- Was bedeutet der Name „Standardnormalverteilung“ für die beiden Parameter? - Betrachte, wie die Gesamtfläche unter einer symmetrischen Dichte durch den Mittelpunkt geteilt wird. - Welche Wahrscheinlichkeit besitzt ein einzelner exakter Wert bei einer stetigen Zufallsgröße?

a) Für die Standardnormalverteilung gilt \(\mu=0\) und \(\sigma=1\). b) Die Dichte ist symmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher liegt die Hälfte der Gesamtfläche links und die Hälfte rechts von \(0\): \(P(Z\le0)=0{,}5\) und \(P(Z>0)=0{,}5\). Da \(Z\) stetig verteilt ist, gilt für einen einzelnen Wert \(P(Z=0)=0\). c) Entscheidend ist die Achsensymmetrie der Standardnormaldichte um den Erwartungswert \(0\).

a) \(\mu=0\), \(\sigma=1\) b) \(P(Z\le0)=0{,}5\), \(P(Z>0)=0{,}5\), \(P(Z=0)=0\) c) Die Standardnormaldichte ist symmetrisch zu \(0\).

- Vergleiche die drei angegebenen Parameterpaare miteinander. - Welche davon beschreibt die standardisierte Form der Normalverteilung?

Eine Standardnormalverteilung hat den Erwartungswert \(0\) und die Standardabweichung \(1\). Daher ist nur A standardnormalverteilt.

A: \(\mu=0\), \(\sigma=1\)

- Welche Seite des Erwartungswerts wird durch ein negatives Vorzeichen angezeigt? - In welcher Einheit misst ein \(z\)-Wert den Abstand vom Erwartungswert?

1. Das negative Vorzeichen zeigt, dass der Messwert unter dem Erwartungswert liegt. 2. Der Betrag \(1{,}5\) zeigt, dass der Abstand zum Erwartungswert \(1{,}5\) Standardabweichungen beträgt.

Der Messwert liegt \(1{,}5\) Standardabweichungen unter dem Erwartungswert.

- Überlege dir, wie groß die gesamte Fläche unter der Glockenkurve ist. - Nutze die Achsensymmetrie der Glockenkurve an der Stelle \(x = 0\). - Wie hängen die Flächeninhalte am linken und rechten Rand der Kurve zusammen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion \(\Phi\) und dem Integral der Dichtefunktion.

1. Aus der Symmetrie \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\) folgt für Teilaufgabe a): \(\int_{-\infty}^{-2} \varphi(x) \, dx = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\). 2. Für den Bereich zwischen den symmetrischen Grenzen in b) gilt: \(\int_{-2}^{2} \varphi(x) \, dx = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544\). 3. Da die Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\) beträgt, ergibt sich für den rechten Rand in c): \(\int_{2}^{\infty} \varphi(x) \, dx = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) \(\approx 0{,}0228\) b) \(\approx 0{,}9544\) c) \(\approx 0{,}0228\)

- Lies in Diagramm 2 die markierten Punkte bei denselben \(z\)-Stellen ab. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit entsteht aus der Differenz zweier Werte der Verteilungsfunktion. - Vergleiche eine Funktionshöhe der Dichte mit einer Fläche unter dem Dichtegraphen. - Welche Fläche sammelt die Verteilungsfunktion bis \(z=0\)?

1. In Diagramm 2 liest man ungefähr \(\Phi(-1)\approx0{,}159\), \(\Phi(0)=0{,}5\) und \(\Phi(1)\approx0{,}841\) ab. Wegen der Symmetrie der Standardnormalverteilung gilt exakt \(\Phi(-1)=1-\Phi(1)\). 2. Für das Intervall gilt \(P(-1\le Z\le1)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0{,}841-0{,}159=0{,}682\). Mit genaueren Werten erhält man etwa \(0{,}6827\). 3. \(\varphi(0)\) ist eine Dichtehöhe und keine Punktwahrscheinlichkeit. Weil die Verteilung stetig ist, gilt \(P(Z=0)=0\). Dagegen ist \(\Phi(0)=P(Z\le0)=0{,}5\), also die bis \(0\) angesammelte Fläche unter der Dichte.

a) \(\Phi(-1)\approx0{,}159\), \(\Phi(0)=0{,}5\), \(\Phi(1)\approx0{,}841\); außerdem gilt \(\Phi(-1)=1-\Phi(1)\). b) \(P(-1\le Z\le1)\approx0{,}683\) c) \(\varphi(0)\) ist eine Dichtehöhe; \(P(Z=0)=0\), während \(\Phi(0)=0{,}5\) eine kumulierte Wahrscheinlichkeit ist.

- Setze den gegebenen \(x\)-Wert in die Standardisierungsformel ein. - Prüfe, ob die lineare Transformation die Reihenfolge der Werte verändert. - Löse in Teil c die Standardisierungsformel nach \(x\) auf. - Derselbe Quantilrang muss auf beiden Skalen dieselbe kumulierte Wahrscheinlichkeit besitzen.

a) \(z=\frac{98-80}{12}=1{,}5\). b) Die Transformation ist streng monoton steigend, daher ist \(X\le98\) gleichbedeutend mit \(Z\le1{,}5\). Somit \(P(X\le98)=P(Z\le1{,}5)=\Phi(1{,}5)\approx0{,}9332\). c) Aus \(-0{,}75=\frac{x-80}{12}\) folgt \(x=80-0{,}75\cdot12=71\). Durch die lineare Standardisierung werden Rangordnung und kumulierte Wahrscheinlichkeit erhalten. Daher gilt \(P(X\le71)=P(Z\le-0{,}75)\approx0{,}2266\).

a) \(z=1{,}5\) b) \(P(X\le98)=P(Z\le1{,}5)\approx0{,}9332\) c) \(x=71\); beide kumulierten Wahrscheinlichkeiten sind etwa \(0{,}2266\).

- Welche Gleichung verbindet \(x\), \(\mu\), \(\sigma\) und \(z\)? - Stelle diese Beziehung nach dem ursprünglichen Wert \(x\) um. - Prüfe, ob ein positiver \(z\)-Wert zu einem Wert oberhalb oder unterhalb von \(\mu\) führen muss.

1. Aus \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) folgt \(x=\mu+z\sigma\). 2. Daher ist \(x=82+1{,}75\cdot6=82+10{,}5=92{,}5\).

\(x=92{,}5\)

- Standardisiere beide Intervallgrenzen getrennt. - Achte darauf, die Ungleichheitszeichen beim linearen Standardisieren beizubehalten. - Wie wird eine Intervallwahrscheinlichkeit mit zwei Werten der kumulativen Standardnormalverteilung ausgedrückt?

1. Die untere Grenze wird zu \(\frac{74-80}{6}=-1\), die obere zu \(\frac{89-80}{6}=1{,}5\). 2. Das Ereignis lautet daher \(-1<Z\le1{,}5\). 3. Somit ist \(P(74<X\le89)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)\approx0{,}7745\).

\(-1<Z\le1{,}5\) \(P(74<X\le89)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1)\approx0{,}7745\)

- Welche \(z\)-Werte begrenzen die markierte Fläche? - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten. - Prüfe bei der Differenz, welcher kumulierte Wert größer sein muss.

1. Der markierte Bereich reicht von \(z=-0{,}5\) bis \(z=1{,}5\). 2. Daher gilt \(P(-0{,}5\le Z\le1{,}5)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-0{,}5)\). 3. Numerisch ergibt sich \(\Phi(1{,}5)-\Phi(-0{,}5)\approx0{,}6247\).

\(\Phi(1{,}5)-\Phi(-0{,}5)\approx0{,}6247\)

- Gesucht ist diesmal nicht \(\Phi(z)\), sondern der zu einer Wahrscheinlichkeit gehörende z-Wert. - Welche Rechenoperation macht die Verteilungsfunktion rückgängig? - Prüfe die Bedeutung deines Vorzeichens anhand der Tatsache, dass \(0{,}93>0{,}5\) ist.

1. Aus \(\Phi(z)=0{,}93\) folgt \(z=\Phi^{-1}(0{,}93)\). 2. Mit dem Taschenrechner erhält man \(z\approx1{,}47579\), also \(z\approx1{,}48\). 3. Damit liegen \(93\,\%\) der Standardnormalverteilung links von ungefähr \(1{,}48\).

\(z\approx1{,}48\); etwa \(93\,\%\) der Werte liegen links davon.

- Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zum gesuchten unteren Zehntel? - Bestimme zuerst das zugehörige z-Quantil. - Wie wird aus einem z-Wert wieder ein Wert der ursprünglichen Zufallsgröße?

1. Gesucht ist \(P(X\le x)=0{,}10\). 2. Standardisiert gilt \(\Phi\left(\frac{x-72}{4{,}5}\right)=0{,}10\). Daher ist \(\frac{x-72}{4{,}5}=\Phi^{-1}(0{,}10)\approx-1{,}281552\). 3. Rücktransformieren liefert \(x\approx72+4{,}5\cdot(-1{,}281552)\approx66{,}23\,\text{s}\).

\(x\approx66{,}23\,\text{s}\)

- Welche Beziehung verbindet einen Wert \(x\) mit \(\mu\), \(\sigma\) und dem standardisierten Wert \(z\)? - Betrachte bei b) Vorzeichen und Betrag der erhaltenen \(z\)-Werte getrennt. - Vergleiche für c) den Mittelpunkt und die Skalenschritte beider Zahlengeraden.

1. Aus der oberen Skala liest man \(A=44\), \(B=60\) und \(C=72\) ab. 2. Mit \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\) erhält man \(z_A=\frac{44-60}{8}=-2\), \(z_B=0\) und \(z_C=\frac{72-60}{8}=1{,}5\). 3. Bei \(A\) zeigt das negative Vorzeichen, dass der Wert unterhalb von \(\mu\) liegt; der Betrag \(2\) bedeutet einen Abstand von \(2\sigma\). Bei \(C\) zeigt das positive Vorzeichen, dass der Wert oberhalb von \(\mu\) liegt; der Betrag \(1{,}5\) bedeutet einen Abstand von \(1{,}5\sigma\). 4. Der Erwartungswert \(x=60\) wird auf \(z=0\) abgebildet. Eine Änderung von \(z\) um \(1\) entspricht auf der ursprünglichen Skala einer Änderung von \(8\) Einheiten.

a) \(A=44\rightarrow z=-2\); \(B=60\rightarrow z=0\); \(C=72\rightarrow z=1{,}5\) b) \(A\): unterhalb von \(\mu\), Abstand \(2\sigma\); \(C\): oberhalb von \(\mu\), Abstand \(1{,}5\sigma\). c) \(x=60\leftrightarrow z=0\); ein Schritt von \(1\) auf der \(z\)-Skala entspricht \(8\) Einheiten auf der \(x\)-Skala.

- Formuliere die obere Wahrscheinlichkeit zunächst als kumulierte Wahrscheinlichkeit links von \(500\). - Welcher Standardnormalwert gehört zu dieser kumulierten Wahrscheinlichkeit? - Setze den gefundenen Wert in die Standardisierungsformel ein und löse nach \(\mu\) auf.

1. Aus \(P(X>500)=0{,}95\) folgt \(P(X\le500)=0{,}05\). 2. Der zugehörige Standardnormalwert erfüllt \(\Phi(z)=0{,}05\), also \(z=\Phi^{-1}(0{,}05)\approx-1{,}6449\). 3. Mit \(z=\frac{500-\mu}{80}\) gilt \(-1{,}6449\approx\frac{500-\mu}{80}\). 4. Auflösen ergibt \(\mu\approx631{,}6\).

\(\mu\approx631{,}6\)

- Erinnere dich an die Definition \(\Phi(z)=P(Z\le z)\). - Prüfe jeden vorgeschlagenen Ausdruck zunächst darauf, ob sein Wert überhaupt zwischen \(0\) und \(1\) liegen kann. - Nutze die Symmetriebeziehung zwischen positiven und negativen Standardnormalwerten. - Eine zentrale Intervallwahrscheinlichkeit entsteht als Differenz zweier kumulierter Wahrscheinlichkeiten.

a) In Zeile 1 ist \(\Phi(-1{,}2)\) bereits die linke kumulierte Wahrscheinlichkeit; das Gegenereignis beschreibt den rechten Bereich ab \(-1{,}2\). In Zeile 2 würde \(2\Phi(1{,}2)>1\) entstehen, was keine Wahrscheinlichkeit sein kann; die linke Randfläche muss abgezogen werden. b) Wegen \(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\) gilt \(P(Z<-1{,}2)=\Phi(-1{,}2)=1-\Phi(1{,}2)\approx1-0{,}8849=0{,}1151\). Außerdem \(P(-1{,}2\le Z\le1{,}2)=\Phi(1{,}2)-\Phi(-1{,}2)=2\Phi(1{,}2)-1\approx0{,}7698\). c) Die Dichte ist symmetrisch zu \(0\), daher besitzen gleich weit vom Mittelpunkt entfernte linke und rechte Randbereiche dieselbe Fläche. Somit \(P(Z>1{,}2)=P(Z<-1{,}2)\approx0{,}1151\).

a) Zeile 1 verwechselt linke kumulierte Wahrscheinlichkeit und Gegenereignis; Zeile 2 liefert sogar einen Wert größer als \(1\). b) \(P(Z<-1{,}2)\approx0{,}1151\); \(P(-1{,}2\le Z\le1{,}2)\approx0{,}7698\). c) Beide Randwahrscheinlichkeiten sind wegen der Symmetrie etwa \(0{,}1151\).