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- Erinnere dich an die drei klassischen Sigma-Regeln in ihrer Reihenfolge von der schmalsten zur breitesten Umgebung. - Mit wachsender Intervallbreite muss auch die enthaltene Wahrscheinlichkeit wachsen.

Nach den Sigma-Regeln gehören etwa \(68{,}3\,\%\) zur \(1\sigma\)-Umgebung, \(95{,}4\,\%\) zur \(2\sigma\)-Umgebung und \(99{,}7\,\%\) zur \(3\sigma\)-Umgebung.

\(68{,}3\,\%\leftrightarrow[\mu-\sigma;\mu+\sigma]\) \(95{,}4\,\%\leftrightarrow[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\) \(99{,}7\,\%\leftrightarrow[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]\)

- Die gesamte Fläche unter einer Dichte entspricht \(100\,\%\). - Gesucht ist das Gegenereignis zum markierten zentralen Bereich.

Die gesamte Wahrscheinlichkeit beträgt \(100\,\%\). Außerhalb des markierten \(2\sigma\)-Bereichs liegen daher etwa \(100\,\%-95{,}4\,\%=4{,}6\,\%\).

etwa \(4{,}6\,\%\)

- Überlege dir zuerst, welches Vielfache der Standardabweichung zu den gesuchten Wahrscheinlichkeiten gehört. - Erinnere dich an die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert. - Wie hängen die Wahrscheinlichkeiten für Intervalle mit den Wahrscheinlichkeiten für die Randbereiche zusammen? - Prüfe, wie oft die Standardabweichung in den Abstand zwischen dem Erwartungswert und dem gegebenen Wert passt.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(68{,}3\,\%\) gehört zur \(1\sigma\)-Regel. Daher ist \(I=[\mu-\sigma;\mu+\sigma]=[410;490]\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}954\) entspricht der \(2\sigma\)-Regel \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\): \(450 - 2 \cdot 40 = 370\) und \(450 + 2 \cdot 40 = 530\). Das Intervall ist \(I = [370; 530]\). 3. Der Wert \(330\) entspricht \(\mu - 3\sigma\), da \(450 - 3 \cdot 40 = 330\). Nach der \(3\sigma\)-Regel liegen ca. \(99{,}7\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit außerhalb dieses Intervalls beträgt näherungsweise \(1 - 0{,}997 \approx 0{,}003\). Aufgrund der Symmetrie entfällt auf den linken Randbereich \(P(X \le \mu - 3\sigma) \approx \frac{0{,}003}{2} \approx 0{,}0015\).

a) \(I=[410;490]\) b) \(I=[370;530]\) c) \(P(X\le330)\approx0{,}0015\)

- Welche ganzzahligen Vielfachen von \(\sigma\) gehören zu den drei angegebenen Wahrscheinlichkeiten? - Setze das passende \(k\) jeweils in \([\mu-k\sigma;\mu+k\sigma]\) ein. - Prüfe, ob die beiden Intervallgrenzen denselben Abstand von \(\mu\) haben.

1. Zur \(1\sigma\)-Regel gehört näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(68{,}3\,\%\). Die Grenzen sind \(14\,200\,\text{h}\) und \(15\,800\,\text{h}\). Damit ergibt sich \([14200\,\text{h};15800\,\text{h}]\). 2. Zur \(2\sigma\)-Regel gehört näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(95{,}4\,\%\). Die Grenzen sind \(13\,400\,\text{h}\) und \(16\,600\,\text{h}\). Damit ergibt sich \([13400\,\text{h};16600\,\text{h}]\). 3. Zur \(3\sigma\)-Regel gehört näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(99{,}7\,\%\). Die Grenzen sind \(12\,600\,\text{h}\) und \(17\,400\,\text{h}\). Damit ergibt sich \([12600\,\text{h};17400\,\text{h}]\).

1. \([14200\,\text{h};15800\,\text{h}]\) 2. \([13400\,\text{h};16600\,\text{h}]\) 3. \([12600\,\text{h};17400\,\text{h}]\)

- Welcher Anteil der Fläche unter der Glockenkurve liegt innerhalb einer \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- oder \(3\sigma\)-Umgebung? - Kannst du die Wahrscheinlichkeit für einen einseitigen Bereich (den Randbereich der Verteilung) aus den symmetrischen Sigma-Regeln herleiten? - Überlege, wie weit die Intervallgrenzen vom Erwartungswert \(\mu\) entfernt sind. - Wie viel Prozent der Fläche liegen außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung und wie verteilt sich dieser Rest auf die beiden Seiten?

1. Zuordnung der Sigma-Regel für Teilaufgabe a): Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}954\) entspricht dem Bereich der \(2\sigma\)-Umgebung um den Erwartungswert \(\mu = 100\). 2. Aufstellen der Gleichung: Da das Intervall \([100 - 6; 100 + 6]\) gegeben ist, gilt \(2\sigma = 6\). 3. Berechnung von \(\sigma\): Aus \(2\sigma = 6\) folgt \(\sigma = 3\). 4. Zuordnung der Sigma-Regel für Teilaufgabe b): Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}0015\) entspricht näherungsweise der Fläche im rechten Randbereich außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung, da \(1 - 0{,}997 \approx 0{,}003\) und \(\frac{0{,}003}{2} \approx 0{,}0015\). 5. Aufstellen der Gleichung: Die Grenze liegt bei \(\mu + 3\sigma\). Mit \(100 + 3\sigma = 109\) ergibt sich \(3\sigma = 9\). 6. Berechnung von \(\sigma\): Aus \(3\sigma = 9\) folgt \(\sigma = 3\).

a) \(\sigma = 3\) b) \(\sigma = 3\)

- Überprüfe zuerst, ob das angegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. - Welche der bekannten Sigma-Regeln (\(1\sigma\), \(2\sigma\) oder \(3\sigma\)) passt zu dem Wahrscheinlichkeitswert \(0{,}9973\)? - Wenn du weißt, wie viele Standardabweichungen die Intervallgrenze vom Mittelwert entfernt ist, kannst du eine einfache Gleichung aufstellen.

1. Das Intervall \([44; 56]\) liegt symmetrisch um den Erwartungswert \(\mu = 50\), da \(50 - 44 = 6\) und \(56 - 50 = 6\). 2. Der Wahrscheinlichkeitswert \(0{,}9973\) ist das Kennzeichen für das \(3\sigma\)-Intervall der Normalverteilung (\(3\sigma\)-Regel). 3. Daraus ergibt sich der Zusammenhang \(3\sigma = 6\). 4. Durch Division durch 3 erhält man \(\sigma = 2\).

\(\sigma = 2\)

- Wie viel Prozent der Werte liegen bei einer Normalverteilung innerhalb von einer, zwei oder drei Standardabweichungen um den Mittelwert? - Kannst du die Grenzen des gegebenen Intervalls mithilfe von \(\mu\) und einem Vielfachen von \(\sigma\) ausdrücken? - Ist das Intervall symmetrisch zum Erwartungswert?

1. Identifikation der Sigma-Regel: Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}9544\) für ein zum Erwartungswert symmetrisches Intervall entspricht der \(2\sigma\)-Regel der Normalverteilung, da \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9544\). 2. Aufstellen der Gleichung für die Intervallgrenzen: Aus dem Vergleich folgt \(170 = \mu + 2\sigma\) (oder analog \(130 = \mu - 2\sigma\)). 3. Einsetzen des gegebenen Erwartungswerts \(\mu = 150\): \(170 = 150 + 2\sigma\), woraus \(20 = 2\sigma\) folgt. 4. Berechnung des Ergebnisses: \(\sigma = 10\).

\(\sigma = 10\)

- Erinnere dich an die Prozentwerte der \(\sigma\)-Regeln für die Normalverteilung. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kennst, wie berechnest du dann die erwartete Anzahl bei einer bestimmten Gesamtzahl? - Achte darauf, ob nach dem Bereich innerhalb oder außerhalb einer Umgebung gefragt wird.

1. Berechnung für die \(1\sigma\)-Umgebung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\mu - 1\sigma \le X \le \mu + 1\sigma) \approx 0{,}683\). Für \(n = 400\) ergibt sich der Erwartungswert \(E = 400 \cdot 0{,}683 = 273{,}2\). 2. Berechnung für den Bereich außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung: Die Wahrscheinlichkeit innerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung liegt bei \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954\). Die Gegenwahrscheinlichkeit für den Bereich außerhalb beträgt \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). Erwartete Anzahl: \(400 \cdot 0{,}046 = 18{,}4\). 3. Berechnung für die \(3\sigma\)-Umgebung: Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997\). Erwartete Anzahl: \(400 \cdot 0{,}997 = 398{,}8\).

a) Erwartungsgemäß liegen etwa \(273{,}2\) Bauteile, gerundet etwa \(273\), in der \(1\sigma\)-Umgebung. b) Erwartungsgemäß liegen etwa \(18{,}4\) Bauteile, gerundet etwa \(18\), außerhalb der \(2\sigma\)-Umgebung. c) Erwartungsgemäß liegen etwa \(398{,}8\) Bauteile, gerundet etwa \(399\), im \(3\sigma\)-Intervall.

- Welcher Punkt auf der x-Achse liegt genau unter der Spitze der Glockenkurve? - Was sagt die Höhe der Kurve über die Wahrscheinlichkeitsdichte an einer Stelle aus? - Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall entspricht der Fläche unter der Kurve in diesem Bereich. Vergleiche die Fläche „in der Mitte“ mit den Flächen „links und rechts außen“. - Wie viel Prozent der Werte liegen bei einer Normalverteilung ungefähr im Bereich von \(\mu - \sigma\) bis \(\mu + \sigma\)?

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums der Dichtefunktion. Aus der Grafik liest man \(\mu = 165\,\text{cm}\) ab. 2. Der Hochpunkt markiert den Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeitsdichte; aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung liegt hier auch der Erwartungswert (Zentrum der Verteilung). 3. Das Intervall \([159; 171]\) entspricht der \(1\sigma\)-Umgebung \([165 - 6; 165 + 6]\). 4. Die Fläche in diesem zentralen Intervall beträgt bei einer Normalverteilung etwa \(68{,}3\,\%\). 5. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Randbereiche \(P(X < 159) + P(X > 171)\) entspricht der restlichen Fläche unter der Kurve, also näherungsweise \(100\,\% - 68{,}3\,\% \approx 31{,}7\,\%\). 6. Da \(68{,}3\,\% > 31{,}7\,\%\), ist die Wahrscheinlichkeit für das zentrale Intervall größer.

a) Der Erwartungswert ist \(\mu = 165\,\text{cm}\). Er liegt am Hochpunkt, da die Normalverteilung symmetrisch ist und dort die höchste Dichte aufweist. b) Die Wahrscheinlichkeit \(P(159 \le X \le 171)\) ist größer. Sie entspricht der \(1\sigma\)-Umgebung und nimmt ca. \(68\,\%\) der Gesamtfläche ein, während die Randbereiche zusammen nur ca. \(32\,\%\) ausmachen.

- Welche Gesamtwahrscheinlichkeiten gehören zur \(1\sigma\)- und zur \(2\sigma\)-Umgebung? - Welche Fläche bleibt übrig, wenn du die kleinere zentrale Umgebung aus der größeren entfernst? - Wie verteilt sich diese Restfläche aufgrund der Symmetrie auf links und rechts?

1. Im zentralen \(2\sigma\)-Intervall liegen etwa \(95{,}4\,\%\), im zentralen \(1\sigma\)-Intervall etwa \(68{,}3\,\%\). 2. Die beiden markierten Bereiche zusammen enthalten daher etwa \(95{,}4\,\%-68{,}3\,\%=27{,}1\,\%\). 3. Wegen der Symmetrie entfällt auf jeden der beiden Bereiche die Hälfte, also etwa \(13{,}55\,\%\).

Beide Bereiche zusammen: etwa \(27{,}1\,\%\) Ein Bereich: etwa \(13{,}55\,\%\)

- Skizziere eine Glockenkurve und markiere den Bereich um den Erwartungswert. - Was kannst du über die Flächen links und rechts von den Intervallgrenzen sagen? - Wie viel Prozent der Gesamtfläche bleiben übrig, wenn man das gegebene Intervall abzieht? - Bedenke, dass die Kurve symmetrisch zu ihrem Zentrum verläuft.

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert außerhalb des Intervalls \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) liegt, beträgt \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). 2. Aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve zum Erwartungswert \(\mu\) verteilt sich diese Restwahrscheinlichkeit zu gleichen Teilen auf die beiden äußeren Ränder. 3. Für a) ergibt sich somit \(P(X \le \mu - 2\sigma) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 4. Für c) gilt analog \(P(X \ge \mu + 2\sigma) = 0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 5. Für b) addiert man die Wahrscheinlichkeit des Intervalls und des linken Randes: \(P(X \le \mu + 2\sigma) = 0{,}954 + 0{,}023 = 0{,}977\) (alternativ: \(1 - 0{,}023 = 0{,}977\)).

a) \(\approx 0{,}023\) b) \(\approx 0{,}977\) c) \(\approx 0{,}023\)

- Wie viele Standardabweichungen liegen die gegebenen Grenzen vom Erwartungswert entfernt? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung um den Erwartungswert herum. - Kannst du ein asymmetrisches Intervall in zwei Teile zerlegen, die jeweils am Erwartungswert beginnen oder enden? - Welche Prozentwerte ordnen die Sigma-Regeln den Bereichen um den Mittelwert zu?

Zunächst werden die Intervallgrenzen als Vielfache der Standardabweichung \(\sigma = 50\) vom Erwartungswert \(\mu = 500\) ausgedrückt. Für Teilaufgabe a) entspricht das Intervall \([450; 550]\) genau \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\), woraus sich nach der \(1\sigma\)-Regel direkt \(P \approx 68{,}3\,\%\) ergibt. In b) liegt das Intervall \([400; 500]\) zwischen \(\mu - 2\sigma\) und \(\mu\); aufgrund der Symmetrie der Glockenkurve entspricht dies der Hälfte des \(2\sigma\)-Intervalls, also \(\frac{1}{2} \cdot 95{,}4\,\% = 47{,}7\,\%\). Für c) wird das Intervall \([450; 650]\) in die Abschnitte \([\mu - \sigma; \mu]\) und \([\mu; \mu + 3\sigma]\) zerlegt. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich somit als Summe der jeweiligen hälftigen Sigma-Intervalle: \(\frac{1}{2} \cdot 68{,}3\,\% + \frac{1}{2} \cdot 99{,}7\,\% = 34{,}15\,\% + 49{,}85\,\% = 84\,\%\).

a) \(P(450 \le X \le 550) \approx 68{,}3\,\%\) b) \(P(400 \le X \le 500) \approx 47{,}7\,\%\) c) \(P(450 \le X \le 650) \approx 84\,\%\)

- Überlege zuerst, wie viele Standardabweichungen die angegebenen Werte vom Erwartungswert entfernt liegen. - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert aus. - Das gesamte Gebiet unter der Kurve entspricht einer Wahrscheinlichkeit von \(100\,\%\). - Erinnere dich daran, dass Intervalle wie \([\mu - \sigma; \mu]\) genau die Hälfte des entsprechenden Sigma-Intervalls abdecken. - Was bedeutet „Abweichung vom Erwartungswert“ mathematisch für das Intervall?

Gegeben sind \(\mu = 400\) und \(\sigma = 8\). Die Sigma-Regeln besagen: \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) \approx 68{,}3\,\%\), \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 95{,}4\,\%\) und \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 99{,}7\,\%\). 1. Für Teilaufgabe a) gilt: \(392 = \mu - \sigma\) und \(416 = \mu + 2\sigma\). Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich als \(P(\mu - \sigma \le X \le \mu) + P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \frac{0{,}683}{2} + \frac{0{,}954}{2} = 0{,}3415 + 0{,}477 = 0{,}8185\). 2. Für Teilaufgabe b) gilt: \(384 = \mu - 2\sigma\). Die Wahrscheinlichkeit für den Bereich außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls ist \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\). Da die Normalverteilung symmetrisch ist, entfällt auf den linken Randbereich (weniger als \(\mu - 2\sigma\)) die Hälfte davon: \(0{,}046 : 2 = 0{,}023\). 3. Für Teilaufgabe c) ist die Abweichung um mehr als \(8\,\text{g}\) gesucht, also \(|X - \mu| > \sigma\). Dies ist das Gegenereignis zum \(1\sigma\)-Intervall: \(1 - P(\mu - \sigma \le X \le \mu + \sigma) = 1 - 0{,}683 = 0{,}317\).

a) \(81{,}85\,\%\) b) \(2{,}3\,\%\) c) \(31{,}7\,\%\)

- Skizziere dir die Glockenkurve und markiere die gesuchten Bereiche. - Prüfe für jeden Grenzwert, ob er ein Vielfaches von \(\sigma\) vom Mittelwert entfernt ist. - Wie viel Prozent der Fläche liegen jeweils rechts und links vom Erwartungswert? - Kombiniere die bekannten Sigma-Prozentsätze durch Addition oder Subtraktion, um Teilbereiche zu bestimmen.

Gegeben sind \(\mu = 10{,}00\) und \(\sigma = 0{,}05\). 1. Teilaufgabe a): Das Intervall \([9{,}90; 10{,}10]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der \(2\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür etwa \(95{,}4\,\%\). 2. Teilaufgabe b): Der Bereich liegt zwischen \(\mu + 2\sigma = 10{,}10\) und \(\mu + 3\sigma = 10{,}15\). Die Wahrscheinlichkeit ist die Differenz der Flächen von \(\mu\) bis zu den jeweiligen Grenzen: \(P(\mu \le X \le \mu + 3\sigma) - P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) = \frac{0{,}997}{2} - \frac{0{,}954}{2} = 0{,}4985 - 0{,}477 = 0{,}0215\). 3. Teilaufgabe c): Gesucht ist \(P(X \ge 10{,}05)\), wobei \(10{,}05 = \mu + \sigma\). Da die Fläche rechts von \(\mu\) genau \(0{,}5\) beträgt, subtrahiert man den Teilbereich zwischen \(\mu\) und \(\mu + \sigma\): \(0{,}5 - P(\mu \le X \le \mu + \sigma) = 0{,}5 - \frac{0{,}683}{2} = 0{,}5 - 0{,}3415 = 0{,}1585\).

a) \(95{,}4\,\%\) b) \(2{,}15\,\%\) c) \(15{,}85\,\%\)

- Nutze die bekannten Sigma-Werte für die Standardwahrscheinlichkeiten. - Skizziere dir bei Wahrscheinlichkeiten für einseitige Bereiche, wie diese aus den Intervallwahrscheinlichkeiten berechnet werden können. - Überlege bei Teilaufgabe c), welche Fläche unter der Glockenkurve links von \(c\) liegen muss und wie sich diese aus einem symmetrischen Intervall und einer Hälfte des Restes zusammensetzt.

1. Die \(1\sigma\)-Regel liefert das Intervall \([\mu-\sigma;\mu+\sigma]\). Mit \(\mu=1200\) und \(\sigma=150\) ergibt sich \([1050;1350]\). 2. Der Wert \(1650\) liegt genau \(3\sigma\) über dem Mittelwert, denn \(1200+3\cdot150=1650\). Nach der \(3\sigma\)-Regel liegen etwa \(99{,}7\,\%\) der Werte im zentralen Intervall. Außerhalb liegen etwa \(0{,}3\,\%\), wegen der Symmetrie also etwa \(0{,}15\,\%\) im rechten Randbereich. Somit ist \(P(X>1650)\approx0{,}0015\). 3. Nach der \(2\sigma\)-Regel gilt \(P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}954\). Links von \(\mu-2\sigma\) liegen wegen der Symmetrie etwa \(0{,}023\). Daher ist \(P(X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}023+0{,}954\approx0{,}977\). Also gilt \(c=1200+2\cdot150=1500\).

a) \([1050;1350]\) b) \(P(X>1650)\approx0{,}0015\) c) \(c=1500\)

- Überlege, welcher Anteil der Fläche unter der Glockenkurve links vom Erwartungswert liegt. - Wie hängen die Prozentangaben der Sigma-Regeln mit den Grenzen des Intervalls zusammen? - Skizziere die Glockenkurve und markiere die gegebenen Wahrscheinlichkeiten. - Unterscheide zwischen einseitigen und beidseitigen Intervallen.

1. Für a): Die Wahrscheinlichkeit \(P(X \le \mu + 1\sigma)\) entspricht etwa \(0{,}5 + \frac{0{,}683}{2} \approx 0{,}8415\). Der Wert \(72\) entspricht somit der Grenze \(\mu + \sigma\). Mit \(60 + \sigma = 72\) ergibt sich \(\sigma = 12\). 2. Für b): Die Wahrscheinlichkeit \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)\) beträgt etwa \(0{,}954\). Das gegebene Intervall \([54; 66]\) ist symmetrisch um \(\mu = 60\) mit einer halben Intervallbreite von \(6\). Es gilt also \(2\sigma = 6\), woraus \(\sigma = 3\) folgt.

a) \(\sigma = 12\) b) \(\sigma = 3\)

- Was bedeutet eine Abweichung vom Erwartungswert mathematisch für das Intervall? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung, um Wahrscheinlichkeiten für halbe Intervalle zu finden. - Welches Vielfache von \(\sigma\) gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(99{,}7\,\%\) im symmetrischen Intervall? - Wie viel Prozent der Werte liegen außerhalb der Sigma-Bereiche?

1. Für a): Die Bedingung \(P(|Y - \mu| > d) \approx 0{,}003\) ist äquivalent zu \(P(\mu - d \le Y \le \mu + d) \approx 0{,}997\). Gemäß der \(3\sigma\)-Regel entspricht dies dem Intervall \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\). Mit \(3\sigma = 15\) ergibt sich \(\sigma = 5\). 2. Für b): Da die Normalverteilung symmetrisch ist, gilt \(P(Y \ge \mu + \sigma) = 0{,}5 - P(\mu \le Y \le \mu + \sigma) \approx 0{,}5 - 0{,}341 = 0{,}159\). Der Wert \(110\) entspricht also \(\mu + \sigma\). Mit \(100 + \sigma = 110\) folgt \(\sigma = 10\).

a) \(\sigma = 5\) b) \(\sigma = 10\)

- Bestimme für jeden Wert den Abstand zum Erwartungswert in Einheiten von \(\sigma\). - Skizziere dir gedanklich die Glockenkurve, um zu entscheiden, ob du Flächen addieren oder von der Gesamtfläche abziehen musst. - Denke daran, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Hälfte der Verteilung (links oder rechts von \(\mu\)) immer \(50\,\%\) beträgt.

1. Parameter: \(\mu = 1200\) und \(\sigma = 100\). 2. Zu a): \(1400 = \mu + 2\sigma\). Gesucht ist die Fläche im rechten Randbereich. \(P(T > \mu + 2\sigma) = \frac{100\,\% - 95{,}4\,\%}{2} = 2{,}3\,\%\). 3. Zu b): \(1100 = \mu - \sigma\). Gesucht ist \(P(T \le \mu - \sigma)\). Unter Ausnutzung der Symmetrie gilt: \(P(T \le \mu - \sigma) = \frac{100\,\% - 68{,}3\,\%}{2} = 15{,}85\,\%\). 4. Zu c): Das Intervall \([1000; 1300]\) entspricht \([\mu - 2\sigma; \mu + \sigma]\). Berechnung über die halben Sigma-Bereiche: \(P(\mu - 2\sigma \le T \le \mu) = \frac{95{,}4\,\%}{2} = 47{,}7\,\%\) und \(P(\mu \le T \le \mu + \sigma) = \frac{68{,}3\,\%}{2} = 34{,}15\,\%\). Summe: \(47{,}7\,\% + 34{,}15\,\% = 81{,}85\,\%\).

a) \(\approx 2{,}3\,\%\) b) \(\approx 15{,}85\,\%\) c) \(\approx 81{,}85\,\%\)

- Welche der drei kanonischen Sigma-Regeln passt jeweils zur angegebenen Wahrscheinlichkeit? - Was bedeutet die Schreibweise \(|X-\mu|<d\) für die Lage des Intervalls? - Wie verteilt sich die kleine Restwahrscheinlichkeit außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung auf beide Seiten? - Vergleiche den Abstand der gegebenen Grenze vom Erwartungswert mit \(\sigma\).

1. Der Ausdruck \(|X-400|<40\) beschreibt das zentrale Intervall \([400-40;400+40]\). Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}954\) gehört zur \(2\sigma\)-Regel. Daher gilt \(2\sigma=40\), also \(\sigma=20\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}0015\) entspricht näherungsweise dem linken Randbereich außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung. Daher liegt die Grenze bei \(\mu-3\sigma\). Aus \(400-3\sigma=340\) folgt \(3\sigma=60\) und damit \(\sigma=20\).

a) \(\sigma=20\) b) \(\sigma=20\)

- Wo muss der Erwartungswert bei einer symmetrischen Glockenkurve liegen, wenn die Flächen links von 60 und rechts von 100 gleich groß sind? - Kennst du bestimmte Wahrscheinlichkeitswerte, die Vielfachen der Standardabweichung (Sigma-Regeln) zugeordnet sind? - Wie hängen die äußeren Randbereiche der Verteilung mit dem zentralen Sicherheitsintervall zusammen?

1. Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung liegt der Erwartungswert \(\mu\) genau in der Mitte der beiden Grenzen: \(\mu = \frac{60 + 100}{2} = 80\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X < \mu - k\sigma) \approx 0{,}0228\) entspricht nach der \(2\sigma\)-Regel dem Bereich außerhalb von zwei Standardabweichungen (da \(P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545\) und \(\frac{1 - 0{,}9545}{2} \approx 0{,}02275\)). 3. Es gilt also \(\mu - 2\sigma = 60\). 4. Einsetzen von \(\mu = 80\) ergibt \(80 - 2\sigma = 60\), woraus \(2\sigma = 20\) und somit \(\sigma = 10\) folgt.

\(\mu = 80\); \(\sigma = 10\)

- Welche Wahrscheinlichkeiten ordnen die Sigma-Regeln den Intervallen \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\), \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) und \([\mu - 3\sigma; \mu + 3\sigma]\) zu? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert \(\mu\), um Wahrscheinlichkeiten für einseitige Intervalle zu bestimmen. - Überlege, wie viele Standardabweichungen die Intervallgrenze vom Erwartungswert entfernt sein muss, um die gegebene Wahrscheinlichkeit zu erreichen. - Skizziere dir die Glockenkurve und markiere die gegebenen Bereiche.

1. Nach der \(2\sigma\)-Regel gilt \(P(\mu \le X \le \mu + 2\sigma) \approx 0{,}477\). Durch Vergleich mit dem Intervall \([\mu; 600]\) folgt \(\mu + 2\sigma = 600\). Mit \(\sigma = 50\) ergibt sich \(\mu + 100 = 600\), also \(\mu = 500\). 2. Die Hälfte der zentralen \(1\sigma\)-Wahrscheinlichkeit beträgt näherungsweise \(0{,}683:2 \approx 0{,}3415\). Daher folgt aus \(P(X \in [350; \mu]) \approx 0{,}3415\), dass \(\mu - \sigma = 350\). Mit \(\sigma = 50\) ergibt sich \(\mu = 400\). 3. Der rechte Randbereich außerhalb der \(3\sigma\)-Umgebung hat nach der Sigma-Regel näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(0{,}0015\). Daher gilt \(\mu + 3\sigma = 750\). Mit \(\sigma = 50\) ergibt sich \(\mu + 150 = 750\), also \(\mu = 600\).

a) \(\mu = 500\) b) \(\mu = 400\) c) \(\mu = 600\)

- Ordne jede gegebene Wahrscheinlichkeit einer Grenze der \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- oder \(3\sigma\)-Umgebung zu. - Beachte bei einseitigen Ereignissen, wie sich die Restwahrscheinlichkeit außerhalb eines symmetrischen Sigma-Intervalls auf beide Seiten verteilt. - Überlege für jeden Fall, ob die angegebene Grenze links oder rechts von \(\mu\) liegen muss. - Drücke die jeweilige Grenze anschließend als \(\mu\pm k\sigma\) aus.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1585\) entspricht dem linken Randbereich unterhalb von \(\mu-\sigma\). Daher gilt \(160=\mu-\sigma\). Mit \(\sigma=20\) folgt \(\mu=180\). 2. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}9985\) entspricht näherungsweise der Fläche links von \(\mu+3\sigma\). Daher gilt \(250=\mu+3\sigma\). Mit \(\sigma=20\) folgt \(250=\mu+60\), also \(\mu=190\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\ge170)\approx0{,}977\) bedeutet \(P(X<170)\approx0{,}023\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegt diese linke Restwahrscheinlichkeit unterhalb von \(\mu-2\sigma\). Daher gilt \(170=\mu-2\sigma\). Mit \(\sigma=20\) folgt \(\mu=210\).

a) \(\mu=180\) b) \(\mu=190\) c) \(\mu=210\)

- Welche Parameter \(\mu\) und \(\sigma\) kannst du aus der Funktionsgleichung ablesen? - Wie hängen die Grenzen im Aufgabenteil a) mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung zusammen? - Erinnere dich an die Prozentwerte für die \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- und \(3\sigma\)-Intervalle. - Skizziere dir zur Not die Glockenkurve, um die Symmetrie für den einseitigen Bereich in a) zu nutzen.

1. Vergleich der gegebenen Funktion \(\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{72\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-40)^2}{72}}\) mit der allgemeinen Form \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\) ergibt \(\mu = 40\) und \(2\sigma^2 = 72\), also \(\sigma^2 = 36\) bzw. \(\sigma = 6\). 2. Zu a): Der Wert \(34\) entspricht \(\mu - \sigma = 40 - 6\). Nach der \(1\sigma\)-Regel liegen ca. \(68{,}3\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Die Wahrscheinlichkeit für den linken Randbereich berechnet sich durch \(P(X \le \mu - \sigma) = \frac{1 - 0{,}683}{2} = 0{,}1585\). 3. Zu b): Die Abweichung um höchstens eine Standardabweichung entspricht dem Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Gemäß der \(1\sigma\)-Regel beträgt diese Wahrscheinlichkeit \(0{,}683\).

a) \(P(X \le 34) \approx 15{,}85\,\%\) b) \(P(34 \le X \le 46) \approx 68{,}3\,\%\)

- Bestimme zuerst \(\mu\) und \(\sigma\) aus dem Exponenten und dem Vorfaktor der Dichtefunktion. - Drücke die Zahl \(10\) als Vielfaches von \(\sigma\) ausgehend von \(\mu\) aus. - Was bedeutet „um mindestens zwei Standardabweichungen abweichen“ für die Lage der Werte im Vergleich zum \(2\sigma\)-Intervall? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung aus.

1. Bestimmung der Parameter durch Koeffizientenvergleich mit der Standardform: \(\mu = -5\) und \(2\sigma^2 = 50 \Rightarrow \sigma = 5\). 2. Zu a): Der Wert \(10\) entspricht \(\mu + 3\sigma = -5 + 3 \cdot 5\). Die \(3\sigma\)-Regel besagt, dass \(P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997\). Der gesuchte Bereich \(P(X > \mu + 3\sigma)\) ist die Hälfte der verbleibenden Restwahrscheinlichkeit: \(\frac{1 - 0{,}997}{2} = 0{,}0015\). 3. Zu b): Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls: \(P(|X - \mu| \ge 2\sigma) = 1 - P(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma)\). Mit der \(2\sigma\)-Regel (\(95{,}4\,\%\)) ergibt sich \(1 - 0{,}954 = 0{,}046\).

a) \(P(X > 10) \approx 0{,}15\,\%\) b) \(P(|X + 5| \ge 10) \approx 4{,}6\,\%\)

- Überlege zuerst, ob der gesuchte Erwartungswert größer oder kleiner als \(500\) sein muss, damit \(95\,\%\) der Werte darüber liegen. - Wie kannst du eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführen? - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Fläche von \(5\,\%\) am linken Rand?

1. Bestimmung der kumulierten Wahrscheinlichkeit: Die Bedingung \(P(X > 500) \approx 0{,}95\) ist äquivalent zu \(P(X \le 500) \approx 0{,}05\). 2. Ermittlung des zugehörigen \(z\)-Werts: Für eine Wahrscheinlichkeit von \(0{,}05\) am linken Rand ergibt sich aus der Standardnormalverteilungstabelle (oder per GTR) ein \(z\)-Wert von \(z \approx -1{,}645\). 3. Standardisierung: Mithilfe der Formel \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) ergibt sich näherungsweise \(-1{,}645 \approx \frac{500 - \mu}{80}\). 4. Berechnung von \(\mu\): Umstellen nach \(\mu\) liefert \(500 - \mu \approx -131{,}6\), woraus \(\mu \approx 631{,}6\) folgt.

\(\mu \approx 631{,}6\)

- Wie verteilt sich die außerhalb eines zentralen symmetrischen Intervalls liegende Wahrscheinlichkeit auf die beiden Randbereiche? - Welche kumulierte Wahrscheinlichkeit muss am rechten Intervallrand erreicht sein? - Übertrage den gefundenen Standardnormalwert anschließend mit \(x=\mu+z\sigma\) auf die Skala von \(X\).

1. Für ein symmetrisches Intervall mit Wahrscheinlichkeit \(p\) liegen in jedem Randbereich \(\frac{1-p}{2}\). Für den rechten Rand gilt daher \(\Phi(k)=\frac{1+p}{2}\), und die Intervallgrenzen sind \(\mu\pm k\sigma\). 2. Für \(p=0{,}683\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}8415)\approx1{,}001\). Damit sind die Grenzen \(120\pm1{,}001\cdot15\approx104{,}99\) und \(135{,}01\). Gerundet ergibt sich \(I=[105{,}0;135{,}0]\). 3. Für \(p=0{,}950\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}960\). Damit sind die Grenzen \(120\pm1{,}960\cdot15\approx90{,}60\) und \(149{,}40\). Gerundet ergibt sich \(I=[90{,}6;149{,}4]\). 4. Für \(p=0{,}990\) ist \(k=\Phi^{-1}(0{,}995)\approx2{,}576\). Damit sind die Grenzen \(120\pm2{,}576\cdot15\approx81{,}36\) und \(158{,}64\). Gerundet ergibt sich \(I=[81{,}4;158{,}6]\).

a) \(I=[105{,}0;135{,}0]\) b) \(I=[90{,}6;149{,}4]\) c) \(I=[81{,}4;158{,}6]\)

- Vergleiche jeweils den Abstand einer Intervallgrenze von \(\mu\) mit der Standardabweichung \(\sigma\). - Ordne die symmetrischen Intervalle der \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- oder \(3\sigma\)-Regel zu. - Bei Teilaufgabe c) ist die Wahrscheinlichkeit außerhalb eines Sigma-Intervalls gesucht; nutze daher die Gegenwahrscheinlichkeit.

1. Das Intervall \(I_1\) reicht von \(\mu-\sigma\) bis \(\mu+\sigma\). Nach der \(1\sigma\)-Regel gilt daher \(P(X\in I_1)\approx0{,}683\). 2. Das Intervall \(I_2\) reicht von \(\mu-2\sigma\) bis \(\mu+2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel gilt daher \(P(X\in I_2)\approx0{,}954\). 3. Eine Abweichung um mehr als \(0{,}06\,\text{mm}\) bedeutet, dass \(X\) außerhalb von \([\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]\) liegt. Nach der \(3\sigma\)-Regel beträgt die Gegenwahrscheinlichkeit näherungsweise \(1-0{,}997\approx0{,}003\).

a) \(P(X\in I_1)\approx0{,}683\) b) \(P(X\in I_2)\approx0{,}954\) c) \(P(|X-\mu|>0{,}06\,\text{mm})\approx0{,}003\)

- Prüfe zuerst, ob das gegebene Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt. - Überlege bei der einseitigen Wahrscheinlichkeit, welche rechte Grenze eines zentralen Sigma-Intervalls ungefähr \(97{,}7\,\%\) der Gesamtfläche links von sich hat. - Schreibe die jeweilige Grenze als \(\mu+k\sigma\) und löse anschließend nach \(\sigma\) auf.

1. Das Intervall \([220;280]\) liegt symmetrisch um \(\mu=250\) und hat den Radius \(30\). Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}683\) entspricht der \(1\sigma\)-Regel. Daher ist \(\sigma=30\). 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen etwa \(95{,}4\,\%\) im zentralen Intervall. Zusammen mit der linken Randfläche von etwa \(2{,}3\,\%\) liegen somit etwa \(97{,}7\,\%\) links von \(\mu+2\sigma\). 3. Daher gilt \(274=250+2\sigma\). Aus \(24=2\sigma\) folgt \(\sigma=12\).

a) \(\sigma=30\) b) \(\sigma=12\)

- Ordne jede Wahrscheinlichkeit einer Grenze der \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- oder \(3\sigma\)-Umgebung zu. - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung, um zentrale Wahrscheinlichkeiten auf die beiden Randbereiche aufzuteilen. - Prüfe bei Teilaufgabe b), welche Sigma-Grenze bereits durch die linke Intervallgrenze festgelegt ist. - Entscheide jeweils, ob \(c\) links oder rechts vom Erwartungswert liegen muss.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}1585\) entspricht näherungsweise dem linken Randbereich unterhalb von \(\mu-\sigma\), denn \(0{,}5-0{,}683:2\approx0{,}1585\). Daher ist \(c=\mu-\sigma=36\). 2. Es gilt \(32=\mu-2\sigma\). Da das zentrale \(2\sigma\)-Intervall die Wahrscheinlichkeit \(0{,}954\) besitzt, muss \(c=\mu+2\sigma=48\) gelten. 3. Nach der \(3\sigma\)-Regel liegen etwa \(0{,}3\,\%\) außerhalb des zentralen Intervalls, also etwa \(0{,}15\,\%\) im rechten Rand. Daher ist \(c=\mu+3\sigma=52\).

a) \(c=36\) b) \(c=48\) c) \(c=52\)

- Wo liegt der höchste Punkt (das Maximum) einer Normalverteilungskurve und welchen Parameter der Verteilung stellt dieser dar? - Erinnere dich an den geometrischen Zusammenhang zwischen den Wendepunkten der Dichtefunktion und der Standardabweichung \(\sigma\). - Welche prozentualen Flächenanteile liegen innerhalb des \(1\sigma\)- und des \(2\sigma\)-Intervalls um den Erwartungswert \(\mu\)? - Nutze die Symmetrie der Kurve bezüglich des Erwartungswerts, um Wahrscheinlichkeiten für einseitig unbegrenzte Intervalle zu bestimmen.

1. Erwartungswert \(\mu\): Der Hochpunkt des symmetrischen Graphen liegt bei \(x = 4\), folglich ist \(\mu = 4\). 2. Standardabweichung \(\sigma\): Die Wendepunkte liegen bei \(\mu \pm \sigma\). Da der Krümmungswechsel bei \(x = 3\) und \(x = 5\) stattfindet, ist \(\sigma = 1\). 3. Wahrscheinlichkeit \(P(3 \le X \le 5)\): Das Intervall \([3; 5]\) entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der ersten Sigma-Regel gilt \(P(3 \le X \le 5) \approx 68{,}3\,\%\) (oder \(68\,\%\)). 4. Wahrscheinlichkeit \(P(2 \le X \le 6)\): Das Intervall \([2; 6]\) entspricht dem \(2\sigma\)-Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\). Nach der zweiten Sigma-Regel gilt \(P(2 \le X \le 6) \approx 95{,}4\,\%\) (oder \(95\,\%\)). 5. Wahrscheinlichkeit \(P(X \ge 5)\): Aus Symmetriegründen gilt \(P(X \ge 4) = 50\,\%\) und \(P(4 \le X \le 5) \approx 34{,}15\,\%\) (Hälfte des \(1\sigma\)-Intervalls). Damit folgt \(P(X \ge 5) \approx 50\,\% - 34{,}15\,\% = 15{,}85\,\%\) (oder über das Gegenereignis des \(1\sigma\)-Intervalls: \(\frac{100\,\% - 68{,}3\,\%}{2} \approx 15{,}85\,\%\), gerundet ca. \(16\,\%\)).

a) \(\mu = 4\), da der Hochpunkt bei \(x = 4\) liegt; \(\sigma = 1\), da die Wendepunkte bei \(x = 3\) und \(x = 5\) liegen. b) 1. \(P(3 \le X \le 5) \approx 68{,}3\,\%\) (oder \(68\,\%\)) 2. \(P(2 \le X \le 6) \approx 95{,}4\,\%\) (oder \(95\,\%\)) 3. \(P(X \ge 5) \approx 15{,}85\,\%\) (oder \(16\,\%\))

- Nutze die Achsenskalierung des Graphen, um die Grenzen relativ zum Zentrum einzuordnen. - Drücke die gegebenen Füllmengen als \(\mu\pm k\sigma\) aus. - Welche \(\sigma\)-Regel gehört zum Intervall mit Abstand \(\sigma\) vom Erwartungswert? - Wie verteilt sich die Restwahrscheinlichkeit außerhalb eines symmetrischen Intervalls auf die beiden Seiten?

a) Im Graphen liegt das Intervall symmetrisch um den Hochpunkt bei \(500\,\text{mL}\). Die Intervallgrenzen sind \(\mu-\sigma=495\,\text{mL}\) und \(\mu+\sigma=505\,\text{mL}\). Nach der \(1\sigma\)-Regel gilt daher \(P(495\le X\le505)\approx68{,}3\,\%\). b) Der Graph zeigt \(490\,\text{mL}\) zwei Standardabweichungen links vom Zentrum und den gesuchten Bereich als kleinen linken Randbereich. Es ist \(490=\mu-2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen etwa \(95{,}4\,\%\) der Werte in \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\). Außerhalb liegen somit etwa \(4{,}6\,\%\). Wegen der Symmetrie entfällt die Hälfte auf den linken Randbereich: \(P(X<490)\approx\frac{4{,}6\,\%}{2}=2{,}3\,\%<2{,}5\,\%\).

a) \(P(495\le X\le505)\approx68{,}3\,\%\). b) \(P(X<490)\approx2{,}3\,\%<2{,}5\,\%\).

- Achte besonders auf das Wort „exakt“ in Theos Behauptung. - Wie hängt die zentrale Wahrscheinlichkeit zwischen \(-2\) und \(2\) mit \(\Phi(2)\) zusammen? - Vergleiche den gerundeten Sigma-Regel-Wert mit einer genaueren Auswertung der Standardnormalverteilungsfunktion.

1. Die Sigma-Regeln liefern Näherungswerte; die Angabe \(95{,}4\,\%\) ist nicht exakt. 2. Mit der Standardnormalverteilungsfunktion gilt \(\Phi(2)\approx0{,}97725\). 3. Daher ist \(P(-2\le Z\le2)=2\Phi(2)-1\approx0{,}95450\). 4. Theos gerundete Werte sind als Näherungen brauchbar, aber die Behauptung „exakt“ ist falsch.

Theos Aussage ist falsch. \(\Phi(2)\approx0{,}97725\) \(P(-2\le Z\le2)\approx0{,}95450\) Die Sigma-Regel ist eine gerundete Faustregel, keine exakte Gleichheit.

- Überlege dir, wie groß die Fläche unter der gesamten Kurve ist. - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich außerhalb eines Intervalls suchst, denke an die Gegenwahrscheinlichkeit. - Skizziere dir im Kopf, welche Flächenstücke du voneinander abziehen oder addieren musst, um zum Zielintervall zu kommen. - Erinnere dich daran, dass die Fläche links und rechts vom Erwartungswert jeweils genau \(50\,\%\) beträgt.

Die Grenzen werden in Einheiten von \(\sigma = 12\) bestimmt. Zu a): Da \(56 = \mu - 2\sigma\) und \(104 = \mu + 2\sigma\) gilt, entspricht dies dem \(2\sigma\)-Intervall mit \(P \approx 95{,}4\,\%\). Zu b): Der Wert \(116\) entspricht \(\mu + 3\sigma\). Da der Bereich außerhalb des \(3\sigma\)-Intervalls insgesamt \(100\,\% - 99{,}7\,\% = 0{,}3\,\%\) beträgt, entfallen aufgrund der Symmetrie auf den rechten Randbereich \(P(Y \ge \mu + 3\sigma) \approx 0{,}15\,\%\). Zu c): Die Grenzen liegen bei \(\mu - 3\sigma = 44\) und \(\mu - \sigma = 68\). Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Differenz der Flächenanteile von der Mitte aus: \(P(\mu - 3\sigma \le Y \le \mu) - P(\mu - \sigma \le Y \le \mu) \approx \frac{1}{2} \cdot 99{,}7\,\% - \frac{1}{2} \cdot 68{,}3\,\% = 49{,}85\,\% - 34{,}15\,\% = 15{,}7\,\%\).

a) \(P(56 \le Y \le 104) \approx 95{,}4\,\%\) b) \(P(Y \ge 116) \approx 0{,}15\,\%\) c) \(P(44 \le Y \le 68) \approx 15{,}7\,\%\)

- Formuliere die gegebene Wahrscheinlichkeit zuerst als Intervall um den Mittelwert. - Nutze die Standardisierung \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\), um zur Standardnormalverteilung überzugehen. - Wenn \(95\,\%\) im Zentrum liegen, wie viel Prozent liegen dann jeweils in den äußeren Rändern? - Welchen \(z\)-Wert liefert die Tabelle für das entsprechende Quantil?

1. Die Bedingung „um höchstens \(12\,\text{g}\) vom Erwartungswert abweichen“ entspricht dem symmetrischen Intervall \([1000 - 12; 1000 + 12] = [988; 1012]\). Es gilt also \(P(988 \le X \le 1012) = 0{,}95\). 2. Durch Standardisierung folgt \(P\left(\frac{988 - 1000}{\sigma} \le Z \le \frac{1012 - 1000}{\sigma}\right) = 0{,}95\), was zu \(\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right) - \Phi\left(-\frac{12}{\sigma}\right) = 0{,}95\) führt. 3. Aufgrund der Symmetrie gilt \(2 \cdot \Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right) - 1 = 0{,}95\), also \(\Phi\left(\frac{12}{\sigma}\right) = 0{,}975\). 4. Der Tabelle der Standardnormalverteilung entnimmt man für den Funktionswert \(0{,}975\) den \(z\)-Wert \(1{,}96\). 5. Es gilt somit \(\frac{12}{\sigma} = 1{,}96\). Umstellen nach \(\sigma\) liefert \(\sigma = \frac{12}{1{,}96} \approx 6{,}1224\).

Die Standardabweichung beträgt ca. \(6{,}12\,\text{g}\).

- Vergleiche die gegebenen Wahrscheinlichkeiten mit den zentralen Flächen der \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- und \(3\sigma\)-Regel und mit den zugehörigen Randflächen. - Prüfe in Teilaufgabe a), ob die Intervallbreite zu einem ganzzahligen Vielfachen von \(\sigma\) passt. - Überlege in Teilaufgabe b), welcher Sigma-Grenze eine sehr kleine linke Randwahrscheinlichkeit entspricht. - Drücke die jeweilige Intervallgrenze anschließend als \(\mu\pm k\sigma\) aus.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}4985\) ist näherungsweise die Hälfte der zentralen \(3\sigma\)-Wahrscheinlichkeit, denn \(0{,}997:2\approx0{,}4985\). Das Intervall \([900;1200]\) muss daher von \(\mu\) bis \(\mu+3\sigma\) oder von \(\mu-3\sigma\) bis \(\mu\) reichen. 2. Wegen \(3\sigma=300\) und der Intervallbreite \(300\) ist \(\mu\) eine der beiden Grenzen. Somit gilt \(\mu=900\) oder \(\mu=1200\). 3. Nach der \(3\sigma\)-Regel liegen etwa \(0{,}3\,\%\) außerhalb des zentralen Intervalls, also etwa \(0{,}15\,\%\) im linken Rand. Daher entspricht \(P(X\le551)\approx0{,}0015\) der Grenze \(\mu-3\sigma\). 4. Es gilt \(551=\mu-300\), also \(\mu=851\).

a) \(\mu=900\) oder \(\mu=1200\) b) \(\mu=851\)

- Skizziere die Glockenkurve und markiere, welche Teilflächen durch die angegebenen Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden. - Nutze bei einseitigen Wahrscheinlichkeiten die Hälfte der zentralen Sigma-Fläche zusammen mit der linken Hälfte der Gesamtfläche. - Prüfe in Teilaufgabe c), welche Sigma-Grenze bereits durch \(140\) festgelegt ist und welche zusätzliche Teilfläche noch benötigt wird. - Entscheide jeweils, ob \(c\) links oder rechts von \(\mu\) liegen muss.

1. Die Wahrscheinlichkeit \(0{,}4985\) ist die Hälfte der zentralen \(3\sigma\)-Wahrscheinlichkeit. Da das Intervall bei \(\mu=150\) endet, ist \(c=\mu-3\sigma=150-30=120\). 2. Nach der \(1\sigma\)-Regel liegen etwa \(68{,}3\,\%\) zwischen \(\mu-\sigma\) und \(\mu+\sigma\). Daher liegen näherungsweise \(50\,\%+34{,}15\,\%\approx84{,}15\,\%\) links von \(\mu+\sigma\). Somit ist \(c=150+10=160\). 3. Es gilt \(140=\mu-\sigma\). Von \(\mu-\sigma\) bis \(\mu\) liegen etwa \(0{,}3415\), von \(\mu\) bis \(\mu+2\sigma\) etwa \(0{,}477\). Zusammen ergibt das \(0{,}8185\). Daher ist \(c=\mu+2\sigma=170\).

a) \(c=120\) b) \(c=160\) c) \(c=170\)

- Überlege, wie die Trefferwahrscheinlichkeiten für \(X\) und \(Y\) zusammenhängen. - Was passiert mit der Standardabweichung, wenn man \(p\) und \(1-p\) vertauscht? - Wie hängen die Ereignisse „\(k\) rote Kugeln“ und „\(n-k\) blaue Kugeln“ zusammen? - Kannst du einen Zusammenhang zwischen dem Intervall für \(X\) und dem Intervall für \(Y\) herstellen?

1. Für \(X\) gilt: \(\sigma_X = \sqrt{192 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75} = \sqrt{36} = 6\). Für \(Y\) gilt: \(\sigma_Y = \sqrt{192 \cdot 0{,}75 \cdot 0{,}25} = \sqrt{36} = 6\). Beide Standardabweichungen sind identisch. 2. Der Erwartungswert für \(X\) ist \(\mu_X = 192 \cdot 0{,}25 = 48\). Die \(2\sigma\)-Umgebung ist \([48 - 12; 48 + 12] = [36; 60]\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(P(36 \le X \le 60) = P(X \le 60) - P(X \le 35) \approx 0{,}9632\). 3. Da \(Y = 192 - X\) gilt, entspricht das Ereignis \(36 \le X \le 60\) genau dem Ereignis \(192 - 60 \le 192 - X \le 192 - 36\), also \(132 \le Y \le 156\). Da \(\mu_Y = 144\) ist, entspricht dies genau dem Intervall \([\mu_Y - 2\sigma; \mu_Y + 2\sigma]\). Aufgrund der Symmetrieeigenschaft der Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) und der komplementären Wahrscheinlichkeiten \(p\) und \(1-p\) sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen spiegelbildlich, wodurch die Umgebungen um die jeweiligen Erwartungswerte die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

1. \(\sigma_X = 6\) und \(\sigma_Y = 6\). 2. \(P(36 \le X \le 60) \approx 0{,}9632\). 3. Die Wahrscheinlichkeiten sind identisch, da die Verteilungen von \(X\) (mit \(p\)) und \(Y\) (mit \(1-p\)) symmetrisch zueinander sind und das Ereignis für die \(2\sigma\)-Umgebung von \(X\) direkt in das entsprechende Ereignis für \(Y\) übergeht (\(Y = 192 - X\)).