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- Welchen Wert hat der Volumenstrom auf der y-Achse? - Über welches Zeitintervall wird das Wasser gemessen? - Wie hängen Volumenstrom, Zeit und Gesamtvolumen zusammen?

1. Analyse des Graphen: Die Rate ist konstant bei \(200\,\text{L}/\text{min}\). 2. Zeitraum bestimmen: Das betrachtete Intervall auf der Zeitachse reicht von \(0\) bis \(2{,}5\,\text{min}\). 3. Berechnung des Volumens: \(V = 200\,\text{L}/\text{min} \cdot 2{,}5\,\text{min} = 500\,\text{L}\). Ergebnis: \(500\,\text{L}\).

Es sind insgesamt \(500\,\text{L}\) Wasser abgeflossen.

- Überlege, was das Integral einer Änderungsrate über einen Zeitraum für den Gesamtbestand bedeutet. - Wie kommst du von der Änderungsrate zur Bestandsfunktion? - Welche Information aus dem Text hilft dir, die Integrationskonstante festzulegen? - Prüfe, ob deine Einheiten am Ende konsistent sind (Stunden und Bakterienanzahl).

1. Finden der Stammfunktion von \(r(t) = 3t^2 + 40t\): \(R(t) = t^3 + 20t^2\). 2. Berechnung des Integrals über \([0; 4]\): \(\int_{0}^{4} (3t^2 + 40t) \, \text{d}t = [t^3 + 20t^2]_0^4 = (4^3 + 20 \cdot 4^2) - 0 = 64 + 320 = 384\). 3. Interpretation: Das Integral gibt die Netto-Zunahme der Bakterienanzahl innerhalb der ersten \(4\) Stunden an (hier \(384\) Bakterien). 4. Rekonstruktion des Bestands \(N(t)\) mit dem Anfangsbestand \(N(0) = 1000\): \(N(t) = t^3 + 20t^2 + C\). Durch Einsetzen von \(t = 0\) ergibt sich \(1000 = 0^3 + 20 \cdot 0^2 + C\), also \(C = 1000\). 5. Ergebnis: \(N(t) = t^3 + 20t^2 + 1000\).

a) Das Integral hat den Wert \(384\). Dies entspricht der Anzahl der Bakterien, die in den ersten \(4\) Stunden neu hinzugekommen sind. b) Die Funktionsgleichung lautet \(N(t) = t^3 + 20t^2 + 1000\).

- Überlege dir, welcher mathematische Zusammenhang zwischen der Änderungsrate und dem Gesamtbestand besteht. - Was bedeutet die Angabe über das Volumen zum Zeitpunkt Null für deine Rechnung? - Wie findet man eine allgemeine Stammfunktion für ein Polynom? - Setze den gesuchten Zeitpunkt in deine hergeleitete Funktion ein.

1. Aufstellen des Integrals zur Bestimmung der Stammfunktion: \(V(t) = \int (-0{,}6t^2 + 6t + 4) \,\text{d}t = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + C\). 2. Bestimmung der Integrationskonstante \(C\) durch die Anfangsbedingung \(V(0) = 50\): \(V(0) = -0{,}2 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 + C = 50 \implies C = 50\). 3. Resultierende Bestandsfunktion: \(V(t) = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + 50\). 4. Berechnung des Bestands zum Zeitpunkt \(t = 5\): \(V(5) = -0{,}2 \cdot 5^3 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 50 = -25 + 75 + 20 + 50 = 120\). Das Volumen beträgt nach \(5\) Stunden \(120\,\text{m}^3\).

a) \(V(t) = -0{,}2t^3 + 3t^2 + 4t + 50\) b) Das Volumen nach \(5\) Stunden beträgt \(120\,\text{m}^3\).

- Welche mathematische Operation kehrt den Vorgang des Ableitens um? - Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort (Weg) über die Ableitung zusammen? - Was bedeutet die Information über den Zeitpunkt \(t = 0\) für deine Integrationskonstante? - In welcher Reihenfolge musst du integrieren, um vom Gegebenen zum Gesuchten zu gelangen?

1. Bestimmung von \(v(t)\) durch Integration der Beschleunigung: \(v(t) = \int 0{,}6t \, dt = 0{,}3t^2 + C\). 2. Bestimmung von \(C\) mit \(v(0) = 0\): \(0{,}3 \cdot 0^2 + C = 0 \implies C = 0\). Ergebnis: \(v(t) = 0{,}3t^2\). 3. Bestimmung von \(s(t)\) durch Integration der Geschwindigkeit: \(s(t) = \int 0{,}3t^2 \, dt = 0{,}1t^3 + C'\). 4. Bestimmung von \(C'\) mit \(s(0) = 0\): \(0{,}1 \cdot 0^3 + C' = 0 \implies C' = 0\). Ergebnis: \(s(t) = 0{,}1t^3\). 5. Berechnung der Werte für \(t = 5\): \(v(5) = 0{,}3 \cdot 5^2 = 7{,}5\) und \(s(5) = 0{,}1 \cdot 5^3 = 12{,}5\).

a) \(v(t) = 0{,}3t^2\) b) \(s(t) = 0{,}1t^3\) c) Nach \(5\,\text{s}\) beträgt die Geschwindigkeit \(7{,}5\,\text{m/s}\) und der Weg \(12{,}5\,\text{m}\).

- Überlege dir zuerst, welcher mathematische Zusammenhang zwischen einer Flussrate (in \(\text{m}^3/\text{h}\)) und der geflossenen Wassermenge (in \(\text{m}^3\)) besteht. - Wie kannst du die geflossene Wassermenge geometrisch aus dem Diagramm bestimmen? - Achte darauf, dass sich der Zufluss und der Abfluss gegenseitig beeinflussen. Welcher Rechenschritt ist nötig, um die Nettoänderung zu bestimmen? - Vergiss nicht, die anfängliche Wassermenge zum Startzeitpunkt \(t = 0\,\text{h}\) mit einzubeziehen.

1. Berechnung der Wassermenge nach \(4\) Stunden (\(t = 4\,\text{h}\)): - Das Volumen des Zuflusses entspricht der Fläche unter der grünen Kurve von \(0\) bis \(4\). Dies ist ein Dreieck mit der Grundseite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(8\,\text{m}^3/\text{h}\): \(V_{\text{zu}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16\,\text{m}^3\). - Das Volumen des Abflusses entspricht der Fläche unter der blauen Gerade von \(0\) bis \(4\). Dies ist ein Dreieck mit der Grundseite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(2\,\text{m}^3/\text{h}\) (da \(a(4) = 0{,}5 \cdot 4 = 2\)): \(V_{\text{ab}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\,\text{m}^3\). - Die Nettoänderung beträgt \(16\,\text{m}^3 - 4\,\text{m}^3 = 12\,\text{m}^3\). - Gesamtvolumen: \(V(4) = 20\,\text{m}^3 + 12\,\text{m}^3 = 32\,\text{m}^3\). 2. Berechnung der Wassermenge nach \(8\) Stunden (\(t = 8\,\text{h}\)): - Das Volumen des Zuflusses von \(0\) bis \(8\) setzt sich zusammen aus dem Dreieck von \(0\) bis \(4\) (\(16\,\text{m}^3\)) und einem Rechteck von \(4\) bis \(8\) mit der Breite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(8\,\text{m}^3/\text{h}\) (\(4 \cdot 8 = 32\,\text{m}^3\)): \(V_{\text{zu}} = 16 + 32 = 48\,\text{m}^3\). - Das Volumen des Abflusses von \(0\) bis \(8\) ist ein Dreieck mit der Grundseite \(8\,\text{h}\) und der Höhe \(4\,\text{m}^3/\text{h}\): \(V_{\text{ab}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16\,\text{m}^3\). - Die Nettoänderung beträgt \(48\,\text{m}^3 - 16\,\text{m}^3 = 32\,\text{m}^3\). - Gesamtvolumen: \(V(8) = 20\,\text{m}^3 + 32\,\text{m}^3 = 52\,\text{m}^3\). 3. Berechnung der Wassermenge nach \(12\) Stunden (\(t = 12\,\text{h}\)): - Das Volumen des Zuflusses von \(0\) bis \(12\) enthält zusätzlich das Dreieck von \(8\) bis \(12\) mit der Grundseite \(4\,\text{h}\) und der Höhe \(8\,\text{m}^3/\text{h}\) (\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16\,\text{m}^3\)): \(V_{\text{zu}} = 48 + 16 = 64\,\text{m}^3\). - Das Volumen des Abflusses von \(0\) bis \(12\) ist ein Dreieck mit der Grundseite \(12\,\text{h}\) und der Höhe \(6\,\text{m}^3/\text{h}\): \(V_{\text{ab}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36\,\text{m}^3\). - Die Nettoänderung beträgt \(64\,\text{m}^3 - 36\,\text{m}^3 = 28\,\text{m}^3\). - Gesamtvolumen: \(V(12) = 20\,\text{m}^3 + 28\,\text{m}^3 = 48\,\text{m}^3\).

Nach \(4\) Stunden befinden sich \(32\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. Nach \(8\) Stunden sind es \(52\,\text{m}^3\). Nach \(12\) Stunden sind es \(48\,\text{m}^3\).

- Welche geometrische Form hat die Fläche zwischen der ansteigenden Geraden und der Zeitachse? - Welche beiden Randwerte der Wachstumsrate kannst du aus dem Graphen ablesen? - Welche Einheit erhältst du, wenn du eine Rate in Millimetern pro Woche über Wochen aufsummierst?

1. Die Fläche unter dem Graphen ist ein Trapez. 2. Zu Beginn beträgt die Wachstumsrate \(2\,\text{mm}/\text{Woche}\), nach drei Wochen \(8\,\text{mm}/\text{Woche}\). 3. Der Flächeninhalt ist \(A=\frac{2+8}{2}\cdot3\,\text{mm}=15\,\text{mm}\). 4. Dieser Flächeninhalt ist der gesamte Durchmesserzuwachs in den drei Wochen.

Der Durchmesserzuwachs beträgt \(15\,\text{mm}\).

- Betrachte die Fläche, die der Graph mit den Koordinatenachsen einschließt. - Wie groß sind die Grundseite und die Höhe dieses Dreiecks? - Nutze die Formel für den Dreiecksinhalt, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

1. Geometrische Form: Die Fläche unter der Geraden ist ein rechtwinkliges Dreieck. 2. Werte ablesen: Die Rate beginnt bei \(400\,\text{L}/\text{min}\) und sinkt bis \(t=2\,\text{min}\) auf \(0\). 3. Flächenberechnung: \(V = \frac{1}{2} \cdot 2\,\text{min} \cdot 400\,\text{L}/\text{min} = 400\,\text{L}\). Ergebnis: \(400\,\text{L}\).

In den ersten zwei Minuten sind insgesamt \(400\,\text{L}\) Wasser ausgeflossen.

- Was bedeutet ein positives beziehungsweise negatives Vorzeichen der Änderungsrate für den Bestand? - Wo wechselt die Änderungsrate ihr Vorzeichen? - Vergleiche die positive und die negative Fläche zwischen dem Rategraphen und der \(t\)-Achse.

1. Für \(0<t<2\) ist \(r(t)>0\), also muss der Bestand dort zunehmen. Für \(2<t<4\) ist \(r(t)<0\), also muss der Bestand dort abnehmen. 2. Bei \(t=2\) wechselt \(r\) von positiv zu negativ. Dort besitzt \(B\) deshalb ein Maximum. 3. Die positive Fläche zwischen \(0\) und \(2\) ist genauso groß wie der Betrag der negativen Fläche zwischen \(2\) und \(4\). Daher ist die Gesamtänderung \(0\) und es gilt \(B(4)=B(0)=4\). 4. Nur \(B_1\) steigt zunächst, hat bei \(t=2\) ein Maximum, fällt anschließend und endet wieder beim Anfangswert.

\(B_1\)

- Welche Größe erhältst du, wenn du eine Zuflussrate über ein Zeitintervall integrierst? - Welche Einheit muss das Ergebnis des Integrals in Teil a haben? - Wie ergänzt du eine Stammfunktion der Rate um den gegebenen Anfangsbestand? - Welche Zeitspanne beschreiben die Grenzen \(t\) und \(t+5\)?

1. Eine Stammfunktion von \(f(t)=1{,}5t^{1/2}+20\) ist \(F(t)=t^{3/2}+20t\). 2. Daher gilt \(\int_{10}^{40}f(t)\,\text{d}t=(80\sqrt{10}+800)-(10\sqrt{10}+200)=600+70\sqrt{10}\,\text{L}\). 3. Das Integral gibt die Wassermenge an, die zwischen der 10. und der 40. Minute insgesamt in das Becken zufließt. 4. Mit \(V(0)=500\,\text{L}\) ergibt sich \(V(t)=t\sqrt{t}+20t+500\) für \(0\le t\le60\). 5. Die Gleichung in Teil c sucht einen Startzeitpunkt \(t\), ab dem in den folgenden fünf Minuten genau \(150\,\text{L}\) Wasser zufließen.

a) \(600+70\sqrt{10}\,\text{L}\); das ist die zwischen der 10. und 40. Minute zugeflossene Wassermenge. b) \(V(t)=t\sqrt{t}+20t+500\) c) Gesucht ist ein Zeitpunkt \(t\), ab dem in den folgenden fünf Minuten genau \(150\,\text{L}\) zufließen.

- Welche Größe erhältst du durch Integration der Wachstumsrate über einen Zeitraum? - Wie hängt eine Bestandsfunktion mit ihrer Änderungsrate zusammen? - Welche Anfangsbedingung bestimmt die Integrationskonstante in Teil b? - Welche Zeitspanne wird durch die Grenzen \(t\) und \(t+2\) beschrieben?

1. Eine Stammfunktion der Wachstumsrate ist \(W(t)=2000e^{0{,}1t}\). 2. Der Zuwachs in den ersten zehn Stunden beträgt \(\int_0^{10}200e^{0{,}1t}\,\text{d}t=[2000e^{0{,}1t}]_0^{10}=2000(e-1)\) Bakterien. 3. Eine Bestandsfunktion hat die Form \(N(t)=2000e^{0{,}1t}+C\). Aus \(N(0)=5000\) folgt \(C=3000\), also \(N(t)=2000e^{0{,}1t}+3000\). 4. Die Gleichung in Teil c fragt nach einem Zeitpunkt \(t\), ab dem die Bakterienanzahl in den folgenden zwei Stunden um genau \(2000\) zunimmt.

a) \(2000(e-1)\) Bakterien b) \(N(t)=2000e^{0{,}1t}+3000\) c) „Zu welchem Zeitpunkt \(t\) nimmt die Bakterienanzahl innerhalb der folgenden zwei Stunden um genau \(2000\) zu?“

- Wann ist eine Größe steigend, wenn man ihre Änderungsrate kennt? - Wie hängen Bestand, Anfangsbestand und die Änderungsrate über ein Integral zusammen? - Was bedeuten die einzelnen Summanden und der Wert auf der rechten Seite der Gleichung in Bezug auf die Einheiten im Text?

1. Die Bakterienanzahl nimmt zu, wenn die momentane Änderungsrate positiv ist: \(f(t) > 0\). Die Nullstellen von \(f(t) = -0{,}1(t^2 - 8t + 12)\) liegen bei \(t_1 = 2\) und \(t_2 = 6\). Da der Graph von \(f\) eine nach unten geöffnete Parabel ist, gilt \(f(t) > 0\) für \(t \in ]2; 6[\). Die Anzahl nimmt also im offenen Intervall \(]2; 6[\) zu. 2. Die Bakterienanzahl zum Zeitpunkt \(t=6\) berechnet sich durch \(B(6) = 10 + \int_{0}^{6} (-0{,}1t^2 + 0{,}8t - 1{,}2) \, \text{d}t\). Das Integral ist \([ -\frac{0{,}1}{3}t^3 + 0{,}4t^2 - 1{,}2t ]_0^6 = -7{,}2 + 14{,}4 - 7{,}2 = 0\). Da die Änderungsrate in Tausend Bakterien pro Stunde angegeben ist, bleibt die Anzahl bei \(10\,000\) Bakterien. 3. Die Gleichung \(10 + \int_0^k f(t) \,\text{d}t = 9{,}5\) beschreibt alle Zeitpunkte \(k\), zu denen der Bestand \(9500\) Bakterien beträgt. Eine passende Fragestellung lautet: „Zu welchen Zeitpunkten \(k\) beträgt die Bakterienanzahl \(9500\)?“

a) Das Zeitintervall ist \(]2; 6[\). b) Die Bakterienanzahl beträgt \(10\,000\). c) Mögliche Fragestellung: „Zu welchen Zeitpunkten \(k\) beträgt die Bakterienanzahl \(9500\)?“

- Wie muss sich das Vorzeichen der Änderungsrate verhalten, damit ein Bestand ein Maximum erreicht? - Welche Größe beschreibt das Integral einer Zu- und Abflussrate über einen Zeitraum? - Was bedeutet eine Nettoänderung von \(0\) für die Bestände an Anfang und Ende des betrachteten Intervalls?

1. Das Wasservolumen ist maximal, wenn die Änderungsrate von positiv zu negativ wechselt. Aus \(4e^{-0{,}5t}-2=0\) folgt \(t=2\ln(2)\,\text{h}\). Vor diesem Zeitpunkt ist \(h(t)>0\), danach \(h(t)<0\). 2. Die gesamte Volumenänderung in den ersten vier Stunden ist \(\Delta V=\int_0^4(4e^{-0{,}5t}-2)\,\text{d}t=[-8e^{-0{,}5t}-2t]_0^4=-8e^{-2}\,\text{m}^3\). 3. Das Integral \(\int_2^x h(t)\,\text{d}t\) ist die Nettoänderung des Wasservolumens zwischen \(t=2\) und \(t=x\). Ein Integralwert von \(0\) würde bedeuten, dass der Bestand zu beiden Zeitpunkten gleich groß ist. 4. Für \(x>2\) ist \(h(t)<0\) im Modellintervall, daher existiert dort keine solche Lösung.

a) \(t=2\ln(2)\,\text{h}\) b) \(\Delta V=-8e^{-2}\,\text{m}^3\) c) Eine Lösung würde bedeuten, dass das Wasservolumen zum Zeitpunkt \(x\) wieder genauso groß wie bei \(t=2\) ist. Für \(x>2\) existiert im Modellintervall keine solche Lösung.

- Welche Bedeutung hat das Integral einer Zuflussrate über ein Zeitintervall? - Achte beim Integrieren der Sinusfunktion auf den Faktor im Argument. - Unterscheide in b) zwischen der Änderung des Wasserbestands und dem tatsächlichen Bestand. - Welche zusätzliche Information brauchst du neben der Bestandsänderung, um den Bestand zu einem späteren Zeitpunkt zu bestimmen?

1. Das zugeflossene Volumen entspricht dem Integral der Zuflussrate. Eine Stammfunktion ist \(G(t)=-\frac{160}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)+50t\). 2. Für die ersten 4 Minuten gilt \(\int_0^4g(t)\,\text{d}t=G(4)-G(0)=200+\frac{320}{\pi}\,\text{L}\). 3. Nach 6 Minuten beträgt die Bestandsänderung \(\int_0^6g(t)\,\text{d}t=300+\frac{160}{\pi}\,\text{L}\). 4. Mit dem Anfangsbestand folgt \(B(6)=200\,\text{L}+300\,\text{L}+\frac{160}{\pi}\,\text{L}=500+\frac{160}{\pi}\,\text{L}\).

a) \(200+\frac{320}{\pi}\,\text{L}\) b) \(500+\frac{160}{\pi}\,\text{L}\)

- Welche Information über Zu- oder Abnahme liefert das Vorzeichen der Änderungsrate? - Welche Einheit hat das Integral einer Rate in Tonnen pro Stunde über die Zeit? - Wie setzt sich der Bestand nach zehn Stunden aus Anfangsbestand und Nettoänderung zusammen? - Was bedeutet ein Vorzeichenwechsel der Rate von positiv zu negativ für den zugehörigen Bestand?

1. Die Nullstellen von \(f(t)=-t^2+12t-20\) sind \(t=2\) und \(t=10\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(f(t)<0\) für \(0\le t<2\) und \(10<t\le12\), während \(f(t)>0\) für \(2<t<10\) gilt. 2. Das Integral \(\int_4^9 f(t)\,\text{d}t\) gibt die Nettoänderung der Getreidemenge zwischen der 4. und der 9. Stunde in Tonnen an. 3. Nach zehn Stunden ist der Bestand \(m(10)=100+\int_0^{10}(-t^2+12t-20)\,\text{d}t\). 4. Mit der Stammfunktion \(-\frac13t^3+6t^2-20t\) ergibt sich \(\int_0^{10}f(t)\,\text{d}t=\frac{200}{3}\,\text{t}\). Somit ist \(m(10)=\frac{500}{3}\,\text{t}\). 5. Bei \(t=10\) wechselt \(f\) von positiv zu negativ. Der Bestand steigt also davor und fällt danach; deshalb liegt dort ein lokales Maximum vor.

a) Entnahme für \(0\le t<2\) und \(10<t\le12\); Zufuhr für \(2<t<10\) b) Nettoänderung der Getreidemenge zwischen der 4. und 9. Stunde c) \(\frac{500}{3}\,\text{t}\) d) Bei \(t=10\) wechselt die Änderungsrate von positiv zu negativ, daher hat der Bestand dort einen lokalen Hochpunkt.

- Nutze die faktorisierte Form der Funktion, um die Vorzeichen in den Intervallen schnell zu prüfen. - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Bestandsänderungen zu berechnen. - Der Gesamteffekt über einen Zeitraum wird durch das bestimmte Integral der Änderungsrate über diesen Zeitraum bestimmt. - Überlege dir, was ein positives Gesamtergebnis für den Vergleich zwischen End- und Anfangswert bedeutet.

1. Nachweis der Vorzeichen: \(v(t) = 0{,}2t(t^2 - 18t + 80) = 0{,}2t(t-8)(t-10)\). Für \(t \in ]0; 8[\) sind alle Faktoren \(t, (t-8), (t-10)\) so geartet, dass das Produkt positiv ist (\(+\cdot - \cdot -\)). Für \(t \in ]8; 10[\) ergibt sich \(+\cdot + \cdot -\), also ist \(v(t)\) negativ. 2. Berechnung \(V(8)\): \(V(8) = 500 + \int_{0}^{8} 0{,}2(t^3 - 18t^2 + 80t) \, dt\). Stammfunktion \(V_{st}(t) = 0{,}2(\frac{1}{4}t^4 - 6t^3 + 40t^2)\). Auswertung: \(V_{st}(8) = 0{,}2 \cdot (\frac{4096}{4} - 6 \cdot 512 + 40 \cdot 64) = 0{,}2 \cdot (1024 - 3072 + 2560) = 0{,}2 \cdot 512 = 102{,}4\). Somit ist \(V(8) = 500 + 102{,}4 = 602{,}4\,\text{m}^3\). 3. Vergleich \(V(10)\) mit \(V(0)\): Es ist die Nettoänderung \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt\) zu prüfen. \(V_{st}(10) = 0{,}2 \cdot (\frac{10000}{4} - 6 \cdot 1000 + 40 \cdot 100) = 0{,}2 \cdot (2500 - 6000 + 4000) = 0{,}2 \cdot 500 = 100\). Da \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt = 100 > 0\), ist das Volumen bei \(t=10\) mit \(600\,\text{m}^3\) größer als der Anfangsbestand von \(500\,\text{m}^3\).

a) Durch Faktorisierung \(v(t) = 0{,}2t(t-8)(t-10)\) folgt: für \(0 < t < 8\) ist \(v(t) > 0\), für \(8 < t < 10\) ist \(v(t) < 0\). b) Das Gasvolumen zum Zeitpunkt \(t=8\) beträgt \(602{,}4\,\text{m}^3\). c) Da \(\int_{0}^{10} v(t) \, dt = 100 > 0\) ist, ist das Volumen zum Zeitpunkt \(t=10\) mit \(600\,\text{m}^3\) größer als zum Zeitpunkt \(t=0\).

- Wann erreicht eine Sinusfunktion ihren höchsten Wert? - Wie hängen Leistung und Energie mathematisch zusammen, wenn die Leistung zeitabhängig ist? - Was fällt dir an der Länge des Zeitintervalls im Vergleich zur Periode der Funktion auf? - Wie skaliert man ein Ergebnis von einer Anlage auf mehrere Anlagen und längere Zeiträume?

1. Zur Bestimmung des Maximums von \(P(t)\) wird das Maximum der Sinusfunktion betrachtet: \(\sin(x) = 1\) für \(x = \frac{\pi}{2}\). Aus \(\frac{\pi}{6}(t - 3) = \frac{\pi}{2}\) folgt \(t - 3 = 3\), also \(t = 6\). Die maximale Leistung beträgt \(P(6) = 15 \cdot 1 + 20 = 35\,\text{kW}\). 2. Die aufgenommene elektrische Energie entspricht dem Integral der Leistung über die Zeit: \(\int_{0}^{12} \left(15\sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 3)\right) + 20\right) \text{d}t\). Da das Intervall \([0; 12]\) genau einer Periodenlänge \(T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12\) entspricht, ist das Integral über den Sinus-Term gleich Null. Es bleibt \(20 \cdot (12 - 0) = 240\,\text{kWh}\). 3. Die Gesamtenergie für 8 Anlagen über zwei Schichten berechnet sich durch Multiplikation der Energie einer Anlage pro Schicht mit der Anzahl der Anlagen und der Anzahl der Schichten: \(240\,\text{kWh} \cdot 8 \cdot 2 = 3840\,\text{kWh}\).

a) Der Zeitpunkt ist \(t = 6\,\text{h}\) mit einer maximalen Leistung von \(35\,\text{kW}\). b) Die aufgenommene elektrische Energie beträgt \(240\,\text{kWh}\). c) Die gesamte elektrische Energie beträgt \(3840\,\text{kWh}\).

- Welche Beziehung besteht zwischen Beschleunigung und Geschwindigkeit sowie zwischen Geschwindigkeit und Wegfunktion? - Nutze die beiden Anfangswerte jeweils erst nach dem Integrieren, um die Integrationskonstanten zu bestimmen. - Prüfe für Teil c das Vorzeichen der Geschwindigkeit, bevor du Ortsänderung und zurückgelegten Weg gleichsetzt.

1. Durch Integration der Beschleunigung erhält man \(v(t)=8e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(v(0)=8\,\text{m}/\text{s}\) folgt \(C=0\), also \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\). 2. Durch erneute Integration erhält man \(s(t)=-16e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(s(0)=0\) folgt \(C=16\), also \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\). 3. Da \(v(t)>0\) gilt, entspricht die Ortsänderung dem zurückgelegten Weg. Für die ersten zwei Sekunden ist \(s(2)-s(0)=16(1-e^{-1})\,\text{m}\).

a) \(v(t)=8e^{-0{,}5t}\) b) \(s(t)=16-16e^{-0{,}5t}\) c) \(16(1-e^{-1})\,\text{m}\)

- Wie hängen Beschleunigung, Geschwindigkeit und Weg mathematisch über die Integralrechnung zusammen? - Welche Rolle spielen die Werte zum Zeitpunkt \(t = 0\) bei der Bestimmung der Stammfunktionen? - Kannst du eine Gleichung aufstellen, in der die gesuchte Zeit die Unbekannte ist? - Erinnerst du dich an ein Verfahren, um quadratische Gleichungen zu lösen?

1. Bestimmung der Geschwindigkeitsfunktion: Da \(v(t) = \int a(t) \,\text{d}t\), folgt \(v(t) = \int 2 \,\text{d}t = 2t + C_1\). Mit der Anfangsbedingung \(v(0) = 5\) ergibt sich \(C_1 = 5\), also \(v(t) = 2t + 5\). 2. Bestimmung der Wegfunktion: Da \(s(t) = \int v(t) \,\text{d}t\), folgt \(s(t) = \int (2t + 5) \,\text{d}t = t^2 + 5t + C_2\). Mit der Anfangsbedingung \(s(0) = 10\) ergibt sich \(C_2 = 10\), also \(s(t) = t^2 + 5t + 10\). 3. Berechnung des Zeitpunkts für \(s = 160\): Setze \(t^2 + 5t + 10 = 160\), woraus die quadratische Gleichung \(t^2 + 5t - 150 = 0\) folgt. 4. Lösen der quadratischen Gleichung: Die Lösungen sind \(t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (-150)}}{2} = \frac{-5 \pm 25}{2}\). Da \(t \ge 0\) sein muss, ist \(t = 10\,\text{s}\).

a) \(v(t) = 2t + 5\) und \(s(t) = t^2 + 5t + 10\) b) Das Fahrzeug erreicht die Position nach \(t = 10\,\text{s}\).

- Welche Bestandsfunktion erhältst du durch Integration der gegebenen Änderungsrate? - Wie schränkt die Angabe „zu Beginn vollständig sauber“ die Integrationskonstante ein? - Welche zweite Bedingung liefert der Messwert nach einer Stunde?

1. Aus \(m'(t)=k(t+1)^{-2}\) folgt durch Integration \(m(t)=-\frac{k}{t+1}+C\). 2. Mit \(m(0)=0\) erhält man \(-k+C=0\), also \(C=k\). 3. Aus \(m(1)=2\) folgt \(-\frac{k}{2}+k=2\), also \(k=4\). 4. Damit ist \(C=4\) und \(m(t)=4-\frac{4}{t+1}\).

\(k=4\) und \(m(t)=4-\frac{4}{t+1}\)

- Überlege dir zuerst, was eine positive und was eine negative Rate für den Wasserbestand bedeutet. - Wann nimmt der Wasserbestand ab, wann nimmt er zu? - Wie lässt sich die Änderung des Bestands mathematisch als Fläche zwischen dem Graphen und der horizontalen Achse deuten? - Welchen Wert (in \(\text{m}^3\)) repräsentiert ein einzelnes Kästchen des Gitternetzes? Achte dabei auf die Skalierung der beiden Achsen.

1. **Teilaufgabe a):** - Solange die Änderungsrate negativ ist (\(v(t) < 0\)), fließt Wasser aus dem Becken ab. Dies ist im Intervall \([0; 5]\) der Fall. - Ab \(t = 5\,\text{h}\) ist die Rate positiv (\(v(t) > 0\)), es fließt also wieder Wasser zu. - Der Wasserbestand nimmt somit bis zum Zeitpunkt \(t = 5\,\text{h}\) kontinuierlich ab und steigt danach wieder an. Der minimale Wasserbestand wird daher genau bei \(t = 5\,\text{h}\) erreicht. 2. **Teilaufgabe b):** - Die Bestandsänderung entspricht dem bestimmten Integral der Rate: \(\Delta V = \int_{0}^{5} v(t) \,\text{d}t\). Da der Graph im Intervall \([0; 5]\) unterhalb der \(t\)-Achse verläuft, entspricht dies dem negativen Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der \(t\)-Achse. - **Kästchenmethode:** Ein Gitterkästchen entspricht einer Breite von \(1\,\text{h}\) und einer Höhe von \(10\,\text{m}^3/\text{h}\), also einem Volumen von \(10\,\text{m}^3\). Durch Abzählen der Kästchen unter der \(t\)-Achse von \(t = 0\) bis \(t = 5\) erhält man ca. \(10\) Kästchen. Dies entspricht einem Verlust von ca. \(100\,\text{m}^3\). - Der Wasserbestand nach \(5\) Stunden beträgt näherungsweise \(V(5) = V(0) + \Delta V = 400\,\text{m}^3 - 100\,\text{m}^3 = 300\,\text{m}^3\).

a) Der Wasserbestand ist nach genau \(5\,\text{h}\) am geringsten, da bis zu diesem Zeitpunkt Wasser abfließt (die Rate ist negativ) und danach Wasser zufließt (die Rate ist positiv). b) Nach genau fünf Stunden befinden sich näherungsweise \(300\,\text{m}^3\) Wasser im Speicherbecken (die Wassermenge hat sich um \(100\,\text{m}^3\) verringert).

- Welche Bedeutung haben Nullstellen der Änderungsrate für Zu- und Abfluss? - Für das Maximum der Rate selbst musst du deren erste Ableitung untersuchen. - Wie wird aus der Änderungsrate zusammen mit dem Anfangsbestand eine Bestandsfunktion? - Welches Vorzeichen hat die Rate zwischen \(t=3\) und \(t=8\), und was bedeutet das für den kleinsten Bestand in diesem Abschnitt?

1. Es ist \(f(t)=t(t-3)(t-8)\). Daher liegen die Nullstellen bei \(t=0\), \(t=3\) und \(t=8\). Bei \(t=3\) wechselt die Rate von positiv zu negativ, bei \(t=8\) endet die Abflussphase. 2. Für das Maximum der Zuflussrate auf \([0;3]\) gilt \(f'(t)=3t^2-22t+24\). Die relevante Nullstelle ist \(t=\frac43\). Da \(f''(\frac43)=6\cdot\frac43-22=-14<0\), liegt dort ein Maximum vor. 3. Die maximale Zuflussrate ist \(f(\frac43)=\frac{400}{27}\,\text{m}^3/\text{h}\). Der Zeitpunkt entspricht 13:20 Uhr. 4. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(\frac14t^4-\frac{11}{3}t^3+12t^2\). Mit \(V(0)=100\) folgt \(V(t)=\frac14t^4-\frac{11}{3}t^3+12t^2+100\). 5. Um 15:00 Uhr ist \(V(3)=\frac{517}{4}\,\text{m}^3\). Um 20:00 Uhr ist \(V(8)=\frac{44}{3}\,\text{m}^3\). 6. Auf \([3;8]\) ist \(f(t)<0\), also fällt der Bestand dort bis zum Endpunkt. Da \(V(8)=\frac{44}{3}\,\text{m}^3>0\), wird das Becken im gesamten Beobachtungszeitraum nicht leer.

a) \(t=0\), \(t=3\), \(t=8\); bei \(t=3\) wechselt der Bestand von Zunahme zu Abnahme, bei \(t=8\) endet die Abnahme. b) \(t=\frac43\,\text{h}\) nach 12:00 Uhr, also 13:20 Uhr; maximale Rate \(\frac{400}{27}\,\text{m}^3/\text{h}\) c) \(V(t)=\frac14t^4-\frac{11}{3}t^3+12t^2+100\) d) \(V(3)=\frac{517}{4}\,\text{m}^3\), \(V(8)=\frac{44}{3}\,\text{m}^3>0\); das Becken wird nicht leer.

- Überlege dir, welche Bedeutung das Vorzeichen der Änderungsrate \(f(t)\) für den Zu- oder Abfluss von Wasser hat. - Wie hängen die momentane Änderungsrate und die Gesamtänderung einer Größe mathematisch über ein Integral zusammen? - Vergiss nicht, den Anfangsbestand zum Zeitpunkt \(t = 0\) zu berücksichtigen, wenn du das absolute Volumen berechnest. - An welchen Stellen kann eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall ihr globales Maximum annehmen? Welche Werte musst du vergleichen?

1. Bestimmung der Abflusszeiträume: Ein Nettoabfluss liegt vor, wenn die Änderungsrate negativ ist, also \(f(t) < 0\). Laut Graph ist dies für \(0 \le t < 2\) und \(10 < t \le 12\) der Fall. Dies entspricht den Uhrzeiten von 12:00 Uhr bis 14:00 Uhr und von 22:00 Uhr bis 24:00 Uhr. 2. Berechnung des Wasservolumens um 18:00 Uhr: Das Wasservolumen \(V(6)\) berechnet sich durch Rekonstruktion des Bestands: \(V(6) = V(0) + \int_0^6 f(t)\,\mathrm{d}t\) \(V(6) = 200 + \int_0^6 (-3t^2 + 36t - 60)\,\mathrm{d}t\) \(V(6) = 200 + \left[-t^3 + 18t^2 - 60t\right]_0^6\) \(V(6) = 200 + (-6^3 + 18 \cdot 6^2 - 60 \cdot 6) - 0 = 200 + 72 = 272\,\text{m}^3\) 3. Begründung des maximalen Volumens: Die Nullstellen von \(f(t)\) liegen bei \(t = 2\) und \(t = 10\). Da \(f(t) < 0\) für \(t \in [0; 2)\), \(f(t) > 0\) für \(t \in (2; 10)\) und \(f(t) < 0\) für \(t \in (10; 12]\), nimmt das Volumen bis \(t = 2\) ab, steigt dann bis \(t = 10\) an und nimmt danach wieder ab. Bei \(t = 10\) liegt somit ein lokales Maximum vor. Durch Vergleich mit den Randwerten: \(V(0) = 200\,\text{m}^3\) \(V(10) = 200 + \left[-t^3 + 18t^2 - 60t\right]_0^{10} = 200 + 200 = 400\,\text{m}^3\) \(V(12) = 200 + \left[-t^3 + 18t^2 - 60t\right]_0^{12} = 200 + 144 = 344\,\text{m}^3\) Da das Volumen bei \(t = 10\) mit \(400\,\text{m}^3\) am größten ist, ist dies das absolute Maximum im gesamten Beobachtungszeitraum.

a) Wasser fließt netto von 12:00 Uhr bis 14:00 Uhr sowie von 22:00 Uhr bis 24:00 Uhr ab. b) Das Wasservolumen um 18:00 Uhr beträgt \(272\,\text{m}^3\). c) Da die Änderungsrate vor \(t = 10\) positiv und danach negativ ist, liegt bei \(t = 10\) ein lokales Maximum vor. Da \(V(10) = 400\,\text{m}^3\) größer ist als die Randwerte \(V(0) = 200\,\text{m}^3\) und \(V(12) = 344\,\text{m}^3\), ist dies das absolute Maximum im gesamten Zeitraum.

- Was bedeutet es für den Wasserstand, wenn die Zuflussrate negativ ist? - An welchen Stellen im Diagramm könnte der Wasserstand einen Tiefpunkt erreichen? - Wie kannst du die Flächen zwischen dem Graphen und der Zeitachse nutzen, um Volumenänderungen zu berechnen? - Denke daran, dass der aktuelle Wasserstand die Summe aus dem Startwert und allen bisherigen Änderungen ist.

1. Abnahme der Wassermenge: Das Volumen nimmt ab, wenn die Änderungsrate \(v(t)\) negativ ist. Dies ist im Intervall \(t \in (3; 8)\) der Fall. 2. Minimaler Wasserstand: Die Wassermenge steigt bis \(t=3\) an (positive Rate), sinkt dann bis \(t=8\) ab (negative Rate) und steigt danach wieder an. Ein lokales Minimum liegt somit bei \(t=8\). Ein Vergleich mit dem Anfangswert zeigt, dass der Gesamtverlust zwischen \(t=3\) und \(t=8\) (Fläche von \(7\,\text{L}\)) größer ist als der vorherige Zuwachs zwischen \(t=0\) und \(t=3\) (Fläche von \(5\,\text{L}\)). Das absolute Minimum liegt also bei \(t=8\). 3. Volumenänderung nach 5 Minuten: Die Änderung entspricht der Flächenbilanz von \(t=0\) bis \(t=5\). - Bereich \([0; 2]\): \(2\,\text{min} \cdot 2\,\text{L}/\text{min} = 4\,\text{L}\). - Bereich \([2; 3]\): \(\frac{1}{2} \cdot 1\,\text{min} \cdot 2\,\text{L}/\text{min} = 1\,\text{L}\). - Bereich \([3; 4]\): \(\frac{1}{2} \cdot 1\,\text{min} \cdot (-2\,\text{L}/\text{min}) = -1\,\text{L}\). - Bereich \([4; 5]\): \(1\,\text{min} \cdot (-2\,\text{L}/\text{min}) = -2\,\text{L}\). Netto-Änderung: \(4 + 1 - 1 - 2 = 2\,\text{L}\). 4. Wassermenge nach 10 Minuten: Die Gesamtänderung über 10 Minuten ergibt sich aus der Summe aller Teilflächen: \(5\,\text{L}\) (Zuwachs) \(- 7\,\text{L}\) (Abfluss) \(+ 2\,\text{L}\) (Zuwachs) \(= 0\,\text{L}\). Der Endbestand ist gleich dem Anfangsbestand: \(50\,\text{L} + 0\,\text{L} = 50\,\text{L}\).

a) Im Intervall \((3; 8)\). b) Bei \(t = 8\), da hier die Abflussphase endet und die Wassermenge danach wieder zunimmt. Zu diesem Zeitpunkt ist der kumulierte Verlust größer als der vorherige Zuwachs. c) Die Wassermenge hat sich um \(2\,\text{L}\) erhöht. d) Nach 10 Minuten befinden sich wieder \(50\,\text{L}\) im Speicher.

- Überlege dir, was passiert, wenn die Kurve unter die Nulllinie sinkt. Läuft dann Wasser hinein oder heraus? - Das Integral über die Rate entspricht der Bestandsänderung. - Die maximale Füllmenge wird erreicht, kurz bevor der Abfluss beginnt den Zufluss zu übersteigen. Wo ist das im Graphen? - Du kannst die Flächen im Graphen als einfache geometrische Formen (Rechtecke, Dreiecke) berechnen.

1. Maximum der Wassermenge: Die Wassermenge \(V(t)\) nimmt zu, solange die Rate \(f(t)\) positiv ist, und ab, wenn \(f(t)\) negativ ist. Der Graph von \(f\) wechselt bei \(t = 6\) das Vorzeichen von Plus nach Minus. Daher ist die Wassermenge zum Zeitpunkt \(t = 6\,\text{h}\) am größten. 2. Volumenänderung nach \(10\) Stunden: - Intervall \([0; 4]\): Rechteck mit \(4\,\text{h} \cdot 4\,\text{m}^3/\text{h} = 16\,\text{m}^3\). - Intervall \([4; 6]\): Dreieck mit \(\frac{1}{2} \cdot 2\,\text{h} \cdot 4\,\text{m}^3/\text{h} = 4\,\text{m}^3\). - Intervall \([6; 8]\): Dreieck (Abfluss) mit \(\frac{1}{2} \cdot 2\,\text{h} \cdot (-4\,\text{m}^3/\text{h}) = -4\,\text{m}^3\). - Intervall \([8; 10]\): Rechteck (Abfluss) mit \(2\,\text{h} \cdot (-4\,\text{m}^3/\text{h}) = -8\,\text{m}^3\). - Gesamte Änderung: \(V(10) = 16 + 4 - 4 - 8 = 8\,\text{m}^3\). 3. Zeitpunkt der vollständigen Leerung: - Gesucht ist \(t\) mit \(V(t) = 0\). - Aus Schritt 2 wissen wir \(V(10) = 8\,\text{m}^3\). - Für \(t \ge 8\) ist die Abflussrate konstant \(f(t) = -4\,\text{m}^3/\text{h}\). - \(V(t) = V(10) + \int_{10}^t (-4) \,\text{d}\tau = 8 - 4(t - 10)\). - Setze \(8 - 4(t - 10) = 0 \Rightarrow 8 = 4(t - 10) \Rightarrow 2 = t - 10 \Rightarrow t = 12\,\text{h}\).

a) Nach \(6\) Stunden, da die Rate dort von Zufluss (positiv) zu Abfluss (negativ) wechselt. b) Das Wasservolumen hat sich um \(8\,\text{m}^3\) erhöht. c) Nach \(12\) Stunden ist das Becken wieder leer.

- Wie erhältst du aus der Rate und dem Anfangsvolumen eine Bestandsfunktion? - Wann wechselt die Rate von positiv zu negativ, und was bedeutet das für den Bestand? - Wenn der Bestand wieder den Anfangswert erreicht, welche Nettoänderung muss seit \(t=0\) vorliegen? - Setze für Teil d den Endzeitpunkt in die Bestandsfunktion ein.

1. Aus der Änderungsrate folgt mit \(V(0)=80\) die Bestandsfunktion \(V(t)=-\frac13t^3+3t^2+80\). 2. Nach drei Stunden ist \(V(3)=98\,\text{m}^3\). 3. Es gilt \(f(t)=t(6-t)\). Die Rate ist für \(0<t<6\) positiv und für \(6<t\le10\) negativ. Daher ist der Bestand bei \(t=6\) maximal. Es ist \(V(6)=116\,\text{m}^3\). 4. Aus \(V(t)=80\) folgt \(-\frac13t^3+3t^2=0\), also \(t^2(3-\frac13t)=0\). Für \(t>0\) ergibt sich \(t=9\,\text{h}\). 5. Am Ende des Beobachtungszeitraums ist \(V(10)=\frac{140}{3}\,\text{m}^3\).

a) \(98\,\text{m}^3\) b) Maximum bei \(t=6\,\text{h}\) mit \(116\,\text{m}^3\) c) Nach \(9\,\text{h}\) d) \(\frac{140}{3}\,\text{m}^3\)

- Überlege für a), welche Eigenschaft die Änderungsrate an ihrem größten Wert besitzt. - Für b) beschreibt das bestimmte Integral die gerichtete Bestandsänderung im angegebenen Zeitintervall. - Für c) setzt sich der Bestand aus dem Anfangswert und der bis dahin aufsummierten Änderung zusammen. - Vergleiche bei d) die Wirkung von \(f(t)\) und \(|f(t)|\) auf negative Funktionswerte.

1. Zur Bestimmung der maximalen Befüllrate wird das lokale Maximum von \(f\) im Intervall \([0; 10]\) gesucht. Es gilt \(f'(t) = 0{,}06t^2 - 1{,}2t + 4{,}5\). Aus \(f'(t)=0\) folgen \(t=5\) und \(t=15\). Da \(f''(5)=0{,}12\cdot5-1{,}2=-0{,}6<0\), liegt bei \(t=5\,\text{h}\) ein Maximum vor. Die maximale Befüllrate ist \(f(5)=5\,\text{m}^3/\text{h}\). 2. Eine Stammfunktion von \(f\) ist \(F(t)=0{,}005t^4-0{,}2t^3+2{,}25t^2-5t\). Damit ist \(\int_2^8 f(t)\,\text{d}t=F(8)-F(2)=22{,}08-(-2{,}52)=24{,}6\,\text{m}^3\). 3. Der Wasserbestand nach 10 Stunden ist \(V(10)=100\,\text{m}^3+\int_0^{10}f(t)\,\text{d}t\). Wegen \(F(10)=25\) und \(F(0)=0\) ergibt sich \(V(10)=125\,\text{m}^3\). 4. Das Integral \(\int_0^{15}|f(t)|\,\text{d}t\) addiert Zu- und Abfluss jeweils betragsmäßig. Es beschreibt daher die insgesamt durch Zu- und Abfluss bewegte Wassermenge im betrachteten Zeitraum.

a) Nach \(5\,\text{h}\) wird mit \(5\,\text{m}^3/\text{h}\) die maximale Befüllrate erreicht. b) Die Volumenänderung beträgt \(24{,}6\,\text{m}^3\). c) Nach 10 Stunden beträgt der Wasserbestand \(125\,\text{m}^3\). d) Das Integral gibt die gesamte Wassermenge an, die innerhalb der 15 Stunden durch Zu- und Abfluss bewegt wurde.

- Das Vorzeichen der Änderungsrate zeigt dir, ob der Wasserstand gerade steigt oder fällt. - Ein Maximum des Wasserstands liegt dort, wo die Änderungsrate von positiv zu negativ wechselt. - Das Integral einer Änderungsrate über ein Zeitintervall beschreibt die gerichtete Änderung des Bestands. - Für d) addierst du die Änderung seit 08:00 Uhr zum Anfangswasserstand.

1. Es ist \(v(2)=0{,}8\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0{,}4\,\text{m}/\text{h}\). Um 10:00 Uhr steigt der Wasserstand momentan mit dieser Rate; das positive Vorzeichen kennzeichnet einen Anstieg. 2. Der Wasserstand ist maximal, wenn \(v\) von positiven zu negativen Werten wechselt. Das geschieht bei \(t=3\), also um 11:00 Uhr. 3. Es gilt \(\int_0^3v(t)\,\text{d}t=\left[\frac{24}{5\pi}\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\right]_0^3=\frac{24}{5\pi}\,\text{m}\). Das ist der Anstieg des Wasserstands zwischen 08:00 Uhr und 11:00 Uhr. 4. Für 14:00 Uhr ist \(t=6\). Damit ist \(h(6)=3{,}50\,\text{m}+\int_0^6v(t)\,\text{d}t=3{,}50\,\text{m}\), weil \(\sin(\pi)=\sin(0)=0\).

a) \(v(2)=0{,}4\,\text{m}/\text{h}\); um 10:00 Uhr steigt das Wasser mit dieser momentanen Rate. b) Bei \(t=3\), also um 11:00 Uhr. c) \(\int_0^3v(t)\,\text{d}t=\frac{24}{5\pi}\,\text{m}\); der Wasserstand steigt in diesem Zeitraum um diesen Betrag. d) Um 14:00 Uhr beträgt der Wasserstand \(3{,}50\,\text{m}\).

- Wann steigt ein Bestand an? Überlege dir, welches Vorzeichen die Änderungsrate dafür haben muss. - Was stellt die Fläche unter einem Graphen einer Änderungsrate dar? - Nutze das Integral der Änderungsrate, um die Änderung über einen Zeitraum zu berechnen und addiere diese zum Anfangsbestand. - Betrachte das Vorzeichen der Änderungsrate kurz vor und kurz nach dem Zeitpunkt \(t = 6\).

1. Analyse der Zunahme: Das Volumen nimmt zu, wenn die Änderungsrate \(q(t)\) positiv ist. Die Nullstellen von \(q(t) = -0{,}5t^2 + 4t - 6\) liegen bei \(t = 2\) und \(t = 6\). Da die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt \(q(t) > 0\) für \(2 < t < 6\). In diesem Zeitraum nimmt das Volumen zu. 2. Interpretation des Integrals: Das Integral \(\int_{2}^{6} q(t) \, \text{d}t\) gibt die gesamte Volumenänderung (Netto-Zunahme) in Kubikmetern im Zeitraum von \(t = 2\,\text{h}\) bis \(t = 6\,\text{h}\) an. 3. Berechnung des Volumens nach \(6\,\text{h}\): \(V(6) = V(0) + \int_{0}^{6} q(t) \, \text{d}t\). Das Integral berechnet sich zu \(\int_{0}^{6} (-0{,}5t^2 + 4t - 6) \, \text{d}t = [-\frac{1}{6}t^3 + 2t^2 - 6t]_0^6 = (-36 + 72 - 36) - 0 = 0\). Somit ist \(V(6) = 150 + 0 = 150\,\text{m}^3\). 4. Begründung des Maximums: Zum Zeitpunkt \(t = 6\) hat die Änderungsrate \(q(t)\) eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus (da \(q(5) > 0\) und \(q(7) < 0\)). Das bedeutet, das Becken wird bis \(t = 6\) gefüllt und danach geleert. Somit liegt bei \(t = 6\) ein lokales Maximum des Bestands vor.

a) Das Volumen nimmt im Zeitraum \(2 < t < 6\) zu, da dort die Änderungsrate \(q(t)\) positiv ist. b) Der Wert gibt die gesamte Wassermenge in \(\text{m}^3\) an, die zwischen der zweiten und sechsten Stunde netto in das Becken geflossen ist. c) Das Volumen nach \(6\,\text{h}\) beträgt \(150\,\text{m}^3\). d) Bei \(t = 6\) wechselt die Änderungsrate ihr Vorzeichen von positiv (Zufluss) zu negativ (Abfluss). Da das Becken bis dahin gefüllt wurde und danach geleert wird, ist das Volumen zu diesem Zeitpunkt maximal.

- Wie erhältst du aus einer Zu- und Abflussrate zusammen mit dem Anfangsvolumen eine Bestandsfunktion? - Woran erkennst du anhand des Vorzeichens von \(r(t)\), ob das Volumen steigt oder fällt? - Die durchschnittliche Zuflussrate ist die Nettoänderung des Bestands geteilt durch die Zeitspanne. - Für Teil d kannst du die Bestandsfunktion mit dem Anfangsvolumen gleichsetzen und eine bekannte Lösung ausklammern.

1. Die Bestandsfunktion ist \(V(t)=40+\int_0^t r(x)\,\text{d}x=40-\frac{1}{50}\left(\frac{t^3}{3}-10t^2+64t\right)\). 2. Damit gilt \(V(4)=\frac{2824}{75}\,\text{m}^3\) und \(V(10)=\frac{608}{15}\,\text{m}^3\). 3. Die Nullstellen der Rate sind \(t=4\) und \(t=16\). Da \(r\) vor \(t=4\) negativ und danach positiv ist, besitzt \(V\) innerhalb der ersten zehn Stunden bei \(t=4\) ein Minimum. Es beträgt \(\frac{2824}{75}\,\text{m}^3\). 4. Für die ersten \(16\) Stunden ist \(V(16)=40+\frac{256}{75}\). Die mittlere Rate beträgt daher \(\overline{r}=\frac{V(16)-V(0)}{16}=\frac{16}{75}\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\approx0{,}21\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\). 5. Aus \(V(t)=40\) folgt \(t\left(\frac{t^2}{3}-10t+64\right)=0\). Für \(t>0\) ergibt sich \(t^2-30t+192=0\), also \(t=15\pm\sqrt{33}\). 6. Der erste positive Zeitpunkt ist \(t=15-\sqrt{33}\,\text{h}\).

a) \(V(4)=\frac{2824}{75}\,\text{m}^3\); \(V(10)=\frac{608}{15}\,\text{m}^3\) b) Minimum bei \(t=4\,\text{h}\) mit \(V(4)=\frac{2824}{75}\,\text{m}^3\) c) \(\overline{r}=\frac{16}{75}\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\approx0{,}21\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) d) \(t=15-\sqrt{33}\,\text{h}\)

- Wenn ein Funktionswert der Durchflussrate vorgegeben ist, welche Gleichung musst du nach \(t\) lösen? - Welches Vorzeichen der ersten Ableitung zeigt, dass die Durchflussrate überall zunimmt? - Wie wird aus der Durchflussrate zusammen mit dem Anfangsvolumen eine Bestandsfunktion? - Zerlege Teil f in den Zeitraum vor und nach der Umstellung der Rate.

1. Aus \(12-12e^{-0{,}4t}=6\) folgt \(e^{-0{,}4t}=\frac12\) und damit \(t=\frac52\ln(2)\,\text{min}\). 2. Die erste Ableitung ist \(v'(t)=4{,}8e^{-0{,}4t}\). Sie ist für alle \(t\ge0\) positiv, also ist \(v\) streng monoton steigend. 3. Nach fünf Minuten gilt \(v'(5)=4{,}8e^{-2}\,\text{L}/\text{min}^2\). 4. Eine Stammfunktion der Rate ist \(12t+30e^{-0{,}4t}\). Mit \(V(0)=40\) folgt \(V(t)=12t+30e^{-0{,}4t}+10\). 5. Nach zehn Minuten enthält der Behälter \(V(10)=130+30e^{-4}\,\text{L}\). 6. Zum Umschaltzeitpunkt gilt \(V(20)=250+30e^{-8}\,\text{L}\). Danach ist \(V(t)=250+30e^{-8}+12(t-20)\). 7. Aus \(V(t)=500\) folgt \(t=\frac{245}{6}-\frac52e^{-8}\,\text{min}\).

a) \(t=\frac52\ln(2)\,\text{min}\) b) \(v'(t)=4{,}8e^{-0{,}4t}>0\) für alle \(t\ge0\) c) \(v'(5)=4{,}8e^{-2}\,\text{L}/\text{min}^2\) d) \(V(t)=12t+30e^{-0{,}4t}+10\) e) \(V(10)=130+30e^{-4}\,\text{L}\) f) \(t=\frac{245}{6}-\frac52e^{-8}\,\text{min}\)

- Woran erkennst du aus der ersten Ableitung, wann die Ladeleistung ihr Maximum erreicht? - Für die Bestandsfunktion musst du die Ladeleistung integrieren und anschließend den Anfangsbestand berücksichtigen. - Das Integral in Teil d beschreibt die Energiezunahme in vier Stunden. Wie erhältst du daraus die mittlere Leistung? - Welcher Faktor entscheidet beim Grenzwert darüber, ob der zusätzliche Term langfristig verschwindet?

1. Die erste Ableitung der Leistung ist \(P'(t)=(40-20t)e^{-0{,}5t}\). Sie ist vor \(t=2\) positiv und danach negativ. Daher liegt das Maximum bei \(t=2\,\text{h}\) mit \(P(2)=\frac{80}{e}\,\text{W}\). 2. Für die Integration von \(40t e^{-0{,}5t}\) wähle \(u(t)=40t\) mit \(u'(t)=40\) sowie \(w'(t)=e^{-0{,}5t}\) mit \(w(t)=-2e^{-0{,}5t}\). 3. Eine Stammfunktion der Ladeleistung ist \(-80(t+2)e^{-0{,}5t}+C\). Aus \(E(0)=200\) folgt \(C=360\). Somit ist \(E(t)=360-80(t+2)e^{-0{,}5t}\). 4. Nach vier Stunden gilt \(E(4)=360-480e^{-2}\,\text{Wh}\). 5. Die mittlere Ladeleistung in den ersten vier Stunden ist \(\overline{P}=\frac{E(4)-E(0)}{4}=40-120e^{-2}\,\text{W}\). 6. Für \(t\to\infty\) gilt \((t+2)e^{-0{,}5t}\to0\). Daher nähert sich die gespeicherte Energie dem Wert \(360\,\text{Wh}\).

a) \(t=2\,\text{h}\); \(P(2)=\frac{80}{e}\,\text{W}\) b) \(E(t)=360-80(t+2)e^{-0{,}5t}\) c) \(E(4)=360-480e^{-2}\,\text{Wh}\) d) \(\overline{P}=40-120e^{-2}\,\text{W}\) e) \(360\,\text{Wh}\)

- Welche drei Bedingungen gelten an einem Terrassenpunkt für Funktionswert, erste und zweite Ableitung? - Welche beiden Bedingungen liefert der weitere Wendepunkt bei \(x=8\)? - Wie ergänzt du die integrierte Zuflussrate um den bereits vorhandenen Anfangsbestand? - Für das Maximum der Rate selbst musst du untersuchen, wann deren erste Ableitung das Vorzeichen wechselt.

1. Aus \(f(0)=0\) folgt \(e=0\). Wegen der waagerechten Tangente gilt \(f'(0)=0\), also \(d=0\). Für den Wendepunkt im Ursprung gilt außerdem \(f''(0)=0\), also \(c=0\). Damit ist \(f(x)=ax^4+bx^3\). 2. Aus \(f(8)=1024\) folgt \(4096a+512b=1024\). Da \(W\) ein Wendepunkt ist, gilt \(f''(8)=0\). Mit \(f''(x)=12ax^2+6bx\) ergibt sich \(768a+48b=0\). 3. Aus der zweiten Gleichung folgt \(b=-16a\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(a=-0{,}25\) und damit \(b=4\). Also ist \(f(x)=-0{,}25x^4+4x^3\). 4. Nach zwölf Tagen beträgt der Bestand \(B(12)=5000+\int_0^{12}(-0{,}25x^4+4x^3)\,\text{d}x\). Das Integral ist \([-0{,}05x^5+x^4]_0^{12}=8294{,}4\). Somit gilt \(B(12)=13\,294{,}4\) in \(10^3\,\text{m}^3\). 5. Für das Maximum der Zuflussrate wird \(f'(x)=-x^3+12x^2=x^2(12-x)\) betrachtet. Für \(0<x<12\) ist \(f'(x)>0\), für \(12<x\le16\) ist \(f'(x)<0\). Daher liegt das Maximum bei \(x=12\). 6. Die maximale Zuflussrate beträgt \(f(12)=1728\cdot10^3\,\text{m}^3/\text{Tag}\).

a) Aus \(f(0)=0\), \(f'(0)=0\) und \(f''(0)=0\) folgt \(e=d=c=0\). b) \(a=-0{,}25\), \(b=4\); also \(f(x)=-0{,}25x^4+4x^3\) c) \(13\,294{,}4\cdot10^3\,\text{m}^3\) d) Maximum nach \(12\) Tagen; maximale Rate \(1728\cdot10^3\,\text{m}^3/\text{Tag}\)

- Welche Beziehung besteht zwischen Produktionsrate und Ableitung des Gesamtbestands? - Welche beiden Funktionswerte bestimmen zusammen mit der Intervallbreite die Trapezfläche? - Was sagt das Vorzeichen der zweiten Ableitung über die Lage einer Sehne relativ zum Graphen aus? - Vergleiche für die prozentuale Abweichung die Differenz aus exaktem und angenähertem Zuwachs mit dem exakten Zuwachs.

1. Es gilt \(h(20)=-0{,}1\cdot20^4+2\cdot20^3=0\). Außerdem ist \(h(t)=t^3(2-0{,}1t)>0\) für \(0<t<20\). 2. Ist \(S\) der Gesamtbestand, so gilt \(S'(t)=h(t)\). Daher steigt \(S\) im gesamten Inneren des Modellintervalls und erreicht bei \(t=20\) sein Maximum. 3. Für das Trapez gilt \(h(10)=1000\) und \(h(15)=1687{,}5\). Somit ist \(A_T=\frac{1000+1687{,}5}{2}\cdot5=6718{,}75\,\text{ME}\). 4. Die zweite Ableitung lautet \(h''(t)=-1{,}2t^2+12t=-1{,}2t(t-10)\). Für \(10<t\le15\) gilt \(h''(t)<0\), also ist der Graph dort konkav. Die Sehne zwischen den Randpunkten liegt deshalb unter dem Graphen, sodass die Trapezfläche den Integralwert unterschätzt. 5. Der exakte Zuwachs ist \(\int_{10}^{15}(-0{,}1t^4+2t^3)\,\text{d}t=[-0{,}02t^5+0{,}5t^4]_{10}^{15}=7125\,\text{ME}\). 6. Die relative Abweichung beträgt \(\frac{7125-6718{,}75}{7125}\cdot100\,\%=\frac{325}{57}\,\%\approx5{,}70\,\%\).

a) \(h(20)=0\); da \(h(t)>0\) für \(0<t<20\), steigt der Bestand bis \(t=20\) und ist dort maximal. b) \(6718{,}75\,\text{ME}\) c) \(h''(t)<0\) für \(10<t\le15\), daher unterschätzt das Trapez den Integralwert. Die Abweichung beträgt \(\frac{325}{57}\,\%\approx5{,}70\,\%\).

- Welche Gesamtgröße erhältst du, wenn du eine Zuflussrate über einen Zeitraum integrierst? - Für Teil b genügt es, den höchsten Punkt des dargestellten Rate-Graphen zu lokalisieren. - Verwende für beide Zeiträume dieselbe Stammfunktion und vergleiche anschließend die beiden exakten Integralwerte.

1. Eine Stammfunktion von \(f(t)=2t e^{-0{,}1t}\) ist \(F(t)=-20(t+10)e^{-0{,}1t}\). 2. Für die ersten zehn Stunden gilt \(\int_0^{10}f(t)\,\text{d}t=200-400e^{-1}\). Damit sind \((200-400e^{-1})\cdot10^3\,\text{m}^3\) Wasser zugeflossen. 3. Aus dem Graphen ist das Maximum der Zuflussrate bei \(t=10\,\text{h}\) ablesbar. Rechnerisch bestätigt dies \(f'(t)=(2-0{,}2t)e^{-0{,}1t}\). 4. Bis \(t=20\) ist die zugeflossene Wassermenge \(\int_0^{20}f(t)\,\text{d}t=200-600e^{-2}\). Das entspricht \((200-600e^{-2})\cdot10^3\,\text{m}^3\). 5. Da \(200-600e^{-2}>2(200-400e^{-1})\), ist nach 20 Stunden insgesamt mehr als doppelt so viel Wasser zugeflossen wie nach zehn Stunden.

a) \((200-400e^{-1})\cdot10^3\,\text{m}^3\) b) \(t=10\,\text{h}\) c) \((200-600e^{-2})\cdot10^3\,\text{m}^3\); das ist mehr als das Doppelte des Werts aus Teil a.

- Überlege, wie das Vorzeichen der Änderungsrate bestimmt, ob der Bestand steigt oder fällt. - Die stärkste Zunahme des Bestands entspricht dem größten positiven Wert seiner Änderungsrate. - Für e) reicht es zu prüfen, ob die gerichtete Gesamtänderung über vier Stunden null ist. - Nutze bei f) die Symmetrie des zweiten Graphen, um gleich große positive und negative Flächenbilanzen zu erkennen.

1. Aus \(f(t)=0{,}5t(t-2)(t-4)=0\) folgen \(t=0\), \(t=2\) und \(t=4\). Zu diesen Zeitpunkten ist die Änderungsrate null. 2. Es ist \(f(1)=0{,}5-3+4=1{,}5\). Um 11:00 Uhr nimmt das Wasservolumen momentan mit \(1500\,\text{m}^3/\text{h}\) zu. 3. Die stärkste Zunahme entspricht dem Maximum von \(f\). Es gilt \(f'(t)=1{,}5t^2-6t+4\). Aus \(f'(t)=0\) folgt \(t=2\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}\). Im relevanten positiven Abschnitt \((0;2)\) liegt bei \(t=2-\frac{2}{3}\sqrt{3}\,\text{h}\) das lokale Maximum der Rate, also etwa \(0{,}85\,\text{h}\) nach 10:00 Uhr. 4. Für \(0<t<2\) gilt \(f(t)>0\), danach für \(2<t<4\) gilt \(f(t)<0\). Der Bestand steigt also bis \(t=2\) und fällt anschließend; deshalb ist er dort maximal. 5. Es gilt \(\int_0^4 f(t)\,\text{d}t=[0{,}125t^4-t^3+2t^2]_0^4=32-64+32=0\). Die Gesamtänderung nach vier Stunden ist null. 6. Der Graph von \(g\) ist punktsymmetrisch zu \((2\mid0)\). Deshalb gleichen sich die Flächenbilanzen auf \([0{,}5;2]\) und \([2;3{,}5]\) betragsmäßig aus. Somit wird derselbe Füllstand bei \(t=3{,}5\), also um 13:30 Uhr, wieder erreicht.

a) \(t\in\{0;2;4\}\), also 10:00 Uhr, 12:00 Uhr und 14:00 Uhr. b) \(f(1)=1{,}5\); um 11:00 Uhr steigt das Volumen mit \(1500\,\text{m}^3/\text{h}\). c) Bei \(t=2-\frac{2}{3}\sqrt{3}\,\text{h}\) nach Messbeginn, also bei etwa \(t\approx0{,}85\,\text{h}\). d) Bei \(t=2\) wechselt die Änderungsrate von positiv zu negativ; dort ist der Bestand maximal. e) \(\int_0^4 f(t)\,\text{d}t=0\); nach vier Stunden ist der Ausgangsbestand wieder erreicht. f) Bei \(t=3{,}5\), also um 13:30 Uhr.