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- Übersetze die Formulierung „weniger als“ direkt in ein Ungleichheitszeichen. - Achte darauf, ob die Grenze \(498\) zum Ereignis gehören soll oder nicht.

„Weniger als \(498\,\text{mL}\)“ bedeutet mathematisch, dass die Zufallsgröße einen Wert kleiner als \(498\) annimmt. Daher ist \(X<498\) richtig.

B: \(X<498\)

- Lies das Ereignis \(X\ge1200\,\text{h}\) zuerst in Worten. - Wandle \(0{,}08\) in eine Prozentangabe um.

Die Wahrscheinlichkeit \(P(X\ge1200\,\text{h})=0{,}08\) beschreibt den Anteil der modellierten Bauteile, deren Lebensdauer mindestens \(1200\,\text{h}\) beträgt. Das sind etwa \(8\,\%\). Daher ist Aussage A richtig.

A

- Wie viele Standardabweichungen liegt \(760\,\text{mL}\) über dem Erwartungswert? - Welche zentrale Wahrscheinlichkeit liefert die passende \(\sigma\)-Regel? - Wie verteilt sich die Restwahrscheinlichkeit wegen der Symmetrie auf beide Randbereiche?

1. Es gilt \(760=750+2\cdot5=\mu+2\sigma\). 2. Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen etwa \(95{,}4\,\%\) der Werte in \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\). Außerhalb liegen somit etwa \(4{,}6\,\%\). 3. Wegen der Symmetrie entfällt die Hälfte auf den rechten Randbereich. Daher \(P(X>760)\approx4{,}6\,\%:2=2{,}3\,\%\).

\(P(X>760)\approx2{,}3\,\%\).

- Welchen speziellen Funktionswert nimmt die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung genau beim Erwartungswert an? - Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der Werte auf der y-Achse berechnen? - Überlege, welcher Anteil der Packungen *leichter* als das gesuchte Gewicht ist, wenn \(10\,\%\) schwerer sind.

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht dem x-Wert, an dem die Verteilungsfunktion den Funktionswert \(F(x) = 0{,}5\) annimmt. Aus dem Graphen lässt sich \(\mu = 250\,\text{g}\) ablesen. 2. Die Wahrscheinlichkeit \(P(248 \le X \le 252)\) berechnet sich durch die Differenz der Funktionswerte: \(F(252) - F(248)\). Ablesen aus dem Graphen: \(F(252) \approx 0{,}84\) und \(F(248) \approx 0{,}16\). Berechnung: \(0{,}84 - 0{,}16 = 0{,}68\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(68\,\%\). 3. Gesucht ist der Wert \(x\), für den \(P(X > x) = 0{,}10\) gilt, was äquivalent zu \(P(X \le x) = 0{,}90\) bzw. \(F(x) = 0{,}90\) ist. Dem Funktionswert \(y = 0{,}9\) auf der y-Achse lässt sich auf der x-Achse näherungsweise der Wert \(x \approx 252{,}6\,\text{g}\) zuordnen.

a) \(\mu = 250\,\text{g}\) b) \(P(248 \le X \le 252) \approx 68\,\%\) c) Ab ca. \(252{,}6\,\text{g}\)

- Vergleiche die Form des Histogramms mit einer symmetrischen Glockenkurve. - Liegen die Häufigkeiten links und rechts eines Zentrums ungefähr spiegelbildlich? - Gibt es für die betrachtete Größe eine natürliche Grenze, die für das Modell wichtig ist?

1. Eine Normalverteilung wäre annähernd symmetrisch und glockenförmig um einen zentralen Wert. 2. Das Histogramm ist deutlich rechtsschief: Viele Beobachtungen liegen bei kleinen Wartezeiten, danach nimmt die Häufigkeit mit einem langen rechten Rand ab. 3. Außerdem sind Wartezeiten nach unten durch \(0\) begrenzt, und ein großer Teil der Verteilung liegt nahe an dieser Grenze. 4. Eine Normalverteilung ist daher für diese dargestellte Verteilung nicht plausibel.

Nein. Die Verteilung ist stark rechtsschief statt annähernd symmetrisch und liegt zudem nahe an der natürlichen Untergrenze \(0\); ein Normalmodell ist hier nicht angemessen.

- Wie viele ausgeprägte Gipfel hat eine Normaldichte? - Beschreibe zunächst nur die Form des Histogramms, ohne schon ein Modell zu wählen. - Welche Erklärung könnte es für zwei getrennte Häufungsbereiche geben?

1. Eine einzelne Normalverteilung besitzt genau einen zentralen Gipfel und ist symmetrisch um ihren Erwartungswert. 2. Das Histogramm zeigt dagegen zwei deutlich getrennte Häufungsbereiche mit einem Tal dazwischen. 3. Eine solche bimodale Struktur lässt sich durch eine einzelne Normalverteilung nicht angemessen beschreiben. Sie spricht eher dafür, dass zwei unterschiedliche Gruppen in der Stichprobe vermischt wurden.

Der Vorschlag ist nicht plausibel. Das Histogramm ist bimodal mit zwei ausgeprägten Gipfeln; eine einzelne Normalverteilung ist dagegen unimodal und kann diese Struktur nicht angemessen erfassen.

- Übersetze „zu früh“ und „zu spät“ zuerst in das Vorzeichen der Fahrplanabweichung. - Prüfe, wo die beiden erlaubten Grenzen relativ zum Erwartungswert liegen. - Standardisiere beide Grenzen, bevor du die Intervallwahrscheinlichkeit bestimmst.

1. „Höchstens \(2\) Minuten zu früh“ bedeutet \(A\ge-2\), und „höchstens \(4\) Minuten zu spät“ bedeutet \(A\le4\). Gesucht ist daher \(P(-2\le A\le4)\). 2. Die Grenzen standardisieren zu \(z_1=\frac{-2-1}{3}=-1\) und \(z_2=\frac{4-1}{3}=1\). 3. Somit gilt \(P(-2\le A\le4)=\Phi(1)-\Phi(-1)\approx0{,}6827\).

Ereignis: \(-2\le A\le4\) Wahrscheinlichkeit: \(P(-2\le A\le4)\approx0{,}6827\)

- Standardisiere jede relevante Intervallgrenze mit \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\). - Nutze bei negativen \(z\)-Werten die Symmetrie der Standardnormalverteilung, falls hilfreich. - Welche tatsächlichen Füllmengen werden beim Runden auf ganze Milliliter als \(500\,\text{mL}\) angezeigt? - Beachte den Unterschied zwischen einem exakten Wert und einem Rundungsintervall.

a) Die standardisierten Grenzen sind \(z_1=\frac{497-500}{3}=-1\) und \(z_2=\frac{506-500}{3}=2\). Daher \(P(497\le X\le506)=\Phi(2)-\Phi(-1)\approx0{,}818595\approx81{,}86\,\%\). b) Für \(495\,\text{mL}\) gilt \(z=\frac{495-500}{3}=-\frac{5}{3}\). Somit \(P(X<495)=\Phi\left(-\frac{5}{3}\right)\approx0{,}047790\approx4{,}78\,\%\). c) Der gerundete Wert \(500\,\text{mL}\) entsteht für tatsächliche Füllmengen im Intervall \([499{,}5\,\text{mL};500{,}5\,\text{mL})\). Die standardisierten Grenzen sind \(-\frac{1}{6}\) und \(\frac{1}{6}\). Daher \(P=2\Phi\left(\frac{1}{6}\right)-1\approx0{,}132368\approx13{,}24\,\%\).

a) etwa \(81{,}86\,\%\) b) etwa \(4{,}78\,\%\) c) etwa \(13{,}24\,\%\)

- Schau dir die Verteilung der Häufigkeiten an. Erinnert dich die Form an eine bekannte Kurve? - Wie berechnet man den Durchschnitt, wenn Werte mehrfach vorkommen? - Überlege dir, auf welchen Basiswert sich die prozentuale Abweichung beziehen muss. - Achte darauf, ob der Mittelwert über oder unter dem Vergleichswert liegt.

1. Begründung der Modellierung: Die Häufigkeitsverteilung ist eingipflig und annähernd symmetrisch um den Wert \(500\,\text{g}\). Da bei physikalischen Messgrößen und Produktionsprozessen oft zufällige, kleine Abweichungen in beide Richtungen auftreten, ist die Glockenform der Normalverteilung eine geeignete Annäherung. 2. Berechnung des Mittelwerts \(\overline{m}\): Summe der gewichteten Massen bilden: \((497 \cdot 3 + 498 \cdot 12 + 499 \cdot 25 + 500 \cdot 30 + 501 \cdot 18 + 502 \cdot 9 + 503 \cdot 3) = 49\,987\,\text{g}\). Division durch die Gesamtzahl \(n = 100\) ergibt \(\overline{m} = 499{,}87\,\text{g}\). 3. Berechnung der prozentualen Abweichung: Differenz zum Sollwert berechnen: \(499{,}87 - 500 = -0{,}13\). Prozentualer Anteil am Sollwert: \(\frac{-0{,}13}{500} \cdot 100\,\% = -0{,}026\,\%\). Der Mittelwert liegt somit um \(0{,}026\,\%\) unter dem Sollwert.

a) Die Daten sind eingipflig und annähernd symmetrisch, was charakteristisch für eine Normalverteilung ist. b) \(\overline{m} = 499{,}87\,\text{g}\) c) Die Abweichung beträgt \(-0{,}026\,\%\).

- Was ist typisch für die Verteilung von Werten bei technischen Produktionsprozessen? - Erstelle eine Tabelle für die Zwischenschritte der Mittelwerts- und Standardabweichungsberechnung. - Die Standardabweichung misst die Streuung um den Mittelwert. - Für den Prozentwert teilst du den Unterschied durch den Ausgangswert.

1. Begründung der Eignung: Die Häufigkeiten zeigen eine Konzentration um den zentralen Wert \(25{,}0\,\text{mm}\) und nehmen zu den Rändern hin gleichmäßig ab. Diese Symmetrie und das Vorliegen vieler kleiner, unabhängiger Einflussfaktoren rechtfertigen die Modellierung durch eine Normalverteilung. 2. Berechnung des Mittelwerts \(\mu_{\text{emp}}\): Gesamtsumme der Längen berechnen: \((24{,}8 \cdot 12 + 24{,}9 \cdot 45 + 25{,}0 \cdot 82 + 25{,}1 \cdot 48 + 25{,}2 \cdot 13) = 5000{,}5\,\text{mm}\). Division durch \(n = 200\) ergibt \(\mu_{\text{emp}} = 25{,}0025\,\text{mm}\). 3. Berechnung der Standardabweichung \(s_{\text{emp}}\): Varianz berechnen durch \(\frac{1}{n} \sum f_i \cdot (x_i - \mu_{\text{emp}})^2 \approx 0{,}00964\). Die Wurzel daraus ergibt \(s_{\text{emp}} \approx 0{,}0982\,\text{mm}\). 4. Prozentuale Abweichung: \(\frac{25{,}0025 - 25{,}0}{25{,}0} \cdot 100\,\% = 0{,}01\,\%\).

a) Die Verteilung ist annähernd symmetrisch und glockenförmig. b) \(\mu_{\text{emp}} = 25{,}0025\,\text{mm}\) und \(s_{\text{emp}} \approx 0{,}0982\,\text{mm}\) c) Die Abweichung beträgt \(0{,}01\,\%\).

- Was bedeuten die mathematischen Ungleichheitszeichen in Bezug auf das Gewicht der Packungen? - Wie transformiert man einen Wert der Normalverteilung in einen \(z\)-Wert der Standardnormalverteilung? - Welche Rolle spielt der Erwartungswert bei der Symmetrie der Glockenkurve? - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall mithilfe der Verteilungsfunktion?

1. Interpretation a): Das Ereignis beschreibt, dass eine Packung weniger als \(491\,\text{g}\) Kaffee enthält. Berechnung: \(P(X < 491) = \Phi\left(\frac{491 - 500}{6}\right) = \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}0668\). 2. Interpretation b): Das Ereignis beschreibt, dass die Füllmenge einer Packung zwischen \(494\,\text{g}\) und \(512\,\text{g}\) liegt (einschließlich der Grenzen). Berechnung: \(P(494 \le X \le 512) = \Phi\left(\frac{512 - 500}{6}\right) - \Phi\left(\frac{494 - 500}{6}\right) = \Phi(2) - \Phi(-1) \approx 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185\). 3. Interpretation c): Das Ereignis beschreibt, dass eine Packung mindestens das Sollgewicht von \(500\,\text{g}\) aufweist. Berechnung: Da die Normalverteilung symmetrisch zum Erwartungswert ist, gilt \(P(X \ge 500) = 0{,}5\).

a) Interpretation: Die Packung enthält weniger als \(491\,\text{g}\). Wahrscheinlichkeit: \(\approx 6{,}68\,\%\). b) Interpretation: Die Füllmenge liegt zwischen \(494\,\text{g}\) und \(512\,\text{g}\). Wahrscheinlichkeit: \(\approx 81{,}85\,\%\). c) Interpretation: Die Packung enthält mindestens \(500\,\text{g}\). Wahrscheinlichkeit: \(50\,\%\).

- Überlege dir, wie du die Grenzen der Ungleichungen in Worten ausdrücken kannst (z. B. „mindestens“, „höchstens“, „zwischen“). - Erinnere dich an die Bedeutung der Standardabweichung und wie viele Prozent der Daten innerhalb bestimmter Vielfacher von \(\sigma\) liegen. - Welche Symmetrieeigenschaften der Glockenkurve kannst du nutzen, wenn die Grenzen denselben Abstand zum Mittelwert haben?

1. Interpretation a): Das Ereignis beschreibt, dass ein Junge höchstens \(127\,\text{cm}\) groß ist. Berechnung: \(P(H \le 127) = \Phi\left(\frac{127 - 138}{5{,}5}\right) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228\). 2. Interpretation b): Das Ereignis beschreibt, dass die Körpergröße eines Jungen mehr als \(132{,}5\,\text{cm}\) und weniger als \(143{,}5\,\text{cm}\) beträgt. Dies entspricht dem \(1\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert. Berechnung: \(P(132{,}5 < H < 143{,}5) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\). 3. Interpretation c): Das Ereignis beschreibt, dass ein Junge größer als \(149\,\text{cm}\) ist. Berechnung: \(P(H > 149) = 1 - \Phi\left(\frac{149 - 138}{5{,}5}\right) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) Interpretation: Der Junge ist höchstens \(127\,\text{cm}\) groß. Wahrscheinlichkeit: \(\approx 2{,}28\,\%\). b) Interpretation: Der Junge ist zwischen \(132{,}5\,\text{cm}\) und \(143{,}5\,\text{cm}\) groß. Wahrscheinlichkeit: \(\approx 68{,}26\,\%\). c) Interpretation: Der Junge ist größer als \(149\,\text{cm}\). Wahrscheinlichkeit: \(\approx 2{,}28\,\%\).

- Erinnere dich an den Aufbau der Dichtefunktion der Normalverteilung. Welche Parameter lassen sich direkt aus dem Exponenten ablesen? - Achte darauf, dass im Nenner des Exponenten der Term \(2\sigma^2\) steht. - Was bedeutet es mathematisch, wenn ein Wert „überschritten“ wird? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung oder die Tabelle der Standardnormalverteilung für den z-Wert.

1. Identifikation der Parameter durch Koeffizientenvergleich mit der allgemeinen Dichte \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\). 2. Aus dem Exponenten folgt direkt \(\mu = 120\) und \(2\sigma^2 = 50\). 3. Daraus ergibt sich \(\sigma^2 = 25\), also \(\sigma = 5\). Die Übereinstimmung des Vorfaktors \(\frac{1}{\sqrt{50\pi}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 25}}\) bestätigt das Ergebnis. 4. Gesucht ist \(P(X > 130)\). Transformation in die Standardnormalverteilung: \(z = \frac{130 - 120}{5} = \frac{10}{5} = 2\). 5. Berechnung: \(P(X > 130) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228\).

a) Der Erwartungswert ist \(\mu = 120\,\text{km/h}\) und die Standardabweichung ist \(\sigma = 5\,\text{km/h}\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(2{,}28\,\%\).

- Wie kannst du eine normalverteilte Größe in die Standardnormalverteilung überführen? - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls, wenn du die Werte der Verteilungsfunktion an den Grenzen kennst? - Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit bei stetigen Verteilungen für einen ganz präzisen Einzelwert? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve um den Erwartungswert.

1. Berechnung von \(P(X < 245)\) durch Transformation in die Standardnormalverteilung: \(z = \frac{245 - 250}{4} = -1{,}25\). Nachschlagen in der Tabelle oder Berechnung ergibt \(\Phi(-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056\). 2. Berechnung von \(P(248 \le X \le 255)\): Bestimmung der \(z\)-Werte \(z_1 = \frac{248 - 250}{4} = -0{,}5\) und \(z_2 = \frac{255 - 250}{4} = 1{,}25\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}25) - \Phi(-0{,}5) = 0{,}8944 - (1 - 0{,}6915) = 0{,}8944 - 0{,}3085 = 0{,}5859\). 3. Berechnung von \(P(|X - 250| > 6)\): Dies entspricht \(P(X < 244) + P(X > 256)\). Mit \(z = \frac{256 - 250}{4} = 1{,}5\) ergibt sich aufgrund der Symmetrie \(2 \cdot (1 - \Phi(1{,}5)) = 2 \cdot (1 - 0{,}9332) = 2 \cdot 0{,}0668 = 0{,}1336\). 4. Da \(X\) eine stetige Zufallsgröße ist, gilt für jeden Punktwert \(P(X = k) = 0\). Somit ist \(P(X = 250) = 0\).

A: \(P(X < 245) \approx 10{,}56\,\%\) B: \(P(248 \le X \le 255) \approx 58{,}59\,\%\) C: \(P(|X - 250| > 6) \approx 13{,}36\,\%\) D: \(P(X = 250) = 0\)

- Achte auf die Formulierungen „höchstens“ und „mindestens“. - Welche Rolle spielt die Symmetrie der Normalverteilung bei Intervallen, die symmetrisch um den Mittelwert liegen? - Erinnere dich an die Eigenschaft stetiger Zufallsvariablen bezüglich einzelner Zahlenwerte.

1. Für \(M\leq140\) ist \(z=\frac{140-150}{12}=-\frac56\). Daher gilt \(P(M\leq140)=\Phi(-5/6)\approx0{,}202328\), also etwa \(20{,}23\,\%\). 2. Für \(M\geq165\) ist \(z=\frac{165-150}{12}=1{,}25\). Daher gilt \(P(M\geq165)=1-\Phi(1{,}25)\approx0{,}105650\), also etwa \(10{,}56\,\%\). 3. Für \(145\leq M\leq155\) sind die standardisierten Grenzen \(\pm\frac5{12}\). Daher gilt \(P=\Phi(5/12)-\Phi(-5/12)\approx0{,}323078\), also etwa \(32{,}31\,\%\). 4. Da die Normalverteilung stetig ist, gilt für einen Einzelwert \(P(M=150)=0\).

A: \(P(M\leq140)\approx20{,}23\,\%\) B: \(P(M\geq165)\approx10{,}56\,\%\) C: \(P(145\leq M\leq155)\approx32{,}31\,\%\) D: \(P(M=150)=0\)

- Welche Verteilung beschreibt die Lebensdauer eines einzelnen Objekts? - Wie transformiert man eine normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für ein Einzelereignis hast, wie berechnest du dann die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen in einer Kette? - Achte darauf, welche Parameter für die Binomialverteilung aus dem ersten Aufgabenteil übernommen werden müssen.

1. Für ein Leuchtmittel gilt \(p=P(X<13\,500)=\Phi\left(\frac{13500-15000}{1200}\right)=\Phi(-1{,}25)\approx0{,}105650\). 2. Die Anzahl \(Y\) der Leuchtmittel mit einer Lebensdauer unter \(13\,500\) Stunden ist binomialverteilt mit \(n=200\) und diesem ungerundeten Wert von \(p\). Daher ist \(P(Y\leq30)\approx0{,}980526\), also etwa \(98{,}05\,\%\).

1. etwa \(10{,}56\,\%\) 2. etwa \(98{,}05\,\%\)

- Wie transformiert man eine normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Welche Verteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei einer festen Anzahl von unabhängigen Versuchen? - Was berechnet man allgemein mit der Differenz zweier Werte einer kumulativen Verteilungsfunktion? - Welche Rolle spielen der Erwartungswert und die Standardabweichung bei den Grenzen im Aufgabenteil c?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine Packung: \(P(X \le 485) = \Phi\left(\frac{485 - 500}{10}\right) = \Phi(-1{,}5) \approx 0{,}0668\). 2. Modellierung der Anzahl \(K\) der untergewichtigen Packungen als binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p \approx 0{,}0668\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Stichprobe: \(P(K \le 3) = \sum_{k=0}^{3} \binom{50}{k} \cdot 0{,}0668^k \cdot (1 - 0{,}0668)^{50-k} \approx 0{,}5689\). 4. Berechnung der Differenz der Funktionswerte: \(F(510) - F(490) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827\). 5. Interpretation: Der Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der die Füllmenge einer zufällig gewählten Packung im Intervall zwischen \(490\,\text{g}\) und \(510\,\text{g}\) liegt.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}68\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(56{,}89\,\%\). c) Der Wert \(F(510)-F(490)\) beträgt ca. \(0{,}6827\). Dies entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung eine Füllmenge zwischen \(490\,\text{g}\) und \(510\,\text{g}\) besitzt.

- Denke daran, dass die Fläche unter der gesamten Glockenkurve 1 beträgt. Wie findest du die Fläche für Werte, die „größer als“ ein bestimmter Wert sind? - Wenn du die Wahrscheinlichkeit für „mindestens ein“ Ereignis suchst, ist es oft einfacher, über das Gegenteil nachzudenken. - Was bedeutet die Differenz zweier Wahrscheinlichkeiten \(P(X \le b) - P(X \le a)\) für das Intervall \([a; b]\)? - Wie hängen die Werte \(1800\) und \(2200\) mit dem Erwartungswert zusammen?

1. Für ein Bauteil gilt \(P(X>2400)=1-\Phi(1{,}6)\approx0{,}054799\), also etwa \(5{,}48\,\%\). 2. Für \(20\) unabhängige Bauteile ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eines mit mehr als \(2400\) Stunden Lebensdauer \(1-(1-0{,}054799\ldots)^{20}\approx0{,}676048\), also etwa \(67{,}60\,\%\). 3. Der Ausdruck \(F(2200)-F(1800)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer zwischen \(1800\) und \(2200\) Stunden. Nach der Standardisierung ist der Wert \(\Phi(0{,}8)-\Phi(-0{,}8)\approx0{,}576289\approx0{,}5763\).

a) etwa \(5{,}48\,\%\) b) etwa \(67{,}60\,\%\) c) Wahrscheinlichkeit für \(1800\leq X\leq2200\); Wert etwa \(0{,}5763\)

- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bei einer Normalverteilung? - Erinnerst du dich an die Bedeutung der \(\sigma\)-Umgebungen um den Erwartungswert? - Welche Verteilung nutzt man, um die Anzahl der „Erfolge“ in einer Stichprobe zu bestimmen? - Wie geht man vor, wenn man die Wahrscheinlichkeit für „mindestens“ einen bestimmten Wert berechnen soll?

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Passgenauigkeit eines Bolzens mittels Normalverteilung \(X \sim N(10{,}00; 0{,}05^2)\): \(P(9{,}95 \le X \le 10{,}05) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827\). Mit der \(1\sigma\)-Regel erhält man hierfür näherungsweise \(0{,}683\); die Sigma-Regel ist die gröbere Näherung. 2. Die Anzahl der passgenauen Bolzen in der Stichprobe ist binomialverteilt mit \(n = 200\) und \(p \approx 0{,}6827\). 3. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens \(140\) Treffer: \(P(Y \ge 140) = 1 - P(Y \le 139) \approx 0{,}3291\).

a) Der Anteil der passgenauen Bolzen beträgt etwa \(68{,}27\,\%\). b) Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(32{,}91\,\%\).

- Überlege dir, wie man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle bei einer stetigen Zufallsvariablen berechnet. - Was bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Punktes, wenn die Fläche unter der Kurve betrachtet wird? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen dem Integral der Dichtefunktion und der Wahrscheinlichkeit in einem Intervall. - Für die prozentuale Änderung berechnest du die Differenz der Werte bezogen auf den ursprünglichen Wert. Prüfe dabei, ob dieser ursprüngliche Wert von \(0\) verschieden ist.

1. Für \(X \sim N(1000; 10^2)\) gilt \(P(980 \le X \le 1020) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\), \(P(999 \le X \le 1001) = \Phi(0{,}1) - \Phi(-0{,}1) \approx 0{,}0796\) und wegen der Stetigkeit \(P(X = 1000) = 0\). 2. Für das Integral gilt \(\int_{999{,}5}^{1000{,}5} f(x) \, \text{d}x = P(999{,}5 \le X \le 1000{,}5) = \Phi(0{,}05) - \Phi(-0{,}05) \approx 0{,}0398\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beutel ein Gewicht hat, das auf ganze Gramm gerundet genau dem Sollwert von \(1000\,\text{g}\) entspricht. 3. Bei \(\sigma_{\text{neu}} = 5\,\text{g}\) gilt \(P_{\text{neu}}(980 \le X \le 1020) \approx 0{,}9999\) und \(P_{\text{neu}}(999 \le X \le 1001) \approx 0{,}1585\). Mit den ungerundeten Wahrscheinlichkeiten steigen die beiden Intervallwahrscheinlichkeiten relativ um etwa \(4{,}76\,\%\) bzw. \(99{,}01\,\%\). Die Punktwahrscheinlichkeit bleibt \(0\); eine prozentuale Veränderung ist dort nicht sinnvoll definiert, weil der Ausgangswert \(0\) ist.

a) \(P(980 \le X \le 1020) \approx 95{,}45\,\%\); \(P(999 \le X \le 1001) \approx 7{,}96\,\%\); \(P(X = 1000) = 0\). b) Das Integral ergibt ca. \(0{,}0398\). Es entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass das Gewicht im Intervall \([999{,}5; 1000{,}5]\) liegt und auf ganze Gramm zu \(1000\,\text{g}\) gerundet wird. c) Die Intervallwahrscheinlichkeiten steigen um ca. \(4{,}76\,\%\) bzw. \(99{,}01\,\%\). Die Punktwahrscheinlichkeit bleibt \(0\); eine prozentuale Veränderung ist dafür nicht sinnvoll definiert.

- Wie hängen die Grenzen des Intervalls mit der Standardabweichung zusammen? (Stichwort: \(z\)-Wert) - Beachte, dass die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls der Fläche unter der Gauß-Kurve entspricht. - Warum ist die Wahrscheinlichkeit für einen exakten Wert bei einer kontinuierlichen Skala immer gleich? - Überlege dir bei der Interpretation, welchen Bereich von Werten man erhält, wenn man auf eine bestimmte Stelle rundet.

1. Wahrscheinlichkeiten für \(X \sim N(10; 0{,}02^2)\): \(P(9{,}96 \le X \le 10{,}04) = \Phi(2) - \Phi(-2) \approx 0{,}9545\), \(P(9{,}99 \le X \le 10{,}01) = \Phi(0{,}5) - \Phi(-0{,}5) \approx 0{,}3830\) und \(P(X = 10{,}000) = 0\). 2. Für das Integral gilt \(\int_{9{,}995}^{10{,}005} f(x) \, \text{d}x = P(9{,}995 \le X \le 10{,}005) = \Phi(0{,}25) - \Phi(-0{,}25) \approx 0{,}1974\). Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Durchmesser, der auf zwei Nachkommastellen gerundet genau \(10{,}00\,\text{mm}\) beträgt. 3. Bei \(\sigma_{\text{neu}} = 0{,}04\) ist \(P_{\text{neu}}(9{,}96 \le X \le 10{,}04) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827\). Die relative Abnahme beträgt \(\frac{0{,}9545 - 0{,}6827}{0{,}9545} \approx 0{,}2848\), also etwa \(28{,}48\,\%\).

a) \(P(9{,}96 \le X \le 10{,}04) \approx 95{,}45\,\%\); \(P(9{,}99 \le X \le 10{,}01) \approx 38{,}30\,\%\); \(P(X = 10{,}000) = 0\). b) Das Integral beträgt ca. \(0{,}1974\). Es beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen Durchmesser im Bereich \(\pm 0{,}005\,\text{mm}\) um den Mittelwert. c) Die Wahrscheinlichkeit sinkt um ca. \(28{,}48\,\%\) (von ca. \(95{,}45\,\%\) auf ca. \(68{,}27\,\%\)).

- Kannst du das Problem mit der Standardnormalverteilung verknüpfen? - Was passiert mit der Wahrscheinlichkeit für den unteren Rand, wenn du den Erwartungswert erhöhst? - Wie hängen der z-Wert und die Wahrscheinlichkeit zusammen? - Nutze die Verteilungsfunktionen deines Taschenrechners, um systematisch Werte für den Erwartungswert zu testen.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Intervall \([501; 507]\): Bestimmung der \(z\)-Werte \(z_1 = \frac{501 - 504}{3} = -1\) und \(z_2 = \frac{507 - 504}{3} = 1\). Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus \(\Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826\). 2. Bestimmung des Erwartungswerts durch Probieren: Gesucht ist \(\mu\) mit \(P(X < 495) \le 0{,}03\). 3. Test von \(\mu = 500{,}6\): \(P(X < 495) = \Phi\left(\frac{495 - 500{,}6}{3}\right) = \Phi(-1{,}867) \approx 0{,}0310 > 0{,}03\). 4. Test von \(\mu = 500{,}7\): \(P(X < 495) = \Phi\left(\frac{495 - 500{,}7}{3}\right) = \Phi(-1{,}9) \approx 0{,}0287 < 0{,}03\). 5. Der kleinstmögliche Erwartungswert auf eine Nachkommastelle genau ist somit \(\mu = 500{,}7\).

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(68{,}26\,\%\). b) Der kleinstmögliche Erwartungswert beträgt \(500{,}7\,\text{g}\).

- Formuliere die Qualitätsvorgabe als symmetrische Intervallwahrscheinlichkeit um \(\mu\). - Welche einseitige kumulierte Wahrscheinlichkeit gehört zu einem zentralen Anteil von \(98\,\%\)? - Löse die Ungleichung erst nach dem Bestimmen des passenden Standardnormal-Quantils nach \(\sigma\) auf. - Prüfe beim abschließenden Runden, ob ein aufgerundeter Wert die Mindestwahrscheinlichkeit noch garantiert.

1. Die Bedingung ist \(P(745\le X\le755)\ge0{,}98\). Wegen der Symmetrie gilt \(2\Phi\left(\frac{5}{\sigma}\right)-1\ge0{,}98\). 2. Daraus folgt \(\Phi\left(\frac{5}{\sigma}\right)\ge0{,}99\), also \(\frac{5}{\sigma}\ge\Phi^{-1}(0{,}99)\approx2{,}3263479\). 3. Somit \(\sigma\le\frac{5}{2{,}3263479}\approx2{,}1492916\,\text{mL}\). Auf vier Dezimalstellen ist der Grenzwert \(2{,}1493\,\text{mL}\). Soll \(\sigma\) auf Hundertstel Milliliter eingestellt werden und die Vorgabe sicher eingehalten werden, ist höchstens \(2{,}14\,\text{mL}\) zulässig.

\(\sigma\le2{,}1493\,\text{mL}\) näherungsweise. Bei Einstellung auf Hundertstel Milliliter ist \(\sigma=2{,}14\,\text{mL}\) der größte sichere Wert.

- Was bedeutet ein maximaler Ausschuss von \(1\,\%\) für den Anteil der funktionierenden Teile? - Stelle eine Gleichung oder Ungleichung auf, die den Anteil der Teile im Toleranzbereich beschreibt. - Verwende die Standardisierung \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\), um mit der Standardnormalverteilung zu arbeiten. - Welcher \(z\)-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}995\) in der \(\Phi\)-Tabelle?

1. Der Ausschussanteil soll höchstens \(1\,\%\) betragen, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für ein brauchbares Bauteil mindestens \(99\,\%\) sein muss: \(P(119{,}7 \le L \le 120{,}3) \ge 0{,}99\). 2. Die Abweichung vom Erwartungswert beträgt \(d = 0{,}3\,\text{mm}\). Die Standardisierung führt auf die Bedingung \(P\left(-\frac{0{,}3}{\sigma} \le Z \le \frac{0{,}3}{\sigma}\right) \ge 0{,}99\). 3. Dies lässt sich umformen zu \(2 \cdot \Phi\left(\frac{0{,}3}{\sigma}\right) - 1 \ge 0{,}99\), also \(\Phi\left(\frac{0{,}3}{\sigma}\right) \ge 0{,}995\). 4. Das zugehörige Quantil der Standardnormalverteilung ist \(z_{0{,}995} \approx 2{,}576\). 5. Die Ungleichung \(\frac{0{,}3}{\sigma} \ge 2{,}576\) liefert \(\sigma \le \frac{0{,}3}{2{,}576} \approx 0{,}116\).

Die Standardabweichung \(\sigma\) darf höchstens \(0{,}116\,\text{mm}\) betragen.

- Welche beiden empirischen Kennwerte entsprechen Mittelwert und Standardabweichung einer Stichprobe? - Welche Form sollte ein Histogramm näherungsweise zeigen, damit ein Normalmodell plausibel ist? - Wie liegt das Passintervall relativ zu \(\mu\) und \(\sigma\)? - Übersetze „mindestens \(65\,\%\) von \(150\)“ zuerst in eine ganze Mindestanzahl.

a) Das Unternehmen kann eine ausreichend große Zufallsstichprobe messen, den Stichprobenmittelwert als Schätzwert für \(\mu\) und die empirische Standardabweichung als Schätzwert für \(\sigma\) verwenden. Ein Histogramm der Messwerte kann anschließend daraufhin beurteilt werden, ob eine annähernd symmetrische Glockenform als Normalmodell plausibel ist. b) Für einen Bolzen gilt \(p=P(119{,}5\le X\le120{,}5)=P(-1\le Z\le1)=2\Phi(1)-1\approx0{,}682689\). Mindestens \(65\,\%\) von \(150\) Bolzen bedeutet wegen \(0{,}65\cdot150=97{,}5\) mindestens \(98\) Bolzen. Für \(Y\sim B(150;p)\) ergibt sich mit dem ungerundeten Wert von \(p\) \(P(Y\ge98)\approx0{,}805920\approx80{,}59\,\%\).

a) Stichprobenmittelwert und empirische Standardabweichung schätzen \(\mu\) bzw. \(\sigma\); ein Histogramm dient zur grafischen Plausibilitätsprüfung des Normalmodells. b) \(P(Y\ge98)\approx80{,}59\,\%\).

- Standardisiere zunächst die Grenze \(505\,\text{g}\) für eine einzelne Packung. - Nutze für Teil b den ungerundeten Wert der Einzelwahrscheinlichkeit aus Teil a. - Welche ganze Anzahl entspricht höchstens \(10\,\%\) von \(400\)?

a) Es gilt \(p=P(W>505)=1-\Phi\left(\frac{505-500}{4}\right)=1-\Phi(1{,}25)\approx0{,}1056498\). Damit enthalten etwa \(10{,}56\,\%\) der Packungen mehr als \(505\,\text{g}\). b) Die Anzahl \(Y\) solcher Packungen ist binomialverteilt mit \(n=400\) und dem ungerundeten Wert von \(p\). Höchstens \(10\,\%\) von \(400\) bedeutet \(Y\le40\). Daher \(P(Y\le40)=\sum_{k=0}^{40}\binom{400}{k}p^k(1-p)^{400-k}\approx0{,}394963\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(39{,}50\,\%\).

a) etwa \(10{,}56\,\%\) b) etwa \(39{,}50\,\%\)

- Wie viele Standardabweichungen liegt die Nennfüllmenge unter dem Erwartungswert? - Welche Verteilung beschreibt in Teil b die Anzahl unterfüllter Flaschen? - Formuliere „mindestens eine“ in Teil c über das Gegenereignis „keine“. - Mit welcher Operation lässt sich die unbekannte Stichprobengröße aus einem Exponenten lösen?

a) Es gilt \(p=P(X<750)=\Phi\left(\frac{750-754}{4}\right)=\Phi(-1)\approx0{,}158655\), also etwa \(15{,}87\,\%\). b) Für \(Y\sim B(12;p)\) gilt \(P(Y\le1)=(1-p)^{12}+12p(1-p)^{11}\approx0{,}410477\), also etwa \(41{,}05\,\%\). c) Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(1-(1-p)^n\ge0{,}95\). Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(1-p)}\approx17{,}34\). Daher müssen mindestens \(18\) Flaschen untersucht werden.

a) etwa \(15{,}87\,\%\) b) etwa \(41{,}05\,\%\) c) mindestens \(18\) Flaschen

- Prüfe, ob die angegebenen Grenzen symmetrisch um den Erwartungswert liegen. - Drücke den Abstand der Grenzen zum Erwartungswert als Vielfaches der Standardabweichung aus. - Welche Sigma-Regel deckt fast die gesamte Fläche unter der Kurve ab?

1. Bestimmung der Intervallgrenzen in Abhängigkeit von \(\sigma\): Die untere Grenze ist \(118{,}8 = 120 - 1{,}2 = 120 - 3 \cdot 0{,}4 = \mu - 3\sigma\). Die obere Grenze ist \(121{,}2 = 120 + 1{,}2 = 120 + 3 \cdot 0{,}4 = \mu + 3\sigma\). 2. Identifikation des gesuchten Intervalls: Es wird die Wahrscheinlichkeit \(P(118{,}8 \le X \le 121{,}2) = P(\mu - 3\sigma \le X \le \mu + 3\sigma)\) gesucht. 3. Anwendung der \(3\sigma\)-Regel: Nach der Sigma-Regel für das \(3\sigma\)-Intervall liegen ca. \(99{,}7\,\%\) der Werte innerhalb dieses Bereichs.

Der Anteil der Produktion, der keinen Ausschuss darstellt, beträgt etwa \(99{,}7\,\%\).

- Welche Vielfachen von \(\sigma\) entsprechen den beiden Klassengrenzen? - Nutze in Teil a die Symmetrie der Normalverteilung für die beiden Randbereiche. - Für die exakte Mindestanzahl in Teil b brauchst du die Normalverteilungswahrscheinlichkeit links von \(\mu-2\sigma\), nicht nur die gerundete \(\sigma\)-Faustregel. - Formuliere „mindestens eine“ über das Gegenereignis „keine“.

a) Die Grenzen \(490\,\text{g}\) und \(510\,\text{g}\) sind \(\mu-2\sigma\) bzw. \(\mu+2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel gilt daher \(P(\text{Standard})\approx95{,}4\,\%\). Außerhalb des zentralen Intervalls liegen etwa \(4{,}6\,\%\). Wegen der Symmetrie ist \(P(\text{Übergewicht})\approx2{,}3\,\%\). b) Für die Mindestanzahl wird die genaue Wahrscheinlichkeit des Normalmodells verwendet: \(p=P(X<490)=\Phi(-2)\approx0{,}0227501\). Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(1-(1-p)^n\ge0{,}95\). Daraus folgt \(n\ge\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(1-p)}\approx130{,}176\). Also sind mindestens \(131\) Packungen erforderlich. Für \(130\) Packungen beträgt die Wahrscheinlichkeit nur etwa \(94{,}98\,\%\), für \(131\) etwa \(95{,}09\,\%\).

a) \(P(\text{Standard})\approx95{,}4\,\%\); \(P(\text{Übergewicht})\approx2{,}3\,\%\). b) mindestens \(131\) Packungen

- Welchen Anteil der Fläche unter der Glockenkurve decken die Bereiche \(\pm 1\sigma\), \(\pm 2\sigma\) und \(\pm 3\sigma\) ab? - Vergleiche den Abstand des Erwartungswerts von Null mit der Größe der Standardabweichung. - Überlege dir, wie sich die Form der Normalverteilungskurve verändert, wenn die Streuung kleiner wird. - Was bedeutet eine höhere Konzentration der Werte um den Mittelwert für die Wahrscheinlichkeit in einem festen Intervall?

1. Anwendung der \(\sigma\)-Regeln: Das Intervall \([39{,}8; 40{,}2]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Gemäß der \(1\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. \(68{,}3\,\%\). Der Wert \(39{,}4\,\text{mm}\) entspricht \(\mu - 3\sigma\), da \(40{,}0 - 3 \cdot 0{,}2 = 39{,}4\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(X < \mu - 3\sigma)\) berechnet sich zu \(\frac{1 - 0{,}997}{2} = 0{,}0015\), also \(0{,}15\,\%\). 2. Erläuterung der Modellgüte: Der Erwartungswert \(\mu = 40{,}0\) liegt extrem weit von der physikalischen Grenze \(0\) entfernt. Der Abstand beträgt \(40{,}0 : 0{,}2 = 200\) Standardabweichungen. Die Wahrscheinlichkeit für Werte im negativen Bereich ist damit praktisch Null (\(\Phi(-200) \approx 0\)), wodurch das Modell die Realität hervorragend abbildet. 3. Auswirkung der Änderung von \(\sigma\): Das Intervall \([39{,}6; 40{,}4]\) entspricht bei \(\sigma = 0{,}2\) dem \(2\sigma\)-Bereich (ca. \(95{,}4\,\%\)). Wird \(\sigma\) auf \(0{,}1\) halbiert, entspricht das gleiche Intervall nun dem \(4\sigma\)-Bereich (\(40 \pm 4 \cdot 0{,}1\)). Da die Glockenkurve bei kleinerem \(\sigma\) schmaler und höher wird, konzentriert sich mehr Wahrscheinlichkeitsmasse um den Erwartungswert. Die Wahrscheinlichkeit, im Intervall zu liegen, steigt also deutlich an (nahezu \(100\,\%\)).

a) \(P(39{,}8 \le X \le 40{,}2) \approx 68{,}3\,\%\); \(P(X < 39{,}4) \approx 0{,}15\,\%\) b) Da \(\mu\) etwa \(200\sigma\) von Null entfernt ist, ist die Wahrscheinlichkeit für negative Werte vernachlässigbar klein. c) Die Wahrscheinlichkeit steigt an, da die Verteilung schmaler wird und das Intervall nun einen \(4\sigma\)-Bereich statt eines \(2\sigma\)-Bereichs abdeckt.

- Vergleiche Vorfaktor und Exponent mit der allgemeinen Formel einer Normaldichte. - Was bedeutet „höchstens eine Standardabweichung“ als symmetrisches Intervall? - Welche kumulierte Standardnormalwahrscheinlichkeit gehört in Teil 3 zum gesuchten oberen Grenzwert?

1. Der Vergleich mit der allgemeinen Normaldichte liefert \(\mu=500\) und \(2\sigma^2=72\). Daher ist \(\sigma=6\). Somit gilt \(\mu=500\,\text{mL}\) und \(\sigma=6\,\text{mL}\). 2. Gesucht ist \(P(494\le X\le506)=P(-1\le Z\le1)=2\Phi(1)-1\approx0{,}682689\), also etwa \(68{,}27\,\%\). 3. Aus \(P(X\le k)=0{,}9\) folgt \(\Phi\left(\frac{k-500}{6}\right)=0{,}9\). Mit \(\Phi^{-1}(0{,}9)\approx1{,}281552\) ergibt sich \(k\approx500+6\cdot1{,}281552\approx507{,}69\,\text{mL}\).

1. \(\mu=500\,\text{mL}\), \(\sigma=6\,\text{mL}\) 2. etwa \(68{,}27\,\%\) 3. \(k\approx507{,}69\,\text{mL}\)

- Überlege zuerst, welche Parameter für die Normalverteilung gegeben sind. - Wie transformiert man einen Wert der Zufallsgröße in einen Standardwert der Normalverteilung? - Denke daran, dass die Fläche unter der Glockenkurve die Wahrscheinlichkeit darstellt. - Bei Intervallen musst du die Differenz der Flächeninhalte bis zu den jeweiligen Grenzen bilden. - Ist die Wahrscheinlichkeit für „höchstens“ identisch mit der für „weniger als“ bei einer stetigen Verteilung?

1. Für Teil a ist \(z=\frac{250-252}{1{,}5}=-\frac43\). Daher gilt \(P(X<250)=\Phi(-4/3)\approx0{,}091211\), also etwa \(9{,}12\,\%\). 2. Für Teil b sind die standardisierten Grenzen \(z_1=-\frac23\) und \(z_2=\frac43\). Daher gilt \(P(251\leq X\leq254)=\Phi(4/3)-\Phi(-2/3)\approx0{,}656296\), also etwa \(65{,}63\,\%\). 3. Für Teil c ist \(z=2\). Daher gilt \(P(X\geq255)=1-\Phi(2)\approx0{,}022750\), also etwa \(2{,}28\,\%\).

a) \(P(X<250)\approx0{,}0912\) beziehungsweise \(9{,}12\,\%\) b) \(P(251\leq X\leq254)\approx0{,}6563\) beziehungsweise \(65{,}63\,\%\) c) \(P(X\geq255)\approx0{,}0228\) beziehungsweise \(2{,}28\,\%\)

- Welche Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung kannst du dem Text entnehmen? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Verteilungsfunktion \(\Phi(z)\) und negativen \(z\)-Werten. - Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Überschreiten eines bestimmten Wertes? - Skizziere dir eventuell die Glockenkurve, um die gesuchten Flächenbereiche zu visualisieren.

1. Transformation der Werte in die Standardnormalverteilung mit \(\mu = 20\,000\) und \(\sigma = 800\). 2. Zu a): \(z = \frac{18800 - 20000}{800} = -1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 \approx 0{,}0668\). 3. Zu b): \(z_1 = \frac{19600 - 20000}{800} = -0{,}5\) und \(z_2 = \frac{21200 - 20000}{800} = 1{,}5\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(1{,}5) - \Phi(-0{,}5) \approx 0{,}9332 - (1 - 0{,}6915) \approx 0{,}6247\). 4. Zu c): \(z = \frac{21000 - 20000}{800} = 1{,}25\). Die Wahrscheinlichkeit für \(X > 21\,000\) ist \(1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 \approx 0{,}1056\).

a) \(P(X \leq 18\,800) \approx 0{,}0668\) (ca. \(6{,}68\,\%\)) b) \(P(19\,600 \leq X \leq 21\,200) \approx 0{,}6247\) (ca. \(62{,}47\,\%\)) c) \(P(X > 21\,000) \approx 0{,}1056\) (ca. \(10{,}56\,\%\))

- Standardisiere in den ersten beiden Teilen die jeweiligen Füllmengengrenzen. - Welches Ergebnis aus Teil b wird zur Erfolgswahrscheinlichkeit in Teil c? - Welche Binomialereignisse gehören zu „höchstens eine“?

a) Die standardisierten Grenzen sind \(-1{,}25\) und \(1{,}25\). Daher \(P(495\le X\le505)=2\Phi(1{,}25)-1\approx0{,}788700\approx78{,}87\,\%\). b) Für \(492\,\text{mL}\) gilt \(z=-2\). Somit \(p=P(X<492)=\Phi(-2)\approx0{,}022750\approx2{,}28\,\%\). c) Für \(Y\sim B(12;p)\) gilt mit dem ungerundeten Wert von \(p\) \(P(Y\le1)=(1-p)^{12}+12p(1-p)^{11}\approx0{,}970642\approx97{,}06\,\%\).

a) etwa \(78{,}87\,\%\) b) etwa \(2{,}28\,\%\) c) etwa \(97{,}06\,\%\)

- Wie transformiert man eine beliebig normalverteilte Zufallsgröße in die Standardnormalverteilung? - Welcher z-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(0{,}5\,\%\) am linken Rand? - Stelle die Gleichung für den z-Wert nach der gesuchten Größe um.

1. Berechnung der Wahrscheinlichkeit für Untergewicht: \(P(X < 1000) = \Phi\left(\frac{1000 - 1006}{4}\right) = \Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}68\,\%\). 2. Anpassung der Standardabweichung: Gefordert ist \(P(X < 1000) = 0{,}005\). Mit dem z-Wert für das \(0{,}5\,\%\)-Quantil \(z_{0{,}005} \approx -2{,}576\) ergibt sich: \(\frac{1000 - 1006}{\sigma} = -2{,}576 \Rightarrow -6 = -2{,}576 \cdot \sigma \Rightarrow \sigma = \frac{-6}{-2{,}576} \approx 2{,}33\). Die neue Standardabweichung muss ca. \(2{,}33\,\text{g}\) betragen. 3. Anpassung des Erwartungswertes: Gefordert ist \(P(X < 1000) = 0{,}005\) bei \(\sigma = 4\): \(\frac{1000 - \mu}{4} = -2{,}576 \Rightarrow 1000 - \mu = -10{,}304 \Rightarrow \mu = 1010{,}304\). Der Erwartungswert muss auf ca. \(1010{,}3\,\text{g}\) erhöht werden.

a) Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. \(6{,}68\,\%\). b) (1) Die Standardabweichung müsste auf ca. \(2{,}33\,\text{g}\) sinken. (2) Der Erwartungswert müsste auf ca. \(1010{,}3\,\text{g}\) angehoben werden.

- Standardisiere mit den exakten Bruchwerten, bevor du numerisch auswertest. - Welches tatsächliche Dickenintervall wird auf eine Nachkommastelle zu \(6{,}0\,\text{mm}\) gerundet? - Bei fester Breite ist die Lage des Intervalls relativ zum Dichtemaximum entscheidend. - Übersetze „\(95\,\%\) überschreiten“ in eine linke kumulierte Wahrscheinlichkeit. - Verwende für den Binomialteil die ungerundete Einzelwahrscheinlichkeit.

a) Die standardisierten Grenzen sind exakt \(-\frac{4}{3}\) und \(\frac{4}{3}\). Daher \(P(5{,}80\le X\le6{,}20)=\Phi\left(\frac{4}{3}\right)-\Phi\left(-\frac{4}{3}\right)\approx0{,}817578\approx81{,}76\,\%\). b) Der gerundete Wert \(6{,}0\,\text{mm}\) entsteht für \(5{,}95\le X<6{,}05\). Die standardisierten Grenzen sind exakt \(-\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{3}\). Somit \(P(5{,}95\le X<6{,}05)=2\Phi\left(\frac{1}{3}\right)-1\approx0{,}261117\approx26{,}11\,\%\). c) Bei fester Intervallbreite liegt die größte Fläche unter einer symmetrischen, unimodalen Normaldichte, wenn das Intervall um \(\mu\) zentriert ist. Daher ist \([5{,}90\,\text{mm};6{,}10\,\text{mm}]\) optimal. d) Gesucht ist \(d\) mit \(P(X>d)=0{,}95\), also \(P(X\le d)=0{,}05\). Mit \(\Phi^{-1}(0{,}05)\approx-1{,}644854\) folgt \(d=6{,}00+0{,}15\cdot(-1{,}644854)\approx5{,}7533\,\text{mm}\), also \(d\approx5{,}75\,\text{mm}\). e) Für eine Scheibe ist \(p=P(X>5{,}85)=\Phi(1)\approx0{,}841345\). Für \(Y\sim B(50;p)\) gilt mit dem ungerundeten Wert von \(p\) \(P(Y\ge40)\approx0{,}840623\approx84{,}06\,\%\).

a) etwa \(81{,}76\,\%\) b) etwa \(26{,}11\,\%\) c) \([5{,}90\,\text{mm};6{,}10\,\text{mm}]\) d) \(d\approx5{,}75\,\text{mm}\) e) etwa \(84{,}06\,\%\)

- Vergleiche für jede Maßnahme die Lage der Grenze \(500\,\text{g}\) relativ zu ihrem jeweiligen Erwartungswert und ihrer Standardabweichung. - Standardisiere dieselbe Unterfüllgrenze getrennt für beide Prozesse. - Überlege anschließend geometrisch, wie eine Verschiebung des Mittelpunkts und eine Verringerung der Streuung den linken Rand der Glockenkurve verändern.

1. Bei Maßnahme A gilt \(\mu=507\) und \(\sigma=4\). Für \(500\,\text{g}\) erhält man \(z=\frac{500-507}{4}=-1{,}75\). Daher ist \(P(X<500)=\Phi(-1{,}75)\approx0{,}0401\), also etwa \(4{,}01\,\%\). 2. Bei Maßnahme B gilt \(\mu=505\) und \(\sigma=3\). Damit ist \(z=\frac{500-505}{3}=-\frac{5}{3}\approx-1{,}667\). Es folgt \(P(X<500)\approx0{,}0478\), also etwa \(4{,}78\,\%\). 3. Das Ziel von höchstens \(4{,}5\,\%\) erfüllt nur Maßnahme A. Das Erhöhen von \(\mu\) verschiebt die Glockenkurve nach rechts. Das Verringern von \(\sigma\) macht sie schmaler und höher um denselben Mittelpunkt. Beide Änderungen verkleinern hier die linke Randwahrscheinlichkeit, Maßnahme A jedoch stärker.

a) Maßnahme A: etwa \(4{,}01\,\%\); Maßnahme B: etwa \(4{,}78\,\%\) b) Nur Maßnahme A erfüllt das Ziel von höchstens \(4{,}5\,\%\).

- Kannst du die Bedeutung des Hochpunkts einer Glockenkurve beschreiben? - Wie hängen die Wendepunkte einer normalverteilten Dichtefunktion mit der Standardabweichung zusammen? - Welche Eigenschaft der Dichtefunktion kannst du nutzen, um Flächenanteile links und rechts vom Erwartungswert zu vergleichen? - Überlege, welcher Anteil der Gesamtfläche links vom Erwartungswert liegt. - Wie lautet die allgemeine Formel für eine gaußsche Glockenfunktion?

1. **Erwartungswerte ablesen:** Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Maximums der Glockenkurve. Für Maschine A gilt \(\mu_A = 10\,\text{g}\), für Maschine B gilt \(\mu_B = 14\,\text{g}\). 2. **Standardabweichungen ablesen:** Der Abstand vom Erwartungswert zu den Wendepunkten entspricht der Standardabweichung \(\sigma\). Für Maschine A liegen die Wendepunkte bei \(x = 8\) und \(x = 12\), woraus \(\sigma_A = 2\,\text{g}\) folgt. Für Maschine B liegen die Wendepunkte bei \(x = 13\) und \(x = 15\), woraus \(\sigma_B = 1\,\text{g}\) folgt. 3. **Vergleich der Unterbefüllung:** Der Anteil unterbefüllter Tütchen entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve links von \(x = 12\). Da \(\mu_A = 10 < 12\), liegt bei Maschine A mehr als die Hälfte der Fläche links von \(12\,\text{g}\) (Anteil \({>}\,50\,\%\)). Da \(\mu_B = 14 > 12\), liegt bei Maschine B weniger als die Hälfte der Fläche links von \(12\,\text{g}\) (Anteil \({<}\,50\,\%\)). Maschine A hat somit den höheren Anteil an unterbefüllten Tütchen. 4. **Wendepunkte berechnen:** Die x-Koordinaten der Wendepunkte für Maschine B sind \(x_1 = 13\) und \(x_2 = 15\). Durch Einsetzen in die Dichtefunktion \(f_B(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}(x-14)^2}\) erhält man für beide Punkte den Funktionswert \(y = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0{,}242\). Die Wendepunkte lauten somit exakt \(W_1\left(13 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\) und \(W_2\left(15 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right)\); näherungsweise liegen sie bei \(W_1(13 \mid 0{,}242)\) und \(W_2(15 \mid 0{,}242)\).

a) Maschine A: \(\mu_A = 10\,\text{g}\), \(\sigma_A = 2\,\text{g}\) Maschine B: \(\mu_B = 14\,\text{g}\), \(\sigma_B = 1\,\text{g}\) b) Maschine A liefert einen höheren Anteil an unterbefüllten Tütchen. Da der Erwartungswert \(\mu_A = 10\,\text{g}\) unter dem Sollgewicht von \(12\,\text{g}\) liegt, sind aufgrund der Symmetrie der Kurve mehr als \(50\,\%\) der Tütchen unterbefüllt. Bei Maschine B liegt der Erwartungswert bei \(\mu_B = 14\,\text{g}\), weshalb dort weniger als \(50\,\%\) unterbefüllt sind. c) \(W_1\left(13 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right) \approx W_1(13 \mid 0{,}242)\) \(W_2\left(15 \mid \frac{1}{\sqrt{2\pi e}}\right) \approx W_2(15 \mid 0{,}242)\)

- Wo befindet sich bei einer symmetrischen Glockenkurve der Erwartungswert? Schaue dir den höchsten Punkt des Graphen an. - Welche besondere geometrische Bedeutung haben die Punkte auf dem Graphen, an denen die Krümmung ihr Vorzeichen wechselt? Wie hängt deren Abstand zum Erwartungswert mit der Standardabweichung zusammen? - Überlege, wie viele Standardabweichungen der Wert \(480\,\text{mL}\) vom Erwartungswert entfernt liegt. - Welche bekannten Prozentanteile gehören zu den Standardintervallen um den Erwartungswert (den sogenannten \(\sigma\)-Umgebungen)? - Nutze die Symmetrie der Glockenkurve, um von der Wahrscheinlichkeit für ein symmetrisches Intervall auf die Wahrscheinlichkeit für einen einseitigen Bereich zu schließen.

1. Der Hochpunkt der Glockenkurve liegt bei \(x=500\). Daher ist \(\mu=500\,\text{mL}\). 2. Die Wendepunkte liegen bei \(x=490\) und \(x=510\). Ihr Abstand vom Erwartungswert beträgt \(10\), also ist \(\sigma=10\,\text{mL}\). 3. Es gilt \(480=\mu-2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen etwa \(95{,}4\,\%\) der Werte im Intervall \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\). Wegen der Symmetrie entfällt auf den linken Randbereich die Hälfte des Restes: \(P(X<480)\approx\frac{1-0{,}954}{2}=0{,}023=2{,}3\,\%\).

a) \(\mu=500\,\text{mL}\) und \(\sigma=10\,\text{mL}\) b) \(P(X<480)\approx 0{,}023=2{,}3\,\%\)

- Welche Werte kann der quadratische Ausdruck im Exponenten annehmen, und wann ist der gesamte Exponent am größten? - Nutze für Teil b die Lage der Grenzen relativ zu \(\mu\pm\sigma\) und \(\mu\pm2\sigma\). - Wie wirkt sich eine Änderung von \(\mu\) bei festem \(\sigma\) geometrisch auf eine Normaldichte aus? - Verteile bei einseitigen Randwahrscheinlichkeiten den Rest außerhalb eines symmetrischen Intervalls gleich auf beide Seiten.

a) Der Exponent ist \(-\frac{1}{2}\left(\frac{x-755}{5}\right)^2\) und daher stets höchstens \(0\). Er erreicht genau bei \(x=755\) seinen größten Wert \(0\). Da die Exponentialfunktion streng monoton steigt, ist der Faktor \(e^u\) innerhalb dieser Exponentenwerte bei \(u=0\) am größten. Somit liegt das Dichtemaximum bei \(x=755\). Es gilt \(f(755)=\frac{1}{5\sqrt{2\pi}}\approx0{,}0798\). Im Diagramm liegt der Hochpunkt daher bei \(x=755\) knapp unter \(y=0{,}08\). b) 1. Es ist \(750=\mu-\sigma\). Nach der \(1\sigma\)-Regel und Symmetrie gilt \(P(X<750)\approx\frac{1-0{,}683}{2}=0{,}1585\approx15{,}85\,\%\). 2. Das Intervall \([745;765]\) ist \([\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]\). Daher \(P(745\le X\le765)\approx95{,}4\,\%\). c) Der Graph verschiebt sich um \(5\) Einheiten nach links; Höhe und Breite bleiben unverändert. Danach ist \(745=\mu_{\text{neu}}-\sigma\), also beträgt der Anteil unter \(745\,\text{mL}\) wieder etwa \(15{,}85\,\%\).

a) Maximum bei \(x=755\) mit \(f(755)\approx0{,}0798\). b) 1. etwa \(15{,}85\,\%\) 2. etwa \(95{,}4\,\%\) c) Verschiebung um \(5\) nach links; Anteil unter \(745\,\text{mL}\) etwa \(15{,}85\,\%\).

- Beachte alle gegebenen Werte in der Aufgabenstellung. - Welche Bedeutung haben der Erwartungswert und die Standardabweichung für die Lage und Form der Glockenkurve? - Wie kannst du die Grenze für Unterfüllung mithilfe der Standardabweichung und des Erwartungswerts ausdrücken? - Erinnere dich an die Symmetrie der Normalverteilung. Welcher Anteil der Werte liegt außerhalb des symmetrischen Intervalls und wie verteilt sich dieser auf die beiden Seiten? - Überlege dir, wie sich eine Veränderung der Parameter geometrisch auf den Graphen auswirkt (z. B. Verschiebung oder Streckung/Stauchung).

1. **Wahrscheinlichkeit für Unterfüllung bestimmen:** Der Grenzwert von \(1000\,\text{mL}\) liegt genau eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, da \(\mu - \sigma = 1005\,\text{mL} - 5\,\text{mL} = 1000\,\text{mL}\). Laut der Sigma-Regel liegen im Intervall \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\) ca. \(68\,\%\) der Werte. Die restlichen \(100\,\% - 68\,\% = 32\,\%\) verteilen sich aus Symmetriegründen zu gleichen Teilen auf die beiden äußeren Bereiche (unter \(1000\,\text{mL}\) und über \(1010\,\text{mL}\)). Die Wahrscheinlichkeit für Unterfüllung (Füllmenge unter \(1000\,\text{mL}\)) beträgt somit: \(P(X < 1000) \approx \frac{32\,\%}{2} = 16\,\%\). 2. **Veränderung der Graphen erklären:** - **Maßnahme (1): Erhöhung von \(\mu\)** Eine Erhöhung des Erwartungswerts verschiebt den gesamten Graphen der Dichtefunktion nach rechts entlang der x-Achse, ohne seine Form zu verändern. Dadurch wandert der Großteil der Verteilung weiter weg vom Grenzwert \(1000\,\text{mL}\), und die Fläche links von \(1000\,\text{mL}\) (die der Wahrscheinlichkeit für Unterfüllung entspricht) wird kleiner. - **Maßnahme (2): Verringerung von \(\sigma\)** Eine Verringerung der Standardabweichung führt dazu, dass die Glockenkurve schmaler und steiler wird (der Hochpunkt wird höher). Die Werte konzentrieren sich enger um den unveränderten Erwartungswert \(\mu = 1005\,\text{mL}\). Dadurch werden die äußeren Bereiche (die „Ränder“) flacher, und die Fläche links von \(1000\,\text{mL}\) nimmt ab.

a) Die Wahrscheinlichkeit für eine unterfüllte Flasche beträgt ca. \(16\,\%\). b) Bei Maßnahme (1) verschiebt sich der gesamte Graph nach rechts entlang der x-Achse, wodurch die Fläche unter der Kurve links von \(1000\,\text{mL}\) kleiner wird. Bei Maßnahme (2) wird die Glockenkurve schmaler und steiler um den Mittelwert konzentriert, wodurch die Wahrscheinlichkeit für Werte im äußeren linken Bereich (unter \(1000\,\text{mL}\)) ebenfalls sinkt.

- Der Erwartungswert liegt bei einer Normaldichte unter dem Hochpunkt. - Eine kleinere Standardabweichung erzeugt eine schmalere und höhere Glockenkurve. - Alternativ kannst du \(\sigma\) aus der Hochpunkthöhe oder aus dem Abstand zu den Wendestellen abschätzen.

a) Beide Kurven haben ihr Maximum bei \(x=500\), also gilt für beide \(\mu=500\,\text{g}\). Für Anlage 1 liegt das Maximum bei etwa \(0{,}20\). Aus \(f(\mu)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) folgt \(\sigma_1\approx2\,\text{g}\). Die sichtbaren Wendestellen bei ungefähr \(498\) und \(502\) bestätigen dies. Für Anlage 2 liegt das Maximum bei etwa \(0{,}08\). Entsprechend ist \(\sigma_2\approx5\,\text{g}\); die Wendestellen liegen ungefähr bei \(495\) und \(505\). b) Anlage 1 arbeitet präziser, weil ihre Standardabweichung kleiner ist und die Füllmengen enger um \(500\,\text{g}\) streuen.

a) Anlage 1: \(\mu=500\,\text{g}\), \(\sigma=2\,\text{g}\). Anlage 2: \(\mu=500\,\text{g}\), \(\sigma=5\,\text{g}\). b) Anlage 1 arbeitet präziser, weil \(2\,\text{g}<5\,\text{g}\).

- Lies im Graphen ab, wie weit die angegebenen Massen horizontal vom Zentrum \(1000\,\text{g}\) entfernt sind. - Ordne jede angegebene Masse einem Ausdruck der Form \(\mu\pm k\sigma\) zu. - Nutze bei einseitigen Wahrscheinlichkeiten die Symmetrie der Normalverteilung. - Welche zentrale Wahrscheinlichkeit gehört zur \(1\sigma\)-, \(2\sigma\)- bzw. \(3\sigma\)-Regel?

a) Der Graph ist symmetrisch zum Hochpunkt bei \(1000\,\text{g}\). Wegen der Symmetrie gilt \(P(X>1000)=50\,\%\). b) Im Graphen liegen \(980\,\text{g}\) und \(1020\,\text{g}\) jeweils eine Standardabweichung links bzw. rechts vom Zentrum. Es ist \([980;1020]=[\mu-\sigma;\mu+\sigma]\). Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit nach der \(1\sigma\)-Regel etwa \(68{,}3\,\%\). c) \(960\,\text{g}\) liegt im Graphen zwei Standardabweichungen links vom Mittelwert. Es ist \(960=\mu-2\sigma\). Außerhalb des \(2\sigma\)-Intervalls liegen etwa \(4{,}6\,\%\). Wegen der Symmetrie gilt daher \(P(X<960)\approx2{,}3\,\%\). d) Zur \(3\sigma\)-Regel gehört \([\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]=[940\,\text{g};1060\,\text{g}]\).

a) \(50\,\%\) b) etwa \(68{,}3\,\%\) c) etwa \(2{,}3\,\%\) d) \([940\,\text{g};1060\,\text{g}]\)

- Wo befindet sich bei einer Glockenkurve der höchste Punkt und was sagt dieser über den Mittelwert aus? - Erinnere dich daran, dass die Wendestellen genau eine Standardabweichung vom Mittelwert entfernt sind. - Die Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht der gesamten Fläche unter der Kurve. Wie groß ist diese immer? - Nutze die Symmetrie der Kurve um die vertikale Achse durch den Hochpunkt. - Überlege, wie viel Prozent der Daten innerhalb einfacher Standardabweichungen liegen.

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der Stelle des Maximums der Dichtefunktion. Aus dem Graphen liest man \(\mu = 10\) ab. 2. Die Wendestellen einer Normaldichte liegen bei \(\mu \pm \sigma\). Im Graphen befinden sich die Wendestellen etwa bei \(x = 8\) und \(x = 12\). Daraus folgt \(\sigma \approx 2\). 3. Die Wahrscheinlichkeit \(P(8 \le X \le 12)\) entspricht der Fläche unter \(f\) im Intervall \([8; 12]\). Durch Zählen der Kästchen ergibt sich eine Fläche von etwa \(6{,}8\) Kästchen, was einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(0{,}68\) entspricht. 4. Da die Dichtefunktion symmetrisch zum Erwartungswert \(\mu = 10\) ist und die Gesamtfläche unter dem Graphen \(1\) beträgt, gilt \(P(X \ge 10) = 0{,}5\). 5. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 12)\) lässt sich berechnen als \(P(X > 12) = P(X \ge 10) - P(10 \le X \le 12)\). Aufgrund der Symmetrie ist \(P(10 \le X \le 12) = \frac{1}{2} \cdot P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}34\). Somit ist \(P(X > 12) \approx 0{,}5 - 0{,}34 \approx 0{,}16\).

a) \(\mu = 10\); \(\sigma \approx 2\). b) \(P(8 \le X \le 12) \approx 0{,}68\). c) \(P(X \ge 10) = 0{,}5\), da der Graph symmetrisch zu \(\mu = 10\) ist und die Gesamtfläche \(1\) beträgt. d) \(P(X > 12) \approx 0{,}16\).

- Wo befindet sich bei einer Glockenkurve der Erwartungswert? - Wie lässt sich die Standardabweichung grafisch an der Kurve erkennen? Achte auf die Krümmung. - Wenn du den Erwartungswert und die Standardabweichung kennst, kannst du jeden Wert in einen Standardwert (\(z\)-Wert) umrechnen. - Überlege, ob du die Fläche links oder rechts von deinem berechneten Wert suchst.

1. Den Erwartungswert \(\mu\) ablesen: Das Maximum der Glockenkurve liegt bei \(\mu = 1000\,\text{mL}\). 2. Die Standardabweichung \(\sigma\) bestimmen: Die Wendepunkte der Kurve liegen bei \(990\,\text{mL}\) und \(1010\,\text{mL}\). Der Abstand zum Erwartungswert beträgt \(\sigma = 1010 - 1000 = 10\,\text{mL}\). 3. Den \(z\)-Wert für \(x = 1015\) berechnen: \(z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{1015 - 1000}{10} = 1{,}5\). 4. Die Wahrscheinlichkeit \(P(X > 1015)\) bestimmen: \(P(X > 1015) = 1 - \Phi(1{,}5)\). 5. Wert aus der Tabelle der Standardnormalverteilung entnehmen: \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 6. Ergebnis berechnen: \(1 - 0{,}9332 \approx 0{,}0668\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(6{,}68\,\%\).

Aus der Abbildung liest man \(\mu = 1000\,\text{mL}\) und \(\sigma = 10\,\text{mL}\) ab. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche mehr als \(1015\,\text{mL}\) enthält, beträgt ca. \(6{,}68\,\%\).

- Der Hochpunkt der Verteilung gibt dir direkt einen wichtigen Parameter an. - Schau dir die Stelle an, an der die Krümmung der Kurve wechselt. Der Abstand zur Mitte ist die Standardabweichung. - Für die Passgenauigkeit musst du die Fläche unter der Kurve in einem bestimmten Bereich bestimmen. - Nutze die Tabellenwerte für die Standardnormalverteilung, nachdem du die Werte transformiert hast.

1. Kennzahlen ablesen: Der Hochpunkt liegt bei \(\mu = 40\,\text{mm}\). Die Wendestellen liegen bei \(38\,\text{mm}\) und \(42\,\text{mm}\), woraus \(\sigma = 42 - 40 = 2\,\text{mm}\) folgt. 2. Intervallgrenzen standardisieren: Für \(x_1 = 37\): \(z_1 = \frac{37 - 40}{2} = -1{,}5\). Für \(x_2 = 43\): \(z_2 = \frac{43 - 40}{2} = 1{,}5\). 3. Wahrscheinlichkeit im Intervall berechnen: \(P(37 \le X \le 43) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-1{,}5)\). 4. Symmetrie der Normalverteilung nutzen: \(P = \Phi(1{,}5) - (1 - \Phi(1{,}5)) = 2 \cdot \Phi(1{,}5) - 1\). 5. Wert einsetzen: \(\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332\). 6. Berechnung: \(2 \cdot 0{,}9332 - 1 = 0{,}8664\). Der Anteil beträgt ca. \(86{,}64\,\%\).

Aus der Grafik ergibt sich \(\mu = 40\,\text{mm}\) und \(\sigma = 2\,\text{mm}\). Der Anteil der passgenauen Bauteile beträgt ca. \(86{,}6\,\%\).

- Der Hochpunkt einer Normaldichte liegt bei \(\mu\); setze dort in die allgemeine Dichteformel ein. - Betrachte in Teil b ausschließlich die markierte Fläche und vergleiche sie mit der Gesamtfläche \(1\). - Welche symmetrische Standardabweichungsbreite steckt hinter den Grenzen \(140\) und \(180\)? - Wie viele Standardabweichungen liegt der physikalisch unmögliche Wert \(0\,\text{g}\) vom Erwartungswert entfernt?

a) Der Maximalwert liegt bei \(x=\mu\) und ist \(f(160)=\frac{1}{20\sqrt{2\pi}}\approx0{,}0199\approx0{,}020\). b) Die im Graphen markierte zentrale Fläche reicht von \(140=\mu-\sigma\) bis \(180=\mu+\sigma\). Aus der dargestellten Fläche und dem Gitternetz lässt sich ein Anteil von ungefähr \(0{,}68\) abschätzen. Damit gilt grafisch \(P(140\le X\le180)\approx68\,\%\). Die \(1\sigma\)-Regel bestätigt den Schätzwert mit etwa \(68{,}3\,\%\). c) Das Integral ist die Wahrscheinlichkeit für eine Masse zwischen \(160\,\text{g}\) und \(160+a\). Wegen der Symmetrie entspricht etwa \(0{,}341\) der Hälfte der \(1\sigma\)-Fläche. Daher ist \(a=20\,\text{g}\), und das Intervall lautet \([160\,\text{g};180\,\text{g}]\). d) Theoretisch weist das Normalmodell auch negativen Massen eine positive Wahrscheinlichkeit zu. Hier liegt \(0\) jedoch \(8\sigma\) unter dem Mittelwert. Diese Wahrscheinlichkeit ist vernachlässigbar klein, sodass das Modell im relevanten Wertebereich plausibel ist.

a) \(f(160)\approx0{,}0199\approx0{,}020\). b) grafisch etwa \(68\,\%\), genauer nach der \(1\sigma\)-Regel etwa \(68{,}3\,\%\) c) \(a=20\,\text{g}\); das Integral beschreibt \(P(160\le X\le180)\approx0{,}341\). d) Theoretisch berechtigt, im relevanten Wertebereich aber praktisch vernachlässigbar.

- Welchen Wert hat eine Normaldichte an ihrem Hochpunkt in Abhängigkeit von \(\sigma\)? - Nutze die horizontale Achse des Graphen, um \(1001\,\text{mL}\) relativ zum Zentrum einzuordnen. - Wie liegt \(1001\,\text{mL}\) relativ zu \(\mu\) und \(\sigma\)? - Welcher Standardnormalwert begrenzt ein zentrales \(95\,\%\)-Intervall? - Überlege für Teil d, wie eine Verschiebung von \(\mu\) die Fläche links von \(1000\,\text{mL}\) verändert.

a) Das Maximum liegt bei \(x=\mu\). Daher \(f(1004)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}\approx0{,}13298\approx0{,}133\). b) Im Graphen liegt \(1001\,\text{mL}\) genau eine Standardabweichung links vom Hochpunkt. Es ist \(1001=\mu-\sigma\). Außerhalb des \(1\sigma\)-Intervalls liegen etwa \(31{,}7\,\%\). Wegen der Symmetrie gilt \(P(X<1001)\approx\frac{31{,}7\,\%}{2}=15{,}85\,\%\). c) Für ein zentrales \(95\,\%\)-Intervall ist \(z\approx1{,}96\). Daher \(k=1{,}96\cdot3\,\text{mL}=5{,}88\,\text{mL}\). Somit liegen etwa \(95\,\%\) der Füllmengen im Intervall \([998{,}12\,\text{mL};1009{,}88\,\text{mL}]\). d) Der Graph macht sichtbar, dass die Glockenkurve um \(1004\,\text{mL}\) zentriert und damit gegenüber der Nennfüllmenge nach rechts verschoben ist. Ein höherer Erwartungswert verringert dadurch den Anteil unter \(1000\,\text{mL}\). Bei \(\mu=1000\,\text{mL}\) lägen wegen der Symmetrie \(50\,\%\) der modellierten Füllmengen unter diesem Wert.

a) \(f(1004)\approx0{,}133\) b) etwa \(15{,}85\,\%\) c) \(k\approx5{,}88\,\text{mL}\); etwa \(95\,\%\) liegen zwischen \(998{,}12\,\text{mL}\) und \(1009{,}88\,\text{mL}\). d) Ein Erwartungswert oberhalb der Nennfüllmenge senkt den Anteil der Unterfüllungen.

- Wo liegt bei einer Glockenkurve immer der Erwartungswert? - Erinnere dich an den Zusammenhang zwischen der Höhe des Hochpunkts und der Streuung der Daten. - Welche festen Prozentwerte gehören zu den Intervallen um den Mittelwert mit der Breite einer oder zweier Standardabweichungen? - Nutze die Symmetrie der Normalverteilung, um Wahrscheinlichkeiten für einseitige Bereiche zu bestimmen.

1. Der Erwartungswert \(\mu\) entspricht der x-Koordinate des Hochpunktes: \(\mu = 150\,\text{g}\). 2. Der Wert der Dichtefunktion am Maximum beträgt laut y-Achse etwa \(f(150) \approx 0{,}04\). 3. Aus der Formel für das Maximum der Dichtefunktion \(f(\mu) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\) folgt \(\sigma = \frac{1}{0{,}04 \cdot \sqrt{2\pi}} \approx 9{,}97\,\text{g}\), gerundet \(\sigma \approx 10\,\text{g}\). 4. Das Intervall \([140; 160]\) entspricht \([\mu - \sigma; \mu + \sigma]\). Nach der \(1\sigma\)-Regel beträgt die Wahrscheinlichkeit ca. \(68{,}3\,\%\). 5. Der Wert \(170\) entspricht \(\mu + 2\sigma\). Da das Intervall \([\mu - 2\sigma; \mu + 2\sigma]\) etwa \(95{,}4\,\%\) der Fläche abdeckt, entfallen auf die beiden äußeren Ränder zusammen \(4{,}6\,\%\). Aufgrund der Symmetrie gilt \(P(X > 170) \approx 2{,}3\,\%\).

a) \(\mu = 150\,\text{g}\); \(f(150) \approx 0{,}04\) b) \(\sigma \approx 10\,\text{g}\) c) \(P(140 \le X \le 160) \approx 68{,}3\,\%\) d) \(P(X > 170) \approx 2{,}3\,\%\)

- Welche Werte kann eine Verspätungsquote grundsätzlich annehmen? - Standardisiere die natürliche Untergrenze \(0\). - Entscheide nicht nur danach, ob das Normalmodell theoretisch unmögliche Werte zulässt, sondern auch danach, wie groß deren Wahrscheinlichkeit hier ist.

1. Eine Verspätungsquote kann nicht negativ sein. 2. Unter dem vorgeschlagenen Normalmodell gilt \(P(Q<0)=\Phi\left(\frac{0-8}{6}\right)=\Phi\left(-\frac{4}{3}\right)\approx0{,}0912\). 3. Das Modell weist damit etwa \(9{,}12\,\%\) Wahrscheinlichkeit unmöglichen negativen Verspätungsquoten zu. 4. Dieser Anteil ist nicht vernachlässigbar klein. Das vorgeschlagene Normalmodell ist daher für diese Größe ungeeignet.

a) \(P(Q<0)\approx0{,}0912\), also etwa \(9{,}12\,\%\) b) Das Normalmodell ist ungeeignet, weil es einen erheblichen Wahrscheinlichkeitsanteil auf unmögliche negative Verspätungsquoten legt.

- Formuliere die obere Randwahrscheinlichkeit als kumulierte Wahrscheinlichkeit links vom Grenzwert. - Welches Quantil der Standardnormalverteilung gehört zu dieser kumulierten Wahrscheinlichkeit? - Übertrage den gefundenen Standardnormalwert anschließend auf die Skala des Leseindex zurück.

1. Aus \(P(S\ge c)=0{,}10\) folgt \(P(S\le c)=0{,}90\). 2. Für die Standardnormalverteilung gilt \(\Phi(z)=0{,}90\) bei \(z\approx1{,}2816\). 3. Rücktransformation: \(c=100+1{,}2816\cdot15\approx119{,}2\).

\(c\approx119{,}2\)

- Formuliere die Vorgabe für jedes Gerät als symmetrisches Intervall um den Erwartungswert \(0\). - Standardisiere denselben Toleranzwert für beide unterschiedlichen Standardabweichungen. - Vergleiche die berechneten zentralen Wahrscheinlichkeiten erst am Ende mit der geforderten Schwelle von \(90\,\%\).

1. Für Gerät A ist \(P(|A|\le1{,}5)=2\Phi\left(\frac{1{,}5}{0{,}8}\right)-1=2\Phi(1{,}875)-1\approx0{,}9392\). 2. Für Gerät B ist \(P(|B|\le1{,}5)=2\Phi\left(\frac{1{,}5}{1{,}2}\right)-1=2\Phi(1{,}25)-1\approx0{,}7887\). 3. Damit erfüllt nur Gerät A die geforderte Wahrscheinlichkeit von mindestens \(90\,\%\).

Gerät A: \(P(|A|\le1{,}5)\approx0{,}9392\); Vorgabe erfüllt. Gerät B: \(P(|B|\le1{,}5)\approx0{,}7887\); Vorgabe nicht erfüllt.

- Wie hängen der Anteil in der Grundgesamtheit und die Trefferwahrscheinlichkeit in einer Stichprobe zusammen? - Erinnere dich an die Formel für die Wahrscheinlichkeit von genau \(k\) Treffern. - Bei „mindestens ein Treffer“ ist es oft einfacher, über das Gegenereignis nachzudenken. - Welche mathematische Operation hilft dir, eine Unbekannte im Exponenten zu isolieren?

1. Für eine Packung ist \(p=P(X<495)=\Phi(-1{,}25)\approx0{,}105650\), also etwa \(10{,}56\,\%\). 2. Für \(Y\sim B(100;p)\) gilt mit dem ungerundeten Wert von \(p\): \(P(Y=10)=\binom{100}{10}p^{10}(1-p)^{90}\approx0{,}129621\), also etwa \(12{,}96\,\%\). 3. Gesucht ist das kleinste \(n\) mit \(1-(1-p)^n>0{,}99\). Dies ist äquivalent zu \(n>\frac{\ln(0{,}01)}{\ln(1-p)}\approx41{,}24\). Daher sind mindestens \(42\) Packungen erforderlich. Tatsächlich gilt für \(n=41\) nur etwa \(98{,}97\,\%\), für \(n=42\) aber etwa \(99{,}08\,\%\).

1. etwa \(10{,}56\,\%\) 2. etwa \(12{,}96\,\%\) 3. mindestens \(42\) Packungen

- Standardisiere die Mindestlebensdauer zunächst für eine einzelne LED. - Nutze im zweiten Teil das Ergebnis aus Teil a als Erfolgswahrscheinlichkeit. - Welche drei exakten Trefferzahlen gehören zum Ereignis „mindestens \(38\) von \(40\)“?

a) Für die Mindestlebensdauer ist \(z=\frac{1410-1500}{60}=-1{,}5\). Daher gilt \(p=P(X\ge1410)=\Phi(1{,}5)\approx0{,}933193\), also etwa \(93{,}32\,\%\). b) Für \(Y\sim B(40;p)\) gilt \(P(Y\ge38)=P(Y=38)+P(Y=39)+P(Y=40)\approx0{,}494702\), wenn der ungerundete Wert von \(p\) verwendet wird. Die Wahrscheinlichkeit beträgt etwa \(49{,}47\,\%\).

a) etwa \(93{,}32\,\%\) b) etwa \(49{,}47\,\%\)

- Wie kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert ausdrücken? - Welcher z-Wert gehört zu einer Wahrscheinlichkeit von \(99{,}5\,\%\) in der Standardnormalverteilung? - Überlege, wie sich eine kleinere Standardabweichung auf die Breite der Glockenkurve auswirkt. - Stelle eine Gleichung auf, in der die gesuchte Größe die einzige Unbekannte ist.

1. Berechnung des Anteils für \(L < 199{,}0\): Bestimmung des \(z\)-Werts \(z = \frac{199{,}0 - 200{,}5}{0{,}8} = -1{,}875\). Die Wahrscheinlichkeit ist \(\Phi(-1{,}875) \approx 0{,}0304\), was einem Anteil von \(3{,}04\,\%\) entspricht. 2. Bestimmung der Standardabweichung: Die Bedingung lautet \(P(198 \le L \le 202) \ge 0{,}99\). Da das Intervall symmetrisch um \(\mu = 200\) liegt, gilt \(P(200 - 2 \le L \le 200 + 2) = 2 \cdot \Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) - 1 \ge 0{,}99\). 3. Umformung führt zu \(\Phi\left(\frac{2}{\sigma}\right) \ge 0{,}995\). 4. Der zugehörige \(z\)-Wert für die Wahrscheinlichkeit \(0{,}995\) ist \(z \approx 2{,}576\). 5. Lösen der Gleichung \(\frac{2}{\sigma} = 2{,}576\) ergibt \(\sigma \approx \frac{2}{2{,}576} \approx 0{,}7764\). 6. Der exakte Grenzwert beträgt etwa \(0{,}7764\,\text{cm}\). Damit die Vorgabe auch nach Rundung auf zwei Nachkommastellen sicher eingehalten wird, wird nach unten gerundet: \(0{,}77\,\text{cm}\).

a) Der Anteil beträgt ca. \(3{,}04\,\%\). b) Die maximale Standardabweichung beträgt \(0{,}77\,\text{cm}\).

- Vergleiche die Ausschussgrenze zunächst mit der Standardabweichung des jeweiligen Prozesses. - Welche zentrale Sigma-Umgebung wird in Teil a) durch die zulässige Abweichung beschrieben? - Unterscheide in Teil b) zwischen der gerundeten Sigma-Regel aus a) und einer genaueren Auswertung mit \(\Phi\). - In Teil c) ist die feste Toleranz nach der Prozessverbesserung kein ganzzahliges Vielfaches von \(\sigma\); standardisiere deshalb die Grenze.

1. Die zulässige Abweichung \(0{,}10\,\text{mm}\) entspricht bei \(\sigma=0{,}05\,\text{mm}\) genau \(2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel liegen etwa \(95{,}4\,\%\) der Werte in der zulässigen Umgebung. Daher beträgt der Ausschussanteil näherungsweise \(100\,\%-95{,}4\,\%\approx4{,}6\,\%\). 2. Für die genauere Binomialrechnung gilt \(p=P(|D-\mu|>0{,}10)=2\bigl(1-\Phi(2)\bigr)\approx0{,}04550\). Für die Anzahl \(X\) der Ausschussbolzen in einer Schachtel gilt damit näherungsweise \(X\sim B(50;0{,}04550)\). Somit ist \(P(X=2)=\binom{50}{2}0{,}04550^2(1-0{,}04550)^{48}\approx0{,}2713\). 3. Bei \(\sigma=0{,}04\,\text{mm}\) entspricht die feste Ausschussgrenze \(0{,}10\,\text{mm}\) dem Abstand \(2{,}5\sigma\). Daher gilt \(P(|D-\mu|>0{,}10)=2\bigl(1-\Phi(2{,}5)\bigr)\approx0{,}01242\).

a) etwa \(4{,}6\,\%\) b) etwa \(27{,}13\,\%\) c) etwa \(1{,}24\,\%\)

- Nutze die Standardisierung, um die Wahrscheinlichkeit bei der Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung zurückzuführen. - Wenn eine Stichprobe betrachtet wird und jedes Element nur zwei Zustände (z. B. untergewichtig oder nicht) haben kann, liegt eine Binomialverteilung vor. - Für ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert kannst du die entsprechenden Quantile der Normalverteilung verwenden. - Achte bei der Intervallsuche auf die Bedingung „mindestens“ und die geforderte Ganzzahligkeit.

1. Die Wahrscheinlichkeit für Untergewicht ist \(p = P(X < 247) = \Phi\left(\frac{247 - 250}{2}\right) = \Phi(-1{,}5)\). Mit \(\Phi(-1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668\). 2. Die Anzahl der untergewichtigen Pakete \(Y\) ist binomialverteilt mit \(n = 50\) und \(p \approx 0{,}0668\). Gesucht ist \(P(Y \le 1) = P(Y = 0) + P(Y = 1) = \binom{50}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{50} + \binom{50}{1} \cdot p^1 \cdot (1-p)^{49} \approx 0{,}0315 + 0{,}1128 = 0{,}1443\). 3. Gesucht ist ein Intervall \([250-c; 250+c]\) mit \(P(250-c \le X \le 250+c) \ge 0{,}95\). Dies entspricht \(2\Phi(\frac{c}{2}) - 1 \ge 0{,}95\), also \(\Phi(\frac{c}{2}) \ge 0{,}975\). Das zugehörige \(z\)-Quantil ist \(1{,}96\). Es muss gelten \(\frac{c}{2} \ge 1{,}96\), also \(c \ge 3{,}92\). Für ganzzahlige Grenzen muss \(c\) so gewählt werden, dass \(250-c\) und \(250+c\) ganzzahlig sind, also \(c \ge 4\). Das kleinste solche Intervall ist \([246; 254]\).

1. \(P(X < 247) \approx 6{,}68\,\%\) 2. \(P(Y \le 1) \approx 14{,}43\,\%\) 3. \([246\,\text{g}; 254\,\text{g}]\)

- Standardisiere die beiden Grenzen des ersten Intervalls getrennt. - Für „mehr als \(16\,\text{h}\)“ ist das Gegenereignis zur kumulierten Wahrscheinlichkeit hilfreich. - Verwende in Teil c die ungerundete Wahrscheinlichkeit aus Teil b als Binomialparameter.

a) Die standardisierten Grenzen sind \(-\frac{4}{3}\) und \(\frac{2}{3}\). Daher \(P(12\le X\le15)=\Phi\left(\frac{2}{3}\right)-\Phi\left(-\frac{4}{3}\right)\approx0{,}656296\approx65{,}63\,\%\). b) Es gilt \(p=P(X>16)=1-\Phi\left(\frac{4}{3}\right)\approx0{,}0912112\approx9{,}12\,\%\). c) Für \(Y\sim B(50;p)\) gilt mit dem ungerundeten Wert von \(p\) \(P(Y\ge5)=1-P(Y\le4)\approx0{,}484387\approx48{,}44\,\%\).

a) etwa \(65{,}63\,\%\) b) etwa \(9{,}12\,\%\) c) etwa \(48{,}44\,\%\)

- Wie viele Standardabweichungen liegt \(984\,\text{mL}\) unter \(\mu\)? - Bei einer absoluten Abweichung musst du beide symmetrischen Randbereiche berücksichtigen. - Welche Standardnormalwahrscheinlichkeit links vom gesuchten Grenzwert gehört zu \(1\,\%\)?

a) Es ist \(984=1000-2\cdot8=\mu-2\sigma\). Nach der \(2\sigma\)-Regel und Symmetrie gilt \(P(X<984)\approx\frac{1-0{,}954}{2}=0{,}023=2{,}3\,\%\). b) Gesucht ist \(P(|X-1000|>12)=P(|Z|>1{,}5)\). Daher \(P(|Z|>1{,}5)=2(1-\Phi(1{,}5))\approx0{,}133614\approx13{,}36\,\%\). c) Aus \(P(X<m)=0{,}01\) folgt \(\Phi\left(\frac{m-1000}{8}\right)=0{,}01\). Mit \(\Phi^{-1}(0{,}01)\approx-2{,}326348\) ergibt sich \(m\approx1000-2{,}326348\cdot8\approx981{,}39\,\text{mL}\).

a) etwa \(2{,}3\,\%\) b) etwa \(13{,}36\,\%\) c) \(m\approx981{,}39\,\text{mL}\)