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- Vergleiche in jeder Abbildung den Abstand der linken und rechten Grenze von \(0\). - Ein symmetrisches Intervall hat auf beiden Seiten des Erwartungswerts dieselbe Breite.

In Abbildung a) liegen die Grenzen bei \(-1\) und \(1\). Beide haben denselben Abstand \(1\) vom Erwartungswert \(0\). Daher ist nur dieses Intervall symmetrisch zum Erwartungswert.

Abbildung a)

- Bestimme zuerst die gesamte Wahrscheinlichkeit außerhalb des angegebenen Intervalls. - Welche Bedeutung hat die Symmetrie für die beiden gleich weit entfernten Randbereiche?

Außerhalb des symmetrischen Intervalls liegen insgesamt \(1-0{,}70=0{,}30\). Wegen der Symmetrie verteilt sich diese Wahrscheinlichkeit gleich auf beide Seiten. Daher gilt jeweils \(0{,}30:2=0{,}15\).

\(P(X<45)=0{,}15\) und \(P(X>55)=0{,}15\)

- Überlege dir, an welcher Stelle die Glockenkurve der Normalverteilung symmetrisch ist. - Wie kannst du einen Wert \(x\) an einem Zentrum \(\mu\) spiegeln? - Wenn ein Bereich rechts vom Mittelwert liegt, wo muss der flächengleiche Bereich auf der linken Seite liegen? - Skizziere dir eine Glockenkurve und markiere die gegebenen Intervalle, um die Lage der gesuchten Intervalle zu visualisieren.

Die Dichtefunktion einer Normalverteilung ist achsensymmetrisch zur Geraden \(x = \mu\). Ein Intervall \(]a; b[\) hat daher dieselbe Wahrscheinlichkeit wie das an \(\mu\) gespiegelte Intervall \(]\mu - (b - \mu); \mu + (\mu - a)[\), was vereinfacht \(]2\mu - b; 2\mu - a[\) entspricht. Mit \(\mu = 500\) ergeben sich: 1. Für \(]500; 560[\): Das gespiegelte Intervall ist \(]500 - (560 - 500); 500[ = ]440; 500[\). 2. Für \(]430; 480[\): Die Grenzen haben die Abstände \(70\) und \(20\) links von \(\mu\). Die Spiegelung nach rechts ergibt \(]500 + 20; 500 + 70[ = ]520; 570[\). 3. Für \(]525; +\infty[\): Der Abstand der unteren Grenze zu \(\mu\) ist \(25\). Das symmetrische Intervall liegt links von \(\mu - 25 = 475\), also \(]-\infty; 475[\). 4. Für \(]380; 420[\): Die Abstände zu \(\mu\) sind \(120\) und \(80\) nach links. Die Spiegelung nach rechts ergibt \(]500 + 80; 500 + 120[ = ]580; 620[\).

a) \(]440; 500[\) b) \(]520; 570[\) c) \(]-\infty; 475[\) d) \(]580; 620[\)

- Lies in beiden Abbildungen Lage und Breite des markierten Intervalls ab. - Wo ist die Standardnormaldichte am höchsten? - Bei welcher Lage sammelt ein gleich breites Intervall mehr Fläche unter einer symmetrischen Glockenkurve?

1. Aus den Abbildungen liest man in a) das Intervall \([-1;1]\) und in b) das Intervall \([0;2]\) ab. Beide Intervalle haben die Breite \(2\). 2. Die Standardnormaldichte ist symmetrisch um \(0\) und dort am größten. Das Intervall \([-1;1]\) liegt vollständig um den Bereich mit der höchsten Dichte, während \([0;2]\) nach rechts verschoben ist. 3. Daher gilt \(P(-1\le Z\le1)>P(0\le Z\le2)\).

Bereich a) hat die größere Wahrscheinlichkeit, weil das gleich breite Intervall dort um das Dichtemaximum zentriert ist.

- Lies die x-Koordinaten der beiden markierten Punkte ab; die y-Koordinaten sind bereits als kumulierte Wahrscheinlichkeiten gegeben. - Eine Intervallwahrscheinlichkeit erhältst du als Differenz des rechten und linken CDF-Werts. - Welche Beziehung müssen die beiden Intervallgrenzen haben, damit das Intervall um \(0\) symmetrisch ist?

1. Aus dem Graphen liest man für \(A\) ungefähr \(z_A\approx-1{,}3\) und für \(B\) ungefähr \(z_B\approx1{,}3\) ab. 2. Damit ist \(I\approx[-1{,}3;1{,}3]\). Aus den markierten CDF-Niveaus folgt \(P(Z\in I)\approx0{,}90-0{,}10=0{,}80\). 3. Die beiden Grenzen sind näherungsweise Gegenzahlen und haben damit denselben Abstand von \(0\). Das Intervall liegt deshalb symmetrisch um den Erwartungswert der Standardnormalverteilung.

a) \(z_A\approx-1{,}3\), \(z_B\approx1{,}3\) b) \(I\approx[-1{,}3;1{,}3]\); \(P(Z\in I)\approx0{,}80\) c) Die Grenzen sind näherungsweise Gegenzahlen und daher gleich weit von \(0\) entfernt.

- Nutze die Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeiten links und rechts vom Erwartungswert symmetrisch verteilt sind. - Wenn zwei äußere Bereiche die gleiche Fläche unter der Kurve haben, was sagt das über ihre Lage zum Mittelpunkt aus? - Verwende den in Aufgabenteil a) berechneten Erwartungswert als Spiegelachse für die weiteren Aufgabenteile.

1. Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu\) ist und \(P(X < 145) = P(X > 155)\) gilt, muss \(\mu\) genau in der Mitte der Werte \(145\) und \(155\) liegen. Es gilt \(\mu = \frac{145 + 155}{2} = 150\). 2. Um ein Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit wie \(]150; 153[\) zu finden, spiegelt man die Grenzen an \(\mu = 150\). Die obere Grenze \(153\) hat einen Abstand von \(3\) zu \(\mu\). Die Spiegelung ergibt \(150 - 3 = 147\). Das Intervall lautet somit \(]147; 150[\). 3. Das Intervall \(]158; +\infty[\) beginnt bei \(158\), was einen Abstand von \(8\) rechts von \(\mu = 150\) bedeutet. Das symmetrische Ereignis auf der linken Seite ist der Bereich links von \(\mu - 8 = 142\). Somit ist \(k = 142\) und das Intervall lautet \(]-\infty; 142[\).

a) \(\mu = 150\) b) \(]147; 150[\) c) \(]-\infty; 142[\)

- Wie berechnet man allgemein die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall \([x_1; x_2]\), wenn die Verteilungsfunktion bekannt ist? - Versuche, in deiner Formel alle Ausdrücke, die \(\mu - a\) enthalten, durch den in der Aufgabe genannten Zusammenhang zu ersetzen. - Achte beim Auflösen der Klammern besonders auf die Vorzeichen.

1. Aufstellen des Ansatzes für die Intervallwahrscheinlichkeit mittels der Verteilungsfunktion: \(P(\mu - a \le X \le \mu + a) = \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu - a)\). 2. Anwendung der gegebenen Symmetrie-Eigenschaft: Ersetzen des Terms \(\Phi_{\mu; \sigma}(\mu - a)\) durch den Ausdruck \(1 - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a)\). 3. Einsetzen und Vereinfachen der Gleichung: \(P = \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - (1 - \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a))\). 4. Zusammenfassen der Terme: \(P = \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - 1 + \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) = 2 \cdot \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - 1\).

\(P(\mu - a \le X \le \mu + a) = 2 \cdot \Phi_{\mu; \sigma}(\mu + a) - 1\)

- Schreibe „höchstens \(12\,\text{ml}\) Abweichung“ als symmetrisches Intervall um \(\mu\). - Welche standardisierten Grenzen entstehen durch Division durch \(\sigma\)? - Nutze die Symmetrie der Standardnormalverteilung für ein Intervall der Form \([-z;z]\).

1. Gesucht ist \(P(\mu-12\le X\le\mu+12)\). 2. Nach der Standardisierung liegen die Grenzen bei \(-1{,}5\) und \(1{,}5\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(P(-1{,}5\le Z\le1{,}5)=2\Phi(1{,}5)-1\approx0{,}8664\). 4. In Prozent ergibt das \(86{,}64\,\%\).

\(86{,}64\,\%\)

- Schreibe die Umgebung zunächst als symmetrisches Intervall um \(\mu\). - Was passiert bei der Standardisierung mit \(\mu\) und \(\sigma\) in diesen Grenzen? - Nutze die Symmetrie für ein Intervall der Form \([-z;z]\) und wandle erst am Ende in Prozent um.

1. Die \(0{,}75\sigma\)-Umgebung ist \([\mu-0{,}75\sigma;\mu+0{,}75\sigma]\). 2. Durch Standardisierung wird daraus \(P(-0{,}75\le Z\le0{,}75)\). 3. Wegen der Symmetrie gilt \(P=2\Phi(0{,}75)-1\approx0{,}5467\). 4. In Prozent sind das \(54{,}67\,\%\).

\(54{,}67\,\%\)

- Überlege dir, wie man die Wahrscheinlichkeit eines symmetrischen Intervalls mithilfe der Verteilungsfunktion \(\Phi\) ausdrückt. - Welchen Wert muss die Verteilungsfunktion an der oberen Grenze annehmen, damit in der Mitte \(70\,\%\) der Fläche liegen? - Wie hängen die Grenzen eines Intervalls bei einer allgemeinen Normalverteilung mit denen der Standardnormalverteilung zusammen?

1. Für die Standardnormalverteilung gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = 2\Phi(k) - 1\). Setzt man dies gleich \(0{,}70\), ergibt sich \(2\Phi(k) = 1{,}70\), also \(\Phi(k) = 0{,}85\). 2. Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung (oder durch Probieren) findet man für \(\Phi(k) = 0{,}85\) den Wert \(k \approx 1{,}04\). 3. Für eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße \(G \sim N(\mu; \sigma^2)\) liegt das symmetrische \(70\,\%\)-Intervall bei \([\mu - k\sigma; \mu + k\sigma]\). 4. Einsetzen der Werte: \(1000 \pm 1{,}04 \cdot 6 = 1000 \pm 6{,}24\). 5. Das Intervall lautet somit \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

a) \(k \approx 1{,}04\) b) Das Intervall ist \([993{,}76\,\text{g}; 1006{,}24\,\text{g}]\).

- Wie verteilt sich die außerhalb eines zentralen symmetrischen Intervalls liegende Wahrscheinlichkeit auf die beiden Randbereiche? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss am rechten Intervallrand erreicht sein? - Übertrage den gefundenen Standardnormalwert anschließend mit \(x=\mu+z\sigma\) auf die Skala von \(X\).

1. Für ein symmetrisches Intervall mit Wahrscheinlichkeit \(p\) liegen in jedem Randbereich \(\frac{1-p}{2}\). Für den rechten Rand gilt daher \(\Phi(k)=\frac{1+p}{2}\), und die Intervallgrenzen sind \(\mu\pm k\sigma\). 2. Für \(p=0{,}683\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}8415)\approx1{,}001\). Damit sind die Grenzen \(120\pm1{,}001\cdot15\approx104{,}99\) und \(135{,}01\). Gerundet ergibt sich \(I=[105{,}0;135{,}0]\). 3. Für \(p=0{,}950\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}960\). Damit sind die Grenzen \(120\pm1{,}960\cdot15\approx90{,}60\) und \(149{,}40\). Gerundet ergibt sich \(I=[90{,}6;149{,}4]\). 4. Für \(p=0{,}990\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}995)\approx2{,}576\). Damit sind die Grenzen \(120\pm2{,}576\cdot15\approx81{,}36\) und \(158{,}64\). Gerundet ergibt sich \(I=[81{,}4;158{,}6]\).

a) \(I=[105{,}0;135{,}0]\) b) \(I=[90{,}6;149{,}4]\) c) \(I=[81{,}4;158{,}6]\)

- Prüfe bei beiden Teilaufgaben, ob die Grenzen symmetrisch um \(\mu\) liegen. - Wie viele Standardabweichungen entsprechen \(0{,}3\,\text{g}\)? - Für eine Wahrscheinlichkeit außerhalb eines zentralen Intervalls kannst du die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden.

1. Die standardisierten Grenzen sind \(-\frac{4}{3}\) und \(\frac{4}{3}\). Daher gilt \(P(6{,}0\le X\le6{,}4)\approx0{,}8176=81{,}76\,\%\). 2. Eine Abweichung von mehr als \(0{,}3\,\text{g}\) entspricht dem Bereich außerhalb von \(\mu\pm2\sigma\). Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(1-[\Phi(2)-\Phi(-2)]\approx0{,}0455=4{,}55\,\%\).

1. \(81{,}76\,\%\) 2. \(4{,}55\,\%\)

- Bestimme zuerst den gesamten Wahrscheinlichkeitsanteil außerhalb des zentralen Intervalls. - Wie verteilt sich dieser Rest bei Symmetrie um \(0\)? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss daher am rechten Intervallrand erreicht sein?

1. Außerhalb des zentralen Intervalls liegen insgesamt \(10\,\%\). Wegen der Symmetrie entfallen auf jede Seite \(5\,\%\). Daher gilt \(\Phi(a)=0{,}95\). 2. Somit ist \(a=\Phi^{-1}(0{,}95)\approx1{,}644854\). 3. Auf drei Dezimalstellen lautet das Intervall \([-1{,}645;1{,}645]\). 4. In jedem der beiden Randbereiche liegen wegen der Symmetrie \(0{,}05=5\,\%\).

a) \(a\approx1{,}644854\) b) \([-1{,}645;1{,}645]\) c) jeweils \(5\,\%\)

- Übersetze den symmetrischen Toleranzbereich in ein Intervall der Standardnormalverteilung. - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zur rechten Grenze eines zentralen \(95\,\%\)-Intervalls? - Übertrage den gefundenen Standardnormalwert anschließend zurück in Millimeter.

1. Die Bedingung lautet \(P(\mu-d\le X\le\mu+d)=0{,}95\). 2. Nach der Standardisierung ist \(P\left(-\frac{d}{\sigma}\le Z\le\frac{d}{\sigma}\right)=0{,}95\). 3. Für \(z=\frac{d}{\sigma}\) gilt wegen der Symmetrie \(2\Phi(z)-1=0{,}95\), also \(\Phi(z)=0{,}975\). 4. Damit ist \(z=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}9600\) und \(d=z\sigma\approx1{,}9600\cdot0{,}05\,\text{mm}\approx0{,}098\,\text{mm}\).

\(d\approx0{,}098\,\text{mm}\)

- Formuliere die gegebene Abweichung als symmetrisches Intervall um den Mittelwert. - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zur rechten Grenze eines zentralen \(95\,\%\)-Intervalls? - Setze den zugehörigen Standardnormalwert in die standardisierte Intervallgrenze ein und löse nach \(\sigma\) auf.

1. Die Bedingung lautet \(P(988\le X\le1012)=0{,}95\). 2. Nach der Standardisierung gilt \(P\left(-\frac{12}{\sigma}\le Z\le\frac{12}{\sigma}\right)=0{,}95\). 3. Mit der Symmetrie folgt \(2\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right)-1=0{,}95\), also \(\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right)=0{,}975\). 4. Daher ist \(\frac{12}{\sigma}=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}9600\) und somit \(\sigma\approx\frac{12}{1{,}9600}\,\text{g}\approx6{,}12\,\text{g}\).

\(\sigma\approx6{,}12\,\text{g}\)

- Was bedeutet es mathematisch, wenn eine Größe um einen bestimmten Faktor der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht? - Nutze die Standardisierung, um die allgemeine Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu überführen. - Erinnere dich an die Symmetrieeigenschaft der Dichtefunktion bzw. die Beziehung \(\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)\).

1. Die Bedingung „höchstens um das \(1{,}5\)-fache der Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen“ entspricht dem Intervall \([\mu - 1{,}5\sigma; \mu + 1{,}5\sigma]\). 2. Durch Standardisierung \(Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\) wird die Wahrscheinlichkeit zu \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5)\). 3. Berechnung: \(P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5) = 2\Phi(1{,}5) - 1 \approx 2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). 4. Allgemeiner Nachweis: \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k\sigma \le X - \mu \le k\sigma)\). 5. Division durch \(\sigma > 0\) liefert \(P(-k \le \frac{X - \mu}{\sigma} \le k) = P(-k \le Z \le k)\). 6. Da \(Z\) standardnormalverteilt ist, gilt \(P(-k \le Z \le k) = \Phi(k) - \Phi(-k) = \Phi(k) - (1 - \Phi(k)) = 2\Phi(k) - 1\). Dieser Ausdruck ist unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\).

a) \(P(\mu - 1{,}5\sigma \le X \le \mu + 1{,}5\sigma) \approx 0{,}8664\) b) Durch Standardisierung folgt \(P(\mu - k\sigma \le X \le \mu + k\sigma) = P(-k \le Z \le k) = 2\Phi(k) - 1\).

- Standardisiere die beiden symbolischen Intervallgrenzen in a). - Wo muss bei einem festen Intervall der Hochpunkt einer symmetrischen Glockenkurve liegen, damit möglichst viel Fläche im Intervall liegt? - Welchen Anteil der Gesamtfläche trennt die Symmetrieachse einer Normalverteilung ab?

1. Nach der Standardisierung wird \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) zu \([-1;1]\). Daher ist \(P(\mu-\sigma\le Y\le\mu+\sigma)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0{,}6827\). Da \(\mu\) und \(\sigma\) beim Standardisieren verschwinden, ist der Wert für jede Normalverteilung gleich. 2. Bei festem \(\sigma\) ist die Dichte symmetrisch um \(\mu\) und dort am größten. Ein Intervall fester Breite enthält die größte Fläche, wenn es um den Hochpunkt zentriert ist. Die Mitte von \([10;20]\) ist \(15\), also ist \(\mu=15\) optimal. 3. Wegen der Symmetrie gilt für jede Normalverteilung \(P(Y\le\mu)=0{,}5\). Eine Verdopplung von \(\sigma\) ändert diesen Wert nicht.

a) \(P(\mu-\sigma\le Y\le\mu+\sigma)\approx0{,}6827\), unabhängig von \(\mu\) und \(\sigma\) b) \(\mu=15\) c) \(P(Y\le\mu)=0{,}5\) bleibt unverändert.

- Suche nach einer Eigenschaft der Normalverteilung, mit der sich Wahrscheinlichkeiten ohne Tabellenwerte vergleichen lassen. - Vergleiche die Lage und Breite des gegebenen Intervalls mit dem gesuchten Intervall relativ zu \(\mu\). - Für die Eindeutigkeit: Was geschieht mit der Fläche über \([54;c]\), wenn \(c\) nach rechts verschoben wird?

1. Die Normalverteilung ist symmetrisch um \(\mu=50\). 2. Das Spiegelbild des Intervalls \([42;46]\) an der Symmetrieachse \(x=50\) ist \([54;58]\). Daher haben die beiden Intervalle dieselbe Wahrscheinlichkeit und es gilt \(c=58\). 3. Für \(c>54\) wächst \(P(54\le X\le c)\) streng mit \(c\), weil die Normaldichte in diesem Bereich positiv ist. Deshalb kann es keinen zweiten Wert mit derselben Intervallwahrscheinlichkeit geben.

\(c=58\)