- Welche Größe erhältst du, wenn eine Geschwindigkeit über die Zeit integriert wird? - Welche Einheit entsteht aus \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}\)? - Das Vorzeichen beschreibt hier eine Richtung, nicht eine negative Weglänge.

1. Das Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit beschreibt die Ortsänderung. 2. Der Wert \(-6\,\text{m}\) bedeutet, dass die Position des Aufzugs am Ende des Zeitraums um \(6\,\text{m}\) niedriger ist als zu Beginn. Das negative Vorzeichen beschreibt die Bewegungsrichtung der resultierenden Ortsänderung.

Der Aufzug hat zwischen \(t=4\,\text{s}\) und \(t=9\,\text{s}\) eine Ortsänderung von \(-6\,\text{m}\); seine Endposition liegt also \(6\,\text{m}\) unter seiner Anfangsposition.

- Welche Größe beschreibt das Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit? - Wie hängen Anfangsposition, Ortsänderung und spätere Position zusammen? - Beachte das Vorzeichen des gegebenen Integralwerts.

1. Das Integral der Geschwindigkeit beschreibt die Ortsänderung von \(t=2\,\text{s}\) bis \(t=6\,\text{s}\). 2. Die Ortsänderung beträgt \(12\,\text{m}\). 3. Daher ist \(s(6)=5\,\text{m}+12\,\text{m}=17\,\text{m}\).

\(s(6)=17\,\text{m}\). Der Integralwert \(12\,\text{m}\) ist die Ortsänderung zwischen \(t=2\,\text{s}\) und \(t=6\,\text{s}\).

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über ein Zeitintervall integrierst? - Für die zweite Strecke brauchst du nur das Zeitintervall von \(t=5\) bis \(t=10\). - Achte beim Bilden einer Stammfunktion des Exponentialterms auf den Faktor im Exponenten.

1. Der zurückgelegte Weg wird durch das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit berechnet. 2. Eine Stammfunktion von \(v(t)=15(1-e^{-0{,}2t})\) ist \(V(t)=15t+75e^{-0{,}2t}\). 3. Für die ersten \(5\,\text{s}\) gilt \(\int_0^5 v(t)\,\text{d}t=[15t+75e^{-0{,}2t}]_0^5=75e^{-1}\approx27{,}59\,\text{m}\). 4. Für die darauffolgenden \(5\,\text{s}\) gilt \(\int_5^{10}v(t)\,\text{d}t=[15t+75e^{-0{,}2t}]_5^{10}=75+75e^{-2}-75e^{-1}\approx57{,}56\,\text{m}\).

In den ersten \(5\,\text{s}\) legt das Boot etwa \(27{,}59\,\text{m}\) zurück. In den darauffolgenden \(5\,\text{s}\) legt es etwa \(57{,}56\,\text{m}\) zurück.

- Welche physikalische Größe entsteht, wenn du eine Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Prüfe, ob die Geschwindigkeit im betrachteten Intervall ihr Vorzeichen wechselt. - Wie beeinflusst die bekannte Anfangsposition den konstanten Term der Ortsfunktion?

1. Eine Stammfunktion von \(v(t)=0{,}6t^2+5\) ist \(V(t)=0{,}2t^3+5t\). 2. Es gilt \(\int_0^5(0{,}6t^2+5)\,\text{d}t=[0{,}2t^3+5t]_0^5=50\,\text{m}\). 3. Das Integral ist die Ortsänderung in den ersten \(5\,\text{s}\). Da \(v(t)>0\) gilt, entspricht sie hier zugleich der zurückgelegten Strecke. 4. Für die Ortsfunktion gilt \(s(t)=0{,}2t^3+5t+C\). Aus \(s(0)=12\) folgt \(C=12\). 5. Damit ist \(s(t)=0{,}2t^3+5t+12\).

a) \(50\,\text{m}\); das ist die Ortsänderung und hier zugleich die zurückgelegte Strecke in den ersten \(5\,\text{s}\). b) \(s(t)=0{,}2t^3+5t+12\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und Ortsfunktion? - Welche Bedeutung hat der Anfangswert \(s(0)=0\) für die Stammfunktion? - Wovon hängt es ab, ob Ortsänderung und zurückgelegte Strecke denselben Betrag haben?

1. Eine Stammfunktion von \(v(t)=0{,}3t^2\) ist \(s(t)=0{,}1t^3+C\). 2. Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=0\). Damit ist \(s(t)=0{,}1t^3\). 3. Die Ortsänderung beträgt \(s(5)-s(0)=0{,}1\cdot5^3=12{,}5\,\text{m}\). 4. Für \(0\le t\le5\) gilt \(v(t)\ge0\). Die Drohne ändert also nicht ihre Bewegungsrichtung. Deshalb ist die zurückgelegte Strecke ebenfalls \(12{,}5\,\text{m}\).

a) \(s(t)=0{,}1t^3\) b) Die Ortsänderung beträgt \(12{,}5\,\text{m}\). c) Ja. Da \(v(t)\ge0\) für \(0\le t\le5\) gilt, gibt es keinen Richtungswechsel. Die zurückgelegte Strecke beträgt daher ebenfalls \(12{,}5\,\text{m}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und Ortsfunktion? - Was bedeutet \(s(0)=0\) für die Integrationskonstante? - Prüfe, ob die Geschwindigkeit im betrachteten Intervall ihr Vorzeichen wechselt.

1. Die Ortsfunktion ist eine Stammfunktion von \(v\): \(s(t)=0{,}25t^3+C\). 2. Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=0\), also \(s(t)=0{,}25t^3\). 3. Da \(v(t)\ge0\) ist, entspricht die Ortsänderung auf \([2;6]\) der zurückgelegten Strecke. 4. Es gilt \(s(6)-s(2)=0{,}25\cdot6^3-0{,}25\cdot2^3=54-2=52\,\text{m}\).

a) \(s(t)=0{,}25t^3\) b) \(52\,\text{m}\)

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und Ortsfunktion? - Prüfe, ob die Geschwindigkeit im betrachteten Zeitraum ihr Vorzeichen wechselt. - Wie bestimmt der Anfangswert \(s(0)=0\) die Integrationskonstante?

1. Auf \([0;10]\) ist \(v(t)>0\), deshalb entspricht die Ortsänderung jeweils der zurückgelegten Strecke. 2. Eine Stammfunktion ist \(s(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+4t+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=0\). 3. Damit ist \(s(5)=30\,\text{m}\) und \(s(10)=60\,\text{m}\). 4. Die Ortsfunktion lautet \(s(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+4t\).

a) \(30\,\text{m}\). b) \(60\,\text{m}\). c) \(s(t)=-0{,}04t^3+0{,}6t^2+4t\).

- Wie hängt die zurückgelegte Strecke mit dem Graphen der Geschwindigkeit zusammen? Überlege, welche geometrische Eigenschaft der Fläche unter der Kurve hier eine Rolle spielt. - Kannst du die unregelmäßige Fläche unter dem Graphen in bekanntere, einfachere geometrische Formen zerlegen? - Versuche, die einzelnen Abschnitte nacheinander zu betrachten und die jeweiligen Flächeninhalte zu berechnen. - Achte auf die Beschriftung und Einheiten der beiden Achsen, wenn du Werte abliest.

1. Der zurückgelegte Weg \(s\) entspricht dem Integral der Geschwindigkeit über die Zeit, also der Fläche unter dem Graphen von \(v\) im Intervall \([0; 10]\). 2. Die Fläche unter dem Graphen lässt sich in drei einfache geometrische Teilflächen zerlegen: - Ein Dreieck im Intervall \([0; 3]\) mit der Grundseite \(3\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9\,\text{m}\) - Ein Rechteck im Intervall \([3; 7]\) mit der Breite \(4\,\text{s}\) und der Höhe \(6\,\text{m/s}\): \(A_2 = 4 \cdot 6 = 24\,\text{m}\) - Ein Trapez im Intervall \([7; 10]\) mit der Breite \(3\,\text{s}\) und den parallelen Seiten \(6\,\text{m/s}\) und \(2\,\text{m/s}\): \(A_3 = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 12\,\text{m}\) 3. Die Addition der Teilflächen ergibt die gesamte zurückgelegte Strecke: \(s = A_1 + A_2 + A_3 = 9 + 24 + 12 = 45\,\text{m}\)

Die gesamte zurückgelegte Strecke beträgt \(45\,\text{m}\).

- Welche Bedeutung hat die Fläche unter einem Geschwindigkeits-Zeit-Graphen? - Welche Strecke repräsentiert ein einzelnes Gitterquadrat aufgrund der Achseneinheiten? - Schätze ganze und angeschnittene Kästchen innerhalb des markierten Bereichs getrennt.

1. Die Strecke entspricht der Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen im Intervall \([2;8]\), also \(\int_2^8v(t)\,\text{d}t\). 2. Ein Gitterquadrat entspricht \(1\,\text{s}\cdot1\,\text{m/s}=1\,\text{m}\). Durch Abschätzen ganzer und angeschnittener Kästchen erhält man ungefähr \(27\,\text{m}\). 3. Eine numerische Auswertung des Integrals liefert zur Kontrolle \(\int_2^8 8e^{-\frac{(t-5)^2}{4}}\,\text{d}t\approx27{,}40\,\text{m}\) und bestätigt die graphische Schätzung.

Der Paketroboter legt ungefähr \(27\,\text{m}\) zurück. Graphische Schätzwerte zwischen \(25\,\text{m}\) und \(29\,\text{m}\) sind plausibel.

- Welche Bewegungsrichtung zeigen positive beziehungsweise negative Werte von \(v\)? - Wann wächst die Entfernung vom Koordinatenursprung und wann nimmt sie wieder ab? - Die Flächenstücke unter dem Geschwindigkeitsgraphen lassen sich geometrisch bestimmen. - Berücksichtige beim Schlusswert den Anfangswert \(s(0)=50\,\text{m}\).

1. Der Kameraschlitten entfernt sich vom Koordinatenursprung, solange \(v(t)>0\). Dies gilt bis \(t=8\,\text{s}\); danach ist \(v(t)<0\). Daher ist die Entfernung bei \(t=8\,\text{s}\) maximal. 2. Von \(0\) bis \(4\) ergibt das Trapez \(\frac{2+6}{2}\cdot4=16\,\text{m}\). 3. Von \(4\) bis \(8\) ergibt das Dreieck \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot6=12\,\text{m}\), von \(8\) bis \(12\) das orientierte Dreieck \(-\frac{1}{2}\cdot4\cdot4=-8\,\text{m}\). 4. Die gesamte Ortsänderung bis \(t=12\) ist \(16+12-8=20\,\text{m}\). Mit dem Anfangswert folgt \(s(12)=50\,\text{m}+20\,\text{m}=70\,\text{m}\).

a) Bei \(t=8\,\text{s}\), denn bis dahin gilt \(v(t)>0\) und die Entfernung vom Koordinatenursprung wächst; danach gilt \(v(t)<0\) und die Entfernung nimmt wieder ab. b) \(s(12)=70\,\text{m}\)

- Welche Rolle spielt das Vorzeichen der Geschwindigkeit für eine Ortsänderung? - Bei einer zurückgelegten Strecke darf ein Richtungswechsel bereits zurückgelegte Meter nicht wieder aufheben. - Zerlege die Fläche im Diagramm in einfache geometrische Teilflächen.

1. Die Ortsänderung berücksichtigt die Bewegungsrichtung und wird deshalb durch \(\int_0^5v(t)\,\text{d}t\) beschrieben. Die insgesamt zurückgelegte Strecke zählt alle Teilstrecken positiv und wird durch \(\int_0^5|v(t)|\,\text{d}t\) beschrieben. 2. Oberhalb der \(t\)-Achse entstehen ein Rechteck mit Fläche \(4\) und ein Dreieck mit Fläche \(1\), zusammen also \(5\,\text{m}\). Unterhalb der Achse entstehen ein Dreieck mit Betrag \(1\) und ein Rechteck mit Betrag \(2\), zusammen also \(3\,\text{m}\). 3. Daher ist die Ortsänderung \(5\,\text{m}-3\,\text{m}=2\,\text{m}\). Die insgesamt zurückgelegte Strecke beträgt \(5\,\text{m}+3\,\text{m}=8\,\text{m}\).

a) Ortsänderung: \(\int_0^5v(t)\,\text{d}t\); Strecke: \(\int_0^5|v(t)|\,\text{d}t\) b) Ortsänderung: \(2\,\text{m}\); Strecke: \(8\,\text{m}\)

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine vertikale Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Achte darauf, dass \(v(t)\) im gesamten Zeitraum positiv ist. - Addiere die Höhenänderung zur gegebenen Anfangshöhe.

1. Die Höhenänderung ist das Integral der vertikalen Geschwindigkeit: \(\Delta h=\int_0^2(2t+1)\,\mathrm{d}t\). 2. Mit der Stammfunktion \(t^2+t\) folgt \(\Delta h=[t^2+t]_0^2=6\,\text{m}\). 3. Damit beträgt die Höhe nach zwei Sekunden \(15\,\text{m}+6\,\text{m}=21\,\text{m}\).

Höhenänderung: \(6\,\text{m}\) Höhe nach \(2\,\text{s}\): \(21\,\text{m}\)

- Welche Differenz der beiden Geschwindigkeiten beschreibt die momentane Änderung des Vorsprungs von Nils? - Das Integral dieser Differenz liefert nicht direkt den Abstand, sondern dessen Änderung. - Wie wird aus Anfangsabstand und Abstandsänderung der neue Abstand?

1. Die Änderungsrate des Abstands \(d=x_N-x_L\) ist \(d'(t)=v_N(t)-v_L(t)=t-3\). 2. Die Änderung des Abstands in den ersten drei Sekunden ist \(\int_0^3(t-3)\,\text{d}t=\left[\frac12t^2-3t\right]_0^3=-4{,}5\,\text{m}\). 3. Der negative Integralwert bedeutet, dass der Abstand um \(4{,}5\,\text{m}\) kleiner geworden ist. Aus dem Anfangsabstand \(6\,\text{m}\) folgt \(d(3)=1{,}5\,\text{m}\).

\(d(3)=1{,}5\,\text{m}\). Das Integral ist \(-4{,}5\,\text{m}\) und bedeutet, dass sich der Abstand um \(4{,}5\,\text{m}\) verringert hat.

- Welche einfachen geometrischen Teilflächen erkennst du unter dem Graphen? - Wie erhältst du aus diesen Teilflächen die gesamte Fläche unter dem Graphen? - Welche Einheiten stehen an der Zeit- und an der Geschwindigkeitsachse?

1. Der Geschwindigkeitsgraph liegt im ganzen Zeitraum auf oder über der Zeitachse. Deshalb entspricht die Fläche unter dem Graphen der zurückgelegten Strecke. 2. Von \(0\) bis \(2\) Sekunden entsteht ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(\frac12\cdot2\cdot4=4\,\text{m}\). 3. Von \(2\) bis \(5\) Sekunden entsteht ein Rechteck mit dem Flächeninhalt \(3\cdot4=12\,\text{m}\). 4. Von \(5\) bis \(6\) Sekunden entsteht ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(\frac12\cdot1\cdot4=2\,\text{m}\). 5. Insgesamt beträgt die Strecke \(4+12+2=18\,\text{m}\). 6. Für die Einheit gilt \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{m}\).

Die zurückgelegte Strecke beträgt \(18\,\text{m}\). Die Flächeneinheit ist \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot\text{s}=\text{m}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke? - Übersetze „10 Sekunden nach dem Start von Springer B“ und „20 Sekunden nach dem Start von Springer B“ zuerst in Werte der gemeinsamen Zeitvariable \(t\). - Berücksichtige, dass Springer B vor \(t=10\) noch auf der Plattform ist. - Für den Abstand brauchst du die Differenz der beiden zurückgelegten Strecken zum selben Zeitpunkt.

1. Bis zum Start von Springer B bei \(t=10\) gilt \(s_A(10)=\int_0^{10}18(1-e^{-0{,}08t})\,\text{d}t=[18t+225e^{-0{,}08t}]_0^{10}\approx56{,}10\,\text{m}\). 2. Zehn Sekunden nach dem Start von B ist \(t=20\). Es gilt \(v_A(20)\approx14{,}37\,\text{m/s}\) und \(v_B(20)\approx16{,}77\,\text{m/s}\). Der Geschwindigkeitsunterschied beträgt daher etwa \(2{,}41\,\text{m/s}\). 3. Zwanzig Sekunden nach dem Start von B ist \(t=30\). Dann gilt \(s_A(30)\approx335{,}41\,\text{m}\) und \(s_B(30)=\int_{10}^{30}v_B(t)\,\text{d}t\approx298{,}14\,\text{m}\). Der vertikale Abstand beträgt somit etwa \(37{,}27\,\text{m}\).

a) \(56{,}10\,\text{m}\) b) \(2{,}41\,\text{m/s}\) c) \(37{,}27\,\text{m}\)

- Welche Größe erhältst du durch das bestimmte Integral einer Geschwindigkeit über die Zeit? - Nutze die angegebene Stammfunktion nur an den beiden Intervallgrenzen. - Welche Information über die Bewegungsrichtung erhältst du aus dem Vorzeichen von \(v(t)\)?

1. Die Tiefenänderung ist \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t=V(10)-V(0)=48+112e^{-5}\,\text{m}\approx48{,}75\,\text{m}\). 2. Da das Fahrzeug an der Wasseroberfläche startet, beträgt seine Tiefe nach \(10\,\text{s}\) ebenfalls \(48{,}75\,\text{m}\). 3. Das Integral beschreibt die vorzeichenbehaftete Tiefenänderung im betrachteten Zeitraum. 4. Für \(0\le t\le10\) gilt \(20t-2t^2=2t(10-t)\ge0\) und damit \(v(t)\ge0\). Deshalb gibt es keinen Richtungswechsel; Ortsänderung und vertikal zurückgelegte Strecke stimmen überein.

a) \(48{,}75\,\text{m}\). b) Das Integral ist die Tiefenänderung in den ersten \(10\,\text{s}\). c) Weil \(v(t)\ge0\) auf \([0;10]\) gilt, findet kein Richtungswechsel statt; daher entspricht die Tiefenänderung zugleich der zurückgelegten Strecke.

- Welche Differenz von Stammfunktionswerten gehört jeweils zum betrachteten Zeitintervall? - Warum darfst du hier die vorzeichenbehaftete Ortsänderung als zurückgelegte Strecke deuten? - Vergleiche die Ergebnisse erst, nachdem beide Intervalle dieselbe Länge von \(10\,\text{s}\) haben.

1. Auf \([0;20]\) ist \(v(t)\ge0\), daher entsprechen die bestimmten Integrale den zurückgelegten Strecken. 2. Für die ersten \(10\,\text{s}\) gilt \(V(10)-V(0)\approx487{,}55\,\text{m}\). 3. Für das Intervall \([10;20]\) gilt \(V(20)-V(10)\approx792{,}54\,\text{m}\). 4. Im zweiten gleich langen Zeitintervall legt der Zug etwa \(304{,}99\,\text{m}\) mehr zurück. Das passt dazu, dass seine Geschwindigkeit im Verlauf des Startvorgangs deutlich größer geworden ist.

a) \([0;10]\): \(487{,}55\,\text{m}\); \([10;20]\): \(792{,}54\,\text{m}\). b) Im zweiten Zehnsekundenintervall sind es etwa \(304{,}99\,\text{m}\) mehr; der Zug fährt dort insgesamt mit höheren Geschwindigkeiten.

- Welche Beziehung besteht zwischen einer Ortsfunktion und der Geschwindigkeitsfunktion? - Was kannst du mit einem bekannten Funktionswert über die Integrationskonstante bestimmen? - Was passiert mit der Integrationskonstante, wenn du zwei Werte derselben Ortsfunktion voneinander abziehst? - Welche Aussage des Hauptsatzes verbindet diese Differenz mit einem bestimmten Integral?

1. Eine allgemeine Stammfunktion ist \(s(t)=0{,}1t^3+2t+C\). 2. Aus \(s(1)=5\) folgt \(0{,}1+2+C=5\), also \(C=2{,}9\). Damit ist \(s(t)=0{,}1t^3+2t+2{,}9\). 3. Es gilt \(s(4)-s(1)=17{,}3-5=12{,}3\,\text{m}\). 4. Außerdem ist \(\int_1^4(0{,}3t^2+2)\,\text{d}t=[0{,}1t^3+2t]_1^4=12{,}3\,\text{m}\). 5. Beide Ergebnisse stimmen wegen des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung überein. Bei der Differenz zweier Werte derselben Ortsfunktion hebt sich die Integrationskonstante auf.

1. \(s(t)=0{,}1t^3+2t+C\). 2. \(C=2{,}9\), also \(s(t)=0{,}1t^3+2t+2{,}9\). 3. a) \(12{,}3\,\text{m}\). b) \(12{,}3\,\text{m}\). 4. Beide Werte sind gleich, weil \(s(4)-s(1)=\int_1^4v(t)\,\text{d}t\).

- Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ortsfunktion über Ableitungen zusammen? - Wie kannst du die beiden Anfangswerte nach dem Integrieren nutzen? - Was musst du über das Vorzeichen von \(v(t)\) wissen, bevor du Ortsänderung und Strecke gleichsetzt?

1. Eine Stammfunktion der Beschleunigung ist \(v(t)=8e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(v(0)=8\,\text{m}/\text{s}\) folgt \(C=0\). Damit ist \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\). 2. Eine Stammfunktion von \(v(t)\) ist \(s(t)=-16e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=16\). Damit ist \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\). 3. Für \(t\ge0\) gilt \(v(t)>0\), also gibt es in den ersten \(2\,\text{s}\) keinen Richtungswechsel. Die zurückgelegte Strecke ist deshalb \(s(2)-s(0)=16(1-e^{-1})\,\text{m}\approx10{,}11\,\text{m}\).

a) \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\) b) \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\) c) Die zurückgelegte Strecke beträgt \(16(1-e^{-1})\,\text{m}\approx10{,}11\,\text{m}\).

- Welche Größe erhältst du, wenn du die Geschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Welche Information liefert die Anfangsposition für die Integrationskonstante? - Welche Gleichung muss für den gesuchten Zeitpunkt erfüllt sein?

1. Eine Stammfunktion von \(v(t)=2t+5\) ist \(s(t)=t^2+5t+C\). 2. Aus \(s(0)=10\) folgt \(C=10\). Damit ist \(s(t)=t^2+5t+10\). 3. Für die gesuchte Zeit gilt \(t^2+5t+10=160\), also \(t^2+5t-150=0\). 4. Die Lösungen sind \(t=10\) und \(t=-15\). Da nur \(t\ge0\) betrachtet wird, erreicht das Motorboot die Position nach \(10\,\text{s}\).

a) \(s(t)=t^2+5t+10\) b) Das Motorboot erreicht die Position \(s=160\,\text{m}\) nach \(10\,\text{s}\).

- Welche beiden Geschwindigkeitswerte bilden jeweils die parallelen Seiten eines Trapezes? - Für den exakten Vergleich reicht es, die angegebene Stammfunktion an den Intervallgrenzen auszuwerten. - Vergleiche Näherungswert und exakten Wert mit einer positiven absoluten Differenz.

1. Aus dem Graphen liest man \(v(0)=2\,\text{m/s}\), \(v(2)=4\,\text{m/s}\), \(v(4)=5\,\text{m/s}\) und \(v(6)=2\,\text{m/s}\) ab. 2. Die drei Trapezflächen haben bei einer Breite von jeweils \(2\,\text{s}\) die Inhalte \(6\,\text{m}\), \(9\,\text{m}\) und \(7\,\text{m}\). Der Näherungswert ist daher \(22\,\text{m}\). 3. Exakt gilt \(\int_0^6v(t)\,\text{d}t=V(6)-V(0)=23{,}25\,\text{m}\). 4. Die absolute Abweichung beträgt \(23{,}25\,\text{m}-22\,\text{m}=1{,}25\,\text{m}\).

a) \(v(0)=2\,\text{m/s}\), \(v(2)=4\,\text{m/s}\), \(v(4)=5\,\text{m/s}\), \(v(6)=2\,\text{m/s}\). b) \(22\,\text{m}\). c) Exakt \(23{,}25\,\text{m}\); absolute Abweichung \(1{,}25\,\text{m}\).

- Wie erhältst du aus einer Vertikalgeschwindigkeit die Änderung der Flughöhe? - Vergiss bei der Höhenfunktion die Anfangshöhe nicht. - An welchem Vorzeichenwechsel von \(v\) erkennst du ein Höhenminimum? - Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe muss die gesamte Höhenänderung seit \(t=0\) gleich null sein.

1. Aus \(v(t)=-0{,}2t^3+4{,}2t^2-16t\) folgt für die Höhenfunktion \(h(t)=150+\int_0^t v(\tau)\,\text{d}\tau=150-0{,}05t^4+1{,}4t^3-8t^2\). 2. Damit ist \(h(4)=98{,}8\,\text{m}\) und \(h(10)=250\,\text{m}\). 3. Auf \((0;5)\) ist \(v(t)<0\), danach ist \(v(t)>0\). Daher liegt das Minimum bei \(t=5\,\text{min}\). Es gilt \(h(5)=93{,}75\,\text{m}\). 4. Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe muss \(h(t)=150\) gelten. Daraus folgt \(-0{,}05t^2(t^2-28t+160)=0\). Neben \(t=0\) ergeben sich \(t=8\) und \(t=20\); im Modellintervall ist der erste spätere Zeitpunkt \(t=8\,\text{min}\).

a) \(h(4)=98{,}8\,\text{m}\), \(h(10)=250\,\text{m}\). b) Nach \(5\,\text{min}\) bei \(93{,}75\,\text{m}\). c) Nach \(8\,\text{min}\).

- Wie hängen die physikalischen Größen Ort, Geschwindigkeit und Zeit mathematisch zusammen? - Wenn zwei Graphen sich schneiden, was bedeutet das für ihre Funktionswerte? - Erinnere dich daran, wie man die Fläche unter einer Kurve berechnet. - Wie lässt sich die Differenz zweier Flächen durch ein einziges Integral beschreiben?

Gleichsetzen der Geschwindigkeiten zur Bestimmung des Schnittpunkts: \(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2 = \frac{1}{2}t + 2 \implies -\frac{1}{4}t^2 + \frac{3}{2}t = 0\). Die Lösung für \(t > 0\) liefert den Zeitpunkt \(t = 6\,\text{s}\). Einsetzen in eine der Funktionen ergibt die gemeinsame Geschwindigkeit \(v = 5\,\text{m/s}\). Berechnung der zurückgelegten Wege durch Integration von \(0\) bis \(6\): Weg von Paul: \(s_P = \int_{0}^{6} \left(-\frac{1}{4}t^2 + 2t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ -\frac{1}{12}t^3 + t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 30\,\text{m}\). Weg von Jonas: \(s_J = \int_{0}^{6} \left(\frac{1}{2}t + 2\right)\,\mathrm{d}t = \left[ \frac{1}{4}t^2 + 2t \right]_{0}^{6} = 21\,\text{m}\). Vergleich der Wege: Paul liegt vorn mit einem Vorsprung von \(30\,\text{m} - 21\,\text{m} = 9\,\text{m}\). Geometrische Interpretation: Der Vorsprung entspricht der Fläche zwischen den Graphen von \(v_p\) und \(v_j\) im Intervall \([0; 6]\), berechnet durch das Integral der Differenzfunktion \(\int_{0}^{6} (v_p(t) - v_j(t))\,\mathrm{d}t = 9\,\text{m}\).

a) Nach \(6\,\text{s}\) haben beide Läufer die gleiche Geschwindigkeit von \(5\,\text{m/s}\). b) Paul hat \(30\,\text{m}\) zurückgelegt, Jonas \(21\,\text{m}\). c) Paul liegt mit \(9\,\text{m}\) Vorsprung vorne. Dieser Vorsprung entspricht genau der Fläche zwischen den beiden Graphen im Intervall \([0; 6]\).

- Welche lineare Funktion beschreibt den dargestellten Geschwindigkeitsgraphen? - Welche Art von Funktion kann eine Ortsfunktion haben, wenn ihre Ableitung diese Gerade ist? - Welche Gleichung erhältst du aus der bekannten Position bei \(t=6\,\text{s}\)?

1. Aus dem Graphen liest man eine Gerade mit Steigung \(0{,}5\) und \(y\)-Achsenabschnitt \(1\) ab. Daher gilt \(v(t)=0{,}5t+1\). 2. Da \(s'=v\), hat die Ortsfunktion die Form \(s(t)=0{,}25t^2+t+C\). 3. Aus \(s(6)=30\) folgt \(0{,}25\cdot36+6+C=30\), also \(C=15\). 4. Damit ist \(s(t)=0{,}25t^2+t+15\).

\(s(t)=0{,}25t^2+t+15\)

- Was bedeutet eine negative Geschwindigkeit für die Bewegungsrichtung? - Welche Rolle spielen die Vorzeichen der Flächen beim Bestimmen der Position? - Unterscheide zwischen gesamter Flugstrecke und vorzeichenbehafteter Ortsänderung. - Die Teilflächen des Diagramms lassen sich als einfache geometrische Figuren behandeln.

1. Die Drohne entfernt sich vom Startpunkt, solange \(v(t)>0\) ist. Ab \(t=12\,\text{s}\) ist die Geschwindigkeit negativ und sie fliegt zurück. Daher wird die maximale Entfernung bei \(t=12\,\text{s}\) erreicht. 2. Die positive Fläche von \(0\) bis \(12\) besteht aus zwei Dreiecken und einem Rechteck: \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot10+4\cdot10+\frac{1}{2}\cdot4\cdot10=80\,\text{m}\). 3. Von \(12\) bis \(20\) ergibt die orientierte Fläche \(\frac{1}{2}\cdot8\cdot(-5)=-20\,\text{m}\). 4. Für die gesamte Flugstrecke werden die Beträge addiert: \(80\,\text{m}+20\,\text{m}=100\,\text{m}\). 5. Die Endposition folgt aus der orientierten Flächenbilanz: \(80\,\text{m}-20\,\text{m}=60\,\text{m}\). Die Drohne befindet sich damit \(60\,\text{m}\) in positiver Richtung vom Startpunkt.

a) Nach \(12\,\text{s}\); maximale Entfernung: \(80\,\text{m}\). b) Die gesamte Flugstrecke beträgt \(100\,\text{m}\). c) Nach \(20\,\text{s}\) befindet sich die Drohne bei \(s=60\,\text{m}\), also \(60\,\text{m}\) in positiver Richtung vom Startpunkt.

- Welche Ortsänderung entsteht, wenn du eine Vertikalgeschwindigkeit über die Zeit integrierst? - Welche Flächen des Graphen zählen positiv und welche negativ? - An welcher Stelle wechselt die Bewegungsrichtung der Messkapsel? - Die Flächenstücke lassen sich als Trapez und Dreieck bestimmen.

1. Das bestimmte Integral der Vertikalgeschwindigkeit über die Zeit gibt die Höhenänderung der Messkapsel an. 2. Oberhalb der Zeitachse liegt von \(t=0\) bis \(t=8\) ein Trapez mit dem Flächeninhalt \(\frac{1}{2}(8+4)\cdot10=60\,\text{m}\). Unterhalb der Zeitachse liegt von \(t=8\) bis \(t=10\) ein Dreieck mit dem Flächeninhalt \(10\,\text{m}\). 3. Daher gilt \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t=60\,\text{m}-10\,\text{m}=50\,\text{m}\). Die Messkapsel befindet sich nach \(10\,\text{s}\) also \(50\,\text{m}\) höher als zu Beginn. 4. Bis \(t=8\,\text{s}\) ist \(v(t)>0\); danach ist \(v(t)<0\). Die größte Entfernung von der Ausgangshöhe wird deshalb bei \(t=8\,\text{s}\) erreicht.

a) Das Integral gibt die Höhenänderung der Messkapsel an. b) \(\int_0^{10}v(t)\,\text{d}t=50\,\text{m}\). c) Bei \(t=8\,\text{s}\), denn bis dahin gilt \(v(t)>0\) und die Messkapsel entfernt sich von ihrer Ausgangshöhe; danach gilt \(v(t)<0\) und sie nähert sich ihr wieder.

- Welche Bedingung gilt für die Geschwindigkeit, wenn das Modellauto kurzzeitig stillsteht? - Wie erhältst du aus der Geschwindigkeitsfunktion eine Ortsfunktion? - Was ist der Unterschied zwischen der Position und dem Abstand vom Startpunkt? - Welche Bedeutung haben die Vorzeichenwechsel von \(v(t)\) für die gesamte zurückgelegte Strecke?

1. Für die Stillstände gilt \(v(t)=0\): \(0{,}5t^2-4t+6=0\). Multipliziert mit \(2\) ergibt sich \(t^2-8t+12=0\). Daraus folgen \(t=2\) und \(t=6\). Für \(0\le t<2\) ist \(v(t)>0\), für \(2<t<6\) ist \(v(t)<0\) und für \(6<t\le8\) ist \(v(t)>0\). 2. Eine Ortsfunktion zu \(v\) ist \(s(t)=\frac{1}{6}t^3-2t^2+6t+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=0\). Damit ist \(s(6)=36-72+36=0\). Nach \(6\,\text{s}\) befindet sich das Modellauto wieder am Startpunkt. 3. Es gilt \(s(2)=\frac{8}{6}-8+12=\frac{16}{3}\,\text{m}\). Der Abstand vom Startpunkt beträgt deshalb \(\frac{16}{3}\,\text{m}\approx5{,}33\,\text{m}\). 4. Für die gesamte Strecke werden die Ortsänderungen zwischen den Richtungswechseln betragsmäßig addiert. Es gilt \(s(0)=0\), \(s(2)=\frac{16}{3}\), \(s(6)=0\) und \(s(8)=\frac{16}{3}\). Daher beträgt die gesamte Strecke \(\frac{16}{3}+\frac{16}{3}+\frac{16}{3}=16\,\text{m}\).

a) Das Modellauto steht bei \(t=2\,\text{s}\) und \(t=6\,\text{s}\) kurzzeitig still. Für \(0\le t<2\) fährt es in positive Richtung, für \(2<t<6\) in negative Richtung und für \(6<t\le8\) wieder in positive Richtung. b) \(s(6)=0\,\text{m}\); das Modellauto befindet sich wieder am Startpunkt. c) Der Abstand vom Startpunkt beträgt \(\frac{16}{3}\,\text{m}\approx5{,}33\,\text{m}\). d) Die gesamte zurückgelegte Strecke beträgt \(16\,\text{m}\).

- Welche Bedeutung hat die Fläche unter einem Geschwindigkeitsgraphen? - Welche geometrischen Flächen bilden die drei Abschnitte? - Wie erhältst du aus Gesamtstrecke und Gesamtzeit eine Durchschnittsgeschwindigkeit? - Überlege für Teil d, in welchem Abschnitt die Hälfte der Gesamtstrecke erreicht wird.

1. Von \(0\) bis \(10\,\text{s}\) nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig zu. Von \(10\) bis \(50\,\text{s}\) beträgt sie konstant \(20\,\text{m/s}\). Von \(50\) bis \(60\,\text{s}\) nimmt sie gleichmäßig bis auf \(0\) ab. 2. Die Fläche unter dem Graphen entspricht der Strecke. Als Trapez berechnet gilt \(s_{\text{ges}}=\frac{1}{2}(60\,\text{s}+40\,\text{s})\cdot20\,\text{m/s}=1000\,\text{m}\). 3. Die Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt \(\bar v=\frac{1000\,\text{m}}{60\,\text{s}}=\frac{50}{3}\,\text{m/s}=60\,\text{km/h}\). 4. In den ersten \(10\,\text{s}\) werden \(\frac{1}{2}\cdot10\cdot20=100\,\text{m}\) zurückgelegt. Bis zur Hälfte der Gesamtstrecke fehlen noch \(400\,\text{m}\). Bei \(20\,\text{m/s}\) dauert das \(20\,\text{s}\). Somit ist bei \(t=30\,\text{s}\) die Hälfte erreicht.

a) \(0\) bis \(10\,\text{s}\): Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig zu; \(10\) bis \(50\,\text{s}\): konstante Geschwindigkeit; \(50\) bis \(60\,\text{s}\): Geschwindigkeit nimmt gleichmäßig bis \(0\) ab. b) \(1000\,\text{m}\) c) \(60\,\text{km/h}\) d) \(t=30\,\text{s}\)

- Welche Information liefert ein Schnittpunkt zweier Geschwindigkeitsgraphen? - Wann wächst der Abstand zugunsten Antons: wenn \(f\) größer oder kleiner als \(g\) ist? - Wie hängt die Änderung eines Vorsprungs mit der Differenz der beiden Geschwindigkeiten zusammen?

1. Die beiden Geschwindigkeitsgraphen schneiden sich bei etwa \(t\approx6{,}6\,\text{s}\). 2. Vor diesem Zeitpunkt liegt \(f(t)>g(t)\). Anton gewinnt also pro Sekunde mehr Strecke als Bernd; sein Vorsprung wächst. 3. Nach dem Schnittpunkt gilt \(f(t)<g(t)\). Bernd gewinnt dann Strecke auf Anton zurück; Antons Vorsprung wird kleiner. 4. Bezeichnet \(D(t)\) Antons Vorsprung, so ist seine momentane Änderungsrate \(D'(t)=f(t)-g(t)\). Der Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ am Schnittpunkt zeigt, dass \(D\) dort sein Maximum erreicht.

a) Etwa \(t\approx6{,}6\,\text{s}\). b) Bis etwa \(6{,}6\,\text{s}\) wächst Antons Vorsprung; danach wird er kleiner. c) Der Vorsprung hat die Änderungsrate \(f(t)-g(t)\). Diese wechselt am Schnittpunkt von positiv zu negativ, daher ist der Vorsprung dort maximal.

- Welche Bedeutung haben Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse bei einem Geschwindigkeitsgraphen? - Unterscheide zwischen einer vorzeichenbehafteten Gesamtänderung und einer gesamten Weglänge. - Die beiden Teilflächen lassen sich aus der Abbildung als Dreiecke bestimmen.

1. Oberhalb der Zeitachse liegt ein Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{s}\) und Höhe \(2\,\text{m}/\text{s}\). Sein Flächeninhalt ist \(2\,\text{m}\). 2. Unterhalb der Zeitachse liegt ein Dreieck mit Grundseite \(2\,\text{s}\) und Höhe \(1\,\text{m}/\text{s}\). Sein Flächeninhalt beträgt \(1\,\text{m}\), geht in die Ortsänderung aber mit negativem Vorzeichen ein. 3. Die Ortsänderung ist daher \(2\,\text{m}-1\,\text{m}=1\,\text{m}\). 4. Für die insgesamt zurückgelegte Strecke werden beide Flächeninhalte positiv addiert: \(2\,\text{m}+1\,\text{m}=3\,\text{m}\). 5. Der Unterschied entsteht, weil die Ortsänderung die Bewegungsrichtung über das Vorzeichen berücksichtigt, während die zurückgelegte Strecke die Weglängen beider Bewegungsrichtungen addiert.

a) Ortsänderung: \(1\,\text{m}\) b) Zurückgelegte Strecke: \(3\,\text{m}\) c) Negative Geschwindigkeiten vermindern die Ortsänderung, tragen zur zurückgelegten Strecke aber mit ihrem Betrag bei.

- Zu welchem Zeitpunkt befindet sich jede Person am gemeinsamen Startpunkt \(s=0\)? - Welche Bedingung müssen die beiden Ortsfunktionen bei einem Treffen erfüllen? - Welche Lösung liegt im Zeitbereich, in dem beide unterwegs sind?

1. Für Mila gilt \(s_M(t)=\int_0^t6\,\text{d}x=6t\). 2. Tarek befindet sich bei \(t=2\) am Startpunkt. Daher gilt für \(t\ge2\): \(s_T(t)=\int_2^t(x+4)\,\text{d}x=\frac12t^2+4t-10\). 3. Am Treffpunkt gilt \(s_M(t)=s_T(t)\). Damit folgt \(6t=\frac12t^2+4t-10\), also \(t^2-4t-20=0\). 4. Die Lösungen sind \(t=2\pm2\sqrt6\). Nur \(t=2+2\sqrt6\) liegt nach Tareks Start.

a) \(s_M(t)=6t\) und für \(t\ge2\): \(s_T(t)=\frac12t^2+4t-10\) b) \(t=2+2\sqrt6\,\text{s}\approx6{,}90\,\text{s}\)

- Welche Startposition gehört zu jeder der beiden Ortsfunktionen? - Woran erkennst du an den Ortsfunktionen, dass sich beide am selben Ort befinden? - Welche der erhaltenen Zeiten liegt im angegebenen Intervall?

1. Elin befindet sich bei \(t=0\) am Ort \(0\). Daher gilt \(s_E(t)=10t\). 2. Nils befindet sich bei \(t=0\) am Ort \(12\,\text{m}\). Damit gilt \(s_N(t)=12+\int_0^t(x+2)\,\text{d}x=12+\frac{1}{2}t^2+2t\). 3. Beim Einholen befinden sich beide am selben Ort. Deshalb gilt \(10t=12+\frac{1}{2}t^2+2t\). 4. Daraus folgt \(t^2-16t+24=0\) und damit \(t=8\pm2\sqrt{10}\). 5. Im Intervall \([0;4]\) liegt nur \(t=8-2\sqrt{10}\approx1{,}68\).

a) \(s_E(t)=10t\) und \(s_N(t)=12+\frac{1}{2}t^2+2t\) b) \(t=8-2\sqrt{10}\,\text{s}\approx1{,}68\,\text{s}\)

- Welche Ortsänderung erhältst du, wenn du eine Geschwindigkeit über ein Zeitintervall integrierst? - Welche Bedeutung hat die Reihenfolge der beiden Ortsänderungen in \(D(x)\) für das Vorzeichen? - Was muss für die beiden Positionen gelten, wenn ein Boot das andere genau einholt? - Beachte den späteren Startzeitpunkt von Boot 2 bei den Integrationsgrenzen.

1. Die Integrale geben die von der gemeinsamen Startposition aus zurückgelegten Ortsänderungen der beiden Boote an. Daher ist \(D(x)\) die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz „Boot 1 minus Boot 2“; der räumliche Abstand ist \(|D(x)|\). 2. Für Boot 1 gilt \(s_1(50)=\int_0^{50}15(1-e^{-0{,}05t})\,\text{d}t=[15t+300e^{-0{,}05t}]_0^{50}\approx474{,}6255\,\text{m}\). 3. Für Boot 2 gilt \(s_2(50)=\int_{25}^{50}25(1-e^{-0{,}1(t-25)})\,\text{d}t\approx395{,}5213\,\text{m}\). 4. Somit ist \(D(50)\approx79{,}1042\,\text{m}\), also auf zwei Nachkommastellen \(79{,}10\,\text{m}\). Der positive Wert bedeutet, dass Boot 1 zu diesem Zeitpunkt noch vorn liegt. 5. Aus \(D(z)=0\) folgt die Gleichheit der beiden Positionen. Die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist der Einholzeitpunkt.

a) \(D(x)\) ist die vorzeichenbehaftete Positionsdifferenz von Boot 1 zu Boot 2; der Abstand ist \(|D(x)|\). b) \(D(50)\approx79{,}10\,\text{m}\); Boot 1 liegt zu diesem Zeitpunkt noch vorn. c) Bei \(D(z)=0\) befinden sich beide Boote am selben Ort; die erste solche Nullstelle nach \(t=25\) ist der Einholzeitpunkt.

- Wie erhältst du aus einer Vertikalgeschwindigkeit eine Höhenfunktion, wenn die Anfangshöhe bekannt ist? - Für ein absolutes Maximum im gesamten Modellintervall musst du neben inneren Kandidaten auch die Randwerte beachten. - Welche Bedingung beschreibt die Rückkehr zur Ausgangshöhe? - Achte darauf, zwischen Höhe und Geschwindigkeit zu unterscheiden, wenn du Nullstellen interpretierst.

1. Die Höhe ergibt sich aus \(h(t)=250+\int_0^t v(x)\,\text{d}x\). Mit \(v(t)=2\cdot10^{-5}(t^3-130t^2+3000t)\) folgt \(h(t)=250+2\cdot10^{-5}(\frac14t^4-\frac{130}{3}t^3+1500t^2)\). 2. Es gilt \(h(60)=235{,}6\,\text{m}\) und \(h(120)=221{,}2\,\text{m}\). 3. Für das absolute Maximum im Modellintervall \([0;150]\) werden die Stellen mit \(v(t)=0\) und die Randwerte verglichen. Die Nullstellen sind \(t=0\), \(t=30\) und \(t=100\). Es gilt \(h(30)=257{,}65\,\text{m}\), \(h(100)=\frac{550}{3}\,\text{m}\) und \(h(150)=531{,}25\,\text{m}\). Daher liegt das Maximum bei \(t=150\,\text{s}\). 4. Für \(t=40\) ergibt die Höhenfunktion \(h(40)\approx255{,}33\,\text{m}\), was die angegebene Näherung bestätigt. 5. Für die Rückkehr zur Ausgangshöhe gilt \(h(t)=250\). Nach Ausklammern von \(t^2\) bleibt \(\frac14t^2-\frac{130}{3}t+1500=0\). Die positiven Lösungen sind \(t=\frac{260\pm20\sqrt{34}}{3}\). Der erste Rückkehrzeitpunkt ist daher \(t=\frac{260-20\sqrt{34}}{3}\,\text{s}\approx47{,}79\,\text{s}\).

a) Nach \(60\,\text{s}\): \(235{,}6\,\text{m}\); nach \(120\,\text{s}\): \(221{,}2\,\text{m}\). b) \(t=150\,\text{s}\); maximale Höhe: \(531{,}25\,\text{m}\). c) \(h(40)\approx255{,}33\,\text{m}\). d) \(t=\frac{260-20\sqrt{34}}{3}\,\text{s}\approx47{,}79\,\text{s}\).

- Welche Regel nutzt du, um eine Exponentialfunktion der Form \(e^{kt}\) zu integrieren? - Was passiert mit dem Term \(e^{-0{,}5t}\), wenn \(t\) sehr groß wird? - Betrachte bei der Begründung in Aufgabenteil 3 die Definition der Stammfunktion mit einer Konstante \(C\).

1. Berechnung des Integrals: \(\int_{0}^{4} 12 e^{-0{,}5t} \, dt = [12 \cdot \frac{1}{-0{,}5} e^{-0{,}5t}]_0^4 = [-24 e^{-0{,}5t}]_0^4 = -24(e^{-2} - e^0) = 24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\). 2. Der Gesamtweg für \(t \to \infty\) entspricht dem uneigentlichen Integral \(\int_{0}^{\infty} 12 e^{-0{,}5t} \, dt\). Der Grenzwert berechnet sich zu \(\lim_{b \to \infty} [-24 e^{-0{,}5t}]_0^b = \lim_{b \to \infty} (-24 e^{-0{,}5b} + 24) = 0 + 24 = 24\,\text{m}\). Da der Grenzwert existiert und endlich ist, ist der Weg begrenzt. 3. Sei \(S(t)\) eine beliebige Stammfunktion von \(v(t)\). Dann gilt \(s(t) = S(t) + C\). Für die Differenz gilt: \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\). Da sich \(C\) (und damit der Einfluss der Startposition) aufhebt, ist die Differenz nur von der Funktion \(v\) und den Grenzen abhängig.

1. \(24(1 - e^{-2}) \approx 20{,}75\,\text{m}\) 2. Der Grenzwert beträgt \(24\,\text{m}\). Da das Integral gegen einen endlichen Wert konvergiert, ist der Weg begrenzt. 3. Da \(s(b) - s(a) = (S(b) + C) - (S(a) + C) = S(b) - S(a)\) gilt, fällt die Konstante \(C\), die die Startposition festlegt, bei der Berechnung der Wegdifferenz weg.

- Welches bestimmte Integral beschreibt die in einem Zeitintervall zurückgelegte Strecke, wenn die Geschwindigkeit nicht negativ ist? - Wie wird bei einer unendlichen oberen Grenze ein bestimmtes Integral definiert? - Für den prozentualen Anteil vergleichst du die Strecke bis \(6\,\text{s}\) mit der gesamten theoretischen Strecke.

1. Da \(v(t)\ge0\) für \(t\ge0\) gilt, entsprechen die Integrale den zurückgelegten Strecken. 2. Für die ersten \(6\,\text{s}\) gilt \(\int_0^6v(t)\,\text{d}t=V(6)-V(0)=4-16e^{-3}\,\text{m}\approx3{,}20\,\text{m}\). 3. Für die Gesamtstrecke gilt \(\int_0^\infty v(t)\,\text{d}t=\lim_{b\to\infty}(V(b)-V(0))=4\,\text{m}\), weil \((-2b-4)e^{-0{,}5b}\to0\). 4. Der Anteil nach \(6\,\text{s}\) ist \(\frac{4-16e^{-3}}{4}\cdot100\,\%\approx80{,}1\,\%\).

a) \(4-16e^{-3}\,\text{m}\approx3{,}20\,\text{m}\). b) \(4\,\text{m}\). c) \(80{,}1\,\%\).