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- Frage dich bei jeder Zufallsgröße, ob zwischen zwei möglichen Werten immer noch weitere mögliche Werte liegen können. - Welche Art von Größe wird gezählt, welche wird gemessen? - Vergleiche die einzelnen Punktstapel mit den zusammenhängenden Klassen des Histogramms.

a) Die Fehleranzahl ist diskret: Sie kann nur ganzzahlige Zählwerte wie \(0,1,2,\ldots\) annehmen. Die Packungsmasse ist stetig: Innerhalb eines Messbereichs sind grundsätzlich beliebige reelle Zwischenwerte möglich. b) Im Punktdiagramm werden einzelne mögliche Zählwerte und ihre Wiederholungen sichtbar. Beim Histogramm werden dagegen Messwerte aus einem kontinuierlichen Wertebereich in benachbarte Intervalle eingeteilt und durch zusammenhängende Balken dargestellt.

a) Fehleranzahl: diskret. Packungsmasse: stetig. b) Das Punktdiagramm zeigt einzelne Zählwerte; das Histogramm fasst einen kontinuierlichen Messbereich in Intervalle zusammen.

- Überlege dir, ob die Zufallsgröße jeden beliebigen Wert in einem Bereich annehmen kann oder ob es Lücken zwischen den Werten gibt. - Kannst du die möglichen Ergebnisse zählen (1, 2, 3, ...)? - Spielt die Genauigkeit des Messgeräts eine Rolle für die theoretische Natur der Größe? - Unterscheide zwischen einer Zählung und einer Messung einer physikalischen Größe.

a) Sprintzeit: stetig, da die Zeit eine kontinuierlich fließende Größe ist und innerhalb eines sinnvollen Intervalls jeden beliebigen reellen Wert annehmen kann. b) Anzahl defekter Platinen: diskret, da die Werte nur als isolierte ganze Zahlen aus der Menge \(\{0, 1, \dots, 1000\}\) auftreten können. c) Reifendruck: stetig, da physikalische Drücke in einem Intervall jeden Wert annehmen können (überabzählbare Menge an Realisierungen). d) Augensumme: diskret, da die Summe nur ganzzahlige Werte im Bereich von \(3\) bis \(18\) annehmen kann (endliche Menge).

a) stetig b) diskret c) stetig d) diskret

- Überlege, ob man alle möglichen Werte der Kinderanzahl einzeln auflisten kann. - Was passiert mit der Menge der möglichen Pendelzeiten, wenn die Messgenauigkeit immer weiter erhöht wird? - Wie werden Wahrscheinlichkeiten bei diskreten und bei stetigen Zufallsgrößen dargestellt?

1. Die Anzahl der Kinder ist eine diskrete Zufallsgröße. Ihre möglichen Werte sind isolierte, abzählbare Zahlen, zum Beispiel \(0, 1, 2, \dots\). Jedem Wert kann eine Einzelwahrscheinlichkeit \(P(X=k)\) zugeordnet werden, die als Höhe einer Säule dargestellt wird. 2. Die theoretisch exakt gemessene Pendelzeit ist eine stetige Zufallsgröße. Sie kann innerhalb eines geeigneten Bereichs jeden reellen Wert annehmen; die Menge der möglichen Werte ist daher überabzählbar. 3. Bei einer stetigen Zufallsgröße gilt für jeden Einzelwert \(x\), dass \(P(X=x)=0\). Wahrscheinlichkeiten werden deshalb für Intervalle als Flächen unter einer Dichtekurve dargestellt. Eine Dichtefunktion beschreibt somit das stetige Wahrscheinlichkeitsmodell angemessen.

Die Anzahl der Kinder ist diskret und besitzt abzählbare, isolierte Werte; Einzelwahrscheinlichkeiten lassen sich daher als Säulenhöhen darstellen. Die theoretisch exakt gemessene Pendelzeit ist stetig. Da Einzelwerte Wahrscheinlichkeit \(0\) haben, werden Intervallwahrscheinlichkeiten als Flächen unter einer Dichtekurve dargestellt.

- Vergleiche die Balkenhöhen links und rechts vom Zentrum des Histogramms. - Entscheidend für „diskret oder stetig“ ist die Menge möglicher Werte der Zufallsgröße, nicht die gewählte Darstellung. - Welche Eigenschaften einer Glockenkurve erkennst du im Histogramm, und welche Unsicherheit bleibt bei einer Stichprobe?

a) Die größten Häufigkeiten liegen in den beiden mittleren Klassen um \(50\,\text{mm}\). Zu beiden Seiten nehmen die Häufigkeiten ungefähr spiegelbildlich ab. Das Histogramm ist daher annähernd symmetrisch und glockenförmig. b) Eine Länge kann innerhalb eines Messbereichs grundsätzlich beliebige reelle Zwischenwerte annehmen. Die Klassen im Histogramm sind nur eine Darstellungsform der gemessenen stetigen Werte und machen die Zufallsgröße nicht diskret. c) Die annähernd symmetrische Glockenform passt qualitativ zu einer Normalverteilung. Ein endliches Histogramm hängt jedoch von Stichprobe und Klasseneinteilung ab; deshalb liefert es nur eine Plausibilitätsbegründung für das Modell.

a) Annähernd symmetrisch und glockenförmig mit dem Zentrum bei ungefähr \(50\,\text{mm}\); die Häufigkeiten nehmen zu den Rändern ab. b) Die Bauteillänge ist stetig, weil zwischen zwei Längenwerten grundsätzlich weitere mögliche Längen liegen. c) Die Form spricht für ein Normalmodell, beweist eine exakte Normalverteilung aber nicht.

- Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Gleichverteilung? - Welcher Bereich von Werten führt beim Runden auf eine Stelle nach dem Komma zu einem bestimmten Ergebnis? - Überlege dir, wie groß der Abstand zwischen zwei benachbarten Werten ist, die auf \(k\) Stellen gerundet wurden. - Was passiert mit der Intervallbreite, wenn man die Anzahl der Dezimalstellen erhöht?

1. Die Wahrscheinlichkeit im Intervall \([1{,}15; 1{,}25)\) berechnet sich bei einer Gleichverteilung über die Breite des Intervalls dividiert durch die Breite des Definitionsbereichs: \(P(1{,}15 \le X < 1{,}25) = \frac{1{,}25 - 1{,}15}{5} = \frac{0{,}1}{5} = 0{,}02\). 2. Ein Wert ergibt gerundet auf eine Dezimalstelle \(1{,}2\), wenn er im Intervall \([1{,}15; 1{,}25)\) liegt. Die Wahrscheinlichkeit entspricht somit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1: \(P(\text{gerundet } 1{,}2) = 0{,}02\). 3. Für einen auf \(k\) Dezimalstellen darstellbaren Wert \(a\) im angegebenen inneren Bereich entspricht die Rundung einem Intervall der Breite \(10^{-k}\), nämlich von \(a - 0{,}5 \cdot 10^{-k}\) bis \(a + 0{,}5 \cdot 10^{-k}\). Da die Gesamtlänge des Bereichs \(5\) beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit \(P = \frac{10^{-k}}{5} = 0{,}2 \cdot 10^{-k}\). Mit zunehmender Genauigkeit (größerem \(k\)) verringert sich die Intervallbreite bei jeder zusätzlichen Stelle um den Faktor \(10\); entsprechend wird auch die Wahrscheinlichkeit durch \(10\) geteilt.

1. \(P(1{,}15 \le X < 1{,}25) = 0{,}02\) 2. \(P(\text{gerundet } 1{,}2) = 0{,}02\) 3. \(P = \frac{10^{-k}}{5} = 0{,}2 \cdot 10^{-k}\). Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Breite des Rundungsintervalls \(10^{-k}\).

- Was weißt du über die Fläche unter einer Kurve an einer einzelnen Stelle? - Welches Intervall von Werten wird auf die Zahl 500 gerundet, wenn man keine Nachkommastellen betrachtet? - Wie ändert sich dieses Intervall, wenn man auf eine Nachkommastelle genau rundet? - Nutze die Standardnormalverteilung \(\Phi\), um die Wahrscheinlichkeiten für die Intervalle zu bestimmen.

1. Bei einer stetigen Zufallsgröße gilt für jeden Einzelwert \(x\): \(P(X=x)=\int_x^x f(t)\,dt=0\). 2. Auf ganze Gramm gerundet ergibt sich \(500\,\text{g}\) für \(499{,}5\leq X<500{,}5\). Nach der Standardisierung sind die Grenzen \(\pm0{,}125\). Daher gilt \(P=\Phi(0{,}125)-\Phi(-0{,}125)=2\Phi(0{,}125)-1\approx0{,}099476\approx0{,}0995\). 3. Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \(500{,}0\,\text{g}\) für \(499{,}95\leq X<500{,}05\). Die standardisierten Grenzen sind \(\pm0{,}0125\). Daher ist \(P=2\Phi(0{,}0125)-1\approx0{,}009973\approx0{,}0100\). Das zweite Rundungsintervall ist deutlich schmaler, daher ist auch die Wahrscheinlichkeit deutlich kleiner.

1. \(P(X=500)=0\). 2. \(P(499{,}5\leq X<500{,}5)\approx0{,}0995\), also etwa \(9{,}95\,\%\). 3. \(P(499{,}95\leq X<500{,}05)\approx0{,}0100\), also etwa \(1{,}00\,\%\).

- Stell dir vor, du würdest die Werte auf einem Zahlenstrahl markieren. Sind es Punkte mit Abständen oder ist es eine durchgehende Linie? - Achte besonders darauf, ob durch Rundung oder kleinste Einheiten (wie Cent) eine eigentlich stetige Größe „gestuft“ wird. - Betrachte die mathematische Definition des Wertebereichs: Ist er abzählbar oder entspricht er einem Intervall reeller Zahlen?

a) Einwohneranzahl: diskret, da Menschen nur in ganzen Zahlen gezählt werden können (abzählbare Werte). b) Grundstücksfläche: stetig, da Flächenmaße theoretisch jeden reellen Wert in einem Intervall annehmen können. c) Stromkosten: diskret, da die Währungseinheit Cent die kleinste Stufe darstellt und somit nur Vielfache von \(0{,}01\,\text{€}\) möglich sind (isolierte Werte). d) Abgerundete Wartezeit: diskret, da durch die Rundung auf ganze Minuten nur noch Werte aus der Menge der natürlichen Zahlen \(\{0, 1, 2, \dots\}\) möglich sind, selbst wenn die zugrunde liegende Zeit stetig ist.

a) diskret b) stetig c) diskret d) diskret

- Was unterscheidet eine Liste von Zahlen von einem durchgehenden Bereich auf dem Zahlenstrahl? - Wie berechnet man die Fläche unter einer Kurve, wenn die Breite des betrachteten Bereichs genau Null ist? - Erinnere dich an die Formel von Bernoulli für die Binomialverteilung. - Überlege, wie Wahrscheinlichkeiten bei einer Glockenkurve im Vergleich zu einem Säulendiagramm dargestellt werden.

1. Die Wertemenge \(W_X = \{0, 1, 2, \dots, 500\}\) der diskreten Zufallsgröße ist endlich und damit abzählbar. Die Wertemenge \(W_L = \mathbb{R}\) der normalverteilten Zufallsgröße ist überabzählbar. 2. Bei jeder stetigen Zufallsgröße gilt für jeden Einzelwert \(x\), dass \(P(L = x) = 0\). Somit ist \(P(L = 100) = 0\). 3. Berechnung über die Binomialverteilung: \(P(X = 10) = \binom{500}{10} \cdot 0{,}02^{10} \cdot 0{,}98^{490} \approx 0{,}1264\). 4. Bei stetigen Zufallsgrößen wird die Wahrscheinlichkeit als Flächeninhalt unter der Dichtefunktion \(f(x)\) berechnet: \(P(a \le L \le b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx\). Für einen Einzelwert \(a=b\) reduziert sich das Intervall auf einen Punkt, und das Integral über einen Punkt ist stets \(0\). Bei diskreten Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsfunktion), wobei den einzelnen Werten der Ergebnismenge direkt positive Massen zugeordnet sein können.

1. \(W_X\) ist endlich und damit diskret, \(W_L = \mathbb{R}\) ist überabzählbar. 2. \(P(L = 100) = 0\). 3. \(P(X = 10) \approx 0{,}1264\). 4. Bei stetigen Größen ist die Wahrscheinlichkeit ein Integral über ein Intervall; ein Punktintervall hat die Breite \(0\) und somit den Flächeninhalt \(0\).

- Überlege dir, welche Werte beim Würfeln überhaupt möglich sind. - Nutze für die Normalverteilung die Transformation in die Standardnormalverteilung oder den Taschenrechner. - Welche Rolle spielt ein einzelner isolierter Punkt für die Fläche unter einer Kurve? - Wie viele Kombinationen der Würfel ergeben eine Summe von höchstens 3?

1. \(Y\) ist diskret, da die Augensumme nur ganzzahlige Werte im Bereich \(\{2, 3, \dots, 12\}\) annehmen kann. \(Z\) ist stetig, da eine normalverteilte Größe alle reellen Werte in einem Intervall annehmen kann. 2. Mögliche Ergebnisse für \(Y \le 3\) sind die Paare \((1,1), (1,2), (2,1)\). Es gibt insgesamt \(6 \cdot 6 = 36\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Somit gilt \(P(Y \le 3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\). 3. Standardisierung: \(z_1 = \frac{6{,}5 - 7}{2{,}4} \approx -0{,}2083\) und \(z_2 = \frac{7{,}5 - 7}{2{,}4} \approx 0{,}2083\). Berechnung: \(P(6{,}5 \le Z \le 7{,}5) = \Phi(0{,}2083) - \Phi(-0{,}2083) \approx 0{,}1650\). 4. Bei der diskreten Zufallsgröße \(Y\) macht es einen Unterschied, da \(P(Y \le 3) = P(Y < 3) + P(Y = 3)\). Da \(P(Y = 3) > 0\) ist, ändern Randpunkte das Ergebnis. Bei der stetigen Zufallsgröße \(Z\) gilt \(P(Z \le k) = P(Z < k)\), da die Wahrscheinlichkeit für den exakten Randpunkt \(P(Z = k) = 0\) ist.

1. \(Y\) diskret (abzählbare Werte), \(Z\) stetig (Normalverteilung). 2. \(P(Y \le 3) = \frac{1}{12} \approx 0{,}0833\). 3. \(P(6{,}5 \le Z \le 7{,}5) \approx 0{,}1650\). 4. Bei diskreten Größen ändern Randpunkte die Wahrscheinlichkeit (\(P(X=k) \neq 0\)), bei stetigen Größen nicht (\(P(X=k) = 0\)).

- Stelle dir vor, du zoomst in den Bereich zwischen zwei möglichen Werten hinein – findest du dort immer weitere mögliche Werte? - Unterscheide zwischen der physikalischen Natur einer Größe und ihrer Darstellung durch Messgeräte oder Rundungsregeln. - Abzählbar unendlich bedeutet, dass man die Werte wie die natürlichen Zahlen \(1, 2, 3, \dots\) auflisten könnte. - Überabzählbar unendlich tritt meist bei Intervallen reeller Zahlen auf.

a) Der Winkel ist eine stetige Zufallsgröße, da jeder reelle Wert im Intervall \([0; 360)\) möglich ist; die Wertemenge ist überabzählbar unendlich. b) Der Geldbetrag ist eine diskrete Zufallsgröße, da Cent-Beträge nur in festen Schritten von \(0{,}01\,\text{€}\) vorkommen; die Menge der Werte ist wegen der festen Kapazitätsgrenze endlich. c) Die Zerfallsdauer ist eine stetige Zufallsgröße, da Zeit eine kontinuierliche physikalische Größe ist, die jeden positiven reellen Wert annehmen kann; die Wertemenge ist überabzählbar unendlich. d) Die gerundeten Sonnenstunden bilden eine diskrete Zufallsgröße, da durch die Rundung auf Zehntelstunden nur ein festes Raster an Werten (z. B. \(0{,}0; 0{,}1; \dots; 24{,}0\)) möglich ist; die Menge ist endlich.

a) stetig; überabzählbar unendlich b) diskret; endlich c) stetig; überabzählbar unendlich d) diskret; endlich

- Wie berechnet man die Fläche eines Rechtecks, dessen Breite genau Null ist? - Erinnere dich an die Definition der Wahrscheinlichkeit als Integral über die Dichtefunktion. - Überlege dir eine Analogie aus der Geometrie: Wie verhält sich die Länge einer Linie zu der „Länge“ eines einzelnen Punktes auf dieser Linie?

1. Für jeden Einzelpunkt \(c\) gilt \(P(X=c)=\int_c^c f(x)\,dx=0\). 2. Daher ist \(P(a\le X\le b)=P(X=a)+P(a<X<b)+P(X=b)=P(a<X<b)\). 3. Leons Argumentation ist falsch, weil Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Zufallsgrößen nicht durch eine abzählbare Summe von Einzelpunktwahrscheinlichkeiten, sondern durch ein Integral bestimmt werden. Das Integral ist ein Grenzwert von Flächensummen und kann über einem Intervall positiv sein, obwohl jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit \(0\) besitzt. Analog dazu hat eine Strecke eine positive Länge, obwohl jeder einzelne Punkt die Länge \(0\) hat.

a) Da \(P(X=c)=\int_c^c f(x)\,dx=0\), haben die Randpunkte \(a\) und \(b\) keinen Einfluss auf die Intervallwahrscheinlichkeit. b) Die Behauptung ist falsch, da bei stetigen Größen Wahrscheinlichkeiten über Integrale und nicht über eine Summe von Einzelpunktwahrscheinlichkeiten bestimmt werden. Ein Integral über ein Intervall kann positiv sein, obwohl jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit \(0\) besitzt.

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer kumulierten Verteilungsfunktion berechnet. - Was bedeutet es für die Summe bzw. das Integral, wenn man die Randpunkte eines Intervalls weglässt? - Erinnere dich an die Definition der Wahrscheinlichkeit bei stetigen Verteilungen als Flächeninhalt unter der Dichtekurve. - Welchen Flächeninhalt hat ein „Strich“ an einer festen Stelle auf der x-Achse?

1. Für die binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) ergibt sich \(P(45 \le X \le 55) = P(X \le 55) - P(X \le 44) \approx 0{,}8644 - 0{,}1356 = 0{,}7288\). Für das offene Intervall gilt \(P(45 < X < 55) = P(X \le 54) - P(X \le 45) \approx 0{,}8159 - 0{,}1841 = 0{,}6318\). Die Ergebnisse unterscheiden sich deutlich, da die Randwerte \(45\) und \(55\) bei der Binomialverteilung eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen. 2. Für die normalverteilte Zufallsgröße \(Y\) liegt das Intervall \([45; 55]\) genau im Bereich \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der \(1\sigma\)-Regel gilt \(P(45 \le Y \le 55) \approx 0{,}6827\). 3. Bei diskreten Zufallsgrößen wie \(X\) haben einzelne Werte in der Regel eine Wahrscheinlichkeit größer als Null (hier \(P(X = 45) \approx 0{,}0485\)). Bei stetigen Zufallsgrößen wie \(Y\) ist die Wahrscheinlichkeit für jeden exakten Einzelwert stets Null (\(P(Y = 45) = 0\)), da die Wahrscheinlichkeit als Integral über ein Intervall definiert ist und das Integral über einen Punkt die Breite Null hat. Daher gilt bei stetigen Größen \(P(45 \le Y \le 55) = P(45 < Y < 55)\).

1. \(P(45 \le X \le 55) \approx 0{,}7288\) und \(P(45 < X < 55) \approx 0{,}6318\). 2. \(P(45 \le Y \le 55) \approx 0{,}6827\) (bzw. \(68{,}3\,\%\)). 3. Bei der diskreten Größe \(X\) gilt \(P(X=k) > 0\), weshalb das Einschließen der Ränder das Ergebnis ändert. Bei der stetigen Größe \(Y\) gilt \(P(Y=k) = 0\), weshalb Randpunkte keinen Einfluss auf die Gesamtwahrscheinlichkeit haben.