- Vergleiche in jedem Diagramm die Lage der beiden Grenzen relativ zu \(0\). - Bei welchem Bereich sieht die linke Seite wie das Spiegelbild der rechten aus?

In Diagramm a) liegen die Grenzen bei \(-1\) und \(1\). Beide haben denselben Abstand \(1\) vom Erwartungswert \(0\). Daher ist nur dieses Intervall symmetrisch zum Erwartungswert.

Diagramm a)

- Bestimme zuerst die gesamte Wahrscheinlichkeit außerhalb des angegebenen Intervalls. - Welche Bedeutung hat die Symmetrie für die beiden gleich weit entfernten Randbereiche?

Außerhalb des symmetrischen Intervalls liegen insgesamt \(1-0{,}70=0{,}30\). Wegen der Symmetrie verteilt sich diese Wahrscheinlichkeit gleich auf beide Seiten. Daher gilt jeweils \(0{,}30:2=0{,}15\).

\(P(X<45)=0{,}15\) und \(P(X>55)=0{,}15\)

- An welcher Stelle ist die Normaldichte symmetrisch? - Wie groß ist der Abstand jeder Intervallgrenze zu \(500\)? - Übertrage denselben Abstand auf die andere Seite des Erwartungswerts.

1. Die Normaldichte ist symmetrisch zur Geraden \(x=500\). Beim Spiegeln wird eine Grenze \(x\) zu \(1000-x\). 2. a) \(]500;560[\) wird zu \(]440;500[\). 3. b) \(]430;480[\) wird zu \(]520;570[\). 4. c) \(]525;+\infty[\) wird zu \(]-\infty;475[\). 5. d) \(]380;420[\) wird zu \(]580;620[\).

a) \(]440;500[\) b) \(]520;570[\) c) \(]-\infty;475[\) d) \(]580;620[\)

- Schreibe „höchstens \(12\,\text{ml}\) Abweichung“ als symmetrisches Intervall um \(\mu\). - Welche standardisierten Grenzen entstehen durch Division durch \(\sigma\)? - Nutze die Symmetrie der Standardnormalverteilung für ein Intervall der Form \([-z;z]\).

1. Gesucht ist \(P(\mu-12\le X\le\mu+12)\). 2. Nach der Standardisierung liegen die Grenzen bei \(-1{,}5\) und \(1{,}5\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(P(-1{,}5\le Z\le1{,}5)=2\Phi(1{,}5)-1\approx0{,}8664\). 4. In Prozent ergibt das \(86{,}64\,\%\).

\(86{,}64\,\%\)

- Schreibe die Umgebung zunächst als symmetrisches Intervall um \(\mu\). - Was passiert bei der Standardisierung mit \(\mu\) und \(\sigma\) in diesen Grenzen? - Nutze die Symmetrie für ein Intervall der Form \([-z;z]\) und wandle erst am Ende in Prozent um.

1. Die \(0{,}75\sigma\)-Umgebung ist \([\mu-0{,}75\sigma;\mu+0{,}75\sigma]\). 2. Durch Standardisierung wird daraus \(P(-0{,}75\le Z\le0{,}75)\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(P=2\Phi(0{,}75)-1\approx0{,}5467\). 4. In Prozent sind das \(54{,}67\,\%\).

\(54{,}67\,\%\)

- Prüfe bei beiden Teilaufgaben, ob die Grenzen symmetrisch um \(\mu\) liegen. - Wie viele Standardabweichungen entsprechen \(0{,}3\,\text{g}\)? - Für eine Wahrscheinlichkeit außerhalb eines zentralen Intervalls kannst du die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden.

1. Die standardisierten Grenzen sind \(-\frac{4}{3}\) und \(\frac{4}{3}\). Daher gilt \(P(6{,}0\le X\le6{,}4)\approx0{,}8176=81{,}76\,\%\). 2. Eine Abweichung von mehr als \(0{,}3\,\text{g}\) entspricht dem Bereich außerhalb von \(\mu\pm2\sigma\). Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(1-[\Phi(2)-\Phi(-2)]\approx0{,}0455=4{,}55\,\%\).

1. \(81{,}76\,\%\) 2. \(4{,}55\,\%\)

- Lies Lage und Breite der beiden markierten Intervalle ab. - Vergleiche, über welchen Teilen der Glockenkurve die beiden gleich breiten Intervalle liegen. - In welchem Bereich sind die Dichtewerte insgesamt größer?

1. In a) ist das Intervall \([-1;1]\) markiert, in b) das Intervall \([0;2]\). Beide sind \(2\) Einheiten breit. 2. Die Standardnormaldichte ist symmetrisch um \(0\) und dort am größten. Das Intervall \([-1;1]\) ist um das Dichtemaximum zentriert, während \([0;2]\) nach rechts verschoben ist. 3. Daher gilt \(P(-1\le Z\le1)>P(0\le Z\le2)\).

Bereich a) hat die größere Wahrscheinlichkeit, weil das gleich breite Intervall dort um das Dichtemaximum zentriert ist.

- Lies die \(x\)-Koordinaten der beiden markierten Punkte ab. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du als Differenz der beiden Werte der Verteilungsfunktion. - Welche Beziehung müssen die Grenzen haben, damit das Intervall um \(0\) symmetrisch ist?

1. Für \(A\) liest man ungefähr \(z_A\approx-1{,}3\), für \(B\) ungefähr \(z_B\approx1{,}3\) ab. 2. Damit ist \(I\approx[-1{,}3;1{,}3]\). Aus den markierten Werten der Verteilungsfunktion folgt \(P(Z\in I)\approx0{,}90-0{,}10=0{,}80\). 3. Die beiden Grenzen sind näherungsweise Gegenzahlen und haben denselben Abstand von \(0\). Daher liegt das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert der Standardnormalverteilung.

a) \(z_A\approx-1{,}3\), \(z_B\approx1{,}3\) b) \(I\approx[-1{,}3;1{,}3]\); \(P(Z\in I)\approx0{,}80\) c) Die Grenzen sind näherungsweise Gegenzahlen und daher gleich weit von \(0\) entfernt.

- Welche Symmetrieeigenschaft hat ein zentrales Intervall um \(\mu\)? - Wie hängen die außerhalb liegenden \(10\,\%\) mit dem gegebenen Wert \(\Phi(1{,}645)\approx0{,}95\) zusammen? - Wie wird ein Abstand auf der z-Skala auf die ursprüngliche x-Skala übertragen?

1. Außerhalb des zentralen \(90\,\%\)-Intervalls liegen insgesamt \(10\,\%\). Wegen der Symmetrie liegen auf jeder Seite \(5\,\%\). 2. Am rechten Rand liegen daher \(95\,\%\) links vom Grenzwert. Deshalb wird das Standardnormalquantil \(z=1{,}645\) verwendet. 3. Der Abstand vom Erwartungswert ist \(1{,}645\cdot5=8{,}225\). 4. Die Grenzen sind \(70-8{,}225=61{,}775\) und \(70+8{,}225=78{,}225\). Auf eine Dezimalstelle gerundet ergibt sich \([61{,}8;78{,}2]\).

a) \([61{,}8;78{,}2]\) b) Beim zentralen \(90\,\%\)-Intervall bleiben rechts \(5\,\%\) außerhalb; daher liegen am rechten Rand \(95\,\%\) links davon.

- Nutze die Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeiten links und rechts vom Erwartungswert symmetrisch verteilt sind. - Wenn zwei äußere Bereiche die gleiche Fläche unter der Kurve haben, was sagt das über ihre Lage zum Mittelpunkt aus? - Verwende den in Aufgabenteil a) berechneten Erwartungswert als Spiegelachse für die weiteren Aufgabenteile.

1. Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) ist und \(P(X < 145) = P(X > 155)\) gilt, muss \(\mu\) genau in der Mitte der Werte \(145\) und \(155\) liegen. Es gilt \(\mu = \frac{145 + 155}{2} = 150\). 2. Um ein Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit wie \(]150; 153[\) zu finden, spiegelt man die Grenzen an \(\mu = 150\). Die obere Grenze \(153\) hat einen Abstand von \(3\) zu \(\mu\). Die Spiegelung ergibt \(150 - 3 = 147\). Das Intervall lautet somit \(]147; 150[\). 3. Das Intervall \(]158; +\infty[\) beginnt bei \(158\), was einen Abstand von \(8\) rechts von \(\mu = 150\) bedeutet. Das symmetrische Ereignis auf der linken Seite ist der Bereich links von \(\mu - 8 = 142\). Somit ist \(k = 142\) und das Intervall lautet \(]-\infty; 142[\).

a) \(\mu = 150\) b) \(]147; 150[\) c) \(]-\infty; 142[\)

- Schreibe die Intervallwahrscheinlichkeit zunächst mit den Werten der Verteilungsfunktion an beiden Grenzen. - Das Ziel ist ein Ausdruck, in dem nur noch \(F(\mu+a)\) vorkommt.

1. Für das Intervall gilt \(P(\mu-a\le X\le\mu+a)=F(\mu+a)-F(\mu-a)\). 2. Mit \(F(\mu-a)=1-F(\mu+a)\) folgt \(P=F(\mu+a)-\left(1-F(\mu+a)\right)\). 3. Damit ist \(P(\mu-a\le X\le\mu+a)=2F(\mu+a)-1\).

\(P(\mu-a\le X\le\mu+a)=2F(\mu+a)-1\)

- Übersetze den symmetrischen Toleranzbereich in ein Intervall der Standardnormalverteilung. - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zur rechten Grenze eines zentralen \(95\,\%\)-Intervalls? - Übertrage den gefundenen Standardnormalwert anschließend zurück in Millimeter.

1. Die Bedingung lautet \(P(\mu-d\le X\le\mu+d)=0{,}95\). 2. Nach der Standardisierung ist \(P\left(-\frac{d}{\sigma}\le Z\le\frac{d}{\sigma}\right)=0{,}95\). 3. Für \(z=\frac{d}{\sigma}\) gilt wegen der Symmetrie \(2\Phi(z)-1=0{,}95\), also \(\Phi(z)=0{,}975\). 4. Damit ist \(z=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}9600\) und \(d=z\sigma\approx1{,}9600\cdot0{,}05\,\text{mm}\approx0{,}098\,\text{mm}\).

\(d\approx0{,}098\,\text{mm}\)

- Formuliere die gegebene Abweichung als symmetrisches Intervall um den Mittelwert. - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zur rechten Grenze eines zentralen \(95\,\%\)-Intervalls? - Setze den zugehörigen Standardnormalwert in die standardisierte Intervallgrenze ein und löse nach \(\sigma\) auf.

1. Die Bedingung lautet \(P(988\le X\le1012)=0{,}95\). 2. Nach der Standardisierung gilt \(P\left(-\frac{12}{\sigma}\le Z\le\frac{12}{\sigma}\right)=0{,}95\). 3. Mit der Symmetrie folgt \(2\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right)-1=0{,}95\), also \(\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right)=0{,}975\). 4. Daher ist \(\frac{12}{\sigma}=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}9600\) und somit \(\sigma\approx\frac{12}{1{,}9600}\,\text{g}\approx6{,}12\,\text{g}\).

\(\sigma\approx6{,}12\,\text{g}\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls mithilfe der Verteilungsfunktion \(\Phi\) ausdrückt. - Welchen Wert muss die Verteilungsfunktion an der oberen Grenze annehmen, damit in der Mitte \(70\,\%\) der Fläche liegen? - Wie hängen die Grenzen eines Intervalls bei einer allgemeinen Normalverteilung mit denen der Standardnormalverteilung zusammen?

1. Für die Standardnormalverteilung gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1\). Setzt man dies gleich \(0{,}70\), ergibt sich \(2\Phi(k) = 1{,}70\), also \(\Phi(k) = 0{,}85\). 2. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder durch Probieren) findet man für \(\Phi(k) = 0{,}85\) den Wert \(k \approx 1{,}04\). 3. Für eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße \(G \sim N(\mu; \sigma^2)\) liegt das symmetrische \(70\,\%\)-Intervall bei \([\mu - k\sigma; \mu + k\sigma]\). 4. Einsetzen der Werte: \(1000 \pm 1{,}04 \cdot 6 = 1000 \pm 6{,}24\). 5. Das Intervall lautet somit \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

a) \(k \approx 1{,}04\) b) Das Intervall ist \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

- Wie verteilt sich die außerhalb eines zentralen symmetrischen Intervalls liegende Wahrscheinlichkeit auf die beiden Randbereiche? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss am rechten Intervallrand erreicht sein? - Übertrage den gefundenen Standardnormalwert anschließend mit \(x=\mu+z\sigma\) auf die Skala von \(X\).

1. Für ein symmetrisches Intervall mit Wahrscheinlichkeit \(p\) liegen in jedem Randbereich \(\frac{1-p}{2}\). Für den rechten Rand gilt daher \(\Phi(k)=\frac{1+p}{2}\), und die Intervallgrenzen sind \(\mu\pm k\sigma\). 2. Für \(p=0{,}683\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}8415)\approx1{,}001\). Damit sind die Grenzen \(120\pm1{,}001\cdot15\approx104{,}99\) und \(135{,}01\). Gerundet ergibt sich \(I=[105{,}0;135{,}0]\). 3. Für \(p=0{,}950\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}960\). Damit sind die Grenzen \(120\pm1{,}960\cdot15\approx90{,}60\) und \(149{,}40\). Gerundet ergibt sich \(I=[90{,}6;149{,}4]\). 4. Für \(p=0{,}990\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}995)\approx2{,}576\). Damit sind die Grenzen \(120\pm2{,}576\cdot15\approx81{,}36\) und \(158{,}64\). Gerundet ergibt sich \(I=[81{,}4;158{,}6]\).

a) \(I=[105{,}0;135{,}0]\) b) \(I=[90{,}6;149{,}4]\) c) \(I=[81{,}4;158{,}6]\)

- Bestimme zuerst den gesamten Wahrscheinlichkeitsanteil außerhalb des zentralen Intervalls. - Wie verteilt sich dieser Rest bei Symmetrie um \(0\)? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss daher am rechten Intervallrand erreicht sein?

1. Außerhalb des zentralen Intervalls liegen insgesamt \(10\,\%\). Wegen der Symmetrie entfallen auf jede Seite \(5\,\%\). Daher gilt \(\Phi(a)=0{,}95\). 2. Somit ist \(a=\Phi^{-1}(0{,}95)\approx1{,}644854\). 3. Auf drei Dezimalstellen lautet das Intervall \([-1{,}645;1{,}645]\). 4. In jedem der beiden Randbereiche liegen wegen der Symmetrie \(0{,}05=5\,\%\).

a) \(a\approx1{,}644854\) b) \([-1{,}645;1{,}645]\) c) jeweils \(5\,\%\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Größe um einen bestimmten Faktor der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht? - Nutze die Standardisierung, um die allgemeine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu überführen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaft der Dichtefunktion bzw. die Beziehung \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).

1. Die Bedingung „höchstens um das \(1{,}5\)-fache der Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen“ entspricht dem Intervall \([\mu - 1{,}5\sigma; \mu + 1{,}5\sigma]\). 2. Durch Standardisierung \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) wird die Wahrscheinlichkeit zu \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)\). 3. Berechnung: \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2\Phi(1{,}5) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). 4. Allgemeiner Nachweis: \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k\sigma \le X - \mu \le k\sigma)\). 5. Division durch \(\sigma > 0\) liefert \(P(-k \le \frac{X - \mu}{\sigma} \le k) = P(-k \le Z \le k)\). 6. Da \(Z\) standardnormalverteilt ist, gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = \Phi(k) - (1 - \Phi(k)) = 2\Phi(k) - 1\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\).

a) \(P(\mu - 1{,}5\sigma \le X \le \mu + 1{,}5\sigma) \approx 0{,}8664\) b) Durch Standardisierung folgt \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k \le Z \le k) = 2\Phi(k) - 1\).

- Standardisiere die beiden symbolischen Intervallgrenzen in a). - Wo muss bei einem festen Intervall der Hochpunkt einer symmetrischen Glockenkurve liegen, damit möglichst viel Fläche im Intervall liegt? - Welchen Anteil der Gesamtfläche trennt die Symmetrieachse einer Normalverteilung ab?

1. Nach der Standardisierung wird \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) zu \([-1;1]\). Daher ist \(P(\mu-\sigma\le Y\le\mu+\sigma)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0{,}6827\). Da \(\mu\) und \(\sigma\) beim Standardisieren verschwinden, ist der Wert für jede Normalverteilung gleich. 2. Bei festem \(\sigma\) ist die Dichte symmetrisch um \(\mu\) und dort am größten. Ein Intervall fester Breite enthält die größte Fläche, wenn es um den Hochpunkt zentriert ist. Die Mitte von \([10;20]\) ist \(15\), also ist \(\mu=15\) optimal. 3. Wegen der Symmetrie gilt für jede Normalverteilung \(P(Y\le\mu)=0{,}5\). Eine Verdopplung von \(\sigma\) ändert diesen Wert nicht.

a) \(P(\mu-\sigma\le Y\le\mu+\sigma)\approx0{,}6827\), unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\) b) \(\mu=15\) c) \(P(Y\le\mu)=0{,}5\) bleibt unverändert.

- Suche nach einer Eigenschaft der Normalverteilung, mit der sich Wahrscheinlichkeiten ohne Tabellenwerte vergleichen lassen. - Vergleiche die Lage und Breite des gegebenen Intervalls mit dem gesuchten Intervall relativ zu \(\mu\). - Für die Eindeutigkeit: Was geschieht mit der Fläche über \([54;c]\), wenn \(c\) nach rechts verschoben wird?

1. Die Normalverteilung ist symmetrisch um \(\mu=50\). 2. Das Spiegelbild des Intervalls \([42;46]\) an der Symmetrieachse \(x=50\) ist \([54;58]\). Daher haben die beiden Intervalle dieselbe Wahrscheinlichkeit und es gilt \(c=58\). 3. Für \(c>54\) wächst \(P(54\le X\le c)\) streng mit \(c\), weil die Normaldichte in diesem Bereich positiv ist. Deshalb kann es keinen zweiten Wert mit derselben Intervallwahrscheinlichkeit geben.

\(c=58\)