- Welche Größe wird gezählt und welche wird gemessen? - Können zwischen zwei möglichen Werten jeweils weitere Werte liegen? - Vergleiche einzelne Punktstapel mit den zusammenhängenden Klassen des Histogramms.

1. In Diagramm 1 wird eine Fehleranzahl dargestellt. Sie ist diskret, weil nur einzelne ganzzahlige Werte wie \(0,1,2,\dots\) möglich sind. In Diagramm 2 wird eine Masse dargestellt. Sie ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Massen grundsätzlich weitere Werte liegen. 2. Das Punktdiagramm zeigt einzelne mögliche Zählwerte und ihre Häufigkeiten. Das Histogramm fasst Messwerte aus einem kontinuierlichen Wertebereich in benachbarte Intervalle zusammen.

a) Diagramm 1: diskret, weil nur einzelne ganzzahlige Fehlerzahlen möglich sind. Diagramm 2: stetig, weil zwischen zwei möglichen Massen weitere Werte liegen können. b) Das Punktdiagramm zeigt einzelne Zählwerte; das Histogramm fasst einen kontinuierlichen Messbereich in Intervalle zusammen.

- Welche einzelnen Werte kann die Anzahl der Umstiege überhaupt annehmen? - In welchem Diagramm kannst du die Häufigkeit eines konkreten Werts wie \(1\) direkt ablesen? - Was passiert mit solchen Einzelhäufigkeiten, wenn mehrere Werte in einem Intervall zusammengefasst werden?

1. Darstellung B ist geeigneter, um die diskrete Zufallsgröße sichtbar zu machen. Das Punktdiagramm zeigt für jeden möglichen ganzzahligen Wert \(0,1,2,3,4\) direkt seine Häufigkeit. 2. Darstellung A fasst mehrere mögliche Werte in breite Intervalle zusammen. Dadurch ist zum Beispiel im Balken \([0;2)\) nicht mehr direkt erkennbar, wie viele Beobachtungen genau den Wert \(0\) beziehungsweise \(1\) haben.

Darstellung B. Sie zeigt die einzelnen ganzzahligen Werte direkt; in A gehen durch die Intervallgruppierung die Häufigkeiten der einzelnen Werte verloren.

- Wo liegen die Übergänge zwischen der Anzeige \(250\,\text{g}\) und den beiden Nachbaranzeigen? - Prüfe bei den beiden Randwerten, zu welcher ganzen Grammanzeige sie gerundet werden.

1. Die untere Rundungsgrenze liegt genau zwischen \(249\,\text{g}\) und \(250\,\text{g}\), also bei \(249{,}5\,\text{g}\). 2. Die obere Rundungsgrenze liegt bei \(250{,}5\,\text{g}\). Dieser Wert wird bereits zu \(251\,\text{g}\) gerundet. 3. Daher führen genau die Massen im Intervall \([249{,}5;250{,}5)\,\text{g}\) zur Anzeige \(250\,\text{g}\).

\([249{,}5;250{,}5)\,\text{g}\)

- Überlege für a), ob zwischen zwei möglichen Einschaltzeiten immer weitere Zeiten liegen. - Bei einer Gleichverteilung hängt die Wahrscheinlichkeit eines Zeitabschnitts von seinem Anteil an der gesamten Stunde ab. - Vergleiche in d) den alten und den neuen Zeitanteil der Rockmusik.

1. Die Einschaltzeit kann innerhalb der Stunde grundsätzlich jeden Zeitpunkt annehmen. Daher wird \(X\) als stetige Zufallsgröße modelliert. 2. Die gesamte Musikzeit beträgt \(27\,\text{min}+15\,\text{min}=42\,\text{min}\). Damit gilt \(P(\text{Musik})=\frac{42}{60}=0{,}7=70\,\%\). 3. Die Zeit ohne Werbung beträgt \(60\,\text{min}-7\,\text{min}=53\,\text{min}\). Somit ist \(P(\text{keine Werbung})=\frac{53}{60}\approx0{,}883=88{,}3\,\%\). 4. Vor der Änderung gilt \(P(\text{Rock})=\frac{15}{60}=25\,\%\), danach \(P(\text{Rock})=\frac{18}{60}=30\,\%\). Die Wahrscheinlichkeit steigt um \(5\) Prozentpunkte.

a) \(X\) ist stetig, weil innerhalb der Stunde grundsätzlich jeder Zeitpunkt möglich ist. b) \(70\,\%\) c) \(\frac{53}{60}\approx88{,}3\,\%\) d) um \(5\) Prozentpunkte

- Was gilt bei einer stetigen Zufallsgröße für einen einzelnen exakten Wert? - Überlege, an welchen tatsächlichen Werten die Anzeige beim Runden zur benachbarten Zahl wechselt. - Vergleiche für c) nur die Breiten der beiden gefundenen Intervalle.

1. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner exakter Wert Wahrscheinlichkeit \(0\). Daher gilt \(P(X=500\,\text{g})=0\). 2. Auf ganze Gramm wird \(500\,\text{g}\) für Werte von \(499{,}5\,\text{g}\) bis unter \(500{,}5\,\text{g}\) angezeigt. Das Intervall ist \([499{,}5;500{,}5)\,\text{g}\) und hat die Breite \(1\,\text{g}\). 3. Auf eine Dezimalstelle wird \(500{,}0\,\text{g}\) für Werte von \(499{,}95\,\text{g}\) bis unter \(500{,}05\,\text{g}\) angezeigt. Das Intervall ist \([499{,}95;500{,}05)\,\text{g}\) und hat die Breite \(0{,}1\,\text{g}\). Es ist zehnmal schmaler.

a) Bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner exakter Wert Wahrscheinlichkeit \(0\); daher gilt \(P(X=500\,\text{g})=0\). b) \([499{,}5;500{,}5)\,\text{g}\) c) \([499{,}95;500{,}05)\,\text{g}\); Breiten \(1\,\text{g}\) und \(0{,}1\,\text{g}\), also Faktor \(10\)

- Wird die Größe gezählt oder gemessen? - Gibt es zwischen zwei möglichen Werten grundsätzlich weitere mögliche Werte? - Achte darauf, ob die Angabe gerundet ist oder nicht.

1. Die Sprintzeit ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Zeiten grundsätzlich weitere Zeiten liegen. 2. Die Anzahl defekter Platinen ist diskret, weil nur die ganzen Zahlen von \(0\) bis \(1000\) möglich sind. 3. Der Reifendruck ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Druckwerten grundsätzlich weitere Werte liegen. 4. Die Augensumme ist diskret, weil nur die ganzen Zahlen von \(3\) bis \(18\) auftreten können.

a) stetig, weil zwischen zwei möglichen Sprintzeiten weitere Zeiten liegen können b) diskret, weil nur ganze Anzahlen von \(0\) bis \(1000\) möglich sind c) stetig, weil zwischen zwei möglichen Druckwerten weitere Werte liegen können d) diskret, weil nur die ganzzahligen Augensummen von \(3\) bis \(18\) möglich sind

- Frage dich bei jedem Beispiel, ob nur einzelne Werte oder ein durchgehender Wertebereich möglich sind. - Beachte bei c) die kleinste gespeicherte Geldeinheit. - Beachte bei d), dass nicht die genaue Wartezeit, sondern der gespeicherte Wert betrachtet wird.

1. Die Personenzahl ist diskret, weil nur ganze Zahlen möglich sind. 2. Die Grundstücksfläche ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Flächenwerten grundsätzlich weitere Werte liegen. 3. Die Stromkosten sind in dieser Darstellung diskret, weil nur Cent-Schritte vorkommen. 4. Die gespeicherte Wartezeit ist diskret, weil durch die Erfassung in ganzen Minuten nur ganze Zahlen auftreten.

a) diskret, weil nur ganze Personenzahlen möglich sind b) stetig, weil zwischen zwei möglichen Flächenwerten weitere Werte liegen können c) diskret, weil der Betrag nur in Cent-Schritten gespeichert wird d) diskret, weil durch die Speicherung nur ganze Minutenzahlen vorkommen

- Welche Werte sind für \(X\) überhaupt möglich? - Gibt es zwischen zwei möglichen Längenwerten weitere mögliche Werte? - Vergleiche anschließend die Bedeutung eines einzelnen Werts bei einer diskreten und einer stetigen Zufallsgröße.

1. \(L\) ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Längen grundsätzlich weitere Werte liegen. \(X\) ist diskret, weil nur die ganzen Zahlen von \(0\) bis \(500\) möglich sind. 2. Für die stetige Zufallsgröße gilt \(P(L=100)=0\). 3. Bei einer diskreten Zufallsgröße können einzelne mögliche Werte eigene positive Wahrscheinlichkeiten besitzen. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat dagegen jeder einzelne exakte Wert Wahrscheinlichkeit \(0\).

a) \(L\) ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Längen grundsätzlich weitere Werte liegen. \(X\) ist diskret, weil nur die ganzen Zahlen von \(0\) bis \(500\) möglich sind. b) \(P(L=100)=0\) c) Diskrete Einzelwerte können positive Wahrscheinlichkeit besitzen; bei einer stetigen Zufallsgröße hat ein einzelner exakter Wert Wahrscheinlichkeit \(0\).

- Welche einzelnen Werte kann die Augensumme annehmen? - Welche zusätzlichen Ergebnisse gehören bei \(Y\le3\) gegenüber \(Y<3\) dazu? - Welche Wahrscheinlichkeit hat ein einzelner exakter Wert bei einer stetigen Zufallsgröße?

1. \(Y\) ist diskret, weil nur die ganzzahligen Augensummen \(2,3,\dots,12\) möglich sind. \(X\) ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Wartezeiten grundsätzlich weitere Zeiten liegen. 2. Für \(Y\le3\) sind die Würfelpaare \((1,1)\), \((1,2)\) und \((2,1)\) günstig. Daher gilt \(P(Y\le3)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\). Für \(Y<3\) ist nur \((1,1)\) günstig, also \(P(Y<3)=\frac{1}{36}\). Der Unterschied ist \(P(Y=3)=\frac{2}{36}\). 3. Bei der stetigen Zufallsgröße gilt \(P(X=7{,}5)=0\). Deshalb ist \(P(X\le7{,}5)=P(X<7{,}5)\).

a) \(Y\) ist diskret, weil nur die ganzzahligen Augensummen \(2,3,\dots,12\) möglich sind. \(X\) ist stetig, weil zwischen zwei möglichen Wartezeiten weitere Werte liegen können. b) \(P(Y\le3)=\frac{1}{12}\), \(P(Y<3)=\frac{1}{36}\); die Differenz ist \(P(Y=3)=\frac{1}{18}\). c) Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich, weil bei der stetigen Zufallsgröße \(P(X=7{,}5)=0\) gilt.

- Frage dich bei jedem Beispiel, ob zwischen zwei möglichen Werten noch beliebig viele weitere Werte möglich sind. - Achte darauf, ob eine Angabe gerundet oder in festen Schritten erfasst wird. - Entscheidend ist das mathematische Modell der Zufallsgröße, nicht nur die physikalische Größe dahinter.

1. a) Der Winkel ist stetig, weil innerhalb eines Winkelbereichs jeder reelle Zwischenwert möglich ist. 2. b) Der Geldbetrag ist diskret, weil nur Cent-Beträge in Schritten von \(0{,}01\,\text{€}\) möglich sind. 3. c) Die Zerfallsdauer ist stetig, weil die Zeit im Modell jeden positiven reellen Wert annehmen kann. 4. d) Die gerundeten Sonnenstunden sind diskret, weil durch die Rundung nur Werte in Schritten von \(0{,}1\,\text{h}\) auftreten.

a) stetig, weil zwischen zwei möglichen Winkelwerten weitere Winkel möglich sind b) diskret, weil der Geldbetrag nur in Cent-Schritten vorkommt c) stetig, weil die Zerfallszeit ohne Rundung jeden Wert in einem Zeitintervall annehmen kann d) diskret, weil durch die Rundung auf eine Dezimalstelle nur Werte in Schritten von \(0{,}1\,\text{h}\) gespeichert werden

- Kannst du die möglichen Kinderzahlen einzeln aufzählen? - Gibt es zwischen zwei möglichen Pendelzeiten grundsätzlich weitere mögliche Zeiten? - Wie werden Wahrscheinlichkeiten bei diskreten und bei stetigen Zufallsgrößen dargestellt?

1. Die Kinderzahl ist eine diskrete Zufallsgröße. Möglich sind einzelne ganze Zahlen wie \(0,1,2,\dots\). Jedem möglichen Wert kann eine eigene Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden, die als Säulenhöhe dargestellt wird. 2. Die Pendelzeit ohne Rundung ist eine stetige Zufallsgröße. Zwischen zwei möglichen Zeiten liegen grundsätzlich weitere mögliche Werte. 3. Bei einer stetigen Zufallsgröße gilt für jeden Einzelwert \(x\): \(P(X=x)=0\). Wahrscheinlichkeiten von Intervallen werden als Flächen unter einer Dichtekurve dargestellt.

Die Kinderzahl ist diskret: Es gibt einzelne mögliche ganzzahlige Werte, deren Wahrscheinlichkeiten als Säulen dargestellt werden können. Die Pendelzeit ohne Rundung ist stetig: Zwischen zwei Zeiten liegen weitere mögliche Werte, und Wahrscheinlichkeiten werden für Intervalle als Flächen unter einer Dichtekurve dargestellt.

- Vergleiche genau, welche Randwerte zum geschlossenen und zum offenen Intervall gehören. - Bei einer diskreten Verteilung können einzelne mögliche Werte eine eigene Wahrscheinlichkeitsmasse tragen. - Überlege, welchen Flächeninhalt ein einzelner Punkt unter einer Dichtekurve besitzt.

1. Bei der diskreten Zufallsgröße gehören die Randwerte \(45\) und \(55\) nur zum geschlossenen Intervall. Daher gilt \(P(45\le Y\le55)-P(45<Y<55)=P(Y=45)+P(Y=55)>0\). 2. Bei der stetigen Zufallsgröße gilt \(P(X=45)=P(X=55)=0\). Deshalb ist \(P(45\le X\le55)=P(45<X<55)\). 3. Bei einer diskreten Zufallsgröße können einzelne mögliche Werte positive Wahrscheinlichkeiten besitzen. Bei einer stetigen Zufallsgröße hat jeder einzelne exakte Wert Wahrscheinlichkeit \(0\); Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf Intervalle und werden als Flächen unter einer Dichte beschrieben.

1. \(P(45\le Y\le55)-P(45<Y<55)=P(Y=45)+P(Y=55)>0\) 2. \(P(45\le X\le55)=P(45<X<55)\) 3. Diskrete Einzelwerte können positive Wahrscheinlichkeit besitzen; stetige Einzelwerte haben Wahrscheinlichkeit \(0\).

- Vergleiche die Balkenhöhen links und rechts vom Zentrum des Histogramms. - Entscheidend für „diskret oder stetig“ ist die Menge möglicher Werte der Zufallsgröße, nicht die gewählte Darstellung. - Welche Eigenschaften einer Glockenkurve erkennst du im Histogramm, und welche Unsicherheit bleibt bei einer Stichprobe?

a) Die größten Häufigkeiten liegen in den beiden mittleren Klassen um \(50\,\text{mm}\). Zu beiden Seiten nehmen die Häufigkeiten ungefähr spiegelbildlich ab. Das Histogramm ist daher annähernd symmetrisch und glockenförmig. b) Eine Länge kann innerhalb eines Messbereichs grundsätzlich beliebige reelle Zwischenwerte annehmen. Die Klassen im Histogramm sind nur eine Darstellungsform der gemessenen stetigen Werte und machen die Zufallsgröße nicht diskret. c) Die annähernd symmetrische Glockenform passt qualitativ zu einer Normalverteilung. Ein endliches Histogramm hängt jedoch von Stichprobe und Klasseneinteilung ab; deshalb liefert es nur eine Plausibilitätsbegründung für das Modell.

a) Annähernd symmetrisch und glockenförmig mit dem Zentrum bei ungefähr \(50\,\text{mm}\); die Häufigkeiten nehmen zu den Rändern ab. b) Die Bauteillänge ist stetig, weil zwischen zwei Längenwerten grundsätzlich weitere mögliche Längen liegen. c) Die Form spricht für ein Normalmodell, beweist eine exakte Normalverteilung aber nicht.

- Ordne jeden Messwert genau einer der vier Klassen zu. - Beachte besonders, zu welcher Klasse der Randwert \(51{,}0\) gehört. - Überlege für b), ob die Klassen eine Eigenschaft der Messgröße oder nur der Darstellung sind.

1. In \([48;49)\) liegen \(48{,}1\) und \(48{,}7\): Häufigkeit \(2\). 2. In \([49;50)\) liegen \(49{,}2,49{,}6,49{,}8\): Häufigkeit \(3\). 3. In \([50;51)\) liegen \(50{,}1,50{,}3,50{,}4,50{,}8\): Häufigkeit \(4\). Der Wert \(51{,}0\) gehört zur nächsten Klasse. 4. In \([51;52)\) liegen \(51{,}0,51{,}4,51{,}7\): Häufigkeit \(3\). Damit ist Histogramm 2 richtig. 5. Die Klassen sind nur eine Darstellungsform. Eine Länge kann innerhalb eines Messbereichs grundsätzlich beliebige Zwischenwerte annehmen; die zugrunde liegende Zufallsgröße bleibt stetig.

a) Histogramm 2; Klassenhäufigkeiten \(2,3,4,3\) b) Die Klasseneinteilung macht die Länge nicht diskret. Zwischen zwei Längenwerten sind grundsätzlich weitere Werte möglich.

- Zeichne auf einer Zahlengeraden die drei Anzeigen \(18{,}3\), \(18{,}4\) und \(18{,}5\) ein. - Wo muss die tatsächliche Temperatur liegen, damit die Anzeige gerade von \(18{,}4\) zu einer Nachbaranzeige wechselt? - Vergleiche diese Wechselstellen mit Lolas Intervall.

1. Die benachbarten Anzeigen sind \(18{,}3\,^\circ\text{C}\) und \(18{,}5\,^\circ\text{C}\). 2. Die Übergänge zur Anzeige \(18{,}4\,^\circ\text{C}\) liegen jeweils in der Mitte: bei \(18{,}35\,^\circ\text{C}\) und \(18{,}45\,^\circ\text{C}\). 3. Daher gehören die tatsächlichen Temperaturen im Intervall \([18{,}35;18{,}45)\,^\circ\text{C}\) zur Anzeige \(18{,}4\,^\circ\text{C}\). 4. Lola verwendet die benachbarten Anzeigen selbst als Grenzen. Die Rundungsgrenzen liegen aber jeweils auf halbem Weg zwischen den Anzeigen.

Lolas Aussage ist falsch. Das korrekte Intervall ist \([18{,}35;18{,}45)\,^\circ\text{C}\). Sie verwechselt die benachbarten Anzeigen mit den Rundungsgrenzen zwischen ihnen.

- Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Gleichverteilung? - Welcher Bereich von Werten führt beim Runden auf eine Stelle nach dem Komma zu einem bestimmten Ergebnis? - Überlege dir, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten Werten ist, die auf \(k\) Stellen gerundet wurden. - Was passiert mit der Intervallbreite, wenn man die Anzahl der Dezimalstellen erhöht?

1. Die Wahrscheinlichkeit im Intervall \([1{,}15; 1{,}25)\) berechnet sich bei einer Gleichverteilung über die Breite des Intervalls dividiert durch die Breite des Definitionsbereichs: \(P(1{,}15 \le X < 1{,}25) = \frac{1{,}25 - 1{,}15}{5} = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02\). 2. Ein Wert ergibt gerundet auf eine Dezimalstelle \(1{,}2\), wenn er im Intervall \([1{,}15; 1{,}25)\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit entspricht somit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1: \(P(\text{gerundet } 1{,}2) = 0{,}02\). 3. Für einen auf \(k\) Dezimalstellen darstellbaren Wert \(a\) im angegebenen inneren Bereich entspricht die Rundung einem Intervall der Breite \(10^{-k}\), nämlich von \(a - 0{,}5 \cdot 10^{-k}\) bis \(a + 0{,}5 \cdot 10^{-k}\). Da die Gesamtlänge des Bereichs \(5\) beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{10^{-k}}{5} = 0{,}2 \cdot 10^{-k}\). Mit zunehmender Genauigkeit (größerem \(k\)) verringert sich die Intervallbreite bei jeder zusätzlichen Stelle um den Faktor \(10\); entsprechend wird auch die Wahrscheinlichkeit durch \(10\) geteilt.

1. \(P(1{,}15 \le X < 1{,}25) = 0{,}02\) 2. \(P(\text{gerundet } 1{,}2) = 0{,}02\) 3. \(P = \frac{10^{-k}}{5} = 0{,}2 \cdot 10^{-k}\). Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Breite des Rundungsintervalls \(10^{-k}\).

- Welche Art von Zufallsgröße ist eine genaue Position auf einer Strecke? - Welchen Anteil der gesamten Strecke nimmt \([0;5]\) ein? - Vergleiche in c) das Ergebnis für einen einzelnen Punkt mit dem Ergebnis für die halbe Strecke.

1. \(X\) ist stetig. Ein einzelner exakter Punkt besitzt daher Wahrscheinlichkeit \(0\), also \(P(X=4)=0\). 2. Das Intervall \([0;5]\) umfasst die Hälfte der gesamten Strecke. Wegen der Gleichverteilung gilt deshalb \(P(0\le X\le5)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\). 3. Leons Schluss ist falsch. Bei einer stetigen Zufallsgröße haben einzelne Punkte zwar Wahrscheinlichkeit \(0\), ein ganzes Intervall kann aber positive Wahrscheinlichkeit besitzen. Hier hat jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit \(0\), während die linke Hälfte der Strecke Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2}\) besitzt.

a) \(P(X=4)=0\), weil eine genaue Position auf der Strecke stetig modelliert wird und ein einzelner Punkt daher Wahrscheinlichkeit \(0\) hat. b) \(P(0\le X\le5)=\frac{1}{2}\) c) Einzelpunkte haben bei einer stetigen Zufallsgröße Wahrscheinlichkeit \(0\), Intervalle können trotzdem positive Wahrscheinlichkeit besitzen; hier hat \([0;5]\) die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2}\).