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- Denke daran, was eine Fläche unter einer Dichte als Wahrscheinlichkeit bedeutet. - Welche Eigenschaften gelten für jede Dichte und welche nur für besondere Verteilungen wie die Normalverteilung?

Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte sind Nichtnegativität und Gesamtfläche \(1\) erforderlich. Daher sind A und B richtig. Eine Dichte darf Funktionswerte größer als \(1\) besitzen und muss nicht symmetrisch sein.

A und B

- Lies zuerst die beiden \(x\)-Grenzen der markierten Fläche ab. - Eine Fläche unter einer Dichte zwischen zwei Grenzen gehört zum Ereignis, dass die Zufallsgröße zwischen diesen Grenzen liegt.

Die markierte Fläche liegt unter dem Dichtegraphen zwischen den senkrechten Grenzen \(x=0{,}5\) und \(x=1{,}5\). Sie stellt daher \(P(0{,}5\le X\le1{,}5)\) dar.

B: \(P(0{,}5\le X\le1{,}5)\)

- Überlege dir, wie hoch eine rechteckige Fläche sein muss, damit sie bei einer Breite von 40 den Flächeninhalt 1 hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Fläche unter einer Kurve und der Wahrscheinlichkeit. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn die Breite eines Intervalls gegen Null geht? - Unterscheide zwischen diskreten Werten (wie beim Würfeln) und Werten auf einer kontinuierlichen Skala.

a) Die Dichtefunktion einer Gleichverteilung auf \([a; b]\) ist \(f(x) = \frac{1}{b-a}\). Für das Intervall \([0; 40]\) ergibt sich \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) und \(f(x) = 0\) sonst. b) Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich über das Integral: \(P(10 \le X \le 30) = \int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx = \left[ \frac{1}{40}x \right]_{10}^{30} = \frac{30}{40} - \frac{10}{40} = \frac{20}{40} = 0{,}5\). c) Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(P(X = k) = \int_{k}^{k} f(x) dx = 0\). Da beide Wahrscheinlichkeiten null sind, ist die Aussage des Technikers mathematisch korrekt, obwohl einer dieser Werte bei einer konkreten Messung auftreten kann.

a) \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) (sonst \(0\)). b) Das Integral \(\int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx\) ergibt \(\frac{30-10}{40} = 0{,}5\). c) Die Aussage ist wahr, da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeit für jeden Wert exakt \(0\) ist.

- An welcher Stelle erreicht eine Gaußsche Glockenkurve ihr Maximum? - Wie hängen der maximale Funktionswert und die Standardabweichung bei einer Normalverteilung zusammen? - Welche Information liefert die Symmetrieachse für die Lage der Verteilung?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der \(x\)-Koordinate des Maximums bzw. der Symmetrieachse: \(\mu = 120\). 2. Der maximale Wert der Dichtefunktion einer Normalverteilung ist gegeben durch \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 3. Einsetzen des gegebenen Funktionswertes: \(0{,}08 = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}}\). 4. Auflösen nach \(\sigma\): \(\sigma = \frac{1}{0{,}08 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 4{,}99\).

\(\mu = 120\) und \(\sigma \approx 4{,}99\)

- Erinnere dich an die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung. - Versuche, den Ausdruck im Exponenten so umzuformen, dass er der Form \(-\frac{1}{2} \left(\dots\right)^2\) entspricht. - Welche Rolle spielt der Vorfaktor vor der e-Funktion im Vergleich zur Standardabweichung? - Vergleiche die Position des Maximums und die Breite der Kurve mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\).

1. Vergleich mit der allgemeinen Form der Dichtefunktion \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). 2. Umformung des Exponenten: \(-0{,}02(x-12)^2 = -\frac{1}{50}(x-12)^2 = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-12)^2}{25} = -\frac{1}{2} \left(\frac{x-12}{5}\right)^2\). 3. Identifikation der Parameter aus dem Exponenten: \(\mu = 12\) und \(\sigma = 5\). 4. Überprüfung des Vorfaktors: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\). Dies stimmt mit dem gegebenen Koeffizienten überein. 5. Da die Funktion die Struktur der allgemeinen Dichtefunktion besitzt und der Normierungsfaktor korrekt ist, handelt es sich um eine Dichtefunktion einer Normalverteilung.

Die Funktion \(f\) ist eine Dichtefunktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert \(\mu = 12\) und der Standardabweichung \(\sigma = 5\).

- Welche zwei Bedingungen muss der Graph einer Dichtefunktion erfüllen? - Lies bei \(f\) die Höhen an den beiden Intervallgrenzen ab und bestimme daraus die Trapezfläche. - Prüfe bei \(g\), ob der gesamte Graph auf oder oberhalb der \(x\)-Achse liegt.

1. Eine Dichtefunktion muss im gesamten Intervall nichtnegativ sein und dort die Gesamtfläche \(1\) besitzen. 2. Beim Graphen von \(f\) sind die Randhöhen \(1{,}25\) und \(0{,}25\). Der Graph liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Die Trapezfläche beträgt jedoch \(\frac{1{,}25+0{,}25}{2}\cdot2=1{,}5\). Daher ist \(f\) keine Dichtefunktion. 3. Der Graph von \(g\) liegt nahe \(x=0\) unterhalb der \(x\)-Achse; insbesondere gilt \(g(0)=-1<0\). Damit verletzt \(g\) die Nichtnegativitätsbedingung und ist keine Dichtefunktion. Die vorzeichenbehaftete Trapezfläche beträgt zwar \(\frac{-1+2}{2}\cdot2=1\), doch das genügt nicht.

\(f\) ist keine Dichtefunktion, weil die Fläche unter dem Graphen auf \([0;2]\) \(1{,}5\) statt \(1\) beträgt. \(g\) ist keine Dichtefunktion, weil der Graph im Intervall negative Funktionswerte annimmt, zum Beispiel \(g(0)=-1\).

- Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer stetigen Zufallsgröße der Fläche unter der Dichtefunktion entspricht. - Zerlege die gesuchten Flächen unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Rechtecke und Trapeze. - Berechne die Fläche eines Trapezes mit der Formel \(A = \frac{a + c}{2} \cdot h\), wobei \(a\) und \(c\) die parallelen Seitenlängen (hier die Funktionswerte) und \(h\) die Breite des Intervalls sind. - Bestimme für Aufgabenteil c) zuerst den Funktionswert an der Stelle \(x = 4\). Nutze dazu den linearen Verlauf zwischen \(x = 3\) und \(x = 5\). - Nutze für Aufgabenteil d), dass sich die Wahrscheinlichkeit über ein größeres Intervall als Summe von Teilwahrscheinlichkeiten berechnen lässt.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(0 \le X \le 1)\) als Fläche des Rechtecks über \([0; 1]\) mit der Breite \(1\) und der Höhe \(0{,}1\): \(P(0 \le X \le 1) = 1 \cdot 0{,}1 = 0{,}1\) 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) als Fläche des Trapezes über \([1; 3]\) mit den parallelen Seitenlängen \(f(1) = 0{,}1\) und \(f(3) = 0{,}4\) sowie der Breite \(2\): \(P(1 \le X \le 3) = \frac{0{,}1 + 0{,}4}{2} \cdot 2 = 0{,}5\) 3. Bestimmung des Funktionswerts \(f(4)\) durch lineare Interpolation auf dem Segment von \((3 \mid 0{,}4)\) nach \((5 \mid 0)\): \(f(4) = 0{,}2\) 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(3 \le X \le 4)\) als Fläche des Trapezes über \([3; 4]\) mit den parallelen Seitenlängen \(f(3) = 0{,}4\) und \(f(4) = 0{,}2\) sowie der Breite \(1\): \(P(3 \le X \le 4) = \frac{0{,}4 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}3\) 5. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 4)\) durch Addition der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 4) = P(1 \le X \le 3) + P(3 \le X \le 4) = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8\)

a) \(P(0 \le X \le 1) = 0{,}1\) b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}5\) c) \(P(3 \le X \le 4) = 0{,}3\) d) \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}8\)

- Was gibt die Standardabweichung über die Form der Glockenkurve an? - Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Breite der Kurve und ihrer Höhe, wenn die Fläche darunter immer gleich bleiben muss? - Erinnere dich an die Definition einer Dichtefunktion.

1. Vergleich der Standardabweichungen: Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert. Der Graph von \(h_2\) ist deutlich breiter und flacher als der von \(h_1\). Dies bedeutet, dass die Werte bei \(h_2\) stärker streuen, weshalb \(\sigma_2 > \sigma_1\) gilt. 2. Begründung über die Gesamtwahrscheinlichkeit: Das Integral über eine Dichtefunktion von \(-\infty\) bis \(+\infty\) muss immer genau \(1\) ergeben (die Fläche unter dem Graphen ist konstant). Wenn eine Kurve aufgrund einer größeren Standardabweichung breiter wird, muss sie zwangsläufig flacher werden (niedrigeres Maximum), damit der gesamte Flächeninhalt weiterhin den Wert \(1\) beibehält.

a) Die Funktion \(h_2\) gehört zur größeren Standardabweichung, da ihre Kurve breiter ist und die Werte somit weiter um den Mittelwert streuen. b) Da die Fläche unter jeder Dichtefunktion genau \(1\) sein muss, führt eine größere Breite (größere Streuung) zwingend zu einer geringeren Höhe der Kurve, damit der Flächeninhalt konstant bleibt.

- Überlege dir, welcher geometrische Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit und der Fläche unter dem Graphen einer Dichtefunktion besteht. - Du kannst die Kästchen im Koordinatensystem nutzen, um Flächeninhalte zu bestimmen oder zu schätzen. - Wie viel Wahrscheinlichkeit entspricht einem einzelnen Kästchen im Graphen? - Für den zweiten Teil kannst du die Fläche als Dreieck berechnen, nachdem du die Höhe an der entsprechenden Stelle ermittelt hast.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen von \(f\) im Intervall \([0; 1]\). Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \(g = 1\) und der Höhe \(h = 0{,}4\). \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 3)\) entspricht der Fläche unter dem Graphen im Intervall \([3; 5]\). Zuerst wird die Funktionsgleichung für den linearen Abschnitt im Intervall \([1; 5]\) bestimmt: Die Gerade verläuft durch \((1|0{,}4)\) und \((5|0)\). Die Steigung ist \(m = \frac{0 - 0{,}4}{5 - 1} = -0{,}1\). Die Gleichung lautet \(f(x) = -0{,}1(x - 5) = -0{,}1x + 0{,}5\). An der Stelle \(x = 3\) ist der Funktionswert \(f(3) = -0{,}1 \cdot 3 + 0{,}5 = 0{,}2\). Die Fläche des Dreiecks über \([3; 5]\) mit Grundseite \(2\) und Höhe \(0{,}2\) ist: \(P(X \ge 3) = \frac{1}{2} \cdot (5 - 3) \cdot 0{,}2 = 0{,}2\).

a) \(P(X \le 1) = 0{,}2\) (bzw. \(20\,\%\)) b) \(P(X \ge 3) = 0{,}2\) (bzw. \(20\,\%\))

- Überlege dir, wie Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Verteilungen grafisch dargestellt werden. - Kann eine Wahrscheinlichkeit größer als \(1\) sein? Kann ein Dichtewert größer als \(1\) sein? - Was ist der Unterschied zwischen der Höhe eines Punktes auf einer Kurve und einer Fläche unter dieser Kurve?

1. Bewertung der Aussage: Die Schlussfolgerung ist falsch. Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für jeden exakten Einzelwert stets \(0\). 2. Unterscheidung Dichte vs. Wahrscheinlichkeit: Der Funktionswert \(\phi(x)\) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle an. Er ist ein Maß für die relative Konzentration von Wahrscheinlichkeit, stellt aber selbst keine Wahrscheinlichkeit dar (Dichtewerte können sogar größer als \(1\) sein). 3. Geometrische Interpretation: Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächeninhalten unter der Glockenkurve. Da ein einzelner Punkt auf der x-Achse die Breite \(0\) besitzt, ist der Flächeninhalt über diesem Punkt (und damit die Wahrscheinlichkeit) unabhängig von der Höhe der Kurve immer \(0\).

Die Schlussfolgerung ist falsch. Während \(\phi(x)\) die lokale Wahrscheinlichkeitsdichte beschreibt, sind Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Größen als Flächen unter der Kurve definiert. Da ein einzelner Wert keine Ausdehnung besitzt, ist die Fläche über ihm und damit die Wahrscheinlichkeit \(P(X = \mu) = 0\), obwohl die Dichte dort ihr Maximum annimmt.

- Überlege, wie die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße mit Hilfe von Integralen berechnet wird. - Beachte, dass die Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich definiert ist. Wie wirkt sich das auf das Integral aus? - Kannst du das gesuchte Intervall in Teilintervalle zerlegen, die zu den Funktionsabschnitten passen?

1. Aufteilung des gesuchten Intervalls \([1; 3]\) gemäß der abschnittsweise definierten Funktion in die Teilintervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\). 2. Berechnung des Integrals für den ersten Abschnitt: \(\int_{1}^{2} 0{,}2x \, dx = [0{,}1x^2]_{1}^{2} = 0{,}1 \cdot 2^2 - 0{,}1 \cdot 1^2 = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\). 3. Berechnung des Integrals für den zweiten Abschnitt: \(\int_{2}^{3} 0{,}4 \, dx = [0{,}4x]_{2}^{3} = 0{,}4 \cdot 3 - 0{,}4 \cdot 2 = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\). 4. Addition der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7\).

\(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\)

- Wie hängen die Fläche unter der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Achte bei abschnittsweise definierten Funktionen darauf, das Integral an den entsprechenden Stellen aufzuteilen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines exakten Wertes, wenn die Verteilung stetig ist? - Du kannst die Flächen in diesem Fall auch geometrisch als Dreiecke oder Trapeze berechnen.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht dem Integral der Dichtefunktion von \(0\) bis \(1\). Die Berechnung liefert \(\int_0^1 0{,}4x \, dx = [0{,}2x^2]_0^1 = 0{,}2\). 2. Für \(P(X \le 3)\) wird das Integral von \(0\) bis \(3\) berechnet, aufgeteilt an der Nahtstelle \(x=1\). Dies ergibt \(P(X \le 1) + \int_1^3 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = 0{,}2 + [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_1^3 = 0{,}2 + (1{,}05 - 0{,}45) = 0{,}8\). 3. Für \(P(0{,}5 \le X \le 2)\) summiert man die Teilintegrale: \(\int_{0{,}5}^1 0{,}4x \, dx + \int_1^2 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = (0{,}2 - 0{,}05) + (0{,}8 - 0{,}45) = 0{,}15 + 0{,}35 = 0{,}5\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4)\) ergibt sich aus \(\int_4^5 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_4^5 = 1{,}25 - 1{,}2 = 0{,}05\). 5. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Einzelwert \(P(X = k) = 0\), also \(P(X = 2) = 0\).

1. \(P(X \le 1) = 0{,}2\) 2. \(P(X \le 3) = 0{,}8\) 3. \(P(0{,}5 \le X \le 2) = 0{,}5\) 4. \(P(X > 4) = 0{,}05\) 5. \(P(X = 2) = 0\)

- Nutze die Eigenschaft, dass die Glockenkurve perfekt gespiegelt werden kann. - Wenn du die Fläche in der Mitte kennst, wie viel bleibt dann für den Rest übrig? - Überlege dir, wie sich die Symmetrie auf die beiden äußeren Bereiche (links von -1 und rechts von 1) auswirkt. - Was bedeutet eine größere Streuung für die Form der Verteilung, wenn die Gesamtfläche immer 1 bleiben muss?

a) Aufgrund der Achsensymmetrie zur \(y\)-Achse (\(z=0\)) ist die Fläche links von der Null genauso groß wie die Fläche rechts von der Null. Da die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion \(1\) beträgt, entfällt auf jede Hälfte genau der Wert \(0{,}5\), woraus \(P(Z \le 0) = 0{,}5\) folgt. b) Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis der einfachen Standardabweichung ist \(1 - P(-1 \le Z \le 1) \approx 1 - 0{,}6827 = 0{,}3173\). Dieser Wert entspricht der Summe der Flächen in beiden Randbereichen. Wegen der Symmetrie ist \(P(Z \ge 1) = \frac{0{,}3173}{2} = 0{,}15865\). c) Eine größere Standardabweichung \(\sigma\) bedeutet eine größere Streuung der Werte. Der Graph der Dichtefunktion (die Glockenkurve) wird breiter und flacher, da das Maximum bei \(x = \mu\) sinken muss, um die Gesamtfläche von \(1\) beizubehalten.

a) Da die Gesamtfläche \(1\) ist und die Funktion symmetrisch zu \(z=0\) verläuft, muss die Fläche der linken Hälfte \(P(Z \le 0) = 0{,}5\) sein. b) \(P(Z \ge 1) = \frac{1 - 0{,}6827}{2} = 0{,}15865\). c) Die Glockenkurve wird breiter und die maximale Höhe (beim Mittelwert) nimmt ab.

- Wie hängen die Krümmung einer Funktion und das Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung zusammen? - Erinnere dich daran, dass die Exponentialfunktion \(e^u\) immer positive Werte liefert. - Überprüfe das Vorzeichen der zweiten Ableitung in verschiedenen Testintervallen. - Setze die gefundenen \(x\)-Werte in die ursprüngliche Funktion ein, um die \(y\)-Koordinaten zu erhalten.

1. Erste Ableitung bilden: \(\varphi'(x) = -x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2} = -x \cdot \varphi(x)\). 2. Zweite Ableitung bilden: Unter Verwendung der Produktregel ergibt sich \(\varphi''(x) = (-1) \cdot \varphi(x) + (-x) \cdot (-x \cdot \varphi(x)) = (x^2 - 1) \cdot \varphi(x)\). 3. Wendestellen bestimmen: Da \(\varphi(x) > 0\) für alle \(x\), gilt \(\varphi''(x) = 0\) nur für \(x^2 - 1 = 0\), also \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 1\). 4. Krümmungsintervalle analysieren: - Für \(x < -1\) ist \(x^2 - 1 > 0\), also \(\varphi''(x) > 0\). Der Graph ist linksgekrümmt. - Für \(-1 < x < 1\) ist \(x^2 - 1 < 0\), also \(\varphi''(x) < 0\). Der Graph ist rechtskrümmt. - Für \(x > 1\) ist \(x^2 - 1 > 0\), also \(\varphi''(x) > 0\). Der Graph ist linksgekrümmt. 5. Koordinaten der Wendepunkte berechnen: \(\varphi(1) = \varphi(-1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}242\). Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid 0{,}242)\) und \(W_2(1 \mid 0{,}242)\).

Der Graph ist im Intervall \(]-1; 1[\) rechtsgekrümmt und in den Intervallen \(]-\infty; -1[\) sowie \(]1; \infty[\) linksgekrümmt. Die Wendepunkte liegen bei \(W_1(-1 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}) \approx (-1 \mid 0{,}242)\) und \(W_2(1 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}) \approx (1 \mid 0{,}242)\).

- Vergleiche den Funktionsterm mit der allgemeinen Dichtefunktion der Normalverteilung, um die Werte für das Zentrum und die Streuung zu finden. - Überlege, welcher Parameter die Breite und welcher die Lage der Glockenkurve beeinflusst. - Beachte, dass eine Streckung der Breite bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte immer eine Anpassung der Höhe nach sich zieht, damit die Fläche unter dem Graphen konstant bleibt. - Wo befindet sich das Maximum der Standardnormalverteilung und wie verändert es sich durch die Transformationen?

1. Vergleich der Funktionsgleichung mit der allgemeinen Form \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert die Parameter \(\sigma = 2{,}5\) und \(\mu = -4\). Der Graph von \(\varphi_{0; 1}\) wird zunächst in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma = 2{,}5\) gestreckt. Anschließend erfolgt eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma} = \frac{1}{2{,}5} = 0{,}4\). Zuletzt wird der Graph um \(4\) Einheiten nach links (Verschiebung um \(\mu = -4\)) in \(x\)-Richtung verschoben. 2. Der Hochpunkt der Standardnormalverteilung liegt bei \(H_0(0 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi}})\). Durch die Verschiebung liegt die \(x\)-Koordinate bei \(x = -4\). Durch die vertikale Stauchung ergibt sich die \(y\)-Koordinate zu \(y = \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}}\). Der Hochpunkt ist somit \(H(-4 \mid \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}})\).

1. Streckung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(2{,}5\), Stauchung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(0{,}4\) und Verschiebung um \(4\) Einheiten nach links. 2. \(H\left(-4 \mid \frac{1}{2{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}}\right)\)

- Welche Auswirkungen haben Streckungen auf den Flächeninhalt unter einem Graphen? - Wie hängen der Streckfaktor in \(x\)-Richtung und die Standardabweichung zusammen? - Welche Koordinate des Hochpunkts wird durch die Verschiebung beeinflusst? - Nutze die Information über den Funktionswert des Hochpunkts, um auf die Form der Glockenkurve rückzuschließen.

1. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(5\) Einheiten nach rechts bestimmt den Erwartungswert, also gilt \(\mu = 5\). 2. Der Funktionswert des Hochpunkts einer Normalverteilung ist allgemein gegeben durch \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Durch den Vergleich mit \(y_H = \frac{1}{4 \cdot \sqrt{2\pi}}\) folgt direkt \(\sigma = 4\). 3. Die Streckung in \(x\)-Richtung entspricht dem Parameter \(\sigma\), also ist der Streckfaktor \(k = \sigma = 4\). 4. Damit die Fläche unter der Kurve \(1\) bleibt, muss bei einer Streckung in \(x\)-Richtung um den Faktor \(\sigma\) eine Stauchung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\) erfolgen. Der gesuchte Skalierungsfaktor in \(y\)-Richtung ist somit \(\frac{1}{4} = 0{,}25\).

\(\mu = 5\), \(\sigma = 4\), Skalierungsfaktor in \(y\)-Richtung: \(0{,}25\).

- Vergleiche den Funktionsterm mit der allgemeinen Formel für die Dichtefunktion der Normalverteilung. - Welcher Wert in der Formel steht an der Stelle, die das Zentrum der Glockenkurve angibt? - Achte beim Exponenten darauf, wie der Nenner mit der Standardabweichung zusammenhängt. - Wie rechnet man einen konkreten Wert in einen z-Wert um, um die Standardnormalverteilung zu nutzen?

1. Vergleich der gegebenen Funktion mit der allgemeinen Dichtefunktion der Normalverteilung \(\varphi_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\). Da \(f(x)\) diese Struktur besitzt, liegt eine Normalverteilung vor. 2. Bestimmung von \(\mu\) aus dem Zähler des Exponenten: \(x - \mu = x - 1{,}02 \implies \mu = 1{,}02\). 3. Bestimmung von \(\sigma\) aus dem Nenner des Exponenten: \(2\sigma^2 = 0{,}0008 \implies \sigma^2 = 0{,}0004 \implies \sigma = 0{,}02\). Der Vorfaktor \(\frac{1}{\sqrt{0{,}0008\pi}}\) bestätigt dies, da \(\sigma\sqrt{2\pi} = \sqrt{\sigma^2 \cdot 2\pi} = \sqrt{0{,}0004 \cdot 2\pi} = \sqrt{0{,}0008\pi}\). 4. Berechnung der Wahrscheinlichkeit \(P(X < 1{,}00)\) durch Standardisierung: \(z = \frac{1{,}00 - 1{,}02}{0{,}02} = -1\). 5. Ablesen oder Berechnen des Wertes: \(P(X < 1{,}00) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587\).

a) Die Funktion entspricht der Form der gaußschen Glockenkurve. Der Erwartungswert beträgt \(\mu = 1{,}02\,\text{kg}\) und die Standardabweichung \(\sigma = 0{,}02\,\text{kg}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(15{,}87\,\%\).

- Wie lässt sich der Erwartungswert direkt aus den Koordinaten des Hochpunkts ablesen? - Nutze die Formel für den Maximalwert der Dichtefunktion, um die Standardabweichungen zu berechnen. - Was bedeutet eine größere Standardabweichung für die Form der Glockenkurve im Vergleich zu einer kleineren? - Denk daran, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit (Fläche unter der Kurve) immer \(1\) sein muss. Was passiert mit der Höhe, wenn die Kurve breiter wird?

1. Bestimmung der Parameter für \(X\): \(\mu_X = 10\). Berechnung von \(\sigma_X\) über \(0{,}2 = \frac{1}{\sigma_X \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_X = \frac{1}{0{,}2 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 1{,}99\). 2. Bestimmung der Parameter für \(Y\): \(\mu_Y = 20\). Berechnung von \(\sigma_Y\) über \(0{,}05 = \frac{1}{\sigma_Y \cdot \sqrt{2\pi}} \Rightarrow \sigma_Y = \frac{1}{0{,}05 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 7{,}98\). 3. Vergleich der Kurvenform: Eine größere Standardabweichung führt zu einer breiteren und damit flacheren Kurve (da die Fläche unter dem Graph konstant \(1\) sein muss). 4. Da \(\sigma_Y > \sigma_X\) (\(7{,}98 > 1{,}99\)), verläuft die Kurve der Zufallsgröße \(Y\) flacher.

a) \(X\): \(\mu_X = 10\), \(\sigma_X \approx 1{,}99\); \(Y\): \(\mu_Y = 20\), \(\sigma_Y \approx 7{,}98\) b) Die Kurve von \(Y\) ist flacher, da ihre Standardabweichung \(\sigma_Y\) deutlich größer ist als \(\sigma_X\).

- Welche Rolle spielen die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) für die Position und die Breite der Glockenkurve? - Wie ändert sich die Höhe des Gipfels, wenn die Kurve schmaler wird, damit die Fläche unter dem Graphen gleich bleibt? - An welchen Stellen relativ zum Erwartungswert treten bei einer Normalverteilung typischerweise die Wendepunkte auf? - Erinnere dich an die allgemeine Formel für den maximalen Wert der Dichtefunktion an der Stelle \(x = \mu\).

1. Vergleich der Lage und Form: Der Graph von \(f\) ist im Vergleich zu \(\varphi_{0; 1}\) um \(4\) Einheiten nach rechts in positive \(x\)-Richtung verschoben (\(\mu = 4\)). Da \(\sigma = 0{,}5 < 1\) ist, verläuft der Graph schmaler und steiler; er ist in \(x\)-Richtung gestaucht und in \(y\)-Richtung gestreckt. 2. Maximum: Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 4\). Der Funktionswert ist \(f(4) = \frac{1}{0{,}5 \cdot \sqrt{2\pi}} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}7979\). Im Vergleich dazu liegt das Maximum von \(\varphi_{0; 1}\) bei \(x = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}3989\). Der maximale Wert von \(f\) ist also genau doppelt so groß. 3. Wendepunkte: Die Wendepunkte der Dichtefunktion liegen bei \(x = \mu \pm \sigma\). Hier ergibt sich \(x_1 = 4 - 0{,}5 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4 + 0{,}5 = 4{,}5\).

a) Der Graph ist um \(4\) Einheiten nach rechts verschoben und aufgrund von \(\sigma = 0{,}5\) schmaler und höher als der Standardgraph. b) Hochpunkt \(H(4 \mid \frac{2}{\sqrt{2\pi}}) \approx H(4 \mid 0{,}7979)\). Der \(y\)-Wert ist doppelt so hoch wie bei der Standardnormalverteilung (\(\approx 0{,}3989\)). c) Die Wendepunkte liegen bei \(x_1 = 3{,}5\) und \(x_2 = 4{,}5\).

- Woran erkennst du im Funktionsterm, ob ein Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist? - Überlege, wie sich Änderungen im Argument der Funktion (also direkt am \(x\)) auf den Graphen auswirken. - Was passiert mit einer Symmetrieachse, wenn man das gesamte Objekt verschiebt?

a) Nachweis der Achsensymmetrie für \(\varphi_{0; 1}\): Durch Einsetzen von \(-x\) in die Funktionsgleichung ergibt sich \(\varphi_{0; 1}(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} = \varphi_{0; 1}(x)\). Da \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse (\(x=0\)). b) Beschreibung der Transformationen: Zuerst erfolgt eine Skalierung in \(x\)-Richtung mit dem Faktor \(\sigma\), was zu \(\varphi_{0; 1}(\frac{x}{\sigma})\) führt. Anschließend wird der Graph um \(\mu\) Einheiten in \(x\)-Richtung verschoben (nach rechts für \(\mu > 0\)), was den Term \(\varphi_{0; 1}(\frac{x-\mu}{\sigma})\) ergibt. Zuletzt erfolgt eine Skalierung in \(y\)-Richtung mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\), um die Normierungsbedingung (Flächeninhalt 1) zu erhalten. c) Begründung der Symmetrieachse: Die ursprüngliche Symmetrieachse liegt bei \(x = 0\). Eine Skalierung in \(x\)-Richtung verändert die Lage dieser vertikalen Achse nicht. Die Verschiebung in \(x\)-Richtung um den Wert \(\mu\) verschiebt jedoch die gesamte Kurve und damit auch die Symmetrieachse an die Stelle \(x = \mu\). Die abschließende Skalierung in \(y\)-Richtung ändert die horizontale Lage der Symmetrieachse nicht mehr.

a) Nachweis über \(\varphi_{0; 1}(-x) = \varphi_{0; 1}(x)\). b) Skalierung in \(x\)-Richtung mit Faktor \(\sigma\), Verschiebung in \(x\)-Richtung um \(\mu\), Skalierung in \(y\)-Richtung mit Faktor \(\frac{1}{\sigma}\). c) Die Symmetrieachse \(x=0\) wird durch die Verschiebung um \(\mu\) auf \(x=\mu\) abgebildet; Skalierungen verändern die Lage einer vertikalen Symmetrieachse nicht.

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei einer stetigen Verteilung annimmt. - Wie hängen die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Flächeninhalte in bestimmten Intervallen zu bestimmen. - Achte auf die Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion.

1. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Punkt \(x_0\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_0) = 0\). Somit ist \(P(X = 0{,}5) = 0\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 0{,}5)\) wird durch das Integral \(\int_{0}^{0{,}5} 6(x - x^2) \, dx\) berechnet. Mit der Stammfunktion \(F(x) = 6(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3) = 3x^2 - 2x^3\) ergibt sich \(F(0{,}5) - F(0) = (3 \cdot 0{,}25 - 2 \cdot 0{,}125) - 0 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). 3. Für \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8)\) berechnet man \(F(0{,}8) - F(0{,}2)\). Es gilt \(F(0{,}8) = 3 \cdot 0{,}64 - 2 \cdot 0{,}512 = 1{,}92 - 1{,}024 = 0{,}896\) und \(F(0{,}2) = 3 \cdot 0{,}04 - 2 \cdot 0{,}008 = 0{,}12 - 0{,}016 = 0{,}104\). Die Differenz ist \(0{,}896 - 0{,}104 = 0{,}792\). 4. Für \(P(X > 0{,}75)\) berechnet man \(1 - F(0{,}75)\) oder \(\int_{0{,}75}^{1} f(x) \, dx\). Mit \(F(0{,}75) = 3 \cdot 0{,}5625 - 2 \cdot 0{,}421875 = 1{,}6875 - 0{,}84375 = 0{,}84375\) ergibt sich \(1 - 0{,}84375 = 0{,}15625\).

a) \(P(X = 0{,}5) = 0\) b) \(P(X \le 0{,}5) = 0{,}5\) c) \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8) = 0{,}792\) d) \(P(X > 0{,}75) = 0{,}15625\)

- Welche Bedingung muss für das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich gelten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn die Dichtefunktion bekannt ist? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit auch geometrisch interpretieren, indem du die Form der Fläche unter dem Graphen betrachtest?

1. Damit \(f\) eine Dichtefunktion ist, muss das Integral über den gesamten Bereich gleich 1 sein: \(\int_{0}^{4} k(4 - x) \, dx = 1\). Die Stammfunktion ist \(k \cdot (4x - \frac{1}{2}x^2)\). Ausgewertet an den Grenzen ergibt dies \(k \cdot (16 - 8) = 8k\). Aus \(8k = 1\) folgt \(k = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\) entspricht dem Integral \(\int_{2}^{4} \frac{1}{8}(4 - x) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{8}(4x - \frac{1}{2}x^2)\) ergibt sich \(F(4) - F(2) = 1 - \frac{1}{8}(8 - 2) = 1 - \frac{6}{8} = 0{,}25\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) wird durch \(F(3) - F(1)\) berechnet. Es gilt \(F(3) = \frac{1}{8}(12 - 4{,}5) = \frac{7{,}5}{8} = 0{,}9375\) und \(F(1) = \frac{1}{8}(4 - 0{,}5) = \frac{3{,}5}{8} = 0{,}4375\). Die Differenz beträgt \(0{,}9375 - 0{,}4375 = 0{,}5\).

a) \(k = 0{,}125\) b) \(P(X \ge 2) = 0{,}25\) c) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}5\)

- Kannst du den Bruch innerhalb der Klammer im Exponenten vereinfachen? - Nutze Potenzgesetze, um den Vorfaktor unter eine Wurzel zu ziehen oder umgekehrt. - Überlege, wie du den Term im Exponenten so umschreiben kannst, dass nur noch \((x - \text{etwas})\) im Zähler steht. - Was muss für den Vorfaktor gelten, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt?

1. Umformung des Ausdrucks in der Klammer des Exponenten: \(\frac{2x - 10}{8} = \frac{2(x-5)}{8} = \frac{x-5}{4}\). 2. Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt \(g(x) = \frac{1}{\sqrt{32\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-5}{4}\right)^2}\). 3. Vergleich mit der Standardform \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\) liefert \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). 4. Prüfung des Koeffizienten: \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4^2 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{16 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\). 5. Der Koeffizient passt exakt zur Standardabweichung \(\sigma = 4\), womit die Funktion eine Dichtefunktion der Normalverteilung darstellt.

Durch Umformung der Klammer zu \(\frac{x-5}{4}\) erkennt man die Parameter \(\mu = 5\) und \(\sigma = 4\). Wegen \(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{32\pi}}\) ist die Bedingung für eine Dichtefunktion einer Normalverteilung erfüllt.

- Welche einfachen geometrischen Flächen erkennst du unter dem Graphen? - Für eine Dichte müssen die Funktionswerte nichtnegativ sein und die Gesamtfläche muss \(1\) ergeben. - Bei Teil b kannst du Teilflächen direkt addieren oder über das Gegenereignis arbeiten. - Welche Geradengleichung gehört zum linken ansteigenden Abschnitt des Graphen? - Wie erhältst du \(F(x)\) aus \(f(x)\)?

1. Der Graph begrenzt mit der \(x\)-Achse ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) sowie der Höhe \(0{,}5\). Daher ist \(A = \frac{3+1}{2} \cdot 0{,}5 = 1\). Da der Graph nirgends unter der \(x\)-Achse liegt, erfüllt \(f\) die beiden Dichtebedingungen. 2. (1) Von \(0\) bis \(1\) liegt ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(0{,}5\): \(P(X \le 1)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot0{,}5=0{,}25\). 3. (2) Von \(1{,}5\) bis \(2\) liegt ein Rechteck der Fläche \(0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25\); von \(2\) bis \(3\) liegt ein Dreieck der Fläche \(\frac{1}{2}\cdot1\cdot0{,}5=0{,}25\). Somit ist \(P(X \ge 1{,}5)=0{,}5\). 4. (3) Die beiden ausgeschlossenen Randdreiecke von \(0\) bis \(0{,}5\) und von \(2{,}5\) bis \(3\) haben jeweils die Höhe \(0{,}25\) und damit die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot0{,}5\cdot0{,}25=0{,}0625\). Daher ist \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5)=1-2\cdot0{,}0625=0{,}875\). 5. Auf \([0;1]\) verläuft der Graph durch \((0\mid0)\) und \((1\mid0{,}5)\), also gilt \(f(t)=0{,}5t\). Damit ist \(F(x)=\int_0^x 0{,}5t\,\mathrm{d}t=0{,}25x^2\) für \(0\le x\le1\).

a) Die Gesamtfläche unter dem Graphen beträgt \(1\), und \(f(x)\ge0\). b) (1) \(P(X \le 1)=0{,}25\) (2) \(P(X \ge 1{,}5)=0{,}5\) (3) \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5)=0{,}875\) c) Auf \([0;1]\) gilt \(f(x)=0{,}5x\); daher ist \(F(x)=0{,}25x^2\) für \(0\le x\le1\).

- Erinnere dich daran, welche zwei Eigenschaften eine Funktion erfüllen muss, um als Dichtefunktion zulässig zu sein. - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit geometrisch als Fläche unter der Kurve einer Dichtefunktion deuten? - Kannst du den Bereich unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zerlegen? - Überlege für den Median, bis zu welchem \(x\)-Wert genau die Hälfte der Gesamtfläche unter dem Graphen liegt. In welchem Intervall muss dieser Wert liegen?

1. Zur Überprüfung der Dichtefunktion wird gezeigt, dass \(f(x) \ge 0\) gilt und die Gesamtfläche unter dem Graphen gleich \(1\) ist. Die Fläche unter dem Graphen im Intervall \([0; 4]\) setzt sich aus drei Teilflächen zusammen: einem Dreieck über \([0; 1]\) mit \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), einem Rechteck über \([1; 2]\) mit \(A_2 = 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\) und einem Dreieck über \([2; 4]\) mit \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\). Die Summe der Flächeninhalte ist \(A = 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1\). Da \(f(x)\) zudem überall nicht-negativ ist, handelt es sich um eine zulässige Dichtefunktion. 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen \(x = 1\) und \(x = 3\). Dieser Bereich besteht aus dem Rechteck über \([1; 2]\) mit Fläche \(0{,}4\) und einem Trapez über \([2; 3]\) mit den parallelen Seiten \(f(2) = 0{,}4\) und \(f(3) = 0{,}2\). Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(A_{\text{Trapez}} = \frac{0{,}4 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}3\). Somit gilt \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7\). 3. Für den Median \(m\) gilt \(P(X \le m) = 0{,}5\). Da \(P(X \le 1) = 0{,}2\) und \(P(X \le 2) = 0{,}6\) ist, muss \(m\) im Intervall \([1; 2]\) liegen. In diesem Bereich ist \(f(x) = 0{,}4\) konstant, weshalb sich die Wahrscheinlichkeit als \(P(X \le m) = 0{,}2 + 0{,}4 \cdot (m - 1) = 0{,}5\) berechnen lässt. Auflösen nach \(m\) liefert \(0{,}4 \cdot (m - 1) = 0{,}3 \implies m - 1 = 0{,}75 \implies m = 1{,}75\).

a) Die Funktion ist überall nicht-negativ (\(f(x) \ge 0\)) und der gesamte Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([0; 4]\) beträgt \(0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1\). b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\) c) \(m = 1{,}75\)

- Zerlege die Flächen unter dem Graphen in Dreiecke. - Welche Symmetrie erkennst du am Graphen? - Was gilt für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes bei einer stetigen Zufallsgröße? - Bestimme für Teil b zuerst Steigung und Achsenabschnitt der beiden Geradenstücke. - Die Verteilungsfunktion sammelt die Fläche von links bis zur Stelle \(x\).

1. (1) Bis \(x=1\) entsteht ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(0{,}25\): \(P(X\le1)=\frac12\cdot1\cdot0{,}25=0{,}125\). 2. (2) Wegen der Symmetrie zur Geraden \(x=2\) liegt links von \(2\) die Hälfte der Gesamtfläche: \(P(X\le2)=0{,}5\). 3. (5) Wegen der Symmetrie gilt \(P(X\ge3)=P(X\le1)=0{,}125\). Daher ist (3) \(P(X\le3)=1-0{,}125=0{,}875\). 4. (4) \(P(1\le X\le3)=0{,}875-0{,}125=0{,}75\). 5. (6) Da \(X\) stetig ist, gilt \(P(X=2)=0\). 6. Der linke Abschnitt verläuft durch \((0\mid0)\) und \((2\mid0{,}5)\), also \(f(x)=0{,}25x\) für \(0\le x<2\). Der rechte Abschnitt verläuft durch \((2\mid0{,}5)\) und \((4\mid0)\), also \(f(x)=-0{,}25x+1\) für \(2\le x\le4\). 7. Für \(x<0\) ist \(F(x)=0\). Für \(0\le x<2\) ist \(F(x)=\int_0^x0{,}25t\,\mathrm{d}t=0{,}125x^2\). Für \(2\le x\le4\) ist \(F(x)=0{,}5+\int_2^x(-0{,}25t+1)\,\mathrm{d}t=-0{,}125x^2+x-1\). Für \(x>4\) gilt \(F(x)=1\).

a) (1) \(0{,}125\) (2) \(0{,}5\) (3) \(0{,}875\) (4) \(0{,}75\) (5) \(0{,}125\) (6) \(0\) b) \(F(x)=\begin{cases}0&\text{für }x<0\\0{,}125x^2&\text{für }0\le x<2\\-0{,}125x^2+x-1&\text{für }2\le x\le4\\1&\text{für }x>4\end{cases}\).

- Welche zwei Bedingungen muss eine Funktion erfüllen, damit sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist? - Was zeigt dir der Graph bereits über das Vorzeichen der Dichte? - Untersuche die Vorzeichen der Faktoren der Dichte im Intervall \([0;3]\). - Welche Fläche unter der Dichte gehört zum Ereignis \(X\le1{,}5\)?

1. Der Graph liegt auf dem gesamten dargestellten Träger auf oder oberhalb der \(x\)-Achse; damit ist die Nichtnegativität zunächst grafisch plausibel. Rechnerisch gilt für \(0\le x\le3\): \(f(x)=\frac{4}{27}x^2(3-x)\ge0\); außerhalb dieses Intervalls ist \(f(x)=0\). Außerdem ist \(\int_0^3\left(\frac{4}{9}x^2-\frac{4}{27}x^3\right)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{4}{27}x^3-\frac{1}{27}x^4\right]_0^3=4-3=1\). Damit erfüllt \(f\) beide Bedingungen einer Dichtefunktion. 2. Es gilt \(P(X\le1{,}5)=\int_0^{1{,}5}f(x)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{4}{27}x^3-\frac{1}{27}x^4\right]_0^{1{,}5}=\frac{5}{16}=0{,}3125\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt also \(31{,}25\,\%\).

a) \(f(x)\ge0\) für alle \(x\) und \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1\); damit ist \(f\) eine Dichtefunktion. b) \(P(X\le1{,}5)=\frac{5}{16}=0{,}3125=31{,}25\,\%\).

- Welche geometrischen Eigenschaften (wie Symmetrie oder Monotonie) muss die Dichtefunktion einer Normalverteilung immer besitzen? - Wie hängen die Wendepunkte einer normalverteilten Glockenkurve mit ihrer Standardabweichung zusammen? - Welche mathematische Beziehung besteht zwischen dem Maximalwert der Dichtefunktion und ihrer Standardabweichung? - Denke an die Gesamtwahrscheinlichkeit: Welchen Wert muss die Fläche unter einer Dichtefunktion immer haben?

1. **Ausschluss von Graph \(g\) (grün):** Der Graph \(g\) ist symmetrisch um die Achse \(x = 2\), und seine Wendepunkte liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Dies entspricht einem Abstand von \(1\) zum Symmetriezentrum, was eine Standardabweichung von \(\sigma = 1\) bedeuten würde. Für eine Normalverteilung mit \(\sigma = 1\) müsste das Maximum der Dichtefunktion jedoch bei \(y = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40\) liegen. Der Graph von \(g\) hat jedoch ein Maximum bei \(y = 0{,}6\), was zu hoch ist (die Gesamtfläche unter dem Graphen wäre damit größer als \(1\)). 2. **Ausschluss von Graph \(h\) (rot):** Die Dichtefunktion einer Normalverteilung ist immer perfekt symmetrisch zu ihrem Maximum (dem Erwartungswert \(\mu\)). Der Graph \(h\) ist jedoch sichtlich asymmetrisch aufgebaut (die Kurve fällt rechts vom Maximum steiler ab als links davon). 3. **Parameterbestimmung für den korrekten Graphen \(f\) (blau):** - **Erwartungswert \(\mu\):** Der Hochpunkt des Graphen liegt bei \(x = 2\). Da die Kurve symmetrisch ist, gilt \(\mu = 2\). - **Standardabweichung \(\sigma\):** Die Wendepunkte des Graphen liegen bei \(x = 1\) und \(x = 3\). Der Abstand der Wendepunkte vom Erwartungswert entspricht genau der Standardabweichung \(\sigma\). Es gilt also \(\sigma = 2 - 1 = 1\). - **Überprüfung:** Bei \(\sigma = 1\) liegt das Maximum bei \(y = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}40\). Dies stimmt mit dem abgelesenen Hochpunkt überein.

a) Der grüne Graph \(g\) kann keine Dichtefunktion sein, da sein Maximum bei \(0{,}6\) liegt, obwohl seine Wendepunkte bei \(x = 1\) und \(x = 3\) eine Standardabweichung von \(\sigma = 1\) und damit eine maximale Höhe von ca. \(0{,}40\) erfordern würden (die Gesamtfläche unter dem Graphen wäre größer als \(1\)). Der rote Graph \(h\) ist asymmetrisch um sein Maximum aufgebaut, was für die symmetrische Glockenkurve einer Normalverteilung unmöglich ist. b) Für den verbleibenden blauen Graphen \(f\) gilt: - Erwartungswert \(\mu = 2\) - Standardabweichung \(\sigma = 1\)

- Wahrscheinlichkeiten entsprechen hier Flächen unter dem dargestellten Dichtegraphen. - Welche Gesamtfigur bildet die Fläche unter dem Graphen auf \([0;3]\)? - Nutze die Linearität der beiden Graphenstücke, um Zwischenhöhen abzulesen oder proportional zu bestimmen. - Zerlege die Fläche für das dritte Ereignis an der Spitze des Graphen.

1. Der Graph liegt auf oder oberhalb der \(x\)-Achse. Die gesamte Fläche ist ein Dreieck mit Grundseite \(3\) und Höhe \(\frac{2}{3}\): \(A=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{2}{3}=1\). Damit ist \(f\) eine Dichtefunktion. 2. Auf \([0;2]\) steigt der Graph linear von \((0\mid0)\) nach \((2\mid\frac{2}{3})\). Daher ist die Höhe bei \(x=1\) gleich \(\frac{1}{3}\). Somit \(P(X\le1)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx0{,}1667\). 3. Auf \([1{,}5;2]\) sind die Höhen \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{2}{3}\), also ist die Trapezfläche \(A_1=\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{2}\cdot0{,}5=\frac{7}{24}\). Auf \([2;2{,}5]\) sind die Höhen \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{3}\), also \(A_2=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}{2}\cdot0{,}5=\frac{1}{4}\). Daher gilt \(P(1{,}5\le X\le2{,}5)=\frac{13}{24}\approx0{,}5417\). Mit etwa \(54{,}17\,\%\) Wahrscheinlichkeit liegt die Lebensdauer zwischen \(1{,}5\) und \(2{,}5\) Jahren.

1. Der Graph ist nichtnegativ und die gesamte Dreiecksfläche ist \(1\); daher ist \(f\) eine Dichtefunktion. 2. \(P(X\le1)=\frac{1}{6}\approx0{,}1667\). 3. \(P(1{,}5\le X\le2{,}5)=\frac{13}{24}\approx0{,}5417\approx54{,}17\,\%\).

- Überlege dir, wie man die Fläche unter einem Graphen berechnet, der aus geraden Teilstücken besteht. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion und Wahrscheinlichkeiten. - Für die Bestimmung der Funktionsgleichung kannst du die Formel für eine Gerade durch zwei Punkte nutzen. - Was bedeutet es anschaulich für die Fläche unter dem Graphen, wenn ein Wert der Median ist?

1. Aufstellen der Funktionsgleichung von \(f\): - Für \(0 \le x < 2\): Steigung \(m = \frac{0{,}4 - 0}{2 - 0} = 0{,}2\), also \(f(x) = 0{,}2x\). - Für \(2 \le x \le 5\): Steigung \(m = \frac{0 - 0{,}4}{5 - 2} = -\frac{0{,}4}{3} = -\frac{2}{15}\). Einsetzen des Punktes \((5 \mid 0)\) ergibt \(0 = -\frac{2}{15} \cdot 5 + c \Rightarrow c = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). Also \(f(x) = -\frac{2}{15}x + \frac{2}{3}\). Außerhalb des Intervalls \([0;5]\) gilt \(f(x)=0\). 2. Berechnung von \(P(X \le 1)\): - Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche eines Dreiecks mit Grundseite \(1\) und Höhe \(f(1) = 0{,}2 \cdot 1 = 0{,}2\). - \(P(X \le 1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}2 = 0{,}1\). 3. Berechnung von \(P(1{,}5 \le X \le 3)\): - Die Fläche setzt sich aus zwei Teil-Trapezen zusammen. - Bereich \([1{,}5; 2]\): Trapez mit Höhe \(0{,}5\), Grundseiten \(f(1{,}5) = 0{,}3\) und \(f(2) = 0{,}4\). Fläche \(A_1 = \frac{0{,}3 + 0{,}4}{2} \cdot 0{,}5 = 0{,}175\). - Bereich \([2; 3]\): Trapez mit Höhe \(1\), Grundseiten \(f(2) = 0{,}4\) und \(f(3) = -\frac{2}{15} \cdot 3 + \frac{2}{3} = \frac{4}{15}\). Fläche \(A_2 = \frac{0{,}4 + \frac{4}{15}}{2} \cdot 1 = \frac{1}{3}\). - \(P(1{,}5 \le X \le 3) = 0{,}175 + \frac{1}{3} = \frac{7}{40} + \frac{1}{3} = \frac{61}{120} \approx 0{,}5083\). 4. Begründung für den Median: - Die Fläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(2\) ist \(P(X \le 2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\). - Da dies weniger als \(0{,}5\) (\(50\,\%\)) ist, muss der Median \(x_m\) (der Wert mit \(P(X \le x_m) = 0{,}5\)) rechts von \(x = 2\) liegen.

a) \(f(x)=\begin{cases}0{,}2x & \text{für }0\le x<2,\\-\frac{2}{15}x+\frac{2}{3} & \text{für }2\le x\le 5,\\0 & \text{sonst.}\end{cases}\) b) \(P(X \le 1) = 0{,}1\) c) \(P(1{,}5 \le X \le 3) = \frac{61}{120} \approx 0{,}5083\) d) Die Fläche unter dem Graphen im Intervall \([0; 2]\) beträgt nur \(0{,}4\). Um \(0{,}5\) (\(50\,\%\) der Gesamtfläche) zu erreichen, muss man über \(x = 2\) hinausgehen.

- Wie viel Fläche repräsentiert ein einzelnes Kästchen im Koordinatensystem? - Kannst du Symmetrien im Graphen entdecken, die dir beim Vergleichen von Flächen helfen? - Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße dem bestimmten Integral der Dichtefunktion entspricht. - Überlege dir, wie du die Funktion \(f(x) = 0{,}75x(2 - x)\) erst ausmultiplizieren kannst, um leichter eine Stammfunktion zu finden.

1. Abschätzung von \(P(0 \leq X \leq 0{,}5)\): Ein Kästchen im Gitter hat den Flächeninhalt \(0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}01\). Durch Auszählen oder näherungsweise Berechnung der Fläche unter der Kurve im Bereich \([0; 0{,}5]\) ergibt sich ein Wert von ca. \(0{,}16\). (Exakt: \(0{,}15625\)). 2. Vergleich der Wahrscheinlichkeiten: Der Graph ist symmetrisch zur Geraden \(x = 1\). Daher gilt \(P(0{,}5 \leq X \leq 1) = P(1 \leq X \leq 1{,}5)\). Da die Funktionswerte im Intervall \([1; 1{,}5]\) überall größer sind als im Intervall \([1{,}5; 2]\) (der Graph fällt streng monoton), ist die Fläche über \([1; 1{,}5]\) größer als die über \([1{,}5; 2]\). Somit folgt \(P(0{,}5 \leq X \leq 1) > P(1{,}5 \leq X \leq 2)\). 3. Exakte Berechnung: Es gilt \(P(0{,}8 \leq X \leq 1{,}2) = \int_{0{,}8}^{1{,}2} (1{,}5x - 0{,}75x^2) \,\mathrm{d}x\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = 0{,}75x^2 - 0{,}25x^3\). Berechnung der Werte: \(F(1{,}2) = 0{,}75 \cdot 1{,}44 - 0{,}25 \cdot 1{,}728 = 1{,}08 - 0{,}432 = 0{,}648\). \(F(0{,}8) = 0{,}75 \cdot 0{,}64 - 0{,}25 \cdot 0{,}512 = 0{,}48 - 0{,}128 = 0{,}352\). Differenz: \(P = 0{,}648 - 0{,}352 = 0{,}296\).

a) Die Wahrscheinlichkeit \(P(0 \leq X \leq 0{,}5)\) beträgt etwa \(0{,}16\). b) Es gilt \(P(0{,}5 \leq X \leq 1) > P(1{,}5 \leq X \leq 2)\), da die Fläche unter dem Graphen im Bereich näher an der Mitte (Maximum bei \(x = 1\)) deutlich größer ist als im Randbereich. c) \(P(0{,}8 \leq X \leq 1{,}2) = 0{,}296\).

- Prüfe für jede Funktion getrennt Nichtnegativität und Gesamtintegral. - Vergleiche vor der Rechnung die Flächen rechts von \(x=1\) unter den beiden Graphen. - Welches Integral beschreibt bei jedem Modell das Ereignis „länger als eine Minute“? - Bei SprintBus kann es einfacher sein, mit dem Gegenereignis zu rechnen.

a) Beide Funktionen sind auf \([0;2]\) nichtnegativ. Außerdem gilt \(\int_0^2\frac{3}{8}x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}x^3\right]_0^2=1\) und \(\int_0^2\frac{3}{8}(x-2)^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}(x-2)^3\right]_0^2=1\). Damit sind beide Funktionen Dichtefunktionen. b) Für SprintBus gilt \(P(X>1)=1-\int_0^1\frac{3}{8}x^2\,\mathrm{d}x=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0{,}875\). Für SteadyLine gilt \(P(X>1)=\int_1^2\frac{3}{8}(x-2)^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{8}=0{,}125\). Bereits grafisch liegt rechts von \(x=1\) unter \(f\) deutlich mehr Fläche als unter \(g\). Die Rechnung bestätigt daher die grafische Einschätzung: Eine Wartezeit von mehr als einer Minute ist im SprintBus-Modell deutlich wahrscheinlicher.

a) Beide Funktionen sind nichtnegativ und besitzen auf \([0;2]\) jeweils das Integral \(1\); beide sind Dichtefunktionen. b) SprintBus: \(P(X>1)=\frac{7}{8}=87{,}5\,\%\). SteadyLine: \(P(X>1)=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\).

- Erinnere dich daran, dass die Wahrscheinlichkeit in einem Intervall dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion entspricht. - Du kannst die Fläche in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zerlegen. - Was muss für die Gesamtfläche unter einer Dichtefunktion immer gelten?

1. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 4)\) durch Berechnung des Flächeninhalts unter dem Graphen: - Im Intervall \([1; 2]\) bildet der Graph ein Trapez mit den Eckpunkten \((1 \mid 0)\), \((2 \mid 0)\), \((2 \mid 0{,}2)\) und \((1 \mid 0{,}1)\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_1 = \frac{0{,}1 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}15\). - Im Intervall \([2; 4]\) bildet der Graph ein Rechteck mit der Breite \(2\) und der Höhe \(0{,}2\). Der Flächeninhalt beträgt \(A_2 = 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4\). - Gesamtwahrscheinlichkeit: \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}15 + 0{,}4 = 0{,}55\). 2. Überprüfung der Gesamtfläche unter dem Graphen von \(0\) bis \(6\): - Fläche des Dreiecks von \(0\) bis \(2\): \(A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}2\). - Fläche des Rechtecks von \(2\) bis \(6\): \(A_{\text{Rechteck}} = 4 \cdot 0{,}2 = 0{,}8\). - Gesamte Fläche: \(0{,}2 + 0{,}8 = 1{,}0\). Da die Fläche \(1\) ist und die Funktionswerte stets nicht negativ sind, ist \(f\) eine gültige Dichtefunktion.

a) \(P(1 \le X \le 4) = 0{,}55\) b) Ja, \(f\) ist eine gültige Dichtefunktion, da \(f(x)\ge 0\) im Intervall \([0; 6]\) gilt und die Gesamtfläche unter dem Graphen dort genau \(1\) beträgt.

- Überlege zuerst, ob der gesuchte Wert \(k\) links oder rechts von der Mitte des Dreiecks liegen muss. - Es ist oft einfacher, mit der Gegenwahrscheinlichkeit \(P(X > k)\) zu rechnen, wenn \(k\) nahe am rechten Rand liegt. - Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich aus \(\frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe}\).

1. Analyse der Dichtefunktion \(g\): Der Graph verläuft von \((0 \mid 0)\) über \((2 \mid 0{,}5)\) zu \((4 \mid 0)\). Die Gesamtfläche ist \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 1\). 2. Bestimmung der Wahrscheinlichkeit bis zum Erwartungswert: Da das Dreieck symmetrisch zu \(x=2\) ist, gilt \(P(X \le 2) = 0{,}5\). 3. Da \(0{,}875 > 0{,}5\), muss \(k\) im Intervall \([2; 4]\) liegen. Es gilt \(P(X > k) = 1 - 0{,}875 = 0{,}125\). 4. Die Fläche rechts von \(k\) ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Grundseite \((4-k)\). Die Funktionsgleichung für den rechten Schenkel ist \(g(x) = -0{,}25x + 1\). Die Höhe bei \(x=k\) ist \(g(k) = -0{,}25k + 1\). 5. Berechnung von \(k\): \(\frac{1}{2} \cdot (4-k) \cdot (-0{,}25k + 1) = 0{,}125 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot (4-k) \cdot 0{,}25(4-k) = 0{,}125 \Rightarrow 0{,}125 \cdot (4-k)^2 = 0{,}125 \Rightarrow (4-k)^2 = 1\). 6. Daraus folgt \(4-k = 1\) (da \(k < 4\)), also \(k = 3\).

Der gesuchte Wert ist \(k = 3\).

- Welche Flächenanteile links und rechts von \(0\) müssen wegen der Symmetrie gleich groß sein? - Für die Trapezsumme brauchst du die markierten Höhen in gleichmäßigen Abständen. - Vergleiche die Verbindungsstrecken der Stützpunkte mit dem tatsächlich gezeichneten Kurvenverlauf. - Verdopple am Ende die Fläche der rechten Hälfte des symmetrischen Intervalls.

a) Wegen der Symmetrie liegt die Hälfte der Gesamtfläche rechts von \(0\). Daher gilt \(P(Y>0)=0{,}5\). b) Aus den markierten Punkten liest man die Höhen \(0{,}375\), \(0{,}3515625\), \(0{,}28125\) und \(0{,}1640625\) bei \(x=0\), \(0{,}5\), \(1\) und \(1{,}5\) ab. Mit der Schrittweite \(0{,}5\) ergibt sich auf \([0;1{,}5]\) die Trapezsumme \(0{,}5\left(\frac{1}{2}\cdot0{,}375+0{,}3515625+0{,}28125+\frac{1}{2}\cdot0{,}1640625\right)=0{,}451171875\). Der dargestellte Graph liegt zwischen den Stützpunkten oberhalb der Verbindungsstrecken, daher ist diese Trapezsumme eine Untergrenze. Wegen der Symmetrie folgt \(P(-1{,}5\le Y\le1{,}5)>2\cdot0{,}451171875=0{,}90234375>0{,}9\).

a) \(P(Y>0)=0{,}5\). b) Die symmetrisch verdoppelte Trapezsumme beträgt \(0{,}90234375\) und ist eine Untergrenze. Daher gilt \(P(-1{,}5\le Y\le1{,}5)>90\,\%\).

- Überlege dir, welche geometrische Bedeutung die Fläche unter der Kurve für eine Wahrscheinlichkeitsdichte hat. - Kannst du die gesuchten Flächen in einfache Teilfiguren wie Rechtecke, Dreiecke oder Trapeze zerlegen? - Für Teilaufgabe c) hilft es, erst einmal zu schätzen, in welchem Abschnitt des Graphen der gesuchte Wert \(k\) liegen muss. - Denke daran, dass die gesamte Fläche unter dem Graphen einer Dichtefunktion immer den Wert 1 hat.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([1; 3]\). Da die Dichte hier konstant \(0{,}1\) ist, ergibt sich ein Rechteck: \(P(1 \le X \le 3) = (3 - 1) \cdot 0{,}1 = 0{,}2\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 5)\) entspricht der Fläche unter dem Graphen von \(x=5\) bis zum Ende des Definitionsbereichs bei \(x=6\). Dies ist ein Trapez mit den parallelen Seiten \(f(5) = 0{,}3\) und \(f(6) = 0{,}5\) sowie der Breite \(1\). Rechnung: \(P(X \ge 5) = \frac{0{,}3 + 0{,}5}{2} \cdot 1 = 0{,}4\). 3. Gesucht ist \(k\) mit \(P(X \le k) = 0{,}7\). Da \(P(X \le 4) = 4 \cdot 0{,}1 = 0{,}4 < 0{,}7\), muss \(k\) im Intervall \([4; 6]\) liegen. Der Funktionsterm für diesen Bereich lautet \(f(x) = 0{,}2x - 0{,}7\). Die Gleichung \(0{,}4 + \int_{4}^{k} (0{,}2x - 0{,}7) \,\mathrm{d}x = 0{,}7\) führt auf \(0{,}1k^2 - 0{,}7k + 0{,}9 = 0\) bzw. \(k^2 - 7k + 9 = 0\). Die physikalisch sinnvolle Lösung im Intervall ist \(k = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx 5{,}30\).

a) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}2\) b) \(P(X \ge 5) = 0{,}4\) c) \(k \approx 5{,}30\)

- Kannst du den Ausdruck im Exponenten so umformen, dass eine binomische Formel sichtbar wird? - Wie sieht die allgemeine Funktionsgleichung der Dichtefunktion einer Normalverteilung aus? - Welche Teile des Exponenten entsprechen dem Erwartungswert und welche der Standardabweichung? - Vergiss nicht, am Ende zu prüfen, ob dein \(\sigma\) auch zum Vorfaktor der Funktion passt.

1. Den Exponenten durch Ausklammern und Anwendung der zweiten binomischen Formel umformen: \(-\frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}(x^2 - 4x + 4) = -\frac{1}{8}(x-2)^2\). 2. Den umgeformten Exponenten mit der Standardform \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\) vergleichen: \(-\frac{1}{2} \cdot \frac{(x-2)^2}{4}\). 3. Daraus die Parameter ablesen: \(\mu = 2\) und \(\sigma^2 = 4\), woraus \(\sigma = 2\) folgt. 4. Den Vorfaktor zur Kontrolle prüfen: \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{2 \sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{4 \cdot 2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{8\pi}}\). Dies stimmt mit der Aufgabe überein.

\(\mu = 2\); \(\sigma = 2\)

- Welche Struktur muss der Exponent einer Gaußfunktion haben? Eine quadratische Ergänzung oder Ausklammern könnte helfen. - Welche Rolle spielt die Standardabweichung \(\sigma\) für den Vorfaktor der Funktion? - Gibt es eine bekannte Eigenschaft der Normalverteilung, die die Position der Wendestellen direkt mit den Parametern \(\mu\) und \(\sigma\) verknüpft? - Überlege, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit die Fläche unter der Kurve genau \(1\) ergibt.

1. Faktorisierung des Exponenten: \(-0{,}125(x^2 - 4x + 4) = -0{,}125(x-2)^2\). 2. Bestimmung von \(\mu\) und \(\sigma\): Der Vergleich mit \(-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\) ergibt \(\mu = 2\) und \(\frac{1}{2\sigma^2} = 0{,}125 = \frac{1}{8}\). Daraus folgt \(\sigma^2 = 4\), also \(\sigma = 2\). 3. Berechnung der Konstanten \(c\): In der Standardform gilt \(c = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\). Einsetzen von \(\sigma = 2\) ergibt \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). 4. Bestimmung der Wendestellen: Bei einer gaußschen Glockenfunktion liegen die Wendestellen exakt bei \(x_W = \mu \pm \sigma\). 5. Einsetzen der Werte: \(x_1 = 2 - 2 = 0\) und \(x_2 = 2 + 2 = 4\).

Der Wert der Konstanten ist \(c = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}}\). Die Wendestellen des Graphen von \(f\) liegen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 4\).

- Welche Ableitung gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten einer Funktion? - Erinnere dich an die Ableitungsregeln für die Verkettung mit der e-Funktion. - Welchen Einfluss hat das Vorzeichen der zweiten Ableitung auf die Art der Krümmung? - Beachte, dass der Faktor vor der e-Funktion sowie die e-Funktion selbst stets positiv sind.

1. Berechnung der ersten Ableitung mittels Kettenregel: \(\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\). 2. Berechnung der zweiten Ableitung mittels Produkt- und Kettenregel: \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \left(\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 - 1\right) \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\). 3. Bestimmung der Nullstellen der zweiten Ableitung: Da \(\varphi_{\mu; \sigma}(x) > 0\) für alle \(x\), muss \(\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2 - 1 = 0\) gelten. Dies führt zu \(x_1 = \mu - \sigma\) und \(x_2 = \mu + \sigma\). 4. Analyse des Vorzeichens von \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x)\): Für \(x < \mu - \sigma\) und \(x > \mu + \sigma\) ist \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) > 0\), der Graph ist also linksgekrümmt. Für \(\mu - \sigma < x < \mu + \sigma\) ist \(\varphi_{\mu; \sigma}''(x) < 0\), der Graph ist also rechtsgekrümmt.

Der Graph der Funktion \(\varphi_{\mu; \sigma}\) ist im Intervall \(]\mu - \sigma; \mu + \sigma[\) rechtsgekrümmt. In den Intervallen \(]-\infty; \mu - \sigma[\) und \(]\mu + \sigma; \infty[\) ist der Graph linksgekrümmt.

- Wie lautet die allgemeine Formel für eine Tangente an einer Stelle \(x_0\)? - Welche Ableitung liefert die Steigung des Graphen an einer Stelle? - Setze die Koordinaten des Wendepunkts in die Tangentengleichung ein. - Für den Schnitt mit der \(x\)-Achse setzt du den Funktionswert der Tangente gleich null.

1. Koordinaten des Wendepunkts bestimmen: \(W\left(\mu + \sigma \mid \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\right)\). 2. Steigung der Tangente berechnen: Mit \(\varphi_{\mu; \sigma}'(x) = -\frac{x-\mu}{\sigma^2} \cdot \varphi_{\mu; \sigma}(x)\) ergibt sich für \(x = \mu + \sigma\): \(m = \varphi_{\mu; \sigma}'(\mu + \sigma) = -\frac{\sigma}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-1/2} = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}}\). 3. Tangentengleichung aufstellen: \(t(x) = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - (\mu + \sigma)) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\). 4. Schnittstelle mit der \(x\)-Achse bestimmen: Aus \(t(x) = 0\) folgt \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}} = \frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - \mu - \sigma)\). Multiplikation mit \(\sigma^2\sqrt{2\pi e}\) liefert \(\sigma = x - \mu - \sigma\), also \(x = \mu + 2\sigma\).

1. \(t(x) = -\frac{1}{\sigma^2\sqrt{2\pi e}} \cdot (x - \mu - \sigma) + \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi e}}\) 2. Die Nullstelle der Tangente liegt bei \(x = \mu + 2\sigma\).

- Nutze die Punkt-Steigungs-Form für die Tangentengleichungen. - Beachte die Symmetrie der Standardnormalverteilung zur \(y\)-Achse. - Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Dreiecks, wenn Grundseite und Höhe bekannt sind? - Wo schneiden die Tangenten die \(x\)-Achse? Das hilft dir, die Länge der Grundseite zu bestimmen.

1. Koordinaten und Steigungen in den Wendepunkten bestimmen: \(\varphi(1) = \varphi(-1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}242\). Die Steigungen lauten \(\varphi'(-1) = -(-1) \cdot \varphi(-1) = \varphi(1)\) und \(\varphi'(1) = -1 \cdot \varphi(1) = -\varphi(1)\). 2. Tangentengleichungen aufstellen: - \(t_1(x) = \varphi(1) \cdot (x - (-1)) + \varphi(1) = \varphi(1) \cdot (x + 2)\). - \(t_2(x) = -\varphi(1) \cdot (x - 1) + \varphi(1) = -\varphi(1) \cdot (x - 2)\). 3. Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse finden: \(t_1(x) = 0 \Rightarrow x = -2\) und \(t_2(x) = 0 \Rightarrow x = 2\). Die Basis des Dreiecks hat die Länge \(g = 2 - (-2) = 4\). 4. Schnittpunkt der Tangenten (Spitze des Dreiecks) bestimmen: Aus Symmetriegründen oder durch Gleichsetzen \(t_1(x) = t_2(x)\) folgt \(x = 0\). Die Höhe ist \(h = t_1(0) = 2 \cdot \varphi(1) = \frac{2}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}484\). 5. Flächeninhalt berechnen: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \cdot \varphi(1) = 4 \cdot \varphi(1) = \frac{4}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}968\).

a) Die Tangentengleichungen lauten \(t_1(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}(x + 2) \approx 0{,}242x + 0{,}484\) und \(t_2(x) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi e}}(x - 2) \approx -0{,}242x + 0{,}484\). b) Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt \(A = \frac{4}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}968\,\text{FE}\).

- Wie weist man rechnerisch nach, dass ein Graph symmetrisch zu einer senkrechten Achse \(x = a\) ist? - An welcher Stelle nimmt die Glockenkurve ihren höchsten Wert an und wie lautet der Term für diesen Wert? - Betrachte den Vorfaktor der Exponentialfunktion. Was passiert mit dem Gesamtwert des Bruchs, wenn der Nenner vergrößert wird?

1. Nachweis der Symmetrie: Zu zeigen ist \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu - h) = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu + h)\) für ein beliebiges \(h \in \mathbb{R}\). Einsetzen in die Funktionsgleichung ergibt für die linke Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu-h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{-h}{\sigma})^2}\) und für die rechte Seite \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{(\mu+h)-\mu}{\sigma})^2} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{h}{\sigma})^2}\). Da \((-h)^2 = h^2\), sind beide Ausdrücke identisch. 2. Bestimmung von \(\sigma\): Das Maximum liegt bei \(x = \mu = 0\) mit dem Wert \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Die Gleichung \(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \approx 0{,}133\) führt zu \(\sigma \approx \frac{1}{0{,}133 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 3{,}00\). 3. Veränderung des Maximums: Der maximale Funktionswert ist umgekehrt proportional zu \(\sigma\), da \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\). Bei einer Vervierfachung von \(\sigma\) (neue Standardabweichung \(4\sigma\)) wird der Vorfaktor zu \(\frac{1}{4\sigma \sqrt{2\pi}}\), was genau einem Viertel des ursprünglichen Maximalwerts entspricht.

a) Durch Einsetzen von \(\mu-h\) und \(\mu+h\) in den Funktionsterm erhält man aufgrund des Quadrats im Exponenten identische Werte: \(\varphi_{\mu; \sigma}(\mu-h) = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{-h}{\sigma})^2} = \dots e^{-\frac{1}{2}(\frac{h}{\sigma})^2} = \varphi_{\mu; \sigma}(\mu+h)\). b) \(\sigma \approx 3\). c) Der maximale Funktionswert wird geteilt durch \(4\) (bzw. auf ein Viertel reduziert), da \(\sigma\) im Nenner des Vorfaktors steht.

- Welche mathematische Bedingung muss für das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich gelten? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Intervall mithilfe der Dichtefunktion? - Erinnere dich daran, wie man Extremstellen einer Funktion mithilfe der ersten Ableitung bestimmt. - Berechne zuerst die Grenzen des Intervalls um den Erwartungswert, bevor du das Integral anwendest.

1. **Bestimmung von \(k\)**: Damit \(f\) eine zulässige Wahrscheinlichkeitsdichte ist, muss das Integral über den gesamten Definitionsbereich gleich 1 sein: \( \int_0^4 k \cdot x \cdot (4-x)^2 \, dx = 1 \) Wir berechnen das Integral: \( \int_0^4 (16x - 8x^2 + x^3) \, dx = \left[ 8x^2 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 \right]_0^4 = 128 - \frac{512}{3} + 64 = \frac{64}{3} \) Daraus folgt: \( k \cdot \frac{64}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{64} \) 2. **Berechnung von \(P(1 \le X \le 3)\)**: Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{3}{64}\left(8x^2 - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4\right)\) berechnen wir: \( F(3) = \frac{3}{64}\left(72 - 72 + 20{,}25\right) = \frac{243}{256} = 0{,}94921875 \) \( F(1) = \frac{3}{64}\left(8 - \frac{8}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{67}{256} = 0{,}26171875 \) \( P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(1) = \frac{176}{256} = \frac{11}{16} = 0{,}6875 = 68{,}75\,\% \) 3. **Bestimmung des Modalwerts**: Aus dem Graphen lässt sich das Maximum bei etwa \(x \approx 1{,}3\) ablesen. Rechnerisch bestimmen wir die Nullstelle der ersten Ableitung von \(f(x) = \frac{3}{64}(16x - 8x^2 + x^3)\): \( f'(x) = \frac{3}{64}(16 - 16x + 3x^2) = 0 \implies 3x^2 - 16x + 16 = 0 \) Mit der Lösungsformel ergibt sich: \( x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6} = \frac{16 \pm 8}{6} \implies x_1 = 4; \quad x_2 = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \) Da \(f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{9} \approx 0{,}44\) und \(f(0) = f(4) = 0\), liegt das globale Maximum bei \(x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\,\text{g}\). 4. **Wahrscheinlichkeit im Intervall \([E(X) - \sigma; E(X) + \sigma]\)**: Das gesuchte Intervall lautet \([1{,}6 - 0{,}8; 1{,}6 + 0{,}8] = [0{,}8; 2{,}4]\). Wir berechnen die Werte der Stammfunktion an den Grenzen: \( F(2{,}4) = F\left(\frac{12}{5}\right) = 0{,}8208 \) \( F(0{,}8) = F\left(\frac{4}{5}\right) = 0{,}1808 \) \( P(0{,}8 \le X \le 2{,}4) = F(2{,}4) - F(0{,}8) = 0{,}8208 - 0{,}1808 = 0{,}64 = 64\,\% \)

a) \(k = \frac{3}{64}\) b) \(P(1 \le X \le 3) = \frac{11}{16} = 0{,}6875 = 68{,}75\,\%\) c) Abgelesen: ca. \(1{,}3\,\text{g}\); rechnerisch: \(x = \frac{4}{3} \approx 1{,}33\,\text{g}\) d) Intervall: \([0{,}8\,\text{g}; 2{,}4\,\text{g}]\); \(P(0{,}8 \le X \le 2{,}4) = 0{,}64 = 64\,\%\)

- Wie hängen die Wahrscheinlichkeit und die Fläche unter dem Graphen zusammen? - Kannst du die Funktionswerte an den Stellen 2, 6 und 8 direkt aus dem Koordinatensystem ablesen? - Erinnere dich an die Definition des Medians bei stetigen Zufallsgrößen: Welche Fläche muss links vom Median liegen? - Du kannst Flächeninhalte von Dreiecken und Trapezen nutzen, um Integrale zu umgehen oder deine Ergebnisse zu prüfen.

1. \(P(X \le 2)\) ist der Flächeninhalt des Dreiecks von \(x=0\) bis \(x=2\). Mit \(f(2) = 0{,}1\) ergibt sich: \(P(X \le 2) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}1\). 2. Für \(x \in [4; 10]\) fällt die Dichte linear von \(0{,}2\) auf \(0\). Der Term ist \(f(x) = \frac{10-x}{30}\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(6 \le X \le 8)\) ist die Fläche eines Trapezes mit \(f(6) = \frac{4}{30}\) und \(f(8) = \frac{2}{30}\) sowie Breite \(2\). Rechnung: \(P(6 \le X \le 8) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{30} + \frac{2}{30}) \cdot 2 = \frac{6}{30} = 0{,}2\). 3. Der Median \(x_m\) teilt die Gesamtfläche in zwei Hälften zu je \(0{,}5\). Da die Fläche bis \(x=4\) genau \(0{,}4\) beträgt (\(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}2\)), muss \(x_m\) im Bereich \([4; 10]\) liegen. Die Bedingung \(\int_{4}^{x_m} \frac{10-x}{30} \,\mathrm{d}x = 0{,}1\) führt zur quadratischen Gleichung \(x_m^2 - 20x_m + 70 = 0\). Die Lösung im Intervall ist \(x_m = 10 - \sqrt{30} \approx 4{,}52\).

a) \(P(X \le 2) = 0{,}1\) b) \(P(6 \le X \le 8) = 0{,}2\) c) \(x_m \approx 4{,}52\,\text{mm}\)