinkt? - Wie berechnet man Flächeninhalte von Trapez und Dreieck? - Überlege dir, in welchem Zeitraum das Fahrzeug in die ursprüngliche Richtung fährt und wann es zurücksetzt.

1. Das bestimmte Integral der Geschwindigkeit über die Zeit gibt die Ortsänderung des Fahrzeugs an. 2. Zur Berechnung des Integrals wird die Flächenbilanz bestimmt: - Fläche oberhalb der Achse (Trapez von \(t = 0\) bis \(t = 8\)): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot (8 + 4) \cdot 10 = 60\,\text{m}\). - Fläche unterhalb der Achse (Dreieck von \(t = 8\) bis \(t = 10\)): \(A_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 10 = 10\,\text{m}\). - Integralwert: \(\int_0^{10} v(t)\,\text{d}t = 60 - 10 = 50\). Die Ortsänderung beträgt \(50\,\text{m}\). 3. Das Fahrzeug entfernt sich vom Startpunkt, solange die Geschwindigkeit positiv ist (\(v(t) > 0\)). Dies ist für \(0 < t < 8\) der Fall. Ab \(t = 8\,\text{s}\) wird die Geschwindigkeit negativ, was bedeutet, dass das Fahrzeug umkehrt und sich wieder dem Startpunkt nähert. Die maximale Entfernung wird also bei \(t = 8\,\text{s}\) erreicht.

a) Das Integral gibt die gesamte Ortsänderung des Fahrzeugs an. b) Der Wert des Integrals ist \(50\). Dies entspricht einer Ortsänderung von \(50\,\text{m}\). c) Das Fahrzeug ist zum Zeitpunkt \(t = 8\,\text{s}\) am weitesten vom Startpunkt entfernt.

- Welche Größe erhältst du, wenn du die Geschwindigkeitsfunktion über die Zeit integrierst? - Für Teil b) suchst du im Graphen den Zeitpunkt zur Höhe \(20\,\text{m/s}\). - Prüfe das graphische Ergebnis anschließend mit der Funktionsgleichung. - Was geschieht mit dem Exponentialterm für sehr große \(t\)?

1. Aus \(v(t)=40-40e^{-0{,}25t}\) folgt mit \(s(0)=0\) die Wegfunktion \(s(t)=40t+160e^{-0{,}25t}-160\). 2. Daher gilt \(s(10)=240+160e^{-2{,}5}\,\text{m}\approx253{,}13\,\text{m}\). 3. Aus dem Graphen lässt sich für \(v(t)=20\,\text{m/s}\) etwa \(t\approx2{,}8\,\text{s}\) ablesen. Rechnerisch folgt aus \(20=40(1-e^{-0{,}25t})\) die exakte Lösung \(t=4\ln2\,\text{s}\approx2{,}77\,\text{s}\). 4. Weil \(e^{-0{,}25t}\to0\) für \(t\to\infty\), gilt \(\lim_{t\to\infty}v(t)=40\,\text{m/s}\).

a) \(240+160e^{-2{,}5}\,\text{m}\approx253{,}13\,\text{m}\). b) Graphisch etwa \(2{,}8\,\text{s}\); rechnerisch \(t=4\ln2\,\text{s}\approx2{,}77\,\text{s}\). c) \(40\,\text{m/s}\).

- Überlege dir den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Zeit und Wegstrecke im \(v\)-\(t\)-Diagramm. - Wie berechnet man die Fläche eines Trapezes? - Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilst du den Gesamtweg durch die Gesamtzeit. - Denke an den Umrechnungsfaktor zwischen \(\text{m}/\text{s}\) und \(\text{km}/\text{h}\). - Teile die Fahrt in Abschnitte auf, um zu sehen, wie viel Weg in welcher Zeit zurückgelegt wird.

1. Bewegungsphasen: Von \(0\) bis \(10\,\text{s}\) erfolgt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Von \(10\) bis \(50\,\text{s}\) fährt das Fahrzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit von \(20\,\text{m}/\text{s}\). Von \(50\) bis \(60\,\text{s}\) findet eine gleichmäßige Verzögerung (Bremsvorgang) bis zum Stillstand statt. 2. Gesamtweg: Die Fläche unter dem Graphen entspricht der Strecke. Als Trapez berechnet: \(s_{ges} = \frac{1}{2} \cdot (60\,\text{s} + 40\,\text{s}) \cdot 20\,\text{m}/\text{s} = 50 \cdot 20 = 1000\,\text{m}\). 3. Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\bar{v} = \frac{s_{ges}}{t_{ges}} = \frac{1000\,\text{m}}{60\,\text{s}} = \frac{50}{3}\,\text{m}/\text{s}\). Umrechnung in \(\text{km}/\text{h}\): \(\frac{50}{3} \cdot 3{,}6 = 60\,\text{km}/\text{h}\). 4. Zeitpunkt für die Hälfte der Strecke (\(500\,\text{m}\)): In der ersten Phase werden \(s_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 = 100\,\text{m}\) zurückgelegt. In der zweiten Phase müssen weitere \(400\,\text{m}\) gefahren werden. Bei \(20\,\text{m}/\text{s}\) dauert dies \(\Delta t = \frac{400\,\text{m}}{20\,\text{m}/\text{s}} = 20\,\text{s}\). Der Zeitpunkt ist \(t = 10\,\text{s} + 20\,\text{s} = 30\,\text{s}\).

a) \(0\) bis \(10\,\text{s}\): gleichmäßig beschleunigte Bewegung; \(10\) bis \(50\,\text{s}\): konstante Geschwindigkeit; \(50\) bis \(60\,\text{s}\): gleichmäßig verzögerte Bewegung bis zum Stillstand. b) Das Fahrzeug hat \(1000\,\text{m}\) zurückgelegt. c) Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(60\,\text{km}/\text{h}\). d) Nach \(30\,\text{s}\) ist die Hälfte der Strecke zurückgelegt.

- Für Teil a) untersuchst du, wann die Geschwindigkeit innerhalb des betrachteten Intervalls am größten ist. - Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit; ihr Maximum erfordert eine eigene Extremwertbetrachtung. - Prüfe vor der Wegberechnung, ob \(v\) im Intervall das Vorzeichen wechselt. - Wie hängt der Mittelwert der Geschwindigkeit mit dem Integral über den gesamten Zeitraum zusammen?

1. Für die Höchstgeschwindigkeit wird \(v'(t)=-0{,}15t^2+1{,}2t\) untersucht. Die kritischen Stellen im Intervall sind \(t=0\) und \(t=8\). Da \(v''(8)=-1{,}2<0\), liegt bei \(t=8\,\text{s}\) ein lokales Maximum. Mit den Randwerten ergibt sich dort auch das Maximum auf \([0;12]\): \(v(8)=12{,}8\,\text{m/s}\). 2. Die Beschleunigung ist \(a(t)=v'(t)=-0{,}15t^2+1{,}2t\). Ihr Maximum liegt bei \(a'(t)=v''(t)=-0{,}3t+1{,}2=0\), also bei \(t=4\,\text{s}\). Es gilt \(a(4)=2{,}4\,\text{m/s}^2\). 3. Da \(v(t)\ge0\) auf \([0;12]\), ist die Fahrstrecke \(\int_0^{12}v(t)\,\text{d}t\). Mit \(V(t)=-0{,}0125t^4+0{,}2t^3\) folgt \(V(12)-V(0)=86{,}4\,\text{m}\). 4. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist \(\bar v=\frac{1}{12}\int_0^{12}v(t)\,\text{d}t=7{,}2\,\text{m/s}\).

a) \(t=8\,\text{s}\), \(v_{\max}=12{,}8\,\text{m/s}\). b) \(t=4\,\text{s}\), \(a_{\max}=2{,}4\,\text{m/s}^2\). c) \(86{,}4\,\text{m}\). d) \(7{,}2\,\text{m/s}\).

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Welche Bedeutung hat die Reihenfolge der beiden Integrale in \(D(x)\) für das Vorzeichen? - Was bedeutet eine Positionsdifferenz von Null? - Beachte, dass Boot 2 erst bei \(t=25\) startet.

1. Die beiden Integrale geben die Positionen der Boote relativ zum gemeinsamen Startpunkt an. Daher ist \(D(x)\) die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz „Position von Boot 1 minus Position von Boot 2“. Für \(D(x)>0\) liegt Boot 1 vorn, für \(D(x)<0\) Boot 2; der räumliche Abstand ist \(|D(x)|\). 2. Für Boot 1 gilt \(s_1(50)=\int_0^{50}15(1-e^{-0{,}05t})\,\text{d}t=[15t+300e^{-0{,}05t}]_0^{50}\approx474{,}63\,\text{m}\). 3. Für Boot 2 gilt \(s_2(50)=\int_{25}^{50}25(1-e^{-0{,}1(t-25)})\,\text{d}t\approx395{,}52\,\text{m}\). 4. Somit ist \(D(50)\approx79{,}11\,\text{m}\). Der positive Wert bedeutet, dass Boot 1 zu diesem Zeitpunkt noch etwa \(79{,}11\,\text{m}\) vorn liegt. 5. Aus \(D(z)=0\) folgt Gleichheit der beiden Positionen. Die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist daher der Einholzeitpunkt.

a) \(D(x)\) ist die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz von Boot 1 zu Boot 2; der Abstand ist \(|D(x)|\). b) \(D(50)\approx79{,}11\,\text{m}\); Boot 1 liegt zu diesem Zeitpunkt noch vorn. c) Bei \(D(z)=0\) befinden sich beide Boote am selben Ort; die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist der Einholzeitpunkt.

- Wie erhältst du aus einer Vertikalgeschwindigkeit eine Höhenfunktion, wenn die Anfangshöhe bekannt ist? - Für ein absolutes Maximum im gesamten Modellintervall musst du neben inneren Kandidaten auch die Randwerte beachten. - Welche Bedingung beschreibt die Rückkehr zur Ausgangshöhe? - Achte darauf, zwischen Höhe und Geschwindigkeit zu unterscheiden, wenn du Nullstellen interpretierst.

1. Die Höhe ergibt sich aus \(h(t)=250+\int_0^t v(x)\,\text{d}x\). Mit \(v(t)=2\cdot10^{-5}(t^3-130t^2+3000t)\) folgt \(h(t)=250+2\cdot10^{-5}(\frac14t^4-\frac{130}{3}t^3+1500t^2)\). 2. Es gilt \(h(60)=235{,}6\,\text{m}\) und \(h(120)=221{,}2\,\text{m}\). 3. Für das absolute Maximum im Modellintervall \([0;150]\) werden die Stellen mit \(v(t)=0\) und die Randwerte verglichen. Die Nullstellen sind \(t=0\), \(t=30\) und \(t=100\). Es gilt \(h(30)=257{,}65\,\text{m}\), \(h(100)=\frac{550}{3}\,\text{m}\) und \(h(150)=531{,}25\,\text{m}\). Daher liegt das Maximum bei \(t=150\,\text{s}\). 4. Für \(t=40\) ergibt die Höhenfunktion \(h(40)\approx255{,}33\,\text{m}\), was die angegebene Näherung bestätigt. 5. Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe gilt \(h(t)=250\). Nach Ausklammern von \(t^2\) bleibt \(\frac14t^2-\frac{130}{3}t+1500=0\). Die positiven Lösungen sind \(t=\frac{260\pm20\sqrt{34}}{3}\). Der erste Rückkehrzeitpunkt ist daher \(t=\frac{260-20\sqrt{34}}{3}\,\text{s}\approx47{,}79\,\text{s}\).

a) Nach \(60\,\text{s}\): \(235{,}6\,\text{m}\); nach \(120\,\text{s}\): \(221{,}2\,\text{m}\). b) \(t=150\,\text{s}\); maximale Höhe: \(531{,}25\,\text{m}\). c) \(h(40)\approx255{,}33\,\text{m}\). d) \(t=\frac{260-20\sqrt{34}}{3}\,\text{s}\approx47{,}79\,\text{s}\).

- Welche Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion beschreibt die Beschleunigung? - Für die Tiefe brauchst du die aufsummierte Geschwindigkeitsänderung der Position ab dem Startwert \(s(0)=0\). - Prüfe für Teil c), ob die Geschwindigkeit im betrachteten Intervall ihr Vorzeichen wechselt. - Kontrolliere die Einheiten der Ergebnisse aus Ableitung und Integral.

1. Die Beschleunigung ist die erste Ableitung der Geschwindigkeit: \(a(t)=v'(t)=(t^2-14t+20)e^{-0{,}5t}\). 2. Damit ist \(a(2)=-4e^{-1}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx-1{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die erreichte Tiefe ist \(s(10)=\int_0^{10}(20t-2t^2)e^{-0{,}5t}\,\text{d}t\). 4. Eine Stammfunktion ist \(V(t)=(4t^2-24t-48)e^{-0{,}5t}\). Daher gilt \(s(10)=V(10)-V(0)=48+112e^{-5}\,\text{m}\approx48{,}75\,\text{m}\). 5. Da \(v(t)\ge0\) für \(0\le t\le10\), gibt \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t\) sowohl die Tiefenänderung als auch die in vertikaler Richtung zurückgelegte Strecke in diesem Zeitraum an.

a) \(a(2)=-4e^{-1}\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\approx-1{,}47\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). b) \(s(10)=48+112e^{-5}\,\text{m}\approx48{,}75\,\text{m}\). c) Das Integral ist die Tiefenänderung in den ersten \(10\) Sekunden; weil \(v\) dort nicht negativ ist, entspricht sie zugleich der vertikal zurückgelegten Strecke.

- Welche Ableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung? - Für die Strecke ist die über die Zeit aufsummierte Geschwindigkeit entscheidend. - Prüfe beim Exponentialterm sorgfältig Produkt- und Kettenregel. - Welche Teile von \(v(t)\) verschwinden für sehr große \(t\)?

1. Die Beschleunigung ist \(a(t)=v'(t)\). Aus \(v(t)=80-(40t+80)e^{-0{,}5t}\) folgt mit Produkt- und Kettenregel \(a(t)=20t e^{-0{,}5t}\). 2. Die Strecke ist \(s(20)=\int_0^{20}v(t)\,\text{d}t\). Eine Stammfunktion ist \(V(t)=80t+(80t+320)e^{-0{,}5t}\). 3. Damit gilt \(s(20)=V(20)-V(0)=1280+1920e^{-10}\,\text{m}\approx1280{,}09\,\text{m}\). 4. Für \(t\to\infty\) gilt \((0{,}5t+1)e^{-0{,}5t}\to0\). Daher ist \(\lim_{t\to\infty}v(t)=80\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

a) \(a(t)=20t e^{-0{,}5t}\). b) \(s(20)=1280+1920e^{-10}\,\text{m}\approx1280{,}09\,\text{m}\). c) Die Grenzgeschwindigkeit beträgt \(80\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

- Welche Ableitung von \(v\) beschreibt die Beschleunigung? - Wie findest du Kandidaten für das Maximum der Beschleunigung im abgeschlossenen Zeitintervall? - Vergiss beim Maximum die Randwerte des Zeitintervalls nicht. - Für Teil 2 ist die angegebene Stammfunktion direkt mit den beiden Intervallgrenzen auszuwerten.

1. Die Beschleunigung ist \(a(t)=v'(t)=(1{,}6t-0{,}08t^2)e^{-0{,}1t}\). 2. Für Extremstellen der Beschleunigung wird \(a'(t)=v''(t)=(0{,}008t^2-0{,}32t+1{,}6)e^{-0{,}1t}\) gleich null gesetzt. Im Intervall \([0;60]\) erhält man \(t_1=20-10\sqrt2\) und \(t_2=20+10\sqrt2\). Der Vergleich mit den Randwerten zeigt das globale Maximum bei \(t_1\approx5{,}86\,\text{s}\) mit \(a(t_1)\approx3{,}69\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\). 3. Die Strecke in den ersten \(20\) Sekunden ist \(\int_0^{20}v(t)\,\text{d}t=V(20)-V(0)=1600-8000e^{-2}\,\text{m}\approx517{,}32\,\text{m}\).

1. Die maximale Beschleunigung beträgt etwa \(3{,}69\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\) und wird bei \(t\approx5{,}86\,\text{s}\) erreicht. 2. Die Strecke beträgt \(1600-8000e^{-2}\,\text{m}\approx517{,}32\,\text{m}\).

- Welche Regel nutzt du, um eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kt}\) zu integrieren? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\), wenn \(t\) sehr groß wird? - Betrachte bei der Begründung in Aufgabenteil 3 die Definition der Stammfunktion mit einer Konstante \(C\).

1. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} 12 e^{-0{,}5t} \, dt = [12 \cdot \frac{1}{-0{,}5} e^{-0{,}5t}]_0^4 = [-24 e^{-0{,}5t}]_0^4 = -24(e^{-2} - e^0) = 24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\). 2. Der Gesamtweg für \(t \to \infty\) entspricht dem uneigentlichen Integral \(\int_{0}^{\infty} 12 e^{-0{,}5t} \, dt\). Der Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{b \to \infty} [-24 e^{-0{,}5t}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-24 e^{-0{,}5b} + 24) = 0 + 24 = 24\,\text{m}\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist der Weg begrenzt. 3. Sei \(S(t)\) eine beliebige Stammfunktion von \(v(t)\). Dann gilt \(s(t) = S(t) + C\). Für die Differenz gilt: \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\). Da sich \(C\) (und damit der Einfluss der Startposition) aufhebt, ist die Differenz nur von der Funktion \(v\) und den Grenzen abhängig.

1. \(24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\) 2. Der Grenzwert beträgt \(24\,\text{m}\). Da das Integral gegen einen endlichen Wert konvergiert, ist der Weg begrenzt. 3. Da \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\) gilt, fällt die Konstante \(C\), die die Startposition festlegt, bei der Berechnung der Wegdifferenz weg.

- Wann hat ein bewegtes Objekt die Geschwindigkeit Null? - Wie hängen Geschwindigkeit und Position (bzw. zurückgelegter Weg) mathematisch zusammen? - Achte beim Berechnen der Position darauf, ob die Geschwindigkeit positiv oder negativ ist. - Für die gesamte Wegstrecke musst du die Beträge der Teilwege in den verschiedenen Bewegungsrichtungen addieren.

1. Für Teilaufgabe a): Nullstellen von \(v(t) = 0{,}5t^2 - 4t + 6\). Multiplikation mit 2 ergibt \(t^2 - 8t + 12 = 0\). Mit der pq-Formel: \(t_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16-12} = 4 \pm 2\). Die Stillstände sind bei \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\). Für \(0 \le t < 2\) ist \(v(t) > 0\) (vorwärts), für \(2 < t < 6\) ist \(v(t) < 0\) (rückwärts) und für \(6 < t \le 8\) ist \(v(t) > 0\) (vorwärts). 2. Für Teilaufgabe b): Die Positionsfunktion ist \(s(t) = \int v(t)\,\text{d}t = \frac{1}{6}t^3 - 2t^2 + 6t + C\). Mit \(s(0) = 0\) ist \(C = 0\). Berechnung für \(t = 6\): \(s(6) = \frac{1}{6} \cdot 6^3 - 2 \cdot 6^2 + 6 \cdot 6 = 36 - 72 + 36 = 0\). Das Fahrzeug ist nach \(6\,\text{s}\) wieder am Startpunkt. 3. Für Teilaufgabe c): \(s(2) = \frac{1}{6} \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 6 \cdot 2 = \frac{8}{6} - 8 + 12 = \frac{4}{3} + 4 = 5\,\frac{1}{3} \approx 5{,}33\,\text{m}\). 4. Für Teilaufgabe d): Gesamtwegstrecke \(L = \int_0^8 |v(t)|\,\text{d}t = \int_0^2 v(t)\,\text{d}t + \left| \int_2^6 v(t)\,\text{d}t \right| + \int_6^8 v(t)\,\text{d}t\). \(\int_0^2 v(t)\,\text{d}t = s(2) - s(0) = 5\,\frac{1}{3}\). \(\int_2^6 v(t)\,\text{d}t = s(6) - s(2) = 0 - 5\,\frac{1}{3} = -5\,\frac{1}{3}\). Der Betrag ist \(5\,\frac{1}{3}\). \(\int_6^8 v(t)\,\text{d}t = s(8) - s(6) = (\frac{1}{6} \cdot 512 - 2 \cdot 64 + 48) - 0 = \frac{256}{3} - 128 + 48 = 85\,\frac{1}{3} - 80 = 5\,\frac{1}{3}\). Gesamtweg: \(5\,\frac{1}{3} + 5\,\frac{1}{3} + 5\,\frac{1}{3} = 16\,\text{m}\).

a) Das Fahrzeug steht bei \(t = 2\,\text{s}\) und \(t = 6\,\text{s}\) still. Es fährt zuerst vorwärts (\(0\) bis \(2\,\text{s}\)), dann rückwärts (\(2\) bis \(6\,\text{s}\)) und schließlich wieder vorwärts (\(6\) bis \(8\,\text{s}\)). b) Nach \(6\,\text{s}\) ist die Position \(s(6) = 0\,\text{m}\). Das Fahrzeug befindet sich also wieder genau am Startpunkt. c) Die Entfernung beträgt \(5\,\frac{1}{3}\,\text{m}\) (ca. \(5{,}33\,\text{m}\)). d) Die gesamte zurückgelegte Wegstrecke beträgt \(16\,\text{m}\).

- Überlege dir für Teil a), wann ein Bruch mit konstantem Zähler seinen größten Wert annimmt. - Erinnere dich daran, dass die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen dem zurückgelegten Weg entspricht. - Wie berechnet man den Flächeninhalt unter einer Geraden? Wie unter einer Kurve? - Wenn zwei Objekte sich in die gleiche Richtung bewegen, wann vergrößert sich ihr Abstand und ab wann wird er wieder kleiner?

1. Maximum von \(f(t)\): Der Bruch \(\frac{6}{(t - 5)^2 + 1}\) ist maximal, wenn der Nenner minimal ist. Da \((t - 5)^2 \ge 0\), ist der kleinste Wert des Nenners \(1\) bei \(t = 5\). Die maximale Geschwindigkeit ist \(f(5) = 2 + \frac{6}{1} = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\). 2. Weg von Bernd: \(s_g = \int_{0}^{12} (0{,}4t + 1) \, dt = [0{,}2t^2 + t]_0^{12} = 0{,}2 \cdot 144 + 12 = 28{,}8 + 12 = 40{,}8\,\text{m}\). 3. Weg von Anton: \(s_f = \int_{0}^{12} (2 + \frac{6}{(t - 5)^2 + 1}) \, dt\). Mit dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung und der Stammfunktion \(F(t) = 2t + 6\arctan(t-5)\) ergibt sich \(s_f = [2t + 6\arctan(t-5)]_0^{12} = (24 + 6\arctan(7)) - (0 + 6\arctan(-5)) \approx (24 + 6 \cdot 1{,}4289) - (6 \cdot (-1{,}3734)) \approx 32{,}57 + 8{,}24 \approx 40{,}81\,\text{m}\). 4. Vergleich: Anton legt etwa \(40{,}814\,\text{m}\), Bernd \(40{,}8\,\text{m}\) zurück. Anton liegt damit um etwa \(0{,}014\,\text{m}\) knapp vorn. 5. Maximaler Vorsprung: Der Vorsprung \(d(t) = s_f(t) - s_g(t)\) ist maximal, wenn seine Ableitung null ist, also wenn \(f(t) - g(t) = 0\) bzw. \(f(t) = g(t)\). Im Graphen ist dies der einzige Schnittpunkt der Graphen im betrachteten Intervall (bei \(t \approx 6{,}62\,\text{s}\)); danach läuft Bernd schneller als Anton.

a) Der Nenner \((t-5)^2+1\) ist bei \(t=5\) minimal (\(1\)); daher ist \(f(5) = 8\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\) die Höchstgeschwindigkeit. b) Bernd legt \(40{,}8\,\text{m}\) zurück, Anton etwa \(40{,}814\,\text{m}\). Anton liegt nach \(12\,\text{s}\) um etwa \(0{,}014\,\text{m}\) knapp vorn. c) Antons Vorsprung ist beim Schnittpunkt der Geschwindigkeitsgraphen maximal, also bei \(t \approx 6{,}62\,\text{s}\). Bis dahin ist Anton schneller, danach Bernd.

- Welche Bedingung muss die Geschwindigkeitsfunktion an einem inneren Maximum erfüllen? - Die Strecke in einem Zeitintervall ist die aufsummierte Geschwindigkeit über genau dieses Intervall. - Prüfe eine gefundene Stammfunktion durch Ableiten. - Für Teil c) musst du untersuchen, was der Stammfunktionsterm für immer größere obere Grenzen macht.

1. Es gilt \(v'(t)=(1-0{,}5t)e^{-0{,}5t}\). Für \(t>0\) liegt die einzige kritische Stelle bei \(t=2\,\text{s}\); dort nimmt \(v\) sein Maximum an. 2. Die maximale Geschwindigkeit ist \(v(2)=2e^{-1}\,\text{m/s}\approx0{,}74\,\text{m/s}\). 3. Eine Stammfunktion von \(v\) ist \(V(t)=(-2t-4)e^{-0{,}5t}\). Daher ist \(\int_0^6v(t)\,\text{d}t=4-16e^{-3}\,\text{m}\approx3{,}20\,\text{m}\). 4. Für die gesamte theoretische Strecke gilt \(\int_0^\infty v(t)\,\text{d}t=\lim_{b\to\infty}[(-2t-4)e^{-0{,}5t}]_0^b=4\,\text{m}\), weil \((-2b-4)e^{-0{,}5b}\to0\).

a) Bei \(t=2\,\text{s}\); Höchstgeschwindigkeit \(\frac{2}{e}\,\text{m/s}\approx0{,}74\,\text{m/s}\). b) \(4-16e^{-3}\,\text{m}\approx3{,}20\,\text{m}\). c) \(4\,\text{m}\).