Kostenlose Arbeitsblätter

- Vergleiche die Flächen zwischen dem Graphen und der waagerechten Geraden links und rechts vom Schnittpunkt. - Was bedeutet es für den Gesamtflächeninhalt, wenn die Fläche unterhalb der Geraden genauso groß ist wie die Fläche oberhalb? - Die Höhe eines flächengleichen Rechtecks über dem ganzen Intervall entspricht dem Funktionsmittelwert.

1. Die Gerade \(m\) liegt bei \(y=2\). Unterhalb von \(m\) liegt zwischen \(x=0\) und \(x=2\) ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(2\). 2. Oberhalb von \(m\) liegt zwischen \(x=2\) und \(x=4\) ein gleich großes Dreieck. 3. Die Flächenabweichungen unterhalb und oberhalb der Geraden gleichen sich aus. Deshalb hat das Rechteck mit Höhe \(2\) über \([0;4]\) denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter \(f\). Der Funktionsmittelwert ist daher \(2\).

Der Funktionsmittelwert ist \(2\).

- Überlege zuerst, wie man den Durchschnittswert einer Funktion in einem bestimmten Bereich berechnet. - Welche geometrische Bedeutung hat das Integral im Vergleich zu einem Rechteck mit der Breite des Intervalls? - Nachdem du den Durchschnittswert gefunden hast, musst du ihn mit dem Funktionsterm gleichsetzen. - Vergiss am Ende nicht zu prüfen, ob deine berechneten Werte auch wirklich im angegebenen Intervall liegen.

1. Berechnung des Integrals der Funktion über dem Intervall \([0; 3]\): \(\int_0^3 (x-1)^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}(x-1)^3 \right]_0^3 = \frac{1}{3}(3-1)^3 - \frac{1}{3}(0-1)^3 = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{9}{3} = 3\). 2. Bestimmung des Mittelwerts \(\bar{m}\) im Intervall \([a; b]\) mit \(a=0\) und \(b=3\): \(\bar{m} = \frac{1}{3-0} \cdot 3 = 1\). 3. Ansatz zur Bestimmung der Stellen \(x_0\): \(f(x_0) = \bar{m} \implies (x_0-1)^2 = 1\). 4. Lösen der Gleichung: \(x_0 - 1 = -1 \implies x_{0,1} = 0\) oder \(x_0 - 1 = 1 \implies x_{0,2} = 2\). 5. Prüfung der Intervalleinschränkung: Beide Werte \(x_{0,1} = 0\) und \(x_{0,2} = 2\) liegen im Intervall \([0; 3]\).

Die gesuchten Stellen sind \(x_{0,1} = 0\) und \(x_{0,2} = 2\).

- Wo wechseln die beiden Graphen ihre Reihenfolge? - Vergleiche die Fläche, die der eine Graph links „mehr“ besitzt, mit der entsprechenden Fläche rechts. - Für den Funktionsmittelwert wird das Integral nur durch die Länge desselben Intervalls geteilt.

1. Die Graphen schneiden sich bei \(x=2\). 2. Auf \([0;2]\) liegt \(g\) über \(f\). Die Fläche zwischen den Graphen ist dort ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(3\), also mit Flächeninhalt \(3\). 3. Auf \([2;4]\) liegt \(f\) über \(g\). Auch dort ist die Fläche zwischen den Graphen ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(3\), also ebenfalls mit Flächeninhalt \(3\). 4. Die Flächenvorteile gleichen sich deshalb genau aus. Somit sind die Integrale von \(f\) und \(g\) über dasselbe Intervall gleich. Da auch die Intervalllänge gleich ist, besitzen beide Funktionen denselben Funktionsmittelwert.

Beide Funktionen haben auf \([0;4]\) denselben Funktionsmittelwert.

- Welche Formel verbindet den Funktionsmittelwert auf einem Intervall mit einem bestimmten Integral? - Welche Intervalllänge gehört zum Zeitraum von \(10{:}00\) bis \(22{:}00\)? - In Teil b wird genau eine volle Periode des sinusförmigen Anteils betrachtet. Welche Auswirkung hat das auf dessen Mittelwert?

1. Der Funktionsmittelwert auf \([10;22]\) ist \(\overline{T}=\frac{1}{12}\int_{10}^{22}T(t)\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac{120}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{12}(t-10)\right)+22t\). 3. Damit gilt \(\int_{10}^{22}T(t)\,\text{d}t=\frac{240}{\pi}+264\), also \(\overline{T}=22+\frac{20}{\pi}\,{}^\circ\text{C}\approx28{,}37\,{}^\circ\text{C}\). 4. Der Ausdruck \(\frac{1}{24}\int_0^{24}T(t)\,\text{d}t\) ist die mittlere Temperatur während des gesamten 24-Stunden-Zeitraums. Der Sinusanteil erstreckt sich über eine volle Periode und hat Mittelwert \(0\), daher beträgt der Tagesmittelwert \(22\,{}^\circ\text{C}\).

a) \(22+\frac{20}{\pi}\,{}^\circ\text{C}\approx28{,}37\,{}^\circ\text{C}\) b) Der Ausdruck ist die mittlere Temperatur über den gesamten Tag; hier beträgt sie \(22\,{}^\circ\text{C}\).

- Welche Ableitungsregel brauchst du für das Produkt aus einem Polynom und einer Exponentialfunktion? - Die Grenzen des Basisabschnitts erhältst du aus den Nullstellen der Profilfunktion. - Wie wird aus der Querschnittsfläche der Funktionsmittelwert über den Basisabschnitt? - Welche geometrische Beziehung besteht zwischen einer konstanten Querschnittsfläche und dem Volumen bei gegebener Ausdehnung?

1. Mit der Produktregel erhält man \(F'(x)=(4x+20)e^{-0{,}2x}+(2x^2+20x+50)(-0{,}2)e^{-0{,}2x}\). 2. Zusammenfassen ergibt \(F'(x)=(10-0{,}4x^2)e^{-0{,}2x}=f(x)\). Damit ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\). 3. Die Nullstellen des Profils liegen bei \(10-0{,}4x^2=0\), also bei \(x=-5\) und \(x=5\). Der Basisabschnitt hat die Länge \(10\,\text{m}\). 4. Die Querschnittsfläche ist \(A=\int_{-5}^{5}f(x)\,\text{d}x=F(5)-F(-5)=\frac{200}{e}\,\text{m}^2\). 5. Die mittlere Höhe beträgt daher \(\overline{h}=\frac{1}{10}A=\frac{20}{e}\,\text{m}\). 6. Bei einer Ausdehnung von \(50\,\text{m}\) ergibt sich \(V=A\cdot50=10\,000e^{-1}\,\text{m}^3\).

a) \(F'(x)=f(x)\) b) \(\frac{20}{e}\,\text{m}\) c) \(10\,000e^{-1}\,\text{m}^3\)

- Wie hängen der Flächeninhalt unter einer Kurve und der Durchschnittswert der Funktion zusammen? - Erinnere dich an die Definition des Mittelwerts \(m = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x\). - Was stellt das Produkt aus Mittelwert und Intervallbreite geometrisch dar? - Vergleiche die Anzahl der Intervalle mit der Anzahl der Messpunkte.

1. Bestimmung der Trapezsumme mit \(h = 3\,\text{h}\): \(T = \frac{3}{2} \cdot (150 + 2 \cdot 600 + 2 \cdot 950 + 2 \cdot 700 + 200) = 1{,}5 \cdot (150 + 1200 + 1900 + 1400 + 200) = 1{,}5 \cdot 4850 = 7275\,\text{W}/\text{m}^2 \cdot \text{h}\). 2. Berechnung des Mittelwerts der Funktion: \(m = \frac{1}{18 - 6} \cdot 7275 = \frac{7275}{12} = 606{,}25\,\text{W}/\text{m}^2\). 3. Berechnung des arithmetischen Mittels der Einzelwerte: \(A = \frac{150 + 600 + 950 + 700 + 200}{5} = \frac{2600}{5} = 520\,\text{W}/\text{m}^2\). 4. Geometrische Deutung: Der Mittelwert \(m = 606{,}25\,\text{W}/\text{m}^2\) entspricht der Höhe eines Rechtecks über dem Intervall \([6; 18]\), dessen Flächeninhalt genau der Fläche unter der (durch die Trapezregel angenäherten) Strahlungskurve entspricht.

Die durchschnittliche Strahlungsintensität beträgt \(606{,}25\,\text{W}/\text{m}^2\). Das arithmetische Mittel der Messwerte ist mit \(520\,\text{W}/\text{m}^2\) deutlich niedriger. Geometrisch ist \(m\) die Höhe eines flächengleichen Ersatzrechtecks über dem Zeitintervall.

- Wie berechnet man den Mittelwert einer Funktion \(f(x)\) in einem Intervall \([a, b]\)? - Die Trapezregel ist eine Methode, um das Integral einer Funktion näherungsweise zu bestimmen. - Überlege dir, welche Rolle die Randwerte der Tabelle bei den beiden verschiedenen Berechnungsmethoden spielen. - Welche Methode ist physikalisch sinnvoller, um die „echte“ Durchschnittsleistung über die Zeit zu beschreiben?

1. Festlegung der Parameter: Die Schrittweite ist \(h = 1\,\text{h}\), das Gesamtintervall ist \(T = 6\,\text{h}\). 2. Berechnung des Integrals (entspricht der erzeugten Energie) mit der Trapezregel: \(E \approx \frac{1}{2} \cdot (150 + 2 \cdot 280 + 2 \cdot 450 + 2 \cdot 520 + 2 \cdot 410 + 2 \cdot 230 + 140) = 0{,}5 \cdot (150 + 560 + 900 + 1040 + 820 + 460 + 140) = 0{,}5 \cdot 4070 = 2035\,\text{kWh}\). 3. Berechnung der mittleren Leistung: \(\bar{P}_{\text{Trapez}} = \frac{2035}{6} \approx 339{,}17\,\text{kW}\). 4. Berechnung des arithmetischen Mittels: \(\bar{P}_{\text{arith}} = \frac{150 + 280 + 450 + 520 + 410 + 230 + 140}{7} = \frac{2180}{7} \approx 311{,}43\,\text{kW}\). 5. Interpretation: Der Trapezmittelwert (\(339{,}17\,\text{kW}\)) ist deutlich höher als der arithmetische Mittelwert (\(311{,}43\,\text{kW}\)). Dies liegt daran, dass beim arithmetischen Mittel die niedrigen Randwerte (150 und 140) mit dem gleichen Gewicht (\(\frac{1}{7}\)) wie die hohen Mittelwerte eingehen, während sie bei der Trapezregel nur halb so stark gewichtet werden wie die Werte im Inneren des Intervalls.

Die durchschnittliche Leistung nach der Trapezregel beträgt ca. \(339{,}17\,\text{kW}\). Das arithmetische Mittel der Messwerte beträgt ca. \(311{,}43\,\text{kW}\). Der Unterschied entsteht durch die geringere Gewichtung der Randwerte bei der Trapezmethode.

- Erinnere dich an die Eigenschaften der Sinusfunktion, um den Hochpunkt ohne Ableitung zu finden. - Die Energie ist das zeitliche Integral der Leistung. Achte auf die korrekte Stammfunktion. - Der Mittelwert einer Funktion über ein Intervall ist die Fläche unter der Kurve geteilt durch die Breite des Intervalls.

1. Die Sinusfunktion erreicht ihr Maximum, wenn das Argument \(\frac{\pi}{12}t = \frac{\pi}{2}\) ist, also bei \(t = 6\). Die maximale Leistung beträgt \(P(6) = 800\sin(\frac{\pi}{2}) = 800\,\text{W}\). Dies entspricht 12:00 Uhr mittags. 2. Berechnung der Gesamtenergie über das Integral: \(E = \int_0^{12} 800\sin\left(\frac{\pi}{12}t\right) \,\text{d}t = \left[ 800 \cdot \frac{12}{\pi} \cdot (-\cos\left(\frac{\pi}{12}t\right)) \right]_0^{12} = \frac{9600}{\pi} \cdot (-\cos(\pi) + \cos(0)) = \frac{9600}{\pi} \cdot (1 + 1) = \frac{19200}{\pi} \approx 6111{,}55\,\text{Wh}\). 3. Berechnung der durchschnittlichen Leistung: \(\bar{P} = \frac{1}{12} \cdot E = \frac{1}{12} \cdot \frac{19200}{\pi} = \frac{1600}{\pi} \approx 509{,}30\,\text{W}\).

a) Maximale Leistung: \(800\,\text{W}\) um 12:00 Uhr (\(t = 6\)). b) Gesamtenergie: \(E = \frac{19200}{\pi} \approx 6111{,}55\,\text{Wh}\). c) Durchschnittliche Leistung: \(\bar{P} = \frac{1600}{\pi} \approx 509{,}30\,\text{W}\).

- Sind die Zeitabstände zwischen allen benachbarten Messwerten gleich groß? - Bei der Trapezregel trägt jedes Teilintervall entsprechend seiner eigenen Breite zum Gesamtflächeninhalt bei. - Der Funktionsmittelwert ist nicht der Flächeninhalt selbst; welche zusätzliche Division ist nötig?

1. Die Messabstände sind unterschiedlich groß: \(1\), \(2\) und \(3\) Minuten. Deshalb müssen die Teilintervalle bei einer Flächenapproximation unterschiedlich gewichtet werden. 2. Die Trapezflächen sind \(1\cdot\frac{2+4}{2}=3\), \(2\cdot\frac{4+4}{2}=8\) und \(3\cdot\frac{4+2}{2}=9\). Damit ist \(\int_0^6f(t)\,\text{d}t\approx20\). 3. Der Funktionsmittelwert wird durch die Intervalllänge geteilt: \(\bar f\approx\frac{20}{6}=\frac{10}{3}\). 4. Miras arithmetischer Mittelwert \(3\) gewichtet alle vier Messpunkte gleich und berücksichtigt die ungleichen Zeitabstände nicht. Er ist daher keine angemessene Näherung für den Funktionsmittelwert aus diesen Daten.

\(\bar f\approx\frac{10}{3}\). Miras Wert \(3\) berücksichtigt die ungleichen Messabstände nicht und ist deshalb hier nicht die passende Näherung für den Funktionsmittelwert.

- Wie lautet die Stammfunktion von Sinus? Achte beim Einsetzen der Grenzen auf die Vorzeichen. - Erinnere dich daran, dass die Sinusfunktion im Intervall von \(0\) bis \(\pi\) symmetrisch ist. Wie viele Lösungen erwartest du daher für den berechneten Wert? - Stelle sicher, dass dein Taschenrechner auf das Bogenmaß (RAD) eingestellt ist.

1. Berechnung des Integrals von \(f\) über \([0; \pi]\): \(\int_0^{\pi} (\sin(x) + 1) \, dx = [-\cos(x) + x]_0^{\pi} = (-\cos(\pi) + \pi) - (-\cos(0) + 0) = (1 + \pi) - (-1) = \pi + 2\). 2. Berechnung des Mittelwerts \(\bar{m}\): \(\bar{m} = \frac{1}{\pi - 0} \cdot (\pi + 2) = 1 + \frac{2}{\pi}\). 3. Gleichsetzen von Funktionsterm und Mittelwert: \(\sin(c) + 1 = 1 + \frac{2}{\pi} \implies \sin(c) = \frac{2}{\pi}\). 4. Bestimmung der Lösungen für \(c\) im Intervall \([0; \pi]\): \(c_1 = \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0{,}690\) \(c_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 2{,}451\) Beide Werte liegen innerhalb des Intervalls \([0; \pi]\).

Die Stellen sind \(c_1 = \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0{,}690\) und \(c_2 = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 2{,}451\).