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Mathe-Arbeitsblätter Klasse 13

Stellen Sie aus mehr als 25.000 Matheaufgaben von der 3. bis zur 13. Klasse Ihre eigenen Arbeitsblätter zusammen. Alle Aufgaben enthalten Lösungsschritte.

Interpretation von Integralergebnissen

Lernziele

  • Deutet Integralwerte im Sachzusammenhang.
  • Bestimmt die zugehörige Einheit.
  • Unterscheidet Gesamtmenge, Änderung, Bilanz und Flächeninhalt.
  • Erklärt die Bedeutung des Integralvorzeichens.
  • Formuliert Sachfragen zu Integralausdrücken.
  • Erkennt unzulässige Interpretationen.

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55349513
Eine vorzeichenbehaftete Zu- und Abflussrate \(q(t)\) beschreibt die Änderung des Wasservolumens eines Behälters in \(\text{L}/\text{min}\). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Werte Abfluss. Für einen Zeitraum gilt \(\int_2^5q(t)\,\text{d}t=12\). Welche Größe beschreibt der Wert \(12\), und welche Einheit hat er?

Denkanstöße

- Welche Einheit hat die Funktion und über welche Größe wird integriert? - Multipliziere gedanklich die Einheit der Rate mit der Einheit der Zeit. - Ein Integral einer Rate beschreibt nicht erneut eine Rate, sondern eine akkumulierte Größe.

Lösung

1. Das Integral summiert die vorzeichenbehaftete Zu- und Abflussrate über die Zeit von Minute \(2\) bis Minute \(5\). 2. Die Einheit ergibt sich aus \(\frac{\text{L}}{\text{min}}\cdot\text{min}=\text{L}\). 3. Der Wert \(12\) beschreibt daher die Nettoänderung des Wasservolumens in diesem Zeitraum. Da der Wert positiv ist, nimmt das Wasservolumen netto um \(12\,\text{L}\) zu.

Antwort

Das Wasservolumen nimmt zwischen Minute \(2\) und Minute \(5\) netto um \(12\,\text{L}\) zu.
55349613
Eine vorzeichenbehaftete Änderungsrate \(r(t)\) beschreibt Zu- und Abgänge eines Lagerbestands im Zeitraum \([a;b]\). Zum Zeitpunkt \(t=a\) sind \(B_0\) Einheiten vorhanden. Ordne den drei Ausdrücken ihre Bedeutung zu: 1. \(\int_a^br(t)\,\text{d}t\) 2. \(\int_a^b|r(t)|\,\text{d}t\) 3. \(B_0+\int_a^br(t)\,\text{d}t\) A) Bestand am Ende des Zeitraums B) gesamte umgesetzte Menge, wobei Zu- und Abgänge beide positiv gezählt werden C) Nettoänderung des Bestands

Denkanstöße

- Frage dich bei jedem Ausdruck, ob negative Raten etwas abziehen oder durch den Betrag positiv gezählt werden. - Welcher Ausdruck enthält zusätzlich den Anfangsbestand? - Unterscheide konsequent zwischen Änderung, gesamter Aktivität und tatsächlichem Bestand.

Lösung

1. Das Integral der vorzeichenbehafteten Änderungsrate berücksichtigt Zu- und Abgänge mit ihrem Vorzeichen und beschreibt deshalb die Nettoänderung. Ausdruck 1 gehört zu C. 2. Durch den Betrag werden Zu- und Abgänge beide positiv gezählt. Ausdruck 2 beschreibt deshalb die gesamte umgesetzte Menge und gehört zu B. 3. Addiert man die Nettoänderung zum Anfangsbestand \(B_0\), erhält man den Endbestand. Ausdruck 3 gehört zu A.

Antwort

1. → C 2. → B 3. → A
42489513
Gegeben ist eine Funktion \(f\) und das Integral \(\int_{0}^{6} f(x) \text{d}x = 24\). Interpretiere den Wert des Integrals in den folgenden Sachzusammenhängen: a) Die Funktion \(f\) modelliert die momentane Änderungsrate der Bakterienanzahl in einer Petrischale (\(x\) in Stunden, \(f(x)\) in Millionen Bakterien pro Stunde). b) Die Funktion \(f\) beschreibt die elektrische Leistungsaufnahme eines Industriebetriebs (\(x\) in Stunden, \(f(x)\) in Megawatt). c) Ein flaches Bauteil wird durch die \(x\)-Achse, die Geraden \(x=0\) und \(x=6\) sowie den Graphen von \(f\) begrenzt, wobei der Graph im Intervall \([0; 6]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche physikalische oder mathematische Größe entsteht, wenn man die Einheit der Funktionswerte mit der Einheit der \(x\)-Werte multipliziert. - Was bedeutet es allgemein, wenn man eine Änderungsrate über einen bestimmten Zeitraum integriert? - Erinnere dich an den physikalischen Zusammenhang zwischen Leistung und Energie. - Wie lässt sich ein Integral geometrisch deuten, wenn der Graph über der \(x\)-Achse liegt?

Lösung

1. Im Kontext a) entspricht das Integral der Nettoänderung des Bestands über das Zeitintervall \([0; 6]\). Da der Integralwert 24 beträgt, hat die Anzahl der Bakterien in den ersten sechs Stunden insgesamt um 24 Millionen zugenommen. 2. Im Kontext b) ist das Integral der Leistung über die Zeit gleich der aufgenommenen Energie. Ein Integralwert von 24 bedeutet hier, dass im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden insgesamt eine elektrische Energie von \(24\,\text{MWh}\) (Megawattstunden) verbraucht wurde. 3. Im geometrischen Kontext c) stellt das Integral den Flächeninhalt der beschriebenen Fläche dar. Der Wert 24 gibt an, dass das Bauteil einen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^2\) besitzt.

Antwort

a) Die Bakterienanzahl nimmt in den ersten 6 Stunden um 24 Millionen zu. b) Die aufgenommene elektrische Energie im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden beträgt \(24\,\text{MWh}\). c) Der Flächeninhalt des Bauteils beträgt \(24\,\text{cm}^2\).
42489613
Für eine Funktion \(g\) gilt \(\int_2^5g(x)\,\text{d}x=-1{,}5\). Deute den Integralwert in jeder Situation mit passender Einheit. a) \(g\) beschreibt die Änderungsrate des Wasserstands in einem Staubecken. Dabei wird \(x\) in Stunden und \(g(x)\) in Metern pro Stunde gemessen. b) \(g\) beschreibt die vertikale Geschwindigkeit eines Tauchers. Dabei wird \(x\) in Sekunden und \(g(x)\) in Metern pro Sekunde gemessen; positive Werte bedeuten Aufsteigen. Erkläre zusätzlich, was man aus dem Integral über die Bewegung zwischen \(x=2\) und \(x=5\) nicht schließen kann. c) \(g\) beschreibt die Änderungsrate des Luftdrucks während eines Wetterumschwungs. Dabei wird \(x\) in Stunden und \(g(x)\) in Hektopascal pro Stunde gemessen.

Denkanstöße

- Welche Größe entsteht, wenn eine Änderungsrate über die Zeit integriert wird? - Was bedeutet ein negativer Integralwert für den Vergleich von Anfangs- und Endwert? - Können bei Teil b) verschiedene Bewegungsverläufe denselben Integralwert haben?

Lösung

1. In Situation a) stellt das Integral die Nettoänderung des Wasserstands im Zeitintervall \([2;5]\) dar. Der Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass der Wasserstand bei \(x=5\) um \(1{,}5\,\text{m}\) niedriger ist als bei \(x=2\). 2. In Situation b) entspricht das Integral der Änderung der vertikalen Position. Der Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass die Position des Tauchers bei \(x=5\) um \(1{,}5\,\text{m}\) tiefer liegt als bei \(x=2\). Daraus folgt nicht, dass er während des gesamten Zeitraums nur gesunken ist. 3. In Situation c) gibt das Integral die Nettoänderung des Luftdrucks an. Der Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass der Luftdruck bei \(x=5\) um \(1{,}5\,\text{hPa}\) niedriger ist als bei \(x=2\).

Antwort

a) Der Wasserstand ist bei \(x=5\) um \(1{,}5\,\text{m}\) niedriger als bei \(x=2\). b) Die vertikale Position des Tauchers ist bei \(x=5\) um \(1{,}5\,\text{m}\) niedriger als bei \(x=2\). Daraus folgt nicht, dass der Taucher zwischen diesen Zeitpunkten durchgehend gesunken ist. c) Der Luftdruck ist bei \(x=5\) um \(1{,}5\,\text{hPa}\) niedriger als bei \(x=2\).
42660913
Die Funktion \(f\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Schadstoffmenge in einem See. Dabei wird \(t\) in Wochen seit Beginn einer Messreihe und \(f(t)\) in \(\text{kg}/\text{Woche}\) angegeben. Zum Zeitpunkt \(t=0\) befinden sich bereits \(500\,\text{kg}\) Schadstoff im See. Interpretiere die folgenden mathematischen Aussagen im Sachzusammenhang: a) \(f(t) < 0\) für \(t \in [5; 8]\) b) \(\int_{0}^{4} f(t) dt = -100\) c) \(500 + \int_{0}^{T} f(t) dt = 250\)

Denkanstöße

- Was gibt das Vorzeichen der Änderungsrate über die Entwicklung des Bestands an? - Welche physikalische oder mathematische Größe wird durch das Integral einer Rate berechnet? - Was bedeutet die Zahl 500 in der Gleichung c) im Vergleich zur Aufgabenstellung? - Wie hängen Anfangswert, Änderung und Endwert zusammen?

Lösung

1. Da \(f(t)\) die Änderungsrate der Masse darstellt, zeigt ein negatives Vorzeichen eine Abnahme an. Im Intervall \([5; 8]\) sinkt die Schadstoffmenge im See somit kontinuierlich. 2. Das Integral der Änderungsrate über ein Zeitintervall entspricht der Nettoänderung des Bestands. In den ersten vier Wochen (\(t=0\) bis \(t=4\)) hat die Schadstoffmenge insgesamt um \(100\,\text{kg}\) abgenommen. 3. Der Ausdruck \(500 + \int_{0}^{T} f(t) dt\) berechnet den Gesamtbestand zum Zeitpunkt \(T\), bestehend aus dem Anfangswert und der kumulierten Änderung. Die Gleichung besagt, dass zum Zeitpunkt \(T\) die Schadstoffmenge im See auf \(250\,\text{kg}\) gesunken ist, was der Hälfte des Ausgangswerts entspricht.

Antwort

a) Zwischen der 5. und der 8. Woche nimmt die Schadstoffmenge im See ab. b) In den ersten vier Wochen verringert sich die Schadstoffmenge insgesamt um \(100\,\text{kg}\). c) Es wird der Zeitpunkt \(T\) berechnet, an dem sich nur noch \(250\,\text{kg}\) Schadstoff (die Hälfte der Anfangsmenge) im See befinden.
43488513
An einem Sommertag wird die Zuflussrate von Wasser in ein Regenrückhaltebecken während eines Gewitters gemessen. Die Funktion \(f\) beschreibt diese Zuflussrate (\(t\) in Minuten seit Messbeginn, \(f(t)\) in \(\text{m}^3/\text{min}\)). Ordne den folgenden mathematischen Ausdrücken die jeweils passende Fragestellung im Sachzusammenhang zu. Mathematische Ausdrücke: 1. \(f(t)=10\) 2. \(f'(t)=0\) und \(f''(t)<0\) 3. \(\int_0^{20}f(t)\,\text{d}t\) 4. \(f(t)>12\) Fragestellungen: a) Zu welchem Zeitpunkt hat die Zuflussrate ein lokales Maximum? b) In welchem Zeitraum fließen mehr als \(12\,\text{m}^3\) pro Minute zu? c) Wann beträgt die Zuflussrate genau \(10\,\text{m}^3/\text{min}\)? d) Wie viel Wasser ist in den ersten 20 Minuten insgesamt in das Becken geflossen?

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen einem Funktionswert, einer Extremumbedingung, einem Integral und einer Ungleichung. - Welche Art von Frage beantwortet eine Gleichung wie \(f(t)=10\)? - Welche Einheit erhältst du, wenn du eine Rate in \(\text{m}^3/\text{min}\) über Minuten integrierst? - Ein Schwellenwert mit „größer als“ beschreibt typischerweise einen Zeitraum statt eines einzelnen Werts.

Lösung

1. Die Gleichung \(f(t)=10\) sucht die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate genau \(10\,\text{m}^3/\text{min}\) beträgt. Das ist c). 2. Die Bedingungen \(f'(t)=0\) und \(f''(t)<0\) kennzeichnen einen lokalen Hochpunkt der Zuflussrate. Das ist a). 3. Das Integral \(\int_0^{20}f(t)\,\text{d}t\) summiert die Zuflussrate über die ersten 20 Minuten und liefert die insgesamt zugeflossene Wassermenge. Das ist d). 4. Die Ungleichung \(f(t)>12\) beschreibt alle Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate den Schwellenwert \(12\,\text{m}^3/\text{min}\) überschreitet. Das ist b).

Antwort

1. → c) 2. → a) 3. → d) 4. → b)
55349713
Das Diagramm zeigt die vorzeichenbehaftete Änderungsrate \(r(t)\) des Wasservolumens in einem Becken in \(\text{m}^3/\text{h}\). Interpretiere die Grenzen und den Wert des Integrals \(\int_1^4r(t)\,\text{d}t\) im Sachzusammenhang. Bestimme den Integralwert mithilfe der Flächen im Diagramm.
Abbildung zur Aufgabe 553497

Denkanstöße

- Die Integrationsgrenzen sagen, welcher Zeitabschnitt berücksichtigt wird. - Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse gehen mit unterschiedlichen Vorzeichen ein. - Formuliere nach der Rechnung ausdrücklich, was ein negatives Ergebnis für den Bestand bedeutet.

Lösung

1. Die Integrationsgrenzen \(1\) und \(4\) bedeuten, dass nur die Bestandsänderung zwischen der ersten und der vierten Stunde betrachtet wird. 2. Von \(t=1\) bis \(t=2\) liegt ein positives Dreieck mit Flächeninhalt \(1\,\text{m}^3\) vor. 3. Von \(t=2\) bis \(t=3\) liegt ein negatives Dreieck mit Flächenbetrag \(0{,}5\,\text{m}^3\), von \(t=3\) bis \(t=4\) ein negatives Rechteck mit Flächenbetrag \(1\,\text{m}^3\). 4. Daher ist \(\int_1^4r(t)\,\text{d}t=1-0{,}5-1=-0{,}5\,\text{m}^3\). Das Wasservolumen nimmt zwischen der ersten und der vierten Stunde netto um \(0{,}5\,\text{m}^3\) ab.

Antwort

Die Grenzen beziehen sich auf den Zeitraum von Stunde \(1\) bis Stunde \(4\). Es gilt \(\int_1^4r(t)\,\text{d}t=-0{,}5\,\text{m}^3\); der Bestand sinkt in diesem Zeitraum netto um \(0{,}5\,\text{m}^3\).
55835813
Die Funktion \(q(t)\) beschreibt die Zuflussrate von Wasser in ein Becken in \(\text{m}^3/\text{h}\). Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden. Formuliere eine passende Sachfrage, die durch den Ausdruck \(\int_2^7 q(t)\,\text{d}t\) beantwortet wird. Gib außerdem die Einheit des Integralwerts an.

Denkanstöße

- Welchen Zeitraum legen die beiden Integrationsgrenzen fest? - Beschreibt \(q(t)\) eine Wassermenge oder eine Wassermenge pro Stunde? - Welche Einheit entsteht, wenn eine Rate in \(\text{m}^3/\text{h}\) über Stunden betrachtet wird?

Lösung

1. Die Grenzen \(2\) und \(7\) legen den Zeitraum von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) fest. 2. Das Integral einer Zuflussrate über die Zeit beschreibt die insgesamt zugeflossene Wassermenge in diesem Zeitraum. 3. Eine passende Sachfrage lautet zum Beispiel: „Wie viel Wasser fließt von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) insgesamt in das Becken?“ 4. Aus \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\cdot\text{h}\) ergibt sich die Einheit \(\text{m}^3\).

Antwort

Eine passende Frage ist zum Beispiel: „Wie viel Wasser fließt von \(t=2\,\text{h}\) bis \(t=7\,\text{h}\) insgesamt in das Becken?“ Die Einheit des Integralwerts ist \(\text{m}^3\).
55837213
Die vorzeichenbehaftete Rate \(q(t)\) beschreibt die Änderung des Wasservolumens in einem Behälter. Dabei ist \(t\) die Zeit in Minuten und \(q(t)\) wird in \(\text{L}/\text{min}\) angegeben. Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Werte Abfluss. Formuliere eine Frage zur Situation, die durch den Ausdruck \(\int_2^5q(t)\,\text{d}t\) beantwortet wird. Gib auch die Einheit des Ergebnisses an.

Denkanstöße

- Welche Einheit entsteht, wenn eine Rate in \(\text{L}/\text{min}\) über Minuten integriert wird? - Welchen Zeitraum legen die beiden Integrationsgrenzen fest? - Beschreibt das Integral Zu- und Abflussmengen getrennt oder ihre gemeinsame Wirkung auf den Wasserinhalt?

Lösung

1. Das Integral einer vorzeichenbehafteten Volumenrate über die Zeit beschreibt die Nettoänderung des Wasservolumens. 2. Die Grenzen \(2\) und \(5\) beziehen sich auf den Zeitraum von Minute \(2\) bis Minute \(5\). 3. Eine passende Frage ist: „Um wie viele Liter ändert sich das Wasservolumen im Behälter zwischen Minute \(2\) und Minute \(5\) netto?“ 4. Die Einheit ist \(\text{L}\), weil \(\frac{\text{L}}{\text{min}}\cdot\text{min}=\text{L}\).

Antwort

Zum Beispiel: „Um wie viele Liter ändert sich das Wasservolumen im Behälter zwischen Minute \(2\) und Minute \(5\) netto?“ Einheit: \(\text{L}\). Gleichwertige passende Formulierungen sind möglich.
55837313
In der Montagehalle eines Fahrradherstellers liegen zu Beginn \(120\) Fahrradrahmen bereit. \(r(t)\) gibt in \(\text{Stück}/\text{h}\) an, wie sich ihre Zahl pro Stunde ändert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden seit Beginn der Beobachtung. Positive Werte bedeuten, dass Rahmen dazukommen; negative Werte bedeuten, dass Rahmen für die Montage entnommen werden. Formuliere eine Frage zur Situation, die durch die Gleichung \(120+\int_0^T r(t)\,\text{d}t=80\) beantwortet wird. Erkläre außerdem, was der Ausdruck \(120+\int_0^T r(t)\,\text{d}t\) beschreibt und welche Bedeutung \(T\) hat.

Denkanstöße

- Was beschreibt das Integral der Änderungsrate von \(0\) bis \(T\) für die Zahl der Rahmen? - Welche Bedeutung hat der Anfangswert \(120\) zusammen mit dieser Änderung? - Welche Rolle spielt die Zahl \(80\) auf der rechten Seite der Gleichung?

Lösung

1. Das Integral \(\int_0^T r(t)\,\text{d}t\) beschreibt die Änderung der Zahl der bereitliegenden Fahrradrahmen bis zum Zeitpunkt \(T\). 2. Deshalb gibt \(120+\int_0^T r(t)\,\text{d}t\) die Zahl der bereitliegenden Rahmen zum Zeitpunkt \(T\) an. 3. Die Gleichung setzt diese Zahl gleich \(80\). Eine passende Frage ist: „Für welche Zeiten \(T\) liegen noch \(80\) Fahrradrahmen für die Montage bereit?“ 4. \(T\) ist die seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Stunden, zu der \(80\) Rahmen bereitliegen.

Antwort

Zum Beispiel: „Für welche Zeiten \(T\) liegen noch \(80\) Fahrradrahmen für die Montage bereit?“ Der Ausdruck \(120+\int_0^T r(t)\,\text{d}t\) beschreibt die Zahl der bereitliegenden Fahrradrahmen zum Zeitpunkt \(T\). \(T\) ist die seit Beginn der Beobachtung vergangene Zeit in Stunden, zu der \(80\) Rahmen bereitliegen. Gleichwertige passende Formulierungen sind möglich.
42658713
Ein technischer Prozess wird überwacht. Die Funktion \(f\) beschreibt die Temperatur eines Bauteils (in \(^\circ\text{C}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten). Ordne den unten stehenden Beschreibungen die passenden mathematischen Ausdrücke aus der Liste zu. Beachte, dass zu einer Beschreibung mehrere Ausdrücke gehören können. a) Nach 20 Minuten beträgt die Temperatur genau \(65\,^\circ\text{C}\). b) Die Erwärmung des Bauteils ist zum Zeitpunkt \(t=20\) lokal am intensivsten. c) Die Temperatur des Bauteils steigt im Zeitintervall von \(t=20\) bis \(t=50\) um insgesamt \(15\,^\circ\text{C}\) an. d) Die durchschnittliche Temperatur während der ersten 50 Minuten beträgt \(72\,^\circ\text{C}\). A) \(f(20)=65\) B) \(f'(20)>0\) C) \(f''(20)=0\) D) \(f'''(20)<0\) E) \(f(50)-f(20)=15\) F) \(\int_{20}^{50}f'(t)\,\text{d}t=15\) G) \(\frac{1}{50}\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t=72\) H) \(\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t=3600\)

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen der Temperatur selbst und ihrer momentanen Änderungsrate. - Was muss für die Änderungsrate gelten, wenn die Erwärmung lokal am intensivsten ist? - Eine Änderung zwischen zwei Zeitpunkten lässt sich sowohl als Differenz von Funktionswerten als auch über ein Integral ausdrücken. - Welche Formel beschreibt den Mittelwert einer Funktion über ein Intervall?

Lösung

1. Beschreibung a) nennt direkt den Funktionswert zum Zeitpunkt \(t=20\). Dazu gehört A. 2. In b) ist die Erwärmungsrate \(f'\) lokal maximal und positiv. Dafür gelten \(f'(20)>0\), \(f''(20)=0\) und als hinreichendes lokales Maximumkriterium \(f'''(20)<0\). Dazu gehören B, C und D. 3. Die Temperaturänderung von \(t=20\) bis \(t=50\) kann als Differenz \(f(50)-f(20)\) oder nach dem Hauptsatz als Integral der Änderungsrate \(\int_{20}^{50}f'(t)\,\text{d}t\) geschrieben werden. Dazu gehören E und F. 4. Der Funktionsmittelwert auf \([0;50]\) ist \(\frac{1}{50}\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t\). Der Wert \(72\) entspricht G; äquivalent dazu ist nach Multiplikation mit 50 die Gleichung \(\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t=3600\), also H.

Antwort

a) A b) B, C, D c) E, F d) G, H
42658813
Die Nettozuflussrate eines Staubeckens wird für \(0\le t\le8\) durch \(k(t)=100(t^2-10t+21)\) in \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden. Ein negativer Wert von \(k(t)\) bedeutet, dass insgesamt Wasser aus dem Becken abfließt. Zu Beginn bei \(t=0\) befinden sich \(5000\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. a) Erläutere die Bedeutung von \(\int_3^7k(t)\,\text{d}t\) im Sachzusammenhang. b) Berechne \(\int_0^3k(t)\,\text{d}t\) und interpretiere das Ergebnis. c) Stelle einen Term auf, der den Wasserbestand \(V(8)\) nach acht Stunden beschreibt.

Denkanstöße

- Beachte, dass die gegebene Rate vorzeichenbehaftet ist: Was bedeutet ein negativer Integralwert für den Bestand? - Welche Einheit entsteht beim Integrieren von \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) über Stunden? - Ein späterer Bestand setzt sich aus dem Anfangsbestand und der bis dahin aufgelaufenen Nettoänderung zusammen.

Lösung

1. Es gilt \(k(t)=100(t-3)(t-7)\). Auf \([3;7]\) ist die Nettozuflussrate negativ. Daher beschreibt \(\int_3^7k(t)\,\text{d}t\) die negative Nettoänderung des Wasservolumens in diesem Zeitraum. Ihr Betrag entspricht hier dem insgesamt netto abgeflossenen Volumen. 2. Es ist \(\int_0^3 100(t^2-10t+21)\,\text{d}t=100\left[\frac13t^3-5t^2+21t\right]_0^3=2700\,\text{m}^3\). In den ersten drei Stunden nimmt der Bestand netto um \(2700\,\text{m}^3\) zu. 3. Der Bestand nach acht Stunden ist Anfangsbestand plus aufgelaufene Nettoänderung: \(V(8)=5000+\int_0^8k(t)\,\text{d}t\).

Antwort

a) Das Integral beschreibt die Nettoänderung des Wasservolumens zwischen der dritten und siebten Stunde; sie ist negativ. b) \(2700\,\text{m}^3\); der Wasserbestand nimmt in den ersten drei Stunden netto um diesen Betrag zu. c) \(V(8)=5000+\int_0^8k(t)\,\text{d}t\)
43471713
Das Diagramm zeigt die Zuflussrate \(r(t)\) eines Regenrückhaltebeckens in \(\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\) für \(0\le t\le16\). Die Reinigung des eingeleiteten Wassers kostet \(1{,}50\,\text{€}\) pro Kubikmeter. Schätze mithilfe des Diagramms die Reinigungskosten für das Wasser, das zwischen \(t=4\) und \(t=12\) in das Becken geflossen ist. Gib einen angemessenen Näherungswert an und erläutere kurz dein Vorgehen.
Abbildung zur Aufgabe 434717

Denkanstöße

- Welche Fläche im Diagramm entspricht der zwischen \(t=4\) und \(t=12\) zugeflossenen Wassermenge? - Bestimme zuerst, welches Volumen ein einzelnes Gitterkästchen repräsentiert. - Du kannst die gekrümmte Fläche durch Kästchen oder mehrere Trapeze annähern. - Wende den Preis pro Kubikmeter erst auf deine geschätzte Gesamtmenge an.

Lösung

1. Die zugeflossene Wassermenge entspricht näherungsweise dem Flächeninhalt unter dem Rategraphen auf \([4;12]\). 2. Ein Gitterkästchen hat die Breite \(1\,\text{h}\) und die Höhe \(1\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}\); seine Fläche entspricht daher \(1\,\text{m}^3\). Durch Kästchenzählen oder eine Trapezschätzung erhält man ungefähr \(57\,\text{m}^3\). 3. Damit betragen die Reinigungskosten ungefähr \(57\,\text{m}^3\cdot1{,}50\,\frac{\text{€}}{\text{m}^3}=85{,}50\,\text{€}\), also rund \(86\,\text{€}\).

Antwort

Etwa \(57\,\text{m}^3\) Wasser und damit rund \(86\,\text{€}\) Reinigungskosten. Vergleichbare, aus dem Diagramm nachvollziehbar geschätzte Werte sind ebenfalls angemessen.
43476413
Das Diagramm zeigt während eines zehnminütigen Reinigungsvorgangs die Durchflussrate \(f(t)\) eines ersten Rohrs und die konstante Durchflussrate \(g(t)=5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\) eines zweiten Rohrs. a) Bestimme graphisch den Zeitraum, in dem die Durchflussrate des ersten Rohrs höher ist als die des zweiten. b) Berechne das gesamte Wasservolumen, das von \(t=0\) bis \(t=10\) durch das zweite Rohr fließt. c) Schätze mithilfe des Graphen, durch welches Rohr in diesem Zeitraum insgesamt mehr Wasser geflossen ist. Begründe deine Entscheidung durch einen Flächenvergleich.
Abbildung zur Aufgabe 434764

Denkanstöße

- Welche beiden Schnittpunkte begrenzen den Bereich, in dem der erste Graph oberhalb der konstanten Rate liegt? - Bei einer konstanten Durchflussrate entspricht die Gesamtmenge der Fläche eines Rechtecks. - Vergleiche für Teil c die Fläche, in der \(f\) oberhalb von \(g\) liegt, mit den beiden Flächenstücken, in denen \(g\) oberhalb von \(f\) liegt.

Lösung

1. Die Graphen schneiden sich ungefähr bei \(t=2{,}4\) und \(t=7{,}6\). Dazwischen liegt der Graph von \(f\) oberhalb des Graphen von \(g\). Daher gilt ungefähr \(2{,}4<t<7{,}6\). 2. Für das zweite Rohr ist die Rate konstant. Daher fließen \(5\,\frac{\text{L}}{\text{min}}\cdot10\,\text{min}=50\,\text{L}\). 3. Im Diagramm ist die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) im mittleren Bereich etwas größer als die beiden Randflächen, in denen \(g\) oberhalb von \(f\) liegt. Daher ist die Gesamtfläche unter \(f\) geringfügig größer als \(50\,\text{L}\). Eine numerische Kontrolle ergibt ungefähr \(50{,}3\,\text{L}\), was die graphische Schätzung bestätigt.

Antwort

a) Ungefähr \(2{,}4<t<7{,}6\) Minuten. b) \(50\,\text{L}\) c) Durch das erste Rohr fließt insgesamt etwas mehr Wasser; die Gesamtmenge liegt ungefähr bei \(50{,}3\,\text{L}\).
43489613
In einer Fabrik werden zwei verschiedene Maschinen zur Herstellung von Bauteilen eingesetzt. Das Diagramm zeigt die Produktionsraten \(r_1\) (Maschine 1, blau) und \(r_2\) (Maschine 2, orange) in \(\text{Stück pro Stunde}\) über eine Arbeitsschicht von 10 Stunden. Diskutiere und beurteile die folgenden Aussagen: * **Leon:** „Maschine 2 hat am Ende der 10-stündigen Schicht insgesamt mehr Bauteile produziert als Maschine 1.“ * **Sarah:** „In den ersten 4 Stunden war Maschine 1 insgesamt produktiver als Maschine 2.“ * **Jan:** „Nach der 4. Stunde produziert Maschine 2 pro Stunde dauerhaft mehr Teile als Maschine 1.“
Abbildung zur Aufgabe 434896

Denkanstöße

- Wie kannst du die Gesamtanzahl der produzierten Teile aus einem Diagramm der Produktionsrate ablesen? - Vergleiche für Leons Aussage die Flächeninhalte unter den beiden Graphen im gesamten Zeitraum. - Beachte bei Sarahs Aussage nur das Zeitintervall von 0 bis 4 Stunden. - Was bedeutet es grafisch, wenn eine Maschine eine höhere „Produktionsrate“ hat?

Lösung

1. Leon: Die gesamte Produktionsmenge entspricht der Fläche unter dem jeweiligen Graphen. Fläche Maschine 1 (Trapez): \(\frac{60 + 10}{2} \cdot 10 = 350\,\text{Stück}\). Fläche Maschine 2 (Dreieck + Rechteck): \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 40 + 6 \cdot 40 = 80 + 240 = 320\,\text{Stück}\). Leons Aussage ist falsch, da Maschine 1 mehr produziert hat (\(350 > 320\)). 2. Sarah: In den ersten 4 Stunden produzierte Maschine 1 eine Menge von \(\frac{60 + 40}{2} \cdot 4 = 200\,\text{Stück}\). Maschine 2 produzierte in dieser Zeit \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 40 = 80\,\text{Stück}\). Sarahs Aussage ist wahr. 3. Jan: Für \(t > 4\) liegt der Graph von \(r_2\) (konstant bei \(40\)) oberhalb des Graphen von \(r_1\) (sinkt von \(40\) auf \(10\)). Somit ist die Produktionsrate von Maschine 2 nach der 4. Stunde höher. Jans Aussage ist wahr.

Antwort

Leon hat unrecht: Maschine 1 produzierte insgesamt \(350\,\text{Stück}\), Maschine 2 nur \(320\,\text{Stück}\). Sarah hat recht: In den ersten 4 Stunden produzierte Maschine 1 mit \(200\,\text{Stück}\) deutlich mehr als Maschine 2 mit \(80\,\text{Stück}\). Jan hat recht: Für \(t > 4\,\text{h}\) liegt die Kurve von Maschine 2 über der von Maschine 1, die Rate ist also höher.
55349813
Eine vorzeichenbehaftete Änderungsrate \(r(t)\) gehört zu einem Bestand \(B(t)\). Es gilt \(B(0)=40\), \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t=0\) und \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t=18\). Jonas sagt: „Weil das erste Integral null ist, war \(r(t)\) während der ganzen sechs Stunden null. Der Bestand blieb also die ganze Zeit bei \(40\).“ Beurteile Jonas' Aussage und interpretiere beide Integralwerte korrekt.

Denkanstöße

- Was kann sich bei einem vorzeichenbehafteten Integral gegenseitig aufheben? - Unterscheide eine Aussage über den gesamten Zeitraum von einer Aussage über jeden einzelnen Zeitpunkt. - Welche zusätzliche Information liefert der Betrag innerhalb des zweiten Integrals?

Lösung

1. Aus \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t=0\) folgt nur, dass die Nettoänderung des Bestands über den gesamten Zeitraum null ist. Daher gilt \(B(6)=B(0)=40\). 2. Daraus folgt nicht, dass \(r(t)\) zu jedem Zeitpunkt null war. Positive und negative Änderungen können sich im Integral gegenseitig aufheben. 3. Der Wert \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t=18\) zeigt sogar ausdrücklich, dass insgesamt Änderungen mit einem Gesamtbetrag von \(18\) Einheiten stattgefunden haben. 4. Jonas hat deshalb nur mit dem Endbestand recht: Nach sechs Stunden beträgt er wieder \(40\). Die Behauptungen über eine ständig verschwindende Änderungsrate und einen konstanten Zwischenverlauf sind falsch.

Antwort

Jonas' Schluss ist falsch. \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t=0\) bedeutet nur \(B(6)=40\), nicht \(r(t)=0\) für alle \(t\). Der Wert \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t=18\) zeigt, dass Zu- und Abnahmen mit insgesamt \(18\) Einheiten stattgefunden haben, die sich netto aufheben.
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Eine Rate \(r(t)\) beschreibt Ein- und Auslagerungen in einem Lager in \(\frac{\text{Pakete}}{\text{h}}\). Positive Werte bedeuten Einlagerungen, negative Werte Auslagerungen. Im Modell finden Ein- und Auslagerungen nicht gleichzeitig statt. Für sechs Stunden gilt \(\int_0^6 r(t)\,\text{d}t=-18\) und \(\int_0^6 |r(t)|\,\text{d}t=54\). Formuliere zu jedem der beiden Integrale eine passende Sachfrage. Erkläre außerdem, warum die beiden Fragen unterschiedliche Größen betreffen.

Denkanstöße

- Was geschieht im ersten Integral mit Abschnitten, auf denen \(r(t)<0\) ist? - Wie wirkt sich der Betrag im zweiten Integral auf negative Werte aus? - Welche der beiden Größen kann durch positive und negative Beiträge kleiner werden, obwohl viele Pakete bewegt werden?

Lösung

1. Das Integral \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t\) berücksichtigt das Vorzeichen der Rate. Eine passende Frage lautet zum Beispiel: „Um wie viele Pakete verändert sich der Lagerbestand in den sechs Stunden netto?“ Der Wert \(-18\) bedeutet eine Nettoabnahme um \(18\) Pakete. 2. Im Integral \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t\) werden Ein- und Auslagerungen beide positiv gezählt. Eine passende Frage lautet zum Beispiel: „Wie viele Pakete werden in den sechs Stunden insgesamt ein- oder ausgelagert?“ Der Wert ist \(54\) Pakete. 3. Das erste Integral beschreibt eine Bilanz, bei der sich Ein- und Auslagerungen gegenseitig aufheben können. Das zweite beschreibt, wie viele Pakete insgesamt bewegt wurden.

Antwort

Eine passende Frage zu \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t\) ist: „Um wie viele Pakete verändert sich der Lagerbestand in den sechs Stunden netto?“ Antwort: Der Bestand nimmt netto um \(18\) Pakete ab. Eine passende Frage zu \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t\) ist: „Wie viele Pakete werden in den sechs Stunden insgesamt ein- oder ausgelagert?“ Antwort: \(54\) Pakete. Das erste Integral beschreibt die Nettoänderung, das zweite die Gesamtzahl der bewegten Pakete.
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Ein Messsystem puffert Sensordaten. Der Pufferinhalt wird durch \(B(t)\) in Gigabyte beschrieben. Zu Beginn befinden sich \(40\,\text{GB}\) im Datenpuffer. Die Modelle verwenden jeweils eine einzige vorzeichenbehaftete Datenrate: Positive Werte bedeuten, dass Daten in den Puffer geschrieben werden, negative Werte, dass Daten aus dem Puffer übertragen und dabei aus dem Puffer entfernt werden. Gleichzeitiges Schreiben und Übertragen wird im Modell nicht berücksichtigt. Modell A: \(r_A(t)=3\) für \(0\le t\le2\), \(r_A(t)=-4\) für \(2<t\le3\), \(r_A(t)=2\) für \(3<t\le4\), \(r_A(t)=-4\) für \(4<t\le5\). Modell B: \(r_B(t)=3\) für \(0\le t\le2\) und \(r_B(t)=-2\) für \(2<t\le5\). Dabei ist \(t\) in Stunden und die Datenrate in \(\frac{\text{GB}}{\text{h}}\) angegeben. Beobachtet wurden ein Pufferinhalt von \(46\,\text{GB}\) bei \(t=2\), ein Pufferinhalt von \(40\,\text{GB}\) bei \(t=5\) und insgesamt \(16\,\text{GB}\), die im gesamten Zeitraum in den Puffer geschrieben oder aus ihm übertragen wurden. a) Prüfe beide Modelle gegen alle drei Beobachtungen und entscheide, welches Modell mit den Daten vereinbar ist. b) Beurteile die Aussage: „Da beide Modelle die gemessenen Pufferinhalte bei \(t=2\) und \(t=5\) treffen, kann man sie mit den Beobachtungen nicht unterscheiden.“

Denkanstöße

- Vergleiche die vorzeichenbehafteten Änderungen zunächst mit den angegebenen Pufferinhalten. - Halte Nettoänderung und die insgesamt geschriebene oder übertragene Datenmenge gedanklich getrennt. - Welche Beobachtung enthält Information über die Aktivität zwischen den beiden Pufferstandsmessungen? - Reichen gleiche Pufferinhalte an einigen Zeitpunkten aus, um zwei Änderungsraten als gleichwertig zu beurteilen?

Lösung

1. Für Modell A beträgt die Nettoänderung auf \([0;2]\) \(3\cdot2=6\,\text{GB}\). Daher ist der Pufferinhalt bei \(t=2\) gleich \(40+6=46\,\text{GB}\). 2. Von \(t=2\) bis \(t=5\) ergeben die drei Beiträge \(-4\cdot1+2\cdot1-4\cdot1=-6\,\text{GB}\). Somit ist der Pufferinhalt bei \(t=5\) wieder \(40\,\text{GB}\). 3. Weil im Modell nie gleichzeitig geschrieben und übertragen wird, ist die insgesamt bewegte Datenmenge die Summe der Beträge der Teilbeiträge. Für Modell A beträgt sie \(6+4+2+4=16\,\text{GB}\). Modell A erfüllt damit alle drei Beobachtungen. 4. Modell B liefert auf \([0;2]\) ebenfalls die Änderung \(6\,\text{GB}\) und damit \(46\,\text{GB}\). Danach ist die Änderung \(-2\cdot3=-6\,\text{GB}\), also beträgt der Pufferinhalt bei \(t=5\) ebenfalls \(40\,\text{GB}\). 5. Die insgesamt geschriebene oder übertragene Datenmenge beträgt bei Modell B jedoch nur \(6+6=12\,\text{GB}\). Modell B widerspricht deshalb der dritten Beobachtung. 6. Die Aussage ist falsch: Pufferinhalte an einzelnen Zeitpunkten bestimmen die zwischenzeitliche Datenaktivität nicht. Die zusätzliche Beobachtung zur insgesamt bewegten Datenmenge unterscheidet die Modelle.

Antwort

a) Beide Modelle liefern \(B(2)=46\,\text{GB}\) und \(B(5)=40\,\text{GB}\). Modell A beschreibt insgesamt \(16\,\text{GB}\) geschriebene oder übertragene Daten, Modell B nur \(12\,\text{GB}\). Daher ist nur Modell A mit allen drei Beobachtungen vereinbar. b) Die Aussage ist falsch. Gleiche Pufferinhalte an den beiden Messzeitpunkten schließen unterschiedliche zwischenzeitliche Datenaktivität nicht aus; die Beobachtung der insgesamt bewegten Datenmenge unterscheidet die Modelle.

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