- Denke daran, was eine Fläche unter einer Dichte als Wahrscheinlichkeit bedeutet. - Welche Eigenschaften gelten für jede Dichte und welche nur für besondere Verteilungen wie die Normalverteilung?

Für eine Wahrscheinlichkeitsdichte sind Nichtnegativität und Gesamtfläche \(1\) erforderlich. Daher sind A und B richtig. Eine Dichte darf Funktionswerte größer als \(1\) besitzen und muss nicht symmetrisch sein.

A und B

- Lies zuerst die beiden \(x\)-Grenzen der markierten Fläche ab. - Formuliere zunächst in Worten, welche Werte von \(X\) zur markierten Fläche gehören. - Übersetze dieses Ereignis anschließend in Wahrscheinlichkeitsnotation.

Die markierte Fläche liegt unter dem Dichtegraphen zwischen \(x=0{,}5\) und \(x=1{,}5\). Sie stellt daher \(P(0{,}5\le X\le1{,}5)\) dar.

\(P(0{,}5\le X\le1{,}5)\)

- Welche Eigenschaft der gesamten Fläche unter einer Dichte ist hier entscheidend? - Welche geometrische Form hat die Fläche unter \(f\) zwischen \(0\) und \(4\)?

1. Eine Dichtefunktion muss insgesamt die Fläche \(1\) besitzen. 2. Auf \([0;4]\) entsteht ein Rechteck mit Breite \(4\) und Höhe \(c\). 3. Daher gilt \(4c=1\) und somit \(c=\frac{1}{4}=0{,}25\).

\(c=0{,}25\)

- Vergleiche, welche Art von Größe \(f(2)\) und \(P(X=2)\) jeweils beschreiben. - Stelle dir ein immer schmaleres Intervall um \(x=2\) vor. Was passiert mit der Fläche unter dem Dichtegraphen?

1. Milas Aussage ist falsch. Bei einer stetigen Zufallsgröße gilt für jeden einzelnen Wert \(P(X=2)=0\). 2. Der Wert \(f(2)=0{,}4\) ist die Höhe der Dichtekurve bei \(x=2\). Er ist keine Einzelwahrscheinlichkeit. 3. Wahrscheinlichkeiten erhält man als Flächen unter der Dichte über Intervalle.

Milas Aussage ist falsch. Es gilt \(P(X=2)=0\). Der Wert \(f(2)=0{,}4\) ist eine Dichtehöhe; Wahrscheinlichkeiten entstehen aus Flächen über Intervalle.

- Überlege, welche geometrische Größe bei einer stetigen Verteilung eine Wahrscheinlichkeit darstellt. - Vergleiche die Höhe einer Kurve an einer Stelle mit einer Fläche unter der Kurve. - Frage dich, welche Breite der Bereich besitzt, der nur aus einem einzigen Wert besteht.

1. Die Schlussfolgerung ist falsch. Bei einer stetigen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit für jeden exakten Einzelwert gleich \(0\). 2. Der Funktionswert \(f(x)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle. Er ist selbst keine Wahrscheinlichkeit; ein Dichtewert kann sogar größer als \(1\) sein. 3. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Dichtekurve. Ein einzelner Punkt besitzt auf der \(x\)-Achse die Breite \(0\). Deshalb ist der Flächeninhalt über diesem Punkt und damit \(P(X=x)\) gleich \(0\), unabhängig von der Höhe der Dichte dort.

Die Schlussfolgerung ist falsch. \(f(x)\) beschreibt eine lokale Wahrscheinlichkeitsdichte, während Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Zufallsgrößen als Flächen unter der Dichte bestimmt werden. Daher gilt \(P(X=\mu)=0\), obwohl \(f\) bei \(x=\mu\) ihr Maximum besitzt.

- Überlege dir, wie hoch eine rechteckige Fläche sein muss, damit sie bei einer Breite von 40 den Flächeninhalt 1 hat. - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Fläche unter einer Kurve und der Wahrscheinlichkeit. - Was passiert mit dem Flächeninhalt, wenn die Breite eines Intervalls gegen Null geht? - Unterscheide zwischen diskreten Werten (wie beim Würfeln) und Werten auf einer kontinuierlichen Skala.

a) Die Dichtefunktion einer Gleichverteilung auf \([a; b]\) ist \(f(x) = \frac{1}{b-a}\). Für das Intervall \([0; 40]\) ergibt sich \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) und \(f(x) = 0\) sonst. b) Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich über das Integral: \(P(10 \le X \le 30) = \int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx = \left[ \frac{1}{40}x \right]_{10}^{30} = \frac{30}{40} - \frac{10}{40} = \frac{20}{40} = 0{,}5\). c) Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Einzelwert stets \(P(X = k) = \int_{k}^{k} f(x) dx = 0\). Da beide Wahrscheinlichkeiten null sind, ist die Aussage des Technikers mathematisch korrekt, obwohl einer dieser Werte bei einer konkreten Messung auftreten kann.

a) \(f(x) = \frac{1}{40}\) für \(0 \le x \le 40\) (sonst \(0\)). b) Das Integral \(\int_{10}^{30} \frac{1}{40} dx\) ergibt \(\frac{30-10}{40} = 0{,}5\). c) Die Aussage ist wahr, da bei stetigen Zufallsgrößen die Punktwahrscheinlichkeit für jeden Wert exakt \(0\) ist.

- Prüfe für eine Dichte sowohl die Nichtnegativität als auch die Gesamtfläche. - Welche Integrationsgrenzen entsprechen „länger als zwei Jahre“? - Achte darauf, dass die Dichte außerhalb von \([0;3]\) null ist.

1. Für \(0\le t\le3\) sind \(t^2\ge0\) und \(3-t\ge0\), also ist \(g(t)\ge0\). Außerdem gilt \(\int_0^3\frac{4}{27}(3t^2-t^3)\,\mathrm{d}t=1\). Damit ist \(g\) eine Wahrscheinlichkeitsdichte. 2. Gesucht ist \(P(T>2)=\int_2^3\frac{4}{27}(3t^2-t^3)\,\mathrm{d}t=\frac{11}{27}\approx0{,}4074\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(40{,}74\,\%\).

a) \(g(t)\ge0\) auf \([0;3]\) und \(\int_0^3g(t)\,\mathrm{d}t=1\) b) \(P(T>2)=\frac{11}{27}\approx40{,}74\,\%\)

- Welche zwei Bedingungen muss der Graph einer Dichtefunktion erfüllen? - Prüfe beide Bedingungen bei beiden Graphen; entscheide nicht nur nach der Form. - Welche geometrische Fläche kannst du bei einem linearen Graphenstück direkt berechnen?

1. Eine Dichtefunktion muss im gesamten Intervall nichtnegativ sein und dort die Gesamtfläche \(1\) besitzen. 2. Beim Graphen von \(f\) sind die Randhöhen \(1{,}25\) und \(0{,}25\). Der Graph liegt vollständig oberhalb der \(x\)-Achse. Die Trapezfläche beträgt \(\frac{1{,}25+0{,}25}{2}\cdot2=1{,}5\). Daher ist \(f\) keine Dichtefunktion. 3. Der Graph von \(g\) liegt nahe \(x=0\) unterhalb der \(x\)-Achse; insbesondere gilt \(g(0)=-1<0\). Damit verletzt \(g\) die Nichtnegativitätsbedingung und ist keine Dichtefunktion. Die vorzeichenbehaftete Trapezfläche beträgt zwar \(\frac{-1+2}{2}\cdot2=1\), doch das genügt nicht.

\(f\) ist keine Dichtefunktion, weil die Fläche unter dem Graphen auf \([0;2]\) \(1{,}5\) statt \(1\) beträgt. \(g\) ist keine Dichtefunktion, weil der Graph im Intervall negative Funktionswerte annimmt, zum Beispiel \(g(0)=-1\).

- Welche Fläche unter dem Dichtegraphen gehört jeweils zum angegebenen Intervall? - Welche Informationen über Breiten und Höhen kannst du direkt aus dem Graphen ablesen? - Wo brauchst du wegen eines linearen Graphenstücks noch eine Höhe, die nicht ausdrücklich markiert ist? - Vergleiche für d) das gesuchte Intervall mit den Intervallen aus den vorherigen Teilaufgaben.

1. Über \([0;1]\) liegt ein Rechteck mit der Breite \(1\) und der Höhe \(0{,}1\). Daher gilt \(P(0\le X\le1)=1\cdot0{,}1=0{,}1\). 2. Über \([1;3]\) liegt ein Trapez mit den Höhen \(f(1)=0{,}1\) und \(f(3)=0{,}4\) und der Breite \(2\). Daher gilt \(P(1\le X\le3)=\frac{0{,}1+0{,}4}{2}\cdot2=0{,}5\). 3. Zwischen \((3\mid0{,}4)\) und \((5\mid0)\) verläuft der Graph linear. Deshalb ist \(f(4)=0{,}2\). 4. Über \([3;4]\) liegt damit ein Trapez mit den Höhen \(0{,}4\) und \(0{,}2\) und der Breite \(1\). Also gilt \(P(3\le X\le4)=\frac{0{,}4+0{,}2}{2}\cdot1=0{,}3\). 5. Durch Addition der Teilwahrscheinlichkeiten folgt \(P(1\le X\le4)=0{,}5+0{,}3=0{,}8\).

a) \(P(0\le X\le1)=0{,}1\) b) \(P(1\le X\le3)=0{,}5\) c) \(P(3\le X\le4)=0{,}3\) d) \(P(1\le X\le4)=0{,}8\)

- Wahrscheinlichkeiten für Intervalle entsprechen Flächen unter dem Dichtegraphen. - Welche einfachen geometrischen Figuren erkennst du unter den geraden Graphenstücken? - Welche Höhen musst du für das zweite Intervall aus dem linearen Verlauf erschließen?

1. \(P(X\le1)\) entspricht der Dreiecksfläche unter dem Graphen auf \([0;1]\) mit Grundseite \(1\) und Höhe \(0{,}4\). Daher gilt \(P(X\le1)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot0{,}4=0{,}2\). 2. Für den linearen Abschnitt von \((1\mid0{,}4)\) nach \((5\mid0)\) ist die Steigung \(-0{,}1\). Daher gilt \(f(x)=-0{,}1x+0{,}5\) und \(f(3)=0{,}2\). Die Fläche über \([3;5]\) ist ein Dreieck mit Grundseite \(2\) und Höhe \(0{,}2\). Somit gilt \(P(X\ge3)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot0{,}2=0{,}2\).

a) \(P(X\le1)=0{,}2=20\,\%\) b) \(P(X\ge3)=0{,}2=20\,\%\)

- Welche Eigenschaft der gesamten Fläche unter einer Dichte bestimmt den Parameter \(c\)? - Welche Teilfläche unter \(f\) gehört zum Ereignis \(X\le1\)?

1. Für die Gesamtfläche muss \(\int_0^2 cx\,\mathrm{d}x=1\) gelten. 2. Es ist \(\int_0^2 cx\,\mathrm{d}x=c\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=2c\). Daher folgt \(c=\frac{1}{2}\). 3. Nun ist \(P(X\le1)=\int_0^1 \frac{1}{2}x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{4}=0{,}25\).

a) \(c=\frac{1}{2}\) b) \(P(X\le1)=0{,}25\)

- Überlege, wie die Wahrscheinlichkeit bei einer stetigen Zufallsgröße mit Hilfe von Integralen berechnet wird. - Beachte, dass die Funktion in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich definiert ist. Wie wirkt sich das auf das Integral aus? - Kannst du das gesuchte Intervall in Teilintervalle zerlegen, die zu den Funktionsabschnitten passen?

1. Aufteilung des gesuchten Intervalls \([1; 3]\) gemäß der abschnittsweise definierten Funktion in die Teilintervalle \([1; 2]\) und \([2; 3]\). 2. Berechnung des Integrals für den ersten Abschnitt: \(\int_{1}^{2} 0{,}2x \, dx = [0{,}1x^2]_{1}^{2} = 0{,}1 \cdot 2^2 - 0{,}1 \cdot 1^2 = 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}3\). 3. Berechnung des Integrals für den zweiten Abschnitt: \(\int_{2}^{3} 0{,}4 \, dx = [0{,}4x]_{2}^{3} = 0{,}4 \cdot 3 - 0{,}4 \cdot 2 = 1{,}2 - 0{,}8 = 0{,}4\). 4. Addition der Teilwahrscheinlichkeiten: \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7\).

\(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\)

- Wie hängen die Fläche unter der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Achte bei abschnittsweise definierten Funktionen darauf, das Integral an den entsprechenden Stellen aufzuteilen. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines exakten Wertes, wenn die Verteilung stetig ist? - Du kannst die Flächen in diesem Fall auch geometrisch als Dreiecke oder Trapeze berechnen.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 1)\) entspricht dem Integral der Dichtefunktion von \(0\) bis \(1\). Die Berechnung liefert \(\int_0^1 0{,}4x \, dx = [0{,}2x^2]_0^1 = 0{,}2\). 2. Für \(P(X \le 3)\) wird das Integral von \(0\) bis \(3\) berechnet, aufgeteilt an der Nahtstelle \(x=1\). Dies ergibt \(P(X \le 1) + \int_1^3 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = 0{,}2 + [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_1^3 = 0{,}2 + (1{,}05 - 0{,}45) = 0{,}8\). 3. Für \(P(0{,}5 \le X \le 2)\) summiert man die Teilintegrale: \(\int_{0{,}5}^1 0{,}4x \, dx + \int_1^2 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = (0{,}2 - 0{,}05) + (0{,}8 - 0{,}45) = 0{,}15 + 0{,}35 = 0{,}5\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 4)\) ergibt sich aus \(\int_4^5 (-0{,}1x + 0{,}5) \, dx = [-0{,}05x^2 + 0{,}5x]_4^5 = 1{,}25 - 1{,}2 = 0{,}05\). 5. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Einzelwert \(P(X = k) = 0\), also \(P(X = 2) = 0\).

1. \(P(X \le 1) = 0{,}2\) 2. \(P(X \le 3) = 0{,}8\) 3. \(P(0{,}5 \le X \le 2) = 0{,}5\) 4. \(P(X > 4) = 0{,}05\) 5. \(P(X = 2) = 0\)

- Welche Gesamtfläche muss eine Dichtefunktion besitzen? - Stelle die Normierungsbedingung mit dem unbekannten Faktor \(c\) auf. - Welche Integrationsgrenzen gehören in b) zur Aussage „höchstens \(1{,}5\,\text{mm}\)“?

1. Für eine Dichte muss die Gesamtfläche \(1\) sein. Es gilt \(\int_0^2 c(4-x^2)\,\mathrm{d}x=c\left[4x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^2=c\cdot\frac{16}{3}\). Daher ist \(c=\frac{3}{16}\). 2. Damit gilt \(P(X\le1{,}5)=\int_0^{1{,}5}\frac{3}{16}(4-x^2)\,\mathrm{d}x=\frac{117}{128}\approx0{,}9141\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(91{,}41\,\%\).

a) \(c=\frac{3}{16}=0{,}1875\) b) \(P(X\le1{,}5)=\frac{117}{128}\approx91{,}41\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welchen Wert die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Ereignis bei einer stetigen Verteilung annimmt. - Wie hängen die Fläche unter der Kurve der Dichtefunktion und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Erinnere dich an den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, um Flächeninhalte in bestimmten Intervallen zu bestimmen. - Achte auf die Grenzen des Definitionsbereichs der Funktion.

1. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Punkt \(x_0\) die Wahrscheinlichkeit \(P(X = x_0) = 0\). Somit ist \(P(X = 0{,}5) = 0\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le 0{,}5)\) wird durch das Integral \(\int_{0}^{0{,}5} 6(x - x^2) \, dx\) berechnet. Mit der Stammfunktion \(F(x) = 6(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3) = 3x^2 - 2x^3\) ergibt sich \(F(0{,}5) - F(0) = (3 \cdot 0{,}25 - 2 \cdot 0{,}125) - 0 = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5\). 3. Für \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8)\) berechnet man \(F(0{,}8) - F(0{,}2)\). Es gilt \(F(0{,}8) = 3 \cdot 0{,}64 - 2 \cdot 0{,}512 = 1{,}92 - 1{,}024 = 0{,}896\) und \(F(0{,}2) = 3 \cdot 0{,}04 - 2 \cdot 0{,}008 = 0{,}12 - 0{,}016 = 0{,}104\). Die Differenz ist \(0{,}896 - 0{,}104 = 0{,}792\). 4. Für \(P(X > 0{,}75)\) berechnet man \(1 - F(0{,}75)\) oder \(\int_{0{,}75}^{1} f(x) \, dx\). Mit \(F(0{,}75) = 3 \cdot 0{,}5625 - 2 \cdot 0{,}421875 = 1{,}6875 - 0{,}84375 = 0{,}84375\) ergibt sich \(1 - 0{,}84375 = 0{,}15625\).

a) \(P(X = 0{,}5) = 0\) b) \(P(X \le 0{,}5) = 0{,}5\) c) \(P(0{,}2 \le X \le 0{,}8) = 0{,}792\) d) \(P(X > 0{,}75) = 0{,}15625\)

- Welche Bedingung muss für das Integral einer Dichtefunktion über ihren gesamten Definitionsbereich gelten? - Wie berechnest du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall, wenn die Dichtefunktion bekannt ist? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit auch geometrisch interpretieren, indem du die Form der Fläche unter dem Graphen betrachtest?

1. Damit \(f\) eine Dichtefunktion ist, muss das Integral über den gesamten Bereich gleich 1 sein: \(\int_{0}^{4} k(4 - x) \, dx = 1\). Die Stammfunktion ist \(k \cdot (4x - \frac{1}{2}x^2)\). Ausgewertet an den Grenzen ergibt dies \(k \cdot (16 - 8) = 8k\). Aus \(8k = 1\) folgt \(k = \frac{1}{8} = 0{,}125\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 2)\) entspricht dem Integral \(\int_{2}^{4} \frac{1}{8}(4 - x) \, dx\). Mit der Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{8}(4x - \frac{1}{2}x^2)\) ergibt sich \(F(4) - F(2) = 1 - \frac{1}{8}(8 - 2) = 1 - \frac{6}{8} = 0{,}25\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) wird durch \(F(3) - F(1)\) berechnet. Es gilt \(F(3) = \frac{1}{8}(12 - 4{,}5) = \frac{7{,}5}{8} = 0{,}9375\) und \(F(1) = \frac{1}{8}(4 - 0{,}5) = \frac{3{,}5}{8} = 0{,}4375\). Die Differenz beträgt \(0{,}9375 - 0{,}4375 = 0{,}5\).

a) \(k = 0{,}125\) b) \(P(X \ge 2) = 0{,}25\) c) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}5\)

- Welche einfachen geometrischen Flächen erkennst du unter dem Graphen? - Für eine Dichte müssen die Funktionswerte nichtnegativ sein und die Gesamtfläche muss \(1\) ergeben. - Bei Teil b kannst du Teilflächen direkt addieren oder über das Gegenereignis arbeiten. - Welche Geradengleichung gehört zum linken ansteigenden Abschnitt des Graphen? - Wie erhältst du \(F(x)\) aus \(f(x)\)?

1. Der Graph begrenzt mit der \(x\)-Achse ein Trapez mit den parallelen Seitenlängen \(3\) und \(1\) sowie der Höhe \(0{,}5\). Daher ist \(A = \frac{3+1}{2} \cdot 0{,}5 = 1\). Da der Graph nirgends unter der \(x\)-Achse liegt, erfüllt \(f\) die beiden Dichtebedingungen. 2. (1) Von \(0\) bis \(1\) liegt ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(0{,}5\): \(P(X \le 1)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot0{,}5=0{,}25\). 3. (2) Von \(1{,}5\) bis \(2\) liegt ein Rechteck der Fläche \(0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25\); von \(2\) bis \(3\) liegt ein Dreieck der Fläche \(\frac{1}{2}\cdot1\cdot0{,}5=0{,}25\). Somit ist \(P(X \ge 1{,}5)=0{,}5\). 4. (3) Die beiden ausgeschlossenen Randdreiecke von \(0\) bis \(0{,}5\) und von \(2{,}5\) bis \(3\) haben jeweils die Höhe \(0{,}25\) und damit die Fläche \(\frac{1}{2}\cdot0{,}5\cdot0{,}25=0{,}0625\). Daher ist \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5)=1-2\cdot0{,}0625=0{,}875\). 5. Auf \([0;1]\) verläuft der Graph durch \((0\mid0)\) und \((1\mid0{,}5)\), also gilt \(f(t)=0{,}5t\). Damit ist \(F(x)=\int_0^x 0{,}5t\,\mathrm{d}t=0{,}25x^2\) für \(0\le x\le1\).

a) Die Gesamtfläche unter dem Graphen beträgt \(1\), und \(f(x)\ge0\). b) (1) \(P(X \le 1)=0{,}25\) (2) \(P(X \ge 1{,}5)=0{,}5\) (3) \(P(0{,}5 \le X \le 2{,}5)=0{,}875\) c) Auf \([0;1]\) gilt \(f(x)=0{,}5x\); daher ist \(F(x)=0{,}25x^2\) für \(0\le x\le1\).

- Erinnere dich daran, welche zwei Eigenschaften eine Funktion erfüllen muss, um als Dichtefunktion zulässig zu sein. - Wie lässt sich eine Wahrscheinlichkeit geometrisch als Fläche unter der Kurve einer Dichtefunktion deuten? - Kannst du den Bereich unter dem Graphen in einfache geometrische Formen wie Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze zerlegen? - Überlege für den Median, bis zu welchem \(x\)-Wert genau die Hälfte der Gesamtfläche unter dem Graphen liegt. In welchem Intervall muss dieser Wert liegen?

1. Zur Überprüfung der Dichtefunktion wird gezeigt, dass \(f(x) \ge 0\) gilt und die Gesamtfläche unter dem Graphen gleich \(1\) ist. Die Fläche unter dem Graphen im Intervall \([0; 4]\) setzt sich aus drei Teilflächen zusammen: einem Dreieck über \([0; 1]\) mit \(A_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}2\), einem Rechteck über \([1; 2]\) mit \(A_2 = 1 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\) und einem Dreieck über \([2; 4]\) mit \(A_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 0{,}4 = 0{,}4\). Die Summe der Flächeninhalte ist \(A = 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1\). Da \(f(x)\) zudem überall nicht-negativ ist, handelt es sich um eine zulässige Dichtefunktion. 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(1 \le X \le 3)\) entspricht dem Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen \(x = 1\) und \(x = 3\). Dieser Bereich besteht aus dem Rechteck über \([1; 2]\) mit Fläche \(0{,}4\) und einem Trapez über \([2; 3]\) mit den parallelen Seiten \(f(2) = 0{,}4\) und \(f(3) = 0{,}2\). Der Flächeninhalt des Trapezes beträgt \(A_{\text{Trapez}} = \frac{0{,}4 + 0{,}2}{2} \cdot 1 = 0{,}3\). Somit gilt \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7\). 3. Für den Median \(m\) gilt \(P(X \le m) = 0{,}5\). Da \(P(X \le 1) = 0{,}2\) und \(P(X \le 2) = 0{,}6\) ist, muss \(m\) im Intervall \([1; 2]\) liegen. In diesem Bereich ist \(f(x) = 0{,}4\) konstant, weshalb sich die Wahrscheinlichkeit als \(P(X \le m) = 0{,}2 + 0{,}4 \cdot (m - 1) = 0{,}5\) berechnen lässt. Auflösen nach \(m\) liefert \(0{,}4 \cdot (m - 1) = 0{,}3 \implies m - 1 = 0{,}75 \implies m = 1{,}75\).

a) Die Funktion ist überall nicht-negativ (\(f(x) \ge 0\)) und der gesamte Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall \([0; 4]\) beträgt \(0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}4 = 1\). b) \(P(1 \le X \le 3) = 0{,}7\) c) \(m = 1{,}75\)

- Welche zwei Bedingungen muss eine Funktion erfüllen, damit sie eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist? - Was zeigt dir der Graph bereits über das Vorzeichen der Dichte? - Untersuche die Vorzeichen der Faktoren der Dichte im Intervall \([0;3]\). - Welche Fläche unter der Dichte gehört zum Ereignis \(X\le1{,}5\)?

1. Der Graph liegt auf dem gesamten dargestellten Träger auf oder oberhalb der \(x\)-Achse; damit ist die Nichtnegativität grafisch plausibel. Rechnerisch gilt für \(0\le x\le3\): \(f(x)=\frac{4}{27}x^2(3-x)\ge0\); außerhalb dieses Intervalls ist \(f(x)=0\). 2. Außerdem ist \(\int_0^3\left(\frac{4}{9}x^2-\frac{4}{27}x^3\right)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{4}{27}x^3-\frac{1}{27}x^4\right]_0^3=1\). Damit erfüllt \(f\) beide Bedingungen einer Dichtefunktion. 3. Es gilt \(P(X\le1{,}5)=\int_0^{1{,}5}f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{5}{16}=0{,}3125=31{,}25\,\%\).

a) Im Graphen liegt \(f\) auf \([0;3]\) nicht unter der \(x\)-Achse. Rechnerisch gilt dort \(f(x)\ge0\), außerhalb ist \(f(x)=0\), und \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1\). Damit ist \(f\) eine Wahrscheinlichkeitsdichte. b) \(P(X\le1{,}5)=\frac{5}{16}=0{,}3125=31{,}25\,\%\)

- Welche Bedingung muss das Integral einer Dichte über ihren gesamten Wertebereich erfüllen? - Für eine Intervallwahrscheinlichkeit brauchst du die Fläche unter der Dichte zwischen den beiden Grenzen. - Bestimme in Teil c zuerst die beiden Grenzen des Intervalls um den Erwartungswert.

1. Für eine Dichte muss \(\int_0^4 kx(4-x)^2\,dx=1\) gelten. Es ist \(\int_0^4(16x-8x^2+x^3)\,dx=\left[8x^2-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_0^4=\frac{64}{3}\). Daher ist \(k\cdot\frac{64}{3}=1\) und somit \(k=\frac{3}{64}\). 2. Mit einer Stammfunktion \(F(x)=\frac{3}{64}\left(8x^2-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right)\) gilt \(F(3)=\frac{243}{256}\) und \(F(1)=\frac{67}{256}\). Daher ist \(P(1\le X\le3)=\frac{176}{256}=\frac{11}{16}=0{,}6875\). 3. Das Intervall lautet \([1{,}6-0{,}8;1{,}6+0{,}8]=[0{,}8;2{,}4]\). Es ist \(F(2{,}4)=0{,}8208\) und \(F(0{,}8)=0{,}1808\). Somit gilt \(P(0{,}8\le X\le2{,}4)=0{,}64\).

a) \(k=\frac{3}{64}\) b) \(P(1\le X\le3)=\frac{11}{16}=0{,}6875\) c) \(P(0{,}8\le X\le2{,}4)=0{,}64=64\,\%\)

- Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter dem Dichtegraphen. - Welche Gesamtfigur bildet die Fläche unter dem Graphen auf \([0;3]\)? - Nutze die Linearität der beiden Graphenstücke, um Zwischenhöhen abzulesen oder proportional zu bestimmen. - Welche Stelle des Graphen trennt bei dem dritten Ereignis unterschiedliche lineare Abschnitte?

1. Der Graph liegt auf oder oberhalb der \(x\)-Achse. Die gesamte Fläche ist ein Dreieck mit Grundseite \(3\) und Höhe \(\frac{2}{3}\): \(A=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{2}{3}=1\). Damit ist \(f\) eine Dichtefunktion. 2. Auf \([0;2]\) steigt der Graph linear von \((0\mid0)\) nach \((2\mid\frac{2}{3})\). Daher ist die Höhe bei \(x=1\) gleich \(\frac{1}{3}\). Somit gilt \(P(X\le1)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\approx0{,}1667\). 3. Auf \([1{,}5;2]\) sind die Höhen \(\frac{1}{2}\) und \(\frac{2}{3}\), also ist die Trapezfläche \(A_1=\frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{2}\cdot0{,}5=\frac{7}{24}\). Auf \([2;2{,}5]\) sind die Höhen \(\frac{2}{3}\) und \(\frac{1}{3}\), also \(A_2=\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}{2}\cdot0{,}5=\frac{1}{4}\). Daher gilt \(P(1{,}5\le X\le2{,}5)=\frac{13}{24}\approx0{,}5417\). Mit etwa \(54{,}17\,\%\) Wahrscheinlichkeit liegt die Lebensdauer zwischen \(1{,}5\) und \(2{,}5\) Jahren.

1. Der Graph ist nichtnegativ und die gesamte Dreiecksfläche ist \(1\); daher ist \(f\) eine Dichtefunktion. 2. \(P(X\le1)=\frac{1}{6}\approx0{,}1667\). 3. \(P(1{,}5\le X\le2{,}5)=\frac{13}{24}\approx0{,}5417\approx54{,}17\,\%\). Damit liegt die Lebensdauer eines zufällig ausgewählten Bauteils mit etwa \(54{,}17\,\%\) Wahrscheinlichkeit zwischen \(1{,}5\) und \(2{,}5\) Jahren.

- Welche Informationen liefern dir die Eckpunkte über die beiden linearen Graphenstücke? - Welche Flächen gehören zu den gefragten Ereignissen? - Achte darauf, wo sich die Form des Graphen innerhalb eines Intervalls ändert. - Welche Fläche muss links von einem Median liegen?

1. Für \(0\le x<2\) verläuft die Gerade durch \((0\mid0)\) und \((2\mid0{,}4)\), also gilt \(f(x)=0{,}2x\). Für \(2\le x\le5\) beträgt die Steigung \(-\frac{2}{15}\); mit \((5\mid0)\) folgt \(f(x)=-\frac{2}{15}x+\frac{2}{3}\). Außerhalb von \([0;5]\) gilt \(f(x)=0\). 2. Bis \(x=1\) liegt ein Dreieck mit Grundseite \(1\) und Höhe \(0{,}2\). Daher ist \(P(X\le1)=\frac{1}{2}\cdot1\cdot0{,}2=0{,}1\). 3. Auf \([1{,}5;2]\) ergibt sich die Trapezfläche \(0{,}175\). Auf \([2;3]\) ergibt sich die Trapezfläche \(\frac{1}{3}\). Somit gilt \(P(1{,}5\le X\le3)=\frac{7}{40}+\frac{1}{3}=\frac{61}{120}\approx0{,}5083\). 4. Links von \(x=2\) liegt ein Dreieck mit derselben Höhe wie das Dreieck rechts von \(x=2\), aber mit der kürzeren Grundseite. Deshalb liegt links von \(2\) weniger als die Hälfte der Gesamtfläche. Um die kumulierte Wahrscheinlichkeit \(0{,}5\) zu erreichen, muss man also über \(x=2\) hinausgehen.

a) \(f(x)=0{,}2x\) für \(0\le x<2\); \(f(x)=-\frac{2}{15}x+\frac{2}{3}\) für \(2\le x\le5\); \(f(x)=0\) sonst. b) \(P(X\le1)=0{,}1\) c) \(P(1{,}5\le X\le3)=\frac{61}{120}\approx0{,}5083\) d) Der Flächenanteil links von \(2\) ist kleiner als der rechts von \(2\); daher liegt der Median rechts von \(2\,\text{mm}\).

- Wie viel Fläche repräsentiert ein einzelnes Kästchen im Koordinatensystem? - Welche Intervalle werden durch Spiegelung an \(x=1\) aufeinander abgebildet? - Vergleiche in b) gleich breite Intervalle anhand der Höhe des Graphen. - Nutze in c) die Symmetrie, damit du nicht jede Teilfläche neu bestimmen musst.

1. Ein Kästchen im Gitter hat den Flächeninhalt \(0{,}1\cdot0{,}1=0{,}01\). Durch Abschätzen der Fläche unter der Kurve auf \([0;0{,}5]\) erhält man ungefähr \(P(0\le X\le0{,}5)\approx0{,}16\). 2. Der Graph ist symmetrisch zur Geraden \(x=1\). Daher gilt \(P(0{,}5\le X\le1)=P(1\le X\le1{,}5)\). Im Intervall \([1;1{,}5]\) liegt der Graph vollständig höher als im gleich breiten Randintervall \([1{,}5;2]\). Deshalb gilt \(P(0{,}5\le X\le1)>P(1{,}5\le X\le2)\). 3. Wegen der Symmetrie ist \(P(1{,}5\le X\le2)\approx0{,}16\). Die beiden Randbereiche zusammen haben daher ungefähr die Wahrscheinlichkeit \(0{,}32\). Somit ist \(P(0{,}5\le X\le1{,}5)\approx1-0{,}32=0{,}68\).

a) etwa \(0{,}16\) b) \(P(0{,}5\le X\le1)>P(1{,}5\le X\le2)\), weil der Graph im ersten der beiden gleich breiten Intervalle höher liegt. c) etwa \(0{,}68\): Wegen der Symmetrie hat auch \([1{,}5;2]\) ungefähr die Wahrscheinlichkeit \(0{,}16\); für das mittlere Intervall bleibt daher ungefähr \(1-2\cdot0{,}16=0{,}68\).

- Prüfe für jede Funktion getrennt Nichtnegativität und Gesamtintegral. - Vergleiche vor der Rechnung die Flächen rechts von \(x=1\) unter den beiden Graphen. - Welches Integral beschreibt bei jedem Modell das Ereignis „länger als eine Minute“? - Prüfe, ob sich eine der gesuchten Flächen einfacher über ihren Rest zur Gesamtfläche bestimmen lässt.

1. Beide Funktionen sind auf \([0;2]\) nichtnegativ. Außerdem gilt \(\int_0^2\frac{3}{8}x^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}x^3\right]_0^2=1\) und \(\int_0^2\frac{3}{8}(x-2)^2\,\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}(x-2)^3\right]_0^2=1\). Damit sind beide Funktionen Dichtefunktionen. 2. Für SprintBus gilt \(P(X>1)=1-\int_0^1\frac{3}{8}x^2\,\mathrm{d}x=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0{,}875\). 3. Für SteadyLine gilt \(P(X>1)=\int_1^2\frac{3}{8}(x-2)^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{8}=0{,}125\). Bereits grafisch liegt rechts von \(x=1\) unter \(f\) deutlich mehr Fläche als unter \(g\). Die Rechnung bestätigt die Einschätzung.

a) Beide Funktionen sind nichtnegativ und besitzen auf \([0;2]\) jeweils das Integral \(1\); beide sind Dichtefunktionen. b) Schon am Graphen ist rechts von \(x=1\) bei SprintBus deutlich mehr Fläche zu sehen. Rechnerisch: SprintBus \(P(X>1)=\frac{7}{8}=87{,}5\,\%\), SteadyLine \(P(X>1)=\frac{1}{8}=12{,}5\,\%\). Die Rechnung bestätigt die Einschätzung.

- Welche Fläche unter dem Graphen gehört zum Intervall aus a)? - Beachte, dass der Graph aus verschiedenen geraden Abschnitten besteht. - Welche zwei Bedingungen muss eine Dichtefunktion auf ihrem gesamten Wertebereich erfüllen?

1. Auf \([1;2]\) liegt ein Trapez mit den Höhen \(0{,}1\) und \(0{,}2\). Seine Fläche ist \(A_1=\frac{0{,}1+0{,}2}{2}\cdot1=0{,}15\). Auf \([2;4]\) liegt ein Rechteck mit der Breite \(2\) und der Höhe \(0{,}2\). Seine Fläche ist \(A_2=2\cdot0{,}2=0{,}4\). Daher gilt \(P(1\le X\le4)=0{,}15+0{,}4=0{,}55\). 2. Die Fläche von \(0\) bis \(2\) ist ein Dreieck mit \(A=\frac{1}{2}\cdot2\cdot0{,}2=0{,}2\). Von \(2\) bis \(6\) liegt ein Rechteck mit \(A=4\cdot0{,}2=0{,}8\). Insgesamt ergibt sich \(1\). Der Graph ist nichtnegativ und außerhalb von \([0;6]\) ist die Dichte null. Damit ist \(f\) eine gültige Dichtefunktion.

a) \(P(1\le X\le4)=0{,}55\) b) Ja. \(f\) ist nichtnegativ, außerhalb von \([0;6]\) null und die gesamte Fläche unter dem Graphen beträgt \(1\).

- Liegt die gesuchte Grenze links oder rechts von der Symmetrieachse \(x=2\)? - Wenn \(87{,}5\,\%\) links von \(k\) liegen, wie groß ist die Fläche rechts von \(k\)? - Welche geometrische Form hat die Restfläche rechts von \(k\), und welche Längen brauchst du für ihren Flächeninhalt?

1. Der Graph verläuft von \((0\mid0)\) über \((2\mid0{,}5)\) zu \((4\mid0)\). Die Gesamtfläche ist \(\frac{1}{2}\cdot4\cdot0{,}5=1\). 2. Das Dreieck ist symmetrisch zu \(x=2\). Daher liegt links von \(x=2\) genau die Hälfte der Gesamtfläche, also \(P(X\le2)=0{,}5\). 3. Da \(0{,}875>0{,}5\), liegt \(k\) im Intervall \([2;4]\). Es gilt \(P(X>k)=1-0{,}875=0{,}125\). 4. Rechts von \(k\) liegt ein rechtwinkliges Dreieck mit Grundseite \(4-k\). Für den rechten Schenkel gilt \(g(x)=-0{,}25x+1\), also \(g(k)=0{,}25(4-k)\). 5. Damit gilt \(\frac{1}{2}(4-k)\cdot0{,}25(4-k)=0{,}125\). Also \((4-k)^2=1\). 6. Weil \(k<4\), folgt \(4-k=1\) und damit \(k=3\).

\(k=3\,\text{dL}\)

- Welche Flächenanteile links und rechts von \(0\) müssen wegen der Symmetrie gleich groß sein? - Für die Trapezsumme brauchst du die markierten Höhen in gleichmäßigen Abständen. - Vergleiche die Verbindungsstrecken der Stützpunkte mit dem tatsächlich gezeichneten Kurvenverlauf. - Nutze die Symmetrie erst, nachdem du eine Seite sinnvoll abgeschätzt hast.

1. Wegen der Symmetrie liegt die Hälfte der Gesamtfläche rechts von \(0\). Daher gilt \(P(Y>0)=0{,}5\). 2. Aus den markierten Punkten liest man die Höhen \(0{,}375\), \(0{,}3515625\), \(0{,}28125\) und \(0{,}1640625\) bei \(x=0\), \(0{,}5\), \(1\) und \(1{,}5\) ab. Mit der Schrittweite \(0{,}5\) ergibt sich auf \([0;1{,}5]\) die Trapezsumme \(0{,}5\left(\frac{1}{2}\cdot0{,}375+0{,}3515625+0{,}28125+\frac{1}{2}\cdot0{,}1640625\right)=0{,}451171875\). 3. Der Graph liegt zwischen den Stützpunkten oberhalb der Verbindungsstrecken, daher ist diese Trapezsumme eine Untergrenze. Wegen der Symmetrie folgt \(P(-1{,}5\le Y\le1{,}5)>2\cdot0{,}451171875=0{,}90234375>0{,}9\).

a) \(P(Y>0)=0{,}5\) b) Die symmetrisch verdoppelte Trapezsumme beträgt \(0{,}90234375\) und ist eine Untergrenze. Daher gilt \(P(-1{,}5\le Y\le1{,}5)>90\,\%\).

- Welche Fläche unter der Dichtefunktion gehört zu jedem der drei Ereignisse? - Beachte, dass sich die Form des Graphen im dargestellten Bereich ändert. - Wo muss \(k\) ungefähr liegen, damit links davon bereits \(70\,\%\) der Gesamtfläche erreicht sind? - Wie kannst du diese Flächenbedingung anschließend mathematisch ausdrücken?

1. Auf \([1;3]\) ist die Dichte konstant \(0{,}1\). Daher gilt \(P(1\le X\le3)=(3-1)\cdot0{,}1=0{,}2\). 2. Für \(P(X\ge5)\) liegt auf \([5;6]\) ein Trapez mit den Höhen \(f(5)=0{,}3\) und \(f(6)=0{,}5\) und der Breite \(1\). Daher gilt \(P(X\ge5)=\frac{0{,}3+0{,}5}{2}\cdot1=0{,}4\). 3. Gesucht ist \(k\) mit \(P(X\le k)=0{,}7\). Bis \(x=4\) beträgt die Fläche \(0{,}4\), also liegt \(k\) in \([4;6]\). Dort gilt \(f(x)=0{,}2x-0{,}7\). Aus \(0{,}4+\int_4^k(0{,}2x-0{,}7)\,\mathrm{d}x=0{,}7\) folgt \(k^2-7k+9=0\). Die Lösung in \([4;6]\) ist \(k=\frac{7+\sqrt{13}}{2}\approx5{,}30\).

a) \(P(1\le X\le3)=0{,}2\) b) \(P(X\ge5)=0{,}4\) c) \(k\approx5{,}30\)

- Welche Flächen unter dem Dichtegraphen gehören zu den Ereignissen aus a) und b)? - Welche Höhen lassen sich aus den linearen Graphenstücken ablesen oder bestimmen? - Welche Bedingung kennzeichnet einen Median bei einer stetigen Verteilung? - Vergleiche für c) die bis zum Median benötigte Fläche mit den Flächenanteilen, die der Graph schon vor dem fallenden Abschnitt sammelt.

1. \(P(X\le2)\) ist die Dreiecksfläche von \(x=0\) bis \(x=2\). Mit \(f(2)=0{,}1\) ergibt sich \(P(X\le2)=\frac{1}{2}\cdot2\cdot0{,}1=0{,}1\). 2. Für \(x\in[4;10]\) fällt die Dichte linear von \(0{,}2\) auf \(0\). Es gilt \(f(x)=\frac{10-x}{30}\). Auf \([6;8]\) liegt ein Trapez mit \(f(6)=\frac{4}{30}\), \(f(8)=\frac{2}{30}\) und Breite \(2\). Damit ist \(P(6\le X\le8)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{30}+\frac{2}{30}\right)\cdot2=0{,}2\). 3. Der Median teilt die Gesamtfläche in zwei Hälften. Bis \(x=4\) beträgt die Fläche \(0{,}4\), also liegt \(x_m\) in \([4;10]\). Aus \(\int_4^{x_m}\frac{10-x}{30}\,\mathrm{d}x=0{,}1\) folgt \(x_m^2-20x_m+70=0\). Die Lösung im Intervall ist \(x_m=10-\sqrt{30}\approx4{,}52\).

a) \(P(X\le2)=0{,}1\) b) \(P(6\le X\le8)=0{,}2\) c) \(x_m\approx4{,}52\,\text{mm}\)