- Welche Rate vergrößert die Zahl abgestellter Fahrzeuge und welche verkleinert sie? - Formuliere zuerst eine einzige Nettorate. - Prüfe danach, ob die Integrationsgrenzen genau zum genannten Zeitraum passen.

1. Die Nettoänderungsrate ist Einfahrtsrate minus Ausfahrtsrate, also \(q(t)-3\). 2. Die gesuchte Änderung betrifft genau den Zeitraum von \(t=2\) bis \(t=7\). Deshalb sind dies die Integrationsgrenzen. 3. Der passende Modellterm ist damit \(\int_2^7(q(t)-3)\,\text{d}t\). Das ist A.

A) \(\int_2^7(q(t)-3)\,\text{d}t\)

- Welche Größe beschreibt ein einzelner kleiner Beitrag \(F(s)\Delta s\)? - Was geschieht mit einer Summe solcher Beiträge, wenn die Wegabschnitte immer feiner werden? - Welche Grenzen gehören zum tatsächlich zurückgelegten Weg, und welche Einheit entsteht aus Newton mal Meter?

1. Jeder kleine Beitrag hat die Form \(F(s)\Delta s\). Beim Verfeinern der Wegzerlegung wird die Summe dieser Beiträge zum bestimmten Integral der Kraft über den Weg. 2. Für den Weg von \(1\,\text{m}\) bis \(3\,\text{m}\) lautet das Modell daher \(W=\int_1^3F(s)\,\text{d}s\). 3. Die Einheit ist \(\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}\).

Die Summe der lokalen Arbeitsbeiträge \(F(s)\Delta s\) geht bei immer feineren Wegabschnitten im Grenzübergang in das bestimmte Integral \(W=\int_1^3F(s)\,\text{d}s\) über. Die Einheit ist \(\text{N}\cdot\text{m}=\text{J}\).

- In welcher Einheit muss die Dehnung eingesetzt werden, damit das Hookesche Gesetz mit Newton und Metern konsistent ist? - Wie lässt sich eine Summe sehr vieler kleiner Beiträge „Kraft mal Wegstück“ mit Integralnotation ausdrücken? - Welche Weggrenzen gehören jeweils zum ersten und zum zweiten Dehnungsvorgang?

1. Aus \(F=Ds\) folgt mit \(F=15\,\text{N}\) und \(s=0{,}06\,\text{m}\) die Federkonstante \(D=\frac{15}{0{,}06}\,\frac{\text{N}}{\text{m}}=250\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\). 2. Die Summe vieler Beiträge \(F(s_i)\Delta s\) führt im Grenzübergang zum Integral der Kraft über den Weg. Für die Dehnung bis \(0{,}10\,\text{m}\) ist daher \(W=\int_0^{0{,}10}250s\,\text{d}s\). 3. Es folgt \(W=[125s^2]_0^{0{,}10}=1{,}25\,\text{J}\). 4. Für die zusätzliche Dehnung lautet das Modell \(W_{\text{zus}}=\int_{0{,}10}^{0{,}20}250s\,\text{d}s\), also \(W_{\text{zus}}=[125s^2]_{0{,}10}^{0{,}20}=3{,}75\,\text{J}\).

a) \(D=250\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\) b) \(W=\int_0^{0{,}10}250s\,\text{d}s=1{,}25\,\text{J}\) c) \(W_{\text{zus}}=\int_{0{,}10}^{0{,}20}250s\,\text{d}s=3{,}75\,\text{J}\)

- Welche der beiden Raten vergrößert und welche verkleinert den Bestand? - Ein positiver Beitrag entsteht dort, wo die Nettorate größer als null ist. - Lies im Diagramm ab, wann Zufluss- und Abflussrate gleich groß sind.

1. Die Nettoänderungsrate ist \(z(t)-a(t)\). Deshalb beschreibt \(\int_0^6(z(t)-a(t))\,\text{d}t\) die Nettoänderung des Wasservolumens. 2. Im Diagramm schneiden sich die beiden Raten bei \(t=3\). Für \(t>3\) liegt \(z\) oberhalb von \(a\), also ist \(z(t)-a(t)>0\). Dort ist der Beitrag zur Bestandsänderung positiv.

a) \(\int_0^6(z(t)-a(t))\,\text{d}t\) b) Für \(3<t\le6\)

- Welche Rechenoperation zwischen Volumen und Masse pro Volumen führt zu einer Masse? - Prüfe die Einheiten von \(Q(t)\) und \(\rho(t)\), bevor du integrierst. - Nach der Integration einer Massenrate über Minuten sollte welche Einheit übrig bleiben?

1. Volumenstrom mal Schüttdichte ergibt \(Q(t)\rho(t)\). Die Einheit ist \(\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\cdot\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}=\frac{\text{kg}}{\text{min}}\). Das Produkt ist daher eine Massenrate. 2. Die in den ersten fünf Minuten transportierte Masse wird durch \(M=\int_0^5Q(t)\rho(t)\,\text{d}t\) beschrieben.

a) Die momentane Massenrate ist \(Q(t)\rho(t)\). Aus \(\frac{\text{m}^3}{\text{min}}\cdot\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}=\frac{\text{kg}}{\text{min}}\) folgt die Einheit. b) \(M=\int_0^5Q(t)\rho(t)\,\text{d}t\)

- Welche Gesamtmasse ist laut den beiden Wägungen aus dem Behälter verschwunden? - Mit welcher mathematischen Größe erhältst du aus einer zeitabhängigen Ausbringrate die insgesamt aufgetragene Masse? - Vergleiche erst danach Modellvorhersage und Beobachtung; ein einzelner Ratenwert wäre dafür nicht ausreichend.

1. Aus der Kontrollwägung folgt, dass in zwei Stunden \(18\,\text{kg}-12\,\text{kg}=6\,\text{kg}\) Material aus dem Behälter entnommen und unter der gegebenen Annahme aufgetragen wurden. 2. Das Ratenmodell sagt die aufgetragene Gesamtmasse \(\int_0^2(2t+1)\,\text{d}t=[t^2+t]_0^2=6\,\text{kg}\) voraus. 3. Modellvorhersage und beobachtete Massenabnahme stimmen überein. Das Modell ist hinsichtlich dieser akkumulierten Beobachtung mit der Kontrollwägung vereinbar.

Die Kontrollwägung ergibt eine aufgetragene Masse von \(6\,\text{kg}\). Auch das Modell liefert \(\int_0^2r(t)\,\text{d}t=6\,\text{kg}\). Daher ist das Ratenmodell unter der angegebenen Annahme mit der Messung vereinbar.

- Welche Gesamtmenge beschreibt das Integral der Zuflussrate vom Beginn bis zu einem Zeitpunkt? - Wie muss der Integrationszeitraum gewählt werden, damit er genau den Zufluss bis zum gesuchten Zeitpunkt erfasst? - Welche Lösung der entstehenden Gleichung passt als Zeit zum Sachzusammenhang?

1. Die bis zum Zeitpunkt \(T\) zugeflossene Wassermenge ist \(\int_0^T(2t+1)\,\text{d}t\). 2. Die gesuchte Integralgleichung lautet \(\int_0^T(2t+1)\,\text{d}t=12\). 3. Auswerten ergibt \(T^2+T=12\), also \(T^2+T-12=0\). 4. Die Lösungen sind \(T=3\) und \(T=-4\). Im Sachzusammenhang gilt \(T=3\,\text{min}\).

\(\int_0^T(2t+1)\,\text{d}t=12\), daraus \(T=3\,\text{min}\)

- Wie hängt das Ende eines zweistündigen Zeitraums von seiner Startzeit ab? - Wie erhältst du aus der Leistung die in diesem Zeitraum erzeugte Energie? - Welche Startzeiten sind möglich, damit der ganze Zeitraum innerhalb von \([0;6]\) liegt?

1. Ein zweistündiges Intervall mit Startzeit \(t\) ist \([t;t+2]\). Damit es vollständig in \([0;6]\) liegt, gilt \(0\le t\le4\). 2. Die erzeugte Energie ist \(\int_t^{t+2}(x+2)\,\text{d}x\). Gesucht ist daher \(\int_t^{t+2}(x+2)\,\text{d}x>10\). 3. Das Integral hat den Wert \(2t+6\). Damit folgt \(2t+6>10\), also \(t>2\). 4. Zusammen mit \(0\le t\le4\) erhält man \(2<t\le4\).

\(\int_t^{t+2}(x+2)\,\text{d}x>10\) mit \(0\le t\le4\); Lösung: \(2<t\le4\)

- Wie berechnet man die Gesamtmenge (Energie), wenn die Rate (Leistung) gegeben ist? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall. - Wie kann man ein Zeitintervall der Dauer 2 Stunden allgemein mit einer Variablen \(t\) ausdrücken? - Was ist der Unterschied zwischen einer momentanen Größe und einer über einen Zeitraum akkumulierten Größe?

1. Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit. Für den Zeitraum von 8 bis 12 Stunden ergibt sich der Term \(\int_{8}^{12} P(t) dt\). 2. Die durchschnittliche Leistung in einem Intervall \([a; b]\) ist durch den Mittelwert der Funktion definiert: \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(x) dx\). Für das Intervall \([6; 18]\) ergibt dies \(\frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). Die gesuchte Gleichung lautet \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). 3. Ein beliebiges Zeitintervall der Länge 2, das zum Zeitpunkt \(t\) beginnt, endet bei \(t+2\). Damit das Intervall innerhalb eines Tages liegt, gilt \(0 \le t \le 22\). Die Bedingung, dass die darin erzeugte Energie größer als \(400\,\text{kWh}\) ist, führt auf die Ungleichung \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\).

a) \(\int_{8}^{12} P(t) dt\) b) \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\) c) \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\)

- Welche Größen ändern sich entlang des Dehnungswegs, und welche bleibt als unbekannter Parameter konstant? - Wie werden viele kleine Beiträge \(F(s)\Delta s\) über ein Wegintervall zusammengefasst? - Achte darauf, alle Längen vor dem Rechnen in Meter umzuwandeln.

1. Im Grenzübergang wird die Summe der kleinen Arbeitsbeiträge zum Integral. Für den Weg von \(0{,}04\,\text{m}\) bis \(0{,}08\,\text{m}\) gilt daher \(0{,}72=\int_{0{,}04}^{0{,}08}Ds\,\text{d}s\). 2. Damit ist \(0{,}72=\frac12D(0{,}08^2-0{,}04^2)=0{,}0024D\), also \(D=300\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\). 3. Für \(s=0{,}15\,\text{m}\) folgt \(F(0{,}15)=300\cdot0{,}15\,\text{N}=45\,\text{N}\).

a) \(0{,}72=\int_{0{,}04}^{0{,}08}Ds\,\text{d}s\) und \(D=300\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\) b) \(F=45\,\text{N}\)

- Welche Größe wird entlang des Weges aufsummiert, wenn ein kleiner Arbeitsbeitrag als „Kraft mal Wegstück“ beschrieben wird? - Welche Integrationsgrenzen entsprechen dem angegebenen Anfangs- und Endpunkt? - Behandle \(a\) und \(c\) beim Integrieren nach \(s\) als Konstanten.

1. Die Summe der lokalen Arbeitsbeiträge führt im Grenzübergang zum Integral über den Weg. Daher gilt \(W=\int_a^{3a}cs^2\,\text{d}s\). 2. Eine Stammfunktion ist \(\frac{c}{3}s^3\). Damit folgt \(W=\left[\frac{c}{3}s^3\right]_a^{3a}=\frac{c}{3}(27a^3-a^3)=\frac{26}{3}ca^3\).

\(W=\int_a^{3a}cs^2\,\text{d}s=\frac{26}{3}ca^3\)

- Welche Information über \(d\) steckt direkt im Kraftwert bei \(s=0\)? - Wie wird aus vielen kleinen Beiträgen \(F(s)\Delta s\) die gesamte Arbeit auf \([0;4]\)? - Welche verbleibende Gleichung liefert die gemessene Arbeit für den noch unbekannten Parameter?

1. Aus \(F(0)=10\,\text{N}\) folgt unmittelbar \(d=10\,\text{N}\). 2. Die Summe der lokalen Arbeitsbeiträge führt zum Integral. Daher gilt \(80=\int_0^4(ks+10)\,\text{d}s\). 3. Auswerten liefert \(80=\left[\frac{k}{2}s^2+10s\right]_0^4=8k+40\). 4. Daraus folgt \(k=5\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\).

\(80=\int_0^4(ks+d)\,\text{d}s\), \(d=10\,\text{N}\) und \(k=5\,\frac{\text{N}}{\text{m}}\)

- Welche Größe wird über den radialen Weg aufsummiert, wenn ein kleiner Arbeitsbeitrag als \(F(r)\Delta r\) beschrieben wird? - Welche beiden Abstände bilden die Grenzen des Modells? - Wie kannst du \(r^{-2}\) integrieren, bevor du die großen Zahlen einsetzt?

1. Die Summe der kleinen Arbeitsbeiträge führt im Grenzübergang zu \(W=\int_{r_1}^{r_2}F(r)\,\text{d}r\). 2. Eine Stammfunktion von \(\frac{1{,}96162208\cdot10^{15}}{r^2}\) ist \(-\frac{1{,}96162208\cdot10^{15}}{r}\). 3. Damit gilt \(W=1{,}96162208\cdot10^{15}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right)\,\text{J}\). 4. Einsetzen der beiden Abstände ergibt \(W\approx5{,}64\cdot10^8\,\text{J}\).

\(W=\int_{r_1}^{r_2}\frac{1{,}96162208\cdot10^{15}}{r^2}\,\text{d}r\approx5{,}64\cdot10^8\,\text{J}\)

- Welche Differenz der beiden gegebenen Raten beschreibt die momentane Änderung des Bestands? - Für das Steigen des Bestands muss diese Nettorate welches Vorzeichen besitzen? - Ein Bestandsmaximum liegt dort, wo die Nettorate von positiv zu negativ wechselt. - Für die gesamte Nettozunahme wird genau die Nettorate über die Wachstumsphase integriert.

1. Der Bestand nimmt zu, wenn die Nettorate \(z(t)-a(t)\) positiv ist. Die Schnittpunkte erfüllen \(-0{,}1t^2+2t+5=12\), also \(t=10\pm\sqrt{30}\). 2. Zwischen diesen beiden Zeitpunkten ist \(z(t)>a(t)\). Daher nimmt der Bestand für \(10-\sqrt{30}<t<10+\sqrt{30}\) zu. 3. Am rechten Schnittpunkt wechselt die Nettorate von positiv zu negativ. Der Höchstwert des Bestands wird deshalb bei \(t=10+\sqrt{30}\,\text{h}\) erreicht. 4. Die Nettozunahme ist \(\int_{10-\sqrt{30}}^{10+\sqrt{30}}(z(t)-a(t))\,\text{d}t\). Mit \(u=t-10\) wird der Integrand zu \(3-0{,}1u^2\). Das Integral ergibt \(4\sqrt{30}\) in Einheiten von \(1000\,\text{m}^3\), also \(4000\sqrt{30}\,\text{m}^3\).

a) \(10-\sqrt{30}<t<10+\sqrt{30}\) b) \(t=10+\sqrt{30}\,\text{h}\) c) \(4000\sqrt{30}\,\text{m}^3\)

- Welche Bilanz aus Erzeugungs- und Verbrauchsleistung beschreibt die momentane Änderung des Akkuinhalts? - Wie wird aus einer Leistung über die Zeit eine Energieänderung? - Für den Ladezeitraum genügt es, das Vorzeichen der Nettoladeleistung zu untersuchen. - Die Grenzen dieses Zeitraums liegen dort, wo Erzeugung und Verbrauch gleich groß sind.

1. Die Nettoladeleistung ist \(N(t)=P(t)-C(t)=\frac43t-\frac19t^2-1{,}5\). 2. Für den Energieinhalt gilt \(E(t)=5+\int_0^tN(\tau)\,\text{d}\tau\). 3. Für \(t=6\) ergibt sich \(\int_0^6N(t)\,\text{d}t=7\,\text{kWh}\), also \(E(6)=12\,\text{kWh}\). Für \(t=12\) ergibt sich eine Nettoenergie von \(14\,\text{kWh}\), also \(E(12)=19\,\text{kWh}\). 4. Der Akku wird geladen, wenn \(N(t)>0\), also wenn \(P(t)>C(t)\). Die Grenzzeitpunkte erfüllen \(-\frac19t^2+\frac43t=\frac32\). Daraus folgt \(t=6\pm\frac32\sqrt{10}\). Zwischen diesen beiden Zeitpunkten ist die Nettoladeleistung positiv.

a) \(N(t)=\frac43t-\frac19t^2-1{,}5\); \(E(6)=12\,\text{kWh}\), \(E(12)=19\,\text{kWh}\) b) \(6-\frac32\sqrt{10}<t<6+\frac32\sqrt{10}\)

- Welche Größe erhältst du, wenn du einen Volumenstrom mit einer Konzentration multiplizierst? - Prüfe die Einheiten des Produkts, bevor du integrierst. - Eine Modellannahme sollte erklären, warum die gemessenen Größen den gesamten realen Zufluss angemessen beschreiben.

1. In einem kurzen Zeitabschnitt ist die zugeführte Nitratmasse näherungsweise Konzentration mal Wasservolumen. Die zugehörige Massenrate ist deshalb \(Q(t)c(t)\). 2. Über die ersten sechs Stunden ergibt sich das Modell \(M=\int_0^6Q(t)c(t)\,\text{d}t\). 3. Die Einheit des Integranden ist \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\cdot\frac{\text{g}}{\text{m}^3}=\frac{\text{g}}{\text{h}}\). Nach der Integration über die Zeit hat \(M\) die Einheit \(\text{g}\). 4. Das Modell setzt beispielsweise voraus, dass die gemessene Konzentration \(c(t)\) repräsentativ für den gesamten jeweils zufließenden Volumenstrom ist.

\(M=\int_0^6Q(t)c(t)\,\text{d}t\), Einheit: \(\text{g}\). Eine passende Annahme ist, dass \(c(t)\) die Konzentration im gesamten Zufluss zum jeweiligen Zeitpunkt repräsentiert.

- Welche Größe musst du aus einem zeitabhängigen Volumenstrom berechnen, um ihn mit dem gemessenen Gesamtvolumen zu vergleichen? - Vergleiche beide Modelle auf genau demselben Zeitintervall. - Für die Modellgüte in dieser Aufgabe zählt der Abstand zwischen vorhergesagtem und gemessenem Gesamtvolumen.

1. Modell A liefert \(V_A=\int_0^4(3+t)\,\text{d}t=\left[3t+\frac{t^2}{2}\right]_0^4=20\,\text{m}^3\). 2. Modell B liefert \(V_B=\int_0^4(4+0{,}4t)\,\text{d}t=\left[4t+0{,}2t^2\right]_0^4=19{,}2\,\text{m}^3\). 3. Die absoluten Fehler gegenüber \(19{,}5\,\text{m}^3\) sind \(|20-19{,}5|=0{,}5\,\text{m}^3\) für Modell A und \(|19{,}2-19{,}5|=0{,}3\,\text{m}^3\) für Modell B. 4. Bezogen auf das insgesamt geförderte Luftvolumen beschreibt Modell B den Test besser, weil sein absoluter Fehler kleiner ist.

Modell A: \(20\,\text{m}^3\), absoluter Fehler \(0{,}5\,\text{m}^3\). Modell B: \(19{,}2\,\text{m}^3\), absoluter Fehler \(0{,}3\,\text{m}^3\). Hinsichtlich des Gesamtvolumens passt Modell B besser.

- Welche Leistung verändert den Akku tatsächlich: die Erzeugungsleistung oder die Bilanz aus Erzeugung und Verbrauch? - Bestimme die erzeugte Energie aus den geometrischen Flächen unter dem Leistungsgraphen. - Vergleiche den modellierten Energieinhalt mit der maximal zulässigen Kapazität. - Um den ersten Grenzzeitpunkt zu finden, verfolge den Energieinhalt abschnittsweise entlang des dargestellten Leistungsgraphen.

1. Die Nettoladeleistung ist \(P(t)-2\). Solange keine Kapazitätsbegrenzung wirkt, gilt deshalb \(E(t)=4+\int_0^t(P(\tau)-2)\,\text{d}\tau\). 2. Die Fläche unter \(P\) besteht aus zwei Dreiecken mit jeweils \(6\,\text{kWh}\) und einem Rechteck mit \(12\,\text{kWh}\). Somit ist \(\int_0^6P(t)\,\text{d}t=24\,\text{kWh}\). Der konstante Verbrauch beträgt \(2\cdot6=12\,\text{kWh}\). Das einfache Modell liefert daher \(E(6)=4+24-12=16\,\text{kWh}\). 3. Dieser Wert überschreitet die Kapazität \(14\,\text{kWh}\), also kann das einfache Modell nicht während des ganzen Zeitraums physikalisch gelten. 4. Bis \(t=2\) beträgt die Nettoänderung \(6-4=2\,\text{kWh}\), also ist \(E(2)=6\,\text{kWh}\). Zwischen \(t=2\) und \(t=4\) ist \(P=6\,\text{kW}\), somit beträgt die Nettoladeleistung \(4\,\text{kW}\). Für die noch fehlenden \(8\,\text{kWh}\) bis zur Kapazität werden \(2\) Stunden benötigt. Die Grenze wird erstmals bei \(t=4\,\text{h}\) erreicht. 5. Danach kann nicht mehr angenommen werden, dass jede positive Nettoladeleistung vollständig als zusätzliche Akkuenergie gespeichert wird; überschüssige Energie muss beispielsweise abgeregelt oder anderweitig genutzt werden.

a) \(E(t)=4+\int_0^t(P(\tau)-2)\,\text{d}\tau\), solange \(E(t)<14\,\text{kWh}\). b) Das einfache Modell liefert \(E(6)=16\,\text{kWh}\). c) Die Kapazitätsgrenze wird erstmals bei \(t=4\,\text{h}\) erreicht. Danach ist die Annahme vollständiger Speicherung jeder positiven Nettoladeleistung nicht mehr gültig.