Kostenlose Arbeitsblätter

- Welche Rate vergrößert die Zahl abgestellter Fahrzeuge und welche verkleinert sie? - Formuliere zuerst eine einzige Nettorate. - Prüfe danach, ob die Integrationsgrenzen genau zum genannten Zeitraum passen.

1. Die Nettoänderungsrate ist Einfahrtsrate minus Ausfahrtsrate, also \(q(t)-3\). 2. Die gesuchte Änderung betrifft genau den Zeitraum von \(t=2\) bis \(t=7\). Deshalb sind dies die Integrationsgrenzen. 3. Der passende Modellterm ist damit \(\int_2^7(q(t)-3)\,\text{d}t\). Das ist A.

A) \(\int_2^7(q(t)-3)\,\text{d}t\)

- Welche Größe beschreibt ein einzelner kleiner Beitrag \(F(s)\Delta s\)? - Was geschieht mit einer Summe solcher Beiträge, wenn die Wegabschnitte immer feiner werden? - Welche Grenzen gehören zum tatsächlich zurückgelegten Weg, und welche Einheit entsteht aus Newton mal Meter?

1. Jeder kleine Beitrag hat die Form \(F(s)\Delta s\). Beim Verfeinern der Wegzerlegung wird die Summe dieser Beiträge zum bestimmten Integral der Kraft über den Weg. 2. Für den Weg von \(1\,\text{m}\) bis \(3\,\text{m}\) lautet das Modell daher \(W=\int_1^3F(s)\,\text{d}s\). 3. Die Einheit ist \(\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}\).

Die Summe der lokalen Arbeitsbeiträge \(F(s)\Delta s\) geht bei immer feineren Wegabschnitten im Grenzübergang in das bestimmte Integral \(W=\int_1^3F(s)\,\text{d}s\) über. Die Einheit ist \(\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}\).

- Das Integral einer Leistung über die Zeit liefert eine Energie. - Nutze die angegebene Stammfunktion mit den Grenzen \(0\) und \(12\). - Runde erst den endgültigen exakten Ausdruck auf zwei Dezimalstellen.

1. Die aufgenommene Energie ist \(\int_0^{12}g(t)\,\text{d}t\). Aus \(\text{kW}\cdot\text{h}\) entsteht die Einheit \(\text{kWh}\). 2. Mit der angegebenen Stammfunktion ergibt sich \(G(12)-G(0)=27\,400-157\,000e^{-12/5}\,\text{kWh}\). 3. Numerisch ist das \(27\,400-157\,000e^{-12/5}\approx13\,157{,}28\).

\(27\,400-157\,000e^{-12/5}\,\text{kWh}\approx13\,157{,}28\,\text{kWh}\)

- In welcher Einheit muss die Dehnung eingesetzt werden, damit das Hookesche Gesetz mit Newton und Metern konsistent ist? - Wie lässt sich eine Summe sehr vieler kleiner Beiträge „Kraft mal Wegstück“ mit Integralnotation ausdrücken? - Welche Weggrenzen gehören jeweils zum ersten und zum zweiten Dehnungsvorgang?

1. Aus \(F=Ds\) folgt mit \(F=15\,\text{N}\) und \(s=0{,}06\,\text{m}\) die Federkonstante \(D=\frac{15}{0{,}06}\,\frac{\text{N}}{\text{m}}=250\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\). 2. Die Summe vieler Beiträge \(F(s_i)\Delta s\) führt im Grenzübergang zum Integral der Kraft über den Weg. Für die Dehnung bis \(0{,}10\,\text{m}\) ist daher \(W=\int_0^{0{,}10}250s\,\text{d}s\). 3. Es folgt \(W=[125s^2]_0^{0{,}10}=1{,}25\,\text{J}\). 4. Für die zusätzliche Dehnung lautet das Modell \(W_{\text{zus}}=\int_{0{,}10}^{0{,}20}250s\,\text{d}s\), also \(W_{\text{zus}}=[125s^2]_{0{,}10}^{0{,}20}=3{,}75\,\text{J}\).

a) \(D=250\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\) b) \(W=\int_0^{0{,}10}250s\,\text{d}s=1{,}25\,\text{J}\) c) \(W_{\text{zus}}=\int_{0{,}10}^{0{,}20}250s\,\text{d}s=3{,}75\,\text{J}\)

- Energie erhältst du aus einer zeitabhängigen Leistung durch Integration über die Zeit. - Verwende die ersten sechs Stunden als Integrationsintervall. - Prüfe, welche Einheit aus \(\text{kW}\cdot\text{h}\) entsteht.

1. Die erzeugte Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit: \(E=\int_0^6(-t^2+12t)\,\mathrm{d}t\). 2. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-\frac13t^3+6t^2\). 3. Daher gilt \(E=F(6)-F(0)=-72+216=144\,\text{kWh}\).

\(144\,\text{kWh}\)

- Welche der beiden Raten vergrößert und welche verkleinert den Bestand? - Ein positiver Beitrag entsteht dort, wo die Nettorate größer als null ist. - Lies im Diagramm ab, wann Zufluss- und Abflussrate gleich groß sind.

1. Die Nettoänderungsrate ist \(z(t)-a(t)\). Deshalb beschreibt \(\int_0^6(z(t)-a(t))\,\text{d}t\) die Nettoänderung des Wasservolumens. 2. Im Diagramm schneiden sich die beiden Raten bei \(t=3\). Für \(t>3\) liegt \(z\) oberhalb von \(a\), also ist \(z(t)-a(t)>0\). Dort ist der Beitrag zur Bestandsänderung positiv.

a) \(\int_0^6(z(t)-a(t))\,\text{d}t\) b) Für \(3<t\le6\)

- Welche Rechenoperation zwischen Volumen und Masse pro Volumen führt zu einer Masse? - Prüfe die Einheiten von \(Q(t)\) und \(\rho(t)\), bevor du integrierst. - Nach der Integration einer Massenrate über Minuten sollte welche Einheit übrig bleiben?

1. Volumenstrom mal Schüttdichte ergibt \(Q(t)\rho(t)\). Die Einheit ist \(\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\cdot\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}=\frac{\text{kg}}{\text{min}}\). Das Produkt ist daher eine Massenrate. 2. Die in den ersten fünf Minuten transportierte Masse wird durch \(M=\int_0^5Q(t)\rho(t)\,\text{d}t\) beschrieben.

a) Die momentane Massenrate ist \(Q(t)\rho(t)\). Aus \(\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\cdot\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}=\frac{\text{kg}}{\text{min}}\) folgt die Einheit. b) \(M=\int_0^5Q(t)\rho(t)\,\text{d}t\)

- Welche Gesamtmasse ist laut den beiden Wägungen aus dem Behälter verschwunden? - Mit welcher mathematischen Größe erhältst du aus einer zeitabhängigen Ausbringrate die insgesamt aufgetragene Masse? - Vergleiche erst danach Modellvorhersage und Beobachtung; ein einzelner Ratenwert wäre dafür nicht ausreichend.

1. Aus der Kontrollwägung folgt, dass in zwei Stunden \(18\,\text{kg}-12\,\text{kg}=6\,\text{kg}\) Material aus dem Behälter entnommen und unter der gegebenen Annahme aufgetragen wurden. 2. Das Ratenmodell sagt die aufgetragene Gesamtmasse \(\int_0^2(2t+1)\,\text{d}t=[t^2+t]_0^2=6\,\text{kg}\) voraus. 3. Modellvorhersage und beobachtete Massenabnahme stimmen überein. Das Modell ist hinsichtlich dieser akkumulierten Beobachtung mit der Kontrollwägung vereinbar.

Die Kontrollwägung ergibt eine aufgetragene Masse von \(6\,\text{kg}\). Auch das Modell liefert \(\int_0^2r(t)\,\text{d}t=6\,\text{kg}\). Daher ist das Ratenmodell unter der angegebenen Annahme mit der Messung vereinbar.

- Die gesamte Bestandsänderung erhältst du aus dem Integral der Nettoänderungsrate. - Beachte den Faktor \(100\) in der Einheit der Rate. - Für das Minimum des Bestands ist entscheidend, wann die Rate ihr Vorzeichen von negativ zu positiv wechselt.

1. Die Bestandsänderung ist \(100\int_0^4 f(t)\,\text{d}t\). Mit \(F(t)=-0{,}025t^4+0{,}2t^3-0{,}4t^2\) ergibt sich \(F(4)-F(0)=0\). Daher beträgt die gesamte Bestandsänderung \(0\) Pakete. 2. Es gilt \(f(t)=-0{,}1t(t-2)(t-4)\). Für \(0<t<2\) ist \(f(t)<0\), für \(2<t<4\) ist \(f(t)>0\). Der Bestand sinkt also bis \(t=2\) und steigt danach. Damit ist er bei \(t=2\,\text{h}\) minimal.

a) Die Bestandsänderung beträgt \(0\) Pakete. b) Der Bestand ist bei \(t=2\,\text{h}\) minimal.

- Eine über die Zeit angegebene Emissionsrate wird durch Integration in eine freigesetzte Menge umgerechnet. - Verwende für den Vergleich dieselbe Stammfunktion auf den beiden Teilintervallen. - Prüfe beim Vergleich, dass die beiden Teilmengen zusammen die Gesamtmenge ergeben.

1. Eine Stammfunktion ist \(F(t)=-0{,}0025t^4+0{,}04t^3+0{,}5t\). Damit ist \(F(10)-F(0)=20\). Insgesamt werden also \(20\,\text{kg}\) freigesetzt. 2. Für die erste Hälfte gilt \(F(5)-F(0)=5{,}9375\,\text{kg}\). Für die zweite Hälfte gilt \(F(10)-F(5)=14{,}0625\,\text{kg}\). In der zweiten Hälfte wird somit deutlich mehr Schadstoff freigesetzt.

a) Insgesamt werden \(20\,\text{kg}\) Schadstoff freigesetzt. b) In den ersten fünf Stunden werden \(5{,}9375\,\text{kg}\), in den zweiten fünf Stunden \(14{,}0625\,\text{kg}\) freigesetzt.

- Wie berechnet man die Gesamtmenge (Energie), wenn die Rate (Leistung) gegeben ist? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall. - Wie kann man ein Zeitintervall der Dauer 2 Stunden allgemein mit einer Variablen \(t\) ausdrücken? - Was ist der Unterschied zwischen einer momentanen Größe und einer über einen Zeitraum akkumulierten Größe?

1. Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit. Für den Zeitraum von 8 bis 12 Stunden ergibt sich der Term \(\int_{8}^{12} P(t) dt\). 2. Die durchschnittliche Leistung in einem Intervall \([a; b]\) ist durch den Mittelwert der Funktion definiert: \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(x) dx\). Für das Intervall \([6; 18]\) ergibt dies \(\frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). Die gesuchte Gleichung lautet \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). 3. Ein beliebiges Zeitintervall der Länge 2, das zum Zeitpunkt \(t\) beginnt, endet bei \(t+2\). Damit das Intervall innerhalb eines Tages liegt, gilt \(0 \le t \le 22\). Die Bedingung, dass die darin erzeugte Energie größer als \(400\,\text{kWh}\) ist, führt auf die Ungleichung \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\).

a) \(\int_{8}^{12} P(t) dt\) b) \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\) c) \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\)

- Welche Bedeutung hat das Integral einer Speicherrate über ein Zeitintervall? - Achte beim Integrieren der Sinusfunktion auf den Faktor im Argument. - Unterscheide in b) zwischen der neu gespeicherten Datenmenge und dem tatsächlichen Speicherinhalt. - Welche zusätzliche Information brauchst du neben der Bestandsänderung, um den Speicherinhalt zu einem späteren Zeitpunkt zu bestimmen?

1. Die neu gespeicherte Datenmenge entspricht dem Integral der Speicherrate. Eine Stammfunktion ist \(G(t)=-\frac{160}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{4}t\right)+50t\). 2. Für die ersten vier Minuten gilt \(\int_0^4g(t)\,\text{d}t=G(4)-G(0)=200+\frac{320}{\pi}\,\text{MB}\). 3. Nach sechs Minuten beträgt die Bestandsänderung \(\int_0^6g(t)\,\text{d}t=300+\frac{160}{\pi}\,\text{MB}\). 4. Mit dem Anfangsbestand folgt \(D(6)=200\,\text{MB}+300\,\text{MB}+\frac{160}{\pi}\,\text{MB}=500+\frac{160}{\pi}\,\text{MB}\).

a) \(200+\frac{320}{\pi}\,\text{MB}\) b) \(500+\frac{160}{\pi}\,\text{MB}\)

- Welche Größen ändern sich entlang des Dehnungswegs, und welche bleibt als unbekannter Parameter konstant? - Wie werden viele kleine Beiträge \(F(s)\Delta s\) über ein Wegintervall zusammengefasst? - Achte darauf, alle Längen vor dem Rechnen in Meter umzuwandeln.

1. Im Grenzübergang wird die Summe der kleinen Arbeitsbeiträge zum Integral. Für den Weg von \(0{,}04\,\text{m}\) bis \(0{,}08\,\text{m}\) gilt daher \(0{,}72=\int_{0{,}04}^{0{,}08}Ds\,\text{d}s\). 2. Damit ist \(0{,}72=\frac12D(0{,}08^2-0{,}04^2)=0{,}0024D\), also \(D=300\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\). 3. Für \(s=0{,}15\,\text{m}\) folgt \(F(0{,}15)=300\cdot0{,}15\,\text{N}=45\,\text{N}\).

a) \(0{,}72=\int_{0{,}04}^{0{,}08}Ds\,\text{d}s\) und \(D=300\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\) b) \(F=45\,\text{N}\)

- Welche Größe wird entlang des Weges aufsummiert, wenn ein kleiner Arbeitsbeitrag als „Kraft mal Wegstück“ beschrieben wird? - Welche Integrationsgrenzen entsprechen dem angegebenen Anfangs- und Endpunkt? - Behandle \(a\) und \(c\) beim Integrieren nach \(s\) als Konstanten.

1. Die Summe der lokalen Arbeitsbeiträge führt im Grenzübergang zum Integral über den Weg. Daher gilt \(W=\int_a^{3a}cs^2\,\text{d}s\). 2. Eine Stammfunktion ist \(\frac{c}{3}s^3\). Damit folgt \(W=\left[\frac{c}{3}s^3\right]_a^{3a}=\frac{c}{3}(27a^3-a^3)=\frac{26}{3}ca^3\).

\(W=\int_a^{3a}cs^2\,\text{d}s=\frac{26}{3}ca^3\)

- Welche Information über \(d\) steckt direkt im Kraftwert bei \(s=0\)? - Wie wird aus vielen kleinen Beiträgen \(F(s)\Delta s\) die gesamte Arbeit auf \([0;4]\)? - Welche verbleibende Gleichung liefert die gemessene Arbeit für den noch unbekannten Parameter?

1. Aus \(F(0)=10\,\text{N}\) folgt unmittelbar \(d=10\,\text{N}\). 2. Die Summe der lokalen Arbeitsbeiträge führt zum Integral. Daher gilt \(80=\int_0^4(ks+10)\,\text{d}s\). 3. Auswerten liefert \(80=\left[\frac{k}{2}s^2+10s\right]_0^4=8k+40\). 4. Daraus folgt \(k=5\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\).

\(80=\int_0^4(ks+d)\,\text{d}s\), \(d=10\,\text{N}\) und \(k=5\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\)

- Welche Größe wird über den radialen Weg aufsummiert, wenn ein kleiner Arbeitsbeitrag als \(F(r)\Delta r\) beschrieben wird? - Welche beiden Abstände bilden die Grenzen des Modells? - Wie kannst du \(r^{-2}\) integrieren, bevor du die großen Zahlen einsetzt?

1. Die Summe der kleinen Arbeitsbeiträge führt im Grenzübergang zu \(W=\int_{r_1}^{r_2}F(r)\,\text{d}r\). 2. Eine Stammfunktion von \(\frac{1{,}96162208\cdot10^{15}}{r^2}\) ist \(-\frac{1{,}96162208\cdot10^{15}}{r}\). 3. Damit gilt \(W=1{,}96162208\cdot10^{15}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\,\text{J}\). 4. Einsetzen der beiden Abstände ergibt \(W\approx5{,}64\cdot10^8\,\text{J}\).

\(W=\int_{r_1}^{r_2}\frac{1{,}96162208\cdot10^{15}}{r^2}\,\text{d}r\approx5{,}64\cdot10^8\,\text{J}\)

- Welche Differenz der beiden gegebenen Raten beschreibt die momentane Änderung des Bestands? - Für das Steigen des Bestands muss diese Nettorate welches Vorzeichen besitzen? - Ein Bestandsmaximum liegt dort, wo die Nettorate von positiv zu negativ wechselt. - Für die gesamte Nettozunahme wird genau die Nettorate über die Wachstumsphase integriert.

1. Der Bestand nimmt zu, wenn die Nettorate \(z(t)-a(t)\) positiv ist. Die Schnittpunkte erfüllen \(-0{,}1t^2+2t+5=12\), also \(t=10\pm\sqrt{30}\). 2. Zwischen diesen beiden Zeitpunkten ist \(z(t)>a(t)\). Daher nimmt der Bestand für \(10-\sqrt{30}<t<10+\sqrt{30}\) zu. 3. Am rechten Schnittpunkt wechselt die Nettorate von positiv zu negativ. Der Höchstwert des Bestands wird deshalb bei \(t=10+\sqrt{30}\,\text{h}\) erreicht. 4. Die Nettozunahme ist \(\int_{10-\sqrt{30}}^{10+\sqrt{30}}(z(t)-a(t))\,\text{d}t\). Mit \(u=t-10\) wird der Integrand zu \(3-0{,}1u^2\). Das Integral ergibt \(4\sqrt{30}\) in Einheiten von \(1000\,\text{m}^3\), also \(4000\sqrt{30}\,\text{m}^3\).

a) \(10-\sqrt{30}<t<10+\sqrt{30}\) b) \(t=10+\sqrt{30}\,\text{h}\) c) \(4000\sqrt{30}\,\text{m}^3\)

- Welche Bedingung an die erste Ableitung kennzeichnet einen Hochpunkt? - Prüfe beim Ableiten der vorgegebenen Stammfunktion die Produktregel sorgfältig. - Warum entspricht das bestimmte Integral hier direkt einem geometrischen Flächeninhalt?

1. Es gilt \(g'(x)=(10-2x)e^{-0{,}2x}\). Da der Exponentialfaktor positiv ist, gilt \(g'(x)=0\) genau für \(x=5\). Links davon ist \(g'>0\), rechts davon \(g'<0\); somit liegt dort der Gipfel. Es ist \(g(5)=50e^{-1}=\frac{50}{e}\,\text{m}\). 2. Für die angegebene Funktion gilt \(G'(x)=-50e^{-0{,}2x}+10(x+5)e^{-0{,}2x}=10xe^{-0{,}2x}=g(x)\). 3. Da \(g(x)\geq0\) auf \([0;15]\), ist der Flächeninhalt \(A=\int_0^{15}g(x)\,\mathrm{d}x=G(15)-G(0)=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\).

a) \(G\left(5\mid\frac{50}{e}\right)\) b) \(A=250-1000e^{-3}\,\text{m}^2\)

- Schreibe das Integral bis unendlich zunächst als Grenzwert mit einer endlichen oberen Grenze. - Entscheidend für die Konvergenz ist das Grenzverhalten der Exponentialterme in einer Stammfunktion. - Prüfe die Einheit, indem du die Einheit der Konzentration mit der Zeiteinheit multiplizierst. - Welche zusätzliche physikalische Größe wäre nötig, um aus einer Konzentration eine transportierte Masse zu bestimmen?

1. Man schreibt das uneigentliche Integral als Grenzwert \(B=\lim_{T\to\infty}\int_0^T c(t)\,\text{d}t\). 2. Eine Stammfunktion von \(c\) ist \(C(t)=25(-20e^{-0{,}05t}+4e^{-0{,}25t})\). Für \(t\to\infty\) streben beide Exponentialterme gegen \(0\), also besitzt \(C(t)\) einen endlichen Grenzwert. Damit konvergiert das uneigentliche Integral. 3. Es gilt \(B=\lim_{T\to\infty}(C(T)-C(0))=0-25(-20+4)=400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\). 4. Der Wert beschreibt die über die Zeit aufsummierte Konzentrationsbelastung an der Messstelle. Die Einheit entsteht aus Konzentration mal Zeit. Für eine Schadstoffmasse müsste zusätzlich ein Volumenstrom berücksichtigt werden.

a) Das Integral konvergiert, weil die verwendete Stammfunktion für \(t\to\infty\) einen endlichen Grenzwert besitzt. b) \(B=400\,\frac{\text{mg}\cdot\text{min}}{\text{L}}\) c) \(B\) ist eine Konzentrations-Zeit-Belastung an der Messstelle, keine Schadstoffmasse; für eine Masse wäre zusätzlich ein Volumenstrom nötig.

- Welche Symmetrie besitzt der Querschnitt bezüglich der \(x\)-Achse? - Wie kannst du \(\sqrt{x}(4-x)\) als Summe von Potenzen von \(x\) schreiben? - Berechne zunächst die obere Hälfte und nutze anschließend die Symmetrie.

1. Wegen der Symmetrie zur \(x\)-Achse ist der gesamte Flächeninhalt \(A=2\int_0^4f(x)\,\mathrm{d}x\). 2. Es ist \(f(x)=2x^{1/2}-0{,}5x^{3/2}\). Eine Stammfunktion lautet \(F(x)=\frac43x^{3/2}-\frac15x^{5/2}\). 3. Damit gilt \(A=2[F(x)]_0^4=2\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\).

\(A=\frac{128}{15}\,\text{dm}^2\)

- Welche Fläche im Diagramm entspricht der zwischen \(t=4\) und \(t=12\) zugeflossenen Wassermenge? - Bestimme zuerst, welches Volumen ein einzelnes Gitterkästchen repräsentiert. - Du kannst die gekrümmte Fläche durch Kästchen oder mehrere Trapeze annähern. - Wende den Preis pro Kubikmeter erst auf deine geschätzte Gesamtmenge an.

1. Die zugeflossene Wassermenge entspricht näherungsweise dem Flächeninhalt unter dem Rategraphen auf \([4;12]\). 2. Ein Gitterkästchen hat die Breite \(1\,\text{h}\) und die Höhe \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\); seine Fläche entspricht daher \(1\,\text{m}^3\). Durch Kästchenzählen oder eine Trapezschätzung erhält man ungefähr \(57\,\text{m}^3\). 3. Damit betragen die Reinigungskosten ungefähr \(57\,\text{m}^3\cdot1{,}50\,\frac{\text{€}}{\text{m}^3}=85{,}50\,\text{€}\), also rund \(86\,\text{€}\).

Etwa \(57\,\text{m}^3\) Wasser und damit rund \(86\,\text{€}\) Reinigungskosten. Vergleichbare, aus dem Diagramm nachvollziehbar geschätzte Werte sind ebenfalls angemessen.

- Welche Bilanz aus Erzeugungs- und Verbrauchsleistung beschreibt die momentane Änderung des Akkuinhalts? - Wie wird aus einer Leistung über die Zeit eine Energieänderung? - Für den Ladezeitraum genügt es, das Vorzeichen der Nettoladeleistung zu untersuchen. - Die Grenzen dieses Zeitraums liegen dort, wo Erzeugung und Verbrauch gleich groß sind.

1. Die Nettoladeleistung ist \(N(t)=P(t)-C(t)=\frac43t-\frac19t^2-1{,}5\). 2. Für den Energieinhalt gilt \(E(t)=5+\int_0^tN(\tau)\,\text{d}\tau\). 3. Für \(t=6\) ergibt sich \(\int_0^6N(t)\,\text{d}t=7\,\text{kWh}\), also \(E(6)=12\,\text{kWh}\). Für \(t=12\) ergibt sich eine Nettoenergie von \(14\,\text{kWh}\), also \(E(12)=19\,\text{kWh}\). 4. Der Akku wird geladen, wenn \(N(t)>0\), also wenn \(P(t)>C(t)\). Die Grenzzeitpunkte erfüllen \(-\frac19t^2+\frac43t=\frac32\). Daraus folgt \(t=6\pm\frac32\sqrt{10}\). Zwischen diesen beiden Zeitpunkten ist die Nettoladeleistung positiv.

a) \(N(t)=\frac43t-\frac19t^2-1{,}5\); \(E(6)=12\,\text{kWh}\), \(E(12)=19\,\text{kWh}\) b) \(6-\frac32\sqrt{10}<t<6+\frac32\sqrt{10}\)

- Welche beiden Schnittpunkte begrenzen den Bereich, in dem der erste Graph oberhalb der konstanten Rate liegt? - Bei einer konstanten Durchflussrate entspricht die Gesamtmenge der Fläche eines Rechtecks. - Vergleiche für Teil c die Fläche, in der \(f\) oberhalb von \(g\) liegt, mit den beiden Flächenstücken, in denen \(g\) oberhalb von \(f\) liegt.

1. Die Graphen schneiden sich ungefähr bei \(t=2{,}4\) und \(t=7{,}6\). Dazwischen liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). Daher gilt ungefähr \(2{,}4<t<7{,}6\). 2. Für das zweite Rohr ist die Rate konstant. Daher fließen \(5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\cdot10\,\text{min}=50\,\text{L}\). 3. Im Diagramm ist die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) im mittleren Bereich etwas größer als die beiden Randflächen, in denen \(g\) oberhalb von \(f\) liegt. Daher ist die Gesamtfläche unter \(f\) geringfügig größer als \(50\,\text{L}\). Eine numerische Kontrolle ergibt ungefähr \(50{,}3\,\text{L}\), was die graphische Schätzung bestätigt.

a) Ungefähr \(2{,}4<t<7{,}6\) Minuten. b) \(50\,\text{L}\) c) Durch das erste Rohr fließt insgesamt etwas mehr Wasser; die Gesamtmenge liegt ungefähr bei \(50{,}3\,\text{L}\).

- Welche Größe erhältst du, wenn du einen Volumenstrom mit einer Konzentration multiplizierst? - Prüfe die Einheiten des Produkts, bevor du integrierst. - Eine Modellannahme sollte erklären, warum die gemessenen Größen den gesamten realen Zufluss angemessen beschreiben.

1. In einem kurzen Zeitabschnitt ist die zugeführte Nitratmasse näherungsweise Konzentration mal Wasservolumen. Die zugehörige Massenrate ist deshalb \(Q(t)c(t)\). 2. Über die ersten sechs Stunden ergibt sich das Modell \(M=\int_0^6Q(t)c(t)\,\text{d}t\). 3. Die Einheit des Integranden ist \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\cdot\frac{\text{g}}{\text{m}^3}=\frac{\text{g}}{\text{h}}\). Nach der Integration über die Zeit hat \(M\) die Einheit \(\text{g}\). 4. Das Modell setzt beispielsweise voraus, dass die gemessene Konzentration \(c(t)\) repräsentativ für den gesamten jeweils zufließenden Volumenstrom ist.

\(M=\int_0^6Q(t)c(t)\,\text{d}t\), Einheit: \(\text{g}\). Eine passende Annahme ist, dass \(c(t)\) die Konzentration im gesamten Zufluss zum jeweiligen Zeitpunkt repräsentiert.

- Welche Größe musst du aus einem zeitabhängigen Volumenstrom berechnen, um ihn mit dem gemessenen Gesamtvolumen zu vergleichen? - Vergleiche beide Modelle auf genau demselben Zeitintervall. - Für die Modellgüte in dieser Aufgabe zählt der Abstand zwischen vorhergesagtem und gemessenem Gesamtvolumen.

1. Modell A liefert \(V_A=\int_0^4(3+t)\,\text{d}t=\left[3t+\frac{t^2}{2}\right]_0^4=20\,\text{m}^3\). 2. Modell B liefert \(V_B=\int_0^4(4+0{,}4t)\,\text{d}t=\left[4t+0{,}2t^2\right]_0^4=19{,}2\,\text{m}^3\). 3. Die absoluten Fehler gegenüber \(19{,}5\,\text{m}^3\) sind \(|20-19{,}5|=0{,}5\,\text{m}^3\) für Modell A und \(|19{,}2-19{,}5|=0{,}3\,\text{m}^3\) für Modell B. 4. Bezogen auf das insgesamt geförderte Luftvolumen beschreibt Modell B den Test besser, weil sein absoluter Fehler kleiner ist.

Modell A: \(20\,\text{m}^3\), absoluter Fehler \(0{,}5\,\text{m}^3\). Modell B: \(19{,}2\,\text{m}^3\), absoluter Fehler \(0{,}3\,\text{m}^3\). Hinsichtlich des Gesamtvolumens passt Modell B besser.

- Welche Leistung verändert den Akku tatsächlich: die Erzeugungsleistung oder die Bilanz aus Erzeugung und Verbrauch? - Bestimme die erzeugte Energie aus den geometrischen Flächen unter dem Leistungsgraphen. - Vergleiche den modellierten Energieinhalt mit der maximal zulässigen Kapazität. - Um den ersten Grenzzeitpunkt zu finden, verfolge den Energieinhalt abschnittsweise entlang des dargestellten Leistungsgraphen.

1. Die Nettoladeleistung ist \(P(t)-2\). Solange keine Kapazitätsbegrenzung wirkt, gilt deshalb \(E(t)=4+\int_0^t(P(\tau)-2)\,\text{d}\tau\). 2. Die Fläche unter \(P\) besteht aus zwei Dreiecken mit jeweils \(6\,\text{kWh}\) und einem Rechteck mit \(12\,\text{kWh}\). Somit ist \(\int_0^6P(t)\,\text{d}t=24\,\text{kWh}\). Der konstante Verbrauch beträgt \(2\cdot6=12\,\text{kWh}\). Das einfache Modell liefert daher \(E(6)=4+24-12=16\,\text{kWh}\). 3. Dieser Wert überschreitet die Kapazität \(14\,\text{kWh}\), also kann das einfache Modell nicht während des ganzen Zeitraums physikalisch gelten. 4. Bis \(t=2\) beträgt die Nettoänderung \(6-4=2\,\text{kWh}\), also ist \(E(2)=6\,\text{kWh}\). Zwischen \(t=2\) und \(t=4\) ist \(P=6\,\text{kW}\), somit beträgt die Nettoladeleistung \(4\,\text{kW}\). Für die noch fehlenden \(8\,\text{kWh}\) bis zur Kapazität werden \(2\) Stunden benötigt. Die Grenze wird erstmals bei \(t=4\,\text{h}\) erreicht. 5. Danach kann nicht mehr angenommen werden, dass jede positive Nettoladeleistung vollständig als zusätzliche Akkuenergie gespeichert wird; überschüssige Energie muss beispielsweise abgeregelt oder anderweitig genutzt werden.

a) \(E(t)=4+\int_0^t(P(\tau)-2)\,\text{d}\tau\), solange \(E(t)<14\,\text{kWh}\). b) Das einfache Modell liefert \(E(6)=16\,\text{kWh}\). c) Die Kapazitätsgrenze wird erstmals bei \(t=4\,\text{h}\) erreicht. Danach ist die Annahme vollständiger Speicherung jeder positiven Nettoladeleistung nicht mehr gültig.