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Interpretation von Integralergebnissen

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55349513
Eine vorzeichenbehaftete Zu- und Abflussrate \(q(t)\) beschreibt die Änderung des Wasservolumens eines Behälters in \(\text{L}/\text{min}\). Positive Werte bedeuten Zufluss, negative Werte Abfluss. Für einen Zeitraum gilt \(\int_2^5q(t)\,\text{d}t=12\). Welche Größe beschreibt der Wert \(12\), und welche Einheit hat er?

Denkanstöße

- Welche Einheit hat die Funktion und über welche Größe wird integriert? - Multipliziere gedanklich die Einheit der Rate mit der Einheit der Zeit. - Ein Integral einer Rate beschreibt nicht erneut eine Rate, sondern eine akkumulierte Größe.

Lösung

1. Das Integral summiert die vorzeichenbehaftete Zu- und Abflussrate über die Zeit von Minute \(2\) bis Minute \(5\). 2. Die Einheit ergibt sich aus \(\frac{\text{L}}{\text{min}}\cdot\text{min}=\text{L}\). 3. Der Wert \(12\) beschreibt daher die Nettoänderung des Wasservolumens in diesem Zeitraum. Da der Wert positiv ist, nimmt das Wasservolumen netto um \(12\,\text{L}\) zu.

Antwort

Das Wasservolumen nimmt zwischen Minute \(2\) und Minute \(5\) netto um \(12\,\text{L}\) zu.
55349613
Eine vorzeichenbehaftete Änderungsrate \(r(t)\) beschreibt Zu- und Abgänge eines Lagerbestands im Zeitraum \([a;b]\). Zum Zeitpunkt \(t=a\) sind \(B_0\) Einheiten vorhanden. Ordne den drei Ausdrücken ihre Bedeutung zu: 1. \(\int_a^br(t)\,\text{d}t\) 2. \(\int_a^b|r(t)|\,\text{d}t\) 3. \(B_0+\int_a^br(t)\,\text{d}t\) A) Bestand am Ende des Zeitraums B) gesamte umgesetzte Menge, wobei Zu- und Abgänge beide positiv gezählt werden C) Nettoänderung des Bestands

Denkanstöße

- Frage dich bei jedem Ausdruck, ob negative Raten etwas abziehen oder durch den Betrag positiv gezählt werden. - Welcher Ausdruck enthält zusätzlich den Anfangsbestand? - Unterscheide konsequent zwischen Änderung, gesamter Aktivität und tatsächlichem Bestand.

Lösung

1. Das Integral der vorzeichenbehafteten Änderungsrate berücksichtigt Zu- und Abgänge mit ihrem Vorzeichen und beschreibt deshalb die Nettoänderung. Ausdruck 1 gehört zu C. 2. Durch den Betrag werden Zu- und Abgänge beide positiv gezählt. Ausdruck 2 beschreibt deshalb die gesamte umgesetzte Menge und gehört zu B. 3. Addiert man die Nettoänderung zum Anfangsbestand \(B_0\), erhält man den Endbestand. Ausdruck 3 gehört zu A.

Antwort

1. → C 2. → B 3. → A
42489513
Gegeben ist eine Funktion \(f\) und das Integral \(\int_{0}^{6} f(x) \text{d}x = 24\). Interpretiere den Wert des Integrals in den folgenden Sachzusammenhängen: a) Die Funktion \(f\) modelliert die momentane Änderungsrate der Bakterienanzahl in einer Petrischale (\(x\) in Stunden, \(f(x)\) in Millionen Bakterien pro Stunde). b) Die Funktion \(f\) beschreibt die elektrische Leistungsaufnahme eines Industriebetriebs (\(x\) in Stunden, \(f(x)\) in Megawatt). c) Ein flaches Bauteil wird durch die \(x\)-Achse, die Geraden \(x=0\) und \(x=6\) sowie den Graphen von \(f\) begrenzt, wobei der Graph im Intervall \([0; 6]\) oberhalb der \(x\)-Achse verläuft (\(x\) und \(f(x)\) in Zentimetern).

Denkanstöße

- Überlege dir, welche physikalische oder mathematische Größe entsteht, wenn man die Einheit der Funktionswerte mit der Einheit der \(x\)-Werte multipliziert. - Was bedeutet es allgemein, wenn man eine Änderungsrate über einen bestimmten Zeitraum integriert? - Erinnere dich an den physikalischen Zusammenhang zwischen Leistung und Energie. - Wie lässt sich ein Integral geometrisch deuten, wenn der Graph über der \(x\)-Achse liegt?

Lösung

1. Im Kontext a) entspricht das Integral der Nettoänderung des Bestands über das Zeitintervall \([0; 6]\). Da der Integralwert 24 beträgt, hat die Anzahl der Bakterien in den ersten sechs Stunden insgesamt um 24 Millionen zugenommen. 2. Im Kontext b) ist das Integral der Leistung über die Zeit gleich der aufgenommenen Energie. Ein Integralwert von 24 bedeutet hier, dass im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden insgesamt eine elektrische Energie von \(24\,\text{MWh}\) (Megawattstunden) verbraucht wurde. 3. Im geometrischen Kontext c) stellt das Integral den Flächeninhalt der beschriebenen Fläche dar. Der Wert 24 gibt an, dass das Bauteil einen Flächeninhalt von \(24\,\text{cm}^2\) besitzt.

Antwort

a) Die Bakterienanzahl nimmt in den ersten 6 Stunden um 24 Millionen zu. b) Die aufgenommene elektrische Energie im Zeitraum von 0 bis 6 Stunden beträgt \(24\,\text{MWh}\). c) Der Flächeninhalt des Bauteils beträgt \(24\,\text{cm}^2\).
42489613
Gegeben ist eine Funktion \(g\) und die Gleichung \(\int_{2}^{5} g(x) \text{d}x = -1{,}5\). Erläutere die Bedeutung der Gleichung in den folgenden Situationen: a) Die Funktion \(g\) beschreibt die Änderungsrate des Wasserstands in einem Staubecken (\(x\) in Stunden, \(g(x)\) in Metern pro Stunde). b) Die Funktion \(g\) gibt die vertikale Geschwindigkeit eines Tauchers an (\(x\) in Sekunden, \(g(x)\) in Metern pro Sekunde, wobei positive Werte ein Aufsteigen beschreiben). c) Die Funktion \(g\) beschreibt die Änderungsrate des Luftdrucks während eines Wetterumschwungs (\(x\) in Stunden, \(g(x)\) in Hektopascal pro Stunde).

Denkanstöße

- Was sagt das Vorzeichen des Ergebnisses über die Richtung der Änderung aus? - Wie hängen Geschwindigkeit und Position mathematisch über das Integral zusammen? - Achte auf die Einheiten: Was ergibt sich, wenn man eine Rate (z. B. \(m/h\)) mit einer Zeitdauer (\(h\)) multipliziert? - Überlege, ob das Integral eine absolute Menge oder eine Veränderung beschreibt.

Lösung

1. In Situation a) stellt das Integral die gesamte Änderung des Wasserstands im Zeitintervall \([2; 5]\) dar. Der negative Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass der Wasserstand zwischen der 2. und der 5. Stunde insgesamt um \(1{,}5\,\text{m}\) gesunken ist. 2. In Situation b) entspricht das Integral der Änderung der vertikalen Position (Höhenänderung). Der Wert \(-1{,}5\) bedeutet, dass der Taucher im Zeitraum von 2 bis 5 Sekunden seine Position um \(1{,}5\,\text{m}\) nach unten verändert hat, er ist also tiefer gesunken. 3. In Situation c) gibt das Integral die Nettoänderung des Luftdrucks an. Das Ergebnis \(-1{,}5\) besagt, dass der Luftdruck zwischen der 2. und der 5. Stunde um insgesamt \(1{,}5\,\text{hPa}\) gefallen ist.

Antwort

a) Der Wasserstand sinkt zwischen der 2. und der 5. Stunde insgesamt um \(1{,}5\,\text{m}\). b) Der Taucher sinkt im Zeitraum von 2 bis 5 Sekunden um insgesamt \(1{,}5\,\text{m}\) tiefer. c) Der Luftdruck nimmt zwischen der 2. und der 5. Stunde um insgesamt \(1{,}5\,\text{hPa}\) ab.
42660913
Die Funktion \(f\) beschreibt die momentane Änderungsrate der Schadstoffmenge in einem See. Dabei wird \(t\) in Wochen seit Beginn einer Messreihe und \(f(t)\) in \(\text{kg}/\text{Woche}\) angegeben. Zum Zeitpunkt \(t=0\) befinden sich bereits \(500\,\text{kg}\) Schadstoff im See. Interpretiere die folgenden mathematischen Aussagen im Sachzusammenhang: a) \(f(t) < 0\) für \(t \in [5; 8]\) b) \(\int_{0}^{4} f(t) dt = -100\) c) \(500 + \int_{0}^{T} f(t) dt = 250\)

Denkanstöße

- Was gibt das Vorzeichen der Änderungsrate über die Entwicklung des Bestands an? - Welche physikalische oder mathematische Größe wird durch das Integral einer Rate berechnet? - Was bedeutet die Zahl 500 in der Gleichung c) im Vergleich zur Aufgabenstellung? - Wie hängen Anfangswert, Änderung und Endwert zusammen?

Lösung

1. Da \(f(t)\) die Änderungsrate der Masse darstellt, zeigt ein negatives Vorzeichen eine Abnahme an. Im Intervall \([5; 8]\) sinkt die Schadstoffmenge im See somit kontinuierlich. 2. Das Integral der Änderungsrate über ein Zeitintervall entspricht der Nettoänderung des Bestands. In den ersten vier Wochen (\(t=0\) bis \(t=4\)) hat die Schadstoffmenge insgesamt um \(100\,\text{kg}\) abgenommen. 3. Der Ausdruck \(500 + \int_{0}^{T} f(t) dt\) berechnet den Gesamtbestand zum Zeitpunkt \(T\), bestehend aus dem Anfangswert und der kumulierten Änderung. Die Gleichung besagt, dass zum Zeitpunkt \(T\) die Schadstoffmenge im See auf \(250\,\text{kg}\) gesunken ist, was der Hälfte des Ausgangswerts entspricht.

Antwort

a) Zwischen der 5. und der 8. Woche nimmt die Schadstoffmenge im See ab. b) In den ersten vier Wochen verringert sich die Schadstoffmenge insgesamt um \(100\,\text{kg}\). c) Es wird der Zeitpunkt \(T\) berechnet, an dem sich nur noch \(250\,\text{kg}\) Schadstoff (die Hälfte der Anfangsmenge) im See befinden.
43488513
An einem Sommertag wird die Zuflussrate von Wasser in ein Regenrückhaltebecken während eines Gewitters gemessen. Die Funktion \(f\) beschreibt diese Zuflussrate (\(t\) in Minuten seit Messbeginn, \(f(t)\) in \(\text{m}^3/\text{min}\)). Ordne den folgenden mathematischen Ausdrücken die jeweils passende Fragestellung im Sachzusammenhang zu. Mathematische Ausdrücke: 1. \(f(t)=10\) 2. \(f'(t)=0\) und \(f''(t)<0\) 3. \(\int_0^{20}f(t)\,\text{d}t\) 4. \(f(t)>12\) Fragestellungen: a) Zu welchem Zeitpunkt hat die Zuflussrate ein lokales Maximum? b) In welchem Zeitraum fließen mehr als \(12\,\text{m}^3\) pro Minute zu? c) Wann beträgt die Zuflussrate genau \(10\,\text{m}^3/\text{min}\)? d) Wie viel Wasser ist in den ersten 20 Minuten insgesamt in das Becken geflossen?

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen einem Funktionswert, einer Extremumbedingung, einem Integral und einer Ungleichung. - Welche Art von Frage beantwortet eine Gleichung wie \(f(t)=10\)? - Welche Einheit erhältst du, wenn du eine Rate in \(\text{m}^3/\text{min}\) über Minuten integrierst? - Ein Schwellenwert mit „größer als“ beschreibt typischerweise einen Zeitraum statt eines einzelnen Werts.

Lösung

1. Die Gleichung \(f(t)=10\) sucht die Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate genau \(10\,\text{m}^3/\text{min}\) beträgt. Das ist c). 2. Die Bedingungen \(f'(t)=0\) und \(f''(t)<0\) kennzeichnen einen lokalen Hochpunkt der Zuflussrate. Das ist a). 3. Das Integral \(\int_0^{20}f(t)\,\text{d}t\) summiert die Zuflussrate über die ersten 20 Minuten und liefert die insgesamt zugeflossene Wassermenge. Das ist d). 4. Die Ungleichung \(f(t)>12\) beschreibt alle Zeitpunkte, an denen die Zuflussrate den Schwellenwert \(12\,\text{m}^3/\text{min}\) überschreitet. Das ist b).

Antwort

1. → c) 2. → a) 3. → d) 4. → b)
55349713
Das Diagramm zeigt die vorzeichenbehaftete Änderungsrate \(r(t)\) des Wasservolumens in einem Becken in \(\text{m}^3/\text{h}\). Interpretiere die Grenzen und den Wert des Integrals \(\int_1^4r(t)\,\text{d}t\) im Sachzusammenhang. Bestimme den Integralwert mithilfe der Flächen im Diagramm.
Abbildung zur Aufgabe 553497

Denkanstöße

- Die Integrationsgrenzen sagen, welcher Zeitabschnitt berücksichtigt wird. - Flächen oberhalb und unterhalb der Zeitachse gehen mit unterschiedlichen Vorzeichen ein. - Formuliere nach der Rechnung ausdrücklich, was ein negatives Ergebnis für den Bestand bedeutet.

Lösung

1. Die Integrationsgrenzen \(1\) und \(4\) bedeuten, dass nur die Bestandsänderung zwischen der ersten und der vierten Stunde betrachtet wird. 2. Von \(t=1\) bis \(t=2\) liegt ein positives Dreieck mit Flächeninhalt \(1\,\text{m}^3\) vor. 3. Von \(t=2\) bis \(t=3\) liegt ein negatives Dreieck mit Flächenbetrag \(0{,}5\,\text{m}^3\), von \(t=3\) bis \(t=4\) ein negatives Rechteck mit Flächenbetrag \(1\,\text{m}^3\). 4. Daher ist \(\int_1^4r(t)\,\text{d}t=1-0{,}5-1=-0{,}5\,\text{m}^3\). Das Wasservolumen nimmt zwischen der ersten und der vierten Stunde netto um \(0{,}5\,\text{m}^3\) ab.

Antwort

Die Grenzen beziehen sich auf den Zeitraum von Stunde \(1\) bis Stunde \(4\). Es gilt \(\int_1^4r(t)\,\text{d}t=-0{,}5\,\text{m}^3\); der Bestand sinkt in diesem Zeitraum netto um \(0{,}5\,\text{m}^3\).
42658713
Ein technischer Prozess wird überwacht. Die Funktion \(f\) beschreibt die Temperatur eines Bauteils (in \(^\circ\text{C}\)) in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in Minuten). Ordne den unten stehenden Beschreibungen die passenden mathematischen Ausdrücke aus der Liste zu. Beachte, dass zu einer Beschreibung mehrere Ausdrücke gehören können. a) Nach 20 Minuten beträgt die Temperatur genau \(65\,^\circ\text{C}\). b) Die Erwärmung des Bauteils ist zum Zeitpunkt \(t=20\) lokal am intensivsten. c) Die Temperatur des Bauteils steigt im Zeitintervall von \(t=20\) bis \(t=50\) um insgesamt \(15\,^\circ\text{C}\) an. d) Die durchschnittliche Temperatur während der ersten 50 Minuten beträgt \(72\,^\circ\text{C}\). A) \(f(20)=65\) B) \(f'(20)>0\) C) \(f''(20)=0\) D) \(f'''(20)<0\) E) \(f(50)-f(20)=15\) F) \(\int_{20}^{50}f'(t)\,\text{d}t=15\) G) \(\frac{1}{50}\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t=72\) H) \(\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t=3600\)

Denkanstöße

- Unterscheide zwischen der Temperatur selbst und ihrer momentanen Änderungsrate. - Was muss für die Änderungsrate gelten, wenn die Erwärmung lokal am intensivsten ist? - Eine Änderung zwischen zwei Zeitpunkten lässt sich sowohl als Differenz von Funktionswerten als auch über ein Integral ausdrücken. - Welche Formel beschreibt den Mittelwert einer Funktion über ein Intervall?

Lösung

1. Beschreibung a) nennt direkt den Funktionswert zum Zeitpunkt \(t=20\). Dazu gehört A. 2. In b) ist die Erwärmungsrate \(f'\) lokal maximal und positiv. Dafür gelten \(f'(20)>0\), \(f''(20)=0\) und als hinreichendes lokales Maximumkriterium \(f'''(20)<0\). Dazu gehören B, C und D. 3. Die Temperaturänderung von \(t=20\) bis \(t=50\) kann als Differenz \(f(50)-f(20)\) oder nach dem Hauptsatz als Integral der Änderungsrate \(\int_{20}^{50}f'(t)\,\text{d}t\) geschrieben werden. Dazu gehören E und F. 4. Der Funktionsmittelwert auf \([0;50]\) ist \(\frac{1}{50}\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t\). Der Wert \(72\) entspricht G; äquivalent dazu ist nach Multiplikation mit 50 die Gleichung \(\int_0^{50}f(t)\,\text{d}t=3600\), also H.

Antwort

a) A b) B, C, D c) E, F d) G, H
42658813
Der Zufluss von Wasser in ein Staubecken wird durch die Funktion \(k\) mit \(k(t) = 100(t^2 - 10t + 21)\) für \(0 \le t \le 8\) modelliert. Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden und \(k(t)\) die Zuflussrate in \(\text{m}^3/\text{h}\). Ein negativer Wert von \(k(t)\) bedeutet, dass Wasser aus dem Becken abfließt. Zu Beginn der Messung (\(t=0\)) befinden sich \(5000\,\text{m}^3\) Wasser im Becken. a) Erläutere die Bedeutung des Integrals \(\int_3^7 k(t) \,\text{d}t\) im Sachzusammenhang. b) Berechne den Wert des Integrals \(\int_0^3 k(t) \,\text{d}t\) und interpretiere das Ergebnis. c) Stelle einen Term auf, der das Wasservolumen \(V(8)\) im Becken nach 8 Stunden beschreibt.

Denkanstöße

- Was bedeutet es für den Wasservorrat, wenn die Zuflussrate negativ ist? - Welche physikalische Größe erhält man, wenn man eine Rate über die Zeit integriert? - Wie berücksichtigst du einen Anfangswert, wenn du den Endbestand berechnen willst? - Achte auf die Einheiten: Was passiert mit \(\text{m}^3/\text{h} \cdot \text{h}\)?

Lösung

1. Die Nullstellen von \(k(t) = 100(t-3)(t-7)\) liegen bei \(t=3\) und \(t=7\). Im Intervall \([3; 7]\) ist \(k(t)\) negativ. Das Integral \(\int_3^7 k(t) \,\text{d}t\) gibt daher die Netto-Volumenänderung an und ist negativ; der Betrag \(-\int_3^7 k(t) \,\text{d}t\) entspricht dem gesamten Wasservolumen, das zwischen der 3. und 7. Stunde aus dem Becken abfließt. 2. Berechnung des Integrals: \(\int_0^3 100(t^2 - 10t + 21) \,\text{d}t = 100 \cdot \left[ \frac{1}{3}t^3 - 5t^2 + 21t \right]_0^3 = 100 \cdot (9 - 45 + 63) = 2700\). Das Ergebnis \(2700\,\text{m}^3\) bedeutet, dass in den ersten drei Stunden insgesamt \(2700\,\text{m}^3\) Wasser in das Becken zugeflossen sind. 3. Das Volumen nach 8 Stunden setzt sich aus dem Anfangsbestand und der kumulierten Änderung zusammen: \(V(8) = 5000 + \int_0^8 k(t) \,\text{d}t\).

Antwort

a) Das Integral gibt die Netto-Volumenänderung zwischen der 3. und 7. Stunde an. Da die Rate dort negativ ist, ist der Integralwert negativ; das abgeflossene Wasservolumen ist der Betrag dieses Integrals. b) \(\int_0^3 k(t) \,\text{d}t = 2700\). In den ersten drei Stunden fließen \(2700\,\text{m}^3\) Wasser zu. c) \(V(8) = 5000 + \int_0^8 k(t) \,\text{d}t\) (oder \(V(8) = 5000 + \int_0^8 100(t^2 - 10t + 21) \,\text{d}t\)).
42661013
Ein Solarpark speist elektrische Energie in das Netz ein. Die Funktion \(P\) gibt die Einspeiseleistung in Kilowatt (\(\text{kW}\)) an, wobei \(t\) die Zeit in Stunden seit Mitternacht (\(t=0\)) beschreibt. Formuliere für die folgenden Fragestellungen jeweils einen passenden mathematischen Term, eine Gleichung oder eine Ungleichung: a) Wie viel Energie wurde insgesamt zwischen 8:00 Uhr und 12:00 Uhr eingespeist? b) Zu welchem Zeitpunkt \(t\) entspricht die momentane Leistung genau der durchschnittlichen Einspeiseleistung im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 18:00 Uhr? c) In welchem Zeitraum von zwei Stunden werden insgesamt mehr als \(400\,\text{kWh}\) Energie eingespeist?

Denkanstöße

- Wie berechnet man die Gesamtmenge (Energie), wenn die Rate (Leistung) gegeben ist? - Erinnere dich an die Formel für den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall. - Wie kann man ein Zeitintervall der Dauer 2 Stunden allgemein mit einer Variablen \(t\) ausdrücken? - Was ist der Unterschied zwischen einer momentanen Größe und einer über einen Zeitraum akkumulierten Größe?

Lösung

1. Die Energie ist das Integral der Leistung über die Zeit. Für den Zeitraum von 8 bis 12 Stunden ergibt sich der Term \(\int_{8}^{12} P(t) dt\). 2. Die durchschnittliche Leistung in einem Intervall \([a; b]\) ist durch den Mittelwert der Funktion definiert: \(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} P(x) dx\). Für das Intervall \([6; 18]\) ergibt dies \(\frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). Die gesuchte Gleichung lautet \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\). 3. Ein beliebiges Zeitintervall der Länge 2, das zum Zeitpunkt \(t\) beginnt, endet bei \(t+2\). Damit das Intervall innerhalb eines Tages liegt, gilt \(0 \le t \le 22\). Die Bedingung, dass die darin erzeugte Energie größer als \(400\,\text{kWh}\) ist, führt auf die Ungleichung \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\).

Antwort

a) \(\int_{8}^{12} P(t) dt\) b) \(P(t) = \frac{1}{12} \int_{6}^{18} P(x) dx\) c) \(\int_{t}^{t+2} P(x) dx > 400\) mit \(0 \le t \le 22\)
43468613
Ein dekorativer Torbogen wird durch die Funktion \(g(x)=2\sin(0{,}5x)\) im Intervall \([0;2\pi]\) beschrieben (Längeneinheiten in Metern). a) Berechne den exakten Flächeninhalt der Querschnittsfläche unter dem Torbogen. b) In den Bogen soll ein dreieckiges Stützelement mit den Eckpunkten \(P(0\mid0)\), \(Q(2\pi\mid0)\) und dem höchsten Punkt des Bogens \(R(\pi\mid2)\) eingepasst werden. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks \(PQR\) und bestimme exakt, wie viel Prozent der Gesamtfläche unter dem Bogen von diesem Dreieck bedeckt werden.
Abbildung zur Aufgabe 434686

Denkanstöße

- Prüfe zuerst, ob der Graph im betrachteten Intervall oberhalb oder unterhalb der \(x\)-Achse liegt. - Beim Integrieren der Sinusfunktion musst du den Faktor im Argument berücksichtigen. - Für die Dreiecksfläche kannst du Grundseite und senkrechte Höhe direkt aus den angegebenen Punkten bestimmen. - Vergleiche anschließend Dreiecksfläche und gesamte Querschnittsfläche als Verhältnis.

Lösung

1. Der Graph liegt im betrachteten Intervall oberhalb der \(x\)-Achse. Daher ist der Flächeninhalt \(A=\int_0^{2\pi}2\sin(0{,}5x)\,\text{d}x\). Mit der Stammfunktion \(-4\cos(0{,}5x)\) folgt \(A=8\,\text{m}^2\). 2. Das Dreieck hat die Grundseite \(2\pi\,\text{m}\) und die Höhe \(2\,\text{m}\). Somit ist \(A_\triangle=\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot2=2\pi\,\text{m}^2\). 3. Der Flächenanteil ist \(\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\). Als Prozentwert ergibt sich \(100\cdot\frac{\pi}{4}\,\%=25\pi\,\%\).

Antwort

a) \(8\,\text{m}^2\) b) \(A_\triangle=2\pi\,\text{m}^2\); bedeckter Anteil: \(25\pi\,\%\)
43489613
In einer Fabrik werden zwei verschiedene Maschinen zur Herstellung von Bauteilen eingesetzt. Das Diagramm zeigt die Produktionsraten \(r_1\) (Maschine 1, blau) und \(r_2\) (Maschine 2, orange) in \(\text{Stück pro Stunde}\) über eine Arbeitsschicht von 10 Stunden. Diskutiere und beurteile die folgenden Aussagen: * **Leon:** „Maschine 2 hat am Ende der 10-stündigen Schicht insgesamt mehr Bauteile produziert als Maschine 1.“ * **Sarah:** „In den ersten 4 Stunden war Maschine 1 insgesamt produktiver als Maschine 2.“ * **Jan:** „Nach der 4. Stunde produziert Maschine 2 pro Stunde dauerhaft mehr Teile als Maschine 1.“
Abbildung zur Aufgabe 434896

Denkanstöße

- Wie kannst du die Gesamtanzahl der produzierten Teile aus einem Diagramm der Produktionsrate ablesen? - Vergleiche für Leons Aussage die Flächeninhalte unter den beiden Graphen im gesamten Zeitraum. - Beachte bei Sarahs Aussage nur das Zeitintervall von 0 bis 4 Stunden. - Was bedeutet es grafisch, wenn eine Maschine eine höhere „Produktionsrate“ hat?

Lösung

1. Leon: Die gesamte Produktionsmenge entspricht der Fläche unter dem jeweiligen Graphen. Fläche Maschine 1 (Trapez): \(\frac{60 + 10}{2} \cdot 10 = 350\,\text{Stück}\). Fläche Maschine 2 (Dreieck + Rechteck): \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 40 + 6 \cdot 40 = 80 + 240 = 320\,\text{Stück}\). Leons Aussage ist falsch, da Maschine 1 mehr produziert hat (\(350 > 320\)). 2. Sarah: In den ersten 4 Stunden produzierte Maschine 1 eine Menge von \(\frac{60 + 40}{2} \cdot 4 = 200\,\text{Stück}\). Maschine 2 produzierte in dieser Zeit \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 40 = 80\,\text{Stück}\). Sarahs Aussage ist wahr. 3. Jan: Für \(t > 4\) liegt der Graph von \(r_2\) (konstant bei \(40\)) oberhalb des Graphen von \(r_1\) (sinkt von \(40\) auf \(10\)). Somit ist die Produktionsrate von Maschine 2 nach der 4. Stunde höher. Jans Aussage ist wahr.

Antwort

Leon hat unrecht: Maschine 1 produzierte insgesamt \(350\,\text{Stück}\), Maschine 2 nur \(320\,\text{Stück}\). Sarah hat recht: In den ersten 4 Stunden produzierte Maschine 1 mit \(200\,\text{Stück}\) deutlich mehr als Maschine 2 mit \(80\,\text{Stück}\). Jan hat recht: Für \(t > 4\,\text{h}\) liegt die Kurve von Maschine 2 über der von Maschine 1, die Rate ist also höher.
55349813
Eine vorzeichenbehaftete Änderungsrate \(r(t)\) gehört zu einem Bestand \(B(t)\). Es gilt \(B(0)=40\), \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t=0\) und \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t=18\). Jonas sagt: „Weil das erste Integral null ist, war \(r(t)\) während der ganzen sechs Stunden null. Der Bestand blieb also die ganze Zeit bei \(40\).“ Beurteile Jonas' Aussage und interpretiere beide Integralwerte korrekt.

Denkanstöße

- Was kann sich bei einem vorzeichenbehafteten Integral gegenseitig aufheben? - Unterscheide eine Aussage über den gesamten Zeitraum von einer Aussage über jeden einzelnen Zeitpunkt. - Welche zusätzliche Information liefert der Betrag innerhalb des zweiten Integrals?

Lösung

1. Aus \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t=0\) folgt nur, dass die Nettoänderung des Bestands über den gesamten Zeitraum null ist. Daher gilt \(B(6)=B(0)=40\). 2. Daraus folgt nicht, dass \(r(t)\) zu jedem Zeitpunkt null war. Positive und negative Änderungen können sich im Integral gegenseitig aufheben. 3. Der Wert \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t=18\) zeigt sogar ausdrücklich, dass insgesamt Änderungen mit einem Gesamtbetrag von \(18\) Einheiten stattgefunden haben. 4. Jonas hat deshalb nur mit dem Endbestand recht: Nach sechs Stunden beträgt er wieder \(40\). Die Behauptungen über eine ständig verschwindende Änderungsrate und einen konstanten Zwischenverlauf sind falsch.

Antwort

Jonas' Schluss ist falsch. \(\int_0^6r(t)\,\text{d}t=0\) bedeutet nur \(B(6)=40\), nicht \(r(t)=0\) für alle \(t\). Der Wert \(\int_0^6|r(t)|\,\text{d}t=18\) zeigt, dass Zu- und Abnahmen mit insgesamt \(18\) Einheiten stattgefunden haben, die sich netto aufheben.

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